close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Нелинейное деформирование элементов конструкций и взаимодействующих с ними сред

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Бережной Дмитрий Валерьевич
НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ И
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С НИМИ СРЕД
Специальность 01.02.04 – «Механика деформируемого твердого тела»
Автореферат
на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук
Казань – 2018
Работа выполнена на кафедре теоретической механики института математики и механики
им. Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»
Научные консультанты:
Голованов Александр Иванович
доктор физико-математических наук,
профессор
Паймушин Виталий Николаевич,
доктор физико-математических наук,
профессор
Официальные оппоненты:
Сидоров Игорь Николаевич,
доктор физико-математических наук,
профессор, ФГБОУ ВО КНИТУ-КАИ им.
А.Н. Туполева, заведующий кафедрой
теоретической и прикладной механики и
математики
Гаврюшин Сергей Сергеевич,
доктор технических наук, профессор,
ФГБОУ ВО МГТУ им. Н.Э. Баумана,
заведующий кафедрой компьютерных
систем автоматизации производства
Кочетков Анатолий Васильевич,
доктор физико-математических наук,
профессор, ФГАОУ ВО ННГУ им. Н.И.
Лобачевского, главный научный сотрудник
лаборатории динамики многокомпонентных
сред НИИ механики ННГУ
Ведущая организация:
ФГБОУ ВО Московский авиационный
институт
Защита состоится 3 июля 2018 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного Совета
Д 212.081.11 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008,
г. Казань, ул. Кремлевская, 35, ауд. 610.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволжского)
федерального университета. Электронный вариант диссертации и автореферата размещен на
сайте http://www.kpfu.ru.
Автореферат разослан «___» ________2018 г.
Ученый секретарь диссертационного совета,
кандидат физико-математических наук, доцент
Саченков А.А.
3
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы.
В последнее время со стороны ряда исследователей как в России, так и за рубежом очень
сильно возрос интерес к нелинейным задачам механики деформируемого твердого тела. Такие
задачи необходимо решать в ряде отраслей тяжелой промышленности, авиастроении,
вертолетостроении, а также транспортном строительстве, где использование материалов со
сложными физико-механическими свойствами просто безальтернативно. При этом не нужно
забывать, что в элементах конструкций и рассчитываемых грунтовых средах могут возникать
большие деформации, причем материалы могут характеризоваться различными физикомеханическими свойствами, такими как вязкость, пластичность и упругость. Следовательно,
разработка и реализация новых эффективных методик и модификация старых является
актуальной задачей современной науки.
В настоящее время можно определить широкий круг задач, для которых линейная теория
упругости даёт приемлемые результаты. С другой стороны, уравнения линейной теории
упругости являются достаточно грубым приближением при описании и прогнозировании
механического поведения деформируемых твёрдых тел в реальной постановке. Следовательно,
современная теория упругости должна базироваться на общей (нелинейной) теории напряжений
и деформаций. Основы такой теории были заложены Г. Кирхгоффом, И. Фингером, Б. де СенВенаном и в дальнейшем развиты многими зарубежными и отечественными учеными:
А. Грином, Д. Оденом, К. Трусделлом, С.В. Бакушевым, К.З. Галимовым, Л.М. Зубовым,
Л.С. Лейбензоном, А.И. Лурье, Х.М. Муштари, В.В. Новожиловым, В.Н. Паймушиным,
Л.И. Седовым, К.Ф. Черныхом, Ф.Н. Шклярчуком и др. В современных условиях появилась
возможность решать задачи нелинейной теории упругости в строгой корректной постановке с
учётом реальной работы конструкции и практически всех физико-механических свойств
материала. Этому, во многой степени, способствует бурное развитие средств вычислительной
техники и программно-математического обеспечения. Разработанные в последнее время
программные средства позволяют создавать эффективные математические приложения как для
решения самых разнообразных математических задач, так и для проведения вычислительных
экспериментов.
Вместе с тем, первоочередное значение приобретает вопрос о корректной постановке
нелинейных задач механики деформируемого твёрдого тела. Уравнения МДТТ можно
разделить на три группы: геометрические уравнения, статические (динамические) уравнения и
физические уравнения. Т.к. геометрические и статические уравнения записываются в
различных системах координат, то для корректной записи физических уравнений статические
уравнения обычно приводятся к декартовой системе координат точек тела до деформации. При
этом вводятся в рассмотрение так называемые обобщённые напряжения, не являющиеся
напряжениями в точном смысле этого слова. Однако физические уравнения геометрически
нелинейной теории упругости устанавливают связь именно между компонентами тензоров
деформаций и обобщённых напряжений.
Обзор литературы последних десятилетий показывает, что интерес к вопросам расчёта
физически нелинейных элементов конструкций и сплошных сред с учётом геометрической
нелинейности приобретает всё более широкий размах, но работ, где учитываются
геометрически нелинейная теория деформаций, соответствующая ей геометрически нелинейная
4
теория напряжений и соответствующая физическая теория, уравнения которой записываются в
терминах обобщённых напряжений, практически нет. В.В. Новожиловым строго и достаточно
подробно изложены основы нелинейной теории упругости. В дальнейшем изложение основ
нелинейной теории упругости было продолжено в работах А.И. Лурье, где содержится
последовательное изложение принципов рассмотрения задач нелинейной теории упругости,
А.Н. Гузя, где рассмотрены основные соотношения нелинейной механики деформируемых тел
и выполнена их линеаризация, Л.А. Толоконникова, где с достаточной общностью
представлены теория деформаций многомерных объектов и разнообразные системы
инвариантов, позволяющие обсуждать свойства реальных материалов. Учёт геометрической
нелинейности при расчёте сплошных массивов выявляет некоторые особенности процесса
деформирования, не имеющие места для геометрически линейных теорий.
Для описания физически нелинейного поведения материала применяют соотношения
теории пластичности. Первые работы по теории пластичности связаны с именами Б. де СенВенана и М. Леви. В дальнейшем интенсивное развитие теории пластичности продолжается в
работах Генки, Мизеса и Прандтля, где были получены основные уравнения различных
вариантов теории пластичности. Далее теория пластичности развивалась в работах ряда
отечественных и зарубежных ученых Необходимо отметить работы по теории пластичности
отечественных ученых А.А. Ильюшина, В.В. Соколовского, А.Ю. Ишлинского Д. Друккера, В.
Прагера, Р. Хилла, Ф. Ходжа и др.
Большой вклад в развитие дифференциальных моделей теории пластичности внесли
работы Р.А. Арутюняна и А.А. Вакуленко, А.Ю. Ишлинского, Ю.Г. Коротких, В.В. Новожилова
и Ю.И. Кадашевича, В. Прагера, В.Н. Кукуджанова и др. Многочисленные исследования
показали, что экспериментальным данным в основном соответствуют расчеты, основанные на
теории течения с использованием комбинированного упрочнения. Исследования по
теоретическим вопросам и методам расчета конструкций при различных условиях текучести
отражены в ряде монографий и обзоров: Н.И. Безухова, А.А. Гвоздева, Г.А. Гениева, В.Н.
Киссюка и Г.А. Тюпина, И.И. Гольденблата и В.А. Копнова, М.И. Ерхова, В.Г. Зубчанинова,
Д.Д. Ивлева, А.А. Ильюшина, Я.А. Каменярж, Л.М. Качанова, Ю.В. Немировского и Б.С.
Резникова, В. Ольшака, З. Мруза и П. Пежины, А.М. Проценко, И.Г. Терегулова, Р.А. Каюмова
и Э.С. Сибгатуллина, А.А. Чирас и др.
Обзор доступной литературы показал, что ранее уже были предложены некоторые
варианты законов состояния нелинейно-упругой сплошной среды. Б. Сетх рассмотрел большое
число нелинейных задач с эффектами недоступными линейной теории упругости, заменив в
законе Гука линейной теории упругости линейный тензор деформации тензором конечной
деформации. Н.В. Зволинский и П.М. Риз ввели зависящий от пяти состояний квадратичный
закон состояния идеально-упругого тела, А. Синьорини предложил закон квадратичной
зависимости тензора напряжений Коши от меры деформации Альманси, зависящий уже от
четырёх постоянных, в работе Ф. Мурнагана описано представление закона состояния в виде
полиномиального представления удельной потенциальной энергии деформирования.
Все предложенные ранее варианты математических моделей геометрически и физически
нелинейной сплошной среды являются приближенными и не лишены внутренних
противоречий. Для современного этапа развития науки характерен переход от расчётных
методик к математическому моделированию. Наиболее часто используются математические
5
модели в виде различного рода уравнений, ограничений и т.д., причем учет влияния тех или
иных факторов накладывает отпечаток на степень соответствия модели исходному объекту.
Вместе с тем требование внутренней непротиворечивости математической модели должно быть
строго обосновано конечной целью расчёта, а логические противоречия в модели могут быть
допустимы, если обусловленные ими ошибки в расчётах не выходят за рамки погрешности,
следующей из принятых в модели допущений физического характера.
Для решения сложных нелинейных задач используются, как правило, численные методы,
к которым относится метод конечных элементов (МКЭ). В настоящее время МКЭ является
одним из самых популярных методов решения практических задач МДТТ. С его помощью
проводят расчеты по определению НДС и несущей способности реальных конструкций в самых
различных отраслях промышленности, строительства и транспорта. Практически все задачи
МДТТ (разрушение, удар, потеря устойчивости, штамповка, вытяжка и т.д.) получили
постановку и алгоритмы решения в рамках конечно-элементных методик.
Идеи приближенных методов вычисления, на которых базируется МКЭ, был
сформулированы в трудах Дж. Аргириса, М. Тернера, Р. Клафа. Развитие метода получило в
работах О.К. Зенкевича, Дж.Т. Одена, Л. Сегерлинда, Д. Норри и Ж. Фриза и др. С тех пор
популярность этого метода очень быстро росла в различных областях науки и техники.
Значительный вклад в теорию МКЭ внесли отечественные авторы В.А. Постнов и И.Я.
Хархурим, Л.А. Розин, И.Ф. Образцов и многие другие.
В настоящее время существуют много расчетных комплексов и программ, основанных
на МКЭ. Наиболее известными и универсальными из них являются расчетные комплексы
ABAQUS, ANSYS, LS-DYNA, Nastran, Plaxis, ПК ЛИРА и др. Также имеется множество
программ, предназначенных для решения специальных задач или проблем узкой
направленности. Они позволяют вести расчеты сложных сооружений на воздействие различных
нагрузок. Однако они имеют и недостатки. В частности, в расчетных комплексах используются
только те модели, которые заложены изначально. К тому же в существующих расчетных
комплексах отсутствует возможность учета всех определяющих физических параметров
одновременно.
К значительным сложностям приводит учет взаимодействия деформируемых
конструкций с грунтами. Это происходит потому, что для описания этого взаимодействия
используются достаточно сложные и специфические модели, а сами свойства реальных грунтов
очень сильно отличаются друг от друга. Так для горных пород характерна высокая прочность,
что позволяет им деформироваться упруго даже при нагрузке в тысячи атмосфер, тогда как
структура «мягких» грунтов может разрушаться даже при избыточных нагрузках порядка одной
атмосферы. Минеральные частицы грунта образуют исходный «скелет» с множеством пор,
которые могут быть заполнены жидкостью или газом. Нагружение грунтового массива
зачастую приводит к разрушению связей между частицами «скелета» грунта и их переукладке.
После снятия нагрузки наблюдаются остаточные деформации, причем как сдвиговые, так и
объемные, поэтому одним из характерных свойств мягких грунтов является пластическое
деформирование.
При невысоком уровне нагружения можно получить приемлемые результаты для
моделей линейно или нелинейно упругой среды. Можно отметить работы ряда авторов, в
которых рассматривались вопросы взаимодействия деформируемых конструкций и грунтов,
6
начиная от различных подходов к расчету балок и плит, лежащих на винклеровском основании,
и закачивая задачами взаимодействия деформируемых конструкций с грунтами сложной
физической природы. Это труды Ю.М. Абелева, С.С. Вялова, Н.М. Герсеванова, М.Н.
Гольдштейна, М.И. Горбунова-Посадова, Б.И. Далматова, О.Г. Денисова, К.Е. Егорова, Н.Н.
Иванова, А.Н. Крылова, Н.Н. Маслова, Н.П. Пузыревского, И.Г. Терегулова, К. Терцаги, Н.А.
Цытовича и др.
Если геологическая среда является неводонасыщенной, то часто используются модели, в
которых учитывается сопротивление среды напряжениям сдвига. Для водонасыщенной
грунтовой среды необходимо особое внимание уделить моделированию взаимосвязанных
процессов деформирования и фильтрации в насыщенных пористых средах, что, как правило,
выполняется на основе модельных представлений теории фильтрационной консолидации,
берущей начало с пионерской работы К. Терцаги, в которой он впервые ввел понятие
эффективных напряжений и решил одномерную задачу уплотнения водонасыщенного
пористого грунта в виде слоя конечной толщины. Эта теория получила дальнейшее развитие в
трудах М.А. Био, Н.М. Герсеванова, А.В. Костерина, К. Терцаги, В.А. Флорина, Н.А. Цытовича,
Ю.К. Зарецкого, В.Н. Николаевского и других.
Особую сложность при решении задач нелинейного деформирования элементов
конструкций приобретает учет их взаимодействия между собой. В современной литературе
очень широко представлена теория контактного взаимодействия. Значительный вклад в
развитие аналитических методов решения контактных задач внесли фундаментальные труды
Герца, Л.А. Галина, В.И. Моссаковского, В.Л. Рвачева, А. Синьорини, И.Я. Штаермана. Следует
также отметить работы таких авторов, как В.М. Александров, Ю.П. Артюхин, Н.Х. Арутюнян,
В.А. Бабешко, И.И. Ворович, Гольдштейн Р.В., А.Г. Горшков, И.Г. Горячева, В.И. Довнорович,
К. Джонсон, Е.М. Морозов, А.Н. Подгорный, Г.Я. Попов, B.C. Саркисян, В.М. Сеймов, М.И.
Теплый и многих других.
В настоящее время известен ряд подходов к решению контактной задачи методом
конечных элементов. Наиболее прост с алгоритмической точки зрения прием, основанный на
вычислении коэффициентов взаимного влияния точек контактирующих тел в нормальном и
касательном направлениях. В ряде работ механика контакта рассматривалась по аналогии с
пластическим течением, соотношения между силами и перемещениями в зоне контакта
представлены в виде ассоциированного и неассоциированного законов скольжения. Несколько
иной подход использует аналогию между законами пластического течения и законами
движения жестких или упругих блоков с сухим трением. Другой путь к решению контактных
задач МКЭ открывается с использованием специальных стыковочных элементов,
моделирующих диаграмму «сила-смещение» на поверхностях раздела взаимодействующих тел.
В некоторых работах характерно раздельное рассмотрение контактирующих тел.
Экспериментальные и теоретические исследования, связанные с образованием шейки в
круглых и плоских образцах из пластичных материалов при их растяжении, имеют более чем
вековую историю. Они продолжаются и в настоящее время, а полученные результаты отражены
во многих статьях и монографиях известных отечественных и зарубежных ученых.
Как отмечает И.П. Сухарев, «появление первых пластических деформаций,
регистрируемых на диаграммах растяжения как отклонение от линейного закона, характеризует
достижение уровня напряжений текучести, когда в поликристаллическом массиве суммарный
7
эффект от движения дислокаций, двойникования и возможного скольжения зерен по границам
начинает проявлять себя как макродеформация. При этом состояние текучести сопровождается
появлением на поверхности образца линий скольжения и затем полос скольжения - полос
Чернова-Людерса. Это зоны локальной пластической деформации, идущей с высокой
скоростью. Обычно полоса скольжения начинается около концентратора напряжений, а в
гладких образцах - около головок или галтелей переходной части и затем распространяется по
образцу. Диаметр цилиндрического образца в месте образования полосы скольжения у галтели
уменьшается на 0.1-0.2 мм, образуя ступеньку, являющуюся концентратором для образования
следующей полосы. Изложенные выводы базируются на данных весьма тщательно и с большой
точностью проводимых экспериментов (при существующей в настоящее время весьма
высокоточной экспериментальной базе, а также методов и средств измерения). Однако до сих
пор теоретически не удалось показать, почему у абсолютно гладких образцов (хотя процесс
образования шейки и начинается у их головки) в ходе дальнейшего нагружения шейка
возникает и развивается вплоть до разрушения в других местах рабочей части.
Предполагалось, что место образования шейки определяется местом расположения
начальных неправильностей в образцах. Такое предположение ее последователями, повидимому, и принимается в настоящее время за истину. Так, например, на его основе путем
задания начальной неправильности в виде уменьшения толщины проводилось теоретикоэкспериментальное исследование процесса квазистатического осевого растяжения тонкостенного трубчатого металлического образца вплоть до разрушения.
Очевидно, указанное предположение лишь констатирует, что «где тонко, там и рвется».
Но тогда как же можно объяснить, что при растяжении абсолютно гладких образцов, не
имеющих каких-либо неправильностей, шейка образуется и развивается в середине или в
других местах рабочей части.
В настоящее время в научной литературе утверждается, что процесс образования шейки
обусловлен проявлением неустойчивости стержня при его растяжении. Теоретическое решение
этой задачи было дано еще в середине прошлого века. Определение момента потери
устойчивости стержня круглого поперечного сечения при растяжении называют потерей
устойчивости цилиндрической формы, что соответствует началу образования шейки. Его
рассматривают как непрерывную смену равновесных форм. Момент потери устойчивости на
условной кривой деформирования совпадает с точкой максимума, которую называют точкой
бифуркации, но на самом деле она является критической точкой предельного типа.
После потери устойчивости напряженно-деформированное состояние в области шейки
становится сложным и неоднородным, наряду с продольными в круглых образцах возникают
радиальные и окружные напряжения и деформации, которые существенно начинают влиять на
процесс деформирования стержня. Исследования напряжений и деформаций после потери
устойчивости проводились во многих работах. Например, были получены приближенные
аналитические решения задачи о распределении напряжений и деформаций вдоль радиуса в
наименьшем сечении шейки. Ее точное аналитическое решение было получено на начальный
момент образования шейки. Построением истинной диаграммы деформирования после потери
устойчивости занимались Н.Н. Давиденков, Мак-Грегор, Фишер и др. При построении они
основывались на данных эксперимента и на приближенных решениях задачи указанного выше
вида. Отмечалось, что использование указанных приближенных решений для определения
8
характеристик деформирования вызывает трудности, связанные с определением радиуса
кривизны контура шейки в точке наименьшего поперечного сечения, поэтому в ней для
решения задачи построения истинной диаграммы деформирования использовались результаты
физического и численного моделирования.
Целями диссертационной работы являются:
- создание вычислительных моделей нелинейного деформирования взаимодействующих
двумерных и трехмерных элементов упругопластических конструкций и сред;
- построение согласованных конечных элементов двумерных и трехмерных тел, грунтовых сред
и их подкреплений, грунтовых сред, а также алгоритмов их контактного взаимодействия;
- разработка пакета прикладных программ, реализующего численное моделирование процесса
нелинейного деформирования взаимодействующих с грунтом конструкций.
Достижение сформулированной цели обеспечивается решением следующих задач:
1. Разработка конечно-элементной методики решения геометрически и физически нелинейных
задач двумерных и трехмерных задач сплошной среды на основе определяющих соотношений
между приращениями «истинных» деформаций и напряжений.
2. Разработка на основе уравнений механики сплошных сред и метода конечных элементов
вычислительных моделей контактного взаимодействия двумерных и трехмерных элементов
конструкций с деформируемыми телами и грунтовыми средами. Вычислительные модели
включают в себя:
- двумерные и трехмерные конечные элементы сплошных, в том числе водонасыщенных, сред;
- подкрепленные конечные элементы железобетона;
- контактные конечные элементы;
- алгоритмы решения задач геометрически и физически нелинейного деформирования
взаимодействующих между собой и с окружающими средами элементов конструкций.
3. Решение исследовательских геометрически и физически нелинейных задач об
упругопластической неустойчивости различного вида осесимметричных и трехмерных
образцов при растяжении.
4. Решение ряда новых практических задач деформирования элементов конструкций станций и
тоннелей метрополитена, взаимодействующих между собой и с окружающими их грунтами
сложной физической природы на всех этапах строительства и эксплуатации.
5. Разработка методики решения задач строительства подземных транспортных сооружений
при поэтапном проведении работ по трансформирующимся расчетным схемам.
Научную новизну работы составляют следующие положения:
Разработана новая методика решения геометрически и физически нелинейных задач
двумерных и трехмерных задач сплошной среды на основе определяющих соотношений между
приращениями «истинных» деформаций и напряжений.
Развиты
вычислительные
модели
упругопластического
деформирования
пространственных конструкций, взаимодействующих с грунтами сложной физической
природы, включающие в себя усовершенствованные конечные элементы пространственных
конструкций и сплошных сред, подкрепленные и контактные элементы, а также
адаптированные к ним алгоритмы численного решения задач контактного взаимодействия
деформируемых тел.
9
На ряде линейных и нелинейных задач исследованы точность и устойчивость
предлагаемых вычислительных моделей, проведен анализ их эффективности в сравнении с
другими численными схемами, применяемыми в расчетной практике.
Решены новые задачи нелинейного взаимодействия трехмерных конструкций с
грунтовыми средами с учетом их контактного взаимодействия.
Выявлены качественные и количественные закономерности взаимодействующих с
грунтами исследуемых конструкций и их отдельных элементов.
Достоверность результатов и выводов, сформулированных в диссертационной работе,
обеспечивается строгими математическими постановками рассматриваемых задач и
обоснованном применении математических методов; совпадением численных результатов ряда
тестовых задач с опубликованными в литературе; сходимостью приближенных решений при
сгущении конечно-элементной сетки; тщательностью отладки и тестирования программ для
ЭВМ.
Практическая ценность работы. Разработанные методики, алгоритмы, программное
обеспечение и результаты решения научно-исследовательских задач, приведенные в
диссертации, внедрены в расчетную практику рада научно-исследовательских и проектноконструкторских организаций и использовались на этапах проектирования и научного
сопровождения, что подтверждается научными отчетами и публикациями в открытой печати.
Применение предлагаемых методик и программного обеспечения в расчетах при
проектировании линий метрополитена в г. Казани повышает уровень обоснования их
безопасности.
Основные положения, выносимые на защиту:
- алгоритм решения геометрически и физически нелинейных двумерных и трехмерных задач
сплошной среды на основе определяющих соотношений между приращениями «истинных»
деформаций и напряжений;
- результаты решения задач об упругопластической неустойчивости трехмерных образцов на
растяжение;
- результаты решения задач взаимодействия элементов подземных транспортных сооружений с
окружающим их грунтом сложной физической природы;
- конечно-элементная методика решения трехмерных контактных задач механики
деформируемого твердого тела;
- результаты решения задач деформирования расположенных в грунте двумерных и
трехмерных элементов конструкции кольца обделки тоннеля метрополитена с учетом
контактного взаимодействия;
- методика решения задач строительства подземных транспортных сооружений при поэтапном
проведении работ по трансформирующимся расчетным схемам;
- результаты решения по трансформирующимся расчетным схемам задач определения
напряженно-деформированного
состояния
подпорных
стенок
котлована
станции
метрополитена, корпуса самой станции, а также кольца обделки тоннеля метрополитена при
поэтапном проведении в зоне их расположения земляных и строительных работ.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены и
обсуждались на: Всероссийской научной конференции «Тепло- и массообмен в химической
технологии», Казань, 2000 год; Республиканских научно-практических конференциях
10
«Интеллектуальные системы и информационные технологии», Казань, 2001-2003 годы;
Международных Симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики
конструкций и сплошных сред», Москва, 2001, 2003, 2004, 2006-2017 годы; Международных
конференциях «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы
граничных и конечных элементов», С. Петербург, 2001, 2003, 2005, 2007, 2009, 2011, 2013 годы;
Межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 2003
год; Всероссийских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи»,
Самара, 2004-2007, 2009-2010, 2013 годы; Научной конференции «Нетрадиционные коллекторы
нефти, газа и природных битумов. Проблемы их освоения», Казань, 2005 год; Уральском
семинаре «Механика и процессы управления», Миасс–Екатеринбург, 2007 год; Всероссийских
семинарах «Сеточные методы для краевых задач и приложения», Казань, 2007, 2009, 2012,
2014, 2016 годы; Городском научно-методическом семинаре по теоретической механике,
Казань, 2007 год; Международных конференциях по вычислительной механике и современным
прикладным программным системам, Алушта, 2007, 2011 годы; Международной научнопрактической конференции «Увеличение нефтеотдачи – приоритетное направление
воспроизводства запасов углеводородного сырья», Казань, 2011 год; Международной
конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела», Казань, 2009
год; Международной научно-технической конференции «Проблемы и перспективы развития
авиации, наземного транспорта и энергетики», Казань, 2011 год; Х съезде по теоретической и
прикладной механике, Н. Новгород, 2011 год; Международной конференции по неравновесным
процессам в соплах и струях, Алушта, 2012, 2014, 2016 годы; Международной научнотехнической конференции «Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта
и энергетики» Казань, 2011 год; Зимних школах по механике сплошных сред, Пермь, 2013, 2017
годы; Международной научно-практической конференции «Проблемы повышения
эффективности разработки нефтяных месторождений на поздней стадии», Казань, 2013 год; ХI
съезде по теоретической и прикладной механике, Казань, 2015 год; Международной
конференции «Математическое и компьютерное моделирование в механике деформируемых
сред и конструкций», Санкт-Петербург, 2015 год; Международной научно-практической
конференции «Инновации в разведке и разработке нефтяных и газовых месторождений»,
Казань, 2016 год.
Представленные в диссертации исследования, выполнялись при поддержке грантов
Российского фонда фундаментальных исследований (06-01-00443а, 06-08-00916а, 08-01-00546,
08-07-00183, 09-01-00323а, 13-01-97059 , 13-01-97058 , 15-41-02555, 15-41-02557, 15-31-20602,
15-01-05686) и Федеральной целевой программы “Научные и научно-педагогические кадры
инновационной России” (мероприятие 1.1 “Проведение научных исследований коллективами
научно-образовательных центров”, № 2009-1.1-112-049-024).
Личный вклад автора. Все основные результаты диссертации получены автором лично
или при его непосредственном участии на всех этапах исследований. Основные идеи
построения определяющих физических соотношений, связывающих приращения «истинных»
напряжений и деформаций принадлежат научному консультанту д.ф.-м.н., профессору
Паймушину В.Н. Формулировка задач контактного взаимодействия элементов конструкций
между собой на основе моделирования контактного слоя со специфическими между
деформируемыми телами принадлежит безвременно покинувшему нас другому научному
11
консультанту д.ф.-м.н. профессору Голованову А.И. Непосредственное участие в обсуждении
постановок задач о деформировании водонасыщенных грунтов и физически нелинейных
грунтов, взаимодействии деформируемых конструкций и грунтов сложной физической
природы, построение численных алгоритмов нелинейного деформирования элементов
конструкций принимала Балафендиева И.С.
Автором на основе построенных соотношения построен алгоритм решения
вариационной задачи теории упругости для осесимметричного случая, описана конечноэлементная методика решения осесимметричных и трехмерных задач механики
деформируемого твердого тела, решены задачи растяжения сплошных цилиндрических
образцов с головками на концах, пустотелых цилиндрических образцов с фланцами. Автором
показано, что применение уравнений геометрически нелинейной теории упругости, физических
зависимостей между «истинными» напряжениями и «истинными» деформациями, построенных
с учетом упругопластического поведения материала чисто теоретическим путем позволяет
определить место образования шейки без введения каких-либо предположений о наличии
начальных неправильностей в их геометрии.
Автором разработана и реализована конечно-элементная методика решения задач с
односторонним контактом, построен специальный контактный элемент, разработана и
реализована методика решения задач деформирования водонасыщенных грунтовых сред, в том
числе взаимодействующих с подземными промышленными и транспортными сооружениями,
разработана и реализована методика решения задач с дискретно-подкрепленными элементами.
Автором реализована методика решения геометрически нелинейных задач по
трансформирующимся расчетным схемам. Автором решены: задача выемки грунта из
котлована с учетом и без учета контактного взаимодействия стенок котлована с окружающим
их грунтом; задача определения напряженно-деформированного состояния конструкционных
элементов подземной станции метрополитена на различных этапах ее строительства; задача
определения напряженно-деформированного состояния в блоках обделки тоннеля
метрополитена при укреплении сухого и водонасыщенного грунта впрыскиванием бетона в
вертикальные скважины с учетом контактного взаимодействия блоков между собой; задача
укрепления стенок обделки тоннеля метрополитена при возведении над ними вентиляционной
камеры и прокладке автомобильной трассы.
Автор выражает искреннюю благодарность научным консультантам: безвременно
ушедшему профессору Александру Ивановичу Голованову и профессору Виталию
Николаевичу Паймушину за постоянную помощь и внимание при выполнении работы, к.ф.-м.н.
Балафендиевой И.С. за плодотворную совместную работу; участникам научного семинара при
кафедры теоретической механики КФУ, внимание которых способствовало успешному
выполнению диссертационной работы.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 48 печатных работ, в том числе 22
статьи в журналах, определенных ВАК для публикации содержания докторских диссертаций, 3
статьи в журналах не из перечня ВАК, 9 статей в изданиях, индексируемых WoS/Scopus, 1
монография, 13 материалов и тезисов докладов конференций, 5 свидетельств на программы для
ЭВМ, приравниваемые ВАК к публикациям в рецензируемых изданиях.
12
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и
заключения. В ней содержится 354 страницы печатного текста, приводится 266 рисунков.
Список литературы содержит 545 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновываются актуальность темы диссертационной работы, научная
новизна и практическая значимость результатов, сформулированы цели, представлены
выносимые на защиту научные положения, приводится обзор публикаций по теме диссертации.
Первая глава посвящена моделированию упругопластических деформаций в грунте с
учетом геометрической нелинейности. Приводятся основные соотношения теории упругости и
теории пластического течения, а также рассмотрен алгоритм процесса продолжения решения по
параметру.
Состояние статического равновесия тела описывается вариационным уравнением
принципа возможных перемещений
 σ  u dV   F  udV   P  udS .
*
i
*
,i
*
0
(1)
0
V0
V0
S
Если для векторов σ *i принять разложения σ*i   ij* R*j , где R*i  R* xi  ei  u,i –
основные базисные векторы в деформированном состоянии тела, то левая часть уравнения (1)
преобразуется к виду
 σ  u dV    
*
i
V0
,i
*
ij
0
ij
dV0 . Входящие в него компоненты симметричного
V0
тензора  ij называются компонентами тензора деформаций Коши-Грина, а величины  ij* по
В.В. Новожилову называются обобщенными напряжениями.
Истинными деформациями удлинений  i и сдвигов sin  ij назовем величины
 iitr   i  dli* dli  1  1  2 ii  1,
 ijtr  sin  ij  2 ij 1  2 ii 

1
2
1  2 jj 

1
2
 2 ij 1   i 
1
1   j  ,
1
(2)
а истинными напряжениями, отнесенными к единицам деформированных площадей Si* , по
В.В. Новожилову являются компоненты векторов
e*j  R*j R*j  1   j 
1

ji
σi
в представлениях σi   ij e*j , где
 e ji  ei – единичные векторы, направленные по касательным к
деформированным координатным линиям в точке M * ( xi ) , в которую переходит точка M ( xi )
после деформирования. Между компонентами  ij* и  ij имеют место зависимости
 11* 
 11
1   2 1   3  cos  23 ,
1  1
(3)
*
 12*   12 1   3  cos  23   21 1   3  cos  13   21
; 1, 2,3
При использовании зависимостей (2), (3) для вариации потенциальной энергии
деформаций имеем
 П    ij* ij dV0   ( 11   2 2   3 3   21 sin  21 
V0
V0
 13 sin  31   32 sin  23 )(1  1 )(1   2 )(1   3 )dV0 ,
где
13
1 
 11 cos  23
  21 cos  13 sin  12   31 cos  12 sin  13 ,  21   21 cos  13  12 cos  23  12 ; 1, 2,3.
1  1
В качестве условия пластичности в работе используется критерий Губера-Мизеса, для
которого функция текучести    i   T , где  i – интенсивность напряжений,  T – предел
текучести.
Уравнения типа Прандтля-Рейса связывают компоненты приращений истинных
напряжений  ij и истинных деформаций  ijtr
 ij 
3G   kl  kltr
E
k ,l
 ij  0tr  2G ijtr  
 ij  Dijmn emn  Dijp  emn , emn  ,
2
1  2
 i   H  3G  1
(4)
где  0tr – приращение средней истинной деформации,  ijtr – приращения компонент
истинных деформаций,  ij – компоненты девиатора напряжений,  i   i
3 – интенсивность
касательных напряжений,  ij – символ Кронекера,  – коэффициент Пуассона, G – модуль
сдвига, E – модуль Юнга, H    - монотонно возрастающая положительная функция, которая
находится исходя из истинной диаграммы деформирования образцов на растяжение или чистый
сдвиг и обобщается затем на любые напряженные состояния и пути нагружения. Реализована
методика, идеально приспособленная для решения осесимметричных упругопластических задач
по теории течения и называемая «модифицированным инкрементальным подходом Лагранжа»,
в которой процесс деформирования представляется в виде последовательности равновесных
состояний при соответствующих уровнях нагружения.
В разделе 1.5. для верификации предложенной методики расчета было проведено
сравнение результатов решения простейшей тестовой задачи с результатами других авторов. В
качестве числового примера рассматривалась задача растяжения круглого стержня со
следующими параметрами: длина – l  53.334 мм ; радиус – r  6.413 мм ; модуль упругости –
E  206.9 ГПа ;
коэффициент
Пуассона
–
  0.29 ; начальный предел текучести –
 T0  0.45 ГПа ; для функции упрочнения принимается выражение
 ( )        T0 1  e  ,
в котором   0.129 ГПа ,    0.715 ГПа ,   16.92 . Эти значения используются многими
авторами, поэтому для сравнения результатов в настоящей работе они принимаются такими же.
Отметим, что для конкретизации места образования шейки в центре стержня задается снижение
радиуса на 0,18% (до значения 6,297 мм).
На рисунке 1 представлена диаграмма сила - перемещение торца в сравнении с другими
решениями. Большой разброс данных связан с тем, что в цитируемых работах используются
различные тензоры, описывающие конечные деформации, различные методики разделения
упругих и неупругих деформаций и так далее.
Также следует отметить, что влияние на поведение решения в пластической области оказывают
граничные условия на торцах, а именно: допускаются или нет радиальные смещения, то есть
уменьшается ли площадь поперечного сечения торца или нет. В работах об этом часто не
14
говорится, однако численные исследования свидетельствуют, что недеформируемость торцов
понижает кривую диаграммы.
Рис.1. Диаграмма сила-перемещение торца: сплошная кривая – решение [Голованов А.И.], Δ –
решение [Neale K.W.], □ – решение [Hofmeister L.D.], ● – решение [Fish J.], ◊ – решение
[Malvern L.], ∇ – решение [Betsch P.], ■ – решение по настоящей методике.
В разделе 1.6 рассматривается задача о растяжении осесимметричного цилиндрического
стержня с головками на концах, подобного используемым в качестве образцов в экспериментах
на чистое растяжение. Диаметр рабочей части образца d  0.01 м , длина рабочей части
l  0.2 м , диаметр и длина головки образца - d г  0.016 м и lг  0.02 м соответственно, длина
переходной части lnч  0.003 м . Геометрические характеристики образца даны на рисунке 2, где
приведено изображение продольного сечения образца, проходящего через ось симметрии.
Рис.2. Схема образца.
Материал образца считается упругопластическим с линейным упрочнением. Модуль
Юнга материала E  200000 МПа , коэффициент Пуассона материала   0.3 , предел текучести
 T  350 МПа . Модуль E  , определяющий степень упрочнения, варьировался в процессе
расчетов и определялся в долях модуля Юнга E .
Нагружение расчетной области проводится кинематически – во всех точках части
внешнего контура пошагово задаются значения перемещений u 3 . Случай статического
нагружения (когда внешняя нагрузка определяется заданием по части контура равномерной
15
нормальной нагрузки, направленной по внешней нормали к контуру) не рассматривался, так как
в этом случае при переходе точки экстремума на истинной диаграмме нагружения необходимо
проводить смену параметра нагружения с внешней силовой нагрузки на некоторый другой
параметр. Расчет продолжается до момента появления «шейки» на образце. С целью оценки
точности и эффективности предложенного алгоритма была проведена серия вычислительных
экспериментов, позволивших оценить сходимость конечно-элементных решений на
сгущающихся сетках и определить область устойчивости его реализации. В результате были
найдены предельные значения параметра нагружения U cr , при достижении которых процесс
вычисления становится неустойчивым, а также размерность сетки конечных элементов, при
дальнейшем увеличении которой практически не происходит уточнение численных решений.
Установлено, что U cr зависит от параметра упрочнения: U cr  1165 106 м при E  0.035E ,
U cr  1478 106 м при E  0.35E – при первом варианте постановки задачи; U cr  1042 106 м
при E  0.035E , U cr  1310 106 м при E  0.35E – при втором варианте постановки задачи.
Все приведенные далее результаты получены при шаге нагружения по параметру
u3  8.4*106 м , что обеспечивало необходимую степень точности расчетов, а процесс
продолжения решения по нему продолжался до момента явного образования шейки на образце.
Расчет идеальных цилиндрических образцов (без головки) показал, что для всех
расчетных случаев результаты оказались идентичными: в расчетной области формировалось
однородное напряженно-деформированное состояние и, по мере нагружения, однородное
пластическое состояние. На рисунках 3а и 3б приведено распределение радиальных смещений и
зон развития пластических деформаций для случая, когда модуль E  , определяющий степень
упрочнения, был равен E  0.000001E (рассматривался случай практически упруго-идеальнопластического материала).
Рис.3. Распределение радиальных смещений (а) и зон пластических деформаций (б) для случая,
когда модуль E  , определяющий степень упрочнения, был равен E  0.000001E .
На рисунках 4а и 4б приведено распределение радиальных смещений и зон развития
пластических деформаций для различных случаев изменения модуля E  . Число шагов по
параметру нагружения при этом всегда равно 200.
16
Рис.4. Распределение радиальных смещений (а) и распределение зон пластических деформаций
(б) для различных случаев изменения модуля E  .
В разделе 1.7 на основе изложенной выше методики и описанного алгоритма решения
нелинейных задач также была проведена серия вычислительных экспериментов для двух
пустотелых конструкций. Первая их них представляет собой пустотелый цилиндр с фланцами
(рисунок 5) с геометрическими размерами d  0.02 м, dф  0.026 м, dп  0.024 м, h  0.001м,
r  0.01м, lф  0.002 м, lп  0.001м, l  0.2 м.
Рис.5. Схема пустотелого образца.
На рисунках 6а и 6б приведены распределения радиальных смещений и зон развития
пластических деформаций для случая, когда модуль E  , определяющий степень упрочнения,
был равен E  0.000001E (рассматривался случай практически идеально упругопластического
материала). Видно, что в образце из такого материала шейка образуется на некотором
расстоянии от головки, а интенсивность пластических деформаций максимальна в сердцевине
образца. На рисунках 7а и 7б приведены распределения радиальных смещений и зон развития
пластических деформаций для различных значений модуля E  при предельно выбранном
числе шагов по параметру нагружения, равном 200, что соответствует U  0.00022 м .
17
Рис.6. Распределение радиальных смещений (а) и зон пластических деформаций (б) для
E  0.000001E .
Исходя из анализа полученных результатов, следует сформулировать вывод о том, что
применение уравнений геометрически нелинейной теории упругости и пластичности при
конечных деформациях и перемещениях, физических зависимостей (определяющих
соотношений), связывающих между собой «истинные» напряжения с «истинными»
деформациями и построенных с учетом упругопластического поведения материала, а также
соответствующее корректное моделирование геометрии фланца образцов и способов их
нагружения позволяет чисто теоретическим путем определить место образования шейки без
введения каких-либо предположений о наличии начальных неправильностей в их геометрии.
Следует отметить, что использованные в работе определяющие соотношения в виде уравнений
Прандтля-Рейса (4) являются простейшими и, по-видимому, позволяют корректно описать
процесс формирования шейки лишь на начальных этапах ее зарождения и развития.
Представляется, что задача построения практически приемлемых определяющих соотношений
между истинными напряжениями и истинными деформациями исходя из термодинамических
принципов для необратимых процессов деформирования, и идентификация входящих в них
параметров исходя из данных соответствующих экспериментов, которые позволили бы описать
процесс деформирования пластичных материалов на всех этапах формирования шейки вплоть
до разрушения образцов, является весьма сложной и трудноразрешимой.
Как было отмечено в начале раздела 1.4, при растяжении образца без фланцев
построенной в торцевом сечении поверхностной осевой нагрузкой определяемое решением
сформулированной задачи НДС является однородным как по длине, так и по поперечному
сечению. Поэтому замена таких условий нагружения условием (1.4.4), формулируемым для
реального образца, вносит в отмеченное однородное по длине решение возмущение,
проявляющееся в виде концентрации напряжений в окрестности фланца и в формировании
здесь первичной зоны пластических деформаций. Именно благодаря внесению этого
возмущения в процессе продолжения решения задачи по параметру U в образце формируются
одна или несколько вторичных локальных зон пластических деформаций, являющиеся очагами
зарождения и развития шейки. Следует отметить, что внесение в задачу других
18
дополнительных возмущений может вообще не изменить окончательный результат решения
задачи. Чтобы убедиться в этом, дополнительно были проведены две серии расчетов. В первом
случае диаметр рабочей части образца из материала с E  0.035E пропорционально
увеличивался к середине до 1.000005d . Несмотря на это, шейка все равно появлялась в
середине образца. Во втором случае, когда E  0.35E , диаметр рабочей части образца
пропорционально уменьшался к середине до 0.9999d . Несмотря на это, шейка все равно
появлялась ближе к фланцу образца.
Рис.7. Распределение радиальных смещений (а) и зон пластических деформаций (б) для
различных значений модуля E  при 200-ах шагах нагружения, что соответствует U  0.00022 м .
Таким образом, описанные примеры подтверждают сформулированный вывод о том, что
наличие у образцов фланцев и реальные способы их нагружения, приводящие к появлению в
зоне переходной части концентрации напряжений и формированию первичных зон
пластических деформаций, являются главной причиной формирования вторичных зон
локализации пластических деформаций и образования шейки в идеально изготовленных
образцах из пластичных материалов. Влияние этого возмущающего фактора на процесс
формирования шейки в образцах может быть уменьшено при введении в задачу лишь более
сильного возмущения (например, путем более значительного уменьшения диаметра образца в
его середине, чем в указанном выше примере). А при отсутствии фланцев исследовать процесс
образования шейки удается только путем введения предположения о наличии в трубчатом
образце местного утонения стенки.
В главе 2 реализованная ранее методика обобщена на случай решения трехмерных
задач. На ее основе проведена серия вычислительных экспериментов для трехмерного образца,
используемого в экспериментах на чистое растяжение.
Образец представляет собой трехмерный стержень прямоугольного поперечного
сечения, имеющий три плоскости симметрии, с уширениями на концах (рис. 8) с
геометрическими размерами d  0.13м, dп  0.005 м, d у  0.04 м, h  0.009 м, b  0.02 м,
bу  0.035 м.
Первая серия вычислительных экспериментов была проведена для упругопластического
материала с линейным упрочнением. Коэффициент Пуассона материала принят равным   0.3 ,
модуль Юнга материала E  200000 МПа , предел текучести  T  350 МПа . Модуль E  ,
19
определяющий степень упрочнения, варьировался в процессе расчетов и определялся в долях
модуля Юнга E . Вторая серия вычислительных экспериментов была проведена для реального
сплава МА2. Нагружение расчетной области проводится кинематически – пошагово задаются
значения перемещений
u1  U , шаг по параметру нагружения был принят равным
U  2*106 м .
Рис.8. Схема трехмерного образца.
Для образцов с уширениями на концах вычислительный эксперимент показал, что для
всех расчетных случаев первоначальное развитие пластических деформаций происходит по
одному и тому же сценарию. На рисунках 9а-9в приведено распределение интенсивности
пластических деформаций в образце в последовательные моменты, близкие к началу после их
возникновения.
На рисунках 9г-9е приведены распределения зон развития пластических деформаций,
смещений u 2 и u 3 соответственно для случая, когда модуль E  , определяющий степень
упрочнения, был равен E  0.000001E (рассматривался случай практически идеально
упругопластического материала), а параметр нагружения u1  500 106 м .
Рис.9. Распределение интенсивности пластических деформаций в образце в последовательные
моменты, близкие к началу после их возникновения (а, б, в); распределение зон пластических
деформаций (г), распределение смещений u 2 (д), распределение смещений u 3 (е) для
E  0.000001E , параметр нагружения u1  500 106 м для геометрически нелинейной задачи.
20
Рисунок 10 иллюстрирует развитие зон интенсивности пластических деформаций в
центральном поперечном сечении образца при различных значениях u1  U . Видно, что в
образце из такого материала максимальные пластические деформации развиваются в середине
центрального поперечного сечения образца. Выберем в этом сечении три точки (рис.10): точку
A - в центре сечения, точку B - на середине верхней лицевой стороны сечения, точку C - на
середине боковой стороны сечения.
Рис.10. Развитие зон интенсивности пластических деформаций в центральном сечении образца
при различных значениях параметра нагружения u1 .
Исходя из анализа описанных выше результатов, можно сформулировать следующие
основные выводы.
1. При всех значениях параметра упрочнения E  первоначальная зона пластических
деформаций возникает на лицевых поверхностях в переходной зоне образца около продольной
плоскости симметрии. Практически сразу же новые зоны пластического деформирования
возникают в переходных зонах на боковой поверхности образца. Процесс расширения таких
первоначально образовавшихся пластических зон продолжается лишь до некоторого значения
U  , после достижения которого не зависимо от значения E  пластические деформации
возникают практически по всей наружной поверхности рабочей части образца. При достаточно
малых значениях E  ( E  0.01E ) постепенно в центральной части образца зарождается новая
пластическая зона. Ее локализация происходит тем быстрее, чем меньше E  . При E  0.1E
локализации пластической зоны не происходит вообще. Для сплава MA2 также наблюдается
локализация зоны пластического деформирования в центральном сечении образца несмотря на
то, что текущий модуль упрочнения для такого материала намного выше 0.1E .
2. Зоны пластического деформирования, как можно судить по рис.9, первоначально возникают
лишь на внешней поверхности рабочей части образца. Но при дальнейшем нагружении в
центральном поперечном сечении происходит резкое изменение характера распределения
пластических деформаций: максимальные пластические деформации начинают локализоваться
около продольной оси стержня. Для образца с E  0.000001E это происходит, когда параметр
нагружения u1  210 106 м .
21
3. При локализации пластических деформаций в центральном поперечном сечении происходит
изменение его формы. Оно начинает сужаться, но этот процесс происходит неравномерно.
Больше всего уменьшается ширина сечения и высота в середине образца, а углы сечения
смещаются заметно меньше, что в итоге приводит к возникновению «ямки» на лицевых
поверхностях образца.
4. Если в исходных уравнениях пренебречь всеми геометрически нелинейными слагаемыми
(случай малых деформаций и перемещений), то соответствующая задача является лишь
физически нелинейной. В этом случае локализация зоны пластических деформаций также
происходит в центре образца, но со значительным запаздыванием (по изменению параметра
нагружения) по сравнению с общей постановкой. При этом характерно распределение
значительных пластических деформаций и по всей рабочей части образца.
5. Наличие некоторой несимметрии (в данном случае, в граничных условиях) приводит к
смещению зоны локализации пластических деформаций, но только лишь при малых E 
( E  0.001E ). При больших E  и для сплава MA2 этого не происходит. Если задача только
физически нелинейна, то смещения зоны локализации пластических деформаций не происходит
никогда.
6. Для материалов с малым модулем упрочнения ( E  0.001E ) зависимость нормальных
напряжений в центральном поперечном сечении от параметра нагружения для различных точек
поперечного сечения начинает расходится после прохождения упругой части кривой
деформирования. Чем больше E  , тем это расхождение меньше. Если задача только физически
нелинейна, то расхождение в зависимости нормальных напряжений, вычисленных в различных
точках поперечного сечения, от параметра нагружения всегда меньше, чем для
соответствующего случая общей постановки.
Рис.11. Схема трехмерного образца с боковыми пропилами (а), распределение интенсивности
пластических деформаций (б) в момент, близкий к началу возникновения пластических
деформаций для пропила b1  0.001м , распределение интенсивности пластических деформаций
(в) в момент, близкий к началу возникновения пластических деформаций для пропила
b1  0.0005 м , распределение зон пластических деформаций (г), распределение смещений u 2
(д), распределение смещений u 3 (е) для E  0.001E , параметр нагружения u1  2 103 м для
геометрически нелинейной задачи.
22
В разделе 2.5 на основе изложенной выше методики и описанного алгоритма решения
нелинейных задач также была проведена серия вычислительных экспериментов для
трехмерного образца с пропилами, используемого в экспериментах на чистое растяжение.
Образец представляет собой трехмерный стержень прямоугольного поперечного сечения,
имеющий три плоскости симметрии, с уширениями на концах (рис. 11а) с геометрическими
размерами d  0.13м, dп  0.005 м, d у  0.04 м, h  0.009 м, b  0.02 м, bу  0.035 м.
Для всех образцов вычислительный эксперимент показал, что для всех расчетных
случаев первоначальное развитие пластических деформаций может происходить по разным
сценариям в зависимости от размеров пропила. На рисунках 11б-11в приведено распределение
интенсивности пластических деформаций в образце в последовательные моменты, близкие к
началу после их возникновения для разных по размерам пропилов. На рисунках 11г-11е
приведены распределения зон развития пластических деформаций, смещений u 2 и u 3
соответственно для случая, когда модуль E  , определяющий степень упрочнения, был равен
E  0.001E (рассматривался случай практически идеально упругопластического материала),
параметр нагружения u1  2 103 м , глубина пропила b1  0.0005 м , ширина основания пропила
d1  0.001м .
Исходя из анализа полученных результатов, можно сформулировать следующие
основные выводы.
1. Если пропилы глубокие, то развитие пластических деформаций начинается около них. В
противном случае развитие пластических деформаций начинается в зонах уширения образца.
2. Зоны пластического деформирования первоначально возникают лишь на внешней
поверхности рабочей части образца. Но при дальнейшем нагружении в центральном
поперечном сечении происходит резкое изменение характера распределения пластических
деформаций: максимальные пластические деформации начинают локализоваться около
продольной оси стержня.
3. При локализации пластических деформаций в центральном поперечном сечении происходит
изменение его формы. Оно начинает сужаться, но этот процесс происходит неравномерно.
Больше всего уменьшается ширина сечения и высота в середине образца, а углы сечения
смещаются заметно меньше, что в итоге приводит к возникновению «ямки» на лицевых
поверхностях образца.
4. Если в исходных уравнениях пренебречь всеми геометрически нелинейными слагаемыми
(случай малых деформаций и перемещений), то соответствующая задача является лишь
физически нелинейной. В этом случае локализация зоны пластических деформаций также
происходит в центре образца, но со значительным запаздыванием (по изменению параметра
нагружения) по сравнению с общей постановкой. При этом характерно распределение
значительных пластических деформаций и по всей рабочей части образца.
5. Чем больше глубина пропила (при одном и том же угле), тем позже в середине центрального
поперечного сечения начинают превалировать пластические деформации.
6. Чем больше модуль упрочнения у образца, тем позже в середине центрального поперечного
сечения начинают превалировать пластические деформации.
7. Чем больше угол у пропила, тем раньше в середине центрального поперечного сечения
начинают превалировать пластические деформации.
23
В главе 3 приводятся модели упругопластического деформирования грунтов и скальных
пород, модели деформирования водонасыщенных грунтов, модели контактного взаимодействия
элементов конструкций и грунтовых сред, модели дискретно-подкрепленных конечных
элементов.
В разделах 3.1-3.2 приводится некоторый обзор используемых моделей грунтов,
определяются параметры прочности, соотношения типа Прандтля-Рейса (4), связывающие
приращения компонент истинных напряжений и истинных деформаций, обобщаются на случай
«слабых» грунтов
G
 G
 tr
*
*
  ij  Ktgoct ij     kl  Ktgoct kl  kl



3
 kl   i

,
 ij  2G   ijtr   ij
 0tr     i
2 *
1

2

G

Ktg



oct
а также записываются для бетона и скальных пород
G
 G
 tr
  ij  K ( Rc  R p ) ij     kl  K ( Rc  R p ) ij  kl



3
 kl   i

 ij  2G   ijtr   ij
 0tr     i
.
1  2
G  K ( Rc  R p ) ij


Приводится основная система разрешающих уравнений для моделирования процессов
деформирования водонасыщенных грунтов.
В п.3.3-3.4. рассматривается построение алгоритма контактного взаимодействия,
основанного на введении между частями конструкций специального контактного слоя.
Механизм взаимодействия подконструкций может быть проиллюстрирован на рис. 12, где
изображены различные варианты деформирования контактного слоя, для большей наглядности
представленного двумя накладками, в зависимости от усилий воздействия подконструкций друг
на друга. В ситуации, показанной на рис.12а) в накладках возникают напряжение обжатия
 H   A   B и деформации  H   H EH , где EH – модуль упругости материала накладки.
A
B
A
B
Геометрическим условием этого является H   H  H  , где H , H – первоначальные
толщины накладок, H – расстояние между поверхностями, на которых они закреплены.
Рис.12. Схема моделирования механизма контактного взаимодействия.
Ситуация рис.12б) возникает при наличии предварительного обжатия, т.е. при
H   H A  H B  , и в этом случае тоже справедливо  H   A   B ,  H   H EH . На рис.12в)
силовое воздействие отсутствует, и накладки свободно перемещаются. В этом случае
24
H   H A  H B  ,  H  0. На рис.12г) изображено свободное проскальзывание, при котором
A
B
касательные напряжения не возникают, что реализуется при H   H  H  , и в этом случае
 H  0.
Рис.12д) иллюстрирует упругое взаимодействие с обжатием и сдвигом без
A
B
проскальзывания. Подобная ситуация возможна при H   H  H  , и для напряжений и
A
B
A
B
деформаций в накладках можно записать  H     ,  H     ,  H   H H ,  H   H GH .
Дополнительным условием здесь должно быть условие  H  f  H , где
f
– погонный
коэффициент трения. При невыполнении предыдущего условия возникает ситуация,
A
B
изображенная на рис.12е). В этом случае  H     ,  H  f  H ,  H   H H и имеется
проскальзывание. Все эти ситуации могут быть смоделированы в рамках механики сплошной
среды при представлении двух накладок в виде единого материала, обладающего
специфическими свойствами.
Полученная задача является нелинейной и требует применения специальных методик ее
решения. Характерной особенностью этой нелинейности является то, что для нормальных
A
B
напряжений имеет место ограничение по деформации ( H  H  H , т.е. взаимная деформация
накладок не может быть больше их общей толщины), а для касательных напряжений –
ограничение по их предельным значениям, определяющим возможность проскальзывания.
Общее разрешающее уравнение записывается в вариационной форме исходя из
принципа виртуальных перемещений


      d      H   H  d       g V  d    P V  dS  ,
T
T
T
T
(5)


где сумма по m – сумма по объемам подконструкций, по k обозначается сумма по контактным
элементам,  m ,  k , – соответственно объемы подконструкций и контактных элементов;
m
m
k
k
  ,  ,V  –
напряжения,
подконструкций;
 H  , H 
деформации

Sm
m
m
и
перемещения
элементарных
объемов
– напряжения и деформации в контактных элементах,
 g
–
вектор ускорения свободного падения,   g – сила тяжести,  P – нагрузка, действующая на

части границы S m . Предполагается, что первоначальное обжатие контактного слоя всегда
A
B
существует, т.е. H 0   H  H  . Таким образом, базовой считается ситуация, изображенная на
рис.12д). Далее, в процессе деформирования, ситуация будет меняться и могут реализоваться
другие варианты из приведённых на рис.12.
Для решения сформулированной физически нелинейной задачи на базе уравнения (5)
используется методика решения задач в приращениях, когда на шаге итерации неизвестными
являются не полные поля перемещений, которые в некоторых случаях являются фиктивными
(при    1), а их приращения. Опишем эту методику.
P ,0
P ,0
Пусть в начальный момент имеем некоторое обжатие  H и, возможно, сдвиг  H ,
которые удовлетворяют условию
решается для нулевого приближения
1   HP,0  0, GH  HP,0  f EH  HP,0 . Система уравнений (5)
25


T
T
0 T
0 
 . (6)



d





d



g

V
d


p

V
ds














k   H  H

  

 

m m
m  m
k
Sm

Для каждой последующей итерации k = 1, 2, 3,... выполняется следующая
последовательность вычислений. Предварительно имеем

P , k 1
H
 , 
P , k 1
H
 , 
P , k 1
0
 , 
P , k 1
0
  , 
k 1
k 1
в подконструкциях,
 в контактных элементах. Из решения системы (6) на нулевой
итерации и уравнения
      d        d      
k T
m
k T
H
m
k
k
k
на последующих итерациях определяем
следующее
приближение
H
 H   Hk  H  d 
k
  ,  , 
k
k
H
k
k
H
напряженно-деформированного
,  Hk ,  Hk ,  Hk
состояния
и вычисляем
подконструкций
        ,        и «пробные» деформации в контактных элементах
k
k 1
k 1
k 1
k
k 1
 Hk   HP,k 1   Hk 1 ,  Hk   HP,k 1   Hk 1.
Для реализации математической модели взаимодействия накладок в рамках МКЭ удобно
определить так называемый контактный элемент. Геометрически он представляет собой
линейный элемент с 8-ю узлами.
В качестве исходной информации для него определяются радиус-векторы точек,
определяющих нижнюю (нечетные номера) и верхнюю (четные номера) поверхности, и
A
B
первоначальная толщина H  H  H , которая может быть постоянной на элементе, а может
варьироваться (в этом случае задаются их узловые значения).
Вводятся аппроксимации лицевых поверхностей
r

4
4
i 1
i 1
 ,    r2i 1 Ni  ,  , r   ,    r2i Ni  ,  ,
(7)
где Ni  ,  – известные билинейные функции.
Определяются касательные плоскости этих поверхностей. Например, для нижней
поверхности определяются вспомогательные векторы:
4
4
 Ni
 Ni





G    r2i 1
, G    r2i 1
, G    G   G  ,


i 1
i 1
по которым находятся ортогональные орты касательной плоскости в виде
 
P1 
G 
 
G
 
, P3 
G  
G
, P2   P3   P1  .

 


     
Аналогично определяются орты P1 , P2 , P3 .

Для аппроксимации
аналогичное (7), т.е. введем
V
 
вектора
4


перемещений
будем
использовать
представление,
4
 ,    V2i 1 Ni  ,  , V  ,    V2i Ni  ,  .
i 1
 
i 1
В процессе деформирования первоначально параллельные лицевые поверхности r    и
r

перестают быть таковыми, и степень их относительных поворотов в процессе
26
деформирования может достигать большой величины. Поэтому все геометрические,
кинематические и силовые характеристики будем определять на обеих лицевых поверхностях
самостоятельно. Другими словами, напряженно-деформированное состояние будем определять
в каждом контактном элементе (примыкающим, соответственно, к поверхностям r    и r    ),
что позволит более верно моделировать их состоянии при проскальзывании друг относительно
друга.
При этом образуется и постоянно обновляется база данных о механизме возможного
взаимодействия между контактными элементами в каждой квадратурной точке каждого
контактного КЭ. Она представляет собой значения  HP,k ,  HP,k ,  xPz,k ,  yPz,k , xPz,k , yPz,k для обеих
лицевых поверхностей и на каждой итерации анализируется и перевычисляется.
Раздел 3.5. посвящен описанию построения дискретно-подкрепленных конечных элементов. В
некоторых задачах, возникающих расчете строительных или транспортных сооружений
приходится иметь дело с локально подкрепленными конструкциями, в частности, с
железобетоном, в котором арматура может быть размещена неравномерно и специальным
образом. Использовать метод осреднения свойств может быть нерационально и затруднительно,
так как в пределах каждого элемента может оказаться один или два подкрепляющих стержня,
причем расположенные самым произвольным образом. В этом случае целесообразно
использовать специальные подкрепленные конечные элементы сплошной среды, в которых
дискретно расположены подкрепления в виде стержней, работающих на растяжение-сжатие и
жестко связанные с деформируемой средой основного массива.
В качестве базовых конечных элементов выбираются трехмерные изопараметрические
конечные элементы с линейной и квадратичной (Сирендипова типа) степенью аппроксимации.
Подкрепления предполагаются прямолинейными и проходящими через конечный
элемент произвольным образом. Базовой информацией о каждом из них являются значения
локальных координат, определяющие начальную и конечную точки, и значения жесткости. В
итоге суммарную матрицу жесткости можно определить в виде суммы матрицы жесткости
элемента сплошной среды (бетон) и матриц жесткости проходящих через конечный элемент
стержней (арматуры), элементы которых разнесены по степеням свободы КЭ бетона. С
энергетической точки зрения это означает, что потенциальная энергия деформации
подкрепленного конечного элемента складывается из потенциальной энергии деформации
базового объема и потенциальной энергии деформации всех подкреплений.
Другим примером подкреплений может служить мембрана, расположенная вдоль одной
из граней базового конечного элемента, которая жестко связана с основным массивом.
Подобная ситуация возникает при расчете строительных конструкций, в которых стальная
опалубка после окончания строительных работ не убирается и «работает» вместе с бетонным
(железобетонным) массивом. Примером подобной конструкции может служить трубобетонная
свая, представляющая собой стальную трубу, в которой размещается соответствующая сетка
арматуры и заливается бетон, который жестко схватывает все элементы, в результате чего
образуется единая конструкция.
В главе 4 излагаются результаты исследования напряженно-деформированного
состояния кольца обделки на основе различных расчетных схем в рамках двумерной задачи
механики сплошной среды. Разработанная в предыдущих главах методика определения
27
напряженно-деформированного состояния в обделке тоннеля и в грунте позволяет учитывать
такие факторы, как: реальное распределение свойств грунтового массива в расчетных сечениях;
заглубление туннеля от поверхности; достижения грунтом предельного состояния; давление
грунтовых вод; учет контактного взаимодействия между обделкой тоннеля и грунтом;
раскрытие и смыкание зазора между блоками в окружном направлении; расположение
замкового блока. В качестве базового принимается заглубление туннеля на 6м от поверхности,
которое имеет место для той его части, которая исследовалась экспериментально. Это
позволяет сопоставить результаты расчетов с опытными данными и судить о том, какая из
расчетных схем наиболее близко соответствует реальности.
Вариант расчета A предполагает распределение грунтов в соответствии с данными
геологических изысканий на отметке 100 105м от станции «Суконная слобода» перегона
«Площадь Тукая - Суконная слобода» левый путь.
Вариант расчета B предполагает однородный грунт (супесь пластическая) со
следующими характеристиками: модуль упругости Е  12МПа , коэффициент Пуассона   0.3
, удельный вес   2060 кг м3 , коэффициент сцепления С  15КПа , угол внутреннего трения
  22о , пористость m  0.363 , коэффициент фильтрации Кф  0.1м / сут  0.000116см / с .
Вариант расчета C также предполагает однородный грунт (песок мелкий
водонасыщенный) со следующими характеристиками: модуль упругости Е  33МПа ,
коэффициент Пуассона
  0.3 , удельный вес   2040 кг м3 , коэффициент сцепления
С  2.6КПа , угол внутреннего трения   33о , пористость m  0.379 , коэффициент фильтрации
Кф  9.5 м / сут  0.011см / с .
Для бетона принимаются следующие параметры: модуль упругости Е  35000МПа ,
коэффициент Пуассона   0.3 , удельный вес   2500 кг м3 . Как показали результаты
вычислительных экспериментов, для всех вариантов расчета результаты, полученные для
реального распределения грунтов (вариант расчета A ), всегда попадали в промежуток,
ограниченный вариантами расчетов B и C .
В таблице 1 приведены максимальные и минимальные окружные напряжения [кГ/см2] в
неразрезном кольце обделки тоннеля метрополитена, полученные с использованием разных
схем расчета (упругий грунт, упругопластический грунт, водонасыщенный грунт, учет контакта
между кольцом обделки и грунтом) для различных вариантов залегания грунта (А, B и С).
Одна из используемых расчетных схем предполагает решение стационарной задачи
консолидации грунтовой среды, которая учитывает взаимное влияние грунтовых вод и
«скелета» грунта. При условии отсутствия течения грунтовых вод на боковых и нижней гранях
расчетной области ставятся условия непротекания. Также эти условия ставятся на границе
раздела грунта и кольца обделки. На рисунках 13 приводятся картины распределения порового
давления для трех возможных уровней грунтовых вод: совпадающем со свободной
поверхностью; совпадающем с верхним срезом туннеля; совпадающем с нижним срезом
туннеля.
28
Таблица 1. Максимальные и минимальные окружные напряжения [кГ/см2] в неразрезном
кольце обделки тоннеля метрополитена, полученные с использованием разных схем расчета
(упругий грунт, упругопластический грунт, водонасыщенный грунт, учет контакта между
кольцом обделки и грунтом) для различных вариантов залегания грунта (А, B и С).
Схема расчета
Напряжения
Вариант A
Вариант B
Вариант С
Упругий грунт
127
177
112
 max [кГ/см2]
окр
min
 окр
[кГ/см2]
-156
-206
-144
Упругопластический
грунт
max
 окр
[кГ/см2]
126
179
112
min
 окр
[кГ/см2]
-160
-205
-141
Водонасыщенный
грунт
max
 окр
[кГ/см2]
103
146
91
min
 окр
[кГ/см2]
-133
-178
-124
Учет контакта между
кольцом обделки и
грунтом
max
 окр
[кГ/см2]
105
137
92
min
 окр
[кГ/см2]
-128
-168
-118
Рис.13. Распределение давлений в грунтовом массиве для варианта заложения грунтов A для
первого (а), второго (б) и третьего (в) случая уровня грунтовых вод.
Для иллюстрации на рисунках 14 представлено распределение давления в жидкой фазе
при уровне грунтовых вод - 2м от свободной поверхности и окружные напряжения в обделке
тоннеля метрополитена для этого случая при различном уровне грунтовых вод по правой и
левой границах расчетной области.
В разделе 4.5 проводится расчет составного кольца обделки тоннеля метрополитена в
грунте. Предполагается, что кольцо обделки, поперечное сечение которого показано на рисунке
15а, состоит из восьми сегментных блоков, края которых (1 на рисунке 15б) контактируют друг
с другом через картонную прокладку (2 на рисунке 15б) и резиновую вставку (3 на рисунке
15б). В общем случае взаимное расположение сегментных блоков в кольце обделки может быть
произвольным. На рисунке 15а приведен случай нижнего расположения замкового блока с
нумерацией блоков и стыков между ними.
29
Рис.14. Распределение давлений в грунтовом массиве (вариант заложения грунтов A )
для случая неравномерного распределения давлений в грунтовом массиве (а) и распределение
окружных напряжений в кольце обделки тоннеля метрополитена для этого случая (б).
Замковой блок A (рис.15г) имеет угол раскрытия 15.36 градуса, а призамковые блоки B
и основные блоки C (рис.15в) имеют угол раскрытия 49.09 градуса. В расчете принимается, что
блоки B и C являются идентичными, а стыковка всех блоков производится одинаково.
Рис.15. Схема разрезного кольца обделки (а), схема стыковой области между сегментными
блоками (б), схема укладки пучков арматуры в сегментном блоке (в), схема укладки пучков
арматуры в замковом блоке (г).
На рисунках 15в и 15г приведена схема расположения основных пучков арматуры в обычных (
B и C ) и замковом ( A ) блоках обделки соответственно. В таблице 2 приведены максимальные
и минимальные окружные напряжения [кГ/см2] в кольце обделки тоннеля метрополитена,
полученные с использованием разных схем расчета (неразрезное кольцо обделки, разрезное
кольцо обделки – замковой блок сверху, разрезное кольцо обделки – замковой блок снизу) для
различных вариантов залегания грунта (А, B и С).
30
Таблица 2. Максимальные и минимальные окружные напряжения [кГ/см2] в кольце обделки
тоннеля метрополитена, полученные с использованием разных схем расчета (неразрезное
кольцо обделки, разрезное кольцо обделки – замковой блок сверху, разрезное кольцо обделки –
замковой блок снизу) для различных вариантов залегания грунта (А, B и С).
Схема расчета
Напряжения
Вариант A
Вариант B
Вариант С
max
Неразрезное кольцо (с
117
163
101
 окр
[кГ/см2]
учетом армирования)
min
-149
-189
-129
 окр
[кГ/см2]
Блочное кольцо с
учетом армирования
(замковой блок –
сверху)
Блочное кольцо с
учетом армирования
(замковой блок –
снизу)
max
 окр
[кГ/см2]
59
63
58
min
 окр
[кГ/см2]
-111
-127
-102
max
 окр
[кГ/см2]
44
49
42
min
 окр
[кГ/см2]
-83
-95
-80
Можно отметить следующие особенности деформирования разрезного кольца:
- нижнее расположение замкового блока уменьшает величину максимальных и минимальных
окружных напряжений;
- максимальное растягивающее напряжение всегда возникает в блоке, противоположном
замковому.
Пятая глава посвящена решению трехмерных задач взаимодействия обделки тоннеля
метрополитена с грунтом.
Рисунок 16а содержит сегментный блок В (или С) с базовой сеткой конечных элементов
9х4х6. Рисунок 16б содержит замковый блок, который разбивается на базовую сетку 3х4х5
конечных элементов. На рисунке 16в представлен общий вид одного кольца обделки, в котором
замковый блок расположен вверху конструкции.
Рис.16. Дискретизация: сегментного блока обделки (а), замкового блока обделки (б), одного
кольца обделки (в), схема расположения колец обделки (г).
31
Взаимодействие между блоками обделки происходит за счет контакта по специальным
накладкам, изготовленным из картона. При этом эти накладки не заполняют полностью
пространство между блоками, а размещены по некоторым площадкам. Помимо этих накладок
имеются также резиновые вставки, размещенные вдоль периметра блока и имеющие
небольшую толщину и высоту. Также на участках возможного соприкосновения есть зоны с
углублениями, в которых взаимодействия не происходит. Таким образом, на различных
участках области силового воздействия блоков друг на друга необходимо использовать
различные схемы. Будем в качестве базового использовать контактный конечный элемент,
описанный в третьей главе. Если сетка конечных элементов, используемых для моделирования
железобетонного массива блока, такова, что на торцах она согласована с областями различного
взаимодействия, то возможно на различных участках использовать контактный конечный
элемент с различными физико-геометрическими свойствами: H - исходной толщиной, EH , GH
- механическими характеристиками, f - коэффициентом трения. Иллюстрацией такой
возможности является рисунок 17, где различной подштриховкой помечены различные зоны
возможного взаимодействия. В частности, на границах элементов, примыкающих к
изображенному торцу и попадающих в зону 1, размещаются контактные конечные элементы,
соответствующие резиновому кольцу. В зоне 2 располагаются контактные элементы с
характеристиками картона. В зонах 3 имеются углубления заданной величины, а зоны 4
соответствуют стандартному профилю. На рисунке 17 справа структурно указан подобный
профиль.
В двух последних зонах следует размещать контактные конечные элементы,
«изготовленные из воздуха», т.е., имеющие лишь толщину Н и коэффициент сдвига трения f.
Причем, толщина Н в зонах 4 принимается проектной в соответствии с технологией
изготовления кольца обделки, а в зонах 3 - увеличенной на значения углублений в массиве
блока. Механизм работы таких «абстрактных конечных элементов» состоит в том, что
сближение и угловое смещение ничем не ограничены, пока исходная толщина не будет
выбрана, и лишь при
   1 начинает работать механизм контактного взаимодействия.
Рис.17. Схема зоны контакта между блоками обделки тоннеля метрополитена.
32
Подобная схема размещения различных реальных и фиктивных контактных конечных
элементов позволяет в полной мере учесть все многообразие возможных силовых
взаимодействий между блоками в различных зонах их сопряжений. Единственным (но
существенным) недостатком ее является необходимость использовании такой сетки конечных
элементов для моделирования тела блока, которая на четырех торцах обеспечивала
возможность представления всего сечения как совокупности соответствующих зон в хорошем
соответствии с истинным расположением накладок и углублений.
Как показывает анализ результатов расчетов основная передача усилий взаимодействия
блоков между собой идет по второму по высоте контактному конечному элементу базовой
сетки. Фактически здесь моделируется беззазорное соединение бетонных блоков с возможным
проскальзыванием (коэффициент трения принимался равным 0.8 ). По резиновым вставкам
идет практически упругое взаимодействие. Крайние контактные конечные элементы по сути
дела являются пазами в блоках обделки и вступают в работу при их замыкании.
Внешние нагрузки задаются аналогично ранее рассмотренным расчетным случаям, а
именно: вертикальная нагрузка от веса вышерасположенного грунта во взвешенном состоянии,
гидростатического давления и веса блоков обделки.
Приведенные результаты свидетельствуют о существенном значении ориентации блоков
относительно вертикальной нагрузки. Так же немаловажное значение имеет характер передачи
усилий от блока к блоку. Для решения этой задачи проводились исследования взаимодействия
работы трех колец обделки №№ 172, 173 и 174 (рисунок 16г), расположенных в левом
перегонном туннеле (ст. «Суконная слобода» - ст. «Пл. Тукая»).
Общая картина напряженно-деформированного состояния исследуемого фрагмента
обделки для одного из вариантов нагружения представлена на рисунках 18. В частности, на
рисунке 18а изображено распределение окружных напряжений, на рисунке 18б - продольных
напряжений, а на рисунке 18в – прогибов. Видно, что «перевязка» колец, т.е. разнесение
окружных стыков по длине, чтобы подряд они не встречались, оказывает существенное влияние
на распределение напряжений в продольном направлении. При этом максимальные
напряжения, по сравнению с приведенным ранее расчетом одного кольца, увеличиваются на
10  20% . Хотя следует признать, что расчет одного кольца с замковым блоком наверху
является лишь одним из расчетных случаев, при иной ориентации блоков получаются другие
напряжения, тоже отличающиеся от приведенных на 10  20% .
Для оценки достоверности проведенных расчетов и оценки разработанной методики
проводились сравнения их результатов с данными мониторинговых исследований обделки
возводимого тоннеля. В частности, на блоках трех колец (№172-174 в порядке сборки)
устанавливались специальные приборы, измеряющие их деформации (тензометры) до
размещения этих блоков в обделку тоннеля. Затем, по истечению достаточного времени,
необходимого для стабилизации напряженного состояния как в обделке, так и в грунтовом
массиве, ее окружающем, снимались показания окружных и продольных деформаций. Время
этой стабилизации определялось путем систематического наблюдения за показаниями приборов
и оценкой их изменения по времени. Оказалось, что при удалении проходческого щита на
расстояние 50м от исследуемых колец значения деформаций уже не изменялись. Эти
окончательные показания измеряющих деформации приборов принимались как базовые при
оценке напряженного состояния обделки при эксплуатации тоннеля.
33
Сравнение результатов экспериментальных и численных исследований указанных колец
приведено на рисунках 19. На рисунках 19а-19б изображены эпюры окружных, а на рисунке
19в – продольных напряжений на внутренней поверхности соответствующих колец (номера
указаны на рисунках). Для большей наглядности эти эпюры даны в полярной системе
координат, что позволяет непосредственно судить о напряженном состоянии свода и боковых
поверхностей, и на них приведены числовые значения соответствующих напряжений в базовых
точках
Рис. 18. Распределение окружных напряжений (а), продольных напряжений (б) и прогибов (в).
Рис.19. Эпюры окружных напряжений в кольце обделки №172(а), эпюры окружных
напряжений в кольце обделки №173 (б), эпюры продольных напряжений в кольце обделки
№173 (в). Два варианта расчета и эксперимент.
Исходя из полученных результатов, следует отметить, что разработанная численная
методика исследования напряженно-деформированного состояния колец обделки тоннеля
метрополитена в трехмерной постановке с моделированием контактного взаимодействия
блоков между собой и с введением «полубесконечных» конечных элементов для
воспроизведения упругого отпора грунта дает результаты хорошо согласующиеся с данными
натурных испытаний. Следовательно, на ее основе можно рассчитывать подобные конструкции
и получать достоверные результаты. В частности можно судить о напряженном состоянии
внешней поверхности обделки, для которой невозможно получить экспериментальные данные
по напряжениям.
Шестая глава посвящена решению задач строительства новых сооружений по
трансформирующимся расчетным схемам.
В процессе моделирования поэтапного строительства сложных элементов конструкций,
промышленных и транспортных сооружений при составлении силовых и расчетных схем для
34
выявления формирующихся полей напряжений, деформаций и перемещений требуется
введения понятия трансформирующихся конструкций (механических систем), которые на
отдельных этапах технологического процесса возведения переходят от одного класса к
другому. Математическое моделирование процесса формирования полей напряжений,
деформаций и перемещений в элементах этой механической системы также требует постановки
задачи механики трансформирующейся конструкции. В описанной выше механической системе
трансформация расчетной схемы происходит дискретно при переходе с одного этапа
строительства на другой. На каждом шаге трансформирования необходимые расчеты
приходится проводить с учетом поля напряжений, перемещений и деформаций,
накапливающихся в системе на предыдущих шагах. Зачастую такие расчеты требуют
постановки соответствующих задач механики с учетом геометрической нелинейности, когда
процесс деформирования представляется как последовательность равновесных состояний, и
переход из текущего состояния в последующее определяется приращением нагрузки,
изменением граничных условий или расчетной области и т.д.
Моделирование поэтапной выемки грунта из котлована с подпорными стенками.
Проводится расчет напряженно-деформированного состояния подпорных стенок
котлована при поэтапной выемке грунта для
случая плоской деформации (рис. 20). Грунт в
котловане предполагается однородным со
следующими характеристиками: Eгр  33 МПа
,
гр  0.3 ,
гр  2040 кг м3 . Для бетона:
Eб  30000 МПа , б  0.2 , б  2500 кг м3 ,
толщина подпорных стенок L2  1 м , длина –
H 2  15 м , расстояние между ними L3  10 м ,
максимальная глубина котлована – H 3  10 м .
Рис. 20. Схема расчетной области.
На боковых и нижней границах области задаются условия отсутствия смещения точек
в направлении, перпендикулярном границам. Расстояния от подпорных стенок до границ
области выбираются из условия малости влияния подпорных стенок на поле перемещений и
напряженно-деформированное состояние грунта на границах. Дискретизация проводится
квадратными конечными элементами сплошной среды, за базовый размер стороны элемента
выбирается толщина бетонной стенки. При расчетах на первом этапе прикладывался
собственный вес грунта расчетной области. Далее поэтапно и равными порциями проводится
выемка грунта.
Для иллюстрации приведены распределения напряжений  y в подпорных стенках и в
грунте для расчета без учета контакта между грунтом и бетонной стенкой (рис. 21а) и с учетом
контакта (рис. 21б) для коэффициента трения f  0.6 .
35
Рис.21. Распределения напряжений  y в подпорных стенках и в грунте для расчета без учета
контакта между грунтом и бетонной стенкой (а) и с учетом контакта (б) для коэффициента
трения f  0.6 .
Анализ результатов показывает, что эти варианты расчета принципиально отличаются. В
первом случае подпорные стенки котлована расходятся в стороны и максимальные изгибные
(растягивающие) напряжения возникают на их внутренней поверхности. Это можно объяснить
тем, что после выемки грунта между подпорными стенками, который (при отсутствии контакта)
как бы притягивал стенки друг к другу, грунт, расположенный за подпорными стенками, при
осадке начинает тянуть их за собой и раздвигать. Этого не происходит в случае учета контакта
между стенками и грунтом, и в этом случае после выемки грунта под действием силы тяжести
грунта за стенками они начинают изгибаться вовнутрь котлована. Кроме этого, уровень
напряженного состояния в этом случае гораздо ниже.
Моделирование этапов строительства станции метрополитена.
Для примера приводится расчет напряженно-деформированного состояния подпорных
стенок котлована станции метрополитена, а также корпуса самой станции, при поэтапном
проведении работ.
Подготовка к строительству и строительство станций метрополитена сопряжены с рядом
технических трудностей. Станция метрополитена – это подземное строение, возводимое
открытым способом в непосредственной близости от городских зданий и коммуникаций.
Поэтому большое внимание уделяется обеспечению устойчивости, прочности и
“малоподвижности” окружающих место строительства грунтовых массивов при проведении
земляных работ.
Перед проведением работ в зоне строительства станции метрополитена осушают грунт.
Перед выемкой грунта из котлована его края заранее укрепляют подпорными стенками (эти
стенки заранее по границе котлована загоняют в землю). По мере выемки грунта стенки
котлована укрепляют распорками, которые могут устанавливаться на разных уровнях. Когда
котлован готов, его дно бетонируется, возводится корпус станции, и попутно снимаются
распорки. После этого корпус станции засыпается землей, и отключаются водооткачивающие
насосы, что приводит к водонасыщению окружающего станцию грунта. Все эти работы
приводят к поэтапному изменению напряженно-деформированного состояния подпорных
стенок котлована, окружающего станцию грунтового массива и возводимого корпуса станции.
36
Так как котлован имеет форму параллелепипеда, его длина велика по сравнению с его
шириной, распорки между стенками котлована для каждого уровня устанавливаются с
практически равными промежутками, то для выявления основных закономерностей
деформирования расчет можно проводить в двумерной постановке, в условиях плоской
деформации. Механические характеристики дискретно расположенных объектов, в частности
распорок или колонн, расположенных вдоль оси станции, при проведении расчетов
пересчитывались к средним величинам.
Рис.22. Этапы строительства станции метрополитена: (1) - стенки котлована возведены, (2) грунт снят до верхнего уровня распорок, (3) - установлен верхний ряд распорок, (4) - грунт снят
до нижнего уровня распорок, (5) - установлен нижний ряд распорок, (6) - грунт снят до уровня
дна котлована, (7) - дно котлована залито бетоном, (8) - возведен корпус станции, (9) - сняты
распорки, (10) - корпус станции засыпан грунтом, (11) - установлен режим водонасыщения, (12)
- грунт в непосредственной близости от стенок котлована укреплен.
Проводится расчет напряженно-деформированного состояния подпорных стенок
котлована станции «Площадь Тукая» при поэтапном проведении работ, связанных с
возведением станции. Расчет проводится для случая плоской деформации.
Боковые и нижняя граница области задаются прямыми линиями, и на них задаются
условия отсутствия смещения точек в направлении, перпендикулярном прямолинейным
границам. Расстояния от подпорных стенок до границ области выбираются из условия малости
37
влияния подпорных стенок на поле перемещений и напряженно-деформированное состояние
грунта и определяются в ходе вычислительного эксперимента. На рисунке 22 схематично
приведены все структурные состояния, реализующиеся при поэтапном строительстве станции
метрополитена, определяющие дискретность трансформации расчетных схем. На рисунке 13
приведены все основные геометрические параметры задачи: HV=13 м, HN=4.5 м, HR=0.7 м,
HNR=1.0 м, HMR=3.9 м, T1=T2=0.5 м, LMS=20.2 м.
Рис.23. Схема подконструкций и подоб-
Рис.24. Нормальные напряжения  yy в под-
ластей расчетной области
конструкциях станции метрополитена для 12-го
структурного состояния 1-го расчетного случая.
Рис.25. Нормальные напряжения  yy в под-
Рис.26. Нормальные напряжения  yy в под-
конструкциях станции для 12-го структурного конструкциях станции метрополитена для 12-го
состояния 2-го расчетного случая.
структурного состояния 3-го расчетного случая
Проведены три основных варианта расчета. Первый вариант – для толщин подпорных
стенок котлована T1=0.607 м, T2=0.589 м. Второй вариант – одна подпорная стенка котлована
имеет толщины T1=0.607 м, T2=0.589 м, вторая имеет толщины T1=T2=0.130 м. Третий вариант
– одна подпорная стенка котлована имеет толщину T1=0.607 м, T2=0.589 м, вторая имеет
толщину T1=T2=0.130 м, грунт со стороны более тонкой стенки укреплен. Рисунки 14-16
иллюстрируют напряжения  yy в бетонных подконструкциях станции метрополитена для
конечного (12-го) структурного состояния для трех вариантов расчета соответственно.
38
Моделирование
метрополитена.
этапов
строительства
вентиляционной
камеры
станции
Рис.27. (1)- исходное состояние грунта; (2) – провели тоннели; (3) - возвели подпорные стенки;
(4) – извлечение грунта под вентузел; (5) - облицовка верхней части обделки металлом; (6) бетонирование свободной поверхности грунта над тоннелями; (7) - восстановление слоя
первоначального грунта до уровня дна вентузла; (8) - возведение вентузла; (9) - восстановление
слоев первоначального грунта до уровня поверхности; (10) - укладка бетонной плиты под; (11) восстановление слоя насыпного грунта до уровня дна вентузла; (12) - возведение вентузла; (13)
- восстановление насыпного грунта до уровня поверхности; (14) - укладка бетонной плиты под
насыпь; (15) - восстановление слоя фиктивного грунта до уровня дна вентузла; (16) - возведение
вентузла; (17) - восстановление фиктивного грунта до уровня поверхности; (18) - укладка
бетонной плиты под насыпь.
39
В качестве второго примера приводится расчет напряженно-деформированного
состояния обделки тоннеля метрополитена и расположенной в непосредственной близости от
них конструкции вентиляционного узла при возведении над ними автодорожного полотна.
Задача также решается в двумерной постановке, а модель грунта предполагается кусочнопостоянной по высоте. Боковые и нижняя граница области задаются прямыми линиями, и на
них задаются условия отсутствия смещения точек в направлении, перпендикулярном
прямолинейным границам. Размеры области определяются в ходе вычислительного
эксперимента. На рисунке 27 схематично приведены все структурные состояния,
реализующиеся при поэтапном возведении вентиляционного узла станции метрополитена,
определяющие дискретность трансформации расчетных схем.
На рисунках 28а и 28б для иллюстрации приведены первые главные напряжения во всех
бетонных конструкциях и осадка всей расчетной области для одного из вариантов расчета.
Рис.28. Первые главные напряжения во всех бетонных конструкциях (а) и осадка всей
расчетной области (б) для одного из вариантов расчета.
Предложенный метод решения задач механики с конкретными приложениями относится
к современной технологии научного сопровождения проектирования и строительства сложных
объектов. Его использование позволяет проследить за изменением напряженнодеформированного состояния и поля перемещений структурно изменяющейся расчетной
области от начала и до конца строительства. Это позволяет более точно и технически грамотно
принимать проектные решения для различных этапов строительных работ, что зачастую нельзя
сделать, опираясь только на существующие СНиПы.
Заключение.
В диссертационной работе получили развитие методы численного решения трехмерных
геометрически и физически нелинейных задач деформирования ансамблей конструкций
сложной геометрии, в том числе расположенных в грунтовых массивах сложной физической
природы, с учетом их контактного взаимодействия. В процессе исследований получен ряд
новых результатов, краткая формулировка которых приведена ниже.
1. Реализована и апробирована конечно-элементная методика решения геометрически и
физически нелинейных задач двумерных и трехмерных задач сплошной среды на основе
определяющих соотношений между приращениями «истинных» деформаций и напряжений.
2. На основе уравнений механики сплошных сред и метода конечных элементов развиты
вычислительные модели пространственных упругопластических конструкций при контактном
40
взаимодействии с деформируемыми телами и грунтовыми средами. Вычислительные модели
включают в себя:
- конечные элементы упругопластической и сплошной, в том числе водонасыщенной,
среды;
- подкрепленные конечные элементы железобетона;
- контактные конечные элементы;
- алгоритмы решения задач геометрически и физически нелинейного деформирования
взаимодействующих между собой и с окружающими средами элементов конструкций.
3. Проведены исследования точности предлагаемых численных схем. Разработанные
конечно-элементные модели реализованы в виде пакета прикладных программ и внедрены в
расчетную практику «Научно-технического центра проблем динамики и прочности» Казанского
государственного технического университета им. А.Н. Туполева, ряд вычислительных
программ сертифицирован.
4. Решены исследовательские геометрически и физически нелинейные задачи:
- задачи о растяжении идеального сплошного цилиндрического образца при
шейкобразовании;
- задачи об упругопластической неустойчивости при растяжении сплошных
цилиндрических образцов;
- задачи об упругопластической неустойчивости при растяжении полых цилиндрических
образцов;
- задачи об упругопластической неустойчивости при раздувании цилиндрической
оболочки со сферическими днищами;
- задачи об упругопластической неустойчивости при растяжении трехмерных образцов;
- задачи об упругопластической неустойчивости при растяжении трехмерных образцов с
боковыми пропилами.
Отмечены наиболее характерные эффекты рассматриваемых геометрически и физически
нелинейных процессов, проведено сопоставление результатов с данными, полученными
другими авторами или на других вычислительных комплексах.
5. Проведен анализ деформирования конструктивных элементов подземных сооружений,
возводимых при строительстве метрополитена. Рассмотрены:
- трехмерное моделирование взаимодействия обделки тоннеля метрополитена с грунтом;
- трехмерное моделирование взаимодействия между блоками обделки тоннеля
метрополитена;
- трехмерный конечно-элементный расчет одного кольца обделки тоннеля
метрополитена;
- исследование трехмерного напряженно-деформированного состояния колец обделки с
учетом их «перевязки»;
- деформирование обделки тоннеля метрополитена в упругопластическом грунте;
- деформирование обделки тоннеля метрополитена в водонасыщенном грунте;
- деформирование обделки тоннеля метрополитена с учетом контакта между кольцом
обделки и окружающим их грунтом;
- расчет напряженно-деформированного состояния подпорных стенок котлована станции
метрополитена, корпуса самой станции, а также кольца обделки тоннеля метрополитена при
41
поэтапном проведении в зоне их расположения земляных и строительных работ по
трансформирующимся расчетным схемам.
Результаты численных исследований позволили выделить наиболее опасные этапы
технологического процесса строительства тоннелей и станций метрополитена, установить
факторы, влияющие на напряженно-деформированное состояние конструкций, определить
зоны максимальных деформаций и напряжений.
СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных изданиях,
рекомендованных ВАК:
В рецензируемых научных изданиях из перечня ВАК РФ.
1.
Балафендиева И.С. Расчет осадок в многослойном физически нелинейном грунте при
прокладке тоннелей метрополитена / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной, Д.А. Егоров // Научнотехнический вестник Поволжья. – 2012. – № 2. – С. 23–26.
2.
Абросимов Ю.А. Расчет заклепочных соединений колеса центробежного компрессора
/ Ю.А. Абросимов, Д.В. Бережной, А.П. Еранов, Р.Г. Сибгатуллин // Научно-технический
вестник Поволжья. – Казань, 2013. – № 5. – С. 90–93.
3.
Бережной Д.В. Построение численной методики расчета клинч-соединений /
Д.В. Бережной, М.Р. Шамим, И.С. Балафендиева // Научно-технический вестник Поволжья. –
Казань, 2017. – №5. – С. 126–128.
4.
Бережной Д.В. Численное моделирование деформирования многослойной оболочки
при термосиловом нагружении / Д.В. Бережной, М.Р. Шамим, А.А. Саченков // Научнотехнический вестник Поволжья. – Казань, 2017. – №5. – С. 129–131.
5.
Балафендиева И.С. Моделирование деформирования железобетонной обделки
тоннеля в грунте с учетом одностороннего контактного взаимодействия ее блоков /
И.С. Балафендиева, Д. В. Бережной // Вестник Саратовского государственного технического
университета. – 2011. – № 2(55), вып. 1. – С. 8–16.
6.
Балафендиева И.С. Трехмерное деформирование железобетонной опоры мостовой
переправы, расположенной в многослойном водонасыщенном грунте / И.С. Балафендиева,
Д.В. Бережной, А. В. Карамов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского.
– Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011. – № 4, ч. 5. – С. 1995–1996.
7.
Бережной Д.В. Исследование деформирования пористых сред на основе
произвольного Лагранжево-Эйлерова подхода к описанию движения / Д.В. Бережной,
А.И. Голованов, С.А. Малкин, Л.У. Султанов // Ученые записки Казанского государственного
университета. Серия физико-математические науки. – 2010. – Т. 152, кн.4. – С. 106–114.
8.
Бережной Д.В. Моделирование пластического деформирования многослойного грунта
в зоне опоры многопролетного моста / Д.В. Бережной, И.С. Кузнецова, А.А. Саченков // Ученые
записки Казанского государственного университета. Серия физико-математические науки. –
2010. – Т. 152, кн.1 – С. 116–125.
9.
Бережной Д.В. Моделирование поведения железобетонной обделки тоннеля в
деформируемом грунте с учетом одностороннего контактного взаимодействия ее блоков через
упругие прокладки / Д.В. Бережной, А.И. Голованов, С.А. Луканкин, Л.Р. Секаева // Вестник
Казанского государственного технического университета. – 2010. – № 2. – С. 4–9.
42
10. Султанов Л.У. Математическое моделирование несущей способности грунтовых
насыпей / Л.У. Султанов, Д.В. Бережной // Вестник Казанского государственного технического
университета. – 2013. – № 1. – С. 117–124.
11. Бережной Д.В. Расчет напряженно-деформированного и предельного состояний
железобетонных конструкций, взаимодействующих с грунтовым основанием / Д.В. Бережной,
А.И. Голованов, В.Н. Паймушин, А.А. Пискунов // Проблемы прочности и пластичности. –
Н.Новгород, 2001. – Вып. 63. – С. 170–179.
12. Бережной Д.В. Моделирование деформирования поэтапной выемки грунта при
строительстве подземных сооружений / Д.В. Бережной, А.В. Карамов, М.К. Сагдатуллин //
Вестник Казанского государственного технологического университета. – 2012. – № 17.– С. 137–
145.
13. Бережной Д.В. Моделирование деформирования обделки тоннеля метрополитена,
расположенной в грунте, с учетом контактного взаимодействия / Д.В. Бережной,
М.К. Сагдатуллин // Вестник Казанского технологического университета. – 2014. – Т. 17, № 15.
– С. 289–293.
14. Бережной Д.В. Моделирование деформирования обделки тоннеля метрополитена,
расположенной в грунте сложной физической природы / Д.В. Бережной, М.К. Сагдатуллин,
Л.У. Султанов // Вестник Казанского технологического университета. – 2013. – Т. 16, № 9.– С.
250–255.
15. Бережной Д.В. Расчет взаимодействия деформируемых конструкций с учетом трения
в зоне контакта на основе метода конечных элементов / Д.В. Бережной, М.К. Сагдатуллин,
Л.У. Султанов // Вестник Казанского технологического университета. – 2014. – Т. 17, № 14.– С.
478–481.
16. Бережной Д.В. Математическое моделирование этапов строительства сложных
сооружений по трансформирующимся расчетным схемам / Д.В. Бережной, В.Н. Паймушин //
Наукоемкие технологии. – 2005. – Т. 6, № 8–9. – С. 59–64.
17. Бережной Д.В. О двух постановках упругопластических задач и теоретическое
определение места образования шейки в образцах при растяжении / Д.В. Бережной,
В.Н. Паймушин // Прикладная математика и механика. – 2011. – Т. 75, вып. 4. – С. 635–659.
18. Бережной Д.В. Исследования качества уравнений геометрически нелинейной теории
упругости при малых деформациях и произвольных перемещениях / Д. В. Бережной,
В.Н. Паймушин, В.В. Шалашилин // Известия РАН, Механика твердого тела. – 2009. – № 6.– С.
31–47.
19. Мокшин Е.В. Сопоставление метода «time reverse modeling» и метода дифракционного
суммирования
в
задаче
пространственно-временной
локализации
микросейсмического события / Е.В. Мокшин, Е.В. Биряльцев, Д.В. Бережной // Экспозиция
Нефть Газ. – 2012. – № 2. – С. 21–23.
20. Перелыгин О.А. Оценка малоцикловой прочности сосудов по результатам конечноэлементного расчета напряженно-деформированного состояния в местах врезки штуцеров /
О.А. Перелыгин, Ш.Ш. Галявиев, Р.Х. Зайнуллин, Д.В. Бережной // Безопасность труда в
промышленности. – 2002. – № 4. – С. 18–21.
43
21. Перелыгин О.А. Исследование прочности цилиндрических оболочек с вмятинами в
области радиальных соединений / О.А. Перелыгин, Ш.Ш. Галявиев, Р.Х. Зайнуллин,
Д.В. Бережной // Вестник КГТУ. – Казань: Изд-во КГТУ, 2001. – С. 75–77.
22. Перелыгин О.А. Исследование прочности цилиндрических оболочек при наличии
увода или смещения кромок сварных швов / О.А. Перелыгин, Н.М. Туйкин, Д.В. Бережной,
М.Н. Серазутдинов // Вестник КГТУ. – Казань: Изд-во КГТУ, 2001. – С. 77–79.
Статьи в других научных изданиях.
23. Бережной Д.В. Процесс деформирования пористой матрицы сложной физической
природы с учетом двухфазной фильтрации и температурного воздействия / Д.В. Бережной,
А.И. Голованов, А.В. Костерин, С.А. Малкин // Ученые записки Казанского государственного
университета. Серия физико-математические науки. – 2005. – Т. 147, кн. 3. – С. 49-56.
24. Бережной Д.В. Исследование взаимодействия строительных сооружений с сухими и
водонасыщенными грунтами / Д.В. Бережной, Ю.Г. Коноплев, Л.Р. Секаева // Ученые записки
Казанского государственного университета. Серия физико-математические науки. – 2007. – Т.
148, кн.3. – С. 4–12.
25. Перелыгин О.А. Исследование прочности цилиндрических оболочек с локальными
дефектами типа «вмятина» при упругих и упругопластических деформациях / О.А. Перелыгин,
В.Ф. Сопин, Р.Х. Зайнуллин, Д.В. Бережной // Вестник КГТУ. – Казань: Изд-во КГТУ, 2000. –
С.5–9.
В изданиях, индексируемых в системах WoS, Scopus.
26. Berezhnoi D.V. Numerical modeling of mechanical behavior of clinch connections at
breaking out and shearing / D.V. Berezhnoi, R. Shamim, I.S. Balafendieva // MATEC Web of
Conferences. – 2017. – V. 129, 03023.
27. Berezhnoi D.V. Modelling of deformation of underground tunnel lining, interacting with
water-saturated soil / D.V. Berezhnoi, I.S. Balafendieva, A.A. Sachenkov, L.R. Sekaeva // IOP
Conference Series: Materials Science and Engineering. – 2016. – V. 158, 012018., автор – 0.06 п.л.
28. Berezhnoi D.V. Investigation of deformation of elements of three-dimensional reinforced
concrete structures located in the soil, interacting with each other through rubber gaskets /
D.V. Berezhnoi, I.S. Balafendieva, A.A. Sachenkov, L.R. Sekaeva // IOP Conference Series: Materials
Science and Engineering. – 2017. – V. 204, 012005.
29. Berezhnoi D.V. Geometrically nonlinear deformation elastoplastic soil / D.V. Berezhnoi,
A.A. Sachenkov, M. K. Sagdatullin // Applied Mathematical Sciences. – 2014. – V. 8, № 127. –
P. 6341–6348.
30. Berezhnoi D.V. Research of interaction of the deformable designs located in the soil / D. V.
Berezhnoi, A. A. Sachenkov, M. K. Sagdatullin // Applied Mathematical Sciences. – 2014. – V. 8,
№ 143. – P. 7107–7115.
31. Berezhnoi D.V. Calculation of interaction of deformable designs taking into account friction
in the contact zone by finite element method / D. V. Berezhnoi, M. K. Sagdatullin // Contemporary
Engineering Sciences. – 2015. – V. 8, № 23. – P. 1091–1098.
32. Berezhnoi D.V. Numerical Investigation of Clinch Connection Manufacturing Process /
D.V. Berezhnoi, R. Shamim // Procedia Engineering. – 2017. – V. 206. –P. 1056–1062.
44
33. Sagdatullin M.K. Statement of the Problem of Numerical Modelling of Finite Deformations
/ M. K. Sagdatullin, D. V. Berezhnoi // Applied Mathematical Sciences. – 2014. – V. 8, № 35. –
P. 1731–1738.
34. Shamim M.R. Investigation of deformation at a centrifugal compressor rotor in process of
interference on shaft / M. R. Shamim, D. V. Berezhnoi // IOP Conference Series: Materials Science
and Engineering. – 2016. – V. 158, 012083.
Свидетельства на программы для ЭВМ, приравниваемые ВАК к публикациям в
рецензируемым изданиям.
35. Балафендиева И.С. А. с. № 2013614345 Российская Федерация, Программа расчета
деформирования трехмерных конструкций, взаимодействующих с грунтами сложной
физической природы / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной. – № 2013614345; заявл. 5.02.13;
опубл. 29.04.13
36. Бережной Д.В. Свидетельство № 2011615249 Российская Федерация. Расчёт
нестационарного деформирования водонасыщенных грунтов: свидетельство об официальной
регистрации программы для ЭВМ от 06.07.2011г. / Д. В. Бережной, Л. Р. Секаева. –
№ 2011615249.
37. Камилов М.Р. Свидетельство № 2015615727 Российская Федерация. Программа
расчёта взаимодействия двумерных сыпучих сред с деформируемыми телами и жидкостью на
основе метода частиц: свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ от
22.05.2015г. / М. Р. Камилов, Д. В. Бережной, Н. Ф. Габсаликова. – № 2015615727.
38. Сагдатуллин М.К. Свидетельство № 2013612212 Российская Федерация. Программа
расчёта напряженно-деформируемого состояния комбинированных конструкций при
статических нагрузках : свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ от
18.02.2013 г. / М. К. Сагдатуллин, Д. В. Бережной. – № 2013612212.
39. Сагдатуллин М.К. Свидетельство № 2015613074 Российская Федерация. Программа
расчёта напряженно-деформируемого и предельного состояния многопластовых грунтовых
массивов : свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ от 03.03.2015 г. /
М. К. Сагдатуллин, Д. В. Бережной. – № 2015613074.
Монография.
40. Голованов А.И.Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел /
А. И. Голованов, Д. В. Бережной. – Казань: Изд-во «ДАС», 2001. – 301c.
Материалы докладов на научных конференциях.
41. Балафендиева И.С. Исследование процессов пластического деформирования опоры
моста, взаимодействующего с многослойным грунтом / И. С. Балафендиева, Д. В. Бережной //
Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред :
материалы XVII Международного симпозиума им. А.Г. Горшкова. – М.: ООО «ТР-принт»,
2011. – Т. 1. – С. 25–28.
42. Балафендиева И.С. Исследование деформирования грунта при его взаимодействии с
элементами транспортных сооружений / И. С. Балафендиева, Д. В. Бережной // Динамические и
технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред : материалы XVIII
Международного симпозиума им. А.Г. Горшкова. – М.: ООО «ТР-принт», 2012. – Т. 1. – С.17–
19.
45
43. Бережной Д.В. Исследование напряженно-деформированного состояния грунта,
взаимодействующего с расположенными в нем деформируемыми конструкциями / Д. В.
Бережной, А. И. Голованов, И. С. Кузнецова, С. А. Малкин // ВЕМ & FЕМ, 2009.
Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных
элементов : труды XXIII Международной конференции. – СПб: НИЦ МОРИНТЕХ, 2009. –
С.72–77.
44. Бережной Д.В. Моделирование процесса деформирования флюидонасыщенной
пористой среды в комбинированной лагранжево-эйлеровой постановке / Д. В. Бережной, А. И.
Голованов, С. А. Малкин, Л. У. Султанов // Сеточные методы для краевых задач и приложения :
материалы Седьмого Всероссийского семинара, Казань, 21–24 сентября 2007. – Казань: Изд-во
Казанского университета, 2007. – С. 55–57.
45. Балафендиева И.С. Моделирование нелинейных процессов взаимодействия сухих и
водонасыщенных грунтовых сред с деформируемыми конструкциями / И.С. Балафендиева, Д.В.
Бережной, А.В. Карамов, Л.Р. Секаева, Л.У. Султанов // Математическое и компьютерное
моделирование в механике деформируемых сред и конструкций: тезисы докладов XXVI
Международной конференции, С.Петербург, 28–30 сентября 2015. – С.50-51. Флеш-карта
(Flash-card).
46. Балафендиева И.С. Исследование контактного взаимодействия колец обделки тоннеля
метрополитена с упругопластическим грунтом в геометрически нелинейной постановке / И.С.
Балафендиева, Д.В. Бережной, Л.Р. Секаева
// XX Международная конференция по
вычислительной механике и современным прикладным программным средствам
(ВМСППС’2015): материалы докладов, Алушта, 22-31 мая 2015. – М.: Изд-во Маи, 2015. –
С.208-210.
47. Бережной Д.В. Исследование взаимодействия трехмерных элементов конструкций с
грунтом / Д. В. Бережной, А. И. Голованов, Р. Р. Хуснутдинов // Динамические и
технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: материалы XIV
международного симпозиума. Тезисы докладов. – Москва: Изд-во МАИ, 2008. – С.42–43.
48. Бережной
Д.В.
Нелинейное
деформирование
элементов
конструкций,
взаимодействующих с грунтами сложной природы / Д. В. Бережной, И. С. Кузнецова //
Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред :
материалы XVI Международного симпозиума им. А.Г. Горшкова. – Чебоксары: ГУП ИПК
«Чувашия», 2010. – Т. 2. – С. 15–16.
49. Бережной Д.В. Моделирование процессов нелинейного деформирования грунтов,
взаимодействующих с деформируемыми конструкциями / Д. В. Бережной, И. С. Кузнецова,
Л.Р. Секаева // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела: труды II
международной конференции, Казань, 8 – 11 декабря 2009. – Казань: Изд-во Казан. гос. ун-та,
2009. – С. 64–67.
50. Бережной Д.В. Об уравнениях непротиворечивого варианта геометрически
нелинейной теории упругости в квадратичном приближении при малых деформациях /
Д.В. Бережной, В. Н. Паймушин // Динамические и технологические проблемы механики
конструкций и сплошных сред : материалы XIII международного симпозиума. Избранные
доклады. – Москва: Изд-во МАИ, 2007. – С. 53–57.
46
51. Бережной Д.В. О двух постановках задач осесимметричного упругопластического
деформирования удлиненной цилиндрической оболочки с торцевыми фланцами и
сферическими днищами / Д. В. Бережной, В. Н. Паймушин // Динамические и технологические
проблемы механики конструкций и сплошных сред : материалы XVII Международного
симпозиума им. А.Г. Горшкова. – М.: ООО «ТР-принт», 2011. – Т. 1. – С. 38–39.
52. Бережной Д.В. Деформирование бетонных блоков тоннеля метрополитена с учётом их
контактного взаимодействия / Д. В. Бережной, А. А. Саченков, Р. Р. Хакимзянов //
Математическое моделирование и краевые задачи : труды всерос. науч. конференции, Самара,
1-3 июня, 2005. – Самара, 2005. – Ч. 1. – С. 67–69.
53. Секаева Л.Р. Исследование взаимодействия деформируемых конструкций с сухими и
водонасыщенными грунтами / Л. Р. Секаева, Д. В. Бережной, Ю. Г. Коноплёв // BEM & FEM
2003. Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и
конечных элементов : труды докладов XX Международной конференции, С.Петербург, 24–26
сентября 2003. – СПб, 2003. – Т.3. – С. 156-159.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
2 665 Кб
Теги
нелинейные, среды, ними, конструкции, элементов, взаимодействующих, деформирования
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа