close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Особенности кинетики носителей заряда в кристаллах со структурой алмаза

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Черноусов Игорь Владимирович
ОСОБЕННОСТИ КИНЕТИКИ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
В КРИСТАЛЛАХ СО СТРУКТУРОЙ АЛМАЗА
Специальность 01.04.07 – Физика конденсированного состояния
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Долгопрудный, 2018
Работа выполнена в Московском физико-техническом институте (государственном
университете)
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор Белоусов Юрий Михайлович
Официальные оппоненты:
Рогозкин Дмитрий Борисович, доктор физико-математических наук, профессор,
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», кафедра теоретической ядерной физики, профессор.
Сергеев Григорий Сергеевич, кандидат физико-математических наук, Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт», ККАЭ (Курчатовский комплекс атомной энергетики), старший научный сотрудник.
Ведущая организация Физико-технологический институт Российской академии
наук (ФТИАН РАН)
Защита состоится «20» сентября 2018 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.156.06, созданного на базе Московского физикотехнического института (государственного университета), расположенного по адресу 141701, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский переулок, д. 9.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте
Московского физико-технического института (государственного университета)
https://mipt.ru/education/post-graduate/D212-156-06/
Автореферат разослан «_____» июня 2018 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Гец Артем Викторович
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования. В последнее десятилетие происходит бурное
развитие электроники на основе алмаза, которое связано с уникальными, даже на
фоне других широкозонных полупроводников [1], свойствами этого материала [2].
Они позволяют применять созданные на его основе приборы в условиях высоких
температур, сильного радиационного облучения и большого проходящего тока [3].
Это делает алмаз перспективным для использования в атомной промышленности,
космических исследованиях, экспериментальной физике плазмы и физике высоких
энергий, системах радиолокации и связи. Этим не исчерпываются возможные применения алмаза, в частности, уникальные свойства NV-центра в алмазе делают его
многообещающим объектом для реализации квантовых технологий [4].
Как для конструирования приборов со стабильно воспроизводимыми свойствами, так и для разработки новых устройств необходимо правильно описывать и
рассчитывать кинетику носителей заряда в алмазе при различных концентрациях и
составе примесей в различных внешних полях и при разных геометриях образца.
Особые свойства алмаза указывают на то, что в нем могут сильнее, по сравнению с
обычными полупроводниками, проявляться некоторые необычные кинетические
эффекты, которые нужно учитывать. Так, при исследовании алмаза мюонным методом были получены результаты, которые могли объясняться возникновением у носителей заряда абсолютной отрицательной подвижности (АОП), при которой носители в среднем двигаются против приложенного электрического поля [5].
Таким образом, исследование кинетических явлений в алмазе представляет
жизненный интерес для теории и приложений.
Степень разработанности темы исследования. Теоретическое исследование АОП
проведено для различных систем, в частности, было показано, что АОП может возникать в трехмерных полупроводниках за счет рассеяния носителей заряда на оптических фононах (см., например, обзор [6]).
В [5] было показано, что в алмазе при температурах порядка 10 К АОП может
быть связана с сильной неупругостью рассеяния носителей заряда на акустических
фононах из-за рекордной скорости звука в алмазе.
На первом этапе исследований АОП в алмазе в почти упругом, диффузионнодрейфовом приближении [5] была, следуя [7], введена характеристика носителей с
заданной энергией, которая первоначально считалась подвижностью таких носителей (позднее эта характеристика была названа нами квазиподвижностью). Эта функция при некоторых энергиях носителей заряда оказывалась отрицательной и приводила к возможности существования интегральной АОП.
Оставался неисследованным целый ряд вопросов: поведение носителей заряда
в алмазе при различных температурах и концентрациях ловушек захвата с последовательным учетом неупругости рассеяния как в пространственно однородном, так и
пространственно неоднородном случаях, в стационарном и нестационарном случаях; изучение вклада неупругости процессов взаимодействия носителей заряда с фононами в почти равновесную подвижность, важную с точки зрения эксперименталь3
ных наблюдений; изучение смысла и особенностей квазиподвижности носителей заряда при рассеянии их на акустических фононах в твердых телах.
Цели и задачи
1.
Модификация и создание компьютерных программ для расчета функции распределения носителей заряда при рассеянии их в кристаллах со структурой
алмаза на акустических фононах, нейтральных примесях и захвате их на заряженные примеси.
2.
Определение значений почти равновесной подвижности носителей заряда в
различных приближениях.
3.
Получение подвижности носителей заряда в постановке для экспериментальных измерений, описывающей плоскопараллельный алмазный детектор частиц.
4.
Вычисление квазиподвижности носителей заряда и анализ ее поведения и
смысла при рассеянии носителей на акустических фононах в различных диапазонах температур.
Научная новизна. В работе изучается величина, введенная В.Н. Горелкиным [A1] и
называемая нами квазиподвижностью, обобщающая характеристику носителей заряда, предложенную в [7]. Она вычислена для случая рассеяния носителей заряда на
акустических фононах в твердых телах. Изучены ее свойства и уточнен критерий
применимости ее физической интерпретации. Проведено сравнение почти равновесной интегральной подвижности в двухмоментном приближении для различных приближений интеграла столкновений в пространственно однородном и однокоординатном случаях. Показано, что при не совсем малых температурах обычный грубый
«закон трех вторых» дает лучшее согласие с однокоординатным неупругим случаем,
а также с результатами расчета, выполненного в [A4] соавторами методом МонтеКарло, чем с пространственно однородными квазиупругим и неупругим подходами.
Теоретическая и практическая значимость. Получены значения нестационарной
и стационарной, в т.ч. равновесной, подвижности при последовательном учете неупругости актов взаимодействия носителей с акустическими фононами, а также захвата носителей на ловушки, которые необходимо учитывать для корректной обработки экспериментальных результатов. В частности, получены стационарные и нестационарные функции распределения, токи, концентрации и подвижности носителей заряда в однокоординатном случае, моделирующем детектор ионизирующего
излучения.
Уточнены границы применимости и физический смысл функции квазиподвижности носителей заряда и показана ее универсальность для заданного интеграла
столкновений и функции захвата. В стационарном случае функция квазиподвижности не зависит от функции источника частиц в отличие от функции мгновенной подвижности носителей с данной энергией и позволяет получать корректное значение
интегральной подвижности. В рамках используемых приближений получены универсальные зависимости обезразмеренной квазиподвижности от энергии для случая
рассеяния носителей на акустических фононах для любых кристаллов.
4
Показано, что в области низких температур хорошо известный «закон трех вторых» для равновесной подвижности дает достаточно хорошее согласие с данными в
однокоординатном неупругом случае и в трехмерном методе Монте-Карло, в то
время как промежуточные по сложности пространственно однородные модели дают
существенно отличные от него значения, что имеет важное теоретическое и практическое применение для задач электроники.
Разработаны и модифицированы программы для численного решения уравнения Больцмана, которые позволяют находить функцию распределения при различных условиях и в различных постановках задачи.
Методология и методы исследования. В работе используются методы теоретической физики неравновесных процессов на основании кинетического уравнения
Больцмана в двухмоментном приближении. В работе применен сеточный метод
численного решения кинетического уравнения в среде Mathcad с использованием
подключаемых к Mathcad исполняемых библиотек на языке C и программа на языке
FORTRAN.
Положения, выносимые на защиту
1. Проведено детальное изучение квазиподвижности в кристаллах со структурой
алмаза. Выявлены ее неизвестные ранее отличия от подвижности носителей заряда данной энергии и уточнен критерий применимости физической интерпретации этой величины.
2. Получены универсальные зависимости квазиподвижности от энергии носителей
заряда в кристаллах в изотропном приближении для различных температур при
рассеянии на акустических фононах.
3. Получены стационарные и нестационарные функции распределения, токи, концентрации и подвижности носителей заряда в однокоординатном случае, моделирующем детектор ионизирующего излучения.
4. Вычислены зависимости подвижности от температуры для почти равновесных
носителей заряда при рассеянии на акустических фононах для квазиупругого и
неупругого интегралов столкновений в пространственно однородном и в однокоординатном случаях.
5. Показано, что расчеты равновесной подвижности в одномерном случае в квазиупругом и неупругом подходах дают значения более близкие к полученным методом Монте-Карло, чем соответствующие расчеты в пространственно однородном случае, а также что «закон трех вторых», получаемый в наиболее простом
приближении, дает результаты, близкие к одномерному случаю и к результатам
расчета по методу Монте-Карло.
5
Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов
подтверждается анализом областей применимости используемых приближений,
проверками полученных результатов, использованием различных подходов и численных программ к получению отдельного результата, что подтверждает его корректность.
Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической физики МФТИ и международных конференциях Diamond 2007, PHOTOPTICS 2014, Diamond 2016 и симпозиуме Нанофизика и наноэлектроника 2013.
Связь с плановыми научными исследованиями. Работа выполнена при поддержке грантов Министерства образования и науки РФ РНП.2.1.1/9451,
РНПВШ 2.1.1/5909, РНПВШ 2.1.1/13789, ГК 1.2.1 №П558, проект No. 3.679.2014/K.
Публикации. По тематике работы опубликовано пять статей [А1–А5], в том числе
четыре статьи [А1–А3, А5] в журналах, рекомендованных ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного
содержания, заключения, библиографии и трех приложений. Библиографический
список содержит 79 наименований. Общий объем диссертационной работы 129
страниц.
Основное содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы исследований, проведенных в
рамках данной диссертационной работы, описана степень ее разработанности,
сформулированы цели и задачи работы, отмечена научная новизна и теоретическая
значимость полученных результатов, описаны методология и методы исследования,
представлены положения, выносимые на защиту, обоснована степень достоверности
результатов исследования, приведены данные по апробации результатов.
Первая глава посвящена рассмотрению динамики носителей заряда в алмазе
при низких температурах в пространственно однородном приближении.
Для расчета подвижности и других кинетических коэффициентов носителей
заряда в алмазе необходимо знать их функцию распределения, которую мы будем
находить, используя кинетическое уравнение Больцмана. В пространственно однородном случае кинетическое уравнение имеет вид (предполагаем, что на носители
заряда действует только электрическое поле):
f t  eq E   f k  J st  f   q     cap    f .
(1)
Здесь функция распределения носителей заряда f  f ( r , k , t ) , r – радиус-вектор, а
k – волновой вектор носителя заряда; eq – заряд носителя, E – в общем случае са-
мосогласованное электрического поле, J st  f  – интеграл столкновений, q   –
плотность источников носителей заряда с энергией  ,  – постоянная Планка,
6
 cap   – частота захвата носителей с энергией    2 k 2 2 m , m – эффективная масса
носителя заряда. Мы считаем, что работает приближение эффективной массы, и
среда изотропна. Мы будем пользоваться двухмоментным приближением, в котором
функция распределения представляется в виде суммы сферически симметричной f0 и
дипольной  частей:
f ( k , t )  f 0 ( , t )  ( Ek ) ( , t ) ,
(2)
Это приближение в пространственно однородном случае справедливо при достаточно слабых полях. При этом f 0 ( , t ) нормируется на плотность, а  ( , t ) – на плотность тока носителей заряда:


2eq
3
n   f ( k , t ) dk  2   Cf   f 0  , t d  , j =
 Cf E   3 2   ,t d  = eq n  E , (3)
3
0
0
где Cf   2m 
3/ 2
4 2  3 , а


2
(4)
    3 2  ,t d    f 0  , t d  –
3 0
0
– интегральная подвижность системы носителей заряда.
При использовании двухмоментного приближения уравнение Больцмана (1)
преобразуется в систему двух уравнений относительно функций f 0 и  .
Будем предполагать, что свободные носители заряда создаются фотовозбуждением при помощи лазерного излучения. Начальная функция распределения носителей заряда f ( r , k , t  0) , также как и функция источника частиц q  , t  , имеет либо корневой (для многофотонного непрямого перехода), либо гауссовский (для фотовозбуждения с примесных уровней) вид по энергии.
Из процессов захвата носителей заряда, которыми определяется стоящая в кинетическом уравнении частота  cap   cap   ,t  , рассматривается только процесс захвата на ионы примеси, сечение захвата для которого мы берем из [8].
Хорошо известно (см., например, [2], cc. 377 – 396), что в кристалле алмаза
при T < 100 K основным механизмом релаксации носителей по энергии  является
рассеяние на акустических фононах и, в случае наличия примеси, взаимодействие с
атомами и ионами примеси. В приближении деформационного потенциала [9], который в гамильтониане взаимодействия носителя с фононом описывается константой , в невырожденном, больцмановском случае для двухмоментного приближения
можно получить явные выражения для интеграла столкновений на акустических
фононах.
В случае почти упругих столкновений, когда изменение энергии носителя при
испускании или поглощении акустического фонона (изменение энергии за один
«перескок»   8ms 2 , где s – скорость звука в кристалле) много меньше его (но-
сителя) исходной энергии, т.е., когда  /   8ms 2 /   1 (заметим, что отсюда автоматически следует условие   ms 2 ), и при дополнительном предположении, что
на интервале порядка  f 0   и    практически не меняются, т.е. если
7
   1 , f 0      f 0    f 0    ,                ,
(5)
интеграл столкновений для симметричной части функции распределения можно записать в приближении Фоккера-Планка, а интеграл столкновений для     – в так
называемом приближении времени релаксации, по аналогии с моделью Лоренца для
кинетики легких частиц в тяжелом газе:
J st(1)     tr_p   ,
(6)
где  tr_p   – транспортная частота столкновений. С физической точки зрения эта
величина характеризует скорость изменения импульса в направлении движения.
В приближении деформационного потенциала можно получить явное выражение для скорости обмена энергией носителя заряда с фононами  ε    , которое в
области применимости приближения Фоккера-Планка переходит в известное выражение (см. §4.3 в [9]):
 ε ( )  1  0 s   2 m ,
(7)
где  0    4
 2 m s  – характерная временная постоянная задачи рассеяния час2
3
тицы на фононах,  – плотность кристалла. При этом транспортная частота рассеяния на фононах для ms   k  qD
2
 2 mk B
 tr_p  k  
Tk
,
если
sk
k
T
,




(8)


k
(
)
, если sk  k BT ,


tr_p
ε
B
 s 2 3
9ms 2
где  ε ( ) определяется из (7), T – температура кристалла, kB – постоянная Больцмана.
В пренебрежении квадратичными по полю членами, система для функции
распределения приводится к виду
0
f 0  , t  t  J st   f 0   , t   q     cap   f 0   , t  ,
(9)
1
   , t  t  eq  m  f 0   , t    J st     , t    cap       , t  .
По заданной начальной f 0  , t = 0  численным решением первого уравнения
системы (9) можно найти f 0  , t  для любого момента времени. Затем по заданной
начальной   , t = 0  и найденной из первого уравнения (9) f 0  , t  численным решением второго уравнения системы (9) можно найти   ,t  для любого момента
времени.
Если ввести новые безразмерные переменные t  t  0 ;   2 ms 2 ;
q  q 2ms , то решение системы (9) в отсутствии источника и стока при заданных
начальных условиях будет однозначным, что позволяет получить универсальные результаты для любых параметров материала и носителей заряда в рамках сделанных
приближений.
На рис. 1 приведены результаты расчета для эволюции начальной функции
распределения в случае чистого образца, когда ловушки захвата отсутствуют. Бра-
8


2
лась начальная f0  , t  0   exp     0   2 , где 0  125, 0  2 , а начальная
дипольная часть считалась нулевой.
а)
Рисунок 1. Эволюция, соответствующая «узкой» начальной f 0   , t = 0  , до 1.2  0 .
б)
0  eq 0 m 2 s 2 . Расчет проведен для температурного параметра ms 2 2T  1 2 . Полученные
графики имеют универсальный характер, если ms 2T  1 2 зафиксировано.
2
С течением времени носители теряют энергию на акустических фононах, при
этом из-за специфического вида интеграла столкновений перескоки по энергии происходят преимущественно на расстояние 2 2 ms 2  ms 2 , что приводит к появлению
характерных «горбов». В дальнейшем будет наблюдаться ожидаемое стремление
f 0  , t  к распределению Больцмана. При этом интегральная подвижность носителей заряда монотонно растет со временем.
Также были проведены расчеты для случая, когда не только начальная
  , t  0  нулевая, но и f0  , t  0   0 , при этом имеется постоянный по времени
источник частиц и ловушки захвата, т.ч. со временем устанавливается стационарная
функция распределения. Были проведены расчеты для случая, когда учитывается зависимость концентрации ионизованных и неионизованных примесей от времени.
В стационарном случае в системе (9) левые части уравнений обращаются в
ноль. Их можно переписать в виде, позволяющем удобно решать их численным итерированием с нулевой функцией в качестве стартового приближения.
Расчеты в стационарном случае дали положительное значение интегральной
подвижности несмотря на наличие энергий, при которых у носителей дипольная
часть отрицательна.
Неизвестную  , необходимую для нахождения подвижности, в стационарном
случае можно находить с помощью функции Грина G  ,  0  :

     
0
G  ,  0  удовлетворяет уравнению
eq  f 0  0 
m
 0
9
G  ,  0  d  0 .
(10)
     0    J st(1) G  ,  0    cap     G  ,  0 
(11)
Преобразовав выражение для подвижности (4), получим:




2
32
     d    f 0 d    K  0   0 f 0  0  d  0   f 0   d  ,
(12)
3 0
0
0
0
где функцию
2eq 1   3 2
(13)
K  0  
 G  ,  0  d 
3m  0  0 0
назовем квазиподвижностью. Она имеет смысл, отличный от смысла функции реальной «мгновенной» подвижности K real    , определяемой через плотность тока с
соответствии с общепринятой формулой
K real     dj dN  2 3    f 0 .
(14)
Из (13) и (14) видно, что функции K   и K real    могут иметь разный вид и
смысл. В отличие от K real    функция K   не зависит от функции источника носителей q   , и поэтому более универсальна. Действительно, K   определяется
только интегралом столкновений и стоком носителей и не зависит от q    , в то
время как вид K real    явно определяется f 0   , зависящей от q   . При этом, несмотря на произвол в выборе q    , стационарная f 0   не может получиться произвольной, поскольку она также определяется зависимостью скорости захвата от
энергии  cap ( ). В частности, при рассмотрении рассеяния носителей заряда на акустических фононах выяснилось, что при заданной квазиподвижности (значит, температуре и частоте захвата), попытки подбором источника носителей сформировать
в области отрицательной квазиподвижности стационарную функцию распределения
(с тем, чтобы интегральная стационарная подвижность стала отрицательной) не
увенчались успехом.
В приближении упругих столкновений функция K   и ее смысл были впервые подробно изучены Хаксли и Кромптоном (см., например, [7], сс. 86–87, 198–
222). Ими было показано, что в этом приближении квазиподвижность имеет смысл
подвижности ансамбля носителей определенной энергии, вычисленной через среднее смещение в пространстве после большого числа актов рассеяния носителей. При
этом считалось, что энергия носителей меняется только за счет работы электрического поля при абсолютно упругом рассеянии. Однако при рассеянии частиц их
энергия может, пусть и немного, меняться, и остается вопрос, насколько упругость
рассеяния критична для подобной интерпретации квазиподвижности.
Расчеты квазиподвижности для носителей заряда в алмазе в приближении
почти упругих столкновений впервые были проведены в [5]. Оказалось, что квазиподвижность будет иметь области отрицательных значений по энергии, которые исчезают при повышении температуры и концентрации нейтральных рассеивающих
примесей.
10
Результаты расчета универсальных зависимостей обезразмеренной K   при
неупругом рассеянии при различных  в кристаллах в изотропном случае приведены на рис. 2.
Рисунок 2. Зависимость модуля обезразмеренной квазиподвижности
от обезразмеренной энергии при различных  .
При   0.75 областей отрицательных значений K   нет (последняя исчезает
в районе 2 ms 2  10 ). При понижении температуры (т.е. при   0.75 ) в области
малых энергий начинают возникать осцилляции функции K   , и появляются области отрицательной квазиподвижности. С уменьшением T в районе относительно
небольших энергий происходит увеличение абсолютных значений функции K   ;
ее осцилляции распространяются в область бóльших энергий. При   16 зоны квазиподвижности определенного знака в области малых энергий начинают разбиваться на отдельные, более узкие зоны.
Для ответа на вопрос, можно ли в случае рассеяния носителей заряда в твердом теле на акустических фононах приписывать квазиподвижности K   такой же
физический смысл, как в [7], была рассмотрена эволюция ансамбля носителей,
имеющих определенную начальную энергию, соответствующую отрицательному
значению квазиподвижности, с помощью временного уравнения Больцмана в чис11
том образце. Оказалось, что в зависимости тока от времени АОП никак не проявляется.
Действительно, за один элементарный акт носитель с энергией  0 может менять ее в пределах «области перескока» I 

 
2
0  2 ;
0  2
  , что следует на2
прямую из законов сохранения энергии и квазиимпульса, с наибольшей вероятностью перемещаясь на левую границу интервала I. Таким образом, за n актов заметное число частиц из начального положения  0 прорелаксирует до энергии


2
 0  2n .
На рис. 2 вертикальными линиями отмечена энергия исходного ансамбля носителей – крайне правая линия – и энергии, в которые преимущественно будут переходить носители при испускании фононов. Легко видеть, что размер отдельного
перескока по энергии 4  0  1 соизмерим с размером области подвижности фик-


сированного знака, то есть, грубо говоря, за один акт носитель уйдет из области, например, положительной K   в область отрицательной K   . Заметим, что при
достаточно больших  0 «перескок» за один акт 4


 0  1   0 , то есть носители
относительно слабо меняют энергию за один акт, и значит столкновения можно считать почти упругими. Однако такой упругости оказывается недостаточно: за один
перескок K   тоже должна измениться незначительно, чего в случае рассеяния но-
сителей на акустических фононах не происходит. Физическая интерпретация K   ,
предложенная в [7], становится неприменимой, т.к. она неявно основывалась на том,
что за много столкновений квазиподвижность носителей не должна сильно меняться. В нашем примере за один акт она может не только сильно измениться по величине, но и вообще поменять знак.
Вторая глава посвящена рассмотрению динамики носителей заряда в алмазе
при низких температурах в однокоординатной постановке задачи. Физически такая
постановка задачи описывает поведение носителей в плоскопараллельной пластине,
толщина которой много меньше линейных размеров граней-контактов, а электрическое поле приложено перпендикулярно граням. Считалось, что функция распределения может меняться только вдоль этого направления. Концентрация ловушек
предполагалась постоянной и не зависящей от того, сколько носителей захватилось
на них к данному моменту времени.
Введение независимой пространственной переменной потребовало полной переделки расчетной программы для сеточного решения уравнения Больцмана. Основа
этой программы была создана В.Р. Соловьевым и И.А. Варфоломеевым, а до рабочего состояния она была доведена автором этой диссертации (был выполнен поиск и
исправления ошибок в т.ч. той, из-за которой по характеристике, выходящей из нуля, шел разрыв; поставлены корректные разностные граничные условия по неявной
схеме и проч.)
12
Вместо двухмоментного приближения в форме (2) мы будем пользоваться
формой
f ( x, k , t )  f 0 ( x,  , t )   m   e , k    ( x,  , t ) ,
(15)
где вместо электрического поля E стоит e – единичный вектор в направлении оси х
и электрического поля от внешнего источника. Такой вид имеет то преимущество по
сравнению с использованным в главе 1, что позволяет описать случай асимметричной в пространстве импульсов функции распределения при отсутствии электрического поля.
Удобно ввести безразмерные переменные:
x  x L , t  t  0 ,   2 ms 2 , E  E Em ,  ( , x, t )  s ( , x, t ) ,
где Em   0
e L
q
(16)
– величина масштабирующего поля,  0 – характерная начальная
энергия носителей, порожденных внешним источником. Функция f 0 исходно безразмерная, и потому нами не изменяется. Безразмерный поток носителей заряда с
данной энергией определим как  ( x,  )   3/ 2 ( x,  ) ,  L   0 s L – отношение характерной длины потери энергии в столкновениях с фононами к расстоянию между
электродами,  ε  2 0 ms 2 – отношение начальной энергии носителя к характерной
величине потери энергии носителем при рассеянии на акустическом фононе, а
 x ω   x   ε E   
(17)
задает производную вдоль характеристики наших уравнений. Полученная в этом
случае система уравнений дополняется граничными условиями на концах характеристик. На обкладках алмазной пластины ставятся условия:
 (0,  , t )  3 2  (1  r0 )    f 0 (0,  , t ) ,  (1,  , t )  3 2  (1  r1 )    f 0 (1,  , t ) .
(18)
При нулевой энергии  ( x,   0)  0 , а при    f 0 ( x,  )  0 .
Начальные условия задаются так, что дипольная часть функции распределения равна нулю, а симметричная часть отлична от нуля, и описывает исходное распределение плотности носителей заряда в пластине. Полученная система уравнений
является гиперболической. Для нахождения ее численного решения методом интегрирования по неявной схеме на верхнем временном слое методом циклической прогонки она была представлена в характеристическом виде.
Было показано, что ограничения области применимости двухмоментного приближения связаны в пространственно неоднородном случае главным образом не с
величиной внешнего электрического поля, а с видом начальной функции распределения, для которой решается кинетическое уравнение. Функция распределения в начальный момент времени должна достаточно плавно меняться по координате, и конечный момент времени, до которого проводится счет, не должен быть слишком
большим. Было получено аналитическое решение временного кинетического уравнения в двухмоментном приближении без интеграла столкновений, что позволяет
оценивать время, при котором численное сеточное решение не дает большую погрешность вычислений.
13
Расчеты характеристик системы носителей заряда в однокоординатной постановке, отвечающей возможному реальному эксперименту, качественно дают результаты, аналогичные полученным в пространственно однородном случае.
На рис. 3 – 4 приведены результаты расчета функции распределения, токов и
подвижности при постоянном гауссовом по координате и энергии источнике носителей заряда (его центр расположен в середине по координате и примерно в 0.6 максимальной расчетной энергии по энергии), нулевой начальной функции распределения, прозрачных границах и отсутствии ловушек захвата.
F0, t  200  dt  0.5  0
F0, t  400  dt   0
Рис. 3. Зависимость плотности частиц (в ед. 1010 см-3) от координаты и энергии
в разные моменты времени с момента включения источника частиц.
Рис. 4. Зависимость тока и обезразмеренной подвижности от времени для постоянного источника частиц и прозрачных границ, захват отсутствует.
Частицы накапливаются в состоянии с малой энергией, при этом система носителей со временем стремится к установлению стационарного состояния за счет
ухода частиц из образца.
14
В однокоординатной постановке были проведены расчеты с периодическим
модулированным электрическим полем. Оказалось, что при больших частотах колебаний поля в начале зависимости тока от времени имеется заметный «всплеск» огибающей колебаний тока. Преобразование Фурье полученных данных для тока показало, что амплитуда у основной гармоники монотонно растет с увеличением периода колебаний внешнего поля, а у второй гармоники имеет максимум.
Третья глава посвящена расчету почти равновесной подвижности носителей
заряда в различных приближениях, в однокоординатной постановке задачи, важной
с точки зрения проведения экспериментов.
В области применимости приближения Фоккера-Планка при достаточно
высоких температурах выражение для транспортной частоты для рассеяния
носителей на акустических фононах определено в (8). Отсюда для равновесного
больцмановского распределения можно найти дипольную часть функции
распределения:
   eq   m tot   f 0  ,
(19)
где  tot ( )   tr ( )   cap ( ) , и, пренебрегая вкладом ловушек захвата и интегрируя,
получить «закон трех вторых»:
  2 2 eq s 2   4

5
3 2 m 2 ( k BT )
3
2
.
(20)
На рис. 5 полученная зависимость показана пунктирной кривой
обозначением «0D, elastic» (т.е., пространственно однородный упругий случай).
Рис. 5. Зависимости обезразмеренной почти равновесной подвижности от обезразмеренной
температуры, полученные в разных приближениях.
15
с
Более точный результат должен получиться, если, по-прежнему считая допустимым использование (19) для вычисления дипольной части, использовать для
транспортной частоты «честное» выражение (без учета дебаевской отсечки), а не
асимптотическое (8). Полученные в этом приближении значения равновесной
подвижности обозначены на рис. 5 синими крестами «0D, quasielastic».
Уточнить и этот результат можно, воспользовавшись «честным»
интегральным уравнением для стационарного случая. Найденная дипольная часть
подставляется в (4) для нахождения интегральной подвижности. Полученная
зависимость показана на рис. 5 сплошной кривой «0D, unelastic».
Оказывается, что значения подвижности в приближениях «0D, unelastic» и
«0D, quasielastic» в заданном диапазоне обезразмеренных температур очень близки,
в то время как «закон трех вторых» «0D, elastic» с использованием асимптотической
транспортной частоты дает сильно отличающиеся от них значения. Так, при
минимальной рассмотренной обезразмеренной температуре приближение «0D,
unelastic» дает значения, более чем в 6.2 раза превышающее «0D, elastic». При этом
«0D, quasielastic» на всем протяжении выбранного диапазона температур не
отличается от «0D, unelastic» более чем на 5%, за исключением самой нижней
области интервала, где различие достигает 30%.
Расчет почти равновесной подвижности в одномерном случае был проведен в
[A3]. Постоянный источник генерирует частицы с двумерным гауссовым распреде-

лением по энергии и координате, вида exp  ( x  x0 )2
 2x   (  
2
0
)2
 2   ,
2
где  0  35 ms 2 2;   3 ms 2 2; x0  L 2; x  L 14. Ловушки захвата в образце отсутствуют, границы образца абсолютно поглощающие. Расчет проводился до выхода на стационарное состояние, для которого и рассчитывалась подвижность.
В квазиупругом одномерном приближении (будем называть его для краткости
«1D, quasielastic») для вычисления интеграла столкновений для дипольной части использовалась «честная» транспортная частота и формула (6), а в неупругом одномерном подходе (для краткости – «1D, unelastic») – явный его вид. Полученные зависимости подвижности от температуры представлены на рис. 5 крестами в кружках
для «1D, quasielastic» и штрих-пунктирной кривой для «1D, unelastic» приближений.
В заданном диапазоне температур эти зависимости очень близки, разница не превосходит 2%.
Квазиупругое приближение дает достаточно близкие к неупругому подходу
результаты даже в области 1   0.5 , когда испускание фонона затруднено.
На рис. 5 косыми крестами «Monte-Carlo, unelastic» приведены результаты
расчета из [A4] почти равновесной подвижности при все тех же параметрах,
выполненного методом Монте-Карло в трехмерном случае. Для расчета каждой
точки графика соавторами было просчитано движение 105 частиц, впрочем, стоит
отметить, что шумы при таком количестве частиц все еще значительны. При
1   0.4 обычный грубый «закон трех вторых» дает гораздо лучшее согласие с однокоординатным неупругим случаем, а также с результатами расчета методом Монте-Карло, чем с пространственно однородными квазиупругим и неупругим подходами – см. рис. 5.
16
В одномерном неупругом подходе получена зависимость стационарной подвижности носителей от концентрации ловушек при фиксированной температуре. Результат для тяжелых дырок в алмазе при T = 50 К показан на рис. 6.
Рис. 6. Зависимость стационарной подвижности тяжелых дырок от концентрации заряженных ловушек захвата при 50 К.
Видно, что до концентраций порядка 1013 – 1014 см-3 ловушки почти не влияют
на подвижность, поскольку частоты испускания и поглощения фононов превышают
частоту захвата. В диапазоне концентраций 1014 – 1017 см-3 подвижность падает
примерно в 3 раза.
При экстремально низких температурах определяющую роль начинает играть
рассеяние носителей заряда на заряженных примесях, а при высоких температурах
становится существенным рассеяние на оптических фононах. Эти механизмы рассеяния не учитывались в наших расчетах.
В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.
1. Проведены стационарные и нестационарные расчеты функции распределения и
подвижности носителей заряда в разных приближениях и при различных постановках задачи при рассеянии на акустических фононах в кристаллах со структурой алмаза. Проведено детальное изучение квазиподвижности, выявлены ее неизвестные
ранее отличия от подвижности носителей заряда данной энергии. Уточнен критерий
возможности понимания квазиподвижности как подвижности ансамбля носителей
определенной энергии.
2. Получены универсальные зависимости квазиподвижности от энергии носителей
заряда в кристаллах в изотропном приближении для различных температур при рассеянии на акустических фононах. Обнаружено чередование зон положительной и
отрицательной квазиподвижности по энергии при достаточно низких температурах.
3. Получены стационарные и нестационарные функции распределения, токи, концентрации и подвижности носителей заряда в однокоординатном случае, модели17
рующем детектор ионизирующего излучения. В частности, получены зависимости
тока от времени при гармонически модулированном внешнем электрическом поле.
Проведен анализ условий применимости используемых приближений и характера
получающихся решений.
4. Вычислены зависимости подвижности от температуры для почти равновесных
носителей заряда при рассеянии на акустических фононах для квазиупругого и неупругого интегралов столкновений в пространственно однородном и в однокоординатном случаях. Значения равновесной подвижности в одномерном случае в квазиупругом и неупругом подходах дают значения более близкие к полученным методом Монте-Карло, чем соответствующие расчеты в пространственно однородном
случае. Простой «закон трех вторых» неожиданно дает значения, близкие к одномерному случаю, а также к результатам расчета методом Монте-Карло.
В Приложении 1 описывается метод численного расчета интеграла столкновений и стационарной пространственно однородной функции распределения.
В Приложении 2 описывается метод матричного численного расчета квазиподвижности без моделирования дельта-функции.
В Приложении 3 описывается программа для расчета квазиподвижности в
стационарном случае без использования дельта-функции.
Список работ, опубликованных соискателем по теме диссертации
A1. А.С. Батурин, В.Н. Горелкин, В.Р. Соловьев, И.В. Черноусов / Отрицательная
проводимость электронно-дырочной плазмы в алмазе // Физика плазмы. – 2008. –
Т. 34. – С. 431.
A2. А.С. Батурин, В.Н. Горелкин, В.Р. Соловьев, И.В. Черноусов / Расчет подвижности носителей заряда в алмазе при низких температурах // Физика и техника
полупроводников. – 2010. – Т. 44(7). – С. 897.
A3. Ю.М. Белоусов, В.Р. Соловьев, И.В. Черноусов / Использование квазиупругого и неупругого приближений для описания динамики носителей заряда в алмазе //
Физика и техника полупроводников. – 2013. – Т. 47(12). – С. 1630.
A4. Yu.M. Belousov, I.V. Chernousov, V.R. Soloviev, I.A. Varfolomeev / Kinetic
equation method and Monte-Carlo method for charge carriers dynamics description in
diamond // Proc. 2nd Int. Conf. Photonics, Optics and Laser Technology. – 2014. – P. 122.
A5. Ю.М. Белоусов, В.Н. Горелкин, И.В. Черноусов / О подвижности носителей
заряда определенной энергии // Физика и техника полупроводников. 2018. - Т. 52(1).
- С. 28.
Личный вклад соискателя в опубликованные работы: в [А1] получены зависимости квазиподвижности от энергии при различных температурах и концентрациях
ловушек захвата. В [А2] получены равновесные дипольные части функции распределения при разных температурах и зависимости подвижности носителей заряда от
температуры в пространственно однородном случае, в упругом приближении и при
неупругом подходе; вместе с соавторами проведен анализ полученных результатов.
В [А3] проведено исправление и модернизация программы для расчета функции
распределения в однокоординатном случае, получены все результаты статьи. Ана-
18
лиз полученных результатов проведен совместно с соавторами. В [А4] совместно с
соавторами проведен анализ и сравнение ранее полученных соискателем результатов с расчетом равновесной подвижности методом Монте-Карло. В [А5] показана
бóльшая, по сравнению с реальной мгновенной подвижностью носителей заряда
данной энергии, универсальность квазиподвижности; получено правило сложения
квазиподвижностей в приближении времени релаксации; посчитаны квазиподвижности носителей заряда при рассеянии их на акустических фононах в чистом образце для различных температур, выявлена их универсальность благодаря возможности
обезразмеривания, описаны их особенности; уточнен критерий возможности физической интерпретации квазиподвижности.
Список литературы
1.
Лебедев, А.А. Широкозонные полупроводники для силовой электроники /
А.А. Лебедев, В.Е. Челноков // Физика и техника полупроводников. – 1999. –
Т. 33(9). – С. 1096.
2.
Prelas, M.A. Handbook of Industrial Diamonds and Diamond Films / [edited by]
M.A. Prelas, G. Popovici, L.K. Bigelow. – New York: Marcel Deccer, 1998. – 1215 p.
3.
Balmer, R.S. Unlocking diamond’s potential as an electronic material / R.S. Balmer,
I. Friel, S.M. Woollard, C.J.H. Wort, G.A. Scarsbrook, S.E. Coe, H. El-Hajj, A. Kaiser,
A. Denisenko, E. Kohn, J. Isberg. // Philosophical transaction of Royal Society A. – 2008.
– V. 366. – P. 251.
4.
Doherty, M.W. The nitrogen-vacancy colour centre in diamond / M.W. Doherty,
N.B. Manson, P. Delaney, F. Jelezko, J. Wrachtrup, L.C.L. Hollenberg // Physics Reports.
– 2013. – V. 528(1). – P. 1.
5.
Baturin, A.S. Absolute negative mobility of charge carriers in diamond and interpretation of μSR experiments / A.S. Baturin, V.N. Gorelkin, V.S. Rastunkov, V.R. Soloviev //
Physica B. – 2006. – V. 374. – P. 340.
6.
Елесин, В.Ф. Явления абсолютной отрицательной проводимости в неравновесных трех- мерных полупроводниках / В.Ф. Елесин // Успехи физических наук. 2005. - Т. 175. - С. 197.
7.
Хаксли, Л. Диффузия и дрейф электронов в газах / Л. Хаксли, Р. Кромптон. –
Москва: Мир, 1977. – 672 с.
8.
Абакумов, В.Н. Безызлучательная рекомбинация в полупроводниках /
В.Н. Абакумов, В.И. Перель, И.Н. Яссиевич. – С.-Петербург: Изд. «Петербургский
институт ядерной физики им. Б.П. Константинова РАН», 1997. – 376 с.
9.
Гантмахер, В.Ф. Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках /
В.Ф. Гантмахер, И.Б. Левинсон. – Москва: Наука, 1984. – 352 с.
19
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
602 Кб
Теги
особенности, структура, кинетике, алмаз, носителей, заряда, кристалл
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа