close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Весовые псевдодифференциальные операторы и граничные задачи для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Ковалевский Ростислав Александрович
ВЕСОВЫЕ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и
оптимальное управление
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата
физико – математических наук
Воронеж – 2018 год
2
Работа выполнена в Воронежском государственном университете
Научный руководитель:
Официальные оппоненты:
Баев Александр Дмитриевич, доктор
физико-математических наук, профессор
Левенштам Валерий Борисович,
доктор физико – математических наук,
доцент, Южный федеральный университет,
кафедра алгебры и дискретной математики,
профессор
Раецкая Елена Владимировна
кандидат физико – математических наук,
доцент, Воронежский лесотехнический
университет, кафедра высшей
математики, доцент
Ведущая организация:
Саратовский
Национальный исследовательский
университет
им.Н.Г. Чернышевского.
Защита состоится 19 июня 2018 г. в 16 час. 30 мин. на заседании совета Д
212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006,
г. Воронеж, Университетская пл. 1, ауд. 227.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского
государственного университета, а также на сайте
http://www.science.vsu.ru/dissertations/5822/Диссертация_Ковалевский_Р.А..pdf
Автореферат разослан « » апреля 2018 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.038.22
доктор физико – математических наук,
профессор
Ю.Е. Гликлих
3
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Вырождающиеся дифференциальные уравнения
используются при моделировании различных физических процессов, в которых
граница области оказывает существенное влияние на процессы, происходящие
вблизи границы. В этом случае на границе области может меняться как тип
уравнений, так и их порядок. Краевые задачи для вырождающихся уравнений
относятся к «неклассическим» задачам математической физики. Основная
трудность, возникающая в теории вырождающихся эллиптических уравнений,
связана с влиянием младших (в смысле теории регулярных эллиптических
операторов) членов уравнения на постановку граничных задач и их
коэрцитивную разрешимость.
Вырождающиеся эллиптические уравнения второго порядка и граничные
задачи для них достаточно хорошо изучены. Фундаментальные результаты в
этом направлении принадлежат М. В. Келдышу. Полученные им результаты
затем развивались и обобщались О. А. Олейник. Обобщенные решения
вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка впервые были
рассмотрены в работах С. Г. Михлина и М. И. Вишика . Метод “эллиптической
регуляризации” был применен О. А. Олейник, а затем Дж. Коном и Л.
Ниренбергом для изучения эллиптико - параболических уравнений второго
порядка. В работах В. П. Глушко была установлена коэрцитивная
разрешимость общих краевых задач для вырождающихся эллиптических
уравнений второго порядка в специальных весовых пространствах типа
пространств С. Л. Соболева. Задача Дирихле для линейного эллиптического
уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных в
произвольной выпуклой области была исследована в работах
В. А.
Рукавишникова, А. Г. Ереклинцева. Задача Дирихле для эллиптического
уравнения второго порядка с неоднородным анизотропным вырождением в
области была рассмотрена в работах С. Н. Антонцева, С. И. Шмарева.
Исследование вырождающихся эллиптических уравнений высокого
порядка (при “степенном” характере вырождения) было начато в работах М. И.
Вишика и В. В. Грушина. Затем ряд результатов для некоторых классов
вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка был получен В.
П. Глушко, Х. Леопольдом, С. З. Левендорским , С. А. Исхоковым.
Начально - краевая задача для вырождающегося параболического
уравнения с постоянными по y коэффициентами была исследована В.П.
Богатовой, В.П. Глушко.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию свойств
специального класса вырождающихся псевдодифференциальных операторов;
доказательству коэрцитивных априорных оценок и теорем разрешимости
краевых задач в полупространстве для специальных классов вырождающихся
4
псевдодифференциальных
уравнений,
содержащих
вырождающийся
псевдодифференциальный оператор с переменным символом, зависящим от
комплексного параметра, и производную первого порядка по переменной y ;
доказательству коэрцитивных априорных оценок и теорем разрешимости
общих граничных задач в полупространстве
для вырождающихся
эллиптических уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами,
зависящих от комплексного параметра; доказательству априорных оценок и
теорем разрешимости начально - краевых задач для параболических уравнений
высокого порядка с переменными коэффициентами с вырождением по
пространственной переменной.
Цель работы. Исследование нового класса псевдодифференциальных
операторов, определяемых с помощью специального интегрального
преобразования F , с переменным символом, зависящим от комплексного
параметра. Получение коэрцитивных априорных оценок и доказательство
теорем о существовании решения граничных задач, для вырождающихся
псевдодифференциальных уравнений специального вида. Получение
коэрцитивных априорных оценок и доказательство теорем о существовании
решения
общих граничных задач для вырождающихся эллиптических
уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами, зависящих от
комплексного параметра. Доказательство теорем о существовании и получение
априорных оценок решений начально - краевых задач для вырождающихся
параболических уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами.
Методы исследования. Разработанные в диссертационной работе
методы основаны на фундаментальных методах современного анализа и
математической физики и теории псевдодифференциальных операторов.
Научная новизна. Результаты диссертационной работы являются
новыми.
В
работе
исследованы
новые
классы
весовых
псевдодифференциальных операторов с переменным символов, зависящим от
комплексного параметра. Получены коэрцитивные априорные оценки и
установлена разрешимость задач Дирихле в полупространстве для
псевдодифференциальных
уравнений,
содержащих
весовой
псевдодифференциальный оператор с переменным символом, зависящим от

комплексного параметра и оператор
. Получены коэрцитивные априорные
y
оценки решений общих граничных задач в полупространстве для
вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка с переменными
коэффициентами, зависящими от комплексного параметра. Доказаны теоремы о
существовании решений начально - краевых задач для вырождающихся
параболических уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа
носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и разработанные
5
методы могут быть в дальнейшем использованы для исследования новых
классов псевдодиффренциальных операторов с вырождением и для анализа
более широких классов краевых и начально - краевых
задач, для
вырождающихся эллиптических и параболических уравнений.
Апробация
работы.
Результаты
диссертации
неоднократно
докладывались на научных конференциях и семинарах. Среди них
международные научные конференции «Современные методы теории функций
и смежные проблемы. «Воронежская зимняя математическая школа»»,
Воронеж 2009 г., 2015 г., 2017 г., 2018 г; «Современные проблемы прикладной
математики и математического
моделирования», Воронеж, 2009 г.;
«Современные методы теории краевых задач. «Понтрягинские чтения »»,
Воронеж, 2009 г., 2013 г., 2015 г., 2016 г., 2017 г.; «Актуальные проблемы
прикладной математики, информатики и механики», Воронеж, 2009 г., 2011 г.;
«Международная конференция, посвященная 100-летию С.Г. Крейна»,
Воронеж, 2017 г.; научный семинар академика РАН В. А. Ильина (г. Москва).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [ 1 – 14 ].
Работы [ 1 – 5 ] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных
журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных
работ [ 1 – 8 ] в диссертацию вошли результаты, полученные лично
диссертантом.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
шести глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации
составляет 176 страниц. Библиография содержит 85 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В первой главе диссертационной работы исследуются свойства весовых
псевдодифференциальных операторов с переменным. Рассмотрим функцию
 (y), y  R1 , для которой выполняются условия:  (0)   (0)  0 ,  (y)>0 при
y  0 ,  (y)=const для y  d при некотором d >0 . Рассмотрим интегральное
преобразование
F [u (y)]( ) 

d
dy
)
,

(

)

(y)
y
d
 u(y)exp(i 
0
(1)
которое определено первоначально на функциях u (y)  C0 ( R1 ) . Здесь C0 ( R1 ) пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций, носитель
которых принадлежит R1 . Преобразование (1) и преобразование Фурье

F  [u ] 
 u( )exp(i )d ,
-
  R1
связаны
следующим
соотношением
6
F [u (t )]( )  F  [u ( )],
где u ( )   (y)u (y)
1
y  ( )
, y   -1 ( )
- функция,
d
.

(

)
y
d
обратная к функции    (y)  
Для преобразования F справедлив аналог равенства Парсеваля, что
позволяет расширить преобразование (1) до непрерывного преобразования,
осуществляющего гомеоморфизм пространств L2 ( R1 ) и L2 ( R1 ) , а также
рассмотреть преобразование F на некоторых классах обобщенных функций.
Для расширенного таким образом преобразования F сохраним старое
обозначение. Обозначим через F1 обратное к F преобразование. Это
1
F1  [ w( )]
.
 (y)
  (y)
преобразование можно записать в виде F1[ w( )](y) 
показать, что для функции u (y)  C0 ( R1 ) справедливы равенства
1

F [ Dj ,yu]( )   j F [u]( ), j  1,2,..., где D ,y   (y) y  (y),  y  .
i
y
Можно
Определение 1. Пространство H s , ( Rn ) ( s – действительное число)
состоит из всех функций v( x, y)  L2 ( Rn ) , для которых конечна норма
v, p
2
s ,

2 s
 ( p     ) F Fx [v( x, y)] d d ,
2
2
2
Rn
зависящая от комплексного параметра p  Q  { p  , arg p 

, p  0} .
2
Определение 2. Пространство H s, ,q ( Rn ) ( s  0, q  1) состоит из всех
функций v( x, y)  H s , ( Rn ) , для которых конечна норма
s
[ ]
q
v, p
s , ,q
 { F
l 0
s -ql
2 2
F [( p     )
-1
-1
 x 
2
2
2
F Fx [ v]]
l
y
1
2
} ,
L2 ( Rn )
s
s
зависящая от комплексного параметра. Здесь [ ] - целая часть числа .
q
q
Условие 1. Существует число   (0,1] такое, что  '(y) - (y)  c   при
всех y [0, ) . Кроме того,  (y)  C s1 [0, ) для некоторого s1  2 N   , где
3
l  p1 
2  1,   1,   l }, l  1, 2...,  - некоторое действительное
N  max{2 p1 
0 p1 l

2
число.
7
Можно показать, что указанное выше число  существует, если
 (0)   '(0)  0 .
С
помощью
преобразования
(1)
и
преобразования
Фурье
Fx  Fx1 1 Fx2 2 ...Fxn-1 n 1 определим весовой псевдодифференциальный
оператор по формуле
K ( ) ( p, y, Dx , D ,y )v( x, y)  F-1F-1x[( p, y,  , ) Fx F [v( x, y)]] .
Определение 3. Будем говорить, что символ  ( p, y, , ) весового
псевдодифференциального оператора K ( ) ( p, y, Dx , D ,y ) принадлежит классу
символов S, p () , где   R1 ,   R1 , p  Q  { p  C , arg p 

, p  0} , если
2
функция  ( p, y, , ) является бесконечно дифференцируемой функцией по
переменной y  и по переменной
j  0, 1, 2,..., l  0, 1, 2,... справедливы оценки
  R1 .
Причем,
при
всех
| ( (y) y ) j l  ( p, y,  , ) | c jl ( p     ) l с константами c jl  0 ,
2
не зависящими от p  Q,   R n1 ,   R1 , y  K , где K   - произвольный
отрезок. Здесь  - действительное число.
В
главе
1
доказаны
теорема
о
композиции
весовых

псевдодифференциальных операторов с символами из класса S , p () , теорема
об ограниченности таких операторов в пространствах H s, ( Rn ).
Доказаны теоремы о коммутации весового псевдодифференциального
оператора и оператора дифференцирования, теоремы «о следах», исследована
связь между весовым псевдодифференциальным оператором и специальным
классом интегральных операторов, иследован сопряженный оператор к
весовому псевдодифференциальному оператору и доказан аналог неравенства
Гординга для весовых псевдодиффернциальных операторов. Наиболее
важными утверждениями главы 1 являются следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть символ  ( p, y, , ) весового псевдодифференциального
оператора K ( ) ( p, y, Dx , D ,t ) принадлежит классу
S, p () ,   R1 ,   R1 ,   R1 ,   R1 , p  Q  { p  C , arg p 

, p  0} . Пусть
2
v( x, y)  H s  , ( Rn ), ly v( x, y)  H s , ( Rn ), l  1,2,... . Пусть выполнено условие 1
(с заменой  на s   ). Тогда для оператора
M l ,  ly K ( ) ( p, y, Dx , D ,y )  K ( ) ( p, y, Dx , D ,y )ly
(2)
l 1
l
справедлива оценка M l , v, p
s ,
 c(  yj v, p
j 0
s  1,
   yj v, p
j 0
s  ,
)
8
с константой c  0 , не зависящей от v, p .
Теорема
2. Пусть
s0
q  1,
v( x, y)  H s(l 1) q, ,q ( Rn ) .
Пусть
–
действительные
 (y, , )
символ
псевдодифференциального оператора
K (q) (y, Dx , D ,t )
числа,
весового
принадлежит классу
Sq,p () ,   R1 . Пусть выполнено условие 1 при   s  q . Тогда для
оператора
M l , q v, p
M l ,q , определенного в (2) при   q , справедлива оценка
s , , q
 c v, p
s lq  q 1, , q
с постоянной c  0 , не зависящей от v, p .
Теорема 3. Пусть K ( p, y, Dx , D ,y ) – весовой псевдодифференциальный
оператор
с
символом
p  Q  { p  C, arg p 

 ( p, y, , )  Sm, p () ,
, p  0}. Пусть
  R1 , m  R1 ,
Re  ( p, y,  , )  c( p     ) m
2
n 1
1
всех   R ,   R , y  K   , где K  R1
для
– произвольное компактное
множество. Тогда для любого s  R1 и любой функции u ( x, y)  C0 ( R n1  K )
справедливо неравенство
Re( K ( p, y, Dx , D ,y )u( x, y), u( x, y))  c0 u, p
2
m
,
2
 c1 u, p
2
s ,
с некоторыми константами c0  0 и с1  0, не зависящими от v, p .
Во второй главе работы устанавливаются коэрцитивные априорные
Rn
оценки
решений
краевых
задач
в
для
вырождающихся
псевдодифференциальных уравнений специального вида, содержащих весовой
псевдодифференциальный оператор с переменным символом, зависящим от
комплексного параметра, из класса Sq, p () и производную  y . Рассмотрим в
Rn следующие задачи:
 K ( q ) ( p, y, Dx , D ,y ) v( x, y)   y v( x, y)  F (p, x, y)

v( x, y) y 0  G ( x),
K( q ) ( p, y, Dx , D ,y ) v( x, y)   yv( x, y)  F (p, x, y) .
(3)
(4)
Здесь K( q ) ( p, y, Dx , D ,y ) - весовые псевдодифференциальные операторы с
символами  ( p, y, , ) .
Условие 2. Функции  ( p, y, , ) принадлежат классу Sq, p (), q  1 действительное число,   R1 , p  Q  { p  C , arg p 

, p  0} . Причём с
2
некоторой константой c  0 , не зависящей от p  Q, y ,   R n1 ,   R1
9
справедливы
 Re  (p, y,  , )  c( p     ) q
оценки
при
всех
p  Q , y ,   R n1 ,   R1 .
s
Условие 1 . Выполнено условие 1 при   s  q , l  1,2,...,[ ] , где
q
q  1, s  0 - действительные числа.
Теорема 4. Пусть s  0, q  1 - действительные числа, выполнено условие
1 . Пусть функции  ( p, y, , ) удовлетворяет условию 2. Тогда для любого
решения v( x, y)  H sq, ,q ( Rn ) задачи (3) справедлива априорная оценка
v, p
s  q , ,q
 c1 ( F , p
s , ,q
 G, p
1
s q
2
 v
L2 ( Rn )
) ,
а для любого решения v( x, y)  H sq, ,q ( Rn ) задачи (4) справедлива априорная
оценка
v, p
s  q , ,q
 c2 ( F , p
s , ,q
 v
L2 ( Rn )
) с постоянными c1  0 , c2  0 не
зависящими от p, v, F , G .
Теорема 6. Пусть s  0, q  1 - действительные числа, выполнено условие
Пусть
функции
удовлетворяет
условию
2.
1 .
 ( p, y, , )
Пусть p  Qp0  { p  C , arg p 

, p  p0  0} . Тогда существует такое число
2
p0  0 , что для любого решения v( x, y)  H sq, ,q ( Rn ) задачи (3) справедлива
априорная оценка v, p
v( x, y)  H sq, ,q ( Rn )
v, p
s  q , ,q
 c6 F , p
s  q , ,q
 c5 ( F , p
задачи
s , ,q
s , ,q
(4)
 G, p
1
s q
2
справедлива
с постоянными
), а для любого решения
априорная
оценка
c5  0 , c6  0 не зависящей от
p, v, F , G .
В третьей главе диссертационной работы исследуется разрешимость
краевых задач (3), (4). Для задач (3), (4) доказано существование
регуляризатора, а при достаточно большом значении p доказаны теоремы о
существовании и единственности решений.
Теорема 7. При выполнении условий теоремы 6 существует правый
регуляризатор задачи (3), то есть такой оператор
Rˆ1 : H s , ,q ( Rn )  H 1 ( Rn1 )  H sq, ,q ( Rn ), что Aˆ1Rˆ1 ( F , G )  ( F , G )  T1 ( F , G ) , где
s q
2
Â1 - оператор, порождённый задачей (3) (то есть Aˆ1v  ( F , G ) ), а T1 -
ограниченный оператор из H s , ,q ( Rn )  H
1
s q
2
( R n1 )
в H s 1, ,q ( Rn )  H
1
s  q 1
2
( R n1 ) .
Для задачи (4) существует правый регуляризатор задачи (4), то есть такой
оператор
10
Rˆ2 : H s , ,q ( R )  H sq , ,q ( R ) ,
n

что
n

Aˆ 2 Rˆ 2 F  F  T2 F ,
где
Â2
оператор,
-
порожденный задачей (4), а T2 - ограниченный оператор из H s , ,q ( Rn ) в
H s1, , q ( Rn ) .
Правые регуляризаторы являются одновременно и левыми
регуляризаторами.
Теорема 9. Пусть выполнены условия теоремы 6. Пусть
F (p, x, y)  H s , ,q ( Rn ), G ( x)  H 1 ( R n1 ) . Тогда существует такое число p0  0 ,
s q
2
p  Q p0
что для всех
существует единственное решение задачи (3). Если
F (p, x, y)  H s, ,q ( Rn ) , то существует такое число p0  0 , что для всех
p  Q p0
существует единственное решение задачи (4).
В четвертой главе диссертации
устанавливаются коэрцитивные
априорные оценки решений общих краевых задач для вырождающихся
эллиптических уравнений высокого порядка, коэффициенты которых зависят
от переменной y и от комплексного параметра p.
А именно, в Rn рассматривается линейное дифференциальное уравнение вида
A( p, y, Dx , D ,y ,  y )v( x, y)  F ( p, x, y) ,
(5)
где A(p, y, Dx , D ,y ,  y )v 

  j1  qj2  rj3 2 m
a j1 j2 j3 (y) p j3 Dx Dj1,y yj2 v .
2m
2m
 1, r 
 1, a j1 j2 j3 (y) - некоторые
k
l
ограниченные на R1 функции, a00k 0 (y)  0 при всех y  R1 . Без ограничения
Здесь m, k , l
натуральные числа q 
общности будем считать, что a00 k 0 (y)  1 при всех y  R1 .
На границе y  0 полупространства Rn задаются граничные условия вида
B j ( p, Dx ,  y ) v y 0 

  rj3  qj2  m j
b j2 j3 p j3 Dx  ly v y 0  G j ( p, x), j  1,2,..., .
(6)
Пусть выполнены следующие условия.
Условие 3. Уравнение

  j1  qj2  rj3  2 m
не
a j1 j2 j3 (y)  j1 z j2 p j3  0.
имеет
z
–
корней,
(7)
лежащих
мнимой
оси
при
всех
в
левой

, p  0} , p      0 .
2
z1 ( p, y,  , ),..., zr1 ( p, y,  , ) (1  r1  k ) - корни, лежащие
y  0 ( , )  R n , p  Q  { p  C , arg p 
Пусть
на
полуплоскости, а zr1 1 ( p, y,  , ),..., zk ( p, y,  , ) лежат в правой полуплоскости.
Условие 4. Функции z j (p, y,  , ) , j  1,2,..., k, при всех   R n1 являются
бесконечно дифференцируемыми функциями по переменным y   R1 и
11
  R1 .
Причем,
при
p  Q  { p  C , arg p 
всех
j1  0, 1, 2,..., l  0, 1, 2,...,   R n1 , y   R1 ,   R1
( (y) y ) j1 j2 z j (y,  , )  c j1 ,l ( p     ) q j2 ,

, p  0} ,
2
справедливы оценки
p      0,
с константами c j1 ,l  0 , не зависящими от p, y,  , .
Условие 5. Число граничных условий (6) равно числу z - корней
уравнения (7), лежащих в левой полуплоскости, и при всех   R n1 ,   0
многочлены
B0j ( , z ) 

  qj2  rj3 m j
b j2 j3 p j3  z j2 линейно независимы по модулю
r1
многочлена P ( , z )   ( z  z j1 (0,  ,0)) .
j1 1
Теорема 10. Пусть s  max{2m, max m j  q} - действительное число и
1 j  r1
выполнены условия 1 , 3 - 5. Тогда для любого решения
v( x, t )  H s , ,q ( Rn ) задачи (5), (6) справедлива априорная оценка
v, p
s , ,q
 c( F , p
s 2 m , ,q
 v, p
r1
s 1, ,q
  Gj , p
j 1
)
1
s m j  q
2
с постоянной c  0 , не зависящей от p, v, F , G j , j  1,2,..., r1 .
Теорема 11. Пусть s  max{2m, max m j  q}, выполнены условия 1 , 3 - 5
1 j  r
при p  Qp0  { p  C , arg p 

, p  p0  0} . Тогда существует такое число
2
p0  0 , что при всех p  Q p0 для любого решения v( x, t )  H s , ,q ( Rn ) задачи (5),
(6) справедлива априорная оценка v, p
s , ,q
 c( F , p
r1
s 2 m , ,q
  Gj , p
j 1
)
1
s m j  q
2
с постоянной c  0 , не зависящей от p, v, F , G j , j  1,2,..., r1 .
В главе 5 построен регуляризатор и доказаны теоремы о существовании и
единственности решений общей граничной задачи в полупространстве для
вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка, коэффициенты
которого зависят от переменной y и от комплексного параметра p .
Теорема 12. Пусть s  max{2m, max m j  q} - действительное число и
1 j  r
выполнены условия 1 , 3 - 5. Тогда существует правый регуляризатор задачи
r
(5), (6), то есть такой оператор R : H s 2 m, ,q ( Rn )   H
j 1
что
1
s  q m j
2
( R n1 )  H s , ,q ( Rn ) ,
12
AR( F , G )  ( F , G )  T ( F , G ) , где A - оператор, порожденный задачей (5),(6),
r
A : H s , ,q ( Rn )  H s 2 m, ,q ( Rn )   H
j 1
1
s  q m j
2
( R n1 ) ,
а
оператор
r
ограниченным
оператором
r
H s 2 m1, ,q ( R )   H
n

j 1
1
s  q 1 m j
2
H s 2 m, ,q ( R )   H
из
n

j 1
является
T
1
s  q m j
2
( R n1 )
в
( R n1 ), G  (G1 , G2 , ...Gr ) .
Правый
регуляризатор
задачи
является
одновременно
и
левым
регуляризатором.
Теорема 13. Пусть s  max{2m, max m j  q}, выполнены условия 1 , 3 - 5
1 j  r
при p  Qp0  { p  C , arg p 
G j (p, x)  H
1
s  q m j
2

, p  p0  0} .Пусть F (p, x, y)  H s2m, ,q ( Rn ),
2
( Rn1 ), j  1,2,...r1 . Тогда существует такое число p0  0 , что
при всех p  Q p0 существует единственное решение v( x, t )  H s , ,q ( Rn ) задачи
(5), (6).
В шестой главе диссертации исследуется начально – краевая задача для
параболического уравнения высокого порядка с переменными коэффициентами
с вырождением по пространственной переменной.
n 1
 {( x, t , y) : x  R n1 , 0  t  , 0  y  } рассматривается
А именно, в R
линейное дифференциальное уравнение вида
A(y,  t , Dx , D ,y ,  y )v(t, x, y )  F (t, x, y) ,
(7)
где A(y, t , Dx , D ,y ,  y )v 

  j1  qj2  rj3 2 m
a j1 j2 j3 (y) Dx Dj1,y yj2 tj3 v .
2m
2m
 1, r 
 1, a j1 j2 j3 (y) - некоторые
k
l
функции, a00k 0 (y)  0 , a000l (y)  0 при всех y  R1 . Без
Здесь m, k , l натуральные числа q 
ограниченные на R1
ограничения общности будем считать, что a00 k 0 (y)  1 при всех t  R1 .
n 1
На границе y  0 множества R
задаются граничные условия вида
B j ( t , Dx ,  y ) v y 0 

  rj3  qj2  m j
b j2 j3  tj3 Dx  yj2 v y 0  G j (t, x), j  1,2,..., .
(8)
n 1
На границе t  0 множества R
задаются начальные условия вида
tj v t 0   j (x, y), j  1,2,..., l  1.
(9)
Основой использованного в главе 6 метода служит известная схема,
связывающая параболические задачи с эллиптическими задачами,
содержащими комплексный параметр p . Вначале из результатов главы 5
13
выводится однозначная разрешимость задачи (5), (6) в пространстве
аналитических функций. Отсюда, в силу изоморфизма, устанавливаемого
преобразованием
Лапласа,
доказывается
разрешимость
однородной
a
параболической задачи в изоморфном пространстве W2, (Y1,Y2 ). Наконец, при
выполнении условий согласования начальных и граничных условий, выводится
теорема о разрешимости задачи (7) - (9) в пространствах Wˆ2, (Y1,Y2 ).
Рассмотрим абстрактную функцию u(t) со значениями в гильбертовом
пространстве Y1 , такую, что u(t)  0 при t  0 . Предположим, что существует
преобразование Фурье функции e  t u (t) (   0 ), принадлежащее гильбертову
пространству Y0  Y1 . Будем говорить, что функция V ( p) принадлежит
W2,a (Y1,Y0 ), a  0,   0
пространству
u
 {  e u (t) dy 
 t
W2,a  (Y1 ,Y0 )
2
Y1
R1
   i
2a
если
2
 t
конечна
норма
1
2
Fy  [e u (t)] d } .
Y0
R1
Обозначим через E2,a  (Y1,Y0 ) множество функций V ( p) , где p - комплексное
число, для которого Re p   , таких что функции V ( p) принимают значения в
гильбертовом пространстве Y1  Y0 , являются аналитическими функциями в
полуплоскости
и
для
них
конечна
норма
Re p  
u
a
E2,
 (Y1 ,Y0 )
  ( V ( p)
 sup{
 
Re p 
2
Y1
 p
2a
1
2
2
V ( p) Y )dp} .
0
Преобразование Лапласа устанавливает взаимно однозначное и взаимно
непрерывное соответствие между пространствами W2,a (Y1,Y0 ) и E2,a  (Y1,Y0 ) .
Пусть начальные условия (9) однородны, то есть
tj v t 0  0, j  1,2,..., l  1,
(10)
1
Теорема 14. Пусть s  max{2m, max m j  max{q,r}, s - кратно 2m . Пусть
1 j r1
2
выполнены условия 1 , 3 – 5. Тогда существует такое число  0  0 , что при всех
  0
и
F (t , x, y)  H
любых
s 2 m
r , , .q
s 2 m
r
2,
n1

s 2 m
r
2,
(R )  W
(H s2 m, ,q (R n ), L2 (R n ))
и
1
(H j (R n1 ), L2 (R n1),  j  s  m j  q, j  1,2,..., r1
2
задача (7), (8), (10) имеет единственное решение, принадлежащее пространству
причем
справедлива
априорная
оценка
H rs, , .q ,

G j ( x, y)  H r ,j
v
H rs, , , q
(R )  W
 C( F
n

r1
H rs,2,m, q
  Gj
j 1
) .

H r ,j ,
14
Рассмотрим теперь задачу (7) - (9). Введем наряду с пространствами
W2,a (Y1,Y0 ) пространства Wˆ2,a (Y1,Y0 ) абстрактных функций t  u (t ), t  R1 со
значениями
u Wˆ a
2,
a
с
конечной
нормой
1
2
 {  e u (t) dy     (e u (t)] dt} .
 t
(Y1 ,Y0 )
Y1  Y0
в
2
Y1
R1
j
t
j 0 R1

2
 t
Y0
Здесь a  0 - целое число.
В
дальнейшем
используются
пространства

s
r
2,
n1
Hˆ rs, , .q ( R
)  Wˆ (Hs, ,q (R n ), L2 (R n )) , Hˆ r, ( Rn )  Wˆ2,r (H j (R n1 ), L2 (R n1 ) .
Задача (7) - (9) сводится к задаче (7), (8), (10), если выполнено следующее
условие согласования.
n1
Условие
6.
Для
набора
функций
F (t , x, y)  Hˆ rs,2,m.q ( R
),
1


G j ( x, y )  Hˆ r ,j ( Rn ),  j  s  m j  q, j  1,2,..., r1;   ( x, t )  Hˆ  ,q ( Rn )
2
1
   s   r  r ,   1,2,..., l  1
существует
такая
2
n1
что:
1)
выполняется
v0 ( y, x, t )  Hˆ rs, , ,q ( R
),
функция
t v t 0   (x, y),   1,2,..., l  1 ;
функций
после
2)
продолжения
условие
F  Av0 , G j  B j v0 | y 0 , j  1,2,..., r1 нулем при y  0 справедливы включения
ˆ  j , j  1,2,..., r ;
F  Av0  Ĥrs,2,m,q , G j  B j v0 | y 0 H
r ,
1
c  0 , что справедлива оценка v0
3)существует
постоянная
l 1
Hˆ rs, , ,q
 c  
 0
.

Hˆ r ,
Справедлива следующая теорема.
Теорема 15. Пусть выполнено условие 6 и условия теоремы 14. Тогда
n1
существует такое  0  0 , что при всех    0 и любых F (t , x, y)  Hˆ rs,2,m.q ( R
),
1

G j ( x, y)  Hˆ r ,j ( Rn ),  j  s  m j  q, j  1,2,..., r1 ,
2
1

  ( x, t )  Hˆ  ,q ( Rn ),    s   r  r ,   0,1,..., l  1
2
задача (7) - (9) имеет единственное решение, принадлежащее пространству
n1
Hˆ rs, , .q ( R
) , причем справедлива априорная оценка
v
Hˆ rs, , , q
 C( F
l 1
r1
Hˆ rs,2,m, q
  Gj
j 1

Hˆ r ,j
  
 0
) .

Hˆ  .q
15
Список основных публикаций по теме диссертации
1. Ковалевский Р.А. Об одном классе псевдодифференциальных операторов с
вырождением /А.Д. Баев,Р.А. Ковалевский// Доклады академии наук. -2014. T. 454 . - № 1. С. 7-10.
2. Ковалевский Р.А. Теоремы об ограниченности и композиции для одного
класса весовых псевдодифференциальных операторов /А.Д. Баев, Р.А.
Ковалевский// Вестник Воронежского государственного университета.
Серия: Физика. Математика. - 2014. - № 1. - С. 39 – 49.
3. Ковалевский Р.А. Краевые задачи для одного класса вырождающихся
псевдодифференциальных уравнений /А.Д. Баев А.Д., Р.А. Ковалевский //
Доклады Академии наук. – 2015. - Т. 461. - №1. - С. 7 - 9.
4. Ковалевский
Р.А.
Теоремы о «следах» для одного
класса
псевдодифференциальных операторов с вырождением /А.Д. Баев, Р.А.
Ковалевский, М.Б. Давыдова// Вестник Воронежского государственного
университета. Серия: Физика. Математика. - 2015.- № 2. - С. 63– 75.
5. Ковалевский Р.А. О вырождающихся эллиптических уравнениях высокого
порядка и псевдодифференциальных операторах с вырождением /А.Д. Баев
А.Д., Р.А. Ковалевский, П.А. Кобылинский //Доклады академии наук. 2016.-Т. 471. № 4.- С. 387–390.
6. Kovalevskii R.A. A Class of Pseudodifferential Operators with Degeneracy/A.D.
Baev, R.A. Kovalevskii //DokladyMathematics. - 2014. -T. 89. - №1. -pp. 7-10.
7. Kovalevskii R.A. Boundary ValueProblems for a Class of Degenerate
Pseudodifferetial Equations. Doklady Mathematics. / A.D. Baev,
R.A.
Kovalevskii// – 2015. -Vol. 91. -No. 2. -pp. 131 – 133.
8. Kovalevskii R.A. On Degenerane Elliptic Equations of High Order and
Pseudodifferetial Operators /A.D. Baev, R.A. Kovalevskii P.A. Kobilinskii
//Doklady Mathematics. – 2016. - Vol. 94. - No. 3.- pp. 659–662.
9. Ковалевский Р. А. О поведении на бесконечности весовых
псевдодифференциальных операторов с переменным символом, зависящим
от комплексного параметра /Р.А. Ковалевский// Современные методы
теории краевых задач. Материалы международной конференции
«Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения
XXVIII»». – Воронеж. - 2017. - С. 95 – 97.
10.Ковалевский Р. А. О свойствах «следов» одного класса весовых
псевдодифференциальных операторов с переменным символом, зависящем
от комплексного параметра /Р.А. Ковалевский// Современные методы
теории краевых задач. Материалы международной конференции
«Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения
XXVIII»». – Воронеж. - 2017. - С. 97 – 99.
11. Ковалевский Р. А. О связи одного класса вырождающихся
псевдодифференциальных операторов и одного класса вырождающихся
16
интегральных операторов /Р.А. Ковалевский// Современные методы теории
краевых задач. Материалы международной конференции «Воронежская
весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XXVIII»». –
Воронеж. - 2017. - С. 99 – 102.
12. Ковалевский Р. А. О свойствах оператора, сопряженного к одному классу
весовых псевдодифференциальных операторов /Р.А. Ковалевский//
Материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня
рождения С.Г. Крейна. – Воронеж. - 2017. - С. 117 – 119.
13. Ковалевский Р. А. Априорные оценки решений краевых задач для
вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка /Р.А.
Ковалевский// Материалы международной конференции «Воронежская
зимняя математическая школа С.Г. Крейна – 2018». – Воронеж. – 2018. - С.
241 – 245.
14. Ковалевский Р. А. О разрешимости начально – краевой задачи для
вырождающегося параболического уравнения высокого порядка /Р.А.
Ковалевский// Материалы международной конференции «Воронежская
зимняя математическая школа С.Г. Крейна – 2018». – Воронеж. – 2018. - С.
245 – 250.
Работы [ 1 – 5 ] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных
журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа