close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Osipov Tabakov Soldatov Morozov Fizicheskaya i integralnaya optika metod ukazaniya k lab zanyatiyam ch2 2018

код для вставкиСкачать
Федеральное государственное
бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ»
кафедра
РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ
Осипов О.В.,
Табаков Д.П.,
Солдатов А.А.,
Морозов С.В.
ФИЗИЧЕСКАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ
ОПТИКА
методические указания к лабораторным занятиям
ЧАСТЬ II
САМАРА — 2018
УДК 631.385.6, 621.373.826, 621.383
Осипов Олег Владимирович, Табаков Дмитрий Петрович, Солдатов Александр Анатольевич, Морозов Сергей
Владимирович.
Методическая разработка для лабораторных занятий по дисциплине «Физическая и интегральная оптика. Часть II», Самара,
2018.
68 стр. с иллюстрациями
Методическая разработка предназначена для организации лабораторных занятий студентов, обучающихся по направлениям (специальностям) и профилям подготовки бакалавров
• 11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи:
– Оптические и проводные сети и системы связи;
– Сети и системы радиосвязи;
Для организации лабораторных аудиторных занятий методическая разработка представляет собой набор лабораторных работ, которые содержат несколько вариантов исходных данных, краткие
теоретические сведения, а также расчетные выражения необходимые для выполнения заданий.
Для организации самостоятельной работы студентов методическая разработка содержит список рекомендуемой литературы, а
также список теоретических вопросов для подготовки к итоговому контролю.
Содержание
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ . . . . . . . . . . .
4
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6
Формулы Френеля для границы раздела
двух диэлектрических сред . . . . . . . . . . . . . . . .
5
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7
Исследование гелий-неонового лазера . . . . . . . . .
25
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8
Нелинейная рефракция в нелинейной среде . . . . .
37
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9
Нелинейная рефракция и дифракция
Гауссова волнового пучка . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Цели и задачи дисциплины
«Физическая и интегральная оптика»
Цели преподавания дисциплины «Физическая и интегральная
оптика»:
• Формирование у студентов физических и теоретических основ
для понимания принципов работы базовых элементов интегральных оптических схем.
• Формирование базовой подготовки студентов по интегральной
оптике для решения производственных и исследовательских задач.
• Овладение основами расчётов характеристик базовых элементов
интегральных оптических схем, получение общих знаний по их
применению.
Задачи изучения дисциплины «Физическая и интегральная оптика»:
• Приобретение студентами знаний о физических принципах работы интегральных оптических устройств различного назначения,
созданных на базе планарных и полосковых оптических волноводов.
• Приобретение студентами практических навыков вычисления характеристик базовых элементов интегральных оптических схем
с использованием ПЭВМ.
Аттестация по этому виду учебной работы проводится после выполнения и защиты лабораторных работ, подразумевающей индивидуальное собеседование студента с преподавателем. Выполненные лабораторные работы следует оформить на листах формата
А4.
4
Лабораторная работа №6
ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ ДЛЯ ГРАНИЦЫ
РАЗДЕЛА ДВУХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
СРЕД
6.1
Цель работы
• выявить особенности отражения плоских электромагнитных волн
с параллельной и перпендикулярной поляризациями от границы
раздела двух диэлектрических сред
6.2
6.2.1
Краткие теоретические сведения
Электромагнитные волны
при наличии границы раздела сред
Рассмотрим задачу о падении плоской электромагнитной волны линейной поляризации на границу раздела двух однородных
сред, обладающих различными материальными параметрами εi , µi ,
σi , (i = 1, 2). Следует отметить, что электромагнитное поле в виде одной плоской однородной волны не будет представлять собой
решение данной задачи, так как напряженности электрического и
магнитного полей должны удовлетворять уравнениям Максвелла в
каждом из двух полупространств и граничным условиям на границе раздела.
6.2.2
Законы отражения и преломления
Если на границу двух однородных сред с разными физическими свойствами падает плоская гармоническая волна, она разделяется на две волны: проходящую во вторую среду (преломленную)
и отраженную. Существование двух волн вытекает из граничных
условий, так как легко видеть, что их невозможно удовлетворить,
если не постулировать наличия как проходящей, так и отраженной
волн.
Пусть граница раздела между двумя полубесконечными однородными средами совпадает с плоскостью z = 0 декартовой системы координат. Среды, расположенные снизу (z < 0) и сверху
(z > 0) от границы z = 0, характеризуются, соответственно материальными параметрами ε1 , µ1 , σ1 и ε2 , µ2 , σ2 . Пусть на эту границу из
5
первой среды падает под углом θ0 к оси OZ плоская монохроматическая волна (рис. 6.1) с круговой частотой ω и волновым вектором
√
kпад = k1 m0 (k1 = ω εa1 µa1 ), m0 – единичный вектор нормали к
фронту падающей волны). Плоскость падения, содержащую вектор
kпад и ось OZ, совместим с плоскостью XOZ.
Обозначим волновой вектор для отраженной волны через kотр =
k1 m1 , а для преломленной через kпр = k2 m2 , где m1 ,m2 – единичные векторы, характеризующие направления распространения
√
отраженной и преломленной волн; k2 = ω εa2 µa2 . Через θ0 , θ1 θ2
обозначим углы, которые векторы m0 , m1 ,m2 образуют с осью OZ
(рис. 6.1).
z
θ2
граница раздела
θ1
среда 2
среда 1
ε2 , µ 2 , σ 2 x
ε1 , µ 1 , σ 1
θ0
Рис. 6.1.
Запишем выражения для комплексных амплитуд напряженностей электрического и магнитного полей падающей, отражённой и
прошедшей волн.
Для падающей волны:
Eпад = E0 exp [−ik1 (m0 , r)] ,
Hпад =
[m0 × E0 ]
exp [−ik1 (m0 , r)] ;
Z1
(6.1)
для отраженной волны:
Eотр = E1 exp [−ik1 (m1 , r)] ,
Hотр =
[m1 × E1 ]
exp [−ik1 (m1 , r)] ;
Z1
6
(6.2)
для преломленной волны:
Eпр = E2 exp [−ik2 (m2 , r)] ,
Hпр =
[m2 × E2 ]
exp [−ik2 (m2 , r)] .
Z2
(6.3)
Здесь r = [x, 0, z] – радиус-вектор, описывающий
p пространственные координаты волн в плоскости XOZ; Zi = Z0 µi /εi – волновое
сопротивление i-среды (i = 1, 2); E0 – амплитуда падающей волны; E1 и E2 – неизвестные амплитуды отражённой и преломленной
волн соответственно.
При z = 0 должны выполняться граничные условия, сводящиеся к требованию непрерывности тангенциальных составляющих
векторов E и H суммарного поля:
Eпад
+ Eотр
= Eпр
τ
τ
τ ,
Hпад
+ Hотр
= Hпр
τ
τ
τ .
Следовательно при z = 0 неизвестные амплитуды E1 и E2 должны
удовлетворять следующим уравнениям:
[z0 , E0 ] e−ik1 (m0 ,r) + [z0 , E1 ] e−ik1 (m1 ,r) = [z0 , E2 ] e−ik2 (m2 ,r) ,
[z0 , [m0 , E0 ]] e−ik1 (m0 ,r) + [z0 , [m1 , E1 ]] e−ik1 (m1 ,r) =
= (Z1 /Z2 ) [z0 , [m2 , E2 ]] e
(6.4)
−ik2 (m2 ,r)
Поскольку соотношения (6.4) должны выполняться для любых значений и на границе z = 0, то
k1 (m0 , r) = k1 (m1 , r) = k2 (m2 , r) .
С учетом того, что (см. рис. 6.1)
m0 = [sinθ0 , 0, cosθ0 ] ,
m1 = [sinθ1 , 0, − cosθ1 ] ,
имеем
m2 = [sinθ2 , 0, − cosθ2 ] ,
k1 sinθ0 = k1 sinθ1 = k2 sinθ2 .
(6.5)
Если волна распространяется из первой среды во вторую, то составляющая вектора m вдоль оси OZ положительна; если волна
распространяется в противоположном направлении эта составляющая отрицательна, то есть
m0z = cosθ0 ≥ 0,
m1z = cosθ1 ≤ 0,
7
m2z = cosθ2 ≥ 0.
Из соотношений (6.5) следует закон отражения для электромагнитной волны от границы раздела сред:
θ′ = π − θ1 = θ0n.1
(6.6)
Из соотношений (6.5) следует также закон Снеллиуса:
k1
v2
sinθ2
=
= ,
sinθ0
k2
v1
(6.7)
где v1,2 – фазовые скорости волн в первой и второй средах.
Формулировка закона Снеллиуса: при падении плоской электромагнитной волны на плоскую границу раздела двух однородных
изотропных непоглощающих сред синусы углов падения и преломления относятся как её фазовые скорости в соответствующих
√
средах. Так как k1,2 = ω εa1,2 µa1,2 ,то можно записать:
r
ε1 µ 1
sinθ2
n1
=
=
.
sinθ0
ε2 µ 2
n2
√
где n1,2 = ε1,2 µ1,2 – относительные показатели преломления первой и второй сред соответственно.
Если k1 > k2 (то есть n1 > n2 ), то говорят, что первая среда
является «оптически более плотной средой», чем вторая.
Из соотношения (6.7) следует, что в этом случае угол преломления больше угла падения (θ2 > θ0 ) (рис. 6.2а). Поэтому
z
θ2
n2 > n1
z
z
x
n1
n2 > n1
θ2
x
θ2
x
n1
n1
θ0
θ0∗
θ0
n2 > n1
θ0 > θ0∗
а)
б)
в)
Рис. 6.2.
при некотором остром угле θ0 = θ0∗ окажется, что угол преломления θ2 – прямой и луч во второй среде направлен , вдоль границы
раздела (рис. 6.2б). Согласно (6.7) условием возникновения такой
ситуации является равенство (θ2 = π/2):
sinθ0∗ =
8
n2
.
n1
Если теперь увеличить угол падения θ0 > θ0∗ , то (n1 /n2 ) sinθ0 >
1 и вещественные углы преломления θ2 отсутствуют, так как sinθ2 >
1, что означает, что преломленной волны не будет. В этом случае
падающая волна будет порождать только отражённую (рис. 6.2в),
а следовательно, энергия во вторую область не поступает. Такое
явление получило название полного внутреннего отражения
от непоглощающей среды.
Рассмотрим теперь другой случай. Пусть вторая среда значительно оптически более плотная, чем первая, то есть n2 ≫ n1 (или
k2 ≫ k1 ). В этом случае из соотношения (6.7) следует, что независимо от величины угла падения θ0 угол преломления θ2 → 0, то
есть при любом угле падения на среду с большим показателем преломления n, плоская электромагнитная волна будет входить в неё
почти по нормали.
6.2.3
Преломление волн при наличии поглощения в среде
Рассмотрим случай, когда вторая среда является поглощающей
(k2 = k2′ − ik2′′ ). В этом случае закон Снеллиуса (6.7) необходимо
переписать в комплексном виде:
sinθ2 =
k2′
k1
sinθ0 .
− ik2′′
z
θ2
z = const
kx x +
θ1
среда 2
θ2
kz z =
const
x
среда 1
θ0
Рис. 6.3.
По смыслу угол падения θ0 может быть только вещественным
и принимать значения в пределах 0 . . . π/2 (0 ≤ sinθ0 ≤ 1). Однако,
так как правая часть закона Снеллиуса является комплексной, то и
sinθ0 также будет являться комплексной величиной. Комплексная
9
амплитуда поля E преломленной волны, исходя из выражений (6.3)
описывается выражением:
Eпр = E2 exp ((−ik2 (x sinθ2 + z cosθ2 ))).
(6.8)
Так как величина k1 sinθ0 является всегда вещественной, то произведение αx = k2 sinθ2 также должно быть вещественным. Это
утверждение следует из закона Снеллиуса (6.7). Вместе с тем величина
q
q
k2 cosθ2 = k2 1 − sin2 θ2 = k22 − k12 sinθ0 ,
является комплексной и представима в виде k2 cosθ2 = αz − iβ, где
αz , β – вещественные функции. Поэтому выражение (6.8) можно
переписать в следующем виде:
Eпр = E2 exp (−βz) exp (−i(αx x + αz z)).
(6.9)
Так как параметр β > 0, то выражение (6.4) описывает поле, затухающее вдоль координаты z, то есть по нормали к поверхности раздела двух сред. Поэтому плоскости равных амплитуд плоской электромагнитной волны во второй (поглощающей) среде будут описываться уравнением
z = const.
Во всех точках, принадлежащих этим плоскостям амплитуда поля
прошедшей волны будет оставаться неизменной.
Рассмотрим теперь фазовый множитель exp(−i(αx x + αz z)) в
выражении (6.9). Величина αx x+αz z представляет собой фазу прошедшей электромагнитной волны, поэтому уравнение
αx x + αz z = const
представляет собой уравнение плоскостей равных фаз. Очевидно,
что в данном случае плоскости равных амплитуд и фаз не совпадают между собой, а ориентированы друг относительно друга под
утлом θ2 (рис. 6.3). Поверхность равных фаз представляет собой
фронт волны. Следовательно в различных точках волнового фронта волна будет иметь различную амплитуду. Плоские электромагнитные волны, для которых поверхности равных фаз и амплитуд не
совпадают называют неоднородными. Угол преломления θ2 между
плоскостями равных фаз и амплитуд в данном случае определяется
равенством:
k sinθ0
αx
q 1
=
tgθ2 =
αz
Re k 2 − k 2 sin2 θ
2
10
1
0
Очевидно, что θ2 является также и углом преломления.
6.2.4
Формулы Френеля
и структура электромагнитного поля
Для определения амплитуд отраженной и преломленной волн
необходимо обратится к системе уравнений (6.4), полученной в результате применения граничных условий. При этом необходимо
рассмотреть два случая падения плоских линейно-поляризованных
волн. На конечный результат большое значение оказывает тот
факт, как ориентирован вектор E падающей волны – лежит ли
он в плоскости падения волны или же он перпендикулярен данной плоскости (то есть лежит в плоскости границы раздела двух
сред). Поэтому в электродинамике различают два типа линейной
поляризации волн при рассмотрении процессов отражения волн от
плоскости раздела:
• H-поляризация (перпендикулярная, магнитная). Электрическое
поле перпендикулярно плоскости падения и, соответственно, параллельно плоскости раздела: оно имеет только составляющую
Ey . Магнитное поле параллельно плоскости падения и имеет составляющие Hx и Hz (рис. 6.1). В оптике эту поляризацию называют S-поляризацией.
• E-поляризация (параллельная, электрическая). Магнитное поле
падающей волны перпендикулярно плоскости падения и, следовательно, параллельно границе раздела: оно имеет только составляющую Hy . Электрическое поле лежит в плоскости падения и
имеет составляющие Ex и Ez . В оптике эту поляризацию называют Р-поляризацией.
Отражение волны с произвольной эллиптической поляризацией от
границы раздела сред можно рассмотреть как результат суперпозиции отражений двух волн указанных поляризаций.
Случай падения волны H-поляризации
Рассмотрим сначала падение плоской волны H-поляризации. В
этом случае электрическое поле имеет только касательную к границе раздела составляющую Ey , а магнитное – касательную Hx и
нормальную Hz . Запишем выражения для полей.
11
• Электромагнитное поле падающей волны:
Eпад = y0 E0 exp (−ik1 (x sinθ0 + z cosθ0 )),
E0
Hпад =
(x0 cosθ0 − z0 sinθ0 ) exp (−ik1 (x sinθ0 + z cosθ0 )).
Z1
• Электромагнитное поле преломленной волны:
Eпр = y0 E2 exp (−ik2 (x sinθ2 + z cosθ2 )),
E2
(x0 cosθ2 − z0 sinθ2 ) exp (−ik2 (x sinθ2 + z cosθ2 )).
Hпр =
Z2
• Электромагнитное поле отражённой волны:
Eот = y0 E1 exp−ik1 (x sinθ0 +z cosθ0 ) ,
E1
Hот = −
(x0 cosθ0 − z0 sinθ0 ) exp−ik1 (x sinθ0 +z cosθ0 ) .
Z1
Потребуем, чтобы на границе раздела сред выполнялись граничные условия, связанные с непрерывностью касательных к границе
раздела сред (тангенциальных) компонент векторов E и H. В данном случае такими составляющими являются Ey и Hx . Граничные
условия должны выполняться при z = 0 и имеют вид:
Eyпад + Eyот = Eyпр ,
Hxпад + Hxот = Hxпр .
Подставляя в эти условия составляющие полей, получаем систему
алгебраических уравнений для определения неизвестных амплитуд
E1 и E2 (амплитуда падающей волны E0 считается заданной):
E0 + E1 = E2 ,
1
1
(E0 cosθ0 − E1 cosθ1 ) =
E2 cosθ2 .
Z1
Z2
(6.10)
Решая систему (6.10), найдем коэффициенты Френеля ρ⊥ и τ⊥ ,
связывающие амплитуды отраженной и прошедшей волн с амплитудой падающей волны:
Z2 cosθ0 − Z1 cosθ2
E1
=
= |ρ⊥ | exp (iϕ⊥ ),
E0
Z2 cosθ0 + Z1 cosθ2
E2
2Z2 cosθ0
τ⊥ =
=
= |τ⊥ | exp (iϕ⊥ ),
E0
Z2 cosθ0 + Z1 cosθ2
ρ⊥ =
12
(6.11)
Нижний индекс «⊥» у коэффициентов отражения ρ⊥ и прохождения τ⊥ указывает на то, что падающее поле E перпендикулярно
плоскости падения (плоскости XOZ).
Случай падения волны Е-поляризации
В случае Е-поляризации магнитное поле имеет только касательную составляющую Hy , а электрическое поле – касательную Ex и
нормальную Ez . Запишем выражения для поля в данном случае.
• Электромагнитное поле падающей волны:
Eпад = E0 (x0 cosθ0 − z0 sinθ0 ) exp (−ik1 (x sinθ0 + z cosθ0 )),
E0
Hпад = −y0
exp (−ik1 (x sinθ0 + z cosθ0 )).
Z1
• Электромагнитное поле преломленной волны:
Eпр = E2 (x0 cosθ2 − z0 sinθ2 ) exp (−ik2 (x sinθ2 + z cosθ2 )),
E2
Hпр = −y0
exp (−ik2 (x sinθ2 + z cosθ2 )).
Z2
• Электромагнитное поле отражённой волны:
Eот = −E1 (x0 cosθ0 − z0 sinθ0 ) exp (−ik1 (x sinθ0 + z cosθ0 )),
E1
exp (−ik1 (x sinθ0 + z cosθ0 )).
Hот = y0
Z1
Воспользовавшись граничными условиями при z = 0:
Exпад + Exот = Exпр ,
Hyпад + Hyот = Hyпр ,
получаем систему алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд E1 и E2 :
(E0 + E1 ) cosθ0 = E2 cosθ2 ,
Z2 (E0 + E1 ) = Z1 E2 .
В случае E-поляризации расчёт коэффициентов отражения и прохождения целесообразно проводить относительно вектора H. Поэтому определим ρk и τk следующим образом:
ρk =
Hyот (z = 0)
E1
=− ,
пад
Hy (z = 0)
E0
τk =
13
Hyпр (z = 0)
E2 Z 1
=
,
пад
Hy (z = 0)
E0 Z 2
где нижний индекс «k» указывает на то, что падающее поле E волны параллельно плоскости падения (плоскости XOZ). Коэффициенты Френеля, связывающие амплитуды отраженной и прошедшей
волн с амплитудой падающей волны, равны:
Z2 cosθ2 − Z1 cosθ0
= |ρk | expiϕk ,
Z2 cosθ2 + Z1 cosθ0
2Z2 cosθ0
= |τk | expiϕk .
τk = −
Z2 cosθ2 + Z1 cosθ0
ρk = −
(6.12)
Соотношения (6.11) и (6.12) называются ормулами Френеля.
Впервые они были получены Френелем в несколько другом виде
еще в 1823 году.
Запишем формулы Френеля для случая немагнитных сред
(mu1 = µ2 = 1). Так как в этом случае
√
ε1
Z2
sinθ2
=
=
,
sinθ0
ε2
Z1
то
ρ⊥ = −
ρk =
sin(θ0 − θ2 )
,
sin(θ0 + θ2 )
tg(θ0 − θ2 )
,
tg(θ0 + θ2 )
τk =
τ⊥ =
2 sinθ2 cosθ0
sin(θ0 + θ2 )
2 sinθ2 cosθ0
sin(θ0 + θ2 ) cos(θ0 − θ2 )
(6.13)
(6.14)
Будем считать, что в средах 1 и 2 (см.рис. 6.1) отсутствуют потери, то есть проницаемости сред ε1 и ε2 – чисто действительные
величины. В этом случае углы θ0 и θ2 – вещественны (случай полного внутреннего отражения пока исключаем), и тригонометрические
функции, стоящие в правых частях формул (6.13) и (6.14), также
вещественны. Следовательно, фаза каждой компоненты отраженной и прошедшей волн либо равна фазе соответствующей компоненты падающей волны, либо отличается от неё на π. Так как знаки
коэффициентов τ⊥ и τk соответственно совпадают со знаками E0 и
H0 , то фазы преломленных волн равны фазам падающих волн. Для
отраженной волны фаза будет зависеть от отношения θ0 и θ2 . Если
оптическая плотность второй среды больше, чем первой (ε1 < ε2 ),
то θ0 > θ2 .
Поэтому, согласно формуле (6.13), знаки ρ⊥ и E0 различны и
фазы отличаются друг от друга на π. При тех же обстоятельствах
значение tg(θ0 − θ2 ) в ρk положительно, но знаменатель tg(θ0 + θ2 )
при θ0 + θ2 > π/2 становится отрицательным, и в этом случае фазы
14
|ρ⊥ |
ϕ⊥
π
0.5
2
ϕk
0
π/4
а)
ϕk
ϕk
ρ0
|ρ⊥ |
0.5
|ρk |
ϕ⊥
θ0
π/2
π
2
|ρk |
0
б)
θБ
θ0
Рис. 6.4.
ρk и H0 отличаются друг от друга на π. Аналогичное рассмотрение
можно провести для случая, когда вторая среда оптически менее
плотная, чем первая.
Для нормального падения θ0 = 0 и из закона Снеллиуса следует,
что θ2 = 0. Тогда соотношения (6.11) и (6.12) примут более простой
вид:
2Z2
Z2 − Z1
, τ⊥ =
,
(6.15)
ρ⊥ =
Z2 + Z1
Z2 + Z1
ρk = −ρ⊥ , τk = τ⊥ .
(6.16)
6.2.5
Поляризация волны при отражении и преломлении.
Угол Брюстера.
Рассмотрим зависимости коэффициентов Френеля (6.13) и
(6.14) от параметров сред. Поведение коэффициента ρ⊥ для волны
H-поляризации не имеет каких-либо особенностей. В частности, обращение ρ⊥ в нуль возможно лишь при одинаковых ε1 и ε2 , когда
свойства первой и второй сред идентичны и отражение исчезает
по существу вместе с исчезновением границы раздела. Коэффициент ρk для E-поляризованной волны также обращается в нуль при
θ0 + θ2 = π/2. Угол θ0 , как легко видеть, в этом случае (µ1 = µ2 )
определяется из равенства
r
ε2
tgθ0 =
.
(6.17)
ε1
Угол θ0 = θБ , определяемый равенством (6.17), называется углом
Брюстера или углом полной поляризации. Второе название
связано с тем фактом, что при падении произвольно поляризованной волны на границу раздела под углом θБ отраженная волна оказывается H-поляризованной.
15
При изменении угла падения в интервале 0 6 θ0 6 θБ модуль ρk
убывает от величины
√
√
ε2 − ε2
ρk = ρ⊥ = √
√ = ρ0
ε2 + ε2
(6.18)
при θ0 = 0 до нуля при θ0 = θБ ; при изменении θ0 от θБ до π/2 коэффициент ρk возрастает от 0 до 1. Сдвиг фазы коэффициента ρk
при 0 6 θ0 6 θБ равен нулю; при θБ 6 θ0 6 π/2 он равен π, то есть
изменяется скачком при переходе θ0 через угол θБ . Сдвиг фазы коэффициента ρ⊥ для волны с горизонтальной поляризацией равен π.
На рис.6.4 приведены графики зависимостей модулей и фаз коэффициентов Френеля от утла падения для двух поляризаций волны
при изменении угла падения θ0 от 0 до π/2.
6.2.6
Падение электромагнитной волны
на плоскую проводящую среду
Рассмотрим отражение и преломление падающей плоской электромагнитной волны на границе раздела «диэлектрик-проводник».
Будем исходить из геометрии задачи, изображенной на рис. 6.1.
Пусть на границу раздела двух сред из первой среды падает плоская волна под углом θ0 к оси OZ. Для определенности, будем считать, что первая среда – воздух, то есть µ1 = ε1 = 1, σ1 = 0. Свойства второй среды (проводника) будем характеризовать некоторой
диэлектрической проницаемостью ε1 и удельной проводимостью σ2 .
Положим µ2 = 1, что справедливо для большинства металлов.
Как известно, для проводника вследствие потерь, вызываемых
проводимостью σ, в случае рассмотрения гармонических процессов
вводят комплексную диэлектрическую проницаемость:
ε2 = ε′2 −
iσ2
ωε0
(6.19)
Тогда для волнового числа в проводнике получаем:
√
k 2 = k 0 ε2 = k 0
r
ε′2 −
iσ2
ωε0
(6.20)
Напомним, что волна в проводнике (преломленная) является плоской неоднородной волной.
16
6.2.7
Приближенные граничные условия
Щукина-Леонтовича
Как было отмечено выше критерием проводящей среды является условие |σ2 /(ωε0 )| ≫ 1 Поэтому при падении плоской гармонической волны из воздуха на проводник, оптическая плотность
которого во много раз больше оптической плотности воздуха, вне
зависимости от угла падения θ0 волны преломленная волна будет
распространяться близко (почти) по нормали к поверхности проводиника (θ2 → 0). Поэтому в качестве поверхностей равных фаз
можно брать плоскости z = const, которые будут совпадать с поверхностями равных амплитуд. Это значит, что любые поля в первой среде (воздухе) вызывают во второй процесс, близкий к плоской однородной волне, фронт которой параллелен границе. Когда
вторая среда – проводник, волновой процесс относительно быстро
затухает. Расстояние ∆0 , на котором поле в проводнике уменьшается в e раз;
r
2
0
,
∆ =
ωµ0 µ2 σ2
называется глубиной проникновения. Очевидно, что глубина
проникновения ∆0 = 1/k2′′ . Например, для меди при частоте f =
100 КГц глубина проникновения составляет порядка 0.2 мм, а при
f = 104 МГц уже порядка 6.6 ∗ 104 мм.
Если размеры проводящего тела значительно превосходят глубину проникновения ∆0 , то можно считать, что поле в нём сосредоточено вблизи поверхности. Это явление получило название поверхностного эффекта. В зарубежной литературе чаще упоминается другое название – скин-эффект(от англ, skin – «кожа»).
Из-за наличия скин-эффекта можно сделать вывод о том, что
глубокие слои проводника не оказывают никакого влияния на электромагнитный процесс у его границы. Векторы E и H внутри проводника всегда являются параллельными к границе раздела слоев,
так как волна распространяется нормально к поверхности раздела. Поэтому, вообще говоря, в структуре электромагнитного поля
волны вблизи границы раздела сред (z = 0) будут присутствовать
только тангенциальные составляющие, то есть
E = Eτ ,
H = Hτ .
(6.21)
Во второй (проводящей) среде векторы E и H связаны соотно17
шением:
i
h
E(2) = −Z2 z0 , H(2) .
(6.22)
где z0 – единичный вектор, направленный вдоль оси OZ (внутрь
проводящей среды);
Z2 =
r
µ0
,
εk2
εk2 = ε2 −
iσ2
.
ω
Точные граничные условия на границе раздела сред (воздухпроводник) сводятся к равенству тангенциальных компонент полей
при z = 0:
(2)
E(1)
τ = Eτ ,
(2)
H(1)
τ = Hτ ,
(6.23)
С учетом граничных условий (6.22) соотношение (6.21) принимает
вид:
i
h
(6.24)
E(1) = −Z2 z0 , H(1) .
Физически, равенство (6.23) устанавливает связь между полями
E(1) и H(1) в первой (непроводящей) среде на границе с проводником через волновое сопротивление второй среды. Это и есть приближенное граничное условие Щукина-Леонтовича. Заметим, что соотношение (6.23) для случая нормального падения является точным.
В заключение запишем граничное условие Щукина-Леонтовича
(6.23) в проекциях на оси декартовой системы координат для геометрии задачи, показанной на рис. 6.1:
Ex(1) = Z2 Hy(1) ,
6.3
6.3.1
Ey(1) = Z2 Hx(1) .
Порядок выполнения работы
Подготовительные операции
Для выполнения лабораторной работы запустите файл NLO01.
В результате будет запущена программа «Формулы Френеля».
Главное окно программы показано на рисунке 6.5.
18
Рис. 6.5. Главное окно программы «Формулы Френеля»
Упражнение 1. Расчёт коэффициентов отражения и прохождения электромагнитной волны при её падении из вакуума на диэлектрик без потерь. Случай перпендикулярной поляризации
Для выполнения упражнения введите в соответствующие поля
программы значения диэлектрической и магнитной проницаемости
областей 1 и 2 (таблица 6.1). Число точек расчета равно 20. Выберите тип поляризации – перпендикулярная поляризация. Для выполнения расчета нажмите кнопку <Расчет зависимостей коэффициентов R и T от угла падения Θ>. После выполнения расчета в
Таблица
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6.1. Варианты заданий для упражнений 1 и 2
ε1
µ1
ε2
µ2
1
1
2
1
1
1
3
2
1
1
4
1
1
1
5
2
1
1
6
2
1
1
5
1
1
1
4
2
1
1
3
1
1
1
3
3
1
1
2
4
19
программе будет заполнена таблица «Результаты расчета». Перепишите значения показателей преломления областей 1 и 2 и импедансы областей 1 и 2 из списка «Рассчитанные параметры структуры».
В отчет должны быть также включены:
1. Графики зависимостей |R| и |T | от угла падения, построенные
по значениям из 2 и 3 столбцов в таблице «Результаты расчета».
Оба графика должны быть построены в одной системе координат
2. Графики зависимостей фаз R и T от угла падения, построенные
по значениям из 4 и 5 столбцов в таблице «Результаты расчета».
Оба графика должны быть построены в одной системе координат
3. Выводы о характере поведения коэффициентов отражения и
прохождения при изменении угла падения в случае падения волны с перпендикулярной поляризацией
Упражнение 2. Расчёт коэффициентов отражения и прохождения электромагнитной волны при её падении из вакуума на диэлектрик без потерь. Случай параллельной поляризации
Для выполнения упражнения используйте данные из таблицы
6.1. Выберите тип поляризации – параллельная поляризация. Для
выполнения расчета нажмите кнопку <Расчет зависимостей коэффициентов R и T от угла падения Θ>. После выполнения расчета
в программе будет заполнена таблица «Результаты расчета». Перепишите значения показателей преломления областей 1 и 2 и импедансы областей 1 и 2 из списка «Рассчитанные параметры структуры». Определите угол Брюстера.
В отчет должны быть также включены:
1. Графики зависимостей |R| и |T | от угла падения, построенные
по значениям из 2 и 3 столбцов в таблице «Результаты расчета».
Оба графика должны быть построены в одной системе координат.
2. Графики зависимостей фаз R и T от угла падения, построенные
по значениям из 4 и 5 столбцов в таблице «Результаты расчета».
Оба графика должны быть построены в одной системе координат.
20
3. Выводы о характере поведения коэффициентов отражения и
прохождения при изменении угла падения в случае падения волны с параллельной поляризацией. Укажите физический смысл
угла Брюстера.
Упражнение 3. Расчёт коэффициентов отражения и прохождения электромагнитной волны при её падении из оптически более плотной среды в воздух. Случай перпендикулярной поляризации
Таблица
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6.2. Варианты заданий для упражнений 3 и 4
ε1
µ1
ε2
µ2
2
1
2
1
3
2
3
2
4
1
4
1
5
2
5
2
6
2
6
2
5
1
5
1
4
2
4
2
3
1
3
1
3
3
3
3
2
4
2
4
Для выполнения упражнения введите в соответствующие поля
программы значения диэлектрической и магнитной проницаемости
областей 1 и 2 (таблица 6.2). Число точек расчета равно 20. Выберите тип поляризации – перпендикулярная поляризация. Для выполнения расчета нажмите кнопку <Расчет зависимостей коэффициентов R и T от угла падения Θ>. После выполнения расчета в
программе будет заполнена таблица «Результаты расчета». Перепишите значения показателей преломления областей 1 и 2 и импедансы областей 1 и 2 из списка «Рассчитанные параметры структуры».
Определите угол полного внутреннего отражения.
В отчет должны быть также включены:
1. Графики зависимостей |R| и |T | от угла падения, построенные
по значениям из 2 и 3 столбцов в таблице «Результаты расчета».
Оба графика должны быть построены в одной системе координат.
2. Графики зависимостей фаз R и T от угла падения, построенные
по значениям из 4 и 5 столбцов в таблице «Результаты расчета».
21
Оба графика должны быть построены в одной системе координат.
3. Выводы о характере поведения коэффициентов отражения и
прохождения при изменении угла падения в случае падения
волны с перпендикулярной поляризацией. Укажите физический
смысл угла полного внутреннего отражения.
Упражнение 4. Расчёт коэффициентов отражения и прохождения электромагнитной волны при её падении из оптически более плотной среды в воздух. Случай параллельной поляризации.
Для выполнения упражнения используйте данные из таблицы
6.2. Выберите тип поляризации – параллельная поляризация. Для
выполнения расчета нажмите кнопку <Расчет зависимостей коэффициентов R и T от угла падения Θ>. После выполнения расчета
в программе будет заполнена таблица «Результаты расчета». Перепишите значения показателей преломления областей 1 и 2 и импедансы областей 1 и 2 из списка «Рассчитанные параметры структуры». Определите углы Брюстера и полного внутреннего отражения.
В отчет должны быть также включены:
1. Графики зависимостей |R| и |T | от угла падения, построенные
по значениям из 2 и 3 столбцов в таблице «Результаты расчета».
Оба графика должны быть построены в одной системе координат.
2. Графики зависимостей фаз R и T от угла падения, построенные
по значениям из 4 и 5 столбцов в таблице «Результаты расчета».
Оба графика должны быть построены в одной системе координат.
3. Выводы о характере поведения коэффициентов отражения и
прохождения при изменении угла падения в случае падения волны с параллельной поляризацией.
Упражнение 5. Расчёт коэффициентов отражения и прохождения электромагнитной волны при её падении из вакуума на диэлектрик с потерями. Случай перпендикулярной поляризации
Для выполнения упражнения введите в соответствующие поля
программы значения диэлектрической и магнитной проницаемости
22
Таблица 6.3. Варианты заданий для упражнений 5 и 6
Вариант ε1
µ1
ε2
µ2
1
1
1
2-0.2i
1
2
1
1
3-0.2i
2
3
1
1
4-0.4i
1
4
1
1
5-0.5i
2
5
1
1
6-0.3i
2
6
1
1
5-0.4i
1
7
1
1
4-0.2i
2
8
1
1
3-0.4i
1
9
1
1
3-0.3i
3
10
1
1
2-0.5i
4
областей 1 и 2 (таблица 6.3). Число точек расчета равно 20. Выберите тип поляризации – перпендикулярная поляризация. Для выполнения расчета нажмите кнопку <Расчет зависимостей коэффициентов R и T от угла падения Θ>. После выполнения расчета в
программе будет заполнена таблица «Результаты расчета». Перепишите значения показателей преломления областей 1 и 2 и импедансы областей 1 и 2 из списка «Рассчитанные параметры структуры».
В отчет должны быть также включены:
1. Графики зависимостей |R| и |T | от угла падения, построенные
по значениям из 2 и 3 столбцов в таблице «Результаты расчета».
Оба графика должны быть построены в одной системе координат
2. Выводы о характере поведения коэффициентов отражения и
прохождения при изменении угла падения в случае падения волны с перпендикулярной поляризацией
3. Сравнение полученных зависимости |R| и |T | с аналогичными характеристиками из упражнения 1 с выводами о том, как потери
в диэлектрике влияют на коэффициенты отражения и прохождения
Упражнение 6. Расчёт коэффициентов отражения
и прохождения электромагнитной волны
при её падении из вакуума на диэлектрик
с потерями. Случай параллельной
поляризации
Для выполнения упражнения введите в соответствующие поля
программы значения диэлектрической и магнитной проницаемости
23
областей 1 и 2 (таблица 6.3). Число точек расчета равно 20. Выберите тип поляризации – перпендикулярная поляризация. Для выполнения расчета нажмите кнопку <Расчет зависимостей коэффициентов R и T от угла падения Θ>. После выполнения расчета в
программе будет заполнена таблица «Результаты расчета». Перепишите значения показателей преломления областей 1 и 2 и импедансы областей 1 и 2 из списка «Рассчитанные параметры структуры».
В отчет должны быть также включены:
1. Графики зависимостей |R| и |T | от угла падения, построенные
по значениям из 2 и 3 столбцов в таблице «Результаты расчета».
Оба графика должны быть построены в одной системе координат.
2. Выводы о характере поведения коэффициентов отражения и
прохождения при изменении угла падения в случае падения волны с параллельной поляризацией.
3. Сравнение полученных зависимостей |R| и |T | с аналогичными
характеристиками из упражнения 1 и вывод о том, как потери в
диэлектрике влияют на коэффициенты отражения и прохождения.
6.4
Контрольные вопросы
1. Перпендикулярная и параллельная поляризации плоских волн.
2. Закон отражения. Закон Снеллиуса.
3. Формулы Френеля для случая падения волны с параллельной
поляризацией.
4. Формулы Френеля для случая падения волны с перпендикулярной поляризацией.
5. Угол Брюстера. Поляризация волны при отражении.
6. Явление полного внутреннего отражения.
7. Нормальное падение плоской электромагнитной волны на границу раздела двух диэлектрических сред.
8. Преломление при наличии поглощения в среде.
9. Падение плоской электромагнитной волны на границу раздела
«диэлектрик-проводник».
10. Приближённые граничные условия Леонтовича-Щукина.
24
Лабораторная работа №7
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕЛИЙ-НЕОНОВОГО
ЛАЗЕРА
7.1
Цели работы
• Изучить устройство и принцип действия гелий-неонового лазера;
• Экспериментально исследовать его характеристики.
7.2
7.2.1
Краткие теоретические сведения
Принцип работы гелий-неонового лазера
Газовый лазер – это оптический квантовый генератор (ОКГ),
в котором для генерации монохроматических когерентных электромагнитных колебаний оптического диапазона используется явление
вынужденного излучения в газообразной активной среде.
Исследуемый прибор относится к классу атомных газоразрядных лазеров. Первая характеристика – атомный – означает, что для
генерации излучения используются вынужденные квантовые переходы между энергетическими уровнями нейтральных атомов газа.
Вторая характеристика – газоразрядный – означает, что инверсия
населенностей энергетических уровней, необходимая для возбуждения вынужденного излучения, достигается за счет соударения
атомов газа с быстролетящими электронами в процессе электрического разряда.
В исследуемом приборе активной средой является смесь газов
гелия (He) и неона (Ne), которая заполняет активный элемент –
газоразрядную трубку. Неон является рабочим газом; это означает,
что лазерными уровнями, то есть уровнями, используемыми для
генерации вынужденного излучения, являются уровни возбужденных атомов неона. Гелий является вспомогательным газом, посредником при передаче возбуждения от электронов к атомам неона.
Для пояснения принципа действия на рисунке 7.1. представлена
диаграмма энергетических уровней и квантовых переходов в гелийнеоновом лазере. Основные состояния атомов гелия и неона обозначены через ε1 , возбужденные состояния гелия – через ε2 , ε3 . Возбужденные состояния неона обозначены по Пашену: ns – метастабильные уровни, np – короткоживущие уровни. Эти состояния являются вырожденными – каждое из них представляет собой группу
близко расположенных подуровней. Подуровни каждого состояния
25
нумеруются в порядке убывания энергии дополнительными индексами, которые указываются сбоку около каждой группы. Так около
состояния 2p стоят цифры 1 . . . 10; это означает, что 10 подуровней
этого состояния нумеруются от 2p1 до 2p10 .
энергия, эВ
21
e3
II
e2
20
3s
2s
II
2
l1
5
2
5
3p
1
10
l2
l3
2p
19
I
III
IV
1
10
18
V
17
1s
2
5
16
VI
0
e1
He
Ne-рабочийгаз
основной
уровень
Рис. 7.1. Диаграмма энергетических уровней и квантовых переходов в
гелий-неоновом лазере
ε1 – основной уровень; ε2 , ε3 – возбужденные метастабильные уровни He;
I – заселение верхних уровней He путем электрической накачки; II – резонансная передача возбуждения от атомов He атомам
Ne при их соударениях, сопровождающаяся переходом атомов He
в основное состояние (III), а атомов Ne – в возбужденное состояние (IV); V – спонтанное излучение Ne (обычное свечение Ne); VI
– диффузия при соударениях со стенками;
3s ⇒ 3p → λ1 (ИКЛ);
3s ⇒ 2p → λ2 (ВЛ);
2s ⇒ 2p → λ3 (ИКЛ).
Для создания инверсии населенностей используется электрическая накачка – возбуждение тлеющего разряда в газообразной трубке. При разряде вследствие неупругих соударений со свободными
26
электронами происходит возбуждение атомов гелия, которые могут переходить на метастабильные уровни ε2 и ε3 (стрелки I). Эти
уровни близки к уровням 2s или 3s неона. Поэтому при неупругих
соударениях возбужденных атомов гелия с невозбужденными атомами неона происходит передача избыточной энергии атомов гелия
атомам неона (стрелки II). Атомы гелия переходят в основное состояние (стрелки III), а атомы неона – в возбужденные состояния
2s и 3s (стрелки IV). Так как время жизни атомов неона на уровнях
2s, 3s больше, чем на уровнях 2p, 3p (уровни 2s,3s – метастабильные, а уровни 2p, 3p – короткоживущие), при определенном токе
разряда возникает инверсия населенностей и вынужденное излучение в переходах: 3s ⇒ 3p – излучение в ИК диапазоне; 3s ⇒ 2p –
излучение в диапазоне видимых лучей (ВИД); 2s ⇒ 2p – излучение
в ИК диапазоне.
Частицы с уровней 3p, 2p возвращаются на основной уровень ε1
в два этапа. Сначала происходит спонтанный переход на метастабильный уровень 1s, сопровождающийся обычным свечением неона
(стрелка V). Затем частицы удаляются с уровня 1s из-за диффузии на стенки трубки, которым они отдают избыток своей энергии
(стрелка VI).
Вследствие кратности состояний неона инверсию населенностей
и генерацию можно получить на большом числе переходов с различными длинами волн. Выделение генерации на одном из переходов с определенной длиной волны излучения осуществляется за
счет избирательных свойств колебательной системы.
7.2.2
Устройство гелий-неонового лазера
Устройство гелий-неонового лазера схематически показано на
рисунке 7.2. В комплект прибора входят источник питания 1 и излучатель 2. Основными элементами излучателя 2 являются колебательная система 3,4 и активный элемент 5.
На рисунке: 1 – источник питания; 2 – излучатель; 3,4 – оптический
резонатор (3 – сферическое зеркало, 4 – плоское выходное зеркало);
5 – активный элемент – двухэлектродная газоразрядная трубка; 6
– анод; 7 – катод; 8 – кварцевые пластины.
Колебательная система представляет собой оптический резонатор Фабри-Перо. Он образован двумя диэлектрическими многослойными зеркалами (сферическим 3 и плоским 4), обладающими
весьма большими значениями коэффициента отражения (примерно
27
2
5
He+Ne
8
8
3
qб
4
7
6
1
-
~
Рис. 7.2. Устройство гелий-неонового лазера
0.98). Вывод излучения осуществляется со стороны плоского зеркала 6. Зеркала закреплены в торцевых фланцах держателя оптики.
Держатель оптики выполнен на основе уголка из алюминиевого
сплава.
Активный элемент 5 представляет собой двухэлектродную газоразрядную трубку постоянного тока, наполненную смесью газов
гелия и неона, находящейся при низком давлении. В отростках газоразрядной трубки расположены анод 6 и подогревной катод 7.
Использование подогревного катода позволяет снизить напряжение поджига за счет увеличения начальной концентрации свободных электронов. Выходные окна 8 активного элемента 5 выполнены в виде кварцевых пластин, ориентированных так, что нормали
к ним составляют с оптической осью резонатора угол Брюстера θб .
Благодаря этому отраженное от окон излучение поляризовано нормально к плоскости падения, а излучение, поляризованное в плоскости падения, проходит через окна без потерь на отражение. Такое
28
расположение окон эквивалентно их просветлению для одного вида поляризации, в результате чего генерируемое излучение имеет
поляризацию, близкую к линейной.
7.3
Домашнее задание
• используя рекомендуемую литературу [8]-[11], изучить устройство, принцип действия и основные характеристики гелийнеонового лазера;
• изучить функциональную схему и описание лабораторной установки;
• ответить на контрольные вопросы;
• оформить заготовку отчета.
7.4
Порядок выполнения работы
Внимание! В процессе выполнения работы следует:
• соблюдать правила работы с высоким напряжением;
• избегать прямого попадания лазерного излучения в глаза;
• не вращать винты юстировки зеркал излучателя.
7.4.1
Описание исследуемого прибора
и лабораторной установки
Функциональная схема лабораторной установки представлена
на рис. 7.3. В установку входят источник питания 1 и излучатель 2
гелий-неонового лазера, а также оптические элементы для исследования лазерного излучения, закрепленные на линейке, жестко связанной с держателем оптики лазера: фотодетектор 3, поляризатор
П, дифракционная решетка ДР, экран Э.
Фотодетектор 3 служит для регистрации и измерения мощности
оптического излучения. Он состоит из фоторезистора 4 типа ФСК1, расположенного в непрозрачной экранирующей камере, тумблера включения питания 5, потенциометра 6 для установки напряжения питания фоторезистора, вольтметра 7 для измерения этого
напряжения и амперметра 8 для измерения тока фоторезистора, по
величине которого определяется мощность излучения.
Поляризатор П служит для анализа поляризации оптического
излучения. Он выполнен на основе поляроида – тонкой кристалли29
8
Iф
G
5
6
7 U
а)
4
2
-~
1
П
G
б)
4
2
3
P
G
Э
в)
l
2
Э
Э
G
y/2
DD/2
y
г)
D2
D1
2
Dl
Рис. 7.3. Функциональная схема лабораторной установки для исследования ОКГ
ческой пластины, которая пропускает излучение с линейной поляризацией электрического поля в направлении кристаллографической оси поляроида и поглощает излучение, поляризованное в перпендикулярном направлении. Если электрическое поле падающего излучения линейно поляризовано под углом θ к оси поляроида,
то через поляроид пройдет только часть светового пучка, энергия
которого пропорциональна cos2 θ (закон Малюса). В поляризато30
ре предусмотрены вращение поляроида и отсчет углового положения его кристаллографической оси по шкале транспортира. Вращение поляроида и регистрация интенсивности прошедшего светового
пучка позволяют определить поляризацию падающего света.
Дифракционная решетка ДР представляет собой прозрачную
пластину, на которую нанесены штрихи с постоянным расстоянием
друг от друга d, называемым периодом решетки. Для используемой
в работе решетки d = 10 мкм. Если на ДР падает плоская световая
волна, то свет, прошедший между штрихами, испытывает дифракцию. Максимумы дифракционной картины наблюдаются в тех направлениях, для которых разность хода соседних лучей d · sin ϕk
кратна целому числу длин волн:
d · sin ϕk = k · λ,
(7.1)
где ϕk – угол дифракции; d – период решетки; λ – длина волны
излучения; k = 0, 1, 2 . . . – порядок дифракционного максимума.
7.4.2
Подготовительные операции
Тумблером «Сеть» на панели источника питания 1 включить
питание лазера, после чего должна загореться индикаторная лампочка включения. Тумблером 5 включить питание фотодетектора
3. С помощью потенциометра 6 и вольтметра 7 установить напряжение питания фотодетектора равным U = 14В. В дальнейшем
поддерживать это напряжение неизменным.
7.4.3
Измерение мощности излучения и исследование
ее зависимости от тока разряда
Установить элементы лабораторной установки согласно схеме
рис. 7.3а, т.е. повернуть поляризатор П, дифракционную решетку
ДР и экран Э так, чтобы их плоскости не пересекали направление
лазерного луча. По амперметру 8 фотодетектора отсчитать значение тока фоторезистора Iф , по величине которого определить мощность излучения P .
Для определения мощности излучения используется зависимость тока фоторезистора (фототока) Iф от светового потока, проходящего через рабочую площадь фоторезистора, и выражение светового потока через интенсивность падающего излучения. На основании этого мощность излучения Р выражается через величину
31
фототока Iф соотношением:
P =
Sл I ф
M
·
·
,
Kλ K S ф U
где M = 1.466 · 10−3 – механический эквивалент света; Kλ – относительная световая эффективность для данной длины волны излучения; K – удельная интегральная чувствительность фоторезистора (См/лм); Sф – рабочая площадь фоторезистора; Sл – площадь сечения луча; U – напряжение, приложенное к фоторезистору. Учитывая, что для рабочей длины волны исследуемого лазера
(λ ≈ 0.63мкм) Kλ = 0.24 для используемого фоторезистора типа
(ФСК-1) K = 6 · 10−3 См/лм, а также приближенно считая площадь сечения луча равной площади фоторезистора Sл ≈ Sф , получим рабочее соотношение для определения мощности излучения P
по величине фототока Iф :
(7.2)
P = 1.02 · Iф /U.
Измерив фототок Iф , рассчитать значение мощности излучения P .
Результаты занести в таблицу 7.1.
Таблица 7.1.
1
2
···
20
Iф , мкА
P, мкВт
7.4.4
Исследование поляризационной характеристики
лазерного излучения
Между излучателем 2 и фотодетектором 3 установить перпендикулярно направлению лазерного луча поляризатор П (схема рис.
7.3б). Изменяя угловое положение поляроида θ в пределах 0 . . . 360◦
через 15◦ и измеряя при каждом значении θ, фототок Iф , снять
нормированную поляризационную характеристику излучения, т.е.
зависимость от угла θ нормированной мощности излучения:
P ∗ (θ) = P (θ)/Pmax = Iф (θ)/Iф max
Результаты занести в таблицу 7.2, построить график зависимости
P ∗ (θ). Определить характер поляризации излучения.
32
Таблица 7.2.
1
2
···
24
θ, град
Iф , мкА
P ∗ = P/Pmax = Iф (θ)/Iф max
7.4.5
Набдюдение дифракионной картины
и измерение длины волны излучения
Между излучателем 2 и фотодетектором 3 установить перпендикулярно направлению лазерного луча дифракционную решетку
ДР и экран Э (схема рис. 7.3в). Изменяя расстояние между ДР и
экраном, добиться четкого изображения на экране дифракционной
картины, содержащей не менее 5 пятен (дифракционных максимумов): центрального (нулевого порядка, k = 0) и двух боковых с
каждой стороны (1-го и 2-го порядков, k = 1, 2). Измерить расстояние между ДР и экраном 1 и расстояние bk между максимумами
нулевого и k-го порядков. Используя соотношение (7.1), по полученным данным определить длину волны излучения
λk = d · sin ϕk /k = d · bk /(k · l),
(7.3)
где k = 0, 1, 2, . . . – порядок дифракционного максимума; d – период
решетки (d = 10 мкм); ϕk – угол дифракции; bk – расстояние между
максимумами нулевого и k-го порядков; l – расстояние между ДР
и экраном. Произвести измерение λk для двух значений k = 1, 2,
определить средние значения длины волны λср и частоты fср излучения:
λср = (λ1 + λ2 )/2; fср = c/λср ,
где c = 3 · 108 м/с – скорость света в вакууме. Результаты занести
в таблицу 7.3.
7.4.6
Измерение угла расходимости лазерного луча
Между излучателем 2 и фотодетектором 3 установить перпендикулярно направлению лазерного луча экран Э (схема рис.7.3г).
Фиксируя экран Э в двух положениях, отстоящих друг от друга
на расстоянии ∆l = l2 − l1 = 500 мм, измерить в каждом из них
33
Таблица 7.3.
I = . . . см
k=1
k=2
bk , см
λk , мкм
λср = . . . мкм, fср = . . . Гц
диаметр пятна, воспроизводимого на экране D1 , D2 . По результатам измерений определить угол расходимости луча ψ с помощью
соотношений:
ψ[рад] = tan ψ =
D2 − D1
∆D
=
;
∆l
l2 − l1
180
· 60 · ψ[рад] = 3.4 · 103 · ψ[рад].
π
Сравнить полученный результат с предельным значением расходимости:
p
ψрад [рад] = λ/L,
ψ[мин] =
где L – длина лазера (L = 0, 3м).
7.4.7
Определение добротности и полосы резонанса
оптического резонатора
Используя полученное по формуле (7.3) значение длины волны
излучения λ, определить добротность Q и полосу резонанса 2∆fp
оптического резонатора. При учете только одного механизма потерь энергии, связанного с выходом энергии через зеркала, добротность определяется на основе следующих соображений. Энергия рабочего типа колебаний резонатора W рассматривается как сумма
энергий двух бегущих плоских волн противоположного направления – прямой (W+ ) и обратной (W− ): W = W+ + W− . Энергию
потерь прямой и обратной плоских волн при однократном отражении можно представить в виде W±n = (1 − R)W± , где R – энергетический коэффициент отражения зеркал. Эта энергия теряется за
время ∆t = L/c одного прохода каждой из плоских волн по длине
резонатора L, поэтому мощности потерь этих волн выражаются соотношением P±n = W±n /∆t = (1 − R)W± L/c а полная мощность потерь резонатора составит P п = P+п + P−п = (1 − R)W L/c. Используя
34
последнее соотношение и общее энергетическое определение добротности, получаем:
Q=
2πf W
2πL
=
.
Pn
λ(1 − R)
Полоса резонанса резонатора определяется соотношением:
2∆fp = f /Q = c(Qλ).
При вычислениях использовать: λ = λср (табл. 7.3), R = 0.98, L =
0.3.
7.5
Содержание отчета
1. Номер, название и цель работы.
2. Функциональная схема лабораторной установки.
3. Результаты измерений и расчетов:
•
•
•
•
•
п.7.4.3
п.7.4.4
п.7.4.5
п.7.4.6
п.7.4.7
–
–
–
–
–
табл. 7.1, график P (Ip );
табл. 7.2, график P ∗ (θ);
табл. 7.3;
значения ψ и ψср ;
значения Q и 2∆fp .
4. Выводы по результатам работы.
5. Краткие теоретические сведения
7.6
Контрольные вопросы
1. Виды квантовых переходов.
2. Связь между разностью энергий рабочих уровней и частотой
вынужденного излучения.
3. При каком соотношении населенностей уровней возможны усиление и генерация электромагнитных колебаний в квантовых
приборах?
4. Понятия инверсии населенностей уровней и активной среды.
5. К каким классификационным группам относится гелий-неоновый
лазер?
6. Устройство, схема питания и назначение основных элементов гелий – неонового лазера.
35
7. Диаграмма энергетических уровней и квантовых переходов в
гелий- неоновом лазере.
8. Основные физические процессы в гелий-неоновом лазере.
9. Способ создания инверсии населенностей уровней в гелийнеоновом лазере.
10. Рабочий газ и рабочие квантовые переходы в гелий-неоновом
лазере.
11. Назначение, тип и устройство колебательной системы гелийнеонового лазера.
12. Характер поляризации излучения гелий-неонового лазера. Чем
он определяется?
13. Объяснить характер зависимости мощности излучения гелий –
неонового лазера от тока разряда.
14. Спектр излучения гелий-неонового лазера.
15. Типичные значения основных параметров гелий-неоновых лазеров.
16. Назначение и принцип действия основных элементов лабораторной установки: фотодетектора, поляризатора, дифракционной
решетки.
17. Типы квантовых переходов.
18. Закон Бугера-Ламберта.
19. Закон Малюса.
36
Лабораторная работа №8
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕФРАКЦИЯ
В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ
8.1
Цели работы
• Изучить явление нелинейной рефракции в среде с кубической
нелинейностью.
• Выявить возможности среды по самофокусировке и самодефокусировке волновых пучков.
8.2
8.2.1
Краткие теоритические сведения
Понятие волнового пакета
На практике электромагнитный процесс не сводится к гармонической волне одной частоты хотя бы потому, что генератор не
создаёт бесконечные по длительноси волны. В действительности
оптические сигналы представляют собой импульсы конечной длительности, характеризуемые некоторым спектром частот.
Любую электромагнитную волну можно представить в виде суперпозиции гармонических волн с различными частотами, то есть
в виде интеграла Фурье:
+∞
Z
E(ω)ei(ωt−kω r) dω
E(r, t) = Re
(8.1)
0
Причём при записи (8.1) учтено, что в случае среды с дисперсией
волновой вектор k = k(ω) = kω . Функция E(ω) имеют смысл спектральных составляющих сложного сигнала E(r, t). Каждая спектральная составляющая распространяется со своей фазовой скоростью, так как
νφ (ω) = ω/k(ω).
В результате форма сложного сигнала при его распространении
не сохраняется, так как при прохождении различными спектральными составляющими одного и того же расстояния ∆z набег фазы
у них будет разным:
∆ϕ(ω) = ω∆t − k(ω)∆z.
37
В большинстве случае сложные электромагнитные сигналы обладают узким частотным ∆ω ≪ ω0 и пространственным ∆k ≪ k0
спектрами(ω0 и k0 -частота и волновое число центральной спектральной составляющей). Набор спектральных составляющих, образующих сложный волновой процесс с узким спектром(∆ω ≪ ω0 ,
∆k ≪ k0 ) называется волновым пакетом.
8.2.2
Нелинейная квазиоптика
Рассмотрим кубично-нелинейную среду, у которой показатель
преломления зависит от интенсивности, распространяющейся в ней
электромагнитной волны:
n = n E2 .
В этом случае в такой среде фазовая скорость электромагнитной волны определяется амплитудой поля этой же волны:
2
νφ = νφ |E| .
Если теперь в нелинейной среде распространяется волновой пакет,
то из-за наличия в нем различных спектральных составляющих
среда становится неоднородной:
.
Pнл (ω0 ) = ε0 χ̂(3) (ω0 ; ω)..E(ω)E(ω)E(ω).
В области, занимаемой волновым пучком показатель преломления
изменяется на ∆nнл , причем величина этого параметра определяется интенсивностью волны. Другими словами, волновой пучок наводит в нелинейной среде неоднородности в виде изменения показателя преломления, а это изменение, в свою очередь, изменяет
направление лучей в нелинейной среде, искривляя их.
Явление искривления лучей в нелинейной среде под действием наведённых волной неоднородностей, называется нелинейной
рефракцией.
Нелинейная рефракция приводит к следующим нелинейным явлениям:
• Самофокусировка и дефокусировка;
• Самоканализация и самоотклонение волновых пучков;
• Самокомпрессия и декомпрессия;
• Образование солитонов и уединённых волн.
38
Рассмотрим распространение волнового пучка в кубично-нелинейной среде, диэлектрическая проницаемость которой может быть
представлена в виде:
2
,
(8.2)
εa = ε0 εл + εнл |E|
где
εнл = ε2 |E2 | + ε4 |E|4 + ε6 |E|6 + · · · + ε2 n|E|2n ,
n ∈ Z.
В процессе самовоздействия волна остается квазимонохромической
(узкий спектр вблизи частоты ω0 ); нелинейный эффект проявляется в изменении амплитудной и фазовой модуляции волны, формы
её углового и частотного спектра.
При изменении углового спектра говорят о самофокусировке и
самодефокусировке, а при изменении частотного спектра – о самокомпрессии и самодекомпрессии волновых пакетов.
Самовоздействие волн в кубично-нелинейной среде подчиняется
уравнению Гельмгольца:
(8.3)
∇2 E + k02 εл + εнл |E|2 E = 0,
где k0 = ω/c - волновое чосло для плоской волны в вакууме. В случае волновых пучков с узким угловым спектром и малой нелинейностью среды решение дифференциального уравнения (8.3) находится методом медленно-меняющихся амплитуд (ММА). Этот метод
лежит в основе квазиоптического приближения при описании волновых процессов. Условиями возможности использования
квазиоптического приближения являются:
• узкий угловой и частотный спектр (∆ω ≪ (ω0 ) волнового пучка.
• малая нелинейность среды (|εнл | ≪ εл ).
Согласно ММА, напряжённость поля волнового пучка представим
в виде квазиплоской волны (то есть волны, у которой амплитудная
часть слабо, но всё-таки зависит от координат):
1
√
√
e{A( µx, µy, µz)ei(ωt−kz) +
2
√
√
+ A∗ ( µx, µy, µz)e−i(ωt−kz)
E(x, y, z; t) =
(8.4)
где e – единичный вектор поляризации; µ-малый параметр; Aамплитуда,которая медленно меняется при изменении координат.
39
Волна распространяется вдоль оси Oz. Подставим (8.4) в уравнение (8.3):
∂A k 2
A
A
µ ∂2A µ ∂2A
+
− ikµ
+ A + k02 εл + k02 εнл (|A|2 ) = 0.
2
2
2 ∂x
2 ∂y
∂z
2
2
2
√
Учитывая,что µ ≈ εнл /εл , k = k0 εл и обозначая:
∂2
∂2
+ 2,
2
∂x
∂y
получаем уравнение для амплитуды:
∇2⊥ =
2
∂A
2
2 εнл |A|
2ik
= ∇⊥ A + k
A.
∂z
εл
(8.5)
Уравнение (8.5) называется уравнением для ММА в квазиоптическом приближени. При εнл = 0 уравнение (8.5) ∇2⊥ = 2ikA‘z
становится параболическим и используется для описания дифракции волнового пучка в линейной среде.
Уравнение (8.5) является комплексным (A-комплексная функция), поэтому удобно перейти к двум действительным величинам:
A = A0 exp(−ikϕ),
(8.6)
где A0 – амплитуда; ϕ – эйконал комплексной амплитуды, который
является добавкой к эйконалу плоской волны (8.4).
Подставляя представление (8.6) в уравнение для комплексной
амплитуды (8.5) и резделяя вещественную и мнимую части, получаем уравнение эйконала:
εнл A20
∇2 A0
∂ϕ
2
2
+ (∇⊥ ϕ) =
+ 2⊥
(8.7)
2
∂z
εл
k A0
и уравнение переноса:
A0
∂A0
+ (∇⊥ ϕ) (∇⊥ A0 ) +
∇2⊥ ϕ = 0
(8.8)
∂z
2
Из уравнения (8.7) следует, что фаза квазимонохроматической
волны ϕ изменяется в нелинейной среде вследствие нелинейной
рефракции и дифракции. Слагаемое εнл (A20 )/εл ) определяет
си
лу нелинейной рефракции; слагаемое ∇2⊥ A0 / k 2 A0 – силу дифракции.
Уравнение переноса (8.8) представляет собой закон сохранения
энергии в дифференциальной форме.
Существует два вида волновых пучков:
40
• Двумерный «щелевой» пучок. Он получается при дифракции плоской однородной волны на экране с узкой прямоугольной
щелью (рис. 8.1). В этом случае уравнения (8.7) и (8.8) конкреx
εнл
z
Рис. 8.1. Двумерный «щелевой» пучок
тизируются следующим образом:
2
εнл A20
1 ∂ 2 A0
∂ϕ
∂ϕ
=
+
+ 2
,
2
∂z
∂x
εл
k A0 ∂x2
∂A0
∂ϕ ∂A0
A0 ∂ 2 ϕ
=0
+
+
∂z
∂x ∂x
2 ∂x2
(8.9)
• Трёхмерный осесимметричный пучок. Он получается при
дифракции плоской однородной волны на круглом отверстии в
экране (рис. 8.2)
В этом случае уравнения (8.7) и (8.8) конкретизируются следующим образом:
2
2
εнл A20
1 ∂A0
1
∂ A0
∂ϕ
∂ϕ
=
+
+
+ 2
∂z
∂r
εл
k A0
∂r2
r ∂r
(8.10)
2
∂A0
∂ϕ ∂A0
A0 ∂ ϕ 1 ∂ϕ
=0
+
+
+
∂z
∂r ∂r
2
∂r2
r ∂r
p
где r = x2 + y 2 - радиальная координата полярной системе координат.
При записи (8.10) использовано выражение для оператора Лапласа а полярной системе координат:
1 ∂
∂
∂2
1 ∂
2
∇⊥ =
r
= 2+
.
r ∂r
∂r
∂r
r ∂r
41
x
εнл
z
Рис. 8.2. Трёхмерный осесимметричный пучок
8.2.3
Нелинейная геометрическая оптика
Рассмотрим поведение волнового пучка в нелинейной среде в
приближении геометрической оптики. Для использования этого
подхода в уравнениях (8.9) и (8.10) необходимо положить k =
√
k0 εл → ∞. Тогда вторые уравнения в (8.9) и (8.10) не изменятся,
а в уравнениях эйконала исчезнет дифракционный член:
∇2⊥ A0
→ 0.
k 2 A0
При этом оставшийся нелинейный член будет описывать влияние на ход лучей неоднородностей, наведённых в нелинейной среде
волновым пучком. Явление искривления лучей вследствие нелинейности среды называется нелинейной рефракцией. Суть этого явления заключается в следующем.Пусть волновой пучок распространяется в среде с диэлектрической проницаемостью εл . При
амплитуде A0 ≫ 1 в области занятой пучком среда начинает проявлять нелинейные свойства, а именно под действием электрического поля пучка изменяется диэлектрическая проницаемость среды.
Это изменение проницаемости приводит к изменению показателя
преломления среды в области распространения пучка, которое вызывает искривление лучей, образующих пучок, согласно концепции
геометрической оптики.
Чтобы выявить основные особенности эффекта нелинейной рефракции рассмотрим кубично-нелинейную среду, проницаемость
которой:
εнл = ε2 |E|2 .
Перепишем системы уравнений (8.9) и (8.10) для случая кубично–
42
нелинейной среды:
2
∂ϕ
∂ϕ
=
+
∂z
∂r
∂A20
∂ϕ ∂A20
+
+
∂z
∂r ∂r
ε2 A20
,
εл
A20 ∂ 2 ϕ m ∂ϕ
+
2
∂r2
r ∂r
2
(8.11)
Заметим, что уравнения (8.11) записаны относительно интенсивности волнового пучка A20 (как это принято в оптике). Параметр m
определяет тип волнового пучка. При m = 0 -двумерный пучок;
m = 1-трехмерный пучок.
Как нетрудно заметить, уравнения (8.11) являются связанными,
поэтому решения ϕ зависят не только от начального распределения
амплитуды ЭМВ A0 , но и от амплитудного профиля пучка ∂A0 /∂z.
Последнее свойство как раз характерно для явления нелинейной
рефракции.
Уравнениям (8.11) целесообразно придать другой вид. Заметим,
что согласно геометрической оптике, ∂Aϕ/∂r = θ — угол наклона
луча к оси Oz (вдоль которой распространяется пучок). Дифференцируя первое уравнение (8.11) по r, получаем:
2
∂
∂z
∂ϕ
∂r
+2
∂ϕ
∂r
∂
∂r
∂ϕ
∂r
=
ε2 ∂
A20
εл ∂r
Обозначая γ = ε2 /(2εл ) и I = A20 ( интенсивность волнового пучка) система уравнений (8.11) переписывается следующим образом:
∂θ
∂I
∂θ
+θ
=γ ,
∂z
∂r
∂r
∂I
∂I
I ∂θ m
+θ
+
+ θ = 0.
∂z
∂r
2 ∂r
r
(8.12)
Система дифференциальных уравнений (8.12) записана относительно двух новых переменных — интенсивности I и угла наклона
луча θ. Найти аналитическое решение уравнений (8.12) в общем виде для произвольных начальных профилей интенсивности A20 (0, r)
и фазы ϕ(0, r) не представляется возможным. Однако можно указать некоторые классы точных решений, позволяющие выявить основные свойства нелинейной рефракции.
43
8.2.4
Безаберрационное самовоздействие пучков света
Рассмотрим самовоздействие волновых пучков, фронты которых остаются в нелинейной среде сферическими или цилиндрическими, но кривизна фронта β(z) и радиус кривизны R(z) = 1/β(z)
изменяются в процессе распространения. Эйконал волны связан с
кривизной следующим образом:
ϕ(z) =
1 2
r β(z) + ϕ0 (z),
2
(8.13)
где ϕ0 (z) – набег фазы на оси пучка. Функция ϕ(z) описывает волновой фронт. Причём, β > 0 – сходящийся волновой фронт; β < 0
– расходящийся фронт; β = 0(R = ∞) – плоский фронт.
Для сферического или цилиндрического фронтов справедлив
параболический закон изменения эйконала (8.13). Решим уравнение для траектории лучей (рис. 8.3):
dϕ
= θ.
dr
Для малых углов справедливо:
dr/dz = tg θ ≈ sin θ ≈ rβ(z) ≈ θ.
Таким образом, можно записать:
dr
= rβ(z) ⇒
dz
Z
dr
=
r
Zz
0
β(z) dz ⇒ ln r0 +
r
r
(z)
z
Рис. 8.3.
44
z
Zz
0
β(z) dz.
Интегрируя, приходим к выражению для траектории луча:
r = r0 exp
nZz
0
o
β(z) dz .
(8.14)
где r0 - начальная радиальная координата луча. В соответствии с
(8.14) форма поперечного профиля луча не меняется, а изменяется
лишь ширина пучка.
Решение второго уравнения (8.11) (уравнения переноса) может
быть записано в виде:
F02 (rf (z)/a)
.
f 1+m (z)
A20 (z) =
(8.15)
где F02 (r/a) – функция, задающая начальное распределение амплитуды волнового пучка в поперечном направлении r; a – начальная
ширина пучка; f (z) – безразмерная ширина пучка, которая определяется из дифференциального уравнения:
β(z) =
1 df (z)
.
f (z) dz
(8.16)
Вопрос заключается в том: при каких условиях может наблюдаться безаберрационное распространение волнового пучка?
В линейной среде (ε2 = 0) уравнение эйконала перестаёт быть
связанным с уравнением переноса и из его решения можно найти:
f (z) = 1 +
z
1 df
1
⇒ β(z) =
=
,
R0
f dz
R0 + z
где R0 -начальный радиус пучка.
При этом амплитудный профиль волнового пучка F02 (r/a) может быть произвольным; только при учёте дифракции форма пучка
влияет на процесс его распространения.
В нелинейной среде (ε2 6= 0) безаберрационное распространение
пучка осуществляется не для произвольного профиля амплитуды,
как это имеет место в линейной среде.
Запишем уравнение эйконала:
∂ϕ
+
2
∂z
∂ϕ
∂r
2
45
=
ε2 2
A
εл 0
и подставим в него формулу для параболического профиля эйконала (8.13). В результате получим следующее дифференциальное
уравнение:
∂β
∂ϕ0
ε2
r2
+2
+ r2 β 2 (z) = A20
(8.17)
∂z
∂z
εл
Левая часть уравнения (8.17) содержит члены 0-го и 2-го порядка по координате r. Если речь идёт о построении точного решения,
то такие же члены по r должны входить и в правую часть первого
уравнения (8.11). Это обозначает, что безаберрационное самовоздействие в кубично-нелинейной среде будет испытывать пучок с
параболическим профилем интенсивности (A20 = r2 A + B). Удерживая в функции F02 в выражении (8.15) нулевой и квадратичный
по r члены разложения, получаем:
A20 (r, z) =
2r2
E02
1
−
f 1+m (z)
a2 f 2 (z)
(8.18)
где E02 – начальная интенсивность волны.
Подставляя выражения (8.16) и (8.18) в уравнение эйконала
(8.11) и отбрасывая в правой части слагаемые пропорциональные
r0 , получаем дифференциальное уравнение для безразмерной ширины пучка:
sgnε2
d2 f
(8.19)
= − 2 2+m
2
(z)
dz
Rнл f
p
где Rнл = a εл /(2|ε2 |E02 ) – «сила» нелинейной рефракции.
′′
В уравнении (8.19) fz определяет кривизну лучей. В линейной
′′
среде (ε2 = 0) fz = 0 и лучи становятся прямыми линиями, то есть
рефракция отсутствует. В нелинейной среде возникает нелинейная
рефракция и лучи перестают быть прямыми; степень кривизны лучей определяется значением Rнл . Причём, в среде с ε2 > 0 лучи
′′
отклоняются к оси пучка (fz < 0), где интенсивность становится
больше (самофокусировка). В среде с ε2 < 0 лучи изгибаются от
оси пучка к периферии (самодефокусировка). Сила нелинейной рефракции возрастает при сжатии пучка и уменьшается при расширении пучка; причём эта зависимость более резкая у трёхмерного
пучка (m = 1).
Проанализируем ход лучей в нелинейной среде для параболического волнового пучка с плоским начальным волновым фронтом.
46
В этом случае ставится задача Коши следующего вида:
1
d2 f
sgnε2
df =
=0
= − 2 2+m , f (0) = 1,
2
dz
Rнл f
(z)
dz z=0
R0
(8.20)
Дефференциальное уравнение второго порядка из (8.20) несложно свести к уравнению первого порядка. Для этого необходимо обе
части уравнения умножить на f ′ (z) и дважды проинтнгрировать.
В результате получим уравнение следующего вида:
2
1
2sgnε2 1
df
=
(8.21)
−1
2
dz
Rнл
m + 1 f m+1
Для осесимметричного трёхмерного волнового пучка (m = 1)
уравнение (8.21) переписывается следующим образом:
df
dz
2
2sgnε2
=
2
Rнл
1
−1
f2
(8.22)
2
, сведём уравнение (8.22) к другому:
Обозначив β = sgnε2 /Rнл
df
1p
=
β(1 − f 2 )
dz
f
интегрирование которого даёт следующий результат:
f 2 (z) = 1 −
sgnε2 2
z
2
Rнл
(8.23)
Выражение (8.23) определяет зависимость ширины волнового трёхмерного пучка от расстояния z , при его распространении в кубичнонелинейной среде с нелинейной проницаемостью ε2 . В среде с
ε2 < 0 ширина волнового пучка, согласно (8.23), уменьшается – развивается самофокусировка. Нелинейный фокус, где ширина пучка
f (z) = 0, расположен на расстоянии z = Rнл от входа в нелинейную
среду. Нелинейная среда с ε2 < 0 представляет собой нелинейную
собирающую линзу. Таким образом, физически Rнл равна фокальной длине нелинейной линзы. Процесс самофокусировки показан
на рис.8.4.
В среде с ε2 > 0 ширина волнового пучка, согласно (8.23), увеличивается – развивается самодефокусировка. В отличие от самофокусировки с ростом расстояния z Rнл ослабевает и лучи становятся всё более прямыми. На больших расстояниях z ≫ Rнл ) ширина
47
волнового пучка возрастает пропорционально расстоянию, прошедшему пучком:
f 2 (z) = 1 +
z2
z
z2
≈
⇒ f (z) ≈
2
2
Rнл
Rнл
Rнл
Это означает, что в области z ≫ Rнл нелинейная среда не оказывает влияния на ход лучей, так как амплитуда электромагнитного
поля расфокусированного пучка становится малой. Процесс самодефокусировки показан на рис.8.5.
Рис. 8.4. Процесс самофокусировки
В случае самовоздействия двумерного пучка (m = 0) после интегрирования уравнения (8.21) получаются более сложные неявные
выражения для ширины пучка в произвольном сечении нелинейной
среды.
Ширина самофокусирующего пучка(ε2 < 0):
p
z
f (z)(1 − f (z)) −
.
(8.24)
f (z) = cos2
Rнл
Уравнение (8.24) решается численными методами(например, метод хорд или деление пополам). Эти методы позволяют при заданом z определить корни уравнения (8.24), соответствующие значениям f .
48
Рис. 8.5. Процесс самодефокусировки
Нелинейный фокус двумерного пучка, в котором f = 0, расположен немного дальше, чем у трёхмерного:
zφ =
π
Rнл > Rнл .
2
Это и понятно: для двумерного пучка (m = 0) Rнл нарастает
менее быстро, чем у трёхмерного (m = 1). При самодефокусировке
ширина двумерного волнового пучка определяется из следующего
трансцендентного уравнения:
p
z
.
(8.25)
f (z) = ch2
f (z)(1 − f (z)) −
Rнл
Здесь сила нелинейной рефракции ослабевает более медленно,
чем у трёхмерного пучка и на больших расстояниях(z ≫ Rнл ) ширина двумерного пучка несколько шире, чем у трёхмерного:
1
z
z
.
(8.26)
+ ln
f (z) ≈
Rнл
2
2Rнл
49
8.3
Домашнее задание
• Ознакомиться с краткими теоретическими сведениями;
• Ознакомиться с соответствующими разделами из источников,
представленных в методических указаниях к данной работе.
8.4
Задание на работу
−−
Упр.1
Упр.2
Упр.3
Упр.4
−−
Упр.1
Упр.2
Упр.3
Упр.4
−−
Упр.1
Упр.2
Упр.3
Упр.4
ε2
0.1
-0.1
0.1
0.1,0.5,1,2
0.1
0.1(СФ)
0.1(СДФ)
0.1(СФ)
0.5, 1, 2, 3(СДФ)
ε2
0.3
-0.3
0.3
0.1,0.5,1,2
0.3
0.3(СФ)
0.3(СДФ)
0.3(СФ)
0.5, 1, 2, 3(СДФ)
ε2
1.0
-1.0
1.0
0.1,0.5,1,2
1.0
1.0(СФ)
1.0(СДФ)
0.3(СФ)
0.5, 1, 2, 3(СДФ)
Вариант 1
εl
10
A0
10
10
10
3,10,50
10
10,20,50
10
10
10
10
10,20,50
Вариант 2
εl
10
A0
10
10
10
3,10,50
10
10,20,50
10
10
10
10
10,20,50
Вариант 3
εl
10
A0
10
10
10
3,10,50
10
10,20,50
10
10
10
10
10,20,50
50
A
2
N
-3...3
2
1
2
–
2
–
A
2
N
-3...3
2
1
2
–
2
–
A
2
N
-3...3
2
1
2
–
2
–
−−
Упр.1
Упр.2
Упр.3
Упр.4
−−
Упр.1
Упр.2
Упр.3
Упр.4
−−
Упр.1
Упр.2
Упр.3
Упр.4
8.4.1
ε2
0.2
-0.2
0.2
0.1,0.5,1,2
0.2
0.2(СФ)
0.2(СДФ)
0.2(СФ)
0.5, 1, 2, 3(СДФ)
ε2
0.1
-0.1
0.1
0.1,0.5,1,2
0.1
0.1(СФ)
0.1(СДФ)
0.1(СФ)
0.5, 1, 2, 3(СДФ)
ε2
0.2
-0.2
0.2
0.1,0.5,1,2
0.2
0.2(СФ)
0.2(СДФ)
0.2(СФ)
0.5, 1, 2, 3(СДФ)
Вариант 4
εl
10
A0
10
10
10
3,10,50
10
10,20,50
10
10
10
10
10,20,50
Вариант 5
εl
10
A0
10
10
10
3,10,50
10
10,20,50
10
10
10
10
10,20,50
Вариант 6
εl
10
A0
10
10
10
3,10,50
10
10,20,50
10
10
10
10
10,20,50
A
2
N
-3...3
2
1
2
–
2
–
A
2
N
-3...3
2
1
2
–
2
–
A
2
N
-3...3
2
1
2
–
2
–
Порядок выполнения работы
Для выполнения лабораторной работы запустите с файл nlo02.
В результате будет запущена программа «Нелинейная рефракция».
Главное окно программы показано на рисунке 8.6.
Используемая программа nlo02 позволяет подробно исследовать явления самофокусировки и самодефокусировки для случаев
трёхмерных осесимметричных и двумерных щелевых пучков. Выбор типа исследуемого пучка производится при помощи выпадаю51
Рис. 8.6. Главное окно программы
щего списка в верхней части окна. Напомним, что осесимметричные
пучки получаются в результате дифракции оптической волны на
круговом отверстии в непрозрачном экране, а двумерные щелевые
пучки — при дифракции волны на узкой щели в экране.
В основе лабораторной работы лежит следующая модельная задача: волновой пучок, созданный при дифракции, распространяется в среде с кубической нелинейностью. Предполагается, что в
среде на него оказывает влияние только нелинейная рефракция, в
то время как дифракционные явления отсутствуют.
52
Упражнение 1. Рефракция трехмерного осесимметричного
волнового пучка в кубично-нелинейной среде
Для выполнения упражнения выберите в списке в верхней части
окна <Трехмерный осесимметричный волновой пучок>. В полях
«Нелинейная проницаемость», «Линейная проницаемость», «Начальная ширина пучка », «Начальная амплитуда волны» введите значения из Вашего варианта задания. В списке «Номер луча»
установите значение 1.
1. Нажмите кнопку РАСЧЕТ. После вычислений в поле «Сила
нелинейной рефракции» появится значение, которое необходимо занести себе в отчет.
2. Нажмите на кнопку ГРАФИК ШИРИНЫ и постройте зависимость f (z).
3. Нажмите на кнопку ГРАФИК ИНТЕНСИВНОСТИ и постройте
зависимость A20 (z) . Повторите п. 1 − 3 для номеров лучей: N =
−4, −3, −2, −1, 2, 3, 4.
4. Постройте графики зависимостей ширины пучка f (z) для 8 лучей на одной координатной сетке.
5. Постройте графики зависимостей интенсивности волнового пучка A20 (z) для 8 лучей на одной координатной сетке.
6. Постройте объемное распределение поля, нажав на кнопку
3D ГРАФИК A2 . Для того, чтобы повернуть объёмный график
распределения нажмите на кнопку НАСТРОЙКА 3D, а затем
повторите расчёт и построение распределения поля. Сделайте
вывод о том, как влияет нелинейная среда на распространение
волнового пучка.
7. В поле «Нелинейная проницаемость» установите отрицательное значение.
Повторите исследование по п. 1 − 6.
В отчете по этому упражнению должны присутствовать 4 (2 −
ε2 > 0 и 2 − ε2 < 0) набора по 8 графиков, 2 графика объемного
распределение интенсивности поля пучка и выводы по каждому
пункту.
53
Упражнение 2. Вычисление нелинейного фокуса в случае
трехмерного осесимметричного волнового пучка в кубичнонелинейной среде.
В полях «Нелинейная проницаемость», «Линейная проницаемость», «Начальная ширина пучка », «Начальная амплитуда волны» введите значения из Вашего варианта задания. В списке «Номер луча» установите значение 1. Убедитесь, что в поле «Нелинейная проницаемость» установлено положительное значение ε2 .
1. Постройте графики зависимости ширины пучка f (z) и определите силу нелинейной рефракции для случаев A = 5, 10, 50 при
ε2 = const. Графики следует строить на одной координатной сетке. Сделайте вывод о том, как увеличение начальной амплитуды
волнового пучка влияет на длину нелинейного фокуса.
2. Постройте графики зависимости ширины пучка f (z) и определите силу нелинейной рефракции для случаев ε2 = 0.1, 1.0, 3.0
при A = const. Графики следует строить на одной координатной сетке. Сделайте вывод о том, как увеличение нелинейной
проницаемости среды влияет на длину нелинейного фокуса.
3. Постройте графики зависимости ширины пучка f (z) и определите силу нелинейной рефракции для случаев εl = 3, 10, 50 при
A, ε2 = const. Графики следует строить на одной координатной
сетке.Сделайте вывод о том, как увеличение линейной проницаемости среды влияет на длину нелинейного фокуса.
В отчете по этому упражнению должны присутствовать 3 набора по 3 графика и выводы по каждому пункту.
Упражнение 3. Рефракция двумерного щелевого волнового пучка в кубично-нелинейной среде
.
Для выполнения упражнения выберите в списке в верхней части
окна <Двумерный щелевой волновой пучок>. В полях «Нелинейная
проницаемость», «Линейная проницаемость», «Начальная ширина
пучка », «Начальная амплитуда волны» введите значения из Вашего варианта задания.
1. В списке «Самофокусировка/Самодефокусировка» выберите <Самофокусировка>. Выберите z = 0.5 и введите его в поле
«Введите координату z». Нажмите на кнопку ПОСТРОИТЬ
54
ГРАФИК ФУНКЦИИ.
В поле «Таблица значений корней функции y = y(f )»: будет выведено значение корня – ширины пучка
f , соответствующее выбранной координате z. Таким образом,
найдено, что на длине нелинейной среды равной z ширина пучка равна f . На графике f = f (z) отобразите точку (z, f ) (рисунок 8.7). Например, при z = 0.5 значение корня f = 0.99 . В этом
случае необходимо изобразить точку (0.5, 0.99). Выберите z = 1.0
и снова определите корень f . Пусть теперь корень f = 0.96. В
этом случае точка на графике (1.0, 0.96). Необходимо, изменяя
f
0.99
0.96
0.88
0.7
0.0
0.5
1.0
1.5
z
2.0
Рис. 8.7. Эффективность прозрачного экрана
z с шагом 0.5, найти для каждого значения корень. Координату
z необходимо изменять до того момента, пока корень f не будет
равен нулю. Таким образом, определяется нелинейный фокус.
Пример графика приведен на рисунке 8.7. На рисунке 8.7 нелинейный фокус zf = 13.
2. В списке «Самофокусировка/Самодефокусировка» выберите <Самодефокусировка>. Повторить исследования п.1. В
этом случае координату z необходимо менять от 0.5 до 15 с шагом 0.5.
Упражнение 4. Вычисление нелинейного фокуса в случае двумерного щелевого волнового пучка в кубичнонелинейной среде.
В полях «Нелинейная проницаемость», «Линейная проницаемость», «Начальная ширина пучка А», «Начальная амплитуда вол55
ны» введите значения из Вашего варианта задания.
В списке «Самофокусировка/Самодефокусировка» выберите
<Самофокусировка>.
1. Постройте графики зависимости ширины волнового пучка f (z)
для случаев A = 10, 20, 50 при ε2 = const. Графики следует строить на одной координатной сетке. Алгоритм построения аналогичен алгоритму из упражнения 3.
Координату z необходимо менять в пределах (0.5; zf ) с шагом
∆z = 1 (zf – значение координаты z , при котором ширина f
обращается в нуль).
Сделайте вывод о том, как увеличение начальной амплитуды
волнового пучка влияет на координату нелинейного фокуса.
2. Постройте графики зависимости f (z) для случаев ε2 = 0.1, 0.5, 1.0
при A = const. Графики следует строить на одной координатной
сетке. Алгоритм построения аналогичен упражнению 3.
Координату z необходимо менять в пределах (0.5; zf ) с шагом
∆z = 1 (zf — значение координаты z , при котором ширина f
обращается в нуль).
Сделайте вывод о том, как увеличение нелинейной проницаемости
среды влияет на координату нелинейного фокуса.
8.5
Контрольные вопросы
1. Понятие волнового пакета;
2. Виды волновых пучков;
3. Механизм самовоздействия волновых пучков в нелинейных средах;
4. Самовоздействие волновых пучков в кубично-нелинейной среде;
5. Самофокусировка и самодефокусировка;
6. Нелинейные линзы;
7. Ширина волнового пучка в кубично-нелинейной среде;
8. Безаберрационное самовоздействие волновых пучков.
56
Лабораторная работа №9
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕФРАКЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ
ГАУССОВА ВОЛНОВОГО ПУЧКА
9.1
Цели работы
• Изучить явление нелинейной рефракции и дифракции волнового пучка с Гауссовым распределением интенсивности в среде с
кубической нелинейностью.
• Выявить возможности среды по самофокусировке и самодефокусировке волновых пучков.
9.1.1
Краткие теоретические сведения
В кубично-нелинейной среде, у которой нелинейная диэлектрическая проницаемость определяется следующим образом:
εнл = ε2 |E 2 |,
одновременно происходят явления дифракции и нелинейной рефракции.
Запишем систему уравнений эйконала и переноса в общем виде:
2
2
εнл (A20 )
1
1 ∂A0
∂ϕ
∂ A0
∂ϕ
,
=
+
+ 2
+
2
∂z
∂z
εл
k A0
∂r2
r ∂r
(9.1)
2
∂ϕ ∂A0
A0 ∂ ϕ 1 ∂ϕ
∂A0
= 0,
+
+
+
∂z
∂r ∂r
2
∂r2
r ∂r
p
где r = x2 + y 2 - радиальная координата в полярной системе координат.
В случае отдельного рассмотрения процесса нелинейной рефракции в первом уравнении системы (9.1) в правой части было
отброшено второе слагаемое (k → ∞). Это слагаемое как раз и определяет действие дифракции вне зависимости от того, какая среда линейная или нелинейная. Этот член называется дифракционным;
его учёт усложняет задачу нахождения точных аналитических решений. Такие решения можно получить лишь для двумерных пучков, используя метод обратной задачи рассеяния.
Поэтому мы рассмотрим самовоздействие волновых пучков в
безаберрационном приближении. Пусть на вход нелинейной среды падает волновой пучок с Гауссовым профилем интенсивности
57
и плоским волновым фронтом:
A20 (r; 0) = E20 exp −2r2 /(a2 )
ϕ(r; 0) = 0,
(9.2)
где E0 – амплитуда пучка при r = 0 ; a – ширина пучка. Функция
ϕ(r; 0) описывает кривизну волнового фронта.
По мере распространения волнового пучка изменяются его амплитудный A20 (r; z) и фазовый ϕ(r; z) профили. Мы учтём эти изменения, полагая, что волновой фронт пучка можно считать цилиндрическим (m = 0) или сферическим (m = 1) с переменной
кривизной:
1
(9.3)
ϕ(r; z) = r2 β(z) + ϕ0 (z)
2
где ϕ0 (z) – набег фазы на оси пучка. Функция ϕ(z) описывает волновой фронт. Причём, β > 0 – сходящийся волновой фронт; β < 0 –
расходящийся фронт; β = 0(R = ∞) – плоский фронт. В этом случае в соответствие с уравнением переноса пучок сохраняет свою
Гауссову форму:
E2
2r2
A20 (r; z) = 1+m0
,
(9.4)
exp − 2 2
f
(z)
a f (z)
где f (z) – безразмерная ширина пучка; β = f ′ (z)/f (z). Отметим,
что величина a2 f 2 (z) – ширина волнового пучка на расстоянии z
(рис. 9.1).
Запишем систему уравнений (9.1) с учётом того, что εнл = ε2 |E|2
и перейдём в ней к интенсивности волнового пучка A20 (r; z).
r
r
a2
a2f(z)2
z
0
Рис. 9.1. Рисунок 2
58
z
Величина ∆A20 /(k 2 A20 ) в оптике называется «силой» дифракции. Произведём её вычисление с учётом явного вида A20 (r; z) (9.4):
2 2
∂ A0
1
m ∂A20
∆A20
;
= 2 2
+
k 2 A20
k A0 ∂r2
r ∂r
∂A20
4r
= − 2 2 A20 ;
∂r
a f (z)
∂ 2 A20
4
4r2
2
=
−
A
+
A2 .
0
∂r2
a2 f 2 (z)
a4 f 4 (z) 0
Окончательно сила дифракции определяется следующим образом:
Fd (z) =
4
4r2
4m
∆A20
=
−
+
− 2 2
.
2
2
2
2
2
4
4
2
k A0
a f (z)k
a f (z)k
a f (z)k 2
(9.5)
Как видно из (9.5), в ней присутствуют слагаемые, пропорциональные только r0 и r2 . Это означает, что дифракция не искажает
Гауссовой формы волнового пучка. Рассмотрим теперь силу нелинейной рефракции:
2
εнл
2r2
ε2 A20
ε2
E02
E02
ε2
− a22r
f 2 (z) ≈
1
−
=
=
e
εл
εл
εл f 1+m (z)
εл f 1+m (z)
f 1+m (z)
Здесь в разложении в ряд удержаны только слагаемые, пропорциональные r0 и r2 , в противном случае возникли бы нелинейные
аберрации. В безаберрационном приближении мы учитываем только изменение кривизны волнового фронта, предполагая, что его
сферичность или цилиндричность сохраняется.
В результате сила нелинейной рефракции определяется следующим образом:
Fnr (z) =
ε2
E02
2ε2 r2 E02
ε2 2
A0 ≈
−
.
1+m
εл
εл f
(z) εл a2 f 3+m (z)
(9.6)
В уравнение эйконала
∂ϕ
+
2
∂z
∂ϕ
∂r
2
=
ε2 2 ∆A20
= Fnr + Fd .
A +
εл 0 k 2 A20
(9.7)
Подставим в уравнение (9.7) представление для функции ϕ(r; z) в
59
виде (9.3). Найдём производные:
∂ϕ0
1 2 1 ′′
1 ′ 2
∂ϕ
= r
f − 2 (f ) +
;
∂z
2
f
f
∂z
∂ϕ
r
= f ′.
∂r
f
Подставляя найденные производные в уравнение (9.7) и собирая
слагаемые при r2 , получаем дифференциальное уравнение второго
порядка относительно функции f (z):
sgnε2
1
d2 f
= − 2 2+m
+ 2 3 ,
(9.8)
2
dz
Rнл f
(z) Rd f (z)
p
где ε2 = |ε2 |sgnε2 ; Rнл = a εл /2|ε2 |E02 ; Rд = ka2 /2 – дифракци2
онная длина пучка. Обозначим: α = sgnε2 /Rнл
; β = 1/Rд2 и решим
задачу Коши следующего вида:
α
β
df d2 f
= − 2+m
+
, f (0) = 1,
=0
dz 2
f
(z) f 3 (z)
dz z=0
Дифференциальное уравнение второго порядка (9.8) несложно
свести к уравнению первого порядка. Для этого необходимо обе
части уравнения умножить на f ′ (z) и дважды проинтегрировать.
В результате получим уравнение следующего вида:
2
2sgnε2 (1 − f 1+m (z))
f 2 (z) − 1
df
=
+
.
(9.9)
2
dz
Rнл
(1 + m)f 1+m (z)
Rд2 f 2 (z)
Из уравнения (9.9) видно, что поведение волнового пучка зависит от соотношения сил нелинейной рефракции и дифракции. Причём в нелинейной среде с ε2 < 0 нелинейная рефракция и дифракция «действуют в одну сторону» и совместно приводят к самодефокусировке волнового пучка. В среде ε2 > 0 нелинейная рефракция и
дифракция «противодействуют» друг другу и здесь возможны различные ситуации поведения волнового пучка – самофокусировка,
самодефокусировка и волноводное распространение.
Для осесимметричного трёхмерного волнового пучка (m = 1)
уравнение (9.9) переписывается следующим образом:
2
sgnε2 (1 − f 2 (z)) f 2 (z) − 1
df
=
+ 2 2
.
2
dz
Rнл
f 2 (z)
Rд f (z)
60
Это уравнение несложно свести к уравнению вида:
1
1p
df
sgnε2
2
− 2 ,
=
ξ − ξf , ξ =
2
dz
f
Rнл
Rd
интегрирование которого даёт следующий результат:
1
sgnε2
2
2
f (z) = 1 + z
.
− 2
Rd2
Rнл
(9.10)
(9.11)
Уравнение (9.11) определяет зависимость ширины волнового
пучка от продольной координаты z в кубично-нелинейной среде.
Относительный вклад дифракции и нелинейной рефракции определяется соотношением:
Rд2
P0
=
,
2
Rнл
Pкр
где
cn0 E02 a2
16
– полная мощность Гауссового пучка в среде с показателем прелом√
ления n0 = εл ;
P0 =
Pкр =
cn0 λ2
32π 2 |ε2 |
– критическая мощность на длине волны λ.
Соотношение (9.11) обычно переписывают с использованием
определения P0 и Pкр :
P0
z2
Pкр
z2
=1+ 2
− sgnε2 . (9.12)
f 2 (z) = 1 + 2 1 − sgnε2
Rд
Pкр
Rнл P0
Проанализируем различные случаи соотношения между P0 и
Pкр , используя выражение (9.12).
• ε2 < 0 – дефокусирующая среда. В этом случае всегда в нелинейной среде происходит расплывание пучка вследствие нелинейной рефракции и дифракции. На больших расстояниях (z ≫ Rд ,
z ≫ Rнл ) волновой пучок приобретает условную расходимость:
s
P0
df
= θд 1 +
,
θнл = a
dz
Pкр
61
где θд = 2/(ka) – дифракционная расходимость Гауссова пучка
в линейной среде. При P0 ≪ Pкр пучок расходится вследствие
нелинейной рефракции; при P0 ≫ Pкр – из-за дифракции. При
P0 Pкр расходимость связана в одинаковой мере как с нелинейной
рефракцией, так и с дифракцией. На рис.9.2 приведены зависимости f (z) при различных соотношениях P0 /Pкр в случае E2 < 0.
• ε2 > 0. В этом случае возможны следующие варианты:
– P0 ≪ Pкр ;Rд ≪ Rнл . Дифракция подавляет нелинейную рефракцию и пучок расплывается. На рис. 9.3 эта ситуация наблюдается при P0 /Pкр = 0.5.
– P0 = Pкр ;Rд = Rнл . Дифракция и нелинейная рефракция уравновешивают друг друга. В этом случае ширина пучка не изменяется с расстоянием f (z) = 1. Этот режим соответствует
волноводному распространению волнового пучка в нелинейной
среде. На рис.9.3 эта ситуация наблюдается при P0 /Pкр = 1.
– P0 > Pкр ;Rд > Rнл . Нелинейная рефракция подавляет дифракцию и ширина волнового пучка уменьшается с расстоянием; возникает самофокусировка. На рис. 9.3 эта ситуация
наблюдается при P0 /Pкр = 2.
Найдём расстояние, на котором ширина волнового пучка обра-
2
f
1
3
2
P0/P
1
0
0.5
1
Рис. 9.2.
62
z/Rнл
f
P0/Pкр
2
1
1
2
0
1
0.5
z/Rнл
Рис. 9.3.
щается в нуль (нелинейный фокус): f (zф ) = 0. Из выражения (9.12)
следует, что координата нелинейного фокуса определяется следующим образом:
Rнл
zф = q
(9.13)
P
1 − Pкр
0
Интенсивность поля на оси пучка (r = 0) находится из формулы
(9.4):
E2
A20 (0; z) = 2 0 −−−−→ ∞
f (z) z→zφ
При z → zф наступает явление, называемое в оптике, коллапсом. Причем, в отличие от линейной среды дифракция не способна
противоборствовать образованию коллапса.
9.2
Домашнее задание
• Ознакомиться с краткими теоретическими сведениями;
• Ознакомиться с соответствующими разделами из источников,
представленных в методических указаниях к данной работе.
9.3
Задание на работу
Варианты заданий:
63
Упр.1
Упр.2
ε2
0.1
-0.1
0.1
-0.1
0.1
-0.1
εл
Вариант 1
A20
A
λ
r
N
3
1
2
1
1
−4 . . . 4
3
1
2
4
1
−4 . . . 4
3
1
2
1
1
−2 . . . 2
Отношение мощностей 2 : 1, 4 : 1, 1 : 1, 1 : 2, 1 : 4
Упр.1
Упр.2
ε2
0.5
-0.5
0.5
-0.5
0.5
-0.5
εл
Вариант 2
A20
A
λ
r
N
3
1
2
1
1
−4 . . . 4
3
1
2
4
1
−4 . . . 4
3
1
2
1
1
−2 . . . 2
Отношение мощностей 2 : 1, 4 : 1, 1 : 1, 1 : 2, 1 : 4
Упр.1
Упр.2
ε2
0.1
-0.1
0.1
-0.1
0.1
-0.1
εл
Вариант 3
A20
A
λ
r
N
5
1
2
1
1
−4 . . . 4
5
1
2
4
1
−4 . . . 4
5
1
2
1
1
−2 . . . 2
Отношение мощностей 2 : 1, 4 : 1, 1 : 1, 1 : 2, 1 : 4
Упр.1
Упр.2
ε2
0.5
-0.5
0.5
-0.5
0.5
-0.5
εл
Вариант 4
A20
A
λ
r
N
5
1
2
1
1
−4 . . . 4
5
1
2
4
1
−4 . . . 4
5
1
2
1
1
−2 . . . 2
Отношение мощностей 2 : 1, 4 : 1, 1 : 1, 1 : 2, 1 : 4
Упр.1
Упр.2
ε2
0.1
-0.1
0.1
-0.1
0.1
-0.1
εл
Вариант 5
A20
A
λ
r
N
2
1
4
1
1
−4 . . . 4
2
1
4
4
1
−4 . . . 4
2
1
4
1
1
−2 . . . 2
Отношение мощностей 2 : 1, 4 : 1, 1 : 1, 1 : 2, 1 : 4
64
Упр.1
Упр.2
ε2
0.4
-0.4
0.4
-0.4
0.4
-0.4
εл
Вариант 6
A20
A
λ
r
N
6
1
2
1
1
−4 . . . 4
6
1
2
4
1
−4 . . . 4
6
1
2
1
1
−2 . . . 2
Отношение мощностей 2 : 1, 4 : 1, 1 : 1, 1 : 2, 1 : 4
9.3.1
Порядок выполнения работы
Для выполнения лабораторной работы запустите файл nlo03.
В результате будет запущена программа «Нелинейная рефракция
и дифракция Гауссова волнового пучка». Главное окно программы
показано на рисунке 9.4.
Упражнение 1. Количественный расчет рефракции и дифракции Гауссова волнового пучка.
Установите галочку в пункте «Количественный расчет»
(Да/нет). В полях «Нелинейная проницаемость», «Линейная
проницаемость»,«Начальная ширина пучка», «Начальная
амплитуда волны», «Длина волны», «Координата r» введите значения из Вашего варианта задания. В списке «Номер луча»
установите значение 1.
1. Нажмите кнопку «РАСЧЕТ». После вычислений в поля «Сила нелинейной рефракции», «Сила дифракции», «Мощность P0 », «Мощность Pкрит » появятся значения, которые
необходимо занести себе в отчет. Фиолетовым цветом подсвечено одно из полей. Если подсвечено поле «Мощность P0 », то
это значит, что P0 > Pкрит . Если подсвечено поле «Мощность
Pкрит », то это значит, что P0 < Pкрит
2. Нажмите на кнопку «ГРАФИК ШИРИНЫ» и постройте зависимость f (z).
3. Нажмите на кнопку «ИНТЕНСИВНОСТЬ A0» и постройте зависимость A20 (z). Повторите п. 1-3 для номеров лучей: N =
−4, −3, −2, −1, 2, 3, 4.
4. Постройте графики зависимостей f (z) для 8 лучей на одной координатной сетке.
65
Рис. 9.4.
5. Постройте графики зависимостей A20 (z) для 8 лучей на одной
координатной сетке.
6. Постройте объемное распределение поля, нажав на кнопку «3D
распределение поля». Сделайте вывод о том, как влияет нелинейная среда на распространение волнового пучка.
7. В поле «Нелинейная проницаемость» установите отрицательное значение.
Повторите исследование по п. 1-6.
В отчете по этому упражнению должны присутствовать 4 (2 −
ε2 > 0 и 2 − ε2 < 0) набора по 8 графиков, 2 графика объемного
распределение интенсивности поля пучка и выводы по каждому
пункту.
Упражнение 2. Качественный расчет рефракции и дифракции Гауссова волнового пучка.
Установите галочку в пункте «Качественыный расчет»
(Да/нет). В полях «Нелинейная проницаемость», «Линейная
проницаемость»,«Начальная ширина пучка», «Начальная
66
амплитуда волны», «Длина волны», «Координата r» введите значения из Вашего варианта задания. В списке «Номер луча» установите значение 1. Установите соотношение «Мощность
Pкрит : P 0» как 2:1.
1. Нажмите кнопку «РАСЧЕТ».
2. Нажмите на кнопку «ГРАФИК ШИРИНЫ» и постройте зависимость f (z).
3. Нажмите на кнопку «ИНТЕНСИВНОСТЬ A0» и постройте зависимость A20 (z).
Повторите п. 1-3 для номеров лучей: N = −2, −1, . . . , 2.
4. Постройте графики зависимостей f (z) для 8 лучей на одной координатной сетке.
5. Постройте графики зависимостей A20 (z) для 8 лучей на одой координатной сетке.
6. Постройте объемное распределение поля, нажав на кнопку «3D
распределение поля». Сделайте вывод о том, как влияет нелинейная среда на распространение волнового пучка.
7. В поле «Нелинейная проницаемость» установите отрицательное
значение. Повторите исследование по п. 1-6.
8. Проведите аналогичные исследования для соотношений мощностей 4:1, 1:1, 1:2, 1:4.
В отчете по этому упражнению должны присутствовать 10 (5−
ε2 > 0 и 5 − ε2 < 0) наборов по 4 графика и выводы по каждому
пункту.
9.4
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
Дифракция волн в кубично-нелинейной среде.
Уравнения эйконала и переноса.
Сила дифракции и сила нелинейной рефракции.
Безаберрационное приближение.
Совместное влияние на волновой пучок дифракции и нелинейной
рефракции.
6. Самофокусировка и самодефокусировка в нелинейной среде при
наличии дифракции и нелинейной рефракции.
7. Волноводное распространение волновых пучков в нелинейной
среде.
67
Список литературы
[1] Самарский А.А. Введение в численные методы. — М.: Наука,
1988.
[2] Компьютерная математика с Maxima: Руководство для
школьников и студентов /Е.А.Чичкарёв - М. : ALT Linux,
2009. — 233 с. : ил. (Библиотека ALT Linux).
[3] Мостовской А.П. Численные методы и система «wxMaxima»
[4] Интегральная оптика / Под ред. Тамира Т. — М.: Мир, 1978.
[5] Волноводная оптоэлектроника / Под ред. Тамира Т. — М.:
Мир, 1991.
[6] Планарные и волоконные оптические волноводы. — М.: Мир,
1980.
[7] М.С.Содха, А.К.Гхатак. Неоднородные оптические волноводы. — М.: Связь, 1980.
[8] Андрушко Л.М., Федоров Н.Д. Электронные и квантовые
прибо-ры СВЧ. — М.: Радио и связь, 1981, с.138-141, с.148152, 179-181.
[9] Федоров Н.Д. Электронные приборы СВЧ и квантовые приборы. — М.:Атомиздат, 1979, с.188-192, 199-202, 249-252.
[10] Андрушко Л.М., Бурмистенко В.М. Электронные и квантовые приборы СВЧ. — М.: Связь, 1974, с.118-127,167-170.
[11] Пихтин А.Н. Оптическая и квантовая электроника.- М.: Высшая школа, 2001,297-334.
[12] Бочкарёва Т.С., Неганов В.А., Осипов О.В., Соболев В.А.
Электродинамика и распространение радиоволн: Учебное пособие для вузов / Под ред. Неганова В.А. — М: Радио и связь,
2003.
[13] Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн.: Учебное пособие для вузов. — М.:
Наука, 1989.
[14] Неганов В.А., Раевский С.Б., Яровой Г.П. Линейная макроскопическая электродинамика. Т.1 / Под ред. В.А. Неганова
— М.: Радио и связь, 2000.
[15] Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. — М.: Радио и
связь, 1988.
[16] Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцов А.Д. Техническая
электродинамика. Учебное пособие для вузов / Под ред. Ю.В.
Пименова — М.: Радио и связь, 2000.
68
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
1 103 Кб
Теги
integralnaya, lab, soldatova, tabakov, metod, ch2, zanyatiy, 2018, morozov, optika, fizicheskaya, osipov, ukazaniya
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа