close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

part 12

код для вставкиСкачать
ГЛАВА 12
524
Глава
12
Основы линейной теории
устройств сверхвысоких
частот для гармонических
процессов
12.1(*). Основные определения ................................................................................................................................. 525
12.2(*). Основные теоремы СВЧ-цепей ............................................................................................................ 528
12.3(*). Соотношения между характеристическими матрицами
(дескрипторами) четырёхполюсника ................................................................................................................ 536
12.4(*). Основные свойства матрицы рассеяния ..................................................................................... 538
12.5(*). Анализ четырёхполюсников каскадной структуры с помощью
матриц передачи .................................................................................................................................................................. 540
12.6(*). Метод симметричных восьмиполюсников (метод синфазного и противофазного возбуждений) ..................................................................................................................................................... 543
12.7(*). Матрицы передачи и рассеяния для некоторых широко
используемых типов четырёхполюсников ................................................................................................. 545
12.8(*). Пример использования матрицы рассеяния .......................................................................... 549
12.9(*). Вычисление волновых сопротивлений линий передачи ............................................ 551
*) Символом «*» отмечены разделы и параграфы для самостоятельного и углубленного изучения материала.
Основы линейной теории устройств СВЧ
525
Глава 12(*). Основы линейной теории устройств
сверхвысоких частот для гармонических процессов
Любое линейное устройство СВЧ-диапазона (в том числе линию передачи и
резонатор) в обобщенном виде можно представить в виде многополюсника (рис.
12.1), который обычно состоит из нескольких элементов, соединенных определенным образом между собой с помощью отрезков различных линий. Такие многополюсники (в эквивалентном их представлении) обычно описываются нормированными напряжениями и токами на входах устройства. На низких частотах для этой
цели используются матрицы сопротивлений, матрицы проводимостей или («классические») матрицы передачи. Эти классы матриц весьма широко используются в
инженерной практике. В СВЧ- и КВЧ-диапазонах напряжения и токи заменяются
нормированными волновыми переменными и устройство анализируется с помощью матрицы рассеяния.
Большинство элементов СВЧ-устройств имеют один вход и один выход, то есть
являются четырехполюсниками. Часто СВЧ-схемы могут быть представлены в виде
каскадного соединения таких четырехполюсных элементов (базовых элементов).
Анализ таких схем особенно удобен с помощью матриц передачи отдельных четырехполюсников.
12.1(*). Основные определения
12.1.1. Многополюсник СВЧ. Будем понимать под многополюсником СВЧ любую
комбинацию проводников, диэлектриков и других элементов, имеющую несколько
входов в виде поперечных сечений линий передачи с заданными типами волн в
каждой линии (рис. 12.1). Для каждого входа многополюсника для определения фаз
определяют плоскости отсчета фаз нормированных напряжений, которые выбирают таким образом, чтобы нераспространяющиеся волны высших типов, возбуждаемые в многополюснике, в этих сечениях были пренебрежимо малы, что исключает возможность обмена энергией между многополюсником и остальной частью тракта за счет высших типов волн. При использовании термина « 1 -полюсник СВЧ»
подразумевается устройство с 1 подводящими линиями передачи с заданными
плоскостями отсчета фаз или, более строго, с 1 типами волн во входных линиях.
В нашем курсе рассматриваются пассивные линейные многополюсники. Свойство пассивности означает отсутствие усиления или генерации мощности СВЧ
—
внутри многополюсника и выражается в виде неравенства 3 t , где 3
мощность потерь внутри многополюсника при любых его возбуждениях. Свойство
линейности означает независимость внешних характеристик многополюсника от
уровня мощности, то есть устройство описывается с помощью линеанизированных
уравнений Максвелла. Однако этот уровень должен оставаться в определенных
границах, например, он не должен превышать предела электрической прочности
диэлектрика в устройстве СВЧ.
ГЛАВА 12
526
&
(W
61
6
1
«Обобщённый»
2N-полюсник
1 6 1 6
6
6
Рис. 12.1
Ниже будем рассматривать преимущественно внешние гармонические характеристики многополюсника, устанавливающие связи между электрическими величинами его входов. Зависимость от времени выбирается в виде H[S LZW . Для описания и расчета внешних характеристик линейных многополюсников используется
матричный аппарат линейной алгебры.
12.1.2. Матрицы многополюсников выявляют взаимосвязи между электрическими режимами его входов. Режимы в плоскостях отсчета фаз многополюсника могут
быть описаны как в терминах волнового, так и в терминах классического подходов.
При волновом подходе для каждого P -входа произвольного 1 -полюсника
(рис. 12.2а) вводят нормированное напряжение для падающей волны, распространяющейся в сторону к многополюснику (вдоль продольной координаты [ ):
X QP
3QP H
(
P
L M QP L J H
[
X QP H
P
L J
[
(12.1.1)
где активная мощность 3QP , переносимая падающей волной, определяется интегралом от вектора Умова–Пойнтинга этой волны по поперечному сечению 6P P входа:
&
&
&
3QP 5H
> (QP +QP
@ G6 (12.1.2)
^і
`
6P
J P M(
QP
— постоянная распространения основной волны линии передачи в P -входе;
— фаза нормированного напряжения падающей волны в P -входе, равная
фазе
&
&составляющей поперечного электрического поля для основной волны;
(QP
+
волны;
& & QP — электрические и магнитные поля в P -входе для падающей
&
G6 Q G6 — векторный элемент площади поперечного сечения 6 , Q — единичный вектор внешней нормали по отношению к поперечному сечению. Нормированное напряжение для отраженной волны в P -входе записывается аналогичным
образом:
X RP
3RP H
(
L M RP
H
P
L J [
X RP H
P
LJ [
(12.1.3)
где активная мощность отраженной волны 3RP и фаза нормированного напряже-
527
Основы линейной теории устройств СВЧ
XQ
X
X R
X Q
X
X R
L
L
2Nполюсник
2Nполюсник
X1
XQ1
L1
X R1
а)
б)
Рис. 12.2
ния отраженной волны M (
RP определяется точно так же, как и для падающей волны. Заметим, что нормированные напряжения X QP X RP имеют размерность
.
При классическом подходе для каждого P -входа устройства задаются нормированные напряжения X P и нормированные токи L P , втекающие внутрь многополюсника (рис. 12.2б), по формулам
XP
X QP X RP LP
X QP X RP (12.1.4)
.
Нормированные X P и L P также измеряются в
В самом общем случае режим на P -входе многополюсника может быть однозначно описан двумя комплексными величинами, например, это могут быть X QP X RP
или X P L P а также любая их комбинация. Выделяя на каждом входе 1 -полюсника
одну из величин, входящих в (12.1.4), в качестве компонента независимого воздействия на многополюсник, а какую-либо другую — в качестве компонента реакции& на
это воздействие,
сформируем 1 -мерные (по числу входов) векторы воздействия ) и
&
реакции 5 :
§ ) ·
§ 5 ·
Ё
ё
& Ё ) ё
& ЁЁ 5 ёё
)
5
(12.1.5)
Ё ё
Ё ё
Ё
ё
Ё
ё
© )1 №
© 51 №
&
В силу линейности многополюсника
вектор реакции 5 должен быть связан с
&
вектором воздействия ) линейным матричным соотношением:
& ( &
5 7)
(12.1.6)
(
где квадратная матрица 7 1 -порядка является полной внешней характеристикой
&1 -полюсника в том смысле, что позволяет
рассчитать
реакцию многополюсника
&
(
5 на любое выбранное воздействие ) . Матрица 7 называется дескриптором
устройства СВЧ.
12.1.3. Матрица рассеяния. Самым распространенным в теории устройств СВЧ
является выбор вектора воздействия на 1 -полюсник в виде набора 1 -падающих
ГЛАВА 12
528
волн и вектора реакции в виде набора 1 отраженных волн, то есть
& &
) { XQ
§
Ё
Ё
Ё
Ё
©
X Q ·
ё
X Q ё
ё
ё
X Q1 №
&
5
&
XR
§
Ё
Ё
Ё
Ё
©
X R ·
ё
X R ё
ё
ё
X R1 №
(12.1.7)
В этом случае взаимосвязь
векторов воздействия и реакции определяется мат( ( (
рицей рассеяния 6 7 { 6 :
(&
&
XR 6 XQ (12.1.8)
(
Квадратная матрица 6 имеет смысл математического оператора, указываю&
&
щего правило преобразования вектор-воздействия X Q в вектор-реакцию X R .
12.1.4. Матрицы сопротивлений и проводимостей. Пусть теперь воздействие на
1 -полюсник выбрано в виде набора 1 нормированных токов, а реакция — в
виде набора 1 нормированных напряжений:
§ L
Ё
Ё L
Ё Ё
© L1
&
Тогда связь между векторами L и
сопротивлений Є¬ = єј :
& &
){L
·
§ X ·
ё
Ё
ё
&
& Ё X ё
ё
5{X
(12.1.9)
ё
Ё ё
ё
Ё
ё
№
© X1 №
&
X определяется матрицей нормированных
&
X
Подобным образом определяется
Є¬ < єј 1 -полюсника:
&
L
&
Є¬ = єј L (12.1.10)
матрица нормированных проводимостей
&
Є¬ < єј X
(12.1.11)
Матрицы нормированных сопротивлений и проводимостей часто применяются
при анализе и расчете многоэлементных антенн и антенных решеток (в частности,
фазированных антенных решеток (пассивных и активных)) для учета влияния отдельных излучателей друг на друга.
Сравнивая определения матриц нормированных сопротивлений и проводимостей для одного и того же многополюсника, можно установить, что они взаимно
обратны:
Є¬ = єј
Є¬ < єј
Є¬ < єј
Є¬ = єј
(12.1.12)
12.2(*). Основные теоремы СВЧ-цепей
В настоящем разделе рассмотрим основные теоремы цепей с распределенными
параметрами, позволяющие существенно упростить анализ и синтез линейных
устройств.
529
Основы линейной теории устройств СВЧ
12.2.1. Теорема Умова–Пойнтинга. В электродиL
намике, теории дифракции и смежных дисципли- X
нах широко используется теорема Умова–Пойнтин9
га, основывающаяся
на понятии вектора Умова–Пой&
нтинга 6 , определяемого как &векторное произведе&
6
ние векторов электрического ( и магнитного
& & + по&
лей в некоторой точке пространства: 6 > ( + @ Это
классическое представление вектора Умова–ПойнРис. 12.3
тинга для поперечных электромагнитных полей. В
&
нашем курсе мы будем пользоваться исключительно этим определением 6 .
Рассмотрим двухполюсник, подсоединенный каким-либо способом к внешней
цепи в сечении 6 (рис. 12.3); входные нормированные напряжение X и ток L
считаются известными. Предположим также, что внутри объема 9 двухполюсника электрический и магнитный токи отсутствуют; его стенки изготовлены из идеальных проводников. Среду внутри объема 9 будем считать изотропной со скалярными параметрами H P V , где V — проводимость диэлектрика, заполняющего
объем двухполюсника.
В случае гармонической зависимости от времени уравнения Максвелла для
комплексных амплитуд могут быть записаны в форме
&
&
&
&
URW ( L Z P P + URW + V L ZH H ( (12.2.1)
Используя известное тождество:
& &
GLY > ( + @
получим
& &
GLY > ( + @
&
& &
&
+ URW ( ( URW + (12.2.2)
L Z P P + V L Z H H ( (12.2.3)
& &
Интеграл от дивергенции комплексного вектора Умова–Пойнтинга > ( + @ по
объему устройства равен поверхностному интегралу от этого вектора. Так как
стенки& устройства
являются идеальными проводниками, то векторное произведе&
ние > ( + @ на стенках двухполюсника равно нулю. Поэтому поверхностный интеграл берем только по поверхности 6 (рис. 12.3):
& &
& &
&
і GLY > ( + @ G9 і > ( + @ G6
9
6
&
&
L Z H H ( P P + G9 V ( G9 і
і
9
(12.2.4)
9
Так как для двухполюсника
& &
&
і > ( + @ G6
X L (12.2.5)
6
то
XL
L Z 3+ 3( 3
(12.2.6)
ГЛАВА 12
530
где
3+
P P + G9 — средняя накопленная энергия магнитного поля;
і
9
3(
H H(
G9 — средняя накопленная энергия электрического поля;
3
V (
G9 — средняя мощность омических потерь.
і
9
і
9
Таким образом, комплексная мощность XL , поступающая в двухполюсник,
(омические потери) и мнимую часть
включает в себя действительную часть 3
Z 3+ 3( , которая, в свою очередь, выражается через накопленную магнитную и
электрическую мощности и частоту. Это есть теорема Умова–Пойнтинга для двухполюсника. Соотношение (12.2.6) — математическая формулировка теоремы.
&
&
Так как X = L , где = — нормированное сопротивление двухполюсника, то
=
LZ3+ 3( 3
_ L _
(12.2.7)
(12.2.8)
Аналогично для проводимости < получим
<
LZ3( 3+ 3
_ X _
Если 3+ 3( , то величина = < является чисто действительной; при 3
(потери равны нулю) нормированное сопротивление = — чисто мнимая величина.
Теорема Умова–Пойнтинга (12.2.6) для случая 2N-полюсника записывается в
виде
1
¦ XN LN
L Z 3+ 3( 3
(12.2.9)
N имеют тот же смысл, что и в уравнении (12.2.6).
где 3+ 3( 3
Таким образом, теорема Умова–Пойнтинга для 2N-полюсника в форме (12.2.9)
устанавливает связь между комплексной мощностью, поступающей на входы, активной мощностью и накопленной энергией.
& &
& &
12.2.2. Лемма Лоренца для многополюсников. Если ( + и ( + представляют собой два различных решения однородных (без источников) уравнений Максвелла для комплексных амплитуд, удовлетворяющие граничным условиям внутри
рассматриваемого устройства с изотропным заполнением, то на одной и той же
частоте имеет место равенство
& &
& &
GLY ^ > ( + @ > ( + @` (12.2.10)
Это соотношение справедливо как для двух различных типов волн устройства, так
и для двух различных генераторов СВЧ.
531
Основы линейной теории устройств СВЧ
Проинтегрируем уравнение (12.2.10) по объему устройства (рис. 12.1) и применим теорему Остроградского–Гаусса. Тогда
&
& &
& &
^ > ( + @ > ( + @` G6 (12.2.11)
і
6 6 61
где интегрирование ведется по поперечным сечениям 6N N 1 входов 2Nполюсника в плоскостях
отсчета фаз. При& выводе соотношения (12.2.11) было учте&
но, что вектор ( параллелен вектору G6 на идеально проводящей части поверхности 6 (рис. 12.1).
Если два решения соответствуют одному и тому же типу волны, то есть предполагается наличие двух генераторов с одинаковой частотой Z , тогда на любом
входе P
&
&
& &
& &
> ( + @ G6 & > ( + @ G6 (12.2.12)
і
і
6P
6P
где & — комплексный постоянный множитель.
Если устройство внутри объема 9 содержит анизотропную среду с тензорами
(
(
P и H , то лемма Лоренца для комплексных амплитуд имеет вид (сторонние источники отсутствуют):
& &
& &
& (&
GLY ^ >( + @ > ( + @ ` LZ P + P + & (&
& (&
& (&
(12.2.13)
P + P+ H ( H ( H ( H ( (
(
(
(
Представим P и H в виде сумм симметричных P , H и антисимметричных
(
(
P , HDF тензоров:
( (
(
( (
(
P P P H H H DF Легко убедиться, что
& (
& (
& (
& (
+ P F + + P F + + P DF + + P DF + ( (
Аналогичные соотношения имеют место и для тензоров H F H С учетом этих
соотношений лемма Лоренца принимает более простой вид:
( &
& &
& ( &
& ( &
(12.2.14)
GLY ^ > ( + @ > ( + @ ` L Z P + P DF + H( H DF ( Проинтегрировав уравнение (12.2.14) по объему устройства 9 (рис. 12.1) и применив теорему Остроградского–Гаусса, получим:
&
&
&
&
&
&
&
і ^ > ( + @ > ( + @ ` G6
6 6 61
LZ
& (
&
(
і P + P DF + H ( HDF ( G9 (12.2.15)
9
Устройства, для которых справедливы соотношения (12.2.14), (12.2.15), называются невзаимными. Заметим, что необходимым условием появления анти(
(
симметричных компонент тензоров P и H является наличие внешнего постоянного поля или постоянной намагниченности. Это находится в соответствии с
обобщенным принципом симметрии кинетических коэффициентов (принци-
ГЛАВА 12
532
пом Онсагера), который может быть записан в виде:
& &
&
&
(12.2.16)
P LM Z N % P ML Z N % &
где % — постоянная магнитная индукция.
(
(
Наличие сред, обладающих тензорами P или H c такими антисимметричными
компонентами, является по определению условием создания невзаимных устройств.
Однако наличие постоянного магнитного (электрического) поля или постоянной
намагниченности служит необходимым, но не достаточным условием создания невзаимных устройств.
12.2.3. Теорема Фостера для недиссипативных многополюсников. Рассмотрим
вначале недиссипативный двухполюсник с изотропным заполнением (рис. 12.3). Для
него справедлива следующая теорема Фостера:
&
& &
& &
^> ( G+ @ > G( + @ ` G6
і
6
&
&
L GZ P P _ + _ H H _ ( _ G9 (12.2.17)
і
9
&
&
&
&
где G+ и G( — приращения векторов + и ( при изменении частоты Z на величину GZ . Введем на входе двухполюсника нормированные напряжение X и ток L ,
так что
X
=L
(12.2.18)
где = — нормированное сопротивление.
Используя соотношения (12.2.17), (12.2.18), нетрудно показать, что для нормированного реактивного сопротивления ; недиссипативного двухполюсника справедливо следующее соотношение = L; :
G;
GZ
3( 3+ t _L_
(12.2.19)
Аналогично для нормированной реактивной проводимости % двухполюсника
без потерь имеем <
L% :
G%
GZ
3( 3+ t _X_
(12.2.20)
Соотношения (12.2.19), (12.2.20) выражают тот факт, что наклоны кривых зависимости реактивных сопротивления и проводимости от частоты всегда положительны. На рис. 12.4 приведена типичная зависимость нормированного реактивного
сопротивления ; от частоты для двухполюсника без потерь.
Из соотношений (12.2.7), (12.2.19) можно сделать следующие выводы:
1. Для устройств без потерь на частоте Z нормированное реактивное сопротивление ; равно нулю или f . Между двумя полюсами кривая зависимости ; от
частоты обязательно пересекает ось абсцисс; полюса и нули чередуются (рис. 12.4).
533
Основы линейной теории устройств СВЧ
;
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z
Рис. 12.4
2. Функция ; ; Z является нечетной: ; Z ; Z .
3. На комплексной плоскости сопротивление ; полностью определяется своими полюсами и нулями с точностью до некоторой произвольной постоянной A:
;
$f
Z
1
–
Z ZQ Q Z ZQ (12.2.21)
На основании теории вычетов (12.2.21) можно записать в виде ряда:
;
$f Z DR
Z
Z
1
¦
DQ Z ZQ Q (12.2.22)
где $f и коэффициенты D , D , DQ называются вычетами в соответствующих полюсах.
Так как %
; , то в соответствии с уравнением (12.2.22) имеем:
%
&f Z E
Z
Z
1
¦
Q EQ Z ZQ (12.2.23)
Таким образом, полюсы для ; становятся нулями для % , а нули для ; —
полюсами для % .
В окрестности точки ZL запишем:
;|
DL Z
Z ZL
(12.2.24)
и
%|
Z ZL
DL Z
(12.2.25)
ГЛАВА 12
534
&
&
&
&1
/
/
/1
/f
/
/
&
Рис. 12.5
/
/1
&
&1
&f
Рис. 12.6
где
DL
G%
GZ
(12.2.26)
ZL
то есть вычеты функции ;Z могут быть получены, если известны значения
производных G%Z GZ .
12.2.4. Первая эквивалентная схема. Соотношение (12.2.22) соответствует ряду
параллельных резонансных контуров, соединенных последовательно (рис. 12.5). Типичное слагаемое DL Z Z Z L соответствует параллельному резонансному
контуру, причем Z L /L &L .
Непосредственное сравнение схемы, изображенной на рис. 2.5 с формулой (12.2.22),
показывает, что
&
&L
D
ZL
D L
/L &L
/f
$ 12.2.5. Вторая эквивалентная схема. Уравнение (12.2.23) соответствует ряду последовательных резонансных контуров, соединенных параллельно (рис. 12.6).
Из непосредственного сравнения схемы, изображенной на рис. 12.6 с формулой
(12.2.23), следует, что
/
E
/L
EL
&f
Z L $f
/L &L
Во многих практических случаях рабочий диапазон устройства находится около
какого-либо одного полюса, а другие полюса находятся достаточно далеко и не
оказывают влияние на реактивное сопротивление в рабочем диапазоне. Поэтому
двухполюсник может быть представлен простым /& -контуром, если пренебречь
потерями. Кроме того, если учесть потери, то типичный элемент первой эквивалентной схемы (рис. 12.5) будет состоять из параллельного соединения сопротивления 5L , емкости &L и индуктивности /L , причем его добротность 4L ZL &L 5L
(рис. 12.7а). Для второй эквивалентной схемы элемент состоит из последовательного
соединения 5L , /L и &L , причем 4L ZL /L 5L (рис. 12.7б).
535
Основы линейной теории устройств СВЧ
&L
5L
/L
/L
5L
&L
а)
б)
Рис. 12.7
Приведенные выше результаты легко обобщаются на случай 1-полюсника
(рис. 12.1). В этом случае теорема Фостера для 1-полюсника записывается в виде
&
& &
& &
^ > ( G+ @ > G( + @ ` G6 L GZ 3( 3+ (12.2.27)
і
6 6 61
где поверхностный интеграл берется по поперечным сечениям плоскостей отсчета
фаз всех входов.
Перепишем уравнение (12.2.27) в переменных X Q , LQ Q 1 :
1
¦ XQ GLQ GXQ LQ L GZ 3( 3+ (12.2.28)
Q Так как
XQ
1
¦ =QP LP P то (12.2.28) для недиссипативного 2N-полюсника можно записать в виде =QP
1
¦
LQ LP
Q P G; PQ
GZ
3( 3+ t L;QP
(12.2.29)
В матричной форме теорема Фостера записывается следующим образом:
&
&
(12.2.30)
L7 Є¬ ; єјc L 3( 3+ t где
Є¬ ; єјc
G;
GZ
G;
GZ
G;1
GZ
G;1
GZ
G;1
GZ
G;11
GZ
(12.2.31)
ГЛАВА 12
536
&
вектор L определяется соотношением
(2.1.8), индекс « 7 » означает операцию транс&
понирования элементов вектора L :
&
L7 ^ L L L1
`
Из уравнения (12.2.30) также следует, что
GHW Є¬ ; єјc t (12.2.32)
Таким образом, можно сказать, что теорема Фостера позволяет анализировать сложные многополюсники и синтезировать их из простых элементов подобно
тому, как гармонический анализ дает возможность анализировать и синтезировать
периодические волны сложной формы путем разложения их на простые гармонические составляющие.
12.3(*). Соотношения между характеристическими
матрицами (дескрипторами) многополюсника
> @> @
12.3.1. Связь между матрицами = < >6@ Самой распространенной в теории
линейных устройств СВЧ является матрица рассеяния. Поэтому подробно рассмотрим ее основные свойства. И прежде всего установим взаимосвязь между матрицей рассеяния > 6 @ и матрицей сопротивлений Є¬ = єј . Имея в виду, что формулы
(12.1.4) справедливы для всех входных линий 2N-полюсника (рис. 12.2б), их можно
представить в матричной
& форме относительно векторов-столбцов нормированных
&
напряжений X и токов L :
&
&
& &
& &
XQ X L XR X L (12.3.1)
(&
&
Так как X R 6 X Q , то из (12.3.1) следует, что
( (
( ( &
*
X , 6 , 6 L (
где , — единичная матрица.
Сопоставляя последнее
соотношение с уравнением (12.1.10), получаем формулу
(
связи матриц Є¬ = єј и 6 :
( (
( (
Є¬= єј , 6 , 6
(12.3.2)
из которой следует, что матрица Є¬ = єј является неопределенной при обращении
в
( (
нуль определителя матрицы, подлежащей обращению, то есть при GHW , 6( Аналогично можно получить выражение, связывающее матрицы Є¬ < єј и 6 :
( (
( (
Є¬ < єј , 6 , 6,
(12.3.3)
( (
которое
( ( справедливо при условии, что определитель GHW , 6 z . При
GHW , 6 матрица нормированных проводимостей Є¬ < єј для многополюсника
отсутствует. В качестве примера многополюсника, для которого нельзя ввести
матрицы Є¬ = єј и Є¬ < єј , можно привести шестиполюсник в виде параллельного разветвления трех линий передачи, для которого
( (
( (
GHW, 6 GHW, 6 Основы линейной теории устройств СВЧ
537
Из (12.3.2), (12.3.3) можно получить формулы для матрицы рассеяния через матрицы Є¬ = єј и Є¬ < єј :
(
(
(
(
(
(
6 Є¬= єј , Є¬= єј , 6 , Є¬ < єј, Є¬ < єј (12.3.4)
12.3.2. Зависимость матриц многополюсников от нумерации входов. Любая матрица многополюсника имеет смысл только при установленном порядке нумерации
входов. При изменении нумерации входов получаются другие матрицы: числовые
значения элементов остаются теми же самыми, но расположение элементов матрицы изменяется. Для установления зависимости элементов матрицы 1-полюсперенумероника от( нумерации входов введем 1 -порядка квадратную матрицу
(
вания * по следующему правилу. В каждую строку матрицы * запишем 1 нулей и одну единицу в ту позицию, номер которой соответствует новому номеру
входа, прежний номер которого равен номеру этой строки. Нетрудно показать, что
матрица перенумерования является ортогональной, то есть
( (
(
* *7 , (
где , — единичная
матрица N-порядка, индекс « 7 » указывает на транспонирование
(
матрицы * .
(
Обозначив через символ 6* матрицу рассеяния 2N-полюсника с перенумерованными( входами, запишем формулу для преобразования исходной матрицы рассеяния 6 :
(
( ( (
6* * 7 6 * (12.3.5)
которая является частным случаем известного в математике преобразования подобия.
Аналогично
(
(
(
(
Є¬= єј
*7 Є¬= єј * Є¬ < єј
*7 Є¬ < єј *
(12.3.6)
*
*
Перенумерация входов позволяет приводить матрицы устройств к стандартной
форме, принятой для многополюсников того или иного вида.
12.3.3. Сдвиг плоскостей отсчета фаз на входах многополюсника. На практике
иногда необходимо преобразовать матрицы многополюсника к новым плоскостям
отсчета фаз относительно первоначальных. Наиболее просто эта задача решается
для матриц рассеяния. При изменении плоскостей отсчета входов многополюсника
в элементы первоначальной матрицы рассеяния вносятся дополнительные запаздывающие или опережающие сдвиги из-за удлинения или укорочения путей прохождения сигналов. Кроме того, из-за затухания волн в подводящих линиях происходят изменения модулей элементов матрицы рассеяния.
( )Таким образом, формулу для преобразования элементов матрицы рассеяния
6 с измененными плоскостями отсчета фаз на входах многополюсника можно
записать в виде
)
6PQ
6PQ H[S L J P OP L J QOQ (12.3.7)
где OP и OQ — смещения плоскостей отсчета фаз в P -й и Q -й входных линиях;
J P E P L D P , J Q E Q L D Q — постоянные распространения в этих линиях.
ГЛАВА 12
538
Сдвиг плоскостей отсчета приводит также к изменению элементов матриц нормированных сопротивлений и проводимостей. Однако для элементов преобразо)
)
ванных матриц Є¬ = єј и Є¬ < єј простых формул не существует. Поэтому расчет
измененных матриц сопротивления и проводимостей должен производиться путем
перехода от этих матриц к матрице рассеяния и обратно по формулам (12.3.2)–
(12.3.4).
12.4(*). Основные свойства матрицы рассеяния
Самой распространенной в теории линейных устройств СВЧ является матрица
рассеяния. Поэтому ниже подробно рассмотрим основные ее свойства.
12.4.1. Физический смысл элементов матрицы рассеяния. Для матрицы рассеяния существуют простейшие испытательные
режимы, позволяющие определить
(
физический смысл элементов матрицы 6 . Обратившись к матричному уравнению (12.1.8), можно заметить, что если отлично от нуля только( напряжение
одной из падающих волн, то соответствующий столбец матрицы 6 может быть
легко найден:
6PN
X RP
X QN
XQL L 1 L z N
(12.4.1)
Из выражения (12.4.1) следует четкий физический смысл. Внедиагональный элемент 6PN P z N представляет собой волновой коэффициент передачи по нормированному напряжению из плеча N в плечо P при согласованных нагрузках на других
входах. Диагональный элемент 6PP является коэффициентом отражения по нормированному напряжению для P -входа при согласованных нагрузках на других входах.
Заметим, что согласно выражению (12.4.1) элементы матрицы рассеяния безразмерны.
12.4.2. Симметричность матрицы рассеяния для взаимных устройств. К взаимным устройствам относятся многополюсники, которые удовлетворяют требованиям теоремы взаимности относительно двух любых входов при произвольных режимах на остальных входах. Математически это условие имеет вид
( (
6 67 или 6LM 6 ML (12.4.2)
Аналогичные соотношения взаимности имеют место и для матриц нормированных сопротивлений и проводимостей:
Є¬= єј Є¬= єј Є¬ < єј Є¬ < єј (12.4.3)
7
7
Симметричность матриц взаимного многополюсника значительно уменьшает
число независимых параметров. Для полного описания взаимного 2N-полюсника
достаточно всего 1 1 элементов матрицы рассеяния.
Необходимым условием взаимности устройств является отсутствие внутри него
анизотропных включений, например, подмагниченных ферритов или плазмы.
539
Основы линейной теории устройств СВЧ
12.4.3. Унитарность матрицы рассеяния для недиссипативных многополюсников. Недиссипативными называют такие многополюсники, в которых отсутствуют внутренние потери электромагнитной энергии. Условием
отсутствия потерь
(
внутри многополюсника является унитарность матрицы 6 :
( (
67 6
(
,
(12.4.4)
Унитарные матрицы обладают рядом характерных свойств. Норма каждого столбца унитарной матрицы (то есть корень квадратный из суммы квадратов модулей
элементов столбца) равна единице, столбцы ортогональны между собой, а определитель унитарной матрицы имеет единичный модуль и его можно представить в
виде
(
GHW 6 H L M (12.4.5)
В( качестве примера приведем в развернутом виде условие унитарности матрицы 6 (12.4.4) для недиссипативного четырехполюсника:
6
6
6
6 6
6
6
6
(12.4.6)
Первые два равенства являются выражениями закона сохранения энергии при
возбуждении четырехполюсника со стороны входов 1 и 2 и при согласованной
нагрузке на противоположном входе. Третье — устанавливает
дополнительную
(
связь между амплитудами и фазами элементов матрицы 6 . Из совместного решения всех трех равенств вытекает, что для любого недиссипативного четырехполюсника должны выполняться ограничения
6
6 M M
6
6 (12.4.7)
M M r S где M PQ — фаза элемента 6PQ матрицы рассеяния.
(
(
симметрии * для
12.4.4. Коммутируемость матрицы рассеяния 6 с матрицей
(
симметричных многополюсников. Матрица симметрии * вводится аналогично матрице перенумерования, введенной в разделе 12.3.2. Она также должна содержать в
каждой строке и в каждом столбце по одному ненулевому элементу, который
может принимать значения r , причем соответствует смене положительного
направления нормированного напряжения на соответствующем входе. Применение
матриц симметрии при анализе различных симметричных устройств СВЧ основано на том, что они коммутируют с матрицами параметров многополюсника:
((
*6
((
6*
(
* Є¬ = єј
(
Є¬ = єј *
(
* Є¬ < єј
(
Є¬ < єј * (12.4.8)
(
В качестве примера составления матрицы * рассмотрим разветвление двухпроводных линий передачи (рис. 12.8). Режим шестиполюсника и его описание останутся
неизменными, если при «зеркальной» замене правой половины шестиполюсника на
ГЛАВА 12
540
X
3
X
X
Рис. 12.8
левую одновременно изменяется положительное направление напряжения на входе 3
на противоположное. Поэтому матрица симметрии для разветвления двухпроводных
линий передачи должна соответствовать перенумерации входов: o , o и
o , что дает
(
*
Є є
« »
«
»
«¬ »ј
12.4.5. Преимущества матрицы рассеяния. В заключение
этого раздела приведем
(
основные преимущества использования матрицы 6 по сравнению с матрицами
нормированных проводимостей Є¬ < єј и сопротивлений Є¬ = єј .
1. В технике СВЧ и КВЧ кроме частоты непосредственно можно измерить
только КСВН и мощность. Эти (измерения по существу эквивалентны измерениям
значений элементов матрицы 6 . Что касается матриц Є¬ = єј и Є¬ < єј , то аналогичных
непосредственных измерений произвести
( нельзя.
2. Свойство унитарности матрицы 6 позволяет легко проверить условие баланса мощностей для устройства без потерь. При использовании матриц Є¬ = єј и Є¬ < єј
проверить это условие затруднительно.
3. При изменении положения плоскости отсчета многополюсника меняются только
фазы коэффициентов матрицы рассеяния. При тех же условиях элементы матриц
Є¬ = єј и Є¬ < єј будут меняться как по фазе, так и по модулю.
4. При
( определенных условиях физической симметрии можно определить матрицу 6 исходя только из геометрических соображений.
12.5(*). Анализ четырехполюсников каскадной структуры
с помощью матриц передачи
Рассмотренная ранее матрица рассеяния неудобна для анализа схем, состоящих
из каскадно соединенных четырехполюсников, для которых характерно, что выход
541
Основы линейной теории устройств СВЧ
L
L
(
$
(
$
=
(
$1
X
X
Рис. 12.9
предшествующего четырехполюсника является входом последующего (рис. 12.9).
Анализ такого соединения значительно упрощается, если характеризовать четырехполюсники матрицами передачи.
(
Для классической матрицы передачи $ связь воздействия и реакции имеет
вид:
( X ·
( Є $ $ є
$ §Ё
ё $ { «
(12.5.1)
© L №
¬ $ $ »ј
При таком определении матрица передачи*) для N-каскадно включенных
четы(
рехполюсников оказывается равной произведению матриц передачи $Q отдельных каскадов:
§ X ·
Ё
ё
© L №
(
$
1
(
– $Q (12.5.2)
Q причем перемножать матрицы каскадов надо именно в той последовательности, в
какой они включены
в тракт. Иногда предпочитают пользоваться волновой матрицей
(
передачи 7 , вводимой матричным соотношением:
§ X Q · 7( § X Q · 7( { Є 7 7 є ё
Ё
ё
Ё
(12.5.3)
»
«¬ 7
© X №
© X №
7 ј
(
Зная элементы матрицы $ , легко анализировать двухполюсники каскадной структуры, образующиеся при нагружении последнего каскада нормированной нагрузкой =У X L (рис. 12.9). Нормированное входное сопротивление такого двухполюсника будет
X
L
$= $
$= $
(12.5.4)
(
где использованы элементы матрицы $ , определяемой
соотношением (12.5.2).
(
(
Уравнения перехода от элементов матрицы 6 к элементам матрицы $ имеют
вид:
=
$
$
*)
6 6 '6
$
6
6 6 '6
$
6
6 6 '6
6
6 6 '6
6
(12.5.5)
(
В литературе существуют и другие обозначения для элементов матрицы $ $
D $
E $
F $
G
ГЛАВА 12
542
XQ
XQ
X R
X R
X R
3
3c 3
&
+W
X R
3c
XQ
(
6
XR
а)
XQ
б)
(
6
XR X R
(
6
XR
X R
X R
3
3c
XQ
(
6
XR
&
(W
XR
в)
Рис. 12.10
где
'6 66 66 (
Заметим, что если 6 , то элементы матрицы $ становятся неопределенными. Параметр 6 представляет собой коэффициент прямой передачи, и в СВЧи КВЧ-цепях он редко бывает равным нулю. (
( Формулы перехода от элементов матрицы $ к элементам матрицы рассеяния
6 определяются следующими соотношениями:
6
$ $ $ $ 6
$ $ $ $
6
$ $ $ $
6
$$ $ $ $ $ $ $
$ $ $ $ $ $ $ $
(12.5.6)
Определенные соотношениями (12.5.3) 7LM — параметры связаны с элементами
6LM следующим образом:
7
7
'6
6
6
6
7
6
6
7
6
(12.5.7)
543
Основы линейной теории устройств СВЧ
(
(
Как и в случае $ матрицы, элементы матрицы 7 становятся неопределенными,
если коэффициент прямой передачи 6 .
Матрица рассеяния устройств СВЧ- и КВЧ-диапазонов может быть найдена из
T-матрицы по следующим формулам:
6
7
7
6
6
7
6
7 7
7 7
7
7
(12.5.8)
(
(
Для того, чтобы можно было осуществить преобразование 7 -матрицы в 6 матрицу, параметр 7 ( не должен быть равным нулю.
Матрица передачи $ обладает следующими свойствами:
1. Для взаимных четырехполюсников 6 6 :
$$ $ $
(12.5.9)
2. Для симметричных четырехполюсников (которые остаются неизменными при
замене входных зажимов на выходные зажимы):
(12.5.10)
(
3. Для недиссипативного четырехполюсника в матрице передачи $ элементы
$ и $ должны быть чисто вещественными, а элементы $ и $ — чисто
мнимыми.
$
$ 12.6(*). Метод симметричных восьмиполюсников
(метод синфазного и противофазного возбуждений)
Этот метод сводит анализ восьмиполюсников, имеющих плоскость симметрии
(рис. 12.10), к анализу более простых четырехполюсников, представляющих собой
«половины» восьмиполюсников.
12.6.1. Режим холостого хода (синфазное возбуждение). Рассмотрим восьмиполюсник (рис. 12.10а), симметричный относительно плоскости 33c . Такой восьмиполюсник можно рассмотреть в двух режимах: синфазное возбуждение, когда в плоскости симметрии находится максимум напряжения, и противофазное возбуждение, когда в плоскости симметрии находится максимум тока. Рассмотрим первый
режим. Подведем ко входам 1 и 3 одинаковые по амплитуде синфазные волны
XQ XQ X Q . Допустим, что все остальные входы согласованы. Эти волны
относительно плоскости симметрии мы будем называть четными волнами. В силу
симметрии максимум напряжения будет в плоскости 33c (рис. 12.10б), то есть в
ней устанавливается
пучность распределения напряженности касательного элект&
(
и
нуль
распределения напряженности касательного магнитного
рического
поля
W
&
поля +W (режим холостого хода). Плоскость 33c условно расчленяет восьмиполюс-
ГЛАВА 12
544
ник на два не связанных между собой одинаковых (парциальных) четырехполюсника синфазного возбуждения с матрицами рассеяния
(
Є 6 6
є
.
6 « »
¬ 6 6 ј
В этом случае четные волны, отраженные от входов восьмиполюсника, соответственно будут связаны соотношениями:
X R
X R
X R
X R
XQ
6
XQ
6
(12.6.1)
12.6.2. Режим короткого замыкания (противофазное возбуждение). Если же к входам
1 и 3 подвести одинаковые по амплитуде противофазные (сдвинутые на $ ) волны,
то есть X Q X Q X Q (нечетные волны), то в плоскости 33c будет нуль напряжения (рис. 12.10в). В этом случае в плоскости симметрии устанавливается
пучность
&
распределения напряженности касательного магнитного
поля
+
и
нуль
распределения
W
&
напряженности касательного электрического поля ( W (режим короткого замыкания).
Плоскость симметрии условно расчленяет восьмиполюсник на два не связанных между
собой одинаковых парциальных четырехполюсника противофазного возбуждения с матрицами рассеяния:
(
Є 6 6
є
6 « (12.6.2)
»
¬ 6 6 ј
Тогда волны, отраженные от входов восьмиполюсника, будут связаны соотношениями
XQ
XQ
XR XR 6
(12.6.3)
XR XR 6
12.6.3. Общее решение задачи возбуждения восьмиполюсников со стороны
плеча 1 волной амплитудой X Q определится в виде наложения (суперпозиции) частных решений для синфазного и противофазного возбуждений:
X Q
X Q X Q
X R
X R X R
X R
X R X R
X R
X R X R
XR
X R X R
XQ X Q
X Q X Q
XQ
6X Q XQ
6
6X Q 6
XQ
6
6X Q 6
XQ
6
6X Q 6
6
6
(12.6.4)
12.6.4. Связь между матрицами. Из этих соотношений
следует, что между элемен(
тами матрицы рассеяния восьмиполюсника 6 (рис. 12.10 а) и элементами матриц
рассеяния четырехполюсников 6 и 6 (рис. 12.10 б и рис. 12.10 в) существуют следую-
545
Основы линейной теории устройств СВЧ
щие зависимости:
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
Если восьмиполюсник возбуждается со стороны плеча 2, то аналогично
6
6
6
6
6
6
(12.6.5)
(12.6.6)
6
6
6
6
6
6
При возбуждении восьмиполюсника со стороны плеча 3 определяются элементы матрицы 6L L :
6
6
6
6
6
6
Аналогично для элементов 6L L
6
6
6
6
6
6
6
6
(12.6.7)
имеем:
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
(12.6.8)
12.6.5. Схема анализа. Опишем последовательность расчета рабочих параметров
симметричного восьмиполюсника:
1. Определение матриц рассеяния 6 и 6 четырехполюсников, образующихся
при синфазном и противофазном видах возбуждения восьмиполюсника.
2. Выбор (первостепенного) рабочего параметра (например, элемент 6 , характеризующий согласование со стороны первой пары полюсов) и его расчет.
3. Из условия идеальности выбранного первостепенного рабочего параметра
(например, 6 для идеального согласования входа 1) установление связи между проводимостями (или сопрот??влениями) плеч
восьмиполюсника.
(
4. Расчет остальных элементов матрицы 6 с учетом найденных соотношений
между проводимостями.
5. Вычисление рабочих параметров восьмиполюсника.
12.7(*). Матрицы передачи и рассеяния для некоторых
широко используемых четырехполюсников
Иногда на практике для анализа четырехполюсников используют и ненормированную матрицу передачи, так называемую матрицу $%&' , которая определя-
ГЛАВА 12
546
,
,
$%&'
8
8
Рис. 12.11
ется как (см. рис. 12.11)
Є 8 є
«¬ , »ј
Є $ % є Є 8
«¬ & ' »ј «¬ ,
є
»ј
(12.7.1)
где напряжения 8N и токи ,N в k-плече связаны с нормированными величинами
XN , LN следующим образом:
8N
=N XN ,N
LN
=N
(12.7.2)
где =N — волновое сопротивление N -входа.
(
Элементы $%&' -матрицы выражаются через элементы матрицы передачи $
по формулам:
$
$
=
$
=
$
& == $
%
==
=
'
=
(12.7.3)
где = и = — волновые сопротивления линий передачи соответственно на входах
1 и 2 четырехполюсника.
(
Уравнения перехода от $%&' -матрицы к матрице рассеяния 6 имеют вид:
6
$= % &== '=
$= % &== '=
6
$' %& ==
$= % &== '=
6
6
==
$= % &== '=
$= % &== '=
$= % &== '=
(12.7.4)
(
(
В таблице 12.1 приведены выражения для матриц 6 и $ для наиболее
(
широко используемых четырехполюсников. Причем элементы матрицы 6 являются безразмерными, то есть они являются нормированными.
547
Основы линейной теории устройств СВЧ
Таблица 12.1
$%&'
Є FK J O
«VK J O ]
¬
] VK J O є
FK J O »ј
6
Є VK J O
« ] ]
«
'V
] ]
«¬
'V
'V
Є ] є
« » ¬
ј
] ]FK
'V
Є є
« \ » ¬
ј
]] є
» ] ] ] »ј
\ \ є
» \ \ \ »ј
\ \ \ є
Є
« L] WJ E O » ¬
ј
є
» »
VK J O »
ј
] ] ] Є \ \ \
«
«¬ \ \
'V
] ]
] ]
J O ] ] VK
Є ] ] ]
«
«¬ ]]
'V
'V є
Є «
»ј
'V ¬ 'V 'V
L] WJ E O = Є
«LWJ E O ]
¬
є
»ј
'V
'V
'V є
Є «' »ј
¬ V
L] WJ E O ] JO ГЛАВА 12
548
Таблица 12.1 (продолжение)
ЄQ є
« Q » ¬
ј
Є
Q
Q є
«
»
Q «¬ Q Q »ј
\ є
Є \ \
« ' \
\ \ »ј
¬
Є
є
\
3\
'
\ \
«
» 'V « \ \
\ 3\ ' »ј
¬
'V
'V
Є ] 3] '
є
] ]
«
» «¬
] ]
] 3] ' »ј
] 4] ' ' ] ] ] ] ] ] 4 ] ] ] 3 ] ] Є ] ]
«
'V ¬« ] ]
Є є
« » ¬
ј
D
' ] є
Є ] ]
« ]
] ] »ј
¬
'V
\ 4\ ' ' \ \ \ \ \ \ 4 \ \ \ 3 \ \ ] ] є
» ] ] ј»
'V
] ] Є
«%
¬
%є
»ј
Є $ % « $ % ]
¬
] $ % є
$ % »ј
$ D
% $
549
Основы линейной теории устройств СВЧ
Рис. 12.12
12.8(*). Пример использования матрицы рассеяния
12.8.1. Двойной волноводный тройник. Рассмотрим восьмиполюсник, представляющий собой двойной волноводный тройник (рис. 12.12). Идеальная матрица рассеяния такого устройства при определенном выборе плоскостей отсчета имеет вид
(
6
Є « «
« «¬ є
»
»
»
»ј
(12.8.1)
Тогда зависимости между падающими и отраженными нормированными напряжениями в матричной форме в соответствии с (12.8.1) определяются соотношениями
Є X R
«X
« R
« X R
«X
¬ R
є
»
»
»
»
ј
Є X Q
« X Q
«
« X Q
«X
¬ Q
XQ є
XQ »
»
X Q »
X Q »ј
(12.8.2)
12.8.2. Свойства двойного волноводного тройника:
1. Сигнал, поданный в плечо 3 (H-плечо), делится на две равные части и без
отражений синфазно попадает в плечи 1 и 2; в плечо 4 (E-плечо) — сигнал не
попадает. Действительно, при XQ z , X Q X Q X Q X R X R X Q ,
X R X R .
2. Сигнал, поданный в плечо 4 (E-плечо), делится на две равные части и в противофазах проходит в плечи 1 и 2. В плечо 3 (H-плечо) сигнал не проходит. Действитель X R X R X Q , а X R X R .
3. При подаче двух одинаковых синфазных сигналов в плечи 3 и 4 суммарный
сигнал без отражений проходит в плечо 1. В плечо 2 сигналы не проходят. Действи X Q , а X R X R X R .
тельно, при X Q X Q и X Q X Q X R
но, при XQ z , X Q
X Q
X Q
ГЛАВА 12
550
*
XR XQ
*
X R
XQ
X R
Двойной
волноводный
тройник
X Q
*
X Q
X R
Рис. 12.13
4. При подаче двух сигналов, поданных противофазно в плечи 3 и 4, суммарный
сигнал без отражений проходит в плечо 2. В плечо 1 сигнал не проходит. Действи X Q , а X R X R X R .
тельно, при X Q X Q и X Q X Q X R
Остальные свойства двойного волноводного тройника приведем без доказательства. Предлагаем Читателю проделать это самостоятельно.
5. Сигнал, поданный в плечо 1, делится на две равные части и без отражений
синфазно проходит в плечи 3 и 4; в плечо 2 сигнал не проходит.
6. Сигнал, поданный в плечо 2, делится на две равные части и без отражений
синфазно попадает в плечи 3 и 4; в плечо 1 сигнал не попадает.
7. Сигналы, поданные синфазно в плечи 1 и 2, складываясь, без отражений
попадают в плечо 3; в плечо 4 сигналы не проходят.
8. Сигналы, поданные противофазно в плечи 1 и 2, суммируясь, без отражений
попадают в плечо 4; в плечо 3 сигнал не проходит.
12.8.3. Пример. Определим свойства двойного волноводного тройника с матрицей
рассеяния (12.8.1) при подаче сигнала в плечо 3 при условиях, что в плоскостях
отсчета фаз плеч 1, 2, и 4 включены несогласованные нагрузки с коэффициентами
отражения соответственно * , * и * .
Для несогласованных нагрузок справедливо (рис. 12.13):
X Q
* X R , X Q
* X R , X Q * X R .
( Подставив значения X QL L в уравнение (12.1.8), где матрица рассеяния
6 определяется формулой (12.8.1), получим:
X R
X R
X Q * X R *X R * X R X R
XR
X Q * X R *X R * X R 551
Основы линейной теории устройств СВЧ
Эти уравнения можно привести к каноническому виду:
X R * X R X Q X R * X R X Q *X R * X R
X R
*X R * X R X R Решая эту систему относительно неизвестных X RL L
X R
X R
**
X X R
* * * Q
* * ***
X Q X R * * * , получим:
**
X * * * Q
* *
X * * * Q
(12.8.3)
Вычисленные величины X RL L определяют свойства восьмиполюсника при
несогласованных нагрузках плеч.
Мощность, поглощаемая в каждом плече, равна разности между мощностью,
падающей на соответствующую нагрузку, и мощностью, отраженной от этой нагрузки (см. рис. 12.13):
XQ XR 3
(12.8.4)
X Q X R 3
XQ XR Разность мощностей падающей и отраженной волн в плече 3 равна мощности,
поглощаемой во всей системе:
3
3
X Q X R (12.8.5)
12.9(*). Вычисление волновых сопротивлений
линий передачи
Понятие волнового сопротивления линии передачи «пришло» в электродинамику СВЧ-структур из теории цепей и, нужно сказать, является очень полезным,
если не пользоваться им бездумно. Дело в том, что нельзя ввести единого понятия
волнового сопротивления для разных типов и классов линий передачи. Такая неоднозначность в определении волнового сопротивления связана с различной картиной полей собственных волн в разных типах линий.
Устройства СВЧ зачастую одновременно содержат различные типы линий и,
подчеркнем особо, с разными типами волн. Основной задачей конструктора является согласование разных типов линий передачи с неодинаковыми структурами
электромагнитных полей между собой. Это очень непростая задача, и для ее эф-
ГЛАВА 12
552
фективного решения необходим строгий электродинамический подход к решению
задач дифракции на стыках различных линий передачи. Введение волнового сопротивления линии передачи позволяет, в ряде случаев, более просто, хотя и более
грубо, подойти к проблеме согласования различных типов линий передачи.
Рассмотренная в этой главе теория линейных устройств СВЧ- и КВЧ-диапазонов
основана на введении векторов нормированных волновых напряжений для падаю&
&
&
щих и отраженных
волн X Q , X R , а также векторов нормированных напряжения X
&
и тока L , втекающего внутрь многополюсника. Истинные (реальные) напряжения
8N и ток , N N -входа (плеча) устройства связаны с нормированными величинами
следующими соотношениями:
8N
=N XN LN
,N
=N
N
1
(12.9.1)
где 1 — число входов многополюсника. Поэтому одной из проблем, возникающих
при анализе устройств СВЧ, является задача определения волновых сопротивлений линий передачи, на основе которых построены входы многополюсника.
12.9.1. Волновое сопротивление линии с Т-волной. Определим волновое сопротивление линии передачи, работающей на волне типа T. В этом случае просто
ввести реальные напряжения 8 и ток , :
&
&
(O G O і
8
,
/
і
&
&
+ O G O (12.9.2)
/
где интегрирование проводится в общем случае по несовпадающим контурам / ,
/ .
В случае, например, коаксиальной линии передачи (рис. 4.14) напряжение 8
между внутренним и наружным проводниками вычисляется интегрированием радиальной напряженности электрического поля:
5
8
і
5
(U GU
5
G GU
і S U
(PD[ 5 OQ
5
5
5
где (PD[ G SU — радиальная напряженность электрического поля на поверхности внутреннего проводника при U 5 , G — величина погонного заряда. Продольный электрический ток , , текущий по внутреннему проводнику, определяется интегралом от касательной составляющей напряженности магнитного поля на
поверхности внутреннего проводника:
S
,
і +M U GM
где +PD[
S
5
U 5
і +PD[ GM
S5 +PD[ (PD[ : , : — характеристическое сопротивление среды с пара-
метрами H P .
553
Основы линейной теории устройств СВЧ
<
+[
идеальнопроводящий
экран
E
D
(\
;
Рис. 12.14
Определим волновое сопротивление коаксиального волновода как отношение
напряжения к току в бегущей волне:
8
,
(12.9.3)
P 5
OQ
H
5
(12.9.4)
= 8 , Тогда для коаксиальной линии передачи
=
12.9.2. Волновое сопротивление линии с E-, H- и гибридными волнами. Для линий
передачи с другими типами волн можно лишь
& ввести условные напряжение и ток.
Напряжение определяется как интеграл от ( A (индекс « A » обозначает поперечную
составляющую) вдоль направления максимального
значения этого вектора. Ток мож&
но определить как интеграл от вектора + W по границам поперечных сечений металлических проводников.
В качестве примера определим волновое сопротивление прямоугольного волновода для + -волны. Поперечное сечение данной структуры показано на рис. 12.14. В
соответствии с определением для волны + имеем:
S [ L J ]
S [ L J ]
D
+] + FRV
H
+ [ L J + VLQ
H
D
D
S
(12.9.5)
L ZPP D
S [ L J ]
(\
+ VLQ
H
(] ( [ + \ S
D
где
§ O ·
J N Ё
ё —
ЁO ё
©
№
постоянная распространения для + -волны. Напряжение определим как интеграл
от ( \ вдоль направления, где ( \ (PD[ , то есть при [ D :
E
8
і
( \ \ G\
[
D
L ZP P D
+ E H L J ] S
ГЛАВА 12
554
Ток равен интегралу от + [ по внутренним частям металлических стенок волновода / :
,
і
&
&
+[ GO
/
D
і
+ [ [ G[
і
D
\ D
+ [ [ G[
і
+ [ [ G[
L J D
S
\ E
+ H L J ] Используя определение для волнового сопротивления в форме (12.9.3), получим
=8 , SE
=
D
(12.9.6)
где
ZPP
J
=
P P
H H
§ O
Ё
ЁO
©
·
ё
ё
№
—
удельное сопротивление прямоугольного волновода для H-волны.
12.9.3. «Энергетическое» определение волнового сопротивления. Кроме формулы
для волнового сопротивления через 8 и , в форме (12.9.3) для линий передачи
используют и энергетические определения:
=3 , =3 8
3
_ , _
(12.9.7)
_ 8 _
.
3
(12.9.8)
Величина
3
5H
& &
&
^ і > ( + @ G6 `
—
6
S
поток активной мощности,
Z
проходящей через поперечное сечение 6 линии передачи. Подынтегральное выражение для 3 есть вектор Умова–Пойнтинга.
В случае прямоугольного волновода значения волнового сопротивления, определяемые формулами (12.9.7) и (12.9.8), могут быть выражены через удельное сопротивление = :
представляет средний по времени за период 7
= 3 , S E
=
D
(12.9.9)
= 3 8
E
=
D
(12.9.10)
Основы линейной теории устройств СВЧ
555
12.9.4. Резюме. Таким образом, понятие волнового сопротивления линии передачи
является условным и зависит от его определения. В случае линий передачи с 7 волной все три определения волнового сопротивления (формулы (12.9.3), (12.9.7) и
(12.9.8)) являются идентичными.
Выбор того или иного определения для волнового сопротивления диктуется
следующими соображениями. Во-первых, необходимо учитывать, какие величины
^ 8 , 3 ` проще вычислить. Во-вторых, принимая во внимание характер распределения магнитных и электрических полей в линии передачи, следует определить, какая из величин ( 8 или , ) определяется более естественным образом.
Другими словами, использование напряжения целесообразно при условии, что в
поперечном сечении линии передачи можно выделить область, для которой оно
определяется естественным образом (область с максимальной концентрацией электрического поля). Ток вводится для областей, в которых существует максимальная
концентрация магнитного поля. Так, например, для полосковых волноведущих структур (полосковые и связанные полосковые линии) целесообразно использовать определение (12.9.7), в котором фигурирует ток, протекающий по токопроводящим
полоскам. Аналогично для щелевых линий передачи более удобно применять формулу (12.9.8), в которую входит напряжение. Его можно представлять (интерпретировать) как напряжение в щели структуры, где наблюдается максимальная концентрация электрического поля.
?нутри
рассматриваемого устройства с изотропным заполнением, то на одной и той же
частоте имеет место равенство
& &
& &
GLY ^ > ( + @ > ( + @` (12.2.10)
Это соотношение справедливо как для двух различных типов волн устройства, так
и для двух различных генераторов СВЧ.
531
Основы линейной теории устройств СВЧ
Проинтегрируем уравнение (12.2.10) по объему устройства (рис. 12.1) и применим теорему Остроградского–Гаусса. Тогда
&
& &
& &
^ > ( + @ > ( + @` G6 (12.2.11)
і
6 6 61
где интегрирование ведется по поперечным сечениям 6N N 1 входов 2Nполюсника в плоскостях
отсчета фаз. При& выводе соотношения (12.2.11) было учте&
но, что вектор ( параллелен вектору G6 на идеально проводящей части поверхности 6 (рис. 12.1).
Если два решения соответствуют одному и тому же типу волны, то есть предполагается наличие двух генераторов с одинаковой частотой Z , тогда на любом
входе P
&
&
& &
& &
> ( + @ G6 & > ( + @ G6 (12.2.12)
і
і
6P
6P
где & — комплексный постоянный множитель.
Если устройство внутри объема 9 содержит анизотропную среду с тензорами
(
(
P и H , то лемма Лоренца для комплексных амплитуд имеет вид (сторонние источники отсутствуют):
& &
& &
& (&
GLY ^ >( + @ > ( + @ ` LZ P + P + & (&
& (&
& (&
(12.2.13)
P + P+ H ( H ( H ( H ( (
(
(
(
Представим P и H в виде сумм симметричных P , H и антисимметричных
(
(
P , HDF тензоров:
( (
(
( (
(
P P P H H H DF Легко убедиться, что
& (
& (
& (
& (
+ P F + + P F + + P DF + + P DF + ( (
Аналогичные соотношения имеют место и для тензоров H F H С учетом этих
соотношений лемма Лоренца принимает более простой вид:
( &
& &
& ( &
& ( &
(12.2.14)
GLY ^ > ( + @ > ( + @ ` L Z P + P DF + H( H DF ( Проинтегрировав уравнение (12.2.14) по объему устройства 9 (рис. 12.1) и применив теорему Остроградского–Гаусса, получим:
&
&
&
&
&
&
&
і ^ > ( + @ > ( + @ ` G6
6 6 61
LZ
& (
&
(
і P + P DF + H ( HDF ( G9 (12.2.15)
9
Устройства, для которых справедливы соотношения (12.2.14), (12.2.15), называются невзаимными. Заметим, что необходимым условием появления анти(
(
симметричных компонент тензоров P и H является наличие внешнего постоянного поля или постоянной намагниченности. Это находится в соответствии с
обобщенным принципом симметрии кинетических коэффициентов (принци-
ГЛАВА 12
532
пом Онсагера), который может быть записан в виде:
& &
&
&
(12.2.16)
P LM Z N % P ML Z N % &
где % — постоянная магнитная индукция.
(
(
Наличие сред, обладающих тензорами P или H c такими антисимметричными
компонентами, является по определению условием создания невзаимных устройств.
Однако наличие постоянного магнитного (электрического) поля или постоянной
намагниченности служит необходимым, но не достаточным условием создания невзаимных устройств.
12.2.3. Теорема Фостера для недиссипативных многополюсников. Рассмотрим
вначале недиссипативный двухполюсник с изотропным заполнением (рис. 12.3). Для
него справедлива следующая теорема Фостера:
&
& &
& &
^> ( G+ @ > G( + @ ` G6
і
6
&
&
L GZ P P _ + _ H H _ ( _ G9 (12.2.17)
і
9
&
&
&
&
где G+ и G( — приращения векторов + и ( при изменении частоты Z на величину GZ . Введем на входе двухполюсника нормированные напряжение X и ток L ,
так что
X
=L
(12.2.18)
где = — нормированное сопротивление.
Используя соотношения (12.2.17), (12.2.18), нетрудно показать, что для нормированного реактивного сопротивления ; недиссипативного двухполюсника справедливо следующее соотношение = L; :
G;
GZ
3( 3+ t _L_
(12.2.19)
Аналогично для нормированной реактивной проводимости % двухполюсника
без потерь имеем <
L% :
G%
GZ
3( 3+ t _X_
(12.2.20)
Соотношения (12.2.19), (12.2.20) выражают тот факт, что наклоны кривых зависимости реактивных сопротивления и проводимости от частоты всегда положительны. На рис. 12.4 приведена типичная зависимость нормированного реактивного
сопротивления ; от частоты для двухполюсника без потерь.
Из соотношений (12.2.7), (12.2.19) можно сделать следующие выводы:
1. Для устройств без потерь на частоте Z нормированное реактивное сопротивление ; равно нулю или f . Между двумя полюсами кривая зависимости ; от
частоты обязательно пересекает ось абсцисс; полюса и нули чередуются (рис. 12.4).
533
Основы линейной теории устройств СВЧ
;
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z
Рис. 12.4
2. Функция ; ; Z является нечетной: ; Z ; Z .
3. На комплексной плоскости сопротивление ; полностью определяется своими полюсами и нулями с точностью до некоторой произвольной постоянной A:
;
$f
Z
1
–
Z ZQ Q Z ZQ (12.2.21)
На основании теории вычетов (12.2.21) можно записать в виде ряда:
;
$f Z DR
Z
Z
1
¦
DQ Z ZQ Q (12.2.22)
где $f и коэффициенты D , D , DQ называются вычетами в соответствующих полюсах.
Так как %
; , то в соответствии с уравнением (12.2.22) имеем:
%
&f Z E
Z
Z
1
¦
Q EQ Z ZQ (12.2.23)
Таким образом, полюсы для ; становятся нулями для % , а нули для ; —
полюсами для % .
В окрестности точки ZL запишем:
;|
DL Z
Z ZL
(12.2.24)
и
%|
Z ZL
DL Z
(12.2.25)
ГЛАВА 12
534
&
&
&
&1
/
/
/1
/f
/
/
&
Рис. 12.5
/
/1
&
&1
&f
Рис. 12.6
где
DL
G%
GZ
(12.2.26)
ZL
то есть вычеты функции ;Z могут быть получены, если известны значения
производных G%Z GZ .
12.2.4. Первая эквивалентная схема. Соотношение (12.2.22) соответствует ряду
параллельных резонансных контуров, соединенных последовательно (рис. 12.5). Типичное слагаемое DL Z Z Z L соответствует параллельному резонансному
контуру, причем Z L /L &L .
Непосредственное сравнение схемы, изображенной на рис. 2.5 с формулой (12.2.22),
показывает, что
&
&L
D
ZL
D L
/L &L
/f
$ 12.2.5. Вторая эквивалентная схема. Уравнение (12.2.23) соответствует ряду последовательных резонансных контуров, соединенных параллельно (рис. 12.6).
Из непосредственного сравнения схемы, изображенной на рис. 12.6 с формулой
(12.2.23), следует, что
/
E
/L
EL
&f
Z L $f
/L &L
Во многих практических случаях рабочий диапазон устройства находится около
какого-либо одного полюса, а другие полюса находятся достаточно далеко и не
оказывают влияние на реактивное сопротивление в рабочем диапазоне. Поэтому
двухполюсник может быть представлен простым /& -контуром, если пренебречь
потерями. Кроме того, если учесть потери, то типичный элемент первой эквивалентной схемы (рис. 12.5) будет состоять из параллельного соединения сопротивления 5L , емкости &L и индуктивности /L , причем его добротность 4L ZL &L 5L
(рис. 12.7а). Для второй эквивалентной схемы элемент состоит из последовательного
соединения 5L , /L и &L , причем 4L ZL /L 5L (рис. 12.7б).
535
Основы линейной теории устройств СВЧ
&L
5L
/L
/L
5L
&L
а)
б)
Рис. 12.7
Приведенные выше результаты легко обобщаются на случай 1-полюсника
(рис. 12.1). В этом случае теорема Фостера для 1-полюсника записывается в виде
&
& &
& &
^ > ( G+ @ > G( + @ ` G6 L GZ 3( 3+ (12.2.27)
і
6 6 61
где поверхностный интеграл берется по поперечным сечениям плоскостей отсчета
фаз всех входов.
Перепишем уравнение (12.2.27) в переменных X Q , LQ Q 1 :
1
¦ XQ GLQ GXQ LQ L GZ 3( 3+ (12.2.28)
Q Так как
XQ
1
¦ =QP LP P то (12.2.28) для недиссипативного 2N-полюсника можно записать в виде =QP
1
¦
LQ LP
Q P G; PQ
GZ
3( 3+ t L;QP
(12.2.29)
В матричной форме теорема Фостера записывается следующим образом:
&
&
(12.2.30)
L7 Є¬ ; єјc L 3( 3+ t где
Є¬ ; єјc
G;
GZ
G;
GZ
G;1
GZ
G;1
GZ
G;1
GZ
G;11
GZ
(12.2.31)
ГЛАВА 12
536
&
вектор L определяется соотношением
(2.1.8), индекс « 7 » означает операцию транс&
понирования элементов вектора L :
&
L7 ^ L L L1
`
Из уравнения (12.2.30) также следует, что
GHW Є¬ ; єјc t (12.2.32)
Таким образом, можно сказать, что теорема Фостера позволяет анализировать сложные многополюсники и синтезировать их из простых элементов подобно
тому, как гармонический анализ дает возможность анализировать и синтезировать
периодические волны сложной формы путем разложения их на простые гармонические составляющие.
12.3(*). Соотношения между характеристическими
матрицами (дескрипторами) многополюсника
> @> @
12.3.1. Связь между матрицами = < >6@ Самой распространенной в теории
линейных устройств СВЧ является матрица рассеяния. Поэтому подробно рассмотрим ее основные свойства. И прежде всего установим взаимосвязь между матрицей рассеяния > 6 @ и матрицей сопротивлений Є¬ = єј . Имея в виду, что формулы
(12.1.4) справедливы для всех входных линий 2N-полюсника (рис. 12.2б), их можно
представить в матричной
& форме относительно векторов-столбцов нормированных
&
напряжений X и токов L :
&
&
& &
& &
XQ X L XR X L (12.3.1)
(&
&
Так как X R 6 X Q , то из (12.3.1) следует, что
( (
( ( &
*
X , 6 , 6 L (
где , — единичная матрица.
Сопоставляя последнее
соотношение с уравнением (12.1.10), получаем формулу
(
связи матриц Є¬ = єј и 6 :
( (
( (
Є¬= єј , 6 , 6
(12.3.2)
из которой следует, что матрица Є¬ = єј является неопределенной при обращении
в
( (
нуль определителя матрицы, подлежащей обращению, то есть при GHW , 6( Аналогично можно получить выражение, связывающее матрицы Є¬ < єј и 6 :
( (
( (
Є¬ < єј , 6 , 6,
(12.3.3)
( (
которое
( ( справедливо при условии, что определитель GHW , 6 z . При
GHW , 6 матрица нормированных проводимостей Є¬ < єј для многополюсника
отсутствует. В качестве примера многополюсника, для которого нельзя ввести
матрицы Є¬ = єј и Є¬ < єј , можно привести шестиполюсник в виде параллельного разветвления трех линий передачи, для которого
( (
( (
GHW, 6 GHW, 6 Основы линейной теории устройств СВЧ
537
Из (12.3.2), (12.3.3) можно получить формулы для матрицы рассеяния через матрицы Є¬ = єј и Є¬ < єј :
(
(
(
(
(
(
6 Є¬= єј , Є¬= єј , 6 , Є¬ < єј, Є¬ < єј (12.3.4)
12.3.2. Зависимость матриц многополюсников от нумерации входов. Любая матрица многополюсника имеет смысл только при установленном порядке нумерации
входов. При изменении нумерации входов получаются другие матрицы: числовые
значения элементов остаются теми же самыми, но расположение элементов матрицы изменяется. Для установления зависимости элементов матрицы 1-полюсперенумероника от( нумерации входов введем 1 -порядка квадратную матрицу
(
вания * по следующему правилу. В каждую строку матрицы * запишем 1 нулей и одну единицу в ту позицию, номер которой соответствует новому номеру
входа, прежний номер которого равен номеру этой строки. Нетрудно показать, что
матрица перенумерования является ортогональной, то есть
( (
(
* *7 , (
где , — единичная
матрица N-порядка, индекс « 7 » указывает на транспонирование
(
матрицы * .
(
Обозначив через символ 6* матрицу рассеяния 2N-полюсника с перенумерованными( входами, запишем формулу для преобразования исходной матрицы рассеяния 6 :
(
( ( (
6* * 7 6 * (12.3.5)
которая является частным случаем известного в математике преобразования подобия.
Аналогично
(
(
(
(
Є¬= єј
*7 Є¬= єј * Є¬ < єј
*7 Є¬ < єј *
(12.3.6)
*
*
Перенумерация входов позволяет приводить матрицы устройств к стандартной
форме, принятой для многополюсников того или иного вида.
12.3.3. Сдвиг плоскостей отсчета фаз на входах многополюсника. На практике
иногда необходимо преобразовать матрицы многополюсника к новым плоскостям
отсчета фаз относительно первоначальных. Наиболее просто эта задача решается
для матриц рассеяния. При изменении плоскостей отсчета входов многополюсника
в элементы первоначальной матрицы рассеяния вносятся дополнительные запаздывающие или опережающие сдвиги из-за удлинения или укорочения путей прохождения сигналов. Кроме того, из-за затухания волн в подводящих линиях происходят изменения модулей элементов матрицы рассеяния.
( )Таким образом, формулу для преобразования элементов матрицы рассеяния
6 с измененными плоскостями отсчета фаз на входах многополюсника можно
записать в виде
)
6PQ
6PQ H[S L J P OP L J QOQ (12.3.7)
где OP и OQ — смещения плоскостей отсчета фаз в P -й и Q -й входных линиях;
J P E P L D P , J Q E Q L D Q — постоянные распространения в этих линиях.
ГЛАВА 12
538
Сдвиг плоскостей отсчета приводит также к изменению элементов матриц нормированных сопротивлений и проводимостей. Однако для элементов преобразо)
)
ванных матриц Є¬ = єј и Є¬ < єј простых формул не существует. Поэтому расчет
измененных матриц сопротивления и проводимостей должен производиться путем
перехода от этих матриц к матрице рассеяния и обратно по формулам (12.3.2)–
(12.3.4).
12.4(*). Основные свойства матрицы рассеяния
Самой распространенной в теории линейных устройств СВЧ является матрица
рассеяния. Поэтому ниже подробно рассмотрим основные ее свойства.
12.4.1. Физический смысл элементов матрицы рассеяния. Для матрицы рассеяния существуют простейшие испытательные
режимы, позволяющие определить
(
физический смысл элементов матрицы 6 . Обратившись к матричному уравнению (12.1.8), можно заметить, что если отлично от нуля только( напряжение
одной из падающих волн, то соответствующий столбец матрицы 6 может быть
легко найден:
6PN
X RP
X QN
XQL L 1 L z N
(12.4.1)
Из выражения (12.4.1) следует четкий физический смысл. Внедиагональный элемент 6PN P z N представляет собой волновой коэффициент передачи по нормированному напряжению из плеча N в плечо P при согласованных нагрузках на других
входах. Диагональный элемент 6PP является коэффициентом отражения по нормированному напряжению для P -входа при согласованных нагрузках на других входах.
Заметим, что согласно выражению (12.4.1) элементы матрицы рассеяния безразмерны.
12.4.2. Симметричность матрицы рассеяния для взаимных устройств. К взаимным устройствам относятся многополюсники, которые удовлетворяют требованиям теоремы взаимности относительно двух любых входов при произвольных режимах на остальных входах. Математически это условие имеет вид
( (
6 67 или 6LM 6 ML (12.4.2)
Аналогичные соотношения взаимности имеют место и для матриц нормированных сопротивлений и проводимостей:
Є¬= єј Є¬= єј Є¬ < єј Є¬ < єј (12.4.3)
7
7
Симметричность матриц взаимного многополюсника значительно уменьшает
число независимых параметров. Для полного описания взаимного 2N-полюсника
достаточно всего 1 1 элементов матрицы рассеяния.
Необходимым условием взаимности устройств является отсутствие внутри него
анизотропных включений, например, подмагниченных ферритов или плазмы.
539
Основы линейной теории устройств СВЧ
12.4.3. Унитарность матрицы рассеяния для недиссипативных многополюсников. Недиссипативными называют такие многополюсники, в которых отсутствуют внутренние потери электромагнитной энергии. Условием
отсутствия потерь
(
внутри многополюсника является унитарность матрицы 6 :
( (
67 6
(
,
(12.4.4)
Унитарные матрицы обладают рядом характерных свойств. Норма каждого столбца унитарной матрицы (то есть корень квадратный из суммы квадратов модулей
элементов столбца) равна единице, столбцы ортогональны между собой, а определитель унитарной матрицы имеет единичный модуль и его можно представить в
виде
(
GHW 6 H L M (12.4.5)
В( качестве примера приведем в развернутом виде условие унитарности матрицы 6 (12.4.4) для недиссипативного четырехполюсника:
6
6
6
6 6
6
6
6
(12.4.6)
Первые два равенства являются выражениями закона сохранения энергии при
возбуждении четырехполюсника со стороны входов 1 и 2 и при согласованной
нагрузке на противоположном входе. Третье — устанавливает
дополнительную
(
связь между амплитудами и фазами элементов матрицы 6 . Из совместного решения всех трех равенств вытекает, что для любого недиссипативного четырехполюсника должны выполняться ограничения
6
6 M M
6
6 (12.4.7)
M M r S где M PQ — фаза элемента 6PQ матрицы рассеяния.
(
(
симметрии * для
12.4.4. Коммутируемость матрицы рассеяния 6 с матрицей
(
симметричных многополюсников. Матрица симметрии * вводится аналогично матрице перенумерования, введенной в разделе 12.3.2. Она также должна содержать в
каждой строке и в каждом столбце по одному ненулевому элементу, который
может принимать значения r , причем соответствует смене положительного
направления нормированного напряжения на соответствующем входе. Применение
матриц симметрии при анализе различных симметричных устройств СВЧ основано на том, что они коммутируют с матрицами параметров многополюсника:
((
*6
((
6*
(
* Є¬ = єј
(
Є¬ = єј *
(
* Є¬ < єј
(
Є¬ < єј * (12.4.8)
(
В качестве примера составления матрицы * рассмотрим разветвление двухпроводных линий передачи (рис. 12.8). Режим шестиполюсника и его описание останутся
неизменными, если при «зеркальной» замене правой половины шестиполюсника на
ГЛАВА 12
540
X
3
X
X
Рис. 12.8
левую одновременно изменяется положительное направление напряжения на входе 3
на противоположное. Поэтому матрица симметрии для разветвления двухпроводных
линий передачи должна соответствовать перенумерации входов: o , o и
o , что дает
(
*
Є є
« »
«
»
«¬ »ј
12.4.5. Преимущества матрицы рассеяния. В заключение
этого раздела приведем
(
основные преимущества использования матрицы 6 по сравнению с матрицами
нормированных проводимостей Є¬ < єј и сопротивлений Є¬ = єј .
1. В технике СВЧ и КВЧ кроме частоты непосредственно можно измерить
только КСВН и мощность. Эти (измерения по существу эквивалентны измерениям
значений элементов матрицы 6 . Что касается матриц Є¬ = єј и Є¬ < єј , то аналогичных
непосредственных измерений произвести
( нельзя.
2. Свойство унитарности матрицы 6 позволяет легко проверить условие баланса мощностей для устройства без потерь. При использовании матриц Є¬ = єј и Є¬ < єј
проверить это условие затруднительно.
3. При изменении положения плоскости отсчета многополюсника меняются только
фазы коэффициентов матрицы рассеяния. При тех же условиях элементы матриц
Є¬ = єј и Є¬ < єј будут меняться как по фазе, так и по модулю.
4. При
( определенных условиях физической симметрии можно определить матрицу 6 исходя только из геометрических соображений.
12.5(*). Анализ четырехполюсников каскадной структуры
с помощью матриц передачи
Рассмотренная ранее матрица рассеяния неудобна для анализа схем, состоящих
из каскадно соединенных четырехполюсников, для которых характерно, что выход
541
Основы линейной теории устройств СВЧ
L
L
(
$
(
$
=
(
$1
X
X
Рис. 12.9
предшествующего четырехполюсника является входом последующего (рис. 12.9).
Анализ такого соединения значительно упрощается, если характеризовать четырехполюсники матрицами передачи.
(
Для классической матрицы передачи $ связь воздействия и реакции имеет
вид:
( X ·
( Є $ $ є
$ §Ё
ё $ { «
(12.5.1)
© L №
¬ $ $ »ј
При таком определении матрица передачи*) для N-каскадно включенных
четы(
рехполюсников оказывается равной произведению матриц передачи $Q отдельных каскадов:
§ X ·
Ё
ё
© L №
(
$
1
(
– $Q (12.5.2)
Q причем перемножать матрицы каскадов надо именно в той последовательности, в
какой они включены
в тракт. Иногда предпочитают пользоваться волновой матрицей
(
передачи 7 , вводимой матричным соотношением:
§ X Q · 7( § X Q · 7( { Є 7 7 є ё
Ё
ё
Ё
(12.5.3)
»
«¬ 7
© X №
© X №
7 ј
(
Зная элементы матрицы $ , легко анализировать двухполюсники каскадной структуры, образующиеся при нагружении последнего каскада нормированной нагрузкой =У X L (рис. 12.9). Нормированное входное сопротивление такого двухполюсника будет
X
L
$= $
$= $
(12.5.4)
(
где использованы элементы матрицы $ , определяемой
соотношением (12.5.2).
(
(
Уравнения перехода от элементов матрицы 6 к элементам матрицы $ имеют
вид:
=
$
$
*)
6 6 '6
$
6
6 6 '6
$
6
6 6 '6
6
6 6 '6
6
(12.5.5)
(
В литературе существуют и другие обозначения для элементов матрицы $ $
D $
E $
F $
G
ГЛАВА 12
542
XQ
XQ
X R
X R
X R
3
3c 3
&
+W
X R
3c
XQ
(
6
XR
а)
XQ
б)
(
6
XR X R
(
6
XR
X R
X R
3
3c
XQ
(
6
XR
&
(W
XR
в)
Рис. 12.10
где
'6 66 66 (
Заметим, что если 6 , то элементы матрицы $ становятся неопределенными. Параметр 6 представляет собой коэффициент прямой передачи, и в СВЧи КВЧ-цепях он редко бывает равным нулю. (
( Формулы перехода от элементов матрицы $ к элементам матрицы рассеяния
6 определяются следующими соотношениями:
6
$ $ $ $ 6
$ $ $ $
6
$ $ $ $
6
$$ $ $ $ $ $ $
$ $ $ $ $ $ $ $
(12.5.6)
Определенные соотношениями (12.5.3) 7LM — параметры связаны с элементами
6LM следующим образом:
7
7
'6
6
6
6
7
6
6
7
6
(12.5.7)
543
Основы линейной теории устройств СВЧ
(
(
Как и в случае $ матрицы, элементы матрицы 7 становятся неопределенными,
если коэффициент прямой передачи 6 .
Матрица рассеяния устройств СВЧ- и КВЧ-диапазонов может быть найдена из
T-матрицы по следующим формулам:
6
7
7
6
6
7
6
7 7
7 7
7
7
(12.5.8)
(
(
Для того, чтобы можно было осуществить преобразование 7 -матрицы в 6 матрицу, параметр 7 ( не должен быть равным нулю.
Матрица передачи $ обладает следующими свойствами:
1. Для взаимных четырехполюсников 6 6 :
$$ $ $
(12.5.9)
2. Для симметричных четырехполюсников (которые остаются неизменными при
замене входных зажимов на выходные зажимы):
(12.5.10)
(
3. Для недиссипативного четырехполюсника в матрице передачи $ элементы
$ и $ должны быть чисто вещественными, а элементы $ и $ — чисто
мнимыми.
$
$ 12.6(*). Метод симметричных восьмиполюсников
(метод синфазного и противофазного возбуждений)
Этот метод сводит анализ восьмиполюсников, имеющих плоскость симметрии
(рис. 12.10), к анализу более простых четырехполюсников, представляющих собой
«половины» восьмиполюсников.
12.6.1. Режим холостого хода (синфазное возбуждение). Рассмотрим восьмиполюсник (рис. 12.10а), симметричный относительно плоскости 33c . Такой восьмиполюсник можно рассмотреть в двух режимах: синфазное возбуждение, когда в плоскости симметрии находится максимум напряжения, и противофазное возбуждение, когда в плоскости симметрии находится максимум тока. Рассмотрим первый
режим. Подведем ко входам 1 и 3 одинаковые по амплитуде синфазные волны
XQ XQ X Q . Допустим, что все остальные входы согласованы. Эти волны
относительно плоскости симметрии мы будем называть четными волнами. В силу
симметрии максимум напряжения будет в плоскости 33c (рис. 12.10б), то есть в
ней устанавливается
пучность распределения напряженности касательного элект&
(
и
нуль
распределения напряженности касательного магнитного
рического
поля
W
&
поля +W (режим холостого хода). Плоскость 33c условно расчленяет восьмиполюс-
ГЛАВА 12
544
ник на два не связанных между собой одинаковых (парциальных) четырехполюсника синфазного возбуждения с матрицами рассеяния
(
Є 6 6
є
.
6 « »
¬ 6 6 ј
В этом случае четные волны, отраженные от входов восьмиполюсника, соответственно будут связаны соотношениями:
X R
X R
X R
X R
XQ
6
XQ
6
(12.6.1)
12.6.2. Режим короткого замыкания (противофазное возбуждение). Если же к входам
1 и 3 подвести одинаковые по амплитуде противофазные (сдвинутые на $ ) волны,
то есть X Q X Q X Q (нечетные волны), то в плоскости 33c будет нуль напряжения (рис. 12.10в). В этом случае в плоскости симметрии устанавливается
пучность
&
распределения напряженности касательного магнитного
поля
+
и
нуль
распределения
W
&
напряженности касательного электрического поля ( W (режим короткого замыкания).
Плоскость симметрии условно расчленяет восьмиполюсник на два не связанных между
собой одинаковых парциальных четырехполюсника противофазного возбуждения с матрицами рассеяния:
(
Є 6 6
є
6 « (12.6.2)
»
¬ 6 6 ј
Тогда волны, отраженные от входов восьмиполюсника, будут связаны соотношениями
XQ
XQ
XR XR 6
(12.6.3)
XR XR 6
12.6.3. Общее решение задачи возбуждения восьмиполюсников со стороны
плеча 1 волной амплитудой X Q определится в виде наложения (суперпозиции) частных решений для синфазного и противофазного возбуждений:
X Q
X Q X Q
X R
X R X R
X R
X R X R
X R
X R X R
XR
X R X R
XQ X Q
X Q X Q
XQ
6X Q XQ
6
6X Q 6
XQ
6
6X Q 6
XQ
6
6X Q 6
6
6
(12.6.4)
12.6.4. Связь между матрицами. Из этих соотношений
следует, что между элемен(
тами матрицы рассеяния восьмиполюсника 6 (рис. 12.10 а) и элементами матриц
рассеяния четырехполюсников 6 и 6 (рис. 12.10 б и рис. 12.10 в) существуют следую-
545
Основы линейной теории устройств СВЧ
щие зависимости:
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
Если восьмиполюсник возбуждается со стороны плеча 2, то аналогично
6
6
6
6
6
6
(12.6.5)
(12.6.6)
6
6
6
6
6
6
При возбуждении восьмиполюсника со стороны плеча 3 определяются элементы матрицы 6L L :
6
6
6
6
6
6
Аналогично для элементов 6L L
6
6
6
6
6
6
6
6
(12.6.7)
имеем:
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
(12.6.8)
12.6.5. Схема анализа. Опишем последовательность расчета рабочих параметров
симметричного восьмиполюсника:
1. Определение матриц рассеяния 6 и 6 четырехполюсников, образующихся
при синфазном и противофазном видах возбуждения восьмиполюсника.
2. Выбор (первостепенного) рабочего параметра (например, элемент 6 , характеризующий согласование со стороны первой пары полюсов) и его расчет.
3. Из условия идеальности выбранного первостепенного рабочего параметра
(например, 6 для идеального согласования входа 1) установление связи между проводимостями (или сопрот?
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 781 Кб
Теги
part
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа