close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Petropavlovskij Fizitsheskie osnovy volokonnoj optiki

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ
Петропавловский В. М.
Физические основы волоконной оптики
Учебно-методическое пособие
Самара - 2015
Федеральное агентство связи
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
Поволжский государственный университет
телекоммуникаций и информатики
Кафедра физики
В. М. Петропавловский
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ВОЛОКОННОЙ ОПТИКИ
Учебно-методическое пособие
Самара
2015
2
УДК 535.7
П
Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ,
протокол № 24 от 22 апреля 2015 г
Петропавловский В. М.
П
Физические основы волоконной оптики:
Учебно-методическое пособие / В. М. Петропавловский.- Самара: ПГУТИ, 2015. – 111 с.
В учебном пособии рассмотрены основные принципы распространения света в плоских и цилиндрических волокнах. Изложены основные причины уширения импульсов при
распространении в световоде и способы увеличения их ширины полосы пропускания. Разработано в соответствии с ФГОС ВПО по направлению подготовки бакалавров 200700 Фотоника и оптоинформатика. Предназначено для студентов 3 курса ФБТО для самостоятельной
подготовки и практических занятий.
ISBN
©, Петропавловский В. М., 2015
3
Содержание.
Введение
5
Глава 1. Электромагнитные волны. Падение плоской волны на
границу раздела двух сред. Одномерные волноводы.
6
1.1. Электромагнитные волны.
6
1.2. Отражение и преломление света на границе между диэлектриками. Формулы Френеля.
Полное внутреннее отражение.
9
1.3. Металлический световод
14
1.3.1. Оптическое приближение
14
1.3.2. Электромагнитное приближение
18
1.3.3. Моды распространения
20
1.3.4. Затухающая волна
23
1. 4. Диэлектрический световод
24
1.4.1. Уравнение дисперсии и условие согласования фаз.
27
1.4.2. Решение задачи распространения, моды
28
1.4.3. Решение задачи распространения, моды
30
1.4.4. Дисперсия
32
1.4.5. Одномодовый и многомодовый режимы
распространения волн
34
1.4.6. Расширение волнового пакета
34
Глава 2. Распространение света в оптических волокнах.
Причины уширения импульса
2.1. Распространение света в оптических волокнах на основе
лучевой модели
2.1.1. Общие сведения.
2.1.2. Ступенчатое волокно: числовая апертура и
межмодовая дисперсия
2.1.3. Распространение света и межмодовая дисперсия
в градиентных волокнах
2.2. Материальная дисперсия
2.2.1. Показатель преломления объемной среды: теория
2.2.2. Временная дисперсия в объемной среде
2.3. Совместное влияние дисперсии материала и межмодовой
дисперсии
Глава 3. Потери в оптических волокнах
3.1. Механизм потерь. Общие сведения
3.2. Поглощение
3.3. Рассеяние
Глава 4. Распространение света в многомодовых оптических
волокнах.
4.1. Обозначения
4.2. Начальные условия
4.3. Условия на границе двух сред.
4.4. Оптические волокна со скачкообразным изменением
показателя преломления.
4.5. Волокна с градиентом показателя преломления
4.6. Траектория световых лучей.
4.6.1. Волокна со скачкообразным изменением показателя
преломления
4.6.2. Волокна с градиентом показателя преломления.
4.7. Моды распространения света. Уравнение дисперсии.
36
36
36
37
45
49
49
56
62
67
67
67
72
76
77
80
81
85
87
91
91
92
95
4
4.8. Формулы для полей.
99
4.8.1. Решение волнового уравнения для волокна со скачком показателя преломления.
100
4.8.2. Решение для градиентного волокна
103
Задачи для самостоятельного решения
105
Литература.
111
5
Введение
Освоение диапазона оптических частот в технике связи открывает качественно новые возможности в скорости, надежности и направленности передачи информации. Для их реализации необходимо осваивать новую
элементную базу, что зачастую требует специальных знаний в областях, с которыми техника традиционной
связи не имела дела. Для работы в оптической связи требуется не только общетехническая, но и физическая
подготовка в области современной оптики. Это неизбежно, поскольку переход в оптический диапазон не только
дает новые эффекты, но и требует качественно нового уровня подготовки специалистов.
В программе этой подготовки необходим курс, в котором подробно рассмотрены основные физические
принципы работы источников и приемников когерентного оптического излучения, диэлектрических многокомпонентныхсветоводов, модулирующих и согласующих устройств. Такой курс - «Физические основы волоконной оптики» - был подготовлен на кафедре «Физики» ПГУТИ. В данном пособии излагаются основные сведения по первой части курса – распространению излучения в волокнах.
6
Глава 1. Электромагнитные волны.
Падение плоской волны на границу раздела двух сред. Одномерные волноводы.
1.1. Электромагнитные волны.
Запишем систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме.


B
rotE
t

 
D
rotH J
(1.1)
t

divB 0

divD

Предположим, что волна распространяется в среде, где нет свободных зарядов
0, J 0 . С учетом мате
 

-7
риальных уравнений среды ( D
0E B
0H ,где μ0 - магнитная постоянная (4 10 Гн/м), ε0 - диэлектрическая постоянная (8,85 10-12Ф/м), μ - магнитная проницаемость, ε - диэлектрическая проницаемость среды) система примет вид:


H
rotE
0
t


E
rotH
(1.2)
0
t

divH 0

divE 0
Подействуем оператором rot на первое уравнение:


H
rot(rotE) rot(
)
0
t
Воспользуемся математическим преобразованием




2
2
rot(rotE) grad(divE)
E
E
2
2
2
2
- оператор Лапласа.
x2
y2
z2
В правой части можно поменять местами производные по времени и по координатам. Тогда получим:


2
2

D
E
(rotH)
o
t
t2
t2
Мы получили волновое уравнение:

2

E
2
E
(1.3)
0 0
t2
Введем обозначение
1
0
0
Уравнение сведется к виду:


1 2E
2
E
2
t 2 , - скорость света в среде

 
Его решение: E EmCos( t kr
0)

k k
Где
- волновое число.
2
2
k
T
=T - длина волны.
Длина волны это путь, проходимый волной за период колебаний (или это расстояние между точками, где
7
колебания происходят в одинаковой фазе).
В вакууме ε=μ=1. Поэтому скорость света в вакууме:
1
м
c
3 10 8
c
0 0
.
Введем обозначение n
- показатель преломления.
c
.
n
Получим скорость света в среде: v

H
Аналогично можно получить для
.

2

H
1
2
H
t2
2

 
H H m Cos( t k r
0)
Решение для E и H можно представить и виде комплексной экспоненты:

 


E E 0 e i ( t kr ) , E 0 E m e i 0
(1.4)

 i ( t kr )

 i
0
H H 0e
, H0 Hme


E0 и H0 - комплексные амплитуды волны.
 
E и H в уравнения Максвелла.
Подставим

rotE
0

H
t


E
rotH
0
t

divH 0

divE 0
Воспользуемся математическим преобразованием


rot ( A 0 e ( t kr ) )
 
i k E 0 ei (

t k r)
i k
i
A 0 e i ( t kr ) , получим
 i(
0 H 0e

t k r)

 
 i ( t k r )
i k H 0 ei ( t k r ) i
E
0 0e
 

k Em
Hm
0
 

k Hm
Em
0
Воспользуемся математическим преобразованием
div( A 0 ei(

kH m 0

kE m 0

t kr )
)
i k A 0 ei (

t kr )
(1.5)
, получим

Следовательно, электромагнитные волны – поперечные волны и Hm

Em .
Рис. 1.1.
Поперечность электромагнитных волн.
Используя (1.5), можно показать, что:
8
Hm
0
0
Em
Em
, Z
Z
0
Z0
0
Z –волновое сопротивление среды, Z0 –волновое сопротивление вакуума.Z0 ≈ 377 Ом. В случае немагнитной
среды (μ=1) - Z=Z0/n
Em
Bm
, Em
Bm
0Hm
Получили однозначную связь между напряженностью электрического поля и индукцией магнитного поля.
1.2. Отражение и преломление света на границе между диэлектриками. Формулы Френеля.
Полное внутреннее отражение.
Поведение волны на границе полностью определяется граничными условиями для векторов поля волны
(векторов индукции электрического поля D, магнитного поля B, векторов напряженности электрического поля
E и магнитного поля H), которые при отсутствии свободных зарядов и токов проводимости имеют вид:
D1n = D2n; B1n = B2n; E1τ = E2τ; H1τ = H2τ,
где индексы n и τ обозначают соответственно нормальную и тангенциальную составляющие вектора.
Напряженности электрического поля
ломленной (t) (см. рис.1.2) плоских волн
 


Ei E 0i exp i( i t k i r ) ,
 


Er E0r exp i( r t k r r ) ,
 


Et E0t exp i( t t k t r ) .
Частота электромагнитной волны при
ется, то есть
ωi = ωr = ωt = ω.
Волновые числа связаны со скоростью
средах соотношениями
ki = ω/v1, kr = ω/v1, kt = ω/v2
падающей (i), отраженной (r) и превыражаются формулами:
Рис. 1.2.
отражении и преломлении не изменя(1.6)
распространения в первой и второй
(1.7)
где v1 - скорость распространения волн в первой среде, v2 - скорость распространения волн во второй среде.



Волновые векторы падающей k i , отраженной k r и преломленной волн k t лежат в одной плоскости.
Показатели преломления сред определяются выражениями
n1 = c/v1, n2 = c/v2,
(1.8)
где n1- показатель преломления первой среды, n2- показатель преломления второй среды, c - скорость света в
вакууме (c=2,99 108м/с). Относительный показатель преломления второй среды относительно первой определяется выражением
n21 = n2/ n1
Угол падения равен углу отражения.
Соотношение между углами падения ψ, и преломления φ записываются в виде
sin(φ)/sin(ψ) = n21 = n2/ n1
(1.9)
Уравнение (1.9) называется законом преломления света (закон Снеллиуса).
Любую волну можно представить в виде суперпозиции двух волн – ТЕ (поперечная электрическая, в которой вектор Е колеблется перпендикулярно плоскости падения и ТМ (поперечной магнитной, в которой вектор
Е колеблется в плоскости падения).
Коэффициентом отражения по амплитуде называется отношение амплитуды отраженной волны к амплитуде
падающей
r = Er/Ei
9
Коэффициентом пропускания по амплитуде называется отношение амплитуды прошедшей волны к амплитуде падающей
t = Et/Ei
Формулы Френеля для коэффициентов отражения и пропускания по амплитуде дляТЕ и ТМ волн записываются в виде:
rTE
t TE
cos
cos
cos
n 21 cos
n 21 cos
2 cos
n 21 cos
rTM
cos
cos
n 21 cos
n 21 cos
t TM
2 cos
n 21 cos cos
sin(
sin(
)
)
2 cos sin
,
sin(
)
tg(
tg(
)
,
)
2 cos sin
sin(
) cos(
)
(1.10)
Для нормального падения (φ=0) формулы Френеля при имеют вид:
n1 n 2
2n1
rTE rTM
; t TE t TM
,
(1.11)
n1 n 2
n1 n 2
Из (1.10) видно, что приφ = φБ=arctg(n21) rTM= 0, т.е. если падал неполяризованный свет, то отразится полностью поляризованный.
Такой угол φб называется углом Брюстера.
Все приборы и человеческий глаз регистрируют не амплитуду, а интенсивность световой волны, которая характеризует среднее значение энергии, переносимой через единичную площадку в единицу времени. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды световой волны.
E 2m
2Z
I = <|[EH]|> =
(1.12)
Коэффициентом отражения по интенсивности называется отношение интенсивности отраженной волны к
интенсивности падающей
R = Ir/Ii
Коэффициентом пропускания по интенсивности называется отношение интенсивности прошедшей волны к
интенсивности падающей
T = It/Ii
Формулы Френеля для коэффициентов отражения и пропускания по интенсивности дляТЕ и ТМ волн записываются в виде:
R TE
rTE
2
cos
cos
n 21 cos
n 21 cos
cos
cos
n 21 cos
n 21 cos
R TM | rTM |2
cos
cos
cos
2
| t TM | n 21
cos
TTE | t TE |2 n 21
TTM
2
1 R TE
2
(1.13)
1 R TM
Если свет переходит из оптически менее плотной среды в более плотную (n21<1), то существует такой угол
φс, что при всех φ >φс, коэффициент отражения r становится комплексным (r = e- jΦ), т.е. волна отражается полностью (R = 1) и приобретает фазовый сдвиг
10
Im( r )
.
Re( r )
Φ = -arg(r) = -arctg
(1.14)
При полном внутреннем отражении
cos
n1
sin
n2
1
2
i
2
sin
n12
1 . (1.15)
Поэтому для отражения волны выполяются следующие соотношения для коэффициентов отражения:
rTM
rTE
n 221 cos
i sin 2
n 221
n 221 cos
i sin 2
n 221
cos
i sin 2
n 221
cos
i sin 2
n 221
,
.
(1.16)
Поэтому сдвиг фазы при полном внутреннем отражении можно записать в виде
sin 2
TM
n 221
; tg
TE
sin 2
n 221
.
(1.17)
2
cos
n 221 cos
Зависимость разности сдвига фаз от угла падения определяется выражением:
tg
2
TM
TE
cos
sin 2
n12 2
.
(1.18)
sin 2
Интенсивность прошедшего света находится по формуле:
cn 2 2
It
(E
E 2t ) cos .
TE
2Z0 t TM
Интенсивность отражения:
cn1 2
Ir
(E
E 2r ) cos .
TE
2Z0 rTM
Угол наклона плоскости колебания вектора E и плоскости падения в прошедшей и отраженной волнах определяется выражением соответственно:
tg
tg t
tg r
2
Et
Et
TE
,
TM
Er
TE
.
(1.19)
Er
TM
Степень поляризации определяется выражением
I TE I TM
h
,
(1.20)
I TE I TM
1.3. Металлический световод
Прежде чем обратиться к изучению световодов, рассмотрим одномерные системы. Предположим, что волна распространяется в направлении Oz между двумя бесконечно длинными плоскостями, параллельными друг
другу и оси Oz. Разумеется, при таком выборе плоских световодов ограничивается общность наших выводов,
поскольку реальныесветоводы имеют прямоугольное или круглое сечение. Но зато мы сможем легко понять
основные явления.
Металлический световод представлен на рис. 1.3. Он образован двумя бесконечными идеально проводящими
плоскостями, уравнения которых таковы: x= a. Заполняющая его среда ( при –а<x<+a) – вакуум. Очевидно,
что плоскость чертежа xz является плоскостью симметрии. Также волны TE (Ey, Hx, Hz) и TM (Hy, Ex, Ez)
11
можно рассматривать раздельно. Мы (произвольно) выберем волны TE. Для волн TM можно провести такой же
анализ или воспользоваться принципом дуальности.
1.3.1. Оптическое приближение
В световоде будет распространяться волна, форма которой соответствует его форме. Покажем, что эту волну
можно рассматривать как линейную комбинацию плоских волн.
Исходя из этого, исследуем плоскую монохроматическую волну с длиной волны , распространяющуюся в
вакууме между двумя проводящими плоскостями. Волновой спектр волны лежит в плоскости xOz и образует
угол с осью Oz (0< < /2 ). Такую волну называют «восходящей». Вектор напряженности электрического поля
будем считать параллельным оси Oy:
Ey
E 0 e i ( t kz cos
kx sin )
,
k=
2
.
x
a
k
0
0
E
y
z
-a
Рис. 1.3. Металлический одномерный световод.
В результате отражения от верхней плоскости появляется «нисходящая» волна (- /2< <0) с комплексной
амплитудой rEy . Коэффициент r определяется из граничного условия Ey=0 (при всех z) на плоскости x = ±a:
e ika sin
reika sin
0,
откуда
r = – e 2ika sin .
В результате интерференции этих двух волн во всех точках пространства между плоскостями образуется
полное поле, определяемое выражением
Eполн= E 0e
i( t kz cos ) (e ikx sin
eik (x 2a ) sin ) .
(1.21)
Очевидно, что граничные условия при х=а выполняются. При x= -а должно выполняться условие
e ika sin
e 3ika sin = 0,
откуда
2kasinθ = nπ,
(1.22)
где n – положительное целое число (тривиальный случай θ = 0 не удовлетворяет условиям задачи).
Тогда выражение для полного поля запишется следующим образом:
12
Еполн= E0e
i
t
k cos
z
in x
e 2a
in x
n
.
1
e 2a
Предположим, что n – четное число, т. е. n = 2p. Тогда поле (нечетное) примет вид
t
Еполн= – 2iE0ei
k cos
z sin p
a
x ;
(1.23)
Если же n – нечетное число, т. е. n = 2p+1 , то поле (четное) будет
Еполн= 2E0ei
t
k cos
z cos
2
p
x
.
a
Таким образом, вдоль оси Oz мы имеем бегущую волну с постоянной распространения в световоде
β = kcosθ
(1.24)
Вдоль оси Ox (рис 3.6) мы имеем режим стоячих волн ( струна, закрепленная в точках x= a ).
Условие (1.22) можно рассматривать по-разному.
Во-первых, как условие согласования фаз: если рассматривать однократное прохождение волны между
плоскостями туда и обратно вдоль оси Ox, то полный фазовый сдвиг должен быть кратным 2π. В противном
случае будет интерферировать со всеми последующими отраженными волнами и из-за гасящей интерференции
быстро затухать. Под «полным» фазовым сдвигом следует понимать сумму фазового сдвига за счет распространения и сдвига фаз при отражениях. В металлическом световоде рассчитать полный фазовый сдвиг легко,
так как мы видели, что отражение от идеального проводника сопровождается фазовым сдвигом на π для напряженности электрического поля Ey( но не изменяет фазу напряженности магнитного поля Hz). В результате условие согласования фаз для металлического световода запишется в виде
(-1) 2 e 4ika sin
=1
что и выражается соотношением (1.22)
kвосходящ.
z
kнисходящ.
n=1
n=2 n=3 n=4 ….
Рис. 1.4. Структура мод в одномерном металлическом световоде.
Во-вторых соотношение (1.22) можно рассматривать как уравнение дисперсии: оно позволяет определить
постоянную распространения в световоде β в зависимости от частоты и геометрических параметров системы.
Из (1.22) и (1.23) следует, что
2
k2
n2
4a 2
2
.
(1.25)
13
Таким образом, в рассматриваемом световоде распространяются две плоские волны, удовлетворяющие
соотношениям (1.22) и (1.23). Но встает вопрос: не образует ли вторая волна при отражении от плоскости x = a третью волну, которая при отражении от плоскости x= +a в сою очередь порождает четвертую и т. д. и т. д.?
Естественно, что это не так. Здесь образуется как бы интерферометр Фабри – Перо. Также многократное отражение просто улучшает угловое разделение при углах θ, определяемых соотношением (1.22). Следовательно,
наша модель двух волн вполне корректна. Нужно только учитывать, что каждая из этих волн есть сумма всех
отраженных волн, четных или нечетных.
1.3.2. Электромагнитное приближение
Вернемся к электромагнетизму. Можно решать нашу задачу и таким образом: искать напряженность
электрического поля Ey в виде
Ey = E0f(x) e
i t
z ,
где β и f(x) – неизвестные. Решив уравнение распространения :
E
2E
0
0
t2
0 , получим
f (x)
f(x)
2
2
c2
.
(1.26)
Поскольку оба члена в правой части здесь константы, запишем это равенство в виде
f (x)
f (x)
2.
(1.27)
Решение данного уравнения таково:
f (x)
Из граничных условий f(
A sin x B cos x .
a) = 0 следует равенство
A sin a
B cos a
0.
Иначе говоря,
B 0,
если
то f ( x )
A sin p
a
sin a
0,
p
a
,
x - нечетное решение;
A 0,
если
cos a
0,
1
a 2
p ,
x
p
- четное решение.
2
a
С другой стороны , из (1.26) и (1.27) следует соотношение
то f ( x )
B cos
14
2
2
c
2
2
,
т. е. уравнение дисперсии (1.25), в котором γ – величина, определенная выше.
Таким путем можно вновь получить оптическое приближение, о котором говорилось ранее. Достаточно
учесть, что величина β должна быть действительной. Следовательно, должно выполняться условие
k2
2
;
положив
sin
k
,
(1.28)
получаем соотношение (1.22), в котором
n
,
2a
(1.29)
откуда и вытекает интерпретация «плоских волн».
1.3.3. Моды распространения
Как же на практике формулируется задача о распространении волн в таком световоде? Имеется генератор,
способный вводить в волновод волну заданной частоты f = ω/2π. Нужно определить, под какими углами θ волны будут распространяться в волноводе.
Положим
c
,
(1.10)
c
2a
тогда (1.22) запишется
sin
Im
c
1
R
e
n
c
.
(1.31)
Рис. 1.5. Определение числа
возможных мод N на частоте f
= ω/2π.
Постороение состоит в том,
чтобы разбить мнимую ось
тригонометрической
окружнос-ти на интервалы,
равные ωс / ω.
Отсюда следует, что при ω<ωс распространение волн невозможно. Частота ωсназываетсякритической частотой. При ω>ωс решения получаются простым геометрическим построением, показанным а рис. 1.5. Из риN 1 c ( где N – целое положительное число) мы имеем N решений:
сунка явствует, что при N c
n
arcsin n
c
, где n= 1, 2, ……,
(1.32)
15
θ
2
2 c
c
3 c
ω
4 c
Рис. 1.6. Металлический световод.Зависимость угла падения плоских волн от частоты для различных мод.
Каждое такое решение называется модой распространения. Зависимости углов θ от частоты приведены на
рис. 1.6.
При всех частотах, кратных ωс, появляется дополнительная мода. На частотах, кратных 2πω с, имеем θ=π/2, т.
е. волна поперечная и распространения нет. Но с увеличением частоты наклон волн уменьшается. В пределе,
когда частота ω очень велика (или когда длина волны λ очень мала), получается квазиосевая волна.
Это, впрочем, и понятно, так как, поскольку отражающие стенки волновода находятся
очень далеко друг от друга (расстояние между ними нужно измерять в длинах волн), их
влиянием можно практически пренебречь. Следовательно, аксиальная квазиплоская волна
может распространяться.
Фазовая скорость волн находится в прямой зависимости от их угла наклона, чем определятся величина β.
Точнее,
ф
.
k cos
или с учетом (1.31)
c
ф
1 n2
2
.
c
2
υ
υφ
с
υд
c
2
c
3
c
0
ω
Рис. 1.7. Металлический световод. Кривые дисперсии.
Вычислим соответствующую групповую скорость :
16
g
Зависимость скоростей
ф
и
g
d
d
c
1 n
2
c
2
2
.
(1.33)
от частоты показана на рис. 1.7. Здесь мы видим, что фазовая скорость
больше скорости света с!
(1.25) можно записать в виде:
1
1
n2
2
2
z
2
c
(1.34)
где
c
n
z
4a
- критическая длина волны,
n
2
(1.35)
- кажущаяся длина волны вдоль оси Oz.
(1.36)
Для моды порядка n величина c / n равна расстоянию между двумя узлами вдоль оси Ox.
Вернемся к вопросу, поставленному раньше. Какая мода будет распространяться в световоде при заданной
частоте? Мы показали, что на каждой частоте может распространяться определенное число мод. Общее решение будет линейной комбинацией этих мод с коэффициентами, зависящими в основном от условий на концах
световода (излучатель и приемник).
2 c мы имеем одномодовый режим распространения. При более высоких частотах распроПри c
страняется одновременно несколько мод. Каждая мода является дисперсной, и, что особенно важно, у каждой
1
t
моды своя собственная дисперсия. На основании формулы
1 1 1
nc c l
3/ 2
g
g
получаем для каждой моды
l
.
(1.37)
Данной формулой выражается влияние дисперсии моды.
Как нетрудно видеть, теоретически выгодно работать как можно ближе к одномодовому режиму на сравнительно низких частотах, поскольку произведение
g есть возрастающая функция частоты.
1.3.4. Затухающая волна
Что же происходит на частотах, меньших критической частоты? Поскольку при этом sinθ получается больше 1, величина θ оказывается мнимой, так же как и λz. Если световод бесконечно длинный вдоль оси Oz, то
имеем затухающую волну, так как
cos
n2
1
2
i
2
c
n2
2
2
c
1,
(1.38)
и выражение (1.23) принимает вид
x
,
a
sin p
Eполн
E0e
i t
e
kz
n
2 2
/
2
c
1
cos
p
2
x
,
a
откуда глубина проникновения волны в световод
c
2
n2
2
2
c
1
n2
.
2
c
2
1
Таким образом, глубина проникновения тем меньше, чем дальше частота ω от критической частоты.
Теперь от металлических световодов перейдем к диэлектрическим.
1. 4. Диэлектрический световод
17
Рассмотрим (рис. 1.8) диэлектрический световод в виде диэлектрической полосы толщиной 2а с
диэлектрической проницаемостью ε1 (показатель преломления n1) между двумя диэлектрическими полупространствами с диэлектрической проницаемостью ε2 (показатель преломления n2).
Предположим, что ε2< ε1, т. е. n2<n1 . Это условие, очевидно, необходимо для того, чтобы в рассмативаемом
волноводе распространялись волны. Известно, что свет отклоняется в сторону более высокого показателя
преломления, а потому показатель преломления должен быть больше показателя преломления внешней среды.
Мы будем рассматривать случай симметричного диэлектрического световода ( обе внешние среды одинаковы ),
что облегчает нашу задачу.
Здесь можно повторить все сказанное относительно симметрии системы в случае металлического световода,
и мы будем, так же как и там, рассматривать моды TE.
Попробуем, как ираньше, ввести плоскую волну внутрь световода. Ее волновой вектор будет определяться
соотношением
по оси Oz ,
k1
x
Среда
2
Среда
1
k2
ψ
2
1
2
1
kn1 .
- iγ
k1
1
φ
θ
β
a
y
Среда 2
k1
β
Ey
2
a
по оси Ox ,
z
2
1
Рис. 1.8. Одномерный диэлектрический световод.
Волна преломится на границе сред, и в среде 2 ее волновой вектор будет таким:
k2
по оси Oz ,
по оси Ox ,
i
k2
kn 2 .
Разумеется, проекции этих векторов на ось Oz одинаковы (равны β), поскольку вдоль всей плоскости раздела сред сохраняется равенство фаз.
Но нам необходимо полное внутреннее отражение, так как только в этом случае волна будет отражаться
вверх и вниз на границах раздела и в результате оставаться внутри световода. Допустим, что угол падения волны удовлетворяет условию
φ>φc ,
причем
sin
n2
n1
c
n 21 ,
или, что эквивалентно, условию
θ <θс ,
причем
cos c
n 21 .
В этом случае коэффициент отражения r становится мнимым и применима формула
18
cos
1
n1
sin
n2
2
2
sin
n21
j
1.
(1.39)
Выберем знак « – ». Тогда составляющая вектора k2 , параллельная оси Ox, запишется в виде
kn 2 cos
i ,
где
kn 2
cos2
n 221
1,
(1.40)
а напряженность электрического поля в среде 2 будет равна
E y2
E 0 ei
t
z
e
x
,
где
kn 2 sin r
kn1 cos .
(1.41)
Мы получили неоднородную волну, свойства которой нам хорошо известны. Ее амплитуда экспоненциально
уменьшается при удалении в поперечном направлении от границ световода. Наш выбор знака в выражении
a . Для отражения от плоскости x=-a
(1.39) в действительности соответствует отражению от плоскости x
нужно было бы взять другой знак, чтобы получить величину e+ x, удовлетворяющую условию
lim e x
0.
x
Итак, по обе стороны свтовода имеются две экспоненциально затухающие во внешних средах волны. А что
же внутри? Внутри световода, по крайней мере формально, все происходит так же, как и в металлическом световоде. Суперпозиция падающей и отраженной волн даст нам бегущую волну вдоль оси Oz и стоячую волну
вдоль оси Ox(рис. 1.9). При этом
E1y
E 0e j t
z cos ax
sin ax
" четная" волна,
" нечетная" волна.
(1.42)
-
x
y
ЧетнаяНечетная
волна волна
z
Рис. 1.9. Поперечные изменения составляющих E(y).
Пример четной и нечетной волн {формулы (1.41) и (1.42)}
Можно сформулировать задачу следующим образом: известны характеристики световодаa, n1, n2 и частота
волны ω (или, что эквивалентно, вектор k). Нужно найти θ, α, β и γ.
1.4.1. Уравнение дисперсии и условие согласования фаз.
На основании определения векторов k1 и k2 можно сразу написать
19
k 12
k 22
k 2 n 22
2
2
k 2 n 12
2
2
,
(1.43)
n 22 .
(1.44)
.
Отсюда, исключив β, получаем
2
2
k 2 n 12
Напишем теперь условие согласования фаз. Пусть Ф – фазовый сдвиг, возникающий при отражении от каждой границы раздела сред как снизу, так и сверху. Приравняем полный сдвиг фазы при прохождении волны от
нижней стенки до верхней и обратно целому кратному числа 2π :
4kn 1 sin
2
2n .
(1.45)
Чему же равен фазовый сдвиг Ф? Запишем выражение :
2arctg j
Z1
Z2
2arctg i
n 21 cos
cos
,
и с учетом выражений (1.39), (1.40) и определения
kn 1 sin
(1.46)
найдем
2arctg
.
(1.47)
Можно показать, что в действительности все происходит так, как если бы отражение происходило от металлической поверхности, расположенной на некотором расстоянии x0 далее границы раздела двух сред. Таким
образом, световые пучки смещаются при отражении от границы раздела двух сред (эффект Гоосса-Хенхена).
1.4.2. Решение задачи распространения, моды
Вернемся к уравнению дисперсии (1.45). Подставим в него выражения (1.46) и (1.47). Получаем два случая:
если n = 2p , то αtgαa = γ ,
(1.48)
если n = 2p+1 , то –αсtgαa = γ.
20
γa
V
0
π
2
αa
2π
3
2
Рис. 1.10. Изменение мод в зависимости от приведенной частоты V.
Графическое построение зависимостей γ и α от частоты.
Итак, в общем случае нахождение зависимости α, β, γ и θ от частоты не простая задача, ибо мы приходим к
трансцендентным уравнениям. Далее будем рассматривать случай n = 2p, учитывая, что при n = 2p+1 рассуждения будут аналогичными. Построим зависимость γa от αa (рис. 3.12). В результате приходим к следующему
графическому решению: поскольку α и γ должны одновременно удовлетворять уравнениям (н.24) и (н.28), при
каждом значении частоты они определяются точкой пересечения построенной кривой с дугой окружности, которая описывается уравнением (1.44) (естественно, мы ищем положительные решения для α и γ при этом также
увеличиваются.
Диаграмма, представленная на рис. 1.10, ясно показывает, как появляются разные моды распространения.
Так же как и в случае металлического световода, значения n = 2p соответствует нечетным модам, а значения n = 2p+1 – четным модам. Для удобства часто вводят приведенную частоту
V ka n12
n 22
(1.49)
Окончательно характеристические уравнения мод записываются в виде
a tg a a ,
a ctg a a ,
или
2
2
a2
V2 .
1.4.3. Поведение мод при изменении частоты,
критические частоты
Поведение каждой моды при изменении частоты можно исследовать следующим образом. Критические
частоты удовлетворяют условиям
a
n
,
2
0,
21
откуда получаем
c
c
c
,
2a n 12
n 22
4a n12
n 22 .
(1.50)
(1.51)
Новые моды появляются при всех частотах ω = nωc (n=0, 1, 2, … ). Здесь наблюдается существенное отличие
от металлическогосветовода, а именно существование нулевой моды с n=0. Для диэлектрического световода
нет частотного порога. В самом деле, можно получить нулевой суммарный фазовый сдвиг в (1.45) за один
проход от нижней стенки до верхней и обратно, так как, в отличии от металлического световода, в диэлектрическом световоде сдвиг фазы при распространении может быть скомпенсирован изменением фазы Ф при отражении.
Когда возникает некая мода распростанения, мы имеем γ = 0, откуда в силу формулы (1.40) cosθс = n21, т.е.
угол θ – предельный. В этом случае распространение волны возможно, иак как мы находимся на пределе
преломления. Но условие γ = 0 означает, что волна полностью распространяется вне волновода, т. е. в среде 2.
Поэтому фазовая скорость равна величине vф2, т.е. фазовой скорости во внешней среде. При увичении частоты
величины α и γ возрастают, а угол θ убывает. Поле не так глубоко проникает во внешнюю среду и волна
конуентрируется внутри световода. В пределе, когда частота ω стремится к бесконечности, величина γ также
устремляется к бесконечности,
θ = 0 и волна полностью удерживается в среде 1. При этом ее фазовая скорость равнаvф1. Такое изменение
структуры моды распространения с увеличением частоты схематично показано на рис. 1.11.
2
2
φc 1
2
φ>φc 1
2
θ=0 1
2
ω=nωc
2
ω>nωc
ω=
Рис. 1.11. Изменение стуктуры мод в зависимости от частоты ω.1
В частном случае нулевой моды n = 0 показывается, что
a ~ V при
и мы снова получаем
c при
0,
0.
Но, согласно (1.46), на критической частоте выполняются соотношения:
sin
c
kn1
n
2a 2
n
4a
n
c
,
c / 2an 1 , т. е.
где
c
c - это критическая частота металлического световода, заполненного
диэлектрической средой с по-казателем преломления n1. Предельный угол падения φс такой же, как и в металлическомсветоводе для той же частоты. На критической частоте поле внутри диэлектрическогосветовода
точно такое же, как в соответствующем металлическом световоде.
1.4.4. Дисперсия
Как говорилось выше, при увеличении частоты ω от критической до бесконечности фазовая скорость волны
изменяется от vф2 доvф1. Следовательно, диаграмма дисперсии ω(β) будет иметь такой вид, как на рис 1.12 .
Для данной моды на заданной частоте (точка M) фазовая скорость определяется наклоном прямой OM, а
групповая скорость – наклоном касательной в точке M.
22
Легко показать, что первый слева участок этой диаграммы соответствует всем углам θ>θс , т. е. континууму
излучаемых мод. Поскольку такие моды распространяются в среде 2, они нас не интересуют. Всегда стараются
либо их уменьшить, либо исключить совсем, чтобы можно было работать только с модами
,распространяющимися в волноводе, которые образуют дискретный набор.
Диаграмма рис. 1.12 позволяет легко определить зависимость фазовой и групповой скоростей от частоты ω.
Действительно, vф = ω/β – коэффициент наклона прямой OM, а vg = dω/dβ -коэффициент наклона касательной в
точке M.
В результате получаем дисперсионные характеристики (рис. 1.13) диэлектрическогосветовода.
ω = βvф2
ω
ω = βvф1
M
β
ωc
0
2ωc
3ωc
4ωc
5ωc
6ωc
Рис 1.12. Диэлектрическийсветовод (кривые дисперсии).
vφ
vф2
Vф1
0
ωс
2ωс
3ωс
ω
Рис. 1.13. Диэлектрическийсветовод (зависимость фазовой и групповой скорости от частоты). Частота ωс соответствует точке перегиба
кривой для основной моды.
1.4.5. Одномодовый и многомодовый режимы распространения волн
Речь идет об одном важном различии. Казалось бы., что с точки зрения дисперсии желателен, как и в случае
металлического световода, одномодовый режим. Для этого, очевидно, необходимо обеспечить условие ω>ωс .
Максимальный размер одномодовогосветовода в соответствии с (.31) определяется выражением
.
Таким образом, можно получить одномодовый световод с поперечными разрезами во много длин с одной
волн, если достаточно мала разность показателей преломления n n 1 n 2 . То же самое будет показано в
случае цилиндрических оптических волокон.
23
Как нетрудно видеть рис. 1.13, кривая зависимости групповой скорости каждой моды от частоты проходит
через минимум в точке, соответсвующий точке перегиба кривой ω(β). Поэтому не исключено, что кажется
невозможным свести к минимуму групповую скорость для основной моды в одномодовом режиме. По этой
причине или по какой-либо другой причине практического характера может оказаться необходимым работать в
многомодовом режиме и учитывать одновременно дисперсии каждой моды и многомодовые эффекты.
Конечно, все это сложно. Тем более что в отличии от металлического волновода здесь нет точных формул.
Очень часто приходится пользоваться приближенными выражениями. Так, например, можно рассмотреть
случай n = 0 при сравнительно низких частотах. В этом случае доказывается, что
a ~ V 2 при
0.
Исходя из этого, непосредственно выводится приближенное выражение для β(ω). Далее решение задачи не
встречает затруднений.
1.4.6. Расширение волнового пакета
Введѐм коэффициент второго порядка
vg
и получим выражение для уширения спектра импульса на расстоянии l:
vg
1
.^
t
l
В действительности было бы интересно сохранить в разложении показателя экспоненты i(ωt – βz)в интеграле Фурье:
~
E ( z, t )
2
E ( )e i (
t k ( )z)
d
2
члены до второго порядка по d / d , чтобы получить точную форму распространяющегося фолнового
пакета, так как деформация волнового пакета обусловлена членом второго порядка. Правда, в общем случае
получающиеся выражения слишком сложны. Но вычисления возможны в частном случае гуссова волнового
пакета. Например, гауссов волновой пакет длительностью T имеет вид
g( t ) e
Для моды ТЕ0 в пределе низких частот (
характеристическом расстоянии
L=
0)
6 a
.
ширина импульса Т увеличивается в
c 3T 2
2
2
t
t
n2
n12
n22
2
2 раз на
.
Мы видим, что
а) длительность импульса входит в это выражение в квадрате;
б) частота входит в первой степени;
в) поскольку разность показателей преломления играет здесь очень важную роль, с точки зрения дисперсии
выгодно использовать среды с очень близкими показателями преломления.
Не будем углубляться в этот вопрос. На практике нужно учитывать и другие факторы (световоды не
обязательно симметричны, оптические волокна цилиндрические и т.д.), а потому изучение распространения
даже малого числа мод – сложная задача.
24
Глава 2. Распространение света в оптических волокнах.
Причины уширения импульса
2.1. Распространение света в оптических волокнах на основе лучевой модели
2.1.1. Общие сведения.
Далее будут рассмотрены все характеристики оптического волокна как среды для передачи оптических сигналов, причем особое внимание будет уделено тем его свойствам, которые могут ограничить информационную
пропускную способность волоконно-онтической системы связи. Распространение света в волокне будет трактоваться как распространение световых лучей, подчиняющихся законам геометрической оптики. Влияние материала волокна на распространение света будет учтено интегрально с помощью показателя преломления материала n, причем сначала будем полагать, что n не зависит от длины волны. Поскольку свет представляет собой
электромагнитные колебания, здесь сжато изложены основные положения теории распространения электромагнитных волн в объеме, занимаемом диэлектриком. Это полезно как для понимания наблюдаемого в волокнах
явления, когда показатель преломления материала волокна зависит от длины волны света, так и для объяснения
основных причин оптических потерь в волокне. После элементарного рассмотрения общей дисперсии в волокне
и введения понятия среднеквадратической ширины импульса, дается подробный анализ вопроса о потерях в
волокне. После этого будут описаны некоторые методы изготовления оптических волокон и кабелей из них.
Лучевое приближение представляет собой предельный случай, когда длина волны света стремится к нулю
по сравнению с размерами среды распространения. При этом предполагают, что локально электромагнитное
поле остается таким же, как и в плоской волне, а траектория луча становится перпендикулярной поверхностям
равных фаз волны, т. е. поверхности ее волнового фронта. Как будет показано далее, оптические волокна могут
иметь диаметры сердцевины вплоть до 1 мм или до нескольких микрометров. В некоторых наиболее распространенных типах волокон диаметр сердцевины составляет около 50 мкм. Можно считать, что при таких размерах волокон лучевое приближение достигает предела своей применимости.
2.1.2. Ступенчатое волокно:
числовая апертура и межмодовая дисперсия
Эффект волноводного распространения света в прозрачной диэлектрической среде, показатель преломления
которой больше показателя преломления окружающей среды, был продемонстрирован Тиндаллом на примере
водяной струи в 1870 г. во время чтения лекции в Королевском институте.
Рис. 2.1. Отражение и полное внутреннее отражение на границе диэлектриков: а – луч АА` преломляется; б – луч ВВ` - критический луч;
в- луч СС` - претерпевает полное внутреннее отражение на границе
диэлектриков.
Рисунок 2.1, а иллюстрирует явление преломления света на границе раздела двух сред с разными
показателями преломления, которое подчиняется закону Снелля, сформулированному в 1621 г. На рисунке
изображен луч света, который проходит сквозь среду с более высоким показателем преломления п1, и попадает
в среду с меньшим показателем преломления п2. Если выполняются условия 0
' /2, то справедливо
си 0
следующее соотношение:
п1 sin = п2 sin ',
(2.1),
25
где и ' - соответственно углы падения и преломления. При называемом критическом угле, т.е. при таком угле
падения, при котором угол преломления ' = /2 (рис. 2.1,б), т.е. при = с
п1sin
с
= п2.
(2.2)
Если угол падения > c (рис. 2.1, в), имеет место явление полного внутреннего отражения, не сопровождающееся какими-либо потерями на границе раздела, т. е. r,. = 'r.
Рис. 2.2. Распространение света в оптическом волокне:
АA' — осевой луч, ВВ' — луч, распространяющийся под критическим углом для поверхности n1n2; луч СС ‘ входит в волокно под углом больше критического и поэтому не отражается, а вводится в оболочку.
Рассмотрим теперь цилиндрическое стеклянное волокно, состоящее из внутренней сердцевины с показателем преломления n1 и окружающей ее оболочки с показателем преломления n2, причем здесь также выполняется условие n1>п2. Торец волокна срезан под прямым углом к его оптической оси. На рис . 2.2 изображен луч,
входящий в волокно с торца из окружающего волокно воздуха (с показателем преломления na). Этот луч будет
распространяться вдоль волокна путем многократных отражений от границы сердцевина - оболочка и не будет
ослабляться при условии, что угол падения луча на границу раздела будет больше критического угла с. Для
выполнения этого условия необходимо, чтобы угол наклона луча к оптической оси волокна = /2 - , был
меньше m = /2 - c, а угол падения m луча на торец волокна был менее определенной величины m. Для определения величины углов m и m, воспользуемся законом преломления света, приняв na =1,
sin = n1 sin = n1cos .
(2.3).
Все лучи, падающие на торец волокна под углом, меньшим αm, будут распространяться в сердцевине волокна. Очевидно, что лучи, распространяющиеся в сердцевине, в зависимости от их угла падения будут проходить
различные расстояния, причем эти расстояния будут изменяться от l для осевого луча до l/cos m для самого наклонного (критический луч ВВ'), где l— расстояние по оси волокна
При угле падения, равном критическому,
sin
m=
n1sin
m=
n1cos
c.
(2.4)
Воспользуемся выражением (2.1.2) и выразим sin
n1sin с= n2 , cos
sin
m=
с
= (n12 – n2 2 )1/2/n1
(n12 – n2 2 )1/2
m
через показатели преломления сердцевины и оболочки
(2.5)
(2.6)
Введем обозначения
n = n1 – n2
(2.7.),
n = (n1 + n2 )/2
(2.8)
и
26
В результате получим
sin
(2n n)1/2
m=
(2.9)
Чем больше угол m, тем большая часть падающего на торец волокна света может быть введена в волокно и
будет в нем распространяться за счет полного внутреннего отражения. По аналогии с термином, используемым
в оптике для определения способности микрообъективов собирать свет, величину nasin m называют числовой
апертурой (NA) волокна. Таким образом, подставив na = 1, находим числовую апертуру волокна
(NA)=sinam=(2n n)1/2
(2.10)
Только часть света (пропорциональная (NA)2), излучаемая малоразмерным диффузным источником, помещенным на оптической оси волокна вблизи его торца, может быть введена в волокно и, следовательно, будет в
нем распространяться. Рассмотрим малоразмерный диффузный источник света, например изотропный (ламбертовский) излучатель, изображенный на рис. 2.3. В этом случае мощность, излучаемая в единицу телесного угла
в направлении под углом к нормали к его поверхности, определяется выражением:
I( ) = I0cos .
(2.11)
Рис 2.3. Диффузный источник света.
ям:
Полная мощность Ф0, излучаемая таким источником, находится интегрированием I ( ) по всем направлени-
Ф0=
I0 ∙cosθ ∙2π∙sinθdθ = πI0
2
0
(2.12)
Однако мощность Ф, введенная в волокно, диаметр сердцевины которого больше диаметра источника, определяется следующим интегралом:
Ф0=
m
0
I0 ∙cosθ ∙2π∙sinθdθ = πI0sin2(αm) = Ф0 ∙(NA)2 (2.13)
Отсюда ясно, что для того, чтобы ввести в волокно как можно больше света, необходимо обеспечить большие значения величин п и n. На рис. 2.2 изображены два крайних луча, образующих конус входных лучей. В
данном случае показатель преломления среды можно рассматривать как меру скорости распространения света v
в этой среде, т. е.
v = с/п.
(2.14)
Мощность, излучаемая в малый телесный угол
в направлении угла по перпендикуляру к излучающей
поверхности, равна I ( )
= I0 cos
. Элементарное угловое кольцо, радиус которого стягивает угол , ширина стягивает , само кольцо стягивает телесный угол
= sin
. Следовательно, осевой луч будет проходить расстояние вдоль волокна за время п1l/c, в то время как наиболее наклонный луч, который еще может распространяться в волокне, то же самое расстояние пройдет за время, определяемое соотношением
27
n1l
c cos m
n1l
c sinθc
n1 2 l
c n2
(2.15)
Таким образом, если оба эти луча введены в волокно одновременно,
то на выходе волокна они окажутся разделенными во времени на интервал
n1 /n2 (l/ c) n
, определяемый формулой
(2.16)
В результате световой импульс, содержащий лучи под всеми возможными углами, окажется размытым во
времени в процессе своего распространения по волокну на величину, определяемую выражением
/l n1 /n2 ( n / c)
(2.17)
Это уширение светового импульса при его распространении по волокну известно как межмодовая (многолучевая) временная дисперсия волокна. Для стеклянного волокна без оболочки формула (2.17) дает следующее
значение этой дисперсии (п1=1,5; п2=1; с=3 108 м/с); /l 2,5 10-9= 2,5 нс/м - 2,5 мкс/км.
В данном случае в волокне будет распространяться свет, падающий на торец волокна под всеми углами.
Покрытие сердцевины волокна стеклянной оболочкой, имеющей немного меньший показатель преломления, приводит к возникновению трех эффектов:
1) если покрытие имеет высокое качество и толщину, достаточную для удержания затухающей волны, то
оно существенно уменьшает потери;
2) уменьшению временной дисперсии;
3) уменьшению вводимой в волокно мощности света.
Если п п, то выражение (2.17) для временной дисперсии волокна можно преобразовать к виду
T/l
n/c
(2.18)
Рис.2.4. Ступенчатое волокно.
На рис. 2.4 изображено волокно со скачком показателя преломления. Оптические кабели из таких волокон
широко распространены. Если принять значения п= 1,5 и п = 0,01, то на основе полученных формул находим
основные характеристики волокна: числовая апертура (NA) = 0,173, угол ввода света в волокно am = 10, доля
вводимой в волокно мощности от диффузного источника света (NA)2 = 0,03 = 3 %. И, наконец, временная дисперсия волокна будет равна
T/l = 3,4 10-10 = 34 нс/км.
Диаметры сердцевины 2a и оболочки 2b стремятся к стандартным размерам, равным соответстветственно 50
и 25 мкм. Изготавливают волокна и с другими размерами сердцевины и оболочки. В некоторых применениях
требуются большие размеры. Так, диаметр сердцевины может стремиться от 100 до 300 мкм, а диаметр оболочки от 200 до 500 мкм. Однако такие волокна довольно жесткие.
Приведем приближенные соотношения между ними, которые, однако, вполне пригодны для большинства
применений
В
2 f 1/ Т,
(2.19)
28
откуда
( f)l c/ 2 n
(2.20)
Следовательно, можно сказать, что в рассматриваемом примере произведение полосы пропускания на расстояние для волокна равно приблизительно 16 МГц км.
До сих пор рассматривали только такие лучи, которые проходят через ось волокна. Это так называемые меридиональные лучи. Обычно имеются также лучи, которые распространяются в волокне и не удовлетворяют
этому условию: они называются косыми лучами. Некоторые из косых лучей сохраняются в сердцевине волокна,
даже если они распространяются под очень большими углами к его оси. На практике такие лучи быстро рассеиваются на изгибах и неоднородностях и покидают сердцевину, не внося, таким образом, заметного вклада во
временную дисперсию. Однако строгий анализ этого явления сложен. Определяемое формулой (2.20) произведение полосы пропускания на расстояние на практике оказывается существенно ниже реального. Из-за рассеяния в волокне большинство наклонных лучей испытывают большое затухание и при прохождении большого
расстояния имеет место усреднение наклона траекторий, более близких к оси лучей.
Однако строгий анализ этого явления сложен. Определяемое формулой (2.20) произведение полосы пропускания на расстояние на практике оказывается существенно ниже реального. Из-за рассеяния в волокне большинство наклонных лучей испытывают большое затухание и при прохождении большого расстояния имеет место усреднение наклона траекторий, более близких к оси лучей.
29
Рис. 2.5. Типы оптических волокон: а – волокно без оболочки; б – волоконный жгут; в – ступенчатое волокно; г – градиентное волокно; д – одномодовое волокно; е – волокно с W-образным профилем.
Происходящие при этом эффекты приводят к уменьшению дисперсии и в результате в волокнах большой
длины она увеличиваетсяпропорционально корню квадратному из длины. Тем не менее, дисперсия накладывает
строгие ограничения на использование ступенчатых волокон, допуская их применение лишь в сравнительно
коротких линиях связи со сравнительно неширокой полосой пропускания. Существует два типа волокон, в которых преодолен этот недостаток (рис. 2.5). Первое из них, так называемое градиентное волокно (рис. 2.5, г),
было очень распространено на ранней стадии развития волоконной оптики. Изображенное на рис. 2.5, д одномодовое волокно, вероятно, станет основным типом в будущем.
2.1.3. Распространение света и межмодовая дисперсия в градиентных волокнах
Распространение света в градиентном волокне легко рассмотреть, однако строгое рассмотрение приводит к
значительным математическим трудностям. Как видно из рис. 2.6, на котором изображено градиентное волокно, осевые лучи проходят через волокно кратчайшим путем, но они преодолевают участок с наибольшим значением показателя преломления, и, следовательно, распространяются с наименьшей скоростью. Наклонные лучи, наоборот, проходят по более длинным траекториям, однако большая часть их пути находится в среде с более низким показателем преломления, в силу чего они распространяются быстрее. Таким образом, можно представить себе, что при надлежащем выборе профиля показателя преломления все лучи, сходящиеся в одну точку,
могут быть сфокусированы вновь, образовав периодическую последовательность точек фокуса вдоль волокна.
Из принципа Ферма следует, что в таком случае аксиальные скорости лучей будут одинаковыми и, следовательно, временная дисперсия будет равна нулю.
Можно показать, что траектория луча, распространяющегося в неоднородной среде (с изменяющимся показателем преломления), описывается выражением:
30
d
dr
n
ds
ds
grad (n)
(2.21)
где r — вектор положения точки на пути луча, а ds - элементарное расстояние, измеряемое вдоль траектории.
Применим (2.21) к частному случаю цилиндрического волокна, в котором показатель преломления радиально симметричен. Ограничимся рассмотрением меридиональных лучей, и, кроме того, лишь тех из них, которые
всегда остаются почти параллельными оптической оси волокна. Это так называемое параксиальное лучевое
приближение, которое позволяет нам аппроксимировать ds расстоянием вдоль оси dz. Тогда (2.1.21) принимает
вид
d2r/dz2=(1/n) (dn/dr),
(2.22)
где теперь r — расстояние луча от оптической оси, а z — расстояние, измеряемое вдоль оси. Легко показать,
что параболический профиль показателя преломления обеспечивает синусоидальный закон изменения r от z.
Рис 2.6. Градиентное волокно.
31
Пусть, например,
n0
(1-
Δ(r/a)2 ) , приr<a
n(r) =
(2.23)
n0 (1-Δ)=n(a), приr≥a
где n0 — показатель преломления на оси; а — радиус сердцевины волокна, а =(n0–n(a))/n0 - полное относительное измерение показателя преломления сердцевины. Дифференцирование приводит к выражению
dn/dr=-(2n0r/a2)
Ограничившись в дальнейшем рассмотрением только лучей, расположенных близко к оси, можно предположить, что n0/n1~ 1. Тогда уравнение (2.1.22) принимает вид
d2r/dz2 -(2r/a2)
(2.24)
Если теперь рассмотреть лучи, которые вводятся в волокно таким образом, что r= r0, a dr/dz =r0 в точке z =
0, то интегрирование уравнения (2.24) даст следующее уравнение траектории луча:
r r0 cos
2
z
a
a
r0`
sin
2
2
z
a
На рис. 2.7 приведены траектории двух групп таких лучей при r0 =0 и r0'=0. Все они не имеют дисперсии (не
диспергируют).
Если попытаться ослабить условия параксиального приближения, то это приведет к значительному усложнению уравнений. Можно, однако, показать (см. [2.2]), что все меридиональные лучи не испытывают дисперсии, если профиль показателя преломления имеет вид
n(r)
n 0 sch(α r)
n 0 1 α 2r 2
5 4 4
α r ...
24
(2.25)
Приведенное выше разложение профиля показателя преломления в ряд показывает, что параболический закон является первым приближением к требуемому, если принять ' = ( а)2/2. В случае косых лучей не существует такого закона изменения профиля показателя преломления, который бы устранил их взаимную дисперсию
(независимо от места и угла ввода), а также дисперсию по отношению к меридиональным лучам.
Рис. 2.7. Траектории меридиональных лучей в волокне с параболическим профилем показателя преломления.
32
Покажем, что при идеальном профиле показателя преломления межмодовая дисперсия может быть сделана
менее 0,1 нс/км. На практике не представляет труда получать хорошие градиентные волокна с величиной межмодовой дисперсии менее 1 нс/км. Однако при этом может оказаться полезной даже грубое изменение профиля
показателя преломления. Например, временная дисперсия волокна со скачком показателя преломления, может
быть уменьшена с 34 по 10 нс/км и менее путем простого сглаживания изменения показателя преломления на
границе сердцевины и оболочки.
Прежде чем приступить к анализу дисперсии, необходимо принять во внимание еще один источник
временной дисперсии в оптических волокнах. Дело в том, что на самом деле показатель преломления зависит
от длины волны. Этот вид дисперсии было бы хорошо назвать хроматической дисперсией, однако ее обычно
называют материальной дисперсией.
2.2. МАТЕРИАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ
2.2.1. Показатель преломления объемной среды: теория
На распространение электромагнитных волн в прозрачных материалах оказывает влияние их
взаимодействие с молекулами среды. Поскольку такое взаимодействие зависит от частоты, то и скорость распространения электромагнитных волн также зависит от частоты: говорят, что материал обладает дисперсией.
Одним из проявлений такой дисперсии является уширение коротких световых импульсов при их
распространении в диспергирующей среде. Величина уширения пропорциональна ширине спектра импульса и
является другим важным фактором, который ограничивает полосу пропускания оптических волокон.
В оптике обычно имеют дело с показателем преломления среды п. Он показывает, во сколько раз уменьшается фазовая скорость vp волны, распространяющейся в данной среде, по сравнению с фазовой скоростью с в
вакууме
vp= c/n
(2.26)
Другая особенность оптики состоит в том, что, начиная с момента зарождения оптики как науки в XVI веке,
при описании источников оптического излучения используют не частоту f, а длину волны излучаемых колебаний. Это приводит к понятию длины волны в свободном пространстве = c/f. При распространении колебаний в преломляющей среде длина волны уменьшается до m, причем
m
= /n
(2.27)
и
vp=
mf
(2.28)
Будем описывать электромагнитную волну частотой f, распространяющуюся через преломляющую среду
вдоль оси z, в виде проекции амплитуды электрической составляющей поля на ось х, как действительной части
Ex, т.е.
Ex(z,t) = E0exp (-i( t - kz))
(2.29)
где E0— постоянная поля; k = 2 / m — коэффициент распространения в среде; =2 f — угловая частота
волны, а i2= 1.
Выражение (2.29) описывает плоскую волну, распространяющуюся в объемном материале. Будем полагать,
что волна линейно поляризована и вектор электрического поля совмещен с плоскостью х — z. Фазовая скорость
такой волны равна vp==
, и, следовательно,
vp= k/β=λm• f = c/n
(2.30)
откуда
n = ck
(2.31)
Если при прохождении через среду волна ослабляется, то это можно учесть введением коэффициента поглощения а, так что
33
Ex(z,t) = E0exp (-az) exp (-j ( t - kz)) = - E0 exp (-j( t – (k + ja)z)
(2.32)
Можно учесть затухание волны путем введения комплексного показателя преломления среды
n* = n +in’ = c/ (k + ia)
(2.33)
Таким образом, действительная часть показателя преломления все еще определяется выражением (2.31), в то
время как мнимая часть становится равной
n'= ca/
(2.34)
Ниже будет показано, что те же самые процессы, которые приводят к зависимости показателя преломления
среды от частоты, вызывают также и затухание в среде электромагнитных волн. Таким образом, показатель
преломления дисперсионной среды является комплексным и зависит от частоты. Указанные физические процессы легко рассмотреть на примере диэлектриков, однако количественный теоретический анализ для любой,
даже простейшей среды становится неимоверно сложным.
Электрическая составляющая поля распространяющейся в диэлектрике оптической электромагнитной волны поляризует его молекулы, в результате чего они или их электронные структуры начинают колебаться с частотой волны. Колеблющиеся заряды излучают новые волны той же частоты, которые интерферируют с породившей их волной таким образом, что результирующая волна получает суммарный фазовый сдвиг относительно исходной волны. Поскольку эти эффекты происходят непрерывно во времени, общий фазовый сдвиг оказывается пропорциональным пройденному волной расстоянию. Это приводит к тому, что волна распространяется
в среде с меньшей фазовой скоростью.
Взаимодействие волны с молекулами среды происходит в виде последовательности затухающих гармонических резонансов. На частоте выше резонансной колебание отдельного атомного или электронного заряда больше не соответствует колебаниям электрического поля. Среда уже не поляризуется описанным образом, в результате чего на частотах выше резонансной показатель преломления уменьшается по сравнению со своим значением при резонансе.
Влияние электрического поля на поляризуемость диэлектрического материала обычно выражают с помощью относительной диэлектрической постоянной или диэлектрической проницаемости среды. Показатель преломления, обусловленный поляризацией материала на высоких частотах, может быть легко связан с диэлектрической проницаемостью материала на этих частотах. Как известно из теории электромагнитных волн, фазовая
скорость электромагнитных волн, распространяющихся в среде, имеющей относительную магнитную проницаемость относительную диэлектрическую проницаемость , определяется выражением
1
vф
c
εε0μμ 0
где
0
и
0
— соответственно магнитная и диэлектрическая проницаемости свободного пространства. Сле-
довательно, n
принять
(2.35)
εμ
, а поскольку магнитные эффекты в диэлектриках обычно ничтожно малы, то можно
= 1 и в результате получить следующую практическую формулу
n
(2.36)
При анализе этого вопроса сначала вводят понятие поляризуемости отдельной молекулы материала, обозначаемой . Это означает, что электрический дипольный момент рх, возникающий в направлении оси х под действием локального электрического поля Ex будет равен
р х= E x
ем:
(2.37)
В газе, содержащем N молекул в единице объема, объемная поляризация среды Px определяется выраженирх= Nрх = N Ex
(2.38)
Теперь относительную диэлектрическую проницаемость можно определить следующим образом:
r=(
e0Ex+ Px)/ 0Ex = 1+(Px/
0
Ex).
(2.39)
34
Таким образом, окончательно получаем
r
= 1 + (N / 0).
(2.40)
В случае твердого диэлектрика необходимо учитывать влияние, оказываемое на степень поляризации каждой отдельной молекулы окружающими ее молекулами. При использовании простейшего приближения, которое оказывается точным для идеальной кубической решетки, полагают, что каждая поляризуемая молекула
представляет собой сферическую замкнутую полость в однородном диэлектрике. При этом под действием
среднего поля Еxлокальное поле увеличится в (1 + Px/3 0Ex) раз. Следовательно, поляризация диэлектрика будет
равна
Px = N Ex (1+Px)/3 0Ex = (N Ex +N Px)/ 3 0 =
=N Ex/ (1 (N / 3 0)
(2.41)
Результирующую относительную диэлектрическую проницаемость при этом получаем путем подстановки
(2.2.16) в (2.2.14):
ε 1
1
α
N/ε 0
N
3ε 0
(2.42)
Этот результат иногда выражают в иной форме, предложенной Моссотти,
(
r
1) / ( r+ 2) =N / 3
0
(2.43)
На рис. 2.8 приведена зависимость средней молекулярной поляризуемости (а следовательно, и средней
степени поляризации в единице объема Рх) от частоты возбуждающего электрического поля. Энергетические
переходы, соответствующие частотам радиодиапазона, обусловлены быстро затухающими эффектами переориентации молекул и не играют заметной роли в интересующей нас области спектра. Другие переходы являются
результатом описанных ранее резонансных явлений. При этом высокочастотные эффекты возникают вследствие отклика электронной структуры молекул на поле, частота которого лежит в оптическом диапазоне спектра.
На практике наблюдается ряд таких резонансов в ультрафиолетовой части спектра. Выделяемый низкочастотный переход обусловлен движением молекулы в ответ на воздействие оптического поля. Это колебания решетки, возбуждаемые электрическим полем с частотой, соответствующей инфракрасному участку спектра. В рассматриваемых резонансных явлениях смещаемый в процессе взаимодействия с электрическим полем
и приводящий к появлению поляризации заряд подвергается воздействию восстанавливающей силы, величина
которой пропорциональна смещению заряда. В таком случае движущийся заряд представляет собой гармонический осциллятор. Электрическое поле в направлении оси х, создаваемое электромагнитной волной в данной
точке материала, определяется путем подстановки в (2.32) значения z= const и может быть выражено в виде реальной части Ex== E1ехр ( j t), где E1 — постоянная поля.
В этом случае дифференциальное уравнение, связывающее смещение х, заряд е и массу т электрона, находящегося под воздействием электрического поля, имеет вид
x`` + kx` +
0kx
= e/m E1exp (- j t)
(2.44)
где 0k/2 — резонансная частота данного взаимодействия, а k — коэффициент затухания, учитывающий
диссипативные эффекты, связанные с этим взаимодействием и являющиеся результатом излучательных потерь
и соударений.
Решение этого уравнения для случая вынужденных затухающих колебаний имеет вид
x=
(eE1/m) exp (- j t )
2
ω0k
ω2 jγ k ω
(2.45)
Теперь видно, что поляризуемость молекулы становится комплексной функцией частоты. Обозначим ее
причем
`
,
35
α = px/Ex = x∙e/Ex =
2
ω0k
e 2 /m
ω2 jγ k ω
(2.46)
Аналогично этому и относительная диэлектрическая проницаемость ( ) будет комплексной функцией частоты. Она может быть найдена подстановкой выражения (2.46), описывающего поляризуемость атома, в (2.42)
Ne 2 /(mε 0 )
ε( ) 1
(2.47)
Ne 2
ω jγ k ω 3mε 0
Если учесть все возможные резонансы и представить силу (напряженность поля) каждого из них коэффициентом gk (который появляется при квантово-механическом подходе к данной проблеме), тогда как функция
частоты будет равна
Ne 2
gk
(2.48),
(f ) 1
2
j kf
2
2
4
mε 0 k f
1k f
2
2
ω 0k
где f12k
1
4
2
2
2
ω0k
Ne 2
3mε 0
Рис. 2.8. Схематическое изображение зависимостей от частоты действительной и мнимой частей показателя
преломления диэлектрического материала, иллюстрирующих атомные и электронные резонансы.
Ясно, что теперь и показатель преломления тоже становится комплексным
n*= n + jn',
(2.49)
и мы получаем
(n*)2= n2 (n')2
2jn'n = *
(2.50)
В интересующих нас материалах затухание должно быть очень малым, поэтому рассмотрим только частоты,
далеко отстоящие от резонансных, где справедливо предположение n' п. В таком случае
n2 Re( *r)
(2.51)
а
(2.52)
2n'n = Im( *r)
36
На рис. 2.8 приведены зависимости действительной и мнимой частей п* от частоты для случая идеального
диэлектрика.
Как видно из рисунка, в оптических участках спектра, достаточно удаленных от резонансов, следует предполагать, что n будет медленно увеличиваться с ростом частоты электрического поля и, следовательно, п будет
медленно уменьшаться с увеличением его длины волны. Таким образом, в интересующих нас областях спектра
производная dn/d будет малой по величине и отрицательной по знаку. Из рис. 2.8 также видно, что имеет место тесная связь между дисперсией (областями, где п изменяется при изменении частоты поля) и поглощением
(областями, где п' становится значительным по величине).
Эта связь носит фундаментальный характер. В любой линейной стационарной физически реализуемой системе, в которой ограниченное по величине входное воздействие порождает также ограниченный по величине
отклик, мнимая часть передаточной функции может быть всегда однозначно определена по известной реальной
части передаточной функции, и наоборот. В физике эти соотношения известны как соотношения Крамерса—
Кронига.
2.2.2. Временная дисперсия в объемной среде
В оптике слово «дисперсия» обычно связывают с величиной dn/d , а в оптических системах связи с явлением уширения световых импульсов после их прохождения через дисперсионную среду. Ниже будет показано,
что за это уширение ответственна не величина dn/d , а величина d2n/d 2, именно эта последняя будет пониматься в данной книге под термином «дисперсия материала».
Любая помеха или сигнал, налагаемые на световую волну, распространяются не с фазовой скоростью волны,
равной
vp= k,
(2.53)
а с групповой скоростью vg, определяемой соотношением
vg =d /dk= 1/( dk/d ).
(2.54)
В недисперсионной среде фазовая скорость не зависит от частоты волны, вследствие чего групповая и, фазовая скорости - становятся одинаковыми:
k=ω/vp,
vg = 1/(dk/d ) = vp
Однако в дисперсионной среде.где по определению фазовая скорость зависит от частоты, vg, и vp будут различными:
vg
1
dk
d
vp
1
dv p
(2.55)
vp d
Это обстоятельство важно, поскольку групповая скорость является скоростью распространения сигнала, с
которой постоянно имеют дело в технике связи. Например, световой импульс проходит через дисперсионную
среду со скоростью vg. Рассмотрение вопросараспространения светового импульса усложняется тем обстоятельством, что из-за дисперсии он обязательно ослабляется и в некоторой степени искажается в процессе распространения. Тем не менее можно ввести понятие группового показателя преломления
N=c/vg
(2.56)
который в дисперсионной среде будет отличаться от обычного или фазового показателя преломления п.
Будет очевидно, что в 2.1.2 был использован самый простой подход для выражения межмодовой временной
дисперсии с помощью формулы (2.42). При использовании лучевой модели, изображенной на рис. 2.2, скорость
распространения световых импульсов равна с/N1. Следовательно, разница времен распространения импульсов
вдоль осевого и наиболее наклонного лучей должна быть равна
l=(N1/n2)( n/c),
(2.57)
где N1 — групповой показатель преломления сердцевины. Однако формула (2.17) остается хорошим приближением для обычных ступенчатых волокон.
37
Как было показано, дисперсионные свойства оптических материалов традиционно характеризуются зависимостью показателя преломления от длины волны в свободном пространстве, т. е. п( ). Поэтому необходимо
выразить величины vg и N через п и . Отметим сначала, что
N = c/vg = c(dk/d ) = c(d( n/c) /d )= d( n)/ d =n + ( dn/d )
(2.58)
Далее
dn/d = (dn/d )( d /d ),
а если учесть, что
(2 с/ 2).
=2 с/ , то d /d =
Подставляя полученные выражения в (2.58), находим:
N
2
2 c dn
d 2 c
n
n
dn
d
(2.59)
Таким образом,
vg = с/N = c / n
dn/d .
(2.60)
Тогда время прохождения t световым импульсом расстояния l будет равно
l
Nl
dn l
(2.61)
t
n
vg
c
d
c
Если свет имеет ширину спектра
относительно , и если среда дисперсионная, то световой импульс расширяется в процессе распространения и поступает на выход на протяжении интервала времени , определяемого соотношением
dt
d
l dN
c d
l
c
dn
d
dn
d
d 2n
d
2
l
c
d 2n
d
2
(2.62)
Обычно ширину спектра
источника излучения определяют как диапазон длин волн, в пределах которого
излучаемая им мощность превышает 50 % максимального значения. Часто удобно использовать относительную
ширину спектра излучения , равную
=
.
(2.63)
Таким образом, после прохождения световым импульсом расстояния l в дисперсионной среде импульс
расширяется, причем его длительность на уровне половинной мощности определяется выражением:
l
c
2
d 2n
d 2
(2.64)
Ее можно написать в таком виде:
/l=( /c) Ym ,
где Ym= 2(d2n/d 2)
(2.65)
(2.66)
представляет собой коэффициент дисперсии материала. Если аппроксимировать ширину полосы частот, занимаемую сигналом в волокне, величиной f 1 /4 , то получим
( f) l =c/4
Ym .
(2.67)
38
При определении и был введен знак модуля, поскольку обычно интересует абсолютная величина разброса длин волн , или длительность импульса , а не то, какая волна прибудет первой — более короткая или более длинная.
На рис. 2.9 представлены зависимости величин Ym и ( c)(d2n/d 2) от длины волны для объемных образцов
из чистого и легированного кварца. Необходимо подчеркнуть, что эти данные не могут быть непосредственно
перенесены на материал аналогичного состава, использованный для вытягивания волокна. Из приведенных
кривых следует, что на длине волны 0,85 мкм (типичное значение для источников излучения из арсенида галлия) легирование кварца германием приводит к увеличению как показателя преломления, так и дисперсии материала, легирование бором уменьшает показатель преломления и дисперсию, а легирование фосфорным ангидридом (Р2О5) увеличивает п, но оказывает малое влияние на дисперсию.
Рис. 2.9. Зависимости дисперсионного параметра Ym (а) и материальной дисперсии ( c)(d2n/d 2) (б) от длины волны. Буквы А—D указывают на состав стекол.
Для чистого кварца на длине волны 0,85 мкм Ym = 0,021. Следовательно, / l = 7,2 10 11с/м, а ( f) l =
(3,5 109)/ м/с. Типичное значение ширины спектра излучения светодиодов из GaAs составляет 30 нм при средней длине волны излучения 850 нм. Таким образом, = 0,035, и скорость, с которой будет происходить расширение светового импульса при распространении в чистом кварце, равна
/ l = ( / с) Ym = (0,035 0,021)/(3-108) = 2,5 10
12
= 2,5 нс/км,
а произведение ширины полосы пропускания на расстояние составит ( f) l = 100 МГц км. Лазерные источники
излучают в пределах очень узкой спектральной полосы порядка 3 нм, следовательно, для них = 0,0035. Для лазерного излучения, распространяющегося в кварце, / l = 0,25 нс/км и ( f) l = 1 ГГц км. Эти значения следует
сравнить со значениями приведенной ранее величины
, характеризующей межмодовую дисперсию, а именно: /l 2 /l = 34 нс/км для волокна со скачком показателя преломления и 2500 нс/км для волокна без оболочки, которые, будучи выраженными через полосу пропускания, становятся соответственно равными 15 и 0,2
МГц км.
Как видно из рис. 2.9, кривая d2n/d 2 для чистого кварца изменяет знак на длине волны = 0 = 1,276 мкм.
Это значение соответствует точке перегиба кривой п ( ). В литературе часто указывают на него, как на «длину
волны нулевой дисперсии материала». С практической точки зрения такое определение вводит в заблуждение,
поскольку реальный световой импульс содержит в себе спектр длин волн, которые распространяются с групповыми скоростями, лежащими в некотором интервале, даже если самая короткая и самая длинная волны распространяются с одинаковыми скоростями. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 2.9, а. Лежит ли кривая
d2n/d 2 выше или ниже нуля, не имеет никакого значения для вопроса о расширении импульса.
Дисперсия материала минимальна для источников, которые излучают на длинах волн, близких к 0. Такие
источники обеспечили бы максимальную пропускную способность волокна, используемого в настоящее время.
Несомненно, важно знать, что этот предел существует и является причиной, по которой мы будем использовать
точные выражения для временной дисперсии в области минимума дисперсии материала.
Спектральная кривая источника, излучающего в диапазоне длин волн
относительно центральной длины
волны m, содержит 0 т. е.
λ0 –Δλ/2 <λm< λ0 +Δλ/2
(2.68)
39
и можно определить уширение импульса путем разложения времени распространения импульса t в ряд Тейлора
в окрестности 0.
Имеют место два случая:
1. ( 0 — 0,5 ) m 0, тогда
c
l
0
d 2n
2
d 2
0
m
(2.69)
2
0
2.
c
l
0
m
0
2
(
0
— 0,5
), тогда
d 2n
d
m
2
(2.70)
0
2
0
Неучтенные члены разложения более высокого порядка становятся значительными, если ширина спектра
источника излучения
приближается к 100 нм.
При m= 0 дисперсия в объеме материала становится минимальной и равной
0
l
2
2
d 3n
d
3
2
0
3
8c
0
2
d 3n
d
(2.71)
3
0
Для чистого кварца на длине волны = 0 = m= 1,276 мкм. Следовательно, / l = 2 10 11 2 с/м.
Рассмотрим имеющиеся светодиоды, излучение которых центрировано относительно 0. Они имеют =
0,04. Это подразумевает разброс длин волн порядка 51 нм относительно 1,276 мкм, а также / l = 3,2 10 14 = 32
нс/км и ( f) l = 8 ГГц км. При использовании лазерного источника излучения значения приведенных величин
были бы на два порядка лучше. В любом случае дисперсионный параметр становится очень малым, и это вынуждает разрабатывать источники излучения и фотоприемники для работы в данной области спектра.
По поводу рис. 2.9 можно также сделать два следующих замечания. Первое — величина Ym остается весьма
малой на длинах волн в окрестности 0.Например, для чистого кварца на длине волны = 1,55 мкм, лежащей в
области минимума потерь, Ym = 0,01, обеспечивая / l = 3,4 10 11 . В таком случае при использовании источника излучения с = 0,04 получаем / l = 1,3 нс/км и ( f) l = 200 МГц км, тогда как = 0,004 будем иметь / l =
0,13 нс/км и ( f) l = 2 ГГц. Второе замечание состоит в том, что величину 0 можно изменять, вводя различные
примеси. Как видно из рис. 2.13, введение бора может сделать ее менее 1,22 мкм, а легирование германием позволяет поднять ее до 1,37 мкм.
2.3. СОВМЕСТНОЕ ВЛИЯНИЕ ДИСПЕРСИИ
МАТЕРИАЛА И МЕЖМОДОВОЙ ДИСПЕРСИИ
До сих пор рассматривалось два независимых эффекта, которые обусловливают временную дисперсию в оптических волокнах: межмодовая дисперсия и дисперсия материала. Следует ожидать, что при нормальных условиях оба
эффекта присутствуют одновременно, и возникает вопрос, каким образом следует их объединять при определении
общей дисперсии оптического волокна. Если рассматривать только разницу времен прохождения волокна самой быстрой и самой медленной волнами, то следовало бы просто сложить эти два эффекта надлежащим образом. Первая
из них должна была бы иметь наибольшую групповую скорость и распространяться по кратчайшему оптическому
пути, а вторая, наоборот, с наименьшей групповой скоростью проходит самый длинный оптический путь. Однако
для практических целей такой подход слишком прост и дает завышенные значения дисперсии.
При оценке полосы пропускания оптической системы связи или, что то же самое, максимальной скорости передачи данных необходимо учитывать форму принимаемых импульсов. Форма принятого им пульса, уширенного из-за
влияния дисперсии материала волокна, будет характеризовать распределение мощности по длинам волн, образующих этот импульс. Большинство оптических источников излучения обычно имеют приблизительно гауссово распределение мощности по длинам волн. В таком случае следует ожидать, что форма принятого импульса будет также гауссовой относительно среднего времени прихода импульса t0, как это показано на рис. 2.10, а. Хотя еще нет теоретической основы для предсказания распределения мощности по различным траекториям лучей, распространяющихся в
волокне, однако интуитивно разумно предположить, что наибольшая часть мощности будет переноситься теми лучами, которые проходят по среднему оптическому пути, а не по кратчайшему или самому длинному. А если это так,
то и межмодовая дисперсия также будет вызывать уширение импульса приблизительно по гауссовому закону.
Предположим теперь, что уширение импульса происходит под влиянием как межмодовой, так и материальной
дисперсии, что оба механизма независимы друг от друга и что каждый из них приводит к появлению гауссова им40
пульса длительностью 1, и 2, соответственно измеренной на уровне 0,5. Тогда в результате их совместного влияния
образуется импульс, который будет оставаться приближенно гауссовым по форме, а его длительность на уровне 0,5
будет определяться выражением
=(
2
1
+
2 1/2
)
2
(2.72)
Если передаваемый импульс не бесконечно короткий, а также приблизительно гауссовый с длительностью
на уровне 0,5, равной 0, приведенные рассуждения можно распространить и на него, как это и показано на рис.
2.15, б, и считать, что длительность принятого импульса на уровне 0,5 будет равна
=(
1
0
+
2
1
+
2 1/2
2
)
(2.73)
где 0 — первоначальная длительность импульса; 1— уширение импульса, обусловленное влиянием только
одной межмодовой дисперсии (для любого волокна его величина должна быть значительно меньше общей длительности импульса
, приведенной в § 2.1, приблизительно в 2 раза); 2— уширение импульса за счет влияния одной материальной дисперсии, определяемое формулами (2.55) и (2.61).
В § 2.1 было показано, что ступенчатое волокно увеличивает общую длительность импульса в соответствии
с
/l = 34 нс/км, что обусловлено межмодовой временной дисперсией. Это может быть эквивалентно приблизительно 15 нс/км на уровне половинной мощности. В градиентных волокнах эта цифра может быть уменьшена
до 0,5 нс/км. В § 2.2.3 были приведены значения материальной дисперсии в волокнах из кварца, которую можно ожидать при использовании светодиодов и полупроводниковых лазеров, работающих на различных длинах
волн.
В табл. 2.1 показано, как можно объединить полученные результаты. Воспользовавшись выражением (2.3.2),
можно написать
= ((
2 2
0
/l ) + ( 1/l)2 + ( 2/l)2)1/2l
(2.74)
Здесь, как и ранее, 0 обозначает ширину передаваемого импульса на уровне половинной мощности, а величины ( 1/l) и ( 2/l) учитывают влияние межмодовой и материальной дисперсий соответственно.В табл. 2.1 приняты следующие значения величин: 0 = 0, = 0,9 мкм,
= 30 нм для светодиода и
= 3 нм для лазера. На
более длинных волнах использованы = 0,04 и = 0,004.
41
Рис. 2.10. Совместное влияние дисперсионных эффектов:
а — гауссов импульс Ф(t) = Ф0exp - (t-t0)2 / 2 2 , имеющий ширину
на полувысоте = 2,365 ;
б — реальные импульсы, принимающие нулевые значения за конечное время. Эффекты, на практике вызывающие уширение импульса,
рассматривают независимо, при этом результирующая ширина импульса равна ( 0 + 1 + 2)1/2
Как видно из таблицы, межмодовая дисперсия преобладает во всех случаях при использовании ступенчатого
волокна. В случае градиентного волокна типичное значение межмодовой дисперсии составляет 0,5 нс/км, и при
лазерном источнике будет преобладать материальная дисперсия. Если же применяются светодиоды, то преобладает также материальная дисперсия за исключением длин волн в окрестности 1,3 мкм.
42
Таблица 2.1. Совместное влияние межмодовой и материальной дисперсий в ступенчатых и градиентных
кварцевых оптических волокнах на различных длинах волн
Длина Источник Материальная
волны, излучения дисперсия
мкм
( 2/l),нс/км
0,9
1,3
1,5
Общая дисперсия
ступенчатого волокна ( /l),нс/км
[межмодовая дисперсия 1/l=1,5
нс/км
Общая дисперсия
градиентного волокна ( /l),нс/км
межмодовая дисперсия 1/l=0,5
нс/км]
СД
2,1
15
2,2
Лазер
0,2
15
0,5
СД
Лазер
СД
Лазер
0,1
0,01
1,2
0,1
15
15
15
15
0,5
0,5
1,3
0,5
Таким образом, становится очевидным, что для достижения всех выгод, обеспечиваемых малой материальной дисперсией в окрестности 1,3 мкм, будет необходимо уменьшить межмодовую дисперсию до значений,
меньших 0,5 нс/км. Это может быть достигнуто двумя путями. Первый состоит в уменьшении диаметра сердцевины до тех пор, пока не будет достигнут одномодовый режим работы. В данном случае необходимо использовать лазерные источники излучения и при этом полностью исключается межмодовая дисперсия. Можно подумать, что теперь возможна только одна траектория луча, однако в таких условиях лучевая модель становится
совершенно неприемлемой. При этом общая дисперсия действительно может стать очень малой и, возможно, ее
значение составит только 10 пс/км. Одномодовыесветоводы рассматриваются в гл.5. Второй путь состоит в
очень тщательном профилировании показателя преломления в градиентных волокнах. Достижимые при этом
теоретические значения общей дисперсии обсуждаются в гл. 6. На практике лучшие градиентные волокна имеют межмодовую дисперсию 0,2 ... 0,3 нс/км, обеспечивая полосу пропускания порядка 1 ГГц км.
43
Глава 3.
ПОТЕРИ В ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКНАХ
3.1. МЕХАНИЗМ ПОТЕРЬ. Общие сведения
Материал, пригодный для изготовления оптического волокна, должен иметь высокую прозрачность для
электромагнитного излучения в области 1 мкм. Поэтому ниже будут рассмотрены некоторые физические эффекты, которые вызывают потери света в диапазоне длин волн 0,5 ... 2,0 мкм.
В своем первоначальном предложении в 1966 г. Као и Хокэм полагали, что для практического использования оптических волокон в линиях связи на большие расстояния необходимо, чтобы общие потери в волокне
были порядка 20 дБ/км. К 1980 г. достигнуты рекордно низкие потери порядка 0,2 дБ/км, полученные в лабораторных условиях на волокне без сростков. Это достижение стало возможным благодаря пониманию основных
причин, вызывающих потери света в волокне, и их устранению, а также высококачественному контролю исходных материалов, используемых для изготовления оптических волокон.
В основном, потери света в волокне обусловлены двумя причинами:
1. поглощением, которое определяется свойствами материала и рабочей длиной волны. Оно имеет место при
возбуждении в материале электронных переходов и резонансов с последующими неизлучательными релаксационными процессами, которые были описаны в ранее. В результате того увеличивается тепловая энергия, накапливаемая в материале;
2. рассеянием, которое частично может обусловливаться свойствами материала, но в основном определяется
нарушениями геометрической формы оптического волокна. Оно происходит тогда, когда мода распространения
света изменяется таким образом, что часть оптической энергии покидает волокно. При этом не наблюдается
никаких преобразований энергии излучения в другие виды энергии.
В настоящее время почти все оптические волокна изготавливают из высококачественных кварцевых стекол,
легированных различными окислами, например бора, титана, германия или пятиокисью фосфора. На этих материалах и будет сосредоточено внимание при рассмотрении основных причин поглощения и рассеяния света в
волокне. Необходимо, однако, отметить, что было предложено много других материалов для изготовления оптических волокон и целый ряд из них прошел экспериментальную проверку. Например, до того, как было установлено, что оптические волокна можно делать из многокомпонентных стекол, успешно изготавливались волокна, имеющие жидкую сердцевину, окруженную стеклянной оболочкой (в качестве жидкости использовался
тетрахлорэтилен, разумеется, не содержащий пузырьков воздуха). Ряд исследователей экспериментировал с волокнами из натриевых и кальциевых силикатных стекол, имеющих очень низкие точки плавления (около 1100°
С) и очень легко обрабатываемых. Другие использовали свинцовые силикатные стекла, которые обеспечивали
получение больших значений разности показателей преломления. Некоторые теоретические предположения заставляли использовать стекла на основе сульфидов, селенидов и оксидов и даже монокристаллических материалов для оптических волокон, работающих на более длинных волнах. Однако маловероятно, что когда-либо
монокристаллы будут обладать механическими свойствами, необходимыми для практических оптических волокон, а все другие материалы далеки от практического использования в световодах. Группа прозрачных материалов, которая представляет интерес — это полимеры.
Потери в волокне зависят не только от качества материала сердцевины. Значительную роль играет также и
материал оболочки. При полном внутреннем отражении электромагнитные волны проникают через раздел
сердцевина — оболочка и распространяются в оболочке. Таким образом, небольшая доля всей оптической
мощности распространяется в оболочке. И если оболочка имеет плохое качество или большое поглощение, то
она будет вносить заметный вклад в общие потери в волокне. Поэтому при изготовлении оптических волокон с
минимальными потерями для оболочки используют такие же высококачественные и тщательно очищенные материалы, как и для сердцевины. При этом необходимо обеспечить, чтобы рассеянный оболочкой свет не распространялся в волокне и не доходил до фотодетектора, поскольку это может увеличить разницу в скоростях
распространения различных мод и тем самым увеличить дисперсию волокна. Избежать этого можно двумя способами: сделать наружные слои оболочки поглощающими, чтобы рассеянные лучи ими ослаблялись, а распространяющийся в сердцевине свет не испытывал никакого влияния со стороны оболочки; окружить саму оболочку защитным слоем полимера с более высоким показателем преломления, в котором рассеянные лучи света
будут поглощаться в процессе распространения.
44
3.2. Поглощение
Как было уже показано ранее, ответственные за дисперсионные свойства диэлектрического материала электронные и атомные резонансы вызывают также поглощение в окрестности резонансных частот. Для интересующих материалов это резонансы в ультрафиолетовой области спектра, связанные с электронными структурами атомов кристаллической решетки, и резонансы в инфракрасной области, обусловленные колебаниями самих атомов в решетке. Хотя эти резонансы и лежат весьма далеко от тех оптических частот, которые используются, однако они вызывают столь сильное поглощение, что хвосты их полос поглощения захватывают
эту область при очень малом уровне потерь. На рис. 3.1 приведена оценка потерь, создаваемых краями полос
поглощения в кварцевом волокне, легированном германием.
Окно между краями ультрафиолетовой и инфракрасной полос поглощения должно составлять 1,5 мкм, однако оно уменьшается до 0,3 мкм, поскольку над ультрафиолетовым поглощением начинает преобладать другой фундаментальный механизм потерь, а именно —рэлеевское рассеяние, которое будет рассмотрено в следующем параграфе.
Рис. 3.1. Фундаментальные
потери в стеклах с высоким
содержанием кварца
Влияние края инфракрасной полосы поглощения становится значительным на длинах волн свыше 1,5 мкм.
Создаваемые им потери обусловлены наличием характерных периодов колебаний в межатомных связях окислов, соответствующих следующим фундаментальным частотам: Si = О 9,0 мкм, Ge О 11,0 мкм, Р О 8,0 мкм.
В О 7,3 мкм. С этой точки зрения германий должен быть самой благоприятной примесью из-за более длинной
длины волны, соответствующей периоду колебаний связи Ge О. Это подтверждается результатами измерений,
пред-ставленными на рис. 3.2. Приведенные на нем кривые показывают, что край инфракрасной полосы поглощения действительно сдвигается в сторону более коротких волн при использовании в качестве легирующих
примесей P2O5 и В2О3. Хотя этот сдвиг оказывает малое влияние на уровень потерь на длине волны 0,85 мкм,
однако, он исключает использование этих примесей при разработке оптических волокон, предназначенных для
работы на более длинных волнах. Здесь можно также отметить, что коэффициент поглощения на резонансной
длине волны для Si О равен 10 дБ/мкм!
Рис. 3.2. Влияние легирующих примесей на край
инфракрасной
полосы
поглощения и потери,
обусловленные рэлеевским рассеянием. (Пики
поглощения в области
1,4 и 1,25 мкм обусловлены остаточными парами воды.)
Край полосы поглощения играет важную роль в материалах, используемых для изготовления оптических
волокон. Однако эти материалы могут также содержать атомы и молекулы примесей, которые способны вызвать поглощение на интересующих нас длинах волн. На практике установлено, что самыми вредными примесями являются пары воды и переходные металлы первой группы (ванадий, хром, магний, железо, кобальт и никель). В стекле металлы присутствуют в виде ионов, которые благодаря своей электронной структуре вызывают
широкополосное поглощение на длинах волн, значения которых могут зависеть от степени окисления иона.
Чтобы на длинах волн в области 1 мкм увеличение поглощения, обусловленное наличием указанных выше
примесей, не превышало 1 дБ/км, концентрация примесей по самым скромным оценкам должна быть ниже 10 9.
45
Поглощение, вызываемое наличием паров воды, обусловлено основным периодом колебаний межатомной
связи О Н. Фундаментальная частота колебаний f0 соответствует 2,73 мкм, однако она вызывает появление
гармоник и комбинационных частот с изгибным резонансом связи Si О на длине волны 12,5 мкм (частота fs). В
табл. 3.1 приведены некоторые из этих полос поглощения. Большинство из них можно видеть на кривых поглощения, приведенных на рис. 3.22, 3.3 и 3.5. Имеет место значительная негармоничность, которая означает,
что гармоники не точно кратны фундаментальной частоте. Пики поглощения могут быть довольно широкими и
слегка асимметричными относительно длины волны, дающей относительно большие величины поглощения на
более коротких волнах.
Рис. 3.3. Характеристики
волокна с предельно низкими потерями. [Данные
взяты из статьи Т. Miyaetal.Ets. Lett.15, 106— 108
(Feb. 1979).]
Кривые характеризуют
экспериментально измеренные потери в одномодовом
кварцевом волокне длиной
2,2 км, легированном германием и имеющим = 0.0019.
Они
определяют
также
вклад различных источников
потерь
Имеются также экспериментальные данные, которые указывают на то, что в боросиликатных стеклах эти
пики поглощения шире, чем в других. Если присутствует примесь P2O5, то полосы поглощения усложняются за
счет появления резонанса Р ОН на длине волны 3,05 мкм, являющейся первой гармоникой между 1,5 и 1,6 мкм.
Концентрацию водяных паров от 1 10 6 до 1 10 7 можно считать достаточно малой и, следовательно, пренебречь ее влиянием для оптических волокон, предназначенных для диапазона длин волн 0,8 ... 0,9 мкм. Однако
для волокон, разрабатываемых для окон в окрестности 1,2; 1,3 или 1,6 мкм, необходимо уменьшить концентрацию этой примеси до 1 10 8 и менее. Достичь этого чрезвычайно трудно. На рис. 3.3. воспроизведена экспериментальная кривая полного поглощения для одного из самых малопоглощающих волокон, производимых до
1980 г. На нем также показан вклад в потери, вносимый различными процессами поглощения и рассеяния.
Только когда примесное поглощение уменьшено до приведенных здесь уровней, только тогда другие источники потерь могут быть идентифицированы с достаточной степенью достоверности.
Таблица 3.1. Полосы поглощения гидроксила ОН
Резонансная длина вол- 1,39 1,24
1,13
0,95
ны, мкм
0,88
0,72
Частоты
2f0
Поглощение,
обуслов- 65,0
ленное
присутствием
ОН- с концентрацией 106
, Дб/км
2f0+fs
2 f0+2fs
З f0
3 f0+fs
4 f0
2,30
0,10
1,00
0,10
0,05
3.3. Рассеяние
46
По своей природе стекло является неупорядоченной структурой, в которой имеются микроскопические отклонения от средней плотности материала, а также локальные микроскопические изменения в составе. Каждое
из указанных изменений приводит к флуктуациям показателя преломления, величина которых мала по сравнению с длиной волны оптического диапазона. Сказанное справедливо для любого стеклообразного материала,
однако и при качественном изготовлении в нем наблюдается рассеяние света, известное как рэлеевское, приводящее к потерям света в волокне. В самом деле, если видимый лазерный свет ввести в свернутое в спираль
длинное волокно, без защитной оболочки, то из-за рассеяния света эта спираль будет хорошо видна в темной
комнате, причем интенсивность свечения будет уменьшаться с увеличением длины волокна.
Потери, обусловленные рэлеевским рассеянием, могут быть минимизированы путем возможно более тщательного контроля процесса охлаждения расплава, из которого затем будет вытягиваться волокно. Вероятно,
эти потери будут больше в многокомпонентных стеклах из-за изменений в их составе. Характерная особенность данного явления состоит в том, что рассеиваемая мощность, а, следовательно, и потери обратно пропорциональны длине волны в четвертой степени. Из рис. 3.1 видно, что именно рэлеевское рассеяние, а не край полосы ультрафиолетового поглощения является основной причиной потерь в кварцевых оптических волокнах на
длинах волн короче 1,5 мкм. Типичное значение потерь, обусловленных этим механизмом потерь, составляет 1
дБ/км на длине волны 1 мкм для стекол с высоким содержанием кварца, причем легирование германием и бором несколько увеличивает это значение, а легирование пятиокисью фосфора — немного уменьшает. Этот эффект хорошо виден на рис. 3.2. Для натриевых боросиликатных стекол типичное значение этих потерь лежит в
области 2 дБ/км для длины волны 1 мкм.
До настоящего момента предполагалось, что волокно имеет правильную геометрическую форму и вытянуто
в прямую линию. Разумеется, на практике это не имеет места и встречающиеся изгибы и дефекты волокна приводят к тому, что распространяющиеся в сердцевине лучи рассеиваются и выходят за пределы раздела сердцевина — оболочка. Основные нарушения геометрии этой поверхности (выступы, построение включения) и
большие дефекты в сердцевине волокна (пузыри, примеси) приводят к значительным локальным потерям. Такие дефекты легко обнаруживаются в виде локально ярких областей на экспериментальной установке, которая
демонстрирует рэлеевское рассеяние. Это дает возможность просто идентифицировать дефектные участки волокна, чтобы удалить их.
Аналогичным образом резкие изгибы волокна приводят к тому, что часть света не будет отражаться от оболочки, а будет в ней распространяться и таким образом теряться. Теоретически рассеиваемая при этом мощность экспоненциально зависит от радиуса изгибаR. Таким образом, потери на изгиб будут пропорциональны exp(—R/Rc), где критический радиус изгиба Rc a/(NA)2 = а/2 п п, а а — радиус сердцевины. Потери, обусловленные наличием изгибов радиуса Rc, были бы весьма значительными, из-за экспоненциального вида
функции эти потери быстро уменьшаются при увеличении радиуса изгиба.
На практике, однако, минимально допустимый радиус изгиба определяется, исходя из механических свойств
волокна, а не потерь на изгиб. Если волокно изогнуто столь сильно, что поверхностные напряжения превысят
0,2 %, то весьма вероятно, что в процессе эксплуатации в нем возникнут значительные трещины. Чтобы предотвратить это, оптическое волокно помещают в достаточно жесткий кабель. Рассмотрим волокно с радиусом
сердцевины а= 30 мкм, диаметром оболочки 2b= 125 мкм, которое имеет следующие параметры: п = 1,5; n =
0,01 и NA = 0,17. Пусть это волокно намотано на барабан радиусом (R —b) так, что нейтральная ось волокна
изогнута по окружности радиусаR, как это и показано на рис. 3.4. Тогда напряжение сжатия внутренней поверхности волокна и напряжение растяжения его наружной поверхности будут определяться величиной b/R.
Чтобы эти напряжения не превысили 0,2%, радиусR должен быть больше b/0,002 = 500b. В данном примере это
требование выполняется приR> 31 мм. С другой стороны, критический радиус изгиба для рассматриваемого волокна будет равен Rc= а/(2п п)= а/0,03 = 2 мм. Отсюда очевидно, что приемлемый с механической точки зрения радиус изгиба вызывает пренебрежимо малые потери на изгиб.
Рис. 3.4. Поверхностные напряжения,
возникающие из-за изгиба волокна. Напряжение на наружной поверхности (растяжение)равно напряжению на внутренней
поверхности (сжатие).
( R + b)
R
R = b/R
47
Хотя потери, создаваемые большими радиусами изгиба, оказываются незначительными, однако наличие непрерывной последовательности и очень малых изгибов может вызвать весьма значительное увеличение потерь
в волокне. Этот эффект, известный как потери на микроизгибы, проявляется особенно заметно при наматывании с натяжением на барабан волокна без оболочки. Микроизгибы возникают из-за деформаций, возникающих
в волокне при наматывании на барабан с дефектами поверхности. Аналогичный эффект легко наблюдается в
результате давления, оказываемого на волокно соседними волокнами внутри кабеля. Легко возникающие в
процессе изготовления волокна малые по величине непрерывные и плавные изменения диаметра сердцевины
также могут приводить к аналогичному механизму рассеяния, вызывая так называемые волноводные потери.
Рис. 3.5. Оценка остаточных потерь рассеяния (Эти потери практически не зависят от
длины волны
и составляют 0,4 дБ/км.)
Потери на изгибы и микроизгибы, а также волноводные потери были предметом серьезного теоретического
анализа. Этот анализ слишком сложен и громоздок для того, чтобы привести его здесь, однако он будет рассмотрен в гл. 5. Достаточно сказать, что при хорошем контроле процессов изготовления волокна и хорошей
конструкции кабеля, обеспечивающей защиту волокна, смягчая внешние механические воздействия и предотвращая резкие изгибы, эти потери можно сделать менее 1 дБ/км. Они, в основном, не зависят от длины волны и
для волокон с очень малыми потерями могут быть оценены по зависимости затухания в волокне от -4 (рис.
3.5).
Отметим, что, если сжатие короткого отрезка волокна на нерегулярной поверхности достаточно для
получения существенного увеличения света, локально рассеиваемого вне волокна, то его можно собрать и
продетектировать, реализовав таким образом простой способ подключения для подслушивания.
48
4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА
В МНОГОМОДОВЫХ ОПТИЧЕСКИХ
ВОЛОКНАХ.
Многомодовые оптические волокна, диаметр которых составляет несколько десятков микрометров, а разница показателей преломления — порядка 10-2, отвечают условиям, необходимым для использования геометрической оптики (гл. 2). Поэтому при изучении явления распространения света оказывается возможным локально
заменить волновую поверхность ее касательной плоскостью и рассматривать траектории, ортогональные волновым поверхностям, т. е. световые лучи.
Мы будем исследовать уравнение лучей
d dr
(n )
dl dl
grad n(r )
в определенной среде, которой является оптическое волокно, и будем также привлекать уравнение
n
dr
dl
gradS
,
которое означает, что вектор, касательный по отношению к световому лучу, коллинеарен градиенту эйконала
S(г). Напомним, что равенство S (г) = const есть уравнение поверхности определенной волны.
В дальнейшем мы будем пренебрегать потерями, обусловленными поглощением в материале, которые,
строго говоря, следовало бы учитывать (гл. 3); пока нас занимают только явления, связанные с механизмом
распространения света в волокне.
Мы покажем, что поведение луча зависит от двух параметров β и v, роль которых будет пояснена анализом
мод. Во многих случаях геометрическая интерпретация, связанная с параметрами β и v, упрощает исследование
траекторий лучей и граничных условий.
49
4.1. Обозначения
Мы будем рассматривать цилиндрические волокна с круговой симметрией относительно оси Оz. Показатель
преломления зависит только от расстояния до оси. Он максимален на оси [n(0)=n1], а в оболочке, т. е. при
r
a (где «а» — радиус сердцевины волокна), принимает постоянное значение n2. Если особо не оговаривает-
ся, то будем считать, что n2 = n(а). Исходя из геометрии волокна, мы выбираем цилиндрическую систему координат r, ψ, z. Радиус-вектор r есть сумма осевой составляющей zuz, где uz — единичный вектор по оси Оz, и поперечной составляющей ρ, которую мы можем записать в виде rur, обозначив через u, единичный вектор радиального направления. Единичным вектором uΨ полярного угла ψ завершается ортонормальный трехгранник ur,
uΨ, uz:
ρ zu z
r
ru r zu z
(4.1)
Поскольку показатель преломления п(r) зависит только от радиального расстояния r, вектор grad(n) имеет
ненулевую составляющую только на uг. В проекции на трехгранник ur, uΨ, uz получаем три скалярных дифференциальных уравнения, два из которых решаются весьма просто;
на uz n( r )
dz
dl
на uΨ n( r )r 2
(4.2)
k0
d
dl
v
k0
(4.3)
где через k0 обозначена величина 2π/λ0 . Мы выбрали постоянные интегрирования в виде ß/k0 и v/k0 , поскольку
так проще получить произведение k0n(r), которое представляет собой модуль волнового вектора, возникающего
в текущей точке М. Константы β и v определяются начальными условиями падения рассматриваемого луча.
Если обозначить через θ угол, образуемый вектором, касательным лучу, с осью Оz , то уравнение (4.2) примет вид:
n(r ) cos
n(r0 ) cos
0
const
(4.4)
При заданном угле Θ0 вне волокна угол θ0 может также зависеть от r0 , т. е. от расстояния от оси до точки
падения на входную плоскость. Равенство (4.4) попросту выражает первый закон преломления, а равенство
(4.3)—второй закон: преломленный луч остается в той же плоскости, что и падающий. На основании решения
(4.2) можно параметризовать луч в переменной z, и тогда в проекции на плоскость прямого сечения получим:
d2
dz
k02
2
2
2
grad n2 ( r )
(4.5)
Полученное уравнение (4.5) в механике описывает движение частицы в поле центральных сил. Равенство
(4.3) после перехода к переменной z принимает вид
r2
d
dz
v
Мы узнаем здесь закон площадей. Такая аналогия позволяет давать механическое толкование получаемых результатов.
50
Рис. 4.1. Обозначения, используемые в тексте.
Волновой вектор k, модуль которого равен k0n(r), коллинеарен вектору Т = dr/dl, т. е. единичному вектору,
касательному к лучу. Используя (4.2) и (4.3), его можно записать следующим образом (рис. 4.1):
k = k0n(r)T = f (r)ur+ (v/r) uΨ + βuz
(4.6)
причем мы ввели обозначение
f2(r)=k0n(r) – β2 – (v2/ r2)
(4.7)
В дальнейшем мы всюду опускаем индекс «0», которым отмечаются значения величин k и λ в вакууме.
Распространение луча характеризуется главным образом функцией f(r). Это означает, что, зная n (r), с одной
стороны, и β иv— с другой, можно вычислить k в любой точке волокна и, в частности, на его границах. Из (4.7)
следует также, что величина f2(r) может быть равной нулю и отрицательной. Второе означает, что соответствующий луч становится комплексным, т. е. мы имеем затухающую волну.
Используя по-прежнему (2.20), находим проекцию вектора k на направление ur: величина f(r) пропорциональна производной dr/dl. С учетом формулы (8.2) окончательно получаем
f (r )
dr
dz
(4.8)
Для удобства выразим параметры β и v через геометрические величины, которые позволят нам следить за
распространением луча и описывать явления, связанные с распространением света. Обозначив через φ угол между проекцией вектора k на плоскость прямого сечения и ur (рис. 4.1), получаем
β = kn(r)cos θ,
v = kn(r) sin θ r sin φ ,
f(r) = kn(r) sin θ cosφ .
(4.9)
Заметим , что замена θ → —θке меняет величины β, а замена v→ — v приводит к точке, симметричной относительно плоскости ur, uz. Мы ограничимся случаями θ≥0 , v≥0 , учитывая, что имеются четыре луча, которые
ведут себя одинаково, если не считать изменения направления и различий в пределах симметрии.
51
4.2. Начальные условия
Ими определяются значения различных переменных на входном торце волокна. Предположим, что показатель преломления среды, в которой распространяется падающая волна, равен единице. Плоскую падающую
волну будем характеризовать вектором ее нормали N, указывающим направление лучей. Рассмотрим луч, падающий в точку I, расположенную на расстоянии r0 от оси (рис. 4.2). Обозначим через Θ в угол между векторами , внешний по отношению к волокну. Плоскость падения в точке I проходит через векторы, эквивалентные
векторам uz и N. Угол преломления луча в точке I следующим образом выражается через локальный показатель
преломления n(rQ)
sin
n(r0 ) sin
0
(4.10)
Тогда константы β и v, соответствующие лучу, падающему в точке I, принимают вид
k n 2 (r0 ) sin 2
(4.11)
v = k sin θ r0 sin φ0
(4.12)
Выражения (4.11) и (4.12) позволяют сделать следующие выводы (рис. 4.2).
1. В волокне со скачкообразным изменением показателя преломления n(r0) = n1плоскоя волна создает во
всех точках входного торца лучи с одной и той же постоянной распространения β, определяемой формулой
(4.11). Семейство прямых, касательных к одной и той же окружности радиусом r1 дает совокупность точек с
одним и тем же параметром v, определяемым формулой
v = kr1sinΘ
(4.13)
где r1 = r0 sin φ0 . При заданном угле θв можно из любой точки, удовлетворяющей условию r1>r0, провести
две такие прямые, которые представляют собой следы плоскостей падения на входном торце. Следовательно,
одной точке па входе волокна соответствуют четыре луча с заданными параметрами р и v.
Рис. 4.2. Начальные условия.
Все точки прямой
Dудовлетворяют уравнению rsinφ =const. Следовательно, при заданном значении внешнего угла θ
всем точкам этой прямой
соответствует один и тог
же параметр v, a точки,
соответствующие одной и
той же постоянной распространения β, лежат на
окружности г - г0.
2. В волокне с градиентом показателя преломления точки, в которых одинаковый показатель преломления,
лежат в одной окружности. Следовательно, плоская волна создает в волокне такого типа лучи с разными
постоянными распространения β, соответствующими окружностям r = r0, и интерпретаций
параметра v остается неизменной.
Мы еще вернемся к начальным условиям, когда речь пойдет об условиях на границах волокна, которым луч
должен удовлетворять при распространении в волокне. Из всех вводимых в волокно лучей только небольшое
их число будет удовлетворять условию распространения, поскольку большая часть лучей будет преломляться
при первом падении на границе r = а.
4.3. Условия на границе двух сред.
Согласно тому что, волна, введенная в сердцевину волокна, будет удерживаться в ней за счет полного внутреннего отражения при некоторых условиях падения и определенной разности показателя преломления :
52
а) существует «предельный» угол паденияθС на границе поверхностей сердцевина — оболочка;
б) имеется
поток
лучистой
энергии
вдоль
оси
Oz
и
поток
реактивной энергии в радиальном направлении, причем амплитуда поля убывает по экспоненте.
Когда показатель преломления меняется непрерывно, полное внутреннее отражение приводит к явлению
«миража»: световой луч искривляется в направлении увеличения показателя преломления с плавным изменением угла распространения. Однако волновые процессы, связанные с полным внутренним отражением, не меняются: появляется затухающая волна. Если она проходит сквозь диоптр, за которым снова становится активной,
то некоторая часть энергии, первоначально распространяющейся в сердцевине, может передаваться в эту новую
среду. Это будет наблюдаться в случае лучей утечки. Мы можем проследить за движением луча, рассматривая
его радиальную компоненту f(r), поскольку β и v — действительные величины:
1) если радиальная составляющая f(r) — величина действительная (f2(r)≥0), то луч тоже действителен;
2) если же величина f2(r) отрицательна, то радиальная составляющая становится мнимой величиной и соответствующий луч будет комплексным (затухающая волна).
Значения r, при которых f2(r) обращается в нуль, представляют собой критические точки, в которых наблюдается явление полного внутреннего отражения. Если величина f2(r) остается положительной между двумя значениями r1 и r2 , то это значит, что луч колеблется между двумя цилиндрами, удовлетворяющими уравнениям к
= r1 и к = r2 . Здесь можно видеть аналогию с собственными колебаниями в объемном резонаторе и явлением
стоячей волны: мы снова сталкиваемся с принципом квантования, который приводит к появлению мод.
Таким образом, нам нужно подробнее исследовать соотношение (8.7), которое описывает зависимость f2(r)
от r и позволяет найти области, где луч, соответствующий константам β и v, заданным начальными условиями,
оказывается действительным.
Если единственной областью, где луч действителен, является сердцевина, то луч считается распространяющимся в волокне. Если же луч оказывается действительным в некоторой части оболочки, то он распространяется с потерями (с утечкой). И наконец, в том случае, когда луч действителен во всем объеме оболочки, мы имеем
дело с преломлением лучей (а не распространением). Одно простое замечание поможет понять данное явление.
Величина f2(r) равна разности двух функций, каждая из которых зависит только от одного параметра: fβ(r) = k2n2
- β2 и fv(r) = v2/r2. Когда постоянная β меняет значение, кривые fβ(r) смещаются по вертикали (рис. 4.2), а в оболочке функция fβ(r) сохраняет постоянное значение, равное fβ(а) = k2n22-β2 .
Функция fv(r) — монотонно убывающая и положительная (рис. 4.3). Относительное положение обеих функций при r = а дает следующие характеристики явления в оболочке:
1) если fβ(a)≤0, то fβ(r)<fv(r) , какой бы не была величина r≥а, это случай распространения лучей, нет лучей
потерь (утечки);
Рис. 4.3. Характер изменения функций fβ(r) и fv(r) для волокна со скачкообразным изменением показателя
преломления (слева) и градиентного волокна (справа). В заштрихованной области разность f β - fv положительна, и луч, который в ней распространяется, действительный.
2) если fβ(a)>0, то следует различать два случая:
а) если fv(a) < fβ(a), то такая ситуация сохраняется при r ≥ a , т.е. луч преломляется;
б) если fv(a) > fβ(a), то существует такое значение r = r3 , что fβ>fv, при r ≥ r3
Таким образом, характерным параметром является постоянная распространения β. Согласно формуле (8.9),
величина β меньше произведения kn1 (постоянной распространения плоской волны в среде с показателем преломления n1). Для обеспечения режима распространения должно выполняться также условие fβ(a) ≤ 0, так что
постоянная распространения β должна лежать в пределах
βс= kn2 ≤ β ≤ kn1
(4.14)
Зона, в которой луч действителен, ограничивается цилиндрическими поверхностями r = r1 и r = r2 (заштри53
хована на рис. 4.4). Если β меньше величины kn2 , называемой критической, то величина fβ(а) будет положительной: в зависимости от параметра v величина fv(a) будет либо меньше fβ(а) и соответствующий луч преломится при первом падении на границу r = a, либо больше fβ(а), и тогда существует такое значение r3, что луч
снова становится действительным при r >r3. В слое r2 ≤ r ≤ r3 луч будет комплексным (рис. 4.4).
С энергетической точки зрения здесь можно видеть аналогию с туннельным эффектом: энергия из сердцевины может проникать в оболочку сквозь зону r2<r<r3. Такие лучи называются лучами утечки, поскольку при
распространении они постоянно создают потери энергии. На очень больших расстояниях вся энергия, имеющаяся в световоде, переносится лучами распространения, но на малых расстояниях, непревышающих нескольких сотен метров, может быть существенной энергия, которую несут лучи утечки. На практике расстояние, на
котором существенна роль лучей утечки, уменьшается из-за дефектов границы раздела и оптической оболочки
(и из-за того, что ее толщина не бесконечна).
Рассмотрим отдельно волокна со скачком показателя преломления и градиентные волокна.
Рис. 4.4. Случай θ >θс , или β < βС.
Если β<βc, то функция fβ (r) при r=а положительна. Следовательно, можно
найти такие значения v, при которых соответствующий луч будет действи4.4.
Оптические волокна со скачкообразным изменением показателя преломления.
тельным при r 1 « r« r 2 « r 1 и r>r 3 (заштрихованные области).
На основании формулы (4.14) можно найти максимальное значение углаθ С из соотношения, за пределами
которого постоянная распространения β меньше критического значения βс = kn2 и распространение света в световоде становится невозможным,
βc = kn2cosθc = kn2
(4.15)
Этому углу соответствует угол падения, внешний по отношению к волокну Θ с , определяемый равенством
(4.10)
sin
c
n1 sin
c
n12
n22
(4.16)
Величина sinΘc, называется числовой, апертурой волокна. В случае оптического волокна со скачкообразным
изменением показателя преломления числовой апертурой определяется максимальный угол ввода в волокно
луча, распространяющегося без потерь. Ее часто обозначают буквами ЧА.
При значении β, удовлетворяющем условию (4.14), т. е. для распространяющегося луча, максимальное значение, которое может принять величина v при г=а, таково (рис. 4.5):
vm = kn1asinθ = kasinθ
(4.17)
Минимальное (по абсолютной величине) значение — это v = 0, что соответствует меридиональным лучам.
При заданном значении v расстояние до оси луча проходит через минимум r1 при φ = π/2, причем в точке r=r1 ,
производная dr/dz меняет знак (экстремум величины r). Таким образом, на поверхности r=r1 происходит как бы
полное внутреннее отражение, и эта.поверхность общая для всех лучей с одинаковыми параметрами β b v.
Можно говорить о каустике пучка или конгруэнтности лучей.
Если постоянная распространения β меньше cc (случай θ > θc на рис. 4.5), то меридиональные лучи переста54
ют распространятьея. Распространяются только лучи утечки, соответствующие значениям v, превышающим
,VM(рис. 8.10), а при 0 <v<vm лучи преломляются. В плоскости падения происходит разделение лучей по окружности радиусом rm , который определяется двумя равенствами
v2 = a2 (k2 n22 – β2 ) = rm2 k2 n21 sin2 θ
Отсюда находим
rm
a 1
sin2
sin
2
c
(4.18)
а) θ <θс
б) θ >θс
Рис. 4.5. Случай а) θ <θс (или б) θ >θс) для волокна со скачкообразным изменением показателя преломления.
При θ < θc всем значениям v, удовлетворяющим неравенству 0 ≤│v│≤vm, соответствует действительный луч.
При θ > θc значениям v, удовлетворяющим неравенству 0 ≤│v│≤vm соответствует преломленный луч, а значениям v в интервале vm ≤│v│≤vm – луч потерь.
Мы можем ввести луч утечки в некоторой точке входного торца только в том случае, если произведение r0sinφ0 больше rm (при заданном θ). При заданном θ этим условием ограничивается полезный
конус ввода лучей, поскольку угол должен превышать значение (рис. 4.6)
m
arcsin(
rm
)
r0
(4.19)
Рис. 4.11. Зависимость угла
наклона луча φ в плоскости
падения от угла θ.
При θ>θМ ,где θМ — угол, определяющийся выражением все
лучи будут преломленными.
sin a ( r0 )
sin M
1 r02 / a 2
При Θa< Θ < ΘM и φ> φ М будем
иметь луч потерь (двойная
штриховка). Простая штриховка
— лучи распространения.
4.5. Волокна с градиентом показателя преломления
Мы знаем, что при одном и том же угле наклона θ лучей на входе волокна постоянная распространения β будет зависеть от расстояния от точки падения до оси r0 [формулы (4.9), (4.11), (4.12)]. Луч
будет распространяться в волокне, если величина fβ(r) отрицательна или равна нулю при r = а. С учетом формулы (8.11) мы можем представить это условие в виде
55
sin2
n2 ( r0 ) 1
n2 ( a )
(4.20)
n2 ( r0 )
По аналогии со случаем волокон со скачкообразным изменением показателя преломления примем
cos
a ( r0
n( a )
n( r0 )
)
(4.21)
Синус угла Θa будем называть локальной числовой апертурой волокна в точке с радиусом r0; эта
величина дается выражением
sin
a ( r0
)
n( r0 ) sin
a ( r0
)
n2 ( r0 ) n22 (4.22)
Такое определение вполне совместимо с определением (4.16), и любой луч, падающий в точку r=r 0 и попадающий внутрь апертурного конуса Θа(r0)> распространяется после ввода в волокно. Величина Θа(r0) называется углом ввода излучения в волокно в точке r=r 0 , а числовой апертурой волокна при этом называется максимальное значение локальной числовой апертуры, т. е.
ЧА
sin
a
(0)
sin
c
Посмотрим теперь, что происходит при r=r0, когда угол Θ больше угла ввода излучения в волокно
Θa(r0). Тогда при r = a функцию fβ(r) можно записать в виде k 2 (sin2
sin2 a ) , а чтобы луч , соответствующий значению v0параметра v, распространялся с утечкой, значение v0 должно быть больше
минимального критического значения vm, задаваемого равенством fβ(a) = fv(a),т. е. (рис. 4.7)
Сравним этот результат с формулой (4.18). Примем по аналогии
rm
a 1
sin2
a ( r0
2
)
(4.24)
sin
что позволяет интерпретировать (4.23) геометрически. Если произведение r0sinφ0меньше rm, т. е. след
плоскости падения пересекает окружность радиусом rm, то соответствующий световой луч преломляется (рис. 4.8, D1 — след плоскости падения), а в противном случае он становится лучом утечки. Угол
ввода φ0 должен быть больше угла φ m =arcsi n(rm/r0) ; таким образом, формула имеет тот же вид, что
и для волокон со скачкообразным изменением показателя преломления.
Обобщим результаты, касающиеся светового луча, падающего в точку с r = r0
1. Если угол падения Θ меньше угла ввода излучения в волокно Θa(r0), то луч распространяется в волокне
при любом значении параметра v .
2. Если угол падения больше угла ввода излучения в волокно, то при значениях v, лежащих между 0 и vm,
лучи преломляются; при значениях, больших vm, они распространяются с потерями. Заметим, что этот последний случай будет невозможен, если кривая fv(r) не пересекает fβ(r) иначе, как в точке с r = а.
При заданном Θ параметр φ0 характеризует наклон плоскости падения относительно начального
радиус-вектора. Потребовать, чтобы параметр v был больше vm, равнозначно требованию r0sinφ0>rm.
Ясно, что при rm>r0 это условие не выполняется: при этом значении v не существует луча утечки,
исходящего из r = r0 .
Теперь мы сможем различать среди световых лучей, падающих на входной торец, лучи, распространяющиеся без потерь, лучи, распространяющиеся с потерями, и преломляемые лучи, Таким образом, мы можем просто рассчитать полезную мощность, вводимую в оптическое волокно неким источником света.
При заданном Θ [Θ> Θa (r0 )] любая точка внутри окружности радиусом rm дает только преломленные лучи . Точка сердцевины , лежавшая вне окружности дает луч утечки, если прямая D , касательная к лучу в точке его возникновения, не пересекается с этой окружностью.
Возьмем простой случай ламбертова источника с яркостью в точке r=r0 , равной B0cosΘ. В этой точке мощность, вводимая в волокно и распространяющаяся без потерь, равна
56
n ( r0
PG ( r0 )
2
)
B0 sin2
B0 cos sin d
a ( r0
)
0
Рис. 4.7. Для лучей, распространяющихся с
потерями, параметр v лежит
между v m и v M.
Рис. 4.8. Предельная окружность, разделяющая точки входного
торца волокна.
Она пропорциональна квадрату локальной числовой апертуры.
Вводимая мощность, которая приходится на лучи, распространяющиеся с утечкой, равна
/2
M
PF (r0 )
4
B0 cos sin
a ( r0 )
d d
m
(угол ΘМ показан на рис. 4.6)
Мощность преломленных лучей равна Рполн – РG – РF .
57
4.6. Траектория световых лучей.
Выше мы говорили о лучах, вводимых в оптическое волокно. Теперь скажем несколько слов о самих траекториях .
4.6.1. Волокна со скачкообразным изменением показателя преломления
Показатель преломления сердцевины есть постоянная величина, равная n1 . Из (4.9) следует, что угол распространения θ сохраняет свое абсолютное значение и что произведение rsinφ постоянно и, согласно (4.13),
равно r1. Таким образом, между двумя последовательными полными внутренними траектория луча прямолинейная (рис. 4.9).
Траектория состоит из равных отрезков, получаемых один из другого путем смещения на Pz /2 и
поворота на Pψ /2 вокруг оси Оz. В проекции все они касаются одной и той же окружности радиусом
r1. Величины Pz и Pψ можно вычислить следующим образом :
a
Pz
a
4 dz
dr
2
r1
r1
k 2n12
a
P
4 d
2 arccos
r1
2a
2
k 2n12
v2
2
k 2n12
2
v2
r2
(4.25)
r2
v
a k 2n12
2
(4.25а)
В случае меридиональных лучей (v = 0) окружность радиусом r1 сжимается в точку r = 0, траектория становится периодической с периодом Pz = 2actgθ, а период вращения равен PΨ =2π .
Рис. 4.9. Траектория распространения светового луча, в волокне со скачкобразным изменением
показателя преломления. :
4.6.2. Волокна с градиентом показателя преломления .
Возьмем для примера случай, когда показатель преломления волокна изменяется по степенному
закону:
n( r )
n1 1 2
r
a
(4.26)
где ∆ — относительная разница показателей преломления сердцевины и оболочки (в первом приближении), n1 — показатель преломления сердцевины на оси волокна, а α — параметр, который может быть равен любому числу от 1 до бесконечности. При α =2 имеем закон псевдопараболического
градиента. Согласно формуле (8.22), числовая апертура волокна, описываемого формулой (8.26),
максимальна на оси и равна
sin
c
n1 2
(4.27)
58
Подставив (8.26) в (8.5), получим
d2
2k 2n12
dz2
(4.28)
2 2
a
Конец вектора ρ, удовлетворяющего уравнению (4.28), описывает эллипс, который в декартовых
координатах, совпадающих с его осями, записывается с учетом начальных условий (r0 ,θ0 ,φ0) в виде
X
Y
A cos
A sin
cos
0
(4.29)
sin
2
z
z
kn1 2
где
A
0
2
V
2
tg 2
r02
0
2
, V – приведенная частота,
cos
,
r0
A
,
tg
sin
0
A
Чтобы соответствующий луч распространялся в волокне, большая ось эллипса не должна превышать размера сердцевины α. Это условие можно выразить через β и v :
k 2n12
2
v2
V2
(4.30)
a2 a2
Неравенство (4.30) можно переписать в другом виде, допускающем простую геометрическую интерпретацию:
sin
0
1
r0 sin
a
2
0
sin
(4.30а)
a r0
Поскольку корень квадратный здесь не превышает единицы, то имеется возможность, вводить лучи с превышением предельного угла Θа(r0), которые будут распространяться с утечкой или преломляться. Найдем в данном частном случае изменения показателя преломления максимальный
внешний угол ввода, при котором луч не будет преломляться. Он соответствует значению φ0 = π/2, и
тогда (8.30) принимает следующий вид
sin
0 макс
n r0 sin
0 макс
n1 2
sin
c
Это выражение показывает, что любой луч с углом падения Θ, превышающимΘС, преломляется, а лучи,
падающие под углами от Θа(r0) до Θcбудут либо лучами утечки, либо преломляться в зависимости от величины
v(т. е. от положения следа плоскости падения относительно окружности радиусом rm). Равенство, предельного
угла Θc и максимального угла ввода лучей утечки (рис. 4.10) объясняется тем, что в случае псевдопараболиче2
ского.закона, изменения показателя преломления крутизна кривых v M
/ r 2 и k 2n2 ( r ) 2 одинакова при r= а.
В случае когда закон изменения показателя преломления имеет вид (4ю26) с показателем степени α , лежащим
в пределах от единицы до бесконечности, максимальный угол ввода лучей утечки зависит от значения α; при а
= ∞ ,как мы знаем , он равен π/2.
59
Рис. 4.10. Определение максимального значения параметра
v.
При v=vM кривые fβ(r) и fv
(r) касаются друг друга (в
точке r1 = r2); r0 — то значение радиуса r, при котором fβ
(r)=0.
В частном случае α = 2, рассмотренном выше, имеется ряд других интересных особенностей:
а) траектория луча в проекции представляет собой замкнутую кривую (эллипс), а период вращения равен 2 π.
б) период изменения вдоль оси Oz составляет 2π/Ω = 2πа2β/V. Заметим, что он зависит только от β(r0) (рис.
8.16) и не зависит от v. Отметим также, что оптическая длина пути луча в одном периоде не зависит от v.
Рис. 4.11. Траектория распространения луча в градиентном волокне. Расстояние от луча до оси волокна периодически изменяется от r1 до r2.
При а ≠ 2 и тем более при других законах изменения показателя преломления проекция траектории луча, вообще говоря, не дает замкнутую кривую, но все же можно определить псевдопериодыPZ и Pψ. По соответствующим отрезкам кривой в этом случае можно построить всю траекторию луча, смещая их вдоль оси Oz и поворачивая вокруг нее (рис. 4.11).
4.7. Моды распространения света. Уравнение дисперсии.
В случае световых лучей, распространяющихся в идеальном оптическом волокне, которое мы рассматривали, потери отсутствуют. И мы установили условия ввода, нашли постоянные распространения, траектории, т. е.
геометрическая оптика вроде бы позволяет находить параметры, необходимые для исследования. Вспомним,
что наряду с волной, распространяющейся в сердцевине, существует волна в оболочке, имеющая ту же фазу, т.
е. оболочка участвует в распространении света, и если меняются условия распространения в оболочке, то также
изменяется распространение света в сердцевине. Например, если у двух сред разный коэффициент поглощения
(а так обычно и бывает), то в одной из них волна будет затухать быстрее и распространение будет нарушено!
Даже при одинаковом поглощении чисто геометрическая оптика не позволяет оценивать потери, обусловленные лучами утечки; для этого нужно знать выражение для поля при r≥a.. Таким образом, в некоторых случаях необходимо рассчитывать электромагнитное поле. Обычно стараются найти некий базис, пригодный для
разложения в ряд любого поля. Такой базис нам дает теория мод.
Расчет числа мод.
Чтобы распространяющиеся в волокне лучи дали моду распространения, они должны так накладываться
друг на друга, чтобы на прямом сечении волокна была сформирована стоячая полна как в радиальном направлении, так и по окружности.
Необходимая периодичность возникает в том случае, если для составляющей uψ волнового вектора k на окружности радиусом r укладывается целое число периодов, т. е. если v — целое число. В самом деле, согласно
(8.6), имеем
2
2
u
0
krd
0
v
rd
r
2 v
2 m
(4.31)
60
Аналогичным образом и для радиальной составляющей на расстоянии между точками обращения r1 и r2
должно укладываться целое число полупериодов, к которым следует добавить изменение фазы при полном
внутреннем отражении на каустиках:
r2
f ( r )dr
r1
r1
r2
2
2
(4.32)
Это уравнение представляет собой характеристическое уравнение мод распространения в волокне. Мы получаем в двумерном пространстве ситуацию: моды распространения получены путем квантования введенных
констант, связанных с условиями на границах изучаемого светодиода. Для мод высокого порядка можно пренебречь фазовыми изменениями на каустике и несколько упростить уравнение. Иную, тоже интересную форму
уравнения (4.32а) можно получить, если ввести приведенную частоту V и приведенную фазу B, определяемую
выражением
B
( / k )2 n22
n12 n22
В частности, в случае профилей показателя преломления вида n( r ) n1 1 2 g( r / a ) ,где g(x) есть
функция переменной x, мы получаем:
1
a
r2
V 2 1 g(
r1
r
)
a
v 2a 2
B
1/ 2
(4.32б)
dr
r2
При p=pcпостоянная распространения β равна kn2 параметр B обращается в нуль и (4.326) принимает упрощенный вид
1
a
pc
r2
V
2
r1
v 2a 2
r
1 g( )
a
r2
1/ 2
(4.32в)
dr
В случае волокон со скачком показателя преломления [n(r)=n1] и градиентных волокон с псевдопараболическим законом изменения показателя преломления [g(r/a) = r2/a2] эти уравнения интегрируются без трудностей. В случае профиля g(r/a) = (r/a)α с произвольным значением показателя степени α найдено приближенное решение уравнения (4.32), которое остается довольно точным, пока показатель степени α не слишком велик; оно имеет вид
1
2
k 2n12
2
2
2
2
2
v 4
2
2
2
pc V
Попытаемся теперь найти число мод, которые передает многомодовое волокно. На основании
приближенной зависимости, вытекающей из (8.32) и (8.7), а именно:
p
1
r2
2 2
k n
r1
2
v2
r2
1/ 2
dr
(4.33)
мы можем сопоставить некоторым значениям v и β некоторое значение величины р; в действительности существуют 4р моды, если учитывать поляризацию и круговую симметрию (ν| — ν) . Отметим,
что при одном и том же значении величины ν модам, для которых величина β больше, чем следует из
уравнения (8.33), будет также соответствовать меньшее значение р. Таким образом, мы можем сопоставить величине β число мод N(β), имеющих большую, чем β, постоянную распространения, сложив
все числа p при изменении ν от 0 до νm . При этом максимальное значение νm получается, когда оба
корня r1 и r2 одинаковы (рис. 4.10). Поскольку величина ν весьма быстро возрастает, мы рассматриваем ее как непрерывную переменную. Отсюда следует, что
61
N
r2
M
4
dv
2 2
2
k n
v2
1/ 2
(4.34)
dr
r2
0 r1
Изменяя порядок интегрирования, получаем
r0
N
k 2n2 ( r )
2
rdr
0
Как нетрудно видеть, величина N(β) стремится к нулю, когда β приближается к своему максимальному значению. Общее число мод получается при β=kn2:
a
k 2n2
Nt
k 2n22 rdr
(4.35)
0
Итак, имеем:
а) для волокна со скачкообразным изменением показателя преломления
a2 V 2
2
2
б) для градиентного волокна с псевдопараболическим профилем
k 2 n12 n22
n(r)=n1 N t
Nt
V2 / 4
в) для градиентного волокна с произвольным показателем степени α
Nt
2( a 2 )
V2
4.8. Формулы для полей.
Если предположить, что среда изотропна и в ней нет ни токов, ни зарядов, то из уравнений Максвелла вытекает следующее уравнение распространения электромагнитной волны:
2
0
t2
где вектор ψ может быть как электрическойЕ, так и магнитной Н составляющей поля. Учитывая геометрию волокон, мы будем пользоваться цилиндрической системой координат, и из уравнения Максвелла можно вывести
систему шести скалярных уравнений. Поперечные составляющие можно выразить только через продольные составляющие Ez и Hz, которые в общем случае обе не пулевые (в таком случае мы имеем гибридные моды, ни
ТЕ, ни ТМ). Будем искать решение в виде гармонических функций переменных t и z:
1( r
z
)
2(
) exp i ( wt
z)
(4.36)
где β — составляющая вектора распространения по оси Оz.
Запишем поперечные составляющие, полученные путем проекции в цилиндрических координатах r, φ, z .
Разделение переменных r и φ дает зависимость ψ2(φ) вида exp(ivφ), а радиальная зависимость ψ1(r) должна
удовлетворять уравнению
d2
dr
1d 1
r dr
1
2
k 2 n2
2
v2
r2
1
0
(4.37)
причем составляющие Er, Eφ, Hr, Hφ записываются следующим образом:
Er
i
x
2
Ez
dr
Hz
r d
Ez
i
,E
x
2
r
Hz
dr
(4.38a)
62
Hz
dr
i
Hr
x
2
где k
Ez
, H
r d
, x2
2 /
k 2n2
2
Hz
i
x
2
Ez
(4.38б)
dr
r
.
4.8.1. Решение волнового уравнения для волокна со скачком показателя преломления.
Поскольку показатель преломления n представляет собой одну константу в сердцевине и другую — в оболочке, уравнение (8.7) оказывается дифференциальным уравнением Бесселя. Его решения для разных областей
волокна записываются следующим образом:
при
r<a
Ez
AJ v u
r iv
e
a
(4.39а)
Hz
BJv
r
u e iv
a
2 2
где u2 k 2n12
a
при r>a
r iv
E z CK v
e
a
(4.39б)
Hz
DK v
где
2
r iv
e
a
2
k 2n22 a 2
Функции K — это модифицированные функции Бесселя. Выражения (4.39) сходны для случая плоского
2
световода. Можно заметить, что величина V 2 u2
есть характеристическая постоянная световода( поскольку в нее входят только радиус сердцевины a и показатели преломления сердцевины n1 и оболочки n2).
Постоянные А, В, С и D нельзя определить из уравнений Максвелла. Для того чтобы полученные решения
представляли собой моды волокна, поля должны отвечать условиям непрерывности при r = a . Эти условия
дают четыре однородных уравнения, которые имеют решения только тогда, когда главный определитель обращается в нуль, что приводит к уравнению дисперсии:
J 'v ( u )
uJ v ( u )
K'v ( )
Kv ( )
k 2n12 J 'v ( u )
uJ v ( u )
k 2n22 K'v ( )
Jv ( )
2 2
v
1
u
2
1
2
(4.40)
Решения уравнения (4.40) дают совокупность дискретных значений, и при v = 0 уравнение распадается на
две части: происходит полное разделение поперечных электрических (ТЕ) и магнитных (ТМ) мод, поскольку
либо поле Ez, либо поле Нzоказывается равным нулю.
Если наблюдать за поведением полей в среде 2, можно убедиться, что проникновение волны в среду тем
больше, чем меньше w. В пределе при ω→0 распространение света в волокне не происходит. Следовательно,
при ω=0 мы имеем c kn2 и uc V , т.е. в среде 2 решение имеет вид плоской полны .
Теперь можно найти предельную форму уравнения (4.39а) на граничной частоте при ω→0. Получаются
разные типы решений, которые можно, обозначив гибридные моды (когда ни Ezни Hz не являются нулевыми)
через ЕН и НЕ, следующим образом классифицировать согласно уравнению, которому удовлетворяет граничная частота:
Обозначение моды
НЕ11
TE0m или TM0m
Граничная частота
0
m–й корень уравнения J 0 ( u ) 0
HE1mилиEHvm
m–й корень уравнения J v ( u ) 0
m–й корень уравнения
HEvm (υ≠1)
63
n12
n22
u
1 J v 1( u )
v 1
Jv ( u )
Итак, существует мода НЕ11 , граничная частота которой равна нулю. Следовательно, можно так подобрать
параметры световода, что будет распространяться только одна эта мода; это происходит при условии
2
(4.41)
V
n12 n22 2 ,405
Если принять, что разность показателей преломления n1 и n2 мала, то полученные результаты в значительной мере упрощаются.
Введем обозначения
J
J v 1( u )K v ( ),
J
J v 1( u )K v ( ),
K
uJ v ( u )K v 1( ),
(4.42)
K
uJ v ( u )K v 1( ).
Тогда можно показать, что уравнение на собственные значения записывается следующим образом:
n12
n22
J
K
J
n12
K
n22
J
K
J
K
0. (4.43)
При n1 ≈ n2 ≈ n оно принимает вид
J
K
J
K
0,
откуда получаем общее уравнение для мод НЕ vm и ЕНvm:
J v 1( u )
uJ v ( u )
K v 1( )
,
Kv ( )
(4.44)
где верхний знак относится к модам НЕ, а нижний — к модам ЕН. На основании рекуррентных соотношений для функций Бесселя можно показать, что имеется вырождение между модами ЕНv-2,m и НЕv,m , так как соответствующее уравнение дисперсии одно и то же; взяв их линейную комбинацию, мы получим «псевдомоды»), поляризованные линейно, поля которых (на этот раз в декартовых координатах) могут быть записаны в
виде
Ex
при r
при r
0; E y
AJv u
a
Hy
0; H x
Ex
0; E y
a
Hy
0; H x
An
A
r cos v
a sin v
Jv
Jv ( u )
r cos v
Kv w
Kv ( w )
a sin v
An
(4.45а)
r cos v
u
a sin v
Jv ( u )
r cos v
Kv w
Kv ( u )
a sin v
(4.45б)
Если оценить порядок величин различных составляющих, то можно видеть, что эти поля почти поперечные,
поскольку составляющие Ez и Hz выраженные через u / ka , оказываются бесконечно малыми величинами
первого порядка по сравнению с поперечными составляющими.
4.8.2. Решение для градиентного волокна.
64
Векторное уравнение разделяется на скалярные уравнения, и мы будем искать решение для электрического
поля (например, для составляющей Ey) в форме, подсказываемой полученными ранее результатами:
cos v
Ey
exp i z ,
(4.46)
1( r )
sin v
где, как и ранее, v — целое число. Мы снова приходим к уравнению (4.37) для функции ψ1(r) , в котором теперь n2 уже не константа, а функция переменной r.
В случае волокна с псевдопараболическим профилем показателя преломления, не усеченным при r=a,
решение дифференциального уравнения имеет вид
1( r
)
2
r
Lvq
2r 2
2
exp
r2
2
,
(4.47)
где Lvq — обобщенный полином Лагерра порядка v и степени q,a,ω - параметр, связанный со световодом:
2a
2
(4.48)
kn1 2
В приближении малой разности показателей преломления геометрическое и электромагнитное исследование
показало, что угол распространения остается небольшим. Это значит, что распространяющаяся волна почти
поперечная, локально плоская : соответствующие моды поляризованы почти линейно и представляют собой
моды
LPvp, где p q 1 , причем q число узлов функции Ψ1(r) на длине радиуса в соответствии с формулой
(8.47). С другой стороны, соответствующая постоянная распространения дается выражением:
kn1 1
2
4q 2v
kn1a
1/ 2
2
которое, если учесть, что на практике величина Δ мала, с хорошим приближением записывается в виде
kn1
2q v 1
2
a
(4.49)
Таким образом, постоянные распространения образуют арифметическую прогрессию с разностью
поскольку .при переходе от одной моды к другой индекс v или q на единицу увеличивается.
2 /a,
65
Задачи для самостоятельного решения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
На поверхность из стекла (n=1,6) под углом 250 из воздуха падает линейно поляризованная волна, электрический вектор которой колеблется в плоскости падения. Определить коэффициенты отражения R и пропускания T.
На поверхность из стекла (n=1,65) под углом 350 из воздуха падает линейно поляризованная волна, электрический вектор которой колеблется в плоскости, образующей угол 300 с плоскостью падения. Найти коэффициенты отражения R и пропускания T.
Естественный свет падает из стекла с n1=1,65 под углом 400 на границу с некоторым раствором, показатель
преломления n2 которого зависит от концентрации растворенного вещества и может изменяться в широком
пределе. При каком показателе преломления n2 отраженный свет линейно поляризован, и каков при этом
коэффициент отражения?
Из стекла (n=1,55) на границу раздела с воздухом под углом 60 0 падает световая волна. Найти критический
угол и сдвиг фаз колебаний напряженности электрического поля .
Из стекла (n=1,55) на границу раздела с воздухом под углом 60 0 падает световая волна. Найти критический
угол и сдвиг фаз колебаний напряженности электрического поля ||.
Найти область углов падения линейно поляризованной волны из воздуха на поверхность воды (n=1,33), при
которой коэффициент отражения R больше 0,5. Плоскость колебаний электрического вектора волны перпендикулярна плоскости падения.
Естественный свет падает под углом Брюстера на стеклянную пластинку (n=1,65). Найти коэффициент отражения R.
Вывести формулу для связи сдвига фаз колебаний перпендикулярной и лежащей в плоскости падения компонент электрического поля волны при полном отражении.
Естественный свет падает под углом Брюстера из воздуха на поверхность стекла с показателем преломления n=1,5. Найти интенсивность отраженного света, приняв за единицу интенсивность падающего света.
Линейно поляризованная волна интенсивностью I0=1 мВт/см2 падает из воздуха (n1=1) на стекло с показателем преломления n2=1,4 под углом =450. Плоскость падения вектора Е составляет угол =300 с плоскостью падения. Определить интенсивность прошедшего и отраженного света.
Линейно поляризованная волна интенсивностью I0=5 мВт/см2 падает из воздуха с n1=1 на стекло (n2=1,5)
под углом 450. Плоскость колебаний вектора Е составляет угол 450 с плоскостью падения. Определить угол
наклона вектора Е к плоскости падения в прошедшей и отраженной волнах.
Неполяризованный монохроматичный свет ( =514,5нм) падает на границу раздела воздух/стекло (n2=1,5)
определить показатель преломления и толщину пленки, которую необходимо напылить на стекло чтобы
свет не отражался
Когерентный свет ( =514,5нм) падает на прозрачную пленку толщиной d=1мкм с показателем преломления n=1,4. Плоскость колебаний электрического вектора волны перпендикулярна плоскости падения. При
каком угле падения коэффициент отражения R будет максимальным? Найти коэффициент отражения R.
Получить элементы A,B,C,D матрицы для линзы с фокусным расстоянием f.
Получить элементы A,B,C,D матрицы для плоского зеркала.
Получить элементы A,B,C,D матрицы для сферической границы радиуса R раздела диэлектриков с показателями преломления n1 и n2.
Получить элементы A,B,C,D матрицы для плоской границы раздела диэлектриков с показателями преломления n1 и n2.
Получить элементы A,B,C,D матрицы для сферического зеркала радиуса R.
Получить элементы A,B,C,D матрицы для среды с квадратичным распределением показателя преломления.
Получить элементы A,B,C,D матрицы для толстой линзы, образованной сферическими поверхностями с радиусами кривизны R1 и R2, расстояния между центрами которых d и изготовленной из стекла с показателем
преломления n.
Получить элементы A,B,C,D матрицы для клина с углом α и изготовленной из стекла с показателем преломления n.
Определить элементы A,B,C,D матрицы для луча, прошедшего через однородную среду длиной d и границу раздела диэлектриков. Показатели преломления сред n1 и n2 соответственно.
Определить элементы A,B,C,D матрицы для луча, прошедшего через однородную среду длиной d и сферическую границу раздела диэлектриков. Радиус сферической границы R, показатели преломления сред n1 и
n 2.
Определить элементы A,B,C,D матрицы для луча, прошедшего через однородную среду длиной d и сферического зеркала с радиусом кривизны R.
Определить элементы A,B,C,D матрицы для луча, прошедшего через однородную среду длиной d среду с
квадратичным распределением показателя преломления длиной l.
66
26. Определить элементы A,B,C,D матрицы для луча, прошедшего через линзовую систему, состоящую из
двух линз с фокусными расстояниями f1 и f2, расстояние между которыми равно d.
27. Покажите, что матрица ABCD для луча, прошедшего через линзовую систему, состоящую из двух линз с
фокусными расстояниями f1 и f2, расположенными друг от друга на расстоянии d, есть матрица унитарная,
то есть AD-BC=1.
28. Определить элементы A,B,C,D, матрицы для луча, прошедшего через два полупрозрачных зеркала с радиусами кривизны R1 и R2, расположенными на расстоянии d. Рассмотреть случай, когда луч проходит через
систему без отражения от зеркал.
29. Определить элементы A,B,C,D, матрицы для луча, прошедшего через шар радиусом R показателем преломления n.
30. Определить элементы A,B,C,D, матрицы для луча, прошедшего через трубу Галилея.
31. Определить элементы A,B,C,D, матрицы для луча, прошедшего через телескоп-рефрактор.
32. Определить элементы A,B,C,D, матрицы для луча, прошедшего через телескоп-рефлектор
33. Определить интенсивность света на оси гауссова пучка мощностью Р=10мВт и характерным размером
w=10мкм.
34. В перетяжку гауссового пучка радиусом w=10 мкм помещают цилиндрическое волокно радиусом 5 мкм.
Какая часть мощности излучения может быть введена в волокно?
35. На каком расстоянии от перетяжки гауссового пучка имеет место максимальная кривизна волнового фронта?
36. Вывести формулу расходимости гауссового пучка с перетяжкой w0.
67
37. Вычислите, во сколько раз увеличивается расходимость гауссового пучка, если на расстоянии z= w02/ поместить вогнуто-плоскую линзу с радиусом кривизны, равным радиусу кривизны волнового фронта пучка
и изготовленную из стекла с показателем преломления n.
38. Оцените, во сколько раз можно увеличить интенсивность излучения гауссового пучка с размером перетяжки 100 мкм ( =514,5 нм), фокусируя его на объект линзой. (Указание: предположить предельную фокусировку пучка).
39. Дана тонкая линза с фокусным расстоянием f, расположенная в плоскости перетяжки гауссова пучка, радиус которой w1. Найти новое положение плоскости перетяжки (указание: решение следует искать с помощью
комплексного параметра q). Длина волны .
40. Дана тонкая линза с фокусным расстоянием f, расположенная в плоскости перетяжки гауссова пучка, размером w1. Найти радиус выходного пучка в этой плоскости (указание: решение следует искать с помощью
комплексного параметра q). Длина волны .
41. Дана тонкая линза, помещенная в перетяжку гауссова пучка радиуса w1=2 10-4 м, перетяжка нового пучка
находится от линзы на расстоянии l=18 см. Найти фокусное расстояние линзы. Длина волны =0,5 мкм.
(Указание. Решение следует искать с помощью комплексного параметра q).
42. На линзу с фокусным расстоянием f=1см падает гауссов пучок. Размер пучка на линзе – w=3мм, радиус
кривизны волнового фронта – R=10см.Определить положение и размер перетяжки пучка после линзы.
Длина волны =0,5 мкм.
43. На расстоянии 10см от перетяжки гауссового пучка с размером перетяжки w0=100мкм помещена линза с
фокусным расстоянием f=0,5см.Определить положение и размер перетяжки пучка после линзы. Длина волны =0,5 мкм.
44. Гауссов пучок с размером перетяжки w0=100мкм нужно сфокусировать в волокно диаметром 20 мкм, находящееся на расстоянии 1 см от перетяжки. Определить положение и фокусное расстояние линзы. Длина
волны =0,5 мкм.
45. Оценить длину перетяжки пучка в резонаторе в случае предельно малой перетяжки гауссова пучка, создаваемого короткофокусной линзой. (Указание: предположить, что тонкая линза расположена на месте выходного зеркала резонатора).
46. Определить элементы A,B,C,D матрицы для толстой линзы, изготовленной из стекла с показателем
преломленияn. Радиусы кривизны поверхностей - R1, R2, расстояние между главными плоскостями – d.
47. Определить элементы A,B,C,D матрицы для двух конфокальных собирающих линз с фокусными расстояниями F1, F2.
48. Определить элементы A,B,C,D матрицы для двух конфокальных собирающей и рассеивающей линз с фокусными расстояниями F1, F2.
49. По диэлектрическому световоду с размерами сердцевины 2а=20мкм, показателем преломления n1 = 1,5 у
сердцевины и n 2 = 1 ,501 у оболочки распространяется эл. магнитная волна длиной =0 ,63 мкм. Рассчитать:
а) число мод, распространяющихся в волноводе, б) максимальный размер волновода, который на данной
длине волны будет работать в одномодовом режиме, в) предельную длительность импульсов, которые
можно передавать по такому световоду длиной 10 км? Вычислить значения числовой апертуры (N/A) 2 углов m и m, а также дисперсионных параметров ( T/l) и (B/l) для следующих ступенчатых волокон: а)
n1=1,47, n2=1,455, na=1,б) n1=1,46, n2=1,4, na=1, в) n1=1,46, n2= na=1 (волокно без оболочки).]
54. Показать, что для параксиальных лучей в случае цилиндрического световода формулу
можно аппроксимировать выражением
d 2r
dz 2
d
dr
n
ds ds
n
1 / n dn / dr . s – координата вдоль луча, r – координата,
перпендикулярная оптической оси, z – координата вдоль оси.
55. Показатель преломления сердцевины волокна изменяется по радиусу в соответствии с
n( r )
r
a
2
__ при __ r
n0 1
`
n0 1
` __ при __ r
a
a=30мкм, `=0,01.
a
Показать, что параксиальные лучи источника, расположенного на оптической оси, будут фокусироваться
на оси с пространственным периодом 0,67мм.
68
56. Изготовители предлагают два сорта оптического волокна. Одно предназначено для работы на
длине волны а) =0,85 мкм (Ym=0,025, потери – 8 дБ/км) ( б) =1,3 мкм (Ym=0,001, потери 0,6 –
1,2 дБ/км), и межмодовую дисперсию, не превышающую 10 мкс/км. Другое на той же длине волны имеет потери не выше 4дБ/км и дисперсию 1нс/км. В качестве источника света предполагается
использовать светодиоды способные вводить в волокно мощность 150мкВт и имеющие ширину
спектральной линии 35нм. Предельная чувствительность фотоприемника – 1нВт. Определить, какая может быть получена максимальная дальность передачи на скоростях 2, 20 и 100 Мбит/с.
69
Литература.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Бутиков Е.И. Оптика. М. Высшая школа. 1986. 512с.
Гауэр Дж. Оптические системы связи. М.: Мир. 1989. 501с.
Гильярди. Оптическая связь. М.: Связь; 1978.426с.
Гурдзагян Г.Г. Нелинейно-оптические кристаллы. М. Радио и связь 1991. 158с.
Детлаф А.А. Яворский Б.М. Курс физики. М. Высшая школа. 1999. 718с.
Звелто О. Принципы лазеров /перевод с англ. М.:Мир,1984. 395с.
Иванов А.Б. Волоконная оптика. 1999.671с. М. Сайрус систем.
Калитевский Н.И. Волновая оптика М.: Высшая школа, 1995.
Карлов Н.В. Лекции по квантовой электронике. М. Наука. 1988. 336с.
Козанне А. и др. Оптика и связь М.: Мир. 1984. 504с.
Ландсберг Г.С. Оптика М.: Мир, 1976. 926с.
Матвеев А.Н. Оптика. М. Высшая школа. 1985 351с.
Нацуяма Т. ИК волоконныесветоводы. М. Мир.1999.272с.
Оптические системы передачи. М. Радио и связь. 1994. 224с.
Такаори О. Оптоэлектроника и оптическая связь. М.Мир. 1988. 95с.
Семенов А.С. Интегральная оптика для систем передачи и обработки информации. М. Радио и связь. 1990
224с.
Ярив А. Квантовая электроника. М. Сов. Радио. 1980. 488с.
70
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
1 907 Кб
Теги
volokonno, osnovy, petropavlovskaya, optika, fizitsheskie
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа