close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

bd000102217

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
ЗАПОРОЖЕЦ Дмитрий Николаевич
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДО
В ТЕОРРШ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛИНОМОВ
01.01.05- теория вероятностей
и математическая статистика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2005
Работа вьшолнена в лаборатории статистических методов СанктПетербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова
РАН.
НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ
академик
И.А. ИБРАГИМОВ
ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ
доктор физико-математических наук, профессор
А.В. БУЛИНСКИЙ
доктор физико-математических наук, профессор
М.А. ЛИФШИЦ
В Е Д У Щ А Я ОРГАНИЗАЦИЯ
Санкт-Петербургский государственный электро­
технический университет.
Защита диссертации состоится "ЛУ «улы^^'уул 2005 г. в Л_£ часов на
заседании диссертационного совета Д 602.205.01 в Санкт-Петербургском
отделении Математического института имени В.А. Стеклова Р А Н по адресу
191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, к. 311.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского
отделения Математического института имени В.А. Стеклова РАН.
Автореферат разослан " Ч " Vvc.jbbAiv>J2005 г.
Ученый секретгфь
диссертационного совета
доктор физико-математических
наук
^
ttiK"^
А.Ю. Зайцев
ЙМ1А.
iimii
Л1йов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
АКТУАЛЬНОСТЬ таМЫ. Рассмотрим случайный вещественный полином
одной переменной
Gn{t) = 6, + 6* + • • • + ^n-i*"-^ + ^„t",
(1)
где 6)> • • •»6»" некотсфые случайные величины, которые в этом параграфе
мы ^ е и считать независимыми, одинаково распределенными и яевырождевньши. Обозначим через М» С С^ множество всех корней полинома. Для
произвольного множества А обозначим через Ао(Л) число аленентов в А. Так,
Ао(М„ П R^) означает число вещественных корней полинома, Ло(М„ П [а, 6))
означает число вещественных корней в промежутке [о, 6], а Ао{М„ П П) —
число корней, лежащих в некотором подмножестве О комплексной плоскости
С».
Вещественные корни. Блох и Пойа [21] первыми по существу рассмотрели
задачу о вещественных корнях случайных полиномов. Они ползгчили оценку
ЕЛо(АГ„ П R^) = 0 ( V n ) ,
n -► оо
для случая, когда Р { ^ = —1} = Р { ^ = 0} = Р { ^ - = 1} = |. Их исследо­
вания продолжили Литтлвуд и Оффорд [27, 28, 29], юуюрые для нормально
распределенных, равномерно распределенных на [—1,1] и равномерно рас­
пределенных на {—1,1} величин ^ доказали соотношение
( ы К п У ^ Е А о ( М „ n R i ) < 25(k)gn)2 + 121ogn,
п € N.
Первый асимптотически точный результат был получен Кацен для нормаль­
ных [25] и равномерно раофеделенных [26] случайных величин:
EAo(A<„nR^) = - l o g n ( H - o ( l ) ) ,
п-*оо.
(2)
Впоследствии И.А. Ибрал^мов и Н.Б. Маслова [6,7] обобщили дешную форму­
лу на класс случайных величин, распределение которых принадлежит обла­
сти притяжения нормального закона^! Ш[:грш^ф^|^{1^§^;(^нулевым средним
БИБЛИОТЕКА
|
выполнено соотношение
Е { А о ( М . Л ROlGn(t) ^ 0} = I log п(1 + 0(1)),
» - ^ до,
для распределений с ненулевым средним половина корней "исчезает":
E{Ao(Af„ ПR')|G„(f) # 0} = i k)gn(H- о{1)),
п-^оо.
к
Примерно в это же время Логан и Шепп [30, 31] показали, что для случайных
величин ^j с характеристической функцией распределения е~^^{0 < а < 2)
справедливо асимптотическое равенство
EAo(M„nR^) = ci,k)gn(l + o(l)),
п-+оо,
причем константа Са была ими явно выписана. Эта оценка была распростра­
нена И.А. Ибрагимовым и Н.Б. Масловой [8] на класс распределений, при­
надлежащих области притяжения устойчивого закона.
Из личной беседы с И.А. Ибрагимовым автору стало известно, что среди
специалистов в данной области существует гипотеза о том, что для любого
невырожденного распределения коэффициентов существуют такие констан­
ты ci, С2, что справедливо следующее неравенство:
C i l o g n < E A o ( M „ n R * ) <c>jlogn,
n € N.
Пример, построенный в диссертации, опровергает данную гипотезу.
Комплексные корни. Первый результат в изучении поведения среднего
числа корней в комлексной области получил Хаммерсли [23]. Он вывел точ­
ную формулу для ЕЛо(М„ П {\z\ < г } ) в случае нормально распределенных
коэффициентов (случай произвольного совместного распределения коэффи­
циентов, имеющего плотность, рассмотрен в диссертационной работе).
Вскоре после этого Д.И. Шпаро и М.Г. Шур [19] доказали предельную
теорему, формулируемую следующим о^>азом. Пусть е > О и m € Z+. Рао-
^-"'^^'-'-ттфттттгчI
■ I|IIIII».«HI»IM.»< —J.■««»-,
смотрим монотонно неубывающую функцию
ii+t
/(*) = hg^'hg^ ...hg^t
m+l
niog+log+...log^t,
*"1^
к
где log"*" 8 = max(l, log s). Пусть выполнено неравество
E/(IO!)<oo
(которое заведомо верно, если Е|^^|" < оо для некоторого а > 0). Тогда для
любого S > О п любых а, /?, подчиненных неравенствам О < а < /9 < 2ir,
выполнены соотношения
п
-Хо{МпП{а<ащг<0})-^-т—,
П
п-*оо,
ZTT
т.е. при довольно слабых ограничениях на коэффициенты случайного по­
линома с ростом степени почти все его корни "равномерно концентрируются^около единичной окружности.
Шепп и Вандербей [32] показали, что в гауссовском случае для любого
О < в < 00 выполнено соотношение
-ЕХо{Мп П {e-i < \z\ < еЦ) —> ^ ^ - ^ --,
п -» оо,
которое И.А. Ибрагимов и Зейтуни [24] обобщили на класс распределений,
принадлежащих области притяжения устойчивого закона с показателем а:
1
iEAo(M. П {e-i < \z\ <еЦ)^
1 д- р~<*»
t±L^
9
_ Л,
Построенный в диссертации пример случайного полинома показывает, что
помимо ''концентрации"корней около единичной окружности комплексной
плоскости в их поведении может наблюдаться совершенно иная картина.
6
Ц Е Л Ь Р А Б О Т Ы . Асимптотическую формулу (2) в случае стандартных
гауссовских коэффициентов Кац получил, доказав следуюп^ее равенство:
EMM.nK«.ijr'(i-[fciiw^]')'a-.')-.«.
В1995 году Э.Костлан и А.Эдельман [22] нашли изящный геометрический
вывод этой формулы, который является в представлении автора весьма важ­
ным, т.к. указывает на то, что задачи, св51занные со случайными полиномами,
можно исследовать с помощью геометрических методов. Такому исследова­
нию посвящена диссертация.
МЕТОДЫ В Ы П О Л Н Е Н И Я ИССЛЕДОВАНИЙ. Для доказательства тео­
рем и преобразований полученных формул к более удобному виду использо­
вались следующие методы:
- различные методы интегральной геометрии;
- метод характеристических функций, позволяющий привести различные
математические ожидания, встречающиеся в работе, к другому виду.
Н А У Ч Н А Я НОВИЗНА. К наиболее существенным положениям диссер­
тационной работы можно отнести следующие:
- построен пример случайного полинома степени п с независимыми одина­
ково распределенными невырожденными коэффициентами, имеющего в сред­
нем менее 9 вещественных корней при всех п;
- найдено распределение числа вещественных корней случайного поли­
нома, коэффициенты которого имеют произвольную совместную плотность
распределения;
- получена формула для вычисления среднего числа комплексных корней
случайного полинома, лежащих в некоторой области комплексной плоскости;
- получена формула для вычисления средней площади случайной много­
мерной алгебраической поверхности;
- вычислено среднее количество нулей градиента случайного полинома от
нескольких переменных.
П Р А К Т И Ч Е С К А Я ЦЕННОСТЬ. В диссертационной работе получены
различные формулы, описывающие поведение нулей случайных полиномов
одной и нескольких переменных. Также приведен пример, опровергающий
существовавшую ранее гипотезу в данной области исследования.
АПРОБАЦИЯ Р А Б О Т Ы . О результатах исследований докладывалось на
конференщшх " X Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам"(Сочи 2003), "IntemationtJ Conference on Analytical Methods in Number
Theory, Probability Theory and Mathematical Statietics" (Санкт-Петербург
2005), на семинарах по теории вероятностей в Геттингенском университете
(2003) и в ПОМИ РАН (2003,2005), а также на Петербургском топологиче­
ском семинаре в ПОМИ РАН (2005).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано четьфе работы, а
также имеются две публикации в тезисах конференций. Список публикаций
приведен в конце автореферата.
О Б Ъ Е М РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и двух глав и зани­
мает 84 страницы. Библиография содержит 33 наименования отечественных
и зарубежных авторов.
БЛАГОДАРНОСТИ. Автор выражает глубокую благодарность своему
научному руководителю И.А. Ибрагимову за постановку задач, а также за
многочисленные обсуждения и советы, касающиеся практически всех сторон
диссертации. Также автор благодарен людям, чьи советы помогли ему в про­
цессе написания работы: М.И. Гордину, А.Ю. Зайцеву, А.И. Назарову. Автор
очень признателен А.В. Булинскому, В.А. Егорову и М.А. Лифшицу за то,
что они любезно согласились прочесть диссертацию.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы исследования, вводятся обо­
значения и дается краткий обзор полученных результатов.
Введем нео6>юдимые обозначения.
8
Через XkiA) мы обозначаем меру Лебега множества А при А; > 1 и коли­
чество его элементов при А; = 0.
Символом Ik м ы будем обозначать единичную матрица размера к х к, а.
О * — матрицу, состоящую из одних нулей, размера
кхк.
Через eif обозначается мультииндекс, у которого на к-м месте стоит еди­
ница, а на остальных—нули.
Через х(А)
мы будем обозначать индикатор множества А.
Е с л и М является матрицей, то результат ее транспонирования будет обо­
значаться через М^.
Также нам понадобятся обозначения для элементарных симметрических
многочленов
(7-о(г/ь---,г/п) = 1 ,
CTiiVi, ■ ■ ■ ,Уг,)
= У1 + • ■ ■
+Уп,
(Г2{У1, ■■■,Уг,) = У1У2 + --- +
Уп-гУп,
<7з(1/1. ■■■,Уп) = у т ш + ■•■ + уп-2Уг,-1Уп,
•••)
c^n-i (У1, • • •. Уп) = УЦЛг • • • г/п-1
+ • • • 4- У2УЗ • ■ • У»,
о-п(Уь---,Уп)=У1У2.--Уг,
и для определителя Вандермонда
A(yi,...,|fa)= П Ы-Уз\Везде в работе используются обозначения и правила внешнего исчисления
дифференциальных форм. Ознакомиться с ними можно, например, в книге
А.Картана [10].
Первая часть работы имеет дело с полинонами от одной переменной.
Параграф 1.1. начинается с примера, взятого из книги Л . Сантало [13,
стр. 3]. В нем рассматривается множество плоских прямых, на котором задаг
ется некоторая плотность (дифференциальная форма). Путем интегрироваг
ния этой плотности на множестве прямых определяется мера, которая поз­
воляет ввести понятие случайной прямой. После этого введенная плотность
рассматривается в различных координатах, что позволяет вычислить сред­
нее число точек пересечения случайной прямой с некоторой фиксированной
кривой.
Похожая конструкция используется в большинстве дальнейших рассуж­
дений. Во второй части параграфа она применяется к случайным полиномам
(по аналогии со случайными прямыми), в результате чего выводится формула
для среднего числа вещественных корней случайного полинома, коэффици­
енты которого имеют произвольную совместную плотность распределения:
Теорема 1. Пусть дан полином
Gn{t) = & Ч- ei< + • • • + in-it"-^ + ^ „ r
со случайными вещественными коэффициентами Co>^i)--)^n; имеющими
совместную плотность распределения p(ao,ai,.. .,ап). Тогда среднее число
вещественных корней Gn{t), лежащих на отрезке \а,0], дается следз^ющей
формулой:
БАо(М.П[а,;31)= [
Ja
dt f p{-ait
a„r,ai,...,a„)
Л»
X |oi-l
+ na„1f*~^\dai...da„.
В качестве следствия из теоремы приводится равномерная оценка сверху
для среднего числа вещественных корней, лежащих в произвольном фикси­
рованном кнаянвегве, отделимом от {—1,1}:
Следствие 1. Пусть случайные величины ^о, $1) • - • i ^> • • • независимы и име­
ют плотности распределенияро,Ри • ■ • »Рп) • • • соответственно. Если верно
sup pj{a) < 00,
8upE($;f| < оо,
10
тогда дЛя любого замкнутого множества F, не содержащего { — 1 ; 1}, вьшолнено
Е Ао(М„ П F ) = 0(1), га -► 00.
Далее полученная формула приводится к другому виду с помощью аппэг
рата характеристических функщ1й:
Следствие 2. Пусть случайные величины |о, ^ъ---Лп независимы и имеют ха­
рактеристические функции /о, / i , . . . , /п соответственно, причем /о € L^(R^).
Тогда справедлива формула
EA„(M„n{a,/31) = ^ / ^ d . £ ^
dC,
где интегрирование по drj понимается в смысле главного значения.
После этого из нее в качестве примера выводится формула для средне­
го числа вещественных корней в случае стандартного устойчивого закона с
параметром S 6 (0,2]:
Следствие 3. Случайный полиномом, коэффициенты которого независимы и
распределены по стандартному устойчивому закону с параметром 5, имеет
следующее среднее число вещественных корней на отрезке [о, Ь]:
Б Ao(M„n[a,/?]) = ^
/
|
f
[loggcx + i ) ^ ^ )
J o g f E N - j f W ' A -21og^x»X;|i|*Aldir.
+1
Случаи 6 = 1 (распределение Коши) и (J = 2 (нормальное распределение)
рассматриваются отдельно.
В параграфе 1.2. вещественные корни случайного полинома рассматрива­
ются как случайное точечное поле. Находится его корреляционная функция:
11
Теорема 2. Пусть дан полином
G„{t) = & + 6< + • • • + ^„_1«»-^ + U »
со случайными вещественными коэффициентами &,$1,...,?в> имеющими
совместную плотность распределения p(ao,ei,... ,а„). Случайное поле, по­
рожденное вещественными корнями полинома G„, имеет следующую корре­
ляционную функцию:
l<«i<*
n = -/
к
р(Х'^'П'^', X'') П \{Vt^^S] + 5?, X ) | ( i c i . . . dxn-k^i,
E
X /
где
\Si - 8i
1 81 ...
^\
Sk ...
4-Л
^'
i-i
( A ^+1
\4 ^'
X = (xi, Ж2,. • •, x„_fc+i)^ = (at, afc+i,..., a„)'^,
5] = ( 0 , l , . . . , ( f e - l ) 8 5 - y ,
5? = (^-S(fc-n)4,...,n«rTВ качестве следствия рассматривается случай нормального распределения,
который был исследован П. Влехером и К. Дн [20].
В параграфе 1.3. решается вопрос о нахождении распределения числа ве­
щественных корней:
Теорема 3. Пусть дан полином
G„(t) = & + $it + • • • + €„_1Г-1 + ^„е"
со случайными вещественными коэффициентами Co,Ci)-i^n> имеющими
совместную плотность распределения р(ао, a i , . . . , On)- Число вещественных
12
корней G„ распределено следз^ющим образом
P { A o ( M „ n R ^ ) = n-2fc} = -7
2*
— г /
dxi...dxn-2k I
Kiyn — £ie)i Jtin-ik
dri...dn
JB»
xri.-.r* /
dai...clak I pi(UTo,acri,...,cuT„)\a'^A\da,
Jfo,»)»
Jл^
где
CTj = <Tj{xu ■ ■ ■ ,x^7k, rie*"S r i e " ^ ' , . . . , ne*"*, Гке"*""),
Д = A(a;i,... ,a;^»,»-ie*'^,rie-<">,... ,rke'^\rke-^%
к меняется в пределах от О до [|].
В параграфе 1.4. выводится формула для среднего числа комплексных
корней, лежащих в некоторой области комплексной плоскости:
Теорема 4. Пусть дан полином
Gn{z) = 6 + 6 г + • • • + ^n-i^^^ + €nz"
со случайными вещественными коэффициентами ^а,^х,■ ■.,£,п, имеющими
совместную плотность распределения p(oo,Oi,...,a„). Пусть П —область
комплексной плоскости, лежащая строго выше веществет1ной прямой. Спра­
ведливо следующее равенство:
г2
E A o ( A f „ n n ) = 1 drda-— /
А»2- -don
Ja
sma /«.-i
2
(
ein^a
o
1
.J=2
Li=2
n
J
Yl(j-1)щг^
n
^sinja
j
\
(3)
Следствие. Пусть величины ^o,$i, • ■ • ,€n независимы и имеют характеристи­
ческие функции / o , / i , . . . , / п соответственно, причем /o,/i € i/i(R^). Если
13
?2, ^3, • •., ^n имеют конечные вторые моменты, тогда выполнено
Б Ао(М„ П П) = ^
A
У" drda— j^ MOMv) П fMC + QiH)
0М±3^^о-
\^
/j(Pj<+т)ЛЫ+Якгд]
^,,
где
^^ = _^£gzi)£^, q, = ^r^-^
sma
8ша
Cj = O'^sin^O' - l ) a + 0-l)*8m2ja)r2«-i),
Cjk~j 8m(j - l)a(jfc — l)8mfear'"''*~^.
В параграфе 1.5. построен пример случайного полинома степени п с неза­
висимыми одинаково распределенными коэффициентами, имеющего в сред­
нем менее 9 вещественных корней при всех п. Что касается его комплексных
корней, то в среднем f + О (^) из них них концентрируется около нуля и
столько же уходит на бесконечность при п —* оо:
Теорема 5. Для любой последовательности положительных чисел е„ —»О су­
ществует такая последовательность независимых одинаково распределенных
невырожденных случайных величин ^о, ^ i , • • •, ^в, • • • > что для корней случай­
ного полинома Gn выполняются следующие оценки:
ЕАо(М»ПК')<9,
n€N,
Е А о ( М . П { И < е „ } ) = Е А о ( М „ П { И > 1 } ) = 2-Ю(1),
(а)
п-.оо.
(Ь)
Во второй части рассматриваются полиномы от нескольких переменных,
а также системы полиномов.
В пгфаграфе 2.1. вычисляется средняя площадь случайной алгебраиче­
ской поверхности, порожденной нулями случайного полинома от d перемен­
ных, пересеченной с произвольным фиксированным ограниченным измери­
мым множеством:
14
Теорема 6. Пусть дан полином
а
СО случайными вещественными коэффициентами ^(о^.,о )^(о, д» • • • )4(п..,«), име­
ющими совместную плотность распределения|)(О(0„ .,Щ)fl(o,..,i)> • • • 10(п,. ,»))■ Сум­
мирование ведется по всем а, для которых выполнено О < ct, < п при
i = l,...,d. Рассмотрим алгебраическую поверхность М„, задаваемую урав­
нением
M„ = {x|G„(ar) = 0},
и произвольное ограниченное измеримое множество П. Верна следующая
формула:
EiX^Mnnn))=^l^dx^...ds,J^^^^^
XрI-
V
^
<>#(о....,о)
(Е(Е«.««^''"^*)
j
йах", а(|,^..,1),.. -, «{„, ,„) I dO(o.. .1)... da,,,. „).
J
Далее полученная формула приводится к другому виду с помощью аппа­
рата характеристических функций:
Следствие 2, Пусть случайные величины ^^o. ,о),^(о, .ц» • • • > ^(п,. ,»> независимы
и имеют характеристические функции /(о„. ,о), /(о, ..ц, • • •, /(п..,«) соответственно,
причем /(о,..,о) 6 Li{R^). Тогда справедлива формула
^ Г |П/««*'*)-П/-(<*"+Е'^"*^''"') '^'
где интегрирование по drf понимается в смысле главного значения.
Отдельно рассматривается случай нормального распределения: выводит­
ся формула, ранее полученная И.А. Ибрагимовым и С.С. Подкорытовым [9].
15
Параграф 2.2. развивает идею предыдущего параграфа и по аналогии с
нулевой поверхностью полинома рассматривается множество нулей его гра­
диента и находится среднее число элементов в нем:
Теорема 7. Пусть дан полином
G„{x) = Y^C,x''
а
со случайными вещественными коэффици^тами^(о,. ,о), €(о, „ ч , • • • > ^(»,.. ,«>> име­
ющими совместную плотность распределенияр{Що,.,о),а{о, „D,■■•,«(а ■.))• То­
гда среднее число нулей градиента полинома On, лежащих в некотором из­
меримом множестве Q, вычисляется по следующей формуле:
=^ I
dyi...dyd 1
det {Va<(aj-<5у)ааУ°~^'~^^ j
X P I a<o,.<4. - 5 Z «i««J'"~^'' • •' ~ 5 Z «'^"l/""^*'' • •' "(••..•) I
\
"^1
<^d
I
П ^^'■
<^1- •'d
в параграфе 2.3. находится, сколько точек содержит в среднем случайное
векторное поле, порожденное системой из d полиномов от d переменных:
Теорема
8. Рассмотрим
случайное
векторное
поле
V{x)
—
( G i „ ( a r ) , . . . , Gdn(x)), задаваемое системой из d полиномов
Gin{x)
=
Е Л к ^
GA,(X)
== Е а ^ Ь Х * .
коэффищ1енты которых являются случайными величинами с совместной
плотностью распределения
Р(
Oi(0,../))> Ol(0,...4)j • • • 1 O i ( „ , , „ ) ,
Qt2(0,. ,0)1 <*3(0,. ,1)1 •• Ч tts<n,. ,n)l
tlij(o,..,i))) О^(о,...,1),..., Od(n...,i.)}•
16
Тогда среднее число нулей случайного поля V, лежащих в области П, дается
следующей формулой:
ЕАо{М„ПП)=
[dxi...dxd
xpi
-
\
f
det { V ода^ож'-^ J
13 oiea!*,ai(o,.,i),...,Oi(»,. ,n),
c^0^..fi)
~
. . .
-
zJ
<'2«2^»<*J(<i.-4)>*-M<*J(«,...,.))
Y,
«А»^1ал(о...,1),--чад^..,») ) daKo„...i)---doi<^...^,
o^iOr-fi)
у
da,(o, ,i)...da5(„, ,„,
dOj(o,...,i). •. daj(„„ ,„).
Параграф 2.4. обобщает результаты второй части. В нем рассматривается
система из к случайных функций от d переменных, где fc < d. Находятся
достаточные условия, при которых данная система будет невырожденной, и
находится средний объем подмногообразия размерности d—fc, порожденного
этой системой:
Теорема 9. Рассмотрим п произвольных вещественных функций от d перемен­
ных /i(a;),..., /п(х), где а; = (ari,..., Xd) — точка в R**. Пусть даны случайные
величины
^10, 6 ь
^аО>
•••) 6п,
^21> • • • ) ^ 2 п )
...,
^Mt СИ) •••> ^п,
17
имеющие совместную плотность распределения
р(О10, O i l , . . . , Oln,
020, 021, . . . , 02»,
OfcO, O i l , . . . , aim)-
Построим систему из А: уравнений:
6o + E;=iCy/i(a:) = 0,
(4)
Обозначим через М множество ее нулей. Пусть задано некоторое откры­
тое ограниченное множество П в R**.
Рассмотрим матрицы частных производных
lXl,...,Xk)
\ Щ
••• 'щ
'«* /
Шл
F2 = £ ) / J i i l l l 2 A _ U
{Xk+U--,Xd)
\
Предположим, что выполнено 3 условия:
(/) Hfd'^k;
{11)Мх),...,Мх)€СЩ;
{III)
Матрица F\ невырождена почти во всех точках П.
Тогда почти наверное Д/ является подмногообразием размерностиd- к
18
и верна следующая формула:
Е{Х4.к{МПЩ=
(dxi...dxil
Ja
X det^
Ук»*
|det(y4Fi)|
{P^A'^[AFiF'('A^']-^AF2-\-h~k)
M - E > = i « i i / j ( ^ ) . «11, ••-, "In,
~Y^^l<^jfj{^)^ «21, •--, «Зп,
• • •,
-Ei^l'^kj/jW» «*1' •••, «*») '^'ll ••• *»1»
da^i ...
doin
dOfcl
da*n,
где
(lln
On
A =
\aki
■■■
o.kn J
При d— к А^ааную формулу надо понимать в том смысле, что подынте­
гральный множитель deti {FfA^{AFiFfA'^-^Fi
+ h-k)
отсутствует.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах:
1. Д.Н. Запорожец, И.А. Ибрагимов, О случайной алгебраической поверх­
ности, О П и П М , Тезисы докладов, 10(2003), 650.
2. Д.Н. Запорожец, О распределении числа вещественных корней случай­
ного полинома. Записки научных семинаров П О М И , 320(2004), 74-85.
3. Д.Н. Запорожец, О вычислении среднего объема случайных многооб­
разий. Записки научных семинаров П О М И , 311(2004), 133-146.
4. Д.Н. Запорожец, Случайные полиномы и геометрическая вероятность,
Д А Н , 400(2005), 299-303.
5. Д.Н. Запорожец, Пример случайного полинома с необычным поведени­
ем корней, Теория вероятн. и ее примен., 50(2005), 549-555.
19
6. D. Zaporozhets, On random polynomial with curious distribution of
the roots. International Conference on Analytical Methods in Number Theory,
Probability Theory and Mathematical Statistics, Abstract of Communications
(2005), 99-100.
20
Литература
1. Д.Н. Запорожец, И.А. Ибрагимов, О случайной алгебраической поверх­
ности, ОПиПМ, Тезисы докладов, 10(2003), 650.
2. Д.Н. Запорожец, О распределении числа вещественных корней случай­
ного полинома, Записки научных семинаров ПОМИ, 320(2004), 74-85.
3. Д.Н. Запорожец, О вычислении среднего объема случайных многообра­
зий, Записки научных семийаров ПОМИ, 311(2004), 133-146.
4. Д.Н. Запорожец, Случайные полиномы и геометрическая вероятность,
ДАН, 400(2005), 299-303.
5. Д.Н. Запорожец, Пример случайного полинома с необычным поведением
корней. Теория вероятн. и ее примен., 50(2005), 549-555.
6. И.А. Ибрагимов, Н.Б. Маслова, О среднем числе вещественных нулей
случайных полиномов. Теория вероятн. и ее примен., 2(1971), 229-248.
7. И.А. Ибрагимов, Н.В. Маслова, О среднем числе вещественных нулей
случайных полиномов I, Теория вероятн. и ее примен., 3(1971), 495-503.
8. И.А. Ибрагимов, Н.Б. Маслова, О среднем числе вещественных нулей
случайных полиномов, ДАН СССР 199(1971), 1004-1008.
9. И.А. Ибрагимов, С.С. Подкорытов,0 случайных вещественных алгебраг
ическйх поверхностях, ДАН, 343(1995), 734-736.
10. А. Картан, Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы,
Мир, М.(1971).
И . М. Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, Мир, М.(1965).
12. Г. Крамер, Математические методы статистики. Мир, М.(1975).
13. Л . Сантало, Интегральная геометрия и геометрические вероятности. Наг
ука, М.(1983).
14. А. Сошников, Детерминированные случайные поля, У М Н , 55(2000), 108160.
21
15. Г. Стренг, Линейная алгебра и ее применения, Мир, М.(1980).
16. Д.К. Фадеев, Лекции по алгебре, Лань, СПб.(2002).
17. В. Феллер, Введение в теорию вероятности и ее прилохюния, Мир,
М.(1984), Т.2.
18. Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисле­
ния, ФИЗМАТЛИТ, М.(2002), Т.1.
19. Д.И. Шпаро, М.Г. Шур, О распределении корней случайных многочле­
нов, Вести. Моск. Унив., 3(1962), 40-43.
20. Р, Bleher, X. Di, Correlations between zeros of a random polynomial, Journ.
Statist. Phys., 88(1997,269-305.)
21. A. Blodi, G. P6lya, On the roots of certain algebraic equations, Proc. London
Math. Soc., 33(1932), 102-114.
22. A. Edelman, E. Kostlan, How many zeros of a random polynomial are real?
BuU. AMS 32(1995), 1-37.
23. J . M . Hammersley, The zeroes of a random polynomial, Proc. Third Berkeley
Symposium on Probability and Statistics, 2(1956), 89-111.
24. L Ibragimov, O. Zeitouni, On roots of random polynomials, TVans. AMS,
349(1997), 2427-2441.
25. M. Kac, On the number of real roots of a random algebraic equation. Bull.
AMS, 49(1943), 314-320.
26. M. Kac, On the number of real roots of a random algebraic equation, Proc.
London Math. Soc, 50(1948), 390Ч08.
27. J . E . Littlewood, A.C. Offord, On the number of real roots of a random
algebraic equation I, J.London Math.Soc., 13 (1938), 288-295.
28. J . E . Littlewood, A.C. Offord, On the number of real roots of a random
algebraic eqixation I I , Proc.Cambr.Phil.Soc., 35 (1939), 133-148.
29. J . E . Littlewood, A.C. OSord, On the number of real roots of a random
algebraic equation I I I , Матем.сб., 12, 3 (1943), 277-286.
22
30. B.P. Logan, L.A. Shepp, Heal zeros of random poIyn<Hnials Proc. London
Math. Soc. 18(1968), 29-35.
31. B.F. Logan, L.A. Shepp, Real zeros oi random polynomials. 11 Proc. London
Math. Soc. 18(1968), 30&-314.
32. L. Shepp, R. J . Vanderbei, The complex zetoe of random potynomials, TtsoB.
AMS, 347(1995), 4365-4383.
33. D. Zaporozhets, On random polynomial with cmious distribution of
the roots, International Conference on Analytical Methods in Number
Theory, Probability Theory and Mathematical Statistics, Abstract of
Communications (2005), 99-100.
Подписано в печать 3.11.2005. Формат 60x84/16
Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО «КопиСервис».
Печать ризографическая. Заказ №1/311.
П. л . 1.25. Уч.-изд. л. 1.25. Тирах 100 экз.
ЗАО «КопиСервис»
Адрес юр.: 194017, Санкт-Петербург, Скобелевский пр., д. 16.
Адрес факт.: 197376, Санкт-Петербурт; ул. Проф. Попова, д. 5.
тел.:(812)327 5098
21574
РНБ Русский фонд
2006-4
22006
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
664 Кб
Теги
bd000102217
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа