close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

bd000103095

код для вставкиСкачать
ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
им. М.В. КЕЛДЫША
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ Н А У К
На правах рукописи
КОЧКАРОВ Азрет Ахматович
НОВЫЕ ТЕОРЕТИКО-ГРАФОВЫЕ ПОДХОДЫ
В МОДЕЛИРОВАНИИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы
и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва - 2005
Работа
выполнена
в
Институте
прикладной
математики
им. М.В. Келдыша Российской академии наук
Научный руководитель:
доктор физ -мат. наук, профессор
Малинецкий Георгий Геннадьевич
Официальные оппоненты:
доктор физ.-мат. наук, профессор
Дмитриев Александр Сергеевич
доктор технических наук, профессор
Кульба Владимир Васильевич
Ведущая организация:
Ярославский государственный
университет им. П Г. Демидова
Защита диссертации состоится « Z Q »
с)-Р-<^0-^р-^
2005 г
в ^^ОО час. на заседании диссертационного совета Д002.024 02 при
Институте прикладной математики им М В. Келдыша РАН
по адресу: Москва, Миусская пл., д. 4.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института
прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН
Автореферат разослан
« ^^ »
У^-*^^^
2005 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
кф.-м.н.
J'^—
Г.В. Устюгова
2006-^
г ими
I. О Б Щ А Я ХАРАКТЕРИСТИКА Р А Б О Т Ы
Актуальность темы. На протяжении последних пятнадцати лет в Ин­
ституте прикладной им. М В Келдыша РАН по инициативе МЧС России
совместно с другими академическими институтами' проводились исследо­
вания^''''', которые легли в основу концепции управления рисками^ Особое
внимание в новой концепции уделяется подходам и методам, распростра­
ненным в нелинейной динамике^'*.
Одно из центральных мест в исследованиях по управлению рисками
занимает анализ кризисов, то есть ситуаций, когда система оказывается не
в состоянии в полном объеме выполнять возложенные на нее функции.
Системы (технические, социально-экономические и т п.), рассматриваемые
в теории управления риском, могут быть подвержены внешнему влиянию
(воздействию) на протяжении небольшого промежутка времени. Нередко
такие воздействия являются внезапными и интенсивными, а поэтому рас­
сматриваемые системы не всегда могут "противостоять" этим поражаю­
щим факторам Поражающие воздействия, приложенные к системе, могут
приводить к ухудшению ее функционирования, а порой и к кризисам.
Классическая теория надежности^ не предоставляет необходимых
инструментов для исследования (оценки состояния системы в целом, про­
гнозирования поведения системы под влиянием поражаюшлх факторов,
методов повышения или сохранения сопротивляемости систем, функцио­
нирующих в условиях поражающих воздействий, и т.д) качества функ­
ционирования сложных систем в "зоне форс-мажорных обстоятельств".
Пребывание систем именно в этой зоне приводит к необходимости разра­
ботки соответствующих математических моделей.
Следует также отметить, что исследование систем со сложной струк­
турой в классической теории надежности сводится во многом к изучению
систем со структурами в виде последовательно-параллельных схем"''*, что
'
Институт
проблем управления
им В А Трапезникова
РАН,
Инспп^'т
машиноведения
им А А Благонравова Р А Н , Международный институт теории прогноза землетрясений и математиче­
ской геофизики Р А Н , Комиссия по устойчивому развипоо Государственной Душл Р Ф и др
^ Малтецкиа Г Г, Залиханов М Ч, Воробьев ЮЛ и др Кризисы современной России и система научно­
го мониторинга // Проблемы безопасности при чрезвычайных ситуахшях №1,2002
^ Мапинецют Г Г, Воробьев Ю Л, МахутовНА
Кризисы современной России и научный мониторинг//
Вестник Р А Н , 2003, т 73, №7, С 579-593
" Архипова НИ, Кульба В В Управление в чрезвычайных ситуациях - М РГТУ, 1998
' Владимиров В А , Кульба ВВ, Малинецкий ГГ идр Управление риском - М Наука, 2000
' Малинецкий Г Г, К\рдючовСП
Нелинейная динамика и проблемы прогноза// Вестник Р А Н , 2001,
т71,№3 С 210-224
БарлоуР, Прошаи Ф Статистическая теория надежности и испытание на безотказность - М Наука,
1984
* РайншкеК, Ушаков И А Оценка надежности систем с использованием графов - М Радио и связь,
1988
' Райншке К Модели надежности и чувствительности систем - А <Mw, lp23j И О Н А Л Ь Н А '
БИБЛИОТЕКА
j
_^ЖМ1
-4также сказывается отрицательным образом на качестве проводимого ис­
следования.
Живучесть системы, ее способность функционировать в условиях
внешних поражающих воздействий будем называть стойкостью системы
С введением этого понятия очерчивается новая задача в рамках теории
управления рисками - обеспечение стойкости сложных систем.
Важнейшую роль в формальном представлении сложных систем иг­
рает ее структура - порядок межэлементных связей системы Это наглядно
подтверждает цикл работ научной школы профессора В.В. Кульбы'" , по­
священный управлению риском В работах этой научной школы для моде­
лирования поведения систем со сложной структурой используются методы
теории взвешенных ориентированных графов". Такой подход уже позво­
лил обнаружить ряд синергетических эффектов в поведении систем со
сложной структурой. Несомненно, от структуры системы зависит ее стой­
кость. Важно знать, также какие изменения в структуре системы приведут
к улучшению или ухудшению функционирования рассматриваемого объ­
екта.
Цели работы.
1 Построение модели влияния поражающих факторов на систему и рас­
пространения по ее структуре внешних воздействий.
2 Разработка методов изменения структур систем для наделения их тре­
буемыми свойствами и характеристиками для повышения их стойко­
сти.
3. Исследование динамики и стойкости систем с регулярно изменяющи­
мися структурами.
4. Разработка параллельных алгоритмов анализа сложных объектов,
имеюш^1Х масштабно-инвариантную структуру.
Методы исследования. Все исследования, проведенные в настоящей
работе, используют методы и подходы дискретной математики и теории
графов, в частности. Аппарат теории графов наилучшим образом подходит
для формального представления задач, связанных с изменением и преобра­
зованием дискретных объектов, какими являются структуры систем.
Кроме того, в работе используются методы когнитивного моделиро­
вания, связанные с анализом динамики нелинейных процессов, развиваю­
щихся на ориентированных графах Используются методы нелинейной ди­
намики, теории вероятности, имитационного моделирования и теории
фракталов.
Научная новизна. В диссертации формализовано понятие стойкости
для сложных систем, попадающих в условия внезапных кратковременных
'" КульбаВВ,
Кононов ДЛ, КосяченкоСА,
Шубин А Н Методы формирования сценариев ра!вития
социально-экономических систем - М СИНТЕГ, 2004
" Роберте Ф С Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и
экологическим задачам - М Наука, 1986
■5-
воздействий Построена математическая модель распространения пора­
жающего воздействия по системе На ее основе выработаны рекомендации
по повышению стойкости и обеспечению функционирования систем в ус­
ловиях форс-мажорных обстоятельств.
Введены такие ключевые понятия как структурная уязвимость эле­
мента системы и предельная надеисностъ элемента системы. Они явля­
ются, соответственно, качественным и количественным параметрами
оценки стойкости всей исследуемой системы Исследовано влияние конту­
ров положительной обратной связи в структуре системы на ее функциони­
рование
Для развивающихся систем с изменяющейся структурой сформули­
ровано понятие структурной динамики Продемонстрирована возмож­
ность появления в таких системах структурного хаоса.
Для класса фрактальных графов предложены эффективные парал­
лельные алгоритмы, позволяющие решать ряд классических задач теории
графов существенно быстрее известных алгоритмов.
Практическая ценность. Полученные результаты используются в Ин­
ституте прикладной математики им М В Келдыша РАН, 4-ом Централь­
ном научно-исследовательском институте Министерства обороны РФ, Мо­
сковском физико-техническом институте. Российской академии государст­
венной службы при Президенте РФ, в Институте проблем управления
им, В.А Трапезникова
РАН,
в
Институте
машиноведения
им А.А Благонравова РАН, в Институте социально-политических иссле­
дований РАН.
Полученные результаты демонстрируют возможность широкого ис­
пользования методов теории графов в выявлении синергетических эффек­
тов, что представляется важным в прикладном аспекте как для специали­
стов по управлению риском и инженеров, так и для ученых, занимающихся
исследованием синергетических явлений и теорией графов
Полученные результаты были использованы для анализа стойкости
ряда систем управления техническими объектами и одной социальноэкономической системы.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на
4-ом и 5-ом Всероссийских симпозиумах "Математическое моделирование
и компьютерные технологии" (Кисловодск, 2000 и 2002), 2-й Междуна­
родной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные про­
блемы математической биологии, информатики и физики" (Нальчик,
2001), 10-ой, 11-ой и 12-ой Международных конференциях "Проблемы
управления безопасностью сложных систем" (Москва, 2002, 2003 и 2004),
Международной конференции "Математическое моделирование социаль­
ной и экономической динамики" (Москва, 2004), 47-ой научной конферен­
ции Московского физико-технического института "Современные пробле­
мы фундаментальных и прикладных наук" (Москва, 2004), 8-ой региональ-
ной научно-технической конференции "Вузовская наука - Северо­
кавказскому региону" (Ставрополь, 2004), 12-ой Международной конфе­
ренции "Математика Компьютер Образование" (Пущино, 2005), 1-ом
Международном междисциплинарном семинаре памяти чл.-корр РАН
С П Курдюмова "Идеи синергетики в естественных науках" (Тверь, 2005),
1-ой Международной конференции "Системный анализ и информацион­
ные технологии" (Переяславль-Залесский, 2005), на семинарах Института
прикладной математики им М В Келдыша РАН
Публикации. По результатам выполненной работы имеется 21 пуб­
ликация (см список публикаций)
Структура диссертации Диссертация состоит из введения и трех
глав, изложенных на 118 страницах, содержит 23 рисунка и библиографию
из 102 наименований.
II. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении излагаются цели работы. Дается обзор существующих
методов и подходов к оценке поведения сложных систем в условиях форсмажорных обстоятельств Ставятся задачи и обосновываются методы мо­
делирования систем, находящихся в подобных условиях Рассматривается
целесообразность изменения структуры систем для улучшения их способ­
ности противостоять внешним негативным воздействиям. Приводятся при­
меры развивающихся систем с изменяющейся структурой
Дается краткое изложение содержания диссертации.
В первой главе представлен теоретико-графовый подход к описанию
сложных систем в условиях форс-мажорных обстоятельств и построена
модель распространения пораэюающих воздействий по системе в рамках
этого подхода. Предложенная модель апробирована на ряде сложных сис­
тем.
Существуют общеизвестные методы повышения надежности функ­
ционирования систем Одним из распространенных является - резервиро­
вание'^ (и его виды - мажоритирование, дублирование и т п ) В условиях
ограниченности финансового (ресурсного) обеспечения не представляется
возможным продублировать все элементы системы, предполагающей по­
падание под внешнее влияние. Поэтому требуется изучить реакцию систе­
мы на "стороннее" влияние, найти ее наиболее уязвимые "места" и реко­
мендовать их к резервированию. Для достижения этой цели важно подоб­
рать метод формального представления системы, внешнего воздействия и
определить динамику распространения внешнего влияния по системе
Под системой обычно понимается объединение любых элементов,
рассматриваемых как связное целое Каждый элемент системы производит
определенные действия, что позволяет всей системе выполнять возложен'^ Острейкоеский в А Теория надежности - М
Высшая школа, 2003
-7ные на нее функции Особое значение для системы имеет порядок связей ее
элементов, т.е. порядок взаимодействия элементов системы при ее функ­
ционировании. Факт непосредственного (без посредников) взаимодействия
между двумя элементами системы и определяет наличие связи между ни­
ми. Общую картину связей между всеми элементами системы отражает
структура системы Опыт исследования многих слояап.тх систем показы­
вает, что на начальном этапе анализа их элементы целесообразно пред­
ставлять в виде вершин графа, наделенных определенными свойствами, а
взаимодействие описывать с помощью ребер Иначе говоря, структура это организация целого из составных частей, тесно взаимодействующих
друг с другом при функционировании системьИ. Будем считать тождест­
венными следующие понятия- граф системы и структура системы, вер­
шина графа и э чемент системы, ребро графа и связь между элементами
системы Отметим, что ребра графа могут отражать различные типы свя­
зей между элементами рассматриваемой системы - механические, элек­
тронные, информационные и т д
Для всякого конечного графа будем использовать обозначение -
G = {V,E),
где
V = {Vj},i,j =\,п
-
Е= {e = (v,,Vj)\i^ j] - множество его ребер'^
множество
вершин,
а
Распространение воздействия от одного элемента системы к другому
на графе системы будем задавать ориентированным ребром - ребром с за­
данными началом и концом. Ориентированное ребро часто называют ду­
гой, а граф с дугами - орграфом^^. Орграф структуры моделируемой сис­
темы не будет иметь петель (т.е. дуг, конец и начало которых совпадает).
На орграфе G = (V,E)
системы для вершины
V, eV,i€^,2,. ,п} весом О<w,(r)<1 является величи­
на показателя качественного состояния элемента сис­
темы, соответствующего вершине v,. А весом
H^i^Vj ) = e,j,je {l,2, ,«}, i^j, дуги (v,,Vj)eE
явля­
ется число о <ffy< 1, равное сохранившейся доле пере­
даваемого воздействия, при переходе от вершины v, к
вершине v и называемое коэффициентом сопротив­
ляемости.
Процесс изменения весов вершин графа системы можно отразить
следующим правилом, называемым импульсным воздействием. Оно во
многом напоминает импульсный процесс^^ и заключается в следующем.
Импульсное воздействие определяется импульсом tmpj{t),je^,2, ,«} в
дискретном времени t = 0,1,2,3 .. , который задается отношением
^ДистельР
Теория графов -Новосибирск Ии-во Института математики, 2002
-8impj(t) = Wj(t)/Wj(t-l),mpwt>0
(1)
Тогда для ? > О для i -ой вершины графа G определим импульсное
воздействие
degv,
w,{t + \) = w,{t)Y\sj,impj(t),
(2)
j=i
или
degv,
w, it + l) = w,(0 n o - £j.impj (()),
(3)
7=1
полагая при этом, что deg v, - число входящих в вершину v, дуг.
Формулы (1), (2) и (3) задают изменения весов вершин графа
G = (У,Е),тем самым определяя динамику распространения внешних воз­
действий по системе. Формула (2) соответствует возрастающгш импульс­
ным воздействиям, которые увеличиваются при переходе от одной верши­
ны к другой. А формула (3) - затухающим, которые уменьшаются при пе­
реходе от одной вершины к другой.
Автономное импучъсное воздействие на взвешенном орграфе G оп­
ределим
по
правилу
(2)
с
вектором
начальных
значений
W(0) = (wi(0),W2(0),...,w„(0)) и вектором импульсов
Imp(O) = (™pi(0),/m/>2(0),...,rap„(0)),
(4)
задающим импульс imp.(0) в каждой вершине Vj в момент времени f = О.
Автономное импульсное воздействие в паре с вектором начальных значе­
ний описывает состояние системы в начальный момент времени, когда под
влияние вттешпих поражающих воздействий попадают все элементы сис­
темы.
Автономное
импульсное
воздействие, в
котором вектор
Imp(O) = (1,1,. ,imp,{Q), ..,\), imp,(0)>0, имеет только г-ую отличную от
единицы компоненту, назовем простым воздействием с начальной верши­
ной V, eV Простое импульсное воздействие описывает состояние систе­
мы в начальный моменг времени, когда внешнее воздействие поражает
один из элементов системы А именно, тот, который соответствует / -ой
вершине графа системы
9В соответствии с описанным импульсным воздействием на орграфе
можно ввести различные критерии отказа моделируемой системы (техни­
ческой, социально-экономической, биологической и т п ) К примеру, мож­
но считать, что система находится в состоянии отказа, если показатель ка­
чественного состояния хотя бы одного из наиболее значимых элементов
системы ниже некоторого допустимого уровня Этот уровень будем назы­
вать критическим уровнем качественного состояния элемента v, и обозна­
чать cr(v) Если показатель качественного состояния элемента ниже крити­
ческого уровня, то элемент не в состоянии выполнять возложенных на него
функций, или функционировать требуемое время Элемент, находящийся в
состоянии отказа, не передает распространяющееся по системе импульсное
воздействие.
Представление исследуемой системы в виде взвешенного по правилу
графа (? = {V, Е) и формализация внешнего влияния на систему как авто­
номного импульсного воздействия (1)-(4) ощ>^л&ляет модель распростра­
нения поратк-ающих воздействий по системе
2
IZ
ФФ^|
гЕГ'йТ^
1.,1...1^
-ALI^^TJ^ R F
:В-
Рис. 1 . П р и м е р ф а ф а с и с т е м ы у п р а в л е н и я . Пунктирными линиями изображены
связи, по которым подается напряжение, а сплошными - информационный сигнал
-10В диссертации предложен алгоритм, позволяющий выяснить, как
внешнее воздействие распространяется по структуре системы и влияет на
ее функционирование Приведем конкретный пример использования этого
алгоритма.
На рис 1 изображен граф системы управления сложным техниче­
ским объектом, подверженный импульсным воздействиям, имеющим два
вида связей Граф, изображенный на рис. 1 со всеми показателями качест­
венного состояния элементов и коэффициентов сопротивляемости, полу­
чен при экспертной поддержке специалистов соответствующего профиля.
Система может быть подвержена двум типам внешних воздействий
Первый - электромагнитные воздействия, которые могут распространяться
по обоим видам связей. Второй - информационные воздействия, которые
могут распространяться только по связям, изображенными сплошными
линиями.
Компьютерный эксперимент, в котором поочередно к каждой веришне прилагались различные затухающие импульсные воздействия (3) в
соответствии с предложенным алгоритмом, выявил "окна уязвимости" ис­
следуемой системы.
Например, если импульсное воздействие приложено к элементу 16,
то из строя в течение незначительного промежутка времени выходит более
90% элементов системы.
Если импульсное воздействие одновременно приложено сразу к двум
элементам - 31 и 32, то из строя выходит более 80% элементов системы, в
то время как те же импульсные воздействия, приложенные к этим элемен­
там поочередно не приносят существенного ущерба
Обнаружены группы элементов - 1-5, 34-38 и 48-50, - которые явля­
ются внутренними источниками воздействий. Каждая из этих групп со­
ставляют в фафе системы контуры обратной связи "Зацикливание" им­
пульсного воздействия в контуре графа системы приводит к периодиче­
скому изменению весов вершин самого контура и оказывает влияние на
веса соседних с вершинами контура вершин графа Внутренние источники
импульсных воздействий на графах систем приводят к появлению оста­
точного эффекта, когда из строя выходят элементы спустя длительное
время после попадания системы под влияние внешних воздействий.
Как показывает практика, не всегда удается получить достоверные
сведения о показателях качественного состояния элементов и коэффициен­
тах сопротивляемости. В такой ситуации о стойкости системы можно су­
дить и по одному лишь графу системы.
Структурной уязвимостью vl(«) вершины и е F ' назовем число пу­
тей, концом которых является вершина и.
Структурная уязвимость элемента дает качественную оценку его
расположения в структуре системы Структурная уязвимость позволяет
-11судить о том, насколько безопасно расположение элемента в структуре
системы относительно других элементов в период поражающих воздейст­
вий Структурная уязвимость элемента определяет выгодность его распо­
ложения в структуре системы при распространении по системе поражаю­
щих воздействий
Но структурная уязвимость не дает количественной оценки ухудпгения надежности элемента при попадании системы в условия поражающих
воздействий Такой оценкой будет служить другой параметр, отчасти яв­
ляющийся дополнением структурной уязвимости.
Важно знать, как к окончанию времени распространения импульсно­
го воздействия по графу системы изменились показатели качественного
состояния элементов системы Предельным показателем вершины и назо­
вем величину показателя качественного состояния соответствующего ей
элемента системы на момент окончания времени воздействия, которую
обозначим через Ьг(м)
Можно подсчитать сумму длин всех путей, концом которых является
вершина и Обозначим эту сумму через ps{u) и назовем мерой структур­
ной уязвимости вершины и.
Т Е О Р Е М А 1.3. Предельный показатель Ьг(м) вершины иеУ'
G' =(у*,Е*)
графа
с равными весами е для всех ребер га Е' при автономном
импульсном воздействии с начшьиым импульсом imp^, одинаковым для
всех вершин из V", определяется формулой
br(t/) = W„™/>o^'"'^'£P^«,
где Wji - показатель качественного состояния вершины и в началь­
ный момент автономного импульсного воздействия.
Существенной особенностью построенной модели является возмож­
ность описания выхода из строя элемента с большим показателем качест­
венного состояния Этот факг красноречиво подчеркивает прямую зависи­
мость динамики показателей качественного состояния элемента систе­
мы от его положения в структуре, а такж'е зависимость стойкости всей
системы от этой структуры.
Исследование модели распространения поражающих воздействий по
системе позволило выработать ряд рекомендаций по сохранению и улуч­
шению функционирования системы и наделению системы заданной стой­
костью при ее проектировании Рекомендации сформулированы в диссер­
тационной работе в виде теорем.
В рамках предлагаемого подхода возможно исследование и социаль­
но-экономических систем. Это позволяет определить рад сценариев, по ко­
торым будет развиваться система при различных внешних воздействиях
Полезность и практичность такого подхода продемонстрирована когни­
тивной моделью управления государством на примере Союза Сербии и
12Черногории.
На рис. 2 пред­
ставлена
структура
социальноэкономической сис] темы (см. рис 2а), ти­
пичная для многих
небольших регионов
(республик, областей)
Российской Федера­
ции. Система состоит
(a)
из пяти основных
Рис. 2. Структура региональной социальноэлементов. С П - со­
экономической системы
циальное положение
(напряженность) в регионе, О Э - оппозиционная элита региона, У Э управленческая элита региона, ВА - внешний арбитр, ЭА - экономическая
активность региона
Целесообразно также использовать в исследуемой модели управляю­
щие воздействия, позволяющие повышать значения качественных
показателей состояния элементов системы в' любой момент времени,
вмешиваясь тем самым в процесс распространения дестабилизирующих
импульсных воздействий по системе А также внутренний ресурс системы
- периодическое восстановление значений качественных показателей
состояния элементов системы на определенную величину
Исследование модели разумно проводить при различных исходных
данных (показателях качественного состояния элементов системы и
коэффициентах сопротивляемости ребер) о состоянии системы и
импульсных воздействиях, приложенных к различным вершинам. Это
позволит сделать наиболее достоверные выводы о стойкости системы
Своего критического уровня СГ(СП) = 0,01 система со структурой на
рис. 2а достигает за характеристическое время г=33 (см, рис. 16). Если в
структуру системы добавить обратные связи (к примеру УЭ-^ОЭ или
СП—>ВА), то на первый взгляд система должна стать более стойкой к
внешним воздействиям Но при указанных структурных изменениях сис­
темы характеристическое время уменьшиться почти вдвое.
cnf
На рис. 3(a) представлен график изменения основного показателя
системы - СП исследуемой региональной социально-экономической сис­
темы с внутренним ресурсом и внешним затухающем воздействие, прило­
женным к вершине (элементу) В А Наблюдается падение основного пока­
зателя.
Кульба В В, Кононов ДА , Чернов И В, Янич С С Сценарш! управления государством (на примере
Союза Сербии и Черногории) // Проблемы управления 2005 № 5 - С ■5V42
13На рис. 3(6) представлен график изменения основного показателя
системы СцПл, когда то же самое по величине внещнее затухающее воз­
действие, что и в предыдущем случае,
при тех же исходных данных системы
приложено к другому элементу системы
- к верпгине (элементу) ОЭ. В такой си­
туации, в отличие от предыдущей, сис­
теме удается восстановиться, благодаря
внутреннему ресурсу, и зафиксировать
значение основного показателя на неко­
тором стабильном уровне, хотя и ниже
исходного
На рис 3(e) показан график изме­
нения основного показателя системы
СП, когда импульсное воздействие, в
два раза меньшее, чем ранее, приложе­
но сразу к двум элементам системы ОЭ и ВА Наблюдается падение значе­
ние СП
Управляющие воздействия явля­
ются основным инструментом повыше­
ния значений показателей качественно­
го состояния элементов системы. Но
величина управляющего воздействия,
время и точка его приложения должны
быть определены в зависимости от рас­
пространяемого по системе импульсно­
го воздействия.
Использование этой модели по­
зволяет увидеть парадоксальные, не
очевидные на первый взгляд, способы
управления социально-экономической
системой.
На рис. 4(a) изображен фафик
изменения основного показателя иссле­
дуемой
региональной
социальноэкономической системы с внутренним
ресурсом, когда затухающее импульс­
шие. 3
ное воздействие приложено к элементу
ВА. Наблюдается падение основного показателя.
Управляющее воздействие приложенное к системе в момент времени
1=15 (см. рис. 4(6)), повысит значение показателей качественного состоя­
ния ее элементов, но не повлияет на общее состояние системы в дальней­
14
1
0,9
3 0,8
шем.
Управляющее воздейст­
вие приложенное к системе в
более поздний момент распро­
I 0,7
странения по ней импульсных
I 0,6 41
1
a 0,5
воздействий,
приводит к ино­
1
1
lb
iO,4
му результату. Основной по­
1
£0,3
1i 1 !
казатель системы не понижа­
1
J 0,2 1
1
1
1
ется, а стабилизируется, хотя
0,1
J
1
i
0
и на уровне более низком, чем
4i
101 201 301
401 501
0
первоначальный. Это объяс­
t, время
няется тем, что в предыдущем
случае управляющее воздей­
ствие было приложено к сис­
1
теме, когда по ней распро­
i l l 1
1
0,9 к 1 1
странялось импульсное воз­
3 0,8
действие,
величина которого
14
J 1 I61 1 11
1
1
позволяла "поглотить" повы­
шение значение показателей
a 0,5 Ai \ T ^^""
качественного состояния эле­
§0,4
Л ^SL
ментов системы.
£0,3
Для обеспечения стой­
S 0,2
кости системы как новой за­
0,1
00
дачи в рамках концепции
101
201
301
401
501
управления рисками' возмож­
t, время
ны два подхода.
Первый - наделение
1
системы достаточным внут­
1
[
' 1
ренним ресурсом, позволяю­
|0,8
1 1
щим противостоять любым
- Й
|0,7
|0,6внешним дестабилизирующим
«0,5воздействиям.
8 0,4
Второй - изменение
s? "-^
структуры системы, позво­
J 0,^
1
ляющее повышать стойкость
1
0,1 J
системы, "убирая" из структу­
0
5C11
2()1
30 1
4 51
1 31
0
ры системы наиболее опасные
врe ИЯ
и уязвимые взаимосвязи. Вто­
L
рой подход очерчивает новое
Puc. 4
направление теории управле­
ния сложными системами - структурное управление. Модели рассмотрен­
ного типа, как показывает их анализ и опыт применения, могут быть эле­
ментом систем поддержки принятия решений в соответствующих ситуаци- (1
'
I-
J^-J-^-.===----JJ
15
онных центрах.
Во второй главе даются оценки различных "мерам стойкости"'' и ис­
следуется явление структурного хаоса.
В 1967 г. социолог из Гарвардского университета С, Милграм'^ сде­
лал утверждение о том, что каждого человека можно связать с любым дру­
гим человеком на земном шаре из цепочки из шести знакомых. Этот фено­
мен получил название "тесного (маленького) мира" ("small world"). В 90-х
годах прошлого века эмпирически было доказано, что подобным свойст­
вом обладают структуры многих социальных технических систем Напри­
мер' электроэнергетические сети, W W W (Internet), нейронные сети, мета­
болические сети клеток, сети научного сотрудничества и т.д.
Структура таких систем по истечении времени претерпевает опреде­
ленные изменения, вызываемые различными внешними обстоятельствами
Изменения в структуре систем могут быть описаны простейшими теорети­
ко-графовыми операциями: стягивание ребра, удаление (добавление) реб­
ра, удаление (добавление) вершины. Изменения структуры системы могут
быть разовыми, а могут быть постоянными Для второго случая разумно
ввести понятие структурной динамики - изменение структуры системы с
течением времени Несомненно, для описания структурной динамики
лучше всего подходит аппарат теории фафов
Одним из наиболее распространенных типов структурной динамики
является рост структуры^ Рост
структуры - это регулярное по­
явление новых элементов и свя­
зей в структуре системы Рост
структуры происходит по прави­
лам, определяющим предпочти­
тельность присоединения новых
элементов со старыми. Не ис­
ключается наличия в них фактора
случайности
Структуры систем, обла­
дающих свойством "тесного ми­
ра", - динамически растущие
структуры Феномен "тесного"
мира в терминах теории графов
Рис.
5 . Т и п и ч н а я з а в и с и м о с т ь для "тесного можно
интерпретировать как
м и р а " Щ) - ч и с л о в е р ш и н , dfl) - диаметр
графы с быстро растущим числом
" Мшашеико Ю Е, Новиюхш Н М Модели неопределенности в многополыовательских сетях М Эдиториал УРСС, 1999
"'Stanlv \filgram Tlic small world ргаЫет//Р5усЬо1о§5'Today 1967 №2 Pp 60-67
'^ Евин И A Самооргани'!>ю11шесясети //Синергетика Труды семинара Том 6 Естественные, социаль­
ные и г> манитарные науки - М М И Ф И , 2003
16
вершин при незначительно
изменяющемся
диаметре
(см. рис. 5).
В
настоящей работе
для
описания
сложных
структур, обладающих свой­
ством "тесного мира", пред­
лагаются так называемые
фрактачъные графы.
Фрактальные
графы
являются моделью структур,
растущих в дискретном вре­
мени по одним и тем же пра­
вилам из каждой своей вер­
шины.
Формальным
отражением
этих
правил
является операция замены
вершины затравкой, которая
и
лежит
в
основе
определения
фрактальных
фафоЗ'ермином
затравка
условимся называть какойлибо
связный
граф
И = (W ,Q)- Суть операции
п
£ .^
rUC. о. траектория
г^ rir г-\ \v
С-^={УъГ.ъ)
,
предфрактального
г тг
, замены вершины затравкой
графа ,,,„„ч
г т ( 3 B J ) заключается в сле-
Ж и р н ы м и л и н и я м и нарисованы ребра
У^"^/
■J^^^^^•^-^^'^^^'^
первого ранга Линиями средней жирности нари- Дующем. В данном графе
сованы ребра второго ранга Тонкими линиями на- G = {V, Е) у намеченной для
рисованы новые ребра-ребра третьего ранга
замещения вершины v eV
выделяется
множество
V = {^j] яУ,
J = 1,2,.., F смежных ей вершин Далее из графа G удаляет­
ся вершина v и все инцидентные ей ребра. Затем каждая вершина v ^ eV,
J =1,2, , F
соединяется ребром с одной из вершин затравки Я
={W,Q)
Вершины соединяются произвольно (случайным образом) или по опреде­
ленному правилу при необходимости
Предфрактапы1ыг1 граф - конечный аналог фрактального графа -
будем обозначать через G^ ={yi,Ei),
где Vi - множество вершин фафа, а
Hj - множество его ребер. Определим его рекуррентно, поэтапно, заменяя
каждый раз в построенном на предыдущем этапе / = 1,2, . . , Л - 1 фафе
G/ =(^/,Я,) каждую его вершину затравкой Н = {W,Q).
На этапе /=1
-17предфрактальному графу соответствует затравка G^ = Н.
процессе говорят, что предфрактачьпый
затравкой
Н ={W,Q)
Об описанном
граф Gi ={Vi,Ei)
порожден
Процесс порождения предфрактального фафа G^
по существу есть процесс построения последовательности предфрактальных фафов
Gi,G2,
,Gi,.,Gi,
Фрактальный граф G = {V,E),
называемой траекторией
(см. рис 6)
порожденный затравкой Н = {W,Q),
опре­
деляется бесконечной траекторией Предфрактальный граф Gi = ( F / , Ej)
условимся называть {n,q,L)
- графом, если он порожден л-вершинной q-
реберной связной затравкой Я = {W,Q).
Для предфрактального графа G[^ ребра, появившиеся на /-ом,
/ е {1,2,. ,/-}, этапе порождения, будем назыъзтъ ребрами ранга I Новыми
ребрами предфрактального фафа G^ назовем ребра ранга L, а все осталь­
ные ребра назовем старыми
Правила порождения предфрактального фафа позволяют прогнози­
ровать и оценивать его качественные и количественные характеристики
Это позволило заложить основы нового метода проектирования и анализа
сложных многоэлементных структур Метод базируется на свойстве само­
подобия' фрактальных фафов Использование свойства самоподобия дает
возможность "профаммирования" предфрактального графа, наделения его
требуемыми характеристиками и свойствами При этом особенно важным
представляется рассмотрение и числа "окон уязвимости" - точек сочлене­
ния и мостов Доказанные в диссертации теоремы позволяют оценить это
число
Т Е О Р Е М А 2.1.
Gf^ =iVi,Ei),
дующие
Для
всякого
порождетюго
верхняя
и
предфрактачъного
затравкой
нижняя
оценки
п ''~^т{Н) < m{Gi )<п ''~^т{Н) + 2q
Н = (W,Q),
числа
{n,q,L)-графа
справедливы сле­
точек
, если затравка
сочленения
Н - дерево
и-1
Т Е О Р Е М А 2.2.
Gj = (У; ,Ej),
Для
всякого
предфрактачъного
порож;денного затравкой Н = (W,0)
справедливы верхняя и пио/сияя оценки дчя числа точек
у,'-'
ул
п^'^ <m{G,)<
(n,q,L)-графа
без точек сочленения,
сочченения
, если смеэюность старых ребер одного ранга не нап-\
рушается.
Т Е О Р Е М А 2.3. ДЛЯ всякого предфрактального {n,q,L)-графа
рожденного затравкой
Н = {W,Q),
Gi, по­
справедливы верхняя и нижняя оценки
' Манааьброт Б Фрактальная геометрия природы - М И К И , 2002
18
числа точек
сочленения т{Н)п
<m{Cji)<m{H)n
+
i
и-1
, если
смежность старых ребер одного ранга не нарушается.
Т Е О Р Е М А 2,4, Для всякого предфрактального {п,д,[,)-графа
G, ={Vi ,Е[) порожденного затравкой Н = ( W , 0 , справедливы верхняя и
нижняя оценки числа мостов^^: к(Н) < k{Gi )<к{Н)
«-1
Т Е О Р Е М А 2.5, Род" уСб'^) предфрактального графа G;^
-(VL'^L)'
порожденного затравкой Н - {W, Q) с сохранением смеж'ности старых
п^ -\
ребер, определяется равенством y{Gi) = у{Н)
.
и-1
Фрактальные (предфрактальные) фафы - структуры, динамически
растущие во времени, причем с фактором случайности в правилах, опреде­
ляющих их рост Поэтому представляется важным знать число всевозмож­
ных предфрактальных графов к определенному моменту времени (этапу
порождения).
Т Е О Р Е М А 2,6. Число всех предфрактальных графов L -го ранга, по^^„Чд1-«)-|
рожденных затравкой H = (W,Q), |^Г| = и, \Q\ = q, равно п
'""''
Динамические системы, имеющие конечный горизонт прогноза, при­
нято называть системами с хаотическим поведением ' Траектории систе­
мы с хаотическим поведением с близкими начальными данными "разбега­
ются" экспоненциально, а поэтому для таких систем долгосрочный про­
гноз невозможен.
Для анализа работоспособности системы с динамически меняющейся
структурой необходимо прогнозирование поведение структуры этой сис­
темы. Для этого иногда достаточно просмотреть все возможные варианты
изменений в сгруктуре, и сравнить их количественные оценки. В нашем
случае - фрактальные графы, динамически растущие структуры, причем
рост структуры, те. увеличение числа вершин предфрактального графа,
происходит очень быстро. Число всевозможных предфрактальных фафов
одного ранга, порожденного одной и той же затравкой, как свидетельству­
ет теорема 2 6, зависит экспоненциально от числа вершин самого пред­
фрактального графа. Структурную динамику такого рода, по аналогии с
системами с хаотическим поведением, назовем структурным хаосом На
первый взгляд, такое свойство может привести к мысли о невозможности
получения хоть сколько-нибудь полезных, т.е. полиномиальных, количест­
венных оценок для характеристик предфрактального графа О том, что это
^^ Молипецкий 1 I , Потапов А Б
УРСС, 2000
Современные проблемы нелинейной динамики - М
Эднториал
19
не так, говорят результаты, представленные в настоящей главе (см. теоре­
мы 2 1-25) И действительно, количестветттгые оценки, полученные в ра­
боте, ограничены сверху полиномами 0{N) от числа Л^ - вершин предфрактального графа, в то время как число всех предфрактальных графов с
Л^ - вершинами ограничено сверху экспонентой 0(п
), где п - число
вершин затравки (см. теорему 2.6).
Основная цель настоящей главы - продемонстрировать возможность
получения "хороших" диапазонов количественных оценок, связанных со
стойкостью, для несравнимо большого числа предфрактальных графов
Подводя итог, можно сказать, что использование архитектур компь­
ютерных сетей или систем сетевой связи реализующих предфрактальные
графы, дает ряд важных преимуществ, с точки зрения обеспечения стойко­
сти таких объектов.
Третья глава посвящена проблеме разработки параллельных^" алго­
ритмов решения теоретико-графовых задач.
Анализ сложных структур большой размерности является одной из
актуальных задач науки^ . Сложные структуры, обладающие свойством
самоподобия, формализуются, как отмечалось ранее во второй главе, в ви­
де фрактальных (предфрактальных) фафов.
В диссертации предложены три параллельных алгоритма /?i, р^ ^
у5з решения классических задач теории фафов на заданном предфрактальном (и, ^, Л)-графе G^ ={Vi,Ei)
Алгоритм р^^ - поиск кратчайшего пути
меэюду двумя произвольными вершинами предфрактальиого графа G^, ал­
горитм /?2 - поиск остовного дерева минимального веса (ОДМВ) предфрактального графа G[^, и алгоритм /?з - поиска совершенного паросочетания предфрактальиого графа Gf.
При удалении из предфрактальиого графа G/ всех ребер рангов
I = ],2,...,L- г получим множество {^х,;}, А'е{1,2, ..,L-1}, блоком г-го
ранга, где / = 1,2, ,« "'^ - порядковый номер блока Термином подграфзатравка z^P будем называть блок Bf],
фрактальиого графа G/, I-\,L
Z{Gi) = {zp},
t = ],L,
л =!,«'"'
фафа Gf равна |Z(G;^)| =
s = \,n'~^ первого ранга пред­
из траектории Мощность множества
всех подфаф-затравок из траектории
,
и-1
'" Воеводин В В, Воеводин Вл В Параллельные вычисления - СПб БХВ-Петсрбург, 2002
'' Parallel CompuUng 2000 № 26
-20-
АЛГОРИТМ >5| Дан предфрактальный (n,q,L)-граф G^;, смежность
старых ребер которого на всей его траектории не нарушается, и два про­
цессора pj и /?2. Необходимо найти кратчайший путь между двумя вер­
шинами veVj^ и ueVi. Сначала алгоритм производит поиск общего блока
В минимального ранга для вершин v и и, в пределах которого в дальней­
шем и будет осуществляться поиск кратчайшего пути между этими задан­
ными вершинами Процессоры р^ и Р2 назначаются ("привязываются")
вершинам v и «, соответственно Каждая подграф-затравка блока В рас­
сматривается как отдельный граф и процессоры параллельно, независимо
друг от друга, находят кратчайшие пути, переходя от одной затравки к
другой Основная цель процессора р^, назначенного вершине v, - найти
кратчайший путь от вершины v до подграф-затравки z наименьшего раттга, принадлежашей блоку В. Основная цель процессора pj, назначенного
вершине и, - аналогичная' найти кратчайший путь от вершины и до под­
граф-затравки Z наименьшего ранга, принадлежащей блоку В Опишем
детальнее поиск процессорами кратчайшего пути от назначенных им вер­
шин до подграф-затравки z наименьшего ранга. Вершины предфрактального графа могут одновременно принадлежать подграф-затравкам разных
рангов. Пусть вершина v принадлежит подграф-затравке наименьшего
ранга, тогда обозначим ее через v,, а подграф-затравку, которой она при­
надлежит - через Zj, . Если подграф-затравка z,,^ и есть искомая подграфзатравка Z, тогда работа процессора Pi останавливается, и вершина v,
обозначается через v' В противном случае просматриваются все вершины
подграф-затравки z^ . Вершину, принадлежащую подграф-затравке наи­
меньшего ранга, обозначим через V2, а саму подграф-затравку - через z
Далее осуществляется поиск кратчайшего пути между вершинами v, и Vj
Если подфаф-затравка z,, и есть подграф-затравка z, тогда работа про­
цессора останавливается, и вершина V2 обозначается через v*. В против­
ном случае процессор Pi продолжает свою работу до тех пор, пока не бу­
дет найден кратчайший путь до вершины v* подфаф-затравки г. Работа
процессора pj будет аналогичной и завершится, когда будет найден крат­
чайший путь до верш1шы и' подфаф-зафавки z. На последнем шаге ал­
горитм находит кратчайший путь между вершинами v* и «* В итоге ис­
комый кратчайший путь (У,И) будет состоять из трех офезков (v,v'),
(иУ)
и (v*,«*).
-21Поиск кратчайшего пути на подграф-затравках ведется с помощью
алгоритма Дейкстры", который заложен в алгоритм Д в виде вызываемой
процедуры.
Т Е О Р Е М А 3.2. Вычислительная сложность^ алгоритма /?[ для
предфрактального {n,q,L)-графа G^ ={Vi,Ei^), Yi\ = N равна 0{N), если
смежность старых ребер не нарушается.
ПРИМЕЧАНИЕ 3.1. Вычислительная сложность параллельного алго­
ритма /?1 для предфрактального {n,q,L)-графа G^, смежность старых ре­
бер которого не нарушается, меньше вычислительной сложности алгорит­
ма Дейкстры 0(N) < 0{N^) в N раз.
Замети, что при вызовах абонента телефонной сети или обращении к
удаленным интернет ресурсам решается сходная задача, поэтому ускоре­
ние связанное с распаршшеливанием может быть существенно
Будем говорить, что предфрактальный граф G^ ={VL,1^L)
~ (взве­
шен, если каждому его ребру е^ ^ е Ei приписано действительное число
и'(е<")€(61'"'а,^'"'й),где / = 1Д; -рангребра, а > О, и (9 <-.
b
АЛГОРИТМ Pj осуществляет поиск ОДМВ Т = {Vi^,E-f) на взвешен­
ном предфрактальном графе Gi = (F^, Ei)
цессоров PI,P2,-,PL
Алгоритм использует к про­
Назначим каждый процессор одной из подграф-
затравок Z*', 1 = \,Ь, * = ! , « " ' предфрактального фафа G^, тогда число
используемых процессоров равно к =
. Суть работы алгоритма за«-1
ключается в следующем Каждая подграф-затравка zl' рассматривается
как отдельно взятый граф При этом каждый из к процессоров р,, i = \,k
параллельно независимо друг от друга находит ОДМВ 7) на своей под­
граф-затравке z''^ Поиск ОДМВ отдельно взятой подграф-затравки осу­
ществляется алгоритмом Прима^'*. Алгоритм Прима используется в алго­
ритме /02 в виде процедуры по мере необходимости Нахождение ОДМВ
7i,72, ,Ti^ всех подграф-затравок zf' определяет ОДМВ Т = {Vi^,Ei)
предфрактального фафа G^ Каждое ребро предфрактального графа имеет
свой "уникальный" номер, однозначно определяющий ребро во всей тра­
ектории Таким образом, выделение ОДМВ на подграф-затравке zf ^ соот­
ветствует выделению множества ребер на предфрактальном графе G^.
Т Е О Р Е М А 3.4. Вычислительная сложность алгоритма /?2 для пред­
фрактального {п,д,Е)-графа G^ ={Vi,Ei),
^1^ = N равна 0{N-n^).
-22-
ПРИМЕЧА11ИЕ 3.2. Вычислительная сложность алгоритма Прима рав­
на 0{N^). Сравнив ее с вычислительной сложностью алгоритма ^2' полу­
чаем:
0{N-n^)<0{N^)
АЛГОРИТМ J3^ идентично предыдущему алгоритму производит поиск
совершенного паросочетания М = {Vi^, Е^у) на взвешенном предфрактальном (rt,^,L)-графе G^^ ={Vi,Ei^). Алгоритм использует и^"' процессоров
р^, s=\,n^'~^, каждый из которых назначен одной из подграф-затравок
Zj^', i=l,«^~'. Основная идея алгоритма заключается в том, что каждая
подграф-затравка рассматривается как отдельно взятый граф. При этом
каждый р^ процессор параллельно независимо от других находит совер­
шенные паросочетания М ^ на своей подфаф-затравке г^'' Поиск совер­
шенного паросочетания подграф-затравки осуществляется с помощью ал­
горитма Эдмондса" Алгоритм Эдмондса оформлен в виде процедуры и
используется по мере необходимости. В результате нахождения совершен­
ных паросочетаний {М^} всех подграф-затравок z\ ^ получаем совершен­
ное паросочетание М = (Vi,Ej^) предфрактального графа G,
Т Е О Р Е М А 3.7. Вычислительная сложность алгоритма р^ для пред­
фрактального (п,д,Ь)-графа G^ =(F/^,£'^), \Vi^\ = N,равна 0{N-n^).
ПРИМЕЧАНИЕ 3.3. Вычислительная с;южность алгоритма Эдмондса
равна 0{N^). Сравнив ее с вычислительной сложностью алгоритма /?3'
получаем- 0{N■n^)<0(N^).
В настоящей главе диссертации можно выделить два важных аспек­
та
Во-первых Вычислительная слояптость всех описанных алгоритмов
на порядок ниже, чем у известных аналогичных алгоритмов
Во-вторых, Распараллеливание в исследованных задачах является
геометрическим Т.е. входные данные алгоритмов делятся на определен­
ные группы, которые затем обрабатываются на различных процессорах
Входными данными в нашем случае является предфракталъный граф, а
группами, соответственно, являются все его подграф-затравки.
111. О С Н О В Н Ы Е Р Е З У Л Ь Т А Т Ы ДИССЕРТАЦИИ
1
Построена и исследована вероятностно-детерминистическая модель,
позволяющая анализировать стойкость сложных систем относительно
сильных кратковременных воздействий. Введены количественные ха­
рактеристики стойкости сложных систем и для них получены априор­
ные оценки.
-23
2
Рассмотрены
задачи
проектирования
сложных
масштабноинвариантных структур с заданными количественными характеристи­
ками, определяюш;ими живучесть. Обнаружено и изучено явление
структурного хаоса.
3 Для класса предфрактальных графов построены параллельные алго­
ритмы решения
- задачи поиск кратчайшего пути,
- задачи поиск остовного дерева минимального веса,
- задачи поиска совершенного паросочетания.
Предложенные алгоритмы существенно эффективней стандартных ме­
тодов.
П о ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ:
1. Кочкаров А.А., Кочкаров РА Параллельный алгоритм поиска кратчай­
шего пути на предфрактальном графе // Журнал вычис. матем и матем.
физ 2004. Т. 44, № 6 . - С 1157-1162
2 Кочкаров А.А., Малинецкий Г.Г. Управление безопасностью и стойко­
стью сложных систем в условиях внешних воздействий // Проблемы
управления. 2005. № 5. - С. 70-76.
3. Кочкаров А.А., Малинецкий Г.Г. Стойкость, управление риском и обес­
печение безопасности сложных технических систем // Проблемы безо­
пасности и чрезвычайных ситуаций. 2005. № 4 - С. 12-25
4 Кочкаров А А Малинецкий Г Г Обеспечение стойкости сложных сис­
тем. Структурные аспекты // Препринт Института прикладной матема­
тики им. М.В. Келдыша РАН Х°53. М , 2005. 34 с.
5 Кочкаров А А., Кочкаров Р.А. Предфрактальные графы в проектирова­
нии и анализе сложных структур // Препринт Института прикладной
математики им. М В. Келдыша РАН К»10. М., 2003. 23 с.
6. Кочкаров А.А., Кочкаров Р.А. Параллельные алгоритмы на предфрак­
тальных графах // Препринт Института прикладной математики
им М.В. Келдыша РАН №84 М., 2003. 20 с.
7 Кочкаров А А , Кочкаров РАО планарности и других топологических
свойствах фрактальных графов // Препринт Института прикладной ма­
тематики им M B КелдышаРАН№83.М,2003 20с
8. Кочкаров А.А, СалпагаровС И, Кочкаров РА. О количественных
оценках топологических характеристик предфрактальных графов // Из­
вестия ТРТУ. Специальный выпуск. - Таганрог, 2004. - № 8. - С. 298301.
9 Кочкаров Р.А, Кочкаров А.А Особенности конструирования парал­
лельных алгоритмов для решения классических задач теории графов
(на примере класса фрактальных графов)// Труды IМеждународной
конференции "Системный анализ и информационные технологии"
Том 2 М.: КомКнига, 2005 - С 170-174.
ХО Кочкаров А А , МачинецкийГГ Стойкость и обоснование стойкости
сложных технических и социально-технических систем// Труды X I
-24Международной конференции "Проблемы управления безопасностью
сложных систем". Часть 1 М • РГТУ, 2003 - С. 50-53
I I Кочкаров А А., Малинецкий Г Г Концепция стойкости для социальноэкономических и технических систем // Труды Международной конфе­
ренции "Математическое моделирование социальной и экономической
динамики". М.:РГСУ, 2004.-С. 151-154.
\2.КочкаровА А Стойкость и моделирование систем, находящихся в ус­
ловиях внешних воздействий// Труды XLVII научной конференции
МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных на­
ук". Часть VII М. МФТИ, 2004. - С. 190-190.
\Ъ Кочкаров А.А., Малинецкий Г.Г. Моделирование стойкости сложных
технических систем // Труды XII Международной конференции "Про­
блемы управления безопасностью сложных систем" М ■ РГГУ, 2004 С. 348-352,
{^ Кочкаров А А , Малинецкий Г Г. Стойкость и моделирование стойкости
систем в условиях внешних воздействий // X I I Международная конфе­
ренция "Математика, Компьютер, Образование". Тез. докл. М.-Ижевск:
НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2005. - С 136-136.
15 Кочкаров А А , Кочкаров Р А. Топологические характеристики пред­
фрактальных графов и предупреждение кризисов сложных систем //
Труды X Международной конференции "Проблемы управления безо­
пасностью сложных систем" Часть 1 М • РГГУ - Издательский дом
МПА-Прогресс, 2002 - С 116-119.
\6 Кочкаров А А. Особенности моделироватшя сложных структур Струк­
турный хаос // Материалы I Международного междисциплинарного се­
минара памяти чл.-корр. РАН С П . Курдюмова "Идеи синергетики в ес­
тественных науках". Тверь: ТвГУ, 2005. - С. 36-37.
и .Кочкаров А А , Кочкаров Р.А. Параллельный алгоритм поиска бикомпонент предфрактального графа // Материалы VIII региональной науч­
но-технической конференции "Вузовская наука - Северо-кавказскому
региону" Том I. Ставрополь СевКавГТУ, 2004 - С 13-13
18 Кочкаров А А Число всевозможных предфрактальных графов // IV
Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компь­
ютерные технологии". Тез. докл , том 2. Кисловодск: КИЭП, 2000 - С
73-74.
\9.Кочкаров А.А , Кочкаров F.A. Исследование связности предфракталь­
ных графов // IV Всероссийский симпозиум "Математическое модели­
рование и компьютерные технологии". Тез докл., том 2. Кисловодск:
КИЭП, 2000. - С. 74-75
20.Кочкаров А. А Число точек сочленения предфрактального графа// II
Международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родст­
венные проблемы математической биологии, информатики и физики"
Тез докл. Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2001
21 КочкаровАА, СалпагаровС.И. Число мостов предфрактального фафа// V Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и
компьютерные технологии" Тез. докл. Кисловодск. КИЭП, 2002 - С.
36-37
Для заметок
Для заметок
Заказ Ng 2169 Подписано в печать 18.11.2005 Тираж 100 экз. Усл. п.л 0,{
/<^>
\v jj
ООО "Цифровичок", тел. (095) 797-75-76; (095) 778-22-20
www.cfr.ru ; e-maii.info@cfr.ru
0 5 - 2 2 6 94
РНБ Русский фонд
2006-4
23591
f
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 182 Кб
Теги
bd000103095
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа