close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Alasheeva Matematika Tsh1

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ»
Кафедра высшей математики
Е.А. Алашеева
МАТЕМАТИКА
Часть 1
Учебное пособие
Самара
2016
1
УДК 519.2
Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ,
протокол № 1, от 01.02.2016 г.
Рецензент:
Зав каф.ЭиА ПГУТИ ,
д.ф.-м.н, доцент, Клюев Д.С.
Алашеева, Е. А.
А
Математика: учебное пособие / Е. А. Алашеева. – Самара: ПГУТИ,
2016. –196 с.
Учебное пособие «Математика. Часть 1» содержит такие разделы
математики, как комплексные числа, векторная алгебра, аналитическая
геометрия, теория пределов, теория исследования функций, разработано в
соответствии с ФГОС ВО по направлению подготовки 09.03.02
«Информационные системы и технологии» и предназначено для студентов 1
курса факультета ИСТ для самостоятельной подготовки.
ISBN
©, Алашеева Е.А., 2016
2
Содержание
Лекция 1 ....................................................................................................................................................... 8
Комплексные числа. Основные понятия ............................................................................................... 8
Основные действия над комплексными числами .............................................................................. 12
Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 14
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 15
Лекция 2 ................................................................................................................................................. 16
Матрицы ................................................................................................................................................. 16
Определитель второго порядка ............................................................................................................ 16
Определитель третьего порядка........................................................................................................... 17
Определитель квадратной матрицы n-го порядка .............................................................................. 17
Свойства определителей....................................................................................................................... 19
Вычисление определителя Вандермонда ............................................................................................ 21
Правило Крамера................................................................................................................................... 23
Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 24
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 25
Лекция 3 ..................................................................................................................................................... 26
Основные операции над матрицами .................................................................................................... 26
Ранг матрицы ......................................................................................................................................... 30
Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 34
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 35
Лекция 4 ..................................................................................................................................................... 36
Решение систем m линейных уравнений с n неизвестными ........................................................ 36
Матричный метод решения систем линейных уравнений ................................................................ 39
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений ........................................................................ 41
Собственные значения и собственные вектора линейного оператора ............................................. 44
Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 45
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 46
Лекция 5 ..................................................................................................................................................... 47
Элементы векторной алгебры .............................................................................................................. 47
Линейные операции над векторами..................................................................................................... 47
Проекция вектора .................................................................................................................................. 49
Разложение вектора по базису ............................................................................................................. 50
Декартовы прямоугольные координаты ............................................................................................. 51
Координатное представление векторов .............................................................................................. 52
Скалярное произведение векторов ...................................................................................................... 54
Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 57
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 58
3
Лекция 6 ..................................................................................................................................................... 59
Векторное произведение двух векторов ............................................................................................. 59
Свойства векторного произведения .................................................................................................... 60
Координатная форма записи векторного произведения .................................................................... 61
Смешанное произведение векторов .................................................................................................... 63
Свойства смешанного произведения ................................................................................................... 63
Координатная форма записи смешанного произведения .................................................................. 64
Двойное векторное произведение трех векторов ............................................................................... 66
Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 67
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 67
Лекция 7 ..................................................................................................................................................... 68
Общее уравнение прямой ..................................................................................................................... 68
Уравнение прямой с угловым коэффициентом .................................................................................. 69
Уравнение прямой в отрезках .............................................................................................................. 70
Каноническое уравнение прямой ........................................................................................................ 71
Уравнение прямой, проходящей через две точки .............................................................................. 72
Параметрическое уравнение прямой ................................................................................................... 72
Взаимное расположение двух прямых ................................................................................................ 74
Нахождение угла между прямыми ...................................................................................................... 75
Нормальное уравнение прямой............................................................................................................ 76
Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду ........................................................... 76
Нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости .............................................................. 77
Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 79
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 80
Лекция 8 ..................................................................................................................................................... 81
Два способа задания плоскости в пространстве................................................................................. 81
Второй способ задания плоскости ....................................................................................................... 82
Исследование общего уравнения плоскости ...................................................................................... 83
Взаимное расположение плоскостей в пространстве ........................................................................ 85
Нормальное уравнение плоскости ....................................................................................................... 86
Расстояние от точки до плоскости....................................................................................................... 87
Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 88
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 89
Лекция 9 ..................................................................................................................................................... 90
Общее уравнение прямой в пространстве .......................................................................................... 90
Каноническое уравнение прямой в пространстве .............................................................................. 90
Параметрическое уравнение прямой ................................................................................................... 91
Уравнение прямой проходящей через две точки ............................................................................... 92
4
Переход от канонического уравнения к общему ............................................................................... 92
Переход от общего уравнения к каноническому ............................................................................... 93
Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве ................................................................ 95
Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................... 98
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 99
Лекция 10 ................................................................................................................................................. 100
Эллипс .................................................................................................................................................. 100
Гипербола............................................................................................................................................. 102
Парабола............................................................................................................................................... 104
Канонические уравнения поверхностей второго порядка ............................................................... 107
Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................. 112
Контрольные вопросы ........................................................................................................................ 114
Лекция 11 ................................................................................................................................................. 115
Числовые последовательности .......................................................................................................... 115
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности .................................................... 116
Предел последовательности ............................................................................................................... 117
Монотонные последовательности ..................................................................................................... 119
Предел функции .................................................................................................................................. 120
Бесконечные пределы ......................................................................................................................... 122
Теоремы о пределах. Неопределенные выражения ......................................................................... 122
Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................. 124
Контрольные вопросы ........................................................................................................................ 125
Лекция 12 ................................................................................................................................................. 126
Первый замечательный предел .......................................................................................................... 126
Второй замечательный предел ........................................................................................................... 127
Сравнение бесконечно малых ............................................................................................................ 129
Односторонние пределы..................................................................................................................... 130
Непрерывность функции. Точки разрыва ......................................................................................... 131
Классификация точек разрыва ........................................................................................................... 132
Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................. 133
Контрольные вопросы ........................................................................................................................ 134
Лекция 13 ................................................................................................................................................. 135
Производная функции ........................................................................................................................ 135
Геометрический смысл производной ................................................................................................ 136
Производная суммы, произведения, частного.................................................................................. 138
Производная сложной функции ......................................................................................................... 139
Производная обратной функции ........................................................................................................ 141
Производная функции, заданной параметрически .......................................................................... 142
5
Таблица производных ......................................................................................................................... 143
Производная показательно степенной функции .............................................................................. 144
Производные высших порядков ........................................................................................................ 145
Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................. 146
Контрольные вопросы ........................................................................................................................ 147
Лекция 14 ................................................................................................................................................. 148
Дифференциал функции ..................................................................................................................... 148
Геометрическое значение дифференциала ....................................................................................... 148
Дифференциал суммы, произведения, частного .............................................................................. 149
Дифференциалы высоких порядков .................................................................................................. 150
Свойства дифференцируемых функций............................................................................................ 151
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей .......................................................................... 153
Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................. 155
Контрольные вопросы ........................................................................................................................ 156
Лекция 15 ................................................................................................................................................. 157
Условия возрастания и убывания функций ...................................................................................... 157
Необходимые условия экстремума.................................................................................................... 159
Первое достаточное условие экстремума ......................................................................................... 160
Второе достаточное условие экстремума ......................................................................................... 161
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке ............................................................. 163
Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................. 164
Контрольные вопросы ........................................................................................................................ 164
Лекция 16 ................................................................................................................................................. 165
Выпуклость и вогнутость кривой ...................................................................................................... 165
Достаточные условия выпуклости..................................................................................................... 166
Точки перегиба. Условия наличия точек перегиба .......................................................................... 168
Асимптоты графика функции ............................................................................................................ 170
Общая схема исследования функции и построения графиков........................................................ 173
Задачи для самостоятельного решения ............................................................................................. 176
Контрольные вопросы ........................................................................................................................ 176
Глоссарий ................................................................................................................................................. 177
К лекции 1 ............................................................................................................................................ 177
К лекции 2 ............................................................................................................................................ 178
К лекции 3 ............................................................................................................................................ 180
К лекции 4 ............................................................................................................................................ 181
К лекции 5 ............................................................................................................................................ 183
К лекции 6 ............................................................................................................................................ 184
К лекции 7 ............................................................................................................................................ 186
6
К лекции 8 ............................................................................................................................................ 187
К лекции 9 ............................................................................................................................................ 187
К лекции 10 .......................................................................................................................................... 188
К лекции 11 .......................................................................................................................................... 189
К лекции 12 .......................................................................................................................................... 191
К лекции 13 .......................................................................................................................................... 192
К лекции 14 .......................................................................................................................................... 193
К лекции 15 .......................................................................................................................................... 194
К лекции 16 .......................................................................................................................................... 194
Литература ............................................................................................................................................... 196
7
Лекция 1
Комплексные числа. Основные понятия
Определение 1.1
Комплексным числом z называется упорядоченная пара
действительных чисел x, y  .
Определение 1.2
z  x  iy - алгебраическая форма записи комплексного числа.
i – мнимая единица; i 2  1.
Определение 1.3
Число x называется действительной частью комплексного числа.
Обозначается: x = Re z.
Определение 1.4
Число y называется мнимой частью комплексного числа.
Обозначается: y = Im z.
Определение 1.5
Два комплексных числа z1  x1  y1 и z2  x 2  y2 называются равными,
если у них равны действительные и мнимые части соответственно:
z1  z2 , если x1  x2 и y1  y2 .
Представление комплексного числа на комплексной
плоскости
Im z
M (x,y)
y

r

x
8
Re z
Всякое комплексное число z = x+iy можно изобразить точкой M(x;y)
на плоскости. На оси абсцисс откладываем действительную часть числа x =
Rez, на оси ординат – мнимую y = Imz.
Определение 1.6
Плоскость OXY , на которой изображают комплексные числа
называется комплексной плоскостью.(С)
Определение 1.7
Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат –
мнимой.
Комплексное число на плоскости частππо изображают с помощью


радиуса – вектора: r  OM   x; y  .
Определение 1.8
Длина радиуса – вектора, изображающего комплексное число,
называется модулем комплексного числа и обозначается z .
Справедлива формула для вычисление модуля комплексного числа:
z  x2  y2 .
Определение 1.9
Величина угла между положительным направлением действительной
оси и радиус –вектором, изображающем комплексное число, называется
аргументом комплексного числа и обозначается Arg z.
Справедлива формула для
вычисления аргумента комплексного
числа:
Arg z = arg z +2kπ, k=0,±1,±2,…
Определение 1.10
arg z =φ – главное значение аргумента, φ принадлежит интералу [π,π].
Справедлива формула для вычисления главного значения аргумента:
y

arctg , x  0

x

y
  arg z  arctg   , x  0, y  0
x

arctg y   , x  0, y  0

x
9
Определение 1.11
Запись числа z в виде: z = r (cosφ + i sinφ) называется
тригонометрической формой комплексного числа.
Определение 1.12
Запись числа z в виде: z  re i называется показательной формой
комплексного числа.
Определение 1.13
Число z=x-iy называется сопряженным к числу z=x+iy.
Пример 1.1
Изобразить на комплексной плоскости выражения:
1)
2)
-1 < Rez <2
zi 2
3)



 arg z 
4
4
Решение:
1)
Imz
2
-1
Rez
Imz
2)
-1
10
Rez
3)
Imz
Rez
Пример 1.2
Представить
комплексные числа:
1)
2)
в
тригонометрической
и
показательной
форме
z=1+i
z=-1+i
Решение:
1)
Изобразим комплексное число на комплексной плоскости:
Из рисунка видно, что аргумент
1+i
Imz
φ=π/4.
1
Найдём теперь модуль:
z  12  12 
2.
φ
Rez
1
Теперь запишем тригонометрическую форму комплексного числа:
z
и показательную форму:



2  cos  i sin 
4
4

i

4
z  2e .
11
2)
Изобразим комплексное число на комплексной плоскости:
Imz
Из рисунка видно, что аргумент
φ=3π/4.
1
Найдём теперь модуль:
φ
z  12  12 
2.
Rez
-1
Теперь запишем тригонометрическую форму комплексного числа:
z
3
3 

2  cos
 i sin

4
4 

и показательную форму:
i3

4
z  2e .
Стоит отметить, что показательную и тригонометрическую формы
комплексного числа связывают формулы Эйлера:
e i  cos  i sin 
ei  cos  i sin 
Основные действия над комплексными числами
Сложение и вычитание комплексных чисел
Пусть z1  x1  iy1 и z2  x2  iy2 . Тогда их сумма и разность
определяются по формуле: z1  z2  x1  x2   i y1  y2  .
Умножение комплексных чисел
Пусть z1  x1  iy1 и z2  x2  iy2 . Тогда их произведение определяется
по формуле: z1 z2  x1 x2  y1 y2   ix1 y2  x2 y1  .
Деление комплексных чисел
Пусть z1  x1  iy1 и z2  x2  iy2 . Чтобы найти частное двух
комплексных чисел умножим числитель и знаменатель полученной дроби на
число сопряженное к знаменателю:
z1 x1  iy1  x1  iy1  x2  iy2 
.


z 2 x2  iy2  x2  iy2  x2  iy2 
12
Преобразовав полученное выражение
вычисления частного двух комплексных чисел:
получим
формулу
для
z1 x1 x2  y1 y2
x y x y

 i 2 21 12 2 .
2
2
z2
x2  y 2
x2  y 2
Пример 1.3
Найти сумму, разность, произведение и частное чисел z=5+i и z=1-i.
Решение
Сумма: 5  i   1  i   6 .
Разность: 5  i   1  i   4  2i .
Произведение: 5  i 1  i   5  i  5i  i 2  6  4i .
5  i 5  i 1  i  5  i 2
5 1
Частное:


i
 2  3i .
1  i 1  i 1  i 
2
2
Извлечение корня из
комплексного числа в степень
комплексного
числа
и
возведение
Чтобы возвести в степень комплексное число или извлечь корень из
комплексного числа нужно данное число представить в тригонометрической
форме. Далее возведение в степень и извлечение корня осуществляется по
формулам Муавра:
z n  r n cos n  i sin n  .
n
  2k
  2k 

z  n r  cos
 i sin
, k  0,1, ..., n  1
n
n 

Пример 1.4
Возвести в четвертую степень и извлечь корень четвёртой степени из
числа
z = 1+i.
Решение
Из примера 1.2: z  2  cos   i sin  

z 4  1  i  
4
4
4
 2   cos 4 4  i sin 4 4   4cos   i sin    4
4


13
4
z  4 1 i  4




 2k
 2k 

8
2  cos 4
 i sin 4
4
4 









 2k
 2k 


2  cos 4
 i sin 4
4
4






k=0,1,2,3.

 

z 0  8 2  cos  i sin 
16
16 

9
9 

z1  8 2  cos
 i sin

16
16 

17
17 

z1  8 2  cos
 i sin

16
16 

25
25 

z1  8 2  cos
 i sin

16
16 

Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Вычислить:
z
3  i 4  i  ;
1 i
№ 2 Изобразить на комплексной плоскости:
z  i  1  2;
№ 3 Вычислить:
4
1
3
i ;
2
2
i  1 .
5
14
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение комплексного числа.
2.
Дайте определение мнимой и действительной части
комплексного числа.
3.
Дайте определение модуля и аргумента комплексного
4.
Комплексно-сопряженное число. Степень мнимой единицы.
5.
Арифметические операции над комплексными числами в
числа.
алгебраической форме (сложение и вычитание комплексных чисел,
умножение и деление комплексных чисел).
6.
Приведите
тригонометрическую
форму
записи
комплексного числа.
7.
Операции
над
комплексными
числами
в
тригонометрической форме (умножение и деление комплексных
чисел).
8.
Приведите показательную форму записи комплексного
9.
Операции над комплексными числами в показательной
числа.
форме (умножение и деление комплексных чисел).
10. Приведите формулы Муавра ( возведение в степень и
извлечение корня).
11. Приведите формулы Эйлера.
15
Лекция 2
Матрицы
Определение 2.1
Прямоугольную таблицу из чисел, содержащую произвольное число
m строк и n столбцов называют матрицей.
Обозначение:
 1 2 3


 4 5 6
7 8 9


1 2 3
или
4 5 6 . Кроме того матицы
7 8 9
обозначают заглавными латинскими буквами (A, B, M и т.д.)
Определение 2.2
Если m=n, то матрицу называют квадратной.
Определитель второго порядка
 a1
Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка: 
 a2
b1 
  A.
b2 
Определение 2.3
Определителем (детерминантом) второго порядка называется число
равное a1b2  a2b1 .
Обозначение: det A 
a1
b1
a2
b2
 a1b2  a2b1 .
Для вычисления определителя второго порядка верно правило: из
произведения элементов матрицы, стоящих на главной диагонали (левый
верхний угол и правый нижний угол) вычитаем произведение элементов,
стоящие на побочной диагонали (правый верхний угол и левый нижний
угол).
Пример 2.1
1 2
3 4
 1  4  2  3  2
16
Определитель третьего порядка
 a1 b1 c1 


Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка:  a2 b2 c2   B .
a b c 
 3 3 3
Определение 2.4
Определителем
третьего
порядка
называется
число
равное:
a1b2c3  a3b1c2  a2b3c1  a3b2c1 a 2 b1c3  a1b3 c2
Рисунок 2.1
На рис. 2.1 проиллюстрирован закон, по которому составляется
определитель матрицы третьего порядка: слева дано правило вычисления
положительных членов определителя, справа - отрицательных. Данный закон
часто называют «правило треугольника».
Пример 2.2
1
2
5 1
2
3
1  1  1  4  3  (5)(1)  2  1  2  3  1  2  2  (5)  4  1  1  (1)  4  15  4  6  40  1  58.
1 4
Определитель квадратной матрицы n-го порядка
Определение 2.5
Определитель (детерминант) квадратной матрицы A  aij  - число
(обозначение   det aij   det A  aij )
17

где

 k1 ,k2 ,..., kn 
  1
r  k1 , k 2 ,..., k n 
 k1 ,k2 ,..., kn 
a1k1 a2 k2 ...ankn ,
означает, что суммирование производится по всем
перестановкам k1 , k2 ,..., kn чисел 1, 2, ..., n.
Пример 2.3
при n = 3:
Определение 2.6
Квадратная матрица имеющая определитель, отличный от нуля (Δ ≠ 0)
называется невырожденной, в противном случае - матрица
называется
вырожденной или особой.
Замечание 2.1
Квадратная матрица 1- го порядка – одно число, а определитель такой
матрицы равен единственному элементу этой матрицы.
Замечание 2.2
Определитель бывает только у квадратных матриц.
Определение 2.7
Определитель вида:
18
1
x1
x12  x1n 1
1
x2
x22  x2n 1
Wn     

    
1 xn xn2  xnn 1
называется определителем Вандермонда n-го порядка (или степенным
определителем).
Свойства определителей
№ 1 Величина определителя квадратной матрицы не изменится, если
строки матрицы переписать в столбцы.
№ 2 Перестановка двух строк (столбцов) матрицы равносильна
умножению определителя данной матрицы на -1.
№ 3 Если матрица имеет две одинаковых строки (столбца), то
определитель данной матрицы равен нулю.
№ 4 Умножение всех элементов стоки (столбца) матрицы на
некоторое число равносильно умножению определителя данной матрицы на
это число.
№ 5 Если матрица имеет нулевую строку (столбец), то определитель
такой матрицы равен нулю.
№ 6 Если к элементам некоторой строки (столбца) матрицы
прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные
на некоторое число, то величина определителя такой матрицы не изменится.
№ 7 Если каждый элемент столбца или строки представляет собой
сумму двух слагаемых, то такой определитель может быть представлен в
виде суммы двух определителей, у одного из которых соответствующий
столбец составлен из первых слагаемых, а у второго – из вторых.
a1  a1
a 2  a 2
b1
b2

19
a1
a 2
b1
b2

a1
a 2
b1
b2
Определение 2.8
Минором
порядка
k
матрицы
А
называется
определитель,
составленный из элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k
столбцов данной матрицы.
Определение 2.9
Минором элемента i строчки и k столбца матрицы А n-го порядка
называется определитель матрицы n  1 - го порядка полученной путем
вычеркивания из матрицы A i -ой строчки и k -го столбца. Обозначение: M ik .
Определение 2.10
Минор M ik взятый со знаком
1
i k
называется алгебраическим
дополнением этого элемента. Обозначение Aik . Aik   1 M ik
ik
Замечание 2.3
Чередование знаков у алгебраических дополнений начинается с
левого верхнего угла с плюса. Например для матрицы 3  3 знаки перед
алгебраическим дополнением будут чередоваться следующим образом:
  
  .
  
Пример 2.4
1 2 3
Дан определитель: 4 5 6 . Найти M 23 и A23 .
7 8 9
Решение:
Вычёркиваем в определителе вторую строчку и третий столбец,
получим:
20
M 23 
1 2
7 8
 6 ; A23   1
2 3
1 2
7 8
 6.
№ 9 Разложение определителя по строке (столбцу).
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какойлибо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения
элементов этой строки (столбца).
Пример 2.5
2 1
1
Вычислить определитель 3 2
1 2
1 путём разложения третей
2
строки:
Решение:
1
2 1
2 1
1 1
1 2
1  1 
 2
 2
 4  8  8  20.
2 1
3 1
3 2
2
3 2
1 2
Вычисление определителя Вандермонда
Запишем определитель Вандермонда:
1
1
Wn  

1
x1
x2


xn
x12
x 22


x n2
 x1n 1
 x 2n 1
 
 
 x nn 1
вычтем из каждого столбца, начиная с последнего, предыдущий
столбец, умноженный на xn . Последняя строчка будет иметь вид: 1,0,0,,0
а произвольная строчка будет:
1,
xi  xn , xi xi  xn , xi2 xi  xn , , xin2 xi  xn  .
Разлагая полученный определитель по элементам последней строчки,
получим:
21
Wn   1
n 1
x1  xn
x2  xn
x1  x1  xn 
x2  x2  xn 


x1n2  x1  xn 
x2n2  x1  xn 




xn1  xn
xn1  xn1  xn   xnn12  xn1  xn 
Вынесем из строчек общий множитель x1  xn , x2  xn ,, xn1  xn
Wn   1
n 1
x
1
1
1
 x n  x2  xn  xn1  xn 

1
x1
x2
 x1n2
 x2n2



xn1  xnn12
или
Wn  xn  x1   xn  x2 xn  xn1   Wn1
С определителем Wn1 можно поступить также, и тогда:
Wn   xn  x1    xn  x2  xn  xn 1    xn 1  x1    xn 1  x2  xn 1  xn 1  x2  x1  
  x i  x j 
n  ij 1
Пример 2.6
Вычислить определитель:
1 1
1
1
1 2
4
8
1 3
9
27
1 4 16
64
.
Решение:
x1  1; x2  2; x3  3; x4  4.
1 1
1
1
1 2
4
8
1 3
9
27
 4  1  4  2   4  3  3  1  3  2   2  1  12
1 4 16 64
22
Правило Крамера
Определение 2.11
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется
совместной, если имеет одно единственное решение. В другом случае
система называется несовместной.
 a1 x  b1 y  c1 z  d1

Пусть a2 x  b2 y  c2 z  d 2 система из трёх уравнений с тремя
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3
неизвестными.
a1
b1
c1
Выпишем главный определитель системы:   a2
a3
b2
b3
c2 .
c3
И выпишем определители:
d1
b1
c1
 x  d2
d3
b2
b3
c2 ;
c3
a1
 y  a2
a3
d1
d2
d3
c1
c2 ;
c3
a1
b1
d1
 z  a2
a3
b2
b3
d2 .
d3
Справедливо следующее правило:
Если определитель системы   0 , то система имеет единственное
решение, находящееся по формулам Крамера: x 

x

; y  y ; z  z , или



совместна, или определена.
Если определитель системы   0 , а один из определителей  x  0 ,
 y  0 или  z  0 , то система решений не имеет, она противоречива или
несовместна.
Если   0 , и все определители равны нулю, а хотя бы один из
коэффициентов при неизвестных не равен нулю, то система имеет
бесконечное множество решений или неопределена.
23
Замечание 2.4
Правило Крамера остается справедливым и для линейных систем n
уравнений с n неизвестными при любом n .
Пример 2.7
2 x  3 y  5
Решить систему уравнений: 
.
x

4
y

2

Решение:

2 3
1 4
 5;
x 
x
5 3
2 4
14
,
5
 14 ;
1
y .
5
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Вычислить:
1 3
6 7
1
;
2
4
 2 3  1;
1 3 5
№ 2 Вычислить путём разложения по столбцу:
1 2 4
0 3  2;
0 4
2
№ 3 Вычислить:
1 1 1
1 3 9;
1 9 81
24
y 
2 5
1 2
 1 .
№ 4 Решить систему уравнений методом Крамера:
4 x  3 y  2
.

 x  y 1
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение определителя второго порядка.
2.
Дайте определение определителя третьего порядка.
3.
Дайте определение определителя n-го порядка.
4.
Перечислите основные свойства определителей.
5.
Дайте определение алгебраического дополнения и минора.
6.
Приведите формулу разложения определителя по столбцу
или строке.
7.
Дайте определение определителя Вандермонда.
8.
Приведите формулу вычисления определителя
Вандермонда.
9.
В чём состоит метод Крамера решения систем линейных
алгебраических уравнений.
25
Лекция 3
Основные операции над матрицами
Сложение матриц
Определение 3.1
Суммой двух матриц A  aik  и B  bik  одинаковой размерности
называется матрица C  cik  той же размерности, каждый элемент которой
определяется равенством cik  aik  bik , где i  1, m , k  1, n
С  A B
Пример 3.1
 1 2 3
1 0 2 
 , B  
 .
Даны матрицы A  
 4 5 6
 1 0  2
Определить сумму матриц A  B .
Решение:
1 2 3    1 0 2  1  1 2  0 3  2   0 2 5 
  
  
  
 .
C  A  B  
4
5
6
1
0

2
4

1
5

0
6

2
5
5
4

 
 
 

Свойства
A  B  B  A (коммутативный закон)
 A  B  C  A  B  C  (ассоциативный закон)
A0 A
Умножение матриц на число.
Определение 3.2
Чтобы умножить матрицу на число, нужно все элементы матрицы
умножить
на
это
число,
A  aik  ,   R   A    aik  ,
т.е.
i  1, m , k  1, n
26
Пример 3.1
2 1


Дана матрица A   3 2  . Вычислить 3  A
 4 0


Решение:
3  2 3 1   6 3

 

3  A  3  3 3  2    9 6 ,
 3  4 3  0  12 0 

 

Свойства
k  A Ak
k  m  A  k  A  m  A
k  m  A  k  m  A
k   A  B  k  A  k  B
Умножение матриц
Определение 3.3
Произведением матрицы Amn на матрицу Bnk называется матрица Cmk ,
каждый элемент которой cmk , равен сумме произведений элементов i -ой
строки матрицы Amn на j -ый столбец матрицы Bnk :
Amn  Bnk  Cmk , т.е. Cmk  cmk  , где cmk   amj  b jk
n
j 1
Замечание 3.1
Произведение матриц определено только для матриц, у которых число
столбцов матрицы
A равно числу строк матрицы B . При этом в
произведении получается матрица, число строк которой равно числу строк
матрицы A , а число столбцов равно числу столбцов матрицы B .
27
Пример 3.3
1

 2 0 1 2  2
  
Выполнить действия: 
1
3
2
1

 3
4

2

3
4

1
Решение:
Матрица A имеет размер 2  4 , матрица B - размер 4  2 .
1

2
0
1
2

 2

  
1 3 2 1 3
4

2

3   2  1  0  2  1  3  2  4 2  2  0  3  1  4  2  1


4   1  1  3  2  2  3  1  4 1  2  3  3  2  4  1  1 

1 
13 10 

 
17
20


13 10 
 размер 2  2 .
Результат умножения матрица 
17
20


Свойства
A B  B  A
 A  B   C  A  B  C 
 A  B  C  A  C  B  C
k   A  B   A  k  B 
Нахождение обратной матрицы.
Определение 3.4
Матрица E называется единичной матрицей, если для любой матрицы
A имеет место равенство A  E  E  A  A
28
1

 0
E 


 0

0

1
0

1
0
0
0

0.
0

1

Определение 3.5
Матрица A1 называется обратной по отношению к квадратной
матрице
A , если выполняется A  A1  A1  A  E , где E -единичная
матрица.
Определение 3.6
Матрица At называется транспонированной по отношению к матрице
A , если соответствующие элементы в её строках равны соответствующим
элементам в столбцах A
Правило нахождения обратной матрицы
1.
Найти определитель матрицы. Если определитель равен
нулю, то матрица вырожденная и не имеет обратной.
2.
Если определитель не равен нулю, то найти матрицу из
алгебраических дополнений
~
A.
~
At
3.
Найти транспонированную матрицу
4.
Разделить каждый элемент полученной матрицы на
опрделитель, полученный в первом пункте.
5.
Выполнить проверку A  A1  A1  A  E .
Пример 3.4
 2 1 3


Дана матрица A   0 1 2  Найти обратную матрицу A 1
4 3 1


Решение:
1)
Найдём определитель матрицы:
29
2 1 3
det A  0 1 2  2  8  0  12  0  12  14 .
4 3 1
Определитель не равен нулю.
2)
Находим матрицу из алгебраических дополнений:
 1

 3
~  1
A  
 3
 1

 1
3)
2
1
3
1
3
2

0 2
4
2
4
2

0
1
3
1
3
2
0 1 

4 3 
8
 4
 5

2 1 

   8  10  2  .
4 3 
1  4
2 
2 1  

0 1 
Транспонируем данную матрицу:
1
 5 8


~
A t   8  10  4  .
 4  2 2 


4)
Найдём обратную матрицу:
 5

 14
8
A 1   
 14
 4

 14
5)
8
14
10
14
2
14

1 

14 
4 
14 
2
 
14 
Делаем проверку:
 5

 2 1 3   14


8
A  A 1   0 1 2    
 4 3 1   14

  4

 14
8
14
10
14
2
14

1 

14   1 0 0 

4  
 0 1 0 .
14  

2  0 0 1
 
14 
Ранг матрицы
Определение 3.7
Ранг матрицы А - наибольший порядок минора этой матрицы,
отличного от нуля. Обозначения: r(A), R(A), Rang A.
30
Замечание 3.2
Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы
принимают равным нулю.
Пример 3.5
1 0 0


B  0 0 0
0 0 0

.
Вычислить ранг матрицы:
Решение:
Матрица В содержит единственный ненулевой элемент, являющийся
минором 1-го порядка. Все определители более высоких порядков,
составленные из элементов этой матрицы, будут содержать 0-ю строку и
поэтому равны 0. Следовательно, r(B)=1.
Пример 3.6
Вычислить ранг матрицы:
 7 0 0 0 0


 0 0 0 0 0
 5 0 0 2 0


Решение:
Вычеркнув из этой матрицы вторую строку и выбрав первый и
четвертый столбцы, получим минор
Ранг матрицы равен 2.
Пример 3.7
Вычислить ранг матрицы
31
1 0 0


С   2  4 5
 3  4 5

.
Решение:
Единственным минором 3-го порядка является определитель матрицы
С, но он равен 0, поскольку содержит пропорциональные столбцы.
Следовательно, r(C)<3.
Для того, чтобы доказать, что
r(C)=2,
достаточно указать хотя бы один минор 1
0
2 4
равный 0, например, Значит, r(C)=2.
 4  0. 2-го порядка, не
Определение 3.8
Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен
рангу этой матрицы называется базисным минором матрицы.
Определение 3.9
Преобразования матрицы, от которых ранг её не изменится называют
элементарными.
К элементарным относятся следующие преобразования:
- замены строк столбцами, а столбцов соответствующими строками;
- перестановки строк матрицы;
- вычеркивания строки, все элементы которой равны нулю;
- умножения строки на число, отличное от нуля;
- прибавления к элементам строки соответствующих элементов
другой строки, умноженной на одно и то же число.
Замечание 3.3
Сама матрица при элементарных преобразованиях меняется, но ранг
матрицы не изменится.
32
Определение 3.10
Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них
получается
из
другой
с
помощью
элементарных
преобразований.
Записывается А ~ В.
Определение 3.11
Матрицу, у которой в начале по главной диагонали стоят подряд
несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю называют
канонической.
Например:
1

0
0

0
0 0 0

1 0 0
0 1 0

0 0 0 
Определение 3.12
Пусть A  aij  - некоторая матрица. Если все элементы, стоящие ниже
aii равны нулю, то матрица называется матрицей треугольного вида.
Замечание 3.4
Для матриц большой размерности непосредственное вычисление всех
миноров затруднительно. Поэтому в этом случае можно преобразовать
матрицу
к
треугольному
виду,
воспользовавшись
преобразованиями.
Пример 3.8
Вычислить ранг матрицы
 1 1 2 1  2


1 2 3 1 1 
A
0
1
5 0 1


 2  3 1 2  3

.
33
эквивалентными
Решение:
Вначале добьемся того, чтобы в первом столбце все элементы, кроме
первого, равнялись 0. Для этого запишем вместо второй строки ее сумму с
первой, а вместо третьей – разность третьей и удвоенной первой:
1

~ 0
A
0

0

1
1
2 1
5 0
1
5 0
1  5 0
 2

1
1

1 
.
Затем из третьей строки вычтем вторую, а к четвертой прибавим
вторую:
1

~
~  0
A
0

0

1 2 1
1 5 0
0
0
0
0
0
0
 2

1
0 

0  .
После вычеркивания нулевых строк получим матрицу размерности
два на пять для которой максимальный порядок миноров, а, следовательно, и
максимально возможное значение ранга равно 2:
~
~
~ 1  1 2 1  2 

A  
 0 1 5 0  1  .=
1 1
0
1
~
~
~
r ( A)  r ( A)  2.
 1  0,
Задачи для самостоятельного решения
1 2 4 
 0 1 3




№1 A    1 3  2  B    2 1 3  .
 3 2 4 
 1 2 4




Вычислить:
A  B; A  B; B  A; A1 ; B 1 ; rangA; rangB.
34
Контрольные вопросы
1.
Перечислите основные операции над матрицами.
2.
Приведите правило нахождения обратной матрицы.
3.
Дайте определение транспонированной матрицы.
4.
Дайте определение треугольной матрицы.
5.
Дайте определение эквивалентных матриц.
6.
Дайте определение базисного минора.
7.
Дайте определение ранга матрицы.
8.
В чём состоит метод элементарных преобразований
отыскания ранга матрицы.
35
Лекция 4
Решение систем m линейных уравнений с n неизвестными
Определение 4.1
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется
система вида:
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
,

..........
..........
..........
..........

am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn
– неизвестные.
Определение 4.2
Матрицей
системы
называется
матрица,
составленная
из
коэффициентов при неизвестных:
 a11

a
A   21
...

 am1
a12
a22
...
am 2
... a1n 

... a2 n 
... ... 

... amn 
Определение 4.3
Свободными членами называются числа, стоящие в правых частях
уравнений, b1,…,bm .
Определение 4.4
Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы,
если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в
него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.
При решении систем такого вида возможны три следующих случая:
1.
Система имеет единственное решение.
2.
Система имеет бесконечное множество решений.
36
3.
Система не имеет решения.
Определение 4.5
Совместная линейная система называется определенной, если она
имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного
решения.
Определение 4.6
Расширенной матрицей системы называется матрицу вида:
.
 a11

a
A1   21
...

a
 m1
a12
a 22
...
am2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a mn
b1 

b2 
... 

bm 
Теорема 4.1 Теорема Кронекера-Капелли. (условие совместности
системы)
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, если
ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы
.
RangA = RangA*.
Доказательство.
1)
Необходимость:
Пусть система совместна и
c1 , c2 ,..., cn ее решение. Тогда при
подстановке решения в уравнения получим:
 a11 c1  a12 c 2  ...  a1n c n  b1
 a c  a c  ...  a c  b
 21 1
22 2
2n n
2

 ..........................................
a m1c1  a m 2 c 2  ...  a mn c n  bm
37
то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией
столбцов матрицы системы и, следовательно, столбцов любого ее базисного
минора.
Поэтому добавление элементов этого столбца и любой строки
расширенной матрицы к базисному минору даст нулевой определитель,
поэтому ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.
2)
Достаточность:
Если r  A  r  A1  , то любой базисный минор матрицы А является и
базисным минором расширенной матрицы.
Поэтому столбец свободных членов представляет собой линейную
комбинацию столбцов этого базисного минора, и, следовательно, линейную
комбинацию всех столбцов матрицы А.
Если
обозначить
коэффициенты
этой
линейной
комбинации
c1 , c2 ,..., cn , то эти числа будут решением системы, т.е. эта система
совместна. Теорема доказана.
Пример 4.1
Определить совместность системы линейных уравнений:
 x1  3 x 2  5 x3  7 x 4  9 x5  1

 x1  2 x 2  3 x3  4 x 4  5 x5  2
2 x  11x  12 x  25 x  22 x  4
2
3
4
5
 1
Решение:
Выпишем матрицу системы и найдём её ранг методом элементарных
преобразований:
1

A  1
2

9

 2 3 4 5 .
11 12 25 22 
3
38
5
7
Оставим первую и третью строчки без изменений, а вместо второй
строчки запишем её сумму с третьей строкой, получим:
1 3 5 7 9 


3
9
15
21
27


 2 11 12 25 22 


Разделим вторую строку на три и получим матрицу, у которой первая
строчка будет равна первой:
1 3 5 7 9 


1
3
5
7
9


 2 11 12 25 22 


Вычеркнем вторую строчку:
1 3 5 7 9 


 2 11 12 25 22 
Вычислим определитель минора данной матрицы:
1
3
2 11
 1 6  5  0
Получим, что RangA = 2.
Теперь выпишем расширенную матрицу A* и выполним над ней
элементарные преобразования, чтобы создать нулевую строку:
9 1 1 3 5 7 9 1
1 3 5 7

 

1  2 3  4 5 2 ~  0 0 0 0 0 1
 2 11 12 25 22 4   2 11 12 25 22 4 

 

RangA* = 3.
Следовательно, система несовместна.
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Замечание 4.1
Матричным методом могут быть решены только те системы, у
которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель
матрицы коэффициентов отличен от нуля (матрица А невырожденная).
39
Решение
системы
матричным
способом
осуществляется
по
следующей формуле:
A1   AX   A1 L
Используя свойства произведения матриц и свойство обратной
матрицы
A A  X  A
1
1
L, , E  X  A1 L,  X  A1 L.
Т.е., для получения столбца неизвестных нужно обратную матрицу
матрицы коэффициентов системы умножить на столбец свободных членов.
Пример 4.2
Решить систему матричным методом:
 x1  x2  x3  2

 2 x1  x2  x3  3
 x  x  2 x  3
2
3
 1
Решение:
Найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы
1 1 1 


A  2 1 1 
 1 1  2


Вычислим определитель, раскладывая по первой строке:
Поскольку Δ ≠ 0, то A-1 существует.
40
Обратная матрица найдена верно.
Найдем решение системы:
Следовательно, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.
Проверка:
Система решена верно.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Замечание 4.2
Данный метод решения систем линейных уравнений подходит для
решения систем с любым числом уравнений и неизвестных.
Суть метода Гаусса заключается в преобразовании заданной системы
уравнений с помощью элементарных преобразований в эквивалентную
систему ступенчатого треугольного вида. Метод Гаусса является более
универсальным.
Он
заключается
в
неизвестных из уравнений системы.
41
последовательном
исключении
Полученная система содержит все неизвестные в первом уравнении.
Во втором уравнении отсутствует первое неизвестное, в третьем уравнении
отсутствуют первое и второе неизвестные и т. д.
Если система совместна и определена (единственное решение), то
последнее
уравнение
содержит одно
неизвестное.
Найдя
последнее
неизвестное, из предыдущего уравнения находим еще одно - предпоследнее.
Подставляя полученные величины неизвестных, мы последовательно
найдем решение системы.
Определение 4.7
Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений,
используемыми для приведения системы к треугольному виду, являются
следующие преобразования:
- перестановка местами двух уравнений;
- умножение обеих частей одного из уравнений на любое число,
отличное от нуля;
- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих
частей другого уравнения, умноженных на любое число.
Определение 4.8
Две системы называются эквивалентными, если всякое решение
первой системы является решением другой системы и наоборот.
Элементарные преобразования переводят данную систему линейных
алгебраических уравнений в эквивалентную систему.
Пример 4.3
Решить систему методом Гаусса:
Решение:
42
Определитель системы не равен нулю. Поэтому система совместна и
определена (решение единственно). Выполним преобразования.
Первое уравнение оставим без изменения. Для того, чтобы избавиться
от первого неизвестного во втором и третьем уравнениях, к ним прибавим
первое, умноженное на -2 в первом случае и на -1 - во втором
Теперь избавимся от второго неизвестного в третьем уравнении. Для
этого второе уравнение умножим на -2 и прибавим к третьему.
Получим эквивалентную заданной систему треугольного вида
Решаем систему снизу вверх. Из третьего уравнения имеем x3= 3 и,
подставляя его во второе уравнение, находим x2= 2. Поставив найденные
неизвестные в первое уравнение, получим x1= 1. Таким образом, получим
решение системы: x1= 1, x2= 2, x3= 3.
Проверка:
Получили три тождества. Система решена верно.
43
Собственные значения и собственные вектора линейного
оператора
Определение 4.9
Ненулевой вектор X , удовлетворяющий соотношению f ( X )    X
называется собственным вектором, а соответствующее число

-
собственным значением линейного оператора f .
В матричном виде это соотношение можно записать в виде:
A  X    X или  A    E   X  0
Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное
решение при условии:
A E  0
Определение 4.10
Уравнение A    E  0 называется характеристическим уравнением
матрицы А .
Определение 4.11
Выражение:
a11  
A  E 
a21
...
a n1
a12
...
a1n
a22   ...
a2 n
...
an 2
...
...
... ann  
представляет собой полином (многочлен) n-ой степени от  и
называется характеристическим полиномом матрицы А.
Пример 4.3
Найти собственные значения и собственные векторы линейного
 1 2
 .
оператора, заданного в некотором базисе матрицей A  
  1 4
44
Решение:
x 
 1 2   x1 
По определению 
        1 
  1 4   x2 
 x2 
 x  2 x2  x1
1     x1  2 x2  0
т.е.  1
или 
 x1  4 x2  x2
 x1  4     x2  0
x - собственный вектор, а это значит, что однородная система
уравнений имеет ненулевой решение. Это эквивалентно, определитель
системы равен нулю.
1 
2
1
4
0
т.е. 1  2 , 2  3 - собственные значения матрицы А
 x  2 x2  0
Подставляя 1  2 , получим систему  1
, x  t 2,1 ,
 x1  2 x2  0
 2 x1  2 x2  0 x  t 1,1
аналогично 2  3 , получаем систему 
,
.

x

x

0

1
2
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
 4 2 1


1. 1 3 1 .


 1 2 2 


 2 1 0 


2. 1 2 0 .


 1 1 1 


 3 1 1 


3. 0 2 1 .


 0 1 2 


 5 1 1


4. 0 4 1 .


 0 1 4 


 6 2 1


5. 1 5 1 .


 1 2 4 


 3 1 1


6. 2 2 1 .


 2 1 4 


45
№ 2 Решить систему матричным методом и методом Гаусса.
4 x  3 y  2
.

x

y

1

Контрольные вопросы
1.
Дайте определение системы линейных алгебраических
уравнений.
2.
Дайте определение невырожденной системы линейных
алгебраических уравнений.
3.
Дайте определение основной и расширенной матрицы
системы.
4.
Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
5.
В чём состоит матричный метод решения систем линейных
алгебраических уравнений.
6.
В чём состоит метод Гаусса решения систем линейных
алгебраических уравнений.
7.
Дайте определение собственных векторов и собственных
чисел матрицы.
46
Лекция 5
Элементы векторной алгебры
Определение 5.1
Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, для
которого указано какая точка, является началом и какая концом.
a
А
В
АВ
Рисунок 5.1
Обозначение: вектор записывается в виде AB или a .
Длина или модуль вектора обозначается как | AB |, | a |.
Определение 5.2
Вектор, у которого начало совпадает с концом, называется нулевым.
Определение 5.3
Векторы, расположенные на прямой или параллельных прямых,
называются коллинеарными и обозначаются a
b.
Определение 5.4
Векторы, лежащие на параллельных плоскостях или на одной и той
же плоскости, называются компланарными.
Линейные операции над векторами
Определение 5.5 (правило треугольника)
Суммой двух векторов a и b называется вектор c , направленный из
начала вектора a в конец вектора b при условии, что начало b совпадет с
концом вектора. a
47
Рисунок 5.2
Сложение векторов по правилу параллелограмма:
Рисунок 5.3
Определение 5.6
Произведением вектора a на число  называется вектор b    a ,
определяемый следующими условиями:
1). b    a
2). a
b
3). Векторы a и b одинаково направлены, если  >0, и
противоположно - если  <0.
Свойства линейных операций над векторами
1). a  b  b  a .
2). a  (b  c )  (a  b )  c  a  b  c .
3). a  0  a , где 0 - нулевой вектор.
4). a  (a )  0 , где (a ) - противоположный вектор, 0 - нулевой.
5). (   )  a    (   a ) , где  ,  - числа.
6). (   )  a    a    a .
7).   (a  b )    a    b .
8). 1  a  a .
48
Проекция вектора
Определение 5.7
Проекцией вектора M 1 M 2 на заданную ось l называется число равное
длине вектора N 1N 2 , начало и конец которого являются основаниями
перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора M 1 M 2 на ось l.
(Рисунок 5.4).
Вычисляют данное число по следующей формуле:
Пр M M  M 1 M 2  cos ,
1
где  - угол между вектором
2
M 1M 2 и осью l.
Определение 5.8
Проекцией вектора a на вектор
на ось, проходящую через вектор
b называется проекция вектора a
b и имеющую с ним одинаковое
направление . (Рисунок 5.5).
M2
a
l
l
M1

N2
N1
b
Рисунок 5.4
Рисунок 5.5
Свойство проекций:
1) Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих
векторов, т.е. Прl (a  b )  Прl a + Прl
b;
2) проекция произведения вектора a на число  равна произведению
числа на проекцию вектора a , т.е. Прl   a    Прl a .
49
Разложение вектора по базису
Определение 5.9
 

Система векторов с1 , с2 ,...,сn  называется линейно независимой, если
равенство



1с1  2с2  ...  ncn  0
возможно
лишь
в
случае,
когда
1  2  ...  n  0 . В противном случае система называется линейно
независимой.
Определение 5.10
Базисом на плоскости называется система из двух линейно
независимых векторов.
Определение 5.11
Базисом в пространстве называется система из трёх линейно
независимых векторов.
Любой вектор, заданный на плоскости или в пространстве можно
представить в виде разложения по базису.
Пример 5.1
Разложит вектор


с  1,2 по базису из векторов a  3,4, b  5,6.
Решение:



Будем искать с  x  a  y  b .
Составим систему уравнений:
 3x  5 y  1

4 x  6 y  2
 3  5
1
  x    y   
 4 6
 2
Решим данную систему:
1 5
x
2 6 4

 2,
3 5 2
4 6
3 1
y
4 2
2

 1.
3 5 2
4 6
50
 

Итак: c  2a  b .
Декартовы прямоугольные координаты
Положение точки в пространстве будем определять относительно
пространственной декартовой прямоугольной системы координат, состоящей
из трех взаимно перпендикулярных осей координат, пересекающихся в одной
и той же точке О, называемой началом координат.
Ось Ox называют осью абсцисс, ось Oy - осью ординат и ось Oz осью аппликат.
Координатные оси Ox, Oy, Oz, взятые попарно, определяют три
взаимно
перпендикулярные
плоскости
xOy,
yOz,
xOz,
называемые
координатными плоскостями.
Декартова система координат позволяет связать с каждой точкой P
пространства, в котором выбраны три не лежащие в одной плоскости
направленные прямые Ox, Oy, Oz (оси координат), пересекающиеся в начале
O, три вполне определенных действительных числа (декартовы координаты)
x, y, z; при этом пишут P(x, y, z).
Оси Ox, Oy, Oz могут образовывать правую (рисунок 5.6) или левую
систему (рисунок 5.7). Для правой системы поворот от оси Ox к оси Oy на
угол, меньший

, совершается в направлении против часовой стрелки, если
смотреть на плоскость xOy из какой-либо точки положительной полуоси Oz
(положительная сторона плоскости xOy).
Z
Z
О
О
Y
Y
X
X
Рисунок 5.6
Рисунок 5.7
51
Замечание 5.1
Наряду с декартовой системой координат рассматривается полярная
система координат на плоскости, которая задается точкой О (полюсом) и
полярной осью - лучом, выходящим из полюса. Связь прямоугольных и
полярных координат задается формулами:
x    cos 
y
, где   x 2  y 2 ,  arctg
y    sin 
x
Координатное представление векторов
Определение 5.12
Ортом называется вектор единичной длины.

Обычно орт обозначают e .
Определение 5.13
Единичные векторы (орты ) осей Ox, Oy, Oz обозначаются
соответственно через i, j , k причем i  j  k  1 .
i, j , k - линейно независимы и образуют базис в пространстве.
Разложим произвольный вектор a трехмерного пространства по
ортам. Для этого построим вектор
опустим
перпендикуляр
на
OM , равный вектору a . Из точки М
плоскость
хOу.
Из
основания
этого
перпендикуляра (точка А) опустим перпендикуляры на оси координат Ох и
Оу и соединим точку А с началом О. На векторах
прямоугольник ОАММ3,
OM и OA построим
диагональю которого будет вектор
OM . Из
рисунка 5.8 видно, что OM  OA  AM или OM  OM 1  OM 2  OM 3 .
52
z
M3
k
a
M
0
i
M2
y
j
M1
x
A
Рисунок 5.8
Векторы
OM 1 ,
OM 2 ,
OM 3
называются
составляющими
или
компонентами вектора OM .
Определение 5.14
Проекции вектора на соответствующие координатные оси называются
его координатами.
Обозначения: OM  X ,Y , Z  или в виде разложения по координатным

 
ортам: OM  Xi  Yj  Zk .
Замечание 5.2
Равные векторы имеют одинаковые координаты.
Замечание 5.3
Разложение вектора a по координатным ортам возможно только
единственным способом.
Вектор OM , идущий от начала точки О к точке M ( x, y, z )
называется радиус - вектором этой точки.
Операции над векторами, заданными в координатной форме
1.
Сложение векторов
a  X 1i  Y1 j  Z1k , b  X 2i  Y2 j  Z 2 k ,
53
c  a  b  ( X 2  X 1)  i  (Y 2  Y 1)  j  ( Z 2  Z 1)  k
c  ( X 2  X 1,Y 2  Y 1, Z 2  Z 1)
2.
Умножение вектора на число
a  X i  Yj  Z k
  a    X i    Yj    Z k .
Скалярное произведение векторов
Определение 5.15
Скалярным произведением двух векторов a и b называется число,
(обозначаемое ( a b ) ) равное произведению длин векторов на косинус угла
между ними:
(a b)  a b cos ,
где  - угол между векторами a и b .
b
a

0
A
Рисунок 5.9
Свойства скалярного произведения:
1). (a b )  (b a )
2). (a b )  0  a и b перпендикулярны; (или a  0 , или b  0 )
3). (a b )  a Прa b  b Прb a
4). (a b )   ( a b ) , где  - число
5). (a a )  a a  a  0 , если a  0
2
6). a (b  c )  (a b )  (a c )
54
Теорема
5.1
Скалярное
произведение
векторов,
заданных
координатами


Скалярное произведение двух векторов a  X 1 ,Y1 , Z1 и b  X 2 , Y2 , Z 2 
равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:
 
a , b  X 1 X 2  Y1Y2  Z1Z 2
 
Доказательство:
Так как единичные векторы (орты) i , j, k осей Ox, Oy, Oz
прямоугольной системы координат взаимно перпендикулярны, то получим :
(i j )  ( ji )  0 , ( jk )  (k j )  0 , (i k )  (k i )  0 .
2
Далее, используя свойство скалярного произведения (a a )  a
имеем:
(i i )  ( jj )  (k k )  1 .
Пусть, a ( X 1 , Y1 , Z1 ) , b ( X 2 , Y2 , Z 2 ) . Найдем произведение этих векторов:
(a b )  ( X 1i  Y1 j  Z1k ) ( X 2i  Y2 j  Z 2 k ) 
 X 1 X 2  Y1Y2  Z1 Z 2
Следствие 1
Квадрат длины вектора равен сумме его координат .
a2  X 2  Y 2  Z 2
Следствие 2
Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его
координат.
a 
X 2 Y2  Z2
55
Следствие 3 Угол между векторами
cos  
Если векторы a и
(a b )
a b
b заданы координатами a ( X1 ,Y1 , Z1 ) и b ( X , Y , Z )
2
2
2
, то формула запишется в виде:
cos  
X 1 X 2  Y1Y2  Z1 Z 2
X 1  Y1  Z1  X 2  Y2  Z 2
Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов
Как известно, необходимым и достаточным условием коллинеарности
двух ненулевых векторов a и b является равенство: a    b
где скалярный множитель  >0, если векторы
a
и b имеют
одинаковые направления и  <0 в противном случае.
Пусть: a ( X 1 , Y1 , Z1 ) и b ( X 2 , Y2 , Z 2 ) .
Следовательно: a  b ; X 1  X 2 ; Y1  Y2 ; Z1  Z 2 ,
откуда
X 1 Y1
Z

 1 
X 2 Y2
Z2
Если ненулевые векторы a и b коллинеарны, то и их одноименные
координаты пропорциональны.1
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов
a ( X 1 ,Y1 , Z1 ) и b ( X 2 , Y2 , Z 2 ) является равенство: ( a b )  0 ,
или в координатной форме данное условие имеет вид:
X 1 X 2  Y1Y2  Z1Z 2  0 .
56
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Вычислить направляющие косинусы вектора
 3 4 12 
a   ; ; .
13 13 13 
Ответ:
cos α =
3
, cos
13
β=
4
,
13
cos γ =
12
13
.
№ 2 Может ли вектор составлять с координатными осями следующие
углы: 1)  = 45°,  = 60°,  = 120°; 2)  = 45°,  =135°,  = 60°; 3)  = 90°,
 =150°;  = 60°?
Ответ: 1) Может; 2) не может; 3) может.
№ 3 Даны три вектора р = {3; —2; 1}, q = { — 1; 1; —2}, r = {2; 1; —
3}. Найти разложение вектора с = {11; —Q; 5} по базису р, q, r.
Ответ: c = 2p — 3q + r.
№ 4 Даны векторы а = { 4; — 2; — 4 }, b = { 6; —3; 2}. Вычислить:
1) аb; 2)
a 2 ; 3)
b 2 ; 4) (2а —b) (а+ 2b);
5) (а+ b)2; 6)(а—b)2.
Ответ: 1) 22; 2) 6; 3) 7; 4) —200; 5) 129; 6) 41.
57
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение вектора.
2.
Дайте определение коллинеарных векторов.
3.
Дайте определение нулевого вектора.
4.
Дайте определение единичного вектора.
5.
Перечислите основные линейные операции над векторами и
их свойства.
6.
Дайте определение линейно независимой и линейно
зависимой системы векторов.
7.
Дайте определение базиса.
8.
Дайте определение компланарных векторов.
9.
Перечислите основные свойства проекции вектора на ось.
10. Дайте определение координатного представления вектора.
11. Дайте определение скалярного произведения векторов
12. Перечислите основные свойства скалярного произведения.
58
Лекция 6
Векторное произведение двух векторов
Определение 6.1
Векторным произведением вектора a на вектор b называется новый
 
вектор c , обозначаемый символом c  a  b или c  a b и определяемый
следующими тремя условиями:
1) Модуль вектора c равен площади параллелограмма, построенного
на векторах a и b (после совмещения их начал), т.е.
c  a b  a b sin  ,
(6.1)
где  - угол между векторами a и b (рисунок 6.1).
c  a  b 
b

Рисунок 6.1
2). Вектор c перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма
(т.е. перпендикулярен обоим векторам a и b ).
3). Вектор c направлен
в ту сторону от этой плоскости, что
кратчайший поворот от вектора a к вектору b вокруг вектора c (после
смещения начал всех трех векторов) кажется происходящим против часовой
стрелки, если смотреть из конца вектора c . Векторы
правую тройку векторов.
Замечание 6.1
59
a , b , c образуют
Правую тройку образуют, например, большой, указательный, и
средний пальцы правой руки; при пользовании левой системой координат в
определении векторного произведения вместо правой берут левую тройку a ,
b, c.
Замечание 6.2
Если в некоторой точке А приложена сила F , то момент M этой
силы относительно определенной точки О есть вектор, который должен быть
записан в виде M  r  F , где r - вектор, идущий из точки О в точку А.
Замечание 6.3
Площадь треугольника, построенного на двух векторах a и b
вычисляется по формуле:
S
1
a , b 
2
c  a  b 
b

Рисунок 6.2
Свойства векторного произведения
1). a a   0
   
3). c (a  b )  c a   c b ,
2). a b   b a , т.е. векторное произведение антикоммутативно.
т.е. векторное произведение обладает
распределительным свойством.
4). (a )b    a b 
60
Координатная форма записи векторного произведения
Векторное произведение записывается в виде определителя 3-го
порядка:
i j k
a b   ax ay az
(6.2)
bx by bz
где a x , a y , a z - координаты вектора a в прямоугольной системе
координат Oxyz (т.е. проекции вектора a на координатные оси Ox, Oy, Oz);
bx , b y , bz - координаты вектора b .
Координаты векторного произведения в прямоугольной системе
координат можно найти разложив определитель (6.2) по элементам первой
строки с учетом векторного произведения ортов i , j, k :
i i    jj   k k   0, i j    ji   k ,
i k   k i    j,  jk   k j   i
i j k
a b   ax ay az  (aybz  azby )i  (azbx  axbz ) j  (axby  a ybx )k
bx by bz
a b   (a b
y
z
 a z b y ; a z bx  a x bz ; a x b y  a y bx )
(6.3)
Пример 6.1
Найти векторное произведение векторов a = {3, 3, 2}, b = {5, -2, 9}.
Решение:
61
Ответ: c = {31, -17, -21}
Пример 6.2
Даны вершины треугольника A(1,2,0), B(3,0,-3), C(5,2,6). Вычислить
его площадь.
Решение:
Треугольник ABC можно рассматривать построенным на векторах
и
Найдем координаты векторов
и.
= {3-1, 0-2, -3-0} = {2, -2, -3};
= {5-1, 2-2, 6-0} = {4, 0, 6}.
Вычислим векторное произведение этих векторов:
Находим длину вектора
Ответ:
:
ед.3.
Пример 6.3
Сила F = {2, -4, 5} приложена к точке A(4,-2,3). Найти момент этой
силы относительно точки O(3,2,-1).
Решение:
62
По определению момент силы есть M0 = F  AO.
AO = {3-4, 2-(-2), -1-3} = {-1, 4, -4}.
M0
Ответ. M0 = {-4, 3, 4}.
Смешанное произведение векторов
Определение 6.2
Смешанным произведением трех векторов a , b и c . называется
произведение вида:
(a b  c ) ,
(6.4)
где первых два вектора перемножаются векторно, а их произведение
умножается скалярно на третий вектор .
Замечание 6.4
Смешанное произведение трех векторов - величина скалярная.
Замечание 6.5
Абсолютная величина смешанного произведения некомпланарных
векторов a , b и c равна объему V параллелепипеда, построенного на этих
векторах, а знак его зависит от ориентации этих векторов: если векторы a ,
b и c образуют правую тройку, то их смешанное произведение будет
положительно; для левой же тройки произведение - отрицательно.
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение не изменяется:
а). Если перемножаемые вектора переставлять в круговом порядке:
(a b  c )  (b c  a )  (c a  b )
б). Если поменять местами знаки векторного и скалярного умножения:
63
(a b  c )  (a b c )
Это позволяет записывать смешанное произведение трех векторов в
виде a b c без знаков векторного и скалярного умножения.
2. Перестановка в смешанном произведении любых двух векторов
изменяет лишь его знак:
a c b  a b c , b a c  a b c , c b a  a b c .
Действительно, используя равенства
(a b  c )  (b c  a )  (c a  b ) ; (a b  c )  (a b c )
имеем:
a c b  (a c b )  (a b c )  (b c a )  a b c
b a c  (b a c )  (b c a )  (c a b )   a b c
c b a  (c b a )  (c a b )  (a b c )   a b c
3. Смешанное произведение обращается в нуль, если:
а). Хотя бы один из перемножаемых векторов ест нуль - вектор,
б). Два из перемножаемых векторов коллинеарны,
в). Три перемножаемых вектора компланарны.
Координатная форма записи смешанного произведения
Коротко смешанное произведение записывается в виде определителя
третьего порядка:
ax a y az
a b c  bx by bz
(6.5)
cx c y cz
Замечание 6.6
При помощи смешанного произведения можно вычислить объем
четырехгранной пирамиды, заданной координатами ее вершин:
V 
1
ab c
6
64
Замечание 6.7
Три вектора a , b , c компланарны тогда и только тогда, когда их
смешанное произведение равно 0.
ax a y az
a b c  0 или
bx by bz  0
cx c y cz
Пример 6.4
Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в
одной плоскости.
Решение: Найдем координаты векторов:
Найдем
смешанное
произведение
полученных
векторов:
,
Таким
образом,
полученные
выше
векторы
компланарны,
следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Пример 6.5
Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD,
если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Решение: Найдем координаты векторов:
65
Объем пирамиды:
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь
основания BCD.
Sосн =
(ед2) Т.к. V =
;
(ед)
Двойное векторное произведение трех векторов
Определение 6.3
Двойным векторным произведением трех векторов называется
произведение вида:
 a b  c 
(6.6)
Так как оно часто используется в приложениях, покажем, что его
вычисление можно свести к вычислению более простого выражения, т.е.
справедливы следующие равенства:
 a b  c   ((a c )b )  ((b c )a )
Прежде всего отметим, что двойное векторное произведение трех
векторов
 a b  c  есть вектор, компланарный с векторами
66
a и b.
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Векторы a, b, с, образующие правую тройку, взаимно
перпендикулярны. Зная, что |а| = 4, |b| = 2, |c| = 3, вычислить abc.
Ответ: аbс = 24
№ 2 Доказать, что четыре точки
А(1; 2; —1), В (0; 1; 5), С (—1; 2; 1), D (2; 1; 3)
лежат в одной плоскости.
№ 3 Даны точки А(2; — 1; 2), B(1;2; — 1) и C(3; 2; 1). Найти координаты векторных произведений 1) [ AB BC ]; 2) [( BC — 2 CA ) CB ].
Ответ: 1) {6; —4; —6}; 2) {—2; 8; 12}.
№ 4 Даны точки А(1; 2; 0), В(3; 0; — 3) и С(5; 2; 6). Вычислить
площадь треугольника ABC.
Ответ: 14 кв. ед.
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение векторного произведения.
2.
Перечислите свойства векторного произведения.
3.
Дайте определение правой и левой тройки векторов.
4.
Приведите формулу вычисления векторного произведения
векторов, заданных в координатной форме.
5.
Дайте определение смешанного произведения.
6.
Перечислите свойства смешанного произведения.
7.
Приведите формулу вычисления смешанного произведения
векторов, заданных в координатной форме.
8.
Дайте определение двойного векторного произведения.
67
Лекция 7
Общее уравнение прямой
На
прямой
известна
точка
М0
(x0,y0)
и
вектор
n
=(A,B)
перпендикулярный прямой.
Определение 7.1
Вектор n называется нормальным вектором прямой.
y
M0(x0;y0)
n =(A;B)
M(x;y)
0
x
Рисунок 7.1
Отметим на прямой произвольную точку М (x,y). Данную точку
называют
говорят
текущей
точкой,
или
точкой
с
произвольными
координатами. Тогда вектор M 0 M =(x-x0;y-y0) будет  вектору n , из условия
 векторов следует:
( n , M 0 M )=0.
(7.1)
Определение 7.2
Уравнение вида (7.1) называется векторным уравнением прямой на
плоскости.
Посчитаем по формуле, представленной в пятом параграфе, скалярное
произведение в формуле (7.1), получим:
А(x-x0 ) + В(y-y0)=0
Раскроем скобки в (7.1), получим:
68
(7.2)
Аx-Ax0 + Вy-By0=0
(7.3)
Обозначим константы одной буквой, получим:
Ax+By+C=0
(7.4)
Определение 7.3
Уравнение вида (7.4) называется общим уравнением прямой на
плоскости.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Запишем общее уравнение прямой:
А(x-x0 ) + В(y-y0)=0
Перепишем данное уравнение в виде:
y-y0=-
A
(x-x0).
B
Уравнение можно переписать в виде:
y-y0=k( х-х0)
(7.5)
Определение 7.4
Уравнение вида (7.5) называется уравнением прямой с угловым
коэффициентом, проходящей через данную точку.
Раскроем скобки в уравнении (7.5), получим
y  kx  y0  kx0 .
Данное уравнение можно переписать в виде:
y=kх+b
(7.6)
Определение 7.5
Уравнение вида (7.6) называется уравнением прямой с угловым
коэффициентом.
Сопоставим вид уравнений (7.4) и (7.6), получим:
69
A
.
B
k=-
b
=
-
C
B
(7.7)
y
y=kx+b
b

0
x
Рисунок 7.2
Определение 7.6
k= tg 
- угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между
прямой и положительным направлением оси ОХ.
Уравнение прямой в отрезках
Получим уравнение прямой в отрезках из общего уравнения прямой в
форме (7.4). Для этого запишем данное уравнение в виде:
Ax + By= - C.
Разделив полученное уравнение на –С, получим:
A
B
x
y  1.
C
C
Представим уравнение в виде:
x
y

 1.
C C
A
B
Обозначим по-другому константы и получим:
x y
 1
a b
(7.8)
Определение 7.6
Уравнение вида (7.8) называется уравнением прямой в отрезках.
70
y
b
x y
 1
a b
0
a
x
Рисунок 7.3
Каноническое уравнение прямой

Известна точка М0(x0;y0) и вектор L =(m,n).
y
M0(x0;y0)
L =(m;n)
M (x;y)
0
x
Рисунок 7.4
Определение 7.7
Вектор коллинеарный вектору, лежащему на прямой называется
направляющим вектором данной прямой.
L - направляющий вектор прямой.
71
Возьмем точку M (x,y) на прямой, тогда вектор M 0 M || L из условия
параллельности векторов при L  (m,n); и M 0 M =(x-x0;y-y0) следует:
x  x0 y  y0

m
n
(7.9)
Определение 7.9
Уравнение вида (7.9) называется каноническим уравнением прямой на
плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Выберем на прямой две фиксированные точки и текущую точку.
y
M1(x1;y1)
M2 (x2;y2)
0
M(x;y)
x
Рисунок 7.5
M 1M 2 =(x2-x1;y2-y1)
M 1M =(x-x1;y-y1)
M 1M 2  M 1M 
x  x1
y  y1

x2  x1 y2  y1
(7.10)
Определение 7.10
Уравнение вида (7.10) называется уравнением прямой проходящей
через две точки.
Параметрическое уравнение прямой
Введём в каноническом уравнении прямой (7.9) параметр t:
72
 x  x0
t

 m

 y  y0  t

 n
x  x0 y  y0

t
m
n
 x  x0  m t

 y  y0  n t
(7.11)
Определение 7.11
Уравнение
вида
(7.11)
называется
уравнением
прямой
в
параметрической форме.
Пример 7.1
Даны вершины треугольника A(1;-2) B(3;4) C(5;2)
1)Составить уравнение стороны BC;
2)Высоты из т. А
3)Медианы через т. В
B(xB;yB)
D
A(xA;yA)
M
C(xC;yC)
Решение:
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки
(уравнение 7.10)
ВС:
x 3 y 4


53 24
x3 y 4

2
2
получили
каноническое
уравнение.
Для пункта 3) используем формулу деления отрезка в данном
отношении.
73
xM 
y   yC
AM
x A   xC
; yM  A
; т.к.
1 
1 
1 
MC
xM 
1 5
22
; yM 
; Тогда M(3;0) Пусть В(x1;y1) M(x0;y0)
2
2
Запишем уравнение прямой ВМ используя уравнение (7.10), получим
ВМ:
x3 y 4


33 40
x 3 y 4

 4( x  3)  0
0
4
или
x3
-
Найдем уравнение высоты из т. А так как AD  BC то BC играет роль
вектора нормали n к прямой AD. Тогда BC =(2;-2)= n AD и AD: 2(x-1)2(y+2)=0.
Взаимное расположение двух прямых
L1 : A1 x  B1 y  C2  0 n1  ( A1 ; B1 )


L2 : A2 x  B2 y  C2  0 n2  ( A2 ; B2 )
Возможны четыре случая:
а) Если прямые L1 и L2 пересекаются в одной точке, то система имеет
единственное решение, это возможно когда главный определитель системы
A1
B1
A2
B2
 0 т.е. A1  B1 т.е. n1 и n 2 - не коллинеарные
A2
B2
б) если прямые L1 и L2 параллельные то n1 и n 2 коллинеарные
A1
B
 1
A2 B2
(7.12)
условие L1 | | L2
в) если прямые L1 и L2 сливаются
случае имеет множество решений.
г) если прямые перпендикулярны
74
A1 B1 С1
то система в этом


A2 B2 С2
L1  L2

n1  n2

(n1 , n2 )  0

A1 A2  B1 B2  0
используя
выражения для k1   A1 , k 2   A2 получим k1k2=-1, итак
B1
B2
A1 A2  B1 B2  0 и k1k2=-1
(7.13)
условие L1  L2
Нахождение угла между прямыми

Угол между прямыми – это угол между нормалями n1 и

n2 . Он
вычисляется по формуле:
cos( n1 ^ n 2 ) 
n , n 
1
2
(7.14)
n1 n2
Найдём угол между прямыми заданными уравнениями с угловыми
коэффициентами.
y
y=k2x+b
 y=k1x+b

1
2
0
x
Рисунок 7.6
 2  1   ,
   2  1 ,
tg 
tg  tg ( 2  1 ) 
k 2  k1
1  k 2 k1
tg 2  tg1
1  tg 2tg1
(7.15)
75
Нормальное уравнение прямой
Рассмотрим
прямоугольную
систему
координат
Оху.
Введем
полярную систему, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой
можно записать в виде:
r cos     p  0 ,
r cos  cos   r sin  sin   p  0.
r cos   x

 r sin   y
Подставим данную замену в уравнение, получим:
x cos   y sin   p  0
(7.16)
Рисунок 7.7
Определение 7.12
Уравнение (7.16) называется нормальным уравнением прямой.
Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду
Умножим все члены уравнения (7.4) на некоторый множитель   0 ,
получим:
Ax  By  C  0
76
Чтобы данное уравнение обратилось в уравнение вида (7.16), надо,
A  cos 

чтобы выполнялись равенства:  B  sin 
 C   p

Из первых двух равенств найдём:

1
A  B2
2
Согласно
2 A2  2 B 2  cos2   sin 2  ,
Множитель p называется нормирующим множителем.
третьему
равенству:
знак
нормирующего
множителя
противоположен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.
Пример 7.2
Привести уравнение - 3x + 4y +15=0 к нормальному виду.
Решение:
Находим нормирующий множитель

1
1


.
2
5
  3  4 2
Умножая данное уравнение на  , получим искомое нормальное
уравнение прямой:
3
4
x  y 30
5
5
Нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости
y
M0(x0;y0)
M1(x1;y1)
Ax+By+C=0
Рисунок 7.8
77
x
Рассмотрим скалярное произведение векторов. M 0 M 1 и n поскольку
они параллельны тогда
0
( M 0 M 1 , n )= M 0 M 1 n cos 0 , это мы записали уравнение прямой.
( M 0 M 1 , n )= d  n ,
d
( M 0 M 1 , n)

M 0 M 1 =(x1-x0;y1-y0);
A( x1  x0 )  B( y1  y0 )
n

Ax1  By1  C
n
стоит уравнение M1 M0; т. М0
; но в числителе
n
 M1 M0
d
Ax0  By0  C
(7.17)
n
Пример 7.3
Две стороны квадрата лежат на прямых L1:5x-12y-65=0 и
L2:5x-
12y+26=0. Вычислить его площадь.
Решение:
Прямые параллельны, следовательно: L1 | | L2 :
5  12

1
5  12
L1:5x-12-65=0 M(13;0)
d
d
L2:5x-12+26=0
Обозначим сторону квадрата за d, тогда S=d2
Выберем на прямой L1
любую точку, для этого одну координату
зададим сами. Пусть y=0: тогда 5x=65; x=13; М0(13;0)
Теперь найдём расстояние от т. М0 до L2; оно и будет равно стороне
квадрата.
78
d
Ax0  By0  C
A B
2
2

5  13  12  0  26 65  26 91


 7; S=49.
13
25  144
169
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Определить, какие из следующих уравнений прямых являются
нормальными:
1)
3
4
x— y—3=0;
5
5
2)
2
3
x— y—1 = 0;
5
5
3)
5
12
х— у + 2 = 0;
13
13
4) —
5
12
х + у — 2 = 0;
13
13
5) — х + 2 = 0; 6) х — 2 = 0; 7) у + 2 = 0; 8) — у — 2 = 0.
Ответ: Прямые 1), 4), 6) и 8) заданы нормальными уравнениями.
№ 2 Дана прямая 2х+3у+4 = 0. Составить уравнение прямой,
проходящей через точку M0(2; 1):
1) параллельно данной прямой;
2) перпендикулярно к данной прямой.
Ответ: 1) 2 x  3 y  7  0 ; 2) 3x  2 y  4  0 .
№ 3 Определить угол  между двумя прямыми:
1) 5х—y + 7 = 0, 3x+2y = 0;
2) 3x — 2y+7 = 0,
2х+Зу— 3 = 0;
3) x— 2у — 4 = 0,
2х—4y+3=0;
4) 3х+2y— 1= 0,
5x—2y+3=0.
Ответ: 1)  

4
;
79
2)  

2
;
3)   0 — прямые параллельные;
4)   arctg
16
.
11
№ 4 Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(2;
3) и отсекает на координатных осях отрезки равной длины, считая каждый
отрезок от начала координат.
Ответ: х + у — 5 = 0, х — у+1=0, 3х — 2у = 0.
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение общего уравнения прямой на плоскости.
2.
Дайте определение уравнения прямой на плоскости с
угловым коэффициентом.
3.
Дайте определение уравнения прямой на плоскости в
отрезках.
4.
Дайте определение канонического уравнения прямой на
плоскости.
5.
Дайте определение прямой на плоскости, проходящей через
две точки.
6.
Перечислите виды взаимного расположения двух прямых
на плоскости.
7.
Приведите формулу нахождения угла между двумя
прямыми на плоскости.
8.
Дайте определение нормального уравнения прямой.
9.
Приведите формулу для вычисления нормирующего
множителя.
80
Лекция 8
Два способа задания плоскости в пространстве.
Пусть в некоторой системе координат задана точка М0(х0;у0;z0) и

вектор N ( A, B, C ) .Составим уравнение плоскости проходящей через точку

М0 перпендикулярно N .
Рисунок 8.1
Возьмем точку М(x;y;z). Если точка М принадлежит плоскости, то

М 0 М  N . Запишем вектор:


M 0 M = r  r 0  ( x  x0 ; y  y 0 ; z  z 0 )
И запишем скалярное произведение:

( M 0 M , N )=0
(8.1)
Определение 8.1
Уравнение 8.1 называется векторным уравнением плоскости.
Подставим координаты векторов, получим:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
(8.2)
Определение 8.2
Уравнение 8.2 называется общим уравнением плоскости, проходящей
через точку М0(х0;у0;z0)
Раскроем скобки и введем обозначения, получим:
81
Ax  By  Cz  D  0
(8.3)
Определение 8.3
Уравнение 8.3 называется общим уравнением плоскости.
Уравнение плоскости – линейное относительно x,y,z. А, В, С
(коэффициенты при x,y,z) – есть координаты вектора нормали.
Перенесём свободный коэффициент в другую сторону, поделим на
него правую и левую части уравнения, получим:
x
y
z


1
D
D
D



A
B
C
Перепишем данное уравнение следующим образом:
x y z
  1
a b c
(8.4)
Определение 8.4
Уравнение (8.4) называется уравнением плоскости в отрезках.
Второй способ задания плоскости
Пусть в некоторой системе координат, задана точка М0(х0;у0;z0) и два
коллинеарных плоскости вектора S1(m1,n1,p1) и S2(m2,n2,р2). Составить
уравнение плоскости, проходящий через точку М0 параллельно заданным
векторам (по отношению к плоскости они будут направляющими).
Условие
компланарности
векторов:
(r  r0 , S1 S 2 )  0
или
( M 0 M , S1 S 2 )  0 .
Перепишем данное смешанное произведение в координатной форме:
 x  x0
 m
 1
 m2
y  y0
n1
n2
82
z  z0 
p1   0

p2 
(8.5)
Пример 8.1
Составить уравнение плоскости проходящей через точку М0(1;-2;3)
параллельно плоскости р: 3х+2z-5=0,где Np = (3;0;2) - вектор нормали.
Решение:
Общее уравнение плоскости 3(x-1)+0(y+2)+2(z-3)=0 или 3x+2z-9=0.
Пример 8.2
Составить уравнение плоскости проходящей через три точки М1(1;0;-
1), М2(2;1;1), M3(3;1;0)
Решение:
Т.к.
M 1M 2 (1;1;2)
и
лежат
M 1M 3 (2;1;1)
на
плоскости
и
не
коллинеарные, то их можно взять в качестве направляющих векторов. Тогда
смешанное
коллинеарные.
 x  x1
 1

 2
y  y1
1
1
( M 1M 2 , M 1M 3 , M 1M )  0
произведение
В
так
как
координатной
векторы
форме:
z  z1 
2   0;   x  3 y  z  0 , или 3 y  x  z  0 .

1 
Исследование общего уравнения плоскости
Запишем общее уравнение плоскости:
Ax  By  Cz  D  0 ,
n  ( A; B; C ).
Выясним, как расположена плоскость в зависимости коэффициентов
уравнения.
1.
Пусть D=0, тогда Ax+By+Cz=0.
83
Плоскость проходит через начало координат.
z
y
x
Рисунок 8.2
2.
Пусть А=0, тогда By+Cz+D=0. Плоскость параллельна оси
3.
Пусть В=0, тогда Ax+Cz+D=0 - параллельна оси OY.
4.
Пусть С=0, Ax+By+D=0 - параллельна оси OZ.
ОХ.
Рисунок 8.3
5.
Пусть А=0, и D=0, тогда By+Cz=0 Плоскость проходит
через ось ОХ
6.
Пусть В=0, и D=0, тогда Ax+Cz=0 проходит через ось OY.
7.
Пусть С=0, и D=0, тогда Ax+By=0 проходит через ось ОZ.
Рисунок 8.4
84
8.
Пусть А=0, и В=0, тогда Cz+D=0, или Z=-D/C. Плоскость
 оси OZ.
9.
Пусть А=0, и C=0, тогда By+D=0, плоскость  оси OY.
10.
Пусть В=0, и С=0, тогда Ax+D=0, плоскость  оси OX.
Рисунок 8.5
11.
Х=0 - уравнение плоскости OYZ,
12.
Y=0 - уравнение плоскости OXZ,
13.
Z=0 - уравнение плоскости OXY.
Взаимное расположение плоскостей в пространстве
Пусть заданы две плоскости
n1  ( A1 ; B1 ; C1 )
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 n 2  ( A2 ; B 2 ; C 2 )
а) Если n1 и
n 2 не коллинеарные, то плоскости пересекаются по
прямой, причем угол между плоскостями:

cos(n1 n2 ) 
(n1 n2 )
n1 n2
в частном случае плоскости  если
(n1 , n2 )  0  A1 A2  B1 B 2 C1C2  0 .
б) Если n1 и n2 коллинеарные, то плоскости параллельные, т.е.
85
A1 B1 C 1
.


A2 B2 C2
Нормальное уравнение плоскости
Пусть дана плоскость, проведем через начало координат прямую,
перпендикулярно к плоскости –
эта прямая нормаль, точка Р – точка в
которой прямая пересекает плоскости, на нормали введем положительное
направление от точки О к точке Р  ,  ,  - углы, которые составляют
направленная нормаль с осями координат, p - длина отрезка ОР.
cos  x  cos   y  cos   z  p  0
(8.6)
Определение 8.5
Уравнение (8.6) называется нормальным уравнением плоскости.
Справедливы формулы:
cos  
cos   
A
A2  B 2  C 2
C
A2  B 2  C 2
, cos   
, p
B
A2  B 2  C 2
D
A2  B 2  C 2
,
.
Знак "плюс" или знак "минус" выбирается так, чтобы p > 0. Углы α, β,
γ - это углы между вектором нормали n и осями координат Ox, Oy, Oz
соответственно.
Умножим общее уравнение на множитель 
Ax  By  Cz  D  0
A  cos  , B  cos  , C  cos  , D   p
Возведем первые три уравнения в квадрат и сложим
 2 A2  B2  C 2   1,отсюда,
86

1
A2  B 2  C 2
-
нормирующий
множитель.
Из уравнения D   p , следует, что знак нормирующего множителя
противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения.
Для приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду обе
части его умножают на нормирующий множитель, знак выбирают
противоположный знаку свободного члена в общем уравнении плоскости.
Если D  0 знак выбирается произвольно.
Расстояние от точки до плоскости
Определение 8.6
Отклонением точки M от данной плоскости называется число +d,
если M лежит
по ту сторону от плоскости, куда идет положительное
направление нормали, и -d, если M лежит с другой стороны от данной
плоскости.
Обозначается:    d
Чтобы найти отклонение какой-либо точки M * от некоторой прямой,
нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих
координат подставить координаты точки M * .
  x* cos  y* cos   z* cos  p
Расстояние d от точки x0 , y0 , z0  до плоскости Ax  By  Cz  D  0
определяется по формуле
d
Ax0  By0  Cz 0  D
A 2  B 2  C2
Пример 8.3
Дана плоскость 3 x  4 y  1z  14  0 и точка M 4,3,1 . Найти
отклонение точки от плоскости.
87

1
1,
   3  4  4  3  12 1  14  2
13
13
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Составить уравнение плоскости, которая проходит:
1) через точку М1(2; — 3; 3) параллельно плоскости Оху;
2) через точку М2(l; —2; 4) параллельно плоскости Oxz;
3) через точку М3(—5; 2; —1) параллельно плоскости Oyz.
Ответ: 1) z — 3 = 0; 2) у + 2 = 0; 3) х + 5 = 0.
№ 2 Плоскость проходит через точку M1(6; —10; 1) и отсекает на оси
абсцисс отрезок a = — 3 и на оси апликат отрезок с = 2. Составить для этой
плоскости уравнение «в отрезках».
Ответ:
y z
x

 1
3 4 2
№ 3 Вычислить величину отклонения  и расстояние d точки от
плоскости в каждом из следующих случаев:
1) М1 (—2; — 4; 3),
2х— у + 2z + 3 = 0;
2) М2 (2; — 1; — 1),
16х—12у + 15г —4 = 0;
3) М3 (1; 2; — 3),
5х—3у+ z+4 = 0;
4) М4 (3; —6; 7),
4х — 3z— 1=0;
5) М5 (9; 2; —2),
12у —5z + 5 = 0.
Ответ: 1)  = —3, d = 3; 2)  =1, d = l; 3)  = 0, d = 0 —точка М3
лежит на плоскости; 4)  = —2, d = 2; 5)  = — 3,
88
d — 3.
№ 4 Привести каждое из следующих уравнений плоскостей к нормальному виду:
1) 2х —2у + 2 —18 = 0;
2) х — у —z 2 + 16 = 0;
3) 4х — 6у — 12z — 11=0; 4) — 4x — 4у + 2z + 1 =0;
5) 5у — 12z + 26 = 0; 6) 3х — 4у — 1=0;
7) у + 2 = 0;
8) —х + 5 = 0;
9) — z + 3 = 0; 10) 2z — 1= 0.
Ответ: 1)  = 60°,  = 450,  = 60°,  = 5; 2)  = 120°,  = 60°,  =
45°,  = 8; 3)  = 45°,  == 90°,  = 45°,  = 3 2 ; 4)  = 90°,  = 135°;  =
45°,  =
2
, 5)  =150°,  =120°,  = 90°,  = 5; 6)  = 900,  = 900,  = 0°, 
= 2; 7)  =180°,  = 90° ,  = 90°,  = 1 ; 8)  =90°,  =180°,  = 90°,  =
2
1
2
; 9)  = arccos 1 ,  =  — arccos 2 ,  = arccos 2 ,  = 2; 10)  =  — arccos 2 ,
3
3
 =  — arccos 3 ,  = arccos 6 ,  =
7
7
3
4
7
7
.
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение общего уравнения плоскости.
2.
Приведите исследование общего уравнения плоскости.
3.
Дайте определение уравнения плоскости в отрезках.
4.
Дайте определение уравнения плоскости, проходящей через
данную точку.
5.
Дайте определение нормального уравнения плоскости.
6.
Приведите формулу нахождения угла между плоскостями.
7.
Приведите виды взаимного расположения двух плоскостей.
8.
Приведите формулы вычисления расстояния от точки до
плоскости и отклонения от точки до плоскости.
89
Лекция 9
Общее уравнение прямой в пространстве
Прямая в пространстве задается как линия пересечения двух
плоскостей.
Рисунок 9.1
Здесь
n1  ( A1 ; B1 ; C1 )
n2  ( A2 ; B2 ; C 2 )
соответственно нормальные векторы первой и
второй плоскости, не коллинеарные между собой; L - прямая, по которой
пересекаются плоскости.
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
(9.1)
Определение 9.1
Уравнение вида (9.1) называется общим уравнением прямой в
пространстве.
Каноническое уравнение прямой в пространстве

Пусть в некоторой системе координат задан вектор S  m, n, p и
точка Мо(xo;yo;zo).
90
z
М0 (x0,у0,z0)
М(x,y,z)
S
у
х
Рисунок 9.2
Получим уравнение прямой, проходящей через точку М0 параллельно


вектору S  m, n, p . Вектор S  m, n, p - направляющий вектор прямой.
x  x o y  yo z  z o


m
n
p
(9.2)
Определение 9.2
Уравнение вида (9.2) называется каноническом уравнением прямой в
пространстве.
Параметрическое уравнение прямой
Введем параметр t:
x  x o y  yo z  zo


t,
m
n
p
получим:
 x  mt  xo

 y  nt  yo
 z  pt  z
o

(9.3)
Определение 9.3
Уравнение вида (9.3) называется параметрическим уравнением
прямой линии в пространстве.
91
Уравнение прямой проходящей через две точки
z
М1 (x1,у1,z1)
М2 (x2,у2,z2)
М(x,y,z)
у
х
Рисунок 9.3
Так как векторы M 1 M M 1 M 2 - коллинеарны, то можно записать:
x  x1
y  y1 z  z 1


x2  x1 y2  y1 z 2  z1
(9.4)
Определение 9.4
Уравнение вида (9.4) называется уравнением прямой, проходящей
через две точки.
Переход от канонического уравнения к общему
Пусть задана прямая каноническим уравнением .
x  x o y  yo z  z o


m
n
p
Перейдем от этих уравнений к системе.
 x  x o y  yo


 m
n
 x x
z  zo
o



p
 m
Здесь каждое уравнение определяет плоскость в пространстве, т.е. мы
получили общее уравнение прямой линии в пространстве.
92
Переход от общего уравнения к каноническому
Пусть прямая линия задана общим уравнением.
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
n1  ( A1 ; B1 ; C1 )
n2  ( A2 ; B2 ; C 2 )
- нормальные векторы
Для того, чтобы получить каноническое уравнение надо знать точку
M0(x0,y0,z0) и направляющий вектор S  m, n, p. Точку М0 можно найти из
решения системы задав одну из координат. Вектор S  n1 и S  n2 , но таким
свойством обладает вектор равный векторному произведению векторов
n1  n2 Следовательно:
i
S  n1 , n2  A1
j
B1
A2
B2


k
C1 .
C2
Пример 9.1
Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
2 x  y  3 z  1  0

5 x  4 y  z  7  0
Решение:
Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х
= 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.
 y  3z  1
 y  3z  1
 y  3z  1  y  2
, т.е. А(0, 2, 1).




4 y  z  7  0 12 z  4  z  7  0  z  1
z  1
Находим компоненты направляющего вектора прямой.
93
m
B1
C1
B2
C2

1
3
4
1
 11; n  
p
A1
B1
A2
B2
A1
C1
A2
C2


2 1
5
4
2
3
5 1
 17;
 13.
Тогда канонические уравнения прямой:

x y  2 z 1


.
11 17
13
Пример 9.2
Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:
2 x  3 y  16 z  7  0

3x  y  17 z  0
Решение:
Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией
пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:
2 x  3 y  16 z  7  0
; y  3x ;

3
x

y

17
z

0

2x – 9x – 7 = 0;
x = -1; y = 3;
Получаем: A(-1; 3; 0).

 
i j k




S

n

n

2
3

16


35
i

14
j

7
k
Направляющий вектор прямой:
.
1
2
3 1  17
Итого:
x 1 y  3 z


;
 35  14  7
x 1 y  3 z

 ;
5
2
1
94
Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве
Взаимное расположение прямых в пространстве
Пусть заданы прямые:
L1 : x  x
1
m1

y  y1 z  z1
, проходящая через точку

n1
p1
M 1 ( x1 , y1 , z1) с
направляющим вектором S1  (m1 , n1 , p1 ) и
L2 : x  x
2
m2

y  y2 z  z 2
, проходящая через точку

n2
p2
M 2 ( x2 , y2 , z 2 )
M 1 ( x1 , y1 , z1) с направляющим вектором S 2  (m2 , n2 , p2 ) .
Возможны следующие случаи:
1) L1 параллельна L2 , если S1 S2 .
2) прямые пересекаются в одной плоскости. Прямые лежат в одной
плоскости если ( M 1 M 2 , S1 , S 2 )  0 . Это условие компланарности трех
векторов. Тогда угол между ними cos  
( S1 , S 2 )
S1 S 2
;
б) прямые являются скрещивающимися, тогда ( M 1 M 2 , S1 , S 2 )  0 .
Скрещивающиеся прямые лежат в разных плоскостях.
S2
М2
М1
Рисунок 9.4
95
S1
Нахождение расстояния от точки до прямой в пространстве
M1
d
M0
S
S
Рисунок 9.5
Расстояние от точки до прямой можно найти по следующей формуле:
d
S паралл
M M , S 
0
;
S
1
S
Нахождение угла между прямой и плоскостью
Это
.
угол
Найти
его
cos  cos( S , n)  cos(900   )  sin  
n
( S , n)
Sn
S

можно

Рисунок 9.6
96
последующей
формуле:
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и
плоскости в пространстве.
Пусть заданы прямая:
x  x0 y  y 0 z  z 0


m
n
p

вектором S  m, n, p и плоскость
с направляющим
Ax  By  Cz  D  0 с нормальным

вектором N  A, B, C,.
Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и
достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор
прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное
произведение было равно нулю.
 
N  S,
 
N  S  0, sin   0,
Am  Bn  Cp  0.
Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны,
необходимо
и
достаточно,
чтобы
вектор
нормали
к
плоскости
и
направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется,
если векторное произведение этих векторов было равно нулю.
 
N  S  0;
A B C
 
m n p
Пример 9.3
Выяснить как расположены в пространстве относительно друг друга
прямые.
Решение:

L1 : 

и
L2 :
x  y  2z  3  0
2y  z 1 0
x2
z 1
y
3
2
n1  (1;1;2)
n2  (0;2;1)
S L2  (3;1;2)
97


i
j
k
S L1  n1 , n2  1 1  2  i (1  4)  j (1)  k (2)  3i  1 j  2k
0 2
так как S L1
1
S L2 , то прямые линии L1 и L2 параллельны.
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую
пересечения плоскостей 3х — у + 2z + 9 = О, х + z — 3 = 0: 1) и через точку
M1(4; —2; —3); 2) параллельно оси Ох; 3) параллельно оси Оу; 4)
параллельно оси Oz.
Ответ: 1) 23x — 2y + 21z — 33 = 0;
2) y + z — 18 = 0;
3) x + z — 3 = 0;
4) x — y + 15 = 0.
№ 2 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
5 x  y  2 z  3  0

3x  2 y  5  2  0
перпендикулярно плоскости х + 19у — 7z— 11 =0.
Ответ:  (5x  y  2 z  3)   (3x  2 y  5z  2)  0 . У к а з а н и е.
Прямая пересечения плоскостей 5х — у — 2z — 3 = 0, 3x — 2у—5z + 2 = 0
перпендикулярна к плоскости х + 19у — 7z — 11 = 0; следовательно, условию
задачи
будут
удовлетворять
все
плоскости,
принадлежащие
плоскостей, проходящих через эту прямую.
№ 3 Найти точку пересечения прямой и плоскости:
1)
x 1 y 1 z

 ,
1
2 6
2x  3 y  z  1  0 ;
98
пучку
2)
x  3 y  2 z 1
,


3
1
5
x  2 y  z  15  0 ;
3)
x  2 y 1 z  3
,


2
3
2
x  2 y  2z  6  0 ;
Ответ: 1) (2; —3; 6); 2) прямая параллельна плоскости; 3) прямая
лежит на плоскости.
№ 4 Найти точку Q, симметричную точке Р(4; 1; 6) относительно
прямой
 x  y  4 z  12  0

2 x  y  2 z  3  0
Ответ: Q (2; —3; 2).
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение общего уравнения прямой в пространстве.
2.
Дайте определение канонического уравнения прямой в
пространстве.
3.
Дайте определение параметрического уравнения прямой в
пространстве.
4.
Дайте определение прямой в пространстве, проходящей через две
5.
Приведите способ преобразования прямой в пространстве,
точки.
заданной общим уравнением к каноническому виду.
6.
Перечислите виды взаимного расположения двух прямых в
пространстве.
7.
Перечислите виды взаимного расположения прямой и плоскости
в пространстве.
8.
Приведите формулу для вычисления угла между двумя прямыми
в пространстве.
99
Лекция 10
Эллипс
Определение 10.1
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости сумма
расстояний которых до двух точек называемых фокусами есть величина
постоянная, равная 2а.
Рисунок 10.1
( x  x 0 ) 2 ( y  y0 ) 2

 1- каноническое уравнение эллипса.
a2
b2
Получим его:
F2 M  F1M  2a
( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2  2a
( ( x  c ) 2  y 2 ) 2  ( 2a  ( x  c ) 2  y 2 ) 2
( x  c ) 2  y 2  4a 2  4a ( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2
4 xc  4a 2  4a ( x  c) 2  y 2
( xc  a 2 ) 2  a 2 (( x  c) 2  y 2 )
x 2c 2  2 xca2  a 4  a 2 x 2  2 xca2  a 2c 2  y 2 a 2
100
x 2 ( a 2  c 2 )  y 2 a 2  a 2 (c 2  a 2 )  0 a 2  c 2  b 2
x 2b 2  y 2 a 2  a 2b 2  0
x 2 b 2  y 2 a 2  a 2 b 2 поделим на правую часть, получим
x2 y2

1
a2 b2
(10.1)
Определение 10.2
Уравнение вида (10.1) называется каноническим видом эллипс
Свойства эллипса
1.
Эллипс симметричен относительно осей координат и
начала координат т.к. уравнение эллипса содержит переменные x и y в
квадратах.
2.
x2 y 2
x2
y2
. 2  2  1  2  1, 2  1
a b
a
b
x 2  a 2 , y 2  b 2  x  a; x  b .
Т.е. эллипс заключен внутри квадрата x  a
3.
Точки
пересечения
с
осями
y  b .
координат
называются
вершинами эллипса (a;0); (-a;0); (b;0); (-b;0).
4.
Форма
эксцентриситетом  
эллипса,
его
мера
сжатия
характеризуются
с
 1.
a
Замечание: Если   1 то будем иметь окружность.
5.
Расстояние
F1M  r1 и F2 M  r2 ;
r1
и
фокальными радиус векторами r1+r2=2a, r1=a-x, r2=a+x.
101
r2
называется
Гипербола
Определение 10.3
Гиперболой
называется
геометрическое
место
точек
разность
расстояний, от которых до двух точек называемых фокусами, есть величина
постоянная.
F2 M  F1M  2a
Рисунок 10.2
( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2  2a .
Полагая b2  c 2  a 2 , получим уравнение.
x2 y 2
 1
a 2 b2
(10.2)
Определение 10.4
Уравнение (10.2) называется каноническим уравнением гиперболы
102
Свойства гиперболы
Гипербола симметрична относительно начала координат и
1.
осей координат (т.к. x и y в квадрате).
x2
 1  x  a ; точки гиперболы левее
a2
2.
прямой x=-a и
правее прямой x=a.
Точки пересечения с осями координат х=0;
3.
y2
 1 (ось
a2
OY не пересекает). При Y=0, получаем x   a то есть точки (-а;0) и (а;0).
Найдем
4.
прямыми
точку
пересечения
гиперболы
x2 y 2
 1
a 2 b2
с
y  kx . Для этого решим систему.
 y  kx
 2
2
x  y 1
 a 2 b 2
,
x2 k 2 x2
 2 1
a2
b
получим,
x 2 (b 2  k 2 a 2 )  a 2b 2 или x  
преобразуем,
получим:
ab
.
b  k 2a 2
2
b2
Если b  k a  0 то есть k  2 то гипербола будет пересекаться с
a
2
2
прямыми линиями
2
2
y  kx .
Определение 10.5
Прямые y  
b
x называются асимтотами гиперболы.
a
b2
Из условия k  2 следует, что гиперболы со своими асимтотами не
a
2
пересекаются.
103
5.
Эксцентриситет
c
   1 т.к. с>а, фокальные радиус
a
векторы
r1=x-a; r2=x+a, для правой ветки и r2=x+a; r1=-x-a, для левой
ветки.
Замечание 10.1
x2 y 2
  1 - каноническое уравнение гиперболы с действительной
a 2 b2
осью ОХ и мнимой осью OY. Центр в точке С(0;0), полуоси а и b.
Парабола
Определение 10.6
Параболой
называется
геометрическое
место
точек
плоскости
равноудаленных от некоторой фиксированной точки называемой фокусом и
некоторой прямой называемой директрисой.
Рисунок 10.3
Проведем ось ОХ через фокус перпендикулярно директрисе, а начало
координат поместим в середину отрезка между фокусами и директрисой.
Уравнение директрисы x   p / 2 .
Согласно определению FM  NM
104
N ( p / 2; y)
; FM  ( x  p / 2; y )
NM  ( x  p / 2; 0) , получим:
( x  p / 2 ) 2  ( x  p / 2) 2  y 2 ;
Возводя обе части в квадрат, и сводя подобные, получим
y2=2px
(10.3)
Определение 10.7
Уравнение (10.3) называется уравнением параболы.
Пример 10.1
Написать уравнение геометрического места точек М(x,y) расстояние
от которых до точки F(4;0) равно расстоянию до прямой х=10.
Решение:
FM  d ; или
( x  4) 2  y 2  x  10
возводя в квадрат, получим:
( x  4)2  y 2  ( x  10)2 или сводя подобные, получим
x2  8x  16  y 2  x2  20x  100 или  8x  16  y 2  20x  100 или
y 2  12x  116 это уравнение параболы x  
1 2 116
y 
. Найдем точки
12
12
пересечения с осями координат: при х=0 у=  116 ; при у=0 х=
построим эту параболу
у
116
29
3
-
116
Рисунок 10.4
105
х
116 29
,

12
3
Пример 10.2
Определить тип кривой 3х2 - 6х +2 y2 + 4y - 12=0.
Решение:
Запишем
общее
уравнение
кривой
второго
порядка
Ax2  By2  Cxy  Dx  Ey  F  0
здесь C=0; A≠B, следовательно, будет эллипс или гипербола. Выделим
полный квадрат: (a + b)2=a2 + 2ab + b2.
3(x2 – 2 x )+2(y2 + 2 y)-12=0,
3(x2 – 2 x 1+12-12)+2(y2 + 2 y 1+12-12)-12=0,
у
1
0
-1
х
.
Рисунок 10.4
3(x-1) 2 +2 (y+1) 2 –1 – 1 - 12=0,
3(x-1) 2 +2 (y+1) 2 = 14
3( x  1)2 2( y  1)2

1
14
14
( x  1) 2 ( y  1) 2
( x  1) 2 ( y  1) 2

 1 или

 1 эллипс с центром в
14
14
14
7
3
2
3
точке C(1;-1) и полуосями а= 14 и b= 7 .
3
106
Канонические уравнения поверхностей второго порядка
1. Сфера.
x2 y 2 z 2
  1
a2 a2 a2
Рисунок 10.5
2. Эллипсоид.
x2 y2 z 2

 1
a2 a2 c2
Рисунок 10.6
Сечение плоскостью
x2 y 2
z=0; эллипс 2  2  1
a a
x2 y 2
h2
x2 y 2 h2
z=h. эллипс 2  2  2  1 или 2  2  1 
a a
c2
a
a
c
107
3. Однополостный гиперболоид



x2 y 2 z 2
  1
a 2 b2 c2
Рисунок 10.7
x2 y 2
при z=0

 1 - эллипс.
a2 b
при z=h – эллипс.
при y=0;
x2 z 2
  1 - гипербола. ось ОZ – мнимая.
a2 c2
y2 z2
при x=0 2  2  1 - гипербола.
b
c
4. Двуполостный гиперболоид

с
с


x2 y 2 z 2

  1.
a 2 b2 c2
Рисунок 10.8
108
При z  0;
x2 y2

 1 - мнимый эллипс
a 2 b2
При z  c;
x2 y2

 0 – точки (0,0,с) и (0,0,-с).
a 2 b2
При z   h; h  c;
x2 y 2 h2


 1  эллипс.
a 2 b2 c2
x2 z 2
z 2 x2
  1  2  2  1  гипербола.
a2 c2
c a
При у=0
z2 y2

 1  гипербола.
c2 b2
При х=0,
5. Конус

c

c

x2 y 2 z 2
  0
a 2 b2 c2
Рисунок 10.9
При z=0;
x2 y2

 0 ;точка (0;0)
a 2 b2
При z=с
x2 y2

 1 , эллипс.
a2 b2
x2 z 2
a
При у=0, 2  2  0 , пара прямых x   z .
a c
c
a
y2 z2
При х=0, 2  2  0 ,пара прямы y   z
c
a
c
109
6. Эллптический параболоид



z
x2
y2

2 p 2q
Рисунок 10.10
сечения у=0,
z
x2
- парабола
2p
2
х=0, x  0; z  y  парабола
2p
z  0;
x2
y2

 0, точка.
2p 2p
z  0; z  c;
x2
y2

 c  эллипс.
2 p 2q
7. Гиперболический параболоид



x2 y2
z 2  2
a b
Рисунок 10.11
110
у =0,
x=0,
z  0;
z=с,
z
z
x2
 парабола вверх.
a2
 y2
 парабола вниз.
a2
a
x2 y2
 2  0 прямые x   y.
2
b
a
b
x2 y 2

 c гипербола.
a 2 b2
8. Цилиндрические поверхности.
Определение 10.8 Цилиндрическая поверхность - поверхность,
образованная прямыми (образующими), параллельными некоторой данной
прямой L и пересекающими данную линию С (направляющую).
x2 y 2
Гиперболический цилиндр. 2  2  1
a b
Отсутствует в уравнении переменная z, поэтому, образующая вдоль

OZ.


Рисунок 10.12
x2 y 2
  1 - гипербола в плоскости Х0У.
a 2 b2
x2
Параболический цилиндр. z 
- образующая вдоль OY
2p
(отсутствует переменная у в уравнении)
z
x2
- парабола в плоскости Z0X
2p
111



Рисунок 10.13
Эллиптический цилиндр.
отсутствует в уравнении переменная z, поэтому, образующая вдоль
OZ.
Рисунок 10 14
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев:
1) сфера имеет центр С(0; 0; 0) и радиус r=9;
2) сфера имеет центр С (5; —3; 7) и радиус г = 2;
3) сфера проходит через начало координат и имеет центр С(4;
-4; —2);
112
4) сфера проходит через точку А (2; —1; —3) и имеет центр С(3; —2;
1);
5) точки А(2; —3; 5) и В(4; 1; —3) являются концами одного из
диаметров сферы;
6) центром сферы является начало координат, и плоскость 16х—15у—
12z + 75 = 0 является касательной к сфере;
7) сфера имеет центр С(3; — 5; — 2), и плоскость 2х —у — Зz + 11 =
0 является касательной к сфере;
8) сфера проходит через три точки M1(3; 1; —3), M2(—2; 4; 1) и M3 (—
5; 0; 0), а ее центр лежит на плоскости 2х + у — 2 + 3 = 0;
9) сфера проходит через четыре точки: M1(l; —2; — 1), М2(— 5; 10; —
1), М3(4; 1; 11) и М4(— 8; — 2; 2).
Ответ: 1) x 2  y 2  z 2  81; 2) ( x  5) 2  ( y  3) 2  ( z  7) 2  4 ;
3) ( x  4) 2  ( y  4) 2  ( z  2) 2  36 ; 4) ( x  3) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  18 ;
5) ( x  3) 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  21; 6) x 2  y 2  z 2  9 ;
7) ( x  3) 2  ( y  5) 2  ( z  2) 2  56 ; 8) ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  49 ;
9) ( x  2) 2  ( y  4) 2  ( z  5) 2  81
№ 2 Найти точки пересечения поверхности и прямой:
x2 y2 z 2


1
81 36 9
и
x3 y 4 z 2


3
6
4
x2 y2 z 2
б)


1
16 9
4
и
x
y
z2


4 3
4
x2 y2
в)

z
5
3
и
x 1 y  2 z  2


2
1
4
x2 y2
г)

z
9
4
и
a)
x y  2 z 1


3
2
2
113
Ответ: а) (3; 4; — 2) и (6; — 2; 2); б) (4; — 3; 2) — прямая касается
поверхности; в) прямая и поверхность не имеют общих точек; г) прямая
лежит наповерхности.
№ 3 Составить уравнение параболы, вершина которой находится в
начале координат, зная, что:
1) парабола симметрично расположена относительно оси Ох и
проходит через точку А (9; 6);
2) парабола симметрично расположена относительно оси Ох и
проходит через точку В(—1; 3);
3) парабола симметрично расположена относительно оси Оу и
проходит через точку С(1; 1);
4) парабола симметрично расположена относительно оси Оу и
проходит через точку D (4; — 8).
Ответ: 1) у2 = 4х; 2) у2 = — 9x; 3) x2 = у; 4) x2 = — 2у.
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение эллипса.
2.
Дайте определение основных характеристик эллипса.
3.
Дайте определение гиперболы.
4.
Дайте определение основных характеристик гиперболы.
5.
Дайте определение параболы.
6.
Дайте определение основных характеристик параболы.
7.
Приведите уравнения основных поверхностей второго
порядка.
8.
Дайте определение цилиндрической поверхности.
9.
Перечислите основные виды цилиндрических
поверхностей.
114
Лекция 11
Числовые последовательности
Определение 11.1
Если каждому числу n из натуральных чисел 1,2,3,..., n поставить в
соответствие
вещественное
число
xn ,
то
полученное
множество
вещественных чисел x1 , x2 ,..., xn называют числовой последовательностью.
Обозначение: xn .
Арифметические действия над последовательностями
1.
Произведение на число: m  xn   mx1 , mx2 ,...,mxn   mxn 
2.
Сумма двух последовательностей:
x   y   x
n
n
1
 y1 , x 2  y2 ,..., xn  yn   xn  yn 
Произведение двух последовательностей:
3.
x  y   x y , x
n
n
1
1
2
y2 ,..., xn yn   xn yn 
Частное двух последовательностей:
4.
x    x
y   y
n
1
n
1
,
x  x 
x2
,..., n    n 
y2
yn   yn 
Определение 11.2
Последовательность xn  называется ограниченной сверху, если
существует число М такое . что любой элемент xn удовлетворяет
неравенству: xn  M .
Определение 11.3
Последовательность xn  называется ограниченной снизу, если
существует число m такое . что любой элемент xn удовлетворяет неравенству:
xn  m .
115
Определение 11.4
Последовательность
x 
n
называется
ограниченной,
если
она
ограничена и сверху, и снизу, т.е. существуют числа М и m такие . что для
любого элемента
xn
выполняются неравенства:
xn  M и
xn  m , и
существует число A  maxm, M  такое , что для любого xn выполняется
неравенство xn  A .
Определение 11.5
Последовательность xn  называется неограниченной, если для любого
числа A  0 найдётся xn , для которого будет выполняться неравенство:
xn  A .
Пример 11.1
1
1
Последовательность 
  ограничена, т.к. 0   1 .
n
n
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Определение 11.6
Последовательность xn  называется бесконечно большой, если для
любого числа A  0 существует число N такое, что для любого номера n>N
выполняется неравенство xn  A .
Определение 11.7
Последовательность
 
n
называется бесконечно малой, если для
любого числа   0 существует число N такое, что для любого номера n>N
выполняется неравенство  n   .
116
Теорема 11.1
1
Если xn  - бесконечно большая и все xn  0 , то   - бесконечно
 xn 
1
малая. Если  n  - бесконечно малая и все  n  0 , то   - бесконечно
 n 
большая.
Предел последовательности
Определение 11.8
Число а называется пределом последовательности
x ,
n
если для
любого   0 существует число N такое, что для любого номера n>N
выполняется неравенство.
Запишем данное определение на языке «    »:
  0 N : n  N : xn  a   .
xn  a ;
Обозначение: lim
n 
xn  a, n   .
Замечание 11.1
Если а предел последовательности
x
n
x ,
n
то последовательность
 а является бесконечно малой.
Замечание 11.2
Если
lim xn   ,
n 
то
говорят,
что
последовательность
имеет
бесконечный предел.
Пример 11.1
Покажем с помощью определения предела, что последовательность
 1  имеет предел, равный 0. Зададим   1 100 . Найдем, при каких n
 
n
выполняется неравенство xn  0   , в нашем случае
117
1
1
0 
,
n
100
1
1
,

n 100
т.к. n>0 можно записать n>100. При всех n>100 будет выполняться
условие xn  0 
lim
n 
1
1
. Таким образом, при  
мы нашли N=100, поэтому
100
100
1
0
n
Геометрическая интерпретация предела последовательности
Будем
изображать
точками
на
числовой
оси
члены
последовательности {xn } . Покажем на той же оси число a  lim xn .
n 


a-
x2
a+
x4 x6 a x7
x5
x3
x1
Поскольку a - предел последовательности, то, начиная с некоторого
номера nN, для членов последовательности выполняется неравенство
xn  a  
или
   xn  a  
или
a    xn  a   ,
то есть все члены последовательности, начиная с N-ого, заключены в
интервале ( a   , a   ).
Определение 11.10
Интервал ( a   , a   ) называют  - окрестностью точки a.
118
Пример 11.2
рассмотрим последовательность
1n.
Изобразим несколько ее
первых членов на числовой оси
=1
 1 4
1 1
5 4
0
Если
взять
=1,
то
1
3
x2 
в
интервале
последовательности. Если взять  
1
2
x1  1
(-1,1)
1
, то вне интервала
4
лежат
все
члены
 1 1  лежат лишь
 , 
 4 4
четыре первых члена последовательности.
Теорема 11.2 (теорема единственности)
Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство:
Пусть у сходящейся последовательности xn  существуют два предела
а и b, тогда по замечанию 11.1 данную последовательность можно
представить в виде суммы предела и бесконечно малой двумя способами:
xn  a   n и xn  b   n . Найдём разность данных выражений, при n  
получим, что a  b  0  a  b .
Монотонные последовательности
Определение 11.11
Последовательность {xn } называется возрастающей (неубывающей),
если nN xn1  xn .
Последовательность {xn } называется убывающей (невозрастающей),
если nN xn1  xn .
119
Возрастающую или убывающую последовательность называют
монотонной.
Если последовательность {xn } является возрастающей и ограниченной
сверху, то существует lim xn  supxn .
n 
Если последовательность является убывающей и ограниченной снизу,
то существует lim xn  inf xn .
n 
Теорема 11.3
Монотонная ограниченная последовательность сходится.
Примем без доказательства.
Теорема 11.4 (теорема Вейерштрасса)
Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
Примем без доказательства.
Предел функции
Определение 11.12 (определение предела по Коши)
Число A называют пределом функции y=f(x) в точке a , если эта
функция определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть
может, самой точки a, и для каждого >0 найдется такое >0, что для всех x,
удовлетворяющих
условию
0  x  a  ,
выполняется
неравенство
f x   A   .
На языке «    »:
lim f  x   A, если   0   0 : x : 0  x  a    f x   A   .
x a
120
Определение 11.13 (определение предела по Гейне)
Число А называется пределом функции y=f(x) в точке a, если для
любой последовательности xn , сходящейся к точке a, последовательность
соответствующих значений функции  f xn  сходится к А.
Пример 11.3
1) Функция y  x sin
1
не определена при x=0 , но имеет предел при
x
x0 .
x sin
lim
x 0
1
0
x
так как x sin 1  x .
x
2) Функция
y  sin
1
не определена при x=0 и не имеет предела в
x
этой точке, так как при x0 функция попеременно принимает все свои
значения от -1 до +1.
Функция
3)
y=sinx определена при x=0 и имеет предел в этой точке lim sin x  0 .
x 0
121
Бесконечные пределы
1. lim f x   , если E  0   0 : x : 0  x  a    f x   E
x a
2. lim f x   , если E  0   0 : x : 0  x  a    f x    E
x a
3. lim f x   A, если   0 M    0 : x : x  M    f x   A   .
x 
4. lim f x   A, если   0 M    0 : x : x   M    f x   A   .
x 
Теоремы о пределах. Неопределенные выражения
Теорема 11.5
Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен сумме
их пределов:
 f1 x   f 2 x   ...  f n x   lim
f1  x   lim f 2  x   ...  lim f n  x .
lim
x a
x a
x a
x a
Примем без доказательства.
Теорема 11.6
Предел произведения конечного числа функций равен произведению
их пределов:
 f1 x   f 2 x   ...  f n x   lim
f1  x   lim f 2  x   ...  lim f n  x .
lim
x a
x a
x a
x a
Примем без доказательства.
Следствие
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
C  f x   C  lim
f  x .
lim
x a
x a
Пример 11.4
3
3
lim 5 x  5 lim x  5  8  40
x 2
x 2
122
Теорема 11.7
Предел частного двух функций равен частному их пределов, если
предел знаменателя отличен от нуля:
f1  x 
f1  x  lim
x a

,
lim
x a f  x 
lim f 2  x 
2
если
f 2  x   0.
lim
x a
x a
Примем без доказательства.
Пример 11.5
x  lim 5 8
3x  5 3 lim
x 1
x a

  4.
lim
x 1 4 x  2
4 lim x  lim 2 2
x 1
x 1
Теорема 11.8
Если lim f  x   A , где A - конечное число, то в некоторой окрестности
xa
точки a функция y  f x  ограничена, то есть существует M>0 такое, что
f x   M
x из окрестности точки a .
Доказательство:
Пусть  =1 , тогда существует такое , что x  a   , a   
выполняются неравенства
f  x   A  f  x   A    1,
f x   A  1  A ,
M  1  A.
Теорема 11.9
Пусть в окрестности точки a функции ux , zx , vx  связаны
неравенством
ux   zx   vx ,
причем
zx   A .
lim
xa
Примем без доказательства.
123
u  x   lim v x   A ,
lim
x a
x a
тогда
Теорема 11.10
Если в окрестности точки a функции u(x) и v(x) связаны неравенством
u x   vx  , то
u  x   lim v x .
lim
x a
x a
При вычислении пределов арифметических выражений f1 x  / f 2 x ,
f1  x   f 2  x  , f1  x   f 2  x 
по пределам функций f1 x  и f 2 x  , из которых
они составлены, не всегда возможно. В этих случаях говорят, что возникают
неопределенности следующих видов:
0 
, , o ,   .
0 
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Вычислить пределы числовых последовательностей.
3  n  3  n .
1. lim
2
2
n 
3  n  3  n
3  n   2  n .
2. lim
4
4
n 
1  n   1  n 
3  n   2  n .
3. lim
3
3
n 
1  n   1  n 
1  n   1  n  .
4. lim
3
3
n 
1  n   1  n 
6  n  6  n .
5. lim
2
2
n 
 6  n   1  n 
 n  1   n  1 .
6. lim
3
3
n 
 n  1   n  1
2
4
2
2
4
4
4
2
3
4
4
2
№ 2 Доказать (найти    ), что:
2 x2  5x  3
 7.
1. lim
x  -3
x3
5x2  4 x  1
 6.
2. lim
x 1
x 1
3x 2  5 x  2
 7.
3. lim
x  -2
x2
4 x 2  14 x  6
 10.
4. lim
x 3
x 3
6 x2  x  1
5. lim
 5.
x  -1 2
x 1 2
6 x2  x  1
6. lim
 5.
x 1 2
x 1 2
124
№ 3 Вычислить пределы функций.
1.
x

lim
x4  4 x2  5
x  1
3. lim
x  1
5.
 2 x  1  x  1
3
 x 2  3x  2 
x
lim
x  3
2
2
 2 x  3
.
.
4. lim
x 1
2
x3  4 x 2  3x
 2 x2  x  1
2
x  2x  x  2
3
x3  3x  2
.
2. lim
x  1
x  x2
.
6.
2
x  2x  x  2
3
2
x
lim
x  1
3
 2 x  1
x4  2 x  1
.
2
.
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение последовательности.
2.
Дайте определение ограниченной последовательности.
3.
Дайте определение неограниченной последовательности.
4.
Дайте определение убывающей и возрастающей
последовательности.
5.
Дайте определение бесконечно большой и бесконечно
малой последовательности.
6.
Дайте определение предела последовательности.
7.
Дайте определение предела функции по Коши.
8.
Дайте определение предела функции по Гейне.
9.
Дайте определение бесконечных пределов.
10. Приведите основные свойства предела функции.
11. Перечислите известные вам неопределённости.
125
Лекция 12
Первый замечательный предел
Определение 12.1
Первым замечательным пределом называют предел функции y 
sin x
x
при x  0 .
Теорема 12.1
Справедлива формула: lim
x0
sin x
 1.
x
Доказательство:
Воспользуемся теореме о пределе трех функций:
sin x
  
Покажем, что если x    ,  и x  0 , то cos x 
 1.
x
 2 2
Рассмотрим в координатной плоскости круг единичного радиуса с
центром в точке O .
D
В
О
С
А
Рисунок 12.1
Пусть AOB  x и o  x 

2
. Построим точку C, как проекцию точки
B на ось Ox и точку D как пересечение луча OB и перпендикуляра к Ox,
проведенного через A.
Тогда BC  sin x , DA 
sin x
 tgx, так как
cos x
126
DA OA
1
из подобия AOD и СOB .


BC OC cos x
Пусть S1 - площадь AOB , S2 - площадь сектора AOB, S3 - площадь
AOD . Тогда
2
OA
sin x
1
x
1
1
2
S1 
sin x 
, S 2  OA x  , S3  OA  AD  tgx .
2
2
2
2
2
2
Так как S1 <S2 <S3 , то
1
x 1
 
sin x   tgx; при x   0,  sin x  0,
2
2 2
 2
x
1
sin x
тогда 1 

или cos x 
 1.
sin x cos x
x
(12.1)
sin x
  
Полученное неравенство справедливо и при x    ,0  , так как
x
 2 
и cos x - четные функции.
Таким образом, неравенство (12.1) справедливо при x  0 как слева,
так и справа. Кроме того, lim cos x  1 , lim 1  1 , тогда в соответствии со
x0
x 0
свойствами пределов
lim
x0
sin x
 1.
x
Второй замечательный предел
Определение 12.2
Функция вида y  x   u  x 
vx 
, ux   0 называется показательно-
степенной функцией.
Пусть существуют конечные пределы lim u  x  и lim v x  .
x a
xa
Следовательно можно записать:
127
lim
ux 
xa
v x 
vx 
 lim
eln u  x 
xa
lim v  x ln u  x 
 lim
ev  x ln u  x   e xa
xa
При вычислении показательно-степенной функции возникают
следующие неопределённости:
При lim u  x    ; lim v x   0 возникает неопределённость
x a
x a
1.
  или lim vx ln ux   0  .
0
x a
При lim u x   1 ; lim v x    возникает неопределённость
x a
xa
2.
1  или lim vx ln ux     0.

x a
При lim u  x   0 ; lim v x   0 возникает неопределённость
x a
x a
3.
0  или lim vx ln ux   0  ()
0
x a
Определение 12.3
Предел показательно-степенной функции lim (1  x)1 / x называется
x 0
вторым замечательным пределом
Второй
замечательный
предел
lim (1  1x ) x  e
x 
Следствие 12.1
lim (1  x)1 / x  e.
x 0
Следствие 12.2
ln(1  x)
 1.
x 0
x
lim
Следствие 12.3
a x 1
lim
 ln a .
x 0
x
128
вычисляется
по
формуле:
Следствие 12.4
e x 1
lim
 1.
x 0
x
Следствие 12.5
(1  x)  1
lim
 .
x 0
x
Сравнение бесконечно малых
Определение 12.4
Бесконечно малые   x  и   x  называются бесконечно малыми
одного порядка, если lim
x a
 x 
 const .
 x 
Определение 12.5
Бесконечно малые   x  и   x  называются эквивалентными, если
 x 
 1.
xa
 x 
lim
Определение 12.6
Бесконечно малая   x  является бесконечно малой более высокого
порядка, чем   x  , если lim
xa
 x 

 x 
Определение 12.7
Бесконечно малая   x  является бесконечно малой более низкого
порядка, чем   x  , если lim
xa
 x 
0
 x 
129
Можно утверждать, что при x  0 sin x ~ x , ln(1  x) ~ x , a x  1 ~ x ln a ,
e x  1~ x ,
(1  x) ~  x ,
где
знак
~
означает
эквивалентность
соответствующих бесконечно малых величин.
При вычислении пределов можно использовать эти соотношения
эквивалентности, заменяя, например, отношения бесконечно малых на
отношения эквивалентных им бесконечно малых величин.
Односторонние пределы
Определение 12.8
Число A1 называют пределом слева функции f(x) в точке a, если
  0   0 : x  a  b, a   f  x   A1   и записывают lim f  x   A1 .
xa 0
Определение 12.9
Число A2 называют пределом справа функции f(x) в точке a, если
  0   0 : x  a, a  b   f  x   A2   , и пишут lim f  x   A2 .
x a  0
Пример 12.1
Рассмотрим функцию
1
y  arctg .
x
При
x=0 эта функция не
определена. Найдем односторонние
пределы функции в точке x=0 .
lim arctg
x00
1

 ,
x
2
130
lim arctg
x00
1 
 .
x 2
Теорема 12.2
Для существования обыкновенного (двустороннего) предела функции
в точке a необходимо и достаточно существование порознь и равенство двух
односторонних пределов функции в этой точке:
lim f x  A , если lim f x   lim f x   A.
x a  0
x a 0
xa
Примем без доказательства
Непрерывность функции. Точки разрыва
Определение 12.10
Функции f(x), непрерывна в точке x0 , если
f  x0   lim
f x 
x x
0
Теорема 12.3
Функция f(x), непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда
f x0   f x0  0  f x0  0,
f  x0  0  lim f  x 
x  x0

x  x0
где
- односторонние пределы в точке x0
f  x0  0  lim f  x 

x  x0
x  x0

131
Классификация точек разрыва
Пусть x0 - точка разрыва функции f(x), тогда имеют место следующие
типы разрывов:
1. Устранимый разрыв первого рода: если f(x0 - x) = f(x0 + x) ≠ f(x0)
либо f(x0 - 0) = f(x0 + 0) , а f(x0) не существует.
2. Неустранимый разрыв первого рода: если f(x0 - 0) ≠ f(x0 + 0).
3. Разрыв второго рода: если хотя бы один из пределов f(x0 - 0) или
f(x0 + 0) не существует или бесконечен.
132
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Доказать, что функция f  x  непрерывна в точке x0 (найти
    ).
1. f  x   5 x 2  1, x0  6.
2. f  x   4 x 2  2, x0  5.
3. f  x   3x 2  3, x0  4.
4. f  x   2 x 2  4, x0  3.
5 f  x   2 x 2  5, x0  2.
6 f  x   3 x 2  6, x0  1.
№ 2 Вычислить пределы функций.


1  x a 
1 3 x 1
 3x  1 
1. lim 

x 1
 x 1 
 sin x 
2. lim 

x  a sin a


.
133
.
1  3 x 1
2
x

1


3. lim 
.

x 1
 x 

1 3 x 2
 2x  7 
5. lim 

x 8
 x 1 
1  x2 
 cos x 
4. lim 

x  2 cos 2



1 cos 3 4 x 
 tgx 
x  4
6. lim
.
.
.
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение первого замечательного предела.
2.
Дайте определение второго замечательного предела.
3.
Какие бесконечно малые являются бесконечно малыми
одного порядка?
4.
В каком случае одна бесконечно малая является бесконечно
малой более высокого порядка, чем вторая?
5.
Дайте определение эквивалентных бесконечно малых
величин.
6.
Дайте определение односторонних пределов функции.
7.
Приведите классификацию точек разрыва функции.
134
Лекция 13
Производная функции
у
y  f (x)
f ( x  x)
f (x)
0
x  x
х
х
Рисунок 13.1
Пусть задана функция y= f(x), определенная в некотором интервале.
При каждом значении аргумента x в этом интервале функция y= f(x) имеет
определенное значение. Если аргумент x получил приращение x , то и
функция y= f(x) получила некоторое определенное приращение
y  f x  x   f x 
Определение 13.1
Если существует предел отношения
f x  x   f x 
при x  0 , то
x
он называется производной функции f(x) в точке x и обозначается:
y ' x   lim
x 0
f x  x   f x 
.
x
(13.1)
Операция
вычисления
производной
функции
дифференцированием функции.
Пример 13.1
Найти производную функции y= xn , где n  N , x>0 .
135
называется
Зададим в точке
x приращение аргумента
x
и вычислим
соответствующее приращение функции:
y   x  x   x n  x n  Cn1 x n1x  Cn2 x n2 x 2  ...  x   x n 
n
n
 nx n1x  0x .
Найдем
nx n1x  0x 
y x   lim
 nx n1 .
x 0
x
'
Таким образом, (xn)= nxn-1.
Пример 13.2
Пусть y= C . Тогда y=0 и y=C=0 .
Геометрический смысл производной
Рассмотрим в декартовой системе координат кривую, заданную
уравнением y= f(x) . Причем функция y= f(x) определена и непрерывна на
рассматриваемом интервале. Возьмем на этой кривой точку
M0
с
координатами M(x0 , f(x0)). Зададим произвольное приращение аргумента x .
Значению аргумента x0+x соответствует точка на кривой M1 (x0+x,
f(x0+x)) .
у
y  f (x)
N
М1
y
f(х0)
Т
М0
x
х0
Рисунок 13.2
136
x0  x
х
Построим прямую линию M0M1 . Эта прямая называется секущей. Ее
уравнение имеет вид y-f(x0)=tg(x-x0). Заметим, что tg 
y
- тангенс угла
x
наклона прямой - угловой коэффициент секущей.
Пусть x  0 , тогда и y  0 , так как функция непрерывна в точке
x0, поэтому M 0 M 1 
x   y 
2
также стремится к нулю. Предельное
2
положение секущей, когда точка M1 совпадает с точкой M0 (при x  0 ),
называется касательной к кривой y= f(x) в точке M0 . На рис.13.2 это прямая
M0T .
При x  0 секущая M 0 M 1 , поворачивается вокруг точки M0, при
этом
изменяется
угол
,
достигая
предельного
значения
,
соответствующего касательной M0T .
Уравнение касательной к кривой M0T имеет вид
y  y0  tg  x  x0  , где
tg  lim tg  lim
x 0
x 0
y
 y '  x0  .
x
Таким образом, угловой коэффициент касательной к кривой в точке
M0 равен значению производной рассматриваемой функции в данной точке.
В этом состоит геометрический смысл производной.
Уравнение касательной к кривой y= f(x) в точке M0(x0,f(x0)) имеет
вид:
y  f x0   f ' x0 x  x0  .
(13.2)
Уравнение прямой M0N , перпендикулярной к касательной в точке M0
и называемой нормалью к кривой, можно записать в виде:
y  f  x0  
1
 x  x0  ,
f ` x0 
если только f`(x0)0 .
137
(13.3)
Производная суммы, произведения, частного
Теорема 13.1
Если функции f(x) и g(x) имеют производные в точке x, то в этой точке
существуют производные функций f + g, f  g ,
f
(если
g
g x   0 ) и при
этом
 f x   g x   f x   g x 
 f x   g x   f x g x   f x   g x  ,

 f  x 
f  x g  x   f  x   g  x 
, g x   0 .
2
 g x   




g
x


Доказательство:
Обозначим f  f x  x   f x  и g  g x  x   g x  .
f
g
 f  x  ,
 g  x  при x  0 .
x
x
Тогда
Если y  f x   g x  , то
y  f x  x   g x  x   f x   g x   f  g ,
откуда
y
 f g 
 lim 

 и yx   f x   g x  .
x 0 x
x 0  x
x 
lim
Если y  f x   g x  , то
y  f  x  x   g  x  x   f  x   g  x  
  f  f  g  g   f  g  fg  f  g  f  g
 f

y
g f
 lim 
g  f

 g  , откуда
x 0 x
x 0 x
f x


Тогда lim
y  f x g x   f x g x  ,
138
(13.4)
так как g  0 при x  0 .
Если y 
y 
f x 
, то
g x 
f  x  x  f  x  f  x  x   g  x   f  x   g  x  x 
.


g  x  x  g  x 
g  x   g  x  x 
f
g
g x   f x 
y
x , откуда
 lim x
Тогда lim
x 0 x
x 0
g  x   g  x  x 
y 
f  x g  x   f  x g  x 
.
g x 2
Таким образом, все три соотношения (13.4) доказаны.
Следствие 13.1
Если функция f(x) дифференцируема в точке x и C - постоянная, то
C  f x   C  f x  .
(13.5)
то есть постоянный множитель можно выносить из-под знака
дифференцирования.
Производная сложной функции
Теорема 13.2
Если функции y   x  и z  z y  дифференцируемы соответственно в
точках x0 и
y0, где
y0   x0 , то сложная функция
z  f  x 
диффенцируема в точке x0 причем
z x  x0   f y y0    x  x0   f y  x0    x  x0  .
Доказательство:
Пусть x - произвольное приращение независимого аргумента.
Тогда при значении аргумента x  x имеем
y  y   x  x  , z  z  f  y  y  .
139
(13.6)
Таким образом, приращению x соответствует приращение y,
которому соответствует z, причем при x  0 будет y  0 и z  0 (в
силу непрерывности функций y   x  и z  f x  ).
По условию
имеем
z
, откуда, пользуясь определением предела,
y 0 y
f y  lim
z
 f y  0y  . Тогда z  f yy  0y   y .
y
Разделим все члены последнего равенства на x:
z
y
y
 f y
 0y 
.
x
x
x
Переходя к пределу при x  0 , получим
z
y 
 y
 lim  f y
 0y    f y   x .
x 0 x
x 0 
x
x 
lim
таким образом, z x  f y   x , то есть производная сложной функции
равна произведению производной данной функции по промежуточному
аргументу y на производную промежуточного аргумента по x .
Пример 13.3
Дана функция z  sin x 2  . Найти zx .
Данную функцию представим как функцию от функции следующим
образом:
z  sin y , y  x 2 . Находим zy  cos y , yx  2 x . Тогда zx  cos x 2  2 x
.
140
Производная обратной функции
Теорема 13.3
Если для функции y= f(x) существует обратная функция x    y  ,
которая в рассматриваемой точке имеет производную  x  , отличную от
нуля, то в соответствующей точке x функция y= f(x) имеет производную
f  x  
1
.
  y 
Доказательство
Возьмем приращение y, тогда x    y  y     y  . Так как   y  монотонная функция, то x  0 .
Напишем тождество
y
1

.
x x
y
Переходя к пределу в обеих частях равенства и учитывая, что в силу
непрерывности при y  0 и x  0 , имеем
y

x0 y
lim
1
x
lim
y 0 y
или y x 
1
xy
или
f  x  
1
,
  y 
(13.7)
что и требовалось доказать.
Пример 13.4
Пусть необходимо найти производную функции y  arcsin x .
На интервале  1  x  1 функция имеет обратную x  sin y , причем


2
 y

2
. Тогда в соответствии с (13.7) y x 
141
1
.
xy
Зададим y , тогда соответствующее приращение
y
2 y  y
cos
и
2
2
y
sin
2
y
2 y  y
2 y  y
2 
xy  lim
sin
cos
 lim
cos
 cos y
lim
y 0 y
y 0
y y0
2
2
2
2
x  sin  y  y   sin y  2 sin
Следовательно, y x 
1
1
1


.
cos y
1  sin 2 y
1  x2
Производная функции, заданной параметрически
Рассмотрим функцию, заданную параметрически: x = φ(t), y = ψ(t).
Покажем, что для нахождения производной y'x, совсем необязательно
находить выражение явной зависимости y от x.
Теорема 13.4
Пусть функция x = φ(t) имеет обратную функцию t = Ф(x). Если
функции x = φ(t), y = ψ(t) дифференцируемы и φ'(t) ≠ 0, тогда,
y x 
 t 
 t 
Доказательство:
Так как функция x = φ(t) имеет обратную функцию, то формально y
можно выразить через x: y = ψ(Ф(x)). Так как функция x = φ(t)
дифференцируема, то функция t = Ф(x) также дифференцируема.
Используя правила дифференцирования, получаем
y x   t     x  
Теорема доказана.
142
 t 
 t 
Аналогичную формулу можно получить и для второй производной y ''x:
 t     t   
 t  t    t  t  1
y x  

.
 
   x  
2











t

t

t





t

x 
t
Окончательно получаем
y x 
 t  t    t  t 
.
 t 3
Аналогично можно получить формулы производных любого порядка
от функций, заданных параметрически, без нахождения формулы явной
зависимости y от x:
Таблица производных
Приведем таблицу производных элементарных функций:
1) (C)=0 , C= Const
 

2) x n  nxn 1 , n  R , x  0
 
 


3) a x  a x ln a , a  0 , a  1 , x  0 ; e x  e x , x  0
4) log a x  
ln x   1
x
1
, a 0 , a 1, x 0
x  ln a
, x 0
5) sin x   cos x , x  R
6) cos x    sin x , x  R
7) tgx  
1
cos 2 x
, x

2
 n , n  Z
143
8) ctgx   
1
sin 2 x
1
9) arcsin x  
1 x
1 x
1
1  x2
12) arcctgx   
2
, x 1
1
10) arccos x   
11) arctgx  
, x  n , n  Z
2
, x 1
, xR
1
1  x2
, xR .
Производная показательно степенной функции
Рассмотрим показательно степенную функцию: y  u  x 
vx 
.
Теорема 13.5
Пусть функции u = u(x), ν = ν(x) дифференцируемы, тогда функция
y  ux 
vx 
дифференцируема и
ux   uxvxux
vx 
v  x 1
 vx ux 
vx 
ln ux .
Доказательство:
Так как ln y = ν(x) ln u(x), то, продифференцировав это равенство,
получаем
y
u  x 
 v x ln u  x   v x 
,
y
ux 
u  x  
vx  
y   u  x   v x ln u  x   v x 
.
ux  

Теорема доказана.
144
Производные высших порядков
Определение 13.2
Пусть функция y= f(x) имеет производную во всех точках интервала
(a, b). Если функция y  f x  дифференцируема в точке x0  a, b  , то ее
производную называют второй производной или производной второго
порядка от функции
y= f(x) в точке x0 и обозначают
f x0  , f  2  x0  ,
d 2 f x0 
, f xx x0  .
dx2
Таким образом, по определению
f x0   lim
x 0
f  x0 x   f x0 
.
x
(13.8)
Пример 13.5
Найти вторую производную от функции y  Asin wt    .
Первая производная y  Awcoswt    ,

Вторая производная y   Aw coswt       Aw 2 sin wt    .
Производную от второй производной функции y= f(x) называют
третьей производной или производной третьего порядка и обозначают
f x0  или f 3   x0  . Аналогично определяется производная любого порядка.
Определение 13.3
Пусть функция y= f(x) имеет на интервале (a,b) производные
f x , f x ,..., f n1 x  . Если в точке x  a, b  существует производная
функции f n1  x  , то ее называют производной n-ого порядка или n-ой
производной функции f(x) и обозначают f(n) (x):
145

f  n   x    f  n1  x  ,
f  n   x   lim
x 0
f  n1  x  x   f  n1  x 
.
x
(13.9)
Функцию, имеющую в каждой точке множества E производные до nго порядка включительно, называют n раз дифференцируемой на множестве
E.
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Найти производную.
1. y 
2  3x3  4 x 2  x  2 
15 1  x
2x

2. y 
.
x4  8x2
3. y 
.
2  x2  4
1 x 

5. y 
8
 1 1  x 2
2
.
3x3
2 x2  x  1
4. y 
.
3 2  4x
1  x8
6. y 
.
12 x12
x2
2 1  3x
.
4
№ 2 Найти производную.
1 2 ln arctg x 
1. y   arctg x 
3. y   sin x 
5e x

2. y  sin
.


ln sin x
x

.
4. y   arcsin x  .
ex
.
5. y   ln x  .
3x
6. y  x arcsin x .
№ 3 Найти производную y x .

3t 2  1
 x  3t 3 ,

1. 
3
 y  sin  t  t  .



3

 x  1  t 2 ,
2. 
 y  tg 1  t .
146
 x  2t  t 2 ,

1
3. 
y
.
2

3
1  t 


 x  arcsin  sin t  ,
 y  arccos  cos t  .
4. 

 x  ln t  t 2  1 ,

5. 
 y  t t 2  1.
 x  2t  t 2 ,
6. 
 y  arcsin  t  1 .
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение производной.
2.
Перечислите правила дифференцирования.
3.
Приведите основные формулы таблицы производных.
4.
Приведите формулу для вычисления производной функции,
заданной параметрически.
5.
Приведите формулу для логарифмического
дифференцирования.
6.
Дайте определение производных высших порядков.
147
Лекция 14
Дифференциал функции
Рассмотрим дифференцируемую функцию y=f(x).
y
,
x 0
x
f x   lim
y
 f x    ,   0, x  0.
x
y  f x x  x.
В общем случае f '(x) ≠ 0, и при постоянном x произведение f ' (x) Δx
является малой величиной первого порядка, а произведение αΔx - малой
величиной выше первого порядка относительно Δx. Таким образом, на
приращение функции Δy в первую очередь оказывает влияние f ' (x) Δx.
Определение 14.1
Произведение f ' (x) Δx называют дифференциалом функции y=f(x) и
обозначают dy или df(x), т.е.
dy  f x x
(14.1)
Так как производная функции y = x равна единице, то дифференциал
этой функции равен приращению аргумента, т.е. dx = Δx. Таким образом,
формулу можно записать следующим образом:
dy  f x dx
(14.2)
Геометрическое значение дифференциала
Рассмотрим график дифференцируемой функции y=f(x) (рисунок
14.1). На кривой возьмем точку (x0, y0) и проведем в этой точке касательную
к кривой. Абсциссе точки P0 дадим приращение Δx, которое вызовет
приращение функции Δy.
Отметим на кривой точку P(x + Δx, y + Δy), а на касательной - точку P1
с абсциссой, равной x + Δx. Из уравнения касательной определяем ординату
точки P1, она равна y0  f x0 x, или y0  dy.
148
Рисунок 14.1
Таким образом, приращение абсциссы касательной к кривой y=f(x) от
точки
касания
вызовет
приращение
ординаты
касательной,
дифференциалу функции dy.
Дифференциал суммы, произведения, частного
Теорема 14.1
Пусть u  ux , v  vx  функции дифференцируемы.
Тогда
1) d u  v   du  dv;
2) d uv   vdu  udv;
 u  udv  vdu
3) d   
, v  0.
v2
v
Доказательство:

1) d u  v   u  v  dx  u   vdx  u dx  vdx  du  dv;

2) d uv   uv  dx  u v  vu dx  vu dx  uvdx  vdu  udv;

u v  uv
vu dx  uvdx vdu  udv
u u
3) d      dx 
dx 

.
2
v
v2
v2
v v
Теорема доказана.
149
равной
Теорема 14.2 инвариантность формы дифференциала
Рассмотрим сложную функцию: y  f ux  .
Пусть y  f u , u  ux  функции дифференцируемы, тогда^

dy  d  f u  x    f u x  dx  f u u x dx  f u du.
Таким образом, если аргументом функции является функция другого
аргумента, то форма дифференциала не изменяется.
Дифференциалы высоких порядков
Введем понятие дифференциала второго порядка. Известно, что
первый дифференциал функции dy  f x dx при фиксированном dx является
функцией только x. Тогда можно найти дифференциал этой функции,
который называют вторым дифференциалом:
d 2 y  d dy  d  f x dx  f x dxdx  f x dx2 ,где dx 2  dx  .
2
(14.3)
Аналогично определяется и дифференциал n-ого порядка:
d n y  f n  x dxn .
Предполагая, что
(14.4)
приращение независимой переменной при
вычислении первого и всех последующих дифференциалов выбирается
одним и тем же, легко доказать методом индукции, что


d n y  d n1 y  dx   f  n1 x dx n1  dx  f n x dx n .
Из формулы (14.3) следует, что производная n-ого порядка функции
y= f(x) равна отношению дифференциала n-ого порядка этой функции к n-ой
степени дифференциала независимой переменной, то есть y  n   x  
Замечание 14.1
150
dny
.
dx n
Второй дифференциал сложной функции не обладает свойством
инвариантности.
Пусть задана сложная функция z= z(y), y= y(x).
Первый дифференциал этой функции
dz  z x dx  z y  y x dx  z y dy .
Найдем второй дифференциал функции
d 2 z  d dz   d z y dy   dz y dy  z y d 2 y  z ydy 2  z y d 2 y .
что отличается от формы (14.3).
Свойства дифференцируемых функций
Теорема 14.3 теорема Ролля
Пусть
функция
y
=
непрерывна
f(x)
на
a, b
отрезке
,
дифференцируема на интервале (a, b) и f(a) = f(b). c  a, b  Тогда существует
число такое, что f'(c)=0.
Доказательство:
Так как функция y = f(x) непрерывна на отрезке a, b, то она на этом
отрезке достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения.
Обозначим: m  min
f  x , M  max f  x .
x a ,b 
x a ,b 
Если M = m, то f(x) = const . Следовательно, f ' (x) = 0 для любого
x  a, b  и теорема для данного случая верна.
Пусть теперь M ≠ m. Пусть M > f(a) = f(b). Тогда найдется число такое
c  a, b  , что f(c) = M. При этом имеют место неравенства:
f c  x   f c   0, x  0;

x
 0, x  0.
Переходя к пределу, получаем:
151
lim
x 0
f c  x   f c 
 f c   0.
x
Если при M ≠ m выполнены равенства M = f(a) = f(b), тогда m < f(a) =
f(b).
Рассмотрим функцию y = g(x) = - f(x).
Для этой  m  max g  x  функции и - m > g(a) = g(b).
x a ,b 
Из доказанного выше следует, что существует c  a, b  число такое,
что g ' (c) = 0. Так как g ' (c) = - f(c), то f(c) = 0 .
Теорема доказана.
Теорема 14.4 теорема Коши об отношении приращения двух
функций Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны на отрезке a, b и
дифференцируемы на интервале (a, b), причем g ' (x) ≠ 0 на (a, b).
Тогда существует число c  a, b  такое, что
f c  f b   f a 

.
g c  g b   g a 
Доказательство:
Заметим, что g(b) ≠ g(a). (Если g(b) = g(a), то, по теореме Ролля,
существует число c  a, b  такое, что g ' (c) = 0.)
Введем обозначение: Q 
Рассмотрим
f b   f a 
.
g b   g a 
F x   f x   f a   Qg x   g a 
функцию
,
которая
непрерывна на a, b, дифференцируема на (a, b) и F(a) = F(b) = 0, т.е.
функция F удовлетворяет условиям теоремы Ролля.
Следовательно, существует c  a, b  число такое, что F ' (c) = 0.
F x   f x   Qg x  , то f c   Qg c   0
152
Так как .
Теорема доказана.
Теорема 14.5 nеорема Лагранжа о конечных приращениях
Пусть
функция
y
=
f(x)
непрерывна
на
отрезке
a, b
и
дифференцируема на интервале (a, b).
Тогда существует число a, b, такое, что
f c  
f b   f a 
.
ba
Доказательство:
Необходимо положить g(x) = x и применить теорему Коши.
Теорема доказана.
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
Теорема 14.6 (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
вида
0
)
0
Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны и дифференцируемы в
некоторой окрестности числа a (a может равняться ∞), за исключением, быть
может, числа a ; при этом g, g' не равны нулю в этой окрестности.
f  x   lim g  x   0 .
Кроме этого, пусть lim
xa
xa
Тогда, если l im
x a
f  x 
f x 
f  x 
 lim
A
 A , то lim
xa
g  x  xa g  x 
g  x 
Доказательство:
Пусть a - конечное число. Если функции f, g непрерывны при x = a, то
по условию теоремы f(a) = g(a) = 0.
153
Если функции f, g не определены при x = a, то, в силу
lim f  x   lim g  x   0 данные функции можно доопределить нулями.
xa
xa
Возьмем число x > a так, чтобы функции f, g были a, bнепрерывны на
, a, xдифференцируемы на , и g ' (x) ≠ 0 на a, x.
f  x   f a  f c 

, где c  a, x 
g  x   g a  g c 
По теореме Коши .
Так как f(a) = g(a) = 0,
f  x  f c 

то имеем.
g  x  g c 
Устремим x к a , тогда c также устремится к a, и
lim
xa
Для
f x 
f c 
f c 
f  x 
 lim
 lim
 lim
A
g  x  xa g c  ca g c  xa g  x 
случая,
когда
a
-
конечное
число,
теорема
доказана.
Пусть теперь a = ∞. Заменим x на t : x = 1/ t . В результате получим функции
F(t) = f(1/t), G(t) = g(1/t) аргумента t. В окрестности t = 0 функции F, G
удовлетворяют условиям теоремы, а из доказанного выше следует, что
lim
t 0
Так как lim
t 0
F t 
F t 
 lim
G t  t 0 G t 
f  1t   1t 2 
F t 
f  x 
 lim
 l im
G t  t 0 g  1t   1t 2  x g  x 
то получаем: lim
x 
f x 
F t 
F t 
 lim
 lim
 lim
g  x  t 0 G t  t 0 G t  x
f  x 
g  x 
Теорема доказана.
Теорема 14.7 (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
вида

).

Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны и дифференцируемы в
некоторой окрестности числа a (a может равняться ∞), за исключением a.
f  x   lim g  x   0
Кроме этого, пусть lim
xa
xa
154
Тогда, если l im
x a
f  x 
f x 
f  x 
 lim
 A.
 A , то lim
xa
g  x  xa g  x 
g  x 
Если правило Лопиталя, примененное к функциям f, g, не приводит к
раскрытию неопределенности, то можно попробовать применить правило
Лопиталя к производным f', g', а если необходимо, то и к f'', g'' и т.д.
Пример 14.1
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 . Найти дифференциал dy .
3.1. y  x arcsin 1 x   ln x 
x 2  1 , x  0.
155

2. y  tg 2arccos 1  2 x
2
,
x  0.
3. y  1  2 x  ln x  1  2 x .
4. y  x arctg x  1 
2
2
x 2  1.


5. y  arccos 1
1  2 x 2 , x  0.
6. y  x ln x 
x 2  3  x 2  3.
№ 2 Вычислить пределы функций.
1 x
 sin 2 x 
1. lim 

x 0
 x 
 sin 4 x 
3. lim 

x 0
 x 
 e3 x  1 
lim 

x0
 x 

cos2   x
4
x
.
2  x2
.
4.

.
5. lim  cos x 
x 0
2 x
2. lim 
 .
x  0 3 x


x 3
 x 4

 x2 
2
x 2 3
6. lim 
x0
.
.
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение дифференциала функции.
2.
Перечислите свойства дифференциала функции.
3.
Дайте определение дифференциала высшего порядка.
4.
Сформулируйте теорему Коши.
5.
Сформулируйте теорему Лагранжа.
6.
Сформулируйте теорему Ролля.
7.
В чём состоит правило Лопиталя?
156
Лекция 15
Условия возрастания и убывания функций
Определение 15.1
Функцию f(x) называют возрастающей (неубывающей) на интервале
(a, b) , если для любых точек x1  a, b , x2  a, b таких, что x1<x2 ,
выполняется неравенство f x1   f x2  .
Определение 15.2
Функцию f(x) называют убывающей (невозрастающей) на интервале
(a, b) , если для любых точек
x1  a, b , x2  a, b таких, что x1<x2 ,
выполняется неравенство f x1   f x2  .
Определение 15.3
Функции, только убывающие или только возрастающие на некотором
интервале называют монотонными.
Рисунок 15.1
Теорема 15.1
Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a, b) функция была
возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие
f x   0
x  a, b .
157
(15.1)
f x   0
x  a, b
(15.2)
необходимо и достаточно для того, чтобы дифференцируемая на (a, b)
функция была убывающей на (a, b) .
Доказательство:
Доказательство проведем для случая возрастающей функции.
Необходимость : Пусть x0- произвольная точка интервала Из
определения возрастающей функции следует, что
x  a, b  ; x  x0  f  x   f  x0  ,
x  a, b  ; x  x0  f  x   f  x0  .
Следовательно, если x  a, b  и x  x0 , то справедливо неравенство
f  x   f  x0 
0.
x  x0
(15.3)
Перейдем к пределу в неравенстве (3) при x  x0 :
lim
x  x0
f  x   f  x0 
 f  x0   0 .
x  x0
Таким образом, если f(x) возрастает на (a, b) то f x0   0 для любого
x0  a, b .
Достаточность : Пусть выполняется условие (15.1) и пусть x1 и x2 произвольные точки интервала (a, b) , причем x1<x2 . Применяя к функции
f(x) на отрезке [x1,x2] теорему Лагранжа, получаем:
f x2   f x1   f  x2  x1  ,
где f    0 , т.к.   a, b  . Тогда
x1 , x2  a, b : x2  x1  f x2   f x1  ,
то есть функция f(x) на интервале (a, b) является возрастающей.
158
Необходимые условия экстремума
Определение 15.4
Точки, в которых производная данной функции обращается в нуль,
называют стационарными точками этой функции, а точки, в которых
функция непрерывна,
а
ее производная либо равна нулю, либо не
существует, - ее критическими точками.
Замечание 15.1
Все точки экстремума функции содержатся среди ее критических
точек.
Замечание 15.2
Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Пример 15.1
Для функций y  x 2 , y  x 3 , y  x , y  3 x точка x= 0 является
критической. Экстремум же в точке x= 0 имеют только две из них y= x2 и
y x .
Рисунок 15.2
159
Первое достаточное условие экстремума
Теорема 15.2
Пусть f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 кроме,
быть может, самой точки x0 , и непрерывна в точке x0 . Тогда
а) если f x  при переходе через точку x0 меняет знак с минуса на
плюс, то есть существует такое   0 , что
x   x0   , x0   f  x   0 ,
x   x0 , x0     f  x   0 ,
(15.4)
то x0- точка минимума функции f(x);
б) если f x  при переходе через точку x0 меняет знак с плюса на
минус, то есть
x   x0   , x0   f  x   0 ,
x   x0 , x0     f  x   0 ,
(15.5)
то x0- точка максимума функции f(x).
Рисунок 15.3
Доказательство:
Докажем первую часть теоремы:
пусть f x  меняет знак с минуса на плюс, тогда выполняется условие
(15.4). Если x- произвольная точка интервала x0   , x0  , то функция f(x)
160
непрерывна на отрезке [x, x0] и дифференцируема на интервале (x, x0).Тогда
по теореме Лагранжа
f x   f x0   f  x  x0  ,
где f    0 , x  x0  0 , следовательно,
x  x0   , x0   f x   f x0 
(15.6)
Применяя теорему Лагранжа для отрезка [x0, x],
где x  x0 , x0     f x   f x0  , получим
f x   f x0   f  x  x0  ,
причем f    0 , x  x0  0 следовательно,
x  x0 , x0     f x   f x0  .
(15.7)
Из условий (15.6) и (15.7) следует, что точка x0 действительно
является точкой локального минимума.
Аналогично рассматривается случай локального максимума.
Замечание 15.3
Если производная функции при переходе через точку x0 меняет знак с
минуса на плюс, то слева от точки x0 функция убывает, а справа от точки x0 возрастает; сама точка x0 является точкой минимума функции.
Если же слева от точки x0 функция возрастает, а справа - убывает, то
точка x0 является точкой максимума.
Второе достаточное условие экстремума
Теорема 15.3
Пусть x0- стационарная точка функции f(x) , то есть f x0   0 , и пусть
существует f x0  .
Тогда:
161
а) если f x0   0 , то x0 - точка локального минимума функции f(x) ;
б) если f x0   0 , то x0 - точка локального максимума функции f(x).
Доказательство:
Если f x0   0 , то функция f x  является возрастающей в точке x0 ,
то есть существует такое   0 , что
x   x0   , x0   f  x   f  x0   0 ,
x   x0 , x0     f  x   f  x0   0 .
следовательно, в точке x0 производная f x  меняет знак с минуса на
плюс. Согласно предыдущей теореме точка x0 в этом случае является точкой
минимума функции. Аналогично рассматривается и случай, когда f x0   0 .
Замечание 15.4
Первое достаточное условие экстремума можно использовать как в
случае, когда в исследуемой точке производная обращается в нуль, так и в
случае, когда производная в этой точке не существует. Второе достаточное
условие
можно
использовать
только
в
тех
точках,
где
функция
дифференцируема, причем f x0   0 .
Пример 15.2
Рассмотрим функцию y= x2 . В точке x0 = 0, y  0 , y  2 ,
следовательно, в этой точке функция имеет минимум.
Если оказывается, что f x0   0 в стационарной точке, то функция
f(x) может в этой точке иметь экстремум  y  x 4 , x0  0 , а может и не иметь .
В этом случае требуются дополнительные исследования поведения функции.
162
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Введем понятия наибольшего и наименьшего значений функции.
Пусть существует точка x0  a, b , такая, что для всех x  a, b 
выполняется неравенство f x   f x0  , тогда говорят, что функция
f(x)
принимает в точке x0 наибольшее (максимальное) значение на отрезке (a, b) и
пишут
f  x0   max f  x  .
x a ,b 
Аналогично определяется понятие наименьшего значения функции на
отрезке: если x  a, b выполняется неравенство f x   f x0  , x0  a, b , то
f x0   min f x  .
x  a ,b 
0
В случае, когда непрерывная на отрезке [a, b] функция f(x) имеет
локальные максимумы в точках x1 , x2 ,..., xk и локальные минимумы в точках
~
x ,~
x ,..., ~
x , наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a, b] следует
1
2
k
искать среди чисел f(a), f(x1) , f(x2) ,..., f(xn) , f(b) , а наименьшее значение среди чисел f a  , f ~
x  , ... , f ~
x  , f b .
x  , f ~
1
2
k
На рис.15.4 наибольшие значения функции f(x) на отрезке [a, b]
обозначены через M , а наименьшие - через m .
Рисунок 15.4
163
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных
отрезках.
3.1. y  x 
2
16
 16,
x
3.2. y  4  x 
3.3. y 
3.4. y 
3
4
,
x2
1, 4.
1, 4.
2  x  2   8  x   1,
2
2  x 2  3
x2  2 x  5
3.5. y  2 x  x,
0, 6.
 3, 3.
,
0, 4.
3.6. y  1  3 2  x  1
2
 x  7  ,  1, 5.
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение критической точки функции.
2.
Дайте определение экстремума функции.
3.
Сформулируйте необходимое и достаточное условие
экстремума функции в точке.
4.
Дайте определение возрастающей функции.
5.
Дайте определение убывающей функции.
6.
Дайте определение локального максимума и минимума
функции.
164
Лекция 16
Выпуклость и вогнутость кривой
Определение 16.1
Рассмотрим непрерывную на отрезке [a, b] функцию y= f(x) . Если для
каждой пары точек x1 , x2  a, b , таких, что x1<x2 , выполняется условие
 x  x2  f  x1   f  x2 
,
f 1

2
 2 
(16.1)
то функция y= f(x) называется выпуклой вниз (вогнутой). Если же для
точек x1<x2 , принадлежащих отрезку [a, b] , выполняется условие
 x  x2  f  x1   f  x2 
,
f 1

2
2


(16.2)
то функция y= f(x) называется выпуклой вверх или просто выпуклой.
Геометрическая интерпретация понятия выпуклости функции:
Рисунок 16.1
Пусть M1 , M2 , M0 - точки графика функции y= f(x) с абсциссами x1<x2 ,
x0 
x1  x2
. Точка k - середина хорды M1M2 , поэтому ордината
2
точки k равна
 f x   f x  , а абсцисса x
1
2
0 ..
2
В соответствии с условием (16.2) точка M0 с абсциссой x0 и ординатой
 x  x2 
f  x0   f  1
 лежит выше точки k или совпадает с ней.
 2 
165
Для функции выпуклой вверх на отрезке [a, b] график функции лежит
ниже касательной к графику, проведенной в любой точке отрезка [a, b]
(см.рис.16.2). Если точки графика функции лежат выше касательной к
графику в любой точке отрезка [a, b] , то кривая оказывается выпуклой вниз.
Рисунок 16.2
Можно сказать, что введенные таким образом понятия выпуклости и
вогнутости графика функции удовлетворяют условиям (16.1) и (16.2), так как
по теореме Лагранжа между двумя любыми точками x1 и x2 найдется такая
точка  , в которой касательная к графику функции параллельна хорде
M1M2 , а точки графика на отрезке [x1, x2] заключены между касательной и
хордой. Поэтому если они лежат ниже касательной,
то
удовлетворяют
условию (16.2), если же они лежат выше касательной к графику функции,
то они удовлетворяют условию (16.1).
Достаточные условия выпуклости
Теорема 16.1
Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции y=
f(x) отрицательна, то кривая y= f(x) обращена выпуклостью вверх на этом
интервале;
если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x)
положительна, то кривая
y= f(x) обращена выпуклостью вниз на этом
интервале.
Доказательство:
166
Докажем первую часть теоремы:
Функцию y= f(x) считаем на отрезке [a, b] непрерывной и дважды
дифференцируемой в интервале (a, b) .
Рисунок 16.3
Возьмем внутри (a, b) точки x1<x2 .
Обозначим x0 
x1  x2
, x2  x1  h ,
2
тогда x2 – x0=h , x0 – x1=h .
Запишем формулу Лагранжа для функции y= f(x) на отрезках [x1 , x0] и
[x0 , x2]:
f x0   f x1   f 1 x0  x1   hf x1  , 1  x1 , x0 
f x2   f x0   f  2 x2  x0   hf  2  ,  2  x0 , x2 
(a)
(б)
Вычитая из соотношения (б) соотношение (а), получим
f x2   f x1   2 f x0   h f  2   f  2 
(в)
Рассмотрим отрезок 1 ,  2  , вложенный в отрезок [a, b]и запишем на
этом отрезке теорему Лагранжа для функции f x  :
f  2   f 1   f   2  1   2h  f  
так как  2  1  x2  x1  2h .
167
(16.3)
С учетом (16.3) можно соотношение (в) представить в виде
f x2   f x1   2 f x0   hf   2  1   2 f x0   2h 2 f   .
Поскольку
теоремы. Поэтому
  1 ,  2  , x1  1   2  x2 , то
f  x 2   f  x1 

2
f    0 по условию
 x  x2 
f 1
 , то есть выполняется условие
 2 
(16.2) и функция обращена выпуклостью вверх.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Точки перегиба. Условия наличия точек перегиба
Определение 16.2
Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется
точкой перегиба графика функции.
На рис.16.2 точкой перегиба является точка C .
Пусть точка x0 - точка перегиба графика функции. Тогда существует
такая  -окрестность точки
x0 , что в интервале
x  
0
, x0  функция
выпукла (вогнута), а в интервале x0 , x0    функция вогнута (выпукла).
Тогда слева от точки x0 график функции лежит ниже (выше) касательной, а
справа от точки x0 график функции лежит выше (ниже) касательной к
графику функции, проведенной в точке x0 . Поэтому касательная к графику
функции в точке перегиба,
если она существует, пересекает график
(см.рис.16.4).
Рисунок 16.4
168
Если точка x0 является точкой перегиба графика функции, то в этой
точке вторая производная либо равна нулю, либо не существует. Однако, не
всякая точка, в которой f x0   0 или f x0  не существует, является
точкой перегиба. Например, функция y= x4 в точке x0=0 имеет нулевую
вторую, однако на всей области определения выпукла вниз.
Для того чтобы точка x0 была точкой перегиба, необходимо
выполнение достаточного условия: если функция y= f(x) непрерывна в точке
x0 , имеет в этой точке конечную или бесконечную первую производную и
если функция f x  меняет знак при переходе через точку x0 то x0 - точка
перегиба данной функции.
Пример 16.1
Рассмотрим функции y= x3 и y  3 x
y  0 при x<0 - выпукла
y  0 при x>0 - выпукла
y  0 при x>0 - вогнута
y  0 при x<0 - вогнута
Для обеих функций вторая производная меняет знак при переходе
через точку x0=0 . Эта точка является для них точкой перегиба.
169
Асимптоты графика функции
Пусть переменная точка M(x, y) движется по графику функции y= f(x) .
Исследуем поведение графика функции в том случае, когда точка M
движется в бесконечность, то есть расстояние от этой точки до начала
координат неограниченно возрастает. При этом наиболее важным является
случай, когда кривая y= f(x) неограниченно приближается к некоторой
прямой.
Определение 16.3
Прямая называется асимптотой графика функции y= f(x) , если
расстояние от переменной точки M графика до этой прямой стремится к
нулю при удалении точки M в бесконечность (рис.16.5) от начала координат.
Рисунок 16.5
Различают вертикальные и наклонные асимптоты.
Определение 16.4
Вертикальной асимптотой графика функции y= f(x) является прямая
x= a , если выполняется одно из следующих равенств:
f x    , lim f x    .
lim f x    , xlim
a 
xa
x  a 
170
(16.4)
Следовательно, вертикальные асимптоты характеризуют поведение
функций вблизи точек разрыва II рода. Вертикальные асимптоты имеют
функции
y
1
x
x  0 ,

3
5
1 
a


y  tgx  x   , 
,
, ... , y 
x   
2
2
2
ax  b 
b


и др.
Пусть график функции
y= f(x) имеет наклонную асимптоту,
уравнение которой имеет вид y= kx + b
Рисунок 16.6
Определим числа k и b. В соответствии с определением асимптоты
расстояние от произвольной точки M(x, y) на кривой до асимптоты   0 ,
то есть
MP  0 ,
lim   0 ,   MP , xlim
 
x  
но из
наклонная
MPN
не
MP  MN  cos  , и поскольку cos  0 (асимптота
параллельна
оси
ординат),
то
и
MN  0 ,
lim
x0
но
MN  MQ  NQ  f  x   kx  b  , поэтому выполняется следующее равенство
 f x   kx  b  0
lim
x
171
(16.5)
Итак, прямая y= kx + b является наклонной асимптотой графика
функции y= f(x), если выполняется равенство (16.5).
В равенстве (16.5) вынесем x за скобки, тогда
b
 f x 
k  0
lim x 
x   
x
x
и поскольку x  
b
 f x 
k   0.
lim 
x   
x
x
Предполагая, что k и b - константы, из последнего соотношения
можно найти
k  lim
x  
тогда
b  lim
x  
f x 
x
(16.6)
 f x   kx .
(16.7)
Определение 16.5
Если существуют конечные пределы (16.6) и (16.7), то прямая y= kx +
b является асимптотой графика функции y= f(x) .
Пример 16.2
Докажем, что прямые x=0 и y= x+2 являются асимптотами графика
x2  2x  1
функции y 
.
x
Решение:
x2  2x 1
1

1) lim f  x   lim
 lim  x  2     ,
x 0 
x 0 
x 0 
x
x

вертикальная асимптота графика функции .
 x2  2x  1

 x  2 
2) lim  f  x   kx  b   lim 
x 
x 
x


172
прямая
x=
0
-
1


 1
 lim  x  2   x  2   lim     0 .
x  
x
 x   x 
Общая схема исследования функции и построения графиков
Общая схема исследования функций с помощью производных состоит
из следующих разделов:
I. Общая характеристика функции.
1.1. Область определения функции.
1.2. Поведение функции в окрестностях точек разрыва.
1.3. Точки пересечения графика с осями координат.
1.4. Симметрия графика.
1.5. Периодичность графика.
II. Интервалы монотонности и экстремумы функции.
2.1. Нахождение первой производной функции.
2.2. Определение критических точек.
2.3. Нахождение интервалов монотонности.
2.4. Определение экстремумов функции.
III. Интервалы выпуклости и вогнутости.
3.1. Вычисление второй производной функции.
3.2. Определение точек перегиба.
3.3. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости.
IV. Наклонные асимптоты графика функции.
V. Таблица результатов исследования
VI. График функции.
173
Пример 16.3
2
Исследуем функцию y  x и построим ее график.
1 x
1. Общая характеристика функции:
область определения x    , 1 1 ,   ;
точка x=1- точка разрыва функции;
x2
  ,
lim
x 1 1  x
x2
 
lim
x 1  1  x
Следовательно, прямая x= 1 - вертикальная асимптота графика функции.
2. Интервалы монотонности и экстремумы функции:
y 
2 x1  x    1x 2  2 x 2  2 x  x 2  x 2  2 x


.
1  x 2
1  x 2
1  x 2
критические точки: y= 0 при x= 0 , x= 2 , y не существует при x= 1
при    x  0
y  0 - функция убывает,
при 0  x  1 y  0
при 1  x  2 y  0
при 2  x  
- функция возрастает,
- функция возрастает,
y  0 - функция убывает.
y(0)= 0 - локальный минимум функции;
y(2)= -4 - локальный максимум функции;
3. Интервалы выпуклости и вогнутости:
y 
2
1  x 3
.
y  0 при 1  x   - кривая выпукла
y  0 при    x  1 - кривая вогнута.
174
4. Наклонные асимптоты кривой.
f x 
x2
 lim
 1 ;


x
x
x

1
x 
x 
 x2

x2  x  x2
b  lim  f  x   kx  lim 
 x   lim
 1 .
1

x
1

x
x 
x   
 x  
k  lim
Прямая y= - x - 1 - наклонная асимптота графика функции.
5. Результаты исследования:
x
f x 
f x 
x  
  , 0 
f x 
y= - x - 1
<0
<0
,
0
<0
0
min , y= 0
(0, 1)
<0
>0
,
 
1
(1, 2)
>0
>0
2
>0
0
2,  
>0
<0
x  
,
max , y= -4
,
y= - x - 1
6. График функции:
175
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Провести полное исследование функций и построить их графики.

1. y  x3  4



  x  1.
4. y  4 x  3  x  .
6. y   x  3x  3  x  1 .
2. y  x 2  x  1
x2 .

3. y  2 x 2  2 x .

2

5. y  12 x 9  x 2 .
2
2
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение выпуклости и вогнутости функции.
2.
Дайте определение точки перегиба.
3.
Сформулируйте необходимое и достаточное условие
существования точек перегиба.
4.
Приведите формулу для вычисления вертикальной
асимптоты.
5.
Приведите формулу для вычисления наклонной асимптоты.
6.
Приведите план исследования функции.
176
Глоссарий
К лекции 1
- комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных
чисел x, y  .
- z  x  iy - алгебраическая форма записи комплексного числа.
i – мнимая единица; i 2  1.
- число x называется действительной частью комплексного числа.
Обозначается: x = Re z.
- число y называется мнимой частью комплексного числа. Обозначается: y =
Im z.
- два комплексных числа z1  x1  y1 и z 2  x 2  y2 называются равными, если у
них равны действительные и мнимые части соответственно:
z1  z2 , если x1  x2 и y1  y2 .
- длина радиуса – вектора, изображающего комплексное число, называется
модулем комплексного числа и обозначается z . z  x 2  y 2 .
- величина угла между положительным направлением действительной оси и
радиус –вектором, изображающем комплексное число, называется
аргументом комплексного числа и обозначается Arg z.Arg z = arg z +2kπ,
k=0,±1,±2,…
- arg z =φ – главное значение аргумента, φ принадлежит интералу [-π,π].
y

arctg
,x0

x

y
  arg z  arctg   , x  0, y  0
x

arctg y   , x  0, y  0

x
- запись числа z в виде: z = r (cosφ + i sinφ) называется тригонометрической
формой комплексного числа.
- запись числа z в виде: z  re i называется показательной формой
комплексного числа.
- число z=x-iy называется сопряженным к числу z=x+iy.
- формулы Муавра:
177
z n  r n cos n  i sin n  .
n
  2k
  2k 

z  n r  cos
 i sin
,
n
n


k  0,1, ..., n  1
К лекции 2
- прямоугольную таблицу из чисел, содержащую произвольное число m
строк и n столбцов называют матрицей.
- если m=n, то матрицу называют квадратной.
- определителем (детерминантом) второго порядка называется число равное
a b
a1b2  a2b1 . Обозначение: det A  1 1  a1b2  a2b1 .
a2 b2
определителем
третьего
порядка
a1b2 c3  a3b1c2  a2b3c1  a3b2 c1 a 2 b1c3  a1b3 c2
-
определитель
(детерминант)
называется
квадратной
(обозначение   det aij   det A  aij )
где

 k1 ,k2 ,..., kn 
матрицы
число
равное:
A  aij  - число
означает, что суммирование производится по всем перестановкам
k1 , k2 ,..., kn чисел 1, 2, ..., n.
- квадратная матрица имеющая определитель, отличный от нуля (Δ ≠ 0)
называется невырожденной, в противном случае - матрица
называется
вырожденной или особой.
- определитель вида:
1
x1
x12  x1n 1
1
x2
x22  x2n 1
Wn     

    
1 xn xn2  xnn 1
называется определителем Вандермонда n-го порядка (или степенным
определителем).
178
- минором порядка k матрицы А называется определитель, составленный из
элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов данной
матрицы.
- минором элемента i строчки и k столбца матрицы А n-го порядка
называется определитель матрицы n  1 - го порядка полученной путем
вычеркивания из матрицы A i -ой строчки и k -го столбца. Обозначение: M ik .
- минор M ik взятый со знаком 1
i k
называется алгебраическим дополнением
этого элемента. Обозначение Aik . Aik   1 M ik
ik
- метод Крамера
 a1 x  b1 y  c1 z  d1

Пусть a2 x  b2 y  c2 z  d 2 система из трёх уравнений с тремя неизвестными.
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3
a1
b1
c1
Выпишем главный определитель системы:   a2
a3
b2
b3
c2 .
c3
И выпишем определители:
d1
b1
c1
 x  d2
d3
b2
b3
c2 ;
c3
a1
 y  a2
a3
d1
d2
d3
c1
c2 ;
c3
a1
b1
d1
 z  a2
a3
b2
b3
d2 .
d3
Справедливо следующее правило:
Если определитель системы   0 , то система имеет единственное
решение, находящееся по формулам Крамера: x 

x

; y  y ; z  z , или



совместна, или определена.
Если определитель системы   0 , а один из определителей  x  0 ,  y  0
или  z  0 , то система решений не имеет, она противоречива или
несовместна.
179
Если   0 , и все определители равны нулю, а хотя бы один из
коэффициентов при неизвестных не равен нулю, то система имеет
бесконечное множество решений или неопределена.
К лекции 3
- суммой двух матриц A  aik  и B  bik  одинаковой размерности
называется матрица C  cik  той же размерности, каждый элемент которой
определяется равенством cik  aik  bik , где i  1, m , k  1, n
С  A B
- чтобы умножить матрицу на число, нужно все элементы матрицы умножить
на это число, т.е. A  aik  ,   R   A    aik  , i  1, m , k  1, n
- произведением матрицы Amn на матрицу Bnk называется матрица Cmk ,
каждый элемент которой cmk , равен сумме произведений элементов i -ой
строки матрицы Amn на j -ый столбец матрицы Bnk :
Amn  Bnk  Cmk , т.е. Cmk  cmk  , где cmk   amj  b jk
n
j 1
- матрица E называется единичной матрицей, если для любой матрицы A
имеет место равенство A  E  E  A  A
Матрица A1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A ,
если выполняется A  A1  A1  A  E , где E -единичная матрица.
- матрица At называется транспонированной по отношению к матрице A ,
если соответствующие элементы в её строках равны соответствующим
элементам в столбцах A
- ранг матрицы А - наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от
нуля. Обозначения: r(A), R(A), Rang A.
Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу
этой матрицы называется базисным минором матрицы.
180
- преобразования матрицы, от которых ранг её не изменится называют
элементарными.
- две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них
получается
из
другой
с
помощью
элементарных
преобразований.
Записывается А ~ В.
- матрицу, у которой в начале по главной диагонали стоят подряд несколько
единиц, а все остальные элементы равны нулю называют канонической.
- пусть A  aij  - некоторая матрица. Если все элементы, стоящие ниже aii
равны нулю, то матрица называется матрицей треугольного вида.
К лекции 4
- системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система
вида:
где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn –
неизвестные.
- матрицей системы называется матрица, составленная из коэффициентов
при неизвестных:
181
- свободными членами называются числа, стоящие в правых частях
уравнений, b1,…,bm .
- совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если
каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него
чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.
- совместная линейная система называется определенной, если она имеет
единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного
решения.
- расширенной матрицей системы называется матрицу вида:
.
 a11

a
A1   21
...

a
 m1
a12
a 22
...
am2
a1n b1 

a 2 n b2 
... ... 

a mn bm 
...
...
...
...
- Теорема Кронекера-Капелли. (условие совместности системы)
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, если ранг
матрицы системы равен рангу расширенной матрицы
.
RangA = RangA*.
- решение системы матричным способом осуществляется по следующей
формуле:
-
элементарными
преобразованиями
системы
линейных
уравнений,
используемыми для приведения системы к треугольному виду, являются
следующие преобразования:
- перестановка местами двух уравнений;
- умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное
от нуля;
182
- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей
другого уравнения, умноженных на любое число.
-две системы называются эквивалентными, если всякое решение первой
системы является решением другой системы и наоборот.
-ненулевой
вектор
X,
удовлетворяющий
соотношению
f (X )    X
называется собственным вектором, а соответствующее число

-
собственным значением линейного оператора f .
- уравнение
A    E  0 называется характеристическим уравнением
матрицы А .
- выражение:
a11  
A  E 
a21
a12
...
a1n
a22   ...
a2 n
...
a n1
...
an 2
...
...
... ann  
представляет собой полином (многочлен) n-ой степени от  и называется
характеристическим полиномом матрицы А.
К лекции 5
- вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, для
которого указано какая точка, является началом и какая концом.
- длина или модуль вектора обозначается как | AB |, | a |.
- вектор, у которого начало совпадает с концом, называется нулевым.
- векторы, расположенные на прямой или параллельных прямых, называются
коллинеарными и обозначаются a
b.
- векторы, лежащие на параллельных плоскостях или на одной и той же
плоскости, называются компланарными.
183
- проекцией вектора M 1 M 2 на заданную ось l называется число равное длине
вектора
N 1N 2 ,
начало
и
конец
которого
являются
основаниями
перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора M 1 M 2 на ось l.
 

- система векторов с1 , с2 ,...,сn  называется линейно независимой, если



равенство 1с1  2с2  ...  ncn  0 возможно лишь в случае, когда
1  2  ...  n  0 . В противном случае система называется линейно
независимой.
- базисом на плоскости называется система из двух линейно независимых
векторов.
- базисом в пространстве называется система из трёх линейно независимых
векторов.

- ортом называется вектор единичной длины. Обычно орт обозначают e .
- единичные векторы (орты ) осей Ox, Oy, Oz обозначаются соответственно
через i, j , k причем i  j  k  1 .
- скалярным произведением двух векторов a
и b называется число,
(обозначаемое ( a b ) ) равное произведению длин векторов на косинус угла
между ними:
(a b)  a b cos  ,
где  - угол между векторами a и b .
К лекции 6
- векторным произведением вектора a на вектор b называется новый вектор
c , обозначаемый
 
символом c  a  b или c  a b
и определяемый следующими тремя условиями:
1) Модуль вектора c равен площади параллелограмма, построенного на
векторах a и b (после совмещения их начал), т.е.
184
c  a b  a b sin  ,
где  - угол между векторами a и b .
2). Вектор c перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма (т.е.
перпендикулярен обоим векторам a и b ).
3). Вектор c направлен в ту сторону от этой плоскости, что кратчайший
поворот от вектора a к вектору b вокруг вектора c (после смещения
начал всех трех векторов) кажется происходящим против часовой стрелки,
если смотреть из конца вектора c . Векторы
a , b , c образуют правую
тройку векторов.
- векторное произведение записывается в виде определителя 3-го порядка:
i j k
a b   ax a y az
bx by bz
где a x , a y , a z - координаты вектора a в прямоугольной системе координат
Oxyz (т.е. проекции вектора a на координатные оси Ox, Oy, Oz); bx , b y , bz
- координаты вектора b .
-смешанным
произведением
трех
векторов
a,
bи
c.
называется
произведение вида:
(a b  c ) ,
где первых два вектора перемножаются векторно, а их произведение
умножается скалярно на третий вектор .
-коротко смешанное произведение записывается в виде определителя
третьего порядка:
ax a y az
a b c  bx by bz
cx c y cz
185
- двойным векторным произведением трех векторов называется произведение
вида:
 a b  c 
К лекции 7
- уравнение вида ( n , M 0 M )=0. называется векторным уравнением прямой на
плоскости.
- уравнение вида Ax+By+C=0
называется общим уравнением прямой на
плоскости.
- уравнение вида y-y0=k( х-х0) называется уравнением прямой с угловым
коэффициентом, проходящей через данную точку.
- уравнение вида y=kх+b называется уравнением прямой с угловым
коэффициентом.
- k= tg  - угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между прямой
и положительным направлением оси ОХ.
- уравнение вида
x y
  1 называется уравнением прямой в отрезках.
a b
- уравнение вида
x  x0 y  y0

m
n
называется каноническим уравнением
прямой на плоскости.
-
уравнение
вида
x  x1
y  y1

x2  x1 y 2  y1
называется
уравнением
прямой
проходящей через две точки.
-
уравнение
вида
 x  x0  m t

 y  y0  n t
называется
параметрической форме.
186
уравнением
прямой
в
К лекции 8

- уравнение ( M 0 M , N )=0 называется векторным уравнением плоскости.
(8.2)
- уравнение A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 называется общим уравнением
плоскости, проходящей через точку М0(х0;у0;z0)
- уравнение Ax  By  Cz  D  0 называется общим уравнением плоскости.
- уравнение
-
x y z
   1 называется уравнением плоскости в отрезках.
a b c
уравнение
называется
нормальным уравнением плоскости.
К лекции 9
 A x  B1 y  C1 z  D1  0
- уравнение вида  1
называется общим уравнением
A
x

B
y

C
z

D

0
 2
2
2
2
прямой в пространстве.
-
уравнение
вида
x  x o y  yo z  zo


m
n
p
называется
каноническом
уравнением прямой в пространстве.
 x  mt  xo
- уравнение вида  y  nt  yo
 z  pt  z
o

называется параметрическим уравнением
прямой линии в пространстве.
- уравнение вида
x  x1
y  y1 z  z 1


называется уравнением прямой,
x2  x1 y2  y1 z 2  z1
проходящей через две точки.
187
К лекции 10
- эллипсом называется геометрическое место точек плоскости сумма
расстояний которых до двух точек называемых фокусами есть величина
постоянная, равная 2а.
( x  x 0 ) 2 ( y  y0 ) 2

 1- каноническое уравнение эллипса.
a2
b2
- гиперболой называется геометрическое место точек разность расстояний, от
которых до двух точек называемых фокусами, есть величина постоянная.
Уравнение
-
x2 y 2
  1 называется каноническим уравнением гиперболы
a 2 b2
параболой
называется
геометрическое
место
точек
плоскости
равноудаленных от некоторой фиксированной точки называемой фокусом и
некоторой прямой называемой директрисой.
Уравнение y2=2px называется уравнением параболы.
- сфера:
x2 y 2 z 2
  1
a2 a2 a2
- эллипсои
x2 y2 z 2

 1
a2 a2 c2
- однополостный гиперболоид
- двуполостный гиперболоид
- конус
x2 y 2 z 2
  1
a 2 b2 c2
x2 y 2 z 2

  1.
a 2 b2 c2
x2 y2 z 2

 0
a2 b2 c2
2
2
- эллиптический параболоид z  x  y
2p
- гиперболический параболоид z 
2q
x2 y2

a 2 b2
188
- гиперболический цилиндр.
x2 y 2
 1
a 2 b2
2
- параболический цилиндр. z  x
2p
К лекции 11
- если каждому числу n из натуральных чисел 1,2,3,..., n поставить в
соответствие
вещественное
число
xn ,
то
полученное
множество
вещественных чисел x1 , x2 ,..., xn называют числовой последовательностью.
Обозначение: xn .
- последовательность xn  называется ограниченной сверху, если существует
число М такое . что любой элемент xn удовлетворяет неравенству: xn  M .
- последовательность xn  называется ограниченной снизу, если существует
число m такое . что любой элемент xn удовлетворяет неравенству: xn  m .
- последовательность xn  называется ограниченной, если она ограничена и
сверху, и снизу, т.е. существуют числа М и m такие . что для любого
элемента xn выполняются неравенства: xn  M и xn  m , и существует число
A  maxm, M  такое , что для любого xn выполняется неравенство xn  A .
- последовательность xn  называется неограниченной, если для любого числа
A  0 найдётся xn , для которого будет выполняться неравенство: x n  A .
- последовательность xn  называется бесконечно большой, если для любого
числа A  0 существует число N такое, что для любого номера n>N
выполняется неравенство xn  A .
189
-последовательность  n  называется бесконечно малой, если для любого
числа   0 существует число N такое, что для любого номера n>N
выполняется неравенство  n   .
- число а называется пределом последовательности xn , если для любого
  0 существует число N такое, что для любого номера n>N выполняется
неравенство.
Запишем данное определение на языке «   »:   0 N : n  N : xn  a   .
xn  a ;
Обозначение: lim
n 
xn  a, n   .
- последовательность {xn } называется возрастающей (неубывающей), если
nN xn1  xn .
- последовательность {xn } называется убывающей (невозрастающей), если
nN xn1  xn .
-
возрастающую
или
убывающую
последовательность
называют
монотонной.
- если последовательность {xn }
является возрастающей и ограниченной
сверху, то существует lim
xn  supxn .
n 
- если последовательность является убывающей и ограниченной снизу, то
существует lim
xn  inf xn .
n 
- определение предела по Коши
Число A называют пределом функции y=f(x) в точке a , если эта функция
определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может,
самой точки a, и для каждого >0 найдется такое >0, что для всех x,
удовлетворяющих
условию
0  x  a  ,
f x   A   .
На языке «   »:
190
выполняется
неравенство
lim f x   A, если   0   0 : x : 0  x  a    f x   A   .
x a
- определение предела по Гейне
Число А называется пределом функции y=f(x) в точке a, если для любой
последовательности
x ,
n
сходящейся к точке
a, последовательность
соответствующих значений функции  f xn  сходится к А.
К лекции 12
- первым замечательным пределом называют предел функции y 
sin x
при
x
x 0.
lim
x0
- функция вида y  x   u  x 
функцией.
vx 
sin x
 1.
x
, ux   0 называется показательно-степенной
- предел показательно-степенной функции lim (1  x)1 / x называется вторым
x 0
замечательным пределом: lim (1  1x ) x  e
x 
- бесконечно малые   x  и   x  называются бесконечно малыми одного
 x 
порядка, если lim
 const .
x a
 x 
- бесконечно малые   x  и   x  называются эквивалентными, если
 x 
lim
 1.
xa
 x 
- бесконечно малая   x  является бесконечно малой более высокого порядка,
 x 
чем   x  , если lim

xa
 x 
- бесконечно малая   x  является бесконечно малой более низкого порядка,
 x 
чем   x  , если lim
0
xa
 x 
191
- число A1 называют пределом слева функции f(x) в точке a, если
  0   0 : x  a  b, a   f  x   A1   и записывают lim f  x   A1 .
xa 0
- число A2 называют пределом справа функции f(x) в точке a, если
  0   0 : x  a, a  b   f  x   A2   , и пишут lim f  x   A2 .
x a  0
- функции f(x), непрерывна в точке x0 , если
- пусть x0 - точка разрыва функции f(x), тогда имеют место следующие типы
разрывов:
1. Устранимый разрыв первого рода: если f(x0 - x) = f(x0 + x) ≠ f(x0) либо f(x0 0) = f(x0 + 0) , а f(x0) не существует.
2. Неустранимый разрыв первого рода: если f(x0 - 0) ≠ f(x0 + 0).
3. Разрыв второго рода: если хотя бы один из пределов f(x0 - 0) или f(x0 + 0)
не существует или бесконечен.
К лекции 13
- если существует предел отношения
f x  x   f x 
x
при
x  0 , то он
называется производной функции f(x) в точке x и обозначается:
y ' x   lim
x 0
f x  x   f x 
.
x
- пусть функция y= f(x) имеет производную во всех точках интервала (a, b).
Если функция
y  f x  дифференцируема в точке x0  a, b , то ее
192
производную называют второй производной или производной второго
порядка от функции
y= f(x) в точке x0 и обозначают
f x0  , f  2  x0  ,
f x0   lim
x 0
-
пусть
функция
y=
f(x)
d 2 f x0 
, f xx x0  .
dx2
f  x0 x   f x0 
.
x
имеет
на
интервале
(a,b)
производные
f x , f x ,..., f n1 x  . Если в точке x  a, b существует производная
функции f n1  x  , то ее называют производной n-ого порядка или n-ой
производной функции f(x) и обозначают f(n) (x):

f  n   x    f  n1  x  ,
f
n 
f  n1  x  x   f  n1  x 
x   lim
.
x 0
x
К лекции 14
- произведение f ' (x) Δx
называют
функции
обозначают dy или df(x), т.е.
y=f(x)
и
дифференциалом
Так как производная функции y = x равна единице, то дифференциал этой
функции равен приращению аргумента, т.е. dx = Δx. Таким образом, формулу
можно записать следующим образом:
- введем понятие дифференциала второго порядка. Известно, что первый
дифференциал функции
dy  f x dx при фиксированном dx является
функцией только x. Тогда можно найти дифференциал этой функции,
который называют вторым дифференциалом:
2
d 2 y  d dy  d  f x dx  f x dxdx  f x dx2 ,где dx 2  dx  .
Аналогично определяется и дифференциал n-ого порядка:
193
d n y  f n  x dxn .
- предполагая, что приращение независимой переменной при вычислении
первого и всех последующих дифференциалов выбирается одним и тем же,
легко доказать методом индукции, что


d n y  d n1 y  dx   f n1 x dx n1  dx  f n x dx n .
К лекции 15
- функцию f(x) называют возрастающей (неубывающей) на интервале (a, b) ,
если для любых точек x1  a, b , x2  a, b таких, что x1<x2 , выполняется
неравенство f x1   f x2  .
- функцию f(x) называют убывающей (невозрастающей) на интервале (a, b) ,
если для любых точек x1  a, b , x2  a, b таких, что x1<x2 , выполняется
неравенство f x1   f x2  .
- функции, только убывающие или только возрастающие на некотором
интервале называют монотонными.
- точки, в
которых производная данной функции обращается в нуль,
называют стационарными точками этой функции, а точки, в которых
функция непрерывна,
а
ее производная либо равна нулю, либо не
существует, - ее критическими точками.
К лекции 16
- рассмотрим непрерывную на отрезке [a, b] функцию y= f(x) . Если для
каждой пары точек x1 , x2  a, b , таких, что x1<x2 , выполняется условие
 x  x 2  f  x1   f  x2  ,
f 1

2
 2 
то функция y= f(x) называется выпуклой вниз (вогнутой). Если же для точек
x1<x2 , принадлежащих отрезку [a, b] , выполняется условие
194
 x  x 2  f  x1   f  x2  ,
f 1

2
 2 
то функция y= f(x) называется выпуклой вверх или просто выпуклой.
- точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой
перегиба графика функции.
- прямая называется асимптотой графика функции y= f(x) , если расстояние
от переменной точки M графика до этой прямой стремится к нулю при
удалении точки M в бесконечность от начала координат.
- вертикальной асимптотой графика функции y= f(x) является прямая x= a ,
если выполняется одно из следующих равенств:
f x    , lim f x    .
lim f x    , xlim
a 
xa
x  a 
- прямая y= kx + b является наклонной асимптотой графика функции y= f(x),
если существуют пределы: k  lim
x  
f x 
и b  lim  f  x   kx .
x
x  
195
Литература
1. Шипачев, В.С. Высшая математика [текст]/В.С. Шипачев - М., 2006.
2. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа
[текст]/Г.Н. Берман - М. Профессия, 2001
3. Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии [текст]/Д.В.
Клетеник - М., Профессия. 2001
4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. [текст]
Часть 1, 2 / П.Е. Данко П.Е., А.Г. Попов,Т.Я. Кожевникова - М.,
Высшая школа, 1999
5. Блатов, И.А. Алгебра и геометрия. [текст] Конспект лекций /И.А.
Блатов, О.В. Старожилова– Самара, ПГУТИ, 2010
6. Кузнецов, Л.А. Сборник задач по высшей математике [текст]/Л.А.
Кузнецов - М.,1983
196
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
15
Размер файла
3 214 Кб
Теги
matematiki, tsh1, alasheeva
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа