close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Alasheeva Uravneniya matematitsheskoj fiziki

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ»
Кафедра высшей математики
Е.А. Алашеева
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебное пособие
Самара
2016
1
УДК 519.2
Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ,
протокол № 2, от 02.02.2016 г.
Рецензент:
Зав каф.ЭиА ПГУТИ ,
д.ф.-м.н, доцент, Клюев Д.С.
Алашеева, Е. А.
А
Математика: учебное пособие / Е. А. Алашеева. – Самара: ПГУТИ,
2016. –162 с.
Учебное пособие «Уравнения математической физики» содержит
основные понятия об уравнениях в частных производных и методах их
решения, данное пособие разработано в соответствии с ФГОС ВО по
направлению подготовки 02.03.03 Математическое обеспечение и
администрирование информационных систем и предназначено для студентов
4 курса факультета ИСТ для самостоятельной подготовки.
ISBN
©, Алашеева Е.А., 2016
2
Содержание
Лекция 1 ................................................................................................................... 7
Уравнения в частных производных ................................................................... 7
Примеры уравнений математической физики .................................................. 8
Методы решения ................................................................................................ 14
Контрольные вопросы ....................................................................................... 15
Лекция 2 ................................................................................................................. 16
Уравнения первого порядка .............................................................................. 16
Линейные однородные уравнений первого порядка ...................................... 18
Квазилинейные уравнения первого порядка ................................................... 23
Геометрическая интерпретация, задача Коши ................................................ 24
Контрольные вопросы ....................................................................................... 27
Лекция 3 ................................................................................................................. 28
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков ....................... 28
Классификация линейных уравнений второго порядка ................................. 31
Системы уравнений с частными производными ............................................ 32
Контрольные вопросы ....................................................................................... 36
Лекция 4 ................................................................................................................. 37
Замена независимых переменных в уравнениях второго порядка с двумя
переменными ...................................................................................................... 37
Контрольные вопросы ....................................................................................... 46
Лекция 5 ................................................................................................................. 47
Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя
независимыми переменными ............................................................................ 47
Уравнения гиперболического типа .................................................................. 47
Уравнения параболического типа .................................................................... 48
Уравнения эллиптического типа ...................................................................... 50
Классификация и приведение к каноническому виду уравнений второго
порядка со многими независимыми переменными. ....................................... 51
Приведение к каноническому виду уравнений с постоянными
коэффициентами. ............................................................................................... 53
Контрольные вопросы ....................................................................................... 55
Лекция 6 ................................................................................................................. 56
3
Исключение в уравнениях младших производных ........................................ 56
Классические решения простейших уравнений с частными производными
второго порядка .................................................................................................. 57
Фундаментальное решение параболического уравнения .............................. 61
Общее решение уравнений с частными производными первого порядка ... 63
Контрольные вопросы ....................................................................................... 65
Лекция 7 ................................................................................................................. 66
Постановка задачи Коши. Теорема Ковалевской ........................................... 66
Контрольные вопросы ....................................................................................... 74
Лекция 8 ................................................................................................................. 75
О корректной постановке задачи Коши........................................................... 75
Примеры некорректно поставленных задач Коши ......................................... 77
Задача Коши для уравнения колебаний струны ............................................. 80
Контрольные вопросы ....................................................................................... 83
Лекция 9 ................................................................................................................. 84
Обобщенные функции ....................................................................................... 84
Регулярные обобщенные функции ................................................................... 86
δ-функция Дирака .............................................................................................. 86
Дифференцирование обобщенных функций ................................................... 88
Фундаментальные решения дифференциальных уравнений ........................ 89
Фундаментальное решение уравнения Лапласа ............................................. 90
Контрольные вопросы ....................................................................................... 90
Лекция 10 ............................................................................................................... 92
Постановка смешанных задач для уравнения колебаний струны ................ 92
Первая смешанная задача .................................................................................. 92
Вторая смешанная краевая задача .................................................................... 94
Третья смешанная задача .................................................................................. 95
Смешанная задача для обобщенного уравнения колебаний струны ............ 96
Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в стержне
.............................................................................................................................. 96
Первая смешанная задача .................................................................................. 97
Вторая смешанная задача .................................................................................. 98
Третья смешанная задача .................................................................................. 98
4
Контрольные вопросы ....................................................................................... 99
Лекция 11 ............................................................................................................. 100
Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в пластине
............................................................................................................................ 100
Задача Штурма-Лиувилля ............................................................................... 102
Свойства собственных значений и собственных функций.......................... 104
Контрольные вопросы ..................................................................................... 108
Лекция 12 ............................................................................................................. 110
Метод разделения переменных для решения смешанных задач ................ 110
Метод разделения переменных первой смешанной задачи для однородного
уравнения колебаний струны.......................................................................... 113
Контрольные вопросы ..................................................................................... 116
Лекция 13 ............................................................................................................. 117
Сведение смешанной задачи с неоднородными граничными условиями к
задаче с однородными граничными условиями ........................................... 117
Метод разделения переменных для решения смешанных задач с
неоднородным уравнением ............................................................................. 120
Контрольные вопросы ..................................................................................... 123
Лекция 14 ............................................................................................................. 124
Решение методом разделения переменных первой смешанной задачи для
однородного уравнения теплопроводности в стержне ................................ 124
Корректность первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности
............................................................................................................................ 126
Непрерывная зависимость решения от начальной и граничных функций 130
Контрольные вопросы ..................................................................................... 131
Лекция 15 ............................................................................................................. 132
Решение методом разделения переменных первой смешанной задачи для
однородного уравнения теплопроводности в пластине ............................... 132
Спектральная задача ........................................................................................ 133
Формулы Грина для оператора Лапласа ........................................................ 136
Первая, вторая и третья формулы Грина ....................................................... 137
Контрольные вопросы ..................................................................................... 138
Лекция 16 ............................................................................................................. 139
Интегральная формула Грина ......................................................................... 139
5
Свойства гармонических функций ................................................................. 142
Принцип максимума и минимума для гармонических функций ................ 144
Контрольные вопросы ..................................................................................... 146
Глоссарий ............................................................................................................. 147
К лекции 1 ......................................................................................................... 147
К лекции 2 ......................................................................................................... 148
К лекции 3 ......................................................................................................... 149
К лекции 4 ......................................................................................................... 151
К лекции 5 ......................................................................................................... 152
К лекции 6 ......................................................................................................... 153
К лекции 7 ......................................................................................................... 154
К лекции 8 ......................................................................................................... 155
К лекции 9 ......................................................................................................... 156
К лекции 10 ....................................................................................................... 159
К лекции 11 ....................................................................................................... 159
К лекции 14 ....................................................................................................... 159
К лекции 15 ....................................................................................................... 160
К лекции 16 ....................................................................................................... 161
Литература ........................................................................................................... 162
6
Лекция 1
Уравнения в частных производных
Определение 1.1
Уравнением в частных производных называется уравнение

u
u  2 u  2 u
 mu
F  x, u, ,...,
,
,
,..., k1
x1
xn x12 x1x2
x1 ...xnkn


  0 ,

(1.1)
где F — произвольная функция многих переменных, которую мы будем
полагать гладкой, x  x1 , x2 ,..., xn  — действительный вектор из n-мерного
евклидова
пространства
Rn ,
u
=
u(x)
—
неизвестная
функция,
k1  k 2  ...  k n  m .
Определение 1.2
Порядком уравнения (1.1) называется число m – порядок старшей
производной, входящей в данное уравнение.
Определение 1.3
Уравнение (1.1) называется линейным, если линейная комбинация двух
решений является тоже решением данного уравнения.
Линейное уравнение принято записывать в виде:
Lu=b(x),
(1.2)
где

2
m
k1k 2...k n
k1k 2...k n
x  k1 kn  ...   a2 x  k1 kn
L  a0  x    a  x 
  a2
i 1
k1 , k 2 ,..., k n  0
xi kk1 ,kk2 ,...,...kn20
x1 ...xn
x1 ...xn
k  k ...  m
n
i
1
1
2
1
2
линейный оператор.
Определение 1.4
Уравнение (1.2) называется однородным, если b=0.
7
Определение 1.5
Общим решением называется решение, зависящее от произвольной
функции. Количество произвольных функций в наиболее общем решении
совпадает с порядком уравнения m, а количество переменных каждой функции
равно n−1.
Уравнения математической физики обычно (но не всегда) являются
линейными дифференциальными уравнениями второго порядка.
Пример 1.1.
Уравнение ∂u/∂x = 0 в плоскости (x,y) имеет общее решение u(x,y) =
f(y), где f - произвольная функция. Обыкновенное уравнение имело бы общее
решение, равное константе. В данном примере m = 1,n = 2, поэтому наиболее
общее решение дается одной функцией одной переменной. Если к уравнению
добавлено начальное условие u(0,y) = siny, то функцию f(y) = siny легко найти
и мы получим частное решение.
Примеры уравнений математической физики
Уравнение колебания струны
Цепочка
с
одинаковыми
грузиками
массы
m,
соединенными
одинаковыми пружинками жесткости k описывается в классической механике
системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть ul — малое вертикальное отклонение l-го грузика от положения
равновесия. Тогда уравнение движения грузика будет:
8
m
Fl 
d2
ul  kul 1  2ul  kul 1
dt 2
(1.3)
 Tu l
- возвращающая сила; a - расстояние между соседними
a
грузиками;
T — сила натяжения, следовательно жесткость равна k = T/a.
Перейдём к пределу непрерывной однородной струны, поставим
вместо массы m → ρa, где ρ — линейная плотность. Вместо номера грузика
введем его координату вдоль цепочки x = la, тогда разлагая в ряд Тейлора
вблизи l-го грузика и устремляя a → 0 при фиксированных T,ρ, найдем:
u
 2u a 2
ul 1  ul  a  2
 ...
x
x 2
(1.4)
Подставим (1.4) в (1.3):
1  2u  2u

0
с t 2 x 2
Здесь с 
(1.5)
T
— скорость распространения возмущения в струне.

Получилось линейное уравнение второго порядка, называемое одномерным
волновым (или телеграфным) уравнением.
Гидродинамика идеальной жидкости
Чтобы вывести уравнения движения идеальной жидкости, введем ее
плотность ρ(r,t) и скорость v(r,t) как функции точки наблюдения r в данный
момент времени t (координаты Эйлера). Рассмотрим
некоторый объем V . Жидкость может попадать в него
и вытекать обратно только через поверхность.
9
Плотность потока равна ρv, поэтому изменение массы в данном объеме
равно потоку через его поверхность:

 dV    vdS
t
(1.6)
Здесь S — элемент поверхности ориентированный вдоль внешней
нормали, как принято в математическом анализе. Пользуясь теоремой Гаусса,
от интегральной форме можно перейти к дифференциальной. Получится
уравнение непрерывности:

 divv   0
t
(1.7)
Аналогично можно рассмотреть поток импульса, втекающий в тот же
объем и, пренебрегая вязкостью, вывести уравнение Эйлера:
v

 v v  
t

(1.8)
Получилась система уравнений в частных производных, на этот раз
первого порядка и нелинейных. Всего у нас 4 уравнения на 5 неизвестных
функций. Когда движение идеальной жидкости изоэнтропическое, можно
записать правую часть уравнения (1.8) как−∇w, где w — тепловая функция
(энтальпия) единицы массы жидкости. Выражение давления p = p(ρ,v) как
функции плотности и скорости (уравнение состояния) замыкает систему
уравнений гидродинамики.
Система уравнений гидродинамики имеет стационарное решение
  0  const, p  p0  const, v  0.
Разложим неизвестные функции в ряд:
 r, t   0  1 r, t , pr, t   p0  p1 r, t 
10
Считая скорость и
величинами
и
поправки к плотности и давлению малыми
ограничиваясь
первым
порядком
малости,
получим
линеаризованные уравнения:
1
  0 div v  0,
t
v
p
 1
t
0
Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла в пустоте:
rot E  
1 H
, divE  0
c t
(1.9)
rot H  
1 E
, divH  0
c t
(1.10)
Представляют собой систему 8 линейных уравнений первого порядка
для 6 неизвестных функций, компонент векторов электрического и
магнитного поля E,H. Чтобы свести их к уравнениям второго порядка, введем
потенциалы φ(r,t), A(r,t) так, чтобы:
E   
1 A
, H  rot A
c t
(1.11)
Выберем лоренцеву калибровку:
1 
 div A  0
c t
и подставим поля, выраженные через потенциалы, из (1.12) в (1.10),
(1.11). Уравнение (1.10) для rotE превращается в тождество. Уравнение (1.11)
для rotH, если воспользоваться формулой векторного анализа
rotrotA = −∆ A +∇ divA,
превращается в систему трех волновых уравнений
11
Точно такое же уравнение получается и для скалярного потенциала φ,
если продифференцировать по времени калибровочное соотношение.
Линейное уравнение с нулем в правой части называется, как и в теории
обыкновенных уравнений, однородным. Если бы мы учли токи или заряды,
они бы появились в правой части уравнения. Уравнение стало бы
неоднородным.
Уравнение Шредингера
В квантовой механике состояние частицы описывается волновой
функцией Ψ(r,t), квадрат модуля которой имеет смысл плотности вероятности
найти частицу в окрестности данной точки r в момент времени t. Волновая
функция удовлетворяет уравнению Шредингера:
ih
 ˆ
 H ,
t
где h — постоянная Планка. Оператор Гамильтона
Ĥ для движения
частицы в поле U(r) имеет вид
pˆ 2
Hˆ 
 U r ,
2m
pˆ  ih .
Уравнение Шредингера является уравнением в частных производных
второго порядка по координатам, но первого порядка по времени. В отличие
от волнового уравнения, чтобы выделить частное решение из общего, надо
задавать при t = 0 одно начальное условие, а не два.
Будем искать решение в виде стационарных состояний, имеющих
определенную энергию E:
 iEt
h
r , t   e  r 
Теперь время можно исключить и получить стационарное уравнение
Шредингера:
12
Hˆ   E
(1.12)
Требуется найти не только решение ψ, но и такие значения энергии E,
при которых эти решения удовлетворяют граничным условиям. Такая
постановка называется спектральной задачей.
Уравнение теплопроводности
Полная энергия, которая при отсутствии химических реакций с
выделением или поглощением тепла может меняться только за счет потока
через поверхность:

 c pTdV    QdS ,
t
где с p - теплоёмкость, T - температура, с pT - плотность внутренней
энергии сплошной среды.
Плотность потока тепла, если градиенты температуры малы, дается
законом Фурье Q = −χ∇T. Преобразуя уравнение к дифференциальному и
считая теплоемкость с p и теплопроводность χ не зависящими ни от
температуры,
ни
от
координат
или
времени,
получим
уравнение
теплопроводности:
T
 T ,
t
(1.13)
где    / с p называют коэффициентом температуропроводности.
Получилось уравнение второго порядка по пространственным
переменным, но первого порядка по времени. Такое уравнение называют
уравнением параболического типа, в отличие от волнового, которое относится
к гиперболическому типу. К эллиптическому типу относится уравнение
Лапласа ∆u = 0, которое получается из (1.14) в стационарном случае, когда
температура не зависит от времени. Уравнение Лапласа для скалярного
13
потенциала получается в стационарном случае и из уравнений Максвелла
(электростатика). Уравнения разных типов требуют разной постановки задачи.
В данном конспекте мы рассматриваем методы решения уравнений и будем
обсуждать постановки задач по мере изучения разных типов уравнений.
Методы решения
№
Метод
Применение
1
Метод характеристик
Уравнения первого порядка
2
Разделение переменных
Симметрия
3
Автомодельность
Симметрия
4
Метод Фурье, интегральные
Линейное уравнение,
преобразования
постоянные коэффициенты
Функции Грина
Линейные неоднородные
5
уравнения
Численные методы
6
Низкая размерность
Таблица 1.1 Основные методы решения уравнений в частных
производных
В таблице 1.1 перечислены основные методы решения уравнений в
частных производных. Аналитические методы обычно основаны на сведении
уравнения
в
частных
производных
к
обыкновенному или
системе
обыкновенных. Последние имеют явное решение тоже достаточно редко, но
справедливо считаются более простыми. Сама возможность свести к
обыкновенным уравнениям встречается очень редко. Исключением являются
уравнения первого порядка, которые решаются (в том смысле, что сводятся к
обыкновенным) методом характеристик.
14
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение уравнения в частных
производных.
2.
Дайте определения порядка уравнения.
3.
Дайте определение линейного уравнения в частных
производных.
4.
Дайте определение однородного уравнения в частных
производных.
5.
Дайте определение общего решения уравнения в
частных производных.
6.
Перечислите основные виды классических уравнений
математической физики.
7.
Приведите уравнение колебаний струны и его
свойства.
8.
Приведите волновое уравнение и его свойства.
9.
Приведите уравнение Шрёденгера и его свойства.
10.
Приведите уравнение теплопроводности и его
свойства.
11.
Приведите уравнения Максвела и их свойства.
12.
Перечислите основные методы решения уравнений
математической физики.
15
Лекция 2
Уравнения первого порядка
Пусть u ( x1 , x2 ,..., xn ) – некоторая функция. Выпишем уравнение с
частными производными, связывающее переменные x1 , x2 ,..., xn , функцию u и
все ее частные производные до некоторого порядка:
F ( x1 ,..., x n , u , u x1 ,..., u xn , u x1x1 , u x1x2 ,...)  0.
(2.1)
Функция u  u( x1 ,..., xn ) является решением уравнения (2.1), если при
подстановке ее в это уравнение оно обращается в тождество при допустимых
значениях аргументов.
Рассмотрим некоторые примеры уравнений с частными производными
для функции, зависящей от двух переменных u  u ( x, y ) .
Пример 2.1
Решить уравнение u x  f ( x, y) .
Решение:
Проинтегрируем его по переменной
x
 u x dx   f ( x, y)dx  C.
При интегрировании по x мы считаем y постоянным и поэтому
произвольная постоянная C может зависеть от y . Тем самым общее решение
имеет вид:
u( x, y)   f ( x, y)dx  C ( y).
Пример 2.2
Решить уравнение u xy  0 .
Решение:
Проинтегрируем уравнение, как в предыдущем примере, получим:
16
u y  C ( y) .
Далее получаем:
u( x, y)   C ( y)dy  C1 ( x).
Обозначим C2 ( y)   C ( y)dy . Тогда общее решения примет вид:
u( x, y)  C1 ( x)  C2 ( y).
Анализируя два предыдущих примера отметим, что в отличие от
общего решения обыкновенного дифференциального уравнения, зависящего
от произвольных постоянных, общее решение уравнения с частными
производными зависит от произвольных функций.
Задача Коши
Пусть функция u зависит от двух переменных x, y . Выпишем
уравнение первого порядка для данной функции:
F ( x, y, u , u x , u y )  0.
(2.2)
Определение 2.1
Всякое решение уравнения (2.2) u  u ( x, y ) называется интегральной
поверхностью.
Геометрический
смысл:
график
решения
представляет
собой
поверхность в пространстве с координатами x, y, u .
Как описывалось в предыдущей лекции, чтобы из совокупности всех
решений
уравнения
(2.2)
выделить
некоторое
частное
решение,
формулируется задача Коши:
u ( x, y ) | x  x0   ( y ),
где  ( y) - некоторая заданная функция.
17
(2.3)
Обозначим через l кривую в пространстве x, y, u , задаваемую
уравнениями
x  x0 , u   ( y).
Тогда задача Коши имеет следующий геометрический смысл: среди
всех интегральных поверхностей найти ту, которая проходит через заданную
кривую l .
Более общая задача Коши: обозначим через  проекцию кривой на
плоскость
( x, y) , тогда задачу Коши можно сформулировать следующим
образом: найти решение уравнения (2.3), удовлетворяющее условию:
u ( x, y ) |( x , y )   ( x, y ).
Линейные однородные уравнений первого порядка
Определение линейного уравнения представлено в первой лекции.
Определение 2.2
Линейное уравнение первого порядка имеет вид:
A( x, y)u x  B( x, y)u y  C ( x, y)u  f ( x, y) ,
(2.4)
где A, B, C и f - заданные функции.
Основные свойства линейных уравнений с частными производными
схожи
со
свойствами
обыкновенных
линейных
дифференциальных
уравнений:
1)
линейная комбинация решений однородного уравнения
тоже является решением этого уравнения;
2)
общее решение неоднородного уравнения может быть
представлено в виде некоторого частного решения и общего решения
соответствующего однородного уравнения.
Рассмотрим однородное линейное уравнение вида:
18
A( x, y)u x  B( x, y)u y  0.
(2.5)
В соответствии данному уравнению можно поставить систему
обыкновенных дифференциальных уравнений:
 dx
 dt  A( x, y )
.

dy
  B ( x, y )
 dt
(2.6)
Определение 2.3
Система
(2.6)
называется
характеристической
системой
для
уравнения (2.5).
Определение 2.4
Всякое решение x(t ), y(t ) системы (2.6) называется характеристикой.
Определение 2.6
Функция  ( x, y) , не сводящаяся тождественно к постоянной, или
равенство  ( x, y)  C называется первым интегралом системы (2.6), если при
подстановке в нее любого решения системы получается постоянная величина,
зависящая лишь от выбора решения.
Теорема 2.1
Пусть  ( x, y)  C есть первый интеграл системы (2.6). Тогда функция
u   ( x, y) удовлетворяет уравнению (2.5).
Доказательство:
Если подставить в первый интеграл системы (2.6) какое-либо решение
x(t ), y(t ) этой системы, то можно получить:
 ( x(t ), y(t ))  C.
Возьмем производную по t от обеих частей этого равенства:
19
d ( x(t ), y (t ))
dx
dy
 x
 y
 0.
dt
dt
dt
Т.к. x(t ), y(t ) - решения характеристической системы (2.6), получим:
 x A( x, y)   y B( x, y)  0.
Последнее равенство выполнено для любого решения системы (2.6).
Следовательно оно справедливо для любых x, y , входящих в область
определения. Значит функция  удовлетворяет уравнению (2.5). Теорема
доказана.
Теорема 2.2
Пусть функция u   ( x, y) удовлетворяет уравнению (2.6). Тогда
 ( x, y)  C есть первый интеграл системы (2.5).
Доказательство:
Подставим в функцию  ( x, y) какое-нибудь решение системы (2.6)
x(t ), y(t ) и возьмем полную производную по t
d ( x(t ), y (t ))
dx
dy
 x
 y
  x A( x, y)   y B( x, y).
dt
dt
dt
Т.к.  - решение уравнения (2.5), получим:
d ( x(t ), y (t ))
 0.
dt
Значит,
 ( x(t ), y(t ))  C,
следовательно,  ( x, y)  C есть первый интеграл системы (2.6).
Теорема доказана.
20
Итак, мы установили эквивалентность понятий первого интеграла
системы (2.6) и решения уравнения (2.5).
Пусть  ( x, y)  C - первый интеграл системы (2.6). Следовательно
произвольная функция F ( ) является также первым интегралом этой
системы, и по теореме 2.1 F ( ) удовлетворяет уравнению (2.5) при
произвольной достаточно гладкой функции F . Значит всякое решение
уравнения (2.5) может быть представлено в виде u  F ( ) .
Правило нахождения общего решения уравнения (2.5):
1)
составить характеристическую систему (2.6);
2)
найти первый интеграл этой системы;
3)
общее решение уравнения (2.5) будет: u  F ( ). F -
произвольная функция.
Пример 3.1
Найти общее решение уравнения:
xu x  yu y  0.
Решение:
Характеристическая система для этого уравнения:
 dx
 dt  x,

 dy  y.
 dt
Решение этой системы (характеристики) имеет вид:
 x  C1e t ,

t
 y  C2 e .
21
Первым
интегралом
системы
является
функция
 ( x, y ) 
y
.
x
Следовательно, общее решение уравнения будет:
 y
u ( x, y )  F  .
x
Чтобы найти первый интеграл характеристической системы исключим
переменную t и получить обыкновенное дифференциальное уравнение:
dy B ( x, y )

.
dx A( x, y )
y  y( x, C ) - общее решение этого уравнения. Теперь выразим
произвольную постоянную C через x, y и получим первый интеграл системы
 ( x, y)  C .
Пример 2.4
Найти общее решение уравнения:
yu x  xu y  0.
Решение:
Характеристическая система будет иметь вид
 dx
 dt  y,

 dy   x.
 dt
Исключим переменную t из этой системы:
dy
x
 .
dx
y
22
Разделяя переменные, получим:
ydy   xdx.
Проинтегрировав это уравнение, находим его общий интеграл:
x 2  y 2  C.
Данное соотношение является первым интегралом для полученной
системы. Характеристиками будут являться окружности с центром в начале
координат. Общее решение уравнения имеет вид:
u( x, y)  F ( x 2  y 2 ).
Квазилинейные уравнения первого порядка
Определение2.7
Квазилинейным уравнением первого порядка называется уравнение
вида:
A( x, y, u)u x  B( x, y, u)u y  C ( x, y, u).
(2.7)
Линейное уравнение (2.6) является частным случаем квазилинейного
уравнения, в которое функция
u может входить и нелинейно.
Будем искать решение уравнения (2.7) в виде:
 ( x, y, u )  C ,
где C – произвольная постоянная. По правилу дифференцирования
неявной функции получим:
ux  

x
, uy   y .
u
u
Подставим эти выражения в (2.7) , получим уравнение для  :
23
A( x, y, u) x  B( x, y, u) y  C ( x, y, u)u  0.
(2.8)
В уравнении (2.8) искомая функция  зависит от трёх переменных
x, y, u в отличии от уравнения (2.6). Уравнение (2.8) решается аналогично
уравнению (2.6). Рассмотрим характеристическую систему, состоящую из
трёх уравнений:
 dx
 dt  A( x, y, u ),

 dy
  B ( x, y, u ),
 dt
 du
 C ( x, y, u ).

dt

(2.9)
Найдём 1 ( x, y, u)  C1 ;  2 ( x, y, u)  C2 - два независимых интеграла
системы (2.9), то общее решение уравнения (2.8), а значит, и решение
исходного уравнения (2.7) в виде неявной функции, будет иметь вид:
  F (1 ,  2 ),
где F - произвольная функция своих аргументов.
Геометрическая интерпретация, задача Коши
Зададим в пространстве с координатами ( x, y, u ) поле направлений:
( A( x, y, u ), B( x, y, u), C ( x, y, u)),
т.е. в каждой точке пространства зададим направление, у которого
направляющие косинусы пропорциональны A, B, C . Данное поле направлений
определяет семейство линий, таких, что любая линия семейства имеет в
каждой своей точке касательную, совпадающую с направлением поля в этой
точке. Полученное семейство линий получается в результате интегрирования
системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
24
dx
dy
du


,
A( x, y, u ) B ( x, y, u ) C ( x, y, u )
которая, если обозначить через dt общую величину написанных трех
отношений, переходит в систему (2.9).
Величины u x , u y и  1 пропорциональны направляющим косинусам
нормали к этой поверхности. Следовательно уравнение (2.7) выражает
условие
перпендикулярности
нормали
и
поверхности
u  u ( x, y)
с
направлением поля, т.е. уравнение (2.7) удовлетворяет требованию, чтобы в
каждой точке искомой поверхности u  u ( x, y) направление, заданное полем
( A, B, C ) , совпадало с касательной плоскостью к поверхности.
Пусть некоторая поверхность u  u ( x, y) состоит из характеристик
системы (2.9). Тогда в каждой точке этой поверхности касательная к
характеристике, проходящей через эту точку, лежит в касательной плоскости
к поверхности, и следовательно, эта поверхность удовлетворяет уравнению
(2.7), т.е. является интегральной поверхностью этого уравнения.
Также верно, что если некоторая гладкая поверхность удовлетворяет
уравнению (2.7), то ее можно полностью заполнить характеристиками.
Пример 2.5
xuu x  yuu y  ( x 2  y 2 ).
Решение:
Соответствующая характеристическая система будет такова:
 dx
 dt  xu,

 dy
  yu,
 dt
 du
2
2
 dt  ( x  y ).

25
Из первых двух уравнений имеем:
dx dy
 .
x
y
Отсюда ln y  ln C1 x , что равносильно соотношению:
y
 C1 .
x
Чтобы найти второй интеграл системы, разделим последнее ее
уравнение на второе:
du
x2  y2

.
dy
yu
Пользуясь равенством, получаем:
du
x2  y2

.
C1dx
C1 xu
Отсюда:
udu   x(1  C12 )dx.
2
2
2
Интегрируя это равенство, имеем: u  x (1  C1 )  C2 .
Получим второй интеграл:
x 2  y 2  u 2  C2 .
Первое семейство уравнений определяют плоскости, проходящие через
ось Ou , а второе семейство – сферы с центром в начале координат.
Следовательно характеристики системы – это семейство окружностей,
лежащих в указанных плоскостях и имеющих центр в начале координат.
Общее решение уравнения будет: F  y , x 2  y 2  u 2   0, где F – производная
x
функция двух аргументов.
26

Пример 2.6
Решить задачу Коши для уравнения из предыдущего примера. Среди
интегральных поверхностей этого уравнения найти ту, которая проходит через
прямую: x  1,
y  u.
Решение: Исключим x, y и u из уравнений, получим:
x  1, y  C1 , u  C1.
1  2C12  C2  0.
F (C1 , C2 )  1  2C12  C2 .
Искомая интегральная поверхность имеет вид:
2
 y
1  2   ( x 2  y 2  u 2 )  0.
x
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение уравнения в частных производных
первого порядка.
2.
Дайте определение задачи Коши.
3.
Дайте определение литейного уравнения в частных
производных первого порядка.
4.
Дайте определение интегральной поверхности.
5.
Дайте определение характеристики.
6.
Дайте определение первого интеграла.
7.
В чем состоит геометрический смысл задачи Коши.
8.
Приведите правили нахождения общего решения.
9.
Дайте определение квазилинейного уравнения в частных
производных.
27
Лекция 3
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Рассмотрим n -мерное евклидово пространство R n . Точка x  R n имеет
координаты x1 , x2 ,..., xn , то есть x  x1 , x2 ,..., xn  . Пусть   R n -область в

пространстве R n . Зададим функцию u  u x  u  x1 , x 2 ,..., x n  , зависящую от
n независимых переменных x1 , x2 ,..., xn и определенную в каждой точке

x   . Область  может совпадать со всем пространством R n .
Определение 3.1.
Множество функций C m  называется пространством
m раз
непрерывно дифференцируемых функций в области  . Функция

u  u x   C m  , если u определена и непрерывна в области  и существуют
всевозможные
частные
производные
u
 2u
 mu
,
,...,
до
xi
xi x j
x11 x 2 2 ...x n n
порядка m включительно, которые определены и непрерывны в области  .
C   -пространство любое число раз непрерывно дифференцируемых
функций в области  .
Пусть дано дифференциальное уравнение с частными производными

относительно неизвестной функции u  x  :

u u
u  2 u
mu 
F  x; u,
,
,...,
,
,..., m   0 .
x1 x2
xn x12
xn 

Перепишем

mu 
Lu   F  x; u,..., m  ,
x n 

данное
где
уравнение
L-
L :C m   C .
28
(3.1)
следующим
образом:
дифференциальный
оператор,
Определение 3.2
Решением уравнения (3.1) в области

называется функция

ux   C m  , которая при подстановке в данное уравнение обращает его в
тождество на множестве  .
Определение 3.3
Число m называется порядком уравнения (3.1), то есть degL   m
Утверждение 3.1
Любое линейное уравнение с частными производными порядка m
имеет вид:
  1 ... n u


,
Lu    a1 2 ... an  x  1

f
x
0 1 ...  n  m
x1 ...xn n
(3.2)

где коэффициенты a1 2 ... n  x   C   .
Доказательство
Пусть уравнение (3.1) линейное, тогда выполняются условия
линейности, следовательно:


u
mu 
u
mu 
F  x; u, 
,..., m    F  x; u,
,..., m 

x

x

x
xn 

1
n 

1
Продифференцируем это тождество по параметру  , получим

u
mu 
u
mu 
 
F  x; u,
,..., m  
F  x; u, 
,..., m  u  ... 

x

x

z

x
xn 

1
n 
1

1

u
 m u   mu

F  x; u, 
,..., m  m .
+
 z N 
x1
xn  x n
Положим
  0,
следовательно
линейный
оператор будет выглядеть следующим образом:
29
дифференциальный
 
 
 
F x; 0
F x; 0 u
F x; 0  m u
Lu  
u
 ... 
.
 z1
 z 2 x1
 z N x nm
Определение 3.3
Мультииндекс – это вектор   1 ,  2 ,..., n  , где  i - целые неотрицательные числа,    1   2  ...   n .
Используем
мультииндекс
в
обозначении
дифференциальных
операторов:
 i
Di   i ,
xi
i
D  D1 D2 ... Dn

1
2
n
 1 ... n
 1
,
x1 ... xn n
Теперь уравнение (3.2) будет выглядеть следующим образом:
 

 a  x  D u  f  x  .
0   m
Определение 3.4
Производные порядка m в уравнении (3.2), называются старшими
производными, остальные производные называются младшими производными.
Определение 3.5

Часть линейного уравнения L0 u    a  x  D u , которая содержит все
 m
старшие производные, называется главной частью уравнения.
Рассмотри класс уравнений второго порядка при
m  2
с n
независимыми переменными:
n
  2u
 u

Lu     aij  x 
  ai  x 
 c x  u  f  x  ,
i 1 j 1
xi x j i 1
xi
n
n
(3.3)




где коэффициенты aij  x , ai  x , c x , f  x   C   .
Пусть n  2 мы попадаем на плоскость. После ввода специальных
обозначений независимых переменных x1  x, x2  y , получим:
30
 2u
 2u
 2u
Lu   a11  x, y  2  2a12  x, y 
 a 22  x, y  2 
x
xy
y
 a  x, y 
u
u
 b x, y 
 c  x, y  u  f  x, y  ,
x
y
где a11 , a12 , a22 , a, b, c, f
(3.4)
- заданные функции двух переменных;
u  ux, y  - неизвестная функция.
Главная часть уравнения (3.4) имеет вид:
L0 u   a11
 2u
 2u
 2u
.

2
a

a
12
22
x 2
xy
y 2
(3.5)
Выполним замену:
u
 1 ,
x
u
 2 ,
y
2 u
  12 ,
2
x
2 u
  1 2 ,
xy
2 u
  22 ,
2
y
получим полином:
 
 
P x ,   a11  x, y 12  2a12  x, y 1 2  a 22  x, y  22 ,
(3.6)


где x   x, y ;    1 ,  2  .
Определение 3.6
Полином вида (3.6), полученный из главной части уравнения по
средством замены называется характеристическим полиномом.
Классификация линейных уравнений второго порядка
Определение 3.7
Функция
Dx, y   a122 x, y   a11 x, y a22 x, y  ,
называется
дискриминантом уравнения (3.5)
1. Если Dx, y   0 , то уравнение (3.5) называется уравнением
гиперболического типа в точке x, y  .
31
2. Если Dx, y   0 , то уравнение (3.5) называется уравнением
эллиптического типа в точке x, y  .
3. Если Dx, y   0 , то уравнение (3.5) называется уравнением
параболического типа в точке x, y  .
Рассмотрим уравнения, представленные в первой главе и определим
какой у них тип:
1) Уравнение колебаний струны (гиперболическое уравнение):
 2u 2  2u
a
 f  x, t  ,
t2
 x2
где
x  x1 - пространственная переменная, t  x2 - временная
переменная, a  const .
2) Уравнение Лапласа (эллиптическое уравнение):
 2u  2u

 0,
 x2  y2
где x  x1 , y  x2 - пространственные переменные.
3) Уравнение теплопроводности (параболическое уравнение):
 u 2  2u
a
 f  x, t  .
t
 x2
Системы уравнений с частными производными
и

Пусть u1 x1 ,..., xn  , u 2 x1 ,..., xn  ,…, u k x1 ,..., xn  - k неизвестных функций

F1 x; z1 ,..., z N1 ,



F2 x; z1 ,..., z N 2 ,…, Fk x; z1 ,..., z N k

-
k
вспомогательных
функций, свойства которых такие же, как свойства функции F из уравнения
(3.1).
Определение 3.8
Система из k уравнений
32
 
 uk
 m1 u k 
 u1
,...,
,..., m1   0,
 F1  x; u1 ,...,u k ;

x

x
xn 
1
n
 
 
u
 m2 u 
u
 F2  x; u1 ,...,u k ; 1 ,..., k ,..., m2k   0
 
 x1
 xn
xn 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

mk
 F  x; u ,...,u ;  u1 ,...,  u k ,...,  u k   0
k
 k  1
 x1
 xn
xnmk 

(3.7)
называются системой дифференциальных уравнений с частными
производными относительно k неизвестных функций u i
i  1,2,..., k  .
Определение 3.9
Если систему (3.7) можно записать в виде:
Fi   Lij u j ,
k
j 1
где
Lij
-
линейные
дифференциальные
операторы
порядка
mij degLij   mij , то она называется линейной.
Пусть
u
v
v
 u
b

b

c

c
 b1u  c1v  f1
11
12
11
12
  x
y
x
y
 u
u
v
v
b21
 b22
 c21
 c22
 b2 u  c2 v  f 2
  x
y
x
y
(3.8)
система из двух уравнений, содержащих две неизвестные функции с
двумя
независимыми
переменными,
в
которой
x1  x, x2  y, u1  ux, y , u 2  vx, y  .
В матричной записи система (3.8) принимает вид:
 
Lu  f ,
где матричный дифференциальный оператор:
33
выполнена
замена:






 b12
 b1 , c11
 c12
 c1 
 b11

x
y
x
y
,
L






 b22
 b2 , c 21
 c 22
 c2 
 b21
y
x
y
 x

 u 
v 
здесь u    ,
 f1 
f    - вектор-столбцы.
 f2 
Определим к какому типу относится система (3.8).
Для этого выделим её главную часть:



 

 b12
, c11
 c12
 b11


x
y
x
 y  u 

 .
L0 u 




   v 
 b22
, c 21
 c 22 
 b21

x

y

x
y 

Теперь составим для главной части характеристическую матрицу,
сопоставив   1 ,
x

 2 :
y
 


 b111  b12  2 , c111  c12  2 
 .
L0 u  A x,   
b


b

,
c


c

 21 1 22 2 21 1 22 2 
Вычислим характеристический полином системы:
 
 

P x,   det A x,   a11 12  2a12 1 2  a 22  22 ,
где a11  b11 c21  b21 c11 , a22  b12 c22  b22 c12 ,
a12 
1
b12 c21  b11 c22  b22 c11  b21c12  .
2
Классификация систем (3.8) производится с помощью дискриминанта
D  a122  a11 a22 характеристического полинома по аналогии с классификацией
уравнений (3.5) .
34
Пример 3.1
Приведем важную для теории аналитических функций комплексного
  u v
  x   y  0,
переменного эллиптическую систему Коши-Римана: 
, для
 v u


0
  x  y
которой характеристическая матрица
  1 , 2 
 , характеристический
A  

,

 2 1 
 
 
полином P x ,    12   22 , а дискриминант D  1 .
Пример 3.2
Рассмотрим систему двух уравнений с постоянными коэффициентами:
u


 u
b

b

c

c
 0,
11
12
11
12
  x
y
x
y
.
 u
u


b21
b
c
 c22
0
  x 22  y 21  x
y
Разрешим ее относительно производных   и   , тогда:
x
y
  1 
u
u 
  c12 b21  c22 b11   c12 b22  c22 b12  
x
 y
 x  
,





1

u

u
  c b  c b   c b  c b 
21 12
11 22
  y   21 11 11 21  x
 y 
  с11 с22  с12 с21  0 .
Дифференцируя первое равенство по y , а второе по
x , и вычитая из
первого равенства второе, получим дифференциальное уравнение второго
порядка для неизвестной функции u :
 2u
 2u
 2u
a11 2  2 a12
 a 22
 0,
x
 x y
 y2
где коэффициенты a11 , a12 , a22 совпадают с коэффициентами
характеристического полинома системы уравнений. Аналогичное уравнение
35
получим для функции  . Отсюда следует, что тип уравнения для функции u
(или  ) совпадает с типом исходной системы уравнений.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение пространства C m 
2.
Дайте определение решения уравнения.
3.
Дайте определение порядка уравнения.
4.
Дайте определение мультииндекса.
5.
Дайте определение старших производных и младших
производных уравнения.
6.
Дайте определение характеристического уравнения.
7.
Приведите классификацию уравнений второго порядка.
8.
Дайте определение системы дифференциальных уравнений
в частных производных.
9.
Дайте определение линейной системы уравнений в частных
производных.
36
Лекция 4
Замена независимых переменных в уравнениях второго порядка с
двумя переменными
Пусть в области   R 2 дано уравнение с частными производными
второго порядка:
Lu   a11u xx  2a12 u xy  a22 u yy  a u x  b u y  c u  f .
(4.1)
Пусть коэффициенты aij уравнения (4.1) гладкие действительные
функции, для которых верно, что: aij  C 2   . Положим, что a11  0 в области
.
Выполним замену независимых переменных в уравнении (4.1) с целью
его упрощения. Пусть:
    x, y ,

    x, y ,
(4.2)
2
где заданные действительные функции  ,   C  .
Чтобы представленное выше преобразование было невырожденным в
области  , надо ,чтобы выполнялось условие:
J
x y
x y
 0.
(4.3)
Данное условие известно нам из курса «функциональный анализ».
Матрица, составленная из частных производных носит название матрица
Якоби, а её определитель – якобиан.
Следовательно: grad   0,
grad  
grad  0 в любой точке области  .
   
   
i 
j
i 
j , grad 
x
y
x
y
37
Вычислим частные производные первого и второго порядка, входящие
в уравнение (4.1)
u
 u  x  u x ,
x
u
 u  y  u y ,
y
(4.4)
 2u
  u  
u  x  u x   u  x  u  xx  u  x  u xx 



2
x
x  x  x
x
x
 u  x  u  x  x  u  x  u x  x  u  xx  u  xx 
 u  x2  2 u  x x  u x2  u  xx  u xx .
 2u
 u  y2  2u  y y  u y2  u  yy  u yy ,
2
y
 2u
 u  x y  u  x y   y x   u x y  u  xy  u xy .
xy
Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение и
вынесем за скобки частные производные первого и второго порядка от
функции u. Обозначим выражения в скобках следующим образом:
a11  a11 x2  2 a12 x  y  a22 y2 ,
a22  a11 x2  2a12 x y  a22 y2 ,
a12  a11 x x  a12  x y   y x   a22 y y ,
a  L   c , b  L   c , c  c,
(4.5)
f  f.
Получим уравнение:
L u   a11u  2 a12 u  a22 u  a u  b u  c u  f ,
(4.6)
где новые коэффициенты уравнения рассматриваются как функции
переменных  ,  и определяются формулами (4.5)
38
Утверждение 4.1
Если применить невырожденное действительное преобразование (4.2),
то тип уравнения (4.1) сохранится.
Доказательство:
Для
определения
типа
полученного
уравнения
вычислим
дискриминант с учетом формул (4.5), получим
D  a122  a11 a22  J 2 D, J  0 .
(4.7)
Из формулы (4.7) видно, что знак дискриминанта D уравнения (4.1)
такой же, как у дискриминанта D уравнения (4.6).
Будем искать способ задать функции  и  таким образом, чтобы
преобразованное уравнение (4.6) приняло наиболее простой вид.
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение:
dy a12  x, y   D x, y 

,
dx
a11  x, y 
(4.8)
Определение 4.1
Уравнение
(4.8)
называется
характеристическим
уравнением
уравнения (4.1).
Положим:
a11  a11 x2  2 a12 x y  a22 y2  0 ,
a22  a11 x2  2a12 x y  a22 y2  0 .
Уравнения имеют один и тот же вид.
Определение 4.2
Уравнение в частных производных второго порядка
39
(4.9)
2
2
 z 
 z 
z z
a11    2a12
 a22    0 ,
x  y
 x 
y 
где
z  z x, y 
(4.10)
- неизвестная функция называется уравнением
характеристик.
Если найдём два решения уравнения (4.10) z   x, y  и z   x, y  , то
найдём преобразование (4.2), упрощающее уравнение (4.1).
Определение 4.3
1
Функция  x, y ,   C , grad   0, называется первым интегралом в
области  уравнения
dy
   x, y  ,
dx
(4.11)
если на любом решении y  yx , x U , этого уравнения функция
 x, y  постоянна, то есть имеет место равенство  x, yx   C,
x, yx  
, где постоянные C могут различаться для разных решений уравнения (4.11).
Первым интегралом также называют соотношение  x, y   C .
Лемма 1.1
Пусть  x, y  - первый интеграл в области  одного из обыкновенных
дифференциальных уравнений:
dy
 1  x, y  ,
dx
dy
 2  x , y  ,
dx
(4.12)
где
D  a122  a11a22  0
1 
a12  D
,
a11
в
области
2 
.
a12  D
,
a11
Тогда
функция
(4.13)
z   x, y 
удовлетворяет уравнению с частными производными (4.10) в области  .
40
Доказательство:
Зафиксируем точку M 0  x0 , y0    и построим решение y  yx 
уравнения, удовлетворяющее начальному условию yx0   y0 . Вычислим
производную d y в точке M 0 . Согласно определению первого интеграла, для
dx
решения y  yx  , имеем тождество:   x, y  x   C 0 , x  U x0 , где C0   x0 , y0  .
Дифференцируя предыдущее равенство по
x   y
dy
dx
x , получим:
 0,
y y  x 
x  U x0 .
Для точки M 0 имеем:
x   y
dy
 0.
d x M0
(4.14)
Если  y M 0   0 , то  x M 0   0 , что противоречит условию grad   0 ,
входящему в определение 4.3. Таким образом,  y M 0   0 . Откуда следует
равенство:
dy

 x
dx
y
(4.15)
в точке M 0 .
Запишем тождество:
2
dy
dy
dy

dy
  2 a12
a11 
 a22  a11 
 1  
 2  ,
dx
 dx
 dx
 dx

где функции 1 , 2 определяются формулами (4.12) и являются корнями
квадратного трехчлена, стоящего слева. Для функции y  yx  в точке M 0
выполняется одно из уравнений (4.12), следовательно:
41
2
dy
dy
  2 a12
a11 
 a 22
dx
 dx
 0.
(4.16)
M0
Подставим (4.15) в (4.16), получим искомое равенство:
a11  x   2a12 x y  a22  y 
2
2
M0
0
для точки M 0   .
Следовательно, функция z   x, y  является решением уравнения
(4.10).
Замечание 4.1
Утверждение, обратное утверждению леммы 1.1, также имеет место.
Утверждение 4.2
Если функция  x, y  в области D удовлетворяет уравнению:
 x  1 y  0,
(4.17)
то z   x, y  является решением уравнения характеристик (4.10) в
области  .
Если функция  x, y  удовлетворяет уравнению:
 x  2 y  0 ,
тогда z   x, y  является решением уравнения (4.10).
Доказательство:
Умножим равенство (4.17) на a11  x  2  y  , получим:
a11  x  1 y  x  2  y   a11 x2  2a12 x y  a22 y2  0 ,
а это и есть уравнение (4.10). Аналогично для функции  .
42
(4.18)
Утверждение 4.3
Пусть
z   x, y   i x, y 
-
комплексное
решение
уравнения
характеристик (4.10) в области  , где   Re z,   Im z;  ,  C1  , тогда
преобразование (4.2) приводит уравнение (4.1) к уравнению (4.6) с
коэффициентами:
a11  a22 , a12  0 .
(4.19)
Доказательство:
Подставим комплексное решение в уравнение (4.10), тогда с учетом
формул (4.9) получим равенства:
a11  x  i x   2 a12  x  i x   y  i y   a 22  y  i y  
2
2
 a11  a 22  2 i a12  0 .
(4.20)
Утверждение 4.3
Если
для
D  a122  a11a22  0
действительные
функции
 x, y , x, y  C1  и удовлетворяют одной из двух систем уравнений с
частными производными первого порядка:
a11 x  a12 y   g y ,
a11 x  a12 y   g  y ,
(4.21)
где g   D , знаки выбираются одновременно либо нижние либо
верхние, тогда комплексная функция z    i удовлетворяет уравнению
характеристик (4.10) в области  .
Замечание 4.2
Существование решения системы уравнений (4.21) легко доказывается
в случае аналитических коэффициентов aij .
43
Лемма 4.2
Пусть дискриминант Dx, y   0 , a11 x, y   0 в области  и x,   первый интеграл в области  характеристического уравнения (4.8):
d  a12  x,    i  D x,  

 1  x,   ,
dx
a11  x,  
(4.22)
где функция  x,   C1  и при каждом фиксированном x является
аналитической функцией комплексной переменной  в области  , а при
определении
квадратного
корня
 D  x,  
выбирается
ветвь,
соответствующая арифметическому корню.
Тогда функция
z    x, y     x,   y0    x, y   i  x, y 
(4.23)
является комплексным решением уравнения с частными производными
(4.10) в области  .
Доказательство:
Так как a11 x, y   0 в  , то продолженная в область  функция
a11 x,   в силу непрерывности также не равна нулю в расширенной области
 ,      . В дальнейшем будем считать, что      . Следовательно,
правая часть 1 x,   уравнения (4.22) является аналитической функцией по
переменным x,  в области  . Зафиксируем точку M 0  x0 , y0    и
построим комплексное решение уравнения (4.22)    x  , пересекающее
область  и удовлетворяющее начальному условию x0   y0 .
Вычислим производную d  в точке M 0 . По определению первого
dx
интеграла, для решения    x  , имеем тождество:
x,  x   C0 ,
44
x  U x0 ,
где C0  x0 , y0 .
Дифференцируя предыдущее равенство по x, получим:
 x  x,   x      x,   x 
d
 0,
dx
x U x0 .
Для точки M 0 x  x0 , y  y0 , y  0 выполняется:
x  y
d
 0.
d x M0
Если  y M 0   0 , то  x M 0   0 , то grad M 0  0 , что противоречит
определению первого интеграла. Показано, что  y M 0   0 . Отсюда следует:
d
 M 
 x 0 .
d x M0
 y M 0 
(4.23)
Перепишем:
2
 d 
d
  2 a12 x,  
a11  x,  
 a22  x,   
dx
 dx 
 d
  d

 a11  x,  
 1  x,   
 2  x,   ,
 dx
 d x

где 1 , 2 - корни квадратного трехчлена.
Так как для функции    x  в точке M 0 выполнено уравнение (4.22),
то
2
 d 
d
  2 a12
a11 
 a22  0 .
d
x
d
x


M0
(4.24)
После подстановки формулы (4.23) в уравнение (4.24) получим
искомое равенство
45
a11  x   2 a12  x  y  a22  y   0
2
2
в произвольной точке M 0 .
Таким
образом,
функция
(4.23)
удовлетворяет
уравнению
характеристик (4.10).
Замечание 4.3
Если коэффициент a11  0
в области  , то вместо уравнения (4.8)
рассматривается характеристическое уравнение
d x a12  x, y   D x, y 

.
dy
a22  x, y 
Контрольные вопросы
1.
Приведите формулы замены переменных для уравнения в
частных производных.
2.
Дайте определение характеристического уравнения
3.
Дайте определение уравнения характеристик.
4.
Изменится ли тип уравнения после замены переменных?
5.
Дайте определение первого интеграла дифференциального
уравнения.
46
Лекция 5
Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с
двумя независимыми переменными
Пусть
   x, y  ,
   x, y 
(5.1)
замена переменных для уравнения в частных производных. Данное
уравнение является либо гиперболическим, либо параболическим, либо
эллиптическим.
Уравнения гиперболического типа
2
В данном случае дискриминант D  a12  a11 a22  0 в области  .
Запишем два характеристических уравнения:
d y a12  D

 1 x, y  ,
dx
a11
(5.2)
d y a12  D

  2  x, y  ,
dx
a11
(5.3)
a11  0 в области  .
Пусть
 x, y   C1
(5.4)
 x, y   C2
(5.5)
первые интегралы уравнений (5.2) и (5.3) соответственно в области  .
Данные функции удовлетворяют уравнению характеристик (4.10). Выберем в
качестве функций преобразования (5.1) первые интегралы 
и .
Следовательно коэффициенты a11 , a22 в уравнении (4.6) равны нулю в области
.
47
Запишем полученное в результате преобразования уравнение:
2a12 u  a u  b u  c u  f .
(5.6)
Замечание 5.1
В случае аналитических коэффициентов aij уравнения (5.2), (5.3) имеют
первые интегралы (по крайней мере локально), для которых производные
y  0,  y  0.
Разделим уравнение (5.6) на 2a12 , получим
u  A u  Bu  Cu  F .
(5.7)
Определение 5.1
Уравнение (5.7) называется каноническим видом гиперболического
уравнения на плоскости.
Выразим y из уравнений (5.4) и (5.5), получим:
y  f1 x,C1  ,
y  f 2 x,C2 .
(5.8)
Определение 5.2
Два семейства линий в области  называются характеристиками или
характеристическими линиями гиперболического уравнения.
Уравнения параболического типа
В данном случае дискриминант D  0 в области  .
Получим одно характеристическое уравнение:
d y a12
.

d x a11
(5.9)
Запишем функцию первого интеграла:
 x, y   C1 .
(5.10)
Пусть данная функция (5.10) будет преобразованием уравнения (5.9).
48
Пусть в качестве функции  будет любая достаточно гладкая функция,
для которой якобиан преобразования J  0 в области  .
Исходя из данных допущений и на основании леммы, доказанной в
предыдущем параграфе вычислим коэффициент уравнения (4.6):
a11  a11 x2  2a12 x y  a 22 y2  0 .
(5.11)
Из условия D  0 следует
a12  a11 a 22 .
(5.12)
Из уравнений (5.11) и (5.12) получаем полный квадрат:
a11 


2
a11 x  a22  y  0.
Найдём a12 , используя формулы (5.12), получим:
a12  a11 x x  a12  x y   y x   a 22 y y 


a11  x  a 22  y


a11 x  a 22 y  0.
Получилось, что a11  0, a12  0 . Перепишем уравнение:
a 22 u  a u  b u  c u  f .
Коэффициенты
a22  0 ,
так
как
порядок
уравнения
при
невырожденном преобразовании сохраняется. Разделим на a 22 , получим:
u  A u  B u  C u  F .
(5.13)
Определение 5.3
Уравнение (5.13) является каноническим видом параболического
уравнения на плоскости
Выразим y из уравнения (5.10), получим:
y  f x, C1 ,
49
(5.14)
Определение 5.4
Семейство
линий
(5.14)
называется
характеристиками
параболического уравнения.
Уравнения эллиптического типа
У данного уравнения дискриминант D  0 в области  .
Поэтому для данного уравнения характеристические уравнения будут
комплекснозначными уравнениями. Запишем одно из них:
d y a12  i  D

.
dx
a11
Пусть
x, y 
-
первый
комплекснозначный
(5.15)
интеграл
характеристического уравнения (5.15). Для преобразования уравнения
выберем функции:
  Re  ,
  Im  .
(5.16)
Умножим первое уравнение в формуле из предыдущего параграфа для
вычисления якобиана на  y , а второе - на  y и вычитая первое из второго,
получим:
D 2
 y  y2 .
a11
J 
J  0.
Получили, что a11  a22 , a12  0 , то есть
a11 u  u   a u  b u  c u  f .
Перепишем уравнение (4.6) с учётом того, что коэффициенты a11  0 ,
2
2
так как a11   J D  0 , разделим на
a11 ,
получим:
u  u  Au  Bu  Cu  F .
50
(5.17)
Определение 5.5
Уравнение (5.17) является каноническим видом эллиптического
уравнения на плоскости
Замечание 5.2
Эллиптическое уравнение не имеет характеристических линий.
Классификация и приведение к каноническому виду уравнений
второго порядка со многими независимыми переменными.
Рассмотрим класс линейных уравнений второго порядка с
n
независимыми переменными:




n
u
 2u
Lu     aij x
  ai x
c x u  f x ,
i 1 j 1
xi x j i 1
 xi
n
n
(5.18)
где коэффициенты aij , ai , c, f определены в области   R n ; aij  a ji .
Главная часть уравнения (5.18):

 2u
L0 u     aij x
.
i 1 j 1
xi x j
n
n
(5.19)
Пусть
u
 i ,
 xi
некоторое правило, по которому
 2u
 i  j
 xi  x j
n числовых переменных 1 ,  2 ,..., n
и поставим в соответствие производным функции
Следовательно,
переменным
уравнению
(5.19)
u.
соответствует
полином
по
1 ,  2 ,..., n :
 

(5.20)
Полином (5.20) по переменным
 i называется характеристическим
n
n
P x,     aij x  i j .
i 1 j 1
Определение 5.7
полиномом.
51
x 0   , получим квадратичную форму с
Зафиксируем точку
постоянными коэффициентами:

n
 
n
P     aij x 0  i j .
i 1 j 1
(5.21)

Пусть в (5.20)  i   , то есть   grad  .
 xi
Определение 5.8
Поверхность  заданная уравнением:
 x1 , x2 ,..., xn   0 ,
(5.22)
где   C  , называется характеристикой или характеристической
2
поверхностью уравнения (5.18), если во всех точках поверхности 
для
функции  выполнено уравнение:

 
n
 x x  0 .
n
P x, grad x    aij x
i 1 j 1
i
(5.23)
j
Определение 5.9
Уравнение (5.23) называется уравнением характеристик.
Классификацию уравнений (5.18) в точке x 0 осуществим с помощью
квадратичной формы (5.19). Перейдем от переменных 1 ,  2 ,..., n к новым
переменным 1 ,  2 ,...,  n с помощью невырожденного преобразования с целью
приведения квадратичной формы к каноническому виду:
n
 i   Cij  j ,
(5.24)
j 1
где C ij - невырожденная матрица.
n
n
k 1
s 1
Положим  i   Cik  k ,  j   C js  s ,
. Подставим (5.24) в (5.21),
получим:

P       aij  x0 Cik C js  k  s .
n
n
n
n
i 1 j 1 k 1 s 1
52
Итак,

n
n
P     Aks  k  s
новая
(5.25)
k 1 s 1
квадратичная
форма
по
переменным
1 ,  2 ,...,  n с
коэффициентами:
n
n
 
Aks    aij x 0 Cik C js .
i 1 j 1
(5.26)
По теории квадратичных форм существует такое невырожденное
преобразование (5.24), для которого форма (5.25) принимает канонический
вид:
 
n
P     i  i2 ,
i 1
 i  0, 1,  1,
(5.27)
то есть Aks  0 при k  s, Aii   i .
Определение 5.10
1.
Уравнение (5.18) называется эллиптическим в точке x 0 , если
в канонической квадратичной форме (5.27) все  i  1 или все  i  1 .
2.
Уравнение (5.18) называется гиперболическим в точке x 0 ,
если в квадратичной форме (5.27)  1  1 ,  i  1 при
i  2, 3,..., n или
 1  1 ,  i  1 при i  2, 3,..., n .
3.
Уравнение (5.18) называется параболическим в точке x 0 ,
если в квадратичной форме (5.27) 1  0 ,  i  1 при i  2, 3,..., n или 1  0
,  i  1 при i  2, 3,..., n
Приведение к каноническому виду уравнений с постоянными
коэффициентами.
Рассмотрим уравнение с постоянными коэффициентами
n
 2u
u
Lu     aij
  ai
 cu  f .
i 1 j 1
xi x j i 1  xi
n
n
53
(5.28)
Приведем данное уравнение к каноническому виду с помощью замены
независимых переменных x1 , x2 ,..., xn на y1 , y2 ,..., y n . Получим:
n
yi   C ji x j ,
j 1
где матрица C ji транспонированная по отношению
(5.29)
к матрице
преобразования (5.24).
Найдём производные
n u  y
n
u
u
k
,

  Cik
 xi k 1  y k  xi k 1
 yk
n
 2u
  u

  Cik
 x j  xi k 1  x j   y k
 n n
 2u
    Cik C js
.
k 1 s 1

y

y

s
k
После подстановки в (5.28) получим уравнение в новых переменных:
n
 2u
u
L u     Aks
  Ak
 cu  f ,
k 1 s 1
 y s y k k 1  y k
n
n
n
n
где Ak   Cik ai ;
n
Aks    aij Cik C js , то есть коэффициент Aks совпадает
i 1
i 1 j 1
с коэффициентом (5.26) квадратичной формы. То есть, если квадратичная
форма (5.21) с помощью преобразования (5.24) приводится к каноническому
виду (5.27), тогда уравнение (5.28) также с помощью преобразования (5.29)
приводится к каноническому виду:
u
 2u n
L u     i 2   Ak
 cu  f .
i 1
 yi k 1  y k
n
(5.30)
Пример 5.1
Сделаем замену независимых переменных y1  x, y2  y, y3  z для
уравнений в каноническом виде при n  3 .
Эллиптические уравнения
54
 2u  2u  2u
u
u
u
 2  2  A1  A2
 A3  cu  f .
2
x  y z
x
y
z
(5.31)
Гиперболические уравнения
 2u  2u  2u
u
u
u



A

A

A
 cu  f .
1
2
3
 z 2  x2  y2
x
y
z
(5.32)
Параболические уравнения
 2u  2u
u
u
u


A

A

A
 cu  f ,
1
2
3
 x2  y2
x
y
z
A3  0 .
(5.33)
Контрольные вопросы
1.
Каким образом выполняется замена переменных в
уравнениях второго порядка с двумя независимыми переменными?
2.
Приведите канонический вид уравнения гиперболического
3.
Приведите уравнения характеристик для уравнения
типа.
гиперболического типа.
4.
Приведите канонический вид уравнения параболического
5.
Приведите уравнения характеристик для уравнения
типа.
параболического типа.
6.
Приведите канонический вид уравнения эллиптического
7.
Каким образом выполняется замена переменных в
типа.
уравнениях второго порядка со многими независимыми переменными?
8.
Приведите классификацию уравнений второго порядка в
9.
Каким образом выполняется замена переменных в
точке.
уравнениях с постоянными коэффициентами?
55
Лекция 6
Исключение в уравнениях младших производных
Покажем это на примере уравнений второго порядка с двумя
независимыми переменными, как можно их упростить с помощью замены
неизвестной функции, входящей в уравнение.
Гиперболические уравнения
u xy  au x  bu y  cu  f .
(6.1)
Параболические уравнения
u yy  au x  bu y  cu  f .
a  0.
(6.2)
Эллиптические уравнения
u xx  u yy  au x  bu y  cu  f .
(6.3)
Пусть коэффициенты a, b, c - постоянные. Выполним в уравнениях
(6.1)-(6.3) следующую замену:
u x, y   vx, y  e x y ,
(6.4)
где постоянные  ,  будут определены в дальнейшем.
Найдём производные:
u y  v y   v  ,
u x  vx   v  ,
uxx  vxx  2 vx   2 v  ,
u xy  v xy   v y   v x    v  ,
u yy  v yy  2  v y   2 v  ,
 e x y .
Подставим данные выражения в (6.1).
vxy  a    vx  b   v y      a   b  c v 
56
f
.

Положим, что коэффициенты при первых производных равными нулю.
Тогда   b,   a. Перепишем уравнение (6.1) с учётом найденных
коэффициентов:
v xy  c v  f ,
где c  c  ab; f 
(6.5)
f
.

Тем же способом преобразуем уравнения (6.2) и (6.3).
v yy  avx  f ,
b2 c
где в преобразовании  
 ,
4a a
(6.6)
b
2
  .
vxx  v yy  c v  f , c  c 
1 2 2
a  b  ,
4
(6.7)
a
b
где в преобразовании    ,    .
2
2
Классические решения простейших уравнений с частными
производными второго порядка
Общее решение простейшего
гиперболического уравнения на
плоскости
Пусть c  0, получаем простейшее гиперболическое уравнение
 2u
 f  x, y  .
 x y
(6.8)
Положим, что f  C R 2  .
Будем общее решение уравнения. Проинтегрируем уравнение (6.8) по
переменной
x.
57
u x
  f  , y d  C  y  ,
y 0
где C  y  - произвольная непрерывная функция переменной y.
Теперь проинтегрируем уравнение по переменной y, получим:
u  x, y     f  ,  d d   C   d  C x  .
y x
y
00
0
1
Т.к. C  y  можно выбрать произвольного вида, то общее решение
уравнения будет:
u x, y   C1  x   C2  y     f  ,  d d ,
y x
(6.9)
00
где C1 x , C2  y  - произвольные непрерывно дифференцируемые
функции.
Для однородного уравнения:
 2u
0
 x y
(6.10)
общее решение определяется формулой
ux, y   C1 x   C2  y  .
(6.11)
Нахождение решений эллиптического уравнения Лапласа
Определение 6.1
Если в уравнении эллиптического типа c  0, f  0, тогда полученное
простейшее эллиптическое уравнение на плоскости
 2u  2u

0,
 x2  y2
называется уравнением Лапласа.
58
(6.12)
Определение 6.2
2
2
Дифференциальный оператор уравнения   2  2 называется
x  y
оператором Лапласа.
Пусть f  z  - произвольная аналитическая функция комплексного
переменного z  x  i y в области  . Выделим действительную и мнимую
части функции f  z  :
f z   ux, y   i vx, y  .
Для любой аналитической функции комплексного переменного
выполнены уравнения Коши-Римана.
Дифференцируя первое уравнение из условий Коши-Римана по x , а
второе уравнение по y и складывая, получаем уравнение u  0 для функции
u . Аналогично для v имеем v  0 .
Действительная и мнимая части аналитической функции комплексного
переменного являются решениями эллиптического уравнения (6.12).
Пример 6.1
Рассмотрим
аналитическую
функцию
f z   e z  e xi y 
e x cos y  i sin y  , тогда функции u  e x cos y, v  e x sin y являются частными
решениями уравнения (6.12) на плоскости R 2 .
Пример 6.2
Рассмотрим
аналитическую
функцию
f ( z )  ln
1
,
z  z0
z0  x0  i y0  const . Запишем комплексное число z  z0 в виде z  z0  r ei , где
r
y  y0
1
, тогда f z   ln  i arctg
.
x  x0
x  x0
r
x  x    y  y  ,   arctg y  y
2
0
2
0
0
Найдём частные решения уравнения (6.12):
59
u  ln
1
x  x    y  y 
2
2
0
v  arctg
,
0
y  y0
.
x  x0
Умножив u на числовой множитель 1 , получим решение:
2
u  x , y   G M , M 0  
1  1  1
ln

ln
2  RMM 0  2
1
,
x  x    y  y 
2
2
0
(6.13)
0
Определение 6.3
Решение (6.13) называется фундаментальным решением уравнения
Лапласа на плоскости R 2 .
Рассмотрим случай трехмерного пространства R 3 для уравнения
Лапласа
 2u  2u  2u
u  2  2  2  0
x  y z
(6.14)
Определение 6.4
Решение вида
u x, y, z   GM , M 0  
где
1

4 RMM 0 4
1
x  x    y  y   z  z 
2
2
0
2
0
,
(6.15)
0
x0 , y0 , z0 - координаты фиксированной точки M 0 , называется
фундаментальным решением уравнения Лапласа в R 3 .
Выполним проверку, посчитаем производные:
2
 2  1 
1
3 x  x0 
 3 
,
 x 2  RM M 0 
RM M 0
RM5 M 0
2
 2  1 
1
3 y  y0 
 3 
,
 y 2  RM M 0 
RM M 0
RM5 M 0
2
 2  1 
1
3 z  z0 
 3 
, где RM M 0 
 z 2  RM M 0 
RM M 0
RM5 M 0
60
x  x    y  y   z  z 
2
0
2
0
2
0
.
После подстановки в уравнение получим тождество.
Определение 6.5
Частное решение уравнения Пуассона u   f M  в области D  R 3
выражается через фундаментальное решение (1.86) в виде интеграла:
uM    f Q GM , Q dVQ ,
f  C 1 D   C D  ,
D
называемого объемным потенциалом.
Фундаментальное решение параболического уравнения
Рассмотрим однородное параболическое уравнение с постоянными
коэффициентами  ,  ,  и с двумя независимыми переменными x, t :
u
 2u
u
 2  
 u,
t
x
x
  0.
(6.16)
Проверим, что функция
u  x, t   G   x, t  
e t
  x, t  ,
t
(6.17)
  x   t 2 
1
exp
где  x, t  
,
4

t
4 


удовлетворяет
уравнению
(6.16)
в
области
D   0  t      x   .
Для этого найдём производные:
2
u 
1   x   t   x   t   e t

   

  x, t  ,
t 
2t
2 t
4 t 2  t
(6.18)

u
x   t  e t

  x, t  ,
x
2 t
t
2

 2u 
1
x   t   e t

 

  x, t  .
 x 2  2  t
4 2 t 2  t
61
Если мы подставим данные выражения в (6.16), то получим тождество.
Доопределим
(6.17)
в
области
D      t  0
    x     t  0    x  0 функцией G x, t   0 , то есть нулем.

 1 2 G 
По (6.18) видно, что любую производную 1  2 можно представить,
t  x
x   t 
s
как сумму слагаемых вида
t
  x, t  .
При x  0
x   t 
lim
s
t 0
t
  x, t   0 .
Следовательно:
lim
t 0
1 2 G  1 2 G 

t 1  x 2 t 1  x 2
 0 при x  0.
t 0


Функции G , G гладко сопрягаются на оси t  0 при x  0 и образуют
функцию G  G   G  , любое число раз дифференцируемую в R 2 кроме точки
x  0, t  0 . Так как коэффициенты уравнения (6.16) постоянные, то функция
Gx  x0 , t  t0  , где x0 , t0  const , также является решением уравнения (6.16).
Определение 6.6
Решение

  x  x0   t  t0 2 
e   t t0 
exp
, t  t0



4

t

t


4


t

t
0


0


(6.19)
u  x, t   G  x  x0 , t  t0   0,
t  t0 ,


0,
t  t0 , x  x0
62
называется фундаментальным решением параболического уравнения
(6.16).
Определение 6.7
Уравнение называется гипоэллиптическим в R n , если любое его
классическое решение u  C  в любой области   R n является бесконечно
2
дифференцируемым, то есть u  C .

Общее решение уравнений с частными производными первого
порядка
Пусть
a  x, y 
u
u
 b  x , y   c  x , y  u  f  x, y  ,
x
y
(6.20)
уравнение с частными производными первого порядка, где для
1
определенности a  0 в области  ; a, b, c, f  C  .
Будем искать общее решение данного уравнения и составим его
характеристическое уравнение.
d y b x, y 
.

d x a  x, y 
(6.21)
Утверждение 6.1
Пусть
 x, y  - первый интеграл обыкновенного дифференциального
уравнения (6.21) в области
,
  C1  , тогда функция  x, y 
удовлетворяет уравнению
a  x  b y  0
в области  .
63
(6.22)
Доказательство
Рассмотрим произвольную точку M 0  x0 , y0   . Построим решение
y  yx  уравнения (6.22) при условии yx0   y0 . Данное решение существует.
По определению первого интеграла, выполняется тождество  x, yx   C ,
C  const . После дифференцирования по x получим:
 x  x, y  x    y  x, y  x 
dy
 0.
dx
При (6.21), получим требуемое равенство (6.22) для произвольной
точки M 0 .
Далее произведем в уравнении (6.20) замену переменных, где в
качестве функции  выберем первый интеграл уравнения (6.21) с условием
 y  0 , а в качестве функции  - любую гладкую функцию   C1 , такую,
что якобиан преобразования J  0 в  .
Получим уравнение
u  Px, y u  F x, y  ,
P
c
,
a x  b y
F
f
.
a x  b y
Найдем обратное преобразование x  1  ,  , y   1  ,  , получим:
u  p , u   , ,
(6.23)
где p ,   P1  , , 1  ,  ,  ,   F 1  , , 1  ,  .
Проинтегрируем обыкновенное дифференциальное уравнение (6.23) по
переменной  , рассматривая  как параметр. Тогда
u

1




 C      ,  K  ,  d  , где K  ,   exp  p , t dt  .
0
K  ,  

 0

Возвращаясь к старым переменным x, y , получим общее решение
уравнения (6.20) (по крайней мере локальное):
64
u  x, y  
  x, y 
1


 C   x, y      x, y ,  K   x, y ,  d  ,
0
K   x, y ,  x, y  

где
0   x0 , y0   const ;
C .
-
произвольная
(6.24)
непрерывно
дифференцируемая функция.
Определение 6.8
Уравнение  x, y   C , C  const , задает в области  семейство линий,
которые называются характеристическими линиями исходного уравнения
(6.20), а рассмотренный метод нахождения общего решения уравнения (6.20)
называется методом характеристик.
Контрольные вопросы
1. Приведите метод исключения младших производных.
2.
Приведите классические решения простейших уравнений с
частными производными второго порядка.
3.
Приведите метод нахождения общего решения
гиперболического уравнения.
4.
Приведите метод нахождения решений уравнения Лапласа.
5.
Дайте определение объёмного потенциала.
6.
В чём состоит метод нахождения фундаментального
решения уравнения в частных производных первого порядка?
65
Лекция 7
Постановка задачи Коши. Теорема Ковалевской
Рассмотрим
n -мерное евклидово пространство
R n . Пусть в данном

пространстве задана связанная область D и задана точка x  x1 , x2 ,, xn   D
Рассмотрим в области D уравнение с частными производными второго
порядка:
n
  2u
 u


Lu     aij x 
  ai  x 
 ax u  f  x 
i 1 j 1
xi x j i 1
 xi
n
n
(7.1)



Здесь коэффициенты aij  x , ai  x , a  x  - достаточно гладкие функции.
Пусть
0 - незамкнутая без самопересечений поверхность в
пространстве R n . Опишем её с помощью уравнения:
g x1 , x2 ,..., xn   0,
(7.2)
2
Здесь функция g - дважды непрерывно дифференцируемая, g  C D 

, grad g  0 для любой x0  D .
  0  D поверхность внутри D .
Пусть D  D     D  , где D   D   0 , D   Г  0 , D   Г  0 .(
рис. 7.1).
xn
+
D = D UГ U D
nx
Г
+
D
x
U
-
D
x0
x0
0
x1
Рисунок 7.1
66
-
Определение 7.1
Два условия на неизвестную функцию u


u  x  x   0  x  ,

u  x 

nx

 1  x  ,
(7.3)

x
называются начальными условиями.



Здесь  0  x , 1  x  - функции на поверхности  ; nx  n1 , n2 ,...,nn  единичный

нормальный вектор к поверхности  в точке x ;
u

 nx
-

производная по направлению нормального вектора nx , которая вычисляется
по формуле:

n u
1 g
u  x 

,



grad
u
,
n

ni , ni 


x
i 1  x
grad
g

x
nx
i
i
 n  g 

grad g    
 i1   xi 

2
1
2

 .


(7.4)
Задача Коши 1.
Определение 7.2
Функция u  C 2 D  удовлетворяющая требованиям
Lu   f в области D ,

u   0  x  ,
(7.5)
u

  1  x  .
n 
(7.6)
называется классическим решением задачи Коши
Для двухмерного пространства R 2 : D  R 2 плоская область,  – линия,
пересекающая плоскую область D .
Пусть поверхность 0 - плоскость xn  0 . Перепишем задачи (7.5), (7.6)
для данного случая:

Lu   f  x 
67
в области D
u
 xn

u xn 0   0  x  ,
Здесь x   x1 , x2 ,..., xn 1    ;

 1  x   ,
(7.7)
xn  0
 - сечение области D
плоскостью
xn  0 ,   0  D  R n1 .
Задача Коши 2.
Рассмотрим область D  D    . Запишем задачу Коши для данной
области:

Lu   f  x 
в области D  ,
(7.8)

u    0  x ,
u

  1  x  .
n 
(7.9)
Найдём u  C 2 D    C 1 D , удовлетворяющая уравнению (7.8) и
начальным условиям (7.9). Для этого преобразуем задачу (7.5)-(7.6).

Зафиксируем точку x0   . По условиям на функцию g вектор grad g
 g g
g 
  0 на поверхности  , поэтому одна из производных
 
,
,...,

x

x

x
 1
2
n 
g
g


 0 в точке x0 . Пусть
 0 в точке x0 , тогда по теореме о неявной
 xi
 xn

функции существует окрестность U x0 точки x0 , в которой уравнение (7.2)
однозначно разрешимо относительно переменной xn , то есть поверхность  в
окрестности U x0 можно представить следующим образом:

xn  F x1 , x2 ,..., xn1   F x.
(7.10)
Положим, что окрестность U x0 совпадает со всей областью D .
Определение 7.3

Пусть поверхность  в пространстве R n размерности n  1.  x0  
существует окрестность U x0  R n , внутри которой
68
поверхность задается
однозначным уравнением (7.10) в некоторой локальной декартовой системе
координат. Поверхность  называется k раз непрерывно дифференцируемой

или класса C k   C k , если для x0   существует окрестность U x   R n 1 ,
0

внутри которой функция F  x   C k U x0  .
Замечание 7.1
Число k определяет гладкость поверхности  .
Замечание 7.2
 
Пусть для x1 , x 2  U x0 и любой производной D  F порядка   k




выполнено неравенство D  F  x 2   D  F  x1   C x 2  x1  , где C ,  const , то
есть производные D  F являются гельдеровскими функциями с показателем
 0    1. Тогда поверхность
  C k  .
Перепишем задачу (7.5) - (7.6) с учетом (7.10), получим:

Lu   f  x 

в D , u x  F  x    0  x,
n
u

n
 

  1  x  ,
(7.11)
xn  F x 

где  j  x     j  x1 , x 2 ,..., x n 1 , F  x1 , x 2 ,..., x n 1  .
Сделаем замену в (2.11):
y1  x1 , y2  x2 , …, yn1  xn1 , t  g x1 , x2 ,..., xn  .
(7.12)
Данное преобразование является невырожденны, так как якобиан
J 
g
0
 xn
Найдём производные из уравнения (7.1), получим:
u n 1 u  y j u t
u u  g




,
 xi j 1  y j  xi t  xi  yi t  xi
u
u  g
.

 xn
t  x n
69
i  n,
(7.13)
 2u


 x j  xi  x j
 u u  g



y
 i t  x i


 
 x j
 u

  yi
 
 
 x j
 2u
 2 u  g   2 u
 2u  g




 y j  yi t yi  x j  t  y j t 2  x j
 u   g u  2 g
 



t

x

t

x

x
  i
j
i
  g u  2 g

,
  x  t  x  x
i
j
i

 2u
 2 u  g  2 u  g  g u  2 g



,
 x n  x i  t y i  x n  t 2  x n  x i  t  x n  x i
 2u  2u   g


 xn2 t 2   xn
j  n, i  n ,
i  n,
2
 u  2 g
.
 
2
 t  x n
Подставим (7.13) в (7.1), получим:
u n 1  2 u
 2u

L u    2  B0
  Bi
 L y u   G  y, t  ,
t
t i 1  y i t
 
 
(7.14)
 
n 1
2

где L y    Bij y, t
  Ci y, t
 C y, t - дифференциальный
i 1 j 1
 yi  y j i 1
 yi
n 1 n 1
оператор
второго
порядка
по


G y, t   Gx1 ,..., xn1 , g x1 ,..., xn   f x  .
переменным
Коэффициент
y   y1 , y 2 ,..., y n 1  ,

определяется
формулой


 n n
  g x   g x 


  x     aij  x 
 P x , grad g  x  .
i 1 j 1
 xi  x j
(7.15)

Пусть  x   0 в области D . Поделим (7.14) на  и выразив его через

переменные y, t , получим:
u n 1  2 u
 2u





b

b

L
u

f
y
, t .

0
i
y
t 2
t i 1  yi t
(7.16)
Определение 7.4
Уравнение (7.16) называется уравнением типа Ковалевской с
выделенной переменной t .
70
Перепишем в новых переменных условия (7.11).
Уравнение поверхности 
примет вид t  0 , поэтому первое
начальное условие (7.11) можно записать как

y   y1 , y2 ,..., yn1  .

u t 0   0  y  ,
(7.17)
Найдём второе начальное условие в новых переменных:

du
u
1 n 1 u  g 


   grad g 
i

1
d n t 0 
t grad g  yi  xi 

 1  y ,
t 0

du
1  
1 n 1  0  y   g 


 1  y  .

 1  y  

d t t 0 grad g 
grad g i 1  yi  xi 
t 0
(7.18)
Итак, постановка задачи Коши в новых переменных:
n 1
u n 1  2 u n 1 n 1
u
 2u
 2u

b

b

b

 cu  f



 ci
0
i
ij
2
t
t i 1  yi t i 1 j 1  yi  y j i 1  yi
u
t

u t 0   0  y  ,
в ,

 1  y  ,
(7.19)
(7.20)
t 0
С помощью преобразования (7.12) область D преобразуется  в
пространстве R yn, t переменных y1 , y 2 ,..., yn1 , t . При этом поверхность 
представляет собой плоское многообразие  в области  (рис. 2.2).
t


(t=0)
O
y0
y0
y
Рисунок 7.2
71

Пусть  x   0 на всей поверхности  или в отдельных точках данной
поверхности. В этом случае деление уравнения на  невозможно, так как в
коэффициентах уравнения (7.16) возникают особенности. Уравнение (7.14)
выполняется во всех точках области D , в том числе и в точках поверхности 
Рассмотрим уравнение (7.14) на поверхности  , то есть при t  0 :
L u    L u  t 0
n 1
u
 2u
 2u
   2  B0
  Bi
t
t t 0 i 1  yi t
n
n
     aij
i 1 j 1
g g
 xi  x j
 
 L y u  t 0  G y,0
t 0
0
(7.21)

и условия (7.20), получаем необходимое условие разрешимости задачи
Коши (7.5) - (7.6):


 n 1
  1  y 


B0  y,0  1  y    Bi  y,0 
 L y  0  y   G  y,0  .
i 1
 yi
(7.22)
Возможны следующие случаи:
1)
задаваемая
Выполнение условия (7.21) означает, что поверхность  ,
уравнением
(7.2),
является
характеристической
поверхностью уравнения (7.1).
2)
Если условие (7.21) выполняется в отдельных точках
поверхности  , то это означает, что поверхность  в этих точках
касается некоторой характеристической поверхности уравнения (7.1).
Определение 7.5
Функция f x1 , x2 ,..., xn , определенная в области D  R n , называется
0
0
0
аналитической функцией в окрестности точки x0  x1 , x2 ,..., xn  D , если

существует окрестность U x0 точки x 0 , внутри которой функция
представима в виде ряда Тейлора:
72

f x





f  x     f  x1  x10  1 x2  x20  2  xn  xn0  n ,
m0   m
который сходится абсолютно в области U x0 .
Определение 7.6
Функция называется аналитической в области D , если она аналитична
в окрестности любой точки области. Обозначим через C D 
A
линейное
пространство всех аналитических функций в области D .
Теорема 7.1. Теорема Ковалевской.
Если коэффициенты уравнения (7.19) bij , b0 , bi , ci , c , f  C A   , то
есть являются аналитическими функциями по переменным y1 , y 2 ,..., yn1 , t , а
начальные функции  0 , 1  C A   , то есть являются аналитическими
функциями по переменным y1 , y 2 ,..., y n1 , тогда для любой точки
y0 
существует окрестность  y0   , в которой решение задачи Коши (7.19),
(7.20) существует, притом единственное в пространстве аналитических
функций, то есть u  C A  y0  .
Замечание 7.3
Теорема Ковалевской справедлива также для задачи Коши для
уравнения первого порядка:
u n 1 u
  ai
 au  f
t i 1  y i
в области  ,

u t 0   0  y  ,
и для задачи Коши для систем уравнений первого порядка:
u n 1 1 u n 1 1  v
  ai
  bi
 c11u  c 21 v  f 1 ,
t i 1
 y i i 1
 yi
73
 v n 1  2  u n 1  2   v
  ai
  bi
 c1 2 u  c 2 2  v  f 2 ,
t i 1
 y i i 1
 yi

u t 0   1  y ,

v t 0   2  y  ,
и для более сложных систем.
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение первой задачи Коши.
2.
Дайте определение второй задачи Коши.
3.
Дайте определение n раз непрерывно дифференцируемой
поверхности.
4.
Дайте определение функции типа Ковалевской.
5.
Дайте определение аналитической функции.
6.
Сформулируйте теорему Ковалевской.
74
Лекция 8
О корректной постановке задачи Коши
Поставим задачу Коши для уравнения второго порядка с двумя
независимыми:
u
u
 2u
 2u
 2u
Lu   a11 2  2a12
 a 22 2  a  b  cu  f
x
 x y
y
x
y
u  x , y     x, y  ,
u

n
в D,
   x, y  ,
(8.1)
(8.2)
 x , y 
2
где D - плоская область в R 2 ;  - линия внутри области D,   C ;
 ,  заданные функции на линии  (рисунок 8.1).
y
n
D
0
x
Рисунок 8.1
Обозначим V1   - пространство начальных функций  ;
V2   - пространство начальных функций  ;
V D  - пространство функций u для решения задачи (8.1)-(8.2);
V D   C 2 D  .
75
Пусть
в
пространствах
1 1 , 2 ,  2  1 , 2 ,  u1 , u 2  .
1 1 ,  2   1   2
V1
V1 , V2 , V
заданы
Следовательно,
,  2  1 , 2    1  2
V2
метрики:
справедливо:
,  u1 , u 2   u1  u 2 V , где
f
W
-
норма в нормированном пространстве W .
Пусть заданы две задачи Коши с различными начальными функциями:
Lui   f ,
ui

 i ,
u i

n
 i ,
i  1, 2 .

Определение 8.1
Решение задачи Коши (8.1) - (8.2) непрерывно зависит в пространстве
V от начальных функций   V1 ,   V2 , если для любого   0 найдется   0
такое, что из неравенств 1 1 , 2    ,  2  1 , 2    следует неравенство
 u1 ,u 2    .
Определение 8.2
Задача Коши (8.1) - (8.2) называется корректно поставленной в
пространствах V1 , V2 , V , если выполнены три условия корректности:
1)
для любых начальных функций   V1 ,  V2 существует
решение задачи u  V ;
2)
для любых начальных функций   V1 ,  V2
решение
единственно в пространстве V ;
3)
решение задачи u  V непрерывно зависит от начальных
функций   V1 ,  V2 .
Определение 8.3
Если не выполняется хотя бы одно из условий корректности, то задача
называется некорректно поставленной.
76
Определение 8.4
Если не выполняется третье условие корректности, то задача Коши
называется неустойчивой по начальным данным.
Примеры некорректно поставленных задач Коши
Задача Коши для гиперболического уравнения с начальными
условиями на характеристике.
Рассмотрим уравнение гиперболического типа, для которого являются
характеристиками x  C1 и y  C2 . Пусть  y  0 -характеристическая линия.
Поставим для нее задачу Коши в области D  R 2 :
 2u
 f  x, y 
 x y
u y 0    x  ,
в области R 2 ,
u
y
  x ,
   x  ,
(8.3)
(8.4)
y 0
2
1
1
где f x, y   C R  ;  x ,  x   C R  .
Пусть (8.3) - (8.4) имеет решение u и существует непрерывная
смешанная производная u x y в области R 2 . Так как y  0 принадлежит R 2 ,
то справедливо:
 2u
 x y
 f  x, 0  .
y 0
Учитывая (8.4), получим необходимое условие разрешимости:
d  x 
 f  x, 0  .
dx
(8.5)
Предположим, что данное условие выполняется, построим решение
задачи (8.3) – (8.4). Будем использовать общее решение уравнения (8.3),
функции C1 x , C2  y  определим из начальных условий.
Из первого начального условия (8.4) получим:
u y 0  C1  x   C 2 0    x  .
77
Пусть C1 x    x , C2 0  0
Из второго начального условия (8.4) получим:
u
y
x

 C 2 0   f  ,0d    x  .
0
y 0

Из (8.5): C 2 0   0 . Итак, C 2  y  удовлетворяет условиям C2 0  0 ,

C 2 0   0.
Общий вид функции:
C2  y   y  y   C  y  ,
где произвольная функция C y   C 1 R1 , C 0  0.
Итак, решение задачи (8.3) - (8.4):
x
u x, y    x   y  y   C  y      f  , d  d .
00

y
В данном примере не выполняется первое или второе условие
корректности.
Задача Коши для параболического уравнения с начальными
условиями на характеристике
Рассмотрим
параболическое
уравнение
канонического
вида
ut   u xx   u x   u  f , для которого характеристиками являются t  C .
Пусть t  0 характеристическая линия. Поставим задачу Коши в R 2 :
u
 2u
u
 2  
 u  f
t
x
x
u t 0    x  ,
u
  x  ,
t t 0
в области R 2 ,
(8.6)
   x  .
(8.7)
Пусть существует решение задачи (8.6) - (8.7) в R 2 . t  0 принадлежит
R 2 , следовательно выполняется:
  2u

u
u
   2  
  u  f  .
t t  0   x
x
 t 0
78
Из начальных условий (8.7), получим:
 x    x,0 x    x,0 x    x,0 x   f x,0 .
Рассмотрев последнее уравнение можно заметить, что второе
начальное условие (8.7) – лишнее.
Поставим задачу Коши для параболического уравнения с одним
начальным условием на характеристике:
u
 2u
u
 2    u  f ,
t
x
x
u t 0    x ,
(8.8)
Пример Адамара задачи Коши для эллиптического уравнения.
Рассмотрим эллиптическое уравнение Лапласа на плоскости. Поставим
задачу Коши с начальными условиями на линии  y  0 :
 2u  2u

 0 в области D     x  , y  T ,
 x2  y2
u y 0    x  ,
u
y
  x  ,
  x  .
(8.9)
(8.10)
y 0
Уравнение (8.9) является уравнением типа Ковалевской, поэтому в
случае аналитических функций  и  на основании теоремы Ковалевской
заключаем, что задача (8.9) - (8.10) имеет единственное аналитическое
решение в некоторой достаточно малой окрестности линии  . Таким образом,
первые два условия корректности выполнены. Исследуем третье условие
корректности, то есть условие о непрерывной зависимости от начальных
функций. Для этого рассмотрим две задачи Коши с различными начальными
условиями специального вида:
 2u1  2u1

 0,
 x2  y2
 2u 2  2u 2

0,
 x2  y2
u1 y 0  1  0 ,
u2
79
y 0
 2  0 ,
(8.11)
u1
y
u 2
y
1  0 ,
y 0
  2  e  n cosnx  ,
y 0
где n - фиксированный положительный параметр.
Решения данных задач определяются выражениями:
u1  0 ,
u2 
1 n
e cosnx  sh ny  .
n
Рассмотрим V1  V2  C0A R1 , V  C0A D , где C0A - пространство
ограниченных аналитических функций с соответствующими метрическими
расстояниями:
1 1 ,  2    2 1 ,  2   1   2 C  sup 1 x    2 x  ,
  x 
 u1 , u2   u1  u2
C
 sup u1 x, y   u2 x, y  .
(8.12)
 x , y D
  0   0 , что если 1 1 , 2   0   и  2  1 , 2   e 
n
  (при
n  ln   ), тогда должно выполняться неравенство:
2
1
n
 u1 , u2   e  n sh nT    .
(8.13)
(8.13) не выполнимо при достаточно больших значениях параметра n ,
так как
lim
n 
1 n
e sh nT    .Следовательно не выполнено третье условие
n
корректности.
Задача Коши для уравнения колебаний струны
Физическая интерпретация
Поставим задачу Коши для однородного уравнения поперечных
колебаний струны:
 2u 2  2u
a
0
t 2
 x2
в D     x  , t  T ,
80
(8.14)
u t 0    x  ,
  x  ,
u
  x  ,
t t 0
где a 
N

(8.15)
  x  ,
(8.16)
 const ; N - натяжение струны;  - линейная плотность
2
1
1
1
струны;  x  V1  C R ;  x  V2  C R  ; классическое решение задачи
ux, t   V  C 2 D, t
- временная переменная,
x - пространственная
переменная.
Струна считается идеально тонкой, график которой в момент времени
t описывается уравнением u  ux, t  , то есть ux, t  - отклонение точки
струны с координатой
x от оси
Ox (Рисунок 8.2). Начальное условие (8.15)
u   x  задает график струны в начальный момент времени t  0 , а функция
  x  из условия (8.16) задает начальную скорость струны в точке с
координатой x.
u

U(x,t)
0
x
x
Рисунок 8.2
Формула Даламбера
Будем искать решение задачи (8.15) – (8.16) методом характеристик.
Для гиперболического уравнения (8.14) на основании характеристических
уравнений найдем два семейства характеристик на плоскости Oxt :
81
x  at  C1 ,
x  at  C2
  x  at ,
  x  at ,
Пусть:
получим u   0 - канонический вид уравнения (8.14). Из общего
решения получим: u  C1    C2   . Откуда общее решение однородного
уравнения колебаний струны:
u  C1 x  at   C2 x  at  .
(8.17)
Будем искать C1 , C2  из начальных условий. Подставив (8.17) в
(8.15), получим:
C1 x   C2 x    x  .
(8.18)
Также можно получить:
u


 aC1 x   aC2 x    x  ,
t t  0
где C1, 2 x  - производные по переменной
(8.19)
x.
Проинтегрируем (8.19) по x0 , x  , получим второе соотношение:
C1 x   C2 x  
1 x
  d  C .
a x0
(8.20)
Решим полученную СЛАУ, получим:
C1  x  
1
1 x

   x     d  C  ,
2
a x0

C2  x  
1
1 x

   x     d  C  .
2
a x0

После подстановки найденных функций в (8.17) получим формулу
Даламбера для решения исходной задачи Коши:
u  x, t  
xat
1
 x  at    x  at   1   d .
2
2a x  a t
(8.21)
В случае неоднородного уравнения колебаний струны решение задачи
Коши
82
 2u 2  2u
a
 f  x, t  ,
t 2
 x2
u t 0   x ,
u
  x 
t t  0
определяется формулой:
u  x, t  
xat
t x  a  t  
1
 x  at    x  at   1   d  1   f  , d  d ,
2
2a x  a t
2a 0 x a t  
где  f  x, t   C R 2 .
x
Корректность задачи Коши
Любое классическое решение задачи Коши для уравнения колебаний
струны
представимо
формулой
Даламбера
(8.21).
Отсюда
следует
существование и единственность решения задачи в пространстве V .
Утверждение 8.1
Решение задачи Коши (8.14) – (8.16) в пространстве V
с метрикой
(8.12) непрерывно зависит от начальных функций   V1 ,  V2 .
Контрольные вопросы
1. Дайте определение некорректно поставленной задачи.
2.
Дайте определение корректно поставленной задачи.
3.
Дайте определение неустойчивой задачи.
4.
В чем состоит некорректность задачи Коши для
гиперболического уравнения с начальными условиями на ребре.
5.
В чём состоит некорректность задачи Коши для
параболического уравнения с начальными условиями на ребре.
6.
Приведите пример Адамара.
7.
Приведите формулу Даламбера.
8.
Приведите задачу Коши для уравнения колебания струны.
83
Лекция 9
Обобщенные функции
При построении математической модели какого – либо явления часто
требуется несколько расширить понятие производной. Так происходит, когда
нужно продифференцировать функцию, имеющую разрыв первого рода. Для
решения данной проблемы вводят обобщенную производную, с помощью
которой
функция,
имеющая
разрывы
первого
рода,
становится
дифференцируемой в точках разрыва
Основные функции
Определение 9.1

Функция   x  называется финитной, если существует ограниченное



открытое множество U  R n , для которого  x   0 при x U ,  x   0 при

x  Rn \ U.
Пусть R n n -мерное евклидово пространство;

x  Rn ;

   x    x1 , x2 ,..., xn   C  R n  - финитная функция, заданная на R n
Определение 9.2
Замкнутое множество U  Supp называется носителем финитной

функции   x .
Пусть DR n  - линейное пространство всех линейных функций;

 k x  , k  1, 2.... - последовательность финитных функций в
пространстве DR n .
Определение 9.3


Последовательность  k x  сходится к финитной функции   x  , то есть


 k  x     x , если выполнены следующие условия:
k 
84


1)  k  x     x  равномерно;
k 


2) D  k  x   D    x  равномерно, где D  

k 
 1  2 ... n
;



x1 1 x2 2 ...xn n
3) существует ограниченное замкнутое множество G  R n , такое что
Supp k  G , Supp   G .
Определение 9.4
Пространство DR n  с указанной сходимостью будем называть
пространством основных функций.
Определение 9.5
Функционал f линейный, если
 f ,         f ,     f , 
1
1
2
2
1
1
2
(9.1)
2
n
для 1 , 2  DR ,  1 ,  2  const .
Пусть f
линейный функционал
действующий на пространстве
1
функций   DR n  ,  f ,    R .
Определение 9.6
Функционал
f
является
непрерывным,
если
для
любой
последовательности финитных функций  k , сходящейся к финитной функции
 , выполнено условие:
lim  f ,  k    f ,   .
(9.2)
k 
Определение 9.7
Обобщенной
функцией
называется
линейный
непрерывный
функционал f на пространстве DR n .
DR n  - линейное пространство всех обобщенных функций.
85
Регулярные обобщенные функции

Пусть g x   g x1 , x2 ,..., xn  - функция, заданную на R n . Определим
функционал g  DR n  , определив его с помощью формулы:
    
g ,   n g x  x  dx   ...  g x1 ,..., xn  x1 ,..., xn dx1 ...dxn .

R

Проверим условие непрерывности (9.2):

 

 
limg ,  k   lim  g x  k x dx   g x lim k x dx =
k 
k 
Rn
G
k 
  
  g x  x dx  g ,   .
G

Последовательность функций  k x  сходится равномерно, поэтому
данный предельный переход существует.
Определение 9.7

Если обычную функцию g x  можно рассматривать как обобщенную
функцию g  DR n  , то данную обобщенную функцию будем называть
регулярной обобщенной функцией. Все остальные обобщенные функции –
называются сингулярными обобщенными функциями.
δ-функция Дирака
Приведём пример сингулярной обобщенной функции:
 
 x 0   x  x 0    x1  x10 , x 2  x 20 ,...x n  x n0   D R n  ,
(9.3)

x 0  R n - фиксированная точка.
Функционал  x 0
формуле:

x0
действует на функцию

 x   DR n  согласно

 
 

,     x  x 0  xx dx   x 0 .
n
(9.4)
R

 
Пусть x 0  0 для обобщенной функции  0     x  , тогда

 ,    n  x   x dx   0 .

R
86
(9.5)
Функционал (9.4) линейный и непрерывный, то есть является
обобщенной функцией.
Определение 9.8
Обобщенная функция (9.3) называется  -функцией Дирака.
Пусть   R n - некоторое открытое множество.
Определение 9.9
Будем говорить, что обобщенная функция f равна 0 на множестве  ,
если для   DR n  с носителем Supp   выполнено условие  f ,    0 .
 max - наибольшее открытое множество, на котором обобщенная
функция f равна нулю.
Определение 9.10
Носителем обобщенной функции f называется замкнутое множество
Supp f  R n \  max .
 


Supp x  x 0   x 0  - состоит из одной точки x 0  R n , вне которой   
функция Дирака равна нулю. При x 0  0  - функция (9.5) сосредоточена в
начале координат.
Рассмотрим обобщенную функцию вида

  Ax  ,
(9.6)
где A - невырожденная матрица.

Подействуем функционалом (9.6) на функцию   x :
  Ax ,  x      Ax  x dx .
(9.7)
Rn
Выполним переход от переменных интегрирования x1 , x2 ,..., xn к
переменным y1 , y2 ,..., yn с помощью преобразования
87
 
y  Ax , получим:
  Ax ,  x      y   A y  J dy  J  0,

1
(9.8)
Rn
1
где J  det A 1  det A .
Из (9.8) и (9.5), получим:

  Ax  
1

 x  .
det A
(9.9)
Дифференцирование обобщенных функций
Определим производную порядка  от обобщенной функции f 
DR n  .
Определение 9.11
Производная D f  DR n  определяется с помощью соотношения
D

f ,     1

 f , D  ,

(9.10)
n
где   x   DR ,    1   2  ...   n .

Определение 9.12
Пространство
Соболева
W pm  ,   R n ,1  p   .


u  x   u x1 , x 2 , ,..., x n   W pm   , если u  x   L p   , то есть
Функция
 p 
 ux  dx   , и


всевозможные обобщенные производные D  u  x   L p   , 0    m .
Пример 9.1
Дана кусочно-непрерывно дифференцируемая функция с единственной
точкой разрыва первого рода x0 :
 g1  x ,    x  x0 ,
g x   
 g 2 x , x0  x  .
1
1
где g1 x   C    x  x0  , g 2 x   C x0  x   .
Найдём обычную производную функции (9.11):
88
(9.11)
d g  x   g1  x ,    x  x0 ,

dx
 g 2  x , x0  x  .
(9.12)
В точке x0 функция (9.12) не определена, так как производная функции
g x  в точке x0 не существует. Доопределим ее в точке x0 нулем.
Найдём обобщенную производную Dx от функции g . по определению
(9.10), получим:

D g ,   g , D      g x D  x dx     g x  x  dx   g x  x  dx .
x
x

x0
x


1
2
x0
Проинтегрируем данное выражение по частям:
D g ,   
x
dg  x 
 x  dx  g x0  x0  ,
  dx


где g x0   g 2 x0   g1 x0  - скачок функции в точке разрыва x0 .
По определению  -функции (9.4) на R 1 , получим:
D
x
 dg  x 


g ,    
 g  x 0   x  x 0   x  dx.
 
dx

Отсюда Dx g  
dg x 
 g x0  x  x0  - обобщенная производная
dx
разрывной функции g.
Фундаментальные решения дифференциальных уравнений
Рассмотрим произвольное уравнение порядка
Lu  
a D u  f ,


0
m
(9.13)
m

где a  a1 2 ... n  x   C  R n  .
Определение 9.13
Обобщенная функция u  DR n  называется обобщенным решением
уравнения (9.13), если выполнено тождество:
u, L     f ,  
*
89

  x   DR n . .
для
Здесь
 

L*      1 D  a  x   x  0   m
сопряженный дифференциальный оператор для оператора L .
В качестве правой части уравнения (9.13) рассмотрим  - функцию
Дирака:
 
 0
 a  x  D u   x  x .
(9.14)
0   m
Определение 9.14
Любое
 
обобщенное решение ux, x 0  DR n 
уравнения (9.14)
называется фундаментальной функцией оператора Lu  .
Определение 9.15
 
 
Единственная фундаментальная функция u x, x 0   Gx, x 0  , которую
выделяют при наложении условий нормировки при решении прикладных
задач называется фундаментальным решением уравнения (9.14).
Фундаментальное решение уравнения Лапласа
Рассмотрим
неоднородное
уравнение
Лапласа
в
трехмерном
пространстве R 3 с  - функцией в правой части:
 2u  2u  2u


   x  x0 , y  y 0 , z  z 0  .
x2  y2 z2
(9.15)
В двухмерном случае R 2 обобщенным решением уравнения
 2u  2u

  x  x0 , y  y 0 
x2  y2
является фундаментальное решение .
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение финитной функции.
2.
Какая последовательность сходится к финитной функции.
3.
Дайте определение пространства обобщенных функций.
4.
Дайте определение обобщенной функции.
5.
Дайте определение линейного функционала.
90
6.
Дайте определение непрерывного функционала.
7.
Дайте определение регулярной функции.
8.
Дайте определение сингулярной функции.
9.
Дайте определение обобщенной производной.
10. Дайте определение фундаментальной функции оператора.
11. Приведите формулу функции Дирака.
12. Приведите фундаментальное решение уравнения Лапласа.
91
Лекция 10
Постановка смешанных задач для уравнения колебаний струны
Пусть D  0  x  l   0  t    - некоторая область на плоскости R 2 .
t
x=0
x=l
D
O
t=0
x
l
Рисунок 10.1
Зададим в D уравнение колебаний струны
2
 2u
2  u
a
 f  x, t  ,
t 2
x2
(10.1)
где u  ux, t  - искомая функция в области D ; f x, t  - заданная
функция.
Зададим возможные смешанные задачи для гиперболического
уравнения (10.1) в области D . Для этого поставим для функции
u начальные
условия на нижнем основании t  0 и граничные условия на боковых сторонах
x  0 , x  l области D .
Первая смешанная задача
2
 2u
2  u
a
 f  x, t 
t 2
x2
u t 0    x  ,
u x 0  1 t  ,
u
t
в области D ,
  x  ,
0 xl,
(10.2)
(10.3)
t 0
u x l   2 t  ,
92
t  0.
(10.4)
Будем
искать
функцию
u  C 2 D 

f xx  C D ,   C 2 0  x  l ,   C 1 0  x  l ,
для
заданных
функций
i  C 2 0  t  . Искомая
функция u  C 2 D  должна удовлетворять уравнению (10.2) в области D ,
начальным условиям (10.3) и граничным условиям первого рода (10.4).
Уравнения (10.2)-(10.4) задают процесс колебаний однородной струны
длины l , которая натянута вдоль отрезка 0  x  l . Данная струна закреплена
в концевых точках x  0, x  l на высоте 1 t ,  2 t  . Данные величины зависят
от времени t , следовательно высота закрепления будет изменяться с течением
времени. Первое начальное условие (10.3) определяет график u   x  струны
в начальный момент времени t  0 , а величина   x  из второго начального
условия (10.3) определяет начальную скорость струны в точке с координатой
x . На рисунке 10.2 изображен вид струны в момент времени t .
u
t)
u(x,t)
(t)
0
l
x
x
Рисунок 10.2
На функции  ,  ,  i наложим некоторые ограничения. Для угловых
точек области D наложим условия согласования:
 0  1 0,  l    2 0, 10   0,  2 0   l .
(10.5)
Таким образом выполняются необходимые условиями непрерывной
дифференцируемости решения u x, t  в замкнутой области D . Так как
решение u  C 2 D  , то, должны выполняться условия второго порядка:
10  a 2 0  f 0,0,
 20  a 2 l   f l ,0 .
93
(10.6)
Проверим выполнение условий. Для этого продифференцируем
условия (10.4) дважды по t , а первое условие (10.3) дважды по x , получим:
 2u
 10,
t 2 tx00
Если
 2u
  20,
t 2 tx0l
подставить
 2u
x2
полученные
t 0
x 0
 2u
x2
  0 ,
значения
t 0
x l
  l  .
производных
в
соответствующих точках в уравнение (10.2), получим требуемые условия
(10.6).
Вторая смешанная краевая задача
2
 2u
2  u
a
 f  x, t  в области D ,
t 2
x2
u t 0   x ,
u
x
Будем
искать
  1 t ,
x 0
функцию
u
  x  ,
t t  0
u
x
  2 t  ,
(10.7)
0 xl,
t  0.
(10.8)
(10.9)
x l
u  C 2 D 
для
заданных
функций

f xx  C D ,   C 2 0  x  l ,   C 1 0  x  l ,  i t   C 1 0  t   . Данная
функция должна удовлетворять уравнению (10.7) в области D , начальным
условиям (10.8) и граничным условиям второго рода (10.9).
Граничные условия (10.9) означают, что на струну в концевых точках
x  0, x  l действуют заданные силы, направленные ортогонально оси Ox .
Необходимые условия согласования в угловых точках области D ,
обеспечивающие принадлежность решения
вид:  0   1 0,
u к пространству C 2 D  , имеют
 l    2 0 ,  0   10 ,
94
 l    2 0 .
Третья смешанная задача
2
 2u
2  u
a
 f  x, t  в области D ,
t 2
x2
u
  x  ,
t t  0
u t 0   x ,
 u


 h1 t u    1 t ,
 x
 x 0
Будем
искать
функцию
(10.10)
0 xl,
(10.11)
 u


 h2 t u    2 t  , t  0 .
 x
 x l
u  C 2 D 

f xx  C D ,   C 2 0  x  l ,   C 1 0  x  l ,
для
заданных
 i t   C 1 t  0 ,
(10.12)
функций
hi  C 1 t  0 ,
hi  0 . Даная функция должна удовлетворять уравнению (10.10) в области
D,
начальным условиям (10.11) и граничным условиям третьего рода (10.12).
Граничные условия (10.12) означают, что на струну в концевых точках
x  0, x  l действуют заданные упругие силы, направленные ортогонально
оси Ox.
Необходимые условия согласования в угловых точках области D ,
2
обеспечивающие принадлежность решения u к пространству C D  , заданы
соотношениями:
 0  h1 0 0   1 0 ,
 l   h2 0 l    2 0 ,
 0  h10 0  h1 0 0   10 ,
 l   h2 0 l   h2 0 l    2 0 .
В случае, когда функции i  0 ,  i  0 ,  i  0 , граничные условия
(10.4), (10.9), (10.12) называются однородными граничными условиями.
95
Смешанная задача для обобщенного уравнения колебаний струны
u 
 2u  
 x  2   k x    qx u  f x, t  в D ,
t
x 
x 
u t 0   x ,
u
  x  ,
t t  0
 u

  1
 1 u    1 t ,
 x
 x 0
(10.13)
0 xl,
(10.14)
 u

  2
  2 u    2 t  , t  0 .
 x
 x l
(10.15)
 
Будем искать функцию u  C D , удовлетворяющую уравнению
2
(10.13) в области D , начальным условиям (10.14) и граничным условиям
(10.15).
Уравнение (10.13) описывает процесс колебаний неоднородной
струны, а граничные условия (10.15) содержат граничные условия первого,
второго и третьего рода в зависимости от параметров  i ,  i . Граничные
условия (10.4), (10.9), (10.12), (10.15) являются классическими граничными
условиями.
Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в
стержне
Рассмотрим область D  0  x  l   0  t    , (Рисунок 10.1). В
данной области D зададим уравнение теплопроводности:
2
u
2  u
a
 f  x, t  ,
t
x2
где
(10.16)
u  ux, t  - искомая функция в области D .
Определение 10.1
Уравнение
(10.16)
называется
теплопроводности.
96
также
одномерным
уравнением
Поставим смешанные задачи первого, второго и третьего рода для
параболического уравнения (10.16). Для этого наложим на функцию
u одно
начальное условие на нижнем основании t  0 и граничные условия на
боковых сторонах x  0, x  l области D .
Первая смешанная задача
2
u
2  u
a
 f  x, t 
t
x2
u t 0    x  , ,
u x 0  1 t  ,
в области D ,
(10.17)
0 xl,
(10.18)
u x l   2 t  ,
t  0.
(10.19)
Будем искать функцию u  C x2,,t1 D   C D  для заданных функций
f  C 1 D ,   C0  x  l ,  i  C t  0 .
Данная
функция
должна
удовлетворять уравнению (10.17) в заданной области D , начальному условию
(10.18) и граничным условиям первого рода (10.19). Функции u  C x2,,t1 D  , если
  
u, u x , u xx , u t  C D  .
Условия согласования:  0  1 0,  l    2 0 .
Уравнения (10.17)-(10.19) описывают процесс распространения тепла в
тонком стержне длины l , расположенном вдоль отрезка 0  x  l . Функция
ux, t  определяет температуру стержня в сечении x в момент времени t .
Граничные условия (10.19) означают, что в торцах стержня x  0, x  l
поддерживаются заданные температуры 1 t  ,  2 t  .
Функция   x  в начальном условии (10.18) задает температуру стержня
в каждом сечении x в начальный момент времени t  0 .
97
u(x,t)
x
0
x
l
Рисунок 10.3
Вторая смешанная задача
2
u
2  u
a
 f  x, t 
t
x2
u t 0    x  ,
u
  1 t  ,
 x x 0
в области D ,
(10.20)
0 xl,
(10.21)
u
  2 t  ,
 x x l
t  0.
(10.22)
Будем искать функцию u  C x2,,t1 D   C 1 D  для заданных функций
f  C 1 D ,   C 1 0  x  l ,  i  C t  0 .
Данная
функция
должна
удовлетворять уравнению (10.20) в области D , начальному условию (10.21) и
граничным условиям второго рода (10.22).
Условия согласования:  0   1 0,  l    2 0 .
Граничные условия (10.22) означают, что в торцах стержня
x  0, x  l заданы тепловые потоки.
Третья смешанная задача
2
u
2  u
a
 f  x, t  в области D ,
t
x2
u t 0    x ,
,
 u


 h1 t u    1 t ,
 x
 x 0
0 xl,
 u


 h2 t u    2 t  , t  0 .
 x
 x l
98
(10.23)
(10.24)
(10.25)
Будем искать функцию u  C x2,,t1 D   C 1 D  для заданных функций
f  C 1 D ,   C 1 0  x  l ,
 i t   C t  0 , hi  C t  0. Данная функция
должна удовлетворять уравнению (10.23) в области D , начальному условию
(10.24) и граничным условиям третьего рода (10.25).
Условия согласования:  0  h1 0 0   1 0 ,  l   h2 0 l    2 0 .
Граничные условия (10.25) моделируют теплообмен стержня через
торцы x  0, x  l с окружающей средой.
Контрольные вопросы
1. Приведите постановку первой смешанной задачи для
уравнения колебаний струны.
2.
Приведите постановку второй краевой смешанной задачи
для уравнения колебаний струны.
3.
Приведите постановку второй смешанной задачи для
уравнения колебаний струны.
4.
Приведите постановку смешанной задачи для обобщенного
уравнения колебаний струны.
5.
Дайте определение для одномерного уравнения
теплопроводности.
6.
Приведите постановку для первой смешанной задачи
уравнения теплопроводности в стержне.
7.
Приведите постановку для второй краевой задачи
уравнения теплопроводности в стержне.
8.
Приведите постановку для третей смешанной задачи
уравнения теплопроводности в стержне.
99
Лекция 11
Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в
пластине
На плоскости Oxy расположена тонкая ограниченная пластина  с
границей    . Функция u  ux, y, t  задает температуру пластины в точке
x, y  в момент времени t .
y
n

y
u(x,y,t)

x
x
O
Рисунок 11.1
D    0  t  
область
в
трехмерном
пространстве
R3
с
координатами x, y, t . Данная область является полубесконечный цилиндр.
Напишем для данной области двумерное уравнение теплопроводности:
2
u
 2u 
2  u
 a  2  2   f  x, y, t  ,
t
 x  y 
где u  ux, y, t  искомая функция в области D .
100
(11.1)
t
y

D


x
O
Рисунок 11.2
Наложим на функцию u начальное условие на нижнем основании
 t  0 и граничное условие на боковой поверхности     0  t  
полуцилиндра
D.
Получим смешанные задачи для параболического
уравнения (11.1)
Первая смешанная задача
2
u
 2u 
2  u
 a  2  2   f  x, y, t 
t
y 
 x
u t  0    x, y  ,
в области D ,
x, y   ,
u  x , y     x, y, t  ,
t  0.
(11.2)
(11.3)
(11.4)
Будем искать функцию u  C 2 D  C D  при заданных функциях
f  C D ,   C  ,  C   .
Условие согласования:   x , y    x, y, 0 .
По (11.4): на ребре пластины  задана температура  . Температура
пластины определяется по условию (11.3).
101
Вторая смешанная задача
2
u
 2u 
2  u
 a  2  2   f  x, y, t 
t
y 
 x
x, y   ,
u t  0    x, y  ,
u
 n  x , y 
где
u
n

в области D ,
   x, y , t  ,
t  0,
n  n1 , n2  - единичная внешняя нормаль к контуру
;
u
u
n1  n2 - производная по нормали.
x
y
Условие согласования:

 n  x , y 
   x, y , 0  .
Третья смешанная задача
2
u
 2u 
2  u
 a  2  2   f  x, y, t 
t
y 
 x
u t  0    x, y  ,
в области D ,
x, y   ,
 u






h
x
,
y
,
t
u
   x, y , t  ,
 n


  x , y 
t  0.
Условие согласования:
 

 h x, y,0 
   x, y,0 .

 n
  x , y 
Задача Штурма-Лиувилля
Сформулируем
краевую
задачу
для
обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка с граничными условиями на
концах отрезка 0  x  l на оси Ox в точках x  0 , x  l :
102
d 
dX 
 k ( x)
  q ( x) X   ( x) X  0 , 0  x  l ,
dx 
dx 
(11.5)
 dX

  1
 1 X   0 ,
 dx
 x 0
(11.6)
 dX

  2
  2 X   0 ,
dx

 x l
где X  X (x) - искомая функция, X  C 2 0  x  l   C 1 0  x  l  ;
k ( x), q( x),  ( x) - заданные действительные функции, k ( x)  0 ,  ( x)  0 ,
q( x)  0 , k  C 1 0  x  l  ,   C 0  x  l  , q  C 0  x  l  ;  i ,  i - заданные
действительные постоянные,
 i  0,  i  0 ,  i   i  0 ;
 - числовой
параметр, который подлежит определению.
Постановка задачи Штурма-Лиувилля
Требуется найти  , для которых существуют нетривиальные решения
X ( x)  C 2 0  x  l   C 1 0  x  l  уравнения (11.5) с условиями (11.6).
Определение 11.1
Числа  называются собственными значениями, а соответствующие
нетривиальные функции X называются собственными функциями задачи
Штурма-Лиувилля.
Определение 11.2
Оператор L( X ) 
d 
dX 
 k ( x)
  q( x) X
dx 
dx 
называется дифференциальным
оператором Штурма-Лиувилля.
Определение 11.3
Совокупность всех собственных значений называется спектром
дифференциального оператора L с граничными условиями (11.6).
Задача Штурма-Лиувилля содержит задачи трех родов.
Задачу первого рода:
L( X )   ( x) X  0 , 0  x  l ,
103
X (0)  0 , X (l )  0 ;
(11.7)
Задача второго рода:
L( X )   ( x) X  0 , 0  x  l ,
X (0)  0 , X (l )  0 ;
(11.8)
Задача третьего рода:
L( X )   ( x) X  0 , 0  x  l ,
X (0)  h1 X (0)  0 , X (l )  h2 X (l )  0 .
(11.9)
Свойства собственных значений и собственных функций
Свойство 1
Для задачи
(11.5) - (11.6) существует бесконечная
последовательность
соответствующая
собственных
значений
последовательность
собственных
дискретная
  1 , 2 ,...,n ...
функций
и
X 1 ( x) ,
X 2 ( x),..., X n ( x),... такая, что
L( X n )  n  ( x) X n  0 , 0  x  l ,
(11.10)

1 X n (0)  1 X n (0)  0 ,  2 X n (l )   2 X n (l )  0 .
Положим,
что
числа
n
упорядочены
по
(11.11)
возрастанию:
1  2  ...  n  ...
( n   при n  ) .
Свойство 2
Каждому собственному значению   n соответствует только одна
собственная функция с точностью до постоянного множителя.
104
Доказательство:
Если X n  x  - собственная функция, то CX n x  ( C  const ) также
  n
является собственной функцией.
соответствуют две линейно
независимые собственные функции Y1  x  и Y2 x  , следовательно для функций
Y j  x  выполнены соотношения (11.10), (11.11). Запишем (11.10) и первое

1Y j (0)  1Y j (0)  0 .
граничное условие (11.11): L(Y j )  n Y j  0 ,
По формуле Лиувилля для определителя Вронского, соответствующего
двум решениям Y1 и Y2 :
Y1  x , Y2  x 
 x k   
k 0


W x   

W
0
exp
d   W 0
.
 

0




k

k
x
Y1  x , Y2 x 


Для граничных условий первого и второго рода (11.7), (11.8)
определитель Вронского
W 0  0 .
Для граничного условия общего вида
(11.11) получим:
Y1 0 ,
W 0   1
1
Y1 0 ,
Y2 0 
1
0
Y2 0 
1
Получили, что во всех случаях W x   0 . Следовательно функции Y1 и Y2
линейно зависимы, то есть Y2  CY1 , C  const .
Свойство 3
Для собственных функций X n , X m , соответствующих различным
собственным
значениям
задачи
(11.5),
(11.6),
выполнены
условия
ортогональности с весом   x  на отрезке 0  x  l :
X
, X m    X n x X m x  x dx  X n  nm ,
n
l
2
0
105
(11.12)
1, n  m
- символ Кронекера,
0
,
n

m

где  nm  
X n  (  X n2 x  x dx)
l
1
- норма функции X n x  .
2
0
Доказательство:
Для оператора Штурма-Лиувилля L рассмотрим выражение
Lu   uL   
d  du 
d  d  d   du
d 
u
k   u k
   k 
 ,
dx  dx 
dx  dx  dx   dx
dx 
где ux , x   C 2 0, l   C1 0, l  .
Проинтегрируем это равенство по переменной
x , получим формулу
Грина для оператора L :
d  x  l
 du




(

L
u

uL

)
dx

k


u



0
dx  x  0.
 dx
l
(11.13)
Пусть   X n x , u  X m x  . Используя граничные условия (11.12),
получим
  X n L X m   X m L X n  dx 
l
0




 k l  X n l X m l   X m l X n l   k 0 X n 0X m 0  X m 0X n 0 












 k l   X n l  2 X m l   X m l  2 X n l   k 0 X n 0 1 X m 0  X m 0 1 X n 0  0.
2
2
1
1




Перепишем левую часть, учитывая (11.10), получим:
(n  m )  X n x X m  x   x dx  0 .
l
0
Если n  m , то  X n , X m   0 . Получили, что различные собственные
функции взаимно ортогональны.
106
Свойство 4
Собственные значения n задачи (11.5), (11.6) действительны.
Доказательство:
I
II
От противного. Пусть n  n  in
- комплексное собственное
I
II
значение, а X n  X n  iX n - соответствующая комплексная собственная
функция. К соотношениям (11.10), (11.11) применим операцию комплексного
сопряжения и воспользуемся действительностью величин k , q,  , i ,  i задачи
(11.5), (11.6). По свойствам операции комплексного сопряжения:
n  nI  inII , ab  a b , L X   LX ,  X    X   X    X ,
получаем:
LX n   n  X n  0 , 1 X n 0  1 X n 0  0 ,  2 X n l    2 X n l   0 .
Это означает, что n - собственное значение, а X n - соответствующая
собственная функция задачи (11.5), (11.6). Так как  n  n , то третьему
свойству функции X n , X n взаимно ортогональны. Это можно записать
следующим образом:
 X n x X n x  x dx   X n x    x dx  0
l
l
0
0
2
Следует, что X n x   0 , так как  x   0 . Таким образом, комплексных
собственных значений нет.
Свойство 5
Все собственные значения задачи (11.5), (11.6) неотрицательны, то есть
n  0
107
Доказательство:
Умножим (11.10) на X n x  и проинтегрируем по переменной
x,
получим:

n X n    L X n X n dx   qx X x dx   X n x k x X n x  dx 
2
l
l
0
0
l
2
n
0
l
xl
0
x0
2
  q x X  x dx   k  x  X n  x  dx k  x X n  x X n  x 
l
2
n
0
.
(11.14)
По условиям (11.7), (11.8) последнее слагаемое равенства (11.14) равно
нулю, а в случае граничных условий общего вида в последнем слагаемом
исключим производные на основании равенств (11.11), получим:
l
l


2

2
2
n X n   q x X n2  x dx   k ( X n  x ) 2 dx  k l  2 X n l   k 0 1 X n 0  0 ,
0
0
2
1
то есть n  0 .
Свойство 6. Теорема Стеклова.
Произвольная
f x   L2 0, l 
с
f x  C 2 0  x  l   C 1 0  x  l ,
функция
граничными
условиями
1 f 0  1 f 0  0 ,
 2 f l    2 f l   0 разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье на
отрезке 0, l  по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля (11.5),
(11.6):
f x    f n X n x  ,

n 0
fn 
0 xl,
1 l
f  x X n  x   x dx .
2 
0
Xn
Контрольные вопросы
1.
Приведите постановку для первой смешанной задачи
уравнения теплопроводности в пластине.
108
(11.15)
2.
Приведите постановку для второй краевой задачи
уравнения теплопроводности в пластине.
3.
Приведите постановку для третей смешанной задачи
уравнения теплопроводности в пластине.
4.
Дайте определение задачи Штурма-Лиувилля.
5.
Дайте определение оператора Штурма-Лиувилля.
6.
Дайте определение собственных значений и собственных
функций задачи Штурма-Лиувилля.
7.
Перечислите свойства собственных значений и фунций
задачи Штурма-Лиувилля.
8.
Сформулируйте теорему Стеклова.
109
Лекция 12
Метод разделения переменных для решения смешанных задач
Пусть дана смешанная задача для однородного уравнения колебаний
струны общего вида с однородными граничными условиями:
 2u
  x  2  Lu   0 в
t
u t 0    x  ,
D  0  x  l   0  t   ,
u
t
  x  ,
0 xl,
(12.1)
(12.2)
t 0
 u

 u

 1  1u   0 ,  2   2u   0 ,
 x
 x 0
 x
 xl
t  0,
(12.3)
где L - оператор Штурма-Лиувилля.
Наложим ограничения, как в предыдущем параграфе на функции и
коэффициенты  x , k x , qx ,  i , i , при этом коэффициенты  i , i не зависят
от времени t .
Будем решать задачу (12.1)-(12.3) методом разделения переменных.
Данный метод заключается в отыскании решений уравнения (12.1) вида:
ux, t   X x T t  .
(12.4)
Преобразуем (12.4), подставив в него (12.1):
 x T t X x   L X x T t   0 .
Поделим данное соотношение на  x X x T t  Далее перепишем
полученное равенство так, чтобы функции зависящие от x оказались по одну
сторону от знака равенства, а функции зависящие от t по другую:
T t  L X  x 
.

T t    x  X  x 
110
Данное равенство имеет место тогда и только тогда, если выражения
стоящие справа и слева являются постоянными. Следовательно можно
записать:
T t  L X  x 

  ,
T t    x  X  x 
где  - постоянная разделения.
Получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:
T   T  0 ,
(12.5)
L X     X  0 .
(12.6)
Пусть решения уравнения (12.4) удовлетворяют граничным условиям
(12.3). Подставим (12.4) в условия (12ю3), получим:
 X 0   X 0T t   0 , 
1
1
2
X l    2 X l T t   0.
Так как T t   0 , то выполнены граничные условия для функции X x  :
1 X 0  1 X 0  0 ,  2 X l    2 X l   0 .
Запишем задачу Штурма-Лиувилля, добавив граничные условия:
L X     X  0 ,
1 X 0  1 X 0  0 ,  2 X l    2 X l   0 .
Пусть
собственные
значения
  n
и
собственные
(12.7)
функции
X x   X n (x) , n  0, 1, 2..., задачи (12.7) вычислены. 0  0 , X 0 x   1 . В случае
отсутствия нулевого собственного значения X 0 x   0 .
Найдём T t  при   n в уравнении (12.5). При n  0 имеем
уравнение
T   nT  0 .
111
Общее решение в данном случае выглядит следующим образом:


T t   An cos n t  Bn sin


n t , n  1,2,... ,
где An , Bn - произвольные постоянные.
При 0  0 получим уравнение
T   0 .
Общее решение T t   A0  B0t , где A0 , B0 - произвольные постоянные.
Получили бесконечная последовательность частных решений вида
(12.4) уравнения (12.1), удовлетворяющих граничным условиям (12.3):



un  x, t   An cos n t  Bn sin


n t X n x  , n  1, 2, ...
u0 x, t   ( A0  B0t ) X 0 x  .
(12.8)
Запишем общее решение уравнения (12.1) в виде ряда из решений
(12.8).



u  x, t   ( A0  B0t ) X 0  x    An cos n t  Bn sin

n 1

n t  X n  x  .
(12.9)
Вычислим коэффициент An , n  0, 1, 2, ..., используя первое начальное
условие (12.2):
u t 0   An X n  x     x  .

n 0
1 l
An 
2    x  X n  x   x dx .
Xn 0
Из второго начального условия (12.2) найдём:

u
 B0 X 0 x    n Bn X n x    x ,
n 1
t t 0
следовательно:
112
(12.10)
Bn 
1
n
  x  X n  x   x dx ,  0  X 0 ,  n  n X n , n  1, 2 ,...
l
2
2
(12.11)
0
Итак, решение задачи (12.1)-(12.3) представлено в виде ряда (12.9) с
коэффициентами (12.10), (12.11).
Метод разделения переменных первой смешанной задачи для
однородного уравнения колебаний струны
Рассмотрим первую смешанную задачу для простейшего однородного
уравнения колебаний струны с однородными граничными условиями:
 2u 2  2u
a
 0 в области D  0  x  l   0  t   ,
t 2
 x2
(12.12)
u
  x  ,
t t 0
(12.13)
u t 0    x  ,
u x 0  0 ,
0  x  l,
u xl  0 ,
0  t  .
(12.14)
Выберем пространства функций, учитывая условия согласования:
V0    x   C 2 0  x  l ,    L2 0, l ,  0   l    0   l   0,
V1    x   C 1 0  x  l ,   L2 0, l , 0   l   0,
V  u  x, t  u  C 2 D .
Будем решать задачу (12.12)-(12.14) методом разделения переменных.
Т.е. будем искать решение уравнения (12.12) в виде:
ux, t   X x T t  .
(12.15)
Выполним подстановку в уравнение (12.12) по аналогии с предыдущим
параграфом:
T t 
X  x 

  ,
a 2T t  X  x 
113
где  - постоянная разделения.
Получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:
T    a 2T  0 ,
(12.16)
X    X  0 .
(12.17)
Пусть решения (12.15) удовлетворяют граничным условиям (12.14).
Подставим (12.15) в (12.14), получим:
X 0  0,
X l   0.
(12.18)
Получили задачу Штурма-Лиувилля (12.17), (12.18) в явном виде.
Собственные значения   0 по замечанию 10.1. Следовательно общее
решение уравнения (12.17) имеет вид:


X  x   A cos  x  B sin


x,
где A, B - произвольные постоянные.
Используя первое граничное условие (12.18), получим X 0  A  0 , то
есть
X  x   Bsin

 x . Пусть
B  1, так
как
собственная
функция
определяется с точностью до постоянного множителя.
Используя второе граничное условие (12.18), получим:
X l   sin
Следовательно

 l 0.
 l   n, n  1, 2, ... .Теперь
найдём
собственные
значения и собственные функции аналитически:
 n 
  n    ,
 l 
2
n  1, 2, ... ,
 n .
X  x   X n  x   sin 
x
 l 
114
(12.19)
(12.20)
Найдём T t  . Пусть   n в уравнении (12.16):
T   n a 2T  0 .
Общее решение:
  na 
  na 
T t   Tn t   An cos
t   Bn sin 
t
 l 
 l 
n  1, 2, ... ,
где An , Bn - произвольные постоянные.
Получена бесконечная последовательность частных решений вида
(12.15) уравнения (12.12), которые удовлетворяют граничным условиям
(12.18):

  na 
  na     n 
un  x, t   X n  x Tn t    An cos
t   Bn sin 
t   sin 
x.
 l 
 l   l 

Составим общее решение в виде ряда из полученных решений:

 
  na 
  na     n 
u x, t    un x, t     An cos
t   Bn sin 
t   sin 
x.
n 1
n 1
 l 
 l   l 

(12.21)
Найдём коэффициент An , используя первое граничное условие (12.13):


 n 
 n 
u t 0   An sin 
x     x     n sin 
x ,
n 1
n 1
 l 
 l 
где  n 
2l
  n  - коэффициенты Фурье функции   x  .
x dx
   x  sin 
l 0
 l 
Используя второе начальное условие (12.13), получим:
 na

u
n 
 n  ,

Bn sin 
x     x    n sin 
x
n 1
t t 0 n1 l
 l 
 l 
где  n  2   x  sin  n x dx.
l
l
0
 l

115
Найдём
коэффициенты
разложения
(12.21),
составив
систему
уравнений из коэффициентов при одинаковых собственных функциях:
An  n , Bn 
l
 .
na n
An  n
Решение задачи (12.12)-(12.14) представлено в виде разложения:
 
  na  l n
  na     n 
u  x, t      n cos
t
sin 
t   sin 
x .
n 1
 l   na  l    l 

(12.22)
Контрольные вопросы
1.
Приведите метод разделения переменных для смешанных
2.
Приведите метод разделения переменных для однородного
задач.
уравнения колебаний струны.
116
Лекция 13
Сведение смешанной задачи с неоднородными граничными
условиями к задаче с однородными граничными условиями
Пусть дана смешанная задача для обобщенного уравнения колебаний
струны:
 2u
 x  2  Lu   f x, t 
t
u t 0    x  ,
в области D  0  x  l   0  t  ,
u
  x  , 0  x  l ,
t t 0
 u

  1  1u    1 t  ,
 x
 x 0
(13.1)
 u

  2   2 u    2 t  ,
 x
 x l
t  0.
Здесь уравнение и граничные условия в (3.63) неоднородные.
Следовательно метод разделения переменных не применим, так как.
Выполним замену:
ux, t   vx, t   U x, t ,
(13.2)
Данная замена преобразует неоднородные граничные условия в
однородные.
Здесь U x, t  - некоторая заданная функция.
Поставим задачу для функции v :
 2v
 2  Lv   f x, t 
t
v t 0    x  ,
v
t
в области D ,
  x  ,
0 xl,
t 0
 v

  1  1 v    1 t  ,
 x
 x 0
 v

  2   2 v    2 t  , t  0 ,
 x
 x l
где
117
(13.3)
f x, t   f x, t    x 
 2U x, t 
 LU x, t  ,
t 2
 x    x   U x,0 ,   x     x  


 1 t    1 t     1
граничные
условия
U 0, t 

  1U 0, t  ,
x

U l , t 

  2U l , t  .
x



 2 t    2 t     2
Т.к.
U  x,0 
,
t
задачи
(13.3)
также
неоднородные,
следовательно следует обратить функции  i t  в нуль за счет выбора функции
U x, t  . Итак, нужно, чтобы выполнялось требование:  i  0 .
Будем искать функцию U в виде
U x, t   at x  bt  .
(13.4)
Подставим (13.4) в выражения для коэффициентов
 i , получим:
 1   1 t   1 at   1bt   0 ,
 2   2 t    2 at    2 at l  bt   0 .
Определим коэффициенты a и b из полученной системы уравнений:
1a  1b   1 ,

2
  2 l a   2 b   2 .
Если определитель системы 1  2  1  2   2 l   0 , то
a
 1  2   2 1
,
 1  2  1  2   2 l 
b
 2 1   1  2   2 l 
.
 1  2  1  2   2 l 
В случае второй смешанной задачи определитель равен нулю, тогда
вместо (13.4) можно рассмотреть выражение U x, t   at x 2  bt x .
118
Итак за счет выбора функции U x, t  задача (13.1) сведена к задаче
 2v
 2  Lv   f x, t  в области D ,
t
v t 0    x  ,
v
t
  x  ,
0 xl,
(13.5)
t 0
 v

  1   1v   0 ,
 x
 x 0
 v

 2   2 v   0 .
 x
 x l
В зависимости от задачи можно по-другому выбрать функции U x, t  .
Например, если в задаче (13.1) правая часть уравнения и величины
1,
 2 не зависят от времени t , тогда замена (13.2) будет ux, t    x, t   U x 
.Задача (13.3) будет иметь вид:


t 0
 2
 L   f  x  в
t 2
  x  ,
 

  1  1    1 ,
 x
 x 0

t
  x  ,
D , области
0 xl,
t 0
 

  2    2 , t  0 ,
 2
 x
 x l
где
f  x   LU  x   f  x  ,
 x    x   U x  ,
 x    x  ,
 U

 1   1  1
 1U  ,
 x
 x 0
 U

 2   2   2
  2U  .
 x
 x l
Пусть f  x   0 ,  1  0 ,  2  0 , тогда для определения функции U x 
получим краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения:
119
LU x    f x ,
 U

 1U    1 ,
1
 x
 x 0
0 xl,
 U

  2U    2 .
 2
 x
 x l
Метод разделения переменных для решения смешанных задач с
неоднородным уравнением
Ранее было показано, что любая смешанная задача с общей
постановкой может быть сведена к смешанной задаче с однородными
граничными условиями. Следовательно, будем рассматривать задачу вида
(13.5):
 x 
u
t 0
 2u
 Lu   f x, t 
t 2
u
t
  x  ,
 u

  1   1u   0 ,
 x
 x 0
в области D ,
  x  ,
0  x  l,
(13.6)
(13.7)
t 0
 u

  2u   0 ,
 2
 x
 x l
t  0.
(13.8)
Для данной задачи метод разделения переменных не применим, из-за
неоднородности
уравнения
(13.6).
Произведём
модификацию
метода
разделения переменных, чтобы он был применим к задаче (13.6)-(13.8). Для
этого рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля, соответствующую данной
задаче. Пусть X n x  и n собственные функции и собственные значения.
Представим решение задачи (13.6)-(13.8) в виде разложения в ряд
Фурье по собственным функциям X n x  :
u  x, t    a n t X n  x  ,

n 1
где an t  - неизвестные функции.
120
(13.9)
Также выполним разложение функций
f  x, t 
,  x  ,
 x 
  x :
f  x, t  
  g t  X n  x  ,
  x  n 1 n
g  x, t  
 x     n X n x  ,
(13.10)
  x    n X n  x  ,


n 1
(13.11)
n 1
где
g n t  
n 
1
n
1
n
 f  x, t  X n  x dx ,  n  X n ,
l
2
0
l
1
0
n
   x  X n  x   x dx ,  n 
  x  X n  x   x dx ,
l
0
Подставим разложения (13.9), (13.10) в уравнение (13.8), получим:
  a nt X n   a n t L X n     g n t X n .



n 1
n 1
n 1
Приравняем коэффициенты при одинаковых функциях X n , получим
обыкновенное
дифференциальное
уравнение
второго
порядка
для
определения функций an t  :
ant   n an t   g n t ,
t  0.
(13.12)
Пусть для ряда (13.9) выполняются начальные условия (13.7).
Подставляя ряды (13.9), (13.11) в условия (13.7) и приравнивая коэффициенты
при функциях X n , получаем начальные условия для функции a n t  :
an 0   n ,
an 0   n .
(13.13)
Следовательно будем решать задачу Коши (13.12), (13.13). Пусть
собственные значения n  0 , тогда общее решение уравнения (13.12):


a n t   An cos n t  Bn sin
121

n t   Gn t  ,
(13.14)
Здесь


1 t
 g n  sin n t    d
n 0
Gn t  
частное
-
решение
неоднородного уравнения (13.12), для которого выполнены условия Gn 0  0

, Gn 0  0 .
Будем искать коэффициенты An , Bn . Для этого подставим (13.14) в
начальные условия (13.13):
an 0  An   n ,
a n 0  n Bn   n  Bn 
n
.
n
Найденные функции (13.14) подставим в ряд (13.9), получим
окончательный вид решения исходной задачи (13.6)-(13.8):
 

u  x, t      n cos n t  n sin n t
n 1 
n




n 1
1
n



 X

n
x  

 g n  sin n t    d X n x  .
t
(13.15)
0
Если собственное значение 0  0 и собственная функция X 0 x   1
необходимо рассматривать суммирование рядов (13.9)-(13.11) от n  0 .
Функцию a0 t  определим, решая задачу Коши:
ant   g 0 t  ,
a0 0   0 ,
a0 0   0 .
a0 t    0   0 t   t    g 0   d .
t
0
Решение второй смешанной задачи 1  0,  2  0 для уравнения (13.6)
определяется разложением:
u x, t    0   0 t   t    g 0   d 
t
0
122
 

    n cos n t  n sin n t
n 1 
n




n 1



 X

n
x  

1 t
 g n  sin n t    d X n  x  .
n 0
Решение (13.15) является обобщенным решением. Для того, чтобы
решение (13.15) было классическим, на функции
,  , f
необходимо
накладывать некоторые условия гладкости и условия согласования в угловых
точках области D .
Контрольные вопросы
1.
В чём состоит метод приведения смешанной задачи с
неоднородными граничными условиями к задаче с однородными
граничными условиями?
2.
В чём состоит метод разделения переменных для
смешанных задач с неоднородными граничными условиями.
123
Лекция 14
Решение методом разделения переменных первой смешанной
задачи для однородного уравнения теплопроводности в стержне
Рассмотрим первую смешанную задачу для однородного одномерного
уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями:
2
u
2  u
a
 0 в области D  0  x  l   0  t    ,
t
x 2
u t 0    x  ,
u x 0  0 ,
u x l  0 ,
(14.1)
0  x  l,
(14.2)
0t  .
(14.3)
V0    x   C 0  x  l ,    L2 0, l ,  0    l   0 - пространство
функций;


V  u  x, t  u  C 2 D   C D  - условие согласования
Будем решать задачи (14.1)-(14.3) методом разделения переменных.
ux, t   X x T t  .
(14.4)
Запишем соотношение:
T t 
X  x 

  ,
2
a T t  X  x 
где  - постоянная разделения.
Получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:
T   a 2T  0,
X   X  0 .
(14.5)
(14.6)
Пусть (14.4) удовлетворяет граничным условиям (14.3). Подставив
(14.4) в (14.3), получим:
X 0  0 ,
X l   0 .
124
(14.7)
Получили задачу Штурма-Лиувилля (14.6), (14.7), для которой
собственные значения n
и собственные функции X n определяются
формулами из предыдущего параграфа.
Найдём T t  , при   n в (14.5):
T   n a 2 T  0 .
Запишем общее решение:
2
T t   Tn t   An e
 na 

 t
 l 
,
n  1, 2,  ,
где An - произвольные постоянные.
Получил бесконечную последовательность частных решений вида
(14.4) уравнения (14.1), которая удовлетворяет граничным условиям (14.3):
2
u n x, t   X n x Tn t   An e
na 

 t
 l 
n 
sin 
x.
l


(14.8)
Составим общее решение в виде ряда:
u x, t    u n x, t    An e


n 1
n 1
 na 


 l 
2
 n 
sin  x .
 l 
(14.9)
Найдём коэффициенты An , удовлетворяя начальному условию (14.2):


 n 
 n 
u t 0   An sin  x     x     n sin  x ,
n 1
n 1
 l 
 l 
откуда
An   n 
2l
 n 
   x sin  x dx.
l0
 l 
(14.10)
Решение задачи (14.1)-(14.3) представлено в виде разложения (14.6).
125
Корректность
теплопроводности
первой
смешанной
задачи
для
уравнения
В предыдущем параграфе была рассмотрена смешанная задача (14.1)(14.3):
2
u
2  u
Lu  
a
 0 в D  0  x  l   0  t    ,
t
x 2
u t 0    x  ,
0  x  l,
u x l  0 ,
(14.11)
(14.12)
0  t  ,
(14.13)
для пары пространств V0 , V
Определение 14.1
Смешанная задача (14.11)-(14.13) поставлена корректно для пары
пространств V0 ,V , если:
1) для   V0 существует решение задачи (14.11)-(14.13) u  V ;
2) для   V0 решение u
задачи (14.11)-(14.13) единственно в
пространстве V ;
3) решение u задачи (14.11)-(14.13) непрерывно зависит от начальных
функций   V0 в пространстве V .
Существование решения
Решение задачи было построено методом разделения переменных и
представлено в виде ряда (14.7):
2
u  x, t     n e

n 1
 na 

 t
 l 
 n 
sin  x  .
 l 
(14.14)
Необходимо показать, что решение (14.14) является классическим, то
есть u  V  C 2 D   C D 
126
Лемма 14.1
Если  x   C 0  x  l , то функция ux, t  , представленная рядом
(14.14), любое число раз непрерывно дифференцируема по переменным x и t
в области      x    0  t   .
Доказательство:
Из непрерывности функции   x  следует ее ограниченность   x   C.
 n 
Оценим коэффициент (14.10), используя неравенство sin  x   1 , получим:
 l 
 n 
x  dx  2C .
 l 
2l
l0
 n     x  sin 
(14.15)
Продифференцируем ряд (14.14) k раз по переменной t :


 k u   k un 
k  na 
  k    1 
 ne 
k
n

1
n

1
t
t
 l 
2k
n a  2
 t
l 
 n 
sin  x .
 l 
(14.16)
Дифференцирование под знаком бесконечной суммы законно, если ряд
(14.16) сходится равномерно. Построим мажорантный ряд для ряда (14.16) в
области
t0  t  
t
0
 0 ,
используя
оценку
(14.15).
Сходимость
мажорантного ряда,


  na 
ku
 2C  
 e
k
n 1 
t
l 
2k
доказывает
произвольности t 0
равномерную
формула
сходимость
 n a 2
l
 t0

ряда
 ,
(14.16).
В
силу
(14.16) верна для области  . Аналогично
доказывается формула
 
  1 2u
 1  2 u
  1 n2 .
1
2
n 1 t x
t x
127
(14.17)
Следствие 14.1
Функции u n x, t  являются частными решениями уравнения (14.12).
Выполнение формулы (14.17) влечёт Lu    Lu n   0 .

n 1
Лемма 14.2
Если  x  V0 , тогда функция ux, t  , представленная рядом (14.14),
непрерывна в замкнутой области D , то есть u  C D  .
Доказательство:
Проинтегрируем (14.10) по частям для преобразования коэффициента
 n , и учтём свойство  0   l   0 , получим:
x l
 l
l  2
 n 
n  
  x  cos
x   n    n ,
 n
 n  l
 l  x 0

где  n 
2l
 n 
x dx
   x  cos
l0
l


(14.18)
- коэффициент ряда Фурье функции
 x 
 n 
x  . Так как
по системе взаимно ортогональных функций cos
 l 
   L2 0, l  , то из неравенства Бесселя следует, что

2l
2
2
  n     x  dx  .
n 1
l0
(14.19)
Подставим формулу (14.18) в ряд (14.14) и построим мажорантный ряд
в области D :


l
u   n e 
n 1 n

128
 n a 2
l
 t

l 1
 n 
sin  x  dx    n .
 n1 n
 l 
Мажорантный ряд сходится на основании неравенства КошиБуняковского и оценки (14.19):
1

1
  1 2 
  n    2   n
n 1 n
 n1 n  n1

  .
1
2 2
Из сходимости мажорантного ряда следует равномерная сходимость
ряда (14.14) в области D . Так как ряд составлен из непрерывных функций, то
равномерная сходимость обеспечивает непрерывность функции и в D .
Следствие 14.2
Функция (14.14) непрерывно примыкает к граничным линиям
t  0, x  0, x  l области D и удовлетворяет условиям (14.12), (14.13).
Единственность решения
Утверждение 14.1
Классическое решение
u V
первой смешанной задачи
(в
предположении существования решения) единственно в пространстве V .
Доказательство:
Пусть существуют два
решения
ui V .
Образуем функцию
  u 2  u1 V . Очевидно, что

 2
 a 2 2  0,  t 0  0,  x 0  0,  x l  0 .
t
x
(14.20)
Функция  удовлетворяет уравнению теплопроводности, поэтому на
основании принципа максимума и минимума функция 
достигает
максимального и минимального значений на линиях t  0, x  0, x  l. Из
(14.20) следует, что max u  0, min
u  0, значит   0  u1  u 2 в области
D
D
D.
129
Непрерывная зависимость решения от начальной и граничных
функций
Рассмотрим две первые смешанные задачи с различными начальными
и граничными функциями:
2
u i
2  ui
a
 f  x, t ,
t
x 2
ui
t 0
  i  x ,
ui
x 0
 1i  t , u i
(14.21)
x l
  2i  t .
Определение 14.2
Решение u
первой смешанной задачи непрерывно зависит от
начальной функции  и граничных функций 1 и  2 , если для   0   0
такое, что если  2 x   1 x    ,
 i 2  t    i1 t    , тогда u 2  x, t   u1  x, t    .
Утверждение 14.2
Классическое решение u  V первой смешанной задачи непрерывно
зависит от начальной и граничных функций.
Доказательство:
Обозначим:    2  1 ,  i   i2    i1 ,   u 2  u1 . С учетом (14.21)
получим:
2

2  
a
 0,
t
x 2
 t 0    x ,
 x 0  1 t ,  x l   2 t .
Пусть
 x    ,
L  x  0  t  0  x  l 
 i t    .
Это
области D
130

означает,
L
что
на
границе
  . Используя следствие из
принципа максимума и минимума для уравнения теплопроводности,
заключаем, что   x, t    для x, t   D . Таким образом, для   0 найдено
    0 , что из условий    ,
 i   следует неравенство u 2  u1   .
Непрерывная зависимость доказана.
Контрольные вопросы
1.
В чём состоит метод разделения переменных для первой
смешанной задачи уравнения теплопроводности в стержне.
2.
Докажите корректность первой смешанной задачи.
3.
Дайте определение корректности задачи.
4.
Докажите единственность решения.
5.
Сформулируйте необходимые условия существования
решения.
6.
Докажите непрерывность решения.
131
Лекция 15
Решение методом разделения переменных первой смешанной
задачи для однородного уравнения теплопроводности в пластине
Пусть дана первая смешанная задача для двухмерного однородного
уравнения
теплопроводности
в
прямоугольной
пластине
  0  x  l1   0  y  l 2  с однородными граничными условиями на контуре
   :
2
u
 2u 
2  u
 a  2  2   0 в D    0  t   ,
t
y 
 x
(15.1)
x, y    ,
u t  0    x, y  ,
u  x , y   0 ,
(15.2)
0t  .
(15.3)
Запишем условия согласования:


 
V0   x, y    C 1  ,  xy  L2  ,   x , y   0 ,
Выберем пространство функций

 
V  u  x, y , t  u  C 2  D   C  .
Будем искать решение данной задачи методом Фурье. Данный метод
состоит в отыскании решений уравнения (15.1) в виде:
ux, y, t   T t  x, y 
(15.4)
Далее решение представим в виде разложения в ряд.
После подстановки (15.4) в (15.1) выполним разделение переменных,
получим соотношение:
T t    x, y 

  .
a 2T t    x, y 
132
Здесь  
 2u  2u

;  - постоянная разделения.
x2  y2
Получаем два дифференциальных уравнения:
T    a 2T  0 ,
(15.5)
     0 .
(15.6)
Пусть решения (15.4) удовлетворяют граничному условию (15.3).
После подстановки (15.3) в (15.2), получаем условие

 x , y 
 0.
(15.7)
Таким образом, для отыскания функции  в области 
получена
задача Дирихле для эллиптического уравнения (15.6) с однородным
граничным условием (15.5). Величина  в уравнении (15.6) также подлежит
определению.
Спектральная задача
    0

в ,
 x , y 
(15.8)
 0.
(15.9)
Требуется найти числа  , для которых существуют нетривиальные
 
решения   C 2    C  уравнения (15.8) с условием (15.9).
Определение 15.1
Числа  называются собственными значениями, а соответствующие
нетривиальные
функции

называются
собственными
функциями
спектральной задачи для оператора Лапласа.
Будем решать задачу (15.8), (15.9) для прямоугольной области 
методом разделения переменных. То есть будем искать все решения уравнения
(15.8) вида:
133
 x, y   X x Y  y  .
(15.10)
Сначала подставим (15.10) в (15.8), потом разделим на
X x Y  y  ,
получим:
X  x 
Y  y 

    2 ,
X x 
Y y
где  2 - постоянная разделения.
В
результате
получим
два
обыкновенных
дифференциальных
уравнения
X    2 X  0 ,
Y    2Y  0,
 2    2,
(15.11)
(15.12)
для определения функций X x , Y  y  .
Перепишем граничное условие (15.9) в виде четырех условий на
сторонах прямоугольника  :

x 0
 0,

x l1
 0,
(15.13)

y 0
 0,

y l 2
0
и потребуем, чтобы функции (15.6) удовлетворяли этим условиям.
Подставим (15.6) в (15.13) получим:
X 0  0 ,
X l1   0 ,
(15.14)
Y 0  0 ,
Y l 2   0.
(15.15)
Добавим условия (15.14) к уравнению (15.7). Получим задачу ШтурмаЛиувилля.
134
2
 n 
X  x   X n  x   sin 
x  ,
l
 1 
 n 
 ,
  
l
 1 
2
n  1, 2, ... .
Задачу (15.8), (15.11) решим аналогичным способом:
2
 m
 ,
  
 l1 
2
 m 
Y  y   Ym  y   sin 
y  ,
 l2 
m  1, 2, ... .
Все собственные функции спектральной задачи (15.4), (15.5),
определяемые формулой (15.6), найдены:
 n   m 
x  sin 
y  ,
l
l
 1   2 
  X n  x Ym  y    nm  x, y   sin 
n  1, 2 ,... ; m  1, 2, ....
(15.12)
Теперь найдем соответствующие собственные значения:
2
      nm
2
2
2
 n   m
  
 .
 
l
l
 1   2 
(15.13)
Подставим данные числа в уравнение (15.3) и запишем его общее
решение:
T t   Tmn t   C e  nma t ,
2
(15.16)
где C - произвольная постоянная интегрирования.
Подставив функции (15.14), (15.16), в формулу (15.4), получим
последовательность частных решений уравнения теплопроводности (15.1),
удовлетворяющих граничному условию (15.3):
2
 n   m 
u  u nm  Tnm t  nm  x, y   C e nma t sin 
x  sin 
y  ,
l
l
 1   2 
n  1,2,...; m  1,2,... .
135
(15.17)
Построим общее решение уравнения теплопроводности (15.1) как
линейную комбинацию частных решений (15.15):
u    u nm   C nm e nma t nm  x, y  .



n 1 m 1
2
(15.20)
n , m 1
Определим неизвестные коэффициенты Cnm при помощи подстановки
ряда в начальное условие (15.2). Получим:
u
Используя
  C nm nm  x, y     x, y  .

t 0
(15.21)
n , m 1
ортогональность
собственных
функций
 nm
на
прямоугольнике 
 nm x, y  ks x, y  dx dy   nm  nk  ms ,
2

находим коэффициенты ряда Фурье (15.21):
C nm
4 l1 l2

    x, y   nm  x, y  dx dy.
l1l 2 0 0
(15.22)
Формулы Грина для оператора Лапласа
Гармонические функции
Для простоты изложения ограничимся трехмерным евклидовым
пространством R 3 с декартовой системой координат Oxyz . В пространстве R 3
рассмотрим простейшее эллиптическое уравнение – уравнение Лапласа:
 2u  2u  2u
u  2  2  2  0 .
x
y
z
(15.23)
Рассмотрим ограниченную связную область D  R 3 . Пусть граница 
области D   D представляет собой поверхность без самопересечений,
  C1
136
Определение 15.2
Функция u  ux, y, z  называется гармонической в области D , если
u  C 2 D  и удовлетворяет уравнению Лапласа (15.23) в области D .
Первая, вторая и третья формулы Грина
При изучении свойств решений уравнения (15.23) важную роль играют
формулы Грина, связывающие значения функций на границе  и внутри
области D .
Для вывода воспользуемся формулой векторного анализа



div a A  a div A  grad a, A ,
 

a  ax, y, z 
где

скалярная
-
(15.24)
функция;

A   A1  x, y, z , A2  x, y, z , A3  x, y, z  - вектор-функция, то есть векторное поле в


области D ; grad a, A - скалярное произведение векторов grad a и A .


 a a a 
grad a   , ,  ,
 x  y z 
 A A A
div A  1  2  3 .
x
y
z

Пусть a   x, y, z  , A  grad u  x, y, z  , где произвольные функции
u  C 2 D  C 1 D  , u  L2 D  ,   C 1 D , D  D   .
Далее получим:
div grad u    u  grad  , grad u  ,
так как divgrad u   u .
Проинтегрируем полученное тождество по области D , тогда
 div  grad u  dV    u  grad  , grad u  dV .
D
D
По формуле Остроградского-Гаусса
 

 
 div BdV   B, n dS ,

D
137


где n - внешняя единичная нормаль к поверхности  , а B   grad u . В
результате получим первую формулу Грина:
  P 

u P 
 dS P    Q u Q   grad  Q , grad u Q dVQ ,
D
n P
(15.25)

где Р  , Q  D; n p  n1 , n2 , n3  - нормаль к поверхности  в точке P ;
u
u P 
u P 
u P 

n1 
n2 
n3 - производная по нормали;
  grad u , n P  
n P
x
y
z
  C 1 D , u  C 2 D  C 1 D , u  L2 D .
Поменяем в (15.25) местами функции u,  и вычтем из формулы
(15.25), получим вторую формулу Грина

 P 
u  P  




u
P


P
 

  dS p   u Q  Q    Q u Q dVQ ,

D

n

n
p
p 

(15.26)
где u,   C 2 D  C 1 D ; u,   L2 D .
В равенстве (15.25) положим   u , получим формулу
 u P 

u P 
2
 dS P   u Q u Q   grad u Q  dVQ ,
D
n P


(15.27)
называемую третьей формулой Грина.
Контрольные вопросы
1.
Приведите метод разделения переменных для смешанной
задачи уравнения теплопроводности в пластине.
2.
В чём состоит спектральная задача?
3.
Дайте определение собственных значений и функций для
спектральной задачи.
4.
Дайте определение первой формулы Грина.
5.
Дайте определение второй и третей формул Грина.
138
Лекция 16
Интегральная формула Грина
Для гармонических функций удобнее всего использовать формулу
Грина, для которой значение функции в любой внутренней точке M , области
D
выражается через значения функции на границе  области D . Такая
формула носит название интегральной формулы Грина. Выведем данную
формулу.
Для этого во второй формуле Грина функцию  Q выберем
специальным образом, положив ее равной фундаментальному решению, то
есть приняв  Q  
1
, где M  D . Данная функция  Q  имеет
4 RQM
особенность в точке Q  M . Поэтому её нельзя просто подставить во вторую
формулу Грина. В связи с этим опишем вокруг точки M сферу  радиуса 
и рассмотрим область D , заключенную между поверхностями  и  (см.
рис.16.1).
P
P
np

*
P

D
De
M(x,y,z)
Г
P*
P
np
Рисунок 16.1
В области D
выбранная функция  Q , Q  D , принадлежит
 
пространству C 2 D   C 1 D  , поэтому для области D имеет место вторая
формула Грина:
139

 P 
u  P  
 u P     P    dS P   u Q   Q    Q u Q dVQ . (16.1)

D
 nP
 nP 

Здесь   0 , так как  Q - фундаментальное решение уравнения
Лапласа.
Преобразуем интеграл по сфере  :

 P 
u  P  
I  I1  I 2   u P     P    dS P .

 nP
 nP 

(16.2)
Вычислим
 P 
  1
   
 nP
 nP  4 RPM

1 
  
4  RPM

 1

 RPM

1
 
.
2
4

R

PM
Точка P   , поэтому RPM   . Таким образом, в выражении (16.2)
 P 
1
1
,  P  
.
 
2
 nP
4 
4 
Будем использовать теорему о средне для преобразования каждого из
интегралов.
 P 
1
u P* 
I1   u P   dS P 
u P dS P 
dS P  u P*  ,
2 
2 

nP
4 
4 
I 2   P 

u P 
1
u P 
u P* 
dS

dS



 ,
 
P
P
nP
4  nP
nP
где P  - некоторая точка на сфере  .
Подставим данные выражения в (16.1), тогда
*
 




u

u
P
*
  u     dS  u P       udV .

D
n p 
nP
 nP
140
Теперь перейдем к пределу при   0 . Так как P*  M при   0 ,
то
uP*   uM  в силу непрерывности функции u. В результате получим
интегральную формулу Грина:
u M  
1  1 u P 
  1 
1
u Q 
dS P 
dVQ ,
  u P   
 

4   RMP nP
nP  RMP 
4 D RMQ
(16.3)

где u - любая функция из пространства C 2 D  C1 D , u  L2 D , n p –
внешняя единичная нормаль к поверхности  в точке p .
Если
u
-
гармоническая
функция
( u  0 ),
тогда
получим
интегральную формулу для гармонических функций:
u M  
1  1 u P 
  1 
dS P .
  u P   
 
4   RMP nP
nP  RMP 
(16.4)
Замечание 16.1
Формула (16.3) может быть получена с использованием обобщенных
функций. Для фундаментального решения имеет место формула:
 Q   Q, M  ,
(16.5)
Здесь  Q, M  -  - функция Дирака.
Подставим (16.5) в формулу (15.26) и используя свойства  - функции,
вычислим интеграл:
 u Q  Q dVQ    u Q  Q, M dVQ  u M  .
D
D
Итак, из второй формулы Грина (15.26) следует формула (16.3).
Замечание 16.2
Можно получить интегральную формулу Грина в плоском случае R 2 :
141
u M  
 1 
1   1  u  P 
  1 
1
 u Q  dSQ ,






ln

u
P
ln
dl

ln



 
 P
2    RMP   nP
 nP  RMP 
2   RMQ 

где  - плоская область,    ; n p – внешняя единичная нормаль к
контуру  в точке p .
Свойства гармонических функций
Свойство 16.1
Пусть ux, y, z  - гармоническая функция в области D , тогда функция
u любое число раз непрерывно дифференцируема по координатам x, y, z в
области D , то есть u  C  D  .
Доказательство
Будем считать, что u  C 2 D . Воспользуемся интегральной формулой
Грина (16.4):
u M  
где
1  1 u P 
  1 
dS P   F M , P dS P ,
  u P   
 

4   RMP nP
nP  RMP 
M  x, y, z 
-
внутренняя
точка
области
D.
(16.6)
Докажем
дифференцируемость функции (16.6) в окрестности любой точки M 0  D .
Пусть KM 0 - замкнутая шаровая область радиуса  , описанная вокруг точки
M 0 , KM0  D . В подынтегральном выражении (16.6) функция
1
любое
RMP
число раз непрерывно дифференцируема по координатам x, y, z точки
M  KM0 , так как Р   , а расстояние RMP  0 . Следовательно, всевозможные
производные
1 2 3 F M , P 
x1 y  2 z 3
142
являются непрерывными функциями на множестве точек M  KM0 и
Р   . На основании соответствующей теоремы из математического анализа
выражение (16.6) дифференцируемо и имеет место формула
1 2 3 u M 
1 2 3 F M , P 
 
dS P .

x1 y  2 z 3
x1 y  2 z 3
Т.к. точка M 0 произвольная, то следует, что u  C  D  .
Свойство 16.2 Теорема о нормальной производной
Пусть любая функция u  C 2 D   C1 D  и является гармонической в
области D , тогда


u P 
 dS P  0,
nP
  D.
(16.7)
Доказательство:
Воспользуемся первой формулой Грина. Для данной формулы
произвольная функция   C1 D . Пусть   1 , тогда grad  0; u  0 из
условия теоремы. В результате первая формула Грина преобразуется к виду
(16.7).
Рассмотрим произвольную точку M  D . Опишем вокруг точки M
сферу aM радиуса a , такую, что замкнутый шар K aM сферы aM целиком
содержится внутри области D . Выведем формулу, выражающую значение
гармонической функции u в центре сферы, то есть в точке M , через значения
на сфере aM .
Свойство 16.3 Теорема о среднем
Пусть u - гармоническая функция в области D , тогда для M  D и 
сферы aM , K aM  D , имеет место формула
u M  
1
 u P  dS P ,
aM aM
143
(16.8)
где aM  4a 2 - площадь сферы.
Доказательство:
Рассмотрим интегральную формулу Грина (16.4) для сферы aM , взяв в
качестве точки M центр сферы:
u M  
1  1 u P 
  1 
 dS P .



u
P

 
 
4 ГaM  RMP nP
nP  RMP 
Так как Р  aM , то RMP  a,
  1 
  1 
1
1
 

   2   2 .
 
nP  RMP  RMP  RMP 
R MP
a
В результате
u M  

1  1 u P  1
  2 u P  dS P .
M 
4 Гa  a nP
a

Учитывая соотношение (16.7) для поверхности   aM , получаем
требуемую формулу (16.8).
В плоском случае с учетом замечания 16.2 имеем формулу:
u M  
 u P  dl P .
2 a  aM
1
Принцип максимума и минимума для гармонических функций
Рассмотрим связную ограниченную область D  R 3 с границей   D
. Будем считать для определенности, что   C . В области D задана функция
u  ux, y, z   uM  .
Свойство 16.4 Принцип максимума и минимума
Пусть u  C 2 D  C D  и удовлетворяет в области D уравнению
Лапласа u  0 . Тогда функция u достигает своего максимального и
минимального значений на границе  , то есть
144
min u M   u M   max u M  .
M 
M 
M D
Доказательство:
Будем строить доказательство методом от противного. Пусть
максимум функции u достигается в некоторой внутренней точке M 0  D , то
есть
uM 0   uM  для M  D .
(16.9)
Опишем вокруг точки M 0 сферу aM0 радиуса a , которая вместе со
своим шаром принадлежит области D (см. рис.16.2)
P*
Г
P
U0
D
a
P0
M0
ГaM0
Рисунок 16.2
Для сферы aM0 имеет место формула (16.8) из теоремы о среднем:
uM 0  
1
 u P dS P .
4a 2 M 0
a
Перепишем данную формулу в виде:
 wP dSP  0 ,
M
 0
a
где функция wP   uM 0   uP   0 в силу неравенства (16.9).
145
(16.10)
Покажем, что wP   0 для P  aM0 . От противного, пусть существует
точка P0  aM0 такая, что wP0   0 . Функция wP  непрерывная, поэтому
существует окрестность U 0
точки P0 , то есть P0 U 0  aM0 , для которой
wP   0 при PU 0 . Поэтому:
 wP dSP   wP dSP  M wP dSP  0 ,
M
 0
a
a 0 / U 0
U0
что противоречит условию (16.10). Таким образом, u( P)  uM 0  при
P  aM 0 . Так как радиус a произвольный, то будем его увеличивать до касания
сферы aM0 с границей  в точке P * . В результате u( P )  uM 0  , то есть
максимум достигается в точке P  на границе  .
Для минимума доказательство проводится аналогично.
Заметим, что принцип максимума и минимума и другие свойства
имеют место для гармонических функций в пространстве R n произвольной
размерности.
Следствие 16.1
 
Пусть функции u,  C 2 D  C D и являются гармоническими в D .
Если uP    P  для P   , то uM    M  для M  D .
Контрольные вопросы
1.
Приведите интегральную формулу Грина.
2.
Приведите свойства гармонических функций.
3.
Сформулируйте теорему о среднем.
4.
Сформулируйте принцип максимума и минимума для
гармонических функций.
146
Глоссарий
К лекции 1
- уравнением в частных производных называется уравнение

u
u  2 u  2 u
 mu
F  x, u, ,...,
,
,
,..., k1
x1
xn x12 x1x2
x1 ...xnkn


  0

где F — произвольная функция многих переменных, которую мы будем
полагать гладкой, x  x1 , x2 ,..., xn  — действительный вектор из n-мерного
евклидова
пространства
Rn ,
u
=
u(x)
—
неизвестная
функция,
k1  k 2  ...  k n  m .
- порядком уравнения называется число m – порядок старшей
производной, входящей в данное уравнение.
- уравнение называется линейным, если линейная комбинация двух
решений является тоже решением данного уравнения.
- линейное уравнение принято записывать в виде:
Lu=b(x),
где

2
m
k1k 2...k n
k1k 2...k n
x  k1 kn  ...   a2 x  k1 kn
L  a0  x    a  x 
  a2
i 1
k1 , k 2 ,..., k n  0
xi kk1 ,kk2 ,...,...kn20
x1 ...xn
x1 ...xn
k  k ...  m
n
i
1
1
2
1
2
линейный оператор.
- уравнение (1.2) называется однородным, если b=0.
- общим решением называется решение, зависящее от произвольной
функции. Количество произвольных функций в наиболее общем решении
совпадает с порядком уравнения m, а количество переменных каждой функции
равно n−1.
147
Уравнения математической физики обычно (но не всегда) являются
линейными дифференциальными уравнениями второго порядка.
- чтобы выделить частное решение, требуются начальные или
граничные условия. Уравнение вместе с условиями называется задачей.
К лекции 2
- задача Коши
Пусть функция u зависит от двух переменных x, y . Выпишем
уравнение первого порядка для данной функции:
F ( x, y, u , u x , u y )  0.
u ( x, y ) | x  x0   ( y ),
где  ( y) - некоторая заданная функция.
- всякое решение уравнения u  u ( x, y ) называется интегральной
поверхностью.
- линейное уравнение первого порядка имеет вид:
A( x, y)u x  B( x, y)u y  C ( x, y)u  f ( x, y) ,
где A, B, C и f - заданные функции.
 dx
 dt  A( x, y )
. называется характеристической системой
- система 
dy
  B ( x, y )
 dt
для уравнения A( x, y)u x  B( x, y)u y  0.
148
- всякое решение
 dx
 dt  A( x, y )
. называется
x(t ), y(t ) системы 
dy
  B ( x, y )
 dt
характеристикой.
- функция  ( x, y) , не сводящаяся тождественно к постоянной, или
равенство  ( x, y)  C называется первым интегралом системы, если при
подстановке в нее любого решения системы получается постоянная величина,
зависящая лишь от выбора решения.
- квазилинейным уравнением первого порядка называется уравнение
вида:
A( x, y, u)u x  B( x, y, u)u y  C ( x, y, u).
К лекции 3
- множество функций C m  называется пространством
непрерывно
дифференцируемых
функций
в
области
.
m раз
Функция

u  u x   C m  , если u определена и непрерывна в области  и существуют
всевозможные
порядка
частные
производные
u
 2u
 mu
,
,...,
до
xi
xi x j
x11 x 2 2 ...x n n
m включительно, которые определены и непрерывны в области  .
C   -пространство любое число раз непрерывно дифференцируемых
функций в области  .

u u
u  2 u
mu 
,
,...,
,
,..., m   0 в области
- решением уравнения F  x; u,
x1 x2
xn x12
xn 


 называется функция ux   C m  , которая при подстановке в данное
уравнение обращает его в тождество на множестве  .
149
число
-
называется
m
порядком
уравнения

u u
u  2 u
mu 
F  x; u,
,
,...,
, 2 ,..., m   0 , то есть degL   m

x

x

x
x1
xn 

1
2
n
- мультииндекс – это вектор   1 ,  2 ,..., n  , где  i - целые
неотрицательные числа,    1   2  ...   n .
- производные порядка m в уравнении , называются старшими
производными, остальные производные называются младшими производными.
- часть линейного уравнения L0 u  

a  x  D u , которая содержит все


m
старшие производные, называется главной частью уравнения.
-
полином
вида
 
 
P x ,   a11  x, y 12  2a12  x, y 1 2  a 22  x, y  22 ,
полученный из главной части уравнения по средством замены называется
характеристическим полиномом.
функция
-
Dx, y   a122 x, y   a11 x, y a22 x, y  ,
называется
2
2
2
дискриминантом уравнения L0 u   a11  u2  2a12  u  a 22  u2
x
1.
xy
y
Если Dx, y   0 , то уравнение называется
уравнением
гиперболического типа в точке x, y  .
2.
Если Dx, y   0 , то уравнение
называется
уравнением
Если Dx, y   0 , то уравнение называется
уравнением
эллиптического типа в точке x, y  .
3.
параболического типа в точке x, y  .
- система из k уравнений:
150
 
 uk
 m1 u k 
 u1
,...,
,..., m1   0,
 F1  x; u1 ,...,u k ;

x

x
xn 
1
n
 
 
u
 m2 u 
u
 F2  x; u1 ,...,u k ; 1 ,..., k ,..., m2k   0
 
 x1
 xn
xn 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

mk
 F  x; u ,...,u ;  u1 ,...,  u k ,...,  u k   0
k
 k  1
 x1
 xn
xnmk 

называются системой дифференциальных уравнений с частными
производными относительно k неизвестных функций u i
i  1,2,..., k  .
- если систему (3.7) можно записать в виде:
Fi   Lij u j ,
k
j 1
где
Lij
-
линейные
дифференциальные
операторы
порядка
mij degLij   mij , то она называется линейной.
К лекции 4
- уравнение
dy a12  x, y   D x, y 

, называется характеристическим
dx
a11  x, y 
уравнением уравнения Lu   a11u xx  2a12 u xy  a22 u yy  a u x  b u y  c u  f . .
- уравнение в частных производных второго порядка
2
2
 z 
 z 
z z
a11    2a12
 a22    0 ,
x  y
 x 
y 
где
z  z x, y 
- неизвестная функция называется уравнением
характеристик.
1
- функция  x, y ,   C , grad   0, называется первым интегралом
в области  уравнения
dy
   x, y  ,
dx
151
если на любом решении y  yx , x U , этого уравнения функция
 x, y  постоянна, то есть имеет место равенство  x, yx   C,
x, yx 
, где постоянные C могут различаться для разных решений уравнения (4.11).
Первым интегралом также называют соотношение  x, y   C .
К лекции 5
- уравнение u  A u  Bu  Cu  F называется каноническим видом
гиперболического уравнения на плоскости.
- два семейства линий в области  называются характеристиками или
характеристическими линиями гиперболического уравнения.
- уравнение u  A u  B u  C u  F является каноническим видом
параболического уравнения на плоскости
y  f x, C1 ,
- семейство линий
называется характеристиками
параболического уравнения.
- уравнение u  u  Au  Bu  Cu  F
является каноническим
видом эллиптического уравнения на плоскости
 
n
n

- полином P x,     aij x  i j по переменным
i 1 j 1
 i называется
характеристическим полиномом.
- поверхность  заданная уравнением:
 x1 , x2 ,..., xn   0 ,
где   C 2  , называется характеристикой или характеристической
поверхностью уравнения, если во всех точках поверхности  для функции
 выполнено уравнение:
152

 
n
n
 x x  0 .
P x, grad x    aij x
уравнение
-

 
i 1 j 1
n
n
i
j
 x x  0
P x, grad x    aij x
i 1 j 1
i
называется
j
уравнением характеристик.
К лекции 6
- если в уравнении эллиптического типа c  0, f  0, тогда полученное
простейшее эллиптическое уравнение на плоскости
 2u  2u

0,
 x2  y2
(
называется уравнением Лапласа.
2
2
- дифференциальный оператор уравнения   2  2 называется
x  y
оператором Лапласа.
- решение u  x, y   G M , M 0  
1  1
ln
2  RMM 0
 1

ln
 2

1
x  x    y  y 
2
2
0
0
называется фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости R 2 .
- решение вида
u x, y, z   GM , M 0  
где
1

4 RMM 0 4
1
x  x    y  y   z  z 
2
0
2
0
2
,
0
x0 , y0 , z0 - координаты фиксированной точки M 0 , называется
фундаментальным решением уравнения Лапласа в R 3 .
- частное решение уравнения Пуассона u   f M  в области D  R 3
выражается через фундаментальное решение в виде интеграла:
uM    f Q GM , Q dVQ ,
D
153
f  C 1 D   C D  ,
называемого объемным потенциалом.
- решение

  x  x0   t  t0 2 
e   t t0 
exp
, t  t0



4

t

t


4


t

t
0


0


u  x, t   G  x  x0 , t  t0   0,
t  t0 ,


0,
t  t0 , x  x0
называется фундаментальным решением параболического уравнения.
- уравнение называется гипоэллиптическим в R n , если любое его
классическое решение u  C 2  в любой области   R n является бесконечно
дифференцируемым, то есть u  C  .
- уравнение  x, y   C , C  const , задает в области  семейство
линий, которые называются характеристическими линиями исходного
уравнения, а рассмотренный метод нахождения общего решения уравнения
называется методом характеристик.
К лекции 7
- два условия на неизвестную функцию u


u  x  x   0  x  ,

u  x 

nx

 1  x  ,

x
называются начальными условиями.
- функция u  C 2 D  удовлетворяющая требованиям
Lu   f в области D ,

u   0  x  ,
u

  1  x  .
n 
называется классическим решением задачи Коши
154

- пусть поверхность  в пространстве R n размерности n  1.  x0  
существует окрестность U x0  R n , внутри которой
поверхность задается
однозначным уравнением в некоторой локальной декартовой системе
координат. Поверхность  называется k раз непрерывно дифференцируемой

или класса C k   C k , если для x0   существует окрестность U x   R n 1 ,
0

внутри которой функция F  x   C k U x0  .
-
уравнение
u n 1  2 u
 2u





b

b

L
u

f
y
,t

0
i
y
t 2
t i 1  yi t
называется
уравнением типа Ковалевской с выделенной переменной t .
- функция f x1 , x2 ,..., xn , определенная в области D  R n , называется
0
0
0
аналитической функцией в окрестности точки x0  x1 , x2 ,..., xn  D , если

существует окрестность U x0 точки x 0 , внутри которой функция

f x
представима в виде ряда Тейлора:





f  x     f  x1  x10  1 x2  x20  2  xn  xn0  n ,
m0   m
который сходится абсолютно в области U x0 .
- функция называется аналитической в области D , если она
аналитична в окрестности любой точки области. Обозначим через C A D 
линейное пространство всех аналитических функций в области D .
К лекции 8
- решение задачи Коши
u
u
 2u
 2u
 2u
Lu   a11 2  2a12
 a 22
a
b
 cu  f
2
x
 x y
y
x
y
155
в D,
u  x , y     x, y  ,
u

n
   x, y  ,
 x , y 
непрерывно зависит в пространстве V от начальных функций   V1 ,
 V2 , если для любого   0 найдется   0 такое, что из неравенств
1 1 , 2    ,  2  1 , 2    следует неравенство  u1 ,u 2    .
-задача Коши называется корректно поставленной в пространствах
V1 , V2 , V , если выполнены три условия корректности:
1)
для любых начальных функций   V1 ,  V2 существует
решение задачи u  V ;
2)
для любых начальных функций   V1 ,  V2
решение
единственно в пространстве V ;
3)
решение задачи u  V непрерывно зависит от начальных
функций   V1 ,  V2 .
- если не выполняется хотя бы одно из условий корректности, то задача
называется некорректно поставленной.
- если не выполняется третье условие корректности, то задача Коши
называется неустойчивой по начальным данным.
К лекции 9

- функция   x  называется финитной, если существует ограниченное



открытое множество U  R n , для которого  x   0 при x U ,  x   0 при

x  Rn \ U.
- замкнутое множество U  Supp называется носителем финитной

функции   x .


- последовательность  k x  сходится к финитной функции   x  , то есть


 k  x     x , если выполнены следующие условия:
k 
156


1)  k  x     x  равномерно;
k 



2) D  k  x   D    x  равномерно, где D 

k 
 1  2 ... n


 ;
x1 1 x2 2 ...xn n
3) существует ограниченное замкнутое множество G  R n , такое что
Supp k  G , Supp   G .
- пространство DR n  с указанной сходимостью будем называть
пространством основных функций.
- функционал f линейный, если
 f ,         f ,     f , 
1
1
2
2
1
1
2
2
для 1 , 2  DR n ,  1 ,  2  const .
-
функционал
f
является
непрерывным,
если
для
любой
последовательности финитных функций  k , сходящейся к финитной функции
 , выполнено условие:
lim  f ,  k    f ,   .
k 
-
обобщенной
функцией
называется
линейный
непрерывный
функционал f на пространстве DR n .

- если обычную функцию g x  можно рассматривать как обобщенную
функцию g  DR n  , то данную обобщенную функцию будем называть
регулярной обобщенной функцией. Все остальные обобщенные функции –
называются сингулярными обобщенными функциями.
 x0
обобщенная
функция
 
  x  x 0    x1  x10 , x 2  x 20 ,...x n  x n0   D R n  называется  -функцией
Дирака.
157
- будем говорить, что обобщенная функция f равна 0 на множестве 
, если для   DR n  с носителем Supp   выполнено условие  f ,    0 .
- носителем обобщенной функции f называется замкнутое множество
Supp f  R n \  max .
  определяется с помощью соотношения

Производная D f  D R
n
D

f ,     1

 f , D  ,

(9.10)
n
где   x   DR ,    1   2  ...   n .

-
пространство
W pm  ,   R n ,1  p   .
Соболева


u  x   u x1 , x 2 , ,..., x n   W pm   , если u  x   L p   , то есть
Функция
 p 
 ux  dx   , и


всевозможные обобщенные производные D  u  x   L p   , 0    m .
- обобщенная функция
u  DR n  называется обобщенным решением
уравнения (9.13), если выполнено тождество:
u, L     f ,  
*
для

  x   DR n . .
Здесь



L*      1 D  a  x   x  0   m
сопряженный дифференциальный оператор для оператора L .
  
 
- любое
обобщенное решение u x, x  D R
 
 0
называется
фундаментальной
 a  x  D u   x  x 
0
n
уравнения
функцией
0   m
оператора
Lu  .
    Gx, x  , которую
- единственная фундаментальная функция u x, x
0
0
выделяют при наложении условий нормировки при решении прикладных
задач называется фундаментальным решением уравнения.
158
К лекции 10
2
u
2  u
a
 f  x, t  называется также одномерным
- уравнение
t
x2
уравнением теплопроводности.
К лекции 11
- числа  называются собственными значениями, а соответствующие
нетривиальные функции X называются собственными функциями задачи
Штурма-Лиувилля.
- ператор L( X ) 
d 
dX 
 k ( x)
  q( x) X
dx 
dx 
называется дифференциальным
оператором Штурма-Лиувилля.
- совокупность всех собственных значений называется спектром
дифференциального оператора L с граничными условиями.
К лекции 14
Смешанная задача
2
u
2  u
Lu  
a
0
t
x 2
u t 0    x  ,
u x l  0 ,
в D  0  x  l   0  t   ,
0  x  l,
0  t  ,
поставлена корректно для пары пространств V0 ,V , если:
1) для   V0 существует решение задачи u  V ;
2) для   V0 решение u задачи единственно в пространстве V ;
3) решение u задачи непрерывно зависит от начальных функции
159
- решение u первой смешанной задачи непрерывно зависит от
начальной функции  и граничных функций 1 и  2 , если для   0   0
такое, что если  2 x   1 x    ,
 i 2  t    i1 t    , тогда u 2  x, t   u1  x, t    .
К лекции 15
- числа  называются собственными значениями, а соответствующие
нетривиальные
функции

называются
собственными
функциями
спектральной задачи для оператора Лапласа.
- функция u  ux, y, z  называется гармонической в области D , если
u  C 2 D  и удовлетворяет уравнению Лапласа в области D .
- первая формула Грина:
  P 

u P 
 dS P    Q u Q   grad  Q , grad u Q dVQ ,
D
n P

где Р  , Q  D; n p  n1 , n2 , n3  - нормаль к поверхности  в точке P ;
u
u P 
u P 
u P 

n1 
n2 
n3 - производная по нормали;
  grad u , n P  
n P
x
y
z
  C 1 D , u  C 2 D  C 1 D , u  L2 D .
- вторая формула Грина

 P 
u  P  
 uP     P    dS p   u Q  Q    Q u Q dVQ ,

D
n p
n p 

где u,   C 2 D  C 1 D ; u,   L2 D .
- третья формула Грина
 u P 

u P 
2
 dS P   u Q u Q   grad u Q  dVQ ,
D
n P

160

К лекции 16
- интегральная формула Грина:
u M  
1  1 u P 
  1 
1
u Q 
dS P 
dVQ ,
  u P   
 

4   RMP nP
nP  RMP 
4 D RMQ

где u - любая функция из пространства C 2 D  C1 D , u  L2 D , n p –
внешняя единичная нормаль к поверхности  в точке p .
161
Литература
1.
Тихонов, А. Н., Уравнения математической физики [текст] /
А.Н. Тихонов, А.А. Самарский- М.: Наука,1977.
2.
Владимиров, В. С. Обобщенные функции в математической
физике [текст]/ В.С. Владимиров - М.: Наука, 1976.
3.
Сборник задач по уравнениям
математической физики
[текст]/ В.С. Владимиров, В.П. Михайлов[ и др.] - М.: Наука, 1982.
162
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
2 814 Кб
Теги
matematitsheskoj, uravnenia, fizika, alasheeva
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа