close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Alasheeva Rogova Operazionie

код для вставкиСкачать
Министерство связи и массовых
коммуникаций Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И
ИНФОРМАТИКИ
ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕЧНАЯ
СИСТЕМА
Самара
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И
ИНФОРМАТИКИ
Кафедра высшей математики
Алашеева Е.А.
Рогова Н.В.
Операционное исчисление
по дисциплине математика
САМАРА
ИУНЛ ПГУТИ
2010
2
УДК 519.2
Б 58
Операционное исчисление/ Алашеева Е.А,
Рогова Н.В.-Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2010.Рецензент:
Клюев Д.С. – к.ф.м.н., доцент, кафедры
ОКиТ РТС, ПГУТИ.
Учебное пособие затрагивает такой раздел
высшей
математики
как:
операционное
исчисление. Для студентов университетов и вузов,
а также для специалистов, желающих изучать
операционное исчисление самостоятельно.
Каждая глава заканчивается контрольными
вопросами,
которые
помогут
проверить
теоретическое освоение курса, содержит большое
количество задач для самостоятельного решения и
задания типовых расчетов.
3
Рекомендовано Методическим советом ГОУ
ВПО ПГУТИ в качестве учебного пособия для
студентов, обучающихся по специальности
210404, 230105, 230201, 210406
Протокол заседания Методического совета
ПГУТИ
№ 4 от 21 октября 2010г.
©Алашеева Е.А., Рогова Н.В., 2010
4
Введение
……………………………………………………….4
Оригинал и изображение. Основные теоремы
нахождения
оригинала
и
изображения………………………………………...8
Контрольные
вопросы……………………………………………19
Основные
свойства
преобразования
Лапласа……………………………………………20
Контрольные
вопросы……………………………………………47
Формула
обращения.
Теоремы
разложения………………………………………...49
Контрольные
вопросы……………………………………………55
Приложение
операционного
исчисления
к
решению
линейных
дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами и
систем
линейных
дифференциальных
уравнений………………………………………….56
Контрольные
вопросы……………………………………………67
Дельта - функция, ее свойства и изображения по
Лапласу……………………………………………68
5
Контрольные
вопросы……………………………………………70
Упражнения..……………………………………...71
Основные
теоремы……………………………………............92
Глоссарий…………………………………………93
Таблица
соответствий………………………………………96
Список
литературы………………………………………...98
6
Введение
Операционное
исчисление
есть
часть
математического анализа, изучающая свойства
преобразования Лапласа и его применение к
решению различного типа задач анализа, главным
образом задач с начальными условиями, для
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Преобразование Лапласа представляет собой
определенный
закон
соответствия
между
функциями, т.е. закон, по которому каждой
функции из некоторого множества функций одной
переменной становится в соответствие одна
определенная функция, также зависящая от одного
аргумента.
Такие
соответствия
между
множествами функций называются операторами.
Понятие
оператора
аналогично
понятию
функциональной зависимости, осуществляющей
однозначное соответствие между множествами
чисел. Примерами операторов служат:
1. Функция
, ставящая в соответствие
функции
сложную функцию
,
например, функцию
.
2. Соответствие между монотонными
функциями
и обратными к ним
функциям
.
3.
Оператор
дифференцирования,
определенный на множестве дифференцируемых
7
функций и ставящий в соответствие функции
производную
.
4. Оператор интегрирования, задающий
соответствие между непрерывной функцией
и первообразной к ней функцией
.
Возможность производить действия над
самими операторами открывает совершенно
новый подход к решению некоторых задач,
например,
дифференциальных
уравнений,
содержащих оператор дифференцирования . В
таком случае данное линейное дифференциальное
уравнение,
например
,
представляется формально в виде
. В этом случае считают, что к
неизвестной функции
применено некоторое
действие, зависящее от символа
следующим
образом:
, где
, и дающее в результате функцию в
правой части
. Если сможем
производить обратное действие с
, то
сможем и решать данное уравнение с любой
правой частью, т.е. представить решение в виде
8
некоторого оператора, действующего на правую
часть
.
Операционное (символическое) исчисление
применяется
не
только
для
решения
обыкновенных линейных дифференциальных
уравнений, но и для решения уравнений с
частными производными, дифференциальноразностных уравнений и линейных интегральных
уравнений, к которым приводят задачи по
переходным процессам линейных физических
систем
электротехники,
радиотехники,
импульсной техники, теории автоматического
регулирования,
теплопроводности,
горной
техники, телемеханики, теории следящих систем.
Выдающийся советский ученый в области теории
колебаний
и
автоматического
управления
Андронов А.А. (1901-1952) говорил, что
операционное исчисление является азбукой
современной автоматики и телемеханики.
О значении операционного исчисления
английский математик Э.Т. Уиттнер писал: ”… мы
должны считать операционное исчисление наряду
с открытиями Пуанкаре автоморфных функций и
открытиями Риччи тензорного исчисления тремя
наиболее важными успехами математики за
последнюю четверть 19 века”.
9
Оператор – математическое понятие,
означающее в самом общем смысле соответствие
между элементами двух множеств и .
Первые
сведения
об
операционном
исчислении встречаются уже в работах Лейбница
(1646-1717), Эйлера (1707-1783), Лагранжа (17361813), Лапласа (1749-1827), Фурье (1768-1830),
Коши (1789-1857).
Английский
инженер-электрик
Ол.
Хевисайд положил начало систематическому
применению операционного исчисления
к
решению физико-технических задач, поэтому
создание операционного исчисления обычно
связывают с его именем.
Методы
операционного
исчисления
являются удобными и достаточно мощными
средствами для решения многих задач, которые
находят многочисленные приложения.
Идея метода заключается в том, что из
области функции действительных переменных
решение переноситься в область функции
комплексного переменного и при этом вместо
дифференциального или интегрального уравнения
получаются алгебраические уравнения.
Результат, полученный при решении
алгебраических уравнений, переводится в область
10
действительного
переменного
функции и таблиц.
с
помощью
В самой математике, кроме решения
дифференциальных
уравнений
и
систем,
операционное исчисление находит применение в
теории специальных функций, при вычислении
интегралов,
суммировании
функциональных
рядов, а также в некоторых проблемах теории
чисел.
1. Оригинал и изображение. Основные
теоремы
нахождения оригинала и
изображения
►
Определение Функция
называется
оригиналом, если она удовлетворяет следующим
трем условиям:
1) функция
при
;
2) при
функция
на любом конечном
участке оси имеет не более, чем конечное
число точек разрыва первого рода, т.е. она
интегрируема на любом конечном интервале
оси ;
3) функция
возрастает не быстрее чем
некоторая показательная функция, т.е.
11
существует такие числа
что
для
всех
.
(1)
► Определение
функции
.
и
,
,
называется показателем роста
Условие (1) указывает на то, что если
при
возрастает, то не очень быстро,
медленнее,
чем
возрастает
некоторая
экспоненциальная функция.
♦ Пример
1) Все ограниченные функции – оригиналы,
для них
и
, в частности
и
.
2) Все степенные функции
,
т.к. любая такая функция растет, медленнее
чем показательная функция
. Легко
показать, применяя правило Лопиталя, что
3) Функции
не
являются оригиналами, т.к. имеют разрывы
второго рода.
4)
не является оригиналом, т.к. при
она возрастает быстрее, чем .
12
Наличие
условия
(1)
в
определении
объясняется тем, что в операционном исчислении
часто встречаются задачи, приводящие к
отысканию
решений
дифференциальных
уравнений, которые удовлетворяют начальным
условиям.
Поэтому при решении таких задач совершенно
безразлично как ведут себя искомые функции до
начального момента, который всегда можно
принять за момент
, при чем
будем
понимать
, т.е.
Свойства оригиналов
1) Если
- оригинал, то
является
оригиналом с тем же показателем роста
функции.
2) Если
оригиналы с
показателем
функция
роста
то
где
константы, являются также
оригиналами с показателем роста равным
наибольшему из чисел
.
13
3) Если
- оригинал с показателем роста ,
то оригиналами являются также следующие
функции:
a) функция
, где
–
действительное
число,
имеющая
показатель роста
.
Показатель роста функции
найдем из
определения оригинала.
,
следовательно, показатель роста равен
.
b) функция
(
–
действительное или комплексное число),
показатель роста который равняется
, если
и равный
нулю, если
.
Найдем показатель роста функции
.
14
Мы доказали, что показатель роста функции
равняется
, если
и равный
нулю, если
.
c) функция
,
имеющая показатель роста равный
Найдем показатель роста
.
.
Мы доказали, что показатель роста функции
равняется .
d) функция
показателем роста
с
.
15
4) если
– оригинал с показателем роста
то функция
,
на интервале
является
непрерывным
оригиналом с показателем роста .
Изображение. Свойства изображений
Пусть для заданного оригинала
, принадлежащих области
существует
и для
,
Тогда интеграл (2) определяет на области
функцию
комплексной переменной .
►
Определение
называется
изображением, соответствующим оригиналу
,
если
– интеграл Лапласа (3).
Преобразование (3), относящее оригиналу
его изображение
называется
преобразование
Лапласа.
Связь
между
функцией
и
, осуществляемая с
16
помощью
преобразования
Лапласа
обозначается следующим образом:
(3),
Данное выражение читается следующим
образом: “
есть изображение
” или “
имеет своим изображением
”.
Условия
определения
оригинала
обеспечивают
сходимость
несобственного
интеграла в правой части равенства (3).
•
Теорема (существования изображения)
Интеграл Лапласа (2) от оригинала абсолютно
сходится в полуплоскости
,
,
т.е. для любой функции оригинала существует
изображение, определенное в полуплоскости
.
17
Доказательство
Докажем первую
часть
теоремы.
Пусть
произвольная
точка
полуплоскости
.
и
.
Рисунок 1
Т.к.
– оригинал, то
.
18
Вычислим
Т.е. s
и
, следовательно
.
По условию s
, следовательно, интеграл
сходится. В силу неравенства (*) и первого
признака сравнения: если сходится несобственный
интеграл от большей функции, следует, что
сходится несобственный интеграл от меньше
функции. Следовательно, можно утверждать, что
сходится, а
тоже сходится и притом абсолютно. Это следует
из второго признака сравнения: из абсолютной
интегрируемости
следует
просто
интегрируемость. Мы доказали, что интеграл
19
Лапласа (2) от оригинала абсолютно сходится в
полуплоскости
,
.
Следствие (необходимый признак
существования изображения)
Если функция
функции
, то
является
изображением
Это утверждение непосредственно вытекает из
выше доказанного неравенства, когда
Так как
– аналитическая функция в
полуплоскости
, то
при
по любому направлению. Отсюда, в
частности, следует, что функции
,
не могут быть изображениями.
Отметим, что из аналитичности функции
следует, что все ее особые точки должны лежать
левее прямой
или на самой этой
прямой. Функция
, не удовлетворяющая
этому условию, не является изображением
функции
. Не является изображением,
например, функция
(ее особые точки
расположены на всей оси s).
20
•
Теорема 2 (единственности изображения)
Если в некоторой полуплоскости
функция
является изображением двух
оригиналов
и
, то эти оригиналы равны
во всех точках, где они непрерывны (т.е.
отличаться они могут только в точках разрыва
функции).
Функция Хевисайда
► Определение Функция
условием
, определяемая
называется единичной функцией Хевисайда.
Рисунок 2
21
(рис. 2) является оригиналом с
показателем роста
.
Пусть функция
определенная на
интервале
и удовлетворяющая
условиям 2) и 3) определения оригинала, но
при
.
Рассмотрим
функцию
.
Очевидно, что
Следовательно,
функция
является оригиналом. В дальнейшем при
нахождении преобразований Лапласа функции
будем писать
, считая, что задана
функция
, т.е.
будем кратко
записывать в виде
♦
Пример 1) Найдем
единичной функции Хевисайда
изображение
.
Решение
По формуле (3) находим
22
т.е. в символической записи
♦ Пример 2) Найдем изображение функции
.
Решение
Аналогично,
♦
можно
показать,
что
Пример 3) Найдем изображение функции
, ( – константа).
Решение
Данная
Имеем
функция
, при
является оригиналом.
, следовательно, при
и
.
23
Т.к.
.
Получаем, что
Аналогично можно доказать, что
24
Контрольные вопросы
1. Что такое оригинал? Приведите пример.
2. Что такое показатель роста?
3. Является ли оригиналом функция
4.
5.
6.
7.
8.
?
Перечислите свойства оригинала?
Что такое изображение?
Сформулируйте теорему существования
изображения?
Напишите функцию Хевисайда и найдите ее
изображение?
Сформулируйте теорему единственности
изображения?
25
2. Основные свойства преобразования
Лапласа
Свойство линейности
Линейной комбинации оригиналов соответствует
такая же линейная комбинация изображений, т.е.
если
, где
– показатель роста функций
и
постоянные, что
Используя свойство интеграла, находим
Если интегралы
для функций
сходятся в полуплоскостях
, то
сходятся в
полуплоскости
.
26
Итак,
1) при умножении оригинала на постоянную
величину его изображение умножается на ту
же величину.
2) Изображение суммы функций равняется сумме
изображений этих функций.
♦ Пример Найдем изображение функций
Решение
По формуле Эйлера, находим
Пользуясь свойством линейности преобразования
Лапласа, имеем
т.е.
Аналогично
27
Следовательно,
Аналогично,
т.к.
• Теорема подобия Если
,
,
то
,
, где
– любое
действительное число, т.е умножение аргумента
оригинала на любое действительное число
приводит к делению изображения на это число.
Доказательство
По формуле (3), получим
28
Функция
по свойству 3) оригинала при
является оригиналом с показателем роста
.
Сделаем замену переменных
.
(т.к. безразлично какой буквой
переменная интегрирования).
обозначена
•
Теорема
смещения
Для
любого
действительного или
комплексного числа ,
, (
), т.е.
умножение оригинала на функцию
влечет за
собой смещение независимой переменной в его
изображении на величину .
Доказательство
Дано
, доказать что
. В силу формулы (3)
29
♦ Пример Найти изображение функций
.
Решение
Используя теорему смещения и формулы
для изображений
найдем:
♦ Пример Найти изображение функций по
заданному оригиналу.
30
Решение
1)
2)
3)
♦ Пример
Найти оригинал, изображение
которого задано формулой.
Решение
4)
5)
31
Теорема запаздывания
Рассмотрим
оригинал
Определим функцию
.
где
. Графики функции
и
имеют
одинаковый вид, но график функции
сдвинут
на
единиц вправо (рис. 3, рис. 4).
Следовательно, функции
и
описывают
один и тот же процесс, но процесс, описываемый
функцией
, начинается с опозданием на время
.
Запаздывающую функцию
записать с помощью функции
.
можно
Хевисайда:
32
Рисунок 3
Рисунок 4
33
•
Теорема Если
и
, то
, где по
определению
оригинала
при
, т.е.
запаздывание оригинала на время
приводит к
умножению
изображения
оригинала
без
запаздывания на
.
Доказательсвто
Применяя формулу (3), найдем
34
Рисунок 5
Свойство запаздывания удобно применять
при отыскании изображения функций, которые на
разных
участках
задаются
различными
аналитическими
выражениями;
функций,
описывающих импульсные процессы.
Теорема запаздывания является весьма
эффективным
средством
для
нахождения
изображений функций, имеющих различные
аналитические выражения на различных участках
заданного промежутка, в частности, для
разрывных функций.
Такого рода функции имеют широкое
распространение во многих областях науки и
техники, особенно в теории регулирования,
автоматики, радио и электротехники.
35
При этом удобно записывать функции
следующим образом:
где
– точки изменения аналитического
выражения, чаще точки разрыва или перелома
графика функции.
Данная функция называется обобщенной
единичной функцией (рис.5).
График этой функции аналогичен графику
единичной функции
, но смещен вдоль оси
вправо на величину .
Т.к.
♦
, то по теореме запаздывания
Пример Найти изображение функции
36
Рисунок 6
Решение
Данная функция описывает единичный
импульс (рис. 6), который можно рассматривать
как разность оригиналов единичной функции
и обобщенной единичной функции
. Поэтому
♦ Пример Найти изображение следующих
функций.
Решение
37
♦ Пример Найти оригинал по заданному
изображению
Решение
• Теорема о дифференцировании оригинала
Если
и
функции
38
являются
оригиналами с показателем роста
, то
… … … … … … … … … … … …
Доказательство
По определению изображения
Т.к.
в силу ограниченности
роста оригинала
– ограниченная функция, а
– бесконечно малая величина.
39
В частности, когда
:
.
Пользуясь полученным результатом, найдем
изображение
– также функция оригинал,
тогда
Аналогично
найдем
производной:
Применив формулу
изображение
третьей
раз, получим
Когда все начальные условия нулевые, т.е.
то
♦ Пример
дифференциального
Найти
изображение
выражения
Решение
40
Используя
свойства
линейности
и
дифференцируемости,
получаем
вместо
дифференциального уравнения алгебраическое,
относительно переменной
.
• Теорема о дифференцировании изображения
Если
, то
… … … … … …
… … … … … …
т.е.
дифференцированию
изображения
соответствует умножение его оригинала на
.
41
Доказательство
Согласно
теореме
существования
изображения,
является аналитической
функцией в полуплоскости
.
Следовательно, у нее существует производная
любого порядка. Дифференцируя интеграл (3) по
параметру получим
т.е.
Тогда
2 и т.д.
♦
Пример
Найти изображение функций
1)
42
Решение
Т.к.
, по свойству дифференцирования
изображения имеем
Далее находим
Продолжая дифференцировать, получим
♦ Пример 2)
.
Решение
Т.к.
то
… …. … … … …
♦ Пример 3)
43
Решение
Т.к.
, то
♦ Пример 4)
Решение
Т.к.
, то
• Теорема об интегрировании оригинала Пусть
, тогда
т.е. интегрирование оригинала от
до
соответствует делению его изображения на .
Доказательство
Обозначим
оригиналом
(проверьте
следовательно
.
является
самостоятельно),
44
Т.к.
функция
– оригинал, значит ограниченная
,
Следовательно,
а
.
.
А
.
♦ Пример Найти изображение
45
• Теорема об интегрировании изображения
Если
и
являются оригиналами и
интеграл
сходится, то
при
, где
– показатель роста
, т.е.
интегрирование
изображения
от
до
соответствует делению его оригинала на .
Доказательство
Используя формулу (3)
интегрирования, получаем
и изменяя порядок
46
♦
Пример Найти изображение функции
и интегрального синуса
.
Решение
–
Т.к.
является оригиналом, т.к.
, то
Применяя свойство интегрирования оригинала,
получаем
47
Свертка функций
►
Определение Функция вида
) называется сверткой функций 1( ) и 2( ) и
обозначается
.
Т.о.
.
Свойства
свертки
(коммутативность):
Выражение для свертки не зависит от порядка, в
котором берутся функции
и
, т.е.
справедливо равенство
или
Говорят, что действие свертки коммутативно.
Докажем
свойство
коммутативности
сделаем подстановку
.
48
♦
Пример
Найти свертку функций
Решение
♦ Пример Найти свертку функций
Решение
49
•
Теорема свертывания Если
и
,то
произведение
является изображением свертки функций
, т.е.
и
Теорему свертывания часто используют для
определения
оригинала
по
заданному
изображению, когда заданное изображение
удается разбить на сомножители, для которых
оригиналы известны.
♦
Пример
изображению
Найти оригинал
.
по
Решение
Получаем свертку двух функций из предыдущего
примера и используя теорему свертывания, имеем
50
♦
Пример
изображению
Найти оригинал
по
.
Решение
Получаем свертку двух функций из примера
данной главы стоящего выше и используя теорему
свертывания, имеем
Формула Дюамеля
Пусть
– оригинал, непрерывный на
и
– оригинал, непрерывно
дифференцируемый на
. Из
и
, причем
также является
оригиналом. Следует, что
51
Докажем данное равенство
♦
Пример
Найти
соответствующий
изображению
оригинал,
с
помощью формулы Дюамеля.
Решение
52
♦
Пример
Найти
соответствующий изображению
оригинал,
Решение
Так как
53
и
на основании формулы Дюамеля
Умножение оригиналов
Рисунок 7
54
Если
и
, то
где путь интегрирования – вертикальная прямая
(рис. 7).
Изображение периодического оригинала
с периодом, равным , имеет вид
Оно определено в полуплоскости
.
Используя формулу (3) и свойство периодической
функции, имеем
55
т.к.
периодом .
– периодическая функция с
Следовательно
♦
Пример
Найти
периодической
функции
графически (рис.8).
изображение
,
заданной
56
Рисунок 8
Решение
.
♦
Пример
Найти
периодической
функции
аналитически
,
изображение
,
заданной
Решение
57
♦
Пример
Найти
периодической функции
графически (рис. 9).
изображение
, заданной
Рисунок 9
58
Решение
Зададим
учтем, что
аналитически
, получим
59
Контрольные вопросы
1. В чем состоит свойство линейности
преобразования Лапласа?
2. В чем состоит свойство подобия?
3. Сформулируйте теорему смещения?
4. Сформулируйте теорему запаздывания.
Проиллюстрируйте ее?
5. Сформулируйте
теорему
дифференцирования оригинала?
6. Сформулируйте
теорему
дифференцирования изображения?
7. Сформулируйте теорему об интегрировании
оригинала?
8. Сформулируйте теорему об интегрировании
изображении?
9. Сформулируйте теорему о свертке?
10.Напишите формулу Дюамеля?
11.Как выглядит изображение при умножении
оригиналов двух функций?
12.Напишите формулу для нахождения
изображения периодических функций?
60
3. Формула
разложения
обращения.
Теоремы
►
Определение Операция нахождения
оригинала по заданному изображению называется
обратным
преобразованием
Лапласа
и
обозначается
Первая теорема разложения
Если функция
аналитична
в
некоторой окрестности бесконечно удаленной
точки и ее разложение в ряд по степеням
имеет
вид
то функция
является
.
оригиналом, имеющим изображение
61
Вторая теорема разложения
Если
правильная несократимая дробь,
причем многочлен в знаменателе дроби
не
имеет кратных и нулевых корней, то оригиналом
ее служит функция
где
– простые корни многочлена
.
Доказательство
Пусть
,
заданная рациональная функция,
причем
правильная
несократимая дробь и
нулевых корней, тогда
не имеет кратных и
где
– корни знаменателя.
Т.к.
корни знаменателя, то
62
Для нахождения
умножим (5) на
устремим к , т.е.
.
и
Второе слагаемое в формуле (6) стремиться к
нулю при
. Тогда получим
Аналогично
63
Учитывая, что
, получаем
т.е.
Если, в частности
, где
и
– многочлены степеней
и
соответственно
– корни
многочлена
с кратностями, соответственно
равными
то
Если все коэффициенты многочленов
и
– действительные числа, то в правой
части
полезно
объединить
слагаемые,
относящиеся
к
взаимно
сопряженным
64
комплексным корням; сумма каждой пары таких
членов равна удвоенной действительной части
одного из них.
На практике отыскание функции-оригинала
обычно проводят по следующему плану: сначала
по таблице оригиналов и изображений пытаются
отыскать для заданного изображения
соответствующий ему оригинал; в более сложном
случае функцию
стараются представить в
виде суммы простейших рациональных дробей, и,
пользуясь свойством линейности, найти оригинал;
наконец, использовать теоремы разложения,
свойство умножения изображений, формулу
обращения и т. д.
♦ Пример Найти функцию-оригинал, если ее
изображение задано как
Решение Рассмотрим три способа.
Первый способ
Разложим дробь
нахождения
на сумму
.
простейших дробей:
65
И по таблице оригиналов и изображений найдем
.
Второй
Представим
способ нахождения
как произведение
.
и т.к.
то пользуясь свойством умножения изображений,
получим
66
Третий способ нахождения
,
– простой корень знаменателя,
корень кратности
.
.
Здесь
–
67
Контрольные вопросы
1. Что
такое
обратное
преобразование
Лапласа?
2. Сформулируйте первую и вторую теоремы
разложения?
3. Разложите, функцию
на
сумму простейших дробей, пользуясь
первой и второй теоремой разложения?
68
4. Приложение операционного исчисления к
решению линейных дифференциальных
уравнений
с
постоянными
коэффициентами и систем линейных
дифференциальных уравнений
Операционный метод позволяет просто
решать линейные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
При решении таких уравнений методом
преобразования Лапласа искомая функция и ее
производные заменяются их изображениями,
после чего получается алгебраическое уравнение
относительно изображения искомой функции.
Решая его, мы получаем так называемое
операторное решение, после чего остается
восстановить оригинал, являющийся искомым
решением задачи Коши для дифференциального
уравнения. Для этой последней операции могут
быть использованы, в зависимости от случая,
теорема обращения и другие теоремы и правила
операционного исчисления. Указанный метод
решения можно наглядно изобразить в виде
следующей схемы:
Дифференциальное уравнение и начальные
условия
69
L – преобразование Лапласа
Алгебраическое уравнение
Решение алгебраического уравнения
L-1 – обратное преобразование Лапласа
Частное решение дифференциального уравнения
Может случиться, что в сложном исследовании
участвует целая цепочка подобных рассуждений,
так что найденные функции используются для
отыскания еще каких-то функций и т.д. В таких
случаях оказывается полезным проводить все
исследование в образах и лишь на самом
последнем этапе перейти к прообразам функций,
которые в конечном счете и требуются.
Пусть
уравнении
дано
линейное
дифференциальное
70
где t
0, коэффициенты
–
действительные
числа,
удовлетворяющие
заданным начальным условиям:
►
Определение Совокупность состоящая из
дифференциального уравнения (7) и начальных
условий (8) называется задачей Коши для
дифференциального уравнения (7).
Пусть неизвестная функция
и ее
производные
и функция
удовлетворяют
условиям
функции
–
оригинала. Обозначим
и
. Тогда по теореме дифференцирования
оригинала имеем:
…… … … … … … … …
По теореме линейности получаем:
71
Так как
, то по теореме
единственности оригинала получим уравнение
или
Полученное
операторное
уравнение
дифференциального уравнения с начальными
условиями и является алгебраическим уравнением
относительно :
72
Если правая часть
данного уравнения
есть линейная комбинация функции вида
,
то решение
его операторного уравнения – это
правильная дробно-рациональная функция. По
теореме
разложения
или
непосредственно
пользуясь свойствами преобразования Лапласа,
находим для изображения
функцию
. Эта
функция есть частное решение данного уравнения.
Выражение
называется
многочленом.
характеристическим
Функция
называется
передаточной функцией. Тогда если начальные
условия нулевые, то
.
В таком случае схема решения имеет вид:
F(p)
F(p)
Z1(p) F(p)
Z1(p)
Z2(p) Z1(p)
Z2(p)
Таким образом, в случае нулевых начальных
условий образ отклика получается из образа
воздействия
простым
умножением
на
передаточную функцию. Это делает особенно
удобным
рассмотрение
в
Лаплас-образах
73
агрегатов, в которых выходная функция для
некоторой системы служит входной функцией для
последующей и т.д. Если начальные условия не
нулевые, то формулу можно записать так:
Замечание Аналогично можно
дифференциальное уравнение 2 порядка.
решить
Рассмотрим уравнение
–действительные числа, пусть
, где
– заданные числа.
Пусть существует изображение решения
и
правой части уравнения (9). Предположим, что
существует изображение не только
, но и ее
производных вплоть до порядка.
Домножим обе части (9) на
результат по от до .
и проинтегрируем
Каждое слагаемое заменим на его изображение
74
Получим уравнение
Уравнение
(11)
называется
операторным
уравнением или изображением уравнения,
соответствующего уравнению (9). Уравнение (11)
является
алгебраическим
уравнением
относительно
.
Правая часть уравнения (12) – правильная
рациональная дробь, раскладывая ее на сумму
простейших и восстанавливаем по изображению
оригинал
, получим частное решение
уравнения (9).
Если
, то
75
Преимущества решения дифференциальных
уравнений операционным методом:
1) Сразу
находим
частное
решение
дифференциального уравнения, не находя
общее.
Замечание Если требуется найти общее
решение дифференциального уравнения, можно
взять начальные условия
и
.
2) Сразу
находим
частное
решение
неоднородного
дифференциального
уравнения, не находя решение однородного
уравнения.
Замечание Задание в начальном условии
точки не является ограничением. Если
, то положив
и т.д.
♦
Пример Проинтегрировать уравнение
при
начальных
условиях x(0) = 0, x′ (0) = 1.
Решение
Полагая
дифференцируя, получим:
и
Операторное уравнение принимает вид:
76
или
откуда
♦
Пример Решить дифференциальное
уравнение
Решение
.
, операторное уравнение.
♦
Пример
Решить дифференциальное
уравнение с начальными
условиями
из
предыдущего примера.
Решение
77
♦
Пример
Найти
решение
уравнения
при
начальных условиях x(0) = -1, x′ (0) = 1.
Решение
Пусть
функции
есть
изображение
искомой
, т.е.
Тогда
По теореме смещения получим:
Отсюда
78
Разложим изображение на элементарные дроби.
Тогда
Сравнивая коэффициенты
степенях
,
находим:
. Тогда
при
одинаковых
Переходя к оригиналу, пользуясь теоремами
линейности и смещения, получим решение
Решение систем
линейных алгебраических
уравнений операционным методом
Решение
системы
линейных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами ничем принципиально не
отличается от рассмотренного решения одного
дифференциального уравнения. Здесь также
оригиналы функции следует заменять их
изображениями. Тогда каждое дифференциальное
уравнение
заменится
соответствующим
операторным и получится система линейных
79
алгебраических
уравнений
относительно
изображений. Решив эту систему, находят
изображения искомых функций, а затем переходят
к их оригиналам.
Рассмотрим
систему
дифференциальных уравнений
линейных
►
Определение Совокупность системы
линейных дифференциальных уравнений (13) и
начальных условий (14) называется задачей Коши
для системы линейных дифференциальных
уравнений.
Предположим, что функции
,
оригиналами.
-
,
являются
перейдем в системе (13) к изображениям
80
Решим полученную систему относительно
найдем изображение искомых функций, а
затем и сами оригиналы функций
.
♦ Пример Решить систему
дифференциальных уравнений
при
начальных
линейных
условиях
Решение
Пусть
Тогда
,
,
.
Переходя
к
изображениям, приходим к
следующей операторной системе:
Решая эту систему, получим:
81
. При
При
,
Итак,
,
.
. Тогда
.
Аналогично
,
получим
.
82
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Что такое алгебраическое уравнение?
Что такое характеристический многочлен?
Что такое передаточная функция?
Что называется задачей Коши для системы
дифференциальных уравнений?
В
чем
состоит
схема
решения
обыкновенного
дифференциального
уравнения методом Лапласа?
Как выглядит операторное уравнение для
уравнения
?
Каковы
преимущества
решения
дифференциального
уравнения
в
операционном виде?
Какой вид имеет система линейных
дифференциальных уравнений первого
порядка?
83
5. Дельта - функция, ее
изображения по Лапласу
свойства
и
(дельта-функция) широко применяется
в математике и ее приложениях и является
простейшим примером обобщенных функций.
Сначала рассмотрим функцию
Если эту функцию трактовать как силу,
действующую за промежуток времени от до , а
в остальное время она равна нулю, то импульс
этой силы будет равен единице.
В
механике
удобно
рассматривать
мгновенно
действующие
силы,
имеющие
конечный импульс.
Поэтому
вводят
функцию
► Определение
- функцией
называется
функционал, который каждой непрерывной в
84
точке
значение
функции
, т.е.
ставит в соответствие ее
.
Символически этот факт часто записывается в
виде
Для
имеются следующие свойства
1)
т.к. определена данная функция лишь при
.
2) Из последних равенств следует, что
85
3) "Фильтрующее" свойство
т.к
при всех
, поэтому
где - малая величина. В последнем интеграле
промежуток интегрирования мал (его длина равна
), поэтому на нем
, следовательно
4) Для нахождения изображения
, найдем
изображение
,
используя
свойство
линейности и изображение единичной функции
86
Итак,
.
Для смещенной - функции
.
Контрольные вопросы
1. Что такое дельта функция?
2. Перечислите свойства дельта функций?
87
Упражнения
Упражнение 1
1. Найти изображение функций
1.1. 4
3t
1.2. 2 sin t
1.3. t
1 t
e
2
1.4. 1 sin 4t
cos t
3
1.5. sh3t
1 3
t
2
1.6. 3sin2 5t
1.7. sin 2t
cos 6t
1.8. 1
2e3t
7
1.9. e
2t
1.10. e
sin 3t
0,5t
1.11. e2t sht
1.12. t 3e
1.13. e3t
1.14. e
cos2 2t
2.
Найти
изображению
2.1.
p 2 16
2.3.
5
p
2.5.
2
2.4.
3p
36
p
2
4
1
p( p 1)( p 2 1)
t
5t
sin3 t
оригинал
2.2.
8
cos 0,2t
2.6.
по
2
3
p2 9
p5
1
2p
заданному
p
3p
2
76
1
p 2 ( p 2 1)
88
2.7.
1
p
2
p
2
4p 3
2.9.
2.8.
2
p
7
p
2.13.
2p
2.12.
5
2
2 p 15
( p 1)( p
2.15.
3p
p
2
1
2.14.
5p 3
2
p
p 2 4 p 13
4p 5
2.11.
2 p2
2.10.
1
p
1
3
p 8
p
2 p 5)
2
4p 5
p2 1
2.16.
p 2
2
p 2 ( p 2 1)2
( p 1)( p 2)( p 2 1)
Упражнение 2
1. Решить дифференциальные
операционным методом
1.1. x
x e t,
1.2. x
2x
1.3. x
1,
1.4. x
3x
e
1.5. x
2x
e2t ,
1.6. x
x
1.7. x
2x
x(0) 1
sin t ,
t,
t,
x(0)
0
x(0)
0,
x (0) 1
x ( 0)
0,
x ( 0)
x(0)
x(0)
3x
уравнения
e t,
1
x (0) 0
0,
x(0)
x (0)
0,
1,
x (0)
0
x (0) 1
89
1.8.
x
1.9. x
2x
x
x sin t ,
2 cost ,
1.10. x
x
1.11. x
4x
x(0) 0,
x(0)
1,
29x
0,
x(0)
0,
Ответы: 1.1. x(t )
1.2. x(t )
1.3. x(t )
x (0)
1
x (0)
x (0)
x(0)
1
x (0)
0,
0
x (0) 15
(t 1)e t
1 2t
e
5
t
1
2
cos t
sin t
5
5
1 2
t
2
1.4. x(t )
1 t 5 3t
e
e
4
12
1.5. x(t )
1
(1 e2t
4
1.6. x(t )
1 2
t 1 cos t sin t
2
1.7. x(t )
1 t
(3e
8
e 3t
2e t )
1.8. x(t )
1 t
(e
te t
2
cos t )
1.9. x(t )
t sin t sin t
2
3
2te 2t )
1.10. x(t )
t sin t
1.11. x(t )
3e 2t sin 5t
90
2. Решить системы дифференциальных
уравнений операционным методом
2.1.
x
y
y
2x 2 y
x(0)
2.3.
2x x
x y
y
x
2y
0,
2.4.
x
2.6.
0
x (0)
x
x
y
y
0
x
sin t
0
y (0)
0
0
2 cost
x(0)
y (0) 1
2 x 2 y 1 2t
y(0)
x y
y y
x(0)
y
3 sin t
sin t
y(0)
x
x(0)
x
x
y (0) 1
x(0)
2.5.
2.2.
y(0)
7x
x (0)
2
y 5
2x 5 y
x(0)
0, y(0)
y
37t
y (0) 0
Задания для типовых расчетов
1. Найти изображения оригиналов
1.1.а) t 2
1.2.а) t 3
1.3.а) (t 2
t 1
1
t 4
2
3) 2
б) sin2 t
б) sin t
cos 2t
в) t 2et
г) (t
в) tsh3t
г) te
2)5 e3t
2t
б) tch 2t
в) sin t sin 3t
г)
б) t cos 2t
в)
г)
t 3 6t 2 9t
1.4.а) (1
t2
2t ) 2
sht sin 2t
4t 5
1.5.а) t 3
3t 2
б) cos2 5t
в) t 2e
2t
г) t sin t
91
1.6.а)
t5
t
б) t cos2 3t
4,2
1.7.а) 4 sin2 2t
3e2t
1.8.а)
ch 2t
sin 3t
в) (t 2
б) t sin 2t
5t
б)
в) (3t
3
г) sin2 3t
1) 4
в)
2 2
1
t 2t
3
3
г) cos t cos 3t
1)e 3t
e2t cos3t cos4t
г)
t sin 2t cos 6t
1.9.а)
б) t 3ch2t
et (t 1) 2
1.10.а) e2t cos2 t
б) 2 t 3e
в) 4 sin 2t cos 8t
3
0,5t
3
3ch 2t
в)
г) cos3 t
et sin 2t tch3t
г)
(t 3)et
1.11.а) 1 t 2
2
б) 3t sin2 t
t (2t 1)4
в) 4cht sin 3t
г)
e3t cos 2t
1.12.а)
t5
б) 3 sin 2t cos 3t
1 2
t 3
2
в) tch2t
e3t sht
г)
sin 4 t
1.13.а) (t 3
3) 2
б) 3tch5t
3t ) 2
б) 3tch2t
2)7 sh3t
б) e
в)12 sin 3t cos 5t
4t 2 1,2
г)
et sin 2t cost
1.14.а) (2
t 2e3t
в) sh 2t sin 4t
г)
cos4 t
1.15.а) (t
3t
в) 1 t 3e5t
ch2 2t
2
1
t 3
4
г)
t 5 cos2t 5
1.16.а) 2t
3t 2
1 3 5t
t e
2
б) cos2 5t
sin t
в) e
3t
(5t 10) 4
г)
t cos2 t
92
1.17.а) 4 t
3t 2 e t ch3t
5
б) t 3e5t
в) 3(2t
sht cos5t
1)5 sin 2t
г)
t sin2 t
1.18.а) 1 t 3
2
б) t cos3 2t
t 4e 3t
в) (t 2
г)
3)e 4t
et sin t cos3t
1.19.а) 5 cos2 3t
2e2t
t 2e2t
б) 1 tsh 2t
в) (2t
3
2
г)
4)3 cht
t 2e 2t
1.20.а) 2 sin 2 2t
г) t 5e
3t
2
в) e
3t
ch5t 4t
5
1.21.а) 2t sin 3t
г) 1 t 4
1 б) 2t cos t cos 3t 3(2t 1)5
3
3e2t t 3
ch 2t
1
5
б) 1 t 2
3
4t te 5t
в) e
4t
cost sin 5t
cos 6t
1.22.а) 2et (t
3) 4
б) t 3ch 2 2t
1
sin 3t
2
в) sh 2t cos 8t
г) t sin2 2t
1.23.а) e
t
(t 3) 2
б) t 5sh3t
в) 3 sin 5t cos 7t
12t
г) 1 t sin 2 3t
2
1.24.а) e2t cos2 3t
б) 2 t 4e
0,4t
3
г) 3t 4
2sh3t
в) et sin( 2t
1
4) tch t
2
1
ch 6t
3
1.25.а) tsh3t
б) 3 sin(t
2)
в) 6sh2t cos 3t
93
г) e3t sin 4t
1.26.а) 1 t cos 5t
б) 2 e
3
3t
9
в) 4t
sh2t
15ch(2t 6)
г) et sin t cost
1.27.а) 3t sin 4t
б) 1
1 3 t
t e
2
2e 3t cht
3
в) 4 cos 2tsht
г) 4t sin 3t sin 5t
1.28.а) t sin2 3t
б) 1 sin( 2t
4
в)
5)
5t 3e0,5t 3ch7t
г) t sin 4t cos t
1.29.а) e
г) (2t
2t
б) t 2ch5t
(t 5)3
в) sin t cos 7t
10)7 e5t
1.30.а) 1 t 3
2
г) 5ch(3t
б) t cos(t
2t t 2e5t
в) e
3)
2t
cost cos3t
1)t
2. Найти оригиналы изображений
2.1.а)
1
p
г)
2
б)
p
4p 4
в)
p 3
2
2p 5
p 2
p( p 1)( p 2)( p 3)
5
p4
p
2.2.а)
1
p2
2p 2
б)
в)
p 1
( p 3)( p 2
2 p 9)
p 4
( p 1)( p 2)( p 3)
94
г)
p 5
p2
4p 9
2.3.а)
1
p
г)
2
б)
4p 3
в)
3 p
p
3
p
5
p 2
( p 1)( p 2 4)
p 3
p
2
6 p 10
2.4.а)
1
p
3p 2
2
б)
p
6p 8
в)
1
3
p
г)
1
( p 2)( p
2
1)
p 2 6 p 13
2.5.а)
1
p
p
2
2
б)
6 p 12
в)
p 2
p
2
p 1
г)
p 4
p ( p 1)( p
2
9)
1
p3 2 p 2 3 p
2.6.а)
2
p
2
б)
5p 6
в)
p 2
p
3
2p
2
11 p
p 1
p( p 2)( p 4)( p 6)
г)
7
p ( p 2 4) 2
2.7.а)
1
p
2
p 12
б)
2p 1
p
2
в)
10 p 34
г)
4
( p 9)( p
2
1)
3p
( p 2 1) 2
2.8.а)
1
p
2
2 p 15
б)
6p 1
p
2
4 p 13
в)
г)
1
( p 1)( p
2
25)
4p
( p 2 9) 2
95
2.9.а)
p
4p
p
2
4
б)
1
2
2p 3
в)
4p 2
p
2
г)
p 8
(p
2p 2
2
1)
2
8
4 p2
2.10.а)
б)
1
2
p
в)
4 p 18
p2
2p 8
г)
1
( p 1)( p 2) 2
2p 5
4p
(p
2
4) 2
2.11.а)
1 3p
б)
2
p
6p 9
4 p 10
p
p 4
в) 2 pe
2
2
4
4p
4
p
2p
2
9
p
2e
2p
г)
p
e
1
( p 2)( p 2 2 p 10)
2.12.а)
p2
p3
p2
p4
б)
3
в) e
2p 3
p 4 8 p 2 16
2p 2
p
г)
p3
p 1
p 3
p2
2.13.а)
б)
p 3
p
2
p
2
4p 3
в)
p 1
(p
2
9)
2 p3 2 p 2 5
2
2
( p 1) ( p
2
г)
4)
3p
e
p 2 ( p 2 1)
2.14.а)
г) p
3
p
4
б)
1
8p
2p 3
p( p
б)
13 p 4
2
p 5
p
1)
3
p2
p 1
2
4p
2
2.15.а) 3 p
p
в)
p 2
2
2
9
p
2
4 p 13
в)
3 p2 7 p 2
(p
2
p)( p 1)
г)
4p 2
p4 4 p2
96
2.16.а)
p
p
2
5p
б)
2
2
p
p
2
в)
2p
г)
5p
p
2p 5
4
3p
2
4
17 p 36
( p 1)( p
2
2.17.а)
6 p 13)
б)
p 3
2
p
4
36
2)( p 2
(p
e
p
2p
2.18.а)
pe
2
16
p
г)
3 p2 7 p 2
(p
2
p)( p 1)
10)
б)
3
2
в)
3p
в)
2p 5
2p 8
p
2
p
6 p 13
p
e
2
1
pe
2p
2
4
p
г)
2 p 2 2 p 20
( p 1)( p 2 2 p 5)
2.19.а)
2p 1
p
p
2
2
б)
3p 2
(p
2p 5
2
9)
в) 7 p
10
3
8
2
p
г)
5 p 40
( p 2)( p 2 2 p 10)
2.20.а)
б)
p 2
p
2
2 p 15
в)
2 p2
(p
2
3)
2
9p 9
( p 1)( p
2
г)
4 p 13)
1
p3
p2
2.21.а)
p 3
p
4p
2
( p 1)( p
2
4p 3
б) 2e
p
2
3p
1
в)
г)
1
p( p 1)( p
2
4)
3 p 17
2
2 p 5)
97
2.22.а)
2p
2
1
p3 2 p 2
p
6p 2p
2
2.23.а)
2p
p
2
p
4 p 11
2
в)
2p 3
3
4p
2
б)
1
p
3
б)
1
4p 3
5p
в)
1
p
3
p
e
p( p 1)
2p
2
г)
p 3
p
p
г)
3
8p
2
17 p
2p 2
p5 2 p 4 2 p3
2.24.а)
б) 2e
1
p2
2.25.а)
p3
4p 5
б)
1
p
2
в)
p
p4
в) 2 p3
2
5
p (p
p2 2 p 1
p3 3 p 2 3 p 1
p2
5
2
4p 5
г)
1
p
9)
p2 2 p 2
2p
4
2p
г)
3
3
( p 1)( p 2 4)
2.26.а)
б)
1
2
p
p 2
4p 3
( p 1)( p 2)( p 2
2.27.а)
(p
1)
p
8
г)
p2 2 p 1
p
3
2p
2
2p 1
4)
б)
1 6p
2
в)
3p
3
2
в)
2p 3
p
3
4p
2
г)
1
2
5p
( p 1) ( p 2)
5
p 4 2 p3 3 p 2 2 p 1
2.28.а)
p 3
( p2
2.29.а)
3
p
3p
2
4) 2
2
6 p 10
б) 3 p2
в)
e
p2 2 p 5
p3 1
б)
в)
2p 3
p
г)
p
3
4p
2
5p
p2 2 p 1
p3 3 p 2 3 p 1
3p 5
( p 1)( p
2
г)
2 p 3)
p 3
3
( p 1) ( p 2 1)
98
2.30.а)
p
p
3
б)
4
2
2p 8
в)
13
p
3
6p
2
13 p
г)
7
2
( p 1) ( p
2
1)
16
p4 6 p2 8
3. Решить уравнения операционным методом
3.1. а) y
5 y 6 y Sin t , y(0) 0 , y (0) 1
б) y
y
3.2. а) y
4y
8t , y(0)
б) x
3x
2x
3.3. а) у
4у
4 , у(0)
б) х
9х
2 t , x(0)
3.4. а) y
б) y
3.5. а) y
б) x
3.6. а) y
y
2 , y(0)
6y
0 , y (0)
0 , y (0)
et Sin 3t , x(0)
0 , y (0)
4
0 , x (0)
1
1, у (0) 0
0 , x (0) 1
2 , y(0) 1, y (0)
0
4 y 2Cos 2t , y(0) 0 , y (0) 4
4y
13 y e2t Cos 3t , y(0) 1, y (0)
x
3Sin t , x(0) 0 , x (0) 1
9y
Cost , y(0) 1, y (0) 0
б) y
2y
3.7. а) x
4x
et Sin 2t , x(0) 0 , x (0) 0
б) y
4y
4t , y(0) 1, y (0) 0
3.8. а) x
0
Sht , y(0)
0 , y (0)
1
0 , y (0)
0
9x Cos 3t , x(0) 1, x (0) 0
99
б) x
3.9. а) y
б) y
te t , x(0)
x
0 , x (0)
0
4 y 4Sin t , y(0) 4 , y (0) 0
6y
9y
0 , y(0)
2 , y (0)
1
3.10. а) x
2x
x 2Cos 2t , x(0)
б) y
5y
6 y 2et , y(0) 1, y (0) 1
3.11. а) x
x Cost , x(0)
б) x
2x
3.12. а) x
2x
5x
б) x
x
t , x(0)
3.13. а) x
x
б) x
3.14. а) x
x (0) 0
1, x (0) 1
x t 2 , x(0) 1, x (0) 0
3 , x(0) 1, x (0)
3 , x (0) 1, x (0) 0
4Sin 2t , x(0) 0 , x (0)
2x
x
4 , x(0) 1, x (0)
1
2 , x (0)
2
3
t
4 x Sin t Sin , x(0) 1, x (0) 0
2
2
б) x
3x
4x
0 , x(0)
3.15. а) x
3x
2x
б) x
4x
sin t , x(0)
et ,
0 , x (0)
0 , x (0)
2
x(0) 0, x (0) 0
0, x (0)
3.16. а) x
x
t 2 , x(0)
б) x
x
e2t , x(0)
3.17. а) x
x
te t , x(0) 1, x (0) 0
б) x
0
0
0, x (0) 1
x (0)
x t cos2t , x(0)
x (0) 0
x (0) 0
100
3.18. а) x
2x
б) x
4x
3.19. а) x
4x
б) x
3.20. а) x
x
t sin t , x(0)
x (0)
2 cos3t cost , x(0)
x (0)
0
4 x t 3e t , x(0) 1, x (0)
x 2 sin t, x(0) 1, x (0)
x
б) x
0
cost , x(0)
2x
0, x (0)
x t , x(0)
1
2, x (0)
x
et , x(0) 0, x (0) 2, x (0) 0
б) x
4x
8 sin 2t , x(0)
б) x
3.23. а) x
x
cost , x(0)
2x
x
3, x (0)
2, x (0)
2 x 1, x(0)
cost , x(0)
0
2, x (0)
0
4y
t , y(0) 1, y (0)
3.24. а) x
2x
5x 1 t , x(0)
3.25. а) x
1
0, x (0)
x (0)
б) y
б) x
0
0
x (0) 0
4 x sin t , x(0) 0, x (0) 0
2x
x
t , x(0)
x (0)
0
б) x
x
2 sin t , x(0) 1, x (0)
1
3.26. а) x
x
cost cos2t , x(0)
0
б) x
x
te t , x(0)
3x
1
2 x 2et cos t , x(0) 1, x (0) 0
2
3.27. а) x
0
x (0) 0
3.21. а) x
3.22. а) x
1
x (0)
x (0) 0
101
б) x
3.28. а) x
б) x
3.29. а) 2x
б) x
3.30. а) x
б) x
x 1, x(0)
x
t , x(0)
2x
et (t 2
5x
9x
1, x (0)
x (0)
0
t 3), x(0)
29cost , x(0)
et , x(0)
x (0)
0
x (0)
2
1, x (0)
0
0
4 x 8 sin 2t , x(0) 3, x (0)
e3t , x(0)
5x
1
x (0) 0
4. Решить систему дифференциальных уравнений
операционным методом
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
х
y
2x y 3
x 4 y 1,
x(0)
y
z
3y z 0
y z 0,
y(0) 1,
x
y
x
2y
x
y
3z
y
z
y
z et ,
y ( 0)
z ( 0) 0 .
x
y
4 x y Sin t
x 2 y Cos t ,
x(0)
y (0) 0.
x
3x 2 y
y
x 2y
x ( 0)
y ( 0) 0 .
0 , y(0)
0.
z (0) 1.
2 y 2 x 1 2t
0,
x(0)
0,
x (0)
0,
y(0)
0.
4e5t
0,
102
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
x
3y x
y
y
x
y
y
x,
y
z
3y z 0
y z 0,
x
y
x y
x y,
x
y
4x y 0
2x y 0 ,
x
y
y 0
2x 2 y
x
y
y z
z 0
4.16.
4.17.
4.18.
z
y (0) 1.
x(0)
y(0) 1, x (0)
0,
2 , y (0)
0.
z (0) 1.
0 , x(0)
x(0) 1,
x(0)
y(0) 1.
y(0)
2,
x(0) 1,
0.
y(0) 3.
y(0) 1.
0
z
0,
x x 2y 3
3x y 4 x 2 y
x
y
x ( 0)
y(0)
x x 2y 3
3x y 4 y 2 x
x
4.15.
x et ,
7x y 0
2x 5 y 0 ,
x
y
x
2y
x
y
z
0
y
z
x
x
z
y
0
0,
x(0)
0,
x(0)
x(0)
2,
y(0)
1
,
2
y (0)
z (0)
5
.
2
0.
y(0) 1.
0
x
0,
x(0) 1,
x(0)
1,
y(0)
y (0)
0,
1.
z (0) 1.
103
4.19.
x
y
2x
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
et
y
y
x
y
y
x
3x
3x
2y
Cos t , x(0)
y ( 0) 0 .
z
z
y,
x ( 0)
x
y
et
x
y
y
x
x
y
y
0
2Sin t ,
0,
0,
x(0) 1,
y (0)
y (0)
x(0)
1,
3x 2 x y 1
x 4 y 3y 0,
x(0)
y(0)
x
y
x 2y t
2x y t ,
x(0)
2,
x
y
y
z
x z
x y,
x(0)
x
y
3x y 0
x y 0,
x(0)
z (0) 1.
1,
x (0)
x (0) 1,
0,
y (0)
y (0) 1,
0.
y (0) 1.
0.
y(0)
4.
z
4 x y 3x Sin t
x y Cos t ,
3,
y (0)
2,
x(0) 2 ,
1,
y(0)
y (0)
z (0)
2.
3.
1.
4.28.
x
x
y
y
x
et
1,
x ( 0) 1 ,
x ( 0) 0 ,
y ( 0)
1,
y ( 0)
3.
4.29.
x
y
2Sin t
y
z
2Cos t
x z
0,
x(0) 0 , x (0)
1, y(0)
1, y (0) 0 , z (0) 0 , z (0) 1.
104
4.30.
x y 2Sin t
x y 0,
x(0)
5. Восстановить
изображение.
1, x (0) 1, y (0) 1, y (0) 1.
вид
оригинала
1
0
0
-1
a
2a
t
3a
5.2
f(t)
f(t)
1/2
1
1
2
3
4
5
a
2a
3a
t
-1
5.1
0
a
2a
3a
t
t
-2
-1
5.3
-2
5.4
f(t)
f(t)
1
1
0
-1
найти
f(t)
f(t)
0
и
a
2a
3a
t
0
-1
a
2a
3a
t
105
5.5
5.6
f(t)
f(t)
1
1
1/2
0
a
2a
t
3a
0
5.7
5.8
f(t)
f(t)
1
1
0
0
-1
a
2a
3a
t
5.9
a
a
2a
2a
t
3a
3a
-1
t
5.10
f(t)
f(t)
1
1
0
a
2a
3a
4а
t
-1
0
5.11
5.12
a
2a
3a
4а
t
106
f(t)
f(t)
1
а
0
-1
a
2a
3a
0
t
5.13
a
2a
3a
t
a
2a
3a
t
a
2a
3a
-а
5.14
f(t)
f(t)
2
1
1
0
0
-1
a
2a
3a
t
5.15
-2
5.16
f(t)
f(t)
1
0
0
-2
5.17
a
2a
3a
t
-1
t
-2
5.18
107
f(t)
f(t)
1
1
0
a
2a
3a
4а
t
0
a
-1
-1
5.19
5.20
f(t)
f(t)
1
1
0
a
2a
3a
4а
t
0
-1
-1
5.21
5.22
f(t)
f(t)
1
1
0
a
2a
3a
4а
t
0
2a
a
2a
a
2a
3a
4а
t
t
3a
4а
t
-1
5.23
5.24
108
f(t)
0
f(t)
a
2a
3a
1
t
-1
0
2a
3a
4а
t
2.26
2.25
f(t)
f(t)
1
1
0
a
-1
-2
a
2a
3a
4а
t
0
-1
a
2a
4а
3a
t
-1
2.27
2.28
f(t)
f(t)
2
1
1
0
a
2a
3a
4а
t
0
-1
a
2a
3a
t
-2
2.29
2.30
109
Основные теоремы
№ Ориги Изображ
нал
ение
1
f (at)
2
f (t b)
3
f (at b)
1 ap
p
e
F
a
a
4
e at f (t )
F ( p a)
5
t neat
n!
6
t
1
p
F
a
a
e
F ( p)
b
( p a) n 1
F ( p)
p
f (t )dt
0
7
bp
f (t )
t
F ( p)dp
Теорема подобия
Теорема запаздывания (сдвига)
Теорема запаздывания (сдвига)
Теорема смещения (затухания)
Дифференцирование
изображения
Интегрирование оригинала
Интегрирование изображения
p
110
Глоссарий
►
Определение Функция
называется
оригиналом, если она удовлетворяет следующим
трем условиям:
1) функция
при
;
2) при
функция
на любом конечном
участке оси имеет не более, чем конечное
число точек разрыва первого рода, т.е. она
интегрируема на любом конечном интервале
оси ;
3) функция
возрастает не быстрее чем
некоторая показательная функция, т.е.
существует такие числа
и
,
что
для
всех
,
.
(1)
► Определение
функции
.
называется показателем роста
Условие (1) указывает на то, что если
при
возрастает, то не очень быстро,
медленнее,
чем
возрастает
некоторая
экспоненциальная функция.
►
Определение
называется
изображением, соответствующим оригиналу
,
если
– интеграл Лапласа:
111
► Определение Функция
условием
, определяемая
называется единичной функцией Хевисайда.
►
Определение Функция вида
) называется сверткой функций 1( ) и 2( ) и
обозначается
.
Т.о.
.
►
Определение Операция нахождения
оригинала по заданному изображению называется
обратным
преобразованием
Лапласа
и
обозначается
►
Определение Совокупность состоящая из
дифференциального уравнения
где t
0, коэффициенты
действительные числа, и начальных условий
–
112
называется задачей Коши для дифференциального
уравнения.
►
Определение Совокупность системы
линейных дифференциальных уравнений
и начальных условий
называется задачей Коши для системы линейных
дифференциальных уравнений.
► Определение
- функцией
называется
функционал, который каждой непрерывной в
точке
функции
ставит в соответствие ее
значение
, т.е.
.
Таблица соответствий
№ Оригин Изобра № Оригина Изображе
ал
жение
л
ние
1
1
1
р
18
b
Sh (at b)
e a
p
a
p2 a2
113
2
e
1
t
3
e t
4
Cos t
5
Sin t
6
Ch at
7
Sh at
8
t Sin at
1
p
р
t Cos at
1
1
t Ch at
( 1) n t n f (t )
21
e
р2
2
22
e
23
e
t
24
e
t
25
te
р
р2 а2
а
р2 а2
2 ра
2
а
22
р2 а2
22
р2 а2
р2 а2
t Sh at
20
2
р2 а
1
0
b
Ch (at b)
р2
р
9
19
p
2
2 ра
р2 а
22
26
t
p
p
p2 a2
( n)
f
(p
)2
2
(p
)2
2
(p
)2
2
(p
)2
2
(p
)2 b2
(p
)2 b2
Sin t
t
Sh t
p
Ch t
Cos bt
t
Sin bt
(p
(p
27
1 e t
t
28
(1 at)e at
1
2
tn
n!
pn 1
29
t 2e at
1
3
t n e at
n!
( p a) n 1
30
1
t n 1e at
(n 1)!
( p)
p
Cos t
t
te
e a
) 2b
)
ln
2
2
b2
2
p
p
p
( p a)2
2
( p a )3
1
( p a)n
114
1
4
Sin (at b)
1
5
Sin (t 1)
1
6
Cos (at b)
b
e a
p
a
p
e
2
a
p
1
32
2
1
t
p p
b
p
p
p2 a2
33
p
t
p2 1
e a
1
31
2
f
( n)
(t )
p n F ( p) p n 1 f (0)
p n 2 f (0) ...
f
1
7
Cos t 1)
e
p
(n 1)
(0)
p
p2 1
115
Список литература
1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы
теории
функций
комплексного
переменного, 1973 г., 736 с.
2. Чудесенко В. Ф. Сборник заданий по
специальным курсам высшей математики,
1999 г., 47 с.
3. Краснов М.Л., Киселев А.И. , Макаренко
Г.И. Операционное исчисление. Теория
устойчивости, 2003 г., 175 с.
116
Методические материалы
Алашеева Елена Александровна
Рогова Наталья Вячеславовна
Операционное исчисление
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
“Поволжский государственный университет
телекоммуникации и информатики”
443010, г. Самара, ул. Льва Толстого 23.
117
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
4 689 Кб
Теги
operazionie, alasheeva, rogova
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа