close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

bd000101734

код для вставкиСкачать
УДК 517+518.87
На правах рукописи
К А Ч А Е В А ТАТЬЯНА ИВАНОВНА
АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ
СТЕПЕННЫХ СУММ КОРНЕЙ СИСТЕМ
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
01.01.07 — вычислительная математика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Красноярск-2005
Работа выполнена в Красноярском государственном университете
Научный руководитель:
доктор физико-математических паук,
профессор Мысливец Симона Глебовна
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
профессор
Кытманов Александр Мечиславович
кандидат физико-математических наук,
доцент
Осипов Николай Николаевич
Ведущая организация
Институт программных систем Р А Н
г. Переславль-Залесский
Защита состоится " 0 1 " декабря 2005 г. в 15 чгьсов на заседании дис­
сертационного совета К 212.098.03 в Красноярском государственном техни­
ческом университете по адресу 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского го­
сударственного технического университета.
Автореферат разослан
" 3 1 " октября 2005 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
К. В. Сафонов
1^^
izn^bo
1. О б щ а я характеристика работы
1.1. А к т у а л ь н о с т ь т е м ы .
Алгоритмы нахождения степенных сумм корней систем нелинейных
уравнений основываются на формуле многомерного логарифмического вы­
чета. Эта формула дает интегральное представление для таких степенных
сумм. Интеграл в ней вычисляется по циклам (остовам аналитических по­
лиэдров) действительной размерности п. Д л я алгебраических отображе1шй
известны формулы вычисления данного интеграла через коэффициенты
полиномов, входящих в систему.
На основе этих формул Л.А.Айзенбергом (1973) был предложен моди­
фицированный метод исключения неизвестных из систем алгебраических
уравнений, развитый затем в монографии В.И.Быкова, А.М.Кытманова и
М.З.Лазмана (1991). Но эти формулы настолько сложны, что практически
(без разработки алгоритмов вычисления) их невозможно применить даже
для простых систем. Особенно для систем, содержащих параметры. Пер­
вые попытки создания таких алгоритмов (и их компьютерная реализация)
для систем с выделенной главной частью, треугольных систем были да­
ны в работах В.И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З.Лазмана, Т.А.Осетровой.
Д л я невырожденных систем алгебраических уравнений (практически самьпс общих алгебраических систем) такие разработки были осуществлены
в диссертации З.Е.Потаповой (2004).
Для систем трансцендентных уравнений таких формул и алгоритмов
известно не было. Это связано с тем, что системы трансцендентных функ­
ций, как правило, имеют бесконечное число корней и, тогда степенные сум­
мы корней (в положительной степени) являются расходящимися рядами.
Поэтому целесообразно рассмотреть степенные суммы корней в отрица­
тельных степенях (т.е. степенные суммы от величин, обратных корням
системы). К этим степенным суммам напрямую не применима формула
логарифмического вычета, она нуждается в дополнительном обос1ювании.
Более того, для систем трансцендентных функций не был разработан алго­
ритм исключения неизвестных. Заметим также, что попытки замены функ­
ций в системе отрезками ряда Тейлора (т.е. сведение к полиномам) не могут
привести к хорошим результатам. Например, функция е^ не имеет нулей,
а любой отрезок ряда Тейлора нули имеет.
Содержание диссертации также связано с активно развивающимся в
последнее время новым направлением в вычислительной математике —
РОС.
ЫАЦИОНА.|(>
r^^/i
БИБЛИОТЕК'
I
Ш^
It
компьютерной алгеброй, лежащей на стыке алгебры, математического ана­
лиза и программирования. Многие нелинейные задачи в приложениях ха­
рактеризуются множественностью стационарных состояний. Эти пробле­
мы инициируют появление новых теоретических результатов в области
анализа систем нелинейных уравнений. Внедрение в практику научных
исследований различных систем аналитических преобразований на Э В М
сделало работоспособными достаточно сложные алгоритмы теории исклю­
чения.
Нелинейные системы уравнений возникают в различных областях на­
уки. В частности, в процессах, описываемых системами нелинейных диф­
ференциальных уравнений, актуален вопрос об определении числа стаци­
онарных состояний в заданных областях и их локализации. Эта проблема
приводит к задачам компьютерной алгебры: построения алгоритмов для
определения числа корней заданной системы уравнений в разных обла­
стях, определения самих корней, исключения части неизвестных из си­
стемы. Такие вопросы, естественно, требуют развития методов работы с
аналитическими выражениями на Э В М .
В
частности в монографиях В.И.Быкова, А.М.Кытманова и
М.З.Лазмана (1991, 1998). приведены многочисленные примеры из
химической кинетики, где работают алгоритмы вычисления многомерного
логарифмического вычета.
1.2. Ц е л ь диссертации.
Целью диссертации является:
— получение формул для вычисления многомерных интегралов, свя­
занных с многомерным логарифмическим вычетом;
— разработка алгоритмов для вычисления степенных сумм некоторых
типов систем трансцендентных уравнений с бесконечным множеством кор­
ней;
— разработка алгоритмов исключения неизвестных из систем транс­
цендентных уравнений;
— компьютерная реализация полученных алгоритмов в системе
МАТЕМАТИКА.
1.3. Методика исследования.
В основу исследования полож:ены методы вычислительной математи­
ки, теории функций многих комплексных переменных, компьютерной ал­
гебры.
1.4. Н а у ч н а я новизна.
Полученные формулы и алгоритмы являются новыми.
Основные результаты диссертации:
— получены формулы для вычисления многомерных интегралов, свя­
занных с логарифмическим вычетом;
— разработаны алгоритмы вычисления степенных сумм для некото­
рых типов систем трансцендентных уравнений с бесконечным множеством
корней;
- разработаны алгоритмы исключения неизвестных из систем транс­
цендентных уравнений;
— дана компьютерная реализация полученных алгоритмов в системе
МАТЕМАТИКА.
1.5. Теоретическая и п р а к т и ч е с к а я ценность.
Результаты носят теоретический характер и могут быть применены в
вычислительной математике и компьютерной алгебре.
1.6. А п р о б а ц и я работы.
Основные результаты диссертации докладывались на:
— I I I Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск,
2004);
- Международ1Юй школе-конференции "Геометрический анализ и его
приложения "(Волгоград, 2004);
~ Международной конференхщи по комплексному анализу (Красно­
дар, 2005);
— научном семинаре кафедры высшей математики (Красноярск,
КрасГУ);
— научном семинаре кафедры прикладной математики (Красноярск,
КГТУ).
1.7. П у б л и к а ц и и .
По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ.
1.8. С т р у к т у р а и объем работы.
Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения с текстами
программ и списка литературы из 35 наименований. Общее число страниц
диссертационной работы (вместе с приложениями) — 91.
2. Содерлсавие р а б о т ы
В первой главе приводятся математические сведения, теоремы и фор­
мулы, на которых основана диссертационная работа. Глава состоит из трех
параграфов.
Первый параграф содержит теоретические сведения о многомерном
логарифмическом вычете, а также формулы для вычисления степенных
сумм корней некоторых систем нелинейных уравнений.
Во втором параграфе приведены алгоритмы исключения неизвестных.
Он содержит классическую схему исключения неизвестных, а также — мо­
дифицированный метод исключения неизвестных, основанный на формуле
многомерного логарифмического вычета.
В третьем параграфе описана система МАТЕМАТИКА, использовавшаяся
для компьютерной реализации разработанных в диссертации алгоритмов.
Вторая глава содержит формулы для вычисления многомерных инте­
гралов, связанных с логарифмическим вычетом систем нелинейных функ­
ций. Показана связь этих формул со степенными суммами корней систем
уравнений. Приводится схема исключения неизвестных из систем транс­
цендентных уравнений.
В четвертом параграфе приводится постановка задачи и необходимые
предварительные преобразования.
Рассматривается система функций fi{z), /^{z),... ,fn{z), голоморф­
ных в окрестности точки О € С " , где z = (zi, Z 2 , . . . , г „ ) , и имеющих следу­
ющий вид:
f,{z) = z0'R,{z) + Q,{z), j = l,2,...,n,
(1)
где Р^ = (^1, /^з) ■ • • I /^п) " мультииндекс с целыми неотрицательными коор­
динатами, ^^' = z f -zf^ • • • z^" и 11^3^11 = Pi+Pi+..
Однородные многочлены Rj{z)
имеют вид
.+Pi = kj,j = l,2,..., п.
3-1
a tpaj {z) — однородные мнoгo^шeны степени (по совокупности переменных)
h - 1-
Функции Qj разлагаются в окрестности нуля в ряд Тейлора, сходящий­
ся абсолютно и равномерно, вида
Qj{z)= 53 aiz°,
11«11>о
(2)
где а - (ai,Q;2,...,Q:„); ctj ^ О, QJ € Z; z" = г"' ■ z^'^ ••■-г""В дальнейшем будем считать, что степени всех мономов (по совокупно­
сти переменных), входящих в Qj, строго больше, чемfcj+ /j, j = 1,2,...,п
(||а|| = «1 + аг + ... + а „ >fcj+ /j).
Обозначим также Sj(z) = fj{z) - z^' ■ zj', j = 1,.. .,п.
Рассмотрим циклы 'у{г) = 'у{г1,Г2,- ■ -fTn), являющиеся остовами по­
ликругов:
jir)
= {ze С" :\z,\=r„s=
1,2,...,п},
п >0,...,г„>0.
В некоторой достаточно малой окрестности нуля система
/iW = o,
/2(г) = 0,
(3)
fn{z) = 0.
может иметь корни только на координатных плоскостях.
Из вида функций (1) следует, что на этих остовах 7 (г) при достаточно
малых г определены интегралы
J
(
тС»")
1
dl_
z0^'' f ~
J
f
1
■Г(Г1,Г2,.. Г„)
^ л ^ л
л ^
,0г-^1.,0.+г...,Рг^+г- Д ^ /2 ^---^ / „ '
где y3i ^ О, ^2 ^ О,..., ^„ ^ О, Д е Z, 7 = ( 1 , 1 , . . . , 1). По теореме КошиПуанкаре, эти интегралы не зависят от г = ( r i , . . . , г „ ) . Обозначим их через
7 - - J _ /■_!_
^
'^ ~ (27гг)" У z^+^ ■ / ■
■у(г)
Заметим, что данный интеграл по виду является многомерным лога­
рифмическим вычетом, но моном в отрицательной степени „ . не голоморфен в точке 0. Поэтому общая теорема о логарифмическом вычете не
применима к данному интегралу и связь этого интеграла со степенными
суммами корней системы необходимо обосновывать. Данному обоснованию
посвящен следующий параграф.
В пятом параграфе доказаны основные теоремы второй главы.
Обозначим мультииндексы д^ = /?^ + Це^ (J = 1,...,п), где е^ =
(1,0,...,0), . . . , е » - ( 0 , . . . , 0 , 1 ) .
Следующая теорема дает формулу для вычисления интеграла Jp через
коэффициенты исходной системы.
Т Е О Р Е М А 5.1. При сделанных предполоокениях для функции fj вида
(1), (2) справедлива формула:
J0=YI
аем
(-1)"""^
A-S"
^,3+(ai+l)«i+...+(a„+l)<5"
где А — якобиан системы (3); S" = S f ^ • 5"^ ■ • • 5 ° " ; Ш — линейный
функционал, сопоставляющий ряду Лорана его свободный член. И наконец,
параллелепипед М определяется неравенствами:
M = {a = ( a i , . . . , a „ ) : 0 ^ a i ^ | ! ; 9 | | + n,0<a2^/3i+Zi(||^|H-n+l),...,
О < а „ < Pn-i+ln-i{^n-2+l)+ln-iln-2i0n-3+'^)+..
.+ln-i ■ ■■hiim+n+l)}.
Отметим, что в указанные в теореме 5.1 формулы входит лишь конеч­
ное число коэффициентов функций Q]{z).
Далее рассмотренные интегралы связьтаются со степенными сумма­
ми корней системы (3). Сначала возьмем в качестве функций Qj [j =
1,2,..., n) многочлены специального вида
Qjiz) = 5Z " i ^ " .
абМ,
где Mj — некоторые конечные множества мультииндексов, описанные в §5.
Обозначим
(^0+1 ^ «^(/3i+l,/32+l,...,/3„+l) = 2 J
вг+1
fc=l ^ l ( f c )
в2+1
■ *2(*)
Ж+1'
■ ■ ■ ^п{к)
где N — число корней системы (3). Данное выражение является степенной
суммой корней, не лежащих на координатных плоскостях, системы (3), но
в отрицательной степени (либо степенной суммой от обратных величин
корней).
Т Е О Р Е М А 5.2. Для системы (3) с многочленами /, вида (1), удовле­
творяющими вышеперечисленным условиям, справедлива формула
h
= (-1)"о^^+/,
т.е.
a^^j = Y: (-1)"""+"ЯП [ ^l3+{ai+l)S^+..
^'^"+ ( а „ + а ) Л "
аеМ
(4)
Далее рассматривается более общая ситуация. Пусть функции /, име­
ют вид
/f'W
/iW^iiTT-T'
J = l-2,...,n,
(5)
где /j '{z) и /f '(гг) — целые функции в С " , разлагающиеся в бесконечные
произведения (равномерно и абсолютно сходящиеся в С " ) .
оо
оо
в=1
«=1
причем каждый из сомножителей удовлетворяет условиям теоремы 5.2.
Д л я каждого набора индексов ji,...,jn,
где л , . . . , jn G N, и каждого
набора чисел / i , . . . ,г„, где t i , . . . ,г„ равны 1 или 2, системы нелинейных
алгебраических уравнений
/й^{^) = о, /g)(0) = О,..., 4"j(^) = О,
(6)
имеют конечное число корней, не лежащих на координатных плоскостях.
Корни всех таких систем (не лежащие на координатных плоскостях)
составляют не более, чем счетное множество. Перенумеруем их (с учетом
кратностей): z^i^, z^2),- ■ ■,^(/), ■ ■ ■•
Обозначим через (т^+г выражение
оо
- Л +1
1=1 ^Ц1)
£J
_^2 + 1
^2(1)
./Sn+l-
^п(0
Здесь 01,. ■ ■ ,0п, как и прежде, неотрицательные целые числа, а знак EI
равен + 1 , если в систему вида (6), корнем которой является Z(j), входит
четное число функций / j , ' ; и равен - 1 , если в систему вида (6), корнем
которой является Л((), входит нечетное число функгщй f^J.
Д л я системы (3), составленной из функций вида (5), точки г(() явля­
ются корнями или особыми точками (полюсами).
Т Е О Р Е М А 5.3. Для системы (3) с функциями вида (5) ряды ap+i схо­
дятся и справедливы равенства
Зц = (-1)"(Т0+/.
На основе данных формул в следующей главе приведены алгоритмы вы­
числения степенных сумм o^^i-
в шестом параграфе приведены рекуррентные формулы Ньютона для
целых и мероморфных функций одного комплексного переменного.
Пусть f{z) ~ целая функция на комплексной плоскости С конечного
порядка роста /о ^ 0. Предположим, что /(0) ^ О и что а „ (гг = 1,2,...) —
нули этой функции и их число бесконечно. По теореме Адамара справед­
ливо разложение
/(z) = е<Э(^)/г(г) = е^^^^
йК^-)'
которое сходится равномерно и абсолютно на плоскости С. Где
£ К Р ) = (1-^)6'"+'^+-+^
— первичный множитель, р ^ р и степень многочлена Q, имеющего вид
[р]
ew = E«"^"'
п=0
не превосходит р.
Числовой ряд
оо
У" —
абсолютно сходится при fc > р, а значит и при к > р.
В дальнейшем сумму данного ряда будем обозначать через Sk, тогда
числа Sk являются степенными суммами нулей функции / в отрицательной
степени.
Рассмотрим теперь случай, когда р = [р].
Т Е О Р Е М А 6.3. Пусть f ~ целая функция конечного порядка р, имею­
щая разлоокение Тейлора вида
/(z) = l + f;c„z»,
п=1
тогда справедливы следующие рекуррентные формулы
к-1
кск = ^Cj{k-
j)qk-j
10
при
1 ^ к ^ р,
fc-p-1 fc-1
22
CjSk-3+kck-
j=0
^
Cj{k~j)qk~j
при к > p.
J—k-p
Если f{z) — мероморфная функция порядка p и /(0) ф О, оо, то спра­
ведливо аналогичное разложение Адамара. А именно,
где
°°
/
\
°°
/
\
ад = ПЧ^'^)' »« = ПЧ^-')-
Данные разложения сходятся абсолютно и равномерно в С, целые числа
p,q ^ р, степень многочлена Q не превосходит р, а числа Ь„ являются
полюсами мсроморфной функции /.
Д л я мероморфной функции / обозначим через Sk сумму ряда
оо
^
оо
^
К а к известно, данный ряд сходится, если к > тах(7}, q) и, следовательно,
если к > р.
Для мероморфной функции справедлива теорема 6.4, аналогичная тео­
реме 6.3.
В конце параграфа приводятся аналоги формул Варинга для целых и
мероморфных функций.
В седьмом параграфе описывается метод исключения неизвестных из
систем (3) трансцендентных функций вида (5).
Зафиксируем мультииндекс /3. Поскольку в ряде для aff+i знак ei равен
±1, то этот ряд представляется в виде
оо
^0+t
W
°°
1
Т Uj— -Т
—
^
Wj
^_^
^^
^
где Uj есть произведение координат корня z^lf вида
_Л-|-1 . у/32 + 1 . . . .0^ + 1
П(()
^2(0
И
■^п(()
'
в который входит четное число функций /jg , а Wj есть произведение того
же вида, в которое входит нечетное число функций f^J. Конечно, нумера­
ция корней отличается от нумерации чисел щ и го_,.
Определим бесконечные произведения
ft(i)
=n(i-^). "<'>=n(i-^)
В этих бесконечных произведениях не исключаются случаи, когда одно
из данных произведений конечно или вообще отсутствует.
Отношение этих функций определяет тогда мероморфную функцию
одного комплексного переменного
-") = i-
Нулями и полюсами данной функции являются числа Uj и Wj соответствен­
но.
Рассмотрим для мероморфной функции F{t) степенные суммы вида
ОО
..
°°
1
fri иЧ ^^ w)
Тогда очевидно, что si = a^+i, а остальные степенные суммы
Sk = <^0{k)+I,
где мультииндекс ^(fc) = {{01 + 1)к - 1, (/Зг + l)fc - 1 , . . . , (/8„ 4- l)fc - 1).
По теореме 5.3 можно найти все эти степенные суммы, не находя самих
корней системы (3).
Остается найти саму мероморфную функцию F{t). Поскольку F{0) —
1, то разложение дагшой функции по формуле Тейлора в окрестности нуля
можно записать в виде
оо
F ( t ) = l-b^Cfcf*.
fc=i
Для нахождения коэффициентов cj; можно применить рекуррентные
формулы Ньютона из теорем 6.3, 6.4 или формулы Варинга. В этих фор­
мулах р = О, а все qj = 0.
Таким образом производится исключение неизвестных из системы (3)
относительно переменной t — zf'"'" • zf'"'"^ • ■ • 2^""^^ (теорема 7.1).
12
в восьмом параграфе, используя теоремы 5.1 и 5.3, находятся суммы
некоторых тройных рядов. В качестве примера приведем один из резуль­
татов.
С Л Е Д С Т В И Е 8.1. Справедлива формула
оо
2^
..
к
k2(jfc2 + ^2)(Jt2 + ^ 2 4- а2)
1296
Похожие ряды были рассмотрены Н.Н.Осиповым (2004).
Третья глава содержит алгоритмы, основанные на результатах второй
главы, и их ком1шютерную реализацию в системе МАТЕМАТИКА.
В §9 приводится компьютерная реализация формул, рассмотренных в
теоремах 1.4 и 1.5 из статьи А.М.Кытманова, З.Е.Потаповой (2005). Напи­
санная программа позволяет рассматривать системы алгебраических урав­
нений с буквенными коэффициентами, в отличие от программы, приведен­
ной в диссертации З.Б.Потаповой. Приведены примеры систем уравнений,
демонстрирующие работу данной программы.
В десятом параграфе приводится алгоритм вычисления степенных
сумм, основанный на теоремах 5.1 - 5.3. Он заключается в следующем.
1. Задаем систему трансцендентных функций /i(-z), fi{z),..., /„(2;) из
§5, имеющих вид:
U{z)=^z^R,{z)^Qi{z),
j = l,2,...,n,
где ^^ = {Р1,02'--чРп) ~~ мультииндекс с целыми неотрицательными ко­
ординатами.
2. Формируем множество мультииндексов ( a i , . . . , а „ ) из параллелепи­
педа М , определяемого неравенствами:
М = { а - ( a i , . . . , а „ ) : О < a i ^ \Щ\ + п,О < аз ^ А + кШ]
+ п + 1),...,
О < а „ < ;9„_i-b/„_i(/3„_2+l)+Z„-i/„-2(/3„_3+l)+. - .+/n-i • ■■hmW+n+l)}.
3. Находим в параллелепипеде М наибольшие значения а^ по рекур­
рентной формуле «1 = \Щ\ ■}■ п, О] = 0J-1 -f- /j_i(aj_i + 1). Используя
найденные значения, наисодим максимальную степень знаменателя в форн
муле из теоремы 5.1. Разлагаем функции /_, по формуле Тейлора до этой
степени.
4. Вычисляем функционал
Ш1
Д-5«
0^+(«1+1)(5Ч-.-+(а„+1)<5"
13
где Д — якобиан исходной системы функций и 6^ = ^^ +lje^ О = 1, ■ - • ) " ) ,
следующим образом: выбираем только коэффициенты выражения
Д-5",
стоящие при степенях
^P+(,ai+l)S^+...+{a„+l)S"-
5. Суммируем полученные коэффициенты, согласно формуле
J0=J2 (-i)"""an
^/3+(ai+l)(5>+. +(с«„+1)<5"
аем
и вычисляем степенные суммы
ар+1 =
{-irJp.
Далее дана компьютерная реализация рассмотренного алгоритма. Она
позволяет проводить вычисления не только для полиномов, но и для трансцендентых функций. Ее работа продемонстрирована ira конкретных систе­
мах уравнений. С помощью одтюго из них можно находить суммы тройных
рядов, аналогичных ря;лу, рассмотренному в следствии 8.1.
В последнем одиннадцатом параграфе приводится компьютерная ре­
ализация метода исключения неизвестных из систем трансцендентных
функций, основанного на формулах Ньютона из §7 (теоремы 7.3, 7.4) и
формулах Варипга. Этот .метод позволяет находить коэффициенты разло­
жения Тейлора мероморфпой функции одхгаго комплексного переменного,
корнями которой являются произвольные произведения координат корней
исходной системы. Приведены примеры работы программ для систем, со­
держащихся в предыдущих двух парагрг1фах.
В конце диссертации в качестве приложения приведены тексты про­
грамм, рассмотренных в §§9-11.
П у б л и к а ц и и по т е м е д и с с е р т а ц и и
1. Качаева Т.И. О нахождении сумм некоторых кратных рядов /
Т.И.Качаева // Вестник КрасГУ. Серия физ.мат науки. - 2004. - В ы п .
1. - С. 105-109.
2. Качаева Т.И.
Вычисление сумм некоторых тройных рядов /
Т.И.Качаева // Тезисы I I I Всесибирского конгресса женщин-математиков.
Красноярск: И В М С О Р А Н . - 2004. - С. 36.
14
3. Качаева Т.И. О рекуррентных формулах Ньютона для целых и мероморфных функций конечного порядка / Т.И.Качаева // Вестник КрасГУ. Серия физ.мат науки. - 2004. - Вып. 3. - С. 68-72.
4. Качаева Т.И. Об исключении неизвестных из некоторых систем мероморфных функций / Т.И.Качаева // Межвузовский сборник "Вопросы
математического анализа". - Красноярск: К р а с Г Т У - 2004. - Вып. 8. - С.
65-71.
5. Качаева Т.И. О формулах нахождения степенных сумм корней си­
стем уравнение, состоящих из мероморфных функций, и некоторых их
приложениях / Т.И.Качаева, С.Г.Мысливец // Вестник КрасГУ. Серия
физ.мат науки. - 2005. - В ы п . 1. - С. 125-135.
6. Качаева Т.И. Нахождение степенных сумм корней систем транс­
цендентных уравнений / Т.И.Качаева, С.Г.Мысливец // Тезисы междуна­
родной конференции по комплексному анализу. - Краснодар: Кубанский
госуниверситет. - 2005. - С. 65-66.
5Й^
Подписано в печать й^. ФХСоь р. формат 60x84/16.
Бумага тип. Печать офсетная. Усл. печ. л. i.
Тираж Уй?.
Заказ ЛЮ.
Издательский центр
Красноярского государственного университета
660041 Красноярск, пр. Свободный, 79.
^20655
РНБ Русский фонд
2006-4
21098
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
539 Кб
Теги
bd000101734
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа