close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Рост трещины при термомеханическом нагружении

код для вставкиСкачать
Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном
учреждении высшего образования «Московский политехнический университет»
Научный руководитель:
Кулиев Валех Джафарович
доктор физико-математических наук, профессор
Официальные оппоненты:
Звягин Александр Васильевич
доктор физико-математических наук, профессор
кафедры газовой и волновой динамики
Московского государственного университета
им М.В. Ломоносова
Бережной Дмитрий Валерьевич
кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры теоретической механики Казанского
(Приволжского) федерального университета
Ведущая организация
федеральное государственное бюджетное
учреждение науки Институт теории прогноза
землетрясений и математической геофизики
Российской академии наук
Защита состоится 28 июня 2018 г. в 14:30 часов на заседании диссертационного
совета Д 212.081.11 при ФГАОУ ВО «Казанский (Приволжский) федеральный
университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 35, ауд 610.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГАОУ ВО
«Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул.
Кремлевская, 18.
Автореферат разослан «_____» ______________ 2018 г. и размещен на официальном сайте
Казанского (Приволжского) федерального университета: kpfu.ru
Ученый секретарь
Диссертационного совета Д212.081.11,
кандидат физико-математических наук, доцент
2
А.А. Саченков
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Исследование процессов разрушения материала
несущих элементов конструкций с трещинами представляет большой
теоретический и практический интересы. В последние годы достаточно
много работ посвящено определению скорости роста трещин при
циклическом нагружении. Однако, как показывает анализ проведенных ранее
исследований многие формулы для скорости роста усталостных трещин при
циклическом нагружении хорошо согласуются с диаграммой усталостного
разрушения некоторых отдельных участков и учитывают только лишь
влияние отдельных эксплуатационных факторов. Поэтому возникает
необходимость предложить новую формулу для скорости роста трещин при
циклическом нагружении, позволяющую учесть комплексное влияние
эксплуатационных факторов и инактивных сред. Кроме этого совершенно
недостаточно исследован рост трещин при термическом нагружении. Таким
образом, тема диссертационной работы актуальна.
Целью
диссертационной
работы
являются
обобщение
феноменологической модели доктрического квазихрупкого развития
усталостных трещин нормального разрыва с учетом кинетических эффектов;
оценки усталостной долговечности элементов конструкции; исследование
влияния параметров циклического нагружения, инактивных сред,
температуры тела, структуры тела и других факторов на рост усталостных
трещин; исследование роста трещин при термическом нагружении.
Научная новизна работы:
1.
Получена новая формула для скорости роста усталостных
трещин, позволяющая учесть комплексное влияние на усталостную
прочность тела с развивающейся трещиной таких факторов, как асимметрия
цикла, частота нагружения, амплитуда нагружения, структура тела и, прежде
всего, величины и расположения начального дефекта, геометрия тела,
температура тела, окружающая среда (инактивные среды) и других факторов
на всех участках диаграммы усталостного разрушения.
2.
Анализ, проведенный в диссертационной работе, показал, что
полученная
формула
хорошо
согласуется
с
имеющимися
экспериментальными данными о влиянии на скорость роста усталостных
трещин параметров нагружения.
3.
Полученная формула позволяет устранить недостатки формулы
Г.П. Черепанова – В.Д. Кулиева для скорости роста усталостных трещин,
полученной при условии независимости действия механизма конечной
пластической деформации от термоактивационного химического механизма
последовательного обрыва связей в конце трещины.
4.
В качестве примера рассмотрена смешанная краевая задача для
трещины нормального разрыва в упругом слое материала. Определен
3
коэффициент интенсивности напряжений и тем самым исследована скорость
роста трещины при циклическом нагружении.
5.
Поставлена задача о кинетике роста «горячей» трещины,
получена формула для определения коэффициента интенсивности
напряжения в вершине трещины, находящейся внутри прямоугольной среды,
и проведен соответствующий численный анализ.
Методология и методы исследования. Коэффициент интенсивности
напряжений для трещин нормального разрыва КI является параметром,
контролирующим скорость до критического роста трещины. В рамках всех
существующих континуальных моделей распространение трещины
рассматривается как непрерывный процесс, причем

(1)
= ( ,  ).


Здесь N – число циклов;
– скорость роста трещины;  ,  –

максимальное и минимальное значения коэффициента интенсивности
напряжений на цикл, кроме того, предполагается, что ( ,  )
является непрерывной функцией при  ≤  < ∗ , где ∗ равна  –
вязкости разрушения материала при плоской деформации и  – вязкости
разрушения материала при плоском напряженном состоянии (они
определяются из эксперимента при циклическом нагружении),  –
пороговый коэффициент интенсивности напряжений. Предложенная нами
формула состоит из суммы двух слагаемых. Первое слагаемое совпадает с
формулой Г.П. Черепанова, полученной на основе обобщенной
энергетической концепции, а второе слагаемое учитывает влияние
кинетических эффектов.
Для исследования кинетики роста трещин использован следующий
метод. С помощью интеграла Пуассона сначала построено решение задачи
Коши для однородного уравнения теплопроводности Фурье, а затем с
помощью формулы усреднения С.Л. Собелева поставлена корректная задача
Коши и построено решение.
Достоверность
исследований
подтверждается
имеющимися
экспериментальными данными в работах других авторов по усталостному
разрушению, также математической строгостью и точностью в постановке,
решении и удовлетворении граничных условий рассматриваемой задачи
термоупругости и сравнении конечных аналитических и числовых данных
частных случаев с известными в литературе.
Теоретическая значимость
заключается в предложенном в
диссертационной работе новом подходе в получении формулы для скорости
роста трещин при циклическом и термическом нагружениях.
Практическая значимость работы результатов диссертации
определяется возможностью их использования для оценки усталостной
долговечности элементов различных конструкций, а также прочности
специальных их элементов, подвергаемых термическим нагружениям.
На защиту выносятся следующие положения:
4
1.
Новая формула для оценки скорости роста трещин при
циклическом нагружени.
2.
Комплексное влияние эксплуатационных и других факторов на
всех участках диаграммы усталостного разрушения на рост усталостных
трещин.
3.
Новый подход для определения поля термических напряжений и
смещений в упругой области, содержащей трещины нормального разрыва;
нахождение коэффициента интенсивности напряжений.
4.
Описание кинетики роста трещин, находящихся в специальном
температурном режиме нагружения.
Апробация работы. Основные результаты диссертации и работа в
целом были доложены на семинаре факультета «Прикладная математика и
информатика» Московского государственного открытого университета им.
В.С. Черномырдина (2013), семинаре кафедры «Прикладная математика»
Московского государственного университета машиностроения (МАМИ)
(2014–2015),
Всероссийской
научно-практической
конференции
«Актуальные проблемы прикладной математики, физики и механики» (г.
Махачкала, 22 февраля 2014), IV Международной научно-практической
конференции «Инновации на основе информационных и коммуникационных
технологий» (Сочи, 2014), семинаре по механике деформируемого твердого
тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Б.Г. Миронова (г.
Чебоксары,
2015),
XXVIII
Международной
научно-практической
конференции «Фундаментальные и прикладные исследования: проблемы и
результаты» (г. Новосибирск, 2016), XIII Международной научнопрактической
конференции
«Инновационные,
информационные и
коммуникационные технологии» (Сочи, 2016), Всероссийской научнотехнической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы
математики, информатики в современной науке: теория и практика
актуальных исследований» (Махачкала, 2016), семинаре Центра
математического образования Московского политехнического университета
(2017),
семинаре
кафедры
теоретической
механики
Казанского
(Приволжского) федерального университета под руководством доктора физ.мат. Наук, профессора, академика АН РТ Ю.Г. Коноплева (Казань, 2017).
Результаты диссертационной работы использованы в разделах лекционных
курсов дисциплин «Математическое моделирование прикладных задач»,
«Численные методы решения уравнения математической физики» по
направлению подготовки 01.04.02 «Прикладная математика и информатика»
Дагестанского государственного университета, а также внедрены в учебный
процесс Московского политехнического университета по направлению
5
подготовки 01.06.01 «Математика и механика» по направленности
«Механика деформируемого твердого тела».
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано
9 научных статей, в том числе четыре в журналах из Перечня изданий,
рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
пяти глав, заключения и списка литературы из 231 наименований.
Общий объем диссертации – 143 страницы. Работа содержит 30
рисунков.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность проблемы исследований и
кратко изложены основные научные положения, которые выносятся на
защиту.
Первая глава диссертационной работы состоит из семи параграфов. В
первом параграфе приведен обзор основополагающих теоретических и
экспериментальных работ по механике усталостного разрушения. Показано,
что процесс усталостного разрушения можно разделить на два периода:
- рассеянное разрушение, т.е. равномерное по объему увеличение числа
микротрещин;
- развитие магистральной трещины.
В работах А.А. Ильюшина, В.В. Новожилова и О.Г. Рыбакиной, Ю.Н.
Работнова разработан общий подход к построению теории рассеянного
разрушения в рамках механики сплошной среды.
Известно, что доля усталостной долговечности, которая приходится на
каждый из этих периодов, сильно зависит от свойств материала и
окружающей среды, условий нагружения, а также геометрии тела.
Кроме того, многочисленные экспериментальные работы показывают,
что период распространения усталостных микротрещин при определенных
условиях составляет значительную часть (30%–60%) времени долговечности.
Поэтому возникает необходимость более детального исследования процесса
докритического роста усталостных трещин.
Кроме того, экспериментальные работы по построению диаграммы
усталостного разрушения показывают, что на рост усталостных трещин и,
тем самым, на усталостную прочность влияют следующие факторы:
амплитуда нагружения, частота нагружения, асимметрия цикла, структура
тела и, прежде всего, величина и расположение начального дефекта,
геометрия тела, температура тела, окружающая среда.
Основная цель исследования заключается в определении функции
(, , ) в (1).
Впервые Парис предложил следующую эмпирическую формулу
6

= (∆ )4 ,

∆ = (1 − ) ,  =


.
(2)
Здесь r – асимметрия цикла; C – постоянная материала.
Формула (2) обнаруживает хорошее совпадение с экспериментальными
данными, полученными на сплавах алюминия 2024-ТЗ и 7075-Т6 в интервале
скорости 10-5 – 10-2мм/цикл, т.е. в среднем диапазона изменения ∆ .
Укажем некоторые недостатки формулы Париса:
1.
Показатель степени при ∆ не всегда равен 4 и может
изменяться от 2 до 10.
2.
Коэффициент C не всегда является постоянной материала (как
предполагал Парис), а зависит от асимметрии цикла, частоты нагружения,
температуры.

3.
Условия неустойчивости роста трещин (∆ → ∆∗ , → ∞)

формула Париса не учитывает.
Заметим, что все эмпирические формулы (формула Формана, формула
Екобори, формула С.Я. Яремы и др.) являются модификацией формулы
Париса. Эта модификация заключается в устранении того или иного из
вышеперечисленных недостатков формулы Париса путем уточнения
коэффициента C.
Впервые Г.П. Черепановым, на основе обобщенной энергетической
концепции, была построена количественная теория роста усталостных
трещин. При этом Г.П. Черепановым получена следующая формула:
2
2
2
2
∗
− 


− 
= − [
+ ln 2
(3)
].
2
2

∗
∗ − 
В диссертационной работе показано, что и формула Г.П. Черепанова
имеет ряд недостатков. Некоторые другие недостатки также имеет формула
Г.П. Черепанова – В.Д. Кулиева. В диссертационной работе более подробно
дается обзор экспериментальных работ, посвященных исследованию влияния
параметров циклического нагружения, температуры и окружающей среды на
рост усталостных трещин. Из этих работ следует, что вышеперечисленные
известные формулы не учитывают комплексного влияния параметров
циклического нагружения внешней температуры и окружающей среды на
рост усталостных трещин. В этой связи возникла необходимость более
детального исследования роста усталостных трещин и предложить новую
формулу. В первой главе (параграфы 2-7) даны известные сведения,
необходимые для выполнения и понимания диссертационной работы.
Во второй главе предложена количественная теория роста
усталостных трещин:
7
2
2
2
2
∗
− 


− 
= − (
+  2
)+
2
2

∗
∗ − 

(−1) !
0

+  ∑{
 [ ( − 2)( +
2 
! ( − )!
2
(4)
=0

+  )] ∗ 0 [ ( − 2)( −  )]} ≡
2
≡ ( ,  ),
0 = 21 .
Здесь постоянные ,0 , и n определяются из диаграммы усталостного разрушения, 0 () – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
Полученная нами формула (4) показывает, что она хорошо согласуется
с экспериментальными данными и учитывает влияние вышеперечисленных
факторов на рост трещины.
Третья глава посвящена получению формулы для оценки усталостной
долговечности элементов конструкции. Усталостная долговечность
конструкции, предлагаемой механикой разрушения, включает в себя
следующие основные моменты:
1.
Выбор формы, размера и местоположения наиболее опасного
трещиновидного дефекта.
2.
Определение коэффициента интенсивности напряжений KI.
3.
Определение по заданному режиму нагружения минимального и
максимального значений коэффициента интенсивности напряжений.
4.
Экспериментальное построение кинетической диаграммы

усталостного разрушения в системе координат
~∆ .

Если максимальное и минимальное значения нагрузки σ за цикл σmax и
σmin не зависят от времени, измеряемого числом циклов N, и если форма и
размеры трещины определяются одним параметром l, то число циклов можно
вычислять так:

=∫
0

.
( ,  )
(5)
Здесь lo – начальная длина трещины, определяется по данным
неразрущающей дефектоскопии.
Очевидно, устойчивый рост усталостной трещины продолжается до тех
пор, пока  ( , ) < ∗ . Если  ( , ∗ ) = ∗ , где ∗ –
минимальный корень данного уравнения, то разрушение будет неустойчивым
(динамическим). В этом случае имеем
∗
 = ∫
0

,
( ,  )
где Nf – число циклов до разрушения.
8
(6)
Из (6) видно, что все факторы, влияющие на рост усталостных трещин,
также влияют и на число циклов до разрушения Nf.
Из (4) и условия неустойчивого роста следует, что интеграл (6) имеет
интегрируемую особенность.
В подбор одного примера рассмотрена следующая краевая задача.
Пусть в однородной изотропной упругой полосе x   , -h  у  h
имеется трещина нормального разрыва у  0, x  l , где 2l – длина трещины.
На берегах трещины приложено некоторое нормальное напряжение
 y  о, x    ( x) (касательное напряжение  ху  х, o   0 ). Поверхности полосы
у  h
 x  
свободны
от
внешних
нагрузок.
На
бесконечности
( y  h, x  ) напряжения и смещения равны нулю.
Решение сформулированной краевой задачи строится с помощью
известных представлений Папковича – Нейбера перемещений и напряжений
через три гармонические функции (одна из трех гармонических функций
является произвольной). Решение данной задачи сводится к нахождению
решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода:

1
2  0  
d         t   0  , t  dt ,
(7)
 0  2   2
0
l 
 0  , t   2  
h
2

0
ие2и 1  е2и  2и  и  1
1 е
4и
 2ие
2и
l  l

 J 0  иt  J 0  и  dи,
h  h 
(8)
 0    1 .
  l ,    0 0   ,  0  const  0 .
Здесь J 0 ( x) – функция Бесселя нулевого порядка.
При этом коэффициент интенсивности напряжений   определяется
формулой
 l
    0  l  1,  .
(9)
 h
Здесь
 l
 1,    ( , l h)  1 .
 h
Пусть  () = 1. Тогда из (7), (8) и (9) имеем:
1
       t   0  , t  dt  1.
(10)
0
Численный анализ интегрального уравнения Фредгольма второго рода (10) с
непрерывным ядром (8) показывает (см. рис. 1):
9
S
y
2x0
T
S
l
2 y0
0
T0
l
x
L
Рис. 2
Рис. 1
1.
Если
то
l / h = 1,
(1; l / h)  1 .
2.
С увеличением l / h поправочная функция (1; l / h) также
увеличивается.
Из рис. 1 следует, что существует устойчивый рост трещины при
циклическом нагружении до некоторых значений l / h , где l / h определяется
как минимальный корень уравнения K I max ( max , l / h)  K* f .
В этой же главе доказано, что если на берегах трещины действуют
постоянные нормальные напряжения и толщина слоя бесконечна, то на
берегах трещины оба компонента вектора смещения отличны от нуля.
В четвертой главе рассмотрена одна задача термоупругости из К–
класса, решение которой построено В-методом.
Впервые задачи термоупругости К-класса в Em , где Em – евклидово
пространство, поставлены в работах В.Д. Кулиева. В этих же работах дан
метод, именуемый В-методом, решения общего К-класса задач.
Суть К-класса задач термоупругости состоит в следующем. Пусть
некоторый теплопроводящий, ничем не стесненный материал, нагретый в
начальный момент времени t  0 до температуры T  T0  const  0 , образует
тело, занимающее некоторую односвязную область S  .
Далее, пусть в бесконечной среде из того же материала, имеющей
нулевую температуру T  0 , вырезается отверстие в форме S  . В это
отверстие в начальный момент времени t  0 помещается тело S  из
материала с температурой T0 и в этот же момент времени жестко
закрепляется по общей границе L нагретого и холодного материалов (т.е. по
границе L области S  ) так, что на L нет скачка смещения.
Очевидно, постановка задачи, рассмотренной в этой главе, сильно
отличается от постановок задач, рассмотренных ранее в известных работах.
В данной главе рассмотрена задача о кинетике роста горячей трещины
в случае, когда геометрия области S  , введенной при постановке общей
задачи, достаточно проста, а именно: пусть область S  представляет собой
плоский прямоугольник со сторонами 2x0 и 2 y0 . В дальнейшем эту задачу
10
будем называть задачей K0. Начало системы декартовых координат x и y
выберем в центре прямоугольника, ось x направим параллельно той стороне,
длина которой равна 2x0 (рис. 2).
Пусть начальная трещина длиной 2l расположена вдоль оси x
симметрично относительно начала координат. Предполагается, что берега
трещины свободны от внешних нагрузок.
Решение задачи K0 строится в таком порядке. Вначале определяется
температурное поле; затем из уравнений термоупругости Дюамеля –
Неймана для тела без трещины находится напряжение  y при y  0, x  l;
полученное напряжение с обратным знаком подставляется в известное общее
выражение для коэффициента интенсивности напряжений в случае
изолированной трещины и изотермического процесса. Зависимость
трещиностойкости материала K c от температуры вне интервала
хладноломкости представляется в виде:
Kc  Kc T  l ,0, t  .
(11)
Зависимость (11) можно определить из соответствующих экспериментальных
данных с заранее заданной точностью.
Ниже предполагается, что тело находится в плосконапряженном
состоянии (тонкая пластина).
Решение задачи Коши


T0  const  0, если  x, y   S ,
T  x, y,0   
, если  x, y   S 

0
для однородного уравнения тепловодности Фурье имеет вид
T  x x
 x  x     y0  y 
 y  y 
T  x, y, t   0 erf  0
 erf  0
 erf 
 erf  0




 ,
4   2 at 
 2 at     2 at 
 2 at  
(12)

2
2

erf    erf    
 e d ,

0
где erf   – функция вероятности ошибок Гаусса.
Из (12) в пределе при t  0 приходим к следующему представлению
разрывного начального распределения температуры
lim T  x, y, t   T0 F  x, y  ,
t 0
F  x, y    H  x0  x   H  x0  x   1  H  y0  y   H  y0  y   1 .
Здесь H ( ) – симметричная единичная функция Хевисайда:
1 , при   0,
1

H     , при   0,
2

0 , при   0.
11
Заметим, что
H  0  0  H  0  0, H  0  0   H  0   1.
Отсюда следует, что вдоль L , по обе стороны от контура, имеется
достаточно узкая полоса шириной 2 (по  с каждой стороны L ;   0 ),
внутри которой регуляризованное начальное распределение температуры
убывает от T0 до нуля. Поэтому следует провести регуляризацию начального
распределения температур по С.Л. Собелеву
Fh ( x, y )   h (r ) F ( , )d d ,
(13)
r h
F ( x, y)   H ( x0  x)  H ( x0  x)  1 H ( y0  y)  H ( y0  y )  1,
( r  ( x   )2  ( y   )2 ).
Здесь h (r ) – усредняющее ядро.
П+2
y
y0+ε
y0
y0-ε
П-1
S+
0
-x0-ε -x0 -x0+ε
x0-ε
-y0+ε
-y0
-
П2
SП+1
x0
x
x0+ε
L
-y0-ε
Рис. 3
Введем обозначения (рис. 3). Через S обозначим область: | x | x0   ,
| y | y0   , где  (  0) – достаточно малая величина; через S – область:
E2 \ D , где D есть область | x | x0   , | y | y0   ; через S  – область

| x | x0 , | y | y0 ; через S – область | x | x0 , | y | y0 ; через  – область:
D \ S .
Ниже будем использовать обозначения  j ( j  1,2,3,4) . Здесь 1 есть
область: x0    x  x0   , | y | y0   ; 1 – область:  x0    x   x0   ,
| y | y0   ;  2 – область: y0    y  y0   , | x | x0   ;  2 – область:
 y0    y   y0   , | x | x0   ;  3 – область:  x0    x   x0   ,
y0    y  y0   ;  4 – область:  x0    x   x0   ,  y0    y   y0   .

Границу области прямоугольника S обозначим L. Если пишем
h  S , то предполагаем, что  h – окрестность точки M ( x, y)  S целиком
находится в области S и её окрестность не пересекается с границей L. Если
пишем   S , то предполагаем, что радиус усреднения h равен ε, т.е.
радиус усреднения h может быть взят сколь угодно малым.
12
Функция Fh ( x, y) , определяемой по формуле (13), обладает свойствами:
1º. Она непрерывна на всей плоскости E2 , причем


1, если ( x, y )  S ,
Fh ( x, y )  


0, если ( x, y )  S ,
а внутри области  (т.е. когда ( x, y)  ) она имеет некоторые значения,
отличные от нуля и единицы.
2º. Она имеет непрерывные всевозможные частные производные
любого порядка на всей плоскости E2 , причем все её частные производные
равны нулю везде, за исключением внутренности области  , где они,
вообще говоря, отличны от нуля.
Таким образом, с помощью В-метода решения К-класса задач
приходим к исследованию кинетики роста горячей трещины, рассмотренной
в пятой главе.
В пятой главе сформулирована новая задача, отличающаяся от задачи,
рассмотренной ранее о кинетике роста «горячей» трещины, и получены
некоторые новые результаты, позволяющие решить эту задачу. Здесь
определены поле напряжений и деформаций для задачи K 0 -класса для
прямоугольника с центральной трещиной нормального разрыва. Определен
коэффициент интенсивности напряжений K I и дан анализ.
Сформулируем условия для рассматриваемой задачи
I.
Начальные условия:
T , если ( x, y)  S  ,
 x t 0   0

0, если ( x, y)  S ;
T , если ( x, y)  S  ,
 y t 0   0

0, если ( x, y )  S .
В любой точке ( x, y)  E2 выполняются также условия
 xy t 0  0,
 x t 0  0,  y t 0  0,  xy t 0  0.
II.
Условия непрерывности:
1º. На границе L области S  нет скачка смещения.
2º. На границе L области S  напряжения не терпят разрыв.
III.
Условия на бесконечности.
Смещения, напряжения и главный вектор сил (а также вращение) в
бесконечно удаленной точке полагаем равными нулю.
13
Из условий непрерывности следует, что компоненты смещения u и 
должны принадлежать классу функций C (3) ( E2 ) . Для того, чтобы
удовлетворить требованиям u  C (3) ( E2 ) и   C (3) ( E2 ) , необходимо:
1. Провести регуляризацию функции F ( x, y) в E2 .
2. Решить задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности
Фурье
1 T
T 
,
a t
если в начальный момент времени t  0 область D ( D :| x | x0   ,
| y | y0   ), нагрета до температуры T0 Fh ( x, y) ( T0  const  0 ), а
теплопередающая среда в остальных точках E2 имеет нулевую начальную
температуру, т.е.
T ( x, y, t ) t 0  T0 Fh ( x, y).
Решение такой задачи описывается формулой Пуассона:
 
2
2
R
R


T0
T0
4 at
4 at
T ( x, y , t ) 
  Fh ( , )e d d  4 at D Fh ( , )e d d
4 at 

(14)
( R  ( x   )2  ( y   ) 2 ).
Функция T ( x, y, t ) , определяемая формулой (14), непрерывна и имеет
непрерывные производные любого порядка в E2 .
Представление температуры T ( x, y, t ) в виде (14) дает возможность
определить из системы уравнений напряжений Дюамеля – Неймана так:
2GT0  Fh ( x, y )
F ( x, y ) 
x 
x
y h


1 v 
x
y 
   2T ( x, y, )
 2  0 ( x, y ) 
Fh ( x, y )
2G (1  v)  a 
d



2
G

T
y
,

0
2
2

y

y

y
 t

y 
2GT0  Fh ( x, y )
F ( x, y ) 
x
y h


1 v 
x
y 
   2T ( x, y, )
 2  0 ( x, y ) 
Fh ( x, y )
2G (1  v)  a 
d



2
G

T
x
,

0
x 2
x 2
x
 t

14
 Fh ( x, y )
F ( x, y ) 
y h

y
x 

 xy  GT0  x
   2T ( x, y, )
 2  0 ( x, y ) 
2G (1  v)  a 
d 
.

x

y

x

y
 t

Эти формулы можно записать в виде
 2T  x, y, 
 x  x, y, t   2G 1    a 
d  0,
2

y
0
t
 2T  x, y, 
 y  x, y, t   2G 1    a 
d  0,
2

x
0
t
(15)
 2T  x, y, 
 xy  x, y, t   2G 1    a 
d

x

y
0
t
 x, y   S .


Учитывая, что функция T  x, y, t  здесь определяется зависимостью
(12), на основании (15) можно сделать следующие выводы:
1. Нормальные напряжения  x  x, y, t  и  y  x, y, t  при t>0
описываются функциями, четными и по x и по y.
2. При прочих равных условиях напряжения  x  x, y, t  и  y  x, y, t 
представляют собой монотонно возрастающие функции времени t, в
начальный момент равные нулю:
 x  x, y,0   0,  y  x, y,0   0.
3. Касательное напряжение  xy  x, y, t  при t > 0 является нечетной
функцией и по x, и по y.
Кроме того показано, что   x,0, t   0,  xy  x,0, t   0 ,  x, y   S   .
Из выражений (15) с учетом (12) получаем
2
 x0  x 
G 1   T0 t  
 y  x,0, t  
  x0  x  e 4 a 

2 a
0 

 y0  
(16)
2
 x0  x   erf 

 2 a   d ,
  x0  x  e 4 a 

 




15
 x, y   S  .

Отсюда следует, что значения
0   y  x,0, t    y max , где
 y max  lim  y  x,0, t  
t 
 y ( x,0, t )
заключены в промежутке
 y0 
 y0  
2GT0 1    
arctg 
  arctg 


 x0  x 
 x0  x  

 x, y   S  .

Коэффициенты интенсивности напряжений K I и K I для
изолированной центральной трещины длины 2l   x0  l  x  l  x0 , y  0  в
точках x  l и x  l определяются формулой:
G 1   T0 l 1 1


KI  KI  KI 
0 1   2 
 a

2
2
 x0  l 
 x0  l   erf
 
   x0   l  e 4 a   x0   l  e 4 a 

0 


t
 y0  


 2 a  d d , (l  x ).

0
32


(17)
Отсюда следует, что при прочих равных условиях с течением времени t
коэффициент интенсивности напряжений K I увеличивается.
Из (17) при t   получим
G 1   T0 l 1 1
*
K I  limK I 
0 1   2 
 a
t 

2
2
 x0  l 
 x0  l   erf
 
   x0   l  e 4 a   x0   l  e 4 a 

0 



 y0  


 2 a  d d , l  x .
 0

32


Отсюда окончательно найдем
KI*max  2G 1  T0  lY (b, l* ).
Здесь
16
(18)
Y (b, l* ) 
 b 
 b 
1
arctg 
  arctg 


1

l
1

l

* 

* 
(19)
 B  2C 
 B 
arctg 
  arctg    ,
 A  2D  1 
 A 
(b2  1) 2
2bl*2
B
1 2
2

l* , B 
,
, A 1
С
A B A , D
(1  b2 )2
(1  b 2 ) 2
2C
2
y
l
b  0 , l*  , ( A  0, B  0, C  0, C  D), (0  l *  1).
x0
x0
Функцию Y (b, l* ) в механике разрушения иногда называют
корректирующей функцией.
Из (18) и (19), в частности, следует:
1º. Если b   (при этом предполагается, что x0 является некоторой
конечной величиной), то
KI*  2G 1  T0  l ,
(0  l  x).
2º. Если b  1 (при конечном x0 (или y0 )), то

 1

4
2
 l*2 
1
l
1

*
Y (1, l* )  1  arctg  2   arctg    arctg 
1    .

4 2 
 2
2
 l* 



3º. Если b  0 (при конечном x0 ), то K I*  0.
4º. Если b  0 (при конечном y0 ), то K I*  0.
Поведение функции Y (b, l* ) иллюстрируют результаты численного
расчета, представленные графически на рис. 4, где каждая кривая задача есть
график зависимости функции Y (b, l* ) от l* при некотором фиксированном
значении безразмерного параметра b.
Y 1
0,9
0,8
b=0,1
0,7
b=0,5
0,6
0,5
b=1
0,4
b=2
0,3
b=10
0,2
0,1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
l*
Рис. 4
Из представленных на рисунке графиков видно, что:
17
1. При фиксированном значении параметра b функция Y (b, l* )
монотонно растет с ростом l* (0  l*  1) .
2. При фиксированном значении l* функция Y (b, l* ) монотонно растет с
увеличением параметра b.
Заключение.
I. Краткое содержание и новизна результатов.
1.
Получена новая формула для скорости роста усталостных
трещин, позволяющая учесть комплексное влияние на усталостную
прочность тела с развивающейся трещиной нормального разрыва таких
факторов, как асимметрия цикла, частота нагружения, амплитуда
нагружения, структура тела и, прежде всего, величины и расположения
начального дефекта, геометрия тела, температура тела, окружающая среда
(инактивные среды) и других факторов на всех участках диаграммы
усталостного разрушения.
2.
Проведенный анализ показал, что полученная формула хорошо
согласуется с имеющимися экспериментальными данными, посвященными
исследованию влияния параметров нагружения на скорость роста
усталостных трещин.
3.
Полученная формула позволяет устранить недостатки формулы
Г.П. Черепанова – В.Д. Кулиева для скорости роста усталостных трещин,
полученной при условии независимости действия механизма конечной
пластической деформации от термоактивационного химического механизма
последовательного обрыва связей в конце трещины.
4.
В качестве примера рассмотрена смешанная краевая задача для
трещины нормального разрыва в упругом слое материала. Определен
коэффициент интенсивности напряжений и тем самым исследована скорость
роста трещины при циклическом нагружении.
5.
Поставлена задача о кинетике роста «горячей» трещины и
получена формула для определения коэффициента интенсивности
напряжения в вершине трещины, находящейся внутри прямоугольной среды,
и проведен соответствующий численный анализ.
II. Возможные пути применения полученных результатов
1.
Причиной разрушения силовых элементов конструкции может
быть распространения в них усталостных трещин. В диссертационной работе
получена формула, учитывающая влияния практически важных факторов на
рост усталостных трещин.
Важно отметить:
1.1 В первой главе дается обзор экспериментальных работ, дающих
необходимую информацию о влияниях параметров циклического нагружения
(размаха коэффициента интенсивности напряжений K I  KImax  KImin ,
средних напряжений цикла, асимметрии цикла и частоты нагружения),
инактивных сред и температуры на рост усталостных трещин.
1.2 В третьей главе получена формула (6), позволяющая оценить
число циклов до разрушения N f . Из этой формулы следует, что все факторы,
18
влияющие на рост усталостных трещин, также влияют и на число циклов до
разрушения N f . Более того, на число циклов до разрушения N f влияет также
трещиностойкость материала при циклическом нагружении K* f , которая
зависит от структуры материала. Из (6) следует, что чем больше K* f , тем и
больше N f .
Таким образом, при проектировании силовых элементов конструкций
следует тщательно анализировать приведенные в пунктах 1.1 и 1.2
материалы.
Задачи К-класса термоупругости, как плоские, так и пространственные,
представляют значительный практический интерес, например, для создания
неподвижных (прессовых) соединений деталей машин.
Публикации автора по теме диссертации
Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации
основных результатов исследований
[1]. Кулиев В.Д. К теории роста трещин при циклическом
нагружении / Кулиев В.Д., Курбанмагомедов А.К. // Вестник Чувашского
государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева.Серия:
Механика предельного состояния . – 2013. – № 4(18). – С. 52-67.
[2]. Кулиев В.Д. В-метод решения одной задачи термоупругости из
К-класса / Кулиев В.Д., Курбанмагомедов А.К. // Вестник Дагестанского
научного центра РАН. – 2014. – №54. – С. 18-25.
[3]. Кулиев В.Д. Кинетика роста «горячей» трещины. / Кулиев В.Д.,
Курбанмагомедов А.К. // Вестник Дагестанского научного центра РАН.
– 2014. – №55. – С. 12-21.
[4]. Курбанмагомедов А.К. Трещина нормального разрыва в упругом
слое / Курбанмагомедов А.К. //Вестник Чувашского государственного
педагогического университета им.И.Я. Яковлева. Серия: Механика
предельного состояния. – 2017. –№1(31). –С. 92-101.
Публикации в других изданиях
[5]. Курбанмагомедов А.К. Влияние различных факторов на рост
усталостных трещин / Курбанмагомедов А.К. // Всероссийская научнопрактическая конференция «Актуальные проблемы прикладной математики,
физики и механики» г.Махачкала. – 2014. – С. 246-251.
[6]. Кулиев В.Д., Курбанмагомедов А.К. Скорость роста усталостных
трещин. Некоторые явления / Кулиев В.Д., Курбанмагомедов А.К. //
Сборник материалов XXVIII Международной научно-практической
конференции «Фундаментальные и прикладные исследования: проблемы и
результаты». – 2016. – С. 66-71.
19
[7]. Курбанмагомедов А.К. Моделирование упруго-прочностных
свойств армированных композитов / Макаров Е.М., Раджабов З.Р.,
Курбанмагомедов А.К. // Сборник трудов IV Международной Научнопрактической конференции «Инновации на основе информационных и
коммуникационных технологий». – 2014. – Т.1. – С. 464-467.
[8]. Курбанмагомедов А.К. Модель трещины нормального разрыва в
упругом слое / Курбанмагомедов А.К. // Сборник трудов XIII
Международной Научно-практической конференции «Инновационные,
информационные и коммуникационные технологии». – 2016. – С. 390-395.
[9]. Курбанмагомедов А.К. Компьютерное моделирование упругопрочностных свойств многослойных материалов / Макаров Е.М., Раджабов
З.Р., Курбанмагомедов А.К. // Сборник: Компьютерные измерительные
технологии. Материалы I Международного симпозиума. – 2015. – С. 277-280.
20
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
1 189 Кб
Теги
нагружения, термомеханический, роста, трещин
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа