close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Rogova Solov'eva Starozhilova Matematicheskij analiz ch2 uchebnoe posobie

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ»
Кафедра высшей математики
Н.В.РОГОВА, Л.А.СОЛОВЬЕВА, О.В.СТАРОЖИЛОВА
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
(ЧАСТЬ 2)
Учебное пособие
Самара, 2017
1
УДК 517.3, 517.4
Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ,
протокол № 44, от 10.03.2017 г.
Рогова, Н. В.
Р Математический анализ (Часть 2 Интегральное исчисление) [Текст]: учебное пособие // Н. В.
Рогова,. Л.А.Соловьева, О.В.Старожилова. – Самара: ИУНЛ ПГУТИ, 2017. - 225 с.
В учебное пособие входят основные разделы высшей математики: функции многих
переменных, интегрирование, дифференциальные уравнения, операционное исчисление и ряды.
Пособие содержит общие методические указания, конкретные рекомендации по всем темам курса
высшей математики.
Разработано в соответствии с ФГОС ВО по направлению направления подготовки 02.03.03
Математическое обеспечение и администрирование информационных систем, 09.03.01
Информатика и вычислительная техника, 09.03.02 Информационные системы и технологии,
09.03.03 Прикладная информатика, 10.03.01 Информационная безопасность, 11.03.01
Радиотехника, 11.03.02 Инфокоммунникационные технологии и системы связи, 27.03.04
Управление в технических системах, 27.03.05 Инноватика, 12.03.03 Фотоника и оптоинформатика,
а также для специалистов, желающих изучать высшую математику самостоятельно.
Каждый раздел заканчивается примерами, которые помогут проверить теоретическое
освоение курса.
ISBN
© ,Н.В.Рогова , 2017
2
Оглавление
Глава 1. Функции многих переменных ....................................................................................... 6
1.1. Функции двух переменных
6
1.2. Предел и непрерывность функции n-переменных
9
1.3. Частные производные функции двух переменных
12
1.4. Дифференциал функции
14
1.5. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям
16
1.6. Дифференцирование сложной функции
18
1.7. Дифференциал сложной функции и инвариантность ее формы
19
1.8. Частные производные и дифференциалы высших порядков
20
1.9 Дифференциалы высших порядков
22
1.10 Неявные функции многих переменных
23
1.11. Дифференцирование неявных функции
24
1.12. Экстремумы функции двух переменных
26
Глава 2. Неопределенный интеграл............................................................................................. 29
2.1. Понятие первообразной функции
29
2.2 Таблица интегралов
33
2.3 Основные способы интегрирования
35
2.4. Основные методы интегрирования
41
2.5 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
42
2.6. Интегрирование рациональных дробей
45
2.7. Интегрирование простейших дробей
46
2.8. Интегрирование неправильных рациональных дробей
50
2.9 Интегрирование некоторых иррациональностей
51
2.10 Подстановки Эйлера
53
2.11 Подстановки Чебышева
54
2.12 Интегрирование тригонометрических функций
54
2.13 Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
63
Глава 3 Определенный интеграл ................................................................................................. 64
3.1. Задачи, приводящие к понятию определенный интеграл
64
3.2 Интеграл, как функция переменного верхнего предела
73
3.3 Вычисление определенного интеграла
75
3.4 Замена переменной в определенном интеграле
76
3.5 Интегрирование по симметричному промежутку
78
3.6 Интегрирование периодической функции
78
3.7 Интегрирование по частям в определенном интеграле
79
3
Глава 4. Несобственные интегралы ............................................................................................. 81
4.1. Несобственные интегралы первого рода
81
4.2. Несобственные интегралы второго рода
86
4.3. Признаки сравнения
89
Глава 5. Геометрическое приложение определенного интеграла ............................................ 92
5.1. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах
92
5.2 Площадь криволинейного сектора
94
5.3. Вычисление длины дуги кривой в декартовых координатах
96
5.4. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически
98
5.5. Вычисление длины дуги кривой в полярных координатах
100
5.6. Вычисление объема тела вращения
101
Глава 6. Дифференциальные уравнения ..................................................................................... 103
6.1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения
103
6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
105
6.3. Дифференциальное уравнения с разделяющимися переменными
108
6.4. Однородные уравнения первого порядка
110
6.5. Линейные уравнения перового порядка
113
6.6 Уравнение Бернулли
115
6.7. Уравнение в полных дифференциалах
116
6.8. Дифференциальные уравнения высших порядков
118
6.9. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
120
6.10. Линейные дифференциальные уравнения n - го порядка
125
6.11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
134
6.12. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами
136
Глава 7. Операционные исчисление ............................................................................................ 139
7.1. Оригинал и изображение
140
7.2 Функция Хевисайда
145
7.3 Основные свойства преобразования Лапласа
147
7.4 Понятие о свертке функций
158
7.5 Формула Дюамеля
160
7.6 Формула обращения
163
7.7 Приложение операционного исчисления
166
7.8 Решение линейных систем операционным методом
171
7.9 Дельта-фнкция
172
Глава 8 Числовые ряды................................................................................................................. 174
8.1 Необходимый признак сходимости числового ряда
176
8.2 Операции над числовыми рядами
178
8.3 Ряды с положительными членами
180
4
8.4 Ряды с членами произвольных знаков
187
8.5 Знакочередующиеся ряды
188
Глава 9. Функциональные ряды................................................................................................... 191
9.1 Критерий равномерной сходимости
194
9.2 Степенные ряды
200
9.3 Разложение функций в степенные ряды
204
9.4 Представление степенными рядами элементарных функций
208
Глоссарий ....................................................................................................................................... 212
Приложение А Таблица интегралов ........................................................................................... 221
Приложение Б Вид общего решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами
............................................................................................................................................ 223
Приложение В Таблица соответствий оригиналов и изображений ................................ 224
Список литературы ....................................................................................................................... 225
5
Глава 1. Функции многих переменных
При изучении многих закономерностей в естествознании и экономике приходится
встречаться с функциями от двух (и более) независимых переменных. Например, площадь
прямоугольника S является функцией его ширины x и длины y, объем параллелограмма V –
ширины x, длины y и высоты z и т.д. В первом случае говорят о функции двух переменных, во
втором – трех переменных. При рассмотрении многих вопросов приходится изучать такие
зависимости между переменными величинами, когда числовые значения одной из них полностью
определяются значениями нескольких других.

Определение n-мерной точкой называют совокупность чисел
и
обозначают
.Числа
называют координатами n-мерной точки.
Рассмотрим две n -мерные точки
понятие расстояние между точками
и
и
. Введем
:

Определение Совокупность всевозможных n-мерных точек, расстояние между
которыми определяется по формуле (1) называется n-мерным евклидовым (арифметическим)
пространством.

Определение Множество точек
координаты, которых
удовлетворяют следующему неравенству
называются n-мерным открытым шаром с центром в точке
или n-мерной окрестностью точки

и радиусом
радиуса .
Определение Если каждой точке n-мерного евклидового пространства
некоторому закону поставлено в соответствие единственное число
функция
по
, то говорят, что задана
– функция n -переменных и обозначают
. Множество
называют областью определения.
1.1. Функции двух переменных
В координатной плоскости
множества задается парой чисел

расположим некоторое множество
, т.е. парой переменных
Определение Если каждой точке
.
из некоторого множества
соответствие единственное определенное значение переменной , то
переменных величин
. Каждая точка этого
ставиться в
называется функцией двух
и .
6

Определение Функцией двух переменных называется правило или закон, по
которому каждой паре чисел (х; у)D соответствует единственное zE. , функция:
,
где х и у – независимые переменные D; z – зависимая переменная E.
Обозначим D – область определения z=f(x;y), Е – область значений
Переменные
.
являются независимыми и их называются аргументами.
Графиком функции двух переменных z=f(x,y) является поверхность в трехмерном пространстве,
каждая точка которой задается координатами
(x,y,z), где
..
Поскольку график функции трех и
более
переменных
изобразить
не
представляется возможным, в основном будем
рассматривать функции двух переменных.
Пример Площадь прямоугольника
– функция двух переменных –
функция длин сторон прямоугольника.


определена для всех

Пример:
Пример:
, функция
.
, - область определения - вся плоскость кроме, прямой
.
Способы задания функции двух переменных
 табличный.
 аналитический,
 графический.
1.Табличный способ задания состоит в том, что конкретные значения аргументов и
функции задаются в виде таблицы с двойным входом.

Пример:
Для некоторого количества пар указываются соответствующие значения функции .
7
2.Аналитический способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается в виде
одного или нескольких уравнений:
Функция задаётся явно, в виде формулы z=f(x; y), либо неявно уравнением F(x; y; z) = 0, либо
уравнением
, где
,
, т.е. параметрическое задание функции, либо
здесь
и
и
– некоторые функции от параметра
, где
– независимые аргументы, а
и
– промежуточные значения аргументов.
Функциональная зависимость может выражаться 3 уравнениями с 4 неизвестными.

Определение Множество точек области, для которой задается функция, называется
областью определения функции (ООФ).

Определение Линия, которая ограничивает множество точек плоскости, называется
границей области.

Определение Точки, не лежащие на границе области, называются внутренними
точками.

Определение Область, состоящая только из внутренних точек, называется
открытой областью.

Определение Область, состоящая из внутренних точек и точек, лежащих на границе,
называется замкнутой.

Пример
Замкнутая область обозначается слитной линией на чертеже. Если
граница не входит в область, то область обозначается пунктирной линией.
Пример
Областью определения служат точки, координаты которых
удовлетворяют условию
, т.е. внешняя часть круга

(открытая область).
Пример Функция

z2+ax3+lg y =1
задана
неявно

Определение Область называется связной, если любые две точки этой области
можно соединить ломанной целиком содержащейся в этой области .

Определение Область
называется ограниченной, если найдется круг конечного
радиуса, который целиком закроет всю область
.
3.Графический способ: основой этого способа является геометрическая интерпретация
одного уравнения с тремя неизвестными.
Пусть дана функция
, которая определена на области . Геометрическое
место точек, удовлетворяет уравнению
, являющемуся графиком функции .
8
Графиком
функции
является множество
координатами
двух
точек
переменных
пространства
.
со
следующими
Из аналитической геометрии известно, что уравнение
представляет собой в пространстве поверхность.
Значит
графиком
аргументов
плоскость
функции
непрерывных
будет поверхность, которая
в области .
проектируется
на
Графическое задание функции двух переменных состоит в задании графика этой функции.
Пример Графиком функции

является верхняя
полусфера с центром в точке

Пример:
Графиком
функции
является параболоид.
 Замечание Функцию трех и большего числа переменных
изобразить наглядно в виде графика в трехмерном пространстве
невозможно.
1.2. Предел и непрерывность функции n-переменных
Рассмотрим функцию
и некоторую фиксированную точку
.

Определение Число
называется пределом функции
, если для любого сколь угодно малого числа
положительное число
такое, что для всех точек
Обозначают
при
, существует сколь угодно малое
, для которых
следует:
.
 Замечание Все правила предельного перехода, рассмотренные для функции
, без всяческих изменений переносятся на случай функции n переменных
.

Замечание Предел функции
не зависит от способа
приближения точки M к точки M 1 , он должен быть одним и тем же числом c при любом
способе приближения точки M к точке M 1 .
9
Если сравнить данные определения с определением предела функции одной переменной
, то можно заметить, что для функции одной переменной условие близости
значений
к предельному значению
выполняется в одномерной окрестности, а для
функции нескольких переменных соответствующее условие выполняется в n-мерной окрестности
точки
, либо в ее n-мерной части.
С указанным обстоятельством связано то, что все основные теоремы о пределах функции
одной переменной распространяются на функции нескольких переменных.
x y
при x  3, y  2
x y
Решение При любом способе стремления точки M  x, y  к точке M 1 3,2 получаем
1
предел lim z  .
x 3 y 2
5
k 2 x 2 sin x

Пример Показать, что предел функции z  3
в начале координат не
tg x  k 3 x 3
Пример Найти предел функции z 

существует.
Решение Устремим точку M  x, y  в начало координат по прямой y  kx
 sin x 
k2 

k x sin x
x 

z 3

tg x  k 3 x 3  tgx 3
3

 k
x


2
2
,
поэтому
lim z 
x 0, y 0
k2
1 k3 .
Предел зависит от k , и, следовательно, изменяется от способа приближения точки M к
началу координат.
Свойства пределов функций нескольких переменных аналогичны свойствам пределов
функций, зависящей от одной переменной.
 Замечание Различие определений предела функции n – переменных от предела
функции одной переменной: в геометрическом виде окрестности-  - окрестности точки M 1 есть
внутренность круга радиуса  с центром в точке M 1 a, b , а раньше это был промежуток длиной
2  с центром в точке x  a .
Свойства непрерывных функций справедливые для функции одной переменной,
аналогично выполняются и для функции, зависящей от нескольких переменных.
 Определение Функция
называется непрерывной в точке
, если она
определена в этой точке и некоторой ее окрестности и
Можно дать другие определения непрерывной функции многих переменных.
10
 Определение Функция
называется непрерывной в точке
бесконечно малым приращениям ее аргументов
, если
соответствует бесконечно малое
приращение функции , т.е.

Определение Функция называется непрерывной в D, если она непрерывна в каждой
внутренней точке этой области.

Определение Функция называется непрерывной в замкнутой области
непрерывна в каждой внутренней точке этой области и на её границе.
Геометрически непрерывность функции
означает, что
соответствующие двум n-мерным точкам
и
друг от друга, если расстояние между точками
Для функции двух переменных
области
и
, если она
и
, как угодно мало отличающихся
достаточно мало.
график непрерывной функции представляет
собой сплошную поверхность без разрывов. Точки, в которых не выполняется условие
непрерывности, называются точками разрыва функции.
Пример Исследовать на непрерывность функцию в точке x  0 , y  0 .

 y 2 sin x
, x  0, y  0

f ( x, y )   tg 3 x  y 3
0
x y0

Решение
Вычислим lim f ( x,0)  f (0,0) и lim f (0, y)  f (0,0) т.е. функция f (x,0) непрерывна в
x0
y 0
точке x  0 и функция f (0, y) непрерывна в точке y  0 . Однако функция f ( x, y) не является в
точке x  0 , y  0 непрерывной, т.к. не имеет предела при x  0, y  0 .
Пример Исследовать на непрерывность функцию

Решение
Точки разрыва образуют множество точек плоскости
x  4 y  0 , т.е. точки прямых
2
2
, определенное равенством
. Во всех остальных точках плоскости функция
непрерывна.

Пример Исследовать на непрерывность функцию
,
Решение
Функция непрерывна всюду, кроме точки

Замечание Из непрерывности функции по совокупности аргументов вытекает ее
непрерывность и по каждому из аргументов в отдельности, но обратное неверно.
11
1.3. Частные производные функции двух переменных
Рассмотрим функцию
точки
.
, которая определена и непрерывна в окрестности
Дадим
приращение
,
при
этом
получим
, которая не выходит из рассматриваемой области.Отметим, что
неизменным. Функция
точку
остается
получила приращение
.
Приращение

называется частным приращением функции
по переменной .
Определение Частная производная функции
точке
по переменной
- предел, если существует, частного приращения функции
по переменной
в
к
приращению аргумента
Обозначается
Опять возьмем точку
. Дадим
без изменения. Получим точку
приращение
. Для функции
,
оставим при этом
получим приращение
Если существует
,
по переменной
то его называют частной производной функции
и обозначают
При вычислении
положить
производная ее по
в точке
.
предполагали, что
является постоянной, но если в функции
константой, то она станет функцией одной переменной
и
будет обыкновенной производной функции одной переменной.
Значит, чтобы найти частную производную функции
найти обыкновенную производную по
, считая, что
по переменной
, надо
константа. Аналогично для переменной .
Отсюда следует, что при нахождении частных производных применимы все правила
дифференцирования функции одной переменной.
12

Пример Найти частные производные функции
Решение
 Пример
Найти частные производные функции
Решение

Замечание Если функция
частная производная
остальные переменные
зависит от трех переменных, то ее
вычисляется как обычная производная по
и
, предполагая, что все
являются постоянными величинами.
Геометрический смысл частных производных
Функция z  f ( x, y) определяет в пространстве некоторую поверхность. Пусть функция
непрерывна в некоторой области D и имеющая там частные производные по x и y
z
в точке M 0 полагаем, что z является
x
толькофункцией аргумента x , тогда как аргумент y сохраняет постоянное значение y  y0 то есть
При нахождении частной производной
z  f ( x, y0 )  f1 ( x) .
Функция
f1 ( x) геометрически изображается кривой L, по которой поверхность S
пересекается плоскостью y  y0 .
В силу геометрического смысла производной функции одной переменной f1 ( x0 )  tg ,
где  - угол, образованный касательной к линии L в точке N 0 с положительным направлением оси
Ox.
13
 z 
f1 ( x0 )   
, так что
 x   x0 , y0 
 z 
 tg
 
 x   M 0 
 z 
равна тангенсу угла  между осью Oх

 x   M 0 
Таким образом, частная производная 
икасательной в точке
N0
z  f ( x, y)
к кривой, полученной в сечении поверхности
плоскостью y  y0 .
Аналогично получаем, что
 z 
 tg  .
 

y
  M0 
1.4. Дифференциал функции
Пусть в области
переменным
и
задана функция
приращение
и
. Возьмем точку
. Дадим
. Получаем точку
, функция
при этом получит некоторое приращение
которое называется полным приращением функции
Функция
числа
и
.
называется дифференцируемой в точке
, не зависящие от
и
, если существуют такие
, что полное приращение функции в точке
может быть
представлено в виде:
где
и
бесконечно малые величины при
Выражение
и
.
называется главной частью полного приращения функции
– бесконечно малые того же порядка, что и
более высокого порядка малости, чем
и
и
,
– бесконечно малые
,
.
Полным дифференциалом функции двух переменных
называется главная
часть ее приращения и обозначается
Приращения независимых переменных
независимых переменных
где
и
и
будем называть дифференциалами
, обозначать соответственно
– бесконечно малая величина при
и
и
. Тогда
и
.
Частным дифференциалом функции двух независимых переменных называется
произведение соответствующей частной производной на дифференциал этой переменной, т.е.
14
Функция
называется дифференцируемой на множестве
, если она
дифференцируема в каждой точке этого множества.
Полный дифференциал dz - главная часть приращения, т.е.
z  dz ,
и равенство тем точнее, чем меньше приращения независимых переменных, а поэтому в
практических вычислениях с достаточной точностью при малых приращениях
независимых приращениях заменяют вычисление приращения функции вычислением ее
дифференциала.
Пример Найти полное приращение z и полный дифференциал dz функции

z  3x 2  xy  y 2  1
Решение
z  z  x  x, y  y   z  x, y  


 3   x  x    x  x    y  y    y  y   1  3x 2  xy  y 2  1
2
2
z  3x 2  6 x  x  3  x 2  xy  yx  xy  xy  y 2  2 yy  y 2  1 
 3x 2  xy  y 2  1  6 x  y   x   x  2 y   y  3  x 2  xy  y 2 
 dz  3  x 2  xy  y 2
Разность z  dz  3  x 2  x  y  y 2 - погрешность, которая возникает от
замены приращения функции z ее дифференциалом dz .
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости
функции двух переменных
Теорема: (необходимое условие дифференцируемости функции в точке) Если функция
дифференцируема в точке
, то она имеет в этой точке частные
производные и частные дифференциалы:
Доказательство: По условию теоремы функция
где
–
дифференцируема в точке
бесконечно
малые
величины
, т.е.
при
.
Положим
условии, что
, то есть полное приращение есть приращение по переменной
при
.
15
Перейдем к пределу при
:
Аналогично, положив в равенстве (1)
и проделав аналогичные выкладки,
получим, что
.
Итак, если функция дифференцируема в точке
, то ее полное приращение
записывается в виде
А полный дифференциал
где
– частные производные функции двух переменных.
Итак, дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме ее частных
дифференциалов.
Теорема: (достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных) Если
функция
непрерывна и имеет непрерывную частную производную в точке
, то она дифференцируема в этой точке.
(без доказательства)

Замечание Можно показать, что дифференциал функции
в точке
– приращение аппликаты точки касательной плоскости к поверхности
в точке
1.5. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям
Пусть задана дифференцируемая функция
. Дадим
и
приращение
и
, тогда полное приращение функции:
16
Итак,
– формула приближенного вычисления значения функции.

Пример: Вычислить
Решение

Пример Вычислить
Решение
17
1.6. Дифференцирование сложной функции
Пусть дана функция
функция
, где
, т.е. дана сложная
двух независимых переменных
и
. Предположим, что все функции
дифференцируемы, следовательно, непрерывны, т.е. при
Найдем частные производные
, оставив
и
z  z
и
. функции z . Дадим переменной
x  y
постоянной величиной, тогда переменные
и
. Полное приращение функции
где
и
на
и
и
и
и
так же получат приращение
стремящихся к нулю, т.е.
и перейдем к пределу при
– функции от
предела. Функции
и
приращение
будет определяться по формуле
бесконечно малые величины при
Разделим
стремятся к нулю.
, от
:
они не зависят, поэтому их можно вынести за знак
дифференцируемы, следовательно, непрерывны и при
.Частная производная сложной функции по
Аналогично частная производная сложной функции по
Итак, частная производная сложной функции равна сумме произведений частных
производных заданной функции по промежуточным аргументам
на частные производные
этих аргументов
по соответствующей независимой переменной ( или ).
18
Полная производная функции двух переменных
Рассмотрим
, где
. Предположим, что функции
– дифференцируемы.
переменной
, т.е.
– функция одной
, поэтому можно говорить о полной (а не о частной) производной
, очевидно, что
Поэтому полная производная функции двух пременных вычисляется по формуле:

Пример Вычислить
.
Решение
1.7. Дифференциал сложной функции и инвариантность ее формы
Рассмотрим функцию
, где
что эта функция дифференцируема в точке
Пусть теперь
и
и
независимые переменные, предположим,
, тогда ее полный дифференциал имеет вид:
, т.е.
сложная
функция, тогда
Выражение дифференциала не зависит от того являются ли функции
или независимыми. Это свойство
инвариантностью его формы.
неизменности
первого
и
дифференциала
зависимыми
называется
19
Теорема: Дифференциал функции
от того, являются ли ее аргументы
сохраняет один и тот же вид независимо
и
независимыми переменными или функциями от
независимых переменных.
Правила дифференцирования сложной функции
При нахождения дифференциала функции нескольких независимых переменных можно
пользоваться следующими правилами. Пусть
– функции любого числа независимых
переменных, тогда
Доказательства получаются на основании свойства инвариантности формы первого
дифференциала.
Докажем (2): Т.к. форма дифференциала не зависит от характера аргументов,
предположим, что они независимые переменные



Пример Вычислить d  arctg
y

x
 dy y  dx 
  2 
x 
 y  x
1  
x
1
2
1.8. Частные производные и дифференциалы высших порядков
Пусть функция
имеет частные производные
являются функциями независимых переменных
и
, они в свою очередь
. Частные производные от этих функций
называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка от
функции
. Каждая производная первого порядка имеет две частные производные, т.о.
получаем четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются так
Производные

и
называются смешанными производными.
Пример
Вычислить частные производные второго порядка
20
Решение
Совпадение смешанных производных неслучайно.
Теорема Шварца: Если функция
производными.
непрерывная вместе со своими частными
, то смешанные производные совпадают
Итак, функция двух переменных
имеет при указанных условиях фактически
три производные, а не четыре.
Частные производные от частных производных второго порядка называются частными
производными третьего порядка и т.д.
по теореме о равенстве двух смешанных производных.

Пример Вычислить частные производные второго порядка для функции
Решение

Пример
Вычислить
частные
производные третьего порядка для функции
.
Решение
21
1.9 Дифференциалы высших порядков
Пусть функция
дифференцируема на множестве
, тогда ее полный
дифференциал
Полный дифференциал от дифференциала первого порядка называется дифференциал
второго порядка

  z
z 
  z
z 
 dx  dy  dx   dx  dy  dy
x  x
y 
y  x
y 
т.к.
, то
и
не зависят от
и , то
– символическая запись
Полный дифференциал от дифференциала второго порядка называется дифференциалом
третьего порядка.
Полный дифференциал от  n  1 дифференциала называется полным дифференциалом n
порядка.
Пример Вычислить полный дифференциал третьего порядка для функции
.
Решение


Пример Вычислить полный дифференциал третьего порядка для функции
Ответ
22
Пример Вычислить полный дифференциал третьего порядка для функции

Решение
1.10 Неявные функции многих переменных
Неявная функция одной переменной определяется уравнением
, двух
и тд.
Пример: Уравнение

и значит нельзя рассматривать
не имеет никаких действительных корней
как функцию от
, аналогично для
.
Следовательно, функция задана неявно.
Теорема1: (существование неявной функции) Пусть функция
непрерывна в какой-нибудь окрестности точки
этой окрестности ее частные производные
нуль, то уравнение
, причем
и
непрерывны и
в некоторой точки
непрерывную функцию
. Если в
в точке
определяет
, такую, что,
,
определена и
не обращается в
как однозначную и
причем она имеет непрерывную
производную.
Сделаем к теореме1 несколько пояснений.
Пусть
неявная
функция
В точке
окрестности точки
определена
уравнением.
имеем
и
и
непрерывные в
. По теореме1 существует функция
,
обращающее данное уравнение в тождество и такая, что   2   1
Теорема2: Пусть функция
окрестности точки
частные производные
уравнение
определена и непрерывна в какой-нибудь
, причем
,
,
. Если в этой окрестности ее
непрерывны и
в точке
не обращается в нуль, то
в некоторой окрестности точки
однозначную и непрерывную функцию
и
как
, такую, что,
,
причем она имеет непрерывные частные производные
определяет
.
23
1.11. Дифференцирование неявных функции
Пусть уравнение
(1) определяет
дифференцируемую функцию
подставить вместо
функцию
как некоторую однозначную и
независимой переменной
. Если в уравнении
, то получим тождество
, где
, также должна быть равной нулю.
Дифференцируя по правилу дифференцирования сложной функции найдем
Откуда
это выражение для производной неявной функции одной независимой переменной.
Пример Найти частныепроизводные
Решение


Пример Найти частные производные
Решение
Пусть теперь уравнение
и дифференцируемую функцию
подставить вместо
определяет
как некоторую однозначную
независимых переменных
и
, то получим тождество
Следовательно, частные производные по
и по
. Если в уравнение
.
от функции
также должны быть равны нулю. Дифференцируем сначала по , потом по
, где
:
Откуда
Формулы дают общие выражения частных производных неявной функции двух
независимых переменных.
24
Пример Найти частные производные
Решение

F ( x, y, z )  e xy  2 z  e z
Пример Найти частные производные
Решение


Пример Найти частные производные
.
Решение
В общем случае, когда уравнение
однозначную и дифференцируемую функцию от
 Пример
определяет некоторую
x, y, z аналогично предыдущему найдем:
Найти частные производные
Решение
25
1.12. Экстремумы функции двух переменных
Рассмотрим функцию
, которая определена в точке
некоторой ее окрестности. Говорят, что функция
(минимум), если существует окрестность точки
в точке
и в
имеет максимум
такая, что в любой точке
этой
окрестности выполняется неравенство:
Точки максимума или минимума называются точками
экстремума функции.
– точка максимума,
– точка минимума функции
. Отметим, что, в силу определения, точка
экстремума лежит в локальной области определения функции;
максимум и минимум имеют локальный характер: значение
функции в точке
сравнивается с ее значениями в
точках, достаточно близких к
. В области
функция может иметь несколько
экстремумов или не иметь ни одного.
Теорема: (необходимое условие существования экстремума функции двух переменных в
точке) Если в точке
дифференцируемая функция
достигает
экстремума, то ее частные производные
и
в этой точке, либо равны нулю, либо
бесконечности, либо не существуют.
Доказательство: Предположим, что в точке
функция
имеет
экстремум. Зафиксируем
, тогда функция
переменной , которая в точке
имеет экстремум. А необходимым условием для этого является,
то что, производная
по
либо равна нулю, либо бесконечности, либо не
существует, а эта производная при фиксированном
Аналогично, зафиксируем
становиться функцией одной
, есть частная производная
можно доказать, что
, т.е.
либо равна нулю,
либо бесконечности, либо не существует.
Точки, в которых
и
равны нулю, бесконечности или не существуют, называются
критическими точками функции или стационарными точками функции
.
26
Теорема: (достаточное условие существования экстремума функции двух переменных)
Пусть функция
непрерывна вместе со своими частными производными в
окрестности точке
. Точка
является критической точкой и в этой точке
, то в точке
экстремум, причем
максимум, если
минимум, если
Если
, то в точке
экстремума нет.
Если
, то это сомнительный случай и требуется дополнительное
исследование.
Правило нахождения экстремума функции
1)
2)
3)
точках.
4)
Найти
и
.
Найти стационарные точки, решая систему
Найти частные производные второго порядка и их значения в стационарных
Исследовать знак, дискриминанта и сделать вывод.

Пример Найти экстремум функции
Решение
.
вывод
10>0
2
0
20>0
минимум
-10<0
-4/3
0
40/3>0
максимум
-2<0
0
4
-16<0
-2<0
0
-4
-16<0
экстремумов
нет
экстремумов
нет
27

Пример Найти экстремум функции

Пример Найти экстремум функции

Замечание Если достаточные условия не дают ответа, то необходимо проверять
непосредственно знакопостоянства приращения в окрестности критической точки.

Пример Найти экстремум функции z  x 2 y 2 
1 2 1 2
x  y  xy  1 .
2
2
Решение
2 xy 2  x  y  0
- система имеет единственное решение x  0, y  0 .
 2
2 x y  x  y  0
Частные производные в критической точке (0,0) равны 1
Наличие экстремума по достаточным условиям не наблюдается.
Исследуем непосредственно
z   xy  
2
1
2
  x  y  , очевидно z  0 и в 0 не
2
обращается, т.к. приращения аргументов не равны 0 одновременно, следовательно, функция имеет
минимум. Этот минимум равен 1.
28
Глава 2. Неопределенный интеграл
Во многих теоретических и прикладных вопросах математического анализа приходится
решать задачу, обратную дифференцированию, по заданной производной F  x  f x или по
 
 
dF x   f x dx , найти первоначальную функцию, так называемую
F x  .
заданному дифференциалу
первообразную функцию
2.1. Понятие первообразной функции
Рассмотрим задачу обратную задаче о нахождении производной. Пусть дана функция
, где
– конечный или бесконечный промежуток числовой прямой. Найдем такую
функцию
, производная, которая равна

Пример

Определение Функция

Пример Функция
F x 
, т.е.
называется первообразной функцией для функции
f  x  на интервале a, b  , если в любой точке x  a, b функция F x  дифференцируема и
или
F x   f x 
dF x   f x dx .
x 2 - первообразная для данной функции 2 x
на
 ;  
Могут возникнуть два вопроса:
1.
Будет ли данная функция иметь первообразную?
2.
Если первообразная для данной функции есть, то единственная ли она?
Теорема 1 (о существовании неопределенного интеграла) Если функция
на отрезке
, то для этой функции существует первообразная (без доказательства)
Теорема 2 Если функция
где
непрерывна
является первообразной на множестве
– произвольная константа, тоже первообразная для функции
Доказательство:
по определению
, то
,
.
.
Но
Замечание: Следовательно, если функция
.
имеет хотя бы одну первообразную, то
она имеет их бесконечно много.
 Пример
Все эти первообразные можно отыскать, зная хотя бы одну.
29
Теорема 3 Пусть заданы функции
функции
на множестве
и
, которые являются первообразными
. Тогда эти функции отличаются друг от друга на постоянную
величину.
Доказательство:
по определению первообразной
.
Тогда
или
.
Известно, что для того чтобы функция была постоянной на множестве необходимо и
достаточно, чтобы ее производная на множестве равнялась нулю, следовательно
.

Определение Совокупность всех первообразных для данной функции
определенной в некотором интервале
функции
где
f x 
– знак интеграла;
f x 
a, b
f x 
называется неопределенным интегралом от
 f x dx  F x   C
- подынтегральная функция, а
f x dx
- подинтегральное
выражение.
Теорема4: Если функция
множестве
– какая-либо первообразная для функции
на
, то все первообразные для этой функции содержатся в формуле
, где
произвольная константа.
Доказательство: Теорема 4 следует из теорем 2 и 3. По теореме 2 следует, если
первообразная, то и
– первообразная. Пусть для функции
есть еще первообразная
Процесс отыскания
интегрированием.
–
–
, кроме первообразной
, тогда по тереме 3:
неопределенного
интеграла
от
данной функции
называется
Геометрический смысл неопределенного интеграла
Неопределенный
интеграл
представляет
собой
семейство
кривых
. Каждая из этих кривых может быть получена путем параллельного переноса
другой вдоль оси
. Эти кривые называют интегральными кривыми. График
называется
интегральной кривой.
30
Геометрически неопределенный интеграл – однопараметрическое семейство плоских
кривых y  F x  С , где C - параметр, обладающих следующим свойством:
 
x  x0 , параллельны между собой, т.е.
касательные, проведенные к этим кривым в точках
-

  
 
 
их угловой коэффициент F x  С  F  x0  f x0 .
Т.е. с геометрической точки зрения неопределенный интеграл – семейство интегральных
кривых, все касательные к которым при
параллельны между собой.

Пример
,
;
.
Свойства неопределенного интеграла
1.
Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции, т.е.
Доказательство: Пусть
2.
Дифференциал
выражению, т.е.
– какая-либо первообразная
от
неопределенного
интеграла
на
равен
, тогда
подинтегральному
Доказательство:
3.
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой
функции плюс произвольная константа
Доказательство:

Пример Вычислить неопределенный интеграл
 sin x dx   d  cosx    cosx   C
31
Из свойств 1, 2, 3 следует, что действие дифференцирования и нахождение первообразной
взаимно обратные операции

Замечание Задача дифференцирования решается однозначно, т.е. производная
функции находится единственным образом. Обратная задача решается неоднозначно, т.к. каждой
функции ставится в соответствие бесконечно много первообразных отличающихся друг от друга
на константу. Эта неоднозначность дала интегралу название неопределенный.
4.
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций
равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.
Доказательство: Обозначим
является первообразной для
и докажем, что
.
Пример Вычислить неопределенный интеграл

 (5х
2
 6 х  1)dx .
Это интеграл от алгебраической суммы функций. Применяя свойства интеграла, получим:
 (5х
5
2
 6 х  1)dx   5 х 2 dx   6 xdx   dx  5 x 2 dx  6 xdx  x 
x3
x2
5
 6  x  c  x 3  3x 2  x  c.
3
2
3
Проверим результат дифференцированием:
5
d ( x 3  3x 2  x  c)  (5 x 2  6 x  1)dx
3
.
5.
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, т.е.
– константа.
Доказательство: найдем производные левой и правой частей равенства
Эти
два
равенства
показывают,
что
для
:
и
являются первообразными, а первообразные отличаются на константу.
Считается, что константа входит в неопределенный интеграл.
32

Замечание Свойство подобия

f ax dx 
1
F ax   C ,
a

f ax  b dx 
1
F ax  b   C .
a
Пример Вычислить неопределенный интеграл

1
 cos7 xdx  7 sin 7 x  C
Свойство инвариантности формулы интегрирования.
6.
Пусть
и пусть
– любая функция, имеющая
непрерывную производную. Тогда
Доказательство: Т.к.
функцию
, то
. Возьмем теперь
. В силу теоремы об инвариантности первого дифференциала
, откуда

Пример Вычислить неопределенный интеграл
полагая
,
.
2.2 Таблица интегралов
Нахождение интеграла от элементарных функций, используя свойства 1-7 и таблицу
интегрирования называют неопределенным интегрированием.
1
2
3
4
33
5
6
7
8
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
34
2
2
Табличные интегралы
дифференцированием.
получены
из
таблицы
производных
и
проверяются
Докажем, например,
Если интеграл от элементарной функции выражается через элементарные функции, то
говорят, что интегрирование выполнено в конечном виде. Далее будет доказано, что для каждой
непрерывной на промежутке функции существует первообразная на этом промежутке.
2.3 Основные способы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование, т.е. непосредственное применение табличных формул
интегралов без искусственных преобразований.
Пример
35
2. Метод разложения
Метод называется иногда почленное интегрирование, заключается в разложении
подинтегральной функции на сумму функции и в почленном интегрировании этой суммы.
Пример Вычислить неопределенный интеграл


x
x44
4 

dx  
dx   1 
 dx  x  4ln  x  4   C
x4
x4
x

4


3. Метод – интегрирование по частям
 udv  u  v   vdu
Док-во
d uv   udv  vdu , интегрируем
 d uv    udv   vdu , или
uv  C   udv   vdu , что и т. д.
При интегрировании этим методом подинтегральное выражение
два сомножителя
и
. В качестве
дифференцированием, в качестве
содержащая
разбивается на
обычно выбирается функция, которая упрощается
– оставшаяся часть подинтегрального выражения,
, из которой можно определить путем интегрирования .
 x  cos xdx  x sin x  cos x  C .

Пример Вычислить интеграл

Замечание Интегрирование по частям применяют к интегралам вида:
 px   sin axdx ,  px   cosaxdx ,  px   ln xdx ,  px   arcsin xdx ,
kx
p
x

e
dx ,








p
x

arccos
xdx
p
x

arctgxdx
p
x

arcctgxdx
,
,
,




где
p x  - многочлен по степеням x .

где
Замечание Интегрирование по частям применяют к интегралам вида:
– многочлен
ной степени относительно
. Такие интенралы вычисляются
двукратным интегрированием по частям и называются циклические интегралы.

Пример Вычислить интеграл
36

Пример Вычислить интеграл

Пример Вычислить интеграл
.

Пример Вычислить интеграл
u  arcsin x; dv  xdx;
 x  arcsin x  dx 

du 
dx
1 x2
;v 
2
x
2

x  sin t ; dx  cos tdt
x2
x 2 dx
arcsin x  


2
2
2
1

x

cos
t
2 1 x
x2
1
x2
1
x2
1  sin 2t 
arcsin x   sin 2 tdt 
arcsin x   (1  cos 2t )dt 
arcsin x   t 
C 
2
2
2
4
2
4
2 

x2
t sin t cos t
x2
arcsin x x 1  x 2
arcsin x  
C 
arcsin x 

C .
2
4
4
2
4
4

Замечание: В некоторых случаях для сведения интеграла к табличному формула
интегрирования по частям применяется несколько раз.

Пример Вычислить интеграл
.

Пример Вычислить интеграл
37

Пример Вычислить интеграл

Замечание: Иногда искомый интеграл определяется из алгебраического уравнения,
получающегося с помощью интегрирования по частям.
Для некоторых функций применяется приём «сведения интеграла к самому себе».
С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного) интеграл выражается
через такой же интеграл; в результате получается уравнение относительно этого
интеграла, решая которое, находим значение интеграла.

Пример Вычислить интеграл
I   a 2  x 2 dx 
 x a2  x2  
u  a 2  x 2 ; dv  dx;
du  
(a 2  x 2 )  a 2
2
a x
2
xdx
a2  x2
;v  x
 x a2  x2  
dx  x a 2  x 2  
 x a 2  x 2   a 2  x 2 dx  a 2 
dx
a2  x2
a2  x2
2
a x
2
x 2 dx

a2  x2
dx  
x a2  x2  
a2
2
a x
2
 x2
a2 x2
dx 
 x a 2  x 2  I  a 2 arcsin
x
.
a
В результате для искомого интеграла получили уравнение
I  x a 2  x 2  I  a 2 arcsin
x
,
a
решая которое, получаем
x
C
a
(константа С появилась вследствие того, что интегралы I в правой и левой частях
2 I  x a 2  x 2  a 2 arcsin
уравнения определены с точностью до произвольной постоянной) и
I
1
a2
x
x a2  x2 
arcsin  C .
2
2
a
38
dx 

Замечание: Никаких общих рецептов, когда и как применять
интегрирования по частям дать невозможно. Умение выбрать нарабатывается на практике.
метод

Замечание: Вычислить
Данный интеграл решается выделением полного квадрата в подкоренном выражении, этот
интеграл сводится к одному известных интегралов:
4. Метод подстановки.
Метод заключается в преобразовании аргумента подинтегральной функции по некоторой
формуле, рассчитанной на то, чтобы интеграл в новой переменной оказался более простым для
вычислений.
5

Пример Вычислить интеграл

Пример Вычислить интеграл

dx
a
2
x

2 3
 x  a sin t  

3
2
sin x  cos xdx  sin 2 x  C
3
1
x
a2
a2  x2
C
Способ разложения.
Заключается в разложении подинтегральной функции и в почленном интегрировании
слагаемых.

Пример Вычислить интеграл

Пример Вычислить интеграл

Пример Вычислить интеграл
39
6
Способ подведения под знак дифференциала.
Во всех табличных интегралах под знаком дифференциала стоит переменная
подинтегральной функции. Если это условие не выполнено, то интеграл не является табличным.
Чтобы свести его к табличному интегралу, надо выполнить, если возможно, тождественное
преобразование подинтегральной функции.

Пример Вычислить интеграл

Пример Вычислить интеграл

Пример Вычислить интеграл

Пример Вычислить интеграл

Пример Вычислить интеграл

Пример Вычислить интеграл

Пример Вычислить интеграл
40
2.4. Основные методы интегрирования
Метод замены переменной в неопределенном интеграле (метод подстановки)
1.
Теорема: Пусть функция
промежутке
и пусть
, т.е. на
определена и дифференцируема на некотором
– множество значений этой функции, на которой определена функция
определена
сложная функция. Тогда, если на множестве
имеет первообразную
функция
, то справедлива формула:
– формула замены переменной в неопределенном интеграле.
Доказательство:
Функция
определена на том же множестве, что и
функция
, то существует и сложная функция
По
правилу
):
т.е.
дифференцирования
имеет на
сложной
,
существует сложная
.
функции,
первообразную
получаем
(учитывая,
что
и, следовательно:
Пример Вычислить интеграл


Пример Вычислить интеграл
.


Пример Вычислить интеграл
Пример Вычислить интеграл
41

Пример Вычислить интеграл

Пример Вычислить интеграл
.

Замечание: Примеры показывают, что дать общее правило или формулу для
вычисления интегралов методом замены переменной нельзя. Успех приходит только с
накопленным опытом.

Пример Вычислить интеграл
.

Пример Вычислить интеграл
2.5 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
сводится к сведению к интегралам первого и второго рода
1)
Интегралы первого рода (
)
Для вычисления данных интегралов нужно выделить в квадратном трехчлене полный
квадрат.
42
Окончательно, имеем

2)
Пример Вычислить интеграл
Интегралы второго рода. (
).
В числителе выделим производную квадратного трехчлена стоящего в знаменателе.
43
Пример Вычислить интеграл

.

ЗамечаниеИнтегралы вида
сводим к интегралам вида



dt
t k
2
2
dx
ax 2  bx  c
a  0 или

dt
k t
2
2
a0
Пример Вычислить интеграл
44
2.6. Интегрирование рациональных дробей
При введении понятия неопределенный интеграл отмечали, что интеграл от элементарной
функции уже может не являться элементарной функцией. Поэтому очень важно выделить такие
классы функций, интегралы которых выражаются через элементарные функции.
Простейшим их этих классов является класс рациональных функций. Рассмотрим методы
вычисления интегралов от рациональных дробей. Всякую рациональную функцию можно
представить в виде рациональной дроби.

Определение Рациональной дробью называют отношение двух многочленов
Q x  b0 x m  b1 x m1   bm1 x  bm

P x  a 0 x n  a1 x n 1    a n 1 x  a n
где
Q x , Px  - многочлены степени m, n .
Если m  n - то дробь называется правильной, в противном случае неправильной.

Пример
Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной
рациональной дроби.
Qn  x 
r x 
 Tn m x   k
Pm x 
Pm x 
Пример

x  3x 2  2 x  1
3
x 1
2
 x 3
x2
x2  1
Неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и некоторой
правильной дроби. Для этого делим многочлен числителя на многочлен знаменателя.

Пример:
Правильные рациональные дроби можно разбить на 4 вида
1.
2.
3.
, т.е. квадратный трехчлен в знаменателе не имеет
действительных корней.
4.
45
называются простейшие рациональные дроби 1-4 типов.

Теорема Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях
Рассмотрим вычисление интегралов всех типов. Каждый тип простейших дробей
интегрируется в элементарных функциях.
2.7. Интегрирование простейших дробей
1.
2.
3.
Вычисление этого интеграла рассматривали в теме «Интегрирование квадратного
трехчлена».
4.

x
Bx  C
2
 px  q


dx
идея состоит в сведении к вычислению интеграла вида

x
Bx  C
2
 px  q

 1
dx
p


x


t
,
dx

dx
,


Bt  C1
Bx  C
2


dx


dt 
 2

2

2
2
p
Bp
t

r



2
x  px  q
r  q  4 , C1  C  2 
t
1
 B
dt

C
dt
1

2
2 
2
2 
t r
t r








первый интеграл - табличный
B
t
t
2
r

2 
B d (t 2  r 2 ) B
1
1
dt  



2 t 2  r 2  2 1    t 2  r 2




 1
K
Второй интеграл вычисляем следующим образом
46
I  

1
r2
t
1
2

r
I  1 
dt 
2 
1
r2
t 
t
1
r2  t2  t2

r2
t
t
2
r
r
2
dt 

2 

2 
1
r2
dt 
I  1
1
r2
I  1 
1
r2

t
t2
2
r

2 
dt 
 1
1
 2  t d 

 21    t 2  r 2
r

1



 1



интегрируем по частям

 1

1
u  t , dv  d 


 1
2
2


2
1




  1
1
t r

  2 I  1  2
r
1
1

 r
du

dt
,
v



21    t 2  r 2  1 


1
1

dt

21    t 2  r 2  1






1
1
t 

 21    t 2  r 2



 1



получаем


1
1
1
t 


I  1


1
 21    t 2  r 2
 21   
1
1
2  3
I  t  2

 2
I  1


1
2 r    1 t 2  r 2
2r    1
1
1
I  2
2  1
r
r
I 




получена рекуррентная формула
Так как I  
1
 t 2  r 2  dt , то при   1 имеем
1
t
I 1  arctg    k
r
r
1
2r 
2

t
1
2
r
2


1
2r
I
2 1
и т.д.
Пример Вычислить интеграл

 x  1  t ,
t 3
dx


dt 



3
3
2
2
dx

dt


x  2x  3
t 2
t
dt
1
dt

3


 3I 3

3
3
3
2
2
2
t 2
t 2
4t 2
Q

I2  t 
x4










применяя рекуррентную формулу, имеем
I3 
t

8 t2  2
dt
I1  
t 2
2



1
2
3
t
1
I2, I2  2
 I1 ,
8
4t 2 4
2

arctg
t
2

C
47
Q
x
x4
2

 2x  3
3
dx 

3x  1

8 x  2x  3
2
2
Теорема1: Для того чтобы число


9x  9

9
32 2
arctg
было корнем многочлена
достаточно, чтобы он делился без остатка на разность
многочлен

32 x 2  2 x  3

x 1
2
C
необходимо и
, т.е. чтобы существовал такой
, что
Пример: Разложить на множители
Теорема2:
Всякий
многочлен
степени
с
действительными
, где
коэффициентами
– действительные числа, а
,
единственным образом может быть представлен в виде произведений многочленов 1 и 2 степени
где
, где
корни данного многочлена, кратность которых равна
– действительные
, квадратные трехчлены
- действительных корней не имеют.
Частный случай данной теоремы – разложение на множители квадратного трехчлена.

Пример

Пример

Пример

Пример
Теорема3: (о представлении правильной рациональной дроби в виде суммы простейших
дробей) Пусть
– правильная рациональная дробь, знаменатель которой
может быть
представлен в виде (1), тогда данную дробь можно представить в следующем виде:
48
где
– действительные числа (неопределенные
коэффициенты).
В (2) каждому множителю в разложении (1), соответствует своя группа слагаемых:
сюда входят простейшие рациональные дроби 1 и 2-го типа, а множителю
сюда входят дроби 3 и 4 типа.
Вывод: Каждая правильная рациональная дробь представима в виде простейших
рациональных дробей и, следовательно, интегрируется в конечном виде.
Как найти эти неопределенные коэффициенты в формуле (2)?
Все дроби в правой части (2) требуется привести к общему знаменателю. Тогда (2)
является равенством двух рациональных дробей с одинаковым знаменателем.
Получим тождественно равные многочлены, стоящие в числителях левой и правой частей.
Для нахождения этих коэффициентов можно использовать 2 способа:
1)
Метод неопредленных коэффициентов.
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при
одинаковых степенях переменных. Приравнивая коэффициенты, получим систему для
определения коэффициентов.
В курсе высшей алгебры доказывается, что полученная система линейных уравнений
всегда разрешима.

Пример
x2  4
x  2  x  33
x2  4
x  2  x  33

A
B
C
D



x  2 x  33 x  32 x  3

8
13
7
8



x  2 x  33 x  32 x  3
49
Пример

3x  5
x  1  x 2  1

4
4x  1
 2
x 1 x 1
Метод частных значений.
2)
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда они принимают равные значения при
всех действительных значения . Можно вычислить значения многочленов в левой и правой части
при одних и тех же . На практике обычно применяют оба этих метода.

Пример: Разложить на простейшие дроби
Правило интегрирования рациональной дроби
1.Выделяем целую часть, если дробь неправильная и представляем дробь как сумму
многочлена и правильной рациональной дроби.
2. Разлагаем знаменатель правильной дроби на множители, а дробь на сумму
элементарных дробей
3. Интегрируем многочлен и полученную сумму элементарных дробей

Пример Вычислить интеграл

Пример Вычислить интеграл
2.8. Интегрирование неправильных рациональных дробей
Для интегрирования неправильных дробей необходимо неправильную дробь перевести в
правильную, для этого нужно разделить многочлен
на
. В результате дробь будет
представлена в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.
Правильную дробь представляем в виде суммы простейших дробей с неопределенными
коэффициентами. Найти неопределенные коэффициенты. Взять интегралы от простейших дробей.
50

Пример Вычислить интеграл
2.9 Интегрирование некоторых иррациональностей
Иррациональные функции интегрируются только в некоторых определенных случаях.
Рассмотрим простейшие иррациональные функции, интегралы от которых приводят к
интегралам от рациональных функции.
1)
где
– рациональная функция своих аргументов,
натуральные числа.
Функция называется рациональной функцией своих аргументов, если в ее образовании
участвуют только арифметические действия, связывающие переменные и действительные числа.
Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби, если сделать подстановку
, где
– наименьшее общее кратное

Пример Вычислить интеграл
.
2.
натуральные числа.
Подынтегральная функция рациональная функция от x и нескольких дробных
степеней дробно-линейной функции аргумента x .
Подстановка
ax  b B
 t , где B - наименьшее общее кратное.
cx  d
51
Данный интеграл решается заменой
, которая приводит к интегралу
от рациональной дроби относительно переменной .
Доказательство:
дробь, значит
–рациональная
– тоже рациональная дробь, делаем замену переменной.
– интеграл от рациональной дроби. В интеграле (*) делается замена
наименьшее общее кратное
, где
-
, которая приводит к интегралу от рациональной
дроби от переменной .

Пример Вычислить интеграл

Пример Вычислить интеграл
52

Пример
Вычислить интеграл
dx
dx
 x3 x  5 x 2   15 t 6  t 7
 R x,
Вычисление интегралов вида
Подстановка x  a sin t
1.
Вычисление интегралов вида

a 2  x 2 dx
 R x,
a 2  x 2 dx

 R x,
x 2  a 2 dx
Подстановка x  a  tgt
2. . Вычисление интегралов вида

Подстановка x  a sect
Подынтегральное выражение превращается в точный квадрат, и интеграл сводится к
интегралу вида
 R1 sin t, cost dt .
2.10 Подстановки Эйлера
Вычисление интегралов вида
 R x,

ax 2  bx  c dx
Такой интеграл сводим к интегралу от рациональной функции с помощью подстановок
Эйлера.

1 подстановка Эйлера
ax  bx  c   a x  t
2
тогда ax  bx  c  ax
функция от t .
2
a0
 2 a xt  t 2 , и, следовательно, x
определяется как рациональная
Пример Вычислить интеграл


2
, если
dx
x c
2


x
2

 c  x  t  ln x  x 2  c  C .
2 подстановка Эйлера
ax  bx  c  xt  c , если c  0
2
53
тогда ax  bx  c  x
рациональная функция от t .
2

2
 t 2  2 xt c  c ,
и,
следовательно,
x
определяется
как
3 подстановка Эйлера
ax  bx  c  x     t , если ax  bx  c  a  x     x   ,
2
2
где  ,  - действительные корни квадратного трехчлена.

и
x

 
2
тогда, a  x    x    x    t и, следовательно,
определяется как рациональная функция от t .
2
Пример Вычислить интеграл

dx

x  3x  4
2

x
2

 3x  4  x  4 t  ln
a  x     x     t 2
x  4  x 1
x  4  x 1
C
2.11 Подстановки Чебышева
Вычисление интегралов вида

m
n
 x  a  bx
 dx
p
возможно с помощью подстановок
Чебышнва. В прошлом веке П.Л. Чебышевым было доказано, что этот интеграл вычисляется в
элементарных функциях только в 3 случаях:
p - целое число, то t  r x , где r наименьшее общее кратное
m 1
n
целое число, то z  x
n
m 1
 p целое число, то z  x n
n



Пример Вычислить интеграл


3
1

1 4 x
dx   z  x 4 
x3 x


2.12 Интегрирование тригонометрических функций
1.
где
Вычисление интегралов вида
– рациональная функция от
 Rsin x, cos xdx
и
. Покажем, что этот интеграл всегда выражается
через элементарные функции. Сделаем подстановку
54
Тогда
т.е. получаем интеграл от функции, рационально зависящей от переменной .
Значит
подстановкой
всегда можно вычислить. Эта
подстановка называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример Вычислить интеграл
Замечание: Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к большим
дробям. Иногда интегралы указанного типа могут быть взяты при помощи более простых замен.

Пример Вычислить интеграл
55
где функция
удовлетворяет тождеству
В этом случае осуществляется замена

где функция
Пример: Вычислить интеграл
удовлетворяет тождеству
В этом случае осуществляется замена

.
.
Пример: Вычислить интеграл
56

Пример Вычислить интеграл
Подстановка

tg
x
t
2
- универсальная тригонометрическая подстановка.
Пример Вычислить интеграл
dx
 sin x  cos x 2
Rsin x, cos x - нечетная функция относительно sin x , то подстановка cos x  t
 Rcos x sin xdx
если
или

Пример Вычислить интеграл
1  2 cos x dx
 sin x  tg 2 x  4 cosec 2 x 

2t  1  t 2 dt
1  t 
2 2
Rsin x, cos x - нечетная функция относительно cos x , то подстановка sin x  t
 Rsin x cos xdx
если
или
57
если Rsin x, cos x - четная функция относительно sin x , cos x , то подстановка
tgx  t
если
 Rtgx dx , то подстановка tgx  t
Если sin x , cos x - в четных степенях, то подстановка tgx  t

Пример Вычислить интеграл
sin 2 x
 cos6 xdx  tgx  t 
2. Вычисление интегралов вида
 sin
m
x  cosn xdx , где m, n - нечетное число,
подстановка cos x  t или sin x  t
 sin
Вычисление интегралов вида
m
x  cosn xdx , где m, n - неотрицательные и
четные числа, формулы понижения порядка.
Вычисление интегралов вида
 sin
m
x  cosn xdx , где m, n - четные числа, один из
них отрицателен, то tgx  t
3. Вычисление интегралов вида
 cosmx  cos nxdx ,  sin mx  sin nxdx ,
 sin mx  cosnxdx , используются тригонометрические формулы:
cos mx  cos nx 
1
cos  m  n  x  cos  m  n  x  ,
2
sin mx  cos nx 
sin mx  sin nx 

где функция
1
sin m  n x  sin m  n x,
2
1
 cosm  n x  cosm  n x ,
2
Пример Вычислить интеграл
удовлетворяет тождеству
В этом случае осуществляется замена
или
.
58


Пример: Вычислить интеграл
Пример: Вычислить интеграл
где
и
целые неотрицательные числа.
– нечетное число, т.е.
тогда
– нечетное число, т.е.
и
Степени
формулы

и
и
тогда
четные числа.
понижаются путем перехода к двойным аргументам. Используя
Пример: Вычислить интеграл
59

Пример: Вычислить интеграл

Пример: Вычислить интеграл
В некоторых случаях, например, если
и
входят в четных степенях или, если их
степени отрицательны и сумма степеней четна, полезна подстановка

Пример Вычислить интеграл

Пример Вычислить интеграл
60

Пример Вычислить интеграл
– рекуррентная формула.

Пример Вычислить интеграл

Пример Вычислить интеграл
– рекуррентная формула.

Пример Вычислить интеграл
61
Тригонометрические подстановки
В результате этих
рациональные функции от
подстановок,

Пример: Вычислить интеграл

Пример: Вычислить интеграл

Пример Вычислить интеграл
подинтегральные
выражения
превращаются
в
62
2.13 Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
По теореме существования любая непрерывная на множестве
функция имеет на
первообразную, но она может и не быть элементарной. Т.е. первообразная существует, но не
может быть выражена через степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и
обратно тригонометрические функции. Про функции, у которых первообразная не является
элементарной, говорят, что они не интегрируются в элементарных функциях или не интегрируемы
в конечном виде.
Интеграл от всякой рациональной функции всегда выражается через элементарные
функции, но не всякий интеграл от функций иррациональных может быть выражен через
элементарные функции.
Пример

Для наиболее употребительных интегралов такого вида (например, для интеграла
, который имеет большое значение в теории вероятностей) составлены таблицы их
значений или найдено их выражение через другие специальные функции.
Интегральное исчисление есть источник новых функций, для которых вводят специальное
обозначение, свойства таких интегралов изучаются и составлены таблицы значений.
x
 e dx
2
- «интеграл вероятностей» - интеграл Пуассона (Симеон Дени Пуассон –
французский математик (1781-1840))
 sin x
2
dx ,  cosx dx - «интеграл Френеля» (Жан Огюстен Френель – французский
2
ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)

sin x
cos x
dx , 
dx
x
x
ex
 x dx
- «интегральный синус и косинус»
- «интегральная показательная функция»
1
 ln xdx - «интегральный логарифм»
Интеграл вида
, где Р(х)- многочлен степени выше второй, тоже относятся
к классу «неберущихся». Эти интегралы называются эллиптическими.
Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется
ультраэллиптическим.
Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он
называется псевдоэллиптическим.
63
Глава 3 Определенный интеграл
3.1. Задачи, приводящие к понятию определенный интеграл
Пусть функция
определена и непрерывна на отрезке
этой функции, считая для определенности, что
.
Фигуру, ограниченную сверху кривой
и
. Построим график
снизу осью OX, а с боков прямыми
, будем называть криволинейной трапецией. Пусть требуется вычислить площадь
криволинейной трапеции. Разобьем отрезок
На каждом частичном отрезке
на
частичных отрезков точками
возьмем произвольно по точке
Длина частичного отрезка
.
На каждом частичном отрезке построим прямоугольник с основанием
высотой
.
и
. Площадь прямоугольника
Получим ступенчатую фигуру, площадь которой будет равна сумме площадей всех
прямоугольников. Обозначим ее
:
Обозначим через
– длину наибольшего частичного отрезка, т.е. положим
, при
ступенчатая фигура все меньше и меньше будет отличаться от криволинейной трапеции и
в пределе сольется с ней.
Если существует конечный предел переменной площади
дробления отрезка
при
на частичные отрезки и выбора точек
независимо от способа
на этих частичных отрезках, то
этот предел принимается за величину площади криволинейной трапеции.
Таким образом
64
Задача о вычисление работы переменной силы
Пусть некоторое материальное тело движется по оси
направление которой
произведенную силой
под действием силы
совпадает с направлением движения.
при перемещении тела из положения
Требуется найти
в положение
,
работу,
. Если
сила постоянна,
Пусть сила меняется в зависимости от положения точки на отрезке
Разобьем отрезок
на
частичных отрезков точками
На каждом частичном отрезке
частичного отрезка
Будем считать, в пределах
равное
. Тогда работа силы
А на отрезке
возьмем произвольно по точке
. Длина
частичного отрезка сила сохраняет постоянное значение
на отрезке
равна
.
равна
Будем увеличивать
так, чтобы длина
наибольшего частичного отрезка стремилась к
нулю. Если существует конечный предел величины
разбиения отрезка
, т.е.
при
на частичные отрезки и выбора точек
этот предел принимается за величину работы переменной силы
независимо от способа
на этих частичных отрезках, то
на отрезке
.
Т.о., по определению:
Определенный интеграл
Пусть функция
образом на
определена на отрезке
. Разобьем отрезок произвольным
частичных отрезков точками
На каждом частичном отрезке
значение функции
возьмем произвольно по точке
и вычислим
в этих точках.
Получим
65
Длину частичного отрезка обозначим через
Сумма
называется интегральной суммой функции
на отрезке
.
С геометрической точки зрения интегральная
сумма представляет
собой
сумму
площадей
прямоугольников, основаниями которых являются
частичные
отрезки
,
высоты
а
равны
соответственно.
Обозначим
через
наибольшего частичного отрезка
длину
;
найдем предел интегральной суммы, когда
.
Интегральная сумма будет, очевидно, зависеть от способа разбиения и от произвольного
выбора точек
Если существует конечный предел переменной площади
при
независимо от
способа дробления отрезка
на частичные отрезки и выбора точек
отрезках, то этот предел называется определенный интеграл от функции
на этих частичных
на отрезке
,
обозначается:
Итак, по определению
Если
. Число
существует, то функция
называется интегрируемой на отрезке
называется верхним пределом интеграла, число
называется нижним пределом
интеграла.

Замечание Из определения определенного интеграла следует, что он представляет
собой действительное число.
Геометрический смысл определенного интеграла
Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда
функция
неотрицательна
на
отрезке
интеграл
численно равен площади под кривой
,
где
на
,определенный
.
66
Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла
Теорема: (необходимое условие) Если функция
интегрируема на отрезке
, то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство:
Пусть функция
интегрируема на отрезке
не является ограниченной на отрезке
. Предположим противное, что
. Разобьем отрезок
на
частичных
отрезков и составим интегральную сумму
Т.к.
по предположению не ограничена на отрезке
отрезок
такой, что
, то найдется частичный
на нем не будет ограничена.
В силу произвольности выбора точек
можем выбрать
так, чтобы
было
сколь угодно большим числом. Тогда одно слагаемое в интегральной сумме
будет сколь угодно большим числом, а, следовательно, интегральная сумма не может иметь
конечного предела при
. Это противоречит условию теоремы, ибо по условию
интегрируема на отрезке
.
Достаточное условие существования определенного интеграла
Теорема: Если функция
непрерывна на отрезке
, за исключением, может
быть, конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке. (без
доказательства)
Свойства определенного интеграла
Если
1.
, то по определению
Т.е., если поменять местами нижний и верхний пределы интегрирования, то интеграл
меняет свой знак на противоположный.
2
67
3. При этом при любом взаимном расположении точек
справедливо равенство:
4. (о вынесении постоянного множителя за знак интеграла)
Если функция
интегрируема на
, то функция
так же
интегрируема на этом отрезке, причем
Т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Доказательство:
Положим
. Разобьем отрезок
на частичных отрезков, возьмем в
каждом частичном отрезке произвольно по точке
функции
.Составим интегральную сумму
:
Перейдем в этом равенстве к пределу при
, где
Предел слагаемого, стоящего в правой части существует, т.к.
отрезке
для
.
интегрируема на
по условию. Следовательно, существует предел левой части и по определению он
равен
5.Теорема: (об интегрировании суммы) Если функции
и
интегрируемы на
отрезке
, то функция
также интегрируема на этом отрезке, причем
68
Доказательство:
. Разобьем отрезок
Положим
возьмем в каждом частичном отрезке произвольно по точке
для функции
на
частичных отрезков,
. Составим интегральную сумму
:
Перейдем в этом равенстве к пределу при
стоящего в правой части существует, т.к.
, где
. Предел слагаемого,
интегрируемы на отрезке
по
условию. Следовательно, существует предел левой части и по определению он равен

Замечание: Свойство 5 справедливо для любого конечного числа слагаемых.
6.Теорема: (о сохранении интегралом знака функции) Если функция
на отрезке
и неотрицательна на этом отрезке
, то
Запишем
интегральную
Доказательство:
сумму для функции
на
интегрируема
отрезке
.
69
Т.к.
, то
. Тогда каждое слагаемое в интегральной сумме
будет больше или равняется нуля и поэтому
Перейдем к пределу при
.
в неравенстве
, получим
7.Теорема: (об интегрировании неравенства) Если функции
на отрезке
и
для
из отрезка
, т.е.
и
интегрируемы
, то
Доказательство:
Рассмотрим функцию
По свойству 6
По свойству 5
Итак, неравенство можно почленно интегрировать.
8.Если функция
интегрируема на отрезке
интегрируем на этом отрезке, причем
Доказательство:
Применяя
, получаем
свойство
7
, то функция
к
очевидным
также
неравенствам
Отсюда следует, что
70
9.Теорема (об оценки определенного интеграла) Если функция
интегрируема на
отрезке
неравенство:
, то имеет место
и существуют числа
и
такие, что
Доказательство:
Составим интегральную сумму для функции
Складывая почленно эти
на отрезке
.
неравенств, получаем:
Перейдем в этом неравенстве к пределу при
.
10.Теорема: (о среднем значении определенного интеграла) Если функция
непрерывна на отрезке
, то между точками
и
найдется точка
такая, что
Доказательство:
71
Т.к.
непрерывна на
Вейерштрасса она принимает на
соответственно
и
, то она интегрируема на этом отрезке. По теорем
свои наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их
.
По свойству 9:
Поделим все члены неравенства на
Положим
Тогда
По теореме Больцано-Коши непрерывная функция принимает все свои промежуточные
значения, значит на
найдется точка такая, что
.
Откуда

Замечание:
Геометрический смысл теоремы о среднем заключается в том,
что существует прямоугольник с основанием равным
и
высотой
, площадь которого равна площади криволинейной
трапеции.
Из определения следует, что определенный интеграл не зависит
от обозначения переменной интегрирования, а зависит лишь от вида
подитегральной функции и пределов интегрирования.
72
3.2 Интеграл, как функция переменного верхнего предела
Пусть функция
интегрируема на отрезке
интегрируема на любом отрезке
Каждому значению
, где
, тогда по свойству 3 она
, т.е существует
будет соответствовать вполне определенное действительное число –
значение интеграла
Следовательно, этот интеграл будет функцией переменной
,
который будем обозначать
Итак, определенный интеграл с переменным верхним пределом является функцией этого
верхнего предела. Функция
обладает следующими свойствами:
Теорема1: Если функция
непрерывна на отрезке
также непрерывна на этом отрезке.
Доказательство:
Возьмем произвольную точку из
точка
не вышла за пределы отрезка
, то функция
и дадим ей приращение
так, чтобы новая
.
Итак,
к этому равенству можно применим теорему о среднем значении, получим
73
где
Тогда
При
и т.к.
непрерывна и, следовательно, ограничена, то
Проиведение ограниченной функции на бесконечно малую величину есть бесконечно
малая величина. Значит
, непрерывна в точке . В силу произвольности она непрерывна
на всем отрезке
.
Теорема2: (производная от интеграла по переменному верхнему пределу) Если функция
непрерывна на
, т.е.
, то функция
имеет производную, которая равна
(производная от интеграла по переменному верхнему пределу равна
значению подинтегральной функции в этом верхнем пределе.)
Доказательство:
По определению производной
В теореме 1 было показано, что
Следовательно,
Это равенство выполняется в силу непрерывности функции.
Теорема3: Если функция
непрерывна на отрезке
, то она имеет первообразную
на этом отрезке, т.е. для нее существует неопределенный интеграл.
Доказательство: Пусть
непрерывна на отрезке
. Рассмотрим
По теореме 2
, т.е.
является первообразной по отношению к
.
Существование неопределенного интеграла доказано.
74
3.3 Вычисление определенного интеграла
Непосредственное вычисление интеграла по определению весьма затруднительно. Общий
метод вычисления определенного интеграла сводится к отысканию первообразной функции.
Пусть функция
непрерывна на отрезке
первообразной для
,а
является
.
какая-нибудь другая первообразна. Тогда
Очевидно, что
Положим
:
Тогда
Формула получила название формула Ньютона-Лейбница.
Эту формулу обычно записывают так:
- двойная подстановка. (читается
– двойная подстановка от
до ).
Это основная формула интегрального исчисления. Она утверждает, что значение
интеграла равна разности значений первообразной функции на концах отрезка
интегрирования.

Пример: Вычислить интеграл
75

Пример: Вычислить интеграл

Замечание: С помощью формулы Ньютона-Лейбница легко доказать теорему о
среднем.
Теорема: (о среднем) Для непрерывной на
функции
существует точка
такая, что
Доказательство:
Так как
непрерывна на
, то для нее существует первообразная
, поэтому
3.4 Замена переменной в определенном интеграле
Теорема: Пусть функция
непрерывна на отрезке
удовлетворяет следующим условия:
1)
определена и непрерывна на
значение
2)
3)
из
этого
На
отрезка,
,
. Пусть функция
, причем, когда переменная
то
значение
существует непрерывная производная
будут
принимает
принадлежать
.
При выполнении всех этих условий будет справедлива формула
Так как
Доказательство:
по условию непрерывна на
, то для нее существует первообразная
, и интеграл в левой части (1) можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:
76
Вычислим интеграл справа в (1). Т.к.
также существует первообразная, которую мы обозначим
является первообразной для
непрерывна на
, то для нее
.
, т.к.
Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Сравним (2) и (3), получим (1).

Замечание: При вычислении неопределенного интеграла с помощью замены
переменной, найдя первообразную, зависящую от новой переменной ; необходимо вернуться к
прежней переменной
. При вычислении определенного интеграла в этом нет необходимости, т.к.
вычислив интеграл справа в (1), получим число, которому равен исходный интеграл.


Пример: Вычислить интеграл
Замечание: Иногда удобнее применять замену переменной в виде
, а не
.

Пример: Вычислить интеграл
77
3.5 Интегрирование по симметричному промежутку
Теорема:
Доказательство:
Пусть
– четная функция, т.е.
.
Преобразуем первый интеграл справа, выполнив в нем замену переменной:
Т.к.
.
Если
– нечетная функция
, то преобразуем с помощью той же
подстановки, получим


Пример: Вычислить интеграл
Пример: Вычислить интеграл
3.6 Интегрирование периодической функции
Теорема:
Если
–
периодическая
функция
с
периодом
, то
78
Доказательство:


Пример: Вычислить интеграл
Замечание: Теоремы из пунктов 2 и 3 широко используются в теории рядов.
3.7 Интегрирование по частям в определенном интеграле
Теорема: Справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла:
где
и
непрерывные на
Доказательство:
Известно, что
вместе со своими производными
. Проинтегрируем эти равенства на
.
.
Но по формуле Ньютона-Лейбница
Откуда
79

Замечание: Рекомендации по поводу выбора функций
и
остаются такие же,
что и при вычислении неопределенного интеграла.



Пример: Вычислить интеграл
Пример Вычислить интеграл
Пример Вычислить
Полагая
.
, определяем
. Следовательно:
[к полученному интегралу снова применяем формулу интегрирования по частям:
; следовательно:
]=
=
80
Глава 4. Несобственные интегралы
Несобственные интегрлы, обобщение классического понятия интеграла на случай
неограниченных функций и функций, заданных на бесконечном промежутке интегрирования.
Определённый интеграл как предел интегральных сумм может существовать (иметь определённое
конечное значение) лишь для ограниченных функций, заданных на конечном интервале.
Задачи, приводящие к несобственным интегралам, рассматривались Ферма в 1644. Точные
определения даны О. Коши в 1823. Ряд работ математиков 19 в. посвящен вычислению
несобственных интегралов, когда соответствующая первообразная не выражается через
элементарные функции. Основными приемами вычисления несобственных интегралов являются
дифференцирование и интегрирование по параметру, разложение в ряды, применение теории
вычетов. Значения многих несобственных интегралов приводятся в различных таблицах, они
имеют важное значение во многих областях математического анализа и его приложений.
4.1. Несобственные интегралы первого рода
Пусть функция
конечном
предел
определена в промежутке
, так что существует
и интегрируема на любом
при любом
. Если в интеграле верхний
меняется, то этот интеграл представляет собой функцию переменного верхнего предела
. Предел
при
называется несобственным интегралом функции
с
бесконечным верхнем пределом и символически обозначается
Т.е. по определению
где
.
Если указанный предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл
сходится, а функция
называется интегрируемой в бесконечном промежутке
.
Если
не существует или равен бесконечности, то несобственный
интеграл расходится.
Пусть теперь функция
отрезке
определена в
, так что при любом
и интегрируема на любом конечном
существует
81
Предел
при
называется несобственным интегралом функции
с бесконечным нижним пределом и символически обозначается
где
.
В случае, если указанный предел существует и конечен, то интеграл называется
сходящимся, если же предел равен бесконечности или не существует, то интеграл называется
расходящимся.
Несобственные интегралы с бесконечным верхним и нижним пределами.
Определяется с помощью равенства:
где
любое действительное число.


Пример: Вычислить:

Пример: Вычислить:
Пример:
Показать, что
и
расходятся:
82
Пример:

Показать, что интеграл расходятся
. Так как при
существует, то интеграл
предел
не
расходится;
Признаки сравнения
Теорема1: Если
и
и
– две положительные функции определенные в интервале
,
хотя
бы
для
,
интеграла
Из
следует,
что
сходится
то
из
сходимости
расходимости
же
.
, следует расходимость
В случае знакопеременной функции имеет место формула.
Теорема2: Если
сходится, то сходится
На практике при исследовании интеграла на сходимость в качестве эталона используется
функция
, где
– действительное число.
Выясним, при каких значения
Пусть
сходится
, тогда
83
При
Итак,

Пример: Исследовать на сходимость интеграл:
По теореме 1 исходный интеграл сходится.

Пример: Исследовать на сходимость интеграл
Исследуем на сходимость
положим
По теореме 1
сходится, но тогда по теореме 2 сходится и

Пример: Исследовать на сходимость интеграл
84
Интеграл сходится.
Свойства несобственного интеграла первого рода
Геометрический смысл.
Несобственный интеграл равен площади бесконечной бесконечной криволинейной
трапеции, ограниченной осью
, прямой
и
графиком функции
и
неограниченной
справа
Если несобственный интеграл сходится, то эта
площадь является конечной; если несобственный
интеграл расходится, то эта площадь бесконечна
1)
Свойство линейности.
Если сходятся несобственные интегралы
где
и
, то
константы.
Укажем два замечательных несобственных интеграла, значения которых находятся
специальными методами.
Интеграл Пуассона:
Интеграл Дирихле:
85
4.2. Несобственные интегралы второго рода
Если функция не ограничена на промежутке интегрирования и промежуток
интегрирования конечен, то определенный интеграл является несобственным интегралом второго
рода.
Пусть функция
определена в конечном промежутке
, но не интегрируема
в нем.
Предположим, что
1)
где
интегрируема на любом отрезке
и не интегрируема на
, тогда существует
,
, а
не существует.
Тогда
в этом случае называется особой точкой функции
. Можно показать, что
вблизи точки
функция будет неограничена. Будем иметь дело обычно с теми случаями, когда в
особой точке
функция стремится к бесконечности.
Предел
на
при
называется несобственным интегралом функции
и обозначается:
Т.о., по определению
Если указанный предел существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится, если же
этот предел бесконечен или не существует, то интеграл расходится.

Пример:
Рассмотрим функцию
на
. Особой точкой является точка
по
определению:
Пусть теперь функция
интегрируема на
точкой функции.
интегрируема на любом отрезке
,
. В этом случае точка
и не
называется особой
86
Несобственным интегралом функции
интеграла
на
называется предел при
.

Пример:

Пример:
Следовательно, интеграл расходится.
Если обе точки
и
являются особыми, по определению полагаем
где
, причем
любая точка между
где
независимо друг от друга.
и .
Особая точка может находится внутри отрезка
функции.
Это значит, что функция интегрируема на
интегрируема вблизи точки , т.е. на отрезках
. Пусть
,
и на
и
– особая точка
, но не
.
87
В этом случае несобственный интеграл функции
на
называется предел суммы
интегралов:
Аналогично определяется несобственный интеграл, когда на
имеется конечное число особых точек.


Пример:
Замечание: Если существует непрерывная на
при

, то где
функция
такая, что
– особая точка,
Пример:

Замечание Несобственные интегралы могут быть комбинированного типа: первого
и второго рода; или второго рода с несколькими точками разрыва второго рода.

Замечание 2. Если функция на отрезке интегрирования терпит разрыв первого рода
в точке с, то определенный интеграл от нее по этому отрезку не является несобственным, т.е. его
можно свести к сумме двух обычных определенных интегралов.
88
b
с
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
.
4.3. Признаки сравнения
Для несобственных интегралов второго рода имеют место теоремы 1 и 2. На практике при
исследовании интеграла на сходимость сравнение осуществляется с функцией
Рассмотрим
.
особая точка.
,
Пусть
Интеграл расходится.
Итак,
Аналогично,

Пример: Вычислить или исследовать на сходимость интеграл
сходится
.
Вычислим его
89
Следовательно, по теореме 1 сходится и исходный интеграл.
Главное значение расходящегося несобственного интеграла
Пусть несобственный интеграл
расходится, т.е. не существует конечного предела.
Если существует и конечен
то говорят, что несобственный интеграл
сходится в смысле главного значения и
предел (*) называется главным значением несобственного интеграла.
Пусть функция
окрестности точки
существует конечного предела.
(
определена и непрерывна на
и несобственный интеграл
, кроме некоторой
расходится, т.е. не
независимо друг от друга).
Если существует и конечен
то говорят, что несобственный интеграл сходится в смысле главного значения и предел (**)
называется главным значением несобственного интеграла.

Пример: Найти главные значения интегралов.
90

Пример:
91
Глава 5. Геометрическое приложение определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур - одна из важнейших прикладных задач, в которой
определённый интеграл находит наиболее плодотворное применение.
5.1. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах
a)
b)
Было показано, что площадь криволинейной трапеции
Пусть
на
, тогда
c) Для непрерывной функции
d)
Если на
произвольного знака
даны две функции f ( x) и g ( x) и 0  f ( x)  g ( x) , то площадь
криволинейной трапеции, заключенной между
прямыми
и
, кривыми y  f ( x) и
. y  g ( x)
b
S    f ( x)  g ( x )dx
a
92

Пример Найти площадь фигуры, заключённой между параболами
и
.
Требуется вычислить площадь фигуры AmBn, у
которой боковые отрезки выродились в точки A и B
пересечения парабол. Решая совместно (как систему)
уравнения парабол, находим их абсциссы:
и
.
На отрезке [-1, 5] получаем
Следовательнонаходим площадь фигуры:

.
Пример: Найти площадь фигуры, заключённой между параболой
прямой
и
.
Находим абсциссы точек пересечения параболы и прямой:
и
.
Так как
фигуры:
Если линия
значение
на отрезке [0, 4], то находим площадь
задана параметрическим уравнением.
параметра
,
соответствующими
значениями
где
и
и
,
т.е.
.
93
Предложим, что функция
непрерывна на
,а
. Чтобы найти площадь трапеции, ограничена кривой
и

непрерывна и дифференцируема на
, осью
–
, прямыми
, сделаем замену переменной
Пример: Найти площадь ограниченную эллипсом.
5.2 Площадь криволинейного сектора
Если линия, ограничивающая фигуру, задана уравнением в полярной системе координат, то
в качестве основной фигуры принимается криволинейный сектор.
Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная линией
с которой
любой луч, исходящий из полюса
и
. Т.о., функция
пересекается не более, чем в одной точке, и двумя лучами
в
однозначна.
Разобьем сектор на
частичных секторов при помощи лучей,
наклоненных к полярной оси под углами:
Заменим каждый криволинейный сектор круговым, т.е. будем
считать, что на каждом из участков
функция
постоянна и равна значению
Напомним, что площадь кругового сектора радиуса
Поэтому площадь фигуры, составленной из
с центральным углом
.
.
круговых секторов, заменяющих криволинейные
секторы, будет равна
94
где
Предел этой суммы при условии, что
и наибольший из углов
, как
раз и даст искомую площадь криволинейного сектора.Т.к. написанная сумма – интегральная сумма
для функции
на
, то
Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
называется трехлепестковой розой. Площадь половины одного лепестка

, которая
Конец полярного радиуса опишет всю ограничивающую сектор
линию, когда полярный угол измениться от

до .
Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали Архимеда
и отрезком полярной оси
95
5.3. Вычисление длины дуги кривой в декартовых координатах
Пусть в пространстве дана дуга
. Разобьем ее точками
на
частей. Соединив эти точки хордами, получим некоторую вписанную ломаную линию.
Обозначим
Тогда периметр
этой ломаной
С уменьшением длин звеньев
Длиной
дуги
ломаной, она по своей форме приближается к дуге
.
называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту
дугу ломаной, когда число ее звеньев неограниченно увеличивается, а наибольшая из длин звеньев
стремиться к нулю.
При этом предполагается, что предел (1) существует и не зависит от выбора вписанных
ломаных звеньев. Кривые, для которых предел (1) существует называется спрямленными.
Рассмотрим сначала вопрос о длине плоской кривой, заданной уравнением в явном виде.
Теорема: Пусть кривая
задана уравнением
, где
– непрерывная
функция, имеющая непрерывную производную
во всех точках отрезка
. Тогда дуга
имеет длину равную:
Доказательство:
96
Разобьем кривую
на
произвольных частей точками
соединим их попарно хордами
и
, причем
Периметр этой ломаной равен
где
По теореме Лагранжа на
длина звена
существует
такая, что
Следовательно,
где
Итак, периметр
(3) является интегральной суммой для функции
непрерывной функцией на
в силу непрерывности
, являющейся
.
Следовательно, по теореме существования определенного интеграла, интегральная сумма
(3) имеет предел равный:
Заметим, что при
Получим
97

Пример: Найти длину дуги цепной линии
Название цепной линии происходит от того, что такую
форму принимает гибкая и нерастяжимая тяжелая нить
(например, цепь), подвешенная за оба конца.. График цепной
линии имеет вид графика гиперболического косинуса.
5.4. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически
Пусть кривая
задана параметрическим уравнением
Предположим, что обе функции
при этом
. Пусть
и
имеют непрерывные производные на
монотонна на
так же монотонна и непрерывна на
В таком случае переменная
и существует обратная функция
, где
определяется как функция от
причем
и уравнение кривой
может быть записано в явном виде.
Легко видеть, что
непрерывна на
, имеет непрерывную производную, которую
вычисляем по формуле:
98
Итак, уравнение кривой
на
может быть записано явным уравнением
и
удовлетворяет условиям доказанной теоремы.
Поэтому
Итак, длина дуги
где
и
, заданной параметрически, выражается формулой:
значения параметра
, соответствующие начальной
и конечной
точкам.

Пример: Вычислить длину дуги одной арки циклоиды

Когда
меняет знак,
Пример
не меняет, а
Вычислить
длину
петли
кривой
меняет знак на противоположный.
Следовательно, кривая симметрична относительно оси
. Найдем точки пересечения
кривой с осью
99
5.5. Вычисление длины дуги кривой в полярных координатах
Рассмотрим случай, когда кривая
и
задана в полярной системе координат уравнением
имеет непрерывную производную
соответствуют значения
и
 Пример:
, при этом точкам
и
.
Если учесть, что
задание кривой
на
с параметром
, то уравнение (6) можно рассматривать, как параметрическое
:
Вычислить длину кардиоиды
Эта кривая симметрична
относительно полярной оси.
100
5.6. Вычисление объема тела вращения
Пусть на
т.е.
задана непрерывная кривая
. Пусть кривая
и
функция неотрицательна,
вращается вокруг оси
. Требуется найти объем
полученного при этом тела вращения.
Отрезок
разобьем на
частей. В каждом
частичном
отрезке
возьмем
Построим
.
основаниями
оси
, получаться цилиндры с высотой
по
точке
прямоугольники
и высотой
с
.
При вращении каждого прямоугольника вокруг
и радиусом основания
. Обозначим через
объем каждого цилиндра:
Тогда
Это интегральная сумма для функции
отрезка на
частей. Т.к. по предположению
измельчении разбиений
на
непрерывна на
, соответствующая разбиению
, то при неограниченном
интегральная сумма стремится к конечному пределу равному
Итак, если непрерывная кривая
заданная на
вращается вокруг оси
,
обратную функцию и вращается вокруг оси
.
то объем тела вращения равен:
Пусть кривая
Из уравнения
имеет на
найдем обратную функцию
и объем тела вращения будет
равен
101

Пример: Найти объем тора (тор – тело, полученное от вращения круга около оси
лежащей в той же плоскости и не пересекающей круга).
Пусть круг радиуса
вращается вокруг оси
центр его лежит в точке
, причем
.
Уравнение вращающейся окружности.
,
где
–
объем
тела,
образованного
вращением верхней половины окружности
объем тела, образованного вращением нижней половины
окружности
102
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения представляют математический язык, на котором
записываются многие законы природы. При решение многих задач часто не удается установить
непосредственную зависимость между искомыми и переменными величинами, но зато удается
составить уравнение связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее
производную.Рассмотрим несколько примеров составления дифференциальных уравнений для
прикладных задач.
6.1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения
Пусть с некоторой высоты сброшено тело массой . Установим, как будет изменяться
скорость
тела, если кроме силы тяжести действует также сопротивление воздуха
пропорционально скорости.
По второму закону Ньютона
, где
– сила,
действующая на тело в направлении движения,
движущегося тела:
– ускорение
. Сила складывается из двух: сила
тяжести
и сила сопротивления воздуха
противоположное направление.
Итак,
–
По закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности между
температурой тела и температурой окружающей среды.
Пусть тело нагрето до температуры
, температура окружающей среды
. Найдем
зависимость между изменяющейся температурой тела и временем охлаждения. Пусть в момент
времени температура равна . По закону Ньютона скорость охлаждения температуры тела
Знак минус выбран потому, что с ростом
температура
уменьшается.

Определение Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее
неизвестную функцию, аргументы и производные от неизвестных функций по этим аргументам.

Определение Дифференциальные уравнения называются обыкновенными, если
неизвестные функции зависят от одного аргумента, и уравнениями в частных производных, если
неизвестные функции зависят от нескольких аргументов.
Задачу отыскания всех первообразных данной функции f можно записать в виде
y = f(x)
(1)
103
где f — данная непрерывная функция, y = y(x) — неизвестная функция, y = dy/dx; оно
представляет собой простейший пример ОДУ.
Если f непрерывна на промежутке J, то уравнение (1) имеет на нем бесконечное семейство
решений, которое задается формулой
y = F(x) + C;
(2)
здесь F — какая-нибудь фиксированная первообразная функции f, а параметр C пробегает все
вещественные значения.
Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее
производные или дифференциалы называется дифференциальным уравнением.

Определение Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок
производной входящей в это уравнение.

Пример:
 Определение Решением дифференциального уравнения называется всякая функция,
обращающая уравнение в тождество при подстановки в него этой функции и ее производных
взамен неизвестной функции и ее производных.
 Пример:
очевидно, что
y  
1
x2
является решением этого уравнения
1
1
учтем, что  2  x решением является так же и функция
x
x

, где
произвольное число, т.е. дифференциальное уравнение имеет бесконечное число решений.
Следовательно, второе определение верное, но не точное.
Функция
, зависящая от
произвольных постоянных
называется общим решением дифференциального уравнения
порядка, если при любых
она является решением этого уравнения.

Замечание Особенность обыкновенных дифференциальных уравнений, которая
отличает их от прочих уравнений, содержащих производные неизвестных функций состоит в том,
что:
 все неизвестные должны быть функциями одного вещественного аргумента
 и все они и их производные должны входить в уравнение только в виде своих значений
в одной и той же переменной
Вот примеры нарушения этих требований:
1.
u u

 0 неизвестная u — функция двух аргументов x и y;
x y
это пример дифференциального уравнения в частных производных
t
2. x(t) = x(t – 1),
x(t) =

x(s) ds
t0
(неизвестная функция и ее производная входят в уравнение в виде значений в разных
точках t, t – 1 и s  [t0, t]; это представители так называемых дифференциально-разностных и
дифференциально-интегральных уравнений.
104
6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнение, связывающее
независимую переменную , неизвестную функцию
и ее производную
. Т.к. производную
можно представить в виде отношения дифференциалов, то уравнение может содержать не
производную, а дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.
Будем рассматривать уравнение, в котором неизвестная функция зависит от одного
аргумента.
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем виде записывается так:
В основном придется иметь дело с уравнением разрешенными относительно производной,
т.е. вида
Уравнение, разрешенное относительно производной имеет вид
dy
dx
 f ( x, y )
иногда целесообразно рассматривать уравнение
dy  f ( x, y )dx  0
или
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 ,
где M ( x, y )   f ( x, y )  N ( x, y ) .

Определение Функция y  y (x ) , определенная на интервале (a, b) , будем
называть решением уравнения (1), если
существует производная y  x  для всех значений x  a, b
функция
обращает
уравнение
(1)
в
тождество
y  y(x) ,
y x   f ( x, y( x)) справедливое для всех x  a, b .
Уравнение F ( x, y )  0 определяет в неявной форме решение уравнения (1)
Или
Уравнения x   t ,
форме, если имеем место
Fx  Fy f ( x, y )  0
y   t  определяют решение уравнения (1) в параметрической
 t 
 f ( t , t )
 t 

Определение Решение уравнения, удовлетворяющее
условиям, называется частным решением этого уравнения.

заданным
начальным
Определение Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Простейшие примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь
бесконечное множество число решений.
Пример:
это уравнение имеет решениями функции

, где
, а также и кривые
произвольная постоянная.
105
На основании этого примера можно сделать вывод, что любое дифференциальное
уравнение
имеет бесконечное множество число решений, которые определяются
формулой, содержащей одну произвольную постоянную. Эту совокупность решений будем
записывать так:
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется совокупность
его решений определенной формулой
, где произвольная постоянная. Придавая
определенные числовые значения, будем получать частные решения.
Чтобы выделить из общего решения частные надо задать начальные условия. Задать
начальные условия дифференциального уравнения первого порядка это значит указать пару
соответствующих друг другу значений независимой переменной
и функции
. Записывают
это так:

Пример:
зададим начальное условие
Подставим эти значения вместо
и
в общее решение, найдем :
Следовательно, функция
удовлетворяет уравнению и начальным условиям.
Теорема: (существования и единственности решения) Если функция
в области содержащей точку
такое, что
обращается в
при
.
непрерывна
, то существует решение уравнения
.
Если кроме, того непрерывна и частная производная
, то это решение единственное
(без доказательства)
График любого частного решения дифференциального уравнения называется интегральной
кривой. Общему решению соответствует семейство интегральных кривых.
 Пример: семейство интегральных кривых соответствует уравнению
–
семейство парабол
.
Задание начального условия
точки
, означает задание
через которую должна проходит
интегральная кривая. Значит из семейства интегральных кривых мы выбираем ту, которая
проходит через точку
.
Согласно теореме существования и единственности через каждую точку, в которой
функция
и производная
непрерывны проходит единственная интегральная кривая.
Если в данной точке эти условия нарушены, то через эту точку либо вообще не проходит
интегральная кривая, либо проходит несколько.
106
Пример:

общее решение
,
интегральные кривые – семейство-пучок прямых, проходящих через
начало координат. В данном случае через начало координат проходит
бесконечно много интегральных кривых.
Общее решение
дифференциального уравнения
обладает тем же свойством , что из него по любому заданному возможному
начальному условию
может быть найдено частное решение, удовлетворяющее
этому условию.
Функция
константу
, связывающая независимую переменную
и произвольную
называется общим решением дифференциального уравнения
в области
, если
При любых значениях
1)
Какова бы ни была точка
произвольной постоянной
условию
является решением уравнения (1);
найдется единственное значение
такое, что решение
удовлетворяет начальному
.
Это означает, что подставляя в общее решение значения
относительно
:
и
, мы получаем уравнение
из которого всегда может быть найдено единственное значение
. Функция
и будет искомым частным решением.
Если общее решение дифференциального уравнения получено в виде неразрешимом
относительно искомой функции , т.е.
, то она называется общим интегралом
дифференциального уравнения.
Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения первого порядка при
заданном начальном условии
называется задачей Коши.
Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется интегрированием
уравнения, а действие интегрирование функции называется квадратурой.

квадратурах
y   f ( x, y ) .
Замечание (об интегрируемости в квадратурах) Решение об интегрируемости в
(вычисление неопределенных интегралов) зависит от вида правой части
В общем случае уравнение не интегрируется в квадратурах, однако, при некоторых
частных видах удается проинтегрировать, иногда удается решить уравнение, если считать искомой
функцией x , т.е. решать уравнение
dx
1

dy f ( x, y )
107
6.3. Дифференциальное уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения с разделяющимися переменными являются одним из основных типов
уравнений 1 порядка, разрешенных относительно производной и допускающих интегрирование в
квадратурах.
Многие дифференциальные уравнения приводятся к уравнению с разделяющимися
переменными при соответствующей замене искомой функции и независимой переменной.

Определение
Дифференциальное уравнение вида:
X ( x)dx  Y ( y )dy  0
(1)
называют уравнением с разделенными переменными.
Будем предполагать, что X ( x ), Y ( y ) - непрерывны, тогда
y
x

d   X ( x )dx   Y ( y )dy   0
y0
 x0

поэтому
y
x

  X ( x )dx   Y ( y )dy   C
y0
 x0

(2)
общий интеграл уравнения (1). Особых решений нет.

Замечание В формуле (2) можно не писать пределов интегрирования, ибо числа,
получающиеся от подстановки нижних пределов можно включить в произвольную постоянную.

ЗамечаниеК уравнению с разделенными переменными легко приводятся уравнения
вида
m( x)  n( y )dx  m1 ( x)  n1 ( y )dy  0
(3)
это уравнения с разделяющимися переменными
Умножая обе части (3) на
1
, получим уравнение с разделенными переменными.
n( y )  m1 ( x )
n ( y)
m( x )
dx  1
dy  0
m1 ( x )
n( y )
Общим интегралом будет
n ( y)
m( x )
dx   1
dy  C
m1 ( x )
n( y )
Могли потерять решения, определяемые уравнениями n( y )  0 и m1 ( x )  0 . Это могут

быть частные или особые решения.
Решения вида y  b и x  a могут быть особыми.
Пример: Найти решение уравнения

, удовлетворяющего условию
.
Решение Выполним интегрирование, получим:
108
Значит,
частное решение данного интегрального уравнения.
Пример: Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение
Разделим переменные, приведя это уравнение к виду:
– общий интерал дифференциального уравнения.

Замечание: При деление на произведение
может произойти потеря
некоторых частных решений. Пусть, например, при
тогда функция
является решением уравнения. Действительно, в этом случае
подстановка в уравнение приводит к тождеству
тоже решение данного уравнения.Заметим, что

и
. Рассуждая аналогично, получаем, что
частное решение.
Пример:
–частные решения.

Пример Решить уравнение
109
– частные решения.

Пример
.
–частное решение.

Пример
6.4. Однородные уравнения первого порядка
Функция
называется однородной функцией
го порядка если для любого
выполняется условие
f (tx, ty)  t k  f ( x, y)
Пример:

– однородная функция третьего порядка.
Свойства однородных функций
1.
Отношение двух однородных функции одного и того же порядка есть однородная
функция нулевого порядка.
Пример:

- однородная функция 2-го порядка

Пример
однородная функция 0-го порядка.
110
Всякая однородная функция нулевого порядка может быть представлена в виде
2.
функции отношения своих аргументов, т.е. в виде
Доказательство: Пусть
Возьмем

функция нулевого порядка, т.е.
, тогда
Определение Дифференциальное уравнение вида:
dy
 y
  
dx
x
называют однородным уравнением.

Замечание В начале координат однородное уравнение не задает определенного
направления поля, так что через начало координат не проходит ни одна интегральная кривая.
Поведение интегральных кривых однородного уравнения в окрестности начала координат требует
специального исследования.
Чтобы проинтегрировать однородное уравнение, сделаем замену искомой функции
y
, или y  zx ,
x
тогда будем иметь M ( x, y )  x m  M 1, z  , N ( x, y )  x m  N 1, z  , поэтому
z
x m M 1, z )dx  x m N 1, z )  ( zdx  xdz )  0
или
M (1, z)  N (1, z) zdx  xN (1, z)dz  0
x  0 ?
уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяя переменные, имеем
M (1, z )  N (1, z ) z  0 ?
dx
N (1, z )dz

0
x M (1, z )  N (1, z ) z
Интегрируя, находим
ln x  
N (1, z )dz
 ln C
M (1, z )  N (1, z ) z
откуда
xe
или

N (1, z ) dz
M (1, z )  N (1, z ) z
x  C  e  z 
где  z    
N (1, z )dz
M (1, z )  N (1, z ) z
y
Заменяя z на , получим общий интеграл однородногоуравнения в виде:
x
 y
x
 
x  Ce

Замечание Разделяя переменные могли потерять решения вида z  a , где a корень уравнения M (1, z )  N (1, z ) z  0 .
111
Подставляя z  a в замену y  zx , имеем y  ax
 x  0
полупрямые, примыкающие к началу координат, решения однородного уравнения.
Эти решения могут содержаться в формуле общего интеграла, но могут быть и особыми.
 y  0 .
особыми могут быть полуоси оси OY x  0
других особых решений быть не может.
Пример

dy

dx
y
x
интегральными кривыми могут быть только кривые, расположенные в 1 и 3 квадрантах, и
полуоси осей координат.
Положим y  zx , получим
dz
dx

0
x
z z
z 
z  0, x  0 ?

интегрируя, найдем

или
2 ln z  1  ln x  C

z 1 
x C,
возвращаясь к переменной y , получим
 y


 x  C

1
 x



Рассмотрим уравнения z  z  0 , оно имеет корни z  0, z  1 , им соответствуют
решения y  0, y  x x  0 . Первые из них – особые, вторые – частные.
 y  0 тоже особые решения.
Полуоси оси полуоси оси OY x  0
Геометрическое свойство интегральных кривых однородного уравнения
Поле, определяемое однородным уравнением, а следовательно, и интегральные кривые
обладают характерным свойством.
dy
 y
  
dx
x
- правая часть сохраняет постоянное значение во всех точках каждой полупрямой
y  kx x  0 , выходящей через начало координат.
 y
x
 
Все интегральные кривые, входящие в состав общего интеграла x  C  e
и не
являющиеся полупрямыми, выходящими через начало координат, могут быть получены при
помощи преобразования x1  kx, y1  ky из одной такой интегральной кривой
если некоторая кривая является интегральной кривой, то и симметричная
относительно начала координат кривая тоже является интегральной кривой.

Замечание:
Дифференциальное
уравнение
первого
будет однородным, если функции
порядка
и
вида
однородные одного и того же порядка.
 Пример:
Найти решение уравнения.
112

Пример Найти решение уравнения
6.5. Линейные уравнения перового порядка
Дифференциальное уравнение вида
(линейное относительно искомой функции
и ее производной) называется линейым
дифференциаьным уравнением.
Здесь
и
– непрерывные функции независимой переменной
или постоянные.
Схема Бернулли: Уравнение сводится к 2 уравнениям с разделяющимися переменными
путем следующего приема.
Запишем функцию в виде произведения двух функций:
Одна из них выбирается произвольно, а вторая должна быть определена в зависимости от
первой таким образом чтобы их произведение удовлетворяло уравнению
Подставим в исходное уравнение , получим
113
Выберем в качестве
какое-нибудь частное решение уравнения
тогда для отыскания
получим
Решение линейного уравнения сведется к решению системы
Решаем первое уравнение:
Под неопределенным интегралом здесь понимается какая-нибудь одна первообразная от
функции
, т.е.
является вполне определенной функцией от переменной .
Решаем второе уравнение:
Здесь уже берем для
все первообразные. Далее по
и
находим искомую функцию.
Данная формула дает общее решение линейного уравнения первого порядка.

Пример: Решить уравнение
114

Пример Решить уравнение

Пример Решить уравнение
6.6 Уравнение Бернулли
Многие дифференциальные уравнения путем замены переменных сводятся к линейному
уравнению.

Определение Уравнение вида y   p( x)  y  q( x)  y m , где m - любое
вещественное число, называется уравнением Бернулли.

Замечание Будем считать, что m отлично от нуля и единицы, так как в этих
случаях уравнение Бернулли вырождается в линейное.
115

Замечание Уравнение Бернулли всегда может быть сведено к линейному
уравнению заменой z  y 1m , деля уравнение на y m .

Замечание Особым решением y  0 может быть лишь при m  0
Если m  1 , то y  0 частное решение, если 0  m  1 - то особое.

Пример Решить уравнение
y   y и y   2 y . Для первого уравнения y  0 частное, для второго – особое.
2

y 
Пример Решить уравнение
y x2
-уравнение Бернулли, m  1 .

2x 2 y
Замена z  y 2 . Отв. y 
x3
 C1 x
2
6.7. Уравнение в полных дифференциалах
Если
левая
часть
уравнения
является
дифференциалом некоторой функции
полным
то это уравнение называется уравнением в полных
дифференциалах.
Теорема: Чтобы выражение
было полным дифференциалом
необходимо и достаточно
.
Доказательство:
Необходимость
Пусть
т.к.
то
Продифференцируем первое соотношение по , а второе по , получим
Достаточность Пусть (*) выполняется
116
Чтобы это равенство было непротиворечиво и из него можно было интегрированием
получить
нужно, чтобы его правая часть не зависела от .
При соблюдении этого условия
Дифференцируем правую часть
Значит
так и будет.
:
не зависит от
и является функцией y.
Следовательно, интегрированием можно получить
затем найти функцию , для которой выражение
дифференциалом.
Вернемся к уравнению
найдем функцию
тогда

было полным
уравнение
такую, что
можно
записать
Пример: Найти общее решение уравнения:
Левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции
.
117

Пример: Найти общее решение уравнения:

Пример: Найти общее решение уравнения:

Пример: Найти общее решение уравнения:
6.8. Дифференциальные уравнения высших порядков
Решение дифференциального уравнения становится наиболее сложным по мере того, как в
его левую часть начинают входить производные более высоких порядков. Обычно имеют дело с
уравнениями, разрешенными относительно старшей производной и уравнение
порядка
записывается в виде:
Общее решение такого уравнения зависит от
произвольных постоянных
Чтобы выделить частное решение, отвечающее конкретным условиям задачи, нужно задать
начальное условие, т.е. при
задаются значения функции и ее первых
производных.
118
Дифференцируя
получаем систему
раз общее решение и подставляя начальные условия, мы
уравнений с
неизвестными
.
Теорема: Если функция
области
из уравнения (5) непрерывна в
и имеет в этой области непрерывные частные производные
уравнение (5) имеет решение
первыми
, то
и притом единственное, принимающее вместе со своими
производными
области
при
,
заданные
значения
в
любой
точке
.
Дифференциальные уравнения второго порядка
Уравнение
вида
или
дифференциальным уравнением второго порядка.
Функция
, зависящая от переменной
(6)
называют
и произвольных постоянных
называется общим решением дифференциального уравнения (6) если она удовлетворяет
следующим условиям:
1)
При любых значениях
и эта функция является решением уравнения (6);
2)
Каковы бы ни были начальные условия
существует
единственное значение произвольных постоянных
и
такие, что
является решением (6), удовлетворяющим начальным условиям.
определяет точку, через которую проходит интегральная кривая, а
определяет касательную к интегральной кривой в этой точке
.
Если решение дифференциального уравнения второго порядка получено в виде
(неразрешенном относительно ), то это соотношение называется общим
интегралом дифференциального уравнения.
Всякое решение дифференциального уравнения второго порядка, полученное из его
общего решения при конкретных значениях произвольных констант
и
называется его частным решением.
Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка,
удовлетворяющее данным начальным условиям называется задачей Коши.
Теорема: Пусть функция
непрерывны в некоторой области изменения
и частные производные
определены и
тогда какова бы ни была внутренняя точка
119
области
уравнение
имеет
удовлетворяющее начальным условиям
единственное
решение,
.
6.9. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
При аналитическом решении дифференциальных уравнений стараются понизить порядок
уравнения. Рассмотрим несколько случаев, для которых это возможно сделать.
Неполные уравнения
Простейшее уравнение n порядка – уравнение вида
y n   f (x)
- легко интегрируется в квадратурах. Решение уравнения находится n
интегрированием.
кратным
y     f ( x)
n 1
интегрируя , получим
y
 n 1
x

 f ( x)dx  C
1
x0
аналогично, интегрируя еще раз, получим
y
n2 
x x
  f ( x)dxdx  C  x  x   C

1
0
2
x0 x0
и.т.д.
x x
y
x
C
    f ( x)dxdx dx  n  1!  x  x 
1
n 1
0
x0 x0
x0
n

C2
n2
  x  x0   C n 1   x  x0   C n
n  2!
раз
- общее решение
Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным значениям
y 0  x0   y 0 ,
y0 x0   y0
y0
n 1
x0   y0n1 ,
достаточно положить
Cn  y0 , Cn1  y0 , C1  y0n1
Пример

y   sin(kx)
x
y    sin kxdx  C1  
0
y(0)  0,
y 0  1
cos kx  1
 C1
k
 cos kx  1 
y   
dx   C1 dx  C 2
k

0
0
x
x
или
y
sin kx x
  C1 x  C 2 - общий интеграл. C2  0, C1  1,
k
k2
таким образом, частное решение
y
sin kx x
 x
k
k2
120

Пример:
Уравнение, не содержащее искомой функции и ее первых производных до k  1 порядка
F ( x, y k , y k 1 ,, y n  )  0
Порядок уравнения понижается с помощью замены. Введем z  y k  , тогда
F ( x, z, z , z ,, z nk  )  0

понизили порядок на k единиц.
Пример 4 y   y  2  4 xy 
замена y   z
z2
уравнение Клеро
4
Уравнение вида y  y x    y  - уравнение Клеро
полагаем z   p
z  xz  
z  xp 
p2
,
4
dz  pdx  xdp 
p
dp
2
dz
 z  или dz  z dx  pdx , имеем
dx
p
p

0   x  dp или dp  o или x  , откуда возвращаясь, учитывая, что z   p , имеем
2
2

решение p  C ,
и учитывая
C2
C2

z  Cx 
, откуда y  Cx 
4
4
C
0 общее решение
y  C1 x  x  C1   C2 , где C1 
2
Уравнение имеет и особое решение особое решение x 
p
, 2x  p  z , z  x 2 , а
2
следовательно y   x 2 ,
y
x3
 C  , где C  - произвольная постоянная. Это особое решение.
3
Уравнения второго порядка не содержащие искомой функции
Для уравнений второго порядка не содержащих искомой функции, уравнение запишется
следующим образом
Замена y   p,
y   p ,
F x, y , y   0
121
p  f ( x, p)
Подставляя в уравнение, имеем
интегрируя, имеем p  p( x, C1 )
или
y   p( x, C1 )dx  C2
Пример y   ln x
уравнение не содержит искомой функции y , положим y   p,
получим

y   p ,
p  ln x
p  x ln x  x  C1 откуда y 
x2
x2 x2
ln x 

 C2 .
2
4
2
Уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
, т.е. уравнения вида:
Решение рассмотрим на примере уравнения второго порядка, т.е. уравнения вида
y   f  y, y 
Порядок уравнения понижается с помощью замены
Обозначим
y  x   p y ,
y  
dp dp dy dp



p,
dx dy dx dy
Подставляя в уравнение, имеем
p
dp
 f ( x, p ) ,
dy
интегрируя, имеем p  p( y, C1 )
Тогда искомое решение получим из уравнения с разделяющими переменными:
Общий интеграл

x, y, C1 , C2   0 .
Пример:
122

Пример:

Пример

Пример
y   p,
dp dy

p
y
y   yC
2
, интегрируя, находим
или
p  yC или
y  C  e C1x
Пример:


y  y    y 
dp
y  
p , имеем
dy
Пример:
1.
123
Уравнения, не содержащие явно независимую переменную
уравнения вида
Выбор подстановки
или
и искомую функцию
, т.е.
зависит от того, какая из них окажется
более удобной и приведет к более простому уравнению.

Замечание: При решении задачи Коши для нахождения частного решения, нахождение
постоянных удобнее производить после промежуточного интегрирования до нахождения
общего решения.
 Пример:

Решить задачу Коши.
Пример:
124
6.10. Линейные дифференциальные уравнения n - го порядка

Определение Уравнение вида
p0 x  y n   p1 x  y n1    pn1 x  y   pn x  y  f ( x)
называется линейным дифференциальным уравнением n -го порядка.
Если правая часть функции
, то уравнение называется однородным, если же
, то уравнение называется неоднородным
Особых решений линейное уравнение не имеет, всякое решение является частным.

вида
Определение Линейным дифференциальным оператором называется - оператор
L y   y n   p1 x  y n1    pn1 x  y   pn x  y
Линейное дифференциальное уравнение n -го порядка можно записать в виде:
L( y)  f ( x)
Свойства линейного оператора
1.
2.
3.
решение
Док-во
Lky  k  L y 
L y1  y2   L y1   L y 2 
Если y1 решение однородного линейного уравнения L( y1 )  0 , то y  Cy1 - тоже
L(Cy1 )  C  L( y1 )  0
4.
Если y1 , y 2 решения однородного линейного уравнения, то y1  y 2 - тоже
решение.
Док-во
L( y1  y 2 )  L( y1 )  L y2   0
5.
Если
решения
y2 , ym
y1 ,
то y  Cy1  C2 y 2  Cm y m - тоже решение.
однородного
линейного
уравнения,
Док-во
L( y1  y 2 )  L( y1 )  L y2   0

Определение Функции
y1 ,
y 2 ,  y n называются линейно независимыми в
интервале a, b  , если между ними не существует соотношений вида
1 y1   2 y2     n y n  0
где 1 , 2 ,, n - постоянные числа, не равные нулю одновременно.
a, b .
В противном случае функции y1 , y 2 ,  y n называются линейно зависимыми в интервале

Пример Функции y1  1 , y 2  x,, y n  x n1 - линейно независимы в интервале
 , .Так как 1 1   2 x     n x n1  0
больше n  1 корней.
- уравнение
n  1 -
степени, не может иметь
125
 Пример:
Функции
Эта система линейна зависима.

Замечание Для случая двух функций y1 , y 2 понятие линейной независимости в
интервале a, b  сводится
y1
 const .
y2
Неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка
Рассмотрим неоднородное уравнение второго порядка:
и соответствующее ему однородное уравнение
Теорема1: Если
и
– решение линейного однородного уравнения (5), то их
линейная комбинация
при любых постоянных
и
также
является решением уравнения (5).
Доказательство: продифференцируем дважды
Подставим в левую часть уравнения (5):
Т.к.
решение уравнения (5).
Теорема2: (свойство частных решений линейного однородного уравнения) Если
– решение линейного однородного уравнения (3), то их линейная комбинация
при любых постоянных
Если
линейная
также является решением уравнения (3).
комбинация (6)
, то функции
равна
нулю
лишь
при условии, что
называются линейно
независимые.
В частности для двух функции справедлива теорема:
Теорема: Если функции
и
линейно зависимы, то их отношение равно постоянному
числу.
Доказательство:
предположим, что
:
126
Справедливо и обратное утверждение.
Теорема: Если отношение двух функции не равно постоянному числу, то эти функции
линейно независимы.
 Пример:
Заметим, что все эти функции – решение уравнения
Частное решение
линейно однородного дифференциального уравнения (3)
образуют фундаментальную систему решений на
, если они линейно независимы на этом
отрезке.

Пример:
Определитель Вронского и его свойства
Вронский (1778-1853) – польский математик.
Определителем Вронского для функций
называется определитель, составленный
из функций и их производных вида:
Для двух функций
определитель Вронского имеет вид
Свойства:
1.
Если функции
линейно зависимы на
для этих функций равен нулю на этом отрезке.
Доказательство: проведем для
. По условию
, то определитель Вронского
и
линейно зависимы ‘
127
Определитель равен нулю так как содержит два пропорциональных столбца.
2.
Если
образуют фундаментальную систему решений однородного
линейного уравнения (3) на
, то их определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке
указанного отрезка.
Теоремы о структуре общего решения линейного однородного и неоднородного
уравнения.
Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения
высшего порядка.
Рассмотрим уравнение вида
Теорема1: Если
и
– частные решения уравнения
образующие фундаментальную систему решений на
, то общее решение этого
уравнения имеет вид:
Доказательство:
– решение уравнения (2) по теореме из предыдущей темы
(свойства частных решений однородного уравнения).
Заметим, что
содержит две произвольные постоянные
найти
единственное
частное
, где
решение,
и
. Докажем, что можно
удовлетворяющее
условиям
Подставим начальные условия
Получим систему двух уравнений с неизвестными
а на отрезке
и
и
. Определитель этой системы
образуют фундаментальную систему решений.
Следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам
Крамера:
128
Т.о. найдены единственные значения
удовлетворяющие начальным условиям.
 Замечание1: Нулевым начальным условиям
решение системы
 Замечание2: Если
соответствует нулевое
.
и
не образуют фундаментальную систему решений, т.е. линейно
зависимы, то
, т.е.
содержит одну константу, а не две, не является общим решением уравнения (2).
Теорема2: Если
частные решения уравнения (1), образуют
фундаментальную систему решений на
где
, то общее решение этого уравнения (1) имеет вид
произвольные постоянные.
Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
порядка
и соответствующее ему однородное уравнение
Теорема: Если
(4), а
– какое-либо частное решение линейного неоднородного уравнения
– общее решение соответствующего однородного уравнения (5), то общее решение
уравнения (4) имеет вид
Доказательство: проведем для уравнения второго порядка. Неоднородное
и однородное уравнение имеет вид
Подставим
и
в левую часть уравнения (7)
129
– содержит две произвольные постоянные. Покажем, что можно найти единственное
частное решение (7), удовлетворяющее начальным условиям:
Система с двумя неизвестными
предыдущем пункте
и
, определитель которой
, как и в
могут быть найдены по формулам Крамера.
Метод вариации произвольной постоянной
Решение линейного уравнения первого порядка методом вариации произвольной
постоянной.
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
Пусть
1)
будем искать решение уравнения (1) в виде
Пример:
130

Пример
Решение линейного уравнения второго порядка методом вариации произвольной
постоянной
Пусть общее решение
где
частные
решения
соответствующего
фундаментальную систему решений.
Предположим, что
функции зависящие от переменной
ЛОДУ,
образующие
и решение уравнения
будем искать в виде:
Выберем
так, чтобы
Подставим все в уравнение
Перегруппируем левую часть равенства
частное решение уравнения. В данном равенстве слагаемые стоящие в скобках
обнуляются. Следовательно, чтобы решить уравнение методом вариации произвольной
постоянной надо решить систему уравнений, относительно переменных
:
Аналогично для уравнения
порядка можно показать, что если
–
фундаментальная система решений уравнения
131
то решением уравнения
является функция
где
- функции независимой переменной
удовлетворяют следующей системе
, производные которых
линейных алгебраических уравнений.
Заметим, что определитель это системы – определитель Вронского (отсюда, следует, что
система имеет единственное решение).

Пример:
Необходимое и достаточное условие линейной независимости
n решений однородного линейного уравнения n -го порядка
Рассмотрим уравнение
-
L y   y n   p1 x  y n1    pn1 x  y   pn x  y  0
(1)
линейное однородное уравнение.
132

Теорема Если функции y1 , y 2 ,  y n линейно независимые решения линейного
уравнения (1), все коэффициенты которого непрерывны в интервале
a, b ,
Вронского тождественно не равен нулю ни в одной точке интервала a, b  .
Док-во
Допустим противное, пусть W ( x0 )  0 , причем a  x0  b .
Составим систему уравнений
то определитель
C1  y1 0  C2  y 2 0    Cn  y n 0  0
C1  y1 0  C2  y 2 0    Cn  y n 0  0

C1  y1n 1 0  C2  y 2n 1 0    Cn  y nn 1 0  0
Определитель системы W ( x0 )  0 , система имеет ненулевое решение
C1  C10 , C2  C20 , Cn  Cn0 ,
тогда
y  C10 y1  C20 y2    Cn0 yn - тоже решение (по свойствам однородного линейного
уравнения), но в силу единственности это решение нулевое,
C10 y1  C20 y2    Cn0 yn  0
а это означает, что y1 , y 2 ,  y n линейно зависимые решения, противоречие условие
теоремы.
Таким образом, Для линейной независимости n решений однородного линейного уравнения
n -го порядка (1) ), в котором все коэффициенты непрерывны в интервале a, b  , необходимо и
достаточно, чтобы определитель Вронского был отличен от нуля хотя бы в одной точке этого
интервала.
133
6.11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное уравнение
L( y )  y n   a1 y n1    an1 y   an y  0
Решение будем искать в виде y  e x
Тогда
L(e x )  n  a1e  1    an1  an   e x  P   e x
L(e x )  0 тогда и только тогда когда  - корень уравнения P( )  0

Пример y   ay  0 Частное решение y1  e  ax

Определение Уравнение
P( )  n  a1e  1    an1  an  0 называется характеристическим уравнением, а его корни характеристическими числами
однородного линейного уравнения.
1.
различны.
Пусть все корни характеристического уравнения 1 , , n - вещественны и
n
Общее решение однородного уравнения имеет вид
y   Ck e k x
k 1
2.
различны.
Пусть все корни характеристического уравнения 1 , , n -комплексные и
y  e a ib  x
корню a  ib соответствует решение e ax cos bx , e ax sin bx . Это решения линейно
независимы.
корню a  ib соответствует решение e ax cos bx ,  e ax sin bx . Это решения линейно
независимы.
Таким образом, если все корни характеристического уравнения 1 , , n различны, но
среди них имеются комплексные, то каждому вещественному корню k соответствует решение
e k x , а каждой паре сопряженных комплексных корней a  ib соответствуют два вещественных
линейно независимых частных решений вида e ax cos bx , e ax sin bx .

Замечание В частности каждой паре сопряженных чисто мнимых корней  ib
соответствует два вещественно независимых частных решений cos bx , sin bx .
 x
Всего получается n вещественных решений вида e k , e ax cos bx , e ax sin bx , которые
образуют фундаментальную систему решений..
 x
Итак, если корень вещественный k , то общее решение Ck e k ,
Если корни сопряженные a  ib , то общее решение e ax C1 cos bx  C2 sin bx  ,
Если чисто мнимые  ib , то общее решение C1 cos bx  C2 sin bx ,

Пример y   6 y   11y   6 y  0 Решение y  C1e x  C2 e 2 x  C3e 3 x

Пример y 4   4 y  0 ,   1  i ,
134
Решение y  e x C1 cos x  C2 sin x   e  x C3 cos x  C4 sin x 
3.
Случай наличия кратных корней
Пусть 1 k - кратный корень характеристического уравнения
P(1 )  P1     P k  1   0
Всякому вещественному корню 1 кратности k соответствует k вещественных линейно
независимых решений вида e 1x , xe 1x , x k 1e 1x
Каждой паре сопряженных a  ib корней кратности k соответствует 2k вещественных
линейно независимых решений вида
e ax cos bx, xe ax cos bx, , x k 1e ax cos bx
e ax sin bx, xe ax sin bx, , x k 1e ax sin bx
Итак, если корень вещественный 1 кратности k , то ему соответствует Pk 1 ( x )e 1x ,
Если
e
ax
корни
сопряженные
Pk 1 ( x) cos bx  Qk 1 ( x) sin bx 

a  ib ,
Пример y   3 y   3 y   y  0
кратности
k,

то
ему
соответствует

Корень   1 кратности 3, общее решение y  e x C1  C2 x  C3 x 2 .
В заключении приведем таблицу вида общего решения для однородных уравнений
Вид общего решения линейных однородных уравнений n -го порядка
с постоянными коэффициентами
№ Однородные
уравнения
1.
Корни
k - вещ., разл.
k  a  ib
Вид общего решения
(для однородного),
частного решения
(для неоднородного) уравнения
Ck e k x
e ax C1 cos bx  C2 sin bx 
корни комплексные
1 вещ.,
k - кратный корень
Pk 1 ( x )e 1x ,
k  a  ib
e ax Pk 1 ( x) cos bx  Qk 1 ( x) sin bx 
корни комплексные
k - кратный
135
6.12. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
L( y )  y n   a1 y n1    an1 y   an y  f ( x)
Общее решение находим по следующему алгоритму:
1.
Составляем характеристическое уравнение
n  a1e  1    an1  an  0
Находим корни характеристического уравнения
1 , , n .
3.
По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения (частных
решений будет ровно столько, каков порядок линейного дифференциального уравнения)
2.
1.
Правая часть f ( x )  Pm ( x )ex
 - не является корнем характеристического уравнения.
Частное решение ищем в виде y  Qm ( x )ex , где полином имеет ту же структуру, что и сама
правая часть.
 - корень кратности k , где k  1
Частное решение ищем в виде y  x k Qm ( x )ex ,  - корень кратности k , где k  1 .
2.
Правая часть f ( x )  ex Pm ( x) cos bx  P1m ( x) sin bx  ,
где полиномы равной или меньшей степени m , причем хоть один из них имеет степень m
Если a  ib - не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в
виде y  ex Q1m ( x) cos bx  Q2 m ( x) sin bx  ,
Если a  ib - является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в
виде y  x k ex Q1m ( x) cos bx  Q2m ( x) sin bx 

Замечание Частное решение ищется в таком же виде, даже если P1m ( x )  0 или
P2 m ( x )  0
В заключении приведем таблицы вида общего решения для однородных уравнений и
неоднородных уравнений с указанием вида частного решения для неоднородных уравнений.
Вид частного решения линейных неоднородных уравнений
n -го порядка с постоянными коэффициентами
2.
Неоднородные уравнения
Правая часть
x
f ( x)  Pm ( x)e
 - не
является
корнем
характеристическог
о уравнения

корень
кратности k , где
y  Qm ( x )ex
y  x k Qm ( x)ex
k 1
136
a  ib
Правая часть
f ( x)  e Pm ( x) cos bx  P1m ( x) sin bx  x
не
являются
корнем
характеристическог
о уравнения,
a  ib
-являются
корнем
характеристического
уравнения,
кратности k , где
y  ex Q1m ( x) cos bx  Q2m ( x) sin bx 
y  x k ex Q1m ( x) cos bx  Q2m ( x) sin bx 
k 1

Замечание Рассматриваемый метод отыскания частного решения применим только
в том случае, когда правая часть имеет вид
,
здесь
и
– постоянные,
и
– многочлены от
степени
и
соответственно.
Частное решение уравнения следует искать в виде:
Здесь
– показатель кратности корня
полные многочлены от
наибольший из чисел

степени

или
и
с неопределенными коэффициентами, причем
и
.
Замечание: многочлены
от

степени
в характеристическом уравнении,
и
полные, т.е. должны содержать все
до .
Замечание:Если в выражении функции
, то в
входит только одна из функций
нужно всегда вводить обе функции.
Замечание Коэффициенты многочленов
и
находят методом
неопределенных коэффициентов, т.е. записав многочлены с буквенными коэффициентами и
приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему из
уравнений с
неизвестными, из которых находим эти коэффициенты.

Замечание В случае, если правая часть есть сумма некоторых слагаемых, частное
решение данного уравнения равно сумме частных решений, найденного отдельно для каждого
слагаемого в правой части.

Пример:
137

Пример y   5 y   6 y  6 x 2  10 x  2
Решение z  C1e 2 x  C2 e 3 x ,
частное решение ищем в виде y  Ax 2  Bx  C
y  C1e 2 x  C2 e3 x  x 2

Пример y   y  2e x
Частное решение ищется в виде y  Axe x , y  C1e x  C2 e  x  xe x

Пример y   6 y   5 y  3e x  5x 2
z  C1e x  C2 e5 x
Частное решение ищется в виде y  Axe x , y  Ax 2  Bx  C ,
ответ y  C1e x  C2 e 5 x 
3 x
12
62
xe  x 2  x 
4
5
25
138
Глава 7. Операционные исчисление
Операционное исчисление есть часть математического анализа, изучающая свойства
преобразования Лапласа и его применение к решению различного типа задач анализа, главным
образом задач с начальными условиями, для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Преобразование Лапласа представляет собой определенный закон соответствия между
функциями, т.е. закон, по которому каждой функции из некоторого множества функций одной
переменной становится в соответствие одна определенная функция, также зависящая от одного
аргумента. Такие соответствия между множествами функций называются операторами. Понятие
оператора аналогично понятию функциональной зависимости, осуществляющей однозначное
соответствие между множествами чисел.
Примерами операторов служат:
1. Функция F, ставящая в соответствие функции
например, функцию
или
составную функцию
,
.
2. Соответствие между монотонными функциями
и обратными к ним функциям
.
3.Оператор
дифференцирования,
определенный
функций и ставящий в соответствие функции
на
множестве
дифференцируемых
производную
4. Оператор интегрирования, задающий соответствие между непрерывной функцией
и первообразной к ней функцией
.
Возможность производить действия над самими операторами открывает совершенно новый
подход к решению некоторых задач, например, дифференциальных уравнений, содержащих
оператор дифференцирования
. В таком случае данное линейное дифференциальное уравнение,
например
представляется формально в виде
В этом случае считают, что к неизвестной функции y применено некоторое действие,
зависящее
от
символа
следующим
образом:
, и дающее в результате функцию в правой части
где
.
139
Если сможем производить обратное действие с
, то сможем и решать данное
уравнение с любой правой частью, т.е. представить решение в виде некоторого оператора,
действующего на правую часть
.
Операционное (символическое) исчисление применяется не только для решения
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, но и для решения уравнений с частными
производными, дифференциально-разностных уравнений и линейных интегральных уравнений, к
которым приводят задачи по переходным процессам линейных физических систем
электротехники, радиотехники, импульсной техники, теории автоматического регулирования,
теплопроводности, горной техники, телемеханики, теории следящих систем.
Выдающийся советский ученый в области теории колебаний и автоматического
управления Андронов А.А. (1901-1952) говорил, что операционное исчисление является азбукой
современной автоматики и телемеханики.
О значении операционного исчисления английский математик Э.Т. Уиттнер писал: ”… мы
должны считать операционное исчисление наряду с открытиями Пуанкаре автоморфных функций
и открытиями Риччи тензорного исчисления тремя наиболее важными успехами математики за
последнюю четверть 19 века”.
Оператор – математическое понятие, означающее в самом общем смысле соответствие
между элементами двух множеств и .
Первые сведения об операционном исчислении встречаются уже в работах Лейбница
(1646-1717), Эйлера (1707-1783), Лагранжа (1736-1813), Лапласа (1749-1827), Фурье (1768-1830),
Коши
(1789-1857).
Английский
инженер-электрик
Ол.Хевисайд
положил
начало
систематическому применению операционного исчисления к решению физико-технических задач,
поэтому создание операционного исчисления обычно связывают с его именем.
Методы операционного исчисления, являются удобными и достаточно мощными
средствами для решения многих задач, которые находят многочисленные приложения. Идея
метода заключается в том, что из области функций действительных переменных решение
переносится в область функций комплексного переменного, и при этом вместо
дифференциального или интегрального уравнения получаются алгебраические уравнения.
Результат, полученный при решении алгебраических уравнений, переводится в область
действительного переменного с помощью функций и таблиц.
7.1. Оригинал и изображение
Функция
называется оригиналом если она удовлетворяет следующим трем условиям:
1)
функция
2)
при
при
функция
;
на любом конечном участке оси
имеет не более, чем
конечное число точек разрыва первого рода, т.е. она интегрируема на любом конечном интервале
оси ;
3)
функция
возрастает не быстрее чем некоторая показательная функция, т.е.
существуют такие положительные
и
называется показателем роста функции
, что для всех
,
.
140
Условие (1) указывает на то, что если
при
возрастает, то не очень быстро,
медленнее, чем возрастает некоторая экспоненциальная функция.

Пример: Все ограниченные функции – оригиналы, для них
, в частности

и
и
.
Пример: Все степенные функции
, т.к. любая такая функция
растет, медленнее, чем показательная функция
. Легко показать, применяя правило
Лопиталя, что

Пример: Функции
не являются оригиналами,
т.к. имеют разрывы второго рода.

Пример:
быстрее, чем
не является оригиналом, т.к. при
она возрастает
.
Наличие условия 1) в определении объясняется тем, что в операционном исчислении часто
встречаются задачи, приводящие к отысканию решений дифференциальных уравнений, которые
удовлетворяют начальным условиям. Поэтому при решении таких задач совершенно безразлично
как ведут себя искомые функции до начального момента, который всегда можно принять за
момент
, причем
будем понимать
Свойства оригиналов
1)
Если
- оригинал, то
, т.е.
является оригиналом с тем же показателем роста
функции.
2)
то функция
где
Если
оригиналы с показателем роста
константы, является также оригиналом с показателями роста равным
наибольшему из чисел
.
141
3)
Если
- оригинал с показателем роста
следующие функции:
a)
функция
, где
то оригиналами являются также
– действительное число, имеет показатель роста
.
Показатель
роста
функции
найдем
из
определения
, следовательно, показатель роста равен
b)
функция
оригинала.
.
– действительное или комплексное число).
(
Показатель роста, которого равняется
, если
и равен нулю, если
.
Найдем показатель роста функции
Доказали,
что
показатель
роста
.
функции
и равен нулю, если
c)
, имеющая показатель роста равный
Найдем показатель роста
4)
если
на интервале
если
.
.
Мы доказали, что показатель роста функции
функция
,
.
функция
d)
равняется
равняется
.
с показателем роста
– оригинал с показателем роста
.
, то функция
является непрерывным оригиналом с показателем роста
.
142
Изображение. Свойства изображений
Пусть для заданного оригинала
и для
, принадлежащих области
, существует
Тогда интеграл (2) определяет на области
функцию
комплексной переменной
называется изображением, соответствующим оригиналу
интеграл Лапласа (3).
Преобразование (3), относящее оригиналу
преобразование Лапласа.
Связь между функцией
и
.
, если
его изображение
–
называется
осуществляемая с помощью преобразования Лапласа
(3), обозначается следующим образом:
Условия определения оригинала обеспечивают сходимость несобственного интеграла в
правой части равенства (3).
Теорема 1: (существования изображения). Интеграл Лапласа (2) от оригинала абсолютно
сходится в полуплоскости
,
, т.е. для любой функции оригинала
существует изображение определенное в полуплоскости

Докажем
.
Re p  s0
0
s0
.
первую часть теоремы. Пусть
произвольная точка полуплоскости
и
.
s
Рисунок 1
Т.к.
– оригинал, то
.
143
Вычислим
Т.е. s
и
По условию s
, следовательно
.
следовательно интеграл сходится. В силу неравенства (*) и первого
признака сравнения: если сходится несобственный интеграл от большей функции, следует,
сходится несобственный интеграл от меньшей функции.
Следовательно,
можно
утверждать,
что
сходится,
а
тоже сходится и притом абсолютно.
Это следует из второго признака сравнения: из абсолютной интегрируемости следует
просто интегрируемость. Доказали, что интеграл Лапласа (2) от оригинала абсолютно сходится в
полуплоскости
,
.
Следствие: (необходимый признак существования изображения).
Если функция
является изображением функции
, то
Это утверждение непосредственно вытекает из выше доказанного неравенства, когда
Так как
при
– аналитическая функция в полуплоскости
то
по любому направлению. Отсюда, в частности, следует, что функции
,
не могут быть изображениями.
Отметим, что из аналитичности функции
лежать левее прямой
следует, что все ее особые точки должны
или на самой этой прямой. Функция
удовлетворяющая этому условию, не является изображением функции
изображением, например, функция
, не
. Не является
(ее особые точки расположены на всей оси s).
144
Теорема 2: (единственности изображения). Если в некоторой полуплоскости
функция
является изображением двух оригиналов
и
, то эти оригиналы равны
во всех точках, где они непрерывны (т.е. отличаться они могут только в точках разрыва функции).
7.2 Функция Хевисайда
Функция
, определяемая условием
называется единичная функция Хевисайда.
1
0
t
является оригиналом с показателем роста
Пусть функция
определенная на интервале
условиям 2) и 3), определения оригинала, но
Рассмотрим функцию

.
является оригиналом. В дальнейшем при
нахождении преобразований Лапласа функции
, т.е.
при
и удовлетворяющая
. Очевидно, что
Следовательно, функция
функция
.
будем писать
, считая, что задана
будем кратко записывать в
Пример: Найдем изображение единичной функции Хевисайда
.
По формуле (3) находим
т.е. в символической записи
145

Пример: Найдем изображение функции
.
Аналогично, можно показать, что
Пример: Найдем изображение функции

, ( – константа).
Данная функция является оригиналом. Имеем
,
и
Т.к.
следовательно,
при
,
при
.
.
Получаем, что
Аналогично можно доказать, что

Пример:
146
7.3 Основные свойства преобразования Лапласа
Свойство линейности: Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же
линейная комбинация изображений, т.е. если
,
где
– показатель роста функций
и
- постоянные, то
Используя свойство интеграла, находим
Если
интегралы
для
полуплоскостях
, то
функций
сходятся
в
сходится в полуплоскости
.
Итак,
1)
при умножении оригинала на постоянную величину его изображение умножается
на ту же величину.
2)
Изображение суммы функций равняется сумме изображений этих функций.

Пример: Найдем изображение функций
Решение. Пользуясь свойством линейности и формулой (3), находим
т.е.
147
Следовательно,
Аналогично,
т.к.
Свойство подобия: Если
, то
,
,
где
,
– любое действительное число, т.е умножение аргумента оригинала на любое
действительное число
приводит к делению изображения на это число.
По формуле (3), получим
Функция
роста
по свойству 3) оригинала при
. Сделаем замену переменных
является оригиналом с показателем
.
(т.к. безразлично какой буквой обозначена переменная интегрирования).

Пример: Найти изображение функций
и
.
Используя
свойство
подобия,
сравним
изображения
данных
функций.
Пусть
Тогда
Теорема смещения: Для любого действительного числа
,
,
(
), т.е. умножение оригинала на функцию
смещение независимой переменной
в его изображении на величину
влечет за собой
.
148
Дана

, доказать
Пример:
Найти
. В силу формулы (3)
изображение
функций
.
Используя

теорему
смещения
найдем:
и
формулы
для
изображений
Пример: Найти изображение функций по заданному оригиналу.
Пример: Найти изображение функций по заданному оригиналу.


Пример: Найти изображение функций по заданному оригиналу.

Пример: Найти оригинал, изображение которого задано формулой.

Сведем все формулы в таблицу
149
Таблица соответствий
Оригинал
Изображен
Оригинал
Изображение
ие
1
e t
et
Cos t
Sin t
1
р
Sh (at  b)
1
p 
Ch (at  b)
1
p 
(1)n t n f (t )
et Cos t
р
р2   2
et Sin t

р2   2
2
р а
Sh at
t Sin at
et Sh t
р
Ch at
2
et Ch t
а
2
р  а2
tet Cos bt
2 ра
р 2  а 
22
t Cos at
tet Sin bt
р2  а2
р 2  а 
22
t Ch at
1  et
t
р2  а2
р 2  а 
22
t Sh at
t n e at
р 2  а 
Sin (at  b)
Sin (t  1)
t 2e at
n!
p n 1
1
t n 1e  at
(n  1)!
n!
( p  a)
b
 p
e a 
e
n 1
1
a
p
Cos t  1)
b
 p
e a 
f
p
p2  a2
e
f
( n)
p
a
2
p  a2
p
2
p  a2
( p)
p 
( p  )2   2

( p   )2   2

( p   )2   2
p 
( p   )2   2
( p   )2  b2
( p   )2  b2 2
( p   )  2b
( p   )2  b2 2
p 
p
ln
p
( p  a) 2
2
( p  a )3
1
( p  a)n
1
t
p2  a2
p2  1
Cos (at  b)
b
 p
e a 
(1  at )e at
2 ра
22
tn
b
 p
e a 
p
2
1
t
p p

( n)
(t )
p n F ( p)  p n 1 f (0) 
( n 1)
(0)
 p n2 f (0)  ...   f
p
2
p 1
150
Теорема запаздывания Рассмотрим оригинал
где
. Графики функции
сдвинут на
и
определим функцию
имеют одинаковый вид, но график функции
единиц вправо (рис. 3). Следовательно, функции
тот же процесс, но процесс, описываемый функцией
Запаздывающую функцию
можно
и
описывают один и
, начинается с опозданием на время
записать с помощью функции
.
Хевисайда:
.
g
f
(t)
(t)
0
Теорема: Если
t
и
0

t
, то
,
где по определению оригинала
время
при
, т.е. запаздывание оригинала на
приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на
.
Применяя формулу (3), найдем
151
1
0

t
При этом удобно записывать функции
где
Свойство
запаздывания
удобно
применять
при
отыскании
изображения
функций, которые на разных участках задаются
различными аналитическими выражениями;
функций, описывающих импульсные процессы.
следующим образом:
– точки изменения аналитического выражения, чаще точки разрыва или перелома графика
функции.
Данная функция называется обобщенной единичной функцией Хевисайда.
График этой функции аналогичен графику единичной функции
, но смещен вдоль
оси
вправо на величину .
Т.к.
, то по теореме запаздывания
Пример: Найти изображение функции
Решение. Данная функция описывает
единичный импульс (рис. 5), который можно
рассматривать как разность оригиналов
единичной функции
и обобщенной

единичной функции
1
0
3
.
Поэтому

Пример: Найти изображение
ступенчатой функции
152

Пример: Найти изображение следующих функций

Пример: Найти оригинал по заданному изображению
Теорема о дифференцировании оригинала
Если
являются оригиналами с показателем роста
и функции
, то
153
… … … … … … … … … … … …
По определению изображения
Т.к.
в силу ограниченности роста оригинала,
ограниченная функция, а
–
– бесконечно малая величина.
В частности, когда
:
.
Пользуясь полученным результатом, найдем изображение
– также функция
оригинал, тогда
Аналогично найдем изображение третьей производной:
Применив формулу
раз, получим
Когда все начальные условия нулевые, т.е.
то

Пример:
Найти
изображение
дифференциального
Используя
свойства
линейности
и дифференцируемости,
дифференциального уравнения алгебраическое, относительно переменной
выражения
получаем
.
вместо
154
Теорема о дифференцировании изображения
Если
, то
… … … … … …
… … … … … …
т.е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на
Согласно теореме существования изображения,
полуплоскости
.
является аналитической функцией в
. Следовательно, у нее существует производная любого порядка.
Дифференцируя интеграл (3) по параметру
получим
т.е.
Тогда

и т.д.
Пример:
Решение. Т.к.
Найти
изображение
следующих
функций
, по свойству дифференцирования изображения имеем
Далее находим
Продолжая дифференцировать, получим
155

Пример
.
Решение. Т.к.
то
… …. … … … …

Пример Найти изображение
Решение. Т.к.

, то
Пример Найти изображение
Решение. Т.к.
, то
Теорема о интегрировании оригинала
Пусть
, тогда
т.е. интегрирование оригинала от
Обозначим
следовательно
до
соответствует делению его изображения на
.
является оригиналом (проверьте самостоятельно),
.
156
Т.к.
–
оригинал,
значит
ограниченная
функция
,
.
Следовательно,
.
.

Пример: Найти изображение
Используем теорему смещения
Теорема о интегрировании изображения
Если
при
до
и
, где
является оригиналом и интеграл
– показатель роста
сходится, то
, т.е. интегрирование изображения от
соответствует делению его оригинала на .
Используя формулу (3) и изменяя порядок интегрирования, получаем
157
Пример: Найти изображения функции

и интегрального синуса
.
Решение.
– является оригиналом, т.к.
Т.к.
, то
Применяя свойство интегрирования оригинала, получаем
7.4 Понятие о свертке функций
Функция вида
обозначается
называется сверткой функций
и
и
Таким образом
.
Свойства свертки (коммутативность): Выражение для свертки не зависит от порядка, в
котором берутся функции
и
, т.е. справедливо равенство
или
Говорят, что действие свертки коммутативно.
Докажем
сделаем подстановку

свойство
коммутативности
.
Пример: Найти свертку функций
158
Решение.
Пример: Найти свертку функций

Решение.
Теорема свертывания:
Если
и
является изображением свертки функций
,то произведение
и
, т.е.
Теорему свертывания часто используют для определения оригинала по заданному
изображению, когда заданное изображение удается разбить на сомножители, для которых
оригиналы известны.
Пример: Найти оригинал

по изображению
Решение.
Получаем свертку двух функций и используя теорему свертывания, имеем

Пример: Найти оригинал
по изображению
.
Решение.
Получаем свертку двух функций из примера 17 и используя теорему свертывания, имеем
159
7.5 Формула Дюамеля
Пусть
– оригинал, непрерывный на
дифференцируемый на
. Из
и
и
– оригинал, непрерывно
, причем
также
является оригиналом. Тогда имеет место равенство
Докажем данное равенство

Пример: Найти оригинал, соответствующий изображению
с помощью
формулы Дюамеля.
160

Пример: Найти оригинал, соответствующий изображению
Решение: Так как
и
на основании формулы Дюамеля
Умножение оригиналов
Если
и

, то
 i 
s0

0
s
где
прямая
путь
интегрирования –
(рис. 6).
вертикальная
 i 
.
Изображение периодического оригинала с периодом, равным
Оно определено в полуплоскости
, имеет вид
. Используя формулу (3) и свойство
периодической функции, имеем
161
т.к.
– периодическая функция с периодом
.
Следовательно

Пример:
Найти изображение периодической функции
,
заданной графически
Решение.

Пример: Найти изображение периодической функции
Решение. Зададим
аналитически
.
, заданной графически
,
162

Пример: Найти изображение периодической функции
, заданной графически
f t 
1
0
Решение. Зададим
1
2
3
4 t
аналитически
учтем, что T  2 , получим
7.6 Формула обращения
Операция нахождения оригинала по заданному изображению называется обратным
преобразованием Лапласа и обозначается
Первая теорема разложения. Если функция
аналитична в некоторой окрестности
бесконечно удаленной точки и ее разложение в ряд по степеням
имеет вид
то функция
является оригиналом, имеющим изображение
Вторая теорема разложения. Если
многочлен в знаменателе дроби
.
правильная несократимая дробь, причем
не имеет кратных и нулевых корней, то оригиналом ее
служит функция
163
где
– корни многочлена
Пусть
заданная рациональная функция,
несократимая дробь и
где
.
, причем
- правильная
не имеет кратных и нулевых корней, тогда
– корни знаменателя.
Т.к.
Для нахождения
корни знаменателя, то
умножим (5) на
и устремим
Второе слагаемое в формуле (6) стремиться к нулю при
к
, т.е.
.
. Тогда получим
Аналогично
Учитывая, что
, получаем
т.е.
164
Если, в частности
, где
соответственно
и
– многочлены степеней
– корни многочлена
соответственно равными
и
с кратностями,
то
Если все коэффициенты многочленов
и
– действительные числа, то в
правой части полезно объединить слагаемые, относящиеся к взаимно сопряженным комплексным
корням; сумма каждой пары таких членов равна удвоенной действительной части одного из них.
На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят по следующему плану:
сначала по таблице оригиналов и изображений пытаются отыскать для заданного изображения
соответствующий ему оригинал; в более сложном случае функцию
стараются
представить в виде суммы простейших рациональных дробей, и, пользуясь свойством линейности,
найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений,
формулу обращения и т. д.

Пример:
Найти
функцию-оригинал,
если
ее
изображение
Решение. Рассмотрим три способа.
Первый способ нахождения
. Разложим дробь
на сумму
простейших дробей:
И по таблице оригиналов и изображений найдем
.
Второй способ нахождения
как произведение
. Представим
и т.к.
то пользуясь свойством умножения изображений, получим
165
Третий способ нахождения
. Здесь
– простой корень знаменателя,
,
– корень кратности
.
7.7 Приложение операционного исчисления
Операционный метод позволяет просто решать линейные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами. При решении таких уравнений методом преобразования Лапласа
искомая функция и ее производные заменяются их изображениями, после чего получается
алгебраическое уравнение относительно изображения искомой функции. Решая его, мы получаем
так называемое операторное решение, после чего остается восстановить оригинал, являющийся
искомым решением дифференциального уравнения. Для этой последней операции могут быть
использованы, в зависимости от случая, теорема обращения и другие теоремы и правила
операционного исчисления. Указанный метод решения можно наглядно изобразить в виде
следующей схемы:
Дифференциальное уравнение и начальные условия
L – преобразование Лапласа
Алгебраическое уравнение
Решение алгебраического уравнения
166
L-1 – обратное преобразование Лапласа
Частное решение дифференциального уравнения
Может случиться, что в сложном исследовании участвует целая цепочка подобных
рассуждений, так что найденные функции используются для отыскания еще каких-то функций и
т.д. В таких случаях оказывается полезным проводить все исследование в образах и лишь на
самом последнем этапе перейти к прообразам функций, которые в конечном счете и требуются.
Пусть дано дифференциальное уравнение
где t  0, коэффициенты
– действительные числа, удовлетворяющие заданным
начальным условиям:
Пусть неизвестная функция
удовлетворяют
условиям
функции
и ее производные
–
оригинала.
и функция
Обозначим
и
. Тогда по теореме дифференцирования оригинала имеем:
…… … … … … … … …
По теореме линейности получаем:
Так как
, то по теореме единственности оригинала получим уравнение
или
Полученное операторное уравнение дифференциального уравнения с начальными
условиями и является алгебраическим уравнением относительно :
167
Если правая часть
, то решение
данного уравнения есть линейная комбинация функции вида
его операторного уравнения – это правильная дробно-рациональная
функция. По теореме разложения или непосредственно пользуясь свойствами преобразования
Лапласа, находим для изображения
функцию
. Эта функция есть частное решение
данного уравнения.
Выражение
называется
характеристическим многочленом.
Функция
называется передаточной функцией. Тогда если начальные
условия нулевые, то
F(p)
. В таком случае схема решения имеет вид:
Z1(p) F(p)
Z1(p)
Z2(p) Z1(p) F(p)
Z2(p)
Таким образом, в случае нулевых начальных условий образ отклика получается из образа
воздействия простым умножением на передаточную функцию. Это делает особенно удобным
рассмотрение в Лаплас-образах агрегатов, в которых выходная функция для некоторой системы
служит входной функцией для последующей и т.д. Если начальные условия не нулевые, то
формулу можно записать так:
 Замечание: Аналогично можно решить дифференциальное уравнение 2 порядка.
Рассмотрим уравнение
где
–действительные числа, пусть
, где
Пусть существует изображение решения
Предположим, что существует изображение не только
порядка. Домножим обе части (8) на
– заданные числа.
и правой части уравнения (8).
, но и ее производных вплоть до
и проинтегрируем результат по
от
до
.
Каждое слагаемое заменим на его изображение
Получим уравнение
168
(10) называется операторным уравнением или изображением уравнения, соответствующего
уравнению (8). (10) является алгебраическим уравнением относительно
.
Правая часть уравнения (11) – правильная рациональная дробь, раскладывая ее на сумму
простейших и восстанавливаем по изображению оригинал
, получим частное
решение уравнения (8).
Если
, то
Преимущества решения дифференциальных уравнений операционным методом:
1)
Сразу находим частное решение дифференциального уравнения, не находя общего.
 Замечание: Если требуется найти общее решение дифференциального уравнения
можно взять начальные условия
и
.
2)
Сразу находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения, не
находя решения однородного уравнения.
 Замечание: Задание в начальном условии точки
не является ограничением. Если
, то положив

Пример: Проинтегрировать уравнение
и т.д.
при
начальных условиях x(0) = 0, x′ (0) = 1.
Решение: Полагая
и дифференцируя, получим:
Операторное уравнение принимает вид:
Или
откуда
169

Пример:
Решить
дифференциальное
уравнение
Решение.
.
- операторное уравнение.

Пример:
Решить
дифференциальное
уравнение
с
начальными
условиями
Решение.

Пример: Найти решение уравнения
при начальных условиях
x(0) = -1, x′ (0) = 1.
Решение: Пусть
есть изображение искомой функции
, т.е.
Тогда
По теореме смещения получим:
Отсюда
Разложим изображение на сумму элементарных дробей. Тогда
170
Сравнивая
коэффициенты
при
одинаковых
степенях
,
находим:
. Тогда
Переходя к оригиналу, пользуясь теоремами линейности и смещения, получим решение
7.8 Решение линейных систем операционным методом
Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами ничем принципиально не отличается от рассмотренного решения одного
дифференциального уравнения. Здесь также оригиналы функции следует заменять их
изображениями. Тогда каждое дифференциальное уравнение заменится соответствующим
операторным и получится система алгебраических уравнений относительно искомых оригиналов.
Решив эту систему, находят изображения искомых функций, а затем переходят к их оригиналам.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
Предположим, что функции
,
,
- являются оригиналами.
перейдем в системе (12) к изображениям
Решим полученную систему относительно
а затем и сами оригиналы функций

найдем изображение искомых функций,
.
Пример: Решить систему линейных дифференциальных уравнений
171
при начальных условиях x(0) = 0, y(0) = 3, z(0) = -2.
Решение: Пусть
. Переходя
,
к
Тогда
,
изображениям, приходим к следующей
операторной системе:
Решая эту систему, получим:
. При
Итак,
При
Тогда
.
Аналогично получим
,
.
7.9 Дельта-фнкция
Дельта-функция
широко применяется в математике и ее приложениях и является
простейшим примером обобщенных функций.
Сначала рассмотрим функцию
Если эту функцию трактовать как силу, действующую за промежуток времени от
до
,а
в остальное время она равна нулю, то импульс этой силы будет равен единице.
В механике удобно рассматривать мгновенно действующие силы, имеющие конечный
импульс. Поэтому вводят функцию
. Она не является функцией в
обычном понимании, не имеет, строго говоря, графика и может быть определена так:
рассматривается только для вещественных значений .
172
Дельта-функция
1)
лишь при
обладает следующими свойствами
т.к. определена данная функция
.
2) Из последних равенств следует, что
3) "Фильтрующее" свойство
т.к
где
при всех
, поэтому
- малая величина. В последнем интеграле промежуток интегрирования мал (его длина равна
), поэтому на нем
, следовательно
4) Для нахождения изображения
, найдем изображение
линейности и изображение единичной функции
Итак,
.
Для
смещенной
, используя свойство
-
функции
.
173
Глава 8 Числовые ряды
Рассмотрим бесконечную последовательность чисел
Выражение
(1) называется числовым рядом.
Кратко числовой ряд записывается так:
для -го члена
.
,где
– общий член ряда, т.е. выражение
.
Числовой ряд считается заданным если задан закон, по которому можно написать любой
член данного ряда.
Практически ряд (1) задан, если задан его общий член.
 Пример:
– числовой ряд
.
 Пример:
,

Пример:
Гармонический ряд
Пример:
Ряд геометрическая прогрессия


Замечание: Не всегда общий член ряда определяется формулой. Рассмотрим ряд,
членами которого является последовательность простых чисел
т.к. нет формулы, по которой можно написать любое простое число на заданном месте, то нельзя
аналитически записать общий член данного ряда.
Сходимость и расходимость ряда.
Пусть дан ряд
Сумма первых
его членов ряда называется n -ной частичной суммой, т.е.
Рассмотрим последовательность частичных сумм
последовательность, т.к. для любого
ряда (1). Это числовая
– действительное число.
Числовой ряд (1) называется сходящимся, если последовательность
его частичных
сумм имеет конечный предел.
Числовой ряд (1) называется расходящимся, если последовательность его частичных
сумм имеет бесконечный предел, либо вовсе не имеет предела.
174
Пусть числовой ряд
(2) сходится, значит по определению
предел.
Число
называется
суммой
ряда
(2)
и
имеет конечный
можно
написать
.
 Замечание: Иногда о ряде, у которого предел последовательности частичных сумм равен
бесконечности, говорят, что его сумма равна бесконечности и пишут
.

Пример
.
первых членов арифметической прогрессии с

.
Пример
Методом математической индукции можно показать, что
Расходимость гармонического ряда
В теории предела последовательности доказывается, что последовательность с общим
членом
возрастает, т.е.
имеет своим пределом число
, причем эта последовательность строго
и
Запишем это неравенство при
получим
неравенств:
175
Складываем эти неравенства почленно, получим
переходим в нем к пределу при
т.е. гармонический ряд расходится.

Пример Исследуем на сходимость ряд геометрическую прогрессию
.
Известно, что
Найдем предел последовательности частичных сумм
1. Пусть
тогда
и
, ряд
сходится
2.
знака
тогда
, ряд расходится.
3.
и
в зависимости от
тогда
и
,
следовательно ряд расходится.
4.
ряд принимает вид
в зависимости от знака , ряд расходится.
5.
имеем ряд
такая последовательность не имеет предела, ряд расходится.
Вывод: Если
ряд геометрическая прогрессия сходится, если
– ряд
геометрическая прогрессия расходится.
8.1 Необходимый признак сходимости числового ряда
Теорема1: Если числовой ряд сходится, то предел его n -го члена равен нулю при
Доказательство:
Пусть
. Запишем
и
ряд
(1)
сходится.
Требуется
доказать,
.
что
-ую частичную суммы ряда (1):
(2), т.к. ряд (1) сходится, то существует конечный предел
последовательности частичных сумм, которые обозначим через
. Перейдем к пределу при
в равенстве (2)
176
 Замечание: Доказанная теорема не является достаточным признаком сходимости ряда,
т.е. для какого-нибудь ряда предел его n-го члена равен нулю при
, но это не значит, что
ряд сходится.
Теорема2: (достаточный признак расходимости ряда) Если числовой ряд (1), таков, что
, то этот ряд расходится.
Доказательство: Пусть ряд
сходился, то по теореме1
(1) таков, что
. Если бы ряд (1)
, но это не возможно по условию. Следовательно, ряд
расходится.

Пример: Исследовать на сходимость ряд
следовательно, ряд расходится по достаточному признаку расходимости ряда.
Остаток ряда
Если в ряде
отбросить
первых членов, то
получится ряд
Ряд (2) называется n- остатком ряда (1).
Теорема3: (о связи между сходимостью и расходимостью ряда и его остатка) Если
данный ряд сходится (расходится), то соответственно сходится (расходится) любой его остаток
ряда.
Обратная теорема: если сходится (расходится) какой-нибудь остаток ряда, то
соответственно сходится (расходится) этот ряд.
Доказательство: Пусть
(1) сходится. Требуется доказать, что сходится любой
его остаток ряда.
Возьмем n-ый остаток ряда (1)
и докажем, что он сходится.
Обозначим через
k-ую частичную сумму остатка
теперь запишем
-ую частичную сумму ряда (1)
Итак,
, откуда
т.к. при
, а данный ряд сходится, то при
стремится к определенному числу.
177
не зависит от
предел при
, следовательно в последнем равенстве справа существует конечный
, но тогда существует конечный предел слева
, а это и означает,
что k-ый остаток исходного ряда – сходится.
Обратно, m-ый остаток ряда (1) сходится. Докажем, что и ряд (1) сходится. В равенстве (3)
положим
, получим
т.к. при
и m-ый остаток ряда сходится, то существует конечный
предел
.
не зависит от
, стало быть, в равенстве (4) справа существует конечный предел при
, тогда существует конечный предел слева
, а это и означает, что ряд (1)
сходится.
Аналогично, доказывается расходимость ряда, если расходится остаток и обратное
утверждение.
Следствие1: Прибавление к ряду или отбрасывание от него конечного числа членов не
влияет на сходимость ряда.
Следствие2: Если – сумма ряда (1),
– его n-ая частичная сумма,
– сумма го остатка, то имеет место соотношение
Теорема 4: Если ряд сходится, то предел его n-го остатка равен нулю при
Доказательство: Пусть ряд
частичную сумму
(1) сходится, обозначим его сумму через
, а сумму n-остатка через
.
,
-ую
. Тогда по следствию 2 из теоремы 3
.
Откуда
,
т.к.
то
8.2 Операции над числовыми рядами
1)
Умножение ряда на число
Умножить ряд на число – значит умножить на это число каждый член ряда.
Теорема5: Если ряд сходится (расходится), то умножив его на некоторое число, мы
получим снова сходящийся (расходящийся) ряд. В случае расходящегося ряда это число должно
быть не равным нулю.
Если ряд
сходится и его сумма равна , то ряд
, где – любое действительное
число тоже сходится и его сумма равна
.
Доказательство:
178
Пусть ряд
Пусть
(1) сходится. Умножив его на число , получим ряд
– -я частичная сумма ряда (1),
– его сумма,
–
-я частичная сумма ряда (5)
– его сумма
Нетрудно видеть, что
, перейдя к пределу в этом равенстве, получим
Откуда следует, что ряд (5) сходится и
.
Пусть теперь ряд (1) расходится. Умножив его на число
не равное нулю, получим ряд
(5).
Этот ряд расходится, ибо если бы он сходился, то умножив его на число , мы получили бы
ряд (1) и он был бы сходящимся, что невозможно по условию.
2)
Сумма, разность рядов
Пусть даны два ряда
и
.
Суммой (разностью) этих рядов называется ряд вида
Теорема 6: Сумма (разность) двух сходящихся рядов есть ряд сходящийся, причем сумма
этого ряда равна сумме (разности) двух числовых рядов.
Если ряды
и
сходятся и их суммы и соответственно, то ряд
также сходится и его сумма соответственно равна
Доказательство: Обозначим частичные суммы
.
, тогда
3)
Группировка членов ряда
Теорема7: Если члены сходящегося ряда, не меняя их порядка сгруппировать каким-либо
образом, то вновь полученный ряд будет сходится и его сумма будет равна сумме исходного ряда.
Доказательство: Пусть ряд
(1) сходится. Не меняя порядка членов ряда,
сгруппируем их таким образом
Требуется доказать, что ряд (6) сходится и его сумма равна сумме ряда (1).
179
-ую частичную сумму ряда (1) обозначим через
, а его сумму через . Через
–
-ую
частичную сумму ряда (6). Тогда, очевидно, что
Последовательность
, то
является подпоследовательностью последовательности
является подпоследовательностью последовательности
сходится к числу
. Последовательность
по условию.
Известно, что если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность имеет
тот же предел что и данная последовательность. Поэтому последовательность
сходится и
имеет предел равный , а это и означает, что ряд (6) сходится, а его сумма равна сумме ряда (1).
 Замечание: Доказанная теорема позволяет включать в скобки члены ряда не меняя их
порядка, однако, раскрывать скобки в каком-либо ряде, вообще говоря, нельзя.

Пример: Рассмотрим ряд
. Этот ряд
сходится
и
его
сумма
равна
нулю.
Раскрыв
скобки,
получим
ряд
этот ряд расходится, т.к. последовательность его
частичных сумм
не имеет предела.
8.3 Ряды с положительными членами
Ряд

называется рядом с положительными членами, если
Замечание: Ряд с положительными членами допускает наличие членов равных
нулю.

Замечание Ряды с отрицательными членами можно рассматривать как ряды с
положительными членами, умноженными на (-1), а это не влияет на сходимость ряда.
Следовательно, достаточно научиться исследовать ряды с положительными членами.
Теорема1: Любой ряд с положительными членами либо сходится и его сумма есть
положительное число, либо расходится .
Доказательство: Пусть дан ряд с положительными членам
.
Запишем его последовательность частичных сумм
Очевидно, что
, т.е. последовательность частичных сумм
строго возрастает, но тогда возможны 2 случая:
1.
Последовательность
ограничена сверху. По теореме о пределе монотонно
ограниченной последовательности, она имеет конечный предел, стало быть ряд сходится. При этом
.
180
2.
возрастает неограниченно, и следовательно имеет предел равный
, тогда ряд
расходится и его сумма равна
.
Теорема2: (о перестановке членов ряда) Перестановка членов сходящегося ряда с
положительными членами не влияет на его сумму.
Поясним формулировку теоремы:
Пусть дан ряд с положительными членами
., который сходится.
Переставим члены ряда каким-либо образом, получим ряд
.. Теорема
утверждает, что если ряд (1) сходится то ряд (2) также сходится и его сумма равна сумме ряда (1).
Доказательство: Пусть
– -ая частичная сумма ряда (1), – его сумма.
– -ая
частичная сумма ряда (2).
Т.к. ряд (2) получается из ряда (1) путем перестановки членов, то каково бы не было
всегда найдется
такое, что
.Т.к.
при
, то
.
ограничено
сверху и строго возрастает, следовательно, она имеет конечный предел, обозначим его через
Переходя к пределу в неравенстве
, получим
. Таким образом, ряд (2) сходится и его сумма
,
:
или
С другой стороны, ряд (1)
можно рассматривать как ряд, полученный перестановкой членов ряда (2), и, следовательно,
Из (3) и (4), следует, что
.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
1) Признак сравнения
Теорема: Пусть даны два ряда с положительными членами
пусть при
справедливо неравенство:
(1) и
(2) и
.
Тогда:
1.
Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).
2.
Если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).
Доказательство:
– -я частичная сумма ряда (1).
–
-я частичная сумма ряда (2), т.к.
А) Пусть ряд (2) сходится и
.
– его сумма, т.к. ряд (2) – ряд с положительными членами, то
и из неравенства (3) следует
Т.о.
, то
.
строго возрастает и ограничена сверху числом
, тогда она имеет конечный
предел и следовательно, (1) сходится. Обозначая сумму ряда (1) через
неравенстве
, получим
и переходя к пределу в
.
181
Б) Пусть теперь ряд (1) расходится, тогда
. Переходя к пределу при
в (3), получим

т.е. ряд (2) расходится.
Замечание: Доказанная теорема верна и в том случае, когда неравенство
выполняется лишь начиная с некоторого номера. Это легко следует из теоремы о связи между
сходимостью и расходимостью ряда и его остатка.

Пример: Исследовать на сходимость
Рассмотрим ряд
– геометрическая прогрессия со знаменателем
сходится

значит он
, по признаку сравнения заданный ряд также сходится.
Пример: Исследовать на сходимость
, тогда
– это
остаток гармонического ряда, он расходится значит и исходный ряд
расходится.
На практике более эффективным оказывается следующий метод
2)
Предельный признак сравнения
Если члены рядов
и
и
положительны и
, то ряды
сходятся или расходятся одновременно. (без доказательства)

Пример: Исследуем на сходимость
сравним его с рядом
– расходящийся.
Ряд расходится.
182
Признак Даламбера
3)
Теорема: Если ряд
то при
таков, что существует
ряд сходится, при
ряд расходится, при
ряд может как сходиться так и
расходиться.
Доказательство: Пусть для ряда (1)
. Это значит по определению передела,
что
Пусть
число
, т.к.
– произвольное маленькое число, его можно выбрать таким, чтобы
было <1, тогда из неравенства (2), получаем
, полагая
, получим неравенство
При
имеем
или учитывая предыдущее неравенство,
получаем
Затем полагая
и т.д. при
Рассмотрим 2 ряда:
(5) – ряд геометрическая прогрессия с знаменателем
и т.к.
, он сходится.
Из неравенства (3) следует, что каждый член ряда (4) меньше соответствующего члена ряда
(5), а это ряды с положительными членами.
Следовательно, по признаку сравнения (4) сходится, но (4) является -остатком ряда (1) и т.к.
этот остаток сходится, то ряд (1) тоже сходится.
Итак, при
ряд (1) сходится.
Пусть
малым,
чтобы
. Из неравенства (2)
число
было
>1.
Но
.
можно взять настолько
тогда
откуда
.
183
Это неравенство означает, что начиная с некоторого номера
стало быть
члены ряда возрастают и
. По достаточному признаку расходимости ряда ряд (1) расходится.
Пример: Исследовать на сходимость

ряд сходится.
4)
Признак Коши
Теорема: Если ряд
то при
таков, что существует
ряд сходится, при
ряд расходится, при
ряд может как сходиться так и
расходиться.
Доказательство: По определению предела:
Пусть
. Обозначим
и выберем
таким, что
–
, по теореме сравнения
если
геометрическая
прогрессия
сходится, а следовательно, и
, так же
сходится, т.к. сходится остаток.
Пусть

Пример: Исследуем на сходимость
следовательно, ряд расходится.
184
5)
Интегральный признак Маклорена-Коши
Теорема: Пусть дан ряд с положительными членами
и существует функция
такая, что
. Пусть далее функция
непрерывна в полуинтервале
Тогда, если
, положительна и монотонна убывает в этом промежутке.
сходится, то и ряд (1) сходится. Если же
ряд (1) расходится.
Доказательство: Построим график функции
расходится, то и
на отрезке
и разобьем площадь
криволинейной трапеции на вертикальные полосы шириной 1 каждая.
Рассмотрим 2 ступенчатые фигуры, у одной высота
, а у другой
:
входящую и выходящую. Площадь первой фигуры меньше площади данной криволинейной
трапеции, площадь второй больше.
При этом площади столбцов будут численно совпадать с их высотами
и,
следовательно, с соответственно членами ряда. Рассмотрим площади фигур:
1)
Площадь ступенчатой фигуры, включающей в себя выходящие прямоугольники
где
– -частичная сумма данного ряда.
2) Площадь ступенчатой фигуры, состоящей
криволинейную трапецию
3)
из
входящих
прямоугольников
в
Площадь криволинейной трапеции
Очевидно, что
. Отсюда получаем 2 неравенства.
185
Если несобственный интеграл
, т.е.
(**)
следовательно
сходится, то
ограничена и следовательно,
и из
сходится (монотонна,
)
Теперь рассмотрим частные случаи
Если
1.
несобственный
интеграл
.
сходится,
Тогда
то
и
, т.е.
Т.о., последовательность частичных сумм ряда с положительными членами ограничена и
данный ряд сходится.
2. если
расходится, то
неограничена, но
неограничен, а значит и
неограничена, значит данный ряд
расходится.

Пример: Исследовать ряд на сходимость
1)
Ряд расходится
Пример


при
При
, так как по интегральному признаку
Пример Рассмотрим так называемый обобщенный гармонический ряд
имеем
– гармонический ряд, он расходится .
применим интегральный признак. Возьмем функцию
в
она удовлетворяет условиям теоремы
186
Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при
и расходится
.
сходится
расходится
.
8.4 Ряды с членами произвольных знаков
Рассмотрим ряд, члены которого вещественные числа любого знака.
Будем называть ряд
абсолютно сходящимся, если сходится ряд
Теорема: (достаточный признак сходимости ряда с членами произвольных знаков) Ряд с
членами произвольных знаков сходится, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин
его членов, т.е. из сходимости ряда (2), следует сходимость ряда (1).
Доказательство:
– общий член сходящегося ряда
По признаку сравнения:
, т.к. сходится
сходится поэтому сходится
.
т.к. его
можно представить в виде разности двух сходящихся рядов

Замечание: Обратное утверждение неверно, если сходится знакочередующийся
ряд, то ряд из модулей не обязательно будет сходится.
Ряд (1) называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, а ряд, составленный из
абсолютных величин его членов (2) расходится.

Замечание: Для установления абсолютной сходимости рядов можно применять все
признаки сходимости. Но аккуратно с расходящимися рядами, если ряд из модулей расходится, то
просто ряд может сходиться условно.

Пример: абсолютно сходящийся ряд
187

Пример:
не является знакочередующимся
рядом, т.е. теорему Лейбница нельзя применить (2 положительных, 2 отрицательных
элемента и т.д.), составим ряд из модулей
геометрическая прогрессия со знаменателем
, значит сходится, следовательно и
исходный ряд сходится.
Признаки Даламбера и Коши являются достаточными и необходимыми признаками
сходимости.
8.5 Знакочередующиеся ряды
Ряд называется знакочередующимся, если члены этого ряда поочередно имеют то
положительные, то отрицательные значения.
, где все
.
Теорема: (признак Лейбница) Если все члены ряда (1) монотонно убывают по абсолютной
величине:
то ряд (1) сходится. При
этом сумма его положительна и не превосходит первого члена.
Доказательство: Частичную сумму четного порядка
Каждая скобка в силу условия (2) положительна
также возрастает. С другой стороны
, следовательно, с возрастанием
можно переписать в виде
Откуда, очевидно, что
четных частичных сумм
можно записать в виде
. Т.о. последовательность
возрастает с ростом
и ограничена сверху
Следовательно, существует конечный предел
где
..
.
Формула (5) не доказывает, что ряд (1) сходится, т.к. взяли последовательность частичных
сумм только четного числа членов.
Возьмем нечетное число членов
. Из очевидного равенства
и из того, что
Т.о. все последовательности
сходятся к числу
, т.е.
и ряд (1) сходится.
Следствие1: При доказательстве теоремы мы выяснили, что последовательность четных
частичных сумм
стремится к возрастая.
Аналогично из равенства
188
следует, что последовательность нечетных частичных сумм
стремится к
убывая.
Т.о.
В частности, можно утверждать, что
Это позволяет дать простую оценку остатка рассматриваемого ряда. Остаток ряда,
представляет собой ряд, удовлетворяющий всем условиям
признака Лейбница. Поэтому его сумма
меньше его абсолютной величины первого члена в
скобке, т.е.
Следствие 2: Итак, если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы
Лейбница, то ошибка, которая получается если заменить его сумму частичной суммой
по
абсолютной величине, не превосходит первого из отброшенных членов.
Пример: Исследовать на сходимость ряд

Решение
условно сходится, т.к.
расходится, т.к.
.
Абсолютной сходимости нет.

Пример:
абсолютно сходящийся.
сходится абсолютно.
найти сумму с точностью до
.

Замечание: Деление рядов на абсолютно и условно сходящиеся является
существенным. Оказывается, что некоторые свойства конечных сумм переносятся только на
абсолютно сходящиеся ряды.
189
Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов
Теорема1: (Дирихле) Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся
при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.
Это свойство не сохраняется для условно сходящихся рядов.
Теорема2: (Римана) Если ряд сходится условно, то каково бы ни было наперед взятое число
, можно переставить члены данного ряда так, что сумма этого ряда оказалась равной .
Более того, можно переставить члены условно сходящегося ряда так, что получится
расходящийся ряд. Покажем на примере, что условно сходящийся ряд не обладает
переместительным свойством.
Рассмотрим условно сходящийся ряд
запишем его в виде
условно сходящийся ряд. Переставим члены ряда так
Итак, после перестановки членов сумма уменьшилась вдвое.
Теореме3: Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно перемножать. При этом
получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которой равна произведению сумм перемножаемых
рядов.
Ряды (1) и (2) абсолютно сходящиеся, тогда
будет абсолютно сходящимся рядом.
Сумма индексов сомножителей в каждой строчке постоянна
…
…
…
…
…
…
…
…
Теорема4: Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, в
результате получится абсолютно сходящийся ряд, при этом сумма нового ряда
, где
– сумма ряда
,
– сумма
190
Глава 9. Функциональные ряды
Функциональным рядом
называется ряд,
членами которого являются функции переменной , определенной на некотором множестве.
Разложение функции в ряды, члены которых, вообще говоря, проще чем разлагаемые
функции, используются при вычислении и исследовании функции, при интегрировании функции,
при решении дифференциальных уравнений и играют важную роль в математике и ее
приложениях. При этом существенно используются понятия равномерной сходимости и
сходимости в среднем, характерные для функциональных последовательностей и рядов.
Рассмотрим ряд (1). Если для
числовой ряд
сходится, то будем
говорить, что функциональный ряд (1) сходится в точке
числовые ряды
. Если в каждой точке
сходятся, то ряд (1) называется сходящийся в области
.
Множество значений , в которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.
Назовем сумму
первых членов ряда (1)
-частичной суммой ряда (1).
Рассмотрим последовательность
Если существует
Ряд
из этих частичных сумм.
он называется суммой ряда.
называется остатком ряда (1).
 Пример:
как сумма первых членов геометрической прогрессии при
,
данный
ряд сходится, а его сумма
191
Рассмотрим ряд
Теорема (необходимое и достаточное условие сходимости функционального ряда) Для
того, чтобы функциональный ряд (1) сходился при некотором значении
необходимо и
достаточно, чтобы его остаток ряда стремился к нулю при
при указанном значении
Доказательство:
Пусть ряд (1) сходится и его сумма равна
, где
–
можно найти такое число
Очевидно
, тогда можно записать, что
-ная частичная сумма, а
Итак, если ряд (1) сходится на множестве
, то при
, что при всех значениях
, т.е.
– остаток ряда.
, задав произвольное число
:
. Однако, надо заметить что
будет, вообще говоря, зависеть и от
выбранного значения , т.е.
Пусть теперь
значит
при
может стать меньше любого , т.е.
следовательно ряд сходится.
, т.к.
от
не зависит, значит существует
конечный, т.е.
192
Критерий Коши
Пусть дан
значит для
и предположим, что этот ряд сходится при некотором
,
.
Если для каждого как угодно малого числа
что для всех
будет выполняться неравенство
каково бы ни было
годного одновременно для всех
то функциональный ряд (1) на множестве
такое,
или
, то ряд (1) называется равномерно сходящимся на множестве
Если нельзя указать

, найдется положительное число
, т.е. такого
.
, что
,
сходится неравномерно.
Замечание: Из сходимости ряда на множестве
вовсе не следует равномерной
сходимости его на этом множестве.
Теорема (критерий Коши равномерной сходимости) Для того чтобы функциональный ряд
(1) был равномерно сходящимся на множестве
, необходимо и достаточно, чтобы для
такое, что
и
выполнялось неравенство
Пример: Рассмотрим прогрессию

Этот ряд сходится в интервале
, остаток ряда
сумма геометрической прогрессии при
Если
).
произвольно фиксировать, то, очевидно
Эти равенства показывают, что существует
(если
) при одном и том же номере
Сходимость этого ряда в

(так
Пример Ряд
одновременно неравенство
невозможно.
неравномерная.
сходится по теореме Лейбница.
Остаток знакочередующегося ряда оценивается по абсолютной величине своим первым членом,
т.е.
193
Очевидно,
и при
для достаточно больших
Ряд сходится равномерно сходящимся в интервале
.
.
9.1 Критерий равномерной сходимости
Наиболее простым и широко используемым критерием равномерной сходимости
функционального ряда является признак Вейерштрасса. Функциональный ряд (1) называется
мажорируемым в некоторой области , если существует такой сходящийся числовой ряд
с положительными членами, что выполняется соотношение:
Заметим, что из определения следует, что ряд мажорируемый в
этом множестве
.
Теорема
Вейерштрасса:
(достаточный
функционального ряда) Пусть функциональный ряд
сходится на
абсолютно сходится в
признак
равномерной
сходимости
мажорируем на , тогда он
абсолютно и равномерно (мажорируемый ряд является рядом равномерно
сходящимся).
Доказательство: По признаку сравнения для рядов с положительными членами т.к. (4)
сходится, то
сходится на основании (3).
Значит ряд (1) сходится на множестве
знакопеременного ряда. Рассмотрим
абсолютно по достаточному признаку сходимости
ые остатки рядов (1) и (4)
В силу сходимости мажорантного ряда (4) при всех достаточно больших значениях
имеет
место неравенство
Тогда при всех таких , в силу соотношения (3) будут выполняться неравенства
сразу для всех
, что и означает равномерную сходимость ряда (1).
Заметим, что сходимость будет абсолютной.
194

Пример:
Ряды
только ряд
ряд
рядов.
равномерно сходятся в любом промежутке, если
сходится абсолютно, т.к.
мажорантный ряд и из его сходимости следует равномерная сходимость данных

Пример:Ряды
сходятся равномерно в
,
т.к.
и

Пример:
сходится в
сходится при
.
абсолютно и равномерно, т.к.
в
.
 Замечание: Признак Вейерштрасса дает только достаточное условие равномерной
сходимости функционального ряда, оно не является необходимым.
Так, например, рассмотренный выше ряд
сходится равномерно в
, однако признак Вейерштрасса к нему не применим, т.к. этот ряд заведомо не
мажорируем; все мажорируемые ряды сходятся абсолютно, между тем ряд составленный из
абсолютных величин
расходится .
В самом деле, применяем признак сравнения: если
и
, то ряды
одновременно сходятся и расходятся. У нас
, а ряд
расходится, значит расходится и данный ряд. Необходимым и достаточным признаком
равномерной сходимости ряда является, как отмечалось выше критерий Коши.
Сходимость в среднем
Предположим, что каждая функция
интегрируема на
. Тогда и функция
Говорят, что последовательность
, а также функция
также интегрируема на
сходится в среднем к функции
.
на
если
195
Говорят, что функциональный ряд сходится в среднем к функции
последовательность частичных сумм
Теорема: Если последовательность
сходится к функции
этого ряда сходится в среднем к
сходится к
и в среднем на
равномерно на
на
, если
на
.
, то
.
Однако, сходимость последовательности на некотором сегменте в среднем не влечет за
собой не только равномерной на этом сегменте сходимости, но и сходимости хотя бы в одной
точке указанного сегмента.
Можно доказать, что из обычной сходимости последовательности функций
в
каждой точке отрезка
сходимость в среднем не вытекает, например
но
Докажем, что из равномерной сходимость следует сходимость в среднем.
Действительно, если
такое, что при всех
выполняется сразу для всех
неравенство
, то возводя в квадрат обе
части этого неравенства и интегрируя получим:
т.е.
при
на
, а это означает сходимость в среднем
к
.
Свойство равномерной сходимости функциональных рядов
Рассмотрим важнейшие функциональные свойства (непрерывность, дифференцируемость,
интегрируемость и прочие) суммы ряда, обеспечивающие возможность манипуляции с
функциональными рядами, что важно для приложений.
Рассмотрим функциональный ряд
.
Теорема1: (о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда) Сумма равномерно
сходящихся на множестве ряда функций непрерывных в точке
, есть непрерывная в этой
точке функция.
196
Доказательство:
Зададим
и подберем натуральное
так, чтобы
Это возможно в силу равномерной сходимости ряда
воспользуемся неравенством (2),
непрерывна в точке
как сумма конечного числа
непрерывных в этой точке функций.
Ранее было показано, что сумма конечного числа непрерывных функций есть функция
непрерывная. Для суммы ряда (бесконечного числа слагаемых) это свойство не сохраняется.
Т.е. можно указать такое
, что
таких, что
. Поэтому для таких :
 Замечание: Естественно, если функция
непрерывна во всем промежутке
при наличии равномерной сходимости и сумма ряда (1)
, то
будет непрерывна во всем
промежутке.

Пример: Члены этого ряда непрерывные функции для любого
докажем, что ряд сходится, но его сумма разрывная функция
если
сумма сходится при
, если
при
терпит разрыв.
, то
197
Теорема2: (о почленном интегрировании рядов) Если функция
непрерывны на
от суммы
и ряд
,
сходится в этом промежутке равномерно, то интеграл
ряда имеет вид:
т.е. допустимо почленное интегрирование ряда.
Доказательство: Т.к.
и
– непрерывны на
, то все эти интегралы
существуют, т.к. непрерывность – достаточное условие интегрируемости.
Проинтегрируем тождество:
Для доказательства разложения (3) нужно установить, что
В силу равномерной сходимости ряда (1)
Тогда для тех же значений
такое, что при
:
будет
а значит, что
Использовано свойство интеграла

и оценка:
.
Пример:
как геометрическая прогрессия со знаменателем
198
Сходится равномерно, т.к.
при
для достаточно больших
.
.
Проинтегрируем (4) в
, где
получено разложение функции
Теорема3:
(о
почленном
в ряд.
дифференцировании
определена в
рядов)
Пусть
функция
и имеет в нем непрерывные производные
в этом промежутке не только сходится ряд
составленный из производных
,
. Если
, но и равномерно сходится ряд,
, то и сумма
ряда (1) имеет в
производную,
причем
т.е. сумма ряда от производных равна производной от суммы ряда.
Доказательство: Рассмотрим ряды
и
ряда (1). Обозначим сумму ряда (2), через
и докажем, что
,
сумма
.
Т.к. ряд (2) сходится равномерно, то по теореме о почленном интегрировании каковы бы ни
были и
:
Итак,
продифференцируем по
обе части последнего равенства, получим
Отыскание области сходимости функционального ряда
В простейших случаях для определения области сходимости функционального ряда
можно применить к нему известные признаки сходимости, считая
фиксированным.
 Пример: Найти область сходимости ряда
199
Применим
признак
Даламбера,
т.к.
знакоположительных рядов, то отношение
Т.е.
признак
справедлив
только
для
возьмем по абсолютной величине.
этот предел <1, значит ряд сходится на всей числовой прямой, т.е. область
сходимости

этот
.
Пример: Найти область сходимости ряда
ряд сходится при
и расходится
,
расходящийся ряд
сходящийся по признаку Лейбница
Следовательно ряд сходится при
.
9.2 Степенные ряды
Ряд вида
, где
– постоянные,
– константа, а
– переменная
называется степенным рядом.
Представление функции в виде суммы степенного ряда, если иными словами, разложение
функций в степенной ряд применяется как в теоретических исследованиях, так и в приближенных
вычислениях.
Степенные ряды могут применяться для приближенных вычислений значений функций.
Разложение в степенные ряды можно использовать для вычисления интегралов, не берущихся в
элементарных функциях. Степенные ряды находят широкое применение при интегродифференциальных уравнениях. В теории степенных рядов центральное место занимает
следующая теорема:
Теорема: Для степенного ряда
существует неотрицательное число ,
конечное или бесконечное
1)
расходится при
2)
Число
, обладающее следующими свойствами:
ряд сходится и, притом абсолютно, в открытом интервале
и
.
определяется по формуле
200
 Замечание:
Открытый
степенного ряда. При
интервал
называется
интервалом
он превращается во всю ось. При
только одну точку сходимости
Доказательство: Пусть
.
степенной ряд имеет
называется радиусом сходимости ряда (5).
определено по формуле (6). В точке
Значит нужно исследовать случай
сходимости
степенной ряд сходится.
.
Кроме ряда (5) рассмотрим ряд составленный из модулей
Согласно признаку Даламбера сходимость ряда, если
то (5) сходится.
Найдем интервал сходимости:
, откуда
Если
, то ряд (7) сходится, а вместе с ним, притом абсолютно, сходится ряд (5).
При
ряд (7) расходится и его общий член
нулю, поэтому
возрастает и не стремится к
– общий член ряда (5) не стремится к нулю при
и для него не
выполняется необходимый признак, т.е. (5) расходится.
т.е. последовательность

возрастает и не стремится к нулю.
Замечание 1: Концы интервала сходимости
исследуются отдельно.

Замечание 2: Радиус сходимости можно вычислить, используя вместо признака
Даламбера признак Коши

Замечание 3: Вместо ряда (5) можно рассматривать степенной ряд
. Для него справедливы все предыдущие рассуждения, но интервал
сходимости будет иметь центр не в точке
, а в точке
:
201

Пример: Найти интеравал сходимости
т.к.
следовательно концы не входят в интервал сходимости.
Пример Найти интеравал сходимости

следовательно ряд сходится на всей числовой прямой.

Пример Найти интеравал сходимости

Пример Найти интеравал сходимости
Исследуем концы интервала
сходится по признаку Лейбница.
сходится как обобщенный гармонический ряд.
.
Свойства степенного ряда внутри интервала сходимости
Заметим, что степенной ряд сходится на открытом интервале
равномерно. Однако верна следующая теорема.
Рассмотрим ряд
, вообще говоря не
(5).
Теорема1: Степенной ряд (5) абсолютно и равномерно сходится на любом сегменте
, где
, а – радиус сходимости степенного ряда (5).
Доказательство: Пусть
. Тогда точка
. Но тогда в точке
степенной
ряд (5) абсолютно сходится, т.е.
С другой стороны, для
имеем
202
Т.к. правые части этих неравенств не зависят от
частей
, и ряд составленный из этих правых
сходится, то степенной ряд (5) сходится
по признаку Вейерштрасса.
Теорема2: Сумма
абсолютно и равномерно
степенного ряда есть непрерывная функция на его
открытом интервале сходимости
.
Доказательство: Члены ряда непрерывные функции от
теореме равномерно сходится при
следовательно, по теореме о непрерывности
суммы равномерно сходящегося ряда сумма ряда
тогда и на всем интервале ряд сходится
, а сам ряд по предыдущей
– непрерывная функция на
, т.к.
. Но
произвольно.
Теорема3:(теорема Абеля) Если степенной ряд (5) сходится в точке
действительной оси, то он сходится абсолютно и равномерно на отрезке
, где
– любое
Доказательство: Теорема является следствием теоремы 1 и 2. В самом деле, т.к.
– точка
число, удовлетворяет неравенству
сходимости ряда (5), то
Тогда
отрезке
.
не может быть большим, чем
и
, т.е.
.
. Но тогда по теореме 1 степенной ряд (5) сходится на
абсолютно и равномерно.
Следствие: Если степенной ряд расходится при
, то он расходится для всех
.
Предположим противное, что в некоторой точке
теореме Абеля ряд
должен сходится для всех
ряд сходится, тогда по
, следовательно в точке
ряд сходится, что противоречит условию.
Теорема4: (о почленном дифференцировании) Степенной ряд (5) можно почленно
дифференцировать в пределах его открытого интервала сходимости
, т.е. если
то
(без доказательства)
Следствие: (для почленного дифференцирования и интегрирования ряда) Ряд
можно почленно дифференцировать сколько угодно раз. При этом получается степенной ряд,
который имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (5).
203
Теорема5: (о почленном интегрировании) Степенной ряд
, где
Здесь
в промежутке
, всегда можно почленно интегрировать, так что
может совпадать и с одним из концов промежутка сходимости, если на этом конце
данный ряд сходится. (без доказательства)
 Пример:
т.к. это прогрессия со знаменателем
Поэтому, если
. Ряд сходится при
, т.к.
, то законно почленное интегрирование этого ряда от
до
(где ряд сходится равномерно).
сходится и при , как ряд Лейбница
.
9.3 Разложение функций в степенные ряды
В дальнейшем, если заданную функцию
степенного ряда, то будем говорить, что функция
представим в виде суммы некоторого
разложена в степенной ряд. Важность
такого разложения видна хотя бы из того, что мы получаем возможность приближенно заменить
функцию суммой нескольких первых членов степенного ряда, т.е. многочленом.Замена функций
таким простым выражением как многочлен оказывается очень удобным при вычислении
интеграла, решении дифференциальных уравнений и т.д.
Предположим, что функция
бесконечное число раз дифференцируема в окрестности
некоторой точки
. Допустим, что ее можно представить в виде суммы степенного ряда,
сходящимся в интервале, содержащим точку
, т.е.
204
где
– неопределенные пока коэффициенты. Интервал сходимости ряда
. Найдем коэффициенты
точке
по значениям функции
и ее производных в
.
Степенной ряд можно дифференцировать почленно, продифференцируем
Полученное равенство справедливо для
раз получим
. Положим
, тогда
Отсюда
Полученные коэффициенты подставим в (1), получим
который называется рядом Тейлора функции
Рядом Тейлора функции
относительно разности
функцию
.
в окрестности точки
называется степенной ряд (2)
, коэффициенты которого
и ее производные в точке
,выражаются через
по формулам
Эти коэффициенты называются коэффициентами Тейлора функции
в точке
.
Частный случай при
205
– рядом Маклорена.
Т.о. пока мы установили, что: если функцию
степеням разности

можно разложить в степенной ряд по
, то этот ряд обязательно является рядом Тейлора этой функции.
Замечание: Все рассуждения были сделаны в предположении, что функция
может быть разложена в степенной ряд.Если заранее этого не предположить, а просто считать
бесконечное число раз дифференцируемой и составить для нее ряд Тейлора, то ни откуда не
следует, что этот ряд сходится при
.
Могут быть такие случае, что ряд Тейлора для
сходится, но
:
.
Необходимое и достаточное условие разложения функции в степенной ряд
Ряд Тейлора -частный случай функционального ряда. Тогда теорема о необходимом и
достаточном условии сходимости функционального ряда имеет место и для ряда Тейлора.
Теорема: Для того, чтобы степенной ряд Тейлора сходился при некотором значении
необходимо и достаточно чтобы остаток ряда
при
стремился к нулю. (без
доказательства)
– -ая частичная сумма ряда Тейлора, которая имеет вид
и если ряд сходится к функции
, то имеем
Чтобы разложить произвольную функцию
1)
в ряд Тейлора, нужно:
Найти производные функции
2) Вычислить частные значения функций и ее производных в точке
, т.е.
3) Составить ряд Тейлора.
4)
Найти интервал сходимости составленного ряда Тейлора, т.е. устанавливаем, для
каких значений
при
.
Проверка равенства
Теорема: Если
производную
должна быть произведена.
во всех точках некоторого интервала содержащего точку
, то остаточный член
имеет
для любой точки этого интервала
имеет вид
206
где
заключена между
и
(остаточный член в форме Лагранжа).
Выражение для
не дает возможности вычислить его величину, т.е. не известна точка
. Поэтому в дальнейшем ограничимся оценкой величины
Пусть
.
, т.е. не превосходит по абсолютной величине числа
интервале, в котором справедлива формула Тейлора. Тогда для
в
из этого интервала
удовлетворяет неравенству:
Чтобы найти интервал, в котором составленный ряд Тейлора сходится к функции
при каких
при
, т.е.
пользуемся теоремой.
Теорема (признак разложимости функции в ряд Тейлора) Если в некотором интервале,
окружающем точку
, абсолютные величины всех производных функций
ограничены
одним и тем же числом, то функция
в этом интервале разлагается в ряд Тейлора.
Доказательство: дано
Докажем, что
, где
при
для всех
– константа, не зависящая от
.
из интервала сходимости.
Ранее было доказано, что
сходится при
, т.е.
, значит и
Найдем
т.к.
при
.
Теорема: Каждая непрерывная в
разлагается в этом промежутке в равномерно
сходящийся ряд составленный из целых многочленов.
207
9.4 Представление степенными рядами элементарных функций
1. Показательная функция
покажем, что этот формально составленный ряд сходится к
Рассмотрим
,
где
–
любое
на всей числовой оси.
фиксированное
число.
Для
всех
значит все производные
Значит
функция
при
по признаку разложимости, т.к.
разлагается в ряд Маклорена для
, т.е. на всей числовой оси.
Итак,

2.
– любое число, то
, интервал сходимости
.
Пример:
Гиперболические функции.
Разложим.
заменяя
на
получим
по правилу сложения и вычитания
сходящихся рядов получаем разложение
эти ряды сходятся на всей числовой прямой.
3 Тригонометрические функции
и
значения производных повторяются и образуют периодическую последовательность
208
любая производная функции
тем же числом.
Значит, ряд Маклорена для
Интервал сходимости
по абсолютной величине
сходится к
, т.е. ограничена одним и
на всей числовой оси.
. Продифференцируем этот ряд в области его
сходимости, получим ряд
4.Бином, т.е. функции вида
, где
– любое действительное число.
Найдем область сходимости ряда. Воспользуемся признаком Даламбера
значит при
, т.е. что
Исследуем
ряд абсолютно сходится, проверим, что ряд сходится к функции
при
.
в интервале
поэтому
Но
зависит от
абсолютная величина
, т.е. теорему применить нельзя, и т.к. правая часть неравенства –
-го члена сходящегося при
ряда, то
209
Доказательство для
Ряд для
не приводится в виду его сложности.
называется биномиальным, интервал его сходимости
.
Биномиальным рядом пользуются для вычисления корней любых степеней.

Пример: Найти
с точностью до
в знакочередующемся ряде взяли три первых члена, т.к.
6.
Обратно тригонометрические функции
Запишем биномиальный ряд при
.
:
тогда
Интегрируем полученный ряд в пределах от
до
и считая, что
Можно показать, что на концах интервала сходимости ряд сходится, поэтому разложение
справедливо на
.
7. Логарифмические функции.
проинтегрируем этот ряд в пределах от
до ,
:
210
Почленное вычитание последнего ряда из предыдущего даст нам:
Этот ряд сходится гораздо быстрее чем предыдущие. Чтобы он оказался пригоден для
вычисления логарифмов всех положительных чисел, положим

Пример: Пусть
211
Глоссарий
Внутренние точки - точки, не лежащие на границе области.
Граница области - линия, которая ограничивает множество точек плоскости.
Дифференциальное уравнение - уравнение, содержащее неизвестную функцию, аргументы и
производные от неизвестных функций по этим аргументам.
Дифференциальное уравнение Бернулли – дифференциальное уравнение вида
y   p ( x)  y  q ( x)  y m ,
где m - любое вещественное число.
Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах - . дифференциальное уравнение вида:
где левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции
Дифференциальное
вида:
уравнение с разделенными переменными – дифференциальное уравнение
X ( x)dx  Y ( y )dy  0
Достаточное условие существования экстремума функции двух переменных
Пусть функция
непрерывна вместе со своими частными производными в
окрестности точке
. Точка
является критической точкой и в этой точке
, то в точке
экстремум, причем
максимум, если
минимум, если
Если
, то в точке
Если
экстремума нет.
, то это сомнительный случай и требуется дополнительное
исследование.
Евклидово (арифметическое) n-мерное пространство - совокупность всевозможных n-мерных
точек, расстояние между которыми определяется по формуле
Единичная функция Хевисайда - функция
где
, определяемая условием
является оригиналом с показателем роста
.
212
Замкнутая область - область, состоящая из внутренних точек и точек, лежащих на границе.
Изображение периодического оригинала с периодом, равным
, имеет вид
Линейное дифференциальное уравнение – дифференциальное уравнение вида
,
линейное относительно искомой функции
Неопределенный интеграл от функции
функции
и ее производной.
f x 
-совокупность всех первообразных для данной
f  x  определенной в некотором интервале a, b 
 f x dx  F x   C , где
– знак интеграла;
f x 
- подынтегральная функция, а
f x dx
-
подинтегральное выражение.
Непрерывая в точке
функция
- функция, определенная в этой точке и некоторой
ее окрестности, для которой выполняется
Несобственный интеграл функции
с бесконечным верхнем пределом
Область определения функции (ООФ) - множество точек области, для которой задается
функция.
Открытая область - область, состоящая только из внутренних точек.
Объем тела вращения равен:
Однородное дифференциальное уравнение - дифференциальное уравнение вида:
dy
 y
  
dx
x
Определенный интеграл - конечный предел переменной площади
способа дробления отрезка
при
, независещей от
на частичные отрезки и выбора точек
на этих
частичных отрезках
213
Оригинал - функция
1)
функция
2)
при
удовлетворяющая следующим трем условиям:
при
функция
;
на любом конечном участке оси
имеет не более, чем конечное
число точек разрыва первого рода, т.е. она интегрируема на любом конечном интервале оси ;
функция
3)
возрастает не быстрее чем некоторая показательная функция, т.е.
существует такие положительные
где
и
, что для всех
называется показателем роста функции
Первообразная функция для функции
любой точке
.
f  x  на интервале a, b 
x  a, b функция F x  дифференцируема и
или
F x   f x 
Подстановки Чебышева применяются к интегралам вида



,
x
m
- функция
dF x   f x dx

 a  bx n
 dx
p
p - целое число, то t  r x , где r наименьшее общее кратное
m 1
n
целое число, то z  x
n
m 1
 p целое число, то z  x n
n
Подстановки Эйлера применяются к интегралам вида
 R x,
F x  , для которой в

ax 2  bx  c dx
 1 подстановка Эйлера
ax 2  bx  c   a x  t
тогда
, если
a0
ax 2  bx  c  ax 2  2 a xt  t 2 , и, следовательно, x
функция от t .
определяется как рациональная
 2 подстановка Эйлера
ax 2  bx  c  xt  c , если c  0
2
2 2
тогда ax  bx  c  x  t  2 xt c  c ,
рациональная функция от t .
и,
следовательно,
x
определяется
как
214
 3 подстановка Эйлера
ax 2  bx  c  x     t , если ax  bx  c  a  x     x   ,
2
где  ,  - действительные корни квадратного трехчлена.


 
2
тогда, a  x    x    x    t и, следовательно,
определяется как рациональная функция от t .
2
a  x     x     t 2
и
x
Полная производная функции двух пременных вычисляется по формуле:
Полный дифференциал функции двух переменных
- главная часть ее приращения
z  dz
Полный дифференциал сложной функции двух переменных
Порядок дифференциального уравнения - наивысший порядок производной входящей в это
уравнение
Предел функции
- число , для которого выполняется условие: для
любого сколь угодно малого числа
число
, существует сколь угодно малое положительное
такое, что для всех точек
, для которых
Обозначают
Преобразование Лапласа – преобоазование
функцию
следует:
, определяющее на области
комплексной переменной .
называется изображением, соответствующим оригиналу.
Признак Даламбера: Если ряд с положительными членами
, то при
ряд сходится, при
таков, что существует
ряд расходится, при
ряд
может как сходиться так и расходиться.
215
Признак
Коши
Если
существует
ряд
с
положительными
, то при
членами
таков,
ряд сходится, при
что
ряд расходится, при
ряд может как сходиться так и расходиться.
Признак Маклорена-Коши интегральный Пусть дан ряд с положительными членами
существует функция
такая, что
функция
непрерывна в полуинтервале
в этом промежутке. Тогда, если
и
,
, положительна и монотонна убывает
сходится, то и ряд сходится. Если же
расходится, то и ряд расходится.
Признак Лейбница Если все члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной
величине:
то ряд сходится.
При этом сумма его положительна и не превосходит первого члена.
Производная неявной функции вычисляется по формуле
Радиус сходимости степенного ряда - число
Открытый интервал
При
При
, определяется по формуле
, или
называется интервалом сходимости степенного ряда.
он превращается во всю ось.
степенной ряд имеет только одну точку сходимости
.
Рациональная дробь отношение двух многочленов
Q x  b0 x m  b1 x m1   bm1 x  bm

P x  a 0 x n  a1 x n 1    a n 1 x  a n
Q x , Px  - многочлены степени m, n . Если m  n
где
правильной.
Ряд Маклорена -
в окрестности точки
- то дробь называется
- степенной ряд выражаются через формулу
216
Ряд Тейлора функции
в окрестности точки
- степенной ряд относительно разности
, коэффициенты которого
и ее производные в точке
, выражаются через функцию
по формулам
Связная область - область в которой любые две точки можно соединить ломанной целиком
содержащейся в этой области .
Ограниченная область - область, в которой найдется круг конечного радиуса, который целиком
закроет всю область.
Теорема запаздывания Если
и
, то
,
где по определению оригинала
время
при
, т.е. запаздывание оригинала на
приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на
Степенной ряд - ряд вида
, где
– постоянные,
переменная.
Теорема о дифференцировании изображения Если
.
– константа, а
–
, то
… … … … … …
… … … … … …
т.е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на
Теорема о дифференцировании оригинала Если
.
и функции
являются оригиналами с показателем роста
, то
… … … … … … … … … … … …
217
Теорема о интегрировании изображения Если
интеграл
при
и
являются оригиналами или
сходится, то
, где
– показатель роста
, т.е. интегрирование изображения от
до
соответствует делению его оригинала на .
Теорема о интегрировании оригинала Пусть
т.е. интегрирование оригинала от
до
, тогда
соответствует делению его изображения на
Теорема смещения: Для любого действительного числа
.
,
,
(
),
т.е. умножение оригинала на функцию
влечет за собой смещение независимой переменной
в его изображении на величину
Теорема подобия: Если
.
,
, то
,
где
,
– любое действительное число, т.е умножение аргумента оригинала на любое
действительное число
приводит к делению изображения на это число.
Теорема разложения Хевисайда (первая) Если функция
аналитична в некоторой
окрестности бесконечно удаленной точки и ее разложение в ряд по степеням
имеет вид
,
то функция
218
является оригиналом, имеющим изображение
Теорема разложени Хевисайда (вторая) Если
многочлен в знаменателе дроби
.
правильная несократимая дробь, причем
не имеет кратных и нулевых корней, то оригинал ее
служит функцией
где
– корни знаменателя.
Формула интегрирования по частям
 udv  u  v   vdu
Формула интегрирования по частям в определеннои интеграле
b
b
b
a
a
a
 udv  u  v   vdu
Формула Ньютона-Лейбница
Формула приближенного вычисления значения функции
Функция двух переменных - правило или закон, по которому каждой паре чисел (х; у)D
соответствует единственное zE. ,
, где х и у – независимые переменные D; z – зависимая переменная E.
D – область определения z=f(x;y), Е – область значений
. Переменные
являются
независимыми и их называются аргументами.
Функция n -переменных закон, по которому каждой точке n-мерного евклидового пространства
поставлено в соответствие единственное число
.
219
Множество
называют областью определения.
Частный дифференциал функции двух независимых переменных - произведение соответствующей
частной производной на дифференциал этой переменной, т.е.
Частная производная функции
по переменной
существует, частного приращения функции
в точке
- предел, если
по переменной к приращению аргумента.
Частная производная сложной функции - сумма произведений частных производных заданной
функции по промежуточным аргументам
на частные производные этих аргументов
по соответствующей независимой переменной ( или )
220
Приложение А Таблица интегралов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
221
2
2
2
2
2
2
222
Приложение
Б
Вид
общего
решения
линейных
уравнений
с
постоянными коэффициентами
Вид общего решения линейных однородных уравнений n -го порядка
с постоянными коэффициентами
№ Однородные
уравнения
1.
Корни
Вид общего решения
(для однородного),
частного решения
(для неоднородного) уравнения
k - вещ., разл.
Ck e k x
e ax C1 cos bx  C2 sin bx 
k  a  ib
корни комплексные
1 вещ.,
k - кратный корень
Pk 1 ( x )e 1x ,
k  a  ib
e ax Pk 1 ( x) cos bx  Qk 1 ( x) sin bx 
корни комплексные
k - кратный
Вид частного решения линейных неоднородных уравнений
n -го порядка с постоянными коэффициентами
2.
Неоднородные уравнения
Правая часть
x
f ( x)  Pm ( x)e
Правая часть
 - не
является
корнем
характеристическог
о уравнения
корень

кратности k , где
k 1
a  ib
f ( x)  e Pm ( x) cos bx  P1m ( x) sin bx  x
не
являются
корнем
характеристическог
о уравнения,
a  ib
-являются
корнем
характеристического
уравнения,
кратности k , где
y  Qm ( x )ex
y  x k Qm ( x)ex
y  ex Q1m ( x) cos bx  Q2m ( x) sin bx 
y  x k ex Q1m ( x) cos bx  Q2m ( x) sin bx 
k 1
223
Приложение
В
Оригинал
Таблица соответствий оригиналов и изображений
Изображен
Оригинал
Изображение
ие
1
e t
et
Cos t
Sin t
1
р
Sh (at  b)
1
p 
Ch (at  b)
1
p 
(1)n t n f (t )

р
Sh at
р2  а2
а
t Cos at
et Sin t
р2   2
Ch at
t Sin at
et Cos t
р
р2   2
et Sh t
e
р2  а2
р
2 ра
2
а

t
Ch t
tet Cos bt
2 2
р2  а2
р 2  а 
tet Sin bt
22
t Ch at
t Sh at
t
р2  а2
р
2
22
р
2
22
Sin (at  b)
Sin (t  1)
Cos (at  b)
Cos t  1)
а


p n 1
n!
( p  a) n 1
b
 p
e a 
(1  at )e at
t 2e at
n!
n
t n e at
а
2 ра
1  et
t
1
t n 1e  at
(n  1)!
b
 p
e a 
f
( n)
( p)
p 
( p  )2   2

( p   )2   2

( p   )2   2
p 
( p   )2   2
( p   )2  b2
( p   )2  b2 2
( p   )  2b
( p   )2  b2 2
p 
p
ln
p
( p  a) 2
2
( p  a )3
1
( p  a)n
p
2
1
p2  1
t
p p
e
b
 p
e a 
e
p
p
p2  a2
f
p
p2  a2
p
t
p2  a2
a
p2  a2
1
1
a
b
 p
e a 

( n)
(t )
p n F ( p)  p n 1 f (0) 
 p n2 f (0)  ...   f (n 1) (0)
p
2
p 1
224
Список литературы
Основаная литература
1. Аксенов, А.П. Математический анализ в 4 ч. часть 2: Учебник и практикум для
академического бакалавриата / А.П. Аксенов. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 344 c.
2. Горлач, Б.А. Математический анализ: Учебное пособие / Б.А. Горлач. - СПб.: Лань,
2013. - 308 c.
3. Зисман, Г.А. Математический анализ: Учебное пособие / Г.А. Зисман, О.М. Тодес. СПб.: Лань П, 2016. - 448 c.
Дополнительная литература
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. I. – М.: Наука, 1982.
– 616 с.
2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для
экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ,
2002. – 471 с.
3. Яблонский А.И., Кузнецов А.В., Шилкина Е.И. и др. Высшая математика. Общий
курс: Учебник / Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.
225
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
7 147 Кб
Теги
solo, eva, posobie, starozhilova, analiz, ch2, uchebnoy, matematicheskih, rogova
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа