close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

bd000103061

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
М О Н А Х О В А Наталья Алексеевна
СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ КОМПОНЕНТ
МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
ПРЕДПРОФИЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ
Г Е О М Е Т Р И Ч Е С К И М ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ
ПЛОСКОСТИ
13.00.02 — теория и методика
обучения и воспитания (математика)
г&
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата педагогических наук
Волгоград — 2005
Работа выполнена в Государственном образовательном
учреждении высшего профессионального образования
«Астраханский государственный университет».
Научный руководитель —
кандидат педагогических наук,
профессор Ованесов Николай
Гаврилович.
Официальные оппоненты:
доктор педагогических наук,
поценг Дапильчук Елена
Валерьевна;
кандидат педагогических наук
Абдрахманова Ирина Владимировна.
Ведущая организация
Ростовский государственный
педагогический университет.
со
Защита состоится 2±_ декабря 2005 г. в d^ час. на заседании дис­
сертационного совета К 212.027.01 в Волгоградском государст­
венном педагогическом университете по адресу: 400001, г. Волго­
град, ул. Академическая, д. 12 (учеб. корп. 2).
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоград­
ского государственного педагогического университета.
Автореферат разослан 18 ноября 2005 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
доктор педагогических наук, доцент
A . M . Коротков
ibS'fS
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования. Современная система образо­
вания характеризуется кардинальными изменениями, связанными с
переходом к новой образовательной парадигме, основными приори­
тетами которой являются как интересы личности, так и качество об­
разования. В концепции модернизации российского образования сре­
ди условий, способствующих повышению качества общего образо­
вания, особо выделяется необходимость дифференциации обучения,
предполагающей широкие и гибкие возможности построения инди­
видуальных образовательных траекторий и позволяющей за счет из­
менений в содержании обучения более полно учитывать склонности
и способности учащихся еще на этапе предпрофильной подготовки.
Реализация основных положений предпрофильного обучения
предполагает дополнительное предметное обучение учащихся 9-х
классов.
Важнейшие цели предпрофильного обучения математике в основ­
ной школе — расширение знаний учащихся по математике, форми­
рование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие ма­
тематических способностей, формирование готовности к выбору про­
филя обучения в старшей школе и последующему профессиональнообразовательному, социальному и культурному самоопределению в
целом.
Особую значимость в предпрофильной обучении математике при­
обретает геометрия, которая, с одной стороны, является средством
организации предпрофильного обучения, а с другой — выступает как
его новое содержание.
Однако, несмотря на огромный потенциал, который содержит
геометрия, в системе современного школьного математического об­
разования ей отводится далеко не первое место. Отмечается также
неудовлетворенность состоянием преподавания геометрии в школе.
Упрощение базового курса геометрии приводит к его идейному и
методическому обеднению. Особенно остро встает этот вопрос при
изучении геометрических преобразований.
В стандарте базового курса геометрии в основной школе геомет­
рическим преобразованиям уделено мало места и внимания. Главным
образом выделены следующие содержательные линии: «Примеры
движений плоскости», «Понятие о гомотетии» и «Подобие фигур»,
которые рассматриваются в ознакомительном порядке и носят нео­
бязательный характер.
■ ""V/BSr^t"-/
"!^таг.
л
Проведенное диагностическое обследование 200 человек подтвер­
дило невысокий (ниже среднего), формальный уровень знаний уча­
щихся по геометрическим преобразованиям.
Преобразования, являясь одной из плодотворных идей как гео­
метрии, так и современной науки, нашли свое отражение в фунда­
ментальных исследованиях ведущих ученых-математиков. В рабо­
тах В.Г. Болтянского, В.И. Мишина, А . И . Фетисова изучаются воз­
можности построения курса геометрии средней школы на основе гео­
метрических преобразований. Исследование Т.Т. Фискович посвяще­
но изложению одного из возможных вариантов курса элементарной
геометрии на плоскости на основе идеи групп преобразований. В ра­
боте А . Н . Колмогорова, А . Ф . Семенович, Ф . Ф . Нагибина, Р.С. Чер­
касова геометрические преобразования рассматриваются как концеп­
туальная основа школьного курса геометрии. Исследования П.С. Мо­
денова, А.С. Пархоменко, Я . П . Понарина, Н.М. Яглома посвящены
вопросам изучения отдельных преобразований и их применения к
решению задач и доказательству теорем. В работах В.В. Прасолова,
Г.И. Саранцева, А . Я . Цукарь большое внимание уделяется составле­
нию задач на использование метода геометрических преобразова­
ний. Таким образом, в работах А . Н . Колмогорова, А . И . Фетисова,
Т.Т. Фискович исследуются возможности использования теоретикогрупповых идей при построении школьного курса геометрии.
В ряде диссертационных исследований освещаются вопросы при­
менения геометрических преобразований к доказательству теорем и
задач на построение (М.А. Петрова); методики обучения школьни­
ков симметрии и ее использованию в углубленном курсе алгебры и
начал анализа ( М . Ю . Табачкова); управления развитием математи­
ческого мышления учащихся в процессе формирования метода гео­
метрических преобразований ( И . Ш . Рухадзе); методики изучения дви­
жений плоскости в основной школе с учетом особенностей образно­
го мышления учащихся (О.В. Холодная); обучения решению задач на
геометрические преобразования на примере осевой и центральной
симметрии (И.Е. Малова); методики и условий обучения симметрии
учащихся 6-х классов с целью развития их пространственного мыш­
ления (Е.Г. Оводова).
При построении предпрофильного обучения школьников в пер­
вую очередь возникает вопрос о его содержании. В процессе и содер­
жании предпрофильного обучения геометрии находят решение про­
блемы изучения геометрических преобразований в условиях уровневой дифференциации с элементами профилирования (О.А. Клубнич-
кина); организации содержания учебного материала по теме «Гео­
метрические преобразования плоскости», рассматриваемой как сред­
ство систематизации и обобщения знаний учащихся по геометрии
(В.Н. Сукманюк); обучения теме «Движения плоскости» с использо­
ванием понятия группы (Е.А. Семенко) и на основе обогащения об­
разного опыта учащихся (О.В. Холодная).
Однако в указанных исследованиях не рассматривается проблема
совершенствования содержательного компонента методической си­
стемы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям
плоскости посредством развития теоретико-групповых идей, что де­
терминирует необходимость поиска ее решения.
Таким образом, актуальность данного диссертационного иссле­
дования обусловлена противоречиями между:
• наличием развивающего потенциала геометрических преобра­
зований и слабой ориентацией школьного базового курса геометрии
на его реализацию;
• ролью преобразований в современной науке и отсутствием в ба­
зовом курсе основной школы курсов по выбору, ориентированных
на формирование необходимой пропедевтической базы для дальней­
шего изучения теоретико-групповых методов.
Исходя из потребности в разрешении указанных противоречий,
определена проблема исследования, заключающаяся в разработке на­
учных основ отбора содержания предпрофильного обучения геомет­
рическим преобразованиям плоскости посредством развития теоре­
тико-групповых идей.
Объект исследования — препрофильное обучение геометрии в ос­
новной школе.
Предмет исследования — содержательный компонент методиче­
ской системы предпрофильного обучения геометрическим преобра­
зованиям плоскости.
Цель исследования состоит в разработке содержательного ком­
понента методической системы предпрофильного обучения геомет­
рическим преобразованиям плоскости посредством развития теоре­
тико-групповых идей.
Гипотеза исследования состоит в том, что отбор, разработка и
реализация содержательного компонента методической системы пред­
профильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости
станут более эффективными, если:
— содержание будет структурировано с учетом фундаментальных
идей теоретико-группового подхода;
— будут выявлены и обоснованы принципы отбора содержания
обучения геометрическим преобразованиям плоскости, обеспечива­
ющие пропедевтическое представление элементов теории групп, на
примере геометрических преобразований плоскости;
— в рамках предпрофильного обучения будет предложен комп­
лекс курсов по выбору, расширяющих содержание раздела «Геомет­
рические преобразования плоскости»;
— основанием разработки курсов по выбору, ориентированных
на устранение недостатков традиционного изложения геометрических
преобразований плоскости в базовом курсе геометрии основной шко­
лы, будут служить структурные элементы содержания, полученные с
учетом фундаментальных идей теоретико-группового подхода.
Для достижения цели исследования и проверки его гипотезы были
поставлены следующие задачи:
1. Обосновать необходимость включения в содержание предпро­
фильного обучения элементов абстрактной теории групп на примере
простейших геометрических преобразований.
2. Проанализировать особенности изложения геометрических пре­
образований плоскости в действующих школьных учебниках и учеб­
ных пособиях по геометрии.
3. Разработать содержательный компонент методической систе­
мы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям
плоскости с позиций теоретико-группового подхода.
4. Сконструировать содержание комплекса курсов по выбору «Гео­
метрические преобразования плоскости».
5. Экспериментально проверить эффективность комплекса курсов
по выбору, отражающего содержательный компонент методической
системы предпрофильного обучения геометрическим преобразовани­
ям плоскости.
Методологические и теоретические основы исследования состав­
ляют;
• фундаментальные исследования теории геометрических преоб­
разований (В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер, А.К. Колмогоров, П.С. Мо­
денов, Я . П . Понарин, В: Шван, И.М. Яглом и др.);
• теоретико-групповые принципы геометрии и «Эрлангенская про­
грамма» Ф . Клейна;
• исследования в области теории и методики обучения геометри­
ческим преобразованиям в основной школе (В.А. Гусев, А.К. Колмо­
горов, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова, А.И. Фетисов и др.);
• работы в области предпрофильного обучения (А.А. Кузнецов,
В.М. Симонов, Г.П. Стефанова и др.);
• работы по отбору содержания обучения ( В . И . Данильчук,
В.В. Краевский, Г.Л. Луканкин, В . М . Монахов, В.В. Сериков,
Т . К . Смыковская и др.);
• дидактические принципы обучения ( М . И . Башмаков, Я . И . Груденов, Г.В. Дорофеев, И.А. Рудакова, А.А. Столяр и др.).
Научная новизна результатов исследования состоит в том, что:
• с позиций теоретико-группового подхода разработан содержа­
тельный компонент методической системы предпрофильного обуче­
ния геометрическим преобразованиям плоскости (приоритетно ис­
пользовалась идея усиления роли осевой симметрии как преобразо­
вания, порождающего группу движений плоскости; раскрывалась
структура группы движений плоскости, выраженная в законах ком­
позиции разных движений; употреблялась идея применения операций
над преобразованиями и их свойств для установления основных вза­
имосвязей между изучаемыми понятиями), дополненный самостоя­
тельно доказанными теоремами, раскрывающими теоретико-группо­
вой смысл аксиомы параллельности Евклида, и нашедший отраже­
ние в комплексе курсов по выбору «Геометрические преобразования
плоскости» и в базовом курсе за счет увеличения доли решаемых за­
дач;
• обоснована необходимость включения в содержание предпро­
фильного обучения элементов абстрактной теории групп на примере
простейших геометрических преобразований, которые выступают в
форме комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразова­
ния плоскости», выражающаяся в формальных и бессистемных зна­
ниях учащихся по геометрическим преобразованиям, их неготовно­
сти к дальнейшему физико-математическому образованию, а также в
возможности красивых и изящных решений задач не только по гео­
метрии, но и алгебре, и физике;
• выделены основные принципы отбора и построения содержа­
ния комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования
плоскости»: специальной направленности (соответствия учебного ма­
териала целям предпрофильного обучения); фундаментальности (це­
ленаправленного формирования основ абстрактной теории групп на
примере простейших геометрических преобразований); научной и
практической значимости (ориентации на современные разработки в
данной предметной области); преемственности и прогностичности
(связи, согласованности и перспективности всех тем изучаемого ма-
териала); сочетания доступности и трудности изложения (учета на­
личных и потенциальных возможностей учащихся старшего подрост­
кового возраста);
• установлено некорректное раскрытие в действующих школьных
учебниках и учебных пособиях по геометрии сущности ключевого
понятия «преобразование» путем его подмены понятиями «отобра­
жение» или «инъекция».
Теоретическая значимость результатов исследования заключается
в том, что в работе дано обоснование необходимости применения
теоретико-групповых идей в предпрофильном обучении математике,
которые позволяют устранить выявленные недостатки в изложении
содержания раздела «Преобразования плоскости».
Разработаны содержательные основы предпрофильного комплек­
са курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости» на
завершающем этапе основной школы, реализующие конструктивную
идею теоретико-группового подхода, что вносит вклад в развитие
теории и методики школьного математического образования и в ис­
следование эффективности теоретико-групповых идей в современной
практике предпрофильного обучения математике.
Раскрыт теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности
Евклида, дополняющий и расширяющий имеющиеся представления
о реализуемости основных идей теоретико-групповой концепции в
предпрофильном комплексе курсов по выбору «Геометрические пре­
образования плоскости».
Практическая ценность результатов исследования состоит в том,
что:
• разработано содержание комплекса курсов по выбору «Геомет­
рические преобразования плоскости», который включает в себя темы
«Преобразования множества и прямой», «Операции над преобразо­
ваниями и их свойства», «Теорема М. Шаля», «Классификация дви­
жений», «Структура группы движений плоскости», «Эквиаффинные
преобразования плоскости: косая симметрия и сдвип>, «Простейшие
аффинные преобразования плоскости», «Теоретико-групповой смысл
аксиомы параллельности Евклида». «Основные идеи Эрлангенской
программы Ф. Клейна»;
• представлены самостоятельно доказанные теоремы, раскрыва­
ющие теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности Евклида;
• построены блоки задач на применение геометрических преобра­
зований плоскости, служащие важным резервом повышения эффек­
тивности усвоения знаний по геометрическим преобразованиям;
• составлены задания в тестовой форме для проверки эффектив­
ности обучения учащихся теме «Движения плоскости»;
• составлены методические рекомендации для учителей, реализу­
ющих предпрофильное обучение в форме комплекса курсов по вы­
бору.
Достоверность полученных результатов исследования обусловле­
на обоснованностью и непротиворечивостью его исходных теорети­
ческих положений, использованием методов, адекватных поставлен­
ной цели и задачам исследования, корректной организацией опытноэкспериментальной работы по реализации на практике основных
положений исследования, надежностью методов статистической об­
работки данных.
Методы исследования. Для решения поставленных в исследова­
нии задач использовались следующие методы: анализ математической,
психолого-педагогической, учебно-методической литературы и вы­
полненных ранее диссертационных работ по проблеме исследова­
ния; анализ действующих школьных учебников и учебных пособий
по геометрии; педагогическое наблюдение; изучение опыта работы
учителей; педагогический эксперимент; тестирование учащихся.
Базой исследования являлись 9-е классы Муниципального обще­
образовательного учреждения «Краснобаррикадная средняя общеоб­
разовательная школа», г. Астрахань. В эксперименте приняли учас­
тие 286 школьников.
Исследование проводилось в период с 2000 г. по 2005 г. и включа­
ло следующие этапы.
П е р в ы й э т а п {поисково-теоретический, 2000—2001 гг.) — на
основе анализа математической, психолого-педагогипгской и учеб­
но-методической литературы изучено состояние проблемы исследо­
вания, разработана его общая концепция, проведен констатирующий
эксперимент, сформулированы предмет, цель, гипотеза, методы и на­
учный аппарат исследования.
В т о р о й э т а п {экспериментальный, 2001 —2003гг.) — выявле­
ны принципы отбора содержания комплекса курсов по выбору «Гео­
метрические преобразования плоскости», разработан содержатель­
ный компонент методической системы предпрофильного обучения
геометрическим преобразованиям плоскости, создан и апробирован
экспериментальный комплекс курсов по выбору «Геометрические
преобразования плоскости», организован и проведен формирующий
эксперимент.
т р е т и й э т а п (завершающий, 2003—2005гг.) — наосйовекон­
трольного эксперимента проведен сравнительный анализ полученных
данных, позволивший сформулировать выводы и рекомендации, на­
правленные на дальнейшее улучшение процесса обучения геометри­
ческим преобразованиям. Осуществлены итоговая математическая
обработка, анализ и обобщение результатов исследования. Сформу­
лированы его основные выводы. Выполнено оформление кандидат­
ской диссертации.
Апробация результатов исследования. Основные положения и ре­
зультаты исследования докладывались, обсуждались и получили одоб­
рение на V I I I Международной конференции «Образование. Эколо­
гия. Экономика. Информатика» (Астрахань, 2003 г.); X I Междуна­
родной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Моск­
ва, Дубна, 2004 г.); I I I , V и V I международных научно-практических
конференциях «Проблемы образования в современной России и на
постсоветском пространстве» (Пенза, 2004—2005 гг.); I I I Междуна­
родной научной конференции «Россия и Восток. Обучающееся общест­
во и социально-устойчивое развитие Каспийского региона» (Аст­
рахань, 2005 г.); межрегиональной научно-практической конферен­
ции «Авторские подходы в преподавании математики и физики в
школе» (Шул, 2005 г.); I Международном семинаре «Симметрии, тео­
ретический и методический аспекты» (Астрахань, 2005 г.); на ежегод­
ных итоговых научных конференциях Астраханского государствен­
ного университета (Астрахань, 2001—2004 гг.), методических семи­
нарах кафедры алгебры и геометрии и семинарах аспирантов ка­
федры математического анализа Астраханского государственного
университета (Астрахань, 1999—2005 гг.). Результаты исследования
изложены в 12 научных публикациях общим объемом 3,8 п.л., авт. —
3,45 П.Л.
Внедрение результатов исследования. Результаты исследования
внедрены в практику работы Муниципального общеобразовательно­
го учреждения «Краснобаррикадная средняя общеобразовательная
школа», г. Астрахань, подготовительных курсов с учащимися факуль­
тета довузовской подготовки Астраханского государственного уни­
верситета, а также используются на лекциях и практических заняти­
ях по дисциплинам «Геометрия» и «Методика преподавания матема­
тики» на факультете математики и информационных технологий
физико-математического института Астраханского государственно­
го университета.
8
Положения, выносимые на защиту:
1. Необходимость включения в содержание предпрофильного обу­
чения элементов абстрактной теории групп на примере простейших
геометрических преобразований обусловлена недостатками содержа­
ния базового курса, востребованностью аппарата геометрических
преобразований для решения задач с ественнонаучным содержани­
ем, потребностью в формировании готовности к продолжению физи­
ко-математического образования.
Теоретико-групповой подход, позволяя четко определить пред­
мет геометрии и ключевые понятия школьного курса геометрии,
установить и развить связи и отношения между изучаемыми поняти­
ями, способствует повышению уровня знаний школьников по геомет­
рическим преобразованиям и их подготовки к восприятию и понима­
нию достижений современной науки.
2. Содержательный компонент методической системы обучения
геометрическим преобразованиям плоскости основывается на прин­
ципах специальной направленности (соответствия учебного матери­
ала целям предпрофильного обучения), фундаментальности (целена­
правленного формирования основ абстрактной теории групп на при­
мере простейших геометрических преобразований), научной и прак­
тической значимости (ориентации на современные разработки в дан­
ной предметной области), преемственности и прогностичности (свя­
зи, согласованности и перспективности всех тем изучаемого матери­
ала), сочетания доступности и трудности изложения (учета наличных
и потенциальных возможностей учащихся старшего подросткового
возраста).
3. Конструктивные идеи теоретико-группового подхода усилива­
ют содержательный компонент методической системы обучения гео­
метрическим преобразованиям плоскости за счет включения преоб­
разований множества и прямой, способствующих подготовке к ис­
следованию преобразований плоскости; приоритетного использова­
ния осевой симметрии (понятия абсолютной геометрии) как фунда­
ментального преобразования, порождающего группу движений плос­
кости; применения операций над преобразованиями и их свойств для
установления основных взаимосвязей и отношений между изучаемы­
ми понятиями; раскрытия структуры группы движений плоскости,
выраженной в законах композиции различных движений; обобщения
осевой симметрии до косой (эквиаффинное преобразование) и косой
симметрии до растяжения и сжатия к прямой (аффинные преобразо­
вания), расширяющих представления о преобразованиях плоскости.
4. Элементом предпрофильного обучения выступают курсы по
выбору, позволяющие учащимся осуществлять пробы выбора мате­
матического профиля обучения и отражающие следующие темы: «Пре­
образования множества и прямой», «Операции над преобразования­
ми и их свойства», «Теорема М. Шаля», «Классификация движений»,
«Структура группы движений плоскости», «Эквиаффинные преобра­
зования плоскости: косая симметрия и сдвиг», «Простейшие аффин­
ные преобразования плоскости», «Теоретико-групповой смысл акси­
омы параллельности Евклида», «Основные идеи Эрлангенской про­
граммы Ф . Клейна». Комплекс курсов по выбору включает такие кур­
сы, как « В волшебном царстве симметрии», «Вслед за Евклидом» и
«Мир необычной геометрии».
Важным резервом повышения эффективности усвоения знаний по
геометрическим преобразованиям являются блоки задач, позволя­
ющие реализовать задачный подход в соответствии с содержатель­
ным компонентом методической системы предпрофильного обучения
геометрическим преобразованиям плоскости.
Структура диссертации. Диссертация (193 с.) состоит из введения
(10 с ) , двух глав (гл. I — 51 с , гл. I I — 74 с ) , заключения (5 с ) , списка
использованной литературы (261 наименование) и 6 приложений.
Текст диссертации содержит 11 таблиц, 34 рисунка и 1 диаграмму.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Первая глава «Теоретические основы предпрофильного обучения
геометрическим преобразованиям плоскости» включает анализ про­
блемы обучения геометрическим преобразованиям плоскости в на­
учной и учебно-методической литературе, а также теоретическое обо­
снование необходимости включения в содержание предпрофильного
обучения элементов абстрактной теории групп на примере простей­
ших геометрических преобразований.
В школьном математическом образовании активное обучение гео­
метрическим преобразованиям плоскости начинается в 9-х классах и
приходится соответственно на старший подростковый возраст. Ана­
лиз психолого-педагогических исследований свидетельствует о том,
что формирование основных интеллектуальных умений у учащихся
данного возраста идет по пути качественного развития абстрактного
теоретического мышления при сохранении и совершенствовании на­
глядно-действенного и наглядно-образного мышления (П.П. Блон10
ский, Л.И. Божович, Л.С. Выготский, Б.С. Круглов В.А. Крутецкий,
А.Н. Леонтьев, А.К. Маркова, Г.И. Щукина, Д.Б. Эльконин и др.). В
связи с '»тим представляется целесообразным активное привлечение и
задействование актуальных и потенциальных ресурсов данных видов
мышления подростков при решении ими различных задач. При обу­
чении учащихся геометрическим преобразованиям плоскости такая
возможность проявляется наиболее ярко, т. к., с одной стороны, гео­
метрические преобразования отражают явления, наблюдаемые в
окружающей действительности, а с другой — имеют достаточно вы­
сокую степень абстрактности.
Анализ математической и учебно-методической литературы по­
зволил увидеть, что основные идеи теоретико-группового подхода
являются фундаментальными как для математики и физики, так и для
современной науки вообще. Впервые теоретико-групповой подход в
геометрии был предложен в октябре 1872 г. немецким математиком
Феликсом Клейном в докладе «Сравнительное обозрение новейших
геометрических исследований», получившем впоследствии название
«Эрлангенская программа» Ф . Клейна.
Согласно Ф . Клейну, геометрия есть наука, изучающая свойства
геометрических фигур, инвариантные относительно некоторой груп­
пы преобразований. В качестве характеристики каждой геометрии
выступает ее группа преобразований, что позволяет единым общим
принципом объединить различные геометрии: евклидову, аффинную,
проективную, геометрии Лобачевского, Римана и ряд других. Груп­
па движений и подобий плоскости соответствует школьному курсу
геометрии, поэтому элементарную геометрию можно рассматривать
как теорию инвариантов группы подобий плоскости.
Изучение геометрии под этим углом зрения подчиняется общим
идейным принципам современной геометрии, основанным на теоре­
тико-групповом подходе. Ценность данного подхода заключается еще
и в том, что во многих разделах современной физики (физике твердо­
го тела, квантовой физике, теории элементарных частиц) теория групп
играет принципиально важную роль.
Ботее того, теория преобразований находит свое отражение в си­
стеме взглядов на физическую картину мира и мир в целом, т. е. име­
ет мировоззренческую значимость. Наиболее ярким подтверждением
этого может служить открытие в 1905 г. теории относительности Аль­
берта Эйнштейна (1879—1955 гг.). Впервые преобразования, лежа­
щие в основе этой теории, были выведены, исходя из других сообра­
жений, голландским физиком Лоренцом (1853—1928 гг.) и по его
11
имени названы преобразованиями Лоренца. Инвариантность физи­
ческих законов относительно преобразований группы Лоренца вы­
ражает принцип относительности А. Эйнштейна — один из самых
универсальных законов природы.
Таким образом, идеи групп преобразований, имея большое зна­
чение в современном мировоззрении и фундаментальной науке, долж­
ны найти отражение и в школьном математическом образовании.
Проведенный нами анализ изложения темы «Преобразования
плоскости» в различных школьных учебниках и учебных пособиях
по геометрии (а именно: А.П. Киселева; А.Н. Колмогорова; А.В. Погорелова; Л.С. Атанасяна; А.Л. Вернера, В.И. Рыжика, Т.Г. Ходот;
И.Ф. Шарыгина; И.М. Смирновой, В.А. Смирнова; В.Г. Болтянско­
го, Г.Д. Глейзсра) показал следующее:
• Во-первых, в большинстве из них преобразования представле­
ны как изолированный материал, не имеющий связи ни с предшеству­
ющим, ни с последующим содержанием учебника. Изъятие этого ма­
териала никак не отразится на изложении всего курса геометрии, по­
скольку преобразования не находят своего систематического приме­
нения в других разделах учебника, что принципиально снижает их
значимость.
• Во-вторых, стремление упростить изложение данного вопроса
приводит к некоторым существенным неточностям в определении
ключевых понятий, вследствие чего не обеспечивается их истинное
понимание. Так, например, при определении понятия «преобразова­
ние плоскости» в учебнике И.Ф. Шарыгина на самом деле дается оп­
ределение инъекции. В учебнике И.М. Смирновой, В.А. Смирнова
определяется не преобразование плоскости, а отображение плоско­
сти в себя, что не одно и то же. Употребление термина «преобразо­
вание» в смысле «отображение» характерно также для учебников
А.В. Погорелова и А.Л. Вернера, В.И. Рыжика, Т.Г. Ходот.
• В-третьих, в большинстве школьных учебников по геометрии
прослеживается отказ от теоретико-множественного подхода.
Указанные особенности не распространяются на учебное пособие
под редакцией А . Н . Колмогорова и учебник В.Г. Болтянского,
Г.Д. Глейзера, в которых идея геометрических преобразований зани­
мает центральное место и является концептуальной основой всего
школьного курса планиметрии, находя в нем различные применения
как в теоретическом, так и практическом плане. При этом более стро­
гое формально-логическое построение школьного курса геометрии
характерно для учебного пособия под редакцией А.Н. Колмогорова.
12
М ы исходим из того, что отказ от теоретико-множественного под­
хода ограничивает возможности понимания учащимися фундамен­
тальных понятий школьного курса геометрии — фигуры и равенства
фигур.
Фигуры являются основным объектом изучения не только школь­
ной геометрии, но и геометрии вообще. Однако в большинстве школь­
ных учебников по геометрии общего определения фигуры не приво­
дится, а само понятие разъясняется на конкретных примерах. Это
происходит потому, что изначально отвергается теоретико-множест­
венный взгляд на геометрические фигуры. Вследствие этого авторы
вынуждены определять фигуру аксиоматически, показывая, что часть
фигуры, а также объединение и пересечение фигур вновь представля­
ют собой фигуру.
Изначальный отказ от теоретико-множественного подхода при
изложении основ школьного курса геометрии не дает права исполь­
зовать его в дальнейшем. Однако именно это и наблюдается во мно­
гих школьных учебниках по геометрии. Так, окружность определяет­
ся как геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости,
расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Это опре­
деление оправдано только с теоретико-групповых позиций.
Теоретико-множественный подход к построению основ школьно­
го курса геометрии позволяет четко определить фундаментальное
понятие последнего — геометрическую фигуру как любое множество
точек. Это, в свою очередь, дает возможность использовать преобра­
зования при раскрытии содержания другого основополагающего по­
нятия школьного курса геометрии — равенства геометрических фи­
гур.
Согласно теоретико-групповым принципам геометрии, все фак­
ты школьной геометрии инвариантны относительно группы движе­
ний и группы подобий плоскости. Для группы движений понятие
G-эквивалентности совпадает с понятием равенства фигур, а геомет­
рия, соответствующая группе движений плоскости, изучает именно
те общие свойства фигур, которые остаются инвариантными для
G-экпивалентных, в данном случае равных фигур. Таким образом,
понятие равенства фигур оказывается органически связанным с по­
нятием движения: фигуры называются равными, если существует дви­
жение, переводящее одну из них в другую.
Изучение геометрии с точки зрения теории групп преобразова­
ний позволило нам выявить связь между различными геометриями, в
частности между геометрией Евклида и геометрией Лобачевского. В
13
работе рассматривается теоретико-групповой смысл аксиомы парал­
лельности Евклида и выявляется принцип, по которому в геометрию
Лобачевского, в отличие от геометрии Евклида, нельзя ввести поня­
тие вектора и, следовательно, параллельного переноса.
Нами дано описание группы движений, сохраняющих данную
прямую. Эта группа порождается некоторым набором центральных
и осевых симметрии и содержит преобразования, называемые смеще­
ниями. Свойстве смещений существенно отличаются в геометриях
Евклида и Лобачевского.
Группа движений прямой позволяет ввести важное понятие —
линии равных расстояний (эквидистанты). В работе доказаны следу­
ющие теоремы.
Теорема 3. Эквидистанта — прямая линия тогда и только тогда,
когда совокупность всех смещений является группой преобразований.
Теорема 4. Аксиома параллельности Евклида эквивалентна утверж­
дению о том, что совокупность всех смещений является группой пре­
образований.
Согласно теореме 4, если смещения относительно различных пря­
мых образуют группу преобразований, т. е. результат композиции
двух смещений тоже является смещением относительно некоторой
прямой, то эквидистанта является прямой samntvi, и в этом случае мы
попадаем в геометрию Евклида. При этом рассматриваемые смеще­
ния являются параллельными переносами, существующими в евкли­
довой геометрии. Это позволяет ввести понятие вектора. Теорема 4
иллюстрирует хорошо известные правила сложения векторов, спра­
ведливые в геометрии Евклида. Из этой теоремы следует, что в гео­
метрию Лобачевского нельзя ввести понятие вектора, т. к. в этом слу­
чае композиция двух смещений не обязана быть смещением.
Таким образом, показано, что понятие вектора, а следовательно,
и параллельного переноса является, с идейной точки зрения, одним
из самых сложных понятий в геометрии.
Анализ содержания базового курса геометрии и школьных учеб­
ников и учебных пособий по геометрии позволил сделать вывод, что
необходимо включить в содержание предпрофильного обучения эле­
ментов абстрактной теории групп на примере простейших геометри­
ческих преобразований. Это обусловлено недостатками содержания
базового курса, в частности: некорректным раскрытием сущности
ключевого понятия «преобразование» в действующих школьных учеб­
никах и учебных пособиях по геометрии путем его подмены понятия­
ми «отображение» или «инъекция», восстребованностью аппарата
14
геометрических преобразований для решения задач с ественнонаучным содержанием, формированием готовности к продолжению фи­
зико-математического образования. Поэтому мы считаем, что на этапе
предпрофильного обучения математике необходим комплекс курсов
по выбору, основой организации содержания которого могут служить
идеи теоретико-группового подхода, позволяющие четко определить
предмет геометрии и ключевые понятия школьного курса геометрии
и установить и развить связи и отношения между изучаемыми поня­
тиями, что способствует подготовке школьников к восприятию и по­
ниманию достижений современной науки.
Во второй главе диссертации «Методические аспекты предпрофиль­
ного обучения геометрическим преобразованиям плоскости» разрабо­
тан содержательный компонент методической системы предпрофиль­
ного обучения геометрическим преобразованиям плоскости с пози­
ций теоретико-группового подхода, сконструировано содержание
экспериментального комплекса курсов по выбору «Геометрические
преобразования плоско(!ггИ» и описана опытно-экспериментальная
работа по проверке его эффективности.
Были выделены основные принципы отбора содержания и по­
строения учебного материала по комплексу курсов по выбору «Гео­
метрические преобразования плоскости». Это принципы специаль­
ной направленности (соответствия учебного материала целям пред­
профильного образования), фундаментальности (целенаправленно­
го формирования основ абстрактной теории групп на примере про­
стейших геометрических преобразований), научной и практической
значимости (ориентации на современные разработки в данной пред­
метной области), преемственности и прогности^-яости (связи, согла­
сованности и перспективности всех тем изучаемого раздела), сочета­
ния доступности и трудности изложения (учета наличных и потенци­
альных возможностей учеников старшего подросткового возраста).
В состав комплекса курсов по выбору, позволяющего осуществить
пробы в области математики, включены такие темы, как «Преобра­
зования множества и прямой», «Операции над преобразованиями и
их свойства», «Теорема М. Шаля», «Классификация движений»,
«Структура группы движений плоскости», «Эквиаффинные преобра­
зования плоскости: косая симметрия и сдвиг», «Простейшие аффин­
ные преобразования плоскости», «Теоретико-групповой смысл акси­
омы параллельности Евклида», «Основные идеи Эрлангенской про­
граммы Ф . Клейна». Комплекс курсов по выбору включает такие кур15
сы, как «В волшебном царстве симметрии» (7 часов), «Вслед за Евк­
лидом» (10 часов) и «Мир необычной геометрии» (15 часов).
Анализ сушествующей практики показал, что эффективным яв­
ляется метод обучения через задачи. Поэтому в содержании комплек­
са курсов по выбору были разработаны блоки задач таким образом,
что задачи каждого блока удовлетворяли требованиям возрастаю­
щей сложности и наличия некоторой идеи, позволяющей объединить
их в отдельный блок.
Подготовка школьников к решению задач на применение геомет­
рических преобразований достигается включением в учебный про­
цесс, наряду с задачами на прямое действие, задач на действие, им
обратное. Именно последние играют важную роль не только в фор­
мировании умения применять метод геометрических преобразований
для решения более сложных задач, но и в развитии мышления в це­
лом.
Исходя из этого, нами разработан содержательный компонент
методической системы предпрофильного обучения «Геометрическимпреобразованиям плоскости», основные идеи которого состоят в сле­
дующем:
1. Изучение преобразований прямой, в частности центральной
симметрии и параллельного переноса, позволяет на наглядном и до­
ступном для школьников уровне усвоить фундаментальные понятия
теории геометрических преобразований: собственно преобразование,
композиция преобразований, преобразование, обратное данному,
тождественное преобразование, группа преобразований. Изучение
преобразований прямой, помимо математической нагрузки, несет в
себе и методический смысл, т. к. готовит школьников к дальнейшему
изучению движений плоскости не только в пропедевтическом, но и в
мотивационном планах.
2. Знакомство с движениями плоскости начинается с изучения осе­
вой симметрии, поскольку она представляет собой наиболее простое
и в то же время фундаментальное преобразование. В отличие от дру­
гих движений плоскости, осевая симметрия обладает наибольшей
наглядностью и, как следствие, доступностью понимания. Кроме того,
осевые симметрии являются теми «кирпичиками», из которых по­
строены все другие движения плоскости: любое движение плоскости
можно представить композицией не более трех осевых симметрии.
Таким образом, осевая симметрия порождает группу движений плос­
кости. Инварианты этой группы являются предметом изучения школь­
ного курса геометрии.
16
Немаловажно и то, что осевая симметрия является понятием аб­
солютной геометрии, т. е. она определяется одинаково как в геомет­
рии Евклида, так и в геометрии Лобачевского. Это, в свою очередь,
существенно расширяет возможности применения осевой симметрии
уже на раннем этапе изучения геометрии.
3. Важная роль отводится теореме М. Шаля и ее доказательству.
Доказательство теоремы осуществляется посредством решения бло­
ка задач, в котором результат решения предыдущей задачи исполь­
зуется для решения последующей.
Задача 1. Доказать, что если при некотором движении / две раз­
личные точки А и В неподвижны, т. е. А '=f(A) -Aw В'ДВ) = В, то
любая точка прямой {АВ) неподвижна.
Задача 2. Доказать, что если при некотором движении / три точ­
ки, не принадлежащие одной прямой, неподвижны, т. е. А '=f(A) =А,
В'/{В) = 5 и C'f(C) = С, то и любая точка плоскости неподвижна, т. е.
/является тождественным преобразованием.
Задача 3. Доказать, что если/и g — движения такие, что ДЛ) =
g{A),J{B) = g{B) MJiQ - SiQ^ где точки .^, 5 и С не лежат на одной
прямой, то f=g.
Задача 4. Доказать, что всякое движение плоскости можно пред­
ставить в виде композиции не более чем трех осевых симметрии.
Задача 5. Доказать, что любое движение плоскости есть либо тож­
дественное преобразование, параллельный перенос, поворот, осевая
симметрия, скользящая симметрия.
4. При изучении подобия особое внимание уделяется теореме о
представлении подобия композицией гомотетии и движения и ее до­
казательству. Данная теорема позволяет выявить устойчивую связь с
изученными ранее движениями и, тем самым, обеспечить целостность,
упорядоченность и взаимодействие тем внутри изучаемого комплек­
са курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости».
5. Рассмотрение эквиаффинных преобразований плоскости (ко­
сой симметрии и сдвига) позволяет расширить круг преобразований,
характерных для школьного курса геометрии. Кроме того, представ­
ление косой симметрии как обобщения осевой, во-первых, устанав­
ливает связь эквиаффинных преобразований с движениями плоско­
сти и, во-вторых, подготавливает школьников к изучению аффинных
преобразований. Так, если для косой симметрии потребовать, чтобы
отрезок, соединяющий две соответственные точки, делился не попо­
лам, а в произвольном отношении к, то мы получим новое преобра­
зование: растяжение или сжатие к прямой.
17
Такой подход дает возможность формировать способность к ин­
дуктивному мышлению и широкому и абстрактному обобщению от­
ношений и действий не только в геометрии, но и в математике вооб­
ще.
6. Предметом специального изучения на всех этапах усвоения курса
«Геометрические преобразования плоскости» являются операции над
преобразованиями (композиция преобразований и преобразование,
обратное данному) и их свойства, изучение которых способствует
развитию способности к анализу, синтезу, абстрагированию и обоб­
щению.
7. Школьники при изучении данного курса должны получить пред­
ставление об основных идеях «Эрлангенской программы» Ф . Клей­
на, что позволит им ясно осознать его необходимость и повысит зна­
чимость усваиваемого материала.
Опытно-экспериментальная работа по внедрению разработанно­
го нами комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразова­
ния плоскости» в учебный процесс проводилась на базе 9-х классов
Муниципального общеобразовательного учреждения «Краснобаррикадная средняя общеобразовательная школа», г. Астрахань. Экспе­
римент состоял из трех этапов: констатирующего, формирующего и
контрольного.
В результате констатирующего эксперимента, в котором приня­
ли участие 200 человек, были получены данные, свидетельствующие
о невысоком (ниже среднего) уровне знаний учащихся по геометри­
ческим преобразованиям.
В формирующем эксперименте ставилась задача сформировать у
учащихся умения применять движения плоскости при решении гео­
метрических задач. Для проведения этого эксперимента 86 человек 9-х
классов, выбравших комплекс курсов, на основе баллов, полученных
ими при выполнении первой контрольной работы, были поделены
на 2 однородные группы (экспериментальную и контрольную).
Контрольный эксперимент заключался в проверке того, обеспе­
чивает ли реализация содержательного компонента указанной мето­
дической системы сформированность умений применять геометриче­
ские преобразования при решении задач. Среди учащихся контрольной
и экспериментальной групп была проведена вторая контрольная ра­
бота. При математической обработке экспериментальных данных
использовались непараметрические методы: знаково-ранговый кри­
терий Уилкоксона для однородных пар и критерий Манна-Уитни.
18
Полученные данные по результатам второй контрольной работы
приведены на рисунке.
Как видно из диаграммы, количество испытуемых, решивших за­
дачи 1,3,4 и 5, в экспериментальной группе значительно больше, чем
в контрольной, что уже свидетельствует об эффективности разрабо­
танного нами содержательного компонента методической системы
обучения геометрическим преобразованиям плоскости.
Результаты решения задач в экспериментальной и контрольной группах
100 -Г 92^
>^
Л
Вей
к
S
о й
а
о
i4
S
а
Си
2
3
4
□ — экспериментальная группа
5
Номер задачи
I — контрольная группа
В задачах 1 и 3 учащимся необходимо было выполнить задание
на обратное действие: по двум данным фигурам найти элементы, оп­
ределяющие движение (композицию движений), при котором одна из
фигур является образом другой. Низкий процент правильных реше­
ний в контрольной группе, по сравнению с экспериментальной, сви­
детельствует о недостаточной сформированности у учащихся этой
группы умения решать задачи на обратные действия.
19
Задачи 4 и 5 были предназначены для проверки умения приме­
нять движения плоскости непосредственно при решении более слож­
ных задач. Результаты решения являются свидетельством того, что
учащиеся контрольной группы, по сравнению с экспериментальной,
формально усвоили материал и слабо владеют методом геометриче­
ских преобразований при решении задач. Решение задачи 5 в двух
группах отличается также и качественно. В контрольном классе толь­
ко 1/4 часть учащихся от количества учащихся экспериментального
класса решили данную задачу с использованием движений.
В задаче 2 учащимся предлагалось построить образ фигуры при
заданном движении плоскости (прямая задача). Достаточно высокий
процент правильных решений как в контрольной, так и в экспери­
ментальной группах (92,3 % ) свидетельствует о сформированности у
учащихся обеих групп соответствующего умения. Поскольку задачам
на прямое действие, т. е. построение образа фигуры при заданном
преобразовании, уделяется достаточно много внимания, то резуль­
тат решения задачи 2 был вполне ожидаем.
Использование знаково-рангового критерия Уилкоксона для
однородных пар при статистической обработке результатов второй
контрольной работы показало, что при а=0,01 (критерий двусторон­
ний) расчетное значение Т, равное 5, меньше критического значения,
равного 9, что свидетельствует о достоверности различий результа­
тов в экспериментальной и контрольной rpynriax.
На основе этого можно сделать следующий статистически обо­
снованный вывод: школьники экспериментальной группы показали
более высокий уровень математической подготовки, чем школьники
контрольной группы. Следовательно, обучение учащихся эксперимен­
тальной группы по разработанной нами методической системе, реа­
лизующей теоретико-групповые идеи, оказало положительное влия­
ние на качество их геометрической подготовки.
Результаты проведенного педагогического эксперимента
подтверждают гипотезу исследования и позволяют констатировать
обеспечение высокого уровня усвоения теоретического материала по
курсу «Геометрические преобразования плоскости» и умения приме­
нять метод геометрических преобразований к решению задач и дока­
зательству теорем.
В рамках поставленных задач, несмотря на отдельные шерохова­
тости, диссертационное исследование можно считать завершенным.
20
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
1. В содержание предпрофильного обучения включены элементы
абстрактной теории групп на примере простейших геометрических
преобразований, что обусловлено недостатками содержания базово­
го курса, восстребованностью аппарата геометрических преобразо­
ваний для решения задач с естественнонаучным содержанием, потреб­
ностью в формировании готовности к продолжению физико-матема­
тического образования.
2. Проанализированы основные особенности и специфика изло­
жения темы «Преобразования плоскости» в различных действующих
школьных учебниках и учебных пособиях по геометрии, что позво­
лило обнаружить и устранить неточности в определении ключевого
понятия «преобразование» и выявить степень применимости преоб­
разований при определении фундаментальных понятий геометрии и
изложении других разделов школьного курса геометрии.
3. Разработан содержательный компонент методической системы
обучения геометрическим преобразованиям плоскости, усиленный
теоретико-групповыми идеями за счет, во-первых, включения преоб­
разований множества и прямой, способствующих подготовке к ис­
следованию преобразований плоскости; во-вторых, приоритетного
использования осевой симметрии (понятия абсолютной геометрии)
как фундаментального преобразования, порождающего группу дви­
жений плоскости; в-третьих, применения операций над преобразова­
ниями и их свойств для установления основных взаимосвязей и отно­
шений между изучаемыми понятиями; в-четвертых, раскрытия струк­
туры группы движений плоскости, выраженной в законах компози­
ции различных движений, и, в-пятых, обобщения осевой симметрии
до косой (эквиаффинное преобразование) и косой симметрии до рас­
тяжения и сжатия к прямой (аффинные преобразования), расширяю­
щих представления о преобразованиях плоскости.
4. Выделены основные принципы отбора и построения содержа­
ния курса «Геометрические преобразования плоскости»: специальной
направленности (соответствия учебного материала целям предпро­
фильного обучения), фундаментальности (целенаправленного форми­
рования основ абстрактной теории групп на примере простейших
геометрических преобразований), научной и практической значимо­
сти (ориентации на современные разработки в данной предметной
области), преемственности и прогностичности (связи, согласованно­
сти и перспективности всех тем изучаемого материала), оптимально-
21
го сочетания доступности и посильной трудности изложения (учета
наличных и потенциальных возможностей учащихся старшего под­
росткового возраста).
5. Содержание предпрофильного курса «Геометрические преоб­
разования плоскости» дополнено самостоятельно сформулированны­
ми и доказанными теоремами, раскрывающими теоретико-группо­
вой смысл аксиомы параллельности Евклида. Разработаны задания
в тестовой форме для проверки эффективности обучения теме «Дви­
жения плоскости» и построены блоки задач на применение геометри­
ческих преобразований плоскости, позволяющие реализовать задачный подход в соответствии с содержанием предпрофильного курса
«Геометрические преобразования плоскости». Блоки задач направ­
лены на активизацию умственной деятельности учащихся и поэтому
могут служить важным резервом повышения эффективности усвое­
ния знаний по геометрическим преобразованиям.
6. Экспериментально доказана эффективность разработанного
нами комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования
плоскости», отражающего содержательный компонент методической
системы предпрофильного обучения, построенного в соответствии с
основными идеями теоретико-группового подхода.
Основное содержание и результаты диссертационного исследова­
ния отражены в следующих публикациях (общий объем — 3,8 п.л.,
авт. — 3,45 П.Л.):
1. Монахова, Н.А. Движения плоскости: метод. реком./Н.А. М о ­
нахова.—Астрахань: Изд. дом «Астраханский университет», 2005. —
!7с.(1,1п.л.).
2. Монахова, Н.А. Изучение преобразований прямой в профиль­
ном курсе математики / Н.А. Монахова // Авторские подходы в пре­
подавании математики и физики в школе: материалы межрегион,
науч.-практ. конф. — Ш у я , 2005. — С. 107—112 (0,4 п.л.).
3. Монахова, Н.А. Анализ изложения темы «Преобразования плос­
кости» в различных школьных учебниках по геометрии / Н.А. Мона­
хова // Россия и Восток. Обучающееся общество и социально-устой­
чивое развитие Каспийского региона: материалы I I I Междунар. науч.
конф. 21—22 апр. 2005 г.: в 5 т. — Астрахань, 2005. — Т. 1: Научнообразовательное пространство Каспийского региона. — С. 192—196
(0,3 П.Л.).
4. Монахова, Н.А. О фундаментальных понятиях школьного кур­
са геометрии / Н.А. Монахова // Проблемы образования в современ22
ной России и на постсоветском пространстве: сб. ст. I I I Междунар.
науч.-практ. конф. Янв. 2004 г. — Пенза, 2004. — С. 52—54 (0,2 п.л.).
5. Монахова, Н.А. Теоретико-групповой смысл аксиомы парал­
лельности Евклида / В.И. Ваничкин, Н.А. Монахова // Образование.
Экология. Экономика. Информатика: сб. науч. тр. V I I I Междунар.
конф. из сер. «Нелинейный мир». 15—20 сент. 2004 г. — Астрахань,
2004. — С. 151—154 (0,4 п.л., авт. — 0,2 п.л.).
6. Монахова, Н,А. Систематизация задач по теме «Движения плос­
кости» в углубленном курсе геометрии / Н.А. Монахова // Симмет­
рии: теоретический и методический аспекты: сб. науч. тр. I Между­
нар. семинара. 15—17 сент. 2005 г. / под ред. А.Г. Князева, Н.В. Аммосовой, Б.Б.Коваленко. — Астрахань, 2005.—С. 105—110(0,4п.л.).
7. Монахова, Н.А, Структура группы движений плоскости /
Н.А. Монахова // Физика. Математика: тез. докл. итоговой науч.
конф. А Г П У . 26 апр. 2002 г. — Астрахань, 2002. — С. 51 (0,1 п.л.).
8. Монахова, Н.А. Значение геометрических преобразований в
современном школьном образовании / Н.А. Монахова // Проблемы
образования в современной России и на постсоветском пространстве:
сб. ст. V Междунар. науч.-практ. конф. Янв. 2005 г. — Пенза, 2005. —
С. 170—172(0,2п.л.).
9. Монахова, Н.А. Изучение осевой и косой симметрии плоскости
в углубленном курсе геометрии / В.И. Ваничкин, Н.А. Монахова //
Симметрии: теоретический и методический аспекты: сб. науч. тр.
I Междунар. семинара. 15—17 сент. 2005 г. / под ред. А.Г. Князева,
Н.В. Аммосовой, Б.Б. Коваленко. — Астрахань, 2005. — С. 89—93
(0,3 п.л., авт. — 0,15 п.л.).
10. Монахова, Н.А. Проблема изучения преобразований в школь­
ном курсе геометрии / Н.А. Монахова // Образование, Экология. Эко­
номика. Информатика: тез. докл. V I I I Междунар. конф. 15—20 сент.
2003 г. — Астрахань, 2003. — С. 214 (0,1 п.л.).
11. Монахова, Н.А. Значение геометрических преобразований в
формировании научного мировоззрения учащихся / Н.А. Монахова //
Математика. Компьютер. Образование: тез. X I Междунар. конф.
Дубна, 26—31 янв. 2004 г. — М., 2004. — С. 354 (0,1 п.л.).
12. Монахова, Н.А. Эффективность педагогического эксперимен­
та по изучению геометрических преобразований в профильном курсе
математики / Н,А. Монахова // Проблемы образования в современ­
ной России и на постсоветском пространстве: сб. ст. V I Между­
нар. науч.-практ. конф. Июнь 2005 г. — Пенза, 2005. — С. 152—
154(0,2п.л.).
23
МОНАХОВА Наталья Алексеевна
СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ КОМПОНЕНТ МЕТОДИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ ПРЕДПРОФИЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ ПЛОСКОСТИ
Автореферат
Подписано к печати 16.11.2005 г. Формат 60x84/1 б. Печать офс Бум. офс.
Гарнитура Times Усл. печ. л 1,4. Уч.-изд. л. 1,5 Тираж 100 экз. Заказ ОУ^
ВГПУ. Издательство «Перемена»
Типография издательства «Перемена»
400131, Волгоград, пр. им. В.И.Ленина, 27
РНБ Русский фонд
2006-4
23519
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 288 Кб
Теги
bd000103061
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа