close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Gluschenko Gluschenko Zhukov opticheskaya fizika uchebnoe posobie ch2 2018

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Поволжский государственный университет
телекоммуникаций и информатики»
________________________________
Кафедра физики
Глущенко А.Г., Глущенко Е.П., Жуков С.В.
ОПТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
(Ч.2)
Учебное пособие
Самара
2018
1
УДК 535
БКК 22.3
Г55
Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ, протокол №3,
от 12.10.2018 г.
Рецензент:
Андреев В.А. – д.т.н., профессор кафедры ЛС и ИТС ФГБОУ ВО ПГУТИ
Глущенко А.Г., Глущенко Е.П., Жуков С.В.
Г55 Оптическая физика: учебное пособие (конспект лекций)/Ч.2.
А.Г.Глущенко, Е.П. Глущенко, С.В.Жуков.- Самара: ФГБОУ ВО ПГУТИ,
2018. – 172 с.
Учебное пособие «Оптическая физика» соответствует Федеральному государственному стандарту, содержит ключевые понятия и дает
представление об основных разделах современной фотоники и прикладной оптики. Учебное пособие разработано в соответствии с ФГОС
ВПО по направлению подготовки бакалавров 12.03.03 - Фотоника и
оптоинформатика. В качестве дополнительной литературы может быть
полезна студентам направлений 09.03.02 - Информационные системы и
технологии, 10.03.01 - Информационная безопасность, 10.05.02 - Информационная безопасность телекоммуникационных систем, 11.05.01 Радиоэлектронные системы и комплексы, 11.03.02 - Инфокоммуникационные технологии и системы связи, 11.03.01 – Радиотехника, Включает контрольные вопросы, вопросы для самоподготовки и предметный
указатель. Включает подробный список терминов фотоники на английском языке, их перевод и описание, что поможет чтению научной литературы по фотонике в оригинале. Предназначено для студентов 2-3
курсов факультета базового телекоммуникационного образования для
семинарских, практических занятий и самостоятельной подготовки.
Учебное пособие может быть использовано студентами других специальностей вузов.
.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»
 Глущенко А.Г., Глущенко Е.П., Жуков С.В. 2018
2
Содержание
Лекция 1
Тема 1. Интерференция световых волн, основы голографии
Раздел 1.1. Условия интерференции электромагнитных волн. Когерентность волн и когерентные источники света. Как создать
когерентные источники. Когерентность лазерного излучения.
Интерференция поляризованного света. Оптическая схема Юнга.
Условия временной когерентности. Видность интерференционных полос. Длина когерентности излучения.
Стр.
6
6
Лекция 2
Раздел 2.1. Пространственная когерентность. Условие пространственной когерентности. Интерференция нелазерных источников
света. Метод деления амплитуды. Метод деления волнового
фронта. Голография. Голограмма плоской световой волны. Запись голограммы. Воспроизведение голограммы от точки. Плоская голограмма протяженного объекта. Толстослойная голограмма.
13
Лекция 3
30
Раздел 3.1. Многолучевая интерференция и ее применение. Интерферометр Фабри-Перо. Интерференционные покрытия. Узкополосный оптический фильтр. Открытый оптический резонатор.
Диэлектрическое зеркало. Интерферометрия интенсивности.
Контрольные вопросы по теме
Лекция 4
Тема 2. Дифракция света
Раздел 4.1. Принцип Гюйгенса – Френеля. Метод зон Френеля.
Дифракция Френеля на круглом отверстии. Дифракция Френеля
на диске. Дифракция на крае полуплоскости.
Лекция 5
Раздел 5.1. Дифракция Фраунгофера. Дифракция Фраунгофера
на одной щели. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке.
Контрольные вопросы по теме
Лекция 6
Тема 3. Геометрическая оптика. Нелинейная оптика
Раздел 6.1. Геометрическая оптика. Основные положения геометрической оптики. Уравнение эйконала и принцип Ферма.
Лекция 7
3
13
30
35
36
36
45
55
56
56
62
Стр.
Раздел 7.1. Центрированные оптические системы и ход лучей в
них. Условие синусов Аббе или теорема Лагранжа-Гельмгольца.
Три основные матрицы преобразования луча. Аберрации оптических систем. Гауссов пучок.
Лекция 8
Раздел 8.1. Понятие о нелинейных оптических эффектах. Генерация оптических гармоник. Эффекты самовоздействия, параметрические эффекты и вынужденное рассеяние. Самофокусировка луча. Оптическое гетеродинирование и параметрическое
усиление света. Вынужденное рассеяние. Обращение волнового
фронта. Динамическая голография или четырехволновое взаимодействие. Вынужденное комбинационное рассеяние. Лзерное
охлаждение.
Контрольные вопросы по теме
Лекция 9
Тема 4. Квантовая оптика
Раздел 9.1. Тепловое излучение. Фотоэффект. Фотоны. Давление
света. Эффект Комптона. Корпускулярно-волновой дуализм
электромагнитного излучения. Опыт Дэвиссона и Джермера.
Лекция 10
Раздел 10.1. Теория атома водорода по Бору. Опыт Франка и
Герца.Теория водородоподобного атома по Бору. Элементы
квантовой механики. Принцип неопределенности. Уравнение
Шредингера.
Лекция 11
Раздел 11.1. Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками. Туннельный эффект. Гармонический осциллятор. Атом водорода. Квантовые числа и их физический смысл. Правило отбора.
Вырожденные состояния.
Спин электрона. Принцип тождественность частиц. Принцип Паули. Атомные оболочки. Таблица Менделеева. Рентгеновские
спектры. Оптические спектры. Атом во внешнем магнитном поле. Эффект Зеемана.
Контрольные вопросы по теме
Глоссарий
Библиография
4
62
78
78
100
101
101
119
119
131
131
155
156
169
Лекция 1
Тема 1. Интерференция световых волн
Раздел 1.1. Условия интерференции электромагнитных волн.
Когерентность волн и когерентные источники света. Как создать когерентные источники Когерентность лазерного излучения.
Интерференция поляризованного света. Оптическая схема Юнга.
Условия интерференции электромагнитных волн.
Когерентность волн и когерентные источники света
Пусть свет от двух удаленных источников падает в некоторую точку Р
.
Рис. 1.1. Схема сложения волн.
экрана (точка наблюдения). На большом удалении (в волновой зоне) эти
волны можно считать плоскими. Сложим их методом векторной диаграммы:

 



E p  E1 cos(1t  k1r  1 )  E2 cos(2t  k2 r  2 )
1) Так можно складывать однонаправленные колебания, т.е.
считаем, что волны приходят к экрану под очень малым углом   1
(источники очень удалены) и практически E1  E1x , E2  E2 x
Рис. 1.2. Графическое сложение амплитуд.
5
2) Частоты источников должны быть одинаковыми: 1  2   ,
иначе результирующий вектор будет очень быстро изменяться со
временем. Тогда
E 2p  E12  E22  2 E1E2 cos(2  1 )
Усредняя по времени, находим результирующую интенсивность
света (световой поток, освещенность экрана, и т.п., все они пропорциональны E 2 ):
I p  I1  I 2  2 I1I 2 cos(2  1 ), I  const  E 2 .
Волны, у которых разность фаз зависит от времени, называются некогерентными, для них cos(2  1 )  0 . При сложении некогерентных световых волн их интенсивности просто складываются и одинаковы
во всех точках пространства. Волны, у которых разность фаз не зависит от времени, называются когерентными:

2  1  f ( r )  const
в каждой точке пространства. Для когерентных волн
I p  I1  I 2  2 I1I 2 cos(2  1 ).
В тех точках пространства, где разность фаз двух складывающихся
когерентных волн равна четному числу  , получим усиление интенсивности:
I p max  ( I1  I 2 ) 2
а в тех точках, где она равна нечетному числу к, получим ослабление интенсивности:
I p min  ( I1  I 2 ) 2
Это явление называют интерференцией.
Интерференционная картина - это устойчивая во времени картина чередующихся максимумов и минимумов освещенности на
экране. Получается она только при сложении когерентных волн. Если в данной точке экрана разность фаз волн 2  1  2m, m  0,1,2,... - это
условие интерференционного максимума,
Если 2  1  (2m  1), m  0,1,2,... - целое - это условие интерференционного минимума.
Условие интерференционных максимумов можно переписать подругому:
  (t  k1s1  1 )  (t  k2 s2  2 ) 
2
.
(n2 s2  n1s1 )  (1  2 )
0
Здесь: λ0 - длина волны в вакууме, n-показатель преломления среды,
s-путь пройденный в среде. Назовем ns-оптическим путем, тогда
6
n2s2-n1s1=Δ
– оптическая разность хода лучей. Пусть для простоты когерентные источники колеблются с одной начальной фазой. Тогда получим

  2m  m - интерференционный максимум;
2

  (2m  1) - интерференционный минимум.
2
Величина   n( s 2  s1 ) называется оптической разностью хода
лучей (это геометрическая разность пути, умноженная на показатель преломления среды).
Как создать когерентные источники.
Если источник света протяженный, то разные участки его испускают цуги волн с совершенно случайными фазами  2  1  f (t ) (свет испускается случайно разными атомами).
Поэтому разные участки светящегося тела или разные светящиеся
тела не могут быть когерентными. Исключение - излучение лазеров.
Для создания двух или более когерентных лучей надо использовать
один источник и разделить его на два или более луча, т.е. надо создать
изображения источников. Но покоящиеся атомы испускают короткие цуги   с  3 м и, если s 2  s1   , то в точку наблюдения придут цуги, испущенные разными атомами, т.е. лучи перестанут быть когерентными. Это
сильно ограничивает размер интерференционной картины.
Но значительно сильнее ограничивает этот размер немонохроматичность света и конечный размер источников света.
Рис. 1.3. Разбиение излучения атома на составляющие и их сложение.
Каждый атом S создаст изображения в S1 и S2, которые когерентны
и создадут в точке Р интерференционную картину. Но такие же картины
создадут и все остальные атомы.
Из рис. 1.3 видно, что n( s2  s1 )    n( s2  s1 ) т.е. в точке Р
накладываются интерференционные максимумы, созданные одними
участками светящегося тела с минимумами от других участков. В сумме
получается равномерно освещенная поверхность (без интерференционных полос).
7
Но даже если источники очень малы - их атомы испускают естественную спектральную линию   108  1010 с-1 - смесь монохроматических волн с разными длинами. Следовательно, максимумы для одних
длин волн накладываются на минимумы для других, и интерференционная картина исчезает.
Вывод: создать интерференционную картину для обычных источников света очень сложно.
Когерентность лазерного излучения
Чтобы заставить атомы излучать электромагнитную волну их надо
возбудить, т.е. перевести электроны на более удаленную боровскую орбиту. Возвращаясь в основное состояние в течение   10 8 с электрон ис-
пускает цуг длительностью   10 8 с. Это - естественное (спонтанное)
излучение.
Но оно нарушает термодинамическое равновесие: возбуждать атомы можно практически мгновенно ("обстреливая " их, например, потоком
фотонов), а возвращаются они в основное состояние через ~ 10 -8 с, т.е.
атомы будут накапливать энергию, а температура газа - расти.
Эйнштейн показал, что такого нарушения термодинамического
равновесия не происходит из-за появления вынужденного излучения.
Если на возбужденный атом попадает фотон с энергией, равной
разности энергий электрона в основном и возбужденном состоянии, то
этот электрон практически мгновенно переходит в основное состояние, а
испущенный им фотон имеет ту же частоту, ту же начальную фазу и то
же направление движения, что и налетающий фотон.
Такие фотоны вынужденного излучения образуют плоскую волну
— луч вынужденного излучения, выходящий из лазера очень слабо расширяется в пространстве, в отличие от естественного (спонтанного) излучения.
Рис. 1.4. Получение интерференции с помощью лазера.
За время большее     109  108 с все возбужденные атомы
с
возвращаются в основное состояние, и из выходного отверстия вылетает
практически монохроматическая (бесконечная) плоская волна. Все ее
участки когерентны и при наложении дают интерференционную картину
произвольного размера и на произвольном удалении.
8
Интерференция поляризованного света.
Интерференционную картину создают только те когерентные волны, в которых колебания векторов Е однонаправленны. Так, если в точку
Р плоскополяризованные в плоскости падения лучи от когерентных источников S1 и S2 придут под большим углом, то интерферировать будут
только составляющие Е1x и Е2x.
Рис. 1.5. Сложение различных составляющих.
Перпендикулярные к экрану составляющие E1z и E2z создают равномерное освещение, как и некогерентные волны. Такой свет частично
когерентен. Освещенность в точке Р будет равна
I p  I1x  I 2 x  2 I1x I 2 x cos(2  1 )  I 2 z  I1z  I 2 y  I1 y
Эти полосы интерференции видны хуже. Они наблюдаются на фоне
равномерно освещенного экрана. Для описания подобной интерференционной картины вводят функцию видности:
I
 I min
V  max
I max  I min
Для рассматриваемого на рисунке случая
( I1 x  I 2 x ) 2  ( I1 x  I 2 x ) 2
- когда эта величина видV
2( I1x  I 2 x  I1 y  I 2 y  I1z  I 2 z )
ности < 50 %, то полосы трудно увидеть.
Обычно наблюдают интерференцию в естественном свете, где параллельные и перпендикулярные составляющие дают две независимые
интерференционные картины. Но, так как скорости || и  лучей одинакова, то и проходимые ими оптические пути одинаковы. Поэтому картины
совпадают друг с другом (их максимумы и минимумы подчиняются одному условию).
В опытах Френеля и Араго на пути лучей ставились поляризаторы.
Когда угол между плоскостями пропускания поляризаторов был равен
90°, они пропускали взаимно перпендикулярно поляризованный свет, и
интерференционная картина на экране исчезала.
9
Если на пути одного из лучей поставить оптически активное вещество, которое вращает плоскость поляризации на 90°, то интерференционная картина также
 исчезнет,

 так как
 теперь складываются однонаправленные колебания E1|| и E1 , E1 и E1|| , а они испущены разными атомами
и некогерентны.
Оптическая схема Юнга
Оптическая схема Юнга - это случай интерференции, когда расстояние 2d между когерентными источниками много меньше расстояния L
до экрана.
Томас Юнг в 1802 г. впервые наблюдал интерференционную картину. В узкие отверстия S1 и S2 попадает свет от одного источника S , т.е. S1
и S2 будут когерентными источниками.
Рис. 1.6 Схема Юнга.
Крохотный размер S, S1, S2 обеспечивает видимость интерференционной картины, но резко уменьшает освещенность экрана.
Для усиления освещенности используют узкие прорези-щели. Световые волны от разных точек щели складываются на экране, и образуется
интерференционная картина из параллельных полос.
Рис. 1.7. Сложение напряженностей от двух щелей.
Определим ширину полос, полученных при сложении двух плоских
когерентных волн, сходящихся
на экране под малым

  углом . Так как



E рез  E1 cos(t  k1r  1 )  E 2 cos(t  k 2 r   2 ),

 
E 2рез  E12  E 22  2 E1 E 2 cos((k 2  k1 )r  ( 2  1 ))
10
то линией с одинаковой освещенностью на экране будет линия

 
(k 2  k1 )r  const .
Рис. 1.8. Условие одинаковой освещенности.
Пусть
экран
перпендикулярен
падающему





(k2  k1 ) x  const , ( k 2  k1  k ) или 2k sin x  const
2
свету
или
Расстояние между соседними интерференционными максимумами (или минимумами), т.е. ширина интерференционной полосы из
условия

2 
  2 sin  x  2 , при   1 рад , имеет величину x 
 .
2
k 
Рис. 1.9. Учет наклона экрана.
Чем меньше угол схождения плоских волн, тем больше x . Если
экран наклонить под углом θ, то ширина интерференционных полос на

нем увеличится: x 
.
 cos 
Получим далее выражение для освещенности интерференционной
картины в опыте Юнга более детально.
Из S2 BP и S1AP получим
Рис. 1.10. Расчет освещенности интерференционной картины в опыте Юнга.
11
S22  L2  ( x  d ) 2 ,
S12  L2  ( x  d ) 2
тогда
S 22  S12  ( S 2  S1 )( S 2  S1 )  4 xd ,
2 xdn
  n( S 2  S1 ) 
L
Если оптическая разность хода равна четному числу полуволн, то
на экране видны светлые полосы с максимумами в точках с коорL
динатами x max 
m , m - целое. Минимумы освещенности наблюда2nd
L(2m  1)
ются между ними в точках с координатами xmin 
.
4nd
Расстояние между соседними полосами, или ширина интерференционной полосы на экране,
L 2d

x  xm 1  xm 
(  tg  , x  ) .
2nd L
n
Квадрат результирующей амплитуды светового вектора на экране
2 2 xd
E 2рез  E12  E22  2 E1E2 cos(k)  2 E0 (1  cos( n
)), E1  E 2  E 0

L
или
2nxd
I рез  4 I 0 cos2 (
)
L
Лекция 2
Раздел 2.1. Пространственная когерентность. Условие пространственной когерентности. Интерференция нелазерных источников света. Метод деления амплитуды. Метод деления волнового
фронта. Голография. Голограмма плоской световой волны. Запись
голограммы. Воспроизведение голограммы от точки. Плоская голограмма протяженного объекта. Толстослойная голограмма.
Условия временной когерентности.
Рис. 2.1. Спектр складываемых колебаний.
Выясним как влияет на интерференционную картину немонохроматичность источника, испускающего волны с длиной от 1 до 1   . Пусть
для простоты интенсивность этих волн одинакова и равна I0. Разобьем
12
сплошной спектр из лучения на попарные компоненты  и  

. Обе
2
проходят до точки наблюдения Р на экране одинаковые пути S2 и S1. Первая дает освещенность экрана
Рис. 2.2. Схема сложения колебаний.

 2  
I /  2 I 0 1  cos  
  

для второй



 2


I //  2 I 0 1  cos
 
    


2 

Рис. 2.3. Сложение колебаний с разной длиной волны.
Из-за того, что λ разное ( одинаково) для них не совпадают координаты интерференционных максимумов
Максимумы одной длины волны накладываются на минимумы другой, и интерференционная картина вдали от центра экрана исчезает






2
 2 
I рез  2 I 0 2  cos    cos
  
  
    


2 


    2 
4 I 0 1  cos
  cos  
 22    

т.е. картина, видимая на экране, имеет вид:
Рис. 2.4. Вид интерференции картины при сложении немонохроматических колебаний.
13
Тот же самый результат получится для любой другой пары компонент, сдвинутых на

.
2
Видность интерференционных полос
I
 I min
 
V  max
 cos
I max  I min
22

    
I max  4 I 0 1  cos
 1
2  
 2  



   
I min  4 I 0 1  cos
  ( 1)
 22 


Видность интерференционных полос становится равной нулю (пер-
2
вый раз) при разности хода лучей  
. Эта разность хода называет

2

ся длиной когерентности излучения  ког 
, отсюда время
nвоз 
 ког 2

когерентности  ког 
.
с
с
Условие временной когерентности - интерференционная картина наблюдается до тех пор, пока разность хода лучей от двух син2
фазных когерентных источников не превышает  ког 
.

Если свет сильно немонохроматичен, например белый видимый
6
свет, (380 < λ < 750 нм) то для него  ког  10 м . Уже для третьего ин  300  3  550
терференционного максимума   3, V  cos
 0,282 . Т.е.
2  2  5502
в белом свете наблюдать интерференцию очень плохо. Надо для увеличения видности уменьшать δλ, т.е. использовать светофильтры. Фактически
таким светофильтром является человеческий глаз проявляющий избирательную способность к свету, поэтому глаз в белом свете способен различить до 10 полос интерференции.
При    ког интерференционная картина должна восстановиться
I
 I min
 
 cos
т.к. V  max
. Почему мы ее не наблюдаем?
2
I max  I min
2
График распределения (плотности) интенсивности источников
(атомов) (спектральная линия) имеет симметричный вид (вместо переменной ω используем переменную κ = ω/с).
14
Рис. 2. 5. Вид спектральной линии.
Если от двух когерентных источников в интервале от к до k+dk приходят
волны с интенсивностью I(k)dk с разностью хода , то складываясь, они
дают результирующую интенсивность I рез  2 I (k )(1  cosk)dk .
Совершим сдвиг переменной интегрирования: k  k0   , тогда
I рез  2 I ()1  cos(k0  )d  2 I ()1  cos k0 cos   sin k0 sin d
Но  I () sin( )d  0 (нечетная подинтегральная функция), и
2 

I рез  2 I () 1  cos cos d
 

По этой формуле надо вычислять освещенность экрана в любой
точке в случае любых немонохроматических когерентных источников
света.
Так в случае сплошного спектра с одинаковой интенсивностью I 0
всех частот, который рассматривали ранее имеем
k
2

 sin k / 2 
2 
2 
I рез  2  I 0 1  cos  cos  d  2 I 0k 1 
cos 
0 
k / 2
0 
k 


2
2
  1 (для I max и I min соответственно). Поэтому видность
0
sin k / 2 
V
.
(k / 2)
2
2
 при    .
Но k 
и k 

2
k

Функция видности в первый раз обращается в ноль при
2
2 2

  ког
или при  
k 
Получили тот же результат, что и ранее.
cos
15
k

2
она заметно меньше. Можно считать, что при    ког интерференционные полосы практически не видны.
Центр интерференционной картины виден четко, а вдали от центра
картина практически неразличима из-за малой видности.
К тому же, если свет идет цугами от отдельных атомов, то
2c
с
k 

, т.е.  ког  2 зат (время испускания одного цуга). По ког  зат
этому через время  ког в точку наблюдения будут приходить уже другие
некогерентные цуги, которые интерференцию не создадут.
Затем видность должна восстановиться, но из-за знаменателя
Рис. 2.6. Вид интерференционной картины для немонохроматических молн.
В газонаполненных источниках света (даже если атомы будут
испускать монохроматический свет с 0 (0 ) из-за эффекта Доплера спектральная линия сильно уширяется.
Рис. 2.7. Гауссов закон.
2
Для этого случая (гауссов закон) I ()  I 0 e  . Тогда видность
 2 
 . Можно оценить постоянную  по исчезновению интерфеV  exp 
 4 


ренционных полос. Считается, что полосы перестают быть видны визу2
2
1  2 
ально при V<0,5 тогда
.
 ln 2,  
4
4ln2   
Для криптонового эталона длины λоранж=0,60578 нм эксперимен2
тально найдено  ког  80 см и   023083 м .
16
Пространственная когерентность. Условие пространственной
когерентности. Интерференция нелазерных источников света. Метод
деления амплитуды. Метод деления волнового фронта
Пространственная когерентность
Значительно сильнее немонохроматичности источника влияет на
исчезновение интерференционной картины конечный размер (ширина)
источника b.
Рис. 2.8. Интерференция от источника конечной длины.
Пусть источник ширины b создает два когерентных изображения S1
и S2 на удалении L (в опыте Юнга это две щели). Должно соблюдаться
условие b<<d<<  ,L. Пусть все точки источника имеют одинаковую яркость. Разобьем его на узенькие полоски шириной dy. Если весь источник
создаст в точке наблюдения Р освещенность Iрез , то каждая такая полоска
I
даст освещенность dI  0 dy . Световой вектор dE  dI , но проходя чеb
рез две щели этот вектор приобретает сдвиг фаз
2   2  ( y  d ) 2  L2  ( x  d ) 2 
k 


   2  (d  y ) 2  L2  (d  y ) 2  .


  k  k ( AC  CP  AB  BP)
2  2 yd 2 xd 

Из рис. 18.1 следует: k 

.
  
L 
В точке Р эти две волны от узкой полоски dy складываются: dE рез  dE  dE  exp(ik) и дают
dI рез  dE рез  dI 1  exp(ik 1  exp( ik   2dI (1  cos k)
Чтобы получить освещенность, созданную всем источником, проинтегрируем по его ширине
b / 2 2I
0 dy 1  cos 2  2 yd  2 xd   
I рез  
 
 

b


L

  .


b / 2


 2bd   4xd 
2 I 0 1 
sin 
 cos

2

bd



  L  

2
17
 2bd 
sin 

 

Видность картины: V 
.
 2bd 


  
Рис. 2.9. Зависимость видности от ширины источника.
В отличие от временной когерентности V не зависит от х (от ), т.е.
при увеличении ширины источника b видность картины ухудшается во
всех точках (и в центре и по краям).
2bd
 m ) картина будет исчезать вообще, а
Периодически (при

затем восстанавливаться.
Но эта картина наблюдается на фоне экрана с освещенностью 2I0.
Принято считать, что картина видна хорошо при V≥2/π=0,637, или при
2bd 

 b
. Это условие пространственной когерентности. Но

2
4d
при b << d <<  имеем
2d 

2  tg 2 

 b  2 
 2b
2
Это условие пространственной когерентности, ограничивающее
пространственные размеры источника света. Угол 2θ, под которым
когерентные изображения видны из точки расположения исходного источника S. Угол 2θ называется апертурой интерференции.
Рис. 2.10. Иллюстрация условия пространственной когерентности.
При выполнении условия b  2 
на различима.
18

интерференционная карти2
Для бипризмы Френеля
Рис. 2.11. Бипризма Френеля.
Если   10 ; a  0,1 м; ;   1м; n  1,5;   600 нм то получается b<18,9
мкм. Поэтому с обычными источниками света (нить лампы и т.п.) интерференцию получить нельзя! (Без тщательной фокусировки в точку.) Для
лазерного излучения это несущественно, т.к. все его точки - когерентны.
Интерференция нелазерных источников света
Для нелазерных источников света излучение двух любых разных
атомов некогерентно. Следовательно, для нелазерных источников света
излучение каждого атома может интерферировать только с излучением
этого же атома.
Для не лазерных источников света любые два фотона, излученных
одним и тем же атомом, некогерентны. Следовательно, для нелазерного
источника света каждый фотон интерферирует только сам с собой.
Каждый атом после своего возбуждения излучает во все стороны
затухающую световую волну — световой цуг. В этом световом цуге содержится всего один фотон — порция энергии h , где ν — частота света.
Атом излучает электромагнитное поле световой волны во все стороны, а поглотить фотон можно только в одном месте.
Неправильно считать, что атом излучает фотон света в одну сторону, а мы, не зная в какую именно сторону он излучает, якобы вынуждены
считать, что атом излучает во все стороны.
Дело в том, что излучение каждого атома, выпущенное в разные
стороны, можно зеркалами собрать в одну точку экрана и заставить интерферировать. Или, например, в опыте Юнга излучение каждого атома
проходит через две щели и интерферирует само с собой на экране. При
этом интенсивность света на экране будет зависеть от разности фаз интерферирующих волн. Это и означает, что каждый атом излучает свет во
все стороны, например, в стороны двух щелей. Если атом не излучал одновременно в обе щели, а излучал бы то в одну щель, то в другую, но на
экране не было бы интерференции.
Для нелазерного источника света каждый фотон интерферирует
только сам с собой. Что же тогда атом излучает во все стороны?
19
Если один фотон проходит через две щели и интерферирует сам с
собой, то нельзя ли за одной щелью поймать половину фотона
h
? Нет
2
нельзя. Можно поймать либо целый фотон h , либо ничего.
Как же неделимый фотон проходит через две щели? Что именно
проходит через две щели?
Атом излучает во все стороны волну вероятности поймать фотон. Иначе нельзя объяснить интерференцию нелазерных источников света.
Напряженность электрического поля световой волны — это и
есть волна вероятности поймать фотон или так называемая волновая
функция.
Вероятность поймать фотон пропорциональна интенсивности
света и пропорциональна усредненному по времени квадрату напряженности светового поля.
Для любой другой частицы, как и для фотона, вероятность
поймать частицу пропорциональна квадрату модуля волновой функции, как называют волну, которая соответствует частице.
Метод деления амплитуды.
Рис. 2.12. Метод деления амплитуды.
Есть два и только два способа (метода) заставить интерферировать само с собой излучение одного атома одного светового цуга. Эти
же методы применимы и для получения интерференции лазерного
излучения:
1-ый метод — метод деления амплитуды.
2-ой метод — метод деления волнового фронта.
Метод деления амплитуды состоит в расщеплении световой
волны на полупрозрачной пластине на две когерентные волны.
Далее рассмотрим примеры применения метода деления амплитуды
для наблюдения интерференции.
20
Рис. 2.13. Интерференция волн прошедшей и отраженной полупрозрачную пластину.
Ширина интерференционных полос на экране d 

.

Рис. 2.14. Интерференция света при отражении от плоскопараллельной пластины.
Свет отражается от плоскопараллельной прозрачной пластины с
показателем преломления n . Подразумевается, что источник света S
находится на расстоянии l от пластины гораздо большем, чем толщина
пластины h .
Ширина интерференционных полос d 

.

Интерферометр Майкельсона
Рис. 2.15. Оптическая схема интерферометра Майкельсона.
Интерферометр представляет собой полупрозрачную пластину, два
зеркала и экран. При идеальной юстировке (настройке) оптической схемы
21
на экране наблюдаются интерференционные кольца. При удалении от
центра интерференционной картины ширина колец уменьшается.
Чтобы объяснить такой вид интерференционной картины нужно
рассмотреть эквивалентную оптическую схему.
Рассмотрим свет, который выходит из источника S и отражается от
полупрозрачной пластины вверх. Этот свет можно рассматривать, как
свет, идущий от изображения источника S1 в полупрозрачной пластине.
Изображение источника S1 будет находиться на вертикальном луче ниже
полупрозрачной пластины. Свет, идущий от этого изображения источника S1 , идет вверх, отражается от верхнего зеркала и идет вниз к экрану.
После отражения от верхнего зеркала свет идет так, как если бы его источник находился на вертикальном луче выше верхнего зеркала. Свет, отраженный вниз, идет так, как если бы его источником было изображение
источника S в полупрозрачной пластине, изображенное в верхнем зеркале.
Рис. 2.16. Эквивалентная оптическая схема интерферометра Майкельсона.
Аналогично рассмотрим свет, который сначала проходит полупрозрачную пластину. После отражения от правого зеркала он идет налево
так, как если бы его источником было изображение источника S 2 в правом зеркале. Свет, идущий налево, отражается от полупрозрачной пластины вниз к экрану. Свет, идущий вниз, распространяется как бы от источника, являющегося изображением в полупрозрачной пластине изображения источника S в правом зеркале. Это изображение изображения
находится на вертикальном луче выше полупрозрачной пластины.
Интерференционная картина на экране как бы представляет собой
интерференцию излучения двух когерентных источников, расположенный на вертикальном луче друг над другом. Эта эквивалентная оптическая схема имеет вертикальную ось симметрии. Следовательно, интерференционная картина должна иметь ту же ось симметрии. Поэтому интерференционная картина на экране — концентрические кольца.
22
Метод деления волнового фронта
В методе деления волнового фронта две интерферирующие волны
получаются, как два участка одного фронта волны.
Опыт Юнга. В опыте Юнга свет от источника попадает на экран
через две щели. Здесь  — апертура интерференции.
Рис. 2.17. Опыт Юнга.
Апертура интерференции — угол, под которым из одной точки источника выходят два луча, которые потом попадают в одну точку экрана.
Бипризма Френеля — призма, в основании которой находится тупоугольный равнобедренный треугольник.
Рис. 2.18. Бипризма Френеля.
Угол  при основании треугольника и угол  , на который каждый
из двух тонких оптических клиньев  поворачивает луч, связаны соотношением:
  n  1 .
На рис. 18.11  — апертура интерференции, d 

— ширина ин
терференционных полос.
Зеркало Ллойда. Интерферируют два луча: один идет прямо от источника света S к экрану, второй отражается от зеркала. Здесь  — апертура интерференции. Ширина полос d 
23

.

Рис. 2.19. Зеркало Ллойда.
Заметим, что в нижней точке экрана, где экран соприкасается с зеркалом, находится середина темной полосы. В эту точку интерферирующие волны приходят в противофазе, так как при отражении от зеркала
одна из волн теряет пол волны.
Билинза Бийе. Из обычной линзы вырезают и удаляют полоску.
Две оставшиеся части склеивают. В результате получается билинза Бийе.
Рис. 2.20. Получение билинзы Бийе.
Точку пересечения фокальной плоскости и оси симметрии задачи
можно назвать фокусом билинзы Бийе.
Рассмотрим точечный источник света S , расположенный в фокусе
билинзы Бийе и рассмотрим лучи света, проходящие через верхнюю половину билинзы.
Рис. 2.21. Ход лучей в билинзе Бийе.
Если верхнюю половину билинзы достроить вниз до полной линзы,
то центр полной линзы будет находиться в некоторой точке O1 , расположенной ниже оси симметрии задачи.
Лучи, прошедшие через верхнюю половину билинзы, после билинзы пойдут параллельно прямой SO 1 , так как луч, проходящий через центр
линзы O1 , должен пройти линзу без изменения направления. стальные
лучи обязаны быть ему параллельными, так как источник света находится
24
в фокальной плоскости. Как видно из рисунка этот пучок лучей наклонен
вниз относительно оси симметрии задачи.
Аналогично лучи, прошедшие нижнюю половину билинзы пойдут
после билинзы параллельным пучком лучей, слегка наклоненным вверх.
На экран приходят два параллельных пучка лучей, представляющих
собой две плоских волны. Интерференционные полосы будут иметь одинаковую ширину по всему экрану, так как угол между интерферирующими лучами в каждой точке экрана один и тот же.
Порядок интерференции или номер интерференционной полосы. Номер интерференционной полосы, он же порядок интерференции,
по определению равен
m

,
где  — оптическая разность хода двух лучей.
Нулевая полоса соответствует нулевой разности хода.
Обычно нулевая полоса светлая, но в опыте с зеркалом Ллойда —
темная из-за потери полуволны при отражении от зеркала.
Голография. Голограмма плоской световой волны. Запись голограммы. Воспроизведение голограммы от точки. Плоская голограмма протяженного объекта. Толстослойная голограмма
Голограмма плоской световой волны.
Рассмотрим некоторый экран, на который падают две плоские монохроматические световые волны. Пусть одна из волн падает на экран
строго перпендикулярно экрану. Назовем эту волну опорной волной.
Вторая волна, назовем ее сигнальной волной, пусть падает на экран
под небольшим углом к первой. На экране наблюдается интерференционная картина.
Рис. 2.22. Интерференция от двух плоских волн.
Рассмотрим плоскость, расположенную сразу за экраном, а
экран уберем. В этой плоскости рассмотрим вторичные источники. В
темной интерференционной полосе вторичных источников нет, в
светлой полосе — есть.
Те же самые вторичные источники в рассматриваемой плоскости
можно получить другим способом. Возьмем прозрачную пластину, нане25
сем на нее фотоэмульсию и сфотографируем интерференционную картину в рассматриваемой нами плоскости. Это фотографирование назовем
записью голограммы. Для записи голограммы обычно используется
лазерное излучение.
Будем считать, что темные интерференционные полосы стали
темными непрозрачными полосами на фотопластинке, а светлые интерференционные полосы стали прозрачными полосами на фотопластинке. Эту проявленную фотографию будем называть голограммой.
Что будет, если на голограмму направить только одну из двух световых волн — опорную волну? Интерференционная картина, запечатленная на голограмме, будет выполнять функцию дифракционной решетки,
работающей на пропускание. Если почернение голограммы — гармоническая функция координаты, то дифракционная решетка имеет только нулевой и плюс-минус первый порядки дифракции m .
Рис. 2.23. Дифракция на голографической пластине.
Здесь в первом порядке дифракции m  1 — восстановленная
сигнальная волна, в нулевом порядке m  0 — прошедшая опорная
волна, и еще одна волна в минус первом порядке дифракции — лишняя волна.
Таким образом, если голограмму осветить опорной волной, то в
прошедшем свете за голограммой кроме опорной волны появляется
восстановленная сигнальная волна.
Наблюдение восстановленной сигнальной волны называется воспроизведением голограммы.
Голограмма точки при нормальном падении опорной волны.
Рассмотрим запись голограммы.
Пусть перпендикулярно на фотопластинку падает опорная монохроматическая световая волна, и пусть на пути световой волны находится
маленькая песчинка, рассеивающая свет. Волна, рассеянная песчинкой, —
сигнальная волна. Сигнальная волна будет иметь почти сферический
фронт. На фотопластинке опорная и сигнальная волна интерферируют.
Задача имеет осевую симметрию, следовательно, и интерференционная картина обладает той же симметрией. Интерференционная картина — светлые и темные кольца. В центре интерференционной кар26
тины угол  между двумя интерферирующими волнами мал, следовательно, интерференционные полосы — широкие.
Рис.2.24. Запись голограммы от точки.

. По мере удаления от центра экрана интерфе
ренционные кольца становятся все уже и уже, так как угол  между ин-
Ширина полос d 
терферирующими волнами увеличивается.
После проявления фотопластинки получим голограмму точки.
Воспроизведение голограммы от точки. Для воспроизведения голограммы осветим ее опорной волной. Каждый небольшой участок голограммы можно рассматривать, как голограмму плоской волны, если на
этом участке ширина интерференционных полос почти постоянна. Из
каждого малого участка голограммы при ее освещении опорной волной
выходят три волны: m  1 — восстановленная сигнальная волна, m  0 —
прошедшая опорная волна, m  1 — еще одна световая волна.
На рис. 2.25, чтобы не загромождать его, изображены только некоторые лучи первого и минус первого порядков дифракции. Лучи плюс
первого порядка дифракции как бы выходят из мнимого восстановленного изображения точечного источника сигнальной волны. Лучи
минус первого порядка дифракции формируют лишнее действительное изображение справа от голограммы.
Рис. 2.25. Воспроизведение голограммы от точки.
Заметим, что голограмма фокусирует свет в точку действительного
изображения. Голограмма точки представляет собой зонную пластинку
для точки действительного изображения, если почернение интерференци27
онных полос голограммы имеет прямоугольный профиль, а не гармонический профиль, как это наиболее желательно для голограммы.
Голограмма точки при наклонном падении опорной волны.
Запись голограммы.
Рис. 2.26. Запись голограммы точки при наклонном падении опорной волны.
Рассмотрим луч, который рассеян точечным объектом почти в
направлении опорной волны. Этот луч проходит фотопластинку в некоторой точке A . Угол  между двумя интерферирующими лучами для
этой точки близок к нулю, а интерференционные полосы в точке A очень
широкие d 

.

Рассмотрим теперь воспроизведение голограммы. В окрестности
точки A голограммы интерференционные полосы самые широкие.
Рис. 2.27. Восстановление голограммы точки при наклонном падении опорной волны.
Для дифракционной решетки с широкими штрихами d нулевой и
плюс-минус первый дифракционные максимумы направлены почти одинаково, так как характерные углы дифракции

малы. Минус первые поd
рядки дифракции разных участков голограммы должны пересекаться в
точке действительного изображения. Следовательно, действительное
изображение находится на продолжении луча, проходящего через точку
A голограммы. Расстояние от голограммы до действительного изображе28
ния примерно такое же, как от голограммы до восстановленного мнимого
изображения точки рассеяния.
Как видно из рисунка, наклонное падение опорной волны позволяет
сделать так, чтобы лучи, проходящие через действительное изображение,
не попадали в глаз и не мешали рассматривать восстановленное изображение.
Плоская голограмма протяженного объекта.
Запись голограммы.
Рис. 2.28. Запись голограммы протяженного объекта.
Освещение объекта и опорная волна формируются из излучения
одного лазера при расщеплении излучения на полупрозрачной пластине.
Свет, рассеянный объектом и свет опорной волны интерферируют на фотопластинке.
Воспроизведение голограммы.
Изображение, полученное при восстановлении голограммы — объемное изображение.
Рис. 2.29. Воспроизведение голограммы протяженного объекта.
При разглядывании голограммы впечатление такое, что вы смотрите на голограмму, как в окно. Если один предмет мнимого изображения
несколько загораживает другой предмет, то можно отклонить голову в
сторону, чтобы увидеть заслоняемый объект. Для полной иллюзии окна
не хватает только, чтобы изображение было цветным. Восстановленное
изображение видно в монохроматическом свете опорной волны, которым
производилась запись голограммы и которым голограмма воспроизводится.
29
Толстослойная голограмма.
Рассмотрим голограмму одной точки с нормально падающей опорной волной. Пусть голограмма записывается в свете с длиной волны  .
Запись голограммы.
Рис. 2.30. Запись толстослойной голограммы.
Здесь справа толстослойная фотопластинка, и в ней изображены
темные интерференционные полосы в сечении плоскостью рис. 19.9.
Воспроизведение голограммы.
Рис. 2.31. Воспроизведение толстослойной голограммы.
Здесь точка слева от голограммы — восстановленное мнимое изображение точечного источника рассеянного света. Рассмотрим три пунктирные плоскости внутри голограммы, как три плоские голограммы. Для
каждой из этих трех голограмм восстановленное мнимое изображение
находится в одной и той же точке. Действительные же изображения находятся симметрично мнимому изображению относительно соответствующей плоской голограммы, и для каждой плоской голограммы действительное изображение находится в своей точке. Это три точки справа от
толстослойной голограммы.
Действительные изображения разных слоев голограммы находятся
в разных точках, то есть действительное изображение смазано, и поэтому
его не видно. Мнимые изображения находятся в одной точке и поэтому
отчетливо видны.
Плоская голограмма точки подобна зонной пластинке. Радиус m -ой
зоны Френеля rm  mL . Если при восстановлении голограммы используется свет другой длины волны, то радиусы зон Френеля измениться не
могут, так как голограмма уже проявлена и зафиксирована. Следовательно, изменится величина L ~
1
. При этом для разных слоев толстослойной

30
голограммы окажутся разными положения, как действительных изображений, так и мнимых изображений, соответствующих разным слоям голограммы. То есть изображения смажутся и не будут видны.
Если же восстанавливать голограмму, освещая ее белым светом, то толстослойная голограмма сама выберет длину волны, при
которой ее записывали, и в этой длине волны сформирует мнимое
изображение. Если при восстановлении голограммы ее освещать белым рассеянным светом из разных направлений, то голограмма выберет направление опорной волны и из света этого направления создаст мнимое изображение. Изображения в других длинах волн и других направлениях падающей волны смажутся и не будут видны.
Для любителей рассматривать изображение в отраженном свете
удобнее, чем в прошедшем. По этой причине после записи толстослойной
голограммы к ней с лицевой стороны, с которой на нее падал свет, прозрачным клеем приклеивают белую, рассеивающую свет бумагу.
При воспроизведении голограммы ее освещают белым светом с
тыльной стороны. Свет проходит через голограмму, частично ослабляясь,
попадает на белую матовую подложку и рассеивается в обратном направлении. В этом рассеянном белом свете голограмма восстанавливается,
формируя мнимое изображение, которое можно рассматривать через голограмму, как через окно. Хотя голограмму освещают белым светом,
мнимое восстановленное изображение видно в свете той длины волны, с
помощью которой голограмма была записана.
Лекция 3
Раздел 3.1. Многолучевая интерференция и ее применение. Интерферометр Фабри-Перо. Интерференционные покрытия. Узкополосный оптический фильтр. Открытый оптический резонатор. Диэлектрическое зеркало. Интерферометрия интенсивности.
Интерферометр Фабри-Перо. Интерференционные покрытия.
В эталоне Фабри-Перо происходят множественные отражения от
двух плоскопараллельных поверхностей. Это интерференционная картина
полос равного наклона, только с учетом повторных отражений лучей в
плоскопараллельной пластине (пленке).
Разность хода между соседними лучами 2 и 1, вышедшими из пластины будет равна =(AB+BC)n-AEnвоз или   2d n 2  sin 2  .
Если на такой интерферометр падает слегка расходящийся (или
сходящийся) пучок света, т.е. углы падения  различны, то на экране
наблюдается картина интерференционных колец (максимумов
sin  
 ).
 n 
=2dncos=mλ, где   arcsin 
31
Рис. 3.1. Оптическая схема интерферометра Фабри-Перо.
Угловая дисперсия такого интерферометра D 
d
1

, при n =
d
tg
1 (тонкие посеребренные стекла) получим  = .
Расстояние между соседними кольцами определяется из условия
(m  1)
m
- максимум (m+1)-го порядка, cos  
- максимум
2dn
2dn

m-го порядка. Кольца узкие,   
, т.е. чем больше d, тем уже
2d sin 
2

кольца. Из условия D 
находим:  
- это свободная область
2nd cos 

cos(  ) 
дисперсии эталона Фабри-Перо.
Как видно, использовать его в качестве спектрального прибора менее удобно, чем дифракционную решетку. Уже для толщины d<<1мм
непрерывающаяся на экране область спектра всего
 
2
 0,125 нм в
2d
спектре любого порядка.
Поэтому на интерферометр Фабри-Перо надо подавать свет из
очень узкополосного светофильтра, чтобы наблюдать раздельно полосы
интерференции любого порядка.
Такой свет можно получить из узкого луча, вышедшего из призмы
или из дифракционной решетки.
Но более существенно для интерферометра Фабри-Перо то, что
каждый последующий складывающийся луч имеет меньшую интенсивность, чем предыдущий из-за того, что часть света теряется при каждом
отражении.
Рис. 3.2. Ход лучей в пленке.
32
В качестве эталона Фабри-Перо можно рассмотреть пленку, нанесенную на стеклянную поверхность (рис. 3.2), поэтому исследуем случай
почти нормального (    0) падения света на плоские границы сред с
разными показателями преломления.
Из формул Френеля при отражении и преломлении на первой границе n1=n2 получаем
E отр
E пад

E прош
n 2  n1
2n 2
 r,


n 2  n1
E пад
n 2  n1
E отр
E пад
На второй границе
E прош
n3  n2
2n 3
 r/ ,

 /
n3  n2
E пад
n3  n2

Причем, каждый из последующих лучей 2, 3,4, 5... отстает от
предыдущего по фазе на

2
2

2dn 2


т.е. при сложении лучей, прошедших через пленку (эталон Фабри-Перо)
получим
E рез   / E 0  (rr / ) / E 0 e i 
 / E 0
(rr / ) 2  / E 0 e i 2  ... 
1  rr / e i
Тогда результирующая интенсивность прошедшего света, показанная на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Зависимость интенсивности прошедшего света от коэффициента отражения.
Для отраженного света, очевидно Iотр = Iпад - Iпрош
Это - формулы Эйри. В самом простом случае, когда n1 = n3 = nвозд=
1; n2 = n
4n 2
 n 1
 1   , rr /  
имеем  
   где ρ коэффициент от2
(n  1)
 n  1
2
/
ражения.
1  
4dn
I пад
 2m, I прош,min  

1  
4dn
(1  ) 2
при
 (2m  1), I прош 
I пад

 4dn 
2
1    2 cos

  
I прош,max  I пад при
33
Если ρ1, то прошедший через плоскопараллельный слой (эффект
Фабри-Перо) свет практически равен нулю: если только
позволяет изготовить:
1. Узкополосный оптический фильтр.
Через фильтр (тонкую пленку) проходит
 max 
4dn
 2m . Это

только
свет
с
2dn
  , m - целое.
m
Остальной свет отражается и при ρ1 δλ0 , т.е. фильтр пропускает свет в очень узком интервале : для λ500 нм и ρ0,9 получим δλ=3 нм.
2. Открытый оптический резонатор (для лазеров, предложен в
1968 г. А.М.Прохоровым). График интенсивности прошедшего света аналогичен резонансной кривой.
Рис. 3.4. График интенсивности прошедшего света.
Такой резонатор (два параллельных зеркала с высокой степенью отражения) пропускает свет с очень узким интервалом частот λ. Первый
лазер А. Джавана (1961 г.) представлял из себя гелий-неоновую разрядную трубку между параллельными зеркалами с ρ  0,99. Но как создать
высокое отражение ρ1 (на границе стекло-воздух ρ  0,04).
Если использовать посеребренное металлическое зеркало, то на нем
будет выделяться значительное тепло, приводящее к разрушению зеркала.
Поэтому используют многослойные интерференционные покрытия.
3. Диэлектрическое зеркало -это чередующиеся прозрачные диэлектрические слои (пленки) с чередующимися показателями преломления (n1>n2) и с одинаковой оптической толщиной n1l1=n2l2=λ0/4 С учетом
потери λ0/2 при отражении все отраженные от всех поверхностей волны
выйдут в одной фазе и при сложении дадут отраженную волну с очень
большой амплитудой (детально надо сделать расчет с несколькими эталонами Фабри-Перо). Для получения ρ=0,99 наносят 11-13 слоев криолита
(n2=1,35) и сульфида цинка (n1=2,3); это диэлектрическое покрытие совсем не поглощает света и не греется, и используется в лазерах для λλ0
(хотя внешне выглядит куском стекла).
34
Рис. 3.5. Диэлектрическое зеркало.
Можно использовать многослойные диэлектрические покрытия для
противоположной задачи - просветления оптики; в оптических системах
слишком много стеклянных элементов (линзы, стекла, призмы) и если на
каждом потеряется 4%, то в сумме получается > 50% света.
Рис. 3.6. Просветление оптики.
4. Интерферометрия интенсивности (метод Хэнбери, Брауна,
Твисса)
Можно ли получить интерференционную картину от некогерентных источников? Оказывается – можно. (Метод предложен Хенбери,
Брауном и Твиссом в 1956г.).
Лучи от двух некогерентных источников попадают на экран. С помощью фильтра выделяем свет (электромагнитные волны) с высокой
степенью временной когерентности, т.е. практически с выделенной частотой ω (и очень узкой полосой ω).
Рис. 3.7. Метод Хэнбери, Брауна, Твисса.
Тогда складывающиеся волны колеблются с одной частотой ω и,
для простоты, с одинаковыми амплитудами E1=E2=E но с разными, произвольно меняющимися со временем начальными фазами ((t)) (рис.
3.18).
35
Рис. 3.8. Сложение амплитуд с помощью векторной диаграммы.
В центре экрана в точке P1 результирующая интенсивность света в
некоторый момент времени t будет равна (используем для сложения
метод векторной диаграммы)
I1  E 02  E 02  2E 02 cos(  ( 2  1 )) 
2I 0 (1  cos( 2  1 ))
В тот же момент времени t интенсивность света в другой точке P2
экрана равна I 2  2I 0 (1  cos(2  1  k))
(Так как в интерференционной схеме Юнга оптическая разность
хода лучей, приходящих в точку P2 от источников 1 и 2 равна  
дополнительный сдвиг фаз k 
2 2nxd

  ).

L
2nxd
и
L
С помощью быстродействующих приборов (фотоэлектронных
умножителей) можно практически мгновенно перемножать величины I1 и I2.
I1I 2  4I 0 (1  cos(2  1 ))  (1  cos(2  1  ))
Обозначим 2 - 1 =  - эта разность фаз некогерентных лучей быстро изменяется совершенно случайным образом. Найдем теперь среднее
значение (по времени) произведения интенсивностей
I1 I 2
4I
 0
2
2 2
 (1  cos )(1  cos(  )d 
0

 4nxd 
2I 02 2  cos

 L  

Средняя величина произведения интенсивностей зависит от координаты х точки P2 на экране, т.е. получена интерференционная картина
для <I1I2> от некогерентных источников.
Максимальные значения <I1I2> получаются для точек с координатами
4x m dn
Lm
 2m или x m 
где m - целое.
L
2nd
36
Рис. 3.9. Интерференционная картина от некогерентных источников.
Пример: этот метод используется в астрофизике для определения
расстояния между далекими звездами, если известно их удаление от Земли и на Земле измерено расстояние x 
L
между соседними максиму2nd
мами величины <I1I2>
Применяется такой метод для любых некогерентных источников.
Контрольные вопросы по теме
1. Что такое интерференция?
2. Что такое когерентные волны?
3. Какие факторы затрудняют наблюдение интерференции?
4. С чем связана временная когерентность? Что такое функция видности и длина когерентности?
5. Почему практически трудно наблюдать интерференцию в естественном свете?
6. С чем связана пространственная когерентность? Условие пространственной когерентности?
7. Способы получения когерентных лучей.
Лекция 4
Тема 2. Дифракция света.
Раздел 4.1. Принцип Гюйгенса – Френеля. Метод зон Френеля.
Дифракция Френеля на круглом отверстии. Дифракция Френеля на
диске. Дифракция на крае полуплоскости.
Дифракцией называется процесс огибания волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле –
любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики. Благодаря дифракции волны могут
попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшое отверстие в экранах и т.д.
Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового
потока в результате наложения (суперпозиции) волн. По историческим
37
причинам отклонение от закона независимости световых пучков, возникающее в результате суперпозиции когерентных волн, принято называть
интерференцией волн. Отклонение от закона прямолинейного распространения света, в свою очередь, принято называть дифракцией волн.
Наблюдение дифракции осуществляется обычно по следующей
схеме. На пути световой волны, распространяющейся от некоторого источника, помещается непрозрачная преграда, закрывающая часть волновой поверхности световой волны. За преградой располагается экран, на
котором возникает дифракционная картина.
Различают два вида дифракции. Если источник света S и точка
наблюдения P расположены от препятствия настолько далеко, что лучи,
падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку P, образуют практически параллельные пучки, говорят о дифракции в параллельных лучах или о
дифракции Фраунгофера. В противном случае говорят о дифракции Френеля. Дифракцию Фраунгофера можно наблюдать, поместив за источником света S и перед точкой наблюдения P по линзе так, чтобы точки S и P
оказались в фокальной плоскости соответствующей линзы .
Принципиально дифракция Фраунгофера не отличается от дифракции Френеля. Количественный критерий, позволяющий установить, какой
вид дифракции имеет место, определяется величиной безразмерного параметра b2 l , где b – характерный размер препятствия, l – расстояние
между препятствием и экраном, на котором наблюдается дифракционная
картина,  – длина волны. Если
  1  дифракция Фраунгофера,
b2 
 ~ 1  дифракция Френеля,
l 
  1  геометриче ская оптика.
Явление дифракции качественно объясняется с помощью принципа
Гюйгенса, согласно которому каждая точка, до которой доходит волна,
служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени. Для монохроматической волны волновая поверхность есть поверхность, на которой колебания совершаются в одинаковой фазе.
Принцип Гюйгенса – Френеля.
Пусть плоская волна нормально падает на отверстие в непрозрачном экране (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Принцип Гюйгенса.
38
Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка
волнового фронта служит источником вторичных волн (в изотропной
среде они сферические). Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента времени, видим, что фронт волны заходит в область геометрической тени, т.е. огибает края отверстия.
Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, а, следовательно, и об интенсивности на фронте волны. Из повседневного опыта известно, что в большом числе случаев лучи света не отклоняются от
их прямолинейного распространения. Так, предметы, освещенные точечным источником света, дают резкую тень. Таким образом, принцип Гюйгенса нуждается в дополнении, позволяющем определять интенсивность
волны. Здесь k(φ)определяет зависимость амплитуды dE от угла между
нормалью к площадке dS и направлением на точку P. Множительa0 дает
амплитуду светового колебания в том месте, где находится dS. Величины ω и k - круговая частота и волновое число сферической волны, распространяющейся от элемента dS.
Рис.4.2. Иллюстрация принципа Френеля.
Френель дополнил принцип Гюйгенса идеей интерференции вторичных волн. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, световая волна,
возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как
результат суперпозиции когерентных вторичных волн, излучаемых малыми элементами некоторой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому источники вторичных волн действуют синфазно. В аналитическом виде для точечного источника этот принцип записывается в виде
E ( P)   K
S
E(P ) dS
exp(ikr ) ,
r
где E – световой вектор, включающий в себя временную зависимость
exp(it ) , k – волновое число, r – расстояние от точки P на поверхности S
до точки P, K – коэффициент, зависящий от ориентации площадки по отношению к источнику и точке P. Правомерность формулы (1) и вид
39
функции K устанавливается в рамках электромагнитной теории света (в
оптическом приближении).
В том случае, когда между источником S и точкой наблюдения P
имеются непрозрачные экраны с отверстиями, действие этих экранов может быть учтено следующим образом. На поверхности непрозрачных
экранов амплитуды вторичных источников считаются равными нулю; в
области отверстий амплитуды источников такие же, как при отсутствии
экрана (так называемое приближение Кирхгофа).
Метод зон Френеля.
Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в принципе найти
амплитуду результирующей волны в любой точке пространства и решить
задачу о распространении света. В общем случае расчет интерференции
вторичных волн по формуле (4.1) довольно сложный и громоздкий. Однако ряд задач можно решить, применив чрезвычайно наглядный прием,
заменяющий сложные вычисления. Метод этот получил название метода
зон Френеля.
Суть метода разберем на примере точечного источника света S.
Волновые поверхности представляют собой в этом случае концентрические сферы с центром в S. Разобьем изображенную на рис. 4.3 волновую
поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния от краев каждой зоны до точки P отличаются на  2 . Обладающие таким свойством зоны называются зонами Френеля.
Из рис. 4.3 видно, что расстояние bm от внешнего края – m-й зоны
до точки P равно:
bm  b  m

,
2
где b – расстояние от вершины волновой поверхности O до точки P.
Рис. 4.3. Получение зон Френеля.
Колебания, приходящие в точку P от аналогичных точек двух соседних зон (например, точек, лежащих в середине зон или у внешних краев зон), находятся в противофазе. Поэтому колебания от соседних зон бу40
дут взаимно ослаблять друг друга и амплитуда результирующего светового колебания в точке P
E  E1  E2  E3  E4  ... ,
где E1 , E 2 , … – амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, … зонами.
Для оценки амплитуд колебаний найдем площади зон Френеля.
Пусть внешняя граница m-й зоны выделяет на волновой поверхности
сферический сегмент высоты hm . Обозначив площадь этого сегмента через  m , найдем, что, площадь m-й зоны Френеля равна m  m  m1 . Из
rm2  a2  (a  hm )2  (b  m 2)2  (b  hm )2 .
рисунка видно, что
После несложных преобразований, учитывая   a и   b , получим
Рис.4.4. Графический метод сложения амплитуд от зон Френеля.
mb
hm 
.
2(a  b)
Площадь сферического сегмента и площадь m-й зоны Френеля соответственно равны
m  2ahm 
ab
m,
ab
 m   m   m 1 
ab
.
ab
Таким образом, при не слишком больших m площади зон Френеля одинаковы. Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке P тем меньше, чем больше угол  m между нормалью n к поверхности
зоны и направлением на P, т.е. действие зон постепенно убывает от центральной к периферийным. Кроме того, интенсивность излучения в
направлении точки P уменьшается с ростом m и вследствие увеличения
расстояния от зоны до точки P. Таким образом, амплитуды колебаний образуют монотонно убывающую последовательность
1  2  3  4  ...  0 .
41
Общее число зон Френеля, умещающихся на полусфере, очень велико; например, при a  b  10 см и   0,5 мкм число зон достигает ~106.
Это означает, что амплитуда убывает очень медленно и поэтому можно
приближенно считать
m 
m 1  m 1
.
2
Тогда выражение (11.2) после перегруппировки суммируется

1  1
  
 

   2  3    3  4  5   ...  1 )
2 2
2  2
2
2
так как выражения в скобках, согласно (4.4), равны нулю, а вклад последнего слагаемого ничтожно мал. Таким образом, амплитуда результирующих колебаний в произвольной точке P определяется как бы половинным
действием центральной зоны Френеля рис.4.4.
При не слишком больших m высота сегмента h m  a , поэтому можно
считать, что rm2  2ahm . Подставив значение для hm , получим для радиуса
внешней границы m-й зоны
rm 
ab
m .
ab
При a  b  10 см и   0,5 мкм радиус первой (центральной) зоны
r1  0,16 мм . Следовательно, распространение света от S к P происходит
так, как если бы световой поток шел внутри очень узкого канала вдоль
SP, т.е. прямолинейно.
Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально. Для этого используются зонная пластинка
– в простейшем случае стеклянная пластинка, состоящая из системы чередующихся прозрачных и непрозрачных концентрических колец, с радиусами зон Френеля заданной конфигурации. Если поместить зонную
пластинку в строго определенном месте (на расстоянии a от точечного
источника и на расстоянии b от точки наблюдения), то результирующая
амплитуда будет больше, чем при полностью открытом волновом фронте.
Дифракция Френеля на круглом отверстии
Дифракция Френеля наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию, в данном случае экрана с отверстием.
Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S,
встречает на своем пути экран с отверстием. Дифракционная картина
наблюдается на экране, параллельном экрану с отверстием. Ее вид зависит от расстояния между отверстием и экраном (для данного диаметра отверстия). Проще определить амплитуду световых колебаний в центре
картины. Для этого разобьем открытую часть волновой поверхности на
зоны Френеля. Амплитуда колебания, возбуждаемая всеми зонами равна
  1 2  m 2 ,
где знак плюс отвечает нечетным m и минус – четным m.
42
Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в центральной точке будет больше, чем при свободном распространении волны; если четное то амплитуда (интенсивность)
будет равна нулю. Например, если отверстие открывает одну зону Френеля, амплитуда   1 , то интенсивность ( ~ 2 ) больше в четыре раза.
Можно показать, что радиус зоны Френеля с номером m при не
очень больших m:
ab
 m
ab
rm 
Расстояние "a" примерно равно расстоянию от источника до преграды, расстояние"b" - от преграды до точки наблюдения P.
Если отверстие оставляет открытым целое число зон Френеля рис.
4.5, то, приравняв r0 и rm, получим формулу для подсчета числа открытых
зон Френеля:
m
r02  1 1 
  
 a b
При m четном в точке P будет минимум интенсивности, при нечетном - максимум.
Расчет амплитуды колебания на внеосевых участках экрана более
сложен, так как соответствующие зоны Френеля частично перекрываются
непрозрачным экраном. Качественно ясно, что дифракционная картина
будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с общим центром (если m четное, то в центре будет темное кольцо, если m нечетное –
то светлое пятно), причем интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.
Рис. 4.5. Расчет числа открытых зон Френеля.
Если отверстие освещается не монохроматическим светом, а белым
светом, то кольца окрашены.
Рассмотрим предельные случаи. Если отверстие открывает лишь
часть центральной зоны Френеля, на экране получается размытое светлое
пятно; чередования светлых и темных колец в этом случае не возникает.
43
Если отверстие открывает большое число зон, то m  1 и амплитуда в
центре   1 2 , т.е. такая же, как и при полностью открытом волновом
фронте; чередование светлых и темных колец происходит лишь в очень
узкой области на границе геометрической тени. Фактически дифракционная картина не наблюдается, и распространение света, по сути, является
прямолинейным.
Дифракция Френеля на диске.
Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S,
встречает на своем пути диск (рис. 4.5). Дифракционная картина, наблюдаемая на экране, является центрально симметричной. Определим амплитуду световых колебаний в центре. Пусть диск закрывает m первых зон
Френеля. Тогда амплитуда колебаний равна
  m 1  m  2  m  3  ... 
или
   m1 2 ,
m 1  m 1
 

 m  2  m  3   ...
2
2 
 2
так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю.
Рис.4.6. Дифракция на диске.
Следовательно, в центре всегда наблюдается дифракционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами. При небольшом числе закрытых зон амплитуда m1 мало отличается от 1 . Поэтому интенсивность в центре будет почти такая же, как при отсутствии диска. Изменение освещенности экрана с расстоянием от центра картины изображено
на рис. 4.6.
Светлое пятно в центре геометрической тени послужило причиной
истории, которая прочно вошла в учебники курсов оптики. Парижская
Академия Наук предложила объяснение дифракции света в качестве темы
на премию за 1818 год. Френель представил мемуар, в котором с волновой точки зрения объяснялись все известные оптические явления.
Пуассон, бывший членом конкурсной комиссии, обратил внимание
на то, что из теории Френеля следует абсурдный вывод: в центре геометрической тени, отбрасываемой небольшим диском, должно находиться
светлое пятно.
44
Араго тут же провел эксперимент, который подтвердил существование предсказанного Пуассоном пятна. Это принесло победу и всеобщее
признание в научном мире волновой теории света.
Рассмотрим предельные случаи. Если диск закрывает лишь небольшую часть центральной зоны Френеля, он совсем не отбрасывает тени – освещенность экрана всюду остается такой же, как при отсутствии
диска. Если диск закрывает много зон Френеля, чередование светлых и
темных колец наблюдается только в узкой области на границе геометрической тени. В этом случае  m1  1 , так что светлое пятно в центре отсутствует, и освещенность в области геометрической тени практически всюду равна нулю. Фактически дифракционная картина не наблюдается, и
распространение света является прямолинейным.
Дифракция на крае полуплоскости
Результат дифракции Френеля на крае полубесконечной плоскости
характеризуется проникновением части световой энергии в область геометрической тени. В освещенной области (справа от края полуплоскости)
образуется система параллельных краю полос, период и контрастность
которых убывают по мере удаления от границы, т.е. в положительном
направлении оси Х. По мере роста координаты «х» интенсивность волны
приближается к значению, I 0 , т.е. значению интенсивности в отсутствие
препятствия.
Все эти качественные особенности легко получить, основываясь на
разбиении плоского волнового фронта на полуволновые зоны, так называемые зоны Шустера, аналогичные зонам Френеля по смыслу, но убывающие с ростом номера по площади.
Рис.4.7. Дифракция на крае полуплоскости.
Разбиение на зоны ведется путем последовательного добавления
половины длины волны к расстоянию b от точки наблюдения P до границы полуплоскости. Поперечный размер зон быстро убывает, поэтому амплитуды вторичных волн от зон Шустера убывают быстрее, чем в случае
круглого отверстия, при этом спираль Френеля на комплексной плоскости
трансформируется в спираль Корню рис. 4.9, имеющую два фокуса.
Зоны Шустера: ∆ = λ / 2.
45
Рис. 4.8. Зоны Шустера.
d1  d 2  ...  d m  (b  m) 2  b 2  2bm  m 2 2 ,
  b  d1  d 2  ...  d m  2bm ,
d m  b ( m  m  1)
d1:d2:d3:d4: ...= 1 : 0,41 : 0,32 : 0,27 …
Рис. 4.9. Спираль Корню (клотоида).
Рис. 4.10. Распределение интенсивности при дифракции на полуплоскости.
Рис.4.11. Определение интенсивности с помощью спирали Корню.
46
Для точек в области геометрической тени суммарная амплитуда
изображается вектором, заканчивающемся в фокусе F1 и монотонно возрастающим по мере приближения к точке P, расположенной непосредственно под краем полуплоскости, при этом начало вектора («стрелочки»)
непрерывно скользит по спирали (рис.4.11 а и б) и длина вектора монотонно растет. В точке P (х = 0) вектор OF1 по модулю вдвое меньше вектора F2 F1 , который соответствует амплитуде волны на большом расстоянии
( x   ) от края полуплоскости. Из этого непосредственно следует, что в
точке P интенсивность составляет четверть от I 0 , интенсивности падающей волны. На больших расстояниях от края полуплоскости в освещенной части влиянием экрана на падающую волну можно пренебречь. Очевидно, что при дальнейшем перемещении в освещенной части должны
возникать убывающие по размаху осцилляции амплитуды (рис.4.11 в, г,
д), при этом конец векторной амплитуды по-прежнему зафиксирован в
фокусе F1 , а начало скользит по нижней ветви спирали, неограниченно
приближаясь к фокусу F2 , то есть к амплитуде волны без экрана. На рисунке 4.10 представлен график зависимости интенсивности от координаты х, то есть от положения точки наблюдения P.
Лекция 5
Раздел 5.1. Дифракция Фраунгофера. Дифракция Фраунгофера
на одной щели. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке.
Дифракция Фраунгофера. Если источник света S и точка наблюдения Р расположены от препятствия достаточно далеко так, что лучи,
падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку Р, можно считать параллельными, говорят о дифракции Фраунгофера.
Рис.5.1. Метод получения дифракции Фраунгофера.
Дифракцию Фраунгофера можно смоделировать на конечном расстоянии от точек S и P препятствия. Это делается с помощью двух соби47
рающих линз (рис. 5.1). При этом точка S должна находиться в фокусе
первой линзы, а точка P в фокальной плоскости второй.
Дифракция Фраунгофера на одной щели. Плоская волна падает
 на экран с узкой щелью шириной b (рис.5.2). Фронт волны АВ является
источником вторичных волн. Лучи, распространяющиеся под некоторым
углом  с помощью линзы собираются в некоторой т. М, где интерферируют с учетом разности фаз между ними. Разность фаз лучей 1, 2, 3, 4
определяется разностью хода 1, 2, 3 . Оптические пути АМ и СМ одинаковые. Разность хода, определяющая условия интерференции, возникает
лишь на пути от исходного фронта АВ до плоскости АС.
Рис. 5.2. Дифракция Фраунгофера на щели.
Для расчета интерференции применим метод зон Френеля. Для этого мысленно разделим линию ВС на ряд отрезков длиной  2 . На расстоянии BC  b sin  уложится
z
b sin 
2
таких отрезков. Проводя линии из концов этих отрезков параллельные АС
разобьем фронт волны на зоны Френеля.
Из построения следует, что волны, идущие от каждых двух соседних зон Френеля, приходят в т. М в противофазе и гасят друг друга. Если
число зон оказывается четным, z=2m, (m- целое число, не равное нулю),
то каждая пара соседних зон взаимно гасит друг друга и при данном угле на экране будет min освещенности. Углы  , соответствующие этим
min освещенности, находятся из условия:

b sin   2m  m
2
В промежутках между min будут наблюдаться max освещенности
Для этих углов фронт АВ разбивается на нечетное число зон Френеля: z=2m+1 и одна из зон остается непогашенной. Амплитуда в этом случае будет составлять долю ~
1
1
, а интенсивность
от суммар2m  1
2m  12
48
ной амплитуды A 0 , создаваемой всеми зонами фронта АВ в направлении
0.
A0
3
b sin   
A0
b sin  
A~
3

2
A0
3
A0
5
b sin   2
A0
b sin  
A~
5

2
A0
5
Аналитический расчет дифракции на щели. Запишем выражение
для волны, посылаемой каждым элементом волнового фронта и суммируется действие этих элементов.
Амплитуда волны от элемента пропорциональна его ширине dx , т.е.
равна c  dx . Множитель
c
определяется из условия cb  A 0 , т.е. c 
Световое возмущение от участка dx
dE 
A0
dx cos t
b
Рис. 5.3. Аналитический расчет дифракции на щели.
49
A0
.
b
В точке B  соотношение фаз отдельных участков будет таким же
как на плоскости АС, т.к. AB и CB таутохромны. Разность хода между
волнами, идущими от элементарной зоны при т. А (край щели) и от какойлибо т. D (лежащей на расстоянии x от края щели) есть DE  x sin  . Световое возмущение в точке Е:
A0
dx cost  kx sin 
b
Результирующее возмущение в т. B  определяется как сумма выраdE 
жений dE , т.е. интегралом по всей ширине щели:
b
b
A0
A0 b




sin

t

kx
sin




E   dE 
cos

t

kx
sin

dx

0
bk sin 
b 0
0
A0
sint  bk sin   sin t  
bk sin 
2
 bk sin  
 A 0
cost  bk sin   sin

bk sin 
 2 
 bk sin  
sin 

 2   cos t  bk sin    A sin  cost   
 A0


0
bk sin 
2 


2
2
sin 
bk sin  b sin 
2
2  sin  
, где  
; k  , I  A 0 
A  A0



2


  
Найдем max и min I :

2
d  sin  
sin   cos  sin  
 2 0

 0  2

dx   
  
 
sin 
 0 ,   0  условие min;
1)

tg    условие max.
2)
Итак, выражение для I имеет:
1)
Ряд эквидистантных min Imin  0 при   m, m  1,2,3...
b sin   m - условие главного минимума
2)
Max Imax  A02 при   0 , т.е. при   0,   0 является алгебраическим корнем уравнения tg   (главный max).
3)
Вторичные max при  m , являются корнями трансцендентного
уравнения tg  
1  1,43 ,
b sin   2m  1
2  2,46 ,
3  3,47 ,
4  4,47 ... 

- условие главного максимума.
2
m 
2m  1

2

Таким образом, оба метода - аналитический и зон Френеля дают практически один и тот же результат.
50
Найдем значения вторичных max
 sin  
I  A 02 

  
2
1
условие max    m  
2
sin   1  I втор
max  A 0
I1max
Iгл
max
2

1
4
 A 02
2

2m  12  2
I втор
4
max

гл
I max 2m  12  2
1

21
I
I
гл
max
1
I max


0 



 b sin 



2 b 3 b sin 
b
bk sin  b sin 
Рис. 5.4. Зависимость интенсивности от  

2



Графическое нахождение результирующей амплитуды.
Рис. 5.5. Диаграмма сложения векторов.
Разбиваем фронт волны АВ на щели на элементарные участки и
суммируем действие амплитуд этих участков с учетом фаз. Если разность
фаз от крайних лучей щели равна  , т.е.  
чаем:

OA  R . Суммарная амплитуда:


sin



OA

2
OA  2R sin  2
sin  OA
2

2
2
51
2
b sin  , то из чертежа полу
2 
 2
 2 sin 2
I  OA  OA
,
2

 
2

OA   алгебр. векторов  A 0

 b sin 




2


 sin  2
I  A 02 

  
   

b

1)   0
bsin
A  A0
2) b sin    (разность фаз 2 )
А=0
3
 (разность фаз 3 )
2
3)
b sin  
4)
b sin   2 (разность фаз 4 )
2A
A
2 0
2
3
2A 0
A
3
Дифракционная решетка и ее разрешающая способность. Впервые изготовлена астрономом Риттенгаузом (1786г.), натянувшим ряд тонких проволок.
Начиная с Фраунгофера (1812г.) штрихи наносят на стеклянную (попускает свет) или на зеркальную металлическую пластинку (отражает
свет).
52
Дифракционная решетка - это N параллельных щелей, на которые
падает плоская световая волна. Расстояние между соседними щелями d
называется периодом решетки. Лучи света, прошедшие каждую из N щелей распространяются во все стороны (под всеми углами ). Линза собирает параллельные лучи, вышедшие под одинаковыми углами , в одну точку
Р экрана в фокальной плоскости.
Рис. 5.6. Ход лучей в дифракционной решетке.
В этой точке интерферируют (складываются) N лучей, пришедших
от каждой щели.
Каждая щель создает колебания с амплитудой зависящей от φ.
0   0
bk sin  b sin 
2
sin 
, где  
; k  , т.е.


2


 b

Sin  Sim  
 

 0   0
b
Sim 

Разность хода между соседними лучами ==dsin (случай нормального падения света) т.е. колебание каждого соседнего светового вектора отстает по фазе от предыдущего на =k=2πdsin/λ. Все щели одинаковы. Поэтому
в точке Р: 


E рез  E0 cos(t  0 )  E0 cos(t  0  ) 


E0 cos(t  0  2)    E0 cos(t  0  ( N  1))
Сложим эти колеба-
ния методом векторной диаграммы:
Рис. 5.7. Векторная диаграмма сложения амплитуд всех щелей.
53
Концы одинаковых векторов E0 лежат на окружности радиуса R. Из
прямоугольных треугольников видно, что AD=Eрез/2=Rsin(N/2),
AB=E0φ/2=Rsin/2. Устраняя R, получим Eрез/E0φ=sin(N/2)/sin(/2), т.е.
интенсивность света, прошедшего через решетку в направлении угла ,
равна
E 2рез  I рез   02
 N 
sin 2 

 2 

sin 2  
2
 b

 Nd

Sin 2  Sim   sin 2 
Sin  
 

 
;
  02
b
 d

( Sim ) 2
sin 2  Sin  

 

Если представить Iрез  F1  FN , то графически можно представить
(рис. 5.8).
При /2=πm и числитель, и знаменатель этого выражения стремятся
к нулю. Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получим:
dsin = mλ, где m=0,±1,±2,…
Это условие главных интерференционных максимумов. В точках
главных интерференционных максимумов Iрез= N2I0 где I0 - интенсивность света, проходящего через одну щель. В современных решетках 4
штр/мм (инфр)<N<3600 штр/мм (ультрафиолет).
Рис. 5.8. Структура дифракционной картины от дифракционной решетки.
54
Но между двумя соседними, главными максимумами расположены
(N-1) интерференционных минимумов, соответствующих нулевым значениям числителя при ненулевом знаменателе:
N
   m , где m - целое, не равное 0,±IN,±2N,±3N,...
2
2
2m
Отсюда   d sin  
или d·sin = λm/N, где m=0,±N,±2N,...

N
Это условие дополнительных интерференционных минимумов.
Между главными максимумами находится N-1 дополнительных
минимумов и N-2 дополнительных максимумов.
Если на решетку будет падать немонохроматический (например,
белый свет), то она разделит его в спектры m-го порядка (главные максимумы разных длин волн наблюдаются под разными углами).
Таким образом, дифракционную решетку можно использовать для
спектрального анализа, т.е. для определения длин волн или частот падающего света. Такие приборы называются спектрометрами или спектрографами.
Разрешение спектральных линий.
Возникает вопрос: какие две спектральные линии с близкими длинами волн λ и λ+δλ можно увидеть раздельно?
Рис. 5.9. Картина дифракции белого света на дифракционной решетке.
По критерию Рэлея два пика интенсивности на экране еще можно
увидеть раздельно, если минимум первого пика совпадает с максимумом
второго.
Рис. 5.10. Критерий Рэлея.
55
d sin   m(   )  (m 
1
) , откуда
N
 

mN
т.е. решетка позволяет увидеть раздельно две линии в спектре m-го порядка, если их длины волн различаются на δλ ≥ λ/mN.
Отношение

1
называется разрешающей способность ди
 mN
фракционной решетки.
Чем больше число штрихов N, тем уже и ярче наблюдаемые главные интерференционные максимумы. Их ширина определяется на половине высоты (рис. 5.10).
Рис.5.10. Ширина дифракционного максимума.
Так как угол <<1 но N может быть не мало, то имеем трансцендентное уравнение
 Nd 
sin 2 
 
N


 или x  sin x .

d
2
2
( ) 2

2
Корень этого уравнения х = 1,39, откуда получаем ширину интерференционного максимума 2 
2,78
.
Nd
Если экран, на котором наблюдают, спектры очень удален, то можно не использовать собирающую линзу.
Рис. 5.11. Дифракция от удаленного экрана.
Лучи, вышедшие под одним углом , соберутся практически в одну
точку экрана. Но не совсем в одну. Поэтому такая схема не может использоваться для точного определения λ или разделения λ и λ+δλ.
56
Рис. 5.12. В спектрометрах экран находится в фокальной плоскости собирающей линзы-объектива.
В спектрометрах экран находится в фокальной плоскости собирающей линзы-объектива.
Если b - ширина падающего светового пучка, то N - число освещенных щелей, и N=b/d.
Координаты
максимумов
(светлых
полос)
на
экране
x max  Ftgmax , где sin max  m / d
Лучи света попадают в одну точку, и такой спектрометр используется для точного определения λ.
Кроме того, дифракционная решетка характеризуется угловой дисперсией
D
d
m

d d cos 
Рис. 5.13. Угловая дисперсия.
Чем больше угловая дисперсия, тем сильнее расходятся лучи в области интерференционного максимума (тем шире полоса спектра).
Свободной областью дисперсии решетки λ- это минимальная
ширина спектрального интервала, при котором спектры соседних порядков еще не перекрываются:
(m+1) λ =m(λ +λ ), λ = λ /m
Спектры m= 0, 1 вообще не перекрываются.
Так для типичной решетки для исследования оптического диапазона (N=2400) видимый спектр начнет перекрываться при m = 2.
Линейная дисперсия Dl определяет линейное расстояние dl в фокальной плоскости линзы между линиями спектра  и  + d, т.е.
Dl 
dl
.
d
Для малых углов d можно dl определить как dl = F d, где F – фокусное расстояние линзы. Тогда
57
Dl = F D.
Контрольные вопросы:
1. В чем заключается физическое содержание принципа Гюйгенса?
2. Перечислите основные трудности метода зон Френеля.
3. Как качественно зависит интенсивность пятна Пуассона от
расстояния до непрозрачного экрана?
4. Каковы условия применимости приближения Френеля и приближения Фраунгофера?
5. Можно ли наблюдать дифракцию Фраунгофера на малых расстояниях?
6. Чем объясняется большая дисперсионная область дифракционной решетки?
7. При каком условии m-й главный максимум для дифракционной решетки с периодом d и шириной щели b обращается в нуль?
8. Для чего нужны большие фокусные расстояния в современных
монохроматорах ?
Лекция 6
Тема 3. Геометрическая оптика. Нелинейная оптика.
Раздел 6.1. Геометрическая оптика. Основные положения геометрической оптики. Уравнение эйконала и принцип Ферма.
Если амплитуда светового вектора и направление его колебаний
практически не изменяются на расстоянии ~λ и волновые поверхности
имеют небольшую кривизну, то свет распространяется вдоль линий - лучей. Касательная к лучу перпендикулярна волновой поверхности и
направлена вдоль скорости (вектора Пойнтинга света).
Это приближение λ0 или геометрическая оптика.
Рис. 6.1. Геометрия светового луча.
Рассмотрим геометрию такого луча света с волновой функцией

 
E  E 0 exp(i(t  kr ) соответствующей плоской волне. Вводим единичный


вектор   k / k , направленный вдоль скорости волны, т.е. вдоль светового
луча. В среде с показателем преломления n   скорость электромаг58
нитной волны V  c / n и ее длина волны   VT  cT / n   0 / n в n раз меньше, чем в вакууме. Тогда волновое число k  2 /   2n /  0  k 0 n будет в n


k  k 0 n , находим
раз больше, чем в вакууме. Подставляя
 
 
E  E 0 exp(i(t  k 0 n  r )
Рис. 6.2. К выводу эйконала.
В среде с n=const такая плоская волна (луч) будет распространяться
по прямой линии. Но в среде с непостоянным показателем преломления

n  n( r ) луч искривлен.
Решение для волновой функции в такой среде ищут в виде
 


E  E 0 exp(i(t  k 0S( r )) где скалярную функцию S  S( r ) называют эйконалом.
Если показатель преломления среды изменяется не очень быстро,
то эйконал можно разложить в ряд вблизи некоторой точки с радиус
вектором r0 и ограничиться первыми двумя членами ряда (эйкональное
приближение)


 
dS
S( r )  S( r0 )  
( r  r0 )  ...
d r r  r0
Подставляя это разложение в искомое решение, получаем уравне

 

dS 
dr
ние плоской волны E  E 0 exp(i(t  k 0 n  r ) . Отсюда находим k 0 n r  k 0  r

dS
dr

или n    S
Это основное уравнение геометрической оптики или уравнение
эйконала. Проинтегрируем уравнение эйконала вдоль траектории луча,
распространяющегося из точки 1 точку 2 (рис. 6.2):
2
2
 
dS 
1 ndr  1 dr dr  1 dS  S2  S1
2
Результат интегрирования не зависит от траектории. Но если двигаться вдоль истинной траектории луча, то лишь для этой траектории

 
угол между векторами d r и  равен 0° и с учетом dr  d получаем
2
2
 
 
0
n

d
r

n

d
r
cos
0



 nd  S2  S1
2
1
1
1
59
Величина
2
 nd называется оптической длиной пути луча. Для лю1
бой другой произвольной траектории
2
2
 /
/
/
n

d
r

nd

cos


(
S

S
)

2
1


 nd
2
1
1
.
1
Получили общий принцип, позволяющий определить истинное направление движения (светового) луча:
В любой среде луч движется по пути с наименьшей оптической
длиной:
2
(S 2  S1 )   nd  min
1
при этом оптическая длина пути равна изменению эйконала.
Это принцип Ферма, определяющий ход лучей в оптике. Подставляя сюда n=c/V, находим
2
2
2
d
 c dt  ct  min
V
1
1
 nd  с
1
(6.3). Отсюда
вторая формулировка принципа Ферма:
Луч (света) распространяется по такому пути, который преодолевается им за наименьшее возможное время.
Уравнение эйконала дает приближенное решение уравнений
Максвелла в случае λ  0 или k  . Поэтому из этого уравнения
или из принципа Ферма можно получить некоторые законы, полученные в волновой оптике.
Закон преломления света. Пусть луч света из точки А с координатой х=0 падает на плоскую границу двух сред с показателями преломления n1 и n2 в точке Д с координатой х и отражаясь или преломляясь,
проходит через точки В или С с координатой x   . По принципу
Рис. 6.3. К выводу закона Снеллиуса-Декарта.
Ферма оптическая длина пути
B
L отр   nd  n 1 (AD  DB)  n 1 ( y12  x 2  y 22  (  x ) 2 )
должна быть ми-
A
нимальной на пути реального отраженного луча, т.е.

x
(  x )
 0  n1 

 y2  x 2
dx
y 22  (  x ) 2
 1
dL отр
60

.


Отсюда sin  
x
y x
2
1
2
, sin 
(  x )
y  (  x ) 2
2
2
, sin  sin , (6.4) т.е. угол
падения равен углу отражения.
Аналогично, для преломленного луча должна быть минимальна величина
B
L пр   nd  n 1AD  n 2 DC  n 1 y12  x 2  n 2 y 32  (  x ) 2 )
, т.е.
A
dL пр
dx
 0  n1 (
x
y12  x 2
)  n2(
(  x )
y 32  (  x ) 2
)  n 1 sin   n 2 sin  , т.е.
n1sin=n2sinγ .
Получили закон преломления (закон Снеллиуса-Декарта).
Подобным же образом из принципа Ферма можно вывести формулу
линзы.
Формула линзы.
Испущенные из точки S лучи одновременно (согласно принципу
Ферма через наименьшее возможное время) соберутся в точке Р, давая
изображение источника S.
Действительно, источник света S находится в среде с показателем
преломления n1 на расстоянии а от сферической поверхности радиуса R ,
отделяющей среду с показателем преломления n2.
Лучи света соберутся в точке S', давая изображение источника (на
расстоянии b от поверхности раздела сред).
Cоберутся только те лучи, для которых выполняется условие параксиальности, т.е. которые расходятся под очень малыми углами а
к оптической оси.
Рис. 6.4. Ход лучей в тонкой линзе.
Т.е. все формулы линз, используемые в геометрической оптике,
справедливы только для параксиальных лучей и с помощью фотоаппарата
из таких линз нельзя снимать предметы вблизи (а вдали - теряются детали
предмета).
61
По принципу Ферма оптические длины всех лучей, собирающихся в
точке S', одинаковы, т.е. n1  SM  n 2  S/ M  n1a  n 2 b или, если провести
окружность радиусом SD=SE=a и S/M=S/B=b, то DMn1=BEn2. Для параксиальных лучей 0 и hh/; DMAC=AE+EC
2
Но
h
SD  h  a  a  h  a  a 1    .
a
Т.к.
h
1h
h2
h
 1, 1 -    1    , AE 
a
2a 
2a
a
2
2
2
2
2
2
Аналогично находим ВС и ЕС. Тогда
h2 h2
BE  EC  BC 

.
2R 2b
n
n
n n
 h2 h2 
 h2 h2 
Поэтому   n 1    n 2 или 1  2  2 1 .
a
b
R
 2a 2R 
 2R 2b 
Получили формулу сферической поверхности (аналогична формуле
линзы).
Если источник S находится на бесконечном удалении: a=, то он
создает пучок параллельных лучей, которые должны сойтись в фокусе:
b=F т.е.
n1 n 2 n 2  n1 n 2



D
a
b
R
F
Величина D называется оптической силой сферической поверхности.
Пусть теперь лучи от источника S падают на вогнутую поверхность
раздела двух сред (см.рисунок).Тогда =-; =-; γ=+δ и для параксиальных лучей (малые углы)   sin   h / R;   tg  h/a;   tg  h/b , а из
закона преломления.
n 3 sin     
 h h
 h h

 
, n 3     n 2    т.е.
n 2 sin     
R b
R a
n
n n
n
или 3  2  2 3
b
a
R
Рис. 6.5. Вогнутая линза.
n
n n
Оптическая сила вогнутой поверхности D  3  2 3 , (b = F при
F
R
a = ).
62
Отсюда следует, что лучи могут собраться в одной точке S/ только
при n3<n2, фокусные расстояния для сферической поверхности одинаковы Fслева=Fсправа при n3=n2.
Как видим, сферическая граница раздела двух сред сама обладает
свойствами тонкой линзы.
Оптические силы двух близко расположенных преломляющих поверхностей складываются, и мы получаем формулу для определения оптической силы тонкой линзы:
D линзы 
 1
nл  nс nл  nс
nс
1 



 (n л  n с )

R1
R2
Fлинзы
 R1 R 2 
Эти законы годятся не только для света, но и для электромагнитных волн любого диапазона. Чем меньше ее λ, тем заметнее лучевые свойства.
Распространение света в неоднородной среде
Снова рассмотрим истинную траекторию луча. Продифференцируем уравнение эйконала по в d , т.е. по длине, отсчитанной вдоль траек
d   dn
d  dS
тории луча.
Подставляя в это
( n )  
n

d
d
d
d

 
dS dS d r  
dn  
 
   S      n  n,
 n находим:
d d r d
d


d   
n  (   n )  n .
d
уравнение
Это уравнение описывает движение луча в среде с неоднородным

показателем преломления n( r ) .
Введем теперь радиус кривизны траектории луча R.

Здесь e n - единичный вектор, задающий направление нормали к тра-
 

d e n
 , и уравнение траектории луча
ектории. Т.к. d  Rd, d   d  e n , то
d R


e
  
принимает вид n n  (  n)  n . Умножая обе части этого уравнения
R

 
n  

скалярно на en , получаем, с учетом en2  1, en    0  en  n Отсюда следуR
ет, что луч отклоняется
в область с большим показателем преломления:

R > О при n  0 .
Это объясняет возникновение миражей, иллюзии водной глади над
нагретым асфальтом, астрономической рефракции.
63
Лекция 7
Раздел 7.1. Центрированные оптические системы и ход лучей в
них. Условие синусов Аббе или теорема Лагранжа-Гельмгольца. Три
основные матрицы преобразования луча. Аберрации оптических систем. Гауссов пучок.
Если пучок лучей, вышедших из точки Р после всех преломлений,
отражений и искривлений сходится в одной точке P/, то такой пучок
называется гомоцентрическим. Точка P/ называется стигматическим
(точечным) изображением точки Р.
Рис. 7.1. Гомоцентрический пучек.
Если поменять местами точки P и P/, то лучи, вышедшие из точки P/
сойдутся в точку Р. Это принцип обратимости, следующий из принципа
Ферма: оптические пути всех лучей между точками Pи P/ (которые называются сопряженными) - одинаковы.
Рис. 7.2. Нестигматическое изображение.
К сожалению, стигматическое изображение получить трудно.
Обычно лучи от точки Р пересекаются в некоторой области. Так в параболическом зеркале лучи пересекутся не в одной точке, если источник
расположен не на оси параболы. К тому же в одной точке будет наблюдаться дифракционное уширение (диск Эйри).
Стигматическое схождение гомоцентрического пучка удается
получить в центрированных оптических системах, когда центры
кривизны всех сферических отражающих и преломляющих плоскостей лежат на одной прямой, называемой главной оптической осью, а
пучки лучей параксиальные, т.е. образуют малые углы с оптической
осью.
Рис. 7.3. Центрированная оптическая система.
64
Это - Гауссова оптика ( теорию таких оптических систем разработал Гаусс в 1841 г.)
Изображение протяженного предмета будет резким (контрастным), если оптическая длина лучей между всеми сопряженными точками предмета и изображения одинакова. Тогда, если лучи BB/ и AA/
выходят из противоположных точек А и В предмета параллельно
под углом  к оптической оси, то они пересекутся в точке D на фокальной
плоскости, а затем дадут изображение A/B/. Их наклон к оптической оси
будет практически одинаковым и равным  /, если предмет мал.
Условие равенства оптических путей, пройденных этими лучами:
BCn=A/C/n/ или
ABnsin=A/B/n/sin /
Последнее уравнение - это условие синусов Аббе или теорема
Лагранжа-Гельмгольца.
Если гомоцентрический пучок выходит из точки предмета АВ,
находящегося в среде с показателем преломления n расходясь под углом
, а сходится в сопряженную точку изображения А'В' в среде с показателем преломления n/ под углом  /, удовлетворяющим условию Аббе, то
изображение будет резким и апланатическим.
Вместо того чтобы определять путь луча с помощью законов преломления и т.п. используют метод матриц.
Положение и направление геометрического луча в каждой точке
оптической системы задают отклонением у от главной оптической оси и
малым углом наклона  к этой оси, умноженным на показатель преломления среды данной точке n.
Рис. 7.4. Ход луча в неоднородной среде.
В другой точке этот луч имеет другие величины y/ и n//, которые
связаны с исходными матрицей:
 y /   A B  y 
 / /    C D  n  .
 
n   
Достаточно знать три основные матрицы преобразования луча:
1) В однородной среде с одинаковым nср луч идет по прямой и, проходя расстояние  вдоль оптической оси {оптический промежуток),
приобретает параметры
65
 y /  y  tg  y   

.
n СР 


Рис. 7.5. Ход луча в однородной среде.
Очевидно

 y /    y      1
 n   n  
 СР   СР   0

где M ОП

1

0

 
 y

n СР  n   ,
 СР 
1 
 

n СР  - матрица оптического промежутка.
1 
2) Луч идет, преломляясь на сферической поверхности радиуса
R>0,
Рис. 7.6. Преломление луча на сферической поверхности.
если центр сферы справа от поверхности и R<0 если центр сферы
слева от поверхности).
Слева и справа от поверхности y=y/ (см. рис. 7.6).
Очевидно, что =+, /=/+. По закону преломления, на поверхности,
y
R  n Л и  / n  n  y (n  n ) ,
, тогда
Л
СР
СР
Л
y n СР
R
/ 
R
y
 
1
0  y 
  n n


y
Л
1  n СР 
 (n Л  n СР )    СР
R

R
 
n
sin 

 /  Л
/
n СР
sin 

 y /  
 / 
  n   n СР
Л



т.е.
 1
M ПРЕЛ  
  D ПРЕЛ
0
 - матрица преломляющей сферической по1 
верхности, где
66
D ПРЕЛ 
n Л  n СР
R
- оптическая сила сферической поверхности.
Плоская поверхность - частный случай сферической поверхности при
R=.
3) Сферическая отражающая поверхность радиуса R>0
Рис. 7.7. Сферическая отражающая поверхность.
если центр справа, R<0 если центр слева).
Легко видеть (рис. 7.7):
  /    (  ),        
2y
откуда
    2   
R
/
M ОТР
 1
  2n СР

R

y
,
R
 y /   1
2n


 n  /     СР
 СР  
R
0  y 

 и
1  n СР  

0
 - матрица отражающей сферической поверхности.
1

Легко видеть, что эта матрица получается из матрицы преломляющей поверхности заменой nл = -nср.
Зная эти три матрицы MОП, Мотр и Мпрел легко рассчитать ход лучей
в любой центрированной оптической системе:
 y/ 
 y
 / /   M ОП1  M ПР1  M ПР 2  M ОП 2  
n  
 n 


Например, для тонкой линзы с радиусами R1 и R2, изображенной на
рис. 7.8,
Рис. 7.8. Тонкая линза.
1
 y /   n  n
 /
  Л
СР
  n  
СР 

R1

0 
1
0
 n Л  n СР
 y 
1  
1   n  
СР 
R2


1
0 


 y 
   (n  n )( 1  1 ) 1 
Л
СР

  n СР 
R1
R1


67
 1
M Л  
  DЛ
 1
0
1 
 - матрица тонкой линзы, D Л  (n Л  n СР )

R
1
R 2 
 1
оптическая сила тонкой линзы. Оптическая сила измеряется в диоптриях.
Параллельный пучок света, падающий на тонкую линзу слева, соберется в точке правого фокуса линзы:
 y  1
   
 0  DЛ
0  1

1 
0
Fn
n СР
1

 0 
  n  /  

СР




n /


 СР Fn
n СР





Fn
 1)(n СР  / ) 
 (D Л
n СР


Рис. 7.9. Фокус линзы.
Откуда
n СР
 DЛ .
Fn
Определение правого фокусного расстояния тонкой линзы (оно
равно левому фокусному расстоянию)
При построении апланатического изображения
Рис. 7.10. Построение апланатического изображения.
луч, вышедший из точки предмета А на оптической оси, вернется на оптическую ось в точке A/ изображения, как изображено на рис. 7.10:
 1
n СР
1 
 D Л  (n Л  n СР )

Fn
R 2 
 R1
a 

0  1
 0  1
 1

  

n CP 
 n CP    0 1   D Л 1  0



 b

a
ab 


 D Л 2 n CP  / 

  n CP n CP

n CP 



b 


1  D Л
n CP  /


n
CP 



b 
 0 

n CP 
n CP  / 


1 
68
 b
a
ab 


 D Л 2  =0,
n CP 
 n CP n CP
n
n
n
зы СР  СР  D Л  СР .
a
b
F
откуда
т.е. получаем формулу тонкой лин-
Рис. 7.11. Изображение в тонкой линзе.
Изображение в тонкой линзе образуется построением трех лучей
(рис. 7.11). При мнимом изображении точка лежит на продолжении лучей
(расходящихся).
Параллельный пучок света пересекается в фокальной плоскости.
Коэффициент линейного увеличения: y//y=b/a.
Для системы двух тонких линз с оптическими силами D1D2на расстоянии  друг от друга получаем матрицу
 1

  D1
0  1

1 
0
 
 1
n CP 
 D2
1 


1  D2

n CP



  D1  D 2  D 2 D1 n
CP

0

1 


n CP

 
1  D1
n CP 

откуда оптическая сила такой системы
D СИСТ  D1  D 2  D 2 D1

n CP
В общем случае толстой линзы или системы линз кроме фокусов и
фокальных плоскостей вводят главные плоскости оптической системы
(точки пересечения этих плоскостей с главной оптической осью и точки
фокусов называются кардинальными точками оптической системы).
Рис. 7.12. Ход лучей в толстой линзе.
Параллельные лучи, падающие на одну главную плоскость (параллельно оптической оси) идут, не отклоняясь до второй главной плоскости,
а от нее пересекаются в точке фокуса. Если главные плоскости совме69
стить, то изображение строится с помощью трех лучей так же, как и в
тонкой линзе:
Луч 1 идет до точки Н1 а затем до точки Н2 параллельно самому себе. Луч 2 идет параллельно оптической оси до плоскости Н2, а от нес через фокус FЛ.
Рис. 7.13. Положение правой главной плоскости.
Луч 3 идет через фокус FЛ до плоскости Н1, а от нее параллельно
оптической оси. Все лучи пересекутся в одной точке - изображении. Коэффициент увеличения всегда равен b/a. Найдем положение главных
плоскостей.
 А B
 - матрица преобразования от крайней левой
Пусть матрица 
 C E
преломляющей поверхности I до крайней правой II, а лучи падают параллельно главной оптической оси. Тогда
 y /   A B  y 
 / /   
  ,
 n  

  C E  0 
т.е. луч выйдет из поверхности II на расстоянии y/ от главной оптической
оси под углом -/ и пересечет ось в точке фокуса Fп на расстоянии
y/
y/
/
/ /
Fп 
 / . Но y =Ay, -n  =Cy,
/
tg

тогда расстояние от точки правого
фокуса до правой преломляющей поверхности Fп  n /
A
. Если Fп>0, то
C
фокус находится справа от поверхности П.
Но можно продолжить выходящий луч до пересечения с продолжением падающего луча (точка М рис. 7.13). Тогда получим положение правой главной плоскости Н2. Она находится на расстоянии xп=y//=-n//C от
точки правого фокуса (слева от него, если xп>0).
Расстояние от главной плоскости до крайней правой преломляющей
поверхности равно x п  Fп  
n/
(1  A)
C
Точно так же определяется положение левой главной плоскости.
Аберрации оптических систем
Аберрации - это искажения изображений. Возникают они при
нарушении гомоцентричности пучков и связаны, в первую очередь, с тем,
что волновая поверхность перестает быть сферичной. Это означает, что
лучи, перпендикулярные этой поверхности, не сойдутся в одну точку.
70
Рис. 7.14. Аберрации.
Любая искривленная (волновая) гладкая поверхность характеризуется двумя взаимно-перпендикулярными линиями 1 и 2, для которых значения радиусов кривизны R1 и R2 принимают минимальное и максимальное значения. Поэтому лучи, идущие от этих линий, пересекаются в разных точках F1 и F2, создавая астигматическое изображение. Степень
астигматизма задается разностью (R2- R1) - это астигматическая разность.
Если пучок имеет ширину, то лучи от разных линий 1', 1, 1" (2', 2,
2") соберутся в разных фокальных точках F1/ , F1 , F1/ / , образующих некоторую поверхность. Две такие поверхности F1/ , F1 , F1/ / и F2/ , F2 , F2/ / образуют
каустику астигматического пучка.
Задачей оптики служит создание четкого апланатического изображения. Поэтому надо перечислить все астигматические аберрации, которые могут возникнуть.
1) Сферическая аберрация возникает даже для точечных предметов, находящихся на оси.
Рис. 7.15. Сферическая аберрация.
Параксиальные лучи пересекаются в точке Р' на экране. Но для лучей, преломляющихся на краях линзы, условие параксиальности перестает выполняться, они преломятся сильнее и пересекутся в точке Р", а на
экране создадут размытый светлый кружок {поперечная сферическая
аберрация) вместо точки, (без учета
дифракционного уширения)
Наименьшим этот кружок будет при помещении экрана между точками Р'
и P//
Чтобы устранить сферическую аберрацию, надо брать линзу не со
сферической, а с более сложной поверхностью. Но проще взять комбинацию из собирающей и рассеивающей линз, т.к. рассеивающая линза обладает аберрацией противоположного знака.
Но таким образом удастся устранить сферическую аберрацию для
определенного расстояния до предмета. Ее создают не только сферические, но и плоские преломляющие поверхности (пробные стекла микро71
скопа), т.е. ликвидируют сферическую аберрацию для определенных
устройств (в микроскопе для предмета, находящегося вблизи фокуса и
для покровных стекол определенной толщины, если возьмем стекло потолще резкость снова пропадет).
Остальные аберрации возникают для точек, не лежащих на
главной оптической оси.
2) Кома возникает для широких пучков.
Рис. 7.16. Кома.
Вблизи краев линзы они преломляются сильнее (отклонение от параксиальности) и на экране они образуют кружки, сливающиеся в "комету ". Отсюда и название "кома".
Для устранения комы и получения резкого изображения надо обеспечить условие синусов Аббе: n  y  sin   n y sin 
Сделать это можно уменьшив углы наклона лучей к главной оптической оси.
/
/
/
Рис. 7.17. Уменьшение комы в иммерсионном микроскопе.
Например, в иммерсионных микроскопах заполняют пространство
между покровным стеклом и полушаровым объективом жидкостью с таким же показателем преломления, что и у стекла (кедровое масло).
Мнимое изображение Р' предмета Р находится дальше предмета,
т.е. "испускает" лучи, под меньшим углом к оптической оси и условие
параксиальности выполняется. В таких микроскопах можно обеспечить
большую апертуру.
3) Астигматизм наклонных пучков (искривление плоскости
изображения).
72
Рис. 7.18. Астигматизм наклонных пучков.
Даже для узких пучков каустики "продольных" и "поперечных" (к
плоскости рисунка) лучей не совпадают (рис. 7.18). Чем больше угол
наклона к оптической оси, тем больше астигматическая разность.
Видно, что все изображение было бы резким, если бы создавалось
на кривом экране, совпадающем по форме с каустикой. При этом резкое
изображение предмета (линии АР) получится на каустике для меридиональных лучей, а изображение перпендикулярной линии PQ - на каустике
для сагиттальных лучей.
В качестве предмета для проверки подобного астигматизма используют циркулярно-радиальную сеть (рис.7.19).
При определенном положении плоского экрана видно четкое изображение одной из дуговых циркулярных линий (точки P пересечения каустики с плоскостью экрана). Радиальная линия будет размыта. И наоборот, на участке пересечения экрана с каустикой P// будет четко виден
участок радиальной линии.
Рис. 7.19. Циркулярно-радиальная сеть.
Устраняют искривление плоскости изображений подбором линз из
разного стекла с разной кривизной так, чтобы плоскость изображений
стала более менее плоской и каустики Р" и Р' совпали. Такие линзы называются анастигматами.
Рис. 7.20. Анастигматная линза.
Особенно важно это для фотоаппаратов, в которых изображение
должно совпасть с плоскостью фотопластинки.
73
Рис. 7.21. Цилиндрическая линза.
Для глаза плоскость изображения должна быть поверхность глазного дна. При астигматизме зрения человек может увидеть резко только одну из взаимно-перпендикулярных линий. Поэтому для коррекции зрения
вводят цилиндрическую линзу, которая на определенном расстоянии зрения дополнительно фокусирует только сагиттальные лучи в той же плоскости, на которой резко фокусируются меридиональные лучи.
4) Дисторсия.
Рис. 7.22. Дисторсия. Диафрагма за линзой.
Это искажение возникает, когда линейный коэффициент увеличения k линзы изменяется с расстоянием от оптической оси. На резкости
изображения это не сказывается (в телескопах и подзорных трубах проявление этой аберрации не существенно), но меняет форму предмета, что
недопустимо, например, при аэрофотосъемке.
Рис. 7.23. Дисторсия. Диафрагма перед линзой.
Объясняется дисторсия не столько самой линзой, сколько ограничением светового пучка, проходящего через линзу, т.е. диафрагмой (отверстием в непрозрачном экране). Если диафрагма стоит за линзой, то лучи от более удаленной точки предмета P2 проходят через нее преломившись на краю линзы под большим углом, k растет и возникает подушкообразная дисторсия. Кроме того, через диафрагму пройдет от точки Р 2 более узкий пучок лучей, чем от точки Р1 (2<1). Поэтому освещенность
точки P2/ будет меньше, чем точки P1/ Уменьшение освещенности к краям
74
поля зрения при использовании диафрагмы называется затенением или
виньетированием (посмотрите через малое отверстие). Если же диафрагма находится перед линзой, то лучи от более удаленной точки Р2 сильнее
преломятся к оси и коэффициент увеличения k уменьшится. Получается
"бочкообразная " дисторсия.
Для практически полного устранения дисторсии диафрагму
устанавливают между линзами, как показано на рис. 7.24.
Рис. 7.24. Компенсация дисторсии.
Подушкообразная дисторсия объектива компенсируется бочкообразной дисторсией окуляра.
5) Хроматические аберрации.
Все, что говорили ранее - о монохроматическом свете. Но показатель преломления среды (линзы) зависит от длины волны света λ (это явление дисперсии). Поэтому линзы по-разному отклоняют лучи с разными
λ, и создают изображение немонохроматических источников в разных местах. Изображение получается нерезким с окрашенными краями.
Изображения с разными λ пытаются совместить, используя систему
линз с разными показателями преломления. Но для всех длин волн это не
удастся. Совмещение (ахроматизацию) проводят в интервале волн от
λF=480 нм до λС=656 нм "Средняя" длина волны в этом интервале λ D=589
нм.
Для одной тонкой линзы (в воздухе)
 1
const
const
1
1 
 или F 
 F  
n , тогда изменение
 (n  1) 
n 1
(n  1) 2
F
 R1 R 2 
фокусного расстояния при изменении показателя преломления будет
F  
F
n
(n  1)
Рис. 7.25. Оптическая система из двух линз флинта и крона.
Для описания свойств стекла вводят величину
75

n F ( F )  n C ( C )
n

тогда F  F  
n D ( D )  1
n 1
Для флинта 1/30, для крона 1/60
Рассмотрим теперь систему двух линз из флинта и крона (рис. 7.25).
Т.к.
1
1 1 1

   
, то такая система дает четкое изображение,
Fсист F F1 F2 F1F2
если ее фокусное расстояние не зависит от λ, т.е. δ(1/Fсист)=0 или, подставляя в результат δFi=-iFi, получаем F21+ F12= (1+2)
Отсюда следуют два способа ахроматизации:
1) две тонкие линзы (собирающая и рассеивающая) из разного
стекла соприкасаются (0), так что F21+ F12=0.
Рис. 7.25. Две тонкие линзы (собирающая и рассеивающая) из разного стекла
соприкасаются.
Здесь из трех радиусов кривизны один остается свободным, что
позволяет устранить еще и сферическую аберрацию.
2) две линзы из одинакового стекла (1=2) устанавливают на расстоянии =( F1+ F2)/2. Но здесь не будут совпадать главные плоскости
изображений для разных цветов и такой способ используют только в подзорных трубах (телескопах).
Рис. 7.26. Две тонкие линзы из одинакового стекла (1=2) устанавливают на
расстоянии =( F1+ F2)/2.
В более сложных системах линз удается полностью устранить хроматическую аберрацию (10-линзовый апохромат Аббе)
Но устранить сразу все виды аберраций практически невозможно,
поэтому для разных целей устраняют разные из них: для телескопа с малым угловым полем зрения - надо устранить сферическую и хроматическую аберрации, для микроскопа с большим угловым полем зрения (широкие пучки) - надо устранить еще и дисторсию, и кривизну плоскости
76
изображения, в фотоаппаратах - кривизну плоскости изображения и дисторсию.
Гауссов пучок — хорошее приближение для описания лазерного
пучка лучей.
Решая волновое уравнение путем разделения переменных, сначала
получаем уравнение гармонических колебаний для зависимости от времени и уравнение Гельмгольца для координатной зависимости. Далее
разделяя переменные в декартовых координатах, мы получили решения
уравнения Гельмгольца в виде плоских волн.
Если для решения уравнения Гельмгольца переменные разделять в
других системах координат, то получаться решения с другой симметрией.
Можно рассмотреть разделение переменных в эллиптической системе координат. Рассмотрим систему эллипсов с парой общих фокусов. Будем
вращать эту систему эллипсов вокруг оси перпендикулярной отрезку, соединяющему фокусы. Эллипсоиды вращения будут поверхностями постоянного значения одной из трех координат рассматриваемой эллиптической системы координат. Вторая координата — угол поворота вокруг
оси вращения эллипсов. Третью координату можно определить поразному.
Среди множества решений, получаемых при разделении переменных в эллиптической системе координат, есть решения в виде гауссовых
пучков лучей.
Хорошим приближением для лазерного пучка лучей является гауссов пучок. Пусть световая волна распространяется вдоль оси z и образует
параксиальный пучок лучей. Будем называть пучок лучей гауссовым, если поле E световой волны можно найти по формуле
 x 2  y2
w

Er , t   E 0  0  exp  
w
w2

 exp  i  t 
 

x 2  y2
  exp  ik  z 

2R

 


  i 




  2z  2 
2
2
w z   w 0  1  
 
2 


  kw 0  

  kw 2  2 

где  R z   z  1   0  
  2z  


kw 02

tg 
2z


В приближении параксиальной оптики w 0   .
Для электрического поля E световой волны само поле E умышленно указано без значка вектора, так как направление вектора E различно в
разных точках гауссова пучка. В каждой пространственной точке вектор
E перпендикулярен лучу в этой точке.
77
Рис. 7.27. Гауссов пучок ( w z  — зависимость радиуса пучка от координаты z
вдоль оси пучка, w 0 — радиус шейки каустики. Шейка каустики — самое узкое место z  0 каустической поверхности. Каустическая поверхность — поверхность, получающаяся при вращении линии луча вокруг оси пучка лучей. R z  — зависимость
радиуса кривизны гомоцентрического пучка лучей от координаты z вдоль оси пучка.
 — фазовый сдвиг относительно фазы плоской волны, если бы она распространялась вдоль оси z ).
Свойства гауссовых пучков.
1). Лучи распространяются по гиперболам, а не по прямым линиям,
как того требует принцип Ферма.
2). Фазовая скорость волн в пустоте не равна универсальной константе c , так как сдвиг фаз  является функцией z координаты вдоль оси
пучка лучей. Фазовую скорость можно найти из уравнения поверхности
равных фаз. Приравняем константе фазу уравнения :
kz  k
x 2  y2
     t  const
2R
Найдем, например, фазовую скорость вдоль оси пучка при x  0 и
y  0 . Тогда
kz      t  const
Продифференцируем это уравнение по времени, считая z и 
функциями времени. Тогда получим:
dz d dz

  0
dt dz dt


 c
d k
k
dz
То есть фазовая скорость отлична от величины c .
k
=>
Vp 
dz

dt
3). Чем более узкой оказывается шейка каустики, тем больше расходимость пучка лучей.
Угловой диаметр расходимости:
2 
4


— величина угловой расходимости характер2 w 0 2 w 0
на для дифракции на препятствии размером 2w 0 .
4). Шейка каустики не отображается линзой по законам геометрической оптики. Это необходимо учитывать при попытке сфокусировать
лазерное излучение на маленькую площадку.
Для нахождения положения шейки каустики после преломления
гауссового пучка в тонкой линзе нужно сделать следующее:
78
а). Сначала найдем R 1 — радиус кривизны фронта волны непосредственно перед линзой и по известным параметрам w 0 , z пучка лучей до
линзы:
  kw 2  2 
01 

R 1 z   z1  1  
  2z1  


б). Аналогично найдем радиус пучка лучей на линзе w по известным величинам w 0 и z пучка лучей до линзы:
w 1 z   w
2
2
01
  2z  2 
1  
 1  
2
  kw 01  


Теперь будем искать параметры пучка лучей после линзы.
в). По правилу ABCD из величины радиуса кривизны фронта непосредственно перед линзой можно найти радиус кривизны сразу за линзой:
R2 
AR1  B
, где для тонкой линзы
CR 1  D
 A B   1 0

  
 .
 C D    1
Радиус пучка лучей при прохождении через тонкую линзу не изменяется w 2  w1 .
г). Решим теперь систему из первых двух уравнений системы

  2z  2 
2
2
2  
w 2 z 2   w 02  1  
2


  kw 02  



2 2

 kw 02 


 



R
z

z

1

2
2
2

 2z  

2 

 

относительно w 02 и z 2 для пучка лучей после линзы при известных величинах w 2 — радиуса пучка лучей на линзе, и R 2 — радиуса кривизны
фронта волны сразу за линзой. Решение этой системы позволяет найти
положение  z 2 новой шейки каустики относительно линзы и радиус новой шейки каустики
Лекция 8
Раздел 8.1. Понятие о нелинейных оптических эффектах. Генерация
оптических гармоник. Эффекты самовоздействия, параметрические
эффекты и вынужденное рассеяние.
Самофокусировка луча.
Оптическое гетеродинирование и параметрическое усиление света.
Вынужденное
рассеяние.
Обращение
волнового
фронта.
Динамическая голография или четырехволновое взаимодействие.
Вынужденное комбинационное рассеяние. Лазерное охлаждение.
Нелинейные оптические эффекты проявились практически сразу,
как только началось более-менее систематическое изучение свойств лазерного излучения (с 1961 г.). Во-первых, они выступают как ограничитель возможностей роста энергетических характеристик излучения, во79
вторых, — как качественно новый, ранее невозможный способ извлечения информации о свойствах среды, взаимодействующей с лазерным излучением.
Фундаментальные, и прикладные перспективы развития нелинейной оптики были обрисованы уже с 1962 г., когда появились классические труды академика Р.В. Хохлова и его ученика и последователя С.А.
Ахманова в СССР и — чуть позднее — Н. Бломбергена за рубежом.
Ряд нелинейных эффектов (например, самофокусировка) был предсказан и получен экспериментально еще раньше, в работах Н.Г. Басова и
А.М. Прохорова.
Классифицируя нелинейные взаимодействия с помощью разложения поляризации P(t) по полю Е(t),
P  (1) E  ( 2) E 2  (3) E3  ...
можно сказать, что главные успехи прикладной нелинейной оптики
связаны с использованием эффектов, описываемых квадратичной нелинейной восприимчивостью Χ(2). Таковые проявляются в кристаллах, не
обладающих центром инверсии. Однако в ряде случаев представляют
особый интерес и взаимодействия более высокого порядка. Дело в том,
что большие возможности управления нелинейной восприимчивостью
возникают за счет использования резонансных взаимодействий. Эти взаимодействия не дают большого выигрыша в конденсированных средах,
где ширина линий разрешенных переходов обычно велика (вспомним, что
наивысшая степень монохроматичности и стабильности частоты может
быть получена в газовых лазерах на нейтральных атомах). Поэтому увеличение нелинейных восприимчивостей, обусловленных близостью частот взаимодействия к атомному или молекулярному резонансу, в газовой
среде можно сделать аномально большим. Соответствующие эксперименты показали, что можно добиться КПД преобразования в 3-ю гармонику
за счет резонансного взаимодействия в парах щелочных металлов и благородных газов порядка 40-50%, причем при значительно меньших уровнях мощности, чем в случае кристаллических умножителей частоты. Газовые нелинейные оптические устройства позволяют еще более расширить возможности получения когерентного излучения в оптическом диапазоне (от дальнего ИК до мягкого рентгеновского) и тем самым обеспечить уникальные возможности исследования свойств биологических объектов. Добавим к этому, что сами оптические свойства биотканей в силу
специфики взаимодействия с лазерным излучением начинают зависеть от
интенсивности падающего излучения при ничтожно малых по сравнению
с кристаллами интенсивностях, поэтому нелинейная оптика биологических сред – это такая область оптики, которая еще ждет своего бурного
развития, и вообще-то весьма парадоксально то, что нелинейная оптика
кристаллов – наиболее прозрачных и, следовательно, наиболее «упорных» с точки зрения интенсивности падающего излучения сред – уже
давно стала классикой, а нелинейная оптика биосред, выпирающая нару80
жу практически в каждом случае лазерного облучения биообъекта, застряла на уровне накопления экспериментальных данных.
Генерация оптических гармоник.
Особенно быстрыми темпами развивалась прикладная нелинейная
оптика. Наиболее яркий пример — генерация оптических гармоник.
Если в первых экспериментах 1961 г. удвоение частоты рубинового
лазера было обнаружено с помощью весьма тонких измерений (коэффициент преобразования по мощности основного излучения с  = 694 нм во
вторую гармонику с  = 347 нм не превышал 10-11), то уже в 1963 г. были
созданы удвоители частоты с КПД, достигавшим 10%. В последующие
годы были созданы умножители частоты лазерного излучения, позволившие перекрыть диапазон от дальнего ИК до вакуумного ультрафиолета и
работающие во всех режимах (от непрерывного до пикосекундных импульсов). Сегодня уже совершенно невозможно представить себе квантовую электронику и когерентную оптику без оптических умножителей частоты, применяемых в самых разнообразных лазерных системах.
Рассмотрим подробнее возможность генерации второй гармоники
(ГВГ) при прохождении лазерного излучения через кристалл.
Поляризация диэлектрических кристаллов обусловлена главным
образом перемещениями валентных электронов атомов под действием
внешнего поля – среда рассматривается как совокупность элементарных
диполей. Обозначим: x – смещение электрона от положения равновесия,
N – плотность электронов. Тогда поляризацию можно записать в виде
P(t )  Nex(t )
Здесь e – заряд электрона.
В симметричных кристаллах потенциальная энергия электрона может быть записана в виде
V( x ) 
m 2 2 m 4
0 x  Bx  ...
2
4
где ω0 – резонансная частота электронного осциллятора, В – постоянная,
m – масса электрона. Кристалл с потенциалом вида (8.3), очевидно, обладает свойством V(x) = V(-x). Вообще говоря, он не обязан быть симметричным, т.е. в зависимости V(x) могут появиться нечетные степени x:
m
m
~
V(x )  02 x 2  Dx 3  ...
2
3
В случае (8.3) на электрон действует возвращающая сила
F( x )  
V
 m02 x  mBx 3 +…
x
а в нечетном случае
~
F(x)  (m02 x  mDx 2  ...)
Линейная поляризация кристаллов описывается первым членом в
чем без труда можно убедиться, приравняв силу, действующую на электрон, нулю: eE(t )  m02 x(t )  0 , откуда
81
x(t)  
e
E( t )
m02
и Р  Е, как и следует быть: поляризация пропорциональна мгновенному
значению поля.
В несимметричном кристалле положительное (х0) смещение электрона вызывает бόльшую возвращающую силу (при D >0), чем отрицательное. Поэтому «отклик» среды на синусоидальное внешнее воздействие будет иметь вид искаженной синусоиды (рис. 8.1).
Для количественного оформления этих соображений положим, что
внешнее возмущение имеет вид: E(t )  E () cos t
Тогда уравнение движения электрона в несимметричном кристалле
будет иметь вид:
x(t )  x (t )  02 x (t )  Dx 2 (t )  
eE () it
(e  e it )
2m
Рис. 8.1. Сравнение волны нелинейной поляризации (а) с Фурье-амплитудой ее
первой гармоники на частоте ω (б) и второй гармоники с частотой 2ω (в).
Как видно, от классического уравнения затухающего осциллятора с
внешней силой это уравнение отличается только «вредным» членом
Dx2(t), описывающим колебания с частотой . Член x (t ) описывает, как
обычно, затухание. Решение x(t) будем искать в виде:
1
x ( t )  (q1e it  q 2 e 2it  к.с.)
2
к.с. – комплексно сопряженная часть.
Заметим, что необходимо сохранять действительную форму записи амплитуд, поскольку присутствует член, содержащий x2. Подставляя,
получим:
2
i
(q 1e it  к.с.)  2 2 (q 2 e 2it  к.с.) 
(q 1e it  к.с.) 
2
2
2

 i(q 2 e 2it  к.с.)  0 (q 1e it  q 2 e 2it  к.с.) 
2
D
 (q 1e 2it  q 22 e 4it  q 1q 1  2q 1q 2 e 3it  2q 1q 2 e it 
4
eE ( ) it
 q 2 q 2  к.с.)  
(e  к.с.) (25.10)
2m
82

Поскольку выражение должно быть справедливо для всех t, коэффициенты при e it и e 2it в обеих частях должны быть равны.
Приравняем сначала коэффициенты при e it , полагая, что
1
2 2
Dq 2  [(   )    ]
2
0
2 2
2
eE ( )
1
получим: q1  
2
m (0  2 )  i
Поляризация среды на частоте  связана с колебаниями электронов
на той же частоте, как положено в классической электродинамике, формулой
P ( ) ( t )  
Ne
(q1eit  к.с.)  [ ()E ( ) eit  к.с.]
2
Здесь () – линейная диэлектрическая восприимчивость. Если
подставить выражение для q1, то
() 
Ne2
m[(02  2 )  i]
Это известная из классики формула для диэлектрической восприимчивости. Теперь найдем желаемую амплитуду второй гармоники q2 на
2 it
частоте 2ω. Приравнивая коэффициенты при e , получим:
q2  
De2 [E ( ) ]2
2m 2 [(02  2 )  i]2 [02  42  2i]
Аналогично, запишем выражение для нелинейной поляризации
на частоте 2ω:
P ( 2 ) ( t )  
Ne
1
(q 2 e 2it  к.с.)  {d ( 2) [E ( ) ]2 e 2it  к.с.}
2
2
Обозначим комплексную амплитуду поляризации Р(2ω) . Тогда Р(2ω)
= = d ( 2) E () E () . Таким образом, d(2ω) – это отношение комплексной амплитуды поляризации к квадрату амплитуды поля на основной частоте. Имеем для d(2ω):
d ( 2 ) 
DNe3
2m 2 [(02  2 )  i]2 (02  2  2i)
Перепишем, введя нелинейную восприимчивость Χ(2ω):
d ( 2 ) 
mD[ ()]2  ( 2)
2N 2e3
Выражение получено в предположении об изотропности среды. В
действительности все кристаллы обладают анизотропией, т.е. связь
между полем и поляризацией среды следует записывать не в виде

P( 2)  d ( 2) E () E () , а в виде умножения вектора E(E x , E y , E z ) на тензор

( 2 )
d ijk
, где каждая компонента вектора P ( 2) запишется в виде:
Pi( 2) 
d
j,k  x , y ,z
( 2 )
ijk
E (j) E (k)
Кристаллы, в зависимости от того, остается ли кристаллическая

структура неизменной при инверсии, т.е. замене вектора r (x, y, z) на

( r )  (x,y,z) ,
подразделяются на две группы: инверсионно83
симметричные и не обладающие таким свойством. В кристаллах, обладающих инверсионной симметрией, все нелинейные оптические коэффици( 2 )
енты d ijk
должны быть равны нулю. Это следует из соотношения, если
представить себе, что при изменении знаков у Е (j) и E (k) изменившееся
электрическое поле «видит» кристалл, идентичный первоначальному, т.е.
( 2 )
 Pi( 2)   d ijk
(E (j) )(E (k) )
j,k
Последние соотношения могут одновременно выполняться только
при d ijk  0 . Это означает, что в кристаллах, обладающих инверсной
симметрией, генерация второй гармоники невозможна.
Тензорная запись соотношения между полем и поляризацией безусловно необходима при конкретных расчетах и конструировании нелинейных умножителей оптической частоты. При этом приходится сталкиваться с довольно громоздкими вычислениями. Однако для оценок, позволяющих выяснить условия максимального коэффициента преобразования энергии из основной гармоники во вторую, тензорная запись не обязательна. Поэтому в дальнейшем ограничимся скалярной формой записи.
 
Разделим поляризацию на линейную (пропорциональную Е () ( r , t ) ) и
нелинейную части:
 
 
 
P( r , t )   0 E( r , t )  PNL ( r , t )
 
 
Полагая, что векторы PNL ( r , t ) и E( r , t ) параллельны, перейдем к ска-
лярной форме записи волнового уравнения:




E( r , t )
 2 E( r , t )
2
 E( r , t )  
 
  2 PNL ( r , t )
2
t
t
t
 
Представим поле E( r , t ) как суперпозицию трех плоских волн с раз2
личными частотами ω1, ω2 и ω3 , распространяющихся в направлении z:
1
E ( 1 ) (z, t )  [E1 (z)e i ( 1t k1z )  к.с.]
2
1
E (2 ) (z, t )  [E 2 (z)e i ( 2 t k 2z )  к.с.]
2
1
E (3 ) (z, t )  [E 3 (z)e i ( 3t k 3z )  к.с.]
2
Мгновенное значение суммарного поля:
E(z, t )  E1
( 1 )
(z, t )  E (22 ) (z, t )  E 3
( 3 )
(z, t )
Заметим, что полученное представление является более общим, чем
это требуется для описания генерации второй гармоники, поскольку учитывает произвольные значения частот. Это значит, что аналогичным образом можно рассматривать и генерацию более высоких гармоник, а также нелинейные параметрические явления и резонансные нелинейные эффекты в изотропных средах.
Подстановка в волновое уравнение показывает, что оно распадется
на 3 уравнения, каждое из которых содержит только члены, описываю84

щие колебания на одной из трех частот. Члены, содержащие PNL ( r , t ) , в соответствии с предположением об изотропности среды, имеют вид:
1
2
d 2 E1E 2 e i[( 1 2 ) t ( k1 k 2 ) z ]
2 t
или
1
2
d 2 E 3 E 2 e i[( 3 2 ) t ( k 3 k 2 ) z ] ,
2 t
т.е. содержат комбинационные частоты 1  2 и 3  2 . В случае несинхронности (произвольного соотношения частот) они не могут, вообще говоря, влиять на колебания на отдельно взятой частоте ω1, ω2 или ω3. Но в
2
E1E 2 e i[( 1 2 ) t ( k1  k 2 ) z ] может рассматривать2
t
ся как источник волны на частоте 3 . Физический смысл такого взаи-
случае 1  2  3 член d
модействия (появляющегося только при наличии члена PNL) означает преобразование потоков энергии на частотах 1 и 2 в поток энергии на частоте 3 и наоборот. В случае 1  2  3 волновое уравнение (8.20)для
волны с частотой ω1 запишется в виде:
E ( 1 )
 2 E ( 1 )
 E (z, t )  1
 

t
t 2

 2 E (z)E 2 (z) i[( 3  2 ) t  ( k 3  k 2 ) z ]
 d 2 [ 3
e
2
t
 к.с.]
2
( 1 )
Преобразуем к более простому виду, предполагая, что распространение волны E ( ) (z, t ) вдоль оси z характеризуется медленным по сравне1
нием с основной частотой изменением амплитуды: k1
dE1 (z) d 2 E1 (z)
, а

dz
dz 2
также заменяя везде дифференцирование по времени умножением на соответствующий частотный множитель:

 i1, 2,3 . Учтем также, что
t
k12  12 . Получим:
dE1
 
i 
 1
E1  1
dE 3 E 2 e i ( k3 k 2 k1 ) z
dz
2 
2 
Аналогичным образом получим уравнения для распространения
волн с частотами ω2 и ω3 :
dE 2

 2
dz
2
  i2
E2 

2

i ( k  k  k z
dE1E 3 e 1 3 2 )

dE 3

 3
dz
2
i

E3  3

2

dE1E 2 e i ( k1  k 2 k 3 ) z

Уравнения имеют достаточно общий смысл и описывают нелинейные параметрические взаимодействия. Их легко обобщить и на анизотропный случай, вводя различные для разных волн значения диэлектрических постоянных ε1, ε2, ε3 и вспоминая о тензорном характере нелиней85
ных восприимчивостей dijk.. Соответствующие расчеты проводились для
многих кристаллов и их результаты представлены в справочной литературе. Для простейшего случая генерации второй гармоники примем, что
1  2   . Тогда уравнения для Ε1 и Ε2 оказываются комплексно сопряженными, и достаточно рассматривать только Ε1 и Ε3 , имея в виду, что ω3
= 2ω. Пренебрегая поглощением (σ1,2,3 = 0), запишем уравнения в виде:
dE ( 2)

 i d[E ( ) (z)]2 e i ( k ) z
dz

где введено обозначение k  k ( 2)  2k () . Допустим, что ослабление вход-
ной волны Е(ω) из-за преобразования ее в волну Е(2ω) незначительно. Пренебрежем поэтому зависимостью Е(2ω) от z , а на входе волны с частотой
2ω еще нет (Е(2ω) =0 ). Тогда интегрирование в пределах оптической длины кристалла l дает:
E ( 2) (l)  i

eikl  1
d[E ( ) ]2

ik
Отсюда найдем выходную интенсивность второй гармоники:
E
( 2 )
(l)E
( 2 )
k  l
sin 2 (
)
 2 d 2 ( 2  ) 4 2
2
(l)  ( ) 2 [E ] l
k  l 2
0 n
(
)
2
В это уравнение введен показатель преломления: n 2 

. Мы мо0
жем найти светимость излучения второй гармоники (если ввести сечение
выходного пучка А):
P ( 2 ) 1  ( 2 )
I

E
A
2 
2
и эффективность преобразования во вторую гармонику:

( 2 )
P
P ( )

 2 
 0 
3
2
k  l
( )
d l
2 P
n 3  k  l  2 A


 2 
2
2 2
sin 2
Отсюда следует, что эффективность преобразования во вторую
гармонику определяется продольным размером кристалла, интенсивностью входного пучка и, что особенно интересно, величиной Δk. Зависимость от Δk имеет интерференционный характер. Максимальная эффективность преобразования достигается при Δk = 0. Если Δk ≠ 0 , то имеет
место интерференция волны второй гармоники самой с собой, т.е. энергия
перекачивается от исходной волны во вторую гармонику и обратно. Два
соседних максимума этой интерференционной картины удалены на расстояние l k 
2
2
 ( 2 )
, определяющее максимальную длину криk k
 2k ( )
сталла, при которой можно наблюдать излучение второй гармоники.
Имея в виду, что k 
n
, можно записать Δk в виде
c
86
k  2
 2
[n  n  ]
c
откуда для длины когерентности lk имеем:
lk 

2[n  n  ]
2
Здесь λ – длина волны основного пучка в свободном пространстве.
Если использовать произвольный кристалл, то, как правило, показатель
преломления возрастает с частотой, и добиться выполнения условия
n 2  n  невозможно. Поэтому в первых экспериментах по наблюдению
второй гармоники излучения рубинового лазера использовались тонкие
(100 мкм) слои кристалла и очень большие интенсивности входного излучения. Коэффициент  в этих экспериментах (1961 г.) составлял 1011
…10-12. Между тем условие n 2  n  выполнить вполне возможно, если
воспользоваться двулучепреломляющим кристаллом, у которого волны с
частотами  и 2 — разного типа (одна — обыкновенная, другая — необыкновенная). В качестве примера можно взять одноосный отрицательный кристалл. Зависимость показателя преломления необыкновенной
волны от угла  между направлением распространения и оптической
осью имеет вид
1
cos 2  sin 2 


n e2 ()
n 02
n e2
Если ne2ω < noω , то существует угол θm , при котором n e2 (m )  n 0 .
Таким образом, если основной пучок на частоте ω — это обыкновенная
волна, распространяющаяся вдоль направления θm, то пучок второй гармоники будет распространяться вдоль того же направления θm как необыкновенная волна (рис. 8.2).
Можно получить значение θm для данного одноосного отрицательного кристалла:
sin  m
2
 

n   n 
(n 0 ) 2  n 02
2  2
e
2
2  2
0
Очевидно, что выполнение условия n 2  n  очень критично к поляризации падающего излучения. Основной пучок в кристалле должен обладать поляризацией обыкновенной волны. Кроме того, можно указать
другие причины малого коэффициента преобразования во 2-ю гармонику
в экспериментах 1961 г.: работа в приближении плоской волны заставляет
добиваться очень больших превышений над порогом генерации («тянуть»
отношение Р А до безумно больших величин).
87
Рис. 8.2. Нормальные поверхности показателей преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей в одноосном отрицательном (ne<no) кристалле. Направление оптической оси совпадает с осью Z.
Значительно целесообразнее работать с фокусировкой входного
пучка (рис. 8.3)
Рис.8.3. Схема генерации второй гармоники при расположении нелинейного
кристалла вне резонатора с фокусировкой гауссова пучка: 1 — лазер, 2 — нелинейный
кристалл, 3 — линза.
В самом деле, допустим, что лазер, работающий на основной гарw 02 n
монике, излучает гауссов пучок с конфокальным параметром z 0 
(n

– показатель преломления активной среды в резонаторе). Если z 0 l (l –
оптическая длина преобразующего кристалла), то внутри кристалла поперечное сечение пучка можно считать постоянным.
Напомним, что физический смысл параметра zo есть расстояние от
перетяжки пучка до плоскости, где сечение пучка в 2 раза больше, чем в
перетяжке. Считая, что z » l, запишем:
P ( )

r
1 

E
e
0
2  0
2
2
w 02
dr 
 2 w 02
E0

4
Тогд) для эффективности преобразования можно записать:
3
   2 2 d 2 l 2
  2 
n3
 0 
Здесь n 3  n   n 2 .
2
88
2 k  l
 P ( )  sin 2


2 
k  l

w
0 

2
Выходная мощность во 2-й гармонике может быть увеличена за
счет уменьшения перетяжки wо. Это возможно до тех пор, пока zо не станет сравнимой с l. В случае, когда w 02 
l
(конфокальная фокусировка),
2n
дальнейшее увеличение η уже невозможно. Поэтому довольно быстро
стал применяться более радикальный способ увеличения η – помещение
нелинейного кристалла внутрь резонатора. В самом деле, внутри резонатора плотность мощности в 1  R 1 раз больше, чем снаружи. При R ~ 1
эта величина может быть сделана очень большой.
Рассмотрим для примера резонатор, в котором при данной скорости
накачки максимальная выходная мощность достигается при оптимальном
пропускании зеркала (полагая, что превышение не очень велико, что реализуемо в случае лазера на Nd:YAG). Заменим выходное зеркало глухим
(100% отражения) по отношению к излучению частоты ω, а в резонатор
поместим нелинейный кристалл (рисунок 8.4).
Рис. 8.4. Схема внутрирезонаторного преобразования основной частоты лазера
на Nd:YAG с помощью нелинейного кристалла BaNaNb5O15 с практически полным
подавлением основной гармоники в выходном излучении: 1 — активный элемент лазера; 2 — нелинейный.
Величина оптимального пропускания при небольших превышениях
дается формулой:
Tопт  G 0  
где Go – ненасыщенный однопроходный показатель усиления, β – распределенные однопроходные потери. Выходная мощность в этом случае равна

P0  I s A G 0  

2
где Ιs - интенсивность насыщения В силу предположения о полном преобразовании выходной энергии во 2-ю гармонику будем считать, что потери на зеркале полностью совпадают с коэффициентом преобразования:
 2 k  l 
sin
( )
2 d 2 l 2 
2 P


n 3  ( k  l ) 2  A
2


~ ~ ~ ()
(ω)
Обозначим множитель при Р как k : T  kP

~ P ( 2 )
T  ( )  2 
P
 0 
3
2
Подставляя, видим, что оптимальное преобразование во вторую
гармонику имеет место, если
~kP 
( )
опт
89
 G 0  
Суммарные однопроходные потери для основного излучения:

~
опт    kP ()

опт
 G 0
Заменяя выражение для β его оптимальным значением, получим:
 G0

(P ( ) ) опт  I s A 
 1

 
Соответственно для второй гармоники:

(P ( 2) ) опт  I s A G 0  

2
~
Можно выразить постоянную нелинейной связи k в оптимальном
случае:


~ ( )
kP
~

k опт  ( ) опт 
P опт I s A


~
~
Заметим, что k опт не зависит от накачки. Поскольку k зависит не
только от l, d и А , но и от фазового рассогласования Δk·l (т.е. от направления распространения волны относительно оптической оси кристалла),
~
можно менять k , изменяя ориентацию кристалла в резонаторе. Условие
Δk = 0 называется условием фазового синхронизма. Его выполнение является основной задачей при юстировке лазера с нелинейным преобразованием частоты.
Эффекты самовоздействия, параметрические эффекты и
вынужденное рассеяние. Самофокусировка луча. Оптическое
гетеродинирование и параметрическое усиление света. Вынужденное
рассеяние. Обращение волнового фронта. Динамическая голография
или
четырехволновое
взаимодействие.
Вынужденное
комбинационное рассеяние. Лазерное охлаждение
Наряду с появлением «лишних» частот в спектре сигнала,
проходящего через нелинейную среду, имеют место и эффекты
«самовоздействия» излучения, выражающиеся в том, что оптические
свойства среды изменяются по отношению к распространению самого
интенсивного сигнала. Для объяснения «самовоздействия» достаточно
представления поляризации в скалярном приближении:




P   0 (E  2 EE  3 E 2 E  ...)
Вклад в поляризуемость среды на
частоте ω дают первый и третий члены (линейная и кубичная
восприимчивость). Наличие члена с 3 эквивалентно появлению в ε(ω) и
n(ω) слагаемого, пропорционального E 02 , т.е.
n()  n 0  n 2 E 02
Иначе говоря, ограниченный интенсивный пучок света делает
среду оптически неоднородной. Но в таком случае на продольной
«виртуальной» (Е0 = 0) границе пучка возможно полное внутреннее
отражение – в том случае, если n2  0. Если, аналогично волоконной
оптике, ввести «угол скольжения» 0 , то условие полного отражения на
90
виртуальной границе можно записать как (n 0  n 2 E02 ) cos 0  n 0 (рис. 8.1). В
параксиальном приближении cos  0  1   0 2 , поэтому  02  2
2
n2 2
E0 .
n0
С другой стороны, факт ограниченности пучка по диаметру можно
трактовать как наличие диафрагмы, вызывающей дифракцию Френеля.
Пучок при этом расходится, и предельный угол отклонения от
оптической оси можно оценить как диф 

, где а – диаметр пучка.
a
Рис. 8.5. К оценке порога самофокусировки.
Самофокусировка вызывает сжатие пучка, а дифракция —
расширение. Следовательно, наблюдать самофокусировку можно только
при 0  диф , т.е. самофокусировка носит пороговый характер. Порог
самофокусировки оценивается в параксиальном приближении из условия
20 n 0
2
E 0 min 
2n 2
Отсюда по известному значению n2 для нелинейной среды можно
оценить минимальную мощность светового пучка, необходимую для
наблюдения самофокусировки. При Е0 = Е0min площадь сечения пучка при
распространении в среде остается постоянной, т.е. пучок сам себе
создает световод, в котором отсутствует дифракционная
расходимость. Такой режим естественно назвать самоканализацией
пучка. При Е0 > Е0min наблюдается самофокусировка, причем лучи
искривляются в сторону оптической оси, и эффект усугубляется. Среда
ведет себя как собирающая линза с переменным фокусным расстоянием
(рис.8.6).
Поскольку f ~ a E , искривление лучей по мере приближения к
0
оптической оси увеличивается. Следовательно, изменяя входную
интенсивность, можно управлять положением фокуса (приближать его к
месту входа пучка в среду). Это явление, наблюдавшееся
экспериментально при прохождении через среду мощных лазерных
импульсов (впервые в 1965 г. Н.М. Пилипецким и А.Р. Рустамовым в
сероуглероде в режиме свободной генерации рубинового лазера) было
образно названо А.М. Прохоровым «бегущим фокусом».
91
Рис. 8.6. К объяснению схлопа пучка.
Скорость перемещения фокуса в случае коротких импульсов может
быть сделана оценочно очень большой (вплоть до субсветовых
скоростей). Однако фактическое движение фокуса наблюдаемо в
относительно небольших пределах, поскольку при достижении значений
Е0, сопоставимых с внутриатомными (а это не так уж много — порядка
104 … 105 В/см), возникает пробой и разрушение среды в области фокуса.
Так что разогнать фокус при очень малых (фемтосекундных)
длительностях до сверхсветовых скоростей невозможно. Схлоп пучка, т.е.
пробой и разрушение среды произойдет гораздо раньше, чем разгон
фокуса до релятивистских скоростей.
Параметрическая генерация. Рассмотренный выше случай
генерации 2-й гармоники представляет собой частный случай
распространения в нелинейной среде двух волн с частотами 1 и 2 при
1 = 2. Если же 1  2, то, помимо основных и кратных частот, в
спектре вынужденных колебаний появляются суммарная и разностная
частоты. Такое взаимодействие можно трактовать как следствие
изменения оптических параметров среды под действием сильного поля
одной из волн (1). В результате возникает модуляция с частотой 1 фазы
второй волны (2), что эквивалентно появлению боковых компонент 1 2 и 1 + 2. Практический интерес процессов генерации суммарных и
разностных частот обусловлен тем, что при смешении излучения двух
лазеров в нелинейной среде получается когерентное излучение в новом
(отличном от 1 и 2 диапазоне спектра). Тем самым можно расширить
диапазон доступных источников когерентного излучения, не
разрабатывая целиком новых лазеров, т.е. не изыскивая новых
генерационных переходов. Такая параметрическая генерация получила
широкое распространение, начиная с 1962 г. Впервые такие лазеры были
созданы группой Е.М. Швома, одного из основоположников прикладной
нелинейной оптики и создателей НИИ «Полюс» — ведущего предприятия
в электронной промышленности СССР по лазерной технике.
Оптическое гетеродинирование и параметрическое усиление
света. Другое, не менее важное, применение нелинейного
преобразования частоты — это повышение чувствительности
фотоприемных устройств. При нелинейном взаимодействии сильного
92
1 и слабого 2 сигналов амплитуда сигнала разностной частоты
возрастает пропорционально корню из произведения амплитуд
каждого из сигналов. Если слабый сигнал 2 находится за пределами
чувствительности фотоприемного устройства, то путем увеличения
амплитуды сигнала 1 можно уверенно обнаружить 2 за счет
нелинейного взаимодействия. Такой метод регистрации слабых
сигналов был впервые предложен Форрестером (Forrester A.T.) в 1961 г. и
получил название оптического гетеродинирования, по аналогии с
радиодиапазоном. Справедливости ради следует отметить, что идея
оптического гетеродинирования была высказана значительно раньше
(Г.С. Горелик, 1947 г.), однако в то время экспериментальное
осуществление этой идеи не удалось, поскольку интенсивность
некогерентных источников оказалась недостаточной. Ситуация коренным
образом изменилась с появлением лазеров — Форрестер еще с 40-х годов
очень внимательно отнесся к идеям Горелика и немедленно по появлении
неон-гелиевых лазеров осуществил эксперимент по наблюдению
межмодовых биений с выделением разностной частоты сильной и слабой
мод. В нашей стране развитие методики оптического гетеродинирования
связано прежде всего с именами В.С. Летохова и В.П. Чеботаева, под
руководством которых было создано целое новое направление в науке —
нелинейная лазерная спектроскопия, а также Л.Н. Курбатова и В.Е. Зуева,
под руководством которых были проведены пионерские исследования в
части применения оптического гетеродинирования для целей локации и
связи.
Наряду с регистрацией слабых сигналов параметрику можно
использовать и для непосредственного усиления слабой волны 1 или 2
за счет перекачки энергии из сильной волны 3 . Впервые такой метод
параметрического усиления света был предложен С.А. Ахмановым и
Р.В. Хохловым в 1962 г. Взаимодействие сильной волны с частотой 3 и
слабой (сигнальной) волны с частотой 1 за счет квадратичной
восприимчивости 2
приведет к появлению в нелинейной
поляризуемости осцилляций на разностной частоте 2 = 3 - 1 . При
выполнении
векторного условия пространственного синхронизма

 
k 2  k 3  k1 вторичные волны с частотой 2, испускаемые в направлении

k 2 , складываются синфазно. В результате возникает резонансная
перекачка энергии. На квантовом языке параметрическое усиление
можно рассматривать как вынужденный распад фотона ħ3 на
фотоны ħ1 и ħ2. Соотношение 3 =  1 +2 в
таком процессе

выражает закон сохранения энергии, k 3  k1  k 2 - сохранения
импульса.
Одна из возможных схем параметрического генератора показана на
рисунке 8.7.
93
Рис. 8.7. Схема параметрического генератора: 1 - лазер накачки с удвоителем
частоты; 2 – нелинейный кристалл в оптическом резонаторе.
Нелинейный кристалл LiNbO3 (2) расположен в резонаторе как активный элемент. Для волн, распространяющихся в направлении оптической оси, выполняется условие пространственного синхронизма
k1o  k o2  k 3e . Зеркала М1 и М2 имеют высокие коэффициенты отражения для
частот 1 и 2. Зеркало М1 прозрачно для частоты 3 излучения накачки
(1). При достаточно большой мощности излучения накачки параметрическое усиление одной из волн 1 или 2 на длине нелинейного кристалла
превышает однопроходные потери, выполняя тем самым условие самовозбуждения. Поскольку в направлении, перпендикулярном плоскости
зеркал, выполняется условие фазового синхронизма, при небольшом изменении ориентации зеркал относительно оптической оси или других
управляющих воздействиях (наложении внешнего электрического или
магнитного поля, изменении температуры и т.п.) частоты 1 и 2 изменяются. Полоса перестройки определяется тем диапазоном, для которого
в данном нелинейном кристалле выполняется условие пространственного
синхронизма. Этот диапазон плавной перестройки обычно гораздо больше традиционного диапазона перестройки частоты генерации в пределах
одной линии рабочего перехода при изменении длины резонатора, поскольку частота 3 при этом остается постоянной. Заметим при этом, что
выполнение условия пространственного синхронизма для кристалла НК
накладывает жесткие требования к источнику накачки в части высокой
монохроматичности и малой пространственной расходимости. Смягчение
этих требований вызывает резкое возрастание пороговой мощности
накачки и снижение КПД.
Разработанные на основе высококачественных нелинейных кристаллов LiNbO3 (ниобат лития), Ba2NaNb5O15 («банан»), KDP (дигидрофосфат калия), ADP (дигидрофосфат аммония) параметрические генераторы света позволяют получать когерентное излучение с плавной перестройкой частоты при задающем лазере на второй гармонике Nd:YAG во
всем видимом и значительной части ИК диапазона спектра.
Вынужденное рассеяние. Еще один класс нелинейных явлений —
это процессы вынужденного рассеяния. Пусть в среде распространяется
упругая плоская монохроматическая волна с частотой Ω и волновым век
тором q . Ее фазовая скорость  q - это скорость звука v , определяемая
упругими характеристиками среды (модулем Юнга) и средней плотно94

стью ρ. Периодические изменения плотности   a cos(qr  t ) приводят к
пространственной модуляции показателя преломления среды δn ~ δρ , т.е.
создают фазовую дифракционную решетку. При падении монохромати
ческого света E 0 e i ( kr t ) на такую решетку появляется дифрагированная


 
волна E1e ( k r  t ) с волновым вектором k1  k  q и частотой 1     (если




угол между q и k острый). Если же угол между q и k тупой, то дифраги  
рованная волна характеризуется вектором k1  k  q и частотой 1     .
Если упругие волны обусловлены тепловым движением частиц среды (а
мы помним, что в конденсированных средах из-за сильной связи между
частицами среды тепловое движение можно рассматривать как совокупность всевозможных упругих волн, занимающих диапазон частот от нескольких герц до 1010…1011 Гц), то наблюдаемое на таких волнах рассеяние света называется рассеянием Мандельштама-Бриллюэна. Указанное рассеяние было предсказано теоретически независимо друг от друга
названными учеными и экспериментально открыто также независимо
друг от друга в 1928 г. Л.И. Мандельштамом и Г.С. Ландсбергом в СССР
и Раманом в Индии. Рассеяние Мандельштама-Бриллюэна можно трактовать как рассеяние фотона исходного пучка света на неоднородностях
среды с испусканием или поглощением
фонона – кванта упругих колеба
ний среды – с импульсом ħ k и энергией ħΩ. В элементарном акте рассеяния выполняются законы сохранения энергии и импульса:
1
1



ħ k  ħ q =ħ k 1 ;
ħω ± ħΩ = ħω1
Если упругие колебания возбуждаются независимо, то рассеяние
Мандельштама-Бриллюэна называется спонтанным, или классическим.
При этом вероятность испускания фонона и появления рассеянного фотона не зависит от интенсивности падающего излучения. Тем самым классическое МБ-рассеяние является линейным процессом.
Если же упругая волна в кристалле вызывается мощным лазерным
излучением, причем она когерентна падающей световой волне, то такое
рассеяние называется вынужденным рассеянием МандельштамаБриллюэна (ВРМБ). ВРМБ было открыто на опыте в 1964 г. Чиао, Таунсом и Стойчевым. Тогда же было установлено, что ВРМБ носит ярко выраженный пороговый характер и наблюдается только при превышении
некоторой критической интенсивности падающего света. Процесс ВРМБ
можно рассматривать как перекачку энергии от волны ω к волнам Ω и ωΩ, т.е. как аналог параметрического усиления. Волну Ω в этом случае
имеет смысл рассматривать как волну создаваемого светом давления,
распространяющуюся в том же направлении и с той же скоростью, что и
первичная упругая волна, благодаря которой возникла рассеянная световая волна. При достаточно большой интенсивности исходного пучка света, когда усиление для волн Ω и ω-Ω превысит потери, амплитуды этих
95
волн по мере распространения в среде будут возрастать. Поскольку, в отличие от классического РМБ, возникающее при ВРМБ излучение когерентно, можно обеспечить положительную обратную связь между усиливаемыми световой и упругой волнами.
Обращение волнового фронта (ОВФ). Если падающий первичный
пучок пространственно неоднороден, т.е. характеризуется неравномерным распределением интенсивности поперек оптической оси, то при
ВРМБ имеет место обращение волнового фронта (ОВФ), не имеющее
аналога в классической оптике. Схема эксперимента по наблюдению
ОВФ показана на рисунке 8.4.
Рис. 8.8.Схема эксперимента по наблюдению обращения волнового фронта.
Лазерный пучок проходит через делительное зеркало, отражающее
небольшую его часть на измерительную систему С1, регистрирующую угловое распределение интенсивности излучения в дальней зоне. Проходящая часть пучка попадает на фазовую пластинку П со случайными неоднородностями. Расходимость пучка при этом возрастает в десятки раз. Затем линза Л с большой апертурой, достаточной для того, чтобы перехватить весь пучок, направляет излучение в кювету К, заполненную сероуглеродом или метаном при высоком давлении. Рассеянный назад свет
отражается от делительного зеркала и регистрируется измерительной системой С2, аналогичной системе С1. Сравнение распределений, зарегистрированных системами С1 и С2, показало, что первоначально широкий
пучок рассеянного света после прохождения через те же оптические элементы в обратной последовательности становится столь же направленным, как и первоначальный лазерный пучок. Так происходит потому,
что волновой фронт излучения, рассеянного назад в нелинейной среде, в
точности воспроизводит сколь угодно сложную структуру волнового
фронта падающей волны, отличаясь лишь противоположным направлением распространения (уменьшение частоты на величину порядка
v
 , где
c
v - скорость звука, а с – скорость света, можно не принимать во внимание). эксперимент, осуществленный впервые С.А. Ахмановым и Р.В.
Хохловым, можно по научной значимости сравнить с первым наблюдением голографических картин. По образному выражению Р.В. Хохлова,
«кювету с рассеивающим веществом можно рассматривать как волшебное зеркало, изменяющее знак времени». Эффект обращения волнового
96
фронта уточняет представления о необратимых и обратимых оптических
явлениях. Информация о первоначальной структуре когерентного светового пучка не теряется при прохождении через фазовую пластинку.
Механизм вынужденного рассеяния обращает искаженный волновой
фронт с сохранением этой информации. При прохождении в обратном
направлении через ту же пластинку все внесенные ею искажения волнового фронта полностью компенсируются, и пучок восстанавливает свою
структуру, т.е. возвращается в исходное состояние, но обращенное во
времени.
С помощью обращения волнового фронта в нелинейной среде можно получить предельно малую расходимость излучения мощных лазеров с
оптически неоднородными активными средами. Случайные неоднородности активной среды искажают волновой фронт и ухудшают направленность выходного пучка. Воспользуемся описанным явлением для ликвидации этого ухудшения. Именно, пропустим пучок от задающего маломощного лазера через мощный оптический усилитель с такой случайнонеоднородной средой. После обращения волнового фронта в нелинейной
среде излучение вновь пропустим через тот же усилитель в противоположном направлении. При этом одновременно с дальнейшим увеличением интенсивности происходит компенсация искажений волнового фронта,
и выходящее излучение имеет направленность, аналогичную направленности пучка от задающего лазера (а в силу маломощности этот пучок легко сделать минимально, т.е. дифракционно расходящимся). Таким методом были получены рекордные по фокусировке в предельно малом объеме результаты концентрации мощного излучения.
Динамическая голография или четырехволновое взаимодействие.
Рассмотрим запись толстослойной голограммы.
Рис. 8.9. Запись толстослойной голограммы.
Обернем во времени картину распространения обеих световых волн
опорной и сигнальной. Интерференционная картина в среде фотопластинки при этом не изменится, так как в каждой точке среды сохранится
модуль разности фаз интерферирующих волн. Следовательно, ту же голограмму можно было записать с обеими волнами в обратных направлениях.
97
При воспроизведении голограммы направим опорную волну во
встречном направлении, тогда и восстановленная сигнальная волна изменит направление на противоположное.
Рис. 8.10. Воспроизведение толстослойной голограммы.
Если при записи голограммы была расходящаяся сигнальная волна,
то при воспроизведении получится сходящаяся волна. При воспроизведении произошло обращение волнового фронта волны.
В динамической голограмме одновременно присутствуют все четыре рассмотренные волны. По этой причине это явление называют еще четырехволновым взаимодействием. В этом случае запись и воспроизведение голограммы происходит одновременно.
Рис. 8.11. Схема динамической голографии.
Если в обычной голограмме запись происходит с помощью фотоматериала, то в динамической голограмме вместо фотоматериала используется нелинейная оптическая среда.
В любой прозрачной среде в сильном световом поле показатель
преломления изменяется. Если среда изотропная, то показатель прелом
ления не изменяется при изменении направления вещественного поля E
на противоположное. В таком случае разложение показателя преломления
в ряд Тейлора содержит только четные степени поля E . Обычно, рассматривая зависимость показателя преломления от светового поля, ограничиваются учетом только первой неисчезающей поправки:
n  n0  n2  E2 .
В динамической голограмме 1-я опорная и 2-я сигнальная световые
волны, взаимодействуя с нелинейной средой, изменяют ее показатель
преломления в соответствии с объемной интерференционной картиной. В
98
каждом плоском слое нелинейной среды интерференционные полосы изменения показателя преломления образуют фазовую дифракционную решетку. Опорная волна 3 дифрагирует на этой решетке, образуя сигнальную волну 4.
Поскольку все четыре волны присутствуют одновременно, любая из
двух сигнальных волн участвует в записи голограммы в паре с любой из
двух опорных волн. Происходит взаимная перекачка энергии между волнами. Из термодинамических соображений следует, что интенсивности
волн стремятся к выравниванию.
Вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР). Наряду с ВРМБ
в начале 60-х годов было открыто явление вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР). Аналогично ВРМБ, классический случай комбинационного рассеяния представляет собой появление в спектре рассеянного света линий, сдвинутых относительно частоты падающего излучения ω на частоту собственных колебаний молекул среды Ω. Само по
себе происхождение этих линий легко объяснить индуцированными падающим излучением осцилляциями дипольного момента молекул, в результате которых рассеянное излучение оказывается промодулированным
по частоте:
p   0 E   0 [ 0  (
) x ]E 
x 0
,
  0 ( 0  a cos t )E 0 cos t
где α - поляризуемость среды, меняющаяся по гармоническому закону с
частотой Ω при отклонении атомов в молекуле от равновесного положения по тому же закону x(t )  a cos t , μ = ( x) 0 — коэффициент, характеризующий изменение поляризуемости при смещении атомов из равновесного положения, α0 — поляризуемость в равновесной конфигурации.
В квантовых представлениях, стоксова компонента с частотой (ω –
Ω) возникает при уменьшении энергии фотона ħω на величину энергии
кванта колебаний молекулы ħΩ, антистоксова (ω + Ω) - при передаче
энергии кванта первоначально возбужденной молекулы излучению. В
классике интенсивность антистоксовой компоненты, пропорциональная
числу возбужденных молекул, много меньше интенсивности стоксовой,
поскольку соотношение числа возбужденных и невозбужденных молекул
в равновесии подчиняется формуле Больцмана exp(   k T) « 1.
Б
ВКР, в отличие от классики, также дает испускание стоксовой и антистоксовой спектральных компонент, но с вероятностью процесса, зависящей от интенсивности падающего излучения. Как и ВРМБ, ВКР возникает только при интенсивности падающего излучения, превышающей некоторую пороговую величину. При этом доля рассеянного излучения достигает десятков процентов (при 10-7 … 10-8 от интенсивности падающего
света в классическом случае). Как и полагается при нелинейных взаимодействиях, в рассеянном излучении наблюдаются не только частоты (ω ±
99
Ω), но и (ω ± 2Ω) и т.д. Рассеяние имеет четко выраженный направленный
характер. Это объясняется интерференцией вторичных волн, испускаемых диполями в различных точках рассеивающей среды, т.е. опять возникает условие фазового синхронизма.
Для стоксова излучения выполнение условия фазового синхронизма
наилучшим образом обеспечивается при совпадении направлений падающего и рассеянного излучения, поскольку при параллельности пучков
объем среды, где происходит их наложение, много больше, чем для
внеосевого направления. Для антистоксовой компоненты в среде с нормальной дисперсией условие фазового синхронизма наилучшим образом
выполняется в направлениях, составляющих небольшой угол с возбуждающим пучком (например, в нитробензоле для излучения рубинового
лазера этот угол составлял 30), поэтому при наблюдении ВКР возможно
пространственное разделение стоксовой и антистоксовой компонент при
сравнимых между собой интенсивностях. Интересно, что исторически
ВКР было обнаружено раньше, чем ВРМБ, поскольку оно обычно сопровождается другими нелинейными явлениями, благодаря которым порог
наблюдения понижается.
Лазерное охлаждение. Излучение лазера с частотой  пропускают
через кювету с газом, который имеет линию поглощения 21 . Свет частично поглощается средой, переводя атомы среды в возбужденное состояние. Некоторые атомы возвращаются на нижний уровень энергии в
результате спонтанного излучения, которое равновероятно происходит по
всем направлениям.
Рис. 8.12. Оптическая схема опыта по лазерному охлаждению.
Пусть частота излучения лазера меньше частоты поглощающего
перехода среды, но пусть разность частот не велика и имеет порядок доплеровской ширины kU спектральной линии поглощения. Здесь k 
волновое число, U 
2
—

2k B T
— наиболее вероятная скорость атомов газа.
m
Если после поглощения кванта света атомом газа безизлучательный
переход на другие уровни энергии атома маловероятен, то газ охлаждается.
100
Рассмотрим два эквивалентных объяснения этого явления: объяснение через рассмотрение импульса и объяснение через рассмотрение энергии.
Рассмотрение через импульс. Свет резонансно поглощается атомами, в системе отсчета которых частота света совпадает с частотой поглощающего перехода  21 . С учетом продольного эффекта Доплера частота света в системе отсчета атома  / отличается от частоты света  в
лабораторной системе отсчета:
/    kVz ,
где k 
2
— волновое число, Vz — проекция скорости атома на направ
ление лазерного луча.
Свет резонансно поглощается атомами, для которых
/  21
=>
  kVz  21
=>
Vz 
  21
0
k
Проекция скорости атомов на луч отрицательная, так как   21 по
условию эксперимента. Отрицательная проекция скорости означает, что
поглощающие свет атомы летят навстречу лучу.
Поглощенный фотон имеет импульс
p

,
c
который переходит к поглощающему свет атому.
При поглощении импульса фотона проекция скорости Vz атома на
луч уменьшается по модулю, так как атом летел навстречу поглощенному
фотону. Уменьшается импульс атома.
При излучении атом тоже испытывает отдачу от излучаемого фотона, но спонтанное излучение изотропно, поэтому при излучении фотона
импульс атома увеличивается и уменьшается равновероятно.
В среднем в результате каждого акта поглощения и спонтанного излучения импульс атома уменьшается. Кинетическая энергия связана с
импульсом атома соотношением E 
p2
, а энергия связана с температу2m
3
2
рой E  kT . Уменьшение импульса означает уменьшение энергии и
охлаждение.
Объяснение лазерного охлаждения через рассмотрение энергии.
По условию эксперимента частота падающего света  меньше частоты поглощающего перехода 21 , тогда   21 — получаемая атомом
энергия падающего фотона меньше энергии, которую атом теряет при
спонтанном излучении фотона.
Атом получает меньше энергии при поглощении, чем отдает при
излучении. Следовательно, среда теряет энергию и охлаждается.
Рассмотрим этот процесс чуть подробнее.
101
В своей собственной системе отсчета атом поглощает и излучает
свет одной и той же частоты  21 , но в лабораторной системе отсчета частоты оказываются разными.
Поглощают свет атомы, которые летят навстречу лучу. При переходе из лабораторной системы отсчета в систему отсчета атома частота поглощаемого света увеличивается от  до  21 . Спонтанное излучение света равновероятно по направлениям, поэтому доплеровский сдвиг излучаемого кванта при возвращении в лабораторную систему отсчета равновероятно увеличивает и уменьшает частоту света. В среднем при излучении
сдвига частоты нет.
Предел охлаждения определяется тем, что атом при поглощении
кванта света может остановиться, испытав отдачу от фотона. Тогда при
излучении атом снова испытает отдачу и вернется к прежнему значению
скорости. В таком случае охлаждения уже не будет.
Приравняем импульс фотона к импульсу атома
h

p  c
 p2
3

 k BT
 2m 2
=>
h 2 2
1
(K)
T

2
40000  A
3k B mc
здесь T — предел лазерного охлаждения в Кельвинах, A — вес атома в
атомных единицах.
2k B T 0.6
(м/с) — наиболее вероятная скорость при предель
m
A
ном охлаждении, выраженная в метрах в секунду; A — вес атома в атомV
ных единицах.
Дальнейшее охлаждение возможно по принципу открытого стакана
с водой. Открытый стакан с водой имеет температуру ниже комнатной
температуры, так как только молекулы с наибольшими энергиями способны преодолеть притяжение других молекул воды и вылететь с поверхности воды. При этом для остающихся в стакане молекул средняя энергия
уменьшается.
Роль стакана при лазерном охлаждении играет система потенциальных ям. Для создания системы потенциальных ям используются три пары
лазеров, которые светят навстречу друг другу по трем осям координат.
Каждая пара лазеров создает стоячую световую волну, в пучности которой втягиваются атомы. Излучение лазеров далеко отстоит по частоте от
линий поглощения атомов.
Втягивание атомов в пучность светового поля определяется тем, что
 
энергия диполя в электрическом поле W  p, E , где величина наведенно

го диполя p    E . Тогда энергия наведенного диполя W    E 2 . Сила,



действующая на диполь F  W    E 2 . Градиент направлен в сторону
увеличения поля E , то есть наведенные диполи втягиваются в световое
поле.
102
Три ортогональные стоячие волны образуют решетку из потенциальных ям. В этих ямах скапливаются охлажденные лазером атомы. В
каждой потенциальной яме остается много атомов. Атомы случайным образом сталкиваются, и когда один из них случайно получает достаточно
большую энергию, он вылетает из потенциальной ямы. Такие вылетевшие
атомы откачиваются насосом. По мере испарения горячих атомов из потенциальных ям оставшиеся атомы становятся все холоднее. Таким образом удается практически остановить атомы в потенциальных ямах и довести их тепловые скорости до единиц миллиметров в секунду.
Контрольные вопросы по теме:
1. Условие выполнения законов геометрической оптики?
2. Уравнение эйконала?
3. Принцип Ферма?
4. Какова природа миражей?
5. Что такое гомоцентрический пучок и апланатическое изображение?
6. Условие Аббе?
7. С помощью каких матриц рассчитываются оптические системы?
8. Что такое аберрации? Какие виды аберраций вы знаете?
9. Свойства гауссовых пучков?
10. Условие наблюдения нелинейных оптических эффектов?
11. Причина генерации оптических гармоник?
12. Самофокусировка луча причины возникновения?
13. Оптическое гетеродинирование и параметрическое усиление
света?
14. Вынужденное рассеяние?
15. Обращение волнового фронта?
16.
Динамическая
голография
или
четырехволновое
взаимодействие?
17. Вынужденное комбинационное рассеяние?
18. Лазерное охлаждение
Лекция 9
Тема 4. Квантовая оптика
Раздел 9.1. Тепловое излучение. Фотоэффект. Фотоны. Давление света. Эффект Комптона. Корпускулярно-волновой дуализм
электромагнитного излучения. Опыт Дэвиссона и Джермера.
Квантовой оптикой называют раздел оптики, занимающийся
изучением явлений, в которых проявляются квантовые свойства
света. К таким явлениям относятся: тепловое излучение, фотоэффект, эффект Комптона, излучение атомов и др.
103
Тепловое излучение.
Первый закон Кирхгофа. Излучение электромагнитных волн (свечение тел) может осуществляться за счет различных видов энергии. Самым распространенным является тепловое излучение, т.е. испускание
электромагнитных волн за счет внутренней энергии тел. Все остальные
виды свечения, возбуждаемые за счет любого вида энергии, кроме внутренней (тепловой), объединяются под общим названием люминесценция.
Тепловое излучение имеет место при любой температуре, однако,
при невысоких температурах излучаются практически лишь длинные
(инфракрасные) электромагнитные волны.
Рассмотрим замкнутую полость, стенки которой имеют температуру T (в ней могут находиться другие тела).
Благодаря излучению стенок полость заполнена электромагнитным
излучением со всевозможными направлениями распространения, поляризациями и частотами. В равновесном состоянии во всех точках полости
устанавливается одинаковая и неизменная плотность энергии излучения
u (T) , зависящая от температуры T. Более того, стационарность равновесного состояния подразумевает, что в каждой точке полости устанавливается одинаковое распределение энергии по спектру и изотропная направленность излучения, в том числе каждой спектральной составляющей.
Рис. 9.1. Модель теплового равновесного излучения.
Это позволяет ввести спектральную плотность энергии u  (, T) , так
что произведение u  (, T)d дает долю плотности энергии, приходящейся
на интервал частот d. Очевидно, между u (T) и u  (, T) существует следующая связь

u (T)   u  (, T) d .
0
Внутренняя энергия излучения связана с объемной плотностью соотношением: U  u(T)V .
Легко установить, что спектральная (и объемная) плотность энергии не зависит от свойств стенок полости и представляет собой универсальную функцию частоты и температуры (объемная плотность – только
температуры). Данное утверждение составляет содержание первого закона Кирхгофа.
Действительно, пусть две такие полости с разными материалами
стенок, но одинаковой температурой имеют хотя бы для одной частоты 
104
разные спектральные плотности. Тогда соединяя их с помощью отверстия
(возможно со встроенным светофильтром), мы получили бы сначала поток энергии от одной полости к другой при равенстве температур, а затем
от полости с более низкой температурой к полости с более высокой температурой, что запрещено принципами термодинамики.
Второй закон Кирхгофа. Поток энергии, испускаемой единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах телесного
угла 2), называют энергетической светимостью тела R (T) , которая зависит от температуры. Излучение состоит из волн различных частот . Обозначим через r (, T) спектральную плотность энергетической светимости
(испускательная способность) тела, так что произведение r (, T)d дает
долю излучаемой энергии, приходящейся на интервал частот d. Очевидно, между R (T) и r (, T) существует связь следующего вида

R (T)   r (, T) d .
0
Пусть на элементарную площадку поверхности тела падает поток
лучистой энергии d  , приходящийся на интервал частот d. Часть этого
потока d  будет поглощена телом. Безразмерная величина
a  (, T)  d d 
называется поглощательной способностью тела ( a  (, T)  1 ). Тело, полностью поглощающее упавшее на него излучение всех частот ( a  (, T)  1 )
называется абсолютно черным. Тело, для которого a  (, T)  A(T)  1,
называют серым.
Рис. 9.2. Поглощательные способности: 1 - абсолютно черное тело; 2 - серое
тело; 3 - реальное тело.
Абсолютно черных тел не существует. Сажа, например, имеет поглощательную способность a  (, T) , близкую к единице, лишь в очень
ограниченном интервале частот; в далекой инфракрасной области ее поглощательная способность заметно меньше единице. Реализовать абсолютно черное тело можно в виде полости с небольшим отверстием (рис.
9.3).
105
Рис. 9.3. Модель абсолютно черного тела.
Лучи попадающие через отверстие внутрь полости, в результате
многократных отражений на внутренних стенках полости практически
полностью поглощаются и не выходят наружу. Это обстоятельство
наглядно проявляется, например, при взгляде на открытые окна в доме,
которые в светлый день кажутся темными. Высокие поглощающие свойства сажи отчасти объясняются ее пористостью, благодаря чему падающий свет испытывает перед последним отражением несколько промежуточных. Излучение, исходящее из отверстия, в свою очередь, может рассматриваться как излучение абсолютно черного тела.
Рис. 9.4. Зависимость испускательную способности абсолютно черного тела от
длины волны.
Обозначим через r* (, T) испускательную способность абсолютно
черного тела. Согласно второму закону Кирхгофа между испускательной
и поглощательной способностью любого тела существует связь
r (, T)
 r* (, T) .
a  (, T)
Обосновать закон можно исходя из энергетического баланса на поверхности тела между падающим, отраженным и испущенным излучением. Этот баланс должен выполнятся не только в целом, но и в каждом
спектральном интервале.
Вследствие изотропии излучения, из каждой точки полости исходит
поток энергии, равномерно распределенный и равный в расчете на единицу телесного угла c u  (, T) 4 . На единицу площади поверхности полости за единицу времени под углом  к нормали в телесном угле
d  2 sin  d падает поток энергии (c 4) u  (, T) cos  d . Общее количество падающей энергии в единичном интервале частот равно.
106
2
1
1
2 c u  (, T)  sin  cos  d  4 c u  (, T) .
0
В результате отражения падающего излучения и собственного излучения
в полость с единичной поверхности тела идет поток энергии
1 cu (, T)   1  a (, T)   r (, T)
.
4



Так как тепловое равновесие не должно нарушаться, то между энергией
падающего и идущего от поверхности излучения должно выполняться равенство. На этом основании приходим ко второму закону Кирхгофа (9.5)
с установлением связи
r* (, T)  1 4 c u  (, T) .
Закон Стефана-Больцмана. Электромагнитным излучением переносится импульс. Если объемная плотность энергии плоской волны равна u,
то объемная плотность импульса p  u c . По этой причине равновесное
излучение оказывает давление на стенки полости. Нетрудно установить
(подсчитав импульс падающего и уходящего от стенки излучения), что
это давление не зависит от материала стенки и равно одной трети плотности энергии излучения
P  13 u(T) .
Используя термодинамическое соотношение
 U 
 P 

  T   P
 V  T
 T  V
и выражения (9.2) и (9.7), приходим к уравнению
4u(T)  Tu (T)
.
Интегрируя, получаем отсюда для объемной плотности энергии формулу
u (T ) 
4 4
T ,
c
а для энергетической светимости абсолютно черного тела выражение
R * (T)  T 4 .
Соотношение носит название закона Стефана-Больцмана, а константа
=5,67·10-8 Вт/(м2К4) – постоянной Стефана-Больцмана.
Для реальных тел закон Стефана-Больцмана выполняется лишь качественно, то есть с ростом температуры энергетические светимости всех
тел увеличиваются. Однако, для реальных тел зависимость энергетической светимости от температуры уже не описывается простым соотношением(9.9), а имеет вид
R  A T R * (T)  A T T 4
Коэффициент
AT
всегда
меньший
единицы,
можно
назвать интегральной поглощательной способностью тела. Значения AT ,
в общем случае зависящие от температуры, известны для многих технически важных материалов. Так, в достаточно широком диапазоне температур для металлов AT = 0,1 – 0,4, а для угля и окислов металлов AT =
0,5 – 0,9 .
107
Закон смещения Вина. Вин теоретически обосновал второй закон
черного излучения из общего характера функции r* (, T) . Он рассмотрел
процесс адиабатического сжатия излучения, заключенного внутри идеально зеркального сосуда. Принимая во внимание изменение частоты излучения при отражении от движущегося зеркала (эффект Доплера), Вин
пришел к выводу, что испускательная способность черного тела имеет
вид
r* (, T)  3 f ( T) .
Испускательная способностью r* (, T) , выраженная в шкале длин
волн, связана с r* (, T) , выраженной в шкале частот, формулой
r* (, T) 
2c *
r (2c  , T)
2
(ее легко установить из соотношений r* (, T)d  r* (, T)d и   2c  ).
Используя формулу, находим общий вид функции r* (, T)
r* (, T)  5 (T) .
Соотношение позволяет установить зависимость между длиной
волны  m , на которую приходится максимум функции r* (, T) , и температурой. Представим соотношение в виде r* (, T)  T 5 (T) . Из него с очевидностью вытекают два закона. Согласно первому – закону смещения
Вина
 m T  b1 ,
где b 1 – постоянная Вина.
Первый закон смещения Вина объясняет, почему при нагревании
тел они светятся сначала красным светом, переходя затем к белому калению
Согласно второму закону Вина максимум испускательной способности абсолютно черного тела возрастает пропорционально пятой степени абсолютной температуры.
max r*  T 5 (b1 )  b 2 T 5 .
Формула Рэлея-Джинса. С точки зрения электромагнитной теории
равновесное излучение в полости представляет собой систему стоячих
волн с разными частотами , направлениями распространения и поляризациями. Найдем число различных стоячих волн в единице объема с частотами в интервале от  до d. Допустим для простоты, что полость
представляет собой куб с ребрами длины l, ориентированными вдоль координатных осей (результат, очевидно, не должен зависеть от формы полости).
Уравнение стоячей волны имеет вид
E  A  sin(kr  ) ,
где E электрическое поле (аналогичное уравнение имеет место и для магнитного поля), k представляет собой волновой вектор, направление которого совпадает с направлением волны, а модуль равен k  2    c ,  –
108
начальная фаза, и A – амплитуда волны. Для поля должны выполняться
периодические граничные условия. Физически это связано с тем, что в зависимости отражающих свойств стенок на них должны находиться либо
узлы, либо пучности стоячих волн. Отсюда получаются условия
Частоты волн приk i l  2m i , i  x, y, z, m i  0,  1,  2, ... .
нимают, следовательно, квантованные значения
2c
2c
m
m 2x  m 2y  m 2z
l
l
Введем пространство чисел m x , m y , m z .

.
Рис. 9.5. Пространство чисел m x , m y , m z
Каждой частоте соответствует в этом пространстве точка. На каждую точку приходится куб, с объемом равным единице. Число точек в
сферическом слое с радиусом m и толщиной dm равно с большой точностью объему этого слоя 4m 2 dm . Учитывая две независимые поляризации
(на каждую точку приходится две волны), находим отсюда число стоячих
волн dn() в интервале частот от  до d
dn () 
l3
 2 d .
2 3
 c
Согласно закону равнораспределения энергии по степеням свободы
каждая колебательная степень свободы в состоянии равновесия имеет
энергию kT. Половина из которой приходится на электрическую, другая
на магнитную составляющую энергии волны. В результате получим
u  (, T) 
kT 2
 .
2c3
Это равенство называется формулой Рэлея-Джинса. Она дает достаточно
хорошее согласие с экспериментом при малых . При больших  спектральная плотность значительно превосходит наблюдаемую. Полная объемная плотность излучения имеет бесконечно большое значение u(T)   .
Этот недопустимый результат (равновесная величина u (T) имеет конечное значение) получил название ультрафиолетовой катастрофы.
Формула Планка. С классической точки зрения вывод формулы
Рэлея-Джинса является безупречным. В связи с этим возникла необходимость изменения некоторых положений классической теории.
В 1900 г. Планк предположил, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций, величина которых пропорциональна
частоте излучения
109
   .
Коэффициент пропорциональности  получил впоследствии название постоянной Планка. Если излучение испускается порциями  , то его энергия будет кратна этой величине
,
 n  n
где n – целое неотрицательное число.
В состоянии равновесия распределение энергии стоячей волны (моды колебаний) должно подчиняться распределению Больцмана. Вероятность того, что энергия моды колебаний имеет значение  n , определяется
выражением
Pn 
e  n kT
 e n kT
.
n
Тогда средняя энергия данной моды найдется как
   Pn  n
.
n
Проведя суммирование, получим
 

e
 kT
1
.
Заменив kT на выражение , приходим к формуле Планка
u  (, T) 
3
1
.
 2 c 3 e  kT  1
Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот и дает исчерпывающее описание равновесного излучения. При условии  kT  1 (малые частоты или большие длины волн) формула Планка переходит в формулу Рэлея-Джинса. С ее помощью можно также получить законы Стефана-Больцмана и Вина.
Оптическая пирометрия. Основываясь на законах теплового излучения, можно определять температуру раскаленных тел. Если испускающее тело является черным (или достаточно к нему приближается), то
для определения его температуры можно воспользоваться законами черного излучения. По существу для сильно нагретых тел этот метод является единственным, другие методы не работают при таких температурах.
1. Радиационная температура. Это температура черного тела Tp ,
при которой его энергетическая светимость равна энергетической светимости рассматриваемого тела r * (Tp )  r(T) . По закону Стефана-Больцмана
вычисляется температура Tp  4 r(T)  . Радиационная температура Tp
всегда меньше его истинной температуры T. Покажем это на примере серого тела. Для серого тела r(T)  a (T) r * (T) .
Учитывая r * (T)  T 4 , получаем: Tp  4 a (T) T .
Так как a (T)  1 , то Tp  T .
2. Цветовая температура. Для серых тел испускательная способность прямо пропорциональна испускательной способности черного тела.
110
Ее максимум, следовательно, приходится на ту же длину волны, что и для
черного тела. Зная длину волны  m соответствующую максимальной испускательной способности, можно определить температуру Tц  b1  m ,
которая называется цветовой температурой. Для серых тел цветовая температура совпадает с истинной. Так, для Солнца с учетом поправок на поглощение в земной атмосфере найдено  m  470 нм , что соответствует
Tц  6150 K . Для тел, которые сильно отличаются от серых (например, обладающих селективным поглощением), понятие цветовой температуры
теряет смысл.
3. Яркостная температура. Это температура черного тела Tя , при
которой для выделенной длины волны его испускательная способность
равна испускательной способности рассматриваемого тела, т.е.
r* (, Tя )  r (, T) ,
где T – истинная температура тела. По закону Кирхгофа
r (, T)
 r* (, T)
a  (, T)
.
Так как a  (, T)  1 , то из двух последних формул следует r* (, Tя )  r* (, T)
и, следовательно, Tя  T . Таким образом, истинная температура тела всегда выше яркостной.
В качестве яркостного пирометра обычно используется пирометр с
исчезающей нитью. Накал нити подбирается таким, чтобы изображение
нити пирометра стало неразличимым на фоне раскаленного тела, т.е. нить
как бы “исчезает”. Используя проградуированный по черному телу миллиамперметр, можно определить яркостную температуру. Зная поглощательную способность a  (, T) тела при той же длине волны, по яркостной
температуре можно определить истинную.
Фотоэффект. Фотоэлектрическим эффектом или фотоэффектом
называется испускание электронов веществом под действием света.
Принципиальная схема для исследования фотоэффекта приведена на рис.
9.6.
Рис. 9.6. Принципиальная схема для исследования фотоэффекта.
111
Два электрода (катод К из исследуемого материала и анод А) в вакуумной трубке подключены к батарее так, что с помощью потенциометра R можно не только изменять значение, но и знак подаваемого на них
напряжения. Ток, возникающий при освещении катода монохроматическим светом (через кварцевое окошко), измеряется включенным в цепь
миллиамперметром.
При изучении вольтамперных характеристик разнообразных материалов при различных частотах падающего на катод излучения и различных энергетических освещенностях катода были установлены следующие
три закона фотоэффекта.
Рис. 9.7. Вольтамперная кривая вакуумного диода.
Из вольтамперной кривой (рис. 9.7) видно, что при некотором
напряжении фототок достигает насыщения – все электроны, испущенные
катодом, попадают на анод. Таким образом,
I. При фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света (сила фототока насыщения пропорциональна энергетической освещенности E e катода).
Пологий ход кривой указывает на то, что электроны вылетают из
катода с различными скоростями. Для отсечки тока нужно приложить задерживающее напряжение U 0 . При таком напряжении ни одному из электронов, даже обладающему наибольшей при вылете скоростью v m , не
удается преодолеть задерживающее поле и достигнуть анода. Измерив
задерживающее напряжение U 0 , по формуле mv 2m 2  eU 0 можно определить максимальное значение скорости фотоэлектронов. Было выяснено:
II. Максимальная начальная скорость (максимальная кинетическая
энергия) фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а
определяется только его частотой .
III. Для каждого металла существует красная граница фотоэффекта,
т.е. минимальная частота 0 света (зависящая от химической природы
вещества и состояния его поверхности), ниже которой фотоэффект невозможен.
В 1905 г. А. Эйнштейн показал, что все закономерности фотоэффекта легко объяснить, если предположить, что свет поглощается такими
же порциями  (кванта ми), какими он, по предположению Планка, испускается. Энергия кванта, по предположению Эйнштейна, усваивается
112
электроном целиком. Часть этой энергии, равная работе выхода A, затрачивается на то, чтобы электрон мог покинуть тело. Остаток энергии переходит в кинетическую энергию электрона. По закону сохранения энергии
  A  1 2 mv 2m .
Уравнение называется уравнением Эйнштейна.
Уравнение Эйнштейна позволяет объяснить II и III законы фотоэффекта. Из уравнения следует, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно возрастает с увеличением частоты падающего излучения и не зависит от интенсивности последнего. В случае, когда работа выхода A превышает энергию кванта  , электроны не могут покинуть
металл. Следовательно, для возникновения фотоэффекта необходимо выполнения условия   A или   0  A  .
Частота 0 называется красной границей фотоэффекта.
Число высвобождаемых фотоэлектронов должно быть пропорционально числу падающих на поверхность квантов света. Вместе с тем
энергетическая освещенность E e определяется количеством квантов света, падающих на единицу поверхности в единицу времени. В соответствии с этим ток насыщения I m должен быть пропорционален освещенности поверхности I m  E e .
Эта зависимость также подтверждается экспериментально. Отметим, что
лишь малая часть квантов передает свою энергию фотоэлектронам. Энергия остальных кантов затрачивается на нагревание вещества.
Фотоны. Давление света. Чтобы объяснить распределение энергии
в спектре равновесного теплового излучения, достаточно допустить, что
свет только испускается порциями  . Для объяснения фотоэффекта достаточно предположить, что свет поглощается такими же порциями.
Эйнштейн пошел значительно дальше. Он выдвинул гипотезу, что свет и
распространяется в виде дискретных частиц. Впоследствии эти частицы
получили название фотонов.
Опыт Боте. Существование фотонов подтверждено экспериментально в опыте Боте. Он показал, что энергия рентгеновских лучей распространяется в виде порций в ту или иную сторону (а не во все стороны
одновременно как для электромагнитной волны). Опыт был выполнен
при помощи двух счетчиков СЛ и СП (рис. 9.8), достаточно чувствительных для того, чтобы зарегистрировать действие одного рентгеновского
кванта, и достаточно быстро отмечающих его появление. Тоненькая металлическая пленка Ф, освещаемая сбоку рентгеновскими лучами, сама
становилась источником рентгеновских лучей (рентгеновская флуоресценция). Два счетчика CЛ и CП расположены симметрично. Попадание
рентгеновского излучения в каждый из них вызывает немедленное срабатывание, что фиксируется на самописце. Опыт совершенно отчетливо обнаружил беспорядочность срабатываний счетчиков, т.е. доказал, что из Ф
летят кванты то в одну, то в другую сторону.
113
Рис. 9.8. Схема опыта Боте.
Так как фотон движется со скоростью света в любой инерциальной
системе отсчета, то он согласно принципам теории относительности не
обладает массой покоя. Энергия фотона определяется его частотой E  
.
Для частиц, не обладающих массой покоя, импульс связан с энергией соотношением p  E c . Для фотона получаем p  E c   c .
Поскольку фотоны обладают импульсом, то свет, падающий на тело, должен оказывать на него давление. Рассчитаем с точки зрения квантовой теории световое давление, оказываемое на поверхность тела потоком монохроматического излучения (частота ), падающего перпендикулярно поверхности. Если в единицу времени на единицу площади падает
N фотонов, то при коэффициенте отражения  света от поверхности N
фотонов отразится, а (1)N – поглотится. Каждый поглощенный фотон
передает поверхности импульс p   c , а каждый отраженный –
2p  2 c (при отражении импульс фотона меняет направление). Поэтому
давление света
P
2


N 
(1  ) N  (1  )
N
c
c
c
.
N  E e есть энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в
единицу времени, т.е. энергетической освещенности поверхности, а
E e c  w – объемная плотность энергии излучения. Поэтому
P
Ee
(1  )  w (1  ) .
c
Формула совпадает с выражением, получаемым из электромагнитной (волновой) теории Максвелла.
Эффект Комптона. Особенно отчетливо проявляются корпускулярные свойства света в явлении, которое получило название эффекта
Комптона. Исследуя рассеяние рентгеновских лучей различными веществами, он обнаружил, что в рассеянных лучах, наряду с излучением первоначальной длины  содержатся также лучи большей длины волны .
Разность  оказалась зависящей только от угла  между направлением первичного пучка и рассеянным излучением.
114
Рис. 9.9. Схема опыта Комптона.
Схема опыта Комптона показана на рис. 9.9. Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения направлялся на рассеивающее
вещество РВ. Спектральный состав рассеянного излучения исследовался
с помощью рентгеновского спектрографа, состоящего из кристалла Кр и
фотопластинки (или ионизационной камеры) Ф.
Эффект Комптона обусловлен упругим рассеянием рентгеновского
излучения на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, которое сопровождается увеличением длины волны. Этот эффект не укладывается в рамки волновой теории, согласно которой длина волны при
рассеянии изменяться не должна: под действием периодического поля
световой волны электрон колеблется с частотой поля и поэтому излучает
рассеянные волны той же частоты.
Все особенности эффекта Комптона можно объяснить на основе
квантовых представлений о природе света, рассматривая рассеяние как
упругое столкновение рентгеновских фотонов со свободными электронами. При столкновении фотон передает электрону часть энергии и импульса в соответствии с законами сохранения.
Рис. 9.10. Схема упругого столкновения двух частиц.
Рассмотрим упругое столкновение двух частиц (рис. 9.10) – налетающего фотона, обладающего импульсом p    c и энергией     , с
покоящимся свободным электроном (энергия покоя E 0  m 0 c 2 , m 0 – масса
покоя электрона). Согласно закону сохранения энергии
E 0     E   .
Согласно закону сохранения импульса
p   p  p .
В формулах p – импульс, а E  p 2 c 2  m 02 c 4 – энергия электрона после
115
столкновения,    – энергия, а p   c – импульс рассеянного фотона. Преобразуем закон сохранения импульса к виду
p 2  p 2  p2  2p  p
Подставив значения величин и обозначив через  угол рассеяния фотона
(рис. 9.11),
Рис. 9.11. Векторная диаграмма изменения импульсов.
получим
m 0 c 2    p 2 c 2  m 02 c 4   ,
2
  
  
p2  
 
  2 2  cos 
c
 c 
 c 
2
2
.
Решая совместно уравнения, получим
m0 c 2 (  )  (1  cos )
.
Поскольку   2c  и   2c  , получим
       C (1  cos ) ,
где  C  2 m 0 c называется комптоновской длиной волны рассматриваемой частицы, в данном случае электрона. Для электрона  C  0,0243 Е .
Как эффект Комптона, так и фотоэффект обусловлены взаимодействием фотонов с электронами. В первом случае фотон рассеивается, во втором – поглощается. Рассеяние происходит при взаимодействии фотона со свободным или связанным электроном, а фотоэффект – со связанным электроном. Можно показать, что при столкновении фотона со свободным электроном не может произойти поглощение фотона, так как этот процесс противоречит законам сохранения энергии и импульса. Поэтому при взаимодействии фотонов со
свободными электронами может наблюдаться только их рассеяние,
т.е. эффект Комптона.
Корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного излучения. Рассмотренные явления – излучение черного тела, фотоэффект, эффект Комптона – свидетельствуют о квантовых (корпускулярных) свойствах света, т.е. свет представляет собой поток световых частиц – фотонов. С другой стороны, такие явления, как интерференция, дифракция и
поляризация света, свидетельствуют о волновой природе света. Таким
образом, электромагнитное излучение проявляет, казалось бы, взаимоисключающие свойства – свойства волны (непрерывность) и свойства частиц (дискретность).
116
Ранее были получены соотношения, связывающие корпускулярные
свойства электромагнитного излучения (энергия и импульс фотона) с
волновыми свойствами (частота и длина волны).
В 1924 г французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую
гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер. Согласно гипотезе де Бройля каждая материальная
частица обладает волновыми свойствами, причем соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения. Напомним, что
энергия E и импульс p фотона связаны с круговой частотой ω и длиной
волны λ соотношениями
E   , p   c  2   h  .
Свет, обладая одновременно корпускулярными и волновыми
свойствами, обнаруживает определенные закономерности в их проявлении. Так, волновые свойства света проявляются в процессах,
связанных с его распространением: интерференции, дифракции, поляризации, а корпускулярные – в процессах взаимодействия света с
веществом. Чем больше длина волны, тем меньше энергия и импульс
фотона и в меньшей степени проявляются квантовые свойства света
(с эти связано, например, существование красной границы фотоэффекта). Наоборот, чем меньше длина волны, тем больше энергия и
импульс фотона и в меньшей степени проявляются волновые свойства света (например, дифракция рентгеновского излучения обнаружена лишь при использовании в качестве дифракционной решетки
кристаллов).
С помощью вероятностной (статистической) интерпретации волновой функции можно устранить противоречие между двумя – корпускулярным и волновым – способами описания излучения. Рассмотрим с обеих точек зрения освещенность какой-либо поверхности. Согласно волновым представлениям освещенность в некоторой точке поверхности пропорциональна квадрату светового вектора. С корпускулярной точки зрения освещенность пропорциональна плотности потока фотонов. Следовательно, между квадратом светового вектора и плотностью потока фотонов имеется прямая пропорциональность. Примем, что квадрат светового
вектора определяет вероятность попадания фотона в данную точку поверхности
dP ~ E 2 dS .
Таким путем устанавливается взаимосвязь двух способов описания.
Последовательный подход требует отказа от точки зрения на микрочастицу как частицу, движущуюся по определенной траектории и имеющей определенные динамические характеристики. В то же время ее
нельзя отождествить с волной или волновым пакетом. Микрочастица является новым – квантовым объектом: при распространении она как бы
растворена в некоторой пространственной области, при взаимодействии
117
она коллапсирует и проявляет себя целиком. В настоящее время принята
точка зрения, согласно которой не существует какого-либо механизма,
предопределяющего место и время проявления частицы. Иными словами
вероятностный характер поведения является изначальным, внутренним
свойством микрочастиц.
Экспериментальные подтверждения гипотезы де Бройля. Критерием истинности любой физической теории, любой гипотезы всегда является эксперимент. Необходимость экспериментальной проверки гипотезы де Бройля была тем более актуальна, что, во-первых, эта гипотеза
касалась глубинных, фундаментальных свойств материи, а во-вторых,
наличие у частиц волновых свойств не соответствовало традиционным
представлениям классической физики.
Первые экспериментальные исследования, подтвердившие волновую природу частиц, были выполнены американскими физиками К. Дэвиссоном и Л. Джермером, а также независимо английским физиком Дж.
П. Томсоном в 1927 г. В этих работах использовалась дифракция электронов на кристаллической решетке. Прежде чем перейти к подробному
описанию этих экспериментов, отметим следующее. Как уже обсуждалось выше, дебройлевская длина волны электрона при не очень большом
значении ускоряющей разности потенциалов (~100 В) по порядку величины составляет 10-10 м. Этот же порядок величины характерен для расстояния между атомными плоскостями в кристалле. Поэтому, так же, как
и в случае рентгеновских лучей, кристалл может играть роль дифракционной решетки для электронных волн.
Рассмотрим дифракцию электронов на совершенном кристалле, т.е.
кристалле, обладающем идеальной, без каких-либо нарушений кристаллической решеткой. Электроны с дебройлевской длиной волны λS могут
дифрагировать на различных атомных плоскостях (рис.9.12а), выбор которых осуществляется взаимной ориентацией падающего пучка электронов и рассеивающего кристалла. Пусть электроны падают на кристалл
под углом скольжения θ по отношению к рассеивающему семейству
плоскостей. Для простоты рассмотрим симметричный случай (рис. 9.12б),
когда поверхность кристалла С параллельна рассеивающим плоскостям,
хотя на практике это условие далеко не всегда выполняется. Тогда угол
θ будет углом скольжения, под которым электроны падают на поверхность кристалла, а угол β = π - 2θ - углом между падающим и дифрагировавшим пучками электронов.
Теоретический анализ дифракции электронов на кристаллах во
многом аналогичен случаю рентгеновских лучей. При значении угла θ ,
удовлетворяющем условию Брэгга-Вульфа
2dsinθS = nλS
возникает интенсивный дифракционный максимум отраженной волны.
Здесь θS - брэгговский угол, d - расстояние между отражающими плос118
костями (постоянная решетки кристалла), n - целое число, принимающее
значения 1, 2, 3, ... , называемое порядком отражения.
Рис. 9.12. Дифракцию электронов на совершенном кристалле.
Физический смысл условия Брэгга - Вульфа достаточно прозрачен:
дифракционный максимум появляется в тех случаях, когда разность хода
волн, отраженных от соседних атомных плоскостей, равна целому числу
длин волн де Бройля. Именно в этом случае отраженные волны усиливают друг друга, т.е. имеет место конструктивная интерференция.
Отметим, что условие Брэгга - Вульфа получено без учета преломления электронных волн в кристалле. С учетом преломления условие
Брэгга-Вульфа принимает вид:
2d(ne2-cos2θS)1/2 = nλS
где ne - показатель преломления электронных волн.
Опыт Дэвиссона и Джермера. Дэвиссон и Джермер исследовали
дифракцию электронов на монокристалле никеля, кристаллическая структура которого была известна из опытов по дифракции рентгеновских лучей. Схема их эксперимента представлена на рис. 9.13 .
Электроны от электронной пушки S , прошедшие ускоряющую разность потенциалов U , падали нормально на сошлифованную поверхность
кристалла никеля C . С помощью детектора D исследовалось число электронов, отраженных от кристалла под углом β при различных значениях
U. Напомним, что разным значениям U , согласно, соответствуют разные
дебройлевские длины волн электронов.
Рис. 9.13. Схема их эксперимента Дэвиссона и Джермера.
119
Кристаллическая решетка играла роль объемной отражательной
дифракционной решетки, и с точки зрения гипотезы де Бройля увеличение амплитуды отраженной волны при выполнении условия БрэггаВульфа означало существенный рост вероятности отражения электронов,
что и привело к увеличению числа отраженных от кристалла электронов.
Результаты экспериментальных исследований Дэвиссона и Джермера представлены на рис. 9.14, где приведены полярные диаграммы интенсивности отраженных электронов при нескольких значениях ускоряющей разности потенциалов U . При U = 44 В (рис. 9.14а) дифракционный максимум под углом β = 500 только начинает формироваться, при
U = 54 В (рис. 9.14в) он достигает максимальной интенсивности, а при
дальнейшем возрастании U (рис. 9.14г, д) опять ослабляется вплоть до
полного исчезновения.
В опытах Дэвиссона и Джермера максимальное отражение электронов наблюдалось при ускоряющей разности потенциалов U= 54 В, что соответствует дебройлевской длине волны:
 
2
2m e eU
 0,167 нм
Длина волны, определяемая из условия Брэгга-Вульфа для постоянной решетки никеля d=2,15·10-10 м равнялась λS = 0,165 нм. Это совпадение экспериментальных и расчетных значений λS служит подтверждением
гипотезы де Бройля о наличии у частиц волновых свойств.
Рис. 9.14. Результаты экспериментальных исследований Дэвиссона и Джермера
Дэвиссоном и Джермером была также измерена интенсивность дифрагировавших электронов при фиксированном угле отражения β (постоянном угле скольжения θS) в зависимости от ускоряющей разности потенциалов U. Результаты этого опыта приведены на рис. 9.15 .
Рис. 9.15. Зависимость интенсивности дифрагировавших электронов при фиксированном угле отражения β (постоянном угле скольжения θS) в зависимости от
ускоряющей разности потенциалов U.
120
Наблюдаемые на эксперименте максимумы отражения отстоят друг
от друга на равном по шкале U1/2 расстоянии, что подтверждается и в теории. Действительно, поскольку   
2
2m e eU
Брэгга-Вульфа, получаем:
2d sin  S  n
то, пользуясь условием
2
2m e eU n
где Un - ускоряющая разность потенциалов, отвечающая n -му порядку
отражения, а me - масса электрона. Таким образом, связь между
Un и n имеет вид:
Un 

d sin  S 2em e
n  const  n
что и свидетельствует об эквидистантности максимумов отражения в зависимости от величины U1/2.
Различие теории и эксперимента в этом опыте заключалось в том,
что положения дифракционных максимумов, наблюдаемых на эксперименте, не совпадали с положениями максимумов, определяемых из условия Брэгга-Вульфа и показанных на рис. вертикальными стрелками. Особенно заметным это различие было для небольших значений n, т.е. для
небольшой величины ускоряющей разности потенциалов Un . Причина
такого расхождения теории и эксперимента состоит в том, что условие
Брэгга-Вульфа не учитывает преломление электронных волн в металле.
Лекция 10
Раздел 10.1. Теория атома водорода по Бору. Опыт Франка и
Герца.Теория водородоподобного атома по Бору. Элементы квантовой механики. Принцип неопределенности. Уравнение Шредингера.
Модели атома Томсона и Резерфорда. Первая попытка создания
на основе накопленных экспериментальных данных модели атома принадлежит Дж. Дж. Томсону. Согласно этой модели, атом представляет
собой равномерно заполненный положительным электричеством шар радиусом порядка 10–10 м, внутри которого находится электрон. Суммарный
положительный заряд шара равен заряду электрона, так что атом в целом
нейтрален. В дальнейшем выяснилась несостоятельность этой модели.
Резерфорд, исследуя прохождение -частиц через вещество (тонкие
фольги толщиной примерно 1 мкм), установил, что основная их часть испытывает незначительные отклонения, но некоторые -частицы (примерно одна из 20000) значительно отклоняются от первоначального направления (углы отклонения достигали даже 180). Альфа-частицы возникают
при ядерных превращениях и являются ядрами атомов гелия: зарядом 2e
и массой примерно 7300me. Скорости -частиц при некоторых превращениях бывают порядка 107 м/с. Так как электроны не могут существенно
изменить движение столь тяжелых и быстрых частиц, то столь сильное
121
отклонение -частиц возможно только в том случае, если внутри атома
имеется чрезвычайно сильное электрическое поле, которое создается зарядом, имеющим большую массу и сконцентрированном в очень малом
объеме. Основываясь на этом выводе, Резерфорд предложил ядерную
(планетарную) модель атома. Согласно этой модели в центре атома расположено тяжелое положительное ядро с зарядом Ze, вокруг которого по
замкнутым орбитам движутся Z электронов. Ядро имеет размеры, не превышающие 10–14 м, и в котором сконцентрирована практически вся масса
атома.
Однако с самого начала ядерная модель оказалась в противоречии с
законами классической механики и электродинамики. Электрон в атоме
движется с ускорением и согласно классической электродинамике он
должен непрерывно излучать электромагнитные волны. Излучение
уменьшает энергию электрона, так что он должен достаточно быстро
упасть на ядро. Этот результат не соответствует действительности, так
как атом является устойчивым образованием. Преодоление возникших
трудностей привело к созданию качественно новой – квантовой – теории
атома.
Спектр атома водорода. Исследования спектров излучения разреженных газов (т.е. спектров излучения отдельных атомов) показали, что
каждому газу соответствует определенный линейчатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий или групп близко расположенных
линий. Самым изученным является спектр наиболее простого атома – водорода рис. 10.1.
Рис. 10.1. Спектр атома водорода.
Швейцарский ученый И. Бальмер подобрал эмпирическую формулу, описывающую все известные в то время спектральные линии атома
водорода в видимой области спектра
1
1 
 1
 R  2  2  (n  3, 4, 5, ... ) ,

n 
2
где R1,10107 м–1 – постоянная Ридберга. Так как   2c  , то формулу
можно записать в виде
1 
 1
  R  2  2  (n  3, 4, 5, ... ) ,
n 
2
где R2cR2,071016 рад/с – называется также постоянной Ридберга.
Спектральные линии, отличающиеся значениями n, образуют группу линий, называемой серией Бальмера. С увеличением n линии серии
сближаются; значение n определяют границу серии, к которой со сто122
роны больших частот примыкает сплошной спектр. В дальнейшем в спектре атома водорода было обнаружено еще несколько серий. В ультрафиолетовой области спектра находится серия Лаймана
1 
1
  R  2  2  (n  2, 3, 4, ... )
n 
1
.
В инфракрасной области были также обнаружены серия Пашена
1 
 1
  R  2  2  (n  4, 5, 6, ... )
n 
3
,
серия Брэкета и др. Все приведенные выше серии в спектре водорода могут быть описаны одной формулой, называемой обобщенной формулой
Бальмера
1 
 1
  R 2  2  ,
n 
m
где m  1, 2, 3, ... определяет серию, n  m  1, m  2, ... определяет отдельные
линии серии.
Функциональный вид сериальных формул, которые сводятся к одной обобщенной формуле, свидетельствует о наличии закономерности,
объяснить которую в рамках классической физики оказалось невозможным.
Постулаты Бора. Опыты Франка и Герца. Первая попытка создать
новую – квантовую – теорию ядра была осуществлена Н. Бором. Он поставил цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер
излучения и поглощения света. В основу новой теории Бор положил три
постулата:
Электрон в атоме может двигаться только по определенным стационарным орбитам, каждой из которых можно приписать определенный
номер n=1,2,3,… . Такое движение соответствует стационарному состоянию атома с неизменной полной энергией En . Это означает, что движущийся по стационарной замкнутой орбите электрон, вопреки законам
классической электродинамики, не излучает энергии.
2. При переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую
излучается (поглощается) один фотон с энергией (рис. 10.2)
  E n  E m ,
где E n и E m – соответственно энергии стационарных состояний атома до
и после излучения (поглощения). Набор возможных дискретных частот
  (E n  E m )  квантовых переходов и определяет линейчатый спектр
атома.
3. Разрешенными стационарными орбитами являются только те, для
которых угловой момент импульса L электрона равен целому кратному
величины постоянной Планка ħ. Поэтому для n -ой стационарной орбиты
выполняется условие квантования
L  n, n  1,2,...
123
Рис. 10.2. Схема орбит по Бору.
Опыт Франка и Герца. Существование дискретных энергетических уровней атома подтверждается опытами Франка и Герца. Схема их
установки приведена на рис. 10.3.
Рис. 10.3. Схема установки Франка и Герца.
В трубке, заполненной парами ртути под небольшим давлением (~1
мм рт. ст.), имелись три электрода: катод К, сетка С и анод А. Термоэлектроны, вылетевшие из катода, ускорялись разностью потенциалов U, приложенной между катодом и сеткой. Между сеткой и анодом создавалось
слабое электрическое поле (разность потенциалов порядка 0,5 В), тормозившее движение электронов к аноду. В опыте исследовалась зависимость силы тока I в цепи анода от напряжения U между катодом и сеткой.
Характерная для таких опытов вольтамперная характеристика приведена
на рис. 10.4.
Ход кривой можно объяснить следующим образом. При столкновении электрона с атомами ртути возможно взаимодействие двух типов: 1)
упругое столкновение, в результате которого энергия электронов
практически не изменяется, изменяется только направление движения; 2) неупругое столкновение электрона с атомом ртути. При этом
энергия электронов уменьшается, за счет передачи ее атому ртути.
В соответствии с постулатами Бора атом ртути может поглотить
энергию в виде порции E   и перейти в возбужденное состояние на
выше расположенный энергетический уровень. Первому возбужденному
состоянию атома ртути соответствует энергия 4,9 эВ. При U < 4,9 В электроны испытывают только упругое взаимодействие с атомами ртути и,
поэтому, с увеличением напряжения анодный ток возрастает.
124
Рис. 10.4. Зависимость силы тока I в цепи анода от напряжения U между катодом и сеткой.
При достижении U  4,9 В энергия электронов сравнивается с энергией первого возбужденного уровня атома ртути. Происходят неупругие
столкновения электронов с атомами ртути, которые получают порцию
энергии E    4,9 эВ и переходят в возбужденное состояние. Электрон, потерявший энергию, не может преодолеть задерживающий потенциал. Поэтому при U  4,9 В происходит уменьшение анодного тока.
Аналогичное явление наблюдается при U  2÷4,9 В, U  3÷4,9
когда электроны могут испытывать два, три и т.д. неупругих столкновений с атомами ртути. Потеряв всю (или почти всю) энергию, электрон не
сможет достичь анода, задерживающее поле отбросит его к сетке. В результате наблюдается падение тока при этих напряжениях и общий пилообразный ход вольтамперной характеристики.
Атомы паров ртути, получив энергию от электронов, переходят в
возбужденное состояние, из которого спустя 10–8 с самопроизвольно возвращаются в основное состояние. При этом должен излучается фотон с
длинной волны 255 нм. В опыте действительно обнаруживается одна
ультрафиолетовая линия с такой длиной волны. Таким образом, опыты
Франка и Герца экспериментально подтверждают постулаты Бора.
Теория водородоподобного атома по Бору. Постулаты Бора позволяют рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных ионов,
состоящих из ядра Ze и одного электрона, и теоретически вычислить постоянную Ридберга.
Рассмотрим движение электрона в поле атомного ядра. Уравнение
движения электрона имеет вид:
v2
Ze2
me

r
4 0 r 2
Исключив v из уравнений L=mvr=ħn (n=1,2…) и (10.5), получим выражение для радиусов допустимых орбит:
4 0  2 2
rn 
n
m e Ze2
(n  1, 2, 3, ... ) .
Для атома водорода (Z1) радиус первой орбиты называется боровским
радиусом. Его значение равно
rB 
4 0  2
 0,529 Е .
mee2
125
Полная энергия электрона в водородоподобном атоме складывается
из его кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия с
ядром
E
m2v2
Ze2
1 Ze2


2
4 0 r
2 4 0 r
Учитывая квантование радиусов, получим, что энергия электрона принимает дискретные значения
En  
1 Z2 mee4
n 2 32 2  2  02
(n  1, 2, 3, ... )
.
Для водорода
En  
1 mee4
13,6
  2 эВ (n  1, 2, 3, ... )
2
2 2 2
n 32   0
n
Согласно второму постулату Бора при переходе атома водорода из
состояния n в состояние m излучается фотон (рис. 10.5)
Рис. 10.5. Схема энергетических уровней атома водорода.
  E n  E m  
mee4
32 2  2  02
1 
 1
 2  2 ,
m 
n
откуда частота излучения
n ,m 
mee4
32 2  3  02
1 
1 
 1
 1
 2  2 R  2  2 .
n 
n 
m
m
Таким образом, теория Бора приводит к обобщенной формуле
Бальмера, причем для постоянной Ридберга получилось значение
R  m e e 4 (32 2  3  02 ) . При подстановке в это выражение значений универсальных постоянных получается величина, превосходно согласующаяся с
экспериментальным значением постоянной Ридберга.
Теория Бора была крупным шагом в развитии теории атома. Она
отчетливо показала, что процессы в микромире описываются не классическими, а иными, квантовыми законами.
Элементы квантовой механики.
Волновые свойства вещества. В результате развития представлений о природе света выяснился его двойственный характер (дуализм).
126
Одни явления могут быть объяснены в предположении, согласно которому свет представляет собой поток частиц – фотонов (фотоэффект, эффект
Комптона). Другие – в предположении, согласно которому свет является
волной (интерференция, дифракция).
В 1924 г. Луи де Бройль, предполагая наличие в природе симметрии, выдвинул гипотезу, что дуализм не является особенностью одного
света, что он свойственен всей материи (электронам и любым другим частицам). Согласно де Бройлю, с каждой микрочастицей связывается, с
одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия E и импульс p,
а с другой стороны – волновые характеристики – частота  и волновой
вектор k ( k  2  ). Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые характеристики, принимаются для частиц такими
же, как для фотонов
E   , p  k .
Гипотеза де Бройля вскоре была подтверждена экспериментально.
Дэвиссон и Джермер исследовали в 1927 г. отражение электронов от монокристалла никеля, принадлежащего к кубической системе. Рассеяние
электронов проявляет отчетливый дифракционный характер. Положение
дифракционных максимумов соответствовало формуле Вульфа-Брегга.
В дальнейшем идея де Бройля была подтверждена опытами Г. Томсона и П.С.Тартаковского. В опытах пучок электронов, ускоренный электрическим полем, проходил через тонкую металлическую фольгу и попадал на фотопластинку. Полученная таким образом картина сопоставлялась с полученной в аналогичных условиях рентгенограммой. В результате было установлено полное сходство двух картин.
Так как дифракционная картина исследовалась для потока электронов, необходимо было доказать, что волновые свойства связаны с электроном, а не являются коллективным эффектом. Это экспериментально
установил В.А.Фабрикант. Он показал, что и в случае слабого электрического пучка, когда каждый электрон проходит прибор поодиночке, дифракционная картина при достаточной экспозиции ничем не отличается
от картины, какая наблюдается при обычной интенсивности пучка.
Гипотеза де Бройля и ее экспериментальное подтверждение требует
качественно нового взгляда на природу микрочастиц – микрочастицу
нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании.
Необычные свойства микрочастиц можно понять, если предположить, что вакуум является особым состоянием материи, а микрочастицы ее относительно неустойчивыми локальными состояниями.
Неустойчивым в том смысле, что микрочастица регулярно растворяется в
вакууме и через мгновенье вновь возникает где-то рядом. Аналогией вакууму может служить насыщенный раствор какого-либо вещества, а микрочастице имеющиеся в растворе кристаллики этого вещества. В состоянии динамического равновесия кристаллики в растворе хаотично растворяются и возникают. На характер растворения-возникновения микроча127
стицы влияет ее окружение. Несмотря на сложность и элемент случайности всего происходящего, поведение микрочастицы, как выяснится позже,
можно успешно описать с помощью так называемой волновой функции.
Принцип неопределенности. В классической механике состояние
материальной точки определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т.д. Перечисленные величины называются динамическими
переменными. Так как микрочастица не является частицей в классическом понимании, то ей, строго говоря, не могут быть приписаны указанные динамические переменные.
Данное обстоятельство проявляется в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определенные значения. Так, например,
электрон не может иметь одновременно точных значений координаты x и
компоненты импульса p x . Неопределенности значений x и p x удовлетворяют соотношению:
x  p x   .
Соотношение, аналогичное (10.12), имеет место и для y и p y , для z
и p z , а также для ряда других пар величин (называемых канонически сопряженными). Соотношение (10.12) и подобные ему называются соотношением неопределенностей Гейзенберга. Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенностей: E  t   .
Это соотношение означает, что если время перехода системы из одного
состояния в другое характеризуется временем t, то неопределенность
энергии системы равна E ~  t . Процесс измерения энергии сопровождается изменением состояния. Поэтому, неопределенность результата измерения E связана с длительностью измерения t (т.е. временем перехода системы из одного состояния в другое) соотношением ( E  t   ).
Соотношение неопределенностей вытекает из волновых свойств
микрочастиц (строгий формальный расчет лежит вне рамок данного курса). Поясним его на следующем примере.
Пусть поток электронов проходит через узкую щель шириной x,
расположенную перпендикулярно к направлению их движения (рис.
10.6). При прохождении электронов за щелью наблюдается дифракционная картина, как в случае плоской световой волны. Основная доля электронов приходится на область центрального максимума.
Рис. 10.6. Иллюстрация принципа неопределенности.
128
До прохождения электроны двигались вдоль оси y, поэтому p x  0 ,
а координата являлась совершенно неопределенной. Прохождение щели
сопровождается изменением состояния электрона. В новом состоянии неопределенность положения по оси x задается шириной щели. Вследствие
дифракции частица будет обладать импульсом, распределенным с близкими вероятностями в пределах угла 2, где  – угол, соответствующий
первому дифракционному минимуму. Таким образом, появляется неопределенность
p x  p sin  .
Первому минимуму при дифракции от щели соответствуют угол , для
которого
,
x  sin   
где  длина волны де Бройля. Отсюда получается соотношение:
x  p x ~ 2 .
Строгий вывод соотношения неопределенностей, сделанный в 1927
г. Гейзенбергом дает следующую формулу:


x  p x  2

y  p  
y

2

z  p  
z

2


E  t 
2

.
Основные понятия квантовой механики. Экспериментальное
подтверждение идеи де Бройля об универсальности корпускулярноволнового дуализма стимулировали развитие квантовой теории, которое
привело к созданию законченной теории.
Прежде всего, следует дать физическую интерпретацию волн де
Бройля. С этой целью сравним дифракцию световых волн и микрочастиц.
Дифракционная картина световых волн образуется в результате интерференции вторичных волн. В свете волновых представлений, интенсивность
дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой
волны. По представлениям корпускулярной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной
картины. Если принять, что число фотонов в данном месте (а для одного
фотона вероятность обнаружения) пропорционально квадрату светового
вектора, то два способа описания становятся согласованными и дополняющими друг друга.
Дифракционная картина для микрочастиц имеет сходный вид с дифракционной картиной световых волн. Наличие максимумов с точки зрения волновой теории соответствуют наибольшей интенсивности волн де
Бройля. Интенсивность волн де Бройля коррелирует с числом частиц в
данной точке пространства. Таким образом, напрашивается вероятност129
ная, как для световых волн, трактовка волн де Бройля: вероятность обнаружения микрочастицы пропорциональна интенсивности волны де Бройля (квадрату модуля волновой функции).
Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц
является принципиальным положением квантовой теории. Постулируется, что состояние квантовой системы может быть максимально полно
описано с помощью волновой функции, в общем случае комплексной. В
случае микрочастицы, не имеющей внутренних степеней свободы, эта
функция имеет вид (t, x, y, z) . Вероятность dP обнаружения микрочастицы в пределах объема dV:
dP ~ |  | 2 dV   *  dV .
В квантовой механике принимается, что волновые функции, отличающиеся только множителем, описывают одно и то же состояние. Это обстоятельство позволяет ввести условие нормировки на пси-функцию
*
.
   dV  1 .
Для нормированной пси-функции квадрат ее модуля дает плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства:
dP  |  | 2 dV   *  dV .
По своему смыслу, волновая функция должна удовлетворять ряду
так называемых стандартных условий. Она должна быть однозначной,
непрерывной (вероятность не может изменяться скачком), конечной (требование условия нормировки). Подобные условия накладываются и на
производные волновой функции.
Одним из основных положений квантовой механики является принцип суперпозиции состояний. Если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями 1 , 2 , …, n , то она также
может находиться в состоянии:
   C n n ,
n
где C n – произвольные комплексные числа.
Волновая функция  содержит в себе полную информацию о микрообъекте. Поэтому, зная , можно вычислить вероятности значений, которые получаются при измерении какой-либо физической величины (а
значит и их средние) в этом состоянии. Например, среднее значение координаты x вычисляется по формуле:
 x    x |  | 2 dV .
В квантовой механике принимается, что измерение физической величины q даст некоторое значение q n . Совокупность или спектр возможных значений q n называются собственными значениями величины q.
Обозначим волновую функцию системы в состоянии, в котором величина
q всегда имеет определенное значение q n , через n . Волновые функции
n называются собственными функциями данной величины q. Каждая из
этих функций предполагается нормированной
130
   dV  1 .
*
n
n
Если система находится в некотором произвольном состоянии с
волновой функцией , то в соответствии с принципом суперпозиции, она
должна представлять собой комбинацию собственных функций. Утверждается, что квадраты модулей C n дают вероятности того, что при измерении будет получено соответствующее значение величины q n . Последовательно рассуждая, можно установить, что собственные функции взаимно ортогональны
*
.
 m n dV   mn
Зная вероятности различных значений величины q, ее среднее значение в
состоянии  вычисляется по формуле:
 q   | C n |2 q n .
n
В квантовой механике вводится понятие оператора. Так называется
математическая операция, с помощью которой одной функции ставится в
соответствие другая

   Q
,

где Q – символическое обозначение операции (оператора). Оператор физической величины определяется посредством соотношений:

Q n  q n n (для всех n),
где q n –собственное значение q. Свойство ортогональности собственных
функций позволяет записать:

 q     * Q dV
.
Формула (10.15) является выражением такого типа. Можно доказать, что

оператор Q является эрмитовым

 *
*
  Q dV   (Q)  dV .
Уравнение Шредингера. Состояние микрообъекта или какой-либо
квантово-механической системы в результате внутренних и внешних взаимодействий с течением временем меняется. Это символически можно
выразить с помощью
оператора эволюции

(t  t )  U(t  t, t )(t ) .
При t  0 ничего не должно произойти,
так как мы вправе ожидать плав
ных изменений. Таким образом U(t, t )  1 . Кроме того, можно предполо
жить, что при малых t U(t  t, t ) отличается от единичного оператора на
величину, пропорциональную t, так что можно записать:

i 
U( t, t  t )  1  H t .

Множитель  i  выделяется по историческим причинам. Подставляя в

этот вид U(t  t, t ) приходим к операторному уравнению
 
i
 H .
t
131

Оператор H носит название гамильтониана системы. В соответствии со
своим смыслом, нормировка волновой функции не меняется со временем.
Исходя из этого, можно показать, что гамильтониан является эрмитовым
оператором. Возникает задача определения гамильтониана.
Для начала рассмотрим свободно движущуюся частицу, имеющей
импульс p и энергию E  p 2 2m . Согласно де Бройлю ей сопоставляется
плоская волна Aei(t kx) . Если учесть, что   E  и k  p  , то волновая
функция частицы выглядит как
  Ae(i  )( Et px) .
В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус. Поскольку физический смысл имеет только |  | 2 , то это оказывается несущественным. Из данного вида волновой функции можно получить соотношения
 2
1

i
  E ; 2   2 p 2  .
t

x

Откуда, используя связь между энергией и импульсом частицы, получим
уравнение
i

2 2

.
t
2m x 2
Если частица движется в силовом поле, обладающем потенциальной энергией U, то полная энергия E  p 2 2m  U . Проводя аналогичные
рассуждения, приходим к уравнению Шредингера
i

2

  U ,
t
2m
где  – оператор Лапласа (    2 x 2   2 y 2   2 z 2 ). Приведенные рассуждения не есть вывод уравнения Шредингера. Они поясняют, каким
путем уравнение могло быть получено. Уравнение Шредингера, как основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, постулируется.
Уравнение является общим уравнением Шредингера. Если силовое
поле, в котором движется частица, стационарно U  U(x, y, z) , то в этом
случае решение уравнения Шредингера распадается на два множителя
,
(t, x, y, z)  (x, y, z)e i ( E  ) t
где E имеет смысл полной энергии частицы. Подставив это выражение в у
равнение Шредингера и после несложных преобразований, придем к
дифференциальному уравнению для 
2
2m

  U  E,   2 E - U    0
2m

.
Это уравнение называется уравнением Шредингера для стационарных состояний (или просто уравнением Шредингера).
Уравнение Шредингера позволяет найти пси-функцию данного состояния и, следовательно, получить полную информацию о системе. В
уравнении Шредингера в качестве параметра входит полная энергия E ча132
стицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения этого вида имеют решения, удовлетворяющие стандартным и граничным условиям, не при любых значениях параметра, а лишь для некоторых из них. Эти значения называются собственными значениями гамильтониана (энергии). Решения, соответствующие собственным значениям E, называются собственными функциями гамильтониана.
Таким образом, квантование энергии является следствием основных
положений квантовой механики. Нахождение собственных значений и
собственных функций, как правило, является нетривиальной математической задачей.
Лекция 11
Раздел 11.1. Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками. Туннельный эффект. Гармонический осциллятор. Атом водорода. Квантовые числа и их физический смысл. Правило отбора. Вырожденные состояния.
Спин электрона. Принцип тождественность частиц. Принцип Паули.
Атомные оболочки. Таблица Менделеева. Рентгеновские спектры.
Оптические спектры. Атом во внешнем магнитном поле . Эффект Зеемана.
Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками. Рассмотрим одномерный случай. Потенциальная энергия имеет вид
, x  0 ,

U( x )  0, 0  x  a ,
, x  a ,

где a– ширина ямы, а энергия отсчитывается от ее дна.
Рис. 11.1. Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишется в виде:
 2  2m

( E  U )  0 .
x 2  2
По условию задачи (бесконечно высокие стенки), частица не проникает за
пределы ямы, поэтому вероятность ее обнаружения за пределами ямы
равна нулю. Следовательно, на границах ямы волновая функция должна
обращаться в ноль
(0)  (a )  0 .
В пределах ямы ( 0  x  a ) уравнение Шредингера сводится к уравнению
133
 2  2m

E  0 .
x 2  2
Общее решение уравнения имеет вид
(x)  A sin(kx  )
,
где k 2  2mE  2 , A и  – произвольные постоянные.
Граничные условия будут выполнены при   0 и ka  n , где n – целое число. Отсюда следует, что энергия частицы принимает квантованные значения
En 
2 2 2
n
2ma 2
(n  1, 2, 3, ... )
.
Значения энергии E n называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым
числом.
Рис. 11.2. Возможные значения полной энергии частицы.
Поскольку частица в потенциальной яме находится в связанном состоянии то можно сделать вывод. В связанном состоянии частица обладает дискретным спектром энергий.
Следует отметить, что минимальное значение энергии частицы,
находящейся в основном состоянии, отлично от нуля. Этот результат согласуется с соотношением неопределенностей и является общим для всех
задач квантовой механики. В классической механике минимальную энергию, равную нулю, имеет покоящаяся в яме частица. Такого состояния
покоя у квантовой частицы не существует. Обсудим подробнее вопрос о
дискретности энергетического спектра. Разность энергий n -го и n+1-го
энергетических уровней ∆En равна:
E n  E n 1  E n 
2 2
(2n  1)
2m 0 a 2
.
Оценим величину ∆En для конкретного случая. Рассмотрим молекулу газа массой m0 ≈ 10-27 кг в сосуде размером a ≈ 0,1 м. При этом
∆En ≈ 6,8·10-20·n эВ.
Энергетическое расстояние между соседними уровнями оказывается столь малым по сравнению с энергией теплового хаотического движения молекулы kT (при комнатной температуре kT ≈ 2,6·10-2 эВ), что
практически можно говорить о сплошном энергетическом спектре движущейся молекулы.
Собственные волновые функции частицы имеют вид
134
 n ( x )  A sin
n
x
a
.
Постоянная A найдется из условия нормировки
l
A 2  sin 2
0
n
x dx  1
a
.
В результате интегрирования получим A  2 a , а собственные волновые
функции будут иметь вид (рис. 11.3)
 n (x) 
2
n
sin
x
a
a
(n  1, 2, 3, ... )
Рис. 11.3. Вид волновых функций соответствующих разным энергетическим
уровням.
На рис. 11.4 представлены графики квадрата модуля волновой
функции |Ψn(x)|2 , определяющего плотность вероятности нахождения частицы в яме.
Рис. 11.4. Графики квадрата модуля волновой функции |Ψn(x)|2 , определяющего плотность вероятности нахождения частицы в яме.
Плотность вероятности оказывается существенно различной для
разных состояний частицы, т.е. для разных значений квантового числа n.
Так, например, в основном состоянии, т.е. при n = 1 , частица с наибольшей вероятностью находится в центре ямы, а в первом возбужденном состоянии, т.е. при n = 2 , вероятность обнаружить частицу в центре ямы
равна нулю, хотя пребывание частицы в левой и правой половинах ямы
равновероятно. Такое поведение кардинально отличается от поведения в
яме классической частицы, для которой плотность вероятности нахождения частицы одинакова в любой точке ямы.
С увеличением же энергии (т. е. с ростом квантового числа п) максимумы распределения ψ2n(х) располагаются все ближе друг к другу. При
135
очень больших значениях п картина распределения ψ2n(х) практически
«сливается» и представляется равномерным — частица начинает вести
себя совсем «как классическая».
Вероятность того, что частица в яме находится в области x1 ≤x ≤
x2 , определяется выражением:
P
2
x2
  (x)
n
dx
x1
Отметим, что с математической точки зрения задача о движении
частицы в одномерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками
аналогична задаче о колебании струны с закрепленными концами. И в
том, и в другом случае из граничных условий следует, что на ширине ямы
(на длине струны) должно укладываться целое число полуволн a =
n·(λ/2) . В нашем случае λ - это дебройлевская длина волны частицы в
яме .
Туннельный эффект. Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы для одномерного (по оси x) движения частицы
, x  0 ,

U ( x )   U, 0  x  a ,
, x  a ,

Рис. 11.5. Потенциальный барьер прямоугольной формы для одномерного (по
оси x) движения частицы.
Классическая частица, обладая энергией E, либо беспрепятственно
пройдет над барьером (при E  U ), либо отразится от него (при E  U ),
т.е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микрочастицы же, даже
при E  U , имеется отличная от нуля вероятность отразиться от барьера.
При E  U имеется также отличная от нуля вероятность прохождения частицей барьера. Подобные выводы следуют из решения уравнения Шредингера.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний для каждой из
выделенной на рис. области имеет вид
для областей 1, 3
для области 2
 2  1,3
x
2
 k 2  1,3  0 , k 2  2mE  2 ,
 2
 q 2  2  0 , q 2  2m(E  U)  2 .
2
x
2
Общее решение этих дифференциальных уравнений
136
1 (x)  A1e ikx  B1e ikx (для области 1);
 2 (x)  A 2 e iqx  B 2 e iqx (для области 2);
 3 (x)  A 3 e ikx  B3 e ikx (для области 3) .
В выражениях для областей 1 и 3 (k – действительное число) первый член представляет собой правую плоскую волну (соответствует частице, движущейся в положительном направлении x), а второй – левую
волну (соответствует частице, движущейся в отрицательном направлении
x). Коэффициент B 3 следует положить равным нулю, поскольку из физического смысла в области 3 имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо. Интерес представляет случай,
когда полная энергия частицы меньше высоты барьера, поскольку при
E  U законы классической физики не разрешают частице проникнуть через барьер. В этом случае q  i , где   2m(E  U)  , является чисто
мнимым числом.
Качественный характер функций ψ1(x), ψ2(x) и ψ3(x) иллюстрируется на рис. откуда следует, что волновая функция не равна нулю и внутри
барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид
волн де Бройля с тем же импульсом, т. е. с той же частотой, но с меньшей
амплитудой. Следовательно, получили, что частица имеет отличную от
нуля вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной
ширины.
Туннельный эффект — специфически квантовое явление, не имеющее аналога в классической физике (где такого в принципе не может
быть). Этим эффектом объясняются многие физические явления; например, холодная эмиссия электронов из металлов, альфа-распад, спонтанное
деление ядер и др.
Рис. 11.6. Поведение волновой функции вне и внутри потенциального барьера.
Для описания туннельного эффекта вводится понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера. Он равен отношению плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих
D  | A 3 | 2 | A1 | 2 .
Условие непрерывности волновой функции и ее производных позволяют найти связь между коэффициентами в уравнениях и определить
137
коэффициент прозрачности. Для малых значений коэффициента получается зависимость
 2

D  D 0 exp  
2m( U  E) a 
 

где D 0 – постоянный множитель, близкий к единице.
Для потенциального барьера произвольной формы, в квазиклассическом приближении (достаточно плавный профиль потенциальной кривой), получается формула
 2 x2

D  D 0 exp    2m( U  E) dx  ,
 x

1


где U  U(x) , U(x1 )  U(x 2 )  E .
С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при E  U невозможно, так как, находясь в области барьера, она обладала бы отрицательной кинетической энергией. Т.е. туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом, не имеющий аналога в классической механике.
Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники являются примерами классических осцилляторов. Потенциальная энергия гармонического осциллятора определяется выражением:
U  m2 x 2 2 ,
где  – собственная частота колебаний осциллятора, m – масса частицы.
Амплитуда колебаний классического осциллятора x m определяется его
полной энергией E. Классическая частица совершает движение в пределах (  x m ,  x m ).
Рис. 11.7. Параболическая потенциальная яма.
Стационарные состояния квантового осциллятора определяются
уравнением Шредингера
 2  2m 
m 2 x 2


E

2
x 2
 2 

  0 ,

где E – полная энергия осциллятора. Уравнение имеет конечные и непрерывные решения при собственных значениях энергии
E n  (n  1 2) (n  0,1, 2, ... ) .
Уровни энергии гармонического осциллятора являются равноотстоящими друг от друга. Наименьшее возможное значение энергии равно
138
E 0  1 2  . Это значение называется энергией нулевых колебаний. Суще-
ствование минимальной энергии является типичной для квантовых систем и представляет прямое следствие соотношения неопределенностей.
Квантовая механика позволяет вычислить вероятности переходов из
одного состояния в другое. Вычисления показывают, что для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними уровнями. При таких переходах квантовое число n изменяется на единицу
n  1 .
Условие на возможные переходы называется правилом отбора. Таким образом, энергия гармонического осциллятора может изменяться только
порциями  .
Графики волновых функций для значений квантового числа n от 0
до 5 представлены на рис. 11.8. Отрезок [-a0,a0] определяет область, в которой совершал бы колебания классический осциллятор. Ширина этой
области оказывается различной для разных значений квантового числа n,
поскольку энергия осциллятора, а, следовательно, и амплитуда его колебаний также зависят от n .
Вне классической области [-a0,a0] волновые функции Ψn отличны
от нуля, что свидетельствует о том, что квантовый гармонический осциллятор с определенной вероятностью может находиться вне пределов параболической потенциальной ямы.
Рис. 11.8. Вид волновых функций при небольших значениях n.
При малых значениях квантового числа n плотность вероятности
нахождения частицы, определяемая квадратом модуля волновой функции
|Ψn(x)|2 , кардинальным образом отличается от плотности вероятности обнаружения классического осциллятора.
Рис. 11.9. При n=10 функция Ψn(x)|2 приближается к классической кривой
распределения.
139
При значительной величине квантового числа n , например, при
n=10 функция Ψn(x)|2 приближается к классической кривой распределения. Она достигает максимума вблизи точек поворота и резко спадает вне
классической области движения (рис.11.9). При n→∞ кривая вероятности
Ψn(x)|2, как того и требует принцип соответствия, переходит в классическую функцию распределения плотности вероятности.
Отметим, что модель гармонического осциллятора и связанная с
ним задача о движении частицы в параболической потенциальной яме является идеализацией, справедливой лишь при малых отклонениях колеблющейся частицы от положения равновесия. Во всех реальных ситуациях
потенциальная энергия U(x) частицы, совершающей колебания около положения равновесия, имеет более сложный по сравнению вид. Поэтому
при возрастании амплитуды колебаний, начиная с некоторых значений
амплитуд, движение частицы будет все больше отличаться от гармонических колебаний. Такое движение называют ангармоническим движением,
а соответствующий осциллятор - ангармоническим осциллятором. Однако в случае малых колебаний влияние энгармонизма ничтожно мало, что
позволяет использовать модель гармонического осциллятора для описания колебательного движения квантово-механических систем.
Атом водорода. Рассмотрим систему, состоящую из неподвижного
ядра с зарядом Ze и движущегося вокруг него электрона. При Z  1 система представляет собой атом водорода, при Z  1– водородоподобный ион.
Рис. 11.10. Потенциальная яма для водородоподобного атома.
Потенциальная энергия электрона равна
Ze2
U
.
r
Следовательно, уравнение Шредингера имеет вид
 
2m e
2

Ze2 
 E 
  0 .
r 

Поле, в котором движется электрон, является центральносимметричным, т. е. зависит только от r. Поэтому решение уравнения
наиболее целесообразно проводить в сферической системе координат
2
r,θ,φ, где оператор Лапласа  имеет следующий вид:
2 
2 2 
1 
 
1
2


sin




  r 2 sin 2   2
r 2 r r r 2 sin  
140
Не будем воспроизводить здесь этапы решения уравнения, поскольку оно слишком громоздко. Остановимся лишь на сути процесса решения
и на анализе окончательных результатов. Решение уравнения проводят
методом разделения переменных с учетом естественных требований,
налагаемых на ψ-функцию: она должна быть однозначной, конечной, непрерывной и гладкой. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что решения уравнения являются непрерывными, однозначными и
конечными в следующих случаях:
- при любых положительных непрерывных значениях энергии;
- при дискретных отрицательных значениях энергии.
Первый случай соответствует свободному электрону (заштрихованная область на рис. 11.10, второй — получаемым из уравнения Шредингера собственным значениям энергии.
1 Z2mee4
(n  1, 2, 3, ... ) .
n 2 32 2  2  02
Случай E  0 соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра,
т.е. свободному электрону. Случай E  0 соответствует электрону, двиEn  
жущемуся вблизи ядра, т.е. связанному электрону. Самый нижний уровень E 1 , отвечающий минимально возможной энергии, называется основным, все остальные – возбужденными. Таким образом, квантование энергии атома является следствием теории, в отличие от теории Бора, в которой квантование вводилось как постулат.
Собственные функции уравнения, представленные в сферической
системе координат, содержат три целочисленных параметра: главное число n, орбитальное число l и магнитное число m
   nlm (r, , ) .
Выпишем нормированные волновые функции    nlm (r, , ) для ряда квантовых состояний водородоподобных атомов (рис. 11.11).
Состояние
1
0
0
2
0
0
2
1
0
2
1
+1
2
1
-1
Рис. 11.11. Нормированные волновые функции    nlm (r, , ) для ряда квантовых состояний водородоподобных атомов.
141
На рис.11.12 для некоторых квантовых состояний атома водорода,
описываемых найденными волновыми функциями, показана радиальная
электронная плотность вероятности в виде "облака", густота которого в
разных точках пространства пропорциональна этой плотности вероятности. Именно так, в виде облака плотности вероятности может быть представлен образ атома в квантовой теории.
Рис. 11.12. Радиальная электронная плотность вероятности в виде "облака", густота которого в разных точках пространства пропорциональна
этой плотности вероятности.
Квантовые числа и их физический смысл:
1. Главное квантовое число n определяет энергетический уровень
электрона в атоме и может принимать любые положительные целочисленные значения.
2. Орбитальное квантовое число l определяет орбитальный момент импульса электрона. Согласно законам квантовой механики момент
импульса квантуется по правилу
L l   l(l  1) .
При заданном n орбитальное число может принимать значения
l  0,1, ..., n  1 .
Так как движущийся вокруг ядра электрон является заряженной частицей, то такое движение обуславливает протекание некоторого замкнутого тока в атоме, который можно охарактеризовать орбитальным маг
нитным моментом p M .
В теории Бора, когда с позиции классической теории рассматривается круговое движение электрона по орбите радиуса r со скоростью v,
величина орбитального механического момента равна L =m0vr . Если
время полного оборота электрона T , то такому движению соответствует
замкнутый ток
i
e
e

T 2r
где: e – заряд электрона, T – период обращения электрона, который
можно охарактеризовать величиной магнитного момента
p M  ir 2 
evr
2
142
Связь механического и магнитного моментов при этом определяется гиромагнитным отношением
0 
pM
e

L 2m 0
Так как заряд электрона отрицателен, то для орбитального движе
ния направление вектора магнитного момента p M противоположно

направлению вектора механического момента импульса L (рис. 11.13).
Точный квантовомеханический расчет гиромагнитного отношения
также приводит к формуле (11.22).

Рис. 11.13. Направление вектора магнитного момента p M противоположно

направлению вектора механического момента импульса L .
Итак, в любом квантовом состоянии атом водорода обладает не
только механическим моментом L, но и магнитным моментом.
p M  0 L   з (  1)
Здесь универсальная постоянная
з 
e
 0,927  10 23 €с/Т
2m 0
служит единицей измерения магнитных моментов атомов и называется магнетоном Бора.
Правило отбора. Если атом переходит из одного квантового состояния в другое с испусканием (поглощением) фотона излучения, то
возможны лишь такие переходы, для которых орбитальное квантовое
число ℓ изменяется на единицу. Это правило, согласно которому для оптических переходов ∆ℓ = ±1 , называется правилом отбора. Наличие такого правила отбора обусловлено тем, что электромагнитное излучение (фотон) уносит или вносит не только квант энергии, но и вполне
определенный момент импульса, изменяющий орбитальное квантовое число для электрона всегда на единицу.
3. Магнитное квантовое число m определяет ориентацию орбитального момента в пространстве. Согласно законам квантовой механики
величина проекции момента на некоторое направление z принимает дискретные значения L lz  m , где m – магнитное квантовое число, которое
m  0,  1,  2, ... ,  l .
при заданном l может принимать значения
Таким образом, вектор момента импульса электрона в атоме может иметь
в пространстве 2l  1 возможных ориентаций.
143
С точки зрения классического представления
об электронной орби
те, с учетом перпендикулярности вектора L к плоскости орбиты, наблюдаются дискретные расположения электронных орбит в пространстве по
отношению к направлению внешнего поля (рис. 11.14).
Рис. 11.14. Возможные дискретные расположения электронных орбит в пространстве по отношению к направлению внешнего поля.
Отмеченная выше связь механического и магнитного моментов
атома позволяет записать также возможные значения проекции магнитного момента атома на выделенное направление Z :
pМ
Z  0 L Z  m Б
зависящие от значения магнитного квантового числа m.
Вырожденные состояния. Энергия электрона зависит только от
главного квантового числа n. Каждому собственному значению энергии
E n (кроме E 1 ) соответствует несколько собственных функций  nlm , отличающихся значениями квантовых чисел l и m. Это означает, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях.
Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными,
а число различных состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью вырождения соответствующего энергетического
уровня.
Кратность вырождения энергетических уровней легко вычисляется
путем подсчета возможных значений l и m. Каждому значению квантового числа l соответствует 2l  1 значений квантового числа m. Следовательно, число различных состояний, соответствующих данному n, равно
n 1
 (2l  1)  n
2
.
l0
В атомной физике применяется условное обозначение состояний
электрона с различными значениями момента импульса. Электрон, находящийся в состоянии с l  0 называется s-электроном (соответствующее
состояние – s-состоянием), с l  1 – p-электроном, с l  2 – d-электроном, с
l  3 – f-электроном и далее по алфавиту. Значение главного квантового
числа указывается перед условным обозначением орбитального числа l.
Поскольку l всегда меньше n, возможны следующие состояния электрона:
144
и т.д. Схему уровней энергии удобно изображать так, как показано на рис.
11.15.
Испускание и поглощение света происходит при переходах электрона с одного уровня на другой. В квантовой механике доказывается,
что для орбитального квантового числа имеется правило отбора
l  1 .
Это означает, что возможны только такие переходы, при которых l меняется на единицу. Правило обусловлено тем, что фотон обладает собственным моментом импульса (спином s). Его величина вычисляется по общему правилу, где вместо l следует использовать s  1 . Данное значение
определяет максимальную величину проекции спина на избранное
направление. Испускание или поглощение фотона, согласно закону сохранения момента импульса, приводит к изменению момента импульса
атома, согласно с правилом.
Рис. 11.15. Схема уровней энергии атома водорода.
На рис. 11.15 показаны переходы, разрешенные правилом.
Серии Лаймана соответствует переходам: np  1s (n  2, 3, ... ) .
Серии Бальмера соответствуют переходы: ns  2p и nd  2p (n  3, 4, ... ) ,
и т.д.
Решение уравнения Шредингера для атома водорода дает, что волновая функция электрона в 1s состоянии является сферическисимметричной и имеет вид
100 (r ) 
1
r
3
B
e  r rB
,
где rB   2 4 0 (m e e 2 ) есть боровский радиус. Вероятность нахождения
электрона в шаровом слое радиуса r и толщиной dr равна
.
dP |  | 2 dV |  | 2 4r 2 dr
Подставив в формулу волновую функцию, получим
4r 2 2 r rB
dP  3 e
dr .
rB
145
График радиальной плотности вероятности dP dr для 1S и 2S состояний изображен на рис. 11.16.
Рис. 11.16. Радиальная плотность вероятности dP dr для 1S и 2S состояний.
Ее максимум приходится на r  rB . Таким образом, в основном состоянии атома водорода наиболее вероятное расстояние между ядром и
электроном равно боровскому радиусу.
Спин электрона. Спиновое квантовое число. При классическом
движении по орбите электрон обладает магнитным моментом. Причем
классическое отношение магнитного момента к механическому имеет
значение
 l L l   e 2m e ,
где  l и L l – соответственно магнитный и механический момент. К аналогичному результату приводит и квантовая механика. Так как проекция
орбитального момента на некоторое направление может принимать только дискретные значения, то это же относится и к магнитному моменту.
Поэтому, проекция магнитного момента на направление вектора B при
заданном значении орбитального квантового числа l может принимать
значения
,
   B m (m  0,  1, ... ,l)
где  B  e 2m – так называемый магнетон Бора.
Опыт Штерна и Герлаха. Оптические эксперименты дают вполне
достаточные доказательства квантования энергии атомов. Другой вид
квантования - пространственное квантование, утверждающее дискретность проекции магнитного момента атома на направление внешнего
магнитного поля, демонстрируется экспериментом с атомными пучками,
выполненным О.Штерном и В.Герлахом в 1922 г.
Для атома водорода пространственное квантование орбитального
магнитного момента описывается формулой L l   l(l  1) . Для более
сложных многоэлектронных атомов эта формула несколько видоизменяется, однако и для таких атомов остается в силе основной вывод квантовой теории: проекция магнитного момента атома на направление внешнего магнитного поля может иметь только дискретные квантовые значения.
В опыте Штерна и Герлаха пространственное квантование для
атомных систем демонстрируется следующим образом. Путем испарения
146
в вакуумной печи атомов серебра или другого металла с помощью тонких
щелей формируется узкий атомный пучок (А.П. на рис. 11.17а).
Этот пучок пропускается через неоднородное магнитное поле с существенным
градиентом магнитной индукции. Индукция магнитного по
ля B в опыте велика и направлена вдоль оси Z .
Для создания такого магнитного поля используется магнит с ножевидным полюсным наконечником (рис. 11.17б), вблизи которого на достаточно малом расстоянии пропускается атомный пучок.
Рис. 11.17. Схема опыта Штерна и Герлаха.
На пролетающие в зазоре магнита атомы вдоль направления магнитного поля действует сила:
FZ  p M
Z
B
,
z
обусловленная градиентом индукции неоднородного магнитного поля и
зависящая от величины проекции магнитного момента атома на направление поля. Эта сила отклоняет движущийся атом в направлении оси Z ,
причем за время пролета магнита движущийся атом отклоняется тем
больше, чем больше величина силы. При этом одни атомы отклоняются
вверх, а другие вниз.
С позиций классической физики, магнитный момент атомов вследствие их хаотичного теплового движения, при влете в магнитное поле
может иметь любое направление в пространстве. Это соответствует непрерывному распределению значений FZ для различных атомов и, соответственно, любым различным отклонениям атомов. В результате, пролетевшие через магнит атомы серебра должны были образовать сплошную
широкую зеркальную полосу на стеклянной пластинке.
Если же, как предсказывает квантовая теория, имеет место пространственное квантование, и проекция магнитного момента p MZ атома
принимает только определенные дискретные значения, то под действием
силы атомный пучок должен расщепиться на дискретное число пучков,
которые, оседая на стеклянной пластинке, дают серию узких дискретных
зеркальных полосок из напыленных атомов. Именно этот результат
наблюдался в эксперименте.
Таким образом, опыт Штерна и Герлаха доказал правильность выводов квантовой теории о наличии пространственного квантования магнитных моментов атомов.
Однако Штерн и В. Герлах в своих опытах проводили прямые измерения магнитных моментов. Они обнаружили, что узкий пучок атомов
147
водорода, заведомо находящихся в s-состоянии, в неоднородном магнитном поле расщепляется на два пучка. В этом состоянии момент импульса,
а с ним и магнитный момент электрона равен нулю. Таким образом, магнитное поле не должно оказывать влияние на движение атомов водорода,
т.е. расщепления быть не должно.
Для объяснения этого и других явлений Гаудсмит и Уленбек выдвинули предположение, что электрон обладает собственным моментом
импульса L s , не связанным с движением электрона в пространстве. Этот
собственный момент был назван спином.
Первоначально предполагалось, что спин обусловлен вращением
электрона вокруг своей оси. Согласно этим представлениям для отношения магнитного и механического моментов должно выполняться соотношение  l L l   e 2m e . Экспериментально было установлено, что это отношение в действительности в два раза больше, чем для орбитальных
моментов
s Ls   e me .
По этой причине, представление электрона как о вращающемся шарике оказывается несостоятельным. В квантовой механике спин электрона (и всех других микрочастиц) рассматривается как внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.
Величина собственного момента импульса микрочастицы определяется в квантовой механике с помощью спинового квантового числа s
(для электрона s  1 2 ) L s   s(s  1) .
Проекция спина на заданное направление может принимать квантованные значения, отличающиеся друг от друга на  . Для электрона
L sz  m s (m s  s   1 2) ,
где m s – магнитное спиновое квантовое число.
Для полного описания электрона в атоме, таким образом, необходимо наряду с главным, орбитальным и магнитным квантовыми числами
задавать еще магнитное спиновое квантовое число.
Принцип тождественность частиц. В классической механике одинаковые частицы (скажем, электроны), несмотря на тождественность их
физических свойств, можно пометить, пронумеровав, и в этом смысле
считать частицы различимыми. В квантовой механике ситуация кардинально меняется. Понятие траектории теряет смысл, и, следовательно,
при движении частицы перепутываются. Это означает, что нельзя сказать,
какой из первоначально помеченных электронов попал в ту или иную
точку.
Таким образом, в квантовой механике одинаковые частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми. Это
утверждение или, как говорят, принцип неразличимости одинаковых частиц имеет важные следствия.
148
Рассмотрим систему, состоящую из двух одинаковых частиц. В силу их тождественности состояния системы, получающиеся друг из друга
перестановкой обеих частиц должны быть физически полностью эквивалентными. На языке квантовой механики это означает, что
| (1 ,  2 ) | 2  | ( 2 , 1 ) | 2
где 1 ,  2 – совокупности пространственных и спиновых координат первой и второй частицы. В итоге возможны два случая
(1 ,  2 )  ( 2 , 1 ) .
Таким образом, волновая функция либо симметрична (не меняется
при перестановки частиц), либо антисимметрична (т.е. при перестановке
меняет знак). Оба этих случая встречаются в природе.
Релятивистская квантовая механика устанавливает, что симметрия
или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. Частицы с полуцелым спином (электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями. Такие частицы называют
фермионами, и говорят, что они подчиняются статистике Ферми-Дирака.
Частицы с нулевым или целочисленным спином (например, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями. Эти частицы называют бозонами, и говорят, что они подчиняются статистике БозеЭйнштейна. Сложные частицы (например, атомные ядра), состоящие из
нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спин –
полуцелый), а из четного – бозонами (суммарный спин целый).
Принцип Паули. Атомные оболочки. Если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два фермиона, входящих в эту систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, так как для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной.
Из этого положения вытекает принцип запрета Паули: любые два
фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии.
Состояние электрона в атоме определяется набором четырех квантовых чисел:
Название
Символ
Возможные значения
Главное квантовое число
1, 2, 3, ...
Орбитальное квантовое число
1, 2, 3, ...
Магнитное квантовое число
, ...., -2, -1, 0, +1, +2, ... ,
Спиновое квантовое число
Распределение электронов в атоме по состояниям подчиняется
принципу Паули, поэтому два электрона, находящихся атоме, различаются значениями, по крайней мере, одного квантового числа.
149
Определенному значению n соответствует n 2 различных состояний,
отличающихся l и m l . Так как m s может принимать лишь два значения
(  1 2 ), то максимальное число электронов, находящихся в состояниях с
данным n, будет равно 2n 2 . Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же квантовое число n, называют электронной оболочкой. В каждой электроны распределяются по подоболочкам, соответствующих данному l. Максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно 2(2l  1) . Обозначения оболочек, а также распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлены в
таблице.
Периодическая система элементов Менделеева. С помощью
принципа Паули можно объяснить Периодическую систему элементов.
Химические и некоторые физические свойства элементов определяются
внешними валентными электронами. Поэтому периодичность свойств
химических элементов непосредственно связана с характером заполнения
электронных оболочек в атоме.
Элементы таблице отличаются друг от друга зарядом ядра и количеством электронов. При переходе к соседнему элементу последние увеличиваются на единицу. Электроны заполняют уровни так, чтобы энергия
атома была минимальной..
Максимальное
Максимальное Элемент,
число элекчисло элекчисло
Слой n l ml ms Обо- тронов в оботронов в слое электронов
лочка
лочке
2 n2
z
K
1 0
0
L
2 0
0
1
0
±1
3 0
0
1
0
±1
M
1
2
1

2
1

2

1
2
1

2

2
N
0 1
2
±1
±2
4 0 0 1
1s
2
2s
2
2p
6
3s
2
3p
6
2
8
18
3d
10
4s
2
2
…
150
32
H (1),
He (2)
Li (3),
Be (4)
B (5),
…
Ne (10)
Na (11)
Mg (12)
Al (13),
…
Ar (18)
Sc (21),
…
Ni (28)
K (19),
Ca (20)
…
В многоэлектронном атоме каждый отдельный электрон движется в
поле, которое отличается от кулоновского. Это приводит к тому, что вырождение по орбитальному моменту снимается E  E nl . Причем c увеличением l энергия уровней с одинаковыми n возрастает. Когда число электронов невелико, отличие в энергии с различными l и одинаковыми n не
так велико, как между состояниями с различными n. Поэтому, сначала
электроны заполняют оболочки с меньшими n, начиная с s подоболочки,
последовательно переходя к большим значениям l.
Единственный электрон атома водорода находится в состоянии 1s.
Оба электрона атома He находятся в состоянии 1s с антипараллельными
ориентациями спина. На атоме гелия заканчивается заполнение Kоболочки, что соответствует завершению I периода таблицы Менделеева.
Третий электрон атома Li (Z3) занимает наинизшее свободное
энергетическое состояние с n2 (L-оболочка), т.е. 2s-состояние. Так как
он слабее других электронов связан с ядром атома, то им определяются
оптические и химические свойства атома. Процесс заполнения электронов во втором периоде не нарушается. Заканчивается период неоном, у
которого L-оболочка целиком заполнена.
В третьем периоде начинается заполнение M-оболочки. Одиннадцатый электрон первого элемента данного периода Na (Z11) занимает наинизшее свободное состояние 3s. 3s-электрон является единственным валентным электроном. В связи с этим оптические и химические свойства
натрия подобны свойствам лития. У следующих за натрием элементов
нормально заполняются подоболочки 3s и 3p.
Впервые нарушение обычной последовательности заполнения
уровней происходит у K (Z19). Его девятнадцатый электрон должен был
бы занять 3d-состояние в M-оболочке. При данной общей конфигурации
подоболочка 4s оказывается энергетически ниже подоболочки 3d. В связи
с чем, при незавершенном в целом заполнении оболочки M начинается
заполнение оболочки N. В оптическом и химическом отношении атом K
подобен атомам Li и Na. Все эти элементы имеют валентный электрон в
s-состоянии.
С аналогичными отступлениями от обычной последовательности,
повторяющимися время от времени, осуществляется застройка электронных уровней всех атомов. При этом периодически повторяются сходные
конфигурации внешних (валентных) электронов (например, 1s, 2s, 3s и
т.д.), чем обуславливается повторяемость химических и оптических
свойств атомов.
Рентгеновские спектры. Оптические спектры. Атом во внешнем магнитном поле. Эффект Зеемана.
Рентгеновские спектры. Самым распространенным источником
рентгеновского излучения является рентгеновская трубка, в которой
сильно ускоренные электрическим полем электроны бомбардируют анод.
При торможении электронов возникает рентгеновское излучение. Спек151
тральный состав рентгеновского излучения представляет собой наложение сплошного спектра, ограниченного со стороны коротких волн граничной длиной  min , и линейчатого спектра – совокупности отдельных
линий на фоне сплошного спектра (рис. 11.1).
Рис. 11.1. Спектральный состав рентгеновского излучения.
Сплошной спектр обусловлен излучением электронов при их торможении. Поэтому его называют тормозным излучением. Максимальная
энергия кванта тормозного излучения соответствует случаю, когда вся
кинетическая энергия электрона переходит в энергию рентгеновского фотона, т.е.
E max  max  eU ,
где U – ускоряющая разность потенциалов рентгеновской трубки. Отсюда
граничная длина волны
 min  2 c max  2c (eU) .
Измерив коротковолновую границу тормозного излучения, можно
определить постоянную Планка. Из всех методов определения  данный
метод считается самым точным.
При достаточно большой энергии электронов на фоне сплошного
спектра появляются отдельные резкие линии. Линейчатый спектр определяется только материалом анода, поэтому данное излучение называется
характеристическим излучением.
Характеристические спектры отличается заметной простотой. Они
состоят из нескольких серий, обозначаемых буквами K, L, M, N и O.
Каждая серия насчитывает небольшое число линий, обозначаемых в порядке возрастания частоты индексами , ,  … ( K  , K  , K  , …; L  , L  ,
L  , … и т.д.). Спектры разных элементов имеют сходный характер. При
увеличении атомного номера Z весь рентгеновский спектр целиком смещается в коротковолновую часть, не меняя своей структуры (рис.). Это
объясняется тем, что рентгеновские спектры возникают при переходах
внутренних электронов, которые для разных атомов являются сходными.
Схема возникновения рентгеновских спектров дана на рис. 11.2.
Возбуждение атома состоит в удалении одного из внутренних электронов.
Если вырывается один из двух электронов K-слоя, то освободившееся место может быть занято электроном из какого-либо внешнего слоя (L, M, N
и т.д.). При этом возникает K-серия. Аналогично возникают и другие серии, наблюдаемые, впрочем, только для тяжелых элементов. Серия K
152
обязательно сопровождается остальными сериями, так как при испускании ее линий освобождаются уровни в слоях L, M и т.д., которые будут в
свою очередь заполнятся электронами из более высоких слоев.
Исследуя рентгеновские спектры элементов, Г. Мозли установил
соотношение, называемое законом Мозли
1 
 1
  R ( Z  ) 2  2  2  ,
n 
m
где  – частота линии характеристического рентгеновского излучения, R
– постоянная Ридберга, m  1, 2, 3, ... (определяет рентгеновскую серию),
n  m  1, ... (определяет линию соответствующей серии),  – постоянная
экранирования.
Рис. 11.2. Схема возникновения рентгеновских спектров.
Закон Мозли позволяет по измеренной длине волны рентгеновских
линий точно установить атомный номер данного элемента; этот закон
сыграл большую роль при размещении элементов в периодической таблице.
Закону Мозли можно дать простое объяснение. Линии с частотами
ω, возникают при переходе электрона, находящегося в поле заряда
(Z  )e , с уровня с номером n на уровень с номером m. Постоянная экранирования  возникает из-за экранирования ядра Ze другими электронами. Ее значение зависит от линии. Например, для K  -линии   1 и закон
Мозли запишется в виде:
1 
1
  R ( Z  1) 2  2  2  .
2 
1
Оптические спектры. Результирующий момент многоэлектронного атома. Каждый электрон в атоме обладает орбитальным моментом им

пульса M l и собственным (спиновым) моментом M S . Механические моменты связаны с соответствующими магнитными моментами. Вследствие
этого между моментами электронов атома имеется взаимодействие,
153
подобно тому, как взаимодействуют магнитные стрелки или электрические токи.
Механический и магнитный моменты атома складываются из орбитальных и спиновых моментов отдельных электронов. При этом возможны два случая:

1) Орбитальные моменты электронов M l взаимодействуют сильнее

между собой, чем с собственными M S , которые в свою очередь связаны


сильнее друг с другом, чем с M l . Вследствие этого все M l электронов


атома складываются в результирующий момент M L ; моменты M S скла


дываются в результирующий момент M S , а затем уже M L и M S дают

суммарный момент атома M J . Такой вид связи называется LS-связью. Он
встречается в лёгких и средних атомах.


2) Каждая пара M l и M S данного электрона взаимодействует меж

ду собой сильнее, чем с M l и M S других электронов, вследствие чего об
разуются результирующие M j для каждого электрона в отдельности, ко
торые затем уже объединяются в результирующий момент атома M J . Такой вид связи, называемый jj-связью, наблюдается у тяжёлых атомов.
Ограничимся рассмотрением LS-связи, при этом



M J  M L  MS .



Векторам M J , M L и M S отвечают соответствующие квантовые числа: L – орбитальное квантовое число атома; S – спиновое квантовое число атома и J – квантовое число результирующего момента. Они определяют длины соответствующих векторов:
M L   LL  1 ;
MS   SS  1 .
M   JJ  1 ;
J
В случае двух электронов, например, квантовое число L может
иметь значения:
L=l1+l2, l1+l2–1, l1+l2–2, … |l1– l2|,
где l1 и l2 – орбитальные квантовые числа, определяющие модули
складываемых моментов.
Орбитальные квантовые числа l всегда бывают целыми (или нулями) Соответственно квантовое число L суммарного орбитального момента также бывает целым (или нулём).
Проекция результирующего момента на некоторое направление Я
определяется выражением:
M Lz  m L   , m L  L ,(  L  1),…( L  1 ), L .
Проекция результирующего спинового момента на ось Z определяется аналогичным выражением:
M Sz  m S   , m S  S ,(  S  1 ),…( S  1 ), S .

Квантовое число S результирующего момента атома M S может
быть целым или полуцелым в зависимости от того, чётным или нечётным
154
является число электронов N в атоме. Например, при N=4 квантовое число S может иметь значения 2, 1, 0, а при N=5 возможными значениями S
будут:
5 3 1
, , .
2 2 2


При сложении M L и M S квантовое число результирующего момента импульса атома (11.4) J может иметь одно из следующих значений:
J=L+S; L+S–1 ; L+S–2; …│L–S│. Так, например, в случае L=2, S=1 возможные значения J равны 3, 2, 1. В случае L=2, S 
J равны
3
возможные значения
2
7 5 3 1
, , , . Проекция полного механического момента атома на
2 2 2 2
направление Z определяется формулой:
M Jz  m J   , m J  J ,(  J  1 ),…( J  1 ), J .
С механическими моментами связаны магнитные моменты, которые
взаимодействуют между собой. Поэтому энергия атома зависит от взаим
ной ориентации моментов M l (то есть от квантового числа L). От взаим
ной ориентации моментов M S (от квантового числа S) и от взаимной ори

ентации M L и M S (от квантового числа J). Для характеристики состояния
атома пользуются символической записью, которая содержит информацию о значениях квантовых чисел. Этот символ (терм) имеет вид: 2S1 L J ,
где под L подразумевается одна из букв S, P, D, F, … в зависимости от
значений числа L (L=0, 1, 2, 3, ...). Например, терм 3 P2 описывает состояние с L=1, S=1, J=2. Число 2S  1 даёт мультиплетность терма, то есть число подуровней для данного значения L (впрочем, лишь в случае, если
S<L; если S>L, число подуровней равно 2L  1 ).



Для определения векторов M J , M L и M S достаточно ограничиться
только внешними, валентными, электронами, если внутренние оболочки
атома полностью заполнены электронами. В этом случае моменты импульса внутренних электронов, как орбитальные, так и спиновые, полностью скомпенсированы, то есть полные моменты внутренних оболочек
равны нулю. Простейший пример: для одноэлектронного атома (или атома с единственным валентным электроном) s=½, возможны 2 значения
квантового числа результирующего момента: j=l±½, если l≠0; а при l=0 j
принимает единственное значение j=½.
Оптические спектры, возникающие при переходах слабее всего
связанных с ядром оптических (валентных) электронов, лежат в видимой и ультрафиолетовой областях. Схема энергетических уровней
внешней электронной оболочки многоэлектронных атомов гораздо сложнее, чем у водородоподобных атомов. Поэтому оптические спектры атомов чрезвычайно сложны.
Спектры щёлочных металлов, имеющих во внешней электронной оболочке единственный электрон, похожи на спектр атома водорода. Они состоят из нескольких серий и могут быть описаны формулой:
155
1
 Tm   Tn  , где Tn  – спектральный терм, имеющий более сложный

R
вид, чем бальмеровский терм для атома водорода – Tn   2 .
n
Переходы электронов между энергетическими уровнями должны
подчиняться правилам отбора. Эти правила следуют из закона сохранения
момента импульса. Спин фотона равен единице, то есть фотон обладает
собственным моментом импульса. Поэтому при испускании фотон уносит
из атома этот момент, а при поглощении привносит. Если в начальном
или конечном состоянии квантовое число результирующего момента атома равно J=0, переход с излучением или поглощением возможен лишь
при изменении J на единицу:
ΔJ=±1.
Если начальный и конечный момент атома при переходе не равны
0, возможны переходы
ΔJ=0; ±1 (при Jнач.≠0 или Jкон.≠0).
Аналогично: Δl=±1;
Δml=0; ±1;
ΔmS=0;
ΔL=0; ±1 (переход Lнач.=0 → Lкон.=0 запрещён);
ΔS=0.
Атом во внешнем магнитном поле. Эффект Зеемана. Расщепление в магнитном поле энергетических уравнений атомов, приводящее к
расщеплению спектральных линий в спектрах, называют эффектом Зеемана. Различают эффект Зеемана: нормальный (простой), когда каждая
линия расщепляется на три компонента, и аномальный (сложный), когда
каждая линия расщепляется на большее, чем три, число компонентов.
Эффект Зеемана характерен для атомов парамагнетиков, так
как только эти атомы обладают отличным от нуля магнитным моментом и могут взаимодействовать с внешним магнитным полем.
Атом, обладающий магнитным моментом, приобретает в магнитном
поле дополнительную энергию
∆E = -μJBB,
где μJB — проекция полного магнитного момента атома на направление
поля В. Имея в виду формулу μ z = - μБgmJ, mJ = J, J-1, …, -J, где g —
множитель (или фактор) Ланде, запишем выражение для энергии каждого
подуровня:
E = E0+∆E=E0+μБgBmJ ,mJ = J, J-1, …, -J,
где Е0 — энергия уровня в отсутствие магнитного поля.
Отсюда следует, что уровни с квантовым числом J расщепляются в
магнитном поле на 2J + 1 равноотстоящих друг от друга подуровней,
причем величина расщепления зависит от множителя Ланде g, т. е. интервалы δЕ между соседними подуровнями пропорциональны g: δЕ ≈ g. Таким образом, магнитное поле в результате расщепления уровней снимает
вырождение по mJ.
156
Кроме этого, необходимо учесть, что возможны только такие переходы между подуровнями, принадлежащими разным уровням, при которых выполняются следующие правила отбора для квантового числа mJ:
∆mJ = 0, ±1.
Если в (11.12) B = 0, то энергетический уровень определяется только первым членом, если В ≠ 0, то необходимо учитывать возможные значения mJ , а оно может принимать 2J + 1 значений. Это означает расщепление первоначального энергетического уровня на 2J+ 1 подуровней.
Теперь можно понять происхождение мультиплетов Зеемана. На
рис. 11.3 рассмотрены возможные переходы в атоме водорода между состояниями р (l = 1) и s(l=0) для двух случаев:
когда В = 0 (внешнее магнитное поле отсутствует);
когда В ≠ 0.
В отсутствие поля наблюдается одна линия с частотой v0. В магнитном поле p-состояние расщепляется на три подуровня (при l = 1, ml, = 0, ±
1), с каждого из которых могут происходить переходы на уровень s, и
каждый переход характеризуется своей частотой: v0 - ∆v, v0, v0 + ∆v. Следовательно, в спектре появляется триплет (наблюдается нормальный эффект Зеемана).
Рис. 11.3. Возможные переходы в атоме водорода
между состояниями р (l = 1) и s(l=0).
В отсутствие поля наблюдается одна линия с частотой v0. В магнитном поле p-состояние расщепляется на три подуровня (при l = 1, ml, = 0, ±
1), с каждого из которых могут происходить переходы на уровень s, и
каждый переход характеризуется своей частотой: v0 - ∆v, v0, v0 + ∆v. Следовательно, в спектре появляется триплет (наблюдается нормальный эффект Зеемана).
Не вдаваясь в подробности, отметим, что нормальный эффект Зеемана наблюдается в том случае, если исходные линии не обладают
тонкой структурой (являются синглетами). Если исходные уровни
обладают тонкой структурой, то в спектре появляется большее число
компонентов и наблюдается аномальный эффект Зеемана.
Контрольные вопросы по теме:
1. Тепловое равновесное излучение, основные положения?
2. Фотоэффект основные законы?
3. Фотоны. Давление света.
157
4. Эффект Комптона?
5. Корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного излучения?
6. Теория атома водорода по Бору.
7. Опыт Франка и Герца.
8. Основные положения квантовой механики.
9. Принцип неопределенности.
10. Уравнение Шредингера.
11. Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками?
12. Туннельный эффект?
13. Гармонический осциллятор?
14. Атом водорода. Квантовые числа и их физический смысл.
15. Правило отбора. Вырожденные состояния.
16. Спин электрона. Принцип тождественность частиц.
17. Принцип Паули. Атомные оболочки. Таблица Менделеева
158
Глоссарий
a
Аберрации (лат. - отклонение) - отклонение хода реального луча от
идеального (волновая, поперечные, продольная).
Абсолютно черное тело - это тело, которое полностью поглощает всю
падающую на него энергию.
Абсолютный контраст - контраст, равный единице.
Апертура (лат. - отверстие) - это поперечный полуразмер пучка лучей
или радиус входного/выходного зрачка в обобщенных координатах.
Апертурная диафрагма - это диафрагма, которая ограничивает размер осевого пучка (изображение которой видно под наименьшим углом из осевой точки предмета).
Апертурный луч - это луч, идущий из осевой точки предмета и проходящий через край апертурной диафрагмы.
Апертурный угол - это угол между апертурным лучом и оптической
осью.
Апланатизм явление,
при
котором
полностью
отсутствуют монохроматические аберрации осевого пучка.
Аподизация - специально создаваемая неравномерность пропускания по
зрачку, влияет на передачу структуры изображения сложного объекта.
Апохромат - оптическая система, в которой исправлен вторичный хроматизм (обычно - хроматизм положения).
Астигматизм - это тип аберраций, при котором для внеосевого пучка не
совпадают точки фокусов в меридиональной и сагиттальной плоскостях (лучи
бесконечно узкого пучка не сходятся в одной точке).
Афокальные или телескопические системы - это системы из двух или
более компонентов, оптическая сила которых равна нулю.
Ахроматизированная оптическая система - оптическая система, в которой исправлен хроматизм положения или хроматизм увеличения.
б
Блеск - это освещённость, создаваемая точечным источником в плоскости зрачка наблюдателя.
Ближний тип предмета (изображения) - предмет (изображение) расположены на конечном расстоянии, поперечные размеры измеряются в единицах
длины.
в
Вектор магнитной напряженности Н - вектор магнитного возмущения,
воздействующего только на движущиеся электрические заряды.
Вектор электрической напряженности Е - вектор электрического возмущения, воздействующего на движущиеся или покоящиеся электрические заряды.
Величина предмета (изображения) - это расстояние от оптической оси
до его крайней точки.
Верхний луч внеосевого пучка - это луч, проходящий через верхний
край апертурной диафрагмы и соответствующие ему сопряженные точки входного и выходного зрачков.
159
Видимое излучение - оптическое излучение, видимое глазом, с длинами
волн от 400 до 780 нм
Внеосевой пучок - это пучок лучей, который выходит из внеосевой точки предмета.
Волновая аберрация - это отклонение реального волнового фронта от
идеального, измеренное вдоль луча в количестве длин волн.
Волновое уравнение - уравнение, описывающее электромагнитное поле
в скалярном виде. Волновое уравнение описывает отдельно электрическую и
магнитную компоненту поля.
Волновое число k - число, равное двум пи, деленным на длину волны.
Волновой вектор k - это вектор, показывающий направление распространения волнового фронта. Длина волнового вектора равна волновому числу k.
Волновой фронт - это поверхность в пространстве, на которой (фаза)
поля имеет одинаковые значения.
Вторичный спектр (вторичный хроматизм положения) - аберрация,
при которой положение плоскости изображения для дополнительных длин волн
одинаковое, но не совпадает с положением плоскости изображения для основной длины волны.
Вторичный хроматизм увеличения - аберрация, при которой увеличение для дополнительных длин волн одинаковое, но не совпадает с увеличением
для основной длины волны.
Входной зрачок оптической системы - это параксиальное изображение апертурной диафрагмы в пространстве предметов, сформированное предшествующей частью оптической системы в обратном ходе лучей.
Выходной зрачок оптической системы - это параксиальное изображение апертурной диафрагмы в пространстве изображений, сформированное последующей частью оптической системы в прямом ходе лучей.
г
Гармоническая периодическая решетка - это структура, интенсивность которой описывается гармонической функцией от пространственных координат.
Геометрическая оптика - это раздел оптики, в котором принимается,
что длина волны пренебрежимо мала.
Геометрически-ограниченные системы - оптические системы, качество изображения которых полностью определяется картиной поперечных
аберраций .
Главные плоскости системы - пара сопряженных плоскостей в пространстве предметов и изображений, в которых линейное увеличение равно
единице.
Главные
точки это
точки
пересечения главных
плоскостей с оптической осью.
Главный луч внеосевого пучка - это луч, идущий из внеосевой точки
предмета и проходящий через центр апертурной диафрагмы.
Голограмма - регистрируемая интерференционная картина, образованная объектным (предметным) полем и когерентным с ним референтным полем
(полем сравнения).
160
Гомоцентрический пучок лучей - это пучок, все лучи которого пересекаются в одной точке (имеют общий фокус).
д
Дальний тип предмета (изображения) - предмет (изображение) расположены в бесконечности, поперечные размеры измеряются в угловой мере.
Дефокусировка - это тип аберраций, при котором все лучи на выходе
оптической системы пересекаются в одной точке, но не в точке идеального
изображения (свидетельствует о продольном смещении плоскости изображения).
Диафрагма - это металлический экран с круглым отверстием.
Диафрагменное число - это величина, обратная относительному отверстию.
Диск Эри - центральный максимум в дифракционном изображении точки.
Дисперсия оптических материалов - зависимость показателя преломления от длины волны.
Дисперсия волновой аберрации по зрачку - разность среднего квадрата и квадрата среднего волновой аберрации по зрачку.
Дисторсия - это тип аберраций, который приводит к искажению прямых
линий, не проходящих через ось.
Дифракция света - это отклонение движения света от лучевых траекторий, не связанное с преломлением или отражением.
Дифракционно-ограниченные системы - оптические системы, в которых аберрации малы, а качество изображения определяется в основном явлениями дифракции.
е
Единичный вектор направления - это вектор, показывающий направление распространения волнового фронта. Длина единичного вектора направления равна единице.
з
Заднее фокусное расстояние - это расстояние от задней главной точки до заднего фокуса.
Задний фокальный отрезок - это расстояние от последней поверхности
до заднего фокуса.
Задний фокус - это точка на оптической оси в пространстве изображений, сопряженная с бесконечно удаленной точкой, расположенной на оптической оси в пространстве предметов.
Задняя фокальная плоскость - плоскость, перпендикулярная оптической оси и проходящая через задний фокус.
Закон Ламберта (закон косинусов) - плоская поверхность, имеющая
одинаковую яркость по всем направлениям, излучает свет, сила которого изменяется по закону косинуса.
Закон Малюса-Дюпена - нормальная конгруэнция сохраняет свойства
нормальной конгруэнции в процессе прохождения через различные среды.
Закон независимого распространения лучей - если через точку пространства проходит несколько лучей, то каждый луч ведет себя так, как если бы
других лучей не было.
161
Закон обратимости - траектория и длина хода лучей не зависят от
направления распространения.
Закон обратных квадратов - освещённость, создаваемая точечным источником обратно пропорциональна расстоянию от источника до поверхности
и прямо пропорционально косинусу угла, между направлением светового потока и нормалью к освещаемой поверхности.
Закон преломления - падающий луч, преломленный луч и нормаль к
поверхности раздела двух сред в точке падения лежат в одной плоскости, причем произведение показателя преломления на синус угла между лучом и нормалью сохраняет свое значение при переходе в следующую среду.
Закон прямолинейного распространения - в однородной среде лучи прямые линии.
Зрачковая функция - это функция амлитудно-фазового пропускания
оптической системы, выраженная в канонических зрачковых координатах.
Зрачковые канонические координаты - это отношение реальных
зрачковых координат к апертурам (размерность этих координат не зависит от
типа предмета или изображения).
и
Идеальная оптическая система - оптическая система, в которой отсутствуют аберрации и дифракция,
а
изображение
строится
по
законам параксиальной оптики .
Изображение - картина, состоящая из точек пересечения лучей, выходящих из оптической системы, с некоторой поверхностью в пространстве изображений.
Изопланатизм - постоянство аберраций оптической системы по полю.
Интенсивность - усредненная во времени величина, равная квадрату
модуля комплексной амплитуды.
Интерференция - явление, возникающее при сложении двух полей.
Интерферограмма - картина, наблюдаемая при интерференции.
Инфракрасное излучение (ИК) - оптическое излучение с длинами волн
от 780 нм и примерно до 40 мкм.
Источник излучения - это некоторая поверхность, излучающая энергию.
к
Канонические (приведенные) координаты на предмете и изображении - безразмерные координаты, которые связаны с реальными через канонические единицы, являющиеся отношениями длины волны к входной или выходной апертурам .
Канонические
пространственные
частоты безразмерные пространственные частоты, приведенные к теоретическому пределу разрешения.
Каустика - это поверхность, образованная совокупностью локальных
фокусов негомоцентрических пучков.
Квазигомоцентрический пучок лучей - это пучок, все лучи которого
проходят через небольшую область пространства.
Когерентные поля - это поля, для которых разность фаз остается постоянной за время инерции приемника.
162
Кома - это тип аберраций, при котором нарушается симметрия широкого
пучка лучей в меридиональном сечении .
Комплексная амплитуда - это комплексный множителесь в комплексном описании гармонической функции, который содержит только вещественную амплитуду и фазу.
Конгруэнция - это такая совокупность линий в пространстве, для которой выполняется условие, что через любую точку пространства можно провести только одну линию из этой системы.
Контраст периодических (гармонических) изображений - отношение
разности максимума и минимума интенсивности к их сумме.
Коэффициент альбедо - определяет степень белизны поверхности .
Коэффициент виньетирования - это отношение размеров срезаемой
части диафрагмы к ее радиусу.
Коэффициент отражения - это отношение отраженного потока к падающему.
Коэффициент пропускания - это отношение прошедшего светового
потока к падающему.
Кривизна - это тип аберраций, при котором наилучшее изображение получается на искривленной поверхности, а не на плоскости.
л
Ламбертовский излучатель - это такой излучатель, яркость которого не
зависит от положения точки на его поверхности и от угла наблюдения.
Ламбертовское рассеяние - рассеяние света плоской поверхностью
происходит одинаково во всех точках и одинаково по всем направлениям.
Линейное увеличение оптической системы - это отношение линейного размера изображения в направлении, перпендикулярном оптической оси, к
соответствующему размеру предмета в направлении перпендикулярном оптической оси.
Локальный фокус - это точка, в которой пересекается несколько лучей.
Луч - это прямая или кривая линия, вдоль которой распространяется
энергия светового поля (приближение геометрической оптики).
Лучевая (световая) трубка - окрестность реального луча, в пределах
которой световой поток постоянный; представляется в виде трубки, состоящей
из бесконечно узкого пучка лучей, ограниченного бесконечно малыми площадками на входе и выходе.
м
Магнитная индукция B - вектор, показывающий влияние среды на
напряженность магнитного поля.
Магнитная проницаемость m - коэффициент, описывающий поведение
вещества под действием магнитного поля.
Матрица Гаусса (матрица преобразования) - матрица размером 2х2,
описывающая преобразование координат нулевого луча оптической системой.
Матрица переноса - матрица Гаусса, которая описывает преобразование
только линейных координат нулевых лучей .
Матрица преломления - матрица Гаусса, которая описывает преобразование только угловых координат нулевых лучей .
Меридиональная плоскость - это любая плоскость, проходящая через оптическую ось.
163
Монохроматические аберрации - аберрации, которые не зависят от изменения длины волны (сферическая, кома, дисторсия, астигматизм).
Монохроматическое поле - это поле, зависящее от времени по гармоническому закону.
н
Направляющие косинусы - это умноженные на показатель преломления среды косинусы углов между лучом и осями координат.
Неахроматизированная оптическая система - оптическая система, в
которой хроматические аберрации не исправлены.
Негомоцентрический пучок - это пучок, не имеющий общего фокуса (все лучи пучка не пересекаются в одной точке).
Неизопланатизм - это отклонение от условия изопланатизма.
Некогерентные поля - это поля, для которых разность фаз меняется
случайным образом много раз за время регистрации.
Нижний луч внеосевого пучка - это луч, проходящий через нижний
край апертурной диафрагмы и соответствующие ему сопряженные точки входного и выходного зрачков.
Нормальная конгруэнция - это конгруэнция, все линии которой пересекаются некоторой поверхностью под прямым углом.
Нулевой луч - это луч, который преломляется по законам параксиальной
оптики, но имеет произвольные значения линейных и угловых координат.
о
Обобщенное
положение
зрачков положение входного/выходного зрачка, имеющее одинаковое обозначение, но разный
геометрический смысл и размерность для ближнего и дальнего типа предмета/изображения.
Обобщенное положение предмета/изображения - положение предмета/изображения, имеющее одинаковое обозначение, но разный геометрический
смысл и размерность для ближнего и дальнего типа предмета/изображения.
Обобщенное увеличение - отношение обобщенной величины изображения к обобщенной величине предмета.
Общая дисперсия - разность между показателями преломления для
наибольшей и наименьшей длин волн, которые пропускает стекло.
Объемная плотность заряда - величина электрического заряда в данной
точке пространства.
Однородная среда - это среда, в которой показатель преломления не зависит от пространственных координат.
Опорная плоскость - это некоторая произвольно выбранная плоскость,
перпендикулярная оптической оси.
Оптическая длина луча nl - это произведение геометрической длины
пути луча на показатель преломления среды, в которой распространяется свет.
Оптическая ось - это общая ось симметрии поверхностей, составляющих центрированную оптическую систему.
Оптическая передаточная функция - функция, характеризующая передачу оптической системой тонкой структуры предмета через спектр пространственных частот.
Оптическая плотность среды - это логарифм величины, обратной пропусканию.
164
Оптическая поверхность - это гладкая регулярная поверхность точно
известной формы.
Оптическая сила - величина, обратная приведенному заднему фокусному расстоянию.
Оптическая система - это совокупность оптических сред, разделенных оптическими поверхностями и элементами, которые ограничиваются диафрагмами, предназначенная для формирования изображения путем перераспределения в пространстве электромагнитного поля, исходящего из предмета.
Оптические среды - это прозрачные однородные среды с точно известным значением показателя преломления и дисперсией.
Оптический диапазон частот - диапазон частот электромагнитного поля в небольшой окрестности частоты 1014 гц.
Оптический лучевой вектор - это вектор направляющих косинусов луча, который показывает направление распространения волнового фронта. Длина оптического лучевого вектора равна показателю преломления среды.
Освещенность - это поверхностная плотность потока энергии, падающего на поверхность.
Осевой пучок - это пучок лучей, который входит из осевой точки предмета.
Относительная предметная координата - отношение реальной предметной координаты к ее максимальному значению.
Относительное отверстие - это абсолютное значение отношения диаметра входного зрачка к заднему фокусному расстоянию системы.
п
Параксиальная область - это область, бесконечно близкая к оптической
оси.
Параксиальная (гауссова) оптика - раздел геометрической оптики, который основывается на параксиальном приближении законов прохождения лучей через оптическую систему.
Параксиальные характеристики - это кардинальные отрезки оптической системы: фокусные расстояния, фокальные отрезки, положения главных
плоскостей.
Параксиальный луч - луч, идущий бесконечно близко к оптической
оси.
Переднее фокусное расстояние - это расстояние от передней главной
точки до переднего фокуса.
Передний отрезок - это расстояние вдоль оптической оси от оптической системы до предмета.
Передний фокальный отрезок - это расстояние от первой поверхности
оптической системы до переднего фокуса.
Передний фокус
- это точка на оптической оси в пространстве предметов, сопряженная с бесконечно удаленной точкой, расположенной на оптической оси в пространстве изображений.
Передняя фокальная плоскость - плоскость, перпендикулярная оптической оси и проходящая через передний фокус.
Периодическая решетка - это структура с равностоящими белыми и
черными полосами.
165
Плоские волны - это волны, которые имеют плоские волновые фронты .
Плоскость Гаусса (плоскость идеального изображения) - плоскость
изображения, построенного по законам параксиальной оптики.
Плоскость изображений - это плоскость, перпендикулярная оптической
оси в пространстве изображений.
Плоскость наилучшей установки - это плоскость, где наблюдается
изображение наилучшего качества.
Плоскость предметов - это плоскость, перпендикулярная оптической
оси и проходящая через предмет.
Поверхностная плотность потока энергии - это величина потока, приходящегося на единицу площади.
Поверхностная плотность тока - значение электрического тока в данной точке поверхности.
Показатель преломления среды по отношению к вакууму n - это отношение скорости света в вакууме к скорости света в среде.
Поле в пространстве предметов - это часть плоскости предмета, которая изображается оптической системой.
Полевая диафрагма - это диафрагма, ограничивающая размеры поля в
пространстве предметов.
Полное внутреннее отражение - явление, при котором свет, идущий из
оптически более плотной среды в менее плотную, полностью отражается обратно, если угол падения в более плотной среде больше некоторого критического значения.
Положение главных плоскостей - расстояние от первой/последней поверхности оптической системы до передней/задней главной плоскости.
Поляризация света - поляризация света - ориентация векторов
напряженности электрического поля и магнитной индукции световой волны в
плоскости, перпендикулярной световому лучу. Обычно поляризация возникает
при отражении и преломлении света, а также при распространении света в
анизотропной среде. Различают линейную, круговую и эллиптическую
поляризацию света.
Поперечные аберрации - это отклонения координат точки пересечения реального луча с плоскостью изображения от координат точки идеального
изображения.
Порог контраста - контраст, ниже которого изображение уже нельзя зарегистрировать.
Поток излучения - это величина энергии, переносимой полем в единицу времени через данную площадку.
Правило знаков - правила знаков для отрезков, углов и радиусов кривизны оптической системы.
Предельная разрешающая способность - это минимальное расстояние
между двумя точками, при котором их изображение можно отличить от изображения одной точки.
Предмет - это совокупность точек, из которых выходят лучи, попадающие в оптическую систему.
Преобразование Фурье - интегральное преобразование.
166
Приведенная яркость - отношение энергетической яркости к квадрату показателя преломления.
Приведенное (эквивалентное) фокусное расстояние - отношение фокусного расстояния к показателю преломления.
Принцип таутохронизма - оптическая длина любого луча между двумя волновыми фронтами одна и та же.
Принцип Ферма - оптическая длина луча между двумя точками минимальна по сравнению со всеми другими линиями, соединяющими эти две точки.
Продольное увеличение оптической системы - это отношение бесконечно малого отрезка, взятого вдоль оптической оси в пространстве изображений к сопряженному с ним отрезку в пространстве предметов.
Продольные аберрации - это отклонения координат точек пересечения реальных лучей с главным лучом от координаты пересечения главного луча с плоскостью изображения, измеренные вдоль оптической оси.
Просветление оптики - применение тонкослойных диэлектрических
пленок для ослабления френелевского отражения.
Пространственная частота - частота периодической гармонической
решетки.
Пространство изображений - вся возможная совокупность точек изображения.
Пространство предметов - вся возможная совокупность точек предмета.
Пятно рассеяния - изображение светящейся точки.
р
Радиус-вектор точки r - вектор координат точки (в Декартовой системе
координат).
Разрешающая способность по Фуко - максимальная пространственная
частота периодического тест-объекта с единичным контрастом, при которой
еще достигается минимально заданный контраст изображения.
Реальная оптическая система - оптическая система, которая имеет конечные поперечные размеры и в которой может нарушаться гомоцентричность
пучков.
Реальные зрачковые координаты - обобщенные координаты луча на
зрачке (размерность этих координат зависит от типа предмета или изображения).
Реальный луч - это луч, который преломляется и отражается на реальных поверхностях оптической системы со строгим выполнением законов отражения и преломления.
Рентгеновское излучение - оптическое излучение с длинами волн примерно от 0.08 до 80 нм.
Референтная сфера - это волновой фронт идеального пучка с центром
кривизны в точке идеального изображения, проходящий через центр выходного
зрачка.
Референтное поле - поле, которое имеет известную фазовую картину.
с
Сагиттальная плоскость - это плоскость, которая содержит главный
луч пучка, перпендикулярна меридиональной плоскости и не проходит через
ось (может быть ломаной и рассматривается по частям).
167
Световая экспозиция - это величина энергии, приходящейся на единицу площади за некоторое время.
Световое поле - электромагнитное поле в оптическом диапазоне частот.
Cветимость M[лм/м2] - это поверхностная плотность потока энергии,
излучаемой поверхностью .
Сила излучения (энергетическая сила света) - это поток излучения,
приходящийся на единицу телесного угла, в пределах которого он распространяется. За направление силы света принимают ось телесного угла, в пределах
которого распространяется поток излучения.
Сила света I[кд]- это поток излучения, приходящийся на единицу телесного угла, в пределах которого он распространяется. За направление
силы света принимают ось телесного угла, в пределах которого распространяется поток излучения.
Сопряженные линии - это линии, для которых каждая точка линии в
пространстве предметов сопряжена с каждой соответствующей точкой линии в
пространстве изображений.
Сопряженные точки - точки, одна из которых является изображением
другой в соответствии с законами параксиальной оптики.
Спектр пространственных частот - совокупность коэффициентов разложения по пространственным частотам.
Спектральная плотность поверхностной плотности потока излучения это
функция,
показывающая
распределение
светимости или освещенности по спектру излучения.
Спектральная плотность потока излучения - это функция, показывающая распределение энергии по спектру излучения.
Спектральная плотность пропускания - это функция, показывающая
распределение коэффициента пропускания по спектру излучения.
Спектральная плотность силы излучения - это функция, показывающая распределение силы света по спектру излучения.
Спектральная плотность энергетической яркости Lλ(λ)- это функция,
показывающая распределение энергетической яркости по спектру излучения.
Средний квадрат деформации (среднеквадратическое отклонение)
волнового фронта (СКВ) WСКВ- квадратный корень из дисперсии волновой
аберрации.
Средняя сферическая сила света - отношение всего светового потока,
испускаемого источником, к величине полного телесного угла, равного четырем π.
Сферическая аберрация - это тип аберраций, который приводит к тому,
что все лучи, выходящие из осевой точки предмета, не пересекаются в одной
точке, но пучок остается радиально симметричным.
Сферические волны - это волны, которые имеют волновые фронты в
виде концентрических сфер.
Сферохроматизм - различие сферической аберрации для различных
длин волн.
168
т
Телесный угол - участок пространства, ограниченный конусом; измеряется как отношение площади участка, вырезаемой конусом на сфере, к ее радиусу.
Телецентрический ход лучей - ход лучей, при котором главные лучи идут параллельно оптической оси.
Тонкая линза (тонкая оптическая система) - это линза или оптическая
система, осевой размер которой равен нулю. Тонкая линза представляется в виде совмещенных главных плоскостей.
Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля - поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен заряду заключенному внутри поверхности.
Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля - поток вектора
индукции магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Точечная диаграмма лучей - картина точек пересечения лучей, равномерно распределенных по зрачку, с плоскостью изображения.
Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля циркуляция вектора напряженности магнитного поля по любому замкнутому
контуру равна сумме токов, обычного и смещения, протекающих через поверхность, охваченную этим контуром.
Теорема о циркуляции вектора напряженности вихревого электрического поля - циркуляция вектора напряженности электрического поля по
любому замкнутому контуру равна сумме со знаком минус скорости изменения
магнитного потока пронизывающего этот контур.
Точечный источник - это источник, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до него, и который излучает поток, равномерный по всем направлениям.
у
Угловое увеличение оптической системы - это отношение тангенса
угла между лучом и оптической осью в пространстве изображений к тангенсу
сопряженного с ним угла в пространстве предметов.
Угол Брюстера - это угол, при котором происходит полная поляризация
естественного света при отражении.
Угол отражения - это угол между отраженным лучом и нормалью к поверхности в точке отражения.
Угол падения - это угол между лучом, падающим на преломляющую
или отражающую поверхность, и нормалью к поверхности в точке падения.
Угол преломления - это угол между преломленным лучом и нормалью к
поверхности в точке преломления.
Узловые точки - это точки на оптической оси, в которых угловое увеличение равно единице.
Ультрафиолетовое излучение (УФ) - оптическое излучение с длинами
волн от 80 до 400 нм
Уравнение Гельмгольца - волновое уравнение для монохроматического поля.
Уравнения Максвелла - уравнения, описывающие электромагнитное
поле в векторном виде.
169
ф
Фокус пучка - это точка, в которой пересекаются все лучи пучка.
Формулы Френеля - формулы, связывающие амплитуды падающей,
прошедшей и отраженной волн.
Функция видности - это относительная спектральная кривая эффективности монохроматического излучения, которая показывает, как глаз воспринимает излучение различного спектрального состава.
Функция рассеяния точки - это функция, описывающая зависимость
распределения освещенности от координат в плоскости изображения, если
предмет - это светящаяся точка в центре изопланатической зоны.
х
Хроматизм положения - это тип аберраций, при котором положение
плоскости изображения зависит от длины волны.
Хроматизм увеличения - это тип аберраций, при котором увеличение
оптической системы зависит от длины волны.
Хроматические аберрации - это проявление зависимости характеристик
оптической системы от длины волны света.
ц
Центрированная оптическая система - это оптическая система, которая имеет ось симметрии (оптическую ось) и сохраняет все свои свойства при
вращении вокруг этой оси.
ч
Частотно-контрастная характеристика - модуль ОПФ, показывает зависимость
передачи контраста
гармонического
объекта от
его пространственной частоты.
Частотно-фазовая характеристика - аргумент (фаза) ОПФ.
Число Аббе (коэффициент относительной дисперсии) νе - величина
вида (ne-1)/(nF –nC).
Число Штреля - отношение значения ФРТ в ее центре при наличии аберраций к ее значению в этой точке при отсутствии аберраций (показывает влияние малых аберраций на ФРТ).
Числовая
апертура произведение
синуса апертурного
угла на показатель преломления.
э
Эйконал - фаза светового поля, выраженная как оптическая длина хода
лучей данного пучка.
Электрическая индукция D - вектор смещения электрических зарядов в
среде.
Электрическая проницаемость ε - коэффициент, описывающий поведение вещества под действием электрического поля.
Электромагнитное излучение - электромагнитное поле, создаваемое
колеблющимся электрическим диполем и распространяющееся в пространстве.
Электромагнитное поле - переменное во времени электрическое и магнитное возмущение.
Энергетическая освещенность (облученность) - это поверхностная
плотность потока энергии, падающего на поверхность.
Энергетическая светимость - это поверхностная плотность потока
энергии, излучаемой поверхностью.
170
Энергетическая яркость L[Вт/срм2] - это величина потока, излучаемого единицей площади в единицу телесного угла в данном направлении.
Энергетический коэффициент пропускания  - это отношение прошедшего светового потока к падающему.
я
Яркость L[кд/м2]- это величина потока, излучаемого единицей площади
в единицу телесного угла в данном направлении.
Список основной литературы:
1. Бутиков, Е.И. Оптика: [учебное пособие] / Е.И. Бутиков. – 3-е изд., доп. –
М.: Лань, 2012. – 606 с.
Список дополнительных источников:
2. Ахманов, С.А. Физическая оптика: [учебное пособие] / С.А. Ахманов,
С.Ю.Никитин. – 2-е изд. – М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. – 654 с. : ил.
3. Нагибина, И.М. Прикладная физическая оптика: [учебное пособие] /
И.М. Нагибина, В.А. Москалев, Н.А. Полушкина, В.Л. Рудин. – 2-е изд. –
М.: Высш. шк., 2002. – 565 с.
4. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. – М.: Наука, 1985. – 751 с.
5. Ландсберг, Г.С. Оптика. – М.: Наука, 1976. – 926 с.
6. Матвеев, А.Н. Оптика. – М.: Высш. шк., 1985. – 351 с.
7. Борн, М. Основы оптики/ М. Борн М., Э.Вульф.– М.: Наука, 1970.– 855
с.
8. Калитеевский, Н.И. Волновая оптика. – М.: Высш. шк., 1995. – 493 с.
9. Поль, Р.В. Оптика и атомная физика. – М.: Наука, 1966. – 552 с.
10. Лебедева, В.В. Экспериментальная оптика. – М.: MГУ, 1994. – 364 с.
Электронный ресурс:
1. Бутиков, Е.И. Оптика : [учебное пособие] [Электронный ресурс] / Е.И.
Бутиков. – 3-е изд., доп. – М.: Лань, 2012. – 606 с. Режим доступа: URL
https://e.lanbook.com/book/2764#book_name.
2. Калитеевский Н.И. Волновая оптика : [учебное пособие] [Электронный
ресурс] / Н.И.Калитеевский – 5-е изд. – М.: Лань, 2008. – 480 с. : ил. Режим доступа: URL https://e.lanbook.com/book/173#book_name.
3. Алешкевич В.А. Курс общей физики. Оптика : [учебник] ] [Электронный
ресурс] /В.А. Алешкевич — М. : Физматлит, 2011. — 320 с.: ил. Режим
доступа: URL https://e.lanbook.com/book/2098#book_name
4. Ландсберг, Г.С. Оптика : [учебное пособие] [Электронный ресурс] / Г.С.
Ландсберг – 6-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. – 848 с. : ил. Режим доступа: URL https://e.lanbook.com/book/2238#book_name.
171
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Поволжский государственный университет
телекоммуникаций и информатики»
443010, г. Самара, ул. Льва Толстого, 23
________________________________________________________________
Подписано в печать 18.06.18 г. Формат 60х84/16.
Бумага офсетная № 1. Гарнитура Таймс
Заказ №
Печать оперативная. Усл. печ. л. Тираж
экз.
___________________________________________________________
Отпечатано в издательстве учебной и научной литературы
Поволжского государственного университета
телекоммуникаций и информатики
443090, г. Самара, Московское шоссе, 77, т.(846)228-00-44
172
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
3 402 Кб
Теги
zhukova, posobie, gluschenko, opticheskaya, ch2, uchebnoy, 2018, fizika
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа