close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

bd000102036

код для вставкиСкачать
КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
С Е М У Ш Е В А АНАСТАСИЯ Ю Р Ь Е В Н А
I
ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ
И ОБЛАСТЯХ СХОДИМОСТИ КРАТНЫХ
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
01.01.01 — математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Красноярск-2005
Работа выполнена в Красноярском государственном университете
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Цих А . К .
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Чусшев В.В.;
кандидат физико-математических наук,
доцент Садыков Т.М.
Ведущая организация: Красноярский государственный технический
университет
Защита
состоится
" 18 "
ноября
2005 i'. в
fS
часов
на заседании диссертационного совета Д.212.099.02 в Красноярском
государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск,
пр. Свободный, 79.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского
государственного университета.
Автореферат разослан
"
"
октября 2005 г.
Ученый секретарь
диссертационного совега
кандидат физ.-мат. наук
.
V^^^Z.-^*'^-'^ ♦
Голованов М.И.
я^б-^
й1/ус2 2
lllilAU
О б щ а я характеристика работы
Актуальность темы
Проблема рспюния алгебраических уравнений интересует.' мате­
матиков уже более двух тысячелетий. После того как Тарталья,
Феррари и Кардано решили уравнения третьей и четвертой сте­
пени, появились надежды решить любое а;п'сбраическое уравнение,
причем в радикалах. Эти надежды серьезно поколебали Лагранж и
Руффини и окончательно развеял Абель, доказав в 1824 году невоз­
можность решения o6ni,ero уравнения пятой степени в радикалах.
Дальнейшие продвижения теория алгебраических уравнений полу­
чила в направлении трансцендентного анализа, поскольку после ра­
бот Абеля и Галуа „алгебра отказалась" заниматься этим вопросом.
Идею аналитического решения урав{1епий подал Виет и лишь 275
лет спустя ее осуществили Эрмит и Кронекср, в 1858 году доказав,
что всякое уравнение пя'гой степени можно решить в модулярных
эллиптических функциях. Затем опять потребовалось 126 лет для
TOIX), чтобы осуществить идею Кронекера о решении уравнения лю­
бой степени с помощью модулярных функций. В 1984 году Умемура
доказал, что это можно сделать с помотцью тета^функций.
Менее замеченной в истории алгебраических уравнений оказэг
лась статья Меллина 1921 года [11], в которой общее уравнение
решается с помощью гипергеометрических функций. В этой ста­
тье Меллина решения уравнения представлены в виде интеграРОС. НАЦИОНАЛ
Б И Б Л И О Т Е КК;
СПстер!
•»
,
'Л}\
Wt'JlKf
аштл.
•
'
лов с параметрами, которые сейчас принято называть интегралами
Меллина-Барнса. С помощью таких интегралов Меллин получил
разложение Тейлора в виде гипергеометрического ряда для ветви
решения у{х) общего алгебраического уравнения
У'^ + Xly'^'+ ■ • • + ХрУ"^ - 1 = О,
определенной условием у(0) = 1.
До сих пор оставался открытым вопрос об аналитическом про­
должении указанной ветви (которую мы называем главным реше­
нием уравнения (1)) и вопрос об областях сходимости всевозмож­
ных разложений Пюизо для ветвей уравнения (1). Областям схо­
димости многомерных гипергеометрических рядов была посвящена
классическая работа Горна [9]. Однако, следуег заметить, что общий
результат Горна не даст полную информацию об областях сходи­
мости конкретных гипергеометрических рядов, встречаюп1;ихся во
многих приложениях, в частности, - рядов для общих алгебраиче­
ских функций и рядов, П1)едставляющих фундаментальные периоды
на многообразиях Калаби-Яу,
Ц е л ь дисс:ертации
Исследование аналитических продолжений интегралов МеллинаБарнса, представляющих общую алгебраическую функцию и фун­
даментальные периоды некоторых многообразий Калаби-Яу, а так­
же получение более совершенных, чем у Горна, описаний областей
сходимости кратных гипергеомстрических рядов.
(1)
Методика исследования
При исследовании проблемы сходимости гипергеометрических
рядов привлечено понятие амебы ал1"ебраичсского множества, вве­
денное в известной книге Гелы})андагКапранова-Зелевинского [8], а
также понятие униформизации Горна-Капранова [10], [12] и ее связь
с сингулярностями гипергеоме'1рических функций [2], [13]. В вопро­
се аналитического продолжения общей алгебраической функции ис­
пользовалась 'теория многомерных вычетов, в частности, принцип
разделяющих циклов Циха [4].
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми. В част­
ности, впервые получены аналитические продолжения для ветвей
общей алг-ебраической функции и улучшен результат Горна об об­
ластях сходимоеги многомерных гипергеометрических рядов.
Практическая и теоретическая ценность
Результаты представляют теоретический интерес и могут быть
применены в комплексном анализе, ал 1'ебраической геометрии и ма­
тематической физике.
Апробация работы
По материалам диссертации делались доклады:
— на международной конференции „Математические модели и
меа'оды их исследования" (Красноярск, август 1999 г.);
— на международной научной студенческой конференции {Ново­
сибирск, апрель 2000 г.);
— на международной конференции по кубатурным формулам
(Красноярск, август 2001 г.);
— на международной конференции „Комплексный анализ и его
приложения" (Краснодар, сена'ябрь 2005 г.):
— на Красноярском городском семинаре по многомерному ком­
плексному анализу (1999-2005).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в рабо­
тах [17]-[22].
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав основного содержа­
ния и заюночения. Список литературы содержит 42 наименования.
Работа изложена на 78 страницах.
Содержание работы
П е р в а я глава представляет собой продолжение исследований
Меллина о решении алгебраических уравнений. Основными резуль­
татами здесь являются Теорема 3 о рядах Пюизо для ветвей ре­
шения уравнения (1) и Теорема 5 об области сходимости главного
решения.
В Теореме 3 получены формулы аналитического продолжения
;у1я главного решения у{х) и его степени j/''(x) в виде рядов по дроб­
ным степеням {рядов Пюизо) переменных xi,... ,Хр. Таких формул
р + 1 штук, одна из которых есть формула Тейлора для главного
решения с центром в точке х = 0, полученная ранее Меллином [11].
Например, для квадратного уравнения (когда, в ( 1 ) п = 2, ni = l.
Xi = х)
у'^ + ху-1
= 0,
главное решение явно выписываегся в радикалах:
^("^=-f+v(f)
2
+ 1.
Функция у{х) имеет особенности лишь в точках х = ±2г, поэтому
она ргкзкладывается в ряд Тейлора в круге |ж| < 2 и в ряд по от­
рицательным степеням (в ряд Лорана) вне этого круга. В общем
случае справедлива следующая
Теорема 3. Существует р различных аналитпическух продолже­
ний yj{x), j = l,...,p
главного решенуя у{х) уравнения (1) для
степеней у'^{х) (fi > 0) которых справедливы разложения в ряды
где
хр
i+f^E4
„.
Z^^^kX
|fc(-i
Ai=
(-1)
^ -
|fc|
ki\...kp\
П
-^
J_
ml
■■ \
Ъ
^
]
■ •\
Г!Е
(А* + niki Л-... + nkj + ... + Пркр — srij)
n^W-i
Степень Уо(ж) ря^а Тейлора самого главного решения у — уо{х)
вычисляется по эт,им же формулам, где нуснсно полооюитъ j = О,
По = п.
Ряды Пюизо в Теореме 3 представляются конечными суммами
однотипных гииергеометрических рядов (их определение см. ниже).
Для описания области сходимости гипергеометрического ряда
для главного решения уо{х) напомним, что областями сходимо­
сти р-кратных степенных рядов являются полные р-круговые ло­
гарифмически выпуклые области [5]. Полнота области сходимости
G С С
данного степенного ряда с центром в нуле обеспечивает­
ся леммой Абеля [5] и состоит в том, что вместе с каждой точкой
( x j , . . . , Хр) G G область G содержит поликруг
\xi\<\x^^\,...,\xp\<\xl\.
Это обстоятельство позволяет характеризовать область G ее обра­
зом |G| С R^ при сопоставлении точке (xi,... ,Хр) G G вектора
(|xi|,... ,\хр\) из модулей ее координат. При описании границ dG и
\dG\ полезную роль И1'рает понятие сопряженных радиусов сходимо­
сти ряда [5]: величины гх,... ,Гр составляют
сопрюкенные радиусы
сходимости, если в поликруге \х\\ <г\,... ,\хр\ < Гр ряд сходится,
но в любом болыием поликруге - расходится.
Теорема 4. Для любого § € R+ величины
''^'^'
(щдг + ... + npqpr'^{n\q, + ... + n^g^)"'/"'
s = \,... ,р являются
сопряснсенными радиусами сходимости ряда
Тейлора для главного решения у{х). Будучи однородными функция­
ми нулевой степени (rs(Ag) = Гд(д)) функции (2) параметризуют
гиперповерхность в W, являющуюся граничной к области сходи­
мости \G\ указанного ряда.
Теорема 4 является непосредственным следствием основного ре­
зультата второй главы - Теоремы б (см. ниже). Утверждение Тео­
ремы 4 впервые было доказано при р = 2 в совместной работе дис­
сертанта и А.К. Циха [17]. Затем оно было распространено для про­
извольного р ^ 2 в статье [12].
Для тюго, чтобы нагляднее представить области сходимости ряда
Тейлора для главного решения у ~ Уа{х) и его рядов Пюизо, пред­
ставленных в Теореме 3, удобно воспользоваться понятием амебы
Лу алгебраической гиперповерхности V [2]: это образ V при лога­
рифмическом проектировании
(Жх, . . . , Жр) -> (log |Ж1|, . . . , log \Хр\).
в нашем случае алгебраическая функция у(х) имеет особенности в
точности на дискриминантной поверхности V = {А(а^) = 0}. На­
пример, в случае кубического уравнения
У^ + Х2У^ +
Х1у-1=0
дискриминант Д равен
А{х) = 27 + ixi^ - 4x2^ + 18a:i.T2 - Xi W Амеба дискриминантной кривой Д(ж) = О изображена на Рис. 1, а
на Рис. 2 по мере возрастания жирности обозначены области схо­
димости ряда Тейлора для уо{х) и рядов Пюизо для yi{x), У2{х).
Рис. 1
Рис. 2
Отметим, что одновременно и независимо, Штурмфельс [16] по­
лучил ряды для решения уравнения (1), исходя из несколько дру­
гого понятия гинергеометричности в смысле Гельфанда-КапрановаЗелевинского [2].
10
В о второй главе мы приводим распространение теоремы
Горна об областях сходимости кратных гипергеометрических рядов
на некоторые более общие ряды и выделяем один случай рядов,
для которых удается получить более совершенное описание обла­
стей сходимости.
Существует несколько определений гипергеометрических функ­
ций [1], [8]. Видимо, самым простым и универсальным из них яв­
ляется определение гипер1еометричсского ряда, данного Горном в
1889 году [9]: степенной ряд (ряд Лорана)
Y^'p{s)x' = ^
seZ"
seZ"
ф1,...,
Sn)xi'" ... Хп'"
(3)
называется гипергеометрическгсм, если отношения соседних коэф­
фициентов представляют собой рациональные функции перемен­
ных з:
^ | ^
= Л,(з),
г = 1,...,п,
(4)
1
vЗдecь е» = ( О , . . . , 1 , . . . , 0). Согласно теореме Оре-Сато [15] общий
вид для коэффициентов гипергеомегрического ряда следующий:
йг({А,з) + с)
ф)
= Ris) ■ t". ^
;
(5)
здесь R(s) - рациональная функция, i е (С \ { 0 } ) " , Г - гаммафункция Эйлера, Ai,Bj
е Z", Ci,dj G С, наконец, (,) - знак ска­
лярного произведения.
11
Отметим одно важное обстоятельство. Ряд (3) с коэффициентами
вида (5) далеко не всегда сходится, если суммирование брать по всей
+00
решетке Z " (это легко усмотреть, например, для ряда 52 а;*). Сам
s=—oo
ряд (3) следует считать формальным, из которого можно строить
неформальные (т. с. с непустой областью сходимости) каким-либо
естественным выбором массива суммирования S е Z " (см. [14], [13],
[2], [1]).
В работе [9] Горн привел рецепт для описания области сходимости
гипергеометрических рядов двух и трех переменных, рассматривая
в качестве массива суммирования положительные ортанты Z^ и Z^.
Приведем результат Горна для двукратных рядов
H{xi,X2)=
Y^
(p(.Si,S2)xi''X2'\
где, по определению гипергеометричности,
„ (
ч
^{81 + 1,82)
-Ri(si,S2):=
-,
г—,
<P{SUS2)
,
.
(p(.Si,S2+l)
^2(si,S2J:=
7
г—
Фъ82)
являются рациональными фунциями от si и S2- В [9] вводятся пре­
делы
^1(91,92) = lim Ri{qil,q2l)
J—►00
Ы<1ьЯ2) = Hm ^2(91^,920
I—>00
и отмечается, что функции Фг рациональны и однородны степени
нуль, т. е. фактически зависят от отношения gi : 52- С иомопц>ю этих
функций и вычисляет'ся область сходимости G ряда Н{х\,Х2)- А
именно, хорошо известно, что области сходимости степенных рядов
являются областями Рейпхардта [5], т. е. полностью определяются
12
модулями IxilJxsl переменных и, согласно результату Горна, если
точка (|j;ij, |х2|) лежит на границе изображения Рейнхардта \G\ для
области сходимосги G, то она лежит или на прямой
1
21: Ш =
ФГ(Щ
»: Ы
Щоду
или на прямой
или на кривой <3, параметризованной в виде
ы
1
1
\^2\
* 1 (91,92)
9ь92 >0-
^2(91, 92)
(6)
Более точная формулировка результата Горна заключена в следу­
ющих двух утверждениях.
ч
Утверясдение 1 . Если точка (ж?, Жз) лежит
Xl\ <
1
Ф1(1,0)
, l^sl <
вне бикруга
-^11
*2(0,l)|i'
либо для некоторого положителыюго направления qi : q^
\А\>
1
*i(9b92)
то степенной ряд H{xi,X2)
, 141 >Ф2(91,92)
расходится в точке {х^,Х2)-
Утверждение 2. Если точка {х^,Х2) лежит
для всех положительных
в бицилиндре А и
направлений qi : дг выполняется
бы одно аз неравенств
\А\<
то ряд H{xi,X2)
1
*i(9i,92)
, \А\<*2(9Ь92)
сходится в т^чке {xi,X2).
13
хотя
Теперь рассмотрим п-кратный гипергеометрический ряд, с сум­
мированием по положительному октанту, где, по определению гипергеомстричности, выполняются равенства (4) и, слсдоват'сльно,
коэффициенты ip{s) имеют вид (5). Множитель R{s) в (5) не дает
существенного влияния на область сходимости ряда Н, а множи­
тель f* лишь влияет растяжением на область сходимости (\ti\ раз
по переменной xi, ... ,(i„| раз по переменной а;„). Поэтому мы будем
вести речь о рядах вида
Н{х1,...,Хп)=
' ^
ip{si,...,Sn)xi'"...Xn^",
(7)
«l,...,8n^0
у которых коэффициенты имеют вид
Ur{{Ai,s)+Ci)
Ф) = ^
•
(8)
j=i
На самом деле, мы не только распространяем результат Горна на
произвольное число переменных, но и обобщаем его на случай, когда
векторы Ai, Bj вещественные. Следуя Горну, введем для коэффи­
циента (p{s) вида (8) пределы
я. f
\
1-
¥>{^ + ^),
Щчи ■ • • ,gn) = um
J~»oo
<P\S)
- 1
j-^-\s=.iq, г = 1 , . . . , n ,
составленные для произвольного вектора q = (qi ■ ■ ■ ,Яп) £ Z " \ {0}.
Функции Фг(д) однородны степени нуль; они рациональны, если Л,,
Bj целочисленные, и выражаются в радикалах, если Aj, Bj имеют'
рациональные координаты. С помощью функций Фг(д) и вычисля­
ется область сходимости G ряда (7) с коэффициентами вида (8).
14
Обозначим / = { l , . . . , n } и для произвольного непустого под­
множества J С I мощности |/| определим вектор-функции
где {qj,Oj\i) ~ вектор с п координатами, у которого на местах с
номерами j Е J стоит QJ, а на всех остальных местах - нуль.
Теорема 5. Область сходимости G ряда (7) представляет собой
пересечение областей
G=
[^
l<|J|^n-l
Gj,
где Gj состоит из всех х = {х\,... ,Хп) таких, что для всех qj G
R+ выполняется хотя бы одно из перавенств
l^'I^HM^'
'^''
Существует класс гипергеометрических рядов, для коа'орых гра­
ница области сходимости состоит лишь из куска параметризации
(6) при га = 2, а при любом п ^
2 естественно определяется
отображением (1/Ф1, • • •, 1/Фгг), которое называют параметризаци­
ей Горна-Капранова [10], [12]. Нетривиальные области сходимости
имеют только неконфлуэнтныс ряды, т. е. ряды вида
^
r{{Ai,5)
2--^ri{Bi,s)
+ ai) ■ ■ ■ Г((Лр,s) + ар)
+ h)...r{{Br,s)+br)
'
a^i^'.-.a:/-
si\...sn\ '
^ '
где
AiA
\-Ap = -Bi-I
\-Br+(l,...,
15
1)
(условие неконфлуэнтности),
а 5 с Z " - так называемый носитель ряда. Носитель ряда представ­
ляет собой полиэдральное множество 5 в Z", на котором коэффи­
циенты ряда ip{s) нспулевые, а в дополнение к S они продолжаются
нулевым образом с сохранением разностных соотношений (4) (дета­
ли формирования носителя см. в [13] и [14]). Специально выбран­
ные в знаменателе (9) множители Sj\ — V{sj Л-1) дают мот-ивацию к
выбору гюложительного октанта Z " в качестве носителя ряда, по­
скольку для отрицательных целых Sj функция р, ^^^, равна нулю.
Интересующие нас ряды с „прави,пьной" областью сходимости - это
ряды вида (9), 1'лс p = r = l H 5 = Z " :
V
Г ( ( Л ^ ) + а)
a'l'^^^•Жn''"
г.^.
причем мы не будем требовать целочисленности А а В, полагая
Л , В G R". Заметим, что ряды вида (10) представляют интерес в
математической физике [3], [6], [7], где они появляются в теории
суперструн в качестве периодов на многообразиях Калаби-Яу.
Основной результат второй главы составляет
Теорема 6. Если в ряде (10) каждый из векторов
А={аи...,ап),
В = (bi,... ,Ьп)
имеет координаты одного знака, то граница области сходимости
этого ряда задается параметризацией Горна-Капранова:
(М,...,|..|)==(ф^|,.-.,|^|), qeRl,
16
где
Ф^{д)=дГ'{А,дГ{В,дУ'%
г = 1,...,п.
Из этой теоремы непосредственно вытекает справедливость Тео­
ремы 4 первой главы Она обобщает результаты о сходимости рядов
для общих aju"e6paH4ecKHX функций [17], [12].
В главе 3 найдены области сходимости гипергеометриче­
ских рядов, представляющих фундаментальные периоды некоторых
многообразий Калаби-Яу. При этом выбраны примеры, которые не
охватываются Теоремой 6. В качестве одного из примеров рассмат­
ривается многочлен
Р{у) = Уо + yiVz + Уч^ + ?/2 V
+ г/4^
определяющий во взвешенном проективном пространстве Р?з 2 2 7 г)
гиперповерхность Калаби-Яу. В подходящих координатах Х\, х^ (ко­
торые мономиально выражаются через модули деформации поверх­
ности Р ( у ) = 0), фундаментальный период гиперповерхности пред­
ставляется рядом Горна [7]
Я1(хьХ2)=
Е
Г2Г
1ллХ^Т^1л^
.
I^^"^^"
(11)
sf^>u Г^(«1 + l ) r n 2 s i + S2 + l)si!s2!
Теорема 7. Граница области сходимости ряда (11) задается па­
раметризацией:
(jxil, |х2|) = (Ф1(дь92),Ф2(д1,д2)), q = (дьЫ е К^ \ {0},
17
где
q{-'(2qi + q2)^
, .
.
92(2gi + 92)^
{7qi + 3£?2)
(7gi + 892)
Граница области сходимости ряда ( И ) задается также уравнени­
ем
7Vif-3^-7VPN4
2' ■ 7Vi|^k2i - 2V1P + 2 • 3« • 7Vilk2|'3=^ • 5 V I I N 4 2^|a;i||x2|4 3 % Г -
з^зГ + з ^ Р - Ы ' - о .
Это уравнение получается исключением параметров qi, q^ (тючнее
параметра f := ^ , ввиду однородности степени нуль параметриза­
ции Ф(д')) из параметризации Горна-Капранова
,
,
1^1' "
qi\2qi + q2f
14 ^ Q ^7 '
,
92(291+92)^
1^2| =
(791 + 392]
3'
„ . > П
9Ь 92 ^ 0.
(791 + З92)
Отметим, что если в уравнении (12) убрать знаки модуля, то мы
получим уравнение сингулярной комплексной кривой для суммы
ряда (11):
A:=7V-3=^-75x12x24
2^ • lWx2
- 2^Ж12 + 2t- I'^xxx^^(13)
3^ • Ъ'ххХ'^ + 2='ж1а:2^ + 3^a:2^З^Ж2^ + 3''Ж2'^ - Ж2^ = 0.
Параметризация границы области сходимости, указанная в Тео­
реме 7, в логарифмической шкале на Рис. 3 представляет собой ку18
сок кривой гргперболического типа, асимптоты которой параллель­
ны координатным осям. В целом, на Рис. 3 изображена амеба син­
гулярной кривой для многозначной функции, определенной анали­
тическим элементом - рядом (11).
-:j5.
. .-^.
. .-1,5. .
-1.0
Рис. 3
19
Основные результаты
1. Построены аналитические продолжения в виде гипергеомстричсских рядов для ветвей общей алгебраической функции.
2. Получено уточнение теоремы Горна об областях сходимости крат­
ных гипергеомет'рических рядов.
3. Найдены области сходимости для гипергеометрических рядов,
представляющих общую алгебраическую функцию и фундамен­
тальные периоды некоторых многообразий Калаби-Яу.
20
I
Список литературы
[1] Г Е Л Ь Ф А Н Д И.М., Г Р А Е В М.И., Р Е Т А Х B.C. Обобщенные гипергеометри­
ческие системы уравнений и ряды гипергеометрического типа! / Успехи
матем. наук. Т. 47, №4 (1992), с. 1 - 88.
ы
[2] Г Е Л Ь Ф А Н Д И.М,, З Е Л Б В И Н С К И Й А . В . , К А П Р А Н О В М.М. Птергеомет-
рические функции и торические многообразия// Функц. анализ И его
прилож. т . 23, }i'2 (1989), с. 12 - 26.
[3] П А С С А Р Е М . , Ц И Х А К . . Ч Е Ш Е Л Ь А.А. Кратные интегралы МеллинаВарнса как периоды многообразий Калаби-Яу с несколькими модулями/ /
Теор. и матем. физика. Т. 109, №3 (1996), р. 381 - 394.
[4] Цих А.К Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск; На­
ука, 1988.
[5] Ш А В Л Т Б . В . Введение в комплексный анализ. Ч . 2. М.: Наука, 1976.
%
[6] BATYREV V.V., ClOCAN-FONTANINE I., KiM В., DuCO VAN S T R A T E N
Comfold transihons and mirror symmetry for Calabi-Yau
I,
^
intersections m Grassmanmans// Nucl.
>
p. 640 - 666.
Phys.
complete
B514. №3 (1998),
[7] B E R G L U N D P., C A N D E L A S P., X . D E L A O S S A , F O N T A., HMBSCH Т.,
J A N C I C D., Q U E V E D O F . Mirror symmetry for Caluhi-Yau hypersurfaces in
21
weighted Рц and extensions of Landau Gmzburg theory// N u c l . P h y s . V ,
B419. (1994), p. 352.
[8] G E L F A N D I., K A P R A N O V M . , Z E L E V I N S K Y A . Discriminants,
resultants and
multidimensional determinants// B i r k h o u s e r , B o s t o n , 1994.
[9] H O R N J . Uber die Convergenz der hypergeometnschen Reihen zweier und
dreier Verdnderhchen// M a t h . A n n . 34 (1889), p. 544 600.
[10] K A P R A N O V M . A characterisation of A-discriminantal hypersurfaces m terms
of the logarithmic Gauss map// M a t h . A n n . 290 (1991), 275 - 285.
[11| M E L L I X H . Resolution de I'equation algebnque gendrale a I'aide de lafonction
gamma// С R. Acad. Sci. Paris Ser. I. Math. 172 (1921), 658 - 661.
[12] P A S S A R E M . , T S I K H A Algebraic equations and hypergeometric series. In
the book „The legassy of N.H. Abel", Springer-Verlag (2004), p.
563 - 582.
[13] P A S S A R E M . , S A D Y K O V Т . , T S I K H A . Singularities
of hypergeometric func­
tions m several variables// C o m p o s i t i o M a t h . 141 (2005), p. 787 - 810.
[14] S A D Y K O V T . M . On the Horn system of partial diffenmtial equations and series
of hypergeometric type// M a t h . S c a n d . 9 1 (2002), p. 127 - 149.
[15] S A T O M . Theory of prehomogeneous vector spaces (algebraic part) / / N a g o y a
M a t h . J . 120 (1990), p. 1 - 34.
[16] S T U R M F E L S
B . Solving algebraic equations in terms of A-hypergeometnc
senes// Discrete Math. 210 (2000), p. 171 - 181.
22
Р а б о т ы автора по теме диссертации
[17] С Е М У Ш Е В А А.Ю., Цих А . К . Продолжепие исследований Меллииа о ре­
шении алгебраические уравнений// Комплексный анализ и диффе­
ренциальные операторы (к 150-легию С В . Ковалевской). Крас­
ноярск: Красноярский гос. ун-т. 2000. С. 122 - 134.
[18] С Е М У Ш Е В А А . Ю . Об областях сходимости гипергеометрических рядов
многих переменных// Сиб. мат. ж у р н . (в печати).
[19] Семушева А . Ю . Об областях сходимости двойных рядов для периодов
некоторых м1югообразий Калаби-Яу// Вестник КрасГУ. Физ.-мат
науки. 2005. В ы п . 1. С. 75 - 82.
[20] Семупюва А . Ю . Обобщение т.еоремы Меллина о решении алгебраиче­
ских уравнений// "Математические модели и методы их исследо­
вания": сб. тезисов междунар. конференции. Красноярск: К р а с ­
ноярский гос. ун-т 1999. С. 181 - 182.
[21] CeMyHjeea А . Ю . Об области сходимости гипергеометрических ря­
дов, представляюищх решения алгебраических уравнений// "Студент и
научно-технический прогресс": сб. тезисов междунар, научной
студенческой конференции. Новосибирск: Новосибирский гос.
ун-т 2000. С. 51 - 52.
[22] Семушева А . Ю . Области сходимости кратных гипергеометрических
рядов // "Комплексный анализ и его приложения": сб. тезисов
междунар. школы-конференции. Краснодар: Кубанский гос. унт. 2005. С. 97
99.
23
Подписано в печать // I0.2.0c?i>' Формат 60 х 84 / 16
Печать офсетная
Усл. печ. л. 1.25
Усл. изд. л. 1.0
Тираж 100
Заказ № a.lt.
Издательский центр КрасГУ
660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.
<л
\
1941 §
РНБ Русский фонд
2006-4
21733
ч'
V
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
665 Кб
Теги
bd000102036
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа