close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Golovkina Fizicheskie osnovy nanotehnologij fotoniki i optoinformatiki uchebnoe posobie

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ»
Кафедра физики
М.В. Головкина
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
НАНОТЕХНОЛОГИЙ,
ФОТОНИКИ И ОПТОИНФОРМАТИКИ
Учебное пособие
Самара - 2017
ББК 22.37
Г24
УДК 539.21
Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ, протокол № от 17.02.2017 г.
Головкина, М.В. Физические основы нанотехнологий,
фотоники и оптоинформатики: учебное пособие / М.В.
Головкина. –Самара: ПГУТИ, 2017. -140 с.
Книга представляет собой учебное пособие по дисциплине «Физические основы нанотехнологий, фотоники и оптоинформатики», рассматривающий основные явления, принципы и экспериментальные
достижения нанофотоники. В книге на высоком физико – математическом уровне описываются вопросы распространения и взаимодействия
света в пространственно – ограниченных наноструктурах, рассматриваются свойства различных наноструктурированных материалов, а
также вопросы их практического использования.
Учебное пособие рассчитано на магистрантов первого года обучения направления 12.04.03 "Фотоника и оптоинформатика" и разработано в соответствии с федеральным государственным образовательным
стандартом высшего образования по направлению подготовки 12.04.03
Фотоника и оптоинформатика (уровень магистратуры) от 30.11.2014.
Для магистрантов, аспирантов, изучающих вопросы оптической
связи, а также для инженерно-технических работников.
 Головкина М.В., 2017
2
Список сокращений и обозначений
АСМ – атомная силовая микроскопия,
ВКР –вынужденное комбинационное рассеяние,
ГС – гетероструктура,
КНИ – кремний-на-изоляторе,
КОНОП – кремний оксид-нитрид-оксид-полупроводник,
ЛВР – лазеры с вертикальным резонатором,
МЛЭ – молекулярно-лучевая эпитаксия,
МОП – металл – оксид –полупроводник,
МП – магнитный поляритон,
MOCVD (Metalorganic Chemical Vapour Deposition) – метод осаждения металлоорганических соединений из газообразной фазы,
ПП – поверхностный плазмон,
ПМСВ – поверхностные магнитостатические волны,
СТМ - сканирующая туннельная микроскопия,
УНТ – углеродная нанотрубка,
ФЗЗ – фотонная запрещенная зона,
ФК– фотонный кристалл,
ФКВ – фотонно-кристаллическое волокно,
ЭППЗУ - электрически перепрограммируемое постоянное запоминающее устройство.
3
Содержание
Введение .................................................................................... 8
Глава 1. Особенности физических взаимодействий в
наномасштабах. Квантовая механика нанообъектов
1.1. Особенности физических взаимодействий в наномасштабах ....................................................................... 9
1.2. Описание движения наночастиц. Уравнение
Шредингера ................................................................. 13
1.3. Собственные функции, собственные значения .. 20
Выводы по теме ............................................................ 22
Вопросы и задания для самоконтроля ....................... 22
Глава 2. Квантование энергии. Наночастица в одномерной
потенциальной яме
2.1. Собственные функции, собственные значения .. 23
2.2. Наночастица в одномерной потенциальной яме 23
2.3. Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками ........................................... 24
2.4. Локализация электронов в простейших наноструктурах (размерное квантование) ......................... 29
2.5. Потенциальный барьер. Туннельный эффект .... 31
2.6. Применение туннельного эффекта в современных
приборах........................................................................ 31
Выводы по теме ............................................................ 35
Вопросы и задания для самоконтроля ....................... 35
Глава 3. Тема 3. Квантово – размерные эффекты. Квантовый
кон-файнмент
4
3.1. Плотность состояний ............................................ 37
3.2.Типы квантоворазмерных структур ..................... 44
Выводы по теме ............................................................ 50
Вопросы и задания для самоконтроля ....................... 50
Глава 4. Электроны в периодических структурах и
квантовый конфайнмент. Блоховские волны
4.1. Дисперсионное уравнение.................................... 52
4. 2. Электроны в периодических структурах.
Теорема Блоха. Зоны Бриллюэна................................ 53
4.3. Электрон в периодическом поле кристалла. Эффективная масса ................................................................. 59
Выводы по теме ............................................................ 63
Вопросы и задания для самоконтроля ....................... 63
Глава 5. Квазичастицы
5.1. Квазичастицы ........................................................ 64
5.2. Дырки ..................................................................... 65
5.3. Фононы................................................................... 66
5.4. Экситоны................................................................ 69
Выводы по теме ............................................................ 75
Вопросы и задания для самоконтроля ....................... 76
Глава 6. Рассеяние
6.1. Виды рассеяния ..................................................... 77
6.2. Рэлеевское рассеяние ............................................ 78
6.3. Рассеяние Ми ......................................................... 80
6.4. Рассеяние Мадельштама-Бриллюэна .................. 81
6.5. Комбинационное (рамановское) рассеяние ........ 82
6.6. Расчет параметров рассеяния .............................. 84
Выводы по теме ............................................................ 86
Вопросы и задания для самоконтроля ....................... 87
5
Глава 7. Фотонные кристаллы
7.1. Классификация фотонных кристаллов................ 88
7.2. Дисперсионное уравнение для одномерных фотонных кристаллов............................................................. 96
7.3. Применение фотонных кристаллов ................... 101
Выводы по теме .......................................................... 103
Вопросы и задания для самоконтроля ..................... 103
Глава 8. Нелинейно –оптические эффекты
8.1. Условия возникновения нелинейных оптических
эффектов ..................................................................... 104
8.2. Генерация второй гармоники и условие фазового
синхронизма ............................................................... 106
8.3. Параметрическое преобразование и параметрические генераторы света................................................ 108
8.4. Четырехволновое смешивание .......................... 110
Выводы по теме .......................................................... 115
Вопросы и задания для самоконтроля ..................... 115
Глава 9. Применение фотонных кристаллов и гетероструктур
9.1. Квантовые микрорезонаторы ............................ 116
9.2. Гетероструктуры с квантовыми ямами ............. 124
Выводы по теме .......................................................... 127
Вопросы и задания для самоконтроля ..................... 127
Ответы на вопросы и задания для самоконтроля .............. 128
Список литературы ............................................................. 133
Глоссарий .............................................................................. 137
6
Введение
Данная книга представляет собой учебное пособие по дисциплине «Физические основы нанотехнологий, фотоники и
оптоинформатики», изучаемой в рамках магистерской программы по направлению «Фотоника и оптоиноформатика». Данный
курс посвящен основным вопросам нанофотоники, возникшей
на стыке фотоники, изучающей проблемы распространения света в различных средах, и нанотехнологий, развитие которых дает
возможность для создания новых структур с заранее заданными
свойствами. Совершенствование техники молекулярно-лучевой
эпитаксии позволяет создавать полупроводниковые нано- и гетероструктуры толщиной в несколько атомных слоев. В таких
наноструктурах, ограничивающих движение носителей зарядов
в одном, двух или трех направлениях, начинают проявляться
квантоворазмерные эффекты, приводящие к существенному изменению спектральных характеристик и появлению новых
свойств, которые не могут наблюдаться у природных материалов. Данная книга подробно освещает теоретические вопросы,
связанные с особенностями распространения света в ограниченных наноструктурах, вопросы размерного квантования, элементы наноплазмоники, а также вопросы практического применения
наноструктур. Каждая лекция в конце содержит вопросы и задания для самоконтроля, чтобы читатели могли следить за усвоением изученного материала.
Учебное пособие рассчитано на читателя, владеющего математическим анализом, квантовой механикой и физикой твердого тела в объеме, изучаемом в технических университетах, а
также знаниями оптической физики и основ оптоинформатики.
В свою очередь, знания, полученные в рамках данного курса,
используются при изучении курсов по нанооптике, фемтосекундной оптике и фемтотехнологиям, оптическим материалам
фотоники и оптоинформатики.
7
Глава 1. Особенности физических взаимодействий в
наномасштабах. Квантовая механика нанообъектов
1.1. Особенности физических взаимодействий в
наномасштабах
Понятие фотоника подразумевает совокупность наук и технологий, связанных с излучением, поглощением, преобразованием квантов света или фотонов и также с их применением для
передачи, приема, записи, хранения информации в различных
устройствах. Свет - это электромагнитное излучение, которое
воспринимается человеческим глазом, в диапазоне длин волн от
приблизительно 400 до приблизительно 700 нанометров. Соседние участки видимого спектра в ультрафиолетовом и ближнем
инфракрасном диапазонах также являются предметом изучения
науки фотоники. Таким образом, фотоника изучает приблизительный диапазон электромагнитного излучения от 100 нм до 12 мкм. Фотоника изучает распространение света в пространстве
с неоднородностями различной формы. Если размер неоднородностей достаточно мал, то из-за многократного рассеяния и интерференции возникают изменения в распространения световых
волн. Чтобы изменять условия для распространения света, размер неоднородностей в пространстве должен быть сравним с
длиной волны света, т.е. начиная с размера от 10 нм для ультрафиолетового диапазона до нескольких микрометров для ближнего инфракрасного диапазона[15]. Структуры с неоднородностями или наноструктуры часто встречаются в живой природе.
Структурами с одномерной периодичностью, которые демонстрируют выраженную интерференционную окраску, являются,
например, покрытия на крыльях некоторых бабочек, хвостовых
перьях павлина, панцирях некоторых жуков и перламутровых
раковин.
Вещество состоит из атомов, которые, в свою очередь, состоят из ядер и электронов. Элементарный атом водорода имеет
размер, определяемый радиусом первой боровской орбиты радиус, т.е. около 0,053 нм. Атомы могут образовывать молекулы
8
и твердые тела. Многие типичные органические молекулы,
имеющие сложное строение и содержащие большое число атомов, имеют размеры порядка 1 нм. Для типичных кристаллических твердых тел период решетки составляет около 0,5 нм. Взаимодействие света с веществом сводится фактически к процессам взаимодействия электромагнитных волн с оптическими
электронами, находящимися на внешних орбитах атомов. Поэтому, чтобы понять взаимодействие света и вещества, нужно
детально рассмотреть электронные свойства. Электроны необходимо рассматривать как объекты, обладающие корпускулярно-волновым дуализмом, то есть они обладают волновыми свойствами в точки зрения длины волны, и корпускулярными свойства с точки зрения массы и заряда.
«Если при уменьшении объема какого-либо вещества по одной, двум или трем координатам до размеров нанометрового
масштаба возникает новое качество, или это качество возникает
в композиции из таких объектов, то эти образования следует отнести к наноматериалам, а технологии их получения и дальнейшую работу с ними -к нанотехнологиям» [15].
Наночастица (англ. nanoparticle) - изолированный твердофазный объект, имеющий отчетливо выраженную границу с окружающей средой, размеры которого во всех трех измерениях составляют от 1 до 100 нм. Наночастицы - один из наиболее общих
терминов для обозначения изолированных ультрадисперсных
объектов, во многом дублирующий ранее известные термины
(коллоидные частицы, ультрадисперсные частицы), но отличающийся от них четко определенными размерными границами.
Твердые частицы размером менее 1 нм обычно относят к кластерам, более 100 нм — к субмикронным частицам [25].
Отнесение изучаемого явления к нанотехнологиям заключается не только на малых размерах пространственного масшта
неоднородностей вещества. Включение явления в сферу изучения к нанотехнологий подразумевает наличие новых качественных особенностей, которые присущи изучаемому веществу..
Нанотехнология - данный термин в настоящее время не имеет
единого определения. "Первоначально термин «нанотехнология» использовался в узком смысле и означал комплекс процес-
9
сов, обеспечивающих высокоточную обработку поверхности с
использованием высокоэнергетических электронных, фотонных
и ионных пучков, нанесения пленок и сверхтонкого травления"
[38]. В настоящее время термин «нанотехнология» используется
в широком смысле, охватывая и объединяя технологические
процессы, приемы и системы машин и механизмов, предназначенные для выполнения сверхточных операций в масштабе нескольких нанометров. Под термином «нанотехнологии» Роснано
понимает совокупность технологических методов и приемов,
используемых при изучении, проектировании и производстве
материалов, устройств и систем, включающих целенаправленный контроль и управление строением, химическим составом и
взаимодействием составляющих их отдельных наномасштабных
элементов (с размерами порядка 100 нм и меньше как минимум
по одному из измерений), которые приводят к улучшению, либо
появлению дополнительных эксплуатационных и/или потребительских характеристик и свойств получаемых продуктов [25].
1.2. Описание движения наночастиц. Уравнение Шредингера
Согласно гипотезе де-Бройля поток любых материальных частиц (электронов, протонов, нейтронов, целых атомов и т.д.) обладает, аналогично кванту света фотону, не только свойствами
частиц, но и свойствами волны. Если частица имеет энергию E и
импульс, абсолютное значение которого равно p, то она обладает свойствами волны. Частота этой волны равна [35]
Е
 ,
(1.1)
h
а длина волны де Бройля равна
h
 ,
(1.2)
p
где h – постоянная Планка. Эти волны получили название волн

де Бройля. При этом волновой вектор k этих волн зависит от
импульса [35]:
10


p
,
(1.3)


h
- приведенная постоянp - импульс частицы;  
2
k
где
ная Планка.
Физический смысл волны де Бройля заключается в том, что в
случае микромира частицы начинают двигаться в соответствии с
вероятностными законами, определяемыми волновой функцией.
Т.е. это есть некая функция ψ(x,y,z,t), описывающая состояние
частицы, квадрат модуля которой определяет вероятность нахождения частицы в различных точках пространства (x,y,z) и в различные моменты времени t [3].
Волна де Бройля для свободной микрочастицы - это обычная
плоская волна вида [35]


где r - радиус-вектор,
  0 e i (t  kr )  0 e
i

 ( Et  pr )

,
(1.4)
0 - амплитуда плоской волны.
Вместо соотношения (1.2) на практике для вычисления длины
волны де Бройля для частицы внутри твердого тела часто используют выражение

h
2  m   E кин
,
(1.5)
где m * - эффективная масса частицы (например, электрона или
дырки) в твердом теле; Екин- кинетическая энергия частицы.
Длина волны де Бройля - это мера пространственного объема,
согласно которой квантово-механические свойства микрочастиц
(т.е. вероятностный характер их поведения) становятся определяющими.
Иными словами, длина волны де Бройля становится заметной
при переходе из обычного мира в микро и наномир. В наномире
микрочастицы теряют привычные для макрочастиц свойства:
– микрочастицы движутся не по траекториям (их движение носит вероятностный характер, законы Ньютона к на-
11
ночастицам неприменимы);
– невозможно одновременно определить местоположение
и скорость микрочастицы (в соответствии с принципом
неопределенностей Гейзенберга);
Невозможно достоверно точно сказать, в какой точке пространства находится микрочастица, а можно говорить лишь о вероятности нахождения микрочастицы в данной точке пространства,
которая пропорциональна квадрату модуля волновой функции
микрочастицы и т.д.
Задачи физики наночастиц решаются методами квантовой
механики, которая принципиально отличается от классической
механики. В основе расчѐтов лежит уравнение Шредингера.
Решив его, мы находим набор энергетических уровней, который
соответствует поставленной задаче с определенным потенциалом, а также получаем информацию вероятностного характера о
возможном положении частицы.
Состоянию частицы в момент времени t0 в квантовой механике ставится в соответствие волновая функция (r, t0) –
функция координат и времени t0. В общем случае, комплексная
функция. Соответственно, эволюцию состояния описывает
функция координат и времени (r, t). Волновую функцию
(r, t) можно найти, решая уравнение Шредингера [35]
ψ
2 2
(1.6)
i

 ψ  U ψ,
t
2m
где i – мнимая единица, т – масса частицы., 2 – оператор Лапласа,
имеющий в декартовых координатах следующий вид
2  2 /  x2  2 /  y2  2 /  z 2 ,
U – функция координат и времени, которая определяет силу,
действующую на частицу. Уравнение Шредингера, как законы
Ньютона и уравнения Максвелла, вывести нельзя. Оно основано
на анализе экспериментальных данных и в масштабах атомов
описывает волновые свойства частиц. Уравнение (1.6) при заданном потенциале U(r) имеет бесконечное множество решений, соответствующих множеству возможных начальных состояний электрона.
Если задано и начальное состояние электрона (r, 0), его эволюция
(r, t) определяется уравнением (1.6) однозначно.
12
Рассмотрим случай, когда силовое поле, в котором движется частица,
стационарно, то есть функция U не зависит явно от времени. Тогда U
имеет смысл потенциальной энергии частицы.. В этом случае волновая
функция (r, t) имеет вид
 (r, t )   (r ) e i t .
(1.7)
При этом функция  (r) находится из решения уравнения, которое называется стационарным уравнением Шредингера:
2m
 2 ψ(x, y, z)  2 ( E  U )ψ(x, y, z)  0 . (1.8)

Здесь Е имеет смысл полной энергии частицы.
В случае одномерной области движения, ее стационарное
уравнение Шредингера имеет вид
d 2  ( x ) 2m
 2 ( E  U ( x)) ( x)  0 ,
dx 2

(1.9)
где ψ(х) – волновая функция в точке х;
Е – полная энергия микрочастицы,
a U(x) - потенциал, в котором движется микрочастица.
Для свободной микрочастицы, на которую не действуют
внешние силы, потенциал U(x)=0, тогда ее полная энергия равна
кинетической:
E кин 
p2
h2

.
2m 2m2
(1.10)
Для микрочастицы, движущейся в поле действия постоянного
потенциала Uо, функция U(x)=U0.. В этом случае уравнение (1.10)
может быть записано в следующем виде
d 2  ( x)
 k 2  ( x)  0 ,
2
dx
(1.11)
где k - волновое число микрочастицы:
13
k
2 m( E  U 0 )
.
2
(1.12)
Смысл волновой функции
В общем случае (произвольное движение частицы в произвольных силовых полях) состояние частицы в квантовой механике задается волновой функцией. Она - основной носитель информации о корпускулярных и волновых свойствах микрочастиц. В частном случае свободного движения частицы волновая
функция - плоская волна де Бройля.
На основании статистической интерпретации вероятность
нахождения частицы в момент времени t с координатами x и
x+dx, y и y+dy, z и z+dz определяется интенсивностью волновой
функции, т.е. квадратом пси-функции. Поскольку в общем случае y - комплексная функция, а вероятность должна быть всегда
действительной и положительной величиной, то за меру интенсивности принимается квадрат модуля волновой функции [35] .
Вероятность dW нахождения частицы в элементе объема dV в
момент времени t
2
dW   dV .
(1.13).
Плотность вероятности, т. е. вероятность нахождения частицы в момент времени t в окрестности данной точки пространства
w
dW
2
 .
dV
(1.14).
Плотность вероятности — величина, наблюдаемая на опыте,
в то время как сама волновая функция, являясь комплексной,
наблюдению недоступна, В этом заключается существенное отличие в описании состояний частиц в квантовой и классической
механике (в классической механике величины, описывающие
состояние частиц, наблюдаемы).
Вероятность найти частицу в момент времени t в некотором
объеме V
14


v
v
2
W  dW   dV .
2
Т. к.  dV определяется как вероятность, то, проинтегрировав это выражение в бесконечных пределах, получим вероятность того, что частица в момент времени t находится где-то в
пространстве. Это есть вероятность достоверного события, а ее в
теории вероятностей считают равной 1. Отсюда следует условие
нормировки


2
 dV  1

(1.15)
Волновая функция - объективная характеристика состояния
наночастиц и должна удовлетворять ряду ограничений. Она
должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной
величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться
скачком).
Принцип суперпозиции
Уравнение Шредингера линейно относительно волновой
функции. Следовательно, любая линейная комбинация его решений 1 и 2
  C11  C22
также является его решением.
Таким образом, любая линейная комбинация волновых функций описывает некоторое возможное состояние частицы (или
системы частиц).
В итоге можно выделить следующие свойства волновой
функции [35].
15
Свойства волновой функции:
1)
Волновая функция однозначна, конечна, непрерывна,
дифференцируема.
2)
Вероятность W найти частицу в конечном объѐме V равна вычисляется следующим образом
W

2
 dV .
(1.16)
V
3)
Вероятность найти частицу хотя бы где-нибудь: неважно,
в какой точке пространства (если частица существует) равна
единице:


2
 dV  1 .
(1.15)

Это – условие нормировки.
4)
Волновую функцию можно домножить на любое
комплексное число С, и полученная функция будет описывать то
же самое состояние:  и С   описывают одинаковые состояния частицы.
5)
Если частица может находиться в состоянии,
описываемом функциями 1 , или 2 , …, или N , то возможно состояние частицы, описываемое любой линейной комбинацией этих функций:
6)

N
 Ci  i ,
(1.17)
i 1
где C i – комплексные числа. Это свойство называется принципом суперпозиции. Именно оно легло в основу экспериментов
по квантовой телепортации.
Описание состояния частицы с помощью волновой функции
не позволяет найти ни координаты частицы, ни еѐ траекторию.
Однако утверждается, что волновая функция даѐт исчерпывающее описание поведения микрочастицы. Волновая функция не даѐт информации о том, чего нет: у микрочастиц нет траектории, нет точных значений координат в любой момент времени.
16
1.3. Собственные функции, собственные значения
Решение уравнения Шрѐдингера существует не для любых
значений энергии Е. Значения энергии, при которых решение
существует, называются собственными значениями. Соответствующие им волновые функции  тоже называются собственными функциями [35].
Совокупность собственных значений энергии – спектр
(энергетический спектр). Спектр энергии может быть дискретным (набор конкретных значений) или непрерывным, сплошным. Если спектр дискретный, собственные значения можно
пронумеровать:
E1 , E2 , E3 ,… Ei ,…
Этим значениям соответствуют собственные функции:

1 ,

2 ,
…
Ei

i ,
….
Возможен вариант, когда одному и тому же собственному
значению энергии соответствует несколько волновых функций;
например, три:
E1
E2
En

 n1;  n2 ;  n3 .
Тогда соответствующий уровень энергии называется вырожденным, причѐм кратность вырождения равна числу волновых
функций. В приведѐнном примере уровень Еn трижды вырожден.
Замечание: Квантование энергии при решении уравнения
Шрѐдингера получается естественно, без привлечения каких-либо дополнительных соображений [35].
17
Рис.1.3. Слева: энергетические уровни атома (собственные значения энергии, полученные в результате решения уравнения
Шредингера). Справа: энергетические уровни кристалла, полученные в результате решения уравнения Шредингера образуют
энергетические зоны [35] .
На рисунке 1.3 слева схематически изображены энергетические
уровни отдельного атома (дискретный спектр). При образовании
кристаллов твердого тела возникает взаимодействие между атомами, в результате которого разрешенные уровни энергии отдельных
атомов расщепляются на N подуровней, образуя энергетические
зоны (рис.1.3). При этом, как и в отдельном атоме, на одном энергетическом уровне не может быть более двух электронов с противоположными спинами (сохраняется принцип Паули). Поскольку количество подуровней (N) велико (в 1 см3 твердого тела находится
около 1022 – 1023 атомов), то энергетическое расстояние между подуровнями весьма мало, и электрон способен перемещаться с подуровня на подуровень от дна зоны к потолку даже при небольших
внешних энергетических воздействиях, т.е. он ведет себя, как свободный. Это, однако, справедливо только в том случае, если верхние энергетические уровни в зоне не заняты, т.е. зона заполнена не
полностью.
Выводы
В лекции 1 рассмотрены особенности взаимодействия
электромагнитных волн оптического диапазона с наноматериа-
18
лами. Дано понятие нанотехнологий, наночастиц. Рассматриваются границы между макромиром и наномиром. Приводится
квантовомеханическое описание поведения наночастиц на основе уравнения Шредингера.
Вопросы и задания для самоконтроля
1.1. Что такое фотоника?
1.2. Какой диапазон электромагнитных волн входит в предмет фотоники?
1.3. Что подразумевается по термином «нанотехнологии»?
1.4. Что такое наночастица?
1.5. Особенности описания движения наночастиц. Что такое
волна де-Бройля ?
1.6. Каким уравнением описывается движение наночастиц?
1.7. Физический смысл волновой функции. Условие нормировки.
1.8. Найдите длину волны де-Бройля для свободного электрона, движущегося со скоростью 2106 м/с.
1.9. Найдите длину волны де-Бройля для электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 2 МэВ.
1.10.
Во сколько раз изменится длина волны свободного электрона, если его скорость увеличится в 3 раза?
1.11.
Рассмотреть электрон и протон, движущиеся с
одинаковой скоростью 104 м/с. Во сколько раз отличаются длины волн де-Бройля для электрона и протона?
1.12.
Будет ли изменяться длина волны де-Бройля частицы, если частица попадет в потенциальное поле?
1.13.
Запишите уравнение Шредингера для свободного
электрона.
1.14.
Запишите уравнение Шредингера для электрона,
находящегося в атоме водорода.
19
Глава 2. Квантование энергии.
2.2. Наночастица в одномерной потенциальной яме
Пусть частица движется в постоянном потенциальном поле,
причѐм потенциальная энергия частицы меньше еѐ полной энергии:
U  const  E .
Рассмотрим одномерное движение вдоль оси Oх, тогда волновая функция зависит только от координаты x (   x  ), и стационарное уравнение Шрѐдингера (1.9) имеет вид [35].:
d 2 ( x)
dx
2

2m
2
( E  U ( x)) ( x)  0 .
Обозначим
k2 
2m
2
E  U   0 .
Тогда
d 2
dx
2
 k 2   0 ,
   k 2   0 .
Это обыкновенное дифференциальное однородное уравнение
второго порядка; его решением, в частности, будет гармоническая функция:
 x  A  cosk  x .
Здесь k 
20
2m

2
E  U 
– волновое число; k 
(2.1)
2

.
Запишем общее решение, помня, что волновая функция  –
комплексная:
 x   A  e ik  x  B  e ik  x .
(2.2)
Полная функция:


 x, t    x   e it   A  e ik x  B  e ik x   e it .


  x, t   A  e
i  t  k  x   B  e i  t  k  x  .
(2.3)
.
Получили суперпозицию двух волн: первое слагаемое представляет собой волну, бегущую в положительном направлении
оси OX, второе – в отрицательном.
Действительная часть пси-функции – это суперпозиция двух
косинусов (по формуле Эйлера
ei  cos   i sin  ):
Re x, t   A  cos  t  k  x  B  cos  t  k  x  . (2.4)
2.3. Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками
Рассмотрим частицу в одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками (рис. 2.2).
Рис. 2.2.
21
Потенциальная энергия частицы U обращается в бесконечность при x<0 и x>l и равна нулю при 0  x  l (рис.2.2).
Найдѐм возможные значения энергии частицы в таком потенциальном поле и соответствующие волновые функции.
За пределы потенциальной ямы частица выйти не может, так
как там U   . Следовательно, волновая функция равна нулю
при x<0 и x>l, а в силу непрерывности на границе интервала
также обращается в нуль:
x  0
(2.5)

 0.

x  l
Осталось записать и решить уравнение Шрѐдингера на интервале 0  x  l , где U=0 [35]. :
d 2
dx
2

2m
2
E   0 .
Вводим обозначение для волнового числа:
2m  E
,
(2.6)
k
2
тогда
d 2
 k 2   0 .
(2.7)
2
dx
Решение этого уравнения имеет смысл записать в виде синуса;
тогда автоматически удовлетворим требованию непрерывности
волновой функции на левом конце интервала (  0  0 ):
(2.8)
 x  A  sink  x .
Должно также выполняться граничное условие:
 l   A  sink  l   0 ;
откуда
22
k l  n ,
k
 n
.
l
(2.9)
Здесь n – квантовое число; оно может принимать значения
n  1, 2, 3, ...
Рис. 2.3. Энергетические уровни частицы в бесконечной
одномерной потенциальной яме, рассчитанные по формуле (2.10)
Для энергии из (2.6)
2m  E
2
l  n,
тогда
En 
 2 2
2m  l 2
n2 .
(2.10)
23
Получено квантование энергии: энергия частицы может принимать только дискретные значения (рис.2.3), которые даѐт соотношение (2.10). Минимальное значение энергия принимает при
n=1:
 2 2
Emin  E1 
.
(2.11)
2m  l 2
Минимальное значение энергии не может быть равным нулю в
силу принципа неопределѐнностей.
Из (2.9) и (2.10) получим соответствующие этим уровням
энергии волновые функции:
 n 
 n x   A  sin
 x .
(2.12)
 l

 
При n=1:  1 x   A  sin  x  ;
l 
 2 
 x ;
при n=2:  2 x   A  sin
 l

 3 
 x ;
при n=3:  3 x   A  sin
 l

и т.д.
Графики волновых функций частицы в одномерной потенциальной яме для разных значений n изображены на рисунке 2.4.
Амплитуду А волновой функции находим из условия нормировки (1.15):
l

2
 dx  1 ;
0
l
A
0
24
2
 n 
 sin 2 
 x   dx  1 ;
 l

l
A2 
   n 
 1  cos 2
 x    dx  1 ;
2
l



0

l

 2  n  
sin
 x 
2 
A 
l
   1;
 x 
2 
 2  n  

 

 l  0



 2  n 
 sin

l
A 
l


 l
 0  1;

2 
 2  n 




 l 


2
A
 l  1;
2
2
A
.
l
2
(2.13)
Расстояние между соседними уровнями энергии из (2.10) [35]:
E n  E n1  E n 
 2 2
 2 2
2m  l
2m  l
E n 
n  12 
2
 2 2
2m  l 2
2n  1 .
2
n2 ,
(2.14)
Относительное расстояние между уровнями уменьшается при
увеличении квантового числа n:
1
2
En 2n  1
n  2 0.
 2 
(2.15)
En
n
n
n
25
Рис. 2.4. Слева: графики волновой функции для разных n.
Справа: графики квадрата модуля волновой функции, определяющие плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатой х.
Для больших квантовых чисел n дискретность уровней энергии уже не играет роли; относительное расстояние между ними
уменьшается. Это – проявление принципа соответствия: при
больших квантовых числах (большая энергия) законы квантовой
механики дают тот же результат, что и классическая механика;
энергию можно считать изменяющейся непрерывно.
Основные свойства энергетического спектра электрона,
находящегося в квантовой яме:
1. Минимальная энергия, которой электрон обладает в потенциальной яме, отлична от нуля.
2. С ростом n расстояние между уровнями увеличивается.
3. Чем меньше размер ямы (т.е. меньше область локализации электрона), тем больше расстояние между уровнями.
4. При бесконечно большой ширине ямы (l→∞) дискретный
спектр энергии становится сплошным.
26
2.4. Локализация электронов в простейших наноструктурах
(размерное квантование)
В макромасштабе свободные электроны в твердом теле перемещаются по любому из трех пространственных направлений. В
этом случае говорят, что электронный газ трехмерен.
Волна, соответствующая свободному электрону в твердом теле, может беспрепятственно распространяться в любом направлении. При уменьшении размеров полупроводникового прибора
до микромасштабов это свойство также сохраняется вплоть до
определенного предельного размера.
Ситуация кардинально меняется, когда электрон попадает в
твердотельную структуру, размер которой l, по крайней мере в
одном направлении, ограничен и по своей величине сравним с
длиной волны де Бройля. Эффект, возникающий при ограничении или лимитировании движения электронов физическими размерами области, в которой он находится, называется эффектом
локализации или размерным квантованием или квантовым
размерным эффектом.
Рис.2.5. Квантово-размерные структуры, в которых наблюдается
эффект размерного квантования
Эффекты такого рода наблюдаются в таких квантовых структурах, как тонкие полупроводниковые или металлические пленки, узкие приповерхностные области пространственного заряда
(узкие каналы).
27
В квантовой яме электроны проводимости локализованы по
одному измерению и не локализованы по двум остальным в
плоскости, перпендикулярной этому измерению.
2.5. Потенциальный барьер. Туннельный эффект
Туннельный эффект (туннелирование) - квантовый переход
системы через область движения, запрещѐнную классической механикой [20].
Туннельный эффект играет важную роль в физике твѐрдого
тела: электроны движутся в периодическом потенциальном поле
кристаллической решѐтки, проникая за счѐт туннельного эффекта
через барьеры, разделяющие потенциальные ямы.
Пусть частица налетает на прямоугольный потенциальный барьер шириной l и высотой U0, большей, чем полная энергия частицы E (рис.3.1) [35]:
U x   0 ,

U x   U 0 ,
если x  0; x  l
; E U0 .
если 0  x  l
(2.16)
Рис. 2.6. Отражение частицы от потенциального барьера.
Классическая частица отразится от барьера. Как будет вести
себя квантовая? Решая уравнение Шредингера, можно показать,
что с ненулевой вероятностью частица проникнет сквозь барьер
28
(решение уравнения Шредингера провести на практических занятиях). Коэффициент прозрачности (или коэффициент прохождения) барьера - отношение квадратов амплитуд волновых функций после и до барьера, то есть вероятность прохождения частицы через барьер:
2
A
D  III .
(2.17)
AI
Для рассмотренного барьера прямоугольной формы, в слу-
чае, если величиной e   l можно пренебречь, коэффициент прохождения приближенно вычисляется по формуле [35]:
D  e2  l  e

2 l
2m (U 0  E )

.
(2.18)
Для барьера произвольной формы:
b


 2

D  exp   2mU x   E  dx  .
(2.19)



a


Здесь интегрировать нужно по области, где E  U x  .

Из выражения (3.14) следует, что вероятность прохождения
частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины
барьера l и от его превышения над Е, то есть от величины
U0  E .
Для микрочастиц есть ещѐ один эффект: надбарьерное отражение. Если классическая частица пролетит свободно над барьером высотой, меньшей, чем еѐ полная энергия (рис.2.7), то квантовая частица с ненулевой вероятностью отражается от такого
низкого барьера.
С классической точки зрения туннельный эффект невозможен.
Туннельный эффект – явление специфически квантовое, не имеющее аналога в классической физике.
29
Рис. 2.7. Надбарьерное отражение
Для удобства практических расчетов запишем коэффициент прохождения через потенциальный барьер в следующей форме [3]:
4E (E  U 0 )
D
. (2.20)
l

2
2
U 0 sin 
m( E  U 0 )   4 E ( E  U 0 )


Это точная формула для расчета коэффициента прохождения
(сравните с приближенной формулой (2.18)).
2.6. Применение туннельного эффекта в современных приборах
Функционирование быстродействующих электронных приборов основано на движении электронов поперек квантоворазмерных слоев. В этом случае толщина слоев должна быть достаточно малой, чтобы проявились квантово-механические (волновые) свойства электрона. Быстродействие приборов основано
на закономерностях прохождения электронов туннелированием
30
сквозь тонкие потенциальные барьеры и на взаимодействии этих
электронов с энергетическими уровнями размерного квантования
в потенциальных ямах, разделяющих барьеры..
Дальнейший прогресс электроники связан с миниатюризацией классических микроэлектронных приборов, т.е. созданием
приборов, в которых контролируется перемещение определенного количества электронов. Создание приборов на основе перемещения одного электрона позволяет обеспечить прогресс цифровой одноэлектроники, в которой бит информации будет представлен одним электроном. В таких приборах перемещение электрона происходит посредством туннелирования. Учитывая, что
время туннелирования электрона достаточно мало, теоретический
предел быстродействия одноэлектронных приборов очень высок,
и работа, необходимая для перемещения одного электрона, также
мала.
Рис. 3.4. Сканирующий туннельный микроскоп [26]
Туннельный эффект уже на практике применяется в технологии сканирующего туннельного микроскопа [34]. Действие
31
этого инструмента основано на том, что очень тонкая игла-зонд с
острием толщиной в один атом перемещается над поверхностью
объекта на расстоянии порядка одного нанометра. При этом, согласно законам квантовой механики, электроны преодолевают
вакуумный барьер между объектом и иглой – туннелируют, и
между зондом и образцом начинает течь ток. Величина этого тока
очень сильно зависит от расстояния между концом иглы и поверхностью образца – при изменении зазора на десятые доли
нанометра ток может возрасти или уменьшиться на порядок. Так
что, перемещая зонд вдоль поверхности с помощью пьезоэлементов и отслеживая изменение тока, можно исследовать ее рельеф
практически «на ощупь». Это позволяет подробнейшим образом
исследовать атомные структуры поверхностей [34].
Выводы
В лекции рассматривается картина дискретных энергетических уровней электрона в отдельном атоме, получаемая в результате решения уравнения Шредингера, а также возникновение запрещенных и разрешенных зон в кристаллах.
Рассмотрена задача нахождения энергетических уровней для
частицы, находящейся в одномерной потенциальной яме. Решение этой задачи необходимо в дальнейшем для рассмотрения поведения электронов в классических гетероструктурах, гетероструктурах с квантовыми ямами, квантовых нитях и квантовых
точках.
Также в лекции приведены результаты расчета коэффициента
прохождения квантовой наночастицы через потенциальный барьер и рассмотрено применение туннельного эффекта в приборах
современной электроники.
Вопросы и задания для самоконтроля
2.1. Что такое собственные функции?
2.2. В чем заключается квантование энергии? Поясните возникновение дискретного спектра энергии электрона в
атоме и возникновение энергетических зон в кристалле.
2.3. Рассмотреть одномерную потенциальную яму шириной l.
Найти вероятность того, что электрон в состоянии с n=2
32
a. находится в точке с координатой х=l/2.
b. находится в точке с координатой х=l/4.
2.4. Найти расстояние между соседними энергетическими
уровнями
a)
для свободного электрона в металле. Считать, что
электрон находится в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Размеры потенциальной ямы оценить самостоятельно, считая их равными размеру куска металла,
b)
для электрона в атоме кремния. Сравнить результаты, полученные в а) и b), сделать выводы.
2.5. Перечислите основные свойства энергетического спектра
электрона в квантовой яме.
2.6. Что такое размерное квантование?
2.7. Что такое потенциальный барьер? Приведите пример.
2.8. От чего зависит коэффициент прохождения через потенциальный барьер?
2.9. Где применяется туннельный эффект?
2.10.
Рассмотреть прохождение электрона через потенциальный барьер прямоугольной формы. Определите вероятность, того что электрон туннелирует на расстояние
0.1 нм, если разница энергий U0 – E = 1 эВ . Рассчитайте
разность энергий (в эВ и кДж/моль), при которой электрон сможет туннелировать на расстояние 1 нм с вероятностью 1%.
2.11.
На чем основано действие туннельного сканирующего микроскопа?
2.12.
Объясните, почему электронный микроскоп обладает большей разрешающей способностью, чем обычный.
Разрешающая способность обычного микроскопа ограничена длиной волны используемого для освещения света.
33
Глава 3. Квантово – размерные эффекты. Квантовый
конфайнмент
3.1. Плотность состояний
Все макропараметры любой электронной системы, прибора, устройства (ток, сопротивление, проводимость) обусловлены
микропараметрами, характеризующими электронный перенос в
них (подвижностью, дрейфовой скоростью, временем и длиной
свободного пробега и рядом других). Эти микропараметры определяют или точнее сами задаются кинетикой электронов. Кинетика, или пространственное движение электронов, — это, прежде
всего, движение под действием электрических и магнитных полей в веществе, непрерывно прерываемое различными актами
рассеяния. При рассеянии направление движения электронов меняется. Чаще всего это изменения направления движения хаотичны, однако некоторые механизмы рассеяния, например, на ионах
примеси и электронов друг на друге, подчиняются определенным
закономерностям.
В целом рассеяние электрона определяется углом рассеяния . Пусть k – волновое число электрона до рассеяния, k’ – после рассеяния. Рассеяние может быть упругим, тогда k   k , и
неупругим, тогда k   k . Закон, определяющий соответствие
между k  и k , устанавливается характером каждого механизма
рассеяния [19].
3D-состояние — это когда электрон свободен в своем
движении по всем трем направлениям (при рассеянии все компоненты вектора k меняются), 2D-состояние — это когда электрон
свободен в своем движении только по двум направлениям (меняются только два компонента вектора k — обычно в качестве ее
выбирают k x и k y ), 1D-состояние — это когда электрон свободен
в своем движении только по одному направлению (меняется
только одна компонента вектора k — обычно в качестве ее выбирают k x ).
34
Плотность состояний D есть параметр, определяющий
количество энергетических состояний, которые могут занимать
электроны, приходящихся на единичный интервал энергии.
Плотность состояний имеет важный физический смысл. Она
определяет концентрацию электронов в конкретной области любого материала или прибора, а также интенсивность рассеяния
электронов в этой области (число рассеяний в единицу времени)
[19].
Каждый тип волн обладает конечным числом мод внури
ограниченного объема и конечным числом частот, волновых чисел, длин волн. Соответственно для квантовой частицы внутри
данного ограниченного объема может существовать конечное
число состояний. которые характеризуются определенными значениями энергии, импульса, длины волны, волнового числа.
Используем метод Рэлея для расчета плотности состояний
[3]. Возьмем объемный прямоугольной формы образец, с размерами Lx , Ly и Lz , превышающими де-Бройлевскую длину волны электрона (см. рис. 4.1).
Lz
Lx
Ly
Рис. 3.1. Образец прямоугольной формы [19]
Для простоты можно рассмотреть образец кубической формы (Lx=Ly=Lz=L). Подсчитаем, сколько мод лежит в интервале (k,
k+dk). (Мы рассматриваем стоячие волны, образующиеся внутри
куба. Для каждой стоячей волны выполняется граничное условие:
35
волна обращается в ноль на границе куба). Длина стоячей волны
принимает следующие значения:
  2 L;
2L 2L 2L
;
;
...,
2 3 4
(3.1)
2L

, n  1, 2, 3, ....
n
При этом волновое число
k
k n
2



 2 3
L
,
L
,
L
...
(3.2)
, n  1, 2, 3 ....
L
Волновое число вдоль каждой оси принимает значения:
k x  nx

L
, k y  ny

L
, k z  nz

L
.
(3.3)
Мы рассматриваем дискретные моды в k-пространстве. Каждая
пара соседних мод занимает пространство
k x  k y  k z 

.
L
Следовательно, каждая мода в k-пространстве занимает объем
3
 
Vk    .
(3.4)
L
Подсчитаем число мод для всех направлений внутри интервала
[k, k+dk], то есть число мод, которые содержатся в сферическом
слое между сферами радиусов k и k+dk. Объем такой сферы
dVk  2  k 2 dk .
(3.5)
Возьмем только положительные значения проекций ks. Тогда при
1
расчете следует добавить коэффициент . Учтем, что в каждом
8
36
состоянии может находиться два электрона с разными спинами,
1 1
тогда коэффициент станет равным 2   . В результате число
8 4
мод внутри рассматриваемой сферы
dVk 1 2  k 2 dk L3 k 2 dk
.
 

Vk
4   3
2 2
 
L
Найдем число мод, приходящихся на единицу объема L3
Nk 
Nk

k2
dk .
L3 2  2
Введем плотность состояний D(k)следующим образом:
D(k )dk 
k2
2 2
dk .
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Тогда искомая плотность состояний для трехмерного случая имеет вид [3]:
D3 (k ) 
k2
.
2 2
Плотность состояний для двумерного случая:
k
D2 ( k ) 
.
2
Плотность состояний для одномерного случая:
1
D1 (k )  .

(3.9)
(3.10)
(3.11)
Перейдем к плотности состояний, записанной в  пространстве D(). Рассмотрим трехмерный случай
37
D3 (k ) 
k2
2 2
.
Должно выполняться условие
D()d  D(k )dk .
Следовательно
D( )  D(k )
dk
.
d
Учитывая, что для свободного пространства k 
 dk 1
 , по,
c d c
лучаем
D3 ( ) 
2
.
2  2c3
Чтобы учесть наличие двух поляризаций, умножим на коэффициент 2. Окончательно получаем плотность состояний
D3 ( ) 
2
 2c3
.
(3.12)
n3D  E 
E
Рис. 3.2. Трехмерная плотность состояний, вычисленная по формуле (3.13)
38
Плотность мод электромагнитных волн часто называют фотонной плотностью состояний. Для квантовых частиц фотонная
плотность состояний
3 1
8 m 2 E 2
.
D3e ( E ) 
2 h3
D3 ( p ) 
(3.13)
4 p 2
.
(3.14)
h3
Графическое изображения функции (3.13) приведено на
рис. 3.2.
Рис. 3.3. Плотность состояний для объемного материала (D3) и
для квантовой ямы (D2)
39
В двумерном электронном газе свободным для движения является лишь два направления — например, по длинам Lx и Ly .
В этом случае для энергии будем имеет
E  En 
2 2
kx
2m

2 2
ky
2m
.
(3.15)
Наличие квантованных уровней энергии отражается на графике
плотности состояний для квантово-размерных структур (см. рис.
4.3 и.4.4). Более подробно типы квантово-размерных структур
описаны в разделе 4.2.
Рис. 3.4. Плотность состояний для квантовой нити (D1) и для
квантовой точки (D0)
40
3.2.Типы квантоворазмерных структур
Рассмотрим различные виды размерного квантования и квантоворазмерных структур. Самым главным свойством таких
структур является зависимость от размеров (толщины, диаметра
или другого характерного размера). В результате, если величина
характерного размера становится достаточно малой, то начинают
проявляться эффекты размерного квантования Эффект размерного квантования заключается в перестройке энергетического
спектра квантоворазмерной структуры, что приводит к появлению дополнительных запрещенных зон. "Как и в любом объекте
конечного размера в «объемных» однородных кристаллических
материалах их собственные возбуждения - электроны, дырки, экситоны, колебания решетки и другие волны и частицы, вообще
говоря, обладают дискретным энергетическим спектром" [39].
Рис. 3.5. Схематическое изображение энергетического спектра
электронной подсистемы объемного материала [39]
Если рассмотреть материал, взятый в большом объеме, то
расстояние между соседними энергетическими уровнями ΔE
будет мало по сравнению со спектральной шириной соответствующей энергетической зоны. В таком случае говорят о том,
что энергетический спектр является непрерывным. Можно также
определить объемный материал как такой, размер которого Lz
больше, чем длина свободного пробега l его собственных возбуждений. Введение здесь длины свободного пробега в качестве
характерного масштаба вполне адекватно, поскольку собственные возбуждения могут описываться бегущими волнами exp(ikz).
41
Если размер материала уменьшается и становится меньше длины
свободного пробега (рис. 3.6), или более точно, энергетический
зазор между соседними состояниями превышает обратное время их жизни, то энергетический спектр элементарных возбуждений должен считаться дискретным. Это и есть эффект размерного
квантования, а соответствующие структуры называются квантоворазмерными [39]. В этом случае крайне существенным является отражение элементарного возбуждения, представляющего
собой стоячую волну, от границ материала.
Рис. 3.6. Схематическое изображение энергетического спектра
электронной подсистемы наноструктуры [39]
На первый взгляд может показаться, что различие между объемными и квантоворазмерными материалами чисто количественное. Однако такое заключение будет абсолютно неверным. Действительно, физические свойства объемных материалов практически не зависят от их размера и формы. В частности дискретность энергетического спектра их собственных возбуждений
никак экспериментально не проявляется. Совершенно иначе обстоит дело с квантоворазмерными структурами, в которых не
только энергетические спектры, но взаимодействие элементарных возбуждений друг с другом и с внешними полями зависит от
размера и формы структуры. Среди низкоразмерных структур
можно выделить три элементарные структуры. Это квантовые
ямы, квантовые нити и квантовые точки (рис. 3.6). Эти элементарные структуры представляют собой кристаллический материал, пространственно ограниченный в одном, двух и трех измерениях. Для изготовления наноструктур используют всевозможные
42
полупроводниковые соединения, а также полупроводники четвертой группы Si и Ge.
Квантовая яма - тонкий плоский слой полупроводникового материала (обычно толщиной 1–10 нм) внутри которого потенциальная энергия электрона ниже чем за его пределами, таким
образом, движение электрона ограничено в одном измерении.
Движение в направлении, перпендикулярном плоскости квантовой ямы, квантуется, и его энергия может принимать лишь некоторые дискретные значения [38].
Квантовая нить—объект нитеобразной формы с поперечными размерами, удовлетворяющими условию размерного квантования. Потенциальная энергия электрона в таком объекте ниже,
чем за его пределами, и за счет малых поперечных размеров
(обычно 1–10 нм) движение электрона ограничено в двух измерениях. Движение вдоль оси нити остается свободным, в то время
как движение в других направлениях квантуется, и его энергия
может принимать лишь дискретные значения. структура в которой движение носителей ограничено по двум направлениям [38].
Квантовая нить может быть выполнена из металла или полупроводника в виде нити или длинного стержня, поперечные размеры
которого настолько малы, чтобы квантовые эффекты были существенными (поперечные размеры должны быть сравнимы с длиной волны де-Бройля для электронов (дырок)) [39].
Квантовая нить — частица материала с размером, близким
к длине волны электрона в этом материале (обычно размером 1–
10 нм), внутри которой потенциальная энергия электрона ниже,
чем за его пределами, таким образом, движение электрона ограничено во всех трех измерениях [38].
Электронный спектр идеальной квантовой точки представляет собой набор дискретных уровней, разделенных областями
запрещенных состояний, и формально соответствует электронному спектру одиночного атома. Однако реальная квантовая точка может состоять из сотен тысяч атомов. Минимальный и максимальный размеры квантовых точек зависят от того, из каких
веществ она создана: например, для системы InAs–AlGaAs минимальный размер квантовых точек составляет 4 нм, а максимальный размер не должен превышать 30 нм [25], [38].
43
Рис. 3.7. Квантовые ямы (a), квантовые нити (b),
квантовые точки (c) [39]
Пространственное ограничение или конфайнмент приводит к тому, что энергетический спектр объемного материала
трансформируется. Зонные спектры расщепляются на подзоны
размерного квантования для квантовых ям и нитей и на дискретные уровни для квантовых точек (Рис. 3.8).
В результате, в плотности состояний низкоразмерных систем возникают характерные особенности (рис.3.9, а также рис.
3.3 и 3.4).
44
Рис.3.8. Трансформация энергетического спектра элементарных
наноструктур [39].
Из элементарных наноструктур можно построить сложные
наноструктуры, например, многослойные квантовые ямы и
сверхрешетки), одномерные и двумерные массивы квантовых
нитей или двумерные и трехмерные массивы квантовых точек
(рис.3.11).
45
Рис. 3.9. Плотность состояний элементарных наноструктур [39].
На рисунке 3.10 представлены изображения реальных
элементарных наноструктур, полученные с помощью электронного микроскопа.
Рис. 3.10. Изображения (слева направо) квантовой нити, квантовой точки CdS в SiO2, квантовой точки InAs в GaAs, полученные
с помощью просвечивающего электронного микроскопа [39]
Наличие размерных зависимостей параметров наноструктур
неоднократно подтверждалось экспериментально и, прежде
всего, оптическими методами. Еще в 1962 году Сандомирский
предсказал, что край фундаментального поглощения света в тонких пленках кристаллов должен смещаться в синюю область
спектра при уменьшении их толщины Lz в соответствии с формулой [3]
E g 
46
 2 2
2mL2z
.
(3.16)
Рис. 3.11. Изображения (слева направо) двумерного и трехмерного массива квантовых точек, полученные с помощью просвечивающего электронного микроскопа [39]
Вопрос о первом экспериментальном наблюдении эффекта размерного квантования остается открытым. Первые
наблюдения были сделаны довольно давно, но целенаправленное
изучение этого эффекта начинается именно в 60 годы 20 века. В
настоящее время в связи с бурным развитием нанотехнологий
стало возможным изготовление оптоэлектронных приборов, использующих квантоворазмерные эффекты.
47
Выводы
В лекции рассмотрены различные квантово-размерные
структуры: квантовые ямы, квантовые нити, квантовые точки.
Проведен вывод плотности состояний для трехмерного, двумерного и одномерного случая, соответствующих квантовым ямам,
квантовым нитям, квантовым точкам. Рассмотрено образование
дополнительных уровней и подзон на зонной диаграмме вследствие проявления эффектов размерного квантования.
Вопросы и задания для самоконтроля
3.1. Что такое квантовая яма? Квантовая нить? Квантовая точка?
3.2. Вывести формулу для расчета плотности состояний в одномерном и двухмерном случае для частицы массой m.
3.3. Зная выражение для расчета плотности мод для трехмерного случая D3(k), получить для частицы массой m зависимость D3(Е) от энергии Е и D3(р) от импульса р.
3.4. Начертить графики зависимости плотности состояний для
электромагнитных волн и для электронов в трехмерном
случае.
3.5. Получить оценку предельной толщины пленки, при которой возможно наблюдение квантово-размерных явлений,
если подвижность электронов в пленке 104 см2/(Вс).
3.6. Сколько квантовых точек CdSe может уместиться на
острие иглы атомно-силового микроскопа?
3.7. Одним из достижений химии и физики полупроводниковых материалов последних лет стало получение коллоидных квантовых точек – полупроводниковых нанокристаллов, покрытых органическим стабилизатором. Наиболее
интересным свойством таких нанокристаллов является
зависимость длины волны люминесценции от размера
нанокристалла. Это делает коллоидные квантовые точки
потенциальным материалом для создания светоизлучающих устройств – светодиодов, светоизлучающих экранов.
Однако возможно создать устройства, выполняющие противоположную функцию – фотовольтаические пребразо-
48
ватели или солнечные батареи. Одна из принципиальных
схем солнечной батареи на квантовых точках следующая.
На токосъемный электрод наносится тонкий плотноупакованный слой из квантовых точек CdTe, затем слой, состоящий из кавнтовых точек CdSe, затем второй электрод.
a. Объясните принцип работы данной солнечной батареи. За счет чего возникает фотоЭДС. Какой из
слоев квантовых точек отвечает за транспорт
электронов, а какой – за транспорт дырок? Какие
другие пары полупроводников можно использовать в данной солнечной батарее?
b. Какие свойства коллоидных квантовых точек полезны для создания солнечных батарей? Зачем
нужен стабилизатор? Какой стабилизатор необходимо использовать для создания солнечной батареи указанного типа и почему?
c. Начиная с какого минимального размера (радиуса)
квантовых точек данная солнечная батарея начнет
эффективно преобразовывать солнечный свет в
электрический ток? Квантовые точки считать идеальными, электростатическими эффектами пренебречь. Температуру поверхности солнца считать
равной 6000 К. Для объемного CdTe энергия запрещенной зоны 1.5 эВ, эффективные массы электрона 0.13 m0, дырки 0.45 m0, для CdSe - 1.8 эВ,
0.14 m0, дырки 0.35 m0 соответственно.
Источник:
http://www.nanometer.ru/2008/05/05/1209991232204
7.html
49
Глава 4. Электроны в периодических структурах и
квантовый конфайнмент. Блоховские волны
4.1. Дисперсионное уравнение
Дисперсионное уравнение-соотношение, связывающее
циклическую частоту  и волновые числа k собственных гармонических волн в линейных однородных системах: непрерывных
средах, волноводах, передающих линиях и др.
Дисперсионная кривая – графическое изображение корней дисперсионного уравнения.
Дисперсионное уравнение (k) дает связь между  и волновым числом k для волны и E(р) между энергией Е и ее импульсом р для частицы.
Для электромагнитной волны в вакууме дисперсионное
уравнение будет линейным
(4.1)
  ck .
Для фотона (кванта электромагнитной волны) закон дисперсии
тоже линейный:
(4.2)
E   .
Дисперсионное уравнение для фотона можно записать также в
виде
(4.3)
E  pc .
В среде с показателем преломления n, в общем случае зависящем от частоты n=n(), дисперсионные уравнения имеют вид
c

k,
(4.4)
n( )
c
Ep
.
(4.5)
n( )
Дисперсионное соотношение для свободного электрона имеет
вид
E
50
p 2 2k 2

.
2m
2m
(4.6)
В общем случае корни дисперсионного уравнения выразить в явном виде нельзя, и решение дисперсионного уравнения
проводится численными методами.
4. 2. Электроны в периодических структурах. Теорема Блоха.
Зоны Бриллюэна
Рассмотрим частицу в периодическом потенциале (рис.
4.1), который обладает периодичностью при сдвиге на величину
а [42]:
U ( x)  U ( x  a ) .
(4.7)
Рис. 4.1. Периодический потенциал(одномерный случай)
Рассмотрим одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний [3]
2 d 2
 ( x)  U ( x) ( x)  E  ( x)
(4.8)
2 m d x2
с периодическим потенциалом. Произведем преобразование x →
x + a и получим уравнение

2 d 2

 ( x  a)  U ( x) ( x  a)  E  ( x  a)
(4.9)
2 m d x2
Сравнивая уравнения (4.8) и (4.9), легко видеть, что функции
ψ(x) и ψ(x+a) удовлетворяют одному и тому же уравнению
Шредингера с одинаковым значением энергии E. Тогда реше-
51
ниея уравнений - функции ψ(x) и ψ(x + a) могут различаться
лишь постоянным множителем:
 ( x  a)  c  ( x) .
(4.10)
Из условия нормировки (1.15) следует:
 ( x  a) 2   ( x) 2 .
Таким образом, частица имеет одинаковую
находиться в точках x и x+a.
(4.11)
вероятность
Рис. 4.2. Периодический потенциал (а) и амплитудномодулированная волновая функция (б).
Можно показать, что волновая функция, удовлетворяющая
уравнению Шредингера с периодическим потенциалом, может
отличаться от периодической функции с периодом a только
фазовым коэффициентом вида eif(x) , где f(x) – линейная функция
x. Такая волновая функция имеет вид [3]
 ( x)  e i k xU k ( x),
U k ( x)  U k ( x  an ) .
52
(4.12)
Запись (4.12) означает, что собственная функция для случая периодического потенциала является плоской волной, имеющей
такуюже периодичность что и потенциал U(x). Это утверждение
носит название как теоремы Флоке. Вид волновой функции
для одномерного случая представлен на рис. 4.2.
Теорема Флоке, записанная для трехмерного случая, носит
названия теоремы Блоха.
Теорема Блоха утверждает, что если потенциал является
периодической функцией
U (r) U (r  a) ,
где a  a1n1  a 2 n2  a 3n3 , a1, a 2 , a3 - базисные векторы кристаллической решетки, n1, n2, n3 – целые числа, то решения уравнения Шредингера записываются в виде
 k (r )  e i k r  u k (r ) ,
(4.13)
где k – волновой вектор, а u k (r) - периодическая функция с
периодом решетки а. Соответственно волны вида (4.13) получили названия блоховские волны.
Волновые функции вида (4.12) и (4.13) являются периодическими по отношению к волновому числу k. Это означает,
что при добавлении к волновому числу величины kn=2πn/a сама
волновая функция не меняется, то есть.  k  k n ( x)   k ( x) . Поэтому все волновые числа k1, k2,..., которые отличаются на
величину 2πn/a, оказываются эквивалентными. "Это свойство
является прямым следствием трансляционной симметрии пространства. Все множество волновых чисел оказывается состоящим из эквивалентных интервалов с шириной 2π/a. Каждый
из этих интервалов содержит все неэквивалентные значения
волнового числа k. Эти интервалы называют зонами Бриллюэна"
[42]. Выбирать интервалы можно произвольным образом,
например


a
k

a
,
53
3
,
a
a
5

3 k
……
a
a

k
Однако обычно выбирают зоны Бриллюэна в виде отрезков,
симметричных относительно начала координат. Множество
всех неэквивалентных значений k, имеющих минимальное абсолютное значение в интервале [-π/a <k<π/a], называют первой
зоной Бриллюэна [42]. Зона Бриллюэна с номером n представляет два отрезка, выбранных по обе стороны от начала координат
(n  1)

a
 k n

a
.
(4.14)
Дисперсионные кривые для электрона в поле кристаллической решетки приведены на рис. 4.3. На рисунке видно, что разрывы в дисперсионных характеристиках соответствуют запрещенным зонам на зонной диаграмме, изображенной справа.
Рис. 4.3. Дисперсионные кривые для различных зон Бриллюэна.
Справа приведена соответствующая зонная диаграмма
54
Энергетический спектр и дисперсионная кривая E(k)
(т.е. зависимость энергии от k) для частицы в пространстве с
периодическим потенциалом также отличаются от случая свободной частицы (рис. 4.3). Дисперсионная кривая имеет разрывы
в точках
kn 

n, n  1, 2, 3, ....
(4.15)
a
При данных значениях k волновая функция является стоячей
волной, которая получается в результате многократных отражений и интерференции волн в периодической структуре [42].
Рис. 4.4. Дисперсионные кривые, приведенные к первой зоне
Бриллюэна (слева). Соответствующая зонная
диаграмма - справа.
Так как каждая зона Бриллюэна содержит все возможные
неэквивалентные значения волновых чисел, при анализе свойств
электронов в периодических структурах обычно рассматрива-
55
ют только первую зону Бриллюэна. Дисперсионные кривые
обычно изображают приведенными к первой зоне Бриллюэна.
Приведение осуществляется путем сдвига различных ветвей зависимости E(k) на величину ± 2πn/a (см. рис. 4.4).
Величина p =  k для частицы в периодическом потенциале
называется квазиимпульсом. Квазиимпульс отличается от
обычного импульса своеобразным законом сохранения [42].
"Закон сохранения импульса в обычном пространстве является
следствием однородности пространства: все точки пространства эквивалентны. В пространстве с трансляционной симметрией эквивалентны точки, координаты которых различаются на
целое число периодов. Поскольку квазиимпульс однозначно
определяется значением волнового числа, зоны Бриллюэна,
содержащие все неэквивалентные значения k, одновременно
содержат и все неэквивалентные значения квазиимпульса.
Добавление величины nh/a к квазиимпульсу просто означает
переход в эквивалентную точку другой зоны Бриллюэна" [42].
Как видно из рис. 4.3, зависимость E(k) для частицы в периодическом потенциале существенно отличается от зависимости E(k)
для свободной частицы, так как содержит разрывы. Однако по
 2k 2
, которой обладает
2m
свободная частица, в случае периодического потенциала можно
формально записать
аналогии с кинетической энергией E 
 2k 2
,
(4.16)
2m *
где m* –эффективная масса частицы (подробнее про эффективную массу см. п. 4.3).
E
4.3. Электрон в периодическом поле кристалла. Эффективная масса
Вследствие того что в кристалле на электрон действует периодическое поле решетки, он приобретает некоторые свойства, в
корне отличающие его от классической частицы [24].
56
Пусть на вещество наложено внешнее электрическое поле с
напряженностью E, тогда сила, действующая на электрон, F= –
eE (здесь e – заряд электрона). Скорость движения электрона
равна групповой скорости распространения волн
vg 
d 1 dE
 
,
dk  dk
(4.17)
E
.

За время dt внешняя сила F совершает работу по перемещению
электрона dA:
т.к. E    ,  
dA  F  dS  F  v g  dt 
С учетом того, что dE  dA , находим
F dE

 dt .
 dk
(4.18)
dk
dk F
(4.19)

 .
dt
dt 
d vg
Найдем ускорение электрона a 
.Тогда с учетом (7.1)
dt
F 
a
Подставим
d  1 dE  1 d 2 E d k
.
 

d t   dk   d k 2 d t
(4.20)
dk
из формулы (6.3). Получим
dt
a
1 d 2E
F.
(4.21)
2 d k 2
Формула (6.5) является выражением второго закона Ньютона
F
a  . Под действием внешней силы F, возникающей при появm
лении внешнего электрического поля, электрон движется так,
как двигался бы под действием этой силы свободный электрон
некоторой массы m* , определяемой соотношением
57
1
 d 2 
2
m*    
 .
 dk 2 
(4.22)


Значение массы m* носит название эффективной массы
электрона в решетке. Введение эффективной массы позволяет
существенно упростить изучение поведения электронов в твердом теле.
В физике твѐрдого тела, эффективной массой частицы называется динамическая масса, которая появляется при движении
частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны в кристалле реагируют на электрическое поле так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с некой эффективной массой, которую обычно определяют в единицах массы покоя электрона me. По величине эффективная масса
может быть как больше, так и меньше массы свободного электрона, а по знаку – как положительной, так и отрицательной [43].
Для свободного электрона энергия определяется как
2 2
k . В таком случае эффективная масса является посто2m
янной и равна массе покоя электрона me. В кристалле ситуация
более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного.
Наличие анизотропии кристаллов обуславливает анизотропию
динамических свойств электронов при их движении. Вследствие
этого эффективная масса зависит от направления и является величиной тензорной [11].
Тензор эффективной массы — термин из физики твѐрдого
тела. Тензор характеризует сложную природу эффективной
массы квазичастицы (электрона, дырки) в твѐрдом теле. Тензорная природа эффективной массы говорит о том, что в кристаллической решѐтке электрон движется не как частица, а как квазичастица, у которой эффективная масса зависит от направления движения относительно кристаллографических осей кристалл а. Эффективная масса не является массой покоя.
По определению эффективную массу находят из закона
дисперсии энергии    (k ) [43]
E
58

1   2 1    k i k j
 ij 

,
 2k  k
 2   k 2 k  k  k 2
где k — волновой вектор,  ij — символ Кронекера.
mij1 
1
(4.23)
Традиционно эффективные массы носителей измеряются
при помощи циклотронного резонанса, в котором измеряется
зависимость поглощения полупроводника в микроволновом
диапазоне спектра от магнитного поля. Когда микроволновая
частота равняется циклотронной частоте c , в спектре наблюдается резонансный пик. Эффективные массы можно определялить из определения зонной структуры материалов с использованием методов различных методов. Эффективная масса может
быть оценена при использовании коэффициента γ из линейного
слагаемого низкотемпературного электронного вклада в теплоѐмкость при постоянном объѐме cv [11].
Материал Эффективная масса Эффективная масса
электронов
дырок
Группа IV
Si (4.2K)
1.08 me
0.56 me
Ge
0.55 me
0.37 me
III-V
GaAs
0.067 me
0.45 me
InSb
0.013 me
0.6 me
II-VI
ZnSe
0.17me
1.44 me
ZnO
0.19 me
1.44 me
Таблица 4.1. Эффективная масса для некоторых
полупроводников [43]
Как показывает таблица 4.1, полупроводниковые соединения AIIIBV, такие как GaAs и InSb, имеют намного меньшие эффективные массы, чем полупроводники из четвѐртой группы
59
периодической системы — кремний и германий. В теории Друде
дрейфовая скорость носителей (например, электронов) обратно
пропорциональна эффективной массе. Поэтому чем меньше эффективная масса, тем больше скорость. Быстродействие интегральных микросхем зависит от скорости носителей, и, таким
образом, малая эффективная масса — одна из причин того, что
GaAs и другие полупроводники группы AIIIBV используются
вместо кремния в приложениях, где требуется широкая полоса
пропускания [43].
Выводы
В лекции рассматривается имеющая первостепенное значение
задача о движении электрона в периодическом поле кристаллической решетки. Рассматриваются теорема Флоке, теорема Блоха и решение уравнения Шредингера в виде блоховских волн.
Вводится понятие зон Бриллюэна. Рассматриваются дисперсионные кривые, приведенные к первой зоне Бриллюэна. Материал лекции важен для дальнейшего понимания процессов взаимодействия электромагнитных волн с наноструктурами.
Вопросы и задания для самоконтроля
4.1. Что такое дисперсионное уравнение? Дисперсионная характеристика?
4.2. Сформулируйте теорему Флоке.
4.3. Сформулируйте теорему Блоха.
4.4. Что такое блоховские волны?
4.5. Что такое зоны Брилллюэна?
4.6. Как нарисовать дисперсионные характеристики, приведенные к первой зоне Бриллюэна?
4.7. Что такое эффективная масса? Чем она отличается от
массы покоя?
4.8. Может ли эффективная масса быть отрицательной?
4.9. Из каких экспериментов можно найти эффективную массу?
60
Глава 5. Квазичастицы
5.1. Квазичастицы
Квазичастица — квант коллективного колебания или возмущения многочастичной системы, обладающий определѐнной
энергией и, как правило, импульсом (например, фонон). Квазичастица - понятие в квантовой механике, введение которого позволяет существенно упростить описание сложных квантовых
систем со взаимодействием, таких как твердые тела и квантовые
жидкости. Между квазичастицами и обычными элементарными
частицами существует ряд сходств и отличий. Во многих теориях не делают вообще никаких различий между частицами и квазичастицами
1. Как и обычная частица, квазичастица может быть
более-менее локализованной в пространстве и сохранять свою локализованность в процессе движения.
2. Квазичастицы могут сталкиваться и/или взаимодействовать иным образом. При столкновении низкоэнергетических квазичастиц выполняются механические законы сохранения квазиимпульса и энергии. Квазичастицы могут также взаимодействовать
и с обычными частицами (например, с фотонами).
3. Для квазичастиц с квадратичным законом дисперсии (т. е. энергия пропорциональна квадрату импульса) можно ввести понятие эффективной массы.
Поведение такой квазичастицы будет очень похоже
на поведение обычных частиц.
4. В отличие от обычных частиц, которые существуют
сами по себе, в том числе и в пустом пространстве,
квазичастицы не могут существовать вне среды, колебаниями которой они и являются.
5. При столкновениях, для многих квазичастиц закон
сохранения квазиимпульса выполняется с точностью до вектора обратной решѐтки.
61
6. Закон дисперсии обычных частиц — это данность,
которую никак не изменить. Закон дисперсии квазичастиц возникает динамически, и потому может
иметь самый замысловатый вид.
7. Квазичастицы могут иметь дробный электрический
заряд или магнитный заряд.
Перечислим некоторые квазичастицы: электроны в кристалле,
дырки, фононы, экситоны, плазмоны, поляритоны, магноны и
др.
5.2. Дырки
Дырка — квазичастица, носитель положительного заряда,
равного элементарному заряду в полупроводниках. В физике
твѐрдого тела, дырка — это отсутствие электрона в электронной
оболочке.
Дырка – это способ описания коллективного движения
большого числа электронов (примерно 1023 см-3) в неполностью
заполненной валентной зоне. Электрон – это частица, дырка –
это квазичастица. Электрон можно инжектировать из полупроводника или металла наружу (например, с помощью фотоэффекта), дырка же может существовать только внутри полупроводника.
Во время разрыва связи между электроном и ядром появляется свободное место в электронной оболочке атома. Это обуславливает переход электрона с другого атома на атом со свободным
местом. На атом, откуда перешѐл электрон, входит другой электрон из другого атома и т. д. Это обуславливается ковалентными
связями атомов. Таким образом, происходит перемещение положительного заряда без перемещения самого атома. Этот
условный положительный заряд называют дыркой.
Для дырок валентной зоны анизотропия кристалла в
меньшей степени, чем в случае электронов, влияет на динамические характеристики, поскольку дырки являются способом описания коллективного движения электронов в неполностью заполненной валентной зоне. Для дырок характерно влияние спин-
62
орбитального расщепления, которое обуславливает появление
зоны тяжелых и легких дырок.
Существование дырок является одной из наиболее интересных особенностей зонной теории твердых тел. Наиболее нагляден случай, когда вблизи потолка разрешенной энергетической
зоны имеется одно свободное место, а все остальные заняты. Это
и есть дырка. Физические свойства дырки вытекают из факта
заполненности электронами всех остальных состояний валентной зоны [8].
1) Если электрон удален из состояния с волновым вектором ke, то полный волновой вектор системы станет равным –
ke.Значит, дырке нужно приписать волновой вектор
k h  k e .
(5.1)
2) Дырке следует приписать заряд положительного знака.
Эксперименты по циклотронному резонансу показали, что дырки и электроны вращаются в магнитном поле в разных направлениях, как и следовало ожидать для зарядов противоположного
знака.
3) Энергия дырки  h противоположна по знаку энергии
покинувшего соответствующее состояние электрона
(5.2)
 h   e .
4) Эффективная масса дырки mh отрицательна, то есть ее
знак противоположен знаку массы электрона, уход которого был
причиной возникновения этой дырки
m h  me .
(5.3)
5.3. Фононы
Фонон – квазичастица, представляющая собой квант упругих
колебаний кристаллической решетки. Введен советским учѐным
Игорем Таммом.
Распространение фонона описывается волновым вектором k с
законом дисперсии    (k ) . Фонон во многих отношениях ве-
63
дет себя так, как если бы он был частицей с энергией и квазиимпульсом
(5.4)
   , p   k .
Однако в отличие от обычных частиц (электронов, протонов,
фотонов) фонон не может возникнуть в вакууме – для своего
возникновения и существования фонон нуждается в некоторой
упругой среде. Поэтому фонон является квазичастицей.
Концепция фонона оказалась очень удачной в физике твѐрдого тела. В кристаллических материалах атомы находятся на небольших расстояниях друг от друга и вследствие этого активно
взаимодействуют между собой. В результате для изучения колебаний отдельных атомов приходится рассматривать огромные
системы из триллионов связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы звуковых волн, квантами которых и
являются фононы [29]. Спин фонона равен нулю, поэтому фонон
является бозоном и описывается статистикой Бозе-Эйнштейна.
Фононы и их взаимодействие с электронами играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике сверхпроводников, процессах теплопроводности, процессах рассеяния
в твердых телах [40].
Колебания атомов в кристаллической решетке не являются
независимыми. Смещение одного из атомов из положения равновесия приводит к смещению других соседних с ним атомов.
Таким образом, кристалл представляет собой систему N упруго
связанных друг с другом атомов. Периодичность кристалла приводит к возникновению разрешенных и запрещенных зон в энергетическом спектре(как электронных, так и колебательных). То
есть, существуют частоты, в пределах которых механические
упругие волны распространяются без затухания (разрешенные
зоны). В одномерной двухатомной цепочке это акустическая и
оптическая ветви [29].
Решая систему уравнений, описывающих движение отдельных атомов, можно получить связь между частотой возбуждения  и волновым вектором k, которая, как известно, носит
название дисперсионного уравнения (решение системы уравне-
64
ний провести на практических занятиях). В результате решения
получается два дисперсионных соотношения [29]:
  
[(m1  m2 )  m 2  m 2  2m1m2 cos ka ] , (5.5)
12  
1
2
m
m
 1 2
  
[(m1  m2 )  m 2  m 2  2m1m2 cos ka ] . (5.6)
 22  
1
2
m
m
 1 2
Рис. 5.2. Дисперсионные кривые для одномерной цепочки атомов двух различных сортов [29]
Здесь волновой вектор k принимает ряд значений в соответствии
в граничными условиями задачи. Дисперсионное уравнение
имеет два корня 1, 2, так что каждому значению волнового
65
вектора k соответствует две волны. Таким образом, дисперсионная кривая имеет две ветви – акустическую (1, знак –) и оптическую (2, знак +). Дисперсионные кривые для цепочки с массами m1=2 и m2=5 и коэффициентов упругости b=35000 приведен
на рис. 7.2.
Как показано в [29], можно получить значения частот при
k=0 и на границе зоны Бриллюэна (k=p/a). Для акустических
колебаний это область от amin=0 до аmax=(2/m1)1/2, а для оптических это область от omin=(2/m2)1/2до значения omax=(2
(1/m1+1/m2))1/2. Если ограничиться взаимодействием лишь ближайших соседей, то ветви внутри зоны гладки. Обе ветви идут
не пересекая друг друга и имеет место область запрещенных частот от значения (2/m1)1/2 до (2/m2)1/2.
Колебания из запрещѐнных зон (зона частот между акустической и оптической ветвью и область частот выше
наибольшей собственной частоты) затухают в кристалле и относятся к запрещенной зоне. Волновой вектор таких фононов имеет является комплексным.
5.4. Экситоны
Экситон – это связанная пара электрон-дырка. Другими словами, экситон - водородоподобная квазичастица, представляющая собой электронное возбуждение в диэлектрике или полупроводнике, которое может перемещаться по кристаллу, не разрушаясь. Движение экситона не приводит к переносу электрического заряда и массы. Хотя экситон состоит из электрона и
дырки, его следует считать самостоятельной элементарной (не
сводимой) частицей в случаях, когда энергия взаимодействия
электрона и дырки имеет тот же порядок, что и энергия их движения, а энергия взаимодействия между двумя экситонами мала
по сравнению с энергией каждого из них [24]. Экситон можно
считать элементарной квазичастицей в тех явлениях, в которых
он выступает как целое образование, не подвергающееся воздействиям, способным его разрушить [11].
Экситон может быть представлен в виде связанного состояния электрона проводимости и дырки, расположенных или в одном узле кристаллической решѐтки (экситон Френкеля, a* < a0,
66
a* — радиус экситона, a0 — период решѐтки), или на расстояниях, значительно больше междуатомных (экситон Ванье - Мотта, a* ≫ a0). В полупроводниках, за счѐт высокой диэлектрической проницаемости, существуют только экситоны Ванье —
Мотта. Экситоны Френкеля применимы, прежде всего, к молекулярным кристаллам. Экситоны Френкеля и Ванье-Мотта схематично изображены на рис. 5.3.
Рис. 5.3. Экситон Ванье-Мотта (свободный экситон) и экситон
Френкеля (связанный экситон, электрон и дырка расположены в
одном узле кристаллической решетки).
Свободные экситоны (экситоны Ванье-Мотта)
Экситон большого радиуса можно рассматривать как водородоподобный атом, аналогично водородоподобной модели
мелких донорных или акцепторных состояний.
Энергия связи экситона выражается в этой модели так же,
как и для атома водорода, и имеет вид [24]:
67
En  
m * e4

1
8   0 h 2 n 2
,
(5.7)
m *e m *h
m* - приведенная масса электрона и дырки,
m *e  m * h
m*e - эффективная масса электрона, m*h - эффективная масса
дырки,  - диэлектрическая проницаемость рассматриваемого
кристалла, n=1, 2, 3, …. – главное квантовое число экситона.
При n=1 получаем энергию связи для одного экситона.
Энергия связи для основного состояния экситона равна [24]
где m* 
Eex  E1 
m * e4
.
(5.8)
8   0 h 2
Полная энергия экситона, отсчитывается от потолка валентной зоны, и состоит из суммы его кинетической энергии
 2k 2
, определяемой движением центра масс, и потенци2m *
альной энергии Eп [24]:
Eк 
E  Е g  Eк  Еп  Е g 
m * e4

1

 2k 2
,
2m *
(5.9)
8   0 h 2 n 2
где Еg - ширина запрещенной зоны, k -волновой вектор экситона
как целой частицы.
Каждая из зависимостей E(k) с заданным n образует экситонную
зону (см. рис. 5.4). Как видно из рис. 5.4, появление дополнительных экситонных уровней энергии внутри запрещенной зоны
приводит к уменьшению ширины запрещенной зоны до значения Egx, что приводит к уменьшению энергии кванта света, излучаемого в полупроводнике.
Минимальная энергия Egx=Eg-Eex, необходимая для создания экситона, называется экситонной шириной запрещенной зоны.
Энергию связи для основного состояния экситона можно
записать в следующем виде
68
Eex 
m * e4

m* 2
 Re .
m0
(5.10)
8   0 h 2
Здесь величина Re называется экситонным Ридбергом, по аналогии с постоянной Ридберга для атома водорода.
Рис. 5.4. Экситонные уровни энергии с номерами n внутри запрещенной зоны полупроводника. Ev -потолок валентной зоны,
Eg - ширина запрещенной зоны полупроводника, Eex - ширина
экситонной запрещенной зоны. Волнистой стрелкой показано
излучение кванта света с энергией   E gx (прямой оптический переход) [24].
В табл. 5.1 приведены значения эффективных масс электронов и дырок, диэлектрической проницаемости, энергии ионизации экситона и экситонного радиуса для различных полупроводниковых материалов [24]. Жирным шрифтом в табл. 5.1 вы-
69
делены те значения энергии ионизации экситона, которые превышают значение тепловой энергии при комнатной температуре
(kBTкомн = 26 мэВ). Из таблицы следует, что для основного спектра полупроводниковых материалов энергия диссоциации свободных экситонов существенно меньше, чем тепловая энергия.
Следовательно, экситонная рекомбинация для экситонов Ванье–
Мотта при комнатной температуре не дает значительных вкладов в люминесценцию, из-за высокой вероятности термической
диссоциации экситона. Кроме того, в случае непрямозонных полупроводников необходимость во взаимодействии с фононом
при излучательной рекомбинации существенно уменьшает интенсивность экситонной рекомбинации.
Материал
m*n
в ед. m0
m*p
в ед. m0
ε
Eex
мэВ
GaN
InN
GaAs
InP
GaSb
InAs
InSb
ZnS
ZnO
ZnSe
CdS
ZnTe
CdSe
CdTe
HgTe
0,20
0,12
0,063
0,079
0,041
0,024
0,014
0,34
0,28
0,16
0,21
0,12
0,11
0,096
0,031
0,80
0,50
0,50
0,60
0,28
0,41
0,42
1,76
0,59
0,78
0,68
0,6
0,45
0,63
0,32
9,3
9,3
13,2
12,6
15,7
15,2
17,3
8,9
7,8
7,1
9,4
8,7
10,2
10,2
21,0
25,2
15,2
4,4
6,0
2,0
1,3
0,6
49,0
60,0
35,9
24,7
18,0
11,6
10,9
0,87
радиус
экситона
rex
нм
3,1
5,1
12,5
9,5
23,2
35,5
67,5
1,7
2,2
2,8
3,1
4,6
6,1
6,5
39,3
Таблица 5.1. Параметры экситонов в различных полупроводниковых материалах [24]
70
Связанные экситоны (экситоны Френкеля)
При определенных условиях электрон и дырка в кристаллt
могут образовать экситон малого радиуса или экситон Френкеля,
локализованный на дефекте кристаллической решетки.
В большинстве случаев связанные экситоны образуются на
нейтральных дефектах, хотя возможно их образование и на заряженных дефектах. Часто связанные экситоны или экситоны
Френкеля образуются на изоэлектронных ловушках. Изоэлектронной примесью называется атом такого элемента, который
находится в одной группе периодической таблицы с замещаемым атомом. После того как носитель одного знака (например,
электрон) будет захвачен, изоэлектронный центр приобретает
заряд и затем легко захватывает носитель противоположного
знака (дырку). Таким образом, образуется связанная электронно-дырочная пара в виде экситона малого радиуса, локализованного в пространстве.
Механизм излучательной рекомбинации экситонов Френкеля является эффективным в полупроводниках с непрямой
структурой энергетических зон, к которым относятся кремний,
германий, фосфит галлия, так как вероятность излучательной
рекомбинации через экситон существенно больше вероятности
излучения при непрямых переходах зона-зона.. Типичным примером изоэлектронной ловушки может служить атом азота N в
фосфиде галлия (GaP) – непрямозонном полупроводнике. Атом
азота N замещает атом фосфора P в узлах решетки. Спектр излучательной рекомбинации экситонов Френкеля более узкий,
чем спектр свободных экситонов (экситонов Ванье-Мотта), т. к.
экситон Френкеля локализован в определенной точке, а соответственно, имеет маленькую кинетическую энергию по сравнению
со свободным экситоном Ванье-Мотта. Наличие дополнительных экситонных уровней внутри запрещенной зоны приводит к
уменьшению ее ширины и к появлению дополнительных пиков
на спектральных характеристиках, соответствующих экситонному поглощению.
71
Плазмоны
Плазмон — квант плазменных колебаний; элементарное бозевское возбуждение плазмы. В плазме твердого тела термины
плазмон и плазменное колебание (волна) часто используют как
синонимы. Подробно свойства плазмонов описаны в курсе лекций по дисциплине "Нанофотоника и физика наноструктур".
Выводы
В лекции введено понятие квазичастиц, рассмотрено поведение электрона как квазичастицы в периодическом поле кристалла, дается понятие эффективной массы. Рассмотрены свойства
таких квазичастиц, как дырки, фононы. Подробно исследованы
дисперсионные характеристики оптических и акустических фононов. Рассмотрены свойства экситонов и плазмонов. Рассмотрено возникновение экситонных уровней энергии и их влияние
на спектры поглощения полупроводников.
72
Вопросы и задания для самоконтроля
5.1. Что такое квазичастица? Какие квазичастицы вы знаете?
5.2. Что такое дисперсионная кривая?
5.3. Что такое дырка с точки зрения зонной теории? Какой
знак у энергии дырки? Какой знак у эффективной массы
дырки?
5.4. Что такое фонон?
5.5. Чем отличаются оптические фононы от акустических?
5.6. Что такое экситон?
5.7. Что такое экситон Ванье-Мотта? Экситон Френкеля? Какие экситоны наблюдаются в полупроводниках?
5.8. Как влияют экситоны на спектр поглощения полупроводника?
73
Глава 6. Рассеяние
6.1. Виды рассеяния
В общем случае даже в однородной среде комплексный показатель преломления является флуктуирующей величиной в пространстве. Особенно заметны такие флуктуации для газов
(например для воздуха). Однако они наблюдаются и в твердых
телах, например в оптических волокнах. Показатель преломления может быть записан в виде
n(r )  n0  n(r ) ,
(6.1)
где n0 – среднее значение показателя преломления, n(r) - флуктуация показателя преломления. Наличие флуктуаций показателя преломления приводит к рассеянию света.
Флуктуации можно разделить на два вида:
1) динамические, например, колебания решетки (фононы),
поляритоны, плазмоны, экситоны и др.;
2) статические, например, неоднородности плотности, химического состава, температуры и т.п.
Перечислим основные виды рассеяния света.
Если частота (длина волны) света не изменяется при рассеянии, то такое рассеяние называется упругим.
Виды упругого рассеяния света:
1) Рэлеевское рассеяние
2) Рассеяние Ми
Если частота (длина волны) света изменяется при рассеянии,
то такое рассеяние называется неупругим.
Виды неупругого рассеяния света:
1) Рассеяние Мандельштама-Бриллюэна .
2) Комбинационное (рамановское) рассеяние.
Рассеяния всегда можно представить как поглощение первоначального кванта с энергией i и волновым вектором ki с
одновременным испусканием другого фотона с энергией и волновым вектором и kf . Если частота рассеянного света меньше
частоты падающего, то говорят о Стоксовой компоненте рассеяния, если же  f  i , то рассеянное излучение называется ан-
74
тистоксовским. В первом случае часть энергии рассеиваемого
света диссипируется средой. Во втором - наоборот, при рассеянии энергия забирается от рассеивающей среды.
В объемных полупроводниках свет может рассеиваться
(1) на свободных носителях, включая рассеяние на флуктуациях плотности заряда (одночастичные возбуждения и
плазмоны) и флуктуациях спиновой плотности (переходы с
переворотом спина),
(2) на фононах, оптических (рамановское, или комбинационное, рассеяние) или акустических фононах (рассеяние Мандельштама-бриллюэна), и
(3) статических дефектах (релеевское рассеяние). В гетероструктурах с квантовыми ямами и сверхрешетках появляются
дополнительные возможности: в структурах с квантовыми
ямами вклад в рассеяние могут вносить не только внутриподзонные переходы, но и переходы между электронными подзонами размерного квантования (рассеяние на межподзонных
флуктуациях плотности заряда или спиновой плотности); комбинационное рассеяние обогащается участием размерноквантованных и интерфейсных оптических фононов, а также
акустических фононов со «сложенным» спектром (folded
acoustic phonons) в сверхрешетках.
6.2. Рэлеевское рассеяние
Рэлеевское рассеяние - когерентное рассеяние света на оптических неоднородностях, размеры которых значительно меньше
длины волны  возбуждающего света. Приближенный критерий
выглядит следующим образом
(6.2)
d  0.1 .
В отличие от флуоресценции, происходящей, с частотами
собственных колебаний электронов, возбуждѐнных световой
волной, Рэлеевское рассеяние происходит с частотами колебаний возбуждающего света [40].
В экспериментально измеренном спектре рассеянного света
всегда имеется максимум на частоте рассеиваемого света. Рассеянный свет на частоте падающего и соответствующие крылья
линии рассеяния относят к Рэлеевскому рассеянию. Например,
75
дефекты поверхности и объема кристалла, пылинки малого размера, медленно движущиеся в конвекционных потоках воздуха,
флуктуации плотности газа, связанные с флуктуациями средней
ориентации молекул в пространстве, являются примерами неоднородностей, вызывающих Рэлеевское рассеяние.
Рэлей исследовал рассеяние в газах и году вывел формулу
для интенсивности Рэлеевского рассеяния, согласно которой
h
2  4 ( n  1) 2
,
N
3c 4
(6.3)
где n - коэффициент преломления, а N - концентрация рассеивающих атомов. Поскольку для газов n  1  N , коэффициент экстинкции прямо пропорционален концентрации атомов.
Рис.10.1. Рэлеевское рассеяние
Интенсивность рассеянного света в зависимости от угла рассеяния (диаграмма направленности) имеет вид:
I ( )  A
NV 2
I 0 (1  cos 2  ) ,
2
4
r 
(6.4)
где  - угол рассеяния (рис.10.1), N - концентрация рассеивающих объектов, V – средний объем одного рассеивающего объекта, r - расстояние от рассеивающих объектов до точки наблюдения, А – некоторая функция отклонения показателя преломления
рассеивающих объектов от среднего показателя преломления
n0.
76
В соответствии с формулой (10.4) интенсивность Рэлеевского
рассеяния обратно пропорциональна длине волны в четвертой
степени
1
I~ 4 .

Этим объясняется голубой цвет неба.
6.3. Рассеяние Ми
Рассеяние Ми – это упругое рассеяние на частицах сферической формы. Рассеяние Ми наблюдается в случае, когда размеры
оптических неоднородностей d сопоставимы с длиной волны
света
(6.5)
d ~.
Для рассеяния Ми по сравнению с рассеянием Рэлея характерна
более слабая частотная зависимость [40]:
I ( ) ~   ~   ,
(6.6)
где   4 .
Рис.10.2. Диаграмма направленности. Рассеяние Ми ( d /   2,5 )
Диаграмма направленности в случае рассеяния Ми имеет сложный вид и характеризуется наличием многочисленных экстремумов, интенсивность и угловое положение которых зависит от
77
отношения d /  . С ростом d возрастает рассеяние назад
(рис.10.2)
6.4. Рассеяние Мандельштама-Бриллюэна
Рассеяние Мандельштама-Бриллюэна - рассеяние света на
адиабатических флуктуациях плотности конденсированных
сред, сопровождающееся изменением частоты.
Данный вид неупругого рассеяния возникает при взаимодействии света с акустическими колебаниями решетки (фононами).
При дифракции на звуковой волне возникают лишь максимумы первого порядка. Амплитуда дифрагированной волны изменяется вместе с коэффициентом пропускания и коэффициентом
преломления среды, обусловленным периодическим изменением
плотности среды в акустической волне. Следовательно, амплитуда изменяется гармонически с частотой  звуковой волны.
Поэтому наблюдаемая в направлении дифракционных максимумов напряженность E (t ) электромагнитной волны равна [31]:
E (t )  A0 cos t cost 
где
A0
(cos(  )t  cos(  )t ) , (6.7)
2
 - частота падающего света.
спектр
рассеяния
недиф. комп.
  
стоксовый антистоксовый
компонент компонент
Рис. 6.3. Стоксовый и антистоксовый компоненты рассеяния
Мандельштама-Бриллюэна
Таким образом, в рассеянном свете наблюдаются две сателлитные частоты, расположенные симметрично относительно основной частоты падающего света  . Сателлит с частотой (  )
называется стоксовым, а с (  ) - антистоксовым. Они являются компонентами рассеяния Мандельштама-Бриллюэна
(рис.6.3).
78
6.5. Комбинационное (рамановское) рассеяние
Комбинационное (рамановское) рассеяние света возникает
при взаимодействии света с оптическими фононами.
Комбинационное рассеяние наблюдается в различных средах – газах, жидкостях, кристаллах. Причиной изменения частоты рассеяния является комбинированный процесс, в результате которого под действием падающего светового кванта появляется другой световой квант и одновременно в среде происходит поглощение или освобождение определенной порции
энергии. Эта энергия может быть связана с различными процессами – периодическим движением атомов в молекуле или кристалле около положения равновесия, переходами электронов
с одного уровня на другой, так называемыми спиновыми
волнами в магнитоупорядоченных средах, плазменными колебаниями в твердых телах и т. д. Однако обычно под комбинационным рассеянием понимается появление дополнительных
комбинационных линий, соответствующих изменениям во
вращательном и колебательном движении атомов в молекуле
или в кристаллической решетке.
Рассеяние на размерно-квантованных оптических фононах
Микроскопически рассеяние света на фононах в нелегированном полупроводнике или полупроводниковой структуре
описывается как процесс третьего порядка.
На первой ступени трехступенчатого процесса рассеяния
первичный фотон возбуждает электронную подсистему в
промежуточное состояние n . Затем рассеяние на фононе
вызывает квантовый переход из n в другое промежуточное состояние n' . На заключительном этапе электронная подсистема
возвращается в основное состояние, излучая при этом рассеянный фотон.
В рассеяние n→n’ электронно-дырочного возбуждения на
продольном оптическом фононе вносят вклад два механизма:
фрелиховский, или дальнодействующий, и деформационный,
или короткодействующий. В первом механизме LO-фонон воздействует на электронную подсистему через скалярный потенциал Φ(z) электрического поля, индуцированного оптическим
79
колебанием решетки. При деформационном механизме происходит индуцированное фононом смешивание состояний тяжелых и легких дырок, т.е. в этом случае переход n→n’ совершается за счет взаимодействия дырки с оптическим фононом [19].
Рис. 6.4. Спектры нерезонансного (a) и резонансного (b)
комбинационного рассеяния на размерно-квантованных оптических фононах в толстобарьерной сверхрешетке GaAs/AlAs с
шириной слоев a=20Е, b=60Е. Пик справа от частоты фонона
LO6 обусловлен интерфейсной модой.
На рис. 6.4 показаны спектры комбинационного рассеяния
на размерно-квантованных оптических фононах, измеренные
на толстобарьерной сверхрешетке GaAs/AlAs, содержащей 400
двойных слоев шириной a=20 А, b=60 А. Фононные моды с
квантовым числом ν обозначены в виде LOν. При нерезонансном
возбуждении сечения рассеяния на фононах LO2l+1 и LO2l,
наблюдаемые соответственно в конфигурациях z(xy) z и z(xx)
z , сопоставимы по величине. В согласии с предсказаниями микроскопической теории при резонансном возбуждении, когда
80
фрелиховский механизм преобладает над деформационным,
наблюдается только рассеяние на LO2l -фононах. Наличие тех же
линий LO2l, хотя и заметно меньшей интенсивности, в скрещенной геометрии z(xy) z может быть связано с влиянием статических дефектов на фрелиховское взаимодействие носителей с
оптическими фононами. Комбинационное рассеяние в сверхрешетках и квантовых ямах является привлекательной альтернативой неупругому рассеянию нейтронов для определения дисперсии оптических фононов в объемном полупроводнике.
6.6. Расчет параметров рассеяния
Различают рассеяния на ионах примеси, на неоднородностях
поверхности, на акустических фононах, на оптических фононах
и электрон-электронное.
Интенсивность примесного рассеяния можно рассчитать по
формуле:
WI 
e4 N I2D
512  2 02
2

S
 1  q d  ,
(6.7)
Ek 0
где Ek – кинетическая энергия электрона; N I2D – поверхностная
концентрация ионизированной примеси;    sc   ox  2 – среднее значение диэлектрической проницаемости на границе раздела окисел/полупроводник; S – параметр экранирования, равный
S
e2 N s
.
0 k B T
(6.8)
При расчете интенсивности рассеяния на ионизированной
примеси для устранения расходимости интегралов при 0 в
качестве нижнего предела интегрирования необходимо выбирать некоторый ненулевой угол min.
Интенсивность рассеяния на шероховатостях поверхности
рассчитывается согласно [19]
WSR  k  
m*  2  2
2
3
2

0
 2  q, N s 
 q2 2
exp  

4
2  q, T, N s 


 d ,


(6.9)
81
где  – среднеквадратическая высота шероховатостей;  –
среднее расстояние между ними (корреляционная длина), а
функция q , N s  при q/b>>1 равна
 N s  
e2  N s

 N depl  .

 sc  0  2

(6.10)
Для температур, близких к комнатной, принимая во внимание, что энергия акустических фононов много меньше энергии
электронов, интенсивность рассеяния на этих фононах может
быть рассчитана согласно:
Wac 
2
Dac
m * kB T

3
u
2
U  E  E    i  z  i  z 
2
dz ,
(6.11)
где i и i  – номера, соответственно, начальной и конечной подзон при рассеянии, которые расположены в одной и той же долине; i z  и i  z  – волновые функции электрона для данных
подзон; Dac = 9,5 эВ;  – плотность материала; u – скорость звука в кремнии; U E  E  – cтупенчатая функция, равная нулю,
если аргумент меньше нуля, и равная единице, если аргумент
больше или равен нулю. Наличие данной функции обеспечивает
выполнение закона сохранения энергии.
Интенсивность рассеяния электронов на оптических фононах
[19]:
Wopt
2
Dopt
m * gi 
1 1

 N ph    U  E  E   ,
ρ k B Tph 
2 2
(6.12)
где Dopt =91010 эВ/м – константа взаимодействия; N ph – количество фононов с температурой Tph , определяемое согласно
распределению Бозе – Эйнштейна; g i – параметр мультиплексности конечной при переходе подзоны. Рассеяние электронов на
оптических фононах, сопровождающееся межподзонным переходом, может являться междолинным рассеянием, если подзона,
в которую переходит электрон при этом рассеянии, расположена
82
в другой долине по отношению к первоначальной подзоне.
При электрон-электронном рассеянии необходимо различать
процессы, сопровождающиеся и не сопровождающиеся межподзонными переходами. Интенсивность процессов, связанных с
межподзонными переходами, рассчитывается по формуле
Wee2D 


im

* 4
max
N s m2D
e N sub Fijmn
q
3 2
ε0
2
ε 2sc s 2
2
,
(6.13)
а процессов без межподзонных переходов (т. е. внутриподзонного рассеяния) – по формуле
Wee2D 


ii

* 4
N s m2D
e
2 3 ε 02 ε 2sc s 2
,
(6.14)
где Nsub – число учитываемых при моделировании подзон;
max
Fijmn
 q  – максимальная величина форм-фактора; j и n – значения начальной и конечной подзон для второго электрона; s – параметр экранировки.
Выводы
В лекции рассматриваются различные механизмы. которые
вносят вклад в рассеяние излучения в твердом теле: рэлеевское
рассеяние, рассеяние Ми, рассеяние Мандельштама-Бриллюэна,
комбинационное рассеяние. Приводятся формулы для практического расчета параметров рассеяния.
83
Вопросы и задания для самоконтроля
6.1. Что такое рассеяние Рэлея?
6.2. Что такое рассеяние Ми?
6.3. Является ли рассеяние Рэлея упругим рассеянием? Является
ли рассеяние Рэлея упругим рассеянием?
6.4. На каких фононах (оптических или акустических) происходит рассеяние Мандельштама-Бриллюэна и комбинационное (рамановское) рассеяние?
6.5. Каким видом рассеивания объясняется цвет неба?
6.6. Амплитуда какой компоненты (стоксовой или антистоксовой) больше при рамановском рассеянии света в непоглощающей среде?
84
Глава 7. Фотонные кристаллы
7.1. Классификация фотонных кристаллов
Фотонный кристалл - это материал, структура которого характеризуется периодическим изменением показателя преломления в пространственных направлениях [2]. В работе [27] приводится более широкое определение:
«Фотонными кристаллами принято называть среды, у которых диэлектрическая проницаемость периодически меняется в
пространстве с периодом, допускающим брэгговскую дифракцию света». В работе [30] приводится следующее описание фотонных кристаллов:
Фотонные кристаллы – это «структуры с фотонной запрещѐнной зоной».
Мы дадим следующее определение:
Фотонный кристалл – это материал, показатель преломления которого периодически меняется в одном, двух или трех
направлениях, и вследствие этого обладающий фотонной запрещенной зоной.
Рис. 7.1. Схематическое изображение одномерного фотонного
кристалла, n1 и n2 — показатели преломления двух различных
материалов, Λ – период структуры
Фотонные кристаллы можно разделить на три основных
класса:
85
1. Одномерные фотонные кристаллы. В одномерных кристаллах
показатель преломления периодически изменяется в одном пространственном направлении (см. рис. 11.1). Такие фотонные
кристаллы представляют собой тонкослоистую структуру с чередующимися слоями из двух или более материалов.
В оптике уже давно известно, что в таких периодических
структурах характер распространения световых волн существенно изменяется из-за явлений интерференции и дифракции.
Например, многослойные отражающие покрытия давно используются для изготовления диэлектрических зеркал и интерференционных фильтров, а объемные брэгговские решетки используются в качестве спектральных селекторов и фильтров [5]. На рис.
7.2 представлена электронная фотография одномерного фотонного кристалла.
Рис.7.2. Электронный снимок одномерного фотонного кристалла,
используемого в лазере как брэгговское многослойное зеркало [5]
2. Двумерные фотонные кристаллы. В таких кристаллах коэффициент преломления периодически изменяется в двух пространственных направлениях (см. рис. 11.3). Двумерные кристаллы проявляют свои свойства в двух пространственных
направлениях. При этом форма областей с различными показателями преломления может быть любой (окружности, эллипсы
86
и т. д.). К двумерным фотонным кристаллам можно отнести
упорядоченные массивы бесконечных по длине цилиндров (их
поперечный размер много меньше продольного) или периодические системы цилиндрических отверстий (рис. 7.4).
Рис. 7.3. Схематическое изображение двумерного фотонного
кристалла
Рис. 7.4. Двумерный фотонный кристалл в виде упорядоченного
масссива цилиндрических тонких нитей (слева) или периодических отверстий [6]
3. Трѐхмерные фотонные кристаллы. В таких кристаллах показатель преломления периодически изменяется в трѐх пространственных направлениях (рис.7.5, 7.6). Наиболее распространенными трехмерными фотонными кристаллами являются опалы,
состоящие из упорядоченных рассеивателей сферической формы. Природные полудрагоценные опалы и крылья африканских
бабочек-парусников представляют собой природные трехмер-
87
ные фотонные кристаллы. Фотография искусственного трехмерного фотонного кристалла приведена на рис. 11.6.
Рис. 7.5. Схематическое изображение трехмерного фотонного
кристалла
Рис. 7.6. Электронная фотография трехмерного фотонного кристалла [4]
Фотонные запрещённые зоны
Фотонная запрещенная зона – это диапазон частот, внутри
которого электромагнитная волна (фотон) не может распространяться внутри фотонного кристалла. В частности, излучение,
спектр которого лежит в фотонной запрещенной зоне, не может
проникать в фотонный кристалл и распространяться в нем, поэтому оно полностью отражается от границы.
88
Рассмотрим образование фотонной запрещенной зоны для
случая одномерного фотонного кристалла. В таком кристалле
фотонная запрещенная зона образуется в результате интерференции световых волн, отраженных от областей с различными
показателями преломления (рис. 7.7).
Рис.7.7. Распространение электромагнитной волны в одномерном фотонном кристалле
Волны, отраженные от пары слоев, будут усиливаться в
результате интерференции при выполнении условия Брэгга:
2(n1d1  n2 d 2 )  mm ,
m=1, 2, 3,….
(7.1)
Здесь d1 и d 2 - толщины слоев, m - длина волны. В таком случае волна будет испытывать полное отражение от слоистой
структуры и не будет распространяться внутри фотонного кристалла, что соответствует фотонной запрещенной зоне. При этом
максимумы в спектре коэффициента отражения R и минимумы в
спектре пропускания T будут наблюдаться для длин волн, соответствующих серединам фотонных запрещенных зон:
89
2(n1d1  n 2 d 2 )
.
(7.2)
m
Спектры отражения и пропускания для одномерного фотонного
кристалла схематически изображены на рис. 7.8.
m 
Рис.7.8. Спектры отражения и пропускания для одномерного
фотонного кристалла. Заштрихованы фотонные запрещенные
зоны
Зачем нужны структуры с фотонной запрещенной зоной?
Ответим на этот вопрос. Задача спонтанного излучения света
имеет большое значение для систем волоконной оптики. И для
практического использования спонтанного излучения необходимо его контролировать, например, при помощи полной задержки излучения в фотонных запрещенных зонах, в которых
сигнал не может распространяться. Наличие запрещенных для
распространения частот демонстрируют многие структуры.
Например, на рис. 7.9 изображена дисперсионная диаграмма для
моды с номером m=1, распространяющейся в плоском металлическом волноводе между двумя параллельными металлическими пластинами.
90
Рис.7.9. Дисперсионная кривая для плоского металлического волновода. Ниже частоты отсечки волна не может распространяться и не может возникать излучение [14]
Рис.7.10. Образование запрещенных зон в кристаллах. Слева: дисперсионные кривые (расширенная зонная диаграмма) полупроводникового
кристалла. ЗП- зона проводимости, ЗЗ –запрещенная зона, ВЗ - валентная зона. Справа: дисперсионные кривые для фотонного кристалла [14]
91
Видно, что существует область частот ниже частоты отсечки,
в которой волна не может распространяться. Однако металлы не
являются удобными материалами для оптического применения,
так как обладают очень большими потерями на оптических частотах.
В оптических волокнах используются полупроводники и диэлектрики, обладающие малыми потерями в оптическом диапазоне. И вот здесь как раз использование фотонных кристаллов,
представляющих массив упорядоченных структур позволяет создать фотонную запрещенную зону за счет наличия дополнительной периодичности (см. рис. 11.10).
Рис. 7.11. Андерсоновская локализация света. Пики с высокой
интенсивностью излучения соответствуют позициям, на которых
строго локализуется свет, излученный в разориентированном
фотонном кристалле [13]. В остальных местах излучение не может распространяться (фотонная запрещенная зона)
Для создания фотонного кристалла, который не пропускает
свет внутри фотонной запрещенной зоны ни в одном направлении необходимо использование трехмерных структур. Получение такой полной фотонной запрещенной зоны сопряжено с не-
92
которыми трудностями, потому что трѐхмерные фотонные кристаллы могут демонстрировать запрещѐнные зоны как в одном,
двух или во всех направлениях. Полные фотонные запрещенные
зоны для всех направлений формируются в фотонном кристалле
при большой разнице показателей преломления материалов, из
которых состоит фотонный кристалл для структур с определѐнной формой областей с разными показателями преломления.
Пример андерсовской локализации света с образованием фотонных запрещенных зон в разориентированном фотонном кристалле приведен на рис 11.1.
7.2. Дисперсионное уравнение для одномерного фотонного
кристалла
Метод, используемый при исследовании распространения
электромагнитных волн в слоистых структурах основан на использовании двухсторонних граничных условий, связывающих
тангенциальные компоненты E 1 , H 1 и E 2 , H 2 полей двух
соседних сред 1 и 2 на двух близких поверхностях S1 и S2, разделяющих описываемый слой с этими средами [16]. Эти граничные условия сводятся в общем случае к заданию скачков компонент электромагнитного поля на некоторой условной средней
поверхности S0, лежащей между поверхностями S1 и S2
 E
1    E
2 

(7.3)
S 
,
 H

1   H
2 


где элементы матрицы S являются в общем случае интегро дифференциальными операторами [16]. Для большого числа по
лей компоненты тензора S не зависят от определяемых ими полей, что существенно упрощает анализ. Применение двухсторонних граничных условий позволяет существенно облегчить
аналитическое и численное решение большого числа задач, поскольку при выполнении некоторых не слишком жестких условий можно ограничиться рассмотрением поведения электромагнитного поля в области пространства, внешней по отношению к
рассматриваемому тонкому слою, а влияние слоя на характер
93
волнового процесса учитывать с помощью граничных условий
на его поверхности.
Наиболее простым примером одномерных фотонных
кристаллов являются слоистые среды, образованные при периодическом чередованием двух и более материалов с различными
показателями преломления. Такие одномерные структуры имеют большие перспективы для практического применения, связанные с простотой изготовления и отлаженной технологией получения слоистых структур, которая допускает изготовление
тонких пленок толщиной в несколько атомных слоев. Исследуем наиболее общие закономерности распространения электромагнитных волн в одномерных фотонных кристаллах.
Рассмотрим бесконечную структуру, состоящую из чередующихся слоев с показателями преломления n1 и n2 (рис. 12.1).
Толщины слоев d1 и d2, период структуры d= d1+d2.
Рис. 7.12. Схематическое представление одномерного фотонного
кристалла.
Распространение волн в каждом из слоев можно описать с
помощью волнового уравнения [17]:
94
u 
1  2u
0 ,
(7.4)
v2  t 2
где u- компонента поля волны, v- еѐ фазовая скорость в
среде. Будем предполагать, что в плоскости слоев поля зависят

только от одной координаты, и положим
0 . Решение уравz
нения представим в виде uu( y)exp[i(t k x x)] , где
k
x - про-
екция волнового вектора на ось х. Подставляя его в (1), получим
 2 u(y)
 y2
(k x 2 
2
v1,2 2
)u(y)=0 .
(7.5.)
Индексы 1 и 2 обозначают принадлежность к разным слоям. Множитель k x 2 
2
v 1,2 2
является периодической функцией
координаты y и принимает на периоде структуры два значения.
Таким образом, соотношение (7.5) является уравнением второго
порядка с периодическим коэффициентом (уравнением Хилла
[55]). Для ступенчатой функции его решение может быть получено следующим образом [17]. Представим поле на интервале y
= 0  d1 в виде
u 1( y )A 1e
k y12 = (
i k y1 y
+A 2 e
-i k y1 y
,
 2
) k x 2 .
(7.6)
v1
В области второго слоя y = d1  d1 +d2
u 2 ( y )  B1 e
k y 2 2 (
Обозначим  (z)
du(y)
dy
ik
y2y
B 2 e
 2
) k x 2 .
i k y 2 y
,
(7.7)
v2
и получим
95
 (z)=ik y1 (A 1 e
ik y1 y
A 2 e
ik y2 y
) .
(7.8)
Выразим произвольные постоянные А1 и А2 через значения полей при y = 0 и подставим в соотношения (7.6) и (7.8).
Представим поля в начале координат через их значения в произвольной точке у слоя и запишем результат в матричном виде:
 u ( 0) 
 u ( y) 

  m 1 ( y)
.
(7.9)
  ( 0) 
  ( y) 
Матрица преобразования m1(d1) связывает поля в начале
слоя с полями в конце этого же слоя, матрица преобразования
второго слоя m2(d2). На плоскости раздела должны выполняться
граничные условия, состоящие в непрерывности как самого поля, так и его градиента. Так на границе y = d1 :
du1(y) du 2 (y)
.
(7.10)

dy
dy
Кроме того, решение должно удовлетворять теореме Флоке
[54], то есть поля на границах периода при y = 0 и y = d могут отличаться только на фазовый множитель
u1(y)u 2 (y);
u(0)u(d)e ik d ,
где
k
- блоховское волновое число. Поэтому
 u 1 (0) 
 u 1 (d 1 ) 




  1 (0) m 1   1 (d 1 ) ,




 u 2 (d 1 d 2 ) 


 u 2 (d 1 ) 


 (d d )
  (d 1 ) m 2  2 1 2 ,






96
(7.11)
 u(0)   u(d) 

m
,
  (0)    (d) 
mm 1 m 2,
(7.12)
Здесь m - матрица преобразования одного периода структуры:
 m11 m12 
.
(7.13)
m

m
m
2
1
2
2


Матрица преобразования mд , связывающая поля в начале
и в конце слоя диэлектрика, для Н- волны записывается следующим образом [17] :
 E z ( t )
 H ( t ) = m д
 x

 E z (t +d 1 ) 


 H x (t +d 1 ) 


,
(7.14)
i  0


 c os k y d 1

si n k y d 1 
ky


где m д = 
,
ik y


si n k y d 1
c os k y d 1
 0



k y - проекция волнового вектора проходящей волны на ось Оy.
С помощью матрицы преобразования m может быть найдено дисперсионное соотношение для безграничной структуры.
Оно имеет вид [54] :
1
cosk d (m 11 m 22 ) .
(7.15)
2
Таким образом, в слоисто - периодической среде зависимость
от поперечной координаты определяется не волновыми числами
слоев k y1 и k y 2 , а усредненным по периоду структуры поперечным волновым числом k . Полное решение волнового уравнения записывается в виде суммы пространственных гармоник :
97

u( y)=

n =-
u n exp[i(k +
2 n
)y] .
d
(7.16)
Значение блоховского волнового числа k определяется из
соотношения (7.13) с точностью до целого числа обратных вол2 n
, n =0, 1,... . Необходимо отметить, что фановых векторов
d
зовые скорости различных гармоник могут быть сколь угодно
малыми, а при равенстве фазовой скорости и скорости движения магнитных вихрей в сверхпроводнике возможно эффективное взаимодействие электромагнитной волны с вихревой решеткой. Это особенно существенно для создания усилителей на основе сверхпроводящих структур.
7.3. Применение фотонных кристаллов
Фотонные кристаллы широко применяются в современной
оптоэлектронике. Наличие фотонных запрещенных зон делает
привлекательными фотонные кристаллы ля создания волноведущих систем различной формы, фильтров и т.д. Для реализации
потенциала фотонно-кристаллических волноводов необходима
возможность перестройки, что достигается изменением параметров кристалла.
Рис.7.13. Фотонно-кристаллический волновод [7]
98
Небольшие изменения таких параметров, как размеры и
форма структурных единиц фотонного кристалла, их показателей преломления влекут смещение запрещенных зон и изменение коэффициента пропускания на заданных частотах. За счет
этого можно создавать волноведущие системы с заданными
спектральными свойствами. На рис. 7.13 и 7.14 изображен фотонно-кристаллический волновод, образованный в результате
нарушения периодичности в упорядоченном массиве отверстий.
Рис.7.14. Этапы создания фотонно-кристаллического волновода
[7]
Еще больше перспектив для применения фотонных кристаллов открывается в будущем.
 В трехмерных фотонных кристаллах возможен полный
захват излучения с длиной волны, соответствующей фотонной запрещенной зоне. Данный эффект используется
для создания лазеров со сверхнизкими порогами генерации.
 Использование сред, показатель преломления которых
можно менять под действием электрического или магнитного поля, для создания фотонных кристаллов поз-
99


воляет использовать их в качестве управляемых элементов оптических усилителей, переключателей и транзисторов, что дает возможность для построения быстродействующих оптических устройств обработки информации.
Еще одно применение фотонных кристаллов связано с
возможностью контроля законов дисперсии для света
вблизи края фотонной зоны. Фотонные кристаллы с контролируемым законом дисперсии дают возможность для
реализации
эффективных
волновых
нелинейнооптических взаимодействий.
Фотонные кристаллы могут использоваться для создания
сред с отрицательным показателем преломления и других искусственных метаматериалов.
Выводы
Лекция посвящена фотонным кристаллам. Дается определение фотонных кристаллов, рассматривается механизм образования фотонных запрещенных зон. Рассматривается применение
фотонных кристаллов в оптоэлектронике и перспективы их применения в будущем.
Вопросы и задания для самоконтроля
7.1. Что такое фотонный кристалл?
7.2. Какие типы фотонных кристаллов вы знаете?
7.3. Что такое фотонная запрещенная зона?
7.4. В чем заключается условие Брэгга?
7.5. Чем отличается запрещенная зона в полупроводнике от
фотонной запрещенной зоны в фотонном кристалле?
7.6. Для чего могут использоваться фотонные кристаллы?
100
Глава 8. Нелинейно – оптические эффекты
8.1. Условия возникновения нелинейных оптических эффектов
Нелинейная среда - среда, в которой распространение света
зависит от интенсивности (амплитуды) световой волны. В нелинейной среде не выполняется принцип суперпозиции : волны
распространяются не независимо, а взаимодействуют между собой. Вследствие этого в нелинейной среде возбуждаются волны
отличающиеся частотами и направлением распространения от
падающей волны.
Среда, линейная в обычных условиях, т.е. при обычных интенсивностях света, становится нелинейной, когда напряженность электрического поля световой волны сравнима с внутриатомным электрическим полем Ea. В лазерном луче напряженность электрического поля световой волны достигает 108В/см,
что сравнимо с внутриатомными полями и достаточно для
наблюдения нелинейных эффектов в оптическом волокне.
К нелинейным эффектам, при изучении которых в качестве
нелинейной среды широко использовались оптические волокна,
относятся нелинейное преломление (частным случаем которого
является фазовая самомодуляция (ФСМ)), фазовая кроссмодуляция (ФКМ), четырехволновое смешение (ЧВС) (частным
случаем которого является генерация третьей гармоники), вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР) и вынужденное
рассеяние Мандельштама–Бриллюэна (ВРМБ).
Вектор электрической индукции
D   0Е  Р .
(8.1)
Диэлектрическая проницаемость среды
 1   ,
(8.2)
где  - диэлектрическая восприимчивость.
101
Для нелинейной среды вектор поляризации Р можно разложить
в ряд по степеням напряженности электрического поля Е [36]:


P   0  (1) Е   ( 2) Е 2   ( 2) Е 2   (3) Е 3  ... .
(8.3)
Здесь  (1) ,  ( 2) ,  (3) - оптические восприимчивости. В частности  ( 2) - нелинейная оптическая восприимчивость второго
порядка,  (3) - нелинейная оптическая восприимчивость третьего порядка. Из уравнения (13.3) непосредственной вытекает
возможность генерации оптических гармоник и других эффектов. Пусть лазерное излучение представляет собой гармоническую волну
E  E 0 cos( t  kz) .
(8.4)
Тогда первый член в разложении (13.1) описывает линейную
поляризацию с частотой, равной частоте лазерного излучения.
Второй член разложения (13.3)
1
P   0   (2) Е 2   0  (2) Е 02  (1  cos 2( t  kz))
2
описывает генерацию излучения на удвоенной частоте. Можно
показать, что третий член в разложении P   0   (3) Е 3 описывает генерацию на утроенной частоте и, кроме того, нелинейную
добавку к показателю преломления [37].
Обычно в изотропных нелинейных средах низшей нелинейностью, отличной от нуля является кубичная нелинейность.
Можно показать, что в средах с кубичной нелинейностью показатель преломления зависит от интенсивности света. Этот эффект приводит к самовоздействию световых волн, в частности, к таким эффектам, как самофокусировка светового пучка,
фазовая самомодуляция импульса, бистабильность резонатора,
заполненного нелинейной средой, и т. п.
102
8.2. Генерация второй гармоники и условие фазового
синхронизма
Рассмотрим второе слагаемое в разложении (13.3), описывающее возникновение за счет нелинейной восприимчивости в
среде генерации на удвоенной частоте


P (2) r , t   P (2) cos(2(kz  t )),
(8.5)
2
n 
k


c
Будем считать что нелинейная среда занимает полпространства
z>0. Из вакуума (z<0) нормально к поверхности раздела на нее
падает электромагнитная волна частоты  , которая, попав в нелинейную среду и генерирует волну на второй гармонике. Волновое уравнение, описывающее это процесс имеет вид (в системе СГС):


2E
2E
2P
2
c

 4
,
z 2
t 2
t 2
(8.6)


2E
1  2 E 4  2 P


.
z 2 v 2 t 2 c 2 t 2
Решение этого уравнения для второй гармоники, следуя [33],
ищем в виде суммы частного решения с правой частью и решения однородного уравнения
Ez, t   E0 expi 2(k  z  t ) E1 expik 2 z  2t , (8.7)
где
вообще
говоря
k    n  c, k 2   n2 2 c,
2k    k 2  .
На поверхности, в плоскости z=0, амплитуда второй гармонике равна нулю. Тогда

2 2   4 2 2 P 2 . (8.8)
E0   E1, E0  (2k ( )) 2 

v 2 
c2
103
E0 
4 2 2 P 2
k 2 2  2k  2

4P 2 
n2 2  n 2

2P 2
2P 2

n n2   n 
n n
(8.10)
Подставляя это выражение в (13.8), получаем окончательно

2P (2) i 2kz  t 
1  expik (2 )  2k ( )z 
E r , t  
e
n n

2P (2) i 2kz t  
 2 n 
e
z  .
1  exp i
n n
c



(8.11)
1
0.5
0.25
0.1
100
80
I(z)
60
40
20
0
0
10
20
30
40
50
60
70
z
Рис.8.1. Зависимость амплитуды колебаний от расстояния до
поверхности кристалла [33]
Если мы находимся не слишком близко к линиям поглощения, то коэффициент преломления изменяется не очень сильно,
т.е. n  n . Тогда формула (8.11) очень похожа на амплитудную модуляцию – амплитуда колебаний зависит от расстояния
до поверхности кристалла. (см. рис.8.1). Интенсивность излучения на двойной частоте то нарастает то спадает., причем чем
104
меньше различия значений коэффициента преломления на основной и удвоенной частотах тем длиннее период этих колебаний, тем больше интенсивность света на двойной частоте в максимуме этой зависимости. Поскольку интенсивность светового
излучения пропорциональна квадрату модуля электрического
поля световой волны имеем

I (r , t ) 
2
P ( 2)
P ( 2)
2
2


1  cos 2nz    sin 2  2nz  

 c 
 c 
n 2 
 . (8.12)
2
P ( 2)
2

 2nz 
 nz 
1  cos
sin 2 
  4


 c 
 c 
n 2 
n 2
Таким образом, чем меньше различие в коэффициентах поглощения – тем эффективнее можно преобразовывать излучение,
соответствующим образом подбирая длину образца. Совсем здорово было бы, если бы различия в коэффициентах поглощения
вообще отсутствовали n  0

I (r , t ) n  0  4
P ( 2)
2
z 2
c 2
.
(8.13)
Интенсивность излучения на двойной частоте нарастает прямо
пропорционально квадрату толщины образца.
8.3. Параметрическое преобразование и параметрические генераторы света
Когда изобрели первые лазеры, число линий, на которых получалась генерация было очень ограничено, а хотелось иметь
источники мощного когерентного излучения с плавно перестраивающейся длиной волны . Это удалось сделать с помощью па-
105
раметрического преобразования –эффекта обратного сложению
частот двух мощных волн.
При параметрическом преобразовании один фотон с энергией
 превращается в два фотона, энергии которых удовлетворяют закону сохранения   1  2 . Преобразование происходит наиболее эффективно, когда опять выполняется условие
  
фазового синхронизма k  k1  k2 . Описать парамагнитное преобразование на классическом языке не очень то легко. Исходно
имеется мощная световая волна от лазера на частоте  . Если в
среде уже имеется волна на частоте  1 , то мощная волна и затравочная преобразуются в излучение на частоте 2 . И наоборот слабая волна на частоте 2 совместно с мощной исходной
волной преобразуются в свет на частоте  1 . Так они друг друга
раскачивают и раскачивают. Если к тому же систему поместить
в резонатор – то при удачном раскладе (большая мощность
накачки, хорошие зеркала и т.п.) то получим параметрический
генератор. Причем частоты вторичных волн можно изменять
вращая нелинейный кристалл таким образом, что условие фазового синхронизма будет выполняться для несколько различных
частот [36].
Самофокусировка
Возникает в меру зависимости от электрического поля световой волны коэффициента преломления. n  n0  n 2 E 2 . Это эффект Керра в поле световой волны (высокочастотный эффект
Керра).
В линейной оптике световой пучок конечной ширины неотвратимо размывается по мере распространения. Но световой пучок помещенный внутрь цилиндра с коэффициентом преломления, большим, чем коэффициент окружающей среды при определенных условиях оказывается захваченным таким волноводом. Поле световой волны экспоненциально спадает по мере
удаления от волновода. В простейшем случае такое происходит
когда световая волна падает на границу раздела двух сред под
углом большим угла полного внутреннего отражения. Но когда
106
длина волны сравнима с толщиной волновода, уже невозможно
понять что такое угол падения и надо решать стандартную задачу теории поля.
В нелинейном режиме световая волна большой интенсивности сама увеличивает коэффициент преломления в области пучка и тем самым создает канал по которому сама и распространяется. Ну а если ширина канала самопроизвольно сужается – мы
имеем дело с самофокусировкой.
Оценки можно провести используя представления об угле
полного внутреннего отражения.  0  arccos n0 n0  n 2 E 2 .
 


2a
Рис. 8.2. Ход луча в волноводе [33]
Лучи,    0 отклоняются от оси пучка и в конце концов уходят из канала (рис.13.2). Если же    0 То такие лучи отражаются и уходят в пучок. Для пучка угол  определяется дифракцией  d  0.61  n0 2a  . Если  0   d пучок расплывается. Если  0   d размер пучка сохраняется. – этот режим
называется самоканалированием. Наконец при  0   d пучок
начинается стягиваться [33]. Происходит самофокусировка. нелинейная среда действует как линза.
8.4. Четырехволновое смешивание
Четырехволновое смешение) – нелинейный процесс, определяемый электронной (керровской) нелинейностью, а именно,
зависимостью показателя преломления от интенсивности.
Четырехволновое смешение представляет собой нелинейный процесс, при котором две плоские волны накачки, рас-
107
пространяющиеся навстречу друг другу, взаимодействуют в нелинейной среде с пробным полем, имеющим произвольное
направление распространения по отношению к волнам накачки,
и создают четвертую (выходную) волну. Характер нелинейной
среды при четырехволновом смешении проявляется в нелинейной восприимчивости (3). Две волны накачки и пробная волна
связываются через (3), создавая четвертую волну, которая пропорциональна комплексно сопряженной пробной волне [36].
Мощная волна накачки с частотой ω2 за счет ВКР генерирует симметрично расположенные боковые полосы с частотами
ω1 (стоксова, или сигнальная волна) и ω3 (антистоксова, или холостая волна) (см. рис. 13.10).
При достижении критической мощности излучения нелинейность волокна приводит к взаимодействию трех волн с частотами ω1, ω2 и ω3 и появлению новой четвертой волны (ложного сигнала) на частоте, являющейся комбинацией трех других
частот (рис. 13.11, 13.12).
За счет четырехволнового смешения в оптоволоконной
линии могут возникать нежелательные ложные сигналы в спектральном диапазоне передачи информации.
Рис. 8.10. Генерация стоксовой ω1 и антистоксовой волны ω3 за
счет вынужденного комбинационного рассеяния
108
Рис.8.11. Генерация новой волны за счет четырехволнового
смешения
Рис.8.12. Спектр стоксовых и антистоксовых линий
четырехволнового смешения в одномодовом световоде [36]
Четырехволновое смешение - главный источник пересечений
и потерь в системах WDM. Взаимное влияние нескольких каналов друг на друга создает новые посторонние сигналы. В худшем случае равного расстояния между каналами большинство
новых частот накладываются на существующие и вызывают интерференцию, в лучшем случае наблюдается уменьшение мощности каналов WDM.
109
Рассмотрим четыре непрерывные оптические волны с частотами 1, 2, 3, и 4, линейно поляризованные вдоль оси X.
Суммарное электрическое поле Е равно [23]
E
4

Ej x
j 1
1
2
  j  expik j z   j t   компл. сопр.
4
(8.14)
j 1
Наведенная нелинейная поляризация
Р нел   0  (3) Е 3
(8.15)
может быть представлена в виде
Р нел  x
1
2
 Р j  expik j z   j t   компл. сопр.
4
(8.16)
j 1
Нелинейные поляризации Рj для j=1…4 состоят из большого
числа членов, включающих произведение трех напряженностей
электрических полей. Так, Р4 выражается как
3 0 3 
2
2
2
2
 xxx {  4  2 1   2   3  4 


4

 21 2 3 exp(i  )  21 2 3 * exp(i  )  ....}
(8.17)
   (k1  k 2  k3  k 4 ) z  (1  2  3  4 )t ,
   (k1  k 2 _ k3  k 4 ) z  (1  2 _ 3  4 )t .
(8.18)
(8.19)
P4 
где
Первое слагаемое в (8.17) отвечает за эффекты фазовой самомодуляции и фазовой кроссмодуляции. Остальные члены – за четырехволновое смешение. Какие из них эффективно осуществляют параметрическую связь волн – зависит от величины относительной фазы между Е4 и Р4, равной   и   , и ее постоянства при распространении волн по световоду. Четырехволновое
смешение становится значительным, когда относительная фаза
110
близка к /2, т. е. когда поляризация на частоте 4 опережает
электрическое поле. Для этого требуется согласование, как частот, так и волновых векторов (с учетом нелинейных эффектов).
Последнее условие называют также согласованием фаз или фазовым синхронизмом [23].
В терминах квантовой механики четырехволновое смешение
описывается как уничтожение фотонов одной частоты и рождение фотонов другой частоты, причем сохраняются энергия и импульс. Второй член в правой части (8.17) соответствует случаю
передачи энергии трех фотонов одному фотону частоты
4  1  2  3 .Этот член отвечает за генерацию третьей
гармоники (когда 1  2  3 ). Однако при таком процессе
трудно обеспечить условие фазового синхронизма (закон сохранения импульса) и, следовательно, получить высокую эффективность преобразования.
Последний член в (8.17) соответствует случаю уничтожения
двух фотонов с частотами 1 и 2 и одновременного рождения
двух фотонов с частотами 3 и 4 , так что 1  2  3  4 .
Относительно легко обеспечить выполнение условия фазового синхронизма в случае частично вырожденного четырехволнового смешения, когда 1  2 .В этом случае мощная волна
накачки с частотой 1 генерирует две симметрично расположенные боковые полосы с частотами 3 и 4 , сдвинутыми от
частоты накачки на величину с:
c  1  3  4  1 ,
(8.20)
где для определенности 3   4 .
Низкочастотную ( 3 ) и высокочастотную ( 4 )спектральные
составляющие называют стоксовой и антистоксовой компонентами, соответственно. Стоксову и антистоксову волны называют
также сигнальной и холостой волнами. Если в световод вводится
только излучение накачки и выполняется согласование фаз, то
генерация стоксовой и антистоксовой волн с частотами 3 и 4
111
может инициироваться шумами. С другой стороны, если в световод вместе с накачкой вводится слабый сигнал частоты 3 , то
он усиливается, причем одновременно генерируется новая волна
частоты 4 . Этот процесс называют параметрическим усилением.
Выводы
В лекции рассматриваются нелинейные эффекты, к которым
относятся нелинейное преломление (частным случаем которого
является фазовая самомодуляция, фазовая кросс-модуляция, параметрическая модуляция, четырехволновое смешение (частным
случаем которого является генерация третьей гармоники). Рассматриваются причины и условия возникновения нелинейно оптических эффектов, а также влияние нелинейных эффектов на
распространение электромагнитной волны.
Вопросы и задания для самоконтроля
8.1. Что такое нелинейная среда?
8.2. Какие нелинейные эффекты вы можете назвать?
8.3. В чем заключается эффект Керра?
8.4. Что такое фазовый синхронизм?
8.5. Что такое параметрическая генерация?
8.6. Что такое четырехволновое смешение?
8.7. Как влияет четырехволновое смешение на распространение сигнала в системах WDM?
112
Глава 9. Применение фотонных кристаллов и
гетероструктур
9.1. Квантовые микрорезонаторы
Резонатор – колебательная система, в которой могут распространяться только колебания с определенными (резонансными)
частотами. Обычно резонатор имеет дискретный спектр резонансных частот. В оптике обычно используются открытые резонаторы. Резонатор может использоваться для накопления энергии при совпадении резонансной частоты и частоты падающей
электромагнитной волны.
Простейшим микрорезонатором является резонатор ФабриПеро (рис. 15.1). Двумерные резонаторы на основе микродисков
изображены на рис. 15.2.
Рис. 9.1. Резонатор Фабри-Перо, состоящий из двух
плоских зеркал
Рис. 9.2. Двумерные микрорезонаторы (микродиски) [39]
В качестве квантового микрорезонатора может использоваться одномерный фотонный кристалл с дефектом или брэгговски-
113
ми зеркалами (рис.15.3).
Рис. 9.3. Квантовый микрорезонатор с брэгговскими зеркалами
На рис. 15.4 изображена многослойная структура на основе
фотонного кристалла при выполнении условия
n1d1  n2 d 2   / 4 .
Рис. 9.4. Одномерная слоистая структура
114
(9.1)
Соответствующий спектр пропускания представлен на рисунке
15.5. Хорошо видно, что при выполнении условия Брэгга структура демонстрирует фотонную запрещенную зону вблизи отн.
частоты, равной единице (коэффициент пропускания равен нулю).
Рис. 9.5. Спектр пропускания структуры, изображенной на рис.
9.4.
На рис. 15.6 изображена та же одномерная слоистая структура с
дефектом в виде нарушенной периодичности при выполнении
условия
nd   / 2 .
(9.2)
Рис. 9.7. Квантовый микрорезонатор с брэгговскими зеркалами
115
При нарушении периодичности такая структура работает как
квантовый микрорезонатор. Соответствующий спектр пропускания изображен на рис. 9.8. Хорошо видно, что в зоне непропускания в результате нарушения периодичности возникает новая
узкая резонансная частота, на которой возможно пропускание и
накопление энергии.
Следует отметить, что в том случае, когда толщина слоев одномерной периодической структуры будет мала, то слои будут
представлять собой квантовые ямы. В таком случае необходимо
учитывать влияние квантово-размерных эффектов (см. лекцию
4).
Рис. 9.8. Спектр пропускании квантового резонатора, изображенного на рис. 9.7
Использование экситонных уровней энергии
Естественным путем для усиления взаимодействия света с
веществом является настройка на резонансные условия возбуждения и учет дополнительных уровней размерного квантования, появляющихся при возникновении экситонов в квантовой
яме. Микрорезонаторы со встроенной квантовой ямой, или
квантовые микрорезонаторы, являются перспективными устройствами для оптоэлектроники:
 эти структуры перспективны для создания низкопороговых вертикально излучающих лазеров,
116
 фундаментальные вопросы взаимодействия двумерных
фотонов с веществом открыли новый раздел в квантовой электродинамике,
 квантовые микрорезонаторы представляют новые возможности для нелинейной оптики, так как нелинейный
отклик сильнее зависит от константы экситон-фотонной
связи.
Рис. 9.9. Схематическое изображение полупроводникового квантового микрорезонатора [39]
Рассмотрим более подробно полупроводниковый микрорезонатор. Он представляет собой многослойную структуру, состоящую из активного слоя B толщиной Lb, заключенного между
брэгговскими зеркалами (рис. 9.9) [39]. Брэгговские зеркала состоят из достаточно большого числа чередующихся слоев C1 и
C2 с различающимися показателями преломления n1 и n2 и
ширинами d1, d2. Толщины слоев удовлетворяют условиям
nb

c

Lb  N b  ,


(9.2)
d1  n 2 d 2  ,
c
c
2
где nb - показатель преломления активного слоя, Nb – целое число, λ = 2π(c/ωnb), ω – произвольно выбираемая частота, которая при выполнении условий (15.2) оказывается резонансной
n1
117
частотой 2D-фотонной моды. В квантовом микрорезонаторе в
середину активной области помещается одна или несколько
квантовых ям (слой A на рис.9.9) с резонансной частотой экситона ω0, близкой к частоте ω. Для простоты предположим, что
структура содержит одну квантовую яму и Nb – четное число,
так что электрическое поле фотонной моды имеет пучность в
середине активного слоя.
Наличие экситонных и фотонных состояний в квантовом
микрорезонаторе приводит к образованию 2D-экситонных поляритонов. Анализ таких связанных экситон-фотонных возбуждений проведем в соответствии с работой [39] модели двух
классических осцилляторов, один из которых представляет экситон в квантовой яме, а другой - фотонную моду. Роль колеблющихся
величин
играют
средняя
поляризация
P(t )  a 1 dzPexc ( z , t ) , индуцируемая 2D-экситоном, и электри-

ческое поле E(t) в квантовой яме. В пределах тонкого слоя
квантовой ямы зависимостью электрического поля от z можно
пренебречь. P(t) и E(t) удовлетворяют стандартной системе
уравнений для связанных осцилляторов
d 2 P(t )
dt 2
  0 2 P(t )  2
dP(t )
 q1 E (t ),
dt
(9.3)
dE (t )
  E (t )  2
 q 2 P(t ),
dt
dt 2
где Γ, γ – нерадиационное затухание 2D-экситона и затухание
фотонной моды, которое определяется неидеальной отражательной способностью зеркал, обусловленной конечностью числа
пар C1 и C2 в распределенных брэгговских отражателях. Собственные решения ищем в виде экспоненциальных функций P(t)
= P exp(- i ω t), E(t) = E exp(- i ω t). Если затухания Γ, γ и разность затравочных резонансных частот ω0 - ω малы по сравнению с самими этими частотами, система уравнений для амплитуд упрощается:
d 2 E (t )
118
2
 0    i P   1E ,
    i E   2 P.
(9.4)
Введем вместо q1 и q2 другие параметры qj /2ω . Для них, а также для затухания γ можно получить аналитические выражения


,
(9.5)
 1 0 ,  2  ,  

2  qa
q

c
b ,    1   j ,
1
2c
 j  (1  Rnj ),  
,
8
nb ( L  Lb )
n j  n1  2 N b
nn
c


Rnj  1  4
, L
 1 2 .
2
nb  n2 
 nb n2  n1
Поясним физический смысл введенных параметров: γ j – затухание фотонной моды, обусловленное выходом фотона из микрорезонатора в левую (j=l) или правую (j=r) внешнюю среду с
диэлектрической проницаемостью nj; Γ0 –радиационное затухание экситона в структуре с одиночной квантовой ямой, Rmj – коэффициент отражения света от брэгговского зеркала j при падении на него со стороны активного слоя, Nj – число пар слоев C1
и C2 в этом зеркале, длина L определяетглубину проникновения фотонной моды в брэгговский отражатель.
Решая однородные уравнения (15.4), получим следующие
комплексные собственные частоты экситон-поляритонных мод:
 






2
1
1
. (9.6)
 0   i      1 2   0   i   
2
4
Проанализируем случай, когда частота фотонной моды ω
настроена на резонанс с экситонной частотой: ω = ω0. В ре-
119

жиме слабой связи, определяемом условием   
имеем для собственных частот
2  4 1 2 ,
2
  

   1 2 , (9.7)
    i
 i ,   

2
2


то есть их реальные части совпадают, а мнимые различаются. В

2
режиме сильной связи, когда     4 1 2 , у собственных
частот различаются вещественные части:
2
  

   1 2 . (9.8)
    i
 ,    

2
2


В этом случае разность ω+ −ω− = 2Ω называется частотой Раби.
Отметим, что обычные структуры с изолированными квантовыми ямами являются открытыми системами, в которых 2Dвозбуждения, экситоны, взаимодействуют с 3D-фотонами и
экситон-фотонное взаимодействие приводит в основном к радиационному затуханию экситона. В квантовом микрорезонаторе
с качественными оптическими зеркалами как экситонные, так
и фотонные состояния размерноквантованы в направлении
главной оси структуры. Поэтому в этом случае возможна
сильная перенормировка энергии исходных («голых») частиц. В
реальных полупроводниковых квантовых резонаторах расщепление Раби составляет несколько миллиэлектронвольт, а в
некоторых случаях даже превышает 10 мэВ.
120
Рис.9.10. Спектр оптического отражения от квантового микрорезонатора с активной областью шириной λ , в центр которой
вставлена квантовая яма [39]
Для иллюстрации режима сильной связи на рис. 15.10 представлен спектр отражения от квантового микрорезонатора, в котором брэгговские зеркала выращены из чередующихся слоев
AlAs (n1=2.95) и GaAs (n2=3.61), активная область шириной λ –
из GaAs, одиночная квантовая яма In0.04Ga0.96As расположена в
центре активного слоя, резонансные частоты ω и ω 0 совпадают. Свет на структуру падает по нормали к плоскости интерфейсов. В спектре четко различимы два минимума, определяющие положение собственных частот 2D-экситонных поляритонов ω±. Расщепление Раби составляет 3 мэВ и существенно
превышает ширину спектральных провалов ω+ и ω− .
9.2. Гетероструктуры с квантовыми ямами
Рассмотрим вопрос об энергетическом спектре 2D газа на
примере гетероструктуры GaAs/InxGa1-xAs с одной квантовой
ямой, образованной путѐм встраивания тонкой (~110 нм) прослойки твердого раствора InxGa1-xAs в относительно более толстый (~1 мкм) слой GaAs [12]. Поскольку ширина запрещенной
зоны твердого раствора InxGa1-xAs Eg(x) меньше ширины запрещенной зоны GaAs (Eg01.426 эВ) и на границе этих материалов
образуется гетеропереход так называемого «охватывающего»
типа. Разрывы зоны проводимости Ec(x) и образуют потенциальную яму для электронов в направлении оси z, перпендикулярной плоскости слоя (рис. 15.11). Если ширина ямы la сравнима с
дебройлевской длиной волны электронов и дырок, размерное
квантование z-компонента волнового вектора k и соответствующей компоненты энергии становится существенным. Будем следовать изложению, приведенному в работе [19].
Энергетический спектр электронов в яме Еn и огибающая волновая функция n(z) находятся из одноэлектронного уравнения
Шредингера
121
 2 2


 Ec ( z )  n ( z )  E n n ( z ) ,
 2 me  z 2



(9.9)
где me - эффективная масса электронов, функция Ec(z) описывает
профиль потенциальной ямы.
В плоскости квантовой ямы движение электронов остается
неограниченным. Поэтому об электронах в квантовой яме говорят как о двумерном электронном газе. Энергетический спектр xи y-компонент энергии 2D газа является квазинепрерывным, как
и в трехмерном материале.
GaAs
InxGa1-xAs
GaAs
Ec0
E
) e2
Ec(x
)_
Ee1
Ec
0
Eg3D(x) Eg2D(x)
Ev
Eg0
0
E
) hh1
Ehh2
Ev(x
)
Ehh3
Ev0
Lz
la
Рис. 9.11. Энергетическая диаграмма квантовой ямы InGaAs в
GaAs
122
В приближении квадратичного закона дисперсии (параболических зон) полная энергия электрона в квантовой яме может
быть записана в виде:
E


2
k x2  k y2  E n .
2me
(9.10)
Для простейшего случая прямоугольной потенциальной ямы
с бесконечно высокими стенками
En= Ee1n2,
E e1 
2  2
2me l a2
(9.11)
.
(9.12)
Огибающие волновые функции двух связанных состояний и состояния в непрерывном спектре показаны на рис 9.12.
Рис. 9.12 Огибающие волновые функции электронов в квантовой
яме [19]
Коэффициент поглощения квантовой ямы, определяемый как
отношение поглощенной мощности излучения к падающей, для
переходов из заполненного основного состояния 1 с концен-
123
трацией N2D в первое пустое возбужденное состояние 2 определяется выражением:
a 
2 q 2
c 
2
cos 2  v(1,2) N 2 D   ( 1   2  h ) ,
(9.13)
где θ – угол между направлением электрического поля электромагнитной волны E и единичным вектором по оси z ez, v(1,2) матричный элемент перехода. Из (15.3) следует, что при внутризонных переходах, в отличие от межзонных переходов, квантовая яма не поглощает излучение, падающее по нормали к плоскости ямы. Поскольку освещение образца через боковой скол
малоэффективно, то обычно в таких приборах ввод излучения
осуществляется под углом к плоскости квантовой ямы через ямки травления. Пик межподзонного поглощения имеет конечную
ширину. Величина поглощения в пике для одной квантовой ямы
может достигать нескольких процентов.
Выводы
В лекции рассматриваются вопросы использования квантовых микрорезонаторов на основе одномерного фотонного кристалла с квантовой ямой, рассматривается учет внутризонных
переходов в квантовой яме, а также учет наличия экситонных
уровней энергии.
Вопросы и задания для самоконтроля
9.1. Что такое резонатор? Какие типы микрорезонаторов Вы
можете назвать?
9.2. Что такое зеркало Брэгга?
9.3. Что такое квантовый микрорезонатор?
9.4. Как влияют экситонные уровни энергии на спектр квантового микрорезонатора?
9.5. Что такое режим сильной и слабой связи?
124
Ответы на вопросы и задания для самоконтроля
1.10.
Уменьшится в 3 раза
1.11.
 в 1000 раз.
1.12.
При попадании частицы в потенциальное поле в соответствии с
законом сохранения энергии часть кинетической энергии частицы перейдет в потенциальную. Следовательно, длина волны деБройля частицы изменится.
2.12.
В электронном микроскопе для создания изображения используются электроны, ускоряемые напряжением до U=400 кВ.
Найдем длину волны де-Бройля такого электрона.
h
бр 
.
2  m   E кин
Кинетическая энергия электрона Eкин  qU , где U – ускоряющее напряжение. Проведем расчет:
Екин=1,610-19 Кл400000 В=6,410-14 Дж.
Длина волны де-Бройля:
бр 
6,62  10 34 Дж  с
2  9,1  10 - 31 кг  6,4  10 14 Дж
 1,94  10 12 м.
Длина волны видимого света =310-7 м.
Таким образом, разрешающая способность электронного микроскопа превышает разрешающую способность обычного оптического микроскопа приблизительно в
125

бр
 1,5  10 5 раз.
3.7.
Предложенная в задаче солнечная батарея является действующей и предложена в статье Gur I., Fromer N.A., Geier M.L.,
Alivisatos A.P. Air-Stable All-Inorganic Nanocrystal Solar Cells
Processed from Solution // Science. 2005. V. 310, P. 462-465. Механизм работы солнечной батареи на квантовых точках относится
к так называемому донорно-акцепторному типу, когда на энергетической диаграмме нижний незаполненный уровень донорной молекулы (или квантоворазмерный уровень в зоне проводимости квантовой точки CdTe) лежит выше по энергии (относительно вакуума) по отношению к соответсвующему уровню акцепторной молекулы (квантовой точки CdSe). Для верхнего заполненного уровня (или квантоворазменого уровня в валентной
зоне) ситуация обратная. (рис.1)
Рис. 1.
126
ФотоЭДС будет возникать за счет разного энергетического
положения соответствующих квантоворазмерных уровней для
зоны проводимости или для валентной зоны квантовых точек
CdTe и CdSe. Для объемных CdTe и CdSe сродство к электрону,
определяющее положение края зоны проводимости, равно 4.2 и
4.8 эВ соответственно. Разное энергетическое положение уровней приведет к пространственному разделению фотовозбужденных носителей заряда. Необходимо отметить отличие от стандартных солнечных батарей на полупроводниковых p-n переходах, в которых есть встроенное электрическое поле в области p-n
перехода. В рассмотренной батарее на квантовых точках такого
поля изначально нет.
Фотовозбужденные электроны будут переходить в слой
квантовых точек CdSe, где они имеют меньшую энергию, фотовозбужденные дырки – в слой CdTe. Соответственно за транспорт электронов будет отвечать слой квантовых точек CdSe, за
транспорт дырок – слой CdTe.
Рис. 2.
Другими материалами могут быть полупроводники с различным сродством к электрону, которое определяет разность
энергий квантоворазмерных уровней в зоне проводимости. Разрыв краев зон в зоне проводимости должен иметь такой же знак
(рис. 2). К таким материалам относятся CdS-CdTe (сродство к
электрону 4.7 и 4.2 эВ), CdS-ZnSe (4.7 и 4.0 эВ).
127
b. Для создания солнечных батарей привлекательны следующие
свойства коллоидных квантовых точек: возможность контроля
эффективной ширины запрещенной зоны, т.е. возможность подстройки спектральных характеристик квантовых точек при варьировании размера под требуемые длины волн; высокая фотостабильность, свойственная неорганическим материалам; растворимость с образованием золей, что позволяет легко манипулировать квантовыми точками. В работах Климова из Лос-Аламоса
указывается также возможность мультипликации фотовозбужденных электрон-дырочных пар в квантовых точках, т.е. когда 1
фотон с высокой энергией рождает более 1 электрон-дырочной
пары.
Стабилизатор пассивирует поверхностные дефекты в квантовых точек, препятствует их агрегации и делает квантовые точки растворимыми. Как правило стабилизаторы – это длинноцепочечные органические молекулы, одним концом привязанные к
поверхности квантовой точки, например, олеиновая кислота,
триоктилфосфиноксид.
Для солнечной батареи стабилизатор должен быть корткоцепочечным, чтобы обеспечить минимальное расстояние между
квантовыми точками в слое, и обеспечить возможность транспорта электронов и дырок по прыжковому механизму. Например, пиридин, бутиламин.
c.
Длину волны максимума излучения солнца можно рассчитать по формуле Вина для излучения абсолютно черного тела
l(мкм) = 2898/Т(К) – 0.483 мкм = 483 нм, что несколько отличается от реального максимума 560 нм (можно принять решения и
тех кто даст расчеты для 560 нм!). Энергия фотона с длиной
волны 483 нм при этом равна 2.56 эВ.
Для приведенных значений ширин запрещенной зоны и эффективных масс получаем
для CdSe (3) , таким образом R(CdSe)= 2.2 нм
для CdTe (4), таким образом R(CdTe)= 1.9 нм
128
Здесь me, mh – эффективные массы электрона и дырки, Eg- ширина запрещенной зоны объемного материала, R – радиус квантовой точки.
Источник:
http://www.nanometer.ru/2008/05/05/12099912322047.html
6.5.
Рэлеевским рассеянием. Интенсивность Рэлеевского рассеяния
обратно пропорциональна длине волны в четвертой степени:
1
I~
.
4
Синие лучи имеют меньшую длину волны по сравнению с другими спектральными составляющими и, следовательно, рассеиваются лучше других составляющих, что и приводит к окраске
неба в голубой цвет.
129
Список литературы
1. Bandyopadhyay A., Acharya S. A 16-bit parallel processing
in a molecular assembly // Proceedings of the National
Academy of Sciences. – 2008. -V. 105. -N. 10. -P. 3668–
3672.
2. Benisty H., Berger V., Gerard J.-M., Maystre D., Tchelnokov A. Photonic Crystals. N.-Y.: Springer. 2005. 520 p.
3. Gaponenko S.V. Optical properties of semiconductor nanocrystals. Cambridge: Cambridge University Press. 2008.
260 p.
4. Hu X.H., Hang Z.H., Li J.S., Zi J., Chan C.T. Anomalous
Doppler effects in phononic band gaps // Physical Review E.
2006. V. 73 (1). P. 015602- 015607..
5. Joannopoulos J. D., G.Johnson S., Winn J. N., Meade R. D.
Photonic Crystals: Molding the Flow of Light. Princeton:
Princeton Univ. Press. 2008. 480 p.
6. Nozaki K., Kita S., Baba T. Room temperature continuous
wave operation and controlled spontaneous emission in ultrasmall photonic crystal nanolaser // Optics Express. 2007.
V. 15. Iss. 12. Р. 7506-7514.
7. Lončar M., Nedeljković D., Doll T., Vučković J., Scherer
A., Pearsal T. P.. Waveguiding in planar photonic crystals //
Appl. Phys. Lett. -2000. V. 77, P. 1937 -1940.
8. Patterson J.D., Bailey B. Solid-State Physics: Introduction
to the Theory. New York.: Springer. 2011. 800 p.
9. Shur M. GaAs Devices and Circuits. New York: Plenum
Press. 1997. 550 p.
10. Stafford C. A., Cardamone D. M., Mazumdar S. The quantum interference effect transistor // Nanotechnology. 2007.
V.18. N. 42. P. 424014-424020.
11. Sze S. M., Ng Kwok K. Physics of Semiconductor Devices. 2006. New York.: Wiley. 832 p.
130
12. Vasko F. T., Kuznetsov A.V.. Electronic states and optical
transitions in semiconductor heterostructures. New York:
Springer. 1998. 360 p.
13. Wiersma D. S., Bartolini P., Lagendijk A., Righini R. . Localization of light in a disordered medium // Nature. 1997.
V. 390. P. 671-673.
14. Yablonovitch E.. Photonic band-gap structures // J. Opt.
Soc. Am. B . 1993. V. 10, No. 2 Р.283-295.
15. Алферов Ж.И., Асеев А.Л., Гапонов С.В., Копьев П.С.,
Панов В.И., Полторацкий Э.А., Сибельдин Н.Н., Сурис
Р.А.
Наноматериалы
и
нанотехнологии
//
Микросистемная техника. 2003. № 8. С. 3 –13.
16. Барыбин А. А. Электродинамика волноведущих структур. М.: Физматлит. 2007. 512 с.
17. Басс Ф.Г., Булгаков А.А., Тетервов А.П. Высокочастотные свойства полупроводников со сверхрешетками. М.:
Наука. 1989. 288 с.
18. Белов П. А., Беспалов В. Г., Васильев В. Н., Козлов С.
А., Павлов А. В., Симовский К. Р., Шполянский Ю. А.
Оптические процессоры: достижения и новые идеи. В
кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики. СПб.
2006. С. 6 - 36.
19. Борздов В.М., Жевняк О.Г., Комаров Ф.Ф., Галенчик
В.О. Моделирование методом Монте-Карло приборных
структур интегральной электроники. Минск: БГУ. 2007.
17 с.
20. Васильев А.Н. Классическая электродинамика. Краткий
курс лекций. СПб: БХВ-Петербург. 2010. -288 с.
21. Словарь нанотехнологических и связанных с нанотехнологиями терминов. URL. http://thesaurus.rusnano.com/
(дата обращения 1.09.2013).
131
22. Власов Д.В., Дайнеко А.Н., Фадеев А.В. Оптический
процессор. URL. http://nashaucheba.ru/v20853/?cc=1 (дата обращения 1.09.2013).
23. Воронин В.Г., Наний О.Е. Основы нелинейной волоконной оптики : учебное пособие. М. : Университетская
книга. 2011. 128 с.
24. Гуртов В. А., Осауленко Р. Н.. Физика твердого тела
для инженеров. М.: Техносфера. 2007. 520 с.
25. Гусев А.И. Наноматериалы, наноструктуры, нанотехнологии. М.: Физматлит. 2007. 416 с.
26. Мамонтов Д. Наука. Десять в минус девятой// Популярная механика. 2009. № 4. С. 33-44.
27. Ивченко Л., Поддубный А.Н. Резонансные трѐхмерные
фотонные кристаллы // Физика твѐрдого тела 2006 Т. 48.
Вып. 3. С 540-547.
28. Кардона М. Основы физики полупроводников. М.:
Физматлит. 2002. 560 с.
29. Карпов С.В. Фононы в нанокристаллах. СПб.: Из-во
СПбГУ. 2011. 48 С.
30. Кособукин В. А. Фотонные кристаллы // Окно в микромир. No. 4. 2002. С.34-40.
31. Ковалевская Т.Е. Фотоника: словарь терминов. Новосибирск: Издательство СО РАН. 2004. 342 с.
32. Майер С. А. Плазмоника: Теория и приложения. М.Ижевск: РХД. 2011. 296 с.
33. Меркулов И.А. Лекции по оптической физике. URL.
www.ioffe.ru/coherent/index.html/Lectures/forwave.do
c (дата обращения 1.09.2016).
34. Миронов В. Л. Основы сканирующей зондовой микроскопии. Нижний Новгород: Институт физики микроструктур. 2004. 450 с.
132
35. Савельев И.В. Курс общей физики . Т.3. М.: КноРус.
2012. 368 с.
36. Скалли М.О., Зубайри М.С. Квантовая оптика. М.: Физматлит. 2003. 512 с.
37. Слабко В. В., Закарлюка А.В., Лямкина Н.Э.. Нелинейная оптика.: конспект лекций. Красноярск: ИПК СФУ.
2008. 104 с.
38. Словарь нанотехнологических и связанных с нанотехнологиями терминов / под ред. С. В. Калюжного. М.:
Физматлит. 2010. 528 с.
39. Федоров А.В. Физика и технология гетероструктур,
оптика квантовых наноструктур. Учебное пособие.
СПб: СПбГУ ИТМО., 2009. 195 с.
40. Физическая энциклопедия / гл. ред. А.М. Прохоров. Т.15. 1988. 704 с.
41. Шабанов В.Ф., Ветров С.Я., Шабанов А.В. Оптика реальных фотонных кристаллов. Жидкокристаллические
дефекты, неоднородности. Новосибирск: Издательство
СО РАН. 2005. 209 с.
42. Гапоненко С. В., Розанов Н. Н., Ивченко Е. Л., Федоров
А. В., Баранов А. В., Бонч-Бруевич А. М., Вартанян Т. А.,
Пржибельский С. Г.. Оптика наноструктур. Под редакцией А. В. Федорова: СПб «Недра», 2005 г. – 326 с.
43. Википедия
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1%84%D1%84
%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B
D%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%
81%D0%B0
133
Глоссарий
Блоховская волна - волновая функция частицы (обычно электрона), находящейся в периодическом потенциале. Названа в
честь Феликса Блоха. Блоховская волна состоит из произведения плоской волны ei k r на некоторую периодическую функцию (блоховская функция) uk(r), имеющую ту же периодичность, что и потенциал:
 k (r )  e i k r  u k (r ) .
Гетероструктура - выращенная на подложке слоистая структура
из различных полупроводников, в общем случае отличающихся
шириной запрещѐнной зоны. Между двумя различными материалами формируется гетеропереход, на котором возможно формирование вырожденного двумерного электронного газа.
Гетеропереход - контакт двух различных по химическому составу полупроводников. На границе гетероперехода происходит
изменение свойств полупроводникового материала: структуры
энергетических зон, ширины запрещѐнной зоны, эффективных
масс носителей заряда, их подвижности и т. д. Для получения
идеальных монокристаллических гетеропереходов(без дефектов
решѐтки и поверхностных состояний на границе раздела) необходимо, чтобы у полупроводников совпадали типы кристаллических решѐток, их периоды (изопериодичность) и коэффициенты
термического расширения.
Дисперсионное уравнение - соотношение, связывающее циклическую частоту  и волновые векторы k собственных гармонических волн в линейных однородных системах: непрерывных
средах, волноводах, передающих линиях и др.
Квазичастица - понятие в квантовой механике, введение которого позволяет существенно упростить описание сложных квантовых систем со взаимодействием, таких как твердые тела и
квантовые жидкости. Квазичастица - квант коллективного колебания или возмущения многочастичной системы, обладающий
134
определѐнной энергией и, как правило, импульсом. К квазичастицам относятся электроны в кристалле, дырки, фононы, экситоны, плазмоны, поляритоны.
Квантовая нить - структура в которой движение носителей
ограничено по двум направлениям. Квантовая нить может быть
выполнена из металла или полупроводника в виде нити или
длинного стержня, поперечные размеры которого настолько малы, чтобы квантовые эффекты были существенными (поперечные размеры должны быть сравнимы с длиной волны де-Бройля
для электронов (дырок)).
Квантовая точка (англ. quantum dot)- частица материала с малыми размерами (обычно 1–10 нм), в которой движение электрона ограничено во всех трех измерениях. Квантовой точкой
может служить любой достаточно маленький кусочек металла
или полупроводника. Размер квантовой точки должен быть
настолько мал, чтобы квантовые эффекты были существенными.
Квантовая яма — это одномерная потенциальная яма, которая
ограничивает подвижность частиц в одном измерении. Квантовой ямой может служить тонкий слой материала. Толщина
квантовой ямы должна быть настолько мала, чтобы квантовые
эффекты были существенными. Проявление квантовых эффектов становится существенным, если толщина квантовой ямы
сравнима с длиной волны де-Бройля электронов (дырок).
Квантовый конфайнмент – ограничение элементарных возбуждений в квантово-размерных структурах (квантовых ямах,
квантовых нитях, квантовых точках).
Литография - технология переноса рисунка с шаблона на конкретную поверхность (полимерную пластину, полупроводниковую подложку и т.д.) с помощью светового излучения (фотолитография), рентгеновского излучения (рентгенолитография), потока электронов/ионов (электронно-лучевая/ионно-лучевая литография), а также непосредственно методами сканирующей
135
зондовой микроскопии, атомной силовой микроскопии или контактной печати.
Метаматериал - искусственный композитный структурированный материал, электромагнитные свойства которого существенно отличаются от свойств компонентов, входящих в его состав, и
определяются особым упорядочением и структурой компонентов (кольцеподобной, рулонной, проводной и т. д.).
Метод осаждения металлоорганических соединений из
газообразной фазы MOCVD (Metalorganic Chemical Vapour Deposition) – эпитаксиальный рост материалов путем
осаждения на подложку продуктов термического разложения (пиролиз) молекул органических газов, содержащих необходимые химические элементы.
Молекулярно-лучевая эпитаксия - эпитаксиальный рост в
условиях сверхвысокого вакуума - наращивание на подложке
монокристаллических слоев полупроводниковых веществ, заключающееся в осаждении испаренных компонентов на нагреваемую монокристаллическую подложку с одновременным взаимодействием между ними. Позволяет выращивать гетероструктуры заданной толщины с моноатомно гладкими гетерограницами и с заданным профилем легирования.
Наноструктура - совокупность наноразмерных объектов искусственного или естественного происхождения, свойства которой определяются не только размером структурных элементов,
но и их взаимным расположением в пространстве.
Нанотрубка, углеродная - полая цилиндрическая структура
диаметром от десятых до нескольких десятков нм и длиной от
одного до нескольких сотен микрометров и более, образованная
атомами углерода и представляющая собой свернутую в цилиндр графеновую плоскость. Нанотрубки обладают уникальными электрическими, магнитными, оптическими и механиче-
136
скими свойствами. В частности, УНТ на порядок прочнее стали.
На основе нанотрубок создаются диоды и полевые транзисторы,
сверхпрочные и сверхлегкие композиционныематериалы. Нанотрубки используются в качестве игл в сканирующей туннельной
и атомно-силовой микроскопии, а также для создания полупроводниковых гетероструктур.
Наночастица - один из наиболее общих терминов для обозначения изолированных ультрадисперсных объектов, во многом дублирующий ранее известные термины (коллоидные частицы), но
отличающийся от них чѐтко определѐнными размерными границами. Размеры наночастицы составляют от 1 до 100 нм. Твердые
наночастицы размером менее 1 нм обычно относят к кластерам,
более 100 нм — к субмикронным частицам.
Плазменная частота - частота собственных продольных колебаний пространственного заряда в однородной плазме (в электронном газе) в отсутствие магнитного поля. Плазменная частота электронного газа в пренебрежении движением ионов равна
n e2
.
 0 m*
Здесь n -концентрация электронов, e - заряд, , m* - эффективная
масса электронов. Выражение записано в системе СИ.
p 
Плазмон - квазичастица, квант плазменных колебаний, которые
представляют собой коллективные колебания свободного электронного газа. Плазмоны играют большую роль в оптических
свойствах металлов. В большинстве металлов плазменная частота находится в ультрафиолетовой области спектра, делая их блестящими в видимом диапазоне. В легированных полупроводниках плазменная частота находится обычно в ультрафиолетовой
области.
Плазмонный резонанс - возбуждение поверхностного плазмона
внешней электромагнитной волной при совпадении частоты
волны с резонансной частотой для поверхностного плазмона.
137
Резонансная частота поверхностного плазмона зависит как от
свойств
Поляритон - квазичастица, возникающая при взаимодействии
фотонов и элементарных возбуждений среды. Взаимодействие
электромагнитных волн с возбуждениями среды, приводящее к
их связи, становится особенно сильным, когда одновременно их
частоты и волновые векторы k совпадают (резонанс). В этой
области образуются связанные волны, то есть поляритоны.
Поляритоны, образующиеся в результате взаимодействия
фотонов с различными возбуждениями среды — оптическими
фононами, экситонами, плазмонами и так далее, называют фононными поляритонами, экситонными поляритонами, плазмонполяритонами.
Поверхностный плазмон – квант плазменных колебаний электронной подсистемы. Возникает на границе раздела двух сред в
том случае, когда диэлектрическая проницаемость одной из сред
меняет свой знак ( например, на границе раздела металла и воздуха).
В случае взаимодействия поверхностного плазмона и фотона образуется составная квазичастица – поверхностный поляритон или плазмон-поляритон.
Фонон – квазичастица, представляющая собой квант колебательного движения атомов кристалла. Введен советским учѐным
Игорем Таммом.
Фотонная запрещенная зона (полная фотонная запрещенная
зона). Из-за того, что показатель преломления периодически изменяется, в фотонном кристалле возникают разрешѐнные и запрещѐнные зоны для энергий фотонов (аналогично запрещенным и разрешенным зонам для полупроводников). Существование излучения с энергией фотонов, принадлежащей ФЗЗ в таких
кристаллах, невозможно. В частности, излучение, спектр которого принадлежит ФЗЗ, извне в ФК не проникает, существовать
в нем не может и полностью отражается от границы.
138
Фотонный кристалл - это материал, в котором показатель преломления периодически изменяется в одном, двух или трех пространственных направлениях. Соответственно различают одномерные, двумерные и трехмерные фотонные кристаллы.
Фотонные кристаллы демонстрируют наличие фотонной
запрещенной зоны.
Фотонно-кристаллическое волокно - это оптическое волокно,
оболочка которого имеет структуру двумерного фотонного кристалла. По физическому механизму удержания света в сердцевине волокна ФКВ можно разделить на два класса.
Первый класс образуют ФКВ, локализация света в сердцевине которых происходит благодаря зеркальному отражению от
оболочки, обладающей фотонными запрещенными зонами
(ФЗЗ). Особенно важно, что сердцевина ФКВ с ФЗЗ может быть
полой, что позволяет на несколько порядков увеличить мощность вводимого в них излучения, уменьшить потери и нелинейные эффекты.
Механизм удержания света в ФКВ второго класса вполне
традиционен для оптического волокна — полное внутреннее отражение. Однако в них используется новый принцип управления
показателем преломления оболочки, основанный на его зависимости от структуры оболочки. Возможность управления показателем преломления оболочки позволяет создавать так называемые неограниченно одномодовые волокна. В них на любой
длине волны распространяется только одна мода. Еще одна особенность ФКВ — существование одномодового режима в волокнах с большим диаметром сердцевины.
Фоторезист - свето- или рентгеночувствительный материал на
полимерной основе, используемый для нанесения пленочного
покрытия на подложку в литографическом процессе путем его
облучения (экспонирования) через маску с проекциями элементов электронной схемы и последующего проявления (травления
в растворителе) так, что изображение схемы переносится на
подложку.
139
Экситон - квазичастица, состоящая из электрона и дырки. Экситон представляет собой электронное возбуждение в диэлектрике
или полупроводнике, мигрирующее по кристаллу и не связанное
с переносом электрического заряда и массы. Экситон можно
считать элементарной квазичастицей в тех явлениях, в которых
он выступает как целое образование, не подвергающееся воздействиям, способным его разрушить.
Эпитаксия - это ориентированный рост одного кристалла на
поверхности другого (подложки). Различают гетероэпитаксию,
когда вещества подложки и нарастающего кристалла различны
(процесс возможен только для химически не взаимодействующих веществ, например так изготавливают интегральные преобразователи со структурой кремний на сапфире), и гомоэпитаксию, когда они одинаковы. Эпитаксия особенно легко осуществляется, если различие постоянных решѐток не превышает 10 %.
Эффективная масса - динамическая масса частицы, которая
появляется при движении частицы в периодическом потенциале
кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле
двигаются в электрическом поле кристалла так, как если бы они
свободно двигались в вакууме, но с некой эффективной массой.
Эффективная масса находится по формуле,
1
 d 2 
2
m*    

 dk 2 


где  - энергия частицы, k – волновое число. Эффективную
массу часто выражают единицах массы покоя электрона me
140
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
2 562 Кб
Теги
nanotehnologii, golovkina, posobie, osnovy, uchebnoy, fizicheskie, optoinformatiki, fotoniki
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа