close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

bd000102402

код для вставкиСкачать
На правах рз^кописи
Родионова М а р и н а Владимировна
ГЕОМЕТРИЯ
СИММЕТРИЧЕСКИХ ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ
НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ
Специальность 01.01.04 — геометрия и топология
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание з^ёной степени
кандидата физико-математических наук
Москва - 2005
Работа вьтолнена во Владимирском государственном педагогическом
университете на кафедре геометрии физико-математического факультета.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Степанов Сергей Евгеньевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Стол5фов Алексей Васильевич
кандидат физико-математических наук,
доцент Рылов Александр Аркадьевич
Ведущая организация:
Нижегородский государственный
университет им. Н.И. Лобачевского
в-^^часов
^ '^" " /•''
Л''
Защита диссертации состоится: в-^^
часов "" ^
2005г. на
заседании диссертационного совета К. 212.154.03 при Московском
педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва,
ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 301.
С диссертшщей можно ознакомиться в библиотеке Московского
педагогического государственного университета по адресу: 119992, г.
Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.
Автореферат разослан "
Учёный секретарь
диссертационного совета
^''^'
^'
Ш^.
— ^ Й ? - * - ^ ' ^ ^ j?
2005г.
Т. А. К А Р А С Ё В
Шб'Н
m^g
11\ШЬ
Общая характеристика диссертационной работы.
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена геометрии сим­
метрических тензорных полей на римановнх многообразиях. Теория симметри­
ческих тензорных полей развивалась параллельно с теорией дифференциаль­
ных форм, и ее результаты представлены в виде отдельных параграфов или
разделов в целом ряде монографий (см. [1]; [2]; [4] и др.). Несмотря на это
данная теория имеет более скромные позиции по сравнению с теорией диффе­
ренциальных форм, без изложения которой не обходится ни одна монография
и даже учебник по современной дифференциальной геометрии. Достаточно наг
помнить такие классические разделы дифференциальной геометрии как когомологии де Рама, гармонические формы и теория Ходжа. При этом почти все
известные в современной геометрии структуры на дифференцируемых многооб­
разиях также связаны с дифференциальными формами (см., напр., [3], стр. 139,
142, 345-349). Свидетельством некоторой завершенности теории служит также
попытка проведения классификации дифференциальных форм на римаповом
многообразии, которая опиралась па теорию дифференциальных операторов
(см. [6]).
Ьсли же обратиться к полям симметрических тензоров, то их теория не име­
ет подобного размаха. Наиболее изученными из них являются два: киллинговое и кодаццевое, известность которым принесли многочисленные приложения
в геометрии и физике (см., там же и [4], стр. 340-342). Известны также обоб­
щения этих тензоров в виде геодезических тензоров, обобщённо кодаццевых
тензоров (см. [4], стр. 176) и гармонических тензоров (см. [8]).
При этом из всех известных структур на псевдоримановых и римановых
многообразиях, порождаемых симметрическими тензорными полями, можно
назвать только римановы структуры почти произведения.
Справедливости ради следует упомянуть достаточно глубокие результаты по
глобальной геометрии симметрических тензорных полей на римановых много­
образиях (см., [6]; [7]). И тем ни менее всо сказанное выше позволяет заключить,
что теория симметрических тензорных полей на псевдоримановых и римановых
многообразиях находи! ся ещё в стадии накопления фактов и далека от заверше­
ния; в частности, не было ещё попыток провести какую-либо классификацию
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ |
БИБЛИОТЕКА
I
I
^iTJSi
II
|11,Л»
*
подобного рода тензорных полей, что и позволяет говорить об актуальности
темы диссертационной работы.
Цель диссертационной работы состояла в изучении геометрии симмет­
рических тензорных полей на римановом многообразии.
Основные задачи диссертационной работы:
1) на основе теории фундаментальных дифференциальных операторов, задан­
ных на пространствах сечений расслоений симметрических тензорных полей,
провести классификацию симметрических тензорных полей на многообразии с
аффинной связностью и псевдоримановом многообразии;
2) описать геометрию и построить примеры тензорных полей, припадлежащих
выделенным классам;
3) пополнить список известных в теории симметрических тензорных полей обоб­
щённо рекуррентными и гармоническими тензорными полями, изучить их гео­
метрию и указать возможные приложения.
Методика исследований опирается на классический тензорный анализ,
теорию представлений групп, теорию дифференциальных операторов и вклю­
чает в себя технику Бохнера.
Научная новизна работы. Все утверждения, доказанные в диссертации,
являются новыми, обобщают и дополняют результаты, ставшие уже фактами
теории: А Грея, Мак Ленагана, Й.Б. Маралабхави, М. Ратхнамма.
Практическая значимость работы. Диссертационная работа носит тео­
ретический характер; ее результаты могут найти применение при дальнейших
исследованиях тензорных полей на псевдоримановых и римановых многообра­
зиях, а также в тех разделах теоретической физики, где используется геометрия
симметрических тензорных полей.
Публикации. Основные результаты диссергации опубликованы в 9 статьях
и 6 тезисах.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на X I Меж­
дународной летней ппсоле-семинаре по совремеиш>1м проблемам теоретиче­
ской и математической физики (i'. Казань, 1999 г.), X X I I конференции моло­
дых учёных механико-математического факультета МГУ (г. Москва, 2000 г.).
Международной конференции по дифференциальным уравнениям и дина-
мическим системам (г. Суздаль, 2000 г.), ТХ международной конференции
"Женщины-математики"(г. Чебоксары, 2001 г.). X I I I Международной летней
школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической
физики (г. Казань, 2001 г.), Международной конференции по дифференциаль­
ным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2002 г.).
Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры гео­
метрии К Г У (рук. проф. Б.П. Шапуков) и кафедры геометрии ВГГГУ (рук.
проф. С.Б Сгеианов), па семинарах по дифференциальным уравнениям в ВГПУ (рук. проф. В.В. Жиков).
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введе­
ния, четырёх глав, списка литературы, содержащего 112 наименование и зани­
мающего 13 страниц печатного текста. Общий объем диссертационной работы
117 страниц печатного текста.
Краткое содержание диссертационной работы.
Во введении даётся небольшой обзор работ, непосредственно относящихся
к теме исследования, кратко излагается содержание работы и формулируются
полученные результаты.
В первой главе изучается геометрия симметрических тензорных полей на
многообразии с аффинной связностью и псевдоримановьпс многообразиях.
В первом параграфе содержатся результаты общего характера, связанные
с теорией дифференциальных и, в частности, псевдоримановьпс, многообразий,
аффиппых и римановых связностей, тензорных расслоений, дифференциаль­
ных и, в частности, фундаментгшьных операторов на пространствах сечений
этих расслоений.
Во втором параграфе теория фундаментальных операторов рассматрива­
ется применительно к пространству сечений C°°S^M расслоений симметриче­
ских тензорных полей S''M для р > 1 и доказывается
Теорема 1.1 (см, 12). Пусть М - многообразие п измерений с линейной связ­
ностью V без кручения и S'f'M - расслоение симметрических тензорных по­
лей валентности р над М для произвольного р > 1. Существуют два фунда­
ментальных дифференциальных оператора первого порядка на пространстве
C°°S^M
сечений расслоения S^M
Этими операторами будут Di — -т^^*
и Di = V — ryjiJ* для оператора симметрического дифференцирования S* :
G°°S^M —>■ C^°S^'^^M Ядром первого служат киллинговые, а ядром второго
кодаццевы симметрические р-тензоры, составляюище два векторных подпро­
странства &{М,
1R) и С^{М, TR) пространства симметрических р-тензоров
Ф^{М, Ж) на многообразии М.
В случае, К01да связность V эквипроективная известно строение 2-тепзоров
Кодацци (см [4], стр. 169). В диссертации доказывается (см. также 12), что
на п-мррном (гг > 2) многообразии М с -жвипроективной связность V суще­
ствует локальная система координат ж\ ... ,а;", в которой произвольный тензор
р
Киллинга (р порядка р имеет компоненты (р^^ ,^ — е^*^ J2 A i г^л j,^^^. ..х^",
9=0
где А,1 jpji j^ - симметричные по группам индексов ti,...,ip
и ji,.--,jg по­
стоянные такие, что симметризация их по индексам ц,. ..,ip, ji,... ,jq-i для
q = 1,...,р даёт пуль и вследствие этого векторное пространство
&{М,Ш.)
тензоров Киллинга имеет dim,&'(M,TR) = p(p+i)'^ryj'^^tp-^)'("+P).
Теория фундаментальных дифференциальных операторов первого порядка
применительно к пространству С^Л/-сечений расслоения симметрических 2тензоров S'^M над римановым С"°-многообразием М позволяет доказать спра­
ведливость следующего утверждения.
Теорема 1.5 (см. 13). Пусть М является п-мерным рг/маповым многообра­
зием с метрикой д и связностью Леви-Чивита V. Существуют два фунда­
ментальных дифференциальных оператора первого порядка Di — \5* + ^^д о
[2rf - V • trcux]; А - [V - ^-j5 (B>{5-\-V ■ trace)] - |[5* + ;^g о (J f V ■ trcux)],
определенных на пространстве C°°S^M
сечений расслоения симметрических
2-тензоров S'^M над М.
Установлено, что ядром первого служат конформно киллинговы, а ядром
второго - конформно кодаццевы симметрические 2-тензоры. При поточечном
конформном преобразовании д = е^д метрического тензора риманова многооб­
разия (М, д) доказано, что тензор ф — e^ip для конформно кодаццева 2-тензора
tp и тензор ф — е^^'ф для конформно киллипгова 2-тензора ^j будут соответ­
ственно конформно кодапдевым и конформно киллинговым тензорами рима­
нова многообразия {М,д).
в отличие от теории дифференциальных р-форм на римановом многооб­
разии {М,д), где найден базис пространства естественных дифференциалт^ных
операторов первого порядка на С°°А''М,
базис пространства дифференциала
ных операторов па C^S^M, как это показано в теореме 1.5, не представляется
возможным найти, а потому не возможно провести и классификацию симмет­
рических тензорных полей второй валентности на ( М , д), как это сделано для
дифференциальных р-форм (см. [6]).
В т р е т ь е м п а р а г р а ф е рассматриваются фундаментальные операторы на
пространстве сечений С°°А^М
расслоения внешних дифференциальных jj-форм
Л ^ М , а в теореме 1 7 (см. 12) доказывается существование двух таких фупдаментальных дифференциальных операторов первого порядка Di
Di — \7 — ~jd
= -~^d и
для оператора внешнего дифференцирования d : C°°fs?M
—»
Г'^ЛР+^М. При этом ядром D] служат замкнутые, а ядром D^ - киллинговые
р-формы или. по другой терминологии, тензоры Киллинга-Яно валентности р
(1 < Р < " — 1); составляющие два подпространства векторного пространства
дифференциальных р-форм ^''(M'jIR) па многообразии М.
Д л я п-мерного (п > 2) многообразия М
с эквипроективной 5 Ь ( п , Ж ) -
структурой с локальной системой координат ж^,... ,ж" в теореме 1.8 (см. 12)
найден общий вид ки.линговой р-формы или, по другой терминологии, тен­
зора Киллинга-Яно ш порядка р ( 1 < р
< п—1)в
координатной форме
'^п IV = 6^»^^'^' ( A , „ , J г^.т'о + Д^ ,j,) , где Ло.; -г, И В,,, ,^ - кососимметричные
по псом индексам постоянные ж ф — T ^ W для существенной компоненты тг
элемента объема 5 L ( n , П1)-структуры. В результате йггоК''(М, 1R) = . ^^"^^^Ч^.
Рассмотрение нами дифференциальных форм обосновано существованием
взаимосвязи между тензор1п>1м полем Киллинга-Яно и) с компонентами Wy и
симметрическим тензор Киллинга ip с компонентами у)у — p^'wi^o;;,, которая
была установлена М а к Ленагапом (см. [1(1]). Этот факт получил обобгаение в
следующей теореме.
Теорема 1.10. Если на п-мерном римановом многообразии {М,д)
р-форма и)
для 1 < р < /г — 1 является
конформно киллинговой, то симметрическое
зорное поле^{Х. Y) —
и){Х,ег^,...,е,у)ш(У,e,2,
J^
—
ванного базиса {6»^,.. ,е,„} и произвольных векторов X,Y
тен-
е^^) для ортонормироЕ С°°ТМ
является
симметрическум
конформно киллинговьил.
В т о р а я г л а в а посвяшсна исследованию геометрии тензоров Киллинга и
Киллинга-Яно.
В п е р в о м п а р а г р а ф е рассмотрена геометрия тензорных полей второй ва­
лентности с точки зрения наличия у них собственных функций определенной
кратности и соответствующих им собственных распределений на римановом
многообразии. В случае наличия у симметрического тензорного поля ^ соб­
ственной функции Х = Х{х) доказывается
Теорема 2.11 (см. 4). Пусть
вом многообразии (М.д),
кратности
М^ С М.
у? - симметрическое
тензорное поле на римано­
функция
постоянной
больше единицы, определённая на связной компоненте
а \ — \{х) - его собственная
множ:ества
Тогда для обобщённо киллингова тензорного поля (р его собственное
распределение Vx - омбилическое.
Д л я данной теоремы в случае киллингова тензорного поля <р на римановом
многообразии {М, д), сформулировано следствие 2.2, в котором собственное рас­
пределение Vx тензорного поля (р омбилическое; для тензорного поля tp функция
X — \{х) постоянна вдоль интегральных кривых распределения VxВ случае ж е симметрического тензорного поля (р второй валентности, име­
ющего ДВР различные собственные функции Л — Х{х) и fi — ц{х), справедлива
следующая
Т е о р е м а 2.12 (см. 4) Пусть
компактное риманово многообразие {М,д)
несёт
обобщённо киллинговое тензорное поле (р, имеющее ровно две различные соб­
ственные
функции Л и д . Если в каокдой точке ж £ М смешанная секцион­
ная кривизна многообразия {М,д)
удовлетворяет
условию /Сд^ < О, то при
dimVx > dimV^ > 1
(1) собственные распределения Vx uVf^ - интегрируемые
скими интегральными
многообразиями и М'локально
с вполне геодезиче­
изометрично
риманову
произведению Мх х М^ интегральных многообразий Vx и V^;
(2) функции X и ц, постоянны вдоль интегральных многообразий VA м Т^ соот­
ветственно.
Поскольку в §3 главы I описана взаимосвязь между тензорами Киллинга и
Киллинга-Яно. то во втором и третьем параграфах м ы посчитали необходимым
частично описать геометрию тензоров Киллинга-Яно.
В о в т о р о м параграфе исследуется геометрия тензорных полей второй вэг
лентности КиллингагЯно, имеющих собственные функции и соответствующие
им собственные распределения па римаповом многообразии. В частности, рас­
смотрены случаи одной собственной функции А = А(а;) постоянной кратности и
доказана теорема 2.13 (см. 6), и двух собственных функций Л — \{х) и /х = /j,{x)
и также доказывается теорема 2.14 (см. 6).
В т р е т ь е м параграфе изучается локальная и глобальная геометрии пмерного римапова многообразия, несущего двухвалентный тензор КиллингаЯно постоянной валентности 2га < п. Доказываются теорема 2.15 и два след­
ствия 2.3 и 2.4 из неё, которые описывают строение тг-мерного риманова мно­
гообразия {М,д), нссзацего поле тензоров Киллинга-Яно.
В ч е т в ё р т о м параграфе указан способ задания симметрических тензоров
Киллинга на римановом многообразии (JW, д) с помопц.ю проективного отобра­
жения римановых многообразий (см. |5]).
Теорема 2.16 (см. 10). Пусть
М' - риманово с метрическим
для отобраокспия f : М -^ М' многообразие
тензором д' Если отобрамсение / - проектив­
ная иммерсия, то тензорное поле е '^^д* для д = 2(n+i)^^ 1<^^^{9*)] ^ 9* ~ f*9'
задаёт на М симметрический
киллиговый 2-тензор-
Используя способ построения тензора Киллинга, описанный в теореме 2.16 в
следствие 2.5 (см. 10) удалось обо^тщсъ одну из основных теорем работы [ I I ] о
проективном диффеоморфизме / компактного риманова многообразия с краем.
В т р е т ь е й главе вводится понятие обобщённо рекуррентного симметриче­
ского тензорного поля, исследуется его геометрия.
В п е р в о м п а р а г р а ф е на римановом многообразии определяется понятие
обобтцёино рекуррентного симметрического тензорного поля ^ е C°°S'^M
нением вида V(/? = X'g)g + ri^(p для А,г/ е С°°Т*М
как обобщение введенного
К. Яно (см. [12]) торсообразующего векторного поля ( е С°°ТМ
для А € С°°М
и 7? f С°°Т*М.
урав­
; V^ = Ар I r/fej^
Приводятся примеры обобщённо рекуррентного
симметрического тензорного поля.
В о в т о р о м п а р а г р а ф е описано строение обобщённо рекуррентного сим­
метрического тензорного поля на римановом многообразии знакоопределёнпой
секционной кривизны. Доказана следующая
Теорема 3.17 (см. 8). Если секционная кривизна риманова многообразия (М, д)
знакоопределена, то обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле
If 6 C°°S^M будет пропорционально метрическому тензору д, то есть ср — \д
для Л е С°°М.
В третьем параграфе рассматриваются обобщённо рекуррентное, обоб­
щённо копциркулярно рекуррентное и обобщённо Риччи-рекуррентное римановы многообразия (см. [9]), доказываются следствия 3.6 и .3.7 (см. 8). согласно
которым перечисленные выше римаповы многообразия [М,д) знакоопрелелённой секционной кривизны являются многообразиями Эйнштейна
В четвёртом парг1графе для евклидова пространства Е" с ортогональной
системой координат х^,... ,з;" доказана теоре.ма 3.18 (см. 8) о строение обобщён­
но рекуррентного симметрического тензорного поля ^ б C°°S^M, компоненты
которого определяются равенствами (ру = fAj + /2 Су для произвольных глад­
ких функций / i , /г и произвольных постоянных С7у.
Учитывая взаимосвязь между кососимметрическими 2-формами w и сим­
метрическими тензорами у> с компонентами (f,j = Шгки^. в пятом параграфе
в доказано (см. также 2), что если риманово многообразие чётной размерности
со зпакоопределённой секционной кривизной допускает рекуррентную невыро­
жденную дифференциальную 2-форму, то оно келерово.
Четвёртая глава посвящена геометрии гармонических симметрических
тензоров и её приложению к теории инфинитезимальных гармонических пре­
образований.
В первом параграфе на компактном ориентированном римановом мно­
гообразии {М,д), по аналогии г известным оператором Ходжа-де Рама Д =
dd* 4 (I'd : C^hPM -+ C^hPM, определяется (см 7) дифференциальпый опе­
ратор второго порядка а = 55* — 5*5 ■ C°°S^M —» C^S^M. По определению
ядро оператора П составляют гармонические симметрические р-тензоры, кото­
рыми, в частности, являются козамкнутые киллинговы симметрические тен­
зоры [Sip — 6'if = 0). Здесь же устанавливаются свойства дифференциально­
го оператора □, такие как самосопряжённость и эллиптичность. Следствием
последнего является конечномерность векторного пространства гармопических
10
симметрических р-теторов. Найдено также, как и для оператора Ходжа-деРама Д, разложение Вейценбока (см. [2], стр. 77) для оператора □.
В о в т о р о м п а р а г р а ф е рассматривается вопрос существования гармониче­
ских симметрических тензоров на компактном орноптиропапном многообразии.
Н а основе симметрического оператора кривизны второго рода R: S'^M —> S^M
(см. [2], стр. 76) определена квадратичная форма Q вида Q{^) = g(R {'fi), f) и
доказана
Т е о р е м а 4.20 Пусть
{М,д)
образие. Если квадратичная
компактное ориентированное риманово много­
форма Q принимает неотрицательные
значение
всюду на М, то каждый гармонический симметрический р-тензор пара.алелен
(ковариантно постоянен)
на этом многообразии. Если квадратичная форма Q
полоокительно определена всюду на М, то на ( М , д) не существует
симмет­
рических гармонических р-тензоров.
Риманово многообразие {М,д)
с краем дМ
называется выпуклым,
если
вторая основная форма по отноптспию к полю внешних единичных норма,п:ей
неотрицательна вдоль края дМ. Д л я таких многообразий справедливо
С л е д с т в и е 4.8 (см. 7). Пусть
{М, д) -п-мерное замкнутое выпуклое риманово
многообразие квазиотрицательной
не существует
симметрических
секционной кривизны К,
тогда на (М.д)
гармонических 2-тензоров, касающихся его
края.
В т р е т ь е м п а р а г р а ф е вводится (см. также И ) определение инфинитезимального гармопического преобразования, описываются его свойства и приво­
дятся примеры. Инфинитезимальное гармоническое преобразование определя­
ется как локальный гармонический диффеоморфизм многообразия ( М , д) на се­
бя, порождаемый векторным полем £, 6 С^ТМ.
Примерами инфинитезималь-
ных гармонических преобразований служат инфинитезимальное конформное
преобразование двумерного риманова многообразия ( М , д) и голоморфное век­
торное поле па келеровом многообразии ( М , д, J). Доказана следующая
Теорема 4.23 (см. 11; 14). Инфинитезимальные
гармонические преобразования
в римановом многообразии [М, д) и только они составляют
ядро оператора
0 = 66'- S*S.
У ч и т ы в а я теорему 4.23 установлено также, что на компактном ориенти-
11
рованном римаповом мпогообразии пространство инфинитезимальиых гармо­
нических преобразований конечномерно, а в случае отрицательной кривизны
Риччи это многообразия не допускает отличных от нуля ипфиттатезимальных
гармонических преобразований (см. 14).
Сформулируем основные результаты работы.
1) На п-мерным римановым многообразием М с метрикой д и связностью ЛевиЧивита V найдены два фундаментальных дифференциальных оператора пер­
вого порядка на пространстве C°°S^M, при этом определено, что ядром первого
служат конформно киллинговы, а ядром второго - конформно кодаццевы сим­
метрические 2-тензоры.
2) Описана геометрия киллинговых тензорных полей второй валентности с точ­
ки зрения наличия у пих собственных функций определенной кратности и со­
ответствующих им собственных распределений на римановом многообразии.
3) С помощью проективной иммерсии / : {М,д) -^ {М',д') многообразий пайден
способ построения симметрического кяллигова 2-тензора.
4) На римановом многообразии (М, д) введено обобщённо рекуррентное симмет­
рическое тензорное поле, описано его строение. В качестве приложения дока­
зано, что известные в научной литературе обобщённо рекуррентные, обобщён­
но конциркулярно рекуррентные и обобщённо Риччи-рекуррентные римановы
многообразия знакоопредслёпной секционной кривизны являются многообра­
зиями Эйнштейна.
5)На компактном ориентированном римановом многообразии {М,д) введен
дифференциальный оператор второю порядка □ = 65" — 6*6, ядро которого
составляют гармонические симметрические р-тензоры. Установлена конечно­
мерность векторного пространства гармонических симметрических р-тензоров.
Доказано для п-мерного замкнуюго выпуклого риманова многообразия ква­
зиотрицательной секционной кривизны К не существование симметрических
гармонических 2-тензоров, касающихся его края.
6) В качестве приложения теории гармонических симметрических тензоров до­
казано, что инфинитсзимальныс гармонические преобразования в римановом
мпошобразии {М,д) составляют ядро оператора □ и конечномерность про­
странства этих преобразований.
12
I
Литература
[1] Вессе А. Четырехмерная
риманова геометрия:
Семинар Артура
Бессе
1978/1979-М.: Мир, 1985.
[2] Вессе А. Многообразия Эйнштейна:
в 2 т. - М.: Мир, 1990.
[3| Кобояси Ш , Номидзу К. Основы дифференциальной геомет,рии: в 2 т. М.: Наука, 1981. - Т.2.
[4] Норден А . П . Пространства
аффинной связности - М.: Наука, 1976.
[5] Синюков Н.С. Геодезические отобрамсения риманоеых пространств
-
М • Наука, 1979.
[6] Степанов С Е . Теоремы исчезновения в аффинной, римановой и лоренцевой
геометриях // Фундаментальная и прикладная математика. - 2005, - Т. 11,
№1. - С, 35-84.
[7] Berger М., Е Ы п D. Some decompositions of the space of symmetric tensors on
a Riemanman manifold // J . Diff. Geom. - 1969. - Vol. 3. - P. 379-392.
[8] Chen В -Y., Nagano T. Harmonic metric, harmonic tensors and Gauss maps
II Journal Math Soc. Jap. - 1984. - Vol. 36, №2. - P. 295-313.
[9] Maralabhavi Y . B . . Rathnamma M. Generalized recurrent and concircular recur­
rent manifolds 11 Indian J . Pure appl. Math. - 1999. - Vol. 30, X'-ll. - P. 11671171.
[10] McLenaghan R . G . Integrates premieres des equations de Dirac en espace courbe
II Bull. Soc. Math. Belg. -1979. - Vol. 31, Ser. A. - P. 65-88.
13
[11] Mike J . Global geodesic mappings and their generalizations for compact Riemannian space // Proc. Conf. on Diff. Geom. and its Appl. (Opava, August 24
-28,1992).-1992.-P. 143-149.
[12] Yano K. On torse-forming directions in Riemarmian space //VTOC. Imp. Acad.
Tokyo. -1944. - Vol. 20. - P. 340-345.
Публикации автора по теме диссертации
1. Смольникова М.В. (Родионова М.В.) Об одном свойстве римановых много­
образий знакоопределённой секционной кривизны // X I Междунар. лет. шк.семинар по совр. пробл. теор. и мат. физике. Тезисы докладов. - 1999. С. 62-63 (0,06 П.Л.).
2. Смольникова М.В. (Родионова М.В.) Об одном свойстве римановых много­
образий знакоопределённой секционной кривизны // Новейшие проблемы
теории поля. 1999-2000. - 2000. - С. 365-367. (0,19 п.л.).
3. Смольникова М.В. (Родионова М.В.) Обобщённо рекуррентное симметри­
ческое тензорное поле //Аналитич. и числ. методы в математике и механи­
ке. Тр. Х Х П Конф. молодых ученых мех.-мат. фак. МГУ. - 2000. - Т. 2. С. 88-89 (0,19 П.Л.).
4. Смольникова М.В. (Родионова М.В.) Собственное распределение геодезиче­
ского тензорного поля // Дифференциальная геомефия многообразия фи­
гур. - 2000. - Вып. 31. - С. 78-81 (0,25 п.л.).
5. Smolnikova M.V. (Родионова М.В.) On an elleptic operator determined on sym­
metric bilinear differential forms // Тезисы докладов Междунар. конф. по
дифф. ур. и динамич. системам. - 2000. - С. 87-88 (0,13 п.л.).
6. Смольникова М.В. (Родионова М.В.) Собственные функции тензора Киллинга-Яно // Х1П Междунар. лет. шк.-семинар по совр. проб. теор. и мат.
физике. Тезисы докладов. - 2001. - С. 116-117 (0,06 п.л.).
7. Смольникова М.В. (Родионова М.В.) О глобальной геометрии гармониче­
ских симметрических билинейных дифференциальных форм // Тр. мат. ин­
ститута им. В.А. Стеклова "Дифференциальные уравнения и динамические
системы". - 2002. - Т. 236.'- С. 328-331 (0,25 п.л.).
8. Смольникова М.В. (Родионова М.В.) Обобщённо рекуррентное симметри14
ческое тензорное поле // Известия ВУЗов. Математика. - 2002. - №5. С. 48-51 (0,88 П.Л.).
9. Смольникова М.В. (Родионова М.В.), Цьп'анок И. И. О проективной иммер­
сии компактного риманова многообразия // Математика. Образование. Эко­
номика. Экология. Междисциплинарный семинар "Нелинейные модели в
естественных и гуманитарных науках". Тез. докл. I X Междунар. конферен­
ции. - 2001. - С. 58 (0,06 П.Л., вклад соискателя составляет 80% работы).
10. Смольникова М.В. (Родионова М.В.), Цьп-анок И.И. О проективной иммер­
сии компактного риманова многообразия // Математика. Образование. Эко­
номика. Экология. Междисциплинарный семинар "Нелинейные модели в ес­
тественных и гуманитарных науках". Тр. Российской ассоциации "Женщи­
ны-математики". - 2001. - Т. 9, вып. 1. - С. 64-67 (0,25 п.л., вклад соискателя
составляет 80% работы).
П. Смольникова М.В. (Родионова М.В.), Степанов СЕ. Об одном дифференци­
альном операторе К. Яно // Тез. докл. Междунар. конф. по дифф. ур. и динамич. системам. - 2002. - С. 129-131 (0,13 п.л., вклад соискателя составляет
70% работы).
12. Смольникова М.В. (Родионова М.В.), Степанов СЕ. Фундаментальные диф­
ференциальные операторы первого порядка на внешних и симметрических
формах // Известия ВУЗов. Математика. - 2002. - №11. - С. 55-60
(0,25 п.л., вклад соискателя составляет 70% работы).
13. Смольникова М.В. (Родионова М.В.), Степанов СЕ. Fundamental differential
operators of the space of traceless symmetric differential 2-forms // Новейшие
проблемы теории поля. 2001-2002. - 2003. - С. 412-418 (0,44 п.л.., вклад
соискателя составляет 70% работы).
14. Смольникова М.В. (Родионова М.В.), Степанов С.Е., Шандра И.Г. Инфинитезимальные гармонические преобразования // Известия ВУЗов. Математи­
ка. - 2004. - №5. - С. 69-75 (0,44 п.л., вклад соискателя составляет
70% работы).
15. Смольникова М.В. (Родионова М.В.), Степанов СЕ. Аффинная дифференци­
альная геометрия тензоров Киллинга // Известия ВУЗов. Математика. 2004. - №11. - С. 82-86 (0,31 п.л., вклад соискателя составляет 70% работы).
15
»23315
РНБ Русский фонд
2006-4
22348
Подл, к печ. 31.10.2005
Объем 1 п.л.
Заказ №, 399
Типография Ndnry
Тир 100 экз.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
674 Кб
Теги
bd000102402
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа