close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

bd000101954

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Иванов Илья Александрович
К О Н Е Ч Н О Э Л Е М Е Н Т Н О Е МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТ­
Н Ы Х П О Л Е Й В Т Р Е Х М Е Р Н Ы Х ОБЛАСТЯХ С СИЛЬНО РАЗНОМАС­
ШТАБНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ
Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Новосибирск - 2005
Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом
университете
Научный руководитель:
• доктор технических наук, профессор
Официальные оппоненты:
- доктор технических наук
Соловейчик Юрий Григорьевич
Тригубович Георгий Михайлович,
- кандидат технических наук
Цыгулин Алексей Александрович
Ведущая организация:
Институт вычислительной математики и
математической геофизики СО Р А Н ,
г. Новосибирск
Защита
состоится
16 ноября
2005
года
в
14
часов
на
заседании
диссертационного совета Д 212.173.06 при Новосибирском государственном
техническом университете (630092, Новосибирск-92, пр.К.Маркса, 20)
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского
государственного технического университета
Автореферат разослан "{Ф'
октября 2005 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Чубич В . М .
m&d^
^ssrc
imidi
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Сеточные методы являются в настоящее время
основным инструментом решения наиболее сложных краевых задач для
дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих раз­
личные физические процессы. Эффективность применения таких методов
при моделировании физических процессов в геометрически сложных облас­
тях во многом зависит от используемого аппарата дискретизации расчетной
области. Очень часто от того, насколько оптимально удается выполнить та­
кую дискретизацию, зависит сама возможность решения конкретной практи­
ческой задачи с нужной точностью. Особую сложность представляет собой
дискретизация областей, имеющих сильно разномасштабную геометрию.
Под разномасштабной геометрией понимается то, что расчетная об­
ласть содержит конструктивные макро- и микроэлементы, размеры которых
отличаются друг от др)та на несколько порядков. Причем, как правило, в за­
дачах с подобной геометрией исследуется влияние именно микроэлементов,
что ведет к необходимости сильно сгущать сетку вблизи них. При этом для
дискретизации макроэлементов может бьггь использована достаточно грубая
сетка. Более того, значительно разрежать сетку при удалении от микроэле­
ментов часто просто необходимо, так как в противном случае сетка может
содержать не только большое количество «лишних» с точки зрения точности
аппроксимации решения узлов, но и слишком вытянутые ячейки дискретиза­
ции, что приводит к серьезным трудностям при решении аппроксимирующих
систем линейных алгебраических уравнений.
Очевидно, что для дискретизации таких областей наиболее эффектив­
ными будут методы построения нерегулярных сеток, позволяющие получать
согласованные сетки с существенно неравномерным распределением узлов.
Существует два основных класса методов построения нерегулярных
трехмерных сеток: методы, основанные на построении трехмерных триангу­
ляции Делоне и методы, основанные на фронтальном распространении сетки.
Методы обоих классов широко используются 1
lЮ
y 'Проктигр
■npnitTiiirpЦ-Д£ШШ20ваны
iiji£aJK22SS"biкак
РОС. Н А Ц И О Н А Л Ь Н А ^ ;
6ИВЛИ0ТЕКЛ,
^^йХЬ
1
в пакетах математического моделирования, например ANSYS, COSMOS,
NASTRAN, так и отдельных построителях сеток, например LaGriT,
GRIDGEN и VGRID3D. Однако, не смотря на обилие реализаций данных ме­
тодов, даже задание расчетной области с сильно разномасштабной геометри­
ей с требуемыми сгущениями/разрежениями узлов порой представляет суще­
ственную сложность, не говоря уже о построении в такой области сетки при­
емлемого качества.
Таким образом, проблема построения сеток близких к оптимальным,
позволяющих получать численные решения различных задач математической
физики в областях со сложной сильно разномасштабной геометрией, не мо­
жет быть до конца решена существующими методами. С другой стороны, с
резким ростом вычислительных возможностей персональньк компьютеров,
исследователи все чаще стремятся заменить физический эксперимент более
эффективным математическим моделированием исследуемого процесса.
Этим и определяется актуальность данной диссертационной работы.
Основной научной проблемой, пути решения которой рассматривают­
ся в предлагаемой диссертационной работе, является проблема численного
решения задач электромагнетизма, имеющих расчетную область с сильно
разномасштабной геометрией, обусловленная сложностями построения сеток
близких к оптимальным в областях с подобной геометрией.
Цель исследований заключается в разработке и реализации алгорит­
мов построения тетраэдральных сеток, предназначенных для проведения
расчетов трехмерных электромагнитных полей методом конечных элементов
(МКЭ) и позволяющих исследователю эффективно управлять процедурой ге­
нерации узлов при необходимости сгущения или разрежения узлов сетки в
различных подобластях расчетной области.
Не смотря на то, что в рассматриваемой работе делается акцент на по­
строение сеток для МКЭ, предлагаемые алгоритмы построения сеток могут
использоваться и в совокупности с другими методами численного моделиро­
вания, использующими аппроксимацию на сетках.
На защиту выносится:
1. Процедуры автоматической генерации частично совпадающих про­
межуточных и основных сечений для известной модификации метода тира­
жируемых сечений, позволяющие облегчить работу оператора, задающего
сетку, и без ущерба для точности получаемого решения сократить количест­
во узлов в сетке на 15-70% в зависимости от особенностей задачи.
2. Обобщенный метод тиражируемых сечений, позволяющий исполь­
зовать сечения с топологически различными триангуляциями и тем самым
обеспечивающий возможность гибкого управления сгущением/разрежением
узлов сетки в областях с сильно разномасштабной геометрией,
3. Результаты решения практических задач электромагнетизма из об­
ласти геофизики на сетках, построенных разработанным обобщенным мето­
дом тиражируемых сечений, а также результаты исследования влияния вытя­
нутых элементов сетки на точность получаемого решения на примере прак­
тических и модельных задач.
4. Объектно-ориентированная библиотека, созданная с учетом по­
требностей разработчиков современных систем математического моделиро­
вания, позволяющая облегчить создание многоплатформенных интерактив­
ных систем, а также объектно-ориентированная реализация обобщенного ме­
тода тиражируемых сечений, выполненная на базе данной библиотеки и по­
зволяющая легко настраивать и расширять предложенный метод.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Разработан ряд алгоритмов, позволяющих автоматизировать по­
строение сетки методом тиражируемых сечений.
2. Разработан метод, позволяющий строить тетраэдральную сетку ме­
жду сечениями с топологически различньши триангуляциями, основанный
на сопоставлении треугольнику с одного сечения некоторого образа (состоя­
щего из треугольников и ребер) с другого сечения и последующего заполне­
ния полученной подобласти тетраэдрами.
3. Решены практические задачи с сильно разномасштабной геометри­
ей расчетной области, решение которых не удавалось получить ранее на пер­
сональном компьютере с требуемой точностью.
4. Проведено исследование влияния вытянутых элементов сетки на
точность получаемого решения.
5. Предложен подход к разработке интерактивных систем математиче­
ского моделирования, заключающийся в раздельной реализации интерфейса
пользователя и прикладных задач на уровне исполняемых модулей, что по­
зволяет облегчить перенос приложений на различные платформы. На базе
данного подхода создана специализированная библиотека классов для разра­
ботки программных комплексов математического моделирования.
6. Предложена объектно-ориентированная реализация разработанного
обобщенного метода тиражируемых сечений, позволяющая легко настраи­
вать и расширять данный метод.
Практическая ценность работы и реализация результатов. Разра­
ботанные методы и алгоритмы построения нерегулярных трехмерных сеток
реализованы в программном комплексе T E L M A и применялись для решения
практических задач электромагнетизма со сложной разномасштабной гео­
метрией расчетной области.
Л и ч н ы й вклад. Для метода тиражируемых сечений предложена про­
цедура автоматической генерации частично совпадающих промежуточных и
основных сечений и процедура автоматического определения количества
промежуточных сечений в различных подобластях расчетной области. В ка­
честве основной составляющей обобщенного метода тиражируемых сечений
разработан метод построения сетки между сечениями с топологически раз­
личными триангуляциями, включая метод сопоставления треугольникам с
одного сечения некоторого образа с другого сечения и способ разбиения про­
странства между треугольником и его образом на тетраэдры, не нуждающий­
ся в информации об уже построенных тетраэдрах. Проведено исследование
эффективности предложенных процедур. На основе исследования даны ре-
комендации по наиболее оптимальным схемам реализации обобщенного ме­
тода тиражируемых сечений. Исследовано влияние вытянутых элементов
сетки на точность получаемого решения. Предложена объектно-ориентиро­
ванная библиотека для разработки многоплатформенных интерактивных сис­
тем математического моделирования, на базе которой реализована новая вер­
сия трехмерного препроцессора для пакета T E L M A , включая объектноориентированную реализацию обобщенного метода тиражируемых сечений.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены
и докладывались на: региональной научной конференции «Наука. Техника.
Инновации» (Новосибирск, 2002, 2003гг); российской научно-технической
конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск,
2004г);
Международной
конференции
по
вычислительной
математике
МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004г); V I I международной конференции «Акту­
альные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 2004г); The
Eighth Korea-Riissia International Symposimn on Science and Technology
K O R U S 2004 (Томск, 2004r). Работа поддержана грантом Федерального
агентства по образованию № А04-8-704.
Публикации. По результатам выполненных исследований опублико­
вано 11 печатных работ из них 4 статьи, 3 работы в сборниках трудов между­
народных конференций и 4 работы в сборниках тезисов конференций
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав,
заключения и списка использованных источников (85 наименований). Работа
изложена на 182 страницах, включая 60 иллюстраций и 22 таблицы.
Основное содержание работы
В первой главе делается обзор известных методов построения трех­
мерных нерегулярных сеток. Рассматривается возможность применения этих
методов для построения сеток в областях с сильно разномасштабной геомет­
рией и сложности, возникающие при этом. Среди имеющихся методов выде­
ляется метод тиражируемых сечений как наиболее эффективный метод по­
строения трехмерных нерегулярных сеток.
7
в методе тиражируемых сечений описание геометрии и конечноэлементной сетки совмещено и выполняется по сечениям. Под сечением пони­
мается пересечение некоторой поверхности с расчетной областью. Трехмер­
ная сетка строится заполнением тетраэдрами пространства между соседними
сечениями, на которых заранее построена двумерная триангуляция. Достоин­
ством этого метода является достаточно простое задание геометрии и необ­
ходимых сгущений/разрежений узлов сетки в плоскости сечения. Однако
существуюидае реализации метода тиражируемых сечений требуют неизмен­
ности топологии триангуляции на всех сечениях, что накладывает опреде­
ленные ограничения на возможность сгущения/разрежения узлов сетки вдоль
траектории тиражирования.
Вид спереди (базовое сечение^
__^
Рассматривает­
ся модификация дан­
ного метода, допус­
кающая
совпадение
что
дает
частичное
сечений,
дополни­
тельную возможность
разрюжать сетку вдоль
Вид сбоку
траектории тиражиро-
(разрежение сетки за счет частично совпадающих сечений)
вания (см. рис.1). Од­
нако задание частично
совпадающих сечений
Рис. 1. Построение сетки с фиксированны.ми и
требует много ручной
с частично совпадающими сечениями
работы, поэтому пред­
лагается ряд процедур, автоматизирующих этот процесс.
Сначала для выбранного сегмента (пространства между парой основ­
ных сечений) либо явно задается желаемое количество промежуточных сече­
ний в различных подобластях, либо устанавливается желаемое соотношение
поперечного размера тетраэдральных элементов (в плоскости сечения, Н) к
8
их продольному размеру (вдоль траектории тиражирования, У) и количество
промежуточных сечений определяется автоматически так, чтобы максималь­
но удовлетворить заданному соотношению.
Затем производится генерация промежуточных сечений. Формально,
количество сечений изменяться не может, но так как допускается частичное
их совпадение, то имеющиеся промежуточные сечения группируются так,
чтобы получить требуемое в данной точке количество шагов вдоль траекто­
рии тиражирования.
Для этого вводится специальная функция node{m,k),
вычисляющая
трехмерные координаты узлов по локальному номеру узла на сечении (к) я
по номеру промежуточного сечения (т).
Эта функция сначала определяет
положение сечения вдоль траектории тиражирования, затем находит бли­
жайшую к нему группу и включает данное сечение в эту группу. Координаты
группы вычисляются согласно заданным параметрам построения сетки на те­
кущем сегменте, типу траектории (отрезок прямой или дуга), способу рас­
становки промежуточных сечений (равномерно или со сгущением) и требуе­
мому количеству этих сечений в данной точке. При таком подходе генерация
частично совпадающих сечений происходит абсолютно прозрачно для про­
цедуры построения тетраэдров.
В заключение первой главы на примере построения сетки для практи­
ческой задачи (с количеством промежуточных сечений порядка 400) показы­
вается, что предлагаемые процедуры позволяют сократить количество узлов
в сетке более чем в 3 раза (с 1167532 до 376775) без ущерба для точности по­
лучаемого решения.
В о второй главе предлагается обобщенный метод тиражируемых се­
чений, позволяющий использовать сечения с топологически различными
триангуляциями. Такой подход практически полностью снимает ограничение
на сгущение/разрежение узлов сетки вдоль траектории тиражирования сече­
ний. Триангуляции на сечениях могут строиться совершенно независимо
друг от друга, единственное накладываемое ограничение, это то, что одна из
9
них должна быть более грубой по отношению к другой. Допускается также
частичное совпадение этих триангуляции.
V
(вК
жж
(/
с
/|А)
А'
\(С)
(сЖ;
Рис. 2. Образ треугольника фубой
pj,c. 3. Выделение подобластей в обра-
триангуляции в подробной
зе треугольника грубой триангуляции
Рис. 4. Построение тетраэдров в локальном объеме
Построение тетраэдральной сетки в пространстве между сечениями с
топологически различной триангуляцией выполняется в два этапа. Сначала
проводится подготовительный этап, на котором для каждого треугольника
грубой триангуляции ищется подходящий ему образ в подробной триангуля­
ции [3]. Так, для фрагментов сеток, приведенных на рис.2, фигура ^'В'С бу­
дет являться образом треугольника ABC. Под образом треугольника фубой
триангуляции понимается подобласть подробной триангуляции (множество
10
треугольников, ребер и узлов), ограниченная контуром (ориентированной
последовательностью ребер, образующих замкнзтую ломаную без самопере­
сечений), составленным из образов ребер треугольника грубой триангуляции.
Образом ребра грубой триангуляции называется путь в подробной триангу­
ляции, соединяющий образы начала и конца ребра грубой триангуляции и
удовлетворяющий некоторому критерию качества. Под образом узла грубой
триангуляции понимается узел подробной триангуляции, ближайший к про­
екции узла грубой триангуляции.
На втором этапе [5-7], состоящем из двух шагов, пространство между
каждым треугольником и его образом, называемое локальным объемом, раз­
бивается на тетраэдры. Первый шаг заключается в выделении подобластей в
образе треугольника, необходимых для построения тетраэдров (подобласти
( А ) , ( В ) и (С), рнс.З), второй - собственно в построении тетраэдров (рис.4).
В рассматриваемом подходе для получения согласованной сетки при
заполнении тетраэдрами одного локального объема не требуется информация
о разбиении соседних локальных объемов. То есть, предлагаемый алгоритм
не нуждается в сложном анализе взаимного расположения добавляемых и
существующих элементов сетки, как этого требуют другие фронтальные ме­
тоды. Кроме того, возможность обрабатывать локальные объемы независимо
один от другого обеспечивает легкое распараллеливание предлагаемого ме­
тода.
В п.2.1 рассматривается метод поиска образов треугольников грубой
триангуляции в подробной. Предлагаемый метод состоит из трех основных
шагов. На первом шаге выполняется поузловая обработка. Каждый узел гру­
бой триангуляции проецируется на сечение с подробной триангуляцией и
среди узлов подробной триангуляции выбирается узел, ближайший к полу­
ченной проекции. Найденные таким образом узлы подробной триангуляхиги
будут являться образами соответствующих узлов грубой триангуляции.
На втором шаге обрабатываются ребра фубой триангуляции: для каж­
дого ребра грубой триангуляции в подробной триангуляции ищется опти11
мальный путь, соединяющий образы концов этого ребра. В качестве крите­
рия оптимальности используется суммарное отклонение искомого пути
{Pi,...,P„}
от проекции ребра грубой триангуляции АВ:
Gpath = idist{Pt,^5).
*=1
На третьем шаге, после того как в подробной триангуляции будут най­
дены образы всех ребер грубой триангуляции, выполняется проход по тре­
угольникам грубой триангуляции и для каждого их них определяется замкну­
тый контур, собираемый из образов ребер этого треугольника. Полученный
контур является границей образа рассматриваемого треугольника грубой
триангуляции в подробной триангуляции. Все треугольники, лежащие внутри
контура, и ребра, образующие контур, составляют искомый образ треуголь­
ника грубой триангуляции в подробной.
В п.2.2 рассматривается вопрос построения тетраэдров в локальном
объеме. При этом полагается, что образ треугольника грубой триангуляции
разбит на три подобласти. Каждая из этих трех подобластей соответствует
одной из вершин треугольника грубой триангуляции. Например, на рис.3 об­
раз А'В'С
трезтольника ABC грубой триангуляции разбит на подобласти
A'S{OS^, B'S^OS{ и C'S^OS!^.
Узел, принадлежащий всем трем подобластям, называется центральной
точкой (точка О, см. рис.4). Узлы, принадлежащие двум подобластям и ле­
жащие на образах ребер треугольника грубой триангуляции, называются
особыми точками (точки S{, S2 и ^з, см. рис.4). Путь от особой точки к цен­
тральной является фаницей между двумя соседними подобластями. Ребра,
образующие границу подобластей, также называются особыми. Так как осо­
бая точка принадлежит двум подобластям, а подобласти связаны с вершина­
ми треугольника грубой триангуляции, то можно говорить о соответствии
особой точки двум вершинам этого треугольника (например, особой точке 5j
соответствуют вершины ^ и JS, см. рис.4).
12
Все треугольники, принадлежащие одной подобласти, соединяются с
соответствующей вершиной треугольника грубой триангуляции, образуя тет­
раэдры, заполняющие локальный
A'S{OA,
объем. Так формируются тетраэдры
A'S^OA для подобласти A'S{OS^, тетраэдры ВЩОВ,
B'S{OB для
подобласти B'S'iOS'x и тетраэдры С'8'-рС, CS'-fiC для подобласти C'S'-pS'^
(см. рис.4). Такие тетраэдры называются тетраэдрами первого типа.
Далее для каждого особого ребра J°-^^i> разделяющего области [Х") и
( у ) (которые, в свою очередь, связаны с вершинами X
ш Y треугольника
грубой триангуляции), строится тетраэдр P,Pf^^XY. Такие тетраэдры называ­
ются тетраэдрами второго типа. В конце остается полость, которую можно
заполнить одним тетраэдром третьего типа, образованным треугольником
грубой триангуляции и узлом подробной триангуляции, принадлежащим
всем трем подобластям (тетраэдр АВСО, см. рис.4).
Построенная таким образом & локальном объеме сетка является согла­
сованной по построению, а отсутствие пересечений между тетраэдрами обес­
печивается соблюдением следующих трех ограничений:
1) пересечение двух любых подобластей не должно содержать ни одно­
го треугольника:
тез{(А)гл{В)) = 0, /ие*((5)г>(С)) = 0, теа{(А)п(С))
= 0;
(1)
2) центральная точка должна быть одна и только одна:
Э О , О е ( Л ) и ( 5 ) и ( С ) иесш Qe(A)uiB)u(C),то
Q = 0;
(2)
3) если iS' - особая точка, X и Y - соответствующие 5" вершины тре­
угольника грубой триангуляции, й - внутренняя нормаль к ребру XY, {Р,} путь от 5' к центральной точке О, то должно вьшолняться условие
{Pi,n)>e,i
= 1,2
N,
(3)
где Р^ - ориентированное i -е ребро пути {/}}, Л^ - количество ребер в пути
{/)}, величина е > О определяет, насколько тетраэдр, образованный ребрами
XY и Р,, может быть близок к вырожденному.
13
После построения корректной конечноэлементной сетки внутри ло­
кального объема необходимо добиться ее согласованности между соседними
локальными объемами. С этой точки зрения интерес представляют только те
грани построенных тетраэдров, которые являются внешними по отношению
к данному локальному объему. Конфигурация внешних граней полностью
определяется выбором особых точек. Для рассмотренного выше примера ло­
кального объема (рис,4) конфигурация внешних граней в виде развертки бо­
ковой поверхности показана на рис.5.
У каждого локального объема может быть не более трех соседей, при­
чем соседство определяется по ребрам треугольника грубой триангуляции.
Другими словами, два локальных объема соприкасаются только вдоль по­
верхности, образованной ребром треугольника грубой триангуляции и обра­
зом этого ребра в подробной триангуляции. Заметим, что особая точка выби­
рается для той же пары ребро-образ. То есть, для согласованности сетки дос­
таточно предложить такой способ выбора особой точки, который зависел бы
только от конкретной пары ребро-образ и не зависел от того, какому локаль­
ному объему эта пара принадлежит. В предлагаемой реализации использует­
ся следующий вариант: в качестве особой точки выбирается узел, ближай­
ший к центру проекции ребра треугольника грубой триангуляции, причем ес­
ли на одинаковом (с точностью до наперед заданного числа е) расстоянии от
центра лежит несколько узлов, то выбирается узел с наименьшим номером.
Развертка боковой поверхности локального объема
А
В
С
А
S',
В'
S*,
с
S'j
А-
Внешние грани базовых тетраэдров
Внешние грани тетраэдров,
построшных на границе подобластей
Рис.5. Конфигурация внешних граней локального объема
14
в п.2.3 приводится фронтальный способ формирования подобластей в
образе треугольника грубой триангуляции. В этом способе сначала выбира­
ются особые точки, после чего ребра, составляющие ограничивающий кон­
тур, получают однозначную принадлежность подобластям. Так образуется
начальный фронт. Все треугольники образа, содержащие внешние ребра,
включаются в соответствующую подобласть. Из внутренних ребер этих тре­
угольников формируется новый фронт. Процесс повторяется пока все тре­
угольники образа не будут принадлежать какой-либо подобласти.
Приводятся результаты тестирования обобщенного метода тиражируе­
мых сечений с описанной процедурой формирования подобластей на триангуляциях, построенных для практических задач. Показывается, что в реаль­
ных ситуациях образы треугольников, как правило, имеют повторяющиеся
узлы и/или ребра, совпадающие особые точки, либо при формировании по­
добластей образуются ребра, не удовлетворяющие (3). Поэтому в п.2.4 рас­
сматривается вопрос построения тетраэдров в локальном объеме в особых
случаях. В частности показывается, что тетраэдры могут быть успешно по­
строены без нарушения корректности сетки и в случае повторяющихся уз­
лов/ребер в образе, и в случае совпадающих особых точек, и в случае вырож­
дения одной или нескольких подобластей.
Однако вопрос неправильно ориентированных особых ребер попрежнему остается открытым и, поскольку фронтальный способ не позволяет
в достаточной степени контролировать образование таких ребер, в п.2.5
предлагается альтернативный вариант - формирование подобластей по об­
разцу. Образцом в данном случае выступает разбиение треугольника фубой
триангуляции своими медианами. В этом случае ищутся образы медиан тре­
угольника грубой триангуляции (по аналогии с поиском образов ребер гру­
бой триангуляции), которые будут являться границей подобластей. При этом
выполнение условия (3) можно сразу заложить в критерий оптимальности
пути:
15
distjPuJ^Y)
^P"*
dist(Jir,y)
f 6ist(Pi,XY)
,t^
—
V—r+«
dist{X,Y)
Это, однако, не означает, что пути, удовлетворяющие (3), могут быть найде­
ны всегда. По-прежнему остаются единичные случаи, когда этого сделать не
удается.
В п.2.6 рассматриваются различные варианты обработки таких ситуа­
ций. Предлагается процедура коррекции подробной триангуляции с целью
приблизить образы к своим прюобразам и альтернативный способ построения
тетраэдров в локальном объеме, пзтем добавления узла внутрь этого локаль­
ного объема.
В заключение второй главы в п.2.7 рассматривается возможность со­
вместного использования стандартной (через разбиение призм) и обобщен­
ной схемы (рассмотренной выше) построения тетраэдров. Показывается, что
данные методы естественным образом сочетаются даже при построении сет­
ки на одном сегменте, что позволяет использовать более затратную обоб­
щенную схему, только тогда, когда она реально необходима.
Третья глава диссертационной работы посвящена решению модель­
ных и практических задач с разномасштабной геометрией расчетной области.
Проводится сравнение точности решений этих задач, полученных на сетках,
построенных стандартным и обобщенным методом тиражируемых сечений.
В настоящее время для разведки и поиска различных полезных иско­
паемых довольно часто используются методы, основанные на электромаг­
нитном зондировании среды. Один из наиболее часто используемых методов
- это зондирование становлением поля. Его суть состоит в следующем.
Импульсно меняющимся током в окружающей среде возбуждается
электромагнитное ( Э М ) поле. После вьпслючения тока наблюдается зату­
хающее Э М поле, порождаемое протекающими в среде вихревыми токами.
По конфигурации этого поля можно судить о наличии и расположении про­
водящих неоднородностей (объектов) в среде.
16
в ряде случаев характеристики и расположение отдельных объектов
известно априори. В этом случае имеет смысл вычислить Э М поле от таких
объектов и учесть его при интерпретации практических данных, тем самым
повысив точность поиска.
Для моделирования нестационарного Э М поля используется подход,
предложенный Ю.Г. Соловейчиком. В этом подходе вся расчетная область
представляется в виде объединения подобластей Q^,...,Q„ с а*0
и запол­
няющей все остальное пространство подобласти Пд '^ сг = О.
Б подобласти QQ напряженность магнитного поля Н = Bj ц представ­
ляется в виде: Й
= -gradt/. При этом система уравнений Максвелла преоб­
разуется к виду:
-div -igrad[/| = 0.
U
(4)
В подобластях с Q i , . . .,f2„ индукция магнитного поля представляется в виде:
В
= r o t i . При этом Ё --dAldt
/ 1
и уравнения Максвелла приводятся к виду;
Л
дА -f
rot —гоЫ \+а— = / .
При решении используются узловые конечные элементы в подобласти
QQ И векторньк edge-элементы в подобластях Q|,...,Q„.
Рассматриваются две практические задачи с разномасштабной геомет­
рией расчетной области [5-7]. Первая задача касается применения метода ин­
дукционной электроразведки для поиска обводненных участков в городских
условиях. Проведение подобных работ осложняется присутствием в земле
техногенных объектов. В данной задаче в качестве такого объекта задана
тонкостенная металлическая труба, имеющая радиус 0.2м, толщину стенок
0.01м, длину 20м и располагающаяся на глубине Зм. Удельная электропро­
водность (У и относительная магнитная проницаемость /л материала, из ко­
торого изготовлена труба, составляют М О См/м и 100, соответственно. Ге17
нераторная петля, возбуждающая Э М поле, имеет размеры 5х5м и находится
на поверхности земли над средней точкой трубы.
В о второй практической задаче рассматривается аэро-вариант исполь­
зования метода индукционной электроразведки, в котором петля с током рас­
полагается на самолете. В данной ситуации сам самолет является априорно
заданным объектом, и задача состоит в вычислении поля, создаваемого само­
летом. Толщина стенок фюзеляжа составляет 0.005м, длина самолета 24м,
размах крыльев 29м, удельная электропроводность 3.5 10 См/м.
На примере данных задач показывается, что, во-первых, сетки, постро­
енные обобщенным методом, имеют в 1.5-2 раза меньшее количество узлов,
чем сетки, построенные стандартным методом, и соответственно требуют
меньше памяти и времени для решения задач на них. В обеих задачах выиг­
рыш по памяти составил 1.4 раза и 1.5-2 раза по времени счета. Средняя раз­
мерность С Л А У в этих задачах составляет порядка 2-10 , а время счета по­
рядка 12ч в задаче с трубой и порядка 50ч в задаче с самолетом.
Во-вторых, на сетках, построенных обобщенным методом, решение
получается более точным - средняя погрехшюсть 2.5-3% - по сравнению с
решением, полученным на сетках, построенных стандартным методом средняя пофешность 12-15%.
Уменьшение размерности сетки в случае применения обобщенного ме­
тода тиражируемых сечений объясняется возможностью использовать сече­
ния с более грубой триангуляцией при удалении от объекта и тем самым уст­
ранить лишние узлы, не улучшающие качество аппроксимации. Более высо­
кая точность решения на сетке, построенной обобщенным методом, объясня­
ется отсутствием в ней вытянуты* элементов (с соотношением минимальной
и максимальной длин ребра порядка 1:1000), присутствующих в сетке, по­
строенной стандартным методом и являющихся непосредственным следстви­
ем невозможности менять топологию триангуляции на сечениях. Вытянутые
элементы ухудшают обусловленность матрицы СЛАУ, снижают скорость
18
сходимости итерационного процесса решения С Л А У и не позволяют полу­
чить решение задачи с требуемой точностью.
На рис.6 представлено распределение скалярного потенциала U из (4)
в плоскости д: = О на сетке, построенной обобщенным методом (рис.ба) и на
сетке, построенной стандартным методом (рис.66). Хорошо видно, что на
сетке, построенной стандартным методом, линии равного уровня потенциала
и имеют заметные искажения, полностью отсутствующие на сетке, постро­
енной обобщенным методом.
крыло
хвостовое оперение
крыло
i
//ШТ.
хвостовое оперение
^^'...кч
Хфюзеляж i
-1.0Е-8
о
10.
20.
30.
а) поле от самолета на сетке, построенной
Y
О
10.
20.
30.
б) поле от самолета на сетке, построенной
обобщенным методом
Y
стандартным методом
Рис.6. Искажения решения в задаче с самолетом
Приведенные результаты подтверждены также на модельных задачах с
известным решением. В заключение третьей главы приводятся результаты
исследования влияния упорядоченности узлов сетки на эффективность про­
цедуры предобусловливания с неполным разложением Холецкого и скорость
сходимости решателя С Л А У [2]. Показывается, что простое упорядочивание
узлов сетки приводит к сокращению времени решения С Л А У в 1.3-1.5 раза.
В четвертой главе рассматривается вопрос применения современных
подходов разработки программного обеспечения к пакетам математического
моделирования. Предлагается концепция раздельной реализации интерфейса
пользователя и прикладных задач на уровне исполняемых модулей [7]. Для
обмена данными между этими частями предлагается достаточно простой и
19
гибкий механизм. Данная концепция позволяет существенно упростить пере­
нос приложений под управление различных операционных систем за счет то­
го, что платформозависимой является только интерфейсная часть, остальной
же код пишется согласно стандарту языка C++ и при переносе потребует про­
стой перекомпиляции.
Далее предлагается библиотека классов для разработки интерактивных
графических систем математического моделирования, позволяющая комби­
нировать в одном приложении различные функциональные компоненты, де­
лая систему легко настраиваемой под потребности конкретного пользователя
(исследователя). Данная библиотека создавалась на основе реального опыта
разработки пакета математического моделирования T E L M A и выполняет все
основные операции по поддержке интерактивных элементов пользователь­
ского интерфейса, позволяя разработчику сосредоточиться на реализации
только прикладных задач.
Также рассматривается новый трехмерный препроцессор пакета мате­
матического моделирования T E L M A , созданный на основе
предложенных
разработок и включающий объектно-ориентированную реализацию обоб­
щенного метода тиражируемых сечений [1], предложенного во второй главе
диссертационной работы. Использование объектно-ориентированного под­
хода позволяет сделать реализацию данного метода достаточно простой, ин­
туитивно понятной и в то же время открытой для дополнительного настраи­
вания и расширения.
Основные результаты работы
Основные результаты проведенных исследований состоят в следую­
щем:
1. В рамках одной из известных реализаций метода тиражируемых се­
чений предложена процедура автоматической генерации частично совпа­
дающих промежуточных и основных сечений, а также процедура автомати­
ческого определения количества промежуточных сечений в различных по­
добластях расчетной области, основывающаяся на размере треугольных эле20
ментов сетки, заданной на сечениях. Данные процедуры при минимальных
трудозатратах со стороны оператора, задающего сетку, позволяют без ущер­
ба для точности получаемого решения сократить число узлов в сетке на 1570% в зависимости от особенностей задачи. Эффективность этих автомати­
ческих процедур продемонстрирована на ряде практических задач.
2. На основе модифицированного метода тиражируемых сечений пред­
ложен обобщенный метод тиражируемых сечений, ключевой особенностью
которого является возможность построения тетраэдральной сетки между се­
чениями с топологически различными триангуляциями. Таким образом прак­
тически полностью снимается ограничение на количество и расположение
узлов на сечениях, что позволяет эффективно сгущать/разрежать сетку в раз­
личный подобластях расчетной области вне зависимости от геометрических
размеров этих подобластей.
3. Проведено исследование эффективности ряда алгоритмов, исполь­
зуемых на разных этапах обобщенного метода тиражируемых сечений, вклю­
чая различные альтернативные варианты алгоритмов построения тетраэдров
в локальном объеме и альтернативные варианты алгоритмов формирования
подобластей в образе треугольника грубой триангуляции, необходимых для
построения тетраэдров. На основе этого исследования предложены наиболее
оптимальные схемы реализации обобщенного метода тиражируемых сече­
ний. Исследование проводилось на большом количестве триангуляции, по­
строенных для практических задач.
4. На примере ряда модельных и практических задач с сильно разно­
масштабной геометрией расчетной области проведено исследование точно­
сти решений, получаемых на сетках, построенных обобщенным методом ти­
ражируемых сечений и точности решений, получаемых на сетках, построен­
ных стандартным методом тиражируемых сечений. Выявлено негативное
влияние вытянутых элементов, содержащихся в сетках, построенных стандартньш методом, на скорость сходимости решения С Л А У и на точность по­
лучаемого решения. Продемонстрирована эффективность обобщенного ме21
тода тиражируемых сечений, позволяющего за счет более оптимальной сетки
существенно повысить точность конечноэлементного расчета при минималь­
ном увеличении вычислительных затрат по сравнению с сетками, построен­
ными стандартным методом.
5. Предложена концепция раздельной реализации интерфейса пользо­
вателя и прикладных задач на уровне исполняемых модулей. Разработан про­
стой и достаточно гибкий механизм взаимодействия прикладного кода с ко­
дом, реализующим графический интерфейс пользователя. Предложенная
технология позволяет существенно облегчить перенос приложений под
управление различных операционных систем. Предложена библиотека клас­
сов для разработки графических интерактивных модулей пакетов математи­
ческого моделирования, позволяющая комбинировать различные прикладные
компоненты в одном приложении, делая систему легко настраиваемой под
нужды конкретного пользователя (исследователя). На основе этой библиоте­
ки разработан новый трехмерных препроцессор для пакета математического
моделирования T E L M A , включающий объектно-ориентированную реализа­
цию обобщенного метода тиражируемых сечений. Использование объектноориентированного подхода позволило сделать реализацию обобщенного ме­
тода открытой для дополнительных настроек и расширений.
22
Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:
1. Ivanov I.A., Royak М.Е., Soloveichik Y.G. About Generalized Section Repli­
cation Method Implementation with Object-Oriented Design // Proceedings of
8th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology
KORUS 2004. - Tomsk, Russia, Vol.2. - P.131-135. (O реализации обобщен­
ного метода тиражируемых сечений с использованием объектноориентированного подхода)
2. Иванов И.А. О влиянии упорядоченности узлов конечноэлементнои сетки
на скорость сходимости решения СЛАУ в задачах с разномаснггабной
геометрией расчетной области // Сборник научных трудов HI ГУ - Ново­
сибирск, 2005, №1(39). - С.9-14.
3. Иванов И.А. Об одной проблеме построения нерегулярных тетраэдраль­
ных сеток в областях с разномасштабной геометрией // Сборник научных
трудов НГТУ - Новосибирск, 2003, №2. - С.79-84.
4. Иванов И.А., Рояк М.Э., Никулин А.С. О разработке пользовательского
интерфейса для систем численного моделирования // Сборник научных
трудов НГТУ - Новосибирск, 2004, Х»!. - С.61-66.
5. Рояк М.Э., Иванов И.А. Построение нерегулярных тетраэдральных сеток в
областях со сложной разномасштабной геометрией // Труды Международ­
ной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 - Новоси­
бирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004,4.2. - С.625-630.
6. Рояк М.Э., Иванов И.А. Разработка алгоритмов построения тетраэдраль­
ных сеток в областях со сложной геометрией // Материалы VII междуна­
родной конференции «Актуальные проблемы электронного приборо­
строения» (АПЭП-2004). - Новосибирск: НГТУ, 2004, Т. 6. - С.322-327.
7. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Иванов И.А., Рояк С.Х. Построение нерегу­
лярных тетраэдральных сеток в областях со сложной геометрией // Науч­
ный вестник НГТУ - Новосибирск, 2004, №1(16). - С.81-92.
Отпечатано в типографии Новосибирского
государственного технического университета
630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел. 346-08-57
формат 60x84/16, объем 1,5пл., тираж 100 экз.,
заказ № 1136, подписано в печать 13.10.05 г.
»19278
РНБ Русский фонд
2006-4
21556
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
928 Кб
Теги
bd000101954
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа