close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Развитие и применение метода суб-грамианов для анализа устойчивости электроэнергетических систем

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Катаев Дмитрий Евгеньевич
Развитие и применение метода суб-грамианов для
анализа устойчивости электроэнергетических
систем
Специальность 05.13.01 — системный анализ,
управление и обработка информации
(в технических системах)
Автореферат
диссертации на соискание учёной степени
кандидата технических наук
МОСКВА — 2018
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии
наук
Научный руководитель:
доктор технических наук, профессор
заведующий лабораторией
Ядыкин Игорь Борисович
Официальные оппоненты:
Новиков Николай Леонтьевич,
доктор технических наук, профессор,
АО "НТЦ ФСК ЕЭС"
Заместитель научного руководителя
Кузнецов Олег Николаевич,
кандидат технических наук,
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ»
доцент, заведующий научно-исследовательской лабораторией
Ведущая организация:
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский государственный технический университет».
Защита состоится 12 ноября 2018 г. в 14 часов на заседании Диссертационного
совета Д 002.226.01 при Институте проблем управления им. В. А. Трапезникова
РАН по адресу: 117997, Москва, ул. Профсоюзная, д.65.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ РАН и на официальном сайте www.ipu.ru.
Автореферат разослан __ ________ 2018 года.
Ученый секретарь
диссертационного совета
кандидат технических наук
Жарко Е. Ф.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Проблема управления электроэнергетическими системами (ЭЭС), в связи с постоянным их усложнением, остается актуальной
с самого момента их появления. Ранее раздельные сети объединяются, растут
объемы генерации и потребления, увеличивается протяженность линий передачи. Современные энергосистемы оказываются крупномасштабными синхронно взаимосвязанными системами с активно взаимодействующими между собой
подсистемами и отдельными генераторами. При этом, в силу роста потребления системным операторам может приходиться эксплуатировать энергосистему
в более близких к границе устойчивости режимах.
Вследствие этого, усложняются динамические характеристики больших
электроэнергетических систем, в частности, возникают низкочастотные слабодемпфированные колебания. Такие колебания способны накладывать существенные режимные ограничения, в частности, вызывая необходимость оперативного
уменьшения передаваемой мощности и отключения потребителей. В отсутствие
превентивных либо оперативных мер слабодемпфированные колебания способны спровоцировать крупные каскадные аварии в энергосистеме или ее развал.
Исследования устойчивости ЭЭС основаны на уравнениях синхронных
машин (А.А. Горев, R.H. Park) и теории устойчивости динамических систем
(А.М. Ляпунов, H. Nyquist, A. Hurwitz). Большой вклад в развитие данной области внесли П.С. Жданов, В.А. Веников, P. Kundur, В.А. Баринов, Н.И. Воропай,
Ю.И. Моржин, В.А. Строев, О.А. Суханов, А.В. Жуков, А.Г. Фишов, Ю.Н. Кучеров, M.G. Rogers, A. Pai, Z. Gadjic, Е.В. Тузлукова. О растущей важности проблемы анализа устойчивости говорится не только в научных публикациях, но и
в промышленных отчетах (CIEE, Siemens). Современные методы анализа устойчивости электроэнергетических систем основаны на возможности линеаризации
систем дифференциальных уравнений, описывающих их динамику в установившемся режиме работы. В силу крупномасштабности исследуемых систем было
развито большое количество различных методов анализа их устойчивости. В
последние десятилетия большое внимание уделяется измерительным методам
идентификации слабоустойчивых процессов в реальном времени без использования заранее заданной модели ЭЭС (J. Hauer, N. Zhou, I.Vanfretti, V.S. Peric).
Метод суб-грамианов (И.Б. Ядыкин) основан на разложении грамианов
управляемости либо наблюдаемости линейной динамической системы по собственным числам ее матрицы динамики, что также позволяет получить аналогичное разложение квадрата 2 -нормы передаточной функции исследуемой системы. 2 -норма передаточной функции может использоваться как мера близости к границе устойчивости (A.C. Antoulas), при этом имеет физический смысл
3
полной энергии реакции системы на входной  -импульс. Вместе это позволяет
развивать новые методы анализа устойчивости электроэнергетических систем.
Целью данной работы является развитие и применение метода субграмианов для анализа устойчивости электроэнергетических систем при приближении к границе устойчивости.
Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:
1. Разработать метод численного оценивания межмодального взаимодействия
и его влияния на приближение параметрической линейной системы к границе устойчивости на основе разложения квадрата H2-нормы передаточной
функции по комбинационному спектру матрицы динамики.
2. Обобщить разработанный метод на случай произвольного временного окна
и неустойчивых систем. Получить вариант метода суб-грамианов, способный учитывать ненулевые начальные условия.
3. Сравнить разработанный метод и метода модального анализа, разработать
комбинированный метод анализа устойчивости параметрической линейной
системы.
4. Разработать программное обеспечения для автоматизированного проведения испытаний метода суб-грамианов на Simulink-моделях в среде
MATLAB.
Научная новизна.
1. Предложен метод анализа устойчивости электроэнергетической системы,
объединяющий методы модального анализа и суб-грамианов.
2. Получено обобщение метода суб-грамианов на случаи произвольного временного окна и ненулевых начальных условий, что позволяет применять
его к неустойчивым системам.
3. Получен алгоритм вычисления структурных разложений матриц грамианов
и суб-грамианов линейной системы, устойчивый к росту ее порядка.
4. Проведены сравнительные испытания методов суб-грамианов и модального
анализа на моделях ОЭС "Восток" и 57-узловой тестовой системы IEEE.
Соответствие шифру специальности. Работа соответствует формуле
специальности 05.13.01 и охватывает следующие области исследования, входящие в специальность 05.13.01: п.4 Разработка методов и алгоритмов решения
задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.; п.10 Методы и алгоритмы интеллектуальной поддержки
4
при принятии управленческих решений в технических системах.; п.12 Визуализация, трансформация и анализ информации на основе компьютерных методов
обработки информации.
Практическая значимость диссертационной работы определяется теоретическими и экспериментальными результатами, направленными на решение
актуальных промышленных задач. В рамках данной работы внесен вклад в
исследования, поддержанные грантом РФФИ №14-08-01098 и соглашением со
Сколтехом №1071-MRA. Разработанное программное обеспечение передано сотрудникам НГТУ в рамках сотрудничества по договорам №199-MRA и №1071MRA между Сколковским институтом науки и инноваций, НГТУ и ИПУ РАН
соответственно. Результаты данной работы внедрены в Институте Систем Энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН. Приложение к данной работе содержит
листинги разработанного программного обеспечения.
Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается строго доказанными теоретическими результатами. Экспериментальные результаты
находятся в полном согласии с теоретическими.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:
IREP 2013 Symposium-Bulk Power Systems Dynamics and Control-IX, 18-th IEEE
Mediterranean Electrotechnical Conference, Современные направления развития
систем релейной защиты и автоматики энергосистем, IFAC Workshop on Control
of Transmission and Distribution Smart Grids 2016, опубликованы в журналах:
Control Engineering Practice, IFAC Proceedings Volumes, IFAC-PapersOnLine, Теория и Системы Управления.
Личный вклад. Автор принимал активное участие в разработке вычислительных алгоритмов, как на стадии теоретического исследования, так и программной реализации. Личным вкладов автора так же является разработка исследовательского программного обеспечения и проведение всех описанных в
данной работе испытаний развитого метода с использованием Simulink-моделей.
Теоретическим вкладом автора является спектральное разложение решения дифференциального уравнения Ляпунова с ненулевыми начальными условиями и
исследование частного случая спектрального разложения квадрата 2 -нормы передаточной функции с помощью дифференциальных уравнений Сильвестра для
диагонализированной системы с одним входом и выходом. Автор также провел теоретическое исследование на тему использования разработанного метода с неполными моделями линейных систем, в частности совместно с Пронианализом.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 4
печатных изданиях, 1 из которых издано в журналах, рекомендованных ВАК, 4
в тезисах докладов. При этом 7 публикаций входят в список Scopus.
5
Содержание работы
Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в
рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы
по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, сформулированы научная новизна и практическая значимость представляемой работы.
В первой главе проведен обзор используемых и разрабатываемых методов и систем мониторинга и анализа устойчивости электроэнергетических систем. Устойчивость ЭЭС определяется ее способностью возвращаться в равновесное состояние после возмущения. В общем случае ЭЭС описывается системой дифференциальных и алгебраических уравнений
{︃
˜

, ˜, )
 =  (˜
(1)
0 = (˜
, ˜, ),
где 
˜ - вектор состояния всех устройств системы, вектор ˜ отражает перетоки активной и реактивной мощности в сети, а  - все параметры, способные изменить
рабочую точку (режим) системы: мощности нагрузок, установленные объемы генерации, параметры регуляторов и т.п. При этом дифференциальные уравнения
системы определяются динамическими свойствами электрических машин, регуляторов и других компонентов сети, а матричные уравнения отражают баланс
генерации и потребления электроэнергии.
Модальный анализ основан на линеаризации системы (1), что допустимо
в случае малых возмущений. Линейное приближение системы (1):
{︃
Δ˜

 +  Δ˜

 =  Δ˜
(2)
0 =  Δ˜
,  Δ˜
,
где  ,  ,  ,  - матрицы Якоби дифференциальных и алгебраических уравнений. Если  не сингулярна, то (2) можно свести к виду
Δ˜

=  Δ˜
,  =  −  −1
  ,

который идентичен уравнению свободного движения линейной динамической
системы
˙ = ,
где  - вектор состояния, а  - матрица динамики. Под модальным анализом
обычно имеется ввиду анализ собственных чисел и векторов матрицы , при
условии, что она может быть приведена к диагональному виду.
Существующие методы анализа устойчивости электроэнергетических систем, несмотря на все свое разнообразие, в основном, сводятся к модальному
6
анализу, различаясь используемым методом идентификации. Однако, существующие методы модального анализа, получив информацию о модах системы, не
идут дальше вычисления частоты и коэффициента демпфирования колебательных мод. Таким образом, упускается дополнительная информация, связанная с
энергетическими характеристиками мод, с их взаимодействием и т.п.
В рамках основанного на слежении за перетоками активной мощности
метода, описанный в подразделе 1.3.1, используется линеаризация модели ЭЭС,
но модальный анализ не проводится. Накладываемые им режимные ограничения выражаются через напрямую измеряемые электротехнические параметры
работы системы, что весьма удобно с инженерной точки зрения, не требует дополнительной аппаратно-программной инфраструктуры, устойчиво относительно погрешностей измерения и позволяет в явном виде учитывать технические
ограничения сетевого оборудования.
При работе ни с перетоками мощности, ни со спектром системы нет возможности корректно задать ограничения, хоть в какой-то мере учитывающие
нелинейные взаимодействия внутри системы. Следовательно, есть некоторая потребность в методе, который, с одной стороны учитывал бы энергетические характеристики мод и межмодальное взаимодействие, с другой мог бы работать
в условиях неполной и, возможно, не вполне достоверной информации о системе. Перспективной теоретической основой для него представляется метод
суб-грамианов. Он позволяют получить оценку энергии отдельных, в первую
очередь слабоустойчивых, мод и их пар - комбинационных мод, то есть получить численную оценку межмодальных взаимодействий.
Во второй главе предлагается метод анализа устойчивости. Приведена
основная теория метода суб-грамианов и исследование диагонализированного
случая решения дифференциальных уравнений Сильвестра. Приведены описания трех алгоритмов получения суб-грамианов, анализ их вычислительных и
эксплуатационных свойств. Глава так же включает в себя описание испытаний
метода на линейной системе 8-го порядка, подтверждающих теоретические результаты и иллюстрирующих базовые свойства суб-грамианов. Описаны особенности использования метода совместно с алгоритмами идентификации, дающими частичную информацию о системе.
В разделе 2.1 описан метод бесконечных суб-грамианов для полностью
управляемой и наблюдаемой непрерывной стационарной линейной динамической системы с одним входом и одним выходом, определяемую действительными матрицами [×] , [×1] , [1×]
˙ =  + ,  (0) = 0
 = ,  ∈  ,  ∈ 1 ,  ∈ 1 .
7
(3)
Здесь  - вектор состояния, обычно состоящий из таких параметров, как потокосцепления обмоток и скорости вращения роторов синхронных машин, падение
давления в цилиндрах паровых турбин и внутренние состояния различных регуляторов. Если возмущение  имеет импульсный или шумовой характер, то входом системы может являться произвольный параметр, например, потребляемая
в одном из узлов мощность. В качестве выхода системы при анализе устойчивости целесообразно использовать измерения с синхронных машин, например,
скорости их роторов или разницы углов роторов двух разных машин.
ЭЭС рассматривается как параметрическая линейная динамическая система и набор значений параметра, соответствующих последовательности отдельных режимов
˙ = () + (),  (0) = 0
 = (),  ∈  ,  ∈ 1 ,  ∈ 1 ,  ∈ Γ ⊂ ℛ,
(4)
где  - коэффициент утяжеления режима, рост которого сооветствует росту передаваемой в сети мощности, а Γ - упорядоченное множество значений  . В
рамках данной работы система (4) имеет постоянный порядок .
Приближение системы к границе устойчивости можно описать как
∃ : lim || (, )||22 = +∞,
→ −0
(5)
где || (, )||22 - квадрат 2 -нормы передаточной функции системы. Пусть
|| (, )||22
=

∑︁
 =
=1
 ∑︁

∑︁
=1
 ,  ∈ [ − ;  ),
(6)

где  и  - слагаемые, соответствующие собственным числам () и их парам. Тогда непосредственной целью работы является получение спектрального
разложения квадрата 2 -нормы передаточной функции системы вида (6) и исследование его свойств при приближении системы к границе устойчивости. Получение такого разложения позволяет численно оценить вклад как отдельных мод,
так их взаимодействия в приближение системы к границе устойчивости.
Бесконечный грамиан управляемости системы (3) во временной области
определяется как
∫︁
∞


      .
 (∞) =
(7)
0
В свою очередь (7) связано с квадратом 2 -нормы передаточной функции системы следующим выражением:
|| ||22 = tr [   | ] .
8
(8)
Спектральное разложение грамиана по собственным числам матрицы , элементы которого назовем суб-грамианами, дает возможность оценить индивидуальный вклад каждой моды в энергию реакции системы на входной  -импульс.
Далее в разделе приведены некоторые методы получения такого разложение и
обобщение на системы с многими входами и выходами. Дополнительно в подразделе 2.1.3 рассмотрена численная связь грамиана автономной системы с ее
спектром.
В разделе 2.2 описан метод конечных суб-грамианов, т.е. обобщение изложенного ранее метода бесконечных суб-грамианов на произвольное окно интегрирования с помощью перехода от алгебраического уравнения Ляпунова к
дифференциальному. В частности, рассмотрено прямое дифференциальное уравнение Ляпунова I типа
˙ () =  () +  () | () + ,  (0) = 01
(9)
и его решение

| 
1 (, 0) =  01 
∫︁
+

|
    ,
(10)
0
где  - свободный член, для случая грамиана управляемости равный  | . Решение (10) явным образом учитывает начальные условия. Элементы его спектрального разложения также могут быть получены с учетом начальных условий,
то есть энергии реакции системы на предшествующие возмущения.
В разделе 2.3 предложен гибридный метод, основанный на частном случае решения дифференциального уравнения Сильвестра для диагонализированной системы с одним входом и выходом. Оригинальный метод суб-грамианов
не использует диагонализированное представление линейной системы, хотя и
требует для использования знания ее спектра. В то же время методы модального анализа фактически сводятся к анализу диагонализированной модели. Важной техникой модального анализа является использование правых и левых собственных векторов, а также их поэлементных произведений для сопоставления
переменных состояния и элементов спектра системы. Эти величины называют
коэффициентами участия (participation factor) и широко используются для расположения измерительных и стабилизирующих устройств в энергосистемах, атак
же их настройки. Предлагаемый метод использует в качестве исходных данных
результаты работы модального анализа, неявно учитывая коэффициенты участия через матрицы  и  диагонализированной системы. Важно отметить, что
коэффициенты участия в модальном анализе являются амплитудными характеристиками, а следы суб-грамианов - энергетическими.
9
Система
˙ =   + ,  (0) = 0
(11)
 =  ,  ∈  ,  ∈ 1 ,  ∈ 1
является диагонализированной системой 3 когда:
 =   ,  =   ,  = ,
(12)
где  и  - матрицы левых и правых собственных векторов . Вектор коэффициентов участия  -ой моды определяется как
⎡
⎤
1 1
⎢ ... ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
(13)
⎢   ⎥ ,
⎢
⎥
⎣ ... ⎦
 
где каждый элемент отражает связь  -ого собственного числа с соответствующей переменной состояния. Далее для диагональной системы будут использоваться обозначения (, , ).
Получены следующие разложения:
|| ||22

|
= tr( (0, +∞) ) = −
 ∑︁

∑︁
   
=1 =1

|
tr( (0 , ) ) =
 ∑︁

∑︁
     
=1 =1
1
 + 
1
 (0 , ),
 + 
(14)
(15)
где
 (0 , ) = ( + ) − ( + )0 ,
(16)
 - -элемент вектора  диагонализированной системы с одним входом и одним
выходом (SISO),  - -й элемент вектора  диагонализированной SISO системы,  - -й элемент спектра матрицы . В предлагаемом методе используются
следующие величины:
∙ След суб-грамиана  -й моды автономной системы

∑︁
=1
1
 (0 , );
 + 
∙ След суб-грамиана управляемости  -й моды

∑︁
=1
 
1
 (0 , );
 + 
10
∙ След суб-грамиана наблюдаемости  -й моды

∑︁
=1
 
1
 (0 , );
 + 
∙ След суб-кроссграмиана  -й моды

∑︁
=1
   
1
 (0 , );
 + 
∙ Суб-грамианом комбинационной , -й моды считается -е слагаемое одной из соотвествующих вышеуказанных сумм в зависимости от типа субграмиана.
В разделе 2.4 описаны три вычислительных алгоритма и рассмотрены их
вычислительные и эксплуатационные свойства. При этом два из трех алгоритмов
разработаны и реализованы автором данной работы. Алгоритм с явным вычислением матриц Фаддеева (подраздел 2.4.1) подвержен вычислительным ошибкам
с ростом порядка исследуемой системы и неудобен с точки зрения программной
реализации и эксплуатации. Алгоритм на основе квадратичных форм (подраздел
2.4.2) разработан и реализован автором, обладает аналогичными недостатками.
Алгоритм на основе дифференциальных уравнений Сильвестра (подраздел 2.4.3) разработан и реализован автором. Данный алгоритм базируется на
разложениях 14 и 15 способен работать с системами произвольного порядка
без заметных вычислительных ошибок и оказался существенно удобнее в реализации и эксплуатации. Благодаря своей структуре, данный алгоритм хорошо векторизуем, в отличие от остальных двух, что, при реализации на векторном процессоре может фактически снизить его вычислительную сложность до
квадратичной. Также, в отличие от ранее использованных алгоритмов, обладает
существенным резервом для оптимизации при работе с системами с многими
входами и выходами (MIMO) и наборами временных окон за счет учета инвариантности отдельных промежуточных вычислений к матрицам  и  либо к
границам временных окон.
В разделе 2.5 приведены результаты испытаний на диагонализированной линейной динамической системе восьмого порядка с одним входом и выходом, имеющей спектр 1,2 = −0.015 ± 0.5, 3,4 = −0.01 ± 0.25, 5,6 =
−0.025 ± 0.33, 7 = −0.05, 8 = −0.1 и векторы  и  , состоящие из единиц.
На ней исследованы зависимости между значениями мод системы, значениями
их и их комбинационных мод бесконечных и конечных суб-грамианов, нормами передаточной функции и АЧХ системы. Наиболее информативным оказался
эксперимент с постепенным уменьшением модуля мнимой части первой моды.
11
Полученная в нем зависимость следов конечных суб-грамианов от частоты первой моды приведена на рис. 1. Такой сценарий позволяет исследовать одну из
важнейших черт метода суб-грамианов - учет межмодального взаимодействия.
В данном случае - возникновение биений и резонанса между колебательными
модами с близкими частотами.
Рис. 1: Зависимость следов суб-грамианов и норм передаточной функции от мнимой части
1-ой моды.
В разделе 2.6 рассматриваются особенности применения метода субграмианов с неполной информацией об исследуемой линейной системе при совместной работе с определенными методами идентификации. Особое внимание
уделено Прони-анализу, показано, что спектральное разложение квадрата 2 нормы передаточной функции может быть вычислено непосредственно по параметрам ряда Прони без промежуточного восстановления модели системы с
пространстве состояний.
Третья глава посвящена сравнительным испытаниям методов модального анализа и суб-грамианов на моделях электроэнергетических систем. Она
содержит описание как разработанного программного обеспечения, так и воз12
никших в процессе разработки или эксплуатации проблем и их решений. Подробно исследованы данные, которые можно получить из модели ЭЭС с помощью метода суб-грамианов, в том числе подвергнуты сравнительному анализу с
их аналогами от модального анализа.
В разделе 3.1 приведено описание разработанного в рамках данной работы программного обеспечения для среды MATLAB. Его основной функционал
сводится к линеаризации предоставленной Simulink модели ЭЭС при различных устоявшихся ее режимах и применении методов модального анализа и субграмианов к полученному массиву линейных моделей. Есть также и ряд вспомогательных функций для анализа исследуемой модели, обработки, валидации и
визуализации результатов испытаний. Помимо описания его структуры, функционала и алгоритмов приведены и описания путей решения проблем, возникших в
процессе реализации или эксплуатации. Отдельно выделены программные компоненты, имеющие существенный резерв оптимизации при определенных сценариях использования. Данные сведения способны сократить сроки проектирования промышленной реализации и помочь заблаговременно избежать ряда
алгоритмических и архитектурных ошибок.
Анализ устойчивости ЭЭС острова Русский с прилегающей материковой частью, описанный в разделе 3.2, решал две основных задачи: исследовать
и продемонстрировать возможности применения различных вариантов метода
суб-грамианов в электроэнергетике, сравнить его с более традиционным методом модального анализа. В подразделе 3.2.1 описывается используемая модель
сети, ее схема приведена на рис. 2. Суммарная номинальная мощность генераторов системы составляет около 3.5 ГВт, один из генераторов является ветрогенератором. Суммарная протяженность линий электропередачи превышает
1100 км. Утяжеление режима производилось путем равномерного увеличения
всех генерируемых и потребляемых активных мощностей. Это осуществлялось
умножением их значений на коэффициент утяжеления режима  . В качестве
входных возмущений использовались импульсные скачки активной потребляемой мощности на 1% в трех узлах нагрузки. В качестве выходов системы были
установлены измерения активной генерируемой мощности пяти генераторов системы.
В подразделе 3.2.2 исследуется работа метода суб-грамианов в автономном случае, т.е. наличия информации только о спектре системы. В условиях заданной траектории утяжеления режима система приближалась к границе устойчивости за счет двух колебательных мод, названных S5 и S6. Эти колебания
связывают островные генераторы G1, G2, G3 и G4. Их изменение с ростом 
приведено на рис. 3. В свою очередь, следы суб-грамианов наиближайших к
мнимой оси мод приведены на рис. 4.
13
GM2
L9
220 kV T2
GM1
L8
T7
TL3
WPP
GM4
L12
10 kV
TL5
TL1 T3
TL2
500 kV
GM3
L11
TL11
L1
35 kV
TL13
TL8 L10 TL9
TL10
110 kV T1
TL14
TL12
G1
L7
T4
TL6
G2
L2
TL7
T5
TL4
T6
L6 L5
L4
G4
L3 G3
Рис. 2: Схема сети о. Русский с прилегающей материковой частью. G - генераторы
островной части, GM - генераторы материковой части, L -узлы нагрузки, TL - линии
передачи, T - трансформаторы (двух- и трехобмоточные, двухобмоточные с регулированием
напряжения), WPP - ветрогенератор.
Модальный анализ предлагает следующие критерии: близость мод к мнимой оси, декремент затухания и частоты колебательных мод. Метод субграмианов предлагает единую энергетическую оценку для каждой моды. Анализ субграмианов комбинационных мод показал мощное взаимодействие моды, вызывающей неустойчивость, с одной из устойчивых колебательных мод, что позволило выдвинуть предположение о возникновении биений между генераторами G1 и G2. Измерения, полученные с помощью виртуальных измерительных
приборов, подтвердили это предположение. При работе только с ближайшей к
мнимой оси частью спектра системы вместо всего спектра, например при использовании метода Арнольди, работоспособность метода сохраняется, однако,
часть дополнительной информации может быть утеряна. Например, описанный
в предыдущем пункте случай обнаружения биений.
В подразделах 3.2.3 и 3.2.4 исследуются суб-грамианы управляемости и
наблюдаемости. Выводы по их анализу и сравнению с соответствующими методами модального анализа взаимно аналогичны и их можно привести вместе.
Основная задача - оценить чувствительность отдельных мод к возмущениям в
определенных частях системы для суб-грамианов управляемости и оценить чув14
Рис. 3: Зависимость действительных и мнимых частей мод S5 и S6 от .
ствительность определенных выходных параметров системы к отдельным ее модам для суб-грамианов наблюдаемости. Классический подход состоит в анализе
элементов матриц  и  и дает оценку только начальной реакции на возмущение. Для более глубокого анализа требуется дополнительно исследовать и спектр
системы. В результате полная оценка образуется двумя разнородными величинами. Субграмианы наблюдаемости и управляемости, напротив, дают единый однозначно сравнимые между собой численные оценки. Особенно сильно данное
различие проявляется при анализе слабоустойчивых и/или активно взаимодействующих мод.
В подразделе 3.2.5 приводится исследование суб-кроссграмианов. Аналогично рассмотренным ранее видам суб-грамианов, решаемую с их помощью
задачу можно поставить как оценку чувствительности рабочих параметров системы, например, выходной активной мощности генераторов, к конкретным возмущениям. При этом оценивается вклад отдельных мод. В качестве альтернативы суб-кроссграмианам, аналогично случаям управляемости и наблюдаемости,
можно рассмотреть комбинированную оценку произведения элементов матриц
 и  , спектра системы. Получаемые с помощью суб-кроссграмианов, результаты методов можно сравнивать с новыми характеристиками, например, АЧХ
передаточной функции.
Результаты, получаемые с помощью суб-кроссграмианов на временном
интервале [0; ∞) могут оказываться не вполне удовлетворяющими ожидания,
например, при наличии в системе быстрых высокоамплитудных процессов. В
рамках проведенных испытаний таковыми оказались некоторые процессы, связанные с ветрогенераторами. В первую очередь это вызвано тем, что устойчивые
15
Рис. 4: Зависимость следов суб-грамианов слабоустойчивых мод автономной системы от .
моды, соответствующие быстрым переходным процессам с большой амплитудой
имеют в диагонализированной системе связанные элементы  и  значительно
превышающие таковые для остальных мод. Как следствие, модальный анализ в
таком случае тоже может давать не вполне достоверные результаты. Эту проблему можно решить явным отсечением заведомо устойчивой части спектра. Метод
субграмианов предоставляет и другую возможность - изменить временное окно
интегрирования, оценивая энергию переходного процесса не с нулевого момента
времени, а, как, например, было сделано в приведенном эксперименте, с момента  = 0.1. Это позволяет разделить быстрые и медленные процессы.
Спектральное разложение оценки чувствительности рабочих параметров
системы к возмущениям методом суб-кроссграмианов представляется предпочтительным по отношению к модальному анализу. Для решения данной задачи
с помощью модального анализа пришлось бы вводить более сложные критерии
выбора, так как ни элементы  и  , ни спектр системы не дают сами по себе
нужной достоверной информации. Для суб-кроссграмианов же достаточно выбрать моды с наибольшими энергетическими оценками, подобрав для каждого
оцениваемого возмущения подходящее временное окно, чтобы отсечь быстрые
высокоамплитудные процессы. На рис. 5 приведен пример ситуации с ростом
оценки вклада слабоустойчивой моды S6 в передачу энергии возмущения от узла нагрузки L5 к генератору G1 на несколько порядков. Данное явление сложно
обнаружить методами модального анализа, так как в относительно далеких от
границы устойчивости режимах ее вклад практически равен нулю.
С помощью суб-кроссграмианов, вычисленных для нескольких пар входвыход, таких, что в каждой паре вход и выход не находятся одновременно оба
16
на острове либо оба на материке, удалось определить набор мод с наибольшим
энергетическим вкладом в соответствующие оценки чувствительности. Эти результаты согласуются с АЧХ передаточных функций. Частоты отобранных методом субграмианов мод для каждого сечения совпадают с резонансными пиками АЧХ. Комплексный анализ суб-кроссграмианов комбинационных мод и АЧХ
показывает, что наиболее интенсивно взаимодействующие между собой моды
образуют общие резонансные пики. Сумма следов суб-кроссграмианов мод с
наибольшими энергетическими оценками с точностью до произвольного множителя совпадает с максимумом АЧХ при условии отсутствия качественных
изменений АЧХ. Численная связь результатов работы метода суб-грамианов с
АЧХ представляется его выгодной отличительной особенностью относительно
модального анализа.
Рис. 5: Зависимость следов суб-кроссграмианов на временном интервале [100; +∞)
(сверху) и произведений соответствующих элементов матриц  и  (снизу) мод с
наибольшими энергетическими оценками влияния от . Вход - L5, выход - G1.
В разделе 3.3 метод суб-грамианов испытывается на модели 57-узловой
тестовой схемы IEEE. Это позволяет провести валидацию результатов, ранее полученных на модели ОЭС "Восток" на широко используемой в мировой практике модели. Дополнительно исследовано влияние межрайонных колебаний на
устойчивость системы. Расчетная схема представляет собой модель 57-ми узловой энергосистемы, состоящей из 7-ми PV-генераторов, 65 линий электропереда17
чи, 42 PQ-нагрузок с суммарной нагрузкой 1250.8 МВт и 336.4 Мвар. Расчетная
схема представлена на рисунке 6.
Рис. 6: Схема 57-ми узловой тестовой системы IEEE. Номерами обозначены узлы нагрузки,
G - генераторы, цепи окружностей - трансформаторы.
В использованном сценарии утяжеления режима увеличивается активная
мощность нагрузки номер 9 в  раз. В исходном режиме ее потребление составляет 121 МВт. Балансирующим (swing) генератором является G1(Kanawha).
В рамках используемого сценария нарушение устойчивости происходит
при значении  немного превышающем 1.75. Это соответствует росту потребления активной мощности в 9-й нагрузке приблизительно на 91 МВт и соответствующему росту генерации активной мощности на генераторе G1(Kanawha).
Неустойчивость вызывается колебательной модой, связывающей турбины станций G1(Kanawha), G2(Turner), G3(Logan), G9(Saltville) и G12(Glen Lyn). Ее динамика приведена на рисунке 7.
Предположим, что к энергосистеме подсоединили еще одну, сопоставимой мощности. В свою очередь это вызвало появление межрайонного колебания.
Сравним случаи с межрайонным колебанием −0.5±1.5 (239 мГц), −0.5±0.95
(151 мГц) и без межрайонного колебания. Моды с такими значениями, будучи
добавленными в модель не окажутся ни ближайшими к мнимой оси, ни самыми низкочастотными, ни самыми слабодемпфированными, т.е. с точки зрения
модального анализа не влияющими на устойчивость. Частота исследуемой сла18
Рис. 7: Зависимость значений действительной и мнимой частей моды, вызывающей
неустойчивость от 
боустойчивой моды в рассматриваемом диапазоне значений  падает с 146 до
131 мГц.
В данном эксперименте дополнительное межрайонное колебание добавляется путем добавления комплексно-сопряженной пары в вектор собственных
чисел. Порядок линеаризованной модели энергосистемы определяется количеством электростанций и используемыми их моделями. На практике, при соединении двух энергорайонов, порядок линеаризованной объединенной системы будет равен сумме порядков этих энергорайонов. То есть, межрайонными становятся моды, которые уже были в системах. Пусть низкочастотной межрайонной
модой стала одна из локальных межмашинных, отличная от исследуемой критической. Поскольку определить какая конкретно мода бы стала межрайонной без
построения новой модели нельзя, то, в рамках поставленной задачи, допустимо
добавить ее в спектр, не изменяя другие его составляющие.
В качестве меры близости системы к границе устойчивости используем
след суб-грамиана автономной системы, соответствующий исследуемой моде.
Она является ближайшей к мнимой оси среди движущихся к ней, поэтому оценивание влияния новых колебаний на устойчивость системы с помощью анализа соответствующего суб-грамиана представляется обоснованным. На рисунке 8
видно, что появление межрайонного колебания увеличивает оценку близости к
границе устойчивости, получаемую методом суб-грамианов. При том, тем сильнее, чем его частота ближе к частоте слабоустойчивого внутрирайонного колебания. Какое бы значение следа суб-грамиана не было бы выбрано в качестве
19
предельно допустимого, при появлении межрайонного колебания оно достигается при меньшей нагрузке. Следовательно, режимные ограничения объединения
двух и более энергорайонов должны быть отличны от таковых в изолированных
системах.
Рис. 8: Зависимость следа суб-грамиана моды, вызывающей неустойчивость 57-ми узловой
тестовой схемы IEEE, от  в автономном случае.
Следует отметить, что здесь рассмотрен суб-грамиан автономной системы, который отражает только потенциал межмодального взаимодействия, без
учета привязки мод к конкретным устройствам системы и начальных амплитуд
соответствующих процессов. Для анализа степени реального взаимодействия
стоит использовать суб-кроссграмианы индивидуально для каждого генератора. В рамках приведенного эксперимента корректно провести такой анализ было
бы невозможно, так как типичные характеристики межрайонных колебаний известны, а степень их влияния на отдельные генераторы зависит от конфигурации
всей системы.
Раздел 3.4 описывает применение метода конечных суб-грамианов для
анализа неустойчивых режимов. Использованная система является упрощенным
вариантом описанной в подразделе 3.2.1 с тремя островными генераторами и
материковой частью, представленной одним эквивалентным генератором и соизмеримой нагрузкой. Сценарий испытания предполагает старт системы в установившемся режиме с последующим отключением 220 кВ линии на подстанции
Русская, соединяющей островную систему с материком. Это вызывает дефицит активной мощности в островной сети около 7 МВт, что, в свою очередь,
в отсутствие устройств автоматической частотной разгрузки вызывает аварию.
20
После отключения линии собственные числа системы практически не меняются, т.е. можно рассматривать полученную систему, как неустойчивую квазистационарную линейную динамическую систему. Пример получаемых с помощью
метода конечных суб-грамианов результатов приведен на рис. 9 вместе с измерениями выходной активной мощности генераторов в системе. Приведена динамика следов конечных суб-грамианов пяти ближайших к мнимой оси мод и
одной, вызвавшей неустойчивость, обозначенной как U. Мода U до отключения
линии имеет значение −4.2 ± 12 , а в неустойчивом режиме принимает значение 0.033 ± 0.34 при моменте инерции ротора первого генератора равном 6.25
кг*кв.м. В рамках диссертационной работы исследованы схожие неустойчивые
режимы и при других значениях момента инерции.
Рис. 9: Зависимость следов конечных субграмианов опасных мод (сверху) и генерируемой
активной мощности (снизу) от прошедшего с момента отключения времени. Момент
инерции 6.25 кг*кв.м.
Описанный сценарий не позволил получить с помощью конечных субграмианов какую-либо информацию, недоступную с помощью иных методов.
Тем не менее, явная взаимосвязь их динамики с поведением генераторов системы в неустойчивом режиме вызывает интерес. Отсутствие роста энергии накопленной в неустойчивой моде, связанной с генератором G1, с 4 по 14 секунды после отключения линии может быть интерпретировано как прогноз способности
этого генератора компенсировать дефицит энергии в системе в обозначенный
временной интервал. Это позволяет выдвинуть обоснованные предположения
о возможности использования данного метода для анализа и прогнозирования
развития колебательно неустойчивых режимов ЭЭС.
21
В заключении приведены основные результаты работы, выносимые на
защиту:
1. Метод численного оценивания межмодального взаимодействия и его влияния на приближение параметрической линейной системы к границе устойчивости на основе разложения квадрата H2-нормы передаточной функции
по комбинационному спектру матрицы динамики. Применение метода для
анализа параметрических линеаризованных моделей ЭЭС, функционирующих в близких к границе устойчивости режимах. Исследование особенностей применения метода с различными методами идентификации опасных
мод ЭЭС.
2. Обобщение разработанного метода на случай произвольного временного
окна и ненулевых начальных условий с помощью полученного спектрального разложения решения дифференциального уравнения Ляпунова. Применение метода к линеаризованным моделям аварийных ЭЭС в неустойчивом режиме работы.
3. Сравнение разработанного метода и метода модального анализа и их совместное применение.
4. Программное обеспечение для автоматизированного проведения стендовых
испытаний разработанного метода на Simulink-моделях электроэнергетических систем в среде MATLAB. Оно позволяет изменять режим работы
изучаемой системы по произвольной траектории, параллельно исследуя ее
с помощью методов модального анализа и суб-грамианов.
5. Стендовые испытания разработанного метода для решения задач анализа
устойчивости ЭЭС и оценки чувствительности рабочих параметров системы к возмущениям.
Публикации автора по теме диссертации
Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ
1 Катаев Д.Е., Ядыкин И.Б. О решении матричных дифференциальных уравнений Ляпунова частотным методом. // Теория и системы управления. 2016.
Т. 6. С. 3-15.
Публикации в системе цитирования Scopus
2 Characterization of power systems near their stability boundary by Lyapunov direct
method / I. B. Yadykin, D. E. Kataev, A. B. Iskakov et al. // IFAC Proceedings
Volumes. 2014. Vol. 47, no. 3. P. 9087 - 9092. 19th IFAC World Congress.
22
3 Stability analysis of electric power systems using finite Gramians. / I. B. Yadykin,
A. A. Grobovoy, D. E. Kataev et al. // IFAC-PapersOnLine. 2015. Vol. 48, no.
30. P. 548 - 553.
4 Characterization of power systems near their stability boundary using the subGramian method / I. B. Yadykin, D. E. Kataev, A. B. Iskakov et al. // Control
Engineering Practice. 2016. Vol. 53. P. 173 - 183.
5 Application of Gramians method for smart grid investigations on the example
of the Russky Island power network / A. Grobovoy, V. Shipilov, D. Kataev
et al. // Proceedings of Bulk Power System Dynamics and Control - IX
Optimization, Security and Control of the Emerging Power Grid (IREP), 2013
IREP Symposium. 2013. Aug. P. 1-6.
6 Power system stability assessment using sub-Gramian technique / G. Prankevich,
N. Kiryanova, D. Kataev et al. // Proceedings of 2016 18th Mediterranean
Electrotechnical Conference (MELECON). 2016. April. P. 1-6.
7 The sub-Gramians method as a tool for Smart Grid Technology / I. B. Yadykin,
A. A. Grobovoy, A. B. Iskakov et al. // IFAC-PapersOnLine. 2016. Vol. 49, no.
27. P. 467 - 472. Workshop on Control of Transmission and Distribution Smart
Grids (CTDSG) 2016 Prague, Czech Republic, 11—13 October 2016.
Прочие публикации
8 Метод грамианов анализа статической устойчивости электроэнергетических
систем. / И. Б. Ядыкин, А. В. Ахметзянов, А. Б. Искаков [и др.]. 2013. Труды 4 международной научно-технической конференции «Современные направления развития систем релейной защиты и автоматики энергосистем»,
Екатеринбург, 3 – 7 июня 2013 г. М: Изд. НРК СИГРЭ.
Переводная версия публикации [1] входит в систему цитирования Scopus.
Личным вкладом автора в подготовку данных публикаций являются: разложение
решения дифференциального уравнения Ляпунова с учетом начальных условий,
совмещение методов суб-грамианов и модального анализа, разработка испытательных сценариев, алгоритмов и программного обеспечения.
23
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
460 Кб
Теги
анализа, суб, метод, система, применению, устойчивость, электроэнергетических, развития, грамианов
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа