close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическое моделирование взаимодействия электромагнитной волны с металлическими мезо- и наночастицами

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Буренок Яна Сергеевна
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
С МЕТАЛЛИЧЕСКИМИ МЕЗО- И НАНОЧАСТИЦАМИ
Специальность: 05.13.18 – Математическое моделирование, численные
методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва 2017
Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном
образовательном
учреждении
высшего
образования
«Московский
государственный технологический университет «СТАНКИН».
Научный руководитель:
Уварова Людмила Александровна,
доктор
физико-математических
наук,
профессор, заведующая кафедрой прикладной
математики ФГБОУ ВО «МГТУ «СТАНКИН».
Официальные оппоненты:
Бычков Владимир Львович,
доктор физико-математических наук, ведущий
научный сотрудник кафедры физической
электроники отделения радиофизики и
электроники физического факультета ФГБОУ
ВО
«Московский
государственный
университет имени М.В. Ломоносова»;
Кузнецова Ирина Александровна,
доктор
физико-математических
наук,
профессор, проректор по учебной работе
ФГБОУ ВО «Ярославский государственный
университет им. П.Г. Демидова».
Ведущая организация:
федеральное государственное автономное
образовательное
учреждение
высшего
образования
«Московский
физикотехнический
институт
(государственный
университет)».
Защита состоится «27» марта 2018 года в 14:00 ч. на заседании
диссертационного совета Д 212.142.03 при ФГБОУ ВО «Московский
государственный технологический университет «СТАНКИН» по адресу:
127994, г. Москва, Вадковский пер., д.1.
С диссертацией можно ознакомится в библиотеке и на сайте ФГБОУ ВО
«МГТУ «СТАНКИН», www.stankin.ru.
Автореферат разослан «___»______________ 2018 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Д 212.142.03, к.т.н.
Тюрбеева Татьяна Борисовна
2
Общая характеристика работы
Актуальность исследования. С каждым годом во всем мире интерес к
наночастицам, в частности металлическим, возрастает. Это связано с тем, что
благодаря присущим им уникальным химическим и физическим свойствам
использование таких структур на практике крайне широко. Свойства
наноструктур можно регулировать за счет изменения размера, формы, состава и
атомного упорядочения, и вследствие этого поведение малых частиц может
значительным образом отличаться от объемного вещества.
Такие различия проявляются в оптических, колебательных, магнитных и
электрических характеристиках. Эти эффекты обусловлены изменениями
электронных и ионных свойств решетки металлов и усилением их
взаимодействия с окружающей средой в связи с увеличением количества
атомов, расположенных близко к поверхности частиц.
В особенности характеризуются специфическими физическими
свойствами малые наночастицы (размер меньше, чем несколько нанометров),
так как в данном случае начинают играть важную роль квантовые эффекты,
приводящие к трансформированию поведения наноструктур от поведения как
малых твердых частиц (квазиконтинуум электронных состояний в зоне
проводимости) к молекулярному поведению (дискретные энергетические
уровни).
Изменения свойств в сравнении с объемными металлами пробудили
интерес в развитии различных технологических приложений металлических
наночастиц и мотивировали большое количество фундаментальных
исследований, посвященных изучению размерных эффектов, структурных
характеристик нанообъектов и их взаимодействия с окружающей средой.
Благодаря проявлению квантовых эффектов, перспективно применение
металлических наночастиц в наноэлектроннике, например, в одноэлектронных
туннельных транзисторах (SET), наноплазмоннике и нанофотоннике. Также в
последнее время большое внимание уделяется разработке новой технологии
изготовления композитных материалов для создания сверхточных оптических
приборов, а также уникальных элементов записи, обработки и хранения
информации. В энергетике наночастицы используются для создания
фотогальванических элементов и батарей.
Высокая селективность, малые размеры и биосовместимость, позволяют
эффективно применять наносистемы для прикладных исследований в
биоинженерии и медицине. В частности, высокие результаты дает технология
обнаружения раковых клеток с использованием золотых наночастиц. А из-за
способности вызывать поверхностный плазмонный резонанс эффективно
использование металлических наноструктур в Рамановской спектроскопии в
качестве субстратов. Также перспективно применение наночастиц в области
экологии – в процессах очистки почвы и сточных вод от опасных продуктов
(например, хлорсодержащих органических веществ и нитратов).
В России большое развитие получила область наноприборостроения.
Наночастицы металлов применяют в силовом нанопозиционере (устройстве,
3
которое дает возможность перемещать на нанорасстояния объекты массой
несколько тонн), а также в качестве зонда в сканирующих зондовых
микроскопах.
Параллельно разрабатываются новые устройства, позволяющие изучать
малые частицы. Появление фемтосекундых лазеров дает возможность
исследовать ультрабыстрый отклик и выход из состояния оптического
равновесия. А недавние достижения в методах синтеза позволяют изготовлять
металлические кластеры все более малых размеров.
Сферы
приложения
металлических
наносистем
значительно
расширяются, если рассматривать не только однокомпонентные структуры, а
также структуры, состоящие из двух элементов. Биметаллические частицы
могут проявлять не только комбинацию свойств, обусловленных присутствием
двух чистых металлов, но также и новые, являющиеся результатом
синергетических эффектов между ними, свойства. В результате по сравнению с
монометаллическими системами, биметаллические частицы могут показывать
более высокую каталитическую активность и реакционную способность. В
связи с этим использование биметалличеcких наночастиц в различных областях
становится все более приоритетным.
Однако особые свойства наноструктур, как физические, так и
химические, кроме положительных аспектов несут в себе большие риски.
Несмотря на перечисленные выше достоинства, наночастицы (и
биметаллические, и состоящие из чистых металлов) могут представлять
опасность с точки зрения экологической стабильности. Наночастицы способны
индуцировать свободные радикалы, что может привести к изменению функций
живых организмов, в том числе вызвать конъюгирование ДНК.
В связи с этим ввиду поиска способов управления металлическими
частицами в настоящее время становится актуальным изучение возможности
взаимодействия электромагнитного излучения с металлическими мезо- и
наноструктурами.
Степень разработанности темы. Взаимодействие электромагнитной
волны с частицами различной геометрии рассматривались различными
авторами. В 1908 году Г. Ми предложил решение для компонент векторов поля
рассеянной волны в задаче падения плоской монохроматической волны на
одиночную сферическую частицу. Именно эта работа стала основой
многочисленных исследований, касающихся вопросов дифракции света. Вскоре
решение Ми было подтверждено П. Дебаем при изучении давления света на
проводящую сферу.
В 1951 году А. Аден и М. Крекер, а в 1952 А. Гуттлер расширили теорию
Ми на случай оболочечной сферы. Этот результат был более точно
воспроизведен К. Фуллером. Дальнейшее развитие теории на случай
произвольного числа слоев было предложено Р. Бандари и М. И. Мищенко. На
основе классической теории Ми А Ф. Боргезе, Д. Нго и их коллеги исследовали
дальнее рассеянное поле, возникающее при падении электромагнитной волны
на диэлектрическую частицу с неконцентрическим сферическим включением.
4
Большое количество работ посвящено взаимодействию электромагнитных волн
с дисперсными средами. Такую задачу, например, рассматривали Д.
Маковский, а также Е.А. Иванов и И.В. Кривенко. Однако, расчеты поля для
металлических двухслойных частиц с вытекающим отсюда условием, что на
диэлектрическую проницаемость таких структур оказывает влияние частота
падающего излучения, внутренняя структура вещества, а также размерные
эффекты, недостаточно развиты.
Решению задачи падения света на цилиндрическую частицу,
базирующемуся на теории Ми, было уделено внимание А. Ван Дер Мауленом,
Д. Сомерфордом, С. Шармой, Г. Виденом и П. Чиликом. Влияние
электромагнитного поля на коллективы цилиндрических частиц рассматривали
различные авторы. Например, Л. А. Уваровой и В. К. Федяниным были
найдены асимптотические решения для задачи падения электромагнитной
волны на оптически нелинейный цилиндр, диэлектрическая проницаемость
которого зависит от поля.
Вместе с тем, в большинстве случаев рассматриваются только
поперечные электромагнитные волны. Однако известно, что наравне с
поперечными волнами в задаче взаимодействия электромагнитной волны с
мезо- и наночастицами возникают также и продольные волны. В связи с этим
представляет интерес построение модели распространения именно продольных
волн в малых структурах. В 2007 году на примере H 2 -газа Э. Лорин, С.
Человски и А. Бандраук на базе уравнений Максвелла-Шредингера предложили
подход, согласно которому можно рассчитать продольную составляющую
электромагнитной волны с учетом поперечной. Тем не менее, такая задача для
металлических систем, то есть, с учетом большого количества сложных
внутренних взаимодействий, не была ими рассмотрена.
Целью диссертационной работы является построение математической
модели взаимодействия электромагнитного излучения с моно- и
биметаллическими мезо- и наночастицами, в том числе с учетом возникновения
продольной составляющей электрического вектора электромагнитного поля.
Для достижения поставленной цели в настоящей работе была решена задача,
включающая следующее:
1. Разработка
математических
моделей
задачи
дифракции
электромагнитной волны на биметаллических и монометаллических малых
частицах с учетом влияния свойств и размеров частиц на характеристики поля,
а также метода определения электрического вектора электромагнитной волны с
учетом его продольной составляющей.
2. Разработка алгоритма на основе предложенных моделей для
нахождения модуля напряженности электромагнитного поля.
3. Реализация комплекса программ с применением современных методов
математического
моделирования
для
проведения
вычислительного
эксперимента и исследования поведения малой металлической частицы под
влиянием внешнего поля.
5
Предметом исследования являются металлические наносистемы на
примере неоднородной сферической частицы, а также цилиндра и сферы с
нелинейными свойствами.
Объектом исследования является математическая модель задачи
дифракции электромагнитной волны на малых металлических частицах
различной геометрии и свойств при условии внутренних взаимодействий в
системе.
Научная новизна результатов исследования:
1. В задаче дифракции электромагнитной волны на металлических мезои наночастицах установлена структура связей между оптическими
характеристиками поля и внутренними свойствами частиц, особенностью
которых является проявление размерных эффектов и квантовых свойств ввиду
малых размеров рассматриваемых структур.
2. Исходя из установленных связей, разработан метод построения
электрического вектора электромагнитного поля, учитывающий продольную
компоненту, для модели взаимодействия электромагнитного поля с малыми
нелинейными металлическими сферической и цилиндрической частицами.
3. Построены математические модели взаимодействия электромагнитного
поля с неоднородными и нелинейными малыми металлическими частицами
различной геометрии с диэлектрическими проницаемостями, зависящими от
внутренних свойств металла, а также от величины электрического вектора, в
том числе с учетом формирования продольных волн.
4. На базе построенных моделей разработаны алгоритмы для нахождения
напряженности электромагнитного поля с использованием предложенного
метода определения продольной составляющей электромагнитного поля, а
также численных и квантово-механических подходов.
5. На основе построенных алгоритмов реализован программный
комплекс, позволяющий проводить расчеты для неоднородных и нелинейных
малых металлических частиц при условии влияния на них электромагнитной
волны.
Теоретическая значимость заключается в предложении новых моделей
взаимодействия электромагнитной волны с биметаллической частицей, а также
новом методе нахождения значений вектора напряженности для металлических
частиц на основе связи теорий Максвелла и Шредингера. Данные модели и
метод могут служить основой для их дальнейшего развития на более сложные
системы, например, на коллективы неоднородных или нелинейных частиц.
Материалы диссертации используются в учебном процессе на кафедре
«Прикладная математика» ФГБОУ ВО «МГТУ «СТАНКИН».
Практическая значимость. Знание законов рассеяния света в
конкретных случаях делает возможным и решение обратной задачи: по
различным характеристикам рассеянного света определить геометрию и состав
систем частиц, на которые этот свет направлен, что, в свою очередь, может
быть использовано специалистами для определения состава, например,
аэрозолей в атмосфере. Результаты, которые были получены в диссертационной
6
работе, позволяют сделать оценку влияния различных параметров (структуры,
состава частиц, взаимного расположения металлов, размера, а также частоты
падающего излучения) на величину рассеянного света. За счет варьирования
данных параметров возможно изменять, кроме характеристик рассеянного,
также и характеристики поглощенного поля, что в свою очередь влияет на
различные тепловые эффекты, происходящие внутри частицы под действием
электромагнитного поля падающей волны.
Метод расчета продольной составляющей электромагнитной волны с
применением решения для поперечной составляющей позволяет более точно
определять величину электромагнитного поля для малых частиц, для которых
сильны квантовые эффекты. Это дает дополнительный аппарат управления
металлическими частицами в различных химических и физических процессах.
Методологическая база исследования. В настоящей работе
использовались теория Ми, общие положения теории представления групп,
метод Хартри-Фока, модель «желе», численные методы решения матричных
уравнений (LUP-метод, метод прогонки), итерационные методы, спектральносеточные методы, методы нелинейной оптики.
Программный комплекс разработан на языке Matlab в пакете прикладных
программ Matlab2015а.
Положения, выносимые на защиту:
1. Математическая модель взаимодействия электромагнитного изучения
со сферической биметаллической частицей вида «core-shell» с симметричным и
несимметричным расположением ядра, диэлектрическая проницаемость
которой зависит от характерного размера частицы, свойств вещества, а также
частоты падающего излучения.
2. Численно-аналитический метод построения решения для задачи
взаимодействия электромагнитного поля с металлическими частицами,
диэлектрическая проницаемость которых зависит от поля, с учетом
возникновения в системе продольных волн на основе модели МаксвеллаШредингера.
3. Алгоритмы вычисления полного электрического вектора для случая
взаимодействия электромагнитного излучения с биметаллической сферической
наночастицей, а также с малой монометаллической частицей цилиндрической и
сферической геометрии с нелинейными свойствами.
4. Программный комплекс для проведения вычислений на основе
построенных алгоритмов.
Степень
достоверности
результатов
обусловлена
проверкой
компонентов программного комплекса для неметаллических частиц и
соответствием полученных результатов уже известным результатам
исследований.
Апробация полученных результатов:
Основные результаты и аспекты работы докладывались на
 международной научной конференции «Экология водных бассейнов и
водного транспорта», Россия, Москва, 2014 г.
7
21 международной конференции «Европейская аэрозольная
конференция» (EAC 2015), Италия, Милан, 2015 г.
 5 международной конференции по анализу и вычислительной
аппроксимации проблем сингулярности (IWANASP 2015), Португалия,
2015 г.
 3
международной конференции «Моделирование нелинейных
процессов и систем», Россия, Москва, 2015 г.
 конференции «Математика. Компьютер. Образование» (МКО), Россия,
г. Пущино/ г. Дубна, 2013 г., 2015 г., 2016 г., 2017 г.
 15 международной конференции по численному анализу и прикладной
математике (IСNAAM 2017), Греция, Салоники, 2015 г.
Основные результаты работы изложены в 11 печатных изданиях: из них 2
работы в журналах, входящих в перечень ВАК. Список публикаций приведен в
конце автореферата.
Соответствие паспорту специальности. Работа соответствует паспорту
специальности по следующим пунктам:

 Пункт 1. Разработка новых математических методов моделирования
объектов и явлений.
 Пункт 2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов
исследования математических моделей.
 Пункт 4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в
виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения
вычислительного эксперимента.
Полный объём диссертации составляет 134 страницы с 26 рисунками и 1
таблицей. Список литературы содержит 163 наименования.
Основное содержание работы
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации,
содержатся основные сведения, касающиеся работы (цель, практическая
ценность, основные результаты).
В первой главе содержится информация о состоянии на данный момент
поставленной в диссертации проблемы. Приведены некоторые технические
приложения задачи моделирования взаимодействия электромагнитного поля с
малыми металлическими частицами. Рассмотрены некоторые свойства и
методы получения металлических наночастиц. Описаны модели, на базе
которых проводилось решение поставленной в работе задачи. Подчеркивается,
что данная задача ранее в литературе не была рассмотрена.
В 1908 г. Ми было предложено решение для компонент векторов поля
рассеянной волны в случае одиночной однородной сферической частицы при
падении на нее плоской монохроматической волны:
8
Er( s ) 
cos   l 1
i (2l  1)all(1) (k0 r ) Pl (1) (cos ),

k0 r l
i l (2l  1) 
1
1
(1)'
(1)'
  cos  
 bll(1) (k0 r ) Pl (1) (cos )
 iall (k0 r ) Pl (cos )
l (l  1) 
k0 r
sin 
l

(s)
E

i l (2l  1) 
1
(1)'
(1)
  sin  
 bll(1) (k0 r ) Pl (1)' (cos ) ,
 iall (k0 r ) Pl (cos )
l (l  1) 
k0 r sin 
l


,


(s)
E
H r( s ) 
(s)
H
(1)
1 sin   l 1
i (2l  1)bll(1) (k0 r ) Pl (1) (cos ),

0 r l
i l (2l  1) 
1
1 
(1)
(1)

sin  
 ibll(1)' (k0 r ) Pl (1)' (cos )
 all (k0 r ) Pl (cos )
,
0
l (l  1) 
sin 
k0 r 
l
k0


i l (2l  1) 
1
(1)
(1)'
(1)'
(1)
H 
cos  
 all (k0 r ) Pl (cos )  ibll (k0 r ) Pl (cos )

0
l (l  1) 
k0 r sin  
l
где al и bl – коэффициенты рассеяния, которые находятся из граничных
2
условий; k0 
n0 – волновое число, относящееся к окружающей среде;
(s)
k0


n0   s – показатель преломления среды;  s – ее относительная
диэлектрическая проницаемость; где 0 – магнитная постоянная;  – частота
падающего излучения; Pl (1) (cos ) – присоединенные функции Лежандра.
Теория Ми стала классической базой для решения задач дифракции
электромагнитной волны на различных структурах. Однако, обратив внимание
на специфические свойства биметаллических наночастиц, актуально построить
модель взаимодействия электромагнитного поля именно с такими структурами,
при этом учитывая зависимость диэлектрической проницаемости металлов от
их внутренних свойств.
При решении задач влияния электромагнитной волны на частицы
авторами, как правило, уделяется внимание рассмотрению поперечных волн.
Однако известен факт, что возникает также и продольная волна. В 2007 году
Лорин и его коллеги предложили следующую модель для нахождения
продольной составляющей электромагнитной волны (ввиду малых размеров
объектов для упрощения записи используется система СГС):
2
A(r')
iA(r')   r
(T 

 V(r)) sh  Etot sh ,
с
2c2
*
P(r ')  n(r ')  shr sh
dr ,
  E  4 P(r ') .

(2а)
(2б)
(2в)
Данная модель была применена для H 2 -газа. Настоящую задачу можно
расширить и применить к металлическим системам, то есть рассмотреть
структуры с большим количеством сложных внутренних взаимодействий.
9
В второй главе проводится построение модели взаимодействия плоской
монохроматической электромагнитной волны с биметаллической частицей
вида «core-shell».
Развивая классическую теорию Ми, возможно получить решение также
для биметаллических частиц различной геометрии и структуры.
Рассматривается сферическая биметаллическая частица радиуса R=a+d,
где a – радиус ядра, а d – расстояние между «ядром» и «оболочкой».
Комплексный относительный показатель преломления «оболочки» обозначен
как m1 , «ядра» – как m2 . Окружающая сферу среда является непроводящей и
немагнитной. Оба металла также полагаются немагнитными. Система
координат вводится таким образом, что ее центр совпадает с центром сферы,
направление оси х совпадает с направлением электрического вектора
электромагнитной волны, а ось z – с направлением ее волнового вектора.
Одним из основных аспектов решения задач на основе классической
теории Ми является разложение волны по векторным сферическим гармоникам
(индексы (1), (2), (3), (4) будут относится к функциям Бесселя 1-ого, 2-ого, 3его, 4-ого рода соответственно):
Тогда в данной задаче для падающего излучения можно записать:

Ei   El Mol (1)  k0r   iNel (1)  k0r ,
(3а)
l 1
Hi  

k0
 E M  k r   iN  k r ,
(1)
0
l
l 1
(1)
el
0
ol
0
(3б)
2l  1
. Будем полагать амплитуду падающей волны
l (l  1)
нормированной на единицу;
для рассеянной волны разложение выглядит следующим образом:
под E l понимаем El  E0i l

Es   El  al Mol (3)  k0r   ibl Nel (3)  k0r ,
(4а)
l 1
Hs  
k0

 E b M  k r   iN  k r ,
(3)
(3)
0
0 l 1
в случае поглощенной волны в области внутри «ядра»:
l
l
el
0
ol
(4б)

Ew2   El  Al2Mol (1)  k2r   iBl2Nel (1)  k2r ,
(5а)
l 1
H w2  
k2

 E  B M  k r   iA N  k r ,
(5б)
2
0 l 1
где k2 – волновое число, относящееся к «ядру»,
поле в области между «оболочкой» и «ядром» представимо в виде суммы
поглощенного оболочкой поля и поля, рассеянного «ядром»:
l
2
l
(1)
el
2
2
l
(1)
ol

Ew1   El  Al1Mol (1)  k1r   iBl1Nel (1)  k1r   Сl1Mol (2)  k1r   iDl1Nel (2)  k1r  ,
l 1
10
(6а)
H w1  
k1

 E  B M  k r   iA N  k r   D M  k r   iC N  k r  , (6б)
1
l
(1)
1
l
(1)
1
l
(2)
1
l
(2)
1
0 l 1
где k1 – волновое число, относящееся к «оболочке».
Вследствие непрерывности векторов E и H на поверхности сферы и на
границе оболочка-ядро, граничные условия запишутся следующим образом
на границе частица-среда:
m1 Al1 l' ( y )  m1Cl1 l' ( y )   l' (m1 y )  all(1) ' (m1 y ),
l
el
1
ol
1
el
1
ol
Al1 l ( y )  Cl1l ( y )   l (m1 y )  all(1) (m1 y ),
m1Bl1 l ( y )  m1 Dl1l ( y )   l (m1 y )  bll(1) (m1 y ),
(7)
Bl1 l' ( y )  Dl1l' ( y )   l' (m1 y )  bll(1) ' (m1 y ),
на границе «ядро»-«оболочка»:
m2 Al2 l' ( x)  Al1 l' (m2 x)  Cl1l' (m2 x),
Al2 l ( x)  Al1 l (m2 x)  Cl1 l (m2 x),
m2 Bl2 ( x)  Bl1 l (m2 x)  Dl1l (m2 x),
l
Bl2 l' ( x)  Bl2 l' (m2 x)  Dl1l' (m2 x),
  z / 2J
 ( z)    z / 2  N
 ( z)    z / 2  H
где  l ( z ) 
l 1/2
l
l 1/2
(1)
l
(8)
( z ) , J l 1/2 ( z ) – функция Бесселя;
( z ) , N l 1/2 ( z ) – функция Неймана;
(1)
l 1/2
(1)
( z ) , H l 1/2 ( z ) – функция Ханкеля 1-ого рода;
2
1
1
1
Al1 , Al , Bl , Bl2 , Cl , Dl – коэффициенты поглощения;
an 
(a  d )n1
x  2  ak2 , y 
 (a  d )k1 , n2 и n1 – показатель преломления
c
c
«ядра» и «оболочки» соответственно, c – скорость света.
Откуда получены следующие выражения для определения коэффициентов
рассеяния al и bl :
 ( y )[ l' (m 1 y )  Al l' (m 1 y )]  m 1 l' ( y )[ l (m 1 y )  Al l (m 1 y )]
al   (1)l
,
l ( y )[ l' (m 1 y )  Al l' (m 1 y )]  m 1l(1)'l ( y )[ l (m 1 y )  Al l (m 1 y )]
(9)
m 1 l ( y )[ l' (m 1 y )  Bl l' (m 1 y )]  l' ( y )[ l (m 1 y )  Bl l (m 1 y )]
bl  
m 1l(1) ( y )[ l' (m 1 y )  Bl l' (m 1 y )]  l(1) ' ( y )[ l (m 1 y )  Bl l (m 1 y )]
 l ( x) l' (m 2 x)  m 2 l' ( x) l (m 2 x)
m 2 l ( x) l' (m 2 x)  l' ( x) l (m 2 x)
Al  
, B 
.
l ( x) l' (m 2 x)  m 2 l' ( x) l (m 2 x)] l
m 2 l ( x) l' (m 2 x)  l' ( x) l (m 2 x)]
При известных коэффициентах рассеяния коэффициенты поглощения можно
выразить:
 (m y)  all (m1 y)  l (m 2 x)  Al l (m 2 x)  ,
(10а)
Al2  l 1
 l ( x)  l ( y)  Al l ( y) 
11
Bl2 
 l (m1 y)  bll (m1 y)  l (m 2 x)  Bl l (m 2 x)  .
m 2 m 1 l ( x)  l ( y)  Bl l ( y) 
(10б)
Поле рассеянной волны описывается в такой же форме (1), как это было
сделано Ми. Для определения количества членов в разложении компонент
рассеянной волны в работе применяется критерий Уискомби:
 y  4 y 13  1, 0,02  y  8,

1

(11)
lmax   y  4,05 y 3  2, 8  y  4200,

1
3
y

4
y
 2, 4200  y  20000.


Задавая диэлектрическую проницаемость металлов, необходимо обратить
внимание на возможность существования размерных эффектов, которые
возникают на границе двух металлов, если размер частицы сравним или меньше
длины свободного пробега объемного металла l . Таким образом, необходимо
учитывать зависимость диэлектрической проницаемости не только от частоты
падающего излучения, а также от радиуса частицы:  ( )   (, R) . В связи с
этим, оптимально будет использовать следующий вид диэлектрической
функции, предложенный Отте:

  p2 

1
1
R

2


 , (12)
 i ( , R)   bulk   p  2


i

   2   2   R2  
  2   R2   2   2  





где  bulk – диэлектрическая проницаемость объемного вещества, учитывающая
как независимый от радиуса частицы для объемного вещества вклад свободных
электронов, так и вклад связанных электронов:  ( R)     ( R) –
коэффициент затухания,   – коэффициент затухания для объемного металла
vf
v
(    f ),  ( R)  
. Параметр  – безразмерная постоянная порядка 1, v f
R
l
– скорость Ферми.
В рамках описанного подхода введение комплексной диэлектрической
проницаемости позволяет учесть наличие проводимости.
Уточним, что в работе рассматривались частицы, радиус которых был
меньше, чем толщина скин-слоя:
2 0 
,
(13)
с

где  – удельное сопротивление металла.
Предложим развитие описанной выше задачи на случай частицы с
неконцентрически расположенным «ядром». Вводятся две системы координат:
X1Y1Z1 , связанная с центром частицы, X 2Y2 Z 2 – с центром «ядра». Расстояние
между центрами выбранных систем координат O1O2 обозначается через  .
Предположим, что система координат X 2Y2 Z 2 была получена параллельным
12
переносом системы X1Y1Z1 по оси z на величину  . Тогда для того, чтобы
получить общее решение, было положено, что электромагнитная волна падает
на сферу под произвольным углом  к оси z.

l
(1)
(1)

Ei    El  AlmMolm
,1  k0 r   iBlm Nelm ,1  k0 r   .
(14)
l 1 m l
Здесь сферические функции рассматриваются в системе координат X1Y1Z1 . Для
рассеянного поля, по аналогии со случаем совпадения центра частицы и центра
ее «ядра», имеет место следующее выражение:

l
(3)
(3)

Es    El  almMolm
,1  k0 r   iblm Nelm ,1  k0 r   .
(15)
l 1 m l
В границе   r1  a1 волна раскладывается по сферическим функциям третьего
и четвертого родов:

l
1
(3)
1
(3)
1
(4)
1
(4)

Ei    El Clm
Molm
,1  k1r   iDlm Nelm ,1  k1r   Flm M olm ,1  k1r   Glm Nelm ,1  k1r   . (16)
l 1 m l
Следовательно, условия на границе частица-среда принимают вид:
1
k1 Alm l (k0a1 )  k1alml(1) (k0a1 )  k0Clm
l(1) (k1a1 )  k0 Flm1 all(2) (k1a1 ),
1
Alm l' (k0a1 )  alml'(1) (k0a1 )  Clm
l'(1) (k1a1 )  Flm1 l'(2) (k1a1 ),
(17)
1
1
Blm l (k0 a1 )  blml(1) (k0a1 )  Dlm
l(1) (k1a1 )  Glm
l(2) (k1a1 ),
1
1
k 1 Blm l' (k0 a1 )  k 1 blml'(1) (k0a1 )  k0 Dlm
l'(1) (k1a1 )  k0Glm
l'(2) (k1a1 ).
где
l(2) ( z )
l(2) ( z ) 

выражается

через
функцию
Ханкеля
2-ого
рода,
 z / 2 H l(2)
1/2 ( z ) .
Граничные условия вблизи «ядра» записываются в системе координат X 2Y2 Z 2 .
Тогда поле вблизи границы «ядра» можно выразить как:

l
(3)
2
(3)
2
(4)
2
(4)

Ei    El Clm2 Molm
,2  k1r   iDlm Nelm ,2  k1r   FlmM olm ,2  k1r   iGlm Nelm ,2  k1r   . (18)
l 1 m l
А для поглощенной «ядром» электромагнитной волны имеет место:

l
(1)
(1)

Ew    El  plmMolm
,2  k2 r   iqlm Nelm ,2  k2 r  
(19)
l 1 m l
Выражения для напряженности магнитного вектора записываются аналогично.
Тогда граничные условия на границе «оболочка»-«ядро» примут вид:
k1 plm l (k2 a2 )  k2Clm2 l(1) (k1a2 )  k2 Flm2 all(2) (k1a2 ),
1
plm l' (k0 a1 )  Clm
l'(1) (k1a2 )  Flm1 l'(2) (k1a2 ),
qlm l (k2 a2 )  Dlm2 l(1) (k1a2 )  Glm2 l(2) (k1a2 ),
(20)
k 1 qlm l' (k0 a1 )  k2 Dlm2 l'(1) (k1a2 )  k2Glm2 l'(2) (k1a2 ).
Было учтено, что системы X1Y1Z1 и X 2Y2 Z 2 можно совместить путем
параллельного переноса и записать сферические функции для внутренней
13
сферы в координатах внешней. Получена следующая бесконечная система для
определения коэффициентов рассеяния:
  2 m '(2)
r '(1)
  Cl ' m l ,l ' l (k1a1 )  Ql 'l (k1a1 ) 
alm   l '0

l'(1) (k0 a1 )

 D  
2
l 'm
m
l ,l '
'(2)
l

(21а)
(k1a1 )  Q  (k1a1 )   Alm (k 0 a1 )
s '(1)
l' l
'
l
 (k0 a1 )
'(1)
l
,
  2 m (2)
r (1)
  Cl ' m l ,l ' l (k1a1 )  Ql 'l (k1a1 ) 
blm   l '0

l'(1) (k0 a1 )


 Dl2' m lm,l ' l(2) (k1a1 )  Qls'l(1) (k1a1 )   Blm l (k 0 a1 )
l(1) (k0 a1 )
(21б)
,
где  lm,l ' и lm,l ' – коэффициенты переноса, которые согласно Стейну и Крузану
выражаются следующим образом:
k  (l ' m  1)(l ' m  1) ( m),( ) k1 (l ' m)(l ' m) ( m),( )
 l(,ml ' ),( )  Cl(,ml ' ),( )  1
Cl ,l '1 
Cl ,l '1 , (22а)
l ' 1
(2l ' 1)(2l ' 3)
l ' (2l ' 1)(2l ' 1)
k m
(22б)
l(,ml ' ),( )   1
Cl(,ml ' ),( ) ,
l '(l ' 1)
(l  m  1)(l  m)(2l ' 1)Cl(,ml ' , )  (l ' m  1)(l ' m)(2l ' 1)Cl(,ml ' 1, ) 
(l ' m  2)(l ' m  1) ( m1, )
(l ' m)(l ' m  1) ( m1, )
 k1
Cl ,l '1  k1
Cl ,l ' 1 ,
(2l ' 3)
(2l ' 1)
(23)
Коэффициенты Qlr' и Qls' зависят от дифракционных параметров «ядра» и
«оболочки».
Как и в предыдущей задаче, количество уравнений, необходимое для
решения системы определялось с помощью критерия Уискомбе (11). По
известным коэффициентам рассеяния могут быть определены коэффициенты
поглощения частицы.
Для того, чтобы решение было общим, направление распространения
электромагнитной волны должно быть произвольным. Тогда необходимо
рассмотреть два случая: 1) волна распространяется перпендикулярно плоскости
xz (TE), 2) волна распространяется в плоскости xz (TM).
Для первого случая коэффициенты падения запишутся в следующем виде:
2i l 2  m
TE
(24а)
Alm  Alm 
Pl (cos ),
l (l  1) 
14
2i l 2 mPl m (cos  )
(24б)
Blm  B 
,
l (l  1)
sin 
TM
TM
TE
TE
В случае TM-поляризации: Alm  Alm
.
 iBlm
 iAlm
, Blm  Blm
При известных коэффициентах падения были получены выражения для
компонент рассеянного поля для обоих случаев поляризации электромагнитной
волны.
В работе построен алгоритм нахождения рассеянного поля для
биметаллической частицы.
В третьей главе ставится задача отыскания продольной составляющей
напряженности электромагнитного поля с учетом влияния поперечной волны и
потенциала взаимодействия. Рассматривается распространение плоской
монохроматической волны, электрический и магнитный векторы которой
распространяются по гармоническому закону, в сферической и цилиндрической
частицах с диэлектрическими проницаемостями, зависящими от частоты
падающей волны, количества молекул и квадратичным образом от поля:
TE
lm


f E ,
2
(25)
где  – нелинейный параметр. Считается, что вклад E в величину
диэлектрической проницаемости частицы не очень велик.
Известно, что при взаимодействии электромагнитных волн с малыми
частицами наряду с поперечными волнами формируются также и продольные.
Для того, чтобы описать такую ситуацию в работе был предложен следующий
алгоритм:
1. Решение задачи распространения поперечной электромагнитной волны
в структуре с соответствующей геометрией. Такое решение для малых частиц
может быть получено на основе теории Ми, о которой говорилось выше, и ее
обобщениях.
2. Решение уравнение Шредингера с учетом амплитуд электрического и
магнитного (в общем случае) векторов, найденных на шаге (1), и потенциала
взаимодействия.
(T  rE(r')  V(r)) sh  Etot sh
(26)
где через r ' обозначаются пространственные координаты для уравнения
Максвелла, r – пространственные координаты уравнения Шредингера, T –
полная кинетическая энергия, V(r) – потенциал взаимодействия, Etot – полная
энергия. Ввиду того, что мы полагаем изменение E и H по гармоническому
закону, будем рассматривать стационарное уравнение Шредингера.
3. Определение вектора поляризации с помощью найденной на шаге (2)
пси-функции:
*
(27)
P(r ')  n(r ')  shr sh
dr ,
2
здесь под n(r ') понимаем концентрацию электронного газа,
4. Нахождение новых значений электрического и магнитного векторов из
уравнения Пуассона с помощью известного вектора поляризации.
15
(28)
  E  4 P(r ').
В работе приведены асимптотические решения для электрического
вектора поперечной электромагнитной волны, полученные из решений
уравнений Максвелла. Было рассмотрено два случая: 1) рассеяние
электромагнитной волны на сферической металлической частице, 2) рассеяние
на частице цилиндрической геометрии.
Для того, чтобы найти векторы электрической и магнитной волн, были
использованы скалярные потенциалы, которые считаются пропорциональными
электрическому и магнитному векторам.
Рассмотрим сферическую частицу. Положим, что компонента Er
значительно превосходит по величине другие компоненты электрического
вектора. Таким образом можно записать следующие неравенства: Er  E ,
Er  E . Тогда скалярный потенциал  e представляется в следующим виде:
e   (r , )eik2r . Вводя медленные переменные r  hr ,
x  sin ,
x  hx
и
нелинейный
параметр

  hr ,
h  max   Er  l1
r
2

   k2  ,
(l
–
диэлектрическая проницаемость в отсутствии электромагнитного поля), для
определения функции  (r , ) можно записать следующее выражение:


i
i




1  2
1 1 
2
2
2
2i
 2i  2 2  2
 2   e h 
e h  0,
(29)
 
     x   x x
 
Вследствие сделанного выше предположения о независимости скалярных
потенциалов от угла  и исходя из вида разложения для потенциалов
электромагнитного поля вне сферы и граничных условий, для нахождения
функции  (r , ) возможно использовать метод спектрально-сеточного
преобразования. Тогда представим:
2

 (r , )   n (r ) Pl1 (cos ).
(30)
l 1
Коэффициенты разложения  n (r ) будут определятся из выражения (30)
следующим образом:

2l  1 (l  1)!
 n (r ) 
 (r , )Pl1 (cos )sin  d .
(31)

2 (l  1)! 0
Такой спектральный подход дает возможность численного решения
уравнения (29). При использовании данного метода решение представляется в
виде ряда по ортогональным функциям, то есть ищется в фазовом
пространстве. Нелинейная часть уравнения (29), которая также может быть
представлена рядом:

f (r , )   f n (r ) Pl1 (cos ) ,
(32)
l 1
определяется в физическом пространстве, то есть вычисляется в узлах
регулярной сетки, а затем аппроксимируется. При этом  рассматривается в
16
качестве параметра системы. Компонента Er в первом приближении является
пропорциональной к  e .
В случае цилиндрической частицы было рассмотрено два основных
направления распространения луча: вдоль радиальной координаты r и вдоль
продольной координаты z. Предполагается, что для компонент электрического
вектора в цилиндрических координатах выполняются следующие неравенства:
Ez  E , Ez  E .
В случае распространения луча вдоль координаты r электрический
потенциал можно записать в виде e   (r , )eik2r . Тогда вводя медленную
переменную   rh2 и ограничиваясь вторым порядком малости h 2 , возникает
следующее уравнение:
   
1  2
2
(33)
i


   0,

2
2
  2   2  

,    k2 ,    / h
l h
Откуда выражение для электрического потенциала и компоненты Ez
принимают следующий вид:
1

l
m2
m  
2
e
2
(1)
2
  e
(k2 ) k r exp i  0,5 e ln(h k2r ) 

k
r

  (34)
2
2

2
k
rh
h
2


где   (k2 )2

Ez   e

 
l
m2
m  
2
2
exp  i  0,5 e ln(h k2r ) 

k
k

 .
2
2
 k2 r
2
k
rh
h
2

 
(35)
Здесь m ,  e являются константами.
Более интересное решение возникает в случае распространения луча
вдоль продольной координаты z. Тогда электрический потенциал можно
записать как e   (r , z )eik2r . Если ввести медленные переменные
rk2 h 2
, z  zk2h и ограничиться третьим порядком малости, можно прийти к
2
модификации нелинейного уравнения Шредингера:
 2


2
(36)
i
 i  2    0,
2
z
r
r
В результате для электрического потенциала  e возникают следующие
решения, соответствующие условию самофокусировки луча:
0,5

z 2k2 v0 z
 2 l  B0
e
s  2
exp i  k2 r 



2r
r
   rk2

(37а)






 v02

2
z
v
   B02 
 0   sech  2 B0   0   ,
4
 k2 r
 r 2k 2 r  
 

r
17
 2 
  2 l 
  
e
s
0,5

B0
z 2 k2 v0 z
exp i  k2 r 


rk2
2
r
r

(37б)

 
z
v
 2
v 
   2 B02 
 0   th  2 B0   0   .
4
 k2 r
 r 2k 2 r  
  
где B0 , v0 ,  0 – константы, x0  0 ввиду симметрии задачи.
Вдоль координаты z решение представляет собой бризер с вершиной
*
z  v0 / k2 .
Полученные солитонные решения далее были использованы для
определения учитывающего продольную составляющую поля. Вследствие того,
что для металлических наночастиц, состоящих из большого числа атомов,
необходимо рассматривать большое количество межатомных взаимодействий,
а также учитывать координаты всех атомов и электронов, уравнение
Шредингера (26) становится трудноразрешимым и требует применения
различного рода приближений. В работе описан возможный алгоритм. Для
этого сначала рассмотрим уравнение Шредингера, не учитывающее влияние
поперечной электромагнитной волны:
H sh  E  sh
(38)
Для упрощения задачи в работе была использована модель «желе»,
согласно которой частицу делят на две квазинезависимые системы: систему
положительно заряженного ионного остова (ядра и связанные с ним электроны)
и систему валентных электронов, которые играют особую роль при
рассмотрении металлов и во многом определяют их электрические свойства. В
простейшем случае полагается, что ионный остов можно представить как
равномерно заряженную сферу:
 Ne2
2
 2 R (3  (ri / R) ), ri  R,

(39)
Vcore   2
Ne

, ri  R

 rel
здесь Ne – полный заряд сферы, R – радиус ионного кора (является
макроскопическим параметром модели) и R  rs N 1/3 , rs – среднее расстояние
между атомами в объемной веществе.
Основываясь на адиабатическом приближении и используя приближение
Борна-Оппенгеймера, рассматриваемая задача делится на две: движение
электронов в поле неподвижных ионов и колебания ионов без учета объемного
распределения электронов:
H el (r, R)(r,R)  Eel (r,R)
(40а)
2
0



2

1 d 2 ( R)

E
 ( R)   ( R) ,
2M dR 2

18
(40б)
где H el (r, R) – гамильтониан системы валентных электронов. E , Eel ,  – полная
энергия, собственная энергия электронной системы и энергия колебания
N
ионного остова соответственно. Под M  (3 / 5) M at понимаем массу ионного
остова, где M at – масса каждого атома.
Многоэлектронная функция (r,R) представима детерминатом Слетера,
состоящим из нормированных одноэлектронных функций, которые согласно
приближению центрального поля могут быть выражены в виде произведения
радиальной, угловой и спиновой компонент:
1
(41)
i ( x)  Rnl (r )Ylm ( , ) X 
r
Для нахождения данных функций в работе был реализован метод ХартриФока. Таким образом, задача была сведена к рассмотрению системы из N
обыкновенных уравнений для N радиальных функций Rnl (r ) , которая в
атомных единицах имеет вид:
(42)
( H i  2 Ei ) Ri   hij R j , 1  i  m,
j
где m – полное число подоболочек
LkUˆ ijk  Ri R j для каждого i, j и k,
(43)
 1 d2
l (l  1)


Hi  
r
 2  U core (r )   2(2l   1)Uˆ nl,nl,0   ,
(44)
2
2
r
dr
r


nl



2
l l 
1 d
k (k  1)  1
hij  2 llkUˆ nl ,nl и Lk  

.
(45)

2
2
r
dr
r
2
k

1
nl  k 0


где  2(2l  1)Uˆ nl,nl,0 – полная потенциальная энергия электронов в каждой nl 
nl 
–подоболочке, Uˆ nl ,nl – обменный потенциал электронов двух подоболочек.
Радиальная функция и потенциалы удовлетворяют граничным условиям:
Ri (0)  0 , Ri (r )  0 при r  
(46а)
U ij
(46б)
(0)  0, U ij (r )  0 при r  .
dr
Радиальные функции также удовлетворяют условиям нормировки:

 R (r )r dr  1 .
2
i
2
(47)
0
где Ri относится к отдельной nl-пооболочке.
Для решения системы уравнений Хартри-Фока был разработан и
реализован в среде Matlab R2015a алгоритм. Были использованы итерационные
методы и метод прогонки. Как результат – получены векторы значений i (ri ,R)
для каждого данного R.
19
Эти значения были использованы далее для нахождения волновой
функции при условии влияния на частицу внешнего поля путем представления
искомой волновой функции в виде следующего разложения:
 sh (r,R)   an (E0 )rE sh (r,R),
(48)
i
где коэффициенты an зависят от амплитуды падающей волны.
Таким образом, решив уравнение Пуассона   E  4 P(r ') , могут быть
получены значения электрического вектора продольного поля.
В четвертой главе кратко дано описание программного комплекса,
который реализован в среде Matlab R2015a.
Приведены результаты вычислений для биметаллических частиц Ag-Au и
Fe-Ni различных размеров при воздействии на них электромагнитным полем,
сформированным твердотелым лазером, излучающего с частотой в диапазоне
1014  1015 Гц (рисунок 1-3). Полученные результаты расчета напряженности
рассеянного поля на двухслойной металлической частице сравнивались с
результатами для соответствующих чистых металлов.
Рисунок 1 – Зависимость квадрата амплитуды электрического вектора
рассеянного поля от частоты падающего излучения
для частицы Ag-оболочка-Au-ядро (a=10 нм, d=5 нм)
Рисунок 2 – Зависимость квадрата амплитуды электрического вектора
рассеянного поля от частоты падающего излучения для частицы
Ag-оболочка-Au-ядро при различной толщине оболочки d (R =15 нм)
20
Рисунок 3 – Зависимость квадрата амплитуды электрического вектора
рассеянного поля от частоты падающего излучения для частицы
Ni-оболочка-Fe-ядро c несимметричным расположением ядра
(R=15 нм)
Расчеты показали, что при изменении частоты падающего излучения и
взаимного расположения металлов меняются показания для рассеянного поля;
при переходе от структуры, состоящей из чистого металла, к биметаллической,
наблюдается смещение амплитуды электрического вектора. Таким образом, при
покрытии монометаллической частицы слоем второго металла заданной
толщины можно влиять на характеристики рассеянного и, соответственно,
поглощенного электромагнитных полей. Такой результат возможно
использовать в промышленной нанотехнологии, заменяя однородные частицы
чистых дорогостоящих металлов на их соединения с более дешевыми с
минимальным отличием оптических свойств.
Были произведены вычисления для малых сферических и
цилиндрических частиц лития радиуса 0,7 нм и 1,2 нм с учетом различного
направления распространения электромагнитной волны, сформированной
лазером (рисунок 4-5).
Рисунок 4 – Распределение квадрата амплитуды
электрического вектора поля
в сферической частице Li радиуса 0,7 нм (слева) и 1,2 нм (справа)
21
На первом шаге на основе уравнений Максвелла и моделей,
представленных для нелинейных частиц сферической и цилиндрической
геометрии,
были
найдены
электрические
векторы
поперечного
электромагнитного поля в Максвелл-домейне  . Полученные значения
использовались для вычисления продольного поля с помощью уравнения
Шредингера в поддомейне i  .
Рисунок 5 – Распределение квадрата амплитуды электрического вектора
поля (направление распространения вдоль оси z, знак «-»)
в цилиндрической частице Li радиуса 0,7 нм (слева) и 1,2 нм (справа)
На основе данных расчетов можно прийти к выводу, что разница между
значениями полного электрического вектора и электрического вектора,
учитывающего только поперечное поле, увеличивается с уменьшением размера
частиц, т.е. с уменьшением размера частиц усиливается влияние продольной
волны. Это может быть обусловлено в свою очередь увеличением влияния
квантовых свойств. Это дает возможности для дальнейшего развития
предложенного метода на коллективы частиц с применением модификаций
построенных моделей.
Основные результаты и выводы
1. Выполнена научно-квалификационная работа, содержащая решение
актуальной задачи, заключающееся в построении математической модели
взаимодействия электромагнитной волны с металлическими мезо- и
наночастицами и имеющее важное фундаментальное и прикладное значение,
например, в приборостроении и технологии новых материалов.
2. Установлены связи между оптическими характеристиками поля и
внутренними свойствами металлической наночастицы. Особенностью таких
связей для малых частиц, в отличие от объемного материала, является
необходимость учитывать проявление квантовых свойств, а также зависимость
величины электромагнитного поля от размера и структуры частицы.
3. На основе установленных связей разработан метод нахождения
напряженности электромагнитной волны и потенциала взаимодействия,
отличительной особенностью которого является учет продольной
22
составляющей напряженности, на примере нелинейной сферической и
цилиндрической частиц с использованием асимптотических решений.
4. Исходя из установленных связей с использованием разработанного
метода построены математические модели дифракции электромагнитной волны
на биметаллических наночастицах, а также нелинейных наночастиц чистых
металлов, диэлектрическая проницаемость которых зависит от поля, а также
свойств вещества, с учетом возникновения в системе продольных волн.
5. На основе данных моделей и установленных связей с использованием
предложенного метода на базе теории Ми, методов нелинейной оптики, а также
квантово-механических методов разработаны алгоритмы для нахождения
напряженности электромагнитного поля для неоднородных и нелинейных
металлических
частиц,
позволяющие
определять
ее
продольную
составляющую.
6. На основе построенных алгоритмов разработан программный
комплекс, позволяющий проводить исследование поведения металлических
мезо- и наночастиц при условии падения на них монохроматической
электромагнитной волны. Проведенные расчеты показали, что вклад
продольной составляющей в величину напряженности электромагнитного поля
может составлять порядка 40 процентов.
7. Результаты, полученные в диссертации, рекомендуется использовать в
таких отраслях, как промышленная нанотехнология, химические технологии,
при решении фундаментальных задач атмосферной оптики, экологии, физики
аэрозолей, а также в учебном процессе в вузе при подготовке бакалавров и
магистров по направлениям «Прикладная математика», «Прикладная
информатика».
Список работ, в которых опубликованы основные результаты
диссертации:
В рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК:
1. Буренок, Я.С. Рассеяние плоской электромагнитной волны на
биметаллической частице Аg-Аu / Я. С. Буренок // Вестник МГТУ
«СТАНКИН». – 2014. – № 4(31). – С. 200–205.
2. Буренок, Я.С. Моделирование распространения поперечных и продольных
волн в малых частицах цилиндрической геометрии с нелинейными свойствами /
Я. С. Буренок, Л. А. Уварова // Вестник МГТУ «СТАНКИН».– 2016. – № 3(38).
– С. 82–86.
В изданиях, входящих в международную базу данных Scopus:
3. Uvarova, L. Modeling of propagation of transverse and longitudinal
electromagnetic waves in nanostructures with nonlinear properties / L. Uvarova, Ya.
Burenok // International Journal of Pure and Applied Mathematics. – V. 109, №3 –
2016. – P. 691–707.
В иных изданиях:
4. Буренок Я.С. Биметаллические наночастицы. Классификация / Я. С.
Буренок // Фундаментальные физико-математические проблемы и
23
моделирование технико-технологических систем: cб. науч. тр. / под ред. Л. А.
Уваровой. – М.: Янус - К, 2014. – С. 2433.
В сборниках тезисов конференций:
5. Burenok, Y.S. Scattering of a plane wave on bimetallic nanoparticles with
geometrically different arrangement of the core and shell / Y. S. Burenok, L. A.
Uvarova // 21 European Aerosol Conference: proceedings of the conference. – Italy,
Milan, 2015. – 1 p.
6. Буренок,
Я.С.
Взаимодействие
плоской
монохроматической
электромагнитной волны с биметаллической мезочастицей с геометрически
различным расположением ядра и оболочки / Я.С. Буренок // Моделирование
нелинейных процессов и систем: cб. тезисов третьей международной
конференции / под ред. Л. А. Уваровой. – М.: Янус-К, 2015. – С. 69.
7. Буренок, Я.С. Перспективы применения биметаллических наночастиц для
защиты экосистемы / Я. С. Буренок // Труды международной научной
конференции «Экология водных бассейнов и водного транспорта» / под ред. Т.
В. Казаровой. – М.: Янус-К, 2014. – С. 13–18.
8. Буренок, Я.С. Моделирование взаимодействия электромагнитных волн с
металлическими частицами мезо- и наноразмеров / Я. С. Буренок //
«Математика. Компьютер. Образование», анализ сложных биологических
систем: сб. трудов XXIV конференции / под ред. Г. Ю. Ризниченко и А. Б.
Рубина. – Пущино, 2017. – С. 184.
9. Уварова, Л. А. Моделирование распространения продольных волн в
наносистемах / Л. А. Уварова, Я. С. // «Математика. Компьютер. Образование»,
анализ сложных биологических систем: сб. трудов XXIII конференции / под
ред. Г. Ю. Ризниченко и А. Б. Рубина. – Дубна, 2016. – С. 226.
10. Буренок, Я.С. Рассеяние плоской электромагнитной волны на
биметаллической сферической частице Ag-Au / Я. С. Буренок // «Математика.
Компьютер. Образование», анализ сложных биологических систем: сб. трудов
XXII конференции / под ред. Г. Ю. Ризниченко и А. Б. Рубина. – Пущино, 2015.
– С 159.
11. Буренок, Я.С. Нелинейная модель электромагнитного резонанса малых
дисперсных сферических частиц / Я. С. Буренок, О. А. Казаков, Л. А. Уварова //
«Математика. Компьютер. Образование», анализ сложных биологических
систем: сб. трудов XX конференции / под ред. Г. Ю. Ризниченко и А. Б. Рубина.
– Пущино, 2013. – С. 160.
24
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа