close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

bd000102063

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Бурлачко Илья Владимирович
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ УРАВНЕНИЙ
Л Е О Н Т Ь Е В С К О Г О ТИПА
05.13.18. - математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Ч Е Л Я Б И Н С К - 2005
Работа выполнена в Челябинском государственном
университете на кафедре математического анализа.
Научный
математических
руководитель
-
наук, профессор
Свиридюк
Официальные оппоненты:
доктор
Георгий
физико-
Анатольевич
доктор физико-математических наук,
профессор Эрнст Генрихович Альбрехт
доктор физико-математических наук,
доцент Тамара Геннадьевна Сукачева
Ведущая организация
Институт динамики систем и
теории управления Р А Н , г. И р к у т с к
Защита
состоится
30
ноября
2005
года
в
11 ч . 00 мин. на заседании
диссертационного
совета Д 212.296.02 по присуждению ученой степени
доктора физико-математических наук в Челябинском
государственном университете по адресу:
454021, г. Челябинск, ул. Б р . Кашириных, 129, Ч е л Г У .
С
диссертацией
можно
ознакомиться
в
Челябинского государственного университета.
библиотеке
Автореферат разослан "_^J = L " _ ^ £ f i r M ± ^ 0 0 5 г.
У ч е н ы й секретарь
диссертационного совета /
доктор физ.-мат. н а у к , ' ^ / ^ ^ ^ ^ ^ ^
профессор
/^
В . И . Ухоботов
2lllfM
ei7aa
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Ц е л ь р а б о т ы . Пусть i и М - квадратные матрицы
порядка п, det L = О, причем матрица М L-регулярна (т.е.
существует число а 6 С такое, что det{aL — М) — 0).
Фиксируем т € R + и введем в рассмотрение
пространство
управлений
НР+^ (Д) = {ие
L 2 ( 0 , r ; R " ) : и^Р+^^ Е L 2 ( 0 , r ; R " ) ,
u(9)(0)=0,g-0,l,..,p},
где р - порядок полюса в точке оо Х-резольвенты оператора
М.
Выделим в пространстве /f^"*"
о
множество Нд
« I I
замкнутое выпуклое
- множество допустимых
управлений.
В качестве множества управлений Н^'^^ рассматривается
множество многочленов Um степени m
>
р + 1,
причем и('^(0) = 0. В качестве допустимых управлений
рассматриваем такие Um, что
р
Е
9=0
r\\ui^4mut<d
Jo
d - некоторая константа. С экономической точки зрения,
множество допустимых управлений необходимо д л я того,
чтобы ограничить воздействие на экономику. Любое
управление сопряжено
с определенными расходами.
Воздействие на экономику
может быть
ограничено
бюджетными
расходами. Величина
d характеризует
предельно допустимую величину таких расходов. Пусть
далее В я С ~ невырожденные квадратные матрицы
порядка п, тогда вектор-функция Ви
— Bu{t)
задает
управление, а вектор-функция z{t) = Cx(t) - наблюдение.
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ i
БИБЛИОТЕКА
J
i^'Sr^fl
Поставим задачу оптимального управления
J{v)
=
min
J{u)
(1)
«еяГ^
задачи К о ш и с начальными условиями
ж(0) = XQ
(2)
Lx = Мх + у + Ви,
(3)
для системы уравнений
где функционал качества J = J{u)
имеет вид
j{u) = J2r\\^^''4t)-z^^\midt+
р+1
+Е
»т-
/ {Nr,u^'4tW4t))^dt
(4)
где II • 11^ и {■,-)sj ^ евклидова норма и скалярное
произведение в пространстве R " соответственно, Nq
самосопряженные и положительно определенные матрицы
порядка п, Q =
0,1,...,р + 1, z(t)
=
Cx{t)
обозначает наблюдение, ZQ{t) - "желаемое" наблюдение,
то наблюдение, которое необходимо получить в результате
управления. С экономической точки зрения, zoit) - это
плановые значение некоторого показателя (например, план
выпуска продукции).
Целью диссертации является построение численного
алгоритма для решения задачи (1) - (3)
(задачи
оптимального
управления)
и
алгоритма
численного
решения задачи (2) для системы уравнений
Lx = Mx + /,
(5)
(задачи К о ш и ) где / — f{t)
- вектор-функция.
Актуальность
т е м ы . Однозначная разрешимость
задачи К о ш и является объектом пристального внимания
многих математиков. Исчерпывающий ответ на вопрос
о существовании единственного решения задачи К о ш и
дали Л.Кронекер и К.Вейерштрасс. Однако их подход,
основанный на концепции регулярности матричного пучка
/iL — М , в настоящее время невозможно реализовать в
численном алгоритме. Тем не менее, многие математики
используют предложенный подход д л я решения задачи
К о ш и (см., например, работы Д . М . Лернера и его
учеников). Численным методам решения задачи К о ш и ,
основанным на неявной схеме Эйлера, посвящены работы
Ю . Е . Бояринцева, В.Ф. Чистякова и их учеников.
Несмотря на большое количество задач оптимального
управления для уравнений леонтьевского типа, возникших
в
последнее
время
в
приложениях,
современная
математическая литература представляет недопустимо
мало образцов их решения. Особенно это относится к
неоднородным системам дифференциальных уравнений с
вырожденной матрицей при производной. Одной из первых
работ, посвященных управлению сингулярными системами,
является монография L.Dai, в которой рассматриваются
и прикладные аспекты проблемы. В частности, L.Dai
рассматривает в качестве примера сингулярной системы
динамическую систему "затраты-выпуск" В . В . Леонтьева.
Д л я решения сингулярных систем автор использует
алгоритм
Вейерштрасса-Кронекера.
S.L.Campbell
и
W.J.Terrell исследовали вопросы наблюдаемости для систем
уравнений с вырожденной матрицей при производной по
времени. Г.А. Куриной и ее учениками рассмотрена
оптимизация
квадратичного
критерия
качества
на
траекториях
дескрипторных
систем.
Для
решения
задачи использовалась прямая схема метода пограничных
функций, которая заключается в подстановке в условиях
задачи постулируемого асимптотического разложения и
построение серии задач оптимального управления. Р.С.
Muller рассматривал вопросы оптимального управления
дескрипторными
линейными
системами
уравнений.
Предложенный им алгоритм решения задачи оптимального
управления основан на приведении матричного пучка
{sE — А) к канонической форме Вейерштрасса-Кронекера.
А.А.
Ефремовым
было доказано
суш;ествование
и
единственность решения задачи оптимального управления.
М е т о д ы и с с л е д о в а н и я . Д л я построения алгоритма
численного решения задачи К о ш и для системы уравнений
(5) м ы воспользовались методом фазового
пространства.
Отправной точкой для данного исследования послужила
теория относительно р-ограниченных и относительно ррадиальных операторов и вырожденных аналитических
и сильно непрерывных групп операторов, разработанная
Г.А. Свиридюком и В . Е . Федоровым^ П р и решении задачи
оптимального управления мы опирались на результаты Г.А.
Свиридюка и А . А . Eфpeмoвa^.
При поиске оптимального управления на пространстве
многочленов, выразим решение задачи оптимального
управления через коэффициенты многочлена Um степени
т
> р + 1. Затем, при поиске вектор-функции Um
(многочлена), минимизируюп];ей функционал J (и), можно
воспользоваться методом градиентного спуска, методом
^Smndyuk G.A., Fedorov V.E.
Linear Sobolev Type Equations and
Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht-Boston: V S P , 2003.
Свиридюк
линейными
Г.А ,
Ефремов
уравнениями
типа
A.A.
Оптимальное
Соболева
с
управление
относительно
р-
секториальными операторами // Дифференц. уравн. 1995. Т. 31,
№11, С. 1912-1919.
Ньютона или другими методами
функции многих переменных.
поиска
экстремума
Д а н н ы й метод минимизации функционала отличается
от ранее предлагавшихся методов тем, что может быть
использован
для
практических
вычислений
(текст
соответствующей
программы
на
C++
приведен
в
приложении к работе).
Теоретическая
и
практическая
значимость.
Основными результатами диссертации следует считать
построение численного алгоритма решения задачи К о ш и ,
основанного на теории относительно
р-ограниченных
операторов
и
вырожденных
аналитических
групп
операторов, а так ж е алгоритма вычисления оптимального
управления для задачи (1) - (3). По численному алгоритму
создан программный продукт для расчета оптимального
управления экономикой коммунального хозяйства малых
городов, экономикой многоотраслевых
промышленных
холдингов.
А п р о б а ц и и . Результаты, изложенные в диссертации,
докладывались
на
Международной
конференции
посвященной
100-летию
со
дня
рождения
А.Н.
Колмогорова
"Общие
проблемы
управления
и
их
приложения" (Тамбов) 2003 г. [2], Воронежской зимней
математической школе 2004 г. [4], Всероссийской научной
конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых
задач" (Екатеринбург) 2004 г. [5], на семинарах проф. Г.А.
Свиридюка в Челябинском государственном университете.
Программный продукт, разработанный в ходе подготовки
диссертации,
зарегистрирован
в
Отраслевом
фонде
алгоритмов и программ.
Структура
работы.
Диссертация
кроме
трех
глав
содержит
Введение,
Список
литературы
и
Приложение.
Объем
диссертации
составляет
122
страницы. Библиография содержит 81
работ российских и зарубежных авторов.
СОДЕРЖАНИЕ
наименование
РАБОТЫ
В
первой
главе
изложены
основные
факты
теории
относительно
р-ограниченных
операторов
и
вырожденных
аналитических
групп
операторов
в
адаптации
к
конечномерной
ситуации.
Необходимо
отметить,
что
первым
начал
изучать
этот
класс
операторов
Г. А .
Свиридюк^'. И м
была
обнаружена
и классифицирована изолированная особая точка в
бесконечности L-резольвенты оператора М,
построены
вырожденные
аналитические
разрешающие
группы
операторов и найдены достаточные условия разрешимости
задачи К о ш и .
В п. 1.1 показано, что в конечном случае L-спектр
оператора М либо совпадает с комплексной плоскостью,
либо является конечным множеством точек. Перечислены
свойства
относительно
сг-ограниченных
операторов,
которые
названы
здесь
(и
далее)
"относительно
регулярными". Замена терминов вызвана тем фактом,
что в конечномерном случае относительно ст-ограниченные
и от1ЮСИтельно р-радиальные операторы совпадают. В Э1юм
ж е пункте приведены формулы для численного построения
проекторов Р ш Q, вычислены значения проекторов Р и Q
для примера Леонтьева (см. п. 1.4).
В п. 1.2 строятся разрешающ,ие группы операторов.
В п. 1.3 приведена формула единственности решения
задачи (2), (5), в явном виде выписано решение задачи
^Свиридюк
Г. А.
Полулинейные
уравнения
относительно ограниченным оператором // Д А Н
С. 828-831.
типа
Соболева
с
1991. Т. 318, Я^4.
К о ш и для неоднородного уравнения, обсуждаются оценки
сходимости.
Т е о р е м а 1 . Пусть р - порядок полюса в точке оо L резольвенты
оператора М. Пусть
вектор-функция f €
(^Р+1([0,Г];3^). Тогда для любой точки
хо emj = \хеп: {I-р)х =
I
-J2H'M^\i-Q)~f{0)\
J
А;=0
существует
единственное решение х € С^([0, Т];11) задачи
(2), (5) (L и М - квадратные матрицы порядка п, причем
det L = 0; вектор-функции х, / : [О, Т] —> М"^ которое к
т,ому же имеет вид
'dt''-
fe=0
+t/*xo + /
Jo
(6)
R^-'Qf{s)ds.
З а м е ч а н и е 1 . Оператор Н, вообще говоря, очень трудно
вычислить. Однако если существует оператор М"^,
H>'Mo4l
-Q)
то
= ( M - i ( I - g ) L ) * ^ M - i ( I - Q).
Т е о р е м а 2. Пусть
существует
оператор М~^ £ C{d;iX).
Тогда, для любой вектор-функции
любого вектора XQ G i t такого,
-
/
G С^'^^{[0,Т];^)
и
что
lim{l-{kR^{M))P+^)xo
=
к—'оо п
limM-i(l-(fcL^(M)f+i)/o,
fe—►оо
п
существует
единственное решение задачи (2), (5) которое
к тому же имеет вид
x{t) = - lim ^ ( M - 4 l - ( A ; 4 ( M ) r i ) L ) ' ' x
q=0
xM-Hi-(fc4(M)r^)^/(f)+
+ lim M - 4 ( L - — - ^ - M ) - i L ) ' = ( j ' + i ^ x o +
fc—oo
k[p + 1)
+ lim
lim У
(* "" **) л/r^-l
г^fe(p+l
fe{p+l)-l.
ШгЦЬ - ^.
':^M)-'L)
х(^-ет^'"Л*-.)
P)
Wj И Sj - веса и узлы m-точечной квадратурной формулы
Гаусса, i = l,...,m. р - порядок полюса в точке оо L резольвенты оператора М.
В п.1.4 все абстрактные результаты
расчету примера Леонтьева''.
Приведем
точное
решение
алгоритму в случае, когда
и
приложены
результаты
счета
к
по
f = [2t,2t,2t].
''Леонтьев
В.
Межотраслевая экономика М : Экономика, 1997.
10
t
Результаты счета по алгоритму
Точное решение
Xl
хз
X2
X3
Xl
Х2
0.76923
1
1
0.76923
0
1.
1.
1^
1.07959
1.11512
0.65454
1.07959
1.11512
0.65454
1.21122
1.26047
0.56982
1.21122
1.26047
0.56982
i
1
Й
1.39926
1.43435
0.51562
1.39926
1.43435
0.51563
1.64905
1.63449
0.49255
1.64905
1.63449
0.49255
1.96712
1.85787
0.50121
1.96713
1.85788
0.50121
^
2.36152
2.10058
0.54227
2.36153
2.10058
0.54228
Й
2.84214
2.35752
0.61644
2.84215
2.35753
0.61644
i
3.42124
2.62217
0.72446
3.42125
2.62217
0.72446
f
4.11399
2.88616
0.86715
4.11401
2.88617
0.86715
i
li
4.93924
3.13887
1.04539
4.93925
3.13887
1.04541
5.92041
3.36679
1.26018
5.92043
3.36680
1.26019
7.08671
3.55286
1.51261
7.08673
3.55286
1.51262
w
1
Вторая
глава
содержит
основные
результаты
диссертации. В ней излагается численный алгоритм
решения задачи оптимального управления.
В
п.2.1
доказана
теорема
о
непрерывности
функционала J (и), получена оценка сходимости решения
задачи оптимального управления.
Пусть
Нгп
~
некоторое
подпространство
пространства
-
вектор-функций
пространство
компонента
больше т,
Нд
которых
т
>
при всех т
есть
fjP^^
>
то
>
(скажем,
из
многочлен
р + 1). Пусть Нт
конечномерное
Ят
Н^'^^, каждая
от
t
степени
не
всюду плотно в
р + 1, тогда,
пользуясь
формулами (6) и (4), можно со сколь угодно большой
точностью (зависящей только от числа итера1щй) найти
приближенное оптимальное управление Um ЕНт
установлена
11
■ Нами
Теорема 3. J{vm)
—> J{v)
J{vm)
=
при m —»• oo, где
min
J{um)
в п.2.2 рассматривается алгоритм решения задачи
оптимального управления.
В
качестве
множества
допустимых
управлений
рассматривается выпуклое множество многочленов вида
Р+1 -г
Е
/ \Wm{^M\^dt<d,
(8)
где Um{t) = Yl^p+i'^it^ - вектор-функция допустимого
управления (многочлен), т
- максимальная степень
многочлена, d - неотрицательная константа, Cj ~ вектор
коэффициентов многочлена.
Алгоритм решения задачи оптимального управления
состоит из двух основных этапов
1) Поиск проекции произвольных начальных условий на
фазовое пространство. Д л я этого решаем задачу
\\хо - х||^ -^ min,
(9)
где X - произвольные начальные условия, Жо
проекция
начальных условий на фазовое пространство уравнения (5),
которую необходимо найти.
2) Поиск многочлена, минимизирующего функционал.
Д л я этого воспользуемся теоремами (1), (3) и запишем
функционал (4) в виде в виде функции от переменных а^
~ коэффициентов многочлена допустимого управления.
Затем, для минимизации функционала воспользуемся
алгоритмом минимизации функции многих переменных.
В процессе минимизации будем учитывать условие о
12
принадлежности
многочлена
управления
множеству
допустимых
управлений.
Таким
образом,
вычислив
коэффициенты Oj, при которых функционал (4) минимален,
м ы нашли многочлен степени т,
минимизирующий
функционал на множестве многочленов степени т.
В п.2.3 полученные результаты приложены к примеру
Леонтьева. Приведем здесь сравнение
оптимального
управления [v) и управления, вычисленного по алгоритму
iv).
t
Точное решение x(t,v)
Xl
Х2
Хя
Точное решение x{t,v)
Xl
Х2
хз
0
2.50000
3.
2.15384
2.50000
3.
2.15384
1^
2.52962
3.08383
2.29412
2.52936
3.08345
2.29377
2.63865
3.25791
2.50179
2.63769
3.25641
2.50062
\
\
2.81435
3.50816
2.76643
2.81240
3.50501
2.76410
3.04381
3.07743
3.04073
3.81507
3.07377
й
3.82023
3.31402
4.17945
3.42404
3.30980
4.17216
3.41898
4.57087
3.79530
3.60663
4.56152
3.78893
h
3.61183
3.92402
4.97918
4.18008
3.91811
4.96807
4.17264
4.23732
5.38870
4.56706
4.23111
5.37637
4.55893
!
4.53846
5.78337
4.94474
4.53247
5.77061
4.93645
1
4.81418
6.14670
5.30144
4.80903
6.13453
5.29367
%
5.05136
6.46168
5.62526
5.04776
6.45144
5.61885
1
5.23708
6.71079
5.90414
5.23578
6.70408
5.90008
I
\
§
В третьей г л а в е приводятся расчеты экономики
коммунального хозяйства г. Еманжелинска. В
п.3.1
дается общая историко-географическая характеристика
города. В п.З. 2 приводятся матрицы капитальных и
текущих затрат построенные по данным, полученные в
администрации г. Еманжелинска. Здесь же приводятся
промежуточные результаты расчетов. В п.3.3 приводятся
окончательные
результаты.
Рассмотривается
прогноз
13
развития
коммунального
хозяйства
в
отсутствии
внешнего финансирования и под действием оптимального
управления, направленного на удвоение доходов за год.
Расчеты выполнены с допущением, что возможность
государства влиять на коммунальное хозяйство ограничено
суммой 1 700 млн. руб.
В результате вычислений получен следующий прогноз
развития
коммунального
хозяйства
под
действием
оптимального управления.
Прогнозируемый
Среднегодовые доходы, тыс. руб.
период
Жилье
Вода
Тепло
Прочие
Труд
декабрь 2004 г.
26488
44652
45788
4643
35981
январь 2005 г.
26678
45136
46443
5028
41443
февраль 2005 г.
27182
46583
48784
5462
47034
март 2005 г.
27970
48969
52692
5934
52715
апрель 2005 г.
29000
52241
58000
6434
58455
май 2005 г.
30226
56310
64495
6954
64232
июнь 2005 г.
31593
61049
71916
7489
70032
июль 2005 г.
33038
66287
79949
8034
75847
август 2005 г.
34495
71805
88229
8586
81671
сентабрь 2005 г.
35887
77327
96335
9145
87503
октябрь 2005 г.
37133
82522
103791
9708
93343
ноябрь 2005 г.
38144
86994
110061
10276
99191
декабрь 2005 г.
38825
90276
114552
10850
105046
И з таблицы видно, что в результате управления за
12 месяцев удалось значительно увеличить оплату труда
и прочие доходы. В наименьшей степени подвержены
внешнему воздействию доходы по статье
"Жилье".
Полученный результат говорит о том, что для достижения
поставленных
целей в короткие
сроки
необходимо
изменение технологии производства - внесение изменений
в матрицы L и М.
14
с п и с о к П У Б Л И К А Ц И Й ПО Т Е М Е ДИССЕРТАЦИИ
1. Бурлачко И.В., Свиридюк Г.А. О численном решении
задачи К о ш и для вырожденной линейной системы
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
//
Вестник
Тамбовского
университета. Серия:
естественные и технические науки. 2003. Т.8, вып. 3,
С.353-354.
2. Бурлачко И.В., Свиридюк Г.А.
Алгоритм решения
задачи К о н ш для вырожденных линейных систем
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
с
постоянными коэффициентами // Ж В М и М Ф . 2003.
Т. 43, № 1 1 , С.1677-1683.
3. Бурлачко И.В.
О численном решении задачи К о ш и
для неоднородной системы уравнений Леонтьева //
Воронежская зимняя математическая школа. 2004.
С.27-29.
4. Бурлачко
И.В.
Алгоритм решения неоднородной
системы уравнений Леонтьева // Алгоритмический
анализ
неустойчивых
задач. Тезисы
докладов
всероссийской конференции. Екатеринбург. 2004.
С.149-150.
5. Бурлачко
И.В.
Об алгоритме решения задачи
оптимального управления для систем уравнений
леонтьевского типа // Р у к . деп. В И Н И Т И , №1046В2005 от 18.07.05.
6. Бурлачко
И.В.
О
численном решении задачи
оптимального управления для неоднородной системы
уравнений леонтьевского типа. // Вестник М а Г У .
Математика. - В ы п . 8. - Магнитогорск: М а Г У , 2005.
С. 4 - 14.
15
96
Р Н Б Р у с с к и й фонд
2006-4
21789
Подписано в печать 28.10.05. Формат 60 х 84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. У с л . печ. л . 1,0.
Уч.-изд. л . 1,0. Т и р а ж 100 экз. Заказ ^с^'/ .
Челябинский государственный университет
454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129
Полиграфический участок Издательского центра
Челябинского государственного университета
454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 576
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
523 Кб
Теги
bd000102063
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа