close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

bd000101247

код для вставкиСкачать
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
имени Л . Д . Л А Н Д А У
На правах рукописи
Д Ь Я Ч Е Н К О Александр И в а н о в и ч
У Д К 532.5:517.9
Турбулентность и сингулярности в нелинейных волновых
системах
Специальность 01.01.03 - Математическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук
Москва - 2005
Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л . Д. Ландау
Российской Академии Наук.
Официальные оппоненты:
Доктор физико-математических наук Е. Н. Пелиновский,
Доктор физико-математических наук А. В. Колдоба
Доктор физико-математических наук Н. А. Иногамов
Ведущая организация:
Институт гидродинамики им. М. А Лаврентьева
Сибирского отделения Российской Академии Наук
Защита состоится 23 июня 2005 года в И часов 30 минут на заседании
Диссертационного Совета Д 002.207.01 Института теоретической физики
им. Л . Д. Ландау по адресу:
142432, г. Черноголовка, Ногинского района, Московской области,
проспект академика Семенова, 1а,
Институт теоретической физики им. Л . Д. Ландау РАН.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теорети­
ческой физики им. Л . Д. Ландау РАН.
Автореферат разослан: " 20 "
мая
Ученый секретарь
Диссертационного Совета,
Доктор физико-математических наук
2005 г.
Л . А. Фальковский
XO^LOl
Общая характеристика работы
Актуальность темы
Интерес к исследованию волн большой амплитуды, называемых обычно
волны-убийцы, появляющихся на поверхности океана "из ниоткуда", и бы­
стро исчезающих, вполне естественен. Они представляют угрозу для моря­
ков, из-за них теряются человеческие жизни и суда. Они очень круты. В
последней стадии их развития, крутизна становится бесконечной, образуя
"стену воды". Кроме того, типичная волна-убийца - отдельное событие [3].
Изучение этих волн важно как для кораблестроения, так и для проекти­
рования нефтяных и газовых платформ на морских шельфах. Также важ­
ным является разработка методов их прогноза. Нет никаких сомнений, что
волны-убийцы являются нелинейными объектами. Естественно связать по­
явление волн-убийц с модуляционной неустойчивостью волны Стокса. Ли­
нейная теория этой неустойчивости была разработана независимо в [19] и
в [5]. В данной работе (в Главе 1) численно исследуется нелинейная стадия
этой неустойчивости.
Хорошо известно, что уравнения описывающие идеальную жидкость
со свободной поверхностью в поле силы тяжести вполне интегрируемы в
нескольких важных случаях. Интегрируемость имеет место для длинных
волн на мелкой воде (KdV[24], для уравнения Кадомцева-Петвиашвили [9],
для приближения Буссинеска[6], для спектрально узкой волны в жидко­
сти произвольной глубины (нелинейное уравнение Шредингера [8]). Слабо
нелинейное движение жидкости в отсутствии поля силы тяжести также ин­
тегрируемо [29]. Очень естественно сформулировать гипотезу, что и произ­
вольное одномерное движение идеальной жидкости в гравитационном поле
интегрируемо. Во втрой главе исследуется этот вопрос, и хотя ответ, строго
говоря, отрицательный, одномерная ситуация является почти интегрируе­
мой.
Следующая важная проблема, затронутая в диссертации - проблема
Колмогоровских спектров - является ключевой в теории слабой волновой
турбулентности. Эти спектры являются точными решениями стационарно­
го кинетического уравнения для среднеквадратичных амплитуд волн [49].
Несомненно, что слаботурбулентные Колмогоровские спектры должны те­
оретически объяснять степенные спектральные распределения энергии в
ансамблях стохастических нелинейно взаимодействующих волн любой при­
роды. Спектры такого типа наблюдаются систематически. Самый яркий
пример такого рода - спектр б„ — Qv/to^, потс/рый обычно наблюдается при
'
i'OC НЯЦИОНАЛЬНАЯ
КИБЛИеТЕКА
овщ^Л^Рг
возбуждении ветром гравитационных волн в море. Однако, эта точка зре­
ния разделяется не всеми. Кроме того, самая применимость кинетического
уравнения для волн к реальной ситуации также дискутируется. (См., на­
пример [33].) Вывод кинетического уравнения из исходных динамических
уравнений предполагает законность предположения о хаотичности фаз,
которая может быть нарушена формированием некоторых когерентных
структур, таких как волновые коллапсы, солитоны или Бозе-конденсат.
Фактически, эта критика имеет серьезные основания. В реальных ситу­
ациях когерентные структуры встречаются часто, но в то же время нет
причин для полного отказа от теории слабой турбулентности. Действи­
тельность многообразна, и во многих конкретных ситуациях когерентные
структуры сосуществуют со слаботурбулентной компонентой, участвуя в
процессы переноса и диссипации энергии и других интегралов движения.
Следовательно, есть сильная мотивация, чтобы продолжить исследова­
ние теории слабой турбулентности, исследуя тот случай, где когеретные
структуры важны, и случай, где такие структуры не важны.
Н а у ч н а я новизна
Основные результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Впер>вые получены кубически нелинейные, конформные уравнения, описываю­
щие динамику потенциального течения двумерной идеальной несжимаемой
жидкости со свобод1Юй границей в гравитационном поле и с учетом капил­
лярных сил. Проведен ряд численных экспериментов по изучению образо­
вания волн-убийц на поверхности жидкости, и их опрокидывания. Дока­
зана неинтегрируемостъ двумерной идеальной гидродинамики со свобод­
ной границей. Впервые применены конформные канонические переменные
для вычислений матричных элементов нелинейного резонансного взаимо­
действия волн. Впервые показана, аналитически и численно, возможность
коллапса двумерном обобщении уравнения Беиджамина-Оно. Впервые чис­
ленно подтверждена справедливость теории слабой турбулентности в одно­
мерном случае. Численно и аналитически исследовано влияние когерент­
ных структур па слаботурбулентные спектры. В численном эксперименте
впервые получен слаботурбулентный Колмогоровский спектр для флукту­
ации поверхности жидкости в гравитационном поле. Построена численная
схема для решения уравнений динамики поверхностных волн, сохрапякь
щая Гамильтониан.
Цель работы
Целью работы является развитие теоретических и численных методов ис­
следования нелинейных явлений в гидродинамике идеальной жидкости со
свободной границей. Особое внимание уделяется разработке эффективных
численных алгоритмов, сохраняющих интегралы движения.
Также важным здесь являлся поиск интегрируемых приближений.
Кроме того, проведённое исследование слаботурбулептных режимов в
различных моделях имело своей целью обосновать применимость кинети­
ческих уравнений, которые позволяют с гораздо большей эффективностью
моделировать волновую турбулентность, чем исходные динамические урав­
нения.
Практическая и теоретическая ценность работы
Полученные кубически нелинейные уравнения безвихревой двумерной гид­
родинамики позволяют эффективное численное моделирование нелиней­
ных процессов на поверхности жидкости, включая такие как обрушение
волн, когда граница жидкости становится неоднозначной.
Новый подход к вычислению матричных элементов (с помощью кон­
формных канонических переменных) позволяет эффективно вычислять ре­
зонансные взаимодействия волн в двумерной потенциальной гидродинами­
ке.
Теоретическое и численное исследование коллапса в пограничном слое
объясняет экперименты по генерации когерентных структур в пограничном
слое.
Наблюдениие в численных экспериментах слаботурбулентных режимов,
с Колмогоровскими спектрами флуктуации, близких к эксперименталь­
ным, позволяет применять более простые, кинетические уравнения для
предсказания океанского волнения в метеорологических приложениях.
Апробация работы
Результаты, изложенные в диссертации, докладывались заседаниях Учено­
го Совета и семинарах Института теоретической физики им. Л . Д. Ландау
РАН, а также на международных научных конференциях:
• IV International Workshop "Nonlinear and Turbulent processes in physics",
Kiev, 1989.
• International Conference on Space - Time Complexity in Nonlinear Optics,
Univ. of Arizona, Tucson, USA, 1990.
• International Workshop on Dynamics Structures and Intermittencies in
Turbulence, Arizona State University, Phoenix, USA, 1991.
• Nonlinear Optics Workshop, Univ. of Arizona, Tucson, USA, 1993.
• International School on Turbulence, Cargese, Prance, 1993
• Ocean Waves Workshop, Univ. of Arizona, Tucson, USA, 1994.
• New achievements in the Nonlinear Schrodinger Equation, Landau Insti­
tute for Theoretical Physics, Moscow, Russia, 1994.
• Nonlinear Optics Workshop, Univ. of Arizona, Tucson, USA, 1994.
• Workshop on Collapses and Patterns in Nonlinear Optics and Lasers, Cork,
Ireland, 1994
• 30th Anniversary Landau Institute Conference, Landau Institute for The­
oretical Physics, Moscow, Russia, 1995.
• Workshop on Ocean Dynamics, Los Alamos, USA, 1995
• Symposium on Applied Mathematics, 70 Anniversary of M.Kruskal, Boul­
der, Colorado, USA, 1995
• "Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and
Perspectives", Институт теоретической физики им. Л.Д.Ландау Чер­
ноголовка, Россия, 3-10 августа, 1999г.
• Workshop on Singularities in Classical, Quantum and Magnetic Fluids
Mathematcs Institute - University of Warwick Coventry, UK, 20 - 23 Oc­
tober, 2000.
• Theory and Application of Problems with Free Boundaries, Бийск, Рос­
сия, 2-6 июль, 2002.
• Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Per­
spectives, Институт теоретической физики им. Л.Д.Ландау Черного­
ловка, Россия, 18-22 августа, 2002г.
• Международная симпозиум "Topical problems of Nonlinear wave Physics",
Нижний Новгород, Россия, 6-12 сентября, 2003.
• Международная конференция "Free surface water waves", Торонто, Ка­
нада, 14-18 июня, 2004г.
• Международная конференция "Frontier of Nonlinear Physics", Нижний
Новгород, Россия, 5-12 июля, 2004г.
• Международная конференция "Математическая гидродинамика: мо­
дели и методы", Ростов-на-Дону, 4-8 октября, 2004г.
По теме диссертации опубликовано 20 работ, список которых приведен
в конце автореферата.
Объем и структура диссертации
Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, семи прило­
жений и списка литературы.
Краткое содержание работы
Введение
Во введении обсуждается история и обосновывается актуальность рассмат­
риваемых вопросов, мотивирующих работу. Сформулированы цели и при­
ведены основные результаты работы. Коротко описана структура диссер­
тации.
Глава 1. Конформные преобразования и Гамильтонов формализм
в гидродинамике несясимаемой идеальной исидкости со свободной
границей
Во введении 1.1 изложен краткий обзор известных результатов для урав­
нений двумерного течения идеальной несжимаемой жидкости со свободной
границей. Это, в первую очередь, отностится к стационарным, установив­
шимся гравитационным волнам. Применение теории функций комплекс­
ных переменных в этой области позволило получить важные результаты,
первый из которых датирован серединой прошлого века и принадлежит
Стоксу [42]. Им было показано, что с ростом амплитуды стационарных
гравитационных волн происходит заострение гребней волн и образуется
угол, равный 120*^. В двадцатые годы этого века в этом направлении были
выполнены классические работы Некрасова [15] и Леви-Чивита [31], ма­
тематические аспекты которых дали мощный импульс ряду направлений
теории интегральных уравнений и функционального анализа.
Для исследования нестационарной динамики поверхности в шестидеся­
тые годы, и позже, получил развитие подход, основанный на лагранжевом
описании, предложенном Биркгоффом [20]. Ряд авторов (см. обзор [32] и
ссылки в нем) пытался применить метод аналитического продолжения по
лагранжевым переменным. Однако, эти координаты не допускают подхо­
дящего конформного преобразования, т.к. их аналитическое продолжение
имеет особенности в обеих полуплоскостях комплексного переменного.
Удобный подход описания потенциальных течений жидкости со свобод­
ной поверхностью для произвольной размерности пространства основан на
использовании канонического формализма, известного с 1968 г. (см. [4]).
Для двумерной геометрии наиболее естественным является подход, соче­
тающий канонический формализм и конформные отображения.
Этот подход описан в рс13деле 1.2 для случая воды произвольной глу­
бины с учетом поля тяжести и поверхностного натяжения. Этот раздел
начинается с классической постановки задачи о потенциале Ф скорости те­
чения двумерной идеальной несжимаемой жидкости
Д Ф = 0.
(1)
с граничными условиями
т
Чп
дг]
Я Ф Fin
дФ
дт]
ЯФ
дФ
dt
дх дх
ду
2^дх>
2^ду'
y~v
+ 9V = 0,
v=v
(2)
(3)
на свободной границе. Далее, используя вариационный принцип и кон­
формное преобразование области занимаемой жидкостью, на нижнюю по­
луплоскость конформной переменной, выводятся новые уравнения для двух
аналитических функций, комплексного потенциала скорости и собственно
конформного преобразования. Подобные уравнения были получены Овсян­
никовым в [16], но другим путём.
В следующем разделе 1.3 некоторые частные приближенные решения
нестационарной динамики свободной границы в отсутствии гравитацион­
ного поля и сил поверхностного натяжения.
1. В первом и втором параграфах исследован случай динамики границы
с большой кривизной. Показано, что в этом случае уравнения могут
быть упрощены, и сведены к одному уравнению для конформного пре­
образования z{u, t) только.
lm{ztz:) = -X.
(4)
Это уравнение известно в литературе с 1945 г. [14]. Обычно его назы­
вают Laplacian Growth Equation (LGE) - уравнение лапласовского ро­
ста. Оно широко используется при описании динамики границы двух
жидкостей с существенно различными вязкостями, движения грани­
цы раздела двух фаз (например, льда и воды) и роста депдритов в
частности.
Уравнение (4) является интегрируемым [34], и здесь исследован класс
его решений, в которых поверхность имеет "N-пальцевый''вид. Однопальцевое же решение было найдено Саффманом и Тэйлором [40].
2. В третьем параграфе вьюдятся автомодельные уравнения движения
поверхности. Уравнения являются нелокальными, имеют двухпараметрическое семейство решений. Некоторые из этих решений описы­
вают образование особенности па границе за конечное время (особен­
ности типа "угол", или излом). Другие же соответсвуют коллапсу за
бесконечное время.
В разделе 1.4 получены точные, кубически нелинейные уравнения,
описывающие потенциальное течение двумерной несжимаемой жидкости
в гравитационном поле. Переменными, в которых уравнения становятся
кубическими, являются функция, обратная производной конформного пре­
образования области занимаемой жидкостью, на нижнюю полуплоскость,
и комплексная потенциальная скорость течения:
R=^—,
Фи, = -iVzu,.
(5)
Для этих функций уравнения приобретают весьма изящную форму:
Rt =
i{UR'-U'R),
Vt = i{UV'-Rp{VV))
Здесь
+ g{R-l).
(6)
U = PiVR + VR).
P - линейный интегральный оператор, оператор проектирования. Они яв­
ляются уравнениями переноса, но действуют в комплексной плоскости.
Важную роль в этих уравнениях играет комплексная скорость переноса
и. Она переносит пули функции R{w,t), которые являются особыми точ­
ками конформного отображения z{w,t).
В уравнениях (6) легко учесть и поверхностное натяжение, следует лишь
заменить второе уравнение на
Vt = i{UV' - RP{VV)
+ 9{R - 1)) - 2aRP'{Q'Q
- Q'Q),
где a - это коэффициент поверхностного натяжения, а Q = VIR,.
Раздел 1.5 посвящен в основном численному моделированию образо­
вания волн-убийц.
В первом параграфе обсуждаются различные возможные механизмы
образования гигантских волн, и в частности нелинейная стадия модуля­
ционной неустойчивости волны Стокса. Теория этой неустойчивости была
разработана независимо в [19] и в [5]. Развитие этой неустойчивости приво­
дит к появлению волн чрезвычайно большой амплитуды, так называемых
freak waves, волн-убийц или гигантских волн. Эти волны - хорошо извест­
ная опасность для моряков (см., например[30]).
Эволюция модулированной нелинейной волны Стокса описывается нели­
нейным уравнением Шредипгера (NLSE), полученном в [4]. Это уравнение
интегрируемо (см. [8]), и является первым членом в иерархии уравнений
огибающих, описывающих пакеты гравитационных поверхностт1ых волн.
Второй член в этой иерархии был вычислен Дьтсте в[23], следующий был
найден несколько лет назад в(43].
Начиная с первой работы [41], много авторов пробовали объяснить фор­
мирование волн-убийц в рамках NLSE и его обобщений, как уравнение Дысте. Обширная научная литература посвятцена этому предмету. Список,
представленный ниже длинен, по неполон: [18, 21, 35, 36, 37, 38, 43, 44, 45,
46]. Обзор различных возможных механизмов формирования волн-убийц
дан в [27, 12].
Явление образования волны-убийцы можно было бы объяснить, если
бы решения для уравнения огибающих с амплидудой, большей некоторой
критической, были бы неустойчивы и коллапсировали. В то время как в
рамках одномерного уравнения NLSE солитоны устойчивы, улучшенная
модель должна иметь некоторый порог по амплитуде для устойчивости со­
литона. Неустойчивость солитона большой амплитуды и его дальнейший
коллапс могли бы быть надлежащим теоретическим объяснением происхо­
ждения волн-убийц.
Этот сценарий наблюдался в численном эксперименте в эвристической
одномерной модели Maida-McLaughlin-Tabak (ММТ-модель) (см. [33]) для
одномерной волновой турбулентности [48].
в наших численных экспериментах наблюдался другой сценарий. А имен­
но, волна-убийца появляется в модулированном цуге волн. Образование
волны-убийцы похожа на развитие некоторого дефекта на периодической
сетке, являющейся периодической волной Стокса.
Самый прямой способ доказать справедливость вышеизложенных сце­
нариев формирования волны-убийцы - численное моделирование уравне­
ния Эйлера, описывающего потйщиальные течения идеальной жидкости
со свободной поверхностью в поле тяготения.
Во втором параграфе, вначале обсуждается конретный выбор уравне­
ний, которые будут численно интегрироваться, выбраны уравнения (6), а
схема интегрирования - метод Рунге-Кутта 4-го порядка аппроксимации по
времени, и спектральная по пространству [50].
Начальные данные выбирались как цуг точных волн Стокса в котором
было от 10 до 50 гребней (с периодическими ганичными условиями в об­
ласти 27г), и крутизной /i = 0.1 ~ 0.15. Этот цуг был промодулировап
длинноволновым возмущением малой амплитуды. Для того, чтобы задать
волну Стокса, необходимо было решить стационартюе уравнение
-(?Уи + дууи + 9Н{у{1 + Хп)) = 0.
(7)
Для его решения был разработан специальный алгоритм. Далее приведе­
ны типичные картины профиля границы жидкости до появления волныубийцы. Рисунок 1, и в момент времени непосредственно перед её опроки-
0
1
2
3
4
Рис. 1: Форма поверхности жидкости при Т = 422
дыванием. Рисунок 2.
Амплитуды волн, бегущих впереди волны-убийцы - относительно ма­
лы (в три раза меньше). Можно видеть глубокую впадину перед волнойубийцей. Это - так называемая "дыра в воде"или "hole in the water"(морской
фольклор), которая предшествует волне-убийце. Можно видеть, что около
гребня передний фронт волны очень крут. Это - действительно "стена во­
ды". В некоторой области крутизна даже отрицательна (где поверхность
неоднозначна). Начало опрокидывания представлено на Рисунке 3. Весь­
ма важной характеристикой волны является также плотность импульса.
Именно эта величина может представлять опасность для морских судов и
платформ. Рисунок 4 демонстрирует как происходит концентрация плот­
ности горизонтального импульса к моменту образования волны-убийцы.
В разделе 1.6 анализируются результаты численного моделирования, и
делается вывод о том, что волпа-убийца появляется в результате развития
модуляционной неустойчивости (если порог неустойчивости не превышен,
никакие волны-убийцы не появляются вообще), движется с групповой ско­
ростью. Кроме того, имеется некоторый порог для крутизны начального
условия, при превышении которого волна опрокидывается.
Глава 2. Интегрируема л и гидродинамика идеальной ясидкости
со свободной поверхностью ?
Эта глава построена следующим образом.
В разделе 2.1 перечислены некоторые частные интегрируемые систе-
-
1
0
1
2
3
4
Рис. 2: Форма поверхности жидкости при Т = 458.56
10
31
312
314
3 1fl
3 18
Рис. 3: Увеличенное изображение формы поверхности жидкости вблизи гребня волны
при Г = 458.842
01
■
008
■
0.06
■
1
0.04
\
002
0
'<^..-'-''**-<ПГ-1-^^'^
■
^
-
.
.
\.'' 1
^/''^Z
Рис. 4: пространственная плотность горизонтального импульса перед опрокидыванием
при Т = 456 (пунктирная линия), и в момент опрокидывания при Т = 458.5 (сплошная
линия)
мы, получающиеся из точных уравнений потенциального течения идеаль­
ной несжимаемой глубокой жидкости со свободной границей.
В разделе 2.2 получен эффективный четырёхволновой Гамильтониан
(исключены нерезонанспые трёхволновые взаимодействия). В параграфе
2.2.1 сделана параметризация резонансного многообразия для одномерно­
го случая. В параграфе 2.2.2 показано, что четырёхволновой матричный
11
элемент взаимодействия
7^5з = о
тождественно равен нулю на резонансной поверхности.
В следующем параграфе, 2.2.3, исследованы четырёхволновые матрич­
ные элементы, первый, полученный Хассельманном в 1962 г. [25], и вто­
рой, полученный Захаровым в 1968 г. [4]. В 1980 г. в работе Crawford,D.E.,
Yuen,H.G. и Saffman,P.G.[22] был сформулирован вопрос об идентично­
сти результатов Хассельманна и Захарова, однако ответа на него не было.
Здесь, же, используя результат предыдущего параграфа, показано, что оба
матричных элемента совпадают на резонансной поверхности. И это спра­
ведливо как в одномерном, так и в двумерном случае.
Следующий разделе 2.3 является подготовительным для вывода 5-ти
волнового кинетического уравнения.
В параграфе 2.3.1 обсуждается структура кинетического уравнения в
одномерной ситуации, и показывается, что четырёх волновое рассеяние не
вмосит никакого вклада в кинетическое уравнение. Далее начинается вы­
вод 5-ти волнового матричного элемента.
В параграфе 2.3.2 вводятся конформные канонические переменные, поз­
воляющие сравнительно легко (хотя и громоздко) получить разложение
Гамильтониана до 5-го порядка включительно. В параграфе 2 3.3, с по­
мощью конформных канонических переменных получены все необходимые
матричные элементы для процессов
Vk%,
Ukik2k3
для 2 ^ 1
Д Л Я 3 <;=> О
Rkik2k3ki
Gtk,k,
< t
Q^f'
ДЛЯ 4 4Ф О
для 3 <^ 1
для 2 ^ 2
для 3 Ф> 2.
Далее, в параграфе 2.3.4, вводится каноническое преобразование, кото­
рое позволяет избавиться от нерезонансных членов в Гамильтониане, в духе
работ [7, 10), но с тем отличием, что теперь каноническое преобразование
делается в конформных переменных. Кроме того в параграфе рассмат­
ривается случай периодических граничных условий, и для него получен
четырехволновой Гамильтониан в нормальной форме Биркгоффа
00
1
с»
1
00
И = Е <^п\Ьп\^ + ^ i: Tn„,\bn\'\bnf + ^ Е Тпп\Ьп\'.
п=-оо
■^ n^ni
'* п = - о о
12
А это Гамильтониан интегрируемой системы.
В последнем параграфе раздела 2.3 представлена процедура вычисле­
ния матричного элемента, соответствующего процессу 3 Ф» 2 с учётом ис­
ключения нерезонансных процессов. Это сделано с помощью диаграмной
техники Число диаграмм - велико. 60 - сконструированных из трехволновых процессов V^.^ и Ukik2k3, как например, таких
UI
"^
^
Ujkl,кЗ-д,к2-р)
У{к2,р,к2 -р)У{кЗ,д,кЗ
{ш{к2) - ш{к2 ~р)-
- д)
w{p)) {ш{кЗ) - uj{k3 - д) - ш{д))
Кроме того, к ним нужно ещё добавить 20 диаграмм, сконструированных
из 4-х плюс 3-х волновых процессов, как например такой
2 3
V{kl + кЗ, kl, кЗ) W{p, д, к2, kl + кЗ)
Ц^
IgNl
ш{к1) + ш{кЗ) - oj{kl + кЗ)
И наконец, к ним нужно добавить собственно одну 5-ти волновую диа­
грамму с матричным элементом Qj.^^ ^, всего 81 диаграмма. Резонансное
многообразие, на котором необходимо вычислить всю эту сумму допус­
кает полиномиальную трёхпараметрическую параметризацию. Результат
суммирования был получен с помощью программы "Mathematica"[47], и
несмотря на всю громоздкость диаграмм, он оказался чрезвычайно про­
стым:
rpkik^kz
k.h
__
2
u)kiiJk2^k3 кук2кзк^кь
gУ2^,г|2^^
^^^^^^
, .
тах{куММ'
Тот факт, что r^^'jbj^ ^ 7^ О на резонансном многообразии, означает, что
система уравнений, описывающая двумерное потенциальное, бесконечно
глубокое течение несжимаемой идеальной жидкости в гравитационном
поле является неинтегрируемой.
В разделе 2.4 выводится 5-ти волновое кинетическое уравнение, вклю­
чающее в себя формально и 4-х волновые процессы. Для одномерных грави­
тационных волн 4-х волновые процессы не важны, и в нем остаётся только
5-ти волновой столкновительный член
—
= st{n,n,n,n).
(9)
Кинетическое уравнение (9) сохраняет два интеграла движения, энергию
и импульс, и описывает прямой и обратный каскады (импульса и энергии
соответственно). Для их потоков, зная степень однородности матричного
элемета, закона дисперсии и учитывая одномерность системы, следуя [49]
получены степенные стационарные решения, Колмогоровские спектры.
13
Глава 3. Волновая турбулентность в нелинейном уравнении Шредингера
В разделе 3.1 изучается влияние когерентных структур на слаботурбу­
лентные спектры в рамках модели ММТ-модели (A.Maida, D.McLaughlin и
Е.ТаЬак [33]).
В параграфе 3.1.1 приводится пример слаботурбулентного спектра е^ —
gv/u)^, который обычно наблюдается в системах возбуждаемых ветром гра­
витационных волн в море. С другой стороны, вывод кинетического урав­
нения (решением которого являются слаботурбулентные спектры) из ис­
ходных динамических уравнений предполагает законность предположения
о хаотичности фаз, которая может быть нарушена формированием неко­
торых когерентных структур, таких как волновые коллапсы или солитопы. Во многих конкретных ситуациях когерентные структуры сосуществу­
ют со слаботурбулептной компонентой, участвуя в процессы переноса и
диссипации энергии и других интегралов движения. В параграфе 3.1.2
приводится модель нелинейной волновой системы, ММТ-модель, являю­
щейся обобщеппием нелинейного уравнения Шредингера, сохраняющего
не только энергия и импульс, но также и волновое действие (число ча­
стиц). ММТ-модель демонстрирует сложное много-вариантное поведение,
которое нельзя рассматривать как простое подтверждение слаботурбулентпой теории теории. Отсутствие простого, явного подтверждения происхо­
дит из-за наличия когерентных структур, которые постоянно присутствуют
во всех версиях ММТ-модели. В следующем параграфе 3.1.3, приводится
постановка задачи и результата численного моделирования модифициро­
ванной ММТ-модели, которая включает в себя не только стандартные про­
цессы рассеяния "два в два", но и процессы распада "один в три", которые
не сохраняют волновое действие.
(д'Ф
,\
г[-^ + ЪФ^)к'^ф + af{\k\\h\\k2\\h\f*rk,^k,^kjk+k,-k,~k,dkidk2dh +
9 J {\k\Mk2\\k,\f\
x(V'fci -i^fci "Фк, 6к-к,-к2-кз + 3 фк, Ф1, Фкз 6k-ki+k2+k^)dki dk-i dki
Оказывается, что такая модель, при надлежащем выборе параметров, ведет
себя в соответствии со слаботурбулентной теорией. В частности, она демон­
стрирует существование степенного решения (Колмогоровского спектра) в
широком инерционном интервале (больше двух декад).
14
Наличие в Гамильтониане "распадного"члена обеспечивает отсутствие
локализованных структур, и создаёт условия для "наблюдения"слаботур­
булентного режима.
На Рисунке 5 изображён типичный стационарный, усреднённый по вре­
мени, спектр для варианта с д = 0.15. Из Рисунка 5 хорошо видно, что в
1000
Рис. 5: IV'fcP, усреднённый по интервалу времени 100. Прямая линия соответствует сте­
пенному спектру 0.15|А;|~з
инерционном интервале 30 < fc < 300 этот спектр аппроксимируется сте­
пенным Колмогоровским спектром с показателем А = |. Следует отметить,
что представленные в этом параграфе результаты являются первыми, под­
тверждающими справедливость теории слабой турбулентности именно в
одномерном случае.
В разделе 3.2 рассматривается турбулентность в нелинейной волновой
среде, сопрововождающаяся возникновением локализованных существен­
но нелинейных структур, солитопов. Даётся обоснование утверждения о
центральной роли солитопов в асимптотическом состоянии турбулентно­
сти данного типа и показывается, тем самым, что солитонный газ является
своеобразным статистическим аттрактором уменьшающейся со временем
размерности в неинтегрируемой гамильтоновской системе с бесконечным
числом степеней свободы.
В параграфе 3.2.1 дается качественная картина солитонной турбулент­
ности в рамках неинтегрируемого нелинейного уравнения Шредингера в
условиях отсутствия волновых коллапсов. Впервые солитонная турбулент­
ность рассматривалась, по-видимому, в 1973 г. в работе [28].
15
в параграфе 3.2.1 предлагается модель волновой турбулентности, моди­
фицированное нелинейное уравнение Шредипгера (см., например, [13])
irPt + AV- + /(I^P)V = О,
(10)
Нелинейность /dV'P) выбиралась такой, чтобы уравнение было неинтегрируемым, и имело решение в виде устойчивого (пеколлапсирующего) солитона. В этом случае турбулентность является солитонной. Фундаменталь­
ный общефизический интерес представляет вопрос о характере эволюции
этой турбулент1юсти. В неинтегрируемом случае качественное термодина­
мическое рассмотрение взаимодействия солитонов со свободными волнами
[13] показывает, что поведение системы определяется накоплением слабых
эффектов, которые обусловлены нескомпенсировапностью процессов, про­
текающих в противоположных направлениях. При взаимодействии солито­
нов со слаботурбулентным спектром термодинамически выгодными явля­
ются процессы, приводящие к увеличению амплитуд солитонов при умень­
шении их числа. Рассмотрены элементарные процессы взаимодействия со­
литонов друг с другом и со слабонелинейными свободными волнами. Пока­
зано,что происходит перекачка энергии из волны в солитон и происходит
торможение солитона и увеличение волнового вектора волны. При взаи­
модействии же двух солитонов происходит усиление более интенсивного и
ослабление менее интенсивного солитона.
В параграфе 3.2.3 представлены результаты численного моделирования
одно- и двумерной турбулепттюсти для уравнения (10). Результаты расче­
тов продемонстрировали полное соответствие наблюдаемой пространственновременной динамики системы предсказанной качественной картине соли­
тонной турбулентности. Взаимодействие солитонов друг с другом и со сво­
бодными волнами приводит к постепенной перекачке числа волн из солито­
нов в более интенсивные, амплитуды солитонов растут с уменьшением их
числа. На больших временах система приходит к единственному солитону малого размера и большой амплитуды. Измеренная скорость солитона
много меньше групповой скорости, что вполне естественно: неподвижный
солитон реализует минимум энергии.
В параграфе 3.2.4 делается вывод о том, что в процессе эволюции долгоживущей солитонной турбулентности пеинтегрируемая система прибли­
жается к состоянию солитонного газа, что позволяет считать это состоя­
ние статистическим аттрактором. В реальных физических системах всегда
имеется затухание волн с большими волновыми числами, а также различ­
ные нелинейные механизмы затухания. Эти эффекты приведут к тому, что
16
солитопы достаточно малого размера и большой интенсивности будут бы­
стро диссипировать. Тем самым концентрация энергии в солитонах малых
размеров оказывается сильно нелинейным механизмом поглощения энер­
гии, который можно сравнить с "коллансным" механизмом диссипации за
счет катастрофического развития особенностей волнового поля. Итак, ока­
зывается, что "солитоппый"и "коллапсный"варианты волновой турбулент­
ности качественно отличаются друг от друга не слишком сильно.
В разделе 3.3 рассматривается турбулентность в двумерном уравнении
Шредингера с отталкиванием (уравнение Гросса-Питаевского [2])
гфг + AV' - I^IV = 0.
(11)
В параграфе 3.3.1 обсуждаются особенности нелинейной волновой систе­
мы с дефокусируюш,ей нелинейностью. В сильной турбулентности в рамках
уравнения (11) могут одновременно присутствовать и конденсат, и фононы,
и ударные волны, и тёмные солитоны и квантовые вихри. Такая сложность,
тем пе менее, не подразумевает невозможным существование универсаль­
ного скэйлинга для корреляционных функций, а лишь затрудняет устано­
вить его.
В параграфе 3.3.2 обсуждаются результаты численного моделирования
уравнения (11), в которое добавлены накачка и затухание для волн. При
умеренных накачках турбулентность выходила на стационарный режим,
в котором присутствовали линейно растущий конденсат и анизотропные
вне-конденсатные флуктуации. Анизотропия (в отличие от анизотропного
спектра, предсказываемого теорией слабой турбулентности) обусловлена
нелинейными эффектами (такими как образование кинков и ударных волн)
см. Рисунок 6.
Для характеристики вне-конденсатпых флуктуации строились корреля­
ционные функции
5.(r) = (|V(x + r ) - V ' ( x ) r ) .
Нетрудно видеть из Рисунка 7 (а), что парная корреляционная функция
имеет логарифмическую асимптотику на больших масштабах, на временах,
когда достигается стационарный режим.
Для того, чтобы определить насколько вне-конденсатные флуктуации
отклоняются от Гауссовой статистики, вычислялись нормированные кор­
реляционные функции 4-го ("flatness")S'4/52 (должна быть равна 2 для
Гауссовой статистики) и 6-го Se/^l (должна быть равна 8 для Гауссовой
статистики) порядков. "Flatness"pacTeT до времени t ~ 55 (когда отно­
сительный рост конденсата насыщается), а затем "flatness"yMeHbmafiTCfl.
17
x+yL
y=const
Рис. 6: Профили |Ф| (сплошная), КеФ (пунктирная) 1 т Ф (точечная), взятые вдоль
диагонали и вдоль границ области моделирования, t = 135.7
60
50
п
*0
л
~'^'
20
■
'
-^
с)
\
' \
,'
\
. , ^ ^ \^
0
Рис. 7: а,Ь,с) Корреляционные функции в раличные времена:
t = 32,
i = 55,
• ■ - f = 92, сплошная t = 127; d) полное число волн TV и число волн в конденсате TVQ.
18
"Flatness"почти одинакова на всех масштабах при г > Го, где корреляци—1/2
онная длина го — iVg
уменьшается со временем.
В параграфе 3.3.3 делается заключение о том, что, наблюдались две ка­
чественно различных компоненты в турбулентности неравновесного Бозеконденсата. Умеренная накачка приводит
• к слаботурбулентному режиму в области накачки, в котором также
присутствует и сильнотурбулентная компонента (кинки, ударные вол­
ны)
• обратный каскад производит линейно растущий конденсат, который
стабилизирует впе-конденсатные флуктуации, т.е. служит стоком в
турбулентности, которая стационарна при всех к^О.
В разделе 3.4, в рамках обобщенного двумерного уравнения Бенджамипа-Оно аналитически и численно показано, что в пределе малой вязко­
сти неустойчивость одномерных длинноволновых солитонов в пограничном
слое приводит к их самофокусировке и коллапсу. Найдена точная верхняя
граница для полной энергии возмущений, когда коллапс все еще невозмо­
жен и когда любое возмущение асимптотически исчезает с течением вре­
мени. Теоретические предсказания находятся в качественном согласии с
экспериментами [И].
В параграфах 3.4.1 и 3.4.2 обсуждается возможный механизм коллап­
са, и отмечается различие между одно- и двумерным случаем. Отмечается
также, что уравнение Бенджамина-Оно для флуктуации скорости в сдви­
говом потоке, обобщенное на двумерный случай в [17] (уравнение Шриры)
Ut = -^г-ки — 6uux
(12)
дх
не предполагает малости отношения компонент ку/кх, что является важ­
ным при коллапсе.
Далее в параграфе 3.4.3 рассматриваются свойства двумерного солито­
на, полученного численно в работе [1]. Выводятся интегральные соотноше­
ния для такого солитона, позволяющие получить зависимость Гамильто­
ниана от масштабного параметра солитона. Эта зависимость существенно
различна в одно- и двумерной ситуации. В одномерии Гамильтониан все­
гда ограничен снизу, и таким образом, солитон устойчив, и коллапс невоз­
можен. В двумерном же случае. Гамильтониан равен нулю на солитонном
решении. Это, в свою очередь, означает, что возмущение солитонного реше­
ния может нарушить баланс в любую сторону. А именно, одни возмущения
19
приводят к расплыванию солитона, а другие, наоборот, к коллапсу. Вопрос
о конкретном выборе таких возмущений остаётся открытым.
В следующем параграфе 3.4.4 показано, что одномерный солитон неустой­
чив относительно двумерных возмущений (изгибпых возмущений его фрон­
та), найден его инкремент. В параграфе 3.4.5 обсуждается сценарий разви­
тия неустойчивости одномерного солитона. Он разбивается на отдельные
кластеры, кождый из которых коллапсирует, поскольку исходный одномер­
ный солитон имеет отрицательный Гамильтониан. Такая система должна
коллапсировать. Хотя получить аналог теоремы вириала, как это сделано
для нелинейного уравнения Шредингера, не удалось. Важную роль здесь
должен сыграть численный эксперимент.
Однако, в парагафе 3.4.6 доказано другое утверждение, о достаточных
условиях отсутствия коллапса: если продольный импульс начального усло­
вия меньше критического,
(который определяется солитоппым решением), то такое решение асимпто­
тически "расплывается".
В параграфе 3.4.7 представлены результаты численного эксперимента.
Главная трудность здесь в том, что солитон, и коллапсируюищй, и устой­
чивый имеет степенные, медленно спадающие хвосты, пэтому численное
моделирование проводилось на разностной сетке 512x512 узлов. Исследо­
вались два вопроса:
1. Порог коллапса для начальных условий, у которых Гамильтониан бли­
зок к нулю, Н с^ 0. Здесь было получено, что если для начальных
условий (Лоренцев профиль сворости) выполнено Р^ > Рх,сг и Я < О,
мы наблюдаем коллапс (см. Рисунок 8). Если же Рх < Рх,сг и Я > О
наблюдается медленное расплывание начального условия.
2. Неустойчивость одномерного солитона. В качестве начального усло­
вия бралось точное решение одномерго уравнения (12, возмущенное в
поперечном направлении. Временная эволюция линий уровня показа­
на на Рисунке 9.
В параграфе 3.4.8 обсуждаются экперименты по генерации когерентных
структур [11]. Отмечается совпадение "шипов"на профиле скорости в экс­
перименте, с коллапсирующими кластерами в нашем численном экспери­
менте. Так же отмечается, наличие порога образования "шипов"в экспери­
менте, и порога коллапса в теории.
20
Рис. 8: Линии уровня и{х, у) при t = 45 в режиме коллапса. Изображены контуры от
-10,0 до 0,8. Интервал - 0,9.
Глава 4. Слабая волновая турбулентность волн на поверхности
лсидкости
В разделе 4.1 приведены уравнения динамики слабонелинейных волн на
поверхности жидкости, следуя работам В.Е. Захарова и Н.Н. Филоненко
бО-х годов. Гамильтониан для дальнейших целей нужно удерживать до 4го порядка, у уравнения при этом, кубически нелинейные:
V
ф =
кф - (V(r?VV')) - к[т]кгр] + к{т1к{г)к'ф])+
ЦА['пЧЩ + Щп^Аф],
(13)
аАт}-дт)-1\{^ф)'^-{кф)Ц-[кф]к[г]кф]-[т]кф]Аф,
Здесь Г] = т]{х, у; t) — это отклонение поверхности жидкости от положения
равновесия, ф = ф{х, у; t) — потенциал скорости на поверхности, а ^ и а —
это гравитационная постоянная и коэффициент поверхностного натяжения
соответственно.
Одним из краеугольных камней в теории слабой турбулентности явля­
ется резонансное взаимодействие волн. Однако, в численных экспериметах,
условия резонанса для волн на дискретной сетке не могут быть выполнены
точно [26]. Поэтому вопрос о влиянии дискретности волновых чисел в чис21
Рис. 9: Эволюция u ( i , у)
ленном моделировании несомненно важен. Он рассматривается разделе
4.2.
В параграфе 4.2.1 рассматривается резонансное взаимодействие капил­
лярных волн на поверхности глубокой жидкости. В этом случае закон дис­
персии имеет вид uik = VoA?. Главным процессом здесь являются трехволповые распады и слияния волн с резонансными условиями
ki + k2 = кз,
t^jfei + Wjfcj = ujky
(14)
Даже в отсутствии точных резопансов на дискретной сетке, нелинейный
сдвиг частоты приводит к появлению у резонансной кривой конечной ши­
рины, что и обеспечивает волновое взаимодействие в числешюм экспери22
менте.
Было проведено численное исследование распада монохроматической
капиллярной волны при различных амплитудах. Продемострирован рост
гармоник, близких к резонансной кривой. Измеренные в численном экс­
перименте инкременты распадной неустойчивости согласуются аналитиче­
ской моделю взаимодействия трех волн с учетом расстройки резонанса.
Получена картина вторичных распадов, формирующих Колмогоровский
каскад.
В параграфе 4.2.2 рассмотрено резонансное взаимодействие гравитаци­
онных волп на поверхности глубокой жидкости. Закон дисперсии для та­
ких волн имеет вид ojk = \/дк- Здесь главным являются четырехволновые
процессы рассеяния волн. Уравнения (14) в этом случае нетривиальных
решений не имеют. Для процессов рассеяния условия резонанса таковы:
ki + k2 = h + ki,
u)ki + (^h = (^кз + i^kf
(15)
Численно была исследована задача о "распаде"гравитационной волны,когда
fel =
fc2
и
Wfc, = Wfcj.
Резонансная кривая такого процесса (так называемая восьмёрка Филлипса) также не имеет целочисленных решений. Однако при конечном уровне
амплитуды "распадаюш,ейся"волны ширина резонанса становится порядка
дискретности в пространстве волновых чисел, и процесс "распада"идёт в
соответствии с теорией.
Важно понимать, что при слишком малых амплитудах волн в числен­
ном эксперименте резонансные взаимодействия отсктствуют. А слишком
большая амплитуда волн может привести к нарушению условий примени­
мости теории слабой турбулентности. Полученные результаты могут быть
использованы при выборе параметров моделей, использующихся в экспери­
ментах по численному моделированию турбулентности волн на поверхности
жидкости.
Раздел 4.3 посвящен численному моделированию слабой турбулентно­
сти гравитационных волн на поверхности глубокой жидкости. Одним из
самых успешных экспериментов по численному моделированию слабой тур­
булентности волн на поверхности трехмерной жидкости следует признать
работу [39], где моделировалась турбулентность капиллярных волн. Для
гравитационных же волн, несмотря на значительные затраченные усилия,
получить слаботурбулентный режим не удавалось.
В параграфе 4.3.1 вводится статистическое описание волнового поля на
поверхности жидкости для случая гравитационных волн на глубокой воде.
23
Здесь рассматривается спектр, отвечающий потоку энергии в малые мас­
штабы (прямой КолмогороБСКий каскад). Теория слабой турбулентности
дает такой ответ для флуктуации поверхности жидкости:
< \mf >-
CpffV^pV^
fc7/2
'
(16)
здесь Р - поток энергии в область малых масштабов, Ср - безразмерная
Колмогоровская константа.
В параграфе 4.3.2 приведены результаты расчетов. Было проведено чис­
ленное моделирование уравнений (13) с накачкой и затуханием. Применя­
лась численная схема, описанная в Приложении .6, которая сохраняет Га­
мильтониан (если нет затухания и накачки). Все расчеты проводились в
периодической области 27га;27г, колличество узлов менялось от 128x128 до
256x256.
Достигается состояние динамического равновесия, в котором энергия
пакачки прямым Колмогоровским каскадом переносится в область затуха­
ния и там поглощалась В этом состоянии была вычислена парная корреля­
ционная функция отклонения поверхности от состояния равновесия: При
-2
Ж
Рис. 10: Парная корреляционная функция отклонения поверхности в двойном логариф­
мическом масштабе.
этом в значительной части области инерционного интервала наблюдалось
степенной спектр, такой как предсказывает теория (16) При увеличении
инерционного интервала (что достигалось увеличением разностной сетки)
24
область, в которой наблюдается слаботурбулентный спектр, также увели­
чивалась. Также была показана независимость показателя степенного убы512x512 256x256
128x128
i
Рис. 11- Уширение области "правильного"степенного спектра при увеличении количе­
ства точек на сетке. Показан скомпенсированный спектр.
вания спектра от уровней накачки и затухания. Это позволяет сделать вы­
вод об универсальности слаботурбулентного спектра гравитационных волн.
Заключение
В заключении сформулированы результаты работы.
Прилоясения
В приложения вынесен подробный вывод некоторых формул, приведение
которых в основном тексте прерывало бы связность изложения из-за их из­
лишней громоздкости. Кроме того, в Приложение .5 вынесены диаграммы,
5-ти волновых процессов.
25
Основные результаты
Используя канонический формализм для описания динамики свободной
поверхности двумерной идеальной жидкости произвольной глубины и кон­
формное отображение в горизонтальную полосу, получена простая систе­
ма псевдо-дифференциальных уравнений на форму поверхности и гидро­
динамический потенциал скорости. Эта система может быть эффективно
изучена аналитически в случае, когда якобиан конформного отображения
принимает большие значения в окрестности некоторой точки поверхно­
сти. Применяя разложение по обратным степеням якобиана, система мо­
жет быть сведена к одному уравнению, которое совпадает с хорошо из­
вестным уравнением лапласовского роста. В рамках этой модели найден
ряд точных решений, которые описывают образование конфигураций типа
"пальцев". Получены точные конформные уравнения, кубически нелиней­
ные, для формы поверхности и гидродинамической скорости. Уравнения
допускают эффективное численное моделирование. Они описывают пере­
нос особенностей конформного преобразования в верхней полуплоскости.
Проведено численное исследование волн-убийц на поверхности жидкости,
исследован механизм их образования, мдуляционная неустойчивость, её
нелинейная стадия.
Доказана неинтегрируемость двумерной идеальной гидродинамики. С
помощью конформных канонических переменные получены явные выра­
жения для матричных элементов резонансного взаимодействия волн чет­
вертого (который оказался равным нулю для!) и пятого порядков. Полу­
чено кинетическое уравнение для волн, учитывающее 5-ти волновое резо­
нансное взаимодействие. Получены его стационарные решения, Колмогоровские спектры.
Предложена модифицированная ММТ-модель одномерной волновой тур­
булентности, позволяющая избавиться от когерентных структур в слабо­
турбулентных режимах. Проведено численное моделирование, продемострировано существование степенных Колмогоровских спектров.
Аналитически и численно исследована солитонная турбулентность для
неинтегрируемого уравнения типа Н У Ш , показано, что система асимптоти­
чески приближается к состоянию солитонного газа. Показывается, что "солитонный"и "коллапсный"варианты волновой турбулентности качественно
отличаются друг от друга не слишком сильно.
Численно исследована турбулентность в модели Н У Ш с отталкивани­
ем, турбулентность конденсата. Наблюдалось две качественно различных
26
компоненты в турбулентности неравновесного Бозе-конденсата: обратный
каскад производит линейно растущий конденсат, который стабилизирует
вне-кондепсатные флуктуации, (включая кинки) т.е. служит стоком в тур­
булентности. Посроены корреляционные функции высших порядков, кото­
рые оказались близки к гауссовой статистике.
Численно и аналитически исследована возможность коллапса двумер­
ном обобщении уравнения Бенджамина-Оно (уравнение Шриры). Найдена
точная верхняя граница для полной энергии возмущений, когда коллапс
все еще невозможен, и когда любое возмущение асимптотически исчезает с
течением времени. Теоретические предсказания находятся в качественном
согласии с экспериментами.
Исследовано влияние дискретности (в численных экспериментах) на ре­
зонансное взаимодействие волн для капиллярных и гравитационных волн
на поверхности жидкости. Получены некоторые критерии на правильный
выбор параметров моделирования. Разработана численная схема для реше­
ния динамических уравнений трехмерной потенциальной гидродинамики,
сохраняющая гамильтониан. Проведено численное моделирование слабой
турбулентности гравитационных волн. В значительной части области инер­
ционного интервала наблюдалось степенной спектр, совпадающий с теоре­
тическим.
Публикации по теме диссертации
1. А.И. Дьяченко, В.Е. Захаров, А.Н. Пушкарев, В.Ф. Швец, В.В. Яньков, Солитонная турбулентность в неинтегрируемых волновых си­
стемах, ЖЭТФ, 96, Вып. 6(12), стр. 2026-2031 (1989).
2. Dyachenko A.I., Pushkarev A.N., Shvets V.F., et al. Proc IV Int. Workshop
"Nonlinear and Turbulent processes in physics", Kiev, 1989.
3. A.I.Dyachenko, A.C.Newell, A.N.Pushkarev, and V.E.Zakharov, Optical
Turbulence, Physica D, 57, pp. 96-160 (1992).
4. A.I.Dyachenko, E.A.Kuznetsov, Instability and Self-Focusing of Solitons in
the Boundary Layer, Письма в ЖЭТФ, 59, Вып. 2, стр. 103-108 (1994).
5. A.I.Dyachenko, V.E.Zakharov, Is the free-surface hydrodynamics an integrable system? Phys. Lett. A 190, pp. 144-148 (1994).
6. A.I.Dyachenko, Y.V.L'vov, On the Hasselmann's and Zakharov's approaches
27
to the kinetic equations for the gravity waves J.Phys. Oceanography 25
N12, pp. 3237-3238 (1995).
7. A.I.Dyachenko, Y.V.L'vov and V.E.Zakharov, Five-wave interaction on
the surface of deep fluid, Physica D 87, pp. 233-261 (1995).
8. A.I.Dyachenko, E.A.Kuznetsov, Two-Dimentional Wave Collapse in The
Boundary Layer, Physica D 87, pp. 301-313 (1995).
9. A.I.Dyachenko, E.A.Kuznetsov, M.D.Spector and V.E.Zakharov, Analyt­
ical Description of the Free Surface Dynamics of an Ideal Fluid, Phys.
Lett. A, 221, pp. 73-79 (1996).
10. A.I.Dyachenko, V.E.Zakharov, Toward an Integrable Model of Deep Water,
Phys. Lett. A, 221 pp. 80-87 (1996).
11. А.И. Дьяченко, B.E. Захаров, E.A. Кузнецов, Нелинейная динами­
ка свободной поверхности идеальной жидкости. Физика плазмы, 22,
Вып. 10, стр. 916-928 (1996).
12. A.I.Dyachenko, G.Fal'kovich, Condensate Turbulence in Two Dimensions,
Physical Review E, 54, # 5, pp. 5095-5099 (1996).
13. V.E.Zakharov, A.I.Dyachenko, High-Jacobian approximation m the free
surface dynamics of an ideal fluid, Physica D 98, pp. 652-664 (1996).
14. А.И. Дьяченко, 0 динамике идеальной жидкости со свободной по­
верхностью. Доклады Академии Наук, 376, Вып. 1, стр. 27-29 (2001).
15. V.E. Zakharov, O.A. Vasilyev and A.I. Dyachenko, Kolmogorov spectra
гп one-dimensional weak turbulence. Письма в ЖЭТФ, 73, Вып. 2, стр.
68-70 (2001).
16. V.E. Zakharov, A.I. Dyachenko and O.A. Vasilyev, New method for nu­
merical simulation of a nonstationary potential flow of incompressible fluid
with a free surface, European Journal of Mechanics B-Fluids, 21, No. 3,
pp. 283-291 (2002).
17. A.I. Dyachenko, A.O. Korotkevich, V.E. Zakharov, Decay of the monochro­
matic capillary wave. Письма в ЖЭТФ, 77, Вып. 9-10, стр. 572-576
(2003)
18. A.I. Dyachenko, A.O. Korotkevich, V.E. Zakharov, Weak turbulence of
gravity waves. Письма в ЖЭТФ, 77, Вып. 9-10, стр. 649-653 (2003).
28
19. A.I. Dyachenko, A.O. Korotkevich, V.E. Zakharov, Weak Turbulent Kolmogorov Spectrum for Surface Gravity Waves, Phys. Rev. Lett., 92, No.
13, pp. 134501-1-134501-4 (2004),
20. A.I. Dyachenko, V.E. Zakharov, Modulation Instability of Stokes Wave —>
Freak Wave, Письма в ЖЭТФ, 81, Вып. 6, стр. 318-322 (2005).
Список литературы
[1] Абрамян Л.А, Степапянц Ю А., Шрира В.И., ДАН СССР, 327, No.
4-6, (1992), 460.
2] Гинзбург В.Л. Питаевский Л.П., Ж Э Т Ф 34, (1958), 85.
3] Дивинский В.В., Левин В.В., Лопатухин Л.И., Пелиновский Е.Н., Слюняев А.В. Доклады РАН, 395, (2004), 438.
4] Захаров В.Е., Журнал прикл. мех. и техн. физики, 2, (1968), 190.
5] Захаров В.Е., Ж Э Т Ф 51, (1966), 668.
6] Захаров В.Е., Ж Э Т Ф , 38, (1973), 108.
7] Захаров В.Е., Изв. Высших учеб. завед.,, 17, (1974), 431.
8] Захаров В.Е., Шабат А.Б., Ж Э Т Ф , 61, (1971), 118.
9] Захаров В.Е., Шабат А.Б., Функц. анализ и прил., 8, No. 3, (1974), 43.
[10] Красицкий.В.П., Ж Э Т Ф , 71,(1990), 921.
[11] Качанов Ю.С., Рыжов О . С , Сиб. физ.-техн. журнал, 1, (1992), 34;
Kachanov Yu.S., Ryzhov O.S. and Smith F.T., J . Fluid Mech., 251, (1993),
273.
[12] Куркин, A.A., Пелиновский, E.H., Волны-убийцы: факты, теория и
моделирование. Нижегородский государственный университет, (2004).
[13] Петвиашвили В.И., Яньков В.В., Вопросы теории плазмы, 14, Под ре­
дакцией Б.Б. Кадомцева. М.:Энергоатомиздат, (1985), 5.
[14] Полубаринова-Кочипа П.Я., Д А Н СССР т. 47 (1945), 254;
Галин Л.А., Д А Н СССР т. 47 (1945), 246.
29
[15] Некрасов А.И. О волнах установившегося вида.. Изв. ИвановоВознесенского политехнического ин-та, 3, (1921).
[16] Овсянников Л.В., Динамика сплошной среды, Изд. ИГ им. М.А. Ла­
врентьева СОАН СССР, ВЫП.15, (1973), 104.
[17] Шрира В.И., Д А Н СССР, 308, (1989), 732.
[18] Ablovitz, M.I., Hammack, D., Henderson, J . and Scholder, С М . , Phys.
Rev. Lett. 84, (2000), 887;
Ablovitz, M.I., Hammack, D., Henderson, J . and Scholder, С М . , Physica
D 152-153, (2001), 416.
[19] Benjamin, T.B. and Feir, J . E . , J . Fluid Mech. 27, (1967), 417.
[20] Birkhoff G., In: Proc.Sympos.Appl.Maths. X I I , Providence, R.I.: AMS
(1962).
[21] Clamond, D. and Grue, J . C R . Mecanique 330, (2002), 575.
[22] Crawford D.E., Yuen H.G. and Saffman P.G., Wave Motion, 2, (1980), 1.
[23] Dysthe, K.B., Proc. Roy. Ser. A 369, (1979), 105.
[24] Gardner,C.S., Greene,J.M., Kruskal.M.D. and Miura,R.M., Phys. Rev.
Lett., 19, (1967), 1095.
[25] Hasselmann K., J . Fluid Mech., 12, (1962), 481. (Part I)
pp. 481-500, (Part I);
Hasselmann K., J . Fluid Mech., 15, (1963), 273. (Part II)
[26] Kartasheva E., in Nonlinear Waves and Weak Turbulence, A.M.S. Trans­
lations - Series 2, edited by V. Zakharov (AMS, Providence, R I , 1998), 95;
Connaughton C , Nazarenko S. and Pushkarev A., Phys. Rev. E, 63,
(2001), 046306.
[27] Kharif, C , and Pelinovsky, E., Europ. J . Mech. B/Fluids, 22, (2003), 603.
[28] Kingsep A.S., Rudakov L.I. and Sudan R.N., Phys. Rev. Lett., 31, (1973),
1482.
[29] Kuznetsov E.A., Spector M.D. and Zakharov V.E., Phys. Rev. E, 49 # 2,
(1994), 1283.
[30] Lavrenov, I.V., Natural Hazards 17, (1998), 117.
30
[31] Levi-Civita Т., Mathematische Annalen 93 (1925), 264.
[32] Longuet-Higgins M.S., In: Nonlinear Water Waves, ed. L.Denath., Aca­
demic Press, Boston, (1994)
[33] Majda, A., McLaughhn, D. and Tabak, E., J . Nonlinear Science 7, (1997),
9.
[34] Mineev M.B. and Dawson S.P., Phys. Rev. E, 50, (1994), 24.
[35] Onorato, M., Osborne, A.R., Serio, M. and Bertone, S., Phys. Rev. Letters
86, (2001), 5831.
[36] Onorato, M., Osborne, A.R. and Serio, M., Phys. of Fluids 14, (2002), L25.
[37] Peregrine, D.H., J . Austral. Math. Soc. В 25, (1983), 16.
[38] Peregrine, D.H., Skyner, D., Stiassnie, M. and Dold, N., in: Proc. 21th Intl.
Con}, on Coastal Engng. Vol. 1, Chap. 54, (1988), 732.
[39] Pushkarev A.N. and Zakharov V.E., Phys.Rev.Lett., 76, (1996), 3320.
[40] SafFman R G . and Taylor G.I., Proc. Roy. Soc. A 245, (1958), 312.
[41] Smith, R., J . Fluid Mech. 77, (1976), 417.
[42] Stokes G.G.,. Mathematical and Physical Papers, Vol. 1, 197 and 317.
(Cambridge University Press, 1880).
[43] Trulsen, K. and Dysthe, K.B., Wave Motion 24, (1996), 281.
[44] Trulsen, K. and Dysthe, K.B., in: Proc. 21st Symposium on Naval Hydro­
dynamics, (1997), 550;
http://www.nap.edu/books/0309058791/html/550.html
[45] Trulsen K., in Rogue waves 2000: Brest, France, November 2000, eds. M.
Olagnon and G.A. Athanassoulis, Ifremer, (2001), 265.
[46] Trulsen K., Kliakhandler I., Dysthe K.B. and Velarde M.G., Phys. Fluids,
24 (2000), 32.
[47] Wolfram V.P., Mathematica, Addison-Wesley Pub.Comp., (1988)
[48] Zakharov, V.E., Dias, F. and Pushkarev, A.N., Phys. Reports 398, (2004),
1.
31
[49] Zakharov V.E., L'vov V.S., Falkovich G., Kolmogorov spectra of turbulence
I, v . l , Springer-Verlag, 1992.
[50] V.E. Zakharov, A.I. Dyachenko and O.A. Vasilyev, 21, No. 3, (2002), 283.
32
РНБ Русский фонд
2006^
20201
1114175
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 322 Кб
Теги
bd000101247
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа