close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Численное исследование свободной конвекции жидкости в термовязких средах c немонотонной зависимостью вязкости гауссовского типа

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
КУЛЕШОВ Василий Сергеевич
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ ЖИДКОСТИ В
ТЕРМОВЯЗКИХ СРЕДАХ C
НЕМОНОТОННОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ
ВЯЗКОСТИ ГАУССОВСКОГО ТИПА
Специальность 01.02.05 —
«Механика жидкости, газа и плазмы»
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Уфа — 2018
Работа выполнена в Институте механики им. Р. Р. Мавлютова — обособленном структурном подразделении Федерального государственного бюджетного
научного учреждения Уфимского федерального исследовательского центра
Российской академии наук
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук,
Моисеев Константин Валерьевич
Официальные оппоненты: Мусакаев Наиль Габсалямович,
доктор физико-математических наук, доцент,
Тюменский филиал ФГБУН Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, главный научный сотрудник,
заместитель директора по научной работе
Топорков Дмитрий Юрьевич,
кандидат физико-математических наук, Институт механики и машиностроения — обособленное структурное подразделение ФГБУН «Федеральный исследовательский центр «Казанский
научный центр РАН», старший научный сотрудник лаборатории «Вычислительной динамики сплошной среды»
Ведущая организация:
Федеральное
государственное
бюджетное
учреждение науки Институт теплофизики
им. С. С. Кутателадзе Сибирского отделения
Российской академии наук
Защита состоится 22 ноября 2018 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.013.09 при Башкирском государственном университете по
адресу: 450076, г. Уфа, ул. З. Валиди, 32, физико-математический корпус,
ауд. 400.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Башкирского
государственного университета www.bashedu.ru/dissovets.
Автореферат разослан
Ученый секретарь
диссертационного совета
к.ф.-м.н, доцент
октября 2018 года.
Киреев Виктор Николаевич
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Во многих процессах, происходящих в природе и в результате деятельности человека, формируется свободная конвекция,
способная оказать значительное влияние на их развитие. К таким процессам,
например, относятся океанические и атмосферные течения. Конвекция определяет структуру течения рабочих сред во многих аппаратах и устройствах
на предприятиях нефтяной и химической промышленности. Явление свободной конвекции возникает из-за разности плотностей жидкости в результате
неравномерного нагрева в поле силы тяжести.
Исследованию особенностей различных аспектов конвективного тепломассопереноса было уделено большое внимание в работах А. Грехэма,
Х. Типпельскирха, И. Пальма, В. И. Полежаева, Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховицкого, В. С. Бердникова, Г. А. Остроумова, В. В. Пухначева, Б. Гебхарда,
Й. Джалурии, Р. Махаджана и других. К настоящему времени накоплен большой теоретический задел по изучению особенностей конвективных течений
с постоянными теплофизическими свойствами жидкости, процессов переноса
в пресной и соленой воде, естественной и смешанной конвекции и так далее.
Несмотря на то, что всем жидкостям присуще изменение вязкости от температуры, при решении задач подобным явлением, как правило, пренебрегают,
хотя данный аспект приобретает немаловажное значение при изучении динамики жидкостей с интенсивным теплообменом и большим градиентом температур. Учет переменных теплофизических параметров является существенным при решении задач, связанных с течением лавы, различных полимеров,
жидких металлов и других сред. При этом в отечественной и зарубежной
литературе широко представлены научные работы по гидродинамике с переменными теплофизическими свойствами жидкости, берущие свое начало от
Л. С. Лейбензона и получившие продолжение в работах С. С. Кутателадзе,
Б. В. Петухова и их коллег. Большинство моделей, описывающих зависимость
вязкости от температуры, имеют монотонный характер и называются моделями аррениусовского типа. Физические принципы изменения свойств вязкости
от температуры были установлены в работах Я. И. Френкеля, Г. Эйринга,
С. К. Вильсона, Б. Р. Даффи, Е. Р. Лихачева и других.
Ряд веществ, например, растворы полимерных жидкостей, жидкая сера, аномально вязкие нефти, характеризуются немонотонными зависимостя3
ми вязкости от температуры. При этом другие теплофизические и физикохимические параметры таких жидкостей также достаточно чувствительны
к изменению температуры. Изменение вязкости данных веществ обуславливается процессами полимеризации и деполимеризации молекул: образование
более длинных полимерных цепочек на некотором температурном интервале,
что приводит к увеличению вязкости, а дальнейшее повышение температуры,
наоборот, сокращает их длину и приводит к уменьшению вязкости.
Важным условием создания эффективных технологий является понимание закономерностей течения рабочих сред с переменными теплофизическими параметрами, обеспечивающих качественные и количественные показатели в производственных процессах. Такие закономерности изучены в недостаточной степени и требуется корректная постановка задачи для их теоретического и экспериментального исследований.
В связи с вышеизложенным, актуальность темы исследования связана с необходимостью развития теории конвективного теплообмена в неоднородных средах, встречающихся как в промышленных устройствах, так и в
природе.
Целью данной работы является установление особенностей свободно
конвективного тепломассопереноса в средах с немонотонной зависимостью
вязкости от температуры гауссовского типа и выявление параметров, определяющих режимы течений в квадратной ячейке при различных способах
подвода тепловой энергии, а также их влияние на локальный и интегральный теплообмен.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
1. Разработан высокопроизводительный программный продукт для
численного моделирования тепломассопереноса неоднородной жидкости.
2. Исследована картина свободно конвективных течений в квадратной ячейке, подогреваемой либо снизу, либо сбоку, при изменении
параметров функциональной зависимости вязкости от температуры
гауссовского типа.
3. Построены карты режимов теплообмена при свободной конвекции
жидкости в ячейке, подогреваемой снизу или сбоку, в зависимости
от параметров задачи.
4
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Модифицированный метод контрольного объема, аппроксимирующий нестационарные члены вторым порядком, с применением кубических сплайнов при интерполяции физических полей.
2. Роль параметра FWHM (полная ширина функциональной зависимости вязкости от температуры гауссовского типа, определяемая на
половине максимального значения в режиме чистой теплопроводности) при свободно конвективном тепломассопереносе термовязкой
жидкости в квадратной ячейке при различных способах подвода
тепловой энергии.
3. Влияние «вязкого барьера» на глобальную картину течения, а также на локальный и интегральный теплообмены в квадратной ячейке.
4. «Вязкий барьер» как гидродинамическая преграда, формируемая
при свободной конвекции термовязкой жидкости гауссовского типа
и разделяющая ячейку на две области течения.
Научная новизна:
1. Исследованы закономерности эволюции дополнительных вихревых
структур в зависимости от максимального значения вязкости и параметра FWHM.
2. Обнаружено формирование дополнительных вихревых структур
при свободной конвекции жидкости с немонотонной температурной
зависимостью вязкости гауссовского типа и установлена их роль в
динамике переходных процессов.
3. Оценена степень влияния «вязкого барьера» на интенсивность теплообмена при свободной конвекции.
4. Показана возможность существования режима с изолированными
конвективными ячейками, разграниченными между собой «вязким
барьером».
Практическая значимость. Полученные в работе результаты позволяют лучше понять процессы, происходящие: в аппаратах, используемых
в различных отраслях промышленности; при разработке новых теоретических технологий для транспортировки, хранения и переработки неоднородных сред. Результаты могут применяться для оценки степени воздействия
на режимы технологических процессов рабочих сред с немонотонной зависи5
мостью вязкости от температуры, в частности, на процессы в тепломассообменных колоннах, нагревательных и холодильных установках. Полученные в
работе карты режимов теплообмена могут быть использованы при создании
и разработке новых устройств на основе теплоносителей с неоднородными
свойствами жидкости.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью математической постановки задачи, основанной на применении законов
сохранения механики сплошных сред, апробированных методов вычислительной гидродинамики. Обоснованность результатов гарантируется сходимостью
и точностью вычислительного метода и хорошим согласованием тестовых
расчетов с известными аналитическими и «эталонными» решениями.
Апробация работы. Основные положения и результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих конференциях: Российская научно-техническая конференция «Мавлютовские чтения», посвященная 90-летию со дня рождения члена-корр. РАН, д.т.н., проф. Р. Р. Мавлютова (Уфа, 21–24 марта 2016 г.); VIII Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященная памяти
академика А. Ф. Сидорова и Всероссийская молодежная школа-конференция
(Абрау-Дюрсо, 05–10 сентября 2016 г.); 8-ая международная научная школа
молодых ученых «Волны и вихри в сложных средах» (Москва 07–09 ноября
2017 г.)
Кроме того, результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах в ФГБУН Институте механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ
РАН, в ООО «РН-УфаНИПИнефть», в ФГБУН Институте теплофизики
им. С. С. Кутателадзе СО РАН под руководством д.ф.-м.н. В. С. Бердникова, в Тюменском филиале ФГБУН Институте теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН под руководством д.ф.-м.н.
А. А. Губайдуллина, на кафедре Газовой и волновой динамики механикоматематический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова под руководством академика РАН Р. И. Нигматулина.
Личный вклад. Автор участвовал в постановке задачи, разработке
методов решения. Автором разработан высокопроизводительный программный продукт, основанный на модифицированном методе контрольного объема; проведен ряд вычислительных экспериментов; проанализированы и описаны результаты исследований, представленные в опубликованных работах.
6
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены
в 8 работах, 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Полный объем диссертации 130 страниц текста с 72 рисунками и 6 таблицами. Список литературы содержит
167 наименование.
Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю к.ф.-м.н. К. В. Моисееву за постановку задачи; д.ф.-м.н.
С. Ф. Урманчееву и д.ф.-м.н. С. В. Хабирову за полезное обсуждение результатов работы, ценные советы и оказанную поддержку; к.ф.-м.н. К. И. Михайленко за консультации в области высокопроизводительных вычислений. Также автор выражает неизменную признательность Е. А. Налобиной за огромный труд по редактированию и подготовке диссертации к печати.
Вычислительные эксперименты проводились на суперкомпьютере
Уфимского государственного авиационного технического университета.
Диссертационная работа выполнена при содействии Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №№ 14-08-97060-р_поволжье_а
и 17-41-020576-р_а).
Содержание работы
Во введении отражена актуальность темы исследований, проводимых в диссертационной работе, сформулированы цели, отмечены научная
новизна, достоверность результатов и практическая значимость работы, а
также кратко изложена структура диссертации.
В первой главе выполнен обзор теоретических и экспериментальных исследований, изучающих процессы конвективного тепломассопереноса
и течений термовязких сред c различного рода зависимостями вязкости от
температуры. Представлена система нелинейных дифференциальных уравнений термогравитационной конвекции, записанная в приближении Обербека–
Буссинеска и описывающая процесс свободной конвекции жидкости в однородном поле силы тяжести, обосновано ее применение в настоящей работе.
Во второй главе подробно описаны модифицированный метод контрольного объема и алгоритм SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure
Linked) для численного решения обобщенного дифференциального уравне7
ния, представляющего собой закон сохранения. Проведен сравнительный анализ тестовых расчетов с использованием разработанного высокопроизводительного программного продукта для численного моделирования тепломассопереноса жидкости с известными аналитическими решениями: течение изотермической, термовязкой (экспоненциальная зависимость вязкости от температуры) жидкости в плоском канале и с известными «эталонными» решениями1 : свободная конвекция в квадратной полости, подогреваемой снизу.
Проведен анализ сходимости и оценен порядок точности численного метода.
Тестовые расчеты показали хорошую сходимость, устойчивость и точность
численных вычислений.
В третьей главе численно исследуется термогравитационная конвекция аномально термовязкой жидкости в квадратной полости с вертикальными адиабатическими и горизонтальными изотермическими стенками (рис. 1). Рассмотрена модельная ньютоновская жидкость, в которой зависимость вязкости от температуры описывается некоторой колоколообразной
функцией (гауссовской кривой), которую можно представить в следующем
безразмерном виде:
2
µ (θ) = 1 + −θ ,
(1)
где θ — безразмерная температура;  и  — параметры аномалии жидкоµmax
сти, при этом параметр  =
− 1 показывает отношение максимального
µmin
и минимального значений вязкости в заданном диапазоне изменения температуры [θ : θ ], а параметр  > 0 характеризует степень заполненности
заданного температурного интервала, увеличение которого свидетельствует
о сужении диапазона температур, на котором происходит немонотонное изменение вязкости.
На рис. 2 показан график функции (1) и пояснен геометрический
смысл параметров, входящих в данную формулу.
Представлена замкнутая система нелинейных дифференциальных
уравнений свободной конвекции в приближении Обербека-Буссинеска, в случае термовязкой жидкости в двумерной области:
 
+
= 0;
(2)
 
1
Ouertatani N., Cheikh Nader Ben, Beya Brahim Ben, Taieb Lili Numerical simulation of two-dimensional
Rayleigh–Benard convection in an enclosure // Comptes Rendus Mecanique. 2008. Т. 336, No 5. С. 464–470
8
y
L
теплопроводная граница
+1
∂T
= 0, u = 0, v = 0
∂x
адиабатическая граница
~g
∂T
= 0, u = 0, v = 0
∂x
L
адиабатическая граница
µ
TC , u = 0, v = 0

+1
2
√︂
FWHM=2
ln2

1
TH , u = 0, v = 0
теплопроводная граница
-0.5
x
0
θ
0.5
Рис. 1 — Схема расчетной области
Рис. 2 — Гауссовская зависимость
вязкости от температуры
[︃
]︃
[︃
]︃
(︂ )︂ 12
(︂ )︂ 12




Pr
Pr

+
 − 2
µ (θ)
+
 −
µ (θ)
=
 
Ra


Ra

[︃(︂ )︂ 1
]︃
(3)
2


Pr

=−
+
µ (θ)
;
 
Ra

[︃
]︃
[︃
]︃
(︂ )︂ 12
(︂ )︂ 21


Pr


Pr

+
 −
µ (θ)
+
−2
µ (θ)
=
 
Ra


Ra

[︃(︂ )︂ 1
]︃
(4)
2



Pr
=− +
µ (θ)
+ θ;
 
Ra

)︂
(︂ 2
θ (θ ) (θ )
 θ  2θ
− 12
+
+
= (Pr · Ra)
+
.
(5)



2  2
где ,  — компоненты вектора скорости в прямоугольной ортогональной системе координат , ;  — время;  — отклонение от гидростатического давления; θ — безразмерная температура; Pr, Ra — числа Прандтля и Рэлея.
Полагается, что в начальный момент времени жидкость находится в
равновесии и определяется при средней температуре 0 :
|=0 = 0 ,
|=0 = 0 ,
θ|=0 = θ0 = 0 .
Для компонент вектора скорости на всех границах расчетной области
задавались условия прилипания ( = 0 и  = 0). Граничные условия для
температуры в соответствии с поставленной задачей записываются как:
θ ⃒⃒
θ ⃒⃒
1
1
= 0,
= 0,
θ|=0 = θ = ,
θ|=1 = θ = − .
⃒
⃒
 =0
 =1
2
2
9
Для исследования функциональной зависимости вязкости на заданном температурном интервале рассмотрим параметр FWHM (full width at
half maximum), который представляет собой полную ширину, рассчитанную
как разность между максимальным и минимальным значениями аргумента
функции вязкости, взятыми на уровне, равном половине ее максимального
значения в режиме чистой теплопроводности:
√︂
ln2
FWHM = 2
.

В рамках настоящей работы поставлена задача о влиянии параметров колоколообразной зависимости вязкости от температуры (1) на режимы
течения жидкости в квадратной полости. Исследовался следующий диапазон
параметров задачи: числа Прандтля полагались равными Pr = 10−1 ; 100 ; 101 ,
числа Рэлея Ra = 103 ; 104 ; 105 ; 106 , параметр аномалии  изменялся в диапазоне 1 ≤  ≤ 104 , параметр  — в диапазоне 10−2 ≤  ≤ 104 .
Анализ полученных результатов позволил установить следующее: в
диапазоне 1 ≤  ≤ 102 с увеличением числа Ra и для любых значений параметров  и Pr, изменяющихся в своих заданных интервалах, наблюдается переход от стационарного, преимущественно одновихревого, режима, расположенного в центральной части области, к периодическому с внутренним
перезамыканием вихрей, или в ряде случаев к хаотическому (турбулентному) режиму. Переход к турбулентному режиму также обусловлен ростом
числа Pr. Подобные режимы течений были впервые обнаружены в работе
А. М. Ильясова, К. В. Моисеева, С. Ф. Урманчеева2 .
Следующие результаты моделирования представлены при фиксированных значениях чисел Прандтля Pr = 10−1 и Рэлея Ra = 106 , определенных при минимальном значении вязкости. Численные исследования показали, что при значение параметра FWHM больше четверти рассматриваемого
температурного интервала ( < 40) и  < кр , картина течения аналогична свободной конвекции жидкости с постоянной вязкостью. Так же отметим,
что с увеличением максимального значения вязкости (параметр ) максимальные значения компонент вектора скорости убывают и стремятся к 0, а
интегральные коэффициенты теплообмена в ячейке к 1, то есть при значениях  ≥ кр наблюдается режим чистой теплопроводности.
2
Ильясов А.М., Моисеев К.В., Урманчеев С.Ф. Численное моделирование термоконвекции жидкости
с квадратичной зависимостью вязкости от температуры // Сиб. журн. индустр. матем. 2005. Т. 8, № 4.
С. 51–59.
10
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
y
1
y
1
y
1
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0
0.2
0.4
x
0.6
0.8
1
x
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
(а)
(б)
(в)
Рис. 3 — Изолинии функции тока при разных параметрах системы:
(а) — постоянная вязкость; (б) —  = 10;  = 103 , (в) —  = 300;  = 103
14
12
10
6.0
5.8
8
Nu
Nuloc
6.2
µ = const
 = 10
 = 100
 = 200
 = 300
6
5.4
4
5.2
2
0
5.6
5.0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

0
 = 100
 = 250
 = 1000
50 100 150 200 250 300 350

(б)
(а)
Рис. 4 — Изменение локальных безразмерных коэффициентов теплоотдачи
на горячей стенке (а) и интегральных коэффициентов во всей области (б)
Однако, при значениях параметра FWHM меньше четверти рассматриваемого температурного интервала ( ≥ 40) отчетливо наблюдается влияние «вязкого барьера» (выделенной области максимальной вязкости) на
картину течений и теплообмен. Так, с ростом параметра  происходит
формирование третичных вихрей, располагающихся на высоте  ≈ 0.2 и
 ≈ 0.8 (рис. 3), и наблюдается увеличение этих вихрей, а также уменьшение
вторичных вихрей, расположенных в углах ячейки. Образовавшиеся третичные микровихри приводят к качественным изменениям теплообмена как на
теплопроводных стенках, так и во всей полости (рис. 4).
С дальнейшим увеличением параметра аномалии  система теряет устойчивость и стационарный режим сменяется периодическим. Уста11
новлено, что для  = 103 периодический режим наблюдается в диапазоне 350 ≤  < 3450, при этом третичные вихри сосредоточены преимущественно на периферии у границ ячейки. Отметим, что нижняя граница области периодичности (кр ≈ 350 при  = 103 ) увеличивается монотонно до
значения кр ≈ 750 при  = 104 .
На рис. 5–7 представлены результаты вычислительных экспериментов
при фиксированном  = 103 и значениях  = 103 ;  = 2 · 103 ;  = 3 · 103 .
Начиная с кр третичные вихри становятся сопоставимы по размерам со вторичными вихрями, расположенными в левом верхнем и правом
нижнем углах, и наблюдаются пульсации данных вихрей. Следует отметить, что подобная динамика вихрей наблюдается в диапазоне кр ≤  < кр
1
кр
3
(1 ≈ 1200 для  = 10 ), характеризующемся динамическим изменением
микровихрей, что приводит к перестройке поля температуры в центральной
области и к формированию обширной зоны «вязкого барьера». При этом вязкий барьер вращается вместе с глобальным течением и периодически изменяет свою форму от двухсвязной (рис. 5(a),(б)) к зигзагообразной (рис. 5(в)).
Начиная с кр
1 образуются дополнительные вихревые структуры, которые двигаются в основном течении по замкнутой круговой траектории подобно спутникам (рис. 6). Причем с ростом параметра  наблюдается качественный рост вихрей в средней зоне ячейке (рис. 7).
При установлении периодического режима интенсивность теплообмена
имеет ярко выраженный немонотонный характер (рис. 8). На данном рисунке
видно, что c ростом параметра  интенсивность теплообмена плавно уменьшается до некоторого значения, после чего наблюдается резкое увеличение.
На рис. 8 крайние правые точки (жирные, обозначим их кр
2 ) соответствуют
окончанию периодического режима. Видно, что с ростом параметра  данная точка смещается вправо, что говорит об увеличение области, где режим
конвекции является периодическим.
Далее, при значении параметра кр
2 происходит переход от периодического к стационарному режиму течения с неподвижным «вязким барьером», который в заданной области параметров имеет зигзагообразную форму (рис. 9). На рис. 9(а) отчетливо прослеживается сложное многовихревое
течение, однако существует основное циркуляционное течение, которое является огибающим контуром для более мелких вторичных вихрей. Следует
отметить, что эти вихри располагаются по разные стороны от «вязкого ба12
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
Y
1
Y
1
Y
1
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
0
0.2
0.4
X
0.6
0.8
0
1
0
0.2
0.4
X
0.6
0.8
1
X
(а)
(б)
(в)
Рис. 5 — Изолинии функции тока в ячейке при  = 103 ,  = 103 в разные
моменты времени: (а) —  = 991, (б) —  = 994, (в) —  = 997
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
Y
1
Y
1
Y
1
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
0
0.2
0.4
X
0.6
0.8
0
1
0
0.2
0.4
X
0.6
0.8
1
X
(а)
(б)
(в)
Рис. 6 — Распределение вязкости и линии тока в ячейке при  = 2·103 ,
 = 103 в разные моменты времени: (а) —  = 991, (б) —  = 994, (в) —  = 997
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
Y
1
Y
1
Y
1
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
X
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0.6
X
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
(а)
(б)
(в)
Рис. 7 — Распределение вязкости и линии тока в ячейке при  = 3·103 ,
 = 103 в разные моменты времени: (а) —  = 991, (б) —  = 994, (в) —  = 997
13
6.0
5.5
5.0
Nu
4.5
4.0
3.5
3.0
B = 1000
B = 2000
B = 3000
2.5
2.0
0
1000
2000
3000
A
4000
5000
6000
Рис. 8 — Зависимость осредненного по времени Nu от параметра  в случае
периодического режима
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
Y
1
Y
1
Y
1
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
X
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0.6
X
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
(а)
(б)
(в)
Рис. 9 — Распределение вязкости и линии тока в ячейке при  = 103 :
(а) —  = 6 · 103 , (б) —  = 8 · 103 , (в) —  = 10 · 103
рьера», который, в свою очередь, препятствует их объединению. При этом,
как показано на рис. 9(б,в), с ростом параметра  наблюдается увеличение
вторичных вихрей с сохранением положения и размеров вихрей, расположенных примерно на высоте  ≈ 0.2 и  ≈ 0.8, а также вихрей, образовавшихся
в углах полости. Данный вид конвекции наблюдается до значения кр
3 .
На рис. 10 представлена интенсивность теплообмена в ячейке как локальных, так и интегральных значений числа Нуссельта. На рис. 10(а) показано, что интенсивность теплообмена снижается примерно на 44% и с ростом параметра  продолжает уменьшается, также отметим, что наблюдается
смещение влево значения Numax . Таким образом, дополнительные вихревые
структуры способствуют более равномерному прогреву теплопроводной гра14
12
Nuloc
µ = const
 = 4 · 103
3
10  = 6 · 103
 = 8 · 10
 = 10 · 103
8
5.3
5.2
5.1
5.0
Nu
6
4.9
4.8
4
4.7
2
0
B = 1000
B = 2000
B = 3000
4.6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
4.5
3000
1
4000
5000
6000
7000
8000
9000 10000
A

(б)
(а)
Рис. 10 — Изменение локальных безразмерных коэффициентов теплоотдачи
на горячей стенке (а) и интегральных коэффициентов во всей области (б)
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
y
y
1
y
1
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
(б)
(а)
(в)
4
Рис. 11 — Характеристики изолированного течения при  = 10 и  = 102 :
(а) — линии тока (б) — изолинии температуры, (в) — поле вязкости
ницы. При этом для интегрального числа Нуссельта (рис. 10(б)) наблюдается
увеличение интенсивности теплообмена с ростом параметра .
Наличие функциональной зависимости вязкости от температуры гауссовского типа приводит к тому, что при  ≥ 90 и при  > кр
3 реализуется
режим течения с изолированными конвективными ячейками (рис. 11). Однако, в интервале 40 ≤  < 90 с ростом параметра при  > кр
3 интенсивность
конвективного теплообмена убывает и числа Нуссельта стремятся к значениям, характерным для режима чистой теплопроводности. Из рис. 11(а) видно,
что область разделена на две изолированные подобласти относительно центральной горизонтальной линии полости и, что основное течение происходит
в окрестности изотермических границ, а в центральной горизонтальной части
15
7
6
Nu
5
4
1
3
2
1
1
101
102

 = 10
 = 100
 = 300
 = 1000
103
104
Рис. 12 — Зависимость интегральных безразмерных коэффициентов
теплоотдачи от параметра 
полости течение отсутствует, причем разделение потока происходит за счет
«вязкого барьера» (рис. 11(в)), который является гидродинамической преградой для потока жидкости, а для поля температуры (рис. 11(б)) в каждой
подобласти наблюдаются характерные конвективные плюмы.
На рис. 12 показано изменение интегрального по времени числа Нуссельта от параметра , отметим, что для всех кривых с увеличением параметра  значения интегральных коэффициентов теплоотдачи в полости асимптотически стремятся к числу Нуссельта для жидкости с постоянной вязкостью; при  −→ 0 также существует горизонтальная асимптота для каждого
параметра , равная числу Нуссельта при постоянном значении вязкости,
полагаемом µ =  + 1; в интервале  > 100 и 40 ≤  < 1кр наблюдается существование периодических режимов (разброс точек на рисунке); 1кр смещается вправо с ростом параметра . Явной зависимости числа Нуссельта от
параметра  при фиксированных значениях параметра  не наблюдается,
хотя общий вид имеет тип сигмоидной функции.
В четвертой главе рассматривается процесс конвективного теплообмена, протекающий в квадратной ячейке с постоянным перепадом температуры, приложенным к вертикальным стенкам. На всех границах области для
компонент вектора скорости задаются условия прилипания; на левой границе задается условие постоянной температуры  , а на противоположной
—
 ⃒⃒
 ; две горизонтальные границы считаются адиабатическими ( ⃒
= 0);
 =0,1
жидкость в первоначальный момент времени находится в состоянии покоя
(|=0 = 0 , |=0 = 0 , θ|=0 = θ0 = 0).
16
Система уравнений термогравитационной конвекции аномальной жидкости с гауссовской зависимостью вязкости от температуры (1) в приближении Обербека–Буссинеска подробно рассмотрена в третьей главе и состоит из
уравнений неразрывности (2), движений (3) и (4), энергии (5).
В данной главе, как и в предыдущей, представлены результаты моделирования при фиксированных значениях чисел Прандтля Pr = 10−1 и Рэлея Ra = 106 , определенных при минимальном значении вязкости. В результате вычислительных экспериментов установлено, что ключевым фактором
в формировании сложных структур конвективных течений является параметр FWHM. При этом область изменения параметра  разделяется на два
участка: первый — при  < 40, что соответствует параметру FWHM превышающему четверть рассматриваемого температурного интервала; второй —
при  ≥ 40 (соответствует параметру FWHM меньше четверти рассматриваемого температурного интервала).
При значение параметра FWHM больше четверти рассматриваемого
температурного интервала ( < 40), с ростом максимального значения вязкости (параметр ), происходит переход от многовихревого режима конвекции
с нелинейным распределением температуры и перевернутым «z» образным
«вязким барьером» в ячейке к медленному глобальному одновихревому режиму конвекции с постепенным выравниваем поля температуры к линейному
и соответственно с плавным переходом «вязкого барьера» от «z» образного
профиля к вертикальному.
При значение параметра  > 40 c ростом параметра  картина течений существенно отличается от режимов конвекции, описанных выше. Так
для  = 103 , при малых значениях параметра  в центре ячейки формируются дополнительные вложенные вихри. С увеличением параметра  возрастает интенсивность вихрей, расположенных в сечение  = 0.2 и  = 0.8, и
происходит их увеличение(рис. 13(а), далее эти вихри стремятся друг к другу, тем самым разделяя вложенные вихри, расположенные в центре ячейки.
Последующее увеличение параметра , приводит к тому, что в центре ячейке
формируется дополнительный вихрь, а в центральном горизонтальном сечении наблюдаются уже три вихревые структуры (рис. 13(б)). Затем интенсивность вихрей в центральном горизонтальном сечении уменьшается, при
этом на фоне крупномасштабного вихревого течения наблюдаются продолговатые вихри (рис. 13(в)), которые расположены по разные стороны «вязкого
17
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
y
1
y
1
y
1
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
0
0.2
0.4
x
(а)
0.6
0.8
0
1
0.2
0.4
= 100
= 101
= 102
= 103
0.8
1
(в)
8
0.5
B
B
B
B
0.6
x
(б)
Рис. 13 — Линии тока в ячейке при  = 103 :
(а) —  = 101 , (б) —  = 103 , (в) —  = 103
0.5
0.4
0
x
7
0.4
6
0.3
5
Nu
vmax
umax
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
4
3
0
100
101
102
A
(а)
103
104
0
B
B
B
B
100
= 100
= 101
= 102
= 103
2
101
102
A
103
104
1
B
B
B
B
100
= 100
= 101
= 102
= 103
101
102
A
103
104
(б)
(в)
Рис. 14 — Зависимости максимальной продольной скорости max (а),
максимальной поперечной скорости max (б) и интегрального коэффициента
теплоотдачи Nu (в) в квадратной ячейке от параметра 
барьера». Таким образом, наличие «вязкого барьера» приводит к появлению
вихрей различного масштаба и к многомасштабности течения.
На рис. 14 показано изменение максимальных значений горизонтальной и вертикальной компонент вектора скорости и интегрального значения
теплоотдачи в ячейке при  = 100 ; 101 ; 102 ; 103 в зависимости от параметра .
Из представленных рисунков видно, параметр  влияет не только на структуру течений, как было сказано ранее, но и на кинематические характеристики
и теплообмен в целом. Так при  < 40 максимальные продольная и поперечная компоненты скорости убывают с ростом параметра , что приводит
к снижению интенсивности конвективного теплообмена и, соответственно,
стремлению числа Нуссельта к значению 1, то есть к режиму чистой теплопроводности. Однако, при  ≥ 40 интенсивность теплообмена тем выше, чем
больше значение параметра , то есть с уменьшением параметра FWHM зна18
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
y
1
y
1
y
1
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
(а)
(б)
(в)
Рис. 15 — Характеристики изолированного течения при  = 106 и  = 102 :
(а) — линии тока (б) — изолинии температуры, (в) — поле вязкости
чение средней вязкости в ячейке уменьшается, что, в свою очередь, приводит
к большим значениям скоростей. Отметим также, что с ростом параметра 
интенсивность интегрального теплообмена в ячейке убывает, но предельное
значение в исследуемом диапазоне параметров не достигается в отличие от
предыдущего случая  < 40.
При достаточно больших числах  и  ≥ 40 происходит дифференциация потока «вязким барьером», то есть область разбивается на две изолированные подобласти, как это показано на рис. 15. В каждой подобласти
наблюдается вытянутое по вертикали течение вблизи изотермических стенок
(рис. 15(а)), а течение в центральной области является очень медленным и
потенциальным. При этом тепловой поток закручивается вблизи вертикальных границ, а поток тепла в области повышенной вязкости распространяется по нормали к «вязкому барьеру» (рис. 15(в)), в котором температура
имеет близкое к линейному распределение (рис. 15(б)), то есть теплообмен
осуществляется посредством теплопроводности.
На рис. 16 показаны линии тока в ячейке при фиксированном параметре  = 102 в зависимости от параметра . Для значений параметра  < 40
наблюдается глобальное одновихревое течение в ячейке (рис. 16(а)), свыше
которого происходит перестройка в центральной части области, а, именно,
формируется течение с двумя вложенными вихрями (рис. 16(б)), которые по
мере увеличения параметра  увеличиваются в размерах. Далее происходит
формирование дополнительных вихревых структур, которые расположены
над и под вторичными вихрями (рис. 16(в)). Отметим, что аналогичная картина течений наблюдается при  < 3 · 103 .
19
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
y
1
y
1
y
1
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
0
0.2
0.4
x
0.6
0.8
0
1
0
0.2
0.4
x
0.6
0.8
1
0.6
0.8
1
x
(а)
(б)
(в)
Рис. 16 — Линии тока в квадратной ячейке при  = 102 :
(а) —  = 1; (б) —  = 4 · 101 ; (в) —  = 7 · 102
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
y
1
y
1
y
1
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
0
0
0.2
0.4
x
(а)
(б)
(в)
Рис. 17 — Линии тока в квадратной ячейке при  = 104 :
(а) —  = 1; (б) —  = 4 · 101 ; (в) —  = 7 · 102
Независимо от параметра  в случае  < 40 картина с глобальным одновихревым течением сохраняется, как это показано на рис. 17(а), где представлены результаты вычислительных экспериментов для  = 104 . Однако,
как уже отмечалось выше, при достаточно больших значениях параметра 
( ≥ 3 · 103 ) происходит дифференциация потока «вязким барьером», что отчетливо видно, на рис. 17(б), на котором показаны сформировавшиеся вихревые структуры вблизи теплопроводных границ и расположенные по разные
стороны от «вязкого барьера». При этом с дальнейшим увеличением параметра  наблюдается смещение вихрей к левому верхнему и правому нижнему углам ячейки и их увеличение в размерах, после чего данные вихревые
структуры вытягиваются горизонтально, занимая верхнюю и нижнюю часть
полости, от вертикальных стенок и циркулируют вблизи адиабатических границ (рис. 17(в)).
20
0.5
0.5
0.4
0.4
8
7
6
0.3
5
0.2
4
0.2
A = 100
A = 101
A = 102
A = 103
A = 104
0.1
0
Nu
vmax
umax
0.3
100
101
102
A = 100
A = 101
A = 102
A = 103
A = 104
0.1
103
0
100
101
102
B
B
(а)
(б)
A = 100
A = 101
A = 102
A = 103
A = 104
3
2
103
1
100
101
102
103
B
(в)
Рис. 18 — Зависимости максимальной продольной скорости max (а),
максимальной поперечной скорости max (б) и интегрального коэффициента
теплоотдачи Nu (в) в квадратной ячейке от параметра 
На рис. 18 показаны изменения максимальных вертикальной max и
горизонтальной max компонент вектора скорости и интегрального теплообмена Nu в ячейке при фиксированных  = 100 ; 101 ; 102 ; 103 ; 104 в зависимости от параметра . Из рисунков видно, что с ростом параметра  для
всех представленных характеристик наблюдается монотонный рост. При этом
для  = 100 ; 101 в приведенном интервале характеристики течения асимптотически стремятся к значениям, характерным для конвективного теплообмена жидкости с постоянной вязкостью, а при больших параметрах  предельные значения асимптотически достигаются, соответственно, при больших
значениях параметра .
В заключении представлены основные результаты, полученные в
диссертационной работе:
1. На основе численного анализа свободной конвекции жидкости с немонотонной зависимостью вязкости от температуры гауссовского типа установлено, что при значениях параметра FWHM (полная ширина функциональной зависимости вязкости от температуры гауссовского типа, определяемая на половине максимального значения в режиме чистой теплопроводности), превышающего четверть температурного интервала, с
ростом максимального значения вязкости интенсивность конвективного
теплообмена монотонно убывает и асимптотически стремится к значениям, характерным для режима чистой теплопроводности, независимо от
способа подогрева.
21
2. Для случая, когда параметр FWHM менее четверти рассматриваемого
температурного интервала показано влияние «вязкого барьера» на глобальную картину течения в квадратной ячейке, которое заключается в
формировании дополнительных вихревых структур, приводящих к сложным переходным процессам и многомосштабности течения, независимо
от способа подвода тепла.
3. При значении параметра FWHM менее четверти рассматриваемого температурного интервала в зависимости от максимального значения вязкости обнаружено существование последовательно сменяющих друг друга
конвективных режимов в квадратной ячейке, подогреваемой снизу: стационарный режим течения с третичными микровихрями; периодический
режим с изменением масштабов вторичных и третичных вихрей; периодический режим с образованием дополнительных вихревых структур;
стационарный режим со сложной многовихревой картиной течения.
4. Уставлено, что при определенных параметрах функции вязкости происходит дифференциация области «вязким барьером», что приводит к формированию изолированных конвективных течений в квадратной ячейке,
подогреваемой либо снизу, либо сбоку.
5. Показано, что независимо от максимального значения вязкости с уменьшением параметра FWHM гидродинамические и теплофизические характеристики течения асимптотически стремятся к значениям, характерным для жидкости с постоянной вязкостью.
Публикации автора по теме диссертации
Работы, опубликованные в журналах, рекомендованных ВАК РФ:
1. Кулешов В. С., Моисеев К. В. Численное моделирование конвективных
течений аномально термовязкой жидкости // Вестник УГАТУ. 2016.
Т. 20, № 2(72). С. 74–80.
2. Кулешов В. С., Моисеев К. В., Урманчеев С. Ф. Периодические структуры при конвекции аномально термовязкой жидкости // Вестник БашГУ.
2017. Т. 22, № 2. С. 297–302.
3. Кулешов В. С., Моисеев К. В., Хизбуллина С. Ф., Михайленко К. И.,
Урманчеев С. Ф. Особенности конвективных течений аномально термовязкой жидкости // Математическое моделирование. 2017. Т. 29, № 5.
С. 16–26.
22
Kuleshov V. S., Moiseev K. V., Khizbullina S. F., Mikhaylenko K. I.,
Urmancheev S. F. Convective flows of anomalous thermoviscous fluid //
Mathematical Models and Computer Simulation. 2018. Vol. 10, № 4.
P. 529–537.
4. Моисеев К. В., Хизбуллина С. Ф., Бахтизин Р. Н., Урманчеев С. Ф., Кулешов В. С., Алферов А.В. Математические модели термогравитационной
конвекции неоднородной жидкости // Нефтегазовое дело. 2017. Т. 15,
№ 2. С. 165–170.
В других изданиях:
5. Кулешов В. С. Стационарные режимы конвекции жидкости с гауссовской
зависимостью вязкости от температуры // Труды Института механики
им. Р. Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН. 2016. Т. 11, № 2.
С. 218–225.
6. Кулешов В. С., Моисеев К. В., Хизбуллина С. Ф., Урманчеев С. Ф.
Численное моделирование конвективных течений аномально термовязкой жидкости // Мавлютовские чтения. Материалы Российской научнотехнической конференции, посвященной 90-летию со дня рождения
члена-корр. РАН, д-ра техн. наук, профессора Р. Р. Мавлютова. Уфа.
2016. Т. 4. С. 72–76.
7. Кулешов В. С., Моисеев К. В. Численное исследование конвекции жидкости с гауссовской зависимостью вязкости от температуры // Тезисы докладов VIII Всероссийской конференции «Актуальные проблемы
прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А. Ф. Сидорова, и Всероссийской молодежной школы-конференции.
Абрау-Дюрсо. 2016. С. 59–60.
8. Кулешов В. С., Моисеев К. В., Урманчеев С. Ф. Изолированные режимы течений при конвекции аномально термовязкой жидкости // Волны
и вих ри в сложных средах: 8-ая международная научная школа молодых ученых; 7–9 ноября 2017 г., Москва: Сборник материалов школы.
М.: ИПМех РАН. 2017. С. 95–99.
Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ:
1. Кулешов В. С., Моисеев К. В. «Численное моделирование тепломассопереноса жидкости с учетом температурной вязкости и неньютоновских
свойств жидкости». Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016615950 от 02.06.2016 г.
23
КУЛЕШОВ Василий Сергеевич
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ ЖИДКОСТИ В
ТЕРМОВЯЗКИХ СРЕДАХ C
НЕМОНОТОННОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ
ВЯЗКОСТИ ГАУССОВСКОГО ТИПА
Специальность 01.02.05 —
«Механика жидкости, газа и плазмы»
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Подписано в печать 19.09.18 г. Формат 60х84 1/16.
Бумага офсетная. Печать ризографическая. Тираж 100 экз. Заказ 101.
Гарнитура «TimesNewRoman». Отпечатано в типографии
«ПЕЧАТНЫЙ ДОМЪ» ИП ВЕРКО.
Объем 1,1 п.л. Уфа, Карла Маркса 12 корп. 5/1,
т/ф: 27-27-600, 27-29-123
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа