close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Теория нестационарного диффузиофореза крупных твердых сферических частиц

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Ефремов Владимир Евгеньевич
Теория нестационарного диффузиофореза
крупных твердых сферических частиц
Специальность 01.04.02 –
«Теоретическая физика»
Автореферат диссертации на соискание учѐной степени кандидата
физико–математических наук
Москва – 2018
Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего
образования Московской области Московском государственном областном
университете
Научный руководитель доктор физико-математических наук, доцент Кузьмин
Михаил Кузьмич
Официальные оппоненты:
Никитченко Юрий Алексеевич – доктор физико-математических наук,
доцент,
Федеральное
государственное
бюджетное
образовательное
учреждение высшего образования «Московский авиационный институт
(национальный исследовательский университет)», профессор
Амелюшкин Иван Алексеевич – кандидат физико-математических наук,
Государственное
унитарное
предприятие
«Центральный
аэрогидродинамический институт имени профессора Н.Е. Жуковского»,
старший научный сотрудник
Ведущая
организация:
Федеральное
государственное
автономное
образовательное учреждение высшего образования «Московский физикотехнический институт (государственный университет)»
Защита состоится «19» июня 2018 г. в 16 ч. 00 м.
на заседании диссертационного совета Д 212.155.07 на базе Государственного
образовательного учреждения высшего образования Московской области
Московского государственного областного университета по адресу:
105005, Москва, ул. Радио, д. 10А.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного
образовательного учреждения высшего образования Московской области
Московского государственного областного университета и на сайте:
https://mgou.ru
Автореферат разослан «___» ___________ 2018 г.
Ученый секретарь
Диссертационного совета Д 212.155.07,
кандидат физико-математических наук,
доцент
Барабанова Н.Н.
Общая характеристика работы
Актуальность темы Обзор научных публикаций последнего времени
подтверждает острую необходимость всестороннего изучения физики
дисперсных систем, то есть систем, представляющих собой механическую
смесь частиц дисперсной фазы со средой-носителем. Это обстоятельство не
случайно, так как круг явлений, в которых решающую роль играют процессы,
происходящие с дисперсными системами, довольно широк (образование
облаков и выпадение осадков, перенос в атмосфере различного рода
промышленных и радиоактивных загрязнений, миграция дефектов в твердых
телах, двухфазные течения в лабораторных и промышленных установках и
другие).
Обычно дисперсные системы подразделяют, исходя из агрегатного
состояния частиц дисперсной фазы и среды-носителя. Особую роль среди
дисперсных систем играют аэрозоли. Аэрозоли представляют из себя взвесь
твердых или жидких частиц в газовой среде.
Для того чтобы успешно решать практические задачи, связанные с
аэрозолями, необходимо построить надежные теоретические модели,
адекватно описывающие физические явления в них. Данная диссертация
посвящена построению теории нестационарного диффузиофоретического
движения твердых крупных нелетучих аэрозольных частиц сферической
формы в несжимаемой вязкой газовой среде.
Аэрозольные загрязнения представляют собой серьезную угрозу
окружающей среде и здоровью людей. Поэтому задачи по защите от
техногенных катастроф и оценке их последствий стоят очень остро. Осознание
важности проблем, связанных с влиянием жизнедеятельности человека на
атмосферу и гидросферу Земли является серьезным стимулом к изучению
процессов, управляющих поведением дисперсных систем.
Следует заметить, что аэрозоли оказывают положительное влияние на
многие технологические процессы (дисперсные среды для нужд пищевой
промышленности, медицины и сельского хозяйства).
При течении газовой смеси около твердой поверхности возможен
эффект так называемого диффузионного скольжения. Он проявляется, когда
имеется тангенциальный к поверхности градиент концентраций компонентов
смеси. При наличии тангенциального к поверхности градиента концентрации
формируются неравновесные по скоростям функции распределения
компонентов смеси. Из-за наличия неравновесных добавок к максвелловским
функциям распределения возникает нескомпенсированный поток импульса со
стороны диффундирующего газа на стенку. В результате при неподвижной
стенке газовая смесь как целое приходит в движение.
Следует заметить, что направление скорости диффузионного
скольжения сложным образом зависит от соотношения параметров
3
компонентов смеси. Возможно движение как по градиенту, так и против
градиента концентрации.
Диффузионное скольжение было открыто значительно позже вязкого и
теплового скольжения и скачка температуры. В 1943 году Крамерсом и
Кистемакером было теоретически предсказано в рамках элементарного
кинетического рассмотрения и затем экспериментально подтверждено
наличие этого эффекта.
В настоящей работе рассматривается движение аэрозольной частицы,
вызванное действием нестационарного градиента концентрации. Наличие
такого градиента концентрации говорит о том, что речь идет о
нестационарном неравновесном процессе.
Диффузиофорез
– это движение частиц в неоднородной по
концентрации газовой смеси в отсутствие внешней силы. Он был
теоретически предсказан и открыт значительно позже явления термофореза.
Первоначально диффузиофорез был предсказан для мелких частиц, размер
которых меньше длины свободного пробега, а спустя несколько лет – для
крупных частиц.
Направление скорости диффузиофореза без знания конкретных
значений параметров газовой смеси заранее предсказать нельзя.
Диффузиофорез можно использовать для очистки газа от взвешенных
частиц. Для этого надо создать градиент концентрации, направленный
поперек газового потока, что приведет к выносу частиц из потока за счет
диффузиофоретической силы.
Теория нестационарного диффузиофореза все еще остается
неразработанной, хотя в реальных условиях градиент концентрации зависит от
времени.
где объект и предмет исследования?Таким образом, построение теории
нестационарного диффузиофореза аэрозольной частицы является весьма
актуальной задачей.
Объект исследования: твердые частицы, взвешенные в газовой среде,
неоднородной по концентрации, изменяющейся со временем.
Предмет исследования: нестационарное диффузиофоретическое
движение твердых крупных аэрозольных частиц сферической формы, т.е. их
движение под действием нестационарного градиента концентрации с учетом
диффузионного скольжения газа вдоль поверхности частиц.
Целью работы является теоретическое изучение нестационарного
диффузиофореза твердых крупных нелетучих сферических аэрозольных
частиц в несжимаемой вязкой газовой среде. Для достижения поставленной
цели необходимо решить следующие задачи:
1. Решить задачу о движении твердой крупной сферической нелетучей
частицы в несжимаемой вязкой газовой среде под действием нестационарного
4
градиента концентрации, включающую в себя решение гидродинамической и
диффузионной задач.
2. Определить модуль нестационарной составляющей диффузиофоретической
скорости частицы при общем виде градиента концентрации.
3. Рассмотреть конкретный случай диффузиофореза, когда строго
нестационарный градиент концентрации задан с помощью функции
A  1  e t  , где A и ω ‒ постоянные положительные величины, t – время.
4. Провести расчет и анализ изменения модуля нестационарной составляющей
диффузиофоретической скорости для конкретных частиц, взвешенных в
различных газовых смесях при больших и малых значениях времени.
Научная новизна работы Построена теория нестационарного
диффузиофореза твердой крупной нелетучей сферической аэрозольной
частицы в несжимаемой вязкой газовой среде. Рассмотрен вопрос определения
модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости
частицы при общем виде градиента концентрации. Рассмотрен конкретный
случай диффузиофореза когда строго нестационарный градиент концентрации
задан аналитическим выражением, таким, что с возрастанием времени этот
градиент стремится к постоянному вектору. Получены формулы для
вычисления модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической
скорости частицы и соответствующие приближенные формулы для больших и
малых значений времени.
Теоретическая и практическая значимость работы Построенная
теория нестационарного диффузиофореза может быть основой для
исследования движения частиц аэрозоля в газовой вязкой среде под действием
любого заданного нестационарного градиента концентрации.
Полученные
приближенные
формулы
для
расчета
модуля
нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости позволяют
получать численные значения для аэрозольных частиц, которые состоят из
конкретных материалов, взвешенных в газовой смеси, состоящей из
различных компонентов.
Положения, выносимые на защиту
1. Решение задачи о движении твердой крупной сферической нелетучей
частицы в несжимаемой вязкой газовой среде под действием нестационарного
градиента концентрации, которое включает
в себя решение
гидродинамической и диффузионной задач.
2. Нахождение
модуля
нестационарной
составляющей
диффузиофоретической скорости частицы при градиенте концентрации
общего вида.
3. Определение
модуля
нестационарной
составляющей
диффузиофоретической скорости сферической частицы в конкретном случае
диффузиофореза, когда строго нестационарный градиент концентрации задан
с помощью функции A  1  e t , где A и ω ‒ постоянные положительные
5
величины и вычисление модуля нестационарной составляющей скорости
диффузиофореза при малых и больших значениях времени.
4. Анализ
изменения
модуля
нестационарной
составляющей
диффузиофоретической скорости частиц, взвешенных в различных газовых
смесях при малых и больших значениях времени.
Достоверность полученных результатов обеспечена тем, что
использованы
математические
методы
и
физические
подходы,
соответствующие природе явлений. Кроме того, достоверность результатов
обеспечивается согласием построенной теории с экспериментальными
данными.
Апробация работы Результаты диссертации докладывались на
заседаниях и научных конференциях кафедры математического анализа и
геометрии, а также на ежегодных научных конференциях Московского
государственного областного университета (2013 – 2014 гг.);
9-й Международной конференции «Современные научные достижения2013» (Прага, 2013 г.);
IX Международной научно-практической конференции «Теория и
практика современной науки» (Москва, 2013 г.);
XVII Международной конференции по методам аэрофизических
исследований (Новосибирск, 2014 г.).
Публикации
Результаты
диссертационного
исследования
опубликованы в 14 работах соискателя. В конце автореферата приведен
полный список работ. Статьи [1–5] опубликованы в изданиях из перечня
ведущих рецензируемых изданий, утвержденного ВАК, статья [6]
опубликована в журнале, входящем в международную базу цитирования
SCOPUS. В данных публикациях отображены основные результаты
исследования по теме диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация включает в себя
введение, четыре главы, заключение и список литературы.
Объем работы составляет 107 страниц текста, в том числе 3 рисунка.
Список литературы включает в себя 79 наименований, в том числе и
публикации диссертанта по теме исследования. Вторая и третья главы разбиты
на пункты, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую
главу (первым идет номер главы). Внутри каждого пункта формулы имеют
тройную нумерацию, с указанием на главу и пункт, причем первым идет
номер главы.
6
Основное содержание работы
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации,
формулируются цели и основные результаты исследования.
В первой главе проведен обзор литературы по теме диссертационного
исследования.
Во второй главе осуществляется постановка задачи и приводится
решение гидродинамической и диффузионной задач.
Рассмотрим одиночную твердую нелетучую частицу сферической
формы радиуса R, которая взвешена в неоднородной по концентрации
бинарной газовой смеси. Будем считать, что мы имеем дело с вязкой
несжимаемой газовой средой. Заметим, что такое допущение вполне
справедливо, так как при малых числах Маха можно рассматривать
движущийся газ как несжимаемую жидкость. Однако, условие близости к
нулю числа Маха достаточно только при стационарном движении. При
нестационарном движении должно выполняться еще одно условие. Пусть τ и l
– величины порядка промежутков времени и расстояний, на которых скорость
среды испытывает заметное изменение. Тогда должно выполняться условие
l
c
  ,
где c – скорость звука. Таким образом, время l c , в течение которого звуковой
сигнал пройдет расстояние l, мало по сравнению со временем τ, в течение
которого заметно изменяется движение среды.
Относительные концентрации молекул смеси определяются следующим
образом: C1  n1 n , C2  n2 n , где n1 , n2 – числа молекул первого и второго
видов соответственно в единице объема смеси и n1  n2  n . Причем
C1  C2  1. В дальнейшем будем рассматривать первый компонент смеси в
качестве диффундирующего. Обозначим через 1 , 2 средние длины
свободного пробега молекул первого и второго видов соответственно. Метод
решения задачи построения теории нестационарного диффузиофореза твердой
нелетучей сферической аэрозольной частицы выбираем в зависимости от
отношения средних длин свободного пробега молекул газа к размеру
аэрозольной частицы. Мы считаем, что 1 R << 1, 2 R << 1, т. е.,
рассматриваем крупную частицу сферической формы. Поэтому в
исследованиях используем классические методы динамики сплошной среды.
При использовании уравнения Навье-Стокса предполагается, что число
Рейнольдса мало.
Для частицы сферической формы, математические выкладки будет удобно
проводить в сферических координатах r , ,   . Начало системы координат
возьмем в центре аэрозольной частицы. На довольно большом расстоянии от
7
частицы (r >> R) предположим во внешней бинарной газовой смеси наличие
градиентов концентраций C1 t  и C2 t  (t – время), причем
C1 t   C2 t  . Для определенности будем считать, что направление
полярной оси совпадает с направлением градиента концентрации C1 t  . В
соответствии с выбором начала сферической системы координат, будем
считать, что частица находится в покое, а центр тяжести внешней газовой
 
среды движется относительно сферической частицы со скоростью u  u t 
(при r   ) (Рис. 1).
Рис.1 – Схема диффузиофоретического движения сферической частицы.
При этом для скорости диффузиофореза сферической частицы относительно
центра инерции внешней среды будет справедлива формула


u D t   u t .
В связи с выбором направления полярной оси вдоль вектора
C1 t  обтекание сферической частицы газовым потоком имеет
азимутальную симметрию. В связи с этим не будут зависеть от угла φ
рассматриваемые переменные величины. Таким образом, речь идет об
осесимметричном поле течения газовой смеси.
Дифференциальные уравнения движения несжимаемой вязкой среды с
учетом ее осесимметричного течения в сферической системе координат без
учета действия массовых сил представляются в виде
 2
r vr sin     rv sin    0 ,
(1)
r

v r
2v 2v
1 P
2 v 


    r v r  2r  2 ctg  2   ,
t
 e r
r
r
r  

(2)
8
v
v
1 P
2 v 


    r v  2  2  2 r  ,
t
 e r 
r sin  r  

где
 r 
1
r2
1  
 
  2  
r

sin




 ,
 r
 
  r  sin   
ν – кинематическая вязкость, v , v r – соответственно касательная и
радиальная компоненты локальной (среднемассовой) скорости внешней среды

v r , , t  , P  Pr , , t  – давление,  e – плотность среды. Равенство (1)
представляет собой условие несжимаемости среды.
На довольно большом расстоянии от частицы (при r   ) имеют место
следующие граничные условия (Рис. 1):

vr r   u cos ,
(3)

(4)
v r    u sin  .
Заметим, что граничные условия (3), (4) используются при решении
известной задачи об обтекании шара при малых значениях числа Рейнольдса.
На поверхности частицы справедливо граничное условие
(5)
vr r R  0 ,
которое показывает, что твердая поверхность частицы неподвижна.
Распределение концентрации первого компонента бинарной газовой
смеси удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению
 C1 t 
C1
(6)
 D12  r C1 
r cos ,
t
t
где D12 – коэффициент диффузии.
На поверхности частицы справедливо граничное условие:
C1
 0,
r R
r
которое показывает, что радиальный поток через поверхность
рассматриваемой частицы отсутствует.
При r   имеет место граничное условие
C1  C01  C1 t   r cos ,
где C01  n01 n0 ( n0 – среднее число молекул газовой смеси в единице объема,
n01 – среднее число молекул первого компонента газовой смеси в единице
объема).
9
Учет явления диффузионного скольжения газа вдоль поверхности частицы
осуществляется при помощи следующего граничного условия
K D C
(7)
v r  R  sl 12 1 r  R ,
R 
где K sl – коэффициент диффузионного скольжения.
При построении теории нестационарного диффузиофореза мы считаем,
что при значении времени t = 0 имеет место стационарный случай
диффузиофореза, а при значениях времени t  0 строго нестационарный
диффузиофорез налагается на имеющийся стационарный процесс. Поэтому
надо провести разделение граничных условий для строго нестационарного и
стационарного случаев диффузиофореза.
Для давления полагаем
Pr, , t   P1 r ,   P2 r , , t  ,
P1 r ,   Pr , , t  t 0 ,
значит,
P2 r , , t  t 0  0 .
Далее продолжаем разделение граничных условий для строго
нестационарного и стационарного случаев диффузиофореза. Полагаем
(8)
C1 r , , t   C1(1) r ,   C1( 2) r , , t  ,



(9)
v r, , t   v1 r ,   v2 r , , t  ,
причем,
(10)
С1(1) r ,   C1 r , , t  t 0 ,


(11)
v1 r ,   v r , , t  t 0 ,
значит,
(12)
C1( 2) r , , t  t 0  0 ,

(13)
v2 r , , t  t 0  0 .
В силу равенств (9), (10), (11) следует считать, что

 
(14)
u t   u1  u 2 t ,
 
(15)
u1  u t  t 0 ,

(16)
u 2 t  t 0  0 .
Далее приводится решение гидродинамической задачи. Продолжим
разделять граничные условия для строго нестационарного и стационарного
случаев гидродинамической задачи. Из граничных условий (3) – (5) учитывая
равенства (9), (11), (13) – (16) получаем следующие условия при нулевом
значении времени t:

vr(1r)  u1 cos ,

v(1)r    u1 sin  ,
10
vr(1r) R  0
и при t  0 :

vr( 2r)  u 2 cos ,

v( 2r)   u 2 sin  ,
vr( 2r)R  0 ,


где u 2  u 2 t  . Из граничного условия (7) учитывая равенства (8) – (13) при
t  0 и при t  0 получаем соответственно
K sl D12 C1(1)
(1)
,
v r  R 
rR
R

K D C ( 2 )
v( 2r) R  sl 12 1 r  R .
R

На основании условия несжимаемости среды (1) введем функцию тока
   r , , t  осесимметричного течения, полагая
1 
1 
, v 
.
vr   2
r sin  
r sin  r
При помощи оператора Стокса
2   ctg  
DS   r   
,
r  r
r  
уравнения (2) представляются в виде
DS
1
 2
1 P

,

 2
2
r sin  t  e r r sin  
(17)
2
1 
1 P
 DS
.


sin  rt
 e  sin  r
Исключим
из уравнений
(17) давление.
Получаем
следующее
дифференциальное уравнение с частными производными:
DS
(18)
 DS DS .
t
Функцию тока будем искать в виде
  sin 2  f r, t  ,
(19)
где f r , t  – неизвестная функция. Полагаем
(20)
f r , t   f1 r   f 2 r , t ,
f r , t  t 0  f1 r  ,
следовательно,
f 2 r , t  t 0  0 ,
11
f 2
 0.
r t 0
Преобразуем уравнение (18) с учетом (19). Дифференциальное уравнение (18)
представляется в виде
  2 f 2 f 
2   2 f 2 f 
 2
(21)


    2  2  2  2  .
t  r 2 r 2 

r
r

r
r



Если функции f1 r  и f 2 r , t  являются решениями дифференциальных
уравнений
2  d 2 f 1 2 f 1 
 d2
 2  2  2  2   0 ,
r  dr
r 
 dr
2f 
  2 f2 2 f2 
2   2 f
 2
 2  2     2  2  22  22 
t  r
r 
r  r
r 
 r
соответственно, то решением дифференциального уравнения (21) будет их
сумма (20).
В результате решения стационарной части гидродинамической задачи
получено условие, которое учитывает явление диффузионного скольжения
газа в стационарном случае диффузиофореза:
2 K sl D12 C1(1)

u1  
.
(22)
3R sin   r  R
При решении нестационарной части гидродинамической задачи
использовалось интегральное преобразование Лапласа вида

F2 r , p   L f 2 r , t    f 2 r , t e  pt dt .
(23)
0
Было получено следующее равенство:
K sl D12
S1( 2 )
,
(24)
U2  
FU  p 
r R
R sin 

где
6 e   R   p
,
(25)
FU  p  
2 R 2  e   i  p  9  e   R   p
S1( 2)  LC1( 2) .
Из выражений (24), (25) видно, что характер дальнейшего решения
задачи
по
нахождению
строго
нестационарной
составляющей


диффузиофоретической скорости частицы u 2 D t   u 2 t  зависит от
соотношения плотностей вещества частицы и внешней газовой среды.
Пусть  e   i  0 . При этом ассоциированный со знаменателем
выражения (25) квадратный трехчлен
g 0 z 2  g1 z  g 2 ,
где
12




g 0  2R 2  e   i  , g1  9 R e  , g 2  9 e ,
имеет различные, отличные от нуля вещественные корни
3 e 
j
zj  
3   1 1  8 i  e  j  1, 2 .
4 R e   i 
Поэтому, применив к выражению (25) обратное преобразование Лапласа,
находим
2
R 

j z j   Rz j 
(26)
L1 FU  p   6  e 
   1
 z j , t ,
g 0  z 2  z1 
 g 0 t j 1

где
(27)
 z j , t   expz 2j t  erfc  z j t ,
В равенстве (26) обозначим через f u t  выражение, стоящее в квадратных
скобках. Тогда при  e   i  0 в пространстве оригиналов получаем
6 K sl
C1( 2 )

,
u2  
f u t  
r R
R sin 

где символ  обозначает операцию свертывания.
В случае  e   i выражение (25) имеет более простой вид, из которого
находим равенство
2 K sl D12 C1( 2 )

,
u2  
r R
3R sin  
аналогичное равенству (22), имеющему место в стационарном случае
диффузиофореза.
Далее приводится решение диффузионной задачи. Если функции
(1)
C1 r ,  , C1( 2 ) r , , t  являются решениями дифференциальных уравнений
 r C1(1)  0 ,
 C1 2  t 
C1( 2 )
( 2)
(28)
 D12  r C1 
r cos
t
t
соответственно, то решением дифференциального уравнения (6) будет их
сумма (8).
В результате решения стационарной части диффузионной задачи получена
известная формула скорости стационарного диффузиофореза

u1D   K sl D12 C1(1)  .
При решении нестационарной части диффузионной задачи к
дифференциальному уравнению (28) применялось конечное интегральное
преобразование Лежандра, также использовалось и интегральное
преобразование Лапласа (23).
В результате решения нестационарной части диффузионной задачи
получена формула:




13


U 2  K sl D12 FU  p   FS  p   G  p  ,
где
, G  p   Lg  t , C12  t   g  t  .
2K 3 2
FS  p   1 
K 3 2  2 R p D12 K 3 2
Во избежание громоздкости формул, аргументы модифицированной функции
Бесселя K 3 2 и ее производной, имеющие вид R p D12 , мы опускаем.
Таким образом, в пространстве изображений получена формула для
определения нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости
рассматриваемой частицы.
В заключительном пункте второй главы проводится анализ зависимости

нестационарной составляющей скорости диффузиофореза частицы u 2 D t  от
строго нестационарной части градиента концентрации C1( 2) t  для малых и
больших значений времени. Для этого используются теоремы о предельных
значениях из операционного исчисления.
Третья
глава
посвящена
нестационарной
составляющей
диффузиофоретической скорости сферической частицы. В первом пункте
третьей главы рассматривается вопрос определения модуля нестационарной
составляющей диффузиофоретической скорости при градиенте концентрации
общего вида.
Сначала рассматривается случай, когда  e   i . Можем записать:
~
(29)
FU  p   FS  p   FU  p   FU  p   F  p  ,
где
R
p 1
D12
~
.
F  p  2
R
2R
p
p 2
D12
D12
~
Найдем оригинал произведения FU  p   F  p  . Он имеет вид
2
4
1
~
L1 FU  p   F  p    A1  A2  2 
  A j z j z j , t    z j z j , t  ,
j 3
t j 1
2   n
n 1
где An   1 
,
2
R  n  16 e   i  1  8 i  e






причем  n  5 e  4 i   1  3 e 1  8 i  e ,  
z3  
D12
R
1  i  ,
2
n
z4  
D12
R
3 e 
,
R5 e  4  i 
1  i  (i – мнимая единица, n = 1, 2).
14
Учитывая выражение (29) и принимая во внимание свойство линейности
преобразования Лапласа, получаем оригинал произведения FU  p  FS  p  :
~
L1 FU  p   FS  p   f uD t   L1 FU  p   L1 FU  p   F  p  .
Таким образом, получаем следующую формулу для определения модуля
строго нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости
частицы в случае, когда  e   i :

u 2 D t   K sl D12 f uD t   g  t ,
где символ * обозначает операцию свертывания.
Далее, аналогично рассматривается случай когда  e   i . Формула для
определения
модуля
строго
нестационарной
составляющей
диффузиофоретической скорости частицы в случае, когда  e   i выглядит
так:
2
~

u 2 D t   K sl D12 g  t   f t   g  t  ,
3
где
4
D12  2
~

f t  
  z j z j , t  ,

2 R  t j 3

~
~
причем f t   L1 F  p  , символ * также обозначает операцию свертывания.
Во втором пункте третьей главы рассматривается конкретный случай
диффузиофореза, когда строго нестационарный градиент концентрации задан
с помощью функции, которая имеет следующее аналитическое выражение:
(30)
g  t   C12  t   A  1  e t ,
где A и ω ‒ положительные постоянные величины, имеющие размерности 1 м
и 1 с соответственно.
Заметим, что справедливо равенство
C1 t   C1(1)   C1( 2) t  ,
где
C11   C1 t  t 0 ,



следовательно,



C   t  
2
1

t 0
 0.
(31)
Очевидно, что функция (30) удовлетворяет начальному условию
(31). При t   имеем:
lim
g  t   A .
t 
Значит, нестационарный градиент концентрации C12  t 

стремится к постоянному вектору A , длина которого равна A.
Вычислив свертку
15
при t  
t
f uD t   g  t    f uD    g  t   d
0
и воспользовавшись формулами, выражающими связь между интегралом
вероятности и интегралами Френеля


i
i 
1
1
 i4

 i4

4
4
C z   iS z  
 e  erf  e
z , C z   iS z  
 e  erf  e
z ,
2
2




получаем формулу для вычисления модуля строго нестационарной
составляющей диффузиофоретической скорости частицы в случае, когда
 e  i :
 2


 2R4


   , t  
u 2 D t   AK sl D12  AK sl D12     j

2

2
2
4
2 


z

R

4
D
j 1
j
12 

2
 2
zj




 AK sl D12   j

z
,
t

AK
D



j
sl
12
j
 j 1   z 2 
z j   z 2j 
j 1
j

RR 2  2 D12  D12  t
AK slR 5 D12 
2D 
 2D 

 2

e



 212   sin  212 t  


2
4
2
2
4
2

 R  4 D12
 R  4 D12 
R 
 R


2D 

 2D 
 2D   2D
 2D 
 2 D 
    212   cos  212 t   2 S  212 t    212  cos  212 t     sin  212 t  
R 

 R

 R
  R
 R

 R

 2D  
 2D  2D
 2 D  
 2C  212 t     cos  212 t   212  sin  212 t  ,
 R
 
 R
 R
 R
 
где
  , t  

e t  erfi   t

.
(32)
(33)

По выражению (32) имеем u 2 D t   0 при t  0 . Это согласуется с начальным
условием (16).
Теперь найдем свертку
t
~
~
f t   g  t    f    g  t   d .
0
Рассуждая аналогично предыдущему случаю, получаем формулу для
вычисления
модуля
строго
нестационарной
составляющей
диффузиофоретической скорости частицы в случае, когда  e   i в виде:
16
 2 R 3 D12
 D12   R 2  2  D12  t
2
2

u 2 D t   AK sl D12  AK sl D12 2 4
  , t   AK sl D12 1 
e 
3
 R  4 D122
3
 2 R 4  4 D122


  D12 
2
  R4
 2 D12    D12 
 2 D12 
 AK sl D12 2 4


sin
t



cos






 2 t

2
2
3
 R  4 D122  2 R 2 
 R  2 R 
 R 
 2D   2  D
 2D 
 2 D 
 2D  
 2D 
 S  212 t    2 12  cos  212 t     sin  212 t   C  212 t     cos  212 t  
 R   R
 R 
 R 
 R  
 R 

2  D12  2 D12  
sin  2 t  .
R2
 R  
(34)
В заключительном пункте третьей главы рассматривается вопрос
вычисления модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической
скорости при больших и малых значениях времени. Формулы (32) и (34)
довольно сложны для проведения численных расчетов. Получим
приближенные формулы для вычисления модуля нестационарной
составляющей диффузиофоретической скорости частицы при малых и
больших значениях времени.
В выражения (32), (34) входят функции (27), (33). Воспользуемся
асимптотическими приближениями этих функций при t  0 и t   .
Заметим, что формулы для их представления при малых и больших значениях
аргумента основаны на асимптотических разложениях интеграла вероятности.
Возьмем приближения функций (27), (33) при t  0 и t   ,
содержащие слагаемые с различными степенями t.
Далее, используя пределы соответствующих специальных функций,
входящих в формулы (32), (34), составим приближенные формулы для
вычисления модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической
скорости частицы при малых и больших значениях времени. Получаем:
16   AK sl    D123

 e   i , t  0,
u 2 D t  
t t
(35)
  2 R 4  4 D122
2
  2  j
  R4  1
1  2   zj

u 2 D t   AK sl D12 1   2  2 2 4
   j 4

2 
z

R

4
D
2
z

j

1
j

1

t
 
j
12 
j

 1 
R4
 e   i , t   ,
 2 2 4

 R  4 D122  t t 
2

2
8 D12 D12  t 



 e   i , t  0,
u 2 D t   AK sl D12  t  1 
2
4
2 
3

R

4
D
R



12


 2 D12
  R3
1 


u 2 D t   AK sl D12 1 
1
  e   i , t   .
2
4
2 
3

t

R

4
D
2


t


12

17
(36)
В четвертой главе диссертации рассматривается вопрос применения
полученных формул. Известно, что одним из вредных факторов
металлообрабатывающего производства является повышенная загазованность
и запыленность воздуха рабочей зоны.
Рассмотрим газовую резку легированной стали и плазменную резку
алюминиевых сплавов. При резке образуются оксид углерода (СО), диоксид
азота ( NO 2 ) и пыль оксида железа ( Fe 2 O 3 ) или оксида алюминия ( Al 2 O 3 )
соответственно. Поэтому в качестве примеров рассмотрим комбинации
указанных газов с частицами данных оксидов металлов. Рассмотрим
одиночные частицы сферической формы ( R  10 5 м ), взвешенные в смеси
воздуха и оксида углерода или диоксида азота. Будем считать, что
температура T  293K и давление P  0,1МПа . Используя формулу (35),
построим графики, отражающие изменение скорости движения частиц при
малых значениях времени (Рис. 2).
10 20  u2 D t 
AK sl
3
,
м2
с
1
4
2
5
0
5 109
109
t, с
Рис. 2 – Линии 1 – 4 отражают изменение нестационарной составляющей
диффузиофоретической скорости сферической частицы при малых значениях
времени в следующих случаях:
1) воздух ‒ СО, Fe 2 O 3 , 2) воздух ‒ NO 2 , Fe 2 O 3 , 3) воздух ‒ СО, Al 2 O 3 ,
4) воздух ‒ NO 2 , Al 2 O 3 .
Как видно из рисунка 2, движение частиц при малых временах является
ускоренным. Сравнивая линии 1 и 2 или 3 и 4 можно сказать, что модуль
нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости частицы
больше, когда коэффициент диффузии больше. При сравнении линий 1 и 3
18
или 2 и 4 видим, что
модуль нестационарной составляющей
диффузиофоретической скорости частицы больше, когда плотность частицы
меньше.
Перейдем
к
исследованию
диффузиофоретической
скорости
сферической частицы при больших значениях времени. Используя формулу
(36), построим графики функций для каждого из рассматриваемых примеров

по выражению u 2 D t   AK sl D12 (совмещаем все асимптоты с осью времени)
(Рис. 3).
u2 D  t   AK sl D12
106 AK sl
,
2
м2
с
1
4
3
1
0
0, 6 103
103
2 103
t, с
Рис. 3 – Линии 1 ‒ 4 отражают изменение нестационарной составляющей
диффузиофоретической скорости сферической частицы при больших
значениях времени в следующих случаях: 1) воздух ‒ СО, Fe 2 O 3 , 2) воздух ‒
NO 2 , Fe2O3 , 3) воздух ‒ СО, Al 2 O 3 , 4) воздух ‒ NO 2 , Al 2 O 3 .
При больших временах происходит замедление движения сферических
частиц. При сравнении линий 1 и 2 или 3 и 4, замечаем, что модуль
нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости частицы
больше, когда коэффициент диффузии меньше. Сравнивая линии 1 и 3 или 2 и
4,
делаем
вывод,
что
модуль
нестационарной
составляющей
диффузиофоретической скорости частицы больше, когда плотность частицы
больше.
Заметим, что при изменении температуры или давления картина
протекания процесса существенно не меняется. При повышении или
понижении
температуры
модуль
нестационарной
составляющей
диффузиофоретической скорости частицы соответственно увеличивается или
19
уменьшается, при понижении давления модуль нестационарной составляющей
диффузиофоретической скорости частицы увеличивается.
При стремлении времени к бесконечности строго нестационарный
градиент концентрации стремится к постоянному вектору. Следовательно,
нестационарный процесс перейдет в стационарный. Таким образом,
установленная в четвертой главе зависимость между величинами давления и
модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости
частицы должна иметь место и в случае стационарного диффузиофореза.
В экспериментальной работе
А.И. Сторожиловой1 скорость
диффузиофореза определялась по отклонению тонкой аэрозольной струи. При
измерениях был использован аэрозоль вазелинового масла, полученный
конденсационным методом. Была рассмотрена зависимость скорости
диффузиофореза аэрозольных частиц от величины 1 p 2 , где p – давление.
Б.В. Дерягин и Ю.И. Яламов установили, что построенная ими теория
диффузиофореза больших нелетучих аэрозольных частиц согласуется с
экспериментальными данными, полученными А.И. Сторожиловой для чисел
Кнудсена Kn  0,5 . Следует заметить, что в соответствии с данными,
полученными
А.И.
Сторожиловой,
при
понижении
давления
диффузиофоретическая скорость увеличивается, что согласуется с
построенной нами теорией.
1.
2.
3.
Заключение
Решена задача о движении твердой крупной сферической нелетучей
частицы в несжимаемой вязкой газовой среде под действием
нестационарного градиента концентрации, которая включает в себя
гидродинамическую и диффузионную задачи.
В результате решения стационарных частей гидродинамической и
диффузионной задач получена формула для скорости стационарного
диффузиофореза рассматриваемой аэрозольной частицы. В результате
решения нестационарных частей указанных задач получена формула
для
определения
нестационарной
составляющей
диффузиофоретической
скорости
сферической
частицы
в
пространстве лапласовых изображений.
Для
определения
модуля
нестационарной
составляющей
диффузиофоретической скорости частицы при общем виде градиента
концентрации найдены зависимости модуля нестационарной
составляющей этой скорости от времени.
Сторожилова, А.И. Измерение скорости движения аэрозольных частиц в поле
диффузии водяного пара / А.И. Сторожилова // Докл. АН СССР. 1964. Т. 155,
№2. С. 426 – 429
1
20
4.
5.
Рассмотрен конкретный случай диффузиофореза, когда строго
нестационарный градиент концентрации задан с помощью функции
A  1  e t , где A и ω ‒ постоянные положительные величины.
Проведен анализ поведения модуля нестационарной составляющей
скорости диффузиофореза при малых и больших значениях времени.
Проведены численные расчеты для частиц, состоящих из различных
веществ и различных компонентов газовой среды.
Автор искренне благодарен научному руководителю доктору физикоматематических наук, доценту
М.К. Кузьмину за постановку задачи,
постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.
Публикации автора по теме диссертации
Статьи в ведущих журналах, включенных в перечень ВАК:
1.
Ефремов, В.Е. Решение гидродинамической задачи в теории
нестационарного
диффузиофореза
крупной
твердой
нелетучей
сферической частицы / В.Е. Ефремов, М.К. Кузьмин // Вестник МГОУ.
Серия: Физика-математика. – 2012. – №2. – С.15 – 29.
2. Ефремов, В.Е. Решение диффузионной задачи в теории нестационарного
диффузиофореза крупной твердой нелетучей сферической частицы / В.Е.
Ефремов, М.К. Кузьмин // Вестник МГОУ. Серия: Физика-математика. –
2012. – №3. – С.30 – 39.
3. Ефремов, В.Е. Решение задач нестационарного диффузиофореза / В.Е.
Ефремов // Вестник МГОУ. Серия: Физика-математика. – 2013. – №3. – С.
20 – 28.
4. Ефремов, В.Е. Применение приближенных формул для расчета модуля
нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости / В.Е.
Ефремов // Вестник МГОУ. Серия: Физика-математика. – 2014. – №2. –
С.66 – 69.
5. Ефремов, В.Е. Приближѐнные формулы для вычисления модуля
нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости твѐрдой
сферической частицы / В.Е. Ефремов, М.К. Кузьмин // Вестник МГОУ.
Серия: Физика-математика. – 2017. – №3. – С.84 – 96.
Статья в журнале, входящем в международную базу цитирования
SCOPUS:
6. Efremov, V. Hydrodynamic and diffusion problems in the theory of
nonstationary diffusiophoresis of spherical particles / V. Efremov, M. Kuzmin //
Journal of engineering physics and thermophysics. – 2014. – V. 87, №4. – P.951
– 961.
21
Другие публикации:
7.
Ефремов, В.Е. К теории нестационарного диффузиофореза крупной
сферической частицы / В.Е. Ефремов, М.К. Кузьмин. – М., 2012. – 26 с. –
Деп. в ВИНИТИ 26.04.12, №184-В 2012.
8.
Ефремов, В.Е. Решение гидродинамической задачи в теории
нестационарного
диффузиофореза
крупной
твердой
нелетучей
сферической частицы / В.Е. Ефремов, М.К. Кузьмин // Материалы 9-й
международной конференции «Современные научные достижения -2013».
‒ 2013. – С. 9 – 14.
9. Ефремов, В.Е. Решение диффузионной задачи в теории нестационарного
диффузиофореза крупной твердой нелетучей сферической частицы / В.Е.
Ефремов, М.К. Кузьмин // Материалы IX международной научнопрактической конференции «Теория и практика современной науки». –
2013. – С. 41 – 46.
10. Ефремов, В.Е. О нестационарной составляющей диффузиофоретической
скорости твердой сферической частицы / В.Е. Ефремов. – М., 2013. – 19 с.
– Деп. в ВИНИТИ 21.03.13, № 82-В 2013.
11. Ефремов, В.Е. О решении задач нестационарного диффузиофореза / В.Е.
Ефремов. – М., 2013. – 10 с. – Деп. в ВИНИТИ 24.09.13, № 265-В 2013.
12.
Ефремов,
В.Е.
Нестационарная
составляющая
скорости
диффузиофореза крупной сферической частицы / В.Е. Ефремов, М.К.
Кузьмин // Уральский научный вестник. Сер.: Строительство и
архитектура-Физика-Математика. – 2014. – №24. – С.22 – 33.
13. Efremov, V. To the theory of nonstationary diffusiophoresis of spherical
particles / V. Efremov, M. Kuzmin // Materials of International Conference on
the Methods of Aerophysical Research. Part I. – 2014. – P. 61 – 62.
14. Ефремов, В.Е. О получении формул для вычисления модуля
нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости твердой
сферической частицы / В.Е. Ефремов. – М., 2017. – 17 с. – Деп. в ВИНИТИ
25.08.17, № 92-В 2017.
22
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
579 Кб
Теги
сферическая, части, крупных, диффузиофореза, теория, твердых, нестационарные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа