close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Balabaeva Enbom Mat analiz funkcii mnogih peremennyh

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОМУНИКЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ»
Кафедра высшей математики
Н.П. Балабаева, Е.А. Энбом
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Функции многих переменных
Учебное пособие
Самара
2015
УДК 517.51
Б 20
Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ
протокол № 20 от 10 апреля 2015 года
Балабаева, Н. П.
Б 20 Математический анализ. Функции многих переменных:
учебное пособие / Н.П. Балабаева, Е.А. Энбом. – Самара : ПГУТИ,
2015. – 120 с.
Учебное пособие содержит теоретический и практический материал
по дифференцированию функций многих переменных. Излагаемые
основы теории сопровождаются большим количеством типовых задач с
подробным решением. В пособии приведены также вопросы для
самоконтроля, достаточное количество заданий для проведения
аудиторных занятий и организации самостоятельной работы учащихся.
Учебное пособие разработано в соответствии с ФГОС ВПО по
специальности 10.05.02 – Информационная безопасность телекоммуникационных систем и по направлениям подготовки бакалавриата 10.03.01 –
Информационная безопасность, 11.03.02 - Инфокоммуникационные
технологии и системы связи, 02.03.03 – Математическое обеспечение и
администрирование информационных систем.
Предназначается для студентов первого курса очной и заочной
форм обучения.
© Балабаева Н. П., Энбом Е. А., 2015
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ..................................................................................... 5
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ
МНОЖЕСТВ .................................................................................... 7
1.1 Понятие n-мерного арифметического евклидова
пространства ............................................................................. 7
1.2 Основные понятия из теории множеств .............................. 10
§ 2. ФУНКЦИИ ДВУХ И БОЛЕЕ ПЕРЕМЕННЫХ.......................... 13
2.1 Определение функции двух переменных. Область
существования функции двух переменных ......................... 15
2.2 График функции двух переменных ...................................... 18
2.3 Понятие функции трех переменных ..................................... 19
2.4 Понятие функции n переменных .......................................... 21
§ 3. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ
ПЕРЕМЕННЫХ ............................................................................. 24
3.1 Понятие предела функции двух переменных ...................... 24
3.2 Непрерывность функции двух переменных ........................ 25
3.3 Свойства функций, непрерывных в точке ........................... 27
3.4 Свойства функций, непрерывных на замкнутом
ограниченном множестве ...................................................... 28
3.5 Свойства функций, непрерывных в области ....................... 28
§ 4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ ............................................................................. 29
4.1 Понятие частных производных............................................. 29
4.2 Геометрический смысл частных производных функции
двух переменных .................................................................... 32
4.3 Частные производные высших порядков ............................ 34
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ. ПОЛНЫЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ ............................................................................. 39
5.1 Полное приращение функции ............................................... 39
5.2 Понятие дифференцируемой функции ................................ 39
3
5.3 Касательная плоскость к поверхности ................................. 42
5.4 Дифференциал функции ........................................................ 42
5.5 Применение дифференциала к приближенным
вычислениям ........................................................................... 44
5.6 Дифференциалы высших порядков ...................................... 45
§ 6. СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ ................................................................ 49
6.1 Понятие сложной функции .................................................... 49
6.2 Производная сложной функции ............................................ 51
6.3 Дифференциал сложной функции. Свойство
инвариантности дифференциала сложной функции .......... 53
6.4 Дифференциалы высших порядков сложной функции ...... 54
§ 7. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ ................................................................. 58
7.1 Неявная функция одной переменной ................................... 58
7.2 Неявная функция двух переменных ..................................... 61
§ 8. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ .............. 65
8.1 Определение максимума и минимума функции двух
переменных ............................................................................. 65
8.2 Необходимое условие существования экстремума ............ 66
8.3 Достаточное условие существования экстремума .............. 68
§ 9. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ............................................ 72
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ ........................... 80
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ ....... 94
ГЛОССАРИЙ ...................................................................................... 106
Приложение 1 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ........................................ 112
Приложение 2 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ............... 114
ЛИТЕРАТУРА ..................................................................................... 119
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Раздел математического анализа «Функции многих переменных» имеет очень важные приложения в различных областях
математического естествознания. Основной целью его изучения
является формирование у студентов систематических знаний по
теории данного раздела и умений применить аппарат дифференциального исчисления функций нескольких переменных к решению практических задач. Освоение теории функций многих
переменных необходимо студентам для дальнейшего успешного
изучения таких разделов математического анализа, как «Кратные и криволинейные интегралы» и «Теория поля».
Согласно Федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования по
специальности 10.05.02 – Информационная безопасность телекоммуникационных систем и по направлениям подготовки бакалавриата 10.03.01– Информационная безопасность, 11.03.02 Инфокоммуникационные технологии и системы связи, 02.03.03
– Математическое обеспечение и администрирование информационных систем, в процессе освоения дисциплины «Математический анализ» у студента должны быть сформированы следующие общие и специальные компетенции: владеть культурой
мышления, способностью к обобщению, анализу, постановке
цели и выбору путей ее достижения; логически верно выстраивать устную и письменную речь; владеть основами фундаментальных математических теорий, видеть их взаимосвязь и специфику каждой из них; формулировать математическую гипотезу в контексте изучаемых математических дисциплин, подтвердить ее или опровергнуть; применять основной аппарат фундаментальных и прикладных математических теорий к решению
разнообразных теоретических и практических задач; строить и
5
исследовать математическую модель прикладной задачи, процесса, явления.
Цель настоящего учебного пособия – помочь студентам
усвоить основные определения и теоремы раздела «Дифференцирование функций многих переменных», научиться находить
аналитически и изображать геометрически область определения
и область непрерывности функции двух и трех переменных, вычислять пределы и частные производные функций двух и более
переменных, исследовать функции, заданные неявно, дифференцировать сложные функции одной и двух независимых переменных с двумя промежуточными аргументами, определять
экстремумы функции двух переменных. Кроме того, пособие
может помочь учащимся приобрести навыки в решении прикладных задач оптимизации, требующих применения теории
функций нескольких переменных.
Учебное пособие имеет следующую структуру. В начале
каждого параграфа представлен теоретический материал, который содержит определения с геометрическими иллюстрациями
и основные теоремы. Здесь же приведен разбор типовых задач,
которые систематизированы и расположены в порядке возрастания трудности. Далее предлагаются вопросы для самоконтроля,
цель которых – помочь студенту проверить прочность усвоения
изученных основ теории; материалы для проведения аудиторных практических занятий; задачи для самостоятельного решения, подбор и количество которых достаточны для закрепления
теоретических знаний.
Учебное пособие также содержит варианты индивидуального задания, которое можно предложить в качестве контроля
самостоятельной работы учащихся, и подробное решение одного из вариантов индивидуального задания. Приложения содержат основные формулы раздела и графики поверхностей второго
порядка.
6
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1.1 Понятие n-мерного арифметического
евклидова пространства
Определение. Множество всевозможных упорядоченных
совокупностей x1, x2 , ..., xn  из n действительных чисел называется n-мерным пространством, при этом каждая совокупность
x1 , x2 , ..., xn  называется точкой n-мерного пространства,
которую будем обозначать M x1 , x2 , ..., xn , где числа x1 , x2 , …,
xn называются координатами точки M.
Определение. n-мерным евклидовым пространством
называется n-мерное пространство, в котором для любых двух его
точек M x1 , x2 , ..., xn  , M x1, x2 , ..., xn  введено расстояние по
формуле:
 M , M  
x1  x12  x2  x2 2  ...  xn  xn 2 .
Обозначение: R n или E n .
Частные случаи пространства R n .
Если n  1, то R1 – множество точек M  x  – множество точек числовой
прямой (рис. 1.1).
Рис. 1.1
Если n  2 , то R 2 – множество точек M  x, y  – вся координатная плоскость (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Рис. 1.3
7
Если n  3 , то R 3 – множество точек M x, y, z  – все координатное пространство (рис. 1.3).
Основные множества в пространстве Rn
Определение. Множество всех точек M x1 , x2 , ..., x n  R n ,
таких,
что
их
координаты
удовлетворяют
неравенствам:
ai  xi  bi ,  i  1, n , где ai , bi – заданные числа, называется nмерным замкнутым параллелепипедом.
Обозначение:  a1 , b1; a2 , b2 ; ...; an , bn  .
Если же выполняются строгие неравенства ai  xi  bi ,
 i  1, n , то множество всех точек называется n-мерным открытым параллелепипедом.
Обозначение: (a1, b1; a2 , b2 ; ...; an , bn ) .
Если n  2 , то в пространстве R 2 n-мерный параллелепипед становится прямоугольником: замкнутым (рис. 1.4.а) или
открытым (рис. 1.4.б).
Рис. 1.4.а
Рис. 1.4.б
Определение. n-мерным замкнутым шаром с центром в
точке M 0 радиуса r называется множество всех таких точек
M  R n , для которых  M , M 0   r .
n-мерный открытый шар – это множество точек M  R n ,
для которых  M , M 0   r .
8
В пространстве R 2 , то есть на координатной плоскости,
расстояние между точками M  x, y  и M 0 x0 , y0  определяется
формулой
 M , M 0  
Следовательно,
 x  x 0  2   y  y 0 2 .
неравенство  M , M 0   r после
возведе-
ния в квадрат дает  x  x0    y  y0   r 2 . Это – замкнутый
2
2
круг с центром в точке M 0 радиуса r (рис. 1.5.а). В случае, когда  M , M 0   r , на плоскости получаем открытый круг (рис.
1.5.б).
Рис. 1.5.а
Рис. 1.5.б
Определение. Окрестностью точки M 0 называется всякий n-мерный открытый шар с центром в точке M 0 (в пространстве R 2 это будет открытый круг).
Если радиус окрестности обозначить через  , то окрестность обозначается так: U M 0 ,   . Если из окрестности точки
M 0 удалить саму точку M 0 , то полученное множество называ
ется проколотой окрестностью точки M 0 : U M 0 ,   .
Определение. Окрестностью точки M 0 называется всякий n-мерный открытый параллелепипед с центром в этой точке.
В пространстве R 2 это будет открытый прямоугольник.
9
Чаще всего берут квадрат, который определяется системой
 x  x0   ,
из двух неравенств: 
что равносильно системе:
 y  y0   ,
  x  x0   ,
 x0    x  x0   ,
или 

  y  y0   ;
 y0    y  y0   .
1.2 Основные понятия из теории множеств
Определения, которые даны ниже, справедливы в любом
пространстве R n , но иллюстрация будет даваться на плоскости.
Определение. Точка M 0 называется предельной точкой
множества E, если в любой окрестности этой точки существует
хотя бы одна точка M из множества E, отличная от точки M 0 .
Пример 1.1 Множество E1 – открытый круг (рис. 1.6).
1. Пусть M 0  E1 . Точка M 0 является предельной точкой для множества E1 .
2. Пусть M1  E1, но M1 лежит на
окружности. Тогда точка M1 является
предельной точкой для множества E1 .
3. Пусть M 2  E1 и не лежит на
окружности. Тогда точка M 2 не является
предельной точкой для множества E1 ,
Рис. 1.6
так как найдется окрестность этой точки, в которой вообще нет
точек множества E1 .
Замечание. Предельная точка множества может как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.
Определение. Множество E называется замкнутым, если
оно содержит в себе все свои предельные точки.
В примере 1.1 множество E1 не является замкнутым, так
как не содержит предельные точки, лежащие на окружности.
10
Пример 1.2 Пусть E 2 – замкнутый
круг (рис. 1.7). Очевидно, что предельными
точками для множества E 2 будут те же, что
и в примере 1.1. При этом все предельные
точки содержатся в E 2 . Следовательно, E 2 –
замкнутое множество.
Определение. Точка M 0
Рис. 1.7
называется внутренней точкой
множества E, если существует окрестность точки M 0 , целиком
принадлежащая множеству E, то есть если точка M 0 содержится
во множестве E вместе с некоторой своей окрестностью.
Пример 1.3 Множество E 2 – замкнутый круг (рис. 1.8).
1. Пусть M 0  E 2 , M 0 не принадлежит
окружности. Очевидно, M 0 – внутренняя точка,
так как можно указать окрестность точки M 0 ,
целиком принадлежащую множеству E 2 .
2. Пусть M1 принадлежит окружности. Тогда M1 не является внутренней точкой, так как
Рис. 1.8
не существует ни одной окрестности точки M1 ,
целиком лежащей во множестве E 2 .
Определение. Множество E называется открытым, если
любая точка этого множества является внутренней.
Множество E1 (рис. 1.6) является открытым, так как любая
его точка является внутренней.
Множество E 2 (рис. 1.7, 1.8) не является открытым, так как
его точки, лежащие на окружности, не являются внутренними.
Определение. Точка M 0 называется граничной точкой
для множества E, если в любой ее окрестности содержатся как
точки, принадлежащие множеству E, так и точки, множеству E
не принадлежащие (рис. 1.9).
11
Любая точка на окружности является
граничной точкой для множества E1 .
Определение. Границей множества
E называется множество всех его граничных точек.
Для множеств E1 и E2 границей служит окружность. Граница множеству E1
Рис. 1.9
не принадлежит, а множеству E2 принадлежит.
Определение. Кривой Жордана в пространстве R n называется множество всех таких точек M x1 , x2 , ..., xn , координаты
которых
определяются
параметрическими
уравнениями
 x1  1 t ,
.............. где 1 t  , …,  n t  – непрерывные функции на от xn   n t ,
резке  ,  , причем различным значениям t из отрезка  ,  
соответствуют различные точки M. Если при этом значениям
t   и t   соответствует одна и та же точка M, то кривая
называется замкнутой.
Отрезок – частный случай кривой Жордана.
Определение. Множество называется связным, если любые
две точки его можно соединить кривой Жордана, целиком принадлежащей этому множеству.
Определение. Областью называется всякое открытое связное множество.
Множество E2 (рис. 1.7) не является
областью, так как оно не является открытым.
Множество E1 (рис. 1.10) является
областью, так как:
1) E1 – открытое множество;
Рис. 1.10
2) любую пару точек M 1 и M 2 из
12
множества E1 можно соединить кривой, целиком принадлежащей множеству E1 .
Пример 1.4 Пусть E3 – множе-
Рис. 1.11
ство, состоящее из точек двух
вертикальных углов, исключая прямые, образующие эти углы
(рис. 1.11). Очевидно, что любая точка этого множества является
внутренней, так как входит в это множество вместе с некоторой
своей окрестностью, поэтому E3 – открытое множество. Но не
любую пару точек можно соединить кривой, целиком принадлежащей этому множеству. Следовательно, множество E3 не является областью.
Определение. Если к области E присоединить ее границу,
то такое множество называется замкнутой областью.
Если границу области E обозначить через  , то замкнутую
область обозначают E  E   .
Пример 1.5 Множество E2 (рис. 1.7) не является областью,
но его можно рассмотреть как объединение множества E1 (рис.
1.10), которое является областью, и границы (окружности). Поэтому множество E2 – замкнутая область.
§ 2. ФУНКЦИИ ДВУХ И БОЛЕЕ ПЕРЕМЕННЫХ
При изучении различных процессов, протекающих в природе, мы сталкиваемся с одновременным изменением нескольких переменных величин, причем число переменных, участвующих в данном процессе, чаще бывает больше двух.
Например, при изучении процесса распространения тепла в
каком-либо неоднородном теле, мы должны исследовать величину
температуры в разных точках тела в разные моменты времени. Так
как положение точки в трехмерном пространстве в декартовой системе координат определяется тремя числами x , y и z , то факти13
чески в указанном процессе надо изучать совместное изменение
пяти переменных величин: трех координат точки, времени и температуры.
Изучая процесс поперечных колебаний упругой пластинки,
мы исследуем совместное изменение четырех переменных величин: двух декартовых координат, определяющих положение
точки на пластинке, времени и величины смещения в каждой
точке пластинки. Изучая смещение точек натянутой струны при
ее поперечных колебаниях, мы исследуем совместное изменение
трех величин: одной координаты, определяющей положение
точки на струне, времени и величины смещения в каждой точке
струны.
В начале изучения дифференциального и интегрального
исчисления мы намеренно ограничивались рассмотрением совместного изменения только двух переменных величин, так как
математическая теория в этом случае была наиболее простой.
Теперь надо перенести основные идеи и методы дифференциального и интегрального исчисления на более общие случаи
совместного изменения нескольких переменных.
Во всяком конкретном процессе можно всегда выяснить,
какие из участвующих в этом процессе величин можно считать
независимыми переменными, так как от нас зависит, в какой
момент и в какой точке мы будем измерять, например, температуру или смещение. Значения же температуры или смещения
получаются в зависимости от условий того когда, над чем и где
мы производим измерение. В этих примерах совокупности значений независимых переменных соответствует по определенному физическому закону значение изучаемой величины – температуры или смещения. Это понятие соответствия, которое было
положено в основу определения функции одной переменной,
также лежит в основе понятия функции нескольких переменных.
14
2.1 Определение функции двух переменных.
Область существования функции двух переменных
Определение. Даны три переменные действительные величины x, y и z . Если каждой паре значений переменных x и y
соответствует по некоторому закону определенное единственное
значение переменной z , то переменная z называется функцией
двух независимых переменных x и y .
Обозначение функции двух переменных: z  f  x, y  .
Например, z  x 2  y 2 , z  cos x  sin  x y  .
Положение точки на плоскости в декартовой системе координат определяется парой чисел, а именно абсциссой и ординатой этой точки: M  x, y  . Поэтому функцию двух переменных
z  f  x, y  можно рассматривать как функцию точки плоскости
и писать z  f  M  , где M и есть точка плоскости с координатами x и y .
В дальнейшем мы будем рассматривать функции, заданные
аналитически, то есть заданные какой-нибудь конкретной формулой.
Может оказаться, что формула, задающая функцию, имеет
смысл не для всех возможных пар чисел  x, y  , то есть не во
всех точках плоскости. Например, для функции, заданной формулой z 
 x  1 3  y 
не всегда в области действительных
чисел выполнимо извлечение корня. Действительно, если,
например, x  0 , а y  1, то  x  1 3  y    2 и вещественного
значения для z по этой формуле не получится.
Определение. Множество всех тех и только тех пар действительных чисел  x, y  , для которых в области действительных чисел определено соответствующее значение функции z ,
называется областью существования функции z  f  x, y  .
15
Областью существования функции двух переменных может
быть вся плоскость или часть плоскости.
Замечание 1. Множество точек плоскости, заданное неравенством
1) y  f x  , лежит выше кривой y  f x  (рис 2.1.а);
2) y  f x , лежит ниже кривой y  f x  (рис. 2.1.а);
3) x    y , лежит правее кривой x    y  (рис. 2.1.б);
4) x    y  , лежит левее кривой x    y  (рис. 2.1.б).
Рис. 2.1.б
Рис. 2.1.а
Замечание 2. Область существования функции не всегда
является областью в смысле определения.
Пример 2.1 Для функции z 
 x  1 3  y 
областью су-
ществования будет множество всех тех и только тех пар действительных чисел  x, y  , для которых подкоренное выражение
неотрицательно. Неравенство  x  1 3  y   0 будет верно,
y
3
0 1
Рис. 2.2
16
x
если выполнено одно из условий:
 x  1  0,
 x  1,
1) 
то есть 
или
3

y

0
,
y

3
;


 x  1  0,
 x  1,
2) 
, то есть 
3  y  0,
 y  3.
Отметим на плоскости местоположение точек  x, y  , координаты которых удовлетворяют полученным
неравенствам (рис. 2.2).
В результате получили неограниченное, замкнутое, связное
множество.
Пример 2.2 Для функции, заданной формулой
z  x 2  y 2 , областью существования будет вся плоскость, так
как действия, указанные в правой части формулы, выполнимы в
области вещественных чисел для любых пар  x, y  .
Пример 2.3 Для функции, заданной
x2  y2
формулой z 
, областью существова3x  y
ния будет вся плоскость, за исключением тех
точек, для которых 3 x  y  0 , так как для таких пар
 x, y 
y
0
x
действие деления теряет
смысл. Точки, для которых 3 x  y  0 заполРис. 2.3
няют на плоскости прямую линию.
Таким образом, областью существования в данном случае
является вся плоскость, за исключением точек прямой линии
y  3 x (рис. 2.3), то есть получили неограниченное, открытое, несвязное множество.
Пример 2.4 Для функции z  4  x 2  y 2 областью существования будет множество всех тех и
только тех пар действительных чисел
 x, y  , для которых выполняется неравенство
4  x2  y2  0.
y
2
Отсюда
x 2  y 2  4 . Это есть замкнутый круг с
радиусом, равным 2, и центром в начале
координат (рис. 2.4).
0
2 x
Рис. 2.4
17
Пример 2.5 Рассмотрим функцию z  ln xy. Ее область


существования – множество D  ( x, y )  R 2 | x  y  0 . Отсюда
 x  0,
 x  0,
или


y  0
 y  0.
Границы множества x  0 , y  0 – оси координат, и они не входят в это множество. Область существования функции – это объединение первого и третьего координатных угРис. 2.5
лов (рис. 2.5).
Выясним, является ли построенное множество областью.
Это множество является открытым, так как любая точка этого
множества принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью. Но не является связным, так как можно найти точки, которые нельзя соединить кривой Жордана, целиком принадлежащей множеству D . Значит, множество D не является областью.
2.2 График функции двух переменных
Если дана функция z  f  x, y  , то для каждой пары чисел
 x , y  из области существования функции можно определить
соответствующее значение z  f  x , y  . Взяв координатную
0
0
0
0
0
систему в пространстве, мы можем, следовательно, для каждой
точки  x 0 , y 0  из области существования функции отложить соответствующую аппликату z 0 и получить точку  x 0 , y 0 , z 0  в
пространстве.
Множество всех таких точек в пространстве называется
графиком функции двух переменных.
Большей частью, графиком функции двух переменных является какая-нибудь поверхность. Сама формула, задающая
функцию z  f  x, y  , и есть уравнение этой поверхности.
18
Будем изображать область
определения D для функции
z  f x, y  в плоскости xOy пространственной системы координат.
Возьмем точку M 0 x0 , y 0   D .
Найдем значение функции в точке
M 0 . Это будет число f x0 , y 0 .
Строим в пространстве
Px0 , y0 , f x0 , y0 .
точку
Рис. 2.6
Проводя такие построения для каждой точки x, y  D , получим график функции двух переменных (рис. 2.6).
Например, для функции z  x 2  y 2 ( D  z   xO y ) графиком является параболоид вращения.
Пример 2.6 Рассмотрим функцию z  4  x 2  y 2 . Определим соответствующую поверхность. Возведем обе части в
квадрат: z 2  4  x 2  y 2 , отсюда z 2  x 2  y 2  4 .
Таким образом, график функции z  4  x 2  y 2 представляет собой верхнюю половину сферы z 2  x 2  y 2  4 с
центром в начале координат радиуса 2.
2.3 Понятие функции трех переменных
По аналогии с определением функции двух переменных,
дается определение функции трех переменных.
Определение. Даны четыре переменные величины x, y , z
и u . Если каждой тройке значений переменных x , y и z соответствует по некоторому закону определенное единственное
значение переменной u , то переменная u называется функцией
трех независимых переменных x , y и z .
Обозначение функции трех переменных: u  f  x, y, z  .
19
Областью существования всякой функции трех переменных является часть трехмерного пространства или все пространство.
4
z ln( y  2)
Например, функцию u 
можно рассматривать
x 5
только для таких троек чисел  x, y, z  , для которых z  0 ,
 x  5,

y  2  0 , x  5  0 , то есть  y  2,
 z  0.
График функции трех переменных мы не можем наглядно
изобразить или представить себе, он является совокупностью
точек в так называемом четырехмерном пространстве.
Четырехмерным пространством называется множество
всех возможных четверок чисел ( x, y, z, u ) ; сама четверка чисел
( x, y, z, u ) называется точкой в четырехмерном пространстве, а
числа x , y , z , u называются координатами этой точки. Эта терминология вводится по образцу геометрической терминологии одномерного, двумерного и трехмерного пространств, то есть по образцу тех случаев, когда термины точка и пространство имеют доступный для нас наглядный смысл (одномерный случай – прямая,
двумерный случай – плоскость, трехмерный случай – трехмерное
пространство, в котором мы находимся).
Такая терминология, хотя и не связывается с наглядными
геометрическими образами, тем не менее, очень удобна и полезна в математических рассуждениях.
Так как геометрическое изображение функций трех и
большего числа переменных невозможно, поэтому для них широко используется другой способ графического изображения –
метод сечений. Для функции z  f  x, y  – это метод линий
уровня, а для функции u  f  x, y, z  – метод поверхностей
уровня.
20
Линией уровня функции z  f  x, y  называется множество точек  x, y  плоскости xOy , в которых функция принимает
одно и то же значение C . Линию уровня можно построить, если
спроектировать на плоскость xOy множество точек пространства Oxyz , лежащих в пересечении поверхности z  f  x, y  и
плоскости z  C .
Уравнение линии уровня имеет вид f  x, y   C . Изменяя
C , можно получить различные линии уровня для данной функции.
Линии уровня часто используются при составлении географических карт: здесь линии уровня – линии, в которых высота точек земной поверхности над уровнем моря одинакова; при составлении метеорологических карт: здесь линии уровня – линии одинаковых температур (изотермы), линии равного давления (изобары) и так далее.
2.4 Понятие функции n переменных
Пусть D – некоторое подмножество n-мерного евклидова
пространства R n .
Определение. Если каждой точке M x1 , x2 , ..., xn   D поставлено в соответствие единственное действительное число z ,
то такое соответствие называется функцией n переменных
x1, x2 , ..., xn . При этом множество D называется областью определения функции, x1 , x2 , ..., xn – независимыми переменными
или аргументами функции.
Обозначение: z  f x1 , x2 , ..., xn  или z  f M .
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется функцией двух переменных, функцией
нескольких переменных?
21
2. Что называется областью определения функции двух,
трех переменных?
3. Приведите примеры функций нескольких переменных из
физики, техники.
4. Что называется графиком функции двух, трех и более
переменных? Можно ли геометрически изобразить график
функции трех переменных?
5. Дайте определение понятия линии уровня.
Задания для аудиторной работы
Задача 1. Найти значение функции:
 arctg  x  y  
1 3
1 3
1. z  
, y
;
 при x 


arctg
x

y
2
2


2
2. z  e sin  x y  при x  y 
2

2
;
2
3. z  y x 1  x y 1 при x  2 , y  2 ; x  1, y  2 ; x  2 , y  1 .
Задача 2. Функция f  x , y  определена на множестве:
1  x  3 ;
0  y  4.
1. 
0  y  2 ;
2 y  x  2 y  1.
2. 
Построить это множество.
Задача 3. Областью определения функции служит фигура,
ограниченная параболами y  x 2 и y  1  x 2 , включая параболы. Изобразить эту область определения и записать с помощью неравенств.
Задача 4. Найти, построить и охарактеризовать области
существования следующих функций:
1. z  x  y ;
2. z  1  x 2  y 2
3. z  x  y  x  y ;
4. z 
22
1
;
3x  y  1
5. z 
1
;
2
2
2
R x y
6. z  lg 1  x 2  y  ;


7. z  1  x 2  4  y 2 ;
8. z  1  x 2  y 2  4 ;
x
 arccos 2 y ;
3
4  x2  y2
11. z 
;
ln x 2  y 2  1
10. z  ln x 2  y 2 ;
13. z  arcsin x  y  ;
14. z  x  y ;
x2 y2
15. z  1  2  2 ;
a b
17. z  ln x  ln y ;
16. z  ln  y 2  4 x  8 ;
9. z  arcsin
19. u 
1
1
1
;


x
y
z
21. u  R 2  x 2  y 2  z 2 
4x  y 2
12. z 
;
ln 1  x 2  y 2 


18. z  ln 2 x 2  4 y ;
20. u  ln 16  x 2  y 2  z 2 ;
1
x2  y2  z 2  r 2
 R  r .
Задания для самостоятельной работы
Задача 1. Найти, построить и охарактеризовать области
существования следующих функций:
y
2. z  arcsin  x  1  arccos ;
1. z  4  x 2  y ;
3
1
4. z 
;
3. z  ln x 2  y 2  6 ;
y  4x
1
6. z 
;
5. z  12  x 2  y 2 ;
3x  y  1




7. z  ln 2 x 2  4 y ;
9. u  ln xyz;
y
11. z  arcsin ;
x
 y
8. z  arccos    arcsin 2 x ;
 5
10. u  x  y  z .
12. z 
1
x  y 1
2
2
;
23
x2  y 2  14  x2  y 2 ;
13. z  ln  x  y  ;
14. z 
15. z  x  y ;
16. z  arcsin


18. u 
17. z  cos x  y ;
2

2

x
y
 arcsin 1  y ;
2
1
ln 1  x  y  z
2
2
19. z  arcsin 3  x 2  y 2 ;
20. z  arcsin( 3xy) ;
21. z  ln 4 x  y 2  8 ln 4  x ;
22. z  y  1  x  1



2

2
;

1
2.
§ 3. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
3.1 Понятие предела функции двух переменных
Пусть функция z  f x, y  определена в окрестности точки
M 0  x 0 , y 0 .
Определение. Число b называется пределом функции
f x, y  при x  x0 , y  y 0 , если для любого   0 существует
    0 такое, что для любых точек
 x  x0   ,
и

 y  y0  
f x, y   b   .
x, y   x0 , y0  ,
x, y 
выполняется
таких, что
неравенство
Обозначение: lim f  x, y   b .
x  x0
y  y0
Как и для функции одной переменной можно доказать следующие свойства.
1. lim C  C .
x  x0
y  y0
Постоянная функция f x, y   C понимается так: для любых x, y
функция f x, y  принимает одно и то же значение C .
24
2. lim ( x n y m )  x0 n y0 m , n, m  N .
x  x0
y  y0
3.
lim P x, y   P x0 , y 0  , где Px, y  – целая рациональная
x  x0
y  y0
функция двух переменных, то есть над переменными x, y проводятся действия сложения, вычитания, умножения, возведения в
степень с натуральным показателем.
P  x, y  P  x 0 , y 0 
4. lim
, при условии, что lim Q x, y   0 .

x  x0 Q x, y  Q x 0 , y 0 
x  x0
y  y0
y  y0
Для функции двух (и более) переменных имеют место понятия бесконечно малой и бесконечно большой величин, которые вводятся так же, как и для функции одной переменной.
Свойства бесконечно больших и бесконечно малых, а так же основные теоремы о пределах формулируются и доказываются
точно так же, как для функции одной переменной. Пределы
функций нескольких переменных можно вычислять, применяя
известные теоремы о пределе алгебраической суммы, произведения и частного.
x2  4 y
x 3  3 y 2  4x  y
 3,
Например, lim
lim
 ,
x 1 2 x y  1
x 1
x

y
y 2
y 1
lim
x 
y  
4x  y
 0.
x 2  2 x y 2  y 3  3x 2 y 3
3.2 Непрерывность функции двух переменных
Пусть функция f x, y  определена в окрестности точки
M 0  x0 , y0  , M  x, y  – произвольная точка этой окрестности.
Определение 1. Функция f  x, y  называется непрерывной
в точке M 0  x0 , y0  , если lim f  x, y   f  x 0 , y 0  .
x  x0
y  y0
25
Замечание. Если это определение записать в виде
lim f  M   f  M 0  , то оно полностью совпадает с определе-
M M 0
нием непрерывности в точке для функции одной переменной.
Также определяется непрерывная в точке M 0 функция n переменных.
Обозначим
приращения
аргументов
x  x0   x ,
y  y0   y , а приращение функции f  x, y   f  x0 , y0    z .
При x  x0 , y  y 0 приращения аргументов  x,  y  0 , то
есть  x,  y – бесконечно малые функции, при этом  z тоже
становится бесконечно малой.
Определение 2. Функция z  f x, y  называется непрерывной в точке M 0  x0 , y0  , если бесконечно малым приращениям
аргументов  x,  y в точке M 0  x0 , y0  соответствует бесконечно
малое приращение функции  z .
Определение. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Для функции нескольких переменных остаются справедливыми теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного, которые известны для функции одной переменной.
Найдем области непрерывности рациональных функций
двух переменных:
1. Постоянная функция двух переменных f x, y   C для
любых точек ( x, y)  R 2 является непрерывной функцией на
всей плоскости, так как она непрерывна в каждой точке
M 0  x0 , y0  этой плоскости, что следует из того, что lim C  C ,
где f x0 , y 0   f x, y   C .
26
x  x0
y  y0
2. Целая рациональная функция Px, y  непрерывна на всей
плоскости, так как для любой точки плоскости выполняется свойство lim P x, y   P x0 , y 0  .
x  x0
y  y0
3. Дробно-рациональная функция
P  x, y 
непрерывна на
Q  x, y 
всей плоскости, кроме точек, в которых Qx, y   0 .
Пример 3.1 Функция z 
x2  y2
– дробно-рациональная
x y
функция двух переменных. Она непрерывна на всей плоскости,
кроме точек
0, 0.
x, y  ,
2
2
для которых x 2  y 2  0 , то есть точки
Определение. Точка M 0 x0 , y0  называется точкой разрыва
функции f x, y , если в этой точке функция не является непрерывной.
Функция двух переменных может иметь линию разрыва.
1
Например, функция z 
имеет линию разрыва y  x .
xy
Пример 3.2
Рассмотрим функцию
1  xy
z 2
– она непрерывна на всей плос2
x y
кости, кроме тех точек, где x 2  y 2  0 , то
есть где y   x . Получили две линии точек
разрыва y  x и y   x .
Рис. 3.1
3.3 Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема 1. Если функция z  f M  непрерывна в точке M 0 ,
то существует окрестность этой точки, в которой функция ограничена.
27
Теорема 2. Если функция z  f M  непрерывна в точке
M 0 и f M 0   0 , то существует окрестность этой точки, в которой знак функции таков же, каков ее знак в точке M 0 .
3.4 Свойства функций, непрерывных
на замкнутом ограниченном множестве
Теорема 1. Если функция z  f M  непрерывна на замкнутом ограниченном множестве E , то она ограничена на этом
множестве, то есть существует положительное число K такое,
что для любой точки M множества E выполняется неравенство
f M   K .
Теорема 2 (теорема Вейерштрасса). Если функция
z  f M  непрерывна на замкнутом ограниченном множестве,
то она имеет на этом множестве наибольшее и наименьшее значения.
Определение. Функция z  f M  называется равномерно
непрерывной на множестве E, если для любого положительного числа  существует     0 такое, что для любых двух точек
M 1 и M 2 из множества E , таких что  M1, M 2    , выполняется неравенство f M1   f M 2    .
Теорема 3. Если функция z  f M  непрерывна на замкнутом ограниченном множестве, то она равномерно непрерывна на
этом множестве.
3.5 Свойства функций, непрерывных в области
Теорема 4 (об обращении функции в нуль). Если функция
z  f M  непрерывна в области D , причем в двух точках этой
области принимает значения разных знаков, то в области D существует хотя бы одна точка M 0 , в которой f M 0   0 .
Теорема 5 (о промежуточном значении функции). Если
функция z  f M  непрерывна в области D и в двух точках M 1
28
и M 2 этой области принимает значения f M 1   A , f M 2   B ,
где A  B , то каково бы ни было число C , такое что A  C  B ,
найдется в области D точка M 0 , такая что f M 0   C .
§ 4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
4.1 Понятие частных производных
Пусть функция z  f x, y  определена в окрестности точки
M 0 x0 , y0 . Если зафиксировать переменную y , положив
y  y 0 , то получим функцию z  f x, y 0  – функцию одной пе-
ременной x .
Применяя определение производной для функции одной
переменной f x, y 0  в точке x  x0 , мы должны точке x0 задать
приращение x так, чтобы точка x0  x, y0  не выходила за
пределы окрестности точки M 0 . Тогда функция получит приращение
 x z  f x0  x, y0   f x0 , y 0 ,
которое называется частным приращением функции f x, y 
по переменной x в точке  x0 , y 0  .
Аналогично, фиксируя первую переменную x0 и придавая
точке y 0 приращение y , получаем частное приращение функции f x, y  по переменной y в точке M 0 x0 , y0 :
 y z  f x0 , y0  y   f x0 , y0 .
Определение. Частной производной по переменной x для
функции z  f x, y  в точке M 0 x0 , y0  называется предел отношения частного приращения функции по переменной x в точке
M 0 x0 , y0  к приращению соответствующего аргумента в точке
M 0 x0 , y0  при x  0 , при условии, что этот предел существует
и конечен.
29
f  x0 , y0 
z
, z x , f x  x0 , y0  ,
,
x
x
 z
то есть по определению f x  x0 , y 0   lim x .
x 0 x
Определение. Частной производной по переменной y
для функции z  f x, y  в точке M 0 x0 , y0  называется предел
Обозначение:
отношения частного приращения функции по переменной y в
точке M 0 x0 , y0  к приращению соответствующего аргумента в
точке M 0 x0 , y0  при y  0 , при условии, что этот предел существует и конечен.
f  x0 , y0 
z
Обозначение:
, z y , f y  x0 , y0 ,
,
y
y
yz
то есть по определению f y  x0 , y0   lim
.
y  0 y
Из определения следует, что частная производная функции
двух переменных равна обычной производной функции одной
переменной, полученной при условии, что вторая независимая
переменная сохраняет постоянное значение.
Правило нахождения частной производной
1. Чтобы найти частную производную по x функции
f  x, y  , надо считать y постоянной и применять формулы и
правила нахождения производной от функции одной переменной x .
2. Чтобы найти частную производную по y функции
f  x, y  , надо считать x постоянной и применять формулы и
правила нахождения производной от функции одной переменной y .
Пример 4.1 Найти частные производные функции z  x, y  .
1. z  2 x 2 y 
30
x y 5  x 3  y 4 x  1.
'
'
z
 2 x 2 y  x y 5  x3
x
x
x
1 5
 4 xy 
y  3x 2  y 4 ;
2 x
'
'
z
2
5
 2x y  x y
 x3
y
y
y

 
    

 
     y x
'
x
 y4 x
'
y
4
'
 1 x 
'
x
'
y
 1 y 
'
 2 x 2  x  5 y 4  4 y3 x.
2. z  x 3 y 2  2 x ln y  x y .
z
 y 2 3 x 2  ln y  2  y  x y 1 ;
x
z
1
 x 3 2 y  2 x   x y ln x .
y
y
3. z  sin  x 2  5 y 3  .
z
 cos  x 2  5 y 3    x 2  5 y 3   cos  x 2  5 y 3   2 x ;
x
x
z
 cos  x 2  5 y 3    x 2  5 y 3   cos  x 2  5 y 3    15 y 2  .
y
y
4. z  y sin x  y sin  x y  .
z
 y cos x  y cos  x y    x y  x  y cos x  y cos  x y   y 
x
 y cos x  y 2 cos  x y  ;
z
 sin x  y  sin  x y   y   sin  x y   
y
 sin x  sin  x y   y  cos  x y    x y  y 
 sin x  sin  x y   y  cos  x y   x.
5. z  x y .
z
 y  x y 1 .
x
z
 x y  ln x .
Если x  const , то это показательная функция a x ,
y
Если y  const , то это степенная функция x  ,
31
Замечание. Определения частных производных для функций трех и более переменных формулируются аналогично и вычисляются по указанным выше правилам.
Пример 4.2
u  f ( x, y, z ) .
Найти частные производные от функции
1. u  x 2  y 2  x y z .
u
u
 2 x  y z,
 2 y  x z,
x
y
2. u  6 x y z 2  5 x 2 z  y z
u
u
 6 y z 2  5 z  2 x,
 6 x z 2  z,
x
y
u
 x y.
z
u
 12 x y z  5 x 2  y.
z
Если дана функция n переменных z  f x1 , x2 , ..., xn  и


точка M 0 x10 , x20 , ..., xn0 , то аналогично вводится понятие производной по любой из переменных в точке M 0 .
Например, частное приращение функции по переменной x1
имеет вид:

 

 x1 z  f x10  x, x2 0 , ..., xn 0  f x10 , x2 0 , ..., xn 0 .
Тогда частная производная по переменной x1 будет равна:
 x1 z
z
 lim
.
x1 x1 0 x1
4.2 Геометрический смысл частных производных
функции двух переменных
Известно, что для функции одного переменного y  f x 
производная f x0   tg , где  – угол наклона касательной,
проведенной к кривой y  f x  через точку P0 x0 , f x0 , к положительному направлению оси Ox .
Пусть дана функция z  f x, y  , определенная в окрестности
точки M 0 x0 , y0 . Частная производная f x x0 , y 0 , как было ска32
зано ранее, совпадает с обычной производной, для функции одной
переменной z  f x, y 0  , когда y 0 фиксировано. Поэтому используем геометрический смысл производной для функции одной переменной. А для этого выясним, к какой кривой надо проводить
касательную.
Из аналитической геометрии известно, что если поверхность z  f x, y  пересечь плоскостью y  y 0 , то получим кривую z  f x, y 0  , лежащую в плоскости y  y 0 . Касательную
надо проводить к кривой z  f x, y 0  в плоскости y  y 0 через
точку P0 x0 , y 0 , f x0 , y 0  (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Таким образом, частная производная по x f x x0 , y 0  численно равна tg , где  – угол между касательной и осью Ox ,
причем
касательная
проводится
через
точку
P0 x0 , y 0 , f x0 , y 0  к кривой AB, полученной при пересечении
поверхности z  f x, y  с плоскостью y  y 0 .
Аналогично f y x0 , y 0   tg , где  – угол между касательной и осью Oy , причем касательная проводится через точку
P0 x0 , y 0 , f x0 , y 0  к кривой, полученной при пересечении поверхности z  f x, y  с плоскостью x  x0 .
33
4.3 Частные производные высших порядков
Пусть функция z  f x, y  определена в области D и имеет в
f  x, y 
каждой точке этой области частные производные
и
x
f  x, y 
. Эти частные производные снова являются функциями от
y
двух переменных x , y . Поэтому можно ставить вопрос о нахождении частных производных по x и по y от каждой из этих производных. Это приводит к частным производным второго порядка, которые обозначаются
2
  z   f  x, y 
 zxx ,
 
2
x  x 
x
2
  z   f  x, y 
 zxy ,
 
y  x 
xy
2
  z   f  x, y 
 zyy ,
 
2
y  y 
y
2
  z   f  x, y 
 zyx .
 
x  y 
yx
Пример 4.3 Найти частные производные второго порядка
функции z  x 5 y 2  4 x 3 y  1.
Найдем частные производные первого порядка:
z
z
 2x5 y  4x3 .
 5 x 4 y 2  12 x 2 y ,
x
y
Найдем частные производные второго порядка:
2z
x
2
2z
 20 x y  24 xy ,
2z
 10 x 4 y  12 x 2 ,
xy
 2x ,
2z
 10 x 4 y  12 x 2 .
yx
3 2
5
y
Заметим, что частные производные второго порядка данной функции, отличающиеся порядком дифференцирования,
2
2z
2z

равны между собой, то есть
. Это равенство выполxy yx
34
няется не для любых функций, но для достаточно большого
класса функций оно верно.
Теорема Римана. Если функция z  f x, y  имеет непрерывные смешанные частные производные второго порядка в об-
2z
2z

ласти D , то они равны между собой:
.
xy yx
Частные производные от частных производных второго
порядка приводят к частным производным третьего порядка:
3z
   2 z 
3z
   2 z 
 3 z    2 z 
  2 ,
  2 ,
 
,
3
2


x

y

x

y

x

x

x

y
x
x y
 x 
 x 


3z
   2 z 
3z
   2 z 
 3 z    2 z 
 

  2 ,
,
,
3
2
2
2



y

x

y

x
y  y 
y
xy
y x


 y 
3 z
  2 z 
3 z
  2 z 
,
.
 
 
yxy y  yx 
yx 2 x  yx 
2z
 10 x 4 y  12 x 2 . Тогда
В примере 4.3 имеем:
xy
3z
 40 x 3 y  24 x ,
xyx
3z
 10x 4 .
xy 2
Утверждение, аналогичное теореме Римана может быть доказано и для смешанных частных производных любого порядка:
смешанные частные производные любого порядка при условии
их непрерывности не зависят от порядка дифференцирования.
 5z
 5z

Например,
.
 x 3  y 2  x  y 2 x 2
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется частным приращением функции двух переменных? Сформулируйте аналогичное определение для функции n переменных.
35
2. Укажите правило вычисления частных производных
первого порядка для функции n переменных.
3. При каком условии смешанные частные производные
второго порядка равны между собой?
Задания для аудиторной работы
Задача 1. Найти частные производные первого порядка
данных функций по каждой из независимых переменных:
1. z  x y  y x ;
3
3
3. z  x y  3
y
;
x

3
2. z  e

;


x
6. z  arctg ;
y
x
y
8. z  sin cos ;
y
x
3
7. z  ln x  ln y  ;
10. z  x y e  x y ;
9. u  x 2  y 2  z 2 ;
11. u 
x
y
4. z  ln x  x 2  y 2 ;
5. z  5 x y  y  7 ;
2

y
xz;
z
12. u  x y ;
14. z  x sin  x  y  ;
13. z  x  e 4 x  2 y ;
15. u  sin 2 x  sin 2 y  sin 2 z .
Задача 2. Найти частные производные z x и z y от функции

y 
z  ln  x 
 в точке 1, 0  .
2
x


Задача 3. Найти все частные производные второго порядка
для данных функций:
1
1. z 
3
36
x
2
y
;
2 3
z
2. z  y
ln x
;
 x
x
3. u  xy  ; 4. u    .
y
 y
Задача 4. Для функции двух переменных z  x y докажите, что смешанные частные производные второго порядка рав 2z
 2z
ны между собой:
.

x y
y x
Задача 5. Найдите все частные производные третьего порядка от функции z  x  ln  x y  .
Задача 6. Найти сумму частных производных функции
z  x 2 y в точке 1; 1 .
Задача 7. Для функции z  ln  x  y
2
2

3 z
найти
.
 x y 2
Задача 8. Показать, что функция z  y  ln  x 2  y 2  удовлетворяет уравнению
1 z 1 z
z
    2.
x x y y y
Задания для самостоятельной работы
Задача 1. Найти частные производные первого и второго
порядка данных функций по каждой из независимых переменных:
1. z 
x3  y 3
x2  y
4. z  e
x2 y3
;
2
7. z  x  sin  x y  ;
10. u  e
x
y
4x
 8x5 y 4 ;
y
5. z  ln sin
;
cos
2. z 
2
;
13. u  sin x  ;
yz
16. u  xy  yz  zx ;
3. z  ctgxy;
x
;
y
6. z  2sin  xy  ;
9. u  arctg x  y z
8. z  x xy ;
y 

11. z  ln  x   ;
2x 

x
14. u  arcsin
;
2
2
x y

12. z  arctg
x
y
y
1  x2
15. u  e  e

z
y

17. u  sin x 2  y 2  z 2 ;
37
;
18. u  x 3  y z 2  3 y x  x  z ;
19. u   x  y    x  z    y  z  ;
20. z  x  e x  sin y ;
21. z  e x  ln y  ln x  sin y .
y
yx
Задача 2. Показать, что функция z 
ряет уравнению x 2 
 sin
y
удовлетвоx
z
z
 x y  y z.
x
y
Задача 3. Для функции u  e x   x cos y  y sin y  показать,
2u 2u

 0.
что
 x2  y2
Задача 4. Для функции u 
1
x y z
2
2
2
показать, что
2u 2u 2u


 0.
 x2  y2 z2
Задача 5.
Для функции z  ln  e x  e y  доказать, что
2
z
z
 2z  2z   2 z 

1 и


 0.
x
y
x2  y2  x  y 
x2 x 1 1
   удоЗадача 6. Показать, что функция z 
2y 2 x y
z
x3
2 z
влетворяет соотношению x   y   .
x
y
y
Задача 7. Найти область существования функций, найти
частные производные первого порядка и доказать, что смешанные частные производные второго порядка равны между собой:
y2 1
1
а) z 
;
б) z 
.
2
2
x

y
9x  y
2
38
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ.
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
5.1 Полное приращение функции
Пусть функция z  f x, y  определена в окрестности точки
M 0 ( x0 , y0 ) . Придадим аргументам в точке M 0 приращения x и
y , такие что точка M x0  x, y0  y  принадлежит данной
окрестности точки M 0 .
Определение. Полным приращением функции z  f x, y 
в точке M 0 x0 ,y 0  называется приращение функции, отвечающее произвольным приращениям обеих переменных:
z  f x0  x, y0  y   f x0 , y0 ,
при этом x и y не должны одновременно обращаться в ноль.
Замечание. Очевидно, что если y  0 , а x  0 , то полное
приращение функции принимает вид:
z  f x0  x,y0   f x0 ,y 0  .
Это есть частное приращение функции f x, y  по переменной x , которое ранее обозначалось через  x z , то есть если
 y  0 , а  x  0 , то  z   x z . Аналогично, если  x  0 , а
 y  0 , то  z   y z – частное приращение функции f x, y  по
переменной y .
5.2 Понятие дифференцируемой функции
Определение. Функция z  f x, y  называется дифференцируемой в точке M 0 x0 ,y0 , если ее полное приращение в этой
точке можно представить в виде
 z  A  x  B   y    x     y,
(5.1)
где A, B  const ,  ,  зависят от  x и  y , причем  ,  являются бесконечно малыми функциями при  x,  y  0 .
39
Теорема 1 (о связи дифференцируемости функции с ее
непрерывностью). Если функция дифференцируема в точке
M 0 , то она непрерывна в этой точке.
Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости
функции). Если функция дифференцируема в точке M 0 , то она
имеет в этой точке частные производные.
Замечание 1. Утверждение, обратное теореме 1, неверно,
то есть из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.
Замечание 2. Из теоремы 2 следует, что для функции
z  f x, y  , дифференцируемой в точке  x0 ,y0  , полное приращение, представленное формулой (5.1), можно записать в виде:
z
z
 z   x   y   x    y,
(5.2)
x
y
z z
– частные производные этой функции в точке
,
x y
x0 ,y0  , а  ,  – бесконечно малые функции при  x,  y  0 .
где
Замечание 3. Утверждение, обратное теореме 2, неверно,
то есть из существования частных производных не следует дифференцируемость функции.
Пример 5.1 Доказать, что функция z  3 x 2 y имеет в точке 0, 0 частные производные, но не дифференцируема в этой
точке.
Доказательство. Покажем, что функция z  3 x 2 y имеет в
точке 0, 0 частные производные по определению частных про z
z
 lim x .
изводных:
x x0 x
Имеем  x z  f x0  x,y0   f x0 ,y0 . Так как x0  y0  0 , то
 x z  f   x, 0   f  0, 0   0 . Тогда
40
 z
z
0
 lim x  lim
 lim 0  0 .

x

0

x

0
x
x
x x0
z
 0.
Аналогично
y
Покажем, что функция z  3 x 2 y не дифференцируема в
точке 0, 0. Для этого найдем полное приращение функции в
точке 0, 0:
z  f 0  x, 0  y   f 0, 0  f x, y   3 (x) 2  y .
Если бы функция была дифференцируема в точке 0, 0, то полученное полное приращение можно представить в виде (5.2), то
есть
z
z
3
(x) 2  y   x   y    x    y    x    y ,
x
y
где  ,  – бесконечно малые функции при x, y  0 , при этом
x, y одновременно не обращаются в ноль. Поэтому положим
x  y  0 . Тогда
3
(x) 2  x    x    x , отсюда 1     .
Это равенство невозможно в силу задания  ,  . Поэтому функция z  3 x 2 y не дифференцируема в точке 0, 0.
Итак, функция z  3 x 2 y имеет в точке 0, 0 частные производные, но не дифференцируема в ней. Что и требовалось доказать.
Если же на частные производные, кроме их существования
наложить дополнительные условия, то можно получить достаточное условие дифференцируемости.
Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости).
Если функция z  f x, y  имеет в окрестности точки M 0 частные производные, непрерывные в этой точке, то функция дифференцируема в точке M 0 .
41
5.3 Касательная плоскость к поверхности
Пусть функция z  f x, y  непрерывна в области D . Геометрически функция изобразится в виде поверхности. Пусть
точка M 0 x0 , y0  принадлежит области D. Ей на поверхности
соответствует точка P0 x0 , y 0 , z 0  . Проведем через точку P0
плоскость. Пусть точка P – любая другая точка на поверхности.
Опустим из точки P на плоскость перпендикуляр PN (рис. 5.1).
Определение.
Плоскость
называется касательной плоскостью к поверхности в точке P0 ,
если расстояние PN от любой
другой точки P данной поверхности до этой плоскости есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с расстоянием от этой точки P до
точки P0 , когда расстояние PP0  0 , то есть
Рис. 5.1
PN
PP
PP0 0 0
lim
 0.
Теорема. Если функция z  f x, y  дифференцируема в точке M 0 x0 , y0 , то в точке P0 x0 , y 0 , z 0  (где z 0  f x0 , y 0  ) существует касательная плоскость к поверхности и ее уравнение
имеет вид
f x x0 , y0   x  x0   f y x0 , y 0    y  y 0   z  z 0   0 ,
где x, y, z  – текущие координаты точки касательной плоскости.
5.4 Дифференциал функции
Пусть функция z  f x, y  дифференцируема в точке
M 0 x0 , y0 . Значит, ее приращение в этой точке можно представить в виде:
z 
42
f  x0 , y0 
f  x0 , y0 
 x 
 y    x    y ,
x
y
(5.3)
где  ,  – бесконечно малые функции при x, y  0 .
f  x0 , y0 
f  x0 , y0 
Выражение
 x 
 y линейно зависит
x
y
от x, y и имеет вид A  x  B  y , при этом A, B  const .
Выражение   x    y нелинейно зависит от x, y , так
как  ,  не постоянные, а бесконечно малые функции при
x, y  0 .
Определение 1. Полным дифференциалом функции
z  f x, y  в точке M 0 x0 , y0  называется линейная часть полного приращения и обозначается
f  x0 , y0 
f  x0 , y0 
(5.4)
dz 
 x 
 y .
x
y
Определение 2. Дифференциалами независимых переменных называются приращения этих переменных, то есть
dx  x , dy  y .
Тогда равенство (5.4) примет вид:
f  x0 , y0 
f  x0 , y0 
(5.5)
dz  df  x0 , y0  
 dx 
 dy .
x
y
Если функция z  f x, y  дифференцируема в любой точке
M  x, y  области D , то формула (5.5) примет вид:
z
z
dz   dx   dy .
x
y
Пример 5.2
Найти полный дифференциал функции
z  4 x 3 y 2  2 x в произвольной точке плоскости.
z
z
Решение. По определению dz   dx   dy . Так как
x
y
частные производные данной функции имеют вид:
z
z
 12 x 2 y 2  2 ,
 8x 3 y ,
x
x


то dz  12 x 2 y 2  2  dx  8x 3 y  dy .
43
5.5 Применение дифференциала к приближенным
вычислениям
Из формулы (5.3) при x, y  0 слагаемое   x    y
является бесконечно малым высшего порядка по сравнению с
первым слагаемым (за счет того, что  ,  – бесконечно малые
функции при x, y  0 ). Поэтому, отбрасывая последние слагаемые, с учетом равенства (5.4) получаем:
(5.6)
z  dz ,
где z  f x0  x,y0  y   f x0 ,y0  . Поэтому из (5.6) получаем
dz  f x0  x,y0  y   f x0 ,y0 .
Отсюда
f  x0 , y0 
f  x0 , y0 
 x 
 y . (5.7)
x
y
Формула (5.7) позволяет вычислять значение функции в
точке M x0  x, y0  y , если известно точное значение функf  x0  x,y0  y   f  x0 , y0  
ции
f x, y 
в
M x0  x, y0  y .
точке
M 0  x0 , y0  ,
близкой
к
точке
Пример 5.3 Найти 0,94,2 .
Решение. Рассмотрим функцию f  x, y   x y . Найдем ее
значение при x  0,9 и y  4,2 . Положим x0  1 и y 0  4 , тогда
 x  x  x0  0,1 и  y  y  y0  0,2 .
f x0 , y0   f 1, 4  14  1,
f  x0 , y0  f 1, 4
f  x, y 
 y  x y 1 

 4 14 1  4 ,
x
x
x
f  x0 , y0  f 1, 4 4
f  x, y 
 x y  ln x 

 1  ln 1  0 .
y
y
y
Тогда, с учетом формулы (5.7) получаем:
0,94,2  1  4   0,1  0  0,2  0,6 .
44
5.6 Дифференциалы высших порядков
Пусть функция z  f x, y  имеет непрерывные частные
производные до n-го порядка включительно в области D. Тогда в
каждой точке области D существует дифференциал функции
z
z
dz
dx
d y . Следовательно, дифференциал функции
x
y
является в свою очередь функцией от x и y . Может оказаться,
что дифференциал первого порядка d z , как функция от x и y , в
свою очередь имеет дифференциал.
Определение. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка, то есть
d 2 z  d dz  .
Дифференциал второго порядка d 2 z , как функция от x и
y , в свою очередь может иметь дифференциал, который называется дифференциалом третьего порядка от функции z и обозначается d 3 z , то есть d 3 z  d  d 2 z  .
После того, как дифференциал  n  1 -го порядка опреде-
лен, определяем дифференциал n -го порядка: d n z  d  d n  1 z  .
Выведем формулу дифференциала второго порядка.
 z

 z

z
 z

d 2 z  d dz   d   dx   dy   d   dx   d   dy  .
y
 x

 x

 y

Здесь dx и dy – дифференциалы независимых переменных,
поэтому dx  x , dy  y . Тогда dx и dy являются постоянными
по отношению к x и y , ибо таковы x , y . Поэтому dx и dy
можно вывести за знак дифференциала как постоянный множитель. Тогда
 z 
 z 
d 2 z  d    dx  d    dy .
 x 
 y 
45
 z 
 z 
В этом равенстве d   и d   находим по формуле
 x 
 y 
z
z
 z z
dz   dx   dy , только роль z играет
и
. Тогда
x
y
 x y
   z 

   z 

  z 
  z 
d 2 z      dx     dy   dx      dx     dy   dy
y  x 
y  y 
 x  x 

 x  y 

или
2
2
 2z

 2z


z

z
d z   2  dx 
 dy   dx  
 dx  2  dy   dy .
yx
y
 x

 xy

2
2z
2z
Так как по условию
и
непрерывны в области D ,
yx xy
то они равны. После приведения подобных слагаемых, получаем
2z
2z
2z
d z  2  dx  2
 dx  dy  2  dy 2 .
xy
x
y
Правая часть этого равенства напоминает формулу квадрата суммы. Для ее запоминания условно запишем в виде:
2
2
2



d z    dx   dy  z .
y
 x

Аналогично получаем условный вид дифференциала третьего порядка:
2
3



d z    dx   dy  z ,
y
 x

3
то есть
d z
3
3 z
3 z
 dx  3
3
3
 dx  dy  3
2
3 z
 dx  dy 
2
2
3 z
3
.

dy
3
x
x 2y
xy
y
Дифференциал n-го порядка условно запишется в виде:
n



d z    dx   dy   z .
y
 x

n
46
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется полным приращением функции двух переменных?
2. Сформулируйте определение функции двух переменных,
дифференцируемой в точке, в области. Каковы необходимое и
достаточное условия дифференцируемости функции двух переменных?
3. Сформулируйте определение полного дифференциала
функции двух переменных.
4. Как применяется полный дифференциал функции для
приближенных вычислений?
Задания для аудиторной работы
Задача 1. Найти полный дифференциал функции.
1. z  x 3  y 3 ;
y
3. z  arctg ;
x
st
5. u 
;
s t
2. z  x 2 y 4  x3 y 3  x 4 y 2 ;
4. z  sin xy ;
6. u   xy2 ;
7. z  arctg xy ;
8. z 
x2  y2
.
x y
Задача 2. Найти значение полного дифференциала функ2
2
ции:
1. z  x  y  x 2  y 2 при x  3, y  4 , x  0,1 , y  0,2 ;
2. z  e xy при x  1, y  1, x  0,15 , y  0,1.
Задача 3. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:


1. ln 3 1,03  4 0,98  1 ;
2. 1,04 2,02 .
Задача 4. Радиус цилиндра R  6,8  0,1 м, его высота
H  12,3  0,2 м. Найти объем цилиндра и предельную погрешность вычислений.
47


Задача 5. Дана поверхность z  ln x 2  y 2 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке
M 0 1, 0, 0  .
Задача 6. Восстановите функцию z  f x, y  по ее полному
дифференциалу:
1. dz  2 xdx  2 ydy ;
2. dz  3 x 2  y dx  3 x  y 2 dy .




Задания для самостоятельной работы
Задача 1. z  3 x  y 2 . Найти d y z при x  2 , y  5 ,
y  0,01.
z  ln xy . Найти d x z при x  1 , y  1,2 ,
Задача 2.
x  0,016 .
Задача 3. Найти полный дифференциал функции:
x
x y
1. z  12 ln x 2  y 2 ;
2. z  arcsin ;
3. z  arctg
;
y
1  xy
y
4. z  ln tg ;
5. z  e xy ;
6. z  x y ;
x






7. z  ln x  x 2  y 2 ;
8. z  sin x 2  y 2 ;
10. z  x tg x  y ;
x

11. z   ctg 
2

2
9. z  y ln y  x ;
sin y
;
12. z  e x cos y  x sin y ; 13. u  e x  y x cos y  y sin x .
Задача 4. Найти значение полного дифференциала функции:
xy
1. z  2
при x  2 , y  1 , x  0,01, y  0,03 ;
x  y2
2. z  x  y  x 2  y 2 при x  3, y  4 , x  0,1 , y  0,2 ;
3. z  e xy при x  1, y  1, x  0,15 , y  0,1.
48
Задача 5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:


1. ln 0,093  0,993 ; 2. 3 1,02 2  0,052 ; 3. 5e 0,02  2,032 .
Задача 6. Тело взвесили в воздухе 4,1  0,1 Н и в воде
1,8  0,2 Н. Найти плотность тела и указать погрешность подсчета.
Задача 7. Радиус основания конуса равен 10,2  0,1 см, образующая равна 44,6  0,1 см. Найти объем конуса и указать погрешность подсчета.
1
Задача 8. Для функции z 
найти область
2
2
ln 1  x  y


существования, записать полный дифференциал и доказать, что
смешанные частные производные второго порядка равны между
собой. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к
1 1
поверхности в точке M 0  ,  .
2 2
§ 6. СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ
6.1 Понятие сложной функции
Пусть функция z  f x, y  определена в области D , при
этом x и y в свою очередь являются функциями одной переменной t : x   (t ) , y   (t ) , определенными на отрезке [ ,  ] . Тогда
функция z  f  (t ), (t )  называется сложной функцией двух
промежуточными переменных x , y и одной независимой переменной t .
Пусть для функции z  f x, y  , x и y являются функциями
двух переменных u и v : x   (u, v) , y   (u, v) . Тогда функция
z  f  (u, v), (u, v)  называется сложной функцией двух промежуточных переменных x , y и двух независимых переменных u , v .
49
Определение. Пусть функции
x1  1 t1 , t 2 , ..., t k , x2   2 t1 , t 2 , ..., t k  , …,


xn   n t1 , t 2 , ..., t k 
(6.1)


в точке t10 , t20 , ..., tk0 принимают значения x10  1 t10 , t20 , ..., tk0 ,




x20  2 t10 , t20 , ..., tk0 , …, xn0  n t10 , t20 , ..., tk0 . Тогда говорят, что


функции 1 ,  2 , …,  n отображают точку t10 , t20 , ..., tk0  R k в


точку с координатами x10 , x20 , ..., xn0  R n .
Определение. Говорят, что функции 1 ,  2 , …,  n , заданные равенствами (6.1), отображают множество E  R k во
множество D  R n , если эти функции отображают каждую
t1, t2 , ..., tk  E
точку
в
соответствующую
точку
x1, x2 , ..., xn  D .
Определение. Если функция z  f x1 , x2 , ..., xn  определена на множестве D  R n , а функции, заданные равенствами
(6.1), определены на множестве E  R k , причем функции 1 ,
 2 , …,  n отображают множество E во множество D , то говорят, что на множестве E определена сложная функция n
промежуточных переменных x1 , x2 , ..., xn и k независимых переменных t1 , t2 , ..., tk :
z  f 1 t1 , t 2 , ..., t k ,  2 t1 , t 2 , ..., t k , ...,  n t1 , t 2 , ..., t k .
(6.2)
Теорема (о непрерывности сложной функции). Если
функция z  f x1 , x2 , ..., xn  непрерывна на множестве D  R n ,
а функции, заданные (6.1), непрерывны на множестве E  R k ,
причем функции 1 ,  2 , …,  n отображают множество E во
множество D , то сложная функция (6.2) непрерывна на множестве E .
50
Пример 6.1 Рассмотрим функцию z  x 2  y 2 , где x  sin t ,
y  et .
Так как функция z  x 2  y 2 непрерывна на множестве R 2
(как целая рациональная функция двух переменных), функции
x  sin t , y  e t непрерывны на множестве R , причем функции
x  sin t , y  e t отображают множество R во множество R 2 , то
сложная функция z  sin 2 t  e 2t непрерывна на множестве R .
6.2 Производная сложной функции
1. Пусть функция z  f x, y  определена в области D , при
этом x и y в свою очередь являются функциями одной переменной t : x   (t ) , y   (t ) , определенными на отрезке [ ,  ] . Рассмотрим сложную функцию z  f  t ,  t  двух промежуточных переменных x и y и одной независимой переменной t .
Теорема 1. Если функция z  f x, y  имеет непрерывные
частные производные в области D , функции x   (t ) , y   (t )
дифференцируемы в интервале ( ,  ) и отображают интервал
( ,  ) в область D , то сложная функция z  f  t ,  t  имеет в
интервале ( ,  ) производную по переменной t и она имеет
вид:
dz z dx z dy
    .
(6.3)
dt x dt y dt
Пример 6.2
Найти производную сложной функции
z  ln( x 2  y 2 ) , где x  sin 2t , y  e3t .
Решение. Задана функция двух промежуточных переменных x , y и одной независимой переменной t . Найдем частные
производные функции z  ln( x 2  y 2 ) :
z
1
2x
2
2 
 2
x

y

,


x
x x  y2
x2  y2
51
z
1
2y
2
2 
 2
x

y

;


2
2
2
y
y x  y
x y
Найдем производные функций x  sin 2t и y  e3t :
dx
dy
 2 cos 2 t ,
 3 e 3t .
dt
dt
Тогда искомая производная сложной функции имеет вид:
dz z dx z dy
2x
2y
3t
,
     2

2
cos
2
t


3
e
2
2
dt x dt y dt x  y 2
x y
где x  sin 2t и y  e3t .
2. Пусть для функции z  f x, y  , x и y являются функциями двух переменных u и v : x   (u, v) , y   (u, v) . Рассмотрим
сложную функцию z  f  (u, v), (u, v)  двух промежуточных
переменных x , y и двух независимых переменных u , v .
Теорема 2. Если функция z  f x, y  имеет непрерывные
частные производные в области D , функции x   (u, v) ,
y   (u, v) дифференцируемы в области E и отображают область
E в область D , то сложная функция z  f  (u, v), (u, v)  имеет в
области E частные производные по u и по v , которые вычисляются по формулам:
z z dx z dy
    ,
u x du y du
(6.4)
z z dx z dy
    .
v x dv y dv
Пример 6.3 Найти частные производные сложной функции
z  x  ln y , где x  u  v , y  sin uv  .
Решение. Задана функция двух промежуточных переменных x , y и двух независимых переменных u , v .
Найдем частные производные функции z  x  ln y :
z x
z
 .
 ln y ,
x
y y
52
Найдем
y  sin uv  :
частные
производные
функций
x  u v,
x
x
 1,
 1,
v
u
y
y
 v  cosuv ,
 u  cosuv .
u
v
Используя формулы (6.4), найдем частные производные
сложной функции:
z z dx z dy
x
   
 ln y   v  cos(uv) ,
u x du y du
y
z z dx z dy
x
      ln y   u  cos(uv) .
v x dv y dv
y
Правило вычисления производной сложной функции
Чтобы найти частную производную сложной функции по
независимой переменной, надо найти частные производные этой
функции по всем промежуточным аргументам, каждую из которых умножить на частную производную соответствующего промежуточного аргумента по заданной независимой переменной и
сложить эти произведения.
6.3 Дифференциал сложной функции. Свойство
инвариантности дифференциала сложной функции
Если x, y – независимые переменные, то дифференциал
функции z  f x, y  имеет вид:
z
z
dz   dx   dy
(6.5)
x
y
Пусть z  f x, y  , где x   u, v  , y   u, v , и пусть эти
функции дифференцируемы в соответствующих областях.
Найдем дифференциал сложной функции z  f  u, v ,  u, v 
по формуле (6.5):
z
z
dz   du   dv .
(6.6)
u
v
53
z  z
,
находим как частные производные сложной функции по
u  v
формулам (6.4):
z z dx z dy
z z dx z dy
    ,
    ..
u x du y du
v x dv y dv
Тогда равенство (6.6) примет вид:
 z dx z dy 
 z x z y 
dz        du        dv 
 x du y du 
 x v y v 

z  x
x
y
z
 z  y
 z

du


dv


du


dv


dx

 dy. (6.7)




x  u
v
v
y
 y  u
 x
дифференциал dx
функции x   u , v 
дифференциал dy
функции y   u , v 
Сравнивая формулы (6.5) и (6.7), видим, что форма дифференциала (6.5) сохранилась и для случая, когда x , y зависят от
других переменных.
Теорема. Если z  f x, y  , где x   u, v  , y   u, v  –
дифференцируемые функции, то дифференциал сложной функz
z
ции z  f  u, v ,  u, v  имеет вид: dz   dx   dy , то есть
x
y
сохраняет свою форму.
Свойство дифференциала сложной функции сохранять
свою форму называется инвариантностью формы дифференциала.
6.4 Дифференциалы высших порядков сложной функции
Пусть z  f x, y  , где x   u, v  , y   u, v , причем каждая
из функций  и  имеет непрерывные частные производные до
второго порядка включительно в соответствующих областях.
Найдем d 2 z сложной функции z  f  u, v ,  u, v . По свой-
54
ству инвариантности дифференциала первого порядка находим
z
z
dz   dx   dy . Тогда
x
y
 z

 z

z
 z

d 2 z  d dz   d   dx   dy   d   dx   d   dy  .
y
 x

 x

 y

Здесь dx и dy не являются постоянными, поэтому применим формулу дифференциала произведения.
 z 
z
z
 z 
d 2 z  d  dx  d dx   d  dy  d dy  
x
y
 x 
 y 
 2 z

2z
z 2   2 z
 2 z 
z


  2 dx 
dy dx  d x  
dx  2 dy dy  d 2 y 
xy 
x
y
y
 x
 yx

2 z
2z
 2 z 2 z 2
z
 2 dx  2
dx dy  2 dy  d x  d 2 y
xy
x
y
x
y
Сравнивая эту формулу с формулой (6.5) видим, что форма
записи (6.5) не сохраняется для сложной функции. Поэтому
дифференциал второго порядка сложной функции не обладает
свойством инвариантности.
2
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется полной производной функции нескольких переменных, двух переменных?
2. Сформулируйте правило дифференцирования сложной
функции нескольких переменных в случае одной независимой
переменной.
3. Сформулируйте правило дифференцирования сложной
функции нескольких переменных в случае двух независимых переменных.
Задания для аудиторной работы
Задача 1. Вычислить производные сложной функции.
dz
?
1. z  arcsin x  y  , x  3t , y  4t 3 ;
dt
55
dz
?
dt
x
dz
3. z  ln arctg
, x  3t 2 , y  t 2  1 ;
?
dt
y
2. z  xy2  2 x3  5 , x  sin t , y  t ;
4. z  ln sin

x 2  e y , y  tgx ;

5. z  ln e x  e y , y  x 3 ;
dz
?
dx
dz
?
dx
z
u
z
?
6. z  x 2 ln y , x  , y  3u  2v ;
?
u
v
v
z
z

7. z  arctg ,   u sin v ,   u cos v ;
?
?
u

v
z
z
8. z  x 2  y 2 , x     , y     ;
?
?


x
Задача 2. Показать, что функция z  arctg , где x  u  v ,
y
z z
uv
.
y  u  v , удовлетворяет соотношению

 2
u v v  u 2
Задания для самостоятельной работы
1.
2.
3.
4.
5.
56
Задача 1. Вычислить производные сложной функции.
du
u  e x2 y , x  sin t , y  t 3 ;
?
dt
du
?
u  z 2  y 2  zy , z  sin t , y  et ;
dt
z
z
?
z  x 2 y  y 2 x , x  u cos v , y  u sin v ;
?
u
v
dz
z  arctg xy , y  e x ;
?
dx
x
du
u  arcsin , z  x 2  1 ;
?
z
dx




1
dz
6. z  tg 3t  2 x 2  y , x  , y  t ;
?
t
dt
z
z
7. z  f x 2  y 2 , e xy ,
?
?
y
x
1 u
dz
8. z  ln , u  tg 2 x , v  ctg 2 x ;
?
2 v
dx
9. z 
x2  y
x2  y
, y  3 x  1;
10. z  x 2 y , y  cos x ;
11. z  ln
x  x2  y2
x  x2  y2
dz
?
dx
dz
z
?
?
dx
x
, y  x cos  ;
dz
?
dx
du
?
dx
du
?
13. u  ux  yx , x yx ;
dx
12. u  x, x  yx ;


Задача 2. Показать, что функция z   x 2  y 2 , где  u  –
произвольная дифференцируемая функция, удовлетворяет соотz
z
ношению y  x  0 .
x
y
Задача 3. Предполагая, что произвольные функции  и 
дифференцируемы достаточное число раз, проверить следующие
равенства:
z
z
1. y  x  0 , если z   x 2  y 2 ;
x
y


y2
z
z
2
  xy;
 xy  y  0 , если z 
2. x
3x
x
y
2
3.
 2u
t
2
a
2
 2u
x
2
, если u   x  at   x  at ;
57
 2u
 2u  2u
4. 2  2
 2  0 , если u  x    x  y   y   x  y  .
xy y
x
Задача 4. Найти производные функций:
1. z  x 
y
x3
y2
u
при x  arctgu  v; y  .
v
y2 1
2. z 
при x  arccos t ; y  sin3 t.
x y
1
5x  1
; y  u  eu  v .
3. z 
при x 
3u  2v
x2 y


1
4. z  sin x3  y 3 при x  et  e2t ; y  t 2  2ln .
t
2
u
5. z  ln 1  x 2 y 2  при x  arctg ; y  u v .


v


t
t
6. z  cos 5 x3 y 5 при x  t  ln 1  t  ; y  e a  e a .
§ 7. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
7.1 Неявная функция одной переменной
Пусть дано уравнение
x2  y3  1  0 .
(7.1)
Это уравнение содержит две переменные. Выразим y через
x: y  3 1  x 2 . Получили функцию от одной переменной x с областью определения X  (,  ) . Очевидно, полученная
функция обращает уравнение (7.1) в тождество. В таком случае
говорят, что уравнение (7.1) определяет неявную функцию на
множестве X  (,  ) .
Определение. Говорят, что уравнение
F x, y   0
58
(7.2)
определяет y как неявную функцию от x на множестве X, если существует функция y   x , определенная на этом множестве и обращающая уравнение (7.2) в тождество на множестве X,
то есть F x,  x   0 для любого x  X .
В предложенном примере неявной функцией является
функция y  3 1  x 2 , заданная уравнением x 2  y 3  1  0 на
множестве X  (,  ) .
2
2
Пример 7.1 Рассмотрим уравнение x  y  1  0.
Здесь F ( x, y)  x 2  y 2  1. Очевидно, что какое бы x  x0
2
2
ни взяли, уравнение x0  y  1  0 не имеет решений. Поэтому
данное уравнение не определяет неявную функцию.
x2
 y 2  1  0 (7.3)
Пример 7.2 Рассмотрим уравнение
4
x2
Выразим y через x: y   1 
,  2  x  2 . Получили
4
две функции от одной переменной x с областью определения
X   2, 2. Очевидно, что каждая из этих функций обращает
уравнение (7.3) в тождество. То есть каждому x  x0  [2, 2]
соответствует не единственное y , являющееся решением урав-
x02
 y 2  1  0 . Поэтому, чтобы уравнение задавало неявнения
4
но функцию y   (x) , надо ограничить y . Например, y  (0,1] .
Не всегда из уравнения вида (7.2) удается выразить y через
x. Например, x5 y 7  2 x3 y 4  4 xy  2 y  0 . Но, тем не менее, это
уравнение определяет неявную функцию y   x . Встает вопрос: в каком случае уравнение (7.2) определяет неявную функцию? Ответ дает следующая теорема.
Теорема существования неявной функции одной переменной. Если левая часть уравнения F x, y   0 такова, что
59
1) F  x, y  , Fx x, y , Fy  x, y  непрерывны в окрестности точки
M 0 x0 , y0 ,
2) F x0 , y0   0 ,
3) Fy x0 , y0   0 ,
то
уравнение
F x, y   0 определяет неявную функцию y   x  в окрестности
точки x0 , причем эта функция обладает свойствами: 1) функция
y   x  непрерывна в окрестности точки x0 , 2)   x0   y0 ,
3) функция y   x  имеет непрерывную производную в окрестности точки x0 , которая имеет вид:
F   x, y 
dy
 x
.
dx
F y  x, y 
Выведем формулу производной для неявной функции
y   x , заданной уравнением (7.2).
Так как по определению неявная функция обращает уравнение (7.2) в тождество F x,  x   0 , а тождество можно дифференцировать (уравнение нельзя), то продифференцируем обе
части этого тождества по x, используя формулу полного диффеF dx F dy
 

ренциала dF 
(так как имеем сложную функx dx y dx
цию z  F x, y , где x  x , y   x ). Тогда
dy
F F dy
F F


0 

:
.
x y dx
dx
x y
Пример 7.3 Доказать, что уравнение
x 3 y  x 2 y 4  3x  4 y  3  0
(7.4)
определяет y как неявную функцию от x в окрестности точки
1, 1 .
Решение. Здесь F x, y   x 3 y  x 2 y 4  3x  4 y  3 . Тогда
Fx x, y   3x 2 y  2 xy 4  3, Fy x, y   x 3  4 x 2 y 3  4 .
1) F  x, y  , Fx x, y , Fy  x, y  – целые рациональные функции
двух переменных, поэтому они непрерывны в R 2 ,
60
следовательно, они непрерывны в окрестности точки 1, 1 ;
2) F 1, 1  1  1  3  4  3  0 ;
3) Fy 1, 1  1  4  4  9  0 .
Тогда по теореме о существовании неявной функции уравнение (7.4) определяет неявную функцию y   x , обладающую
свойствами: 1) функция y   x  непрерывна в окрестности точки x  1, 2)  1  1, 3) функция y   x  имеет непрерывную
производную в окрестности точки x  1, которая имеет вид:
dy
3x 2 y  2 xy 4  3
, где y   x .
 3
2 3
dx
x  4x y  4
7.2 Неявная функция двух переменных
Определение. Говорят, что уравнение
F x, y, z   0
(7.5)
определяет z как неявную функцию от двух переменных x , y
на множестве D, D  R 2 , если существует функция z   x, y 
с областью определения D, обращающая уравнение (7.5) в тождество на этом множестве, то есть F x, y,  x, y   0 для любой
точки ( x, y)  D .
Теорема существования неявной функции двух переменных. Если левая часть уравнения F x, y, z   0 удовлетворяет
следующим условиям: 1) F x, y, z  , Fx x, y, z  , Fy  x, y, z  ,
Fz x, y, z  непрерывны в окрестности точки M 0 x0 , y 0 , z 0 ,
2) F x0 , y 0 , z 0   0 ,
3) Fy x0 , y 0 , z 0   0 ,
то
уравнение
F x, y, z   0 определяет неявную функцию z   x, y  в окрестности точки  x0 , y0 , причем эта функция обладает свойствами:
1) функция z   x, y  непрерывна в окрестности точки  x0 , y 0  ,
2)   x0 , y0   z0 , 3) функция z   x, y  имеет непрерывные
61
частные производные в окрестности точки
имеют вид
 x0 , y 0  ,
которые
F y  x, y, z 
z

.
y
Fz  x, y 
F   x, y , z 
z
,
 x
x
Fz  x, y 
Пример 7.4 Пусть уравнение
x 3 y 2 z 3  2 xz 2  4 yz  5x  1  0
(7.6)
 z z
,
.
 x y
Решение. На практике можно не пользоваться выведенными формулами, а рассуждать следующим образом: считая, что
уравнение (7.6) определяет z как функцию от x, y, получим, что
z   x, y  обращает уравнение (7.6) в тождество. Тогда для
z
нахождения
дифференцируем обе части равенства (7.6) по x,
x
считая y  const и помня, что в (7.6) z   x, y  .
z
z
z
3x 2 y 2 z 3  3x 3 y 2 z 2  2 z 2  4 xz  4 z  5  0 ,
x
x
x
z
 3x3 y 2 z 2  4 xz  4 xz   3x 2 y 2 z 3  2 z 2  5 ,
x
z
3x 2 y 2 z 3  2 z 2  5
 3 2 2
.
x
3x y z  4 xz  4 xz
z
Для нахождения
дифференцируем обе части равенства
y
(7.6) по y, считая x  const и z   x, y  .
z
z
z
2 x 3 yz 3  3x 3 y 2 z 2  4 xz  4 z  4 yz  0 ,
y
y
y
z
 3x 3 y 2 z 2  4 xz  4 yz  4 z  2 x 3 yz 3 ,
y
определяет z как неявную функцию от x , y . Найти





z
4 z  2 x 3 yz 3

.
y 3x 3 y 2 z 2  4 xz  4 yz
62

Вопросы для самоконтроля
1. Что называется неявной функцией одной переменной?
2. Сформулируйте теорему существования неявной функции одной переменной.
3. Что называется неявной функцией двух переменных?
4. Сформулируйте теорему существования неявной функции двух переменных.
5.Сформулируйте правило нахождения частных производных неявной функции двух переменных.
Задания для аудиторной работы
Задача 1. Доказать, что уравнение определяет неявную
функцию в окрестности точки M 0 и найти производные.
1. x 2 y  2 xy2  2 x  3 y  0 , M 0 (0; 0) . Найти y x .
2. x 2  y 3  2  0 , M 0 (1;1) . Найти y x .
3. 3x 2  2 y 3  5xy  z 2  2 z  0 , M 0 (1;1; 0) . Найти z x , z y .
Задача 2. Предполагая, что уравнение задает неявную
функцию, найти производную этой функции:
1. xy  ln y  a . Найти y x .


2. ln x 2  y 2  arctg y  0 . Найти y x , y x .
3. 3x 2  2 y 3  5xy  z 2  2 z  0 . Найти z x , z y .
 , z xy
 , z yy
 .
4. x 2  2 y 2  3z 2  xy  z  9 . Найти z xx
Задания для самостоятельной работы
dy
Задача 1. Найти производную
от функций, заданных
dx
неявно:
1. x 2 y 2  x 4  y 4  a 4 ;
2. x  e y  y  e x  e x y  0 ;
3. x 2  y 2
4. sin xy  e xy  x 2 y  0 ;

2  a2 x2  y 2   0 ;
63
5.
 y y
6. ln  tg    a ;
 x x
y
y
 sin  a ;
x
x


2
8. y  x  ln y ;
7. x 2  y 2  3x 2 y  y 3 ;
9. x  y  sin x  ln y .
10. x  y  ln y  a .
Задача 2. Найти z x , z y для функции, заданной уравнением:
1. e z  z cosx  y ;
2. x cos y  y cos z  z cos x  1;
3. x3  y 3  z 3  3xyz .
Задача 3. x 2  xy  y 2  3. Найти y  , y , y .
Задача 4. x 2  xy  2 y 2  x  y  1  0 . Найти значения производных y  , y , y при x  0 , y  1 .
Задача 5. Найти частные производные
 z z
,
от функций,
 x y
заданных неявно:
1.
x2
a2

y2
b2

z2
c2
 1;
3. z 3  3xyz  a3 ;
5. e z  z cosx  y ;
2. x 2  2 y 2  z 2  4 x  2 z  5  0 ;
4. e x  xyz  0 ;
6. x3  y 3  z 3  3xyz .
7. x3  2 y 3  z 3  3xyz  2 y  3  0 .
8. x cos y  y cos z  z cos x  1;
Задача 6. Найти частные производные первого и второго
порядков для функций:
1. x 2  y 2  z 2  a 2 ;
2. x  y  z  e z ;
3. z 3  3x 2 z  2 xy  0 ;
4. cos x  cos y  e z  0 ;
5. x3  y 3  z 3  3xyz  0 .
64
§ 8. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
8.1 Определение максимума и минимума
функции двух переменных
Пусть функция z  f x, y  определена и непрерывна в области D и точка M 0 x0 , y0  – внутренняя точка этой области.
Определение. Точка M 0 x0 , y0  называется точкой мак-
симума функции z  f x, y , если существует окрестность точки
M 0 x0 , y0 , такая что для любой точки M  x, y  из этой окрестности, отличной от точки
M 0 , выполняется неравенство
f M   f M 0  .
Значение функции в точке максимума называется максимумом функции, обозначается zmax  x, y   z  x0 , y0  .
Например, функция z  1   x 2  y 2  (рис. 8.1) имеет мак-
симум в точке  0, 0  , так как в этой точке z  1 , а в любой ее
окрестности z  1.
z
1
0
y
x
Рис. 8.1
Рис. 8.2
Определение. Точка M 0 x0 , y0  называется точкой ми-
нимума функции z  f x, y , если существует окрестность точки M 0 x0 , y0 , такая что для любой точки M  x, y  из этой
65
окрестности, отличной от точки M 0 , выполняется неравенство
f M   f M 0  .
Значение функции в точке минимума называется минимумом функции, обозначается zmin  x, y   z  x0 , y0  .
Например, функция z  3 
x 2  y 2 (рис. 8.2) имеет ми-
нимум в точке  0, 0  , так как в этой точке z  3 , а в любой ее
окрестности z  3 .
Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.
8.2 Необходимое условие существования экстремума
Теорема. Если функция z  f x, y  имеет экстремум в точке M 0 x0 , y0  и в этой точке существуют частные производные
z z
и
, то они равны нулю.
x y
Замечание 1. Теорема не является достаточным условием
существования экстремума. Иначе говоря, что если в некоторой
точке частные производные первого порядка одновременно равны нулю, то это не означает, что в данной точке есть экстремум.
Например, для функции z  x  y частные производные равz
z
z
z
 y,
 x . В точке  0, 0  :
 0,
 0 . Однако,
ны
x
y
x
y
какова бы ни была окрестность точки  0, 0  , в ней найдутся
точки, для которых z  x  y  0 (например, на прямой y  x ), и
найдутся точки, для которых z  x  y  0 (например, на прямой
y   x ). Значит, в этой точке экстремума нет.
z
z
Точки, в которых
и
одновременно равны нулю,
x
y
называются стационарными точками функции.
66
Замечание 2. Может оказаться, что частные производные
z
z
первого порядка
и
в некоторой точке не существуют, и в
x y
этой точке есть экстремум.
Пример 8.1 Рассмотрим функцию z  x 2  y 2 .
f 0, 0  0 . Для любой точки x, y   0, 0 выполняется неравенство f x, y   f 0, 0, то есть в точке 0, 0 функция имеет
минимум по определению.
Покажем, что в точке 0, 0 не существуют частные произ z
f 0, 0
 lim x , где  x z –
водные, пользуясь определением
x 0 x
x
приращение функции в точке 0, 0.
 x z  f 0  x, 0  f 0, 0 
0  x, 02  02 
02  02 
x, x  0
 x 2  x  
.


x
,

x

0

x 1, x  0
 z

Тогда lim x  lim
.
x 0 x
x 0 x

1
,

x

0

xz
не существует, так как односторонние пределы при
x  0 x
f 0, 0
.
x  0 не равны друг другу, а значит, не существует и
x
f 0, 0
Аналогично доказывается, что не существует
.
y
lim
Итак, функция имеет в точке 0, 0 минимум, но при этом в
этой точке не существуют частные производные.
Определение. Точка M 0 называется критической точкой,
если в этой точке частные производные либо равны нулю, либо
не существуют вовсе.
67
Теорема. Если в точке M 0 x0 , y0  функция z  f x, y 
имеет экстремум, то в этой точке частные производные по всем
переменным либо обращаются в ноль, либо не существуют вовсе.
8.3 Достаточное условие существования экстремума
Теорема. Если в окрестности точки M 0 для функции
z  f x, y  существуют непрерывные частные производные первого и второго порядка, и при этом в самой точке M 0 частные
производные функции z  f x, y  по всем переменным обраща-
f
ются в ноль, то если определитель  
2
M 0 
f
2
M 0 
yx
M 0 
xy
x 2
f
2
f
2
M 0 
 0,
y 2
то в точке M 0 есть экстремум, причем максимум, если
f
2
M 0 
 0 , и минимум, если
f
2
M 0 
 0 . Если   0 , то
x
x
экстремума нет.
Замечание. Если в стационарной точке M 0 определитель
2
2
  0 , то вопрос о наличии экстремума остается открытым, то
есть в точке M 0 экстремум может быть, а может и не быть. В
этом случае вопрос о наличии экстремума решается с помощью
производных высших порядков, необходимо дополнительное
исследование; также данный вопрос можно решать, используя
определение экстремумов функции двух переменных.
Пример 8.2 Исследовать функцию z  x 2  y 2  1на экстремум.
Решение.
1. Найдем стационарные точки функции, то есть найдем
частные производные и приравняем их к нулю:
68

2 x  0
x  0
 zx  0
.
zx  2 x, zy  2 y; 
 
 

z

0
2
y

0
y

0



 y
Итак, M  0, 0  – стационарная точка.
2. Составим определитель  :
zx x  2, zx y  0, zy x  0, zy y  2 ;

2 0
 4  0.
0 2
Так как  не зависит от x и y , то он больше нуля в любой
точке плоскости, в том числе и в точке M  0, 0  . Следовательно,
в точке M  0, 0  по теореме 2 экстремум есть. Так как
zx x  2  0 , то в точке M функция имеет минимум: z min  1.
Графиком рассмотренной функции является параболоид
вращения. Наименьшая аппликата поверхности z  1 .
Пример 8.3 Исследовать функцию z  x 2  y 2 на экстремум.
Решение.
1. Найдем стационарные точки функции:

2 x  0
x  0
 zx  0
zx  2 x, zy   2 y; 
 
 
.

z

0

2
y

0
y

0



 y
Итак, M  0, 0  – стационарная точка.
2. Составим определитель  :
zx x  2, zx y  0, zy x  0, zy y   2 ;

2 0
  4  0.
0 2
Так как   0 в любой точке плоскости (  не зависит от x и y ),
то и стационарной точке M   0 . Следовательно, по достаточному условию существования экстремума, в этой точке экстремума нет.
69
Графиком рассмотренной функции является гиперболический параболоид.
Пример 8.4 Исследовать функцию z  x 3  8 y 3  6 x y на
экстремум.
Решение.
1. Найдем стационарные точки функции:
zx  3 x 2  6 y , zy  24 y 2  6 x;

 zx  0,



z

0,
 y

3 x 2  6 y  0,
 x 2  2 y  0,


2
;


x

4
y


2
2
24
y

6
x

0,
4
y

x

0,




1
16 y 4  2 y  0,  2 y 8 y 3  1  0,  y1  0, y 2  .
2
 x 2  1,
 x1  0,



1
y

.
 y 1  0;
 2

2
 1
Получили две стационарные точки M1 (0, 0) и M 2 1,  .
 2
2. Составим определитель  :
zx x  6 x, zx y   6, zy x   6, zy y  48 y ;

6 x 6
2
 6 x  48 y    6   36  8 x y  1 .
 6 48 y
Найдем значения определителя в стационарных точках:
  M1   36 8  0  0  1   36  0 , следовательно, в точке M 1
экстремума нет.
1


  M 2   36  8 1  1  36  3  108  0 , следовательно, в точке
2


M 2 экстремум есть. Так как zx x  M 2   6  0 , следовательно, в
точке M 2 – минимум.
Пример 8.5 Исследовать функцию z  6 xy  4 x 3  4 y 3 на
экстремум.
70
Решение.
1. Найдем стационарные точки функции.
zx  6 y  12 x 2 ,
z y  6 x  12 y 2 .
2
2


 zx  0,
6 y  12 x  0,
 y  2x ,
 
 
 
2
4
z

0
;


 y
6 x  12 y  0;
 x  8 x  0;
 x  12 ,
 x  0,
или 

1
y

0;

 y  2 .
 
Получили две стационарные точки M 1 0, 0 и M 2 12 , 12 .
2. Составим определитель  :
  24 x , z xy
  6 , zyy
  24 y , z yx
  6;
zxx

 24 x
6
 576 xy  36 .
6
 24 y
Найдем значения определителя в стационарных точках:
Так как 0, 0  36  0 , то в точке M 1 0, 0 экстремума нет.
 
 
Так как  12 , 12  144  36  108  0 , то в точке M 2 12 , 12 экстремум есть. Учитывая, что
   12  0 , то точка M 1 , 1  –
2 2 2
2
f 2 12 , 12
x
точка максимума.
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение максимума и минимума функции
двух переменных. Приведите примеры.
2. Сформулируйте необходимое условие существования
экстремума функции двух переменных.
3. Сформулируйте достаточное условие существования
экстремума функции двух переменных.
Задания для аудиторной работы
Задача 1. Исследовать на экстремум функции:
1. z  1  6 x  x 2  xy  y 2 ;
2. z  2 x3  2 y 3  36 xy  430 ;
71
3. z  x 4  y 4  2 x 2  4 xy  2 y 2 ;
4. z  x 2   y  12 ;
5. x 2  2 y 2  3z 2  xy  z  10  0 , если z  0 ;
6. z   x  y  12 .
Задания для самостоятельной работы
Исследовать на экстремум функции:
1. z  2 xy  3x 2  2 y 2  10 ;
2. z  4x  y   x 2  y 2 ;
3. z  x 2  xy  y 2  x  y  1;
4. z  xy2 1  x  y , z  0 ;
5. z  x3  y 3  15 xy ;
6. z 

7. z  4  x 
2

2
2 3
y ;
9. z  x  22   y  12 ;
x2  2y 2 ;
2 2
13. z  e  x  y 3x 2  y 2 ;
15. z  e3 x 3x  2 y 2 ;
11. z  e  x
2  y2
17. z  x 2   y  12 ;
a  x a  y x  y  a  ;
8. z  x 2  xy  y 2  2 x  y ;
10. z  3x 2  2 y 2  6 x  4 y  1;
12. z  2 x 2  4 xy  6 y 2  8x  16 y  1;
y3
 2x ;
14. z  x y 
3
2
16. z  x3  y 3  3xy ;
18. z  x 2  y 2  2 ln x  18 ln y ,
x  0, y  0.
§ 9. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть функция z  f x, y  непрерывна в замкнутой ограниченной области D . Тогда по теореме Вейерштрасса эта функция имеет в области D наибольшее и наименьшее значения. Отсюда следует, что точка M 0 , в которой функция достигает
наибольшего значения, может лежать и внутри области и на ее
границе. Если точка M 0 окажется внутренней точкой области
D , то в точке M 0 частные производные либо равны нулю, либо
не существуют вовсе, то есть точка M 0 будет критической точ72
кой. Аналогично обстоит дело с наименьшим значением, которое достигается либо внутри области D , либо на ее границе.
Обозначения: max z  M   z  M 0  – наибольшее значение в
D
области D , min z  M   z  M 0  – наименьшее значение.
D
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений
функции в непрерывной замкнутой области D
1. Убедиться, что область D – замкнутая ограниченная область, а функция z  f x, y  непрерывна области D .
2. Найти критические точки, лежащие внутри области D .
Для этого найти частные производные и найти точки, в которых
они либо одновременно равны нулю, либо одновременно не существуют.
3. Найти значение функции z  f x, y  в этих критических
точках.
4. Найти значения функции z  f x, y  на границе области.
На границе области функция двух переменных превращается в
функцию одной переменной, определенной на отрезке. Найдем
для этой функции наибольшее и наименьшее значения на отрезке.
5. Из всех значений, найденных в пунктах 3 и 4, выбрать
наибольшее и наименьшее значения.
Замечание. Как и для функции
одной переменной, не надо путать
наибольшее (наименьшее) значение
функции на множестве с максимумом (минимумом) в точке.
На рисунке 9.1 функция имеет
максимум в точке M 0 , а наибольшее
значение в точке M 1 на границе области. При этом нельзя сказать, что
Рис. 9.1
73
функция в точке M 1 имеет максимум.
Пример 9.1 Найти наибольшее и наименьшее значения
функции z  x 3 y 2  2 x 2 y 3  5x 2 y 2 в замкнутой области
2 y  6  x   y
.
D: 
y

0

Решение. Построим область
D (рис. 9.2), имеющую границы
Рис. 9.2
x  y , x  2y  6, y  0.
1. Область D является замкнутой ограниченной областью.
Функция z  x 3 y 2  2 x 2 y 3  5x 2 y 2 является целой рациональной функцией двух переменных, а такая функция непрерывна на
всей плоскости, а значит и в данной замкнутой ограниченной
области D.
2. Найдем критические точки, лежащие внутри области D:
z x  3x 2 y 2  4 xy3  10 xy 2 ,
z y  2 x 3 y  6 x 2 y 2  10 x 2 y .
2 2
3
2
 xy2 3x  4 y  10  0,

 zx  0,
3x y  4 xy  10 xy  0,
 
 3
 
2 2
2
z

0;
2
x
y

6
x
y

10
x
y

0;
 x 2 y 2 x  6 y  10  0.
y



Так как мы ищем те критические точки, которые лежат
внутри области, то ни x, ни y не могут быть равны нулю. Поэтому достаточно решить систему:
3x  4 y  10  0,
 x  2,



2 x  6 y  10  0;
 y  1.
Точка M 0  2, 1 лежит внутри области D.
3. Найдем значение функции в точке M 0  2, 1:
z 2, 1   23  12  2   22  13  5   22  12  4 .
4. Найдем значение функции на границе области.
1) Исследуем функцию на участке границы OA : y   x ,
x   2, 0.
Найдем вид функции z  x, y  в точках этой границы.
74
z  x, y   z  x,  x   x3    x   2 x 2    x   5x 2    x   3x5  5x 4 .
2
3
2
Обозначим эту функцию f x   3x 5  5 x 4 , x   2, 0, то
есть f x   z x,  x . Исследуем функцию f  x  на наибольшее и
наименьшее значения на отрезке  2, 0.
Найдем критические точки, то есть точки, в которых
f x   0 или не существует.
f x   15 x 4  20 x 3 ,
f x   0  15x 4  20 x3  0 ,
x  0 или x   43   2, 0.
Найдем значения функции f  x  в найденных точках и на
концах отрезка  2, 0:
f 0  3  0 5  5  0 4  0
f  2  3   25  5   24  16  наименьшее,
 
 5
 4  256
81
f  43  3   43  5   43
 наибольшее .
Запишем найденные значения для функции z  x, y , учитывая, что f x   z x,  x :
z 2, 2  f  2  16 ,

  
z  43 , 43  f  43  256
.
81
2) Исследуем функцию на участке границы AB : x  2 y  6 ,
y  0, 2.
Найдем вид функции z  x, y  в точках этой границы.
zx, y   z2 y  6, y   2 y  63  y 2  22 y  62  y 3  52 y  62  y 2 
   2 y  6  y2.
2
Обозначим эту функцию g  y   2 y  62  y 2 , y  0, 2,
то есть g  y   z2 y  6, y  . Исследуем функцию g  y  на
наибольшее и наименьшее значения на отрезке 0, 2.
75
Найдем критические точки, то есть точки, в которых
g  y   0 или не существует:
g  y   42 y  6  y 2  22 y  62  y  8 y y  32 y  3 ,
 8 y y  32 y  3  0 
y  0,
y   32  0, 2,
y  3  0, 2.
Найдем значения функции g  y  в найденных точках и на
концах отрезка 0, 2:
g 0  2  0  62  02  0  наибольшее ,
g 2  2  2  62  2 2  16 ,
     2  2  20 14
g  32   2   32  6   32
 наименьшее .
Запишем найденное для функции z  x, y , учитывая, что
g  y   z2 y  6, y  .
z 6, 0  g 0  0 ,

  
z  3,  32  g  32  20 14 .
3) Исследуем функцию на участке границы OB : y  0 ,
x   6, 0.
Найдем вид функции z  x, y  в точках этой границы.
zx, y   zx, 0  x 3  0 2  2 x 2  0 3  5x 2  0 2  0 , x   6, 0.
На участке OB наибольшее и наименьшее значения равны нулю
и они достигаются во всех точках отрезка OB .
5. Выберем из всех полученных значений наибольшее и
наименьшее.
Данная функция в замкнутой ограниченной области D имеет наибольшее значение в точке M1  2, 1 , при этом
max z ( x, y)  z  2, 1  4 , и наименьшее значение в точке
D
M 2  3,  32 , при этом min z ( x, y)  z  3,  32   20 14 .
D
76
Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и
наименьшего значений непрерывной функции в замкнутой ограниченной области.
2. Предположим, что функция двух переменных непрерывна в открытой ограниченной области. Можно ли утверждать, что
эта функция достигает в данной области наименьшее и
наибольшее значения? Какие случаи здесь возможны?
Задания для аудиторной работы
Задача 1. Найти наименьшее и наибольшее значения
функции z  xy в области, ограниченной линией x 2  y 2  2 .
Задача 2. Найти наименьшее и наибольшее значения
функции z  x 2  xy  2 y 2  3x  2 y  1 в области, ограниченной
прямыми x  0 , y  0 , x  y  5  0 .
Задача 3. Найти наименьшее и наибольшее значения
функции z  xyx  y  1 в области, ограниченной линиями
x  1, x  2 y   3 , y  1 .
2
x
Задача 4. Разложить положительное число A на три неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение их было
наибольшим.
Задача 5. Найти прямоугольный параллелепипед данного
объема V , имеющий наименьшую поверхность.
Задания для самостоятельной работы
Задача 1. Найти наименьшее и наибольшее значения
функции z  x 2  y 2 в круге x 2  y 2  4 .
Задача 2. Найти наименьшее и наибольшее значения
функции z  x 2  2 xy  4 x  8 y в прямоугольнике, ограниченном
прямыми x  0 , y  0 , x  1, y  2 .
77
Задача 3.
Найти наименьшее и наибольшее значения
функции z  x 2 y4  x  y  в треугольнике, ограниченном прямыми x  0 , y  0 , x  y  6 .
Задача 4. Найти наименьшее и наибольшее значения
функции z  sin x  sin y  sin x  y  в прямоугольнике 0  x   ,
2
0 y .
2
Задача 5. На плоскости xOy найти точку, сумма квадратов
расстояний которой от трех прямых x  0 , y  0 , x  2 y  16  0
была бы наименьшей.
Задача 6. Найти наименьшее и наибольшее значения
функции z  x 2  xy  y 2  4 x в замкнутой области, ограниченной прямыми x  0 , y  0 , 2 x  3 y  12  0 .
Задача 7. Найти наименьшее и наибольшее значения
функции z  xy  x  y в квадрате, ограниченном прямыми
x  1, y  2 , x  2 , y  3 .
Задача 8. Найти наименьшее и наибольшее значения
функции z  1  x 2  y 2 в круге x  12   y  12  1.
Задача 9. Из всех треугольников, вписанных в круг, найти
тот, площадь которого наибольшая.
Задача 10. Из всех треугольников, имеющих данный периметр, найти наибольший по площади.
Задача 11. Из всех прямоугольников с заданной площадью
S найти такой, периметр которого имеет наименьшее значение.
78
ИТОГОВЫЙ ТЕСТ ПО РАЗДЕЛУ
«ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
1. Найти частные производные данных функций по каждой из
независимых переменных.
2y
а) z  x 5 y  6 ;
б) z  ln y 2  x  y 3 .
x
2. Для функции z  arcsin  x y  найти все частные производные


второго порядка.
3. z  e
xy2
3 z
. Найти
.
 x2  y
4. v  sin  x y 2  z 3 x  x y z  . Найти


v v v
,
,
.
x y z
5. v  tg x y 2 z  x 4 y  x y z . Найти
v v v
,
,
.
x y z
2u 2u

 0.
6. u  ln
. Показать, что
2
2
2
2

x

y
x y
1
7. u 
2u 2u 2u


 0.
; показать, что
2
2
2
2
2
2

x

y

z
x y z
1
8. Дана функция z  ln  e x  e y  . Убедиться, что
z z

1 и
x y
2
2 z 2 z  2 z 
что


  0.
 x2  y2   x  y 
9. Для функции z  4  x 2  y 2 найти область определения и
доказать, что смешанные частные производные второго порядка
равны между собой.
3u
2u
u
xyz
 x y
 2x
 u.
10. u  e ; показать, что
x y z
x y
x
2
y
2 z
2  z
a 
11. z  2
; показать, что
.
y  a2 x2
 x2
 y2
79
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
Целью выполнения индивидуального задания является
приобретение навыков нахождения и изображения на плоскости
области определения функции двух переменных; вычисления
частных производных и применения теории функций многих
переменных к решению экстремальных задач.
Не следует приступать к выполнению индивидуального задания, не решив достаточного количества задач по материалу,
соответствующему этому заданию. Чаще всего неумение решить
ту или иную задачу контрольной работы вызывается тем, что
студент не выполнил это требование.
Формулировка задач
Задача 1. Для функции двух переменных z  f  x, y  решить следующие задачи.
1) Найти область определения D f  данной функции, охарактеризовать ее и сделать чертеж.
 z z
2) Найти частные производные
,
и полный дифференциал
 x y
функции dz .
3) Показать, что смешанные частные производные второго по-
2z
2z

рядка равны между собой:
.
x y y x
4) Найти производную сложной функции, если:
 x   t ;
 x   u, v ;
а) 
б) 
 y   t .
 y  u, v .
Задача 2. Исследовать функцию z  f  x, y  на экстремум.
Задача 3. Показать, что данное уравнение определяет z как
неявную функцию переменных x и y по крайней мере в окрестности данной точки M . Найти указанную производную.
Задача 4. Решить текстовую задачу.
80
Вариант 1.
1
1. z 
.
2
2
9 x  y
 x  2 cos t;
4) а) 
 y  2 sin t.
4) б)
 x  2u  v;

2
2
 y  u  v .
y3
2. z  x y 
 2x .
3
2
2z
3. xz  xyz  5 y z  5  0 ; M (1,1,1) .
x y
4
2
3
4. При каких размерах прямоугольного открытого ящика с заданным объемом 4 м3 , его поверхность будет наименьшей из возможных?
Вариант 2.
 x  cos t;
4) а) 
4) б)
y

sin
t
.

1. z  ln x 2  y 2 .
2
2

x  u  v ;

 y  u 2  v 2.

2. z  x 2  y 2  xy  2x  y .
2z
3. xyz  y z  4 xz  4 x  0 ; M (1, 0,1) .
x y
3 2
3
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  xy в
области x 2  y 2  a 2 .
Вариант 3.
1
1. z 
.
x  y 2
2.
z  3x 2
 x  et ;
4) а) 
4) б)
 y  ln t.
 x  u cos v;

 y  v sin u.
y2
 xy  6 x  .
2
3. z  2 yz  3xy  5z  5  0 ; M (1,  1,  1) .
3
2
2z
y 2
4. На плоскости xOy найти точку M ( x, y) , сумма квадратов расстояний до которой от трех прямых x  0 , y  0 , x  y  1  0 была наименьшей.
81
Вариант 4.
1
1. z 
.
2
2
4 x  y
 x  cos t;
4) а) 
4) б)
 y  sin t.
u v

;
x  e

 y  eu  v .

2. z  x 2  3xy  y 3 .
3. z y  z x  2 xyz  2  0 ; M (0,  2,1) .
3
2
2z
y 2
4. Найти наибольший объем прямоугольного параллелепипеда
при условии, что длина его диагонали равна 2 3 .
Вариант 5.
1. z  ln  4  x 2  y 2  . 4) а)  x  sin t; 4) б)


 y  cos t.
 x  u sin v;

 y  u cos v.
2. z  2x3  xy2  5x 2  y 2 .
3. 2 xy  8 z  z x  y ; M (2, 2,1) .
4
2
2z
x 2
4. При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной
вместимости V имеет наименьшую поверхность?
Вариант 6.
1
1. z  sin .
xy
4) а)
2

 x  t ;

1
y  .
t


u
;
x 
v

4) б) 
v

y

.

u

2. z  xy  3x 2  2 y 2 10 .
3. xz  2 yz  3xyz  xz  0 ;
5
3
M ( 12 , 0,1) .
2z
x y
4. Найти размеры параллелепипеда наибольшего объёма, вписанного в шар данного радиуса.
82
Вариант 7.
3x  2 y
1. z 
.
xy
4) а)
2

 x  sin t;

 y  cos 2 t.

4) б)
u v

;
x  e

 y  eu  v .

2. z  x 2  xy  y 2  x  y 1.
3. 5 yz  x z  3xy  3z x ; M (1,1,1) .
3
2
2 2
2z
x 2
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  x 2 y(4  x  y) в области x  y  6 , x  0 , y  0 .
Вариант 8.
1
1. z 
.
x y
 x  tgt;
4) а) 
4) б)
y

ctgt
.

2
2

x  u  v ;

 y  u 2  v 2.

2. z  3x 2  x3  3 y 2  4 y .
3. xyz  4 xz  13x  y  0 ;
4
2
M (1,  15 , 2) .
2z
y 2
4. Из всех треугольников данного периметра 2 p найти тот, который имеет наибольшую площадь.
Вариант 9.
1
1. z  ln
.
x  y 2
 x  t;
4) а) 
4) б)
 y  t 3.
 x  u  2v;

 y  v  2u.
2. z  x3  3xy2 15x 12 y .
3. y x  8 z  3xy  5 z  1; M (1,1,1) .
2
2
2z
y 2
4. Найти треугольник наибольшей площади, вписанный в круг
данного радиуса a .
83
Вариант 10.
1
1. z  .
xy
 x  sin t;
2

4) б)  x  u  v  ;
 y  u  v.
 y  cos t.
4) а) 
2. z  x 2  xy  y 2  4 x .
3. x  xyz  4 z  1;
3
2
M (0, 13 , 12 ) .
2z
y
2
.
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  x3  8 y 3  6 xy  1 в области 0  x  2 ,  1  y  1.
Вариант 11.
 x  2 sin t;
1. z  x 2  y 2  4 .
4) а) 
 y  2 cos t.
 x  u cos v;
4) б) 
 y  v cos u.
2. z  x 2  3 y 2  x  y .
3. xyz  4 yz  5 y  x  0 ;
4
2
M (1,  15 , 2) .
2z
y 2
4. Разложите данное положительное число a на три положительных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
Вариант 12.
1. z  ln  9  x 2  y 2  .


u

x

;

 x  3sin t;
v
4) а) 
4) б) 
 y  4 cos t.
y  v .

u
2. z  x 2  2xy  3 y 2 1.
3. 3xyz  2 x y  z  0 ; M (1,1,1) .
2
2
2z
y 2
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  x3  y 3  3xy в области y  x , x  1, y  0 .
84
Вариант 13.
y
1. z 
.
x y
4) а)
t

x  e ;

 y  e t .

 x  uv;
4) б) 
 y  v  u.
2. z  x 2  xy  4x  8 y .
3. 2 xy  8 z  yz  x  0 ; M (2, 2,1) .
4
2
2z
x 2
4. Найти треугольник данного периметра 2 p , который при вращении вокруг одной из своих сторон образует тело наибольшего
объема.
Вариант 14.
xy  1
1. z 
.
2
x y
 x  t  1;
4) а) 
 y  t 4 .
2
2

4) б)  x  u  v ;
 y  v  2u.
2. z  xyx  y  1.
2z
3. z  4 z y  2 z x  7  0 ; M (1,1,  1) .
x y
5
4
3
4. Дан прямоугольный треугольник с катетами a и b . Найти
внутри треугольника точку такую, что сумма квадратов расстояний до сторон треугольника наименьшая.
Вариант 15.
1
1. z 
.
2
2
16  x  y
2. z 
x2 y 
 x  2 cos t;
4) а) 
 y  2 sin t.
4) б)
 x  2u  v;


2
2
 y  u  v .
y3
 3x .
3
2z
3. xyz  y z  4 xz  4 x ; M (1, 0,1) .
x y
3
3
4. В шар диаметра d вписать прямоугольный параллелепипед
наибольшего объема.
85
Вариант 16.
1. z  ln x 2  y 2 .
 x  cos 2t;
4) а) 
4) б)
 y  sin 2t.
2
2

x  u  v ;

 y  u 2  v 2.

2. z  x 2  y 2  xy  2 x  y .
2z
3. 2 x  2 y  z  8xz  z  8  0 ; M (2, 0,1) .
x y
2
2
4. Требуется изготовить из жести коробку без крышки данной
ёмкости V с наименьшей затратой материала.
Вариант 17.
1
1. z 
.
x  y 2
2. z 
x2
 x  et ;
4) а) 
4) б)
 y  ln t.
 x  u sin v;

 y  v cos u.
y2
 xy  x  .
2
3. x yz  2 xz  yx  z  0 ;
2
2
M ( 12 , 0,1) .
2z
x y
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  x3  y 3  3xy в области y  x , x  0 , y  1.
Вариант 18.
1
1. z 
.
1 x 2  y 2
 x  cos t;
4) а) 
4) б)
y

sin
t
.

u v

;
x  e

 y  eu  v .

2. z  x 2  3xy  y 2 .
2z
3. 2 y  2 x  z  8 yz  z  8 ; M (0, 2,1) .
x y
2
2
2
4. Найти стороны треугольника, вписанного в круг радиуса единица, так что площадь этого треугольника постоянна.
86
Вариант 19.
1. z  ln 1  x 2  y 2  .


4) а)
2

 x  sin t;

 y  cos 2 t.

 x  u cos v;
4) б) 
 y  u sin v.
2. z  x3  xy2  5x  y 2 .
2z
3. 2 xy  y x  3xyz  z  y  0 ; M (0,  1,1) .
x y
3
4
4. Дан прямоугольный треугольник с катетами a , b . Найти
внутри треугольника точку, такую, что сумма квадратов расстояний до сторон треугольника – наибольшая.
Вариант 20.
1
1. z  cos .
xy
4) а)

1
 x  ;
t


2
 y  t .

v
;
x 
u

4) б) 
u

y

.

v

2. z  xy  2x 2  3 y 2  5 .
2z
3. x  2 xz  3xy  0 ; M (1,  1,  1) .
x y
3
2
4. Найти наименьшее значение для произведения трёх неотрицательных чисел, если их сумма равна 12.
Вариант 21.
3x  2 y
1. z 
.
xy
4) а)
2

 x  cos t;

 y  sin 2 t.

4) б)
u v

;
x  e

 y  eu  v .

2. z  x 2  xy  y 2  x  y 1.
3. 2 xy  8 z  z x  y  0 ; M (2, 2,1) .
4
2
2z
x 2
4. Из всех прямоугольников данного периметра 2 p найти тот,
который имеет наибольшую площадь.
87
Вариант 22.
1
1. z 
.
x y
 x  ctgt;
4) а) 
4) б)
 y  tgt.
2
2

x  u  v ;

 y  u 2  v 2.

2. z  x 2  x3  y 2  4x .
3. y z  3xz  3 yz  x z  0 ; M (1,1,1) .
3 2
2 3
2z
y 2
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  3x  6 y  x 2  xy  y 2 в области  1  x  1, 0  y  4 .
Вариант 23.
1
1. z  ln
.
x  y 2
2

4) а)  x  t ; 4) б)
 y  t.
 x  u  2v;

 y  v  2u.
2. z  x3  3xy2  5x  2 y .
3. x z  4 xyz  5 y ;
2 3
M ( 12 , 12 ,1) .
2z
x y
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  x 2  y 2  xy  x  y в области x  0 , y  0 , x  y  3  0 .
Вариант 24.
3
1. z  .
xy
 x  cos t;
2

4) б)  x  u  v  ;

 y  sin t.
 y  u  v.
4) а) 
2. z  x 2  xy  y 2  2x .
3. yz  y xz  x z  y  0 ; M (0,1,1) .
5
2
4
3
3
2z
x 2
4. Найти наибольшее значение для произведения u  xyz неотрицательных чисел x , y , z при условии, что их сумма сохраняет постоянную величину.
88
Вариант 25.
 x  2 cos t;
1. z  x 2  y 2  9 .
4) а) 
 y  2 sin t.
 x  v cos u;
4) б) 
 y  u cos v.
2. z  x 2  y 2  x  y .
2z
3. z x  x y  2 zxy  2  0 ; M (2, 0,1) .
x y
3
2
4. Найти стороны треугольника, вписанного в круг радиуса, равным единице, так, чтобы площадь этого треугольника была
наибольшей.
Вариант 26.
1. z  ln 16  x 2  y 2  .

v

x

;

 x  3sin t;
4) а) 
4) б)  u
 y  3 cos t.
y  u .

v

2. z  x 2  2xy  y 2  4 .
3. z  2 xz  3xy  5z  5  0 ; M (1,  1,  1) .
3
2
2z
x 2
4. Найти точку M ( x, y) на плоскости xOy такую, чтобы сумма
квадратов расстояний до координатных осей и прямой
11x  5 y  7  0 была наименьшей.
Вариант 27.
x
1. z 
.
x y
4) а)
t

x  e ;

 y  e 2t .

 x  v  u;
4) б) 
 y  vu.
2. z  x 2  xy  4x  8 y .
3. 3z y  xzy  2 x y  2 zy ; M (1,1,1) .
3
2 2
2
2z
y 2
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  2 x3  xy2  5x 2  y 2 в области  1  x  1,  1  y  1.
89
Вариант 28.
xy  1
1. z 
.
2
x y
4) а)
 x  t  1;


3
 y  t .
2
2

4) б)  x  u  v ;
 y  2v  u.
2. z  xyx  y  1.
2z
3. 6 xy  2 z  3xz  y  0 ; M (1,  1,1) .
x y
2
3
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  x3  8 y 3  6 y  1 в области 0  x  2 ,  1  y  1.
Вариант 29.
1
1. z 
.
2
2
x y
2. z  e  x
2
4) а)
 x  ln t;


t
 y  e .
 y  u  2 sin v.
2
 y2  2
 3x  y  .


3. z y  xyz  5 x z  5 ; M (1,1,1) .
4
 x  2 cos u  v;
4) б) 
2
3
2z
x 2
4. Даны уравнения сторон треугольника: y  x , y  1 , x  y  4 .
Внутри треугольника найти точку, чтобы сумма квадратов расстояний от этой точки до сторон треугольника была наименьшей.
Вариант 30.
 x  ln u  v ;
 x  cos 2t;
1. z  ln  x 2  y 2  .
4)
а)
4)
б)




 y  sin 2t.
 y  ln u  v .
2. z  e x
2
2
 y2  2
 x  2y  .


3. x z  xyz  3xy  y  0 ; M (1,  1,  1) .
2
2
2z
x 2
4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
z  x3 y 2 (6  x  y) в области 0  x  4 , 0  y  3 .
90
Вариант 31.
1. z  x  y .
4) а)
2

 x  ln t ;

 y  t 2  1.

4) б)
u v

;
 x  2e

 y  uv 2 .

2. z  2x 2  4xy  6 y 2  8x 16 y 1.
3. xz  yz  2 xyz  2  0 ; M (2, 0,1) .
3
2
2z
y 2
4. Найти наибольшее значение для произведения трёх неотрицательных чисел, если их сумма равна 25.
Вариант 32.
1
1. z 
.
2
 2
ln  x  y 

2

x  u  v ;

 y  u 2  4v.

 x  2 cos t;
4) а) 
4) б)
y

2
sin
t
.


2. z  3x 2  2 y 2  6x  4 y 1.
3. 2 xyz  y z  4 xz  4 x  0 ; M (1, 0,1) .
3 2
3
2z
y 2
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  sin x  sin y  cos( x  y) в области 0  x  4 , 0  y  4 .
Вариант 33.
2
1. z 
.
2
2
x y
 x  2 sin t;
4) а) 
 y  2 cos t.
4) б)
 x  u  ln v;


2u
2
 y  e  v .
2. z  x  22  y 12 .
3. 6 xy  2 z  3 yz  x  0 ; M (7, 0, 0) .
2
3
2z
y 2
4. Найти наименьшее значение для суммы u  x  y  z положительных чисел x , y , z , t при условии, что их произведение сохраняет постоянную величину xyz  81.
91
Вариант 34.
1. z  ln  x 2  y  .

4) а)

3

 x  2t  4;

 y  t 2  1.

4) б)
2
4

x  u  v ;

 y  u  v 2.

2. z  x 2  xy  y 2  2x  y .
2z
3. z  2 yz  3xyz  1  0 ; M (0,1,1) .
x y
5
3
4. Найти точку равнобедренного прямоугольного треугольника,
для которого сумма квадратов расстояний до его вершин будет
наименьшей.
Вариант 35.
1
1. z 
.
2
 2

 x  2y

2.

z  4   x 2


 x  cos t;
4) а) 
 y  sin t.
4) б)
2
2 3
y  .

3. xz  x yz  y z  x  0 ; M (1, 0,1) .
5
2
4
 x  uv;

2 2
 y  u v .
3
2z
y 2
4. Определить размеры открытого прямоугольного бассейна,
имеющего наибольшую поверхность при условии, что его объём
равен V .
Вариант 36.
1
1. z  sin
.
x  3y
 x  cost  3;
2

4) б)  x  uv ;
 y  u  v.
 y  sin t  2.
4) а) 
2. z  x 2  y 2  2 ln x 18ln y ( x  0 , y  0 )
2z
3. z  4 xz  2 yz  7  0 ; M (1,1,  1) .
x y
5
4
3
4. Разложить данное положительное число a на три неотрицательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
92
Вариант 37.
 x  cos t;
4) а) 
4) б)
 y  sin t.
1. z  x 2  y 2  4 .
v

 x  ue ;

 y  veu .

2. z  x 2  y 12 .
3.
7 x 2 y  xyz3
  xz  xy ; M (1,1, 2) .
2z
x 2
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  x3  3xy2  15 x  12 y в области 0  x  2 , 0  y  2 .
Вариант 38.
2x  y
1. z 
.
x y
 x  ln t;
4) а) 
4) б)
 y  sin t.
 x  u  v;

2
2
 y  u  v .
2. z  x3  y 3  3xy .
3. y z  xyz  3xz  x  0 ; M (1,  1,  1) .
2
2
2z
x 2
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  x 2 y(4  x  y) в области x  0 , y  0 , x  y  2 .
Вариант 39.
1
1. z  sin
.
x y
 x  arcsin t;
4) а) 
 y  arccos t.
 x  ln( u  v);
4) б) 
 y  u  v.
2. z  e3x  3x  2 y 2  .


3. 6 xy  2 z  3 yz  x  0 ; M (0, 7, 0) .
2
3
2z
y 2
4. На плоскости 3x  2 z  0 найти точку, сумма квадратов расстояний от которой до точек A(1,1,1) и B(2, 3, 4) наименьшая.
93
Вариант 40.
1
1. z 
.
2
2
x  y
 x  sin t;
4) а) 
4) б)
 y  cos t.
2
4

x  u  v ;

 y  u 4  v 2.

2. z  x 4  y 4  x 2  xy  y 2 .
3.
y 2 z 3  4xyz  5xy  0 ;
M ( 12 , 12 ,1) .
2z
x y
4. В плоскости треугольника с вершинами A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,
C ( x3 , y3 ) найти точку, сумма квадратов расстояний до которой
от вершин треугольника является наименьшей.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
Задача 1. Для функции двух переменных z 
1
x y
2
2
решить
следующие задачи.
1) Найти область определения D f  функции z  f x, y  ,
охарактеризовать ее и сделать чертеж.
 z z
2) Найти частные производные
,
и полный дифферен x y
циал функции dz .
3) Показать, что смешанные частные производные второго
2z
2z

порядка равны между собой:
.
x y y x
4) Найти производную сложной функции, если:
 x  sin t;
а) 
 y  cos t.
94
 x  u 2  v 4 ;
б) 
 y  u 4  v 2 .
Решение.
1) Областью определения функции z 
1
x y
2
2
является
множество упорядоченных пар действительных чисел, удовлетворяющих условиям:
  x 2  y 2  0,
  x 2  y 2  0  ( y  x)( y  x)  0.

 x 2  y 2  0;
Это неравенство равносильно совокупности двух систем:
 y  x  0,
  y  x,

 y  x  0;
 y   x;
 

y

x

0
,


 y  x,
 y  x  0.
 y   x.
Границами области определения являются прямые y  x и
y   x . Так как неравенства, определяющие область существования, строгие, то границы ей не принадлежат (изображаются
пунктиром).
 y  x,
– множество точек коор
y


x

динатной плоскости, расположенных выше прямой y  x и выше
прямой y   x .
 y  x,
– множество точек коор
y


x

динатной плоскости, расположенных ниже прямой y  x и ниже прямой y   x .
Совокупность двух систем дает объединение множеств,
полученных в каждой системе.
Дадим характеристику полученной области определения
функции z  f x, y  , изображенной на рисунке. Она:
95
 является открытым множеством (так как любая точка этого
множества является внутренней);
 не является связным множеством (так как существует по
крайней мере две точки, которые нельзя соединить кривой
Жордана, целиком принадлежащей этому множеству);
 не является ограниченным множеством (так как нельзя целиком поместить в круг конечного радиуса).
Таким
образом,
область
определения
функции
1
является открытым, несвязным, неограниченным
z
2
2
x y
множеством.
2) Воспользуемся правилом нахождения частных производz
ных функции многих переменных. Для нахождения
рассматx
риваем y как постоянную величину и применяем известные правила и формулы для дифференцирования функции одного переменного x .



1 
z 
1


2
2 2 

 x  y
 
x   x 2  y 2  x 
 x


3
3
1
1

   x 2  y 2 2  x 2  y 2 x    x 2  y 2 2 (2 x) 
2
2
x
.

3
2
2 2
x y
Аналогично, рассматривая x как постоянную, находим
z
частную производную
:
y



1 
z 
1


2
2 2 

 x  y
 
y   x 2  y 2  y 
 y




 






96




1
 x2  y2
2
  x
 32
2
 y2

y

y
 x

3
2 2
y
.

Полный дифференциал функции двух переменных вычисz
z
ляется по формуле dz   dx   dy . Подставив в эту формулу
x
y
 z z
найденные выше частные производные
и
, получим
 x y
x
y
1
xdx  ydy .
dz 
dx

dy

3
3
3
2
2 2
2
2 2
2
2 2
y x
y x
y x





2

3) Найдем смешанные частные производные второго порядка функции z  f ( x, y) и сравним их между собой.
2z


x y y



z

x
 
 

 x  y  2
2
 y x


 3
 x    y 2  x 2
 2
2z
  z  

 
y x x  y  x


5
2
 3 2
  y    y  x 2
 2

5
2


 2
 y  x2



3xy
 2 y   

y2  x2



y


 y2  x2






x

3
y
2






y

3
x
2



5
2




;

 2
 y  x2



3xy
 (2 x)   

y2  x2


3
2

5
2

3
2




;
2z
2z

Таким образом,
.
x y y x
4) а) Производная сложной функции двух переменных в
случае, когда промежуточные аргументы являются функциями
одной независимой переменной, вычисляется по формуле:
dz z dx z dy
    .
dt x dt y dt
97
Найдем производные промежуточных аргументов по независимой переменной:
dx
x  sin t 
  sin t   cos t ,
dt
dy
y  cos t 
 cos t    sin t .
dt
Таким образом,
dz
x
y


cos
t

  sin t .
3
3
dt
y2  x2 2
y2  x2 2
Выразив x и y через t , получим
dz
sin t  cos t
cos t  sin t
2 sin t cos t
sin 2t




.
3
3
3
3
dt
cos 2 t  sin 2 t 2 cos 2 t  sin 2 t 2
cos 2 t  sin 2 t 2 cos 2 2t




 

 

б) Воспользуемся формулами нахождения частных производных сложной функции двух переменных в случае, когда
промежуточные аргументы являются функциями двух независимых переменных:
z z x z y
z z x z y
    ,
    .
u x u y u
v x v y v
Найдем частные производные функций x и y по независимым переменным u и v :


x
x
 u 2  v 4 u  2u,
 u 2  v 4 v  4v3 ,
u
v


y
y
 u 4  v 2 v  4u 3 ,
 u 4  v 2 v  2v ,
u
v
и подставим их в формулы для нахождения частных производz
z
ных
и
:
u  v
z
x
y
3


2
u


4
u
,
3
3
u
y2  x2 2
y2  x2 2







98





z

v
x
y 2  
3
2 2
x


  4v 3 
y
y 2  
3
2 2
x
  2v  .
Подставим вместо x и y их выражения через u и v , получим
z

u
u 2  v 4  2u

u 4  v 2  4u 3


3
3
 u 4  v 2 2  u 2  v 4 2  2  u 4  v 2 2  u 2  v 4 2  2









2u 3  2uv 4  4u 7  4u 3v 2

3
2
4 2
,
2  u 2  v  

z
 4v 3 u 2  v 4 
u 4  v 2  2v



3
3
v
 u 4  v 2 2  u 2  v 4 2  2  u 4  v 2 2  u 2  v 4 2  2








 u 4  v2



 4u 2v 3  4v 7  2u 4v  2v 3

 u 4  v2


3
2
4 2
2  u 2  v  
.
Задача 2. Исследовать функцию z  x 4  y 4  x 2  xy  y 2
на экстремум.
Решение.
1) Задана целая рациональная функция двух переменных.
Ее областью определения является множество всех упорядоченных пар действительных чисел.
2) Вычислим частные производные первого порядка заданной функции и найдем стационарные точки.
zx  4 x3  2 x  y ,
zy  4 y 3  x  2 y .
Функции z x , z y существуют на R2 как целые рациональные
функции двух переменных. Найдем точки, в которых частные
99
производные одновременно обращаются в ноль. Для этого решим систему:
4 x 3  2 x  y  0,
 zx  0,
 
 
z

0
;
4 y 3  x  2 y  0.
 y
Умножая первое уравнение системы на y и вычитая из него второе уравнение системы, умноженное на x , придем к системе:
4 xy( x 2  y 2 )  y 2  x 2  0,

 3
4 y  x  2 y  0;
Отсюда:
( x  y )( x  y )( 4 xy  1)  0,
 3
4 y  x  2 y  0.
4 xy  1,
 x  y,
 x   y,

или  3
или  3 1
 3
4 y  y  2 y  0;
4 y  y  2 y  0;
4 y  4 y  2 y  0.

Решения первой системы:
x  1 ,
x   1 ,
2
x

0
,
 1

 3
2
2



 y1  0;
 y2  1 ;
 y3   1 .


2
2
Решения второй системы:


3,
3,
x

x


4
5
x

0
,


 1
2
2



 y1  0;
 y4   3 ;
 y5  3 .


2
2
Решения третьей системы:
x  1 ,
x   1 ,
2

 3
2
2


 y2  1 ;
 y3   1 .


2
2

 
Получили пять стационарных точек: M1 (0; 0) , M 2 12 ; 12 ,

M 3  12 ;  12 , M 4

3
;  23
2
, M 
5
3
; 23
2
. Все точки принадлежат
области определения рассматриваемой функции. Исследуем
100
найденные точки на экстремум, применяя достаточное условие
существования экстремума.
Найдем частные производные второго порядка функции
z  x, y :
zxx  12 x 2  2 ,
zxy  1,
zyy  12 y 2  2 ,
z yx  1
и составим определитель из этих производных:
  x, y  
12 x 2  2
1
1
12 y  2
2



 12 x 2  2  12 y 2  2  1.
Вычислим значение определителя в каждой из пяти стационарных точек.
0, 0  3  0 . Следовательно, точка M1 (0; 0) является точкой экстремума. Так как zxx 0; 0  2  0 , то точка M1 (0; 0) –
точка максимума.
  

M 3  12 ;  12  нужны дополнительные
 
 12 ; 12    12 ;  12  0 . Следовательно, для точек M 2 12 ; 12 и
исследования на экстре-
мум, которые мы здесь проводить не будем.


3
3
;

2
2
  48  0 .
Следовательно, в точке M 4
существует экстремум. Так как zxx
3
3
;

2
2
3
3
;

2
2

  7  0 , то точка
 – точка минимума.
 ;   48  0 . Следовательно, в точке M  ; 
существует экстремум. Так как z   ;    7  0 , то точка
M  ;  – точка минимума.
M4



3
;  23
2
3
2
3
2
5
3
xx 2
5
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
Задача 3. Показать, что уравнение y 2 z 3  4 xyz  5 xy  0
определяет z как неявную функцию переменных x и y по крайней мере в окрестности точки M


1 , 1 ,1
2 2
2z
. Найти
.
x y
101
Решение.
Запишем данное уравнение в виде F x, y, z   0 , где
F ( x, y, z )  y 2 z 3  4 xyz  5xy .
Проверим выполнимость условий теоремы существования
неявной функции двух переменных.
1) Функция F ( x, y, z )  y 2 z 3  4 xyz  5xy и ее частные производные Fx  4 yz  5 y , Fy  2 yz 3  4 xz  5 x , Fz  3z 2 y 2  4 xy являются целыми рациональными функциями, они непрерывные на
всем множестве R 3 , следовательно, и в окрестности точки M .
  12 2 13  4  12  12 1  5  12  12  0 .
2
3) Fz 12 , 12 ,1  3 12  12   4  12  12  74  0 .
2) F 12 , 12 ,1 
Все условия теоремы существования выполняются. Тогда
уравнение
F x, y, z   0 определяет неявную функцию
z   x, y , которая обладает свойствами:
1) функция z   x, y  непрерывна в окрестности точки
 
12 , 12 ;
2)  12 , 12  1;
3) функция z   x, y  имеет непрерывные частные производные
в окрестности точки
12 , 12 , которые имеют вид
F   x, y , z 
z
4 yz  5 y
5 y  4 yz
,
 x
 2 2
 2 2
x
Fz  x, y, z 
3z y  4 xy 3z y  4 xy
Fy  x, y, z 
z
2 yz 3  4 xz  5 x 5 x  2 yz 3  4 xz



.
y
Fz  x, y, z 
3z 2 y 2  4 xy
3z 2 y 2  4 xy
2 z
Найдем производную второго порядка
:
xy
2 z
  z    5 y  4 yz 

   
xy y  x  y  3z 2 y 2  4 xy 


102





5 y  4 yz   3z 2 y 2  4 xy  5 y  4 yz    3z 2 y 2  4 xy
y
y
3z
y  4 xy
2 2


2

 


z  
2 2
2 z
 6 yz 2  4 x 
 5   4 z  4 y    3z y  4 xy   5 y  4 yz    6 zy
y  
y




.



3z 2 y 2  4 xy

2
Подставив в полученное равенство вместо производной
z
y
ее выражение, получим
2z

xy
5  4z  4 y 
5 x  2 yz 3  4 xz
3z 2 y 2  4 xy

2 2
3z y  4 xy
3


5
x

2
yz
2
5 y  4 yz    6 zy  2 2  4 xz  6 yz 2  4 x 
3z y  4 xy

.

3z 2 y 2  4 xy2
Задача 4. В плоскости треугольника с вершинами A( x1, y1 ) ,
B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) найти точку, сумма квадратов расстояний до
которой от вершин треугольника является наименьшей.
Решение.
Сведем данную задачу к задаче на отыскание наименьшего
значения функции двух переменных. Пусть M ( x, y) – искомая
точка. Тогда квадраты расстояний от точки М до вершин треугольника находятся следующим образом:
AM   x  x1 2   y  y1 2 ,
2
BM
2
  x  x2 2   y  y2 2 ,
CM   x  x3 2   y  y3 2 .
2
Составим сумму квадратов расстояний от точки M ( x, y) до
вершин треугольника:
103

u  x, y   x  x1
   y  y1    x  x2    y  y2 
2
2
  x  x3    y  y3  .
2
2
2
2

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим
u ( x, y)  3x 2  3 y 2  x12  x22  x32  y12  y22  y32 
 2 xx1  2 xx2  2 xx3  2 yy1  2 yy2  2 yy3 .
Задача свелась к отысканию наименьшего значения функции ux, y  на множестве D  R 2 .
Область D не является замкнутой. Поэтому для нахождения наименьшего значения функции в области D достаточно
убедиться, что функция u x, y  имеет во внутренней точке этой
области единственную точку экстремума – точку минимума. Тогда в этой же точке функция будет достигать своего наименьшего значения.
Для нахождения экстремумов функции воспользуемся достаточным условием существования экстремума функции двух
переменных.
Функция u x, y  непрерывна в области D как целая рациональная функция двух переменных.
Вычислим частные производные первого порядка функции
ux, y :
u
u
 6 x  2 x1  2 x2  2 x3 ;
 6 y  2 y1  2 y2  2 y3 .
x
y
Найдем критические точки. Частные производные u и u
y
x
существуют на множестве D , так как являются целыми рациональными функциями двух переменных.
Найдем точки, в которых частные производные первого порядка одновременно обращаются в ноль. Для этого решим систему:
104
6 x  2 x1  2 x2  2 x3  0,

6 y  2 y1  2 y2  2 y3  0.
Отсюда x  1  x1  x2  x3  , y  1  y1  y2  y3  .
3
3
 x  x  x3 y1  y2  y3 
Критическая точка M  1 2
;
 является
3
3


внутренней точкой области D .
Найдем частные производные второго порядка функции
u x, y 
 2u
 6;
x 2
и составим определитель

Так
как
 2u
 2u

 0;
xy yx
 2u
x 2
 2u
xy
 2u
yx
 2u
y 2
M   36  0 ,

то
 2u
y 2
6
6 0
 36 .
0 6
стационарная
точка
 x  x  x3 y1  y2  y3 
M 1 2
;
 является точкой экстремума. Так
3
3


u 2 M 
 6  0 , то точка М – точка минимума функции
x 2
u x, y , причем единственная.
Тогда наименьшее значение функция u x, y  в области D
как
 x  x  x3 y1  y2  y3 
;
принимает в точке M  1 2
.
3
3


 x  x  x3 y1  y2  y3 
;
Следовательно, точка M  1 2
 – иско3
3


мая.
105
ГЛОССАРИЙ
Внутренней точкой множества называется такая точка
этого множества, для которой существует окрестность, целиком
принадлежащая множеству, то есть если эта точка содержится
во множестве вместе с некоторой своей окрестностью.
Граничной точкой множества называется точка, в
окрестности которой содержатся как точки, принадлежащие
данному множеству, так и точки, ему не принадлежащие.
Границей множества называется множество всех его граничных точек.
Дифференциалами независимых переменных называются
приращения этих переменных, то есть dx  x , dy  y .
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка, то есть d 2 z  d dz  .
Дифференциал второго порядка d 2 z , как функция от x и y , в
свою очередь может иметь дифференциал, который называется
дифференциалом третьего порядка от функции z и обозначается d 3 z , то есть d 3 z  d  d 2 z  . После того, как дифференци-
ал  n  1 -го порядка определен, определяем дифференциал n -го
порядка: d n z  d  d n  1 z  .
Замкнутым множеством называется множество, которое
содержит в себе все свои предельные точки.
Инвариантностью формы дифференциала называется
свойство дифференциала сложной функции сохранять свою
форму.
Кривой Жордана в пространстве R n называется множество всех таких точек M x1 , x2 , ..., xn , координаты которых
 x1  1 t ,
определяются параметрическими уравнениями .............. где
 xn   n t ,
106
1 t  , …,  n t  – непрерывные функции на отрезке  ,  , причем различным значениям t из отрезка  ,   соответствуют
различные точки M. Если при этом значениям t   и t   соответствует одна и та же точка M, то кривая называется замкнутой.
Критической точкой функции называется точка M 0 , в
которой частные производные либо равны нулю, либо не существуют вовсе.
Линией уровня функции z  f  x, y  называется множество точек  x, y  плоскости xOy , в которых функция принимает
одно и то же значение.
Непрерывной функцией в точке M 0  x0 , y0  называется
функция f  x, y , если
lim
x  x0 , y  y0
f  x, y   f  x0 , y0  .
Непрерывной функцией в точке M 0  x0 , y0  называется
функция f  x, y , если бесконечно малым приращениям аргументов x, y в точке M 0  x0 , y0  соответствует бесконечно малое приращение функции z .
Непрерывной на множестве называется функция, которая
непрерывна в каждой точке этого множества.
Окрестностью точки M 0 называется всякий n-мерный
открытый шар с центром в точке M 0 (в пространстве R 2 это будет открытый круг). Если из окрестности точки M 0 удалить саму точку M 0 , то полученное множество называется проколотой
окрестностью точки M 0 .
Областью называется всякое открытое связное множество.
Если к области присоединить ее границу, то такое множество
называется замкнутой областью.
107
Областью существования функции двух переменных
называется множество всех тех и только тех пар действительных
чисел  x, y  , для которых в области действительных чисел
определено соответствующее значение функции.
Окрестностью точки M 0 называется всякий n-мерный
открытый параллелепипед с центром в этой точке.
Открытым множеством называется множество, у которого любая точка является внутренней.
Полным дифференциалом функции z  f x, y  в точке
M 0  x0 , y0  называется линейная часть полного приращения и
f  x0 , y0 
f  x0 , y0 
 x 
 y .
x
y
Полным приращением функции z  f x, y  в точке
M 0 x0 ,y 0  называется приращение функции, отвечающее про-
обозначается dz 
извольным приращениям обеих переменных.
Пределом функции f x, y  при x  x0 , y  y 0 называет-
ся число b , если для любого   0 существует     0 такое,
 x  x0   ,
 y y 
0

x, y   x0 , y0  , выполняется неравенство f x, y   b   .
что для любых точек
x, y 
таких, что
и
Предельной точкой множества называется такая точка
M 0 , если в любой ее окрестности существует хотя бы одна точка M из этого множества, отличная от точки M 0 .
Определение. Множество называется связным, если любые
две точки его можно соединить кривой Жордана, целиком принадлежащей этому множеству.
Стационарными точками функции называются точки, в
z z
которых
и
одновременно равны нулю.
x y
108
Точкой максимума функции z  f x, y  называется точка
M 0 x0 , y0 , если существует такая окрестность этой точки, что
для любой точки M  x, y  из этой окрестности, причем M  M 0 ,
выполняется неравенство f M   f M 0  .
Точкой минимума функции z  f x, y  называется точка
M 0 x0 , y0  если существует такая окрестность этой точки, что
для любой точки M  x, y  из этой окрестности, причем M  M 0 ,
выполняется неравенство f M   f M 0  .
Точкой разрыва функции f x, y  называется точка, в которой эта функция не является непрерывной.
Даны три переменные действительные величины x, y и z .
Если каждой паре значений переменных x и y соответствует по
некоторому закону определенное единственное значение переменной z , то переменная z называется функцией двух независимых переменных x и y . Обозначение: z  f  x, y  .
Даны четыре переменные величины x, y , z и u . Если каждой тройке значений переменных x , y и z соответствует по некоторому закону определенное единственное значение переменной u , то переменная u называется функцией трех независимых переменных x , y и z . Обозначение: u  f  x, y, z  .
Если каждой точке M x1 , x2 , ..., xn   D поставлено в соответствие единственное действительное число z , то такое соответствие называется функцией n переменных x1, x2 , ..., xn , а само
множество D называется областью определения функции. Обозначение: z  f x1 , x2 , ..., xn  . x1 , x2 , ..., xn называются независимыми переменными или аргументами функции.
Функция z  f x, y  называется дифференцируемой в
точке M 0 x0 ,y0 , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
z  A  x  B  y    x    y , где
109
A, B - постоянные,  ,  зависят от x и y , причем  ,  являются бесконечно малыми функциями при x, y  0 .
Функцией, заданной аналитически называется функция,
заданная конкретной формулой.
Функция f  x, y  называется непрерывной в точке
M 0  x0 , y0  , если
lim
x x0 , y  y0
f  x, y   f  x0 , y0  .
Функция z  f x, y  называется непрерывной в точке
M 0  x0 , y0  , если бесконечно малым приращениям аргументов
x, y в точке M 0  x0 , y0  соответствует бесконечно малое приращение функции z .
Функция называется непрерывной на множестве, если
она непрерывна в каждой точке этого множества.
Частной производной по переменной x для функции
z  f x, y  в точке M 0 x0 , y0  называется предел отношения
частного приращения функции по переменной x в точке
M 0 x0 , y0  к приращению соответствующего аргумента в точке
M 0 x0 , y0  при x  0 , при условии, что этот предел существует
и конечен: f x  x, y  
 z
z
 lim x .
 x  x 0  x
Частной производной по переменной y для функции
z  f x, y  в точке M 0 x0 , y0  называется предел отношения
частного приращения функции по переменной y в точке
M 0 x0 , y0  к приращению соответствующего аргумента в точке
M 0 x0 , y0  при y  0 , при условии, что этот предел существу-
yz
z
 lim
.
 y  y 0  y
Четырехмерным пространством называется множество
всех возможных четверок чисел ( x, y, z, u ) ; сама четверка чисел
ет и конечен: f y  x, y  
110
( x, y, z, u ) называется точкой в четырехмерном пространстве, а
числа x , y , z , u называются координатами этой точки.
n-мерным пространством называется множество всевозможных упорядоченных совокупностей x1, x2 , ..., xn  из n действительных чисел, при этом каждая совокупность
x1 , x2 , ..., xn  называется точкой n-мерного пространства,
где числа x1 , x2 , …, xn называются координатами точки.
n-мерным евклидовым пространством называется такое
n-мерное пространство, в котором для любых двух его точек
M x1 , x2 , ..., xn  , M x1, x2 , ..., xn  введено расстояние по формуле:  M , M  
x1  x12  x2  x2 2  ...  xn  xn 2 .
Обозначение: R n или E n .
n-мерным замкнутым параллелепипедом
называется
множество всех точек M x1 , x2 , ..., x n  R n , таких, что их координаты удовлетворяют неравенствам: ai  xi  bi , i  1, n , где
ai , bi – заданные числа. Обозначение: a1 , b1 ; a2 , b2 ; ...; an , bn .
Если же выполняются строгие неравенства ai  xi  bi ,
i  1, n , то множество всех точек называется n-мерным открытым параллелепипедом. Обозначение: (a1, b1; a2 , b2 ; ...; an , bn ) .
n-мерным замкнутым шаром с центром в точке M 0 радиуса r называется множество всех таких точек M  R n , для которых расстояние   M , M 0   r .
n-мерным открытым шаром с центром в точке M 0 радиуса r называется множество всех таких точек M  R n , для которых расстояние   M , M 0   r .
111
Приложение 1
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Таблица производных элементарных функций
Пусть u    x  – некоторая дифференцируемая функция,
C – постоянная.
1.  C   0 .
2.  x   1 .
    u 
3. u 
1
 u .
Частные случаи:
   a
4. a u
u
 ln a  u
   e
Частный случай: e u
u
 u .
 u   2 1 u u .
5.  log a u  
1
 1 


 u .
 
2
u
u
1
Частный случай:  ln u    u .
u
6.  sin u   cos u  u .
7.  cos u    sin u  u .
1
 u .
cos 2 u
1
 u .
10.  arcsin u  
2
1 u
9.  ctg u   
12.  arctg u  
13.  arcctg u   
8.
 tg u  
1
 u .
u  ln a
1
 u .
2
1 u
14.  sh u   ch u  u .
16.
112
 th u  
1
 u .
ch 2 u
1
 u .
sin 2 u
1
 u .
11.  arccos u   
2
1 u
1
 u .
2
1 u
15.  ch u   sh u  u
17.  cth u   
1
 u .
sh 2 u
Правила дифференцирования
1.  u  v   u  v
 u  v  w  u  v  w .
2.  u  v   u  v  u  v .
 u  v  w  u v  w  u  v  w  u  v  w .
3.  C u   C u  , C - const .
 u  u
.
  
C  C
 u  u  v  u  v
4.   
.
v2
v
Производная сложной функции двух переменных
1. Если z  f x, y  , где x   (t ) , y   (t ) , то
dz z dx z dy
    .
dt x dt y dt
2. Если z  f x, y  , где x   (u, v) , y   (u, v) , то
z z dx z dy
    ,
u x du y du
z z dx z dy
    .
v x dv y dv
Производная функции, заданной неявно
1. Производная неявной функции одной переменной. Если
уравнение F x, y   0 определяет неявную функцию y   x , то
F   x, y 
dy
 x
.
dx
F y  x, y 
2. Производная неявной функции двух переменных. Если
F x, y, z   0 определяет неявную функцию
уравнение
z   x, y , то
F y  x, y, z 
Fx  x, y, z 
z
z


,
.
y
Fz  x, y 
x
Fz  x, y 
113
Приложение 2
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Сфера x 2  y 2  z 2  R 2 , где R – радиус.
z
R
R
0
y
R
х
x2 y2 z 2
2. Эллипсоид 2  2  2  1 , где а, b, с – полуоси.
a
b
c
z
c
0
a
х
114
b
y
x2 y2 z 2
3. Однополостной гиперболоид 2  2  2  1,
a
b
c
где а и b – действительные полуоси, с – мнимая полуось.
z
0 b
a
y
x
x2 y2 z 2
4. Двуполостный гиперболоид 2  2  2  1, где с –
a
b
c
действительная полуось, а и b – мнимые полуоси.
х
c
x
0
y
115
x2 y2
5. Гиперболический параболоид z  2  2 .
a
b
z
0
y
x
x2 y2
6. Эллиптический параболоид z  2  2 .
a
b
z x
h
z
0
x
116
y
y
x2 y2
7. Эллиптический цилиндр 2  2  1 .
a
b
z
у
x
x2 y2
8. Гиперболический цилиндр 2  2  1.
a
b
z
0
x
y
117
9. Параболический цилиндр y 2  2 px .
z
0
y
x
x2 y2 z2
 2  2  0.
10. Конус
2
a
b
c
z
a
b
c
0
x
118
y
ЛИТЕРАТУРА
1. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического
анализа [Текст] : учеб. для вузов / Г.Н. Берман – СПб. : Лань,
2010. – 432 с.
2. Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике
[Текст] : учеб. для вузов / Л.А. Кузнецов – СПб. : Лань, 2013. –
257 с.
3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст] : учеб. для вузов / Н.С. Пискунов – М. : Интеграл-Пресс, 2012. – 560 с.
4. Петрушко, И.М. Курс высшей математики. Лекции и
практикум [Текст] : учеб. для вузов / И.М. Петрушко – СПб. :
Лань, 2010. – 608 с.
5. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа
[Текст] : учеб. для вузов / Г.М. Фихтенгольц – СПб. : Лань, 2010.
– 464 с.
119
120
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
2 599 Кб
Теги
peremennoy, mat, analiz, funkcii, balabaeva, enbom, mnogih
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа