close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Матричные интегральные преобразования для математического моделирования физических полей в многослойной среде

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Яремко Олег Эмануилович
МАТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ
ПОЛЕЙ В МНОГОСЛОЙНОЙ СРЕДЕ
Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук
Пенза – 2018
Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном
образовательном
учреждении
высшего
образования
«Пензенский
государственный университет».
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор
кафедры теплофизики и молекулярной физики
ГБОУ ВО Московской области «Московский
государственный областной университет»
Юшканов Александр Алексеевич;
доктор физико-математических наук, доцент,
профессор
кафедры
дифференциальных
уравнений
ФГБОУ
ВО
«Белгородский
государственный
национальный
исследовательский университет»
Ситник Сергей Михайлович;
доктор физико-математических наук, доцент,
профессор кафедры математики и физики
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный
аграрный университет имени императора Петра I»
Москалев Павел Валентинович.
Ведущая организация:
федеральное
государственное
автономное
образовательное
учреждение
высшего
образования
«Санкт-Петербургский
политехнический университет Петра Великого».
Защита состоится «25» февраля 2019 года в 12:00 часов на заседании
диссертационного совета Д 212.142.03 при ФГБОУ ВО «Московский
государственный технологический университет «СТАНКИН» по адресу:
127994, г. Москва, Вадковский пер., д. 1.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБОУ ВО
«МГТУ «СТАНКИН», www.stankin.ru.
Автореферат разослан «____»___________2018 г.
Учёный секретарь
диссертационного совета
Д 212.142.03,
к.т.н.
Тюрбеева Татьяна Борисовна
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования. При создании новых технологий возникает необходимость в проектировании конструкций на основе различных
композиционных материалов. Эффективные композиционные смазочноохлаждающие жидкости (СОЖ) являются необходимым элементом технологического процесса. Задачи оптимизации и совершенствования способов и техники подачи СОЖ, выбора оптимальных режимов относятся к числу важнейших
технико-экономических проблем современного машиностроения. Для управления свойствами поверхностного слоя при технологической обработке необходимо иметь математическую модель процесса, позволяющую по значениям основных параметров СОЖ, а также граничных и начальных условий, установить
температурные поля и поля напряжений в любой момент времени как в зоне
обработки СОЖ, так и за ее пределами. Математическое моделирование позволяет определять оптимальные технологические режимы. Теоретической основой для исследований данного направления является моделирование взаимосвязанных многокомпонентных математических моделей тепломассопереноса в
многослойных средах.
Добыча нефти и газа из пористых пластов и основные технологии добычи,
водоснабжение, проблема охраны грунтовых вод служат естественным источником постановки задач теории фильтрации. В большинстве современных приложений теории фильтрации приходится рассматривать кусочно-однородные
системы, многокомпонентные растворы или двух- и трехфазные смеси как с
постоянными, так и с подвижными границами. Практическая потребность в
развитии методов теории фильтрации обуславливает необходимость исследования многокомпонентных математических моделей для многослойных сред.
Влияние технологической среды химических производств фильтрации и сушки
может вызывать преждевременный износ оборудования. Совершенствование
технологий фильтрации и сушки требует исследования взаимосвязанных многокомпонентных математических моделей тепломассопереноса в многослойных
средах.
Создание и совершенствование существующих аналитических методов исследования линейных и нелинейных взаимосвязанных многокомпонентных моделей – значимая проблема математического моделирования и современной
вычислительной математики.
Линейные взаимосвязанные многокомпонентные модели учитывают перекрестные эффекты, поэтому они дают более точные результаты, чем линейные
несвязанные модели. Многие нелинейные взаимосвязанные задачи в результате
линеаризации приводят к линейным многокомпонентным математическим моделям тепломассопереноса, что подтверждает их универсальный характер.
Сложность математического моделирования многокомпонентных многослойных систем обусловлена отсутствием точных аналитических методов их решения даже для линейных моделей. При отсутствии аналитического описания мо3
дели результаты вычислительного эксперимента не позволяют в полной мере
спрогнозировать работу изучаемых систем.
Таким образом, большое количество важных (с точки зрения их практических приложений) взаимосвязанных математических моделей приводит к краевым и смешанным задачам для систем дифференциальных уравнений в частных
производных. Краевые и смешанные задачи описывают как однородные среды,
когда коэффициенты уравнений являются непрерывными, так и кусочнооднородные и неоднородные среды, когда коэффициенты уравнений кусочнопостоянны.
Степень разработанности темы исследования. В работах Боли Б., Уэйнер Дж., Дейнеки В. С., Сергиенко И. В. , Коляно Ю. М., Карташова Э. М., Ломакина В. А. , Латышева А.А. и Юшканова А.А. изучен ряд важных взаимосвязанных математических моделей механики деформируемого твердого тела,
термомеханики, диффузии, кинетической теории и т.д. в однородных и кусочно-однородных средах. Физическая неоднородность тел привлекает внимание
исследователей к линейным и нелинейным задачам тепломассопереноса, теории потенциалов, теории упругости и термоупругости. Областью приложений
построенной в работе теории является решение проблем классической и неклассической теории тепломассопереноса. Метод Лапласа и метод Фурье в решении взаимосвязанных задач теплопроводности не дают результатов. Метод
Лапласа приводит к существенным трудностям в выборе контура интегрирования при возвращении к оригиналам. Скалярный вариант метода Фурье с разрывными коэффициентами, предложенный Уфляндом Я. С. и др., пригоден
только для решения несвязанных задач.
Из аналитических методов решения взаимосвязанных задач отметим методы теории функций, которые приводят к краевым задачам Римана. Этими методами проведены исследования взаимосвязанных динамических задач термоупругости в работах Дересевича Х., Чедвика П., Снеддона И., Подстригача Я.
С., Новацкого В. Вместе с тем решение взаимосвязанных динамических задач
кусочно-однородных сред по большей части приводилось к интегральным
уравнениям Фредгольма, т.е. решение не выписывалось явно.
Известные методы решения краевых и смешанных задач в канонических
областях: метод разделения переменных, метод скалярных гибридных интегральных преобразований, − не работают при исследовании взаимосвязанных
математических моделей кусочно-однородных сред, т.к. не учитывают характер
взаимодействия основных и перекрестных эффектов. Для аналитического исследования взаимосвязанных математических моделей физических полей кусочно-однородных сред должен быть создан аналог интегральных преобразований Фурье, Фурье - Бесселя, Вебера для составного промежутка.
Тип дифференциального уравнения и вид среды, в которой рассматривается задача, как известно, обусловливают структуру интегральных преобразований. Метод интегральных преобразований позволяет строить аналитическое
представление структуры полей в несвязанных математических моделях много4
слойных сред в виде интегрального изображения. В работах Лебедева М. М.,
Ленюка М. П., Найда Л. С., Проценко B. C., Уфлянда Я. С., Fokas A.S. и др. в
70-х гг. прошлого столетия рассмотрены интегральные преобразования Фурье,
Фурье – Бесселя, Фурье – Лежандра, Фурье – Ханкеля, Ханкеля – Лежандра на
составных неограниченном, полуограниченном и конечном промежутках.
Известные аналитические методы описания взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса плохо адаптированы к изменению и к анализу чувствительности модели при варьировании ее параметров. Создание метода матричных интегральных преобразований, выполненное в работе, и установление его вариативного характера позволило найти интегральные изображения взаимосвязанных физических полей в кусочно-однородных средах с
плоской или осевой симметрией в виде, удобном при вычислениях как для
больших так для малых значений t.
Пусть F1, F2  матричные интегральные преобразования, соответствующие
многокомпонентным моделям M 1 и M 2 . Необходимость комплексного описание пары моделей M 1 и M 2 приводит к определению нового понятия - оператора преобразования J1,2  F1  F21 . Метод операторов преобразования, получивший дальнейшее развитие в нашей работе, представляет собой еще один аналитический метод исследования математических моделей. Понятие оператора
преобразования фактически содержится в методе отражений Кельвина, Вейерштрасса, Пуассона, Сонина. Теория операторов преобразования развита в монографиях Марченко В. А. В исследованиях Киприянова И. А. операторный метод
применяется в теории сингулярных краевых задач. Отдельные элементы метода
операторов преобразования использовались при решении задачи Коши для
волнового уравнения методом отражений, см. Р. Курант. Применение метода
продолжается в работах Лычева С. А., Самко С. Г., Килбаса А. А., Маричева О.
И., Ситника С. М. Метод отражений был использован в спектральной теории
одномерных уравнений Шредингера. Монография Баврина И. И. посвящена
операторному методу в комплексном анализе.
В настоящее время исследования взаимосвязанных математических моделей включают в себя следующие основные направления:
1) численные методы: сеточный метод, метод конечных элементов, метод радиально базисных функций, радиально базисных нейронных сетей;
2) аналитические методы: метод интегральных преобразований Лапласа,
метод интегральных преобразований Фурье;
3) методы теории краевых задач Римана.
На протяжении двух последних столетий наблюдался интенсивный рост
интереса к развитию метода интегральных преобразований в математическом
моделировании. По данным полнотекстовой базы научно-технической литературы ScienceDirect.com. за последние десять лет было опубликовано108745
научных работ по данной тематике, содержащих в описании ключевые слова
integral transform.
5
Цель работы: создание теории матричных интегральных преобразований
и основанных на ней аналитических, численных методов исследования математических моделей, алгоритмов, комплексов программ для моделирования явлений взаимосвязанного тепломассопереноса.
Для достижения этой цели решались задачи:
1) установить функциональные связи между различными линейными математическими моделями тепломассопереноса;
2) разработать теорию матричных интегральных преобразований, учитывающую перекрестные эффекты, в качестве теоретической основы математического моделирования процессов взаимосвязанного тепломассопереноса;
3) сформулировать условия сопряжения, учитывающие перекрестные эффекты, и разработать технику применения матричных интегральных преобразований для анализа тепломассопереноса в многослойных средах в модифицированной постановке;
4) разработать концепцию операторов преобразования с целью интерпретации вновь сформулированной модели тепломассопереноса в терминах
эталонной математической модели тепломассопереноса.
5) модифицировать метод последовательных приближений на основе идеи
последовательного отражения модельного решения от границы для вычисления компонент взаимосвязанного тепломассопереноса;
6) установить отличия взаимосвязанных и несвязанных математических моделей;
7) разработать технику применения теории операторов преобразования для
интерпретации результатов наблюдений взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса в многослойных средах;
8) обосновать и распространить метод расщепления интегрального преобразования Фурье на матричный случай для решения задач с подвижными
границами;
9) разработать итерационный вычислительный алгоритм определения компонент взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса в
виде процедуры отражения решения модельной смешанной краевой задачи от границ;
10)
разработать нейросетевое программное обеспечение на радиально базисных нейронных сетях для численного решения начально-краевых задач
в многослойных телах.
Научная новизна диссертации определяется новизной постановки задач исследования и следующими основными результатами.
1. Средствами теории матричных интегральных преобразований впервые
установлены функциональные связи между любыми линейными математическими моделями тепломассопереноса посредством изоморфизма. В
результате разработан новый подход к аналитическому исследованию
процессов тепломассопереноса, в котором на основании имеющейся ин6
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
формации об известной модели тепломассопереноса устанавливают информацию о вновь поставленной модели тепломассопереноса.
Разработана теория матричных интегральных преобразований в качестве
основы математического моделирования процессов взаимосвязанного
тепломассопереноса в различных однородных и кусочно-однородных
средах, позволившая получить замкнутые выражения компонент термодинамических процессов в однородных и кусочно-однородных средах.
Модифицирована постановка внутренних условий сопряжения и выполнен аналитический расчет компонент взаимосвязанного тепломассопереноса в многослойных средах методом матричных интегральных преобразований.
В рамках предложенной теории матричных интегральных преобразований разработана концепция операторов преобразования, опирающаяся на
групповую природу интегральных преобразований. На ее основе впервые
установлена возможность интерпретации вновь сформулированной модели тепломассопереноса в терминах эталонной математической модели
тепломассопереноса.
Представлен и протестирован модифицированный метод последовательных приближений компонент взаимосвязанного тепломассопереноса, в
котором в качестве нулевого приближения выступает модельное решение, а последующие приближения находятся методом последовательных
отражений от внешней и внутренних границ.
В результате аналитических исследований и проведенного вычислительного эксперимента впервые выявлены существенные отличия взаимосвязанных математических моделей от несвязанных: на одних и тех же данных компоненты взаимосвязанной и несвязанной моделей тепломассопереноса могут отличаться до 19%.
Предложен новый подход интерпретации результатов наблюдений для
взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса в многослойных средах, при котором решение ретроспективной задачи и задачи
продолжения поля получаются из решений соответствующих задач в однослойных средах.
Разработан модифицированный метод матричных интегральных преобразований, состоящий в расщеплении ядра на пространственную и временную компоненты, что позволило описать процессы тепло - и массопереноса в кусочно-однородных средах с переменными граничными условиями.
Разработан итерационный вычислительный алгоритм определения компонент взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса
для многослойных тел с плоской симметрией, в котором реализована
процедура отражения решения модельной смешанной краевой задачи от
границы.
7
10. Модифицирован метод фундаментальных базисных решений вычисления
компонент взаимосвязанного тепломассопереноса в многослойных средах, учитывающий перекрестные эффекты в условиях сопряжения.
Теоретическая значимость работы. Построенная теория матричных интегральных преобразований вносит значительный вклад в развитие аналитических методов математического моделирования взаимосвязанных процессов в
однородных и неоднородных средах. Понимание закономерностей взаимодействия основных и перекрестных эффектов взаимосвязанной модели, учитываемых в рамках теории матричных интегральных преобразований, позволило
найти решение сложных задач математического моделирования тепломассопереноса, диффузии, теории упругости, провести анализ чувствительности модели к изменению ее параметров. Разработанные на основе теории матричных интегральных преобразований вычислительные методы повышают точность математического моделирования.
Практическая значимость работы. Создан комплекс программ символьного вывода формул для решения начально-краевых задач с небольшим числом
слоев, разработано нейросетевое программное обеспечение в среде MatLab
численного решения начально-краевых задач в многослойных средах. В этом
комплексе программ решение аппроксимируется взвешенной суммой фундаментальных решений и, в отличие от универсальных программных систем конечно-элементного анализа ANSYS и PDETool, не требует триангуляции границы области. Разработанные в рамках исследования алгоритмы и комплексы
прикладных программ в системе компьютерной алгебры Maxima могут быть
использованы в анализе и синтезе физических процессов переноса, фильтрации,
диффузии в технических системах, в машиностроении при использовании композиционных материалов; нейросетевое программное обеспечение в среде
MatLab адаптировано для численного решения начально-краевых задач в многослойных телах. Предложенные тестовые задачи служат для проверки эффективности новых численных методов.
Методы исследования. Для решения поставленных задач комплексно использованы аналитические методы, включая теорию интегральных преобразований, метод отражений в теории краевых задач, метод операторов преобразования, метод фундаментальных решений в качестве базисных функций. Для
оценки точности вычислительных методов построены аналитические решения
ряда модельных уравнений. Разработанные математические методы и алгоритмы реализованы в виде комплексов программ. Символьные вычисления проводились в системе компьютерной алгебры Maxima, численные процедуры реализованы в среде программирования Borland Delphi и Matlab.
На защиту выносятся следующие научные результаты, полученные автором лично или вклад автора в которые был определяющим:
8
1) теория матричных интегральных преобразований и техника их применения для исследования многокомпонентных моделей тепломассопереноса
в многослойных средах;
2) функциональные связи между линейными математическими моделями
тепломассопереноса, установленные посредством операторов преобразования, и новый подход к аналитическому исследованию процессов тепломассопереноса, в котором из имеющейся информации об эталонной
модели тепломассопереноса извлекают информацию о вновь поставленной модели тепломассопереноса;
3) модифицированная постановка внутренних условий сопряжения и аналитический, численный расчеты компонент взаимосвязанного тепломассопереноса в многослойных средах с модифицированными условиями сопряжения;
4) концепция операторов преобразования, опирающаяся на групповую природу интегральных преобразований, и интерпретация в рамках этой концепции модели взаимосвязанного тепломассопереноса многослойных
сред в терминах эталонной;
5) модифицированный метод последовательных приближений компонент
взаимосвязанного тепломассопереноса, в котором приближения находятся отражением от внешней и внутренних границ;
6) анализ компонент взаимосвязанных и несвязанных математических моделей на одних и тех же данных (на примере обобщенной задачи Неймана
для полуограниченной среды);
7) интерпретация результатов наблюдений для взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса в многослойных средах в терминах
эталонной математической модели;
8) модифицированный метод матричных интегральных преобразований, состоящий в расщеплении ядра на пространственную и временную компоненты, для описания процессов тепло - и массопереноса в кусочнооднородных средах с переменными граничными условиями;
9) итерационный вычислительный алгоритм определения компонент математических моделей тепломассопереноса для многослойных тел с плоской симметрией на основе процедуры отражения решения модельной
смешанной краевой задачи от границ;
10)
модифицированный метод фундаментальных базисных решений и
комплекс программ с нейросетевой реализацией в среде МаtLab для вычисления компонент взаимосвязанного тепломассопереноса в многослойных средах.
Достоверность и апробация результатов. Достоверность полученных
результатов подтверждается результатами сравнения с тестовыми задачами,
с данными, полученными по другим методикам. Адекватность разработанных
аналитических методов и алгоритмов подтверждается тем, что результаты для
9
предельного случая, т.е. без учета перекрестных эффектов или в том случае, когда среда однородная, совпадают с аналогичными результатами других авторов.
Основные результаты по теме диссертации:
 опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК РФ [9–41], тринадцать работ [9–14, 17–19, 35–36, 38–39] входят в систему цитирования
SCOPUS;
 изложены в монографиях [1–8];
 опубликованы в других периодических журналах [58–70];
 изложены в трудах международных конференций и семинаров [42–57]:
международной математической конференции, посвященной памяти Ганса Хана, г. Черновцы, 1994; международной научной конференции, посвященной 90летию со дня рождения профессора С. П. Пулькина (г. Самара, 1997); международной научной конференции PARCA-2010 (г. Тамбов, 2010); международных
научных конференций по моделированию нелинейных процессов и систем,
СТАНКИН, г. Москва, 2011, 2015;
 доложены на научных семинарах:
академика РАН С. М. Никольского, (1999); академиков РАН В. А. Ильина,
Е. И. Моисеева, (2003); академика И. К. Лифанова, (2007); академика РАН
Е. И. Моисеева, (2007); члена-корреспондента РАН И. А. Шишмарева, (2007);
д.ф.-м.н., проф. Л. А. Аксентьева в КФУ, (2008); кафедры дифференциальных
уравнений Черновицкого государственного университета, (1998); кафедр компьютерных технологий (2016) и математики и суперкомпьютерного моделирования, зав. каф. проф. Ю. Г. Смирнов (2015); кафедры прикладной математики
МГТУ «Станкин», зав. каф. проф. Л. А. Уварова, ( 2017); «Обратные задачи математической физики», рук. проф. А.Б. Бакушинский, проф. А.В. Тихонравов, проф. А.Г. Ягола, (2018).
Соответствие паспорту специальности. Диссертационная работа соответствует формуле научной специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (физико-математические
науки) в пунктах 1, 2, 3, 4, 5.
10
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы,
одиннадцати приложений. Полный объем диссертации составляет 305 страниц.
Во введении обоснована актуальность темы диссертационного исследований, сформулированы его цель и задачи, определена научная новизна, теоретическая и практическая значимость результатов работы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, дан краткий обзор литературных источников, имеющих наиболее близкое отношение к теме диссертации.
В первой главе «Взаимосвязанные математические модели тепломассообмена, теории колебаний в однослойной, двухслойной средах и матричные
интегральные преобразования Фурье» на основе имеющихся публикаций проанализировано состояние исследуемой проблемы, существующие подходы к ее
решению, указаны границы их применимости. Проведено обоснование выбора
используемой в диссертационном исследовании взаимосвязанной математической модели тепломассопереноса. Если несколько явлений переноса протекают
в системе одновременно, то их наложение вызывает новые эффекты. Например, наложение полей концентраций и температуры вызывают термодиффузию,
наложение электрических и магнитных полей обуславливает эффект Холла.
При одновременном рассмотрении теплопроводности и электропроводности
появляется эффект термоэлектричества. Таким образом, взаимосвязанные модели естественно возникают при исследовании явлений, протекающих одновременно и влияющих друг на друга.
Согласно концепции Л. Онзагера каждый независимый термодинамический поток связан со всеми действующими в системе термодинамическими силами линейной зависимостью, поэтому взаимосвязный N – компонентный
тепломассообмен в полуограниченной многослойной среде приводит к задаче
Коши для системы N линейных уравнений в частных производных
uit = Ai2uixx , 0  t  T , x   li 1, li  , i  1,..., n  1 ,
(1)
с начальными условиями
ui (0, x) = fi ( x), x   li 1, li  ,
(2)
с краевыми условиями
α0u1  β0u1  0, x  l0 ,
(3)
c внутренними условиями сопряжения
αikjui  βikjui  αikjui 1  βikjui 1, x  li , j, k  1,2; i  1, n.
(4)
Замечание. Условия сопряжения в виде (4) предложены автором как
обобщение ранее известных постановок внутренних граничных условий.
Элементы aii матрицы A i2 в системе уравнений (1) характеризуют
действие основных эффектов, а элементы aij , i  j, – действие перекрестных
эффектов.
11
Каждой линейной взаимосвязанной
N – компонентной модели
тепломассообмена можно сопоставить векторную задачу Штурма – Лиувилля
для дифференциального оператора второго порядка с кусочно-постоянными
матричными коэффициентами, состоящую в определении нетривиального
ограниченного решения системы дифференциальных уравнений:
Ai2yi  x,     2y i  x,    0, x   li 1, li  , i  1,..., n  1
(5)
по краевым условиям
α0y1  β0y1  0, x  l0 , y n1  
(6)
по внутренним условиям сопряжения
αikj y i  βikj yi  αikj y i 1  βikj yi 1, x  li , j, k  1,2; i  1, n.
(7)
В диссертационной работе исследованы основные типы задач Штурма –
Лиувилля для неограниченного, полуограниченного и ограниченного составного промежутка X . Установлено, что элементы матричнозначных собственных
функций y i  x,   – это линейные комбинации тригонометрических функций.
Для ограниченного промежутка спектр задачи Штурма – Лиувилля является
дискретным, т.е. состоит из счетного множества положительных значений, для
неограниченных промежутков – спектр непрерывный.
Из собственных векторов задачи Штурма – Лиувилля (5)-(7) составляется
матричнозначная собственная функция φ  x,  . Аналогично, из собственных
векторов двойственной задачи Шурма – Лиувилля составляется двойственная
матричнозначная собственная функция φ  x,   .
Теорема. Если вектор-функция f (x) определена, кусочно-непрерывна, абn 1
солютно суммируема и имеет ограниченную вариацию на I n    li 1, li  , то для
i 1
каждого
x  I n
справедливо интегральное представление

 

2
f  x    φ  x,     φ  ,   f    d   d .


0
0

Таким образом, возникают прямое и обратное матричные интегральные
преобразования на составной действительной полуоси:

f      φ  ,   f    d ,
0

2
f  x    φ  x,   f    d .
0
В итоге, структура многокомпонентного тепломассообмена в многослойной
полуограниченной среде определяется формулами:
12

2
2
(8)
u  t , x    e t φ  x,   f    d .
0
Техника применения матричных интегральных преобразований для решения
взаимосвязанной смешанной задачи Коши представлена на рис.1.
АЛГОРИТМ «Решение взаимосвязанной задачи Коши»
НАЧАЛО
ВВОД данные модели тепломассопереноса
ВЫЧИСЛИТЬ собственные функции задачи Штурма-Лувилля
ВЫЧИСЛИТЬ ядро обратного интегрального преобразования Фурье
ВЫЧИСЛИТЬ собственные функции сопряженной Штурма-Лувилля
ВЫЧИСЛИТЬ ядро прямого интегрального преобразования Фурье
ВВОД начальные условия
ВЫЗОВ ПРОЦЕДУРЫ квадратурная формула для преобразования Фурье
ВЫЧИСЛИТЬ образ Фурье начальных условий
КОНЕЦ ПРОЦЕДУРЫ
ВЫЗОВ ПРОЦЕДУРЫ квадратурная формула для обратного преобразования Фурье
ВЫЧИСЛИТЬ решение задачи Коши
КОНЕЦ ПРОЦЕДУРЫ
ВЫВОД решение задачи Коши
КОНЕЦ
Рисунок 1 – Алгоритм решения взаимосвязанной задачи Коши.
В первой главе рассмотрены простейшие многокомпонентные модели тепломассопереноса.
Пример 1. Тепломассоперенос с условиями теплообмена на границе по
закону Ньютона для полуограниченной среды приводит к системе уравнений:
ut  A2uxx , 0  t  T , x   0,   ,
с краевыми условиями:
Hu  ux  0, x  0,
и начальными условиями:
u  x,0   f  x .
По алгоритму, описанному на рис.1, конструируем матричные интегральные преобразования Фурье и вычисляем решение задачи:
u t, x  

2  2t
e A HA sin A 1   cos A 1

0

f   

0
 HA sin A

 HA    2Ε
2

   cos A 1 f    d ,
1
13

1
f    d ,
здесь H – квадратная матрица, все собственные значения которой положительны; f    – образ Фурье вектор - функции f  x  .
Пример 2. Задача Коши для системы N уравнений гиперболического типа
(9)
utt = A2u xx , t > 0, x  R ,
с начальными условиями
(10)
u(0, x) = f ( x), ut (0, x) = g  x .
Методом матричных интегральных преобразований впервые установлен
векторный аналог формулы Даламбера:
f (Ex  At )  f (Ex  At ) 1 1
 t  g  Ex  At  d  .
2
2 1
Пример 3. Задача Коши для сепаратной системы уравнений
N – компонентной модели тепломассообмена в двухслойной среде заключается
в определении ограниченного решения системы векторных уравнений
теломассопереноса:
(11)
ui ,t = Ai2ui , xx , 0  t  T , x   ,0    0,  
по начальным условиям:
(12)
ui (0, x) = fi ( x), i  1,2,
и внутренним условиями сопряжения:
(13)
u1 = u2 , Λ1u1 x = Λ2u2 x , x = 0.
В двухкомпонентной модели первая компонента – температура, вторая –
концентрация. Автор впервые установил векторный аналог формулы Пуассона
для уравнения теплопроводности:
0
1
u1 =
G t , A11x  E  G t , A11x  E (E  χ )(E  χ )1 f1 ( A1)d  

2 t 

1

G t , A11x  E 2(E  χ )1f2 ( A 2)d , x  0;

0
2 t
где
N
 x2 
G  t , x  = exp    , χ  A 2 Λ1Λ 21A11, fi  Ai    fij  A  e j .
j 1
 4t 
Пример 4. Рассмотрим уравнение тепломассопереноса (1) в полуограниченной среде с постоянным вектором термодинамических потоков ux  q0 ,
u t, x  
 






q0  1 0  на границе x  0 нулевыми начальными условиями, матрицей феноменологических коэффициентов в точном и приближенном видах:
 1 0.8 
1 0
,
Λ
Λ


 0 4 ,
1.6 4 


матрицей безразмерных критериев в точной и приближенной формах

14
0 
1.36 1.2 
1.36
2
,
A2  
A

.

 0
4.36 
 2.7 4.36 

Методом интегральных преобразований Фурье найдем граничные значения:
t
t
t
u1  t ,0   2AΛ 1q0
,
u 2  t ,0   2AΛ 1q0
, u  t ,0   2AΛ 1q0
,



здесь u1  t ,0   решение, не учитывающее перекрестные эффекты, u2  t ,0   решение, учитывающее перекрестные эффекты в системе уравнений и игнорирующее такие эффекты в краевом решении, u  t ,0   точное решение.
Рисунок 2–Графики точных и приближенных значений каждой из компонент.
Средствами компьютерной алгебры Maxima на основе матричных интегральных преобразований создан алгоритм символьных вычислений для вывода
формулы типа Даламбера для одномерного волнового уравнения. В результате
реализации алгоритма получаем решение обобщения задачи Коши (9)-(10) для
составной действительной оси в каждой из четырех частей, на которые прямые
x/a1 – t = 0, x/a1 + t = 0, x/a2 – t = 0, x/a2 + t = 0 делят полуплоскость t > 0,
  x   , например, в области x  0, x / a1 – t  0, x / a1  t  0 выполнено
 a x  a1 a2t  1
k
1 k
f2  2
f1   x  a1 t .
  f1  x  a1 t  
k 1 
a1
2
2
k

2

Во второй главе «Математическая модель взаимосвязанного тепломассообмена в многослойных средах и матричные интегральные преобразования»
теория и практика матричных интегральных преобразований переносится на
случай многослойных сред, а также сред с осевой симметрией. При помощи
матричных интегральных преобразований Фурье вычислены компоненты взаимосвязанного тепломассообмена в многослойной среде с плоской и осевой
симметрией (см. формулу (8)).
В этой главе развивается теория кратных матричных интегральных преобразований Фурье с неразделенными переменными. Нами определено
интегральное преобразование Фурье с неразделенными переменными
u1  t , x  
F  f   y,   =

2
  y 
n

n2
2
J n2   y    f   d  fˆ  y,  .
Rn
2
15
(14)
Доказана формула обращения

n
F 1[ fˆ ]( y ) = 2 fˆ ( y;  )d  f ( y ).
(15)
0
Решение многомерной взаимосвязанной задачи тепломассопереноса получается применением по переменным y   y1,..., yn  интегральных преобразований Фурье с неразделенными переменными (14) - (15), и, затем, матричных интегральных преобразований Фурье по переменной x для составного промежутка.
Подводя итог, заключаем, что взаимосвязанные математические модели
для многослойных сред требуют создания аналитического метода исследования, адекватного модели. Учет перекрестных эффектов в модели обуславливает
использование матричного исчисления в конструкции интегрального преобразования, а многослойность среды отражается в том, что ядра интегрального
преобразования подбираются индивидуально в каждом слое.
В
третьей
главе
«Интерпретация
физических
полей
в многослойной среде как возмущений однородного поля» развиваются теория
операторов преобразования для изучения тепломассопереноса в многослойной
среде. Матричные интегральные преобразования при их реализации требуют
дополнения. Выше отмечалось, что каждой линейной многокомпонентной модели M 1 соответствует собственное матричное интегральное преобразование
F1 ; для модели M 2 – преобразование F2 . Возникает оператор преобразования,
J1,2  F1  F21 устанавливающий линейный изоморфизм моделей M 1 и M 2 .
Оператором преобразования называем оператор, который решению задачи с граничными условиями i сопоставляет решение задачи с граничными
условиями  j . Примем обозначение для оператора преобразования J i , j : u  u .
Значение индекса определяется типом граничных условий. Будем считать, что
i = 1 для граничных условий Дирихле, i = 2 для граничных условий Неймана,
i = 3 для граничных условий Робена, i = 4 для внутренних условий сопряжения.
Пример 5. Рассмотрим сепаратную систему уравнений Лапласа:
u1xx  a12u1yy  0, 0  x  l , u2xx  a22u2 yy  0, l  x  , y  R,
с краевыми условиями:
u1  0, y   f  y  , y  R, 1  y 2 u2  x, y   M , 0  x, y  R,


(16)
(17)
и внутренними условиями сопряжения:
u1  l , y   u2  l , y  , y  R; 1u1  l , y    2u2 l , y  , y  R.
(18)
Оператор преобразования J 1,4 определяет стационарное температурное
поле в двухслойной полуограниченной по x среде по формулам:
16
 1      x  2lj  1    2l  x  2lj  
u1  x, y    
, y   , 0  x  l,
 u a , y   1  u
a1
j 0  1     
1




j
(19)
j
2   1     x  l l  2lj 
u2  x, y  
u

, y  , l  x;   1 / 2  a2 / a1 ,

1   j 0  1     a2
a1

где u  x, y  – решение задачи Дирихле для полуплоскости. Поле в двухслойной
среде представляется наложением полей в однослойной среде исходного поля и
полей, отраженных от каждой из границ: внешней x  0 и внутренней x  l .
1
Оператор преобразования J 4,4  J 4,1  J1,4
является обобщением оператора
преобразования J 1,4 . Он устанавливает изоморфизм двух моделей потенциальных полей в двухслойной полуограниченной среде M с параметрами
a1 , a2 , 1 ,  2 и M с параметрами a1 , a2 , 1 , 2 . Оператор преобразования J 4,4 позволяют провести анализ чувствительности модели.
В случаях большого различия в свойствах слоев среды задача вычисления
поля при помощи оператора преобразования становится неустойчивой. В качестве примера рассмотрена фильтрационная модель двухслойной полуограниченной среды малой толщины l наружного слоя. Считаем, что физические
свойства слоев сильно отличаются. Численные методы исследования приводят
к плохо обусловленным системам линейных алгебраических уравнений. Опираясь на методику операторов преобразования и формулы суммирования ЭйлераМаклорена, мы нашли устойчивый алгоритм вычисления компонент решения
u1 , u2 . При этом установлено, что задача Дирихле для двухслойной полуплоскости асимптотически эквивалентна третьей краевой задаче в однослойной среде с краевым условием Робена
huˆ  uˆx = hf ( y), x  0,
где h – коэффициент теплообмена.
В четвертой главе «Метод матричных интегральных преобразований и
метод операторов преобразования в математическом моделировании многослойных сред» исследуется математическая модель тепломассопереноса с подвижной границей в неизотермическом частично насыщенном растворе нефть –
парафин. Подобный вид краевой задачи для дифференциального уравнения в
частных производных, описывающей изменение фазового состояния вещества,
при котором положение границы раздела фаз изменяется со временем, называют задачей Стефана. В нашей работе рассматривается линеаризованная модель
Петровой А. Г. и Пухначева В. В. Сепаратная система дифференциальных
уравнений, описывающая тепломассоперенос нефть–парафин с подвижной границей, имеет вид (1) с внутренними граничными условиями (4) на поверхности
раздела x  l  t  , с краевыми условиями (3) и нулевыми начальными условиями.
Непосредственно применять метод Фурье невозможно, так как граница
сопряжения подвижна, т.е. зависит от переменной t. Для решения задачи автор
17
применяет матричное интегральное преобразование Фурье на составной полуоси. Основная трудность при этом состоит в том, что ядра интегральных преобразований зависят от временной переменной t. В результате операторы преобразования Фурье и  t не коммутируют. Метод Аттеткова А. В. и Волкова И. К.,
состоящий в расщеплении интегральных преобразований на временную и пространственную компоненты, был распространен автором на матричный случай
и позволил преодолеть трудность.
Метод расщепления интегральных преобразований применялся также для
моделирования теплового состояния композиционного материала с изменяющимися условиями теплообмена с внешней средой.
Интегральные преобразования Фурье применялись нами в модельной задаче теории фильтрации о вычислении поля потенциала u  x, y  в кусочноn1
однородной среде x  I n , y  R; I n    lk 1, lk  . На границах контактов слоев
k 0
друг с другом должны выполняться условия непрерывности потенциала и нормальных составляющих. Для решения задач фильтрации Голубева О. В., Радыгин В.М.,Толпачев В. А. применяли методы теории функций комплексного переменного. В диссертационном исследовании решение модельной задачи теории фильтрации впервые получено в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма – Лиувилля (5)-(7).
Операторы преобразования применяются в теории нелокальных краевых
задач. Задачами Штурма – Лиувилля с нелокальными граничными условиями
занимались в научной школе Ильина В. А. и Моисеева Е. И. Нами предложен
новый подход в изучении нелокальных задач, основанный на доказательстве
изоморфизма математической модели теплопереноса в полуограниченной однородной среде с нелокальными граничными условиями:
u  t ,0   ku  t ,2l1   0, k   1   2  /  1   2  ,
и математической модели теплопереноса в полуограниченной двухслойной
среде с условиями идеального контакта (11)-(13). Впервые показано, что температурное поле в математической модели с нелокальными граничными условиями u  x, t  имеет вид
u  x, t    1   2 
1
 21u1  x, t   1  2  u2  2l1  x, t  ,0  x  l1
u  x, t   u1  x, t  , l1  x,
где u1  x, t  , u2  x, t   температурное поле в двухслойной модели теплопереноса.
Метод операторов преобразования оказался успешен в теории некорректных задач. Нами была исследована ретроспективная обратная задача, состоящая в восстановлении априори неизвестного начального состояния динамической системы по ее известному финальному состоянию. Если вектор-функция
f ( x )  J 4,1  f  ( x ) задает финальное состояние динамической системы модельной задачи (1)-(4), а функция u  0, x  - решение модельной ретроспективной за18
дачи, то решение обратной задачи теплопереноса в двухслойной неограниченной среде находится по формуле u(0, x)  J1,4 u(0, x) .
Метод операторов преобразования применяется в задаче продолжения
стационарного поля в двухслойной среде: найти ограниченное решение сепаратной системы уравнений Лапласа (16) по значению поля на прямой x  
u1  , y   f  y  , y  R,
и внутренним условиям сопряжения (18). Если u  x, y  – решение модельной
задачи продолжения поля для однослойной среды, то решение задачи продолжения поля в двухслойной среде вычисляется оператором преобразования:
K
K
u1 ( x, y ) 
u(a11 x, y ) 
u(a11 (2l  x ), y ), u2 ( x, y )  u(a21 ( x  l )  a11l , y ).
2
2
1
1
где K  a11  2a2 . При этом решение модельной задачи продолжения поля вычисляем любым методом регуляризации.
В пятой главе «Численные методы реализации метода матричных интегральных преобразований и метода операторов преобразования» представлен
алгоритм регуляризации по Тихонову матричного интегрального преобразования Фурье для модели взаимосвязанного тепломассообмена в двухслойной
среде и его реализация в Borland Delphi 7. На основе точных формул (8) создан
вычислительный алгоритм, в котором интеграл в формуле обращения Фурье заменяем квадратурной формулой
2 N 2k t
u  t , xi    e   xi ,  k  f   k wk ,
 k 1
где wk  веса квадратурных формул. В процессе нахождения решения u  t , xi 
вызывается подпрограмма вычисления матричного интегрального преобразования Фурье с помощью квадратурной формулы,
M
f   k       j ,  k  f   j  w j ,
j 1
где w j  веса квадратурных формул.
В диссертационной работе метод фундаментальных базисных решений
(Купрадзе В.Д., Васильев А. Н., Тархов Д. А., Горбаченко В.И.) распространен
на многокомпонентный случай. Рассмотрим задачу Коши (1)-(2) для неограниченной однородной среды. Пусть найдена аппроксимации начального условия
f  x  матричнозначными гауссианами


x  yj
1
N
1
f  x    j 1
A exp   A 2

4t j
2 t j

тогда аппроксимация решения задачи Коши имеет вид:
19

2

w ,
 j

2


1
2  x  yk 
w k .
u  t , x    k 1 A
exp   A

4(t  k ) 
2 (t  k )


N
1
При этом система уравнений теплопроводности выполняется точно, а
начальное условие выполняется с заданной точностью  . Из формулы Пуассона для решения системы уравнений тепломассопереноса следует, что если
найдена аппроксимация начального условия в равномерной метрике с заданной
точностью  , то с той же точностью  будет получена равномерная по времени
t  0,T  аппроксимация решения задачи Коши.
Реализован итерационный алгоритм последовательного отражения в задаче
Дирихле для двухслойной среды (16)-(18). Алгоритм основан на конструкции
оператора преобразования (19). На основе модельных решений в областях с односвязной границей строятся последовательные приближения стационарного
температурного поля в многослойной среде. Погрешность вычислений убывает
в геометрической прогрессии от числа итераций.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
Подводя итоги проведённого исследования, можно сформулировать следующие основные результаты и выводы.
1. Диссертация является научно-квалификационной работой, в которой решен комплекс научных проблем математического моделирования взаимосвязанных процессов тепломассопереноса в многослойных и однослойных
средах, позволивший оптимизировать процесс проектирования композиционных технологических конструкций.
2. Установлены функциональные связи между линейными математическими
моделями тепломассопереноса посредством изоморфизма на базе теории
матричных интегральных преобразований. В итоге разработан новый
подход к аналитическому исследованию процессов тепломассопереноса,
в котором на основании имеющейся информации об известной модели
тепломассопереноса устанавливают информацию о вновь поставленной
модели тепломассопереноса.
3. Создана теория матричных интегральных преобразований, учитывающая
перекрестные эффекты, в качестве научной основы математического моделирования процессов взаимосвязанного тепломассопереноса в различных однородных и кусочно-однородных средах, позволившая получить
замкнутые выражения компонент термодинамических процессов.
4. Выполнен аналитический расчет компонент взаимосвязанного тепломассопереноса в модифицированной постановке внутренних условий сопря-
20
жения в многослойных средах методом матричных интегральных преобразований, учитывающей перекрестные эффекты.
5. Разработана концепция операторов преобразования, опирающаяся на
групповую природу матричных интегральных преобразований. На ее основе установлена возможность интерпретации вновь исследуемой модели
тепломассопереноса посредством эталонной модели тепломассопереноса.
6. На базе теории операторов преобразования создан и протестирован модифицированный метод последовательных приближений компонент взаимосвязанного тепломассопереноса, в котором в качестве нулевого приближения выступает модельное решение, а все остальные приближения
получаются последовательным отражением от внешней и внутренних границ.
7. Выявлены существенные отличия взаимосвязанных математических моделей от несвязанных: на одних и тех же данных компоненты взаимосвязанной и несвязанной моделей тепломассопереноса могут отличаться до
19%. Указанные отличия обнаружены в результате анализа замкнутых выражений компонент тепломассопереноса и подтверждены вычислительным экспериментом.
8. Предложен новый подход в интерпретации результатов наблюдений для
взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса в многослойных средах. Суть данного подхода состоит в том, что решение ретроспективной задачи и задачи продолжения поля получаются из решения
соответствующих эталонных задач в однослойных средах.
9. Модифицирован метод матричных интегральных преобразований, основанный на расщеплении ядра в пространственную и временную компоненты, для описания процессов тепло- и массопереноса в кусочнооднородных средах с переменными граничными условиями.
10. Создан вычислительный алгоритм определения компонент взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса для многослойных тел
с плоской симметрией, в котором реализована процедура отражения модельного решения от границ.
11.Разработан комплекс программ с нейросетевой реализацией в среде
МаtLab для вычисления компонент взаимосвязанного тепломассопереноса
в многослойных средах, основанный на модификации метода фундаментальных базисных решений и учитывающий условия сопряжения.
12. Результаты диссертационного исследования могут быть использованы в
машиностроении для оптимизации и совершенствования способов и техники подачи СОЖ, в строительстве при проектировании ограждающих
конструкций, при конструировании теплового оборудования промышленных предприятий, при совершенствовании технологии фильтрации химических производств, а также в учебном процессе в подготовке инженерных и научных кадров.
21
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Монографии
1. Баврин, И. И. Спектральная теория матричных гибридных операторов
и ее применения / И. И. Баврин, В. Л. Матросов, О. Э. Яремко. – М. : Прометей,
1996. – 236 с.
2. Яремко, О. Э. Матричные гибридные интегральные преобразования и
их применения / О. Э. Яремко. – Киев : Ин- т математики НАН Украины, 1997.
– 117 с.
3. Ленюк, М. П. Матричные интегральные преобразования / М. П. Ленюк, О. Э. Яремко. – Киев : Ин-т математики НАН Украины, 1999. – 240 с.
4. Баврин, И. И. Интегральные преобразования и представления функций в действительной и комплексной областях / И. И. Баврин, В. Л. Матросов,
О. Э. Яремко. –М. : Прометей, 2000. – 416 с.
5. Баврин, И. И. Операторный метод в теории интегральных преобразований и представлений / И. И. Баврин, В. Л. Матросов, О. Э. Яремко. – М. :
Прометей, 2001. – 350 с.
6. Баврин, И. И. Операторы преобразования в анализе, математической
физике и теории распознавания образов / И. И. Баврин, В. Л. Матросов, О. Э.
Яремко. – М.: Прометей, 2006. – 292 с.
7. Баврин, И. И. Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей / И. И. Баврин, В. Л.
Матросов, О. Э. Яремко. – М.: Прометей, 2016. – 358 с.
8. Iaremko, O. E. Matrix Fourier Integral Transforms for Coupled Mathematical Models / O. E. Iaremko // Nonlinearity: Problems, Solutions and Applications. –
Vol. 1. Chapter 9. – Hauppauge, New York : Nova Science Publishers, 2017. – P.
151–170.
Статьи в изданиях из списка ВАК РФ и SCOPUS
9. Баврин, И. И. Интегральные представления в областях ТемляковаВейля / И. И. Баврин, О. Э. Яремко // Доклады Академии наук СССР. – 1986. –
Т. 289, № 6. – C. 1293–1996.
10. Баврин, И. И. Интегральные преобразования Фурье на компактах из
n
R и их приложения к проблеме моментов / И. И. Баврин, О. Э. Яремко // Доклады Академии наук. –2000. – Т. 374, № 2. – C. 154–156.
11. Баврин, И. И. Операторный метод в теории интегральных преобразований для кусочно-однородных сред / И. И. Баврин, О. Э. Яремко // Доклады
Академии наук. – 2001. – Т. 379, № 3. – С. 295–298.
12. Баврин, И. И. О локализации средних Рисса спектральных разложений
в кусочно - однородном полупространстве / И. И. Баврин, О. Э. Яремко // Доклады Академии наук. –2002. – Т. 387, № 5. – C. 586–588.
13. Баврин, И. И. Операторы преобразования и краевые задачи теории
гармонических и бигармонических функций / И. И. Баврин, О. Э. Яремко // Доклады Академии наук. – 2003. – Т. 393, № 4. – C. 439–444.
22
14. Баврин, И. И. Операторы преобразования и краевые задачи / И. И.
Баврин, О. Э. Яремко // Дифференциальные уравнения. – 2004. – Т. 40, № 8. –
C. 1085–1095.
15. Яремко, О. Э. Операторы преобразования в задаче о структуре электромагнитного поля в многослойной среде / О. Э. Яремко // Радиотехника.
Электромагнитные волны и электронные системы.– 2006. – Т. 11, № 9. – С. 4–8.
16. Яремко, О. Э. Интегральные преобразования Фурье в задаче о структуре нестационарного температурного поля на кусочно-однородной полуоси /
О. Э. Яремко // Вестник Российского университета дружбы народов. Сер.: Физико-математические науки. – 2006. – № 1. – С. 42–48.
17. Яремко, О. Э. Метод операторов преобразования для решения краевых задач в сферически-симметричных областях / О. Э. Яремко // Доклады
Академии наук. – 2006. – Т. 409, № 2. – С. 167–170.
18. Яремко, О. Э. Метод операторов преобразования для решения векторных краевых задач / О. Э. Яремко // Доклады Академии наук. –2007. – Т. 415, №
1. – С. 31–35.
19. Яремко, О. Э. Матричные интегральные преобразования Фурье для
задач с n точками деления и операторы преобразования / О. Э. Яремко // Доклады Академии наук. – 2007. – Т. 417, № 3. – С. 323–325.
20. Яремко, О. Э. Решение обратных краевых задач в кусочнооднородных средах методом регуляризации / О. Э. Яремко // Программные
продукты и системы. Приложение к международному журналу «Проблемы теории и практики управления». – 2007. – Т. 3, № 79. – С. 91–92.
21. Яремко, О. Э. Параллельные вычисления для преобразования Фурье с
разрывными коэффициентами / О. Э. Яремко, Н. Н. Яремко // Вестник Тамбовского Университета Сер.: Естественные и технические науки. – 2010. – Т. 15, №
4. – С. 1436–1442.
22. Яремко, О. Э. Решение динамической задачи теории упругости для
кусочно-однородного полупространства методом векторных преобразований
Фурье / О. Э. Яремко // Труды института системного анализа РАН. Динамика
неоднородных систем. – 2010. – Т. 53 (1), № 14. – С. 45–56.
23. Яремко, О. Э. Задача продолжения функции, гармонической в шаре /
О. Э. Яремко, Ю. А. Парфенова // Вестник Московского государственного областного университета серия «Физика-математика». –2010. – №3. –С. 3 – 9.
24. Яремко, О. Э. Интегральные представления функций гармонических в
кольце / О. Э. Яремко, Т. В. Елисеева // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского. Физико-математические
и технические науки. – 2010. – № 18 (22). – С. 38–43.
25. Яремко, О. Э. Оптимальное граничное управление в третьей краевой
задаче для уравнения Лапласа в шаре / О. Э. Яремко, Ю. А. Парфенова // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. – 2010. – № 18 (22). –
С. 46–51.
23
26. Яремко, О. Э. Задача продолжения функции гармонической в шаре
B  E N / О. Э. Яремко // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского. Физико-математические и технические
науки. – 2010. – № 18 (22). – С. 34 – 38.
27. Яремко, О. Э. Решение смешанной краевой задачи с внутренними
условиями сопряжения для уравнения Лапласа в кольце / О. Э. Яремко, А. А.
Малышев // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского. Физико-математические и технические. – 2010. –
№ 18 (22). – С. 43–46.
28. Яремко, О. Э. Аналитическое решение задачи о продолжении потенциала в кольце с внутренней окружности и задача Адамара / О. Э. Яремко //
Вестник МГТУ Станкин. – 2011. – № 1 (13). –C. 102–110.
29. Яремко, О. Э. Векторное преобразование Фурье с n точками деления и
его применение в теории упругости / О. Э. Яремко, А. А. Малышев // Вестник
Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. –2011.
– № 8 (89). –C. 50–58.
30. Яремко, О. Э. Решение статических задач теории упругости для кусочно-однородного полупространства методом векторных преобразований
Фурье / О. Э. Яремко // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского физико-математические и технические
науки. – 2011. – № 26. – C. 331 – 340.
31. Яремко, О. Э. Моделирование движения вязкой жидкости под действием поверхностной нагрузки / О. Э. Яремко, А. А. Малышев // Известия
Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. – 2011. – № 26. – C. 340–347.
32. Яремко, О. Э. Интегральные преобразования с неразделенными переменными и разрывными коэффициентами / О. Э. Яремко // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского физико-математические и технические науки. –2012. – № 30. – C. 225–232.
33. Яремко, О. Э. Функции Эрмита с n точками деления для решения ретроспективной задачи фрактальной диффузии / О. Э. Яремко // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского
физико-математические и технические науки. – 2012. – № 30. – C. 232–241.
34. Яремко, О. Э. Интегральные представления гармонических и бигармонических в шаре функций в математических моделях интерпретации результатов граничных наблюдений / О. Э. Яремко, Е. Г. Журавлева // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского.
Физико-математические и технические науки. – 2012. – № 30. – C. 241–248.
35. Yaremko, O. E. The Fourier Transform with piecewise trigonometric kernels and its Applications / O. E. Yaremko, V. D. Selutin, N. N. Yaremko // WSEAS
transactions on Mathematics. – 2014. – Vol. 13. – P. 615–627.
24
36. Yaremko, O. E. Integral Transforms with Non-separated Variables and
Discontinuous Coefficients / O. E. Yaremko // Journal of Mathematical Physics,
Analysis, Geometry. –2013. – Vol. 9, № 4. – P. 594–603.
37. Яремко, О. Э. Моделирование потенциальных полей в средах с тонким включением методом деформирующих операторов / О. Э. Яремко, Е. С.
Могилева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2013. – № 4 (28). – C. 49–60.
38. Yaremko, O. E. A generalization of the Poisson integral formula for the
functions harmonic and biharmonic in a ball / O. E. Yaremko // Siberian Adv. Math.
–2014. – Vol. 24, № 3. – P. 222–227.
39. Баврин, И. И. Обращение обобщенного оператора Римана – Лиувилля
с помощью интегрального преобразования Лапласа / И. И. Баврин, О. Э. Яремко // Уфимский математический журнал. – 2016. – Т. 8, № 3. – С. 41–48.
40. Баврин, И. И. Реконструкция функции, аналитической в единичном
круге из C / И. И. Баврин, О. Э. Яремко // Владикавказский математический
журнал. – 2017. – Т. 19, № 1. – C. 3–10.
41. Яремко, О. Э. Статистические структуры, порождаемые рандомизированными плотностями распределения / И. И. Баврин, О. Э. Яремко, В. И. Паньженский // Чебышевский сборник. – 2015. – Т. 16, № 4. – P. 28–40.
Публикации по теме диссертации в других изданиях
42. Яремко, О. Э. Интегральные представления гармонических и бигармонических функций в единичном шаре / О. Э. Яремко // Математичнi Студiї. –
2013. – Т. 39, № 1. – C. 67–73.
43. Yaremko, O. Matrix Fourier Transforms for Consistent Mathematical
Models / O. Yaremko, N. Yaremko // Hindawi, Chinese Journal of Mathematics. –
2016. – P. 1–10.
44. Lenuk, M. P. Matrix Integral Fourier- type 2q-order transforms on real axis
with n contact points / M. P. Lenuk, O. E. Yaremko // Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь. Київ. Ин-т мат-ки. – 1998. – Вып. 2. – P. 185–192.
45. Яремко, О. Э. Операторы преобразования в теории смешанных краевых задач кусочно-однородных структур / О. Э. Яремко, Т. В. Елисеева // Труды Средневолжского математического общества. – 2005. – Т. 7, № 1. – С. 223–231.
46. Яремко, О. Э. Метод операторных преобразований для функций
бигармонических в шаре / О. Э. Яремко, Ю. А. Парфенова // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского. –
2009. – № 17. – C. 53–57.
47. Yaremko, O. Matrix Fourier Transforms and Application / O. Yaremko, O.
Nikitina, E. Zuravleva // International Journal of Partial Differential Equations and
Applications. – 2014. – № 2(5). – P. 91–95.
48. Yaremko, O. Fourier-type integral transforms in modeling of transversal
oscillation / O. Yaremko, N. Yaremko, N. Tyapin // International Journal of Applied
Mathematics, Electronics and Computers. – 2015. – Vol. 3, № 1. – P. 18–22.
49. Yaremko, O. Hermite functions with discontinuous coefficients for the so25
lution of fractal diffusion retrospective problems / E. Mogileva, O. Yaremko // International journal of applied mathematics and informatics. – 2013. – Vol. 7, № 3. – P.
78–86.
50. Yaremko, O. The Solution of Fractal Diffusion Retrospective Problem /
O. Yaremko, E. Mogileva // Applied Mathematics and Physics. – 2013. – Vol. 1, №
3. – P. 60–66.
51. Yaremko, O. The Cauchy problem and Hadamard’s example / E. Mogileva,
O. Yaremko // Global Journal of Mathematical Analysis. – 2013. – Vol. 1 (2). – P. 48 – 52.
52. Yaremko, O. Vector transform operators / O. Yaremko // Asian Journal of
Mathematics and Physics. – 2013. – P. 1–8.
53. Yaremko, O. Boundary Value Problem for two-layer half-plain / O.
Yaremko // Asian Journal of Mathematics and applications. – Vol. 2013. – P. 1–10.
54. Yaremko, O. Vector Transformation Operators for a Systems Partial Differential Equation / O. Yaremko, N. Yaremko, T. Eliseeva // International Journal of
Partial Differential Equations and Applications. – 2015. – Vol. 3.1. – P. 7–11.
55. Yaremko, O. Transformation operators and their applications for modeling
in two-layer media / O. Yaremko, N. Yaremko // Global Journal of Mathematical
Analysis. – 2014. – Vol. 2, № 4. – P. 1–10.
56. Yaremko, O. On a New Formulas for a Direct and Inverse Cauchy Problems of Heat Equation Coefficients / O. Yaremko, N. Yaremko // International Journal of Partial Differential Equations and Applications, Science and Education Publishing. – 2014. – Vol. 2, № 1. – P. 1–6.
57. Yaremko, O. Integral Fourier Transforms with Discontinuous Coefficients /
O. Yaremko, N. Yaremko // International journal of pure mathematics. – 2014. – Vol.
1. – P. 43–46
Доклады на международных конференциях и семинарах
58. Яремко, О. Э. Матричные интегральные преобразования в задачах
движения вязкой жидкости под действием поверхностной нагрузки / О. Э.
Яремко // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Вып. 14. Материалы второй Международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем». – М., 2011. – С. 396–403.
59. Яремко, О. Э. Матричные интегральные преобразования для (n+1)слойного полупространства / О. Э. Яремко, М. П. Ленюк // Дифференциальные
уравнения. Интегральные уравнения, специальные функции : тезисы докл. –
Самара, 1997. – С. 99–100.
60. Яремко, О. Э. Преобразования с ядрами Миттаг-Леффлера на кусочно-однородной полуоси и их обращение при помощи преобразований Фурье /
О. Э. Яремко // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти
Н. В. Ефимова : тезисы докл. – Абрау-Дюрсо, 1998. – С. 140–141.
61. Яремко, О. Э. Моделирование явлений теплопроводности в кусочнооднородных структурах / О. Э. Яремко // Проблемы информатики в образова-
26
нии, управлении, экономике и технике : сб. ст. VII Междунар. науч.-техн. Междунар. конф. – Пенза : ПДЗ, 2007. – С. 36–40.
62. Яремко, О. Э. Формулы Кирхгофа для решения волнового уравнения в
кусочно-однородном пространстве / О. Э. Яремко // Проблемы информатики в
образовании, управлении, экономике и технике : сб. статей IX Междунар. научно-техн. конф. – Пенза : ПДЗ, 2009. – С. 119–121.
63. Яремко, О. Э. Задача продолжения потенциала в шаре с внутренней
сферы из E N / О. Э. Яремко // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике : сб. ст. Междунар. науч.-техн. конф. – Пенза :
ПДЗ, 2010. – С. 58–62.
64. Яремко, О. Э. Моделирование поперечных колебаний упругого кусочно-однородного стержня / О. Э. Яремко // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике : сб. ст. XI Междунар. науч.-техн.
конф. – Пенза : ПДЗ, 2011. – С. 51–53.
65. Яремко, О. Э. Метод матричных преобразований Фурье с n точками
деления в динамических задачах упругости / О. Э. Яремко // Моделирование
нелинейных процессов и систем : сб. тезисов второй Междунар. конф. – М. :
Станкин, 2011. – С. 285–286.
66. Яремко, О. Э. Формулы типа Даламбера для волнового уравнения на
двухслойной действительной оси в CAS Maxima / О. Э. Яремко // Проблемы
информатики в образовании, управлении, экономике и технике : сб. ст. XVI
Междунар. науч.-техн. конф. – Пенза : ПДЗ, 2016. – С. 62–65.
67. Яремко, О. Э. Метод радиально базисных функций для гауссовой
фильтрации сигналов и его реализация в MatLab / О. Э. Яремко, Н. Н. Яремко //
Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике : сб.
ст. XVII Междунар. науч.-техн. конф. – Пенза : ПДЗ, 2017. – С. 65–68.
68. Яремко, О. Э. Метод радиально базисных функций в задаче Дирихле
для уравнения Лапласа и его реализация в MatLab / О. Э. Яремко, Д. А. Хоцян //
Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике : сб.
ст. XVII Междунар. науч.-техн. конф. – Пенза : ПДЗ, 2017. – С. 69–73.
69. Яремко, О. Э. Метод операторов преобразования для математического
моделирования полей в кусочно-однородных средах / O. E. Iaremko // Моделирование нелинейных процессов и систем: тезисов третьей Междунар. конф. –
М.: Станкин, 2015. – C. 185–186.
70. Gorbachenko, V. I. Kernel basis functions method for coupled mathematical models of heat and mass transfers / O. E. Iaremko, V. I. Gorbachenko, M. M.
Alqezweeni // International conference on mathematical modelling in applied sciences. – Saint Petersburg-Russia, SPbPU Publication, 2017. – P. 79–80.
27
Научное издание
Яремко Олег Эмануилович
МАТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ
ПОЛЕЙ В МНОГОСЛОЙНОЙ СРЕДЕ
Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
Редактор
Технический редактор
Компьютерная верстка
Подписано
в
печать
00.00.2018.
Усл. печ. л. 2,56. Заказ № 000. Тираж 000.
28
Формат
60×841/16.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа