close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Многопетлевые расчеты в модели А критической динамики

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Воробьева Светлана Евгеньевна
Многопетлевые расчеты в модели А
критической динамики
Специальность 01.04.02 – теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Санкт-Петербург – 2018
Работа выполнена в ФГБОУ ВО “Санкт–Петербургский государственный
университет”
Научный руководитель:
Аджемян Лоран Цолакович
д. ф.-м. н., профессор
Официальные оппоненты: Савицкая Наталья Евгеньевна, д. ф.-м. н.,
Петербургский институт ядерной физики
им. Б.П. Константинова
НИЦ “Курчатовский институт”,
ведущий научный сотрудник
Деркачев Сергей Эдуардович, д. ф.-м. н.,
Санкт-Петербургское отделение Математического
института им. В.А. Стеклова РАН,
ведущий научный сотрудник
Ведущая организация:
Объединенный институт ядерных исследований
Защита диссертации состоится �14� июня 2018 г. в 16:30 на заседании диссертационного совета Д 212.232.24, созданного на базе Санкт–Петербургского
государственного университета, по адресу: 199004, Санкт–Петербург, Средний пр., В.О., д. 41/43, ауд. 304
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького
СПбГУ и на сайте https://disser.spbu.ru
Автореферат разослан �
�
2018 г.
Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по адресу 198504, Санкт–Петербург, Ульяновская
ул., д.1, корпус И, каб. 421.
Ученый секретарь
диссертационного совета,
д.ф.-м.н.
Аксёнова Елена Валентиновна
3
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Метод ренормализационной группы (РГ) широко
используется в настоящее время при изучении фазовых переходов II рода и
критических явлений. Он позволяет обосновать критический скейлинг и дает
возможность построения регулярных разложений критических показателей в
форме рядов по формально малому параметру " – отклонению размерности
пространства от ее критического значения. Основной технической задачей
при таком подходе является вычисление диаграмм Фейнмана, определяющих
так называемые РГ-функции. В задачах критической динамики такой расчет
сопряжен со значительно большими трудностями, чем в задачах статики, поэтому продвинуться в старшие порядки теории возмущений весьма сложно.
В то же время такое продвижение необходимо для корректного определения критических показателей, поскольку ряды теории возмущений являются
асимптотическими и их надо суммировать по Борелю.
Модель А критической динамики (по терминологии обзора [5]), рассматриваемая в настоящей работе, является в некотором смысле простейшей,
и на ней удобно отрабатывать технические приемы расчета многопетлевых
динамических диаграмм.
С другой стороны, сегодня наблюдается существенный интерес к релаксационным процессам в различных материалах, описываемых моделью
А. Это относится как к традиционным для данной модели системам типа
ферромагнетиков, так и к новым материалам, попадающим в тот же класс
универсальности. В связи с этим получение надежных количественных результатов для данной модели является весьма актуальным.
Степень разработанности темы исследования. Применение метода ренормализационной группы к задачам критической динамики сталкивается со значительно большими трудностями по сравнению с задачами
критической статики. Полученные здесь аналитические результаты ограничиваются в лучшем случае третьим порядком теории возмущений, тогда как
в статической теории '4 в настоящее время достигнут шестипетлевой результат, а для аномальной размерности поля – семипетлевой. Заметное отставание
имеет место и в численных расчетах, в которых метод разделения на сектора
(Sector Decomposition) при расчете диаграмм Фейнмана [6] оказался весьма
эффективным в задачах критической статики (5 петель в теории '4 ), в то
время как в задачах критической динамики этот метод до сих пор применял-
4
ся лишь в двухпетлевом приближении.
Применительно к А модели критической динамики метод ренормгруппы был впервые использован в работе [7], в которой динамический критический индекс z был рассчитан во втором порядке " -разложения (первый
порядок вклада не дает). Проведенный в работе [8] расчет третьего порядка по " оказался ошибочным из-за технической погрешности, хотя идейно
был верным. Правильный результат получен в работе [9]. Численный расчет
индекса z в четвертом порядке "-разложения проведен в работе [10]. Вычисления проводились в импульсном представлении, в котором трудно обеспечить
высокую точность для диаграмм со сложной структурой подграфов. В результате погрешность расчета составила порядка 1%. В работе [11] на основе
четырехпетлевого результата работы [10] проведено борелевское суммирование "-разложения критического индекса z.
Целью работы является высокоточное численное определение динамического критического индекса z A-модели критической динамики в четвертом порядке теории возмущений. Вычисления проводятся двумя методами, обобщающими соответствующие подходы в задачах критической статики: методом расчета критических показателей без использования констант
ренормировок, позволяющим избежать численного расчета сингулярных интегралов, и методом Sector Decomposition, который позволяет свести задачу
к численному расчету вычетов при полюсах.
Для этого решаются следующие задачи:
1) Обобщить метод расчета ренормгрупповых функций без использования констант ренормировки на задачи критической динамики.
2) Разработать метод записи фейнмановского представления для динамических диаграмм непосредственно по их внешнему виду, минуя импульсное
представление.
3) Обобщить метод “Sector Decomposition” на задачи критической динамики и вычислить с помощью этого метода динамический критический
индекс А-модели в “теории без расходимостей” и в схеме минимальных вычитаний.
4) Выполнить пересуммирование четырехпетлевого "-разложения динамического критического индекса А-модели методом конформ-Бореля.
Научная новизна. Сформулированные выше цели и задачи диссертации являются новыми. Все основные результаты диссертации получены впер-
5
вые, что подтверждается их публикацией в ведущих отечественных и международных журналах и апробацией на представительных международных
конференциях.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в широком классе моделей
критической динамики, таких как модель E, описывающая переход гелия
в сверхтекучее состояние, модель H, описывающая критическую динамику в
окрестности критической точки жидкость-пар, задаче протекания и т.д.
Методология и методы исследования. Методология диссертации
основана на использовании теоретико-полевых методов – методе функционального интегрирования, диаграммной технике Фейнмана, теории ренормировок и ренормализационной группы, численного расчета диаграмм методом
Sector Decomposition, методе борелевского суммировании расходящихся рядов.
Положения, выносимые на защиту:
1) Проведено обобщение метода расчета ренормгрупповых функций без
использования констант ренормировок (“теория без расходимостей”) на задачи критической динамики. Эффективность этого метода продемонстрирована ренормгрупповым расчетом А-модели, описывающей эффект критического замедления в окрестности критической точки ферромагнетиков.
2) Разработан метод построения представления Фейнмана диаграмм
критической динамики непосредственно по виду диаграмм, минуя импульсное представление. Произведено обобщение этого метода на диаграммы “теории без расходимостей”.
3) Выполнено обобщение метода разбиения на сектора при вычислении
диаграмм Фейнмана (“Sector Decomposition”) на задачи критической динамики. С помощью этого метода произведен расчет динамического критического
индекса А-модели в “теории без расходимостей” и в схеме минимальных вычитаний. Точность расчета на два порядка превышает достигнутую в работах
предшественников.
4) Произведено суммирование четырехпетлевого "-разложения динамического критического индекса А-модели методом конформ-Бореля. Показано,
что учет параметра сильной связи существенно улучшает сходимость процедуры суммирования.
Достоверность полученных результатов обеспечивается использо-
6
ванием апробированных теоретико-полевых методов. Результаты исследования, проведенного в диссертации, опубликованы в ведущих рецензируемых
журналах, докладывались на российских и международных конференциях.
Также расчеты проверялись на сравнение с ранее полученными результатами
других авторов.
Апробация работы
Результаты и положения работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
“16th Small Triangle Meeting” (Ptičie, Slovakia, 2014),
“The XX International Scientific Conference of Young Scientists and
Specialists” (Dubna, Russia, 2016),
“42nd Conferences of the Middle European Cooperation in Statistical Physics”
(Lyon, France, 2017).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных РИНЦ, Web of Science или Scopus.
Список опубликованных работ приведен в конце автореферата.
Личный вклад автора. Диссертация является самостоятельной законченной научно-исследовательской работой. Все основные результаты получены соискателем лично, либо при его прямом участии в неразделимом
соавторстве.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, 4
глав, Заключения и 1 приложения. Полный объем диссертации составляет 107
страниц. Диссертация содержит 5 рисунков, 4 таблицы и список литературы
из 36 наименований.
Содержание работы
Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, описаны
методология и методы исследования, степень разработанности темы исследования, а также показана практическая значимость полученных результатов
и представлены выносимые на защиту научные положения.
Первая часть главы 1 посвящена постановке задачи исследования явления критического замедления в рамках А-модели.
7
Модель А описывает критическую динамику в системе с несохраняющимся параметром порядка (r, t). Время релаксации tc (k) фурье-компоненты
(k, t) в этом случае остается конечным при k = 0. “Критическое замедление” заключается в том, что это время степенным образом возрастает при
приближении температуры к критической: tc |k=0 ⇠ rcz ⇠ (T
Tc ) ⌫ z , где
z > 0 – динамический критический индекс, ⌫ > 0 – критический индекс,
характеризующий рост радиуса корреляции rc ⇠ (T Tc ) ⌫ .
Задачей статистического подхода является расчет показателя z. Он будет основан на использовании стохастического уравнения Ланжевена с последующим переходом к эквивалентной квантово-полевой модели.
Наиболее известной моделью критической статики является так называемая '4 -модель, для которой действие S0st ( 0 ) имеет вид
S0st ( 0 )
=
Z
dr
✓
(@
0 (r))
2
2
+
⌧0
2
0 (r)
2
1
+ g0
4!
4
0 (r)
◆
.
(1)
Модель '4 была исторически первой, в которой удалось эффективно использовать метод ренормализационной группы и разложения по формально малому параметру " = 4 d – отклонению размерности пространства d от критической размерности dc = 4. В настоящее время статические критические
индексы (в частности, индекс ⌫) рассчитаны в шестом порядке "-разложения.
По статическому действию определяется уравнение стохастической динамики. Модель А отвечает несохраняющемуся параметру порядка и отсутствию межмодового взаимодействия, уравнение Ланжевена имеет в этом случае вид
@t
0 (r, t) =
·
S0st
0 (x)
+ f (r, t) ,
0 (r, t
0 (r)! 0 (r,t)
!
1) ! 0 ,
(2)
где – кинетический коэффициент Онсагера, f – гауссова “случайная сила”
с коррелятором
hf (r1 , t1 )f (r2 , t2 )i = 2
(r1
r2 ) (t1
t2 ) .
(3)
Анализ стохастической модели (1)–(3) значительно облегчается, если
переформулировать ее в виде квантово-полевой модели [12]. В такой модели
средние вычисляются в виде функционального интеграла по набору 0 ⌘
8
{
0,
0
0}
основного
hF (
0,
0
и вспомогательного
0
0 )i
=C
Z
D
Z
0
D
0
0
полей
0
0 F ( 0,
0
0 ) exp(S0 ( 0 )) ,
(4)
где действие S0 ( 0 ) определяется выражением
S0 ( 0 ) =
0 0
0 0 0
=
0 0
0 0 0
+
+
0
0
0
0


@t
@t
0
0
+
+
0
0
✓
@
S0st
=
0
2
0
⌧0
0
1
g0
3!
3
0
◆
(5)
,
в котором подразумеваются интегрирования по координате и по времени.
Модели (5) отвечает стандартная теория возмущений и фейнмановская
диаграммная техника. При " ! 0 диаграммы УФ-расходятся, что проявляется в полюсах по ". Модель мультипликативно ренормируема, ренормированное действие имеет вид

✓
◆
1
0 0
0
2
"
3
SR = Z1
+
Z2 @ t +
Z3 @
Z4 ⌧
Z5 µ g
,
(6)
3!
оно получается из исходного ренормировкой полей и параметров
0
= Z ,
⌧0 = ⌧ Z⌧ ,
g0 = gµ" Zg ,
0
= Z ,
0
0
=
0
Z 0.
(7)
По константам ренормировки Zi вводятся бэта-функция (g) и ренормгрупповые функции i (g) :
(g) =
"
g
,
1 + g @g ln Zg
i (g)
=
"
g @g ln Zi
.
1 + g @g ln Zg
(8)
Условие (g⇤ ) = 0 определяет значение заряда g⇤ в неподвижной точке, а
величины i⇤ ⌘ i (g⇤ ) – значения критических индексов. По сравнению со
статической моделью (5) единственным новым индексом является ⇤ , иско⇤
мый динамический индекс z выражается через него соотношением z = 2
.
Из связи констант ренормировок в (6), (7) следует, что
= 3
1 . Учитывая, что хорошо известный индекс Фишера ⌘ = 3⇤ , находим z = 2 ⌘ + 1⇤ ,
так что нашей целью будет нахождение величины 1⇤ .
Оригинальной частью первой главы является обобщение фейнмановского представления на диаграммы динамической модели, позволяющее сопо-
9
ставлять диаграмме интеграл по фейнмановским параметрам непосредственно по виду диаграммы, минуя импульсное представление. Эта часть первой
главы основана на материале работы [1].
Определение РГ-функции 1 , исходя из соотношения (8), требует вычисления содержащих полюса по " констант ренормировок, что усложняет
численные расчеты. Во второй главе проведено обобщение метода вычисления РГ-функций без использования констант ренормировок (“теория без
расходимостей”) на случай динамической теории. Содержание второй главы основано на работе [2].
Используя уравнения ренормгруппы для соответствующего набора 1неприводимых ренормированных функций
R
⌘ h i j iR
1-непр , нетрудно выразить через них РГ-функции i . Однако
i, j
это не решает проблемы, так как при обычном способе вычисления функций Ri , j полюса вначале возникают, а потом сокращаются контрчленами.
Хотелось бы получить форму записи контрчленов, в которой они включены
в совместное с исходной диаграммой выражение, так что интеграл не имеет
особенностей, и полюса вообще не возникают. Для этой цели удобной оказалась схема ренормировки с вычитанием контчленов на нулевых импульсах и
частотах в точке нормировки ⌧ = µ2 . В этой схеме константы ренормировки,
как и в схеме минимальных вычитаний (MS), зависят только от заряда g,
уравнения РГ в этих схемах также совпадают.
В выбранной схеме ренормировки РГ-функции i были выражены через величины Fj = (⌧ @⌧ ¯ R
(⌧ @⌧ R ¯ j ) |⌧ =µ2 , в которых процедура
j ) |⌧ =µ2 =
ренормировки была заменена действием R-операции Боголюбова-Парасюка,
а черта над функцией ¯ j означает, что она нормирована на единицу при
g = 0. Искомую запись контрчленов при ренормировке удается получить для
величин
fj = R(⌧ @⌧ ¯ j ) |⌧ =µ2 ,
(9)
в которых по сравнению с Fj операции R и @⌧ переставлены местами. Действие R-операции на диаграммы величин fj можно записать в виде
R =
YZ
i
1
dai (1
0
(10)
ai )ni @anii +1 ({a}),
где произведение берется по всем существенным подграфам
(i)
(включая
10
диаграмму
как целое), ai – параметр растяжения внутри i-го подграфа
импульсов и частот, втекающих в этот подграф, ni = 0 для логарифмических подграфов и ni = 1 для квадратичных. Преимущество такой записи
ренормированных величин состоит в том, что ответ представляется в виде
интегралов, конечных при " = 0, причем в форме, в которой не происходит
сокращения больших вкладов в подынтегральном выражении.
В работе [1] показано, что величины Fj и fj связаны соотношением
Fj = (1 F4 )fj , где
F4 =
(⌧ @⌧ R ¯ 4 ) |⌧ =µ2 ,
,
¯4 =
0
,
⌧
0
|⌧ =0
.
p=0, !=0
Эта достаточно нетривиальная связь аналогична использованной Зин-Жюстеном
для доказательства ренормируемости статической '4 -модели [13].
Искомая РГ-функция 1 выражается через fj соотношениями
1
=
2f1
,
1 + f3
fj ⌘
R(⌧ @⌧ ¯ j ) |⌧ =µ2 ,
где
¯1 =
0
2
0
,
¯3 =
p=0, !=0
@ p2
0
(11)
.
(12)
p=0, !=0
⇤
2f3
⇤
Выражая из соотношения 3⇤ = ⌘ = 1+f
⇤ величину f3 через индекс Фишера
3
⌘, получаем для искомого индекса 1⇤ представление
⇤
1
= f1⇤ (2
⌘).
Величина f1 была вычислена в четырехпетлевом приближении по диаграммам 1-неприводимой функции ¯ 1 согласно соотношениям (11), (12) и
(10). Диаграммы с однопетлевыми подграфами были вычислены в импульсном представлении, остальные диаграммы – в фейнмановском представлении
методом Sector Decomposition, необходимое число членов "-разложения величины g⇤ в используемой схеме ренормировки взято из работы [14].
В третьей главе искомая РГ-функция 1 находится на основе стандартного представления (8) через константу ренормировки Z1 . Расчет производится в схеме минимальных вычитаний на основе фейнмановского представления динамических диаграмм, полученного в главе 1, с использованием
метода Sector Decomposition, дающего конструктивное представление для вы-
11
четов при полюсах по ". Содержание третьей главы основано на работе [3].
Метод Sector Decomposition основан на делении области интегрирования по фейнмановским параметрам на сектора, в каждом из которых искомые вычеты достаточно просто выделяются. Преимущество этого метода
заключается в простоте автоматизации процедуры выделения полюсов. Это
приводит к тому, что вычисления ограничены только мощностью компьютерных ресурсов. Очень существенно также, что подынтегральное выражение в
каждом из секторов является плавной знакопостоянной функцией феймановских параметров, что значительно повышает точность численного интегрирования. Последнее обстоятельство делает этот метод весьма полезным и в
случае, когда вычисляемый интеграл не содержит полюсов по ", что использовалось при вычислениях части диаграмм во второй главе.
Основным недостатком является очень большое число секторов, которые получаются в результате деления области интегрирования в старших порядках теории возмущений. Этим объясняется то обстоятельство, что, будучи
предложенным в 1977 году Спиром для доказательства ренормируемости [15],
этот прием лишь в 2000 году стал использоваться для вычислительных целей [6]. Острота проблемы еще сильнее проявляется в задачах динамики, в
которых уже число исходных диаграмм многократно превышает число статических диаграмм той же топологии. Чтобы несколько уменьшить число
необходимых для вычисления диаграмм, в диссертации применяется метод
“редукции” диаграмм. Как уже отмечалось, в модели А имеется единственная дополнительная к статике константа ренормировки, остальные константы равны своим статическим аналогам. На диаграммном языке это означает,
что сумма определенных динамических диаграмм на нулевой частоте равна
одной статической. Был разработан конструктивный рецепт подобной “редукции” диаграмм и, хотя необходимые для расчета динамического индекса
диаграммы не сводятся полностью к статическим, такая редукция позволила
значительно сократить число диаграмм и упростить их вид. В рассмотренном
четырехпетлевом приближении это сократило число диаграмм с 66 до 17.
Процедура разбиения на сектора не однозначна, существует несколько
“стратегий” декомпозиции. В работе использовались сектора Спира, адаптированные нами для вычисления динамических диаграмм.
В результате расчетов получено разложение аномальной размерности
⇤
4
1 с точностью до " . В литературе часто вместо динамического индекса
12
z = 2 ⌘ + 1⇤ приводится значение величины R, которая связана с z соотношением z = 2 + R⌘. Эта величина удобна тем, что в первых двух порядках
"-разложения она не зависит от числа компонент поля n. В рассмотренном
четырехпетлевом приближении зависимость от n появляется и имеет вид
R = (6 ln(4/3)
✓
"2 (c3 + c4 n)
2
1) 1 + c1 " + c2 " +
(n + 8)2
◆
(13)
.
В работе [7] величина R была рассчитана в главном порядке 1/n-разложения
при произвольном ". Этому предельному случаю отвечают 3 слагаемых в (13).
Разложение результата расчета R(") в работе [7] в ряд по " дает независимую
проверку точности вычислений.
В таблице (1) собраны результаты расчета коэффициентов ci в (13),
полученные в главах 2 и 3, а также в работах [10] и [7]:
c1
ТБР [2]
MS [3]
c2
-0.188483417(21) -0.100096(11)
-0.1884840(7)
-0.09995(6)
Работа [10]
-0.1884(9)
-0.100(4)
Работа [7]
-0.188483416
-0.099952926
c3
c4
21.56(6)
4.788(13)
21.5412(34) 4.7847(8)
21.5(4)
4.78(6)
Таблица 1
Оба использованных нами метода дали точность, значительно превышающую точность расчета работы [10], в схеме M S – почти на 2 порядка.
Метод “теории без расходимостей” имеет несколько меньшую точность, это
связано с тем, что хотя для определенного класса диаграмм (представленных
в Приложении) расчет в импульсном представлении обеспечивает весьма высокую точность, для диаграмм со сложной структурой подграфов точность
расчета в импульсном представлении заметно падает. В этом случае расчет
проводился методом Sector Decomposition, но из-за наличия дополнительных
параметров растяжения a эффективное выделение секторов требует доработки.
Приведем также полученное в четырехпетлевом приближении "-разложение
13
непосредственно для индекса z при n = 1:
z = 2 + 0.0134461561"2 + 0.011036273(10)"3
0.0055791(5)"4 .
(14)
В четвертой главе, основанной на работе [4], проведено суммирование полученного "-разложения индекса z методом конформ-Бореля с использованием параметра сильной связи.В этом методе предполагается, что
для исследуемой функции A(g) известны несколько первых коэффициентов
P1
n
в разложении A(g) =
n=0 An g и асимптотика высоких порядков (АВП)
n!1
коэффициентов An с факториальным ростом: An ! c ( a)n n! nb0 . В отдельных случаях известно также поведение A(g) при g ! 1 (асимптотика
g!1
сильной связи) A(g) ⇠ g ⌫ (не путать с индексом ⌫ радиуса корреляции!).
Конформ-борелевское представление имеет вид
A(g) =
Z
1
0
t b
dt exp t
✓
gt
w(gt)
◆⌫
B(w(gt)) ,
(15)
P
n
где w(x) =
, B(x) = 1
n=0 Bn w . Приближенное выражение ищется путем обрывания ряда для B(x), начальные коэффициенты определяются из условия, чтобы разложение по g правильно воспроизводило известные
коэффициенты. Параметр a берется из формулы для АВП, а параметр b выбирается равным b = b0 + 3/2, чтобы правильно воспроизвести асимптотику
высоких порядков.
Мы провели процедуру суммирования "-разложения (14) динамического индекса z для трехмерного случая (d = 3, " = 1) и для двумерной задачи
(d = 2, " = 2). Параметры АВП известны, a = 1/3, b0 = 3/2, а ⌫ использовался как подгоночный параметр. Результаты показаны на рисунках 1 и 2.
p
p1+ax 1
1+ax+1
14
Рис. 1: Пересуммированный критический
Рис. 2: Пересуммированный критический
индекс z при " = 1 и различных N и ⌫
индекс z при " = 2 и различных N и ⌫
Наилучшая сходимость наблюдалась при значении ⌫ = 2.6.
Конформ-борелевское суммирование индекса z проводилось ранее в работе [11] с использованием данных работы [10]. Как уже отмечалось, эти
данные значительно менее точные, чем полученные в настоящей работе, а
значение ⌫ = 0, использованное при суммировании, как видно из графика,
приводит к очень медленной сходимости процедуры. Таким образом, наилучшая оценка индекса z, которую мы получили в результате борелевского
суммирования разложения индекса z дает:
2 петли
3 петли
4 петли
" = 1 2.0210142 2.021218
2.0217974
" = 2 2.1050275 2.10642878 2.1118359
Таблица 2
В Заключении диссертации представлены основные результаты и выводы.
В Приложении приведен расчет в импульсном представлении некоторых диаграмм “теории без расходимостей”.
15
Список публикаций по теме диссертации из
перечня ВАК
[1] Л. Ц. Аджемян, С. Е. Воробьева, М. В. Компаниец, ТМФ, 185:1 (2015),
3–11.
[2] Л. Ц. Аджемян, С. Е. Воробьева, М. В. Компаниец, Э. В. Иванова, ТМФ,
195:1 (2018), 103-114.
[3] L. Adzhemyan, E. Ivanova, M. Kompaniets, S. Vorobyeva, Journal of Physics
A: Mathematical and Theoretical, 51 (2018), 155003. arXiv:1712.05917 [condmat.stat-mech].
[4] С. Е. Воробьева, Э.B. Иванова, В.Д. Серов, Вестник СПбГУ. Физика и
химия, Т. 5 (63). Вып. 1, (2018), 13-19.
Цитируемая литература
[5] P. C. Hohenberg, B. I. Halperin, Rev. Mod. Phys., 49 (1977), 435.
[6] T. Binoth and G. Heinrich, Nuclear Physics B, 585 (2000), 741.
EPJ Web of Conferences, 108 (2016), 02004,
[7] B. I. Halperin, P. C. Hohenberg, S. Ma, Phys.Rev.Lett, 29 (1972), 1548.
[8] C. De Dominicis, E. Brezin, J. Zinn-Justin, Phys.Rev. B, 12 (1975), 4945.
[9] Н. В. Антонов, А. Н. Васильев, Критическая динамика как теория поля,
ТМФ, 60 (1984), 59.
[10] Л.Ц. Аджемян, С.В. Новиков, Л. Сладкофф, Вестник СПбГУ. 4:4 (2008),
110.
[11] М.Ю. Налимов, В.А. Сергеев, Л. Сладкофф, ТМФ, 159:1 (2009), 96.
[12] А.Н. Васильев, Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике, Издательство ПИЯФ, С.Петербург, 1998.
[13] J. Zinn-Justin. Quantum field theory and critical phenomena, Oxford
University Press, Oxford, 2002.
[14] L.Ts. Adzhemyan, M.V. Kompaniets, J.Phys.: Conf.Ser. 523 (2014), 012049.
[15] E. R. Speer, Annales de l’institut Henri Poincaré (A) Physique théorique,
26:1 (1977), 87.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
589 Кб
Теги
динамика, критических, многопетлевые, расчет, модель
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа