close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическое моделирование и алгоритмизация процессов долгосрочного прогнозирования динамики нелинейных систем

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
ШАБАНОВА Виктория Геннадьевна
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
И АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ДОЛГОСРОЧНОГО
ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
ПЕНЗА 2018
1
Работа выполнена на кафедре прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики факультета математики и информационных технологий ФГБОУ ВО «Национальный исследовательский
Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва».
Научный руководитель
−
кандидат физико-математических наук,
доцент Мамедова Татьяна Фанадовна
Официальные оппоненты:
Спивак Семён Израилевич,
доктор физико-математических наук,
профессор, ФГБОУ ВО «Башкирский
государственный университет»,
заведующий кафедрой математического
моделирования;
Кривулин Николай Петрович,
кандидат технических наук, ФГБОУ ВО
«Пензенский государственный
университет», доцент кафедры высшей
и прикладной математики
Ведущая организация
–
ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный
технический университет».
Защита диссертации состоится 28 декабря 2018 г., в 14 часов, на заседании диссертационного совета Д 212.186.04 в Федеральном государственном
бюджетном образовательном учреждении высшего образования «Пензенский
государственный университет» по адресу: 440026, г. Пенза, ул. Красная, 40.
С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в библиотеке
Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
высшего образования «Пензенский государственный университет» и на сайте:
https://dissov.pnzgu.ru/ecspertiza/Tehnicheskie_nauki/shabanova
Автореферат разослан «___» ___________ 2018 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Косников Юрий Николаевич
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Для эффективного управления состояниями динамических процессов принципиально важным является построение достоверного и адекватного прогноза их поведения в долгосрочном периоде. Математическое моделирование позволяет решить многочисленные задачи
в области долгосрочного прогнозирования: изучение состояний динамической системы; предсказание воздействия на динамическую систему тех или
иных факторов; планирование поведения многочисленных явлений при существенно нестабильной ситуации.
Традиционные методики и алгоритмы долгосрочного прогнозирования
(факторный анализ, корреляционно-регрессионный анализ, метод экспертных
оценок и т.д.) не позволяют одновременно составить достоверный прогноз и
учесть в процессе прогнозирования все многообразие влияющих на систему
условий, а также не дают возможности определить все характеристики прогнозируемых объектов. Поэтому проблема составления высокоточных и достоверных прогнозов динамики нелинейных систем в долгосрочном периоде
требует дальнейшего исследования.
Методики решения линейных и статистических задач рассмотрены в
работах Л. Вальраса, Ч. Кобба и П. Дугласа, В. Рамсея, Дж. Неймана, Р. Солоу, а также в трудах отечественных ученых: В. В. Леонтьева, Л. В. Канторовича, В. И. Ширяева. Ряд фундаментальных и прикладных исследований
долгосрочного прогнозирования процессов представлен в работах Е. В. Воскресенского, В. К. Горбунова, А. В. Прасолова, С. И. Спивака и других ученых. Однако усложнение внутренних взаимосвязей и структуры нелинейных
динамических систем, развитие информационных технологий потребовало
новых подходов к долгосрочному прогнозированию.
Существует большое количество процессов, описываемых нелинейными динамическими системами, для которых требуется корректная обработка
больших массивов статистических данных. Однако использование в этих целях традиционных методик приводит к росту временных затрат исследования
поведения процесса и увеличению погрешности получаемого прогноза.
В настоящее время отсутствуют эффективные методики, которые позволяют не только определять значение параметров динамической системы на
том или ином промежутке времени, но и повышать достоверность получаемых прогнозов за счет комплексного использования различных методов
долгосрочного прогнозирования. В частности, актуально создание так называемых объемных методик, основанных на совокупном применении математических методов, позволяющих осуществить точный прогноз состояний
сложной динамической системы.
Таким образом, разработка точных, эффективных и быстродействующих алгоритмов решения задачи долгосрочного прогнозирования нелинейных процессов является актуальной задачей.
3
Цель и задачи. Целью работы является повышение точности и достоверности долгосрочных прогнозов на основе комплексного использования
методов исследования динамики сложных нелинейных систем.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1) провести анализ существующих на данный момент подходов к составлению долгосрочных прогнозов и выявить их недостатки;
2) разработать методику математического моделирования объемного
прогнозирования динамики нелинейных систем;
3) построить численный алгоритм анализа текущего функционирования и определения возможных направлений развития состояний параметров
нелинейной динамической системы;
4) создать программный комплекс на основе разработанной методики
долгосрочного прогноза показателей нелинейной динамики исследуемого
объекта;
5) провести тестовые испытания программного комплекса с использованием фактических статистических показателей агропромышленного комплекса региона с целью определения эффективности реализации предложенного подхода на реальном объекте.
Объектом исследования являются математические модели долгосрочного прогнозирования динамических процессов, описываемые нелинейными
системами дифференциальных уравнений.
Предметом исследования являются методики математического моделирования динамических процессов, описываемых нелинейными системами
дифференциальных уравнений.
Методы исследования. Основные результаты диссертационной работы
получены с использованием методов математического моделирования, численных методов, методов теории устойчивости, качественной теории дифференциальных уравнений и информационных технологий.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1. Предложена методика математического моделирования объемного
прогнозирования состояния динамической системы. Отличительной особенностью данной методики является комплексное использование алгоритмов, с
одной стороны, многосекторной модели и метода асимптотической эквивалентности, а c другой – положений теории дифференциальных включений.
Предлагаемая методика позволяет не только анализировать текущее состояние динамической системы, но и управлять ее поведением в будущем на основе составляемого прогноза.
2. Предложен универсальный критерий оценки состояния динамических систем специального вида на основе асимптотической эквивалентности.
Данный критерий отличается от известных тем, что позволяет анализировать
структурную устойчивость моделей динамических процессов по части переменных и делать выводы об их устойчивости на основе совокупности свойств
устойчивости подсистем и природе их взаимодействия. Таким образом, кри4
терий является универсальным для большого класса задач долгосрочного
прогнозирования, поскольку определяет условия устойчивого состояния как
динамической системы в целом, так и отдельных ее компонентов.
3. Предложен алгоритм анализа текущего функционирования и определения возможных направлений развития состояний рассматриваемого объекта. В отличие от используемых алгоритмов долгосрочного прогнозирования
реальных процессов здесь точность результата повышается за счет построения интегральной воронки (конуса) при заданном функционале качества на
основе применения теории дифференциальных включений. Данный алгоритм
позволяет минимизировать погрешность получаемого результата при обработке больших массивов статистических данных.
Практическая значимость. Предложенная методика является необходимой для практического применения в долгосрочном прогнозировании и
управлении при решении технической задачи оптимального функционирования сложных систем. В отличие от ранее использованных методов оптимизации производственной деятельности объемное прогнозирование позволяет
обработать большие массивы статистических данных без роста временных затрат, проводить исследования в данной сфере на различных уровнях производственного процесса, а именно: уровень предприятия, уровень отрасли и
уровень межотраслевого комплекса.
На основе созданной методики разработан программный комплекс
«КОНУС». Он включает в себя совокупность программ для расчета оптимальных показателей функционирования сложных систем. В работе показано
его применение при решении задачи повышения рентабельности агропромышленного комплекса.
Разработанный программный комплекс «КОНУС» прошел тестирование в отделе экономического анализа, прогнозирования, целевых программ и
мотивации труда Министерства сельского хозяйства и продовольствия Республики Мордовия. Испытания показали, что применение в программном
комплексе модуля объемного прогнозирования, сформированного на основе
совокупности рассматриваемых математических методов, позволяет повысить достоверность и точность долгосрочных прогнозных расчетов и выработать оптимальное управленческое решение по ключевым показателям предприятий агропромышленного комплекса региона. На программный комплекс
получены два свидетельства о государственной регистрации программы для
ЭВМ № 2016613322 и № 2018618556.
Достоверность и обоснованность результатов, сформулированных в
диссертации, обеспечены корректным использованием математических методов и сопоставлением теоретических утверждений с результатами тестовых
экспериментов, а также регистрацией разработанного комплекса программ.
Соответствие паспорту специальности. Диссертация выполнена в соответствии с требованиями специальности 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Области исследования:
5
1 – Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений, 3 – Развитие качественных и приближенных аналитических методов
исследования математических моделей и 5 – Комплексные исследования
научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.
На защиту выносятся:
1. Методика математического моделирования объемного прогнозирования состояния динамической системы, позволяющая определять значение параметров динамической системы в определенном промежутке времени, а
также повышать достоверность получаемого результата за счет комплексного
использования математического аппарата.
2. Универсальный критерий численной оценки состояния динамической
системы, являющийся эффективным для большого класса задач долгосрочного прогнозирования, поскольку определяет условия устойчивого состояния
как динамической системы в целом, так и отдельных ее компонентов.
3. Численный алгоритм прогнозирования и управления состояниями
объекта, основанный на построении интегральной воронки дифференциального включения при заданном функционале качества и его численная реализация.
4. Программный комплекс «КОНУС», предназначенный для реализации методики объемного прогнозирования исследуемого процесса.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на VII и VIII Всероссийских научных молодежных школах-семинарах имени Е. В. Воскресенского с международным участием
«Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании (DEAMM 2017)» (Саранск, 2016–2017); Всероссийской научнотехнической конференции «Математические методы и информационные технологии управления в науке, образовании и правоохранительной сфере»
(Рязань, 2017); X и XI Международных научно-технических конференциях
молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза,
2016–2017); научных конференциях Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарёва XLIV–XLVI «Огаревские чтения» (Саранск, 2015–
2017); Международной научно-практической конференции «Наука и инновации в современных условиях» (Казань, 2017); Международной научнопрактической конференции «В мире науки и инноваций» (Уфа, 2017);
XII Международной научно-технической конференции «Аналитические и
численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2017). Результаты диссертации используются в учебном процессе при преподавании дисциплин «Математическое моделирование и программное обеспечение» и «Методы оптимизации» в ФГБОУ ВО «Национальный исследовательский Мордовский государственный университет
им. Н. П. Огарёва», а также в Мордовском институте переподготовки кадров
агробизнеса.
6
Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены
в 20 научных работах общим объемом 5,8 п.л., в том числе в 6 статьях из перечня ведущих рецензируемых научных журналов ВАК РФ и изданий,
в 13 тезисах докладов и в двух программах, зарегистрированных в государственном реестре программ для ЭВМ.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения,
четырех глав, заключения, библиографического списка из 116 наименований
и двух приложений. Диссертация изложена на 144 страницах машинописного
текста.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы;
сформулированы цель и задачи; аргументирована научная новизна исследований; показана практическая значимость полученных результатов; перечислены методы исследования; приведены результаты, выносимые на защиту.
В первой главе обоснована актуальность исследуемой темы, проведен
анализ полученных в этой области разработок и методик и поставлена задача
моделирования нелинейных динамических процессов. Предложен подход
к ее решению на основе комбинации алгоритмов, выбранных в связи с их
научной новизной и необходимостью практического внедрения достигнутых
результатов.
Для решения перечисленных задач предлагается использовать моделирование динамических нелинейных процессов, основанное на асимптотических свойствах дифференциальных уравнений и дифференциальных включениях.
Рассматриваются общие положения моделирования динамической системы с помощью многосекторной модели. В основе данной модели лежит
система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих поведение процесса, изменяющегося в заданном временном интервале. С помощью
корреляционно-регрессионного анализа для данной системы осуществляется
определение основных коэффициентов нелинейных дифференциальных
уравнений. Решение системы позволяет проанализировать оптимальность динамического процесса и спрогнозировать его поведение на долгосрочный период. В рассматриваемом случае модель используется для получения рекомендаций относительно того, какие показатели способствуют получению
желаемой траектории развития состояния изучаемой системы.
Рассмотрен алгоритм метода асимптотической эквивалентности для исходного нелинейного уравнения. Метод основывается на построении для него
уравнения сравнения, причем предполагается, что поведение решения уравнения сравнения известно. Далее через эталонную функцию сравниваются
решения двух этих уравнений. Удачный подбор уравнения сравнения и эталонной функции сравнения дает возможность для решения различных прикладных задач, основанных на нелинейных динамических системах.
7
Рассматривается алгоритм метода дифференциальных включений, который в отличие от вероятностных методов предлагает исследовать статистические данные как показания динамического процесса, фиксированные
в определенные моменты времени. В методе исследуется неуправляемый участок процесса, который построен на основе массива статистических данных.
Этот метод дает возможность рассматривать процесс как управляемый и
с определенного момента времени корректировать его будущее состояние.
Управляемость в работе рассматривается в виде функционала качества, выявляемого путем аналитических преобразований. Под прогнозом здесь подразумевается база статистических данных, содержащая максимальные и минимальные значения интегральной воронки измеряемых величин в будущем
промежутке времени.
Установлено, что в отличие от разрозненных методов, применяемых в
современном прогнозировании, предлагаемая комбинация описанных выше
алгоритмов способствует решению проблемы определения необходимых и
достаточных параметров для повышения достоверности получаемой оценки
состояния рассматриваемых процессов.
Во второй главе разработана методика математического моделирования объемного прогнозирования динамики нелинейных систем. Предложенная методика реализуется с помощью алгоритмов, основанных на многосекторной модели, асимптотической эквивалентности, построении интегральной
воронки дифференциального включения.
Данная методика включает в себя следующие этапы:
1) ввод базы статистических данных;
2) качественная обработка данных;
3) выбор сценария предлагаемой методики;
4) реализация последовательности алгоритмов;
5) получение численного решения;
6) принятие управленческого решения.
В первом алгоритме производится процесс моделирования на основе
многосекторной модели долгосрочного прогнозирования. Данная модель может быть использована для качественного объективного анализа исследуемого процесса и существующих при его моделировании взаимосвязей.
Пусть M  R n – область евклидова пространства, а t – непрерывно меняющийся параметр временного отрезка. Процесс моделирования в работе
основан на системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
dxi  t 
 fi  x1,, xn  , i  1, n,
dt
(1)
где переменные x1,, xn обозначают состояние системы в определенный момент времени; fi  x1,, xn   нелинейные функции.
8
С помощью данной системы уравнений в работе построена модель долгосрочного прогнозирования. Алгоритм моделирования состоит из следующих взаимосвязанных этапов:
1) постановка задачи, где формируется цель запланированного мероприятия, ставятся задачи исследования, проводится качественное описание
объекта;
2) разработка описательной модели, где формулируются и обосновываются показатели и система основных предположений;
3) разработка математической модели изучаемого объекта с выбором
методов исследования, программного обеспечения или составление алгоритма и программы для ЭВМ по новым задачам. Для построения адекватной математической модели на этом этапе требуются широкие знания фактов, относящихся к изучаемой области применения, анализ статистической и иной
информации, отражающей функционирование объекта исследования.
Исследуется динамическая нелинейная система, представляющая собой
многосекторную производственную модель, в состав которой входят следующие элементы:
1) линейные динамические элементы первого порядка:
dKi
 i Ki  I i , i  1, n;
(2)
dt
dL
 vL;
dt
2) линейные статические распределенные элементы:
n
L  Li ,
i 1
n 1
X i  I 0  I i ,
i 1
n
1  a0  X 0  ai X i ;
i 1
3) нелинейные статические элементы:
X i  Fi  Ki , Li  , i  1, n,
где Ki – основные производственные фонды; Li – трудовые ресурсы в i-м
секторе; ai – материальный коэффициент; X i – величина выпуска продукции
по секторам; I i – инвестиционная переменная, i  1, n .
Таким образом, многосекторная модель имеет в своем составе четыре
линейных динамических элемента, поэтому она является динамической и
позволяет составлять прогнозы на различные промежутки времени: краткие
9
и длительные. Она также нелинейна, поскольку выпуски секторов заданы нелинейными производственными функциями. Также данная модель многосвязна, так как ее состояние представлено выходными переменными
X i , i  1, n , взаимосвязанными с помощью балансовых соотношений. В работе
получен конкретный вид системы (1), определяющей общую структуру разработанной многосекторной модели.
Второй разработанный алгоритм предназначен для оценки устойчивости решений систем нелинейных дифференциальных уравнений с применением асимптотического метода.
В алгоритме использован предложенный критерий численной оценки
состояния динамической системы. Данный критерий применяется при исследовании на асимптотическую эквивалентность решений двух дифференциальных уравнений, одно из которых является нелинейным, и нахождение решения этого уравнения в явном виде не представляется возможным. Условия
универсального критерия выполняются в случае положительного результата
проверки на равномерную сходимость несобственного интеграла. Также с его
помощью определены необходимые и достаточные условия устойчивости нелинейных дифференциальных уравнений по части переменных. В алгоритме
критерий определяет условия устойчивого состояния как динамической системы в целом, так и отдельных ее компонентов. Алгоритм включает в себя
две части:
1) определение устойчивости нелинейной динамической системы дифференциальных уравнений;
2) нахождение решения нелинейной динамической системы дифференциальных уравнений численным методом.
Используются следующие дифференциальные уравнения:
x  A(t ) x  f (t , x),
y  A  t  y,

(3)
(4)

где A   : T ,    Hom R n , R n , f  C (0,1) ( R1  R n , R n ) . Предполагается, что
решение x  t : t0 , x0  уравнения (4) существует для всех начальных условий
(t0 , x0 )  T  R n и t  T , T = [0, ) , причем имеется нулевое решение x  t   0 .
В первой части алгоритма подбирается вид уравнения сравнения (4)
с известными асимптотическими свойствами. Затем для решения исходного
уравнения (3) строятся эталонные функции сравнения, с помощью которых
сравниваются решения уравнений (3) и (4). Построенная эталонная функция
сравнения является фиксированной, но произвольной. Она выбирается в зависимости от сравниваемых систем уравнений. Далее вычисляется фундаментальная матрица решений системы сравнения и обратная к ней.
На следующем этапе алгоритма проверяется выполнение условия универсального критерия асимптотической эквивалентности для всех или от-
10
дельных компонентов решений исследуемой системы, т.е. решения имеющихся систем уравнений должны отличаться друг от друга на бесконечно малую величину. На основании полученных результатов делается вывод об
устойчивости решений исходной нелинейной динамической системы на долгосрочную перспективу.
Во второй части алгоритма итерационным методом находится решение
для устойчивых компонент исследуемой системы уравнений, определенных
выше.
Третий алгоритм основан на построении интегральной воронки дифференциального включения при заданном функционале качества. Данный алгоритм позволяет строить траектории движения исследуемых объектов в долгосрочном периоде на основе обработки больших массивов статистических
данных. На основе рассмотренных теоретических выкладок построена вычислительная схема алгоритма, которая состоит из следующих пунктов.
1. По имеющимся статистическим данным, определяющим параметры
процесса за определенные промежутки времени T0 , T1  , который разбит на
равные промежутки точками ti , i  1, p , t1  T0 , t p  T1 , формируется таблица
исходных данных.
Пусть статистические данные xi представлены массивом


k
k
X T ,T  x   ti  , i  0, p ,
0 1
где
ti
– узлы сетки
St  {ti :T0  t0  t1    ti    tm  T1} ,
x  ti   xi ,
k
X T0 ,T1  {xi : i  0, p } – массив данных. В данном случае x   ti  – совокуп-
ность всех различных значений вектор-функции x  t  на момент времени ti ,
координаты которой x  ,, x  зависят от постановки задачи.
2. По исследуемому набору статистических данных из созданной таблицы определяются значения скоростей изменения параметров процесса, т.е.
разделенные разности вида
1
n
k
k
x    ti   x    ti 1 
j

,
xi 
ti  ti 1
где i  1, p , k  1, n , и заносятся в таблицу разделенных разностей. При этом
предполагается, что x0  =0, k  1, n .
3. Из предыдущих вычислений фиксируются максимальный и минимальный элементы среди разделенных разностей.
4. Из статистических данных известны максимальные значения скоростей, т.е. в каждый момент времени ti скорость изменения вектор-функции x  x  t  ограничена. Из этого следует, что справедлива оценка
k
11
  t , x   x  t     t , x  , где функции     t , y  и     t , y  заданы лишь в уз-
лах  ti , xi  , i  0, p . Аналитическое задание этих функций находится в виде
 t, y  
 y     y 
 z     z 
,   t , z  
,
2
2
где значения   t  для функции   t , y  представляют значения ранее опреде-
ленных максимумов (минимумов для функции   t , z  ), а значения   z  –
значения максимумов (минимумов для функции   t , z  ) по упорядоченному
аргументу последнего временного отрезка. Приближение функций   x  и
  x  находится методом наименьших квадратов.
5. С использованием метода Рунге – Кутты определяются решения
y  t  и z  t  соответствующих скалярных уравнений
dy
dz
  t, y  ,
  t, z 
dt
dt
на отрезке T0 , T1  и исследуется их асимптотическое поведение.
6. На основе функций     t , y  и     t , y  , задающих границы исследуемого процесса, строится воронка дифференциального включения. Делается вывод о развитии исследуемого процесса, т.е. возможном поведении
решения x  x  t : t0 , x0  на отрезке T0 , T1  .
7. Для планирования поведения исследуемого процесса вводится управление, с помощью которого можно повлиять на динамику его развития. Вводится управляющая функция u  u  t , x  , где u : T0 , T1  T   S  R n , u  K ,
K – класс допустимых управлений, состоящий из кусочно-непрерывных
Т-периодических квазимонотонно неубывающих функций u . Изменяя управляющие параметры, можно добиться нужного поведения решений уравнений
сравнения. Управляющие параметры выбираются таким образом, чтобы
T2
функционал качества I   x 2dt принимал свое экстремальное значение.
T1
8. На основании введенной функции u  u  t , x  строятся таблицы промежуточных вычислений.
9. Методом наименьших квадратов строятся приближения мажорант
1  1  t , y  и 1  1  t , y  .
10. С применением метода Рунге – Кутты исследуется асимптотическое
поведение решений y  t  и z  t  соответствующих скалярных уравнений
dy
dz
 1  t , y  ,
 1  t , z  на новом временном отрезке T1,2T1  T0  .
dt
dt
12
11. Выявляется тенденция развития исследуемого динамического процесса на новом временном отрезке T1,2T1  T0  .
Таким образом, применив разработанный алгоритм, мы можем привести состояние нелинейной динамической системы к необходимому значению.
При достаточно объемном массиве исходных данных описанный алгоритм
может отображать будущее состояние процесса как в краткосрочном периоде,
так и на длительную перспективу. Методика, основанная на этом алгоритме,
также дает возможность определить вид ограничивающих функций для рассматриваемого процесса.
Разработанные в работе алгоритмы по-отдельности могут быть применены только для решения отдельных классов задач, что не дает представления о полной картине исследуемого объекта. Особенность объемной методики, формируемой из этих алгоритмов, заключается в их комплексном
использовании на основе качественного исследования массива исходных
данных. Данная комбинация алгоритмов позволяет решить одновременно несколько проблем: составления прогноза на долгосрочный период, обработки
большого массива статистических данных предметной области при малой погрешности и охвата всего спектра параметров, входящих в математическую
модель.
Для составления долгосрочного прогноза на начальном этапе существует необходимость качественного исследования массива исходных данных.
В работе данный анализ проводится по следующим критериям:
– объем заданного массива;
– полнота охвата параметров предметной области в заданном массиве.
Оценка объема заданного массива данных осуществляется при определении предметной области задачи, поскольку его исследование базируется на
индивидуальных особенностях рассматриваемого процесса. Введем обозначения: пусть k – требуемое значение количества исходных данных для конкретной предметной области, p – фактическое количество исходных данных.
Тогда рассмотрим три возможных варианта:
1) p  k – объем исходных данных чрезмерно велик;
2) p  k – объем исходных данных удовлетворяет требуемому значению количества исходных данных;
3) p  k – объем исходных данных чрезмерно мал.
Полнота представляет собой характеристику достаточности информации при решении задач в конкретной предметной области. При определении
данного показателя необходимо для каждой задачи или группы задач заранее
сформировать перечень ключевых параметров моделирования и сравнить его
с фактическим.
В зависимости от результата первичного анализа данных, предлагаемая
методика строит долгосрочный прогноз по одному из предложенных сценариев (таблица 1):
13
1) основной сценарий прогнозирования состояний системы;
2) первый вспомогательный сценарий прогнозирования состояний системы;
3) второй вспомогательный сценарий прогнозирования состояний системы.
Таблица 1 – Сценарии методики объемного прогнозирования
Критерий
Основной сценарий
Первый
вспомогательный
сценарий
Второй
вспомогательный
сценарий
Объем заданного
массива
Полнота ключевых
параметров
предметной области
pk
p  k или p  k
pk
Присутствует
по необходимым
параметрам
Алгоритм 1

Алгоритм 2

Алгоритм 3
Отсутствует
или присутствует
по части параметров
Присутствует
по любому
параметру
Алгоритм 3
Алгоритм 1

Алгоритм 3
Последовательность
применения
алгоритмов
методики
В основном сценарии рассматривается случай, когда объем заданного
массива удовлетворяет требуемому значению количества исходных данных для
его использования в алгоритме 3. Полнота исходных данных в этом сценарии
также позволяет построить адекватную многосекторную математическую модель (алгоритм 1) и проверить на устойчивость ее решения (алгоритм 2).
В первом вспомогательном сценарии объем исходных данных или
чрезмерно мал, или чрезмерно велик. При этом в массиве данных нет полноты охвата ключевых параметров, что делает невозможным построение адекватной многосекторной математической модели по алгоритму 1. В этом случае реализуется построение долгосрочного прогноза по алгоритму 3.
Во втором вспомогательном сценарии полнота данных значительно
превышает требуемую, объем исходных данных чрезмерно велик, что затрудняет построение адекватной математической модели по алгоритму 1. В этом
случае для повышения достоверности получаемого прогноза необходимо
применить алгоритм 3.
Предложенные алгоритмы исследования динамических процессов использовались для решения задачи прогнозирования поведения нелинейных
систем в долгосрочном периоде. Отмечаются эффективность использования
данных алгоритмов, их хорошая устойчивость к погрешности во входных
данных, более высокая точность получаемого решения. Также установлено,
что разработанная методика объемного прогнозирования позволяет учитывать в модели значительное число ключевых показателей предметной области
и обрабатывать значительный массив статистических данных.
14
Третья глава посвящена реализации алгоритма объемного прогнозирования для стабильного функционирования динамической системы агропромышленного комплекса.
Для рассмотрения сложных систем с многоуровневой структурой, состоящих из многочисленных модулей, требуется математический аппарат, отличающийся от традиционных прогнозных методик повышенной достоверностью и
точностью. Например, к таким сложным системам можно отнести агропромышленный комплекс (АПК), представляющий собой интегрированную многоуровневую систему технологически и экономически взаимосвязанных элементов.
Поэтому первый алгоритм методики объемного прогнозирования в работе был
реализован на примере отраслевой модели агропромышленного комплекса.
В процессе его выполнения были выявлены функциональные взаимосвязи модулей полученной многосекторной модели (рисунок 2).
Рисунок 2 – Функциональные взаимосвязи модулей многосекторной модели
(на примере агропромышленного комплекса)
В рассматриваемом случае количество секторов равно трем. Взаимосвязь внутренних модулей проявляется во взаимообусловленном изменении
фазовых переменных: каждый сектор модели производит не любой объем
продукции, но столько, сколько нужно другим секторам и потребителям, и
столько, насколько хватит ресурсов. Данная схема показывает внутренние
связи между производственными секторами и балансовыми соотношениями.
На основе этой схемы также показана численная реализация алгоритма
объемного прогнозирования для стабильного функционирования рассматриваемой системы. Представлено численное решение задачи отраслевой динамики основных производственных фондов с помощью трехсекторной модели.
15
Полученная в исследовании модель включает в свой состав сельскохозяйственный сектор, который по своему профилю производит предметы труда,
сектор машиностроения, ориентированной на производство средств производства, и сектор легкой промышленности, выпускающий предметы потребления.
Уравнение динамического развития процесса в относительных переменных выглядит следующим образом:
dki
s
 i ki  i 1  1  p1, i  1,3,
dt
i
(5)
где ki  основные производственные фонды i-го сектора; i  µi    коэффициент выбытия фондов i-го сектора, где µi  коэффициент износа капитала
i-го сектора; 1  значение квоты сектора машиностроения; si  доля i-го сектора в распределении инвестиционных ресурсов; i  доля i-го сектора в распределении трудовых ресурсов; pi  производительность i-го сектора.
Для описания динамики функционирования агропромышленного комплекса используется нелинейная оптимизационная модель, основу которой
составляет система нелинейных дифференциальных уравнений
s12
 dk1
2
 dt  1k1   1   2  A2k2 ,
1

 dk2
  2 k2  A2 S2 1   2  k2 2 ,

 dt
s3
 dk3
k




1   2  2 A2k22
3 3
 dt
3

с начальными значениями ki  0  
(6)
Ki  0 
, i  1,3 ,
i L  0 
где используются следующие обозначения для i  1,3 : Ai  технологический
коэффициент i-го сектора; Li  трудовые ресурсы i-го сектора;  i  коэффициент эластичности по капиталу i-го сектора; i  коэффициент эластичности
по труду i-го сектора; ai  коэффициент прямых материальных затрат i-го
сектора; yi  удельный (ввоз-вывоз) продукции соответствующего сектора на
одного занятого; qi  цена на мировом рынке продукции i-го сектора.
Ограничения на переменные системы (6) имеют вид:
– для производительности по секторам с учетом трудовых ресурсов:
pi  θi fi  ki  , i  1,3 ;
– для отраслевой производительности секторов fi  ki   Ai ki αi , i  1,3 .
Данная функция имеет вид функции Кобба – Дугласа
16
F  Ki , Li   Ai K i αi Liβi
(в рассматриваемом случае L  1);
– для условия квотирования сектора машиностроения: y2  γ 2 p2 ;
– для системы балансовых ограничений:
1  2  3  1,
 s  s  s  1,
1 2 3
(7)

1
a
p
a
p
a
p
y
,






1 1
2 2
3 3
1

q y  q  y  q  y ,
2
2
3
3
 1 1
в которую входят соответственно трудовой, инвестиционный, материальный
и внешнеторговый балансы, причем si  0, i  0.
Решение представленной системы дифференциальных уравнений определяет изменение капитала, а следовательно, и производства на задаваемом
промежутке времени.
Для качественного исследования полученного решения рассматриваемой системы дифференциальных нелинейных уравнений на устойчивость используется метод асимптотической эквивалентности. Поскольку выполняются все условия алгоритма исследования устойчивости для отдельных
компонент, поэтому система уравнений (6) асимптотически устойчива по переменной k2 .
В главе также представлено решение задачи прогнозирования и управления динамикой изменения чистой прибыли на перспективный период на
основе применения теории дифференциальных включений. Определены нижняя и верхняя границы значений рассматриваемого процесса, построен конус
возможных траекторий.
В четвертой главе рассмотрена структура разработанного программного комплекса «КОНУС».
Данный программный комплекс представляет собой набор программных модулей, предназначенных для проведения анализа текущего состояния
нелинейной динамической системы, а также для выработки эффективных рекомендаций в сфере поддержки принятия управленческих решений ее функционирования в долгосрочном периоде. Обобщенный алгоритм работы программного обеспечения представлен на рисунке 3.
Каждый модуль алгоритма определяется своей функциональной программой. После реализации одной из представленных ветвей алгоритма программного комплекса происходят формирование и графическая интерпретация полученного решения задачи.
Средствами разработанного программного обеспечения показано решение задач долгосрочного прогнозирования основных производственных фондов (ОПФ) и численности трудовых ресурсов агропромышленного комплекса.
Программный комплекс позволяет пользователю решить несколько типов задач, указанных в соответствующем окне программы (рисунок 4).
17
Рисунок 3 – Обобщенный алгоритм работы программы «КОНУС»
Рисунок 4 – Страница программного комплекса с выбором задачи
18
Результаты решения задачи текущей доходности АПК будем иметь
в виде, представленном на рисунке 5.
Рисунок 5 – Ожидаемый диапазон стоимости ОПФ
На рисунке 5 представлен прогноз динамики развития доходности ОПФ
с течением времени в интервале 12 месяцев. Верхняя и нижняя границы интегральной воронки позволяют пользователю определить наибольшее и
наименьшее значения рассматриваемого параметра не только в настоящем
промежутке времени, но и в заданном им будущем временном интервале
с учетом установленного в программе управляющего функционала.
Преимущество данного метода в решении задач именно для целостного
АПК заключается в возможности обработки массива данных большого объема, что позволяет увидеть более глобальную картину по производственному
параметру.
Результаты решения задачи расчета прибыли по отраслям представлены
на рисунке 6.
Решение данного типа задач в комплексе представлено графиком траекторий динамики развития параметра в каждой отрасли: сельского хозяйства,
машиностроения и легкой промышленности. На рисунке 7 представлен прогноз значений прибыли с течением времени в интервале 20 месяцев.
Преимущество данной модели для решения задач отраслевых показателей заключается в возможности конкретизации и получения более детального
прогноза в сфере отраслевой динамики.
Таким образом, для каждого вида задач подбирается свой, наиболее
эффективный метод решения. Кроме того, в программном комплексе предусмотрена функция повышения достоверности результата. Это достигается
с помощью дополнительной проверки наложением результата от одного метода на другой (рисунок 7).
19
Рисунок 6 – Ожидаемая траектория отраслевой доходности
Рисунок 7 – Аналитическая сводка в режиме «Наложение»
В работе также представлены результаты решения задачи расчета численности работников (рисунок 8). В разработанном программном комплексе
планирование численности работников оказывает поддержку при решении
следующих административных задач:
– определение ожидаемой численности работающих на предприятии;
20
– оценка текучести кадров и обеспечение своевременной замены увольняющихся;
– определение времени дефицита рабочей силы.
Рисунок 8 – Аналитическая сводка в режиме «Наложение»
Общая аналитическая сводка по решенным задачам представлена в таблице 2.
Таблица 2 – Результаты решения задач прогнозирования основных производственных
фондов и числа трудовых ресурсов
Параметр
Максимальное значение
параметра
Отрасль
Месяц
Минимальное значение
параметра
Отрасль
Месяц
Стабильность процесса
Динамика процесса
Сектор 1
Сектор 2
Сектор 3
Задача 1
Прогнозирование развития
основных производственных
фондов
Задача 2
Прогнозирование числа
трудовых ресурсов
14 573 890 млн руб.
27 607 человек
сельское хозяйство
14
легкая промышленность
20
2 352 450 млн руб.
12 508 человек
машиностроение
23
Аналитическая сводка
процесс стабилен
положительная
Достоверные интервалы
[2–5];[12–23]
[4–23]
[13–23]
21
сельское хозяйство
2
процесс стабилен
нейтральная
[7–23]
[5–23]
[1,5–4];[5–23]
В таблице 3 приведены статистические данные, позволяющие сделать
вывод об эффективности созданного программного комплекса при решении
задач прогнозирования поведения нелинейных экономических процессов в
АПК.
Таблица 3 – Оценка эффективности внедрения
Параметр
Значение
до внедрения
программного комплекса
Значение
с применением
программного
комплекса «КОНУС»
3,5 мин
45 с
2,3 мин
1,5 мин
12 %
2,5 %
Среднее время обработки
входных данных
Среднее время прогнозирования на
период 24 месяцев
Средняя относительная
погрешность полученного прогноза
Таким образом:
– средняя относительная погрешность полученного прогноза уменьшилась на 9,5 %;
– среднее время обработки для входных данных за 8 лет сократилось на
34,8 %;
– среднее время прогнозирования на период 24 месяцев сократилось на
76,2 %.
Также данное программное обеспечение прошло тестирование на различных уровнях агропромышленного производства. Результаты показали, что
при долгосрочном прогнозировании производственных параметров на внедряемом программном комплексе (в отличие от используемых на предприятиях) составленные прогнозы более точно отображали реальную ситуацию. Это
позволило увеличить показатели эффективности: на 2,3 % на уровне агропромышленного комплекса; на 4,1 % – на уровне отраслевой производительности; на 7 % – на уровне отдельных предприятий.
Внедрение разработанного программного обеспечения позволило повысить точность и достоверность составляемых долгосрочных прогнозов и автоматизировать выработку рекомендаций для оптимальных управленческих
решений по ключевым экономическим показателям предприятий агропромышленного комплекса региона, а также увеличить производительность работы отдела планирования и прогнозирования Министерства сельского хозяйства и продовольствия Республики Мордовия.
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ
1. В результате проведенного анализа методов и типов прогнозирования
для задачи составления долгосрочных прогнозов динамики нелинейных систем выявлена возможность использования комплексного использования математического аппарата теории дифференциальных включений, асимптотиче22
ской эквивалентности и трехсекторного оптимизационного моделирования
для составления долгосрочных прогнозов.
2. Разработана методика объемного прогнозирования, позволяющая составлять аналитические прогнозы динамики производственных параметров и
повышать их достоверность.
3. Предложена модификация и реализована схема алгоритма прогнозирования на основе оптимизационной многосекторной модели. Составлена система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая состояние
динамического объекта. Ее применение дает возможность получить точное
значение исследуемого параметра в заданном временном отрезке.
4. Проведено качественное исследование решений построенной системы нелинейных дифференциальных уравнений по методу асимптотической
эквивалентности. Его результаты нашли применение при составлении заключения о стабильности динамического процесса.
5. Численным путем определен функционал качества, позволяющий построить траектории ветвей конуса возможных направлений на основе теории
дифференциальных включений. Построение ветвей конуса отражает максимальную и минимальную границу области возможных значений исследуемого параметра.
6. Предложен критерий оценки состояния динамической системы на
основе асимптотической эквивалентности. Он позволяет анализировать
структурную устойчивость моделей динамических процессов по части переменных и делать выводы об их устойчивости на основе совокупности свойств
устойчивости подсистем и природе их взаимодействия. Таким образом, критерий является универсальным для большого класса задач долгосрочного
прогнозирования, поскольку определяет условия устойчивого состояния как
динамической системы в целом, так и отдельных ее компонентов.
7. Разработанная методика опробована при решении задач прогнозирования развития основных производственных фондов и числа трудовых ресурсов агропромышленного комплекса. При проведении тестирования методики
на отдельных уровнях производственного процесса показатели эффективности выросли на 2,3 % на уровне агропромышленного комплекса; на 4,1 % на
уровне отраслевой производительности; на 7 % на уровне отдельных предприятий.
8. На основе алгоритмов созданной методики объемного прогнозирования разработан программный комплекс «КОНУС». Данный комплекс может
быть использован для анализа и прогнозирования состояний нелинейных динамических систем. Применение программы «КОНУС» для повышения рентабельности агропромышленного комплекса позволило сократить временные
затраты на исследование состояния производственного процесса не менее чем
на 30 %; повысить точность оценки уровня рентабельности агропромышленного комплекса; уменьшить среднее время прогнозирования на период 24 месяцев на 76,2 %; проводить исследования на различных уровнях производ23
ственного процесса, а именно: уровень предприятия и отрасли, а также уровень межотраслевого комплекса. На программный комплекс получены два авторских свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ
№ 2016613322 и № 2018614736.
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ
1. Шабанова, В. Г. Модель практико-ориентированного информационного обучения студентов агроинженерного направления / В. Г. Шабанова,
Г. И. Шабанов, В. А. Комаров // Техника и оборудование для села. – 2015. –
№ 7. – С. 42–44.
2. Шабанова, В. Г. Модель управления финансово-экономической деятельностью производственного предприятия агропромышленного комплекса /
В. Г. Шабанова, Т. Ф. Мамедова, Г. И. Шабанов // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 3-1. – С. 67–71.
3. Шабанова, В. Г. Математическое обеспечение модели оптимального
управления экономикой отрасли / В. Г. Шабанова, Т. Ф. Мамедова, О. Е. Каледин, Г. И. Шабанов // Современные наукоемкие технологии. – 2016. – № 7-1. –
С. 89–93.
4. Шабанова, В. Г. О методике исследования текущего состояния экономической системы и способе прогнозирования ее будущего поведения /
В. Г. Шабанова, Т. Ф. Мамедова // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. – 2016. – № 2 (18). – С. 90–96.
5. Шабанова, В. Г. Содержательные аспекты подсистемы комплексного прогнозирования рентабельности отраслевых предприятий / В. Г. Шабанова // Информационные системы и технологии. – 2017. – № 3(101). – С. 67–71.
6. Шабанова, В. Г. Оптимизация процесса управления динамикой нелинейной системы и ее численная реализация / В. Г. Шабанова, Т. Ф. Мамедова, О. Е. Каледин // Моделирование, оптимизация и информационные технологии. – 2018. – Т. 6, № 1. – URL: https://moit.vivt.ru/wpcontent/uploads/
2018/01/ShabanovaSoavtori_1_1_18.pdf
Публикации в других изданиях
7. Шабанова, В. Г. Анализ методов представления знаний в модели
управления экономическими показателями предприятия / В. Г. Шабанова //
Научный альманах. – 2016. – № 1-1(15). – С. 539–541.
8. Шабанова, В. Г. Обработка экспериментальных данных в автоматизированных системах принятия решений / В. Г. Шабанова, Г. И. Шабанов,
Т. Ф. Мамедова // Энергоэффективные и ресурсосберегающие технологии и
системы : межвуз. сб. науч. тр. – Саранск : Изд-во Мордов. ун-та, 2016. –
С. 460–462.
24
9. Шабанова, В. Г. Автоматизация управления развитием производственного предприятия для повышения экономической эффективности /
В. Г. Шабанова, Г. И. Шабанов, Т. Ф. Мамедова // Энергоэффективные и ресурсосберегающие технологии и системы : межвуз. сб. науч. тр. – Саранск :
Изд-во Мордов. ун-та, 2016. – С. 462–465.
10. Шабанова, В. Г. Математическая модель оптимизации управления
хозяйственной деятельностью одного производственного предприятия /
В. Г. Шабанова, Т. Ф. Мамедова, О. Е. Каледин, Е. Ю. Кирейчева // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных
проблем : материалы X Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов,
аспирантов и студентов / под ред. И. В. Бойкова. – Пенза, 2016. – С. 125–130.
11. Шабанова В. Г. Инноватика информационного инженерного образования / В. Г. Шабанова // Методика преподавания математических и естественнонаучных дисциплин: современные проблемы и тенденции развития :
материалы III Всерос. науч.-практ. конф. – Омск, 2016. – С. 311–316.
12. Шабанова, В. Г. Методика формирования интегрированной математической модели прогнозирования развития экономических систем /
В. Г. Шабанова // Наука и инновации в современных условиях : сб. ст. Междунар. науч.-практ. конф. : в 4 ч. – Казань, 2017. – Ч. 1. – С. 205–208.
13. Шабанова, В. Г. Моделирование прикладных подсистем промышленных предприятий на основе информационных технологий / В. Г. Шабанова, Г. И. Шабанов, Т. Ф. Мамедова // В мире науки и инноваций : сб. ст. Междунар. науч.- практ. конф. – Казань, 2017. – С. 151–153.
14. Шабанова, В. Г. Исследование устойчивости состояния основных
производственных фондов АПК / В. Г. Шабанова, Т. Ф. Мамедова // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем : материалы XII Междунар. науч.-техн. конф. – Пенза, 2017. –
С. 125–131.
15. Шабанова, B. Г. Математическое моделирование и оценка нелинейной динамики состояния основных производственных фондов АПК /
B. Г. Шабанова, T. Ф. Мамедова, О. Е. Каледин // Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании : материалы
XIII Междунар. науч. конф. – Саранск, 2017. – С. 391–397.
16. Шабанова, В. Г. О методике прогнозирования роста капитала
предприятия / В. Г. Шабанова, Н. В. Василькин, А. И. Поверинов // Математические методы и информационные технологии управления в науке, образовании и правоохранительной сфере : сб. материалов Всерос. науч.-техн. конф. –
Рязань, 2017. – С. 51–55.
17. Шабанова, В. Г. Принципы разработки модуля математикоэкономической диагностики и прогноза предприятий АПК / В. Г. Шабанова,
Т. Ф. Мамедова, Г. И. Шабанов // Энергоэффективные и ресурсосберегающие
технологии и системы : межвузов. сб. науч. тр. / отв. за вып. А. В. Безруков.–
Саранск, 2017. – С. 218–222.
25
18. Шабанова, В. Г. Учебно-методическое обеспечение курсов переподготовки управленческих кадров агропромышленного комплекса по математическому моделированию в экономике / В. Г. Шабанова, Т. Ф. Мамедова,
Г. И. Шабанов // Энергоэффективные и ресурсосберегающие технологии и
системы : межвузов. сб. науч. тр. / отв. за вып. А. В. Безруков. – Саранск,
2017. – С. 757–760.
Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ
19. Свидетельство о государственной регистрации программы для
ЭВМ в Реестре Российской Федерации по интеллектуальной собственности.
№ 2016613322 Программа автоматизированного расчета экономического роста предприятий по модели Солоу / Шабанова В. Г., Мамедова Т. Ф., Шабанов Г. И.
20. Свидетельство о государственной регистрации программы для
ЭВМ в Реестре Российской Федерации по интеллектуальной собственности.
№ 2018614736 Программный комплекс «КОНУС» / Шабанова В. Г., Мамедова Т. Ф., Шабанов Г. И., Каледин О.Е., Кулягина Т. И.
26
Научное издание
ШАБАНОВА Виктория Геннадьевна
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
И АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ДОЛГОСРОЧНОГО
ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
Редактор В. В. Чувашова
Технический редактор М. Б. Жучкова
Компьютерная верстка М. Б. Жучковой
Распоряжение № 19/157-2018 от 25.10.2018.
1
Подписано в печать 25.10.2018. Формат 6084 /16.
Усл. печ. л. 1,4. Заказ № 009365. Тираж 100.
_______________________________________________________
Издательство ПГУ.
440026, Пенза, Красная, 40.
Тел./факс: (8412) 56-47-33; e-mail: iic@pnzgu.ru
27
28
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа