close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Glushchenko Glushchenko osnovy fiziki kolebanij i spektry uchebnoe posobie 2018

код для вставкиСкачать
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Поволжский государственный университет
телекоммуникаций и информатики»
___________________________________________________
Кафедра физики
А.Г. Глущенко, Е.П. Глущенко
Основы физики колебаний
и спектры
Учебное пособие
Самара – 2018
1
УДК 537.8
БКК 22.3
Г55
Рекомендовано УМО РАЕ (Международной ассоциации ученых, преподавателей и специалистов по классическому университетскому и техническому образованию) в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений.
Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ, протокол
№ 37, от 18.04.2018 г.
Рецензент:
Андреев В.А. – д.т.н., профессор кафедры ЛС и ИТС ФГБОУ ВО ПГУТИ
Глущенко А.Г., Глущенко Е.П.
Г55 Основы физики колебаний и спектры: учебное пособие
(конспект лекций)/ А.Г. Глущенко, Е.П.Глущенко.– Самара: ФГБОУ
ВО ПГУТИ, 2018. – 163 с.
Учебное пособие включает материалы отдельного раздела курса
физики (колебательные процессы). Учебное пособие разработано в
соответствии с ФГОС ВПО по направлениям подготовки бакалавров
09.03.02 – Информационные системы и технологии, 10.03.01 – Информационная безопасность, 10.05.02 – Информационная безопасность телекоммуникационных систем, 11.05.01 – Радиоэлектронные
системы и комплексы, 11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии
и системы связи, 11.03.01 – Радиотехника, 12.03.03 – Фотоника и оптоинформатика. Содержит контрольные вопросы и предметный указатель. Предназначено для студентов 1 – 2 курсов факультета базового телекоммуникационного образования для практических занятий
и самостоятельной подготовки, может быть использовано студентами
других специальностей вузов.
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики».
 Глущенко А.Г., Глущенко Е.П. 2018
2
Содержание
Введение
Лекция 1. Колебания. Форма колебаний. Виды колебаний.
Классификация колебаний по характеру взаимодействия с
окружающей средой. Условия возникновения механических
колебаний. Характеристики колебательного процесса.
Гармонические колебания. Способы представления колебательных движений
Выводы, Контрольные вопросы
Лекция 2. Сложение гармонических колебаний одного
направления и одинаковой частоты. Биения. Сложение
взаимно перпендикулярных колебаний
Выводы, Контрольные вопросы
Лекция 3. Спектральное представление колебательных
процессов. Спектральное представление колебательных
процессов. Причины использования спектрального представления. Векторный анализ. Спектральный анализ. Периодические сигналы. Непериодические сигналы. Спектры
одиночного, экспоненциального, гауссова импульсов.
Спектр шума. Линейчатые, непрерывные, полосатые
спектры
Выводы, Контрольные вопросы
Лекция 4. Свободные колебания в системах с одной степенью свободы. Пружинный, математический, математический с пружиной, физический, конический, крутильный
(торсионный) маятники. Свободные колебания жидкости
в трубке, зарядов в электрическом контуре, в плазме
Выводы, Контрольные вопросы
Лекция 5. Фазовый портрет колебательной системы.
Фазовая плоскость, фазовая траектория, центр, узел,
седло, сепаратриса, притягивающий центр
Выводы, Контрольные вопросы
Лекция 6. Затухающие, вынужденные колебания. Резонанс. Свободные колебания пружинного маятника. Затухающие механические колебания крутильного маятника.
Добротность. Затухающие колебания в электрическом
5
6
16
18
27
29
49
50
64
66
73
75
3
контуре. Вынужденные электромагнитные колебания.
Установление колебаний. Резонанс
Выводы, Контрольные вопросы
Лекция 7. Колебательные системы с двумя степенями
свободы. Связанные колебания математических маятников. Синфазные колебания. Антифазные колебания. Биения.
Выводы, Контрольные вопросы
Лекция 8. Колебания систем со многими степенями
свободы. Колебания струны. Тоны и обертоны. Колебания
воздушного столба. Колебания струны, закрепленной с
двух концов.
Выводы, Контрольные вопросы
Лекция 9. Параметрические колебания. Автоколебания.
Выводы, Контрольные вопросы
Список основной литературы
Список дополнительной литературы
Приложение 1. Основные характеристики звука
Приложение 2. Добротность колебательных систем
Приложение 3. Резонаторы
Приложение 4. Основные формулы механических и электромагнитных колебаний
Приложение 5. Словарь терминов
Приложение 6. Электрические импульсы
96
99
107
109
118
120
128
129
129
131
138
141
151
153
160
4
Введение
На колебательных и волновых процессах основана работа всей
техники передачи и обработки информации. Такие понятия как гармонический осциллятор, принцип суперпозиции, спектральный подход,
фазовый портрет, нормальные и парциальные частоты и т.д. обладают
исключительно большой наглядностью и в совокупности позволяют
создать стройную, цельную и прозрачную картину физических процессов, происходящих в линейных и нелинейных колебательных системах
различной природы, в технических устройствах различного назначения.
Эта картина явлений позволяет понять принципы работы разрабатываемых в настоящее время устройств нанооптоэлектроники, фотоники,
плазмоники, призванных заменить исчерпавших свои возможности устройств электроники, радиотехники различных частотных диапазонов.
Вместе с тем, вопросы теории колебаний рассматриваются в разных
курсах в сравнительно узком плане, не позволяющем видеть общую
картину колебательных процессов. Информация разбросана в огромном числе литературных источников, обзор которых является отдельной задачей. В учебном пособии предпринята попытка собрать большое (но не исчерпывающее) число примеров колебательных процессов
вне относительно их физической природы, чтобы показать студентам
единую картину колебательных процессов. В курсе лекций вводятся
основные понятия и сведения из классической теории колебаний, необходимые для изучения специальных дисциплин при подготовке специалистов различных направлений по электротехнике, электронике,
радиотехнике, оптике, фотонике. Рассматривается предмет теории колебаний, их классификация, условия возникновения колебательных
процессов, формы преставления и описания, методы математического
анализа. Описаны причины особого внимания к гармоническим колебаниям. Приводятся основы метода спектрального анализа, методы качественного анализа колебательных процессов, фазовые портреты
колебаний. Изложены основные сведения о колебательных системах,
основные типы колебаний. Математический аппарат используется в той
мере, который необходим для понимания физических процессов в достаточно сложных процессах современных технических устройств и базовых элементов фотоники, оптоэлектроники и нанооптики.
5
Лекция. 1. Колебания.
Форма колебаний. Виды колебаний. Классификация колебаний по
характеру взаимодействия с окружающей средой. Условия возникновения механических колебаний. Характеристики колебательного
процесса. Гармонические колебания. Способы представления колебательных движений
Колебания – движения или процессы, которые характеризуются
определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы
широко распространены в природе и технике (например, качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д.). При колебательном
движении маятника периодически изменяется координата его центра
масс, в случае переменного тока периодически изменяются напряжение и ток в цепи. При этом характер процесса является общим для самых разнообразных колебательных систем и является предметом отдельного исследования. Независимо от физической природы колебаний, колебательные процессы описываются одинаковыми уравнениями
и имеют одинаковый характер поведения во времени. Отсюда следует
целесообразность единого подхода к изучению колебаний независимо
от их природы.
Колебания – повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения параметров состояний системы около точки равновесия. Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения; при
колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока в контуре.
Форма колебаний может быть разной. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в
процессе колебаний, полностью повторяются через равные промежутки
времени (рис. 1.1a-c). В противном случае колебания называются апериодическими. Выделяют важный частный случай гармонических колебаний (рис. 1.1c). Колебания, приближающиеся к гармоническим, называются квазигармоническими.
Колебания различной физической природы имеют много общих закономерностей и тесно взаимосвязаны c волнами. Исследованиями
этих закономерностей занимается обобщѐнная теория колебаний и
6
волн. Принципиальное отличие от волн: при колебаниях не происходит
переноса энергии, это, локальные, «местные» преобразования энергии.
Рис. 1.1. Форма колебаний
Виды колебаний. Колебания различаются по природе:
 механические (движение, звук, вибрация);
 электромагнитные (например, колебания в колебательном
контуре, объѐмном резонаторе, колебания напряжѐнностей электрического и магнитного полей в радиоволнах, волнах видимого
света и любых других электромагнитных волнах);
 электромеханические (колебания мембраны телефона, пьезокварцевого или магнитострикционного излучателя ультразвука);
 химические (колебания концентрации реагирующих веществ, при так называемых периодических химических реакциях);
 термодинамические (например, так называемое поющее
пламя и другие тепловые автоколебания, встречающиеся в акустике, а также в некоторых типах реактивных двигателей);
 колебательные процессы в космосе (большой интерес в
астрофизике представляют колебания яркости звезд цефеид (пульсирующие переменные звезды сверхгиганты, изменяющие блеск с
амплитудой от 0,5 до 2 звездной величины и периодом от 1 до 50
суток);
 колебания в биологических объектах.
Таким образом, колебания охватывают огромную область явлений природы и технических процессов.
Классификация колебаний по характеру взаимодействия с
окружающей средой:
7
свободные (или собственные) – это колебания в системе под
действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия. Свободные колебания подразделяются на колебания
незатухающие, затухающие, нарастающие. В реальных условиях
свободные колебания почти всегда затухающие. Например, колебания
груза на пружине, маятника, моста, корабля на волне, струны, колебания плазмы, плотности и давления воздуха при распространении в нѐм
упругих (акустических) волн. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной
(описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызывает затухание);
вынужденные – колебания, протекающие в системе под влиянием
внешнего периодического воздействия. При вынужденных колебаниях
может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание амплитуды
колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия;
автоколебания – колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы – механические часы). Характерным отличием автоколебаний от свободных колебаний является то, что их амплитуда
определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями;
параметрические – колебания, возникающие при изменении какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия;
случайные – колебания, при которых внешняя или параметрическая нагрузка является случайным процессом;
связанные колебания – свободные колебания взаимно связанных
систем, состоящих из взаимодействующих одиночных колебательных
систем. Связанные колебания имеют сложный вид вследствие того, что
колебания в одной части системы влияют через связь (в общем случае
диссипативную и нелинейную) на колебания в другой части системы;
колебания в структурах с распределенными параметрами
(длинные линии, резонаторы);
флуктуационные – происходящие в результате теплового движения вещества. Поскольку маятник, груз, контур участвуют в тепловом
движении материи, они совершают никогда не прекращающиеся флуктуационные колебания – один из видов броуновского движения. Флук8
туационные колебания в колебательных контурах, антеннах и т.д. –
важнейший фактор, ограничивающий чувствительность радиоприѐмников.
Условия возникновения механических колебаний.
1. Наличие одной или нескольких точек равновесия. Для возникновения
колебаний в системе необходимо вывести еѐ из положения равновесия. Например, для маятника сообщить ему кинетическую (удар, толчок), либо потенциальную (отклонение тела) энергию.
2. При выводе тела из положения устойчивого равновесия возникает
равнодействующая сила, направленная к положению равновесия. С
энергетической точки зрения это значит, что возникают условия для
постоянного перехода кинетической энергии в потенциальную, энергии
электрического поля в энергию магнитного поля и обратно.
3. Потери энергии системы за счет перехода в другие виды энергии
(часто в тепловую энергию) малы.
Характеристики колебательного процесса.
На рис.1.2 представлен график периодического изменения функции
f(t), которое характеризуется параметрами:
Амплитуда – максимальное отклонение колеблющейся величины от некоторого усреднѐнного еѐ значения для системы, А.
Период – наименьший промежуток времени, через который повторяются какие-либо показатели состояния системы (система
совершает одно полное колебание), T(c).
Рис.1.2. Периодическая функция времени
Частота – число колебаний в единицу времени, f (Гц, с−1), (в оптике принято частоту обозначать символом  (Гц, с−1)). Период колебаний T и частота f – обратные величины:
T
1
1
и f  .
f
T
9
В круговых или циклических процессах вместо характеристики «частота» обычно используется понятие круговая (циклическая) частота.
Круговая частота  (рад/с, Гц, с−1) показывает число колебаний
за 2 единиц времени:

2
 2f .
T
К этой величине следует относиться как к удобной вспомогательной
математической величине.
Фаза колебаний определяет состояние колебательной системы
в любой момент времени, . Измеряется в радианах (рад).
Фаза колебания в начальный момент времени (t = 0) называется начальной фазой, 0.
Гармонические колебания.
Гармоническое колебание – это колебание, при котором физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени
по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний может быть представлено в
виде:
xt   A cost  0  ,
где х – смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А – амплитуда колебаний; ω – циклическая частота,  t   t  0 – полная фаза колебаний,  0 – начальная фаза колебаний. Гармоническое колебание может рассматриваться
как проекция вектора амплитуды А, при его вращении с угловой скоростью ω (рис.1.3).
Рис. 1.3. Эволюция во времени смещения x при гармоническом движении
10
Мгновенная скорость является первой производной координаты по
времени:
  xt   A sint  0  .
Величина A  0 равна максимальной скорости движения точки
при гармонических колебаниях. Отметим, что при гармонических колебаниях скорость точки также изменяется по гармоническому закону.
Аналогично зависимость ускорения от времени является первой производной от скорости или второй производной от координаты:
a  xt    2 A cost  0  .
На рис. 1.4. и 1.5. показаны графики зависимостей координаты

x t  , скорости  t  и ускорения a t  точки, совершающей гармонические колебания. Все эти зависимости описываются гармоническими
функциями одного периода (одинаковой частоты), сдвинутыми друг
относительно друга на четверть периода (сдвиг фазы на  2 ). Между
нулями и экстремумами этих функций существуют очевидные соответствия: координата движущейся точки достигает максимального и минимального значения, когда ее скорость обращается в нуль; модуль скорости максимален, когда точка проходит через нулевую координату;
модуль ускорения максимален, когда скорость равна нулю, а отклонение точки максимально. Отметим, что ускорение при колебательном
процессе всегда противоположно по знаку смещению: a   2 x .
Рис.1.4. Эволюция во времени перемещения x, скорости  и ускорения a
при гармоническом движении
11
Рис. 1.5. Векторное представление и эволюция во времени перемещения x,
скорости  и ускорения a при гармоническом движении
Важное свойство гармонических колебаний: период и частота
этих колебаний не зависят от их амплитуды. Амплитуда колебаний
определяется начальными условиями, частота полностью определяется параметрами колебательной системы (собственные колебания) и
внешним воздействием (вынужденные колебания). Гармонические колебания возникают в физических системах различной природы, описываемых дифференциальными уравнениями:
xt    2 xt   0 .
Гармонические колебания выделяются из всех остальных
видов колебаний по следующим причинам:

Очень часто колебания с малой амплитудой, как свободные,
так и вынужденные, которые происходят в реальных системах, имеют
форму гармонических колебаний или очень близкую к ним.

Широкий класс периодических функций может быть разложен
на сумму тригонометрических компонентов с кратными частотами (разложение Фурье). Другими словами, любое колебание может быть представлено как сумма гармонических колебаний (лекция 3).

Для широкого класса систем откликом на гармоническое воздействие является также гармоническое колебание (свойство линейности), при этом взаимная связь воздействия и отклика является устойчивой характеристикой системы. Это позволяет свести исследование
12
прохождения колебаний произвольной формы через линейные структуры к решению систем алгебраических уравнений.
Не все колебания являются гармоническими, однако этот тип колебаний является простейшей моделью колебательного движения достаточно часто встречающегося в действительности. Название этого вида
движения связано с тем, что функции синус и косинус называются гармоническими функциями, как наиболее совершенные и изящные (соответствуют термину – гармония, греч. ἁρμονία – порядок, слаженность,
соразмерность, стройность – это комплекс понятий теории музыки).
Гармоничным в музыке называется приятное для слуха сочетание звуков.
Псевдогармоническое колебание – разновидность колебаний,
для которых возвращающая сила (сила, стремящаяся вернуть тело в
равновесное состояние) не является линейной по величине отклонения. Общий вид дифференциальных уравнений, описывающих псевдогармонические колебания, имеет вид:
m
d 2 xt 
 F x , x 2 , x 3 ,... .
2
dt


Если можно пренебречь всеми членами F нелинейными по x, то данное
уравнение переходит в уравнение гармонических колебаний.
Способы представления колебательных движений:
1. Аналитический. Колебательный процесс описывается в виде
периодической функции, например,
xt   A1 cost   A2 cos2t   ...
2. Табличный. Таблицы используются для записи и обработки результатов экспериментов (ранее часто использовались при астрономических наблюдениях).
3. Графический. Графический способ используется для визуального
наблюдения колебательного процесса во времени (например, изучение
формы колебаний с помощью осциллографа) или для анализа процесса, заданного в других формах (аналитическое, табличное).
Рассмотрим способ задания графика колебаний. По оси абсцисс откладывается время t, а по оси ординат – значение изменяющейся величины х (смещения, скорости, ускорения и др.). Для гармонических
колебаний этот график – косинусоида (см. рис. 1.4) или синусоида.
13
4. Спектральный способ. Колебательный процесс может быть описан спектральной характеристикой. По оси ординат откладывается амплитуда, а по оси абсцисс – частота гармонических колебаний. Так,
например, колебательный процесс, заданный функцией x=5cos4t (м)
будет представлен в этом случае вертикальным отрезком прямой длиной 5 м, проведенным от точки с координатой ω = 4 с-1 на оси абсцисс
(рис.1.6). Фаза пропорциональна частоте.
Рис. 1.6. Амплитудно-частотная характеристика гармонического колебания
5. Метод векторных диаграмм. Колебательный процесс описывается соответствующим ему вектором. Пусть величина х изменяется со
временем по закону xt   A cost  0  . На плоскости выбирают
координатную ось Ох. Из начала координат под углом  0 , равным
начальной фазе колебаний, проводят вектор A , модуль которого равен
амплитуде гармонического колебания A (рис. 1.7). Если вектор A вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью ω против часовой стрелки, то угол  между вращающимся вектором и осью Ох в
любой момент времени определится выражением   t  0 и равен
фазе колебания. Проекция конца вектора A на ось Ох будет изменяться
со временем по закону xt   A cost  0  . Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора длиной, равной амплитуде A, отложенного от произвольной точки оси под углом φ0, равным начальной
фазе, и вращающегося с угловой скоростью ω, равной циклической
частоте колебаний вокруг этой точки.
14
Рис.1.7. Векторная диаграмма гармонического колебания
6. Метод фазовых траекторий. Метод описания колебаний путем
построения траектории движения системы в плоскости x t  -  t  .
Пусть закон колебательного движения описывается периодической
функцией x t  . По известному закону движения можно определить
зависимость скорости от времени, как производную от координаты
 t   xt  . Введем на плоскости декартовую систему координат,
вдоль одной из осей которой будем откладывать координату точки, а
вдоль другой – ее скорость. Введенная таким образом система называется фазовой плоскостью. Две функции x(t) и v(t) в любой момент
времени определяют на этой плоскости некоторую точку, а геометрическое место этих точек образует некоторую непрерывную линию, которая называется фазовой траекторией или фазовым портретом.
Траектория движения точки в плоскости xt    t   xt 
называется фазовым портретом.
Особенно просто выглядит фазовая траектория гармонического колебания, при котором координата и скорость описываются функциями:
x  A cost  0  ,   A sint  0  .
Из этих уравнений следует, что уравнение фазовой траектории можно
записать в виде:
x   
  
 1,
 A   A 
2
2
которое является уравнением эллипса с полуосями A и A .
15
С помощью фазовой диаграммы (рис.1.8.) легко качественно (не проводя числовых расчетов) анализировать характер колебания.
Рис.1.8. Фазовая диаграмма
Например, для затухающих колебаний фазовая диаграмма будет представлять собой скручивающуюся спираль, при наличии усиления – спираль будет раскручиваться. При наличии нескольких положений устойчивости фазовая траектория может быть незамкнутой кривой.
Выводы:
Колебания – повторяющийся в той или иной степени во времени
процесс изменения состояний системы около точки равновесия.
Колебания различаются по природе: механические, электромагнитные, электромеханические, химические, термодинамические, колебания в биологических объектах.
Характеристики колебательного процесса: амплитуда, частота,
фаза, направление колебаний.
Способы представления колебательных движений: аналитический,
табличный, графический, спектральный, векторные диаграммы,
фазовый портрет.
Гармонические колебания являются простейшей моделью колебательного движения, достаточно часто встречающегося в действительности. Любое колебание может быть представлено как сумма
гармонических колебаний.
Колебания по характеру взаимодействия с окружающей средой подразделяются на свободные затухающие, вынужденные, параметрические, связанные, в распределенных системах.
16
Условием возникновения колебаний являются наличие устойчивых
положений равновесия, выведение системы из положения устойчивого равновесия.
Контрольные вопросы:
1. Определение колебательного процесса.
2. Опишите формы колебаний.
3. Каковы виды колебаний.
4. Опишите классификацию колебательных процессов.
5. Приведите характеристики колебательного процесса.
6. Каковы условия возникновения колебаний.
7. Опишите гармонические колебания.
8. Каковы способы представления колебательных движений.
9. Векторная диаграмма колебаний.
10. Что такое фазовая траектория, фазовый портрет?
17
Лекция 2. Сложение гармонических колебаний одного
направления и одинаковой частоты. Биения. Сложение взаимно
перпендикулярных колебаний
Сложение гармонических колебаний одного направления. Если
колеблющееся система или тело участвует в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание,
иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты:
 x1  A1 cos( 0 t  1 )

 x 2  A2 cos( 0 t   2 ),
воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды.
Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Сложение колебаний с помощью векторной диаграммы
Taк как векторы A1 и А2 вращаются с одинаковой угловой скоростью
0, то разность фаз    2  1 между ними остается постоянной.
Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет иметь вид:
x  x1  x 2  A cos(0 t  ).
В выражении амплитуда А и начальная фаза  соответственно задаются соотношениями, которые могут быть получены из анализа рис.2.1:
18
A2  A12  A22  2 A1 A2 cos( 2  1 ); tg 
A1 sin 1  A2 sin 2
.
A1 cos 1  A2 cos 2
Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях
одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и
складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания
зависит от разности фаз    2  1 складываемых колебаний.
Проанализируем выражение для результирующей амплитуды в зависимости от разности фаз    2  1 :
1)  2  1 = ±2m (т = 0, 1, 2, ...), тогда A = A1+A2, т. е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;
2)  2  1 = ±(2m+1) (т = 0, 1, 2, ...), тогда A = |A1–A2|, т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.
Биения. Для практики особый интерес представляет случай, когда
два складываемых гармонических колебания одинакового направления
мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний
получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой.
Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при
сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.
Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты близки,
равны  и  + , причем  << . Начало отсчета выберем так,
чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:
 x1  A cos t

 x 2  A cos(  )t.
Складывая эти выражения как сумму косинусов и, учитывая, что во
втором сомножителе /2 << , найдем результирующее колебание:
x  (2 A cos

t ) cos t.
2
Результирующее колебание можно рассматривать как гармониче
ское с частотой  , амплитуда которого изменяется по периодическому
закону:
19
Aб  2 A cos

t.
2
Частота изменения Аб в два раза больше частоты изменения косинуса
(так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот
складываемых колебаний: б   . Период биений: Tб  2 /  .
Характер результирующего колебания показан на рис. 2.2, где
сплошные жирные линии дают график результирующего колебания, а
огибающие их – график медленно меняющейся по уравнению амплитуды.
Определение частоты тона (звука определенной высоты биений
между эталонным и измеряемым колебаниями – наиболее широко
применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с
эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных
инструментов, анализа слуха и т. д.
Рис. 2.2. Биения
Сложение колебаний с помощью векторов имеет большие преимущества перед аналитическими методами при сложении большого
числа колебаний с одинаковыми частотами, например, при исследовании многолучевой интерференции.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Рассмотрим
материальную точку, участвующую в двух взаимно перпендикулярных
колебаниях по осям X и Y (рис. 2.3). Она будет двигаться по некоторой
20
криволинейной траектории, форма которой зависит как от соотношения
частот, так и от разности фаз обоих колебаний.
1) Пусть частоты складываемых колебаний одинаковы, а уравнения
колебаний имеют вид:
 x  a cos t
,

 y  b cost  
где: a и b – амплитуды складываемых колебаний вдоль осей X и Y;
 – разность фаз складываемых колебаний.
Рис. 2.3. Колебания в плоскости x0y
Система представляет собой уравнение искомой траектории в параметрической форме.
Чтобы получить уравнение траектории в явном виде, исключим параметр t из системы. Для этого разделим каждое уравнение системы на
соответствующую ему амплитуду и получим:
x
 cos t

a

 y  cost  

b
Используя тригонометрическое тождество
cos    cos  cos   sin  sin  ,
для второго уравнения после подстановки cost из первого уравнения получим:
y x
x2
 cos   sin  1  2
b a
a .
21
Или после преобразования:
x2
x y
y2

2
cos



 sin 2 
a2
ab
b2
.
Из аналитической геометрии известно, что это уравнение эллипса с
произвольно ориентированными осями, вписанного в прямоугольник со
сторонами 2a и 2b, ограничивающего пространство, в котором совершаются колебания (рис. 2.3). Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными. Ориентация относительно осей зависит
от разности фаз  .
Если А = В, то эллипс вырождается в окружность. Такие колебания
называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.
2) Рассмотрим частные случаи уравнения эллипса:
a) Пусть  = 0, тогда cos  = 1, sin  = 0 и уравнение примет
вид:
x2
x y y2

2

0,
a2
a b b2
или
y
b
x.
a
Это значит, что точка движется по прямой, совершая гармонические
колебания с частотой  из первой четверти координатной плоскости в
третью четверть (рис.2.4). Амплитуда такого колебания равна
A  a2  b2 .
Рис. 2.4. Траектория движения при  = 0
22
b) Пусть    , тогда cos  = –1, sin  = 0 и уравнение примет
вид:
x2
x y y2

2

0
a2
a b b2
или
y
b
x.
a
Это значит, что точка движется по прямой, совершая гармонические
колебания с частотой  из второй четверти координатной плоскости в
четвертую (рис. 2.5). В данном случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями; амплитуда такого колебания равна
A  a 2  b2
Рис. 2.5. Траектория движения при
  
с) Пусть     2 , тогда cos  = 0, sin  = 1 и уравнение (2.2)
примет вид:
x2
a2

y2
b2
1.
То есть точка движется по эллипсу (рис.2.6), оси которого совпадают с
осями координат, а полуоси равны a и b.
23
Рис. 2.6. Траектория движения при     2
При этом, если     2 , то точка движется по часовой стрелке,
если     2 , то против часовой стрелки.
d) Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на
малую величину Δ  , то можно считать, что они происходят с одинаковой частотой, а разность фаз медленно меняется по закону:
  t  0 .
В этом случае траектория будет медленно меняться, последовательно
проходя все этапы, показанные на рис. 2.7.
При разности фаз 0     груз движется по часовой стрелке, а
при     2 – против часовой стрелки. Типичным примером
двумерного осциллятора (маятника) является электрон в атоме, который движется вокруг ядра по эллиптической орбите с периодом обращения T~10-15 c. Можно считать, что такой электрон одновременно совершает два взаимно-перпендикулярных колебания с частотой
0  2 T  1016 c 1 .
24
Рис.2.7. Траектории движения точки при сложении колебаний с одинаковыми
частотами и различным сдвигом по фазе
3) Рассмотрим случай, когда частоты складываемых колебаний отличаются в два раза, например,  y  2 x ,   0 .
Система уравнений (1) примет вид:
 x  a  cos t

 y  cos 2t
Используя формулу косинуса двойного угла, получим уравнение параболы (рис.2.8)
 x2

y  b cos 2t  b(cos2 t  sin 2 t )  b(2 cos 2 t  1)  b 2 2  1
 a

25
Рис.2.8. Траектория движения при  y
 2 x ,   0
4) В общем случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы и кратны:
x
n
 ,
y m
то траектории результирующего движения имеют вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Эти фигуры вписаны в
прямоугольник 2a2b, ограничивающий колебания по осям X и Y. При
этом количество точек пересечения фигуры Лиссажу и оси X равно m, а
количество точек пересечения оси Y равно n.
Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 2.9 представлены фигуры
Лиссажу для различных соотношений частот и разности фаз. По форме
фигур можно определить неизвестную частоту, колебания которой подаются на одну из координатных осей по известной частоте колебаний,
которые подаются на взаимно-перпендикулярную ось, или определить
отношение частот складываемых колебаний. Анализ фигур Лиссажу —
широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.
Если кратность между частотами отсутствует, то траектории не являются замкнутыми и постепенно заполняют весь прямоугольник, экран
осциллографа за счет инерционности свечения «засвечивается».
26
Рис.2.9. Фигуры Лиссажу при разных соотношениях частот и фаз
Выводы:
При сложении однонаправленных колебаний с одинаковыми частотами в зависимости от разности фаз могут реализовываться условия
максимума или минимума.
При сложении однонаправленных колебаний с близкими частотами
наблюдается процесс биений, пульсирующее увеличение и уменьшение амплитуды результирующего колебания.
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами наблюдаются фигуры Лиссажу.
По форме фигур можно определить неизвестную частоту или определить отношение частот складываемых колебаний.
27
Контрольные вопросы:
1. Сложение однонаправленных колебаний методом векторных диаграмм. Преимущества метода векторных диаграмм.
2. Какие фигуры могут быть получены при сложении колебаний с
одинаковыми частотами.
3. Какая картина наблюдается при сложении колебаний с близкими,
но различными частотами.
4. Что такое биения? Чему равна частота биений? Период?
5. Какова траектория точки, участвующей одновременно в двух
взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковыми
периодами? Когда получается окружность? Прямая?
6. При каком условии получается парабола?
7. Как по виду фигур Лиссажу можно определить отношение частот
складываемых колебаний?
28
Лекция 3. Спектральное представление колебательных процессов. Причины использования спектрального представления.
Векторный анализ. Спектральный анализ. Периодические сигналы. Непериодические сигналы. Спектры одиночного, экспоненциального, гауссова импульсов. Спектр шума. Линейчатые, непрерывные, полосатые спектры
Обычной и естественной системой отсчета является время. Мы наблюдаем, как развивается то, или иное событие во времени. Для наблюдения изменения во времени мгновенных значений величины какого-то электрического явления (или любого другого явления, переведенного в напряжение посредством надлежащего преобразователя) можно
использовать осциллограф. Иными словами, осциллограмма часто используется для наблюдения формы сигнала во временной области.
Частотная представление – альтернатива временному описанию.
На рис 3.1 показано временное и частотное представление сигнала,
состоящего из двух частотных составляющих. В частотной области показаны амплитуды каждой синусоидальной волны в спектре в зависимости от частоты. Как видно, в данном случае спектр состоит лишь из
двух волн.
Рисунок 3.1. Связь между временной и частотной областью
Спектр – это набор синусоидальных волн, которые, будучи определенным образом скомбинированы, дают изучаемый нами сигнал во временной области.
29
Теория Фурье гласит, что любое электрическое явление во временной области может быть представлено также одной или комбинацией
синусоидальных волн с соответствующими частотами, амплитудами и
фазами. То есть можно преобразовать сигнал во временной области в
его эквивалент в частотной области. Использование модели гармонических колебаний позволяет описывать сложные периодические движения.
Периодические сигналы. Еще в 1822 году французский физик и
математик Жан Батист Жозеф Фурье в своей работе «Аналитическая
теория теплоты» показал, что любая периодическая функция может
быть представлена в виде суммы гармонических функций (то есть синусов и косинусов), причем частоты этих функций являются кратными
основной частоте. Так, если период некоторой функции f(t) равен T, то
эта функция может быть представлена в виде суммы (разложения Фурье):
f t   a o  a1 cos t  b1 sin t   a 2 cos 2t  b2 sin 2t  
a
3
cos 3t  b3 sin 3t   ...  a 0 
 a
k
cos kt  bk sin kt 
k
где ω = 2π/T, а коэффициенты Фурье a0 ,an ,bn рассчитываются по
формулам:
a0 

1 
1
 f x dx , a n    f x  cos nxdx, n  1,2,3...
2  


bn 
1
f x  sin nxdx, n  1,2,3...
 

В общем случае ряд Фурье должен содержать бесконечно много
слагаемых, однако в большинстве практически значимых случаев коэффициенты этого разложения достаточно быстро убывают с ростом
номера n (и соответствующей частоты ωn = n2π/T), поэтому практически всегда с достаточной степенью точности можно ограничиться относительно небольшим числом слагаемых. С разложением периодической функции хорошо знакомы музыканты, которые знают, что каждой
ноте (основному тону), взятой на любом музыкальном инструменте соответствует целый набор кратных частот (обертонов). Набор этих колебаний с кратными частотами составляет тембр звука. Член ряда Фурье с частотой ω: a1 cos t  b1 sin t называется первой гармоникой.
30
Если колебания среды носят синусоидальный характер, сигнал называют гармоническим или чистым. Несколько гармонических сигналов
образуют совокупность, называемую сложным звуком. В этом случае
чистый звук с наименьшей частотой называют основным тоном, а остальные - обертонами. Если колебания носят непериодический произвольный характер, то такой звук называют шумом (рис.3.2).
Рис. 3.2. Типовые колебания воздуха
Примеры.
1. На рис. 3.3. изображены два синусоидальных колебания, частоты которых относятся как 1:5, а отношение амплитуд выбрано 5:1, и
результат сложения этих колебаний f1  3 sin t и f 5  sin 5t :
f r  3 sin t  sin 5t
Рис. 3.3. Сложение двух колебаний cо значительно различающимися частотами (отношение частот 5:1, отношение амплитуд 1:3)
2. На рис. 3.4 представлена сумма двух колебаний с одинаковой
амплитудой, но несколько отличающимися частотами f 9  9 sin t ,
f 10  sin 10t и сумма этих колебаний f r  sin 9t  sin 10t , пред-
31
ставляющая собой синусоидальное колебание с периодически изменяющейся амплитудой. Такую форму колебаний называют биениями.
Рис. 3.4. Сложение двух синусоидальных колебаний с равными амплитудами и близкими частотами (соотношение частот 10:9)
Рис.3.5. Последовательность прямоугольных импульсов, три первые
гармоники и их сумма fr
Последовательность прямоугольных импульсов (рис.3.5) также
можно представить в виде суммы простых синусоидальных колебаний.
32
В соответствии с теорией рядов Фурье точное равенство негармонического сигнала сумме гармоник имеет место только при бесконечно
большом числе гармоник. Расчет гармонических составляющих на ПК
позволяет анализировать любое число гармоник, которое определяется целью расчета, точностью и формой негармонического воздействия.
Если длительность сигнала  независимо от его формы много меньше
периода T, т.е.  << T, то амплитуды гармоник будут убывать медленно, и для более полного описания сигнала приходится учитывать
большое число членов ряда. Эту особенность можно проследить для
сигналов, представленных в таблице 1, при выполнении условия  <<
T. Если негармонический сигнал по форме близок к синусоиде (например, сигналы 2 и 3), то гармоники убывают быстро, и для точного описания сигнала достаточно ограничиться тремя – пятью гармониками
ряда.
Разложение в ряд Фурье периодических функций
Таблица1
График f(t)
Разложение в ряд Фурье функции Примечание
f(t)
k=1,3,5,...
k=1,3,5,...
k=1,3,5,...
k=1,2,3,4,5
k=1,3,5,...
k=1,2,3,4,5
33
k=1,2,3,4,..
k=1,2,4,6,..
Как видно из формулы ширина спектра зависит только от длительности импульса и не зависит от его периода.
Рис. 3.6 – Спектральное представление последовательности прямоугольных
импульсов: а) временная диаграмма; б) спектральная диаграмма амплитуд; в)
спектральная диаграмма фаз
Преобразование Фурье также может быть осуществлено и из частотной области во временную. В этом случае, опять же, теоретически
нам надо знать все спектральные составляющие в диапазоне частот до
±∞. На самом же деле, производя измерения только в той области частот, в которой содержится наибольшая часть энергии сигнала, можно
получить вполне приемлемые результаты. При преобразовании Фурье
из частотной области во временную очень важно знать фазу спектральных составляющих. Например, прямоугольный периодический
сигнал, переведенный в частотную область и обратно, может превратиться в пилообразный, если не были определены фазы.
Спектр сигнала в радиотехнике – это результат разложения сигнала
на более простые в базисе ортогональные функции. В радиотехнике в
34
качестве базисных функций часто используют синусоидальные функции. Это объясняется рядом причин:

гармоническое колебание легко реализуемо на практике.

функции cost ,sint являются простыми и определены при
всех значениях t, являются ортогональными и составляют полный набор при кратном уменьшении периода;

гармоническое колебание является единственной функцией
времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через
линейную систему с постоянными параметрами, могут только изменяться амплитуда и фаза;

для гармонических функций имеется математический аппарат
комплексного анализа.
Кроме гармонического ряда Фурье применяются и другие виды разложений: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, Лежандра, полиномам
Чебышева и др. В цифровой обработке сигналов для анализа применяются дискретные преобразования: Фурье, Хартли, вейвлетные и др.
Причины использования спектрального представления. Расчет
физических процессов в частотном представлении имеет огромные
преимущества для линейных процессов, поскольку позволяет заменить
сложную процедуру решения дифференциальных уравнений решением
алгебраических уравнений. Сигнал может быть разложен на отдельные
синусоидальные волны, или спектральные составляющие, которые
затем можно исследовать независимо друг от друга. Каждая такая волна описывается амплитудой и фазой. Если сигнал, который мы хотим
исследовать, - периодический, то по теории Фурье, составляющие его
синусоидальные волны будут разнесены в частотной области на 1/Т,
где Т – это период сигнала. Измерения в частотной области способны
показать, сколько энергии имеется на каждой конкретной частоте.
Зачем нужно рассчитывать спектры сигналов? Это позволяет поновому взглянуть на сигнал, лучше понять его природу, найти характерные частоты сигнала (если их несколько, то по виду самого сигнала
это может быть затруднительно). Например, складывая две синусоиды
можно добиться весьма разнообразных форм сигнала. Посмотрев
только на временную форму, не всегда можно понять, что такой сигнал
можно представить как результат сложения всего двух синусоид. На
спектре это видно. Если в спектре присутствует несколько пиков, а
большая часть составляющих равна нулю, то можно добиться гранди35
озного сжатия информации. Всего несколько чисел – положение пиков
и амплитуды соответствующих гармоник, но в них заключена практически вся информация о свойствах сигнала.
При обработке медицинских сигналов требуется строить диагностические критерии, признаки того или иного заболевания. Расчет спектральных характеристик (частот, амплитуд гармоник, скорости спадания амплитуды с ростом частоты и т.д.) – один из способов их поиска.
Еще одним приложением спектрального анализа является фильтрация сигналов.
Анализ частоты, амплитуды и фазы сигнала, дающих полную информацию о сигнале, называется векторным анализом сигнала.
Анализ сигнала не включающий определения фазовых соотношений между синусоидальными составляющими называется спектральным анализом.
У частотной области есть свои плюсы. Частотная область гораздо
удобнее в плане измерений. Те, кто занимаются беспроводной связью,
заинтересованы в определении внеполосного и паразитного излучения.
Сотовые системы должны проверяться на наличие гармоник несущего
сигнала, которые могут вносить помехи в работу других систем, оперирующих на той же частоте, что и гармоники. Инженеры часто обеспокоены искажением сообщений, транслирующихся с модуляцией несущего сигнала. Интермодуляция третьего порядка (когда две составляющие сложного сигнала, модулируют друг друга) может причинить
много проблем, поскольку компоненты искажения могут попасть в интересуемую полосу частот и не будут надлежащим образом отфильтрованы. Наблюдение за спектром – еще одна важная сторона измерений
в частотной области. Государственные регулирующие структуры
распределяют различные частоты для различных радио-служб: телевизионное и радиовещание, сотовая связь, связь правоохранительных органов и спасательных служб, а также множество иных организаций. Каждая служба должна работать только на определенной для
нее частоте в пределах выделенной полосы канала. Для усилителей и
других компонентов систем ключевым параметром является количество энергии сигнала, просачивающейся в соседние каналы и порождающей интерференцию. Нежелательное излучение, будучи передано
в эфир или по проводам, может затруднить работу других систем. Означает ли это, что измерения во временной области можно вообще не
36
проводить? Временная область является предпочтительной для многих
измерений, а для некоторых является единственно возможной. К примеру, только во временной области можно измерить длительность
фронта и спада импульса, выбросы и биения.
Непериодические сигналы. Непериодические сигналы можно
представить в виде интеграла синусоидальных сигналов с непрерывным спектром частот. Например, спектральное разложение идеального
импульса (единичной мощности и нулевой длительности) имеет составляющие всего спектра частот, от - ∞ до + ∞ (рис.3.8).
Рис.3.8. Спектральное представление одиночного импульса
Чтобы представить в виде гармоник непериодический сигнал не на
конечном интервале, а на всей оси, необходимо использовать множество гармоник с непрерывным набором частот. Такое представление
можно записать следующим образом:

x(t ) 
 A() sin(t  ())d .

То есть суммируются синусоиды с разными частотами, у каждой
своя амплитуда и начальная фаза. Каждая составляющая синусоида
называется также гармоникой, а набор всех гармоник называют спектральным разложением исходного сигнала. Формулы для краткости и
удобства аналитических расчетов принято писать в комплексной форме:

x(t ) 
1
X ()e it d ,
2  


X () 
 x(t )e
 it
dt .

Здесь X ()  Aei  a()  ib() , действительная часть этой
величины a() , а мнимая – b() . Эти выражения называют прямым
преобразованием и обратным преобразованием Фурье.
37
Техника нахождения спектра любого сигнала хорошо известна. Для
некоторых сигналов, которые хорошо описываются аналитически (например, для последовательности прямоугольных импульсов одинаковой длительности и амплитуды), спектр легко вычисляется на основании формул Фурье. Для сигналов произвольной формы, встречающихся на практике, спектр можно найти с помощью спектральных анализаторов, которые измеряют спектр реального сигнала и отображают амплитуды составляющих гармоник на экране или выводят на принтер.
При передаче импульсных сигналов, характерных для компьютерных
сетей, искажаются низкочастотные и высокочастотные гармоники, в
результате фронты импульсов теряют свою прямоугольную форму
(рис. 3.9). Вследствие этого на приемном конце линии сигналы могут
плохо распознаваться.
Рис.3.9. Искажение импульсов в линии
Линия связи искажает передаваемые сигналы из-за того, что ее физические параметры отличаются от идеальных. Так, например, медные
провода всегда представляют собой некоторую распределенную по
длине комбинацию активного сопротивления, емкостной и индуктивной
нагрузки. В результате для синусоид различных частот линия будет
обладать различным полным сопротивлением, а значит, и коэффициентом передачи. Волоконно-оптический кабель за счет дисперсии дает
искажение сигнала. Если линия связи включает промежуточную аппаратуру, то она также может вносить дополнительные искажения, так как
невозможно создать устройства, которые бы одинаково хорошо передавали весь спектр сигнала, от нуля до бесконечности. Кроме искаже38
ний сигналов, вносимых внутренними физическими параметрами линии
связи, существуют и внешние помехи, которые вносят свой вклад в искажение формы сигналов на выходе линии. Эти помехи создают различные электрические двигатели, электронные устройства, атмосферные явления и т.д. Несмотря на защитные меры, предпринимаемые
разработчиками кабелей и усилительно-коммутирующей аппаратуры,
полностью компенсировать искажение не удается. Поэтому сигналы на
выходе длинной линии связи обычно имеют сложную форму, по которой иногда трудно понять, какая информация была подана на вход линии.
Одиночный прямоугольный импульс. Пусть дан прямоугольный
импульс с амплитудой А и длительностью  . На оси времени он задан
положением середины импульса t0 (рис.3.10).
Рис. 3.10. Прямоугольный импульс
Аналитически сигнал можно описать следующим образом.
 0 при t  t 0   2
при t 0   2  t  t   2
 0 при t  t   2
0


f t    A
Определим выражение для спектральной плотности.
F  
t0   2

A exp it dt 
t0   2
sin  
t0   2
A
2 exp it 
exp it  t   2  A
0
0

 i

2
На частоте  = 0 спектральная плотность равна F(0) = Aτ.
На рис. 3.11 изображены графики АЧХ и ФЧХ прямоугольного импульса с учетом знака синуса.
39
Рис.3.11. Графики АЧХ и ФЧХ прямоугольного импульса
Энергия сигнала, ограниченного первым лепестком спектральной
плотности, составляет 90% мощности прямоугольного импульса.
Экспоненциальный
импульс.
Определим
спектральную
плотность экспоненциального импульса вида
0
при t  0

f t   
 A exp t  при t  0,   0,
изображенного на рис. 3.12.
b)
а)
Рис. 3.12. Временная и спектральная характеристики экспоненциального
импульса
В этом случае

F    A exp t  exp it dt 
0
A

  i


exp  iarctg  Гра


 
A
2
2
фики АЧХ и ФЧХ показаны на рис.3.13.
40
На частоте   0 спектральная плотность F 0  A /  ; при
   : F   A /  ; при    F   A exp i / 2 ; на частоте

   : F   A
2
exp i / 4 .
Таким образом, спектральная плотность экспоненциального импульса не имеет нулей и плавно уменьшается с увеличением частоты.
Гауссов импульс.
Колоколообразный (гауссовский) импульс
определяется выражением:
 t2
f t   A exp 
2
 2

 ,    t   .

Во временной области он изображен на рис. 3.13 а. Условно длительность такого импульса определяют по уровню exp(-1/2) от амплитуды.
Спектральная плотность определяется через интеграл Фурье:

 t2
F   A exp 
2
 2



 exp it dt  A 2a exp a 2  2 / 2 .

Таким образом, спектральная плотность гауссова импульса является действительной функцией частоты (т.к. сигнал задан четным образом), модуль которой также является гауссовским импульсом (рис. 13
b).
а)
b)
Рис. 3.13. Временная и спектральная характеристики гауссова импульса
Т.е. гауссовскому спектру соответствует гауссовый импульс, причем, чем шире полоса спектра, определяемая на уровне е-1/ 2 от максимума величиной b, тем уже условная длительность импульса, определяемая величиной а = 1/b, и наоборот.
41
Спектр широкополосного случайного процесса. Белый шум.
Случайный процесс может быть назван широкополосным, если
эффективная полоса частот его спектральной плотности мощности
сравнима со средней частотой этой полосы, либо эта полоса
значительно шире полосы пропускания цепи, через которую проходит
данный сигнал.
Если случайный процесс обладает равномерным энергетическим
спектром в бесконечно широкой полосе частот   ,  , то такой шум
называют белым по аналогии с белым светом, имеющим в видимой
части равномерный сплошной спектр. На рис. 3.14 показана спектральная характеристика белого шума, где f    F0 .
Рис. 3.14. Спектр «белого» шума
Безусловно, такое представление случайного сигнала является
идеализацией. В то же время такая идеализация вполне применима,
когда АЧХ исследуемой цепи дает возможность считать спектральную
плотность на входе приближенно постоянной.
Использование понятия белого шума позволяет находить все необходимые характеристики случайного процесса на выходе радиосистемы только через собственные параметры радиоцепей, входящих в ее
состав. Законы распределения плотности вероятности белого шума
могут быть любыми и часто их удобно считать нормальными.
К белому шуму обычно относят сигналы, имеющие игольчатую
структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами. Шум, имеющий равномерную плотность мощности в полосе частот (-f1, f1), также
называется широкополосным.
На практике спектр измеряют при помощи специальных приборов:
анализаторов спектра.
Спектральный
анализ.
Спектр (лат. spectrum «видение»)
в физике — распределение значений физической величины
42
(обычно энергии, частоты или массы). Графическое представление
такого распределения называется спектральной диаграммой. Обычно
под спектром подразумевается электромагнитный спектр – спектр частот (или то же самое, что энергий квантов) электромагнитного излучения.
В научный обиход термин спектр ввѐл Ньютон в 1671–1672 годах
для обозначения многоцветной полосы, похожей на радугу, которая
получается при прохождении солнечного луча через треугольную стеклянную призму.
Исторически раньше всех прочих спектров было начато исследование оптических спектров. Первым был Исаак Ньютон, который в своѐм
труде «Оптика», вышедшем в 1704 году, опубликовал результаты своих
опытов разложения с помощью призмы белого света на отдельные
компоненты различной цветности и преломляемости, то есть получил
спектры солнечного излучения, и объяснил их природу, показав, что
цвет есть собственное свойство света, а не вносятся призмой, как утверждал Роджер Бэкон в XIII веке. В «Оптике» он описал все три используемых поныне метода разложения света – преломление, интерференцию и дифракцию, а его призма с коллиматором, щелью и линзой была первым спектроскопом.
Следующий этап наступил через 100 лет, когда Уильям Волластон в 1802 году наблюдал тѐмные линии в солнечном спектре, но не
придал своим наблюдениям значения. В 1814 году эти линии независимо обнаружил и подробно описал Фраунгофер (сейчас линии поглощения в солнечном спектре называются линиями Фраунгофера), но не
смог объяснить их природу. Фраунгофер описал свыше 500 линий в
солнечном спектре и отметил, что положение линии D близко к положению яркой жѐлтой линии в спектре пламени.
В 1854 году Кирхгоф и Бунзен начали изучать спектры пламени, окрашенного парами металлических солей, и в результате ими были заложены основы спектрального анализа, первого из инструментальных
спектральных методов – одних из самых мощных методов экспериментальной науки.
43
Рис. 3.15. Спектроскоп Кирхгофа Бунзена
Annalen der Physik und der Chemie (Poggendorff), Vol. 110 (1860)
Работа Кирхгофа позволила объяснить природу фраунгоферовых
линий в спектре Солнца и определить химический (или, точнее, элементный) состав его атмосферы.
Фактически, спектральный анализ открыл новую эпоху в развитии
науки – исследование спектров как наблюдаемых наборов значений
функции состояния объекта или системы оказалось чрезвычайно плодотворным и, в конечном итоге, привело к появлению квантовой механики: Планк пришѐл к идее кванта в процессе работы над теорией
спектра абсолютно чѐрного тела.
В 1910 году были получены первые неэлектромагнитные спектры: Дж. Дж. Томсон получил первые масс-спектры, а затем в 1919
году Астон построил первый масс-спектрометр. С середины XX века, с
развитием радиотехники, получили развитие радиоспектроскопические,
в первую очередь магнито-резонансные методы – спектроскопии ядерного магнитного резонанса (ЯМР – спектроскопия, являющаяся сейчас
одним из основных методов установления и подтверждения пространственной структуры органических соединений), электронного парамагнитного резонанса (ЭПР), циклотронного резонанса (ЦР), ферромагнитного (ФР) и антиферромагнитного резонанса (АФР).
Другим направлением спектральных исследований, связанным с
развитием радиотехники, стала обработка и анализ первоначально
звуковых, а потом и любых произвольных сигналов.
44
Рис. 3.16. Два представления оптического спектра: сверху «естественное»
(видимое в спектроскопе), снизу — как зависимость интенсивности I от длины
волны  , мкм
На рис. 3.16 показан комбинированный спектр излучения Cолнца.
Отмечены линии поглощения бальмеровской серии водорода.
По физической величине спектры могут быть дискретными (линейчатыми), непрерывными (сплошными), а также представлять
комбинацию (наложение) дискретных и непрерывных спектров.
Примерами линейчатых спектров по характеру распределения значений могут служить масс-спектры и спектры связанно-связанных электронных переходов атома; примерами непрерывных спектров –
спектр электромагнитного излучения нагретого твердого тела и спектр
свободно-свободных электронных переходов атома; примерами комбинированных спектров – спектры излучения звѐзд, где на сплошной
спектр фотосферы накладываются хромосферные линии поглощения
или большинство звуковых спектров.
Другим критерием типизации спектров служат физические процессы, лежащие в основе их получения.
Так, по типу взаимодействия излучения с материей, спектры делятся на эмиссионные (спектры излучения), адсорбционные (спектры поглощения) и спектры рассеивания.
Спектры произвольных сигналов: частотное и временное
представления. В 1822 году Фурье, занимавшийся теорией
распространения тепла в твѐрдом теле, опубликовал работу
45
«Аналитическая теория тепла», сыгравшую значительную роль в
последующей истории математики. В этой работе он описал метод
разделения переменных (преобразование Фурье), основанный на
представлении периодических функций тригонометрическими рядами
(ряды Фурье). Фурье также сделал попытку доказать возможность
разложения в тригонометрический ряд любой произвольной функции,
и, хоть его попытка оказалась неудачна, она, фактически, стала
основой современной цифровой обработки сигналов.
Оптические спектры, например, Ньютоновский, количественно описываются функцией зависимости интенсивности излучения от его длины волны F   или, что эквивалентно, от частоты F   , то есть
функция F   задана на частотной области (frequency domain). Частотное разложение в этом случае выполняется анализатором спектроскопа – призмой или дифракционной решеткой.
В случае акустики или аналоговых электрических сигналов ситуация
другая: результатом измерения является функция зависимости интенсивности от времени f t  , то есть эта функция задана на временной
области (time domain). Но, как известно, звуковой сигнал является суперпозицией звуковых колебаний различных частот. То есть такой
сигнал можно представить и в виде «классического» спектра, описываемого F   . Преобразование Фурье однозначно определяет соответствие между f t  , F   и лежит в основе Фурье-спектроскопии.
Спектральный анализ – совокупность методов качественного и количественного определения состава среды, основанная на изучении
спектров взаимодействия материи с излучением, включая спектры
электромагнитного излучения, акустических волн, распределения по
массам и энергиям элементарных частиц и др. (рис.3.17)
В зависимости от целей анализа и типов спектров выделяют несколько методов спектрального анализа. Атомный и молекулярный
спектральные анализы позволяют определять элементный и молекулярный состав вещества, соответственно. В эмиссионном и абсорбционном методах состав определяется по спектрам испускания и поглощения.
Масс-спектрометрический анализ осуществляется по спектрам
масс атомарных или молекулярных ионов и позволяет определять изотопный состав объекта.
46
Рис.3.17. Излучение вещества
Принцип исследования. Атомы каждого химического элемента
имеют строго определѐнные резонансные частоты, в результате чего
именно на этих частотах они излучают или поглощают свет (рис. 3.18).
Рис. 3.18. Типы спектров
Это приводит к тому, что в спектроскопе на спектрах видны линии
(тѐмные или светлые) в определѐнных местах, характерных для каждого вещества. Интенсивность линий зависит от количества вещества и
его состояния. В спектральном анализе определяют содержание ис47
следуемого вещества по относительной или абсолютной интенсивностям линий или полос в спектрах.
Оптический спектральный анализ характеризуется простотой выполнения, отсутствием сложной подготовки проб к анализу, незначительным количеством вещества (10 – 30 мг), необходимого для анализа.
Атомарные спектры (поглощения или испускания) получают переведением вещества в парообразное состояние путѐм нагревания пробы до 1000 – 10000 °C. В качестве источников возбуждения атомов при
эмиссионном анализе токопроводящих материалов применяют искру,
дугу переменного тока; при этом пробу помещают в кратер одного из
угольных электродов. Для анализа растворов широко используют пламя или плазму различных газов.
Линейчатые спектры дают все вещества в газообразном атомарном состоянии.
Непрерывные спектры дают тела, находящиеся в твердом, жидком состоянии, а также сильно сжатые газы.
Полосатые спектры в отличие от линейчатых спектров создаются
не атомами, а молекулами, не связанными или слабо связанными друг
с другом. Полосатые спектры имеют твердые тела (рис.3.19).
Рис.3.19. Спектры некоторых химических элементов
48
Выводы:
Частотное представление – альтернатива временному описанию.
Любая периодическая функция может быть представлена в виде
суммы гармонических функций (то есть синусов и косинусов), причем
частоты этих функций являются кратными основной частоте.
Непериодические сигналы можно представить в виде интеграла синусоидальных сигналов с непрерывным спектром частот.
Спектральный анализ – совокупность методов качественного и количественного определения состава среды, основанная на изучении
спектров взаимодействия материи с излучением, включая спектры
электромагнитного излучения, акустических волн, распределения по
массам и энергиям элементарных частиц и др.
Линейчатые спектры дают все вещества в газообразном атомарном состоянии. Изолированные атомы излучают строго определенные длины волн.
Непрерывные спектры дают тела, находящиеся в твердом, жидком
состоянии, а также сильно сжатые газы.
Полосатые спектры в отличие от линейчатых спектров создаются
не атомами, а молекулами, не связанными или слабо связанными друг
с другом. Полосатые спектры имеют твердые тела.
Контрольные вопросы:
1. Что такое спектр?
2. Причины использования спектрального представления.
3. Виды спектров излучения.
4. Что такое спектральный анализ колебаний?
5. Что такое векторный анализ колебаний?
6. Виды спектрального анализа.
7. Частотная представление – альтернатива временной области.
8. Причины использования гармонических функций в качестве базисных функций.
9. Что такое гармонический сигнал, основной тон, обертоны, шум?
10. Спектры прямоугольного импульса и последовательности прямоугольных импульсов.
11. Отличие спектров периодического сигнала и одиночного сигнала.
12. Запишите и нарисуйте спектр гауссова импульса.
49
Лекция 4. Свободные колебания в системах с одной степенью свободы. Пружинный, математический, математический с пружиной,
физический, конический, крутильный (торсионный) маятники. Свободные колебания жидкости в трубке, зарядов в электрическом
контуре, в плазме
Пружинный маятник. Опишем движение небольшого бруска
массой m, расположенного на гладкой горизонтальной поверхности и
прикрепленного к неподвижному упору с помощью легкой пружины
жесткости k.
Рис.4.1. Пружинный маятник
Положение бруска будем описывать с помощью декартовой координаты x, начало отсчета, которой совместим с положением, в котором пружина не деформирована. При отклонении бруска от положения равновесия на него будет действовать сила упругости пружины F, направленная к положению равновесия, ее модуль определяется законом Гука: F =- kx. На основании второго закона Ньютона и, пренебрегая трением, запишем уравнение, описывающее движение бруска:
ma  kx ,
или после преобразований:
d 2x
 02 x  0 .
2
dt
Решение этого уравнения имеет вид:
xt   a cos0t  0  ,
где 0 
(1)
k
– циклическая частота собственных колебаний. Частоm
та собственных колебаний
0 
0
2
k
m
50
не зависит от их амплитуды при малой амплитуде (пока выполняется
линейный закон Гука). Период колебаний бруска равен
Т
2

 2
m
.
к
Полученные формулы для частоты и периода колебаний легко объяснимы: частота колебаний возрастает с ростом жесткости пружины и
убывает при возрастании массы груза. Колебания, возникающие под
действием внутренних возвращающих консервативных сил, называются свободными.
Рассмотрим теперь описание движения небольшого шарика массой
m, подвешенного на легкой пружине жесткостью k (рис.4.2).
Рис. 4.2. Вертикальный пружинный маятник
Направим ось Ox вертикально вниз, начало отсчета совместим с положением недеформированной пружины. В процессе движения на шарик
действуют сила тяжести mg и сила упругости Fупр, модуль которой определяется законом Гука Fупр =- kx. Уравнение второго закона Ньютона
в проекции на введенную ось имеет вид:
ma  mg  kx .
(2)
Так как сила упругости зависит от координаты шарика (следовательно,
не постоянна), то движение шарика не будет равноускоренным. Преобразуем уравнение (2) к виду:
mg 

ma   k  x 
.
k 

Появившаяся в уравнении величина x0  mg / k имеет наглядный
смысл: она указывает положение равновесия шарика, в котором сила
51
тяжести уравновешивается силой упругости mg  kx0 . Теперь можно
сместить начало отсчета оси координат, совместив его с положением
равновесия. В этой измененной системе отсчета координата шарика
равна x1  x  x0 , ускорение шарика и в новой системе отсчета остается прежним a1  a . Поэтому уравнение движения шарика в этой
системе отсчета имеет вид, полностью совпадающий с уравнением
гармонических колебаний
ma1  kx1
с частотой 0  k m . Таким образом, постоянная сила, действующая в колебательной системе, не изменяет частоты колебания,
а только смещает положение равновесия. Полное решение уравнения движения (1) нам известно, поэтому можно также записать и полное решение уравнения (2) в исходной системе отсчета
x
mg
 A cos  0 t  B sin  0 t
k
в котором произвольные постоянные A, B определяются из начальных
условий.
Математический маятник. Небольшой шарик, подвешенный на
легкой нерастяжимой нити, способен совершать свободное колебательное движение (рис.4.3). Для описания движения маятника будем считать
шарик материальной точкой, пренебрежем массой нити и сопротивлением воздуха. Такая модель называется математическим маятником.
Рис.4.3. Математический маятник
52
В качестве координаты, описывающей положение шарика, выберем
угол отклонения нити от вертикали  . Для описания изменения этой
координаты удобно использовать основное уравнение динамики вращательного движения
J  M ,
где J  ml 2 − момент инерции системы,  
d d 2 
 2 − угловое усdt
dt
корение тела (вторая производная от угла поворота), M − суммарный
момент внешних сил действующих на систему. На шарик действуют
силы тяжести и натяжения нити. Момент силы натяжения нити N относительно точки подвеса равен нулю, поэтому уравнение для подвешенного шарика приобретает вид: ml 2   mgl sin  или
d 2 g
 sin   0
dt 2
l
Это уравнение описывает колебания маятника, но не является уравнением гармонических колебаний. Однако если считать углы отклонения
малыми (  <10O), можно воспользоваться приближенной формулой
sin   . В этом приближении уравнение становится линейным и
является уравнением гармонических колебаний
d 2
  02   0 ,
dt 2
где 0 
g
− круговая частота малых колебаний маятника. Решеl
ние этого уравнения ищется в виде:
  0 cos 0t ,
здесь  0 − максимальное отклонение нити, то есть амплитуда колебаний. Для простоты будем считать, что начальная скорость шарика равна нулю.
Период малых колебаний маятника выражается через круговую
частоту
T
2
l
 2
.
0
g
53
Так как малые колебания математического маятника являются гармоническими, то их период не зависят от амплитуды. Период колебаний математического маятника не зависит также от массы шарика.
Формула может быть использована и используется для экспериментального определения ускорения свободного падения. Длина нити и
период колебаний достаточно просто измерить экспериментально, затем с помощью формулы можно рассчитать ускорение свободного падения.
Математический маятник с пружиной. Рассмотрим еще один
пример колебательной системы, являющейся «гибридом» математического и пружинного маятника (рис.4.4):
Рис. 4.4. Математический маятник с пружиной
К шарику, подвешенному на нити длиной l, прикреплена легкая пружина так, что в положении равновесия нить маятника располагается вертикально (в этом случае пружина не деформирована). По-прежнему,
положение маятника будем описывать с помощью угла отклонения  ,
который будем считать малым. Уравнение динамики вращательного
движения относительно точки подвеса для шарика будет иметь вид:
J  mgl sin   Fупрl cos  ,
где J  ml − момент инерции маятника, ε − угловое ускорение,
mgl sin  − момент силы тяжести, Fl cos  − момент силы упругости.
Считая угол отклонения малым, удлинение пружины можно представить в виде x  l и при этом можно считать, что ось пружины все
2
54
время остается горизонтальной. В этом же приближении можно положить cos   1. Поэтому уравнение упрощается:
ml 2   mgl  kl  l
или
d 2  g k 
     0 .
dt 2  l m 
Это уравнение гармонических колебаний. Круговая частота этих колебаний равна:
0 
g k
 .
l m
Физический маятник. Физическим маятником называется твердое
тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи, не проходящей
через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси
под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника
массу такого тела нельзя считать точечной.
Рис. 4.5. Физический маятник
При небольших углах отклонения  физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая
возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет
составляющая силы тяжести – сила F  mg sin .
Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в
сторону уменьшения угла  . С учетом малости угла  , F  mg .
Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного дви55
жения J  ml 2 . С учетом всех величин дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:
d 2  mgl

0
dt 2
J
или
d 2
  02   0 ,
dt 2
где 0 
J
mgl
, T  2
.
mgl
J
Решением этого уравнения является функция:
 mgl

   0 cos
t   0  0 t ,
 J



где  0 – начальная фаза колебаний.
Найдем длину l математического маятника, при которой период его
колебаний равен периоду колебаний физического маятника,
т.е. Tмат  Tфиз :
2
h
J
 2
.
g
mglпр
Из этого соотношения:
l пр 
J
.
ml
Данная формула определяет приведенную длину физического маятника lпр (длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника).
Конический маятник. В коническом маятнике (рис.4.6) тело маятника (небольшое по размерам тело) вращается в горизонтальной плоскости. Угол, образуемый нитью подвеса с вертикалью, проведенной
через точку подвеса, остается неизменным.
56
Рис.4.6. Конический маятник
Уравнение, описывающее движение маятника, имеет вид:
mg  Fн  ma ц .
В проекциях на координатные оси:
0x :
Fn sin   ma  m 2 R  m2 T  R
0y :
Fn cos   mg  0
2
Отсюда
a ц  gtg  g R .
h
С другой стороны
a ц   2 R  2 T  R ,
2
тогда T  2
h
.
g
Для малых углов конуса h  l ; тогда период колебаний конического
маятника:
T  2
l
.
g
Крутильный маятник (также торсионный маятник, вращательный маятник) – механическая система, представляющая собой тело,
подвешенное в поле тяжести на тонкой нити и обладающее лишь одной
степенью свободы: вращением вокруг оси, задаваемой неподвижной
нитью.
57
Рис. 4.7. Крутильный маятник
Если при повороте тела в нити возникает момент сил, пропорциональный углу поворота, то тело будет вращаться по гармоническому закону
с периодом
T  2
J
,
k
где J – момент инерции тела, а k – вращательный коэффициент жѐсткости маятника. Крутильный маятник представляет собой очень чувствительный механический прибор. Именно с помощью крутильного маятника изучается, например, гравитационное взаимодействие массивных тел в лаборатории и проверяется закон всемирного тяготения на
субмиллиметровом масштабе.
Крутильным маятником является баланс – деталь балансирного механизма механических часов, вращательные колебания которой определяют точность их хода. В 2005 году было опубликовано сообщение о
создании крутильного маятника на одной молекуле – одностенной углеродной нанотрубке (J. C. Meyer, M. Paillet and S. Roth, Science, 309,
1539 (2 September 2005)). Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих
деформаций.
58
Колебание жидкости в трубке. Рассмотрим еще один пример
колебательной системы. Пусть в вертикальной U-образной трубке
находится вода (рис. 4.8).
Рис.4.8. Колебания жидкости в трубке
В состоянии равновесия верхний уровень воды расположен на высоте l. Уровень воды вывели из положения равновесия, и она совершает колебания, переливаясь из одного колена трубки в другое. Для
определения частоты (или периода) этих колебаний воспользуемся
законом сохранения энергии. В качестве координаты, характеризующей
положение воды, выберем величину x − отклонение уровня воды в одном колене от положения равновесия. Если площадь поперечного сечения трубки S постоянна по ее длине, то скорость течения жидкости
будет одинакова и равна производной от введенной координаты
  x t . Следовательно, кинетическая энергия движущейся жидкости равна:
E кин 
m 2 2lS 2

,
2
2
где  − плотность воды, 2lS − ее объем (пренебрегая частью жидкости, находящейся в нижней части трубки, которую будем считать малой). Потенциальная энергия тела в поле тяжести земли равна произведению массы тела, ускорения свободного падения и высоты центра
масс, поэтому в рассматриваемом случае
E пот  gS l  x 
lx
lx
 gS l  x 
 gS l 2  x 2  ,
2
2
где первое слагаемое – это потенциальная энергия жидкости в левом
части трубки, второе − в правой. Если пренебречь неизбежными поте59
рями механической энергии из-за сил вязкого трения, то сумма кинетической и потенциальной энергии жидкости постоянна, поэтому
lS 2  gS l 2  x 2   const .
Из этого уравнения следует, что движение жидкости подчиняется уравнению гармонических колебаний
2 
с круговой частотой  
g 2
x  const
l
g
l
и периодом T  2
. Описать движеg
l
ние жидкости на основании уравнений динамики сложнее.
Свободные колебания в электрическом контуре. Цепь (или
часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки
индуктивности называется колебательным контуром. Пусть
конденсатор зарядили до заряда qo и затем подключили к нему
катушку индуктивности. Такую процедуру легко осуществить с помощью
цепи, схема которой показана на рис.4.9: сначала ключ замыкают в
положении 1, при этом конденсатор заряжается до напряжения,
равного ЭДС источника, после чего ключ перебрасывают в положения
2, после чего начинается разрядка конденсатора через катушку.
Рис.4.9. Колебательный контур
Согласно второму правилу Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраическая сумме ЭДС, в
этом контуре. В нашем случае напряжение на конденсаторе равна ЭДС
самоиндукции, которая возникает за счет изменения тока в катушке при
перезарядке конденсатора
60
UC   L ,
q
di
– напряжение на конденсаторе,  L   L
– ЭДС саC
dt
dq
моиндукции в катушке. Используем определение силы тока: i 
.
dt
Закон Кирхгофа примет вид:
где U C 
q
 Rq    Lq  .
C
Разделим обе части этого уравнения на L
d 2q
  02 q  0 ,
dt 2
где 0 
1
– циклическая частота собственных колебаний контура.
LC
По своей форме это уравнение совпадает с уравнениями механических колебаний. Таким образом, можно провести аналогию между процессами, протекающими в колебательном контуре, и процессами в любой механической системе. На рис.4.10 такая аналогия показана для
колебаний пружинного маятника. В этом случае аналогами являются:
заряд конденсатора q t  − смещение x t  , сила тока i t   dqt  dt –
скорость движения маятника t   dx t  dt .
Рис. 4.10. Процесс свободных электрических и механических колебаний
Рассмотрим процесс колебаний заряда и тока в контуре. В начальный момент времени конденсатор заряжен, сила тока равна нулю, вся
61
энергия заключена в электрическом поле конденсатора (что аналогично
максимальному отклонения маятника от положения равновесия). Затем
конденсатор начинает разряжаться, сила тока возрастает, при этом в
катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует возрастанию тока; энергия конденсатора уменьшается, переходя в энергию магнитного поля катушки (аналогия – маятник движется к положению равновесия с возрастанием скорости движения). Когда заряд на конденсаторе становится равным нулю, сила тока достигает максимального значения, при этом вся энергия превращается в энергию магнитного поля
(маятник достиг положения равновесия, скорость его максимальна).
Затем магнитное поле начинает убывать, при этом ЭДС самоиндукции
поддерживает ток в прежнем направлении, при этом конденсатор начинает заряжаться, со знаком противоположным начальному распределению (аналог − маятник движется к противоположному начальному
максимальному отклонению). Затем ток в цепи прекращается, при этом
заряд конденсатора становится опять максимальным, но противоположным по знаку (маятник достиг максимального отклонения), после
чего процесс повторятся в противоположном направлении.
Рис. 4.11. Процесс свободных электрических колебаний и
колебаний математического маятника
Плазменные колебания. В плазме возможно самопроизвольное
смещение зарядов. Такое смещение зарядов вызовет колебательные
62
движения зарядов. Рассмотрим упрощенный подход к решению задачи
о нарушения квазинейтральности. Выделим в плазме плоский слой
площадью S и толщиной x и предположим, что заряды одного знака
вышли на одну из плоскостей, ограничивающих слой (рис.4.12), т.е.
произошло разделение зарядов (например, за счет тепловых флуктуаций). Такое самопроизвольное разделение зарядов возможно, если
потенциальная энергия заряженной частицы и ее кинетическая энергия
теплового движения равны, т.е. eU  kT . Плоский слой можно рассматривать как конденсатор, напряжение на котором U  q C , заряд
равен заряду электронов, ушедших вследствие тепловой флуктуации
на одну из плоскостей рассматриваемого слоя из объема слоя, т.е.
 S
q  enSx , а емкость C  0 .
x
Рис.4.12. Схема плазменных колебаний
В электрическом поле при разделении зарядов на них будет действовать сила F  eE . Смещение зарядов из положения равновесия на
расстояние x приведет к возникновению электрического поля
F e
 e 2 nx

,
0
0
где е – заряд, n – плотность заряда. По второму закону Ньютона
m
d 2 xt 
 F
dt 2
(знак « - « обусловлен тем, что сила, действующая на электрон, направлена в сторону, противоположную направлению смещения от положения равновесия, а электрон в процессе движения «проскакивает»
положение равновесия – возникают колебания). Отсюда
63
d 2x
  02 x  0 .
dt 2
Это уравнение описывает колебательные движения заряженных частиц в плазме с собственной круговой частотой:
0 
e2n
0m
называемой плазменной или ленгмюровской частотой. Отметим, что
ленгмюровская частота зависит от массы заряженных частиц. Величина 01 - характерное время реакции на внешнее воздействие.
Выводы
Колебания, возникающие под действием внутренних возвращающих
консервативных сил, называются свободными.
Постоянная сила, действующая в колебательной системе, не изменяет частоты колебания, а только смещает положение равновесия.
Приведенная длина физического маятника lпр – длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду
колебаний данного физического маятника.
Ленгмюровская частота зависит от массы заряженных частиц.
Контрольные вопросы
1. Какое движение называют колебательным? Что понимают под
колебанием тела?
2. Какие колебания называют свободными? Приведите примеры.
3. Какие колебания называют вынужденными? Приведите примеры.
4. Объясните опыт, устанавливающий связь между вращательным и
колебательным движениями.
5. Какие колебания называют гармоническими? Запишите уравнение
гармонического колебания?
6. Что понимают под амплитудой колебания?
7. Что понимают под периодом колебаний? Запишите формулу для
нахождения периода.
64
8. Что понимают под частотой колебаний? Запишите формулы линейной и циклической частоты колебаний. В каких единицах они измеряются.
9. Запишите формулу связи между циклической и линейной частотой.
10. Что понимают под фазой гармонического колебания? 11. Выведите формулу для свободных колебаний горизонтального пружинного
маятника
12. Выведите формулу для свободных колебаний вертикального пружинного маятника
13. Выведите формулу для свободных колебаний математического
маятника.
14. Выведите формулу колебаний физического маятника.
15. Выведите формулу для свободных колебаний математического
маятника с пружиной.
16. Выведите формулу для свободных колебаний жидкости в трубке.
17. Выведите формулу для свободных колебаний электрического колебательного контура.
18. Выведите формулу для свободных колебаний в плазме.
65
Лекция 5. Фазовый портрет колебательной системы.
Фазовая плоскость, фазовая траектория, центр, узел, седло,
сепаратриса, притягивающий центр
В любой колебательной системе с одной степенью свободы смещение x t  и скорость t   dx t  dt меняются со временем. Состояние
системы в каждый момент времени можно характеризовать двумя значениями x t  и t  . На плоскости этих переменных это состояние однозначно определяется положением изображающей точки P с координатами значениями x t  и t  . С течением времени изображающая
точка P будет перемещаться по кривой, которую называют фазовой
траекторией движения (рис. 5.1).
Рис.5.1. Фазовый портрет
Плоскость переменных значениями x t  и  t  называется фазовой плоскостью.
Семейство фазовых траекторий образует фазовый портрет колебательной системы.
Анализ фазового портрета дает хотя и не полную, но обширную информацию о колебательной системе. К построению такого портрета
прибегают тогда, когда не удается решить аналитически уравнение,
описывающее сложные колебания. В первую очередь это относится к
нелинейным колебаниям, анализ которых затруднен из-за отсутствия
за редким исключением точных решений нелинейных уравнений.
Приведем пример построения фазовой траектории. Пусть небольшой упругий шарик брошен вертикально вверх с начальной скоростью
66
0 x (рис.5.2). Если пренебречь сопротивлением воздуха, то скорость
шарика будет изменяться со временем по закону  x  0 x  gt , где g
− ускорение свободного падения. Изменение координаты шарика с течением времени описывается функцией x  0x t  gt2 / 2 . Поднявшись на максимальную высоту xmax  h  02 x / 2 g , шарик начнет
падать, упадет на горизонтальную поверхность и отразится от неѐ.
Рис. 5.2. Периодическое движение прыгающего шарика
Если удар можно считать абсолютно упругим, то скорость шарика
после удара примет первоначальное значение, движение шарика будет
повторяться. Графики зависимостей координаты и скорости шарика от
времени показаны на рис.5.3.
Рис.5.3. Фазовый портрет движения шарика
67
Эти же функции значениями x t  и t  определяют в параметрической форме линию на фазовой плоскости – фазовую траекторию
движения шарика. Эта линия показана на рис. 5.4. Понятно, что при
периодическом движении фазовая траектория является замкнутой,
точка проходит одни те же положения через период. На фазовой траектории принято указывать направление движения: при положительной
скорости координата возрастает, а при отрицательной скорости координата убывает. Вначале рассмотрим пример простейших гармонического колебания вида xt   Acos t  0  . Поскольку скорость
  xt   A sin t  0   A cos t  0   2
опережает смещение по фазе на  2 , то фазовая траектория будет
эллипсом. Точка P будет двигаться по эллиптической траектории по
часовой стрелке (при   0 смещение x t  увеличивается, а при
  0 – смещение x t  уменьшается (рис. 5.4)).
Рис. 5.4. Фазовый портрет гармонических колебаний
Параметры эллипса определяются энергией, запасенной гармоническим осциллятором. Потенциальная энергия пружинного маятника
пропорциональна квадрату смещения:
Eпот  1 kx 2  1 kA2 sin 2 0 t  0  .
2
2
Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости:
Eкин  1 A2 02 m cos 2 0 t  0  .
2
Если принять во внимание, что k  m02 , легко видеть, что взаимопревращения одного вида энергии в другой за период происходят
дважды. При этом полная энергия системы остается постоянной:
68
E0  Eпот  Eкин  1 m02 A2  2  .
2
Это уравнение является уравнением эллипса, которое можно переписать в виде:
A2 
 2 2E0
.

 02 m 02
Фазовый портрет гармонического осциллятора представляет собой
семейство эллипсов, каждому из которых соответствует энергия E0,
запасенная осциллятором.
Положение равновесия в точке 0 на фазовой плоскости является особой точкой и называется особой точкой типа "центр".
Линейный осциллятор с затуханием. Диссипация энергии, обусловленная наличием потерь, оказывает принципиальное влияние на
характер движения системы. Наиболее простые закономерности проявляются в системах с полной диссипацией энергии, когда силы трения
действуют по всем степеням свободы, а поступление энергии извне
отсутствует. Рассмотрим процессы в линейном диссипативном осцилляторе, когда сила трения пропорциональна скорости изменения координаты. Примером такой системы служит колебательный контур, содержащий активное сопротивление R. Введение малого трения качественно меняет фазовый портрет системы. На фазовой плоскости для
любых начальных данных имеют место скручивающиеся спирали, по
которым фазовые точки асимптотически приближаются к началу координат, характеризуя затухающий колебательный процесс. Нуль координат является особой точкой системы, которая в случае малого затухания   0 есть устойчивый фокус.
Если коэффициент затухания велик   0 , процесс в системе
апериодический и фазовые траектории выглядят как семейство характерных кривых, по которым, как и в предыдущем случае, изображающие точки стремятся к нулю координат (рис. 5.5). Особая точка в указанных условиях является устойчивым узлом.
69
Рис.5.5. Фазовый портрет диссипативного ( с потерей энергии) осциллятора с
параметрами коэффициента затухания   0 (периодический режим) и
  0 (апериодический режим)
.Диссипативный маятник характеризуется единственным глобально
устойчивым состоянием равновесия в нуле фазовых координат. Независимо от выбора начальных условий наблюдается затухающее колебательное или апериодическое движение. При t   любая изображающая точка стремится к началу координат в устойчивый фокус либо
узел.
Описанное свойство является общим для динамических систем с
полной диссипацией энергии. Положения равновесия типа устойчивого
фокуса или узла являются здесь глобально притягивающими в том
смысле, что фазовые траектории из любой точки фазового пространства асимптотически к ним стремятся. Стационарные незатухающие колебания в линейных диссипативных системах оказываются невозможными. С физической точки – нет условий поддержания колебаний.
Энергия, расходуемая на преодоление сил трения, не восполняется.
Нелинейные колебания. С увеличением энергии E0 возрастают
амплитуды колебаний смещения  0 и скорости 00 . Колебания, как
правило, перестают быть гармоническими, а фазовые траектории –
эллипсами (рис.5.6).
70
Рис. 5.6. Колебательное 0    или вращательное 0    движение
массы
Проанализируем на фазовой плоскости колебания математического
маятника при произвольных углах  0 отклонения от положения равновесия. При этом будем считать, что точечная масса m прикреплена
не к нити, а к жесткому невесомому стержню длины l . Первое из уравнений запишем в виде:
d 2
 02 sin   0 .
dt 2
Это нелинейное уравнение не имеет точного аналитического решения.
Однако многие закономерности таких колебаний можно проанализировать с использованием фазового портрета на плоскости: ,   d dt .
С этой целью уравнение движение надо преобразовать к такому виду,
чтобы в нем остались только эти переменные, а время было бы исключено.
Уравнение фазовой траектории окончательно запишется в виде:
E
1  2
 1  cos   2 0 2 .
2 02
ml 0
Потенциальная и кинетическая энергии задаются выражениями
E кин 
1 2 2
ml  , Eпот  ml 2 02 1  cos  .
2
Фазовый портрет системы имеет вид:
71
Рис. 5.7.Фазовый портрет колебания точки описывает возможность
колебательного и вращательного движения массы
Выделяются два типа фазовых траекторий, соответствующие двум
типам движения: замкнутым (колебания) и незамкнутым (вращение
вокруг точки подвеса) траекториям
Замкнутые траектории, окружающие особые точки типа "центр"
с координатами   0,  2n (n – целое число), соответствуют
колебаниям маятника относительно устойчивого нижнего положения равновесия.
Такие колебания имеют место, если энергия системы
E0  2mgl  ml 2 02 .
При этом, если E0  2mgl , то колебания будут гармоническими, а
фазовые траектории - эллипсами. Если E0 ~ mgl , то колебания будут
негармоническими. При увеличении энергии, а, значит, и амплитуды
колебаний осциллятора, их период будет возрастать, поскольку возвращающая сила меньше, чем в случае гармонического осциллятора.
Верхнему положению равновесия с координатами   0,   2n  1
соответствуют особые точки типа "седло".
Фазовые кривые, проходящие через неустойчивые точки, "седла",
соответствуют энергии   0,   2n , E0  2mgl и называются сепаратрисами. Они разделяют фазовое пространство на области с различным поведением. С увеличением энергии маятника его колебания
от квазигармонических вблизи точек типа центр эволюционируют к не72
линейным периодическим колебаниям вблизи сепаратрис. Дальнейшее
увеличение энергии приведет к вращательному движению (движение
вне сепаратрис). Малейшие отклонения энергии в ту или иную сторону
от энергии движения по сепаратрисе приводят к качественно различным типам движения: колебательному или вращательному.
Таким образом, сепаратрисы разделяют фазовую плоскость на две
области: область замкнутых траекторий (колебательный процесс) и
область траекторий, приходящих из бесконечности и уходящих в бесконечность.
Отметим, что негармонические колебания нельзя характеризовать
частотой", поскольку такие колебания являются, как правило, суперпозицией гармонических колебаний с различными частотами. Период же
является по-прежнему одной из главных характеристик колебаний. Фазовый портрет не позволяет определить, как быстро движется точка Р
по траектории. Однако период нелинейных колебаний математического
маятника можно получить на основе приближенного решения уравнения.
Выводы
Плоскость переменных значениями x t  и  t  называется фазовой
плоскостью.
Семейство фазовых траекторий образует фазовый портрет колебательной системы.
Фазовый портрет гармонического осциллятора представляет собой
семейство эллипсов, каждому из которых соответствует энергия
E0, запасенная осциллятором.
Положение равновесия в точке 0 на фазовой плоскости является
особой точкой и называется особой точкой типа "центр".
Диссипативный маятник характеризуется единственным глобально
устойчивым состоянием равновесия в нуле фазовых координат.
Фазовые кривые, проходящие через неустойчивые точки, "седла" называются сепаратрисами.
Сепаратрисы разделяют фазовую плоскость на две области: область замкнутых траекторий (колебательный процесс) и область
траекторий, приходящих из бесконечности и уходящих в бесконечность.
Контрольные вопросы:
73
1. Что такое фазовая плоскость? Что такое фазовая траектория?
2. Что такое фазовый портрет колебаний?
3. Какой вид имеет фазовый портрет гармонического осциллятора
без потерь?
4. Какой вид имеет фазовый портрет гармонического осциллятора
с потерями?
5. Что такое узел на фазовом портрете колебаний?
6. Что такое седло на фазовом портрете колебаний?
7. Что такое сепаратриса на фазовом портрете колебаний?
8. Как будет выглядеть фазовый портрет с усилением колебаний?
9. Где используются фазовые портреты колебаний?
74
Лекция 6. Затухающие, вынужденные колебания. Резонанс.
Свободные колебания пружинного маятника. Затухающие
механические колебания крутильного маятника. Добротность.
Затухающие колебания в электрическом контуре. Вынужденные
электромагнитные колебания. Установление колебаний. Резонанс
Свободные незатухающие колебания являются идеализацией, моделью применимой на небольших временных интервалах. В реальных
механических колебательных системах всегда присутствуют диссипативные силы (силы трения, силы вязкости), приводящие к уменьшению
механической энергии системы из-за ее перехода в другие формы, например, в тепловую. Рассмотрим особенности колебательного движения при наличии диссипации.
Свободные колебания пружинного маятника. Если в
системе существует линейное затухание, сила сопротивления
пропорциональная скорости движения тела, то амплитуда колебаний
будет уменьшаться с течением времени. Пусть в системе действует
сила вязкого трения, т. е. сила направленная против скорости движения
груза, модуль которой прямо пропорционален скорости (рис. 6.1).
Рис.6.1. Затухающие колебания с учетом сопротивления среды
Fсопр   rυ
Запишем уравнение движения груза, составленное по 2-му закону Ньютона. Для пружинного маятника массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F= – kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е.
Fсопр   rv   rx ,
75
где r – коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости.
При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид:
mx  kx  rx .
Используя формулу 0= k / m и принимая, что коэффициент затухания
  r /( 2m),
дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:
x  2x  02 x  0.
Колебания маятника описываются функцией
x  A0e t cos(t  ),
где частота   02   2  02  r 2 /( 4m 2 ) .
Добротность пружинного маятника, согласно Q= km /r. Схематический
график этой функции и его огибающие показаны на рис. 6.2.
Рис.6.2. Зависимость характера колебаний от коэффициента затухания β
Отметим наиболее существенные особенности решения уравнения
затухающих колебаний. Наличие силы трения приводит к уменьшению
76
амплитуды колебаний. При наличии трения частота колебаний уменьшается по сравнению с частотой свободных колебаний. Это уменьшение качественно понятно: сила трения замедляет движение, что и приводит к увеличению периода и уменьшению частоты. Если затухание
не велико, этим изменением частоты можно пренебречь. На рис. 6.2
показан характер изменения колебаний при увеличении коэффициента
затухания. Отметим, что при   0 движение тела перестает быть
колебательным. В этом случае (сильного затухания) тело монотонно
стремится к положению равновесия.
Затухающие механические колебания крутильного маятника.
Свободные колебания реальных механических систем всегда затухают.
Затухание возникает в основном из-за трения, сопротивления окружающей среды и возбуждения в ней упругих волн.
Рассмотрим систему, совершающую крутильные затухающие колебания. Она представляет из себя брусок, подвешенный на струне, концы которой закреплены. На брусок для увеличения момента инерции
может быть положено кольцо. После отклонения бруска на небольшой
угол  от положения равновесия система будет совершать свободные
крутильные колебания (рис. 6.2).
Получим дифференциальное уравнение затухающих крутильных
колебаний.
Рис. 6.3. Схема установки для наблюдения затухающих
крутильных механических колебаний
77
Чтобы выяснить, как изменяется со временем угол (t) запишем основной закон динамики вращательного движения
Jε  M упр  M сопр ,
где: J – момент инерции бруска,
ε  '' – угловое ускорение,
M упр – момент сил упругости, M сопр – момент сил сопротивления.
Уравнение спроектируем на ось OZ
J z  M упр, z  M сопр, z ,
где:
 z   
– проекция углового ускорения, M упр, z  k – проек-
ция силы упругости, k – коэффициент упругости, M сопр, z  r –
проекция силы сопротивления (эта формула справедлива для малых
скоростей вращения),     – угловая скорость, r – коэффициент
сопротивления.
Уравнение в скалярной форме примет вид:
J  r  k  0 ,
 
Обозначим  
r
k
    0 .
J
J
r
– коэффициент затухания и 0 
2J
k
– цикличеJ
ская частота собственных колебаний, получим дифференциальное
уравнение затухающих колебаний
   2     02  0 .
Решением уравнения (2) при малом затухании 0 >  является уравнение затухающих колебаний
(t )  A0 e  t cos( t   0 )
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени
A( t )  A0 e  t ,
здесь А0 – амплитуда в начальный момент времени t = 0. Выясним физический смысл коэффициента затухания. Обозначим через  время, в
78
течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,718 раз.
Тогда
1 A0 exp[(t  )]

 exp[] ,
e
A0 exp[t ]
следовательно   1 .
Физический смысл коэффициента затухания : коэффициент затухания есть величина, обратная времени, за которое амплитуда
колебаний уменьшается в e раз
1
 .


A0e–t
t
Рис.6.4. График затухающих колебаний
Циклическая частота затухающих колебаний меньше собственной
частоты
   02   2 .
Период затухающих колебаний
T
2


2
 02   2
.
Если A(t) и А(t + Т) – амплитуды двух последовательных колебаний,
соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то
отношение
A(t )
 e T
A(t  T )
называется декрементом затухания,
79
Логарифмический декремент затухания  характеризует быстроту затухания колебаний и равен логарифму отношения амплитуды двух
последовательных колебаний, соответствующих моментам времени,
отличающимся на период
  ln
A(t )
T
1
 T  
A(t  T )
 Ne
где A(t) и A(t+T) – амплитуды двух соседних колебаний, называется
логарифмическим декрементом затухания; Ne – число колебаний,
совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания – постоянная для данной колебательной
системы величина.
Найдем связь между логарифмическим декрементом затухания и
коэффициентом затухания
  ln
A0 exp[t ]
At 
 ln
 ln[exp(T )]  T .
At  T 
A0 exp[(t  T )]
Выясним физический смысл логарифмического декремента затухания.
1
1
1
  T  T 

,


Ne
T
где Ne – число колебаний, происходящих за время .
Физический смысл логарифмического декремента затухания :
Логарифмический декремент затухания есть величина, обратная
числу колебаний Ne, по завершению которых амплитуда уменьшается в е = 2,718 раз

1
.
Ne
Добротность колебательной системы характеризует ее способность
сохранять энергию колебаний. Добротность пропорциональна отношению энергии W колебаний системы в произвольный момент времени t к
убыли этой энергии за период W
Q  2
W (t )
W
 2
.
W (t )  W (t  T )
W
Найдем связь между добротностью и логарифмическим декрементом затухания. При малых затуханиях 0 >  энергия меняется по закону
80
W ( t )  W0e 2  t .
Найдем изменение энергии за один период колебаний
W  W0e 2  t  W0e 2  ( t T )  W0e 2  t ( 1  e 2 T )  W0e 2  t ( 2 T ) ,
т.к. e 2  T  1  2 T  ... , если 2 T  1 .
Подставим в добротность и учтем, что  = Т
Q  2
W0 e 2 t
W


 2

 .
W
W0 e  2 t (2 T )  T 
Добротность обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания или пропорциональна числу колебаний Ne, по прошествии которых амплитуда убывает в е = 2,718 раз
Q




    Ne .
 T
T
Их характерной особенностью является то, что они пересекают ось
времени Ot не более одного раза, и возврат к равновесному состоянию
у системы, выведенной из него, происходит за время порядка нескольких  .Такой режим движения называется критическим.
Наконец, если  > ω0, то общее решение является суммой двух
убывающих с течением времени экспонент. Возможный вид зависимостей q(t) показан на рис. 6.5 и похож на критический, но возврат к равновесию осуществляется медленнее, чем в критическом режиме, поскольку вязкое трение больше. Данный режим движения называется
апериодическим, или закритическим.
Рис. 6.5. Периодический, критический и апериодический режимы
Отметим, что наиболее быстрое возвращение системы к положению равновесия происходит в критическом режиме, а в колебательном
и апериодическом режимах этот процесс длится дольше. Поэтому, на81
пример, гальванометры (приборы для электрических измерений) работают обычно в режиме, близком к критическому, когда процесс установления их показаний, то есть смещения φ(t) рамки к устойчивому
отклонению φ0 имеет наименьшую длительность.
Затухающие колебания в электрическом контуре. Рассмотрим
собственные колебания в контуре с сосредоточенными параметрами.
Емкость С, индуктивность L и активное сопротивление R образуют
(рис.6.6) последовательный колебательный контур (RLC контур). Будем считать, что электрические процессы в контуре квазистационарны. Это значит, что мгновенное значение силы тока i одно и то же в
любом месте контура и к мгновенным значениям электрических величин можно применять правила Кирхгофа.
Рис.6.6. Последовательный колебательный контур (RLC контур)
Согласно второму правилу Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраическая сумме ЭДС, в
этом контуре. В нашем случае сумма напряжений на конденсаторе и на
активном сопротивлении равна ЭДС самоиндукции, которая возникает
за счет изменения тока в катушке при перезарядке конденсатора
UC  U R   L ,
q
где U C 
– напряжение на конденсаторе,
C
U R  iR – напряжение на активном сопротивлении,
 L   L di   Li – ЭДС самоиндукции в катушке.
dt
82
Используем определение силы тока
i
dq
 q .
dt
Закон Кирхгофа примет вид
q
 Rq    Lq  .
C
Разделим обе части этого уравнения на L
q  
q
R
q 
0.
L
LC
Введем следующие обозначения
R
– коэффициент затухания,

2L
1
0 
– циклическая частота собственных колебаний контура.
LC
Получили дифференциальное уравнение затухающих колебаний, описывающее изменение со временем заряда на обкладках конденсатора
в RLC контуре
q  2q  02 q  0
(1)
Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго
порядка с обыкновенными производными и с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения имеет различный вид в зависимости
от соотношения между коэффициентам.
1) Если 0 > , то решением уравнения (1) является уравнение затухающих колебаний
q  q0 e  t cos( t  0 ) ,
где: q0 – заряд конденсатора в начальный момент времени, 0 – начальная фаза. Значения q0 и 0 определяются из начальных условий.
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени и убывает
со временем по экспоненциальному закону
A(t )  q0 e t .
Циклическая частота затухающих колебаний меньше собственной частоты
  02   2 .
83
Период затухающих колебаний всегда больше периода собственных колебаний
T
2


2
 
2
0
2

2
1
R2
 2
LC 4 L
.
Напряжение на конденсаторе
UC 
q q 0  t

e cos( t   0 )  U 0 e t cos( t   0 ) .
C C
Сила тока
i  q   q0 [e t cos( t   0 )  e t sin( t   0 )] .
После преобразования


i  0 q0 e  t cos   t   0     .
2

Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления ток
опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на /2 и
менее чем на  (при R = 0 на /2).
График затухающих колебаний заряда q изображен на рис.6.7. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный характер.
Рис.6.7. Определение времени релаксации
2) Пусть сопротивление контура велико, так что  > 0. В этом случае
частота затухающих колебаний будет мнимой
   02   2   j  2   02 ,
84
где j   1 – мнимая единица. Это значит, что электрических колебаний в контуре не будет. В этом случае решение дифференциального
уравнения имеет вид апериодического процесса
q  A1e  K1t  A2 e  K 2t ,
K1     2  02 , K 2     2  02 ,
где А1 и А2 постоянные, так как  > 0, то К1 и К2 оба вещественны и
положительны.
Значения постоянных определяются начальными условиями задачи
q t 0  A1  A2  q0 ,
i
t 0

dq
dt
t 0
  A1 K1  A2 K 2  0 .
Это дает
A1  q 0
K2
,
K1  K 2
A2  q 0
K1
.
K1  K 2
После чего решение принимает вид:
q
q0
K1e  K 2t  K 2 e  K1t  .
K1  K 2
Рис.6.8. График апериодических колебаний
На рис. 6.8. изображены графически оба слагаемых этой формулы
(пунктир) и их сумма (сплошная линия). Вместо колебаний происходит
апериодический разряд конденсатора. Если сопротивление контура
очень велико, так что  >> 0, то К1 >> К2 и в последнем выражении
можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым, а в
85
знаменателе –К2 по сравнению с К1. Тогда q  q0 e  K 2t . Из сказанного
видно, что для возникновения колебаний в RLC контуре необходимо,
чтобы выполнялось условие 0 >  . Подставляем вместо 0 и  их
значения, находим условие возникновения колебаний
1

LC
R
2L
или,
R  Rкр  2
L
.
C
Критическое сопротивление – это сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический
Rкр  2
L
.
C
Иллюстрацией к рассмотренным закономерностям затухающих колебаний являются фазовые портреты, построенные для колебательного  < ω0 а также критического и апериодического   0 режимов
(рис. 6.9).
Рис.6.9. Фазовые портреты процесса установления равновесия
При  < ω0 фазовый портрет представляет собой совокупность спиралей, стягивающихся в особую точку типа "фокус". За каждый оборот
(одно колебание) радиус спирали уменьшается в exp 1 N e  раз. Для
86
критического и апериодического режимов   0 фазовые траектории
сходятся в особую точку типа "узел".
Вынужденные электромагнитные колебания. Вынужденными называются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия.
Рассмотрим процессы, протекающие в электрическом колебательном контуре (рис.6.10), присоединенном к внешнему источнику, ЭДС
которого изменяется по гармоническому закону
 ( t )   m cos t ,
где m – амплитуда внешней ЭДС,  – циклическая частота ЭДС.
Рис.6.10. Контур с вынужденными электрическими колебаниями
Обозначим через UC напряжение на конденсаторе, а через i - силу
тока в контуре. В этом контуре кроме переменной ЭДС (t) действует
еще ЭДС самоиндукции L в катушке индуктивности. ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна скорости изменения силы тока в контуре

L
 L
di
  Li  .
dt
Для вывода дифференциального уравнения вынужденных колебаний, возникающих в таком контуре, используем второе правило Кирхгофа
U R  UC   L   ( t ) .
Напряжение на активном сопротивлении R найдем по закону Ома
U R  iR .
Cила электрического тока равна заряду протекающему за единицу
времени через поперечное сечение проводника
87
i
Следовательно
dq
 q .
dt
U R  Rq .
Напряжение UC на конденсаторе прямо пропорционально заряду на
обкладках конденсатора
q
UC  .
C
ЭДС самоиндукции можно представить через вторую производную
от заряда по времени
 L   Li   Lq .
Подставляя напряжения и ЭДС во второе правило Кирхгофа
Rq  
q
  Lq    m cos t .
C
Разделив обе части этого выражения на L и распределив слагаемые по степени убывания порядка производной, получим дифференциальное уравнение второго порядка
q  

q
R
q 
 m cos t .
L
LC
L
Введем следующие обозначения и получим  
ент затухания, 0 
1
LC
R
– коэффици2L
– циклическая частота собственных коле-
баний контура.
q   2 q    02 q 

m
L
cos  t .
Уравнение является неоднородным линейным дифференциальным
уравнением второго порядка. Такого типа уравнения описывают поведение широкого класса колебательных систем (электрических, механических) под влиянием внешнего периодического воздействия (внешней
ЭДС или внешней силы).
Общее решение уравнения складывается из общего решения q1
однородного дифференциального уравнения (2)
q1  2q1  02 q1  0
88
и любого частного решения q2 неоднородного уравнения (1)
q  q1  q2 .
Вид общего решения однородного уравнения зависит от величины
коэффициента затухания . На практике часто стремятся обеспечить
режим слабого затухания  << 0. При этом общее решение уравнения
имеет вид:
q1  Be  t cos(1t   0 ) ,
где B и 0 – постоянные, задаваемые начальными условиями.
Решение описывает затухающие колебания в контуре. Входящие
величины:
1  02   2 – циклическая частота затухающих колебаний;
B1 ( t )  Be   t – амплитуда затухающих колебаний;
1  ( 1t   0 ) – фаза затухающих колебаний.
Частное решение уравнения ищем в виде гармонического колебания, происходящего с частотой, равной частоте  внешнего периодического воздействия – ЭДС, и отстающего по фазе на  от него
q2  A() cos(t  ) ,
где A(  ) – амплитуда вынужденных колебаний, зависящая от частоты.
Подставляя искомое решение в дифференциальное уравнение, получим тождество
 2 A cos( t  )  2 A sin(t  )  02 A cos(t  ) 


m
L
cos t
Чтобы сравнить фазы колебаний, используем тригонометрические
формулы приведения
 cos( t  )  cos( t    ) ,


 sin (t  )  cos  t     .
2

Тогда наше уравнение перепишется в виде
89


 2 A cos ( t    )  2  A cos   t     
2

  02 A cos ( t   ) 

m
L
cos  t
Представим колебания в левой части полученного тождества в виде
векторной диаграммы (рис.6.11). Третье слагаемое, соответствующее
колебаниям на емкости С, имеющее фазу (t – ) и амплитуду  02 A ,
изобразим горизонтальным вектором, направленным вправо.
Рис.6.11. Векторная диаграмма
Первое слагаемое левой части, соответствующие колебаниям на
индуктивности L, изобразится на векторной диаграмме вектором, направленным горизонтально влево (его амплитуда  2 A ).
Второе слагаемое, соответствующие колебаниям на сопротивлении
R, изобразим вектором, направленным вертикально вверх (его амплитуда 2 A ), т. к. его фаза на /2 отстает от фазы первого слагаемого.
Так как сумма трех колебаний слева от знака равно дает гармоническое
колебание
m
L
cos  t , то векторная сумма на диаграмме (диагональ
прямоугольника) изображает колебание с амплитудой
m
L
и фазой t,
которая на  опережает фазу колебаний третьего слагаемого.
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора можно найти
амплитуду A()
90
A() 

m
L (   2 ) 2  4 2  2
2
0
и tg как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
2
.
02  2
tg 
Следовательно, решение примет вид:
q 2  A(  ) cos(  t   ) 

m
L (    )  4 
2
0
2
2
2
2
cos (  t   )
.
Общее решение дифференциального уравнения является суммой q1 и q2
q  Be  t cos (1t   0 ) 


m
L (   )  4 
2
0
2
2
2
2
cos (t   )
.
Формула показывает, что при воздействии на контур периодической
внешней ЭДС в нем возникают колебания двух частот, т.е. незатухающие колебания с частотой внешней ЭДС  и затухающие колебания с
частотой
1  02   2 . Амплитуда затухающих колебаний
B1 ( t )  Be   t со временем становится пренебрежимо малой, и в
контуре остаются только вынужденные колебания, амплитуда которых
не зависит от времени. Следовательно, установившиеся вынужденные
колебания описываются функцией q2  A(  ) cos( t  ) . То есть
в контуре возникают вынужденные гармонические колебания, с частотой, равной частоте внешнего воздействия, и амплитудой A  A(  ) ,
зависящей от этой частоты. При этом по фазе вынужденное колебание
отстает на  от вынуждающего воздействия.
Установление колебаний. Мы уже отмечали, что если приложить
к покоящемуся маятнику гармоническую силу в момент времени t = 0,
то маятник начнет постепенно раскачиваться. Установление колебаний
связано с тем фактом, что наряду с вынужденными колебаниями на
91
частоте ω будут возбуждены и собственные колебания на частоте
02   2 которые со временем затухают.
Общее решение линейного неоднородного уравнения при  < 0
имеет вид, представляющий собой суперпозицию собственных затухающих колебаний на частоте
02   2 и незатухающих вынужден-
ных колебаний на частоте ω. Колебания установятся лишь тогда, когда
затухнут собственные колебания (рис.6.12).
Рис.6.12. Процесс установления колебаний
Это произойдет по истечении времени t ~   1 e . За это время
в систему "закачивается" энергия, поскольку до установления колебаний работа внешней силы превышает работу сил трения. В установившемся режиме имеет место баланс поступающей и расходуемой энергий.
Отметим, что формула определяет лишь порядок величины (временной масштаб) t уст . Для практических целей время установления
(равно как и время затухания) колебаний принимают равным
t  3  5 .
Найдем силу тока в контуре


i  q   A sin (t  )  I m cos   t    
2

,
где I m  A – амплитуда силы тока. Запишем это выражение для
силы тока в виде
92
i  I m cost    ,
где    

2
– сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС.
2  2

1

tg  tg      
 0
.
2
tg
2

Из этой формулы следует, что сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС зависит, при постоянном сопротивлении R, от соотношения
между частотой вынуждающей ЭДС  и собственной частотой контура
0:
1. Если  < 0, то сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС  < 0.
Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .
2. Если  > 0, тогда  > 0. Колебания силы тока отстают от колебаний ЭДС по фазе на угол .
3. Если  = 0 (резонансная частота), то  = 0, т. е. сила тока и ЭДС
колеблются в одинаковой фазе.
Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды колебаний при совпадении частоты внешней, вынуждающей силы с
собственной частотой колебательной системы.
R3
Im
R2
R1 > R2 > R3
R1
0
o
 Резонансные
Рис. 6.13.
характеристики тока
При резонансе  = 0 и период колебаний
T0 
2
 2 LC .
0
Учитывая, что коэффициент затухания
93

R
,
2L
получим выражения для добротности при резонансе Т = Т0
Q
2 L


1 L



,
  T0 2 R LC
R C
с другой стороны
Q
20 L 0 L


1
.




  T0
2 R
R
0 C R
Амплитуды напряжений на индуктивности и емкости при резонансе
можно выразить через добротность контура
U Lm  I m X L 

m
R
 0 L  Q m , U Cm  I m X C 

1
m
 Q m .
R 0 C
При  = 0, амплитуда напряжения на конденсаторе и индуктивности в Q раз больше амплитуды внешней ЭДС. Это свойство последовательного RLC контура используется для выделения радиосигнала определенной частоты    0 из спектра радиочастот при перестройке радиоприемника.
На практике RLC контуры связаны с другими элементами схем, контурами, измерительными приборами или усилительными устройствами,
вносящими дополнительное затухание в RLC контур. Поэтому реальная величина добротности нагруженного RLC контура оказывается ниже величины добротности, оцениваемой по формуле:
Q
1 L
.
R C
Реальная величина добротности может быть оценена как
Q
o
f
 o ,
 f
где f – ширина полосы частот, в которых амплитуда составляет 0,7 от
максимального значения.
94
Рис.6.16. Определение добротности по резонансной кривой
Напряжения на конденсаторе UC, на активном сопротивлении UR и
на катушке индуктивности UL достигают максимума при различных частотах, соответственно:
 p   02  2 2 ,  p  0 ,  p 
 02
 02  2 2
.
Если затухание мало 0 >> , то все эти частоты практически совпадают и можно считать что
 p  0 .
На фазовой плоскости (рис. 6.14) фазовая траектория будет постепенно "раскручиваться" из начала координат и стремиться к предельному циклу – эллипсу, изображенному на рисунке пунктирной линией.
Рис.6.14. Фазовый портрет процесса установления вынужденных колебаний .
95
Выводы:
Физический смысл коэффициента затухания : коэффициент затухания есть величина, обратная времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз
Логарифмический декремент затухания  характеризует быстроту
затухания колебаний и равен логарифму отношения амплитуды двух
последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период
Добротность колебательной системы характеризует ее способность сохранять энергию колебаний.
Контрольные вопросы:
1. Запишите дифференциальное уравнение для заряда на конденсаторе в контуре, где существуют свободные гармонические колебания.
2. Напишите формулу циклической частоты свободных гармонических колебаний в контуре.
3. Напишите формулу зависимости заряда на конденсаторе от
времени при свободных гармонических колебаниях в контуре.
4. Напишите формулу для коэффициента затухания.
5. Дайте определение постоянной времени затухания.
6. Напишите формулу для добротности контура. Что определяет
добротность?
7. Покажите на рисунке, как определяется графически постоянная
времени затухания.
8. Выведите уравнение затухающих гармонических колебаний для
пружинного маятника.
9. Выведите уравнение затухающих гармонических колебаний для
электрического колебательного контура.
10. Что такое коэффициент затухания? Декремент затухания? Логарифмический коэффициент затухания?
11. В чем заключается физический смысл этих величин?
12. Как выглядит фазовый портрет затухающих колебаний в колебательном режиме, в апериодическом режиме?
13. В каком режиме наблюдается наиболее быстрое возвращение
системы к положению равновесия?
96
14. Запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и
его решение. Проанализируйте их для механических и электромагнитных колебаний.
15. По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний?
Являются ли затухающие колебания периодическими?
16. Почему частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний системы?
17. Дайте определение вынужденным колебаниям.
18. Когда возникают вынужденные гармонические колебания?
19. Чему равны реактивные сопротивления катушки и
конденсатора?
20. Чему равно реактивное сопротивление последовательно
соединенных катушки и конденсатора?
21. Чему равен импеданс колебательного контура?
22. Чему равен полное сопротивление колебательного контура?
23. Дайте определение резонанса для тока в колебательном
контуре.
24. На какой частоте наблюдается резонанс для тока в
колебательном контуре?
25. На какой частоте наблюдается резонанс для напряжения на
конденсаторе в колебательном контуре?
26. Чему равно отношение амплитуд напряжения на конденсаторе
при резонансе и ЭДС?
27. Чему равно характеристическое сопротивление контура? Как оно
влияет на добротность?
28. Что такое резонансная кривая контура?
29. Что такое резонанс?
30. Приведите при меры, где проявляются резонансы в акустике,
механике, электромагнитных процессах, оптике
31. Как происходит процесс установления вынужденных колебаний?
32. Чему равно время установления вынужденных колебаний?
33. Нарисуйте фазовый портрет вынужденных колебаний.
34. Нарисуйте векторную диаграмму напряжений и тока в
электрическом колебательном контуре.
97
Лекция 7. Колебательные системы с двумя степенями свободы. Связанные колебания математических маятников. Синфазные колебания. Антифазные колебания. Биения.
Колебательные системы, между которыми установлена связь, оказывают взаимное влияние друг на друга. Связь механических колебательных систем может быть обусловлена:

упругостью

трением

инерцией
Если одной из систем сообщили энергию и она совершает колебательное движение, то постепенно она передает свою энергию второй
системе. Системы обмениваются энергией. Скорость передачи энергии
зависит от коэффициента связи.
Если у обеих систем одинаковая собственная частота, то после того, как первая система из двух придет в состояние покоя (ее энергия
обратится в нуль), изменится направление потока энергии. Энергия
возвращается в первую систему. В обеих системах наблюдаются биения (рис.7.1), сдвинутые друг относительно друга по времени на Тб/2.
Рис. 7.1. Характер колебаний связанных систем
98
Биения возникают в результате сложения собственных (нормальных)
колебаний обеих систем.
Связанные колебания математических маятников. Рассмотрим
характер возможных типов собственных колебаний связанных систем
на примере математических маятников:

Системы колеблются в фазе (синфазно). Наличие связи не
меняет частоты, и обе системы (в данном случае маятника) колеблются с частотой  1   0 , где  0 – частота собственных колебаний каждого из одинаковых маятников.
Рис.7.2. Связанные колебания – системы колеблются в фазе
Системы колеблются в противофазе (    ). Из-за дополнительной жесткости kсв1 , обусловленной наличием связи, частота
колебаний уменьшается. Обе системы колеблются в этом случае с частотой  2   0 .

Рис. 7.3. Связанные колебания — системы колеблются в противофазе
Связанные колебания - собственные колебания в сложной системе, состоящей из связанных между собой простейших (парциальных)
систем.
Для свободного математического маятника уравнение динамики
имеет вид
99
J
d 2
 mgl  sin  ,
dt 2
где J  ml 2 – момент инерции маятника, m,l – его масса и длина соответственно,  – угол отклонения от положения равновесия. В случае двух маятников, связанных пружиной, на каждый маятник будет
действовать дополнительная сила со стороны пружин Fcd , которая при
небольших отклонениях может быть определена из закона Гука
Fcd  kl1 1  2  ,
где l1 – расстояние от точки крепления маятника до точки крепления
пружины. Эта сила создает дополнительный момент силы, действующий на каждый из маятников. В этом случае уравнения движения маятников будут иметь вид:
d 21
J
 mgl  sin 1  Fcd l1 cos 1  mgl1  kl12 2  1 
2
dt
d 22
J
 mgl  sin 2  Fcd l1 cos 2  mgl2  kl12 2  1  .
dt 2
В правой части для упрощения анализа учтено, что
2
 ...  1 , sin  
2!
(линейное приближение). В общем случае уравнения колебаний в системе двух произвольных связанных маятников описываются системой
связанных дифференциальных уравнений второго порядка
cos   1 
,
,
здесь x1 , x2 – отклонения маятников от положения равновесия, ω01 , ω02
– частоты собственных колебаний маятников (парциальные частоты),
λ1 , λ2 – коэффициенты, определяющие величину связи между маятниками.
.
100
Решение системы можно найти с помощью метода комплексных
амплитуд, если предположить, что в ней можно возбудить гармонические колебания на некоторой частоте ω, причем
,
,
где
– комплексные амплитуды колебаний маятников. После
подстановки получим
,
где ζ = x20/x10. Решением этой системы алгебраических уравнений являются
,
.
Здесь верхний знак перед корнем относится к ω1 и ζ1, а нижний – к
ω2 и ζ2 Общее решение системы имеет вид
,
,
где амплитуды и фазы A, B, ψ1, ψ2 определяются начальными условиями, а частоты ω1, ω2 и коэффициенты ζ1, ζ2 не зависят от начальных
условий и определяются только свойствами колебательной системы.
Для случая двух одинаковых связанных маятников из следует ζ1 = 1, ζ2
= -1.
Таким образом, хотя в общем случае произвольное колебание маятников не является гармоническим, тем не менее, его всегда можно
представить в виде суммы двух гармонических колебаний с частотами
ω1 и ω2. Эти колебания носят название нормальных колебаний (собственных колебаний системы), а частоты ω1 и ω2 – нормальных частот.
Каждое нормальное колебание системы (его называют также модой
колебаний) является совокупностью колебаний обоих маятников, оно
101
характеризуется частотой ω1 или ω2, а также определенным соотношением между амплитудами колебаний каждого маятника (амплитуды
отличаются соответственно в ζ1 или ζ2 раз). Нормальные колебания
можно выделить в любой колебательной системе, состоящей из произвольного числа маятников. В том случае, когда в системе возбуждено
одно нормальное колебание, каждый маятник колеблется по гармоническому закону с частотой этого колебания, а амплитуды и фазы колебаний всех входящих в систему маятников однозначно связаны между
собой.
В общем случае возникает задача изучения основных закономерностей колебаний в системах с двумя, тремя и более степенями свободы,
затем можно рассмотреть и колебания сплошной среды, как системы с
бесконечно большим числом степеней свободы. Видно, что колебания
имеют форму биений. Период этих биений равен
2
2
,
Tб 

 II   I  б
где частота биений б    II  I . Если частота биений
б  0 , то Tб  T0 . В этом случае колебания будут почти гармоническими (квазигармоническими).
Колебания можно трактовать как колебания с частотой 0 и медленно меняющейся амплитудой. Так, в частности, для колебаний, легко
нарисовать спектр, поскольку уже известно спектральное разложение
этого колебания (представление в виде суммы гармонических колебаний). Такой спектр изображен на рис. 7.4.
Рис.7.4. Спектр связанных колебаний
102
Этот спектр содержит две спектральные компоненты. Его можно охарактеризовать средней частотой 0 и шириной  .
Анализ системы двух связанных осцилляторов. Рассмотрим
систему двух связанных осцилляторов на примере двух электрических
контуров с емкостной связью. Каждый контур состоит из конденсаторов
с емкостью C , катушек индуктивности L1 и L2 , и связан с другим
посредством общего конденсатора C12 (рис. 7.5).
Пусть в первом контуре течет ток i1 t  , во втором - i2 t  . Пренебрегаем потерями энергии в контурах.
Рис. 7.5. Осцилляторы с емкостной связью
Тогда по первому закону Кирхгофа:
i  i1  i2
или после интегрирования
q  q1  q2 ,
где q – заряд на обкладках конденсатора C12 , q1 , q2 – заряды на конdq
dq
денсаторах C1  С 2  С , i1  1 , i2  2 .
dt
dt
По второму закону Кирхгофа, совершая обходы по каждому контуру
в указанных на рис. 1 направлениях, после приведения получим уравнения:
d 2 q2
q
q  q2
d 2 q1
q1
q1  q2



0
 2  1
0
и
2
2
L1C L1C12
L2 C L2 C12
dt
dt
Уравнения описывают систему связанных осцилляторов. Если
1 / C12  0 , т.е. отсутствует связь, тогда уравнение переходит в систе103
му двух независимых осцилляторов с собственными частотами
1
1
01 
, 02 
.
L2C
L1C
Рассмотрим
случай
идентичных контуров, в этом случае
1
.
L1  L2  L и 01  02  0 
LC
Как видно, уравнения для электрических контуров эквивалентны
уравнениям, описывающим механическую систему. Сложим и вычтем
уравнения, получим:
d 2 q1 d 2 q2
1
q1  q2   2 q1  q2   0


2
2
LC
LC12
dt
dt
d 2 q1 d 2 q2
1
q1  q2   0 .
 2 
2
LC
dt
dt
Для упрощения решения дифференциальных уравнений введем
новые переменные Q1  q1  q2 , Q2  q1  q2 , откуда
d 2Q2
1  2
2 
d 2Q1
2
 0 
Q2  0 .

,


Q

0
0 1
2
2
LC 
LC12 
dt
dt
Т.о. Q1 и Q2 – линейные комбинации обычных координат q1 и q 2 , которые называются нормальными координатами, и которым соответству2
1
ют нормальные частоты: 1  0 
и 2  02 
, а
LC12
LC
соответствующие нормальным координатам гармонические колебания
– собственные моды системы.
Число независимых (нормальных) координат, необходимое и достаточное для однозначного определения положения системы называется
числом степеней свободы системы.
Решение уравнений для Q1 и Q2 ищется в виде гармонических колебаний:
Q1  2 A cos 1t  1  ,
Q2  2 B cos 2t  2  .
Фазы 1 ,2 определяются из начальных условий. Рассмотрим режимы колебаний в системе.
104
Синфазные колебания. Если емкости равны и имеют знаки,
Q2  q1  q2  0 , q1  q2 , B  0 и в системе возбуждается мода Q1
1
с частотой 1  0 
. В любой момент времени ток через конLC
денсатор С12 не протекает. Колебания происходят так, как если бы
отсуствовал участок цепи с емкостью С12 .
Антифазные колебания. В случае, когда Q1  q1  q2  0 , т.е.
q1  q2 , первая нормальная мода с частотой 2  02 
2
. Токи
LC12
i1  i2 , в обоих контурах равны и направлены в противоположные стороны либо по часовой стрелке, либо против нее. В любой момент времени через емкость C12 протекает удвоенный ток i  i1  i2  2i1 .
Обобщая: линейная консервативная система с N степенями свободы
может быть представлена в виде набора N независимых осцилляторов.
Биения. Любую колебательную систему с двумя степенями свободы можно представить как две системы с одной степенью свободы,
связанные между собой. Из-за наличия этой связи колебания в одной
системе влияют на колебания в другой системе, и наоборот. Такие системы, на которые можно разбить сложную колебательную систему,
называются парциальными системами. Парциальная колебательная
система описывается одной обобщѐнной координатой и получается из
полной системы, если все остальные обобщѐнные координаты положить равными нулю. Частоты свободных колебаний парциальных систем называются парциальными частотами полной системы. Либо
q1  0 , либо q2  0 . В первом случае получим:
d 2 q1
q
q
 1  1 0,
2
L
C
L
dt
1
1C12
и во втором
d 2 q2
q
q
 2  2 0
2
L2C L2C12
dt
Т.о. парциальные частоты определяются в виде
105
 1
 1
1 
1 
 ,  2  
 .
1  


 L1C L1C12 
 L2C L2C12 
При L1  L2  L эти частоты совпадают и равны:
1   2 
1 
C 
1 
.
LC  C12 
Сравнение их с нормальными частотами показывает:
1
2
,
0  02 
 02 
LC12
LC12
парциальные частоты всегда лежат между нормальными 1  1,2  2 .
Введение связи в систему связанных осцилляторов увеличивает интервал между собственными частотами. Общее решение системы с
учетом Q1  q1  q2 , Q2  q1  q2 , выглядит следующим образом:
1
q1  Q1  Q2   A cos1t  1   B cos2t  2  ,
2
1
q2   Q1  Q2    A cos1t  1   B cos2t  2  .
2
Пусть q2  0 и для упрощения полагаем 1   2  0 . При этом
A  B . Тогда решение для зарядов q1 , q2 принимает вид:
  2
  2
q1 t   Acos1t  cos2t   q0 cos 1
t  cos 1
t,
2
2
  2
  2
q2 t   A cos1t  cos2t   q0 sin 1
t  sin 1
t,
2
2
где q0  2 A . Отсюда следует, что колебания зарядов q1 , q2 происходят с частотой 1  2  2  0 , а амплитуда колебаний меняется с
частотой 1  2  2  0 . Время перехода из первого контура во
второй и обратно определяется из уравнения:
1  2 Tб   .
2
Частота, с которой колебательные контуры обмениваются энергией:
1   2
б   1
Tб
2
106
Таким образом, если созданы колебания в одном из контуров, то за
счет их связи энергия перекачивается во второй контур. Частота, с которой колебательные контуры обмениваются энергией определяется
величиной коэффициента связи k  C C12 .
При слабой связи k  C C12 частота обмена энергией равна:
  2
1  1 
2C 
1 

1 
 

 б  1

2
2  LC  C12 
LC 




 1 2C  
1
2C
C
 1
  1   0
 1   0 1 

C12
C12
2 LC 

 1 C12  
Период биений :
1 C12 C12
Tб 

T0 ,
0 C
C
T0 - период собственных колебаний в каждом из контуров.
Если связь между осцилляторами мала, их колебания не зависят
друг то друга. В этом случае амплитуда колебаний осцилляторов одинакова. Способ связи осцилляторов, при котором в каждом из уравнений для несвязанных систем появляются слагаемые, пропорциональные координате второй системы, называется силовой связью (механические системы) или емкостной связью (колебательный контур).
Аналогичным образом можно записать уравнения для системы двух
связанных контуров с индуктивной связью. Для механических систем
такой способ связи называют инерционным.
Выводы:
В колебательной системе с несколькими степенями свободы можно
так подобрать начальные условия, что система будет совершать
одно из главных (нормальных) колебаний, т.е. тела системы будут
совершать гармонические колебания с одной из главных (нормальных) частот.
В каждом из нормальных колебаний амплитуды находятся в постоянном отношении, которое не зависит от начальных условий, а определяется параметрами системы, хотя сами отдельные амплитуды определяются из начальных условий.
107
Колебательные системы, между которыми установлена связь, оказывают взаимное влияние друг на друга. Связь механических колебательных систем может быть обусловлена:

упругостью

трением

инерцией
Если одной из систем сообщили энергию, и она совершает колебательное движение, то постепенно она передает свою энергию второй системе. Системы обмениваются энергией. Скорость передачи
энергии зависит от коэффициента связи.
Если у обеих систем одинаковая собственная частота, то после
того, как первая система из двух придет в состояние покоя (ее энергия обратится в нуль), изменится направление потока энергии.
Энергия возвращается в первую систему. В обеих системах наблюдаются биения, сдвинутые друг относительно друга по времени на
Тб/2.
Если связь между осцилляторами мала, их колебания не зависят друг
то друга. В этом случае амплитуда колебаний осцилляторов одинакова.
Способ связи осцилляторов, при котором в каждом из уравнений для
несвязанных систем появляются слагаемые, пропорциональные координате второй системы, называется силовой связью (механические системы) или емкостной связью (колебательный контур).
Контрольные вопросы:
1. Чем может быть обусловлена связь механических колебательных
систем?
2. Что такое связанные колебания?
3. Что такое собственные моды системы?
4. Что такое парциальная система?
5. Парциальные частоты?
108
Лекция 8. Колебания систем со многими степенями свободы.
Колебания струны. Тоны и обертоны. Колебания воздушного
столба. Колебания струны, закрепленной с двух концов
Основные идеи, сформулированные при рассмотрении колебаний
систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для анализа колебаний систем с тремя, четырьмя, …N
степенями свободы, и в пределе, при N   для анализа колебаний
в сплошных средах.
Обратимся вначале к колебаниям трех одинаковых масс m , закрепленных на равных расстояниях a на натянутом легком резиновом
шнуре, как показано на рис. 8.1. Любое колебание этой системы может
быть представлено как суперпозиция трех нормальных колебаний с
частотами  I ,  II , III . Найдем конфигурацию этих мод. Примем во
внимание, что квадрат частоты колебаний каждой массы в данной моде
должен быть одинаков. Этого можно добиться в случае, когда отношения возвращающей силы к величине массы m и ее смещению s у всех
грузов будут одинаковыми. Такие условия реализуются при смещении
масс тремя способами (рис. 8.1). При отпускании грузов из положения
(б) в системе будет происходить первое нормальное колебание на частоте  I ; из положения (в) - второе на частоте  II ; из положения (г) третье на частоте III . Очевидно, что III  II  I
Рис. 8.1. Моды колебательной системы
109
Конфигурация каждой из мод может быть описана с помощью двух
коэффициентов распределения амплитуд. Забегая вперед, отметим,
что для четырех масс таких коэффициентов должно быть три, и т.д.
Однако ситуация может быть упрощена, если обратить внимание,
что расположение масс в позициях (б), (в) и (г) на рис. 8.1 напоминает
"синусоидальное" (пунктиром изображен фрагмент функции sin kx ).
Тогда конфигурация первой моды будет описана следующим образом:

.
s0I x   s0 sin k I x, k I 
4a
Для второй моды:
s0II x   s0 sin k II x, k II  2k I .
Для третьей моды:
s0III x   s0 sin k III x, k III  3k I .
Примерами связанных осцилляторов являются атомы в молекулах
CO2, H2O и т. д. На рис. 8.2 изображены конфигурации мод и приведены значения частот нормальных колебаний молекул.
Рис. 8.2. Конфигурации мод нормальных колебаний молекул.
Обратим внимание, что эти частоты имеют порядок величины
1013  1014 с-1 и значительно превышают (на несколько порядков) частоты механических колебаний макроскопических систем. Резонансные
110
колебания этих (и других) молекул можно возбудить при взаимодействии разноименно заряженных ионов, составляющих эти молекулы, с
электрическим полем световой электромагнитной волны инфракрасного (ИК) диапазона, имеющей такую же или близкую частоту.
В заключение отметим, что связь между частотой ω и волновым
числом k называется дисперсионным соотношением. Это соотношение
будет далее использовано при анализе распространения волн в периодических структурах.
Колебания струны. Представим себе, что мы возбудили колебания струны так, что по ней побежала поперечная упругая волна. Дойдя
до закрепленного конца струны, волна отразится и побежит обратно.
Тогда в любой точке струны встречаются две волны, бегущие в противоположных направлениях. Поскольку эти волны когерентны, при их
сложении образуется устойчивая интерференционная картина. В тех
точках струны, где колебания, вызываемые обеими волнами, одинаковы по фазе, смещения от положения равновесия будут изменяться с
удвоенной амплитудой. Такие точки принято называть пучностями
смешения. Точки струны, куда приходят волны, вызывающие колебания с противоположными фазами, остаются в покое. Такие точки называют узлами смешений. Расстояние между ближайшими узлами (или
пучностями) равно половине длины волны.
Характерно, что ни узлы, ни пучности вдоль струны не перемещаются во время колебаний. Вот почему установившиеся колебания струны в целом называют стоячей волной. Понятно, что стоячая волна
может образоваться в струне, закрепленной с двух сторон, только в том
случае, если ее длина кратна целому числу полуволн.
Струны в музыкальных инструментах — это проволоки различной
длины и толщины, которые могут быть изготовлены из разных материалов. Концы их всегда, так или иначе, закреплены. Если заставить
струну колебаться, то ее колебания будут передаваться окружающему
воздуху, в результате чего возникнет звуковая волна. Частота колебаний в звуковой волне такая же, как и частота колебаний струны. От чего
она зависит?
Опыт показывает, что частота колебаний струны обратно пропорциональна ее длине и диаметру, прямо пропорциональна квадратному
корню из силы натяжения струны и обратно пропорциональна корню
квадратному из плотности материала струны. Это означает, что длин111
ные, толстые и тяжелые струны колеблются с меньшей частотой, чем
короткие, тонкие и легкие.
Во время игры музыканты не могут изменять массу или толщину
струн, но они могут изменять длину струн, зажимая их в тех или иных
местах пальцами. В таких инструментах число струн обычно невелико
(у скрипки, например, их всего четыре). В других инструментах длина
струн не изменяется, но зато в них достаточно велико число струн различной длины (пианино, арфа).
Тоны и обертоны. Струна, оттянутая строго посередине, будет
совершать колебания, показанные на рис. 8.3. Через каждые пол
периода вся струна оказывается по разные стороны от положения
равновесия. При этом на концах струны образуются узлы, а
посередине — пучность смещений, так что на длине струны
укладывается ровно половина длины волны (не звуковой, а поперечной
волны в струне!). Частота таких колебаний и определяет высоту звука,
создаваемого струной. Это так называемый основной тон струны.
Рис. 8.3. Основная мода струны
Но это не единственная возможность. Можно возбудить и такие
стоячие волны, при которых струна как бы разделяется на две, три и
более части (рис. 8.4), каждая из которых колеблется с частотой, вдвое,
втрое и т. д. большей, чем частота, соответствующая основному тону.
Такие колебания тоже передаются окружающему воздуху и доходят до
слушателя вместе с основным тоном. Называются они обертонами.
Интенсивность звуков обертонов много меньше интенсивности основного звука, но обертоны как бы окрашивают звук основного тона, придают ему особое качество, называемое тембром. Он-то и позволяет
отличить звук одного музыкального инструмента от другого. Зависит
тембр от числа возбуждаемых обертонов и от их относительной интенсивности.
112
Рис. 8.4. Обертоны
Колебания воздушного столба. В духовых музыкальных
инструментах (различных трубах) источником звука является
колеблющийся столб воздуха, в котором, как и в струне, возникают
стоячие волны. Его колебания возбуждаются вдуванием воздуха через
узкое отверстие на одном конце трубы. При таком вдувании возникает
сжатие воздуха, что и дает начало колебаниям, а затем и волнам
(аналогично оттягиванию струны). Правда, в отличие от струны, в
воздушном столбе возникают не поперечные, а продольные упругие
волны.
Труба может быть короткой или длинной, прямой или изогнутой.
Другой ее конец может быть открытым или закрытым. Иногда вдуваемый воздух заставляет вибрировать тонкий упругий язычок, который
передает колебания воздуху в трубе (кларнет), иногда вибрируют губы
исполнителя, вызывая вибрации воздуха в трубе (корнет).
Рис.8.5. Характер колебаний на открытом и закрытом конце трубы
113
Высота звука здесь, как и в случае струны, зависит от линейных
размеров. В открытой трубе основной тон возникает, когда на длине
трубы укладывается 1/2 длины волны, а в закрытой — 1/4 длины волны
(рис. 8.5). Высота тона зависит также от того, насколько сильно движется (вдувается) воздух, подобно тому, как в струне она зависит от
силы натяжения струны.
Наряду с основным тоном, в трубе возникают и обертоны с частотами, кратными основной частоте. При этом в открытой трубе возможны только такие обертоны, частоты которых представляют собой четные кратные частоте основного тона, а в закрытых трубах — нечетные
кратные. Эти особенности связаны с тем, что на открытых концах трубы (а один из них всегда открытый) возможны только пучности смещений стоячей волны.
Музыкант может изменять действующую длину трубы, закрывая и
открывая отверстия, сделанные вдоль трубы, с помощью клапанов или
просто зажимая их пальцами (флейта, кларнет, дудка). В тромбоне,
например, длина трубы, а вместе с тем и высота звука, изменяется с
помощью скользящей U-образной приставки. В органе же длины труб
неизменны, но зато число труб с самыми разными длинами чрезвычайно велико — до нескольких тысяч.
Оттянув струну в какой-либо точке и отпустив, мы возбудим в ней
одно или несколько колебаний, изображенных на рис. 8.4. На концах
струны получаются узлы.
С помощью этого прибора, меняя массу груза, натягивающего струну, и длину струны (перемещая добавочный зажим со стороны закрепленного конца), нетрудно экспериментально установить, чем определяется собственная частота колебания струны. Эти опыты показывают,
что частота  колебания струны прямо пропорциональна корню квадратному из силы натяжения F струны и обратно пропорциональна длине l струны, т. е.
k F
l
Коэффициент пропорциональности k зависит от плотности  материала, из которого сделана струна, и от толщины струны d, и равен
. Таким образом, собственная частота колебаний струны
k 1
d 
выражается формулой
114
1 F
ld 
В струнных инструментах сила натяжения F создается не подвешиванием грузов, а растягиванием струны при накручивании одного из
ее концов ни вращающийся стерженек (колок). Поворотом колка, т. е.
изменением силы натяжения F, осуществляется и настройка струны на
требуемую частоту.
Поступим теперь следующим образом. Оттянем одну половинку
струны вверх, а другую — вниз с таким расчетом, чтобы средняя точка
струны не сместилась. Отпустив одновременно обе оттянутые точки
струны (отстоящие от концов струны на четверть ее длины), мы увидим, что в струне возбудится колебание, имеющее, кроме двух узлов
на концах, еще узел посередине (рис. 8.4) и, следовательно, две пучности. При таком свободном колебании звук струны получается в два
раза выше (на октаву выше, как принято говорить в акустике), чем при
предыдущем колебании с одной пучностью, т. е. частота равна теперь
2 . Струна как бы разделилась на две более короткие струны, натяжение которых прежнее.
Можно возбудить далее колебание с двумя узлами, делящими струну на три равные части, т. е. колебание с тремя пучностями (рис. 8.4).
Для этого нужно оттянуть струну в трех точках, как показано стрелками
на рис. 8.4. Частота этого колебания равна 3 . Оттягивая струну в нескольких точках, трудно получить колебания с еще большим числом
узлов и пучностей, но такие колебания возможны. Их удается возбудить, например, проводя по струне смычком в том месте, где должна
получиться пучность, и слегка придерживая пальцами ближайшие узловые точки. Такие свободные колебания с четырьмя, пятью пучностями и т. д. имеют частоты 4,5 и т. д.
Итак, у струны имеется целый набор колебаний и соответственно
целый набор собственных частот, кратных наиболее низкой частоте  .
Частота  называется основной, колебание с частотой  называется
основным тоном, а колебания с частотами 2,3 и т. д.— обертонами
(соответственно первым, вторым и т. д.).
В струнных музыкальных инструментах колебания струн возбуждаются либо щипком или рывком пластинкой (гитара, мандолина), либо
ударом молоточка (рояль), либо смычком (скрипка, виолончель). Стру
115
ны совершают при этом не одно какое-нибудь из собственных колебаний, а сразу несколько. Одной из причин того, почему разные инструменты обладают различным тембром, является как раз то, что обертоны, сопровождающие основное колебание струны, выражены у разных
инструментов в неодинаковой степени. (Другие причины различия тембра связаны с устройством самого корпуса инструмента — его формой,
размерами, жесткостью и т. п.)
Наличие целой совокупности собственных колебаний и соответствующей совокупности собственных частот свойственно всем упругим
телам. Однако, в отличие от случая колебания струны, частоты обертонов, вообще говоря, не обязательно в целое число раз выше основной частоты.
На рис. 8.6 схематически показано, как колеблются при основном
колебании и двух ближайших обертонах пластинка, зажатая в тиски, и
камертон. Разумеется, на закрепленных местах всегда получаются узлы, а на свободных концах — наибольшие амплитуды. Чем выше обертон, тем больше число дополнительных узлов.
Рис.8.6. Свободные колебания на частоте основного тона и двух первых обертонов: а) пластинки, зажатой в тиски; б) камертона
116
Говоря ранее об одной собственной частоте упругих колебаний тепа, мы имели в виду его основную частоту и не затрагивали вопрос о
существовании более высоких собственных частот. Впрочем, когда
речь шла о колебаниях груза на пружинке или о крутильных колебаниях
диска на проволоке, т. е. об упругих колебаниях систем, у которых почти вся масса сосредоточена в одном месте (груз, диск), а деформации
и упругие силы — в другом (пружина, проволока), то для такого выделения основной частоты имеются основания. Дело в том, что в таких
случаях частоты обертонов, начиная уже с первого, во много раз выше
основной частоты, и поэтому в опытах с основным колебанием обертоны практически не проявляются.
Колебания струны, закрепленной с двух концов.
Рис.8.7. Колебания струны
В силу граничных условий, заданных закреплением концов струны,
уравнение стоячей волны при выборе начала координат на одном из
концов струны следует записать через функцию sin kx , т.е.
x, t   2 Asin kx sin t .
Тогда условие 0, t   0 будет выполнено. Для выполнения граничного условия на другом конце струны l , t   0 мы должны потребовать, чтобы
sinkl  0 , тогда kl  n .
Это приводит к квантованию волнового числа, т.е. k может принимать не любые значения, а только дискретные, определяемые равенством:
n
kn 
, n  1,2,3...
l
т.к.
117
k  2 
то
Вдоль струны должно укладываться целое число полуволн. Из соотношения  n  n   мы получаем спектр (набор) частот, на которых
может наблюдаться колебание закрепленной с двух концов струны:

n  n, n  1,2,3...
2l
Частота  1 называется основным током,  2 - первым обертоном и
т.д.
Выводы:
В тех точках струны, где колебания, вызываемые обеими волнами,
одинаковы по фазе, смещения от положения равновесия будут изменяться с удвоенной амплитудой. Такие точки принято называть
пучностями смешения.
Точки струны, куда приходят волны, вызывающие колебания с противоположными фазами, остаются в покое. Такие точки называют
узлами смешений. Расстояние между ближайшими узлами (или пучностями) равно половине длины волны.
В открытой трубе основной тон возникает, когда на длине трубы
укладывается 1/2 длины волны, а в закрытой — 1/4 длины волны.
Частота  колебания струны прямо пропорциональна корню квадратному из силы натяжения F струны и обратно пропорциональна
длине l струны.
У струны имеется целый набор колебаний и соответственно целый
набор собственных частот, кратных наиболее низкой частоте  .
Частота  называется основной, колебание с частотой  называется основным тоном, а колебания с частотами 2,3 и т. д.—
обертонами (соответственно первым, вторым и т. д.).
Вдоль струны должно укладываться целое число полуволн и из соотношения  n  n   можно получить спектр (набор) частот, на которых может наблюдаться колебание закрепленной с двух концов
струны.
118
Контрольные вопросы:
1. Что такое узлы и пучности?
2. Что такое стоячая волна?
3. Что такое основной тон струны?
4. Что такое обертоны?
5. Какова одна из причин того, почему разные инструменты обладают различным тембром?
6. Что приводит к квантованию волнового числа?
7. Что такое спектр частот?
119
Лекция 9. Параметрические колебания. Автоколебания.
Параметрический резонанс. Параметрический осциллятор. Автоколебательная система.
Всем хорошо знакома и многими любима такая старинная забава
как качели. Тренировкам на этом снаряде придают большое значение
спортсмены, летчики и космонавты. Когда человека, сидящего на качелях, кто-то раскачивает, то такой механизм разгона и поддержания колебаний нами подробно изучен − это вынужденные колебания под действием внешней периодической силы. Но на качелях можно раскачиваться самостоятельно, сидя или стоя на них. Процедура раскачивания
в этом случае заключается, в том, что человек, стоящий на качелях,
периодически, в нужные моменты приседает и встает. При этом периодически изменяются параметры самой колебательной системы (момент
инерции, расстояние от точки подвеса до центра масс, т.е. приведенная длина). Такие незатухающие колебания называются параметрическими. Простейшим уравнением, описывающим такие колебания, может быть известное уравнение гармонических колебаний, в котором
параметр  2 является периодической функцией времени (уравнение
Хилла):
dx 2 t 
 2 t xt   0 .
dt 2
Зависимость параметра от времени может, например, иметь вид:
2 t   02 1   cos t  ,
где постоянная  0 − собственная частота колебаний при неизменных
средних значениях параметров системы (например, частота свободных
колебаний качелей при неподвижно стоящем на них человеке), а второе слагаемое описывает периодическое изменение параметров системы.
Несмотря на внешнюю простоту этого уравнения (уравнение Матье), его анализ и решение очень сложны, поэтому здесь рассмотрим
параметрические колебания качелей с энергетической точки зрения.
Когда человек приседает и встает, он совершает работу, поэтому в
принципе, может увеличивать амплитуду колебаний и компенсировать
неизбежные потери механической энергии на трение и сопротивление
воздуха. В рассматриваемом случае источник энергии находится
«внутри» самой колебательной энергии, причем этот источник должен
120
расходовать энергию «правильно», включаясь и выключаясь в нужные
моменты времени. Обратим также внимание на то обстоятельство, что
рассматриваемая система не является замкнутой − раскачиваться на
незакрепленных качелях, по меньшей мере, затруднительно. Наконец,
движение человека относительно качелей должно быть периодическим, то есть время от времени он должен возвращаться в исходное
положение (сколько раз присел, столько раз встал).
Используем эти общие соображения для описания раскачивания качелей. Для простоты можно считать человека материальной точкой,
расстояние от которой до оси вращения может изменяться в некоторых
небольших пределах «сознательно», то есть в нужные моменты времени. Для того, чтобы максимально увеличить механическую энергию
колебаний, человек должен вставать, когда для этого требуется приложить максимальное усилие, так как при этом будет совершена максимальная работа. Очевидно, что это условие достигается, когда качели
проходят нижнюю точку. Если человек будет приседать в другом месте,
то потери механической энергии при этом будут меньше, чем работа,
совершенная при вставании в нижней точке. Таким образом, имеется
возможность поддерживать незатухающие колебания. Итак, пусть начальный угол отклонения качелей равен  0 и при этом максимальном
отклонении центр масс находится на максимальном удалении l от точки подвеса O (рис. 9.1).
Рис. 9.1. Параметрическое колебание
Когда качели опустятся под действием силы тяжести в нижнее положение, рассматриваемая материальная точка приобретет скорость
 0 , которую можно найти на основании закона сохранения энергии
121
m 02
 mgl1  cos  0  ,
2
из которого следует
 0  2 gl 1  cos  0  .
Если в момент прохождения нижней точки центр масс поднять на
малую высоту h (рис. 9.1), его скорость возрастет до некоторой величины 1 , которую можно найти на основании закона сохранения момента импульса
m 0 l  m1 l  h .
Отсюда
1   0
l
 h
  0 1  
l h
l

больше первоначальной скорости. Здесь для удобства анализа использована приближенная формула, считая, что h  l .
С помощью закона сохранения энергии можно найти максимальный
угол отклонения качелей 1 в противоположном направлении (рис.9.1),
mgl  h 1  cos 1  
m12 m 02  l 
 l 


  mgl1  cos  0 
 ко2
2 l  h
l  h
2
2
торый удовлетворяет условию:
1  cos    1  cos  
1
0
3
l 
 .
l

h

Отсюда следует, что 1  0 , т.е. угол отклонения увеличился. В
верхней точке человек должен присесть, чтобы опять подняться в нижней точке. Если человек будет приседать в верхней точке, где скорость
качелей равна нулю, то на основании закона сохранения импульса
(также как и на основании энергетического баланса) потерь энергии
колебаний не произойдет. Если же приседать в другой точке траектории, то скорость колебаний уменьшится. В установившемся режиме,
рассмотренный механизм «подкачки» энергии (совершение работы при
вставании) восполняет потери механической энергии.
Таким образом, периодическое изменение параметров системы может приводить к возникновению и поддержанию незатухающих параметрических колебаний в колебательных системах с трением и другими
силами сопротивления. При этом потери механической энергии ком122
пенсируются работой сил, изменяющих параметры системы. На примере рассмотренного движения качелей видно, что их максимальное раскачивание достигается в том случае, когда частота изменения параметра в два раза превышает собственную частоту колебаний системы
− за один период нужно дважды приседать и дважды вставать.
Это правило является общим и для других систем, в которых совершаются параметрические колебания. Такое возрастание амплитуды
колебаний называется параметрическим резонансом. Главное его
отличие от резонанса при вынужденных колебаниях заключается в том,
что он наступает в том случае, когда частота изменения параметров
системы в два раза превышает собственную частоту колебаний.
В отличие от вынужденных колебаний, параметрические не являются самовозбуждающимися − необходимо некоторое начальное отклонение системы от положения равновесия для того, чтобы начался процесс параметрических колебаний. Параметрические колебания возможны и других колебательных системах: электрических, оптических и
т.д.
Параметрический осциллятор − это осциллятор, физические
параметры которого могут изменяться в определѐнной области.
Параметрический осциллятор принадлежит к классу незамкнутых колебательных систем, в которых внешнее воздействие сводится к изменению во времени еѐ параметров. Изменения параметров, например,
собственной частоты колебаний ω или коэффициента затухания β,
приводит к изменению динамики всей системы.
Широко используемым на практике примером параметрического осциллятора может служить, используемый во многих областях, параметрический генератор. Периодическое изменение ѐмкости диода с
помощью специальной схемы, называемой «насосом», приводит к
классическим колебаниям варакторного параметрического генератора.
Параметрические генераторы были разработаны в качестве малошумящих усилителей, которые особенно эффективны в радио- и микроволновом диапазоне частот. Поскольку в них периодически изменяются
не активные (омические), а реактивные сопротивления, тепловые шумы в таких генераторах минимальны. Ещѐ одним классом приборов,
часто использующих метод параметрических колебаний, являются преобразователи частоты, в частности, преобразователи от аудио - к радиочастотам. Например, оптический параметрический генератор пре123
образует входную волну лазера в две выходные волны более низкой
частоты (  s ,  i ).
Автоколебания. В некоторых «саморегулирующихся» системах
незатухающие колебания могут поддерживаться постоянной
внешней силой. Такие системы называются автоколебательными,
а их поведение называется автоколебаниями.
Пример автоколебательной системы показан на рис. 9.2. В бак через трубу А с постоянной скоростью наливается вода, при этом уровень
воды в баке h возрастает со временем по линейному закону (рис.9.3).
Через дно бака пропущена изогнутая труба (сифон) C, второе колено
которого немного не доходит до дна бака. Когда уровень воды в баке (и
в изогнутом колене) достигает верхней точки сифона, вода через изогнутую трубку выливается из бака.
Рис. 9.2. Автоколебания в гидросистеме
Таким образом, уровень воды в баке изменяется по периодическому
закону, который, отличается от гармонического.
124
Рис. 9.3. Характер автоколебаний
Период колебаний уровня воды в баке зависит как от внешних условий (скорости наливания воды), так и от параметров самой колебательной системы, размеров бака, диаметра трубки сифона, ее высоты.
Важно подчеркнуть, что в данной системе существует механизм, автоматически регулирующий изменение уровня воды − когда уровень воды
достигает высшей точки − бак автоматически опустошается. Поэтому
данная система является автоколебательной.
Такой же принцип работы заложен в генератор электрических колебаний, показанный на рис. 9.4.
Рис. 9.4. Релаксационный генератор
Регулирующим элементом в этой системе является неоновая лампочка – диод D. Если на напряжение на лампе меньше некоторого напряжения U1 (которое называется напряжением зажигания), то газ в
лампе является практически идеальным изолятором, в этом случае
электрический ток через лампочку не проходит. При достижении напряжения зажигания в газе возникает электрический разряд, при этом
газ ионизируется и становится хорошим проводником, при этом электрическое сопротивление лампы падает практически до нуля.
Принцип работы показанного генератора следующий: конденсатор
С подключен через резистор R1 к источнику постоянной ЭДС, значение
которой превышает напряжение зажигания неоновой лампочки.
125
Рис.9.5. Колебания в релаксационном генераторе
Изначально незаряженный конденсатор заряжается, напряжение на
нем возрастает, напряжение на лампочке равно напряжению на конденсаторе, так как ток через нее не идет. Когда это напряжение достигает значения напряжения зажигания (ионизация газа, заполняющего
лампу), вспыхивает электрический разряд, лампа «открывается» и конденсатор разряжается через резистор R2 и лампочку, напряжение на
нем резко падает до напряжения Uo, при котором газовый разряд прекращается. После этого процесс повторяется сколько угодно раз (пока
не разрядится источник заряда емкости). Таким образом, напряжение
на конденсаторе, а также ток через лампочку изменяются по периодическому (не гармоническому) закону. В этой колебательной системе
период колебаний зависит от ЭДС источника, сопротивлений резисторов, емкости конденсатора. Наличие внутреннего механизма, регулирующего характер протекающих процессов, делает эту систему автоколебательной.
Автоколебания лежат в основе многих явлений природы: колебания
листьев растений под действием равномерного потока воздуха; образование турбулентных потоков на перекатах и порогах рек; голоса людей, животных и птиц образуются благодаря автоколебаниям, возникающим при прохождении воздуха через голосовые связки; действие
регулярных гейзеров и пр.
На автоколебаниях основан принцип действия большого количества
всевозможных технических устройств и приспособлений, в том числе:
работа часов, как механических, так и электрических; звучание всех
духовых и струнно-смычковых музыкальных инструментов; действие
генераторов электрических и электромагнитных колебаний, применяемых в электротехнике, радиотехнике и электронике; работа поршневых
паровых машин и двигателей внутреннего сгорания и др.
126
Наблюдая колебания листьев деревьев, дорожных знаков над проезжей частью улиц, полотнищ на ветру и др., мы понимаем, что во всех
перечисленных случаях незатухающие колебания происходят за счет
энергии постоянно дующего ветра. При этом сама колебательная система производит отбор энергии ветра в нужный момент времени и в
количестве, требуемом для компенсации неизбежно присутствующих
энергетических потерь. Колебания в этих системах начинаются самопроизвольно за счет начальных флуктуаций (дрожаний) колеблющихся
предметов. Частота и амплитуда установившихся колебаний определяется как параметрами самой системы, так и параметрами ее взаимодействия с ветром. Такие колебания являются примерами автоколебаний, а сами системы – примерами автоколебательных систем.
Классическим примером автоколебательной системы служат механические часы с маятником и гирями. Эти часы периодически "черпают"
энергию при опускании гирь, подвешенных к цепочке, перекинутой через шестерню часового механизма.
Принцип работы всех автоколебательных систем отражает схема,
изображенная на рис. 9.6.
Рис.9.6. Характер обратной связи
Периодическим поступлением энергии в колебательную систему от
источника энергии по каналу АВ управляет сама колебательная система посредством обратной связи. Схематически это изображено в виде
некоторого запирающего канал АВ устройства (ключа), который управляется самой системой. Так, в зависимости от положения и скорости
колеблющегося листа на ветру будет различной мощность сил аэродинамического давления. В конструкции часового механизма (рис. 9.7)
присутствует специальное устройство – анкер, выполняющий роль
ключа. Этот анкер, представляющий собой коромысло, приводится в
колебание самим маятником часов. При определенных положениях он
"отпирает" одну из шестерен часового механизма. В этот момент вре127
мени шестерня проворачивается за счет момента сил, приложенного со
стороны натянутой цепи с грузом. Груз при этом опускается на небольшую величину. Количество энергии, поступающей в часовой механизм,
равно по величине уменьшению потенциальной энергии груза в поле
силы тяжести.
Рис. 9.6. Управление сама колебательной системы
Необходимо отметить, что любая автоколебательная система нелинейна. На схеме это отражено наличием в системе обратной связи нелинейного ограничителя сигнала, управляющего ключом. Нелинейность
системы проявляется в том, что при начальном нарастании амплитуды
колебаний, порожденных флуктуациями, поступление энергии в систему за каждый последующий период колебаний увеличивается нелинейно, т.е. прирост поступающей энергии становится все меньше и меньше. Естественно, что амплитуда колебаний достигнет такой установившейся величины, при которой приток энергии и ее потери будут равны
по величине.
Выводы:
Системы, в которых незатухающие колебания поддерживаются за
счет периодического изменения какого либо параметра называются
параметрическими.
1. Системы, в которых незатухающие колебания поддерживаются
постоянной внешней силой, называются автоколебательными, а
их поведение называется автоколебаниями.
2. Любая автоколебательная система нелинейна.
Контрольные вопросы:
1. Что такое параметрические колебания?
128
2. Что такое параметрический резонанс?
3. К какому классу колебательных систем принадлежит параметрический осциллятор?
4. Что такое автоколебания?
5. Опишите релаксационный генератор.
6. Что является источником энергии незатухающих колебаний?
Приведите пример.
Список основной литературы:
1. Савельев И.В. Курс физики. Учебное пособие. В 3-х тт. СПб. Издательство «Лань», 2018. – (Учебники для вузов. Специальная
литература).
2. Трофимова Т. И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. — 11-е
изд., стер. — М.: Издательство «Академия», 2006. — 560 с.
Список дополнительных источников:
1. Афонин А.М. Физические основы механики. — Изд. МГТУ им.
Баумана, 2006.
2. Горелик Г. С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. — М.: Физматлит, 1959. — 572 с.
3. https://ru.wikipedia.org/wiki
4. Раушер, К., Йанссен Ф., Минихольд Р.. Основы спектрального
анализа. 2006.
5. http://fizportal.ru/physics-book-47-1
6. http://jstonline.narod.ru/rsw/course_cont.htm#rsw_b0
7. http://techlibrary.ru/books.htm
8. http://www.physbook.ru
129
Приложение 1.
Основные характеристики звука
Упругие волны в воздухе, имеющие частоты в пределах от 20 Гц до 20 кГц,
вызывают у человека ощущение звука. Упругие волны в любой среде, имеющие частоту в этом интервале, называются слышимыми звуковыми волнами,
или просто звуком. Волны с частотами   20 Гц (инфразвук) с частотами
  20 кГц (ультразвук) человеческим ухом не воспринимаются.
Самые низкие и самые высокие частоты интервала слышимых звуков доступны, как правило, лишь молодым людям. С возрастом этот интервал сужается, причем мужчины начинают утрачивать чувствительность к высоким частотам раньше, чем женщины. После 50 лет люди чаще всего утрачивают способность к восприятию звуков с частотами   12 кГц .
Характеристики звуковых волн.
Звуки различаются по высоте, тембру и громкости. Громкость звука зависит от амплитуды. Чем больше амплитуда, тем громче звук. Восприятие громкости зависит от частоты: при равной амплитуде колебаний как более громкие
человек воспринимает звуки, частота которых лежит в диапазоне 1000-5000
Гц, поэтому при равной амплитуде колебаний женский голос на частоте 9001000 Гц кажется более громким, чем мужской на более низких частотах ~ 100200 Гц.
Высота звука зависит от частоты: чем выше частота колебаний источника,
тем выше высота звука (рис.П1.1).
Рис. П1.1. Высота звука определяется частотой звуковых колебаний.
Чем больше частота, тем выше звук.
Звуки человеческого голоса по высоте принято делить на несколько диапазонов:
Мужские: бас – 60-350 Гц
Баритор – 100-400 Гц
Тенор 120-520 Гц
Женские: контральто 180-820 Гц
Меццо-сопрано 200-900 Гц
Сопрано 250-1000 Гц
Колоратурное сопрано 270-1400 Гц
130
Звук гармонического колебания (например, камертона) называется тоном.
Звуки других источников представляют совокупность гармонических колебаний
разных частот. Составляющая с наименьшей частотой колебаний называется
основным тоном, она определяет высоту всего сложного звука, другие составляющие называются обертонами. Набор этих составляющих дает окраску,
тембр голоса.
Всякий реальный звук, как правило, представляет собой наложение колебаний с определенным, характерным для этого звука набором частот. Чтобы
убедиться в этом можно подключить (рис. П.1.2) микрофон М через усилитель
УС ко входу Y осциллографа ОС и регистрировать осциллограммы различных
источников звука. Наиболее близким к гармоническому является звук камертона К – описывающая этот звук осциллограмма по своему виду наиболее близка к синусоиде.
Рис.П.1.2. Способ регистрации колебаний
Из произносимых звуков более всего походят на гармонические гласные звуки.
Однако здесь заметно отличие осциллограммы от синусоиды, что указывает
на сложный состав гласных звуков. Гораздо более сложный вид характерен
для осциллограмм согласных звуков. Принципиально возможно, используя
набор резонаторов (см. ниже) или компьютерную обработку осциллограмм,
произвести гармонический анализ звука, то есть установить тот набор частот,
который присутствует в данном звуке. Измеряя интенсивность каждой из гармоник, можно получить акустический спектр. Если в результате такого анализа
окажется, что исследуемый звук состоит из колебаний с дискретными частотами  1 , 2 , 3 …, то спектр называется линейчатым. На рис. П1.3а показан
пример такого спектра, где по оси ординат отложены интенсивности I простых
(гармонических) звуков.
Рис. П1.3. Спектры периодических (а) и непериодических (б) сигналов
131
Если в спектре звука присутствуют колебания всех частот в некотором интервале  1     2 , такой спектр, изображенный на рис. П 1.3, называется
сплошным. По оси ординат здесь отложена так называемая спектральная
плотность интенсивности звука f    dI d . Сплошным спектром обычно
обладают шумы.
Колебания с линейчатым спектром вызывают ощущение звука с более или менее определенной высотой. Такой звук называется тональным. Высота тонального звука определяется основной (наименьшей) частотой  1 . Колебания с
частотами  2 , 3 и так далее называются обертонами. Соотношения интенсивностей основного тона I1 и обертонов I 2 , I 3 определяют тембр звука, придают
ему определенную окраску. Фазы гармоник на тембр звука не влияют. В отсутствие обертонов тональный звук называют чистым тоном. Камертоны дают
чистый тон и используются при настройке музыкальных инструментов. Из каждого музыкального инструмента извлекают звуки с характерным набором гармоник. Это позволяет на слух различать звуки одного тона (с одинаковой основной частотой  1 ), извлекаемые из флейты, трубы, фортепьяно и др. На рис.
П.1.4 показаны осциллограммы для тональных звуков с частотой  1  440 Гц
(нота "ля" первой октавы), флейты (а), голоса (б) и трубы (в).
Рис.П.1.4. Осциллограммы для тональных звуков флейты, голоса и трубы
Все осциллограммы имеют одинаковый период повторения T  1 440 c ,
однако сильно разнятся своим видом. Это указывает на то, что основные частоты  1  1 T у всех звуков совпадают, однако звуки отличаются своим спектральным составом.
На рис. П.1.5 изображена схема клавиатуры рояля с указанием основных частот клавиш, а также приближенные диапазоны основных частот для других
инструментов и голосов.
132
Рис. П.1.5. Клавиатура рояля с частотами звучания клавиш
Закон Вебера-Фехнера. Диаграмма слуха.
Определение громкости звука основано на психофизическом законе, установленном в 1846 году Э.-Г. Вебером, который заложил основы "психометрии",
т.е. количественных измерений ощущений. Поскольку ощущение является
субъективным процессом, то абсолютные измерения силы ощущений невозможны, и Вебер перенес проблему в область измерения относительных величин. Он искал минимальные различия в ощущениях, которые можно зафиксировать.
133
Закон Вебера. Минимальное изменение интенсивности звука I , которое
различает человеческое ухо, не зависит от интенсивности I слышимого
1 .
звука и составляет приблизительно 10% от ее величины:
I I  10
Помимо слуховых ощущений, Вебер изучал также осязание и зрение и установил, что для осязания минимальное различие в ощущении тяжести груза не
зависит от величины этого груза и составляет ~ 1/30, а для зрения минимальная воспринимаемая разница в интенсивности света также не зависит от величины интенсивности и составляет ~ 1/100.
Исходя из закона Вебера, можно построить шкалу уровня ощущения звука, или
шкалу громкости  , записав следующее соотношение:
dI
 Ad ,
I
где d - прирост громкости, обусловленный приростом интенсивности, A коэффициент, определяющий масштаб шкалы. Интегрируя, получаем:
I
ln
 A .
I порог
Для того, чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью I порог и соответственно, некоторым минимальным звуковым давлением pпорог , которое называется порогом слышимости. Естественно, что при I  I порог громкость   0 . Следовательно

1
I
.
ln
A I порог
Если выбрать A  ln 10  2,301, то   lg
I
.
I порог
Это соотношение называется законом Вебера-Фехнера и отражает тот факт,
что чувствительность уха человека к звуку меняется, как логарифм интенсивности звука. Аналогичные соотношения были установлены и для других ощущений, даваемых органами чувств человека, - осязания и зрения. На рис. П.1.6
изображена "диаграмма слуха", на которой показаны области частот и звуковых давлений, а также уровни интенсивности звуков, воспринимаемых человеческим ухом. Нормальное, «среднее» ухо слышит только те звуки, которые
лежат внутри этой области. Нижняя граница области характеризует зависимость порога слышимости от частоты, а верхняя - порог болевого ощущения,
когда волна перестает восприниматься как звук, вызывая в ухе ощущение боли
134
и давления. Отметим, что человеческое ухо является уникальным приемником
акустических волн, воспринимающим звуки, различающиеся по интенсивности
на 12-15 порядков в области частот около 1 кГц, где диаграмма слуха имеет
наибольшее вертикальное сечение
Рис. П.1.6 Изображение "диаграмма слуха"
Из диаграммы видно, что при одинаковом звуковом давлении и одинаковой
интенсивности звуки различной частоты могут восприниматься, как звуки разной громкости  . Поэтому в акустике, помимо субъективной величины - громкости звука  , оцениваемой на слух, используются и объективные характеристики звука, которые могут быть непосредственно измерены, - уровень звукового давления L p и равный ему уровень интенсивности. Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату звукового давления, обе эти характеристики определяются формулой:
L p  2 lg
p
I
 lg
p порог
I порог
На рис. П1.7 приведена диаграмма, показывающая свойства человеческого
слуха. Кривые соответствуют субьективному восприятию звука одинаковой
громкости, которая измеряется в фонах.
135
Рис. П.1.7. Диаграмма, показывающая свойства человеческого слуха
Некоторые сведения о музыкальных инструментах.
Деревянные деки музыкальных инструментов выполняют функции резонаторов, обеспечивая хорошие условия звучания. Частоты струнных инструментов
не зависят от резонатора. Основная частота звука  1 и частоты обертонов
зависят только от массы, натяжения и длины струны. Вместе с тем тембр звука зависит от способа возбуждения, от реакции резонатора и эффективности,
с которой резонатор "поддерживает" колебания этих частот и излучает соответствующие волны в окружающее пространство.
В духовых инструментах формирование звука связано с наличием автоколебаний и зависит как от конструкции инструмента, так и от способа, с помощью
которого воздух вдувается в инструмент. В качестве иллюстрации рассмотрим
качественно Процесс возникновения автоколебаний в органной трубе показан
на рис. П.1.8.
При равномерном поступлении в мундштук М (ситуация б) воздух проходит
через узкую щель Щ, за которой образуется турбулентный поток. Образующаяся при таком течении вихревая дорожка является источником "щелевого"
тона, основная частота которого обратно пропорциональна периоду следования вихрей. По существу система "мундштук + щель" представляет собой
сложную автоколебательную систему.
136
Рис. П.1.8. Процесс возникновения автоколебаний в органной трубе
Вихри, выходящие из щели, поочередно проходят слева и справа от язычка Я,
вызывая его вибрацию (ситуация а). Язычок оказывает периодическое воздействие на столб воздуха в трубе. Возникающие в столбе импульсы сжатия, добежав до открытого конца трубы, отражаются в виде импульсов разрежения и
возвращаются к щели через время T  2l /  ( l - длина трубы,  - скорость
звука в воздухе), управляя поступлением воздуха через щель. Таким образом,
основная частота формируется резонаторной системой. Однако можно вдувать воздух так, чтобы в трубе одновременно существовали два импульса
сжатия, и мы услышим звучание трубы на частоте первого обертона (удвоенной частоте).
Органные трубы обычно конструируются для звучания на основной частоте. В
духовых инструментах возбуждающим вибратором (аналогом язычка Я в органной трубе) можно управлять, чтобы посылать в трубу один или более импульсов, прежде чем первый отразится от открытого конца. Высота звука инструмента определяется количеством импульсов в секунду, отраженных от
открытого конца духового инструмента.
Произносимые человеком звуки связаны с тем, что голосовые связки гортани
вибрируют под напором движущегося воздуха, а гортань является объемным
резонатором. Как правило, у мужчин объем гортани больше, чем у женщин,
поэтому мужские голоса более низкие.
На рис. П1.9 показаны спектры звуков, извлекаемых на трубе и валторне с
одинаковой основной частотой  0  440 Гц . По оси ординат отложена громкость b (нормирована на громкость волны основной частоты). В спектре звука
валторны отсутствуют частоты   10кГц , поэтому еѐ звук более приглушенный, нежели звук трубы.
137
Рис. П1.9. Спектры звуков, извлекаемых на трубе и валторне
Приложение 2
Добротность различных колебательных систем
Можно сопоставить основные характеристики различных колебательных
систем (иногда их для краткости называют осцилляторами), наиболее распространенных в природе и технике. Примерами таких осцилляторов могут быть
механические, электрические, оптические (например, электрон в атоме) и другие системы.
Маятник является одним из древнейших физических приборов. Наибольшее распространение в измерительной технике нашли крутильные маятники.
С помощью крутильных маятников были открыты законы гравитационного и
электрического взаимодействий, измерено давление света, выполнено множество других физических экспериментов. В последнее время предложен и реализуется ряд новых экспериментов для изучения фундаментальных свойств
материи, в которых очень малые силы измеряются с помощью крутильных
маятников. Чувствительность таких экспериментов зависит от того, насколько
ослаблены сейсмические возмущения, действующие на маятник, а также от
стабильности его параметров, например, упругих свойств нити подвеса. Но
даже если устранены все внешние возмущающие воздействия, остается один
принципиальный источник флуктуаций его амплитуды и фазы колебаний. Это
хаотическое тепловое движение молекул в нити подвеса и подвешенном теле.
Действующая на него флуктуационная сила зависит от температуры и от добротности маятника. Чем выше добротность маятника, тем медленнее затухают
его колебания и диссипирует его энергия, превращаясь в тепло, т.е. хаотическое движение молекул. Это означает, что ослабевает и обратный процесс
раскачки маятника хаотическим движением молекул, т.е. уменьшается флуктуационная сила, действующая на маятник. Для того, чтобы уменьшить затухание, тело и нить подвеса изготовляют из высококачественного плавленого
138
кварца - материала с низкими потерями упругой энергии, а также принимают
специальные меры для исключения других источников диссипации энергии. В
результате добротность крутильных маятников достигает величины ~107.
В настоящее время строятся лазерные гравитационные антенны для регистрации гравитационного излучения от космических объектов. Принцип действия антенны основан на том, что гравитационная волна действует на свободные массы, помещенные в разные точки пространства, изменяя расстояние
между ними. Это изменение пропорционально интенсивности волны и расстоянию между массами. По этой причине в гравитационных антеннах пробные массы располагают в нескольких километрах друг от друга в специальных
вакуумных камерах, а расстояние между ними измеряют уникальным лазерным интерферометром. Каждая пробная масса подвешивается на тонких нитях, образуя маятник качания. С массами связывают два зеркала, отражающие лазерный луч, распространяющийся вдоль прямой, соединяющей эти
массы. По сдвигу интерференционной картины, даваемой такой сложной оптической системой, можно зафиксировать взаимное смещение масс на величину
порядка 10-17 см, что на 7 порядков меньше размеров атома. Чувствительность
гравитационной антенны ограничена тепловыми флуктуациями колебаний
такого маятника, а значит, также определяется его добротностью. В отличие от
крутильных, добротность маятников качания зависит не только от потерь в
упругом элементе - нити подвеса, но и от ее натяжения. За счет этого эффекта
можно значительно увеличить добротность маятника качания. Так, добротность маятников качания, целиком изготовленных из плавленого кварца, может превышать 108, т.е. время затухания их колебаний достигает нескольких
лет. Конечно, при столь малой диссипации энергии маятника на его добротность влияют весьма слабые внешние воздействия, например, электрические
и магнитные поля, или частицы пыли, осевшие на нити подвеса, и т. д. При
таких высоких значениях добротности и соответствующем подавлении сейсмических возмущений проявляются квантовые свойства маятника. В этом случае поведение вполне макроскопического объекта будет определяться принципом неопределенности Гейзенберга. Необходимые условия реализуются
пока только для малых временных интервалов (около 10 -3 с), и для наблюдения квантовых особенностей поведения маятников требуются очень чувствительные регистрирующие устройства. Именно такие маятники, обладающие
предельно высокой добротностью, предполагается использовать в будущих
гравитационных антеннах.
Камертон, служащий для настройки музыкальных инструментов, также является высокодобротным механическим осциллятором. Звук, издаваемый
вибрирующими ножками камертона, затихает за достаточно длительное время
по сравнению с периодом их колебаний. Если, например, собственная частота
камертона лежит в диапазоне   300  400 Гц, а продолжительность зву-
139
чания (примерно) составляет время порядка  ~10 c то камертон совершит
3000-4000 колебаний. Это означает, что его добротность по порядку величины
равна Q ~ 104.
Электрический колебательный контур является менее добротной системой, хотя частота его собственных колебаний имеет порядок величины
 ~ 10 5  108 Гц. Добротность контура ограничена, главным образом, тепловыми, омическими потерями и имеет порядок величины Q ~102. Это, в свою
1
очередь, означает, что полоса пропускания  ~ Q  введенная ранее при


рассмотрении вынужденных колебаний, равна  ~ 103  106 Гц. Если
частота радиопередающей станции  высока   10 Гц , то ее преобразовывают в радиоприемных устройствах до низкой (называемой промежуточной)
6
частоты  ~ 10
5
Гц. Тогда колебательный контур радиоприемника будет
иметь очень малую полосу пропускания  ~ Q 1 ~ 5 103 Гц. Это значит,
что если частоты двух станций  и  соответственно различаются более,
1
чем на величину полосы пропускания
2
1  2  
то, перестраивая
собственную частоту колебательного контура приемника, можно по отдельности настроиться на каждую из этих передающих станций.
Оптический электрон в атоме, осуществляя переходы с одной орбиты на другую, в соответствии с постулатами Бора излучает квант света с энергией
  E2  E1 .С классической точки зрения это можно интерпретировать
так, что электрон совершает колебания на этой частоте  , т.е. является оптическим осциллятором. Поскольку электрон теряет энергию на излучение, то
амплитуда его колебаний должна затухать в течение некоторого характерного
времени  . Для уединенного атома (не взаимодействующего с соседними
атомами) это время определяется зарядом и массой электрона и зависит от
частоты  . Однако для всех атомов оно имеет один и тот же порядок величины:  ~10-8 - 10-9 с. Учитывая, что в видимом оптическом диапазоне период
колебаний T  2  ~10-15 с легко подсчитать число колебаний до их затухания. Оно имеет порядок величины 
T
~106 – 107 .Поэтому добротность
оптического осциллятора ( Q ~ 107) будучи высокой, все же уступает добротности прецизионных кварцевых резонаторов.
140
Приложение 3
Резонаторы
Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого
возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней
(возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной
системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже
весьма слабые периодические колебания. Резонанс — явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная
система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы. Степень
отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротность.
В основе работы механических резонаторов лежит преобразование потенциальной энергии в кинетическую. В случае простого маятника, вся его энергия содержится в потенциальной форме, когда он неподвижен и находится в
верхних точках траектории, а при прохождении нижней точки на максимальной
скорости, она преобразуется в кинетическую. Потенциальная энергия пропорциональна массе маятника и высоте подъѐма относительно нижней точки,
кинетическая — массе и квадрату скорости в точке измерения.
Другие механические системы могут использовать запас потенциальной
энергии в различных формах. Например, пружина запасает энергию сжатия,
которая, фактически, является энергией связи еѐ атомов.
Струна. Струны таких инструментов, как лютня, гитара, скрипка или пианино, имеют основную резонансную частоту, напрямую зависящую от длины,
массы и силы натяжения струны. Длина волны первого резонанса струны равна еѐ удвоенной длине. При этом его частота зависит от скорости v, с которой
волна распространяется по струне:
f 

2L
где L — длина струны (в случае, если она закреплена с обоих концов). Скорость распространения волны по струне зависит от еѐ натяжения T и массы на
единицу длины ρ:   T  . Таким образом, частота главного резонанса
зависит от свойств струны и выражается следующим отношением:
f 
T 

2L
T
,
4mL
где T — сила натяжения, ρ — масса единицы длины струны, а m — полная
масса струны.
141
Увеличение натяжения струны и уменьшение еѐ массы (толщины) и длины
увеличивает еѐ резонансную частоту. Помимо основного резонанса, струны
также имеют резонансы на высших гармониках основной частоты  , например, 2 , 3 , 4 , и т. д. Если струне придать колебание коротким воздействием (щипком пальцев или ударом молоточка), струна начнѐт колебания на
всех частотах, присутствующих в воздействующем импульсе (теоретически,
короткий импульс содержит все частоты). Однако частоты, не совпадающие с
резонансными, быстро затухнут, и мы услышим только гармонические колебания, которые и воспринимаются как музыкальные ноты.
Электроника. В электронных устройствах резонанс возникает на определѐнной частоте, когда индуктивная и ѐмкостная составляющие реакции системы
уравновешены, что позволяет энергии циркулировать между магнитным полем
индуктивного элемента и электрическим полем конденсатора. Механизм резонанса заключается в том, что магнитное поле индуктивности генерирует электрический ток, заряжающий конденсатор, а разрядка конденсатора создаѐт
магнитное поле в индуктивности — процесс, который повторяется многократно, по аналогии с механическим маятником.
Кварцевый генератор — автогенератор электромагнитных колебаний с колебательной системой, в состав которой входит кварцевый резонатор. Предназначен для получения колебаний фиксированной частоты с высокой температурной и временно́й стабильностью, низким уровнем фазовых шумов.
а) Обозначение пьезоэлектрического кварцевого резонатора на
схемах
б) Миниатюрный кварцевый резонатор, закрытый
в герметичный корпус
с) Пассивная эквивалентная схема кварцевого резонатора
Рис.П.3.1. Кварцевый резонатор
Частота собственных колебаний кварцевого генератора может находиться в
диапазоне от нескольких килогерц до сотен мегагерц. Она определяется физическими размерами резонатора, упругостью и пьезоэлектрической постоянной кварца, а также тем, как вырезан резонатор из кристалла. Так как кварце-
142
вый резонатор является законченным электронным компонентом, его частоту
можно изменять внешними элементами и схемой включения в очень узком
диапазоне выбором резонансной частоты (параллельный или последовательный) или понизить параллельно включѐнным конденсатором. Колебания кварцевого генератора характеризуются высокой стабильностью частоты (10−5 ÷
10−12), что обусловлено высокой добротностью кварцевого резонатора (104 ÷
105).
Мощность кварцевого генератора не превышает нескольких десятков ватт.
При более высокой мощности кварцевый резонатор может разрушиться из-за
возникающих в нѐм сильных механических напряжений. На практике, при необходимости получения большей мощности применяется усилитель.
Внешнее напряжение на кварцевой пластинке вызывает еѐ деформацию. А
она, в свою очередь, приводит к появлению электрического заряда на поверхности кварца (пьезоэлектрический эффект). В результате этого механические
колебания кварцевой пластины сопровождаются синхронными с ними колебаниями заряда на еѐ поверхности, и наоборот.
Для обеспечения связи резонатора с остальными элементами схемы непосредственно на кварц наносятся электроды, либо кварцевая пластинка помещается между обкладками конденсатора. Для получения высокой добротности
и стабильности резонатор помещают в вакуум и поддерживают постоянной
его температуру.
В электронике сверхвысоких частот (СВЧ), выделившейся в силу высокой
практической значимости в отдельную область электроники,
широко
используются объѐмные резонаторы, чаще всего цилиндрической или
тороидальной геометрии с размерами порядка длины волны, в которых
возможны высокодобротные колебания электромагнитного поля на отдельных
частотах, определяемых граничными условиями. Наивысшей добротностью
обладают сверхпроводящие резонаторы, стенки которых изготовлены из
сверхпроводника и диэлектрические резонаторы с модами шепчущей галереи.
Электромагнитный резонатор, в котором накопление энергии электромагнитных колебаний происходит в объѐме, ограниченном хорошо проводящими
поверхностями. Объѐмный резонатор характеризуется спектром частот собственных колебаний и соответствующим им моды колебаний (видам колебаний).
Каждая мода определяется своей структурой электрических и магнитных полей. В простейших объѐмных резонаторах на основе отрезков волновода, ограниченных с торцов проводящими стенками различают: колебания H-вида,
имеющие продольные (вдоль оси волновода z) составляющие только магнитного поля Hz (составляющая электрического поля Ez=0); колебания E-вида,
имеющие продольные составляющие только Ez (Hz=0).
Возбуждение колебаний в объѐмных резонаторах, как и в волноводах, осуществляется с помощью петель, штырей, щелей, электронных потоков и т.п.
143
Объѐмные резонаторы широко применяют в приборах СВЧ электроники
(клистронах, магнетронах и др.), устройствах техники СВЧ волномерах,
фильтрах и др.). В объѐмных резонаторах, применяемых в электронных приборах для взаимодействия с электронными потоками, чаще всего используются основные виды колебаний. При этом основные характеристики объѐмного
резонатора — резонансная частота, добротность и волновое сопротивление —
отождествляются с характеристиками эквивалентного колебательного контура.
Если ограничить некоторый объѐм пространства отражающими стенками, препятствующими потере энергии из этого объѐма за счет излучения, то в этом
объѐме на некоторых длинах волн, определяемых размерами устройства
можно возбудить электромагнитные колебания. Если полый резонатор образован металлическими стенками, то он также часто называется закрытым резонатором. Объѐмные СВЧ резонаторы могут быть также заполнены диэлектриком.
.Существуют также открытые диэлектрические резонаторы, без металлических стенок, в которых волна отражается
от границ диэлектрика за счет эффекта
полного внутреннего отражения. В связи
с тем, что электрические и магнитные
поля почти не выходят за пределы границ
объѐмного
резонатора,
их добротность высока (10000 и более).
Рис. П3.2. Одна из возможных конфигураций электрического и магнитного поля
в СВЧ-резонаторе
Оптика. В оптическом диапазоне самым распространенным типом резонатора
является резонатор Фабри-Перо (рис. П 3.3), образованный парой зеркал,
между которыми в резонансе устанавливается стоячая волна. Применяются
также кольцевые резонаторы с бегущей волной и оптические микрорезонаторы с модами шепчущей галереи.
144
Рис. П 3.3. Виды оптических резонаторов типа Фабри-Перо: 1. плоскопараллельный; 2. концентрический (сферический); 3. полусферический; 4.
конфокальный; 5. выпукло-вогнутый.
Акустика. Резонанс — один из важнейших физических процессов,
используемых при проектировании звуковых устройств, большинство из
которых содержат резонаторы, например, струны и корпус скрипки, трубка у
флейты, корпус у барабанов.
Медный сферический резонатор ГельмМодель резонатора Гельмгольца
гольца, созданный на основе изначального дизайна около 1890—1900 годов.
Рис. П3.4. Акустический резонатор
Резонанс Гельмгольца — явление резонанса воздуха в полости, примером
которого является гудение пустой бутылки от потока воздуха направленного
перпендикулярно еѐ горлышку. Резонатор Гельмгольца — медный сосуд
сферической формы с открытой горловиной, изобретѐнный Гельмгольцем
около 1850 года для анализа акустических сигналов, на основе наблюдаемых
145
в нѐм явлений Гельмгольцем и Рэлеем разработана количественная теория
резонанса данного типа[1]. Когда воздух нагнетается в полость, давление в
полости возрастает. Когда внешняя сила, нагнетающая воздух в полость,
исчезает, повышенное давление заставляет воздух вытекать обратно. Через
некоторое время давление внутри и снаружи сравняется, но воздух все равно
продолжит выходить вовне, поскольку струя воздуха в горлышке обладает
массой и ненулевой скоростью, а значит, и кинетической энергией. Через
некоторое время воздух перестанет выходить из полости, и при этом давление
внутри полости будет меньше давления снаружи. Воздух снова устремится в
полость. Этот цикл будет повторяться множество раз, с затухающей
амплитудой. Частота цикла (собственная, или резонансная частота) зависит от
формы полости. Если внешняя сила будет возникать и исчезать с частотой,
равной собственной частоте полости, возникнет резонанс — колебания
воздуха не будут затухать. Резонанс Гельмгольца применяется в двигателях
внутреннего сгорания и в акустических системах. Системы впрыска топлива
называемые системами Гельмгольца использовались в двигателях,
которыми комплектовались автомобили Dodge Viper и пикапы Ram. В
струнных инструментах с полой декой, таких, как гитара или скрипка, один из
пиков кривой резонанса — это резонанс Гельмгольца (остальные — это
резонансные частоты деревянных частей инструмента). Окарина — резонатор
с изменяемым сечением горлышка. Западноафриканский барабан
джембе имеет относительно узкое горлышко, что придаѐт ему глубокий
басовый тон. Теория резонанса Гельмгольца используется при
проектировании выхлопных труб автомобилей и мотоциклов, с целью сделать
звук двигателя более тихим или более красивым.
Акустический парамагнитный резонанс – избирательное поглощение энергии акустических волн высоких частот (гиперзвук) в парамагнитных кристаллах, помещенных в постоянное магнитное поле.
Циклотронный резонанс (ЦР) — явление поглощения или отражения электромагнитных волн проводниками, помещѐнными в постоянное магнитное
поле, на частотах равных или кратных циклотронной частоте носителей заряда. В постоянном магнитном поле носители заряда движутся по спиралям, оси
которых направлены вдоль магнитного поля. В плоскости, перпендикулярной Н, движение является периодическим с частотой с 
qH
. С этой же
mc
частотой поворачивается и вектор скорости. Если при этом частица находится
в однородном электрическом поле с частотой  , то поглощаемая ею энергия
так же оказывается периодической по времени с частотой   c . Средняя
энергия, поглощаемая за большое время, резко возрастает при   c .
146
Циклотронный резонанс может наблюдаться, если носители заряда совершают много оборотов, прежде чем они рассеются. Это условие имеет вид:
c   1 , где  — среднее время между столкновениями. В твѐрдом теле основную роль играют рассеяние на дефектах решѐтки и рассеяние на
фононах. Последний процесс накладывает ограничение на наблюдение ЦР
низкими температурами T < 10 К для «нормальных» значений частот и магнитного поля (Циклотронный резонанс при комнатной температуре можно наблюдать в сверхсильных магнитных полях).
Исследование циклотронного резонанса является эффективным методом для
определения свойств различных материалов. В первую очередь, ЦР используется для определения эффективных масс носителей.
По полуширине линии ЦР можно определить характерные времена рассеяния,
и, тем самым, установить подвижность носителей.
По площади линии можно установить концентрацию носителей заряда в образце.
Рис. П3.5. Ячейка масс спектрометра ион-циклотронного резонанса
Плазмонный резонанс (англ. plasmon resonance) — возбуждение поверхностного плазмона (это волны переменной плотности электрического заряда, которые могут возникать и распространяться в электронной плазме металла вдоль его поверхности или вдоль тонкой металлической пленки) на
его резонансной частоте внешней электромагнитной волной (в случае наноразмерных металлических структур называется локализованным плазмонным резонансом).
Технический прием, позволяющий использовать поверхностные плазмоны в
оптике, основан на использовании полного внутреннего отражения. При
полном внутреннем отражении вдоль отражающей свет поверхности распространяется электромагнитная волна, скорость которой и зависит от угла
падения. Если при определенном угле падения скорость этой волны совпадет со скоростью поверхностного плазмона на поверхности металла, то
147
условия полного внутреннего отражения нарушатся, и отражение перестанет быть полным, возникнет поверхностный плазмонный резонанс.
Возбуждение становится особенно эффективными при условиях, если:
 свет поляризован;
 поляризация его такова, что электрический вектор электромагнитной
волны лежит в плоскости падения, а магнитный вектор параллелен поверхности металла;
 проекция л
волнового вектора
пленки равна волновому вектору
фотонов света на плоскость
поверхностного плазмона.
Когда эти условия выполнены, то значительная часть энергии света превращается в энергию плазмонов, из-за чего интенсивность отраженного от
поверхности металлической пленки света резко падает. Это явление и называют "поверхностным плазмонным резонансом".
.
Если металлическая пленка 2 достаточно тонка (< 200 нм), то значительная
часть затухающей в металле электромагнитной волны достигает противоположной поверхности металла. И тогда ППР становится чувствительным к
свойствам той среды 4, которая контактирует с металлом с другой стороны
пленки.
Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР, электронный спиновый резонанс), явление резонансного поглощения электромагнитного излучения парамагнитными частицами, помещенными в постоянное магнитное поле, обусловленное квантовыми переходами между магнитными подуровнями парамагнитных атомов и ионов (эффект Зеемана). В отсутствие постоянного магнитного поля Н магнитные моменты неспаренных электронов направлены
произвольно, состояние системы таких частиц вырождено по энергии. При
наложении поля Н проекции магнитных моментов на направление поля принимают определенные значения и вырождение снимается (эффект Зеемана),
т. е. происходит расщепление уровня энергии электронов. Так как на нижнем
148
уровне число электронов больше в соответствии с распределением Больцмана, то преимущественно будет происходить резонансное поглощение энергии
переменного магнитного поля (его магнитной составляющей). К ЭПР относят
электронный спиновый резонанс (ЭСР), магнитный спиновый резонанс (МСР).
Ферромагнитный резонанс (ФМР) проявляется в избирательном поглощении
ферромагнетиком энергии электромагнитного поля при частотах, совпадающих с собственными частотами прецессии магнитных моментов электронной
системы ферромагнитного образца во внутреннем эффективном магнитном
поле. Это возбуждение во всѐм объѐме образца колебаний однородной прецессии вектора намагниченности, вызываемых магнитным СВЧ-полем, перпендикулярным постоянному намагничивающему полю.
Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) — резонансное поглощение или излучение электромагнитной энергии веществом, содержащим ядра с ненулевым спином во внешнем магнитном поле, на частоте  (называемой частотой
ЯМР), обусловленное переориентацией магнитных моментов ядер.
Ядерный квадрупольный резонанс (ЯКР) — резонансное поглощение радиоволн, обусловленное квантовыми переходами ядер между энергетическими состояниями с различной ориентацией электрического квадрупольного
момента ядра в связи с наличием градиентов электрического поля в кристаллах. В отличие от ЯМР чистый ЯКР может наблюдаться и в отсутствие внешнего магнитного поля. Используется для определения квадрупольных моментов ядер, симметрии и структуры кристаллов. ЯКР может возникать также при
резонансном поглощении ультразвука, модулирующего ядерные квадрупольные взаимодействия. ЯКР — один из основных методов изучения динамической структуры кристаллов.
Гамма – резонанс – резонансное поглощение и рассеяние гамма – квантов
ядрами атомов вещества. В спектре твердого тела этому резонансу могут отвечать очень узкие пики, если процесс излучения или поглощения гамма –
кванта происходит без отдачи (эффект Мессбауэра). Такой процесс возможен,
если энергия отдачи ядра меньше минимальной энергии фононов, так как в
этом случае происходит бесфононный квантовый переход. Гамма – резонансное поглощение может быть использовано для определения структуры кристаллов. В связи с чрезвычайной узостью спектра этот эффект можно использовать для очень точного определения частоты.
Резонансом Шумана называется явление образования стоячих электромагнитных волн низких и сверхнизких частот между поверхностью Земли и ионосферой. Земля и еѐ ионосфера — это гигантский сферический резонатор, полость которого заполнена слабоэлектропроводящей средой. Если возникшая в
этой среде электромагнитная волна после огибания земного шара снова сов-
149
падает с собственной фазой (входит в резонанс), то она может существовать
долгое время (рис.П3.5)
Рис.П3.6. Электромагнитные колебания сверхнизкой частоты, возникающие в резонансной полости
между поверхностью земли и ионосферой (резонанс Шумана).
Астрофизика. Орбитальный резонанс в небесной механике — это ситуация,
при которой два (или более) небесных тела имеют периоды обращения, которые относятся как небольшие натуральные числа. В результате эти небесные
тела оказывают регулярное гравитационное влияние друг на друга, которое
может стабилизировать их орбиты. В некоторых случаях резонансные явления
вызывают неустойчивость некоторых орбит.
Близкое явление — спин-орбитальный резонанс, когда синхронизируется
орбитальное движение небесного тела и его вращение вокруг своей оси:
-Меркурий обращается вокруг Солнца в спин-орбитальном резонансе 3:2,
то есть за два меркурианских года планета совершает три оборота вокруг своей оси.
-Луна при вращении вокруг Земли обращена всегда одной стороной —
спин-орбитальный резонанс 1:1.
-Все Галилеевы спутники также обращены к Юпитеру одной стороной.
Рис.П3.7. Иллюстрация резонанса Ио-Европа-Ганимед. Спутники Юпитера:
от центра к периферии: Ио (желтый), Европа (серый) и Ганимед (тѐмный)
Резонансный метод разрушения льда. Известно, что при движении нагрузки по ледяному покрову развивается система изгибных гравитационных
150
волн (ИГВ). Это сочетание изгибных колебаний пластины льда и связанных с
ними гравитационных волн в воде. Когда скорость нагрузки близка к минимальной фазовой скорости от ИГВ, вода прекращает поддержку ледяного покрова и поддержка осуществляется только упругими свойствами льда. Амплитуда ИГВ резко возрастает, и с достаточной нагрузкой, начинается разрушения. Потребляемая мощность в несколько раз ниже (в зависимости от толщины льда) по сравнению с ледоколами и ледокольными навесными оборудованиями. Этот метод разрушения льда известен как резонансный метод разрушения льда.
Приложение 4.
Основные формулы механических и электромагнитных колебаний
Пружинный маятник
Колебательный контур
Механические величины
Электрические величины
Смещение х
Заряд конденсатора q
Скорость  
dx
dt
Масса груза m
Жесткость пружины k
Коэффициент трения r
Сила упругости
Fупр   k x
Fтр
Сила тока i 
dq
dt
Индуктивность L
Величина обратная электроемкости
1 С 
Сопротивление R
Напряжение на C
UC 
q
C
Сила трения
Напряжение на R
dx
 r  r
dt
U R  iR  R
dq
dt
Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний
Второй закон Ньютона
 
ma  Fупр
Второе правило Кирхгофа
d 2x
 k x
dt 2
d 2x k
 x0
dt 2 m
d 2q 1
 q
dt 2 C
d 2q
1

q0
2
LC
dt
m
 L  UC
L
151
d 2x
 02 x  0
2
dt
d 2q
 02 q  0
2
dt
Циклическая частота собственных колебаний
0 
k
m
0 
1
LC
Уравнение гармонических колебаний
x  A cos( 0t   0 )
q  qm cos( 0t  0 )
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
Второй закон Ньютона
Второе правило Кирхгофа

 
ma  Fтр  Fупр
 L  U R  UC
d 2x
dx
 r  kx
2
dt
dt
2
d x r dx k

 x0
dt 2 m dt m
d 2q
dq 1
R
 q
2
dt C
dt
d 2 q R dq
1


q0
2
L dt LC
dt
d 2x
dx
 2
 02 x  0
2
dt
dt
d 2q
dq
 2
 02 q  0
2
dt
dt
m
L
Коэффициент затухания

r
2m

R
2L
Уравнение затухающих колебаний
x  A0e   t cos(  t  0 )
q  q0 e   t cos(  t   0 )
Циклическая частота затухающих колебаний
  02   2
Амплитуда затухающих колебаний
A(t )  A0et
qm (t )  q0et
152
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
Второй закон Ньютона
Второе правило Кирхгофа


 
 L   (t )  U R  UC
ma  Fтр  Fупр  F (t )
d 2x
dx
d 2q
dq 1


r

kx

F
cos

t

L
  m cos t  R
 q
m
dt
dt C
dt 2
dt 2
F

d 2 x r dx k
d 2 q R dq 1

 x  m cost


q  m cost
2
2
m dt m
m
L dt LC
L
dt
dt
2
F

d 2x
dx
d
q
dq
 2
 02 x  m cost
 2
 02 q  m cost
dt
m
dt
L
dt 2
dt 2
Уравнение вынужденных колебаний
m
x  A(  ) cos(  t  )
q  qm (  ) cos(  t  )
Амплитуда вынужденных колебаний
A( ) 
Fm
m (   )  4  
2
0
2 2
2
2
qm ( ) 
Тангенс сдвига фазы tg  
Резонансная частота
m
L (   2 ) 2  4 2 2
2
0
2
02   2
 p  02  2 2
Все формулы колебательных процессов электрической системы можно получить из соответствующих формул колебательных процессов механической
системы указанными выше заменами и наоборот.
Приложение 5
Словарь терминов
Термин
Определение
Колебания скалярной
Процесс поочередного возрастания и убывания
величины
обычно во времени значений какой-либо величины.
Величина, значения которой колеблются, называется колеблющейся величиной.
Механические колебания Колебания значений кинематической или динамической величины, характеризующей механическую
систему
Размах колебаний
Разность между наибольшим и наименьшим значениями колеблющейся величины в рассматриваемом
153
Термин
Пиковое значение колеблющейся величины
Среднее значение модуля
колеблющейся величины
Определение
интервале времени равен двойной амплитуде
Наибольшее абсолютное значение экстремумов
колеблющейся величины в рассматриваемом интервале времени
Среднее арифметическое или среднее интегральное абсолютных значений колеблющейся величины
в рассматриваемом интервале времени
Квадратный корень из среднего арифметического
или среднего интегрального значения квадрата
колеблющейся величины в рассматриваемом интервале времени
Среднее квадратическое
значение колеблющейся
величины. Эффективное
значение. Действующее
значение
Периодические колеба- Колебания, при которых каждое значение колебния
лющейся величины (характеризующей вибрацию)
повторяется через равные интервалы времени
Период колебаний
Наименьший интервал времени, через который при
периодических колебаниях повторяется каждое
значение колеблющейся величины
Частота периодических Величина, обратная периоду колебаний
колебаний
Синхронные колебания Два или более одновременно совершающихся периодических колебания, имеющие равные частоты
Гармонические колеба- Колебания, при которых значения колеблющейся
ния
величины изменяются во времени по закону:
Acos( t+).
где t - время; А, ,  - постоянные параметры;
А - амплитуда; t+ - фаза;  - начальная фаза;
 - угловая частота
Амплитуда гармониче- Максимальное значение величины при гармонических колебаний
ских колебаниях
Фаза гармонических ко- Аргумент косинуса, которому пропорционально
лебаний
значение колеблющейся величины при гармонических колебаниях
Начальная фаза гармо- Фаза гармонических колебаний в начальный монических колебаний
мент времени
Сдвиг фаз синхронных
Разность фаз двух синхронных гармонических когармонических колебаний лебаний в любой момент времени
Угловая частота гармо- Производная по времени от фазы гармонических
нических колебаний. Цик- колебаний, равная частоте, умноженной на 2
лическая частота. Кру-
154
Термин
Определение
говая частота
Комплексная амплитуда Комплексная величина, модуль которой равен амгармонических колебаний плитуде, а аргумент - начальной фазе гармонических колебаний Аеi
Синфазные гармониче- Синхронные гармонические колебания с равными в
ские колебания
любой момент времени фазами
Антифазные гармониче- Два гармонических колебания с одинаковой частоские колебания
той, у которых сдвиг фаз в любой момент времени
равен 
Почти гармонические
Колебания, при которых значения колеблющейся
колебания
величины изменяются во времени по закону:
Квазигармонические коAcos( t+),
лебания
где А, ,  - медленно меняющиеся функции времени (в частности, некоторые из них могут быть
постоянными).
Биения
Колебания, размах которых периодически колеблющаяся величина и которые являются результатом сложения двух гармонических колебаний с
близкими частотами
Частота биений
Частота колебаний значений размаха при биениях,
равная разности частот суммируемых колебаний
Гармонический анализ
Представление анализируемых колебаний в виде
колебаний
суммы гармонических колебаний. Периодические
колебания представляют в виде ряда Фурье, почти
периодические - в виде суммы гармонических колебаний с несоизмеримыми частотами, а непериодические колебания - в виде интеграла Фурье, определяющего спектральную плотность
Гармоника
Гармоническая составляющая периодических колебаний
П р и м е ч а н и е . Частоты гармоник кратны частоте анализируемых периодических колебаний
Номер гармоники
Целое число, равное отношению частоты гармоники
к частоте анализируемых периодических колебаний
Первая гармоника
Гармоника, номер которой равен единице
Высшая гармоника
Гармоника, номер которой больше единицы
Спектр колебаний
Совокупность соответствующих гармоническим
составляющим значений величины, характеризующей колебания, в которой указанные значения располагаются в порядке возрастания частот гармони-
155
Термин
Определение
ческих составляющих.
П р и м е ч а н и е . Периодическим и почти периодическим колебаниям соответствует дискретный
спектр, непериодическим - непрерывный спектр.
Спектр частот
Совокупность частот гармонических составляющих
колебаний, расположенных в порядке возрастания
Дискретный спектр
Спектр колебаний или частот, в котором частоты
гармонических составляющих колебаний образуют
дискретное множество
Непрерывный спектр
Спектр колебаний или частот, в котором частоты
гармонических составляющих колебаний образуют
непрерывное множество
Амплитудный спектр
Спектр колебаний, в котором величинами, характеризующими гармонические составляющие колебаний, являются их амплитуды
Фазовый спектр
Спектр колебаний, в котором величинами, характеризующими гармонические составляющие колебаний, являются их начальные фазы
Энергетический спектр Спектр колебаний, в котором величинами, характеризующими гармонические составляющие колебаний, являются квадраты амплитуд скорости, характеризующие удельную энергию указанных составляющих
Спектральный анализ
Определение спектра колебаний или спектра частот
колебаний
Преобладающая часто- Частота, которой соответствует глобальный максита
мум энергетического или амплитудного спектра
колебаний с различными частотами
Почти периодические
Колебания, при которых каждое значение колебколебания Квазиперио- лющейся величины почти повторяется через некодичсские колебания
торые постоянные интервалы времени
Затухающие колебания Колебания с уменьшающейся амплитудой колебаний
Нарастающие колебания Колебания с увеличивающимися амплитудой колебаний
Полоса частот
Совокупность частот в рассматриваемых пределах
Декадная полоса частот Полоса частот, у которой отношение верхней граДекада
ничной частоты к нижней, равно 10
Октавная полоса часПолоса частот, у которой отношение верхней гратот Октава
ничной частоты к нижней равно 2
156
Термин
Полуоктавная полоса
частот
Полуоктава
Бегущая волна
Определение
Полоса частот, у которой отношение верхней граничной частоты к нижней равно
2
Распространение возмущения в воде.
Гармоническая волна
Волна, при которой все точки среды совершают
гармонические колебания
Длина гармонической
Расстояние между двумя соседними максимумами
волны. Длина волны
или минимумами перемещения точек среды
Волновое число
Величина, равная частному от деления 2 на длину
гармонической волны
Фронт гармонической
Односвязная поверхность в среде, представляюволны
щая собой геометрическое место синфазно колебФронт волны
лющихся точек среды при гармонической бегущей
волне
Скорость гармонической Скорость распространения фронта гармонической
волны
волны
Плоская волна
Волна, фронт которой представляет собой плоскость, перпендикулярную к направлению распространения волны
Цилиндрическая волна
Волна, фронт которой представляет собой цилиндрическую поверхность, радиусы которой совпадают
с направлениями распространения волны
Сферическая волна
Волна, фронт которой представляет собой сферическую поверхность, радиусы которой совпадают с
направлениями распространения волны
Продольная волна
Волна, направление распространения которой коллинеарно траекториям колеблющихся точек среды
Поперечная волна
Волна, направление распространения которой ортогонально траекториям колеблющихся точек среды
Стоячая волна
Состояние среды, при котором расположение максимумов и минимумов перемещении колеблющихся
точек среды не меняется во времени.
П р и м е ч а н и е . Стоячую волну часто рассматривают как результат наложения двух одинаковых
бегущих волн распространяющихся навстречу одна
другой
Узел колебаний
Неподвижная точка среды при стоячей волне.
П р и м е ч а н и е . Совокупность таких точек может образовать узловую линию и узловую поверх-
157
Термин
Пучность колебаний
Форма колебаний
Детерминированные
колебания
Случайные колебания
Узкополосные случайные
колебания
Широкополосные случайные колебания
Вынуждающая сила (момент)
Параметрическое возбуждение колебаний
Самовозбуждение колебаний
Мягкое самовозбуждение
колебаний
Жесткое самовозбужде-
Определение
ность
Точка среды при стоячей волне, в которой размах
перемещений имеет максимум.
П р и м е ч а н и е . Совокупность таких точек может образовать линию пучности и поверхность пучности
Конфигурация совокупности характерных точек
системы, совершающей периодические колебания,
в момент времени, когда не все отклонения этих
точек от их средних положений равны нулю.
П р и м е ч а н и е . Для сплошных ограниченных
тел форма колебаний соответствует конфигурации
стоячей волны
Колебания, представляющие собой детерминированный процесс
Колебания, представляющие собой случайный процесс
Случайные колебания со спектром частот, расположенным в узкой полосе частот.
П р и м е ч а н и е . Понятие узкой полосы частот
зависит от исследуемой проблемы. Если возможны
различные толкования, необходимо дать соответствующее указание
Случайные колебания со спектром частот, расположенным в широкой полосе частот
Переменная во времени внешняя сила (момент), не
зависящая от состояния системы и поддерживающая ее вибрацию
Возбуждение колебаний системы не зависящим от
состояния системы изменением во времени одного
или нескольких ее параметров (массы, момента
инерции, коэффициента жесткости, коэффициента
сопротивления, емкости, индуктивности)
Возбуждение колебаний системы поступлением
энергии от не колебательного источника, которое
регулируется движением самой системы
Самовозбуждение колебаний, которое возникает
после сколь угодно малого возмущения состояния
равновесия системы
Самовозбуждение колебаний, которое возникает
158
Термин
ние колебаний
Добротность системы
Логарифмический декремент колебаний
Коэффициент поглощения
Свободные колебания
Вынужденные колебания
Параметрические колебания
Автоколебания
Установившиеся колебания
Переходные колебания
Колебательная система
Определение
лишь после достаточно большого возмущения состояния равновесия системы
Величина, обратная удвоенному относительному
демпфированию системы
Натуральный логарифм отношения двух последовательных максимальных или минимальных значений величины при затухающих свободных колебаниях
Отношение рассеиваемой за один период энергии
гармонических колебаний линейной системы к максимальной потенциальной энергии
Колебания системы, происходящие без переменного внешнего воздействия и поступления энергии
извне
Колебания системы, вызванные и поддерживаемые силовым или кинематическим возбуждением
Колебания системы, вызванные и поддерживаемые
параметрическим возбуждением
Колебания системы, возникающие в результате
самовозбуждения
Периодические или почти периодические колебания
системы, которые устанавливаются в системе по
прошествии некоторого времени после начала колебаний
Процесс перехода от установившихся колебании к
другим установившимся колебаниям
П р и м е ч а н и е . Вместо установившихся колебаний может быть состояние равновесия
Система, способная совершать свободные колебания
Любая из частот свободных колебаний линейной
системы.
Собственная частота
колебаний линейной системы
Спектр собственных
Совокупность собственных частот линейной систечастот системы
мы, расположенных в порядке возрастания
П р и м е ч а н и е . Собственные частоты нумеруют в порядке возрастания
Собственная форма
Форма колебаний линейной системы, колеблющейколебаний системы
ся с одной из собственных частот
159
Термин
Изохронизм колебаний
Определение
Свойство независимости частоты свободных колебаний системы от размаха.
Амплитудно-частотная Зависимость амплитуды вынужденных колебаний
характеристика
или вибрации системы от частоты гармонического
возбуждения с постоянной амплитудой
Фазо-частотная харак- Зависимость сдвига фаз между вынужденными
теристика
колебаниями системы и гармоническим возбуждением с постоянной амплитудой от частоты последнего
Резонансные колебания Вынужденные колебания системы, соответствуюРезонанс
щие одному из максимумов амплитудно-частотной
характеристики
Антирезонансные коле- Вынужденные колебания системы с двумя и более
бания
степенями свободы, соответствующие одному из
минимумов амплитудно-частотной характеристики
Резонансная частота
Частота, при которой осуществляется резонанс.
колебаний системы
П р и м е ч а н и е . В системе с затуханием резонансные частоты перемещения, скорости и ускорения различны
Дорезонансные колеба- Вынужденные колебания системы, частота которых
ния
меньше резонансной
Зарезонансные колеба- Вынужденные колебания системы, частота которых
ния
больше резонансной
Субгармонические коле- Вынужденные колебания нелинейной системы,
бания
частота которых в целое число раз меньше частоты
гармонического возбуждения
Приложение 6
Электрические импульсы
Электрический импульс — кратковременный всплеск электрического напряжения или силы тока в определѐнном, конечном временном промежутке. Различают видеоимпульсы — единичные колебания какой-либо формы и радиоимпульсы — всплески высокочастотных колебаний. Видеоимпульсы бывают
однополярные (отклонение только в одну сторону от нулевого потенциала) и
двухполярные.
Характеристики импульсов.
Важной характеристикой импульсов является их форма, визуально наблюдать
которую, можно, например, на экране осциллографа. В общем случае форма
импульсов имеет следующие составляющие: фронт — начальный подъѐм,
160
относительно плоская вершина (не для всех форм) и срез (спад) — конечный
спад напряжения. Существует несколько типов импульсов стандартных форм,
имеющих относительно простое математическое описание, такие импульсы
широко применяются в технике

Прямоугольные импульсы — наиболее распространѐнный тип

Пилообразные импульсы

Треугольные импульсы

Трапецеидальные импульсы

Экспоненциальные импульсы

Колокольные (колоколообразные) импульсы

Импульсы, представляющие собой полуволны или другие фрагменты
синусоиды (обрезка по горизонтали или по вертикали)
Кроме импульсов стандартной, простой формы иногда, в особых случаях, используются импульсы специальной формы, описываемой сложной функцией,
существуют также сложные импульсы, форма которых имеет в значительной
степени случайный характер, например, импульсы видеосигнала.
В общем случае импульсы характеризуются двумя основными параметрами — амплитудой (размахом) и длительностью (обозначается  или tи).
Длительность пилообразных и треугольных импульсов определяется по основанию (от начала изменения напряжения до конца), для остальных типов импульсов длительность принято брать на уровне напряжения 50 % от амплитуды, для колокольных импульсов иногда используется уровень 10 %, длительность искусственно синтезированных колокольных импульсов (с чѐтко выраженным основанием) и полуволн синусоиды часто измеряется по основанию.
Для разных типов импульсов существуют дополнительные параметры, уточняющие форму или характеризующие степень еѐ неидеальности. Например,
для описания неидеальности прямоугольных импульсов используются такие
параметры, как, длительности фронта и среза (в идеале должны стремиться
к нулю), неравномерность вершины, а также размер выбросов напряжения
после фронта и среза, возникающих в результате паразитных процессов.
Спектральное представление импульсов
Кроме временного представления импульсов, наблюдаемого на осциллографе, возможно спектральное представление, выраженное в виде двух функций — амплитудного и фазового спектра. Спектр одиночного импульса является непрерывным и бесконечным. Амплитудный спектр прямоугольного импульса имеет чѐтко выраженные минимумы по шкале частот, следующие с
интервалом, обратным величине длительности импульса.
Многократные импульсы. Импульсные посылки (серии импульсов)
Часто импульсы используются или возникают не поодиночке, а группами, которые называются сериями импульсов или импульсными посылками, в том
случае, когда они формируются для передачи куда-либо. Импульсная посылка
161
может нести какую-либо информацию единичного характера или служить в
качестве идентификатора. Информационные посылки прямоугольных импульсов, в которых значимыми величинами являются количество импульсов, их
временное расположение или длительности импульсов называются кодовоимпульсными посылками или, в некоторых областях техники - кадрами, фреймами. Кодирование информации в посылках может быть осуществлено разными способами: двоичный цифровой код, импульсный код, код Морзе, набор
заданного количества импульсов (как в телефонном аппарате) и др. Во многих
случаях импульсные посылки используются не поодиночке, а в виде непрерывных последовательностей посылок.
Импульсные последовательности.
Импульсной последовательностью называется достаточно продолжительная
последовательность импульсов, служащая для передачи непрерывно меняющейся информации, для синхронизации или для других целей, а также генерируемых непреднамеренно, например, в процессе искрообразования в коллекторно-щѐточных узлах. Последовательности подразделяются на периодические и непериодические. Периодические последовательности представляют
собой ряд одинаковых импульсов, повторяющихся через строго одинаковые
интервалы времени. Длительность интервала называется периодом повторения (обозначается T), величина, обратная периоду — частотой повторения
импульсов (обозначается f ). Для последовательностей прямоугольных импульсов дополнительно применяются ещѐ две однозначно взаимосвязанных
друг с другом параметра: скважность — отношение периода к длительности
импульса и коэффициент заполнения — обратная скважности величина; иногда коэффициент заполнения используют и для характеристики квазипериодической и случайной последовательностей, в этом случае он равен среднему
отношению суммы длительностей импульсов за достаточно большой промежуток времени к длительности этого промежутка. Среди непериодических последовательностей с, технической точки зрения, наибольший интерес представляют квазипериодические и случайные последовательности (на практике
используются псевдослучайные). Квазипериодические последовательности
представляют собой последовательности импульсов, период которых или другие характеристики варьируются вокруг средних значений. В отличие от спектра периодической последовательности, спектр квазипериодической последовательности является, строго говоря, не дискретным, а гребенчатым, с незначительным заполнением между гребнями, которым, на практике иногда можно
пренебречь, так, например, в телевизионной технике для создания полного
видеосигнала к сигналу чѐрно-белого изображения добавляют сигнал цветности таким образом, что гребни его спектра оказываются между гребнями чѐрно-белого видеосигнала.
162
Импульсы как носители информации.
По характеру информации импульсные сигналы могут использоваться однократно (разовое сообщение о событии) или для непрерывной передачи информации. Последовательности импульсов могут передавать дискретизированную по времени аналоговую информацию или цифровую, возможны также
случаи, когда в единый, в физическом смысле, сигнал вложено два вида информации, например, телевизионный сигнал с телетекстом.
Для представления информации используются различные характеристики как
импульсов, так и их совокупностей, как по отдельности, так и в сочетаниях

Форма импульсов

Длительность импульсов

Амплитуда импульсов

Частота следования импульсов

Фазовые соотношения в последовательности импульсов

Временные интервалы между импульсами в посылке

Позиционное комбинирование импульсов в посылке.
Таким образом, можно выделить несколько обобщѐнных типов импульсных
сигналов, несущих непрерывную информацию

Цифровой сигнал, информация в котором, как правило (но не обязательно), содержится в виде кодовых посылок

Аналоговый дискретизированный сигнал в виде квазипериодической
последовательности

Аналоговый дискретизированный сигнал в виде импульсных посылок
с аналоговым кодированием информации

Отдельно от предыдущих типов надо выделить видеосигнал (и соответствующий ему модулированный радиосигнал), в котором, в отличие от других сигналов, непрерывная информация содержится внутри самого импульса,
благодаря его сложной форме.
163
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
3 728 Кб
Теги
posobie, spektri, glushchenko, osnovy, kolebaniya, uchebnoy, 2018, fizika
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа