close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Аналитико-численное моделирование динамических систем с хаотическим поведением аттракторы и гомоклинические бифуркации

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Мокаев Руслан Назирович
АНАЛИТИКО-ЧИСЛЕННОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ С ХАОТИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМ:
АТТРАКТОРЫ И ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ
БИФУРКАЦИИ
05.13.18 — математическое моделирование, численные методы
и комплексы программ
01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы
и оптимальное управление
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Санкт-Петербург — 2018
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении
высшего образования «Санкт-Петербургский государственный университет»
Научные руководители:
доктор физико-математических наук,
член-корреспондент РАН,
профессор ЛЕОНОВ Геннадий Алексеевич
доктор физико-математических наук,
профессор КУЗНЕЦОВ Николай Владимирович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
профессор БУРКИН Игорь Михайлович,
профессор кафедры вычислительной механики и математики
Тульского государственного университета (г. Тула)
доктор физико-математических наук,
доцент ШУМАФОВ Магомет Мишаустович,
заведующий кафедрой математического анализа
и методики преподавания математики
Адыгейского государственного университета (г. Майкоп)
Федеральное государственное автономное образовательное
Ведущая организация:
учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский
политехнический университет Петра Великого»
часов на заседании диссертационного совета
Защита состоится 30 мая 2018 года в
Д 212.232.50 на базе Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 198504,
г. Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 35, ауд. 327.
Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах просим направлять по адресу 198504, г. СанктПетербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 35 ученому секретарю диссертационного совета Д 212.232.50 Г. И. Курбатовой.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Научной библиотеке им. М. Горького
Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург,
Университетская наб., 7/9 и на сайте http://spbu.ru/science/disser/ .
Автореферат разослан "
"
2018 года.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.232.50
доктор физико-математических наук,
профессор
Г. И. Курбатова
Общая характеристика работы
Актуальность темы
В связи с трудностью изучения хаотической динамики одним из актуальных направлений исследования является разработка эффективных аналитикочисленных методов, использующих вычислительные мощности современных
ЭВМ и продуктивные аналитические подходы. Значительными результатами, полученными на основе таких подходов, являются компьютерное доказательство
(computer-assisted proof) действительного существования странного аттрактора в
классической системе Лоренца1 ), и обнаружение скрытых аттракторов в системах лоренцевского типа2 .
Современные исследования сценариев перехода к хаотической динамике во многом опираются на работы нижегородской школы Л.П. Шильникова3 и
связаны с гомоклиническими бифуркациями. За последнее время в этом направлении представителями этой школы получен ряд новых результатов для систем
лоренцевского типа. В настоящей работе изучается обобщенная система Лоренца, которая включает в себя математические модели, описывающие процесс конвекции жидкости4 , динамику волн в лазерах 5 и другие физические процессы6 .
Для этой системы проведены аналитико-численные исследования, связанные с
развитием аналитических критериев рождения гомоклинической бифуркации и
с численной проверкой возможности возникновения хаоса.
Рудольфом Калманом в 1957 году была сформулирована гипотеза7 о моноустойчивости системы управления в случае выполнения обобщенных условий
Рауса-Гурвица. Со второй половины прошлого века начали появляться конструктивные контрпримеры к этой гипотезе (в работах Р.Э. Фиттса, Н.Е. Барабанова,
Х. Берната, Ж. Либре, Н.В. Кузнецова и Г.А. Леонова). В этих работах искались
устойчивые периодические скрытые колебания, сосуществующие с единственным устойчивым состоянием равновесия. В настоящей работе, на основе развития теории разрывных систем и применения метода точечных отображений
Андронова, построен контрпример к гипотезе Калмана с хаотической динамикой.
1
2
3
W. Tucker. The Lorenz attractor exists, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 328(12) : 1197-1202, 1999.
D. Dudkowski, S. Jafari, T. Kapitaniak, N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, A. Prasad. Hidden attractors in dynamical
systems, Phys. Rep., 637 : 1-50, 2016.
V.S. Afraimovich, S.V. Gonchenko, L.M. Lerman, A.L. Shilnikov, D.V. Turaev. Scientific heritage of L.P. Shilnikov.
Regul. Chaotic Dyn., 19(4) : 435-460, 2014.
E.N. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci., 20(2) : 130-141, 1963.
5
А.Н. Ораевский. Мазеры, лазеры и странные аттракторы. Квантовая электроника, 8(1) : 130-142, 1981.
6
S.H. Strogatz. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering.
4
7
Perseus Books, 1994.
R.E. Kalman. Physical and Mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems, Trans. Am.
Soc. Mech Eng., 79(3) : 553–566, 1957.
3
Цели работы
1. Построение аналитических критериев неустойчивости в системах лоренцевского типа со сжатием объемов. Разработка эффективного алгоритма для
численного определения границ областей неустойчивости.
2. Получение аналитических критериев существования гомоклинических траекторий в системах лоренцевского типа и разработка эффективных численных алгоритмов для анализа гомоклинической бифуркации и соответствующих сценариев возникновения хаоса.
3. Разработка эффективного алгоритма для аналитико-численного построения
контрпримеров к проблеме Калмана с хаотической динамикой. Анализ компьютерных экспериментов Фиттса.
4. Реализация разработанных алгоритмов в виде комплекса программ в пакете
вычислений MATLAB.
Методы исследования
1. Аналитический метод построения области глобальной устойчивости и глобальной неустойчивости в системах лоренцевского типа.
2. Аналитический метод доказательства существования гомоклинических бифуркаций в системах лоренцевского типа.
3. Для построения контрпримеров к проблеме Калмана применен метод точечных отображений и символьные вычисления для локализации периодических решений и подход, основанный на обратном сценарии разрывной
аппроксимации, для перехода к системе с гладкой нелинейностью.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Аналитический критерий неустойчивости в системах лоренцевского типа
со сжатием объемов. Алгоритм для численного определения границ областей неустойчивости.
2. Аналитический критерий существования гомоклинических траекторий в
системах лоренцевского типа. Алгоритм для численного исследования гомоклинических бифуркаций в системах лоренцевского типа. Численное обнаружение гомоклинической бифуркации слияния странных аттракторов.
3. Алгоритм для построения контрпримеров к проблеме Калмана, основанный
на обратном сценарии разрывной аппроксимации.
Научная новизна: пункты 1-3, перечисленные в положениях, выносимых на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.
Теоретическая и практическая значимость
В диссертации разработан аналитико-численный метод, основанный на
методе разрывной аппроксимации, для локализации и определения параметров
скрытых колебаний в нелинейных системах, который применим для различных
4
систем управления, используемых, например, в летательных аппаратах и буровых установках.
Для обобщенной системы Лоренца в пространстве параметров аналитически построена граница областей глобальной устойчивости и неустойчивости
решений для дальнейшего исследования турбулентности.
Достоверность изложенных в работе теоретических результатов обеспечивается их строгим математическим доказательством.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на
международных научных конференциях: 2nd International Scientific Conference
”Autumn Mathematical Readings in Adyghea” (Russia, Maykop - 2017), International
Scientific Conference on Mechanics ”The Eight Polyakhov’s Reading” (Russia, Saint
Petersburg - 2018).
Также результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры прикладной кибернетики математико-механического факультета СанктПетербургского государственного университета и кафедры математических информационных технологий университета Ювяскюля (University of Jyväskylä),
Финляндия.
По результатам работы над гипотезой Калмана было получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [7].
Работа поддержана грантом Совета по грантам Президента Российской
Федерации для государственной поддержки Ведущих научных школ Российской
Федерации на 2018-2019 годы (НШ-2858.2018.1).
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 6
публикациях [1–6], 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных Высшей
аттестационной комиссией [1–3].
В работах [1, 5] диссертанту принадлежит вывод критерия неустойчивости в системах лоренцевского типа и численное определение границ областей неустойчивости, соавторам — постановка задачи и экспериментов. В работах [2–4] диссертанту принадлежит реализация алгоритма для построения
контрпримеров к проблеме Калмана, основанного на методе разрывной аппроксимации и построение гладкого контрпримера к проблеме Калмана; постановка
задачи и остальные результаты принадлежат соавторам. В работах [5, 6] диссертанту принадлежат вывод аналитического критерия существования гомоклинических траекторий в системах лоренцевского типа, численные результаты, связанные с существованием гомоклинической бифуркация слияния странных аттракторов, и с отсутствием возникновения хаотической динамики, соавтору —
постановка задачи.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух
глав, заключения и трех приложений. Полный объем диссертации составля5
ет 147 страница с 30 рисунками и 4 таблицами. Список литературы содержит
192 наименования.
Содержание работы
Во введении обоснована актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приведён обзор научной литературы по
изучаемой проблеме, сформулирована цель, поставлены задачи работы, показана научная новизна и практическая значимость работы.
Первая глава посвящена изучению систем лоренцевского типа. Такие
системы представляют собой математические модели, например, следующих
физических процессов и объектов: конвекция в двумерном слое жидкости, подогреваемом снизу; модель одномодового лазера; диссипативный осциллятор с
инерционным возбуждением.
В первом разделе главы рассмотрена система лоренцевского типа
˙ = ( − ),
˙ =  −  − ,
(1)
˙ = − + ,
где ,  – положительные числа,  – некоторое число и  > . В частных случаях
для системы Лоренца  = 1, для системы Чена8  = − − , для системы
Лу9  = 0 и для систем Тигана10 и Янга11  = 0. Известно, что для системы
Лоренца оператор сдвига по траекториям сжимает объемы (так как ++1 > 0).
Система диссипативна по Левинсону: существует число  = (,,) такое, что
для любого решения системы (1) выполнено неравенство
lim sup(()2 + ()2 + ()2 ) ≤ .
(2)
→+∞
Актуальность выполнения этого неравенства для системы (1) при  +  +
 > 0 следует из того, что системы Лу и Чена имеют вид (1) с  < 0. В диссертации доказана следующая теорема, аналитически описывающая в пространстве
параметров асимптотическое поведение решений системы (1).
Теорема 1. Если 2 > ,  +  < 0, то почти все решения системы (1) стремятся к бесконечности при  → +∞. Если 2 < ,  +  > 0, то любое решение
системы (1) стремится при  → +∞ к некоторому состоянию равновесия.
8
9
10
11
G. Chen, T. Ueta. Yet another chaotic attractor, Int. J. Bif. Chaos, 9 : 1465–1466, 1999.
J. Lu, G. Chen. A new chaotic attractor coined, Int. J. Bif. Chaos, 12 : 1789–1812, 2002.
G. Tigan. On a three-dimensional differential system. Matematicki Bilten, 30 : 9-16, 2006.
Q. Yang, G. Chen. A chaotic system with one saddle and two stable node-foci, Int. J. Bif. Chaos, 18 : 1393–1414,
2008.
6
ε=σ+d
Для области параметров 2 > ,  +  > 0, не подпадающей под условия
теоремы, проведено следующее численное исследование. Рассмотрены параметры системы (1), для которых  =  +  > 0,  ∈ (0, 1],  = −. Для этих параметров исследовано поведение траекторий в фазовом пространстве системы
(1) при фиксированном  и изменяемом . В плоскости (, ) численно построена граница, отделяющая область, для которой траектории системы стремятся к
некоторым устойчивым инвариантным множествам (стационарным точкам, предельным циклам, хаотическим аттракторам), от области, для которой почти все
траектории уходят на бесконечность: при фиксированном значении параметров
 = 36 и  = − −  = − граница имеет вид представленный на рис. 1.
b
Рис. 1: Граница, разделяющая области с различным поведением траекторий системы (1),
аппроксимируется уравнением  =  +  =
1
,

 ≈ 4.
В малой окрестности границы 2 = ,  +  = 0 выявлены трудности
численного моделирования системы (1), связанные с продолжительными по времени переходными процессами, не позволяющими на сравнительно небольшом
интервале времени качественно описать поведение системы. Такие эффекты могут приводить к неверной интерпретации результатов моделирования.
Второй раздел первой главы посвящен исследованию гомоклинических
бифуркаций в системах лоренцевского типа.
Определение 1. Траектория x() автономной системы дифференциальных уравнений
ẋ =  (x,),  ∈ R, x ∈ R ,  ∈ R .
(3)
называется гомоклинической, если
lim x() = lim x() = x0 .
→+∞
→−∞
7
В диссертации для доказательства существования гомоклинических траекторий в системе (3) используется аналитический метод – принцип рыбака,
предложенный Г. А. Леоновым. Пусть (),  ∈ [0,1] это гладкий путь в пространстве параметров {} = R . Рассмотрим систему (3) с  = (), и введем
следующие обозначения. Пусть x(,)+ – сепаратриса, выходящая из седла x0
(т.е. lim x(,)+ = x0 ) с одномерным неустойчивым многообразием, xΩ ()+ –
→−∞
точка первого пересечения сепаратрисы x(,)+ с замкнутым множеством Ω:
x(,)+ ̸∈ Ω,
 ∈ (−∞, ),
x(,)+ = xΩ ()+ ∈ Ω.
Если такого пересечения нет, мы предполагаем, что xΩ ()+ = ∅.
Теорема 2 (Принцип рыбака12 ). Предположим, что для пути () существует
ограниченное многообразие Ω размерности ( − 1) с кусочно-гладким краем Ω
и обладающее следующими свойствами:
1) для любого x ∈ Ω ∖ Ω и  ∈ [0,1], вектор  (x,()) трансверсален к
многообразию Ω ∖ Ω;
2) для любого  ∈ [0,1],  (x0 ,()) = 0, и точка x0 ∈ Ω – седловая точка
системы (3);
3) для  = 0 имеет место включение xΩ (0)+ ∈ Ω ∖ Ω;
4) для  = 1 выполнено соотношение xΩ (1)+ = ∅;
5) для ⃒любого  ∈ [0,1] и y ∈ Ω∖x0 существует окрестность  (y, ) = {x ∈
R ⃒ |x − y| < }, такая что xΩ ()+ ̸∈  (y,).
Если условия 1)–5) выполнены, то существует число 0 ∈ [0,1], такое что
x(,0 )+ – гомоклиническая траектория седла x0 .
С помощью замены координат можно привести систему (1) к виду
˙ = ,
˙ = − −  +  − 3 ,
(4)
˙ = − − ,
где
( + )

2 − 
 = √︀
,  = √︀
, =
.

( − )
( − )
Состояния равновесия системы (2) имеют следующий вид
0 = (0, 0, 0),
± = (±1, 0, 0).
(5)
В диссертации для системы (4) сформулирован и доказан следующий
результат, опирающийся на теорему 2.
12
Г.А. Леонов. Задача Трикоми о существовании гомоклинических траекторий в диссипативных системах. ПММ,
77(3) : 410-421, 2013.
8
Теорема 3. Рассмотрим гладкий путь (), (), (),  ∈ [0, 1) в пространстве параметров системы (4). Пусть
(0) = 0,
lim () = +∞,
→1
lim sup () < +∞,
lim sup () < +∞
→1
→1
и выполнены следующие условия
(︀√︁
)︀
() ()2 + 4 + () > 2(() + 2), ∀ ∈ [0,1].
Тогда существует 0 ∈ (0,1), такое что система (4) с (0 ), (0 ), (0 ) обладает гомоклинической траекторией.
Особый интерес представляет следующий путь:
√

() = √
, () =  1 − , () ≡  ∈ (0, 2 + ),
1−
 ∈ [0, 1),  ∈ (0, 1].
(6)
Этот путь удовлетворяет всем условиям теоремы 3, поэтому существует число
0 ∈ (0, 1), такое что система (4) с параметрами (6) и  = 0 имеет гомоклиническую траекторию. В этом случае, седловая величина будет нулевой, при  = 1,
положительной, при  < 1, и отрицательной, при  > 1.
β
3
2+
β<
2.5
δ
2
1.5
1
0.5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
δ
Рис. 2: Различные типы гомоклинических бифуркаций в системе (4).
Для анализа сценария гомоклинической бифуркации и возможности
возникновения хаотического поведения в диссертации разработан следующий
⃒
{︀
численный алгоритм, реализованный в MATLAB. На множестве (, ) ⃒  ∈
}︀
(0, 1.1],  ∈ (0, 2 + ) в плоскости параметров (, ) была выбрана сетка точек с шагом 0.1 и для каждой точки сетки путем численного интегрирования
9
сепаратрис Γ± седла 0 , определялся отрезок [ ,] ⊂ (0,1), такой что поведение
сепаратрис менялось при переходе от параметров (), () к параметрам (),
(), задавая гомоклиническую бифуркацию. Тип гомоклинической бифуркации уточнялся путем анализа поведения отображений Пуанкаре на соответствующих сечениях, выбранных в окрестности седла 0 . Проведенные численные
исследования показали, что на трапеции с выбранной сеткой точек существуют
4 области с различными гомоклиническими бифуркациями (рис. 2). В области,
помеченной значками (∘), до бифуркации (т.е. при  = ) сепаратрисы Γ± притягивались к противоположным устойчивым состояниям равновесия ∓ , после
бифуркации (т.е. при  = ) – к ближайшим ± . В области, помеченной значками
(×), соответствующей  ≥ 1, в процессе бифуркации один большой устойчивый
предельный цикл типа ”восьмерка” разделялся на два устойчивых предельных
цикла вокруг неустойчивых состояний равновесия ± .
S+
S−
u
S+
S−
u
S0
v
S0
v
x
x
(a)  = 0.060131460578...
(b)  = 0.060131460581...
Рис. 3: Гомоклиническая бифуркация при  = 0.9,  = 0.2.
u
S+
S−
u
S−
S0
v
x
S+
S0
x
v
(a)  = 0.7957...
(b)  = 0.7955...
Рис. 4: Гомоклиническая бифуркация слияния двух аттракторов при  = 0.9,  = 2.899.
Были обнаружены два новых сценария гомоклинических бифуркаций. В
области, помеченной значками (∙), до бифуркации два симметричных предель10
ных цикла Θ± вокруг неустойчивых седло-фокусов ± сосуществуют, в зависимости от параметров, с устойчивым предельным циклом типа ”восьмерка”
(рис. 3) или со странным аттрактором, к которому притягиваются сепаратрисы
Γ± . Затем этот аттрактор (периодический или странный) теряет устойчивость
и сепаратрисы Γ± притягиваются к противоположным симметричным предельным циклам Θ∓ . После бифуркации сепаратрисы Γ± притягиваются к ближайшим симметричным предельным циклам Θ± . В области, помеченной значками
(+), вблизи границы  = 2 +  , при возникновении неустойчивой гомоклинической траектории, один странный аттрактор разделяется на два (или, если отслеживать изменение параметра  от 1 до 0, то происходит слияние двух странных
аттракторов в один странный аттрактор, см. рис. 4).
Вторая глава посвящена исследованию решений дифференциальных
уравнений с разрывной правой частью и проблеме Калмана.
Рассмотрена система
ẋ = x + (),
 = * x,
(7)
где  – постоянная  ×  - матрица,  и  – постоянные -мерные столбцы, все
величины вещественные, * - знак транспонирования,  – дифференцируемая,
скалярная функция, (0) = 0, в точках дифференцируемости удовлетворяющая
условию
1 ≤ ′ () ≤ 2 ,
 ∈ (−∞, +∞),
(8)
где 1 – некоторое число, либо −∞, 2 – некоторое число, либо +∞.
В 1957 г. Р. Е. Калман сформулировал следующую гипотезу : если глобально асимптотически устойчива линейная система ẋ = x + * x,  ∈
[1 , 2 ], то система (7) также глобально асимптотически устойчива.
Доказано, что эта гипотеза справедлива для случая  = 2 и  = 3. Известные контрпримеры к гипотезе Калмана, такие как контрпримеры Р.Э. Фиттса13 ,
Н.Е. Барабанова14 , Х. Берната и Ж. Либре15 , Н.В. Кузнецова и Г.А. Леонова16
представляли собой периодические решения сосуществующие с локально устойчивым нулевым состоянием равновесия. В диссертации построен хаотический
контрпример к гипотезе Калмана. Для этого применялся аппарат дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и развитый школой А. А. Андро13
14
15
16
R.E. Fitts. Two counterexamples to Aizerman’s conjecture Trans. IEEE., AC-11(3) : 553–556, 1966.
Н.Е. Барабанов. О проблеме Калмана, Сиб. мат. журн., XXIX(3) : 3-11, 1988.
J. Bernat, J. Llibre. Counterexample to Kalman and Markus-Yamabe conjectures in larger than 3. DCDIS, 2 : 337-379,
1996.
Г.А. Леонов, Н.В. Кузнецов. Алгоритмы поиска скрытых колебаний в проблемах Айзермана и Калмана, ДАН,
439(2) : 167-173, 2011.
11
нова17 метод точечных отображений с применением символьных компьютерных
вычислений.
Рассмотрим систему (7) с кусочно-непрерывной функцией () в R и
пусть разрывы будут только первого рода, т.е. функция () непрерывна для
значений  , близких к 0 , и существуют конечные пределы
lim () = (0 − 0).
lim () = (0 + 0),
→0 +0
→0 −0
В диссертации рассмотрены различные подходы к доопределению разрывных систем и определению их решений. Суть этих определений заключается в том, что () заменяется на многозначную функцию (), которая в
точках непрерывности состоит из одной точки, совпадающей с (), а в точках
разрыва представляет собой множество, которое доопределяется тем или иным
способом.
Рассмотрена система (7) при  = 4, заданная передаточной функцией
2
 () =
(( + )2 + 0.92 ) (( + )2 + 1.12 )
(9)
с нелинейностью () = sign(). Восстановив систему по передаточной функции (9), получим:
˙ 1 = 2 ,
˙ 2 = 3 ,
˙ 3 = 4 ,
˙ 4 = −0 1 − 1 2 − 2 3 − 3 4 + sign(−3 ),
(10)
где 0 = (1.12 +  2 )(0.92 +  2 ), 1 = 2(1.12 + 0.92 + 2 2 ), 2 = 1.12 + 0.92 + 6 2 ,
3 = 4 . Здесь
⎛
⎞
⎛ ⎞
⎛
⎞
0
1
0
0
0
0
⎜ 0
⎜0⎟
⎜ 0 ⎟
0
1
0 ⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
=⎜
 = ⎜ ⎟,
=⎜
(11)
⎟,
⎟.
0
0
1 ⎠
⎝ 0
⎝0⎠
⎝ −1 ⎠
−0 −1 −2 −3
1
0
Показано, что для любого  > 0 линейная система ẋ = x + * x,
заданная матрицами (11), глобально асимптотически устойчива при  ∈
4
2
+0.01)
, +∞).
(− 4( +1.01
2
 +1.01
Далее в работе, разрывная система (10) при  =  0 = 0.03 рассматривалась как совокупность линейных систем с переключением и на отрезках постоянства аналитически определись решения соответствующих линейных систем. В
рамках аналитико-численной процедуры, следуя методу точечных отображений
17
А.А. Андронов, А.Г. Майер. Задача Вышнеградского в теории прямого регулирования. I, Автомат. и телемех.,
8(5) : 314-334, 1947.
12
x3
0.8
0.6
0.4
0.2
0
970
975
980
985
-0.2
990
995
1000
1005
t
-0.4
-0.6
-0.8
Рис. 5: Периодическое решение системы (10) при  = 0.03.
Андронова, полученные решения сшивались в момент переключения для поиска периодического решения. Найденное периодическое решение представлено
на рис. 5.
Далее, в диссертации локализовано непериодическое ”хаотическое” решение системы (10) с  =  1 = 0.1 (рис. 6, 7). Для этого используется
аналитико-численная процедура продолжения по параметру. При  =  0 +( 1 −
 0 ),  1 = 0.1,  ∈ [0,1] для последовательности систем (10) с близкими правыми частями траектории численно интегрировались с помощью специальной
библиотеки MATLAB18 для построения решений по Филиппову19 . В качестве
начальных данных для траектории следующей системы выбиралась конечная
точка траектории предыдущей системы.
И периодическое решение при  = 0.03, и ”хаотическое” при  = 0.1
сохраняются при замене в (10) нелинейности () = sign() на нелинейность
типа ”насыщение”:
⎧
⎪
⎨ −1,  ≤ −,
1
(12)
() =  () ≡
, − ≤  ≤ ,

⎪
⎩ 1,  ≥ ,
где  = 0.01. Такую замену можно осуществить опираясь на обратный сценарий разрывной аппроксимации Айзермана-Пятницкого20 , т.е. при переходе от
решения системы с разрывной нелинейностью к близким решениям систем с
аппроксимирующими непрерывными нелинейностями.
18
19
20
P.T. Piiroinen, Y.A. Kuznetsov. An event-driven method to simulate Filippov systems with accurate computing of
sliding motions, ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 34 (3), 2008.
А.Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, Матем. сб., 51(93), No 1 : 99-128,
1960.
М.А. Айзерман, Е.С. Пятницкий. Основы теории разрывных систем. I, Автомат. и телемех., 7 : 33–47, 1974.
13
2
0.8
1.5
0.6
1
0.4
x3
0.5
0.2
x1
0
-0.2
1
-0.4
-1
0.5
-0.6
0
-0.8
-2
0
-0.5
-1.5
-1
-0.5
-0.5
0
x1
0.5
1
1.5
2
x2
-1
-1.5
0
-2
-0.8
-1
-0.6
-0.4
-0.2
0
x3
0.2
0.4
0.6
0.8
x4
1
Рис. 6: Проекция странного аттрактора
Рис. 7: Проекция странного аттрактора
системы (10) при  = 0.1 в пространстве
системы (10) при  = 0.1 в пространстве
(1 ,2 ,3 ).
(1 ,3 ,4 ).
Далее, воспользовавшись методом продолжения по параметру и рассмотрев систему (10) с нелинейностью () =  () ≡  () +
 (tanh(/ ) −  ()) и меняя параметр  от 0 до 1, можно перейти от системы с кусочно-дифференцируемой нелинейностью () =  () к системе с
гладкой нелинейностью () = tanh(/ ).
Таким образом, в системе (10) с () = tanh(/ ) при достаточно малых  имеет место скрытый аттрактор и для 1 < 0 и 2 = +∞ гипотеза
Калмана неверна.
В заключении приведены основные результаты работы:
1. Получен критерий неустойчивости в системах лоренцевского типа со сжатием объемов. Разработан алгоритм для численного определения границ
области неустойчивости в системах лоренцевского типа.
2. Получен аналитический критерий существования гомоклинических траекторий в системах лоренцевского типа. Разработан алгоритм для численного
исследования гомоклинических бифуркаций. Численно обнаружена гомоклиническая бифуркация слияния странных аттракторов.
3. Предложен алгоритм для построения контрпримеров к проблеме Калмана,
основанный на обратном сценарии разрывной аппроксимации. Построен
контрпример с гладкой нелинейностью к проблеме Калмана на основе системы Фиттса, демонстрирующий скрытый хаотический аттрактор.
4. Разработанные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ в пакете вычислений MATLAB.
14
Публикации автора по теме диссертации
Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:
1. Леонов Г. А., Андриевский Б. Р., Мокаев Р. Н. Асимптотическое поведение
решений систем лоренцевского типа. Аналитические результаты и структуры
компьютерных ошибок // Вестник СПбГУ. Математика, 2017, том 4, вып. 1,
doi:10.21638/11701/spbu01.2017.105, стр. 25–37.
2. Леонов Г. А., Мокаев Р. Н. Отрицательное решение проблемы Калмана и доказательство существования скрытого странного аттрактора методом разрывной аппроксимации // Доклады Академии Наук, 2017, том 475, номер 3,
doi:10.7868/S0869565217210046, стр. 257–261.
3. Leonov G. A., Kuznetsov N. V., Kiseleva M. A., Mokaev R. N. Global Problems for
Differential Inclusions. Kalman and Vyshnegradskii Problems and Chua Circuits
// Differential Equations, 2017, vol. 53, No 13, doi:10.1134/S0012266117130018,
pp. 1671–1702.
Другие публикации:
4. Mokaev R. N., Leonov G. A., Kuznetsov N. V. Kalman conjecture in theory of differential equations. Counterexamples and hidden attractors // Abstracts of the 2nd
International Scientific Conference «Autumn Mathematical Readings in Adyghea»,
2017, pp. 163–164.
5. Leonov G. A., Mokaev R. N. Numerical simulations of the Lorenz-like system:
Asymptotic Behavior of Solutions, Chaos and Homoclinic Bifurcations // Abstracts
of the International Scientific Conference on Mechanics «The Eight Polyakhov’s
Reading», 2018, p. 264.
6. Leonov G. A., Mokaev R. N. Homoclinic Bifurcations of the Merging Strange
Attractors in the Lorenz-like System // ArXiv e-prints, 2018, arXiv:1802.07694,
pp. 1–21, https://arxiv.org/abs/1802.07694.
Патенты и свидетельства:
7. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ
№2018610372 от 11.01.18. Программа для моделирования параметров стохастических колебаний в релейных системах. Кузнецов Н. В., Леонов Г. А.,
Мокаев Р. Н.
15
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа