close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Starozhilova Specialnye glavy matematiki uchebnoe posobie

код для вставкиСкачать
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ»
Кафедра высшей математики
УДК 512.6, 514.1
Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ,
протокол № 45 , от 10.03.2017 г.
Старожилова, О.В.
С Специальные главы математики: учебное пособие //Старожилова
О.В.. – Самара: ПГУТИ, 2017. –221 с.
О.В.СТАРОЖИЛОВА
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ
МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие
Самара,
2017
Учебное пособие затрагивает специальные разделы
математики: математическая логика и теории автоматов, алгебра
высказываний, исчисление высказываний, элементы теории
алгоритмов, регрессионный анализ, методы оптимизации.
Для студентов и магистров университета, обучающихся по
направлению 09.03.02 «Информационные системы и
технологии», желающих изучать специальные главы математики
самостоятельно.
Каждый раздел заканчивается контрольными вопросами,
которые помогут проверить теоретическое освоение курса,
содержит большое количество задач для самостоятельного
решения и ответы для проверки.
Пособие содержит лабораторный комплекс и ряд
инженерных задач с акцентом на программную реализацию
методов вычислительной математики.
Старожилова О.В., 2017
2
Оглавление
Глава 1 Гармонический анализ
1.1 Задача о звучащей струне
1.2 Ортогональные системы функций
1.3 Ряд Фурье по тригонометрической системе функций
1.4 Достаточные условия разложения функции в ряд Фурье
1.5 Разложение в ряд Фурье непериодической функции
1.6 Ряд Фурье для четных и нечетных функций
1.7 Ряды Фурье для функций любого периода
1.8 Интеграл Фурье
1.9 Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
1.10 Комплексная форма интеграла Фурье
1.11 Преобразование Фурье
Глава 2 Математическая логика и ИВ
2.1 Этапы развития логики
2.2 Логика высказываний
2.3Логические связки
2.4Логические операции
2.5 Алфавит исчисления высказываний
2.6 Формулы .Тавтология
2.7Законы логики высказываний
2.8 Формальные теории. Выводимость. Интерпретация
2.9 Аксиоматический метод
2.10 Система аксиом исчисления высказываний (ИВ)
2.11 Правила вывода
2.12 Производные правила вывода
2.13 Построение вывода в логике высказываний
2.14 Связь между алгеброй и исчислением высказываний
Контрольные вопросы
Глава 3 Задачи регрессионного анализа
3.1 Метод наименьших квадратов
3.2 Линейный регрессионный анализ
3.3 Оценка модели регрессии
3.4 Проблемы применения метода линейной регрессии
3.5 Предпосылки статистической модели ЛР
3
6
7
8
10
13
17
18
21
27
29
30
32
33
34
38
40
41
42
42
44
46
47
52
53
56
62
66
69
70
74
76
79
83
85
3.6 Задачи регрессионного анализа
3.7 Многомерная нормальная регрессионная модель
3.8 Вариация зависимой переменной
Контрольные вопросы
Глава 4 Общая постановка и виды задач принятия решений
4.1 Математическая постановка задачи оптимизации
4.2Локальный и глобальный минимум ЦФ
4.3 Методы безусловной оптимизации
4.4 Метод покоординатного спуска
4.5 Метод Розенброка
4.6 Метод конфигураций
4.7 Методы случайного поиска
4.8 Метод Ньютона
Глава 5 Преобразование Фурье
5.1 Аппрокисмация функции по Фурье
5.2 Преобразование Фурье
5.3 Быстрое преобразование Фурье
ЛАБОРАТОРНЫЙ КОМПЛЕКС
Гармонический и спектральный анализ
Тема 1. «Логика высказываний»
Варианты индивидуальных заданий темы ЛВ
Тема 2. Линейная парная регрессия
Лабораторная работа № 1
Вычисление коэффициентов уравнения ЛР
Лабораторная работа № 2
Вычисление выборочного коэффициента корреляции
Лабораторная работа № 3
Вычисление оценок дисперсий парной ЛР
Лабораторная работа №4
Функции Excel для коэффициентов парной ЛР
Лабораторная работа № 5
Построение интервальной оценки для функции парной ЛР
Лабораторная работа № 6
Проверка значимости уравнения ЛР по критерию Фишера
Тема 3 Нелинейная парная регрессия
Лабораторная работа № 7
4
86
90
92
94
95
96
98
102
102
105
105
108
112
114
114
117
120
123
123
132
133
140
141
141
144
144
145
145
147
147
149
149
151
151
153
153
Построение нелинейной регрессии с использованием
Команды «Добавить линию тренда»
Лабораторная работа № 8
Выбор наилучшей нелинейной регрессии
Тема 4. Линейная множественная регрессия
Лабораторная работа № 9
Вычисление коэффициентов ЛМР
Лабораторная работа № 10
Проверка значимости в режиме Регрессия
Тема 5. Нелинейная множественная регрессия
Лабораторная работа № 11
Вычисление для функция Кобба-Дугласа
Контрольная работа № 1
Парная регрессия
Контрольная работа № 2
Множественная линейная регрессия
Численные методы поиска безусловного экстремума
Графический анализ функции
Задача одномерного поиска
Алгоритм Свенна
Метод перебора
Метод поразрядного поиска
Метод дихотомии.
Метод Фибоначчи
Метод золотого сечения
Метод средней точки
Метод Ньютона
Вывод
Литература
153
153
158
158
161
162
162
166
166
175
175
175
179
179
181
181
185
185
187
190
193
195
198
201
205
210
214
216
218
Глава 1 Гармонический анализ
Определение
Гармонический
анализраздел
математики, связанный с разложением колебаний на
гармонические колебания.
При изучении периодических (т. е. повторяющихся во времени)
явлений рассматриваются периодические функции.
Например,
гармоническое
колебание
описывается
периодической функцией времени t:

Определение Периодическая функция - функция, значение
которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого,
неравного нулю числа, называемого периодом функции.
Так как сумма и разность двух периодов есть снова период и,
следовательно, любое кратное периода есть также период, то каждая
периодическая функция имеет бесконечное множество периодов.
Если периодическая функция имеет действительный период,
непрерывна и отлична от постоянной, то для неё существует
наименьший
положительный
период
Т;
всякий
другой
действительный период той же функции будет иметь вид kT, где k =
±1, ± 2,....
Сумма, произведение и частное периодических функций с одним
и тем же периодом являются периодическая функция с тем же
периодом.
Периодические функции играют чрезвычайно большую роль в
теории колебаний и вообще в математической физике. В курсе
математического анализа знакомились с понятием функционального
ряда

 un ( x) , работали с его важным частным случаем -
n0

степенным рядом  an x . Рассмотрим другой очень важный (в том
n
n 0
числе и для физических приложений) частный
функциональных рядов -- тригонометрический ряд.

Определение Функциональный ряд – ряд вида

 un ( x)  u0 ( x)  u1 ( x)  K  un ( x)  K
n0
случай
,
где u0 ( x), u1 ( x),K , un ( x),K - функции, зависящие от одной переменной
или от нескольких переменных.
5
6
При каждом фиксированном значении x  x0 функциональный ряд
превращается в числовой ряд
1.2 Ортогональные системы функций

 un ( x0 )  u0 ( x0 )  u1 ( x0 )  K  un ( x0 )  K
n 0
который может сходиться, а может и расходится.
 Определение Точка сходимости функционального ряда -
точка x  x0 , в которой функциональный ряд сходится.
 Определение Множество всех точек сходимости называется
областью сходимости ряда.
Можно ли данную функцию f : R  R представить в виде
тригонометрического ряда, т.е. можно ли найти коэффициенты an и
bn такие, что для всех x  R имеет место равенство
Систематическое изучение ортогональных систем функций было
начато в связи с методом Фурье решения краевых задач уравнений
математической физики. Одна из основных задач теории
ортогональных систем функций — задача о разложении функции f
(x) в ряд вида
промежутке длины
, например,
.
1.1 Задача о звучащей струне
К
изучению
тригонометрических
рядов
привела
поставленная в 18 веке задача о звучащей струне.
Дана функция f (x ) , можно ли найти тригонометрический
ряд, который сходится и имеет своей суммой функцию f (x ) . На
f (x ) необходимо наложить ограничения, чтобы можно было искать
сходящийся к ней тригонометрический ряд.
Аналогичная задача была для степенных рядов, если она
разрешима, то таким рядом является ряд Тейлора.
7
ортогональная система
n
функций.

Определение Функции
f ( x) и
ортогональными на [a , b] , если выполняется:
 ( x)
называются
b
 f ( x )   x dx  0

a
f ( x)  0    an  cos(nx)  bn  sin(nx) 
2 n 1
Сумма ряда очевидно,
-периодическая функция. Значит,
разлагать в тригонометрический ряд можно только
периодические функции f.
Кроме того ясно, что если две периодические функции
совпадают на промежутке, длина которого равна периоду, то они
совпадают всюду. Поэтому достаточно проверить на некотором
  x 
, где
a
1
Пример f ( x )  x ,  ( x) 

2

1 x2
x
dx  0
1 x2
 Пример  ( x )  0
на [a , b]
определенной на [a , b] функции.
на [2,2] , т.к.
- функции ортогональны
2
ортогональна
к
любой,
Определение
Бесконечная
система
функций
 1 ( x ),  2 ( x ),   n ( x )  называется ортогональная на [a, b] , если

b
  x    x dx  0
m
n
a
Пример Бесконечная система функций sin nxn 1 на [0,  ]
образует ортогональную на [0,  ] систему функций




1
0 sin mx  sin nxdx  2 0 cosn  mx  cosn  mxdx  0 .
8

Пример

1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,  cos nx, sin nx  тригонометрическая система функций образует ортогональную
на [  ,  ] систему функций.





Определение Пусть задана произвольная ортогональная на

[a , b] система функций  n ( x )n 1 . Ряд
c1 1  x     c n  n ( x )     c n  n ( x ) ,
n 1
где c n - произвольные числовые коэффициенты, называется рядом
по ортогональной системе функций.

c 0   a n cos nx  bn sin nx 
n 1
сходится абсолютно и равномерно на всей оси x .
Доказательство
an cos nx  bn sin nx  an  cos nx  bn  sin nx  an  bn

ряд
n 1
называется тригонометрическим рядом.
 Замечание Если f (x ) - сумма тригонометрического ряда,
сходящегося в каждой точке, то она периодическая, так как
sin nx
, cos nx
в равенстве c 0 
n
cos nx  bn sin nx  ничего не изменится,
n 1
следовательно периодическая.
 Замечание Если f (x ) задана на отрезке  2 , но не
[  ,  ] , то сдвигом начала координат можно свести к изученному
случаю.
 Замечание Если f (x ) периодическая функция с периодом
2l ,не [  ,  ] , то ее разлагают в тригонометрический ряд


 

c 0    a n cos n x  bn sin n x 
l
l 
n 1 
9
n
 bn  - мажорирует данный тригонометрический ряд,
по признаку Вейерштрасса сходится равномерно.
Абсолютная сходимость очевидна.
1.3 Ряд Фурье по тригонометрической системе функций
Жан Батист Жозеф Фурье 1768 – 1830 – французский математик.
Для вычисления коэффициентов ряда Фурье вычислим
интегралы
Если n  m




 cos nx  cos mxdx  0 ,
периодические функции с периодом 2 ,то

 a
a
n 1

c 0   a n cos nx  bn sin nx 

n 1 -
 bn  , то
тригонометрический ряд
Определение Ряд по тригонометрической системе функций

n 1
n
Следовательно,


a
n 1

1  cos nxdx  0 , 1  sin nxdx  0 ,  cos mx  cos nxdx  0 .

Теорема Если сходится числовой ряд

 cos nx  sin mxdx  0 ,

 sin nx  sin mxdx  0

Если n  m






2
 cos mx   ,

2
 sin mx  cos mxdx  0 ,  sin mx  
Теорема Если для всех x имеет место равенство
f ( x) 

a0
  a n cos nx  bn sin nx 
2 n 1
10
и тригонометрический ряд сходится равномерно на всей оси, то
коэффициенты этого ряда определяются
a0 
1


 f ( x)dx , a
n


bn 
1




 f ( x)  sin nxdx


функций ортогональна на [  ,  ] , а
 dx  2 , то





 

a0
  cos mxdx   an  cos nx  cos mxdx   bn  sin nx  cos mxdx 
2 
n1 



В силу ортогональности тригонометрической системы функций на
[  ,  ]






 cos mxdx  0 ,
 sin nx  cos mxdx  0 , а из
отличен интеграл при n  m ,

 cos nx  cos mxdx  0

1 1

2
 cos nxdx    2  2 cos 2nx dx  

Каждый интеграл равен нулю, т.к. тригонометрическая система
1




 

a0




f ( x )dx 
dx
a
cos
nxdx
b
sin
nxdx

n
n

 

2 
n 1 



a0 

 f ( x)  cos nxdx ,
Доказательство
Ряд сходится равномерно на всей числовой оси, его членами
являются непрерывные функции, то его сумма тоже непрерывна и
возможно почленное интегрирование ряда в пределах   ,  

 f (x)  cos mxdx 

1


Итак

 f ( x )  cos nxdx  a
n
  , что и т.д.

Запомним, что

 f ( x)dx

Для доказательства a n умножим обе части на cos mx
f ( x )  cos mx 

a0
 cos mx   a n cos nx  cos mx  bn sin nx  cos mx 
2
n 1
Это не нарушит равномерной сходимости ряда.
В силу равномерной сходимости ряда
  0 N
kN
f ( x )  cos mx  S k ( x ) cos mx  f ( x )  S k ( x )  cos mx  
а это и означает сходимость равномерную ряда .
Интегрируя на [  ,  ] , имеем
11
Справедливость этих равенств вытекает из применения к
подынтегральному выражению тригонометрических формул.
Формула для bn доказывается аналогично.
 Замечание Теорема остается справедливой на любом отрезке
[a , a  2 ] , при этом пределы интегрирования заменяются
соответственно на a и a  2 .
12

Определение Тригонометрический ряд
 Определение Функция f ( x) называется кусочно-гладкой,
если на каждом конечном интервале она и ее производная имеют не
более конечного числа точек разрыва 1-го рода.
 Теорема
(условие Дирихле достаточное условие
разложимости функции в ряд Фурье) :Если периодическая функция
f ( x) с периодом T  2 удовлетворяет одному из условий:

a
f ( x )  0   a n cos nx  bn sin nx  ,
2 n 1
коэффициенты которого определяются по формулам
a0 
1



f ( x )dx , a n 

bn 
1

1


 f ( x)  cos nxdx ,


 f ( x)  sin nxdx ,

называется рядом Фурье для функции f (x ) , а коэффициенты
называются коэффициенты Фурье.
Если ряд Фурье функции f(x) сходится во всех ее точках
непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд
Фурье.

Замечание Не всякий тригонометрический ряд
является рядом Фурье, даже, если он сходится на всей числовой
прямой.
Сумма неравномерно сходящегося ряда может быть
разрывной
и
не
интегрируемой,
поэтому
определение
коэффициентов Фурье невозможно.
 Замечание Ряд Фурье
функциональных рядов.
является
частным
f ( x) кусочно-гладкая, на отрезке [  ,  ] ,
2)
f ( x) кусочно-монотонная и ограничена,
то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех
точках
f ( x) 
и сходится к числу

a0
  a n cos nx  bn sin nx 
2 n 1
1
 f  x n  0  f  x n  0 в каждой точке x n ее
2
разрыва.
Сумма полученного ряда S ( x ) равна значению функции f ( x) в
точках непрерывности функции
случаем
1.4 Достаточные условия разложения функции в
ряд Фурье
 Определение Функция
называется кусочноf ( x)
монотонной на отрезке [a,b], если этот отрезок можно разбить
конечным числом точек x1, x2, ..., xn-1 на интервалы (a,x1), (x1,x2), ...,
(xn-1,b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е.
либо не возрастает, либо не убывает.

Замечание Из определения следует, что если функция f ( x )
кусочно-монотонная и ограничена на [a,b], то f ( x ) имеет разрывы
только первого рода.
13
1)
где x0 - точка разрыва функции. f ( x) .
,
 Замечание В ряд Фурье можно разложить и
непериодическую функцию, при этом полученный ряд будет
сходиться к функции f ( x ) только в тех точках интервала, в
которых функция f ( x ) непрерывна.
 Полученный ряд будет сходящимся на всей числовой
прямой, а его сумма будет периодическим продолжением функции
f ( x ) на всю ось, исключение лишь точки разрыва, в которых сумма
ряда будет равна средне арифметическому правого и левого
пределов периодического продолжения данной функции.
14

Пример Разложить в ряд Фурье
 ,
f ( x)  
  x,
так как подынтегральная функция нечетная, а
вычисляем с помощью интегрирования по частям, где
  x  0
0 x 
Решение
=
Данная функция является кусочно-гладкой в интервале
,
а ее периодическое продолжение при дополнительном условии
,
удовлетворяет всем условиям
теоремы Дирихле.
Вычислим коэффициенты Фурье, используя формулы (2):
.
Подставим найденные коэффициенты, тогда ряд Фурье для
данной функции имеет вид:
;
.
Полученный ряд будет сходиться на всей числовой оси, но к
функции
,
только в точках
Суммой ряда
будет периодическое продолжение функции
на всю ось Ox
в точках разрыва сумма ряда
так как подынтегральная функция четная, а
вычисляем с помощью интегрирования по частям, где U = x,
,
=
dU = dx,
.
где
- точки разрыва функции
.
;
,
15
16
Ответ:
.
Этот ряд содержит бесконечное число косинусных или
синусных составляющих - гармоник, причем амплитуды этих
составляющих являются коэффициентами Фурье.
Помимо упомянутой формы ряд Фурье можно представить в виде
где амплитуда Аk и фаза  k гармоник определяются выражениями:
Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a,b] совпадает с
функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд
Фурье на отрезке [a,b].
Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном
2 ничем не отличается от разложения в ряд периодической
функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем
2 , то функция продолжается на интервал (b, a + 2 ) так, что
условия разложимости в ряд Фурье сохранялись.

Замечание Продолжение заданной функции на отрезок
(интервал) длиной 2 может быть произведено бесконечным
количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут
различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на
отрезке [a,b].
1.6 Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Замечание Гармоническим анализом называют
разложение функции f(t), заданной на отрезке [0, Т] в ряд.

Замечание Гармоническим синтезом называют получение
колебаний сложной формы путем суммирования их гармонических
составляющих (гармоник).
1.5 Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Пусть функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом
отрезке
кусочно–монотонной.
Рассмотрим
произвольную
периодическую кусочно–монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ,
совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь
функция f1(x) разлагается в ряд Фурье.
17
Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:
 Лемма1
1)
Доказательство
можно получить из интерпретации интеграла как площади для
четной и нечетной функции
 Лемма 2 Произведение двух четных и нечетных функций
является четной функцией.
 Лемма 3 Произведение четной и нечетной функций –
нечетная функция.
Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из
определения четности и нечетности функций.
Функция cos nx - четная функция , если f (x) - четная, то
f ( x )  cos nx - четная, а f ( x )  sin nx - нечетная.
Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2 ,
удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно
записать:
18
Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:
Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной
функции:
Получаем:
.

Пример.
функцию
  ,   .
Разложить в
ряд
Фурье
периодическую
с периодом T = 2 на отрезке
.
Построим графики заданной функции и ее разложения в ряд
Фурье, ограничившись первыми четырьмя членами ряда.
Решение
Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты
Фурье ищем в виде:
19
20
1.7 Ряды Фурье для функций любого периода
Предположим, что функция f задана в промежутке [-l,l], где l
-- некоторое положительное число. Сделав подстановку
получим
функцию
,определенную
в
промежутке
Функции g соответствует (формальный) ряд Фурье
где
Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или
имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l,
l] .
Для четной функции произвольного периода разложение в ряд
Фурье имеет вид:
коэффициенты которого находятся по формулам Эйлера -- Фурье:
Для нечетной функции:
Возвращаясь
к
старой
переменной,
т.е.
полагая
в
выписанных формулах
,мы получим для функции f
тригонометрический ряд несколько измененного вида:
 Замечание. Если непериодическая кусочно-гладкая функция
задана лишь в интервале
, ее тоже можно разложить в
ряд Фурье. Полученный ряд будет сходиться на всей числовой оси,
но к функции
только в тех точках интервала
, в которых
функция
непрерывна.
 Суммой ряда будет периодическое продолжение функции
на всю ось Ox. А в точках разрыва сумма ряда будет равна
среднему арифметическому правого и левого пределов
периодического продолжения данной функции.
21
22
В случае, когда
задана на произвольном интервале (a; b),
обозначим
, зададим конкретное значение функции на
одном из концов интервала (например, при x = b) и продолжим
данную функцию периодически, с периодом T = 2L на всю
числовую ось. Полученная функция будет удовлетворять условиям
теоремы Дирихле.
Коэффициенты ряда Фурье в этом случае можно определить
следующим образом:
тогда ряд Фурье принимает вид
Пример. Разложить функцию
;
в ряд Фурье в интервале (2; 6).
Решение
Данная функция является кусочно-монотонной и непрерывной в
заданном интервале. Доопределим ее
и продолжим
функцию
, заданную для
периодически, с периодом
T = 2L = 4 на всю числовую ось. Полученная функция будет
удовлетворять условиям теоремы Дирихле.
Коэффициенты ряда Фурье можно определить следующим
образом:
;
;
23
24
Найдём разложение функции
продолжений исходной функции:
а)
интервале
;
Полученный ряд будет сходиться на всей числовой оси, но к
. Суммой ряда
периодическое продолжение функции
точках разрыва сумма ряда
на
Таким образом, для полученной четной функции:
.
только в точках
функцию
. Полученная функция будет четной. Продолжим её
периодически, с периодом T = 2L = 2π на всю числовую ось. В
результате полученная функция будет удовлетворять условиям
теоремы Дирихле.
Тогда ряд Фурье для данной функции имеет вид:
функции
доопределим
в ряд Фурье для различных
;
будет
на всю ось Ox. А в
Отличны от нуля только коэффициенты с нечетными индексами
, где
- точки разрыва функции
.
.
Тогда ряд Фурье для данной функции имеет вид:
.
Найденное разложение имеет место при всех значениях
,
однако ряд, стоящий справа, сходится при всех x. Суммой ряда
Ox .
Ответ:
Пример
2π, если
.
Разложить в ряд Фурье функцию
в интервале
, продолжив ее на интервале
четным или нечетным образом.
Решение
25
с периодом
будет периодическое продолжение функции
Ответ:
на всю ось
;
б) аналогично предыдущему случаю строим нечетное, 2π периодическое продолжение исходной функции. Доопределим
функцию
простоты
на
интервале
.
Положим
для
.
26
Коэффициенты Фурье:

Теорема Для того, чтобы f(x) была представлена
интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных
точках разрыва, достаточно:
;

1) абсолютной интегрируемости, т.е.
.
Для всех x = π + 2πn
Тогда ряд Фурье для данной функции имеет вид:
.
.
Найденное разложение имеет место при всех значениях
,
однако ряд, стоящий справа, сходится при всех x. Суммой ряда
будет периодическое продолжение функции
в точках разрыва сумма ряда

f ( x ) dx  k (т.е.

интеграл сходится)
2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы
кусочно-гладкой
3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется
полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках
непрерывности к самой функции f(x),
тогда интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл
вида:

  a (u) cos ux  b(u) sin uxdu ,
на всю ось Ox. А
0
где
,
где
- точки разрыва функции
.
a ( u) 
b( u) 
1

1


 f (t ) cos utdt ,


 f (t ) sin utdt
.

Или в виде
Ответ:
.
1.8 Интеграл Фурье
роль интеграл Фурье играет в электротехнических задачах.
.
Эта формула впервые встречается при решении некоторых задач
теплопроводности у Ж. Фурье (1811), но её доказательство было
дано позже другими математиками.
Это можно рассматривать как предельную форму ряда Фурье для
функций, имеющих период 2T.
При этом а (u) и b (u) аналогичны коэффициентам Фурье
функции f (x).
Пусть функция f(x) задана на всей числовой прямой, на
 Т Т
удовлетворяет условиям Дирихле
,
 2 2 
промежутке  
27
28
1.9 Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Представление непериодической функции интегралом Фурье
упрощается, если функция обладает симметрией.
Пусть f(x)-четная функция,
представимости интегралом Фурье.
удовлетворяющая
Интеграл Фурье в комплексной форме

f (x ) 
условиям
Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется
так:

f (x ) 
1.10 Комплексная форма интеграла Фурье
 a (u) cos uxdu ,
c ( u) 
1
2

 f (t )e

 b(u) sinuxdu ,
0

 f (t ) sin utdt
29
.

1
f (x ) 
2


 du  f (t )e

iu ( x  t )
dt ,

Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу в
действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:
a ( u)  2 Re c ( u)
b( u)  2 Im c ( u)
a ( u)  ib( u)
c ( u) 
2
Формулу можно преобразовать также к виду
0
ЗамечаниеХарактерной чертой , отличающей интеграл
Фурье от ряда Фурье, является то, что ряд Фурье это периодическая
функция как сумма периодических составляющих, а интеграл Фурье
– непериодическая функция.

dt
где правая часть формулы называется двойным интегралом
Фуpье в комплексной форме.
0
Рассуждая аналогично, получим интеграл Фурье для нечетной
функции f(x)
 a ( u)  0

2

b( u)  

 iut
Если в формуле заменить c(u) его выражением, то получим:

f (x ) 
dt ,
где
0
 f (t ) cos utdt
ixt

где a(u) определяется равенством

2
 a ( u) 


b( u)  0

 c ( u) e
(простой интеграл Фурье).
Пример:
sin x , x [ 0,  )
f (x)  
 0, x [ ,2 ]
разложить в ряд
Фурье в комплексной форме.
Решение
Функция периодическая с периодом T  2  0 .(f(x+T)=f(x))
30
Функция имеет на промежутке ( 0,2 ] конечное число точек
разрыва первого рода.
Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции,
а в точках разрыва к величине
разрыва.
f ( x 0  0)  f ( x 0  0)
, где x 0 -точки
2
Запишем комплексную форму полученного ряда
C0 
1
1  ( 1) n
,
2 (n 2  1)
Cn не существует, поэтому рассмотрим случай
Cn  

но при n  1
когда n=+1 :
C1  
i
1
(т.к. a1  0 b1  см. разложение выше)
4
2
и случай когда n=-1:
i
(т.к.
4


1
1
1
a 1   sin x cos(  x ) dx  0 b1   sin x sin(  x ) dx   )
 0
 0
2
1.11 Преобразование Фурье
Преобразование Фурье, первоначально возникло в теории
теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой
математике (например, при решении дифференциальных,
разностных и интегральных уравнений, в теории специальных
функций и т.д.), так и в различных разделах теоретической физики.
Например, преобразование Фурье стало стандартным аппаратом
квантовой теории поля, широко используется в методе функций
Грина для неравновесных задач квантовой механики и
термодинамики, в теории рассеяния и т.д.
 Определение
Преобразование
Фурье
функция,
выражающаяся через данную функцию f (x) формулой:
,
Если функция f (x) чётная, то её преобразование Фурье равно
C1 
(косинус-преобразование),
а если f (x) — нечётная функция, то
И вообще комплексная форма:
f (x)  
1 2 1  (1) n

2 n n 2  1
in
i ix 1 i ix 1  1  (1) n
  e   2
4e
 4
2 n2 n  1
e


1
2
или
f (x) 
1


i
4
e
 ix
ix
e 

1  ( 1) n

 n ( n  2 )
или
f (x) 
1


1
sin x

2
2

1  ( 1) n

 n( n  2 )
inx
inx
inx
e
(синус-преобразование).
Формулы (1), (2) и (3) обратимы, т. е. для чётных функций
ix
e e
,
а для нечётных функций
ix
e e
В общем случае имеет место формула
.
.
31
32
Глава 2 Математическая логика и ИВ
Своим существованием наука «алгебра логики» обязана
английскому математику Джорджу Булю, который исследовал
логику высказываний. Первый в России курс по алгебре
логики был прочитан Б. Порецким в Казанском
государственном университете.
Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах
греческого философа Аристотеля (384-322 г.г до н.э.). Он
систематизировал известные до него сведения, и эта система
стала
впоследствии
называться
формальной
или
Аристотелевой логикой.
Формальная логика просуществовала без серьёзных
изменений более двадцати столетий. Естественно, что
развитие математики выявило недостаточность Аристотелевой
логики и потребовало дальнейшего её развития.
Впервые в истории идеи о построении логики на
математической
основе
были
высказаны
немецким
математиком Г. Лейбницем (1646-1716) в конце XVII века. Он
считал, что основные понятия логики должны быть
обозначены символами, которые соединяются по особым
правилам. Это позволит всякое рассуждение заменить
вычислением.
“Мы употребляем знаки не только для того, чтобы
передать наши мысли другим лицам, но и для того, чтобы
облегчить сам процесс нашего мышления” (Лейбниц).
Первая реализация идеи Лейбница принадлежит
английскому учёному Д. Булю (1815-1864). Он создал алгебру,
в которой буквами обозначены высказывания, и это привело к
алгебре высказываний. Введение символических обозначений
в логику имело для этой науки такое же решающее значение,
как и введение буквенных обозначений для математики.
Именно благодаря введению символов в логику была получена
основа для создания новой науки – математической логики.
Применение
математики
к
логике
позволило
представить логические теории в новой удобной форме и
33
применить вычислительный аппарат к решению задач,
малодоступных человеческому мышлению, и это, конечно,
расширило область логических исследований.
Одной из основных причин развития математической
логики является широкое распространение аксиоматического
метода в построении различных математических теорий.
На практике множество элементарных логических
операций является обязательной частью набора инструкций
всех современных микропроцессоров и соответственно входит
в языки программирования. Это является одним из важнейших
практических приложений методов математической логики.
Перед изучением основ математической логики
необходимо рассмотреть понятие логики в целом.
Logos (греч.) - слово, понятие, рассуждение, разум.
Слово ”логика” обозначает совокупность правил,
которым подчиняется процесс мышления или обозначает
науку о правилах рассуждения и тех формах, в которых оно
осуществляется.
Логика изучает абстрактное мышление как средство
познания объективного мира, исследует формы и законы, в
которых происходит отражение мира в процессе мышления.
Рассмотрим вкратце историю развития логики.
2.1 Этапы развития логики
1-й этап связан с работами ученого и философа
Аристотеля (384-322 гг. до н.э.). Он пытался найти ответ на
вопрос ”как мы рассуждаем”, изучал ”правила мышления”.
Аристотель впервые дал систематическое изложение
логики. Он подверг анализу человеческое мышление, его
формы - понятие, суждение, умозаключение и рассмотрел
мышление со стороны строения, структуры, то есть с
формальной стороны. Так возникла формальная логика.
Формальная логика связана с анализом наших обычных
содержательных умозаключений, выражаемых разговорным
34
языком.
Аристотель
исследовал
различные
формы
рассуждений и их комбинаций, ввел понятие силлогизма, т.е.
рассуждения, в котором из заданных двух суждений
выводится третье.
Теория правильных рассуждений, которая называлась
силлогистикой и метод вывода правильных заключений из
посылок – дедукция были сформированы более 2 тысяч лет
тому назад, никем не опровергнуты и считаются присущими
человеческому мышлению.
 Замечание Не путать с "дедуктивным методом"
Шерлока Холмса. У Холмса, или скорее у
Конан-Дойля, явно были проблемы с логикой,
коль скоро он путал дедукцию с индукцией...
ДЕДУКТИВНЫЙ
подход,
называемый
еще
АКСИОМАТИЧЕСКИМ, это подход от общего к частному. От
аксиом (постулатов) к теоремам (следствиям).
Пример:
Все квадраты – ромбы → все ромбы - параллелограммы
→Следовательно, все квадраты - параллелограммы.
В общем виде этот силлогизм имеет форму: ”Все а суть
в, все в суть с. Следовательно, все а суть с.”
Пример Силлогизм неправильной формы:
Все квадраты - ромбы. →Некоторые ромбы имеют
острый угол. →Следовательно, некоторые квадраты имеют
острый угол.
Значит, силлогизм, имеющий форму ”Все а суть в,
некоторые в суть с. Значит, некоторые а суть с” может
привести и к ложным выводам.
Аристотель
выделил
все
правильные
формы
силлогизмов, которые можно составить из рассуждений вида:
- 1. "Все а суть в"
- 2. "Некоторые а суть в"
- 3. "Все а не суть в"
35
- 4. "Некоторые а не суть в"

Определение Логика, основанная на теории
силлогизмов называется классической.
Доказано, что общее число силлогизмов, которые
можно составить из рассуждений указанного вида, равно 256,
из них правильными являются лишь 24.
В конце XVI в. в алгебре словесная форма записи
алгебраических выражений стала тормозить развитие науки и,
чтобы облегчить выполнение алгебраических преобразований,
была создана буквенная символика, позволяющая выполнять
эти преобразования по строго определенным правилам.
2-й этап - появление математической или
символической логики. Основы ее заложил немецкий ученый
и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Он
попытался построить первые логические исчисления, считал,
что можно заменить простые рассуждения действиями со
знаками и привел правила. Но Лейбниц высказал только идею,
а развил ее окончательно англичанин Джордж Буль (18151864). Буль считается основоположником математической
логики как самостоятельной дисциплины. В его работах
логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику.
Недаром начальный раздел математической логики называют
алгеброй логики, или булевой алгеброй.
3-й этап связан с XX веком и попытками обосновать
справедливость
математических
доказательств,
с
исследованиями теории чисел, а также с попыткой разрешить
известные логические парадоксы.
Парадокс лжеца
Самым знаменитым следует считать парадокс лжеца,
известный еще со времен глубокой древности.
По преданию, Эпименид утверждал, что все критяне
лжецы. Верно ли это утверждение, если учесть, что сам
Эпименид родом с острова Крит?
Другая простейшая форма этого парадокса:
«Некто говорит: ’’я лгу’’.
36
Если он при этом лжет, то сказанное им есть ложь, и ,
следовательно он не лжет.
Если же он не лжет, то сказанное им есть истина, и
следовательно, он лжет.
В любом случае оказывается, что он «лжет и не лжет
одновременно»
Парадокс Платона и Сократа
Платон: Следующее высказывание Сократа будет
ложным. Сократ: То, что сказал Платон, истинно.
Парадокс Рассела брадобрея.
Владелец парикмахерской в одном селе повесил
следующее объявление: "Брею тех и только тех жителей села,
кто не бреется сам". Спрашивается, кто бреет брадобрея?
Развитие
математической
логики
особенно
активизировалось в XX нашего века в связи с развитием
вычислительной техники и программирования.

Определение Математическая логика - это
современная форма логики, которая полностью опирается на
формальные математические методы. Она изучает только
умозаключения со строго определенными объектами и
суждениями, для которых можно однозначно решить, истинны
они или ложны.
Основным (неопределяемым) понятием математической
логики является понятие «простого высказывания».
Высказывание, представляющее собой одно утверждение,
принято называть простым или элементарным.

Определение
Высказывание
это
повествовательное предложение, о котором можно сказать, что
оно истинно или ложно.
Высказывания могут быть истинными И или ложными
Л.
Пример: Земля - планета Солнечной
системы. (Истинно); Каждый параллелограмм есть квадрат
(Ложно)
37
Существуют высказывания, о которых нельзя говорить
с уверенностью, истинны они или ложны. «Сегодня хорошая
погода»( кому как)
Пример Высказывание "Идет дождь" - простое, а
истинное оно или ложное зависит от того, какая погода сейчас
за окном. Если действительно льет дождь, то высказывание истинное, а если солнечно, и бесполезно ждать дождя, то
высказывание "Идет дождь" будет ложным.
Пример “ x  1  4 ” – не высказывание
(неизвестно, какие значения принимает x ).
“Студент второго курса” не высказывание

Определение Элементарные высказывания не
могут быть выражены через другие высказывания.

Определение Составные высказывания –
высказывания, которые можно выразить с помощью
элементарных высказываний.
Пример “Число 22 четное” – элементарное
высказывание.
Существуют два основных подхода к установлению
истинности высказываний: эмпирический (опытный) и
логический.
При эмпирическом подходе истинность высказывания
устанавливается с помощью наблюдений, измерений,
проведением экспериментов.
Логический подход заключается в том, что истинность
высказывания устанавливается на основе истинности других
высказываний, то есть без обращения к фактам, к их
содержанию, то есть формально. Такой подход основан на
выявлении и использовании логических связей между
высказываниями, входящими в рассуждение.
2.2 Логика высказываний
38
Прежде всего нужно определиться с понятиями, потому
что один и тот же раздел часто называют по-разному:
математическая логика, логика высказываний (предложений),
символическая логика, двузначная логика, пропозициональная
логика, булева алгебра...

Определение Логика высказываний - раздел
логики, в котором вопрос об истинности или ложности
высказываний рассматривается и решается на основе изучения
способа построения высказываний из элементарных (далее не
разлагаемых и не анализируемых) высказываний с помощью
логических операций конъюнкции ("и"), дизъюнкции ("или"),
отрицания ("не"), импликации ("если..., то...") и др.

Определение Исчисление высказываний – это
аксиоматическая логическая система, интерпретацией которой
является алгебра высказываний.
Наибольший
интерес
представляет
построение
формальной системы, которая среди всех возможных
высказываний выделяет такие, которые являются логическими
законами
(правильно
построенными
рассуждениями,
логическими
умозаключениями,
тавтологиями,
общезначимыми высказываниями).
Формальные теории, не пользуясь естественным
(разговорным) языком, нуждаются в собственном формальном
языке, на котором записываются встречающиеся в нем
выражения.

Определение
Формальная
система,
порождающая высказывания, которые являются тавтологиями
и только их, называются исчислением высказываний (ИВ).
Формальная система ИВ определяется:
ИВ  {аксиомы}, ПВ  правила вывода
Какие символы лучше использовать для обозначения
логических связок?
Остановимся на следующих обозначениях: отрицание,
конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность.
39
Обычно логические значения результатов применения связок
записываются в виде таблиц (т.н. таблицы истинности).
2.3Логические связки ........................................................
В естественном языке роль связок при составлении
сложных предложений из простых играют следующие
грамматические средства:
союзы «и», «или», «не»;
слова «если …, то», «либо … либо»,
«тогда и только тогда, когда» и др.
В
логике
высказываний
логические
связки,
используемые для составления сложных высказываний,
обязаны быть определены точно.
Рассмотрим логические связки (операции) над
высказываниями, при которых истинностные значения
составных
высказываний
определяются
только
истинностными значениями составляющих высказываний, а не
их смыслом.
Широко употребительных логических связок пять.
отрицание (изображается знаком ¬),
конъюнкция (знак ),
дизъюнкция (знак v),
импликация (знак  )
эквивалентность (знак  ).

Определение Отрицание высказывания P высказывание, истинное тогда и только тогда, когда
высказывание P ложно.

Определение Конъюнкция двух высказываний P
и Q - высказывание, истинное тогда и только тогда, когда
истинны оба высказывания.

Определение Дизъюнкция двух высказываний P
и Q - высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба
высказывания ложны.

Определение Импликация двух высказываний P
и Q - высказывание, ложное тогда и только тогда, когда P 40
истинно, а Q - ложно. Высказывание P называется посылкой
импликации, а высказывание Q - заключением импликации.

Определение
Эквивалентность
двух
высказываний P и Q - высказывание, истинное тогда и только
тогда, когда истинностные значения P и Q совпадают.
Употребление слов «если ...» «то ...» в алгебре логики
отличается от употребления их в обыденной речи, где, как
правило, считаем, что, если высказывание х ложно, то
высказывание «Если х, то у» вообще не имеет смысла. Кроме
того, строя предложение вида «если х, то у» в обыденной речи,
всегда подразумеваем, что предложение у вытекает из
предложения х. Употребление слов «если, то » в
математической логике не требует этого, поскольку в ней
смысл высказываний не рассматривается.
2.4Логические операции
Основой цифровой техники служат три логические
операции, лежащие в основе всех выводов компьютера. Это
три логические операции: И, ИЛИ, НЕ, которые называют
«тремя китами машинной логики».
К высказываниям можно применять известные из курса
дискретной математики логические связки или логические
операции. При этом получаются формулы. Формулы
становятся высказываниями при подстановке всех значений
букв.
Таблицы истинности основных логических операций.
A
B
A
A B
A B
A B
A B
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
41
Несколько переменных, связанных между собой с
помощью логических операций, называют логической
функцией.
Описание всякого исчисления включает в себя
описание символов этого исчисления (алфавита), формул,
являющихся конечными конфигурациями символов, и
определение выводимых формул.
2.5 Алфавит исчисления высказываний
Алфавит исчисления высказывания состоит из
символов трех категорий:
1. Символы первой категории: x, y, z,  , x1 , x 2 ,  Эти
символы будем называть переменными высказываниями.
2. Символы второй категории:  , , , ¬ они носят
общее название логических связок.
Первый из них – знак дизъюнкции или логического
сложения, второй – знак конъюнкции или логического
умножения, третий – знак импликации или логического
следования и четвертый – знак отрицания.
3. Третью категорию составляет пара символов ( ),
называемая скобками.
Других символов исчисление высказываний не имеет
2.6 Формулы .Тавтология
Формулы исчисления высказываний представляют
собой последовательности символов алфавита исчисления
высказываний.
Для обозначения формул используются большие буквы
латинского алфавита. Эти буквы не являются символами
исчисления. Они представляют собой только условные
обозначения формул.

Определение Формула– правильно построенная
составное высказывание:
1) Всякая буква есть формула.
42
Если A , B - формулы, то формулами являются
также A , A  B , A  B , A  B , A  B .
Очевидно,
не
являются
формулами
слова:
символов  ,,  ), то ее подформулами являются: она сама,
формулы А и В и все подформулы формул А и В.
) (в третьем из этих слов
содержится не закрытая скобка, а в четвертом – нет скобок).
Заметим, что здесь никак не конкретизируются понятия
логических связок. Обычно в запись формул вводят некоторые
упрощения. Например, в записи формул опускаются скобки по
тем же правилам, что и в алгебре высказываний.

Определение.
Формула
называется
тавтологией, если она принимает только истинные значения
при любых значениях букв.

Определение Формула ложная при любых
значениях букв называется противоречием

Определение Формула называется выполнимой,
если на некотором наборе распределения истинностных
значений переменных она принимает значение И.

Определение
Формула
называется
опровержимой,
если
при
некотором
распределении
истинностных значений переменных она принимает значение
Л.
Пример
являются
( x  y ),  x  z ,  y  z , x
формулами согласно п.2 определения.
По этой же причине будут формулами слова:
x  y ,  x  z    y  z ,  x  y    y  z .
Одновременно с понятием формулы вводится понятие
подформулы или части формулы.
1. Подформулой элементарной формулы является она
сама.
2. Если формула имеет вид A , то ее подформулами
являются: она сама, формула А и все подформулы формулы А.
3. Если формула имеет вид (А*В) (здесь и в
дальнейшем под символом * будем понимать любой из трех
 x  y   z  y  - подформула нулевой глубины,
x  y , z  y  -подформулы первой глубины,
2)

43

Пример Для
подформулами будут:
формулы
 x  y   z  y 
ее
x, y , ( z  y ) -подформулы второй глубины,
y, z -подформулы третьей глубины,
z -подформула четвертой глубины.
Таким образом, по мере “погружения вглубь структуры
формулы” выделяем подформулы все большей глубины
Из курса дискретной математики известны основные
логические эквивалентности (равносильности), которые
являются примерами тавтологий. Все логические законы
должны быть тавтологиями.
Иногда законы называются правилами вывода,
которые определяют правильный вывод из посылок.
2.7Законы логики высказываний
Алгебра логики обладает коммутативными и
ассоциативными
законами
относительно
операций
конъюнкции и дизъюнкции и дистрибутивным законом
конъюнкции относительно дизъюнкции, эти же законы имеют
место и в алгебре чисел.
Поэтому над формулами алгебры логики можно
производить те же преобразования, которые проводятся в
алгебре чисел (раскрытие скобок, заключение в скобки,
вынесение за скобки общего множителя).
Рассмотрим основные законы логики высказываний.
44
2.8 Формальные теории. Выводимость. Интерпретация
1.
Коммутативность:
A  B  B  A,
2.
A  B  B  A.
Ассоциативность:
A  B  C    A  B   C , A  B  C    A  B   C .
3. Дистрибутивность:
A  B  C    A  B    A  C  ,
A  B  C    A  B    A  C  .
4.
Идемпотентность: A  A  A , A  A  A .
5.
Закон двойного отрицания: A  A .
6.
Закон исключения третьего: A  A  1 .
7.
Закон противоречия: A  A  0 .
8.
Законы де Моргана:
 A  B   A  B ,  A  B   A  B .
9.
Законы идемпотентности (свойства операций с
логическими константами)
В алгебре логики нет показателей степеней и
коэффициентов. Конъюнкция одинаковых ”сомножителей”
равносильна одному из них
A  1  1 , A  0  A , A 1  A , A  0  0 .
Здесь A , B и C – любые буквы.
Примеры. формула A  B  A тавтология.
2.  A  B   C  A  B  C  тавтологией.
3.  A  B   C  A  B  C  тавтологией.
 Теорема. Пусть формулы A
и A B –
тавтологии. Тогда формула B – тавтология.
 Теорема. Пусть формула A – тавтология, P1 , P2 ,
…, Pk – буквы в формуле A , A 1 , A2 , …, Ak – любые
формулы. Тогда новая формула
тавтология.
45
B  A A1 , A2 ,..., Ak  –

Определение Формальная теория считается
заданной, если известны следующие четыре составляющих:
1.
Алфавит – конечное или счетное множество
символов.
2.
Формулы, которые по специальным правилам
строятся из символов алфавита.
3.
Аксиомы
4.
Правила вывода – множество отношений,
позволяющие из аксиом получать теоремы формальной
теории.

Определение Вывод формальной теории последовательность формул A1 , A2 , …, An , в которой все
формулы – либо аксиомы, либо получаются из предыдущих по
правилам вывода.
A выводима из

Определение Формула
множества формул  (  ├ A ), если существует вывод A1, A2
, …, An , где An  A , и есть три возможности: Ai   ; Ai аксиома; Ai получаются из предыдущих формул по правилам
вывода. Формулы из множества  называются посылками
или гипотезами вывода.

Определение
Интерпретацией
множества
формул  называется область интерпретации X и заданное
(n )
на ней соответствие, которое каждой предикатной букве Ak
ставит в соответствие n -местный предикат на X , каждой
(n )
функциональной букве f k
– n -местную функцию на X ,
каждой предметной константе ai – элемент множества X .
При интерпретации формулы превращаются
предикаты на множестве X .
в
46
Если формула не имеет свободных переменных, то
после интерпретации она превращается в высказывание.

Определение.
Формула
называется
общезначимой, если она истинна в любой интерпретации.
Определение доказуемой (выводимой) формулы
Этапом в построении исчисления высказываний
является выделение класса доказуемых (выводимых) формул.
Сначала
определяются
исходные
доказуемые
выводимые формулы (аксиомы), а затем определяются
правила вывода, которые позволяют
из имеющихся
доказуемых формул получить новые доказуемые формулы.
2.9 Аксиоматический метод
 Определение Аксиоматический метод - способ
построения научной теории, при котором в её основу кладутся
некоторые исходные положения (суждения) — аксиомы, из
которых все остальные утверждения этой науки должны
выводиться
чисто
логическим
путём,
посредством
доказательств.
Назначение аксиоматического метода состоит в
ограничении произвола при принятии научных суждений в
качестве истин данной теории. Построение науки на основе
аксиоматического метода обычно называется дедуктивным.
Все понятия дедуктивной теории вводятся посредством
определений, выражающих их через ранее введённые понятия.
В той или иной мере дедуктивные доказательства,
характерные для аксиоматического метода, применяются во
многих науках. Главной областью его приложения до сих пор
остаются математика и символическая логика, а также
некоторые разделы физики (механика, термодинамика,
электродинамика и др.).
Аксиоматический метод прошёл в своём историческом
развитии 3 стадии.
47
Первая связана с построением геометрии в Древней
Греции. Основное сочинение этого периода — «Начала»
Евклида (хотя, по-видимому, и до него Пифагор, которому
приписывается открытие аксиоматического метода, а затем
Платон и его ученики немало сделали для развития геометрии
на основе аксиоматического метода).
В то время считалось, что в качестве аксиом должны
выбираться суждения, истинность которых «самоочевидна»,
так что истинность теорем считалась гарантированной
безупречностью самой логики. Но Евклиду не удалось
ограничиться чисто логическими средствами при построении
геометрии на основе аксиом. Он охотно прибегал к интуиции в
вопросах,
касающихся
непрерывности,
взаимного
расположения и равенства геометрических объектов. Впрочем,
во времена Евклида такие обращения к интуиции могли и не
восприниматься как выход за пределы логики — прежде всего
потому, что сама логика не была ещё аксиоматизирована. Не
было
и
достаточной
отчётливости
во
введении
первоначальных понятий и при определении новых понятий.
Начало второй стадии в истории аксиоматического
метода связывают обычно с открытием Н. И. Лобачевским, Я.
Больяй и К. Ф. Гауссом возможности построить
непротиворечивым образом геометрию, исходя из систем
аксиом, отличной от евклидовой. Это открытие разрушило
убеждение в абсолютной («очевидной» или «априорной»)
истинности аксиом и основанных на них научных теорий.
Теперь аксиомы стали пониматься просто как исходные
положения данной теории, вопрос же об их истинности в том
или ином смысле (и выбор в качестве аксиом) выходит за
рамки аксиоматической теории как таковой и относится к её
взаимоотношению с фактами, лежащими вне её. Появилось
много (и притом различных) геометрических, арифметических
и алгебраических теорий, которые строились средствами
аксиоматического метода (работы Р. Дедекинда, Г. Грасмана и
др.). Эта стадия развития аксиоматического метода
завершилась созданием аксиоматических систем арифметики
48
(Дж. Пеано, 1891), геометрии (Д. Гильберт, 1899), исчисления
высказываний и предикатов (А. Н. Уайтхед и Б. Рассел,
Англия, 1910) и аксиоматической теории множеств (Э.
Цермело, 1908).
Гильбертовская аксиоматизация геометрии позволила
Ф. Клейну и А. Пуанкаре доказать непротиворечивость
геометрии Лобачевского относительно евклидовой геометрии
посредством указания интерпретации понятий и предложений
неевклидовой геометрии в терминах геометрии Евклида, или,
как говорят, построения модели первой средствами второй.
Метод моделей (интерпретаций) стал с тех пор важнейшим
методом установления относительной непротиворечивости
аксиоматических теорий. В то же время со всей отчётливостью
выявилось, что, кроме «естественной» интерпретации (т. е.
той, ради уточнения и развития которой данная теория
строилась), у аксиоматической теории могут быть и др.
интерпретации, причём её можно с равным основанием
считать «говорящей» о каждой из них.
Последовательное развитие этой идеи и стремление
точно описать логические средства вывода теорем из аксиом
привели
Гильберта
к
концепции
формального
аксиоматического метода, характерной для третьей,
современной его стадии.
Основная идея Гильберта — полная формализация
языка науки, при которой её суждения рассматриваются
просто как последовательности знаков (формулы), не
имеющие как таковые никакого смысла (который они
приобретают лишь при некоторой конкретной интерпретации).
Это относится и к аксиомам — как общелогическим, так и
специфическим для данной теории. Для вывода теорем из
аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются
специальные правила вывода (например, т. н. правило modus
ponens — «правило зачёркивания», позволяющее получить В
из А и «А влечёт В»). Доказательство в такой теории
(исчислении, или формальной системе) — это просто
последовательность формул, каждая из которых либо есть
49
аксиома, либо получается из предыдущих формул
последовательности по какому-либо правилу вывода. По
замыслу Гильберта, в рамках созданной им теории
доказательств, можно было бы доказать непротиворечивость и
полноту всей классической математики (т. е. доказуемость
каждой формулы, истинной при некоторой определённой
интерпретации). Несмотря на ряд значительных результатов в
этом направлении, гильбертовская программа в целом (её
обычно называют формализмом) невыполнима, т. к., согласно
важнейшему результату К. Гёделя (1931), всякая достаточно
богатая непротиворечивая формальная система непременно
неполна (т. н. теорема о неполноте). Оказывается, в скольконибудь сложной аксиоматической системе (посложнее, чем
кубики, но достаточно даже арифметики) существуют
формулы, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Может в этом причина, что не все школьные задачки
имеют решения?!
'''Теорема Гёделя о неполноте''' гласит, что любая
непротиворечивая
формальная
теория,
включающая
арифметику целых чисел, неполна.
Каким же образом доказывается теорема Геделя о
неполноте формальных систем? Идея доказательства
заключается в том, чтобы построить пример формулы, которая
была бы недоказуема и, вместе с тем, содержательно истинна.
Таковой являлась бы формула, содержательный смысл
которой заключается в том, что она утверждает свою
собственную недоказуемость, т.е. невыводимость из аксиом
рассматриваемой формальной системы.
Теорема Гёделя свидетельствует об ограниченности
аксиоматического метода (хотя определённые расширения
допускаемых метатеоретических средств и позволили
немецкому математику Г. Генцену, П. С. Новикову и др.
математикам получить доказательство непротиворечивости
формализованной арифметики).
Аксиоматический метод подвержен также критике,
исходящей из различных семантических (см. Логическая
50
семантика) критериев. Так, интуиционисты (Л. Э. Я. Брауэр,
Г. Вейль и др.) не признают обоснованности в применении к
бесконечным множествам принципа исключенного третьего
(см. Исключённого третьего принцип) между тем этот
принцип не только берётся в качестве логической аксиомы в
большинстве формальных теорий, но и используется по
существу (хотя и неявно) в основных предпосылках
гильбертовской
программы,
согласно
которой
непротиворечивость теории — достаточное условие её
«истинности».
Пример
Существование Бога недоказуемо! Иначе это была бы
теорема.
Это только кажется, что аксиоматические системы это сложно. Любой может напридумывать их сколько
угодно. Более простым делом вам вряд ли приходилось
заниматься.
Пример
В качестве языка можно объявить любые "слова" из
последовательности буквы Я. Букву Я объявим аксиомой.
Правило вывода будет удваивать букву Я.
То есть придумана теория, в которой выводимы любые
последовательности (слова), состоящие из буквы Я.
Я
ЯЯ
ЯЯЯ
...
ЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯ ...
И все бы хорошо, только такая строго заданная теория
мало что дает создателю, кроме радости созидания. Теория,
созданная из буквы Я, не привязана к понятию истинности.
Поэтому она бессмысленна, как бессистемная перестановка
детских кубиков.
51
2.10 Система аксиом исчисления высказываний (ИВ)
На сегодняшнее время известно 20 ИВ, которые
отличаются друг от друга аксиомами (схемами аксиом) и
правилами выводов.
Пример
ИВ Уйтхеда и Рассела (19201930,
Англия).
Аксиомы
А1. (А  А)  А – закон тавтологии
А2. А  (В  А) – закон добавления
А3. (А  В)(В  А) – закон перестановки
А4. (А  В)((С  А)  (С  В)) – закон
суммирования
Правила вывода
Р1: Подстановка А вместо В;
Р2: Замена на эквивалентную формулу A  B  A  B
Р3: Modus ponens ( A  B, A) ⊦ В.
Система
аксиом
современной
исчисления
высказываний состоит из 11 аксиом (по сути представляющих
собой тождественно истинные формулы алгебры логикитавтологии), которые делятся на четыре группы.
Первая группа аксиом (содержащая
только
импликацию).
1 : x   y  x .
 2 :  x   y  z    x  y    x  z  .
Вторая группа аксиом (к импликации присоединилась
конъюнкция):
 1 : x  y  x.
 2 : x  y  y .
 3 :  z  x    z  y   z  x  y  .
Третья
группа
аксиом (к импликации
присоединилась дизъюнкция):
52
 1 : x  x  y
 2 : y  x  y.
 3 :  x  z    y  z   ( x  y  z )  .
Четвертая
группа
аксиом (к
присоединилось отрицание):
V1 :  x  y   y  x .

а) если формула А есть переменная х , то подстановка
B
 ( A) дает , очевидно, В;
X

V 2 : x  x
V3 : x  x.
Таким образом, множество аксиом исчисления
высказываний, заданное 4 группами аксиом, бесконечно.
Если помнить, что одной из интерпретаций исчисления
высказываний является алгебра высказываний, то легко
видеть, что в данной интерпретации перечисленные выше
аксиомы (как и вообще доказуемые формулы) являются
тавтологиями в алгебре высказываний.
2.11 Правила вывода
Основных правил вывода в исчислении высказываний
два: правило подстановки и правило простого заключения.
1 Правило подстановки(ПП).
Если формула А выводима (доказуема) в исчислении
высказываний, х- переменная, В- произвольная формула
исчисления высказываний, то формула , полученная в
результате замены в формуле А переменной х всюду , где она
входит, формулой В, является также выводимой(доказуемой)
формулой.
Операция замены в формуле А переменной х формулой
В, носит название подстановки и символически записывается
B
так:
 ( A) .Уточним сформулированное правило:
X
53
б) если формула А есть переменная y , отличная от х ,то
импликации
B
подстановка
 ( A) дает А;
X
в) подстановка формулы В вместо х в отрицание
формулы А есть отрицание подстановки , т. е. подстановка
B
B
X
X
 ( A) дает  ( A) ;
г) если А1 и А2- некоторые формулы, то подстановка
B
 (A
1
B
* A2 ) дает
X
B
 ( A ) *  ( A ) , где через символ * обозначен
1
X
2
X
любой из символов операций конъюнкция, дизъюнкция или
отрицание ,, .,
Если А- выводимая (доказуемая ) формула, то будем
писать, ├А. Читается «А доказуема».
Тогда правило подстановки (ПП) можно записать
схематически следующим образом:
├А____ .


B
├  ( A)
X
И читается эта запись так: “Если формула А выводима
B
(доказуема), то выводима (доказуема) и формула
 ( A) .
X
2 Правило заключения (ПЗ).
Если формулы А и А→В выводимы (доказуемы) в
исчислении высказываний, то формула В также выводима
(доказуема). Схематическая запись этого правила имеет вид:
├А;├А→В
(Modus ponens)
├В
54
«если верно, что из А следует В и А является истинным,
то истинно В.»
Правомерность этого правила очевидна: если
импликация и посылка истинны, то заключение в импликации
может быть только истинным (см. таблицу истинности
операции “импликация”).
Пример: (Modus ponens)
Если лекция скучная, то студент спит. Лекция
скучная.
Значит: студент спит
Множество правил вывода задано одной схемой, и
также бесконечно.
1)
Modus tollens (отрицательный марус)
AB, B
A
Пример:
если лекция скучная, то студент спит. Студент не спит
Значит : лекция не скучная
2.12 Производные правила вывода
Производные правила вывода, как и рассмотренные
правила подстановки и заключения, позволяют получать
новые доказуемые формулы. Они получаются с помощью
правил подстановки и заключения, а поэтому являются
производными от них.
Правило сложной (одновременной) подстановки
(СПП).
Пусть А – доказуемая формула; x1 ,  , x n - переменные,
B1 ,  , Bn - любые формулы ИВ. Тогда результат
одновременной подстановки в формулу А вместо x1 ,  , x n
соответственно формул B1 ,  , Bn является доказуемой
формулой.
Схематично операция СПП записывается так:
├А______
а
B1 , , Bn
├
Определение выводимой (доказуемой) формулы
а) Всякая аксиома является доказуемой формулой.
б)Формула, полученная из доказуемой формулы путем
применения подстановки вместо переменной х произвольной
формулы В, есть доказуемая формула.
в) Формула В, полученная из доказуемых формул А и
A  B путем применения ПЗ, есть доказуемая формула.
г) Никакая другая формула исчисления высказываний
не считается доказуемой .
Процесс получения доказуемых формул будем называть
доказательством
(выводом)
формул.
Это
процесс
последовательного перехода от одной доказуемой формулы к
другой с помощью аксиом, правила подстановки и правила
заключения на каждом шаге (в определенном смысле это
аналог равносильным преобразованиям в алгебре логики).
55
 ( A)
X 1 ,... X n
Так, в рассмотренном выше примере вместо шагов 4-56 и 9-10-11 можно было сразу применить СПП и тогда вместо
12 получим желаемый результат за 8 ходов:
1)  x  z    y  z   ( x  y  z )  . . . .(  3 ) (1)
(3)
2)  x  y  x    y  y  x    x  y  y  x . . . .
(2)
3) y  x  y . . .(  2 )
4) x  y  x
(4)
...

Z , X ,Y
X ,Y , Z
(3)
5)  y  y  x    x  y  y  x 
6) x  x  y. . . . (  1 )
(2),(4), ПЗ
(5)
(6)
56
7) y  y  x 
8) x  y  y  x,

Z ,Y , X
Y , X ,Z
(6)
...
A, B
(7)
(5), (7), ПЗ
одновременную подстановку
(8)
Правило сложного заключения.
Правило сложного заключения также допускает
обобщение.
Второе производное правило, получаемое в результате
такого обобщения, применяется к формулам вида
A1   A2   A3  ...( An  L   
и формулируется так :
A1 , A2 ,..., An
и
Если
формулы
A1   A2   A3  ..( An  L    доказуемы, то и формула
L доказуема.
Правило
сложного
заключения
схематично
записывается так:
├А1, ├А2, …,├Аn, ├A1→(A2→(A3→(...(An→L) …)))
├L
Следующие правила знакомы по тождественно
истинным формулам алгебры логики, носящим те же
наименования.
Правило силлогизма.
Если доказуемы формулы А→В и В→С, то доказуема
формула А→С , т. е.
├А→В,├В→С
├А→С
Правило контр позиции.
Если доказуема формула А→В, то доказуема формула
B  A , т. е.
├ А →В
├B A
На примере этого правила покажем, как доказываются
такие утверждения в исчислении высказываний. Сделаем
57
 ( V ) ,
получим доказуемую
1
X ,Y
формулу ├(А→В)→├( B  A ).
(1)
Но по условию доказуема формула ├А→В.
(2)
Из формул (2) и (1) по правилу заключения имеем ├
B  A.
Правило снятия двойного отрицания.
а) Если доказуема формула
формула A  B .
A  B , то доказуема
б) Если доказуема формула
формула A  B .
A  B , то доказуема
Схематичная запись :
→В
AB
.
├ А →B
и
├ A
├ AB
├
Понятие выводимости формул из совокупности формул
Будем рассматривать конечную совокупность формул
Н={А1,А2,…,Аn}.

Определение
формулы,
выводимой
из
совокупности Н.
1)Всякая
формула
Аi  H ,является
формулой,
выводимой из Н.
2) Всякая доказуемая формула выводима из Н.
3) Если формулы С и С→В выводимы из совокупности
Н, то формула В также выводима из Н.
Если некоторая формула В выводима из совокупности
Н, то это записывают так: Н├В.
58
Нетрудно видеть, что класс формул, выводимых из
совокупности Н, совпадает с классом доказуемых формул в
случае, когда совокупность Н содержит только доказуемые
формулы, и в случае, когда Н пуста. Если же совокупность
формул Н содержит хотя бы одну не доказуемую формулу, то
класс формул, выводимых из Н, шире класса доказуемых
формул.
Пример. Доказать, что из совокупности формул
Н={А ,В} выводима формула A  B .
Так как А  H и В  H , то по определению выводимой
формулы
Н├А,
(1)
Н├В.
(2)
Возьмем аксиомы  3 и  1 , и выполним подстановки
B, A
A, B , A
 (
X ,Y , Z
3
)и
 (
1
).
X ,Y
В результате получим доказуемые формулы, которые
выводимы из Н по определению выводимой формулы, т. е.
Н├(А→А)→((А→В)→(А  A  B )),
(3)
Н├В→(А→В),
(4)
Так как формула А→А доказуема, то Н├А→А.
(5)
Из формул (5) и (3) по правилу заключения получаем:
Н├(А→В)→(А  A  B )).
(6)
Из формулы (2) и (4) по правилу заключения получаем:
Н├А→В.
(7)
Из формул (7) и (6) по правилу заключения получаем:
Н├А  A  B .
(8)
И, наконец, из формул (1) и (8) получаем:
Н├ A  B
(9)
При доказательстве выводимости формулы из совокупности
формул можно пользоваться не только основным правилом
заключения, но и правилом сложного заключения.
59
Тогда, пользуясь этим правилом, предложение (9) можно
получить из предложений (5), (7), (1) и (3).
Понятие вывода

ОпределениеВыводом
из
конечной
совокупности формул Н называется всякая конечная
последовательность формул В1,В2,…,Вк, всякий член которой
удовлетворяет одному из следующих трех условий:
1) он является одной из формул совокупности Н,
2) он является доказуемой формулой,
3) он получается по правилу заключения из двух любых
предшествующих членов последовательности В1,В2,…,Вк.
Как было показано в предыдущем примере, выводом из
совокупности
формул
Н={А,В}
является
конечная
последовательность формул:
А, В, (А→А)→((А→В)→(А  A  B )), (А→В), А→А,
(А→В)→(А  A  B )), А→В, А  A  B , A  B . (см.
формулы 1,2,3,7,5,6,8).
Если же здесь воспользоваться правилом сложного
заключения , то вывод можно записать так:
А, В, (А→А)→((А→В)→(А  A  B )), В→(А→В),
А→А, А→В, A  B . (см. формулы 5, 7, 1, 3).
Из определения выводимой формулы и вывода из
совокупности формул следуют очевидные свойства вывода:
Свойства вывода
1)Всякий начальный отрезок вывода из совокупности Н
есть вывод из Н.
2)Если между двумя соседними членами вывода из Н
(или в начале или в конце его) вставить некоторый вывод из Н,
то полученная новая последовательность формул будет также
выводом из Н.
3)Всякий член вывода из совокупности Н является
формулой, выводимой из Н.
Всякий вывод из Н является выводом его последней
формулы.
60
4)Если H  W (включено), то всякий вывод из Н
является выводом из W.
5)Для того, чтобы формула В была выводима из
совокупности Н, необходимо и достаточно, чтобы существовал
вывод этой формулы из Н.
Правила выводимости
Эти правила непосредственно следуют из свойств
вывода с использованием ПП и ПЗ.
Пусть Н и W – две совокупности формул исчисления
высказываний. Будем обозначать через Н, W их объединение,
т. е. Н,W= H  W .
В частности, если совокупность W состоит из одной
формулы С, то будем записывать объединение H  C в виде
Н,С.
Основные правила выводимости:
1. H ├ A
Это правило следует
непосредственно из определения вывода
2. H,C ├ A,H├C
3. H,C ├ A, W├C
4. H ├ C→A
H├C→A
В частности, если H   , то если C├ A  C→A
5A.
Обобщенная
теорема
дедукции:
{C1, C1, …, Ck}├ A
├C1
→(C2→(C3→…(Ck→A)…))
Теорема. (обратная теорема дедукции.)
H├ A  B  H, A ├ B .
6.
H├A,H├B
61
Правило
введения
конъюнкции:
H├
A B
7.
Правило
H,A├C;Н,B├C .
введения
дизъюнкции:
H,
A  B ├C
2.13 Построение вывода в логике высказываний
Пример
Докажем,
что
B  A   A  B  .
выводима
формула
├
Док-во
По теореме, обратной теореме дедукции, посылку
можно перенести в левую часть:
B  A ├ A  B .
Проделаем эту операцию еще раз:
B  A , A ├ B .
1.
B  A – гипотеза.
A – гипотеза.
2.
Формулу B удобно получить из аксиомы А3.
Поэтому запишем эту аксиому:
B  A  B  A  B 
ponens
К формулам 1 и 3 применим правило вывода Modus
4.
B  A  B .
МР 1,
3.
Посылку в формуле 4 можно получить из аксиомы А1,
если заменить B на B :
5.
A  B  A . А1 с подстановкой вместо B
– B .
Далее дважды применяем правило Modus ponens:
6.
B  A .
МР 2, 5.
62
7.
B.
МР 6, 4.
Вывод построен, и применением теоремы дедукции мы
доказали выводимость первоначальной формулы.
Отметим, что вывод может быть неединственным, в
частности, формулы могут быть записаны в другом порядке.
Доказательство некоторых законов логики
Правила выводимости, и особенно теорема дедукции,
позволяют доказать ряд законов логики.
1. Закон перестановки посылок.
├(x→(y→z)) →(y→(x→z)).
(1)
Доказательство:
Можно показать, что из совокупности формул
Н={x→(y→ z ), y, x} следует вывод x→(y→ z), y, x, y→ z, z, т.
е. из совокупности Н выводима формула z.
Тогда по обобщенной теореме дедукции доказуема
формула (1). И тогда по ПЗ из закона перестановки посылок
вытекает правило перестановки посылок
в доказуемых
формулах: ├(x→(y→ z))
├(y→(x→ z)).
(2)
Действительно, если ├x→(y→ z), (2), то из (1) и (2) по
правилу заключения следует ├y→(x→z).
2. Закон соединения посылок
├(x→(y→ z)) →( x  y →z).
(3)
Доказательство:
Можно показать, что из совокупности формул
Н={x→(y→ z ), x  y } следует вывод x→(y→ z), x  y ,
x  y → х, x  y → y, x, y, y→ z, z, т. е. из совокупности Н
выводима формула z. Тогда по обобщенной теореме дедукции
доказуема формула (3).
Из закона соединения посылок вытекает правило
соединения посылок в доказуемых формулах: ├(x→(y→z))
├ x  y →z.
(4)
63
Действительно, если ├x→(y→z), (4), то из (3) и (4) по
правилу заключения следует ├ x  y →z.
3. Закон разъединения посылок .
├( x  y →z) →(x→(y→z)).
(5)
Так как из совокупности формул Н={x, y, x  y →z}
следует вывод x, y, x  y →z, x  y , z, то из совокупности
формул Н выводима формула z. Тогда по обобщенной теореме
дедукции доказуема формула (5).
Из закона разъединения посылок вытекает правило
разъединения посылок в доказуемых формулах:
├ x y →
z
├х→(y→z).
(6)
Действительно, если ├ x  y →z)), (6), то из (5) и (6) по
правилу заключения следует
├х→(y→z).
(7)
4. ├х→( x  y ).
Доказательство:
Y
Сделаем подстановки в аксиомы  1 и V1 :
 (
1
) и
Y
Y ,X
 ( V ) .
1
X ,Y
В результате получим доказуемые формулы:
├х→( y  x ), (8) и ├ ( y  x )  ( x  y ) .
(9)
Из формул (8)и (9)по правилу силлогизма следует : ├
x  ( x  y) .
Используя закон соединения посылок, получим: ├
xx y.
Используя правило
получим : ├ x  x  y .
снятия
двойного
отрицания,
64
И, наконец, применяя закон разъединения посылок,
получим (7).
5. Закон исключенного третьего:
├x x.
Доказательство:
Воспользуемся доказуемой формулой ├ x  y  x  y
(10)
X
и, сделав в ней подстановку
 (10) , получим :
Y
(11)
├x  x  x  x.
Также сделаем подстановку в формуле (7), заменяя x на
x , а y на y :
├ x  ( x  y ).
(12)
Используя закон соединения посылок, будем иметь : ├
(13)
xx y .
Из формул (11) и (13) по правилу силлогизма получаем
├x x  y.
(14)
Из формулы (14) по правилу контрапозиции следует├
yx x .
Используя оба правила снятия двойного отрицания,
получаем ├ y  x  x
(15)
Пусть теперь y- любая доказуемая формула R, тогда из
формул ├R, ├R  x  x по правилу заключения получаем ├
x x.
6.├ x  y  x  y .
Примем
этот
закон
без
доказательства.
65
2.14 Связь между алгеброй и исчислением высказываний
Формулы
исчисления
высказываний
можно
интерпретировать как формулы алгебры высказываний. Для
этого будем трактовать переменные исчисления высказываний
как переменные алгебры высказываний, т. е. переменные в
содержательном смысле, принимающие два значения: истина и
ложь (1 и 0).
Операции ,,  и  определим так же, как в алгебре
высказываний.
При этом всякая формула исчисления высказываний
при любых входящих в нее переменных будет принимать одно
из значений 1 или 0, вычисляемое по правилам алгебры
высказываний.
Введем понятие значения формулы исчисления
высказываний. Пусть А- формула исчисления высказываний,
х1,х2,…,хn- попарно различные переменные, среди которых
находятся все переменные, входящие в формулу А. Обозначим
через а1, а2,…,аn набор значений этих переменных, состоящих
из 1 и 0, длины n. Очевидно, что вектор (а1, а2,…,аn) имеет 2n
значений.
Имеют место три теоремы, которые устанавливают
связь между основными фактами алгебры высказываний и
исчисления высказываний.
 Теорема 1. Каждая формула, доказуемая в
исчислении высказываний, является тождественно истинной в
алгебре высказываний.
Формулировка этой теоремы содержит в себе три
положения:
1)Каждая аксиома исчисления высказываний –
тождественно истинная формула в алгебре высказываний.
2)Правило подстановки, примененное к тождественно
истинным формулам, приводит к тождественно истинным
формулам.
66
3)Правило заключения, примененное к тождественно
истинным формулам, приводит к тождественно истинным
формулам.
 Теорема 2.( о выводимости) Пусть А –некоторая
формула исчисления высказываний; х1,х2,…,хn – набор
переменных, содержащих все переменные, входящие в
формулу А; а1, а2,…,аn – произвольный фиксированный набор
значений этих переменных. Обозначим через Н конечную
совокупность формул
x , если _ a i  1,
H  x1a1 , x 2a 2 ,..., x nan , где xiai   i
 x i , если _ a i  0.
Тогда:
1) Если Ra1,a2,..,an(A)=1, то H├A .
2) Если Ra1,a2,..,an(A)=0, то H├ A , где Ra1,a2,..,an(A)–
значение формулы А на наборе а1, а2,…,аn.
 Теорема 3 Каждая тождественно истинная формула
алгебры высказываний доказуема в исчислении высказываний.
Правила подстановки и замены
Логическая эквивалентность и логическое следствие

Определение. Формулы A и B называются
логически эквивалентными тогда и только тогда, когда
формула A  B – тавтология.
 Теорема.
Отношение
лог.эквивалентностиотношение
эквивалентности
(Рефлексивно,симметрично,транзитивно)
Справедливы правило подстановки и правило замены.


Пусть FG – формула, в которой выделена некоторая
подформула G , FH – формула, полученная из формулы FG
заменой G на некоторую формулу H .
Правило замены. Если формулы G и H логически
эквивалентны, то логически эквивалентны и формулы FG и
FH .
Доказательства правил подстановки и замены основано
на сравнении таблиц истинности соответствующих формул.
Пример.  A  B   A  B 
Док-ем:По правилу подстановки,
A  B 
эквивалентна формуле A  B  .
По правилу замены, A  B  эквивалентна формуле
 A  B  .Следовательно, по свойству транзитивности,
формулы A  B  и  A  B  логически эквивалентны.

Определение. Говорят, что формула
A
логически влечет формулу B , если формула A  B является
тавтологией.
 Теорема. Отношение логического следствия отношение предпорядка, то есть рефлексивно и транзитивно.
A
Пусть F и G – формулы, содержащие букву A , FH
A
и GH – формулы, полученные из формул F и G
соответственно подстановкой вместо буквы A формулы H .
Правило подстановки. Если формула F логически
эквивалентна формуле
G , то формула FHA логически
A
эквивалентна формуле GH .
67
68
идеи.
Контрольные вопросы
1.
Что изучает формальная логика?
2.
Что изучает математическая логика?
3.
Изложите основные этапы развития логики.
4.
Области применения математической логики.
5.
Перечислите известные парадоксы, основные
6.
Разновидности силлогизмов и модусов: отличие
и сходство
7.
Что такое высказывание?
8.
Какие высказывания бывают?
9.
Какие высказывания называются простыми, а
какие
10.
сложными?
11.
Что не является высказыванием?
12.
Основные логические операции и их свойства,
перечислите.
13.
Отрицание высказывания. Конъюнкция двух
высказываний. Дизъюнкция двух высказываний.
14.
Импликация
двух
высказываний.
Эквивалентность двух высказываний.
15.
Союзы языка и логические операции (язык и
логика). Общий взгляд на логические операции.
16.
Конструирование сложных высказываний.
17.
Понятие формулы алгебры высказываний.
18.
Классификация формул алгебры высказываний.
Глава 3 Задачи регрессионного анализа
В практике экономических исследований очень часто
имеющие данные нельзя считать выборкой из многомерной
нормальной
совокупности.
В
этих
определить
поверхность,
которая
случаях
дает
пытаются
наилучшее
приближение к исходным данным. Соответствующие методы
приближения получили название регрессивного анализа. В
регрессивном
анализе
рассматривается
односторонняя
зависимость случайной зависимой переменной Y от одной
(или нескольких) неслучайной независимой переменной X .
Две случайные величины X и Y могут быть связаны либо
функциональной зависимостью, либо статистической, либо
быть независимыми.
При функциональной зависимости каждому значению
переменной X соответствует вполне определенное значение
переменной
Y.
Строгая
функциональная
зависимость
реализуется редко, т.к. обычно величины подвержены еще
действию различных случайных факторов. Тогда каждому
значению одной переменной соответствует не какое-то
определенное, а множество возможных значений другой
переменной.
Это
статистическая
(вероятностная,
стохастическая) зависимость.
Корреляционной
случайными
69
зависимостью
величинами,
называется
между
двумя
функциональная
70
зависимость между значениями одной из них условным
математическим ожиданием другой.
 Определение Уравнения регрессии - уравнения
вида
M [Y X ]  g ( x) , M [Y X ]  g ( x ) , M [ X Y ]   ( y )
где mx  M [ X ] , m y  M [Y ] ,  x  D[ X ] ,  y 
коэффициент корреляции величин Y и X .
Коэффициент   
где g ( x) ,  ( y) - функциями регрессии, а их графики - линиями
X , а прямая
регрессии.
регрессии Y на X .
y
- коэффициент регрессии Y на
x
называется прямой среднеквадратической
Рассмотрим двумерную случайную величину ( X , Y ) ,
где X
y  my  
и Y - зависимые случайные величины. Представим
Аналогично
величину Y - в виде линейной функции X :
можно
где a и b - параметры, подлежащие определению.
x  mx  
Это можно сделать различными методами, наиболее
называют
M [Y  g ( X )]2
Линейная
y
g ( X )  my  
( X  mx ) ,
x
71
регрессии
Для
отыскания
уравнений
регрессии
необходимо
среднеквадратическая
регрессия Y на X имеет вид
коэффициент
совпадают.
принимает
линейной среднеквадратической регрессией Y на X .
Теорема
x
( y  my ) .
y
прямые
наименьшее возможное значение. Функцию g ( x ) называют

прямую
корреляции   1 , то обе
наилучшим
приближением Y в смысле метода наименьших квадратов,
если математическое ожидание
получить
Если
употребительный из них – метод наименьших квадратов.
g ( X )  aX  b
y
( x  mx )
x
среднеквадратической регрессией X на Y :
Y  g ( X )  aX  b ,
Функцию
D[Y ] ,  -
распределения
знать
закон
двумерной
случайной величины ( X , Y ) .
72
На практике обычно располагают выборкой пар
значений ( xi , yi ) ограниченного объема. В этом случае речь
может идти об оценке функции регрессии по выборке.
В качестве оценок условных математических ожиданий,
принимают
условные
средние,
которые
находят
Например, если при x1  2 величина Y приняла значения
y1  5, y2  6, y3  10 , то условное среднее Yx1 
 Определение Уравнения
Y x  g * ( x ) или X y   * ( y )
по
выборочным данным.
называются выборочными уравнениями регрессии, g * ( x ) и
Мы рассмотрим линейную регрессию, уравнение которой
Y  b0  b1 x ,
регрессии
изменяется переменная Y
показывает,
на
 * ( y ) -выборочными функциями регрессии, а их графики выборочными линиями регрессии.
где b1 - выборочный коэффициент регрессии Y на X . Выборочный
коэффициент
5  6  10
 7.
3
сколько
в
среднем
3.1 Метод наименьших квадратов
Обычно для получения уравнения выборочной линии
при увеличении переменной X на одну
единицу.
регрессии рассматривается функция
Y x  b0  b1 x  b2 x 2  ...  bm x m
или
X y  c0  c1 y  c2 y 2  ...  cm y m
используется метод наименьших квадратов.
Рассмотрим линейную регрессию, уравнение которой
Y  b0  b1x.
Условным средним Yx называют среднее арифметическое
наблюдавшихся значений Y , соответствующих X  x .
73
Неизвестные параметры b0 и b1 выбираются таким
образом, чтобы
74
S
n
(y
 (b0  b1 xi )) 2  min
i
i 1
3.2 Линейный регрессионный анализ
Термином линейный регрессионный анализ обозначают
прогнозирование одной переменной на основании другой,
когда между этими переменными существует линейная
взаимосвязь
Y  b0  b1 X .
Методом наименьших квадратов находим значения
коэффициентов b0 и b1
(X
n
 X ) (Yi  Y )
i
i 1
1
n
(X
i
вычисленными
регрессии
соответствующими значениями прогнозов Y
называются
отклонениями
 X )2
моделируемыми
b0  Y  b1 X .
можно представить как
n
 (Y  Y )
i 1
n
(X
i
 X )2
по
e  Y Y .
Величины
значениями
прогноза
данных,
а
являются
отклонения
показывают отличия от модели.
Пример Анализ зависимости между ценами и
объемам продаж молока фермера. Значение выборочного
2
i
b1 
и
i 1
i 1
Угловой коэффициент b
уравнению
Y
n
b1 
Разности между фактически полученными значениями
rr
SY
SX
коэффициента корреляции
r   0.86 .
Уравнение регрессии
i 1
где r - выборочный коэффициент корреляции,
1 n
1 n
SX 2 
( X i  X ) 2 , SY 2 
(Yi  Y ) 2 .


n  1 i 1
n  1 i 1
b1 - выборочный коэффициент регрессии Y на X .
Выборочный коэффициент регрессии
показывает, на
сколько в среднем изменяется переменная X
при увеличении
переменной X на одну единицу.
75
76
Задачами регрессионного анализа являются:

установление формы зависимости
между
переменными;
Отклонения  (возмущения, остатки) предполагаются
независимыми
и
нормально
распределенными
N (0,  2 ) .
Неизвестными параметрами являются 0 , 1 и  2 .

оценка функции регрессии;

оценка неизвестных значений (прогноз значений)
зависимой переменной.
В
регрессионном
анализе
рассматривается
односторонняя зависимость случайной зависимой переменной
Y от одной (или нескольких) независимой переменной X .

также называется функцией отклика, выходной,
результирующей, эндогенной переменной; X
- входной,
объясняющей, предсказывающей, предикторной, экзогенной
переменной, фактором, регрессором.
Линейная зависимость может быть представлена в виде
модельного уравнения регрессии
M [Y X ]   0  1 x .
Оценкой модели Y   0  1 X  
уравнение регрессии y  b0  b1 x .
Параметры этого уравнения b0 и b1 определяются по методу
наименьших квадратов. Воздействие случайных факторов и ошибок
наблюдений определяется с помощью остаточной дисперсии  2 .
Оценкой
дисперсии
В этом случае уравнение взаимосвязи двух переменных
(парная регрессионная модель) может быть представлено в
выборочная
n
s2 
отдельные наблюдения будут в большей или меньшей степени
g ( x)  0  1 x .
является
остаточная
дисперсия s 2 :
В силу воздействия неучтенных случайных факторов
отклоняться от функции регрессии
по выборке является
n
2
 Yi  Yi   ei2
i 1
n2

i 1
n2
,
где Yi - значение Y , найденное по уравнению регрессии; ei  Yi  Yi
- выборочная оценка возмущения  i . Число степеней свободы n  2 ,
т.к. две степени свободы теряются при определении двух
параметров b и b1 .
0 Y
виде
77
Y   0  1 X   .
78
Y  32.14  14.54 X
3.3 Оценка модели регрессии
n
Величина s 
e
2
i
i 1
n2
Y  32.14  14.54  1.63  8.44
Конечно, реальные значения величины Y не лежат в
называется стандартной ошибкой
оценки и демонстрирует величину отклонения точек исходных
данных от прямой регрессии.
Поскольку, как правило, требуется, чтобы прогноз был
как можно более точным, значение s должно быть как можно
меньшим.
Пример Для данных продажи молока s  2.72 .
Для величины Y , принимающей значения от 3 до18, значение
s довольно велико.
точности на регрессионной прямой. Есть два источника
неопределенности
в
точечном
прогнозе,
использующем
уравнение регрессии.
1.
Неопределенность, обусловленная отклонением
точек данных от выборочной прямой регрессии.
2.
Неопределенность, обусловленная отклонением
выборочной прямой регрессии от регрессионной прямой
генеральной совокупности.
Интервальный прогноз значений переменной можно
построить так, что при этом будут учтены оба источника
неопределенности.
Суммарная дисперсия
sY  s 2  sY2 ,
где sY - стандартная ошибка прогноза, s - стандартная
Чтобы получить точечный прогноз, или предсказание
для данного значения X , надо просто вычислить значение
функции регрессии в точке X .
Пример
Фермер
хочет
получить
прогноз
количества молока, которое будет продано при цене 1.63
ошибка оценки, sY - стандартная ошибка функции регрессии.
Величина sY 2 измеряет отклонение выборочной прямой
регрессии от регрессионной прямой генеральной совокупности
и вычисляется для каждого значения X как.
рублей за литр:
79
80

1
( X  X )2
sY2  s 2   n
n
( X i  X )2


i 1



.



1 (1.63  1.44) 2
sYˆ  2.72 1 

 2.91 .
10
0.824
При X  1.63 значение Y  8.44 .
sY зависит от значения X , для которого прогнозируется
величина Y . Величина sY будет минимальна, когда X  X , а
Находим
интервал
прогноза
Y  t  sY  8.44  2.306  2.91  8.44  6.71 или 1.73  Y  15.5
по мере удаления X от X , будет возрастать.
Стандартная ошибка прогноза
s Yˆ  s 1 
1

n
( X  X )2
n
(X
i
 X )2
i 1
Построенные
Границы интервала прогноза величины с надежностью
  1
образом
интервалы
значений прогноза по всем значениям X имеют вид:
будут равны Y  t  sY , где статистика t имеет
распределение Стьюдента с k  n  2 степенями свободы.
аналогичным
Интервал прогноза очень велик, это связано с тем, что
исходная выборка мала, а значение s сравнительно велико.
Госсет Уильям Сит (псевд. Стьюдент)(1876-1937)-
Прогноз значений зависимой переменной по уравнению
английский математик и химик. Труды по теории вероятностей
регрессии оправдан, если значение объясняющей переменной
и математической статистике.
не выходит за диапазон ее значений по выборке (причем тем
Пример Найдем стандартную ошибку прогноза в
более точный, чем ближе X к X ).
Экстраполяция кривой регрессии, т.е. использование
точке X  1.63 с надежностью   0.95 .
Ранее
n
было
 ( X i  X ) 2  0.824 .
i 1
81
получено
s  2.72 ,
X  1.44 ,
вне
пределов
обследованного
диапазона
значений
объясняющей переменной может привести к значительным
погрешностям.
82
3.Резко
Интервал прогноза очень велик, это связано с тем, что
отклоняющееся
значение
может
серьезно
повлиять на результаты регрессионного анализа.
исходная выборка мала, а значение s сравнительно велико.
3.4 Проблемы применения метода линейной регрессии
1. Если истинная взаимосвязь не линейная, нельзя
использовать для прогноза прямую линию. Большинство
компьютерных программ не предупреждают об этом.
4. Большое значение имеет
то, какая из двух
переменных прогнозируется, а какая служит основанием для
прогноза. Каждому из этих подходов соответствует своя линия
регрессии.
уменьшается
Две
линии
фактор
регрессии
случайности
сближаются,
точки
когда
данных
приближаются к прямой линии.
2. Экстраполяция за пределы имеющихся данных
потенциально опасна. Вы не располагаете информацией,
чтобы отбросить другие возможности.
83
84
где  - случайная переменная, характеризующая отклонение
от функции регрессии.  - называют возмущением.
3.5 Предпосылки статистической модели ЛР
Рассмотрим
линейный
1.Зависимая переменная Y есть величина случайная, а
Если для оценки параметров линейной функции взята
Yi   0  1 X  
2. Математическое ожидание возмущения M [ ]  0 ,
Возмущения
являются
нормально
распределенными. Для заданного значения X генеральная
совокупность значений Y имеет нормальное распределение
относительно регрессионной прямой совокупности.
тогда, когда значения Y имеют нормальное распределение
лишь приблизительно.
Разброс
Цель регрессионного анализа состоит в определении
оценок неизвестных параметров, входящих в уравнение
регрессии и проверке статистических гипотез о регрессии.
Корреляционный
генеральной
совокупности
данных
относительно регрессионной прямой совокупности остается
постоянным всюду вдоль этой прямой (дисперсия зависимой
переменной Y остается постоянной: D[Y ]   ).
2
4 Возмущения  , а, следовательно? и значения Y
независимы между собой.
анализ
позволяет
регрессивная модель) может быть представлена
y   x   
устанавливать
неслучайность (значимость) изменения наблюдений Yi и
степень их зависимости от случайных величин X .
Регрессионный анализ представляет собой следующий
этап статистического анализа.
Определяются точные количественные характеристики
изменения Y . Статистическая связь Y
Уравнение взаимосвязи двух переменных (парная
85
3.6 Задачи регрессионного анализа
общего вида уравнения регрессии, построении статистических
На практике приемлемые результаты получаются и
3.
для
выборка, то парная линейная регрессионная модель имеет вид
объясняющая переменная X - величина неслучайная.
D [ ]   2 .
анализ,
которого функция   x  линейна M (Y )   0  1 X
Y   0  1  X  
дисперсия
регрессивный
и X
сводится к
строгим (неслучайным) соотношениям.
На данном этапе решаются следующие основные
задачи:
86

выбор общего вида функции регрессии

отбор,
если
необходимо,
f x, 
Для получения уравнений регрессий достаточно 1-4
наиболее
и его параметров
информативных факторов;
оценивание
параметров
уравнения
регрессии
регрессии,
Пусть
требуется
исследовать
зависимость
Y (X ) ,
величины X и Y измеряются в одном эксперименте.
  ( 1 ,..... n )

условий, 5 условие для оценки точности уравнений регрессии
анализ
точности
связанный
с
полученного
построением
уравнения
доверительных
Восстановим Y (X ) по результатам измерений. Точное
представление
невозможно.
Y (X )
Будем
искать
интервалов для коэффициентов регрессии, т.е. компонент
приближенную зависимость по методу наименьших квадратов.
вектора   ( 1 ,..... n ) , для условного среднего отклика Y (X ) и
Y ( X )  g ( x) ,
для прогнозов наблюдений отклика
Y ( X ) при значениях
2
M Y  g ( x )  принимает наименьшее значение.
факторов X  ( X 1 ,....... X n ) .
1.
Возмущения
есть
случайная
величина,
а
объясняющая переменная – неслучайная величина.
2. Математическое ожидание возмущения равно нулю
M ( i )  0
D ( i )  
2
функцию
g ( x )  AX  B которая
наилучшим образом приближает X к Y .
Введем обозначения m1  M  X  , m2  M Y ,  1 2  D X 
Возмущения
Возмущения
корреляции этих величин.
Будем искать Y ( X )  g ( x )  AX  BY
не
коррелированны
(независимы)
M ( i  j )  0 ; i  j .
5.
Рассмотрим
 2 2  D Y ,  - корреляционный момент, k- коэффициент
3. Дисперсия возмущения постоянна для любого i :
4.
g ( x ) - называется наилучшим приближением, если
Найти такие A и B , что Ф ( A, B )  M [Y  AX  B ] 2
принимает наименьшее значение:
есть
нормально
распределенная
случайная величина.
87
88
Ф( A, B)  M [Y  AX  B ]2 
Решение
 M [Y 2 ]  B 2  A2 M [ X ]2  2 BM [Y ] 
2 AM [ XY ]  2 AMB[ X ] 
а) Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X
имеет вид
 22  m22  B 2  A2 (12  m12 )  2 Bm2 
y  y  rB 
2 A(  m1  m2 )  2 ABm1
y
x
x  x ,
Dx ,  y  Dy .
Исследуем на экстремум
где  x 
Ф
= 2[ A( 12  m12 )  (   m1  m 2 )  Bm1 ]  0
А
Поскольку  x  0,04  0,2 ,  y  0,25  0,5 ,
получаем уравнение
0 ,5
y  4  0,6 
x  3, 6  ,
0,2
или
y  1,5 x  1,4 .
б) Согласно выборочному уравнению прямой линии регрессии X на
Y:
Ф
=  2[m2  B  Am1 ]  0
А
Коэффициент A - коэффициент регрессии. Прямая
y  m2
k
2
x  m1
1
– прямая регрессии.
Воздействие
неучтенных
факторов
и
x  x  rB 
ошибок
наблюдений в модели определяется с помощью остаточной
x
 y  y .
y
Поэтому получаем
дисперсии.
x  3,6  0,6 
Минимум равен  22 (1  k 2 ) – остаточная дисперсия,
или
x  0, 24 y  2,64
которая характеризует величину ошибки, допускаемой при
использовании приближенного равенства Y  g ( x )  AX  B .
Пример Найти выборочное уравнение прямой линии
0,2
 y  4 ,
0,5
3.7 Многомерная нормальная регрессионная модель
Когда
одна
случайная
переменная
реагирует
на
регрессии: а) Y на X , б) X на Y , если известны: выборочные
изменение другой изменением своего закона распределения,
средние
речь идет о так называемой стохастической связи.
x  3,6 ,
y  4 , выборочные дисперсии
D x  0,04 ,
D y  0,25 , выборочный коэффициент корреляции rB  0,6 .
Частный
случай
такой
связи
-
когда
условное
математическое ожидание одной случайной переменной
89
90
является функцией значения, принимаемого другой случайной
переменной, т.е.
M (Y / x )  f ( x ) ,
где f x  - теоретическая (истинная) функция или модель
3.8 Вариация зависимой переменной
Рассмотрим вариацию (разброс) Tss значений
относительно среднего значения y
регрессии Y относительно X .
Статистические
связи
исследуются
по
Tss =
выборкам
ограниченного объема. На основании этих данных выполняют
поиск подходящих аппроксимаций функции f (x ) .
Чтобы выяснить, как значение одной случайной
используют условное среднее значение y ( x ) , которое является
регрессии значения
n
наклона b ).
функцией
регрессии.
значение
знания
регрессионной
зависимости между случайными переменными
в
возможности
прогнозирования
X
и Y
значения
зависимой случайной переменной Y , когда независимая
случайная переменная X принимает определенное значение.
Прогноз не может быть безошибочным, однако можно
определить границы вероятности ошибки прогноза.
91
2

обусловлена
n
Практическое
заключается

означает
величину
разброса,
(ненулевым
значением
i 1
соответствующее
эмпирической
 y)2 .

yi : y  a  b xi .
Rss =  ( yi  y )
которая
-
 ( yi
i 1
выборочной оценкой условного математического ожидания, а
выражение
n

Обозначим yi предсказанные с помощью функции
переменной, в среднем, изменяется в зависимости от того,
какие значения принимает другая случайная переменная,
yi

регрессией
2
Ess =  ( yi  yi )
означает
разброс
за
счет
i 1
случайных отклонений от функции регрессии.
Оказывается,
Tss  R ss  E ss ,
- полный разброс равен сумме разбросов за счет
регрессии и за счет случайных отклонений.
92
Rss
Tss
Величина
обусловленной
– это доля вариации значений
регрессией
(т.е.
доля
закономерной
изменчивости в общей изменчивости).

Определение Коэффициент детерминации –
статистика
1.
Что показывает коэффициент регрессии?
2.
Что показывает коэффициент корреляции?
В
3.
какая
доля
Rss 1  E ss

Tss
Tss
дисперсии
чем
отличие
корреляционной
зависимости
Каким
методом
определяются
параметры
линейной
регрессии?
результативного
признака объясняется влиянием объясняющих переменных.
5.
При каких значениях коэффициента регрессии зависимость
случайных величин является:
а) прямой;
Если R 2  0 , это означает, что регрессия ничего не дает,
т.е. знание x не улучшает предсказания для y по сравнению с
б) обратной?
6.
Чем занимается регрессионный анализ?
7.
Перечислите свойства линейной регрессии.
точную
8.
Запишите уравнение регрессии.
подгонку: все точки наблюдений лежат на регрессионной
9.
Отчего зависит наклон линии регрессии?
прямой.
10.
Что показывает коэффициент детерминации?
11.
В чем отличие многомерной от линейной регрессии?

тривиальным y i  y .
Другой
крайний
случай
2
R 1
от
функциональной?
4.
R2 
показывающая,
Контрольные вопросы
yi ,
означает
Чем ближе к 1 значение R 2 , тем лучше качество
подгонки. Линейная регрессия имеет следующие общие
свойства:
Чем ближе значение коэффициента детерминации к 1,
тем ближе модель к эмпирическим наблюдениям.
С увеличением количества объясняющих переменных
увеличивается R2.
93
94
Глава 4 Общая постановка и виды задач принятия
решений
При проектировании любых технических объектов,
технологических процессов и систем всегда решаются задачи
выбора и принятия решений.
Задачей
принятия
называют
решения
кортеж
два этапа:
1 этап: Задача формализуется, т.е. строится ее
технические, технологические, экономические условия и
вариантов.
– принцип оптимальности, дающий представление о
качестве вариантов, в простейшем случае – это правило их
предпочтения друг перед другом.
Решением задачи принятия решений называется
, которое является подмножеством множества
,
полученное
на
основе
принципа
оптимальности.
2 этап: Решение задачи оптимизации с использованием
известных методов.
Основы теории оптимизации
Теория оптимизации, с одной стороны, является
самостоятельной наукой, а, с другой стороны, составной
частью науки под названием «исследование операций».
Операция (в данной науке) – это совокупность
принятия
наличию информации об
1.
В общем случае задача принятия решения решается в
с определенной целевой функцией и допустимым множеством
– множество вариантов решения задачи;
Задачи
– известны ( это задача оптимизации).
требования к объекту воплощаются в виде задачи оптимизации
,
множество
и
математическая модель, в которой конкретные физические,
(совокупность)
где
3.
и
классифицируются
по
и бывают трех видов:
взаимосогласованных действий, направленных на достижение
вполне определенной цели.
– неизвестны. Это общая задача принятия
Обязательно должно быть сформулирована цель. Если
решений. Данные для получения xопт определяют в данной
есть разные пути достижения этой цели, то необходимо найти
задаче в процессе ее решения.
наилучший из них.
2.
вариантов).
95
и
решений
– неизвестно,
– известно ( эта задача поиска
4.1
Математическая
оптимизации
постановка
задачи
96
Постановка задачи оптимизации включает в себя
множество допустимых решений
функцию
и числовую
, определенную на этом множестве, которая
чтобы неравенство:
При этом
Нельзя
отождествлять
критерий
(критерии)
оптимальности и целевую функцию.
Целевая функция – это аналитическая зависимость
между
критерием
подлежащими
(критериями)
оптимизации
оптимальности
параметрами
с
и
указанием
направления экстремума.
Отличие понятий «критерий» и «целевая функция»
состоит в следующем:
1.
Целевая функция может включать в себя более
одного критерия.
2.
Для целевой функции всегда и обязательно
.
называют оптимальным решением (точнее здесь –
минимальным решением),а
называется целевой функцией.
выполнялось для всех
- оптимумом (минимумом).
Чтобы решить задачу максимизации функции
множестве
, необходимо найти такой вектор
на
( а
также соответствующее значение целевой функции
чтобы неравенство:
При
этом
решением, а
называют
),
выполнялось для всех
оптимальным
.
(максимальным
)
– оптимумом ( максимумом ).
В общем виде находится именно вектор
, т.к.,
например, при решении двухпараметрической задачи, он будет
включать в себя два параметра, трехпараметрической – три
параметра и т.д.
указывается вид экстремума:
.
Различают два вида задач оптимизации:
1.
Задачу минимизации.
2.
Задачу максимизации.
Чтобы решить задачу минимизации функции
множестве
, необходимо найти такой вектор
также соответствующее значение целевой функции
97
на
( а
4.2Локальный и глобальный минимум ЦФ
),
98
При решении задач оптимизации следует иметь в виду,
какой вид имеет целевая функция.
переменной
на
множестве
в
случаях,
приведенных ниже
Например,
. Целевая функция
имеет вид
Здесь т.
- глобальный
минимум, а т.
-
локальный минимум
целевой функции.
Иллюстрация случая, когда множество допустимых
Пусть
решений не замкнуто.
теперь
,
здесь
Здесь граница «а» множества допустимых решений в
-
интервал входит, а граница «b» нет.
точка глобального максимума, а
не замкнуто, следовательно,
- точка локального максимума
– не существует.
целевой функции.
Иллюстрация
неограниченности множества
Разрешимость задач оптимизации
допустимых решений
Приведенная выше задача оптимизации имеет решение
определена лишь одна
не при любых целевых функциях и допустимых множествах.
Существуют
задачи,
в
которых
оптимальное
решение
и
экстремум
невозможно
целевой
найти
функции.
Например, не существует точек минимума функции одной
99
- множество
левая
допустимых решений.
граница
множества
, т.е. множество допустимых
решений неограниченно.
100
Рассмотрим, когда задача оптимизации не имеет
4.3 Методы безусловной оптимизации
однозначного решения.
Функция f(x) не является
непрерывной,функция
не
является
непрерывной, т.к. в т.
существуют
значения
и
два
функции
–
.
Среди методов оптимизации нулевого порядка в САПР
находят применение методы Розенброка, конфигураций,
деформируемого
многогранника,
случайного
поиска.
К
методам с использованием производных относятся методы
наискорейшего спуска, сопряженных градиентов, переменной
метрики.
Метод Розенброка является улучшенным вариантом
покоординатного спуска.
Следовательно, задача оптимизации разрешима, если
выполняются следующие три условия:
1.
Множество допустимых решений
4.4 Метод покоординатного спуска
замкнуто,
Метод покоординатного спуска характеризуется
т.е. если предельные точки принадлежат этому множеству.
2.
Множество
ограничено.
3.
Целевая функция
непрерывна.
Это нестрогая формулировка теоремы Вейерштрасса
выбором направлений поиска поочередно вдоль всех
координатных
одномерной
осей,
шаг
оптимизации,
, где
локального
рассчитывается
критерий
на
основе
окончания
поиска
— заданная точность определения
экстремума,
—
размерность
пространства
управляемых параметров. Траектория покоординатного спуска
для
примера
двумерного
пространства
параметров показана на рис. 1, где
поиска,
101
управляемых
— точки на траектории
— управляемые параметры.
102
Целевая
равного
функция
уровня,
представлена
около
каждой
соответствующее ей значение
своими
линиями
линии
записано
. Очевидно, что
Знак производной меняется в точках, принадлежащих
дну оврага.
есть
точка минимума.
"Застревание" покоординатного спуска на дне оврага
При использовании метода покоординатного спуска
велика вероятность "застревания" поиска на дне оврага вдали
от
точки
экстремума.
После
попадания
в
точку
,
В то же время при благоприятной ориентации дна
оврага, а именно при положении одной из координатных осей,
близком к параллельности с дном оврага, поиск оказывается
весьма быстрым.
расположенную на дне оврага, дальнейшие шаги возможны
лишь в направлениях
ухудшению
или
целевой
прекращается в точке
функции.
, но они приводят к
Следовательно,
поиск
.
Оврагом называют часть пространства управляемых
параметров, в которой наблюдаются слабые изменения
производных целевой функции по одним направлениям и
значительные изменения с переменой знака — по некоторым
другим направлениям.
103
Траектория покоординатного спуска при
благоприятной ориентации координатных осей
104
4.5 Метод Розенброка
Метод Розенброка заключается в таком повороте
координатных
осей,
чтобы
одна
из
них
оказалась
квазипараллельной дну оврага. Такой поворот осуществляют
на основе данных, полученных после серии из
шагов
покоординатного спуска. Положение новых осей
может
Иллюстрация метода конфигураций
Поиск
экстремума
быть получено линейным преобразованием прежних осей
:
ось
совпадает по направлению с вектором
;
многогранника (Нелдера-Мида) основан на построении
остальные оси выбирают из условия ортогональности к
и
многогранника с
где
друг к другу.
методом
деформируемого
вершинами на каждом шаге поиска,
— размерность пространства управляемых параметров.
В начале поиска эти вершины выбирают произвольно, на
последующих шагах выбор подчинен правилам метода.
4.6 Метод конфигураций
Эти правила поясним ниже на примере двумерной
Другой
удачной
модификацией
покоординатного
спуска является метод конфигураций (Хука-Дживса). В
соответствии с этим методом вначале выполняют обычную
серию из
шагов покоординатного спуска, затем делают
дополнительный шаг в направлении вектора
, как
задачи оптимизации.
Выбраны вершины исходного треугольника:
. Новая вершина
худшей вершины
(из вершины с наибольшим значением
целевой функции) через центр тяжести
направлении вектора
причем рекомендуется
.
равном
105
,
находится на луче, проведенном из
показано на рис. 4, где дополнительный шаг выполняют в
, что и приводит в точку
,
многогранника,
выбирать на расстоянии
. Новая вершина
от
,
заменяет худшую
106
вершину
. Если оказывается, что
имеет лучшее
значение целевой функции среди вершин многогранника, то
расстояние
увеличивают. На рисунке именно эта ситуация
имеет место и увеличение
дает точку
многограннике с вершинами
вершина
вершину
Если
,
,
. В новом
худшей является
, аналогично получают вершину
, затем
4.7 Методы случайного поиска
Методы случайного поиска характеризуются тем,
что направления поиска
Особенностью
является
метода
выполнение
шагов
наискорейшего
поиска
в
спуска
градиентном
направлении
и т.д.
новая
вершина
окажется
худшей,
то
в
многограннике нужно сохранить лучшую вершину, а длины
где шаг
всех
оптимизации.
ребер
выбирают случайным образом.
уменьшить,
например
вдвое
(стягивание
многогранника к лучшей вершине). Поиск прекращается при
выбирается оптимальным с помощью одномерной
При использовании метода наискорейшего спуска, как и
выполнении условия уменьшения размеров многогранника до
большинства
некоторого предела.
существенно снижается в овражных ситуациях. Траектория
других
методов,
эффективность
поиска
поиска приобретает зигзагообразный вид с медленным
продвижением вдоль дна оврага в сторону экстремума. Чтобы
повысить эффективность градиентных методов, используют
несколько приемов.
Один
из
приемов,
использованный
в
методе
сопряженных градиентов (называемом также методом
Флетчера-Ривса),
векторов. Векторы
Иллюстрация метода деформируемого многогранника
107
,
где
основан
и
на
понятии
называют
—
сопряженности
-сопряженными, если
положительно
определенная
108
квадратная матрица того же порядка, что и размер
и
векторов
(частный случай сопряженности — ортогональность
векторов, когда
является единичной матрицей порядка
— вектор-строка,
на предыдущем шаге соотношением
где
,
— коэффициент. Кроме того, учитывают условие
сопряженности
— матрица Гессе, в задачах с квадратичной целевой
функцией
заключается
минимизация
в
следующем:
последовательно
по
одномерная
шагов.
Матрицей Гессе называют матрицу вторых частных
производных целевой функции по управляемым параметрам.
Основанием
для
использования
поиска
по
сопряженным направлениям является то, что для функций
(
) общего вида может быть применена квадратичная
аппроксимация, что на практике выливается в выполнение
поиска более, чем за
формулой
в окрестностях точки
Поскольку шаг
одномерной
рассчитывается исходя из условия
оптимизации,
то,
во-первых,
соотношение
во-вторых, имеем
откуда получаем
экстремума
Условие окончания вычислений
выполняют
в
соответствии
с
Чтобы определить коэффициент
уравнений путем подстановки величин
109
справедливо
шагов.
Пример
Поиск
и линейную аппроксимацию
сопряженным
направлениям позволяет найти экстремальную точку не более,
чем за
направлением поиска
поиска на очередном шаге связано с
),
— вектор-столбец.
Особенность сопряженных направлений для
где
Направление
, решают систему
и
110
4.8 Метод Ньютона
или
Метод
Ньютона
основан
на
использовании
необходимых условий безусловного экстремума целевой
откуда
функции
и
представляет собой систему алгебраических уравнений,
для решения которой можно применить известный численный
Следовательно,
метод, называемый методом Ньютона. Корень системы есть
стационарная точка, т.е. возможное решение экстремальной
задачи.
На первом шаге поиска выбирают
и находят точку
Метод Ньютона является итерационным, он основан на
линеаризации в окрестности текущей точки поиска
.
На втором шаге рассчитывают
, и определяют
и
и
— это система линейных алгебраических уравнений.
т.д.
Метод переменной метрики (иначе метод ДевидонаФлетчера-Пауэлла)
можно
рассматривать
как
Ее корень есть очередное приближение
результат
усовершенствования метода второго порядка — метода
Ньютона.
к решению
Если процесс сходится, то решение достигается за
малое
число
итераций,
окончанием
которых
служит
выполнение условия
Главный недостаток метода — высокая трудоемкость
вычисления и обращения матрицы
111
, к тому же ее
112
вычисление численным дифференцированием сопровождается
Глава 5 Преобразование Фурье
заметными погрешностями, что снижает скорость сходимости.
5.1 Аппрокисмация функции по Фурье
В методе переменной метрики вместо трудно
Пусть функция f ( x ) задана в интервале (  , ) . В
вычисляемой обратной матрицы Гессе используют некоторую
более легко вычисляемую матрицу
этом случае (при наличии у нее соответствующих свойств
, т.е.
интегрируемости) можно построить ряд Фурье этой функции, а
Введем
обозначения:
именно объект
a0 
  ( a k cos( kx )  bk sin( kx )) ,
2 k 1
— единичная матрица.
Начальное значение матрицы
Матрицу
где


1
a k   f (u ) cos( ku )du, k  0,1,2,...
 

.


b  1 f (u ) sin(ku )du, k  1,2,...
 k  


.
корректируют на каждом шаге, т.е.
Известно, что для непрерывной функции f ( x ) этот ряд
где
сходится в каждой точке интервала (  , ) и притом - к
значению в этой точке функции f ( x ) . Если суммирование в
Поэтому
ряду Фурье прервать на каком-то слагаемом, то возникнет
Можно показать, что
при
, где
стремится к
,
—к
— размерность пространства управляемых
параметров.
Спустя
113
приближенное равенство
f ( x) 
n
a0
  ( a k cos( kx )  bk sin( kx )) ,
2 k 1
которое тем точнее, чем больше число слагаемых в сумме. В
шагов, нужно снова начинать с
.
этом и состоит аппроксимация функции по Фурье.
114
Практически организация расчетов при аппроксимации
Принято выделять случаи четной и нечетной функции,
происходит так: задается та степень точности , с которой надо
так как при этом вычисление коэффициентов существенно
приблизить число f ( x ) с помощью частичных сумм ряда
упрощается, а именно:
(7.1.1); затем вычисляют, постепенно наращивая количество
если на интервале ( l , l ) функция f ( x ) четная, то для всех
слагаемых, частичные суммы ряда (7.1.1) и делают это до тех
k  1,2,... имеют место равенства bk  0 и
пор, пока два раза подряд не получится при суммировании
одно и то же с точностью  число; его и принимают за нужное
приближение. Естественно, что при вычислении частичных
сумм
ряда
требуются
коэффициенты
a k , bk ,
которые
2
k
f (u ) cos( u )du, k  0,1,2,... ;

l 0
l
l
ak 
если на интервале ( l , l ) функция f ( x ) нечетная, то для всех
k  0,1,2,... имеют место равенства a k  0 и
вычисляются с помощью численного интегрирования через
определяющие равенства.
Описанная ситуация обобщается на случай функции
f ( x ) , заданной не на интервале (  , ) , а на произвольном
интервале ( l , l ) . В этом случае (для непрерывной функции
f ( x ) ) имеет место равенство

a
k
k
f ( x )  0   ( a k cos(
x )  bk sin(
x ))
2 k 1
l
l
внутри интервала ( l , l ) ,
где
l

1
k
a k   f (u ) cos( u )du, k  0,1,2,3,...
l l
l


l
b  1 f (u ) sin( k u )du, k  1,2,3,... .
 k l
l
l

115
2
k
f (u ) sin( u )du, k  1,2,... .

l 0
l
l
bk 
Это обстоятельство подсказывает выход из положения,
при котором функция f ( x ) задана не на интервале ( l , l ) , а
только на интервале ( 0, l ) : функцию можно продолжить на
весь интервал ( l , l ) четным или нечетным образом, а затем
произвести разложение Фурье.
Конструкция Фурье может рассматриваться и на любом
интервале
( 2rl  l , 2rl  l ), r  0,1,2,...
благодаря


периодичности функций cos( x), sin( x) , так что равенство
l
l
можно рассматривать на всей числовой прямой, кроме,
возможно, точек rl , r  0,1,2,... .
116
5.2 Преобразование Фурье
f l  f ( x l ), l  0,1,..., n  1 .
В равенстве
Преобоазование Фурье - действие, с помощью которого
f ( x) =
по заданной в интервале (  , ) функции f ( x ) строится
система чисел. По традиции, именно эти числа также
обозначают
функции.
словами
При
«преобразование
этом
числа
Фурье»
называются
ak
положим x  xl . Получим
данной
a0 
  ( a k cos(kx l )  bk sin( kx l )) .
2 k 1
fl 
косинус-
преобразованием Фурье функции f ( x ) , а числа bk называются
Проанализируем
данное
соотношение.
Если
У
произвольное целое неотрицательное число k разделить с
преобразования Фурье функции есть множество свойств и
остатком на число n , то получится соотношение k  pn  q ,
применений; в частности,
где для целых p, q имеются лишь следующие возможности:
синус-преобразованием
Фурье
функции
f ( x) .
a0 
  ( a k cos( kx )  bk sin( kx ))
2 k 1
известен ряд прикладных вопросов, в которых ту или
p  0,1,2,...,
иную информацию о функции f ( x ) удается получить только
С
q  0,1,2,..., n  1 .
учетом
периодичности
косинуса
и
синуса
в
через ее преобразование Фурье, которое в таких ситуациях
выражении можно привести подобные члены, в результате
удается получить некоторыми косвенными средствами.
чего получится:
Рассмотрим следующий частный случай. Функция f ( x )
fl 
рассматривается не на интервале (-,), а на интервале (0,2π) и
притом только в его отдельных точках
xl 
2
l , l  0,1,..., n  1
n
при некотором заранее заданном и фиксированном числе n .
A0 n 1
  ( Aq cos(qxl )  Bq sin(qxl )) ,
2 q 1
где

p 1
p 0

Значения функции f ( x ) в этих точках считаются известными;
B0  0, Bq   b pn q ,
обозначим
q  1,2,..., n  1.
117

A0  a 0  2 a pn , Aq   a pn  q ,
p 0
118
Отметим, что теперь все суммы конечны. Известен
следующий факт о тригонометрических суммах:
для всех чисел q  1,2,3,...n  1 имеют место равенства
n 1
n 1
 cos( qx )  0,  sin( qx )  0.
l
В предыдущем пункте было описано дискретное
преобразование Фурье - сопоставление набору значений
функции
l
l 0
5.3 Быстрое преобразование Фурье
l 0
( f 0 , f 1 ,..., f n 1 )
набора
коэффициентов
Если обе части соотношения умножить на cos( rxl ) и
( A0 , A1 ,..., An 1 ; B0 , B1 ,..., Bn 1 ) . Процесс этого сопоставления в
затем просуммировать по l , то, с учетом только что
некоторых случаях можно ускорить, специальным образом
сказанного, легко получить, что
организовав соответствующие суммирования.
Ar 
Предположим, что число n является составным,т.е.
2 n 1
 f l cos(rxl ) ;
n l 0
n  n1n 2 при натуральных n1 , n2  1 . Разделим с остатком число
а если обе части умножить на sin(rxl ) и, с учетом того же
r на n1 и число l (индекс суммирования) на n2 ; получим:
утверждения о суммировании косинусов и синусов, получим
r  n1 r1  r2 , 0  r2  n1 , l  n 2 l1  l 2 , 0  l 2  n 2 .
соотношение
Заметим,
Br 
2 n 1
 f l sin( rxl ),
n l 0
Ar , Br , r  0,1,2,..., n  1 ,
в
образовавшихся
по схеме:
n 1
называются
обозначениях
суммирование по l эквивалентное повторному суммированию
причем r  0,1,2,..., n  1 .
Числа
что
дискретным
преобразованием Фурье функции f ( x ) . Если заменить xl на
произвольный x , то оно из точного станет приближенным. Его
правую часть в этом случае называют тригонометрической

l 0

n 2 1 n1 1

;
l 2  0 l1  0
преобразуем теперь суммируемое выражение:
f l cos( rxl )  f n2l1  l2 cos(( n1 r1  r2 )
2
( n 2 l1  l 2 )) 
n1n 2
интерполяцией функции f ( x ) .
119
120
 f n2l1 l2 cos((n 2 l1 r2  n1l 2 r1  r2 l 2 )
 f n2l1 l2 [cos((n 2 l1r2  n1l 2 r1 )
 sin((n2 l1 r2  n1l 2 r1 )
2
)
n1n 2
 f n2l1 l2 sin((n2 l1 r2  n1l 2 r1  r2 l 2 )
2
2
) cos(( r2 l 2 )
)
n1n 2
n1n 2
2
2
) sin(( r2 l 2 )
)];
n1n2
n1n2
 cos((n2 l1 r2  n1l 2 r1 )
введем обозначения:
n1 1
l1  0
2
)
n1n 2
n1 1
2
V (l 2 )   f n2l1 l2 ((sin(n 2 l1 r2  n1l 2 r1 )
)
n1n 2
l1  0
2
2
)
  U (l 2 ) cos((r2 l 2 )
n  l2 0
n 1 n2
l2  0
2 
)
n1n2 
n2 1
  U (l 2 ) sin((r2 l2 )
l2 0
Отсюда
n2 1
 V (l 2 ) sin(( r2 l 2 )
2
2
) sin(( r2 l 2 )
)];
n1n 2
n1n 2
2 n2 1
2
)
Br   V (l 2 ) cos(( r2 l 2 )
n  l2  0
n1 n2
;
тогда выражение представляется в виде:
n2 1
2
2
) cos(( r2 l 2 )
)
n1n 2
n1n 2
отсюда возникает соотношение:
U (l 2 )   f n2l1 l2 ((cos(n 2 l1 r2  n1l 2 r1 )
Ar 
 f n2l1 l2 [sin((n 2 l1 r2  n1l 2 r1 )
2
)
n1n 2
возникает
иная
2 
) .
n1n2 
возможность
вычисления
дискретного преобразования Фурье, отличная от прямого
.
Совершенно аналогично можно провести рассуждения с
коэффициентом Br , в результате чего снова возникнут те же
вычисления: надо сначала найти выражения U (l2 ),V (l2 ) , а
затем уже сами числа Ar ,Br ; потребуется, как нетрудно
заметить, меньше арифметических операций. Отсюда и
название - «Быстрое преобразование Фурье»
U (l2 ),V (l2 ) ; в итоге получится:
f l sin( rx l )  f n2l1  l2 sin(( n1 r1  r2 )
121
2
( n 2 l1  l 2 )) 
n1n 2
122
ЛАБОРАТОРНЫЙ КОМПЛЕКС
Гармонический и спектральный анализ
Одним из фундаментальных положений математики,
нашедшим широкое применение во многих прикладных
задачах (процессы передачи информации, в теории
электротехники и др.), является возможность описания любой
периодической функции f(t) с периодом Т, удовлетворяющей
условиям Дирихле (периодическая функция должна иметь
конечное число разрывов и непрерывность производных
между ними.), с помощью тригонометрического ряда Фурье:
Гармонический анализ и синтез
Определение Гармонический анализ - разложение
функции f(t), заданной на отрезке [0, Т] в ряд Фурье или в
вычислении коэффициентов Фурье ak и bk .
 Определение Гармонический синтез - получение
колебаний сложной формы путем суммирования их
гармонических составляющих (гармоник) (рис.1).
2
- частота повторения (или частота первой
T
гармоники); k - номер гармоники. Этот ряд содержит
бесконечное число косинусных или синусных составляющих гармоник, причем амплитуды этих составляющих ak и bk
являются коэффициентами Фурье, определяемыми
интегральными выражениями:
где w 
Помимо упомянутой формы ряд
представить в виде
n
a
f (t )  0   Ak  sin( w1  k  t   k )
2 k 1
где амплитуда Аk и фаза 
выражениями:
123
K
Фурье
можно
гармоник определяются
124
гармоник (косинусоид) ряда Фурье (4). Задача, обратная
спектральному анализу, называется спектральным синтезом
(рис. 2 - продолжение рис. 1).
Рис.1 Гармонический синтез
Классический спектральный анализ
 Определение Спектром временной зависимости
(функции) f(t) называется совокупность ее гармонических
составляющих, образующих ряд Фурье. Спектр можно
характеризовать некоторой зависимостью Аk (спектр
амплитуд) и  K (спектр фаз) от частоты
Спектральный
анализ
периодических
функций
заключается в нахождении амплитуды Аk и фазы  K
125
Рис. 21 Классический спектральный анализ и синтез
Слово “классический” тут означает, что коэффициенты
Фурье вычисляются прямым интегрированием тем методом,
который используется в Mathcad.
Спектральный анализ на основе быстрого
преобразования Фурье
В Mathcad есть встроенные средства быстрого
преобразования Фурье (БПФ), которые существенно
упрощают процедуру приближенного спектрального анализа.
БПФ - быстрый алгоритм переноса сведений о
функции, заданной 2m (m - целое число) отсчетами во
временной области, в частотную область
126
элементов:
Фильтрация аналоговых сигналов
 Определение Фильтрация - выделение полезного
сигнала из его смеси с мешающим сигналом - шумом.
Наиболее распространенный тип фильтрации - частотная
фильтрация. Если известна область частот, занимаемых
полезным сигналом, достаточно выделить эту область и
подавить те области, которые заняты шумом.
Используя прямое БПФ, сигнал с шумом преобразуется
из временной области с частотную, что создает вектор f из 64
частотных составляющих.
Затем выполняется фильтрующее преобразовании с
помощью функции Хевисайда
Ф(х) - Ступенчатая функция Хевисайда.
Возвращает 1, если х 0; иначе 0.
Отфильтрованный сигнал (вектор g) подвергается
обратному БПФ и создает вектор выходного сигнала h.
Сравнение временных зависимостей исходного и
выходного сигналов, показывает, что выходной сигнал почти
полностью повторяет входной и в значительной мере избавлен
от высокочастотных шумовых помех, маскирующих полезный
сигнал
Рис.3 Спектральный анализ с использованием БПФ
Функция fft(v)реализует
прямое БПФ возвращает
прямое БПФ 2m-мерного вектора v, где v - вектор, элементы
которого хранят отсчеты функции f(t). Результатом будет
вектор А размерности 1 + 2m - 1 с комплексными элементами отсчетами в частотной области. Фактически действительная и
мнимая части вектора есть коэффициенты Фурье ak и bk, что
существенно упрощает их получение.
Функция ifft(v) реализует обратное БПФ - возвращает
обратное БПФ для вектора v с комплексными элементами.
Вектор v имеет 1 + 2m – 1
127
128
Порядок выполнения лабораторной работы
Задание
1.
Вычислить
первые
шесть
пар
коэффициентов разложения в ряд Фурье функции f(t) на
отрезке [0, 2  ].
Построить графики 1, 2 и 3 гармоник.
Выполнить гармонический синтез функции f(t) по 1, 2 и
3 гармоникам. Результаты синтеза отобразить графически.
Варианты задания 1
№ f(t)
№
f(t)
варианта
1
№
f(t)
вариант
а
6
2
7
12
3
8
13
4
9
14
5 cos e |sin 3 t|
10
15
11
Рис.4. Фильтрация аналоговых сигналов
Рис.4
иллюстрирует
технику
фильтрации
с
применением БПФ.Сначала синтезируется исходный сигнал,
представленный 128 отсчетами вектора v. Затем к этому
сигналу присоединяется шум с помощью генератора
случайных чисел (функция rnd) и формируется вектор из 128
отсчетов зашумленного сигнала.
.
129
Задание 2. Выполнить классический спектральный
анализ и синтез функции f(t). Отобразить графически спектры
амплитуд и фаз, результат спектрального синтеза функции f(t).
Задание 3. Выполнить численный спектральный анализ
и синтез функции f(t). Для этого необходимо задать исходную
функцию f(t) дискретно в 32 отсчетах. Отобразить графически
130
спектры амплитуд и фаз, результат спектрального синтеза
функции f(t).
Задание 4. Выполнить спектральный анализ и синтез
функции f(t) с помощью БПФ. Для этого необходимо:

задать исходную функцию f(t) дискретно в 128
отсчетах;

выполнить прямое БПФ с помощью функции fft
и отобразить графически найденные спектры амплитуд и фаз
первых шести гармоник;

выполнить обратное БПФ с помощью функции
ifft и отобразить графически результат спектрального синтеза
функции f(t).
Задание 5. Выполнить фильтрацию функции f(t) с
помощью БПФ:

синтезировать функцию f(t) в виде полезного
сигнала, представленного 128 отсчетами вектора v;

к полезному сигналу v присоединить шум с
помощью функции rnd (rnd(2) - 1) и сформировать вектор из
128 отсчетов зашумленного сигнала s;

преобразовать сигнал с шумом s из временной
области в частотную, используя прямое БПФ (функция fft). В
результате получится сигнал f из 64 частотных составляющих;

выполнить фильтрующее преобразование с
помощью функции Хевисайда (параметр фильтрации  = 2);

с помощью функции ifft выполнить обратное
БПФ и получить вектор выходного сигнала h;

построить графики полезного сигнала v и
сигнала, полученного фильтрацией зашумленного сигнала s.
131
Тема 1. «Логика высказываний»
Задание
1. Установить, является ли данная формула тождественноистинной.
2. Данное высказывание записать в виде формулы логики
высказываний. Построить отрицание данного высказывания в
виде формулы, не содержащей внешних знаков отрицания.
Перевести на естественный язык.
3. Установить, является ли данное рассуждение правильным,
(проверить, следует ли заключение из конъюнкции посылок).
132
Варианты индивидуальных заданий темы ЛВ
Вариант №1
1. ( P  Q) 
Q  R   P  R 
2. Он и жнец, и швец, и на дуде игрец.
3. Если человек принял какое-то решение, и он правильно воспитан, то он
преодолеет все конкурирующие желания. Человек принял решение, но не
преодолел конкурирующих желаний. Следовательно, он неправильно
воспитан.
Вариант №2
1. ( P  Q) 
 Q  R   Q  P 
2. Идет дождь, и идет снег.
3. Если данное явление психическое, то оно обусловлено внешним
воздействием на организм. Если оно физиологическое, то оно тоже
обусловлено внешним воздействием на организм. Данное явление не
психическое и не физиологическое. Следовательно, оно не обусловлено
внешним воздействием на организм.
Вариант №3
1. ( P  Q) 
 P  Q    P  R 
2. Он хороший студент или хороший спортсмен.
3. Если подозреваемый совершил кражу, то, либо она была тщательно
подготовлена, либо он имел соучастников. Если бы кража была тщательно
подготовлена, то, если бы были соучастники, украдено было бы много.
Украдено мало. Значит, подозреваемый невиновен.
Вариант №4
1. ( P  Q) 
 P  Q    P  R .
2. Если стальное колесо нагреть, то его диаметр увеличится.
3. Если курс ценных бумаг растет, или процентная ставка снижается, то
падает курс акций. Если процентная ставка снижается, то либо курс акций
не падает, либо курс ценных бумаг не растет. Курс акций понижается.
Следовательно, снижается процентная ставка.
Вариант № 5
133


1. ((Q  ( R  P))  R   P  Q)   R
2. Если воду охлаждать, то объем ее будет уменьшаться.
3. Либо свидетель не был запуган, либо, если Генри покончил жизнь
самоубийством, то записка была найдена. Если свидетель был запуган, то
Генри не покончил жизнь самоубийством. Записка была найдена.
Следовательно, Генри покончил жизнь самоубийством.
Вариант №6
1. (( P  Q )  (Q  R ))  P  R .
2. Он учится в институте или на курсах иностранных языков.
3. Если философ – дуалист, то он не материалист. Если он не
материалист, то он диалектик или метафизик. Он не метафизик.
Следовательно, он диалектик или дуалист.
Вариант №7

1. (Q   R  P )  P   P  Q 

2. Он способный и прилежный.
3. Если капиталовложения останутся постоянными, то возрастут
правительственные расходы или возникнет безработица. Если
правительственные расходы не возрастут, то налоги будут снижены. Если
налоги будут снижены и капиталовложения останутся постоянными, то
безработица не возрастет. Безработица не возрастет. Следовательно,
правительственные расходы возрастут.
Вариант №8
1. ( P  Q) 
Q  R   P  R 
2. Эта книга сложная и неинтересная.
3. Если исходные данные корректны и программа работает правильно, то
получается верный результат. Результат неверен. Следовательно, исходные
данные некорректны или программа работает неправильно.
Вариант №9
1. ( P  Q) 
 Q  R   Q  P 
2. Он и жнец, и швец, и на дуде игрец.
3. Если цены высоки, то и заработная плата высока. Цены высоки или
применяется регулирование цен. Если применяется регулирование цен, то
134
нет инфляции. Наблюдается инфляция. Следовательно, заработная плата
высока..
Вариант № 15
Вариант №10


1.. ((Q  ( R  P))  R   P  Q)   R
2. Если воду охлаждать, то объем ее будет уменьшаться.
3. Если я устал, я хочу вернуться домой. Если я голоден, я хочу вернуться
домой или пойти в ресторан. Я устал и голоден. Поэтому я хочу вернуться
домой.
Вариант №11
1. ( P  Q) 
Q  R   P  R 
2. Если число оканчивается нулем, оно делится на 5.
3. Если завтра будет холодно, то я надену теплую куртку, если рукав
будет починен. Завтра будет холодно, и рукав не будет починен. Значит, я
не надену теплую куртку.
Вариант №12

1. (Q   R  P )  P   P  Q 

2. Тело, лишенное опоры, падает на землю.
3. Если будет идти снег, машину будет трудно вести. Если будет трудно
вести машину, я опоздаю, если не выеду пораньше. Идет снег, и я выеду
пораньше. Значит, я не опоздаю.
Вариант №13


1. ( (Q   R  P )  P   P  Q  .
2. Иван и Петр знают Федора.
3. Если человек говорит неправду, то он заблуждается или сознательно
вводит в заблуждение других. Этот человек говорит неправду и явно не
заблуждается. Значит, он сознательно вводит в заблуждение других.
Вариант №14
 
1. (Q   R  P )  P  P  Q

2. Эта книга полезная и интересная.
3. Если бы он был умен, то он увидел бы свою ошибку. Если бы он был
искренен, то он признался бы в ней. Однако, он не умен и не искренен.
135
Следовательно, он или не увидит свою ошибку, или не признается в ней.

1. . (Q   R  P )  P   P  Q 

2. Этот актер играет в театре и не играет в кино.
3. Если человек является материалистом, то он признает
познаваемость мира, Если человек признает познаваемость
мира, то он не является агностиком. Следовательно, если
человек не является последовательным материалистом, то
он – агностик.
Вариант №16

1. (Q   R  P )  P   P  Q 

2. Если собаку дразнить, она укусит
3. Если в мире есть справедливость, то злые люди не могут быть
счастливы. Если мир есть создание злого гения, то злые люди могут быть
счастливы. Значит, если в мире есть справедливость, то мир не может быть
созданием злого гения
Вариант №17

 
1. (Q  R  P )  P   P  Q 

2. Если вы владеете английским языком, вы справитесь с этой работой.
3. Если Иванов работает, то он получает зарплату. Если же Иванов
учится, то он получает стипендию. Но Иванов не получает зарплату или не
получает стипендию. Следовательно, он не работает или не учится.
Вариант №18

 

1. (Q  R  P  R  P )  P  P  Q

2. Если функция нечетная, то ее график симметричен относительно
начала координат.
3. Если я лягу спать, то не сдам экзамен. Если я буду заниматься ночью,
то тоже не сдам экзамен. Следовательно, я не сдам экзамен.
Вариант №19

1 (Q   R  P )  P   P  Q 

136
2. Если число делится на 3, то сумма его цифр делится на 3.
3. Если я пойду завтра на первую лекцию, то должен буду встать рано.
Если я пойду вечером на дискотеку, то лягу спать поздно. Если я лягу спать
поздно, а встану рано, я буду плохо себя чувствовать. Следовательно, я
должен пропустить первую лекцию или не ходить на дискотеку.
Вариант №20

 

1. (Q  R  P  R  P )  P  P  Q

2. Ни Иван, ни Федор не отличники.
3. Если он упрям, то он может ошибаться. Если он честен, то он не упрям.
Если он не упрям, то он не может одновременно не ошибаться и быть
честным. Значит, он не упрям.
Вариант № 25

1. (Q   R  P )  P   P  Q 

2. Если слово ставится в начале предложения, то оно пишется с большой
буквы.
3. Если x  0 и y  0, то x2 + y2 > 0. Если x = 0 и y = 0, то выражение (x –
y):(x + y) не имеет смысла. Неверно, что x2 + y2 > 0. Следовательно, не
имеет смысла выражение (x – y):(x + y).

1 (Q   R  P )  P   P  Q 

2. Либо Иван, либо Петр знают Федора.
3. Если зарплату выдают вовремя, то ожидаются либо выборы, либо
акция протеста. Зарплату выдали вовремя. Выборы не ожидаются. Значит,
ожидается акция протеста.
Вариант № 26
Вариант №21

1. (Q   R  P )  P   P  Q 

2. Иван и Марья любят друг друга.
3. Если книга, которую я читаю, бесполезная, то она несложная. Если
книга сложная, то она неинтересная. Эта книга сложная и интересная.
Значит, она полезная.

1. (Q   R  P )  P   P  Q 

2. Если составить алгоритм и написать программу, то можно решить эту
задачу.
3. Если человек занимается спортом, то он здоров. Если человек здоров,
то он счастлив, Этот человек занимается спортом. Значит, он счастлив.
Вариант № 27
Вариант №22

1. (Q   R  P )  R   P  Q 

2. Плох тот солдат, который не мечтает стать генералом.
3. Если завтра будет дождь, я надену плащ. Если будет ветер, я надену
куртку. Следовательно, если не будет дождя и ветра, я не надену ни плаща,
ни куртки.

1. (Q   R  P )  P   P  Q 

2. Вечером мы пойдем на хоккей или будем смотреть его по телевизору.
3. Антон переутомился или болен. Если он переутомился, то он
раздражается. Он не раздражается. Следовательно, он болен.
Вариант № 28


1. (Q   R  P )  P   P  Q  .
Вариант №23

1. (Q   R  P )  P   P  Q 

2. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.
3. Если он не трус, то он поступит в соответствии с собственными
убеждениями. Если он честен, то он не трус. Если он не честен, то он не
признает своей ошибки. Он признал свою ошибку. Значит, он не трус.
137
Вариант №24
2. Если я не выспался или голоден, я не могу заниматься.
3. Если фирма ориентирована на усиление маркетинга, то она намерена
получить крупную прибыль на выпуске новых товаров. Если фирма
предусматривает расширение торговой сети, то она намерена получить
крупную прибыль от увеличения продаж. Фирма предусматривает
усиление маркетинга или собирается расширить торговую сеть,
Следовательно, она намерена получить крупную прибыль.
138
Тема 2. Линейная парная регрессия
Вариант № 29

1 (Q   R  P )  P   P  Q 

2. Если налоги не будут снижены, то мелкие производители разорятся и
оставят производство.
3. Контракт будет выполнен тогда и только тогда, когда дом будет
закончен в феврале. Если дом будет закончен в феврале То мы можем
переехать в марте. Контракт будет выполнен, Следовательно, мы можем
переехать в марте.
Эта
лабораторных
тема
работ,

1. (Q   R  P )  P   P  Q 

2. Если наша команда не займет первое место, мы останемся дома и
будем тренироваться.
3. Намеченная программа удастся, если застать противника врасплох или
если его позиции плохо защищены. Захватить его врасплох можно, если он
беспечен. Он не будет беспечен, если его позиции плохо защищены.
Значит, программа не удастся.
выполнение
посвященных
шести
построению
и
исследованию уравнения линейной регрессии вида
yˆ( x )  b0  b1 x.
Пространственная
Вариант № 30
включает
выборка
для
построения
этого
уравнения взята из следующего примера.
Пример 1.1.
Для определения зависимости между сменной добычей
угля на одного рабочего (переменная Y, измеряемая в тоннах)
и мощностью угольного пласта (переменная X, измеряемая в
метрах) на 10 шахтах были проведены исследования,
результаты которых представлены таблицей.
Таблица
139
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
8
11
12
9
8
8
9
9
8
12
yi
5
10
10
7
5
6
6
5
6
8
140
Лабораторная работа № 1
Вычисление коэффициентов уравнения ЛР
Решение
Вычислим эти коэффициенты b0 , b1 , используя табличный
Цель работы Вычисление коэффициентов уравнения
Excel, в котором:
линейной регрессии по пространственной выборке.
Расчетные соотношения. Коэффициенты, определяемые
на основе метода наименьших квадратов, являются решением
системы уравнений
Заметим,
что
для
вычисления
средних
В
1 n
1 n
1 n
1 n
xi ; y   yi ; xy   xi  yi ; x 2   xi2 .

n i 1
n i 1
n i 1
n i 1
результате
выполнения
запрограммированных
вычислений получаем
Решая эту систему уравнений, получаем
b0 = –2.75; b1 = 1.016,
xy  x  y
а само уравнение регрессии примет вид
2
x  ( x)
2

m XY
;
s 2X
b0 = y  b1  x ,
yˆ( x )  2.75  1.016 x .
определенного по формуле:
выборочное
значение
определяемой по формуле:
Задание. Используя полученное уравнение регресии,
определите производительность труда шахтера, если толщина
угольного слоя равна:
m XY = xy  x  y ,
–
значений
используется функция Excel СРЗНАЧ (диапазон ячеек).
где mXY – выборочное значение корреляционного момента,
s 2X
б) запрограммировано вычисление коэффициентов x , y ,
в) запрограммировано вычисление b0, b1 по формулам.
где
b1 
а) размещены данные таблицы;
x 2 , xy системы;
b0  b1  x  y ;

2
b0  x  b1  x  xy ,
x
процессор Excel. На рисунке показан фрагмент документа
дисперсии
величины
а) 8.5 метров (интерполяция данных);
X,
б) 14 метров (экстраполяция данных).
s 2X  x 2  ( x )2 .
141
142
Лабораторная работа № 2
Вычисление выборочного коэффициента корреляции
Цель работы. Вычисление выборочного коэффициента
корреляции по пространственной выборке .
Расчетные соотношения. Выборочный коэффициент
корреляции определяется соотношением
rXY 
2
2
2
x y  x y
,
s X  sY
2
где s X  x  ( x ) , sY  y  ( y ) ,
y2 
1 n 2
 yi
n i 1 .
Решение
Фрагмент документа Excel, вычисляющего величины:
коэффициента корреляции
Рис. 1.Вычисление коэффициентов линейной регрессии
Рис. 2. Вычисление коэффициента корреляции
143
144
Лабораторная работа № 3
Вычисление оценок дисперсий парной ЛР
2
2
Цель работы. Вычислить оценки s b0 , sb 1 для дисперсий
коэффициентов b0, b1,.
Расчетные
соотношения.
Оценки
для
дисперсий
коэффициентов b0 , b1 определяются формулами:
sb2 = s 2
0
sb2 = s 2
x2
1
n
 ( xi  x) 2 ,
где s 2 
 ( yˆi  yi )2
i 1
n2
n

 ( xi  x)2
i=1
i=1
n
1
n
e
2
i
i 1
n2
- оценка дисперсии  2 .
Решение. На рис.3 показан фрагмент документа Excel, в
2
2
2
котором выполнены вычисления оценок дисперсий  , b0 , b1 .
Заметим, что
 значения коэффициентов b0 , b1 взяты из лабораторной
работы № 1 и
ячейки (В1,В2), в которых они находятся,
имеют абсолютную адресацию ($В$1, $В$2) в выражениях,
Рис. 3. Вычисление оценок для дисперсий коэффициентов
вычисляющих значения регрессии yˆi ;
 значение x 2 (ячейка В19) взято из лабораторной работы
№ 1.Получаем следующие значения:
s 2  1.049, sb20  3.904, sb21  0.043 .
145
146
Решение. Фрагмент документа Excel, вычисляющего
Лабораторная работа №4
Функции Excel для коэффициентов парной ЛР
требуемые
Цель работы. Вычислить коэффициенты уравнения
величины
приведен.
Обратите
внимание на
использовании абсолютной адресации при вычислении yˆi .
линейной регрессии по пространственной выборке , используя
функции Excel.
Приведем некоторые статистические функции Excel,
полезные при построении парной линейной регрессии.
Функция
ОТРЕЗОК.
Вычисляет
коэффициент b0
и
обращение имеет вид
ОТРЕЗОК(диапазон_значений_ y ; диапазон_значений_ x ).
Функция
НАКЛОН.
Вычисляет
коэффициент b1
и
обращение имеет вид
НАКЛОН(диапазон_значений_ y ; диапазон_значений_ x ).
Функция ПРЕДСКАЗ. Вычисляет значение линейной
парной регрессии при заданном значении независимой
переменной (обозначена через z ) и обращение имеет вид
Рис. 4. Использование функций Excel
ПРЕДСКАЗ( z ;диапазон_значений_ y ;диапазон_значений_ x ).
Функция
СТОШYX.
Вычисляет
среднеквадратического отклонения 
оценку
s
возмущений  i
для
и
Задание. Сравните вычисленные значения
b0 , b1 , s
с
значениями, полученными в лабораторных работах №1 и № 3.
обращение имеет вид (YX – латинские буквы):
СТОШYX(диапазон_значений_ y ; диапазон_значений_ x ).
147
148
Лабораторная работа № 5
Построение интервальной оценки для функции парной ЛР
Цель работы. Построение
интервальной оценки для
функции регрессии f ( x )  M (Y | x ) с надежностью  = 0.95,
H
B
Решение. Значения нижней yi и верхней yi границ
интервала будем вычислять для x  xi , i  1,...,10 .
Фрагмент документа, осуществляющий эти вычисления,
приведен на рисунке
используя для этого уравнение регрессии yˆ( x) , построенное в
лабораторной работе № 1.
Расчетные
соотношения.
Интервальная
оценка
(доверительный интервал) для f ( x )  M (Y | x ) (при заданном
значении x ) с надежностью (доверительной вероятностью)
равной  определяется выражением
 yˆ ( x)  t ( , n  2)  s yˆ ( x), yˆ ( x)  t ( , n  2)  s yˆ ( x)  .
2
Оценка s yˆ ( x) для дисперсии функции yˆ( x) имеет вид


2
1
( x  x) 
,
s 2yˆ ( x)  s 2   n
n
2 
( xi  x)



i 1
n
где s 2 
 ( yˆ
i
n
 yi ) 2
i 1
n2

e
2
i
i 1
- оценка дисперсии  2 .
n2
Рис.5. Построение интервальной оценки для f ( x )  M (Y | x )
10
2
Таким образом, две величины s yˆ ( x)  s yˆ ( x) (зависит от x ) и
t ( , n  2) , вычисляемая с помощью функции Excel:
t ( , n  2) =СТЬЮДРАСПОБР( 1   ; n  2 ).
Величины
коэффициенты
лабораторных
 ( xi  x )2 , s2 ,
(ячейки
x
i 1
b0 , b1
работ.
(В1:В2)
взяты
Величина
из
В16:В18)
и
предыдущих
t (0.95,10  2)
=
СТЬЮДРАСПОБР( 0.05;10  2 ) = 2.31.
149
150
Лабораторная работа № 6
Проверка значимости уравнения ЛР по критерию Фишера
Цель работы. По данным таблицы оценить на уровне  =
Расчетные соотношения. Уравнение парной регрессии
значимости
yˆ i  yˆ( xi )  2.75  1.016  xi .
,
вычисляются
Значения
если
по
формуле
коэффициентов
b0  2.75, b1  1.016 взяты из лабораторной работы № 1.
значения Qr  25.207 , Qe  8.393 ,
1; 8
= 5.32. Неравенство
выполняется, т. к. 24.04 > 5.32 и поэтому уравнение регрессии
построенного в лабораторной работе № 1.
уровнем
значения
F  24.025 . Вычисляем квантиль F0.95;
yˆ(x) 2.751.016 x ,
с
D
Получены следующие
0.05 значимость уравнения регрессии
значимо
столбце
yˆ(x) 2.75 1.016 x значимо с уровнем значимости  = 0.05.
выполняется
следующее неравенство:
F
где F;
1; n-2
Qr  ( n  2)
 F1 ;1; n 2 ,
Qe
– значения квантиля уровня  F-распределения с
числами степеней свободы k1 = 1 и k2 = n – 2.
Для вычисления квантиля можно использовать следующее
выражение
F1 ;1; n2 = FРАСПОБР(  ;1; n  2 ).
Суммы Qr , Qe определяются выражениями:
n
n
i 1
i 1
Qr  Q  Qe , Q   ( yi  y )2 , Qe   ( yˆ i  yi ) 2 .
Критерий часто называют критерием Фишера или F-
Рис. 6. Вычисление величины F – критерия
критерием.
Решение.
Приведен
вычисляющего значения
151
фрагмент
документа
Excel,
Qe , Qr  Q  Qe и критерий F. В
152
Однако эту команду можно использовать и для построения
Тема 3 Нелинейная парная регрессия
Эта тема включает выполнение двух лабораторных работ,
посвященных построению уравнения нелинейной парной
регрессии.
Пространственная
выборка
для
построения
уравнения нелинейной регрессии, рассматривая в качестве
времени t независимую переменную x .
Эта команда позволяет построить следующие уравнения
регрессии:
регрессии взята из следующего примера.
Пример В таблице приведены значения независимой
 линейную ŷ  b0  b1 x
переменной X (доход а семьи в тысяч рублей) и значения
k
 полиноминальную yˆ  b0  b1x  K  bk x ( k  6 );
зависимой
 логарифмическую yˆ  b0  b1  ln x
переменной
Y (доля
расходов
на
товары
длительного пользования в процентах от общей суммы
расходов).
Таблица
xi
yi
1
10
2
13.4
3
15.4
4
16.5
5
18.6
6
19.1
Лабораторная работа № 7
Построение нелинейной регрессии с использованием
Команды «Добавить линию тренда»
Цель работы Используя пространственную выборку
необходимо построить уравнение нелинейной регрессии вида
yˆ  b0  xb1
с использованием команды «Добавить линию
2
тренда» и вычислить коэффициент детерминации R .
Команда «Добавить линию тренда». Используется для
выделения тренда (медленных изменений) при анализе
b
 степенную yˆ  b0  x ;
1
bx
 экспоненциальную yˆ  b0 e 1 .
Для построения одной из перечисленных регрессий
необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1. В выбранном листе Excel ввести по столбцам
исходные данные  xi , yi  ,i = 1,2,, n .
Шаг 2. По этим данным построить график в декартовый
системе координат .
Шаг 3. Установить курсор на построенном графике,
сделать щелчок правой кнопкой и в появившемся контекстном
меню выполнить команду Добавить линию тренда
Шаг 4. В появившемся диалоговом окне активизировать
закладку «Тип» и выбрать нужное уравнение регрессии.
временных рядов.
153
154
 «Показать уравнение на диаграмме» - на диаграмме
будет
показано
выбранное
уравнение
регрессии
с
вычисленным коэффициентами;
Рис. 2.1. Построение графика по исходным данным
Рис. 2.3. Задание опций вывода информации
 «Поместить на диаграмму величину достоверности
аппроксимации (R^2)» - на диаграмме будет показана значение
коэффициент детерминации R 2 (для нелинейной регрессии 2
индекс детерминации), вычисляемый по формуле R  1 

Если
по
построенному
необходимо выполнить прогноз, то
5.
Активизировать
закладку
«включить» необходимые для нас опции:
155
«Параметры»
регрессии
нужно указать число
периодов прогноза.
Рис. 2.2. Выбор вида уравнения регрессии
Шаг
уравнению
Qe
Q
и
Назначение других опций понятны из своих названий.
156
Шаг 6. После задания всех перечисленных опций
щелкнуть на кнопке «OK» и на диаграмме появиться формула
построенного уравнения регрессии и значение индекса
2
детерминации R (выделено затемнением).
Лабораторная работа № 8
Выбор наилучшей нелинейной регрессии
Цель работы. Используя пространственную выборку и
команду
«Добавить
линию
тренда»
построить
шесть
уравнений нелинейной регрессии (полиномиальное уравнение
Линия
регрессии
строится при
уравнения
m2и
m  3 ), определить для
коэффициент
детерминации
каждого
R 2 (значение
выводится), приведенный коэффициент детерминации
R̂ 2
(значение вычисляется) и по максимальному значению R̂ 2
найти наилучшее уравнение нелинейной регрессии.
Приведенный
Коэффициент
Решение. Построение уравнения yˆ  b0  xb1 осуществляем
по описанным выше шагам. Получаем уравнение
yˆ( x)  10.18  x
для
которого
коэффициент
равен
R 2  0.9921 . Такая величина говорит о хорошем соответствии
построенного уравнения исходным данным.
R2
характеризует
близость
«нежелательную» случайную составляющую ε . Очевидно,
что, построив по данным полином 5-ого порядка, получаем
2
«идеальное» значение R = 1 , по такое уравнение содержит в
,
детерминации
детерминации
детерминации.
построенной регрессии к исходным данным, которые содержат
Рис. 2.4. График и уравнение построенной регрессии
0.3626
коэффициент
себе
не
только
составляющую ε
независимую
переменную
X,
но
и это снижает точность использования
построенного уравнения для прогноза.
Поэтому при выборе уравнения регрессии надо учитывать
2
не только величину R , но и «сложность» регрессионного
уравнения,
определяемое
количеством
коэффициентов
уравнения.
157
158
Такой
учет
удачно
реализован
в
так
называемом
yˆ  10.18 x 0.3626 ,имеющая величину R̂ 2 = 0.9901.
приведенном коэффициенте детерминации:
Таблица
(n  1)  Qe
n 1
Rˆ 2  1 
1
 (1  R 2 ) ,
( n  m)  Q
nm
где m - количество вычисляемых коэффициентов регрессии.
Видно, что при неизменных Qe , Q увеличение m уменьшает
значение R̂ 2 . Если количество коэффициентов у сравниваемых
№
Уравнение
R2
R̂ 2
1
yˆ  9.28  1.777 x
0.949
0.938
2
yˆ  9.8759  5.1289  ln x
0.9916
0.9895
0.9896
0.9827
3
уравнений регрессии одинаково (например, m  2 ), то отбор
Если в уравнениях регрессии меняется число коэффициентов,
то такой отбор целесообразно по величине R̂ 2 .
Решение. Для построения каждого уравнения выполняем
шаги 2 – 6 (для первого уравнения еще и шаг 1) и размещаем в
одном документе шесть окон, в которых выводятся найденные
2
уравнения регрессии уравнения и величина R . Затем формулу
уравнения и
R2
заносим в таблицу. Далее вычисляем
(полиноминальная, m= 2 )
yˆ  5.8333  4.9192  x  0.7087  x 2 
2
наилучшей регрессии можно осуществлять по величине R .
yˆ  6.93  3.5396 x  0.2518 x 2
4
 0.0435  x 3
(полиноминальная, m= 3 )
0.9917
0.9792
5
yˆ  10.18 x 0.3626
0.9921
0.9901
6
yˆ  9.8675  e0.1225 x
0.9029
0,8786
Задание. Определить по величине
R̂ 2
«наихудшее»
уравнение регрессии.
приведенный коэффициент детерминации R̂ 2 и заносим эти
значения также в таблицу.
В качестве «наилучшего» уравнения регрессии выбираем
уравнение, имеющее наибольшую величину приведенный
коэффициент детерминации R̂ 2 . Таким уравнением является
степенная функции (в таблице строка с этой функцией
выделена серым цветом).
159
160
Тема 4. Линейная множественная регрессия
Лабораторная работа № 9
Эта тема включает выполнение лабораторных работ,
посвященных
построению
и
исследованию
уравнения
линейной множественной регрессии вида
Вычисление коэффициентов ЛМР
Цель работы. Используя пространственную выборку
b0
необходимо вычислить вектор коэффициентов b  b1
yˆ( x1 , x2 )  b0  b1  x1  b2  x2
Пространственная
выборка
для
b2
построения
этого
уравнения взята из следующего примера.
Расчетные
Пример Данные о сменной добыче угля на одного
рабочего (переменная Y), мощности пласта (переменная X1 и
уровнем механизации работ в шахте (переменная X2) ,
характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах приведены
в таблице. Предполагая, что между переменными Y, X1, X2
существует линейная зависимость, необходимо найти
аналитическое выражение для этой зависимости, т.е.
построить уравнение линейной регрессии.
Таблица
Номер шахты
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
161
уравнения регрессии .
xi1
xi2
yi
8
11
12
9
8
8
9
9
8
12
5
8
8
5
7
8
6
4
5
7
5
10
10
7
5
6
6
5
6
8
найденный
соотношения.
методом
Вектор
наименьших
коэффициентов,
квадратов
является
решением следующей системы уравнений:
X T Xb  X T y ,
где X - матрица размера 10  3 , первый столбец которой
составлен из 1, а другие два столбца составлены из значений
xi1 , xi 2 ,т.е. матрица X имеет следующую структуру (символы
… означают не отображенные элементы)
1 8 5
1 11 8
X
L L L ,
1 12 7
5
10
а y - вектор, составленный из 10 значений yi , т.е. y  M .
8
162
T
Матрица X X имеет обратную матрицу
X X 
T
1
и тогда
вектор коэффициентов вычисляется в виде:
Для реализации этой матричной формулы в необходимо
следующие
операции:
транспонирование;
умножение матриц (частный случай – умножение матрицы на
вектор); вычисление обратной матрицы. Все эти операции
можно реализовать с помощью следующих матричных
функций Excel. Для работы с этими функциями можно или
а) обратиться к Мастеру функций и выбрать нужную
категорию функций, затем указать имя функции и задать
соответствующие диапазоны ячеек,
б)
ввести
с
клавиатуры
имя
функции
задать
соответствующие диапазоны ячеек.
Транспонирование матрицы осуществляется с помощью
функции ТРАНСП (категория функций – Ссылки и массивы).
Обращение к функции имеет вид:
параметр
диапазон
ячеек
задает
все
элементы
транспонируемой матрицы (или вектора).
Умножение матриц осуществляется с помощью функции
МУМНОЖ
(категория
функций
Обращение к функции имеет вид:
163
–
параметр диапазон_1 задает элементы первой из
второй матрицы. При этом перемножаемые матрицы должны
иметь соответствующие размеры (если первая матрица n  k ,
вторая - k  m , то результатом будет матрица n  m ).
Обращение матрицы (вычисление обратной матрицы)
осуществляется с помощью функции МОБР (категория
функций – Математические). Обращение к функции имеет
вид:
МОБР (диапазон ячеек),
где параметр диапазон ячеек задает все элементы обращаемой
матрицы, которая должна быть квадратной и невырожденной.
При использовании этих функций необходимо соблюдать
следующий порядок действий:
 выделить фрагмент ячеек, в которые будет занесен
результат выполнения матричных функций (при этом надо
учитывать размеры исходных матриц);
ТРАНСП (диапазон ячеек),
где
где
перемножаемых матриц, а параметр диапазон_2 – элементы
b  A1 ( X T y ) .
выполнить
МУМНОЖ(диапазон_1;диапазон_2),
Математические).
 ввести
арифметическое
выражение,
содержащее
обращение к матричным функциям Excel;
 одновременно нажать клавиши [Ctrl], [Shift], [Enter].
Если этого не сделать, то вычислится только один элемент
результирующей матрицы или вектора.
164
Решение. Сформируем матрицу X и вектор y .
Лабораторная работа № 10
Проверка значимости в режиме Регрессия
Цель работы. Используя пространственную выборку и
используя режим Регрессия необходимо вычислить вектор
коэффициентов уравнения регрессии
yˆ( x1 , x2 )  b0  b1  x1  b2  x2 .
Режим Регрессия модуля Анализ данных. Табличный
процессор Excel содержит модуль Анализ данных. Этот
модуль
позволяет
выполнить
статистический
анализ
выборочных данных (построение гистограмм, вычисление
числовых характеристик и т.д.). Режим работы Регрессия этого
модуля осуществляет вычисление коэффициентов линейной
Рис.3.1. Вычисление коэффициентов множественной регрессии
Затем выполним формирование матрицы X T X , вектора
T
X y
и
вычисление
вектора
b =  b0 , b1 , b2  .
T
Все
эти
вычисления показаны на рисунке.
0.8539
0.3670
уравнение регрессии примет вид:
yˆ( x1 , x2 )  3.54  0.854 x1  0.367 x2
165
k переменными,
построение
доверительные интервалы и проверку значимости уравнения
регрессии.
Для вызова режима
Регрессия модуля Анализ данных
необходимо:
3.5393
Получен вектор коэффициентов b 
множественной регрессии с
и тогда

обратиться к пункту меню Сервис;

в появившемся меню выполнить команду Анализ
данных;

в списке режимов работы модуля Анализ данных
выбрать режим Регрессия и щелкнуть на кнопке Ok.
166
После
вызова режима Регрессия на экране появляется
диалоговое окно, в котором задаются следующие параметры:
1.
Входной интервал Y – вводится диапазон адресов
ячеек, содержащих значения yi (ячейки должны составлять
3.
Метки – включается если первая строка во входном
диапазоне содержит заголовок. В этом случае автоматически
будут созданы стандартные названия.
4.
Уровень
надежности
параметра задается
один столбец).
–
при
надежность
включении

этого
при построении
доверительных интервалов.
5.
Константа-ноль – при включении этого параметра
коэффициент b0  0 .
6.
Выходной интервал – при включении активизируется
поле, в которое необходимо ввести адрес левой верхней
ячейки выходного диапазона, который содержит ячейки с
результатами вычислений режима Регрессия.
7.
Новый рабочий лист – при включении этого
параметра открывается новый лист, в который начиная с
ячейки А1 вставляются результаты работы режима Регрессия.
8.
Новая рабочая книга - при включении этого параметра
открывается новая книга на первом листе которой начиная с
ячейки А1 вставляются результаты работы режима Регрессия.
9.
Рис. 3.2. Диалоговое окно режима Регрессия
2.
ячеек,
Входной интервал X – вводится диапазон адресов
содержащих
Значения
каждой
значения
переменной
независимых
переменных.
представляются
одним
столбцом. Количество переменных не более 16 (т.е. k  16 ).
167
Остатки – при
включении вычисляется столбец,
содержащий невязки yi  yˆi , i  1,..., n .
10. Стандартизованные остатки – при включении
вычисляется
столбец,
содержащий
стандартизованные
остатки.
168
11. График остатков – при включении выводятся
точечные графики невязки yi  yˆi , i  1,..., n , в зависимости от
значений переменных x j , j  1,..., k . Количество графиков равно
числу k переменных x j .
12. График
подбора
–
при
включении
выводятся
точечные графики предсказанных по построенной регрессии
значений yˆi от значений переменных x j , j  1,..., k . Количество
графиков равно числу k переменных x j .
Решение. Первоначально введем в столбец С десять
значений первой переменной, в столбец D - десять значений
первой переменной, а в столбец F – десять значений зависимой
переменной.
Рис. 3.3. Результаты работы режима Регрессия
После этого режим Регрессия и в диалоговом окне зададим
необходимые параметры. Заметим, из-за большой «ширины»
таблиц, в которых выводятся результаты работы режима
Регрессия, часть результатов помещены в другие ячейки.
Дадим краткую интерпретацию показателям, значения
которых вычисляются в режиме Регрессия. Первоначально
рассмотрим
показатели,
объединенные
названием
Регрессионная статистика (см. рис. 3.3).
Множественный R - корень квадратный из коэффициента
детерминации.
Нормированный R  квадрат – приведенный коэффициент
детерминации R̂ 2 (см. формулу (2.1)).
Стандартная
ошибка
–
оценка
s
для
среднеквадратического отклонения  .
Наблюдения – число наблюдений n .
Перейдем
к
показателям,
объединенных
названием
Дисперсионный анализ.
Столбец df - число степеней свободы.
R  квадрат – коэффициент детерминации R 2 .
169
170
Для
строки
показатель
Регрессия
равен
числу
независимых переменных k r  k  m  1 ;
P ( F ( kr , ke )  Fc ) ,
где
F (kr , ke ) -
случайная
величина,
подчиняющаяся
для строки Остаток - равен ke  n  ( kr  1)  n  m ;
распределению Фишера с kr , ke степенями свободы. Эту
для строки Итого – равен k r  ke .
вероятность можно также определить с помощью функции
Столбец SS – сумма квадратов отклонений.
FРАСП( Fc ; kr ; ke ).
Для строки Регрессия показатель равен величине Qr , т.е.
значимости  (обычно   0.05 ), то построенная регрессия
n
Если
вероятность
меньше
уровня
является значимой..
SSr  Qr   ( yˆi  y )2 ;
Перейдем
i 1
к
следующей
группе
показателей,
объединенных в таблице.
для строки Остаток - равен величине Qe , т.е.
n
SSe  Qe   ( yˆi  yi ) 2 ;
i 1
для строки Итого – равен Q  Qr  Qe .
Столбец
MS 
MS  дисперсии,
вычисленные
по
формуле
SS
,
df
т.е. дисперсия на одну степень свободы.
Столбец F – значение Fc , равное F  критерию Фишера,
SS r
вычисленного по формуле: Fc  SS
e
Столбец
kr
.
ke
Столбец значимость F - значение уровня значимости,
соответствующее вычисленной
равное вероятности
171
Рис.3.4. Продолжение результатов работы режима Регрессия
величине F  критерия и
Коэффициенты
–
вычисленные
значения
коэффициентов b0 , b1 , ..., bk , расположенных сверху-вниз.
Столбец Стандартная ошибка – значения sb j , j  0,..., k ,

2
T
вычисленные по формуле sb j  s   X X 
1

j, j
.
Столбец t  статистика – значения статистик Tb j .
172
Столбец Р – значение – содержит вероятности случайных
событий P(t (n  m)  Tb j ) , где t (n  m )  случайная величина,
Столбец Предсказанное У – значения yˆi , вычисленные по
построенному уравнению регрессии.
подчиняющаяся распределению Стьюдента с n  m степенями
Столбец Остатки – значения невязок yi  yˆi
свободы.
В заключении рассмотрения результатов работы режима
Если эта вероятность меньше уровня значимости  , то
приведем график невязок (невязки названы
Регрессия
принимается гипотеза о значимости соответствующего
остатками) yi  yˆi при заданных значениях только второй
коэффициента регрессии.
переменной.
Значимым коэффициентом является только коэффициент
Наличие чередующихся положительных и отрицательных
значений
b1 .
Столбцы Нижние 95% и Верхние 95% - соответственно
нижние и верхние интервалы для оцениваемых коэффициентов
невязок
систематической
косвенным
ошибки
признаком
(неучтенной
отсутствия
независимой
переменной) в построенном уравнении регрессии.
j.
Перейдем
к
следующей
группе
показателей,
объединенных в таблице, показанной на рис. 3.5.
Рис. 3.6. График невязок как функция переменной X 2
Рис. 3.5. Продолжение результатов работы режима Регрессия
Столбец Наблюдение – содержит номера наблюдений.
173
174
производства увеличивается на 1 % (  2 %). При этом имеет
Тема 5. Нелинейная множественная регрессия
Эта тема включает выполнение лабораторной работы,
посвященных
построению
нелинейной
множественной
регрессии на примере производственная функция Кобба-
место ограничение
1   2  1 .
Решение. Нахождение оценок B, b1 , b2 для коэффициентов
A, 1 ,  2 нелинейной модели будем осуществлять из решения
следующей задачи условной минимизации:
Дугласа.
n
min   Qi  B  Kib1  Lbi 2
 i 1

Лабораторная работа № 11
Вычисление для функция Кобба-Дугласа
Цель работы. Используя пространственную выборку и
2
 

b1  b2  1 .
при ограничении
нелинейную
Для решения этой задачи используем команду Поиск
множественную регрессию для производственная функция
решения. Первоначально введем в столбцы A,B,C значения
Кобба-Дугласа.
K i , Li , Qi , i  1,...,6 . Затем в ячейках
команду
Q
L
K
Поиск
657
162
279
решения,
1200
245
1167
2427
452
3069
4257
714
5585
построить
8095
1083
9119
В10, В11, В11 зададим
Таблица
начальные («стартовые») значения искомых коэффициентов:
9849
1564
13989
B  2, b1  0.5, b2  0.5 . После этого в соответствующих ячейках
столбца D вычислим значения
Qˆ i  B  Kib1  Lbi 2 . В столбце Е
2
запрограммируем вычисления значений (Qi  Qˆ i ) , а в ячейке
Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:
Е10 (выделена цветом) вычислим значения функционала
Q  A  K 1  L 2 ,
6
F ( B, b1 , b2 )   (Qi  Qˆ i ) 2 .
где Q  объем производства, K  затраты капитала, затраты
труда. Показатели
1 ,  2 являются коэффициентами частной
i 1
После
этих
подготовительных
выполнения
капитала K и труда L . Это означает, что при увеличении
обратиться к пункту основного меню Сервис и в появившемся
одних
меню щелкнуть мышью на команде Поиск решения.
175
затрат
капитала
(труда)
на
1%
объем
«Поиск
решения»
для
эластичности производства Q соответственно по затратам
только
команды
вычислений
необходимо
176
Рис. 4.1. Подготовительные вычисления для решения задачи
условной минимизации
Затем в появившемся диалоговом окне
выполнить
следующие действия:
 в поле ввода Установить целевую ячейку ввести адрес
ячейки, в которой вычисляется значение минимизируемого
функционала (в нашем примере – Е10);
 включить
опцию
Минимальное
значение
(ищутся
значения коэффициентов, при которых функционал достигает
своего минимального значения);
 в поле ввода Изменяя значения ввести адреса ячеек, в
которых находятся значения искомых коэффициентов (в
нашем примере это ячейки В10:В12);
Рис. 4.2. Задание параметров команды Поиск решения
щелкнув
мышью
на
кнопке
Добавить
формируем
ограничения на значения искомых коэффициентов .
После задания параметров щелкаем на кнопке Выполнить
и в ячейках В10, В11, В12 выводятся вычисленные значения
коэффициентов, а в ячейке Е10 – значение функционала при
этих значениях коэффициентов.
Видно,
что
вычисленные
значения
коэффициентов
B  3.197, b1  0.332 , b2  0.668 удовлетворяют ограничению.
Таким образом получено следующее уравнение регрессии:
Qˆ ( K , L)  3.197  K 0.332  L0668
177
178
6. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и
Контрольная работа № 1
проверить гипотезу о ненулевом его значении.
Парная регрессия
7. Вычислить оценку дисперсии случайной составляющей
Данные, характеризующие прибыль торговой компании
«Все для себя» за первые 10 месяцев 2016 года (в тыс. руб.),
Таблица К1
февраль
402 + N
июль
460+ N
март
432+ N
август
447+ N
гипотезы
апрель
396+ N
сентябрь
464+ N
9. Построить
о
ненулевых
значениях
доверительные
интервалы
10.
дисперсии
Построить
случайной
доверительные
составляющей
интервалы
для
эконометрической
модели.
Требуется:
11.
Построить
доверительную
область
условного математического ожидания M (Y x ) (диапазон
1. Построить диаграмму рассеяния.
2. Убедится в наличии тенденции (тренда) в заданных
значениях прибыли фирмы и возможности принятия гипотезы
о линейном тренде.
3. Построить линейную парную регрессию (регрессию
yˆ ( x)  b0  b1 x ). Вычисление коэффициентов
для
коэффициентов 0 , 1 .
май
454+ N
октябрь
498+ N
N  две последних цифры номера зачетной книжки студента.
вида
8. Проверить
коэффициентов 0 , 1 .
даны в следующей таблице:
январь
382 + N
июнь
419+ N
эконометрической модели.
b0 , b1
выполнить методом наименьших квадратов.
4. Нанести график регрессии на диаграмму рассеяния.
для
по
оси январь – декабрь). Нанести границы этой области на
диаграмму рассеяния.
С помощью линейной парной регрессии сделать прогноз
величины прибыли и нанести эти значения на диаграмму
рассеяния. Сопоставить эти значения с границами
доверительной области для условного математического
M (Y x )
ожидания
и сделать вывод о точности
прогнозирования с помощью построенной регрессионной
модели.
5. Вычислить значения статистики F и коэффициента
детерминации
R2 .
линейной регрессии.
179
Проверить
гипотезу
о
значимости
180
Контрольная работа № 2
Множественная линейная регрессия
3. Вычислить коэффициенты
производительности труда за год в некоторой отрасли
от удельного веса рабочих с
технической подготовкой (объясняющая переменная X 1 ) и
удельного
веса
механизированных
работ
(объясняющая
yˆ ( x)  b0  b1 x1  b2 x2
4. Представьте в виде доверительных интервалов для
коэффициентов
 0 , 1 ,  2
значения, приведенные в
столбцах Нижние 95% и Верхние 95% .
5. Используя
вычисленные
(столбец
регрессии и выполнить статистический анализ построенной
значимости коэффициентов b0 , b1 , b2 .
модели.
характеристик
результаты
проверки
гипотезы о
с
величинам,
приведенными в столбце Р – значение ).
yˆ( x)  b0  b1  x1  b2  x2
других
t  статистика ) проверить
6. Сопоставьте
Для вычисления коэффициентов уравнения регрессии
t  статистик
значения
переменная X 2 ), построить модель множественной линейной
и
множественного
уравнения регрессии вида
По статистическим данным, описывающим зависимость
производства (переменная Y )
b0 , b1 , b2
7. Используя вычисленное значение F – статистики,
множественной
регрессии
использовать режим Регрессия табличного процессора Excel.
проверьте
гипотезу
о
значимости
построенного
уравнения множественной регрессии.
8. Сопоставьте результат проверки гипотезы с величиной
Требуется:
1. Построить
приведенной в ячейке Значимость F.
диаграмму
объясняющей
рассеяния
переменной
X1 и
отдельно
по
отдельно
по
объясняющей переменной X 2 .
2. Используя
убедиться
диаграмму
рассеяния,
в
линейной
зависимости
переменной Y от переменной X 1 и от переменной X 2 .
трактовку
вычисленному
значению коэффициента детерминации R 2 .
туда таблицы, сформированные в режиме Регрессия
При обращении к функции в качестве фактических
параметров могут использоваться константы, адреса
ячеек,
181
статистическую
10. Оформите результаты вычислений отчетом, вставив
построенную
наличии
9. Дайте
диапазоны
адресов
и
арифметические
182
выражения.
Например,
вычисления
среднего
описание
функции
арифметического
для
Таблица К2
значения
(выборочного среднего) имеет вид:
СРЗНАЧ( x1 ; x2 ; ...; xm ) ,
где x1 , x2 ,..., xm – формальные параметры, число которых не
№
завода
превышает 30 ( m  30 ).
Для
вычисления
среднего
значения
величин,
находящихся в ячейках B3, B4, B5, B6, C3, C4, C5, C6,
обращение к функции в соответствующей ячейке имеет
вид
= СРЗНАЧ(B3:B6;С3:C6),
т.е. в качестве фактических параметров используются
два диапазона ячеек.
Замечание Так как в запрограммированной ячейке
выводится результат вычислений и не видно самого
запрограммированного выражения, то в некоторых
случаях рядом с результатом приводится (в другой
ячейке)
(своеобразный
запрограммированное
комментарий
к
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Удельный
вес рабочих
с
технической
подготовкой,
%
64 + N
61 + N
47 + N
46 + N
49 + N
54 + N
53 + N
61 + N
57 + N
54 + N
60 + N
67 + N
63 + N
50 + N
67 + N
Удельный
вес
механизиров
анных
работ, %
Производ
ительност
ь
труда
84 + N
83 + N
67 + N
63 + N
69 + N
70 + N
73 + N
81 + N
77 + N
72 + N
80 + N
83 + N
85 + N
70 + N
87 + N
4300
4150
3000
3420
3300
3400
3460
4100
3700
3500
4000
4450
4270
3300
4500
г
выражение
выполняемым
де N – последняя цифра в номере зачетной книжки студента.
вычислениям). В случаях, когда не очевидно к какой
ячейке относится приводимое выражение, используется
стрелка, указывающая на нужную ячейку.
183
184
Численные
методы
поиска
экстремума
Графический анализ функции
безусловного
Найдем производную второго порядка для данной функции:
d
2
2
dx
Произвести
графический
анализ
функции
с
отображением первой и второй ее производных. Реализация
данной задачи в пакете MathCAD 14.Данную задачу мы
решаем для следующей функции:
y ( x)  2  2  cos ( x  1)
Графическое изображение
порядка данной функции:
второго
4
2
y( x)  2x  2 cos ( x  1)  x  1
d2
2
Графическое изображение функции f(x):
dx
y ( x) 2
1
0
 10
y ( x)
производной
5
0
0.5
5
10
x
1
0.8
0
3
2
1
0
d2
1
2
x
Найдем производную первого порядка для данной
функции:
d
y ( x)  2  x  2  sin ( x  1)  2
dx
Графическое изображение
порядка данной функции:
производной
0.2
dx
y ( x)
y ( x) 0.4
0.2
0
 0.2
2
первого
 1.5
1
 0.5
0
x
Изучив данные графики можно сделать вывод:
Функция
2
f ( x)  1  2x  x  2 cos ( x  1)
имеет локальный максимум в точке (-1,0).
0.1
d
dx
0.6
0
 0.1
 0.2
 2
 1
0
x
185
186
Задача одномерного поиска
Для заданной функции решить задачу одномерного
поиска
f(x)→min(max), x X (X  R)
и найти промежуток (X  R), на котором функция
унимодальная.
Пусть f(x) – действительная функция одной
переменной, определенная на множестве X  (, ).
Точка x*  X называется точкой локального минимума
f(x) на множестве X, если существует такая -окрестность этой
точки, что для всех x из этой окрестности, т. е., если
| x  x*| < , выполняется условие f(x*)  f(x).
Если выполняется условие f(x*) < f(x), то x* называется
точкой строгого локального минимума.
У функции может быть несколько локальных
минимумов.
Точка x* X называется точкой глобального минимума
f(x) на множестве X, если для всех x  X выполняется условие
f(x*)  f(x).
Значение функции f(x*) называется минимальным
значением f(x) на множестве X.
Для нахождения глобального минимума необходимо
найти все локальные минимумы и выбрать наименьшее
значение.
В дальнейшем будем рассматривать задачу нахождения
локального минимума.
Известно, что для того, чтобы точка x* была точкой
локального минимума дифференцируемой функции f(x),
необходимо, чтобы выполнялось равенство
f '(x*) = 0
Точка x*, удовлетворяющая данному равенству,
называется стационарной точкой.
Если функция f(x) дважды дифференцируема, то для
того, чтобы стационарная точка x* была точкой строгого
187
локального минимума,
неравенство
достаточно,
чтобы
выполнялось
f ''(x*) > 0.
Если дважды дифференцируемая функция f(x) задана на
отрезке [a, b], то можно предложить следующий путь решения
задачи нахождения глобального минимума:
1. Найти все стационарные точки на отрезке [a, b] из
условия (1.1), т.е. найти корни уравнения f '(x) = 0,
принадлежащие отрезку [a, b].
2. Найденные стационарные точки исследовать на
выполнение условия (1.2), т.е. из найденных стационарных
точек выделить точки локальных минимумов, для которых
выполняется неравенство f ''(x) > 0.
3. Сравнить между собой значения f(x) на концах
отрезка [a, b] и в точках локальных минимумов. Наименьшему
из этих значений соответствует точка глобального минимума
f(x) на отрезке [a, b].
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b].
Функция f(x) называется унимодальной, если на этом отрезке
имеется единственная точка x* локального минимума функции
f(x), причем функция строго убывает при x  x* и строго
возрастает при x  x*. Многие алгоритмы минимизации
функции одной переменной построены в предположении, что
функция унимодальная на некотором отрезке. Этот отрезок
будем называть отрезком локализации точки x*.
Из определения унимодальной функции вытекает
следующее важное свойство.
Пусть f(x) унимодальная функция на отрезке [a, b] и a 
x1 < x2  b. Тогда
если f(x1)  f(x2), то x*  [a, x2];
если f(x1) > f(x2), то x*  [x1, b],
где x* – точка минимума f(x) на отрезке [a, b].
Иллюстрация данного свойства представлена на рис 1.1
и 1.2.
188
Рассматрим методы прямого поиска, основанные на
построении минимизирующих последовательностей x1, x2, …,
xn, …,. Точки x1, x2, …, xn, называют пробными точками.
Для эвристического выбора начального интервала
неопределенности можно применить Алгоритм Свенна.
Алгоритм Свенна
1.
Задать
произвольно
следующие
параметры:
0
некоторую точку x , t>0–величину шага. Положить k=0.
2.
Вычислить значение функции в трех точках
0
Рис. 1.1
0
0
x  t, x , x  t:
3.
Проверить условия окончания:


0
 0

0

f x t  f x  f x t ,

если
начальный интервал неопределенности найден:
0
0
[ a0  b0 ] = [ x  t  x  t];

0
то

 0

0


если f x  t  f x  f x  t , то функция
не является унимодальной, а требуемый интервал
неопределенности не может быть найден. Вычисления при
этом прекращаются (рекомендуется задать другую начальную
0
точку x );

если условие окончания не выполняется, то
перейти к шагу 4.
4.
Рис. 1.2.
Аналитический метод нахождения минимума функции
одной переменной состоит в решении в явном виде уравнения
и проверке условия. Однако во многих случаях это или
невозможно, или затруднительно. В таких случаях
используются численные методы решения.
189
Определить величину :

0

 0  f  x 0  t,
если f x  t  f x
x
1

1
0
t; a0
x ;
t; b0
x ;
0
x  t; k=1;
0

 0  f  x 0  t, то 
если f x  t  f x
x
то 
0
0
x  t; k=1.
190
k 1
k
Swann ( f x0 t ) 
k
x 2 
Найти следующую точку x
5.
Проверить условие убывания функции
   f  x и 
k 1
k
f  x   f  x и 
если f x

k 1
k
t, то a0
x
0
 x0
k  0
x1  x0  t
k
x2  x0
x ;
x3  x0  t
k
t, то b0 x .
если
в обоих случаях положить k=k+1 и перейти к шагу 5;
if [ ( f ( x1 )  f ( x2 ) )  ( f ( x2 )  f ( x3 ) ) ]
Если
"Error"
k 1
k
f  x   f  x ,
t положить b0
x
a  x1
b  x3
процедура завершается. При
k 1
, а при 
t положить a0
x
if [ ( f ( x1 )  f ( x2 ) )  f ( x2 )  f ( x3 ) ]
if [ ( f ( x1 )  f ( x2 ) )  ( f ( x2 )  f ( x3 ) ) ]
k 1
  t
.В
a  x0
результате [ a0  b0 ] - искомый начальный интервал
неопределенности.
Реализация данной задачи в пакете MathCAD 14
x1  x0  t
k  1
if [ ( f ( x1 )  f ( x2 ) )  ( f ( x2 )  f ( x3 ) ) ]
2
  t
f ( x)  1  2x  x  2 cos ( x  1)
b  x0
x1  x0  t
Задача нахождения максимума функции f(x)сводится к
задаче нахождения минимума функции f(x)путем замены знака
перед функцией на противоположный.
Следовательно, данную задачу решаем для следующей
функции:
k  1
x
k1
while
k
 x
k
 k  1   f xk 
f x
a  x
2
y( x)   1  2x  x  2  cos ( x  1) 
k
b  x
k
2
y( x)  2  x  2  cos ( x  1)  x  1
 2 
( 
if ( 

if
t) 
t)
f xk  1   f xk 
 f x
 f  x  
k  1
k 
k  k  1
Задание функции, реализующей алгоритм Свенна:
x
if
k 1
 x
k
k
 2 
f xk  1   f xk 
b  x
if 
t
a  x
if 
t
k1
k1
a 
 
b 

 2
 
0
Из чего можно сделать вывод, что f(x) унимодальная на
отрезке [-2,0]
Swann ( y 1 1) 
191
192
Метод перебора
Найти минимум функции методом перебора с заданной
точностью. Этот метод является простейшим из прямых
методов минимизации.
Пусть f(x) – унимодальная на отрезке [a, b] функция.
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей точками x0, x1, x2,
…, xn, так, что
ba
xi = a + ih, i = 0, 1, … , n,
h= n .
Вычислим значения функции f(x) в точках xi и сравнив
min
их, найдем точку xm, для которой f(xm) = 0i n f(xi).
За приближение x* примем xm.Оценим погрешность
метода перебора.
В силу выбора точки xm справедливы неравенства
f(xm–1)  f(xm), т.е. x*  [xm–1, b];
f(xm)  f(xm+1), т.е. x*  [a, xm+1].
Следовательно,
x*  [xm–1, b] [a, xm+1] = [xm–1, xm+1].
2(b  a )
n
Длина отрезка [xm–1, xm+1] равна
, и точка xm
является его серединой.
(b  a)
n
Поэтому xm – x*
= n.
Итак, чтобы обеспечить требуемую точность 
определения минимума функции f(x) методом перебора, нужно
(b  a)
n  , т.е.
число отрезков разбиения n выбрать из условия
(b  a)
n  .
Реализация данной задачи в пакете MathCAD 14
Данную задачу мы решаем для следующей функции:
193
2
y( x)  2x  2 cos ( x  1)  x  1
Задание функции, реализующей метод перебора с
заданной точностью:
perebor ( y a b N ) 
for i  0 N  1
x a 
i ( b 
i
N
z  min( y ( x) )
for i  0 N  1
 i
t  i if y x
 
z
b a
1 N
 xt 
 
res   z 
 
 
res
 1 
perebor ( y 20 45)   0 


 0.043
В результате решения данной задачи был найден
минимум x* = -1, значение функции f(x*) = 0 с точностью
0.043 за 45 итераций.
194
Метод поразрядного поиска
Найти минимум функции методом поразрядного поиска
с заданной точностью.
Этот метод представляет собой усовершенствование
метода перебора. Поиск точки минимума функции
осуществляется с переменным шагом.
Вначале шаг полагается достаточно большим и грубо
находится отрезок, содержащий точку минимума. Затем с
более высокой точностью на этом отрезке находится искомая
точка минимума.
Изложенная идея реализуется следующим образом.
Перебор точек отрезка происходит сначала с шагом
 = xi+1– xi >
до тех пор, пока функция не начнет увеличиваться, т. е.
не выполнится условие f(xi+1)  f(xi) или пока очередная точка
не совпадет с правым концом отрезка [a, b], на котором ищется
минимум функции f(x).
После этого шаг уменьшается (обычно в четыре раза) и
перебор точек производится в обратном направлении, справа
налево, пока значения функции f(x) снова не станут
увеличиваться или очередная точка не совпадет с левым
концом отрезка и т. д.
Процесс завершается, когда перебор в данном
направлении закончен, и величина шага не превосходит
заданной точности .
Шаг 5. Положить x0 = x1 и f(x0) = f(x1).
Проверить условие x0  (a, b), т. е. a < x0 < b.
Если условие выполнено, перейти к шагу 3, иначе –к
шагу 6.
Шаг 6. Проверка на окончание поиска.
Если   , то вычисления завершить, положив
x*  x0, f(x* )  f(x0), иначе – перейти к шагу
Шаг 7. Изменение направления и шага поиска.

Положить x0 = x1 и f(x0) = f(x1),  = – 4 .
Перейти к шагу 3.
Реализация данной задачи в пакете MathCAD 14.
Данную задачу решаем для следующей функции:
2
y( x)  2x  2 cos ( x  1)  x  1
Задание функции, реализующей метод поразрядного
поиска с заданной точностью:
Алгоритм метода поразрядного поиска.
Шаг 1. Ввести исходные данные: a, b, .
ba
Шаг 2. Выбрать начальный шаг  = 4 . Положить x0
= a. Вычислить f(x0).
Шаг 3. Положить x1 = x0 + . Вычислить f(x1).
Шаг 4. Сравнить f(x0) и f(x1). Если f(x0) > f(x1), то
перейти к шагу 5, иначе – к
шагу 6.
195
196
porazryadny_poisk
(y a b  )  h 
Метод дихотомии.
b a
4
x0  a
y0  y(x0)
i 0
while h  
x1  x0 h
y1  y(x1)
if y(x0)  y(x1)
x0  x1
y0  y1
x1  x0 h if a  x0  x0  b
if y(x0)  y(x1)
x0  x1
h
h
4
i i 1
 x0
res   y0
 
i


3
porazryadny_poisk y 2 0 10
 0.998
 0 


 18 
В результате решения данной задачи был найден
минимум x* = -0.998, значение функции f(x*) = 0, количество
итераций n = 18.
Найти минимум функции методом деления отрезка
пополам с заданной точностью.В основе этого метода лежит
свойство унимодальной функции , благодаря которому можно
сокращать отрезок локализации точки минимума.
Пусть f(x) – непрерывная и унимодальная на отрезке [a,
b] функция, принимающая во всех точках этого отрезка
конечные значения. Пусть число пробных точек x1, x2, …, xn
конечно, и для определения каждой точки xk можно
использовать информацию о значениях функции во всех
предыдущих точках x1, x2, …, xk – 1 . Положим a0 = a, b0 = b.
a0  b0
2 .
Середина отрезка [a, b] = [a0, b0] находится в точке
a0  b0  
2
Выберем две симметричные точки x1 =
, x2 =
a0  b0  
2
Величина , удовлетворяющая условию 0 <  < b –
a , является параметром метода, как правило,  – малая
величина.Вычислим значения функции в выбранных точках:
f(x1) и f(x2). Определим новый отрезок локализации [a1, b1]
следующим образом:
если f(x1)  f(x2), то a1 = a0, b1 = x2;
если f(x1) > f(x2), то a1 = x1, b1 = b0.
Далее процедура деления отрезка [a1, b1] повторяется.
Деление продолжают до тех пор, пока половина длины
отрезка [an, bn] не станет меньше заданной точности решения
задачи ,   , т. е. пока не выполнится неравенство
bn  an
2
< . Тогда за приближение x* принимают
середину отрезка [an, bn], т.е. x* 
197
a n  bn
2
.
198
delenie_popolam
( y a b  ) 
i  0
a
b
0
0
 a
 b
a
xc 
0
 b
0
b  a
while
0
2
i
i
 
b a
i
x1  a 
i
i
i
4
b  a
i
x2  b 
i
i
4
 i
 y xc
 i
b
 xc
if y x1
i 1
xc
a
i
 x1
i 1
i 1
i
i
 a
i
 i  y xci
if y  x2   y  xc 
i
i
if y x1
a
i 1
xc
b
i 1
i 1
i
 b
i
 i
a
 x1
b
i 1
i 1
xc
i 1
i  i 1
 xci 


res   y  xc  
i


i


res
i
 x2
 y xc
if y x2
199
 xc
 i
b  a 
n  log2 2   .
Величину  выбирают из условия 0 <  < 2. При этом
нужно иметь в виду, что при слишком малом  из-за
погрешности вычисления на ЭВМ сравнение f(x1) и f(x2)
становится затруднительным.
Реализация данной задачи в пакете MathCAD 14
Данную задачу решаем для следующей функции:
2
y( x)  2x  2 cos ( x  1)  x  1
Задание функции, реализующей метод деления отрезка
пополам с заданной точностью:
i
 x2
i
 xc
Алгоритм 1.2 (Алгоритм метода дихотомии).
Шаг 1. Ввести исходные данные: a, b, , .
Шаг 2. Определить x1 и x2 по формулам (1.5).
Шаг 3. Вычислить f(x1) и f(x2).
Шаг 4. Если f(x1)  f(x2), то перейти к новому отрезку
[a, b], положив b = x2.
Иначе перейти к новому отрезку
[a, b], положив a = x1.
ba
2 < , то требуемая точность
Шаг 5. Если
достигнута, перейти к шагу 6,
иначе – к шагу 2 для
продолжения итераций.
ab
Шаг 6. Положить x*  2 . Вычислить f * f(x*).
Число итераций метода дихотомии оценивается по
формуле
i
 1 
3
delenie_popolam  y 2010    0 
 
 11 
В результате решения данной задачи был найден
минимум x* =-1, значение функции f(x*) = 0, количество
итераций n = 11.
200
Метод Фибоначчи
Найти минимум функции методом Фибоначчи с
заданной точностью.
Метод Фибоначчи эффективнее метода дихотомии, так
как разбиение отрезка производится таким образом, что на
каждой итерации требуется вычислять не два значения f(x1) и
f(x2), а лишь одно.
Метод Фибоначчи основан на использовании чисел
Фибоначчи, задаваемых рекуррентным соотношением
с начальными значениями F0 = 1, F1 = 1.
Этот метод был предложен в 1953 г. Кифером.
Формула вместе с начальными значениями определяет
следующий ряд чисел Фибоначчи :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …
k 1
k
k
k
Важно, что одна из пробных точек x 1 , x 2 станет
пробной точкой на новом отрезке локализации, т. е. совпадет с
k 1
k 1
одной из точек x 1 , x 2 .
Поэтому на каждой итерации достаточно определить
предыдущей итерации.
В
конце
вычислений
можно
взять
в
качестве
приближенного значения
экстремум минимизация функция линейный
n 1
выполнения
n
итераций
погрешность
удовлетворяет следующему неравенству:
k
1
На k-ом шаге, k =0, 1, … , n – 1, определим точки x и x
из условия
Fn k 1
Fn k
k
x = ak + Fn k 1 (bk – ak), x 2 = ak + Fn k 1 (bk – ak).
Формулы являются основными расчетными формулами
метода Фибоначчи
201
k
k
если f(x 1 ) > f(x 2 ), то ak+1 = x 1 , bk+1 = bk.
После
k
1
k
x* = x 1 .
Метод Фибоначчи состоит из n шагов.
Положим вначале a0 = a, b0 = b.
k
2
k
если f(x 1 )  f(x 2 ), то ak+1 = ak, bk+1 = x 2 ;
только одно значение f(x), так как другое уже найдено на
Fn = Fn-1 + Fn-2 (n  2)
n
После этого так же, как и в методе дихотомии,
определяют новый, меньший отрезок локализации [ak+1, bk+1]
по тому же правилу:
bn  an
1 ba
2
n =
< 2 Fn1 .
Следовательно, если задана требуемая точность , число
1 ba
итераций n определяется из условия 2 Fn1 <  или
ba
Fn +1 > 2 .
202
Заметим, что число итераций, необходимое для
удовлетворения заданной точности  , зависит только от длины
отрезка b – a и точности  и не зависит от вида функции f(x).
Алгоритм 1.3 (Алгоритм метода Фибоначчи):
Шаг 1. Ввести исходные данные: a, b, . Определить
число итераций n из
условия (1.9). Ввести числа
Фибоначчи F0, F1, F2, … , Fn +1.
Шаг 2. Положить k = 0 и определить x1 и x2 по
формулам (1.7).
Шаг 3. Вычислить f(x1) и f(x2).
Шаг 4. Проверить критерий окончания вычислений: k =
n . Если k < n, перейти
к шагу 5, иначе – к шагу 6.
Шаг 5. Перейти к новому отрезку локализации и новым
пробным точкам. Если
f(x1)  f(x2), то положить b = x2,
Fn k 1
x2 = x1, f(x2) = f(x1), x1= a + Fn k 1 (b – a)
и вычислить
f(x1). Иначе положить a = x1, x1 = x2, f(x1) = f(x2),
Fn k
x2 = a + Fn k 1 (b – a) и вычислить f(x2). Положить k = k
+1 и перейти к шагу 4.
Шаг 6. Положить x*  x1. Вычислить f * f(x*).
Данную задачу мы решаем для следующей функции:
fibonacci
( y  a  b    F  N ) 
i 
a
b
0
x1
x2
203

b

0
a

0
a
b
if
if
N 2
N 1
N 1

y x1
a
b
if

a
b

res

x2

i 1
 F N  1
N
a
i
i
i 1

x1

b

b i  1
 a
F
 i
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
 F N  i  3
N  i 1
i
i

x2

a
i
i 1

b i  1
 a
F
i 1
 F N  i  2
N  i 1
i  1

x2

x1

x1
N 1
N 1
N 1
y x1
0
i
x1
a
x2
x2

i 1
 y x2
x1
N
 F N  2
 i
a
 i
b
0
 y x2
y x1
i 
0

i 1
x1

 a
b
 2
i 1
x2
 a
F
y x1
a
x1

0
b 0
F
 i
if
x1

0
i  N
while
y( x)  2x  2 cos ( x  1)  x  1

a
0
2
Задание функции, реализующей метод Фибоначчи с
заданной точностью:
1




3
fibonacci y 2 0 10 F 10   5.329  10 15 


8


В результате решения данной задачи был найден
минимум x* = -1, значение функции f(x*) = 5.329*10^-15,
количество итераций n = 8.
0

N 1
N 2
N 1
a

x2

 

 y x2

N 1
N 1

N 2
N 1

N 1

N 2
N 1

 y x2

x1

b
N 1
N 2
a
 b


N 1
N 1



2


   a
 b
N 1  
 y N 1

 
2
 


i


res
204
Метод золотого сечения
Найти минимум функции методом золотого сечения с
заданной точностью.
В основе этого метода лежит понятие "золотого
сечения", введенного Леонардо да Винчи и используемого, в
частности, при построении архитектурных сооружений
античности и эпохи Возрождения.
Золотым сечением отрезка называется его разбиение на
две неравные части, так, что отношение длины всего отрезка к
длине его большей части равно отношению длины большей
части к длине меньшей части (рис.1.3, слева)
ba
b  x1
b  x1 = x1  a .
Рис 1.3
Золотое сечение осуществляется двумя точками x1 и x2,
расположенными симметрично относительно середины
отрезка (рис.1.3, справа). Нетрудно проверить, что
ba
b  x1 1  5
b  x1 = x1  a = 2 , (1.10)
ba
x2  a 1  5
x2  a = b  x2 = 2 . (1.11)
Точка x1 осуществляет золотое сечение не только
отрезка [a, b], но и отрезка [a, x2], а точка x2 осуществляет
золотое сечение не только отрезка [a, b], но и отрезка [x1, b].
Действительно,
x2  a
x1  a
1 5
x1  a = x2  x1 = 2 ,
205
b  x1
b  x1
1 5
b  x1 = x2  x1 = 2 .
Из (1.10) и (1.11) получаем:
3 5
5 1
(b  a)
(b  a)
2
, x2 = a + 2
. (1.12)
x1 = a +
Формулы (1.12) являются основными расчетными
формулами метода золотого сечения.
Из (1.12) следует, что x1 + x2 = a + b. Если обозначить r
5 1
= 2 , то формулы (1.12) можно переписать так:
x1 = b – r(b – a), x2 = a + r(b – a) (1.13)
Процедура деления отрезка [a, b] такая же, как и для
методов дихотомии и Фибоначчи. Вычисляются значения
функции в выбранных точках: f(x1) и f(x2). Определяется
новый отрезок локализации [a1, b1] следующим образом:
если f(x1)  f(x2), то a1 = a, b1 = x2;
если f(x1) > f(x2), то a1 = x1, b1 = b.
Далее процедура деления отрезка [a1, b1] повторяется с
использованием формул (1.12) или (1.13).
Так же, как и в методе Фибоначчи, одна из пробных
точек x1, x2 станет пробной точкой на новом отрезке
локализации. Поэтому на каждой итерации достаточно
определить только одно значение f(x), так как другое уже
найдено на предыдущей итерации.
В конце вычислений можно взять в качестве
приближенного
значения
x*
середину
последнего
из
полученных отрезков.
206
После
выполнения
n
итераций
погрешность
удовлетворяет следующему неравенству:
n
bn  an
1  5  1  b  a 
 2 

2
n =
< 2
.
Условием окончания вычислений является выполнение
неравенства
Задание функции, реализующей метод золотого сечения
с заданной точностью:
 1 
3
zolotoe_sechenie y 2 0 10
0 
 
 16 


В результате решения данной задачи был найден
минимум x* = -1, значение функции f(x*) = 0, количество
итераций n = 16.
n <.
Алгоритм 1.4 (Алгоритм метода золотого сечения).
Шаг 1. Ввести исходные данные: a, b, . Положить r =
5 1
ba
2 , n = 2 .
Шаг 2. Определить x1 и x2 по формулам (1.13).
Шаг 3. Вычислить f(x1) и f(x2).
Шаг 4. Проверить критерий окончания вычислений.
Если n <, перейти к
шагу 5, иначе – к шагу 6.
Шаг 5. Перейти к новому отрезку локализации и новым
пробным точкам. Если
f(x1)  f(x2), то положить b = x2,
x2 = x1, f(x2) = f(x1), x1 = b – r(b – a) и
вычислить
f(x1).
Иначе положить a = x1, x1 = x2, f(x1) = f(x2), x2 = a + r(b – a) и
вычислить f(x2). Положить n = rn, перейти к шагу 4.
ab
Шаг 6. Положить x*  2 . Вычислить f * f(x*).
Реализация данной задачи в пакете MathCAD 14
Данную задачу мы решаем для следующей функции:
2
y( x)  2x  2 cos ( x  1)  x  1
207
208
zolotoe_sechenie ( y a b  ) 
Метод средней точки
i0
Найти минимум функции методом средней точки с
заданной точностью.
Все методы, рассмотренные до сих пор, основаны на
a a
0
b b
0
x1  a 
0
 b 0  a 0   3 
0
5
предположении об унимодальности исследуемой функции.
2
Эти методы используют вычисление значений функции в
x2  a  b  x1
0
0
0
while a  b
i
некоторых точках и не требуют вычисления значений

i
x1  a 
i
0

производной

b  a   3  5
i
i
i
i
i
 i  i
b
i 1
i 1
a
также методом бисекции или методом деления отрезка
i
пополам.
i
x2
 x1
x1
a
Пусть
i
i 1
i 1
b
 i  i
i 1
 x1
i
if y x1  y x2
a
b
i 1
i 1
i
x2
a
i
i 1
i i 1
209
 a i  b i 

2


res   a  b  
 y i i  
  2 


i


res
унимодальная,
непрерывно
дифференцируемая на отрезке [a, b] функция и на этом отрезке
точка x* является единственной стационарной точкой. Сведем
i
 x2
i 1
–
нелинейного уравнения
x1
i 1
f(x)
задачу нахождения минимума функции f(x) к решению
 x1
b
о
Рассмотрим метод средней точки, который называется
 x2
i 1
информации
задачи оптимизации.
i
if y x1  y x2
a
Использование
производной позволит повысить эффективность решения
2
x2  a  b  x1
i
функции.
b
i 1
 x2
f '(x) = 0. (1.14)
i
Положим a0 = a, b0 = b.
Так как функция f '(x) удовлетворяет условию (1.14), то
она принимает на концах отрезка [a0, b0] значения разных
знаков, т.е. f(a0)f(b0) < 0.
210
Разделим отрезок [a0, b0] пополам. Получим точку x0 =
a 0  b0
2 . Вычислим f '(x0). Если f '(x0) = 0, то x0 – искомый
корень, и задача решена. Если f '(x0)  0, то f '(x0) – число
определенного знака: f '(x0) > 0, либо f '(x0) < 0. Тогда либо на
концах отрезка [a0, x0], либо на концах отрезка [x0, b0]
значения функции f '(x) имеют разные знаки. Обозначим такой
отрезок [a1, b1]. Очевидно, что x* [a1, b1], и длина отрезка
[a1, b1] в два раза меньше, чем длина отрезка [a0, b0].
Поступим аналогично с отрезком [a1, b1]. В результате
получим либо корень x*, либо новый отрезок [a2, b2], и т.д.
(рис.1.4 ).
Рис. 1.4
a n  bn
2 . Очевидно, что
Середина n-го отрезка xn =
b0  a 0
n
длина отрезка [an, bn] будет равна 2
, а т. к. x* [an, bn],
то
bn  a n b0  a 0
2  2 n 1 . (1.15)
| xn – x*| 
Если задана требуемая точность  , то процесс
вычислений следует закончить, когда выполнится условие  f
'(xn)  , после чего полагают
x*  xn.
Алгоритм 1.5 (Алгоритм метода средней точки).
Шаг 1. Ввести исходные данные: a, b, .
ab
Шаг 2. Определить x0 = 2 .
Шаг 3. Вычислить f '(x0).
Шаг 4. Проверить критерий окончания вычислений.
Если f '(x0)  , ,перейти к шагу 6, иначе – к шагу 5.
Шаг 5. Перейти к новому отрезку локализации [a, b].
Если f '(x0) > 0, то положить b = x0. Иначе положить a = x0.
Перейти к шагу 2.
Шаг 6. Положить x*  x0. Вычислить f'(x*).
Реализация данной задачи в пакете MathCAD 14
Данную задачу мы решаем для следующей функции:
2
y( x)  2x  2 cos ( x  1)  x  1
Задание функции, реализующей метод средней точки с
заданной точностью:
2
y( x)  2x  2 cos ( x  1)  x  1
g( x) 
d
f ( x)  2 x  2 sin ( x  1)  2
dx
Оценка (1.15) характеризует погрешность метода
средней точки и указывает на скорость сходимости: метод
сходится со скоростью геометрической прогрессии,
знаменатель которой q = 1/2.
211
212
bisec ( a b f e) 
while b  a  2e
c 
(a  b )
2
b  c if f ( c)  0
a  c otherwise
n n1


4
bisec 2 0 g 10
Метод Ньютона
c 
 
n 
 1 
 
 14 
В результате решения данной задачи был найден
минимум x* = -1, значение функции f(x*) = 0, количество
итераций n = 14.
Найти минимум функции методом Ньютона с заданной
точностью.
Пусть f(x) – дважды непрерывно дифференцируемая
функция, причем
f ''(x) > 0. Тогда, как уже указывалось в предыдущем
разделе, решение задачи минимизации функции f (x) сводится
к решению нелинейного уравнения f '(x) = 0.
Метод
Ньютона
является
наиболее
эффективным
методом решения нелинейных уравнений.
Пусть корень x*  [a, b], так, что f '(a)f '(b) < 0.
Положим x0 = b. Проведем касательную к графику функции y
= f '(x) в точке B0 = (x0, f '(x0))
Рис. 1.5
Уравнение касательной будет иметь вид:
y – f '(x0) = f"(x0)(x – x0). (1.16)
213
214
Первое пересечение получим, взяв абсциссу точки
пересечения этой касательной с осью OX, т. е. положив в
(1.16) y = 0, x = x1:
f ' ( x0 )
x1 = x0 – f " ( x0 ) . (1.17)
Аналогично поступим с точкой B1(x1, f '(x1)), затем с
точкой B2(x2, f '(x2)), и т. д. в результате получим
последовательность приближений x1, x2, …, xn , …, причем
Задание функции, реализующей метод Ньютона с
заданной точностью:
g1( x) 
d
2
2
dx
f ( x)
nuton ( a g g1 e) 
b a 
Шаг 4. Проверить критерий окончания вычислений.
Если f '(x n +1)  , , перейти к шагу 6, иначе – к шагу 5.
Шаг 5. Положить n = n +1. Перейти к шагу 2.
Шаг 6. Положить x*  xn +1 . Вычислить f'(x*).
Реализация данной задачи в пакете MathCAD 14
Данную задачу мы решаем для следующей функции:
2
y( x)  2x  2 cos ( x  1)  x  1
215
g(a )
while b  a  e
f ' ( xn )
xn +1 = xn – f " ( xn ) . (1.18)
Формула (1.18) является расчетной формулой метода
Ньютона.
При заданной точности  > 0 вычисления по формуле
(1.18) нужно вести до
тех пор, пока не будет выполнено неравенство| f '(xn)| 
, после чего полагают x*  xn.
Алгоритм 1.6 (Алгоритм метода Ньютона).
Шаг 1. Ввести исходные данные: a, b, . Положить n = 0,
x0 = b.
Шаг 2. Вычислить f '(xn) и f "(xn).
f ' ( xn )
Шаг 3. Вычислить xn +1 = xn – f " ( xn ) .
f (a )
a b 
b a 
f (b )
g(b )
f (a )
g(a )
n n1

b 
 
n 
4
nuton 1.5g g1 10
   1 
 13 
В результате решения данной задачи был найден
минимум x* = -1, значение функции f(x*) = 0, количество
итераций n = 13.
Вывод
Таблица 1 Результаты нахождения минимума функции
разными численными методами поиска
Метод Значение Значение Количество Точность
аргумента функции итераций
Метод
-1
0
45
0.
перебора
045
3
Метод
0
18
10
поразрядного 0.98
поиска
216
Метод
деления
отрезка
пополам
Метод
Фибоначчи
Метод
золотого
сечения
Метод
средней
точки
Метод
Ньютона
-1
0
11
Основная
-1
0
8
10
-1
0
16
10
-1
0
14
10
-1
0
13
10
3
1.
3
2.
4
4
Вывод. Для решения данной задачи самыми
эффективными являются Метод Фибоначчи, Метод деления
отрезка пополам и Метод Ньютона.
217
Литература
3
10
Краснов, М.Л. Вся высшая математика. Т. 6. Вариационное
исчисление, линейное программирование, вычислительная
математика, теория сплайнов / М.Л. Краснов, А.И. Киселев,
Г.И. Макаренко. - М.: КД Либроком, 2014. - 256 c.
Пантина, И.В. Вычислительная математика: Учебник / И.В.
Пантина, А.В. Синчуков. - М.: МФПУ Синергия, 2012. - 176
c.
Дополнительная
1. Бахвалов Н.С и др. Численные методы. - М.:
Физматлит,2000.
2. Азаров А.И. и др. Сборник по методам вычислений - М.:
Наука, 1994.
3. Бахвалов Н. С. и др. Численные методы в задачах и
примерах. - М.: Высшая школа, 2000.
4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.:
Наука, 1989.
218
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
24
Размер файла
7 185 Кб
Теги
posobie, matematiki, specialnih, starozhilova, uchebnoy, glava
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа