close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Операторные оценки погрешности в задачах усреднения дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Мешкова Юлия Михайловна
ОПЕРАТОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ
В ЗАДАЧАХ УСРЕДНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
01.01.03 — Математическая физика
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Санкт-Петербург — 2018
Работа выполнена на кафедре высшей математики и математической фи­
зики ФГБОУ ВО Санкт-Петербургский государственный университет.
Суслина Татьяна Александровна,
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, доцент,
профессор кафедры высшей математики и
математической физики ФГБОУ ВО Санкт­
Петербургский государственный университет.
Официальные оппоненты:
Панасенко Григорий Петрович,
доктор физико-математических наук,
профессор университета Жан Монне, г. Сент­
Этьен, Франция;
Пастухова Светлана Евгеньевна,
доктор физико-математических наук,
профессор,
профессор
кафедры
высшей
математики-2
ФГБОУ ВО МИРЭА — Российский техноло­
гический университет.
Ведущая организация:
Институт
центром
математики
–
с
обособленное
вычислительным
структурное
под­
разделение ФГБНУ Уфимский федеральный
исследовательский центр Российской акаде­
мии наук.
Защита состоится «24» декабря 2018 г. в 15 часов на заседании диссерта­
ционного совета Д 002.202.01 при ФГБУН Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии на­
ук по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБУН
Санкт-Петербургское
отделение
Математического
института
им.
В. А. Стеклова Российской академии наук http://www.pdmi.ras.ru/.
Автореферат разослан «
»
2018 года.
Ученый секретарь
диссертационного совета
доктор физико-математических наук
Зайцев А. Ю.
Общая характеристика работы
Актуальность темы.
Работа относится к теории усреднения (го­
могенизации) периодических дифференциальных операторов (ДО). Такие
операторы возникают при описании физических процессов в сильно неод­
нородных средах, например, процесса распространения тепла в композите.
Теории усреднения посвящена обширная литература. Укажем в первую
очередь книги [1, 2, 9].
Γ — решетка в R , Ω — ячейка решетки Γ. Для Γ-периодических

функций в R
  (x) := (x/),  :=
∫︀
−1
|Ω|
(x) x. Пример задачи усреднения — скалярное эллиптиче­
Ω
Пусть
используем обозначения
ское уравнение
−div   (x)∇ (x) +  (x) =  (x), x ∈ R ,
Γ-периодическая матрица-функция в R , ограниченная и поло­
 ∈ 2 (R ); типичный вопрос — как ведет себя
решение  при  → 0. Классический качественный результат — существо­
вание предела решений: 2 - lim  = 0 . Эффект усреднения состоит в том,
где
(x)
 > 0,

—
жительно определенная,
→0
что функция
эффективной
0
является решением задачи того же вида, но с постоянной
матрицей
0 :
−div  0 ∇0 (x) + 0 (x) =  (x), x ∈ R .
Иными словами, с макроскопической точки зрения физические процессы
в средах с быстро меняющимися характеристиками протекают как в одно­
родной эффективной среде. Нас интересуют количественные результаты.
„Классика” в гомогенизации — оценка вида
( )
‖ − 0 ‖2 (R ) 6 ( ).
Здесь
— постоянная, зависящая от решетки периодов, матрицы коэффици­
ентов и правой части
.
В работах [3, 4] М. Ш. Бирман и Т. А. Суслина развили теоретико­
операторный (спектральный) подход к задачам теории усреднения. В [3, 4]
изучались матричные сильно эллиптические операторы вида
 = (D)*   (x)(D),
2 (R ; C ). Здесь (D) — матричный
Пусть u — решение системы
действующие в
вого порядка.
(1)
однородный ДО пер­
(D)*   (x)(D)u (x) + u (x) = F(x), x ∈ R ,
F ∈ 2 (R ; C ).
В [3] было показано, что
‖u − u0 ‖2 (R ;C ) 6 ‖F‖2 (R ;C ) .
Здесь
u0
— решение соответствующей эффективной задачи
(D)*  0 (D)u0 (x) + u0 (x) = F(x), x ∈ R ,
3
(2)
 0 . В силу произволь­
F оценка (2) означает, что при  → 0 резольвента ( +)−1 сходится


операторной норме в 2 (R ; C ) к резольвенте эффективного операто­
0 = (D)*  0 (D):
с постоянной положительной эффективной матрицей
ности
по
ра
‖( + )−1 − (0 + )−1 ‖2 (R ;C )→2 (R ;C ) 6 .
(3)
( + )−1 по норме
1


Соболева  (R ; C ):
В [4] была получена аппроксимация резольвенты
раторов, действующих из


2 (R ; C )
в класс
‖( + )−1 − (0 + )−1 − ()‖2 (R ;C )→ 1 (R ;C ) 6 .
В этой аппроксимации учтен корректор
().
Оператор
опе­
(4)
() содержит
. При этом
быстро осциллирующие множители, а потому зависит от
‖()‖2 → 1 = (1).
Оценки (3), (4) точны по порядку. Постоянные в оценках контроли­
руются явно в терминах данных задачи. Подобные результаты получили
название
операторных оценок погрешности
в теории усреднения. Метод
работ [3, 4] основан на применении масштабного преобразования, теории
Флоке–Блоха и аналитической теории возмущений.
Разумеется, спектральный метод применялся к задачам усреднения
до работ М. Ш. Бирмана и Т. А. Суслиной, см. [2, 6, 9, 10, 19]. Основное
продвижение в [3,4] состоит в том, что рассматривается система уравнений.
Это вносит дополнительные трудности в построение теории возмущений.
Впоследствии спектральный метод был распространен Т. А. Сусли­
ной [22] на случай оператора
 = (D)*   (x)(D) +

∑︁
(︀
)︀
 (x) +  ( (x))* +  (x) + 0 (x),
(5)
=1
2 (R ; C ).
Здесь  (x), 
= 1, . . . ,, и (x) —
Γ-периодические матрицы-функции, вообще говоря, неограниченные, (x)
эрмитова, 0 (x) — Γ-периодическая матрица-функция, положительно
действующего
в
определенная, ограниченная и ограниченно обратимая. Вещественная по­
стоянная
 выбрана так, чтобы оператор 
был положительно определен.
В [22] установлены аналоги оценок (3) и (4):
Здесь

0
‖−1 − ( 0 )−1 ‖2 (R ;C )→2 (R ;C ) 6 ,
(6)
‖−1
(7)
0 −1
− ( )
− ()‖2 (R ;C )→ 1 (R ;C ) 6 .
— эффективный оператор с постоянными коэффициентами.
К параболическим системам спектральный метод применялся в рабо­
тах Т. А. Суслиной [20, 21], где были установлены оценки:
0
‖−  − −  ‖2 (R ;C )→2 (R ;C ) 6 ( + 2 )−1/2 ,
‖
− 
−
−0 
− (; )‖2 (R ;C )→ 1 (R ;C ) 6 (
 > 0,
−1/2
+
−1
(8)
),
2
> .
(9)
4
Экспонента от оператора (5) изучалась в работе Ю. М. Мешковой [M1],
где установлены аналоги неравенств (8) и (9).
Другой подход к получению операторных оценок погрешности был
предложен В. В. Жиковым и развит им совместно с С. Е. Пастуховой. В
работах [11–13] были получены оценки вида (3), (4) для операторов акусти­
ки и теории упругости. Метод, названный авторами „модифицированным
методом первого приближения“ или „методом сдвига“ , основан на анали­
зе первого приближения к решению. Важную техническую роль играет
использование сглаживания по Стеклову. К параболическим уравнениям
метод сдвига применялся в работе [14], где установлены аналоги оценок
(8) и (9). Дальнейшие результаты В. В. Жикова и С. Е. Пастуховой от­
ражены в обзоре [15].
Помимо задач в
R
в ограниченной области
в работах [11–13] изучались задачи усреднения
 ⊂ R .
Для операторов акустики и упругости
при условии Дирихле либо Неймана на границе в [11–13] была получена
(2 →  1 )-аппроксимация при учете корректора с оценкой погрешности
1/2
порядка (
). В качестве грубого следствия было установлено неравен­
−1
0 −1
ство ‖, − ( )
‖2 (;C )→2 (;C ) 6 1/2 . Близкие результаты для


оператора −div  (x)∇ в ограниченной области  ⊂ R при условии Ди­
рихле либо Неймана на  были установлены Ж. Гризо [7, 8] с помощью
„unfolding“ -метода. В [8] впервые была получена точная по порядку оценка
0 −1
‖−1
‖2 (;C )→2 (;C ) 6 .
, − ( )
(10)
Для эллиптических систем сходные результаты независимо получены в [16]
и [18,23]. Дальнейшие продвижения и подробный обзор можно найти в [24].
В присутствии младших членов задача усреднения для оператора
(5) в
R
изучалась в статье Д. И. Борисова [5]. Было найдено выраже­
ние для эффективного оператора
0
и получены оценки вида (6), (7).
Предполагалось, что коэффициенты оператора локально периодические и
достаточно гладкие. Отметим также недавнюю работу С. Е. Пастуховой и
Р. Н. Тихомирова [17], рассматривавших несамосопряженное дивергентное
эллиптическое уравнение второго порядка общего вида.
До сих пор речь шла об аппроксимации резольвенты в фиксирован­
ной регулярной точке. Аппроксимация резольвенты
(1) в зависимости от

( − )−1 оператора
 ∈ C ∖ R+ найдена
и спектрального параметра
Т. А. Суслиной [24]. В этой работе также получены двухпараметрические
(относительно
раторов
,

и
и )
,
оценки погрешности при усреднении резольвент опе­
вида (1), действующих в ограниченной области при
условии Дирихле либо Неймана на границе. Стимулом к получению таких
оценок послужило представление
где
⊂C
1
−,  = − 2
— контур, обходящий спектр оператора
− (, − )−1  ,

, в положительном
∫︀
направлении. Это представление позволяет выводить параболические ре­
зультаты усреднения из эллиптических.
5
Целью
диссертационной работы является получение операторных
оценок погрешности при усреднении эллиптических и параболических
задач в ограниченной области при условии Дирихле на границе для са­
мосопряженного матричного сильно эллиптического дифференциального
оператора второго порядка вида (5).
Постановка задачи.
с
границей
класса

1,1
Пусть
.
Мы
 ⊂ R
изучаем
—
ограниченная
самосопряженный
ный сильно эллиптический ДО второго порядка
действующий
границе.
в
ражением
(5),
где
оператор
все
матрич­
, , 0 <  6 1,
2 (; C ) при условии Дирихле
, задан дифференциальным
пространстве
Формально
область
матричные
коэффициенты
имеют,
на
вы­
вообще
Γ-периодическая
( × )-матрица-функция (x) такова, что (x) > 0, ,  −1 ∈ ∞ ; (D) —
∑︀
матричный дифференциальный оператор с символом () =
=1   , где
 — постоянные ( × )-матрицы. Считаем, что  >  и что rank () = ,
0 ̸=  ∈ R . Наложенное на () условие равносильно существованию таких
*
−1
постоянных 0 < 0 6 1 < ∞, что 0 1 6 () () 6 1 1 ,  ∈ S
.
говоря, комплексные элементы. Предполагается что
Сделанные предположения обеспечивают сильную эллиптичность операто­
, . Предполагается, что Γ-периодические ( × )-матрицы-функции
 (x),  = 1, . . . ,, и (x) таковы, что
ра
 ∈  (Ω),
 = 2 при  = 1,
 >  при  > 2;
 ∈  (Ω),
 = 1 при  = 1,
 > /2 при  > 2;
 = 1, . . . ,;
(11)
(12)
(x) — эрмитова; Γ-периодическая (×)-матрица-функция 0 (x)
0 (x) > 0 и 0 , −1
0 ∈ ∞ . Вещественная постоянная
 выбрана так, чтобы оператор , был положительно определен. Стро­
причем
подчинена условиям
гое определение оператора дается через соответствующую квадратичную
форму на классе Соболева
01 (; C ).
Для удобства дальнейших ссылок
назовем данными задачи следующий набор величин
, , , , ; 0 , 1 , ‖‖∞ , ‖ −1 ‖∞ , ‖ ‖ (Ω) ,  = 1, . . . ,,
‖‖ (Ω) , ‖0 ‖∞ , ‖−1
0 ‖∞ ; ||;
Задачи,
параметры решетки
(13)
Γ.
поставленные в ходе диссертационного исследования:
1. Изучить поведение обобщенной резольвенты оператора
ствующего в
2 (R ; C )
 ,
дей­
и заданного дифференциальным выра­
( − 0 )−1 с
периода  и спек­
жением (5). Найти аппроксимации оператора
двухпараметрическими (относительно малого
трального параметра
)
оценками погрешности.
2. Получить аппроксимации оператора
(, −0 )−1 с двухпарамет­
рическими оценками погрешности.
3. Аппроксимировать полугруппу
6
−, ,  > 0.
Научная новизна. Все результаты работы, выносимые на за­
щиту, являются новыми. Ранее аналоги результатов глав 1 и 2 были
известны для резольвенты оператора
 ,
не включающего младших чле­
нов. Результаты главы 3 совершенно новые. Ранее операторных оценок
погрешности при усреднении параболических задач в ограниченной обла­
сти известно не было.
Теоретическая и практическая значимость.
Работа имеет теоре­
тический характер. Результаты представляют интерес для специалистов
по теории усреднения. Установленные в диссертационной работе резуль­
таты могут быть использованы при изучении физических задач в сильно
неоднородных средах. В качестве примеров рассмотрены скалярный эл­
липтический оператор (оператор акустики) и периодический магнитный
оператор Шрёдингера с сильно сингулярным электрическим потенциа­
лом. Продвижения в усреднении эллиптических задач в зависимости от
спектрального параметра нашли дальнейшие применения к изучению ги­
перболических задач в работе соискателя [M3].
Методология и методы исследования.
В первой главе применяет­
ся теоретико-операторный (спектральный) подход к задачам усреднения,
развитый в работах М. Ш. Бирмана и Т. А. Суслиной. Этот метод состоит
в применении масштабного преобразования, теории Флоке-Блоха и анали­
тической теории возмущений.
Во второй главе результаты для оператора, действующего в ограни­
ченной области, получены на основании результатов главы 1 с помощью
рассмотрения ассоциированной задачи в
R ,
введения и тщательного ана­
лиза поправки типа пограничного слоя. Основные трудности связаны с
оцениванием интегралов по узкой окрестности границы области.
В третьей главе аппроксимации для операторной экспоненты вы­
водятся из эллиптических результатов главы 2 с помощью обратного
преобразования Лапласа.
Положения, выносимые на защиту:
1. Для обобщенной резольвенты самосопряженного матричного силь­
 , действующе­
2 (R ; C ), получены аппроксимации по (2 → 2 )- и
(2 →  1 )-операторным нормам с двухпараметрическими (отно­
но эллиптического оператора второго порядка
го в
сительно малого периода и спектрального параметра) оценками
погрешности. Оценки имеют точный порядок
()
(при фиксиро­
ванном значении спектрального параметра).
2. Для оператора
, ,
действующего в ограниченной области при
условии Дирихле на границе, получены аппроксимации обобщен­
ной резольвенты с двухпараметрическими оценками погрешности.
7
(2 → 2 )-норме имеет точный
(), а оценка погрешности по (2 →  1 )-норме имеет по­
1/2
рядок (
). Ухудшение порядка по сравнению с аналогичным

результатом в R объясняется влиянием границы области.
−, 
Для полугруппы 
,  > 0, получены аппроксимации по
(2 → 2 )- и (2 →  1 )-операторным нормам.
При этом оценка погрешности по
порядок
3.
Степень достоверности и апробация.
Достоверность результатов
обеспечивается строгими математическими доказательствами. Основные
результаты диссертации были представлены на 14 международных конфе­
ренциях, а также на 7 научных семинарах: международная конференция
„ Дни дифракции 2015“ (Санкт-Петербург, Россия, 25–29 мая 2015); меж­
дународная
Issues“
конференция
„Asymptotic
Problems:
Elliptic
and
Parabolic
(Вильнюс, Литва, 1–5 июня 2015); пятая международная конфе­
ренция „Multiscale Modeling and Methods: Upscaling in Engineering and
Medicine“ (Москва, Россия, 25–27 июня 2015); международная конферен­
ция „КРОМШ-2015“ (Батилиман, Россия, 17–29 сентября 2015); междуна­
родная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим
системам (Суздаль, Россия, 8–12 июля 2016); трехсторонняя германо-рос­
сийско-украинская летняя школа „Spectral Theory, Differential Equations
and Probability“
(Майнц, Германия, 4–15 сентября 2016); международ­
ная конференция „КРОМШ-2016“
(Батилиман, Россия, 17–29 сентября
2016); рождественские встречи с Пьером Делинем (Москва, Россия, 4–6
января 2017); международная конференция по дифференциальным уравне­
ниям — Silkroad Mathematics Center series international conferences (Пекин,
Китай, 10–21 апреля 2017); международная конференция „Современные
методы и проблемы гармонического анализа и теории операторов и их
приложения VII“ (Ростов-на-Дону, Россия, 23–28 апреля 2017); междуна­
родная конференция „ Дни дифракции 2017“
(Санкт-Петербург, Россия,
19–23 июня 2017); Инсубрийская летняя школа по математической фи­
зике „Spectral and scattering theory: from selfadjoint operators to boundary
value problems“ (Комо, Италия, 18–22 сентября 2017); симпозиум молодых
ученых (Монреаль, Канада, 20–21 июля 2018); летняя школа „Inverse and
Spectral Problems for (Non)-Local Operators“
(Лейпциг, Германия, 10–14
сентября 2018); семинар по математической физике им. В. И. Смирнова
(Санкт-Петербург, Россия, 24 ноября 2014); Санкт-Петербургский семи­
нар по динамике (Санкт-Петербург, Россия, 10 октября 2016); семинар
кафедры Высшей математики и математической физики (Санкт-Петер­
бург, Россия, 19 октября 2016); исследовательский семинар „Асимптотики,
операторы и функционалы” (Бат, Великобритания, 31 октября 2016); се­
минар по математической физике и гармоническому анализу (Колледж
Стейшн, Техас, США, 17 ноября 2016); семинар по численному анализу и
8
научным вычислениям (Безансон, Франция, 4 мая 2017); Бэйлорский ана­
литический семинар (Бэйлор, Техас, США, 25 апреля 2018).
Личный вклад.
Основные результаты диссертации получены в сов­
местных с Т. А. Суслиной работах. Определяющий вклад в эти работы
принадлежит диссертанту.
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в пя­
ти совместных с Т. А. Суслиной работах [MSu1, MSu2, MSu3, MSu4, MSu5].
Более развернутое изложение части результатов из [MSu4] доступно в
препринте [MSu6]. Также по теории усреднения автором опубликованы ста­
тья [M1] и препринты [M2–M4]. Однако материал работ [M1–M4] выходит
за рамки диссертационного исследования.
Объем и структура работы.
Диссертация состоит из введения,
трех глав и заключения. Полный объем диссертации 148 страниц текста.
Список литературы содержит 70 наименований.
Содержание работы
Во
введении
обосновывается актуальность исследований, проводи­
мых в рамках диссертационной работы, приводится обзор научной лите­
ратуры по изучаемой проблеме, формулируются цели и задачи работы,
объясняется ее научная новизна и практическая значимость. Описывают­
ся методы исследования, структура и содержание работы.
В
первой главе
рассматривается задача усреднения для обобщен­
ной резольвенты оператора
 ,
действующего в
2 (R ; C )
и заданного
дифференциальным выражением (5).
Коэффициенты оператора
ют при
 → 0.

зависят от
x/
и быстро осциллиру­
Чтобы описать соответствующий эффективный оператор,
рассмотрим вспомогательные задачи на ячейке. Пусть
( × )-матрица-функция Λ(x)
Γ-периодическая
является (слабым) решением задачи
(D)* (x)((D)Λ(x) + 1 ) = 0,
∫︁
Λ(x) x = 0.
Ω
∫︀
 0 = |Ω|−1 Ω (x)((D)Λ(x) + 1 ) x.
Γ-периодическое ( × )-матричное решение задачи
Определим эффективную матрицу:
Пусть
̃︀
Λ(x)
—
̃︀
(D)* (x)(D)Λ(x)
+

∑︁
  (x)* = 0,
∫︁
̃︀
Λ(x)
x = 0.
Ω
=1
9
∫︀
̃︀
 = |Ω|−1 Ω ((D)Λ(x))* (x)((D)Λ(x))
x
*
̃︀
̃︀
((D)
Λ(x))
(x)((D)
Λ(x))
x
. Тогда эффективный опера­
Ω
Определим постоянные матрицы
и
 = |Ω|
∫︀
−1
тор задан выражением
 0 = (D)*  0 (D)−(D)*  − * (D)+

∑︁
( + * ) − ++0 .
(14)
=1
Назовем корректором оператор
̃︀  ]) ( 0 − 0 )−1 .
(; ) = ([Λ ](D) + [Λ
(15)
̃︀  ] — операторы умножения на матрицы-функции Λ (x)
[Λ ] и [Λ

̃︀
и Λ (x), соответственно;  — оператор сглаживания по Стеклову:
∫︀
( u)(x) = |Ω|−1 Ω u(x − z) z, u ∈ 2 (R ; C ).
Здесь
Сформулируем основной результат главы 1.
Теорема 1.
Положим
Пусть  ∈ C ∖ R+, 
{︃
() =
| sin |−1 ,
1,
,
, причем ||
= ||  ∈ (0,2)
> 1
.
 ∈ (0,/2) ∪ (3/2,2),
 ∈ [/2,3/2].
Тогда при 0 <  6 1 справедливы оценки
‖( − 0 )−1 − ( 0 − 0 )−1 ‖2 (R ;C )→2 (R ;C ) 6 1 ()2 ||−1/2 ,
‖( −
0 )−1
0
− ( − 0 )
−1
(16)
− (; )‖2 (R ;C )→ 1 (R ;C ) 6 2 ()2 .
Постоянные 1 и 2 контролируются в терминах данных задачи
(17)
(13)
.
Отметим, что двухпараметрические оценки (16) и (17) равномерны
по

в любой области вида
{ = || ∈ C : || > 1, 0 6  6 2 − 0 }
при сколь угодно малом
(18)
0 > 0 .
Корректор (15) в общем случае содержит сглаживающий оператор.
Мы выделяем случаи, когда можно использовать более простой корректор.
Помимо оценок для обобщенной резольвенты мы находим аппрок­
симацию по
(2 → 2 )-норме
операторов вида
  (D)( − 0 )−1 ,
отвечающих потокам.
( − 0 )−1 , справед­
параметра  .
Также мы находим аппроксимацию оператора
ливую в более широкой области изменения
Факторизуем 0(x) = ( (x)*)−1 (x)−1, 0 = 0−2. Пусть
̃︀ = (  )*   
 ∈ C∖[♭ ,∞), где ♭ > 0 — общая нижняя грань операторов 
0
0

и ̃︀ = 0 0. Положим{︃ − ♭ = | − ♭| ,  ∈ (0,2), и обозначим
Теорема 2.
() =
()2 | − ♭ |−2 ,
()2 ,
10
| − ♭ | < 1,
| − ♭ | > 1.
(19)
Тогда при 0 <  6 1 верны оценки
‖( − 0 )−1 − ( 0 − 0 )−1 ‖2 (R ;C )→2 (R ;C ) 6 3 (),
0 )−1
−1
0
‖( −
− ( − 0 )
(︀
)︀
6 4 1 + | + 1|1/2 ().
− (; )‖2 (R ;C )→ 1 (R ;C )
Постоянные 3, 4 контролируются через данные задачи
Во
второй главе
ной области
 ⊂ R
(13)
(20)
(21)
и ♭.
изучаются эллиптические системы в ограничен­
класса
 1,1 .
Пусть оператор
, формально задан
2 (; C ) при усло­
оператора , дается
дифференциальным выражением (5) и действует в
вии Дирихле на границе. Строгое определение
через квадратичную форму. Соответствующий эффективный оператор
0

задан дифференциальным выражением (14) на области определения
 2 (; C ) ∩ 01 (; C ). В рассматриваемом случае корректор имеет вид
(︀
)︀
̃︀  ]   ( 0 − 0 )−1 .
(22)
 (; ) =  [Λ ](D) + [Λ

 :   (; C ) →   (R ; C ),  ∈ Z+ , — линейный непрерывный
оператор продолжения, через  обозначен оператор сужения функций

в R на область  .
Выберем числа 0 , 1 ∈ (0,1] согласно следующему условию.
Здесь
Пусть число}︀ 0 ∈ (0,1] таково, что полоску () =
можно покрыть конечным0,1числом открытых
множеств, допускающих диффеоморфизмы
класса  , распрямляющие
границу . Положим 1 = 0(1 + 1)−1, где 21 = diam Ω.
Условие
3.
{︀
0
x ∈ R : dist {x; } < 0
Выпишем основной результат главы 2.
Пусть  = || ∈ C ∖ R+, || > 1. Тогда при 0 <  6 1
справедливы аппроксимации
Теорема 4.
0
‖(, − 0 )−1 − (
− 0 )−1 ‖2 (;C )→2 (;C ) 6 5 ()5 ||−1/2 ,
(23)
‖(, −
0
0 )−1 − (
2 1/2
−1/4
6 6 () 
||
−1
− 0 )
−  (; )‖2 (;C )→ 1 (;C )
4
+ 7 () .
Постоянные 5, 6 и 7 зависят только от данных задачи
области .
Оценки (23), (24) равномерны по
сколь угодно малом
ный порядок
().
0 > 0.
(),
и от
в любой области вида (18) при
При фиксированном

оценка (23) имеет точ­
R (см. (17)), из-за
(2 →  1 )-оценки можно улучшить до
Порядок оценки (24) хуже, чем в
влияния границы области. Порядок
точного

(13)
(24)
добавляя к корректору поправку типа пограничного слоя.
11
Корректор в (24) в общем случае содержит сглаживающий оператор.
Мы выделяем случаи, когда можно использовать более простой корректор.
Помимо оценок для обобщенной резольвенты мы находим аппрокси­
мацию для „потока”
  (D)(, − 0 )−1 .
Также мы находим аппроксимации оператора
(, − 0 )−1 ,
спра­
ведливые в более широкой области изменения спектрального параметра
.
Условие 5. Пусть 0 < ♭ 6 1. Пусть ♭ > 0 — общая нижняя грань
операторов ̃︀, = ( )*,  для всех 0 <  6 ♭ и ̃︀0 = 00 0.
Теорема 6. Пусть число 1 выбрано из условия , 0 < ♭ 6 1 . Предполо­
жим, что ♭ > 0 подчинено условию . Пусть  ∈ C ∖ [♭,∞). Обозначим
 = arg ( − ♭ ), 0 <  < 2 . Определим величину () согласно
. Тогда
при 0 <  6 ♭ выполнено
3
5
(19)
0
‖(, − 0 )−1 − (
− 0 )−1 ‖2 (;C )→2 (;C ) 6 8 (),
0
‖(, − 0 )−1 − (
− 0 )−1 −  (; )‖2 (;C )→ 1 (;C )
(︀ 1/2
)︀
6 9  ()1/2 + |1 + |1/2 () .
Постоянные 8 и 9 зависят только от данных задачи
области .
В
третьей главе
(13)
, от ♭ и от
изучается поведение в пределе малого периода ре­
шения первой начально-краевой задачи:
{︃
Здесь
0 (x) u (x,) = − u (x,), x ∈ ,  > 0;
u (x,) = 0, x ∈ ,  > 0; 0 (x)u (x,0) = (x), x ∈ .
 ∈ 2 (; C ).
Оказывается, что при
решению
u0 (·,)
→0
решение
u (·,)
сходится в
2 (; C )
к
эффективной задачи с постоянными коэффициентами:
{︃
0  u0 (x,) = − 0 u0 (x,), x ∈ ,  > 0;
u0 (x,) = 0, x ∈ ,  > 0; 0 u0 (x,0) = (x), x ∈ .
Сформулируем основные результаты главы 3.
Теорема 7.
>0
имеем
Пусть число 1 выбрано из условия . Тогда при 0 <  6 1 и
3
‖u (·,) − u0 (·,)‖2 (;C ) 6 10 ( + 2 )−1/2 − ‖‖2 (;C ) .
(25)
Пусть v(·,) = u0(·,) + (Λ(D) + Λ̃︀ ) u0(·,) — первое приближение
к решению u(·,). При 0 <  6 1 и  > 0 выполнено
‖u (·,) − v (·,)‖ 1 (;C ) 6 11 (1/2 −3/4 + −1 )− ‖‖2 (;C ) .
Постоянные , 10, 11 зависят от данных задачи
12
(13)
(26)
и от области .
При фиксированном значении времени
ный порядок
().
 > 0 оценка (25) имеет точ­
(1/2 ). Это объясняется
Порядок оценки (26) хуже:
влиянием пограничного слоя. Постоянные в оценках (25) и (26) не зави­
сят от
.
Поэтому оценки (25) и (26) можно переписать в равномерной
операторной топологии. В более простом случае, когда
‖−,  − 
0
−

‖−,  − 
0
−

 > 0.
Здесь
0 (x) = 1 ,
‖2 (;C )→2 (;C ) 6 10 ( + 2 )−1/2 − ,
имеем
 > 0,
−  (; )‖2 (;C )→ 1 (;C ) 6 11 (1/2 −3/4 + −1 )− ,
(︀
)︀
0

̃︀  ]   −
 (; ) =  [Λ ](D) + [Λ
. Мы выделяем
условия, при которых можно использовать более простой корректор без
сглаживающего оператора. Помимо оценки (26) мы получаем аппроксима­
цию потока
  (D)u (·,)
по
2 -норме.
Литература
[1]
Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П.
Осреднение процессов в периодиче­
ских средах // Наука, М., 1984.
[2]
Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G.
Asymptotic analysis for
periodic structures // Stud. Math. Appl., vol. 5, North-Holland Publishing
Co., Amsterdam-New York, 1978.
[3]
Бирман М.Ш., Суслина Т.А.
Периодические дифференциальные опе­
раторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднения // Алгебра
и анализ
[4]
15
(2003), №5, 1–108.
Бирман М.Ш., Суслина Т.А.
Усреднение периодических дифферен­
циальных операторов с учетом корректора. Приближение решений в
классе Соболева
[5]
Борисов Д.И.
 1 (R )
// Алгебра и анализ
18
(2006), №6, 1–130.
Асимптотики решений эллиптических систем с быстро
осциллирующими коэффициентами // Алгебра и анализ
20
(2008), №2,
19–42.
[6]
Conca C., Vanninathan M.
Homogenization of periodic structures via
Bloch decomposition // SIAM J. Appl. Math.
[7]
Error estimate and unfolding for periodic homogenization //
Griso G.
Interior error estimate for periodic homogenization // Anal.
Appl.
[9]
(1997), №6, 1639–1659.
Griso G.
Asymptot. Anal.
[8]
57
4
40
(2004), №3/4, 269–286.
(2006), №1, 61–79.
Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А.
альных операторов // Физматлит, М., 1993.
13
Усреднение дифференци­
[10]
Жиков В.В.
Спектральный подход к асимптотическим задачам диф­
Жиков В.В.
Об операторных оценках в теории усреднения // Докл.
Жиков В.В.
О некоторых оценках из теории усреднения // Докл.
25
фузии // Дифференц. уравнения
[11]
РАН
[12]
РАН
[13]
403
406
(1989), №1, 44–50.
(2005), №3, 305–308.
(2006), №5, 597–601.
Zhikov V.V., Pastukhova S.E.
On operator estimates for some problems
in homogenization theory // Russ. J. Math. Phys.
[14]
Zhikov V.V., Pastukhova S.E.
12
(2005), №4, 515–524.
Estimates of homogenization for a
parabolic equation with periodic coefficients // Russ. J. Math. Phys.
13
(2006), №2, 224–237.
[15]
Жиков В.В., Пастухова С.Е.
Об операторных оценках в теории
Kenig C.E., Lin F., Shen Z.
Convergence rates in
усреднения // УМН
[16]
71 (429)
(2016), №3, 27–122.
homogenization problems // Arch. Rat. Mech. Anal.
2
203
for elliptic
(2012), №3,
1009–1036.
[17]
Пастухова С.Е., Тихомиров Р.Н.
Об операторных оценках усредне­
ния для эллиптических уравнений с младшими членами // Алгебра и
анализ
[18]
29
(2017), №5, 179–207.
Пахнин М.А., Суслина Т.А.
Операторные оценки погрешности при
усреднении эллиптической задачи Дирихле в ограниченной области //
Алгебра и анализ
[19]
24
(2012), №6, 139–177.
Севостьянова Е.В.
Асимптотическое
разложение
решения
эл­
липтического уравнения второго порядка с периодическими быстро
осциллирующими коэффициентами // Мат. сб.
115(157)
(1981), №2(6),
204–222.
[20]
Суслина Т.А.
Об усреднении периодических параболических систем
// Функц. анализ и его прил.
[21]
Suslina T.A.
38
(2004), №4, 86–90.
Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem in
the Sobolev space
 1 (R )
// Math. Model. Nat. Phenom.
5
(2010), №4,
390–447.
[22]
Суслина Т.А.
Усреднение в классе Соболева
 1 (R )
для периодиче­
ских эллиптических дифференциальных операторов второго порядка
при включении членов первого порядка // Алгебра и анализ
№1, 108–222.
14
22
(2010),
[23]
Suslina T.A.
systems:
Homogenization of the Dirichlet problem for elliptic
2 -operator
error estimates // Mathematika
59
(2013), №2,
463–476.
[24]
Суслина Т.А.
Усреднение эллиптических операторов с периодиче­
скими коэффициентами в зависимости от спектрального параметра //
27
Алгебра и анализ
(2015), №4, 87–166.
Публикации автора по теме диссертации
[MSu1]
Мешкова Ю.М., Суслина Т.А.
Усреднение решений начально-кра­
евых задач для параболических систем // Функц. анализ и его прил.
49
(2015), №1, 88–93.
[MSu2]
Meshkova Y.M., Suslina T.A.
Two-parametric error estimates
in homogenization of second-order elliptic systems in
Analysis
[MSu3]
95
problems
for
Applicable Analysis
[MSu4]
// Applicable
(2016), №7, 1413–1448.
Meshkova Y.M., Suslina T.A.
value
R
parabolic
95
Homogenization of initial boundary
systems
with
periodic
coefficients
//
(2016), №8, 1736–1775.
Мешкова Ю.М., Суслина Т.А.
Усреднение задачи Дирихле для
эллиптических и параболических систем с периодическими коэффици­
ентами // Функц. анализ и его прил.
[MSu5]
Мешкова Ю.М., Суслина Т.А.
краевой
задачи
для
29
Meshkova Y.M., Suslina T.A.
problem
for
elliptic
systems:
(2017), №3, 87–93.
Усреднение первой начально­
параболических
погрешности // Алгебра и анализ
[MSu6]
51
систем:
операторные
оценки
(2017), №6, 99–158.
Homogenization of the Dirichlet
Two-parametric
error
estimates
//
arXiv:1702.00550v4 (2017).
Прочие публикации автора
[M1]
Мешкова Ю.М.
Усреднение задачи Коши для параболических си­
стем с периодическими коэффициентами // Алгебра и анализ
25 (2013),
№6, 125–177.
[M2]
Meshkova Y.M.
On operator error estimates for homogenization of
hyperbolic systems with periodic coefficients // arXiv:1705.02531 (2017).
[M3]
Meshkova Y.M.
On homogenization of the first initial-boundary value
Мешкова
Ю.М.

Усреднение периодических параболических систем
problem for periodic hyperbolic systems // arXiv:1807.03634 (2018).
[M4]
по
2 (R )-норме
при учете корректора // St. Petersburg Mathematical
Society Preprint # 2018-05 (2018).
15
Мешкова Юлия Михайловна
Операторные оценки погрешности в задачах усреднения дифференциальных
операторов с периодическими коэффициентами
Автореферат диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Подписано в печать ??.??.2018. Заказ №
Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз.
Типография
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа