close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

part 6

код для вставкиСкачать
Квазиоптические линии и резонаторы
Глава
6
269
Квазиоптические
линии и резонаторы
6.1(*). Открытая линзовая линия (математический аппарат) .................................................. 271
6.2(*). Собственные волны линзовой линии ................................................................................................ 275
6.3(*). Зеркальная линия ................................................................................................................................................ 277
6.4(*). Открытые резонаторы. Основные свойства ............................................................................... 280
6.5(*). Элементы теории открытых резонаторов с вогнутыми зеркалами ................. 282
6.6(*). Открытый резонатор с цилиндрическими зеркалами эллиптического
профиля ......................................................................................................................................................................................... 284
6.7(*). Открытые резонаторы с двугранными отражателями .................................................. 288
*) Символом «*» отмечены разделы и параграфы для самостоятельного и углубленного изучения материала.
270
ГЛАВА 6
Глава 6(*). Квазиоптические линии и резонаторы
На волнах короче одного-двух миллиметров рассмотренные в главе 4 направляющие структуры с металлическим экраном становятся практически неприменимыми.
Омические потери на этих частотах достигают столь больших значений, что волна
почти полностью затухает на расстоянии нескольких десятков сантиметров. Кроме
того, само изготовление волноводов и волноводных узлов становится технологически
исключительно сложным в связи с тем, что обеспечение одномодового режима требует использования волноводов с размерами поперечного сечения порядка длины волны, а резонаторов с такими размерами, при которых добротность оказывается столь
малой, что они (резонаторы), практически теряя свои резонансные свойства, становятся трудно изготовимыми. Указанные причины приводят к необходимости использования в миллиметровом и субмиллиметровом (квазиоптическом) диапазонах функциональных узлов принципиально нового конструктивного исполнения. В частности, в
качестве направляющих структур используются линзовые и зеркальные линии, в
качестве колебательных — открытые резонаторы различных модификаций [Л6.1].
Линзовые линии состоят из периодической последовательности расположенных
вдоль общей оси на больших расстояниях друг от друга длиннофокусных
диэлектрических линз (рис. 6.1). Каждая линза фокусирует падающий на нее пучок
электромагнитных волн и направляет его к следующей линзе. При удалении от
линзы сфокусированный пучок сначала сужается, а затем расширяется и уже
расходящийся падает на следующую линзу, которая фокусирует его. Таким образом, при переходе от одной линзы к другой картина повторяется.
Потери энергии в линзовой линии объясняются двумя факторами. Во-первых,
часть энергии излучается в открытое пространство за счет неидеальности
фокусировки, отражения на неоднородностях материала линз, краевых эффектов
и т. д. (радиационные потери), во-вторых, имеют место тепловые потери из-за
того, что тангенс угла диэлектрических потерь материала линз отличен от нуля.
Зеркальные линии образуются эквидистантно расположенными зеркалами,
последовательно отражающими и фокусирующими пучки электромагнитных волн
(рис. 6.2). Каждое зеркало является фазовым корректором, исправляющим фронт
падающей на него волны. Последовательная корректировка зеркалами пучка электромагнитных волн аналогична действию диэлектрических фазовых корректоров
линзовой линии. Неслучайно математическое описание зеркальных линий совпадает с математическим описанием линзовых линий [Л6.2].
Открытые резонаторы, используемые в квазиоптике в качестве колебательных
систем, образуются зеркалами, расположенными, как правило, строго симметрично
друг относительно друга (рис. 6.3). Зеркала различных профилей представляют
собой хорошо отполированные металлические высокопроводящие поверхности,
фокусирующие при отражении от них пучки электромагнитных волн. Встречные
электромагнитные волны, отраженные от зеркал, образуют в пространстве между
зеркалами поле стоячей волны.
Квазиоптические линии и резонаторы
271
D
/
/
/
Рис. 6.1
Рис. 6.2
' [ \
=
<
;
а)
б)
в)
Рис. 6.3
6.1(*). Открытая линзовая линия (математический аппарат)
При рассмотрении любых квазиоптических систем предполагается выполнение
двух условий:
N D !! / D !! (6.1.1)
где D — линейный размер фазового корректора (в случае линзовой линии —
радиус линзы), / — расстояние между фазовыми корректорами (расстояние между
линзами), N Z H P — постоянная распространения плоской волны в свободном
пространстве.
В линзовой линии, несмотря на ее периодичность, в виду того, что / !! O и
отражение от линз мало, резонансные явления можно не учитывать. Толщина линз
является функцией поперечных координат, которая, вообще говоря, может быть
любой, но обеспечивающей фокусировку лучей.
272
ГЛАВА 6
=
]
]
] /
/ G
]
]
/
/ G
Рис. 6.4
Рассмотрим линзовую линию, состоящую из периодической последовательности линз толщиной G , расположенных на расстоянии / друг от друга, рис. 6.4.
Отождествляя каждый луч линзовой линии с плоской электромагнитной волной,
полагаем, что любая компонента последней удовлетворяет уравнению Гельмгольца
[Л6.2]:
'8 N 8
(6.1.2)
где под 8 понимаем компоненты полей плоских волн, образующих собственные
волны линзовой линии.
Граничные условия на поверхностях линз записываем в виде:
8 [ \ Q/ 8 [ \ Q/ G H[S^ L\ [ \ ` 8 [ \ / F 8 [ \ (6.1.3)
(6.1.4)
где Q — номер линзы, \ [ \ — набег фазы в толщине линзы, F — так называемый
радиационный множитель, характеризующий потери на излучение в пространстве
между двумя соседними линзами.
Обозначив оператор Гельмгольца как / ' N , запишем формулу Грина:
і 8/J J/8 G9
9
vі
6
w8 · G
§ wJ
Ё 8 G J G ё G6
wQ №
© wQ
(6.1.5)
где 9 — пространство справа от плоскости ] (рис. 6.5); 6 включает в себя
плоскость ] и поверхность, удаленную в бесконечность, то есть 6 — поверхность,
G
ограничивающая объем 9 ; Q — нормаль к этой поверхности; 8 — решение уравнения
G G
(6.1.2); JU U — функция Грина, удовлетворяющая уравнению
G G
'J N J G U U (6.1.6)
G
и обращающаяся в нуль в плоскости ] ; U — произвольная точка внутри 9 .
G
Поскольку интегрирование в левой части (6.1.5) производится по всем точкам U ,
с учетом (6.1.2) и (6.1.6) из уравнения (6.1.5) получаем:
G
8 U §
wJ
w8 · G
vі Ё© 8 wQG J wQG ё№ G6
6
(6.1.7)
Квазиоптические линии и резонаторы
5c
[ \]
273
[ \ ] [ \ ]
G
U
G
Uc
G
U
5
=
Рис. 6.5
и 8 a U , wJ wQ a U при U o f , формулу
С учетом того, что J ] (6.1.7) переписываем в виде
G
8U і
8 [ \ 6 ] wJ G
G G6 wQ
(6.1.8)
G
В этом случае радиус-вектор U лежит в плоскости ] (рис. 6.6).
Функция Грина, удовлетворяющая уравнению (6.1.6) и нулевому граничному
условию при ] , имеет вид
G G
J U U § H[S ^ LN 5` H[S ^ LN 5c` ·
Ё
ё
5
5c
S ©
№
(6.1.9)
[ [ \ \ ] , 5c
[ [ \ \ ] , [ \ ] — коорди5
наты произвольной точки в пространстве справа от плоскости ] ; [ \ —
координаты произвольной
точки в плоскости z = 0 (точки интегрирования)G(рис. 6.5);
G
радиус-вектор 5c является зеркальным отображением радиус-вектора 5 относительно плоскости ] .
Дифференцирование функции (6.1.9) по нормали к плоскости ] приводит к
выражению
wJ
wQ
wJ
w]
LN § ]
]
·
H[S ^ LN 5c` ё Ё H[S ^ LN 5` 55 c
S © 5
№
w §·
w § ·є
Є
H[S ^ L N 5`
Ё ё H[S ^ L N 5c `
Ё ё w] © 5№
w ] © 5c № »ј
S «¬
в котором вторым слагаемым, пропорциональным U , в точках, достаточно
удаленных от плоскости ] , можно пренебречь. В этом случае с учетом того, что
5 c 5 , выражение (6.1.8) переписываем в виде
8 [ \ ]
L N
S
і
6 ] 8 [ \ ] ]
5
H[S ^ L N5 ` G[ G\ (6.1.10)
274
ГЛАВА 6
[ \ ] G
5c
G
5
G
U
[ \ ]
G
U
=
Рис. 6.6
Для точек, в которых ] !! [ [ \ \ , можно записать
Є [ [ \ \ є
5 | ] « »
] ј»
¬«
Тогда из (6.1.10) получаем значение поля в точках, удаленных от плоскости первой
линзы ] и расположенных вблизи оси направляющей системы, то есть
соответствующих области концентрации поля основных мод линзовой линии:
L N
8[ \ ]
H[S ^ L N ]` u
S ]
(6.1.11)
­ L N
Ѕ
8 [ \ H[S ®
u
[ [ \ \ ѕ G[ G\ Ї ]
ї
>
і
6 ] @
Используя граничное условие (6.1.3), из (6.1.11) получаем выражение для поля в
плоскости второй линзы ] / :
LN
H[S ^ L > N/ \ [ \ @ ` u
S/
­ LN Ѕ
8[ \ H[S®
[ [ \ \ ѕG[G\ Ї /
ї
8[ \ / u
і
6] >
@
(6.1.12)
Подставляя выражение (6.1.12) в граничное условие (6.1.4), получаем интегральное уравнение относительно поля в плоскости первой линзы:
LN
H[S ^ L >N/ \ [ \ @ ` u
S/
­ LN Ѕ
8[ \ H[S ®
[ [ \ \ ѕ G[G\ /
Ї
ї
F8 [ \ u
і
6] >
@
(6.1.13)
Уравнение (6.1.13) — однородное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода
[Л6.3-Л6.5].
При выводе уравнения (6.1.13) было использовано приближенное выражение
(6.1.11) для поля в точках, достаточно удаленных от первой линзы. Однако, в силу
второго условия (6.1.1) оно с высокой точностью определяет поле в плоскости
Квазиоптические линии и резонаторы
275
второй линзы, что позволяет считать вывод уравнения (6.1.13) строгим. Из этого
уравнения находится функция распределения поля 8 [ \ в плоскости первой
линзы. Подстановка этой функции в точную формулу (6.1.8) дает строгое выражение для определения поля собственной волны линзовой линии в произвольной
точке.
Решение уравнения (6.1.13) зависит от вида функции \ [ \ , описывающей
фазовую коррекцию, осуществляемую линзой. Вид этой функции определяется
профилем линзы. Аналитическую запись решения уравнения (6.1.13) удается получить
лишь в отдельных частных случаях. Однако численное решение этого интегрального
уравнения в принципе возможно при любом профиле линз и корректно описывает
поля аксиальных мод направляющей структуры.
6.2(*). Собственные волны линзовой линии
Решения уравнения (6.1.13) 8Q (собственные функции) и соответствующие им
собственные значения F Q описывают поля собственных волн линзовой линии. Если
фокусирующая сила линз достаточно велика, то ширина пучка лучей, образующих
направляемое электромагнитное поле, оказывается малой (много меньше размера
линз). В этом случае в (6.1.8) и (6.1.13) интегрирование можно проводить по всей
плоскости ] .
Рассмотрим наиболее простой частный случай: линзовая линия составлена из
бесконечных двумерных квадратичных фазовых корректоров, у которых
N
& D [ /
\ [ (6.2.1)
Функция \ [ — набег фазы при прохождении линзы. Полагается, что поле в
любой точке за линзой зависит только от поля в точке плоскости перед линзой,
имеющей те же поперечные координаты, то есть обе эти точки лежат на одной
прямой, параллельной оптической оси системы. В этом случае функция \
определяет оптическую длину пути между плоскостями ] / G и ] / , то
есть
/
\ [ Z P
і
H [ ] G] / G
Параметр D в (6.2.1) характеризует фокусирующие свойства линзовой линии и
определяется как
D
/
)
(6.2.2)
где ) — фокусное расстояние линз.
В двумерном случае уравнение (6.1.13), очевидно, должно иметь решения 8Q o при [ o f . Убывающие решения существуют не при всех значениях D ,
определяемых формулой (6.2.2), а лишь при
D (6.2.3)
276
ГЛАВА 6
)
)
)
)
)
)
)
)
Рис. 6.7
)
)
)
)
)
)
)
)
)
Рис. 6.8
Условие (6.2.3) легко объясняется с позиции геометрической оптики. Как следует
из (6.2.2), при D линия еще формирует устойчивый пучок электромагнитных
волн (рис. 6.7), но это предельное расстояние между линзами. При дальнейшем
увеличении / пучок при переходе от одной линзы к другой начинает
расфокусироваться (рис. 6.8) становится неустойчивым, поле уже не убывает при
[ o f , возникает излучение из направляющей структуры. Другой предельный
случай D соответствует плоским линзам, не выполняющим фазовую корректировку и не осуществляющим фокусировку лучей. Ширина пучка электромагнитных
волн в такой линии не может быть меньше размера отверстия в диафрагме, через
которое возбуждается направляющая структура. Поле не концентрируется вблизи
оси линии. Отрицательные значения D соответствуют рассеивающим линзам, которые
не могут образовывать направляющую структуру.
В случае двумерных фазовых корректоров, описываемых функцией (6.2.1), при
D (линия с конфокальными линзами) удается [Л6.2] получить аналитическое
решение уравнения (6.1.13). Оно имеет вид
8Q [ ­° N [ Ѕ°
N
§ N ·
·Ѕ
­ L§
+ Q ЁЁ [ ёё H[S® ѕ H[S® Ё & [ ёѕ /
/
/
©
№ї
Ї
°?
°ї
©
№
(6.2.4)
где
N
§ N ·
GQ §
­ N [ Ѕ · —
+ Q ЁЁ [ ёё Q H[S ­® [ Ѕѕ
Ё H[S®
ѕё
Q
ї№
Ї /
ї G[ ©
Ї/
© / №
полином Эрмита [Л6.7, Л6.8].
Из (6.2.4) видно, что поля собственных волн линзовой линии убывают в поперечном
направлении: 8Q o при [ o f , причем тем быстрее, чем меньше номер Q . На
рис. 6.9 качественно изображены зависимости полей первых 3-х собственных волн
линзовой линии от координаты [ . Из рисунка видно, что нулевая собственная
Квазиоптические линии и резонаторы
277
8Q
8
8
8
[
Рис. 6.9
функция даёт гауссово распределение поля по координате [ . Осциллирующий
множитель в (6.2.4) вносит некоторую поправку к гауссову распределению,
увеличивая крутизну спадания поля при удалении от оптической оси системы.
Конфокальные линзовые линии получили наиболее широкое распространение,
так как они обеспечивают максимальную концентрацию поля — минимальную
ширину пучков лучей, образующих поля собственных волн. Ширина пучка в
конфокальной линзовой линии находится в пределах:
Є /
/ є
KЏ«
N »ј
¬ N
Ширина пучка в конфокальной линзовой линии зависит от номера собственной
волны (каждой волне ставится в соответствие свой пучок). Чем выше номер Q ,
тем шире пучок, тем больше радиационные потери. Потери определяются при
этом не абсолютным значением ширины пучка, а величиной T K D ( D — радиус
линзы).
6.3(*). Зеркальная линия
Рассмотрим зеркальную линию, образованную бесконечными цилиндрическими
зеркалами, расположенными на одинаковых расстояниях / друг от друга (рис. 6.10).
Поперечную координату произвольной точки на первом зеркале обозначим как [ .
Функция от этой координаты:
' [ &
[
U [ (6.3.1)
где U [ — радиус кривизны зеркала в точке [ , & — максимальное значение
его прогиба, описывает профиль зеркала. Тогда координата ] произвольной точки на первом зеркале определится как
]
' [ 278
ГЛАВА 6
=
;
/
G
]
'[ [
D
Рис. 6.10
Координаты произвольной точки пространства, в частности, на втором зеркале обозначим как x, z. Решаем двумерную задачу: считаем поле независящим от
координаты \ . Предполагаем, что на каждое зеркало падает пучок лучей под
углом скольжения T , то есть при расчете фазового набега внутри профиля
зеркала так же, как и при прохождении лучей внутри линз, расхождение лучей
в пучке не учитываем, полагая лучи параллельными. Разность хода лучей 1 и 2,
приходящих в раскрыв зеркала и отраженных от него, записываем как
'6
(6.3.2)
6 6
и вычисляем по аналогии с плоско-параллельным диэлектрическим слоем, у
которого в данном случае показатель преломления Q (рис 6.11). В (6.3.2) 6 —
длина отрезка ВС, 6 — суммарная длина отрезков АО и ОС (рис 6.11). Согласно
рисунку имеем
6
'
FRV T
VLQ T
6
'
VLQ T
После подстановки этих выражений в (6.3.2) получаем
'6 ' VLQ T Тогда набег фазы внутри профиля зеркала при произвольном значении координаты
[ (первое зеркало) вычислится как
\ [ N ' [ VLQ T (6.3.3)
где N Z F , ' [ определяется соотношением (6.3.1).
Поле волны, падающей на второе зеркало, через поле в апертуре первого зеркала
вычисляется по формуле (6.1.8), в которой функция Грина должна обращаться в нуль
на первом зеркале. В качестве функции 8[ ] в указанной формуле подставляется
поле волны, отраженной от первого зеркала.
Интеграл (6.1.8) дает поле волны, падающей на второе зеркало, то есть поле,
которое было бы в раскрыве этого зеркала в его отсутствии.
Уравнение относительно полей собственных волн зеркальной линии составляется по той же схеме, что и в случае линзовой линии. Однако расстояние между
Квазиоптические линии и резонаторы
279
%
&
T
$
Рис. 6.11
точками в апертурах первой и второй линз при этом необходимо вычислять по
формуле
U
[ [ / ] ] (6.3.4)
где в данном случае [ ] — координаты произвольной точки на втором зеркале.
Поскольку (6.3.4) подставляется в качестве R в функцию Грина (6.1.9), необходимо записать величину
GU
GU
G
|
GQ
G] U
где G — расстояние между плоскостями, в которых расположены зеркала
(рис. 6.10), U — расстояние между центральными точками (в плоскости \ FRQVW )
зеркал:
U
/ G С учетом повторяемости полей, отраженных от двух последовательно расположенных зеркал, и радиационных потерь в пространстве между этими зеркалами,
то есть фактически с учетом граничных условий (6.1.3), (6.1.4) получаем интегральное уравнение [Л6.2] относительно поля, отраженного от первого зеркала:
LN
H[S ^ L > N U \ [ @ ` VLQ T u
SU
D
u
і
­ LN
Ѕ
[ [ VLQ T LN [ [ FRV Tѕ G[
8[ H[S ®
Ї U
ї
(6.3.5)
F8[ D
При этом набег фазы \ [ , возникающий при распространении поля от поверхности зеркала до плоскости его раскрыва, аналогичен набегу фазы в толще линзы.
Определив из (6.3.5) поле, отраженное от первого зеркала, по формуле (6.1.8)
можем найти поле в произвольной точке зеркальной линии. Присутствие линейного члена в экспоненте ядра уравнения (6.3.5) говорит о том, что функция 8[ не
является медленной функцией, скорость изменения которой, как в линзовой линии,
определяется линейным размером a фазового корректора и величиной U N .
Вдоль направления распространения (в данном случае вдоль оси [ ) она изменяется быстро с периодом S N . В плоскости апертуры первого зеркала это быстрое
изменение описывается множителем H[S ^ LN [ FRV T ` .
280
ГЛАВА 6
Сделав замену переменных [ [ VLQ T ; [ [ VLQ T , можем уравнение (6.3.5)
привести
к
уравнению
относительно
новой
функции
вида
8 [ 8 [ H[S ^L N [ FRV T ` , полностью совпадающему с уравнением линзовой
линии (двумерной) с линейным размером корректоров D D VLQ T . Этот результат
означает, что независимо от того, производится ли фазовая коррекция пучка
электромагнитных волн в плоскости, перпендикулярной оптической оси системы,
как в линзовой линии, или в плоскости, ориентированной вдоль общего направления распространения, как в зеркальной линии, форма распределения поля собственной
волны определяется шириной электромагнитного пучка D , расстоянием между
фазовыми корректорами, функцией \ [ и описывается функциями (6.2.4), как в
двумерной линзовой линии. Распределение амплитуды поля на поверхности зеркала
при этом полностью совпадает с распределением амплитуды поля в средней плоскости линзы.
6.4(*). Открытые резонаторы. Основные свойства
Объемные резонаторы, используемые в качестве колебательных систем сантиметрового диапазона, при переходе в миллиметровый и тем более в субмиллиметровый диапазоны оказываются неприменимыми. Дело в том, что спектр резонансных
частот замкнутой (трехмерной) колебательной системы описывается формулой Рэлея-Джинса, согласно которой число колебаний '1 в интервале частот 'Z определяется как
9
(6.4.1)
'1
Z 'Z SF
где 9 — объем резонатора, F — скорость света.
Из формулы (6.4.1) видно, что при увеличении частоты происходит сгущение
спектра колебательной системы, что приводит к потере ее резонансных свойств.
Единственный путь к сохранению последних — уменьшение объема 9 колебательной
системы. Однако, поскольку с ростом частоты сгущение спектра колебаний происходит
быстро, указанная мера оказывается малоэффективной, а порой и неприемлемой
по двум причинам. Первая заключается в том, что с уменьшением объема падает
добротность колебательной системы, вторая — резонаторы становятся сверхминиатюрными, технологически трудноизготовимыми и недопускающими дополнительных
конструктивных включений, связанных с их (резонаторов) функциональным
назначением.
Указанные соображения заставили искать колебательные системы, не
подчиняющиеся формуле Рэлея-Джинса. Отправным моментом явилась математическая
модель одномерной колебательной системы, для которой формула, аналогичная
(6.4.1), выглядит следующим образом:
/
'1
'Z (6.4.2)
SF
где / — расстояние между двумя бесконечными параллельными идеально
проводящими плоскостями.
Квазиоптические линии и резонаторы
281
Как видно из формулы (6.4.2), число колебаний одномерной колебательной
системы в интервале 'Z не зависит от частоты. Приближенным эквивалентом
одномерной колебательной системы является резонатор, образованный двумя
плоскими, параллельными зеркалами (рис 6.3а). В таком резонаторе сгущение
спектра с ростом частоты не происходит. Поле в нем, согласно концепции Бриллюэна,
можно представить как поле двух параллельных пучков лучей преобразующихся
при отражении от зеркал друг в друга. Каждое колебание в таком резонаторе
образуется своими пучками лучей (плоскими волнами), падающих под
фиксированным (для данного колебания) углом на зеркала колебательной системы.
Чем меньше угол падения, тем добротнее колебание, тем меньше его радиационные
потери. В результате за счет увеличения радиационных потерь колебаний с высокими индексами происходит их дискриминация, что приводит к разрежению спектра резонансных частот колебательной системы.
Резонатор с вогнутыми зеркалами (рис. 6.3в), можно представить как часть
объемного цилиндрического резонатора, каждое колебание которого можно
разложить на плоские волны (волны Бриллюэна) и представить в виде наложения
пучков лучей. Пучки, соответствующие различным типам колебаний, падают на
зеркала под различными углами, поэтому у них, как правило, разные радиационные
потери: чем меньше угол падения, тем меньше излучение. Разрежение спектра
достигается тем, что для большинства колебаний угол падения недостаточно мал,
и они излучаются, в то время, как колебания с малым углом падения претерпевают
большое количество переотражений и имеют высокую добротность. Таким образом, благодаря излучению спектр собственных колебаний оказывается разреженным.
Не во всех, однако, открытых системах (в отличие от объемных резонаторов)
могут существовать слабозатухающие колебания. Если, например, плоские зеркала,
образующие резонатор, несколько не параллельны, то потери на излучение
оказываются настолько большими, что все резонансные свойства теряются. Поэтому
открытыми резонаторами следует называть лишь такие системы, которые имеют
достаточно добротные собственные колебания, сопровождающиеся частичным излучением в свободное пространство.
Добротные колебания в открытых резонаторах могут быть реализованы благодаря
одному из трех физических явлений [Л6.1]:
1. Отражение от краев зеркал, которое наиболее существенно в открытых
резонаторах, образованными плоскими параллельными зеркалами, расстояние между
которыми велико по сравнению с длиной волны. Колебание формируется за счет
отражений от краев зеркал направляемой волны.
2. Образование каустических поверхностей, обуславливающих запирание внутри
резонатора, образованного вогнутыми зеркалами, части колебаний, каустические
поверхности которых наиболее близки к оси резонатора, и излучение всех прочих
колебаний.
3. Полное внутреннее отражение, проявляющееся в колебательных системах,
где оптически более плотная среда окружена средой менее плотной. Это так назы-
282
ГЛАВА 6
ваемые открытые диэлектрические резонаторы, получившие широкое распространение не только в квазиоптическом и оптическом диапазонах, но и на
СВЧ.
Во многих открытых колебательных системах добротные колебания образуются
сразу за счет двух или даже всех трех перечисленных явлений, но, как правило,
одно из них является доминирующим. Выделение главного фактора, обеспечивающего
существование добротных колебаний, позволяет [Л6.1] составить наглядное представление о физике колебательного процесса в данной системе и сформулировать
исходные положения для построения теории открытых резонаторов.
6.5(*). Элементы теории открытых резонаторов
с вогнутыми зеркалами
Колебательный процесс в открытом резонаторе с вогнутыми зеркалами во
многом аналогичен процессу образования пучка электромагнитных волн в линзовой
линии. В линзовой линии пучок после каждого фазового корректора попадает
на следующий, в резонаторе — после каждого отражения возвращается к противоположно расположенному зеркалу, отражается от него и т.д. Поле в
резонаторе образуется двумя встречными пучками. Если их поперечный размер
мал по сравнению с размером зеркал, то есть применимо приближение
бесконечных корректоров, то каждый пучок симметричен относительно оси
резонатора. Если фокусирующее действие зеркал недостаточно, то пучки оказываются несимметричными и захватывают площадь, выходящую за предел
апертуры зеркал. В этом случае колебания сопровождаются значительным
излучением и становятся малодобротными.
Математически открытый резонатор с вогнутыми зеркалами можно описать
тем же интегральным уравнением Фредгольма второго рода, что и линзовую линию.
Фазовая коррекция в резонаторе осуществляется зеркалом и зависит от его формы
(профиля):
\ [ \ & N ' [ \ (6.5.1)
где ' [ \ — прогиб зеркала (рис. 6.3в); N ' [ \ — набег фазы, возникающий
при прохождении электромагнитным полем этого прогиба; [ \ — поперечные
координаты. В (6.5.1) удвоенный набег фазы потому, что волна дважды проходит
прогиб зеркала. В данном случае набег фазы — разность фаз падающей волны на
входе в прогиб зеркала и отраженной от зеркала волны, пришедшей в ту же
точку.
Для резонатора со сферическими зеркалами:
N U (6.5.2)
/
где D / U , U ) , ) — фокусное расстояние, U
[ \ , / — расстояние
между центрами зеркал.
Параметр D определят фокусирующие свойства зеркал. Значение D соответствует плоским зеркалам, D — конфокальному резонатору, D —
\ [ \ &D
Квазиоптические линии и резонаторы
283
концентрическому резонатору, в котором центры кривизны зеркал совпадают. При
введенных обозначениях U — радиус кривизны зеркал. Зеркала фокусируют пучок лучей при условии
/ D f (6.5.3)
При этом параметр D должен находиться в пределах:
D (6.5.4)
Условия фокусировки (6.5.3), (6.5.4) аналогичны условию (6.2.3) устойчивости пучка
линзовой линии. При одинаковых функциях коррекции (6.5.2) открытый резонатор и
линзовая линия описываются одними и теми же собственными функциями и
собственными значениями, так что, например, результаты решения двумерной задачи
для линзовой линии могут быть перенесены на открытый резонатор, образованный
двумя бесконечными цилиндрическими зеркалами. Так же, как и в теории линзовых
линий, аналитические выражения для собственных функций удается получить лишь
в случае конфокального резонатора. При этом модуль собственного значения F Q
интегрального уравнения определяет радиационные потери, которые вместе с
потерями, связанными с неидеальностью зеркал, и диэлектрическими потерями в
среде характеризуют добротность резонатора.
В открытом резонаторе, как в любой резонансной системе, резонанс имеет
место при определенных частотах ZQ , которые должны быть такими, чтобы фаза
поля, уходящего от зеркала, после двукратного прохождения им пространства
между зеркалами повторялась с точностью до SQ , где Q ! . Это условие,
называемое балансом фаз, приводит [Л6.2] к уравнению для определения резонансных частот собственных колебаний открытого резонатора:
ZQ /
F
S §Ё O J
©
PT·
ё
№
(6.5.5)
где O — число полуволн, укладывающихся по оси Oz (рис. 6.3в) между зеркалами,
P и T — число полуволновых осцилляций вдоль осей [ и \ , J — множитель,
зависящий от функции фазовой коррекции (6.5.1). Для конфокального резонатора,
описываемого функцией (6.5.2), J .
Поскольку обычно O !! P T , резонансная частота с достаточной точностью может
быть найдена из соотношения:
ZQ /
SO F Каждому значению O в общем случае соответствует бесчисленное множество
колебаний, имеющих различные P и T . Важнейшей особенностью открытых
резонаторов является большое различие в затуханиях колебаний с большими и
малыми индексами P и T . С ростом P и T быстро увеличиваются радиационные
потери.
Колебания в конфокальном резонаторе неустойчивы по отношению к такому
изменению зеркал, при котором радиус кривизны одного из них уменьшается,
другого — увеличивается. Это связано с вырождением типов колебаний в конфокальном резонаторе [Л6.2]. Согласно (6.5.5) одна и та же частота может
284
ГЛАВА 6
D
D
Рис. 6.12
соответствовать различным P и T , что особенно проявляется при небольших
изменениях параметров зеркал, в результате которых поле перестает концентрироваться вблизи оси резонатора. В реальных системах вырождение снимается за
счет того, что колебания с большими P и T имеют более высокие радиационные
потери.
Если функции фазовой коррекции зеркал резонатора имеют вид
\
N
& D [ /
(6.5.6)
где D / U , U — радиусы кривизны зеркал, то область устойчивости
колебаний такого резонатора определяется из условия:
! D D ! (6.5.7)
На рис. 6.12 эта область заштрихована. Зеркала, параметры которых обеспечивают
фазовую коррекцию (6.5.6) и находятся в области, определяемой неравенством
(6.5.7), называются фокусирующими. Точка, соответствующая конфокальным
зеркалам, лежит на границе заштрихованных областей, и даже малое различие в
значениях U и U может вывести резонатор в область неустойчивости.
6.6(*). Открытый резонатор с цилиндрическими зеркалами
эллиптического профиля
Ознакомимся с элементами теории открытых резонаторов, не учитывающей
дифракционные явления на краях зеркал. Рассмотрим [Л6.1] резонатор, зеркала
которого вписываются в поверхность эллиптического цилиндра (рис. 6.13). Полагаем
их бесконечными вдоль оси OY, а поле независящим от этой координаты. Таким
образом, имеем краевую двумерную задачу относительно компоненты 3 H\ вектора
Герца, удовлетворяющей уравнению Гельмгольца, нулевому граничному условию
на идеально проводящих зеркалах и стремящейся к нулю с приближением к
открытому пространству.
Квазиоптические линии и резонаторы
285
=
[
[
O
[
[
]
G
G
;
]
]
O
D
Рис. 6.13
Поскольку поле в резонаторе не зависит от координаты \ , которую в данном
случае можно рассматривать как продольную, его можно описывать потенциальной функцией \ [ ] , удовлетворяющей уравнению:
'\ N\
(6.6.1)
в котором N Z H P ; \ a 3 H\ .
Для того, чтобы облегчить удовлетворение граничного условия на поверхности
зеркал
\ [ ] 6
введем эллиптическую систему координат, связанную с декартовой соотношениями:
[
G FK] VLQ [ ]
G VK] FRV[ (6.6.2)
где G — расстояние между фокусами эллипса (рис. 6.13); [ и ] — эллиптические координаты, изменяющиеся в пределах
S
S
d [ d f ] f
Координатные линии [ FRQVW на плоскости [ ] представляют собой конфокальные гиперболы. Угол между асимптотой к такой гиперболе и осью OZ —
значение угловой эллиптической координаты. Координатные линии ] FRQVW на
плоскости [ ] представляют собой конфокальные эллипсы. Эллиптическая
координата ] называется радиальной потому, что в пределе при G o она
переходит в радиальную цилиндрическую координату.
Поверхностям зеркал соответствуют координаты:
[ d [ d [
]
Расстояние между центрами зеркал: /
(6.6.2) есть D G FK] VLQ [ .
r] O
f \ f
G VK] . Ширина зеркал, исходя из
286
ГЛАВА 6
В эллиптических координатах уравнение (6.6.1) перепишется в виде
w \
w[
w \
w]
J FK] VLQ [ \
(6.6.3)
где J NG ; \ \ [ ] .
Уравнение (6.6.3) — уравнение эллиптического типа. Строгое решение его приводит
к угловым и модифицированным функциям Матье, однако, с учетом специфики
задачи это уравнение можно приближенно преобразовать к параболическому и
получить аналитические решения последнего, удовлетворяющие заданным граничным
условиям.
Решение уравнения (6.6.3) ищем в виде [Л6.1]:
\
: [ ] H[S ^ L J VK]` T : [ ] H[S ^ L J VK] ` (6.6.4)
Множитель H[S ^ r LJ VK] ` — быстроменяющаяся по ] часть решения; амплитуда
: [ ] — медленноменяющаяся. При T ! имеем четную по ] функцию
\ ] , при T ! — нечетную; T — число полуволн, укладывающихся между
зеркалами.
Подставив первое слагаемое из (6.6.4) в уравнение (6.6.3), получаем
w:
w[
w:
w]
L J FK]
w:
L J VK] J VLQ [ :
w]
(6.6.5)
Поскольку каждое из слагаемых в (6.6.4) удовлетворяет уравнению (6.6.3),
подстановка второго слагаемого в это уравнение также приводит к (6.6.5).
В резонаторе основные (низшие) колебания «запираются» в центральной области,
расстояние между фокусами эллиптического цилиндра велико, длина волны O G .
Поэтому можно считать выполненными условия
J !! VLQ [ (6.6.6)
При выполнении второго условия из (6.6.6) радиус кривизны зеркал в
рассматриваемой области можно считать постоянным:
FK ]
VK]
Используя условия (6.6.6) и, кроме того, учитывая, что функция : [ ] медленно
меняется по ] , уравнение (6.6.5) приводим к виду
U
w:
G
L J FK]
W
V
w:
L J VK] J [ :
w]
w[
Это уже уравнение параболического типа.
Сделав замену переменных:
J [
DUFVLQ WK]
и записав решение уравнения (6.6.7) в виде
: [ ] M W V FKW
(6.6.7)
Квазиоптические линии и резонаторы
287
преобразуем это уравнение к виду [Л6.1]:
w M
wM W
M wV wW
Разделив в (6.6.8) переменные, получаем два уравнения:
(6.6.8)
§ W
·
7cc Ё
Dё 7
Ё ё
©
№
(6.6.9)
L
*c L D *
где 7 7W * * V Постоянную разделения D в уравнениях (6.6.9) нужно выбрать таким образом,
чтобы выполнялось граничное условие
\ o при [ o f
или 7 o при W o f .
Взяв D Q , где Q ! , решение первого уравнения (6.6.9)
получаем в виде функций параболического цилиндра:
7Q W 'Q W Q
W
H
§ W
GQ Ё ЁH
GW Q Ё
©
·
ё
ё
ё
№
(6.6.10)
Тогда общее решение уравнения (6.6.8) запишется как
M Q W V 'Q
L §Ё Q ·ё V
№
©
W H
(6.6.11)
Таким образом, собственные функции краевой задачи, образуемой уравнением
(6.6.8) и граничным условием M o при W o f , имеют вид (6.6.11).
В силу ограниченности размеров зеркал функции (6.6.10) дают правильное
представление о распределении поля по координате [ только для колебаний с
малыми номерами Q , имеющих быстроспадающее по указанной координате поле.
На практике именно эти колебания представляют основной интерес, ибо только
они «запираются» внутри резонатора и имеют высокую добротность.
Зависимости полей колебаний с малыми индексами n от поперечной координаты
[ качественно имеют такой же характер, как соответствующие зависимости для
линзовой линии, изображенные на рис. 6.9.
Подставив постоянную разделения в первое уравнение (6.6.9), имеем:
§
W ·
ё7
7cc ЁЁ Q ё№
©
Обозначив W Q
(6.6.12)
Q , переписываем уравнение (6.6.12) в виде
WQ W
7 (6.6.13)
При W W Q уравнение (6.6.13) имеет осциллирующее решение, при W ! W Q —
экспоненциально затухающее. Таким образом, поля собственных колебаний оказываются сконцентрированными в области W Q W W Q .
7cc 288
ГЛАВА 6
Соотношения [ Q W Q J являются уравнениями каустических поверхностей (каустик), внутри которых запираются колебания, удовлетворяющие условию
[ [Q [ (6.6.14)
С учетом записи решения уравнения (6.6.8) в виде (6.6.11) фаза поля на нижнем
зеркале будет
M
§Q Ё
©
·
ё DUFVLQ WK ] №
на верхнем
M
§Ё Q ·ё DUFVLQ WK ] №
©
Фаза поля, пришедшего с верхнего зеркала на нижнее, есть
N/ §Ё Q ·ё DUFVLQ WK ] №
©
Тогда из условия резонанса (баланса фаз)
M M ST T !
M
получаем
N/
S T Q DUFVLQ WK ] (6.6.15)
Уравнение (6.6.15) является уравнением для определения резонансных частот
рассматриваемого резонатора. Оно, естественно, справедливо лишь для колебаний, удовлетворяющих условию (6.6.14). Но поскольку только эти колебания могут
быть высокодобротными, именно к ним применимо понятие резонансной частоты.
При написании этого параграфа использован материал работы [Л6.1].
6.7(*). Открытые резонаторы с
двугранными отражателями
Резонатор с двугранными отражателями, плоскости которых расположены под
очень малым углом (рис. 6.14), по своим свойствам и характеристикам близок к
конфокальному. Такой резонатор характеризуется очень малыми дифракционными
потерями и сравнительно малочувствителен к перекосам отражателей. Что касается
простоты конструкции, то, уступая в удобстве использования сферическому резонатору в оптическом диапазоне, в диапазоне СВЧ он, несомненно, более удобен. Если
сферический открытый резонатор характеризуется радиусом кривизны зеркал, то
открытый резонатор, образованный двугранными отражателями, характеризуется
углом между гранями. При этом резонатор с двугранными отражателями стабилен
при условии, что ширина граней достаточно велика.
Поперечное сечение рассматриваемого резонатора схематически изображено на
рис. 6.15. Отражатели AB и DE, BC и EF расположены под малым углом D относительно
друг друга. Угол D обычно составляет y радиан у резонаторов оптического диапазона и порядка радиан у СВЧ резонаторов [Л6.6].
Квазиоптические линии и резонаторы
289
Рис. 6.14
Будем полагать, что максимальное расстояние между зеркалами G TO , где
T — большое положительное число. Обычно T a y у резонаторов оптического диапазона и T a у СВЧ резонаторов.
Впишем левую и правую половины резонатора в цилиндрические системы
координат с осями в точках 3 и 4 (рис. 6.15). В случае двумерной задачи (когда
полагаем, что поле не зависит от продольной координаты ] ) относительно
продольной компоненты вектора Герца имеем уравнение Гельмгольца
' 3 H] ZH D P D 3 H]
(6.7.1)
которое в цилиндрической системе координат записывается как
w 3 H]
w U
w3 H]
w 3 H]
N 3 H]
U wU
U w M
(6.7.2)
где N Z H D P D , H D и P D — параметры среды между зеркалами резонатора.
Отсчитывая угловую координату M в левой половине резонатора от нижней
грани, граничные условия, при которых решаем уравнения (6.7.1), (6.7.2), записываем
в виде
3 H] M
D (6.7.3)
В двумерной задаче продольная компонента вектора Герца, относительно которой
записаны уравнения (6.7.1), (6.7.2), тождественно совпадает с мембранной функцией
\ H , которая при граничных условиях (6.7.3) имеет вид:
\ H U M
$ -Q NU VLQ QM (6.7.4)
где -Q NU — функция Бесселя; Q TS D .
Порядок величины Q очень большой: у резонаторов оптического диапазона
Q a y , у СВЧ резонаторов Q a . Значение NU также велико: NU | NG D .
Поскольку N S O , G TO , D TS Q , имеем NU a Q .
290
ГЛАВА 6
$
3
D
T
'
%
$c
&c
G
O
'c
(
[
T
)c
&
O
D
4
)
[
Рис. 6.15
В этом случае, используя асимптотические представления функций Бесселя
при больших NU и Q [Л6.7], можем записать:
S
§ ·
-Q NU | Ё
ё FRV Є«Q WJD D є»
SQ
D
WJ
ј
¬
©
№
(6.7.5)
NU Q при NU ! Q , где WJ D
Выражение для мембранной функции, описывающей поле в правой половине
резонатора, имеет вид, аналогичный (6.7.4). При сшивании полей на границе между
выделенными областями в силу условия D кривизной поверхности U G D
будем пренебрегать, полагая, что ввиду симметрии резонансной системы на этой
поверхности существует либо пучность, либо узел поля, запертого между каустическими поверхностями, расположенными в критических сечениях структур,
образованных отражателями AB, DE и BC, EF, соответственно. В этом случае
сшивание полей в плоскости симметрии колебательной системы происходит
автоматически и в этой плоскости устанавливается режим стоячей волны. Условием
установления этого режима, как следует из (6.7.5), является [Л6.6] равенство:
S
Q WJ D D PS (6.7.6)
NG QD ; m = 0, 1, 2, . . . .
где WJ D
Из уравнения (6.7.6) находятся резонансные частоты. Число P определяет
номер колебания и равно числу узлов поля по поперечной координате.
Как видно из (6.7.5), координаты критических сечений рассматриваемой
структуры, соответствующих каустическим поверхностям, определяются из условия
NU
(6.7.7)
Q
которое с учетом выше приведенных выражений для N и D приводит к значению
координаты критического сечения:
U
T
O
(6.7.8)
Квазиоптические линии и резонаторы
291
С учетом (6.7.8) расстояние от плоскости симметрии до критического сечения
определяется как
§
O·
(6.7.9)
ЁG T ё №
D©
Отсчитывая поперечную координату от критического сечения, определим ее
соотношением
[ U U ,
[
где U — радиальная координата критического сечения. Тогда для области между
плоскостью симметрии и критическим сечением [ имеем [Л6.6]:
S
S
D [ TO є
FRV Є
«¬ »ј S T [ DO -Q NU
(6.7.10)
Исходя из выражения (6.7.10) условие резонанса запишем как
S
§ D [ ·
ё
Ё
Ё T O ё
№
©
S
PS
(6.7.11)
Подставляя в (6.7.11) значение [ , записанное в виде (6.7.9), получаем
§G T O ·
Ё
ё
№
©
T O
D P T
Это выражение преобразуем к виду
TO
G
TO § · Є DP є
Ё ё
«
»
G ©№
T
¬
ј
(6.7.12)
С учетом того, что TO | G из (6.7.12) получаем соотношение, определяющее
резонансные частоты рассматриваемого резонатора:
·
G §Ё
Є DP є
ё
(6.7.13)
«
»
ё
T Ё©
¬
T
ј
№
Как видно из (6.7.13), резонансная длина волны даже для основного колебания
( P ) немного меньше G T .
Подставив (6.7.13) в (6.7.9), получим выражение для определения координат
критических сечений мод рассматриваемого резонатора:
O
[
G § P · T D
Ё
ё
©
№
(6.7.14)
Как следует из (6.7.14), расстояния между каустиками колебаний с номерами P малы и составляют y G у оптических резонаторов и порядка G у
резонаторов СВЧ.
292
ГЛАВА 6
(
P
[
P
P
P
Рис. 6.16
С учетом того, что при [ ! справедливо [Л6.6, Л6.7] асимптотическое выражение
є
Є
S §Ё D[ ·ё
«
»
T[ DO - Q [ H[S « Ё TO ё
»
S
©
№
«¬
»ј
можно утверждать, что вне области, ограниченной каустиками, поле экспоненциально убывает по поперечной координате. В силу быстрого убывания поля
рассмотренный подход к определению характеристик резонатора, не учитывающий
конечности поперечных размеров отражателей, можно считать правомерным,
по крайней мере, для колебаний с номерами P . Если поперечные размеры
отражателей превышают значение [ , дифракционные потери резонатора будут
малы.
На рис. 6.16 показаны распределения интенсивностей колебаний по поперечной координате, отсчитываемой от плоскости симметрии, взятые из [Л6.6]. Как
Квазиоптические линии и резонаторы
293
видно из рисунка, с ростом номера P колебаний их интенсивность вблизи критических сечений, определяемых из условия (6.7.7), увеличивается, что говорит о
росте их дифракционных потерь.
В проведенном рассмотрении делалось предположение о том, что кривизной
поверхностей фронтов полей, сшиваемых в плоскости симметрии резонатора, можно
пренебречь. Чтобы это предположение было справедливым, должно [Л6.6]
выполняться условие D T , которым тем самым устанавливается граница
применимости описанного подхода. Указанное условие будет выполнено, если у
резонатора оптического диапазона D , а у СВЧ резонатора D .
На практике трудно обеспечить условие абсолютной симметрии резонатора:
как правило, углы D и D в точках 3 и 4 несколько отличаются друг от друга.
В этом случае нельзя пользоваться решением (6.7.4) в обеих частях резонатора.
При D z D , согласно (6.7.8), следует полагать
Q
TS
Q
D
TS
D
В этом случае средней плоскости резонатора не будут соответствовать узлы
или пучности полей колебаний. Единственное условие, которое должно выполняться
в этой плоскости, заключается в равенстве полей двух половинок резонатора.
Условие резонанса (6.7.6) перепишется в виде
S
S
Q WJ D D Q WJ D D S
G
S
P G P
(6.7.15)
где P и P — близкие по величине числа, G — малая величина.
Положив P P P и сложив уравнения (6.7.15), получим
S
(6.7.16)
Условие (6.7.16), в котором WJ D
NG QD , является условием резонанса.
Различие углов D сказывается на смещении распределения поля в сторону от
средней плоскости резонатора, так что максимум поля оказывается с той стороны от
средней плоскости, с которой угол D меньше.
При написании этого параграфа использован материал работы [Л6.6].
Q WJ D D Q WJ D D P р Гельмгольца как / ' N , запишем формулу Грина:
і 8/J J/8 G9
9
vі
6
w8 · G
§ wJ
Ё 8 G J G ё G6
wQ №
© wQ
(6.1.5)
где 9 — пространство справа от плоскости ] (рис. 6.5); 6 включает в себя
плоскость ] и поверхность, удаленную в бесконечность, то есть 6 — поверхность,
G
ограничивающая объем 9 ; Q — нормаль к этой поверхности; 8 — решение уравнения
G G
(6.1.2); JU U — функция Грина, удовлетворяющая уравнению
G G
'J N J G U U (6.1.6)
G
и обращающаяся в нуль в плоскости ] ; U — произвольная точка внутри 9 .
G
Поскольку интегрирование в левой части (6.1.5) производится по всем точкам U ,
с учетом (6.1.2) и (6.1.6) из уравнения (6.1.5) получаем:
G
8 U §
wJ
w8 · G
vі Ё© 8 wQG J wQG ё№ G6
6
(6.1.7)
Квазиоптические линии и резонаторы
5c
[ \]
273
[ \ ] [ \ ]
G
U
G
Uc
G
U
5
=
Рис. 6.5
и 8 a U , wJ wQ a U при U o f , формулу
С учетом того, что J ] (6.1.7) переписываем в виде
G
8U і
8 [ \ 6 ] wJ G
G G6 wQ
(6.1.8)
G
В этом случае радиус-вектор U лежит в плоскости ] (рис. 6.6).
Функция Грина, удовлетворяющая уравнению (6.1.6) и нулевому граничному
условию при ] , имеет вид
G G
J U U § H[S ^ LN 5` H[S ^ LN 5c` ·
Ё
ё
5
5c
S ©
№
(6.1.9)
[ [ \ \ ] , 5c
[ [ \ \ ] , [ \ ] — коорди5
наты произвольной точки в пространстве справа от плоскости ] ; [ \ —
координаты произвольной
точки в плоскости z = 0 (точки интегрирования)G(рис. 6.5);
G
радиус-вектор 5c является зеркальным отображением радиус-вектора 5 относительно плоскости ] .
Дифференцирование функции (6.1.9) по нормали к плоскости ] приводит к
выражению
wJ
wQ
wJ
w]
LN § ]
]
·
H[S ^ LN 5c` ё Ё H[S ^ LN 5` 55 c
S © 5
№
w §·
w § ·є
Є
H[S ^ L N 5`
Ё ё H[S ^ L N 5c `
Ё ё w] © 5№
w ] © 5c № »ј
S «¬
в котором вторым слагаемым, пропорциональным U , в точках, достаточно
удаленных от плоскости ] , можно пренебречь. В этом случае с учетом того, что
5 c 5 , выражение (6.1.8) переписываем в виде
8 [ \ ]
L N
S
і
6 ] 8 [ \ ] ]
5
H[S ^ L N5 ` G[ G\ (6.1.10)
274
ГЛАВА 6
[ \ ] G
5c
G
5
G
U
[ \ ]
G
U
=
Рис. 6.6
Для точек, в которых ] !! [ [ \ \ , можно записать
Є [ [ \ \ є
5 | ] « »
] ј»
¬«
Тогда из (6.1.10) получаем значение поля в точках, удаленных от плоскости первой
линзы ] и расположенных вблизи оси направляющей системы, то есть
соответствующих области концентрации поля основных мод линзовой линии:
L N
8[ \ ]
H[S ^ L N ]` u
S ]
(6.1.11)
­ L N
Ѕ
8 [ \ H[S ®
u
[ [ \ \ ѕ G[ G\ Ї ]
ї
>
і
6 ] @
Используя граничное условие (6.1.3), из (6.1.11) получаем выражение для поля в
плоскости второй линзы ] / :
LN
H[S ^ L > N/ \ [ \ @ ` u
S/
­ LN Ѕ
8[ \ H[S®
[ [ \ \ ѕG[G\ Ї /
ї
8[ \ / u
і
6] >
@
(6.1.12)
Подставляя выражение (6.1.12) в граничное условие (6.1.4), получаем интегральное уравнение относительно поля в плоскости первой линзы:
LN
H[S ^ L >N/ \ [ \ @ ` u
S/
­ LN Ѕ
8[ \ H[S ®
[ [ \ \ ѕ G[G\ /
Ї
ї
F8 [ \ u
і
6] >
@
(6.1.13)
Уравнение (6.1.13) — однородное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода
[Л6.3-Л6.5].
При выводе уравнения (6.1.13) было использовано приближенное выражение
(6.1.11) для поля в точках, достаточно удаленных от первой линзы. Однако, в силу
второго условия (6.1.1) оно с высокой точностью определяет поле в плоскости
Квазиоптические линии и резонаторы
275
второй линзы, что позволяет считать вывод уравнения (6.1.13) строгим. Из этого
уравнения находится функция распределения поля 8 [ \ в плоскости первой
линзы. Подстановка этой функции в точную формулу (6.1.8) дает строгое выражение для определения поля собственной волны линзовой линии в произвольной
точке.
Решение уравнения (6.1.13) зависит от вида функции \ [ \ , описывающей
фазовую коррекцию, осуществляемую линзой. Вид этой функции определяется
профилем линзы. Аналитическую запись решения уравнения (6.1.13) удается получить
лишь в отдельных частных случаях. Однако численное решение этого интегрального
уравнения в принципе возможно при любом профиле линз и корректно описывает
поля аксиальных мод направляющей структуры.
6.2(*). Собственные волны линзовой линии
Решения уравнения (6.1.13) 8Q (собственные функции) и соответствующие им
собственные значения F Q описывают поля собственных волн линзовой линии. Если
фокусирующая сила линз достаточно велика, то ширина пучка лучей, образующих
направляемое электромагнитное поле, оказывается малой (много меньше размера
линз). В этом случае в (6.1.8) и (6.1.13) интегрирование можно проводить по всей
плоскости ] .
Рассмотрим наиболее простой частный случай: линзовая линия составлена из
бесконечных двумерных квадратичных фазовых корректоров, у которых
N
& D [ /
\ [ (6.2.1)
Функция \ [ — набег фазы при прохождении линзы. Полагается, что поле в
любой точке за линзой зависит только от поля в точке плоскости перед линзой,
имеющей те же поперечные координаты, то есть обе эти точки лежат на одной
прямой, параллельной оптической оси системы. В этом случае функция \
определяет оптическую длину пути между плоскостями ] / G и ] / , то
есть
/
\ [ Z P
і
H [ ] G] / G
Параметр D в (6.2.1) характеризует фокусирующие свойства линзовой линии и
определяется как
D
/
)
(6.2.2)
где ) — фокусное расстояние линз.
В двумерном случае уравнение (6.1.13), очевидно, должно иметь решения 8Q o при [ o f . Убывающие решения существуют не при всех значениях D ,
определяемых формулой (6.2.2), а лишь при
D (6.2.3)
276
ГЛАВА 6
)
)
)
)
)
)
)
)
Рис. 6.7
)
)
)
)
)
)
)
)
)
Рис. 6.8
Условие (6.2.3) легко объясняется с позиции геометрической оптики. Как следует
из (6.2.2), при D линия еще формирует устойчивый пучок электромагнитных
волн (рис. 6.7), но это предельное расстояние между линзами. При дальнейшем
увеличении / пучок при переходе от одной линзы к другой начинает
расфокусироваться (рис. 6.8) становится неустойчивым, поле уже не убывает при
[ o f , возникает излучение из направляющей структуры. Другой предельный
случай D соответствует плоским линзам, не выполняющим фазовую корректировку и не осуществляющим фокусировку лучей. Ширина пучка электромагнитных
волн в такой линии не может быть меньше размера отверстия в диафрагме, через
которое возбуждается направляющая структура. Поле не концентрируется вблизи
оси линии. Отрицательные значения D соответствуют рассеивающим линзам, которые
не могут образовывать направляющую структуру.
В случае двумерных фазовых корректоров, описываемых функцией (6.2.1), при
D (линия с конфокальными линзами) удается [Л6.2] получить аналитическое
решение уравнения (6.1.13). Оно имеет вид
8Q [ ­° N [ Ѕ°
N
§ N ·
·Ѕ
­ L§
+ Q ЁЁ [ ёё H[S® ѕ H[S® Ё & [ ёѕ /
/
/
©
№ї
Ї
°?
°ї
©
№
(6.2.4)
где
N
§ N ·
GQ §
­ N [ Ѕ · —
+ Q ЁЁ [ ёё Q H[S ­® [ Ѕѕ
Ё H[S®
ѕё
Q
ї№
Ї /
ї G[ ©
Ї/
© / №
полином Эрмита [Л6.7, Л6.8].
Из (6.2.4) видно, что поля собственных волн линзовой линии убывают в поперечном
направлении: 8Q o при [ o f , причем тем быстрее, чем меньше номер Q . На
рис. 6.9 качественно изображены зависимости полей первых 3-х собственных волн
линзовой линии от координаты [ . Из рисунка видно, что нулевая собственная
Квазиоптические линии и резонаторы
277
8Q
8
8
8
[
Рис. 6.9
функция даёт гауссово распределение поля по координате [ . Осциллирующий
множитель в (6.2.4) вносит некоторую поправку к гауссову распределению,
увеличивая крутизну спадания поля при удалении от оптической оси системы.
Конфокальные линзовые линии получили наиболее широкое распространение,
так как они обеспечивают максимальную концентрацию поля — минимальную
ширину пучков лучей, образующих поля собственных волн. Ширина пучка в
конфокальной линзовой линии находится в пределах:
Є /
/ є
KЏ«
N »ј
¬ N
Ширина пучка в конфокальной линзовой линии зависит от номера собственной
волны (каждой волне ставится в соответствие свой пучок). Чем выше номер Q ,
тем шире пучок, тем больше радиационные потери. Потери определяются при
этом не абсолютным значением ширины пучка, а величиной T K D ( D — радиус
линзы).
6.3(*). Зеркальная линия
Рассмотрим зеркальную линию, образованную бесконечными цилиндрическими
зеркалами, расположенными на одинаковых расстояниях / друг от друга (рис. 6.10).
Поперечную координату произвольной точки на первом зеркале обозначим как [ .
Функция от этой координаты:
' [ &
[
U [ (6.3.1)
где U [ — радиус кривизны зеркала в точке [ , & — максимальное значение
его прогиба, описывает профиль зеркала. Тогда координата ] произвольной точки на первом зеркале определится как
]
' [ 278
ГЛАВА 6
=
;
/
G
]
'[ [
D
Рис. 6.10
Координаты произвольной точки пространства, в частности, на втором зеркале обозначим как x, z. Решаем двумерную задачу: считаем поле независящим от
координаты \ . Предполагаем, что на каждое зеркало падает пучок лучей под
углом скольжения T , то есть при расчете фазового набега внутри профиля
зеркала так же, как и при прохождении лучей внутри линз, расхождение лучей
в пучке не учитываем, полагая лучи параллельными. Разность хода лучей 1 и 2,
приходящих в раскрыв зеркала и отраженных от него, записываем как
'6
(6.3.2)
6 6
и вычисляем по аналогии с плоско-параллельным диэлектрическим слоем, у
которого в данном случае показатель преломления Q (рис 6.11). В (6.3.2) 6 —
длина отрезка ВС, 6 — суммарная длина отрезков АО и ОС (рис 6.11). Согласно
рисунку имеем
6
'
FRV T
VLQ T
6
'
VLQ T
После подстановки этих выражений в (6.3.2) получаем
'6 ' VLQ T Тогда набег фазы внутри профиля зеркала при произвольном значении координаты
[ (первое зеркало) вычислится как
\ [ N ' [ VLQ T (6.3.3)
где N Z F , ' [ определяется соотношением (6.3.1).
Поле волны, падающей на второе зеркало, через поле в апертуре первого зеркала
вычисляется по формуле (6.1.8), в которой функция Грина должна обращаться в нуль
на первом зеркале. В качестве функции 8[ ] в указанной формуле подставляется
поле волны, отраженной от первого зеркала.
Интеграл (6.1.8) дает поле волны, падающей на второе зеркало, то есть поле,
которое было бы в раскрыве этого зеркала в его отсутствии.
Уравнение относительно полей собственных волн зеркальной линии составляется по той же схеме, что и в случае линзовой линии. Однако расстояние между
Квазиоптические линии и резонаторы
279
%
&
T
$
Рис. 6.11
точками в апертурах первой и второй линз при этом необходимо вычислять по
формуле
U
[ [ / ] ] (6.3.4)
где в данном случае [ ] — координаты произвольной точки на втором зеркале.
Поскольку (6.3.4) подставляется в качестве R в функцию Грина (6.1.9), необходимо записать величину
GU
GU
G
|
GQ
G] U
где G — расстояние между плоскостями, в которых расположены зеркала
(рис. 6.10), U — расстояние между центральными точками (в плоскости \ FRQVW )
зеркал:
U
/ G С учетом повторяемости полей, отраженных от двух последовательно расположенных зеркал, и радиационных потерь в пространстве между этими зеркалами,
то есть фактически с учетом граничных условий (6.1.3), (6.1.4) получаем интегральное уравнение [Л6.2] относительно поля, отраженного от первого зеркала:
LN
H[S ^ L > N U \ [ @ ` VLQ T u
SU
D
u
і
­ LN
Ѕ
[ [ VLQ T LN [ [ FRV Tѕ G[
8[ H[S ®
Ї U
ї
(6.3.5)
F8[ D
При этом набег фазы \ [ , возникающий при распространении поля от поверхности зеркала до плоскости его раскрыва, аналогичен набегу фазы в толще линзы.
Определив из (6.3.5) поле, отраженное от первого зеркала, по формуле (6.1.8)
можем найти поле в произвольной точке зеркальной линии. Присутствие линейного члена в экспоненте ядра уравнения (6.3.5) говорит о том, что функция 8[ не
является медленной функцией, скорость изменения которой, как в линзовой линии,
определяется линейным размером a фазового корректора и величиной U N .
Вдоль направления распространения (в данном случае вдоль оси [ ) она изменяется быстро с периодом S N . В плоскости апертуры первого зеркала это быстрое
изменение описывается множителем H[S ^ LN [ FRV T ` .
280
ГЛАВА 6
Сделав замену переменных [ [ VLQ T ; [ [ VLQ T , можем уравнение (6.3.5)
привести
к
уравнению
относительно
новой
функции
вида
8 [ 8 [ H[S ^L N [ FRV T ` , полностью совпадающему с уравнением линзовой
линии (двумерной) с линейным размером корректоров D D VLQ T . Этот результат
означает, что независимо от того, производится ли фазовая коррекция пучка
электромагнитных волн в плоскости, перпендикулярной оптической оси системы,
как в линзовой линии, или в плоскости, ориентированной вдоль общего направления распространения, как в зеркальной линии, форма распределения поля собственной
волны определяется шириной электромагнитного пучка D , расстоянием между
фазовыми корректорами, функцией \ [ и описывается функциями (6.2.4), как в
двумерной линзовой линии. Распределение амплитуды поля на поверхности зеркала
при этом полностью совпадает с распределением амплитуды поля в средней плоскости линзы.
6.4(*). Открытые резонаторы. Основные свойства
Объемные резонаторы, используемые в качестве колебательных систем сантиметрового диапазона, при переходе в миллиметровый и тем более в субмиллиметровый диапазоны оказываются неприменимыми. Дело в том, что спектр резонансных
частот замкнутой (трехмерной) колебательной системы описывается формулой Рэлея-Джинса, согласно которой число колебаний '1 в интервале частот 'Z определяется как
9
(6.4.1)
'1
Z 'Z SF
где 9 — объем резонатора, F — скорость света.
Из формулы (6.4.1) видно, что при увеличении частоты происходит сгущение
спектра колебательной системы, что приводит к потере ее резонансных свойств.
Единственный путь к сохранению последних — уменьшение объема 9 колебательной
системы. Однако, поскольку с ростом частоты сгущение спектра колебаний происходит
быстро, указанная мера оказывается малоэффективной, а порой и неприемлемой
по двум причинам. Первая заключается в том, что с уменьшением объема падает
добротность колебательной системы, вторая — резонаторы становятся сверхминиатюрными, технологически трудноизготовимыми и недопускающими дополнительных
конструктивных включений, связанных с их (резонаторов) функциональным
назначением.
Указанные соображения заставили искать колебательные системы, не
подчиняющиеся формуле Рэлея-Джинса. Отправным моментом явилась математическая
модель одномерной колебательной системы, для которой формула, аналогичная
(6.4.1), выглядит следующим образом:
/
'1
'Z (6.4.2)
SF
где / — расстояние между двумя бесконечными параллельными идеально
проводящими плоскостями.
Квазиоптические линии и резонаторы
281
Как видно из формулы (6.4.2), число колебаний одномерной колебательной
системы в интервале 'Z не зависит от частоты. Приближенным эквивалентом
одномерной колебательной системы является резонатор, образованный двумя
плоскими, параллельными зеркалами (рис 6.3а). В таком резонаторе сгущение
спектра с ростом частоты не происходит. Поле в нем, согласно концепции Бриллюэна,
можно представить как поле двух параллельных пучков лучей преобразующихся
при отражении от зеркал друг в друга. Каждое колебание в таком резонаторе
образуется своими пучками лучей (плоскими волнами), падающих под
фиксированным (для данного колебания) углом на зеркала колебательной системы.
Чем меньше угол падения, тем добротнее колебание, тем меньше его радиационные
потери. В результате за счет увеличения радиационных потерь колебаний с высокими индексами происходит их дискриминация, что приводит к разрежению спектра резонансных частот колебательной системы.
Резонатор с вогнутыми зеркалами (рис. 6.3в), можно представить как часть
объемного цилиндрического резонатора, каждое колебание которого можно
разложить на плоские волны (волны Бриллюэна) и представить в виде наложения
пучков лучей. Пучки, соответствующие различным типам колебаний, падают на
зеркала под различными углами, поэтому у них, как правило, разные радиационные
потери: чем меньше угол падения, тем меньше излучение. Разрежение спектра
достигается тем, что для большинства колебаний угол падения недостаточно мал,
и они излучаются, в то время, как колебания с малым углом падения претерпевают
большое количество переотражений и имеют высокую добротность. Таким образом, благодаря излучению спектр собственных колебаний оказывается разреженным.
Не во всех, однако, открытых системах (в отличие от объемных резонаторов)
могут существовать слабозатухающие колебания. Если, например, плоские зеркала,
образующие резонатор, несколько не параллельны, то потери на излучение
оказываются настолько большими, что все резонансные свойства теряются. Поэтому
открытыми резонаторами следует называть лишь такие системы, которые имеют
достаточно добротные собственные колебания, сопровождающиеся частичным излучением в свободное пространство.
Добротные колебания в открытых резонаторах могут быть реализованы благодаря
одному из трех физических явлений [Л6.1]:
1. Отражение от краев зеркал, которое наиболее существенно в открытых
резонаторах, образованными плоскими параллельными зеркалами, расстояние между
которыми велико по сравнению с длиной волны. Колебание формируется за счет
отражений от краев зеркал направляемой волны.
2. Образование каустических поверхностей, обуславливающих запирание внутри
резонатора, образованного вогнутыми зеркалами, части колебаний, каустические
поверхности которых наиболее близки к оси резонатора, и излучение всех прочих
колебаний.
3. Полное внутреннее отражение, проявляющееся в колебательных системах,
где оптически более плотная среда окружена средой менее плотной. Это так назы-
282
ГЛАВА 6
ваемые открытые диэлектрические резонаторы, получившие широкое распространение не только в квазиоптическом и оптическом диапазонах, но и на
СВЧ.
Во многих открытых колебательных системах добротные колебания образуются
сразу за счет двух или даже всех трех перечисленных явлений, но, как правило,
одно из них является доминирующим. Выделение главного фактора, обеспечивающего
существование добротных колебаний, позволяет [Л6.1] составить наглядное представление о физике колебательного процесса в данной системе и сформулировать
исходные положения для построения теории открытых резонаторов.
6.5(*). Элементы теории открытых резонаторов
с вогнутыми зеркалами
Колебательный процесс в открытом резонаторе с вогнутыми зеркалами во
многом аналогичен процессу образования пучка электромагнитных волн в линзовой
линии. В линзовой линии пучок после каждого фазового корректора попадает
на следующий, в резонаторе — после каждого отражения возвращается к противоположно расположенному зеркалу, отражается от него и т.д. Поле в
резонаторе образуется двумя встречными пучками. Если их поперечный размер
мал по сравнению с размером зеркал, то есть применимо приближение
бесконечных корректоров, то каждый пучок симметричен относительно оси
резонатора. Если фокусирующее действие зеркал недостаточно, то пучки оказываются несимметричными и захватывают площадь, выходящую за предел
апертуры зеркал. В этом случае колебания сопровождаются значительным
излучением и становятся малодобротными.
Математически открытый резонатор с вогнутыми зеркалами можно описать
тем же интегральным уравнением Фредгольма второго рода, что и линзовую линию.
Фазовая коррекция в резонаторе осуществляется зеркалом и зависит от его формы
(профиля):
\ [ \ & N ' [ \ (6.5.1)
где ' [ \ — прогиб зеркала (рис. 6.3в); N ' [ \ — набег фазы, возникающий
при прохождении электромагнитным полем этого прогиба; [ \ — поперечные
координаты. В (6.5.1) удвоенный набег фазы потому, что волна дважды проходит
прогиб зеркала. В данном случае набег фазы — разность фаз падающей волны на
входе в прогиб зеркала и отраженной от зеркала волны, пришедшей в ту же
точку.
Для резонатора со сферическими зеркалами:
N U (6.5.2)
/
где D / U , U ) , ) — фокусное расстояние, U
[ \ , / — расстояние
между центрами зеркал.
Параметр D определят фокусирующие свойства зеркал. Значение D соответствует плоским зеркалам, D — конфокальному резонатору, D —
\ [ \ &D
Квазиоптические линии и резонаторы
283
концентрическому резонатору, в котором центры кривизны зеркал совпадают. При
введенных обозначениях U — радиус кривизны зеркал. Зеркала фокусируют пучок лучей при условии
/ D f (6.5.3)
При этом параметр D должен находиться в пределах:
D (6.5.4)
Условия фокусировки (6.5.3), (6.5.4) аналогичны условию (6.2.3) устойчивости пучка
линзовой линии. При одинаковых функциях коррекции (6.5.2) открытый резонатор и
линзовая линия описываются одними и теми же собственными функциями и
собственными значениями, так что, например, результаты решения двумерной задачи
для линзовой линии могут быть перенесены на открытый резонатор, образованный
двумя бесконечными цилиндрическими зеркалами. Так же, как и в теории линзовых
линий, аналитические выражения для собственных функций удается получить лишь
в случае конфокального резонатора. При этом модуль собственного значения F Q
интегрального уравнения определяет радиационные потери, которые вместе с
потерями, связанными с неидеальностью зеркал, и диэлектрическими потерями в
среде характеризуют добротность резонатора.
В открытом резонаторе, как в любой резонансной системе, резонанс имеет
место при определенных частотах ZQ , которые должны быть такими, чтобы фаза
поля, уходящего от зеркала, после двукратного прохождения им пространства
между зеркалами повторялась с точностью до SQ , где Q ! . Это условие,
называемое балансом фаз, приводит [Л6.2] к уравнению для определения резонансных частот собственных колебаний открытого резонатора:
ZQ /
F
S §Ё O J
©
PT·
ё
№
(6.5.5)
где O — число полуволн, укладывающихся по оси Oz (рис. 6.3в) между зеркалами,
P и T — число полуволновых осцилляций вдоль осей [ и \ , J — множитель,
зависящий от функции фазовой коррекции (6.5.1). Для конфокального резонатора,
описываемого функцией (6.5.2), J .
Поскольку обычно O !! P T , резонансная частота с достаточной точностью может
быть найдена из соотношения:
ZQ /
SO F Каждому значению O в общем случае соответствует бесчисленное множество
колебаний, имеющих различные P и T . Важнейшей особенностью открытых
резонаторов является большое различие в затуханиях колебаний с большими и
малыми индексами P и T . С ростом P и T быстро увеличиваются радиационные
потери.
Колебания в конфокальном резонаторе неустойчивы по отношению к такому
изменению зеркал, при котором радиус кривизны одного из них уменьшается,
другого — увеличивается. Это связано с вырождением типов колебаний в конфокальном резонаторе [Л6.2]. Согласно (6.5.5) одна и та же частота может
284
ГЛАВА 6
D
D
Рис. 6.12
соответствовать различным P и T , что особенно проявляется при небольших
изменениях параметров зеркал, в результате которых поле перестает концентрироваться вблизи оси резонатора. В реальных системах вырождение снимается за
счет того, что колебания с большими P и T имеют более высокие радиационные
потери.
Если функции фазовой коррекции зеркал резонатора имеют вид
\
N
& D [ /
(6.5.6)
где D / U , U — радиусы кривизны зеркал, то область устойчивости
колебаний такого резонатора определяется из условия:
! D D ! (6.5.7)
На рис. 6.12 эта область заштрихована. Зеркала, параметры которых обеспечивают
фазовую коррекцию (6.5.6) и находятся в области, определяемой неравенством
(6.5.7), называются фокусирующими. Точка, соответствующая конфокальным
зеркалам, лежит на границе заштрихованных областей, и даже малое различие в
значениях U и U может вывести резонатор в область неустойчивости.
6.6(*). Открытый резонатор с цилиндрическими зеркалами
эллиптического профиля
Ознакомимся с элементами теории открытых резонаторов, не учитывающей
дифракционные явления на краях зеркал. Рассмотрим [Л6.1] резонатор, зеркала
которого вписываются в поверхность эллиптического цилиндра (рис. 6.13). Полагаем
их бесконечными вдоль оси OY, а поле независящим от этой координаты. Таким
образом, имеем краевую двумерную задачу относительно компоненты 3 H\ вектора
Герца, удовлетворяющей уравнению Гельмгольца, нулевому граничному условию
на идеально проводящих зеркалах и стремящейся к нулю с приближением к
открытому пространству.
Квазиоптические линии и резонаторы
285
=
[
[
O
[
[
]
G
G
;
]
]
O
D
Рис. 6.13
Поскольку поле в резонаторе не зависит от координаты \ , которую в данном
случае можно рассматривать как продольную, его можно описывать потенциальной функцией \ [ ] , удовлетворяющей уравнению:
'\ N\
(6.6.1)
в котором N Z H P ; \ a 3 H\ .
Для того, чтобы облегчить удовлетворение граничного условия на поверхности
зеркал
\ [ ] 6
введем эллиптическую систему координат, связанную с декартовой соотношениями:
[
G FK] VLQ [ ]
G VK] FRV[ (6.6.2)
где G — расстояние между фокусами эллипса (рис. 6.13); [ и ] — эллиптические координаты, изменяющиеся в пределах
S
S
d [ d f ] f
Координатные линии [ FRQVW на плоскости [ ] представляют собой конфокальные гиперболы. Угол между асимптотой к такой гиперболе и осью OZ —
значение угловой эллиптической координаты. Координатные линии ] FRQVW на
плоскости [ ] представляют собой конфокальные эллипсы. Эллиптическая
координата ] называется радиальной потому, что в пределе при G o она
переходит в радиальную цилиндрическую координату.
Поверхностям зеркал соответствуют координаты:
[ d [ d [
]
Расстояние между центрами зеркал: /
(6.6.2) есть D G FK] VLQ [ .
r] O
f \ f
G VK] . Ширина зеркал, исходя из
286
ГЛАВА 6
В эллиптических координатах уравнение (6.6.1) перепишется в виде
w \
w[
w \
w]
J FK] VLQ [ \
(6.6.3)
где J NG ; \ \ [ ] .
Уравнение (6.6.3) — уравнение эллиптического типа. Строгое решение его приводит
к угловым и модифицированным функциям Матье, однако, с учетом специфики
задачи это уравнение можно приближенно преобразовать к параболическому и
получить аналитические решения последнего, удовлетворяющие заданным граничным
условиям.
Решение уравнения (6.6.3) ищем в виде [Л6.1]:
\
: [ ] H[S ^ L J VK]` T : [ ] H[S ^ L J VK] ` (6.6.4)
Множитель H[S ^ r LJ VK] ` — быстроменяющаяся по ] часть решения; амплитуда
: [ ] — медленноменяющаяся. При T ! имеем четную по ] функцию
\ ] , при T ! — нечетную; T — число полуволн, укладывающихся между
зеркалами.
Подставив первое слагаемое из (6.6.4) в уравнение (6.6.3), получаем
w:
w[
w:
w]
L J FK]
w:
L J VK] J VLQ [ :
w]
(6.6.5)
Поскольку каждое из слагаемых в (6.6.4) удовлетворяет уравнению (6.6.3),
подстановка второго слагаемого в это уравнение также приводит к (6.6.5).
В резонаторе основные (низшие) колебания «запираются» в центральной области,
расстояние между фокусами эллиптического цилиндра велико, длина волны O G .
Поэтому можно считать выполненными условия
J !! VLQ [ (6.6.6)
При выполнении второго условия из (6.6.6) радиус кривизны зеркал в
рассматриваемой области можно считать постоянным:
FK ]
VK]
Используя условия (6.6.6) и, кроме того, учитывая, что функция : [ ] медленно
меняется по ] , уравнение (6.6.5) приводим к виду
U
w:
G
L J FK]
W
V
w:
L J VK] J [ :
w]
w[
Это уже уравнение параболического типа.
Сделав замену переменных:
J [
DUFVLQ WK]
и записав решение уравнения (6.6.7) в виде
: [ ] M W V FKW
(6.6.7)
Квазиоптические линии и резонаторы
287
преобразуем это уравнение к виду [Л6.1]:
w M
wM W
M wV wW
Разделив в (6.6.8) переменные, получаем два уравнения:
(6.6.8)
§ W
·
7cc Ё
Dё 7
Ё ё
©
№
(6.6.9)
L
*c L D *
где 7 7W * * V Постоянную разделения D в уравнениях (6.6.9) нужно выбрать таким образом,
чтобы выполнялось граничное условие
\ o при [ o f
или 7 o при W o f .
Взяв D Q , где Q ! , решение первого уравнения (6.6.9)
получаем в виде функций параболического цилиндра:
7Q W 'Q W Q
W
H
§ W
GQ Ё ЁH
GW Q Ё
©
·
ё
ё
ё
№
(6.6.10)
Тогда общее решение уравнения (6.6.8) запишется как
M Q W V 'Q
L §Ё Q ·ё V
№
©
W H
(6.6.11)
Таким образом, собственные функции краевой задачи, образуемой уравнением
(6.6.8) и граничным условием M o при W o f , имеют вид (6.6.11).
В силу ограниченности размеров зеркал функции (6.6.10) дают правильное
представление о распределении поля по координате [ только для колебаний с
малыми номерами Q , имеющих быстроспадающее по указанной координате поле.
На практике именно эти колебания представляют основной интерес, ибо только
они «запираются» внутри резонатора и имеют высокую добротность.
Зависимости полей колебаний с малыми индексами n от поперечной координаты
[ качественно имеют такой же характер, как соответствующие зависимости для
линзовой линии, изображенные на рис. 6.9.
Подставив постоянную разделения в первое уравнение (6.6.9), имеем:
§
W ·
ё7
7cc ЁЁ Q ё№
©
Обозначив W Q
(6.6.12)
Q , переписываем уравнение (6.6.12) в виде
WQ W
7 (6.6.13)
При W W Q уравнение (6.6.13) имеет осциллирующее решение, при W ! W Q —
экспоненциально затухающее. Таким образом, поля собственных колебаний оказываются сконцентрированными в области W Q W W Q .
7cc 288
ГЛАВА 6
Соотношения [ Q W Q J являются уравнениями каустических поверхностей (каустик), внутри которых запираются колебания, удовлетворяющие условию
[ [Q [ (6.6.14)
С учетом записи решения уравнения (6.6.8) в виде (6.6.11) фаза поля на нижнем
зеркале будет
M
§Q Ё
©
·
ё DUFVLQ WK ] №
на верхнем
M
§Ё Q ·ё DUFVLQ WK ] №
©
Фаза поля, пришедшего с верхнего зеркала на нижнее, есть
N/ §Ё Q ·ё DUFVLQ WK ] №
©
Тогда из условия резонанса (баланса фаз)
M M ST T !
M
получаем
N/
S T Q DUFVLQ WK ] (6.6.15)
Уравнение (6.6.15) является уравнением для определения резонансных частот
рассматриваемого резонатора. Оно, естественно, справедливо лишь для колебаний, удовлетворяющих условию (6.6.14). Но поскольку только эти колебания могут
быть высокодобротными, именно к ним применимо понятие резонансной частоты.
При написании этого параграфа использован материал работы [Л6.1].
6.7(*). Открытые резонаторы с
двугранными отражателями
Резонатор с двугранными отражателями, плоскости которых расположены под
очень малым углом (рис. 6.14), по своим свойствам и характеристикам близок к
конфокальному. Такой резонатор характеризуется очень малыми дифракционными
потерями и сравнительно малочувствителен к перекосам отражателей. Что касается
простоты конструкции, то, уступая в удобстве использования сферическому резонатору в оптическом диапазоне, в диапазоне СВЧ он, несомненно, более удобен. Если
сферический открытый резонатор характеризуется радиусом кривизны зеркал, то
открытый резонатор, образованный двугранными отражателями, характеризуется
углом между гранями. При этом резонатор с двугранными отражателями стабилен
при условии, что ширина граней достаточно велика.
Поперечное сечение рассматриваемого резонатора схематически изображено на
рис. 6.15. Отражатели AB и DE, BC и EF расположены под малым углом D относительно
друг друга. Угол D обычно составляет y радиан у резонаторов оптического диапазона и порядка радиан у СВЧ резонаторов [Л6.6].
Квазиоптические линии и резонаторы
289
Рис. 6.14
Будем полагать, что максимальное расстояние между зеркалами G TO , где
T — большое положительное число. Обычно T a y у резонаторов оптического диапазона и T a у СВЧ резонаторов.
Впишем левую и правую половины резонатора в цилиндрические системы
координат с осями в точках 3 и 4 (рис. 6.15). В случае двумерной задачи (когда
полагаем, что поле не зависит от продольной координаты ] ) относительно
продольной компоненты вектора Герца имеем уравнение Гельмгольца
' 3 H] ZH D P D 3 H]
(6.7.1)
которое в цилиндрической системе координат записывается как
w 3 H]
w U
w3 H]
w 3 H]
N 3 H]
U wU
U w M
(6.7.2)
где N Z H D P D , H D и P D — параметры среды между зеркалами резонатора.
Отсчитывая угловую координату M в левой половине резонатора от нижней
грани, граничные условия, при которых решаем уравнения (6.7.1), (6.7.2), записываем
в виде
3 H] M
D (6.7.3)
В двумерной задаче продольная компонента вектора Герца, относительно которой
записаны уравнения (6.7.1), (6.7.2), тождественно совпадает с мембранной функцией
\ H , которая при граничных условиях (6.7.3) имеет вид:
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 744 Кб
Теги
part
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа