close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Mihaylov Metod ukaz k prakt zanyat po 3 ch kursa OTC

код для вставкиСкачать
Федеральное агентство связи
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ
ЭЛЕКТРОННАЯ
БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА
Самара
Поволжская Государственная академия телекоммуникаций и
информатики
Кафедра ТОРС
Методические указания к практическим занятиям
по 3 части курса Основы теории цепей
Для студентов специальностей СС и СК, МТС, РТС
Составители: к.т.н., доц. Михайлов В.И.
Самара, 2011
2
1. Реактивные двухполюсники
Реактивными называются двухполюсники, состоящие только из
реактивных элементов: индуктивностей и ѐмкостей. Так как активных
сопротивлений в этих схемах нет, то комплексное сопротивление реактивных
двухполюсников не содержит активной составляющей и является мнимым: Z=±
jX, то есть содержит только реактивную составляющую. Реактивные
двухполюсники представляют собой идеализированную модель реальных
двухполюсников, составленных из катушек индуктивностей и конденсаторов.
Если на вход реактивного двухполюсника подать гармоническое
колебание и менять его частоту, то сопротивление двухполюсника на разных
частотах будет иметь различные значения. Зависимость комплексного
сопротивления Z(jω) от частоты называется частотной характеристикой
реактивного двухполюсника.
Значение частоты ω, при котором функция сопротивления двухполюсника
обращается в нуль, называется нулями входного сопротивления. Значение
частоты ω, при которых функция сопротивления равно бесконечности,
называется полюсами функции сопротивления. Нули на графиках обозначают
кружочками, полюсы – крестиками.
Во многих случаях, характеризуя частотную зависимость сопротивления
реактивного двухполюсника, можно ограничиться графиком, который
определяет лишь частоты нулей и полюсов сопротивления. Его называют
характеристической строкой двухполюсника (или полюсно–нулевыми
диаграммами).
В зависимости от характера сопротивления на концах частотного
диапазона (ω=0 и ω= ), двухполюсники можно разделить на четыре класса.
Нумерация класса условна и состоит из двух цифр (0 и ). Первая цифра
класса определяет величину сопротивления на частоте ω=0, вторая - на
частоте ω= .  Выберем здесь следующую нумерацию классов: 1 класс: (0, ); 2
класс: ( ,0); 3 класс (0,0); 4 класс ( , ). Нули и полюсы сопротивления
двухполюсника можно разделить на внешние, определяемые классом, и
собственные (внутренние), определяемые резонансами. Частоты резонанса
напряжений являются нулями сопротивления двухполюсника, а частоты
резонанса токов – полюсами.
Характеристические строки двухполюсников указанных 4-х классов
приведены на рисунке 1. Здесь внешние нули и полюсы выделены скобками для
наглядности.
3
0
Z( j )
0
Z( j )
1
2
3
0
Z( j )
4
а)
1
2
1
в)
3
4
б)
0
Z( j )
3
2
1
2
3
г)
Рис. 1.1 Характеристические строки двухполюсников
Входное сопротивление любого реактивного двухполюсника может быть
представлено через резонансные частоты в виде формулы Фостера. Теорема
была опубликована Р.М. Фостером в 1924г. (США).
Для двухполюсника 1 класса (рисунок 1.1 а) формула Фостера имеет вид
Z ( p)
2
2
2
1
(
pH
(
p 2 )(
p 2 )(
2
4
2
3
p2 )
,
p2 )
(1.1)
для двухполюсника 2 класса (рисунок 1.1 б)
Z ( p)
2
1
2
2
H(
p(
p 2 )(
p 2 )(
2
3
2
4
p2 )
,
p2 )
(1.2)
для двухполюсника 3 класса (рисунок 1.1 в)
Z ( p)
pH
2
2
2
(
(
2
1
p2 )
p )(
2
3
p2 )
,
(1.3)
для двухполюсника 4 класса (рисунок 1.1 г)
Z ( p)
H(
p
2
1
p 2 )(
(
2
2
2
3
2
p )
p2 )
,
(1.4)
для любого класса Н>0, ω1<ω2<ω3<ω4 . Частотную зависимость
сопротивления получим, заменив p=jω, p2=-ω2.
Основные общие свойства реактивных двухполюсников вытекают из
формулы Фостера.
1) Если известно расположение нулей и полюсов реактивного
двухполюсника (т.е. известна характеристическая строка), его частотная
характеристика определяется с точностью до постоянного множителя Н.
2) Нули и полюсы сопротивления, т.е. частоты резонансов напряжений и
токов чередуются. Это же относится и к нулям и полюсам класса.
3) В зависимости от величины сопротивления двухполюсника на частоте
ω=0 множитель jω записывается либо в числителе (для 1 и 3 классов), либо в
знаменателе (для 2 и 4 классов).
4
4) В числителе Z(jω) стоят скобки с частотами резонансов напряжений,
которые являются нулями входного сопротивления. В знаменателе Z(jω)
стоят скобки с частотами резонансов токов (полюсов сопротивления).
5) Входное сопротивление Z(jω) возрастает (в алгебраическом смысле) с
ростом частоты, т.е.
Z( j )
d
j
d
(1.5)
0
Каноническими
называются
схемы,
построенные
по
заранее
определенному правилу. В теории реактивных двухполюсников применяются в
основном две канонические схемы Фостера и две канонические схемы Кауэра.
Это эквивалентные схемы, имеющие минимальное число индуктивностей и
ѐмкостей при заданной функции сопротивления. Число n элементов
канонических схем минимально и на единицу больше числа резонансов.
L
L1
1
L0
3
а)
L1
L3
C2
C2
L5
C4
2
L2 L
4
C3
C1
C4
C2
L3
L1
4
б)
C4
L3 L5
в)
г)
Рис. 1.2. Канонические схемы
Канонические схемы двухполюсников, соответствующие рисунку 1.1а
представлены на рисунке 1.2 (на рис. а) и б) – канонические схемы Форестера,
на рис. в) и г) – канонические схемы Кауэра).
L
C0

C1
C3
L1
1
L1 L
3
C1
а)
L1
C2
L3
C4
C1
б)
C3
L2
L4
в)
г)
Рис.1.3 Канонические схемы
5
Канонические схемы двухполюсников, соответствующие рисунку 1.1г
представлены на рисунке 1.3 (на рис. а) и б) – канонические схемы Форестера,
на рис. в) и г) – канонические схемы Кауэра).
L1
L3
C2
C4
C1
L3 L
5
а)
L2
C1
C4
C2
C0
L4
C3
C5
L1
б)
C2
C4
L3
L5
в)
г)
Рис. 1.4. Канонические схемы
Канонические схемы двухполюсников, соответствующие рисунку 1.1б
представлены на рисунке 1.4 (на рис. а) и б) – канонические схемы Фостера, на
рис. в) и г) – канонические схемы Кауэра).
Канонические схемы двухполюсников, соответствующие рисунку 1.1в
представлены на рисунке 1.5 (на рис. а) и б) – канонические схемы Фостера, на
рис. в) и г) – канонические схемы Кауэра).
C5
C3
L3
L1
C2
L5
L1
C4
C2
L4 L
6
C6
а)
L2
C1
C3
L4
L5
C5
L1
б)
C2
C4
L3
L5
в)
C6
г)
Рис. 1.5. Канонические схемы
Реализация 1-ой формы Фостера основана на представлении Z(p) в виде
суммы слагаемых вида (1.6). Здесь А0, А , Ак – вычеты Z(p) в полюсах,ω=0,
ω= , ω=ωk, ωk - частота собственного полюса Z(p) или частота резонанса
токов.
6
Z ( p)
A
lim
p
1
Z ( p)
p
p
A
k
L ; A0
2
2
k
lim
2
2
p
A p
k
2
2
(k ) p
k
A0
p
pA
lim
p Z ( p)
p 0
1
Z ( p)
p
k
Ck
(1.6)
C0
1
2C
k k
,L
k
Таблица 1. Простейшие реактивные двухполюсники и их свойства
C
L
C
L
L
C
1
LC
1
1
LC
2
Z(p)=pL
Z(jω)=jωL
Y(p)=1/(pL)
Класс 0 Z
j
Z(p)=1/pC
Z(jω)=1/ jωC
Y(p)=pC
Класс - 0
Z
j
0
0
Z ( p)
1
pC
pL
L( p 2
2
1
1
pC
1
pL
pC
pL
Z ( p)
)
p
Z( j )
Y ( p)
H(
2
1
2
p
j
( p2
1
C
p2
1
p
L
Класс
2
2
j H
Z( j )
2
1
2
2
)
-
Y ( p)
Z
j
0
)
2
C( p2
2
2
)
p
Класс 0 – 0
1


Z
j
1
0


7
Задача 1.
Дано:
Z
j
0




ω1= 2 рад/с; ω2= 3 рад/с; Н=1.
Определить: класс; Z(p); Z(j ω); число элементов; канонические схемы.
Решение:
1. Класс - 0.
2. Входное сопротивление имеет вид (см. 1.2):
Z ( p)
H ( p2
p( p 2
2
1
2
2
p2 4
p( p 2 9)
)
)
3. Число элементов Nэ= Nрез+1=2+1=3
4. Канонические схемы:
1 Фостера
2 Фостера
1 Кауэра
2 Кауэра
Задача 2.
Дано:
L2
С1
С3
L4
С5
L6
L8
С7
Определить: класс; частотную строку; Z(p); канонические схемы.
8
Решение:
1. Класс 0 – 0, так как при ω=0 схема замещения имеет следующий вид:
С1
С3
С5
С7
, следовательно, Z=0;
при ω
схема замещения следующая:
L2
С1
С3
L4
L6
С5
L8
С7
и Z=0.
2. Определяем число резонансов: Nр=Nэ-1=8-1=7. С учетом свойства 2
строим частотную строку
      
.
3. В соответствии со свойствами 3 и 4 определяем Z(p):
Z ( p)
2
2
2
2
2
Hp( p 2
2 )( p
4 )( p
6)
.
2
2
2
2
2
2
2
( p2
1 )( p
3 )( p
5 )( p
7)
4. Канонические схемы:
1 Фостера
.
2 Фостера
.
Заданная по условию схема составлена по 1 форме Кауэра.
2 Кауэра
.
9
Задача 3.
Дано: Z ( p)
( p 2 1)( p 2 3)
p ( p 2 2)
p4
4 p2 3
.
p3 2 p
Требуется произвести синтез:
1. По первой и второй формам Фостера.
2. По первой и второй формам Кауэра.
Решение:
1.
Синтез по первой форме Кауэра (разложение в цепную дробь Z(p)
по убывающим степеням).
р4+4р2+3 р +2р
р4+2р2
р
Z(L) См. Табл. №1
3
2
р +2р 2р +3
р3+1,5р 0,5р
Y(C) См. Табл. №1
2р2+3 0,5р
2р2
4р
Z(L) См. Табл. №1
0,5р 3
0,5р 0,16р
Y(C) См. Табл. №1
0
3
Цепная дробь имеет вид:
Z ( p)
p4
4 p2 3
p3 2 p
1
p
1
0,5 p
4p
.
1
0,16 p
Данной дроби соответствует лестничная структура схемы двухполюсника:
1Гн
4 Гн
0,5Ф
0,16Ф
Синтез по второй форме Кауэра (разложение в цепную дробь по
возрастающим степеням р.)
3+4р2+р4 2p+р3
3+1,5р2 1,5/p
Z(C)
3
2p+р
2,5р2+p4
2p+0,8р3 0,8/p
Y(L)
3
2
4
3,2р
2,5р +p
2,5р2
Z(C)
0,78/p
4
3
p
3,2р
3,2р3 3,2/p
Y(L)
0
10
Цепная дробь и соответствующая ей схема двухполюсника имеют вид:
1/1,5Ф 1/0,78Ф
1/0,8Гн
1,5
p
Z ( p)
1/3,2Гн
1
0,8
p
1
0,78
p
1
3,2
p
Синтез по первой форме Фостера (разложение на элементарные
дроби функции сопротивления двухполюсника.
2.
( p 2 1)( p 2 3)
p ( p 2 2)
Z ( p)
K0
p
K p
K1 p
p2 2
Каждая дробь реализуется простейшим двухполюсником (см. таблицу 1).
Схема двухполюсника по первой форме Фостера имеет вид:
1
C2
L2
L1
2
2
K
C1
1
K0
1
K1
C2
Определяем коэффициенты разложения:
K
K0
K1
lim
p
Z ( p) p
lim
p 0
Z ( p )( p
lim
2
p
2
2
1)( p 3)
2 2
p ( p 2)
(p
Z ( p)
lim
p
p
p
2
2
lim
p 0
2
1)( p 3)
2
( p 2)
2)
(p
(p
2
1
l lim
2
p
2
2
3
2
2
2
1)( p 3)( p 2)
2 2
p ( p 2)
1
2
Таким образом, L1=1 Гн, С1=2/3 Ф, С2=2 Ф, L2=0,25 Гн.
Синтез по второй форме Фостера (разложение на элементарные дроби
функции проводимости Y(p)).
11
p ( p 2 2)
( p 2 1)( p 2 3)
Y ( p)
K1 p
p2 1
K2 p
p2 3
В соответствии с таблицей 1 схема двухполюсника имеет вид:
L1
L2
C1
C2
L1
1
; C1
K1
L2
1
; C2
K1
K1
K2
1
;
2
1 L1
2
1
1
;
L2
2
2
2
2
p
2
1
lim
Y ( p)
2
p
1
3.
p
lim
2
p
p
p
1;
2
3
lim
Y ( p)
2
p
3
p
1
p
2
2
p
lim
2
p
3
p
2
2
2
0,5 ,
3
2
0,5
1
таким образом, L1=2 Гн, С1=0,5 Ф, L2=2 Гн, С2=1/6 Ф.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1.
Дано:
1 Гн
1 Гн
1 мкФ
Для заданного реактивного двухполюсника определить функцию Z(p)
входного сопротивления.
Задача 2.
Дана функция Z(p) реактивного двухполюсника
Z ( p)
H
( p2
p( p 2
2
1
)( p 2
2
2
2 )( p
2
3
)
.
)
2
4
Определить частотную зависимость его сопротивления Z(jω)/j.
Задача 3.
Дана функция Y(p) входной реактивности двухполюсника в виде цепной
дроби
12
Y ( p)
1
0,5 p
.
1
0,1 p
1
0,4 p
1
4
p
Определить схему.
2. Определение параметров-коэффициентов простых и сложных
четырехполюсников
Под четырехполюсником понимают электрическую цепь, которая
соединяется и взаимодействует с другими цепями только через 4 вывода
(зажима, полюса).
Теория четырехполюсников (ЧП) первоначально возникла как теория
электрических компонентов с двумя парами зажимов (электронных ламп),
соотношения между токами и напряжениями которых невозможно установить
на основе законов Кирхгофа, а возможно лишь при помощи уравнений
передачи, коэффициенты которых являются параметрами этих компонентов,
полностью определяющими их электрические свойства. В дальнейшем такой
подход оправдал себя и в применении к электрическим цепям с двумя парами
зажимов и известной схемой замещения.
В настоящее время форма записи систем уравнений передачи
стандартизована. Для обозначенных на рисунке 2.1 направлений токов и
напряжений стандартная форма записи систем уравнений передачи приведена
ниже:
U1
Z 11 I 1 Z 12 I 2
U2
Z 21 I 1 Z 22 I 2
I 1 Y 11U 1 Y 12U 2
I 2 Y 21U 1 Y 22U 2
U1
A11U 2
A12 ( I 2 )
I1
A12U 2
A22 ( I 2 )
- система Z –параметров,
- система Y –параметров,
система А – параметров,
U2
B11U 1 B12 ( I 1 )
I2
B 21U 1 B 22 ( I 1 )
система В – параметров,
1
I1
I2 2
U1
1'
U2
2'
Рис. 2.1. Условное изображение ЧП
U1
H 11 I 1 H 12U 2
I2
H 21 I 1 H 22U 2
система H –параметров,
13
I 1 F 11U 1 F 12 I 2
U 2 F 21U 1 F 22 I 2
система F –параметров.
Совокупность коэффициентов каждой системы уравнений передачи
составляет систему параметров-коэффициентов соответствующего вида.
Параметры-коэффициенты являются входными или передаточными (либо
обратными передаточным) функциями ЧП в режимах холостого хода или
короткого замыкания. Смысл каждого параметра-коэффициента легко
проясняется из опытов XX или КЗ. Так, смысл Z -параметров раскрывается в
опытах XX, за что они иногда называются параметрами «холостого хода»:
При I1=0 Z12=U1/I2 – передаточное сопротивление при передаче от зажимов
2-2' к зажимам 1-1' и разомкнутых зажимах 1-1', Z22=U2/I2 – входное
сопротивление со стороны зажимов 2-2' при XX на зажимах 1-1' и т.д.
Смысл Y-параметров выясняется в опытах короткого замыкания, смысл
других параметров определяется из комбинации опытов XX и КЗ.
Определение параметров-коэффициентов сложных четырехполюсников
зависит от вида соединения. Различают следующие виды соединений:
1. Последовательное.
2. Параллельное.
3. Последовательно-параллельное.
4. Параллельно-последовательное.
Соединение ЧП называется регулярным, если после его осуществления для
всех пар зажимов соединенных ЧП сохраняется справедливым соотношение:
ток одного провода пары равен и противоположен току другого провода пары.
Как видно из рисунка 2.2, при последовательно-параллельном и
параллельно-последовательном соединениях у одного из соединяемых ЧП для
обеспечения регулярности соединения приходится с одной стороны скрещивать
зажимы, что эквивалентно изменению знака тока и напряжения скрещиваемой
пара зажимов. Так как на другой паре зажимов скрещивания нет, то происходит
изменение знака на противоположный передаточных функций данного ЧП (в
частности H12,H21, F12 и F21). Поэтому для последовательно-параллельного и
параллельно-последовательного соединений рисунка 2.2 параметры сложного
ЧП следует вычислять по формулам:
H = H1 + H 2
F
F1
F2
/
//
/
//
( H 11 H 11 )( H 12 H 12 ) , (2.1)
=
СКР
/
//
/
//
(H
скр
21
H
21
)( H
H
22
22
(F
11
F
11
)( F
12
F
12
)
(F
21
F
21
)( F
22
F
22
)
)
, (2.2)
где штрихом обозначены параметры 1-го, а двумя штрихами – 2 - го ЧП.
14
1
1
1
2
1
1'
1
2
1
2
1'
2'
1'
2
2'
2'
2
1
1'
2
2'
1'
1'
1'
1
2
1
2'
2'
2
1'
2
2
2
1
2'
1
2'
2
2
1'
1
1
2'
1' 1'
2
последовательное
2
1
2
1
параллельное
1
2'
2'
1'
2'
последовательно –
параллельно –
параллельное
последовательное
Рис. 2.2. Примеры соединения ЧП
В случае последовательного и параллельного соединений, показанных на
рис. 2.2, Z- и Y- параметры сложного ЧП определяются по обычным
формулам:
Z
Z1
Z2
( Z 11 Z
11
(Z
21)( Z
22
//
/
21
Z
/
Y
Y1
Y2
)( Z 12
Z
12
)
Z
22 )
, (2.3)
//
(Y 11 Y 11 )(Y 12 Y 12 ) . (2.4)
/
//
/
//
(Y 21 Y 21 )(Y 22 Y 22 )
Параметры сложного ЧП, полученного каскадным соединением двух
других, определяются по формулам:
A
=
A1
A2
//
//
//
//
A 11 A 12
А11 А12
A 21 A 22
А 21 А 22
( A 11 A 11
A 12 A 21)( A 11 A 12
A 12 A
( A 21 A 11
A 22 A 21)( A 21 A 12
A 22 A
22
)
=
, (2.5)
22
причѐм порядок матриц в произведении соответствует порядку ЧП в
соединении (рис. 2.3).
1
2
А1
1'
2
1
А2
2' 1'
2'
Рис. 2.3. Каскадное соединение ЧП
15
Задача 1.
Дано:
20 Ом
1
1)
40 Ом 2
I1
U1
10 Ом
1
I2
U 2 2) U I 1
30 Ом
1
1'
2'
1'
2
I2
20 Ом
U2
2'
1. Определить [Z] – параметры каждого четырехполюсника.
2. Составить последовательное
регулярное
соединение
четырехполюсников и определить его [Z] – параметры.
заданных
Решение:
Используя режим «холостого хода» определяем [Z] – параметры:
Для первого четырехполюсника:
Z 11
Z 12
Z 21
Z 22
U1
I1
U1
I2
20 30
50 Ом
I2 0
30
I1 0
I 2 30
I2
U2
I1
30
I2 0
I 1 30
I1
U2
I2
I1 0
Ом
,
40 30
Z1
Ом
50 30
. Убеждаемся, что Z12=Z21.
30 70
70 Ом
Для второго четырехполюсника:
Z 11
Z 12
Z 21
Z 22
U1
I1
U1
I2
U2
I1
U2
I2
10 20
30 Ом
20
I1 0
I 2 20
I2
I2 0
I 1 20
I1
I2 0
Ом
, Z2
20
Ом
30 20
20 20
.
20 Ом
I1 0
2. Составляем последовательное соединение:
16
1 1 20 Ом
40 Ом 2 2
20 Ом
1
40 Ом 2
30 Ом
1'
1' 1
30 Ом
2'
2 2'
10 Ом
20 Ом
10 Ом
20 Ом
1'
1'
2'
2'
Результирующие [Z] – параметры полученной схемы:
Z
Z1
80 50
Z2
.
50 90
Задача 2.
Дано:
I 1 10Ом I 2
1
1)
U1
2 Ом
2
4 Ом U 2)
2
2'
1'
4 Ом
1
I1
U1
2
2 Ом
I2
U2
1'
2'
1. Найти [Y] – параметры для каждого четырехполюсника.
2. Составить параллельное соединение и определить результирующие [Y]
– параметры.
Решение:
1.
Используя систему уравнений [Y] – параметров и режим
«короткого замыкания» находим.
Для первого четырехполюсника:
Y 11
Y 12
Y 21
Y 22
I1
U1 U
2
I1
U2 U
I2
U1 U
1
2
I2
U2 U
1
0
1
2
1
10
6
10
0
U 2 / 10
U2
1
10
0
U 1 / 10
U1
1
10
0
1
4
1
10
7
20
Сим
0,6
0,1
Сим
, Y1
0,1
0,35
Сим
0,6
0,1
0,1 0,35
.
Сим
Для второго четырехполюсника:
17
Y 11
Y 12
Y 21
Y 22
I1
U1 U
2
I1
U2 U
I2
U1 U
1
2
I2
U2 U
1
1
4
0
0
U2 /4
U2
0
U1 / 4
U1
1
2
0
Сим
0,25
0,25
Сим
0,25
, Y2
0,25
1
4
3
4
0,25
Сим
0,25
0,75
.
Сим
0,75
Составим регулярное параллельное соединение:
2.
10 Ом
4 Ом
2 Ом
1
2
4 Ом
10 Ом
1
2 Ом
4 Ом
2 Ом
1'
4 Ом
2
2 Ом
2'
1'
Результирующие
Y
Y1
[Y]
0,85
Y2
0,35
0,35
1,1
–
2'
параметры
.
определяем
как
.
Убеждаемся, что Y12=Y21.
Задача 3.
Дано: R1=R2=100 Ом.
1
1)
2
I1
U1
1'
R1
I2
U2
2'
1
2)
I1
U1
1'
R2
2
I2
U2
2'
.
Найти:
1. [A] –параметры каждого четырехполюсника.
2. Составить каскадное соединение и найти результирующие [A] –
параметры.
Решение: используя режимы «холостого хода» и «короткого замыкания»
находим из системы уравнений [A] –параметры.
Для первого четырехполюсника:
18
A11
A12
A21
A22
U1
U2
1
( I2 ) 0
U1
I2
I1
U2
0, т.к.
I1
1
R
I1 R
( I2 ) 0
I1
I2
U1
0
U2 0
, A1
1
100
0,01
Сим
1
0
0,01 1
,
1.
U2 0
убеждаемся, что A11 A22 A12 A21 1 0 1 .
Для второго четырехполюсника:
A11
A12
A21
A22
U1
U2
1
( I2 ) 0
U1
I2
I1
U2
( I 2 ) R2
I2
U2 0
R2
100
Ом
, A2
0
1 100
,
0 1
( I2 ) 0
I1
I2
1.
U2 0
убеждаемся, что A11 A22 A12 A21 1 0 1 .
2. Составим каскадное соединение:
R2
1
2
R1
2'
1'
Определим A
A1
1
A2
.
0
0,01 1
1 100
0
1
1
100
0,01
2
.
Проверяем A11 A22 A12 A21 2 1 1.
Задача 4.
Дано:
1
200 Ом
2
300 Ом
1'
2'
Определить: H12, F12.
19
Решение:
Из системы уравнений [H] – параметров находим:
H 12
U1
U2
I1 0
I 300
U2
(
U2
) 300
300 200
U2
300
300 200
3
5
0,6.
Из системы уравнений [F] – параметров находим
F 12
I1
I 2 U1
0
I1
I1
1.
3. Характеристические параметры четырехполюсников
К характеристическим параметрам относятся:
- характеристические сопротивления четырехполюсника Zc1, Zc2;
- характеристическая мера передачи Гс.
Характеристические параметры обладают свойствами, которые позволяют
построить весьма эффективную методику расчѐта таких сложных обратимых
четырѐхполюсников, как двухпроводные двухсторонние каналы связи,
электрические LC—фильтры, магазины ослабления (затухания). И хотя в
настоящее время значение расчѐта LC -фильтров по характеристическим
параметрам в значительной мере уменьшилось, знание свойств
характеристических параметров обратимых четырѐхполюсников сохраняет своѐ
значение в системе электротехнического образования инженера электросвязи.
Характеристические параметры вводятся для обратимых четырѐхполюсников с сосредоточенными параметрами как аналоги волновых параметров
однородных линий с распределѐнными параметрами (волнового сопротивления
и меры передачи). Через параметры XX и КЗ они выражаются соотношениями:
С1
1
,
1
(3.1)
С2
2
,
2
(3.2)
th
C
1
2
1
2
(3.3)
Разрешая (3.3) относительно
С
С
, получаем формулу, удобную для расчѐта
:
С
1 1
ln
2 1
1
1
1
1
(3.4)
Из (3.3) видно, что условием обратимости в характеристических
параметрах является равенство С 21
С12
С
20
Характеристические сопротивления обладают свойством, выражаемым
соотношениями:
при 2
ВХ1
С1
С2 ,
(3.5)
при 1
ВХ 2
С2
С1 ,
(3.6)
1 U1 I1
ln
2 U2 I2
Гс
где
1
и
2
(3.7)
Z н Z c2
сопротивления нагрузки четырѐхполюсника (см. рисунок 3.1)
Z вх1
1
Z c1
2
Z c1 , Z c2
Z2
Гс
1'
1
Z1
Z c2
2'
Z c1
1'
Z c1 , Z c2
Гс
2
Z вх2
Z c2
2'
Рис 3.1. Характеристические сопротивления четырехполюсника
Каскадное соединение четырѐхполюсников называется согласованным по
характеристическим сопротивлениям, если характеристические сопротивления
четырѐхполюсников со стороны соединяемых зажимов равны между собой.
Согласованное соединение четырѐхполюсников замечательно тем, что
характеристические параметры образующегося в результате соединения
сложного четырѐхполюсника весьма просто определяются по характеристическим параметрам входящих в соединение четырѐхполюсников, а именно:
1) характеристические сопротивления сложного четырѐхполюсника равны
характеристическим
сопротивлениям
крайних
в
соединении
четырѐхполюсников со стороны зажимов сложного четырѐхполюсника;
2) характеристическая мера передачи сложного четырѐхполюсника равна
сумме характеристических мер передачи входящих в соединение
четырѐхполюсников:
n
С
СК
к 1
(3.8)
где n - число соединѐнных четырѐхполюсников.
Эти свойства лежат в основе синтеза сложных четырѐхполюсников по
характеристическим параметрам и иллюстрируются рис.3.2.
1
'
1'
Z c2
"
"
Z c2
"
Z c1 , Z c1
'
Z c1 , Z c1
Г с1
Z c2
'
Z c1
'
2
"
Z с2 Z с1 Г с
2
Г с Г с1 Г с2
2'
Рис 3.2. Каскадное согласованное соединение четырехполюсников
21
Незаданный параметр системы XX и КЗ рассчитывается по трѐм заданным
из условия обратимости.
Характеристические параметры по известным параметрам XX и КЗ
рассчитывается при помощи формул (3.1) (3.2) и (3.4).
Характеристические сопротивления сложного четырѐхполюсника, полученного при помощи согласованного соединения, определяются на
основании первого свойства такого соединения, а характеристическая мера
передачи - по формуле (3.8), выражающей второе свойство согласованного
соединения четырехполюсников. В общем случае С -комплексная величина
однако в данной работе применяются резистивные
j C ,
С
С
четырѐхполюсники, у которых С 0 и С
характеристическое
С
С . где
ослабление. Формулы (3.4), (3.8) дают величину С в единицах, называемых
"неперы" (Нп).
Относительное различие в процентах двух величин А и В, имеющих
одинаковые знаки, рассчитывается по формуле:
200 %
(3.9)
Задача 1.
Дано:
R
C
L
, R= 100 Ом, ХL= 200 Ом, Хс= 100 Ом.
Определить:
1. Параметры ХХ и КЗ: Z 1x , Z 1к , Z 2 x , Z 1к .
2. Характеристические параметры: Z с1, Z с1, Г с , Ас , Вс .
Решение:
1. Z 1x Z 1вx при разомкнутых зажимах 2-2’,
Z 1x R jX L 100 j 200 .
Z 1к Z 1вx при замкнутых зажимах 2-2’
Z 1k
R
jX L ( jX c )
jX L jX c
100
j 200 ( j100 )
j 200 j100
Z 2x
Z 2вx при разомкнутых зажимах 1-1’
Z 2x
jXc jX L
j100 j 200 j100 .
Z 2к
Z 2вx при замкнутых зажимах 1-1’
R jX L
100 j 200
Z 2к
jX c
j100
R jX L
100 j 200
100
80
j 200 .
j 60 .
2. По формулам 3.1, 3.2 определим характеристические сопротивления.
22
Z 1c
Z 1k Z 1x
Z 2c
(100
Z 2k Z 2 x
j 200 )(100
j100 (80
224 .
j 200 )
j 60) 100 e j 26.5

По формулам 3.3, 3.4 определяем
Z 2k
Z 2x
th( Г с )
80
1 1 th ( Г С )
ln
2 1 th ( Г С )
С
0,243
j
4
j 60
j100
100 e j 37
e
100 e j 90
1 1 0,446
ln
2 1 0,446
0,243
j 0,785
j 63, 5 
j 0,895
j 0,895
Ас
j 0,895 .
0,446
1
ln 1,63e
2
j
2
1
(ln 1,63
2
j )
2
jВс
Ас=0243 Нп или Ас=0,243 8,68=2,1 дБ
Вс=-0,785 рад.
1 Нп = 8, 68 дБ
1 дБ= 0,115 Нп
Задача 2.
Составить две схемы каскадного согласованного соединения из
двух одинаковых четырехполюсников (см. задача 1).
Определить характеристические параметры сложного соединения.
1.
2.
Решение:
Учитывая принцип согласования, получим следующие две схемы:
1
Z
R
C
'
c1
'
C
1
R
"
L Z c2
1'
Z c1
Z
L
2' 2'
Z c2
'
Z c1
'
Z c2
Z c1
2 2
"
224 Ом
"
100 e j 26Ом.
"
c2
1'
После объединения емкостей получим
1
Z c1
1'
C/2
R
L
R
L
2
Z c2
2'
Характеристические параметры полученного четырехполюсника
23
Z c1
Z c1
'
100 e j 26Ом
Z c2
Z c2
"
100 e j 26Ом
Ac
Ac1
Ac 2
Вс
Вc1
Вc 2
0,486 Нп или
0,243 2
Ас
1,57 рад или
0,785 2
4,2дБ
Вс
2
.
II Вариант.
C
2
R 1 1 R
'
c1
Z
L
Z
'
c2
2'
Z
C
"
c1
2
Z
L
1' 1'
Z c2
'
Z c1
'
Z c2
Z c1
"
100 e j 26Ом
"
224 Ом.
"
c2
2'
.
После объединения R
C
2
C
2R
Z c1
L
2
Z c2
L
2'
2'
.
Характеристические параметры имеют вид:
Z c1
Z c1
'
224 Ом
Z c2
Z c2
"
224 Ом
Ac
Ac1
Ac 2
Вс
Вc1
Вc 2
0,486 Нп или
1,57 рад или
Ас
Вс
4,2дБ
2
.
Задача 3.
Дано: нагруженный четырехполюсник с Z н Z c (из задания 2).
2
C
Z вх
2R
L
C
L
Zн
Определить его входное сопротивление.
Решение:
Формула входного сопротивления через характеристические параметры
имеет вид:
24
2Г с
1 P нe
Z c1
1 P нe
Z вх
При
где
,
2Г с
Zн
Z c2
Pн
0
Z вх
Z c1
224 Ом
Zн
Zн
Pн
Z c2
Z c2
.
Задача 4.
Дано: симметричный согласованно нагруженный четырехполюсник
I1
Zг
Е
I2
U 1 Z c1
ЧП Z c2
U2
Zн
Z вх
Z c1
Z c2
Zc
Zг
Z c1
Zc
Zн
Z c1
Zc
Z вх
Z c1
.
Определить: уменьшение выходного напряжения U 2 ,
Уменьшение выходной мощности Р2, если Ас=20 дБ, 40 дБ, 3 дБ.
Решение:
По определению: Г с
1 U1 I1
ln
2 U2 I2
или
1 U1 I1
ln
2 U2 I2
10 lg
Z н Z c2
U1
Z вх
учитывая, что I 1
Ас
20 lg
U1
U2
10 lg
10 lg
Z н Z c2
Характеристическое ослабление Ac
Ас
Гс
U1 I1
U2 I2
Z н Z c2
Гс
P2
,
P1
U1
;
Zс
I2
U2
Zн
U2
получаем
Z с2
Z c2
.
Z c1
а) для симметричного четырехполюсника
Ас
20 lg
U1
U2
Пусть Ас=20 дБ, тогда 20 20 lg
Ас=40 дБ
Ас=3 дБ
U1
U2
U1
U2
10 2
U1
U2
U1
U2
10 ,
100
3
10 20
1,41
2.
25
Таким образом, уменьшение выходного напряжения
при Ас=20 дБ в 10 раз,
при Ас=40 дБ в 100 раз,
при Ас=3 дБ в 2 раз.
б) Ас=20 дБ 20 10 lg
P1
P2
P1
P2
Ас=40 дБ
Ас=3 дБ
P1
P2
10 4
P1
P2
10 2
100
10000
2.
Таким образом, уменьшение мощности
при Ас=20 дБ в 100 раз,
при Ас=40 дБ в 10000 раз,
при Ас=3 дБ в 2 раза.
Задача 5.
Дано:
Rг
Е
Zc ,Zc ,
1 2
U1
Гс
U2
Rн
Z вх
E 10 В; Rг
300 Ом; Z c1
200 Ом; Z c1
Rн
10 200
200 300
4В
400 Ом;U 2
2,5В
Определить Ас.
Решение:
U1
U2
Ас
20 lg
U1
E Z вх
Z в х Rг
Ас
20 lg
10 lg
Z c2
Z c1
E Z с1
Z с1 Rг
4
400
10 lg
2,5
200
4,08 3 7,08дБ.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1.
Дано:
R1
R2
R1=200 Ом, R2=300 Ом.
26
Определить характеристические параметры четырехполюсника: Zc1, Zc2,
Ac, Bc.
Задача 2.
Дано:
C
R
С=10 мкФ, R=10 Ом.
Определить Zc1 на частоте ω=104 рад/с.
Задача 3.
Дано:
L1
C
R
L2
ХL1= ХL2=Хс=R=100 Ом.
Определить Z2x.
Задача 4.
Дано:
I2
Zc,
U1
Гс
U2
Zн
U 1 10 В
Гс
0
j90
Zн
Zс
10Ом.
Рассчитать I 2 .
Задача 5.
Дано: мостовая схема амплитудного корректора, Z 1 и Z 2
взаимообратные двухполюсники, связанные соотношением Z 1 Z 2 R02 .
-
Z1
R0
Z 2 R0
Определить Zc1 и Zc2.
27
4. Рабочие параметры четырехполюсников
К рабочим параметрам относятся:
Г р - рабочая постоянная передачи четырехполюсника;
Аp – рабочее ослабление четырехполюсника;
Вр – рабочая фаза;
Т(р) – передаточная функция.
Рабочая постоянная передачи четырехполюсника (в соответствии с
обозначениями на рис. 4.1 а,б) определяется выражением
1 U0 I0
ln
2 U2 I2
Гр
Ар
Re Г Р
1 U0 I0
ln
2 U2 I2
Нп ,
Pm
P2
20 lg
Ар
Pm
U0 I0
E2
4R1
10 lg
jВ р
Ар
10 lg
E
2U 2
максимальная
-
Ар
U0 I0
U2 I2
дБ
R2
, где
R1
активная
мощность
источника
с
внутренним сопротивлением R1 (рис. 1б).
P2
U2 I2
U 22
R2
- активная мощность, передаваемая от источника в
нагрузку Rг, подключенную к четырехполюснику (рис. 1а).
R1 I2
1
I2
U 1 ЧП
1'
R1 I0
2
U 2 R2
U0
E
1'
R1
а)
б)
Рисунок 4.1 Для определения параметров четырехполюсников
Комплексная передаточная функция определяется по следующей
формуле
T ( j ) T ( p) p
j
2U 2
E
R1
.
R2
Связь рабочего ослабления с передаточной функцией
Ap
20 lg
1
T ( p) p
j
связь рабочего ослабления с характеристическим
Ap
Ac
Aотр
Ас
20 lg
R1
Z c1
2 R1 Z c1
20 lg
R2
Z c2
2 R2 Z c2
20 lg 1 P г Р нe
2Г с
,
дБ
28
R1
R1
где Р г
Z c1
,
Z c1
R2
R2
Рн
Z c2
- коэффициенты отражения.
Z c2
Аотр – ослабление отражения, определяется несогласованностью
нагрузочных и характеристических сопротивлений на входе и выходе
четырехполюсника.
Задача 1.
Дано:
R1
Е
ЧП
U2
, Е=2 В, R1=200 Ом, R2=300 Ом, U2=0,5 В.
Определить Ар.
Решение:
Ap
20 lg
E
2U 2
R2
10 lg
R2
R1
20 lg 2 10 lg 1,5 6 1,76
7,76
дБ .
Задача 2.
Для схемы (см. задачу 1) дано: Е=12ej60˚; R1=R2=100 Ом, Гр=1+j45˚.
Определить U2.
Решение:
Гр
E
ln(
2U 2
R2
)
R1
E
ln
2U 2
E
2U 2
e
Гр
U2
E
e
2

Гр
12e j 60
e
2
1
e
j 45
12 j15
e
2e

2,207 e j15 .
Задача 3.
Для схемы (из задачи 1) дано:
Ас=2 дБ, R1=100 Ом, R2=Zc1=Zc2=400 Ом.
Определить Ар.
Решение:
В данном случае имеет место только несогласованность между
нагрузочным R1 и характеристическим Zc1 сопротивлениями на входе
четырехполюсника. На выходе четырехполюсника нагрузочное сопротивление
R2 согласованно с характеристическим сопротивлением Zc2. Следовательно,
Zc2= R2, Рн=0.
Формула для расчета рабочего ослабления упрощается и имеет вид:
Ap
Ас
20 lg
R1
Z c1
2 R1 Z c1
2 20 lg
100 400
2 100 400
3,94
дБ .
Задача 4.
Для ФНЧ задана операторная передаточная функция Т(р)
29
T ( p)
p
1/ 0,764
.
2,188 p 2 2,392 p 1,309
3
Рассчитать рабочее ослабление на частотах ω1=0, ω2=1 рад/с, ω3=2 рад/с.
Решение:
Ap
1
T ( p) p
20 lg
20 lg 0,764 ( j
3
2
2,188
j 2,392 1,309 )
j
20 lg 0,764 (1,309
2,188
2 2
)
(2,392
3 2
)
1.
0
Ap
20 lg 0,764 1,309
0
2.
1
Ap
20 lg 0,764 (1,309
2,188 ) 2 1,392 2
3.
1
Ap
20 lg 0,764 (1,309
2,188 4) 2
(2,392
дБ
2
4) 2
.
15,8
дБ
Задачи для самостоятельного решения:
Задача 1.
Дано:
R1
Е
R2
R2
Е=10 В, Rг=20 Ом, R1=10 Ом, R2=20 Ом, Rн=20 Ом.
Определить Ар.
Задача 2.
Дано:
передаточная функция ФНЧ Чебышева четвертого порядка:
Т ( р)
(р
2
1/ 4,296
0,2694 р 0,9772 )( р 2 0,6504 р 0,2703 )
Определить Ар на ω1=0, ω2=1 рад/с, ω3=2 рад/с.
4. Амплитудный корректор
Академик А.А. Харкевич в своѐ время сказал, что перед наукой и
техникой электрической связи стоят две важнейшие задачи: достижение
высокой степени достоверности передаваемой информации и надѐжности
средств электрической связи.
Достоверность - есть идентичность передаваемой и принимаемой
информации. Информация передаѐтся с помощью электрических сигналов
связи. Поэтому можно считать, что достоверность будет достигнута,
если сигнал, передаваемый источником сигналов, и сигнал, принимаемый
30
приѐмником сигналов, будут идентичны. Математически
соотношение сигналов записывается выражением:
подобное
(5.1)
где y(t) и x(t)- соответственно принимаемый приѐмником и
передаваемый источником сигналы; k - масштабный коэффициент, k = const;
tз - время, в течение которого сигнал проходит от источника к приѐмнику.
На рисунке 5.1 приведена структурная схема передачи электрических
сигналов связи, где источник и приѐмник представлены своими схемами
y(t )
R1
E
kx(t t з ),
Канал
связи
Источник
сигналов
U2
R2
Приемник
сигналов
Рисунок 5.1. Структурная схема передачи сигналов
замещения, полученными на основании теоремы Тевенина (часто неудачно
называемой теоремой об эквивалентном источнике напряжения), а канал связи
изображен в виде четырѐхполюсника.
Назовѐм рабочей передаточной функцией канала связи выражение:
(5.2)
T ( j ) U 2 ( j ) / E( j )
Спектральный анализ показывает, что соотношение (5.1) выполняется, если
амплитудно-частотная характеристика канала удовлетворяет требованию:
T( j ) k
(5.3)
Т( ) = const при — < < + , и фазочастотная характеристика канала
удовлетворяет требованию:
arg T ( j )
tз
(5.4)
tз ( )
const при
Рабочая мера передачи через рабочую передаточную функцию (5.2)
выражается формулой:
Г( j )
A( )
jB( )
ln
1
T( j )
ln
R2
4 R1
(5.5)
где A( ) - рабочее ослабление, а В( ) - рабочая фаза.
Из (5.5) следует, что требования (5.3) и (5.4) преобразуются в
требования к рабочему ослаблению и рабочей фазе следующим образом:
A( ) const
(5.6)
(5.7)
B( )
tз
при - <ω<+
31
Соотношения (5.6) и (5.7) называют условиями неискаженной передачи
сигналов.
Выполнить на практике условия (5.6) и (5.7) невозможно, да и не
нужно. Последнее обусловлено двумя обстоятельствами.
Во-первых, все сигналы связи имеют ограниченный спектр, в связи
с чем выполнение условий (5.6) и (5.7) можно ограничить полосой
частот, содержащей спектр сигнала.
Во-вторых, все приѐмники обладают так называемой "исправляющей
способностью", под которой понимается способность приѐмника обеспечивать
достоверность приѐма информации при допустимом искажении сигнала.
Таким образом, на практике условия неискаженной передачи (5.6) и
(5.7) принимают вид:
A( ) const
(5.8)
(5.9)
B( )
tз
при 1
2, где
1 и
2 - граничные частоты полосы частот, содержащей
спектр сигнала, а степень приближенности (5.8) и (5.9) определяется величиной
исправляющей способности приѐмника.
Отметим, что, если информация предназначена дня восприятия
человеческим ухом, то соблюдение условия (5.9) не требуется, так как ухо
нечувствительно к начальным фазам спектральных составляющих звуковых
сигналов.
Если условия (5.8) и (5.9) не выполняются с необходимой точностью,
то рабочее ослабление и рабочую фазу искажающего четырѐхполюсника
"улучшают" (корректируют) путѐм каскадного присоединения к нему
четырѐхполюсников-корректоров амплитудно-частотных и фазочастотных
искажений. Как правило, условия (5.8) и (5.9) корректируются отдельно,
каждое - своим корректирующим четырѐхполюсником.
При каскадном соединении двух четырѐхполюсников (рис. 5.2) их
рабочие меры передачи суммируются по формуле:
Г Г иск.R Z
Г к.R Z
(5.10)
1
вх
2
вх
где Гиск.R1 Zвх – рабочая мера передачи искажающего четырѐхполюсника при
включении его между сопротивлениями R1 и Zвx ,ГК Zвх R2 - рабочая мера
передачи корректора при включении его между сопротивлениями R2 и Zвx.
R1
E
Искажающий
четырехполюсник
корректор
R2
Zвх
Рис. 5.2 Схема соединения четырехполюсника и корректора
Корректоры должны удовлетворять, по меньшей мере, двум требованиям:
1. Поскольку коррекции подлежит рабочая мера передачи Гиск.R1 R2
а в формулу (4.10) входит другая величина Гиск.R1 Zвх необходимо,
32
чтобы корректор при нагружении справа на сопротивление R2 имел слева
входное сопротивление Zвx = R2.
2. Корректор должен позволять получение требуемой частотной
зависимости А( ) или В( ) достаточно простыми средствами.
Существует несколько типов четырѐхполюсников, удовлетворяющих
приведѐнным выше требованиям.
Для корректирования амплитудно-частотных искажений широко
применяются Т-образные перекрытые четырѐхполюсники (рисунок 5.3).
При выполнении соотношения между сопротивлениями двухполюсников
Z1 и Z2 вида
Z 1 Z 2 R02
(5.11)
характеристические параметры этих четырехполюсников определяются
формулами
Zc
Z1 Z 2
(5.12)
Гс
ln( 1
Z1
)
R0
(5.12а)
Z1
R0
R0
Z2
R0
Z1
Рис. 5.3 Т-образная перекрытая схема АК
Двухполюсники, удовлетворяющие соотношению (5.11), являются
обратными (взаимообратными). Определение обратных двухполюсников
таково: дуальные двухполюсники, эквивалентные по активной мощности,
называются обратными.
Помимо свойства (5.11), обратные двухполюсники обладают следующими
свойствами:
1) схемы обратных двухполюсников - дуальны;
2) величины дуальных элементов обратных двухполюсников связаны
соотношениями:
G'
R
, L'
2
R0
R02C , C '
L
R02
(5.13)
где штрихом отмечены элементы одного, а без штриха - другого из пары
взаимообратных двухполюсников.
Ещѐ два типа корректоров (называемые Г-образными) образуются из
пары дополнительных (взаимодополняющих) двухполюсников.
33
Дополнительными называют такие двухполюсники, сумма иммитансов
которых (т.е. сопротивлений или проводимостей) - вещественна и не
зависит от частоты.
К дополнительным относятся пары двухполюсников, схемы которых
приведены на рисунках 5.4а и 5.4б.
Z1
Zа
R0
Zб
Z2
Zа
Zб
R0
R0
R 02
Z1
Z1
Z2
R0
R 02
Z1
а)
б)
Рис. 5.4. Схемы дополнительных двухполюсников
Для 1-й пары двухполюсников (рис. 5.4а) справедливо соотношение
1
Zа
1
Zб
1
R0
то есть при их параллельном соединении получаем двухполюсник с
постоянным сопротивлением R0 .
Для 2-й пары двухполюсников (рис. 5.4б) справедливо соотношение
Zа
Zб
R0
то есть при их последовательном соединении получаем двухполюсник с
постоянным сопротивлением R0.
Из пар дополнительных двухполюсников рисунка 5.4 образуются два типа
Г-образных амплитудных корректоров, схемы которых (вместе с нагрузочным
сопротивлением R2 = R0 ) приведены на рисунках 5.5а и б.
Рабочая мера передачи и рабочее ослабление корректоров рисунка 5.5,
включенных между сопротивлениями источника сигнала R1 = R0 и приѐмника
сигнала R2 = R0 определяется формулой - формулами
Гк
ln(1
Z1
),
R0
Ак
ln 1
Z1
, Нп
R0
(5.14)
34
R0
Zвх=R0
1
Z1 2
2
1
Z2
2
R0
Z2
Z1
Z1
R2=R0
R0
Zвх=R0
2'
1'
1'
R 02
Z1
R2=R0
2'
Рис. 5.5 Схемы Г-образных амплитудных корректоров
Таким образом, для амплитудного корректора справедливы следующие
соотношения:
Z1 и Z2 – взаимообратные реактивные двухполюсники, т.е. Z 1 Z 2 R02 .
R0 называют повторным сопротивлением.
При выполнении условия Rн=R0, Zвх= R0 (является вещественным числом).
И наконец, Аk ln 1
Z1
,
R0
Нп или Аk
20 lg 1
Z1
,
R0
дБ , Вk=0.
Краткие сведения из теории «Обратные двухполюсники сведены в
таблицу.
Заданный двухполюсник
Обратный двухполюсник
R’
R
L
С’
pL
С
R02
R
R'
1
pC '
R02
C'
L
R02
L’
L' C R02
Последовательное соединение
Реактивный двухполюсник
Класс Класс 0 – 0
Класс - 0
Класс 0 Лестничная структура
двухполюсника
Параллельное соединение, в котором
каждый элемент заменяется на
обратный
Реактивный двухполюсник
Класс 0 – 0
Класс Класс 0 Класс - 0
Лестничная структура, в которой
продольное плечо заменяется на
поперечное и наоборот, а каждый
элемент заменяется на обратный.
35
Примеры
R1
L1
L2
С1
С’2
С’1
'
1
R
R02 '
; L1
R1
L’1
L
R1
L’1
R’1
С1
С2
С3
C1 R02 ; C1'
L’2
С’1
R’1
L1 '
; C2
R02
L2
R02
L’3
R’2
Задача 1.
Подобрать схему АК к ФНЧ Чебышева третьего порядка для сглаживания
характеристики рабочего ослабления в полосе пропускания. Построить график
рабочего ослабления цепи.
Решение:
1. Схема ФНЧ Чебышева имеет вид:
Rг
Е
L
L
С
Rн
2. на графике рабочего ослабления ФНЧ Аф в полосе пропускания строим
требуемую характеристику рабочего ослабления корректора Ак. (она
должна быть обратная Аф).
Ар
Ау=Ак+Аср=
const
пп
Аср
Ак
3. Определяем график |Z1| и Z1/j
Z1
j
Z1
Z1
j
Z1
По частотной характеристике Z1/j определяем класс ( -0), число элементов
(N=3). Приведем одну из возможных канонических схем реактивного
двухполюсника (по 1 схеме Форестера)
36
Z1
L1
С2
С1
4. Строим схему второго двухполюсника Z2 обратную Z1.
Z2
С’1
L’1
L’2
.
5. Выберем Т-образную схему амплитудного корректора.
L1
С2
С1
R0
R0
С’1
L’2
L’1
.
L1'
C1 R02 ; L'2
C1'
L1
R02
C2 R02
6. Подключаем амплитудный корректор к ФНЧ каскадно
L1
Rг
С2
С1
R0
R0
С’1
Е
L’1
L’2
Rн
Zвх=R0=Rн
Чтобы не нарушался нагрузочный режим ФНЧ следует положить R0=Rн.
37
Задача 2.
Для амплитудного корректора дано:
L1
Ом2.
C1
R1
Z1
L1=0,1 Гн; C1=2 мкФ; R1=100 Ом; R02=105
Определить:
1. Схему и значения элементов двухполюсника Z2.
2. Построить Г-образные схемы амплитудного корректора.
3. Привести график Ак.
4. Рассчитать частоту, при которой Ак= Ак min.
Решение:
1. Схема Z2 является обратной схеме Z1:
L2
C2
R2
L2
C1 R02
2 10 6 10 5
C2
L1
R02
0,1
10 5
1мкФ;
R2
R02
R1
10 5
100
1000 Ом.
0,2 Гн;
.
2. Г-образные схемы амплитудного корректора представлены ниже
L1
C1
L1
R0
R1
C1
R1
R0
L2
C2
R2
L2
C2
R2
.
3. Частотная зависимость рабочего ослабления амплитудного корректора
(учитывая, что Ак≈|Z1|) имеет вид:
38
Ак
Z1
Ак min
0
.
4. Частота ω0 является резонансной для последовательного контура L1C1.
0
1
L1 C1
1
0,1 2 10 6
2236 рад / с.
Минимальное значение ослабления
Ак min
20 lg 1
R1
R0
20 lg 1
100
316 .2
2,38дБ .
Задача 3.
Определить схему и элементы Г-образного амплитудного корректора (см.
рис.) с постоянным входным сопротивлением Zвх=600 Ом, если известны С1=0,2
мкФ, С2=0,03 мкФ, R=525 Ом, L1=10 мГн.
C1
C2
L1
R
Z2
.
Решение: т.к. Zвх=R0=600 Ом, то полная схема имеет вид:
39
C1
C2
L1
R1
R’1
L’1
R0
C’2
L’2
.
Из формулы R
R1 R0
находим R1
R1 R0
R R0
R
R0
4200 Ом .
Далее
R1'
R02
R1
L1'
C1 R02
72 мГн
L'2
C2 R02
10,8 мГн
С1'
L1
R02
85,7Ом
.
27 ,7нФ
Задача 4.
Для амплитудного корректора, рассчитанного в задаче 3 определить
частоту, при которой Ак=Ак max. Найти значение Ак max.
Решение:
Частотная зависимость рабочего ослабления показана на рисунке:
Ак
Ак max
Ак
1
Z1
2
Частота ω2 является резонансной частотой (полюсом) параллельного
контура
Ак max
20 lg 1
и
L1C1C2
R1
R0
20 lg 1
4200
600
равна
2
1
C C
L1 1 2
C1 C2
62017 рад / с .
18дБ .
40
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1.
Дано:
Z1
R0
R0
L2
R2
L2=0,2 Гн; R2=400 Ом; R0=100 Ом.
Определить схему и элементы Z1 и построить график Ак.
Задача 2.
Дана зависимость рабочего ослабления искажающего устройства
Аиск
.
Определить схему амплитудного корректора.
Задача 3.
Построить схемы двухполюсников, обратных заданным в отношении
R0=104 Ом. Определить элементы.
1.
L1=0,1Гн
L2=0,2Гн
R1=10 Ом
C2=1 мкФ
2.
C1=1 мкФ C2=2 мкФR3=100 Ом
R2=10 Ом
R1=10 Ом
L1=0,1Гн C3=2 мкФ
41
6. Электрические фильтры
Электрическим фильтром называется четырехполюсник, пропускающий
без заметного ослабления колебания определенных частот и подавляющий
колебания других частот.
В настоящее время существуют два основных способа расчета
электрических фильтров: по характеристическим и по рабочим параметрам.
При расчете фильтров по характеристически параметрам полная схема
конструируется путем каскадного согласованного соединения отдельных
звеньев.
Под характеристической полосой пропускания фильтра (ПП) понимают
область частот, в которой характеристическое ослабление равно нулю Ас=0.
Под характеристической полосой задерживания (ПЗ) понимают область
частот, в которой Ас>0.
Граничная частота между ПП и ПЗ называется частотой среза fс.
По взаимному расположению ПП и ПЗ различают:
а) фильтр нижних частот (ФНЧ);
б) фильтр верхних частот (ФВЧ);
в) полосовой фильтр (ПФ);
г) заграждающий фильтр (ЗФ).
На рис. 6.1 а, б представлены полузвенья типа «k» (рис. 6.1а) и типа «m»
(рис. 6.1б).
Z 1m
Z1
Z2
Z 2m
а)
б)
Рис.6.1. Полузвенья типа «k» (а) и типа «m»
Условие полосы пропускания устанавливается следующим неравенством:
1
Z1
Z2
0
(6.1)
Для звеньев типа «k» справедливо соотношение Z 1 Z 2 k 2 , где
k – вещественное число, не зависящее от частоты, а двухполюсники Z1 и Z2
являются взаимообратными реактивными двухполюсниками.
Полузвенья типа «k» полностью определяются двумя элементами L и C.
На рис. 6.2 а, б приведены полузвенья типа «k» для ФНЧ (рис. 6.2 а) и для
ФВЧ (рис. 6.2 б).
42
C
L
Z с1
Zт
Z с2
C
Z с1
Zп
L
Zт
а)
Z с2
Zп
б)
Рис. 6.2. Полузвенья типа «k» для ФНЧ (а) и ФВЧ (б)
Zт и Zп – характеристические сопротивления ЧП соответственно со
стороны Т-образного входа и П-образного входа полузвена.
Частотные характеристики полузвеньев «k» зависят от двух параметров R0
(номинальное характеристическое сопротивление) и fс (частота среза).
L
;
C
R0
fc
1
.
L C
2
Для полузвена ФНЧ типа «k» частотные зависимости Zт и Zп определяются
по формулам
Zп
R0
2
1
;
Zт
R0
2
1
f
(нормированая
fc
;
частота )
и приведены на рис. 6.3 а.
Характеристическое ослабление Ас для полузвена в ПП равно нулю, а в
ПЗ рассчитывается по формуле: Ас 10 lg
целого звена Ас 20 lg
1 q
,
1 q
q
(примечание: для
2
1
1 q
) и показано на рис. 6.3 б.
1 q
Аc
Zc
Zп
R0
j
ПП
(Ас=0)
Zт
Zт
fc -j
ПЗ
(Ас>0)
f
f
fc
Zп
а)
б)
Рис. 6.3. Частотные зависимости Zт и Zп (а) и Ас (б) для ФНЧ
Для полузвена ФВЧ «k»
R0
Zп
1
1
2
;
Zт
R0
1
1
2
;
Ас
10 lg
1 q
,
1 q
q
1/
1
2
.
1
43
Zc
Аc
Zп
j
R0
ПЗ
(Ас>0)
ПП
(Ас=0)
Zт
fc
-j
f
f
fc
Рис. 6.4. Частотные зависимости Zт и Zп (а) и Ас (б) для ФВЧ
Производные звенья типа «m» получаются из звеньев типа «k» путем
частичного перераспределения индуктивностей и емкостей, так, чтобы при
этом полная индуктивность (L) и емкость (C) звена, а также частота среза fс не
изменялись.
Возможны два варианта звена «m»: последовательно-производное и
параллельно-производное. На рис. 6.5 а, б приведены схемы последовательнопроизводного полузвена типа «m» для ФНЧ (а) и ФВЧ (б).
L1=mL
L2
Zc1=Zт
C2=mC
1 m2
L
m
C
m
C1
Zc1=Zт
m
C
1 m2
C2
Zc2=Zпm
L2
L
m
Zc2=Zпm
а)
б)
Рис. 6.5 Схемы последовательно-производного полузвена типа «m»
для ФНЧ (а) и ФВЧ (б)
На рис. 6.6 приведены схемы параллельно-производного звена типа «m»
для ФНЧ (рис. 6.6 а) и ФВЧ (рис. 6.6 б).
L1=mL
C1
Zc1=Zтм
1 m2
C
m
L1
m
L
1 m2
Zc2=Zп
С2=mС
C1
Zc1=Zтм
C
m
L2
Zc2=Zп
L
m
а)
б)
Рис. 6.6. Схемы параллельно-производного звена типа «m»
для ФНЧ (а) и ФВЧ (б)
Параметр «m» определяется по следующим формулам
m
L1
L1
L2
- в случае схемы с двумя индуктивностями
44
C1
- в случае схемы с двумя емкостями.
C1 C2
или m
Таким образом, производные звенья типа «m» определяются тремя
схемными элементами или тремя параметрами частотных характеристик: R0, fc,
m.
На рис. 6.7 а, б показаны частотные характеристики ослабления для ФНЧ
«m» (рис. 6.7 а) и для ФВЧ «m» (рис. 6.7 б).
Аc
Аc
ПП
(Ас=0)
fc
ПЗ
(Ас>0)
ПЗ
(Ас>0)
f
f
f
ПП
(Ас=0)
f
fc
а)
б)
Рис. 6.7. Частотные характеристики ослабления
для ФНЧ «m» (а) и для ФВЧ «m» (б)
Графики зависимости характеристического сопротивления Zтm и Zпm
показаны для ФНЧ типа «m» на рис. 6.8 а, а для ФВЧ «m» на рис. 6.8 б.
Zтм,
Zпм
Zтм,
Zпм
Zтм
Zтм
R0
Zпм
ПП
fc
Zпм
R0
f
f
Zтм
Zпм
Zпм
ZтмПП
fc
f
Zтм
f
Zтм
а)
б)
Рис. 6.8. Зависимости характеристического сопротивления Zтм и Zпм
для ФНЧ типа «m» (а), для ФВЧ «m» (б)
Наличие
в
производных
звеньях
колебательного
контура
(последовательного или параллельного) вызывает всплеск ослабления на f∞
(резонансная частота контура). Частота бесконечного ослабления f∞ и параметр
m связаны соотношением:
f
f
fc
1 m2
fc
- для ФНЧ
1 m2 - для ФВЧ.
Характеристическое ослабление полузвена типа «m» рассчитывается в ПЗ
по формуле
Ac
где
10 lg
1 mq
,
1 mq
q
2
1
f
-для ФНЧ
fc
45
fc
- для ФВЧ
f
(Примечание: для целого Т и П образного звена Ac 20 lg
1 mq
).
1 mq
Степень использования ПП оценивается величиной коэффициента К1.
При расчете фильтров по характеристическим параметрам стремятся увеличить
К1, поскольку это приводит к упрощению схемы фильтра.
При заданном К1 подбирают оптимальные нагрузочные сопротивления
фильтра, чтобы минимизировать затухание отражения.
Достоинства и недостатки звеньев «k» и «m».
Достоинства звена «k»:
1. Простота схемы.
2. Характеристическое ослабление Ас нарастает в ПЗ.
3. Хорошо согласуется со звеньями типа «k» и «m» внутри многозвенного
фильтра.
Недостатки звена «k»:
1. Малая крутизна нарастания Ас в ПЗ.
2. Плохое согласование с нагрузкой (только в одной точке).
Достоинства звена «m»:
1. Хорошая крутизна нарастания Ас в ПЗ вблизи граничной частоты fс.
2. Позволяет минимизировать затухание отражения в ПП за счет лучшего
согласования с нагрузкой.
Недостатки звена «m»:
1. Более сложная схема.
2. Убывание Ас после частоты f∞.
На практике обычно составляют многозвенные фильтры из звеньев «k» и
«m», что позволяет исключить недостатки.
Построение многозвенных фильтров.
1.
Многозвенный фильтр составляется из каскадного согласованного
соединения отдельных звеньев (и полузвеньев):
а) характеристические сопротивления звеньев в точках соединения
должны быть одинаковы, не зависеть от значения «m» (Zт либо Zп);
б) частота среза fс у всех звеньев одинакова.
2. Схема должна содержать минимальное количество индуктивностей, что
позволяет увеличить добротность и уменьшить габариты устройства.
3. Для лучшего согласования фильтра с нагрузками (Rг либо Rн) в качестве
оконечных полузвеньев следует брать полузвенья с характеристическими
сопротивлениями Zтм и Zпm.
Задача 1.
Определить частоту f, Ac, Zт, Zп полузвена ФНЧ типа «k» (см. рис.), если
известно: L=0,02 Гн; С=0,02 мкФ, Ω=2.
46
L
Zт
Zп
C
Решение:
1. Определяем R0, fc, f.
L
C
R0
1000 Ом;
1
2 LC
fc
7961 Гц;
f
fc
15922 Гц.
2. Определяем Ac, Zт, Zп:
Ac
10 lg
Ac
10 lg
Zт
R0
1 q
,
1 q
2,15
0,15
2
2
1
1,15,
2
1
11,56 дБ
1 1000
R0
Zп
q
или
3
1000
3
Ac
11,56 0,115 1,33 Нп
j1730 Ом
j 578 Ом.
Задача 2.
Определить параметры последовательно-производного звена ФНЧ «m»,
если известны: fc=1000 Гц, R0=600 Ом, m=0,542. Определить частоту всплеска
ослабления f∞.
L1
Zт
L2
Z пm
C1
Решение:
1.
Определяем параметры полузвена ФНЧ типа «k» (прототипа «m»).
Из соотношений R0
L
R0
c
L2
С1
3.
c
R0
c
1
находим
LC
0,265 мкФ.
Определяем L1, L2, C1 (см. рис. 6.5а)
2.
L
1
0,095 Гн; С
L
C
m L
0,0518 Гн
1 m2
L 0,125 Гн
m
m C 0,143 мкФ
Определяем частоту f∞ (резонансная частота контура L2 C1)
47
f
2
1
L2C2
fc
1 m2
1190 Гц
Задача 3.
Составить схемы 3-х звенного ФНЧ состоящего из 2-х звеньев «m» и
одного звена «k». Построить зависимость Ас(f).
Решение:
Возможны три варианта схем.
1) Все звенья Т-образные
Zт
Zт
Zт
«m1»
«m2»
Zт
«k»
2) Все звенья П-образные
Zп
Zп
Zп
Zп
«m1»
«m2»
«k»
3) Одно звено «m1» разделено на два оконечных полузвена.
Zп
Zп
Zп
Zтm
Zтm
1
" m1"
2
«m2»
«k»
1
" m1"
2
Последняя схема является рациональной, хорошо согласуется с нагрузкой
и имеет меньшее число индуктивностей.
График Ас(f) показан на рис. 6.11.
48
Ас=Ас1+Ас2+Ас3
Аc
Ас1(m1)
ПП
Ас2(m2)
Ас3(k)
fc
f1
f 2
f
Рис. 6.11. График Ас(f)
Указанные пунктиром на схеме однородные элементы модно объединить.
Задача. 4.
Дано:
Zc1=Zc2
Аc
R0
fc
f
fc
f
f
Построить схему фильтра, соответствующую заданным частотным
характеристикам.
Решение.
Из графиков видно, что они соответствуют симметричному ФВЧ,
состоящего из Т-обратного звена «k» и Т-образного звена «m».
Схема имеет вид:
Zт
Zт
Zт
После объединения:
Zт
Zт
Для самостоятельного решения.
Задача 1.
Дано:
Zc1
Zc2
.
Определить тип фильтра и построить графики Ас, Zc1, Zc2.
49
Задача 2.
Дано:
Ас
Zс1
fc
f
f
Zс2
fc f
f
f
f
Составить схему фильтра.
7. Полиноминальные фильтры
В последнее время отдается предпочтение расчету фильтров по рабочим
параметрам, что позволяет при безусловном выполнении технических
требований технических требований получить схему фильтра с минимальным
числом элементов. При этом достигаются минимальные стоимость, вес,
габариты и максимальные технологичность, стабильность характеристик.
Характеристическое ослабление Ас и рабочее Ар связаны соотношением:
Ар=Ас+Аотр,
где Аотр – ослабление отражения, обусловленное несогласованным
нагружением фильтра.
Под полосой эффективного пропускания фильтра (ПЭП) понимают
область частот (часть ПП), в которой рабочее ослабление не превышает
требуемой величины, т.е. Ар≤ А ( А – максимально допустимое рабочее
ослабление в ПЭП).
Под полосой эффективного задерживания (ПЭЗ) понимают область
частот, в которой Ар≥Аmin (Аmin – минимальное допустимое рабочее
ослабление в ПЭЗ).
Технические требования к фильтру:
- тип фильтра (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, ЗФ);
- граничные частоты ПЭП: f2 (f2’);
- граничные частоты ПЭЗ: f3 (f3’);
- максимально допустимое рабочее ослабление в ПЭП ( А);
- минимально допустимое рабочее ослабление в ПЭЗ (Аmin).
На рис. 7.1 показаны технические требования к фильтрам ФНЧ, ФВЧ,
ПФ.
50
Ар
Ар
Ар
Аmin
Аmin
Аmin
ΔА
ΔА
ΔА
ПЭП ПЭЗ
f2 f3
f
а) технические
требования к
ФНЧ
ПЭЗ ПЭП
f2 f3
f
б) технические
требования к
ФВЧ
ПЭЗ ПЭП
ПЭЗ
f3'f2' f0 f2f3
f
в) технические
требования к
ПФ
Рис. 7.1 Технические требования к фильтрам
f 2 f 2'
f3 f3' )
( f0
Синтез полиноминального фильтра – это отражение схемы и значения
элементов, удовлетворяющие заданным техническим требованиям.
В основе синтеза лежит принцип преобразования частоты, а также
нормирование по частоте и сопротивлению. Это позволяет унифицировать
расчет, т.е. свести расчет любого типа фильтра к расчету нормированного
ФНЧ (ФНЧ – прототипу), который затем легко преобразуется в заданный
фильтр.
Технические требования ФНЧП показаны на рис. 7.2.
Ар
Аmin
ΔА
ПЭП ПЭЗ
1Ωр3 Ω
Рис. 7.2 Требования к ФНЧП
Ω - нормированная частота (Ω=f/2 – для ФНЧ и ФВЧ и Ω=f/f0 – для ПФ).
Чтобы перейти к техническим требованиям ФНЧП достаточно
определить нормированную частоту ПЭЗ Ωр3 (не меняя при этом требования
по рабочему ослаблению). Используя принцип преобразования частоты,
получим:
для ФНЧ
р3
для ФВЧ
р3
для ПФ
р3
f3
;
f2
f2
;
f3
f3
f2
f3'
.
f 2'
Синтез фильтра состоит из двух этапов:
1.
Этап аппроксимации – получение по заданным техническим
требованиям математического выражения передаточной функции
Т(р) для ФНЧП.
2.
Этап реализации – по найденной Т(р) составляется
нормированная схема фильтра ФНЧП.
51
В дальнейшем нормированная схема ФНЧП преобразуется (на основании
принципа преобразования частоты) в нормированную схему заданного фильтра
(ФВЧ, ПФ…).
Аппроксимация характеристики рабочего ослабления – получение
аналитического
выражения
Ар(Ω)
физически
реализуемого
и
удовлетворяющего заданным техническим требованиям.
а) аппроксимирующая функция рабочего ослабления по Баттерворту
(показана на рис. 7.3) имеет вид:
Ар
3 дБ
ΔА
ПЭЗ
ПЭП
Ωс Ωр3
1
Ω
Рис. 7.3. Аппроксимирующая функция рабочего ослабления по
Баттерворту
Ар
2
10 lg(1
2n
) дБ,
2n
где Ω – полином Баттерворта;
10 0,1 А 1 - коэффициент неравномерности рабочего ослабления;
lg
n
10 0,1 Аmin
2
2 lg
1
- порядок фильтра (полученное значение n округляется в
р3
большую сторону).
б) аппроксимирующая функция рабочего ослабления по Чебышеву (рис.
7.4) имеет вид:
Ар
ПЗ
ΔА
ПП
Ωр
1
Ω
Рис. 7.4. Аппроксимирующая функция рабочего ослабления по Чебышеву
Ар
10 lg(1
2
Рn2 ( )), дБ
где Рn (Ω) – полином Чебышева.
52
Arch
n
1
10 0,1 Аmin
Arch
1
- порядок фильтра Чебышева (полученное значение
р3
округляется в большую сторону).
Полином Чебышева
Рn (Ω)
Ω
2Ω2 – 1
4Ω3 - 3Ω
8Ω4 - 8Ω2+1
16Ω5 - 20Ω3 + 5Ω
32Ω6 - 48Ω4 +18Ω2-1
n
1
2
3
4
5
6
Рn (p)
p
2
2p + 1
4p3 + 3p
8p4 + 8p2+1
16p5 + 20p3 + 5p
32p6 + 48p4 +18p2+1
Рекуррентная формула
Pn 1 ( )
2 Рn ( ) Pn 1 ( )
Нахождение передаточной функции Т(р).
Для фильтров Баттерворта
T ( p)
1/
.
V ( p)
Для фильтров Чебышева
T ( p)
1 /( 2n 1 )
.
V ( p)
V(p)=(p – p1)∙ (p – p2)∙…. (p – pn) – полином Гурвица.
p1, p2, p3…. pn – корни полинома Гурвица (полюса передаточной функции
Т(р)).
Определение корней и их свойства.
Для фильтров Баттерворта:
pk
1
n
(sin
2k 1
2n
j cos
2k 1
).
2n
Для фильтров Чебышева
pk
sh
sin
2k 1
2n
jch
cos
2k 1
,
2n
53
здесь
1
1
Arsh
n
1
1
ln
n
1
2
1 .
1. Корни должны быть попарно комплексно сопряженными.
2. Располагаться в левой полуплоскости (рис. 7.5).
р2
р1
+j
р3
+1
р2*
р1*
Рис. 7.5. Расположение корней.
Например:
p1
j
*
j
p1
.
Примечание: 1) точность расчета корней 5-6 знаков;
2) умножение двух сопряженных двучленов.
(р-р1)∙(р-р1*)=(р+α - jΩ)∙(р+α + jΩ)=( р+α)2+Ω2=p2+2p2+ α2+Ω2.
Реализация фильтров.
После нахождения Т(р) можно переходить к реализации, т.е. к получению
схемы.
Для фильтров невысокого порядка (n≤5) применяется реализация по
Дарлингтону. Для фильтров высокого порядка (n≥5) предлагается реализация
по Попову. Подробно см. (…).
Реализация активных RC фильтров см. (….).
В первых двух случаях формируется функция входного сопротивления
Zвх(р) (входной проводимости Yвх(р)) всего фильтра (реализация по
Дарлингтону), либо функция входного сопротивления Zвх2(р) (входной
проводимости Yвх2(р)) правой половины фильтра. Другая (левая) половина
достраивается исходя из условия симметрии (если n – нечетное) или
асимметрии (если n – четное). (….).
Примеры.
Пример 1.
Для ФНЧ Чебышева (n=5) дано:
Z в х2 ( р)
48 р 3 6 р 2 12 р 1
.
24 р 2 3 р 2
54
Требуется:
1. Составить схему правой половины ФНЧ.
2. Составить полную схему ФНЧ.
3. Построить график Ар(ω).
4. Составить дуальную схему (выбрать рациональную).
5. Преобразовать в ФВЧ и ПФ и построить графики Ар(ω).
Решение:
1. Разложив в цепную дробь по Кауэру, получим:
L
Z в х2 ( р )
1
2р
C
.
1
3р
4р
L
1
2
G
Этому разложению соответствует схема правой половины ФНЧ (рис. 7.6а).
4Гн
Iг
2Гн
3Ф
2Гн
Zвых1=Zвх2
4Гн
3Ф
Gг =2 Сим
Gн =2 Сим
Rн=0,5 Ом
б)
а)
Рис. 7.6. Полная нормированная схема ФНЧ
(а - нормированная схема правой половины фильтра;
б - нормированная схема левой половины фильтра).
2) из условия симметрии Zвх2=Zвых1 строим схему левой половины (рис. 7.6 б) и
полную схему (рис.7.6). Объединив однородные элементы и заменив источник
тока источником напряжения получим окончательную схему ФНЧ (рис. 7.7).
Rн=0,5 Ом
Eг
4Гн
4Гн
3Ф
4Гн
3Ф
Rн=0,5 Ом
Рис. 7.7. Окончательная схема ФНЧ
3) примерный вид графика Ар(f) фильтра Чебышева для n=5 ( N э n 1 , Nэ –
число экстремумов) показан на рис. 7.8.
55
Ар
ΔА
f2
f3
f
Рис. 7.8. Частотная зависимость рабочего ослабления
4) для дуальной схемы справедливо:
C
Z в х2 ( р)
Yв х2
1
2р
1
3р
1
2
4р
L
C
R
Дуальная схема показана на рис. 7.9.
Rн=2 Ом
Eг
3Гн
3Гн
2Ф
4Ф
2Ф
4Ф
Rн=2 Ом
Yвых1=Yвх2
Рис. 7.9. Дуальная схема ФНЧ
Сравнивая схемы рис. 7.7 и 7.9 выбираем рациональную (меньшее число
индуктивностей) рис. 7.9.
5) преобразование полученной схемы ФНЧ (рис. 7.7) в ФВЧ (заменив L на С и
наоборот), рис. 7.10.
Rг
Rн
Рис. 7.10 Схема ФВЧ
Зависимость рабочего ослабления ФВЧ изображена на рис. 7.11.
56
Ар
Аmin
ΔА
f3
f2
f
Рис. 7.11. Зависимость рабочего ослабления ФВЧ
Преобразование ФНЧ в ПФ путем замены продольной индуктивности в
последовательный контур, а поперечной емкости – в параллельный контур.
Схема ПФ и график Ар(f) показаны соответственно на рис. 7.12 и 7.13.
Rг
Rн
Рис. 7.12 Схема ПФ
Ар
ΔА
f3' f2'
f2
f3
f
Рис. 7.13 Зависимость рабочего ослабления ПФ
57
Мостовые фильтры
Мостовые фильтры строятся по симметричной мостовой схеме.
RИ
Z1
1
Z2
ЕИ
Z2
UИ
RH=RИ
Z1
Z КЗ
2
Z1 Z 2
Z1 Z 2
Z1
Z XX
Z2
2
5.1 Теорема о мостовых реактивных фильтрах
Если реактивные сопротивления плеч моста имеют разные знаки, то АС=0,
ZC=R и это ПП.
Если реактивные сопротивления плеч моста имеют одинаковые знаки, то АС>0,
ZC=jX и это ПН. Для моста
1
ln
2
AC
1
Z КЗ
Z XX
1
Z КЗ
Z XX
1
Z1
Z2
1
Z1
Z2
ln
1
ln
2
1
X1
X2
1
X1
X2
ln
1
1
2
Z1 Z 2
Z1 Z 2
2
Z1 Z 2
1 ( Z2
ln
2 ( Z2
Z 1 )2
Z 1 )2
Z1 Z 2
При разных знаках Х под корнем получается отрицательное число, в числителе
и знаменателе дроби получаются сопряженные числа, их модули одинаковы и
логарифм 1 дает 0. При одинаковых знаках под корнем число положительное и
в знаменателе меньше чем в числителе, что и дает ослабление > 0. На частоте
Х1=Х2 наступает баланс моста (в знаменателе 0)и АС=∞ (всплеск ослабления).
ZC
Z КЗ Z XX
Z1 Z 2
X 1 X 2 При разных знаках Х под корнем будет
положительное число и характеристическое сопротивление получается
вещественным.
Для примера рассмотрим мостовой фильтр с Z1=jωL1 и Z2=jωL2-j/ωC2.
58
Х
Х2
Х1
ωс
0
ω
От 0 до резонансной частоты контура ωС(0) будет ПП далее ПН.
R0=Z(0)= L1 / C 2
активное сопротивление
ZС
реактивное сопротивление
R0
0
ωС
ω
5.2 Резонаторы и резонаторные фильтры
Общие понятия
В многоканальных системах передачи разделение каналов по частоте
осуществляется с помощью полосовых фильтров. Чтобы сигналы одного канала
не попали в другой, ПФ должны иметь высокую избирательность и большую
крутизну (АЧХ должна быть близка к прямоугольной). Поэтому нужно
использовать высокодобротные колебательные контуры. Их реализуют с
помощью различных резонаторов, так как обычные LC – контуры не могут
обеспечить добротности порядка 1000. .В радиосвязи используются еще более
высокие частоты (десятки и сотни мегагерц) и для построения избирательных
фильтров нужны резонаторы с добротностью в тысячи и десятки тысяч единиц.
Такие значения добротности никогда не обеспечиваются в LC-контурах (их
добротность не превышает сотни единиц), поэтому в фильтрах применяют
высокодобротные
механические
резонаторы:
пьезоэлектрические,
магнитострикционные и электромеханические.
Пьезоэлектрические резонаторы и фильтры
В пьезоэлектрических фильтрах роль резонатора выполняет пластинка,
вырезанная
специальным
образом
из
материала,
обладающего
пьезоэлектрическим эффектом (например, из кристалла кварца). Пьезоэффект
59
кварцевой пластинки заключается в появлении на ее поверхностях
электрических зарядов при механическом воздействии на пластинку.
Если пьезопластинку поместить между металлическими обкладками и подать
на обкладки переменное напряжение, то пластинка начнет совершать
механические колебания. На поверхности пластинки возникнут электрические
заряды, и во внешней цепи потечет ток. При механическом резонансе
амплитуда колебаний пластинки будет максимальной, а ток во внешней цепи –
то же максимален. Это подобно резонансу в последовательном контуре.
Рабочий диапазон 104-107 Гц, добротность резонаторов Q WPEAK / WAK очень
большая ( 10000 – 20000), у конденсаторов – тоже большая. Далее показана
схема замещения пьезорезонатора с емкостью держателя резонатора CO и его
динамическими параметрами Ld Cd .
По схеме замещения получается реактивный ДП
CO
класса ∞ - 0
с 2 резонансными частотами ω РН, где сопротивление
равно 0 и ωРТ, где сопротивление равно ∞.
Относительный резонансный промежуток очень
Ld
Cd
небольшой – доли процента.
Далее приведена мостовая схема режекторного
фильтра с
пьезорезонатором в одном плече и
индуктивностью в другом. Для согласованного
включения здесь используются трансформаторы. Существует теорема для
реактивных мостовых фильтров. По ней полоса пропускания находится в
диапазоне частот, где знаки реактивных сопротивлений плеч моста разные, а
полоса задерживания там, где знаки одинаковые. Пьезоэлектрические фильтры
с кварцевыми резонаторами называют кварцевыми. Добротность кварцевых
фильтров достигает 10...20 тысяч единиц. У таких фильтров малая ПП или ПЗ –
меньше 1 % от средней частоты.
Графики сопротивлений и схема замещения пьезорезонатора приведены ниже.
60
Х
Ха
ω
0
ω РН ω∞ ωРТ
ХВ
Ас
ω
Резонансные частоты ω РН и ωРТ резонатора будут частотами среза
(граничными). При равенстве сопротивлений ветвей моста (точка пересечения
ω∞ ) будет всплеск ослабления (∞).
Если заменить в схеме фильтра индуктивность на емкость, то получится
полосовой фильтр
5.3. Модернизированная мостовая схема
Главный недостаток мостовой схемы : много элементов и нет общего провода
между входом и выходом для подключения земли (корпуса). Еще надо
включать трансформаторы для согласования. Эти недостатки можно устранить,
если применить модернизированную схему, состоящую из двух секций и
сумматора тока. Коэффициент передачи по напряжению такой схемы равен
рабочему коэффициенту передачи мостовой
схемы. T P
Z 2 Z 1 RH
Z 1 RH Z 2 RH
RH
Z 1 RH
RH
Z 2 RH
GH
Y 2 GH
GH
.
Y 1 GH
61
. Здесь можно использовать катушку индуктивности, а можно применить схему
с ОУ и конденсатором во 2 секции, дающие эквивалентную индуктивность
Добротность у катушек – небольшая ( 15 – 100 ),. Поэтому желательно
избавляться от катушек индуктивности.
Y21( p)
GH GH
GК ( Н ) pC B
RH
1
2
pCB RH
L'Э
RH2 CB Y21a
RH
1
Z Р ( p)
Схема разработана Михайловым В.И.
6.4. Активные RC – фильтры (АRC)
6.4.1. Общие понятия
В таких фильтрах есть RC – элементы и активный элемент. В качестве
активного элемента часто выступает управляемый источник, который
реализуется с использованием электронных компонентов. Одними из первых
АRC – фильтров были фильтры на гираторах или имитаторах индуктивности.
Рассмотрим ФВЧ, где индуктивность подключена к общему проводу (корпусу) .
Г
СН
мк. сх.
В данном ФВЧ индуктивность
заменяют гиратором, нагруженным на емкость CH, входное сопротивление
которого: Z вхГ ( р ) RГ2 рСн Гиратор имеет подключение к корпусу, да еще и
источник питания. Гираторы изготавливаются в виде микросхемы
Для ФНЧ индуктивность не соединяется с корпусом и здесь для ее имитации
требуется 2 гиратора и емкость, включенную между ними.
62
,
RГ
RГ
6.4.2. Недостатки АRC – фильтров с имитацией индуктивностей. Принцип
позвенной реализации
Во-первых, необходимо много гираторов,
особенно если в схеме есть продольные
индуктивности.
Чтобы
уменьшить
количество гираторов, стали применять
позвенную реализацию путем каскадного
соединения звеньев первого и второго
порядка.
Если порядок n – четный, то все звенья
второго порядка, если нечетный, то есть
одно звено первого порядка.
Используя аппроксимацию по Баттерворту и Чебышеву, получаем:
1( k )
- для ФНЧ. Разбиваем на звенья первого и второго
T( p )
p n bn 1 p n 1 ...
порядка:
m
ki
k0
T ( p)
Если фильтр –верхних частот, полосовой
2
b1i p bi 0 p b0
i 1 p
или
заграждающий,
надо
сделать
преобразование частоты в самой передаточной функции и получить выражение
для соответствующих звеньев фильтров. Передаточная функция звена ФВЧ 2
порядка
T ( p)
p2 k
, k 1
p 2 b1 p b0
Передаточная функция для полосового
фильтра:
T( p )
p2
p k
T( j )
b1 p b0
k
2
2
b0
b1 2
Средняя частота полосового фильтра 0 b0
Чтобы коэффициент передачи на средней частоте равнялся 1, нужно, чтобы
k b1
Недостатки:
При соединении звенья влияют друг на друга. Между ними надо включать
развязывающие буферные устройства типа повторителя напряжения (усилитель
напряжения с единичным коэффициентом:- ИНУН, у него бесконечно большое
входное сопротивление и нулевое выходное). Такое устройство позволяет
перемножать коэффициенты передачи, что в данном случае и требуется.
63
Поскольку используются усилители напряжения, решили использовать АRC –
фильтры без гираторов, только на усилителях.
6.4.3. АRC – фильтры на усилителях
Есть усилители напряжения и усилители тока. Чаще используют усилители
напряжения. Теоретически усилитель
напряжения – источник напряжения.
управляемый напряжением (ИНУН)
или преобразователь напряжения в
напряжение (ПНН).
Если коэффициент усиления –
вещественный, то говорят ИНУН,
если комплексный, то – ПНН.
Так как Rв ыхусил 0 , то следующая
нагрузка не влияет на передаточные
функции, поэтому можно включать следующее звено.
Рассмотрим схемы различных типов фильтров, построенных на операционных
усилителях.
Усилители напряжения на ОУ: не инвертирующий, единичный
инвертирующий
Коэффициент усиления полученного ИНУН определяется соотношением:
и
U2 /U1=(R2+R1)/R1=K
Очевидно, что коэффициент усиления всегда больше единицы.
Неинвертирующий ИНУН с единичным коэффициентом усиления можно
реализовать так, как показано на рисунке. Эту схему называют обычно схемой
повторителя напряжения. Инвертирующий ИНУН можно реализовать на ОУ..
Его коэффициент усиления:
U2/U1= - R2/R1 =K
64
ФНЧ второго порядка:
Емкость подключенная к корпусу
шунтирует высоко частотный сигнал
из-за малого сопротивления на этих
частотах, а емкость в обратной связи
усилителя шунтирует сам усилитель по
обратной связи и он не может
усиливать сигнал на этих частотах, на
низких
частотах
сопротивления
емкостей велики и они не влияют на
прохождение сигнала, что и дает ФНЧ 2 порядка.
ФВЧ:2 порядка. Здесь емкости не пропускают сигнал с низкой частотой из-за
своего большого сопротивления.
ПФ:2 порядка. Здесь первая емкость (продольная) ослабляет низкочастотный
сигнал, а вторая (поперечная) ослабляет высокочастотный.
Сами усилители можно реализовать с помощью стандартных микросхем ОУ.
Условное обозначение операционного усилителя (ОУ) и схема замещения:
(+)
(+)
u1’
(-)
u1’’
(-)
u1’
u2
( u1’- u1’’ )
u1’’
u2
RВХ=∞, RВЫХ=0.
1
R1 R2 C1C 2
ФНЧ на операционном усилителе TU р
p2
p
1 1
C1 R1
1
R2
1
R3
1
R2 R3C1C 2
ТU(0)=1, ТU(∞)=0, n=2.
65
Емкость С1 шунтирует ОУ в обратной связи на высоких частотах и не дает
ему усиливать, а С2 шунтирует высоко частотный сигнал перед входом ОУ, что
и дает характеристику ФНЧ 2 порядка
. Передаточная функция звена второго порядка ФНЧ имеет вид:
T p
p
H
b1
2
сравнивая соответствующие коэффициенты функций
b0
, можно составить следующую систему уравнений для определения значений
элементов схемы:
H
1
R1 R2C1C2
b1
1 1
C1 R1
b0
1
R2 R3C1C 2
1
R2
1
R3
В системе из трех уравнений – 5 неизвестных: R1, R2, R3, C1, C2. Чтобы
система стала определенной, значением двух любых элементов можно задаться.
Положим, например, что R2=R3=1, тогда система уравнений примет вид:
H
1
R1C1C 2
b1
1 1
C1 R1
Решая последнюю систему уравнений, получим
2
выражения для расчета значений нормированных
элементов схемы:
1;
R3
R2
C1
2b0 H
;
b1b0
b0
;
H
R1
C2
b1
2b0
H
66
6.4.4. Фильтры на преобразователях с комплексными коэффициентами
Модель реализации звеньев на преобразователях была разработана
Михайловым В.И. Один из вариантов содержит ПТН и ПНТ, работающие в
разных направлениях.
RC
ПТН
U1
U2
Y 21RC
Ти
Y ПНТ
ПНТ
1
Z ПТН
. ПТН - преобразователь тока
в напряжение, ПНТ – напряжения в ток. В матрице передачи А преобразователя
только один ненулевой параметр Реализация этих преобразователей возможна
на микросхемах и ОУ.
Матрица идеального ПТН A
0
0
,
1 / Z ПТН 0
0
идеального ПНТ A
I1
U1
Схема реализации ПТН
0
1 / Y ПНТ
0
Z
eУН
U2
Схема замещения ПТН:
Z вхОУ (пунктир) - очень большая величина, теоретически стремится к
бесконечности; μ – коэффициент усилителя, также очень большая величина,
теоретически бесконечная.
67
еУН
Z в ых
U 1 I1
U1 (1
Z
)
U2
I1 Z
eУН U 2
Z ПТН
Z Z ВХ
U1
I1
Z
0
0
1 / Т ПТН 0
Матрица идеального ПНН A
0
0
ПНН – преобразователь
напряжения в напряжение.
ТПНН=-Z2/Z1. Здесь
ZBX=Z1, ZВЫХ=0 (не совсем
идеальный). Если к данной
схеме добавить Z 3 , то
получится ПНТ –
преобразователь напряжения в
ток YПНТ=Y1▪Y3/Y2 , YВХ=Y1,
YВЫХ=Y3.
6.4.5. Схема реализации полосового фильтра второго порядка на
преобразователях
Здесь использованы ПТН в прямом направлении и ПНТ в обратном.
Коэффициент передачи
по напряжению:
1
R1
TU
R5
1
pC1
pC2 R3 R4 R6
R2
Данная схема звена ПФ
была разработана
Михайловым В.И. и так
же была использована
для
реализации
эквивалента
мостовой
схемы с резонаторами и
68
параллельными расширительными индуктивностями. Резонатор включался
параллельно емкости С1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Рекомендуемая литература
1. Основная литература
Бакалов В. П., Дмитриков В. Ф., Крук Б. И Основы теории цепей. – М.:
Радио и связь. 2000, – 592 с.
Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи.
– М.: Гардарики. 1999. – 638 с.
Попов В. П. Основы теории цепей. М.: Высшая школа. 2000. – 575 с.
Шебес М. Р., Каблукова М. В. Задачник по теории линейных электрических
цепей. –М.: Высшая школа. 1990. – 544 с.
Бакалов В. П., Крук Б. И., Журавлева О. Б. Теория электрических цепей.
Новосибирск. СибГАТИ, 1998, – 197 с.
Бакалов В. П., Игнатов А. Н., Крук Б. И. Основы теории электрических
цепей и электроники. – М.: Радио и связь, 1989. – 528 с.
Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь.
1986. –544 с.
69
8. Андреев В. С. Теория нелинейных электрических цепей. – М.: Радио и связь.
1982. –488 с.
9. Зааль Р. Справочник по расчѐту фильтров. –М.: Радио и связь. 1983. – 652 с.
10.Мошиц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров. –М.: Мир. 1984. –
320 с.
11.Дубинин А. Е., Михайлов В. И., Чернышева Л. П. Методические указания к
лабораторным работам по 1-й части курса ―Основы теории цепей‖. ПГАТИ,
каф. ТЭЦ, Самара, 2002, – 85 с.
12. Киреев В. Р., Грачев С. В., Михайлов В. И., Цаплин Н. Н. Методические
указания к лабораторным работам по 2-й части курса ОТЦ. ПГАТИ, каф.
ТЭЦ, Самара, 2000, – 104 с.
13. Киреев В. Р., Крухмалева В. Д., Михайлов В. И. Методические указания к
лабораторным работам по 3 части курса ОТЦ. ПГАТИ, каф. ТЭЦ, Самара,
2001, – 90 с.
14.Методические указания к контрольной работе № 1 по 1-й части курса
―Основы теории цепей‖ Составители: к.т.н., доц. Михайлов В. И., к.ф-м.н..
Панин Д. Н. ПГАТИ, каф. ТЭЦ, Самара, 2005.
15.Методические указания к контрольной работе N 2 по 2-й части курса
―Основы теории цепей‖ Составители: к.т.н., доц. Михайлов В. И., к.ф-м.н..
Панин Д. Н. ПГАТИ, каф. ТЭЦ, Самара, 2006.
16.Дубинин А. Е., Михайлов В. И., Киреев В. Р., Чернышева Л. П., Цаплин
Н. Н. Основы теории цепей. Тестовые задания по курсу ОТЦ. ПГАТИ,
кафедра ТЭЦ, Самара 2004, – 58 с.
17.Михайлов В. И., Алексеев А. П Методические указания к лабораторным
работам по курсу ТЭЦ ―Исследование нелинейных цепей с помощью пакета
Electronics Workbench‖, кафедра ТЭЦ ПГАТИ. Самара, 2000.
18.Дубинин А. Е., Михайлов В. И., Цаплин Н. Н., Членова Е. Д. Расчет
электрических фильтров по рабочим параметрам. Учебное пособие к
курсовой работе, ГОУВПО ПГАТИ, Самара, 2005.
2. Дополнительная литература
1. Алексеев А. П. Информатика 2003. – М.: Солон-Р, 2003, 465 с.
2. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде WINDOWS 95. Mathcad
6.0 PLUS. –М.: Филинъ. 2000, – 697 с.
3. Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники. Ч 1, 2, 3. М.: Энергия.
1978, 578 с.
4. Баскаков В. И. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Высшая школа. 1988,
– 498 с.
5. Добротворский И. Н. Теория электрических цепей. Лабораторный практикум.
М.: Радио и связь. 1990, – 216 с.
70
6. Карлащук В. И. Электронная лаборатория на IBM PC. Программа Electronics
Workbench и еѐ применение. – М.: Солон. 2000, –506 с.
7. Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы теории
цепей. – М.: Энергоатомиздат. 1989. – 528 с.
8. Ханзел Г. Е. Справочник по расчѐту фильтров. – М.: Советское радио. 1974. –
288 с.
9. Демирчан К. С., Бутырин П. А. Моделирование и машинный расчет
электрических цепей. – М.: Высшая школа. 1988. –355 с.
71
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
2 750 Кб
Теги
kurs, metod, prakt, ukaz, mihaylov, zanyat, otc
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа