close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Alasheeva Differenzialnie uravnenia

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ
Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего профессионального образования
ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ
Кафедра высшей математики
Алашеева Е.А.
Дифференциальные уравнения
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
Самара, 2014
1
УДК 519.2
Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения. Конспект
лекций.- Самара: ФГОБУ ВПО ПГУТИ, 2014.
Конспект
лекций
затрагивает
такие
разделы
дифференциальных
уравнений,
как:
обыкновенные
дифференциальные уравнения первого порядка, обыкновенные
дифференциальные уравнения высших порядков, линейные
дифференциальные
уравнения,
системы
линейных
дифференциальных уравнений, теория устойчивости. Для
студентов и аспирантов университетов и вузов, а также для
специалистов, желающих изучать дифференциальные уравнения
самостоятельно.
Каждая лекция заканчивается контрольными вопросами,
которые помогут проверить теоретическое освоение курса,
содержит большое количество задач для самостоятельного
решения и ответы для проверки.
РЕЦЕНЗЕНТ:
КЛЮЕВ Д. С. д.ф.-м.н., зав. кафедрой ЭИА
Поволжский государственный университет
телекоммуникаций и информатики
©АЛАШЕЕВА Е.А., 2014
2
Содержание
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................. 7
ЛЕКЦИЯ 1 ................................................................................... 8
Дифференциальные уравнения первого порядка ..................................... 8
Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные
относительно производной ........................................................................ 9
Метод изоклин .......................................................................................... 11
Уравнения с разделяющимися переменными ........................................ 12
Задачи для самостоятельного решения ................................................... 14
Контрольные вопросы .............................................................................. 15
ЛЕКЦИЯ 2 ................................................................................. 17
Уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися
переменными............................................................................................. 17
Однородные уравнения ............................................................................ 18
Уравнение, приводящееся к однородному ............................................. 21
Задачи для самостоятельного решения ................................................... 23
Контрольные вопросы .............................................................................. 23
3
ЛЕКЦИЯ 3 ................................................................................. 24
Уравнения в полных дифференциалах ................................................... 24
Линейные уравнения ................................................................................ 26
Метод вариации постоянной ................................................................... 27
Задачи для самостоятельного решения ................................................... 30
Контрольные вопросы .............................................................................. 31
ЛЕКЦИЯ 4 ................................................................................. 33
Уравнение Бернулли................................................................................. 33
Метод Бернулли ........................................................................................ 34
Уравнение Риккати ................................................................................... 37
Задачи для самостоятельного решения ................................................... 38
Контрольные вопросы .............................................................................. 39
ЛЕКЦИЯ 5 ................................................................................. 41
Общие сведения о дифференциальных уравнениях высших порядков 41
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие
понижение порядка ................................................................................... 43
Задачи для самостоятельного решения ................................................... 47
Контрольные вопросы .............................................................................. 48
4
ЛЕКЦИЯ 6 ................................................................................. 50
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков ............... 50
Определитель Вронского ......................................................................... 53
Структура общего решения линейного дифференциального уравения55
Контрольные вопросы .............................................................................. 57
ЛЕКЦИЯ 7 ................................................................................. 59
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ....................... 59
Метод вариации постоянных нахождения частного решения
неоднородного линейного дифференциального уравнения .................. 64
Задачи для самостоятельного решения ................................................... 67
Контрольные вопросы .............................................................................. 68
ЛЕКЦИЯ 8 ................................................................................. 69
Метод подбора частного решения по виду правой части ..................... 69
Системы дифференциальных уравнений ............................................... 75
Задачи для самостоятельного решения ................................................... 81
Контрольные вопросы .............................................................................. 82
ЛЕКЦИЯ 9 ................................................................................. 83
Элементы теории устойчивости .............................................................. 83
5
Строгое определение понятия устойчивости решения ......................... 84
Классификация особых точек автономной системы двух уравнений .. 90
Задачи для самостоятельного решения ................................................... 94
Контрольные вопросы .............................................................................. 95
ГЛОССАРИЙ ............................................................................ 97
К лекции 1 ................................................................................................. 97
К лекции 2 ................................................................................................. 98
К лекции 3 ................................................................................................. 98
К лекции 4 ................................................................................................. 99
К лекции 5 ................................................................................................. 99
К лекции 6 ............................................................................................... 100
К лекции 7 ............................................................................................... 101
К лекции 8 ............................................................................................... 101
К лекции 9 ............................................................................................... 102
ЛИТЕРАТУРА ........................................................................ 104
6
Введение
Студентам математических специальностей важно
научиться строить математическую модель экономического,
физического,
химического
и т.д.
процесса.
Теория
дифференциальных уравнений является основой построения
практически любой математической модели.
В рамках данного курса студенты познакомятся с
обыкновенными дифференциальными уравнениями. Именно с
помощью уравнений такого типа можно описать многие
явления.
Курс построен в соответствии с требованиями
Федерального
государственного
стандарта
высшего
профессионального
образования
к
дисциплине
«Дифференциальные
уравнения».
Учебная
программа
разработана на основе учебных планов направления 010500
«Математическое
обеспечение
и
администрирование
информационных систем».
Наличие большого количества примеров в каждом разделе
позволит более полно и быстро усвоить изучаемый курс.
7
Лекция 1
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 1.1
Дифференциальным уравнением называется соотношение между
функцией, её производными и независимыми переменными.
Определение 1.2
Уравнения, содержащие производные по многим независимым
переменным, называется уравнением в частных производных.
Определение 1.3
Уравнения, содержащие производные лишь по одной из
независимых
переменных,
называется
обыкновенным
дифференциальным уравнением.
Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать в
виде:

dy
d n y 
F  x, y, ,...,
0

n
dx
dx


(1.1)
Определение 1.4
Порядком уравнения называется порядок старшей производной,
входящей в уравнение.
Уравнение первого порядка имеет вид:
dy 

F  x, y ,   0
dx 

Пример 1.1
Уравнение
является
x 2 y  5 xy  sin x
дифференциальным уравнением 1-го порядка.
8
(1.2)
обыкновенным
Уравнение
является
y  y  y  x
дифференциальным уравнением 3-го порядка.
 2u  2u

Уравнение
 t 2  x2
обыкновенным
является уравнением с
частными
производными 2-го порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка,
разрешенные относительно производной
Определение 1.5
Дифференциальное уравнение вида:
dy
(1.3)
 f ( x, y ) ,
dx
где
—
некоторая
функция,
называется
f ( x, y )
дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным
относительно производной.
Найдем решение уравнения (1.3) такое, что
(1.4)
y( x0 )  y0
где x0 и y0 — некоторые заданные числа.
Определение 1.6
Задача нахождения решения уравнения (1.3), которое
удовлетворяет условию (1.4) называется задачей Коши, при
этом условие (1.4) называется начальным условием или условием
Коши.
Определение 1.7
График функции y (x) , которая является решением уравнения
(1.3) в плоскости XOY называется интегральной кривой
уравнения (1.3).
9
Теорема 1.1 Существования и единственности решения
задачи Коши
Пусть функция f ( x, y ) в уравнении (1.3) и ее частная
f ( x, y )
производная
непрерывны в некоторой области D
y
плоскости XOY и точка ( x0 , y0 ) принадлежит области D .
Тогда
1) в некоторой окрестности точки x0 существует
решение задачи Коши для уравнения (1.3) с начальным условием
(1.4);
2) в данной окрестности точки x0 данное решение
единственно.
Геометрическая интерпретация теоремы: через каждую
точку ( x0 , y0 ) области D проходит интегральная кривая
уравнения (1.3), и при том только одна.
Определение 1.8
Общим решением уравнения (1.3) называется функция
C
y   ( x, C ) , где
—
произвольная постоянная,
удовлетворяющая следующим двум условиям:
1) она является решением уравнения (1.3) при любом значении
C;
2) для любых начальных данных ( x0 , y0 ) , при которых
дифференциальное уравнение (1.3) имеет решение, можно
указать значение постоянной C  C0 ,
такое, что будет
выполнено начальное условие y0   ( x0 , C0 ) .
Определение 1.9
Решение уравнения (1.3), полученное из общего решения путем
задания
конкретного значения постоянной С, называется
частным решением уравнения (1.3).
10
Метод изоклин
Рассмотрим уравнение (1.3). Пусть правая часть
уравнения (1.3) определена и конечна в каждой точке некоторой
области (непустой, замкнутой, связной): tg  f ( x, y ) . Построим
касательные ко всем интегральным кривым во всех точках: - для
этого каждой точке (t0, x0) нужно сопоставить проходящую
через нее прямую с угловым коэффициентом k = f(t0, x0).
Полученное соответствие между точками плоскости и
проходящими через нее прямыми называется полем направлений
уравнения (1.3). Геометрически: поле направлений уравнения
(1.3) – направление касательной в каждой точке интегральной
кривой совпадает с направлением поля в этой точке (рис. 1.1).
Рисунок 1.1 Поле направлений
Определение 1.10
Кривая, в каждой точке которой наклон поля, определяемого
дифференциальным уравнением (1.3), один и тот же, называется
изоклиной этого уравнения, ее уравнение: f ( x, y )  k
11
Пример 1.2
Построить интегральные кривые уравнения y' 
y
.
x
Решение:
В каждой точке, кроме начала координат, угловой коэффициент
y
к искомой интегральной кривой равен , то есть тангенсу угла,
x
образованного с осью OX прямой, проходящей через данную
точку и начало координат. Следовательно, интегральными
кривыми в данном случае будут прямые вида y  Cx (Рис 1.2).
Рисунок 1.2
Уравнения с разделяющимися переменными
Многие дифференциальные уравнения приводятся к уравнению
с разделяющимися переменными при соответствующей замене
искомой функции и независимой переменной.
Определение 1.11
Дифференциальное уравнение вида:
X ( x)dx  Y ( y )dy  0
называют уравнением с разделенными переменными.
12
(1.5)
Будем предполагать, что
X ( x), Y ( y ) - непрерывны, тогда:
x

y


d   X ( x)dx   Y ( y)dy   0 , поэтому
x

y0
 0

x

y


  X ( x)dx   Y ( y )dy   C
y0
 x0

(1.6)
общий интеграл уравнения (1.5). Особых решений нет.
Определение 1.12
Уравнения вида:
m( x)  n( y)dx  m1 ( x)  n1 ( y)dy  0
(1.7)
называют уравнениями с разделяющимися переменными.
1
, получим уравнение с
n( y )  m1 ( x)
n ( y)
m( x )
разделенными переменными:
dx  1
dy  0
m1 ( x)
n( y )
Умножая обе части (1.7) на
Общим интегралом будет: 
n ( y)
m( x )
dx   1
dy  C
m1 ( x)
n( y )
Мы могли потерять решения, определяемые уравнениями
n( y )  0 и m1 ( x)  0 . Это могут быть частные или особые
решения. Решения вида y  b и x  a могут быть особыми.
Пример 1.3
Решить уравнение и выделить
проходящую через точку (0,1) :
интегральную
x 1  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0
13
кривую,
Решение:
Разделяя переменные, имеем:
x
1 x
2

y
1 y2
0
( x  1,
y  1?)
отсюда следует, что: 1  x 2  1  y 2  C - общий интеграл
Все решения x  1, y  1 - особые, т.к. не получаются из
формулы общего интеграла ни при каких значениях
произвольной постоянной и на каждом из них нарушается
единственность задачи Коши.
Полагая x  0, y  1 , находим C  1 , или решение задачи Коши в
виде: 1  x 2  1  y 2  1
Но через точку (0,1) проходит и особое решение y  1 ,
получаем две интегральные кривые, проходящие через точку
(0,1)
Задачи для самостоятельного решения
№1 Найти интегральные кривые, проходящие через точки

M1 (0,1), M 2 ( ,1) уравнения sin xdy  y ln ydx  0 .
2
Ответ: y  e
C tg
x
2
- общее решение; в точке M 1 (0,1) поле не

определено; в точке M 2 ( ,1)
2
кривая.
y  1 - искомая интегральная
№2 Решить дифференциальное уравнение x y 2 1dx  ydy .
14
Ответ:
x2

2
y2 1  C .
№3 Найти частное решение уравнения y′ctg x + y = 2,
удовлетворяющее условию у(0) = -1.
Ответ: 2 – y = С cos x; y = 2 – 3cos x.
№4 Построить интегральные кривые уравнения y '  
x
.
y
Ответ: окружности x 2  y 2  C
№5 Построить интегральные кривые уравнения y '  x 2  y 2 ,
используя метод изоклин.
№6 Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Ответ:
№7 Найти интегральные кривые уравнения y   2 x .
Ответ: y  x 2  C ,семейство парабол.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение дифференциальному уравнению.
2. Какое
дифференциальное
уравнение
уравнением в частных производных?
3. Какое
уравнение
называется
дифференциальным уравнением?
15
называется
обыкновенным
4. Дайте
определение
уравнения.
порядку
дифференциального
5. Сформулируйте задачу Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка.
6. Дайте определение интегральной кривой.
7. Дайте
определение
общему
решению
дифференциального уравнения и частному решению
дифференциального уравнения.
8. В чем состоит метод изоклин?
9. Дайте определение дифференциальному уравнению с
разделенными и разделяющимися переменными.
16
Лекция 2
Уравнения, приводимые к уравнениям с
разделяющимися переменными
Определение 2.1
dy
 f (ax  by) называется уравнением,
dx
приводимым к уравнению с разделяющимися переменными, где
f – некоторая функция одной переменной, а и b – постоянные
числа
Уравнение
вида
С помощью замены переменной z = ax+by данное уравнение
сводится к уравнению с разделяющимися переменными
dz
dy
ab ,
dx
dx
dz
 a  bf (z ),
dx
dz
 dx.
a  bf ( z )
Пример 2.1
Решить уравнение y  4 x  2 y  1 .
Сделаем замену z = 4x + 2y, тогда
откуда
dz
dy
42 ,
dx
dx
dy
 z 1 ,
dx
dz
 4  2 z 1 .
dx
Решаем это уравнение:
dz
2  z 1
 2dx .
dz
 2  dx .
z 1  2
Вычислим интеграл в левой части равенства, используя замену:
Интегрируем обе части уравнения: 
u  z  1 , z  u 2  1, dz  2udu ,
17
dz
2udu
u 22

 2
du 
u

2
u2
z 1  2
2 
du

 2  1 

du  2 du  4
u2
 u2

 2u  4 ln u  2  2C  2 z  1  4 ln z  1  2  2C.
Таким
образом,
2 z  1  4 ln z  1  2  2C  2 x
возвращаясь к переменным
исходного уравнения
x
и
y,
или,
получим общий интеграл
4 x  2 y  1  2 ln 4 x  2 y  1  2  C  x .
Однородные уравнения
Определение 2.2
f ( x, y ) называется однородной функцией m
Функция
измерения относительно переменных x и y , если при любом 
справедливо
f (x, y )  m  f ( x, y)
(2.1)
Пример 2.2
Функция
f ( x, y )  3 x 3  y 3
однородная
функция
первого
измерения, так как f (x, y )    f ( x, y )
Определение 2.3
Дифференциальное уравнение вида:
dy
 y
  
dx
x
называют однородным дифференциальным уравнением.
18
(2.2)
Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение:
(2.3)
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
где M ( x, y ), N ( x, y ) - однородные функции одного же
измерения m , причем m может быть любым вещественным
числом.
Перепишем уравнение (2.3) в виде:
dy
M ( x, y )

(2.4)
dx
N ( x, y )
1
Полагая в(2.1)   , получим:
x
y
1
f (1, )  m  f ( x, y )
(2.5)
x
x
Откуда:
y
(2.6)
f ( x, y )  x m  f (1, )
x
Из (2.4) имеем:
 y
 y
x m  M 1, 
M 1, 
 x     x    y 
(2.7)

 
 y
 y
x
x m  N 1, 
N 1, 
 x
 x
Для однородного уравнения (2.2), сделаем замену искомой
y
функции: z  ,
или
тогда
будем
иметь
y  zx ,
x
M ( x, y)  x m  M 1, z  , N ( x, y)  x m  N 1, z  .
Перепишем (2.3) в виде:
x m M 1, z ) dx  x m N 1, z )   ( zdx  xdz)  0
(2.8)
Разделим на x m и получим дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными:
19
M (1, z)  N (1, z) z dx  xN (1, z)dz  0
 x  0 ?
Разделяя переменные, имеем:
dx
N (1, z )dz

 0 M (1, z )  N (1, z ) z  0 ?
x M (1, z )  N (1, z ) z
Интегрируя, находим:
N (1, z )dz
ln x  
 ln C
M (1, z )  N (1, z ) z
Откуда:
xe

N (1, z ) dz
M (1, z )  N (1, z ) z
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
или
x  C  e  z 
N (1, z )dz
где  z    
M (1, z )  N (1, z ) z
Заменяя z на
виде:
(2.13)
y
, получим общий интеграл уравнения (2.2) в
x
 y
x
 
(2.14)
x  C e
Разделяя переменные могли потерять решения вида z  a , где
a - корень уравнения M (1, z )  N (1, z ) z  0 .
x  0 Подставляя z  a в замену y  zx , имеем y  ax
полупрямые, примыкающие к началу координат, решения
однородного уравнения. Эти решения могут содержаться в
формуле общего интеграла, но могут быть и особыми.
Особыми могут быть полуоси оси OY x  0 и  y  0 .
Других особых решений быть не может.
Пример 2.3
Решить уравнение:
dy

dx
y
x
20
Решение:
Интегральными кривыми могут быть только кривые,
расположенные в 1 и 3 квадрантах, и полуоси осей координат.
Положим y  zx , получим:
dz
dx

0
z  z  0, x  0 ?
x
z z


интегрируя, найдем 2 ln z  1  ln x  C или


z 1 
x C,
 y 
возвращаясь к переменной y , получим: 
1  x  C
 x 


Рассмотрим уравнения z  z  0 , оно имеет корни z  0, z  1 ,
им соответствуют решения y  0, y  x x  0 . Первые из них –
особые, вторые – частные.
 y  0 тоже особые
Полуоси оси полуоси оси OY x  0
решения.
Уравнение, приводящееся к однородному
Рассмотрим уравнение
 a x  b1 y  c1 

f  1
 ax  by  c 
Если c1  c  0 , то это однородное уравнение.
dy

dx
1) Пусть
a1 b1
a
b
(2.15)
0.
a   b1  c  0
Выберем  и  , так, чтобы:  1
a  b  c  0
Сделаем замену переменных: x     , y     , тогда
уравнение примет вид:
 a   b1  a1  b1  c1 
d

(2.16)
 f  1
d
 a  b  a  b  c 
21
Получим однородное уравнение:
2) Если
a1 b1
a
b
поэтому
dy

dx
 0 , то
 a   b1 
d
 .
 f  1
d
 a  b 
a1 b1
  k , откуда a1  ka, b1  kb ,
a b
 k ax  by   c1 
  f ax  by 
f 
 ax  by  c 
(2.17)
Если ввести новую переменную
z  ax  by ,то придем к
dz
уравнению
 a  bf z  , не содержащему независимой
1
dx
переменной.
Пример 2.4
Решить уравнение:
dy x  y  3
.

dx x  y  1
x  x1  h,
Решение: Делаем замену
dy1 x1  y1  h  k  3

dx1 x1  y1  h  k  1
y  y1  k ,
тогда:
h  k  3  0
Решая систему 
, находим h  2, k  1 ,
h  k  1  0
dy1 x1  y1
В результате получаем однородное уравнение
,

dx1 x1  y1
y1
которое
решаем
подстановкой
получаем
u,
x1
или C 
C  x1  1  u  e

e
Переходя к переменным x и y , имеем:
2
arctgu
x12
22
y12
y
arctg 1
x1
C
x  22   y  12
e
arctg
y 1
x2
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Решить уравнение y² + x²y′ = xyy′.
x
Ответ: Cy  e y
№ 2 Решить уравнение (у + 2) dx = (2x + y – 4)dy.
Ответ: ( y  2) 2  C ( x  y  1) .
№ 3 Решить уравнение:
Ответ:
xy   2 3 x 2  y 2  y
.
3x 2  y 2  y
C
.
x3
№ 4 Решить уравнение:
y 
x  3y  4
3x  6 .
y2 1
 ln x  2  C
Ответ: x  2 3
.
Контрольные вопросы
1. Какие уравнения являются уравнениями сводящимися к
уравнениям с разделенными переменными?
2. Какое
уравнение
называется
дифференциальным уравнением?
однородным
3. Какую замену следует использовать, чтобы решить
однородное дифференциальное уравнение?
4. Как решать уравнение, сводящееся к однородному?
23
Лекция 3
Уравнения в полных дифференциалах
Определение 3.1
Уравнение P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0 называется уравнением в
полных дифференциалах, если его левая часть – полный
дифференциал некоторой функции u ( x, y ) , т.е.
P( x, y )dx  Q( x, y )dy  du( x, y )
(3.1)
Необходимым и достаточным условием полного дифференциала
P Q

является равенство частных производных
.
y
x
Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах имеет
вид u ( x, y )  c ,
где функция u ( x, y ) может быть найдена по одной из формул:
y
x
u ( x, y )   P( x, y )dx   Q( x0 , y )dy;
x0
y0
y
x
u ( x, y )   P( x, y 0 )dx   Q( x, y )dy.
x0
y0
Пример 3.1
Указать
уравнения
в
полных
дифференциалах:
2
( x  sin y)dx  ( x cos y  y )dy  0.
Решение:
1. Дифференциальное уравнение записано в симметричной
форме, где P( x, y )  x  sin y , Q( x, y)  x cos y  y 2 .
24
2. Найдём частные

производные:

P  x  sin y 

 cos y ,
y
y
Q  x cos y  y 2

 cos y .
x
x
P Q
, то

y x
уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
3. Сравним частные производные. Так как
Пример 3.2
Найти общий
ey
.
y' 
2 y  xe y
Решение:
интеграл
дифференциального
1. Запишем уравнение в симметричной форме:
2 y  xe dy  e dx ,
y
y

Q( x, y)  xe  2 y.
 
P  e

 ey ,
y
y
dy
ey
,

dx 2 y  xe y
e y dx  xe y  2 y dy  0 , тогда: P( x, y)  e y ,
Найдём
y
y

уравнения:


частные
Q  xe  2 y

 ey .
x
x
y
производные:
Сравним
частные
P Q

 e y , то уравнение является
y x
уравнением в полных дифференциалах.
2. Запишем формулу общего интеграла: u ( x, y )  C.
производные. Так как
3. Выберем формулу для отыскания функции u ( x, y ) :
x
y
x0
y0
u ( x, y )   P( x, y0 )dx   Q( x, y )dy.
4. Найдём функцию u ( x, y ) :
25
x
y
x0
y0


u(x, y)   e y0 dx   xe y  2y dy  e y0 x


x
x0
 xe y
y
y0
 y2
y
y0

 e y0 (x  x 0 )  x e y  e y0  xe y  y 2  x 0 e y0  y 02 .
5. Запишем общий интеграл уравнения:
xe y  y 2  x 0 e y 0  y 02  C1 ,
xe y  y 2  C1  x 0 e y 0  y 02 ,

C
xe y  y 2  C.
Линейные уравнения
Определение 3.2
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение вида:
dy
 p ( x) y  q ( x) ,
dx
Положим, что
непрерывными.
функции
р(х)
и
(3.2)
q(x)
в
(3.2)
являются
Определение 3.3
Линейное дифференциальное уравнение (3.2) называется
однородным, если q( x)  0 и называется неоднородным, если
q( x)  0 .
dy
 p( x) y  0
dx
(3.3)
Уравнение (3.3) является уравнением с разделяющимися
переменными, для которого можно легко найти общее решение:
26
dy
dy
  p ( x)dx, 
   p ( x)dx, ln | y |  P( x)  ln C
y
y
y  Ce  P ( x )
(3.4)
где P(x) —первообразная функции р(х). В дальнейшем для
этого решения будем использовать обозначение y
, где
o.o.
индекс «о.о.» , означает, что данное решение является общим
решением однородного уравнения.
При делении на у могло быть потеряно решение у = 0, но оно
входит в общее решение (3.4) при С = 0.
Метод вариации постоянной
Предположим, что общее решение уравнения (3.3) имеет форму
(3.4), в которой С – не постоянная, а неизвестная функция
аргумента х
y  C ( х)e  P ( x )
(3.5)
Тогда, с учетом того, что P( x)  p( x) и
dy
 C ( x)e  P ( x )  C ( x) P( x)e  P ( x )
dx
,
P( x)
P ( x)

 C ( x )e
 C ( x) p ( x)( x)e
подставив эти выражения
относительно С(х)
в
(3.2),
получим
C ( x)e  P ( x )  C ( x) p( x)( x)e  P ( x )
 p( x)C ( x)( x)e P ( x )  q( x)
уравнение
,
или, сокращая второе и третье слагаемые в правой части
27
C ( x)e  P ( x )  q( x), C ( x)  q( x)e P ( x ) .
Введем обозначение  ( x)  q( x)e P ( x )
полученного уравнения. Тогда
для
правой
части
C ( x)   ( x) .
Решая это уравнение, находим
C ( x)    ( x)dx  ( x)  C ,
где  (x) — первообразная функции  (x) , а С — произвольная
постоянная.
Таким образом, общее неоднородного линейного уравнения
(3.2) есть
yo.н.  ( x)  C e  P ( x )
(3.6)
индекс «о.н.» подчеркивает, что данное решение является
общим решением неоднородного линейного уравнения.
Если каким-либо образом зафиксировать значение постоянной С
в решении (3.6), то получим yч.н. — частное решение
неоднородного уравнения (3.2). Например, если С=0, то
y ч . н .   ( x )e  P ( x ) .
Таким образом, решение (3.6) можно представить в виде:
yo.н.  ( x)  C e  P ( x )  ( x)e  P ( x )  Ce  P ( x ) 
 Ce  P ( x )  ( x)e  P ( x )  yo.o  yч.н.
yo.н.  yo.o  yч.н. .
28
Общее решение неоднородного линейного дифференциального
уравнения первого порядка равно сумме общего решения
соответствующего однородного уравнения и частного решения
данного неоднородного уравнения.
Пример 3.3
Найти общее решение уравнения: у′ = 2 х (х² + y).
Решение:
Представим уравнение в виде y′ - 2xy = 2x³ и решим
соответствующее однородное уравнение: y′ - 2xy = 0.
dy
dy
dy
 2 xy,  2 xdx, 
  2 xdx,
dx
y
y
ln | y | x 2  ln | C |,
2
y  Ce x .
Далее, применим метод вариации постоянных. Пусть решение
2
неоднородного уравнения имеет вид: y  C ( x)e x ,тогда:
2
2
dy
 C e x  C ( x)e x  2 x .
dx
Подставим полученные выражения в уравнение:
2
2
2
C e x  C ( x)e x  2 x  2 xC ( x)e x  2 x 3 .
2
2
2
Следовательно, C ( x)  2 x 3e  x , C ( x)   2 x 3 e  x dx   x 2 e  x dx 2 .
Применяя подстановку x 2  t и метод интегрирования по
частям, u  t , du  dt, dv  e t dt, v  e t , получим:
t
t
t
t
t
 te dt  te   e dt  te  e  c .
Возвращаясь к переменной x, получаем:
29
2
2
C ( x)   x 2 e  x  e  x  c .
При этом общее решение исходного уравнения есть:
2
2
2
2
y  ( x 2 e  x  e  x  c)e x  ce x  x 2  1 .
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Найти общий интеграл дифференциального уравнения

 sin 2 x

sin 2 x 
dy  0.

 x dx   y 
2 
y
y




Ответ:
sin 2 x x 2  y 2

 C.
y
2
№ 2 Найти решение задачи Коши для дифференциального
x

уравнения
(ln y  2 x)dx    2 y dy  0, удовлетворяющее
y

начальным условиям y1  1.
Ответ: частное решение уравнения: x ln y  x 2  y 2  2  0
№ 3 Является ли (2 xy  5 y 2 )dx  ( x 2  10 xy  6 y )dy. уравнением
в полных дифференциалах?
Ответ: да.
№ 4 Среди уравнений указать линейные:
а) y ' cos x  y sin x  2 x  0 ;
б) 2 xy ' y 2  x  0 ;
dV
в) m
 P  kV ;
dt
30
y
.
3x  y 2
Ответ: а) линейное относительно y x  ;
г) y ' 
б) не является линейным;
в) линейное относительно V t  ;
г) линейное относительно x y  .
№ 5 Найти решение задачи Коши для дифференциального
y ' cos x  y sin x  2 x  0,
уравнения:
удовлетворяющее
начальным условиям y
Ответ: y 
x 0
1.
x2  1
.
cos x
№ 6 Найти общее решение дифференциального уравнения:
y '
x
y 1.
1  x2
Ответ: y  1  x 2 c  arcsin x  .
№ 7 Найти общее решение дифференциального уравнения:
y
.
y' 
3x  y 2
Ответ: x  y 2  cy 3 .
Контрольные вопросы
1. Какое уравнение называется уравнением в полных
дифференциалах?
31
2. Какое уравнение называется линейным однородным
первого порядка?
3. Какое уравнение называется линейным неоднородным
первого порядка?
4. Дайте определение общему решению однородного
уравнения.
5. Дайте определение общему решению неоднородного
уравнения.
6. Дайте определение частному решению неоднородного
уравнения.
7. В чем состоит метод вариации постоянной?
32
Лекция 4
Уравнение Бернулли
Определение 4.1
Уравнение вида:
dy
 p( x) y  q( x) у п , п  1, п  0.
dx
называется уравнением Бернулли.
(4.1)
Уравнение Бернулли можно свести к
линейному
дифференциальному уравнению.
Разделим
уравнение
(4.1)
на
уп,
получим:
dy
у n
 p( x) y1 n  q( x) .
dx
dz
dy
Выполним замену: z = y1-n, получим:
 (1  n) y  n
dx
dx
В итоге, получим линейное дифференциальное уравнение
1 dz
относительно z:
 p ( x) z  q ( x) .
1  n dx
Пример 4.1
Решить уравнение: y  y 4 cos x  ytgx .
Решение:
1 dy 1
 tgx  cos x .
y 4 dx y 3
1
dz
3 dy
 4
Сделаем замену: z  3 ,
.
dx
y
y dx
1
Относительно z уравнение стало линейным:  z  ztgx  cos x .
3
1
dz
Решим однородное уравнение:  z  z  tg x  0 ,
  z tg x ,
3
3dx
Преобразуем: y  ytgx  y 4 cos x,
33
dz  3 sin xdx
z  C cos3 x .

, ln | z | 3 ln | cos x |  ln C1 ,
z
cos x
Применим метод вариации постоянных: z  C ( x) cos3 x,
dz
 C ( x) cos3 x  3C ( x) cos2 x sin x .
dx
Подставим эти результаты в неоднородное уравнение
1
 C ( x) cos3 x  C ( x) cos2 x sin x  C ( x) cos3 x tg x  cos x,
3
3
3dx
C ( x)  
,
C ( x)   
  3 tg x  c.
2
cos x
cos2 x
Окончательно получаем
y 3  (3 tg x  c) cos3 x  c cos3 x  3 sin x cos2 x.
Необходимо дополнить это общее решение частным решением у
= 0, потерянным при делении на у4.
Метод Бернулли
Сделаем в уравнени (4.1) подстановку y  uv , где u  u (x) и
v  v(x) — некоторые неизвестные функции.
Тогда получим:
(uv)  p( x)uv  q( x)(uv) n ,
uv  uv  p( x)uv  q( x)(uv) n ,
uv  u (v  p( x)v)  q( x)(uv) n .
В качестве функции v возьмем решение уравнения,
удовлетворяющее условию: v  p( x)v  0 .
Тогда функция u определяется как решение уравнения
n
uv  q( x)uv .
Пример 4.2
Решить уравнение: y 
y
 x2 y3 .
x
34
Решение:
y  uv .
Пусть
Тогда:
1
uv  uv  uv  x 2 (uv)3 ,
x
v

u v  u  v    x 2 (uv)3 . Функцию v найдем из условия
x

v
dv
v
dv
dx
v   0 . Решаем данное уравнение:
 ,
 ,
x
dv
x
dx
x
1
1
. Пусть C  1 , тогда v  и уравнение
ln | v |  ln | Cx | , v 
x
Cx
1
1
для u принимает вид: u   x 2u 3 3 или u  u 3 . Решая это
x
x
du
du
du
 dx ,
уравнение, получаем:
 u3 ,
 3   dx ,
3
u
u
dx
1
1
1
1
 2  xC ,
u2  
,
, u
.
u2 
2( x  C )
C1  2 x
C1  2 x
2u
1
1
.
x C1  2 x
Дополним это решение частным решением y  0 , которое было
Находим
y:
y
потеряно при делении на u 3 .
Данный метод можно применять и для решения линейных
дифференциальных уравнений.
Решение
линейного
уравнения
будем
искать
в
виде: y  u ( x)  v( x) .
dv
du
Дифференцируя, имеем: y  u   v 
.
dx
dx
dv
du
Подставляя
в
(3.2),
имеем:
u v
 p u v  q
dx
dx
du
 dv

q
или: u    v  p   v 
dx
 dx

35
Выберем функцию v такой, чтобы
dv
 v  p  0 . Разделяя
dx
dv
  pdx . Интегрируя, получаем:
dv
 pdx
. Подставляя найденное
 ln C  ln v    pdx или v  Ce 
du
значение v в уравнение, получим: v( x) 
 q( x) или
dx
 q ( x)

q( x)
u
dx  C . Итак, имеем: y  v( x)   
dx  C  или
v( x)
 v( x)

переменные, находим:
q( x)
dx  C  v( x) .
v( x)
Пример 4.3
dy
2
2
Решить уравнение:

y  x  1
dx x  1
Решение:
y  v( x)  
Полагаем y  u ( x)  v( x) , тогда y  u 
dv
du
, подставляя в
v
dx
dx
исходное уравнение, будем иметь:
dv
du
2
2
u v 
uv  x  1
dx
dx x  1
2 
du
 dv
2
u  
v  v 
 x  1
dx
 dx x  1 
dv
2
Для определения v получим уравнение:

v  0 . Т.е.
dx x  1
dv 2dx
ln v  2 ln( x  1) ,
,
откуда
или
v  ( x  1) 2 ,

v x 1
2
x  12  du  x  13 , откуда u  x  1  C . Следовательно,
2
dx
x  14  C  x  12 .
общий интеграл заданного уравнения: y 
2
36
Уравнение Риккати
Определение 4.2
Уравнение
dy
 q ( x)  p ( x) y  r ( x) y 2 ,
dx
где q ( x), p ( x), r ( x) — известные функции,
уравнением Риккати.
(4.2)
называется
Если q, p, r — постоянные, то уравнение (4.2) интегрируется
разделением переменных:
dy
 xC.

q  py  ry 2
Если r ( x)  0 , то уравнение (4.2) оказывается линейным, в
случае q( x)  0 — уравнением Бернулли. В общем случае
уравнение (4.2) не интегрируется в квадратурах.
Теорема 4.1
Если известно одно частное решение уравнения Риккати, то
его общее решение может быть получено с помощью
квадратур.
Доказательство.
Пусть y1 - частное решение уравнения Риккати, тогда:
y1  p( x) y12  q( x) y1  R( x) . Сделаем замену y  y1 z , тогда:
y1  z  p( x) y12  2 p( x) y1z  p( x) z 2  q( x) y1  q( x) z  R( x) .
Принимая во внимание, что y1 - частное решение, имеем
уравнение
Бернулли:
z  2 p( x) y1  q( x)z  p( x) z 2 .
1
u,
z
линейному: u  2 p( x) y  q( x) u   p( x) .
1
уравнение
решаем

подстановкой

37
сводим
Это
его
к
Пример 4.4
Решить уравнение y  y 2  2e x y  e 2 x  e x , если известно его
частное решение y1  e x .
Решение:
Перепишем уравнение в виде y  e 2 x  e x  2e x y  y 2 . Пусть
y  e x  z , для функции z (x) получаем:
(e x  z )  e 2 x  e x  2e x (e x  z )  (e x  z ) 2 ,
e x  z  e 2 x  e x  2e 2 x  2e x z  e 2 x  2e x z  z 2 ,
dz
dz
1
1
.
 z 2 ,  2   dx ,   x  C , z  
dx
z
xC
z
Решением
исходного
уравнения
будет
функция
1
.
y ( x)  e x 
xC
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Решить y 
Ответ: y 
y
x2
- уравнение Бернулли.

2x 2 y
x3
 C1 x , m  1 ;замена z  y 2 .
2
№ 2 Найти решение уравнения
Бернулли.
Ответ: y  (
y  2 xy  xe x методом
2
2
x2
 C )  e x .
2
№ 3 Найти решение задачи Коши для дифференциального
уравнения:
xy' y  x3  0 ,
удовлетворяющее
 0 методом Бернулли.
x 1
Ответ: y  0,5 x3  0,5 x .
условиям y
38
начальным
№ 4 Найти решение задачи Коши для дифференциального
уравнения: y ' cos x  y sin x  2 x  0, удовлетворяющее
начальным условиям y
Ответ: y 
x0
 1 методом Бернулли.
x2  1
.
cos x
№ 5 Найти общее решение дифференциального уравнения:
x
y'
y  1 методом Бернулли.
1  x2
Ответ: y  1  x 2 c  arcsin x  .
№ 6 Найти общее решение дифференциального уравнения:
y
методом Бернулли.
y' 
3x  y 2
Ответ: x  y 2  cy 3 .
№ 7 Найти решение задачи Коши для дифференциального
уравнения:
условиям y
y'2 y  y 2  e x ,
x0
x
Ответ: y  e .
удовлетворяющего
начальным
1.
Контрольные вопросы
1. Какое уравнение называется уравнением Бернулли?
2. Можно ли решать уравнение Бернулли методом
Лагранжа?
3. В чем состоит метод Бернулли?
4. Можно ли решать линейные однородные уравнения
методом Бернулли?
39
5. Какое уравнение называется уравнением Риккати?
6. Разрешимо ли уравнение Риккати в квадратурах?
7. В каком случае можно свести уравнение Риккати к
уравнению Бернулли?
40
Лекция 5
Общие сведения о дифференциальных уравнениях
высших порядков
Определение 5.1
Дифференциальным
соотношение вида:
уравнение
п-го
порядка
называется
F (x, y, y′,…, y(n)) = 0,
(5.1)
где функция F предполагается непрерывной функцией всех
своих n  2 аргументов.
По теореме о существовании неявной функции можно
разрешить это уравнение относительно старшей производной.
у(п) = f (x, y, y′,…, y(n-1)).
(5.2)
Определение 5.2
Задачей Коши для дифференциального уравнение (5.1) (или (5.2))
называется задача нахождения решения этого уравнения,
которое удовлетворяет условиям:
(5.3)
y( x0 )  y0 , y( x0 )  y0 ,..., y ( n1) ( x0 )  y0( n1) ,
где x0 , y0 , y0 ,..., y0( n1) — некоторые числа.
Условия (5.3)
называются начальными условиями
условиями Коши.
или
Теорема 5.1 Существования и единственности решения
задачи Коши
Пусть функция f (x, y, y′,…, y(n-1)) в уравнении (5.3) и ее частные
производные по аргументам y, y′,…, y(n-1) непрерывны в
некоторой области D плоскости ( n  1 ) — мерного
координатного пространства с координатами x, y, y′,…, y(n-1) и
пусть точка ( x0 , y0 , y0 ,..., y0( n1) ) принадлежит области D .
Тогда
41
1) в некоторой окрестности точки x0 существует
решение задачи Коши для уравнения (5.2) с начальными
условиями (5.3).
2) в данной окрестности точки x0 данное решение
единственно.
Определение 5.3
Общим решением уравнения (5.1) называется функция
y   ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) , где C1 , C2 , ..., Cn — произвольные
постоянные, удовлетворяющая следующим двум условиям:
1) она является решением уравнения (5.1) при любых
значениях C1 , C2 , ..., Cn .
2) для любых начальных данных ( x0 , y0 , y0 ,..., y0( n1) ) , при
которых дифференциальное уравнение (5.1) имеет решение,
можно
указать
значения
постоянных
C1  C10 , C2  C20 , ..., Cn  Cn 0 , такое, что будут выполнены
начальные условия:
y ( x0 , C10 , C20 ,..., Cn 0 )  y0 ,
y ( x0 , C10 , C20 ,..., Cn 0 )  y0 ,
.................,
.
y ( n 1) ( x0 , C10 , C20 ,..., Cn 0 )  y0( n 1)
Определение 5.4
Если общее решение уравнения (5.2) (или (5.1)) получено в
неявном виде:
(5.4)
( x, y, C1 , C2 ,..., Cn )  0 ,
то
оно
называется
общим
дифференциального уравнения.
интегралом
данного
Определение 5.5
Решение уравнения (5.1), полученное из общего решения
y   ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) путем задания конкретных значений
42
постоянных C1 , C2 , ..., Cn , называется частным
данного уравнения.
решением
Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка
При аналитическом решении дифференциальных уравнений
стараются понизить порядок уравнения.
Рассмотрим несколько случаев, для которых это возможно
сделать.
Неполные уравнения
Простейшее уравнение n порядка – уравнение вида: y n   f (x) .
Решение уравнения находится n кратным интегрированием:

y n 1  f ( x) .
Интегрируя , получим:


x
y n1   f ( x)dx  C1 ;
x0
аналогично, интегрируя еще раз, получим:
x x
y n  2     f ( x)dxdx  C1  x  x0   C2
x0 x0
и.т.д.
x x
x
C1
n 1
y      f ( x)dxdx dx 
  x  x0  


n

1
!
x0 x0
x0
n раз
- общее решение.
C2
n2

 x  x0    Cn 1   x  x0   Cn
n  2!
Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным
n 1
x0   y0n 1 ,
значениям: y0 x0   y0 , y0 x0   y0 , y0
достаточно положить Cn  y0 , Cn1  y0 , C1  y0n1 .
43
Пример 5.1
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
удовлетворяющее
начальным
условиям
y ' '  sin 2 2 x ,
y x 0  0, y x 0  1 .
Решение:
1. Определим тип уравнения: y' '  sin 2 2 x - уравнение,
допускающее понижение порядка. Решается последовательным
интегрированием.
2. Проинтегрируем обе части уравнения: y '   sin 2 2 xdx,
1
1
1

 1  cos 4 x dx, y   x  sin 4 x   C1 .
2
4
2

3. Проинтегрируем обе части полученного уравнения:
1

1
x2 1

y     x  sin 4 x   C1 dx,
y
 cos 4 x  C1 x  C2 .
4
4 32

2

4. Найдём произвольные постоянные:
y 

y 


 y' 


x2 1
 cos 4 x  C1 x  C2 ,
4 32
1
1

 x  sin 4 x   C2 .
2
4

1
; C1  1 .
32
5. Запишем ответ – частное решение уравнения:
x2 1
1
y
 cos 4 x  x 
.
4 32
32
При x=0, y=0, y’=1 получаем C2  
Уравнение, не содержащее искомой функции и ее первых
производных до k  1 порядка
Это уравнения вида:
F ( x, y k , y k 1 ,, y n  )  0
44
Порядок уравнения понижается с помощью замены. Введем
z  y k  , тогда: F ( x, z, z, z,, z nk  )  0
Таким образом мы понизили порядок на
k единиц.
Пример 5.2
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
y'
удовлетворяющее
начальным
условиям
xy ' '  y ' ln ,
x
y x 1 e, y x 1 e .
Решение:
y
1. Определим тип уравнения: xy ' '  y ' ln
- уравнение,
x
допускающее понижение порядка.
2. Запишем подстановку: y '  Px , y ' '  P' x  .
P
3. Осуществим подстановку в данное уравнение: x  P'  P  ln .
x
4. Решим полученное дифференциальное уравнение первого
порядка.
P
P
4.1. Определим тип уравнения: P'   ln
- однородное
x
x
уравнение.
P
 u x , P  u  x, P'  u 'x  u .
x
4.3. Осуществим подстановку в уравнение: u ' x  u  u  ln u .
4.2. Запишем подстановку:
4.4.
Решим
полученное
уравнение с разделяющимися
du
dx
1
 ;
переменными: u '  (u  ln u  u )  ; 
x
x u ln u  1
ln ln u  1  ln C1x ; ln u  1  C1x; u  eC1x1.
4.5. Запишем общее решение: P  ux  xeC1x1; y'  xec1x1.
5. Определим значение произвольной постоянной C1 .
При x  1, y '  e имеем C1  0 , тогда y '  ex .
45
6. Решим уравнение, полученное в пункте 50: y '  ex уравнение с разделяющимися переменными.  dy  e  xdx;
x2
 C2 .
2
7. Определим значение произвольной постоянной C2 .
e
При х=1, у=е имеем C2  .
2
e
8. Запишем ответ – частное решение уравнения: y   x 2  1 .
2
Уравнение второго порядка, не содержащее независимой
переменной
y  e


Это уравнения вида: y  f  y, y
Порядок уравнения понижается с помощью замены:
dp dp dy dp
y x   p y , y 



p,
dx dy dx dy
dp
 f ( x, p )
Подставляя в уравнение, имеем: p 
dy
Интегрируя, имеем: p  p( y, C1 ) или x, y, C1 , C2   0 .
Пример 5.3
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
2
2 yy' ' y'  1  0 , удовлетворяющее начальным условиям
y 0  1, y ' 0  0 .
Решение:
2
1. Определим тип уравнения: 2 yy' ' y'  1  0 - уравнение,
допускающее понижение.
2. Запишем подстановку: y '  P y , y ' '  P y   P'  y  .
3. Осуществим подстановку в уравнение: 2 y  P  P' P 2  1  0 .
46
4.Решим уравнение, полученное в пункте 3: 2 yPP 'P 2  1  0 2 PdP
dy
 ;
уравнение с разделяющимися переменными.  2
y
P 1


ln P 2  1  ln C1 y; P 2  1  C1 y; P 2  C1 y  1;  y ' 
2
 C1 y  1; y '  C1 y  1.
5. Найдём значение произвольной постоянной
C1 . При
y  1, y '  0 имеем C1  1 . Тогда y'  y  1 .
6. Решим уравнение, полученное в пункте 5: y'  y  1 уравнение с разделяющимися переменными: 
dy
  dx;
y 1
1
x  C2 2  1.
4
7.Определим значение произвольной постоянной C2 :
При x  0, y  1 имеем C2  0 .
2 y  1  x  C2 ;
y
8. Запишем ответ – частное решение уравнения: y 
x2
1 .
4
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Найти решение задачи Коши для дифференциального
2
уравнения
y  y ' ' y '  0 , удовлетворяющее начальным
условиям y0  1, y ' 0  1 .
Ответ: y 2  2 x  1 .
№ 2 Найти решение задачи Коши для уравнения y ' '  y ' x ,
удовлетворяющее начальным условиям y0  1, y ' 0  0 .
Ответ: y  
x2
 x  ex .
2
47
№ 3 Найти решение задачи Коши для дифференциального
уравнения y ' '  e  ax , удовлетворяющее начальным условиям
y
 0, y
 1.
x0
x0
1
1
1
Ответ: y  2 e ax  x  2 .
a
a
a
№ 4 Решить уравнение: y   x  sin x .
Ответ: y 
x4
C x2
 cos x  1  C2 x  C3
24
2
№ 5 Решить уравнение: y  2 yy.
Ответ:
1
y
arctg
 x  C2 ,
C1
C1
y  C1 tg( C1 x  C1 C2 ).
№ 6 Решить уравнение: y  y2 .
Ответ: y  C2  C2 x  ( x  C1 ) ln( x  C1 ) .
№ 7 Решить уравнение: y   sin( kx),
Ответ: y  
y (0)  0,
y 0  1
sin kx x
 x.
k
k2
№ 8 Решить уравнение: y  ln x .
Ответ: y 
x2
x2 x2
ln x 

C .
2
2
4
2
Контрольные вопросы
1. Дайте определение уравнению высшего порядка.
48
2. Сформулируйте задачу Коши для уравнения высшего
порядка.
3. Дайте определение общему и частному решению
уравнения высшего порядка.
4. Сформулируйте теорему существования и решения
задачи Коши уравнения высшего порядка.
5. Какие типы уравнений, допускающих понижение
порядка вы знаете?
6. Каким образом понижается порядок в уравнениях
данных типов?
49
Лекция 6
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Определение 6 1
Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка
называется соотношение вида:
(6.1)
a0 ( x) y ( n)  a1 ( x) y ( n1)  ...  an1 ( x) y  an ( x) y  f ( x) ,
где a0 ( x), a1 ( x), ... an1 ( x), an ( x) — некоторые функции,
определенные на некотором промежутке, причем a0 ( x)  0 .
Определение 6.2
Линейное дифференциальное уравнение (6.1) называется
однородным, если f ( x)  0 и называется неоднородным, если
f ( x)  0 .
Разделим уравнение (6.1) на a0 ( x)  0 , получим:
y ( n)  p1 ( x) y ( n1)  ...  pn1 ( x) y  pn ( x) y  0 ,
Здесь f ( x)  0 .
(6.2)
Определение 6.3
Линейным дифференциальным оператором называется оператор вида:
L y   y n   p1 x y n1    pn1 x y  pn x y
Линейное дифференциальное уравнение n -го порядка:
L( y )  f ( x)
(6.3)
Свойства линейного дифференциального оператора L
1) Постоянный множитель c можно вынести за знак
линейного оператора: L[cy] = cL[y].
2) Для любых двух функций y1 и y2 справедливо
равенство: L[y1 + y2] = L[y1] + L[y2].
50
3) Для любых чисел c1 , c2 , …, cm и любых функций y1 ,
m
 m
y2 , …, ym справедливо равенство: L   ci yi    ci L yi  .
i 1
 i 1
Свойства решений линейного однородного уравнения
Теорема 6.1
Если у1 – решение уравнения (6.2), и с – произвольная
постоянная, то су1 – также решение этого уравнения.
Доказательство
Если L[y1] = 0, то по свойству 1) линейного оператора L[сy1] = 0,
что и требовалось доказать.
Теорема 6.2
Сумма у1 + у2 решений уравнения (6.2) также является
решением этого уравнения.
Доказательство
Так как L[y1] = 0 и L[y2] = 0, по свойству 2) линейного оператора
L[y1 + у2] = L[y1] + L[y2] = 0, что доказывает утверждение
теоремы.
Следствие
m
Линейная комбинация  ci yi решений уравнения (6.2) у1, у2,…,ут
i 1
с произвольными постоянными коэффициентами
является решением этого уравнения.
тоже
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (6.3). Если
функции pi(x) и f(x) непрерывны на отрезке [a,b], то в
окрестности
любых
начальных
значений
x0  [a, b]
удовлетворяются
условия
теоремы
существования
и
единственности решения задачи Коши и данное уравнение
имеет единственное решение, удовлетворяющее заданным
начальным условиям (5.3).
51
Свойства решений неоднородного линейного уравнения
Теорема 6.3
Сумма ~
y  y1 решения ~y неоднородного уравнения (6.6) и
решения у1 соответствующего однородного уравнения (6.2)
является решением неоднородного уравнения (6.6).
Доказательство
L[ ~
y  y1 ]  L[ ~
y ]  L[ y1 ]  f ( x)  0  f ( x) , что и требовалось
доказать.
Теорема 6.4(принцип суперпозиции).
Если yi – решение уравнения
является решением уравнения
m
L[y] = fi(x),
то y   i yi
i 1
m
L[ y]    i f i ( x) , где αi –
i 1
постоянные.
Доказательство
m
m
m
 m
L   i yi    L[ i yi ]    i L[ yi ]    i f i ( x) , что и требовалось
i 1
i 1
i 1
 i 1
доказать.
Определение 6.4
Функции у1(х), у2(х),…, уп(х) называются линейно зависимыми на
некотором отрезке [a, b], если существуют такие числа α1,
α2,…, αп, хотя бы одно из которых не равно нулю, что:
α1у1 + α2у2 + … + αпуп = 0
(6.4)
на рассматриваемом отрезке. Если же равенство (6.4)
справедливо только при всех αi=0, функции у1(х), у2(х),…, уп(х)
называются линейно независимыми на отрезке [a, b].
Пример 6.1
Функции 1, x, x², …, xn линейно независимы на любом отрезке,
так как равенство α1 + α2x + α3x² + … + αn+1xn = 0 справедливо
только при всех αi=0. Иначе в левой части равенства стоял бы
52
многочлен степени не выше п, который может обращаться в
нуль не более, чем в п точках рассматриваемого отрезка.
Пример 6.2
Линейно независимой на любом отрезке является система
функций e k1x , e k2 x ,..., e kn x , где k1 , k2 , ... kn — различные числа.
Если предположить, что эта система линейно зависима, то
существуют такие числа α1, α2,…, αп (пусть для определенности
 п  0 ), что 1ek1x   2ek2 x  ...   nekn x  0 . Разделим полученное
равенство на e k1x , получим: 1   2e( k2 k1 ) x  ...   n e( kn k1 ) x  0 , и
продифференцируем
Проделав
эту
 2 (k2  k1 )e( k2 k1 ) x  ...   n (kn  k1 )e( kn k1 ) x  0 .
операцию
п-1
раз,
придем
к
( kn kn 1 ) x
равенству  n (k2  k1 )(k3  k2 )...( kn  kn1 )e
что
 0,
невозможно,
так
как
по
предположению
( kn kn1 ) x
 n  0, ki  k j , e
 0.
Определитель Вронского
Определение 6.5
Определитель вида:
W [ y1 , y2 ,..., yn ] 
y1
y1
y2
y2
...
...
yn
yn
y1
y2
...
yn
...
...
...
y1( n1)
y2( n1)
(6.5)
...
yn( n1)
...
называется определителем Вронского системы функций у1, у2,…,
у п.
Поскольку функции у1, у2,…, уп зависят от аргумента x , для
краткого обозначения определителя Вронского будем
использовать также обозначение W (x) .
53
Теорема 6.5
Если функции у1, у2,…, уп линейно зависимы на отрезке [a,b], то
их определитель Вронского на этом отрезке тождественно
равен нулю.
Доказательство
Дифференцируя п-1 раз тождество α1у1 + α2у2 + … + αпуп = 0 ,
где не все αi = 0, получим линейную однородную систему
относительно α1, α2,…, αп
1 y1   2 y2  ...   n yn  0,


1 y1   2 y2  ...   n yn  0,


..................

(
n

1 y1 1)   2 y2( n 1)  ...   n yn( n 1)  0,
которая по условию должна иметь нетривиальное решение при
любом х из отрезка [a,b], а это возможно только в том случае,
если определитель основной матрицы этой системы равен
нулю. Поскольку этот определитель является определителем
Вронского для выбранной системы функций, теорема доказана.
Теорема 6.6
Если линейно независимые функции у1, у2,…, уп являются
решениями линейного однородного уравнения (6.2) с
непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами, то
определитель Вронского для этих функций не может
обратиться в нуль ни в одной точке отрезка [a,b].
Доказательство
Пусть существует такая точка x0  [a, b] , что W ( x0 )  0.
Выберем числа 1 ,  2 ,...,  n , не все равные нулю, так, чтобы
удовлетворялась система уравнений:
1 y1 ( x0 )   2 y2 ( x0 )  ...   n yn ( x0 )  0,


1 y1 ( x0 )   2 y2 ( x0 )  ...   n yn ( x0 )  0,


 ................................
1 y1( n 1) ( x0 )   2 y2( n 1) ( x0 )  ...   n yn( n 1) ( x0 )  0.
54
(6.6)
(Определитель этой системы, неизвестными в которой считаем
 i , равен W(x0) и, следовательно, равен нулю, поэтому система
имеет ненулевое решение). Тогда по условию теоремы
y  1 y1 ( x)   2 y2 ( x)  ...   n yn ( x) — решение уравнения (6.2) с
нулевыми
начальными
условиями
( n1)
y( x0 )  y( x0 )  ...  y
( x0 )  0 , что следует из системы (6.9).
Очевидно, что этим условиям удовлетворяет нулевое решение:
(6.7)
1 y1 ( x)   2 y2 ( x)  ...   n yn ( x)  0 ,
а по теореме существования и единственности это решение
единственно. Но при этом из равенства (6.10) следует, что
функции у1, у2,…, уп линейно зависимы, что противоречит
условиям теоремы. Следовательно, W ( x)  0 ни в одной точке
отрезка [a,b].
Структура общего решения линейного дифференциального
уравнения
Теорема 6.7 (о структуре общего решения однородного
линейного уравнения)
Общим решением на [a,b] уравнения (6.2) с непрерывными
коэффициентами pi является линейная комбинация:
n
y   ci yi
(6.8)
i 1
его п, линейно независимых на [a,b], частных решений yi с
произвольными постоянными коэффициентами сi .
Доказательство
Для доказательства теоремы, с учетом теоремы существования и
единственности, достаточно показать, что можно подобрать
постоянные ci так, чтобы удовлетворялись произвольно
заданные начальные условия
(6.9)
y( x0 )  y0 , y( x0 )  y0 ,..., y ( n1) ( x0 )  y0( n1) ,
где х0 – произвольная точка отрезка [a,b]. Подставив в равенства
(6.9) выражение для у вида (6.)8, получим линейную систему из
п уравнений относительно неизвестных с1, с2,…, сп
55
 n
ci yi ( x0 )  y0 ,
 i
1
 n
  ci yi ( x0 )  y0 , ,
 i 1

..............
n
( n 1)
( n 1)
 ci yi ( x0 )  y0
i 1
определителем которой является определитель Вронского для
выбранных п линейно независимых решений рассматриваемого
уравнения, который не равен нулю. Следовательно, система
имеет решение при любых правых частях. Теорема доказана.
Следствие
Максимальное
число
линейно
независимых
однородного уравнения (6.2) равно его порядку.
решений
Определение 6.6
Любые п линейно независимых решений однородного
линейного уравнения (6.2) называются его фундаментальной
системой решений.
Теорема 6.8 (о структуре общего решения неоднородного
линейного уравнения)
Общее решение на отрезке [a,b] уравнения L[y] = f(x) с
непрерывными на [a,b] коэффициентами pi(x) и правой частью
n
f(x) равно сумме общего решения  ci yi соответствующего
i 1
однородного уравнения и какого-либо частного решения
неоднородного уравнения.
Доказательство
Требуется доказать, что для любых начальных условий
y ( k ) ( x0 )  y0( k ) , k  0,1,..., n  1 , можно подобрать такие значения
постоянных ci, чтобы функция:
n
(6.10)
y   ci yi  ~
y,
i 1
56
где yi – линейно независимые частные решения однородного
уравнения L[y]=0, а ~y — частное решение рассматриваемого
неоднородного уравнения, была решением этого неоднородного
уравнения с заданными начальными условиями. Это требование
приводит нас к системе уравнений относительно неизвестных с1,
с2,…, сп
n

ci yi ( x0 )  ~
y ( x0 )  y0 ,


i 1

n

 ci yi ( x0 )  ~y ( x0 )  y0 ,
i 1

n
(6.11)

ci yi( x0 )  ~
y ( x0 )  y0,


i 1

...............
n
( n 1)
 ci yi ( x0 )  ~
y ( n 1) ( x0 )  y0( n 1)
i 1
главным определителем которой является определитель
Вронского W [ y1 , y2 ,..., yn ] , как известно, не равный нулю.
Поэтому система (6.11) имеет единственное решение, что и
доказывает утверждение теоремы.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение линейному
уравнению высшего порядка.
дифференциальному
2. Какое
линейное
дифференциальное
называется однородным?
уравнение
3. Какое
линейное
дифференциальное
называется неоднородным?
уравнение
4. Дайте определение линейного оператора.
5. Перечислите свойства линейного оператора.
6. Перечислите свойства решений линейного однородного
уравнения.
57
7. Перечислите
свойства
неоднородного уравнения.
решений
линейного
8. Дайте определение определителю Вронского.
9. Какова структура решения линейного однородного
уравнения?
10. Какова структура решения линейного неоднородного
уравнения?
11. Дайте определение фундаментальной системе решений.
12. Какая
система
независимой?
функций
называется
линейно
13. Какая система функций называется линейно зависимой?
58
Лекция 7
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим однородное линейное уравнение n-го порядка с
постоянными коэффициентами:
(7.1)
y ( n)  p1 y ( n1)  ...  pn y  0 .
Согласно теореме о структуре общего решения однородного
уравнения, общее решение данного уравнения имеет вид:
n
yo.o.   Ci yi , где Ci — произвольные постоянные, а yi —
i 1
фундаментальная система решений (7.1).
Будем
искать
частные
решения
(7.1),
образующие
kx
фундаментальную систему, в виде y  e , где k – постоянная
величина. Тогда
и, при
y  kek , y  k 2ek , ... y ( n)  k nek
подстановке
в
(7.1),
получаем:
x
n
 1
x
x
L(e )    a1e    an1  an  e  P   e


x
L(e )  0 тогда и только тогда когда  - корень уравнения
P ( )  0
Определение 7.1
Уравнение P( )  n  a1e 1    an1  an  0 - называется
характеристическим
уравнением,
а
его
корни
характеристическими
числами
однородного
линейного
уравнения.
От вида корней характеристического уравнения зависит вид
частного решения. Можно выделить четыре типа корней:
1. Пусть все корни характеристического уравнения 1 ,, n вещественны и различны.
59
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
n
 x
y  C e k
k
k 1
2. Пусть все корни характеристического уравнения 1 ,, n комплексные и различны.
Корню вида a  ib соответствует решение e ax cos bx , eax sin bx .
Это решения линейно независимы.
Корню вида a  ib соответствует решение eax cos bx ,
 e ax sin bx . Это решения линейно независимы.
Таким образом, если все корни характеристического уравнения
1 ,, n различны, но среди них имеются комплексные, то
каждому вещественному корню k соответствует решение e k x ,
а каждой паре сопряженных комплексных корней a  ib
соответствуют два вещественных линейно независимых
частных решений вида e ax cos bx , e ax sin bx .
Итак, если корень вещественный k , то общее решение Ck ek x ,
если корни сопряженные a  ib , то общее решение
eax C1 cos bx  C2 sin bx , если чисто мнимые  ib , то общее
решение C1 cos bx  C2 sin bx .
3. Случай наличия кратных корней
Пусть 1 k - кратный корень характеристического уравнения:
P(1 )  P1     Pk  1   0
Всякому вещественному корню 1 кратности k соответствует
k
вещественных линейно независимых решений вида
1x
e , xe1x , x k 1e1x
60
a  ib
Каждой паре сопряженных
корней кратности
k соответствует 2k вещественных линейно независимых
решений вида:
eax cos bx, xe ax cos bx,, x k 1e ax cos bx
eax sin bx, xe ax sin bx,, x k 1e ax sin bx
Итак, если корень вещественный 1 кратности k , то ему
соответствует Pk 1 ( x)e1x .
Если корни сопряженные a  ib , кратности
соответствует eax Pk 1 ( x) cos bx  Qk 1 ( x) sin bx
k , то ему
Остановимся отдельно на решении линейных однородных
дифференциальных уравнений второго порядка. Однородное
линейное уравнение  порядка с постоянными коэффициентами
имеет вид: y ' ' py' gy  0 , где p, g - заданные числа.
Виды фундаментальной системы решений линейного
однородного уравнения представлены в следующей таблице:
Дискриминант
характеристического
уравнения
D0
D0
D0
Корни
характеристического
уравнения
Фундаментальная
система частных
решений
Общее
решение
вещественные
различные
k1  k 2
вещественные
равные
k1  k2  k
y1  ek1x
y  c1e k 1 x 
комплексные
k1, 2      i
Таблица 7.1
61
y2  e
k2 x
y1  ekx
y2  xekx
y1  ex cos x
y2  ex sin x
 c2 e k 2 x
y  e k x 
 c1  c2 x 
y  e x 
 (c1 cos x 
 c2 sin x)
Пример 7.1
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
y ' '13 y '30 y  0 , удовлетворяющее начальным условиям
y0  6, y ' 0  5
Решение:
1. Определим тип уравнения.
y ' '13 y '30 y  0 - линейное, однородное ІІ порядка, с
постоянными коэффициентами.
2. Запишем формулу общего решения: y  c1 y1  c2 y2
3. Составим и решим характеристическое уравнение:
2  13  30  0
1  2,
2  15 (корни вещественные, различные)
4. Запишем фундаментальную систему решений:
1  2  y '  e 2 x
.
2  15  y2  e15 x
5. Запишем общее решение уравнения: y  c1e2 x  c2e15 x
6. Найдём значения произвольных постоянных c1 и c2 :
 y  c1e 2 x  c2e15 x ,

 y '  2c1e 2 x  15c2e15 x .
x  0,
При
y  6,
y'  5
получаем
c1  c2  6,
 c1  5, c2  1.

 2e1  15c2  5,
7. Запишем ответ – частное решение уравнения: y  5e2 x  e15 x .
Пример 7.2
Найти общее решение дифференциального уравнения
y ' '14 y '49 y  0 .
Решение:
1. Определим тип уравнения.
y ' '14 y '49 y  0 - линейное, однородное, ІІ порядка, с
постоянными коэффициентами
62
2. Запишем формулу общего решения: y  c1 y1  c2 y2 .
3. Составим и решим характеристическое уравнение:
2  14  49  0 , 1  2  7 (корни вещественные, равные).
4.
Запишем
фундаментальную
систему
решений:
7x
7x
y1  e , y2  xe .
5. Запишем общее решение уравнения:
y  c1e7 x  c2 xe7 x , y  e7 k c1  c2 x .
Пример 7.3
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
y ' '4 y '13 y  0 , удовлетворяющее начальным условиям
y 0  6, y ' 0  0 .
Решение:
1. Определим тип уравнения.
y ' '4 y '13 y  0 - линейное, однородное, ІІ порядка, с
постоянными коэффициентами
2. Запишем формулу общего решения: y  c1 y1  c2 y2 .
3. Составим и решим характеристическое уравнение:
2  4  13  0, 1, 2  2  3i (корни комплексные).
4. Запишем фундаментальную систему решений:
y1  e2 x cos 3x,
y2  e2 x sin 3x .
5. Запишем общее решение уравнения:
y  c1e 2 x cos 3x  c2e 2 x sin 3x,
y  e2 x c1 cos 3x  c2 sin 3x .
6. Найдём значения произвольных постоянных c1 и c2 :
 y  e 2 x c1 cos 3 x  c2 sin 3x ,

 y '  e 2 x  2c1  3c2 cos 3x   2c2  3c1 sin 3 x .
x  0, y  6, y '  0
При
c1  6,

3c2  2c  0,
 c1  6, c2  4.
63
получаем:
7.
Запишем
ответ
–
2 x
уравнения: y  e 6 cos 3x  4 sin 3x  .
частное
решение
Метод вариации постоянных нахождения частного
решения неоднородного линейного дифференциального
уравнения
Пусть
y1 , y2 , ... , yn
— фундаментальная система решений
однородного уравнения y ( n)  p1 ( x) y ( n1)  ...  pn ( x) y  0 , тогда
общее решение этого уравнения:
n
yo.o.   ci yi .
i 1
Общее решение неоднородного линейного уравнения
y ( n)  p1 ( x) y ( n1)  ...  pn ( x) y  f ( x) будем искать в виде:
n
yо.н.   ci ( x) yi ,
i 1
где с1(х), с2(х),…, сп(х) — неизвестные функции.
Поскольку требуется найти n неизвестных функций,
удовлетворяющих всего одному уравнению, то можно
дополнительно потребовать, чтобы искомые функции
удовлетворяли еще каким-нибудь п-1 уравнениям, выбранным
так, чтобы производные функции
n
y   ci ( x) yi
i 1
имели по
возможности такой же вид, как при постоянных ci. Потребуем,
чтобы неизвестные функции с1(х), с2(х),…, сп(х) удовлетворяли
условиям:
64
 n 
ci ( x) yi ( x)  0,
 i
1
 n
  ci ( x) yi ( x)  0,
 i 1
 n
  ci ( x) yi( x)  0,
 i 1
 . n. . . . . . . . . . . . .
  c ( x ) y ( n  2 ) ( x )  0.
i
 i 1 i


С учетом данных условий получим следующие выражения
для производных искомой функции y (x)
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
y   ci ( x) yi ( x)   ci( x) yi ( x)   ci ( x) yi ( x),
y   ci ( x) yi( x)   ci ( x) yi ( x)   ci ( x) yi( x),
y   ci ( x) yi( x)   ci ( x) yi( x)   ci ( x) yi( x),
.

n
n
n
i 1
i 1
y ( n1)   ci ( x) yi( n1) ( x)   ci ( x) yi( n2) ( x)   ci ( x) yi( n1) ( x),
i 1
n
n
i 1
i 1
y ( n )   ci ( x) yi( n ) ( x)   ci ( x) yi( n1) ( x).
В последней строчке выражение для
y (n )
содержит два
n
слагаемых, так как условие  ci( x) yi( n1) ( x)  0 не содержится в
i 1
системе условий. Подставив найденные выражения для
y, y, y, ... , y ( n) в исходное уравнение приходим к уравнению:
n
( n1)
 ci( x) yi
i 1
n


  ci yi( n)  p1 ( x) yi( n1)  ...  pn ( x) yi  f ( x) .
i 1
65
Поскольку yi – частные решения однородного уравнения, то все
слагаемые второй суммы равны нулю и уравнение сводится к
следующему:
n
( n1)
 ci( x) yi
i 1
 f ( x) .
Добавив его к первым п – 1 уравнениям системы условий,
получим систему из п уравнений для определения
определитель
которой
является
c1 ( x), c2 ( x), ..., cn ( x)
определителем Вронского для функций у1, у2,…, уп и не равен
нулю. Следовательно, из этой системы можно единственным
образом
найти
производные
искомых
функций:
c1 ( x)  1 ( x), c2 ( x)  2 ( x), ..., cn ( x)  n ( x) .
Интегрируя c1 ( x), c2 ( x), ..., cn ( x) , находим:
c1 ( x)  1 ( x)  C1, c2 ( x)   2 ( x)  C2 , ..., cn ( x)   n ( x)  Cn ,
где  i (x) — первообразные функций i (x) , а Ci —
произвольные постоянные, i  1, 2, ..., n .
Таким образом, общее решение неоднородного линейного
уравнения имеет вид:
yо.н.   i ( x)  Ci yi ( x)
n
i 1
Если каким-либо образом зафиксировать значения постоянных
Ci в общем решении, то получим частное решение
неоднородного
линейного
уравнения.
Например,
Ci  0, i  1, 2, ... , n , тогда:
n
yч.н.   i ( x) yi ( x) .
i 1
Таким образом, общее решение равно сумме общего решения
соответствующего однородного уравнения и частного решения
неоднородного, то есть:
yо.н.   i ( x)  Ci yi ( x)   Ci yi ( x)   i ( x) yi ( x)  yо.o.  yч.н. .
n
n
n
i 1
i 1
i 1
66
Пример 7.4
Решить уравнение y  2 y  y 
ex
.
x
Решение:
Найдем решение однородного уравнения, для чего составим
характеристическое уравнение k² - 2k + 1 = 0, k1 = k2 =1.
Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет
вид у = (с1 + c 2 x)ех, то есть фундаментальную систему решений
составляют функции у1 = ех и у2 = хех. Будем искать общее
решение неоднородного уравнения в виде: у = с1(х)ех + с2(х)хех.
 с1e x  c2 xe x  0

Составим
систему:
откуда
 x
ex ,
x


c
e

c
(
1

x
)
e

1
2

x
 c1  c2 x  0
1

c  c (1  x)  1 , c2  , c2  ln | x | C2 , c1  1, c1   x  C1 ,
x
 1 2
x
где С1 и С2 – произвольные постоянные. Таким образом,
найдено
общее
решение
исходного
уравнения
x
x
х
y  (C1  x) e  (ln x  C2 ) xe или у = е (хln|x| - x + C2 x + C1).
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Решить уравнение: y  6 y  11y  6 y  0 .
Ответ: y  C1e x  C2e2 x  C3e3 x .
№ 2 Решить уравнение: y 4   4 y  0 .
Ответ: y  e x C1 cos x  C2 sin x   e x C3 cos x  C4 sin x  .
№ 3 Решить уравнение: y  3 y  3 y  y  0 .


Ответ: y  e x C1  C2 x  C3 x 2 .
№ 4 Найти общее решение дифференциальных уравнений:
а) y ' '5 y '6 y  0 ;
г) y ' '25 y  0 ;
67
б) y ' '25 y  0 ;
в) y ' '6 y '9 y  0 ;
д) y ' '4 y '20 y  0 ;
е) y ' '25 y '  0 .
Ответ: а) y  c1e2 x  c2e3 x ;
б) y  e3 x c1  c2 x  ;
в) y  e2 x c1 cos 4 x  c2 sin 4 x  ;
г) y  c1 cos 5 x  c2 sin 5 x ;
д) y  c1e 5 x  c2e5 x ;
е) y  c1  c2e25 x .
№ 5 Найти общее решение дифференциального уравнения:
1
.
y ' ' y 
cos x
 x 2 ln x 3 2

Ответ: y  
 x  c1  c2 x e2 x .
4
 2

Контрольные вопросы
1. Дайте определение характеристического уравнения.
2. Дайте
определение
уравнения.
корням
характеристического
3. Перечислите типы решений линейных однородных
дифференциальных уравнений высших порядков.
4. Какие типы решений можно выделить для однородных
дифференциальных уравнений второго порядка?
5. В чем состоит метод вариации произвольных
постоянных
решения
линейного
неоднородного
дифференциального уравнения высшего порядка?
6. Какая система функций называется линейно зависимой?
68
Лекция 8
Метод подбора частного решения по виду правой части
Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное
уравнение с постоянными коэффициентами:
(8.1)
y ( n)  p1 y ( n1)  ...  pn y  f ( x) .
Его общее решение равно сумме общего решения
соответствующего однородного уравнения и частного решения
неоднородного. Общее решение будем искать способом
описанном в предыдущем параграфе, остается найти какое-либо
частное решение уравнения (8.1). Для некоторых видов правой
части f (x) можно подобрать частное решение в виде функции с
неопределенными коэффициентами, которые определяются
путем подстановки этой функции в уравнение (8.1).
Если правая часть уравнения (8.1) имеет вид:
f ( x)  e px P( x) cos qx  Q( x) sin qx ,
(8.2)
где Р(х) и Q(х) – некоторые многочлены, то частное решение
можно подобрать в виде:
~
~
(8.3)
y  x r e px ( Pm ( x) cos qx  Qm ( x) sin qx) ,
~
~
где Pm ( x) и Qm ( x) — многочлены с неопределенными
коэффициентами, степень т которых есть старшая из степеней
многочленов Р(х) и Q(х), а r — кратность корня p + iq
характеристического уравнения для уравнения (8.1) (если число
p + iq не является корнем характеристического уравнения, то
r  0 ).
Остановимся отдельно на решении линейных неоднородных
дифференциальных
уравнений
второго
порядка: y ' ' py  gy  f x  ,
c
правой
частью: f x   edx Px x cos x  Qm x sin  x  , где Px x , Qm x  заданные многочлены одной или разных степеней. Построим
69
функцию
вида:
y*  e dx M n x cos x  N n x sin xx r ,
где M n x , N n x 
- многочлены степени
n  maxk , m ,
записанные пока с неопределенными коэффициентами; r кратность корня характеристического уравнения.
N
1
2
Правая часть
уравнения
f x 
А=const
Pn x 
Сравнение
параметра с
корнями
характеристиче
ского
уравнения
Основной
параметр
  i
  0
   i  0
  0
   i  0
0 не является
корнем
B =const
0 однократный
корень
Bx
0 двукратный
корень
Bx 2
0 не является
корнем
M n x 
0 однократный
корень
M n x   x
0 двукратный
корень
M n x   x 2

3
Aex
 0
   i 


70
Конструкция
частного решения
у*
не является
корнем
Bex
однократный
корень
Bex x
двукратный
корень
Bex x 2

4
Pn x ex
 0
   i  


A cos x 
5
 B sin x
  0;
 0
не является
корнем
M n x ex
однократный
корень
M n x ex x
двукратный
корень
M n x ex x 2
   i не являются
корнями
C cos x 
 D sin x
   i - корни
 C cos x  

 x
  D sin x 
   i не являются
корнями
x cos x 
n
 N  x sin  x
n
n  maxk ; m
M
6
Pk x cos x 
 Qm x sin x
  0;
 0
x cos x 
n
 N  x sin x) x
n
(M
   i - корни
n  maxk ; m
    i не
( A cos x 
7
 B sin x)ex
являются
корнями
 C cos x   x

e
  D sin x 
   i
    i - корни
71
 C cos x   x
  D sin x e x


    i не
8
( Pk x cos x 
 Qm x sin x)ex
являются
корнями
   i
    i - корни
( M cos x 
n
 N sin x)ex
n
 M n cos x  

ex x
  N sin x 
n


Таблица 8.1
В таблице 8.1 представлены формы правой части
соответствующие решения уравнения у*
f x  и
8.1 Пример
Найти общее решение дифференциального уравнения:
y  4 y '  x 3  1 .
Решение:
10. Определим тип уравнения: y  4 y'  x 3  1 - линейное,
неоднородное, ІІ порядка, с постоянными коэффициентами, со
специальной правой частью.
20. Запишем формулу общего решения: y  y  y * .
30. Найдём общее решение однородного уравнения - y :
y' '4 y'  0, k 2  4k  0, k1  0, k2  4, y  c1  c2e 4 x
40. Проведём анализ правой части уравнения:
x3  1  eox x3  1 cos ox  o sin 0 x ,   0,   0, f x   P3 x . .
50. Вычислим основной параметр уравнения:   i  0 .
60. Определим параметр r :
Основной параметр   i  0 является однократным корнем
характеристического уравнения, следовательно r  1 .
70. Сконструируем частное решение – у*:
y*  M 3 x x  Ax 3  Bx2  CX  D x .
80. Вычислим коэффициенты функции у*:
8.1. Найдём производные от функции у*:





72
y*  Ax 4  Bx3  Cx 2  Dx,
 y *'  4 Ax 3  3Bx2  2Cx  D,
 y *' '  12 Ax 2  6 Bx  2C.
8.2. Поставим функцию у* и её производные в данное
уравнение: 16 Ax 3  12 A  12B x 2  6B  8C x2C  4D   x3  1 .
8.3. Приравняем коэффициенты при подобных членах левой и
правой части равенства:
16 A  1,
12 A  12B  0,


6 B  8C  0,
2C  4 D  1.
1
1
3
29
.
, B , C , D
16
16
14
128
90. Запишем частное решение у*:
1
1
3
29
y*  x 4  x3  x 2 
x.
16
16
64
128
100. Запишем ответ – общее решение уравнения:
1
1
3
29
y  c1  c2e 4 x  x 4  x3  x 2 
x.
16
16
64
128
Пример 8.2
Найти решение задачи Коши для дифференциального
y ' ' y  8 sin x ,
уравнения:
удовлетворяющее
условиям
y0  1, y' 0  0 .
Решение:
10. y ' ' y  8 sin x - линейное, неоднородное, ІІ порядка, с
постоянными коэффициентами, со специальной правой частью.
20. Запишем формулу общего решения y  y  y * .
8.4. Решим систему: A 
30. Найдём общее решение однородного уравнения - y :
y' ' y  0, k 2  1  0, k1, 2  i, y  c1 cos x  c2 sin x .
40. Проведём анализ правой части уравнения:
73
8 sin x  eox o cos x  8 sin x  ,
  0,   1, f x   p0 cos x  Q0 sin x.
50. Вычислим основной параметр уравнения:   i  i .
60. Определим параметр r :
Значения основного параметра  i являются однократными
корнями характеристического уравнениями, следовательно
r  1.
70. Сконструируем частное решение – у*: y*   A cos x  B sin x x .
80. Вычислим коэффициенты функции у*:
8.1. Найдём производные от функции у*:
y*  Ax cos x  Bx sin x ;
 y *'   A  Bxcos x  B  Ax sin x;
 y *' '  2 B  Ax cos x  2 A  8 x sin x
8.2. Поставим функцию у* и её производные в данное
уравнение: 2 B cos x  2 A sin x  8 sin x
8.3. Приравняем коэффициенты при подобных членах левой и
2 B  0
правой части равенства: 
 2 A  8
8.4. Решим систему: A  4, B  0
90. Запишем частное решение у*: y*  4 x cos x .
100.
Запишем
общее
решение
уравнения:
y  c1  4 x  cos x  c2 sin x .
110. Найдём значения произвольных постоянных c1 и c 2 :
 y  c1  4 x  cos x  c2 sin x,

 y '  c2  4 cos x  4 x  c1 sin x
При х=0, у=1, у’=0 имеем c1  1, c2  4 .
120. Запишем ответ – частное решение уравнения:
y  1  4 x  cos x  4 sin x .
74
Системы дифференциальных уравнений
К системе дифференциальных уравнений приводит уже
простейшая задача динамики точки: даны силы, действующие
на материальную точку; найти закон движения, т.е. найти
функции x(t ) , y (t ) , z (t ) , выражающие зависимость координат
движущейся точки от времени. Система, которая получается в
общем случае имеет вид:
 d 2x
dx dy dz
 2  f1 (t , x, y, z , , , ),
dt dt dt
 dt2
dx dy dz
d y
 2  f 2 (t , x, y, z , , , ),
dt dt dt
 dt2
 d z  f (t , x, y, z , dx , dy , dz ).
3
 dt 2
dt dt dt

Здесь x, y, z — координаты движущейся точки, t — время,
f1 , f 2 , f 3 — известные функции своих аргументов.
Будем рассматривать системы уравнений первого порядка.
Определение 8.1
Система вида:
 dx1 (t )
 dt  f1 (t , x1 , x2 , ..., xn ),

 dx2 (t )  f (t , x , x , ..., x ),

2
1
2
n
 dt
. . . . . . . . . . . . . . . . .

 dxn (t )  f (t , x , x , ..., x ),
n
1
2
n
 dt
75
(8.4)
где
x1 (t ) ,
x2 (t ) ,
…,
xn (t )
—
неизвестные
функции,
f i (t , x1 , x2 , ..., xn ) , ( i  1,2,..., n ) — некоторые заданные функции
n  1 переменной, называется системой n дифференциальных
уравнений первого порядка, записанной в нормальной форме.
Систему (8.4) можно записать в более компактном виде:
dxi
 f i (t , x1 , x2 , ..., xn ),
dt
i  1,2,..., n .
(8.5)
Можно также использовать матричную запись системы (8.4).
Если ввести матрицы
 x1 
 f1 (t , x1 , x2 , ..., xn ) 
 


 x2 
 f 2 (t , x1 , x2 , ..., xn ) 
X   , F (t , X )  
,
...
...
 


x 
 f (t , x , x , ..., x ) 
1
2
n 
 n
 n
 dx1 


 dt 
dX  dx2 

,
dt  dt 
...
 dxn 


 dt 
то системе (8.4) эквивалентно матричное уравнение:
dX
 F (t , X ) .
dt
(8.6)
Определение 8.2
Решением системы (8.4) называется совокупность функций
 x1 (t ) 


 x2 (t ) 
X (t )  
, дифференцируемых на интервале a  t  b и
... 


 x (t ) 
 n 
обращающая уравнения системы (8.4) в тождества по
интервале ( a, b) .
76
t
на
Определение 8.3
Задачей Коши для системы линейных дифференциальных
уравнений первого порядка (8.4) называется задача нахождения
решения этой системы удовлетворяющего начальным условиям
(или условиям Коши) x1 (t0 )  x10 , x2 (t0 )  x20 , …, xn (t0 )  xn 0 ,
 x10 
 
x 
или в матричной записи X (t0 )  X 0 , где X 0   20  ,
...
 
x 
 n0 
x20 , …, xn 0 — некоторые числа.
t 0 , x10 ,
Теорема 8.1 (существования и единственности решения
задачи Коши для системы дифференциальных уравнений
первого порядка).
Пусть функции f i (t , x1 , x2 , ..., xn ) ( i  1,2,..., n ) в системе (8.4)
непрерывны в некоторой окрестности точки ( t 0 , x10 , x20 , …,
xn 0 ) и имеют в этой окрестности непрерывные частные
производные первого порядка
f i (t , x1 , x2 , ..., xn )
, ( j  1,2,..., n ).
x j
Тогда
1) в некоторой окрестности точки t 0 , существует решение
задачи Коши для системы (8.4) с начальными условиями (8.5),
2) в данной
единственно.
окрестности
точки
t0
данное
решение
Доказательство данной теоремы опускаем.
Определение 8.4
Общим решением системы (8.4) называется совокупность
функций
77
 x1   1 (t , C1 , C2 ,..., Cn ) 
  

 x2    2 (t , C1 , C2 ,..., Cn ) 
X  
  X (t , C1 , C2 ,..., Cn ),
...
...
  

 x    (t , C , C ,..., C ) 
1
2
n 
 n  n
где C1 , C2 ,..., Cn — произвольные постоянные, удовлетворяющая
следующим двум условиям:
1) X (t , C1 , C2 ,..., Cn ) является решением системы (8.4) при
любых значениях C1 , C2 ,..., Cn ,
 x1 (t0 )   x10 

  
 x2 (t0 )   x20 
2) для любых начальных данных 

,
...   ... 

  
 x (t )   x 
 n 0   n0 
при которых система (8.4) имеет решение, можно указать такие
значения постоянных C1 , C2 ,..., Cn , что данные начальные
условия будут выполнены.
Решение системы дифференциальных уравнений (8.4)
 x1 (t ) 


 x2 (t ) 
X (t )  
,
... 


 x (t ) 
 n 
является векторной функцией в n - мерном евклидовом
пространстве, которое называют фазовым пространством
системы (8.4). Точка такого пространства описывается
координатами ( x1 , x2 ,..., xn ) . Любое решение системы (8.4)
определяет в этом пространстве некоторую кривую, которая
называется интегральной кривой или, по-другому, фазовой
траекторией. При выполнении условий теоремы Коши через
78
каждую точку этого пространства проходит единственная
интегральная кривая и их совокупность образует n параметрическое семейство кривых. В качестве параметров
этого семейства могут быть выбраны начальные значения x10 ,
x20 , …, xn 0 .
Остановимся отдельно на решении систем двух
дифференциальных уравнений с двумя неизвестными.
Определение 8.5
Нормальная система двух дифференциальных уравнений 1
порядка с двумя неизвестными имеет вид:
 dy
 dx  f1 x, y, z ,

 dz  f x, y, z ,
2
 dx
(8.7)
где x - аргумент; y, z - искомые функций.
Определение 8.6
Порядок системы определяется числом входящих в неё
уравнений;
Система (8.7)– нормальная система II порядка.
Определение 8.7
Совокупность функций
y  1 x , z  2 x ,
определенных и
непрерывно дифференцируемых в интервале a ; b  , называется
решением системы в этом интервале, если она обращает в
тождество каждое уравнение системы:
79
d1

 f1 x, 1 x ,  2 x  

dx

d 2
 f 2 x, 1 x ,  2 x 

dx
(8.8)
Нормальная система II порядка допускает общее решение,
y  1 x, c1 , c2 ,
содержащее две произвольных постоянных:
z   2 x, c1 , c2 .
Определение 8.8
Решение,
удовлетворяющее
начальным
условиям
y x  x  y0 ,
0
называется частным решением системы.
z x  x  z0 .
0
Пример 8.3
Найти общее решение системы дифференциальных : уравнений:
 dz
 dt  y,

 dy  2 y.
 dt
Имеем простейший случай, когда одно из уравнений – второе –
содержит только одну искомую функцию. Решим его:
dy
2t
  2 dt, ln y  2t  ln c1 , y  c1e .
y
Подставим полученную функцию в первое уравнение системы:
dz
c
 c1e 2t ,  dz  c1  e 2t dt, z  1 e 2t  c2 .
dt
2
c1 2t

 z  e  c2 .
2
Ответ: 
 y  c e 2t .
1

80
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Найти общее решение дифференциального уравнения:
y ' '2 y '2 y  2 x .
Ответ: y  c1 cos x  c2 sin x e x  x  1 .
№ 2 Найти решение задачи Коши для дифференциального
уравнения y' '4 y'4 y  xe 2 x , удовлетворяющее условиям
y0  0, y ' 0  1 .
1 

Ответ: y   x  x 3 e 2 x .
6 

№ 3 Подобрать для данных неоднородных уравнений частное
решение у*:
а) y ' '2 y  2 x ;
г) y ' '4 y  3 sin 2 x ;
б ) y  2 y'  x3  x ;
д) y ' '8 y '16 y  xe 4 x ;
в) y' '2 y'  3e 2 x ;
е) y' '6 y'34 y  e3 x cos 5 x ..
Ответ: а) y*  Ax  B ;
б) y*  Ax 4  Bx3  Cx 2  Dx ;
в) y*  Axe 2 x ;
г) y*   A cos 2 x  B sin 2 x x ;


д) y*  Ax 3  Bx2 e 4 x ;
е) y*   Ax cos 5 x  Bx sin 5 x e3 x .
№ 4 Найти частное решение уравнения: y  y  2 y  xe  x .
Ответ: y  e  x
(1  2 x)
4 .
№ 5 Найти частное решение уравнения: y  2 y  y  2e x .
Ответ: у = (с1 + с2х + х²)ех.
81
№ 6 Найти общее решение системы дифференциальных
уравнений:
 dy
 dx  2 y,

 dz  z.
 dx
2 x
 y  c1e ;
Ответ: 
 z  c2 e x .
№ 7 Найти частное решение системы дифференциальных
уравнений:
1
 dy
 dx  z  x , y 0  1
 dz
  1  1 , z 0  2.
 dx
y
1

x
y  e2 ,
Ответ: 
1
 x

2 .
z

x

2
e

Контрольные вопросы
1.
В чем состоит метод подбора частного решения линейного
неоднородного дифференциального уравнения?
2.
Дайте
определение
нормальной
системы
дифференциальных уравнений 1 порядка с
неизвестными?
3.
Как определяется порядок системы дифференциальных
уравнений?
4.
Дайте определение общему и частному решениям системы
дифференциальных уравнений.
82
двух
двумя
Лекция 9
Элементы теории устойчивости
Дифференциальные уравнения часто служат математическим
аппаратом для решения реальных задач: физических,
экономических и т.д. Начальные условия для построения
математической модели часто получают экспериментальным
путем: статистическими методами, посредством измерений и
т.п. Все выше указанные методы имеют, как правило некоторые
погрешности. Поэтому, очень важным является вопрос о том,
как изменится решение уравнения при малом изменении
начальных условий. Этот вопрос является предметом изучения
теории устойчивости.
Пусть
некоторое
явление
описывается
системой
дифференциальных уравнений вида:
dxi
 f i (t , x1 , x2 , ..., xn ),
dt
(i  1,2,..., n) ,
(9.1)
с начальными условиями
xi (t0 )  xi 0 , ( i  1,2,..., n ).
(9.2)
Определение 9.1
Решение называется неустойчивым, если сколь угодно малые
изменения начальных условий (9.2) способны сильно изменить
решение xi (t ) системы (9.1).
Определение 9.2
Решение называется устойчивым, если сколь угодно малые
изменения начальных условий (9.2) способны вызвать лишь
бесконечно малые изменения решения xi (t ) системы (9.1).
83
Строгое определение понятия устойчивости решения
Определение 9.3
Решение
xi (t ) ( i  1,2,..., n ) системы (9.1) с начальными
условиями (9.2) называется устойчивым по Ляпунову, если для
любого положительного числа
можно подобрать

положительное число    ( ) такое, что для всякого решения
yi (t ) ( i  1,2,..., n ) той же системы (9.1), начальные условия
которого yi (t0 )  yi 0 , ( i  1,2,..., n ) удовлетворяют неравенствам
( i  1,2,..., n )
для всех t  t0 будут
| yi (t0 )  xi (t0 ) | 
справедливы неравенства | yi (t )  xi (t ) |  ( i  1,2,..., n ).
Определение 9.4
Решение xi (t ) ( i  1,2,..., n ) системы (9.1) с начальными
условиями (9.2) называется асимптотически устойчивым, если
оно устойчиво по Ляпунову и если существует положительное
число  1 такое, что для всякого решения yi (t ) ( i  1,2,..., n ) той
же системы (9.1), начальные условия которого yi (t0 )  yi 0 ,
( i  1,2,..., n ) удовлетворяют неравенствам | yi (t0 )  xi (t0 ) | 1
( i  1,2,..., n ), будут справедливы условия lim | yi (t )  xi (t ) | 0
t 
( i  1,2,..., n ).
Определение 9.5
Если решение не является устойчивым по Ляпунову
(асимптотически устойчивым), то оно называется неустойчивым
по Ляпунову (асимптотически неустойчивым).
Пусть у нас имеется решение xi (t ) системы (9.1) с начальными
условиями (9.2) и пусть имеется другое решение yi (t ) ,
начальные условия которого
yi (t0 )  yi 0 , ( i  1,2,..., n )
удовлетворяют неравенствам | yi (t0 )  xi (t0 ) |  для некоторого
малого числа  . Введем новые функции zi (t )  yi (t )  xi (t )
84
( i  1,2,..., n ). Тогда решение xi (t ) будет устойчивым, если
функции zi (t ) будут оставаться малыми для любых t  t0 и
будет асимптотически устойчивым, если lim | zi (t ) | 0 для всех
t 
i  1,2,..., n . Составим дифференциальные уравнения для
функций zi (t ) . Дифференцируя zi (t ) , получим:
dzi d  yi  xi  dyi dxi




(9.3)
dt
dt
dt
dt
 fi (t , y1 , y2 , ..., yn )  fi (t , x1 , x2 , ..., xn )
Разложим функцию f i (t , y1 , y2 , ..., yn ) в ряд Тейлора по степеням
zi  yi  xi :
f i (t , y1 , y2 , ..., yn )  f i (t , x1 , x2 , ..., xn ) 
n
f i (t , x1 , x2 , ..., xn )
z j   o( z j )
x j
j 1
j 1
n

,
(9.4)
где o( z j ) — члены более высокого порядка малости по z j .
Подставляя (9.4) в (9.3), получим дифференциальные уравнения
для zi (t ) :
n f (t , x , x , ..., x )
n
zi
1
2
n
(9.5)
 i
z j   o( z j ) .
t
x j
j 1
j 1
Если решение xi (t ) устойчиво, тогда zi (t ) остаются при t  t0
малыми функциями и можем в (9.5) отбросить члены более
высокого порядка малости и записать, выделив явно аргумент
функций:
n f (t , x (t ), x (t ), ..., x (t ))
zi (t )
1
2
n
(9.6)
 i
z j (t ) .
t
x j (t )
j 1
Поскольку решение xi (t ) известно, то матрица:
 f (t , x1 (t ), x2 (t ), ..., xn (t )) 

A(t )  aij (t )   i


x j (t )




85
(9.7)
также известна и, таким образом, система (9.6) представляет
собой систему линейных однородных дифференциальных
уравнений, вообще говоря, с переменными коэффициентами –
элементами матрицы A(t )
n
zi (t )
(9.8)
  aij (t ) z j (t ) .
t
j 1
Определение 9.6
Система (9.8) называется линеаризованной системой для
системы (9.1) в окрестности решения xi (t ) .
Система (9.8) имеет нулевое решение zi (t )  0 для всех
i  1,2,..., n . Это решение ничем не хуже остальных и можно
говорить о его устойчивости. Используя определения
устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости,
можем сказать, что решение zi (t )  0 системы (9.8) является
устойчивым по Ляпунову, если для любого положительного
числа  можно подобрать положительное число    ( ) такое,
что для всякого решения zi (t ) ( i  1,2,..., n ) той же системы (9.8),
начальные
условия
которого
( i  1,2,..., n )
zi (t0 )  zi 0 ,
удовлетворяют неравенствам | zi (t0 ) |  ( i  1,2,..., n ) для всех
t  t0 будут выполнены неравенства | zi (t ) |  ( i  1,2,..., n ).
Далее, нулевое решение zi (t )  0 ( i  1,2,..., n ) системы (9.8)
является асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по
Ляпунову и если существует такое положительное  1 такое, что
для всякого решения zi (t ) ( i  1,2,..., n )
системы (9.8),
начальные
условия
которого
( i  1,2,..., n )
zi (t0 )  zi 0 ,
удовлетворяют неравенствам | zi (t0 ) | 1 ( i  1,2,..., n ), будут
справедливы условия lim | zi (t ) | 0 ( i  1,2,..., n ). Поскольку
t 
то
устойчивость
по
Ляпунову
zi (t )  yi (t )  xi (t ) ,
(асимптотическая устойчивость) нулевого решения системы
86
(9.8) означает устойчивость по Ляпунову (асимптотическую
устойчивость) решения xi (t ) системы (9.1) с начальными
условиями (9.2).
Исследование на устойчивость любого решения системы
уравнений вида (9.1) может быть сведено к исследованию
устойчивости нулевого решения системы линейных
уравнений (9.8).
Теорема 9.1
Если вещественные части всех собственных значений
постоянной
матрицы A линеаризованной системы (9.8)
отрицательны, то нулевое решение этой системы является
асимптотически устойчивым. Если же постоянная матрица
A линеаризованной системы (9.8) имеет хотя бы одно
собственное значение с положительной вещественной частью,
то нулевое решение системы (9.8) является неустойчивым.
Определение 9.7
Нулевое
решение
коэффициентами:
системы
(9.8)
с
постоянными
n
zi (t )
  aij z j (t )
t
j 1
является частным случаем, стационарных решений систем
дифференциальных уравнений вида (9.1).
Определение 9.8
Решение xi (t ) системы (9.1) называется стационарным, если
функции xi (t ) ( i  1,2,..., n ) не зависят от времени и являются
числами.
Синонимами термина «стационарное решение» являются
следующие термины: точка покоя, особая точка, положение
равновесия. Далее будем использовать термины «стационарное
решение», либо «особая точка».
87
Определение 9.9
Система вида (9.1) называется автономной, если функции
f i (t , x1 , x2 , ..., xn ) в правых частях уравнений этой системы не
содержат явной зависимости от времени, f i (t , x1 , x2 , ..., xn ) =
f i ( x1 , x2 , ..., xn ) , т.е:
dxi
 f i ( x1 , x2 , ..., xn ),
dt
(i  1,2,..., n) .
(9.9)
Теорема 9.2
Для того, чтобы постоянные функции xi (t )  ai ( i  1,2,..., n )
являлись стационарным решением (особой точкой) системы
(8.9) необходимо и достаточно, чтобы они являлись решением
следующей системы алгебраических уравнений:
 f1 (a1 , a2 , ..., an )  0,

 f 2 (a1 , a2 , ..., an )  0,

. . . . . . . . . . . . . .

 f n (a1 , a2 , ..., an )  0.
Доказательство
Необходимость. Пусть
(9.10)
xi (t )  ai ( i  1,2,..., n ) – стационарное
dai
решение системы. Тогда
 f i ( a1 , a2 , ..., an ), (i  1,2,..., n) .
dt
da
Поскольку i  0 , то f i ( a1 , a2 , ..., an )  0, (i  1,2,..., n) .
dt
Достаточность.
Пусть
постоянные функции xi (t )  ai
i

1
,
2
,...,
n
(
) удовлетворяют системе (9.10). Поскольку
dxi (t ) dai
( i  1,2,..., n ), то правые и левые части

0
dt
dt
уравнений системы (9.9) обращаются в 0 и, следовательно,
xi (t )  ai — стационарное решение системы (9.9).
88
При решении реальных задач часто представляется
затруднительным получить общее решение произвольной
системы вида (9.9). Тем не менее, стационарные решения
(особые точки), найти довольно просто: для этого нужно лишь
решить систему алгебраических уравнений (9.10). И вопрос об
устойчивости
стационарных позволяет сделать вывод о
поведении решений, которые являются
близкими к
стационарным, не находя этих решений: если стационарное
решение является устойчивым, то решение, которое при t 0
было близким к стационарному, будет близким к нему при
любых t  t0 .
Для определения устойчивости стационарного решения нужно
найти линеаризованную систему вида
n
zi (t )
(9.11)
  aij z j (t )
t
j 1
для системы (9.9) в окрестности стационарного решения
xi (t )  ai и найти все собственные значения матрицы A  (aij ) .
Эти собственные значения (обозначим их k i ) являются корнями
следующего уравнения:
a11  k
a12
... a1n
a21
a22  k ... a2 n
(9.12)
0,
...
...
... ...
an1
an 2
... ann
которое есть характеристическое уравнение системы (9.11).
После нахождения всех собственных необходимо применить
сформулированную
теорему 9.1
и сделать вывод об
устойчивости особой точки.
89
Классификация особых точек автономной системы
двух уравнений
Рассмотрим теперь более подробно частный случай автономной
системы двух уравнений:
 dx
 dt  f1 ( x, y ),
 dy
  f1 ( x, y ).
 dt
(9.13)
Пусть система (9.13) имеет стационарное решение x  ax ,
y  a y , где a x и a y — некоторые числа. Тогда линеаризованная
система для системы (9.13) в окрестности этого стационарного
решения имеет вид:
 dx
 dt  a11 x  a12 y
,
(9.14)
 dy
  a21 x  a22 y
 dt
f ( x, y )
f ( x, y )
f ( x, y )
где a11  1
, a12  1
, a21  2
,
xax
xax
x

a
x

x

y
x
y a
y a
y a y
y
a22 
причем будем
f 2 ( x, y )
y
предполагать, что
y
xax
y a y
,
a11
a21
a12
 0 . Поведение
a22
решений системы (9.13) в окрестности стационарного решения
x  ax , y  a y будет таким же каким будет поведение решения
системы (9.14) в окрестности стационарного решения (особой
точки) х=0, y=0. Исследуем это поведение.
Характеристическое уравнение для системы (9.14) имеет вид:
90
k 2  (a11  a22 )k  (a11a22  a21a12 )  0 .
Рассмотрим различные возможные наборы корней этого
уравнения.
1) Корни k1 и k2 действительны и различны. Тогда общее
решение
системы
(9.13)
можно
задать
так:
 x  c11ek1t  c2 1e k2t
.

k1t
k2t
y

c

e

c

e
1 2
2 2

При этом возможны следующие случаи:
а) если k1 < 0 и k2 < 0, то особая точка является асимптотически
устойчивой, так как lim e 1, 2  0 , и все точки, находящиеся в
k
t
t 
начальный момент t = t0 в любой δ-окрестности начала
координат, при достаточно большом t переходят в точки,
лежащие в сколь угодно малой ε-окрестности начала координат,
а при t   стремятся к началу координат. Такая особая точка
называется устойчивым узлом.
б) если k1 > 0, k2 >0, можно свести исследование к предыдущему
случаю заменой t на –t. При этом фазовые траектории имеют
такой же вид, но направление движения меняется на
противоположное, то есть при увеличении t точка удаляется от
начала координат. Подобная особая точка называется
неустойчивым узлом и является неустойчивой по Ляпунову.
в) при k1 > 0, k2 < 0 особая точка тоже неустойчива. При этом
движущаяся по траектории x  c11ek1t , y  c1 2ek1t точка с
возрастанием t выходит из ε-окрестности начала координат.
Особая точка рассматриваемого типа называется седлом.
2) Корни k1 и k2 комплексные, т. е. k1,2 = p ± qi . Тогда общее
решение системы (9.13) можно представить в виде:
 x  e pt (c1 cos qt  c2 sin qt)
,

pt ~
~
 y  e (c1 cos qt  c2 sin qt)
91
где c~1 , c~2 — линейные комбинации произвольных постоянных
с1, с2. При этом возможны следующие случаи.
а) p < 0, q ≠ 0. Тогда e pt  0 при t   , а тригонометрические
функции являются ограниченными. Поэтому фазовые
траектории
являются
спиралями,
асимптотически
приближающимися при t   к началу координат. Такая
особая является асимптотически устойчивой. Она называется
устойчивым фокусом.
б) p > 0, q ≠ 0. Изменяется направление движения по фазовым
траекториям, следовательно, точки удаляются от начала
координат и особая точка является неустойчивой. Она
называется неустойчивым фокусом.
в) р = 0. Траекториями являются замкнутые кривые,
окружающие особую точку, которая называется в этом случае
центром. Такая особая точка устойчива. Это видно также и из
того, что можно подобрать такое δ, что замкнутые траектории,
начальные точки которых лежат в δ-окрестности начала
координат, не выходят за пределы ε- окрестности начала
координат (x²(t)+y²(t)<ε²).
3) Корни являются кратными, т.е. k1 = k2. При этом возможны
следующие случаи
 x(t )  (c11  c2  2t )ek1t
а) k1 = k2 < 0. Тогда общее решение: 
k1t
 y (t )  (c1 2  c2  2t )e
стремится к нулю при t   , и особая точка вновь называется
устойчивым узлом. При 1   2  0 получаем частный случай
устойчивого узла, который называется дикритическим узлом.
б) k1 = k2 > 0. Направление движения по траекториям меняется,
и тогда имеем неустойчивый узел.
Выше указанные виды особых точек представлены на рисунке
9.1
92
Рисунок 9.1 а) узел б) седло в) фокус г) центр д)
вырожденный узел е) дикретический узел
Пример 9.1
Исследовать на устойчивость особую точку
системы:
 dx
2
2
 dt  x  y  x  y ,

 dx  x  y  y 2 .
 dt
x0,
y0
Решение:
Составим линеаризованную систему в окрестности особой
точки:
 dx
 dt  x  y,

 dx  x  y.
 dt
93
Характеристическое уравнение:
1 k
1
1
1 k
 (1  k )(1  k )  1  k 2  2k  2  0
имеет корни k1  1  i , k 2  1  i . Поскольку вещественные части
этих корней положительны, а мнимые части отличны от нуля,
особая точка является неустойчивым фокусом.
Пример 9.2
Исследовать на устойчивость особую точку x  0 , y  0
системы:
 dx
 dt  2 x  8 sin y,

 dx  2  e x  3 y  cos y.
 dt
Составим линеаризованную систему в окрестности особой
точки решения:
 dx
 dt  2 x  8 y,

 dx   x  3 y.
 dt
Характеристическое уравнение:
2k
8
1
3 k

 (2  k )(3  k )  8  k 2  k  2  0



1
1
 1  i 7 , k 2   1  i 7 . Поскольку
2
2
вещественные части этих корней отрицательны, а мнимые части
отличны от нуля, то особая точка асимптотически устойчива и
является устойчивым фокусом.
имеет корни
k1 
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Исследовать на устойчивость особые точки системы:
94
Ответ: узел.
№ 2 Исследовать на устойчивость особые точки системы:
Ответ: вырожденный узел.
№ 3 Исследовать на устойчивость особые точки системы:
Ответ: фокус.
№ 4 Исследовать на устойчивость особые точки системы:
Ответ: седло.
№ 5 Исследовать на устойчивость особые точки системы:
Ответ: центр.
Контрольные вопросы
1. Какие задачи изучает теория устойчивости?
2. Какое решение
неустойчивым?
называется
95
устойчивым,
а
какое
3. Дайте определение устойчивости по Ляпунову.
4. Дайте определение асимптотической устойчивости.
5. Дайте определение линеаризации системы.
6. Дайте определение стационарному решению системы.
7. Дайте определение автономной системы.
8. Какова классификация особых точек автономной системы
двух уравнений?
96
Глоссарий
К лекции 1
- дифференциальным уравнением называется соотношение
между функцией, её производными и независимыми
переменными.
- уравнением в частных производных называется уравнения,
содержащие производные по многим независимым переменным.
- обыкновенным дифференциальным уравнением называется
уравнения, содержащие производные лишь по одной из
независимых переменных.
- порядком уравнения называется порядок старшей производной,
входящей в уравнение.
- задача Коши для дифференциального уравнения первого
порядка, разрешенным относительно производной:
dy
 f ( x, y) ,
dx
y ( x0 )  y 0
где x0 и y0 — некоторые заданные числа.
- интегральной кривой уравнения называется график функции
y (x) , которая является решением уравнения в плоскости XOY .
- изоклиной называется кривая, в каждой точке которой наклон
поля, определяемого дифференциальным уравнением, один и
тот же, ее уравнение: f ( x, y )  k
- уравнением с разделенными переменными называют
дифференциальное уравнение вида: X ( x)dx  Y ( y)dy  0 .
97
- уравнениями с разделяющимися переменными называют
уравнения вида: m( x)  n( y )dx  m1 ( x)  n1 ( y )dy  0 .
К лекции 2
- уравнением, приводимым к уравнению с разделяющимися
dy
переменными называется уравнение вида
 f (ax  by) .
dx
- однородной функцией
переменных
и
x
f ( x, y ) измерения m относительно

если
при
любом
y,
справедливо: f (x, y )  m  f ( x, y ) .
дифференциальным уравнением
dy
 y
   .
дифференциальное уравнение вида:
dx
x
-
однородным
называют
К лекции 3
- уравнением в полных дифференциалах называется уравнение
P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0 , если его левая часть – полный
u ( x, y ) ,
дифференциал
некоторой
функции
т.е.
P( x, y )dx  Q( x, y )dy  du( x, y )
- линейным дифференциальным уравнением первого порядка
dy
называется уравнение вида:
 p( x) y  q( x) .
dx
- однородным называется линейное дифференциальное
уравнение, если q( x)  0 и называется неоднородным, если
q( x)  0 :
dy
 p ( x) y  0 .
dx
98
К лекции 4
- уравнением Бернулли называется уравнение вида:
dy
 p( x) y  q( x) у n , п  1, п  0.
dx
уравнением
Риккати
называется
уравнение
вида
dy
 q( x)  p( x) y  r ( x) y 2 , где q ( x), p( x), r ( x) — известные
dx
функции.
К лекции 5
- дифференциальным уравнение п-го порядка называется
соотношение вида: F (x, y, y′,…, y(n)) = 0, где функция F
предполагается непрерывной функцией всех своих n  2
аргументов.
- Задачей Коши для дифференциального уравнения п-го порядка
называется задача нахождения решения этого уравнения,
которое
удовлетворяет
условиям:


n 1
n 1
y( x0 )  y0 , y( x0 )  y0 ,..., y
( x 0 )  y0 , где x 0 , y0 , y0 ,..., y0n1
— некоторые числа, которые называются начальными условиями
или условиями Коши.
- общим решением уравнения п-го порядка называется функция
y   ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) , где C1 , C 2 , ..., Cn — произвольные
постоянные, удовлетворяющая следующим двум условиям
1) она является решением уравнения при любых значениях
C1 , C 2 , ..., Cn .
2)
для
любых
начальных
данных,
при
которых
дифференциальное уравнение имеет решение, можно указать
значения
постоянных
x 0 , y0 , y0 ,..., y0n1
C1  C10 , C2  C20 , ..., Cn  Cn 0 , такое, что будут выполнены
начальные условия:
99
y ( x0 , C10 , C20 ,..., Cn 0 )  y0 ,
y( x0 , C10 , C20 ,..., Cn 0 )  y0 ,
.................,
.
y ( n1) ( x0 , C10 , C20 ,..., Cn 0 )  y0( n1)
- общим интегралом дифференциального уравнения п-го
порядка называется общее решение уравнения, полученное в
неявном виде: ( x, y, C1 , C2 ,...,C n )  0
- частным
решением дифференциального уравнения п-го
порядка называется решение уравнения, полученное из общего
решения y   ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) путем задания конкретных
значений постоянных C1 , C2 , ..., Cn .
К лекции 6
- линейным дифференциальным уравнением п-го порядка
называется соотношение вида:
a0 ( x) y ( n)  a1 ( x) y ( n1)  ...  an1 ( x) y  an ( x) y  f ( x) ,
где a0 ( x), a1 ( x), ... an1 ( x), an ( x) — некоторые функции,
определенные на некотором промежутке, причем a0 ( x)  0 .
линейное
дифференциальное
уравнение
называется
однородным, если f ( x)  0 и называется неоднородным, если
f ( x)  0 .
- линейным дифференциальным оператором называется оператор вида:
L y   y n   p1 x y n1    pn1 x y  pn x y
- функции у1(х), у2(х),…, уп(х) называются линейно зависимыми
на некотором отрезке [a, b], если существуют такие числа α1,
α2,…, αп, хотя бы одно из которых не равно нулю, что: α1у1 + α2у2
+ … + αпуп = 0 на рассматриваемом отрезке. Если же равенство
100
справедливо только при всех αi=0, функции у1(х), у2(х),…, уп(х)
называются линейно независимыми на отрезке [a, b].
- определителем Вронского системы функций у1, у2,…, уп
называется определитель вида:
W [ y1 , y2 ,..., yn ] 
y1
y1
y2
y2
...
...
yn
yn
y1
y2
...
yn
...
...
...
...
y1( n 1)
y2( n 1)
...
yn( n 1)
.
- фундаментальной системой решений называются любые п
линейно независимых решений однородного линейного
уравнения.
К лекции 7
- уравнение P( )  n  a1e 1    an1  an  0 - называется
характеристическим
уравнением,
а
его
корни
характеристическими
числами
однородного
линейного
уравнения.
К лекции 8
- нормальная система двух дифференциальных уравнений 1
 dy
 dx  f1 x, y, z ,
порядка с двумя неизвестными имеет вид: 
где
dz
  f x, y, z ,
2
 dx
x - аргумент; y, z - искомые функций.
- порядок системы определяется числом входящих в неё
уравнений;
101
- Совокупность функций y  1 x , z   2 x , определенных и
непрерывно дифференцируемых в интервале a ; b  , называется
решением системы в этом интервале, если она обращает в
d1

 f1 x, 1 x ,  2 x  

dx
тождество каждое уравнение системы:
.
d 2
 f 2 x, 1 x ,  2 x 

dx
называется
y x  x  y0 ,
0
удовлетворяющее начальным условиям
.
z x  x  z0 .
-
частным
решением
системы
решение,
0
К лекции 9
- решение называется неустойчивым, если сколь угодно малые
изменения начальных условий способны сильно изменить
решение xi (t ) системы.
- решение называется устойчивым, если сколь угодно малые
изменения начальных
условий способны вызвать лишь
бесконечно малые изменения решения xi (t ) системы.
- решение xi (t ) ( i  1,2,..., n ) системы с начальными условиями
называется устойчивым по Ляпунову, если для любого
положительного числа  можно подобрать положительное
число    ( ) такое,
что для всякого решения yi (t )
( i  1,2,..., n )
той же системы, начальные условия которого
( i  1,2,..., n )
удовлетворяют
неравенствам
yi (t0 )  yi 0 ,
( i  1,2,..., n )
для всех t  t0 будут
| yi (t0 )  xi (t0 ) | 
справедливы неравенства | yi (t )  xi (t ) |  ( i  1,2,..., n ).
102
- решение xi (t ) ( i  1,2,..., n ) системы с начальными условиями
называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво
по Ляпунову и если существует положительное число  1 такое,
что для всякого решения yi (t ) ( i  1,2,..., n ) той же системы,
начальные условия которого
( i  1,2,..., n )
yi (t0 )  yi 0 ,
удовлетворяют неравенствам | yi (t0 )  xi (t0 ) | 1 ( i  1,2,..., n ),
будут справедливы условия lim | yi (t )  xi (t ) | 0 ( i  1,2,..., n ).
t 
- если решение не является устойчивым по Ляпунову
(асимптотически устойчивым), то оно называется неустойчивым
по Ляпунову (асимптотически неустойчивым).
- решение xi (t ) системы (9.1) называется стационарным, если
функции xi (t ) ( i  1,2,..., n ) не зависят от времени и являются
числами.
- система вида (9.1) называется автономной, если функции
fi (t , x1 , x2 , ..., xn ) в правых частях уравнений этой системы не
содержат явной зависимости от времени, fi (t , x1 , x2 , ..., xn ) =
dx
f i ( x1 , x2 , ..., xn ) , т.е: i  fi ( x1 , x2 , ..., xn ), (i  1,2,..., n) .
dt
103
Литература
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения [Текст]
– М. Издательство ЛКИ, 2013.
2. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных
уравнений [Текст] – М. Издательство Комкнига, 2010.
3. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным
уравнениям. [Текст] – М. Издательство Комкнига, 2013.
104
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
1 785 Кб
Теги
uravnenia, differenzialnie, alasheeva
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа