close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Анализ отклонений траекторий свободного движения непрерывных и дискретных систем от монотонной сходимости

код для вставкиСкачать
Paбoтa
BЬII]oЛIIeнa
иссле.цoBaTеЛЬскoМ yниBеpсиTеTе
Caнкт-Петеpбypгскoм
нaциoHzlЛьHoI\{
теxнoлoгий,
МеxaIIики у|
инфopмaциoIIIIЬIx
oпTики
I{ayuн ьlй pyкoводиTеЛЬ :
кaI{'ци.цaT
TexниЧeскиx IIayк' .цoце}IT
,{yдapешкo Haтaлпя AлексallДpoвrra
OфициaЛ ьIIЬIе oППollrнтЬl : Хлебни кoв Mихaил BлaДи}r [rрoBич
ДoкTop
физикo-мaTеМaTиЧескI,tx
пpoфессоp
PA}I,
yIIpaBЛеHI{я
иМ.
Инститyт
нayк'
пpoблем
TpaпезникoBa
B.A.
Poссийскoй
aкaдеМии
лaбopaтоpия J',lb7<<AдaптиBIlЬD(и
poбaстньrx систeМ иМеIlи Я.З.
глaвньlй нaуrньtй сoTpy.цIIик
нayк'
фrпкино>,
Eмeльянoвa Ioлия Пaвлoвнa
кaI{ди.цaT физикo.мaТеМaTичeскиx
l{ayк'
Apзaмaсский
ПoЛитeхнический
иIIсTиTyT
(филиaл) Нижегopo,цскoгo гoсy.цapстBеIll{oгo
TеxIIиЧескoГo yHиBеpсиTeтa' дoцeIIТ кaфедpьr
<ПpиклaдII€UI МaTеМaTикD)
Beдyщaя opгalrиЗaЦПя:
Caнкт.Петеpбypгский
yниBepсиTeT
пpибopoсTpoеIIи'I
гoсy.цapственньrй
€lэpoкoсМическoГo
Зaщитa сoсToиTся 29 нoябpя 2018 г. B 16:00 ЧaсoB IIa зaсeдaЕии
.циссepTaциol{I{oгoсoBеTa Д\2T2.227.03 тtpvtCaнкт.Пeтepбypгокoм нaциoIlilJIЬI{oN{
иcсЛeДoBaтелЬскoМ yIrиBеpсиTrTе инфopмaциoIIIIьIx тeхнoлoгий, Меxaники kI
oIITикиПo aдpeсy:.\971-0|,Caнкт.Петеpбypг,Кpoнвepкскийrlp.,д.49.,aУд.З59.
C диссеpтaЦlцeЙ Мo)кнo oзнaкotvlиТься B 6lаблиaтeкe Caнкт.ПeтеpбypгскoГo
нaциoI{€шIЬI{oгoиссЛe.цoBaTеЛЬскoгoyIrиBеpcиTеTa инфopмaциoннЬIх технoлoгий,
МехaIIикии oпTики Пo a.цpeсy:L97I01_,Caнкт.Пeтеpбypг, Кpoнвеpкский пp., д.49
и нa caircehttp:l/фpо.ifmo.ru/?page1:1 6&page2:52&page_d:1 &pagе_d2:I53l56
AвтopефepaTp€BoсЛaн (
>>oктябpя 201-8гoдa.
Ученьrй секpeTapЬ .циссеpTaциoнIloГo сoBеTa
кaI{'цидaTTеxIIичeскиx Hayк' ДoцeIIT
,{yдapенкoH.A.
3
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования. Проблема возникновения отклонений
траекторий движения линейных систем от монотонной сходимости является
неотъемлемой частью базовых задач теории управления, таких как задачи
стабилизации и пространственного слежения. Величина этих отклонений
косвенно
характеризует
важнейшие
показатели
качества
систем
автоматического управления - перерегулирование и запасы устойчивости,
которые должен обеспечить разработчик на этапе проектирования системы
управления. Среди основных факторов, порождающих отклонения траекторий,
выделяют внешние возмущения и ненулевые начальные условия.
Исследованиям переходного процесса системы при наличии внешних
возмущений (в частности, скачкообразного внешнего воздействия) посвящено
достаточно много работ. Однако, в общем случае, относительно ситуаций
«скачкообразное внешнее воздействие на входе» – «ненулевое начальное
состояние» системы по своим динамическим свойствам неоднозначны. Так
система, имеющая при нулевых начальных условиях монотонно
развивающуюся переходную характеристику, может иметь при ненулевых
начальных состояниях кривую, характеризующуюся заметными отклонениями
траектории от монотонно убывающей кривой. Это отклонение достаточно
давно замечено специалистами по теории управления. Исследования
переходных режимов в линейных системах при ненулевых начальных условиях
были начаты еще в 1948 г. в работе А.А. Фельдбаума. Р.Н. Измайлов в своей
работе показал неизбежность больших отклонений траектории от нуля, если
полюса замкнутой системы сильно сдвинуты в левую полуплоскость
комплексной плоскости. Проблема больших отклонений для систем с
наблюдателями исследовалась В.Н. Полоцким. Данная проблема в
коммутационных системах, где траектория всегда находится в ненулевой
позиции после переключения, рассматривалась Д. Либерзоном (D. Liberzon).
Большие отклонения траекторий систем в переходном процессе при
проектирование каскадных систем управления рассмотрены Х. Суссманом и
П. Кокотовичем (H. Sussman, P. Kokotovic), где результат Р.Н. Измайлова был
обобщен, чтобы получить оценки отклонений для выходов. В работах
Б.Т. Поляка, А.А. Тремба, М.В. Хлебникова, П.С. Щербакова, Г.В. Смирнова
продолжено изучение этого явления при больших и малых значениях полюсов,
верхняя граница для отклонений оценивается с помощью техники линейных
матричных неравенств.
Тем не менее, все еще открытыми остаются вопросы формирования более
точных оценок отклонений траекторий свободного движения непрерывных и
дискретных систем от монотонной сходимости для различных системных
факторов, порождающих эти отклонения. Таким образом, тема
диссертационных исследований «Анализ отклонений траекторий свободного
движения непрерывных и дискретных систем от монотонной сходимости»
является актуальной.
Степень разработанности темы исследования. Отклонения в
траекториях свободного движения рассматривались ранее главным образом
4
относительно структуры корней характеристического уравнения непрерывной
системы. В этой связи, основные исследования проводились с использованием
модельного представления системы в форме дифференциального уравнения
«вход-выход», при этом оценка отклонений траекторий свободного движения
систем формировалась с помощью методов линейных матричных неравенств.
Метод пространства состояний дал возможность по-новому взглянуть на
проблему отклонений траекторий линейных систем и позволил более подробно
рассмотреть зависимость отклонений траекторий свободного движения
непрерывных и дискретных систем также и от структуры собственных векторов
матрицы состояния системы.
Цели и задачи. Целью диссертационной работы является исследование
причинных факторов и формирование оценок отклонений траекторий
свободного движения непрерывных и дискретных систем управления от
монотонной сходимости.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
1. Проведен анализ факторов, порождающих отклонения траекторий
движения линейных динамических систем от монотонной сходимости.
2. Получены экспоненциальные оценки сверху отклонений траекторий
движения от монотонной сходимости с использованием числа обусловленности
матрицы собственных векторов системы для класса непрерывных систем, а
также для дискретных систем в условиях отсутствия и наличия запаздывания
сигнала управления.
3. Разработан алгоритм конструирования матриц состояния с желаемыми
спектрами собственных чисел и собственных векторов на основе обобщенного
модального управления, который обеспечивает отсутствие
отклонений
траекторий свободного движения непрерывных систем путем минимизации
числа обусловленности матрицы собственных векторов системы.
4. Представлена процедура модификации кратной структуры собственных
чисел в простую, минимизирующая величину отклонения в траекториях ее
свободного движения, при которой гарантируется требуемое значение
указанного выше отклонения.
5. Сконструированы аналитические выражения для оценки робастности
отклонений траекторий свободного движения апериодических систем на основе
модели чувствительности полученной экспоненциальной оценки сверху этих
траекторий.
6. Решена задача предэксплуатационной юстировки главного рефлектора
большого полноповоротного радиотелескопа: проведен анализ и компьютерное
моделирование системных ситуаций с ненулевым начальным состоянием,
порождаемым переходом оптоэлектронного измерительного комплекса из
режима наведения в режим следящего позиционирования. Получены оценки
скорости поискового движения при переводе лазерного луча между
контрольными точками с гарантированным устойчивым захватом.
Научная новизна. Новизна полученных результатов состоит в том, что
проблема возникновения отклонений в траекториях свободного движения
устойчивых непрерывных и дискретных систем решена с применением метода
5
пространства состояний, что позволило получить аналитические представления
для оценок сверху указанных отклонений с помощью числа обусловленности
матрицы собственных векторов и нормы матрицы состояния системы.
Представлена геометрическая интерпретация появления отклонения траекторий
свободного движения систем в пространстве собственных векторов. Получены
аналитические оценки отклонений траекторий свободного движения систем, а
также процедура минимизации отклонений траекторий свободного движения
систем путем модификации кратной структуры собственных чисел в простую с
последующей минимизацией числа обусловленности матрицы собственных
векторов с помощью обобщенного модального управления. Для
апериодических систем сконструированы аналитические выражения для оценки
робастности отклонений траекторий свободного движения на основе
оценивания чувствительности полученной экспоненциальной оценки сверху
этих траекторий.
Теоретическая и практическая значимость работы заключается в том,
что полученные оценки отклонений траекторий свободного движения от
монотонной сходимости могут быть использованы как для непрерывных, так и
для дискретных систем, в том числе и для класса систем с параметрической
неопределенностью. Полученный алгоритм синтеза системы с желаемыми
собственными векторами и собственными числами матрицы состояния системы
и процедура модификации кратной структуры собственных чисел в простую
позволяют минимизировать величину отклонений траекторий.
Полученные аналитические оценки отклонений траекторий свободного
движения линейных динамических систем от монотонной сходимости могут
быть эффективно использованы при проектировании систем пространственного
слежения и стабилизации летательных аппаратов, а также при создании
прецизионных систем мониторинга поверхности главного рефлектора
большого радиотелескопа, позволяющих уменьшить влияние ветровых и
температурных возмущений на качество обрабатываемой информации.
Методы исследования. Для решения поставленных задач были
использованы: метод пространства состояний, аппарат передаточных функций,
дифференциальных уравнений, рекуррентных (разностных) уравнений, методы
линейной алгебры, как для непрерывных, так и для дискретных процессов,
пакет прикладных программ Matlab с расширением Simulink последних версий.
Положения, выносимые на защиту:
1.
Алгоритм конструирования матриц состояния с желаемыми
спектрами собственных чисел и собственных векторов на основе обобщенного
модального управления, который обеспечивает отсутствие
отклонений
траекторий свободного движения непрерывных систем путем минимизации
числа обусловленности матрицы собственных векторов матрицы состояния
системы.
2.
Аналитические
зависимости
отклонений
от
монотонной
сходимости траекторий свободного движения дискретной системы от числа
обусловленности матрицы собственных векторов матрицы состояния системы
при условии отсутствия и наличия запаздывания сигнала управления.
6
3.
Процедура модификации кратной структуры собственных чисел в
простую, минимизирующая величину отклонения в траекториях ее свободного
движения, при которой гарантируется требуемое значение указанного выше
отклонения.
4.
Результаты исследования причинных факторов, порождающих
системные
ситуации
с
ненулевым
начальным
состоянием
в
автоматизированном оптоэлектронном комплексе следящего измерения в
задаче предэксплуатационной юстировки главного рефлектора большого
полноповоротного радиотелескопа РТ ТНА-1500, а также рекомендации по
выбору параметров, обеспечивающих гарантированный переход из режима
наведения в режим следящего позиционирования в рамках выделенного
интервала времени.
Степень достоверности и апробация результатов. По теме
диссертационных исследований соискателем опубликовано 29 печатных работ,
12 из которых входят в перечень ВАК, 6 из них опубликовано в научных
изданиях, входящих в международные реферативные базы данных и системы
цитирования (Web of Science Core Collection и Scopus). Результаты
исследований частично представлены в двух учебных пособиях, соавтором
которых является соискатель, а также в свидетельстве о регистрации
программы для ЭВМ.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на
следующих международных и всероссийских конференциях:
1. «The 9th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and
Control Systems» - ICUMT 2017 («9-ый Международный конгресс по
ультрасовременным коммуникациям и управлению», 6-8 ноября 2017, Мюнхен,
Германия).
2. «12th International Conference «Mechatronics 2017» (12-ая
Международная конференция «Мехатроника 2017», 6-8 сентября 2017, Брно,
Чехия).
3. «9-я Российская мультиконференция по проблемам управления» РМКПУ 2016, 4-6 октября 2016, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»,
Санкт-Петербург, Россия.
4. «The 8th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and
Control Systems» - ICUMT 2016 («8-ой Международный конгресс по
ультрасовременным коммуникациям и управлению», 18-20 октября 2016,
Лиссабон, Португалия).
5. «The 13th International Conference on Informatics in Control, Automation
and Robotics» - ICINCO 2016 (13-ая Международная конференция по
информатике в управлении, автоматизации и робототехнике, 29-31 июля 2016,
Лиссабон, Португалия).
6. «VIII Традиционная всероссийская молодежная летняя школа:
Управление, информация и оптимизация» - VIII ТМШ, 14-19 июня 2016, СанктПетербург, Россия.
7
7. «The 2015 IEEE Multi-Conference on Systems and Control» - MSC 2015
(Мультиконференция по системам и управлению 2015, 21-23 сентября 2015,
Сидней, Австралия).
8. «The 7th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and
Control Systems» - ICUMT 2015 («7-ой Международный конгресс по
ультрасовременным коммуникациям и управлению», 6-8 октября 2015, Брно,
Чехия).
9. «XII Всероссийское совещание по проблемам управления» - ВСПУ –
2014, 16-19 июля 2014, ИПУ РАН, Москва, Россия.
10. «XVI конференция молодых ученых «Навигация и управление
движением» - КМУ 2014, 11-14 марта 2014, АО «Концерн «ЦНИИ
«Электроприбор», Санкт-Петербург, Россия.
11. «VI Традиционная всероссийская молодежная летняя школа:
Управление, информация и оптимизация» - VI ТМШ, 22-29 июня 2014, ИПУ
РАН, Москва, Россия.
12. «The 18th WSEAS International Conference on Applied Mathematics» AMATH '13, 10-12 декабря 2013, Будапешт, Венгрия.
13. «5-я Российская мультиконференция по проблемам управления» РМКПУ 2012, 9 – 11 октября 2012, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»,
Санкт-Петербург, Россия.
Результаты диссертационных исследований использовались при
выполнении следующих НИР:
1. Управление киберфизическими системами (тема №718546).
2. Идентификационные методы синтеза наблюдателей в задачах
адаптивного управления нелинейными системами (тема №17808).
3. Методы адаптивного и робастного управления нелинейными
неопределенными динамическими системами в условиях возмущающих
воздействий, запаздывания и нестационарной окружающей среды (тема
№360990).
4. Робастные и адаптивные системы управления, коммуникации и
вычисления (тема №340622).
5. Нелинейное и адаптивное управление сложными системами (тема
№713546).
6. Грант правительства Санкт-Петербурга «для студентов вузов,
расположенных на территории Санкт-Петербурга, аспирантов вузов,
отраслевых и академических институтов, расположенных на территории СанктПетербурга» 2017г.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти
глав, заключения, литературы и приложений. Объем диссертации составляет
159 страниц с 58 рисунками и 21 таблицей. Список литературы содержит 139
наименований.
8
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы,
проведен анализ существующих в современной науке об управлении методов в
обозначенной предметной области, сформулированы цели и задачи
исследований, кратко изложены теоретические и практические результаты
работы, а также основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе диссертации дается пояснение, что подразумевается под
отклонениями траекторий свободного движения систем от монотонной
сходимости на иллюстративном примере. Рассматривается линейная
устойчивая система вида
=
x ( t ) Fx ( t )=
; x ( 0 ) x ( t ) t =0 ≠ 0 ,
где матрица состояния F ∈ R 2×2 имеет вещественные некратные собственные
Т
числа σ {F } ={ λ1 =−2; λ 2 =−9 } , начальные условия x ( 0 ) = [ 0 1] . Решение
системы имеет вид: x(t ) = e At x(0) . Пусть матрица F задается двумя способами
 −2 140 
 −5.5 3.5 
F= F=
= F=
1
2
 0 −9  , F
 3.5 −5.5 . Тогда нормы свободного движения




Ft
системы || x(t ) ||=|| e x(0) || для матриц состояния F1 (кривая 1) и F2 (кривая 2)
будут иметь вид, представленный на рисунке 1.
|| x(t)
||
10
1
2
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t, c
Рисунок 1 – Норма свободного движения устойчивой непрерывной системы
при различных представлениях матрицы состояния
На рисунке 1 кривая 2 монотонно сходится к нулю в отличие от кривой 1,
которая в начальный момент времени отклоняется от монотонной сходимости.
Такое поведение, называемое в диссертации отклонением траекторий
свободного движения системы от монотонной сходимости, является предметом
диссертационных исследований, проводимых по норме вектора состояния
свободного движения системы.
Далее в первой главе диссертации рассматривается проблема структуры
собственных векторов как причины возникновения отклонения траекторий
свободного движения непрерывных устойчивых систем вида
=
x ( t ) Fx
=
(1)
( t ) ; x ( 0 ) x ( t ) t =0 ,
где матрица состояния F ∈ R n×n обладает спектром вещественных некратных
собственных чисел
(2)
σ { F } = { λ i = arg ( det ( λI −при
F ) = 0 ) ; λ i < 0; Jm ( λ i ) = 0; λ i ≠ λ j
i ≠ j },
и собственных векторов
9
Fξ
{ξ :=
i
}
λ=
1, n .
iξ i ; i
i
(3)
В системе (1) устойчивость может быть обеспечена средствами
модального управления в виде u = − Kx для объекта управления =
x Ax + Bu так,
что F= A − BK .
В работе получены необходимые условия и их геометрическая
интерпретация появления отклонений траекторий свободного движения
апериодических систем от монотонной сходимости в пространстве
собственных векторов, сформулированные в форме следующего утверждения.
Утверждение. Необходимыми условиями наличия отклонений
траекторий движения по вектору состояния апериодической системы (1) с
матрицей состояния простой структуры являются:
1. наличие хотя бы одной пары собственных векторов
{ξl , ξ j } ,
характеризующейся тупым углом (angl) между ними в плоскости, натянутой на
эти вектора: angl {ξl , ξ j } > π 2 .
2. наличие у собственных чисел λl , λ j , соответствующих собственным
ξl , ξ j ,
векторам
свойства,
удовлетворяющего
условиям
( λl , λ j )= arg {λl < 0, λ j < 0 & λl >> λ j } .
На рисунке 2 представлена линейная оболочка (плоскость) L {ξl , ξ j } ,
натянутая на пару векторов
{ξ , ξ } ,
l
j
образующих тупой угол с вектором
начального состояния x ( 0 ) системы в виде вектора, принадлежащего этой
оболочке и являющегося биссектрисой угла angl {ξl , ξ j } между векторами ξl , ξ j .
xj
x ( 0)
ξj
xl
ξl
Рисунок 2 - Линейная оболочка (плоскость) L {ξl , ξ j } , натянутая на пару
векторов {ξl , ξ j }
В работе получена оценка сверху отклонений траекторий свободного
движения по норме вектора состояния посредством числа обусловленности
матрицы собственных векторов системы в форме
 } eλ t x ( 0 ) ,
(4)
x ( t ) ≤ sup { x ( t ) } =
C {M
M
где C {M } - число обусловленности
модифицированной матрицы M
собственных векторов системы, то есть матрица её собственных векторов
10
единичной нормы, вычисляемая в силу соотношения
 =
M
M ⋅ diag
{( ξ
i 2
)
−1
},
;i =
1, n
– максимальное собственное число матрицы F .
Изложена концепция типовых полиномиальных моделей в задаче синтеза
устройства управления и получены аналитические оценки показателей
качества. Представлен алгоритм синтеза закона управления u (t ) = − Kx(t )
средствами обобщенного модального управления, который обеспечивает
отсутствие отклонений траекторий свободного движения непрерывных систем.
Алгоритм основан на назначении матрице системы управления спектров
собственных чисел и векторов, которые выбираются из условия минимизации
функционала вида
2
J (C ,U ) = α1max
{WU }C{M } ,
(5)
где α max – максимальное сингулярное число грамиана затрат на управление WU ,
являющегося решением матричного уравнения Ляпунова F TWU + WU F = − K T K ,
C {M } - число обусловленности матрицы собственных векторов системы.
Рассмотрена параметрическая чувствительность величины отклонений
траекторий движения апериодических систем от монотонной сходимости к
вариациям параметров матрицы F на основе оценки сверху (4) и тем самым
решена задача оценки робастности отклонений траекторий свободного
движения системы.
Во второй главе диссертации рассматривается структура собственных
векторов как причина возникновения отклонений траекторий свободного
движения дискретных систем с матрицей состояния простой структуры в
условиях отсутствия и наличия запаздывания сигнала управления. Это
обстоятельство порождает две возможные версии дискретных представлений
дискретного объекта с одним и тем же непрерывным техническим объектом,
что проявляется в увеличении размерности матриц дискретной модели
непрерывного объекта и в модификации структуры собственных векторов
матрицы состояния дискретной системы.
Дискретный объект управления (ОУ) при отсутствии запаздывания
записывается в виде:
(6)
1) Ax ( k ) + Bu ( k ) ; x (=
0 ) x ( k ) k =0 , y (k ) = C x(k ) ,
x ( k +=
где k = arg (t = k∆t ) – дискретное время, выраженное в числе интервалов
дискретности длительности ∆t , =
dim ( A ) =
dim ( A ) n ,
dim
=
=
( B) r ,
( B ) dim
λM
(
)
dim
=
=
( C ) m , при этом A = exp( A∆t ) , B = Α − I Α−1Β , C = С , где A, B ,C –
( C ) dim
соответственно матрицы состояния, управления и выхода непрерывного
объекта управления.
Аналитически управление записывается в виде
u ( k ) = − Kx ( k ) ,
(7)
где K - матрица обратных связей по вектору состояния ОУ, dim ( K =) ( r × n ) .
Объединение регулятора (7) и дискретного объекта управления (6) дает
замкнутую дискретную систему вида
11
xк( + 1) Fx k(=
=
)x; ( 0 ) x k(
) k =0 ,
(8)
где F= A − BK .
Оценка сверху свободного движения дискретной системы (8) для случая,
когда сигнал управления направляется в непрерывный объект без задержки,
получает представление
(
)
k
x ( 0) ,
sup x ( k ) = C {M } λmax
(9)
С{M } = M M −1 – число обусловленности матрицы M собственных векторов
дискретной системы (8), λ max – максимальное собственное значение матрицы F .
Информационным компонентом, определяющим качество процессов по
норме свободного движения, является число обусловленности матрицы M
собственных векторов. При этом необходимые условия возникновения
отклонений траекторий свободного движения дискретных систем с матрицей
состояния простой структуры аналогичны условиям для непрерывных систем.
В случае если структура собственных векторов матриц состояния дискретной
системы ортогональна, то число обусловленности будет близко к единичному
значению и процессы в системе, стартуя в точке x ( 0 ) , будут иметь монотонно
сходящийся характер, покрытие которых кривой sup ( x ( k ) ) будет стартовать из
точки С{M } x(0) ≅ x(0) . В случае, если спектр собственных векторов матриц
состояния дискретной системы не будет ортогональным и будет содержать хотя
бы пару векторов близких к коллинеарной структуре, то число
обусловленности С{M } может быть чрезмерно большим. При этом процессы в
системе, стартуя в точке x(0) , будут иметь большие отклонения от монотонно
сходящихся процессов, покрытие которых кривой sup( x(k ) ) будет стартовать
из точки С{M } x(0) >> x(0) , имеющей большое удаление от начала координат.
Если управление непрерывным объектом для t = k∆t осуществляется с
задержкой на величину τ , не превышающую длительности ∆t интервала
дискретности, то управление u ( t ) представимо в виде
u ( k − 1) , k ∆t ≤ t < k ∆t + τ;
u (t ) = 
u ( k ) , k ∆t + τ ≤ t < ( k + 1) ∆t.
При этом описание дискретного объекта управления представимо в виде
x ( k + 1) = Αx ( k ) + Β1 ( τ ) u ( k − 1) + Β ( τ ) u ( k ) , y (k ) = C x (k ) ,
где Β1 ( τ ) =Α ( I − e− Ατ ) Α −1Β , Β ( τ ) = ( Αe− Ατ − I ) Α −1Β .
(10)
(11)
Закон управления u ( k ) , учитывающий задержку, формируется в виде
u (k ) =
− K x x ( k ) − K χ χ ( k ) ,
(12)
где χ ( k ) - введенная переменная, обозначающая вектор состояния
дополнительного элемента задержки (ЭЗ), учитывающего задержку ввода
сигнала управления в объект.
12
Объединение объекта управления (11) и закона управления (12) порождает
замкнутую дискретную систему, записываемую в виде
(13)
xк( + 1) Fx k(=
=
)x; ( 0 ) x k( ) k =0 ,
 A − B ( τ ) K x
− K x

B1 ( τ ) − B ( τ ) K χ 
 , причем управление (12) формируется из
− K χ

условия сохранения в спектре собственных чисел матрицы F всех элементов
спектра собственных чисел матрицы F , при этом дополнительное (n + 1) -е
собственное число λ выбирается из условия λ << λ , i = 1, n .
где F = 
n +1
n+1
i
Структурное представление физической реализации системы (13) с
законом управления (12) в ее составе представлено на рисунке 3.
Β (τ )
u (k )
χ(k + 1)
ЭЗ
x(k + 1)
u (k − 1)
Β1 (τ )
χ(k )
−

K χ
−
−
ЭЗ
x(k )
y (k )
C
Α
K x
Рисунок 3 - Схема дискретной системы управлением, учитывающим задержку
в выводе сигнала управления
Оценка сверху свободного движения дискретной системы (13) для случая,
когда сигнал управления направляется в объект управления с задержкой,
получает представление
k
(14)
x ( 0) ,
sup x ( k ) = C {M } λmax
где
{ }
C M
{
–
(
число
обусловленности
)
}
 row M= arg F (τ ) M= λ M =
M
=
1, n + 1
i
i
i
i ;i
{
собственных
(n + 1)× (n + 1) -матрицы
векторов
матрицы
}
max λi =
arg ( λ I − F (τ ) =
0) ; i =
1, n + 1 .
состояния системы (13); λmax =
i
Таким образом, в случае запаздывания сигнала управления матрица
~
состояния системы F (τ) принимает вид (13), в котором наличествуют два
внедиагональных элемента и претерпевает изменение ненулевой диагональный
элемент, что влечет за собой изменение спектра собственных чисел,
~
собственных векторов и заметное изменение числа обусловленности C {M } в
(14), а значит и величины отклонения траекторий свободного движения
дискретной системы. Таким образом, обнаруживается, что наличие
запаздывания ввода сигнала управления в объект управления может быть
причиной заметных отклонений нормы вектора состояния свободного
движения дискретной системы.
В третьей главе диссертации рассматривается кратность собственных
чисел матрицы состояния как причина возникновения отклонений траекторий
непрерывных систем вида (1).
13
Сформулированы и решены задачи исследования отклонения
траекторий непрерывных систем по норме вектора состояния свободного
движения в случаях кратного вещественного и кратного комплексносопряженного спектрах собственных чисел матрицы состояния. Выявлена
зависимость возникновения отклонений траекторий свободного движения от
значений собственных чисел. Представлена процедура модификации кратной
структуры собственных чисел в простую, минимизирующая величину
отклонения в траекториях свободного движения системы, при которой
гарантируется требуемое значение указанного выше отклонения. Указанная
процедура заключается в следующем.
Если матрица системы (1) F обладает кратным спектром собственных
чисел {λi ; i =
1, n} , записываемым в форме
{
}
σ { F } = λ i = λ + ∆λ ⋅ ( i − 1) = λ (1 + δ ⋅ ( i − 1) ) ; i = 1, n; δ = ? ; δ =
∆λ
,
λ
(15)
тогда модификация кратной структуры собственных чисел в простую
осуществляется в соответствии с правилом
(16)
{λi = λ (1 + δ ⋅ ( i − 1) ) ; i = 1, n} .
Оценка сверху процессов в системе формируется в виде
i
1  eλδt − 1 
sup x ( t ) = e ∑ 
 x ( 0) .
λδ 
i =0 i ! 
λt
n −1
Момент, когда отклонение достигает
оценивается с помощью соотношения
tM= arg ( λ + eλδ=t 0=
)
(17)
максимального
значения,
1
ln ( −λ ) .
λδ
(18)
Соотношения (17) и (18) позволяют разработчику путем назначения
величины δ добиваться требуемого значения величины отклонения ∆ ,
наблюдаемого в точке t = tM , на уровне, удовлетворяющем неравенству
x ( tM ) ≤ (1 + ∆ ) x(0) , где величина ∆ задается априори.
На рисунке 4 изображены графики нормы вектора состояния системы (1)
порядка n = 5 c кратным собственным числом λ = −0.2 для различных значений
величин отклонения ∆ и степени δ отдаленности собственных чисел.
n=5
2
1.
=0.05;
=48
2.
=0.1;
=25
3.
=0.2;
=13
4.
=0.5;
=6
5.
=1;
=3.4
|| x( t)||
1.5
1
0.5
1
2
3
4
5
0
0
5
10
Рисунок 4 - Кривые процессов x ( t ) при λ = −0.2
15
t, c
14
В четвертой главе диссертации кратность собственных чисел матрицы
состояния как причина возникновения отклонений траекторий рассматривается
для класса дискретных систем.
Рассматривается
линейная стационарная динамическая система с
дискретным временем
(19)
=
x(k + 1) Fx(=
k ), x(k ) k =0 x ( 0 ) ,
Матрица системы F , заданная в произвольном базисе, такова, что ее
характеристический полином D(λ) имеет представление
n


D(λ) = det (λI − F ) =  ( λ − α) n = λ n + ∑ ( −1) i Cni λ n −i αi ; α : Im( α) = 0  ,
i =1


i
где Cn – число сочетаний из n по i .
(20)
Каноническая форма матрицы, построенная на спектре σ{F } собственных
чисел матрицы F будет иметь вид (n × n) –клетки Жордана J (α) . Матрица J (α)
связана с матрицей F исходной системы (19) векторно–матричным
соотношением
(21)
F SJ (α) S −1 ,
=
где S - матрица неособого преобразования подобия.
Верхняя граница max x(k ) нормы вектора x(k ) состояния свободного
k
движения системы удовлетворяет равенству
n −1
α kx∑
max x(kС) =
k
i =0
i
k
α −i
(0)
,
(22)
Условие возможности появления отклонения траектории дискретной
системы (19) по норме ее вектора состояния свободного движения от
монотонно убывающего характера: n ≥ 2 при любых α :α > 0 & α < 1 .
Если матрица состояния задана в произвольной форме, тогда оценка
сверху записывается в виде
n −1
=C ( S )xα k ∑
max x(k ) С
k
i =0
i
k
α −i
(0)
,
(23)
где C (S ) – число обусловленности матрицы S .
В пятой главе диссертации проводится анализ причинных техногенных
факторов, порождающих системные ситуации с ненулевым начальным
состоянием, на примере автоматизированного оптоэлектронного комплекса
следящего измерения. Решается задача предэксплуатационной юстировки
главного рефлектора большого полноповоротного радиотелескопа РТ ТНА1500, заключающаяся в гарантированном наведении зондирующего лазерного
луча на катафот при переходе из режима наведения в режим следящего
позиционирования с различными скоростями наведения и параметрами зон
коммутации с режима на режим.
На рисунке 5 изображены кривые канальных ошибок ε1 ( t ) , ε 2 ( t ) системы
следящего измерения в режиме следящего позиционирования для ω0 = 315с −1 ,
γ = 0.75 , µ = 0° при различных значениях скорости наведения ϕн2 (рис. 4а),
превышающих максимальное расчетное значение на 25% ( ϕн2 = 0.0978 рад/с),
15
на 50% ( ϕн2 = 0.1173 рад/с), на 75% ( ϕн2 = 0.1369 рад/с) и для ϕн2 = 0.0782 рад/с при
различных значениях характеристической частоты ω0 (рис.4б), меньших
минимального расчетного значения на 25% ( ω0 = 236.25 с −1 ), на 50%
( ω0 = 157.5 с −1 рад/с).
(t)
(t)
2
2
/////////////////////////////////////////////////////////
(t)
///////////////////////////////////////////////////////
(t)
1
1
0.03
0.03
'
н2
0.025
'
н2
0.02
'
н2
-1
=157.5 c
=0.0978 рад/с
0
0.025
-1
=236.25 c
=0.1173 рад/с
0
0.02
=315 c
-1
0
=0.1369 рад/с
0.015
0.015
0.01
0.01
0.005
0.005
0
0
-0.005
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
а
0.025
0.03
0.035
t, c
0
0.02
0.04
0.06
0.08
t, c
б
Рисунок 5 - Кривые канальных ошибок ε1 ( t ) , ε 2 ( t ) системы
Сформированы численные оценки основных показателей режимов
наведения и следящего позиционирования: значения характеристической
частоты ω0 , скорости наведении лазерного луча на катафот ϕ н и зоны
коммутации режимов γ . Расчетные значения этих параметров равны:
φ н1 = 0.0171
рад с 0.98град
с
315с−1 ≤ ω0 ≤ 903с−1 ,
(
),
рад
0.0195рад с (1.12 град
φ с ) ≤0.0782
зона
коммутации
),
н2 ≤ с 4.48град с(
рекомендуется на уровне γ =0.75 (доля диаметра катафота). Экспериментальные
исследования показали, что при γ =0.75 и ω0 =315с−1 отклонение скорости φ н2
наведения по углу φ 2 не должно превышать 75% от максимального расчетного
значения. Отклонение характеристической частоты ω0 =315с−1 при γ =0.75 и
не должно быть менее 50% от минимального расчетного
φ н2 = 0.0782
рад с
значения.
В заключении сформулированы основные научные результаты
проведённых диссертационных исследований, описывающие предложенные
процедуры для анализа и формирования оценок отклонений траекторий
свободного движения непрерывных и дискретных систем от монотонной
сходимости.
16
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Научные издания, входящие в перечень российских рецензируемых журналов:
1. Вундер, Н.А. Оценка робастности отклонений траекторий свободного
движения апериодических систем методами теории чувствительности /
Н.А. Вундер, Н.А. Дударенко // Научно-технический вестник информационных
технологий, механики и оптики – 2018. – Т. 18. – № 4(116). – С. 704–707. - 0.25
п.л. / 0.125 п.л.
2. Вундер, Н.А. Особенности траекторий свободного движения
непрерывной системы в виде последовательной цепочки однотипных
колебательных звеньев / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Известия высших
учебных заведений. Приборостроение. – 2017. – № 9. – С. 826 – 833. - 0,5 п.л. /
0,25 п.л.
3. Быстров, С.В. Аналитическое конструирование последовательного
компенсатора для систем управления техническим объектом с модуляцией /
С.В. Быстров, А.С. Васильев, Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Мехатроника,
автоматизация, управление. – 2017. – № 9. – С. 597 – 604. - 0,5 п.л. / 0,125 п.л.
4. Вундер, Н.А. Влияние собственных векторов на траектории
дискретных систем с задержкой сигнала управления / Н.А. Вундер,
А.С. Павлов, А.В. Ушаков // Научно-технический вестник информационных
технологий, механики и оптики. – 2017. – № 2. – С. 269 – 278. - 0,625 п.л./0,3п.л.
5. Вундер, Н.А. Алгебраические свойства матричных компонентов
моделей процесса управления в алгоритмах размещения мод матрицы
состояния проектируемой системы / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Научнотехнический вестник информационных технологий, механики и оптики. – 2016.
– № 2. – С. 371 – 374. - 0,25 п.л. / 0,125 п.л.
6. Вундер, Н.А. Исследование особенностей траекторий свободного
движения непрерывной системы в форме последовательной цепочки
однотипных апериодических звеньев / Н.А. Вундер, О.С. Нуйя, Р.О. Пещеров,
А.В. Ушаков // Научно-технический вестник информационных технологий,
механики и оптики. – 2016. – № 1. – С. 68 – 75. - 0,5 п.л. / 0,25 п.л.
7. Дударенко, Н.А. Кратные биномиальные структуры в задаче
аппроксимации динамических цепей, содержащих звено чистого запаздывания /
Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова, М.В. Сержантова, А.В. Ушаков // Известия
высших учебных заведений. Приборостроение. – 2014. – № 7. – С. 12 – 17. 0,375 п.л. / 0,09 п.л.
8. Дударенко, Н.А. Фундаментальная матрица линейной непрерывной
системы в задаче оценки ее транспортного запаздывания / Н.А. Дударенко,
Н.А. Полинова, А.В. Ушаков // Научно-технический вестник информационных
технологий, механики и оптики. – 2014. – № 5. – С. 32 – 37. - 0,375 п.л./0,125п.л.
9. Акунов, Т.А. Степень близости простой и кратной структур
собственных чисел: минимизация выброса траекторий свободного движения
апериодической системы / Т.А. Акунов, Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова,
А.В. Ушаков // Научно – технический вестник ИТМО. – 2014. – №2. – С.39–46.
- 0,5п.л. / 0,125 п.л.
17
10. Акунов, Т.А. Исследование колебательности процессов в
апериодических непрерывных системах, порождаемой фактором кратности
собственных
чисел / Т.А. Акунов, Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова,
А.В. Ушаков // Научно – технический вестник ИТМО. – 2013. – №3. – С.55–61.
- 0,4375 п.л. / 0,1375 п.л.
11. Акунов, Т.А. Исследование процессов в непрерывных системах с
кратными комплексно–сопряженными собственными числами их матриц
состояния / Т.А. Акунов, Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова, А.В. Ушаков //
Научно–технический вестник ИТМО. – 2013. – №4. – С.25–33. - 0,5625 п.л. /
0,1425 п.л.
12. Вундер, Н.А. Анализ системных ситуаций с ненулевым начальным
состоянием в задаче предэксплуатационной юстировки главного рефлектора
большого полноповоротного радиотелескопа / Н.А. Вундер, Н.А. Дударенко //
Оптический журнал. - 2018. - Т. 85. - № 10. - С. 33-42. - 0.625 п.л. / 0.325 п.л.
Публикации, которые приравниваются к рецензируемым научным изданиям:
13. Вундер Н.А., Вражевский С.А., Ушаков А.В., Бобцов А.А.,
Беляков А.В. Программа для построения мажоранты и миноранты свободного
движения динамической системы // Свидетельство о государственной
регистрации программы для ЭВМ № 2015614026 – 03.04.2015. - 0,063/0,041 п.л.
Научные издания, входящие в международные реферативные базы данных и
системы цитирования:
14.Vunder, N.A.The problem of forming the structure of eigenvectors of state
matrix of continuous stable system which guarantees the absence of deviation of its
trajectories from monotonically decreasing curve of free motion / N.A. Vunder,
A.V. Ushakov //Journal of Automation and Information Sciences, IET – 2017. –
Vol.49. – No. 1. – P. 27 – 40. - 0,875 п.л. / 0.4375 п.л.
15. Vunder, N.A. Free motion of sequence of similar aperiodic blocks /
N.A. Vunder, A.V. Ushakov, O.S. Nuyya, R.O. Peshcherov // 8th International
Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops
(ICUMT). – 2016. – P. 382-386. - 0,3125 п.л. / 0,156 п.л.
16. Vunder, N.A. Investigation of deviation of trajectories of linear stable
discrete systems from monotonously decreasing curve on free motion in the case of
multiple real positive eigenvalues of their matrices / N.A. Vunder, A.V. Ushakov //
Journal of Automation and Information Sciences. – 2016. – Vol. 48. – No. 10. –
P.13–24. - 0,75 п.л. / 0,375 п.л.
17. Vunder, N.A. Peaks Emergence Conditions in Free Movement Trajectories
of Linear Stable Systems / N.A. Vunder, A.V. Ushakov // ICINCO 2016 - 13th
International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics,
Doctoral Consortium. – 2016. – Vol. 1. – P. 535 – 538. - 0,25 п.л. / 0,125 п.л.
18. Vunder, N.A. Investigation of Continuous Systems Oscillatory Processes
Created with the Multiplicity Factor of the Eigenvalues of the State Matrices /
N.A. Vunder, A.V. Ushakov // Journal of Automation and Information Sciences. – 2015.
– Vol. 47. – No. 11. – P. 18 – 35. - 1,125 п.л. / 0,5625 п.л.
18
19. Vunder, N.A. On the features of the trajectories of autonomous discrete
systems generated by a multiplicity factor of eigenvalues of state matrices /
N.A. Vunder, A.V. Ushakov // IEEE International Symposium on Intelligent Control
– Proceedings. – 2015. – P. 695 – 700. - 0,375 п.л. / 0,1875 п.л.
Публикации в иных изданиях:
20. Вундер, Н.А. Задача формирования структуры собственных векторов
матрицы состояния непрерывной устойчивой системы, гарантирующей
отсутствие отклонения ее траекторий от монотонно убывающей кривой
свободного движения / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Проблемы управления и
информатики. – 2017. – № 1. – С. 30 – 42. - 0,8125 п.л. / 0,4 п.л.
21. Вундер, Н.А. Исследование отклонения траекторий линейных
устойчивых дискретных систем от монотонно убывающей кривой свободного
движения в случае кратных вещественных положительных собственных чисел
их матриц / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики.
– 2016. – № 5. – С. 1 – 11. - 0,75 п.л. / 0,325 п.л.
22. Вундер, Н.А. Исследование колебательности процессов непрерывных
систем, порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц
состояния / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики.
– 2015. – № 6. – С. 21 – 36. - 1 п.л. / 0,5 п.л.
23. Полинова, Н.А. Кратность собственных чисел матрицы состояния
апериодической системы как причинный фактор появление выбросов в
траекториях по норме вектора состояния свободного движения и системного
вырождения / Н.А. Полинова, Т.А. Акунов, Н.А. Дударенко // XII
Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2014). – 2014. –
С.173 – 182. - 0,3125 п.л. / 0,1 п.л.
24. Дударенко, Н.А. Исследование матрицы динамики на наличие
выбросов в траекториях свободного движения системы / Н.А. Дударенко,
Н.А. Полинова, О.В. Слита // Навигация и управление движением: материалы
XVI конференции молодых учёных. – СПб, 2014. С. 107 – 113. - 0,4375 п.л. /
0,15 п.л.
25. Akunov, T.A. Factor Multiplicity of the Eigenvalues of the State Matrix in
the System Dynamics / T.A. Akunov, N.A. Polinova, N.A. Dudarenko,
A.V. Ushakov // Recent Advances in Applied and Theoretical Mathematics:
Proceedings of the 18th WSEAS International Conference on Applied Mathematics
(AMATH '13). Proceedings of the 1st WSEAS International Conference on Discrete
Mathematics, Combinatorics and Graph Theory (DIMACOG '13), IET. – 2013. –
P. 58 – 63. - 0,375 п.л. / 0,1 п.л.
26. Akunov, T.A. Research of Processes in Continuous Systems with Multiple
Eigenvalues of State Matrix / T.A. Akunov, N.A. Dudarenko, N.A. Polinova,
A.V. Ushakov // International Journal of Systems Applications, Engineering &
Development. – 2014. – Vol. 8. P. 230 – 237. - 0,5 п.л. / 0,125 п.л.
27. Дударенко, Н.А. Кратность собственных значений матрицы состояния
системы как вырождающий фактор / Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова,
А.В. Ушаков // 5-я Российская мультиконференция по проблемам управления:
19
материалы конференции «Информационные технологии в управлении» (ИТУ2012). – СПб, 2012. – С. 573 – 577. - 0,3125 п.л. / 0,1 п.л.
28. Ушаков, А.В. Современная теория управления. Дополнительные
главы: учебное пособие для университетов / А.В. Ушаков, Н.А. Вундер; под
ред. А. В. Ушакова. – СПб.: Университет ИТМО, 2015. – 182 с. –
11,375п.л./5,7п.л.
29. Ушаков, А.В. Стохастическая динамика непрерывных и дискретных
систем в условиях неопределенности: учебное пособие для университетов /
А.В. Ушаков, Н.А. Вундер, М.В. Сержантова, О.В. Слита; под ред.
А.В. Ушакова. – СПб: Университет ИТМО, 2016. – 297 с. – 18, 5625 п.л.
/4,64п.л.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
1 133 Кб
Теги
анализа, сходимость, движение, отклонения, дискретное, система, свободно, непрерывные, траектория, монотонные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа