close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Квантовые нелинейные оптические эффекты в двумерных наноструктурах и метаматериалах

код для вставкиСкачать
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы
Исследование взаимодействие света с веществом на наномасштабе в
последние десятилетие привело к формированию новой, бурно развивающейся
отрасли знаний, нанофотоники. Интерес к данной области обусловлен тем, что
характер взаимодействия света с веществом существенно меняется в
структурированных
средах,
таких
как
фотонные
кристаллы
[1]
или
метаматериалы [2]. В случае видимого или инфракрасного диапазона частот
характерный размер модуляции диэлектрической проницаемости составляет
десятки-сотни нанометров, и интенсивное развитие нанотехнологии в
последнее десятилетие позволило перейти от теоретических исследований в
данной области к экспериментальным, а также к созданию
новых
оптоэлектронных приборов [3].
В то время как в фотонных кристаллах оптический отклик в основном
определяется
Брэгговской
дифракцией,
приводящей
к
формированию
оптических запрещенных зон, оптические свойства метаматериалов в целом
обусловлены резонансным откликом составных элементов, так называемых
метаатомов. При этом, большинство оптических эффектов в метаматериалах
тем более выражены, чем больше отношение резонансной длины волны
метаатома и его характерных размеров. Таким образом, для многих
применений метаматериалов важно создание субволновых резонансных
элементов. В оптическом, инфракрасном и терагерцовом диапазоне частот, эта
задача может быть решена с использованием элементов, поддерживающих
плазмонные возбуждения, то есть коллективные резонансные колебания
свободных носителей. Плазмонные резонансы позволяют локализовать
оптические моды на масштабах в десятки раз меньше длины волны
электромагнитного излучения в вакууме [4]. По этой причине, большинство
3
метаматериалов в оптическом и инфракрасном диапазоне частот на
сегодняшний день представляют собой массивы плазмонных резонаторов.
В последние годы фокус исследований в области метаматериалов
сдвинулся в стороны их двумерных аналогов, метаповерхностей [5]. В
первую очередь это обусловлено сравнительной простотой изготовления
двумерных структур: для их создания можно использовать стандартные
литографические методы. При этом двумерные структуры практически не
имеют ограничений в функциональности по сравнению с трехмерными
аналогами.
В последние годы активно ведутся исследования электромагнитных
свойств различных двумерных материалов, таких как графен, нитрид бора, и
дихалкогениды переходных металлов. Электромагнитный отклик графена в
случае, когда уровень Ферми не совпадает с точкой нейтральности, во многом
определяется плазмонным резонансом носителей, лежащим в терагерцовой и
дальней инфракрасной области [6]. Поверхностные и краевые плазмонполяритоны наблюдались в монослоях графена а также в квазиодномерных
графеновых нанолентах. Полезной особенностью графена для применения в
плазмонике является возможность управлять концентрацией носителей, а
следовательно и частотой плазмонного резонанса посредством относительно
небольших (единицы вольт) затворных напряжений. Таким образом, графен и
графеновые структуры представляют собой подходящую платформу для
реализации
электрически
перестраиваемых
терагерцовых
плазмонных
устройств. Кроме того, структуры на основе графена могут быть использованы
для реализации широкого класса метаматериалов и метаповерхностей.
Исследование
метаматериалов
на
основе
графеновых
структур
на
сегодняшний день является активно развивающейся областью плазмоники [7].
При изучении взаимодействия света с веществом принято разделять два
режима: режимы слабой и сильной связи. В режиме слабой связи, электронный
спектр вещества остается неизменным, а взаимодействие со светом приводит к
4
переходам между различными собственными состояниями. Простейшим
примером такого процесса является спонтанное излучение атома, при котором
электрон переходит с высокоэнергетической на низкоэнергетическую орбиту с
излучением фотона на частоте перехода. Согласно Золотому Правилу Ферми
скорость перехода пропорциональна плотности конечных состояний фотона.
Так как плотностью фотонных состояний можно эффективно управлять в
метаматериалах и метаповерхностях, в ряде работ было продемонстрировано
существенная модификация времени спонтанного излучения квантовых
источников в таких структурах [8].
В то же время скорость протекания многофотонных, нелинейнооптических процессов должна зависеть от конечной плотности фотонных
состояний сильнее чем скорость однофотонных процессов. В связи с этим, в
последние годы активно исследуется способы управления скоростью
различных нелинейных оптических процессов таких, как параметрическое
рассеяние, генерация высших гармони и неупругое рассеяние света в
метаматериалах [9].
В режиме сильной связи ситуация кардинально меняется, так как
взаимодействие с электромагнитным излучением приводит к ренормализации
спектра и изменению структуры собственных состояний вещества. Здесь также
можно
выделить
два
режима:
в
резонансном
режиме
частота
электромагнитного излучения настроена либо на энергию какого-то перехода
веществе, либо на частоту какой-нибудь квазичастицы (фонона, экситона,
магнона, плазмона и т.д.). В этом случае режим сильной связи приводит к
образованию новых квазичастиц, поляритонов [10], чье состояние описывается
суперпозицией состояний вещества и света. В нерезонансном режиме, частота
электромагнитного излучения лежит вдали от любых переходов в веществе, но
спектр и собственные состояние электронов меняются за счет взаимодействия
с полем. Этот процесс, носящий название «одевания» электронов полем,
приводит к ряду удивительных эффектов, таких как открытие энергетической
5
запрещенной зоны в графене, переходам сверхтекучая жидкость – Моттовский
изолятор под действием поля и многим другим [11]. Более того, относительно
недавно были предсказаны и реализованы новые фазы вещества, возникающие
только в режиме сильного нерезонансного взаимодействия света с веществом,
такие, например, как Флоке топологические изоляторы [12]. Исследования
режимов сильной нерезонансной связи света и вещества активно ведутся в
твердотельных системах, а также в газах холодных атомов.
Наиболее
актуальными
теоретическими
задачами
в
области
нанофотоники на сегодняшний день являются изучение влияния геометрии
фотонных наноструктур на взаимодействие света с веществом и на характер
протекания нелинейных оптических процессов в таких системах.
Целью работы Является теоретическое исследование линейных и
нелинейных оптических и фотогальванических свойств низкоразмерных
наноструктурированных материалов.
Научная новизна и практическая значимость работы состоят в разработке
теории физических явлений в метаматериалах и двумерных наноструктурах:
неупругого рассеяния света на свободных носителях в гиперболических
метаматериалах,
оптически
индуцированных
переходов
Лифшица
в
двуслойном графене, оптически индуцированной локализации электронов в
графене. Предложены и теоретически описан новые классы двумерных
наноструктур:
гиперболические
метаматериалы
на
основе
массивов
графеновых листов и гиперболические метаповерхности на основе тоннельно
связанных
массивов
графеновых
нанолент.
Разработанный
метод
моделирования параметрического распада и параметрического рассеяния в в
материалах, характеризуемых материальным потерями и пространственной
дисперсии может быть использован для проектирования новых устройств
генерации запутанных пар фотонов.
6
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Структура, представляющая собой периодический массив параллельных
монослоев графена, разделенных диэлектрическими слоями, является
гиперболическим
метаматериалом
в
терагерцовом
и
дальнем
инфракрасным диапазоне частот.
2. Топология поверхности Ферми и оптическая проводимость двумерного
массива туннельно связанных графеновых нанолент определяется
геометрией края нанолент: в случае края типа «зигзаг» туннельная связь
краевых электронных состояний приводит к формированию поверхности
Ферми гиперболической формы; в случае
края типа «кресло»
поверхность Ферми характеризуется возникновением электронных и
дырочных «карманов».
3. Неупругое рассеяние света на свободных электронах в гиперболических
материалах
качественно
отличается
от
рассеяния
в
оптически
изотропных средах, что обуславливается гиперболической формой
изочастотных контуров. В частности, величина Комптоновского сечения
рассеяния и Комптоновского сдвига в гиперболических метаматериалах
с экспериментально реализуемой геометрией может быть увеличена на
два порядка.
4. В гиперболических метаматериалах с кубической нелинейностью
реализуется усиление эффективности параметрического рассеяния
фотона за счет как эффекта Парселла так и за счет модификации условия
согласования фаз.
5. Взаимодействие
двуслойного
графена
с
нерезонансным
высокочастотным электромагнитным полем приводит к переходам
Лифшица в топологии поверхности Ферми.
7
6. Облучение
монослоев
электромагнитным
графена
пучком
циркулярно
позволяет
поляризованным
локализовать
электроны
с
линейной дисперсией в графене на масштабах диаметра пучка.
Апробация работы.
Результаты работы докладывались авторам на следующих конференциях:
“Days on Diffraction” (Санкт-Петербург, 2013,2014,2016), “SPIE Photonics
Europe 2014” (Бельгия, 2014), EuCAP 2014 (Гаага, 2014), PIERS 2015 (Прага,
2015), Meta 2016 (Малага, 2016), International School of Nanophotonics and
Photovoltaics (Армения, 2017), Quantum Light in Nanostructures (Маратея,
Италия, 2018),
а
также
на
(Канберра,
семинарах
Австралия),
Австралийского
Университета
Национального
ИТМО,
университета
Владимирского
Государственного Университета, Датского Технологического Университета,
Университета Дарэма (Великобритания), Университета Тор Вергата (Рим,
Италия), Санкт-Петербургского Государственного Университета.
Публикации.
По результатам исследований, представленных в диссертации, опубликовано
27 печатных работ в ведущих российских (Письма в ЖЭТФ) и иностранных
(Nature Photonics, Physical Review Letters, ACS Photonics) журналах. Полный
список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации.
8
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка
литературы. Она содержит 210 страниц текста, включая 27 рисунков. Список
цитируемой литературы содержит 288 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во
Введении
обоснована
актуальность
проведенных
исследований,
сформулированы цель и научная новизна работы, перечислены основные
положения, выносимые на защиту, а также кратко изложено содержание
диссертации.
Первая глава “Теоретические методы” посвящена описанию основных
теоретических методов и подходов, используемых в диссертации.
В §1.1 Приводится описание теории линейного отклика в применении к
расчету поляризуемости и диэлектрической проницаемости кристаллов.
Приведен вывод формулы Кубо для проводимости. Приведен расчет
проводимости монослоя графена и графена в перпендикулярном магнитном
поле. Построены спектры вещественной и мнимой части проводимости для
двух случаев для разных температур.
В §1.2 представлены основные свойства диадной функции Грина для
электромагнитного поля.
Описаны простейшие примеры расчета диадной
функции Грина для случая электрического диполя в вакууме и диполя в
многослойной среде. Изложена процедура квантования электромагнитного
поля в среде с материальными потерями и пространственной дисперсией при
помощи классических диадных функций Грина.
В §1.3 описано приближение среднего поля для бозонов. В частности,
получено
уравнение
Гросса-Питаевского
9
для
волновой
функции
макроскопически заселенного квантового состояния из модели Бозе-Хаббарда.
Описаны
основные
методы
численного
решения
уравнения
Гросса-
Питаевского.
В §1.4
изложены теоретические методы описания периодически
возбуждаемых квантовых систем. В частности, изложен формализм Флоке,
позволяющий свести задачу о периодическом возбуждении к бесконечной
системе линейных алгебраических уравнений.
Представлены основные
результаты теории возмущений для вырожденного спектра в случае
периодического возмущения. Наконец, представлен вывод разложения ФлокеМагнуса,
позволяющего
вычислять
квазистационарный
Гамильтониан
системы в случае, когда частота накачки больше любых энергетических
масштабов системы.
Вторая глава “Метаматериалы и метаповерхности на основе графена”
посвящена изучению электромагнитной модовой структуры периодических
структур на основе монослоев графена и графеновых нанолент.
В §2.1 приведен обзор исследований электромагнитных свойств
наноструктур на основе графена в терагерцовом и инфракрасном диапазоне
частот.
В §2.2 построена дисперсия и представлена поляризационная структура
поверхностных
электромагнитных
мод
графена
в
перпендикулярном
магнитном поле (см. Рис. 1(а)).
В присутствие магнитного поля, электромагнитный отклик монослоя графена
определяется недиагональным тензором проводимости. Недиагональные
элементы являются Холловской проводимостью  H , которая вычисляется по
формуле Кубо, полученной в §1.1. На частотах, соответствующих переходами
между различными уровнями Ландау в графене мнимая часть диагональной
10
проводимости  0
и вещественная часть Холловской проводимости меняют
знак (см. Рис. 1(б), верхняя панель). Дисперсия поверхностных волн
определяется дисперсионным уравнением.
 i 0 1   2  i 0 k01 k0 2  4 H2





 2
4 k0   c 41 4 2 
c
 c
Где
 1,2
диэлектрические
проницаемости
нижнего
(1)
и
верхнего
полупространств, 1,2   2  1,2k02 - обратные длины затуханий, а  - волновой
вектор поверхностной моды. В отсутствие магнитного поля, дисперсионное
соотношение распадается на два уравнения для ТЕ и ТМ поляризованных
поверхностных
волн:
в
случае,
когда
мнимая
часть
диагональной
проводимости
Рисунок 1. Дисперсия поверхностных волн, локализованных в монослое графена в
поперечном магнитном поле. (а) – геометрия структуры (верхняя панель), схематическое
изображение уровней Ландау, уровня Ферми (зеленая линия), и разрешенных оптических
переходов (стрелки, помеченные T1 и T2) в системе. (b) – спектр диагональной и
Холловской проводимости (верхняя панель), вещественной (средняя панель) и мнимой
части (нижняя панель) волноводного числа. (c) Зависимость параметров Стокса
поверхностной волны от приложенного магнитного поля на частоте 0.19 эВ.
положительна – существуют только ТМ волны, в случае, когда отрицательна –
только ТЕ. В присутствие поля ТЕ и ТМ волны смешиваются, и
поверхностные
волны
имеют
смешанную
11
поляризацию.
Однако
при
фиксированной частоте может существовать лишь определенный тип волн:
волны, существующие при положительной мнимой части  0 были названы
квази-ТМ, а при отрицательной – квази-ТЕ (см. Рис. 1(b) средняя панель). Для
характеризации поляризации поверхностных волн были построены параметры
Стокса и показано, что поверхностные волны квази-ТЕ типа характеризуются
ярко выраженной эллиптической поляризацией.
В §2.3
построена модовая структура и эффективный тензор
диэлектрической
проницаемости
системы,
представляющей
собой
периодический массив монослоев графена (см. Рис. 2(а)).
Для расчета точного спектра собственных мод системы был использован
стандартный метод матриц переноса. Было установлено, что для ТМ
поляризованных
волн
система
представляет
собой
гиперболический
метаматериал в широком частотном диапазоне. При этом возможен переход
между гиперболическим и эллиптическим режимов посредством затворного
напряжения
обусловлено
(см
Рис
2(b)).
Возникновения
взаимодействием
между
гиперболического
поверхностными
режима
плазмон-
поляритонами, локализованными на отдельных монослоях графена.
Рисунок 2. Гиперболический материал на основе периодического массива монослоев
графена. (а) – Геометрия структуры. (b) – изочастотный контур для ТЕ и ТМ поляризации
для разных приложенных затворных напряжениях. (с) – спетр фактора Парселла системы.
При этом взаимодействие между ТЕ поляризованными поверхностными
волнами не приводит к формированию гиперболической зоны (см. Рис. 2(b)).
12
Было
получено
следующее
выражение
для
тензора
нелокальной
диэлектрической проницаемости системы:
0


0
0
2
 
k
 1   0 z2 (  , K )

k0




0
k02d sin(k z d )
k2
ˆ(  , K )  
0

0  ; (  , K ) 
 2 0 2,
1   0(  , K )
2k z [cos( Kd )  cos( k z d )] k z  K



0
0







(2)
Где  и K волновые вектора в плоскости слоев графена и перпендикулярно им,
соответственно, kz   k02   2 , а 0  4 Im  (ck0d ) 1 .
Также был рассчитаны значения фактора Парселла для точечного диполя,
помещенного в структуру (см. Рис. 2(с)). Рассчитанные значения достигали
108, что согласуется с общей оценкой фактора Парселла для слоистых
гиперболических структур
R : ( / d ) 3 .
Плазмонный резонанс в случае
графеновых монослоев лежит в инфракрасной области, а период структуры
составляет 10 нанометров, что и приводит к большим значениям Фактора
Парселла. Были также рассчитаны изочастотные диаграммы для случая
слоистой структуры, помещенной в поперечное магнитное поле. Как и в
случае одиночного монослоя графена, рассмотренного в параграфе 2.2
магнитное поле приводит к гибридизации ТЕ и ТМ мод, что обуславливает
нетривиальную форму изочастотных контуров. Предложенная концепция
гиперболического метаматериала была недавно реализована экспериментально
[13].
В §2.4 рассчитана зонная структура и оптическая проводимость
туннельно связанных массивов графеновых нанолент (см. рис. 3).
13
Рисунок 3. Геометрия туннельно связанных нанолент с краями типа «зигзаг» и типа
«кресло».
Зонная структура массивов была рассчитана в рамках приближения сильно
связанных электронов. При этом учитывалось туннелирование электронов
между ближайшими и вторыми ближайшими соседями внутри каждой
наноленты, а также между атомами расположенными на краях соседних
нанолент с коэффициентом туннелирования В случае краев типа «кресло»
туннелирование между соседними нанолентами приводит к вырождению
краевых электронных состояний, локализованных на краях нанолент в
электронную зону шириной примерно 2Контур Ферми внутри данной зоны
представляет собой гиперболу (см. рисунок 4). В случае металлических
нанолент с краями типа «кресло» туннелирование приводит к перекрытию
электронных и дырочных зон, что в свою очередь приводи к формированию
электронных и дырочных «карманов» на поверхности Ферми (см. рисунок 4).
14
Рисунок 4. Дисперсионная диаграммы (верхний ряд) контуры поверхности Ферми (нижний
ряд) для массивов нанолент. Цифры на изочастотных контурах обозначают энергию Ферми,
соответствующую данному контуру. Красные и синие линии на контурах Ферми для ленты
типа кресло обозначают дырочные и электронные карманы соответственно.
Двумерная проводимость для двух типов структур была рассчитана в рамках
формализма линейного отклика, описанного в параграфе 1.1. В спектре
проводимости наблюдается ряд пиков, соответствующих переходам между
разными подзонами, некоторые из которых обозначены стрелками на рисунке
4. При этом некоторые из переходов активны только для поляризации поля
вдоль нанолент, а некоторые для поляризации поперек – соответственно
разные переходы вносят вклад только в определенную компоненту тензора
проводимости. При переходе через резонансную частоту, мнимая часть
соответствующей компоненты проводимости меняет знак. Соответственно,
существует набор частотных диапазонов, определяемых ширинами нанолент и
расстоянием между ними, в которых мнимые части двух компонент
проводимости имеют разные знаки, а значит структура представляет собой
гиперболическую метаповерхность.
15
В §2.5 подведены краткие итоги главы 2.
Третья глава посвящена исследованию квантовых нелинейных процессов в
гиперболических метаматериалах.
В §3.1 представлен обзор литературы по теме нелинейных процессов в
гиперболических метаматериалах.
В §3.2 решена задача о неупругом рассеянии света на свободном
носителе в гиперболическом метаматериале. Геометрия задачи представлена
на Рисунке 5(а). Электромагнитная волна ТМ поляризации распространяется
вдоль
оси
анизотропии
диэлектрической
одноосного
метаматериала
ˆ  diag(  ,  ,  P)
проницаемости
и
с
тензором
рассеивается
на
покоящемся электроне массой m. Была рассчитана величина частотного сдвига
рассеянного фотона и дифференциальное сечение рассеяния в зависимости от
угла рассеяния  . Отношение частоты рассеянного фотона  f к частоте
падающего фотона i выражается по формуле
1
f

i 1 

2
(1    )
2

 1 





 
1    1   cos    
1    1   cos       2   (1    )   1  2  


2
  ( )
 2 
  ( )

  ( ) 
Где   hi / mc 2
электрона,
а
, (3)
- отношение энергии падающего фотона к массе покоя
 ( )  cos2   sin 2 

P
параметр,
определяющий
анизотропии метаматериала. В случае рассеяния в вакууме,   1,    1
16
степень
Рисунок 5. Неупругое рассеяние света на свободных носителях в гиперболическом
метаматериале. (а) – Геометрия задачи: фотон падает из вакуума на одноосную среду и
неупруго рассеивается на электроне. (b) – Диаграммы рассеяния в импульсном
пространстве для случая рассеяния в вакууме и гиперболической среде. (с) – Зависимость
частотного сдвига (верхняя панель) и дифференциального сечения рассеяния (нижняя
панель) для рассеяния света в гиперболической среде (сплошная линия) и вакууме
(пунктирная линия).
выражение
для
конечной
частоты
сводится
к
известной
формуле
 f / i  (1   (1  cos ))1 . Видно, что сдвиг частоты определяется параметром  ,
который для оптического диапазона является крайне малой величиной порядка
Однако в случае гиперболического метаматериала, при котором
10-6.
  0,  P  0 ситуация кардинально меняется, так как параметр 
может
принимать сколь угодно близкие к нулю значения при приближении угла
рассеяния
tan2 
cr
к
критическому
углу
cr ,
который
задается
равенством
| P | / |   | . При этом отношение частот стремится к нулю. Данный
эффект можно интерпретировать, если взглянуть на диаграмму рассеяния в
пространстве импульсов, изображенную на рисунке 5(b). Изменение энергии
рассеянного фотона равно кинетической энергии электрона, приобретенной
при рассеянии, которая в свою очередь зависит от импульса электрона.
Импульс, полученный электроном
qe
равен разности конечного и
начального импульса фотона. На рисунке 5(b) видно, что в случае вакуума
максимальное
значение
переданного
импульса
составляет
примерно
| qe | 2i / c . В случае гиперболической среды конечный импульс фотона
17
ограничен лишь обратным периодом структуры и может быть значительно
больше волнового вектора света в вакууме. Рассеяние света в углы,
соответствующие
большим
волновым
векторам
приводит к большим частотным сдвигам как
видно на рисунке 5(с). Кроме того, плотность
фотонных
состояний
при
рассеянии
в
определенный угол зависит от модуля волнового
вектора, поэтому дифференциальное сечение
растет при приближении к cr как видно на
рисунке 5(с). В случае гиперболической среды
рассеяние света допустимо только под углами для
которых
tan2 
cr
выполняется
соотношение
| P | / |   | .
Рисунок 6. Спектраль-ная
плотность
рассе-янного
света
для
случая
гиперболической среды и
изотропного материала
Была получена формула интенсивности
рассеянного света, учитывающая границу метаматериала и внешней среды и
конечную концентрацию свободных носителей в метаматериале. В частности
было в явном виде получено выражение для спектральной плотности I (, k )
рассеянного света в зависимости от частоты и компоненты волнового вектора
в плоскости. Расчет проводился для гиперболического материала с периодом
20 нанометров, что соответствует экспериментально реализуемым образцам.
Также, для сравнения был проведен расчет для случая изотропного материала.
Спектральная плотность изображена на рисунке 6. Было показано, что в случае
гиперболического материала с экспериментально реализуемыми параметрами
возможно
увеличить
характерный
частотный
сдвиг,
обусловленный
рассеянием на свободных носителей на два порядка, а также существенно
увеличить эффективное сечение рассеяния.
В §3.3 построена модель спонтанного параметрического рассеяния и
спонтанного четырехволнового смешивания в плазмонных наноструктурах и
метаматериалах. Основной особенностью таких систем является то, что они
18
характеризуются большими нерадиационными потерями и пространственной
дисперсией. В связи с этим, стандартный подход, основанный на квантовании
электромагнитного
поля
при
помощи
электромагнитных
собственных
состояний системы неприменим. Был использован альтернативный подход,
основанный
на
квантовании
электромагнитного
поля
при
помощи
электромагнитных функций Грина системы. Геометрия задачи представлена на
Рисунке 7(а). Плазмонная наноструктура или метаматериал облучается
классическим
электромагнитным
полем.
Система
характеризуется
квадратичной или кубической нелинейностью. Квадратичная нелинейность
приводит к возможности спонтанного распада фотона на запутанную пару
холостого и сигнального фотона. В случае кубической нелинейности два
фотона накачки спонтанно рассеиваются в холостой и сигнальный фотон.
Фотонная пара затем регистрируется двумя независимыми детекторами,
представляющими собой двухуровневые системы. Взаимодействие детектором
с полем описывается в рамках дипольного приближения. Была вычислена
амплитуда вероятности Sis перехода между начальным состоянием 0
конечным состоянием   ai†as† 0
и
, соответствующим регистрации обоих
фотонов на детекторах. Амплитуда вероятности выражается как
Sis  2 i  hi  hs  N h pump  Tis ,
Где N=1 для случая параметрического распада, и N=2 для случая
параметрического рассеяния, а Tis – двухфотонная волновая функция, которая
для случая квадратичной нелинейности задается выражением
Tis (ri , i , di , rs , s , d s ) 
 d
  
,
i, s
*
i , i
 i t
(2)
d *s , s  d 3r0Gˆ i (ri , r0 , i )Gˆ s  (rs , r0 , s ) 
E p , (r0 )e p ,
Где суммирование берется по компонентам электрического поля фотонов и по
их поляризации, а d – дипольные моменты детекторов. В случае системы с
кубической нелинейностью выражение получается аналогичным.
Полученные выражения были использованы для расчета двухфотонной
функции Грина для случая двуслойной структуры, состоящей из металла и
19
нелинейного диэлектрика. Было показано, что в ходе спонтанного распада
могут генерироваться запутанные пары плазмон-поляритонов, а также пары
фотон - плазмон-поляритон. Была проведена оценка влияния материальных
потерь на генерацию запутанных пар. Для этого была вычислена вероятность
детектирования одиночного фотона.
Re(ki , z  k s , z  2k p , z )
Рисунок 7. Генерация запутанных фотонных пар в гиперболических метаматериалах. (а) –
Схема
параметрического
распада.
(b)
Процесс
параметрического
рассеяния
в
гиперболическом материале, при котором холостой фотон имеет частоту, соответствующую
гиперболическому режиму метаматериала, а сигнальный – эллиптическому. (с) Зависимость
рассогласования фаз от энергии сигнального фотона и волнового вектора сигнального
фотона (левая панель) и зависимость интенсивности генерации фотонных пар в
зависимости от частоты сигнального фотона (правая панель).
Далее был промоделирован процесс четырехволнового смешивания в
метаматериале, представляющем собой массив слоев металла и нелинейного
диэлектрика (рисунок 7(b)). В связи с частотной дисперсией диэлектрической
проницаемости металла, на разных частотах метаматериал может представлять
собой как гиперболическую среду так и обычный анизотропный материал с
эллиптическими изочастотными контурами. Был рассмотрен невырожденный
процесс четырехволнового смешивания, при котором частота холостого
фотона лежит в гиперболической области, а частота сигнального – в
эллиптической. Это приводит к тому, что с одной стороны процесс
усиливается за счет высокой плотности состояний, характерной для
гиперболической среды, а с другой сигнальный фотон может покинуть
метаматериал, так как его волновой вектор лежит внутри светового конуса.
20
Кроме того, на Рисунке 7 (с) видно, что в таком режиме рассогласование
волновых векторов поперек структуры Re(ki ,z  ks ,z  2k p ,z )
мало для широкого
диапазона волнового в плоскости. Таким образом усиление генерации
фотонных пар в режиме, когда холостой фотон находится в гиперболическом
режиме, а холостой – в гиперболическом обусловлено как высокой
плотностью состояний в гиперболическом режиме, так и ослабленным
условием согласования фаз.
В §3.4 исследуются электромагнитные моды и нелинейные возбуждения в
массиве квантовых проводов, помещенных в микрорезонатор (см. Рисунок
8(а)). Гамильтониан системы задается уравнением
Hˆ    ph (k )ak† ak    X (k x )bn†,k x bn ,k x 
k
n ,k x

n ,k x ,k x' ,q
U ( q)bn†,k x qbn†,k ' qbn†,k ' x bn ,k   n (k )[ak†bn ,k x  h.c.] (5)
x
x
n ,k
Где первые два члена отвечают дисперсии фотонных и экситонных мод
соответственно, третий член определяет экситон-экситонное взаимодействие,
а последний член определяет экситон-фотонную связь, пропорциональную
расщеплению Раби 
Рисунок 8. Массив квантовых проводов в микрорезонаторе. (а) – геометрия структуры. (b) –
дисперсия экситон-поляритонов. (c) – формирование темного солитона в системе.
Дисперсия экситон-поляритонов была получена диагонализацией линейной
части гамильтониана (см. Рисунок 8(b)). В окрестности Г точки для второй
зоны,
эффективная
масса
экситон
21
поляритонов
отрицательна
вдоль
направления y и положительна вдоль x, и дисперсионная поверхность
представляет собой гиперболоид, и в окрестности Г точки формируется так
называемая седловая точка. Отрицательная эффективная масса и групповая
скорость экситон-поляритонов приводит к тому, что если систему накачивать
на частоте, близкой к резонансной поляритонной частоте под определенным
углом, соответствующим волновому вектору ky, то волноводной поляритонный
пакет будет распространяться в противоположную сторону от направления
накачки.
При резонансной накачке системы в окрестности седловой точки, в системе
формируется темный солитон (см. Рисунок 8(с)).
В §3.5 подведены краткие итоги глав 3.
Четвертая глава посвящена режиму сильной связи между нерезонансным
высокочастотным электромагнитным полем и электронами в двумерных
материалах.
В §4.1 представлен обзор литературы по теме взаимодействия электронов в
низкоразмерных
материалах
с
интенсивным
нерезонансным
электромагнитным полем.
В
§4.2
изучено
взаимодействие
двумерных
массивных
Дираковских
электронов с нерезонансным высокочастотным эллиптически поляризованным
электромагнитным полем. Гамильтониан системы в окрестности дня зоны
задается выражением
  g  s cso

 ( k x  ik y ) 
 2  2
,
Hˆ 0  
 g  s vso 


  ( k x  ik y ) 

2
2 

Где  g
- ширина запрещенной зоны,   1
(6)
- индекс долины, s  1 -
соответствует проекции спина,  - групповая скорость, а  cso( v ) - величина спин
орбитального расщепления для зоны проводимости (валентной зоны).
22
Взаимодействие с электромагнитным полем было учтено через подстановку
k  k  e / hA (t ) ,
где A(t ) векторный потенциал электромагнитного поля,
который записывается как A(t )  E0 / (cos t,sin  sin t ) , где E0
- амплитуда
электрического поля, - частота поля, а параметр - определяет степень
циркулярной поляризации. Для случая линейной поляризации, были получены
решения для квазиэнергии при частоте поля значительно больше ширины
запрещенной зоны. В этом случае, было установлено, что ширина
запрещенной зоны ренормализуется как %g   g J 0 () , где J0 - функция Бесселя
нулевого порядка, а   2 | e | E0 (h ) 2 . Спин-орбитальные расщепления в зоне
проводимости
и
валентной
зоне
%cso( v )  cso( v ) 1  J 0 ()  / 2  vso( c ) 1  J 0 ()  / 2 .
групповая
скорость
в
направлении,
ренормализуются
Кроме
того,
как
ренормализуется
перпендикулярном поляризации
электрического поля.
Для случая циркулярной поляризации были получены значения для
квазиэнергий
в
приближении
= 1
и
для
произвольной
частоты
электромагнитного поля. Наконец, в случае эллиптической поляризации, было
использовано
разложение
Флоке-Магнуса,
которое
подразумевает
приближения  = 1, h ?  g . Ренормализованная ширина запрещенной зоны
равна
 1
 1
%g   g 1   2 (1  sin 2  )    h 2 sin  .
 4
 2
(7)
Из формулы видно, что влияние циркулярно поляризованного поля (    / 2 )
на ширину запрещенной зоны в h /  g раз больше чем для линейнополяризованного
поля
(   0 ).
Кроме
того,
видно,
что
циркулярно-
поляризованное поле приводит к увеличению ширины запрещенной зоны в
одной долине, и к уменьшению в другой. Кроме того, существует
определенное значение  , при котором влияние поля на ширину запрещенной
зоны в одной из долин обнуляется и не зависит от интенсивности поля.
23
Аналогичные выражения были получены для спин-орбитальных расщеплений
в зоне проводимости и валентной зоне, а также для групповой скорости .
Рисунок 9. Влияние высокочастотного поля на спектр массивных Дираковских электронов в
низкоразмерных материалах. (а) - рассматриваемые структуры: графен на hBN и MoS2. (b) Зависимость ширины энергетической щели от интенсивности для графена с шириной щели
2 мэВ. Энергия фотона – 10 мэВ. Голубая штрихованная линия соответствует линейной
поляризации, а зеленая и красная – циркулярным поляризациям разной спиральности. (c) –
Зависимость спин-орбитального расщепления зоны проводимости в MoS2 от интенсивности
поля. Энергия фотона – 10 мэВ.
Полученные результаты были применены для случая двух двумерных
систем, поддерживающих массивные Дираковские фермионы, а именно для
графена на гексагональном нитриде Бора и дихалкогенида переходного
металла MoS2 (см. Рисунок 9(а)).
В случае графена спин-орбитальным расщеплением можно пренебречь, а
ширина запрещенной зоны определяется приложенным к графену затворным
напряжением и лежит в терагерцовой области. На рисунке 9(b) представлена
зависимость ренормализованной ширины запрещенной зоны от интенсивности
электромагнитного поля для случая циркулярной и линейной поляризации. В
случае MoS2 ширина запрещенной зоны составляет 1.58 эВ, в связи с чем
индуцированное полем изменение ее ширины незначительно даже для очень
больших
интенсивностей
поля.
В
24
то
же
время,
в
случае
MoS2
электромагнитное поле позволяет эффективно управлять величиной спинорбитального расщепление в зоне проводимости, как показано на рисунке 9(c).
В §4.3 изучено влияние нерезонансного эллиптически поляризованного поля
на спектр электронов в двуслойном графене. Гамильтониан для двуслойного
графена записывается как
0
( px  ip y ) 

0
( px  ip y ) 2 

Hˆ   
 v3 


2
2
 ( p  ip )

0
0
x
y
 ( px  ip y )



(8)
Где   1 - долинный индекс, а  , v3 - константы, определяемые межатомным
расстоянием и энергиями туннелирования между ближайшими соседями
внутри каждого слоя и между слоями. Взаимодействие с полем вводилось
путем подстановки p  p  eA(t ) . Векторный потенциал задавался так же как в
параграфе 4.2. Далее были введены безразмерные величины для импульса
p  p / v3
и
энергии
   / v32 ,
а
также
параметр
 | e | E0 / (v3)
пропорциональный амплитуде поля, и обратно пропорциональный частоте.
Далее методом разложения Флоке-Магнуса был получен эффективный
стационарный Гамильтониан. Разложение проводилось по малому параметру

Для случая линейно-поляризованной волны, собственные энергии системы
вблизи дна зоны задаются уравнением
( 2 / 2  px2  p2y   px )2  ( py  2 px py )2   2
В отсутствие поля,
(9)
  0 , для каждой долины существуют четыре
Дираковских точки (см. рисунок 10). При увеличении интенсивности линейно
поляризованного поля, два из четырех Дираковских конуса начинают
сближаться и при достижении  '  1/ 2 аннигилируют. Таким образом, в
случае
когда
уровень
ферми
зафиксирован
в
окрестности
точки
нейтральности, при увеличении интенсивности поля происходит фазовый
переход Лифшица, при котором поверхность Ферми превращается из
четырехсвязной в двусвязную.
25
Рисунок 10. Влияние линейно поляризованного поля на дисперсию электронов в
двуслойном графене.
Переход Лифшица будет наблюдаться в магнетопроводимости двуслойного
графена. В случае, если обратная магнитная длина B1  eB / h
порядка
расстояния между Дираковскими конусами в обратном пространстве, основное
энергетическое состояние является 16 кратно вырожденным, что приводит к
факторам заполнения   8
в кондактансе в режиме квантового эффекта
Холла. После перехода Лифшица, два из четырех конусов исчезают, и фактор
заполнения становится равен   4 . Таким образом, описанные переходы
Лифшица позволяют оптически управлять Холловским кондактансом в
двуслойном графене. В случае циркулярной поляризации, дисперсионное
уравнение имеет вид
 
2
 g2
4
 p 2 (1   g2 )  2 p 3 cos 3  p 4 (1  2 g2 )
26
(10)
Где  g  2 2v32 / ( h) - соответствует
ширине
открывающейся
энергетической щели в точках K и K’.
В случае  g  1 , квадратичное по
импульсу слагаемое обнуляется и
энергия
записывается
   1 / 4  2 p 3 cos3  3 p 4
указанное
как
. Так как
значение
ширины
запрещенной зоны близко к границе
применимости
Магнуса,
разложения
была
Флоке-
проверена
устойчивость результатов к включению
дополнительных членов в разложение. В
случае когда энергия Ферми равна ½,
поверхность Ферми представляет собой
Рисунок 11. Профиль поверхно-сти
Ферми в критической точ-ке и
фазовая диаграмма для топологии
поверхности Ферми в зависимости от
интенсивно-сти и уровня Ферми.
кривую, изображенную на Рисунке 11. Такая поверхность носит название
«обезьянье седло» и является аналогом седловой точки для кривых второго
порядка. Данная точка представляет собой четвертную критическую точку,
так как в ней смыкаются четыре области с разной топологией поверхности
Ферми (см. Рисунок 11). Кроме того, в окрестности этой точки плотность
состояний расходится как |  2  1/ 4 |1/3 . Таким образом, было показано что
взаимодействие двуслойного графена с нерезонансным высокочастотным
электромагнитным
полем
формированию критических
циркулярной
поляризации
приводит
точек в электронной зонной
к
диаграмме,
характеризуемых дисперсией типа «обезьянье седло».
В §4.4 представлена модель локализации электронов в графене при
помощи терагерцовых
циркулярно поляризованных пучков. Гамильтониан
электронов в графене в окрестности точки Дирака записывается как
27
Hˆ  v( x k x   y k y )
,
где
- долинный индекс. Векторный потенциал
циркулярного поля задается как A(t )  cE0 / G(r) sin t,  cos t  , где профиль
пучка G(r )  1  exp(r 2 / 2 L2 ) . Профиль такой формы можно получить за счет
деструктивной интерференции широкого и узкого гауссовых пучков. Был
рассчитан эффективный стационарный Гамильтониан систем. В режиме
сильной связи с циркулярным полем, в графене открывается энергетическая
щель, ширина которой зависит от интенсивности поля, а следовательно и от
радиуса как
 g (r) 
4v 2 | e | I 2
G ( r ),
h 0c 3
(11)
где I – интенсивность электромагнитного поля. Таким образом, электроны
могут быть локализованы на масштабе L, который сравним с длиной волны
излучения. Для частоты поля 15 ТГц и интенсивности 300 Вт/см2 глубина
эффективной потенциальной ямы составляет 1.4 мэВ, а характерный размер
ловушки
L
-
примерно
5
микрон.
Энергетический
зазор
между
локализованными состояниями в такой геометрии составляет порядка 0.1 мэВ.
Было проведено численное моделирование распространения электронного
волнового пакета в системе (см. Рисунок 12). Было установлено что при
наличии потенциала, волновой пакет остается локализованным на масштабе L
длительное время.
28
Рисунок 12. Временная динамика распространения электронного волнового пакета при
наличии потенциала обусловленного ЭМ полем (верхний ряд) и в отсутствие потенциала
(нижний ряд).
Таким
образом,
циркулярно
было
показано,
поляризованным
что
Облучение
электромагнитным
монослоев
пучком
графена
позволяет
локализовать квази-релятивистские электроны в графене на масштабах
диаметра пучка.
В Заключении обобщены основные результаты работы:
1. Рассчитаны Дисперсионные соотношения и поляризационная структура
магнетоплазмон-поляритонов, локализованных на монослое графена в
поперечном магнитном поле.
2. Рассчитана модовая структура, тензор нелокальной диэлектрической
проницаемости и фактор Парселла гиперболического метаматериала на
основе периодического массива монослоев графена.
3. Рассчитана электронная
зонная
структура и
тензор оптической
проводимости для массива туннельно связанных графеновых нанолент.
Показано, что туннельная связи между краевыми состояниями в
нанолентах с краем типа «зигзаг» приводит к формированию зоны,
характеризуемой гиперболическими изоэнергетическими контукрами.
Для
края
типа
«кресло»
продемонстрировано
29
формирование
электронных и дырочных на поверхности Ферми. Показано, что
оптическая проводимость массивов определяется типом края нанолент.
4. Построена модель рассеяния фотонов на свободных носителях в
гиперболических метаматериалах. Показано, что характерные величины
Комптоновского сдвига в метаматериале могут на два порядка превышат
соответствующие значения в изотропном материале.
5. Разработан формализм параметрического рассеяния и четырехволнового
смешивания в системах с потерями и пространственной дисперсией.
Показано, что невырожденное четырехволновое смешивание может
быть усилено в гиперболическом метаматериале на несколько порядков
как
за
счет
большого
фактора
Парселла
так
и
за
счет
модифицированного условия согласования фаз.
6. Рассчитана модовая структура периодического массива квантовых
проводов в микрорезонаторе. Показано, что дисперсия экситон
поляритонов в такой системе содержит седловую точку, в которой
компоненты тензора эффективной массы имеют разные знаки. Показана
возможность возбуждения и распространения темных солитонов в
окрестности седловой точки в таких системах.
7. Показано, что эллиптически поляризованное электромагнитное поле
может быть использовано для управления величиной спин-орбитального
расщепления в дихалкогенидах переходных металлов.
8. Предсказаны
оптически
индуцированные
переходы
Лифшица
в
двуслойном графене.
9. Предложен механизм оптической локализации электронов в графене
посредством терагерцовых пучков.
30
Список публикаций по теме диссертации
[A1] All-optical band engineering of gapped Dirac materials / O. Kibis, K. Dini, I.
Iorsh, I. Shelykh // Physical Review B. - 2017. - Vol. 95, no. 12. - P. 125401.
[A2] Cavity-enhanced absorption and Fano resonances in graphene nanoribbons / I.
Iorsh, I. Shadrivov, P. Belov, Y. Kivshar // Physical Review B. - 2013. - Vol. 88,
no. 19. - P. 195422.
[A3] Complex band structure of nanostructured metal-dielectric metamaterials / A.
Orlov, I. Iorsh, P. Belov, Y. Kivshar // Optics Express. - 2013. - Vol. 21, no. 2. - Pp.
1593-1598.
[A4] Compton-like polariton scattering in hyperbolic metamaterials / I. Iorsh, A.
Poddubny, P. Ginzburg et al. // Physical Review Letters. - 2015. - Vol. 114, no. 18. P. 185501.
[A5] Enhancement of the Purcell factor in multiperiodic hyperbolic-like
metamaterials / A. Chebykin, V. Babicheva, I. Iorsh et al. // Physical Review A. 2016. - Vol. 93, no. 3. - P. 033855.
[A6] Hyperbolic metamaterials / A. Poddubny, I. Iorsh, P. Belov, Y. Kivshar //
Nature Photonics. - 2013. - Vol. 7, no. 12. - Pp. 958-967.
[A7] Hyperbolic metamaterials based on multilayer graphene structures / I. Iorsh, I.
Mukhin, I. Shadrivov et al. // Physical Review B - . - 2013. - Vol. 87, no. 7. - P.
075416.
[A8] Hyperbolic metamaterials with Bragg polaritons / E. Sedov, I. Iorsh, S.
Arakelian et al. // Physical Review Letters. - 2015. - Vol. 114, no. 23. - P. 237402.
[A9] Hyperbolic region in an array of quantum wires in a planar cavity / K.
Arnardottir, I. Iorsh, T. Liew, I. Shelykh // ACS Photonics. - 2017. - Vol. 4, no. 5. Pp. 1165-1171.
[A10] Interface modes in nanostructured metal-dielectric metamaterials / I. Iorsh,
31
A. Orlov, P. Belov, Y. Kivshar // Applied Physics Letters. - 2011. - Vol. 99, no. 15. P. 151914.
[A11] Self-consistent Purcell factor and spontaneous topological transition in
hyperbolic metamaterials / S. Krasikov, I. Iorsh // Physica Status Solidi - Rapid
Research Letters. - 2016. - Vol. 10, no. 10. - Pp. 769-773.
[A12] Multilayer graphene waveguides / D. Smirnova, I. Iorsh, I. Shadrivov, Y.
Kivshar // JETP Letters. - 2014. - Vol. 99, no. 8. - Pp. 456-460.
[A13] Nonlinear reshaping of terahertz pulses with graphene metamaterials / Y.
Rapoport, V. Grimalsky, I. Iorsh et al. // JETP Letters. - 2013. - Vol. 98, no. 8. - Pp.
503-506.
[A14] Nonlinear switching with a graphene coupler / D. Smirnova, A. Gorbach, I.
Iorsh et al. // Physical Review B - . - 2013. - Vol. 88, no. 4. - P. 045443.
[A15] Nonlinear Tamm states in nanostructured plasmonic metamaterials / I. Iorsh,
P. Belov, A. Zharov et al. // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical
Physics. - 2012. - Vol. 86, no. 2. - P. 023819.
[A16] Optical trapping of electrons in graphene / S. Morina, K. Dini, I. Iorsh, I.
Shelykh // ACS Photonics. - 2018. - Vol. 5, no. 4. - Pp. 1171-1175.
[A17] Optically controlled periodical chain of quantum rings / M. Hasan, I. Iorsh,
O. Kibis, I. Shelykh // Physical Review B. - 2016. - Vol. 93, no. 12. - P. 125401.
[A18] Optically induced Lifshitz transition in bilayer graphene / I. Iorsh, K. Dini,
O. Kibis, I. Shelykh // Physical Review B. - 2017. - Vol. 96, no. 15. - P. 155432.
[A19] Periodic array of quantum rings strongly coupled to circularly polarized light
as a topological insulator / V. Kozin, I. Iorsh, O. Kibis, I. Shelykh // Physical
Review B. - 2018. - Vol. 97, no. 3. - P. 035416.
[A20] Plasmons in waveguide structures formed by two graphene layers / P.
32
Buslaev, I. Iorsh, I. Shadrivov et al. // JETP Letters. - 2013. - Vol. 97, no. 9. - Pp.
535-539.
[A21] Generation of photon-plasmon quantum states in nonlinear hyperbolic
metamaterials / A. Poddubny, I. Iorsh, A. Sukhorukov // Physical Review Letters. 2016. - Vol. 117, no. 12. - P. 123901.
[A22] Purcell effect in hyperbolic metamaterial resonators / A. Slobozhanyuk, P.
Ginzburg, D. Powell et al. // Physical Review B - . -2015. - Vol. 92, no. 19. - P.
195127.
[A23] Quantum ring with the Rashba spin-orbit interaction in the regime of strong
light-matter coupling / V. Kozin, I. Iorsh, O. Kibis, I. Shelykh // Physical Review B.
- 2018. - Vol. 97, no. 15. - P. 155434.
[A24] Spontaneous emission enhancement in metal-dielectric metamaterials / I.
Iorsh, A. Poddubny, A. Orlov et al. // Physics Letters, Section A: General, Atomic
and Solid State Physics. - 2012. - Vol. 376, no. 3. - Pp. 185-187.
[A25] Topological edge-state engineering with high-frequency electromagnetic
radiation / M. Hasan, D. Yudin, I. Iorsh et al. // Physical Review B. - 2017. - Vol.
96, no. 20. - P. 205127.
[A26] Two-dimensional hyperbolic medium for electrons and photons based on the
array of tunnel-coupled graphene nanoribbons / I. Trushkov, I. Iorsh // Physical
Review B. - 2015. - Vol. 92, no. 4. - P. 045305.
[A27] Tunable hybrid surface waves supported by a graphene layer / I. Iorsh, I.
Shadrivov, P. Belov, Y. Kivshar // JETP Letters. - 2013. - Vol. 97, - Pp. 249-252.
Список литературы:
[1] Photonic crystals. Molding the flow of light. / J. D. Joannopoulos, S. G. Johnson,
J. N. Winn, R. D. Meade. - Princeton University Press, 2008.
33
[2] Optical metamaterials: Fundamentals and Applications. /W. Cai, V. Shalaev. Springer, 2009.
[3] From metamaterials to metadevices. / N.I. Zheludev, Yu.S. Kivshar // Nature
Materials. – 2012. – Vol.97, - Pp. 917-924.
[4] Климов В. В. Наноплазмоника. - М.: Физматлит, 2009.
[5] Flat optics with designer metasurfaces./ N. Yu, F. Capasso // Nature Materials. –
2014. – Vol.13, - Pp. 139-150.
[6] Graphene plasmonics. Optics in flatland./ A.N. Grigorenko, M. Polini, K.
Novoselov // Nature Photonics. – 2012. – Vol.6, - Pp. 749-758.
[7] Graphene plasmonics for tunable terahertz metamaterials./ L. Ju et al. // Nature
Nanotechnology. – 2011. – Vol. 6, - Pp. 630-634.
[8] Controlling spontaneous emission rate with metamaterials. / M. Noginov et al. //
Optics Letters. – 2010. – Vol. 35, no. 11, - P. 1863.
[9] Shrinking light to allow forbidden transitions on the atomic scale. / N. Rivera, I.
Kaminer, B. Zhen, J.D. Joannopoulos, M. Soljacic // Science. – 2016. – Vol.353, P.263.
[10] J.J. Hopfield. Theory of the Contribution of Excitons to the Complex Dielectric
Constant of Crystals // Phys. Rev. - 1958. – Vol. 112, - P. 1555.
[11] Periodically Driven Quantum Systems: Effective Hamiltonians and Engineered
Gauge Fields. / N. Goldman, J. Dalibard // Phys. Rev. X. – 2014. – Vol.4, P.031027.
34
[12] Floquet Topological Insulators./ J. Cayssol, B. Dóra, F. Simon, R. Moessner //
Physica Statis Solidi: RRL. – 2013. – Vol. 7. – Pp. 101-108.
[13] Realization of mid-infrared graphene hyperbolic metamaterials. / Y.-C. Chang
et al. // Nature Communications. – 2016. – Vol. 6. – P. 10568.
35
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
2 277 Кб
Теги
нелинейные, двумерные, оптические, квантовые, метаматериалах, наноструктур, эффекты
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа