close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

bd000101007

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
У Д К 512.55
Лимаренко Сергей Владиславович
СЛАБО ПРИМИТИВНЫЕ СУПЕРКОЛЫДА
01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория
чисел
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва - 2005
Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-ма­
тематического факультета Московского государственного уни­
верситета им. М. В. Ломоносова.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор А. В. Михалев
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
профессор А. А. Туганбаев
доктор физико-математических наук,
доцент И. Б. Кожухов
Ведущая организация:
Тульский государственный
педагогический университет
им. Л . Н. Толстого
Защита диссертации состоится 14 октября 2005 г. в 16 ч.
15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в
Московском государственном университете им. М. В. Ломоно­
сова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, М Г У ,
Механико-математический факультет, аудитория 14-08.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механикоматематического факультета М Г У (Главное здание, 14 этаж).
Автореферат разослан 14 сентября 2005 г.
Ученый секретарь диссертационного
совета Д.501.001.84 в М Г У
доктор физико-математических наук,
профессор
В. Н. Чубариков
jmc-r
Трр^^
М7^^^9
Общая характеристика работы
Актуальность темы
Теорема плотности является одним из центральных результатов
теории примитивных колец и имеет большое количество прило­
жений. В классических монографиях Джекобсона\ Ламбека^ и
Херстейна' эта теория подробно изложена, а теорема плотности
приведена в нескольких вариантах. Важную роль в исследовании
данного вопроса играют кольца эндоморфизмов неприводимых
(простых) модулей над произвольным телом. В теории ассоци­
ативных колец вопросу об изоморфизме колец эндоморфизмов
модулей уделено большое внимание (см. работу А.В.Михалева*).
Помимо самих колец эндоморфизмов интерес представляют их
плотные подкольца. Данная теория имеет и топологическую ин­
терпретацию, где термин "плотный"приобретает привычное зна­
чение. Точнее, теорема плотности дает описание примитивных
колец как плотных подколец колец эндоморфизмов векторных
пространств над телами, где само понятие плотности фигуриру­
ет как в алгебраическом, так и в топологическом смысле.
Огромное значение теории примитивных колец привело
к многочисленным попыткам обобш,ения теоремы плотности.
Большинство подходов основано на изучении более широкого
класса модулей (в классической теории - это класс неприводи­
мых модулей). Особое внимание уделяется свойствам колец эн­
доморфизмов таких модулей. Также было обобщенно понятие
примитивного кольца.
Стоит отметить, что большинство исследований в этой обла­
сти не были выведены за рамки теории первичных колец. Так,
Джонсон и Вонг^ рассматривали первичные кольца с нетриви'Н.Джекобсон, "Строение колец", Издательство иностранной литерату­
ры, Москва, 1961.
^И.Ламбек, Кольца и модули, Москва, Мир, 1971.
'И.Херстейн, Некоммутативные кольца", Москва, Мир, 1972.
^А.В.Михалев, Изоморфизмы колец эндоморфизмов модулей, близких к
свободным // Вестник МГУ, 1989, N 2, 20-27.
^R.E.Johnson, E.T.Wong, "Quasi-injective modules and irreducible rings", J .
London Math. Soc, 36 (1961), 260-268.
РОС НАЦИОНАЛА ^
БИБЛИОТЕКА
■ИОТ1:1ЧД
СПет«1
09
iI
альными минимальными правым и левым первичными идеала­
ми, а Кох и Мьюборн* распространили результат Джонсона на
еще более широкий класс колец - первичные антисингулярные
справа кольца с однородным правым идеалом, а также кольца с
правым почти максимальным идеалом.
Самый широкий подкласс первичных колец был исследован в
работах Зельмановица^, где он ввел понятие критически сжима­
емого модуля, а кольцо, обладаюш,ее точным критически сжи­
маемым модулем, назвал слабо примитивным. Также им была
доказана расширенная теорема плотности.
В работе Амицура* используется понятие несингулярного
униформного (однородного) модуля, которое, как выясняется,
тесно связано с понятием критически сжимаемого модуля.
О.Д.Авраамова® доказала теорему плотности для обобщен­
ных слабо примитивных ортогональных полных колец.
Следующим шагом в этом направлении стало исследование
аналогичных градуированных объектов. Общая теория градуи­
рованных колец и модулей подробно изложена в классической
монографии Настасеску и Oйcтaйнa^°. Теорема плотности для
градуированных примитивных колец была доказана в работе
Лиу, Бити и Фанга^Ч В работе Гомеса и Настасеску*^ рассмат­
ривались gr-полупростые модули. И.Н.Балаба*^ в свою очередь
*K.Koh, A.C.Mewbom, "Prime rings with meiximal annihilator and maximal
complement right ideals"// Proc. Amer. Soc, 1965, Vol.16, N 5, 1073-1076.
^J.Zelmanowitz, "Weakly primitive rings", Comm.Algebra, 1981, v.9, N 1 , 2345.
* S.A.Amitsur, "Rings of quotients and Morita context", J . Algebra 17, 273298 (1971).
'О.Д.Авраамова, "Обобщенная теорема плотности"// Абелевы группы и
модули, Вьш.8, Томск, Издательство Томского Университета, 1989, 3-16.
*°C.NastSsescu, F.V.Oystayen, "Graded ring theory". Mathematical Library,
Vol. 28, Amsterdam, North-Holland, 1982
**Liu Shaoxue, M.Beatie, Fang Honjin, Graded division rings and the Jacobson
density theorem // Journal of Beijing Normeil University (Natural Science), 1991,
Vol. 27, N 2, 129-134.
'^ J . L . Gomez Pardo, C.Nastasescu. Topological aspect of graded rings //
Comm. Alg, 1993, vol. 21, N 12, p.4481-4493.
^'И.Н.Валаба, "Градуированные слабо-примитивные кольца"// Тезисы
докладов I I I Международно*конференции "Современные проблемы теории
..*■
>. > « : . » / , « (
•';v.--w(-«< <
! . < » ' ' <-
,;
j<,
i
'
9
; ^
провела исследование градуированных слабо-примитивных ко­
лец. С.В.Зеленов^* доказал обобщенную теорему плотности для
колец, градуированных по полугруппе, и модулей, градуирован­
ных по полигонам над этими полугруппами.
В совместной работе А.В.Михалева^^ с уже упомянутыми ав­
торами и автором данной диссертации собраны несколько по­
следних вариантов теоремы плотности для градуированных объ­
ектов, а также разработан подход к этой проблеме для суперко­
лец и супермодулей.
Теория суперколец и супермодулей, являясь частным случа­
ем общей теории градуированных объектов, достойна отдельного
внимания. В частности, многие результаты для супер-объектов
имеют более точный или даже несколько иной вид. Так, в рабо­
те Расина^® изложены некоторые результаты для примитивных
суперколец. Автором данной диссертации были проведены до­
полнительные исследования в этой области.
Цель Работы
Данная диссертация посвящена исследованию сжимаемых мо­
дулей и супермодулей, а также слабо примитивных суперко­
лец. Основная цель данной работы - доказательство расширен­
ной теоремы плотности, а также подробное исследование всех
объектов, связанных с теорией слабо примитивных суперколец.
Большое внимание уделено неградуированным структурам (сла­
бо примитивным кольцам и сжимаемым модулям), а также от­
дельно изучена специфика расширенной теоремы плотности для
колец, градуированыых по коммутативной группе.
чисел и ее приложения", Тула, 1996, С.12
**С.В.Зеленов, "Теорема плотности Зельмановича для колец, градуировгшных по полугруппам". Фундаментальная и прикладная математика,
2001, Т.7, вьш.2, стр. 373-385.
^''И.Н.Балаба, С.В.Зеленов, С.В.Лимаренко, А.В.Михалев, "Теоремы
плотности для градуированных колец". Фундаментальная и прикладная ма­
тематика, 2003, Т.9, В.1, стр. 27-49
^^M.L.Racine, "Primitive superalgebras with superinvolution". Journal of A l ­
gebra 206, 588-614, 1998.
Лвсучвая
новизна
В работе получен ряд новых результатов, основными из которых
являются следующие.
[1] Исследованы свойства сжимаемых модулей, среди которых
выделены критически сжимаемые и изоморфно сжимаемые
модули, изучена связь между несингулярными однородны­
ми (униформными) модулями и критически сжимаемыми,
найдены принципиальные отличия между ними.
[2] Исследованы свойства слабо примитивных колец, уделено
особое внимание слабо примитивным кольцам с точными
критическими сжимаемыми правыми идеалами. Изучена
связь между областями Оре и слабо примитивными коль­
цами, являющимися точными критически сжимаемыми мо­
дулями над собой.
[3] Доказана расширенная теорема плотности для суперколец.
Теорема сформулирована в терминах ровной однородности,
что привело к ослаблению одного из условий теоремы и до­
полнительному исследованиям данной проблемы. Изучена
специфика всех задействованных суперструктур, включая
сжимаемые супермодули, слабо примитивные суперкольца
и суперкольца частных. Также представлен аналог клас­
сической теоремы плотности для суперколец в алгебраиче­
ской и геометрической формах.
[4] Доказана расширенная теорема плотности для колец, гра­
дуированных по коммутативной группе. Теорема также
сформулирювана в терминах ровной однородности, как и
в суперслучае.
О с н о в н ы е м е т о д ы исследования
В работе использованы методы и результаты теории колец и мо­
дулей, а также теории градуированных и суперструктур.
П р а к т и ч е с к а я и теоретическая ценность
Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации
могут быть использованы как в теории первичных колец, так и в
теории суперколец и супермодулей. В частности, применение мо­
гут найти различные варианты теоремы плотности, доказанные
в работе.
А п р о б а ц и я результатов
Основные результаты диссертации многократно (май 2000 г., ап­
рель 2001 г., октябрь 2002 г., ноябрь 2003 г., октябрь 2004 г.,
апрель 2005 г.) докладывались на семинаре "Кольца и моду­
ли "кафедры высшей алгебры М Г У , а также на следующих кон­
ференциях:
[1] Международный алгебраический семинар, Москва, М Г У ,
2000.
[2] TV Международная конференция "Современные проблемы
теории чисел и ее приложения", Тула, 2001.
(3) 63-th International Workshop in Algebra (АААбЗ) and Con­
ference of Young Algebraists ( C Y A ) , Kaiserslautern University,
2002.
(4} 65-th International Workshop in Algebra (AAA65) and Confer­
ence of Young Algebraists (CYA), Potsdam University, 2003.
(5) Международная алгебраическая конференции, посвящен­
ная 250-летию Московского Университета, Москва, М Г У ,
2004.
Публикации
Основные результаты опубликованы в 5 работах, список которых
приведен в конце автореферата [1-5].
Структура диссертации
Диссертация состоит из оглавления, введения, двух глав и списка
литературы, который включает 40 наименований.
Краткое содержание работы
Первая глава посвящена изучению свойств сжимаемых модулей
и слг1бо примитивных колец. В параграфе 2.1 даются все необ­
ходимые определения и приводятся основные примеры, а также
изучаются свойства сжимаемых модулей.
Определения 1.1.1, 1.1.2 и 1.1.3. Д-модуль М называет­
ся сжимаемым, если он может быть вложен в каждый из своих
ненулевых подмодулей. Сжимаемый Я-модуль называется кри­
тически сжимаемым, если он не может быть вложен ни в какой из
своих собственных фактор-модулей. Модуль, который одновре­
менно и критически сжимаем, и изоморфно сжимаем, мы будем
называть критически изоморфно сжимаемым.
Для слабо примитивных колец с точными критически сжи­
маемыми правыми идеалами доказывается следующая
Теорема 1.1.1 Пусть R — кольцо с точным критически сжи­
маемым правым идеалом /, тогда любые два точных несингуляр­
ных критически сжимаемых модуля над R могут быть вложены
друг в друга.
Исследуется несингулярность сжимаемых модулей.
Предлохсение 1.1.4 Точный сжимаемый правый модуль MR
над кольцом R несингулярен в каждом из следующих случаев:
М конечен, R конечно, R имеет конечное число правых идеалов
(в частности, не имеет собственных), R имеет конечное число
существенных правых идеалов (в частности, не имеет собствен­
ных), R артиново справа, пересечение всех существенных правых
идеалов в R нетривиально, R коммутативно.
Вводится класс колец, который является основным объектом
исследования всей главы.
Определение 1.1.9 Кольцо R называется слабо примитив­
ным, если оно обладает точным критически сжимаемым моду­
лем.
Изучается связь между критически сжимаемыми модулями
и несингулярными униформными модулями.
Теорема 1.1.2 Пусть MR — несингулярный униформный мо­
дуль, в котором HomR{M, N) ^ О для каждого ненулевого под­
модуля NR е MR. Тогда MR критически сжимаем.
Инересными объектами оказываются точные критически
сжимаемые идеалы в слабо примитивных кольцах.
Предлонсение 1.2.3 Следующие условия на слабо прими­
тивное кольцо эквивалентны: (i) оно обладает точным несингу­
лярным критически сжимаемым (правым) модулем; (ii) оно об­
ладает точным критически сжимаемым правым идеалом.
Теорема 1.2.1 Пусть R — первичное кольцо, тогда следую­
щие условия на правый идеал / равносильны: (i) / — несингуляр­
ный униформный правый идеал в R; (ii) / — точный критически
сжимаемый правый идеал в R.
Исследуется связь между слабо примитивными кольцами и
областями Оре.
Предлохсение 1.2.4 Следующие условия на кольцо R рав­
носильны: (i) R — правая область Оре; (ii) RR — точный крити­
чески сжимаемый модуль.
Одним из важнейших результатов теории слабо примитивных
колец является доказанная Зельмановицем расширенная теоре­
ма плотности.
Теорема 1.3.2 Следующие условия на кольцо R равносиль­
ны: (i) R — слабо примитивное кольцо; (ii) R — слабо плотное
подкольцо в кольце EndAiM), где MR — квази-инъективная обо­
лочка некоторого модуля Мд, а Д = EndR{M) является телом;
(iii) R — локальный порядок в кольце End£^{M), где MR — квазиинъективная оболочка некоторого модуля MR, а А = EndR{M)
является телом.
В параграфе 1.3 представлены некоторые интересные след­
ствия и переформулировки этой теоремы.
В дальнейшем (в главе 2) речь идет о суперструктурах, а
именно суперкольцах и супермодулях.
Параграф 2.1 содержит необходимые определения и результа­
ты общей теории суперколец и супермодулей. Доказывается так
называемая теорема слабой плотности для суперколец.
Параграф 2.2 посвящен суперкольцам частных. Вводятся по­
нятия максимального правого суперкольца частных Qmr{R) и
двустороннего правого суперкольца частных Qr{R)- Также опи­
сывается связь между ними.
Предлохсение 2.2.5 Пусть R полупервично, тогда существу­
ет единственный тождественный на R супермономорфизм супер­
колец а : Qr{R) -> Qmr{R) со свойством 1'т{а) = 1т{(т)о +
1т{а)и
где 1т{а)а
= {^а € Qmr{R)
| QaJ ^ R ДЛЯ НбКОТОрОГО J G J } .
в следующем параграфе исследуется расширенный центро­
ид полупервичного суперкольца. А для центрально замкнутых
первичных колец доказывается следующая
Теорема 2.3.6 Пусть А = Ао + Ai — центрально замкнутое
первичное суперкольцо, С = CQ + CI — его расширенный центрюид, А"" — антиизоморфное суперкольцо. Тогда Л ° Р ®СО ^ —
AfJ?j^(r) С EndcoiA), где Л (г) — правые умножения на элементы
из А.
Параграф 2.4 посвящен изучению примитивных суперколец.
Основным результатом является аналог теоремы плотности для
суперслучая.
Теорема 2.4.1 [Теорема плотности Джекобсона для супер­
колец] Пусть R = Ro + Ri — левое примитивное суперкольцо,
У = Vo + Vi — точный неприводимый левый Д-супермодуль,
Сеп = Сепо + Сещ — его централизатор, хха, • • •, ^па линейно
независимые над Сещ элементы 14, у\р,...,Уп0 — произволь­
ные элементы V^. Тогда существует такой Га+^ € Ra+0i что
Ta+pXia = Ухр, ГДб f = 1 . . . П.
Также изучен топологический аспект теоремы, для чего по­
строена так называемая конечная топология для суперколец. До­
казано несколько следствий из теоремы плотности.
В параграфе 2.5 изучаются слабо примитивные суперкольца.
Основными результатами являются три расширенных теоремы
плотности для суперколец.
Теорема 2.5.1 [Первая расширенная теорема плотности для
суперколец] Следующие условия на суперкольцо R = RQ + Ri
эквивалентны.
(1) i? слабо примитивно.
(2) Существует точный супермодуль MR = МО + М i С квазиинъективной оболочкой М и супертелом Д = EndR{M), такой
что для произвольного Д-независимого набора Wi,^j,.. • ,г;*,^>» €
М (здесь ipi могут быть разными для разных г, поэтому такой на­
бор будем называть неровным однородным, хотя он может быть
и ровным) найдется такой О =^ Оа Е Аа, что для произвольного
неровного однородного набора ni,^i+p,..., Пк,^^+р € М существу­
ет такой Гр+а € Rp+a, ЧТО ПаЩ^^^+р = Уг,^,Га+р £ М i = l,...,k.
(3) Существует точный супермодуль MR — MQ + MI С квазиинъективной оболочкой М и супертелом Д = EndR{M), такой
что для произвольного /г € End^{Mft) и произвольного неров­
ного однородного Д-независимого набора mi,,^,..., тк,р,^ € М
найдутся такие Гр,8г+р € R, что miji^frrp = rui^^^Sr+p и О 7^
Вторая расширенная теорема плотности для суперколец от­
личается тем, что во втором и третьем условиях однородные эле­
менты из одного набора имеют один и тот же индекс. Такие на­
боры элементов мы называем "ровными". Это свойство выпол­
няется только внутри каждого отдельного набора в то время,
как индексы в разных наборах никак не связаны. Новые усло­
вия вместо прежних (2) и (3) представляют из себя следующее.
(2') Существует точный супермодуль MR = MQ + M I с квгьзиинъективной оболочкой М и супертелом Д = EndR{M), такой
что для произвольного До-независимого набора Vi^,...,Vk^ € М
найдется такой О т*^ Од € Да, что для произвольного однородного
набора П1^,..., Пки € М существует такой Га+^+^ 6 Ra+v+ip, что
О-аЩи = Щ^Та+v+ip € Ма+и
г = 1 , . . . , Л.
(3') Существует точный супермодуль MR = MQ -f- M I С квазиинъективной оболочкой М и супертелом Д = £'п£?д(М), такой
что для произвольного /т € £^пс?д(Мд) и произвольного одно­
родного До-независимого набора mi,,,..., тпкц € М найдутся таг
кие Гр, 5г+р е Д, что гПх^/гГр = гПщЗг+р и о 7^ тПщГр е АрГПщ Уг
Таким образом вторая теорема выглядит так.
Теорема 2.5.2 [Вторая расширенная теорема плотности для
суперколец] Справедливы следующие соотношения между уело-
виями: (1) ^ (2') =^ (3').
Чтобы (3') сделать равносильным (1) и (2') необходимо на­
ложить дополнительные условия на суперкольцо и супермодуль.
Рассмотрим следующие условия.
(A) О ^ n^ri = din,/ для некоторых п^ € М^, Гх € Л ь di € A i .
(B) Существует полностью ненулевая тройка fh^+i, m^, m^^+i €
М, такая что m^+iH = "^д? 'гПцГ1 = m^+i для некоторых f i , r i €
R,.
(C) Д? ^ 0.
Всегда выполняется импликации {А) =» ( В ) =Ф^ ( С ) . При усло­
вии точности на супермодуль MR имеет место также (С) => ( В ) .
Теорема 2.5.4 [Третья расширенная теорема плотности для
суперколец] Условия (1), (2'), (3')+(В) и (З')-Ь(С) на суперкольцо
R = Ro + Ri эквивалентны.
Заключительный параграф посвящен расширенной тереме
плотности для колец и модулей, гргмиуированных по коммутатив­
ной группе. По аналогии с суперслучаем сформулированы три
основных условия.
(i) кольцо R слабо примитивно;
(ii) существуют точный градуированный модуль MR, его
квази-инъективная оболочка М, градуированное тело Д =
EndR^M) такие, что для произвольного До-независимого
однородного набора V i ^ , . . . , г/*,^ € М^ найдется такой
О 7^ Оа € Да, что ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ОДНОРОДНОГО набора
П\и1.--,Пки
€
Mv
существует
doTiw = Vvfi'''a-\-v-¥v ^ ^ot+u i =
такой
Га+и+>р €
Ra+v+ip^
ЧТО
l,...,k;
(Ш) существуют точный градуированный модуль MR, его
квази-инъективная оболочка М, градуированное тело Д =
EndR^M), такие что для произвольного /т € End/^{M)
и произвольного однородного До-независимого набора
mi^,...,mkn
е М найдутся такие Гр,3г+р Е R, что
'fninfrTp = mi^Sr+p яОф rUipXp € /^pTrii^ V i
Теорема 2.6.1 Условия (i) и (ii) на градуированное кольцо
R равносильны.
10
Теорема 2.6.2 Из условия (i) следует условие (iii) на граду­
ированное кольцо R.
Также рассмотрены три дополнительных условия.
(a) существует такой О ^ т^ G М^, что для каждого индекса
однородности (элемента групппы) и существуют т^ € М„
и f^-i, € Rfi-„ такие, что гп^Гц^^ = ш^, а также 9^ € R„
такой, что m^Tv ф 0;
(b) все однородные компоненты любого градуированного под­
модуля модуля MR нетривиальны;
(c) все однородные компоненты любого градуированного цик­
лического подмодуля модуля MR нетривиальны;
Теорема 2.6.4 [Расширенная теорема плотности для граду­
ированных по группе колец] Условия (i), (ii), (iii)+(b) и (Ш)-ь(с)
на градуированное по группе кольцо R эквивалентны.
Теорема 2.6.5 [Расширенная теорема плотности для граду­
ированных по конечной группе колец] Условия (i), (ii), (iii)+(a),
(iii)+(b) и (iii)+(c) на градуированное по конечной группе кольцо
R эквивалентны.
Благодарности
Автор глубоко благодарен своему научному руководителю —
доктору физико-математических наук профессору Александру
Васильевичу Михалеву за постановку задач и детальное обсуж­
дение результатов работы.
Также автор хотел бы поблагодарить за внимание и мно­
гочисленные обсуждения доктора физико-математических на­
ук, профессора Латышева Виктора Николаевича, профессо­
ра А. Бака, доктора физико-математических наук, профессо­
ра Артамонова Вячеслава Александровича, доктора физикоматематических наук, профессора Михалева Александра Алек­
сандровича, кандидата физико-математических наук Маркова
Виктора Тимофеевича и доктора физико-математических наук
Захарова Валерия Константиновича.
11
Автор выражает свою отдельную благодарность кандидату
физико-математических наук Ирине Николаевне Балабе за вни­
мание и сотрудничество.
Автор очень признателен за помощь Ильиной Наталье К о н ­
стантиновне, а также кандидату физико-математических наук
Елене Игоревне Буниной и кандидату физико-математических
наук Александру Эмильевичу Гутерману за содействие в науч­
ной работе.
Работы автора по теме диссертации
[1] И.Н.Валаба, СВ.Зеленое, С.В.Лимаренко, А.В.Михалев,
"Теоремы плотности для градуированных колец", Фунда­
ментальная и прикладная математика, 2003, Т.9, В . 1 , с. 2749 В данной работе автору принадлежит раздел, касаю­
щийся суперколец, а именно расширенная теорема плот­
ности в терминах ровной однородности. Также автор
принял активное участие в разработке общей части ста­
тьи.
[2] С.В.Лимаренко, "Расширенная теорема плотности для гра­
дуированных по группе колец и модулей", Успехи матема­
тических наук, 2002, Т.57, вып.4, с. 181-182
(3] С.В.Лимаренко, "Кольца с критически сжимаемыми иде­
алами", Успехи математических наук, 2003, Т.58, вып.2,
стр.165-166
[4] С.В.Лимаренко, "Сжимаемые модули". Вестник М Г У , N3,
2005, с. 47-50
[5] С.В.Лимаренко, "Слабо примитивные суперкольца", Ф у н ­
даментальная и прикладная математика, том 10(3), с. 97142, 2004.
12
»1S392
PFIB Русский фонд
2006-4
19944
Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете
МГУ ИИ. М.В. Ломоносова.
Подписано а печать //. 09 US'
Формат 60 X 90 I/I6.
Усл. печл Q,JS^
Тираж 100 экз.
Заказ /g
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
625 Кб
Теги
bd000101007
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа