close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Mihailov Chlenova Raschet elektrich LC filtrov po rabochim parametram 2010

код для вставкиСкачать
Федеральное агентство связи
Государственное федеральное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ
ЭЛЕКТРОННАЯ
БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА
Самара
1
2
Министерство РФ по связи информатизации
Поволжская Государственная академия телекоммуникаций
и информатики
Кафедра ТОРС
Авторы
Михайлов В. И., Членова Е. Д.
Расчёт электрических LC- фильтров по рабочим параметрам
( электронная версия )
Учебное пособие к курсовой работе
по дисциплине «Основы теории цепей»
Самара, 2010
3
УДК 621.372.
Михайлов В. И., Членова Е. Д.
Расчѐт электрических фильтров по рабочим параметрам: Учебное пособие /
Поволжская государственная академия телекоммуникации и информатики.
Самара, 2008.
Учебное пособие к курсовой работе по 3-й части курса ОТЦ «Расчѐт
электрических фильтров по рабочим параметрам» содержит указания по
проектированию электрических фильтров различных типов. Рассмотрены
вопросы аппроксимации по Баттерворту и Чебышеву, вопросы реализации схем
по Дарлингтону и Попову. Даны пояснения для расчѐта рабочего ослабления и
фазы фильтров нижних, верхних частот и полосовых. В дополнении данная
разработка содержит пояснения по выполнению расчѐтов частотных и
временных характеристик лестничных фильтров на ЭВМ с применением
программы MathCAD. Методические указания предназначаются для
использования студентами дневной и заочной форм обучения специальностей
201000, 200900, 201100, 200700, 550400.
4
Оглавление
Авторы ............................................................................. 2
Расчѐт электрических LC- фильтров по рабочим параметрам
2
( электронная версия ) ....................................................... 2
Оглавление ...................................................................... 4
Введение .......................................................................... 5
1.Основные понятия и определения ............................. 6
2. Синтез электрических фильтров ............................... 7
2.1. Постановка задачи синтеза электрического фильтра ................................. 7
2.1.Переход к ФНЧ прототипу и нормирование по частоте ............................. 8
3.Аппроксимация частотной характеристики
рабочего ослабления
фильтра .......................................................................... 10
3.1.Аппроксимация по Баттерворту .................................................................. 10
3.2.Аппроксимация по Чебышеву...................................................................... 15
4. Реализация схемы фильтра ФНЧ ............................ 19
4.1.Реализация по Дарлингтону ......................................................................... 19
4.2.Ускоренный метод реализации симметричных фильтров (n-нечетное).. 24
4.3.Ускоренный метод реализации симметричных фильтров (n-четное) ..... 31
5. Переход от схемы ФНЧ-прототипа к схеме заданного фильтра
37
5.1 Переход от нормированной схемы ФНЧ-прототипа к схеме заданного
фильтра ................................................................................................................. 37
5.2. Денормирование и расчѐт элементов ......................................................... 37
схемы заданного фильтра ................................................................................... 37
6. Расчет характеристик спроектированного фильтра41
6.1 Аналитический метод расчета ..................................................................... 42
характеристик фильтра ....................................................................................... 42
6.2. Расчѐт характеристик фильтра на ЭВМ ..................................................... 48
7. ПРИЛОЖЕНИЯ ........................................................ 57
7.1. ЗАДАНИЕ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ ПО ОТЦ-3 ―РАСЧЕТ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ ПО РАБОЧИМ ПАРАМЕТРАМ‖ ............ 57
7.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАНИЕ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ ПО ОТЦ-3
(для СНИР) ........................................................................................................... 58
Литература .................................................................... 58
5
Введение
В современных системах связи широко применяются электрические
фильтры:
LC-фильтры,
активные
RC-фильтры,
пьезоэлектрические,
пьезокерамические,
магнитострикционные,
электромеханические,
волноводные, цифровые фильтры и др. Причем, LC-фильтры занимают особое
положение в силу ряда причин. Во-первых, эти фильтры широко применяются
в различных частотных диапазонах. Во-вторых, для LC-фильтров существует
хорошо разработанная методика расчета, и синтез большинства перечисленных
выше фильтров во многом использует эту методику. Поэтому, не снижая
общности, основное внимание в этом методическом руководстве уделяем
синтезу LC-фильтров.
Задачей синтеза электрического фильтра является определение схемы
фильтра, содержащей минимально возможное число элементов, которая
удовлетворяла бы техническим требованиям.
В настоящее время используются две принципиально отличные методики
расчета фильтров:
а) расчет по характеристическим параметрам,
б) расчет по рабочим параметрам (по рабочему ослаблению или рабочей
фазовой постоянной).
Метод синтеза по рабочим параметрам позволяет получить электрический
фильтр с меньшим числом элементов, чем расчет характеристическим
параметрам. Кроме того, метод расчета по рабочим параметрам является
единственно возможным для RC-фильтров и, следовательно, является более
общим методом. Следует отметить, что расчет по рабочим параметрам требует
большей точности вычислений, что вызывает необходимость применения ЭВМ.
В данном методическом руководстве рассматривается проектирование
двусторонне нагруженных на активные сопротивления лестничных реактивных
фильтров. Требования к фильтру задаются частотной зависимостью рабочего
ослабления, а синтез осуществляется по рабочим параметрам.
6
1.Основные понятия и определения
Рассмотрим реактивный двусторонне нагруженный фильтр, показанный на
рис.1.1а. Рабочая постоянная передачи Г этого фильтра (в соответствии с
обозначениями рис.1.1а, б) определяется выражением:
1 U0 I0
Г
ln
A jB
2 U 2I2
(1.1)
где А — рабочее ослабление фильтра,
В —его рабочая фаза.
Рабочее ослабление согласно (1.1.) можно представить следующими
формулами:
U I
1 U0 I0
A
ln
Нп ,
A 10 lg 0 0 дБ
2 U2I2
U2I2
(1.2)
А 10 lg
где
PM
PM
,
P2
U0 I0
E
(1.3)
2
4R1 -
максимальная
активная
мощность
источника
с
2
2
Р2 U 2 I 2 U
R2 -активная мощность,
R
внутренним сопротивлением 1 (рис.1.1б),
передаваемая от источника в нагрузку R2 , подключенную через фильтр
(рис.1.1а).
Рис.1.1. Двусторонне нагруженный
максимальной мощности в нагрузку б).
фильтр
а),
схема
для
передачи
Мощность Р2 меньше РМ на величину мощности РОТР., отраженной от входа
фильтра из-за несогласованности входного сопротивления ZВХ. фильтра с
РМ Р2 РОТР .
внутренним
сопротивлением
генератора,
т.е.
(1.4)
Введя понятие коэффициента отражения (несогласованности)
РОТР
РМ
R1
R1
Z ВХ
,
Z ВХ
передаточной функции Т :
(j )
h j
V j
, (1.5)
:
7
Т
Т
Р2
РМ
2U 2
E
R1
,T
R2
и функции фильтрации
Pот р
T j
W j
V j
,
(1.6)
:
Р2
,
получим из (1.4) соотношения:
Ротр
Р2 Ротр
Р
1 , М 1
.
РМ
РМ
Р2
Р2
(1.7)
(1.8)
Эти соотношения позволяют установить связь между T, и .
2
2
1
2
1 Т
,
1
2
Т
,
(1.9)
откуда:
1
2
Т
2
1
и с учетом (1.3):
1
А 20 lg
10 lg 1
Т
(1.10)
2
.
(1.11)
2. Синтез электрических фильтров
2.1. Постановка задачи синтеза электрического фильтра
Синтез электрического фильтра по рабочему ослаблению состоит из двух
этапов: аппроксимации и реализации.
На этапе аппроксимации необходимо получить аналитическое выражение
рабочей передаточной функции Т(р) фильтра, удовлетворяющей условиям
физической реализуемости (УФР) [1,2] по заданным требованиям.
На этапе реализации по найденной рабочей передаточной функции
определяется схема фильтра и величины составляющих ее элементов.
В синтезе фильтров используется преобразование частот и нормирование
сопротивлений и частот [7].
Использование преобразования частоты позволяет свести расчет всех
классов фильтров к расчету фильтра нижних частот (ФНЧ). Поэтому синтез
любого фильтра можно производить в следующем порядке: сначала
преобразовать
заданную
характеристику
рабочего
ослабления
в
низкочастотную, потом синтезировать ФНЧ, далее обратным частотным
преобразованием перейти от элементов схемы ФНЧ к элементам (или
комбинациям элементов) заданного фильтра.
Нормирование заключается в том, что вместо абсолютных значений частот
8
и сопротивлений элементов цепи ФНЧ берутся их относительные величины.
Нормирование осуществляем по отношению к нагрузочному сопротивлению и
граничной частоте полосы пропускания для ФНЧ и ФВЧ (или
среднегеометрической полосы пропускания для ПФ).
Поэтому расчет любого фильтра начинается с расчета ФНЧ, нагруженного
на нормированное сопротивление и с нормированной граничной частотой
полосы пропускания, равной единице.
Техническими требованиями к фильтру являются (см. рис.2.1, 2.3):
'
граничные частоты полосы пропускания (ПП) f 2 или f 2 , f 2 ;
граничные частоты полосы не пропускания (ПН) f3 или f3, f3’;
максимально-допустимое значение рабочего ослабления в ПП А дБ или
коэффициент отражения % , которые связаны соотношением:
1
А 10 lg
1
% 100 2
(2.1);
минимально-допустимое значение рабочего ослабления в ПН Amin [дБ];
сопротивление нагрузки (справа) RH =R2 [Ом].
Между полосами пропускания и не пропускания находится переходная
область, к которой никаких требований не предъявляется. Однако в этой полосе
происходит нарастание рабочего ослабления от А до требуемой величины Amin.
Очевидно, что при заданных А и Amin, чем уже эта полоса, тем больше должна
быть крутизна кривой ослабления фильтра в переходной полосе и тем сложнее
должна быть схема фильтра. И, наоборот, чем шире переходная полоса, тем
проще фильтр.
В курсовой работе требуется выполнить синтез электрического фильтра.
Синтез фильтра производится в следующем порядке:
Переход к ФНЧ-прототипу и нормирование частот;
Аппроксимация рабочей передаточной функции Т(р) и характеристики
рабочего ослабления фильтра A
Реализация схемы ФНЧ (ФНЧ-прототипа);
Переход от схемы ФНЧ к схеме заданного фильтра и денормирование ее
элементов;
Расчет и построение денормированных частотных характеристик рабочего
ослабления A f и рабочей фазы В f фильтра.
2.2.Переход к ФНЧ прототипу и нормирование по частоте
ФНЧ. Нормирование производим относительно граничной частоты
полосы пропускания f 2 ,
f f2
2
. Ω2=1 Ω3=f3/f2 > 1.
9
ФВЧ
Ар
ПЗ
ПП
Армин
f4
ΔА
f
f3
f2
f1
Обычно f1=∞ и f4=0.
f
Для ФНЧ - прототипа: р 2
f р (3)
р ( 3)
f2
f3
f р2
f3
,
f р3
f2
,
1.
(2.3)
и
р 3 - нормированные граничные частоты ФНЧ - прототипа
Определим р 2
для ПФ с симметричными характеристиками рабочего ослабления:
f0
f 2 f 2'
1
a
1
f 3 f 3' .
(2.4)
Тогда:
Р2
где
2
Р
2
,
2
f 2 f0 ,
При a ( f 2
f 2'
3
) f0
3
1
a
1
3
3
,
(2.5)
f 3 f0
p2
(2.6)
1, а
p3
f3
f2
f 3'
f 2'
.
(2.7)
Отсутствующую в задании частоту f 3 и f определяем из выражения (2.4):
f 3 f 02 f 3' .или f 3' f 02 f 3
Далее производим расчет нормированного ФНЧ-прототипа.
'
3
а)
б)
10
Рис.2.3 Характеристика технических требований полосового фильтра а),
характеристика технических требований ФНЧ – прототипа б).
3.Аппроксимация частотной характеристики рабочего ослабления
фильтра
На данном этапе по заданным техническим требованиям к ФНЧ (ФНЧ прототипу) (рис.2.1, 2.2 б, 2.3 б) необходимо получить математические
выражения передаточной функции Т(р) и рабочего ослабления фильтра A
.
Известно, что частотные свойства фильтра определяются функцией
фильтрации
(1.11):
2
A 10 lg 1
.
Следовательно, задача сводится к выбору аналитического выражения этой
функции и расчету ее коэффициентов. В качестве аппроксимирующих принято
использовать полиномиальные функции, среди которых наиболее широкое
применение имеют полиномы Баттерворта и Чебышева.
3.1.Аппроксимация по Баттерворту
При выборе полинома Баттерворта в качестве аппроксимирующего
функция фильтрации определяется выражением:
2
j
2
Bn
2
,
(3.1)
где
- коэффициент неравномерности рабочего ослабления в полосе
пропускания:
10 0 ,1
А
1,
(3.2)
n
Bn
- полином Баттерворта,
n - порядок полинома Баттерворта, определяемый техническими требованиями
к фильтру и являющийся порядком фильтра:
lg
n
10 0 ,1 A min
1
2
2 lg 3
.
(3.3)
Таким образом, с использованием аппроксимации по Баттерворту имеем
функцию рабочего ослабления фильтра в виде:
2
2n
A 10 lg 1
,
(3.4)
которой соответствуют графики, показанные на рис.3.1.
11
а)
б)
Рис.3.1 Характеристики рабочего ослабления фильтров Баттерворта при
различном порядке а), характеристика фильтра Баттерворта с указанием частот
2,
с, и
3 б).
Аппроксимация по Баттерворту получила название монотонной, или
максимально гладкой. Из рис.3.1 видно, что такая аппроксимация дает хорошее
0 , но
приближение для идеализированной характеристики ФНЧ в области
1 .Следует отметить, что для
плохо воспроизводит нарастание в области
фильтров Баттерворта на частоте среза:
1 2 n 10 0 ,1 A 1
рабочее ослабление всегда равно 3 дБ, а значения A и порядок n фильтра
определяют ее расположение в переходной области (если A близко к 3 дБ, то
1,если же А 3 дБ, то с близка к 3 ).
с близка к
2
Аналогичными характеристиками, но с меньшим нарастанием рабочего
ослабления А
имеют фильтры Гаусса (Бесселя) и фильтры с линейной
с
0
фазовой характеристикой (фазовая погрешность составляет 0,05 ) (см. раздел 7
данной методической разработки).
Перейдем теперь к формированию нормированной рабочей передаточной
функции Т р по Баттерворту. На основании (1.10), (3.1) имеем:
Т j
1
2
1
2
2n
2
Т j
Т j
где
С учетом (3.5):
(3.5)
T
j
1
T ( p )T ( p )
1
2
р
j
2n
T ( p )T ( p )|p
1
2
V pV
p
j
12
2
1
p 2n
)
j
0
уравнения
, лежащие в левой полуплоскости,
принадлежат V p , являющемуся полиномом Гурвица. Следовательно,
1
Т р
V p удовлетворяет условиям физической реализуемости.
функция:
Эти корни определяются соотношениями:
Корни
1
pk
k
sin
n
2k 1
2n
j cos
(
2k 1
2n
(3.6)
1 n
и позволяют найти искомую передаточную функцию T ( p ) в виде:
1
1
T( p )
p p1 p p 2 ...... p p n
V p . (3.7)
Рабочее ослабление нетрудно теперь получить через передаточную функцию
Т j
T ( p )|p j
на основании (1.11):
1
А
20 lg
T j
(3.8)
Пример
Выполнить аппроксимацию по Баттерворту рабочей
передаточной функции Т р и функции рабочего ослабления А
для ФНЧ
со следующими требованиями:
А=2дБ, f2=4 кГц. f3=8 кГц, Amin=15 дБ, R2=800 Ом.
При расчѐте требуется высокая точность (не менее 4-5 значащих цифр).
1. Произведем нормирование по частоте (2.2)
f
, 2 1, 3 2
f2
2. Получим квадрат модуля функции фильтрации (3.1), (3.2), (3.3):
2
j
lg
3.1
2
2n
10 0.1 15
10 0 ,1 2
где
1
2
0 ,764
2 ,86 ,
2 lg 2
числа:n=3 и тогда:
nБ
j
Т j
2
1 0 ,764 ,
0 ,764
2
6
округляем nБ до ближайшего большего целого
,
1
2
1
0 ,764
2
6
по (3.5).
3. Определим корни полинома знаменателя V p функции Т р , лежащие
в левой полуплоскости (3.6):
13
p1
1
0 ,764
3
р2
sin
j cos
6
р3
1,094;
0 ,547
6
j0 ,947
;
0,547
j0,947.
4. Далее формируем искомые функции Т р (3.7) и А
(3.8)
1
1 0 ,764
p p1 p p 2 р р 3
р 1,094 р 2 1,094 р 1,196
1 0 ,764
1
,
Т р
3
2
р
2
,
188
р
2
,
392
р
1
,
038
V p
А
20lg(0,764
20lg(0.764
j
3
2
2.188
1.308 2.188
2 2
j 2.392
1, 308)
3 2
2.392
Выполним
проверку
)
0, 2 1 в полосе
1
аппроксимированной функции А
на частотах
пропускания и на частоте 3 2 в полосе непропускания. Согласно рис.3.1б на
этих частотах рабочее ослабление А должно быть равно нулю и не превышать
2 и более должно быть не менее Amin =15
3
А =2 дБ, а на частоте равной
дБ соответственно. Убедимся в этом:
20lg 0,764 1,308 0,0059 0;
1 0 А0
а)
б)
что
2
1 А 1 20 lg 0 ,764
А = 2 дБ:
А2
20 lg 0 ,764
1,308
1,308
2,188
2
2,188 4
в) 3 =2 15 ,8412
что > Amin =15 дБ.
Пример 3.2
1,992 2
2
1,995 ,
2,392 4
2
4
Выполнить аппроксимацию по Баттерворту рабочей
передаточной функции Т р и функции рабочего ослабления А
для ФНЧ прототипа заданного ФВЧ со
следующими
техническими
требованиями:
f 2 20 кГц, f 3 10 кГц, Аmin 20д0
43,3%, R2 800Ом.
1. Перейдем к ФНЧ - прототипу и выполним нормирование по частоте
(рис.3.2). С использованием (2.3) определим:
f p 2 f 3 10 кГц, f p3 f 2 20 кГц ;
f p1
р1
f p2
0,
f p2
р2
f p2
1,
f p3
P3
f P2
2,
14
а)
б)
Рис.3.2 Характеристика технических требований фильтра верхних частот
а), характеристика фильтра прототипа нижних частот б).
2. Найдем квадрат модуля функции фильтрации (3.1), (3.2), (3.3):
2
j
,
Р
1
А 10 lg
1
2
j
2n
2
Р
Р
0 ,9 дБ,
%
100
0 ,479 2
где
j
А
1,
0 ,479 ,
nБ
10
p ,T
10 0 ,1
5 и тогда:
1
2
p
4 ,36; n
1
0 ,479
2
10
р
3. Определим корни полинома V p и функции Т р , лежащие в левой
полуплоскости (3.6):
р1
0,358 j1,1018;
p2
0,9373 j 0,681;
р3
1,1586;
p4
p5
0,9373 j 0,681;
0,358 j1,1018
4. Далее формируем искомые функции Т р (3.7) и А
1
T( p )
p p1 p p2 p p3 p p4 p p5
р
2
р2
А
Р
1 0 ,479
0 ,716 р 1,3421
1
1,8746 р 1,3423 р 1,1586
20 lg 0 ,479
1,3424
2 2
р
2 2
р
1,3421
1,8746 2
2
0 ,716 2
1,1586 2
2
р
2
.
5. Выполним проверку аппроксимированной функции А
0 , р2 1 и р3 2 :
р1
а)
р1
(3.8):
0
р
на частотах
15
А0
А1
20lg 0,479 1,3421 1,3423 1,1586 20lg 0,999 0;б)
20 lg 0 ,479
1,1586 2
А2
1
0 ,3421 2
20 lg 1.10855
10 lg 0 ,479 1,3421 4
1,3424
4
2
0 ,716 2 0 ,3424 2
2
0 ,896
р2
1,
1,8746 2
0 ,9 дБ;
в)
р3
2
0 ,716 2 4
1,8746 2 4 1,1586 2
26 ,9 дБ, что
4
A min
20 дБ.
3.2.Аппроксимация по Чебышеву
При выборе полинома Чебышева в качестве аппроксимирующего функция
фильтрации определяется выражением:
j
2
2
Рn2
cos n arccos
ch n Arch
, где
1
вычисляется по формуле (3.2),
(3.10)
1
1
-полином Чебышева, n -порядок полинома Чебышева (порядок фильтра):
1
Arch
10 0 ,1 А min 1
n
Arch 3
.
(3.11)
2 2 1,
Из (3.10) при n=1 имеем, P1( )= при n=2 Р2
а при n 3 можно воспользоваться рекуррентной формулой:
Рn 1
2 Pn
Pn 1
.
(3.12)
Таким образом, при аппроксимации по Чебышеву функция рабочего
2 2
Pn
ослабления имеет вид: А 10 lg 1
, которой соответствует графики,
показанные на рис.3.3а. Аппроксимация по Чебышеву получила название
равноволновой. Число экстремумов в ПП, включая граничные частоты, зависит
от технических требований к фильтру и равно n 1 .
Подобны зависимостям рис.3.3, а в ПП характеристики А
фильтров
Золотарева-Кауэра, имеющие колебательный характер в ПН (рис.3.3б, на
s ).
котором Аs - гарантированное рабочее ослабление в ПН для
Используя в качестве аппроксимирующих функций дроби Чебышева,
А
можем получить характеристику рабочего ослабления
фильтра,
подобную в ПП характеристике фильтра Баттерворта, а в ПЗ- фильтра
Золотарева-Кауэра.
Следует отметить, что аппроксимация по Чебышеву (Золотареву-Кауэру)
дает большую крутизну нарастания характеристики рабочего ослабления, чем
аппроксимация по Баттерворту (и другим видам, рассмотренным в предыдущем
параграфе), проигрывая при этом в линейности фазовой характеристики В
(см. рис. 3.4 а).
16
а)
б)
Рис.3.3 Характеристики фильтров Чебышева для различного порядка а),
характеристика фильтра Золотарѐва – Кауэра б).
Оценку линейности В
удобно производить с помощью группового времени
запаздывания (ГВЗ), определяемого первой производной рабочей фазы по
частоте:
dB
t
d
(3.13)
Зависимости ГВЗ t
фильтров Баттерворта (1) и Чебышева (2) показаны на
рис.3.4 б. Постоянство t
свидетельствует о линейности В
.Если В
сonst .
линейна, то t
а)
б)
Рис.3.4 Характеристика зависимости рабочей фазы а), характеристики
зависимости группового времени запаздывания б).
Для формирования рабочей передаточной функции по Чебышеву
поступаем аналогично выше изложенному (см. раздел 3.1):
1
pk
k
где
2n
V p
1
Т р
2
Рn2
p
j
sh
sin
1
, где V p
p p1 p p2 ... p pn
определяется корнями уравнения
0
, лежащими в левой полуплоскости:
2k 1
2n
jch
cos
2k 1
,
2n
1 n
1
1
Arsh
n
1
1
ln
n
1
2
1 .
(3.14)
17
Таким образом,
1
Т р
р р1 р
2n 1
р2 .... р
2n
V p
1
рn
1
(3.15)
и искомые функции Т р и А
определяются согласно (3.15) и (3.8)
соответственно.
Пример 3.3 Выполнить аппроксимацию по Чебышеву рабочей
передаточной функции Т р и функции рабочего ослабления А р для ФНЧ прототипа ПФ со следующими техническими требованиями: А = 1,1 дБ, f2 =
14,43 кГц,, f3 =20 кГц, f3’ = 5 кГц, Amin = 28 дБ, R2 = 800 Ом.
1.Перейдем от технических требований к ПФ к техническим требованиям к
ФНЧ-прототипу и выполним нормирование по частоте (3.5).
а)
б)
Рис.3.5 Характеристики технических требований полосового фильтра а),
характеристики технических требований ФНЧ – прототипа б).
С использованием соотношений 2.4
f0
f3 f3
/
f 02
f 2'
f2
10 кГц,
6 ,93
f p2
р2
2.7 найдем:
кГц,
р3
f 2'
0 ,75
f3
f2
f 3'
f 2'
f0
f p3
1
f p2
а
f2
f p2
2
,
.
2. Получим выражение квадрата модуля функции фильтрации (3.9) для
ФНЧ - прототипа:
j
2
2
Р
p
, где
10 0 ,1 1,1
1
10 0 ,1 28
0 ,537
Аrch 2
4.
Arch
nч
и
возьмем n
Рn2
1
0 ,537 по (3.2)
1
ArchX
3,49
по (3.11). Округляя в большую сторону,
ln( X
X2
1)
18
Для n
Р4
4 (см. рекуррентную формулу (3.12)):
1
2
Т
j
2
1
Р42 ( Р ) ,
8 Р4 8 Р2 1 ,
Р
2
j
0 ,537 2 8
4
Р
2
2
Р
8
1 .
3. Рассчитаем корни полинома знаменателя V p функции Т р (3.14).
pk
1
1
Arsh
n
e
sh
e
2
0 ,1347
0 ,3252
0 ,3252
р1
р2
р3
р4
1
1
ln
4
0,537
e
0 ,352 ch
;
j0 ,9793
j0 ,4056
j0 ,4056
e
sin
2k 1
2n
0,345
1,06
2
0 ,1347 j0 ,9793
4. Окончательно получим с помощью (3.15) и (3.8):
1
Т р
р
р1 р
2n
р2 р
1
р3 р
р4
1
А
1
1
0,537 2
sh
р2
4 ,296
0 ,2694 р 0 ,9772
р2
1 4 ,296
р4
0 ,9188 р 3
1,4227 р 2
20 lg 4 ,296
Р
j0 ,7084
4
р
р
4
р
1
0 ,6504 р 0 ,2703
0 ,7084 р 0 ,2641
j0 ,9188
3
р
1,4227
2
р
0 ,2641 20 lg 4 ,296
2
2
1,4227 р2 0 ,2641
0 ,7084 р 0 ,9188 р3
5. Проверим полученное выражение A( p) на частотах р1 = 0, р2 =1, и р3 =2.
Согласно рис. 3.3 а рабочее ослабление А на первых двух частотах должно
быть равно A 1,1дБ , а на последней Аmin 28 . Убедимся в этом:
а) р1 0
А 0 20lg 4,296 0,2641 1,0978 1,1дБ;
б) р 2 1
19
А1
20 lg 4 ,296
1 0 ,4227
1,086
0 ,2641
2
20 lg 4 ,296
24
р3
0 ,7084 0 ,9188
1,1дБ
A2
в)
2
1,4227 2 2
2 34 ,3дБ
0 ,2641
2
0 ,7084 2 0 ,9188 2 3
2
A min
3.3. Алгоритм выполнения этапа аппроксимации
j
2
1. Выбираем аппроксимирующую функцию
требуемого вида ((3.1)
- по Баттерворту и (3.9) - по Чебышеву).
2. Рассчитываем коэффициент неравномерности (3.2) и порядок фильтра
n ( nБ по (3.3) и nч по (3.11)).
3. Найдѐм корни pk полинома V(p) знаменателя передаточной функции T(p)
по (3.6) или (3.14).
4. Формируем искомые функции T(p) и А( ) по соотношениям (3.7) или
(3.15) и (3.8).
4. Реализация схемы фильтра ФНЧ
На данном этапе по найденной ранее функции Т( p ) необходимо получить
схему ФНЧ (ФНЧ-прототипа).
Существует несколько способов реализации электрических фильтров: по
Дарглинтону, ускоренный метод реализации симметричных и антиметричных
фильтров Попова П. А. [6], реализация по каталогу нормированных схем,
параметрическая, структурная реализации и т.д. Первые два способа
реализации основаны на формировании функции ZВХ( p ) по Т( p ). Тогда
получение схемы нагруженного фильтра можно свести к реализации
двухполюсника путем разложения функции ZВХ( p ) в цепную дробь (по
Кауэру).
4.1.Реализация по Дарлингтону
Сформируем функцию ZВХ( p ) для схемы 1.1, используя полученную на
этапе аппроксимации функцию Т ( p ) . Принимая во внимание, что при
реализации по Дарлингтону в нормированных схемах r1 1 , из (1.5) следует:
( p)
1 Z ВХ ( p )
1 Z ВХ ( p ) ,
20
откуда
Z ВХ ( p )
1
( p)
1
( p).
Для определения коэффициента
соотношениями (1.9) и (1.10):
1
2
2
j
1 T j
1
2
1
j
( p)
отражения
воспользуемся
2
j
1
(4.1)
j
( p)
2
( p )| p
j
( p ) определяется при аппроксимации по
Нетрудно показать, что
Баттерворту с учетом (3.1), (3.7):
( p)
Bn ( p )
Bn ( p )
V( p )
V( p )
(4.2)
и по Чебышеву с учетом (3.9) , (3.14):
Рn ( p )
Pn ( p )
2 n 1V ( p )
2 n 1V ( p )
( p)
(4.3)
Окончательно получим искомую функцию
аппроксимации по Баттерворту:
1
Z ВХ ( p )
1
Z ВХ ( p )
по (4.1) при
Вn ( p )
V( p )
V ( p )  Bn ( p )
Вn ( p )
V ( p ) Bn ( p )
V( p )
(4.4)
и по Чебышеву
Z ВХ ( p )
V ( p ) 2n
1
 Pn ( p )
V ( p ) 2n
1
Pn ( p )
(4.5)
где Вn ( p ) - полином Баттерворта, Pn ( p ) - полином Чебышева.
Пример (4.1) Реализовать методом
Дарлингтона схему ФНЧ по
21
полученной в примере 3.1 функции
Баттерворту:
1
1 0 ,764
Т( p )
3
2
V p p 2 ,188 p 2 ,392 p 1,308
1. Сформируем коэффициент отражения
Т( p ),
аппроксимированной
по
( p ) по (4. 2):
B3 ( p )
( p)
V( p ) ,
3
где V ( p )
p
2
2 ,188 p
2 ,392 p 1,308 ;
3
В3 ( p )
p - полином Баттерворта третьего порядка n 3 .
2. Составим Z ВХ ( p ) ,выбирая знак ―-― функции
3
V ( p ) B3 ( p )
Z ВХ ( p )
2p
( p ) по (4.4)
2
2 ,188 p
2 ,392 p 1,308
2
V ( p ) B3 ( p )
2 ,188 p
2 ,392 p 1,308
3. Разложим функцию Z ВХ ( p ) в цепную дробь (по Кауэру).
3
2p
2
2
2 ,188 p
3
2p
2 ,392 p 1,308| 2 ,188 p
2 ,392 p 1,308
2
2 ,188 p
1,196 p
| 0 ,9147 p
l1
2
2 ,188 p
2 ,392 p 1,308 | 1,196 p 1,308
2
2 ,188 p
2 ,392 p
1,196 p
1,308 | 1,308
1,196 p
| 1,828 p
| 0 ,9147 p
c2
l3
1,308| 1,308
1,308| 1
r2
0
Полученной функции Z ВХ ( p ) соответствует нормированная схема
рис.4.1.
22
Рис.4.1 Схема ФНЧ – прототипа третьего порядка.
4.Если выбрать знак ―+‖ у функции ( p ) , то получим дуальную схему
фильтра, которой соответствует схема рис.4.2
2
Z ' ВХ ( p )
V ( p ) B3 ( p )
V ( p ) B3 ( p )
1
Y' ВХ ( p )
2 ,188 p
2 ,392 p 1,308
3
2
2p
2 ,188 p
2 ,392 p 1,308
1
0 ,9147 p
Z' ВХ ( p )
.
1
1,828 p
0 ,9147 p 1
Рис.4.2 Второй вариант реализации схемы ФНЧ – прототипа третьего порядка.
Пример 4.2. Реализовать методом Дарлингтона схему ФНЧ - прототипа по
полученной в примере 3.3 функции Т ( p ) , аппроксимированной по Чебышеву.
1 2n 1
Т( p )
V( p )
1 4 ,296
4
p
3
0 ,9188 p
2
1,4227 p
0 ,7081 p 0 ,2641
1. Сформируем коэффициент отражения
( p)
Р4 ( p )
3
2 V( p )
Р4 ( p )
8 V( p )
,
( p ) по (4.3)
23
4
где V ( p )
p
3
2
0 ,9188 p
4
1,4227 p
0 ,7081 p 0 ,2641 ,
2
р4 ( p ) 8 p
8p
1 - полином Чебышева четвертого порядка, который
получен по рекуррентной формуле (3.12) при n 4 .
2. Составим Z ВХ ( p ) , выбирая знак ― - ― у функции
Z ВХ ( p )
8V ( p ) Р4 ( p )
4
2p
8 V( p )
8V ( p ) Р4 ( p )
( p ) по (4.5)
1 P 4( p )
8
8 V ( p ) P4 ( p )
3
0 ,9188 p
0 ,7081 p 0 ,3891
3
0 ,9188 p
2
0 ,422 p
0 ,7081 p 0 ,1391
3. Разложим функцию Z ВХ ( p ) в цепную дробь (по Кауэру) и построим
нормированную схему фильтра (рис.4.3).
Рис. 4.3 Схема ФНЧ-прототипа четвѐртого порядка
4. Если выбрать знак ―+‖ у функции
фильтра (рис.4.4).
1
V( p )
P4 ( p )
'
8
Z ВХ ( p )
1
V( p )
P4 ( p )
8
3
2p
( p ) , то получим дуальную схему
2
0 ,9188 p
0 ,422 p
0 ,7081 p 0 ,1391
4
3
2
0 ,9188 p
2 ,422 p
0 ,7081 p 0 ,3891
24
Y' ВХ ( p )
Тогда
1
Z ВХ ( p )
Рис.4.4 Дуальная схема ФНЧ-прототипа четвѐртого порядка
4.2.Ускоренный метод реализации симметричных фильтров (n-нечетное)
Представим нормированную схему фильтра в виде двух каскадно-соединенных
одинаковых четырехполюсников (рис.4.5), в которой выполняются следующие
соотношения:
r1 r2 1 ,
(4.6)
Z ВХ 2 ( p ) Z ВЫХ 1 ( p ) , (4.7)
А1 ( p )
А( p ) В( p )
С( p ) D( p )
А2 ( p )
D( p ) В( p )
С( p ) A( p )
1
A' ( p ) B' ( p )
Q1 ( p ) C ' ( p ) D' ( p ) ,
1
(4.8)
D' ( p ) B' ( p )
Q1 ( p ) C' ( p ) A' ( p ) ,
(4.9)
Рис.4.5 Представление фильтра в виде двух каскадно согласованных
соединѐнных четырехполюсников.
25
(при согласованном соединении таких четырехполюсников элементы A' ( p ) и
D' ( p )
в
A2 ( p )
матрице
A' ( p ) , B' ( p ) , C' ( p ) , D' ( p ) ,
p
j
Q1 ( p )
меняются
местами),
где
— полиномы комплексной частоты
с вещественными коэффициентами, Q1 ( p ) — общий знаменатель у
A( p )
всех элементов
— матрицы.
Рассматриваемый метод называется ускоренным потому, что достаточно
сформировать функцию входного сопротивления Z ВХ 2 ( p ) по найденной на
этапе аппроксимации функции T ( p ) и реализовать только (правую) половину
фильтра. Левая часть достраивается, исходя из условия симметрии (4.7).
Из теории четырехполюстников 2
известно:
U 1 ( p ) A( p )U 2 ( p ) B( p )I 2 ( p )
I 1 ( p ) C( p )U 2 ( p ) D( p )I 2 ( p ) ,
(4.10)
A( p )r2 B( p )
C( p )r2 D( p )
(4.11)
Для схемы рис.4.5 из (4.11) с учетом (4.6), (4.7), (4.9)
Z ВХ ( p )
Z ВХ 2 ( p )
D' ( p ) B' ( p )
'
C ( p)
Z ВЫХ 1 ( p )
'
A( p)
(4.12)
Установим связь между функцией Z ВХ 2 ( p ) и нормированной рабочей
передаточной функцией T ( p ) . На основании (4.6) и (1.6):
T( p )
2U 2 ( p )
E( p )
(4.13)
Для определения U 2 ( p ) воспользуемся вторым уравнением системы (4.10)
применительно ко второму четырехполюснику схемы рис.4.5:
26
'
1
I ( p ) U2( p )
C' ( p )
I2( p )
Q1 ( p )
U2( p )
'
C ( p)
Q1 ( p )
U2( p )
D' ( p )
Q1 ( p )
D' ( p )
r2
C ' ( p ) D' ( p ) ,
Q1 ( p )
откуда
I 1' ( p )Q1 ( p )
U2( p )
C ' ( p ) D' ( p )
(4.14)
C другой стороны, согласно теореме об эквивалентном источнике
напряжения и с учетом (4.12):
U 1' XX ( p )
U '1 XX ( p )
'
1
I ( p)
Z BX 2 ( p ) Z ВЫX 1 ( p )
2
D' ( p ) B ' ( p )
C ' ( p ) A' ( p ) , (4.15)
где из системы (4.10) при Х.Х. и с учетом (4.11) и (4.6) получим:
I1( p )
U 1' ХХ ( p )
E( p )Q1 ( p )
C' ( p )
C ' ( p ) r1
Z BX 1 XX ( p )
Q1 ( p )
E( p )Q1 ( p )
'
C ( p) 1
E( p )Q1 ( p )
A' ( p ) C ' ( p )
A' ( p )
C' ( p )
(4.16)
Теперь на основании (4.13), (4.14), (4.15), (4.16) получим:
Q12 ( p )
Т( p )
A' ( p ) C ' ( p ) D' ( p ) B' ( p )
W( p )
W( p )
V( p )
N ( p )M ( p )
. (4.17)
Из (4.12) и (4.17) очевидна связь между T ( p ) и Z ВХ 2 ( p ) :
27
Z ВХ 2 p
M( p )
KZ ( p )
N( p )
MZ( p )
NZ ( p ) ,
(4.18)
где K Z ( p ) — коэффициент, получаемый из условия нормирования (4.6):
K Z ( p ) Z BX 2 0 r2 1 .
Таким образом, если найденная на этапе аппроксимации функция
Т( p )
W( p )
W( p )
V( p )
p p1
p p 2 ... p p n
(n – нечѐтное)
удовлетворяет условиям физической реализуемости, то полином знаменателя
V( p )
p p1
p p 2 ... p p n
M ( p )N ( p )
можно
представить
как
произведение двух полиномов M ( p ) и N ( p ) , отношение которых дает
функцию Z ВХ 2 ( p ) - входного сопротивления правой части фильтра (4.18).
Порядок реализации
1. Для каждой пары комплексно-сопряженных корней p k полинома V ( p )
передаточной функции T ( p ) (полученной на этапе аппроксимации) составим
элементарный сомножитель H K ( p ) :
*
НК ( p )
p pк
2
p pк
p
2
к
2
к
p
2
к
,
*
где p к
2.
к
j
k
,
Сформируем
pк
к
полином
j
k
M Z ( p ) как
произведение
элементарных
сомножителей H K ( p ) с нечетными индексами
М z ( p ) H 1 ( p ) H 3 ( p ) H 5 ( p )
3. Сформируем полином
NZ ( p )
как произведение элементарных
сомножителей H K ( p ) с четными индексами
N z ( p ) H 2 ( p ) H 4 ( p )
4. Определим K Z ( p ) из условия, что
28
Z ВХ 2 0
KZ ( p )
откуда
KZ ( p )
MZ 0
NZ 0
r2
1,
NZ 0
.
MZ 0
5. Составим функцию Z ВХ 2 ( p ) по (4.18)
Z ВХ 2 ( p ) K Z ( p )
MZ( p )
.
NZ ( p )
6. Разложим полученную функцию в цепную дробь и построим схему
правой части фильтра.
7.
Достроим
левую
часть
фильтра,
исходя
из
условия
Z ВЫХ 1 ( p ) Z ВХ ( p ) .
8. Получим дуальную
Z ВХ 2 ( p )
схему
фильтра,
используя
соотношение:
N( p )
M( p )
Реализация двух дуальных схем позволяет разработчику выбрать одну
более экономичную (с меньшим числом индуктивностей).
Пример 4.3. Реализовать ускоренным методом схему ФНЧ-прототипа по
полученной в примере 3.2 функции T ( p ) (n=5).
.
1 0 ,479
Т( p )
( p p 1 )( p p 2 )( p p 3 )( p p 4 )( p p 5 ) ,
где p 1
0 ,358
p2
0 ,9373
p3
1,1586
p4
0 ,9373
j1,1018
j0 ,681
*
j0 ,681
p2
*
p5
0 ,358
j1,1081
p1
29
Рис. 4.6 Расположение корней полинома пятой степени.
1. Cоставим элементарные сомножители H K ( p ) :
2
Н 1( p )
p p1
p p5
p
Н2( p )
p p2
p p4
p
Н3( p )
p p3
0 ,716 p 1,3421
2
1,8746 p 1,3423
p 1,1586
2. Cформируем полином M Z ( p ) :
М Z ( p ) H 1( p ) H 3 ( p )
2
(p
0 ,716 p 1,3421 )( p 1,1586 )
3
p
2
1,8746 p
2 ,1716 p 1,5549
3. Сформируем полином N Z ( p ) :
2
NZ ( p ) H2( p )
p
1,8746 p 1,3423
4. Определим K Z ( p ) :
NZ 0
1,3423
KZ ( p )
0 ,86327
M Z 0 1,5549
Z ВХ 2 ( p ) K Z ( p )
NZ ( p )
5. Составим функцию
3
Z ВХ 2 ( p )
MZ( p )
2
0 ,86327 p
1,6183 p
1,87468 p 1,3423
2
p
1,8746 p 1,3423
6. Разложим Z ВХ 2 ( p ) в цепную дробь по Кауэру
и построим нормированную схему правой половины фильтра (рис.4.7).
30
Рис.4.7 Правая половина синтезируемого фильтра
7. Реализуем левую половину схемы фильтра в соответствии с условием
симметрии Z ВЫХ 1 ( p ) Z ВХ 2 ( p ) (рис.4.8).
Рис.4.8 Левая половина синтезируемого фильтра
После объединения левой и правой половин (рис. 4.7 и 4.8) и замены
источника тока на эквивалентный источник напряжения, получим полную
нормированную схему фильтра (рис. 4.9).
Рис.4.9 Схема фильтра, полученная после объединения левой и правой частей.
l1=l3л=0,53395; c2=c2л=1,3968;
l3=l1л + l1пр=1,7265; c4=c2пр=1,3968;
l5=l3пр=0,53395.
8. Получим дуальную схему фильтра
Z ' ВХ ( p )
NZ ( p )
,
KZ ( p ) M Z ( p )
.
31
Рис.4.10 Левая и правая части дуальной схемы фильтра
Рис.4.11 Дуальная схема фильтра, полученная после объединения левой и
правой частей
где r1=r2=1; c1=c’3л=c5=c’3пр=0,5395;
l2=l’2л=l4=l’2пр=1,3968; c3=c’1л+c’1пр=1,7265.
4.3.Ускоренный метод реализации симметричных фильтров (n-четное)
Подставим нормированную схему фильтра в виде двух каскадносоединенных дуальных четырехполюсников (рис.4.12). В схеме выполняются
следующие соотношения:
1
r1
r1 r2 1, r2 K ,
(4.19)
K;
Z ВХ 2 Z ВЫХ 1 1 , Z ВХ 2 Yвых 1 ; (4.20)
Рис.4.12 Представление фильтра в виде двух каскадно соединѐнных дуальных
четырехполюсников.
А1 ( p )
1
A' ( p ) B' ( p )
Q1 ( p ) C ' ( p ) D' ( p ) ; (4.21)
А2 ( p )
1
A' ( p ) С ' ( p )
Q1 ( p ) В' ( p ) D' ( p )
(4.22)
32
А1 ( p )
А2 ( p )
(элементы C' ( p ) и B' ( p ) в матрицах
,
дуальных
четырехполюсников меняются местами).
На основании (4.11) с учетом (4.19), (4.20) для второго четырехполюсника
А2 (4.22) получим:
Z ВХ 2 ( p )
А ( p )К ( p ) С ( p )
В ( p )К ( p ) D ( p )
Z ВЫХ 1
(4.23)
В ( p )К ( p ) D p
А ( p )К ( p ) С ( p )
(4.24)
Установим связь между функцией
Z ВХ 2 ( p ) и нормированной рабочей
передаточной функцией T ( p ) .
На основании (1.6) и (4.19)
Т( p )
2U 2 ( p )
RE ( p )
(4.25)
Для определения U2 воспользуемся вторым уравнением систем (4.10)
применительно ко второму четырехполюснику схемы рис.4.12:
I1 ( p ) U 2 ( p )
B( p)
I2( p )
Q1 ( p )
U2( p )
Q1 ( p )
откуда
U2( p )
B( p)
Q1 ( p )
U 2 ( p ) B ( p )k
D( p)
k
I 1 ( p )kQ1 ( p )
D( p)
D( p )
,
kQ1 ( p )
.
B ( p )k D1 ( p )
(4.26)
С другой стороны, согласно теореме об эквивалентном источнике
напряжения и с учетом (4.23) и (4.24)
33
U 1 XX ( p )
I1 ( p )
Z BX 2 ( p ) Z ВЫХ 1 ( p )
U 1 XX ( p )
B ( p )k
D( p)
A ( p )k
C ( p)
A ( p )k
C ( p)
B ( p )k
D( p)
U 1 XX ( p ) A ( p )k
C ( p ) B ( p )k
D( p)
2
B ( p )k
2
D( p)
A ( p )k
,
C ( p)
(4.27)
где U1 XX ( p ) определяется по (4.10) и (4.11) при Х.Х. и с учетом (4.19)
I1( p )
U 1 XX ( p )
C' ( p ) Q1 ( p )
( p ) Q1 ( p )
C' ( p ) r1
Z ВХ 1 ХХ ( p )
( p ) Q1 ( p )
C' ( p )
1
k
( p ) Q1 ( p )k
A( p)
A ( p )k
C' ( p )
C' ( p )
(4.28)
Теперь на основании (4.25), (4.26), (4.27) и (4.28) получим:
2Q12 ( p )k
Т( p )
2
A ( p )k
W( p )
V( p )
C ( p)
2
B ( p )k
D( p)
W( p )
M 2( p )
N 2( p )
V( p ) M 2( p ) N 2( p )
где
(4.29) и (4.23), (4.24), получим:
(4.29)
M( p )
jN ( p )
M( p )
jN ( p )
Сопоставляя
34
Z ВХ 2 ( p )
M( p )
,
N( p )
Z ВЫХ 1 ( p )
.
N( p )
M ( p ) (4.30)
Таким образом, если найденная на этапе аппроксимации функция
Т( p )
W( p )
W( p )
V( p )
p p1  p p n
(n- чѐтное)
удовлетворяет условиям физической реализуемости, то полином V ( p ) можно
представить как произведение двух комплексно-сопряженных полиномов вида
V( p )
M( p )
jN ( p )
M( p )
jN ( p )
,
откуда по (4.30) можно сформировать функции ZВХ2 ( p ) и ZВЫХ1 ( p ) .
Порядок реализации
1. По полученным на этапе аппроксимации корням p k полинома V ( p )
M ( p ) jN ( p )
определим
как произведение двучленов
(или нечетными) индексами k.
M( p )
jN ( p )
p p1
p p3
p p5 
jN ( p )
p p2
p p4
p p6 
p pк
с четными
или
M( p )
Z ВХ 2 ( p )
M( p )
.
N( p )
2. Сформируем
3. Разложим полученную функцию в цепную дробь по Кауэру и построим
схему правой половины фильтра.
4. Достроим левую часть фильтра из условия антиметрии
.YВЫХ1 ( p ) =ZВХ2 ( p )
5. Получим дуальную
Z ВХ 2 ( p )
M( p )
N( p )
.
схему
фильтра,
используя
соотношение
35
Пример 4.4. Реализовать ускоренным методом Попова схему ФНЧпрототипа по полученной в примере 3.3 функции T ( p ) (n = 4);
1 4 ,296
Т( p )
,
p p1 p p 2 p p 3 p p 4
где p 1
0 ,1347
j0 ,9793 ;
p2
0 ,3252
j0 ,4056 ;
p3
0 ,3252
j0 ,4056 ;
p4
0 ,1347 j0 ,9793 .
1. Определим
2. Сформируем ZВХ2 ( p )
2
Z ВХ 2 ( p )
M( p )
N( p )
p
0 ,4599 p 0 ,441
.
0 ,5737 p 0 ,2639
3. Разложим Z ВХ 2 ( p ) в цепную дробь
и построим нормированную схему правой половины фильтра (рис.4.13).
Рис.4.13 Правая половина синтезируемого фильтра.
4. Построим левую половину схемы фильтра, исходя из условия
антиметрии (рис.4.14);
36
Рис.4.14 Левая половина синтезируемого фильтра.
После объединения левой и правой половин (рис. 4.13 и 4.14) и замены
источника тока на эквивалентный источник напряжения получим полную
нормированную схему ФНЧ-прототипа (рис. 4.15)
r1
l3
Рис. 4.15 Полная схема ФНЧ-прототипа.
1
1
g 1 1,671 ; l1 l2 л 1,3 ; с2 с1л 1,743;
l1np
1,743; c4
c2 np
1,3 ; r2
1,671 k
Z в х2 ( p )
5. Получим дуальную схему фильтра по
N( p )
M ( p ) (рис. 4.16)
Zв х1( p ) Yв х2 ( p )
Рис. 4.16 Объединение правой и левой частей синтезируемого фильтра.
37
Рис.4.17 Полная дуальная схема ФНЧ-прототипа.
r1 1,671; c1 c2 л 1,3 ; l2 l1л 1,743;
с3
с1пр
1,743; l4
l 2 пр
1,3 ;
r2
1
g2
1
1,671
5. Переход от схемы ФНЧ-прототипа к схеме заданного фильтра
5.1 Переход от нормированной схемы ФНЧ-прототипа к схеме заданного
фильтра
Для преобразования передаточной функции ФНЧ-прототипа в функцию
1
p
ФВЧ используется соотношение
, а в функцию ПФ 1
1
(
)
p
a
.
Указанное преобразование частоты осуществляет замену нормированных
элементов схемы ФНЧ-прототипа на нормированные элементы (или
комбинации элементов) заданной схемы согласно табл.5.1. [1].
Таблица5.1. Замена элементов ФНЧ – прототипа элементами ФВЧ и ПФ.
Нормированные Нормированные Нормированные
элементы
элементы схемы элементы схемы ПФ
схемы
ФВЧ
ФНЧ-прототипа
5.2. Денормирование и расчёт элементов схемы заданного фильтра
Для перехода от нормированной схемы к денормированной схеме с
заданными нагрузочным сопротивлением R2 и граничной частотой f2 для ФНЧ и
38
ФВЧ или f0 для ПФ осуществляется изменение уровня сопротивления
масштаба частоты с помощью следующих множителей:
а) преобразующий множитель сопротивления:
R2
nr
r2 ,
(5.1)
где R2 — нагрузочное сопротивление;
r2 — нормированное нагрузочное сопротивление;
б) преобразующий множитель частоты:
n
2
2 f2
и
ФНЧ
2
n
2
2 f2
ФВЧ
2 f0
ПФ
р2
n
0
р2
(5.2)
денормирования
Тогда коэффициенты
индуктивности и
определятся по формулам:
nr
1
Kl
Kc
n ,
n nr
(5.3)
и денормированные значения элементов схемы – с помощью (5.4):
Lk Kl lk , Cq K c cq
(5.4)
ѐмкости
Пример 5.1. Рассчитать схему ФНЧ, рассмотренного в примерах 3.1 и 4.1
(рис. 4.1), в которой R2 =800 Ом, f2=4кГц.
1. Рассчитаем преобразующие множители по сопротивлению nr (5.1) и по
частоте n (5.2) для ФНЧ
R2 800
nr
800 Ом
r2
1
,
n
2 f 2 25120 рад/с
и коэффициенты денормирования Kl и Kc (5.3)
nr
Kl
3 ,1847 10 2
n
Гн,
1
4 ,976 10 8
nr n
Ф.
2. Денормированные значения элементов схемы ФНЧ по (5.4) (рис.5.1).
Kc
39
Рис. 5.1 Схема фильтра нижних частот третьего порядка.
R1 r1 nr 800Ом, L1 K l l1 2 ,913 10 2 Гн, C 2 K c c2
9 ,096 10 8 Ф,
K l l3 2 ,913 10 2 Гн, R2 r2 nr 800Ом.
Пример 5.2. Рассчитать схему ФВЧ, рассмотренного в примерах 3.2 и 4.3, в
которой R2 800Ом, f 2 20 кГц.
1. Из двух дуальных схем ФНЧ-прототипа (рис. 4.9 и 4.11) выберем рис.
4.9 с большим числом индуктивностей, которые в результате перехода к схеме
ФВЧ преобразуются в ѐмкости.
Осуществим переход от нормированной схемы ФНЧ-прототипа (рис. 4.9) к
схеме ФВЧ по табл. 5.1, согласно которой каждая индуктивность lk переходит в
1
1
lq
ck
c q (рис. 5.2).
l k , а каждая ѐмкость c - в индуктивность
ѐмкость
L3
q
Рис. 5.2 Схема фильтра верхних частот пятого порядка.
Где
1
1
c1
1,8728 l 2
0 ,7159
l1
c
r1 r2 1 ;
2
;
;
1
1
1
0 ,5792 l 4
0 ,7159 c 5
1,8728
l3
c
l
4
5
;
;
.
2. Рассчитаем преобразующие множители по сопротивлению nr (5.1), по
частоте n (5.2) для ФНЧ
R2
nr
800
r2
Ом;
c3
n
2 f 2 6 ,28 20 10 3 125600 рад/с
и коэффициенты денормирования Kl и Kc (5.3)
nr
Kl
6 ,369 10 3
n
Гн,
40
1
nr n
Kc
9,9522 10
9
Ф.
3. Определим денормированные значения элементов схемы ФВЧ (рис. 5.2).
C1 C5 K c c1 1,8638 10 8 Ф;
R1 R2 800Ом;
L2
L4
K l l2
4 ,5597 10 3 Гн;
C3 K c c3 5 ,7643 10 9 Ф.
Пример 5.3 Рассчитать схему ПФ, рассмотренного в примерах 3.3 и 4.4, в
которой R2 =800 Ом, f0=10 кГц, a=0,75.
1. Осуществим переход от нормированной схемы ФНЧ-прототипа
(рис.4.15) к схеме ПФ по табл. 5.1, согласно которой каждая индуктивность lk
переходит в последовательный контур с элементами
a
l
ckn
l kn k
lk ,
a и
а каждая ѐмкость cq - в параллельный контур с элементами
a
cq
lqn
cqn
cq (рис. 5.3)
a и
Рис. 5.3 Схема полосового фильтра восьмого порядка.
a
l
0 ,5769
l1п 1 1,7333 c1n
l1
a
;
;
a
c2
l2n
l3
a
a
c4
l3n
l4 n
0 ,4308 c 2 n
;
a
l2
2 ,324
c3 n
a
l3
0 ,4308
2,324
;
;
;
c4
0 ,5769 c
1,7333
4n
a
;
;
2. Рассчитаем nr, n (по (5.2)) для ПФ, Kl, Kc.
R2
800
nr
478 ,75
r2 1,671
Ом;
n
2 f0
6 ,28 10 4 рад
с;
41
Kl
nr
n
7 ,6234 10 3 Гн
;
1
3 ,3261 10 8 Ф
nr n
;
3. Определим денормированные значения элементов схемы ПФ (рис. 5.3) по
формулам (5.4).
R1 nr r1 286,5 Ом;
L1 Kl l1n 13,21мГн;
Kc
8
Гн ; L2
C1
K c c1n
1,9189 10
C2
K c c2 n
7 ,735 10 8 Ф ; L3
Kl l3n
17,72мГн;
C3
K c c3 n
1,432 10 8 Ф ; L4
Kl l4n
4,398 мГн;
Kl l2 n
3,284 мГн;
C4 K c c4 n 5 ,765 10 8 Ф ; R2 nr r2 800Ом;
Примечания. Можно показать, что:
1. Схемы фильтров Баттерворта, реализуемые по Дарлингтону и Попову,
получатся одинаковыми как нормированные, так и денормированные. При этом
во всех случаях (n – чѐтное и n – нечѐтное) r1=r2=1;
2. Схемы фильтров Чебышева, реализуемые по Дарлингтону и Попову,
получаются одинаковыми только денормированные. При этом для n –
нечѐтного r1=r2=1, а для n –четного в случае реализации по Дарлингтону r1=1,
а по Попову - r1·r2=1.
6. Расчет характеристик спроектированного фильтра
После выполнения синтеза электрического фильтра важно убедится в его
соответствии техническим требованиям. Для этого разработчиком обязательно
производится расчѐт частотных характеристик рабочего ослабления A(f) и
рабочей фазы B(f) спроектированного фильтра, по которым проверяется
выполнение технических требований:
1) рабочее ослабление в ПП не должно превышать заданной величины A :
A( f )
A
(6.1)
2) рабочее ослабление в ПН не должно быть ниже заданного значение Amin :
A( f ) Amin (6.2);
3) рабочая фаза B ( f ) позволяет судить о выполнении требований к еѐ
линейности в пределах полосы пропускания (если таковые имеются).
Эта задача может решена:
- во-первых, расчетом указанных характеристик A( f ) и B( f ) по
полученной на этапе аппроксимации функции T ( p ) . Этим расчетом
проверяется соответствие аппроксимированной рабочей передаточной функции
T ( p ) и,
следовательно,
функции
рабочего
ослабления
A( f ) заданным
42
техническим требованиям,
аппроксимации;
- во-вторых, расчетом
то
есть
правильность
частотных
выполнения
характеристик A( f ) и
этапа
B( f )
по
операторной передаточной функции T ( p ) , полученной для разработанной на
этапе реализации схемы фильтра заданным техническим условиям, то есть
правильность синтеза фильтра в целом.
A( f ) и
В
первом
случае
расчет
частотных
характеристик
B( f ) предлагается студентам выполнить аналитически, а во втором – с
использованием ЭВМ.
6.1 Аналитический метод расчета характеристик фильтра
При расчете любого типа фильтра вычисляют нормированные частотные
характеристики ФНЧ-прототипа, а затем, используя преобразования частоты,
конструируют соответствующие частотные характеристики заданного ФВЧ или
ПФ. Таким образом, расчѐт характеристик A( f ) и B( f ) состоит из двух
этапов:
- расчѐт нормированных A( ) и B( ) ( A( p ) и B( p ) ) ФНЧ (ФНЧпрототипа);
- преобразование нормированных A( ) и B( ) ( A( p ) и B( p ) ) в
соответствующие частотные характеристики A( f ) и B ( f ) ФНЧ, ФВЧ и ПФ.
6.1.1 Расчёт нормированных частотных характеристик ФНЧ
Расчѐт нормированных частотных характеристик рабочего ослабления
A( ), (A( р )) и рабочей фазы B( ), (B( р )) ФНЧ (ФНЧ-прототипа)
производим, пользуясь следующими соотношениями (1.1), (1.6):
1
ln
A jB
T
,
(6.3)
T
T( j
) T( p )
где
Г
A(
)
B(
) arg
20 lg
p
j (j
р
)
;
1
T( j )
arg
1
T( j )
(6.4)
) для расчѐта характеристик. Выберем
0 1 ( p 0 1 ) и одну
несколько частот для ПП в пределах
Зададимся
частотами
(
р
43
3(
3р )
р
для ПН.
а) Расчѐт A( ) в ПП
Для фильтров Баттерворта, имеющих монотонно нарастающий характер
(рис. 3.1, 3.4) зависимостей A( ) и B( ), производим выбор пяти частот
произвольно, включая 1 0 и 2 1 .
Для фильтров же Чебышева с равноволновой характеристикой рабочего
ослабления в ПП необходимо выбрать в качестве расчѐтных частоты
экстремумов A( ). Число экстремальных точек A( ) равно ( n 1 ) ( n -порядок
фильтра). Обратим внимание на то, что при n - четном имеем на
0 максимум рабочего ослабления A( ), равный A , а при n - нечетном –
минимум ослабления A( ), равный 0 (рис.3.3а). Значения A( ) в точках max m
должны быть равны
A(
)
A , а в точках
A
max m
A(
и
min
)
- нулю, то есть:
0
min
.
(6.5)
Для определения max m и min воспользуемся формулами:
( m 1)
cos
, где m 1,2 , , n 1
max m
n
,
( 2 1)
sin
, где
1,2 , , n
min
n
(6.6)
из которых выбираются только положительные значения, или табл. 6.1, где
приведены значения этих частот для ФНЧ до седьмого порядка.
б) Расчет A
в ПН
Так как в ПН зависимости A
как фильтров Баттерворта, так и фильтров
Чебышева имеют монотонно нарастающий характер (см. рис. 3.1 и 3.3а),
достаточно убедится в выполнении условия (6.2) лишь на граничной частоте
3.
ПН. Поэтому в качестве расчѐтной выбираем в ПН одну частоту
Примечание. Следует отметить, что на этапе аппроксимации уже
выполняется расчет значений аппроксимированной (3.8) функции A
на
частотах: 1 0 , 2 1 и 3 . Эти значения можно использовать в данном
разделе курсовой работы.
в) Расчѐт B( ) производится по (6.4) на тех же частотах, что и расчѐт A( ) .
Таблица 6.1 Значения частот минимумов и максимумов для фильтра Чебышева.
n
min
max m
1 0
1
2 0,707
0; 1
3 0; 0,866
0,5; 1
44
4
5
6
0,383; 0,924
0; 0,588; 0,951
0,259;
0,707;
0,966
0; 0,434; 0,782;
0,975
7
0; 0,707; 1
0,309; 0,809; 1
0; 0,5; 0,866; 1
0,022;
0,901;1
0,623;
6.1.2 Преобразование частотных характеристик фильтра
Для преобразования нормированных A( ) и B( ) в соответствующие
частотные характеристики A( f ) и B( f ) ФНЧ, ФВЧ и ПФ необходимо
рассчитать значения денормированных и преобразованных (в случае ФВЧ и
ПФ) частот, соответствующих нормированным частотам
ФНЧ.
Для ФНЧ осуществляем лишь денормирование частот характеристик
f2
согласно (2.2): f
Для ФВЧ и ПФ используем преобразование частоты и еѐ денормирование
по (2.3), (2.4) (2.7). Тогда для ФВЧ:
1
f2
f
f2
p ;
p
,
(6.7)
в результате чего частотам f будут соответствовать рассчитанные ранее
значения A( p ) и B( p ) .
Для ПФ:
1
( pa
2
1
, f
где
a2
2
р
f0 , a
4 ),
f2
1,
f2
f0
(6.8)
’ - нормированные частоты, соответствующие частотам, f’
расположенным слева от f0 (рис. 2.3а) и геометрически симметричным частотам
f. В результате данного преобразования каждой паре частот f и f’, связанных
f02 , будут соответствовать рассчитанные ранее значения
соотношением f f
A(
p
) и значения
B(
p
).
После преобразования и денормирования частот:
f( р
f) получаем
искомые частотные характеристики A(f) и B(f) фильтра. По результатам расчѐта
строим зависимости рабочего ослабления и рабочей фазы. Убеждаемся в
выполнении технических требований и делаем соответствующие выводы.
Пример 6.1. Выполнить аналитический расчѐт частотных характеристик
A(f) и B(f) ФВЧ по аппроксимированной в примере 3.2 функции
45
T( p )
1
0 ,479
2
2
( p 0 ,716 p 1,3421)( p 1,8746p 1,34 )( p 1,1586)
с f2 = 20 кГц, f1 =10 кГц, A = 1,1 дБ, Amin = 20 дБ.
1. Выберем расчѐтные частоты р:
в ПП – 5 частот (так как фильтр Баттерворта), включая р1 = 0 и р2 = 1:
р — 0; 0,25; 0,5; 0,75; 1.
и в ПН — р = р3 = 2.
1
Найдѐм функцию T , с помощью которой согласно (6.3), (6.4) определим
искомые A( р) и B( р).
1
T
2
р
0 ,479 1,3421
1,3424
p
2
р
j1,8746
р
р
1,1586
j
р
Проведѐм подробный расчѐт на двух частотах р=0 и
0
1
0 ,479 1,3421 1,3424 1,1586 0 ,999 e j0
0, T
.
A
откуда по (6.4)
1
B arg
0
T
и
p
j0 ,716
1
1 T
20 lg
1
T
20 lg 0 ,999
р=1:
0
0 ,479 ( 0 ,3421 j0 ,716 )(0.3424 j1,8746)
( 1,1586
j)
откуда A 20 lg 1,10855
0
1,10855 e j 185 ,
0,896 0,9 дБ
B 1850 .
2. Аналогично производим расчѐты на остальных частотах. Результаты
расчѐта занесѐм в табл.6.2 учитывая, что знак рабочей фазы для ФВЧ будет
отрицательным.
Таблица 6.2 Расчѐтные значения рабочего ослабления и рабочей фазы на
заданных частотах.
0
0,25
0,5
0,75
1,0 2,0
р
4
2
1,333 1
0,5
f (кГц)
80
40
27
20 10
0
0,00032 0,00057 0,0556 0,896 26,9
А (дБ)
В
0
-40,3
-82
-128,4 -185 -336,9
(град)
46
3. Выполним преобразование и денормирование частоты для ФВЧ по (6.7),
заполняя соответствующие графы табл. 6.2 (
и f). Например,
1
0 ,25
4
p
p
f
f 2 4 80 кГц.
4. Построим графики A(f)и B(f) (рис. 6.1) по результатам расчѐта.
Проверка технических требований по табл. 6.2 и рис. 6.1 подтверждает
соответствие аппроксимированной в примере 3.2 T ( p ) техническому заданию.
Рис. 6.1 Графики зависимости рабочего ослабления и рабочей фазы фильтра
верхних частот.
Пример 6.2 Рассчитать A(f) и B(f) ПФ по функции T ( p ) ФНЧ-прототипа,
полученной в примере 3.3:
1
T( p )
4 ,296
2
(p
2
0 ,2694 p 0 ,9772 )( p
0 ,6504 p 0 ,2703 )
с f0 =10 кГц, f’2= 6,93 кГц, f2=14,43 кГц, f3=20 кГц,
f’3=5 кГц, A=1,1 дБ, Amin=28 дБ, a 0,75.
1. Выберем в качестве расчѐтных частот в ПП - частоты экстремумов p max
mи
p min по табл. 6.1 (так как фильтр Чебышева):
p = 0; 0,383; 0,707; 0,924;
1,0 и в ПН - p= = p3 =2.
47
1
4 ,296 ( 0 ,9772
2. Определим функцию T
2
j0 ,2694 p ( 0 ,2703
j0 ,6504 p ,
p )
2
p
)
по которой рассчитаем A( p) и B( p) (6.4). Расчѐтные значения сведѐм в табл.
6.3, учитывая, что рабочая фаза ПФ имеет знак
в зависимости от
расположения частот относительно центральной f0.
3. Выполним преобразование и денормирование частоты для ПФ по (6.8).
Например:
p
f
0 ,383
f0
1
1
( 0 ,383 0 ,75
2
2
2
0 ,75 0 ,383
4)
0 ,8667
10 0,8667 8,667кГц. Здесь а=0,75.
1,1538 1,154
f
f0
10 кГц 1,154 11,54 кГц
.
Заполним соответствующие графы ( , ’, f, f’) табл. 6.3.
4. По результатам расчѐта построим графики рис.6.2 и 6.3. По ним
убеждаемся в выполнении технических требований к ПФ, что свидетельствует
о правильности выполнения этапа аппроксимации в примере 3.3.
Таблица 6.3 Расчѐтные
заданных частотах.
0
p
1
’
1
f’(кГц) 10
f (кГц) 10
A(дБ) 1,1
B(град) 0
значения рабочего ослабления и рабочей фазы на
0,383
0,8667
1,154
8,667
11,54
0
 70,5
0,707
0,769
1,3
7,69
13
1,098
 138,5
0,924
0,714
1,4
7,14
14
0
 197,8
1
2
0,693 0,5
1,443 2
6,93
5
14,43 20
1,1
34,3
 233,12  330,6
48
Рис. 6.2 Графики зависимости рабочего ослабления и рабочей фазы полосового
фильтра.
Рис. 6.3 Графики зависимости рабочего ослабления полосового фильтра в
полосе пропускания.
6.2. Расчёт характеристик фильтра на ЭВМ
6.2.1. Расчёт частотных характеристик фильтра на ЭВМ
Как было отмечено выше, наиболее полной проверкой правильности
расчета спроектированного фильтра является расчет частотных зависимостей
А(f) и В(f) по передаточной функции Т(j ), выраженной через элементы
49
фильтра. Фильтр представляет собой реактивный четырехполюсник лестничной
структуры. С учетом источника сигнала с внутренним сопротивлением R1 и
сопротивления нагрузки R2 полная схема имеет вид, представленный на рис.6.3.
Рис. 6.3 Представление фильтра в виде четырѐхполюсника с лестничной
структурой.
Рабочая передаточная функция такой схемы может быть определена
следующим образом:
R
1
j
2 1
( j ) R2 ,
(6.9)
где
R1
Z1 ( j )
1
1
Y2 ( j )
0
(j )
1
0
1
0
0
|
|
0
0
0
0
Z3 ( j )
1
|
0
0
Y4 ( j )
|
0
0
Zn( j )
1
0
0
1
0
0
0
0
|
0
0
0
0
|
1
G2
Так как двухполюсник в продольных и поперечных ветвях лестничной схемы
являются реактивными, то после раскрытия по строке или столбцу континуант
(jω) будет иметь вещественную и мнимую часть:
В результате выражение (6.9) примет вид:
(j ) =a+jb
2 R1G2
a jb
(6.10)
Рабочее ослабление фильтра с учетом выражения (6.10) может быть
рассчитано так:
T( j )
A(
1
) 20 lg
T( j )
a2 b2
20 lg
2 R1G2
(6.11)
Так как в ряде случаев при проектировании фильтров предъявляются
требования к фазовым характеристикам, то может возникнуть необходимость
проверочного расчета частотной зависимости рабочей фазы В(f) в соответствии
с выражением:
1
b
B( ) arg
arctg
T( j )
a
(6.12)
50
Нахождение континуанта (jω) и расчет вручную в соответствии с
выражениями (6.11) и (6.12) частотных характеристик A(f) и B(f) являются
достаточно громоздкими и длительными по выполнению. Поэтому расчеты
рекомендуется выполнять на ЭВМ в программе MathCAD По следующему
алгоритму:
1.
1. Ввести величины элементов и обозначить j
2. Записать (j▪2•π•f) в соответствии со своей схемой и Т(j▪2•π•f) по
выражению (6.9)
3. Записать формулы для А(f) и В(f) через Т(j▪2•π•f).
4. Построить графики А(f) и В(f), используя графическую палетку.
5. Вычислить рабочие ослабление и фазу на нужных частотах (0.. ,f2 f3)
6. Сделать выводы о выполнении требований к фильтру.
6.2.2 Расчет временных характеристик на ЭВМ
Для расчета временных характеристик, например переходной
характеристики h(t), необходимо получить операторное выражение этой
характеристики H(p)=Tu(p)/p, где Тu(р) — операторный коэффициент
передачи по напряжению разработанного фильтра. Для этого нужно
записать ∆(р) для своей схемы, используя операторные сопротивления и
проводимости продольных и поперечных ветвей фильтра.
Тогда Тu(р)=1/ (р).
Переходная характеристика может быть найдена как оригинал
операторного выражения h(t) + 1/(/ (р)•р).
Для расчета на ЭВМ в программе MathCAD рекомендуется следующий
порядок:
1. Ввести величины элементов и записать (р).
2. Записать формулу для H(p) через (р).
3. Найти h(t), используя методы символического вычисления и обратного
преобразования Лапласа.
4. Построить график h(t), используя графический интерфейс.
6.2.3. Пример расчета
Ниже приведен пример расчета характеристик ФНЧ Чебышева 4 порядка с
A=0,2 дБ, f2=1000Гц, f3=2400Гц,
Amin = 30 дБ с использованием MathCAD 2001.
51
Сначала записывают исходные данные путем присвоения.
1
R1=291, R2=450, L1=0.0605, C2=7,002*10-7, L3=0,0918, C4=4,612*10=7, j
Далее записывают присвоением матрицу схемы фильтра, причем для ускорения
расчетов матрица (континуант) сразу записана в операторном виде.
( p)
R1 pL1
1
0
0
1
pC2
1
0
1
pL3
1
0
0
0
1
рС4
Tu ( p )
1
( p)
Здесь знак
1
R2
используется для вычисления определителя по матрице, потом записывают
присвоением формулу рабочего ослабления.
A( f ) 20 log
1
Tu j 2 f 2
R1
R2
Здесь знак
используется для вычисления
модуля функции. Графики зависимости рабочего ослабления для полос
непропускания и пропускания приведены на рис.6.4 и 6. 5.
Рис.6.4 Графики зависимости рабочего ослабления синтезируемого фильтра.
52
Рис.6.5 Графики зависимости рабочего ослабления синтезируемого фильтра в
полосе пропускания. Далее вычисляют, используя знак равенства, ослабление
на конкретных контрольных частотах:
A( 0)
0.205
A( 1000)
0.195
A( 2400)
33.598
Как видно из графиков и данных вычислений ослабления требования к
фильтру выполняются достаточно хорошо.
Mathcad иногда сразу не считает ослабление, тогда надо вводить
1
промежуточные обозначения. i :
D(f)
2 fi
D1( f)
D( f)
D( 0) 1.647
D1( 0)
A ( f)
1.647
2 0l og
D 1( f)
2
R1
R2
Расчет фазовой характеристики
B( f )
1
arg
T2 fi
B( f)
arg( D( f) )
или
B(0)
0
4
3.2
2.4
1.6
0.8
B( f )
0
0.8
1.6
2.4
3.2
4
B(1000)
0
300
600
3.121
900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000
f
53
График рабочей фазы в радианах .
В инженерной практике расчеты ведут в градусах и график должен быть
непрерывным возрастающим (стремиться к 90-0▪4=3600 по критерию
устойчивости Михайлова). С учетом этого график следует достроить вручную
параллельным переносом
Можно воспользоваться программированием операндом Add Line и if.
B1( 1 00 0)
B( f )
1
arg
1 80
T2 fi
B1( x)
0 if x
0
1
arg
1 80
if 0
B( x)
T 2 xi
1
arg
1 80
3 60 i f B( x)
0
T 2 xi
B1( 1000)
181.166
B1( 0)
B1( 100000)
0
B1( 3000)
329.297
359.122
400
360
320
280
240
B1( x) 200
160
120
80
40
0
0
300 600 900 1200 150018002100 24002700 3000
x
График фазовой характеристики ФНЧ
Для вычисления переходной характеристики использованы следующие
выражения :
H( p )
Tu ( p )
p
H( p ) i nv lap lacep
Здесь используется палетка ―Символика‖, которая дает возможность
получить оригинал по изображению (обратное преобразование Лапласа). Само
выражение h(t) получается очень громоздким, далее показан график этой
функции (рис. 6.6)
h ( t)
[ ( . 60728744 939271255061
. 85680841 975860964597
e xp( 3403. 4027 88444322496
t) c os( 2792. 3879 810124948703
t)
.
54
Рис.6.6 График переходной характеристики h(t) ФНЧ.
Используя переходную характеристику можно выполнить расчет отклика
фильтра u(t) на прямоугольный импульс с амплитудой 1 В и длительностью
4▪10-4 c
u( t)
h( t) if 0
h( t)
h t
t
4 10
4 10
4
4
if t
4 10
4
Здесь применяется палетка ―Программирование‖ и операнд Add Line.
График выходного напряжения показан на рис.6.7
Рис.6.7 График зависимости выходного напряжения при подаче на вход
прямоугольного импульса
Расчет спектров
Расчет спектра амплитуд последовательности прямоугольных импульсов
можно осуществить по формуле
Uk
2
U1
k
sin
k
N
,
где U1=1 B - амплитуда импульсов, N=T/tu=5 –скважность, k– номер
гармоники (1……10) Постоянная составляющая считается отдельно и она
равна U0=U1/N.
Спектр фаз последовательности при выборе начала координат в середине
55
0 if sin k
k
0
N
if sin k
импульса определяется выражением
При выборе начала координат в начале импульса
необходимо добавлять к фазе каждой гармоники
слагаемое ( 2• •k•f1•tu/2).
0
N
Выходные спектры определяются выражениями
Ubk
Uk Tu 2
bk
k
k f1 j ,
d1k
arg Tu 2
k f1 j
,
d1k ,
где f1 – частота следования импульсов (частота 1 гармоники).
0.4
0.36
0.32
U k 0.28
0.24
0.2
Ub k 0.16
0.12
0.08
0.04
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k k
f
1
500
Гц
fK=к▪f1
Амплитудно- частотный спектр последовательности прямоугольных
импульсов на входе и выходе ФНЧ при скважности 5, амплитуде 1 В и
граничной частоте ПП 1000 Гц. Здесь нет U0 , ее надо дорисовать
4
3.4
2.8
2.2
k
1.6
1
b k 0.4
0.2
0.8
1.4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Спектры фаз входной и выходной последовательности импульсов
Сигнал на выходе ФНЧ рассчитывается по формуле
10
u2( t)
Uo Tu( 0)
Ubk cos 2
k
1
k f1 t
bk
56
Рис. 6.8 Графики напряжения на входе фильтра (1) и выходе фильтра (2) .
Для ФВЧ и ПФ Т(0)=0, поэтому на выходе не будет постоянной
составляющей.(следует исключить это слагаемое в расчетной формуле
выходного напряжения).
Пример исследования ФНЧ в EWB-5.
Характеристика ослабления ФНЧ
57
Отклик ФНЧ на последовательность импульсов
Примерный вид переходной характеристики для ФВЧ
7. ПРИЛОЖЕНИЯ
7.1. ЗАДАНИЕ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ ПО ОТЦ-3 “РАСЧЕТ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ ПО РАБОЧИМ ПАРАМЕТРАМ”
1. Спроектировать электрический фильтр по заданному варианту.
2. Получить с учетом нагрузочных сопротивлений формулы коэффициента
передачи фильтра Т(р) и рабочего коэффициента передачи Тр(р) через
денормированные величины элементов.
3. Рассчитать Ар и Вр через полученный рабочий коэффициент передачи Тр(р)
при р=jω.
4. Рассчитать спектр последовательности прямоугольных импульсов на входе
фильтра с параметрами : напряжение (э.д.с.) источника сигнала Uи=1 В,
скважность N=T/tи=5, частота следования импульсов fи=0,5f2 для ФНЧ, 0,5f3
для ФВЧ, 0,5f0 для ПФ (не менее 10 гармоник).
5. Рассчитать спектр последовательности прямоугольных импульсов на выходе
фильтра через полученный коэффициент передачи Т(jω) (10 гармоник).
6. Построить последовательность импульсов на выходе как сумму
рассчитанных гармоник.
7. Рассчитать переходную характеристику фильтра h(t), используя полученный
коэффициент передачи Т(р).
58
8. Построить импульс на выходе фильтра, используя h(t) и h(t-tи) и сравнить с
полученными импульсами по п .6.
7.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАНИЕ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ ПО ОТЦ-3
(для СНИР)
9. Рассчитать Ар и Вр фильтра при отклонении величин элементов на
+10% и –10% и сравнить с номинальной характеристикой.
10. Рассчитать Ар и Вр с учетом потерь в катушках индуктивностей.
11. Рассчитать Ар и Вр с учетом температурных коэффициентов L
катушек и C конденсаторов.
12. Рассчитать Ар и Вр с учетом отклонений нагрузочных сопротивлений
на +,-20%.
13. Рассчитать на выходе фильтра спектр и форму импульса с частотным
заполнением (f=0.5f2; f=f3 … ).
Литература
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические
цепи. М.: Гардарики, 1999, с. 167-180.
2. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей -М.:
Радио и связь, 2000, с .443-474.
3. Ханзел Г. Справочник по расчету фильтров. М.: Сов. Радио, 1974. 288с.
4. Попов П.А. Ускоренный синтез симметричного реактивного
четырехполюсника. Радиотехника, т. 29, N 11, 1974.
5. Соколов В.Ф., Клиентова Т.Г., Членова Е.Д. Расчет фильтров по
рабочим параметрам. Методическая разработка к курсовой работе по ТЭЦ,
ПИИРС, 1992, 68с.
6. Алексеев А.П. Информатика 2001. –М.: Солон - Р, 2001, с. 269-329.
7. Дубинин А.Е., Михайлов В.И., Цаплин Н.Н., Членова Е.Д. Расчет
электрических фильтров по рабочим параметрам. Учебное пособие к курсовой
работе, ГОУВПО ПГАТИ, Самара,2005.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
62
Размер файла
2 072 Кб
Теги
rabochih, parametrov, chlenova, 2010, filtrov, mihailo, elektrich, raschet
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа