close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Направленные волны в волноводных структурах включающих в себя гиперболическую среду

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Ляшко Екатерина Ивановна
Направленные волны в волноводных структурах,
включающих в себя гиперболическую среду
Специальность 01.04.21 —
«Лазерная физика»
Автореферат
диссертации на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Долгопрудный — 2018
Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном
учреждении высшего образования «Московский физико-технический институт
(государственный университет)»
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор
Маймистов Андрей Иванович
Официальные оппоненты: Андреев Анатолий Васильевич,
доктор физико-математических наук, профессор,
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Московский государственный университет имени
М.В. Ломоносова», профессор кафедры общей
физики и волновых процессов.
Сазонов Сергей Владимирович,
доктор физико-математических наук, профессор,
Федеральное государственное бюджетное учреждение «Национальный исследовательский центр
«Курчатовский институт», ведущий научный
сотрудник лаборатории нестационарных процессов.
Ведущая организация:
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «СанктПетербургский национальный исследовательский
университет информационных технологий, механики и оптики».
Защита состоится 26 апреля 2018 года в 15 часов на заседании диссертационного
совета Д 212.156.09 на базе Московского физико-технического института (ГУ) по
адресу: 141701, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте МФТИ,
https://mipt.ru/education/post-graduate/d212-156-09/applicants/lyashko-ekaterinaivanovna.php.
Автореферат разослан «
»
2018 года.
Ученый секретарь диссертационного совета
кандидат физико-математических наук, доцент
Токунов Ю. М.
Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования. Гиперболические среды (ГС)
представляют собой сильно анизотропные одноосные среды, главные компоненты
тензора диэлектрической проницаемости или тензора магнитной восприимчивости
которых имеют разные знаки. Вследствие этого изочастотные поверхности для
необыкновенной волны в фазовом пространстве немагнитных ГС представляют
собой гиперболоиды. Как следствие, в гиперболических средах возможно распространение излучения со сколь угодно большими значениями волнового числа, что
открывает большие возможности по манипулированию ближним полем излучения [1].
Также особая форма изочастотной поверхности приводит к возникновению таких
явлений, как распространение обратных относительно некоторого направления
волн и пространственная группировка света. Кроме этого, ГС обладают широким
нерезонансным электродинамическим откликом и относительно просты в реализации, что делает их привлекательными для теоретических и экспериментальных
исследований [2]. В частности, ГС рассматриваются в качестве компонент волноводов и плазмонных направляющих устройств. В случае плазмонных волноводов
отмечаются большие добротность и длины распространения по сравнению с металлическими волноводами [3]. В волноводах с сердцевиной из гиперболической среды
были замечены и изучены различные способы замедления направленных волн [4–6].
В большинстве подобных работ рассматриваются такие конфигурации
волноводов, где основная часть энергии излучения сконцентрирована либо в
гиперболической среде, либо на ее границе раздела с диэлектриком, как в случае
поверхностных волн. Однако случай волноводной структуры, где основная часть
излучения заключена в прозрачной диэлектрической сердцевине, а от границы с ГС
происходит полное отражение, также представляет интерес. При этом дисперсионные
особенности гиперболической среды оказывают влияние на свойства направляемых
волноводом волн за счет условий непрерывности полей на границе диэлектрик/ГС.
Все работы, посвященные направленным волнам в структурах, содержащих
ГС, ограничены линейным законом зависимости поляризации среды от приложенного электрического поля волны. В нелинейной среде керровского типа фаза
распространяющейся в ней волны является функцией интенсивности электрического
поля. Таким образом, скорость распространения, форма и размер импульса излучения и некоторые другие параметры оказываются зависящими от интенсивности.
Независимые в линейном случае волны, например, разной поляризации или частоты,
3
при учете нелинейного отклика могут оказывать воздействие друг на друга за счет
перекрестного набега фазы, а также образовывать связное состояние [7]. По этой
причине представляет интерес в указанной выше волноводной структуре учесть
нелинейный отклик сердцевины или оболочки, а также исследовать взаимодействие
обыкновенной и необыкновенной волн в нелинейной гиперболической среде.
Относительно недавно был открыт новый класс веществ, называемых топологическими изоляторами (ТИ) [8]. Для топологических изоляторов характерен
магнитоэлектрический эффект, приводящий к возникновению отклика электрической поляризации на магнитное поле и наоборот, к отклику намагниченности на
электрическое поле. Несмотря на обилие работ, посвященных как гиперболическим
средам, так и топологическим изоляторам, электродинамические явления на границе
раздела этих двух классов сред изучены мало. Вследствие магнитоэлектрического
эффекта возможно связывание характерных для гиперболической среды обыкновенной и необыкновенной волн, обладающих разными дисперсионными свойствами.
Целью работы является теоретическое исследование направленных волн в
структурах, образованных слоями диэлектрика и гиперболической среды; изучение
влияния нелинейного отклика диэлектрика на распространение направленной
волны; анализ взаимодействия обыкновенной и необыкновенной волн в нелинейной
гиперболической среде; а также исследование особенностей поверхностных волн
на границе раздела гиперболической среды и топологического изолятора.
Для достижения цели были решены следующие задачи:
1. Вывод уравнения распространения квазигармонической волны в одноосной
анизотропной керровской среде.
2. Вывод и решение дисперсионных соотношений для волноводной структуры,
образованной слоем диэлектрика, помещенным между гиперболических сред.
3. Исследование влияния нелинейного отклика волноводного слоя на дисперсионные
характеристики мод, постоянную распространения, ширину моды и частоты
отсечки.
4. Вывод и решение дисперсионных соотношений для асимметричной волноводной
структуры, подложка которой образована диэлектриком, оптически линейным
или нелинейным, сердцевина — линейным диэлектриком, покровный слой —
гиперболической средой. Исследование влияние интенсивности поля на свойства
волновода и постоянную распространения мод.
4
5. Исследование взаимодействия обыкновенной и необыкновенной волн и возможности формирования связного состояния этих волн в случае параксиального распространения излучения в гиперболической среде с кубично-нелинейным откликом.
6. Вывод дисперсионных соотношений для поверхностных волн на границе раздела
гиперболической среды и топологического изолятора. Определение частотных
областей существования таких волн.
Научная новизна работы.
1. Впервые для ТМ мод симметричного и асимметричного планарных гиперболических волноводов найдено такое явление, как существование второй частоты
отсечки для каждой моды. Это означает, что каждая ТМ мода удерживается
волноводом только в определенном частотном интервале. Или для определенного
интервала ширин сердцевины волновода при постоянной частоте излучения. Для
нескольких первых мод возможно подобрать такие параметры волноводной структуры, что в ней будет распространяться только одна эта мода, другие при этом не
могут быть возбуждены. В случае стандартных диэлектрических волноводов единственной распространяющейся модой может быть только фундаментальная мода.
2. Впервые исследовано влияние нелинейного отклика сердцевины или подложки
волновода с оболочкой из гиперболического материала на свойства направленных
мод и их дисперсионные характеристики.
3. В случае симметричного гиперболического волновода впервые показано, что с
увеличением интенсивности излучения при отрицательном кубично-нелинейном
отклике происходит уменьшение скорости распространения волны, а также
изменяется число направляемых волноводом мод.
4. В случае асимметричного волновода с покровным слоем из гиперболической
среды показано, что положительный кубично-нелинейный отклик подложки
при превышении мощностью излучения определенного порога ведет к появлению дополнительного набора направленных ТМ мод, для которых так же
характерна вторая частота отсечки. Показана зависимость частотного интервала
существования моды от интенсивности поля.
5. Впервые проанализирована возможность формирования связного состояния
обыкновенной и необыкновенной волной в кубично-нелинейной гиперболической
среде. Показано, что динамика распространения такой связной волны описывается уравнениями, подобными уравнениям, определяющим взаимодействие
прямой и обратной волн.
5
6. Впервые рассмотрены свойства поверхностных волн на границе раздела гиперболическая среда - топологический изолятор. Указаны условия их существования и
особенности, к которым приводят макроэлектродинамические свойства граничащих сред. Установлено, что результаты существенно зависят от взаимной ориентации оси анизотропии ГС и направления распространения поверхностной волны.
Теоретическая и практическая значимость работы. В работе
теоретически предсказано, что волноводные структуры с оболочкой, включающей
в себя гиперболическую среду, обладают рядом отличительных свойств. Благодаря
наличию у ТМ мод двух частот отсечки, путем верного подбора параметров
волновода можно получить одномодовый режим его работы для нескольких первых
мод. В таком режиме ни при каких условиях в волноводе не может быть возбуждена
какая-то иная мода, что обеспечивает отсутствие межмодовой дисперсии и потери
вследствие этого информации. Каждая мода на данной частоте соотвествует
определенному поперечному распределению поля внутри волновода. Таким образом,
можно подобрать параметры волновода так, что он будет "настроен" только на
определенную форму поперечного распределения интенсивности поля волны. Это
свойство может быть применено в логических оптических устройствах при кодировании или фильтрации данных. Наиболее жесткими селективными свойствами
обладает асимметричная конфигурация волновода, рассмотренная в главе 3.
Помимо двух частот отсечки, направленные ТМ моды симметричной волноводной структуры могут иметь нулевые значения постоянных распространения. В
случае дефокусирующей керровской сердцевины волновода с ростом интенсивности
поля постоянная распространения рассматриваемой моды уменьшается, достигая
в пределе нулевого значения. Изменяя интенсивность поля, возможно влиять на
фазовую скорость волны и на число потенциально возбуждаемых волн. Это свойство
может быть использовано в оптических переключателях, замедлителях света и
для обеспечения фазового синхронизма при рассмотрении взаимодействия волн.
Рассмотренные в работе поверхностные волны на границе раздела
гиперболическая среда - топологический изолятор представляют собой новый
тип плазмон-поляритонов. Представленные результаты могут быть полезными
в областях, где применимы поверхностные плазмон-поляритоны, например, в
субволновой оптике и плазмонных логических устройствах. В работе показано,
что в зависимости от взаимной ориентации оси анизотропии гиперболической среды
и направления распространения поверхностной волны условия ее существования
6
сильно различаются. В частности, возможна ситуация, когда поверхностный
плазмон-поляритон существует только в очень узком частотном диапазоне, что
может быть использовано в фильтрах и оптически управляемых переключателях.
На защиту выносятся следующие положения.
1. Две частоты отсечки определены для ТМ мод планарного волновода, представляющего собой диэлектрик в окружении гиперболических сред или в окружении
гиперболической среды с одной стороны и обычного диэлектрика — с другой.
Это отличает их от мод обычного диэлектрического волновода.
2. Колличество возбуждаемых на данной частоте ТМ мод зависит от интенсивности
излучения в случае кубично-нелинейного отклика диэлектрической сердцевины
волновода. Постоянная распространения моды симметричного гиперболического
волновода в случае дефокусирующей среды сердцевины уменьшается с ростом
плотности энергии поля, в пределе достигая нулевого значения.
3. В случае асимметричного планарного волновода, состоящего из диэлектрической
сердцевины, помещенной между положительным кубично-нелинейным диэлектриком и гиперболической средой, происходит удвоение числа мод. Явление
носит пороговый характер. Дополнительные ТМ моды также характеризуются
второй частотой отсечки и переносят значительную часть энергии направленной
волны локализованной в нелинейной подложке.
4. Дисперсионные соотношения для поверхностных волн на границе раздела гиперболической среды и топологического изолятора, из которых следуют условия
существования таких волн. За счет выраженного магнитоэлектрического эффекта,
характерного для топологического изолятора, происходит связывание обычных
ТМ и ТЕ волн. В отличии от поверхностных плазмонов, здесь поверхностные
волны существуют в интервале частот, границы которого определяются частотной
дисперсией ГС и величиной магнитоэлектрической поляризуемости ТИ.
Достоверность результатов. Все использованные для теоретического
анализа формулы получены исходя из уравнений Максвелла в случае анизотропных
сред. Использованные для аппроксимации нелинейного отклика модели хорошо себя
зарекомендовали в многочисленных предыдущих исследованиях. Все полученные
теоретические модели могут быть сведены к случаю хорошо изученных сред,
диэлектриков или металлов, где они демонстрируют известные результаты.
Апробация результатов. Основные результаты работы прошли апробацию на следующих международных и российских конференциях: XVIII и IX Между7
народные конференциии «Фундаментальные проблемы оптики» (Санкт-Петербург,
2014 и 2016 г.), Международный симпозиум «Nonlinear photonics: theory, materials,
applications» (Санкт-Петербург, 2015 г.), XII Международные чтения по квантовой
оптике, IWQO-2015 (Москва, 2015 г.), V и VI Международные конференции по фотонике и информационной оптике (Москва, 2016 и 2017 г.), XV и XVI Всероссийские
школы-семинары «Волновые явления в неоднородных средах» и «Физика и применение микроволн» (МО, Красновидово, 2016 и 2017 г.), 7-ой Российский семинар
по волоконным лазерам (Новосибирск, 2016 г.), XXI Международная молодежная
научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Казань, 2017 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, 8 из которых
относятся к списку ВАК и индексируются в базах данных SCOPUS, Web of Science.
Личный вклад соискателя. Все изложенные в диссертации результаты
получены соискателем лично, либо при его непосредственном участии. Соискателем
осуществлялись вывод формул, описывающих рассматриваемые физические
процессы, их решение численно или аналитически, обсуждение результатов и
подготовка публикаций.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти
глав, заключения и списка литературы из 136 наименований. Общий объем работы
составляет 130 страниц, включая 84 иллюстрации.
Содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен обзор
научной литературы, сформулированы цель и задачи работы, ее научная новизна,
теоретическая и практическая значимость, представлены положения, выносимые
на защиту.
В первой главе дан более подробный обзор особенностей и реализаций
гиперболических сред. Гиперболическая среда — это прежде всего оптически
анизотропная одноосная среда, для главных компонент диэлектрического тензора
которой выполнено  ·  < 0. Второй раздел главы содержит вывод уравнения
распространения квазигармонической волны в нелинейной анизотропной среде. В
частном случае распространения несущей волны вдоль оси , перпендикулярно оси
анизотропии a,
волны
(︂ проекция 2уравнения для необыкновенной
)︂ на ось a имеет вид:
(︁
)︁
2
 2 

0
ˆ () 0⊥ =0,
∇⊥ + 2 +20 −02 +
 + 
(1)




8
где 0 — волновое число, постоянная распространения волны, 0⊥ — проекция
комплексной огибающей на перпендикулярное распространению направление. В
ˆ  → 
ˆ .
случае обыкновенной волны в уравнении (1) следует положить  = и 

ˆ ,
Операторы 
() учитывают частотную дисперсию среды и нелинейный отклик:

ˆ ,

()=
(︂
)︂⃒
(︂ 2
)︂⃒
(︁  )︁2
2
⃒
⃒
 2
1


0
2
2
⃒
⃒
,() ⃒ +
,() ⃒  +
ˆ
,(0)|E0| .
2
2
2
 
2  

0
0
Представив амплитуду как 0(,r⊥,) =  (,r⊥)(,), в уравнении (1) можно
разделить продольную и поперечные переменные:
(︂
)︂
(︁  )︁2
 2
0
ˆ () ⊥ =0,
∇⊥⊥ − ¯ 2 −
 − 


2



+2
⊥ +(¯ 2 −02)⊥ =0.
⊥
0
2


(2)
Полученные уравнения описывают в частности эволюцию компонент поля
направленной волны, распространяющейся вдоль оси волновода с постоянной
распространения 0. Если волна устойчива в направлении переноса излучения,
ˆ (), в такой ситуации влияет
то ⊥ =const, ¯ 2 =02. Нелинейность, учтенная в 
на постоянную 0 и форму поперечного распределения поля  (r⊥). Этот подход
используется в главах 2 и 3 работы.
При распространении волны вдоль оси анизотропии, сонаправленной с осью
, проекция уравнения на данное направление имеет вид:
(︂
)︂
(︁  )︁2
 
  2
0
2 
2

ˆ  () 0 =0.
+20
− +
∇⊥ +
 + 
 2
  0 

(3)
Полученное уравнение относится только к необыкновенной волне. Рассматриваемое
направление распространения возможно для ГС диэлектрического типа, характеризуемой  >0,  <0, при этом изменяются знаки перед всеми слагаемыми (3), кроме
второй производной по поперечной координате. Необыкновенная волна в такой
ГС ведет себя как обратная относительно перпендикулярного к оси анизотропии
направления. Взаимодействие такой необыкновенной волны с обыкновенной в
нелинейной гиперболической среде исследуется в главе 4 работы.
Вторая глава посвящена исследованию направленных мод симметричного
планарного волновода, образованного слоем изотропного диэлектрика, помещенным
9
внутрь гиперболической среды. Все материалы полагаются немагнитными. Учитывается как линейный, так и кубично-нелинейный отклик диэлектрика по полю. Пусть
ось анизотропии ГС направлена вдоль нормали к границам раздела сред (ось ), волна распространяется вдоль оси . В такой геометрии магнитная, ТЕ, и электрическая,
ТМ, волны могут рассматриваться независимо. ТМ волна является необыкновенной
в гиперболической оболочке. Условие ее полного отражения внутри диэлектрика
от границы с ГС инвертировано относительно случая отражения от границы двух
диэлектриков. На рисунке 1 представлены срезы изочастотных поверхностей плоскостью падения волны. В случае границы двух диэлектриков полное внутреннее
отражение излучения происходит при углах падения  > arcsin(/). Для ГС
металлического типа (рис. 1 ()), для которой  <0, полное внутреннее отражение
наблюдается при <arcsin(/). Подобное инвертированное условие, а именно
<arcsin(/), определено также в случае отражения излучения от границы раздела с ГС диэлектрического типа ( <0), если ось анизотропии направлена вдоль .
()
()
Рис. 1 — Отражение излучения от границы раздела () двух
диэлектриков и () диэлектрика ( <0) и ГС металлического типа ( >0), a||.
Волновые уравнения следуют из соотношений (2) и проекции уравнения распространения на ось . Для непрерывного монохроматического излучения электрическое и магнитное поля в плоской геометрии задаются в виде:
E(,r⊥,)= Ẽ()exp(−+), H(,r⊥,)= H̃()exp(−+). Рассматривается
устойчивая в продольном направлении волна. Поэтому в уравнениях (2) следует поло˜
жить ()=1,  (r⊥)= ().
Напряженность электрического поля необыкновенной
волны лежит в плоскости , напряженность обыкновенной — перпендикулярна
ей и сонаправлена с осью  . Тогда с учетом (2) может быть получена система:
10
() 2 ˜
2˜
˜  +02ˆ
 −( 2 −02())
 |E|  =0,
2
() 
2 ˜
2˜
˜  +02ˆ
 −( 2 −02())
 |E|  =0,
2

2 ˜
2
2
2˜
˜  + ∆()  
˜  +02ˆ

−(
−

())



0
 |E|  =0,
2

() 
(4)
где 0 =/, () и () определяются как кусочно-непрерывные функции: ,()=
, при <0, >ℎ и ,()= при 0≤≤ℎ, ℎ — ширина волноводного слоя.
ТМ волна описывается компонентами (, , ). Для учета нелинейного отклика диэлектрика в работе используется одноосное приближение,
˜  из системы (4) с учетом
P =  /4| |2 e . Тогда для компоненты поля 
уравнений Максвелла следует:
(︃
)︃
−0
˜ (1)()=± sn √︀
<0

;  ,
1+2
)︃
(︃
0)
˜ (2)()=± sn (−
√︀
; ,
(5)
0≤≤ℎ

1+2
(︃
)︃
0)
˜ (3)()=± sn (ℎ−
√︀
>ℎ

;  (ℎ−).
2
1+
В уравнениях использовался эллиптический синус, а также были введены
√︀
√︀
параметры  = /( 2 −02) и = 02 − 2, 0 — константа интегрирования,
 — безразмерный параметр, зависящий от интенсивности поля и  ,  ∈ [0,1),
значение  = 0 соответствует линейному случаю. Параметр  определяет
затухание поля в оболочке волновода. В случае направленных волн необходимо
выполнение неравенства 2 > 0, которое возможно при  < 0,  > 0. При этом
˜ и 
˜  определяются через 
˜ .
0≤2 <min(,), где  =/0. Проекции 
На границах раздела сред, образующих планарный волновод, необходимо
выполнение условий непрерывности тангенциальных компонент электромагнитного
˜  и магнитного 
˜  , откуда следует дисперсионное соотношение:
поля 
(︁
)︁ (︁
)︁
√︀
√︀
2
2
cn ℎ/2 1+ ;  dn ℎ/2 1+ ; 
  √︀
(︁
)︁
1+2 =
.
√︀
 
2
sn ℎ/2 1+ ; 
(6)
Полученное уравнение относится к случаю отрицательного нелинейного отклика
сердцевины. Для анализа положительного отклика следует заменить  =. При  =0
эллиптические функции переходят в свои тригонометрические аналоги. Входящие в
11
(6) функции являются периодическими, вследствие этого уравнение имеет множество
ветвей решений, каждое из которых отнесем к волноводной моде с индексом .
3m =1
2
3
3
2.5
n2eff
m =2
m =1
2.5
2
n2eff
1.5
2
1.5
m =3
1
1
0.5
0.5
0
0
5
10
hk0
15
0
0
10
20
30
W [J/m2]
40
50
(a)
(b)
Рис. 2 — () Дисперсионные кривые для ТМ мод при  =0; () Зависимость
квадрата эффективного показателя преломления от плотности энергии при ℎ0 =5.
На рисунке 2 () представлены решения уравнения (6) при  =0. Линейные
диэлектрические проницаемости слоев волновода полагались равными  = 4,
 = 3,  = −3.5. Из представленного графика следует, что для каждой ТМ
моды определены две частоты отсечки. С изменением частоты при 2 (ℎ0)=0
мода возникает в волноводе, при 2 (ℎ0) =  она становится ненаправленной:
излучение выходит из обкладок волновода, так как параметр  обращается в
√
ноль. Если представить  =  sin(), то из условия 0 ≤ 2 <  следует
√︀
0≤<arcsin( /). Таким образом, инвертированное условие полного отражения
от границы с ГС ведет к появлению второй частоты отсечки при  <. В случае
 ≥ вторая частота отсечки определена только для моды с индексом =1.
Определим плотность
переносимой направленной волной, как
∫︁ ∞ энергии,
(︁
)︁
1
2
2
2
˜
˜
˜
=
()|| +()| | +| | .
(7)
16 −∞
На рисунке 2 () отображено изменение квадрата эффективного показателя  с
ростом величины  для дефокусирующей среды сердцевины с  =−10−9 ед. СГС
при условии ℎ0 =5. С увеличением плотности энергии  уменьшается, в пределе
достигая нулевого значения. Это означает, что постоянная распространения моды
 также обращается в ноль. Следовательно, между гиперболическими обкладками
волновода возникает стоячая волна. С дальнейшим ростом  соответствующая
мода исчезает. Из графика следует, что число одновременно возбуждаемых мод
зависит от интенсивности электромагнитного поля. На рисунке 3 представлено
12
˜  (0) по слоям волновода для моды  = 2 при ℎ0 = 5 и
распределение поля 
разных значениях плотности энергии  . Следует заметить, что с ростом плотности
энергии ширина поперечного распределения поля уменьшается, что отличает
рассматриваемый волновод от стандартного случая.
10
10
5
5
xk0
xk0
0
0
−5
−10
0
−5
−2000
10
Ez [MV/m]
−1000
0
1000
2000
Ez [MV/m]
(a)
(b)
Рис. 3 — Распределение электрического
поля ТМ моды, =2, ℎ0 =5, при ()  < 1 Дж/м2 и ()  = 15.2 Дж/м2.
В структуру гиперболической среды входят проводящие компоненты,
поэтому для оболочки рассматриваемого волновода характерны потери энергии
волны. Для частот, далеких от резонансных значений, влияние потерь сводится
к конечной длине распространения направленной волны, феномен дополнительной
частоты отсечки при этом сохраняется.
Вследствие инвертированного условия отражения от границы с гиперболической средой появление второй частоты отсечки для направленных волн следует ожидать и в асимметричной волноводной структуре, где направленная волна заключена
между диэлектриком с одной стороны и ГС — с другой. Третья глава посвящена
исследованию мод такого волновода, подложка которого представляет собой диэлектрик с кубично-нелинейным откликом, сердцевина — линейный диэлектрик, покровный слой — ГС с осью анизотропии, направленной вдоль нормали к границам раздела
сред. Схема волновода и выбор координатных осей представлены на рисунке 4 ().
В рассматриваемом случае из системы (4) можно получить следующее
поперечное распределение электрического поля направленной ТМ волны:
13
<0
0≤≤ℎ
>ℎ
˜0

,
cosh()−sinh()
)︂
(︂


1
(2)
˜  ()= 
˜ 0 cos()−

sin() ,
2
(︂
)︂


1
˜ (3)()= 
˜ 0 cos(ℎ)−

sin(ℎ) −(−ℎ).
2
˜ (1)()=

(8)
Здесь предполагался положительный керровский отклик подложки и были
√︀
√︀
введены действительные параметры:  =  2 −021,  = /( 2 −02) и
√︀
˜ 0 — амплитуда поля на границе подложки и сердцевины волновода,
= 022 − 2. 
√︀
˜ 0 = 22/2 cosh−1(0),  =tanh(0),  ∈[−1,1], 0 — положение максимума

0
поля в нелинейной подложке. Полученные уравнения сводятся к аналогичным
в линейном случае при  →1. Отрицательное значение  отвечает ситуации, когда
пик электрического поля расположен в нелинейной подложке, что невозможно
в линейном случае (рис. 4 ()).
15
15
10
10
xk0 5
xk0 5
0
0
−5
−5
−10
−1.5 −1 −0.5
0
Ez
0.5
1
1.5
2
−10
−1.5 −1 −0.5
0
Ez
0.5
1
1.5
2
(a)
(b)
(c)
Рис. 4 — () Схема волновода;
(, ) Распределение электрического поля ТМ моды, =2, ()  > 0 и ()  < 0.
Из условий непрерывности следует
соотношение:
√︃
(︃ дисперсионное
)︃
2
√︁
2
(
−
)
2
1

0ℎ 2 −2 = sgn()arctan
−
1 (2 −2 )(2 −)
√︃
(︃
)︃
 −2
2
−arctan √︀
+,
(9)
|| 2 −2
˜ 2/2. Два знака sgn() соответствуют двум ветвям решегде  = 1 +  
0
ний дисперсионного уравнения. Уравнение (9) требует выполнения условий:
√
 ≤ 2 < min(, 2). Точка  =  является общей для дисперсионных
ветвей с индексами  и +1. При этом мода с индексом  является положительной
-ветвью, а мода с индексом +1 — отрицательной -ветвью.
14
На рисунке 5 () представлены дисперсионные кривые при 1 =2.25, 2 =4,
 =3.5,  =−3.85 и  =2.33. Сплошные (прерывистые) кривые соответствуют
 >0 ( <0). Каждая пара кривых имеет общую точку, соответствующую значению
√
√
 = . При  =  каждая ветвь имеет дополнительную частоту отсечки.
На рисунке 5 () приведено изменение  с ростом плотности энергии волны
 (7) для пары  = 1,2,  = 10−9 ед. СГС. Сплошная кривая ( > 0) отражает
1.85
1.85
0
1
2
3
1.8
1.75
neff
1.84
4
m=1
2
3
4
5
neff
1.7
5
1.65
1.82
1.81
1.8
1.6
1.79
1.55
1,78
1.5
0
m=1
1,83
2.5
5
7.5
10
12.5
1,77
0
15
hk0
m=2
20
40
60
80
2
100
120
140
W [J/m ]
()
()
Рис. 5 — () Дисперсионные кривые для ТМ мод при  <2;
() Зависимость эффективного
показателя преломления от плотности энергии направленной моды, ℎ0 =5.05.
зависимость эффективного показателя  ( ) для мод, у которых электрическое
поле в подложке монотонно затухает с ростом модуля  (рис. 4 ()). Как следует из
рис. 5 (), эти моды могут быть возбуждены в волноводе независимо от плотности
энергии поля. Они существуют и в линейном случае. Моды, соответствующие
ветвям  < 0, представляют собой явление исключительно нелинейной оптики и
могут быть возбуждены в случае, если плотность  превысит определенный порог.
В четвертой главе рассматривается параксиальное распространение
обыкновенной и необыкновенной волн в ГС диэлектрического типа,  <0,  >0,
и их взаимодействие благодаря эффекту кросс-модуляции. Направление распространения волн, ось , совпадает с осью анизотропии ГС. Необыкновенная волна
в рассматриваемом случае является обратной относительно перпендикулярных 
направлений. Это поясняет рисунок 6, где показано, что  · <0,  — проекция
вектора Пойтинга,  — волнового вектора.
15
Рис. 6 — Срез поверхности волновых векторов необыкновенной
волны в диэлектрической ГС, пунктирной линией обозначены асимптотики.
Описывающая взаимодействие волн система уравнений следует из
результатов(︂ главы 1 (в том)︂числе (3)) и имеет вид:
(︂
)︂
∆ 
1 
2
∆  

+ 
0 + 2 0 +
0 +0
0 =0,
20
  (0) 

  
 
(︂
)︂

1 
2


20
+ 
0 + 2 0 +02(
|0 |2 +
|0 |2)0 =0,
(10)
  (0) 

(︂
)︂

1 
2


−2
+ 
0 + 2 0 +02(
|0 |2 +
|0 |2)0 =0,
  (0) 

√︀
где  = 0 ||. Компонента 0 относится к обыкновенной волне, 0 и 0
описывают необыкновенную волну. Известно, что обратная волна распространяется
вдоль характеристики +  (без учета поперечного направления) [9], тогда как
обычная прямая волна распространяется вдоль − . Распространяющаяся вдоль
оси анизотропии ГС волна не является обратной в этом направлении, поэтому
знаки перед производными по  и  во всех уравнениях (10) совпадают. В последнем
уравнении системы они оба отрицательны. Однако знак перед второй производной
по поперечной координате иной. В дальнейшем частотная дисперсия опускается.
Для решения (10) комплексные амплитуды представим в виде: 0 (,)=
√︀ 
√ 
 (,)/ 
exp ((,)), 0, (,) = , (,)/ 
exp ((,)), где
,
, =,
 + . Чтобы необыкновенная и обыкновенная волны могли образовать
связное стационарное состояние, необходимо выполнение условия /0 =−/.
Так как необыкновенная волна является обратной в проекции на ось , то  ·<0,
тогда как  ·>0, что обеспечивает возможность выполнения заданного условия.
Пример решения (10), отвечающего стационарному поперечному распределению
16
1.5
0.4
1
ax
0.3
ay
0.5
0
−0.5
−40
0.2
0.1
az
0.2
0.1
−20
0
20
40
0
−40
0
−0.1
−20
0
xk0
20
40
−0.2
−40
xk0
−20
0
20
40
xk0
()
()
()
Рис. 7 — Поперечное распределение вещественных огибающих электрического поля.
поля связанных волн, представлен на рисунке 7. Для существования такого решения
также необходимо: ()2 ≥2 .
Пятая глава посвящена исследованию свойств поверхностных волн на
границе раздела гиперболической среды и топологического изолятора. В объеме
ТИ представляет собой обычный диэлектрик, распространение излучения в нем
описывается стандартными уравнениями Максвелла. Однако на границе следует
учесть характерный для данной среды магнитоэлектрический эффект, что приводит
к усложнению граничных условий:
(D(1) −D(2))·n=((1) −(2))B(1) ·n,
(H(1) −H(2))·t=−((1) −(2))E(1) ·t,
(11)
(B(1) −B(2))·n=0, (E(1) −E(2))·t=0,
где  — постоянная тонкой структуры, (1,2) — магнитоэлектрическая поляризуемость, принимающая целые нечетные значения. Для топологически тривиальной
среды, в частности для ГС, (1) =0.
Поверхностная волна распространяется вдоль оси  с постоянной
распространения , ось  направлена вдоль нормали к границе раздела,
E(,,) = Ẽ() exp(− + ), H(,,) = H̃() exp(− + ). В случае
оптической оси ГС, сонаправленной с осью  , дисперсионное уравнение для
поверхностной волны имеет решения при  <0,  >0 и принимает вид:
(︃
1+
√︃
2 −
2 −2
)︃(︃
2
1−
||
√︃
2 +||
2 −2
)︃
2

=
||
√︃
2 +||
2 −2
,
(12)
где =, 2 — диэлектрическая проницаемость ТИ. Если частота излучения далека
от характерных для ТИ резонансных значений, то 2 — константа. В состав ГС,
как правило, входят проводящие компоненты, которые демонстрируют частотную
17
дисперсию в широком диапазоне. Предполагая ГС слоистым метаматериалом, для
диэлектрических проницаемостей верно:
()
 =()+(1−),  =
,
(13)
 +(1−)()
где  и () — диэлектрические проницаемости диэлектрической и металлической
компонент, последняя описывается формулой Друде-Лоренца,  — доля
металлических составляющих. На рисунке 8 приведены решения (12) для ГС,
образованной субволновыми слоями Ag-SiO2 с  =0.4, 2 =2.25.
70
70
60
60
50
50
n2eff 40
40
30
30
20
20
10
10
0
0
200
400
0
0
600
THz
(a) =0
Рис. 8 — Зависимость 2
n2eff (ν)
ε (ν)
e
200
400
THz
600
800
(b) =(2×100+1)
от частоты, ()>2, a=e .
При =0, случай топологически тривиального диэлектрика, уравнение (12)
распадается на два независимых, отвечающих ТЕ и ТМ волнам. Уравнение для ТМ
волны имеет решение 2 ()>2 при ||<2, которое существует на интервале
(0, ), при этом  ()→∞. Представленное решение подобно случаю поверхностной волны на границе металл/диэлектрик. При ̸= 0 поверхностная волна включает
и ТМ, и ТЕ поляризации, что ведет к дополнительному ограничению: помимо
2 >2 необходимо выполнение условия 2 >(). Как следствие, при ()>2
возникает отсечка: решение существует на интервале (1, ()) (рис. 8 ()). Критическое значение  уменьшается с ростом магнитоэлектрической поляризуемости.
Если ось анизотропии гиперболической среды сонаправлена с направлением
распространения , то поверхностная волна возможна только на границе раздела
ГС диэлектрического типа и обычного диэлектрика, в случае границы ГС и ТИ
поверхностная волна не может быть возбуждена.
В случае оптической оси ГС, направленной вдоль нормали к границе
раздела сред, дисперсионное соотношение имеет решения при  < 0,  > 0 и
18
принимает форму:
√︃
(︃
1+
2 +||
)︃(︃
2 −2
1−
2
||
√︃
√︃
)︃
2
2

−
||  
||  −2

=
.
 2 −2
||  2 −2
(14)
Функции 2 (), являющееся решениями (14), представлены на рисунке 9.
Поверхностная волна существует в частотном интервале (0, 2), причем 2 (0)=2,
10
9
8
7
10
εe(ν)
9
n2eff (ν)
8
ε2
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
0
200
400
THz
600
800
2
0
εe(ν)
n2eff (ν)
ε2
200
400
THz
600
800
(b) =(2×100+1)
(a) =0
Рис. 9 — Зависимость 2 от частоты, a=n. На графиках также показаны () и 2.
2 (2) =  не зависимо от топологии диэлектрика. В точке 2 проницаемость
 меняет знак и слоистый метаматериал начинает вести себя как диэлектрик.
В отличие от случая стандартного поверхностного плазмона, здесь отсутствует
критическое значение частоты , при котором  →∞.
В заключении приведены основные результаты работы:
1. Изучены направленные моды планарной волноводной структуры, образованной
слоем прозрачного диэлектрика внутри гиперболической среды. Рассмотрен
случай, когда ось анизотропии гиперболической среды направлена вдоль
нормали к границам раздела сред. Для ГС металлического типа ТM моды,
являющиеся необыкновенными волнами, имеют особенность — вторую частоту
отсечки. При этом постоянная распространения каждой моды лежит в интервале
√
0≤ ≤0 . Вторая частота отсечки возникает из-за особенностей отражения
электромагнитной волны от границы с гиперболической средой. Вторая частота
отсечки также характерна для волновода с ГС диэлектрического типа с осью
анизотропии, направленной вдоль его оси.
2. Число одновременно возбуждаемых в волноводе мод зависит от интенсивности
электромагнитного поля. Меняя интенсивность, можно контролировать число
19
3.
4.
5.
6.
мод, которые способен одновременно удерживать волновод заданной ширины.
В случае отрицательного кубично-нелинейного отклика диэлектрической
сердцевины волновода постоянная распространения моды с ростом интенсивности
поля уменьшается, в пределе достигая нулевого значения, поток энергии при
этом также обращается в ноль, что отвечает образованию стоячей между
гиперболическими границами волновода волны. Эффективная ширина моды
уменьшается с ростом интенсивности.
Наличие двух частот отсечки означает, что волновод удерживает каждую ТМ
моду только в определенном интервале частот (при постоянных параметрах
волновода) или ширин волноводного слоя (при постоянной частоте). Для
нескольких первых мод данные интервалы перекрываются не полностью, что
означает возможность одномодового режима работы волновода для этих мод.
В асимметричной волноводной структуре, подложка которой представляет
собой диэлектрик, а покровный слой — гиперболическую среду, возникают более
жесткие ограничения на интервал существования каждой ТМ моды.
В случае положительного кубично-нелинейного отклика подложки асимметричного волновода при превышении мощностью излучения некоторого порога
возникает дополнительный набор волноводных мод. Они характеризуются
значительной частью излучения, сосредоточенной в подложке, и обладают
дополнительной частотой отсечки. Частотный интервал существования каждой
моды в нелинейном случае зависит от интенсивности электромагнитного поля.
Рассмотрено параксиальное распространение обыкновенной и необыкновенной
волн в нелинейной гиперболической среде диэлектрического типа. Показано, что
благодаря свойству такой ГС, при котором необыкновенная волна в направлении,
перпендикулярном оси анизотропии, может рассматриваться как обратная,
возможно стационарное связное состояние этих волн. Динамика распространения
такой волны описывается уравнениями, сходными с аналогичными в случае
взаимодействия прямой и обратной волн.
Рассмотрены поверхностные волны на границе раздела гиперболической среды
и топологического изолятора. За счет магнитоэлектрического эффекта на
границе сред происходит связывание характерных для ГС обыкновенной и
необыкновенной волн, в результате условия существования поверхностной волны
усложняются. Здесь также возникают дополнительные частоты отсечки. На
границе топологический изолятор/металл поверхностная волна существует в
20
√
интервале частот (0, ), где  — предельная частота ( ∼/ 2). В случае
гиперболической среды металлического типа данный интервал в зависимости
от направления оптической оси сводится к (1, ) или (0, 2), при этом на
частоте 2 постоянная распространения волны принимает конечное значение.
Основные публикации автора по теме диссертации:
1. А.И. Маймистов, Е.И. Ляшко, Взаимодействие прямой и обратной волн в
керровской среде // Оптика и спектроскопия. — 2015. — Т. 118, № 5. — С. 837-842.
2. A.I. Maimistov, I.R. Gabitov, E.I. Lyashko, On solitons in the negative refracting
medium // Journal of Physics: Conference Series. — 2015. — Vol. 613. — P. 012012, 1-4.
3. Е.И. Ляшко, А.И. Маймистов, Линейные направленные волны в гиперболическом планарном волноводе. Дисперсионные соотношения // Квантовая
электроника. — 2015. — Т. 45, № 11. — С. 1050-1054.
4. E.I. Lyashko, A.I. Maimistov, The features of the hyperbolic slab waveguide // EPJ
Web of Conference. — 2015. — Vol. 103. — P. 04007, 1-3.
5. E.I. Lyashko, A.I. Maimistov, Guided waves in asymmetric hyperbolic slab
waveguides: the TM mode case // Journal of the Optical Society of America B —
2016. — Vol. 33, No. 11. — P. 2320-2330.
6. А.И. Маймистов, Е.И. Ляшко, Поверхностные волны на границе раздела
диэлектрика и топологического изолятора // Оптика и спектроскопия. — 2016.
— Т. 121, № 4. — С. 671-679.
7. Е.И. Ляшко, А.И. Маймистов, Моды нелинейного планарного волновода с
диэлектрическим слоем, погруженным в гиперболическую среду // Квантовая
электроника. — 2017. — Т. 47, № 11. — С. 1053-1063.
8. А.И. Маймистов, Е.И. Ляшко, И.Р. Габитов, Электромагнитные волны в
волноводах из необычных материалов, Когерентная оптика и оптическая спектроскопия: XXI Международная молодежная научная школа, 17-19 октября, 2017
г. Сб. статей. / Под ред. М.Х. Салахова. — Казань, КГУ (2017). — 186 c., с. 7-21.
9. А.И. Маймистов, Е.И. Ляшко, Направленные электромагнитные волны на
границе раздела диэлектрика и топологического изолятора // Известия РАН.
Серия физическая. — 2018. — Т. 82, № 1. — С. 27-30.
10. E.I. Lyashko, A.I. Maimistov, I.R. Gabitov, Surface waves on the interface between
hyperbolic material and topological insulator // arXiv:1706.05951 [physics. optics].
21
Список литературы
1. Ferrari L., Wu C., Lepage D., Zhang X., Liu Zh. Hyperbolic metamaterials and their applications
// Progress in Quantum Electronics. - 2015. - Vol. 40. - P. 1–40.
2. Hoffman A.J., Alekseyev L., Howard S.S. et al. Negative refraction in semiconductor metamaterials
// Nature Materials. - 2007. - Vol. 6, No. 12. - P. 946-950.
3. Ishii Satoshi, Shalaginov M.Y., Babicheva V.E., Boltasseva Al., Kildishev A.V. Plasmonic
waveguides cladded by hyperbolic metamaterials // Opt. Lett. - 2014. - Vol. 39. - P. 4663-4666.
4. Alekseyev L.V., Narimanov E. Slow light and 3D imaging with non-magnetic negative index
systems // Opt. Express. - 2006. - Vol. 14, No. 23 - P. 11184-11193.
5. Huang Y.J., Lu W.T. and Shidhar S. Nanowire waveguide made from extremely anisotropic
metamaterials // Phys. Rev. A - 2008. - Vol. 77. - P. 063836, 11 pp.
6. Neira A.D., Wurtz G.A. and Zayats A.V. Superluminal and stopped light due to mode coupling
in confined hyperbolic metamaterial waveguides // Nature. - 2015. - Scientific Reports. - P. 1-7.
7. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика - 1996 - Москва, Мир - 324 с.
8. Hasan M.Z., Kane C.L. Colloquium: Topological insulators // Reviews of modern physics. - 2010.
- Vol. 82. - P. 3045-3067.
9. Остроухова Е.И., Маймистов А.И. Генерация третьей гармоники в поле обратной волны
накачки // Опт. и спектр. - 2012. - Т. 112, №2. - С. 255-263.
22
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
641 Кб
Теги
волноводных, среды, структура, включающих, волна, направленных, гиперболическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа