close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Alasheeva Matematika Tsh2 utchebnoe posobie

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ»
Кафедра высшей математики
Е.А. Алашеева
МАТЕМАТИКА
Часть 2
Учебное пособие
Самара
2017
1
УДК 519.2
Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ,
протокол № 17, от 20.01.2017 г.
Рецензент:
Зав каф.ЭиА ПГУТИ ,
д.ф.-м.н, доцент, Клюев Д.С.
Алашеева, Е. А.
А
Математика: учебное пособие / Е. А. Алашеева. – Самара: ПГУТИ,
2017. –166 с.
Учебное пособие «Математика. Часть 2» содержит такие разделы
математики, как функции многих переменных, интегрирование,
дифференциальные уравнения, ряды, разработано в соответствии с ФГОС ВО
по направлению подготовки 09.03.02 «Информационные системы и
технологии» и предназначено для студентов 1 курса факультета ИСТ для
самостоятельной подготовки.
ISBN
©, Алашеева Е.А., 2017
2
Содержание
Функции многих переменных ................................................................................ 7
Определение функции многих переменных...................................................... 7
Функции двух переменных ................................................................................. 7
Предел функции ................................................................................................... 8
Геометрическая интерпретация предела и свойства функции двух
переменных ........................................................................................................... 9
Непрерывность функции двух переменных ...................................................... 9
Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области ....... 10
Частные производные первого порядка и их геометрический смысл .......... 11
Геометрический смысл частных производных функции двух переменных 13
Частные производные высших порядков ........................................................ 13
Дифференцируемость и полный дифференциал функции ............................ 14
Дифференциалы высших порядков.................................................................. 15
Производная сложной функции. Полная производная .................................. 16
Инвариантность формы полного дифференциала .......................................... 17
Дифференцирование неявной функции ........................................................... 18
Касательная плоскость и нормаль к поверхности .......................................... 19
Экстремум функции двух переменных............................................................ 21
Необходимые и достаточные условия экстремума ........................................ 22
Задачи для самостоятельного решения............................................................ 23
Контрольные вопросы ....................................................................................... 24
Неопределенный интеграл ................................................................................... 26
Первообразная, понятие неопределенного интеграла.................................... 26
Свойства неопределенного интеграла ............................................................. 28
Простейшие приемы интегрирования. Таблица интегралов ......................... 29
Метод замены переменной................................................................................ 31
Метод интегрирования по частям .................................................................... 33
Интегрирование рациональных функций. Понятие о рациональных
функциях ............................................................................................................. 35
Дробно-рациональная функция ........................................................................ 37
Интегрирование простейших рациональных дробей ..................................... 38
3
Интегрирование рациональных дробей ........................................................... 41
Интегрирование иррациональных выражений ............................................... 43
Интегрирование тригонометрических функций ............................................. 45
Тригонометрическая подстановка при интегрировании иррациональных
функций ............................................................................................................... 47
Задачи для самостоятельного решения............................................................ 48
Контрольные вопросы ....................................................................................... 49
Определенный интеграл ....................................................................................... 50
Определенный интеграл как предел интегральной суммы ........................... 50
Геометрический и физический смысл определенного интеграла ................. 52
Основные свойства определенного интеграла ................................................ 54
Формула Ньютона – Лейбница ......................................................................... 55
Интегрирование подстановкой (заменой переменной) .................................. 55
Интегрирование по частям ................................................................................ 56
Об интегралах, не выражающихся через элементарные функции ............... 57
Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах, в
полярных координатах ...................................................................................... 57
Вычисление длины дуги кривой....................................................................... 62
Вычисление площадей поверхностей тел вращения ...................................... 64
Вычисление объемов тел ................................................................................... 65
Несобственные интегралы ................................................................................ 67
Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный
интеграл I рода) .................................................................................................. 67
Признаки сходимости неопределённого интеграла первого рода ................ 68
Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода) ........... 69
Признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода........... 70
Задачи для самостоятельного решения............................................................ 70
Контрольные вопросы ....................................................................................... 72
Дифференциальные уравнения ............................................................................ 73
Дифференциальные уравнения первого порядка ........................................... 73
Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные
относительно производной ............................................................................... 74
4
Метод изоклин .................................................................................................... 75
Уравнения с разделяющимися переменными ................................................. 77
Уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными . 79
Однородные уравнения ..................................................................................... 80
Уравнение, приводящееся к однородному ...................................................... 83
Уравнения в полных дифференциалах ............................................................ 84
Линейные уравнения ......................................................................................... 86
Метод вариации постоянной............................................................................. 87
Уравнение Бернулли .......................................................................................... 90
Метод Бернулли ................................................................................................. 91
Общие сведения о дифференциальных уравнениях высших порядков ....... 93
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение
порядка ................................................................................................................ 95
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков ....................... 99
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами .............................. 100
Метод вариации постоянных нахождения частного решения неоднородного
линейного дифференциального уравнения ................................................... 103
Метод подбора частного решения по виду правой части ............................ 106
Задачи для самостоятельного решения.......................................................... 111
Контрольные вопросы ..................................................................................... 113
Операционное исчисление ................................................................................. 115
Оригинал и изображение. Основные теоремы нахождения оригинала и
изображения...................................................................................................... 115
Основные свойства преобразования Лапласа ............................................... 118
Основные свойства преобразования Лапласа ............................................... 122
Формула обращения. Теоремы разложения .................................................. 130
Приложение операционного исчисления к решению линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем
линейных дифференциальных уравнений ..................................................... 134
Решение линейных систем операционным методом.................................... 138
Задачи для самостоятельного решения.......................................................... 141
Контрольные вопросы ..................................................................................... 141
5
Ряды ...................................................................................................................... 142
Числовые ряды. ................................................................................................ 142
Ряды с положительными членами. ................................................................. 145
Знакопеременные ряды. .................................................................................. 149
Функциональные ряды .................................................................................... 151
Задачи для самостоятельного решения.......................................................... 153
Контрольные вопросы ..................................................................................... 154
Глоссарий ............................................................................................................. 155
Литература ........................................................................................................... 166
6
Функции многих переменных
Определение функции многих переменных
Определение 1.1
Если каждой совокупности значений переменных
x , x ,..., x 
1
2
n
из
некоторого множества D этих совокупностей соответствует своё единственное
значение переменной z, то говорят, что на множестве D задана функция "n"
переменных z  f x1 , x2 ,..., xn  .
Функции двух переменных
Определение 1.2
Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х; у).
Соответствие f, которое каждой паре чисел (х; у)
несколько чисел z


D сопоставляет одно или
R, называется функцией двух переменных, определенной
на множестве D со значениями в R, и записывается в виде z = f(x; y). При этом
х и у называются независимыми переменными (аргументами), а z – зависимой
переменной (функцией).
Множество D = D(f) называется областью определения функции.
Пример 1.1
Примером функции двух переменных может служить площадь S
прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S = ху. Областью
определения этой функции является множество {(x; y) | x › 0, y › 0}.
Определение 1.3
Функцию z = f(x; y), где (х; у)  D можно понимать (рассматривать) как
функцию точки М (х; у) координатной плоскости Оху. В частности, областью
определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная
некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей
области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними.
Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой.
7
Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой,
обозначается: D . Примером замкнутой области является круг с окружностью.
Определение 1.4
Значение функции z = f(x; y) в точке М (х0; у0) обозначают z0 = f(x0; y0)
или z0 = f(M0) и называют частным значением функции.
Геометрическая интерпретация функции двух переменных
Функция двух независимых переменных допускает геометрическое
истолкование. Каждой точке М (х0; у0) области D в системе координат Oxyz
соответствует точка M(x0; y0; z0), где z0 = f (x0; y0) – аппликата точки М.
Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность,
которая и будет геометрически изображать данную функцию z = f(x; y).
Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может
быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графически.
Предел функции
Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие
предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной
переменной.
Определение 1.5
Множество всех точек М (х; у) плоскости, координаты которых
удовлетворяют
неравенству
( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2   ,
называется
δ-
окрестностью точки М0 (х0; у0). Другими словами, δ-окрестность точки М0 –
это все внутренние точки круга с центром М0 и радиусом δ.
Определение 1.6
Пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой окрестности точки
М0 (х0; у0), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом
функции z = f(x; y) при х → х0 и у → у0, если для любого ε > 0 существует
8
такое δ > 0, что для всех х ≠ х0 и у ≠ у0 и удовлетворяющих неравенству
( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  
выполняется неравенство | f (x; y) – A| < ε.
Записывают: A  lim f ( x; y ) или A  lim f ( M ) .
x x
M M
0
0
y  y0
Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит
от пути, по которому М стремится к М0.
Геометрическая интерпретация предела и свойства функции двух
переменных
Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в
следующем: каково бы ни было число ε > 0, найдется δ-окрестность точки
М0 (х0; у0) такая, что во всех ее точках М (х; у), отличных от М0, аппликаты
соответствующих точек поверхности z = f(x; y) отличаются от числа А по
модулю меньше, чем на ε.
Предел
функции
двух
переменных
обладает
свойствами,
аналогичными свойствам предела функции одной переменной. Это означает,
что справедливы утверждения: если функции f(M) и g(M) определены на
множестве D и имеют в точке М0 этого множества пределы А и В, то и функции
f(M)  g(M), f(M)∙g(M),
f (M )
, g ( M )  0 , имеют в точке М0 пределы, которые
g (M )
соответственно равны А  В, А ∙ В,
А
, А  0.
В
Непрерывность функции двух переменных
Определение 1.7
Функция z = f(x; y) называется непрерывной в точке М0 (х0; у0), если
она:
1) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,
2) имеет предел lim f ( M ) ,
M M 0
9
3) этот предел равен значению функции z в точке М0, т.е.
f ( x; y )  f ( x0 ; y 0 ) .
lim f ( M )  f ( M 0 ) или lim
x x
M M 0
0
y  y0
Определение 1.8
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется
непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не
выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке),
называются точками разрыва этой функции.
Замечание 1.1
Точки разрыва функции z = f(x; y) могут образовывать целые линии
разрыва.
Пример 1.2
Функция z 
2
имеет линию разрыва у = х.
yx
Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение
непрерывности функции z = f(x; y) в точке. Обозначим Δх = х – х0, Δу = у – у0,
Δz = f(x; y) – f(x0; y0). Величины Δх и Δу называются приращениями аргументов
х и у, а Δz – полным приращением функции f(x; y) в точке
М0 (х0; у0).
Определение 1.9
Функция z = f(x; y) называется непрерывной в точке М0 (х0; у0)  D, если
выполняется равенство lim
z  0 , т.е. полное приращение функции в этой
x  0
y  0
точке стремится к нулю.
Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области
Определение 1.10
Областью называется множество точек плоскости, обладающих
свойствами открытости и связности.
10
Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с
некоторой окрестностью этой точки.
Свойство связности: любые две точки области можно соединить
непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.
Определение 1.11
Точка N0 называется граничной точкой области D, если она не
принадлежит D, но в любой окрестности ее лежат точки этой области.
Совокупность граничных точек области D называется границей D. Область D
с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью,
обозначается D . Область называется ограниченной, если все ее точки
принадлежат некоторому кругу радиуса R. В противном случае область
называется неограниченной.
Теорема 1.1
Если функция z = f(N) непрерывна в ограниченной замкнутой области,
то она в этой области:
а) ограничена, т.е. существует такое число R > 0, что для всех точек N
в этой области выполняется неравенство |f(N)| < R;
б) имеет точки, в которых принимает наименьшее m и наибольшее М
значения;
в) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение,
заключенное между m и М.
Частные производные первого порядка и их геометрический смысл
Пусть задана функция z = f(x; y). Так как х и у – независимые
переменные, то одна их них может изменяться, а другая сохранять свое
значение. Дадим независимой переменной х приращение Δх, сохраняя
значение у неизменным.
11
Тогда
z
получит
приращение,
которое
называется
частным
приращением z по х и обозначается Δхz. Итак, Δхz = f(x + Δx; y) – f(x; y).
Аналогично получаем частное приращение z по у: Δyz = f(x; y + Δy) – f(x; y).
Определение 1.12
Полное приращение Δz функции z определяется равенством
Δz = f(x + Δx; y + Δy) – f(x; y).
Определение 1.13
Если существует предел lim
x  0
xz
f ( x  x; y )  f ( x; y )
 lim
,то он
 y z x 0
x
называется частной производной функции z = f(x; y) в точке М(х; у) по
переменной х и обозначается одним из символов: z ' x ,
дz
дf
, f ' x , . Частные
дx
дx
производные по х в точке М0 (х0; у0) обычно обозначают символами f’x(x0; y0),
f ' x |M 0 .
Замечание 1.2
Аналогично определяется и обозначается частная производная от
z = f(x; y) по переменной у: z ' y  lim
y 0
yz
y
 lim
y  0
f ( x; y  y )  f ( x; y )
.
y
Таким образом, частная производная функции нескольких переменных
определяется как производная функции одной из этих переменных при
условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому
частные производные функции
вычисления
производных
f(x; y) находят по формулам и правилам
функции
одной
переменной
соответственно х или у считается постоянной величиной).
12
(при
этом
Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
Графиком функции z = f(x; y) является некоторая поверхность. График
функции z = f(x; y0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью
у = у0. Исходя из геометрического смысла производной функции одной
переменной, заключаем, что f’x(x0; y0) = tg α, где α – угол между осью Ох и
касательной, проведенной к кривой z = f(x; y0) в точке M0(x0; y0; f(x0; y0)) (рис.
1.1).
Аналогично, f’y(x0; y0) – tg β.
Рисунок 1.1
Частные производные высших порядков
Частные производные
дf ( x; y )
дx
и
дf ( x; y )
дy
называют частными
производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от
(х; у)
 D.
Эти функции могут иметь частные производные, которые
называются частными производными второго порядка. Они определяются и
обозначаются следующим образом:
13
д  дz  д 2 z
 z ' ' xx  f ' ' x 2 ( x; y )
 
дx  дx  дx 2
д  дz  д 2 z
 
 z ' ' xy  f ' ' xy ( x; y )
дx  дy  дyдx
д  дz  д 2 z
 z ' ' yx  f ' ' yx ( x; y )
 
дy  дx  дxдy
д  дz  д 2 z
 
 z ' ' yy  f ' ' y 2 ( x; y )
дy  дy  дy 2
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д.
порядков.
Определение 1.14
Частная производная второго или более высокого порядка, называется
смешанной частной производной. Таковыми являются, например, z ' ' xy , z ' ' ' xyx .
Теорема 1.2 (Шварца)
Если частные производные высшего порядка непрерывны, то
смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком
дифференцирования, равны между собой. В частности, для z = f(x; y) имеем:
д2 z
д2 z
.

дxдy дyдx
Дифференцируемость и полный дифференциал функции
Пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой окрестности точки
М (х; у). Составим полное приращение функции в точке М:
Δz = f(x + Δx; y + +Δy) – f(x; y).
Определение 1.15
Функция z = f(x; y) называется дифференцируемой в точке М (х; у), если
ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
14
Δz = A Δx + B Δy + α Δx + β Δy,
(1.1)
где α = α(Δх; Δу) → 0 и β = β(Δх; Δу) → 0 при Δх → 0 , Δу → 0.
Сумма первых двух слагаемых в равенстве (2.1) представляет собой
главную часть приращения функции.
Определение 1.16
Главная часть приращения функции z = f(x; y), линейная относительно
Δх и Δу, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается
символом
dz = A Δx + B Δy
(1.2)
Выражения A Δx и B Δy называются частными дифференциалами. Для
независимых переменных х и у полагают Δх = dx и Δу = dy. Поэтому равенство
(2.2) можно переписать в виде dz = A dx + B dy.
Теорема 1.3 (необходимое условие дифференцируемости функции)
Если функция z = f(x; y) дифференцируема в точке М (х; у), то она
непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные
дz
дz
и
, причем
дx дy
дz
дz
= А,
= В.
дy
дx
Теорема 1.4 (достаточное условие дифференцируемости функции)
Если функция z = f(x; y) имеет непрерывные производные z’x и z’y в
точке М (х; у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный
дифференциал выражается формулой dz 
дz
дz
dx  dy .
дx
дy
Дифференциалы высших порядков
Пусть функция z = f(x; y) имеет непрерывные частные производные
второго порядка.
Дифференциал второго порядка определяется по формуле d2z = d(dz).
15
Найдем его:
/
/
 дz
 дz
дz   дz
дz 
дz 
d z  d  dx  dy    dx  dy  dx   dx  dy  dy
дy   дx
дy  x
дy  y
 дx
 дx
2
 д2 z

 д2 z
д2 z
д2 z 
  2 dx 
dy dx  
dx  2 dy dy
дyдx 
дy
 дx
 дxдy

Отсюда:
д2 z 2
д2 z
д2 z 2
d z  2 dx  2
dxdy 
dy .
дx
дxдy
дy
2
Символически
это
2
д
д 
записывается так: d z   dx  dy  z .
дy 
 дx
2
Аналогично можно получить формулы и для дифференциалов более
высоких порядков.
Отметим, что полученная формула справедлива лишь в случае, когда
переменные х и у функции z = f(x; y) являются независимыми переменными.
Производная сложной функции. Полная производная
Пусть z = f(x; y) – функция двух переменных х и у, каждая из которых
является функцией независимой переменной t: x = x(t), y = y(t). В этом случае
функция z = f(x(t); y(t)) является сложной функцией одной независимой
переменной t; переменные х и у – промежуточные переменные.
Теорема 1.6
Если z = f(x; y) – дифференцируемая в точке М (х; у)  D функция и x =
x(t), y = y(t) – дифференцируемые функции независимой переменной t, то
производная сложной функции z = f(x(t); y(t)) вычисляется по формуле
dz дz dx дz dy

  
dt дx dt дy dt
16
(1.3)
Замечание 1.3
Частный случай: z = f(x; y), где у = у (х), т. е z = f(x; y(х)) – сложная
функция одной независимой переменной х, причем роль t играет х. Согласно
формуле (1.1) имеем:
dz дz дz dy

 
dx дx дy dx
(1.4)
Формула (1.4) носит название формулы полной производной.
Замечание 1.4
Общий случай: z = f(x; y), где х = х(u; v), y = y(u; v).
Тогда z = f(x(u; v); y(u; v)) – сложная функция независимых переменных
u и v. Ее частные производные
следующим
образом.
соответствующими
дz дz
и
можно найти, используя формулу (1.3)
дu дv
Зафиксировав
частными
v,
заменяя
в
производными
dz dx dy
, ,
dt dt dt
ней
дz дx дy
, , :
дu дu дu
дz дz дx дz дy
дz дz дx дz дy


  . Аналогично получаем:
    .
дu дx дu дy дu
дv дx дv дy дv
Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой
независимой переменной (u и v) равна сумме произведений частных
производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (х и у) на
их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).
Инвариантность формы полного дифференциала
Используя правило дифференцирования сложной функции, можно
показать, что дифференциал обладает свойством инвариантности: полный
дифференциал функции z = f(x; y) сохраняет один и тот же вид независимо от
17
того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями
независимых переменных.
Пусть z = f(x; y), где x и y – независимые переменные. Тогда полный
дифференциал (первого порядка) функции имеет вид dz 
дz
дz
dx  dy .
дx
дy
Рассмотрим сложную функцию z = f(x; y), где x = x(u; v), y = y(u; v), т.е.
функцию z = f(x(u; v; y(u; v)) = F(u; v), где u и v – независимые переменные.
Тогда имеем:
dz 
 дz дx дz дy 
 дz дx дz дy 
дF
дF
дz
дz
du  
dv 
du 
dv  du  dv  


дu
дv
дu
дv
 дx дu дy дu 
 дx дv дy дv 

дz  дx
дx  дz  дy
дy 
 du  dv    du  dv 
дx  дu
дv  дy  дu
дv 
Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx
и dy
dz 
функций x = x(u; v), y = y(u; v). Следовательно, и в этом случае
дz
дz
dx  dy .
дx
дy
Дифференцирование неявной функции
Определение 1.17
Функция z = f(x; y) называется неявной, если она задается уравнением
F (x; y; z) = 0
(1.5)
неразрешенным относительно z.
Найдем частные производные
дz
дz
и
неявной функции z, заданной
дy
дx
уравнением (1.5). Для этого, подставив в уравнение вместо z функцию f(x; y),
получим тождество
F (x; y; f(x; y))≡ 0. Частные производные по x и по y
функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:
18
д
дF дF дz
F ( x; y; f ( x; y )) 

 0 (y – считаем постоянной),
дx
дx дz дx
д
дF дF дz
F ( x; y; f ( x; y )) 

 0 (x – считаем постоянной),
дy
дy дz дy
откуда
F'y
дz
F'
дz

, (F/z ≠ 0).
 x и
дy
F 'z
дx
F 'z
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Рассмотрим
одно
из
геометрических
приложений
частных
производных функции двух переменных. Пусть функция z = f(x; y)
дифференцируема в точке (x0; y0) некоторой области D. Рассечем поверхность
S, изображающую функцию z, плоскостями x = x0 и y = y0. Плоскость x = x0
пересекает поверхность S по некоторой линии z0(y), уравнение которой
получается подстановкой в выражение исходной функции z = f(x; y) вместо x
числа x0. Точка M0(x0; y0;f(x0; y0)) принадлежит кривой z0(y). В силу
дифференцируемости функции z в точке M0 функция z0(y) также является
дифференцируемой в точке y = y0. Следовательно, в этой точке в плоскости x
= x0 к кривой z0(y) может быть проведена касательная l1.
Проводя аналогичные рассуждения для сечения y = y0, построим
касательную l2 к кривой z0(x) в точке x = x0. Прямые l1 и l2 определяют
плоскость α, которая называется касательной плоскостью к поверхности S в
точке M0.
Составим ее уравнение. Так как плоскость α проходит через точку
M0(x0; y0; z0), то ее уравнение может быть записано в виде:
A (x – x0) + B (y – –y0)+ + C (z – z0) = 0, которое можно переписать так:
z – z0 = A1 (x – x0) + B1 (y – y0) (разделив уравнение на –С и обозначив
A
B
 A1 ,
 B1 ).
C
C
19
Найдем A1 и B1. Уравнения касательных l1 и l2 имеют вид
z  z 0  f ' y ( x0 ; y 0 )  ( y  y 0 ), x  x0
z  z 0  f ' x ( x0 ; y 0 )  ( x  x0 ), y  y 0
соответственно.
Касательная l1 лежит в плоскости α, следовательно, координаты всех
точек l1 удовлетворяют уравнению. Этот факт можно записать в виде системы
 z  z 0  f ' y ( x0 ; y 0 )( y  y 0 )

 x  x0
z  z  A ( x  x )  B ( y  y )
0
1
0
1
0

Разрешая эту систему относительно B1, получим, что B1 = f’y(x0; y0).
Проводя аналогичные рассуждения для касательной l2, легко
установить, что A1 = f’x(x0; y0).
Подставив значения A1 и B1 в исходное уравнение, получаем искомое
уравнение касательной плоскости:
z  z 0  f ' x ( x0 ; y 0 )  ( x  x0 )  f ' y ( x0 ; y 0 )  ( y  y 0 )
Определение 1.18
Прямая, проходящая через точку M0 и перпендикулярная касательной
плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью.
Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости, легко
получить канонические уравнения нормали:
x  x0
y  y0
z  z0


f ' x ( x0 ; y 0 ) f ' y ( x0 ; y 0 )
1
Если поверхность S задана уравнением F (x; y; z) = 0, то уравнения, с
учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные
20
неявной
функции:
f 'x  
F ' x ( x0 ; y 0 )
,
F ' z ( x0 ; y 0 )
f 'y  
F ' y ( x0 ; y 0 )
F ' z ( x0 ; y 0 )
,
примут
соответственно вид :
F ' x ( x0 ; y 0 )  ( x  x0 )  F ' y ( x0 ; y 0 )  ( y  y 0 )  F ' z ( x0 ; y 0 )  ( z  z 0 )  0 и
x  x0
y  y0
z  z0


.
F ' x ( x0 ; y 0 ) F ' y ( x0 ; y 0 ) F ' z ( x0 ; y 0 )
Экстремум функции двух переменных
Пусть функция х = f(х; у) определена в некоторой области D, точка N(х0;
у0) D.
Определение 1.19
Точка (х0; у0) называется точкой максимума функции z = f(х; у), если
существует такая δ-окрестность точки (х0; у 0 ), что для каждой точки (х;у), отличной
от (х0; у 0 ), из этой окрестности выполняется неравенство f( х ; у ) < f(х0; у0).
Определение 1.20
Точка (х0; у0) называется точкой минимума функции: для всех точек (х;
у), отличных от (х0; у0), из δ-окрестности точки (х0; у0) выполняется неравенство:
f ( х ; у ) > f(х0; у0).
На рис. 1: N1 – точка максимума, а N2 – точка минимума функции
z = f(х; у).
Рисунок 1.2
21
Определение 1.21
Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.
Необходимые и достаточные условия экстремума
Теорема 1.6 (необходимые условия экстремума)
Если в точке N(х0; у0) дифференцируемая функция z = f(х; у) имеет
экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f’x(x0; y0)=0,
f’у(x0; y0).
Доказательство:
Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у = у0. Тогда
получим функцию f(х; у0) = φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум
при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума
функции
одной
 ' ( x0 )  0 ,
переменной,
Т.Е.
f’x(x0;
y0)=0.
Аналогично можно показать, что f’y(х0;у0) = 0.
Геометрически равенства f’x(x0; y0)=0 и f’y(х0;у0) = 0 означают, что в
точке экстремума функции z = f(х; у) касательная плоскость к поверхности,
изображающей функцию f(х; у), параллельна плоскости Oxy, т.к. уравнение
касательной плоскости есть z = z0.
Замечание 1.5
Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных
производных не существует.
Определение 1.22
Точка, в которой частные производные первого порядка функции z =
f(х; у) равны нулю, т.е. f’x=0 и f’y = 0, называется стационарной точкой
функции z.
Определение 1.23
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная
производная не существует, называются критическими точками.
22
В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не
иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не
достаточным условием существования экстремума. Поэтому для нахождения
экстремумов функции в данной области необходимо каждую точку функции
подвергнуть дополнительному исследованию.
Теорема 1.7 (достаточное условие экстремума)
Пусть в стационарной точке (x0; y0) и некоторой ее окрестности
функция f(х; у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка
включительно. Вычислим в точке (x0; y0) значения A = f’’xx(x0; y0), B = f’’xy (x0;
y0), C = f’’yy(x0; y0). Обозначим  
A B
B C
 AC  B 2 .
Тогда: 1) если Δ › 0, то функция f(х; у) в точке (x0; y0) имеет экстремум:
максимум, если А ‹ 0; минимум, если А › 0;
2) если Δ ‹ 0, то функция f(х; у) в точке (x0; y0) экстремума не имеет;
3) если Δ = 0 экстремум в точке (x0; y0) может быть, может не быть.
Необходимы дополнительные исследования.
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Выполнить задания:
23
№ 2 Выполнить задания:
Контрольные вопросы
1. Дайте определение дифференцируемости функции в точке.
2. Дайте определение полного дифференциала.
3. Сформулируйте необходимое и достаточное условие
дифференцируемости функции.
4. Дайте определение полного дифференциала второго порядка.
5. Приведите формулу производной сложной функции.
6. Приведите формулу для вычисления полной производной.
7. Приведите вторую формулу для вычисления полной производной.
(случай одной независимой переменной).
8. Приведите вторую формулу для вычисления полной производной.
(случай двух независимых переменных).
9. Докажите инвариантность формы первого дифференциала.
10.Приведите уравнение нормали функции в точке.
11.Приведите уравнение касательной функции в точке.
12.Сформулируйте необходимое условие существования экстремума
функции в точке.
24
13.Сформулируйте достаточное условия существования экстремума
функции в точке.
14.Дайте определение стационарной точки.
15.Дайте определение функции многих переменных.
16.Дайте определение функции двух переменных.
17.В чём состоит геометрический смысл функции двух переменных?
18.Дайте определение предела функции двух переменных.
19.Приведите свойства предела функции двух переменных.
20.В чём состоит геометрический смысл предела функции двух
переменных?
21.Дайте определение непрерывности функции двух переменных в точке.
22.Дайте определение непрерывности функции в области.
23.Дайте определение замкнутой области.
24.Дайте определение открытой области.
25.Дайте определение связности.
26.Дайте определение частной производной.
27.В чём состоит геометрический смысл частной производной?
28.Дайте определение частных производных высших порядков.
29.Дайте определение смешанной частной производной.
30.Дайте определение открытости.
31.Сформулируйте теорему Шварца.
32.Дайте определение границы области.
33.Дайте определение неограниченной области.
34.Какая точка является минимумом функции двух переменных?
35.Какая точка является максимумом функции двух переменных?
36.Дайте определение неявной функции.
25
Неопределенный интеграл
Первообразная, понятие неопределенного интеграла
При введении понятия производной данной функции рассматривается
задача о нахождении мгновенной скорости точки по известному закону ее
движения S= S(t) . В механике встречается обратная задача: по известному
закону изменения скорости V= V(t) найти закон движения, то есть найти такую
функцию
S= S(t) производная которой равна V(t) . Эта задача приводит к
понятию первообразной функции.
Определение 2.1
Функция
F(x)
называется первообразной для функции f(x)
на
интервале (a, b) , если функции f(x) и F(x) определены на этом интервале,
функция
F(x) дифференцируема на интервале (a, b) и в каждой точке
интервала выполняется равенство:
F x   f x  .
(2.1)
Первообразная существует для любой функции, непрерывной на
отрезке.
Теорема 2.1
Если F1(x) и F2(x) - две первообразные для функции f(x) на интервале
(a, b), то они отличаются только на константу, то есть
x  a, b 
F2 x   F1 x   C ,
(2.2)
где C - постоянная.
Доказательство:
Обозначим  x   F2 x   F1 x  и найдем производную этой функции
 x   F2x   F1x  .
По определению первообразной и в соответствии с условием теоремы
26
F1x   f x  и F2x   f x  .
Тогда  x   f x   f x   0 , откуда следует, что
 x   C , что и
требовалось доказать.
Из теоремы следует, что если известен
график одной из первообразных
функции
F1(x) для
f(x) , то графики всех других
первообразных
для
данной
функции
получаются из первого сдвигом вдоль оси
Oy.
Определение 2.2
Совокупность всех первообразных для функции f(x) на некотором
промежутке называют неопределенным интегралом от функции f(x) на этом
промежутке и обозначают
 f x dx   F x dx  F x   C .
где
(2.3)
F(x) - какая-нибудь первообразная функции F(x) , C - произвольная
постоянная.
Знак

называют знаком интеграла,
f(x) – подынтегральной
функцией, f x dx - подынтегральным выражением.
Поскольку F x   f x , подынтегральное выражение можно записать:
f x dx  F x dx  dF x 
(2.4)
Операцию нахождения неопределенного интеграла от данной функции
называют интегрированием. Интегрирование является операцией, обратной
дифференцированию.
Используя
любую
27
формулу
для
производной
F x   f x  , можно записать, что  f x dx  F x   C . Например, зная, что
sin x   cos x , получим
 cos xdx  sin x  C .
Свойства неопределенного интеграла
Перечислим
основные
свойства
неопределенного
интеграла,
вытекающие из определения (3.3) и равенства (3.4):
1.
d  f x dx  f x dx ,
т.к.
(2.5)
d  f x dx  d F x   C   dF x   f x dx .
2.
 f x dx   f x 
т.к.
(2.6)
,
 f x dx   F x   C   F x   f x 
.
3.
 dF x   F x   C .
(2.7)
4. Свойство линейности неопределенного интеграла
 f x    x dx    f x dx     x dx .
(2.8)
Доказательство:
 f x    x dx     f x dx     x dx 
f  x     x   f  x     x  .
5. Свойство инвариантности формы неопределенного интеграла
Если  f x dx  F x   C , то какова бы ни была функция u= u(x) ,
справедливо соотношение:
28
 f u du  F u   C .
(2.9)
Доказательство:
Это свойство является следствием инвариантности формы первого
дифференциала. Дифференцируя (2.9), на основании (2.5) получаем:
dF u   f u du  dF x   f x dx .
Пример 2.1
Известно, что
 cos xdx  sin x  C .Тогда на основании свойства 5
получим:
 cos2 x  5d 2 x  5  sin 2 x  5  C ,
2
2
2
и т.д.
 cos x d x   sin x   C
Простейшие приемы интегрирования. Таблица интегралов
Простейшие приемы интегрирования основаны на использовании
свойств (2.1)-(2.4) неопределенного интеграла и таблицы интегралов,
построенной с помощью таблицы производных.
Непосредственное интегрирование
заключается
в проведении
тождественных преобразований подынтегрального выражения с целью
получения суммы табличных интегралов.
Таблица неопределенных интегралов
x n1
C ,
 x dx 
n 1
dx
 ln x  C ,

x
ax
x
C ,
 a dx 
ln a
n
n  1
29
 sin xdx   cos x  C ,

x
 e dx 
dx
 tgx  C ,
cos 2 x
ex
C
1
,
 cos xdx  sin x  C ,
 tgxdx   ln cos x  C ,

dx
 ctgx  C ,
sin 2 x

dx
x
 ln tg  C ,
sin x
2
 ctgxdx  ln sin x  C ,

dx
1
x
 arctg  C ,
2
a x
a
a
dx
 x 
  ln tg     C ,
cos x
 4 2
dx
 arctgx  C ,

1  x2
dx
 ln x  x 2  a 2  C ,
 2
2
x a
dx
 arcsin x  C .

1  x2

2
dx
1
xa
 ln
C ,
2
x a
2a x  a
dx
x
 arcsin  C ,
 2
2
a
a x

2
Пример 2.2
3
 
2 x3  x 2e x  x

x
dx    2 x  e  x 2 dx 
1. 
2
x



3
2
 2  xdx   e dx   x dx  x 2  e x 
x
2.  ctg 2 xdx  
2
C .
x
cos 2 x
1  sin 2 x
 1

dx

dx    2  1dx 

2
2
sin x
sin x
 sin x 
dx
 1

   2  1dx   2   dx  ctgx  x  C .
sin x
 sin x 
3.
ae 
 a e dx   ae  dx 
x
x
x
x
ln ae
C 
a xex
C .
ln a  1
z 2  2z  1
dz
dz
 z  1
 2 1
dz

dz   1   2 dz   dz  2   2 
4.  


2
z
z z 
z
z
 z 

2
30
 z  2 ln z 
1
C .
z
Метод замены переменной
Интегрирование методом замены переменной основано на свойстве
инвариантности формы неопределенного интеграла и может осуществляться в
двух вариантах:
а) интегрирование занесением под знак дифференциала
Этот вариант метода используется в том случае, если подынтегральная
функция является сложной f ux  и в подынтегральном выражении удается
выделить производную промежуточного аргумента ux  . Тогда
 f u  x u  x dx   f u du .
(2.10)
В соотношении (2.10) функция u(х) занесена под знак дифференциала.
Пример 2.3
1.  sin 2 x  3dx .
Решение:
 2 x  3  2dx , dx  d 2 x  3
1
2
1
1
I   sin 2 x  3 d 2 x  3   cos2 x  3  C .
2
2
1
1
2.  f ax  b dx   f ax  b d ax  b   F ax  b   C .
a
a
3.
2
x
 xe dx .
Решение:
31
d x 2   2 xdx , xdx 
1
d x 2  .
2
1 2
x2
x2 1
d x 2   e x  C .
 xe dx   e
2
2
б) метод подстановки
Используется в том случае, когда переход к новой переменной x   x 
позволяет существенно упростить подынтегральную функцию.
Пусть требуется найти  f x dx . Перейдем к переменной u , используя
подстановку x   x  . Тогда
dx   u du ,  f x dx   f  u  u du .
(2.11)
Пример 2.4
1. 
dx
1 x 1
Решение: Выполним подстановку x  1  u 2 , x  u 2  1 , dx  2udu .

dx
udu
1 u 1
du
 2
 2
du  2 du  2

1 u
1 u
1 u
1 x 1
 2u  2 ln 1  u  C  2 x  1  2 ln 1  x  1  C .
2. 
1  ln x
dx
x ln x
.
Решение: Подстановка 1  ln x  t 2 ,
dx
 2tdt
x
1  ln x dx
t
t2 11
dt
 2 2
 tdt  2 2
dt  2 dt  2  2


ln x
x
t 1
t 1
t 1
 2t  ln
t 1
1  ln x  1
 C  2 1  ln x  ln
C .
t 1
1  ln x  1
32
Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования
по
частям основывается на формуле
дифференцирования произведения двух функций u= u(x) и v= v(x) :
u  v   uv  vu .
(a)
Пусть подынтегральная функция представляет собой произведение
функции u(x) на производную от функции v(x) . На основании равенства (а)
можно записать:

uv  uv   u v
Тогда

 u  vdx   u  v  dx   u vdx
(б)
Переходя в (б) к дифференциалам, получим
 udv   d uv   vdu
и на основании (2.7)
 udv  u  v   vdu
(2.12)
или
 u  vdx  u  v   v  udx .
Формула (2.12) называется формулой интегрирования по частям.
Интегрирование по частям используется в двух случаях:
1) подынтегральная функция представляет собой произведение
многочлена
f x   Pn x e ax ,
Pn(x)
на
eax
f x   Pn x cos ax или
33
или
sin ax , cos ax
f x   Pn x sin ax .
.
т.е.
В этом случае удобнее принять u  Pn x  , v  sin ax или v  cos ax ,
или v   e ax .
Пример 2.5
du  dx 
 ux ,
 x sin xdx  
   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C .
dv  sin xdx , v   cos x 
2) подынтегральная функция представляет собой произведение
многочлена Pn(x)
на
ln x , arctgx , arcsin x . В этом случае полагают
u  ln x , y  arctgx или u  arcsin x .
Пример 2.6
dx 

u  ln x , du  

x 3 dx

 x3
2
x
 ln x  

 x ln xdx  
3 
x
3
3
x
2
 dv  x dx , v  

3 
x3
1 2
x3
x3
 ln x   x dx  ln x   C .
3
3
3
9
3) подынтегральная функция - произведение показательной функции
e ax  cos xbx на или . В этом случае формулу интегрирования по частям
применяют дважды.
Пример 2.7
 u  e x , du  e x dx 
x
x
 e sin xdx  I1  
  e cos x   e cos xdx .
dv  sin xdx , v   cos x 
 u1  e x , du1  e x dx 
x
x
x
x
I 2   e cos xdx  
  e sin x   sin xe dx  e sin x  I1 .
dv1  cos xdx , v1  sin x 
x
Тогда:
34
I 1  e x cos x  e x sin x  I 1 .
2 I 1  e x sin x  cos x 
ex
I 1   e sin xdx  sin x  cos x   C .
2
x
При двукратном применении формулы интегрирования по частям
целесообразно в качестве u(x) и u1(x) , v(x) и v1(x) принимать одни и те же
функции (показательную либо тригонометрическую). В противном случае
после подстановки интеграла I2 получим тождество I1=I1 .
Интегрирование
рациональных
функций.
Понятие
о
рациональных функциях
Определение 2.3
Функция вида:
Pn x   a0 x n  a1 x n1    an1 x  an ,
(2.13)
где n – натуральное число, ai (i = 0, 1, 2, … , n) – постоянные коэффициенты,
называется многочленом (или целой рациональной функцией). Число n
называется степенью многочлена.
Определение 2.4
Корнем многочлена (4.1) называется такое значение x0 переменной x, при
котором многочлен обращается в нуль, т.е. Pn(x) = 0.
Теорема 2.2
Если x1 есть корень многочлена Pn(x), то многочлен делиться без остатка
на x – x1, т.е.
Pn(x) = (x – x1)∙Pn-1(x)
(2.14)
где Pn-1(x) – многочлен степени (n – 1).
Теорема 2.3 (основная теорема алгебры)
Всякий многочлен n-й степени (n>0) имеет по крайней мере один
корень, действительный или комплексный.
35
Теорема 2.4
Всякий многочлен Pn(x) можно представить в виде
Pn x   a0 x  x1   x  x2     x  xn  ,
(2.15)
где x1, x2, … , xn – корни многочлена, a0 – коэффициент многочлена при xn.
Доказательство:
Рассмотрим многочлен (2.13). По теореме 2.3 он имеет корень.
Обозначим его через x1. Тогда имеет место соотношение (2.14). А так как Pn1(x)
– также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через x2. Тогда
Pn1 x   x  x2  P n2 x  , где Pn-2(x) – многочлен (n – 2)-й степени.
Следовательно, Pn x   a0 x  x1   x  x2     x  xn  .
Определение 2.5
Множители (x – xi) в равенстве (4.3) называются линейными
множителями.
Пример 2.8
Разложить многочлен P3 x   x 3  2 x 2  x  2 на множители.
Решение:
Многочлен P3 x   x 3  2 x 2  x  2 обращается в нуль при x = –1, x = 1,
x = 2. Следовательно, x 3  2 x 2  x  2  x  1  x  1  x  2.
Теорема 2.5
Если
многочлен
Pn x   a0 x n  a1 x n1    an1 x  an
тождественно
равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.
Теорема 2.6
Если
два
многочлена
тождественно
равны
друг
другу,
то
коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам
другого.
36
Теорема 2.7
Если многочлен Pn(x) с действительными коэффициентами имеет
комплексный корень a + bi, то он имеет и сопряженный корень a – bi.
Теорема 2.8
Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается
на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами,
т.е. многочлен Pn(x) можно представить в виде:
Pn x   a0 x  x1  1 x  x2  2  x  xr  r 
k
k
k
(2.16)
 x 2  p1 x  q1  1  x 2  pm x  qm  m
s
При этом
s
k1  k 2    k r  2s1  s2    sm   n , все квадратные
трехчлены не имеют вещественных корней.
Дробно-рациональная функция
Определение 2.6
Дробно-рациональной
функцией
(или
рациональной
дробью)
называется функция, равная отношению двух многочленов, т.е. f ( x) 
Pm  x 
,
Qn  x 
где Pm(x) – многочлен степени m, а Qn(x) – многочлен степени n.
Определение 2.7
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя
меньше степени знаменателя, т.е. m<n; в противном случае (если m≥n)
рациональная дробь называется неправильной.
Всякую неправильную дробь
P( x)
можно, путем деления числителя на
Q( x)
знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной дроби
R( x)
P( x)
R( x)
, т.е.
= L(x)+
.
Q( x)
Q( x)
Q( x)
37
Определение 2.8
Правильные рациональные дроби вида:
(I).
A
;
xa
(II).
A
k  2, k  N ;
x  a k
(III).
Mx  N
(корни знаменателя комплексные числа, т.е. p2 – 4q<0)
x  px  q
(IV).
Mx  N
(k≥2, корни комплексные),
x 2  px  q k
2
где A, a, M, N, p, q – действительные числа, называются простейшими
рациональными дробями I, II, III, IV типов.
Интегрирование простейших рациональных дробей
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.
1. 
A
d x  a 
dx  
 A  ln x  a  C .
xa
xa
x  a   C .
A
k
dx  A    x  a  d  x  a   A 
2. 
k
 k 1
x  a 
 k 1
3. Рассмотрим интеграл J  
полный квадрат, получим:
Mx  N
dx . Выделив в знаменателе
x  px  q
2
Mx  N
p2
J 
dx , причем q   0 .
2
4
p
p2

x    q 
2
4

p
p
p2
Сделаем подстановку x   t . Тогда x  t  , dx  dt . Положим q 
 a2
2
2
4
38
. Следовательно, используя формулы таблицы интегралов, получаем:
p

M t    N
Mx  N
tdt
Mp  dt
2

J  2
dx    2 2
dt  M  2
N 


2
x  px  q
t a
t a 
2  t 2  a2
M
Mp  1
t


ln t 2  a 2    N 
  arctg  C ,
2
2  a
a

т.е., возвращаясь к переменной x,
Mp
p
x
Mx  N
M
2  arctg
2 C
J  2
dx  ln x 2  px  q  
2
x  px  q
2
p
p2
q
q
4
4
N
Пример 2.9
Найти 
3x  1
dx
x 2  2 x  10
Решение:
x 2  2 x  10  ( x  1) 2  9 . Сделаем подстановку x + 1 = t.
3x  1
3(t  1)  1
tdt
tdt
dx

dt

3

2




x 2  2 x  10
t2 9
t2 9
t2 9
3
2
t
3
2
x 1
 ln( t 2  9)  arctg  C  ln( x 2  2 x  10)  arctg
C
2
3
3
2
3
3

Mx  N
p2
4. Вычисление интеграла вида J   2
dx, k  2, q   0 .
( x  px  q ) k
4
Данный интеграл подстановкой x 
M
p
 t сводится к сумме двух интегралов:
2
tdt
Mp 
tdt
p2

2

N

,
a

q

.


k
(t 2  a 2 ) k 
2  t 2  a 2 
4
Первый интеграл легко вычисляется:

tdt
1 2
1
2 k
2
2





t

a
d
t

a

C.

k
k 1
t 2  a 2  2
21  k t 2  a 2 
39
Вычислим второй интеграл:
dt
1 t 2  a 2   t 2
1
Jk   2
 2 2
dt  2 
2 k
2 k
a
t  a  a t  a 

dt
t 2 dt
   2
 2
2 k 1


t  a 2 k
t

a

1 
t 2 dt 

 2  J k 1   2
a 
t  a 2 k 

 

(*)
К последнему интегралу применим интегрирование по частям.
Положим:
u  t , dv 
tdt
, du  dt ,
(t  a 2 ) k
2
1
1
v   (t 2  a 2 ) k d (t 2  a 2 ) 
2
2(1  k )(t 2  a 2 ) k 1
,
тогда
t 2 dt
t
1
dt



 2
 2
2 k
2
2 k 1
(t  a )
2(1  k )(t  a )
2(1  k ) (t  a 2 ) k 1
t
1


 J k 1
2
2 k 1
2(1  k )(t  a )
2(1  k )
Подставляя найденный интеграл в равенство (*), получаем
Jk 

1
t
1
J 

J k 1  , т.е.
2  k 1
2
2 k 1
a 
2(1  k )(t  a )
2(1  k )

Jk 

1  2k  3
t

.
Jk 
2 
2
2 k 1 
a  2k  2
2(k  1)(t  a ) 
Полученная формула дает возможность найти интеграл Jk для любого
натурального числа k > 1.
40
Интегрирование рациональных дробей
Общее правило интегрирования рациональных дробей:
1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы
многочлена и правильной дроби;
2. Разложив знаменатель правильной дроби на множители, представить
ее в виде суммы простейших рациональных дробей;
3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших
дробей.
Пример 2.10
x5  2x3  4x  4
dx .
Найти интеграл  4
x  2x3  2x 2
Решение:
Под знаком интеграла неправильная дробь; выделим ее целую часть
путем деления числителя на знаменатель:
x5
+ 2x3
+ 4x + 4 │x4 + 2x3 + 2x2
x–2
x5 + 2x4 + 2x3
–2x4
+ 4x + 4
–2x4 – 4x3 – 4x2
4x3 + 4x2 + 4 (остаток)
x5  2x3  4x  4
4x3  4x 2  4x  4
 x2
Получаем: 4
.
x  2x3  2x 2
x 4  2x3  2x 2
Разложим правильную дробь на простейшие дроби:
x5  2x3  4x  4
4x3  4x 2  4x  4 A B
Cx  D
 x2
=  2  2
,
4
3
2
4
3
2
x x
x  2x  2
x  2x  2x
x  2x  2x
41
4x3 + 4x2 + 4x + 4 = Ax (x2 + 2x + 2) + B (x2 + 2x + 2) + (Cx + D) x2
т.е. 4x3 + 4x2 + 4x + 4≡(A + C) x3 +(2A + B + D)x2 + (2A + 2B)x + 2B.
 A  C  4,
2 A  B  D  4,

Отсюда следует, что 
2 A  2 B  4,
2 B  4
Находим: B = 2, A = 0, C = 4, D = 2. Значит,
4x3  4x 2  4x  4 2
4x  2
 2 2
4
3
2
x  2x  2x
x
x  2x  2
x5  2x3  4x  4
2
4x  2

x

2


.
x 4  2x3  2x 2
x 2 x 2  2x  2
Интегрируем полученное равенство:
x5  2x3  4x  4
2
4x  2 

dx    x  2  2  2
dx 
 4
3
2
x  2x  2x
x
x  2x  2 

x2
2
4x  2

 2x    2
dx
2
x
x  2x  2
.
Обозначим x + 1 = t и dx = dt. Таким образом,

4x  2
4t  4  2
tdt
dt
dx   2
dt  4  2
 2 2

2
( x  1)  1
t 1
t 1
t 1
1
 4  ln( t 2  1)  2aarctgt  C 
2
 2 ln( x 2  2 x  2)  2arctg ( x  1)  C
Следовательно,
x5  2x3  4x  4
x2
2
dx   2 x   2 ln(x 2  2 x  2)  2arctg( x  1)  C .
 4
3
2
x  2x  2x
2
x
42
Отметим, что любая рациональная функция интегрируется в
элементарных функциях.
Интегрирование иррациональных выражений
1.
Интегралы типа 
dx
ax 2  bx  c
,  ax 2  bx  c dx, 
mx  n
ax 2  bx  c
dx
можно найти, если под радикалом выделить полный квадрат
2
2


c
b
c
b
 2 b

ax  bx  c  a x  x    a  x     2  
a
a
2a  a 4a 


2
2

b
4ac  b 2 


 a  x   
2a 
4a 2 

подстановку x 
и
сделать
b
 t . При этом первые два интеграла приводятся к
2a
табличным, а третий – к сумме табличных интегралов.
Пример 2.11
Найти интеграл 
dx
4x2  2x  1
.
Решение:
2
1   
1
3
 2 1
Т.к. 4x + 2x + 1 = 4 x  x    4  x     , то
2
4  
4  16 

2

dx
1
dx
.
 
2
2
2


1
3
1
3

4  x    
x   
4  16
4  16 


Сделаем подстановку x 
1

2
1
1
 t , x  t  , dx  dt .
4
4
2
1
3
1
1
1
3

 ln t  t 2 
 C  ln x    x   
C.
2
16
2
4
4
16
3


t2 
16
43
dt
2.




 
ax

b
ax

b





Интегралы типа  R x, 
,...
 dx , где a, b, c, d –
  cx  d 
 cx  d 


действительные числа, α, β, ...,γ, δ – натуральные числа, сводятся к интегралам
от рациональной функции путем подстановки
общее кратное знаменателей дробей
ax  b k
 t , где k – наименьшее
cx  d


,, .


b  dt k
ax  b k
Действительно, из подстановки
и
 t следует, что x  k
cx  d
ct  a
 dkt k 1 ct k  a   b  dt k ckt k 1
dx 
dt ,
ct k  a 2
т.е.
x
и
dx
выражаются
рациональные функции от t. При этом каждая степень дроби
через
ax  b
cx  d
выражается через рациональную функцию от t.
Пример 2.12
Найти интеграл 
3
dx
 x  2
2
 x2
Решение:
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей
2 1
и – 6. Поэтому
3 2
полагаем x + 2 = t6 , x = t6 – 2, dx = 6t5 dt, t  6 x  2 .
Следовательно,

6t 5 dt
t 2 dt
t 2  1  1
1 

2
 6
dt  6  t  1 
dt  3t  6t  6 ln t  1  C 
 4 3  6
t t
t 1
t 1
t  1

 33 x  2  66 x  2  6 ln 6 x  2  1  C
44
Интегрирование тригонометрических функций
Универсальная тригонометрическая подстановка
Определение 2.9
Вычисление неопределенных интегралов вида ∫R(sin x; cos x) dx
сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой
tg
x
 t , которая называется универсальной.
2
Действительно,
x
1  tg 2
2
t
2 
sin x 
, cos x 
2
1

t
2 x
1  tg
1  tg 2
2
2tg
x
2
2  1  t , x  2arctgt , dx  2 dt .
x 1 t2
1 t2
2
 2t 1  t 2  2
;
dt   R1 (t )dt , где R1(t) –
Поэтому ∫R(sin x; cos x) dx=  R

2
2
2
1  t 1  t  1  t
рациональная функция от t.
На практике применяют и другие более простые подстановки, в
зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частности,
удобны следующие правила:
1) если функция R(sin x; cos x) нечетна относительно sin x, т.е.
R(–sin x; cos x) = – R(sin x; cos x), то подстановка cos x = t
рационализирует интеграл;
2) если функция R(sin x; cos x) нечетна относительно cos x, т.е.
R(–sin x; –cos x) = – R(sin x; cos x), то делается подстановка sin x = t;
3) если функция четна R(sin x; cos x) относительно sin x и cos x,
– R(sin x; cos x) = R(sin x; cos x), то интеграл рационализируется
подстановкой tg x = t. Такая же подстановка применяется, если
интеграл имеет вид ∫ R(tg x) dx.
45
Пример 2.13
Найти интеграл 
dx
3  sin x  cos x.
Решение:
Сделаем универсальную подстановку tg
x
2dt
 t . Тогда dx 
,
2
1 t2
2t
1 t2
dx
. Следовательно, 
=
sin x 
, cos x 
2
2
1 t
1 t
3  sin x  cos x.

2dt
dt
 d 2

2
2t
1 t 
t t 2
2 
1  t  3  2  2 
 1 t 1 t 
 1
1
x
dt  
t
1  2tg
 2   2 arctg
2  C  2 arctg
2 C

2
7
7
7
7
 1 7
t   
2
 2 4
Интегралы типа ∫ sinm x ∙ cosn x dx
Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:
1) подстановка sin x = t, если n – целое положительное нечетное число;
2) подстановка cos x = t, если m – целое положительное нечетное число;
1
3) формулы понижения порядка: cos 2 x  sin 2 x , если m и n – целые
2
неотрицательные четные числа;
4) подстановка tg x = t, если m + n – есть четное отрицательное число.
Пример 2.14 Найти интеграл  sin 4 x cos5 xdx .
Решение:
Применим
dx 
1
1 t
2
подстановку
sin
x
dt , cos x  1  t 2 и
46
=
t.
Тогда
x
=
arcsin
t,


dt
4
2 2

 dt   t 4  2t 6  t 8 dt 

t
1

t

2
1 t
t5
t7
1
2
1
  2  C  sin 5 x  sin 7 x  sin 9 x  C
5
7
5
7
9
5
4
2
 t 1 t 
Использование тригонометрических преобразований
Интегралы
типа
 sin ax  cos bxdx,  cos ax  cos bxdx,  sin ax  sin bxdx
вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:
1
sin a  b   sin a  b ,
2
1
cos a cos b  cosa  b   cosa  b ,
2
1
sin a sin b  cosa  b   cosa  b 
2
sin a cos b 
Пример 2.15
Найти интеграл  sin 8x cos 2 xdx .
Решение:
 sin 8 x cos 2 xdx 
1
 sin 10 x  sin 6 x dx 
2
Тригонометрическая
1 1
1

  cos 10 x  cos 6 x   C .
2  10
6

подстановка
при
интегрировании
иррациональных функций






Интегралы типа  R x; a 2  x 2 dx,  R x; a 2  x 2 dx,  R x; x 2  a 2 dx
приводятся
к
интегралам
от
функций,
рационально
зависящих
от
тригонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических
подстановок: x = a sin t для первого интеграла; x = a tg t для второго интеграла;
x
a
для третьего интеграла.
sin t
47
Пример 2.16
4  x2
dx .
Найти интеграл 
x2
Решение: положим x = 2 sin t, dx = 2 cos t dt, t  arcsin
x
. Тогда
2
4  x2
4  4 sin 2 t
4 cos 2 t
dx  
2 cos tdt  
dt 

x2
4 sin 2 t
4 sin 2 t
1  sin 2 t
dt

dt

  dt  ctgt  t  C 

sin 2 t
sin 2 t
x
x
x
4  x2

 C  arcsin  ctg  arcsin   C  arcsin 
2
2
2
x

2

 x

1  

1  sin 2 t
4  x2
2


 ctgt 
x
sin
t
x

2









Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Найти неопределенные интегралы.
x3  6 x 2  13x  9
1. 
dx.
( x  1)( x  2)3
x3  6 x 2  13x  8
2. 
dx.
x( x  2)3
x3  6 x 2  13x  6
3. 
dx.
( x  2)( x  2)3
x3  6 x 2  14 x  10
4. 
dx.
( x  1)( x  2)3
№ 2 Найти неопределенные интегралы.
1.

1 x
4
x x
3
dx. 2.

3
1 x
3
x x
2
dx. 3.

1 3 x
dx. 4.
x x

3
1 3 x
9
x x
4
№ 3 Найти неопределённые интегралы.
1.
  4  3x  e
3.
  3x  4  e
3 x
3x
dx.
dx.
48
2.
 arctg
4.
  4 x  2 cos 2 xdx.
4 x  1dx.
dx.
№ 4 Найти неопределенные интегралы.
x3  1
1.  2
dx.
x x
x3  17
3.  2
dx.
x  4x  3
3x3  1
2.  2
dx.
x 1
2 x3  5
4.  2
dx.
x x2
Контрольные вопросы
1.
Приведите способ интегрирования рациональных выражений.
2.
Приведите способы интегрирования иррациональных выражений.
3.
Приведите основные способы для интегрирования
тригонометрических выражений.
4.
Приведите способ интегрирования при помощи
тригонометрической подстановки.
5.
Приведите методы интегрирования рациональных выражений.
6.
Приведите методы интегрирования рациональных выражений
7.
Дайте определение первообразной.
8.
Дайте определение неопределённого интеграла.
9.
Перечислите свойства неопределённого интеграла.
10. Приведите таблицу первообразных.
11. В чём состоит метод занесения под знак интеграла?
12. В каких случаях применяется метод занесения под знак
интеграла?
13. В чём состоит метод подстановки?
14. В каких случаях применяется метод подстановки?
15. Приведите формулу интегрирования по частям.
16. В каких случаях применяется формула интегрирования по
частям?
49
Определенный интеграл
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a; b], a < b. Выполним
следующие действия.
1. С помощью точек x0 = a, x1, x2, …, xn = b (x0 < x1 < … < xn) разобьем
отрезок [a; b] на n частичных отрезков [x0; x1], [x1; x2], …, [xn-1; xn].
2. В каждом частичном отрезке [xi-1; xi], i = 1, 2, …, n выберем
произвольную точку ci  [xi-1; xi] и вычислим значение функции в ней.
3. Умножим найденное значение функции f (ci) на длину ∆xi = xi – xi-1
соответствующего частичного отрезка: f (ci) ∙ ∆xi.
4. Составим сумму Sn всех таких произведений:
n
S n  f (c1 )x1  ...  f (cn )xn   f (ci )xi .
i 1
(3.1)
Определение 3.1
Сумма вида (3.1) называется интегральной суммой функции y = f (x) на
отрезке [a; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ =
max ∆xi (i = 1, 2, …, n).
5. Найдем предел интегральной суммы (3.1), при n → ∞ так, что λ → 0.
Определение 3.2
Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не
зависит ни от способа разбиения отрезка [a; b] на частичные отрезки, ни от
выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от
b
функции y = f (x) на отрезке [a; b] и обозначается  f ( x)dx . Таким образом:
a
b
n
a
i 1
 f (ci )xi
 f ( x)dx  lim
n
50
(3.2)
Определение 3.3
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами
интегрирования,
f
(x)
–
подынтегральной
функцией,
f
(x)
dx
–
подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, отрезок [a;
b] – областью (отрезком) интегрирования.
Определение 3.4
Функция y = f (x), для которой на отрезке [a; b] существует
b
определенный интеграл  f ( x)dx , называется интегрируемой на этом отрезке.
a
Теорема 3.1 (Коши)
Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то определенный
b
интеграл  f ( x)dx существует.
a
Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием
ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и
для некоторых разрывных функций, имеющих на нем конечное число точек
разрыва.
Свойства определенного интеграла
1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной
интегрирования. Это следует из того, что интегральная сумма (6.1), а
следовательно, и ее предел (6.2) не зависят от того, какой буквой обозначается
аргумент данной функции.
2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования
a
равен нулю:  f ( x)dx  0 .
a
3. Для любого действительного числа c:  cdx  c  b  a  .
b
a
51
Геометрический и физический смысл определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции
Определение 3.5
Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная функция y = f (x)≥ 0.
Фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f (x), снизу осью – Ox,
сбоку – прямыми x = a и x = b, называется криволинейной трапецией.
Найдем площадь этой трапеции.
У
a=x0 о2 x1
b=xn
c
x2
i
c
c
xi-1 xi n xn-1
c
1
Для этого отрезок [a; b] точками a = x0, x1, x2, …, b = xn (x0 ‹ x1 ‹ … ‹ xn)
разобьем на n частичных отрезков [x0; x1], [x1; x2], …, [xn-1; xn]. В каждом
частичном отрезке [xi-1; xi] возьмем произвольную точку ci и вычислим
значение функции в ней, т.е. f (ci).
Умножим значение функции
f (ci) на длину ∆xi = xi – xi-1
соответствующего частичного отрезка. Произведение f (ci) ∙ ∆xi равно площади
прямоугольника с основанием ∆xi и высотой f (ci). Сумма всех таких
произведений
площади
n
f (c1 )x1  f (c2 )x2  ...  f (cn )xn   f (ci )xi  S n
ступенчатой
i 1
фигуры
и
приближенно
равна
равна
площади
S
n
криволинейной трапеции: S  S n   f (ci )xi . С уменьшением всех величин
i 1
∆xi точность приближения криволинейной трапеции к ступенчатой фигуре и
точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение
52
площади S криволинейной трапеции принимается предел
S, к которому
стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает
b
так, что λ = max ∆xi→0: S  lim S n  lim  f (ci )xi , т.е. S   f ( x)dx .
n 
n 
n
i 1
a
Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен
площади криволинейной трапеции.
В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается под действием силы
,
F
направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F (x), где х
– абсцисса движущейся точки М.
Найдем работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси Ох из
точки х = а в точку х = b (а ‹ b). Для этого отрезок [a; b] точками a = x0, x1,
x2, …, b = xn (x0 ‹ x1 ‹ … ‹ xn) разобьем на n частичных отрезков [x0; x1], [x1; x2],
…, [xn-1; xn]. Сила, действующая на отрезке [xi-1; xi], меняется от точки к точке.
Но если длина отрезка ∆xi = xi – xi-1 достаточно мала, то сила F на этом отрезке
изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и
равной значению функции F = F (x) в произвольно выбранной точке x = ci

[xi-1; xi]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [xi-1; xi], равна
произведению F (ci) ∙∆xi. (Как работа постоянной силы F (ci) на участке [xi-1;
xi].)
Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [a; b] есть
n
А  F (с1 )x1  F (c2 )x2  ...  F (cn )xn   F (c i )xi .
i 1
(3.3)
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина ∆xi.
Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы (3.3) при
53
условии, что наибольшая длина λ частичных отрезков стремится к нулю:
b
n
A  lim  F (ci )xi   F ( x)dx .
 0 i 1
a
Итак, работа переменной силы F , величина которой есть непрерывная
функция F = F (x), действующей на отрезке [a; b], равна определенному
интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [a; b].
В этом состоит физический смысл определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая
подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [a; b].
1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a; b], то
b
b
a
a
 с  f ( x)dx  c   f ( x)dx , т.е. постоянный множитель можно выносить
за знак определенного интеграла.
2. Если функции f1(x) и f2(x)интегрируемые на [a; b], тогда
интегрируема на [a; b] их сумма   f1 ( x)  f 2 ( x) dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx , т.е.
b
b
b
a
a
a
интеграл от суммы равен сумме интегралов.
b
a
a
b
3.  f ( x)dx    f ( x)dx
4. Если функция f(x) интегрируема на [a; b] и а < с < b, то
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx , т.е. интеграл по всему отрезку равен сумме
интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью
определенного интеграла.
54
5. «Теорема о среднем». Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;
b], существует точка с
[a; b] такая, что  f ( x)dx  f (c)  b  a  . Число
b

a
b
1
f (c ) 
f ( x)dx называется средним значением функции f(x)
b  a a
на отрезке
[a; b].
6. Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a; b], где а ‹ b, то
b
интеграл  f ( x)dx имеет тот же знак, что и функция. Так, если f(x) ≥ 0 на
a
b
отрезке [a; b], то  f ( x)dx ≥ 0.
a
Формула Ньютона – Лейбница
b
b
 f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) .
a
Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена
первообразная функции F(x) для подынтегральной функции f(x).
Пример 3.1


 sin xdx   cos x 0  cos   cos 0  2 .
0
Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
b
Пусть для вычисления интеграла  f ( x)dx от непрерывной функции
a
сделана подстановка x = φ(t).
Теорема 3.2
Если: 1) функция x = φ(t) и ее производная x’ = φ’(t) непрерывны при t
 [α;
β];
2) множество значений функции x = φ(t) при t  [α; β] является отрезок
[a; b];
55
3) φ(α) = а и φ(β) = b, то
b

a

 f ( x)dx   f ( (t ))   ' (t )dt
(3.5)
Формула (6.5) называется формулой замены переменной в определенном
интеграле.
2
Пример 3.2 Вычислить  x 2 4  x 2 dx .
0
Решение: Положим x = 2 sin t, тогда dx = 2 cos t dt.
Если x = 0, то t = 0; если x = 2 , то t 
2
x

2
. Поэтому


2
2
4  x 2 dx   4 sin 2 t 4  4 sin 2 t  2 cos tdt  16  sin 2 t cos 2 tdt 
2
0
0

0

2 1
 2 1
1 2
 16  sin 2tdt  4  (1  cos 4t )dt  2 t 0  sin 4t
0 4
0 2
4

2

2
0
 

  2  0   

 2
Интегрирование по частям
Теорема 3.3
Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на
отрезке [a; b], то имеет место формула:
b
b
a
a
b
 udv  uv a   vdu
(3.6)
Формула (6.6) называется формулой интегрирования по частям для
определенного интеграла.
e
Пример 3.3 Вычислить  x ln xdx .
1
56
dx 

u

ln
x

du


x
Решение: Положим 
 . Применяя формулу (3.6),
2
x
dv  xdx  v 


2 
получаем
e
x2
x2 1
e2
1 x2
e
 x ln xdx   ln 1    dx   0  
1
1 2
2
x
2
2 2
e
e
1
e2 e2 1 1 2
    e  1.
2 4 4 4
Об интегралах, не выражающихся через элементарные функции
Интеграл от всякой рациональной функции всегда выражается через
элементарные функции, но не всякий интеграл от функций иррациональных
может быть выражен через элементарные функции.
Интегральное исчисление есть источник новых функций, для которых
вводят специальное обозначение, свойства их изучаются и составляются
таблицы их значений.
x
 e dx - «интеграл вероятностей»
2
 sin x
2
dx ,  cosx dx - «интеграл Френеля»
2
sin x
cos x
,
dx
 x
 x dx - «интегральный синус и косинус»
ex
 x dx - «интегральная показательная функция»
1
 ln xdx - «интегральный логарифм»
Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах,
в полярных координатах
Если на отрезке
[a,b]
непрерывная функция
f ( x)  0 , то площадь
криволинейной трапеции, ограниченной осью 0x , прямыми x=a, x=b и
графиком функции y=f(x), равна:
57
b
S   f ( x)dx.
(3.7)
a
Рисунок 3.1
Если при
f ( x)  0
x  [ a, b]
, то
b
a f ( x)dx  0.
В этом случае площадь криволинейной трапеции вычисляется как:
b
S    f ( x)dx.
a
Если на отрезке [a,b] функция f(x) меняет знак, то площадь фигуры,
ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми x=a ,
x=b и осью 0x ,
можно найти как сумму абсолютных величин интегралов:
c
d
b
a
c
d
S   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
или как интеграл от абсолютной величины f(x) :
b
S   f ( x) dx.
a
При вычислении площадей фигур, ограниченных кривыми y1  f1( x)
и y 2  f 2 ( x) , прямыми x=a , x=b, воспользуемся формулой:
S  S aA1B1b  S aA2 B2b ,
58
f1( x)  f2 ( x).
если для всех x  [a, b]
Рисунок 3.2
Поскольку
b
SaA1B1b   f1( x)dx,
a
b
SaA2 B2b   f 2 ( x)dx , и интеграл
a
обладает свойством линейности, получим:
b
S    f1( x)  f 2 ( x)dx.
a
Пример 3.4
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y=x
и
y  x 3.
59
S   x  x 3 dx   x 3  x dx   x  x 3 dx;
1
0
1
1
1
0
0
1
 x4 x2 
 x  x dx     ,
1
2  1 4
 4
0
3
1
1
 x4 x2 
 x  x dx     .
0
2 0 4
 4
1
3
S
1 1 1 2
  ед .
4 4 2
или в силу симметрии графиков функций y=f(x) и
y  x3
1
 x2 x4 
1 1 1
S  2 x  x dx 2    2    ед 2 .
0
4 0
2 4 2
2
1
3
Если функция f(x) задана в параметрической форме x=x(t) , y=y(t)
, то формула (3.7) преобразуется к виду:

S   y (t ) x(t )dt ,

(3.8)
так как dx  x(t )dt ,x(α)=a , y(β)=b .
Пусть кривая, ограничивающая искомую площадь, задана в полярной
системе координат. Получим выражение для вычисления площади
криволинейного сектора, ограниченного кривой ρ= ρ(φ) и прямыми φ=α и
φ=β .
Рисунок 3.3
60
Разобьем данную площадь прямыми:
  0   ,  1 ,   2 ,...,   n1 ,   n  
на n частей
Обозначим через Δφ1 , Δφ2 ,…, Δφn углы между между проведенными
прямыми. Обозначим через  i длину
радиус-вектора, соответствующего
некоторому  i , взятому между i1 и i . Рассмотрим круговой сектор,
ограниченный прямыми   i1 ,   i и дугой окружности радиуса i . Его
площадь:
Si 
 
2
1
 i i .
2
Сумма площадей:
n 1
Sn  
i 1 2
 i 2 i
приближенно равна площади рассматриваемого сектора OAB и представляет
собой
интегральную
сумму
для
функции
1 2
 .
2
Тогда
площадь
криволинейного сектора в полярной системе координат вычисляется по
формуле:
S
1 2
  d .
2
(3.9)
Пример 3.5
Вычислить площадь круга радиусом R.
Уравнение окружности в полярной системе координат ρ=R . Тогда
S кр 
1 2 2
R 2 2
R
d


 0  R 2 .

20
2
61
Вычисление длины дуги кривой
Получим формулу для вычисления длины дуги кривой в декартовых
координатах.
Рисунок 3.4
Пусть требуется вычислить длину дуги
AB
кривой
y=f(x)
,
заключенной между вертикальными кривыми x=a , x=b .
Разобьем отрезок [a,b] на n частей точками x0  a, x1 , x2 ,..., xn  b ,
которым на дуге AB соответствуют точки A  M 0 , M 1M 2 ,..., M n1 , M n .
Проведем хорды AM1, M1M2, M2M3 ,…, Mn-1B , длины
которых
обозначим
S1, S2 , S3,..., Sn .
Длина получившейся ломаной линии равна
сумме длин Si , то есть
n
Si   Si,
i 1
а длиной дуги AB называется предел, к которому стремится длина
вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю, то
есть:
62
S
n
 Si .
lim
max Si 0 i 1
Рассмотрим отдельную хорду
M i 1M i .
Ее длина может быть найдена как:
S i 
x 
2
i
 yi 
2
2
 y 
 1   i  xi ,
 xi 
где xi  xi  xi 1 , yi  f ( xi )  f ( xi 1 ).
Считая, что функция y=f(x) и ее производная y  f (x) непрерывны
на отрезке [a,b] , применим к ней теорему Лагранжа о конечных приращениях
для отрезка xi 1, xi  :
f ( xi )  f ( xi 1 )  f ( i )( xi  xi 1 ) ,
где i  xi 1, xi 
или yi  f ( i )xi ,
yi
 f ( i ).
xi
Тогда Si  1   f i 2 xi и длина дуги:
S  lim  1   f ( i ) xi   1   f ( x) dx.
max x 0
n
i
2
i 1
b
2
(3.10)
a
Если кривая задана параметрически x=x(t) , y=y(t) ,то формула
(3.10) преобразуется к виду:

S   ( x )2  ( y )2 dt.

63
(3.11)
Если кривая задана в полярных координатах, то
S i 

 i    i 
2
i 1
2
2
  
  i21   i   i .
  i 
i 1  i   (i ) 

i
приi  0
  (i )  i 

i
Si 
 i 2   i 2 i

 i   i 1 , i  S    2    d
2

(3.12)
Вычисление площадей поверхностей тел вращения
Вычислим площадь поверхности тела, получающегося вращением дуги
плоской кривой y=f(x) , заключенной между прямыми x=a
оси 0x .
Рисунок 3.5
64
, x=b вокруг
Для этого заменим дугу
AM1M 2 M 3 ...M n1 B , тогда
кривой
AB
ломаной линией
y=f(x)
поверхность вращения удастся заменить рядом
конических поверхностей с площадями:  i  2
f ( xi 1 )  f ( xi )
Si , где Si
2
- длина хорды M i 1M i
Поскольку
Si  1   f i 2 xi
и
xi  0
при
f ( xi 1)  f ( xi )
2
 f (i) , можно записать  i  2f ( i ) 1   f  i  xi .
2
Площадь поверхности вращения:
  lim  2f ( i ) 1   f  i  xi
max x 0
n
i
2
i 1
или
  2  f ( x) 1   f ( x) dx.
b
2
(3.13)
a
Вычисление объемов тел
Пусть имеем некоторое тело . Предположим, что известна площадь
любого сечения этого тела плоскостью перпендикулярной к оси 0x .
Эта
площадь
зависит
от
положения
секущей
плоскости
следовательно, является функцией x : Q=Q(x)
Рисунок 3.6
Пусть для заданного тела Q(x) является непрерывной функцией.
65
и,
Проведем плоскости x=a , x=x1, x=x2,…,x=b , которые разобьют тело
на слои.
Рассмотрим отдельно слой, соответствующий промежутку [xi-1,xi ] ; и
выберем i   xi 1, xi  . Заменим выделенный нами слой цилиндрическим
телом, образующая которого параллельна оси 0x , а направляющей является
контур сечения тела плоскостью x=i .
Объем такого элементарного цилиндрического тела:
Vi  Q(i )xi .
n
Vn   Vi
Объем всех цилиндров
, а объем тела V можно
i 1
рассматривать как предел Vn при
xi  0 , т.е.
b
V   Q( x)dx.
(3.14)
a
Если тело является телом вращения, полученным при вращении
кривой y=f(x)
вокруг оси
0x
, то Q( x)    f ( x)2 , тогда объем тела
вращения
b
V    f 2 ( x)dx .
a
66
(3.15)
Несобственные интегралы
Определение 3.2
b
Определенный интеграл  f ( x)dx , где промежуток интегрирования [a; b]
a
конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b],
называют еще собственным интегралом.
Определение 3.3
Несобственным интегралом называется определенный интеграл от
непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или
определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от
функции, имеющей бесконечный разрыв.
Интеграл
с
бесконечным
промежутком
интегрирования
(несобственный интеграл I рода)
Определение 3.4
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке a; . Если существует
b
конечный предел blim
 f ( x)dx , то его называют несобственным интегралом
 
a

первого рода и обозначают  f ( x)dx .
a

b
a
a
Таким образом, по определению  f ( x)dx = blim
 f ( x)dx .
 

В этом случае говорят, что несобственный интеграл  f ( x)dx сходится.
a
Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что

интеграл  f ( x)dx расходится.
a
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке
 ; b :
67
b
b

a
 f ( x)dx  alim
 f ( x)dx .
 
Несобственный
интеграл
с
двумя
бесконечными

c



c
пределами
определяется формулой  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx , где с – произвольное
число. В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба
интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция f(x) ≥ 0 на

промежутке a;  и интеграл  f ( x)dx сходится, то он выражает площадь
a
бесконечно длинной криволинейной трапеции.
Пример 3.6
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

0
dx
cos xdx .
;
2)

2

1 x
1) 
Решение:

b
dx
1

lim
x 2 dx   lim 1b  (0  1)  1 , интеграл сходится.

2
b  
b  
1 x
1
x
1) 
0
0

a
sin x 0a  0  lim sin a , интеграл расходится,
2)  cos xdx  alim
 cos xdx  alim
 
 
a  
sin a не существует.
т.к. при а → ∞ предел alim
 
В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл;
достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.
Признаки сходимости неопределённого интеграла первого рода
Теорема 3.4 (признак сравнения)
Если на промежутке a; непрерывные функции f(x) и φ(х)

удовлетворяют условию 0 ≤ f(x) ≤ φ(x), то из сходимости интеграла   ( x)dx
a
68
следует сходимость интеграла

 f ( x)dx , а из расходимости интеграла
a


a
a
 f ( x)dx следует расходимость интеграла   ( x)dx .
Теорема 3.5
Если существует предел lim
x 
интегралы


a
a
 f ( x)dx и
f ( x)
 k ,0  k   (f(x) › 0 и φ(х) › 0), то
 ( x)
  ( x)dx одновременно оба сходятся или оба
расходятся (т.е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).
Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)
Определение 3.5
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет
b 
бесконечный разрыв при x = b. Если существует конечный предел lim
 f ( x)dx
 0
a
, то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
b
 f ( x)dx .
a
b
b 
a
a
Таким образом, по определению,  f ( x)dx = lim
 f ( x)dx .
 0
Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл
b
 f ( x)dx сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен,
a
b
то говорят, что интеграл  f ( x)dx расходится.
a
Аналогично, если функция f(x) терпит бесконечный разрыв в точке х =
b
b
a
a 
а, то полагают  f ( x)dx  lim
 f ( x)dx . Если функция f(x) терпит разрыв во
 
внутренней точке с отрезка [a; b], то несобственный интеграл второго рода
69
b
c
b
a
a
c
определяется формулой  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx . В этом случае интеграл
слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих
справа, сходятся.
b
В случае, когда f(x) › 0, несобственный интеграл второго рода  f ( x)dx
a
(разрыв в точке x = b) можно истолковать геометрически как площадь
бесконечно высокой криволинейной трапеции.
Признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода
Теорема 3.6
Пусть на промежутке [а; b) функции f(x) и φ(х) непрерывны, при
х=
b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию 0 ≤ f(x) ≤ φ(x). Из
b
b
a
a
сходимости интеграла   ( x)dx вытекает сходимость интеграла  f ( x)dx , а из
b
b
a
a
расходимости интеграла  f ( x)dx вытекает расходимость интеграла   ( x)dx .
Теорема 3.7
Пусть функции f(x) и φ(х) непрерывны на промежутке [а; b) и в точке x
= b терпят разрыв. Если существует предел lim
x b
b
b
a
a
f ( x)
 k ,0 k  , то интегралы
 ( x)
 f ( x)dx и   ( x)dx одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Вычислить определенные интегралы.
0
1.
 (x
0
2
 5 x  6)cos 2 xdx.
2.
2
x
2
 4  cos3 xdx.
2
0
3.
 x
2
0
 4 x  3 cos xdx.
4.
1
  x  2
2
70
2
cos3 xdx.
0
5.
 x
2

 7 x  12  cos xdx.
6.
4
  2x
2
 4 x  7  cos 2 xdx.
0
№ 2 . Вычислить определенные интегралы.
e2 1
1.

1  ln  x  1
x 1
e1
1
dx.
2.

0
4arctg x  x
dx.
3. 
2
1

x
0
1
x
x
3
2
 1 dx
 3x  1
2
.
2
x 3 dx
.
4.  2
x

4
0
№ 3 Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.
y   x  2 ,
3
1.
3.
2.
y  4 x  8.
y  4  x2 ,
4.
y  x  2 x.
2
y  x 9  x 2 , y  0,
 0  x  3 .
y  sin x cos 2 x, y  0,
 0  x   2 .
№ 4 Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными
уравнениями.
 x  4 2 cos3 t ,

3
1. 
 y  2 2 sin t ,
x  2  x  2 .
 x  2 cos t ,

2. 
 y  2 2 sin t ,
y  2  y  2 .
№ 3 Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими
уравнениями.
 x  5  t  sin t  ,

1.  y  5 1  cos t  ,

0  t  .
 x  3  2cos t  cos 2t  ,

2.  y  3  2sin t  sin 2t  ,

0  t  2 .
71
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение собственного интеграла.
2.
Дайте определение несобственного интеграла первого рода.
3.
Перечислите свойства несобственного интеграла первого рода.
4.
Дайте определение несобственного интеграла второго рода.
5.
Перечислите свойства несобственного интеграла второго рода.
6.
Приведите формулу для вычисления площади плоской фигуры,
ограниченной линиями, заданными в декартовой системе координат.
7.
Приведите формулу для вычисления площади плоской фигуры,
ограниченной линиями, заданными параметрически.
8.
Приведите формулу для вычисления площади сектора.
9.
Приведите формулу для вычисления длины кривой, заданной в
декартовой системе координат.
10. Приведите формулу для вычисления длины кривой, заданной
параметрически.
11. Приведите формулу для вычисления длины кривой, заданной в
полярной системе координат.
12. Приведите формулу для вычисления поверхности тела вращения.
13. Приведите формулу для вычисления объёма тела вращения.
14. Дайте определение определённого интеграла, как предела
интегральной суммы.
15. Приведите основные свойства определённого интеграла.
16. В чём состоит геометрический смысл определённого интеграла.
17. В чём состоит физический смысл определённого интеграла.
18. Приведите формулу интегрирования по частям определённого
интеграла.
19. Приведите
формулу
интегрирования
определённого интеграла.
72
подстановкой
для
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 4.1
Дифференциальным уравнением называется соотношение между
функцией, её производными и независимыми переменными.
Определение 4.2
Уравнения, содержащие производные по многим независимым
переменным, называется уравнением в частных производных.
Определение 4.3
Уравнения, содержащие производные лишь по одной из независимых
переменных, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать в виде:

dy
d n y 

F x, y, ,...,
0


n
dx
dx 

(4.1)
Определение 4.4
Порядком уравнения называется порядок старшей производной,
входящей в уравнение.
Уравнение первого порядка имеет вид:
dy 

F  x, y ,   0
dx 

(4.2)
Пример 4.1
Уравнение
x 2 y   5xy  sin x
является
обыкновенным
является
обыкновенным
дифференциальным уравнением 1-го порядка.
Уравнение
y   y   y   x
дифференциальным уравнением 3-го порядка.
73
 2u  2u

Уравнение
 t 2  x2
является
уравнением
с
частными
производными 2-го порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные
относительно производной
Определение 4.5
Дифференциальное уравнение вида:
dy
 f ( x, y ) ,
dx
(4.3)
где f ( x, y ) — некоторая функция, называется дифференциальным
уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Найдем решение уравнения (4.3) такое, что
y( x0 )  y 0
(4.4)
где x0 и y 0 — некоторые заданные числа.
Определение 4.6
Задача нахождения решения уравнения (4.3), которое удовлетворяет
условию (9.4) называется задачей Коши, при этом условие (4.4) называется
начальным условием или условием Коши.
Определение 4.7
График функции y (x) , которая является решением уравнения (4.3) в
плоскости
XOY
называется интегральной кривой уравнения (4.3).
Теорема 4.1 Существования и единственности решения задачи
Коши
Пусть функция f ( x, y ) в уравнении (4.3) и ее частная производная
f ( x, y )
непрерывны в некоторой области D плоскости XOY и точка
y
( x0 , y 0 ) принадлежит области D . Тогда
74
1) в некоторой окрестности точки x0 существует решение задачи
Коши для уравнения (4.3) с начальным условием (4.4);
2) в данной окрестности точки x0 данное решение единственно.
Геометрическая интерпретация теоремы: через каждую точку ( x0 , y 0 )
области D проходит интегральная кривая уравнения (4.3), и при том только
одна.
Определение 4.8
Общим решением уравнения (4.3) называется функция y   ( x, C ) , где
C —
произвольная постоянная, удовлетворяющая следующим двум
условиям:
1) она является решением уравнения (4.3) при любом значении C ;
2)
для
любых
начальных
данных
( x0 , y 0 ) ,
при
которых
дифференциальное уравнение (4.3) имеет решение, можно указать значение
постоянной C  C0 ,
такое, что будет выполнено начальное условие
y 0   ( x0 , C0 ) .
Определение 4.9
Решение уравнения (4.3), полученное из общего решения путем
задания конкретного значения постоянной С, называется частным решением
уравнения (4.3).
Метод изоклин
Рассмотрим уравнение (4.3). Пусть правая часть уравнения (4.3)
определена и конечна в каждой точке некоторой области (непустой,
замкнутой,
связной): tg  f ( x, y) .
Построим
касательные
ко
всем
интегральным кривым во всех точках: - для этого каждой точке (t0, x0) нужно
сопоставить проходящую через нее прямую с угловым коэффициентом k = f(t0,
x0). Полученное соответствие между точками плоскости и проходящими через
75
нее прямыми называется полем направлений уравнения (4.3). Геометрически:
поле направлений уравнения (4.3) – направление касательной в каждой точке
интегральной кривой совпадает с направлением поля в этой точке (рис. 4.1).
Рисунок 4.1 Поле направлений
Определение 4.10
Кривая, в каждой точке которой наклон поля, определяемого
дифференциальным уравнением (4.3), один и тот же, называется изоклиной
этого уравнения, ее уравнение: f ( x, y)  k
Пример 4.2
Построить интегральные кривые уравнения y ' 
y
.
x
Решение:
В каждой точке, кроме начала координат, угловой коэффициент к
искомой интегральной кривой равен
с осью
OX
y
,
x
то есть тангенсу угла, образованного
прямой, проходящей через данную точку и начало координат.
Следовательно, интегральными кривыми в данном случае будут прямые вида
y  Cx (Рис 4.2).
76
Рисунок 4.2
Уравнения с разделяющимися переменными
Многие дифференциальные уравнения приводятся к уравнению с
разделяющимися переменными при соответствующей замене искомой
функции и независимой переменной.
Определение 4.11
Дифференциальное уравнение вида:
X ( x)dx  Y ( y)dy  0
(4.5)
называют уравнением с разделенными переменными.
Будем
x

d   X ( x)dx 
x
 0
предполагать,
что
X ( x), Y ( y)
-
непрерывны,
тогда:

y

 Y ( y )dy   0 , поэтому

y0

x

y


  X ( x)dx   Y ( y )dy   C
y0
 x0

общий интеграл уравнения (4.5). Особых решений нет.
Определение 4.12
Уравнения вида:
77
(4.6)
m( x)  n( y)dx  m1 ( x)  n1 ( y)dy  0
(4.7)
называют уравнениями с разделяющимися переменными.
1
, получим уравнение с
n( y )  m1 ( x )
Умножая обе части (4.7) на
разделенными переменными:
n ( y)
m( x )
dx  1
dy  0
m1 ( x)
n( y )
Общим интегралом будет: 
n ( y)
m( x )
dx   1
dy  C
m1 ( x)
n( y )
Мы могли потерять решения, определяемые уравнениями n( y)  0 и
m1 ( x)  0 . Это могут быть частные или особые решения. Решения вида y  b
и x  a могут быть особыми.
Пример 4.3
Решить уравнение и выделить интегральную кривую, проходящую
через точку (0,1) :
x 1  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0
Решение:
Разделяя переменные, имеем:
x
1 x2

y
1 y2
0
( x  1,
y  1?)
отсюда следует, что: 1  x 2  1  y 2  C - общий интеграл
Все решения x  1,
y  1 - особые, т.к. не получаются из формулы
общего интеграла ни при каких значениях произвольной постоянной и на
каждом из них нарушается единственность задачи Коши.
78
Полагая x  0, y  1, находим C  1 , или решение задачи Коши в виде:
1 x2  1 y2 1
Но через точку (0,1) проходит и особое решение y  1 , получаем две
интегральные кривые, проходящие через точку (0,1)
Уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися
переменными
Определение 4.13
Уравнение вида
dy
 f (ax  by ) называется уравнением, приводимым к
dx
уравнению с разделяющимися переменными, где
f – некоторая функция
одной переменной, а и b – постоянные числа
С помощью замены переменной z = ax+by данное уравнение сводится
к уравнению с разделяющимися переменными
dy
dz
ab ,
dx
dx
dz
 a  bf (z ),
dx
dz
 dx.
a  bf ( z )
Пример 4.4
Решить уравнение y   4 x  2 y  1 .
Сделаем замену z = 4x + 2y, тогда
dy dy
dz
42 ,
 z  1 , откуда
dx
dx dx
dz
 4  2 z 1.
dx
Решаем это уравнение:
dz
2  z 1
 2dx .
Интегрируем обе части уравнения: 
dz
 2  dx .
z 1  2
Вычислим интеграл в левой части равенства, используя замену:
u  z  1 , z  u 2  1, dz  2udu ,
79
dz
2udu
u22

 2
du 
u2
u2
z 1  2
2 
du

 2  1 

du  2  du  4
u

2
u

2



 2u  4 ln u  2  2C  2 z  1  4 ln z  1  2  2C.
Таким образом, 2 z  1  4 ln z  1  2  2C  2 x или, возвращаясь к
переменным x и y , получим общий интеграл исходного уравнения
4 x  2 y  1  2 ln 4 x  2 y  1  2  C  x .
Однородные уравнения
Определение 4.14
Функция f ( x, y ) называется однородной функцией m измерения
относительно переменных x и y , если при любом

справедливо
f (x, y)  m  f ( x, y)
(4.8)
Пример 4.5
Функция f ( x, y )  3 x 3  y 3 однородная функция первого измерения,
так как f (x, y)    f ( x, y)
Определение 4.15
Дифференциальное уравнение вида:
dy
 y
  
dx
x
(4.9)
называют однородным дифференциальным уравнением.
Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение:
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0
80
(4.10)
где M ( x, y), N ( x, y) - однородные функции одного же измерения
m,
причем m может быть любым вещественным числом.
Перепишем уравнение (4.10) в виде:
dy
M ( x, y )

dx
N ( x, y )
Полагая в(4.8)  
(4.11)
1
, получим:
x
y
1
f (1, )  m  f ( x, y )
x
x
(4.12)
Откуда:
y
f ( x, y )  x m  f (1, )
x
(4.13)
 y
 y
x m  M 1, 
M 1, 
 x     x    y 

 
 y
 y
 x
m
x  N 1, 
N 1, 
 x
 x
(4.14)
Из (4.12) имеем:
Для однородного уравнения (4.9), сделаем замену искомой функции:
z
y
,
x
или
y  zx ,
тогда
будем
иметь
M ( x, y)  x m  M 1, z  ,
N ( x, y)  x m  N 1, z .
Перепишем (4.10) в виде:
x m M 1, z)dx  x m N 1, z)  ( zdx  xdz)  0
Разделим на
xm
(4.15)
и получим дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными:
M (1, z)  N (1, z) z dx  xN (1, z)dz  0
 x  0 ?
(4.16)
M (1, z )  N (1, z ) z  0 ?
(4.17)
Разделяя переменные, имеем:
N (1, z )dz
dx

0
x M (1, z )  N (1, z ) z
81
Интегрируя, находим:
ln x  
N (1, z )dz
 ln C
M (1, z )  N (1, z ) z
(4.18)
Откуда:
xe

N (1, z ) dz
M (1, z )  N (1, z ) z
(4.19)
или
x  C  e  z 
где   z    
Заменяя z на
(4.20)
N (1, z )dz
M (1, z )  N (1, z ) z
y
, получим общий интеграл уравнения (4.9) в виде:
x
 y
x
 
x  C e
(4.21)
Разделяя переменные могли потерять решения вида z  a , где a корень уравнения M (1, z )  N (1, z ) z  0 .
Подставляя
za
в замену
y  zx , имеем
y  ax
 x  0
-
полупрямые, примыкающие к началу координат, решения однородного
уравнения. Эти решения могут содержаться в формуле общего интеграла, но
могут быть и особыми.
Особыми могут быть полуоси оси OY x  0
и  y  0 .
Других особых решений быть не может.
Пример 4.6
Решить уравнение:
dy

dx
y
x
Решение:
Интегральными кривыми могут быть только кривые, расположенные в
1 и 3 квадрантах, и полуоси осей координат.
Положим y  zx , получим:
82
z 
dz
dx

0
x
z z
интегрируя,
z  0, x  0 ?

2 ln z  1  ln x  C
найдем
 y

возвращаясь к переменной y , получим: 
1 
 x

или


z 1 
x C,
x C
Рассмотрим уравнения z  z  0 , оно имеет корни z  0, z  1 , им
соответствуют решения y  0, y  x
x  0 . Первые из них – особые, вторые
– частные.
Полуоси оси полуоси оси OY x  0
 y  0 тоже особые решения.
Уравнение, приводящееся к однородному
Рассмотрим уравнение
 a x  b1 y  c1 
dy

 f  1
dx
ax

by

c


(4.22)
Если c1  c  0 , то это однородное уравнение.
1)
Пусть
a1
b1
a
b
 0.
a1  b1   c  0
Выберем  и  , так, чтобы: 
a  b  c  0
Сделаем замену переменных: x     ,
y     , тогда уравнение
примет вид:
 a   b1  a1  b1   c1 
d
 f  1

d
a


b


a


b


c


Получим однородное уравнение:
2)
Если
a1
b1
a
b
 0 , то
(4.23)
 a   b1 
d
 f  1
 .
d
 a  b 
a1 b1
  k , откуда a1  ka, b1  kb ,
a
b
83
поэтому
 k ax  by   c1 
dy
  f ax  by 
 f 
dx
ax

by

c


Если ввести новую переменную
(4.24)
z  ax  by ,то придем к уравнению
dz
 a  bf z , не содержащему независимой переменной.
1
dx
Пример 4.7
Решить уравнение:
Решение:
dy x  y  3
.

dx x  y  1
Делаем
замену
x  x1  h,
y  y1  k ,
тогда:
dy1 x1  y1  h  k  3

dx1 x1  y1  h  k  1
h  k  3  0
Решая систему 
, находим h  2, k  1 ,
h  k  1  0
В результате получаем однородное уравнение
решаем
подстановкой
C x  y e
2
1
2
1
y1
u,
x1
получаем
dy1 x1  y1
, которое

dx1 x1  y1
C  x1  1  u 2  e arctgu
или
y
arctg 1
x1
Переходя к переменным x и y , имеем:
C
x  2
2
  y  1  e
2
arctg
y 1
x2
Уравнения в полных дифференциалах
Определение 4.16
Уравнение
P( x, y)dx  Q( x, y)dy  0
называется
уравнением в
полных дифференциалах, если его левая часть – полный дифференциал
некоторой
функции
u ( x, y) , т.е.
84
P( x, y)dx  Q( x, y)dy  du ( x, y)
(4.25)
Необходимым и достаточным условием полного дифференциала
является равенство частных
производных
Общий интеграл
в
вид
уравнения
P Q
.

y x
полных
дифференциалах имеет
u ( x, y)  c ,
где функция u ( x, y) может быть найдена по одной из формул:
y
x
u ( x, y )   P( x, y )dx   Q( x 0 , y )dy;
x0
y0
y
x
u ( x, y )   P( x, y 0 )dx   Q( x, y )dy.
x0
y0
Пример 4.8
Указать
уравнения
в
полных
дифференциалах:
( x  sin y)dx  ( x cos y  y 2 )dy  0.
Решение:
1. Дифференциальное
где
P( x, y)  x  sin y ,
2.
Найдём
уравнение записано в симметричной форме,
Q( x, y)  x cos y  y 2 .
частные
производные:
P   x  sin y 

 cos y ,
y
y
Q x cos y  y 2 

 cos y .
x
x
3. Сравним частные производные. Так как
P Q
, то уравнение

y x
является уравнением в полных дифференциалах.
Пример 4.9
Найти
общий
интеграл дифференциального
85
уравнения:
y' 
ey
.
2 y  xe y
Решение:
1. Запишем
2 y  xe dy  e
y
y
уравнение в
e y dx  xe y  2 y dy  0 ,
dx ,
Q( x, y)  xe  2 y.
Найдём
y
dy
ey

симметричной форме:
,
dx 2 y  xe y
частные
P( x, y)  e y ,
тогда:
P  e y  y

e ,
y
y
производные:
P Q
Q xe y  2 y 

 ey

 e y . Сравним частные производные. Так как
y x
x
x
, то уравнение
является уравнением
в
2. Запишем
формулу
общего
3. Выберем
формулу
для
x
y
x0
y0
полных
дифференциалах.
u ( x, y)  C.
интеграла:
отыскания
функции u ( x, y) :
u ( x, y )   P( x, y 0 )dx   Q( x, y )dy.
4. Найдём функцию u ( x, y) :
u(x, y)   e y 0 dx   xe y  2y dy  e y 0 x
x
y
x0
y0
x
x0
 xe y
y
y0
 y2
y
y0

 e y 0 (x  x 0 )  x e y  e y 0   xe y  y 2  x 0 e y 0  y 02 .
5. Запишем
общий
интеграл
уравнения:
xe y  y 2  x 0 e y 0  y 02  C1 ,
xe y  y 2  C1  x 0 e y 0  y 02 ,

C
xe  y  C.
y
2
Линейные уравнения
Определение 4.17
Линейным
дифференциальным
называется уравнение вида:
86
уравнением
первого порядка
dy
 p ( x) y  q ( x) ,
dx
Положим,
что
функции
р(х)
(4.26)
и
в
q(x)
(4.26) являются
непрерывными.
Определение 4.18
Линейное
дифференциальное
уравнение
(4.26) называется
q( x)  0 и называется неоднородным, если q( x)  0 .
однородным, если
dy
 p ( x) y  0
dx
Уравнение
(4.27)
является
(4.27)
уравнением
с
разделяющимися
переменными, для которого можно легко найти общее решение:
dy
  p ( x)dx,
y

dy
   p( x)dx,
y
ln | y |  P( x)  ln C
y  Ce  P ( x )
где P(x) —
(4.28)
первообразная функции
этого решения будем использовать обозначение
означает, что данное решение
является
р(х). В дальнейшем для
y
o.o.
общим
, где индекс «о.о.» ,
решением однородного
уравнения.
При делении на у могло быть потеряно решение у = 0, но оно
входит в
общее
решение
(4.28) при С = 0.
Метод вариации постоянной
Предположим, что общее решение уравнения (4.27) имеет форму
(4.28), в которой С – не постоянная, а неизвестная функция аргумента х
y  C ( х)e  P ( x )
Тогда,
с
учетом
того,
что
(4.29)
P ( x)  p( x)
dy
 C ( x)e  P ( x )  C ( x) P ( x)e  P ( x )
,
dx
P( x)
P( x)
 C ( x)e
 C ( x) p ( x)( x)e
87
и
подставив эти выражения в (4.27), получим уравнение относительно
С(х)
C ( x)e  P ( x )  C ( x) p( x)( x)e  P ( x )
 p( x)C ( x)( x)e  P ( x )  q ( x)
,
или, сокращая второе и третье слагаемые в правой части
C ( x)e  P ( x )  q( x), C ( x)  q( x)e P ( x ) .
Введем
полученного
обозначение
 ( x)  q( x)e P ( x )
уравнения.
Тогда
для
правой
части
C ( x)   ( x) .
Решая
это
уравнение,
находим
C ( x)    ( x)dx  ( x)  C ,
где
(x)
произвольная
—
функции
 (x) ,
а
С —
постоянная.
Таким образом,
(4.26)
первообразная
общее
неоднородного
линейного уравнения
есть
y o.н.  ( x)  C e  P ( x )
индекс «о.н.» подчеркивает, что
(4.30)
данное решение является общим
решением неоднородного линейного уравнения.
Если каким-либо образом зафиксировать значение постоянной С в
решении (4.30), то получим
уравнения (4.26). Например,
—
yч.н.
если
частное решение неоднородного
С=0, то
yч.н.  ( x)e  P ( x ) .
Таким образом, решение (4.30) можно представить в виде:
y o.н.  ( x)  C e  P ( x )  ( x)e  P ( x )  Ce  P ( x ) 
 Ce  P ( x )  ( x)e  P ( x )  y o.o  y ч.н.
y o . н .  y o .o  y ч . н . .
88
Общее
решение
неоднородного линейного дифференциального
уравнения первого порядка равно сумме общего решения соответствующего
однородного уравнения и частного решения
данного
неоднородного
уравнения.
Пример 4.19
Найти общее
решение
уравнения:
у′ = 2 х (х² + y).
Решение:
Представим
соответствующее
уравнение в виде
однородное
и решим
y′ - 2xy = 2x³
уравнение:
y′ - 2xy = 0.
dy
dy
dy
 2 xy,  2 xdx,    2 xdx,
dx
y
y
ln | y | x 2  ln | C |,
y  Ce x .
2
Далее, применим метод вариации постоянных. Пусть решение
y  C ( x )e x ,
2
неоднородного уравнения имеет вид:
тогда:
2
2
dy
 C e x  C ( x)e x  2 x .
dx
Подставим
полученные
выражения
в
уравнение:
C e x  C ( x)e x  2 x  2 xC ( x)e x  2 x 3 .
2
2
2
Следовательно, C ( x)  2 x 3 e  x , C ( x)   2 x 3 e  x dx   x 2 e  x dx 2 .
2
2
2
Применяя подстановку x 2  t и метод интегрирования по частям,
u  t , du  dt, dv  e t dt, v  e t ,
получим:
t
t
t
t
t
 te dt  te   e dt  te  e  c .
Возвращаясь
к
переменной
получаем:
x,
C ( x)   x 2 e  x  e  x  c .
2
При
этом
общее
решение
2
исходного
уравнения есть:
y  ( x 2 e  x  e  x  c)e x  ce x  x 2  1 .
2
2
89
2
2
Уравнение Бернулли
Определение 4.19
Уравнение вида:
dy
 p( x) y  q( x) у п , п  1, п  0.
dx
(4.31)
называется уравнением Бернулли.
Уравнение Бернулли можно свести к линейному дифференциальному
уравнению.
Разделим уравнение (4.31) на уп, получим: у  n
Выполним замену: z = y1-n, получим:
В
итоге,
относительно z:
получим
линейное
dy
 p( x) y 1 n  q( x) .
dx
dy
dz
 (1  n) y  n
dx
dx
дифференциальное
уравнение
1 dz
 p( x) z  q( x) .
1  n dx
Пример 4.20
Решить уравнение: y   y 4 cos x  ytgx .
Решение:
Преобразуем: y   ytgx  y 4 cos x,
Сделаем замену: z 
1
,
y3
1 dy 1

tgx  cos x .
y 4 dx y 3
dz
3 dy
 4
.
dx
y dx
1
Относительно z уравнение стало линейным:  z   ztgx  cos x .
3
1
dz
Решим однородное уравнение:  z   z  tg x  0 ,
  z tg x ,
3dx
3
dz  3 sin xdx

,
z
cos x
ln | z | 3 ln | cos x |  ln C1 ,
z  C cos 3 x .
Применим метод вариации постоянных: z  C ( x) cos3 x,
90
dz
 C ( x) cos 3 x  3C ( x) cos 2 x sin x .
dx
Подставим эти результаты в неоднородное уравнение
1
 C ( x) cos 3 x  C ( x) cos 2 x sin x  C ( x) cos 3 x tg x  cos x,
3
3
3dx
C ( x)  
,
C
(
x
)


  3 tg x  c.

cos 2 x
cos 2 x
Окончательно получаем
y 3  (3 tg x  c) cos3 x  c cos3 x  3 sin x cos 2 x.
Необходимо дополнить это общее решение частным решением у = 0,
потерянным при делении на у4.
Метод Бернулли
Сделаем в уравнении (4.31) подстановку y  uv , где u  u (x) и v  v(x)
— некоторые неизвестные функции.
Тогда получим:
(uv)  p( x)uv  q( x)(uv) n ,
uv   u v  p( x)uv  q( x)(uv) n ,
u v  u(v   p( x)v)  q( x)(uv) n .
В качестве функции v возьмем решение уравнения, удовлетворяющее
условию: v   p( x)v  0 .
Тогда функция u определяется как решение уравнения u v  q ( x)uv  .
n
Пример 4.21
Решить уравнение: y  
y
 x2 y3 .
x
Решение:
1

Пусть y  uv . Тогда: uv   u v  uv  x 2 (uv) 3 , u v  u  v  
x

Функцию v найдем из условия v  
v
2
3
  x (uv) .
x
v
dv
v
 0 . Решаем данное уравнение:

x
dx
x
91
,
dv
dx
1
1
. Пусть C  1 , тогда v  и уравнение для
  , ln | v |  ln | Cx | , v 
dv
x
Cx
x
u принимает вид: u 
1
1
 x 2 u 3 3 или u   u 3 . Решая это уравнение, получаем:
x
x
1
du
1
du
du
1
, u2 
,
 u 3 , 3  dx ,  3   dx ,  2  x  C , u 2  
C1  2 x
2( x  C )
dx
u
u
2u
u
1
1
1
. Находим y : y 
.
C1  2 x
x C1  2 x
Дополним это решение частным решением y  0 , которое было
потеряно при делении на u 3 .
Данный
метод
можно
применять и
для
решения
линейных
дифференциальных уравнений.
Решение линейного уравнения будем искать в виде: y  u( x)  v( x) .
Дифференцируя, имеем: y   u 
Подставляя
в
(10.19),
dv
du
v .
dx
dx
имеем:
u
dv
du
v
 p u v  q
dx
dx
или:
du
 dv

u    v  p  v 
q
dx
 dx

Выберем функцию v такой, чтобы
находим:
dv
 v  p  0 . Разделяя переменные,
dx
dv
  pdx . Интегрируя, получаем:
dv
 ln C  ln v   pdx
или
 pdx
v  Ce 
. Подставляя найденное значение v в уравнение, получим:
v( x) 
 q ( x)

q( x)
du
dx  C  или
dx  C . Итак, имеем: y  v( x)   
 q( x) или u  
v( x)
dx
 v( x)

y  v( x)  
q ( x)
dx  C  v( x) .
v( x)
92
Пример 4.22
Решить уравнение:
dy
2
2

y  x  1
dx x  1
Решение:
Полагаем
y  u( x)  v( x) , тогда
y  u 
dv
du
 v  , подставляя в
dx
dx
исходное уравнение, будем иметь:
u
dv
du
2
2
v

uv  x  1
dx
dx x  1
2 
du
 dv
2
u  
v  v 
  x  1
dx
 dx x  1 
Для определения v получим уравнение:
ln v  2 ln( x  1) , или v  ( x  1) 2 ,
, откуда
x  1
u
dv
2
dv 2dx

v  0 . Т.е.

dx x  1
v x 1
x  1
2

du
3
 x  1 , откуда
dx
2
 C . Следовательно, общий интеграл заданного уравнения:
2
x  1
y
4
2
 C  x  1 .
2
Общие сведения о дифференциальных уравнениях высших
порядков
Определение 4.20
Дифференциальным уравнение п-го порядка называется соотношение
вида:
F (x, y, y′,…, y(n)) = 0,
(4.32)
где функция F предполагается непрерывной функцией всех своих
n  2 аргументов.
По теореме о существовании неявной функции можно разрешить это
уравнение относительно старшей производной.
у(п) = f (x, y, y′,…, y(n-1)).
93
(4.33)
Определение 4.21
Задачей Коши для дифференциального уравнение (4.32) (или (4.33))
называется
задача
нахождения
решения
этого
уравнения,
которое
удовлетворяет условиям:
y( x0 )  y0 , y( x0 )  y0 ,..., y ( n1) ( x0 )  y0( n1) ,
(4.34)
где x0 , y0 , y0 ,..., y0( n1) — некоторые числа.
Условия (4.34) называются начальными условиями или условиями
Коши.
Теорема 4.1 Существования и единственности решения задачи
Коши
Пусть функция f (x, y, y′,…, y(n-1)) в уравнении (4.34) и ее частные
производные по аргументам y, y′,…, y(n-1) непрерывны в некоторой области D
плоскости ( n  1) — мерного координатного пространства с координатами
x, y, y′,…, y(n-1) и пусть точка ( x0 , y0 , y0 ,..., y0( n1) ) принадлежит области D . Тогда
1) в некоторой окрестности точки
x0
существует решение задачи
Коши для уравнения (4.33) с начальными условиями (4.34).
2) в данной окрестности точки x0 данное решение единственно.
Определение 4.22
Общим
решением
y   ( x, C1 , C2 ,...,Cn ) ,
где
уравнения
C1 , C2 , ..., Cn
(4.32)
—
называется
произвольные
функция
постоянные,
удовлетворяющая следующим двум условиям:
1) она является решением уравнения (4.32) при любых значениях
C1 , C2 , ..., Cn .
2) для любых начальных данных ( x0 , y0 , y0 ,..., y0( n1) ) , при которых
дифференциальное уравнение (4.32) имеет решение, можно указать значения
постоянных C1  C10 , C2  C20 , ..., Cn  Cn 0 ,
начальные условия:
94
такое, что будут выполнены
y ( x0 , C10 , C 20 ,...,C n 0 )  y 0 ,
y ( x0 , C10 , C 20 ,...,C n 0 )  y 0 ,
.................,
.
y ( n 1) ( x0 , C10 , C 20 ,...,C n 0 )  y 0( n 1)
Определение 4.23
Если общее решение уравнения (4.33) (или (4.32)) получено в неявном
виде:
( x, y, C1 , C2 ,..., Cn )  0 ,
(4.35)
то оно называется общим интегралом данного дифференциального
уравнения.
Определение 4.24
Решение
уравнения
y   ( x, C1 , C2 ,...,Cn )
(4.32),
полученное
из
общего
решения
путем задания конкретных значений постоянных
C1 , C2 , ..., Cn , называется частным решением данного уравнения.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие
понижение порядка
При аналитическом решении дифференциальных уравнений стараются
понизить порядок уравнения.
Рассмотрим несколько случаев, для которых это возможно сделать.
Неполные уравнения
Простейшее уравнение n порядка – уравнение вида: y n   f (x) .
Решение уравнения находится
кратным интегрированием:
n
 y     f ( x) .
n 1
Интегрируя , получим:
x
y  n 1   f ( x)dx  C1 ;
x0
аналогично, интегрируя еще раз, получим:
95
y
n2 
x x
   f ( x)dxdx  C1   x  x0   C 2
x0 x0
и.т.д.
x x
x
x0 x 0
x0
y      f ( x)dxdx  dx 
раз
n

Чтобы
C1
n 1
  x  x0  
n  1!
- общее решение.
C2
n2
  x  x0   C n 1   x  x0   C n
n  2!
найти
значениям: y 0  x0   y 0 ,
частное
решение,
y 0  x0   y 0 ,
y0
 n 1
удовлетворяющее
x   y 
0
0
n 1 
начальным
, достаточно положить
Cn  y0 , Cn1  y0 , C1  y0n1 .
Пример 4.23
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
y ' '  sin 2 2 x , удовлетворяющее начальным условиям y
x 0
 0,
y
x 0
 1.
Решение:
1. Определим тип уравнения: y' '  sin 2 2 x - уравнение, допускающее
понижение порядка. Решается последовательным интегрированием.
2.
y 
Проинтегрируем
1
 1  cos 4 x dx, y  
2
обе
части
уравнения:
y'   sin 2 2 xdx,
1
1

 x  sin 4 x   C1 .
2
4

3. Проинтегрируем обе части полученного уравнения:
1
1


y     x  sin 4 x   C1 dx,
4

2

x2 1
y
 cos 4 x  C1 x  C 2 .
4 32
4. Найдём произвольные постоянные:

y



 y' 


x2 1
 cos 4 x  C1 x  C 2 ,
4 32
1
1

 x  sin 4 x   C 2 .
2
4

96
При x=0, y=0, y’=1 получаем C 2  
1
; C1  1 .
32
5. Запишем ответ – частное решение уравнения:
y
x2 1
1
 cos 4 x  x  .
4 32
32
Уравнение, не содержащее искомой функции и ее первых
производных до k  1 порядка
Это уравнения вида:
F ( x, y k , y k 1 ,, y n  )  0
Порядок уравнения понижается с помощью замены. Введем z  y k  ,
тогда: F ( x, z, z , z ,, z nk  )  0
Таким образом мы понизили порядок на k единиц.
Пример 4.24
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
xy ' '  y ' ln
y'
, удовлетворяющее начальным условиям C1 .
x
Решение:
1. Определим тип уравнения: xy' '  y ' ln
y
- уравнение, допускающее
x
понижение порядка.
2. Запишем подстановку: y '  Px ,
y ' '  P'  x  .
3. Осуществим подстановку в данное уравнение: x  P'  P  ln
P
.
x
4. Решим полученное дифференциальное уравнение первого порядка.
4.1. Определим тип уравнения: P' 
4.2. Запишем подстановку:
P
P
 ln - однородное уравнение.
x
x
P
 u x , P  u  x,
x
P'  u 'x  u .
4.3. Осуществим подстановку в уравнение: u 'x  u  u  ln u .
97
4.4. Решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:
1
e
u '  (u  ln u  u )  ; C2 
2
x
ln ln u  1  ln C1 x ; ln u  1  C1 x; u  e C1  x 1 .
4.5. Запишем общее решение: P  ux  xeC1x 1 ;
y'  xe c1x 1 .
5. Определим значение произвольной постоянной C1 .
При x  1, y '  e имеем C1  0 , тогда y'  ex .
6. Решим уравнение, полученное в пункте 50: y '  ex - уравнение с
x2
разделяющимися переменными.  dy  e xdx; y  e   C 2 .
2
7. Определим значение произвольной постоянной C2 .
При х=1, у=е имеем C 2 
e
.
2
8. Запишем ответ – частное решение уравнения: y 
Уравнение
второго
порядка,
не
e 2
 x  1.
2
содержащее
независимой
переменной
Это уравнения вида: y   f  y, y 
Порядок уравнения понижается с помощью замены:
y  x   p y ,
y  
dp dp dy dp



p,
dx dy dx dy
Подставляя в уравнение, имеем: p 
dp
 f ( x, p )
dy
Интегрируя, имеем: p  p( y, C1 ) или x, y, C1 , C2   0 .
Пример 4.25
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
2 yy' ' y '  1  0 , удовлетворяющее начальным условиям y0  1, y' 0  0 .
2
98
Решение:
1.
Определим
тип
уравнения:
2 yy' ' y '  1  0
2
-
уравнение,
допускающее понижение.
2. Запишем подстановку: y'  P y , y' '  P y   P'  y .
3. Осуществим подстановку в уравнение: 2 y  P  P' P 2  1  0 .
4.Решим уравнение, полученное в пункте 3: 2 yPP 'P 2  1  0 уравнение с разделяющимися переменными. 
2 PdP
dy
 ;
2
P 1
y
ln P 2  1  ln C1 y; P 2  1  C1 y; P 2  C1 y  1;  y ' 
2
 C1 y  1; y '  C1 y  1.
5. Найдём значение произвольной постоянной C1 . При y  1, y'  0
имеем C1  1 . Тогда y ' 
y 1.
6. Решим уравнение, полученное в пункте 5: y ' 
разделяющимися переменными: 
2 y  1  x  C2 ;
y
y  1 - уравнение с
dy
  dx;
y 1
1
x  C 2 2  1.
4
7.Определим значение произвольной постоянной C 2 :
При x  0, y  1 имеем C 2  0 .
x2
8. Запишем ответ – частное решение уравнения: y 
 1.
4
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Определение 4.25
Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется
соотношение вида:
a0 ( x) y ( n )  a1 ( x) y ( n1)  ...  an1 ( x) y   an ( x) y  f ( x) ,
99
(4.36)
где a0 ( x), a1 ( x), ... an1 ( x), an ( x) — некоторые функции, определенные
на некотором промежутке, причем a0 ( x)  0 .
Определение 4.26
Линейное
дифференциальное
уравнение
(4.36)
называется
однородным, если f ( x)  0 и называется неоднородным, если f ( x)  0 .
Разделим уравнение (4.26) на a0 ( x)  0 , получим:
y ( n )  p1 ( x) y ( n1)  ...  pn1 ( x) y   pn ( x) y  0 ,
(4.37)
Здесь f ( x)  0 .
Определение 4.27
Линейным дифференциальным оператором называется - оператор
вида:
L y   y n   p1 x  y n1    pn1 x  y   pn x  y
Линейное дифференциальное уравнение n -го порядка:
L( y )  f ( x )
(4.38)
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим
однородное
линейное
уравнение
порядка
n-го
с
постоянными коэффициентами:
y ( n )  p1 y ( n1)  ...  pn y  0 .
(4.39)
Согласно теореме о структуре общего решения однородного
n
уравнения, общее решение данного уравнения имеет вид: y o.o.   Ci y i , где Ci
i 1
— произвольные постоянные, а yi — фундаментальная система решений
(4.39).
Будем искать частные решения (4.39), образующие фундаментальную
систему,
в
виде
y  e kx ,
где
k
–
постоянная
величина.
Тогда
y   ke k , y   k 2 e k , ... y ( n )  k n e k и, при подстановке в (4.39), получаем:
L(e x )  n  a1e  1    an1  an  e x  P   e x
100
L(e x )  0 тогда и только тогда когда  - корень уравнения P( )  0
Определение 4.28
Уравнение
P( )  n  a1e  1    an1  an  0
-
называется
характеристическим уравнением, а его корни характеристическими числами
однородного линейного уравнения.
От вида корней характеристического уравнения зависит вид частного
решения. Можно выделить четыре типа корней:
1.
Пусть все корни характеристического уравнения 1 ,, n -
вещественны и различны.
 x
n
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y   C e k
k
k 1
2.
Пусть все корни характеристического уравнения 1 ,, n -
комплексные и различны.
Корню вида a  ib соответствует решение e ax cos bx , e ax sin bx .
Корню вида a  ib соответствует решение e ax cos bx ,  e ax sin bx .
Таким образом, если все корни характеристического уравнения
1 ,, n различны, но среди них имеются комплексные, то каждому
вещественному корню k соответствует решение e k x , а каждой паре
сопряженных комплексных корней a  ib соответствуют два вещественных
линейно независимых частных решений вида e ax cos bx , e ax sin bx .
Итак, если корень вещественный k , то общее решение Ck e k x , если
корни сопряженные a  ib , то общее решение e ax C1 cos bx  C2 sin bx , если
чисто мнимые
3.
 ib ,
то общее решение C1 cos bx  C2 sin bx .
Случай наличия кратных корней
Пусть 1 k - кратный корень характеристического уравнения:
P(1 )  P1     P k  1   0
101
Всякому вещественному корню 1 кратности k соответствует k
вещественных линейно независимых решений вида e 1x , xe1x , x k 1e 1x
Каждой паре сопряженных a  ib корней кратности k соответствует 2k
вещественных линейно независимых решений вида:
e ax cos bx , xe ax cos bx ,, x k 1e ax cos bx
e ax sin bx , xe ax sin bx ,, x k 1e ax sin bx
Итак, если корень вещественный 1 кратности k , то ему соответствует
Pk 1 ( x)e 1x .
Если корни сопряженные a  ib , кратности k , то ему соответствует
e ax Pk 1 ( x) cos bx  Qk 1 ( x) sin bx
Остановимся
отдельно
на
решении
линейных
однородных
дифференциальных уравнений второго порядка. Однородное линейное
уравнение

порядка
с постоянными
коэффициентами
имеет вид:
y' ' py ' gy  0 , где p, g - заданные числа.
Виды фундаментальной системы решений линейного однородного
уравнения представлены в следующей таблице:
Дискриминант
Корни
Фундаментальна
характеристиче характеристическо
я система
ского уравнения
го уравнения
частных решений
вещественные
y1  e k1x
различные
D0
y 2  e k2 x
k1  k 2
вещественные
y1  e kx
равные
D0
k1  k 2  k
y 2  xe kx
D0
комплексные
k1, 2      i
y1  e x cos x
y 2  e x sin x
Общее
решение
y  c1e k 1 x 
 c2 e k 2 x
y  ek  x 
 c1  c2 x 
y  e x 
 (c1 cos x 
 c2 sin x)
Таблица 4.1
Пример 4.26
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
102
y' '13 y'30 y  0 ,
удовлетворяющее
начальным
условиям
y0  6, y' 0  5
Решение:
1. Определим тип уравнения.
y' '13 y'30 y  0 - линейное, однородное ІІ порядка, с постоянными
коэффициентами.
2. Запишем формулу общего решения: y  c1 y1  c2 y 2
3. Составим и решим характеристическое уравнение: 2  13  30  0
1  2,
2  15 (корни вещественные, различные)
4. Запишем фундаментальную систему решений:
1  2  y '  e 2 x
.
2  15  y 2  e15 x
5. Запишем общее решение уравнения: y  c1e 2 x  c2 e15 x
6. Найдём значения произвольных постоянных c1 и c2 :
 y  c1e 2 x  c2 e15 x ,

2 x
15 x
 y '  2c1e  15c2 e .
При
x  0,
y  6,
y'  5
получаем
c1  c 2  6,
 c1  5, c 2  1.


2
e

15
c

5
,

1
2
7. Запишем ответ – частное решение уравнения: y  5e 2 x  e15 x .
Метод вариации постоянных нахождения частного решения
неоднородного линейного дифференциального уравнения
Пусть y1 , y2 , ... , yn — фундаментальная система решений однородного
уравнения
y ( n )  p1 ( x) y ( n1)  ...  pn ( x) y  0 , тогда общее решение этого
уравнения:
n
y o .o .   ci y i .
i 1
103
Общее
решение
неоднородного
линейного
уравнения
y ( n )  p1 ( x) y ( n1)  ...  pn ( x) y  f ( x) будем искать в виде:
n
y о.н.   ci ( x) y i ,
i 1
где с1(х), с2(х),…, сп(х) — неизвестные функции.
Поскольку требуется найти n неизвестных функций, удовлетворяющих
всего одному уравнению, то можно дополнительно потребовать, чтобы
искомые функции удовлетворяли еще каким-нибудь п-1 уравнениям,
выбранным так, чтобы производные функции
n
y   ci ( x) y i
i 1
имели по
возможности такой же вид, как при постоянных ci. Потребуем, чтобы
неизвестные функции с1(х), с2(х),…, сп(х) удовлетворяли условиям:











n
 ci ( x) y i ( x)  0,
i 1
n
 ci ( x) y i ( x)  0,
i 1
n
 ci ( x) y i( x)  0,
i 1
..............
n
( n2)
 ci ( x) y i ( x)  0.
i 1
С учетом данных условий получим следующие выражения для
производных искомой функции y (x)
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
y    ci ( x) y i ( x)   ci ( x) y i ( x)   ci ( x) y i ( x),
y    ci ( x) y i( x)   ci ( x) y i ( x)   ci ( x) y i( x),
y    ci ( x) y i( x)   ci ( x) y i( x)   ci ( x) y i( x),

n
n
n
i 1
i 1
y ( n 1)   ci ( x) y i( n 1) ( x)   ci ( x) y i( n  2 ) ( x)   ci ( x) y i ( n 1) ( x),
i 1
n
n
i 1
i 1
y ( n )   ci ( x) y i( n ) ( x)   ci ( x) y i( n 1) ( x).
104
.
В последней строчке выражение для y (n ) содержит два слагаемых, так
n
как условие  ci ( x) y i( n 1) ( x)  0 не содержится в системе условий. Подставив
i 1
найденные выражения для y, y, y, ... , y ( n) в исходное уравнение приходим к
уравнению:
n
 ci ( x) y i
( n 1)
i 1
  ci  y i( n )  p1 ( x) y i( n 1)  ...  p n ( x) y i   f ( x) .
n
i 1
Поскольку yi – частные решения однородного уравнения, то все
слагаемые второй суммы равны нулю и уравнение сводится к следующему:
n
( n 1)
 f ( x) .
 ci ( x) y i
i 1
Добавив его к первым п – 1 уравнениям системы условий, получим
систему из п уравнений для определения c1 ( x), c2 ( x), ..., cn ( x) определитель
которой является определителем Вронского для функций у1, у2,…, уп и не равен
нулю. Следовательно, из этой системы можно единственным образом найти
производные искомых функций: c1 ( x)  1 ( x), c2 ( x)   2 ( x), ..., cn ( x)   n ( x) .
Интегрируя c1 ( x), c2 ( x), ..., cn ( x) , находим:
c1 ( x)  1 ( x)  C1 , c2 ( x)   2 ( x)  C2 , ..., cn ( x)   n ( x)  Cn ,
где  i (x) — первообразные функций  i (x) , а Ci — произвольные
постоянные, i  1, 2, ..., n .
Таким образом, общее решение неоднородного линейного уравнения
имеет вид:
y о.н.    i ( x)  Ci  y i ( x)
n
i 1
Если каким-либо образом зафиксировать значения постоянных
Ci
в
общем решении, то получим частное решение неоднородного линейного
уравнения. Например, Ci  0, i  1, 2, ... , n , тогда:
n
y ч.н.    i ( x) y i ( x) .
i 1
105
Таким образом, общее решение равно сумме общего решения
соответствующего
однородного
уравнения
и
частного
решения
неоднородного, то есть:
y о.н.    i ( x)  Ci  y i ( x)   C i y i ( x)    i ( x) y i ( x)  y о.o.  y ч.н. .
n
n
n
i 1
i 1
i 1
Пример 4.27
Решить уравнение y   2 y   y 
ex
.
x
Решение:
Найдем
решение однородного
уравнения, для чего
составим
характеристическое уравнение k² - 2k + 1 = 0, k1 = k2 =1. Следовательно, общее
решение однородного уравнения имеет вид у = (с1 + c
2
x)ех, то есть
фундаментальную систему решений составляют функции у1 = ех и у2 = хех.
Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде: у = с1(х)ех +
с2(х)хех.
 с1e x  c 2 xe x  0
 c1  c 2 x  0


x
1,
Составим систему:  x
e , откуда 
x
  c 2 (1  x) 
c


c
e

c
(
1

x
)
e

1
1
2


x
x
1
c2  , c2  ln | x | C 2 , c1  1, c1   x  C1 , где С1 и С2 – произвольные
x
постоянные. Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения
y  (C1  x) e x  (ln x  C 2 ) xe x или у = ех(хln|x| - x + C2 x + C1).
Метод подбора частного решения по виду правой части
Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение с
постоянными коэффициентами:
y ( n )  p1 y ( n1)  ...  pn y  f ( x) .
(4.40)
Его общее решение равно сумме общего решения соответствующего
однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение
106
будем искать способом описанном в предыдущем параграфе, остается найти
какое-либо частное решение уравнения (4.40). Для некоторых видов правой
части
можно подобрать частное решение в виде функции с
f (x)
неопределенными
коэффициентами,
которые
определяются
путем
подстановки этой функции в уравнение (4.40).
Если правая часть уравнения (4.40) имеет вид:
f ( x)  e px P( x) cos qx  Q( x) sin qx ,
(4.41)
где Р(х) и Q(х) – некоторые многочлены, то частное решение можно
подобрать в виде:
~
~
y  x r e px ( Pm ( x) cos qx  Qm ( x) sin qx) ,
где
~
Pm ( x ) и
~
Qm ( x )
—
(4.42)
многочлены
с
неопределенными
коэффициентами, степень т которых есть старшая из степеней многочленов
Р(х) и Q(х), а
r
— кратность корня p + iq характеристического уравнения для
уравнения (4.40) (если число p + iq не является корнем характеристического
уравнения, то r  0 ).
Остановимся
отдельно
на
решении
линейных
неоднородных
дифференциальных уравнений второго порядка: y' ' py  gy  f x  , c правой
частью: f x   e dx Px x  cos x  Qm x sin  x , где Px x , Qm x  - заданные
многочлены одной или разных степеней. Построим функцию вида:
y*  e dx M n x cos x  N n x sin xx r , где M n x , N n x  - многочлены степени
n  maxk , m, записанные пока с неопределенными коэффициентами; r кратность корня характеристического уравнения.
107
N
1
2
Правая часть
Основной
уравнения f x  параметр   i
А=const
Pn x 
  0
   i  0
  0
   i  0
Сравнение
параметра с
корнями
Конструкция частного решения у*
характеристичес
кого уравнения
0 не является
корнем
B =const
0 однократный
корень
Bx
0 двукратный
корень
Bx 2
0 не является
корнем
M n x 
0 однократный
корень
M n x   x
0 двукратный
корень
M n x   x 2
 не является
корнем
3
Aex
 0
   i  
 однократный
корень
 двукратный
корень
 не является
корнем
4
Pn x ex
 0
   i  
 однократный
корень
 двукратный
корень
108
Bex
Bex x
Bex x 2
M n x ex
M n x ex x
M n x ex x 2
   i не являются
корнями
A cos  x 
 B sin  x
5
C cos  x 
 D sin  x
  0;
 0
   i - корни
 C cos x  

 x
  D sin x 
x cos x 
n
 N  x sin x
n
M
   i не являются корнями
Pk x  cos x 
6
 Qm x  sin x
n  maxk ; m
  0;
 0
x cos x 
n
 N  x sin x) x
n
(M
   i - корни
n  maxk ; m
    i не являются
корнями
( A cos x 
 B sin x)e x
7
   i
    i - корни
    i не являются
8
( Pk  x  cos  x 
 Q m  x  sin  x)e x
 C cos x   x

e
  D sin x 
 C cos x   x

e x
  D sin x 
( M cos x 
n
корнями
 N sin x)ex
n
    i - корни
 M cos x  
 n
ex x
  N sin x 
n


   i
Таблица 4.2
В таблице 4.2 представлены формы правой части f x  и соответствующие
решения уравнения у*
Пример 4.28
Найти общее решение дифференциального уравнения: y  4 y'  x 3  1 .
109
Решение:
10. Определим тип уравнения: y  4 y'  x 3  1 - линейное, неоднородное, ІІ
порядка, с постоянными коэффициентами, со специальной правой частью.
20. Запишем формулу общего решения: y  y  y * .
30. Найдём общее решение однородного уравнения - y :
y ' '4 y '  0, k 2  4k  0, k1  0, k 2  4,
y  c1  c2 e 4 x
40. Проведём анализ правой части уравнения:
x 3  1  e ox x 3  1cos ox  o sin 0 x ,   0,   0,
f x   P3 x . .
50. Вычислим основной параметр уравнения:   i  0 .
60. Определим параметр r :
Основной
параметр
  i  0
является
однократным
корнем
характеристического уравнения, следовательно r  1 .
70. Сконструируем частное решение – у*:
y*  M 3 x x  Ax3  Bx2  CX  Dx .
80. Вычислим коэффициенты функции у*:
8.1. Найдём производные от функции у*:
y*  Ax 4  Bx 3  Cx 2  Dx,
 y *'  4 Ax  3Bx  2Cx  D,
 y *' '  12 Ax  6Bx  2C.
3
2
2
8.2. Поставим функцию у* и её производные в данное уравнение:
16 Ax3  12 A  12B x 2  6B  8C x2C  4D  x 3  1.
8.3. Приравняем коэффициенты при подобных членах левой и правой части
равенства:
16 A  1,
12 A  12 B  0,


6 B  8C  0,
2C  4 D  1.
110
8.4. Решим систему: A 
1
1
3
29
.
, B , C , D
16
16
14
128
90. Запишем частное решение у*:
y* 
1 4 1 3 3 2 29
x  x 
x 
x.
16
16
64
128
100. Запишем ответ – общее решение уравнения:
y  c1  c2 e 4 x 
1 4 1 3 3 2 29
x  x 
x 
x.
16
16
64
128
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Найти общий
интеграл дифференциального уравнения
 sin 2 x


sin 2

 x dx   y 
y
y2



x
dy  0.

sin 2 x x 2  y 2

 C.
y
2
Ответ:
№ 2 Найти решение
задачи
Коши
уравнения
x

(ln y  2 x)dx    2 y dy  0,
y

условиям
y1  1.
для
дифференциального
удовлетворяющее начальным
Ответ: частное решение уравнения: x ln y  x 2  y 2  2  0
№ 3 Является ли (2 xy  5 y 2 )dx  ( x 2  10 xy  6 y )dy.
в
полных
дифференциалах?
Ответ: да.
№ 4 Среди уравнений указать линейные:
а) y' cos x  y sin x  2 x  0 ;
б) 2 xy' y 2  x  0 ;
111
уравнением
в) m
dV
 P  kV ;
dt
г) y ' 
y
.
3x  y 2
y x ;
Ответ: а) линейное относительно
б) не является линейным;
V t  ;
в) линейное относительно
г) линейное
относительно
№ 5 Найти
решение
уравнения:
x y  .
задачи
Коши
для дифференциального
y' cos x  y sin x  2 x  0, удовлетворяющее начальным условиям
y x  0  1.
x2 1
.
y
cos x
Ответ:
№ 6 Найти общее решение дифференциального уравнения:
y '
x
y  1.
1 x2
y  1  x 2 c  arcsin x  .
Ответ:
№ 7 Найти общее решение дифференциального уравнения:
y' 
y
.
3x  y 2
Ответ:
x  y 2  cy 3 .
№8
интегральные
Найти
кривые,

проходящие
M 1 (0,1), M 2 ( ,1) уравнения sin xdy  y ln ydx  0 .
2
112
через
точки
Ответ: y  e
C tg
x
2
- общее решение; в точке M 1 (0,1) поле не определено;

в точке M 2 ( ,1) y  1 - искомая интегральная кривая.
2
№9 Решить дифференциальное уравнение x y 2  1dx  ydy .
Ответ:
x2

2
y2 1  C .
№10 Найти частное решение уравнения y′ctg x + y = 2,
удовлетворяющее условию у(0) = -1.
Ответ: 2 – y = С cos x; y = 2 – 3cos x.
x
№11 Построить интегральные кривые уравнения y '   .
y
Ответ: окружности x 2  y 2  C
№12 Построить интегральные кривые уравнения
y'  x 2  y 2 ,
используя метод изоклин.
№13 Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Ответ:
№14 Найти интегральные кривые уравнения y   2 x .
Ответ: y  x 2  C ,семейство парабол.
Контрольные вопросы
1.
Какое
уравнение
называется
уравнением
в
полных
дифференциалах?
2.
Какое уравнение называется линейным однородным первого
порядка?
113
3.
Какое уравнение называется линейным неоднородным первого
порядка?
4.
Дайте определение общему решению однородного уравнения.
5.
Дайте определение общему решению неоднородного уравнения.
6.
Дайте определение частному решению неоднородного уравнения.
7.
В чем состоит метод вариации постоянной?
8. Дайте определение дифференциальному уравнению.
9. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением в частных
производных?
10.Какое
уравнение
называется
обыкновенным
дифференциальным
уравнением?
11.Дайте определение порядку дифференциального уравнения.
12.Сформулируйте задачу Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения первого порядка.
13.Дайте определение интегральной кривой.
14.Дайте определение общему решению дифференциального уравнения и
частному решению дифференциального уравнения.
15.В чем состоит метод изоклин?
16.Дайте определение дифференциальному уравнению с разделенными и
разделяющимися переменными.
17.Дайте
определение
уравнению,
разделяющимися переменными.
114
приводимому
к
уравнению
с
Операционное исчисление
Оригинал
и
изображение.
Основные
теоремы
нахождения
оригинала и изображения
Определение 5.1 Оригиналом называется любая комплексная функция
f(x) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:
а) f(t) непрерывна по всей оси t за возможным исключением точек
разрыва 1-го рода в конечном числе на каждом интервале конечной длины;
б) f(t) = 0 при t0;
в) существуют числа М>0 и S00 такие, что для всех t>0
f (t )  Me S0t
(число S0, обладающее этим свойством, называется
показателем роста функции f(t); в частности, число 0 является показателем
роста ограниченной функции).
Определение 5.2 F ( p) : C  C называется изображением,
соответствующим оригиналу f(t), если F(p) – интеграл Лапласа:


F ( p) .
F ( p)   f (t )e  pt dt ; f (t ) 

(5.1)
0
Теорема 5.1 (существование изображения)
Для всякого оригинала
полуплоскости
причем функция
f t 
изображение
F  p  существует
Re p  s  s0 , где s 0  показатель роста функции
F  p
в
f t  ,
является аналитической в этой полуплоскости
s  s  .
0
115

Докажем
первую
p  s  i
Пусть
часть
произвольная
Re p  s  s0
полуплоскости
теоремы.
точка
(рис. 5.1).
Учитывая, что
f t   M  e s0 t , находим
Re p  s0
0
s0


0
0
pt

 f t   e
f t   e  p t dt 

 M  e sot e  p t dt =
s
0
Рисунок 5.1
M


0
0
s t s t
 s  s  t
 e o e dt  M  e o dt 
так как s  s 0  0 и
Таким образом,
M
,
s  s0
e  p t  e  s t  e  i  t  e  s t  cos  t  i sin  t  e  s t .

F  p    f t   e  pt dt 
0
M
.
s  s0

Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла  f (t )e  pt dt , т. е.
0
изображение F  p  существует и однозначно в полуплоскости Re p  s  s0 .
Следствие 5.1 (необходимый признак существования изображения)
Если функция F  p  является изображением функции f t  , то
lim
F  p   0.
p 
Это утверждение непосредственно вытекает из выше доказанного
неравенства, когда Re p  s  .
116
Так как F  p   0 при p   по любому направлению. Отсюда, в
частности, следует, что функции
F  p   2,
F  p  p 3
не могут быть
изображениями.
Теорема 5.2 (о единственности оригинала)
F  p
Если функция
служит изображением двух оригиналов
f1 t  и f 2 t , то эти оригиналы совпадают друг с другом в тех точках, в
которых они непрерывны.
Пример 5.1
1(t)
Найти изображение единичной
функции Хевисайда
1
0
 t   
при
при
1
t  0,
t0
0
t
Рисунок 5.2
Решение: По формуле (5.1) при s  Re p  0 s0  0 находим

F  p   1 e
0
т. е. F  p  
pt
b
dt  lim  e
b 
pt
0
1
dt  lim   e  p t
b 
p

1
1
,
или, в символической записи,  t  

p
p
b

0
1
,
p

1
.
или 1

p
Замечание 5.1 В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко
записывать в виде f t , подразумевая, что
 f t 
f t   
0
117
при
при
t  0,
t  0.
Пример 5.2
Найти изображение функции f t   e a t , где
a  любое число.
Решение: Данная функция является оригиналом. Имеем

F  p   e e
at
pt
0
b
dt  lim  e
b 
 p  a  t
0
1
dt   lim
 e  p  a  t
b 
pa
b

0
 1
e   p  a b 
1

 
 lim

,
b 
p

a
p

a
p

a


если Re p  a   0 .

Таким образом, e at 

1
pa
Re p  Re a  .
Основные свойства преобразования Лапласа
Свойство линейности
1.
Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная
комбинация изображений, т. е. если

f 1 t   F1  p ,


f 2 t   F2  p ,

C1 и

C1  F1  p   C 2  F2  p  .
C 2  постоянные числа, то C1  f 1 t   C 2  f 2 t  

Используя свойства интеграла, находим
 C


0
0
0

 f1 t   C 2  f 2 t   e  p t dt  C1   f1 t   e  p t dt  C 2   f 2 t   e  p t dt 
1
 C1  F1  p   C2  F2  p .
Пример 5.3
Найти изображения функции sin  t ( – любое число)
118
Решение: Пользуясь свойством линейности и формулой (13.1),
e i  t  e i  t  1  1
1 

  2
находим: sin  t 
 

,

2i
2i  p  i p  i  p   2


т. е. sin  t 

p 2
2
.
Теорема подобия
2.
Если


f t   F  p  ,  0 , то

f t  

 p
 F   , т. е.
 
1

аргумента оригинала на положительное число
умножение
приводит к делению
изображения и его аргумента на это число.
По формуле (13.1), полагая что  t  t1 , получим:
 
1


f  t    f  t   e  pt  dt 
0
как
безразлично,

f t   e
p
 t1
1
0

 dt1 
1



f t   e
p
 t

dt
0
 p
F  


1

(так

какой
буквой
обозначена
переменная
интегрирования).
Пример 5.4 Найти изображение функции cos  t ( – любое число)

Решение: Пусть cos t 

p
. Тогда
p 1
2

cos  t 

3.
p
p /
.

  p /  2  1 p 2   2
1

Теорема смещения


F  p  , a  const , то e at  f t   F  p  a  , т. е. умножение
Если f t  


оригинала на функцию e a t влечет за собой смещение переменной p .
119
В силу формулы (13.1)
 


0
e a t  f t    e a t  f t  e  p t dt   f t   e  p  a  t dt  F  p  a  Re p  a   s0 .
0
Пример 5.5
Найти изображение функций e at  sin  t , e at  cos  t ( – любое число)

Решение: По теореме подобия: sin t 


p2  

, cos t 
2

p
.
p2   2
Следовательно, по теореме смещения получим:


e at  sin  t 

4.

 p  a  
2
2
, e at  cos  t 

pa
.
 p  a 2   2
Теорема запаздывания
Рассмотрим
оригинал

f t   F  p ,

определим
функцию
при t  
 0
g (t )  
где   0 .
при
t


,
f
(
t


)

f t  и g t  имеют одинаковый вид, но график
Графики функции
функции g t  сдвинут на
функции
f t  и g t 
 единиц вправо (рис. 13.3). Следовательно,
описывают один и тот же процесс, но процесс,
описываемый функцией g t , начинается с опозданием на время  .
Замечание 5.2
Запаздывающую функцию g (t ) можно записать с помощью функции
Хевисайда: g (t )   (t   ) f (t   ).
120
g (t)
f(t)
0
t
0
t
Рисунок 5.3
Теорема 5.2


F  p , то  (t   ) f t     e  p  F  p  , т. е. запаздывание
Пусть f t  



оригинала на положительную величину
приводит к умножению
изображения оригинала без запаздывания на e  p  .
Положив t    t1 , получим
 t   
Свойство
удобно применять при отыскании
1
0
запаздывания
изображения функций, которые на

t
разных
участках
различными
Рисунок 5.4
задаются
аналитическими
выражениями;
функций,
описывающих импульсные процессы.
Функция
1
0
 t     
при
при
t ,
t 
единичной функцией (рис. 5.4).

Так как  t  


1
1
,  t      e  p  .

p
p
121
называется
обобщенной
Пример 5.6
0

f t   1
0

Найти изображение функции
Решение:
f t 
Данная функция
описывает единичный импульс (рис.
1
13.5), который можно рассматривать
0
как разность оригиналов единичной
функции
t  0,
0  t  3,
t  3.
при
при
при
 t 
и обобщенной
3
t
Рисунок 13.5
единичной функции  t  3. Поэтому

f t    t    t  3 

1 1 3 p
 e
 F  p .
p p
Пример 5.7
b
 p
1 b p
1
ae a
sin( at  b)  e a

.
2
 a
p2  a2
 p
  1
a

Пример 5.8
 1
Cos (at  b)  e
 a
b
 p
a
p
b
 p
a
pe
a

.
2
p2  a2
 p
  1
a
Основные свойства преобразования Лапласа
5. Дифференцирование оригинала
Если

f t   F  p  и функции

f t , f t ,  , f n  t 
оригиналами, то

f t   p  F  p   f 0,


f t   p 2  F  p   p  f 0  f 0,

122
являются

f t   p 3  F  p   p 2  f 0  p  f 0  f 0,

          
f
n 

t   p

n
 F  p   p n 1  f 0     f  n 1 0 ,
 
По определению изображения f t    f t e  pt dt.

Возьмем
0
интеграл по частям, полагая
u  e pt ,
du   pe pt ,
dv  f t  dt , v  f t 
 
Тогда f t    f t  e  p t dt  f t e  pt

Итак,
0

0

 p  f t  e  pt dt   f 0  p F  p .
0

f t   p  F  p   f 0 . Пользуясь полученным результатом,

найдем изображение второй производной:
 
f t    f t   p p  F  p   f 0  f 0  p 2  F  p   p  f 0  f 0.

Аналогично найдем изображение третьей производной:
f t   p p 2  F  p   p  f 0  f 0  f 0  p 3 F  p   p 2  f 0  p  f 0  f 0.


И т.д. Применяя n  1 раз первую формулу можно получить изображение n-ой
производной.
6. Дифференцирование изображения
Если

f t   F  p , то


F  p   t  f t  ,


F  p   1  t 2  f t ,
2

      ,

F  n   p   1  t n  f t ,
n

   ,
123
т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его
оригинала на  t .
F  p
Согласно теореме существования изображения,
является
Re p  s  s0 . Следовательно, у
аналитической функцией в полуплоскости
нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл (13.1)
по параметру p получим


/
F  p     f t   e  p t dt     f t   e  p t  p dt 
0
p 0
/



0
0

  f t    t e  p t dt    t  f t  e  p t dt  t  f t ,

 
 t  f t . Тогда F  p   F  p   t  t  f t   t 2  f t  ,
т. е. F  p  


F  p   t t 2  f t   t 3  f t  и вообще F  n   p   1  t n  f t .




n
Пример 5.8
Найти изображения функций t n n  N , t sin t , t cos t .

1
Решение: Так как


по свойству дифференцирования
/
 
1
1 
2
 t  1 2 . Далее находим  t 2  2    3 , т.е.


p
p
 p p

изображения имеем
t2 

1
,
p

2!
n!
n
.
t

. Так как
Продолжая
дифференцирование,
получим
3

p
p n 1

sin  t 


/
p2   2

или t sin  t 

   
 2
  t s i n t , т. е.
2 
 p  p 
,
2 p
p
2

2

2 p
p
2
2 
2

. Аналогично находим t cos  t 
2


124

 t sin  ,

p2 2
p
2


2 2
.
7. Интегрирование оригинала
Если

f t   F  p ,


 f   dt 

t
то
0
F  p
, т. е. интегрирование
p
оригинала от 0 до t соответствует делению его изображения на p .
 t    f   d
t
Функция
является оригиналом
(проверьте
0
самостоятельно).

Ф p . Тогда по свойству дифференцирования оригинала
Пусть  t  

 t   p  Ф p    0  p  Ф p  (  0  0 ).
/
t
 t     f   d   f t ,
0
t
А так как
Ф p  
Fp 
,
p
т. е.

 f   d 

t
0
F  p   p  Ф p . Отсюда
F  p
.
p
Пример 5.9

1

t
t

1
1
, следовательно 1dt  t  2 ;
 p
0
р
 tdt 
0
t
t3  1
t n 1
tn  1
t2  1 t t2
.
dt

,...,
dt

;





0 ( n  1)!
3!  p 4
n!  p n 1
2  p3 0 2

Отсюда t n 

n!
.
p n1
8. Интегрирование изображения



p
0

F  p  и интеграл  F  p  dp сходится, то  F  p  
Если f t  


т. е. интегрирование изображения от
f t 
,
t
p до  соответствует делению его
оригинала на t .
125
Используя формулу
(5.1)
и изменяя порядок интегрирования,
получаем

  f t  e  p t dt  dp     e  p t dp  f t  dt 


F
p
dp




 
 
p
p 0

0 p



 
 f t 

1
f t 
    e  p t  f t  dt  
e  p t dt 
.

0
0
p
t
t
 t
Пример 5.10
Найти изображения функции
sin t 
Решение. Так как
t sin 
sin t
и интегрального синуса 
dt.
0
t

1
,
p 1
функция
2
sint  1

  2
dp   arctg p .
p p 1
t
2
Применяя свойство интегрирования оригинала, получаем
t

0
sin 




2p
d 

arctg p
.
p
9. Понятие о свертке
Определение 5.3 Сверткой функций a(t) и b(t) действительного
переменного
называется
функция
с(t),
определяемая
равенством
t
с(t )   a(t   )b( )d .
0
Символически
свертку
обозначают
так:
a(t)*b(t),
т.е.
a(t ) * b(t )   at   b d . Операцию получения свертки функций называют
t
0
свертыванием.
126
Теорема умножения изображений
Произведение двух изображений F1(p) и F2(p) является изображением
свертки соответствующих оригиналов.




Пусть f1 (t )  F1 ( p), f 2 (t )  F2 ( p) , тогда



t

0
0
0
f1 (t )  f 2 (t )   e  pf  f1 (t ) * f 2 (t )dt   e  pt dt  f1   f 2 t   d .
Изменяя порядок интегрирования в последнем интеграле и заменяя t – τ = u,
 pt
 e dt  f1   f 2 t   d 
a
будет иметь:
Переходя
t
0
0
  e  p f1  dt   e  pu f 2 (u )du   e  pt f1  d  e  pu f 2 (u )du.
к
a
a
a
a
0
0
0
a 
пределу
при

a

в
равенстве,
получим:

f1 (t )  f 2 (t )  F1 ( p)  F2 ( p).

Пример 5.11 Пусть a(t)=b(t)=cost, тогда:
a(t ) * b(t )   cost    cosd 
t
0
cos  cost  2 
cos t
d 

0
2
2
t

т.е. cos t * cos t 
t
0
t
1
1
 sin t  2   t cos t  sin t ,
4
2
0
1
t cos t  sin t  .
2
Пример 5.12 a(t)=t, b(t)=et.
a(t ) * b(t )   t   e d  t  e
t
0
t
t
  e d et t  1
0 0
Пример 5.13 Найти оригинал f(t) для
127
p2
.
( p 2  1) 2
Решение: Так как
p 
 cos t , то, применяя последовательно
p2 1 
теорему умножения оригиналов, получим:
p2
p
p 


 cos t  cos t
( p 2  1) 2 p 2  1 p 2  1 
Пример 5.14 Найти оригинал f(t) для
Решение:
Но тогда
1
.
p ( p  1)
2
1
1
1 


 t  et .
2
2
p ( p  1) p p  1 

t
t
1
t

 t

t

t

e

(
t


)
e
d


(
t


)
e


 e dt  e  t  1.
2
0

0
0
p ( p  1)
Формула Дюамеля
Пусть f1(t) – оригинал, непрерывный на [0, ), f2(t) – оригинал,


F1 ( p ) и f 2 (t )  F2 ( p) по
непрерывно дифференцируемый на [0, ). Из f 1 (t ) 



t
теореме умножения изображений следует:  f1 ( ) f 2 (t   )d  F1 ( p) F2 ( p) .

0
Отсюда
по
правилу
дифференцирования

d t
f
(

)
f
(
t


)
d


pF1 ( p) F2 ( p) .
 1
2

dt 0
оригинала
следует
Применяя к левой стороне правило
дифференцирования интегралов, зависящих от параметра, получим формулу


Дюамеля  f1 ( ) f 2 (t   )d  f (t ) f 2 (0)  pF1 ( p) F2 ( p) .

0
Пример 5.15 Найти оригинал, соответствующий изображению
F  p 
128
2 p2
p
2
 1
2
.
Решение: Так как
2 p2
p
2
 2 p
 1
2
1
p

и
p2 1 p2 1
1 
 sin t ,
p2 1 
p 
 cos t , на основании формулы Дюамеля:
p2 1 
2p
1
p  t

 2  cos   cos t    d  0  t  cos t  sin t .
p2 1 p2 1  0
10.Умножение оригиналов


F1  p  и
Если f 1 t  


1

2 i
f 1 t   f 2 t  
f 2 t   F2  p , то

 i 
 i 
 F1  z   F2  p  z  dz ,
s0
 i 
где путь интегрирования – вертикальная
прямая


0
Re z    s0 (рис. 5.5).
s
 i 
Рисунок 5.5
11.Изображение периодического оригинала
с периодом, равным T, имеет вид
F  p 
1 T
f t  e  p t dt .
T p 
1 e 0
Оно определено в полуплоскости Re p  s  0 .
Пример 5.16
Найти изображение периодической функции
заданной графически (рис. 5.6).
129
f t ,
f t 
0
1
2
3
4
t
Рисунок 5.6
Решение: Зададим f t  аналитически
t
f t   
2  t
при
при
0  t  1,
1  t  2,
учтем, что T  2 , получим
1
2
1
1  e p
pt
pt


F  p 
.
 t e dt   2  t  e dt   2
1
 p 1  e  p 
1  e  2 p  0
Формула обращения. Теоремы разложения
Если функция действительной переменной f t  является оригиналом,
то связь между данной функцией и ее изображением взаимно однозначна: из

равенства F  p    e  p t f t  dt следует формула обращения:
0
f t  
1
2 i
s i 

s i 
e p t F  p  dp
(формула Меллина или обратное преобразование Лапласа).
Замечание 5.3
Во всякой точке t 0 , являющейся точкой разрыва функции f t  , правая
часть формулы Меллина равна
1
 f t 0  0  f t 0  0.
2
130
Теорема 5.3
F  p , аналитическая в полуплоскости
Если функция
Re p  s0 ,
удовлетворяет условиям:
а)
  
p   равномерно относительно arg p    ,  ,
 2 2
F  p   0 при
б) для всех s  s0
s i 
F x  i y  dy  M , то F  p  является изображением

s i 
оригинала, который определятся по формуле Меллина.
Непосредственное
применение
формулы
обращения
часто
затруднительно и обычно пользуются теоремами разложения, являющимися
следствиями из нее.
Теорема 5.4 Первая теорема разложения
Если функция F ( p) аналитична в некоторой окрестности бесконечно
удаленной точки и ее разложение в ряд по степеням
1/ p

an
tn
F  p    p 1 , то функция f t    an
, t  0 ( f t   0
n 0 p
n 0
n!

имеет вид:
при
t  0
является оригиналом, имеющим изображение F  p .
Теорема 5.5 Вторая теорема разложения
Если изображение F ( p)
является однозначной функцией и имеет
лишь конечное число особых точек
p1 , p2 , , pn , лежащих в конечной
части плоскости, то f t    Re s  e p t F  p ; p k .
n
k 1
Если, в частности F  p  
степеней
m и n
Pm  p 
, где Pm  p  и
Qn  p 
соответственно
Qn  p  – многочлены
(n  m) , p1 , p2 ,  , pr –
многочлена Qn  p  с кратностями, соответственно равными
 1   2     r  n, то
131
корни
 1 ,  2 , ,  r
1
d  k 1
lim
 1
k 1   1! p  p k dp k
k
f t   
r
Если
все
коэффициенты
 p  p 
k
k

F  p e p t .
Pm  p  и
многочленов
Qn  p 
–
действительные числа, то в правой части полезно объединить слагаемые,
относящиеся к взаимно сопряженным комплексным корням; сумма каждой
пары таких членов равна удвоенной действительной части одного из них.
На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят по
следующему плану: сначала по таблице оригиналов и изображений пытаются
отыскать для заданного изображения F ( p) соответствующий ему оригинал;
в более сложном случае функцию
стараются представить в виде
F ( p)
суммы простейших рациональных дробей,
и,
пользуясь свойством
линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения,
свойство умножения изображений, формулу обращения и т. д.
Пример 5.17
Найти функцию-оригинал, если ее изображение:
F  p 
1
 p  1  p  1
3
.
Решение: Рассмотрим три способа.
Первый способ нахождения f t  . Разложим дробь
1
 p  1  p  1
3
.
на сумму простейших дробей:
F  p 
1
 p  1 p  1
3

1
1
1
1



.
3
2
2 p  1 4 p  1 8 p  1 8( p  1)
И по таблице оригиналов и изображений найдем f t  :
1
1
1
1
f t    t 2 e t  t e t  e t  e t .
4
4
8
8
Второй способ нахождения f t  . Представим f t  как произведение
132
F  p 
1
 p  1 p  1
3
1
 e t ,
p 1
и
то

1
1

,
p  1  p  13
и т. к.
1
1
 t 2 e t
3 
 p  1 2
пользуясь свойством умножения изображений,
получим
t
t 1
1t
F  p    f1    f 2 t    dt    2 e   e t  d   2 e t 2 d .
0
0 2
20
Последний интеграл возьмем по частям, полагая
 2  u,
du  2 d ,
dv  e t  2 d ,
1  1 2 t 2
1 2 t  2
  e dt     e
2
2 2
1
1 1
  t 2 e t     e t 2
4
2 2
t
0
t
0
1
v   e t  2 .
2
t

   e t 2 d  
0


1
1
1
1t
  e t 2 d    t 2 e t  t e t  e t  2
4
4
8
20

t

0
1
1
1
1
  t 2 e t  t e t  e t  e t  f t .
4
4
8
8
t
 e
t  2
d также был взят по частям, при
0
1
u   , du  d , dv  e t  2 d , v   e t  2 .
2
Третий способ нахождения f t  . Здесь Pm  p   1,
Qn  p    p  1 p  1 ,
3
Qn  p   3 p  1  p  1   p  1 ,
2
3
p1  1 – простой корень знаменателя, p2  1 – корень кратности
3  2  3 .


 e pt  p  13 
 e pt 
1 t 1
1 t 1
  e  lim 
 
f t   e 
lim 
8
2 p  1  p  1 
8
2! p  1   p  1 p  13 
133
 2 e pt
1 t 1
e pt
2e pt 

 e  lim  t
 2t

8
2 p  1  p  1
 p  12  p  13 
1 t 1  1 2  t 1  t 1  t  1 t 1 2 t 1 t 1 t
e   t e  t e  e   e  t e  t e  e .
8
2 2
2
4  8
4
4
8
Приложение операционного исчисления к решению линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем
линейных дифференциальных уравнений
Операционный
метод
позволяет
просто
решать
линейные
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
При решении таких уравнений методом преобразования Лапласа
искомая функция и ее производные заменяются их изображениями, после чего
получается алгебраическое уравнение относительно изображения искомой
функции. Решая его, мы получаем так называемое операторное решение, после
чего остается восстановить оригинал, являющийся искомым решением
дифференциального уравнения. Для этой последней операции могут быть
использованы, в зависимости от случая, теорема обращения и другие теоремы
и правила операционного исчисления. Указанный метод решения можно
наглядно изобразить в виде следующей схемы:
Дифференциальное уравнение и начальные условия
L – преобразование Лапласа
Алгебраическое уравнение
Решение алгебраического уравнения
134
L-1 – обратное преобразование Лапласа
Частное решение дифференциального уравнения
Может случиться, что в сложном исследовании участвует целая
цепочка подобных рассуждений, так что найденные функции используются
для отыскания еще каких-то функций и т.д. В таких случаях оказывается
полезным проводить все исследование в образах и лишь на самом последнем
этапе перейти к прообразам функций, которые в конечном счете и требуются.
Пусть дано дифференциальное уравнение
x ( n ) (t )  a1 x ( n1) (t )  ...  an1 x(t )  an x(t )  f (t ) ,
где t  0, коэффициенты а1, а2, …, an – действительные числа,
удовлетворяющие заданным начальным условиям:
x(0)  C1 , ... ,
x(0)  C0 ,
x ( n1) (0)  Cn1 .
Пусть неизвестная функция x(t) и ее производные x(t), …, x(n)(t) и
функция f(t) удовлетворяют условиям функции – оригинала. Обозначим




f (t )  F ( p) и x(t )  X ( p) . Тогда по теореме дифференцирования оригинала
имеем:

x (t )  pX ( p )  C 0


x (t )  p 2 X ( p)  pC 0  C1

…………………………………….
x
( n 1)

(t )  p ( n1) X ( p )  p ( n2 ) C0  ...  Cn2

135

x ( n ) (t )  p n X ( p )  p ( n 1) C0  ...  C n 1

По теореме линейности получаем:

x ( n ) (t )  a1 x ( n1) (t )  ... an1 x(t )  an x(t )  p n X ( p)  p n1C0  ... Cn1 

 a1  p X ( p)  p C0  ... Cn2   ... an1  pX ( p)  C0   an X ( p).
n 1
n2

Так как f (t )  F ( p ) , то по теореме единственности оригинала получим

уравнение
p n X ( p)  p n1C0  ... Cn1  a1 ( p n1 X ( p)  p n2 C0  ... Cn2 ) 
 ... an1  pX ( p)  C0   an X ( p)  F ( p)
или
( p n  a1 p n1  ...  an1 p  an ) X ( p) 
 F ( p)  p n1C0  ...  Cn1  a1  p n2C0  ...  Cn2  
 ...  an1C0 .
Полученное операторное уравнение дифференциального уравнения с
начальными условиями и является алгебраическим уравнением относительно
(р):
F ( p)  p n1C0  a1  p n2C0  ...  Cn2   an1C0
X ( p) 
.
p n  a1 p n1  ...  an1 p  an
Если правая часть f(t) данного уравнения есть линейная комбинация
функции вида tmekt, то решение Х(р) его операторного уравнения – это
правильная дробно-рациональная функция. По теореме разложения или
непосредственно пользуясь свойствами преобразования Лапласа, находим для
изображения Х(р) функцию x(t). Эта функция есть частное решение данного
уравнения.
Выражение
p n  a1 p n1  ...  an1 p  an  D( p)
характеристическим многочленом.
136
называется
Функция Z ( p ) 
1
называется передаточной функцией. Тогда если
D( p)
начальные условия нулевые, то X ( p ) 
F ( p)
 Z ( p ) F ( p ).
D( p)
В таком случае схема решения имеет вид:
F(p)
Z1(p) F(p)
Z1(p)
Z2(p) Z1(p) F(p)
Z2(p)
Таким образом, в случае нулевых начальных условий образ отклика
получается из образа воздействия простым умножением на передаточную
функцию. Это делает особенно удобным рассмотрение в Лаплас-образах
агрегатов, в которых выходная функция для некоторой системы служит
входной функцией для последующей и т.д. Если начальные условия не
нулевые,
то
формулу
можно
записать
так:
X ( p)  Z ( p) F ( p)  ( p n1C0  ...  an1C0 )Z ( p).
Пример 5.18
Проинтегрировать уравнение х′′+ 3x′ + 2x = 0 при начальных условиях
x(0) = 0, x′ (0) = 1.

X ( p ) и дифференцируя, получим:
Решение: Полагая x(t ) 



x(0) 
x (t )  p  X ( p) 
  pX ( p);

p 



x(0) x (0) 
x (t )  p 2  X ( p) 
 2   p 2 X ( p)  1.

p
p 

Операторное уравнение принимает вид: р2Х(р) – 1 + 3рХ(р) + 2Х(р) = 0
или Х(р)(р2+3р+2) = 1,
137
откуда X ( p) 
1

2
p  3p  2 
p

3

 t
t
2

2
e
sh  x(t ).
2
2
2
3 1 
  
2 2
1
Пример 5.19
Найти решение уравнения x′′+4x′+4x = e-2t(cost + 2sint) при начальных
условиях x(0) = -1, x′ (0) = 1.
Решение: Пусть Х(р) есть изображение искомой функции х(t), т.е.

x(t )  X ( p ),


x (t )  pX ( p)  1,


Тогда cos t  2 sin t 


x (t )  p 2 X ( p)  p  1.

p
1
p2

2

. По теореме смещения
p2 1
p2 1 p2 1

e  2 t (cos t  2 sin t ) 
получим:

p4
.
( p  2) 2  1
Отсюда
p 3  7 p 2  16 p  11
X ( p)  
.
( p  2) 2  1( p  2) 2
Разложим изображение на элементарные дроби. Тогда
X ( p) 
Ap  B
C
D


.
2
2
( p  2)  1 ( p  2 )
p2
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, находим: А = 1; В = -4; С = 1; D = 0. Тогда X ( p )  
p4
1

.
( p  2) 2  1 ( p  2) 2
Переходя к оригиналу, пользуясь теоремами линейности и смещения,
получим решение x(t) = e-2t(t – cost – 2sint).
Решение линейных систем операционным методом
Решение
системы
линейных
дифференциальных
уравнений
с
постоянными коэффициентами ничем принципиально не отличается от
рассмотренного решения одного дифференциального уравнения. Здесь также
138
оригиналы функции следует заменять их изображениями. Тогда каждое
дифференциальное уравнение заменится соответствующим операторным и
получится система алгебраических уравнений относительно искомых
оригиналов. Решив эту систему, находят изображения искомых функций, а
затем переходят к их оригиналам.
Пример 5.20
Решить
систему
линейных
дифференциальных
уравнений
 x  x  2 y  2 z

 y   2 x  7 y  5 z при начальных условиях x(0) = 0, y(0) = 3, z(0) = -2.
 z   2 x  4 y  2 z




X ( p ), y (t )  Y ( p ), z (t )  Z ( p ). Тогда
Решение: Пусть x(t ) 









x (t )  pX ( p), y (t )  pY ( p)  3, z (t )  pZ ( p)  2.
Переходя к изображениям, приходим к следующей операторной
 ( p  1) X ( p)  2Y ( p)  2Z ( p)  0

системе:  2 X ( p)  ( p  7)Y ( p)  5Z ( p)  3
2 X ( p)  4Y ( p)  ( p  2) Z ( p)  2

Решая эту систему, получим:
X ( p) 
0
2
2
3
p7
5
2
p 1
2
2

p2
 2 ( p  2)


2
( p  3)( p  2)( p  1)
p7 5
4
2
4
p2
2
A
B


( p  1)( p  3) p  1 p  3
А(р–3) + В(р–1) = -2. При р = 3, В = -1. При р = 1, А = 1. Тогда
139
X ( p) 
1
1  t

 e  e 3t .
p 1 p  3 
Итак, x(t) = et – e3t. Аналогично получим: y(t) = -2et + 2e2t + 3e3t,
z(t) = 2et – 2e2t– 2e3t.
Таблица соответствий
№
Оригинал
Изображение
№
Оригинал
1
1
1
р
18
Sh (at  b)
1
p 
19
1
p 
20
(1) n t n f (t )
р
21
e t Cos t
22
e t Sin t
23
e t Sh t
24
e t Ch t
25
te t Cos bt
26
te t Sin bt
27
1  et
t
28
(1  at )e  at
29
t 2e  at
30
1
t n 1e  at
(n  1)!
( p  a)n
31
1
1
2
e t
3
et
4
Cos t
5
Sin t
6
Ch at
7
Sh at
8
t Sin at
р2   2

р2   2
р
р2  а2
а
р2  а2
2 ра
р 2  а 
Ch (at  b)
22
9
t Cos at
р2  а2
р 2  а 
22
10
t Ch at
11
t Sh at
12
tn
р2  а2
р
2
а
2 ра
р 2  а 
22
n!
p
13
14

22
t n e at
Sin (at  b)
n 1
n!
( p  a)
n 1
b
 p
e a 
a
2
p a
t
2
140
Изображение
b
 p
e a 
a
p2  a2
b
 p
e a 
p
p2  a2
( n)
f
( p)
p 
( p  )2   2

( p   )2   2

( p   )2   2
p 
( p   )2   2
( p   )2  b2
( p   )2  b2 2
( p   )  2b
( p   )2  b2 2
ln
p 
p
p
( p  a) 2
2
( p  a )3
1
p
15
Sin (t  1)
e
p
32
2
1
t
p p
2
p 1
16
17
Cos (at  b)
b
 p
e a 
Cos t  1) 
e
33
p
f

( n)
(t )
p n F ( p)  p n 1 f (0)   p n2 f (0)  ...   f (n 1) (0)
p2  a2
p
p
2
p 1
Задачи для самостоятельного решения
№1 Найти изображение
1. 4  3t
3. t 
1 t
e
2
2. 2 sin t  cos t
1
4. sin 4t
3
№ 2 Найти оригинал по заданному изображению
1.
8
p  16
2.
2
3
 5
p 9 p
3.
5
3p
 2
p  36 p  4
4.
1
p
 2
2 p 3 p  76
2
2
2
№ 3 Решить дифференциальные уравнения операционным методом
1. x  x  e t ,
x(0)  1
2. x  2 x  sin t ,
x(0)  0
Контрольные вопросы
1. Дайте определение функции-оригинала.
2. Дайте определение функции изображения.
3. Приведите теорему о дифференцировании изображения.
4. Приведите теорему о дифференцировании оригинала.
5. Приведите теорему об интегрировании изображения.
6. Приведите теорем об интегрирован оригинала.
7. Дайте определение свертки.
8. Приведите теорему о свёртке.
9. Приведите формулу Дюамеля.
141
Ряды
Числовые ряды.
Определение 6.1 Выражение

 u n  u1  u 2    u n   ,
n 1
где
{u n } - заданная бесконечная числовая последовательность,
называется числовым рядом.
Определение 6.2 Конечные суммы
S u ,
1 1
S  u  u , …,
2 1
2
S n  u  u    u называются частичными суммами ряда.
1
2
n
Определение 6.3 Если существует предел последовательности
частичных сумм S  lim S n , то ряд называется сходящимся, и число S
n
называется суммой этого ряда.
1
.
n 1 n ( n  1)

Пример 6.1 Исследовать на сходимость ряд 
Решение:
1
1
1


Частичная сумма этого ряда S n 
.
1 2 2  3
n  (n  1)
Для того, чтобы вычислить предел последовательности частичных
сумм, разложим общий член данного ряда на простейшие дроби:
1
1
1
 
.
n  (n  1) n n  1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
.
Sn          
 1
1 2 2 3 3 4
n n 1
n 1
1 

  1 . По определению данный ряд сходится и
lim S n  lim 1 
n
n  n  1 
его сумма равна единице.
142

Пример 6.2 Исследовать на сходимость ряд  n .
n 1
Решение:
Частичная сумма этого ряда:
Sn  1  2  3    n  Sn 
1 n
n.
2
1 n
 n   , такой ряд является расходящимся.
lim S n  lim
n
n 2
Теорема 6.1 Отбрасывание конечного числа начальных членов
ряда не влияет на его сходимость, но изменяет сумму ряда.
Доказательство:

Рассмотрим ряды  u n  u1  u 2    u n  
(6.1)
n 1
и

 u n  u m1  u m 2    u n  
(6.2).
n  m 1
Обозначим сумму отброшенных членов ряда через A , отбрасывает m
членов, тогда частичная сумма для ряда (16.1) будет иметь вид Sn  A   nm
, где  nm - частичная сумма ряда (16.2).
При n   величина n  m  k   , тогда
lim S  A  lim  .
n n
k  k
Это означает, что если существует предел
lim S , то будет
n n
существовать предел lim  . Значит, ряды (6.1) и (6.2) сходятся и расходятся
k  k
одновременно.

Теорема 6.2 Если члены сходящегося ряда
u
n 1
n
 S умножить на
одно и тоже постоянное число C , то его сходимость не нарушится, а сумма

изменится в C раз,
C  u
n 1
n
 CS .
143
Доказательство:
постоянное
 C  lim S n  C  S .
lim C  S n 
n
n
число
выносим

Теорема 6.3 Два сходящихся ряда
a
n 1
n
A

и
b
n 1
n
 B можно
складывать или вычитать, при этом сходимость вновь полученного ряда
сохранится и его сумма будет равна сумме или разности данных рядов, то есть

a
n 1
n
 bn  A  B .
Доказательство:


 
 
S n  a  b  a  b  a  b    an  bn  
1 1
2 2
3 3
 


 a  a  a   b  b  b   A  B .
1 2
3
1 2 3
Теорема 6.4 Критерий Коши
Для того чтобы числовой ряд был сходящимся, необходимо и
N  N ( ) , такое, что n  N и
достаточно, чтобы для   0
k  1,2,3 выполнялось неравенство
S
nk
S  u
u
 u
 .
n
n 1 n  2
nk
Теорема 6.5 Необходимый признак сходимости числового ряда

Если ряд  u n сходится, то общий член сходящегося ряда
n 1
u n  0.
стремится к нулю при значениях n   , то есть lim
n
Доказательство:
u n  S n  S n 1.
Так
как,
по
lim S n  lim S n 1  S , то значение: lim u n  0.
n 
n 
n 
В противном случае ряд расходится.
Это условие не является достаточным.
144
условию
теоремы
1,
Пример 6.3
Покажем, что гармонический ряд

1
1
1
1
 n  1 2  3  n 
n 1
u n  lim
расходится, несмотря на то, что lim
n 
n 
Рассмотрим S 2 n  S n 

1
 0.
n
1
1
1



n 1 n  2
2n
1
1
1
1
1


 n

2n 2n
2n
2n 2.
Таким образом, критерий Коши не выполняется и гармонический

ряд
1
n
n 1
расходится.
Ряды с положительными членами.

Рассмотрим числовой ряд  u n  u1  u 2    u n   ,
n 1
где un  0, n  1,2,3,. для такого ряда S n1  S n  un1  S n . Значит,
последовательность частичных сумм возрастает.


n 1
n1
Пусть даны два положительных ряда:  u n , u n  0 и  vn , vn  0 .
Теорема 6.6 Первая теорема сравнения
Если выполняется неравенство: un  vn , начиная с некоторого n, то
из сходимости ряда второго (большего) ряда первого (меньшего) ряда.
следует сходимость
А из расходимости ряда меньшего ряда
следует расходимость ряда большего.
Доказательство:
Так как отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не
влияет на сходимость, можно считать, что un  vn n  1.2.3.
Для частичных сумм этих рядов выполняется U n  n .
145

Пусть ряд  vn . сходится, тогда Vn  S , и тем более U  S , значит
n 1


n 1
n 1
ряд  u n - сходится. Пусть  un расходится, тогда U n  S , значит Vn  S и

ряд  v n расходится.
n 1
Теорема 6.7 Вторая теорема сравнения
Если существует конечный предел отношения общих членов двух
рядов lim
n 
un
 k , vn  0, 0  k   , то оба ряда сходятся или расходятся
vn
одновременно.
Приведем полученные о сходимости некоторых рядов, которые
могут быть использованы для сравнения:

 сходится, если   1,
 расходится, если   1.


 сходится, если a  1,
 расходится, если a  1.

1


n 1 n
1.
an

т 1 n
2.

 aq n 
3.
n 0
a  сходятся, q  1,

1  q  расходятся, q  1.
Пример 6.3 Исследуйте на сходимость следующие ряды

1)

n 1
1
n
 1
1
2

1
3

1
n
  сравним члены этого ряда с

членами расходящегося гармонического ряда
1
n,
n 1
так как
1
n

1
,
n
исследуемый ряд расходится.

1
2) Ряд  2 сходится по теореме сравнения, так как предел
n 1 n
отношения общего члена данного ряда к общему члену сходящегося
146

(доказанный ранее) ряда
1
n(n  1)
 1 , постоянное
есть lim

n  ( n  1) 2
n 1 nn  1
число.
Теорема.6.8 Признак Даламбера

Рассмотрим ряд  u n с
положительными членами и предел
n 1
отношения последующего члена ряда к предыдущему.
1)
Если
un  0;
2)
существует
u n 1
l,
n
un
lim
тогда
сходятся, если l  1

 u n  расходятся, если l  1
n 1
признак не дает ответа, если l  1

Доказательство:
u
u n 1
u
 l    0 N : n  N , n 1  l   то есть l    n1  l   .
n 
un
un
un
lim
Рассмотрим 3 случая:
1)
l  1. Выберем  столь малым, чтобы значение l    1, тогда,
полагая l    q , при
значении 0  q  1, имеем
un1
 q, un1  un  q для
un
n  N   .
un2  un1  q  un  q 2 ,
un3  un2  q  un  q3 и так далее.
Члены ряда un1  un2  un3  (1) меньше членов геометрической
прогрессии: unq  unq 2  unq3  (2). Так как q  1, то ряд (2) сходится,
значит, по теореме сравнения сходится и ряд (1).
2)
l  1. Возьмем   0 столь малым, что l    1, тогда при n  N
u n1
 1, un1  un , члены ряда не  0, не выполняется необходимый признак
un
сходимости  ряд расходится.
147
3)
l  1. Покажем, что в этом случае ряд может как сходиться,
так и расходиться.
 1
.
n
!
n1
Пример 6.4 Исследовать на сходимость ряд 
un 
1
1
,

n! 1  2  3n
u
n1

1
1

(n  1)! 1 2  3n(n  1)
u
1
lim n1  lim
 0  Ряд сходится.
n un
n n  1
Теорема 6.9 Признак Коши
Если 1) u n  0

тогда  un
n1
и 2) существует lim n un  l ,
n
сходятся, если l  1

 расходятся, если l  1
признак не дает ответа, если l  1
Доказательство:
 lim n un  l    0 N : n  N  n un  l  
n
l    n un  l  l  
1) l  1. Выберем  так, чтобы l    1, l    q, q  1.
Тогда выражение

u n  l   ,  u n  q n . Так как  q n сходится при
n
n 1

q  1, то и  u n - сходится.
n 1
2) l  1.
Выберем
l    n un  un  q n  1 :

так,
чтобы
q  l    1.

lim u n  0 и  u n расходится при l  1.
n 
n 1
3) l  1 Признак ответа не дает.
 n 
Пример 6.5 Исследуйте на сходимость ряд  

n 1  2 n  1 

148
n
Тогда
n
n
1
1
 n 
lim n 
 lim
 lim
  1 , значит, ряд сходится.

n 
n 
1 2
2n  1 n 
 2n  1 
2
n
Теорема 6.10 Интегральный признак Коши
Пусть 1) un  0,
2) un  u
не возрастают,
n1
3)
f (n) 
непрерывная не возрастающая функция такая, что f (n)  un . Тогда ряд

 un
n 1
сходится
или
расходится
одновременно
с
несобственным

интегралом  f ( x)dx
1
Примем без доказательства.

 
1

Пример 6.6 Исследуйте на сходимость ряд 
n1 (n  1) ln 2 (n  1) 
Составим функцию f ( x) 
1
.
2
( x  1) ln ( x  1)
a


 d (ln( x  1))
dx
1


 lim  

a


ln( x  1) 1 
1 ( x  1) ln 2 ( x  1) 1 ln 2 ( x  1)


 1
1  1
, значит, исследуемый ряд сходится.
 lim 


a  ln 2 ln( a  1)  ln 2
Знакопеременные ряды.
Теорема 6.11
Если для знакопеременного ряда

 un  u1  u2    un  
n1
сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

 un  u1  u2    un   , то исходный ряд сходится.
n1
149
Доказательство:
Рассмотрим
вспомогательный
ряд

 un  un    u1  u1    u2  u2     un  un  

 

n1
справедливо
неравенство
0  un  un  2 un
для
для
него
всех
значений
условия
теоремы.
n  1, 2,.
Ряд




2
u

2

 un
n
n1
n1
сходится
из
Вспомогательный ряд сходится на основании признака сравнения.
Исходный ряд можно представить как разность двух сходящихся





u

u

u

рядов  n
 n
 un . И, следовательно, сходится.
n
n1
n1
n1
Замечание 6.1 Обратное утверждение неверно.
Определение 6.4
Сходящийся ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд,
составленный из абсолютных величин его членов, сходится.
Определение 6.5
Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд из
абсолютных величин его членов расходится.
Определение 6.6

n1u  u  u  u     1n1u  
n 1 2 3
n
Ряд вида   1
n1
называется знакочередующимся.
Теорема 6.11 Признак Лейбница
Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов
ряда:
150
1) монотонно убывают u  u  u  
1
2
3
2) lim un  0 ,
n
то ряд сходится, и его сумма S  0 положительна и не превосходит
первого члена ряда, то есть S  u .
1
Примем без доказательства
Пример 6.6
Знакочередующийся
ряд
 (1) n1
(1)
1 1
 1   

2 3
n
n1 n
сходится условно по признаку Лейбница, так как
1
1
1
 и lim  0
n  1 n n n
, но соответствующий ряд из абсолютных величин членов данного ряда
 1
и расходится.
n1 n
является гармоническим 
Функциональные ряды
Пусть функция f n ( x), n  N определена в области D, x  D
Определение 6.7
Выражение

 f n x  f1 ( x )  f 2 ( x )    f n ( x )  
n 1
называется
функциональным рядом.
Определение 6.8
Совокупность всех точек сходимости ряда образует область его
сходимости.
Определение 6.9
Функциональный ряд вида
151
 an  x  x0   a0  a1  x  x0   a2  x  x0   

n
2
n 0
степенным по степеням
x  x  .
0
называется
Выражения ao , a , a ,  , an ,  -
1 2
постоянные числа.
Теорема 6.12 Теорема Абеля
Если степенной ряд  an x n сходится в точке x0  x0  0  , то он

n 0
сходится и притом абсолютно для всякого значения x , по абсолютной
величине меньшего x0 , то есть x  x0 или в интервале ( xo , xo ) .
Определение 6.10
Число R такое, что для всех x , x  R , степенной ряд сходится, а
для всех
x,
x  R , расходится, называется радиусом сходимости ряда,
а интервал  R; R  называется интервалом сходимости.
Теорема 6.12
Если существует предел lim n an   , то радиус сходимости ряда
n
равен
1

, то есть R 
1

, причем считаем R  0 , если    , и R   , если
  0.
Теорема 6.13
Если
есть R 
1

x 
u
1
, то
lim n1   , то радиус сходимости ряда равен
n un x 

, причем мы считаем R  0 при    и R   при   0 .
Пример 6.7
Найдите область сходимости рядов:
152
 xn
 xn
1) 
и 2) 
.
n
n
!
n1
n1
1)
R
an
1
n 1 .
 lim
 lim
1
n a
n n
a
n1
lim n1
n an
Интервал сходимости x  1, 1
Исследуем граничные точки.
 1
x  1    расходится;
n1 n
  1n
- сходится условно по признаку Лейбница.
x  1  
n1 n
Область сходимости ряда x  1, 1 .
n  1!  lim n  1   , ряд сходится при всех
R  lim
n n!
n
x   ,  .
2)
Задачи для самостоятельного решения
№ 1 Найти сумму ряда.


6
1.  2
.
9
n

12
n

5
n1
2.

24
.

2
9
n

12
n

5
n2

6
3.  2
.
9
n

6
n

8
n1
4.

9
.

2
9
n

21
n

8
n1

2
5.  2
.
4
n

8
n

3
n 0
6.
153
14
.

2
49
n

28
n

45
n1
№ 2 Исследовать на сходимость ряд.

1.
  1
n1
n1
2n  1
.
n  n  1

2.
n 1
 1 .
3. 
n  2 ln  n  1
n 1

 1

5.
n
n 1
4
n
2n 2
 n2  1
  1
n 1

4.
n
 n 

 .
2
n

1


 1
n
 n  ln ln n  ln n .
n3
 1 .
6. 
n3  n  1 ln n

.
n
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение числового ряда.
2.
Сформулируйте необходимый признак сходимости числового
3.
Сформулируйте признаки сравнения.
4.
Сформулируйте признак Коши.
5.
Сформулируйте признак Даламбера.
6.
Сформулируйте интегральный признак Коши.
7.
Дайте определение знакопеременного ряда.
8.
Сформулируйте признак Лейбница.
9.
Дайте определение абсолютно сходящегося ряда.
ряда.
10. Дайте определение условно сходящегося ряда.
11. Дайте определение функционального ряда.
12. Приведите формулу для вычисления радиуса сходимости
функционального ряда.
154
Глоссарий
- если каждой совокупности значений переменных
x , x ,..., x 
1
2
n
из
некоторого множества D этих совокупностей соответствует своё единственное
значение переменной z, то говорят, что на множестве D задана функция "n"
переменных z  f x1 , x2 ,..., xn  .
- пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х; у).
Соответствие f, которое каждой паре чисел (х; у)
несколько чисел z


D сопоставляет одно или
R, называется функцией двух переменных, определенной
на множестве D со значениями в R, и записывается в виде z = f(x; y). При этом
х и у называются независимыми переменными (аргументами), а z – зависимой
переменной (функцией).
- множество D = D(f) называется областью определения функции.
- функцию z = f(x; y), где (х; у)

D можно понимать (рассматривать)
как функцию точки М (х; у) координатной плоскости Оху. В частности,
областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная
некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей
области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними.
Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой.
Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой,
обозначается: D . Примером замкнутой области является круг с окружностью.
- значение функции z = f(x; y) в точке М (х0; у0) обозначают z0 = f(x0; y0)
или z0 = f(M0) и называют частным значением функции.
- множество всех точек М (х; у) плоскости, координаты которых
удовлетворяют
неравенству
( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2   ,
называется
δ-
окрестностью точки М0 (х0; у0). Другими словами, δ-окрестность точки М0 –
это все внутренние точки круга с центром М0 и радиусом δ.
155
- пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой окрестности точки
М0 (х0; у0), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом
функции z = f(x; y) при х → х0 и у → у0, если для любого ε > 0 существует
такое δ > 0, что для всех х ≠ х0 и у ≠ у0 и удовлетворяющих неравенству
( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  
выполняется неравенство | f (x; y) – A| < ε.
Записывают: A  lim f ( x; y ) или A  lim f ( M ) .
x x
M M
0
0
y  y0
- функция z = f(x; y) называется непрерывной в точке М0 (х0; у0), если
она:
1) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,
2) имеет предел lim f ( M ) ,
M M 0
3) этот предел равен значению функции z в точке М0, т.е.
f ( x; y )  f ( x0 ; y 0 ) .
lim f ( M )  f ( M 0 ) или lim
x x
M M 0
0
y  y0
- полное приращение Δz функции z определяется равенством
Δz = f(x + Δx; y + Δy) – f(x; y).
- если существует предел lim
x  0
xz
f ( x  x; y )  f ( x; y )
 lim
,то он
 y z x 0
x
называется частной производной функции z = f(x; y) в точке М(х; у) по
переменной х и обозначается одним из символов: z ' x ,
дz
дf
, f ' x , . Частные
дx
дx
производные по х в точке М0 (х0; у0) обычно обозначают символами f’x(x0; y0),
f ' x |M 0 .
- если частные производные высшего порядка непрерывны, то
смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком
156
дифференцирования, равны между собой. В частности, для z = f(x; y) имеем:
д2 z
д2 z
.

дxдy дyдx
- функция z = f(x; y) называется дифференцируемой в точке М (х; у),
если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
Δz = A Δx + B Δy + α Δx + β Δy,
где α = α(Δх; Δу) → 0 и β = β(Δх; Δу) → 0 при Δх → 0 , Δу → 0.
- главная часть приращения функции z = f(x; y), линейная относительно
Δх и Δу, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается
символом dz = A Δx + B Δy
- если функция z = f(x; y) дифференцируема в точке М (х; у), то она
непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные
дz
дz
и
, причем
дx дy
дz
дz
= А,
= В.
дy
дx
- если функция z = f(x; y) имеет непрерывные производные z’x и z’y в
точке М (х; у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный
дифференциал выражается формулой dz 
дz
дz
dx  dy .
дx
дy
д2 z 2
д2 z
д2 z 2
- d z  2 dx  2
dxdy 
dy
дx
дxдy
дy
2
- если z = f(x; y) – дифференцируемая в точке М (х; у)  D функция и x
= x(t), y = y(t) – дифференцируемые функции независимой переменной t, то
производная сложной функции z = f(x(t); y(t)) вычисляется по формуле
dz дz dx дz dy

   .
dt дx dt дy dt
157
- функция z = f(x; y) называется неявной, если она задается уравнением
F (x; y; z) = 0 неразрешенным относительно z.
- уравнение касательной плоскости:
z  z 0  f ' x ( x0 ; y 0 )  ( x  x0 )  f ' y ( x0 ; y 0 )  ( y  y 0 )
- канонические уравнения нормали:
x  x0
y  y0
z  z0


f ' x ( x0 ; y 0 ) f ' y ( x0 ; y 0 )
1
- точка, в которой частные производные первого порядка функции z =
f(х; у) равны нулю, т.е. f’x=0 и f’y = 0, называется стационарной точкой
функции z.
- пусть в стационарной точке (x0; y0) и некоторой ее окрестности
функция f(х; у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка
включительно. Вычислим в точке (x0; y0) значения A = f’’xx(x0; y0), B = f’’xy (x0;
y0), C = f’’yy(x0; y0). Обозначим  
A B
B C
 AC  B 2 .
Тогда: 1) если Δ › 0, то функция f(х; у) в точке (x0; y0) имеет экстремум:
максимум, если А ‹ 0; минимум, если А › 0;
2) если Δ ‹ 0, то функция f(х; у) в точке (x0; y0) экстремума не имеет;
3) если Δ = 0 экстремум в точке (x0; y0) может быть, может не быть.
Необходимы дополнительные исследования.
- функция
F(x)
называется первообразной для функции f(x)
на
интервале (a, b) , если функции f(x) и F(x) определены на этом интервале,
функция
F(x) дифференцируема на интервале (a, b) и в каждой точке
интервала выполняется равенство: F x   f x  .
158
- совокупность всех первообразных для функции f(x) на некотором
промежутке называют неопределенным интегралом от функции f(x) на этом
промежутке и обозначают:
 f x dx   F x dx  F x   C .
где F(x) - какая-нибудь первообразная функции F(x) , C - произвольная
постоянная.
Знак

называют знаком интеграла,
f(x) – подынтегральной
функцией, f x dx - подынтегральным выражением.
- формула интегрирования по частям:  udv  u  v   vdu .
- функция вида: Pn x   a0 x n  a1 x n1    an1 x  an , где n – натуральное
число, ai (i = 0, 1, 2, … , n) – постоянные коэффициенты, называется
многочленом (или целой рациональной функцией). Число n называется
степенью многочлена.
- корнем многочлена (4.1) называется такое значение x0 переменной x,
при котором многочлен обращается в нуль, т.е. Pn(x) = 0.
- множители (x – xi) называются линейными множителями.
-
дробно-рациональной
функцией
(или
рациональной
дробью)
называется функция, равная отношению двух многочленов, т.е. f ( x) 
Pm  x 
,
Qn  x 
где Pm(x) – многочлен степени m, а Qn(x) – многочлен степени n.
- рациональная дробь называется правильной, если степень числителя
меньше степени знаменателя, т.е. m<n; в противном случае (если m≥n)
рациональная дробь называется неправильной.
159
n
- сумма вида S n  f (c1 )x1  ...  f (cn )xn   f (ci )xi
i 1
называется
интегральной суммой функции y = f (x) на отрезке [a; b]. Обозначим через λ
длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆xi (i = 1, 2, …, n).
- если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не
зависит ни от способа разбиения отрезка [a; b] на частичные отрезки, ни от
выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от
b
функции y = f (x) на отрезке [a; b] и обозначается  f ( x)dx . Таким образом:
a
b
n
a
i 1
 f (ci )xi
 f ( x)dx  lim
n
- числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами
интегрирования,
f
(x)
–
подынтегральной
функцией,
f
(x)
dx
–
подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, отрезок [a;
b] – областью (отрезком) интегрирования.
- функция y = f (x), для которой на отрезке [a; b] существует
b
определенный интеграл  f ( x)dx , называется интегрируемой на этом отрезке.
a
f ( x)  0 , то площадь
- если на отрезке [a,b] непрерывная функция
криволинейной трапеции, ограниченной осью
0x , прямыми x=a,
x=b и
b
графиком функции y=f(x), равна: S   f ( x)dx.
a
- длина дуги кривой: S  lim  1   f ( i ) xi   1   f ( i ) dx.
max x 0
n
i
2
i 1
b
2
a
b
- площадь поверхности вращения:   2  f ( x) 1   f (i )2 dx.
a
160
- если тело является телом вращения, полученным при вращении кривой
y=f(x) вокруг оси
0x , то Q( x)    f ( x)2 , тогда объем тела вращения:
b
V    f 2 ( x)dx .
a
- пусть функция f(x) непрерывна на промежутке a; . Если
b
существует конечный предел blim
 f ( x)dx , то его называют несобственным
 
a

интегралом первого рода и обозначают  f ( x)dx .
a
- пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет
b 
бесконечный разрыв при x = b. Если существует конечный предел lim
 f ( x)dx
 0
a
, то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
b
 f ( x)dx .
a
- дифференциальным уравнением называется соотношение между
функцией, её производными и независимыми переменными.
- уравнением в частных производных называется уравнения,
содержащие производные по многим независимым переменным.
-
обыкновенным
дифференциальным
уравнением
называется
уравнения, содержащие производные лишь по одной из независимых
переменных.
- порядком уравнения называется порядок старшей производной,
входящей в уравнение.
- задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка,
разрешенным относительно производной:
161
dy
 f ( x, y ) ,
dx
y( x0 )  y 0
где x0 и y 0 — некоторые заданные числа.
- интегральной кривой уравнения называется график функции y (x) ,
которая является решением уравнения в плоскости
XOY
.
- изоклиной называется кривая, в каждой точке которой наклон поля,
определяемого дифференциальным уравнением, один и тот же, ее уравнение:
f ( x, y)  k
- уравнением с разделенными переменными называют
дифференциальное уравнение вида: X ( x)dx  Y ( y)dy  0 .
- уравнениями с разделяющимися переменными называют уравнения
вида: m( x)  n( y)dx  m1 ( x)  n1 ( y)dy  0 .
- уравнением, приводимым к уравнению с разделяющимися
переменными называется уравнение вида
-
оригиналом
называется
dy
 f (ax  by ) .
dx
любая
комплексная
функция
f(x)
действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:
а) f(t) непрерывна по всей оси t за возможным исключением точек
разрыва 1-го рода в конечном числе на каждом интервале конечной длины;
б) f(t) = 0 при t0;
в) существуют числа М>0 и S00 такие, что для всех t>0
f (t )  Me S0t
(число S0, обладающее этим свойством, называется
показателем роста функции f(t); в частности, число 0 является показателем
роста ограниченной функции).
162
- F ( p) : C  C называется изображением, соответствующим

оригиналу f(t), если F(p) – интеграл Лапласа: F ( p)   f (t )e  pt dt ;
0

f (t )  F ( p) .

-
свойство
линейности.
Линейной
комбинации
оригиналов
соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если

f 1 t   F1  p ,


f 2 t   F2  p ,
C1

C 2  постоянные числа, то
и

C1  f 1 t   C 2  f 2 t   C1  F1  p   C 2  F2  p  .



F  p  ,  0 , то f t  
- теорема подобия. Если f t  


умножение
 p
 F   , т. е.
 
1
аргумента оригинала на положительное число

приводит к делению изображения и его аргумента на это число.
-
теорема
смещения.

f t   F  p  , a  const , то
Если


e at  f t   F  p  a  , т. е. умножение оригинала на функцию e a t влечет

за собой смещение переменной p .
-
теорема
запаздывания.
Рассмотрим
оригинал

f t   F  p ,

при t  
 0
определим функцию g (t )  
где   0 .
 f (t   ) при t   ,
- дифференцирование оригинала. Если
f t , f t ,  , f n  t 

f t   F  p  и функции

являются оригиналами, то

f t   p  F  p   f 0,


f t   p 2  F  p   p  f 0  f 0,

163

f t   p 3  F  p   p 2  f 0  p  f 0  f 0,

          
f
n 

t   p

n
 F  p   p n 1  f 0     f  n 1 0 ,

f t   F  p , то

- дифференцирование изображения. Если

F  p   t  f t  ,


2
F  p   1  t 2  f t ,

      ,

F  n   p   1  t n  f t ,
n

   ,

F  p ,
- интегрирование оригинала. Если f t  

т. е. интегрирование оригинала от 0
до t

то  f   dt 

t
0
F  p
,
p
соответствует делению его
изображения на p .
- интегрирование изображения. Если

 F  p  dp
p


сходится, то  F  p  

0

f t   F  p 

и
интеграл
f t 
, т. е. интегрирование изображения от
t
p до  соответствует делению его оригинала на t .
- сверткой функций a(t) и b(t) действительного переменного называется
t
функция с(t), определяемая равенством с(t )   a(t   )b( )d .
0

- выражение  u n  u1  u 2    u n   , где
n 1
{un } - заданная
бесконечная числовая последовательность, называется числовым рядом.
164
-
ряд
вида

n1
n1
  1 un  u1  u2  u3     1 un  
n1
называется знакочередующимся.
-
выражение

 f n x  f1 ( x )  f 2 ( x )    f n ( x )  
n 1
называется
функциональным рядом.
- признак Лейбница:
Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов
ряда:
1) монотонно убывают u  u  u  
1
2
3
2) lim un  0 ,
n
то ряд сходится, и его сумма S  0 положительна и не превосходит
первого члена ряда, то есть S  u .
1
165
Литература
1.
Шипачев, В.С. Высшая математика [текст]/В.С. Шипачев - М.,
2.
Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа
2006.
[текст]/Г.Н. Берман - М. Профессия, 2001
3.
Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии
[текст]/Д.В. Клетеник - М., Профессия. 2001
4.
Данко, П.Е.Высшая математика в упражнениях и задачах.
[текст]Часть 1, 2/П.Е. Данко П.Е., А.Г. Попов,Т.Я. Кожевникова - М.,
Высшая школа, 1999
5.
Блатов, И.А. Алгебра и геометрия. [текст] Конспект лекций/И.А.
Блатов, О.В. Старожилова–Самара, ПГУТИ, 2010
6.
Кузнецов, Л.А. Сборник задач по высшей математике[текст]/Л.А.
Кузнецов - М.,1983
166
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
2 795 Кб
Теги
posobie, matematiki, utchebnoe, tsh2, alasheeva
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа