close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Tarasov Bahareva Teoriya veroyatnostej mat statistika i sluchajnye protsessy

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ РФ
ПГУТИ
ФГБОУ ВО «Поволжский государственный
университет телекоммуникаций
и информатики»
В.Н. Тарасов, Н.Ф. Бахарева
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Рекомендовано ГОУ ВПО МГТУ им.
Н. Э. Баумана к использованию в
образовательных
учреждениях,
реализующих
образовательные
программы
ВПО
по
специальностям
направления
«Информатика и вычислительная
техника».
Самара 2017
ББК 22.17я73 Т
19
УДК 519.2(075.8)
Рецензенты:
Заведующий кафедрой информационных систем и технологии
Самарского государственного аэрокосмического университета,
заслуженный работник высшей школы РФ, Академик
международной академии информатизации, д. т. н., профессор
С.А. П р о х о р о в ;
д. ф. - м. н., профессор кафедры «Высшая математика»
МГТУ им. Н.Э.Баумана А.В. Филиновский.
Г“ \
О
1
О
1
W
Тарасов В.Н. Бахарева Н.Ф.
T 19 Теория вероятностей, математическая статистика и
случайные процессы. - Самара: ПГУТИ, 2017 - 280 с.
ISBN 5-7410-0415-6
Учебное пособие предназначено для студентов
специальностей направления 230100 - Информатика и
вычислительная техника.
ББК 22.17 я 73
ISBN 5-7410-04156
© Тарасов В.Н., Бахарева Н.Ф.
С О ДЕРЖ А НИ Е
Введение
Основные понятия теории вероятностей
И спытания и события
Классическое определение вероятности
Статистическое определение вероятности
Геометрические вероятности
События и действия над ними
А ксиом атическое определение вероятности
Основные теоремы теории вероятностей
Формула полной вероятности
Формула Бейеса
Повторение и с п ы тан и й . Ф ормула Бернулли
Локальная формула М уавра - Лапласа
И нтегральная формула М у а в р а -Л а п л а с а
Формула П уассона
П ростейш ий поток событий
Задание № 1 на самостоятельную р а б о т у . Р е ш е ние типовых задач
Одномерные случайные в е л и ч и н ы . Законы рас пределения вероятностей случайных величин
Случайные величины
Функция распределения вероятностей случайной
величины
П лотность распределения вероятностей н еп рерывной случайной величины
П римеры дискретны х распределений в еро ятн о ­
стей
Биномиальное распределение
Распределение П уассона
Геометрическое распределение
П римеры непреры вны х распределений
Закон равномерного распределения вероятностей
Н ормальны й закон распределения
Экспоненциальны й закон распределения
Распределение Вейбулла
Гамма - распределение
7
9
9
10
10
11
12
14
15
18
19
20
21
21
23
23
25
31
31
32
34
37
37
38
38
39
39
41
43
45
46
3
2.6
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
6
6.1
6.2
6.3
6.4
4
Задание № 2 на самостоятельную р а б о т у . Реше ние типовых задач
Числовые характеристики случайных величин
М атематическое ожидание случайной величины
Свойства математического ожидания
Дисперсия случайной величины. М оменты в ы с­
ших порядков
Задание № 3 на самостоятельную работу
М ногомерные случайные величины
М ногомерная случайная величина. Совместная
функция распределения
Д искретные двумерные случайные величины
Непрерывны е двумерные случайные величины
Условные законы распределения компонент дву мерной случайной величины
Условные числовые характеристики
Зависимые и независимые случайные величины
Числовые характери сти ки д вумерной случайной
в ел и ч и н ы . Ковариация и коэффициент к о р р ел яции
М ногомерное нормальное распределение
Задание №4 на самостоятельную работу
Ф ункции от случайных в е л и ч и н . Числовые ха рактеристики и законы распределения
Примеры функциональной зависимости между
случайны ми величинами
Функции от одномерной случайной величины
Функции от случайного векторного аргумента
М атем атическое ожидание функции от сл уч ай ­
ной величины
Дисперсия функции от случайной величины
Задание №5 на самостоятельную работу
П редельные теоремы теории вероятностей
Закон больших чисел и центральная предельная
теорема
Неравенство Чебыш ева
Закон больш их чисел (теорема Ч еб ы ш ев а)
Обобщенная теорема Ч е б ы ш е в а . Теоремы Мар кова и Бернулли
47
51
51
54
56
62
65
65
66
68
69
71
74
75
80
81
87
87
88
90
92
94
95
100
100
100
102
103
6.5
Понятие о
теореме Л я п у н о в а . Ф ормулировка
центральной предельной теоремы
6.6
Задание № 6 на самостоятельную работу
Элементы м атем атической статистики
7
Основные задачи м атем атической статистики
7.1
Статистическая совокупность и статистическая
7.2
функция распределения
Гистограммы
7.3
7.4
Числовые характери сти ки статистического рас пределения
Критерии согласия
7.5
Статистические оценки для неизвестных пара7.6
метров распределения
7.7
Оценки для м атематического ожидания и диспер сии
Д оверительны й интервал и доверительная веро 7.8
ятность
Связь между доверительны м интервалом и про7.9
веркой гипотез о среднем значении
7.10 Оценка неизвестной вероятности по частоте
7.11 Точечные оценки для числовых характеристик
многомерны х случайных величин
7.12 Задание №7 на самостоятельную работу
Основные понятия теории случайных процессов
8
8.1
О пределение случайного п р о ц есс а. К лассифика ция случайных процессов
8.2
Законы распределения и основные характеристики случайных процессов
Канонические разложения случайных процессов
8.3
Х арактеристики стационарных случайных про 8.4
цессов
8.5
Спектральное разложение стационарного
случайного процесса
Классификация и определение марковских про8.6
цессов
8 .6.1 Дискретный марковский процесс
8 .6.2 Н епрерывны й м арковский п р о ц е с с . Уравнение
Фоккера - Планка - Колм огорова
106
108
114
114
115
118
120
126
137
140
142
148
152
155
160
164
166
169
180
183
195
201
203
208
5
8.6.3 Диффузионное приближение систем массового
обслуживания
8.6.4 Обобщ енная двумерная диф фузионная модель
систем массового обслуживания типа GI/G/1/ да с
бесконечной очередью и GI/G/1/m с конечной
очередью и потерями
9
М оделирование случайных в ел и ч и н , процессов и
потоков событий
9.1
Генерирование и статистический анализ п сев д о случайных чисел
9.2
М оделирование непреры вны х случайных в ел и ­
чин
9.3
Задание №8 на самостоятельную работу
9.4
Содержание отчёта
9.5
А ппроксим ация законов распределения
9.5.1 Задача сглаживания статистических р я д о в . Тео ретические основы лабораторной работы
9.5.2 Задание №9 на самостоятельную работу
9.5.3 Содержание отчёта
9.6
А ппроксим ация корреляционны х функций и
спектральных плотностей ортогональным и ф у н к ­
циями Лагерра
9.6.1 Теоретические основы лабораторной работы
9.6.2 Задание № 10 на сам остоятельную работу
9.6.3 Содержание отчёта
Список использованной литературы
Приложение
6
216
220
230
230
232
239
239
246
246
251
252
258
258
267
267
271
272
ВВЕДЕНИЕ
1.
П р е д м е т т е о р и и в е р о я т н о с т е й . Теория вероятностей
есть м атематическая н ау к а, изучающая закономерности в
массовых однородны х случайных явлениях (событиях).
С л у ч а й н о е я в л е н и е - это такое я в л е н и е , которое при не однократном воспроизведении одного и того же опыта про текает каждый раз несколько по и н о м у . В качестве примера
рассмотрим стрельбу из о р у д и я , установленного под задан ным углом 0 0 к го р и зо н ту , начальной скоростью У0 и бал листическим коэффициентом снаряда С . И спользуя эти па раметры можно определить теоретическую траекторию
с н а р я д а . При многократном повторении этого опыта фак тически получится пучок траекторий за счет совокупного
влияния многих случайных ф а кто р о в , таких к а к : о тк л о н ение веса заряда снаряда от н о м и н а л а, ош ибки установки
ствола в заданное п о л о ж ен и е, метеорологические условия и
т .д .
Такие случайные отклонения неизбежно сопутствуют
любому законом ерному я в л е н и ю . М етоды теории вероят ностей по природе приспособлены для исследования м а с совых случайных явлений и дают возможность предсказать
средний суммарный результат массы однородны х случай ных я в л е н и й . При этом они не дают возможность предска зать исход отдельного случайного я в л е н и я .
Практика п о казы вает, ч т о , наблюдая в совокупности
массы однородны х случайных я в л е н и й , можно обнаружить
в них определенные закономерности (свойство у с т о й ч и в о с т и ). Н ап р и м е р , при многократном бросании монеты час т о т а появления герба (отношение числа выпавших гербов к
общему числу бросаний) приближается к определенному
числу 1/ 2 .
Методы теории вероятностей широко применяются в
различны х областях науки и т ех н и к и , таких к а к : теория на д е ж н о с т и , теория массового о б сл у ж и в ан и я, теоретическая
ф и зи к а, теория связи и во многих других теоретических и
прикладных н а у к а х .
В этом учебном пособии многие вопросы теории веро я т н о с т е й , статистики и случайных процессов рассмотрены
7
с точки зрения вероятностного и статистического м о д е л и рования.
2.
К р а т к а я и с т о р и ч е с к а я с п р а в к а . Систематическое
исследование з а д а ч , связанных с массовы ми случайными
явлениями можно найти в начале XVII века у знаменитого
физика Г а л и л е я . Он анализировал ошибки физических из м е р ен и й , рассм атривал их как случайные и оценивал их ве р о я тн о с ти .
Однако первые р а б о т ы , в которых зарождались основ ные понятия теории вер о я тн о с тей , представляли собой по пытки создания теории азартны х игр (К а р д а н о , Г ю й ге н с ,
П ас к а л ь , Ферма и д р . в XVI- XVII в в .). Само слово азарт
(ф р . «le hasard») означает с л у ч а й .
Следую щ ий этап развития теории вероятностей связан с
именем Я .Бернулли (1654-1705), которому принадлеж ит до казательство так называемого закона больш их ч и с е л , уста новление связи между вероятностью события и частотой
его п о я в л е н и я .
Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с
именами М уавра (1667-1754), Лапласа (1749-1827), Гаусса
(1777-1855), П уассона (1781-1840) и д р . Стройной м атем а­
тической наукой теория вероятностей стала с работами
П .Л .Чебыш ева (1821-1894) и его учеников А .А . М аркова
(1856-1922) и А .М . Ляпунова (1857-1918) - учены х Петер бургской м атем атической ш к о л ы . Д альнейш ее развитие
теории вероятностей и математической статистики связано
с именами русских математиков (С .Н . Б е р н ш тей н , В .И . Ро м ан о вск и й , А .Н . К о л м о го р о в , А .Я . Х и н ч и н , Б .В . Г н е д е н к о ,
Н . В . Смирнов и д р .). Из зарубеж ны х математиков в области
случайных процессов особо следует выделить Н . В и н е р а ,
В . Ф ел л ер а, Д . Д у б а, а в теории вероятностей и математи ческой статистике - Р .Ф и ш ер а, Ю . Н е й м а н а , Г . К р а м е р а ,
Э .Пирсона и д р .
8
1. О С Н О В Н Ы Е
СТЕЙ
ПОНЯТИЯ
ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНО -
1.1 И с п ы т а н и я и с о б ы т и я
С л у ч а й н ы м с о б ы т и е м называют всякий ф а к т , который
может произойти или не произойти при проведении к о н кретного опыта при осущ ествлении некоторого комплекса
условий (обозначим А , В, С , ... ). Таким о б р а зо м , событие
будем рассм атривать как и с п ы та н и е .
В е р о я т н о с т ь с о б ы т и я - численная мера объективной
возм ожности наступления с о б ы т и я .
П р ед п о л о ж и м , что в результате эксперимента может на ступить одно и только одно событие из n равновозмож ны х
с о б ы т и й . Под равновозмож ностью событий понимают тот
с л у ч ай , когда можно принять гипотезу о т о м , что в задан ных условиях определенные исходы опыта возможны в
равной м е р е . Тогда п о л ага ю т, что вероятность каждого из
этих событий равна 1/ n .
Н ап р и м ер , вероятность выпадения герба при бросании
монеты 1/ 2 , а одной из граней игральной кости - 1/ 6 .
Каждое из n равновозм ож ны х событий называют эле м е н т а р н ы м и и сх о д ам и и обозначаются ю 1, ю2, . . . , юп.
Случайное событие А связано с наступлением какого либо элементарного события Wi из пространства элемен тарных событий ^ = { ю1, ю2, ..., Wn}, т . е . при некотором
значении ю событие А н асту п ает, а при некоторых не на сту п а е т .
Элементарные исходы ю , при которых событие А на сту п ает, называются элементарны ми и сх о д ам и , б л аго п р и ятствую щ им и событию А .
П р и м е р 1.1. Событие А состоит в выпадении четного
числа очков при бросании игральной к о с т и . Пространство
элементарны х событий ^ = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } . Событию А можно
сопоставить т а б л и ц у :
W1 W2 W3 W4 W5 W6
0
1
0
1
0
1
9
где 1 - благоприятствую щ ий и с х о д ; 0 - не б лаг оп ри ятст­
вующий и с х о д , тогда событию А б лагоприятствую т исходы
(2,4,6).
n
Данные n равновозм ож ны х события определяю т 2 n раз личных случайных
со б ы т и й . Именно сто л ь к о , сколько
можно составить функций с двумя возможными значениями
при n возможных значениях ар гу м е н т а .
Индикатор события
1А(то) =
1, то благоприятствуют событию А,
0, то неблагоприятствуют событию А.
1.2 К л а с с и ч е с к о е о п р е д е л е н и е в е р о я т н о с т и
В е р о я т н о с т ь ю с о б ы т и я А называют отношение числа m
благоприятствую щ их исходов к общему числу n р ав н о в о зm
можных со б ы ти й , образую щ их полную группу Р (А ) = — или
n
n
P( А) = (1/n) ■Е I а (то,-) •
,=1
Отдельно выделим достоверное событие ^ , которому
б лагоприятствую т все элементарны е события и P (^ )=1; не возможное событие 0 : Р ( 0 )= 0 .
Для случайных событий 0< Р (А )<1.
П р и м е р 1.2. Брошены 2 игральные к о с т и . Найти в ер о я тность т о г о , что сумма полученны х очков равна 4.
Р е ш е н и е . П ространство элементарны х событий ^ ={(1,
1), ( 1,2), ..., (6 ,6)}.
Всего исходов - n =6 ■6=36 .Число благоприятствую щ их
исходов m =3. Благоприятствую щ ие исходы - {(1,3), (3,1),
(2 ,2 )}.
В ероятность события - P ( A ) =3/36=1/12.
1.3 С т а т и с т и ч е с к о е о п р е д е л е н и е в е р о я т н о с т и
Число равновозмож ны х исходов к о н еч н о , поэтому клас сическое определение о г р а н и ч е н о . К тому же результат и спытаний не всегда можно представить в виде совокупности
10
элементарны х со б ы ти й . Поэтому вводят понятие статисти ческой в ер о я тн о с ти .
Ч а с т о т о й с о б ы т и я А называют отношение числа m и сп ы тан и й , в которых событие А п о яви л о с ь , к общему числу
n проведенны х и сп ы тан и й . А н а л о ги ч н о , используя и н д и к атор события v i=l, если в i - м испытании событие А про изошло и v i =0, если событие А не п р о и зо ш л о , определим
частоту
*
р = ( l / n )■(v 1 + v 2 +. . .+ v n)- частота события А в n и с п ы таниях.
Если д о п у с т и т ь , что опыты проводились в одинаковых
условиях и число испытаний- велико и р *^ чр при
n
, где р -const, то *событие А обладает вероятностью
равной ( р = Р ( А )), где р - статистическая в е р о я тн о с ть . Ко ротко этот факт записы ваю т как р ——
^р.
П р и м е р 1.3. Пусть завод выпускает массовую продук ц и ю . Если и зд ел и я, выпущенные заводом и поступившие в
п р о д аж у , выходят из строя в течение г о д а , то требуется его
з а м е н и т ь . Сколько требуется запасны х и зд ел и й , если в те чение года продается N изделий ?
Р еш ен и е. Обозначим событие А - отказ и зд е л и я .
1. П р ед п о л о ж и м , что событие обладает некоторой веро ятностью р ; отношение m выш едш их из строя изделий к об щему числу N есть частота события А при N испытаниях
*
р =m/ N. Если N - в е л и к о , то частота приблизительно сов *
падает с вероятностью р . Тогда р ~ р , отсюда m ~ N р .
2. Пусть р неизвестная в ел и ч и н а, тогда надо поставить
n опытов (испытание n изделий в течение года); *и пусть
среди них в к случаях изделие о т к а з а л о . Отсюда р = k / n , и
*
*
если n - в е л и к о , тогда р —р , m - n •р .
1.4 Г е о м е т р и ч е с к и е в е р о я т н о с т и
Выше было о т м еч ен о , что классическое определение не применимо в случае бесконечного числа и с х о д о в . Чтобы
преодолеть этот н ед о ст ато к , вводят вероятности попадания
точки в область (о тр езо к , часть плоскости и .д .). Р ассм о т­
рим геометрические вероятности на п р и м е р е .
11
П р и м е р 1.4. Пусть на плоскости начерчены две кон центрические о к р у ж н о сти , радиусы которых r=5 с м , R =10
см со о тв етств ен н о . Найти вероятность т о г о , что т о ч к а ,
брошенная наудачу в больш ой к р у г , попадет в к о л ь ц о .
Р е ш е н и е . Площадь кольца Sk=n(R 2- г2)= п (1 02- 5 2)=75п
2
2
2
(см ). Площадь большого круга
S =nR =100п (см ). И с к о мая вероятность P (А )= Sk/ S =0,75.
Геометрические вероятности могут сводиться к о тн о шениям длин о тр езк о в , п ло щ ад ей , о б ъ ем о в .
1.5 С о б ы т и я и д е й с т в и я над н и м и
ТЛ
w
w
В каждой вероятностной задаче задается некоторое
множество ^ элементов или точек ю (^ - пространство со б ы ти й ,
ю - элементарны е со б ы ти я). ^ - конечное м н о ж ество точек в классическом определении вер о ятн о с ти , но в
ряде задач ^ - бесконечное м н о ж еств о .
Для такого случайного с о б ы ти я , как отказ физического
элемента любой системы пространство ^ ={ ю> 0 }, где ю момент о т к а з а .
Должно быть задано пространство ^ и любое со б ы ти е,
отождествленное с некоторым подмножеством А
, тогда
событие будет интерпретироваться как попадание э л е м е н тарного события ю в множество А .
В виду такого тесного соответствия между событием и
множеством они обозначаются одними и теми же символа м и . Над событиями можно проводить те же операции что и
над м н о ж еств ам и . Пусть А а некоторое событие (а е I) и за данное множество - часть простого события ^ .
1. О бъединение событий UА а - со б ы ти е, состоящее в
а
n
наступлении хотя бы одного из событий А а ( Е А,-).
i=1
2. Пересечение событий ПАа - со б ы ти е, состоящее в
а
т о м , что произойдут все события (А; А 2 ■. . . A n).
Достоверное событие Q ={ ю е Q }.
Н евозможное событие 0 = { ю е 0 }.
12
3.
Разность событий А\ В - со б ы т и е , состоящее в т о м ,
что происходит А , но не происходит В (А - В ).
A = Q\A - дополнение к событию А ( противоположное
событию А ).
Р ( A )=1- Р (A).
Установим соответствие между событиями и л о г и ч е скими вы ск азы в ан и ям и , используя символ с принадлежно с т и . Запись A c B о зн ач ает, что любой элемент А входит в
множество В (A - частный случай В или из А следует В ).
Действия над с о б ы ти ям и .
1. A U А = А
10. Если A c B , то В = А U(B \ A )
11. А \ В = А В
2. А П А = А
12. A UВ =A U( В и )
3. A U A = Q
13. A U(В UС) = (A UВ ) UС
4. A П A = 0
14. A П( В П С ) = (A ПВ ) ПС
5. A U Q = Q
15. A П( В UС ) = (A ПВ ) U(A П С )
6. A П Q = A
16. A U( В П С ) = (A UВ ) П(A UС )
7. A U 0 = A
8. А П 0 = 0
17. UAa = П 4
a
9. Если A c B и B c C , то A c C
a
18. П A a = U Aa
a
a
При небольш ом числе событий (3-5) все эти операции
можно анализировать с помощью диаграмм Эйлера - В е н н а .
Ai
Р и с . 1.1
Два события A и В называются несовместными, если А П В=0,
т.е. они не могут наступить одновременно; А и A - несовместны.
События А а ( a е I) называются несовместными, если несовме­
стны два события А а и Ав, где а^р; а, р е I.
13
События А а образуют полную группу, если их объединение по
всем а есть достоверное событие Q (иАа= ^ и АаПАр=0 ), т. е. в
а
данном опыте произойдет одно и только одно из событий Аа. Сум­
ма вероятностей событий, удовлетворяющих этим условиям равна
1.
1.6 Аксиоматическое определение вероятности
Пусть дано произвольное множество ^={ю} элементарных со­
бытий. Пусть определена некоторая система Q подмножеств
^-называемых случайными событиями и для каждого события А е
Q определяется некоторая числовая функция P(A).
Множество Q должно обладать следующими свойствами (а алгебра):
1. ^ е Q ;
_
2. если А е Q , то А е Q ;
3. если А а е Q , то и А а е Q ; П А а е Q .
а
Числовая функция P ( А ) определенная для всех со б ы ти й ,
входящих в Q , уд овлетворяет следующим условиям (аксио м ам ):
1. Р ( А )> 0, А е Q - аксиома н еотр и ц ател ь н о с ти ;
2. P (^ )=1 - аксиома н о р м и р о в ан н о сти ;
3. P ( и А а ) = Е P (А а) - расш иренная аксиома сложения
а
а
(А а - несовместные со б ы ти я).
Тройку {^ , Q , P }называют вероятностным п р о стр ан ст-
вом.
Два события А и В н е з а в и с и м ы , если Р( А ■В)= Р ( А )■Р (В ),
в противном случае события называют зави с и м ы м и .
П р и м е р 1.5. Пусть событие А - выпадение герба у пер вой м о н е ты ; В - выпадение герба у второй м о н е ты . Тогда
вероятности Р ( А )= Р ( В )=1/2, Р( А ■В)=1/4,
P( A B )= P ( А )■P ( B ). Отсюда сл ед у ет, что А и В - н езав и симые с о б ы т и я .
С другой сто р о н ы , если А и В н езав и си м ы , то н езав и си мы А , В ; А , B ; А , B .
События А 1, А 2, ..., А n н е з а в и с и м ы в со в о к у п н о сти , е с ли для любой подгруппы А,-,...,А, выполнено соотношение
14
P(A
A ) = p ( a , )... P ( A ).
П р и м е р 1.6. Пусть на ЭВМ решается некоторая з а д а ч а .
Обозначим со б ы т и я :
А - правильное решение з а д а ч и ;
A 1- отсутствие ошибок в п р о г р а м м е ;
А 2 - отсутствие ошибок в исходных д а н н ы х ;
А 3 - правильны й ввод информации в Э В М ;
A 4 - отсутствие сбоев при решении з а д а ч и ;
A 5 - отсутствие сбоев у п р и н т е р а .
Приняв гипотезу о независим ости этих событий можно
найти вероятность события A : P (A )= P (A 1) •... •Р (A 5) .
Пусть A и В случайные события и Р ( A )>0. Тогда о т н о шение Р (A •В )/ Р (В ) называют у с л о в н о й в е р о я т н о с т ь ю со бытия А при у с л о в и и , что произошло событие В ( о б о зн ачается Р (A/ В ) ).
1. 7 О с н о в н ы е т е о р е м ы т е о р и и в е р о я т н о с т е й
Т е о р е м а 1. С л о ж е н и е в е р о я т н о с т е й .
В ероятность суммы двух н есовместны х событий равна
сумме вероятностей этих со б ы ти й .
Р ( A + В ) = Р ( A ) + Р ( В ), где А и В - несовместные со б ы т и я .
Д о к а зател ь ств о . Пусть n - общее число возможных эле ментарны х и сх о д о в , а т 1- ч и с л о и сх о д о в , б лаг о п р и я тст­
вующих событию А ; m2 - число и сх о д о в , б лаго п р и ятст­
вующих событию В . Тогда P ( A ) = т 1/ n , P ( B ) = m 2/ n .
Так как события А и В - н есо в м е стн ы е, то нет таких и с х о д о в , благоприятствую щ их наступлению A и В в м е с т е .
С л ед о ват ел ь н о , событию (А + В ) благоприятствую т ( т 1+ т 2)
исходов и вероятность
Р (А + В )=( т 1+ т 2) / n = P ( A ) + P ( В ).
З а м е ч а н и е . Теорема 1 повторяет аксиому 3. Тем не ме нее мы ее здесь доказали с использованием схемы с л у ч а е в .
С л е д с т в и е 1. Вероятность появления одного из не скольких попарно н есовместны х событий равна сумме ве роятностей этих событий
Р (А 1+ ...+An)= Р (А 1) + . + Р ( An) .
С л е д с т в и е 2. Вероятность суммы n со б ы ти й , образую щих полную группу несовместны х со б ы ти й , равна 1. Сумма
15
этих событий есть достоверное со б ы т и е .
П р о т и в о п о л о ж н ы м и с о б ы т и я м и называют два н есовместных с о б ы ти я, образую щ их полную группу и обозна чают как А и А .
С л е д с т в и е 3. Сумма вероятностей противополож ных
событий равна 1, т .е . Р ( А ) + Р ( А ) = 1.
Т е о р е м а 2. У м н о ж е н и е в е р о я т н о с т е й .
В ероятность произведения двух событий равна п р о и зведению вероятности одного из них на условную в ер о ятность д р у г о г о , вычисленную при у с л о в и и , что первое со бытие п р о и зо ш л о , т . е .
Р( А ■В) ==Р ( А ) ■Р( В / А ).
Д о к а зател ь ств о . Пусть n - общее число возможных эле м ентарных и с х о д о в ;
m - число и сх о д о в , благоприятствую щ их событию А ;
к - число и сх о д о в , благоприятствую щ их событию В .
Так как А и В могут быть со в м естн ы м и , то сущ ествую т
и с х о д ы , благоприятствую щ ие и А и В в м е с т е . Пусть число
таких исходов равно l . Тогда
Р (А -В) = l / n , Р ( А ) = m / n .
Вычислим условную вероятность события В при у с л о в и и , что событие А п р о и з о ш л о . Если А п р о и зо ш л о , то из
ранее возможных n исходов остаются возможными только
те m , которые б лагоприятствую т А , а из них l исходов б л а гоприятствую т В . Тогда
Р ( В/ А ) = l/m и Р ( А ) ■Р( В/ А ) = ( m / n ) ■( l / m ) = l / n = P (А ■В).
С л е д с т в и е 1. Если событие А не зависит от события В ,
то и В не зависит от А , т .е . Р ( А / В ) = Р ( А ) или Р ( В / А ) = Р ( В ).
С л е д с т в и е 2. Вероятность произведения двух независи мых событий равна произведению вероятностей этих собы т и й : Р( А ■В) = Р ( А ) ■Р( В ).
С л е д с т в и е 3. Если события А 1,А2, . . . , A n - з а в и с и м ы е ,
то
Р (А - ■А 2■... ■An) = Р ( А -) ■Р (А 2/А-) ■Р (А 3/ А -А 2) ■...
Р (А n/ А -А 2... An ).
Если события А 1, А 2, . . ., A n - н езав и си м ы е, то
Р ( А -■А 2■...■An)= Р( А 1)■Р ( А 2)■Р ( А 3)■...■Р ( Аn).
16
П р и м е р 1.7. П р и б о р , работаю щ ий в течении времени t ,
состоит из трех у з л о в , каждый из к о то р ы х , не зависимо
один от д р у г о г о , в течении этого времени может выйти из
с т р о я . Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибо ра в ц е л о м . За время t надежность (вероятность б езо тк азной раб о ты ) первого узла равна 0,8, второго - 0,9, третьего
- 0,7. Найти надежность прибора в ц е л о м .
Р е ш е н и е . Обозначим через А - надежность прибора в
ц е л о м , а A i - надежность i - го узла ( i =1,2,3). Тогда
А =А 1■А 2■А 3 и
Р ( А ) = P ( A 1) ■P (A 2) ■P (A 3)=0,8 ■0,9 ■0,7=0,504.
Т е о р е м а 3. С л о ж е н и е в е р о я т н о с т е й с о в м е с т н ы х собы тий.
Эта теорема устан авли вает связь между теоремой 1 и
теоремой 2 .
В ероятность появления хотя бы одного из двух совмест ных событий равна сумме вероятностей этих событий без
вероятности их совместного п о я в л е н и я .
Д о к а зател ь ств о . Для наступления события А д о с т а т о ч н о , чтобы произошло хотя бы одно из следую щ их несовме стных с о б ы т и й : A •В , A ■B .
Аналогично для В : А •В , A •В . Тогда вероятности собы тий А и В соответственно р а в н ы : Р ( А )= Р( А •В )+ Р( А •B ),
Р (В )= Р (A ■В )+ Р ( A -В).
Для наступления хотя бы одного из событий А или В
д о с та то ч н о , чтобы произошло одно из трех попарно несо вместных со б ы ти й : А •В , A •B, A •В . С л ед о вател ь н о ,
Р (A + В )= Р( А ■В )+ Р (A ■B )+ Р ( A -В).
Подставив первые два равенства в последнее р а в е н с тв о ,
получим
Р (A + В )= Р ( A )+ Р (В ) - Р (A •В ).
С л е д с т в и е . М етодом м атем атической индукции данную
теорему можно обобщить на случай суммы n со б ы т и й :
Р( А 1+ А 2+. . .+An) = 1 - Р ( A1■A2 ■...■ An ) = l - q 1■q 2■••• ■qn,
где P ( Ai )= qi = 1 - p .
П р и м е р 1.8. Чтобы вывести самолет из строя при раз рыве снаряда на некотором расстоянии R от с а м о л ета, не обходимо поразить осколками либо оба д в и г а т е л я , либо
кабину л е т ч и к а . При разрыве снаряда на расстоянии R от
17
самолета вероятность поражения осколками каждого из
двигателей равна 0,2, а кабины летчика - 0,3. Найти веро ятность поражения самолета при разрыве снаряда на рас стоянии R , если агрегаты выходят из строя н езав и си м о .
Р е ш е н и е . Ведем со б ы т и я : С - поражение с а м о л е т а ;
L - поражение кабины л е т ч и к а ;
D 1 - поражение первого д в и г а т е л я ;
D 2 - поражение второго д в и г а т е л я . Тогда
С = D -D 2+ L P ( С ) = P ( L ) + P ( D -D 2) - P ( L D - D 2)=
=0,3+0,2 ■0 ,2 - 0 ,3 ■0,2 ■0,2=0,328.
П р и м е р 1.9. В электрическую сеть последовательно
включены три эл е м е н т а , работающ ие независимо один от
д р у г о г о . В ероятности отказов этих элементов соо тв етст­
венно равны 0,1; 0,15; 0,2. Найти вероятность т о г о , что то ка в цепи не б у д е т .
Р е ш е н и е . Обозначим через А со б ы ти е, что тока в цепи
н е т . Тогда
Р ( А ) = 1 - ( 1 - 0 , 1 ) ( 1 - 0 , 1 5) (1 -0 ,2 )= 0 ,3 8 8 .
1.8 Ф о р м у л а п о л н о й в е р о я т н о с т и
П р ед п о л о ж и м , что некоторое событие А может насту пить лишь при условии появления одного из несовместны х
событий В 1, В 2,
В n, образую щ их полную гр у п п у . И зв е с т ны вероятности этих событий Р ( В ,) и условные вероятности
Р ( А/ В ,). Как найти вероятность события А ?
Т е о р е м а . Вероятность события А , которое может насту пить только при условии появления одного из н есо в м е стных событий В 1,
В n, образую щ их полную гр у п п у , равна
сумме произведений вероятностей каждого из этих собы тий на соответствую щ ую условную вероятность события А .
n
P ( А )= Е P ( B ,)P (А / B ,).
,=1
Д о к а з а т е л ь с т в о . Появление события А означает п о я в ление одного из н есовместны х событий В 1 ■А, В 2 ■А, ..., В n ■А,
т . е . А = В 1А + В 2А + ...+ В пА . По теореме сложения вероятно стей Р ( А ) = Р (В 1А ) + .. . + Р ( В пА ). По теореме ум нож ения веро ятностей зависимы х событий
P (B -А) = P (B 1) P ( A / B 1),
Р ( В nA) = Р (В n) ■Р(А/В n).
18
n
Отсюда получим P ( A )= X P (B i) P ( A / B i).
i =1
П р и м е р 1.10. Имеется два ящ ика д е т а л е й . Вероятность
т о г о , что деталь из первого ящ ика стан д ар тн а я , равна 0,8 и ,
что деталь из второго ящ ика стан д ар тн а я , равна 0,9. Найти
вероятность т о г о , что взятая наудачу деталь из наудачу вы бранного ящ ика стан д ар тн а я .
Р е ш е н и е . Обозначим со б ы т и я :
А - взятая деталь с тан д ар тн а я ;
B 1- деталь взята из первого я щ и к а ;
В 2- деталь взята из второго я щ и к а .
P ( A / B 1) - вероятность т о г о , что из первого ящика будет
взята стандартная д е т а л ь ; Р (A/ В 2) - вероятность то г о , что
из второго ящ ика будет взята стандартная д е т а л ь ;
Р (В 1) = Р (В 2)=0,5;
P (A / B 1) = 0,8;
P (A/B 2)=0,9. Тогда искомая вероятность
Р (A) = Р (В 1) ■Р (A/ В 1) + Р ( В 2) ■Р (A/ В 2) = 0 ,5 ■0 ,8 + 0 ,5 ■0,9=0,85.
1.9 Ф о р м у л а Б е й е с а
В формуле полной вероятности несовместные события
В i образую т полную группу и эти события называют ги п о т е з а м и , поскольку заранее н еи зве стн о , какое из них насту пит.
П р ед п о л о ж и м , что произведен о п ы т, в результате кото рого появилось событие А . Поставим следующую з а д а ч у :
как изменятся в связи с наступлением события А вероятно сти гипотез В i . Событие А зависит от каждого из событий
B 1, . . . , Bn. Задача состоит в определении условны х в ер о я т­
ностей
Р (В 1/А),
Р (В п/ А )
Найдем P ( B / A ) ( i = 1, n ) по теореме у м н о ж е н и я . Откуда
имеем
P (ABi) = P ( A ) P ( B / A ) = P ( Bi ) P( A/ Bi ) ( i = Ш ).
Отсюда условные вероятности
p
(B / A ) = P B i L P A ! B i l .
19
Выражая Р ( А ) с помощью формулы полной вер о ятн о с ти ,
получим
P ( B / A ) - nP ( Bi >• P(А 1 Bi )
i=1
.
Bi ) • P( A / Bi)
Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности
гипотез после т о г о , как произошло событие А .
П р и м е р 1.11. Д етал и , изготовленные в ц е х е , поступают
для проверки их на стандартность к одному из двух кон т р о л е р о в . Вероятность т о г о , что деталь попадет к первому
контролеру равна 0,6, ко второму - 0,4. Вероятность т о г о ,
что деталь будет признана стандартной первым контроле ром равна 0,94, вторым - 0,98. Деталь при проверке при знана с тан д ар тн о й . Найти вероятность т о г о , что эту деталь
проверил первый к о н т р о л е р .
Р е ш е н и е . А - деталь признана стан д ар тн о й ;
B 1 - деталь проверил первый к о н т р о л е р ;
В 2 - деталь проверил второй к о н т р о л е р .
В ероятности г и п о т е з : P ( B 1)=0,6;
Р ( В 2)=0,4;
0 6 •0 94
P (B 1/ А ) = 0,6 •0,94 + 0,4 •0,98 “ ° ’5 9 .
1.10 П о в т о р е н и е и с п ы т а н и й . Ф о р м у л а Б е р н у л л и
Пусть проводятся несколько и сп ы тан и й , причем вероят ность появления события А в каждом испытании постоянна
и равна р и не зависит от исходов других и с п ы тан и й . С л е д о в а т е л ь н о , вероятность ненаступления события А в к а ж дом испы тании также постоянна и равна q = l - p .
Поставим задачу вычисления вероятности т о г о , что в n
испытаниях событие А наступит ровно к раз и не наступит
( n - k ) р а з . Н ап р и м е р , если А появилось три раза в четырех
и сп ы тан и я х , то можно составить следующие сложные со б ы т и я : ААА А , АА А А , А А А А , А А А А .
Искомую вероятность обозначим Р n( к ) .
Вероятность одного сложного со б ы т и я , состоящего в
т о м , что в n испытаниях событие А наступит к раз и не на ступит ( n - k ) р а з , по теореме ум нож ения в ер о ятн остей ,
20
равна p kq n'k. Таких сложных событий всего C nk. Тогда
т-> / 1 \
k k n-k
Pn ( k ) = Cn p q .
С л е д с т в и е . Вероятность т о г о , что в n испытаниях со бытие н а с ту п и т:
а) менее k раз - Р n(0)+ Р n(1) + ... + P n(k -l);
б) не менее k раз - P n(k)+ P n ( k + 1 )+...+ Р n( n );
в) более k раз - P n( k +l)+ P n( k +2 ) + ...+ Р n( n );
г) не более k раз - P n(0)+ P n(l)+...+ P n(k).
1.11 Л о к а л ь н а я ф о р м у л а М у а в р а - Л а п л а с а
При больш их значениях n использование формулы Б е р нулли затр у д н и т ел ь н о , и поэтому в таких случаях пользу ются приближ енной формулой М уавра - Л а п л а с а .
Если вероятность р наступления события А в n и сп ы таниях постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < р < 1), то
вероятность появления события А в n испы таниях ровно k
раз приблизительно равна значению функции
1
k - np
1
у=
— ф(х) при х
, где функция ф(х) = А—•e х / 2 ynpq
ynpq
л/2п
табулированная ф у н к ц и я . Как видно из вы р аж ен и я , функ ция ф (х) ч е т н а я . Таким о б р азо м ,
Pn ( k ) ~ Л - Ф(х).
ynpq
Ф ормула тем т о ч н е е , чем больше число испытаний n .
П р и м е р 1.12. Вероятность поражения мишени стрелком
при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность т о г о ,
что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 р а з .
Р е ш е н и е . В данном случае n =10; k=8 ; p =0,75; q =0,25;
x=
8 - 10 •0,7У ^ =
/10 •0,75 •0,25
ф (0,36) ~0,3739;
P (8) ~ ,
1
•0,3739 = 0,273.
10
/10 •0,75 •0,25
Для сравнения найдем эту вероятность по формуле Бер н у л л и : Р 10(8)= C,80 •0 ,7 5 8•0,252=0,282.
21
1.12 И н т е г р а л ь н а я ф о р м у л а М у а в р а - Л а п л а с а
Пусть проводится n и сп ы тан и й , в каждом из которых
вероятность появления некоторого события А равна р
( 0<р <1). Как вычислить вероятность P n( k 1, k2) т о г о , что со бытие А в n испы таниях появится от k 1 до k2 раз (не менее
k 1 и не более k2 р а з ).
Т еор е м а . Если вероятность p наступления события А в
каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то веро ятность Р n(k1, k2) т о г о , что событие появится от k 1 до k2 р а з ,
приблизительно равна значению определенного интеграла
1 X - t2/2
k1- np
k2 - np
je
dt,
где я '=
я =
npq
л/2П X
’
“
4 npq ’
Введем функцию (и н теграл ) Л а п л а с а :
4
1
X - t2
Ф0(я ) ^ - т = •je
V 2n 0
dt.
Таким образом,
1 x -t2/2
je
d t = Ф0(x") - Ф0(x ).
j e"t /2dt V2n 0
0
Ф 0(я) - нечетная ф у н к ц и я . График функции Ф 0(я) приве ден на р и с . 1.2
Pn ( k 1, k 2)
П р и м е р 1.13. Вероятность т о г о , что деталь не пройдет
проверку ОТК равна 0,2. Найти вероятность т о г о , что среди
400 случайным образом отобранны х деталей окажется не проверенных от 70 до 100.
Р е ш е н и е . В данном случае n =400, k 1=70, k2= 100, p =0,2,
q =0,8. Значения аргументов функции Л а п л а с а :
22
, 70 - 400 •0,2
„
100 - 400 •0,2
x = .
~ -1,25, я =
,
~ 2,5.
д/400 •0,2 •0,8
д/400 •0,2 •0,8
Ф0(1,25)=0,3944,
Ф0(2,5)=0,4938,
Р 400 (70, 100) ~ 0,4938+0,3944=0,8882.
С л е д с т в и е . Отклонение частоты события от постоянной
вероятности в n испы таниях выражается ф о р м у л о й :
Р (I m/n - p I < £) ~ 2 Ф0(£д/ n / ( p q )).
1
1 x 2
О п р е д е л е н и е . Функцию Ф(я) = Ф0(я)+ _ = ^ = j e~x ,2dt
2 д/2п
называют функцией с т а н д а р т н о г о н о р м а л ь н о г о (гау сс о ва)
р асп р ед ел ен и я .
1.13 Ф о р м у л а П у а с с о н а
Пусть n - число и сп ы тан и й , р - вероятность н асту п ления события в каждом из них (n ■p = X ). Тогда по формуле
Бернулли
г > п \ Г k k n-kn •(n - 1) •... •[n - (k - 1)]
k n-k
Pn ( k) = Cn ■p ■q =
■p ■q .
k!
Xk
П редел этой вероятности lim P n( k )= — e ~l , откуда
n^^
k!
Xk -X
P n( k ) ~ — e . Последнее выражение носит название
k!
формулы П у а с с о н а . Эта формула используется в тех случа я х , когда число испытаний «вел и к о », а вероятность н асту п ления события А в каждом из них «м а л а », причем «м а л о »
также произведение X= n ■p .
П р и м е р 1.14. Завод отправил на базу 5000 доброкачест венных и зд е л и й . Вероятность т о г о , что в пути изделие по вредится равна 0,0002. Найти вероятность т о г о , что на базу
прибудут 3 негодных и зд е л и я .
Р е ш е н и е . В этом случае k=3,
n =5000,
р= 0,00 02,
X= n ■р = 1,
Р 5000О ) ~ (1/3!) ■е -1~ 0,06.
23
1.14 П р о с т е й ш и й п о т о к с о б ы т и й
Рассмотрим со б ы т и я , которые наступают в случайные
моменты в р е м е н и . П о т о к о м с о б ы т и й будем называть по следовательность со б ы ти й , которые наступают в случайные
моменты в р е м е н и . Н а п р и м е р : поступление вызовов на
пункт скорой п о м о щ и , последовательность отказов элемен тов какой - либо системы и т . д .
Основные свойства п о т о к а .
1. С т ац и о н ар н о сть . Она характеризуется т е м , что веро ятность появления k событий на любом промежутке в р ем ени t зависит только от числа k и от д лительности t и не за висит от промеж утка о т с ч е т а .
2. Отсутствие последействия о зн ач ает, что вероятность
появления k событий на любом промежутке времени не за висит от т о г о , появились или не появились события до рас сматриваемого промежутка в р е м е н и . Условная вероятность
появления k событий на любом промежутке времени t , вы численная при любых предполож ениях о т о м , сколько со бытий произошло до рассматриваемого п р о м е ж у тк а, равна
безусловной вер о я тн о с ти .
3. О рдинарность характеризуется т е м , что появление 2 ­
х и более событий на малом промежутке времени практи чески н ев о зм о ж н о .
П р о с т е й ш и м (п у а с с о н о в с к и м ) потоком называется по ток со б ы ти й , обладаю щ ий этими тремя св о й с тв ам и .
И н т е н с и в н о с т ь ю потока X называют среднее число со б ы ти й , которые появляются в единицу в р ем ен и . Если ин тенсивность потока X и зв естн а, то вероятность появления k
событий за промежуток времени t определяется формулой
Пуассона:
Pt (k) = (* )k •e~* .
k!
П р и м е р 1.15. Среднее число в ы з о в о в , поступивш их в
АТС за 1 м и н у т у , равно 2. Найти вероятность т о г о , что за 5
минут поступит а) 2 в ы з о в а , б ) не менее 2 -х в ы з о в о в .
Р е ш е н и е . X=2, t=5, k=2.
24
102 •e“10
а) Р 5(2) = —-------- ~ 0,00225.
2!
б) P 5( k > 2)= l- P 5(k<2 )=l- ( e‘10+ 1 0 e '10)~0,999505 - п ракти ­
чески достоверное с о б ы т и е .
1.15 З а д а н и е № 1 на с а м о с т о я т е л ь н у ю р а б о т у . Р е ш е н и е
ти повы х задач
1.1 Задумано двузначное ч и с л о . Найти вероятность то г о , что задуманны м числом о к а ж е т с я :
а) случайно названное двузначное ч и с л о ;
б) случайно названное двузначное ч и с л о , цифры кото рого р а з л и ч н ы .
О т в е т : а) Р =1/90, б ) Р =1/81.
1.2 Брошены две игральные к о с т и . Найти вероятности
следую щ их с о б ы т и й :
а) сумма выпавш их очков равна 7;
б) сумма выпавших очков равна 8 , а разность 4.
О т в е т : а) Р =1/6, б) Р =1/18.
1.3 К у б , все грани которого о к р аш ен ы , распилен на ты сячу кубиков одинакового р а з м е р а , которые затем т щ а тельно п ер е м е ш а н ы . Найти вероятность т о г о , что наудачу
извлеченный кубик имеет окраш енны х гр а н е й : а) о д н у ; б )
две.
О т в е т : а) Р =0,384;
б) Р =0,096.
1.4. В пачке 20 кар то ч ек , помеченных номерами
101, 102, ..., 120 и произвольно р а сп о л о ж ен н ы х . Науда чу извлечены две к ар то ч к и . Найти вероятность т о г о , что
извлечены карточки с номерами 101 и 120.
О т в е т : Р = 1 / Cf0 = 1/190.
1.5 В ящике имеется 15 д е т а л е й , среди которых 10 окра ш е н н ы х . Сборщ ик наудачу извлекает 3 д е т а л и . Найти веро ятность т о г о , что извлеченные детали окажутся о к раш ен ­
ными .
О т в е т : P = C3 /Cj35 = 24/91.
1.6 В конверте среди 100 фотокарточек находится 1 ра зы с к и в а е м а я . Из конверта наудачу извлечены 10 к а р т о ч е к .
25
Найти вероятность т о г о , что среди них окажется н у ж н а я .
О т в е т : P = с | 9/С^о = 0,1.
1.7 В ящике 100 д е т а л е й , из них 10 б р ак о в ан н ы х . Нау дачу извлечены 4 д е т а л и . Найти вероятность то г о , что сре ди извлеченных деталей нет б р ак о в ан н ы х .
О т в е т : P = С,40/Cj400 ~ 0,65.
1.8 В партии из N деталей имеется n стан д ар тн ы х . Нау дачу отобраны m д е т а л е й . Найти вероятность т о г о , что сре ди отобранны х деталей ровно k стан д ар тн ы х .
О т в е т : P = Q* • C S ^ / C S .
1.9 В группе 12 сту д ен то в , среди которых 8 о тл и ч н и к о в .
По списку наудачу отобраны 9 с ту д е н то в . Найти в ер о ят­
ность т о г о , что среди них 5 о тл и ч н и к о в .
О т в е т : P = Cf C4/C9 = 14/55.
1.10 В «сек р етн о м » замке на общей оси 4 д и с к а , каждый
из которых разделен на 5 сек то р о в , на которых написаны
различные ц и ф р ы . Замок открывается только в том сл у ч ае,
если диски установлены т а к , что цифры на них составляют
определенное четы рехзначное ч и с л о . Найти вероятность
то г о , что при произвольной установке дисков замок будет
о т к р ы т . О т в е т : Р =1/54.
1.11 В сигнализатор поступаю т сигналы от двух уст р о й с т в , причем поступление каждого из сигналов р а в н о возможно в любой момент промежутка времени длительно стью Т. М оменты поступления сигналов независимы один
от д р у г о г о . Сигнализатор ср аб аты ва ет, если разность меж ду моментами поступления сигналов меньше t ( t<T). Найти
вероятность т о г о , что сигнализатор срабаты вает за время Т,
если каждое из устройств пошлет по одному с и гн а л у .
О т в е т : P = t( 2T- t)/T 2.
1.12 Задача о в с т р е ч е . Два студента условились встре титься в определенном месте между 12 и 13 часами д н я .
П риш едш ий первым ждет второго в течении 1/4 ч а с а , после
чего у х о д и т . Найти вероятность т о г о , что встреча состоит с я , если каждый студент наудачу выбирает момент своего
прихода (в промежутке от 12 до 13 ч асо в ).
О т в е т : Р =7/16.
26
1.13 В ящике 10 д е т а л е й , из которых 4 о к р аш ен ы .
Сборщ ик наугад взял 3 д е т а л и . Найти вероятность т о г о , что
хотя бы одна из взятых деталей о к р аш ен а.
О т в е т : P = 1- C | /C3 = 5/ 6 .
1.14 Для сигнализации об аварии установлены два неза висимо работаю щ их си гн ал и зато р а. Вероятность т о г о , что
при аварии сигнализатор с р аб о тает, равна 0,95 для первого
сигнализатора и 0,9 для в т о р о го . Найти вероятность т о г о ,
что при аварии сработает только один си гн ал и зато р .
О т в е т : Р =0,14.
1.15 Два стрелка стреляют по м и ш е н и . Вероятность по падания в мишень при одном выстреле для первого стрелка
равна 0,7, а для второго 0,8. Найти вероятность т о г о , что
при одном залпе в мишень попадает только один из стрел ков.
О т в е т : P =0,38.
1.16 Вероятность одного попадания в цель при одном
залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность пора жения цели при одном выстреле первым из о р у д и й , если
и зв естн о , что для второго орудия эта вероятность равна
0 ,8 .
О т в е т : P =0,7.
1.17 Отдел технического контроля проверяет изделия на
стан д ар тн о с ть . Вероятность т о г о , что изделие стан д ар тн о ,
равно 0,9. Найти вероятность то г о , что из двух проверен ных изделий только одно стан д ар тн о е.
О т в е т : P=0,18.
1.18 Из партии изделий товаровед отбирает изделия
высшего с о р т а . Вероятность т о г о , что наудачу взятые изде лия окажутся высшего с о р т а , равна 0,8. Найти вероятность
т о г о , что из 3 произведенны х изделий только 2 изделия
высшего с о р т а .
О т в е т : P =0,384.
1.19 Вероятность т о г о , что нужная сборщику деталь на ходится в п е р в о м , в то р о м , т р е т ь е м , четвертом я щ и к е , соот ветственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность т о г о ,
что деталь с о д ер ж и тся:
а) не более чем в 3 я щ и к а х ;
б) не менее чем в 2 я щ и к а х .
27
О т в е т : а) Р =0,6976,
б ) Р =0,9572.
1.20 Среди 100 лотерейны х билетов есть 5 выигрыш н ы х . Найти вероятность т о г о , что 2 наудачу выбранные би лета окажутся в ы и гр ы ш н ы м и .
О т в е т : Р =(5/100) ■(4/99)=1/495.
1.21 Студент знает 20 из 25 вопросов п р о г р ам м ы . Найти
вероятность т о г о , что студент знает предложенные ему эк заменатором три в о п р о с а .
О т в е т : Р =(20/25) ■(19/24) ■(18/23)=57/115.
1.22 Для разруш ения моста достаточно попадания 1
авиационной б о м б ы . Найти вероятность т о г о , что мост бу дет р аз р у ш е н , если на него сбросить 4 б о м б ы , вероятность
попадания которых соответственно р а в н ы : 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
О т в е т : P =0,95.
1.23 В ящике содержится 12 д е т а л е й , изготовленны х на
заводе № 1, 20 деталей на заводе № 2 и 18 деталей на заводе
№ 3. Вероятность т о г о , что д е т а л ь , изготовленная на заводе
№ 1, отличного к ач еств а, равна 0,9, для д е т а л е й , изготов ленных на заводах № 2 и № o3, эти вероятности соотв етст­
венно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность т о г о , что извле ченная наудачу деталь окажется отличного к а ч е с т в а .
О т в е т : P =0,78.
1.24 В первой урне содержится 10 ш а р о в , из них 8 бе л ы х , во 2-й урне 20 ш а р о в , из них 4 б е л ы х . Из каждой урны
наудачу извлекли по одному ш а р у , а затем из двух шаров
наудачу взят один ш а р . Найти вероятность т о г о , что взят
белый ш а р .
О т в е т : P =0,5.
1.25 В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 бе лых ш а р а . Из первой урны наудачу извлечен один шар и
переложен во вторую у р н у , после чего из второй урны нау дачу извлечен один шар и переложен в третью у р н у . Найти
вероятность т о г о , что ш а р , наудачу извлеченный из третьей
у р н ы , окажется б е л ы м .
О т в е т : P =0,4.
1.26 Два автомата производят одинаковые д е т а л и , кото рые поступают на общий к о н в е й е р . П роизводительность
первого автомата вдвое больше производительности второ г о . П ервый автомат производит в среднем 60% деталей от 28
личного к ач еств а, а второй - 84%. Н аудачу взятая с кон вейера деталь оказалась отличного к а ч еств а. Найти вероят ность т о г о , что эта деталь произведена первым ав т о м а т о м .
О т в е т : Р =10/17.
1.27 В пирамиде 10 в и н то в о к , из которых 4 снабжены
оптическим п р и ц ел о м . Вероятность т о г о , что стрелок пора зит цель из винтовки с оптическим п р и ц ел о м , равна 0,95;
для винтовки без оптического прицела - 0,8. Стрелок пора зил мишень из наудачу взятой в и н то в к и . Что в е р о я тн е е :
стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или
без н его ?
О т в е т : В е р о я тн е е , что винтовка была без оптического
прицела (вероятность т о г о , что винтовка была без оп ти ч еского п р и ц ел а, равна 24/43, с оптическим прицелом 19/43).
1.28 Число грузовых ав то м аш и н , проезжаю щ их по шос с е , на котором стоит б ен зо к о л о н к а, относится к числу лег ковых м аш и н , проезжаю щ их по тому же ш о с с е , как 3:2. Ве роятность т о г о , что будет заправляться грузовая м аш и н а,
равна 0,1; для легковы х машин эта вероятность равна 0,2. К
бензоколонке подъехала для заправки м а ш и н а . Найти веро ятность т о г о , что это грузовая м а ш и н а .
О т в е т : P =3/7.
1.29 В больницу поступаю т в среднем 50% больных с
заболеванием К, 30% - с заболеванием L , 20% - с заб о л е ванием М. Вероятность излечения болезней соответственно
равны 0,7; 0,8; 0,9. Больной поступивш ий в б о л ь н и ц у , был
выписан з д о р о в ы м . Найти вероятность то г о , что этот боль ной страдал заболеванием К.
О т в е т : Р =5/11.
1.30 Два равносильны х противника играют в ш ах м а т ы .
Что в е р о я тн е е : а) выиграть одну партию из двух или две
партии из четырех ? б) выиграть не менее двух партий из
четырех или не менее трех партий из пяти ? Ничьи во вни мание не п р и н и м аю тс я .
О т в е т : а) Вероятнее выиграть одну партию из д в у х :
Р 2( 1 )= 1/2; Р 4(2)=3/8; б ) вероятнее выиграть не менее двух
партий из ч е т ы р е х :
Р 4(2)+ Р 4(3)+ Р 4(4)=1-[ Р 4(0 ) +Р 4(1)] = 11/16;
29
Р 5(3)+ Р 5(4)+ Р 5(5) = 8/16.
1.31 Монету бросаю т 5 р а з . Найти вероятность т о г о , что
«гер б » в ы п а д е т :
а) менее двух р а з ;
б) не менее двух р а з .
О т в е т : а ) Р =3/16, б ) Р =13/16.
1.32 В семье 5 д е т е й . Найти вероятность т о г о , что среди
этих д е т е й : а) 2 м ал ь ч и к а ; б) более двух м ал ь ч и к о в .
О т в е т : а ) Р =10/32, б )Р =1/2.
1.33 Вероятность рождения м альчика равна 0,51. Найти
вероятность т о г о , что среди 100 новорожденны х окажется
50 м а л ь ч и к о в .
О т в е т : Р 100(50) -0 ,0 7 8 2 .
1.34 М онета брошена 2 N раз ( N в е л и к о !). Найти в ероя тность т о г о , что «гер б » выпадет ровно N р а з .
О т в е т : P2N ( N ) ~ 0 , 5 6 4 2 / V N .
1.35 М онета брошена 2 N р а з . Найти вероятность т о г о ,
что «г ер б » выпадет на 2 m раз б о л ь ш е , чем н а д п и с ь .
Ответ: P2N ( N + m) ~ л/2 / N (л/2 / N m).
1.36 Вероятность появления события в каждом из 2100
независимы х испытаний равна 0,7. Найти вероятность т о г о ,
что событие п о я в и тся : а) не менее 1470 и не более 1500
раз;
б) не менее 1470 р а з .
Ответ:
а)Р2Ю0(1470,1500)~0,4236,
б)
Р2100(1470,
2100) - 0,5.
1.37 Вероятность появления события в каждом из 21 не зависимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность то г о ,
что событие появится в большинстве и с п ы тан и й .
О т в е т : Р 21(11,21) -0 ,9 5 9 4 5 .
1.38 М онета брошена 2 N раз ( N в е л и к о !). Найти вероят ность т о г о , что число выпадшего «гер б а» будет заключено
между числами N - V 2 N /2 и N + V2 N /2 .
О т в е т : Р - Ф ( 1 ) - Ф ( - 1 ) = 2 Ф (1)=0,6826.
1.39 Ф ранцузский ученый Бюффон (XVIII в .) бросил
монету 4040 р а з , причем «ге р б » появился 2048 р а з . Найти
вероятность т о г о , что при повторении опыта Бюффона от носительная частота появления «г ер б а» по абсолю тной в е ­
30
личине не более чем в опыте Б ю ф ф о н а .
О т в е т : Р ~ 2 Ф (0,877)=0,6196.
1.40
Отдел технического контроля проверяет 475 изде лий на б р а к . Вероятность то г о , что изделие б р ак о ван н о е,
равна 0,05. Найти с вероятностью 0,95 гр ан и ц ы , в которых
будет заключено число m бракованны х изделий среди про веренных.
О т в е т : 15 <m< 33.
31
2 О Д Н О М Е Р Н Ы Е С Л У Ч А Й Н Ы Е В Е Л И Ч И Н Ы . ЗА КОНЫ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СЛУ ЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
2.1 С л у ч а й н ы е в е л и ч и н ы
С л у ч а й н а я в е л и ч и н а - такая в ел и ч и н а, которая в ре зультате опыта принимает то или иное з н а ч е н и е , неизвест ное заранее и зависящ ее от случайных п р и ч и н . Это значе ние называют возможным значением случайной в е л и ч и н ы .
Обозначение случайных в е л и ч и н : X, Y, Z и т .д . О б о зн ач ение возм ожных значений случайной величины X : x 1, x2, x 3,
П римеры:
1. Число очков при бросании игральной кости - случайная
в ел и ч и н а, возможные значения которой 1, 2, 3, 4, 5, 6 .
2. Число мальчиков среди 100 новорож денны х - случайная
величина возможные значения которой 0 , ..., 100.
3. Расстояние R , которое пролетит сн ар яд , есть случайная
в ел и ч и н а, возможные значения которой принадлеж ат неко торому отрезку [a , b ].
Д и с к р е т н а я с л у ч а й н а я в е л и ч и н а - в ел и ч и н а, которая
принимает отдельные возможные значения из счетного
множества с определенны м и вер о ятн о с тям и . Возможные
значения дискретн ой случайной величины можно перечис лить.
Для задания дискретной случайной величины н ео б х о димо перечислить все возможные значения и со о тв етствующие их вер о ятн о с ти .
Н е п р е р ы в н о й с л у ч а й н о й в е л и ч и н о й называется вели ч и н а , возможные значения которой заполняю т некоторый
промежуток (несчетное м н ож еств о) и нельзя перечислить
все возможные значения этой случайной в е л и ч и н ы .
Законом распределения
вероятностей дискретной
с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы называют соответствие между воз можными значениям и этой величины и их в ер о я тн о с тям и .
Этот закон задаю т в виде та б л и ц ы , которую называют ря дом р а с п р е д е л е н и я
Ряд распределения будет иметь вид
32
X X1 x 2 X3 ... Xn
P P 1 P 2 P 3 ... Pn
События
(X=xO,
(Х=х2),...,
(Х= х n) образую т
полную
n
гр у п п у , т . е . X Pi = 1.
i=1
П р и м е р 2.1. В лотерее 100 б и л е т о в . Разыгры вается 1
выигрыш ный по 50 руб и 10 выигрыш ных по 1 р у б . Соста вить
закон
распределения
случайной
величины
X - стоимости возможного выигрыш а по 1 б и л е т у .
X 50
1 0
Р 0,01 0,1 0,89
Для наглядности ряд распределения можно изобразить в
виде м ногоугольника распределения (с м . рис .2 . 1).
Ряд распределения можно указать только для дискрет ной случайной в ел и ч и н ы , для непреры вной случайной ве личины такой характеристики нельзя п о стр о и ть , так как
нельзя перечислить все возможные значения непрерывной
случайной в е л и ч и н ы .
2.2
Ф ун кц ия распределения вероятностей случайной
величины
Отдельные возможные значения непреры вной случай ной величины не обладают отличным и от нуля вероятно стя м и , по аналогии с т е м , что отдельные точки тела не об ладаю т м а с с о й . Поэтому для количественной х а р ак тер и ­
33
стики любой случайной величины удобно воспользоваться
не вероятностью события ( Х = х ), а вероятностью события
( Х< х ). Вероятность этого события Р (Х<х) есть функция F ( x )
и она называется ф у н к ц и е й р а с п р е д е л е н и я вероятностей
случайной величины F(x )= P ( X < x ).
Ее также называют и н т е г р а л ь н ы м з а к о н о м и ли и нте г р а л ь н о й ф у н к ц и е й р а с п р е д е л е н и я в е р о я т н о с т е й . Д ан ­
ную функцию можно построить для любых случайных ве л и ч и н . Геометрически равенство F (x ) = P (X < x ) можно истол ковать таким о б р а зо м : функцию F(x) можно представить
как вероятность то г о , что случайная величина X примет на
числовой оси возможные значения левее точки х (рис .2 .2 ).
/////7777 а
X
Рис. 2.2.
— ►
X
Случайная величина X называется н е п р е р ы в н о й , если
ее функция распределения есть непрерывная кусочно диф ференцируемая функция с непреры вной п р о и зв о д н о й .
Свойства функции р а сп р ед ел ен и я :
1. 0 < F (x ) < l;
2. F( x ) - н еу б ы в аю щ ая , т . е . F(x 1) < F(x 2) если x 1<х 2;
3 . F (—~ ) = lim F (x) = 0, F (+~) = lim F (x) = 1;
x—
>—
<^
x—
>+<^
4. Р (х 1<х <х 2)= F (x 2) - F ^ 1);
5. F (x) = F ( x - 0 ) = lim F ( y) , т .е . F( x ) - непрерывная
y—
—
x—
0
слева ф у н к ц и я .
Д о к а ж ем , н ап р и м ер , свойство 4. Для определения веро ятности Р [а< х < р) попадания случайной величины Х в з а данный промежуток [а , р) введем 3 с о б ы т и я :
А - (Х< в );
B - (X< а );
C - (а < X < в ). Тогда A = B + C и Р (A )= Р ( В )+ Р ( С) и
F (в )= F (а )+ Р (а < x < в ).
в
О тсюда
Р (а < x < в )= F (в ) - F (а )= J F '(x )d x .
а
Т»
w w___________________ __
Вероятность попадания случайной величины в п р о м е-
34
ж уток Ах есть приращение функции распределения
P (x <Х <Х + Ax ) = F( x + Ax ) - F (x) ^ 0 при Ах ^ 0.
Таким о б р азо м , вероятность т о г о , что непрерывная в е личина примет некоторое определенное зн а ч е н и е , равна 0 .
П р и м е р 2.2. Построить функцию распределения для
дискретной случайной величины Х, заданной рядом рас пределения
X 1 4
8
P
0,3 0,1 0,6
При
х <1
F (x )=0;
1 <х <4
F (x )=0,3;
4 <х <8
F (x )=0,4;
х> 8
F (x )=l.
2.3
П лотность распределения
ры вной случайной величины
вероятностей
непре-
Кроме функции р а сп р ед ел ен и я , непрерывную случай ную величину можно задать с помощью так называемой
функции плотности распределения в е р о я тн о с тей . Эту
функцию называют д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й ф у н к ц и е й или
д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м з а к о н о м распределения вероятно стей.
Плотностью
распределения
называют
функцию
f ( x) =F' ( x) . Таким о б р а зо м , для описания дискретной слу чайной величины эта функция н еп р и м е н и м а . Вероятность
попадания случайной величины на заданный участок мож в
но представить как Р (a < x < р )= j f (x ) d x .
a
35
Свойства плотности распределения:
1. f ( x ) > 0 ;
т о
2 . j f (x) dx =l;
—
с
x2
3. P(xi < X < x2) = j f (x ) d x ;
xi
4. Р (Х = х )=0.
Вероятностны й смысл функции плотности f( x) :
F (x + Ax) - F (x)
f ( x )= lim
Ax^Q
Ax
Отсюда сл ед у ет, что
P (x <X < x +Ax) ~f(x) Ax.
Вероятность т о г о , что случайная величина X примет
зн ач е н и е , принадлеж ащ ее интервалу [х, х + А х ), п р и б л и зи тельно равна произведению функции плотности на длину
этого п р о м е ж у тк а.
Рис. 2.4
П р и м е р 2.3. Задана плотность распределения вероятно стей случайной величины X :
0,
x < 0;
f (x) = <2x,
0 < x < 1;
0,
x > 1.
Найти вероятность т о г о , что случайная величина X примет
значение из интервала (0,5; 1).
1
1
Р е ш е н и е . Р (0,5<X <1)= j 2xdx = x A = 1 - 0,25=0,75.
0,5
0,5
36
Н ахождение функции
функции п л о тн о сти :
распределения
по
известной
x
F (x) = j f (x ) d x .
— г о
На практике иногда встречаются случайные в ел и ч и н ы ,
которые нельзя отнести ни к д и с к р е т н ы м , ни к непрерыв ным случайным вел и ч и н ам , как показы вает следующий
пример.
П р и м е р 2.4. На перекрестке стоит автоматический све т о ф о р , в котором т 1= 1м и н . горит зелены й с в е т , т 2= 0,5 м и н .
- к р асн ы й , снова 1м и н . - зе л е н ы й , 0,5 м и н . - красный и т .д .
случайны й момент в р ем ен и , не связанный с работой све т о ф о р а , к перекрестку подъезжает а в то м о б и л ь .
П о к а ж е м , что случайная величина Х - время ожидания у
перекрестка не является ни д и ск р е т н о й , ни н еп р ер ы в н о й .
Обозначим т= т 1+т2=1,5 м и н . цикл работы с в е т о ф о р а . С
одной с то р о н ы , с вероятностью т 1/т=2/3 автомобиль про едет перекресток не остан ав л и в ая сь , т .е . Х принимает з н а чение ноль с вероятностью 2/3>0. Поэтому Х не может
ыть непреры вной случайной в ел и ч и н о й . С другой с т о р о н ы , на второй 0,5 - минутной части цикла время ожидания
Х может принять любое значение от 0 до 0,5. З н а ч и т , Х не
ыть также дискретной случайной в ел и ч и н о й . Таким
о б р азо м , здесь Х п редставляет «см есь » дискретной и не прерывной случайных в е л и ч и н .
Построим график функции распределения вероятностей
случайной величины Х. При х< 0 F ^ )=0. Если 0 <х <0,5, то
событие (Х<х) происходит в том сл у ч а е , когда автомобиль
либо попадает на первую часть цикла работы светофора
(зеленый свет), либо подъедет к светофору при красном
св е те , но до включения зеленого света остается в р е м я ,
меньшее х . Тогда по определению геом етрической в ер о ят­
ности
ч г,/V
ч т + x x +1
F (x) = P ( X < x) = ^ -----= - — .
т
1,5
Поскольку автомобиль в любом случае проведет у пере крестка не более 0,5 м и н ., то F ^ )=1, х > 0,5.
Таким о б р азо м ,
37
x < 0;
0,
F (x) =
x +1
1,5
0 < x < 0,5;
1,
x > 0,5.
График функции F (х) приведен на рисунке 2.5
F(x>
0,5
X
Р и с . 2.5
П рим еры дискретны х распределений вероятно -
2.4
стей
2.4.1 Биномиальное распределение
Пусть производится n и сп ы тан и й , в каждом из которых
некоторое событие А может появиться либо не п о я в и ть ся .
Вероятность наступления события А во всех испытаниях
постоянна и равна р , тогда вероятность не появления этого
события q =l - p . В качестве дискретной случайной величины
X рассмотрим число появления события A в n и сп ы тан и ях .
Возможные значения x 1=0, x 2=l, ..., xn+1= n , а их вероятно сти определяются по формуле Б е р н у л л и :
Pn ( k ) = Cnkp k•q n k , k =0 , ..., n .
Б и н о м и н а л ь н ы м называется распределение вероятно с те й , определенное по формуле Б е р н у л л и , т . к . правую
часть формулы Бернулли можно рассматривать как общий
член разложения бинома Ньютона
Ряд распределения в этом случае выглядит таким обра зом:
38
X
n
P
p
n
n -1
. . . k
n-1
k k n-k
np q . . . Cn •p ■q
. . . 0
n
. . . q
2.4 .2 Р а с п р е д е л е н и е П у а с с о н а
Рассмотрим те же условия задачи что и в предыдущем
п у н к те , но значение n в е л и к о , вероятность р м а л а . Это
случай «м ассо в ы х », но «р е д к и х » со б ы ти й . В этом случае
вероятность
л к р~^
Pn (к)~ — - — , где X= n р .
к!
Тогда ряд распределения и м е е т , в и д :
X
р
1
2
0
••• к
e -X Xе -X/ 1 ! X2е _Л/ 2 ! ... Xк•e -X/ к !
• ••
...
Такое распределение вероятностей случайной величины
называют распределением П у а с с о н а .
2.4.3 Геометрическое распределение
Пусть производятся n и сп ы тан и й , в каждом из которых
вероятность появления события А равна р (0< р <1). В ер о я т­
ность непоявления события q =l - p . Испытания зак а н ч и ва­
ются , как только появится событие А . С л ед о ват ел ь н о , если
событие А появилось в к - м и сп ы тан и и , то в предшествую щих ( к - 1) испытаниях оно не п о я в и л о с ь . Введем д и с к р е т ­
ную случайную величину Х - число и сп ы тан и й , которые
нужно провести до первого появления события А . Возмож ные значения Х : х 1=l, х 2=2, ... . По формуле ум нож ения в е роятностей независим ы х со б ы ти й , вероятность т о г о , что
число испытаний равно к
P (Х = к )= q t-1 •p .
Полагая в этой формуле к=1, 2, ... получим геометрическую
прогрессию с первым членом р и со знам енателем q : p , p q ,
2
к 1p q , ..., p q . Такое распределение вероятностей называется
гео м етр и ч еск и м .
Ряд распределения Х :
X
1
2
P
р
p •q
•• • к
• p •q к-1
39
П р и м е р 2.5. Из орудия производится стрельба по цели
до первого п о п ад ан и я . Вероятность попадания при одном
выстреле 0,6. Найти вероятность т о г о , что попадание про изойдет при третьем в ы с т р е л е .
Р е ш е н и е . По условию р =0,6; q =0,4; k=3.
Тогда P (X = 3)= 0 ,4 2■0,6=0,096.
2.5 П р и м е р ы н е п р е р ы в н ы х р а с п р е д е л е н и й
2.5.1 Закон равномерного распределения вероятностей
Распределение вероятностей называется р а в н о м е р н ы м ,
если на и н тер в ал е, которому принадлеж ат возможные зна чения случайной в ел и ч и н ы , плотность распределения со храняет постоянное з н а ч е н и е . Функция плотности р а в н о мерного распределения f ( х ) имеет в и д :
0,
х < а;
f (х) = <1/(b - а),
а < х < b;
0,
х > b.
Отсюда с л ед у ет, что функция распределения
0,
х < а;
F (х) = <х а ,
b- а
1,
а < х < b;
х > b.
Графики плотности f ( x ) и функции распределения F (х )
приведены на р и с . 2.6 а) и 2.6 б ).
а)
б)
F(x)i
1
в- а
1
а
в
►
х
а
Рис.2.6
40
в
►
х
Вероятность попадания равномерно распределенной
случайной величины в интервал (а , р ):
Р (а < х < р )=( р - а ) / ( b - а ).
П р и м е р 2.6. Ш кала измерительного прибора п р огра­
дуирована в некоторых е д и н и ц ах . Ошибку при округлении
отсчета до ближайшего целого деления можно рассматри вать как случайную величину X, которая может принимать
с постоянной плотностью вероятности любое значение м е жду двумя соседними целыми д е л е н и я м и . Таким о б р азо м , X
распределена по равном ерном у закону с функцией плотно сти:
0,
f (x) = 1/ (b - а),
0,
x < a;
а < х < b;
х > b.
П р и м е р 2.7. Случайная величина Х, равномерно рас пределенная в интервале [0 , 1] имеет плотность р ас п р е д е ления
1, 0 < x < 1;
f (x) =
0, в противном случае.
Тогда функция распределения F (x) = j f ( y)dy = j 1dy = x .
0
0
Графики функций f ( x ) и F (x) приведены на р и с . 2.7 а) и
2.7 б ).
Вероятность попадания такой случайной величины Х в
интервал 0 <х <х+Ах < 1
41
х+Ах
P (х < X < х + Ах) = j f (j )dy = F (х + Ах) - F (х) = (х + Ах) - х = Ах.
х
Отсюда с л ед у ет, что случайная величина Х , равномерно
распределенная в интервале [ 0 , 1] с одинаковой в ер о я тн о стью попадет в любой интервал длиной Ахе [0, 1]. Поэтому
такая величина Х имеет огромное значение в имитационном
м о д е л и р о в ан и и , т . к . она служит основой генерирования на
компью терах любых случайных в ел и ч и н , потоков событий
и случайных п р о ц есс о в .
2.5.2 Н ормальны й закон распределения
Случайная величина X называется распределенной по
нормальному з а к о н у , если ее плотность распределения
имеет в и д :
ФЛа (х) = - ] = = •е-(х- m)2/ 1202).
ал/ 2п
Н ормальное распределение зависит от двух п а р ам етр о в :
m , называемого м а т е м а т и ч е с к и м о ж и д а н и е м или ср ед н и м
з н ач ен и ем , и а , называемого с р ед н и м к в а д р а т и ч е с к и м
о т к л о н е н и е м . Этот закон распределения называют еще
предельным или законом Г а у с с а .
Функция нормального распределения имеет следующий
вид:
(х- m)2
1 х - .2
Ф m,а (х) = ^ад/Т2П -^
j е 2а ^ ■
О б щ и м называется нормальное распределение с пара метрами m , а , где - да<m<+да- математическое о ж и д а н и е,
а >0 - среднее квадратическое о тк л о н е н и е .
С т а н д а р т н ы м н о р м а л ь н ы м р а с п р е д е л е н и е м н азы вается распределение с парам етрами m =0 , а = 1.
Путем линейной замены общее нормальное распределе ние можно привести к стандартному нормальному распре делению.
Плотность стандартного распределения записывается в
/
ч
1 •е - х 2/ 2 , а функция
1
в и д е : ф(х)
= ,—
р а сп р ед ел ен и я :
л/2п
42
1 xj е- /2 /2d t .
л/2П —
с
Эти функции были использованы ранее в локальной и инте гральной формулах М уавра - Лапласа (с м . п .1.10, 1.11). На
р и с . 2.8 а) и 2.8 б) приведены графики функций фт ,о(х) и
Ф т,о(x) для различны х значений т и о .
ф 0(x )=
а)
фт Эх)4
Р и с . 2.8
Таким о б р а зо м , относительно функции плотности нор мального распределения можно утверждать сл е д у ю щ е е :
1) функция фт ,о(х) определена и непрерывна на всей чи словой оси ( - да;+да);
2) область значений функции у е [0 , 1/(ол/2Л )];
3) 1im Фт.о (x) = 0 ;
x
4) у max
= 1/ ( о ^ 2я );
x=m
5) график функции симметричен относительно прямой
х=т;
6) точки п ер е ги б а : х 1= т - а , х 2= т +а .
В ероятность попадания в заданный интервал нормально
распределенной случайной в ел и ч и н ы :
в
г P (а <Х< в )=ф т,о( в ) - Ф т,о( а ) = j ф ^ а ^ ^ = 1/( ал/ 2п )=
а
в ( )2/(2а2)
1 в - т )/а у2/2
j е-( с-т) /(2а )dx = *
j
g-y /2dy
Л я а(а-т)/а
-таJ
Проводя замену у = (х - т ) / о , получим
43
р - m
Р (а <Х< в )= Ф(
- Ф(
f
a-m л
(2 . 1)
а
j
Из этой формулы можно определить вероятность откло нения случайной величины от м атематического о ж и д а н и я :
Р ( IХ -m | < 8)= 2Ф 0(8/ а ).
(2.2)
П р а в и л о тр ех с и г м а .
П реобразуем формулу (2.2). Для этого обозначим 8= а t .
Тогда
Р ( IX- m 1<а t )=2 Ф0(t ) .
Положим t =3 , тогда Р (1Х- m I<3а ) = 2 Ф 0(3)=0,9973.
Если случайная величина X распределена по нормаль ному з а к о н у , то абсолютная величина ее отклонения от ма тематического ожидания m не превосходит утроенного зна чения среднего квадратического отк л о н ен и я, и вероятность
этого отклонения близка к 1, а вероятность противополож ного события составляет 0,0027.
Таким о б р а зо м , можно считать практически д о с то в е р ным со б ы ти е, что возможные значения случайной величи н ы , распределенной по нормальному з а к о н у , попадут в ин тервал (m - 3 а , m +3 а ) (с м . рис .2.10).
v
а
Ф1TLC
m-Зо т
т+Зо
Р и с . 2.10
2.5.3 Экспоненциальны й закон распределения
Случайная величина X называется р а с п р е д е л е н н о й по
э к с п о н е н ц и а л ь н о м у (п о к а з а т е л ь н о м у ) з а к о н у , если ее
функция плотности имеет в и д :
0,
х < 0;
f (х) =
Ае - Ах
х > 0,
44
где А> 0 - параметр экспоненциального р ас п р е д е л е н и я .
Тогда функция распределения будет иметь в и д :
0,
х < 0;
F (х) =
—
Ах
1 —е'**
, х > 0.
Графики функции плотности распределения f ( х )
функции распределения F (х ) приведены на рис .2.11.
а)
и
б)
Вероятность попадания показательно распределенной
случайной величины в заданный интервал определяется по
ф о р м у л е:
P ( а < X < в )= F ( в ) - F ( а )=е ■Аа- е' Ар.
(2.3)
Экспоненциальны й закон распределения занимает важ ное место в теории массового о б сл у ж и в ан и я , теории на деж ности
и
других о б л ас тя х . Н ап р и м е р ,
функция
R(t ) =1 - F(t) = e'Аt называется показательны м законом надеж ности.
П р и м е р 2.8. Случайная величина Т - время работы р а диолам пы - имеет показательное р а сп р ед ел ен и е. Найти ве роятность т о г о , что время работы лампы будет не меньше
600 ч а с о в , если среднее время работы лампы 400 ч а с о в .
Р е ш е н и е . Р ( Т> 600)=1 - Р ( Т <600)=
= 1 - ( е ("«ВД ■0- е-пмоо»6»» )=е-1.5= 0,2231.
2.5.4 Распределение Вейбулла
Случайная величина X распределена по закону В ей б у л ла с параметрами а > 0 , р >0 , если ее плотность распределе ния имеет в и д :
45
f ( x) =
ap-ax a-1e“(x1pf , x > 0;
0,
x < 0.
П араметр a называется п а р а м е т р о м ф о р м ы , а p масш табным параметром распределения.
Тогда функция распределения Вейбулла будет иметь
следую щ ий в и д :
F (x) =
1 - e ~(x1р)“ , x > 0;
0,
x < 0.
Графики функций плотности и распределения Вейбулла
при в =1 приведены на рис .2.12 а) и 2.12 б ).
С ч и тается , что распределению В ейбулла подчиняются
времена безотказной работы многих технических устройств
и времена выполнения з а д а ч . При a=1 распределение Вей булла переходит в экспоненциальное р асп р ед ел ен и е, а при
a =2 - в так называемое р а с п р е д е л е н и е Р е л е я .
б)
а)
X
Р и с . 2.12
2.5.5 Гамма - распределение
Другим р асп р ед ел ен и ем , также достаточно хорошо опи сывающ им времена безотказной работы различны х техни ческих у с т р о й с т в , и времена выполнения каких - либо з а д а ч ,
является гамма - распределение с плотностью
46
1e —
x/ в
в - aax-yctt—
Г (a)
f ( x) =
x > 0;
x < 0,
0,
oo
где Г( a ) - гамма - ф ун к ц и я, Г (z ) = j t z le ldt для любого веще о
ственного числа z > 0 .
Для вы числений полезно знать следующие свойства функ ции r ( z ) :
1. Г ( z +1)= z ■Г ( z ), для любого z > 0;
2. Г ( к +1)= к !, для любого неотрицательного целого числа
к;
3. Г( к + 1 /2 )= л П -1 -3 •5 •... •(2к - 1)/2к, для любого положи тельного целого числа к , Г (1/2) = л/П.
Как и в случае с распределение В е й б у л л а , a > 0 - пара метр ф о р м ы , в > 0 - м асш табный п а р а м е т р .
Если a - полож ительное целое ч и с л о , тогда функция
распределения имеет в и д :
F (x) =
1 - e~x/ в ! (x /
, x > 0;
j =0 J !
x < 0.
0,
В сл у ч ае, если 0 < a < 1, то конечной формы функции рас пределения не сущ еству ет, имеются лишь ее п р и б л и ж ен и я.
Замечания.
1. При a =1, гамма - р а сп р ед ел ен и е, как и распределение
В ейбулла переходит в экспоненциальное р а сп р ед ел ен и е.
2. Для положительного целого числа r (a = r), гамма распределение переходит в р а с п р е д е л е н и е Э р л а н г а по р я д к а r , которое широко используется в теории массового
об сл у ж и в ан и я.
3. Гамма - распределение при a =к/2, в =2 представляет не
что и н о е , как распределение х (хи - к вад рат) с к степенями
св о б о д ы , роль которого трудно переоценить в математиче ской с тат и сти к е. Н а к о н е ц , на р и с . 2.13 приведены графики
функций плотности f ( x) и распределения F(x) при р а з л и ч ных значениях параметра a при в = 1.
47
б)
а)
1
2
3
4
5
х
Рис .2.13
2.6
З а д а н и е № 2 на с а м о с т о я т е л ь н у ю р а б о т у . Р е ш е н и е
ти повы х задач
2.1 Из партии в 10 д е т а л е й , среди которых две брако в ан н ы е, наудачу выбираю т три д е т а л и . Найдите закон рас пределения числа бракованны х деталей среди в ы б р а н н ы х .
Постройте функцию р асп р ед ел ен и я .
Ответ:
0,
x < 0;
3-i
Р( X = о = %
Qo
i = 0,1,2;
F (x) =
7/15, x е (0,1];
14/15, x е (1,2];
1,
x > 2.
2.2 Вероятность приема самолетом радиосигнала при
каждой передаче равна 0,7. Найдите ряд распределения и
функцию распределения числа X принятых сигналов при
ш естикратной п е р е д а ч е .
О т в е т : Ряд распределения и функцию распределения
случайной величины X легко п о стр о и ть , з н а я , что
P( X = i) = С 6‘ (0,7) (0,3)6-i, i = 06.
2.3 В течение часа на станцию скорой помощи поступа ет случайное число X в ы з о в о в , распределенное по закону
П уассона с параметром X=5. Найдите вероятность т о г о , что
в течение часа п о ст у п и т :
а) ровно два в ы з о в а ;
48
б) не более двух в ы з о в о в ;
в) не менее двух в ы з о в о в .
О т в е т :а) Р ( Х= 2) = 5 2е ' 5 /2 !=0,086;
б ) Р ( Х < 2 )= (50/0! + 5*/1! +52/2 ! ) е ‘5=0,127;
в ) Р (Х> 2)=1 - Р (Х <2)=1 - (50/0!+5*/1!) e ‘5=0,96.
2.4 Число в ы з о в о в , поступаю щ их на АТС (автоматиче ская телефонная стан ц и я ) каждую м и н у т у , распределено по
закону П уассона с параметром X=1,5. Найдите вероятность
т о г о , что за минуту п о сту п и т:
а) ровно три в ы з о в а ;
б) хотя бы один в ы з о в ;
в) менее пяти в ы з о в о в .
О т в е т : а) 0,12551;
6)0,77687;
в ) 0,98143.
2.5 По цели производят серию независим ы х выстрелов
до первого п о п а д а н и я . Даны вероятность р попадания в
цель при одном выстреле и запас патронов п. Найдите ряд
распределения и функцию распределения числа X и зр асх одованны х п а т р о н о в .
О т в е т : P( X = i) =
p q 1 1, i = 0, п —1 (q = 1 - p);
п—
1 •
q , i = п.
2.6 Л етательны й а п п ар а т, по которому ведется стрель б а , состоит из двух различны х по уязвим ости ч а с т е й . Ап парат выходит из строя при одном попадании в первую
часть или трех попаданиях во в т о р у ю . Стрельба ведется до
поражения летательного а п п ар а та.
Постройте ряд распределения и функцию распределения
числа попаданий X в летательны й ап п ар а т, которое п о н ад о бится для его п о р аж ен и я , если каждый попавший в аппарат
снаряд с вероятностью 0,3 поражает первую часть и с веро ятностью 0,7 - в т о р у ю .
О т в е т : Р (Х=1) = 0,3; Р (Х=2)=0,21; Р (Х=3)=0,49.
2.7 Н епрерывная случайная величина X распределена по
экспоненциальном у закону с параметром X=0,2. Найдите
вероятность попадания этой случайной величины в и н те р вал (0 ,2 ).
О т в е т : 1 - е "°’4~0,33.
2.8 Д лительность времени X безотказной работы эле мента имеет экспоненциальное распределение с п ар ам ет­
49
ром X=0,02 ч -1. Вычислите вероятность т о г о , что за время
t =100 ч э л е м е н т : а) выйдет из с т р о я ; б ) будет исправно ра ботать.
О т в е т : а) 1- е ' 2~0,865; б) е ' 2=0,135.
2.9 Случайная величина X имеет нормальное р асп р ед еление с параметрам и т = 2 и о = 1. Определите вероятность
попадания случайной величины в интервал (1, 5).
О т в е т : 0,83999.
2.10 Случайная величина X распределена по нормаль ному закону с параметрами т = 4 и о = 1. Определите веро ятность попадания случайной величины X в интервал
(6 ,
8).
О т в е т : 0,0227.
2.11 Случайная величина Х подчинена нормальному за кону распределения с т =0. Вероятность попадания сл у ч ай ной величины в интервал ( - 0 ,3 ; 0,3) равна 0,5. Найдите
среднее квадратическое отклонение о .
О т в е т : о =0,44.
2.12 И зм ерительны й прибор имеет систематическую по грешность 5 м . Случайные погреш ности подчиняются нор мальному закону со средним квадратическим отк л о н ен и е м ,
равным 10 м . Какова вероятность т о г о , что погрешность
измерения не превзойдет по абсолютному значению 5 м ?
О т в е т : 0,3413.
2.13 И змерение дальности до объекта сопровождается
случайны ми п о гр еш н о ст ям и , подчиняю щ имися нормально му закону со средним квадратическим о тк л о н ен и е м , рав ным 50 м . Систем атическая погрешность о т с у тс тв у ет. Най дите:
а) вероятность измерения дальности с п о гр еш н о ст ью , не
превосходящ ей по абсолютному значению 100 м ;
б) вероятность т о г о , что измеренная дальность не пре взойдет и сти н н о й .
О т в е т : а) 0,9545;
б) 0,5.
2.14 Высотомер имеет случайную и систематическую
п о гр еш н о ст и . Систематическая погрешность равна 20 м .
Случайная погрешность распределена по нормальному за к о н у . Какую среднюю квадратическую погреш ность д о л ­
50
жен иметь п р и б о р , чтобы с вероятностью 0,9452 погреш ность измерения высоты была меньше 10 м ?
О т в е т : 50 м .
2.15 Время X (в ч асах ) безотказной работы эл е ктр и ч еской лампочки имеет распределение Вейбулла с парамет рами a =0,5 и в =50. Определите вероятность т о г о , что лам почка проработает не менее 10000 ч .
О т в е т : Р ( Х > 10000) = e~<0>02'10000)1/2 = 0,14.
2.16 Время X (в м есяц ах) безотказной работы некоторой
с и стем ы , состоящей из одного основного и двух резервных
э л е м е н то в , имеет гамма - распределение с параметрами a =3
и в =20. Найдите вероятность т о г о , что система проработает
не менее 5 л е т .
О т в е т : Р ( Х > 60) = е ' 3(1+3=32/2 ) ~ 0,42.
51
3 ЧИСЛОВЫЕ
ВЕЛИЧИН
ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНЫХ
В ероятности любых со б ы ти й , связанных с каждой слу чайной вел и ч и н о й , полностью могут быть определены ее
законом р асп р ед ел ен и я . Причем законом распределения
вероятностей для дискретной случайной величины является
ряд р асп р ед ел ен и я , или же функция р а сп р ед ел ен и я . Непре рывная случайная величина полностью может быть описана
функцией распределения или плотностью р ас п р е д е л е н и я .
Закон распределения полностью характеризует сл у ч ай ную в ел и ч и н у , т .е . является ее полной х ар ак т е р и с т и к о й .
Однако часто на практике этот закон распределения бывает
н еи зве стен , или нет необходимости его у к а з ы в а т ь . Тогда
ограничиваю тся меньш ими с в ед ен и я м и . Для этого исполь зуют числовые характеристики случайной величины (не случайные числа).
3.1 М а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы
О п р е д е л е н и е . М а т е м а т и ч е с к и м о ж и д а н и е м (с р ед н и м
\
W
W
W
тт
з н а ч е н и е м ) дискретной случайной величины Х называют
сумму произведений возм ожных значений х i на их вероят ности p i :
M ( X ) = X xip i .
i
При э т о м , если множество возможных значений Х счет н о , п р ед п ол агается , что X Ixi I p i < + ^ , т .е . ряд долж ен с х о i=1
диться аб со л ю тн о . А налогичная формула сущ ествует в тео ретической м е х ан и к е. Пусть на прямой располож ена систе n
ма n материальны х точек с массами р i ( X pi = 1) и пусть х t i=1
координата i - й т о ч к и . Тогда центр масс системы имеет ко n
ординату X = X xtp t .
i=1
П р и м е р 3.1. М атем атическое ожидание случайной в еличины Х, распределенной по бином инальном у закону
(схема Б ер н у л л и ) будет равно
52
n
n
j j
j
n
n!
7 7
M (X ) = £ kPnn( k ) = £ k Ckp q
= £ к
!
p kqn—
k=
k=0
k=0
k=0
k!(n
k)!
k=0
1. . . 1 .
n
(n —1)!
; i
in—
1 n.—
n—
1
= k=
£ 1np (k—
„ и , / У , p k—
1q"—
'1 = np j£=0 Cj —
1p Jqn—
1—
j = np £ j=0
Pn—
1( j ) = n p .
1)!(n—k )!
П р и м е р 3.2. Найдем математическое ожидание случай ной величины Х, имеющ ей геометрическое р а с п р ед ел ен и е:
сю
сю
сю
1
M (X ) = £ kpqk = pq £ kqk—1 = pq( £ qk )q
k= 0
k= 0
k= 0
pq
pq
= pq(--)' =
1—q
q
(1—q)2 p 2 p
П р и м е р 3.3. Пусть случайная величина Х имеет распре деление П у а с с о н а . Тогда
^ 1k
^ 1k—
1
^ 1j
„
M (X ) = £ k — e “х 1 £ ---------e “х 1 £ — e ~х
хe ~х 1.
k=0 k!
k=i(k —1)!
A j!
С в я з ь м а т е м а т и ч е с к о г о о ж и д а н и я со ср е д н и м а р и ф метическим наблю денных значений случайной в е л и ч и ны.
Пусть производится N независимы х и сп ы тан и й , в кото рых случайная величина X приняла m 1 раз значение х ь m 2
р а з - з н а ч е н и е х2,..., m n раз значение x n ( m i+m2+ ...+ m n=N).
Найдем среднее арифметическое этих значений
X = m1x1+ m2х2 + ■■■+ mnxn
N
'
Отношение m i/ N для всех i есть частота события (Х =Xi ).
При достаточно большом N отношение m i/ N п р и б ли зи тел ь но равно вероятности этого события р i. Тогда п о л у ч и м , что
X ~ M(X), сл ед о ват ел ь н о , среднее арифметическое н аб л ю денных значений случайной величины Х при увеличении
числа опытов будет приближаться к ее математическому
ожиданию М ( Х ) .
Указанная выше связь между средним арифметическим
и математическим ожиданием составляет одну из форм за кона больших чисел.
Для непреры вной случайной величины Х м атем ати ч еским ожиданием (средним зн ач ен и ем ) называют интеграл
53
+ю
М( х) = j х f ( х ) dx , где f( x ) - функция плотности распределе —сю
н и я . Для сущ ествования математического ожидания несоб ственный интеграл долж ен сходиться аб со л ю тн о .
П р и м е р 3.4. Найдем матем атическое ожидание равно мерно распределенной на отрезке [а, b ] случайной в ел и ч и ны Х
+ю
в x
1 L ,2
2^ b + а
,
M ( X ) = j xf (x)dx = j ----- dx = ----------- (b —а ) =
—
ю
ab —a
b —a 2
2
т .е . М( Х) совпадает с серединой отрезка [а , b ].
П р и м е р 3.5 Найдем математическое ожидание нор мально распределенной случайной величины Х
1
2 2
M (X ) = jx 9 (x)dx = - ^
J xe-(x—
m) /2<’ d x .
—
ю
2п —
ю
Делая замену переменной у = (х - m ) / a , получаем
M (x) = 7 ~ y L e - y2/2dy + m 7 - - L e - y2/2dy =
—
ю \ 2п
—
ю"v2n
_
+ ю
= ^ = j ye
\ 2 П
—ю
2
'
y
+ ю
/ 2
dy + m j
ф
(
y)dy.
—ю
П ервый интеграл равен нулю в силу нечетности подын тегральной ф у н к ц и и , а второй равен единице как интеграл
от стандартной нормальной п л о т н о с т и . Тогда М( Х) = m , т . е .
параметр m имеет смысл математического ожидания слу чайной величины Х .
П р и м е р 3.6. Найдем математическое ожидание экспо ненциально распределенной случайной величины Х
M ( X ) = j xf (x)dx = A j xe~^xd x .
0
0
И нтегрируя по ч а с т я м , получим М ( Х ) = 1/Х.
П р и м е р 3.7. М атем атическое ожидание случайной в еличины Х , распределенной по закону Вейбулла может быть
найдено путем замены переменной в поды нтегральной
функции у = (х / в )а. Опуская несложные выкладки и исполь зуя определение гамма - ф у н к ц и и , запишем
M (X ) = в Г 7 ) .
а
а
П р и м е р 3.8. М атем атическое ожидание случайной ве 54
личины Х, имеющей гамма - р а сп р ед ел ен и е, задается вы ражением М( Х) = а ■в .
3.2 С в о й с т в а м а т е м а т и ч е с к о г о о ж и д а н и я
1. М( С ) = С , где С = c o n s t .
Для этого рассмотрим случайную величину Х как по с т о я н н у ю , которая принимает одно возможное значение С с
вероятностью 1, тогда М( С ) = С ■1 = С .
2. М ( С ■Х ) = С М ( Х ) . Пусть случайная величина Х задана
рядом распределения
X х 1 ^ 2 ••• Xn
P Р 1 Р 2 ... Р n
Тогда С Х будет иметь ряд распределения
CX Сх 1 Сх 2 ••• С Xn
P Р1 Р2
... Рn
Отсюда по определению математического ожидания полу чим М( С Х) = С ■М (Х ) .
З а м е ч а н и е . Прежде чем перейти к следующ ему свойст в у , у к а ж е м , что две случайные величины называются неза в и си м ы м и , если закон распределения одной из них не зави сит от т о г о , какие возможные значения приняла другая ве л и ч и н а . В противном случае случайные величины зависи м ы . Более строгое определение независим ости будет дано в
п . 4.6.
3.
М (Х ■Y) = М( Х) ■М( Y), где X , Y - независимые случайные
в ел и ч и н ы . Пусть случайные величины Х и Y заданы рядами
распределения
X
P
х 1 х2
Р i Р2
и
Y
P
У1 У2
q1 q2
Тогда ряд распределения для Х Y имеет вид
X Y X1 у 1 x 1 у 2 X2 у 1 x 2 у 2
p p 1q 1 p 1q 2 p 2q 1 Р 2q 2
М (Х Y ) = х i у iр i q i+ х i у 2Р 1q 2+ х 2 у 1р 2q 1+ X2 у 2Р 2q 2=
55
=У i q i(x 1р 1+ x 2 р 2)+y2q 2(xi р i+ x 2 р 2 ) = М ( Х ) М ( Y ).
4. M (X +Y) = M (X) + M ( Y).
Пусть случайные величины Х и Y заданы рядами рас -
пределения
X
P
x 1 х2
Р1 Г2
и
Y
P
Уi У2
q1 q2
Составим все возможные значения величины Х+ Y. Тогда
X + Y x 1+у 1 x 1+ У2 x 2+Уi x 2+У2
P
p i+ q 1 Р i+ q 2 Р 2+ q 1 Р 2+ q 2
р 12
Р 21
р 22
р 11
М ( Х + Y)= x 1(р i i +р 12) +
+x 2(р 21+р 22)+У1(р 11+р 21) +
+у 2(р 12 +р 22) -
Д о к а ж ем , что р 11+р 12=р 1. С о б ы ти е, состоящее в т о м , что Х
примет значение х 1 (вероятность этого события равна р 1),
влечет за собой со б ы ти е, которое состоит в т о м , что Х + Y
примет значение x 1+у 1 или x 1+у 2 (вероятность этого собы тия р 11+р 12), и о б р а тн о . Отсюда следует, что р 11+р 12=р 1.
Аналогично доказы ваю тся равенства р 21+р 22=р 2, р 11+р 21= q 1,
р 12+р 22= q 2, откуда и следует свойство 4.
З а м е ч а н и е . Х ар ак тер и сти к о й , альтернативной м атем а­
тическому о ж и д а н и ю , является м е д и а н а (квантиль уровня
1/2) х 0,5 случайной величины Х, определяемая как н аи меньшее значение х , при котором F(x) > 0,5. Если же Х - не прерывная случайная вели ч и н а , тогда F(x05)=0,5( с м .
рис .3.1).
М едиана
может
быть лучш ей мерой стрем ления к центру распределе н и я , чем ср ед н е е, когда воз можные значения Х очень
большие или очень м ал ен ь кие.
П р и м е р 3.9. Рассмотрим дискретную случайную в ел и ­
чину Х с рядом распределения
Х
1 2 3 4 5
М атематическое ожидание и м е P 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 ' диана р а в н ы : М( Х) =х 0,5=3.
56
Рассмотрим другую случайную величину Y с рядом рас пределения
Y 1 2 3 4 100
P 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
М( Y)=22, у о,5= 3 . Этот пример по к азы в ает, что изменение распреде ления не влияет на значение м е -
дианы.
3.3
Д исперсия случайной в е л и ч и н ы . М оменты выс ших порядков
М атем атическое ожидание не полностью характеризует
случайную в е л и ч и н у . Н ап р и м е р , возьмем две случайные
величины Х и Y, заданные законами распределения
X -0,01 0,001
P 0,5
0,5
и
Y
P
-100
0,5
100
0,5
О ч еви д н о , что М ( Х ) =M( Y)=0. Таким о б р а зо м , хотя м а ­
тематические ожидания о д и н ак о в ы е, но возможные значе ния этих случайных величин по - разному рассеяны вокруг
ср е д н е го . П о эт о м у , чтобы оценить разброс возможных зна чений вокруг математического о ж и д а н и я, вводят такую
числовую характеристику как д и с п е р с и я .
ТЛ
w
w
Введем понятие отклонения случайной величины от ее
математического ожидания как разность между случайной
величиной и ее математическим ожиданием
о
X =Х-М(Х).
о
Таким о б р а зо м , X - центрированная случайная в ел и ч и н а, и
о
ее матем атическое ожидание М( X )=0.
О п р е д е л е н и е . Д и с п е р с и е й случайной величины X н азы -
вается математическое ожидание квадрата отклонения слу чайной величины
D (X ) =M [X - M (X)]2.
(3.1)
Для дискретной случайной величины эту формулу можно
записать в в и д е :
D (X) = (x 1- M (X))2'р 1+ (х 2- М(Х) )2'р 2+--- + (х n- М(Х) )2'р n.
(3 -2)
Для практических вычислений сущ ествует более удоб 57
ная формула
D (X )= M (X 2) - [M ( X )]2.
(3.3)
Ф ормула (3.3) следует из формулы (3.1).
Для непреры вной случайной величины
+гс>
D ( X )= j [x- M(X)]2f ( x ) d x .
(3.4)
Более удобная формула для вычисления дисперсии сле дует из формулы (3.4)
+гс>
D ( X )= j x2f (x ) dx - [M (X )]2.
(3.5)
Свойства дисперсии:
1. D ( С)=0, где С =const.
2. D ( CX ) = С 2D (X).
3. D (X+Y)= D (X) + D ( Y), если X и Y - независимые случай ные в е л и ч и н ы .
Все эти свойства легко доказы ваю тся с использованием
определения дисперсии и свойств м атематического о ж и д а ния.
О пределение. Средним квадр ати ч еск и м отклонением
случайной величины Х называют квадратны й корень из
дисперсии
о( X ) = д/ D( X ).
Эта мера рассеяния возможных значений случайной ве личины вокруг ее математического ожидания имеет раз мерность самой случайной в е л и ч и н ы . В формулах для оп ределения дисперсии случайной величины присутствует
выражение М ( Х ) - математическое ожидание квадрата
случайной в е л и ч и н ы :
m2 = M ( X 2) = X x2p t для дискретной случайной величины
i
Х
и
m2 = M (X 2) = jг x 2f (x)dx для непреры вной случайной
—^
величины Х.
Эту величину называют в т о р ы м н а ч а л ь н ы м м о м е н т о м
распределения случайной в е л и ч и н ы . Так как дисперсия
D (Х) по определению является вторым моментом ц ен тр и о
рованной случайной величины X = X —M ( X ), то дисперсию
иногда называют в т о р ы м ц е н т р а л ь н ы м м о м е н т о м рас пределения случайной в е л и ч и н ы .
58
О п р е д е л е н и е . Н а ч а л ь н ы м м о м е н т о м к -того п о р я д к а
т к случайной величины Х называют математическое о ж и дание к - й степени Х :
mt = M (Х к) = X xi p , если Х - дискретная случайная ве i
личина, и
+^>
тк = M ( Х к) = j x kf (x)dx , если Х - непрерывная случай —
^
ная в е л и ч и н а .
О п р е д е л е н и е . Ц е н т р а л ь н ы м м о м е н т о м к -го п о р я д к а
О
тк случайной величины Х называют математическое ожи дание к - й степени центрированной случайной величины
0
X = X —M (X ):
О
тк = M [X —M ( X )]к = X [xi —M ( X )]кр . , если Х - дискретная
1
случайная в ел и ч и н а, и
О
тк = M [X —M ( X )]к = j [x —M ( X ) ] к f (x)dx , если Х - н еп ре-
—
^
рывная случайная в ел и ч и н а .
З а м е ч а н и е . Н ачальный момент первого порядка совпа дает с математическим о ж и д а н и ем , центральный момент
первого порядка равен н у л ю , центральный момент второго
порядка является д и с п е р с и е й .
Рассмотрим еще н еко т о р ы е, часто применяемые на
практике числовые характери сти ки случайных в е л и ч и н .
Случайную величину Х называют симметрично распре деленной относительно математического о ж и д а н и я , если
Р [Х< М ( Х ) - х ]= Р [Х> М( Х) +х ] для любого х . Отсюда с л ед у ет,
что непрерывная случайная величина Х является си м м етричной тогда и только т о г д а , когда график ее плотности
распределения симметричен относительно прямой х = М( Х)
(с м . нормальное р асп р ед ел ен и е).
При анализе эм пирических (статистических) р ас п р е д е лений часто возникает задача количественной оценки сте пени их различия от н о р м а л ь н о го .
О п р е д е л е н и е . А с и м м е т р и е й А S случайной величины Х
О
называют отношение третьего центрального момента т 3 к
59
кубу среднего квадратического отклонения а :
О
As = m 3 / а .
Для нормального распределения А 5=0.
О п р е д е л е н и е . Э к с ц е с с о м Е k случайной величины Х на О
зывают отношение четвертого центрального момента m 4 к
квадрату дисперсии за вычетом числа 3:
О
Ek = (m 4 / а 4) - 3.
О 4
Для нормального распределения величина ( m 4/а )=3,
следовательно Е k=0.
Смысл эксцесса пояснен на р и с .3.2. Он используется
для оценки большего и меньшего подъема кривой распре деления по сравнению с нормальной к р и в о й .
f(x)i
f(x)A
Нормальная
Нормальная
^р и ва я
о
х
Р и с . 3.2
О п р е д е л е н и е . М одой д и с к р е т н о й случайной величины
Х называют такое значение х i, при котором для вероятно стей выполняются неравенства
Р i-1<Pi
и
pi +1<p i .
О п р е д е л е н и е . М одой н е п р е р ы в н о й случайной величи ны Х называют точку м аксимума x max (л о ка л ь н о го ) плотно сти распределения f ( x ).
Как для дискретных так и непрерывных случайных ве личин различаю т у н и м о д а л ь н ы е (имеющие одну м о д у ),
бимодальные (имеющ ие две м о д ы ) и мультимодальные
(имеющие несколько м од ) распределения в ер о я тн о с тей .
После определения моды поясним смысл аси м м етр и и .
60
Если «длинная ч а с т ь » кривой плотности располож ена п р авее моды хmax, то асимметрия полож ительна (р и с .3.3 а), ес ли слева - отрицательна (рис .3.3 б ).
а)
Р и с . 3.3
Рассмотрим примеры определения дисперсии случайных
в ел и ч и н , расп ределенн ы х по различным з а к о н а м , перечис ленным в разделе 2.
П р и м е р 3.10. Пусть Х - число появлений события А в
испы таниях по схеме Б е р н у л л и . Найдем дисперсию Х.
Общее число появлений события (число у с п е х о в ) в п
испы таниях равно сумме появлений события в отдельных
и сп ы тан и ях : Х = Х 1+Х2+...+Х п, где Х 1- число наступлений со бытия в первом и сп ы тан и и , Х2- во втором и т .д . Так как
Х 1,Х2,...,Хп взаимно н езав и си м ы , то
D (X ) = D (X 1)+ D (X 2)+ ...+ D (Х п) (свойство 3 д и сп ер си и ).
Дисперсия каждого слагаемого р а в н а :
D ( Х, )=[0 - М (Xi )]2q +[1 - М (Xi )]2p =( - p )2q +(1 - p )2p =
=p q (p + q )= p q .
Учитывая каждое сл агаем о е, окончательно получим
D (X )= n p q .
П р и м е р 3.11. Найдем дисперсию случайной величины
Х, распределенной по закону П у а с с о н а . Для этого о п р ед елим л2 -й^ начальный^ м о м е н т :
- У к
Ук-1
Уm
м (X 2) = I к 2 — *- у =У I к — — e - - = У I (m +1) — e"у=
к=о к!
к=1 (к -1)!
m=о
m!
ym
- уm
= У( I m — e“у + I — e“у) = У[М (X ) +1] = У2 + У.
m=0 m !
m= 0 m !
61
У ч и т ы в а я , что М ( Х ) =X, получим
D (X)=X2+ X- X2 = X.
П р и м е р 3.12. Дисперсия равномерно распределенной на
отрезке [a, b ] случайной величины Х определяется форму лой
bf
b + a, 1 ,
1 гп b + a .3
b+я з
D (X ) = I (x — 3- ^ 7— d = 777— 7[(b — ^
- (a — 3 - ) ] =
a
2 b+a
3(b - я)
2
2
(b —a )3 (b —a )2
12(b —a)
12
П р и м е р 3.13. Дисперсия нормально распределенной с
параметрами m и о случайной величины Х имеет вид
2 (х—
m)2
+~
2
, u
Т (x —m)2
,
mo
D ( X ) = I (х —m) Ф
Фm
,о((x)dx
X)dx =
= II ---- 7Т= e 2о dx.
—
^
—
^ 0 \ 2п
Сделав замену переменной z=(x - m)/о , получим
+^ _2
z2 /
z2
—
z/
2
z
—
z/
I-D (X ) = о I .— e 2dz. Полагая u = z /л/2п, dv = ze 2dz и
—
<ж\ 2п
интегрируя по ч а с т я м , получим D (X)=о .
П р и м е р 3.14. Определим дисперсию и среднее квадра тическое отклонение экспоненциально распределенной
случайной величины Х.
D( X ) = | x 2f (x)dx —[M (X )2] = X| x 2e ~Xxd x
Интегрируя по
о
о
X
ч а с тя м , получим X| x 2e ~hcdx = 2 / X2. Следовательно D (X)=1/ X2.
о
Тогда о (X)=1/X. Отсюда с л ед у ет, что математическое о ж и ­
дание и среднее квадратическое отклонение эк сп о н ен ц и ального распределения равны между с о б о й .
П р и м е р 3.15. Дисперсия случайной величины Х, имею щей распределение В ей б у л л а, задается ф о р м у л о й :
D( X ) = ^ {2 Г (2 ) —[Г ( i )]2
a I
a
a
П р и м е р 3.16. Дисперсия случайной величины Х, имею щей гамма - распределение задается ф о р м у л о й :
D (Х ) = ap 2.
Справедливость последних двух формул проверить са 62
м о сто я тел ь н о .
3.4 З а д а н и е № 3 на с а м о с т о я т е л ь н у ю р а б о т у
3.1 Найти математическое ожидание случайной величи ны Z, если известны математические ожидания Х и Y :
а) Z= X+ 2 Y, M (X )=5, M(Y)=3; б) Z =3X+4Y, M(X)=2,
M ( Y)=6.
О т в е т : а) М(Z)=11, б) М(Z)=30.
3.2 В партии из 10 деталей содержится три нестандарт н ы х . Н аудачу отобраны две д е т а л и . Найти математическое
ожидание дискретной случайной величины Х -ч и с л а не стандартны х деталей среди двух о т о б р ан н ы х .
О т в е т : М ( Х ) =3/5.
3.3 Найти дисперсию дискретной случайной величины Х
- числа появлений события А в пяти независим ы х и сп ы тан и я х , если вероятность появления событий А в каждом и спытании равна 0,2.
О т в е т : D (X)=0,8.
3.4 Найдите математическое о ж и д а н и е, дисперсию и
среднее квадратичное отклонение дискретной случайной
величины X, ряд распределения которой представлен в т а б лице ниже
X
1 2 3
Р 0,3 0,2 0,5
О т в е т : М ( Х ) =2,2, D (X)=0,76, а (Х) ~ 0,87.
3.5 Вероятность т о г о , что при трех выстрелах стрелок
попадет в цель хотя бы один р а з , равна 0,992. Найдите м а тематическое ожидание и дисперсию числа X попаданий
при двадцати в ы с т р е л а х . О т в е т : M(X)=16, D (X) = 3,2.
3.6 Время X безотказной работы станка имеет экспо ненциальное р а сп р ед ел ен и е. И зв е с т н о , что вероятность от каза станка за 5 ч равна 0,39347. Найдите м атематическое
о ж и д а н и е, дисперсию и среднее квадратичное отклонение
63
времени безотказной работы с т а н к а .
О т в е т : M(X) = 10 ч , D (X) = 100 ч 2, о = 10 ч .
3.7 Найдите математическое о ж и д а н и е, д и с п е р с и ю ,
среднее квадратичное о т к л о н ен и е, аси м м етр и ю , эк с ц е с с ,
медиану и моду случайной величины X, имеющей п л о т­
ность распределения f ( х ) = е-|x-3|/2.
О т в е т : M (X ) = 3, D (X) = 2, а (Х) =л/2, А S = 0, E k = 3,
x0,5= 3 , x max= 3 .
3.8 Непрерывная случайная величина Х имеет плотность
распределения
0, x € (a,b);
f (x) =
2
4
b —a
(b —а)2
х
b+а
2
х е (a,b),
причем а и в н еи зве стн ы , но b > а , а М ( Х ) =5 и D (Х)=6. Найти
a и b.
О т в е т : а = - 1 , b =11.
3.9 Случайная величина Х задана плотностью р ас п р е д е ления f(x)=0,5x в интервале (0,2); вне этого интервала
f(x)=0. Найти начальные и центральные моменты п е р в о го ,
в то р о го , третьего и четвертого п о р я д к о в .
o
o
О т в е т : m 1=4/3, m 2=2, m 3=3,2, m4=16/3, m1 = 0, m2 = 2 / 9 ,
o
o
m3 = —8/135, m4 = 16/135.
3.10 Каж ды й из 25 студентов группы выучил 80% экза менационных б и л ето в . Найдите среднее число сту д ен то в ,
сдавших э к з а м е н .
О т в е т : 20.
3.11 П лощадь круга вычисляю т по измеренному д и а метру круга X, используя формулу S =nX /4. С ч и тая , что из меренный диаметр круга X распределен равномерно на от резке
[а , b ], найдите математическое ожидание и диспер w
w
п
сию случайной величины S.
О т в е т :M ( S )=п ( а 2+ а b + b 2)/12,
D ( S )=п 2( b - а )2(4 а 2+7 a b +4 b 2)/720.
3.12 Плотность распределения непреры вной случайной
величины Х имеет вид
64
0, x £ (—1, 1);
f (x) = <
3(1 —x2)/4, х e (—1,1).
Найдите начальные и центральные моменты п е р в о го , вто р о г о , третьего и четвертого п о р я д к а, а также асимметрию и
эксцесс случайной величины X.
o
o
о
О т в е т : щ = m = 0, m2 = m 2 = D( X ) = 1/5, m3 = m3 = 0,
o
m4 = m4 = 3/35,
=0, E k= - 6 /7 .
65
4. М Н О Г О М Е Р Н Ы Е С Л У Ч А Й Н Ы Е В Е Л И Ч И Н Ы
До сих пор мы рассматривали одномерные случайные
в е л и ч и н ы . В прикладных задачах обычно приходится рас сматривать в ел и ч и н ы , возможные значения которых опре деляются д в у м я , тремя и более ч и с л а м и .
П р и м е р 4.1. Станок - автомат ш тампует стальные
п л и тк и . Если контролируем ы ми размерам и являются длина
Х и ширина Y, то имеем двумерную случайную величину
(Х, Y); если же контролируется и в ы с о та , то имеем трех мерную величину (X, Y, Z).
В этом разделе будут обобщ ены ранее изложенные ре зультаты на совокупность из нескольких случайных вели ч и н , заданных на одном и том же вероятном п р о стр ан ств е.
4.1
М ногомерная случайная вели чи н а. Совместная
функция распределения
О п р е д е л е н и е . Совокупность случайных величин
Х 1=Х1(ш), ..., Х п=Х n(ш), заданных на одном и том же в ероятностном п р о стр ан стве, называют м н о г о м е р н о й (n мерной) с л у ч а й н о й величиной или n - м е р н ы м с л у ч а й н ы м
вектором.
П р и м е р 4.2. При испытании прибора на надежность со вокупность внешних воздействий в некоторый момент вре мени можно описать случайным вектором (X, Y, Z,...).
Пусть Х - температура окруж аю щ ей ср е д ы , Y - атмосфер ное д а в л е н и е , Z - амплитуда вибрации п л ат ф о р м ы , на ко торой установлен прибор и т .д . Размерность этого вектора
зависит от количества учиты ваем ы х факторов и может
быть достаточно б о л ь ш о й . Свойства многомерны х случай ных векторов мы будем рассматривать на примере двумер ного случайного вектора или же системы двух случайных
величин.
О пределение. Совместной функцией распределения
вероятностей n - мерного случайного вектора (Х1, . , Х п) на зывают ф ун к ц и ю , значение которой в точке (х 1, ..., xn) e R n
равно вероятности совместного осущ ествления событий
(Х1<х 1), ... , (Хп <х n), т .е .
66
F (х 1,...,Xn) = P ( Х 1<х 1, ..., Х п<х n).
При n =2 будем говорить о двум ерной функции распре деления
F ( х , у )= P (Х < х , У<у).
Геометрически эту функцию можно истолковать как ве роятность попадания случайной точки в бесконечный квад рант с верш иной в точке (х, у ) (р и с .4.1.).
Рис .4.1
Свойства функции р а сп р ед ел ен и я .
1. 0 < F (х ,у ) < 1.
2. Функция F ^ , у ) неубывающ ая по обоим а р гу м ен там .
3. F ( x , —го)=F ( - го, y )=F ( - го,—го)=0.
4. F ( x ,+го)=F 1(x) - функция распределения компоненты X .
5. F ( + го ,y )=F 2(y) - функция распределения компоненты Y.
6. F( + го, + го) = l.
7. Р ( а 1<Х < b 1, а 1< Y < b 1)= F ( b 1, b 2) - F ( b 1, а 2) - F ( а 1, b 2)+ F ( а 1,а 2).
П еречисленны е свойства аналогичны свойствам ф у н к ции распределения одномерной величины Х. Докажем на п р и м ер , свойство 3.
События (Х1< - да) и (Х2< - да) являются н ев о зм о ж н ы м и , а
пересечение невозможного события с любым событием
есть также невозможное со б ы ти е, вероятность которого
равна н у л ю . С л ед о ват ел ь н о , утверждение 3 сп р ав ед л и во .
4.2 Д и с к р е т н ы е д в у м е р н ы е с л у ч а й н ы е в е л и ч и н ы
О п р е д е л е н и е . Двумерную случайную величину (Х, Y)
называют д и ск р е т н о й , если ее компоненты Х и Y являются
дискретны м и случайны ми в ел и ч и н а м и .
Пусть случайная величина Х принимает возможные з н а чения х ь . . . , х п, а Y —у 1, . , y m. Тогда координаты двумерно 67
го случайного вектора (Х, Y) - пары значений (x i,yj ), i = 1,n ,
j = 1, m.
Распределение величины (Х, Y) удобно задавать в виде
таблицы с двумя входами (табл .4.1)
Табл. 4.1
В этой таблице на пересече Y
X
нии строки «х i» и столбца «у j»
y m Px
y 1 y2
x 1 р 11 р 12
р 1m p Xi ставится вероятность с о в м ест­
ного осущ ествления события
x 2 р 21 р 22
р 2m p Xi
(Х=х i , Y =у j) т . е .
••• ••• •••
• ••
••
р ij= P ( Х = х i, Y=у j). В столбце
xn р n1 р n2
р nm pxn « Р х» проставляются вероятно сти
p Xi =р i1+р i2+ ...+ р im.
Py
pym
py1 py 2
С другой стороны p x, = P ( Х = х i).
Таким о б р а зо м , первый и последний столбцы таблицы
дают ряд распределения случайной величины Х. Аналогич н о , в последней
строке
« Р у»
помещ ены
значения
p y =р 1j +р 2j +...+ р mj , а первая и последняя строки дают ряд
распределения случайной величины Y.
И спользуя т а б л . 4.1 нетрудно определить совместную
функцию распределения F(x, у).
П р и м е р 4.3. В соответствии со схемой Бернулли с ве роятностью успеха р и вероятностью q =1 - p проводятся два
и с п ы та н и я . Составим таблицу распределения двумерной
случайной величины (Х 1, Х 2), где Х i , i =1,2 - число успехов в
i - м и с п ы тан и и . Возможные значения Х 1 и Х 2: 0 или 1. Оче в и д н о , что в ер о я тн о с ти :
Р (Х 1=0, Х 2=0)=q2, Р (Х 1=1, Х 2=0)= р q ,
Р (Х ]=0, Х 2= 1)= q р , Р (Х 1= 1, Х 2= 1)=р2.
Т а б л . 4.2
F (x 1,x 2)=0 при х 1<0 или х 2<0;
Х2
Х1 0
1
F (x 1,x 2)= q при 0<х 1<0 и 0 <х2< 1;
Pxx1
2
F (x 1,x 2)= q + qp = q при 0 <х 1< 1 и х2> 1;
0
q
qp
q
2
F (x 1,x2)= q + q p = q при х 1> 1 и 0 <х2< 1;
1
pq p
p
F (x 1,x2)=1 при х 1> 1 и х 2> 1.
p
Pxx2 q
Функция F (х 1,х 2) в данном случае за 68
дает ступенчатую поверхность в трехмерном п р о стр ан ств е.
4.3 Н е п р е р ы в н ы е д в у м е р н ы е с л у ч а й н ы е в е л и ч и н ы
О пределение. Н епреры вной двумерной случайной
в е л и ч и н о й (Х,Y) называют такую в ел и ч и н у , совместную
функцию распределения которой можно представить в виде
сходящегося несобственного интеграла
x y
F (x, y) = j j f (x, y)dxdy.
—
го—
го
П лотность совместного распределения вероятностей
есть вторая смешанная производная от совместной ф у н к ции распределения
N Э2F (x, y)
f ( x ,y ) = ^
.
dxdy
Г еометрически эту функцию можно представить как не которую п о вер х н о сть , которую называют поверхностью
распределения вер о ятн о с тей .
Вероятность попадания случайной точки в любую об ласть можно определить как двойной интеграл по этой об ласти от функции п л о тн о сти , т . е .
P ((X, Y ) е D ) = jj f ( x , у ) dx d y .
D
Свойства функции совместной плотности р а сп р ед ел ения:
1) функция ^ х ,у) н ео тр и ц ател ь н а я;
+го+го
2) j j f (x, y )dxdy = 1;
—
го—
го
3) функции плотности к о м п о н е н т :
f i( x )= dF1 (x) = j f ( x ,y ) dy - для компоненты Х ;
dx
I
—
dF2( y)
//
w
у
f 2(y) = — 2---- = I f (x ,y )dx - для компоненты Y .
го
dy
— го
4) Р (х <Х<х+Ах, у < Y < у +Ду) ~f(x,y ) Ax Ay;
5) P (Х = х , Y = у )=0.
П р и м е р 4.4. Двумерная случайная величина (X, Y) зада на плотностью совместного распределения
69
f (x, y ) =
1/(6n), x 2/9 + y 2/ 4 < 1;
0,
x2 /9 + y 2 / 4 > 1.
Найти плотности распределения компонент X и Y.
Р е ш е н и е . Плотность распределения компоненты Х
1 2V1-x2/9
2 ^1-x2/9 2 I
;г
f1(x) = —
j^y = —
j^y = — a/9 - x .
6n - 2V11-x
6n
9n
0
- 2/9
Окончательно,
2л/9 - x2 /(9n),
< 3;
Л( x) =
А налогично
ненты Y :
> 3.
0,
найдем плотность распределения к о м п о 4 - у /(2 п),
f 2(у) =
у
< 2;
0,
|У > 2.
Предлагаем самостоятельно убедиться в т о м , что функ ции f 1(x) и ^ ( у ) уд овлетворяю т условию н о р м и р о в к и .
4.4
У с л о в н ы е з а к о н ы р а с п р е д е л е н и я к о м п о н е н т д ву м ер н о й с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы
Рассмотрим вначале двум ерную случайную величину
(X, Y) с дискретны ми ком понентами с возмож ными значе ниями
х 1, х 2,...,х n; у 1, у 2, ..., у m. Обозначим условную в е роятность т о г о , что Х п р и м е т , н а п р и м ер , значение х 1 при
у с л о в и и , что Y =у 1, через р (х 11у1).
Эта вер о ятн о с ть , как и в случае двух событий А и В , во обще г о в о р я , не будет равна безусловной вероятности
р (х 1).
В общем случае условные вероятности компоненты Х
будем обозначать
p (xi I y j ) (i = 1, n; j = 1, m).
О п р е д е л е н и е . У с л о в н ы м р а с п р е д е л е н и е м компоненты
Х при Y=yj называют совокупность условны х вероятностей
р (х 11уу), р (х 21у j), ..., р (х пIу j), вычисленных в п р ед п о л о ж ен и и ,
что событие Y=yj уже н асту п и л о . А налогично определяется
условное распределение компоненты Y.
70
В общем случае условны е законы распределения ком поненты Х определяются отношением
Р (* i IУj)=Р (* i, Уj)/р (Уj),
а компоненты
Y - р (у ^* i)=р (* ifу j)/ р (* i).
З а м е ч а н и е . Сумма вероятностей условного распределе n
m
ния равна е д и н и ц е . Так
Z p ( x I y j) = Z p(y, Ix {) = 1.
i=i
j=i
П р и м е р 4.5. Условное распределение числа Х 1 успехов
в первом испытании по схеме Бернулли (с м . пример 4.3)
при у с л о в и и , что число успехов во втором испытании Х2=j ,
j =0,1, задано т а б л . 4.3.
Табл .4.3
Из этой таблицы с л ед у ет, ч т о , незави Х2
Х1
1
0
p * 1 симо от числа успехов во втором испы т а н и и , 0 или 1 успех в первом испыта 0
q
q
q
нии происходит с одними и теми же ве 1
p
p
p
роятностям и р и q . Это о ч е в и д н о , по Р* 2 q
p
скольку испытания по схеме Бернулли
являются н езав и си м ы м и .
Пусть теперь ( X , Y) - двумерная случайная величина с
непреры вны ми к ом п о н ен та м и .
О п р е д е л е н и е . У с л о в н о й п л о т н о с т ь ю f ( x ^ ) р асп р ед еления компоненты Х при данном значении Y = y называют
отношение плотности совместного распределения f ( x ,у)
двум ерной величины (X, Y) к одномерной плотности рас пределения f 2(y ) компоненты Y :
f( x Iу )= f( x ,у )/ f 2(y ).
Аналогично определяется условная плотность к о м п о ненты Y при данном значении Х = * :
f ( у l* )= f( x ,у )/ f 1(*).
П р и м е р 4.6. Пусть случайные величины Х и Y пред ставляют собой координаты падения ч ас т и ц ы , случайным
образом брош енной в круг радиуса R с центром в начале
к о о р д и н а т. Случайный вектор (Х, Y) имеет плотность рас пределения
f (x, y) =
1/( nR 2),
x2 + y 2 < R 2;
0,
x2 + y 2 > R 2.
71
Найдем условную плотность распределения абсциссы Х
точки падения частицы при у с л о в и и , что ордината Y при няла значение у . Для этого определим одномерную плот ность распределения случайной величины Y :
/Я2-у2 1
Л ( у) = I f (x, y ) dx =
I — 2 dx =
-VЯ2- у2 ПЯ
|у*
я;
— оо
I у 1> Я.
0,
При Iу I<Я искомая условная плотность
1
Ix I<V R 2 - у 2;
f (x, у)
'
2VЯ 2 - у 2
f (x I у) =
f 2( у)
0,
Ix I > J R 2 - у 2.
Таким о б р азо м , случайная величина Х при условии Y = y
2
2 /2
2
Я - у , уЯ - у ].
З а м е ч а н и е . Условные п ло тн о сти , как и любая п л о т­
ность распределения обладают следую щ ими св о й с тв ам и :
V
f (x I у) > 0,
f (у Ix) > 0,
| f (x I у ^ = 1;
—
^
I f (у Ix ^ = 1.
— оо
4.5 У с л о в н ы е ч и с л о в ы е х а р а к т е р и с т и к и
Рассмотрим двумерную случайную величину (Х,Y). В
соответствии с результатами п . 4.4 можно определить ус л о в н ы е р а с п р е д е л е н и я ком понент Х или Y при у с л о в и и ,
что другая компонента приняла определенное значение
(Х = х или Y = y ). П оскольку условное распределение облада ет всеми свойствам и обычного (б езу сл о в н о го ) распределе н и я , то по нему можно определить м а т е м а т и ч е с к о е ожи д а н и е , д и с п е р с и ю и другие числовые (усл овн ы е) характе ристики.
О пределение. У словны м м атем атическим ожиданием
дискретной случайной величины Y при Х = х (х - определен ное возможное значение Х) называют сумму произведений
возможных значений Y на их условные в ер о я тн о с ти :
72
m
M (Y I X = x) = X y j p ( y j Ix).
j =1
Для непреры вны х величин
+^>
M (Y I X = x) = j y f (y Ix ) d x ,
— 00
где f ( y l x ) - условная плотность случайной величины Y при
Х = *.
Условное матем атическое ожидание М ( YIX) есть ф ун к ция от *:
M( Y|x)= h (x), которую называют ф у н к ц и е й р е г р е с с и и Y
на Х.
Линия регрессии графически изображает зависимость
«в ср ед н е м » случайной величины Y от значения * сл у ч ай ной величины Х.
Аналогично определяются условное м атематическое
ожидание случайной величины Х и функция регрессии Х на
Y:
M (Xl y )= g (y ).
Линия регрессии Х на Y графически изображает зав и си мость «в с р ед н е м » случайной величины Х от значения у
случайной величины Y.
П р и м е р 4.7. Пусть Х 1 и Х2 - числа успехов в первом и
во втором испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью
успеха р . Найдем M ( X 1Ix2). И спользуя табл .4.3, получаем
M ( X 1I0)=0 ■q +1 -p = p , M ( X 1I1)=0 ■q +1 -p = p . Отсюда
M (X1Ix 2) =p .
П р и м е р 4.8. Пусть случайны й вектор (Х, Y) имеет рав номерное распределение в треугольнике с вершинами в
точках (0;0), (0;2), (1;0). Найдем условные м атематические
ожидания M ( X l y ), M ( Yl x ) и функции регрессии Х на Y, Y на
Х. Обозначим заданный треугольник как область D . Совме стная плотность распределения
1, (x, y) е D;
f (x, y) =
0, (x, y) £ D.
Возмож ные значения Х и Y : * е [0,1], у е [0,2]. Найдем
условны е математические о ж и д а н и я :
1—
y/2 2 xdx 2 —v
----- =
,
M ( X I y) = j x f ( x I y)dx = j
—
^
0 2 —y
4
73
+
2(1 x) ydy
M (Y Ix) = I y f (у Ix)dx = I — ------ = 1 - x.
-^
о 2(1 - x)
Таким о б р а зо м , условное математическое ожидание
M (X I у) = g (у) = 2 - у
4
условное математическое ожидание
M ( Y\x ) = h (x )=1 - х .
Графики линейной регрессии Х на Y и Y на Х приведены
на рис .4.2.
1 х
Рис .4.2
О п р е д е л е н и е . У с л о в н о й д и с п е р с и е й D (XIY) случайной
величины Х относительно случайной величины Y называют
случайную в ел и ч и н у , заданную формулой
D (XI Y )= M ([X - M (XIY )]2Iу ).
Для д вумерной дискретной случайной величины (Х,Y)
значение D (Х\у7) условной д исперсии Х при условии Y=yj
определяется формулой
D (X I у j ) = M ([X - M (X I у 1)]2 1у ) ) = £ [x, - M (X I у ) )]2p ,
i=1
а для непреры вной двум ерной случайной величины (Х, Y)
D ( X I у) = M ([X - M ( X I у)]2 1у) = I [x - M ( X I у)]2f (x I у ^ .
^
З а м е ч а н и е . Условная дисперсия D (XIY) является функ цией случайной величины Y, область определения которой
совпадает с множ еством возм ожных значений случайной
величины Y.
А налогично определяется условная дисперсия D ( YIX)
случайной величины Y относительно Х.
О пределен ие. К о р р ел я ц и о н н ы м и отнош ениям и случайных величин Х и Y называют числа n XIY и n YIX, которые
—
74
задаются выраж ениями
n xiy = V1 —M ( D ( X IY) ) / D ( X ) и
nY|x =V 1—M (D(Y I X ) ) / D(Y).
Корреляционное отношение n XIY для двум ерной д и с ­
кретной случайной величины (Х, Y) вычисляю т по формуле
m
ПXiy = 1 —( Z D ( X I y )p ) / D (X ),
j=1
j
а для непреры вной величины (Х, Y) - по формуле
+^>
ПXiy = 1—( j D ( X I y )f 2( y ) d y ) / D ( X )
—оо
Приведем без доказательства свойства корреляционного
о тн о ш ен и я .
1. 0 —ЛXIy—1.
2. ЛX\Y= 1 тогда и только т о г д а , когда случайная величи на Х функционально зависит от Y.
3. ЛX\Y=0 тогда и только т о г д а , когда M(XIY)= с = М ( Х ) ,
т .е . линия регрессии Х на Y есть горизонтальная п р я м а я .
4.6 З а в и с и м ы е и н е з а в и с и м ы е с л у ч а й н ы е в е л и ч и н ы
О п р е д е л е н и е . Случайные величины Х и Y называются
н езав и си м ы м и , если совместная функция распределения
F(* , у ) является произведением одномерных функций рас пределения F 1(*) и F 2^ ):
F (* ,у )= F 1(*) ■F 2^ ).
В противном случае случайные величины называются
зави с и м ы м и .
Из этого определения с л ед у ет, что для независимы х
случайных величин Х и Y события (Х<*) и ( Y< y ) являются
н езав и си м ы м и . Отсюда же и следует аналогичное условие
относительно функции плотности совместного распределе ния:
f( *, у )= Л ( *) -f2(у ).
П р и м е р 4.9. В схеме Бернулли с двумя испытаниями
(с м . пример 4.2)
Р (Х 1=0, Х 2=0)= q 2= P (Х 1=0) -P (Х 2=0),
Р (Х 1=0, Х 2=1)= q p = P (Х 1=0) ■P (Х 2= 1),
75
Р (Х 1= 1, Х 2—0)= p q = P ( Х 1=1)■ P (Х 2=0),
Р (Х 1= 1, Х2=1)= p 2= P (Х 1= 1) ■P (Х 2=1).
Таким о б р азо м , числа успехов Х 1 и Х2 в первом и вто -
ром испы таниях представляю т собой независимые случай ные в ел и ч и н ы , чего и требовалось ожидать в силу опреде ления схемы Б е р н у л л и . Так же можно убедиться в т о м , что
независимы м и в совокупности являются случайные вели чины
Хь
Хп - числа успехов в 1-о м , 2 -о м ,
n - м ис пытаниях по схеме Б е р н у л л и .
П р и м е р 4.10. Рассмотрим двум ерную случайную вели чину (Х, Y) с непреры вны м и компонентами, совместная
плотность распределения которой имеет вид
1,
x е [0,1] и у е [0,1];
f (x, у) =
0,
x £ [0,1] или у £ [0,1].
О дномерные плотности распределения случайных вели чин Х и Y задаются формулой
f1,
x е [0,1];
f 1(x) = f 2( у) = i
L J
1
[0,
x £ [0,1].
О ч ев и д н о , что в данном случае совместная плотность
распределения f ( x , у ) для всех х ,у является произведением
одномерных плотностей f 1(x), f 2(y). Значит случайные вели чины Х и Y н еза в и с и м ы .
4.7
Ч и словы е хар ак тер и сти ки двумерной случайной
вели чи н ы . К овариация и коэффициент корреляции
Для описания двум ерной случайной в ел и ч и н ы , кроме
м атематических ожиданий и дисперсий ком понент исполь зуют и другие характери сти ки как ковариация (ко р р ел я ц и онный м о м ен т) и коэффициент к о р р ел я ц и и .
О п р е д е л е н и е . К о в а р и а ц и е й еоу(Х, Y) случайных вели чин Х и Y называют математическое ожидание п р ои звед ения случайных величин
О
О
X = X - M ( X ) и Y = Y - M (Y):
ОО
еоу(X, Y ) = M ( X Y ) = M [(X - M (X ))(Y - M (Y ))].
Запишем ф ор м у л ы , определяю щ ие
дискретны х случайных величин Х и Y
76
к о в а р и а ц и ю . Для
n m
cov(X, Y ) = Z Z (xt —M (X ))(yj —M (Y ))p ( x , y j ),
i=1j=1
а для непреры вны х случайных величин Х и Y
cov(X , Y ) = j j (x —M (X ))(y —M (Y )) f (x, y)dxdy.
—
^ ^
О пределение ковариации позволяет записать выражение
для дисперсии суммы произвольны х случайных величин и к
уже имеющимся свойствам дисперсии добавить еще о д н о :
D (X + Y ) =D (X ) +D ( Y )+2cov( X, Y ).
Д ей ст ви тел ь н о ,
D (X+ Y )=М(( X+ Y ) - М( X+ Y))2=
= М (X - М (X ))2+2 М ((X - М (X) ) ( Y- М ( Y))+M ( Y - М ( Y))2=
=D (X)+ D ( Y)+2cov( X, Y ).
Ковариация служит для характери сти ки связи между
случайны ми величинами Х и Y. Для этого отметим основ ные свойства к о в а р и а ц и и .
1. cov( X ,X ) =D (X).
2. cov(X,Y)=0 для независим ы х случайных величин Х и
Y.
3. cov( Х , Y)=M (X ■Y ) - M ( X ) ■M( Y).
4. Icov( X , Y )I <V D( X ) D(Y).
Утверж дение 1 следует из определения к о в а р и ац и и :
cov( Х ,Х) = M (X - M (X ))2.
Если Х и Y - независимые случайные в ел и ч и н ы , то их
отклонения X - М( Х) и Y - М ( Y) также н езав и си м ы . Пользуясь
свойствами м атематического о ж и д а н и я, получим д о к а за ­
тельство утверж дения 2:
cov( X, Y )= М [(X - М( X ) ) ( Y - М( Y ))] =
= М [X - М( X) ] M [ Y - М( Y )]=0.
Утверж дение 3 следует из определения самой ковариа ции и раскрытия скобки в ф о р м у л е, а также из свойств ма тематического о ж и д а н и я .
Для доказательства утверждения 4 введем в рассмотре ние случайную величину Z 1= c yX - c xY и найдем ее д и с п е р сию D (Z 1)= M [Z 1- mz 1] . Выполнив в ы к л ад к и , получим
D(Z1) = 2 а 2а 2 —2 а xа „ •cov(X , Y ).
Так как дисперсия н ео тр и ц ател ь н а, то получим
cov( X, Y ) < а *а у.
77
Введя
найдем
случайную
величину
Z2= GyX+ а хY,
аналогично
еоу( X, Y ) > - а ха у.
Таким образом получили утверж дение 4.
Сущ ественны м недостатком ковариации является т о ,
что ее размерность совпадает с произведением размерно стей случайных величин и сравнение ковариации различ ных двум ерны х случайных величин становится затрудни т е л ь н ы м . Поэтому вводят безразмерную величину - коэф фициент к о р р ел я ц и и .
О п р е д е л е н и е . К о э ф ф и ц и е н т о м к о р р е л я ц и и р= р(Х,Y)
случайных величин Х и Y называют отношение ковариации
к произведению средних квадратических отклонений этих
величин:
p=cov(X, Y)/а ха у.
Так
как
для
независимы х
случайных
величин
cov(X, Y)=0, то и р (Х, Y)=0. Когда рассм атриваю т n - мерный
случайный вектор (Х 1,...,ХП), коэффициент корреляции обо значаю т как
Pi j = еоу( X , X j )/(<ГX . о X j ).
К оэф ф ициент корреляции имеет следующие с в о й с тв а .
1. Iр (X, Y )1< 1.
2. Если случайные величины Х и Y являются н езав и си м ы м и , то р (Х, Y)=0.
3. р (Х, Х ) =1.
4. Iр (X, Y)I=1 тогда и только т о г д а , когда случайные ве личины Х и Y связаны линейной з а в и с и м о с т ь ю .
5. 1р 1< nXi y .
6. IрI= nXIY тогда и только т о г д а , когда M ( X IY)= М ( Х ) , т .е .
линия регрессии Х на Y является п р я м о й .
Коэф ф ициент корреляции (ковари ац и я) может не улав ливать степень нелинейной ф ункциональной з а в и си м о с ти .
Для этой цели используют корреляционное о т н о ш е н и е .
Д оказательства первых трех утверж ден ий следуют из
свойств ковариации и самого определения коэффициента
к о р р ел яц и и . Д оказательства остальных трех утверж дений
провести сам о сто ят ел ь н о .
О п р е д е л е н и е . Две случайные величины Х и Y н азы ваются к о р р е л и р о в а н н ы м и , если их ковариация или коэф 78
фициент корреляции отличны от н у л я ; Х и Y называют не к о р р е л и р о в а н н ы м и , если их ковариация равна н у л ю .
При р > 0 говорят о полож ительной к ор р ел и р о в ан н о сти ,
а при р < 0 - об о тр и ц ате л ь н о й .
Две коррелированны е величины также и з ав и си м ы , что
следует из свойства к о в а р и а ц и и . Обратное же утверждение
не всегда имеет м е с т о , т . е если две случайные величины Х
и Y за в и с и м ы , то они могут быть как к о р р ел и р о в ан н ы м и ,
так и н ек о р р е л и р о в ан н ы м и .
Другими сл о в а м и , ковариация двух зависимы х величин
может быть равна н у л ю , но может быть и не равна н у л ю .
Исключение составляю т нормально распределенны е слу чайные в ел и ч и н ы , так что из н е к о р р е л и р о в а н н о с т и нор м а л ь н о р а с п р е д е л е н н ы х в е л и ч и н в ы т е к а е т их н е з а в и с и мость.
П р и м е р 4.11. Двумерная случайная величина (Х, Y) за дана совместной плотностью р асп р ед ел ен и я :
1/(6п), x2 /9 + y 2/ 4 < 1;
f (x, y) =
0,
x2 /9 + y 2 / 4 > 1.
Д о к а зать , что Х и Y - зависимые некоррелированные
в ел и ч и н ы .
Р е ш е н и е . О дномерные функции плотности были найде ны ранее (пример 4.4):
f 1(x) = — л/9 —x2 , f 2(y) = — д/4 —y 2 внутри заданного э л 9п
2п
липса и f 1(x )=f2(y )=0 вне е г о . Так как f ( x ,y )* f 1(x) ■f2 ( y ), то Х
и Y - зависимые случайные в е л и ч и н ы . Найдем теперь к о вариацию
+^ +^>
cov(X , Y ) = j j (x —M (X ))(y —M (Y )) f (x, y)dxdy.
Поскольку функция f1(x) сим метрична относительно
оси о у , то М( Х) =0. А н а л о г и ч н о , М( Y)=0 в силу симметрии
f 2(y) относительно оси 0*. Следовательно
+го+го
1 3дД y /4
2л11—
x2/9
cov( X , Y ) = j j x y f (x, y)dxdy = —
j
y(
j xdx)dy.
6n —
^1—y2/4 —
2V1—
x2/9
В нутренний интеграл равен нулю в силу нечетности по д ы нтегральной функции и сим метричности пределов и н 79
тегрирования относительно начала к о о р д и н а т. С л ед о ва­
тельно , cov(X,Y)=0, т .е . зависимые случайные величины Х и
Y н ек о р р е л и р о в ан ы .
П р и м е р 4.12. Двумерная случайная величина (Х, Y) за дана совместной плотностью распределения
24xy, x > 0, y > 0 и x + y < 1;
f (x, y ) =
0,
в противном случае.
Найдем одномерные плотности р ас п р е д е л е н и я :
1- x
fl (x) = j 24 xydy = 12xy l0-x = 12x(1 - x)
для 0 < x < 1;
0
1-y
f 2(y) = j 24 xydx = 12yx2 l0-y = 12y (1 - y)2
для 0 < y < 1.
0
Поскольку
1
1
1
1
3 3 9
1 1
1
1
f ( - . - ) = 6, a f 1( - ) f 2( - ) = - • - =
т.е. f ( - • - ) Ф f 1( - ) •f 2(-), то
2
2
J ^ 2 U2 2
2 2 4
2 2
2
2
Х и Y не являются н езав и си м ы м и .
Найдем ковариацию cov(X, Y). Для этого определим
1 1- x
1 1- x
1
2
M ( X Y ) = j j xyf (x, y)dydx = j x ( j 24y dy)dx = j 8x (1 - x) dx = — ,
00
0 0
0
15
1
1
2
M ( X ) = j xf1( x)dx = j 12x 2(1 - x)2dx = —,
0
0
5
1
1
2
j y f 2( y)dy = j 12 y 2(1 - y)2dx =
0
0
5
2 2 2
2
Отсюда
cov( X , Y ) = M ( X Y ) - M ( X ) •M (Y ) = ------------ =
15 5 5
75
Определив также о (Х )= g ( Y)=1/25, найдем коэффициент
корреляции
2
р = (-2 / 75)/(1 / 25) = - 2 . Таким о б р азо м , случайные величины
Х и Y зависимые и отрицательно коррелированны е в ел и ч и -
ны.
Рассмотрим теперь n - мерный случайный вектор
X = (X 1,K, Xn).
О п р е д е л е н и е . М а т р и ц е й к о в а р и а ц и й (к о в а р и а ц и о н ной м а т р и ц е й ) случайного вектора X назы ваю т матрицу
£ =(о jj) = (cov( X t , X j )),
80
состоящую из ковариаций случайны х величин X i и X j .
Эта матрица симметрическая и неотрицательно определен ная.
О п р е д е л е н и е . К о р р е л я ц и о н н о й (н о р м и р о в а н н о й ко в а р и а ц и о н н о й ) матрицей случайного вектора X называют
матрицу
Р= ( рij)=(р (Xf,Xj)), состоящую из коэффициентов к о р р еляции случайных величин Xj и X j .
4.8 М н о г о м е р н о е н о р м а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е
Пусть координаты Xi и X2 случайного вектора
X = (X 1? X 2) являются случайны ми вел и ч и н ам и , распреде ленны ми по нормальному закону с функциями плотности
1
( x —m )2
f i ( x) = фmi,„1( x) = - p r - exp(—(
1) ) и
v 2n„i
2„1
1
f 2(x) = Фm2,02(x) =
(x —m2)2
eXP(—
V ' )’
V2no2
2 o2
где m i и a i>0, i = 1,2 математические ожидания и среднее
квадратические отклонения случайных величин X 1 и X 2.
Если X 1 и X2 являются независимы м и случайны ми вели ч и н а м и , то согласно результатам п . 4.6
f (x 1,x2)=fi(x 1) f2( x 2)
и в этом случае плотность двумерного нормального рас пределения имеет вид
f (x x ) =
1
exp(—(x1—m1)2 —(x2 —m2)2 )
f ( x2) (V2n )2о 1о 2 eXP(
20j2
2о2 ) '
(4 1)
(
)
В общем случае вектор X = (X1, X 2) имеет д в у м е р н о е
н о р м а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е , если его плотность распреде ления определяется формулой
1
—
2Q(x1—
m1’x2—m2)
2--------Г=— Te 2
’
( 4 -2)
(л/2л) o 1o ^ 1 —р
где функция двух переменных
2
2
Q(У1, У2 ) =
( —2 P yZ l +
),
(4.3)
1 —р „1
010 2
О2
y i= x i- m i, i =1,2, есть положительно определенная к в а д р а­
f (xv x2) =
,
Г^т4
4
81
тичная форма (т . е . Q (y 1,y 2)>0 для любых (y 1,y 2) Ф(0,0)).
Здесь р - коэффициент корреляции случайных величин
Х 1 и Х2.
Для дальнейш его обобщения используем матрицу кова риаций
Z _ &11
V°21
СГ12
^22 У
где Сii _ С j _ 1’2’ a С12 _ С21 _ рС1С2 •
Если
ввести вектор у _ (y1, y2), то квадратичную форму
(4.3) можно записать
Q(y) _ y Z -1уT ,
где Z 1- обратная м ат р и ц а , знак «т » - операция транспони р о в а н и я . Тогда выражение (4.2) можно записать в виде
1
- - (x-m)Z -1(X-m)T
f (x) _ ------------------ г e 2
,
(У2П)2(det Z )2
где det Z - определитель матрицы Z .
Теперь можно записать плотность нормального распре деления для случайного вектора X _ (X1, k , X n) п рои звол ь ной размерности n > 2:
1
-- (x- m)Z -1(x- m)T
.
f (x) _ ------------------ г e 2
(^I—п )n(det Z )2
З а м е ч а н и е . Если компоненты двум ерной случайной ве личины (Х1, Х2), распределенной н о р м а л ь н о , некоррелиро в а н ы , то плотность распределения (4.2) переходит в (4.1).
Отсюда уже сл ед у ет, что Х 1 и Х2 н езав и си м ы .
4.9 З а д а н и е № 4 на с а м о с т о я т е л ь н у ю р а б о т у
4.1
Задано распределение
двум ерной случайной величины:
вероятностей
X
41
26
30
50
2,3 0,05 0,12 0,08 0,04
2,7 0,09 0,30 0,11 0,21
V
Y
82
дискретной
Найти законы распределения с о ста в л яю щ и х .
Ответ:
Х 26
41
Y 2,3
30
50
2,7
P 0,29 0,71
P 0,14 0,42 0,19 0,25
4.2 Задана функция распределения двум ерной случай ной величины
sinх •sin y при 0 < х < п /2, 0 < y < п /2,
F (х, y) _
0
при х < 0 или y < 0.
Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в
п р ям о у го л ь н и к , ограниченны й прямыми х =0, х =п/4, у =п/6,
у =п/3.
О т в е т : Р =0,26.
4.3 Задана функция распределения двумерной случай ной величины
F(x,y) _
(1 - e - 4х)(1 - е~2y )
0
двум ерную
при х > 0, y > 0;
при х <0, y < 0.
плотность вероятности
Найти
системы
(X, Y).
О т в е т : f ( x , y ) = 8 e 4х 2y при х > 0, y > 0 ; f ( x , y ) = 0 при х < 0
или y <0.
4.4 Задана двумерная плотность вероятности двумерной
случайной в е л и ч и н ы : f ( x ,y ) = (1 /2 )•sin(x+y) в квадрате
0<х<п/2, 0<y<п/2; вне квадрата f ( x ,y )=0.
Найти функцию распределения системы (X, Y).
О т в е т : F (х ,y )=(1/2)[sin х +sin y - s i n ( х +y )].
4.5 Задана дискретная двумерная случайная величина
(X, Y )
X
V
Y
3
6
10 0,25 0,1
14 0,15 0,05
18 0,32 0,13
Н а й т и : а) условны й закон распределения X при у с л о в и и ,
что Y =10; б ) условны й закон распределения Y при у с л о в и и ,
что Х=6.
83
Ответ:
а)____________
X
3
6
Р (X I10) 5/7 2/7
__________ б)
Y
14
10
Р ( Y I6) 5/14 5/28
18
13/28
4.6 Плотность совместного распределения непрерывной
двум ерной случайной величины f ( x ,у )=cosx•cosy в ква д р ате 0<х<п/2, 0<у<п/2; вне квадрата f ( x , у )=0. Д о к а зать , что
составляющ ие X и Y н езав и си м ы .
У к а з а н и е . У б е д и т ь с я , что безусловные плотности рас пределения составляю щ их равны соответствую щ им услов ным п л о тн о стям .
4.7 Н епрерывная двумерная случайная величина (X, Y)
распределена равномерно внутри прямоугольника с ц е н тром симметрии в начале координат и сторонами 2 а и 2 b ,
п араллельны м и координатны м о с я м . Н а й т и : а) двумерную
плотность вероятности си с т е м ы ; б) плотности р а сп р ед ел ения с о ста в л яю щ и х .
О т в е т : a) f ( x ,y)=1/(4ab) внутри заданного п р ям оу гол ьн и к а ; вне его f ( x ,у)=0; б) f 1(x)=1/(2 а ) при lxI< а , при lxl> а
fi(x)=0; при Iу I< b f 2(у )=1 /(2 b ), при Iy l>b f 2 ( y )=0.
4.8 Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y)
распределена равномерно в квадрате с вершинами (0, 0), (0,
1), (1, 0) и (1,1). Н а й д и т е :
а) совместную плотность р а сп р ед ел ен и я ;
б) совместную функцию р асп р ед ел ен и я ;
в ) частные плотности распределения случайных вели чин X и Y ;
г ) вероятность попадания случайного вектора (X, Y) в
круг (х —1 )2+( у —1)2< 1/2;
д ) п р о в ер ь те, являются ли случайные величины X и Y
н езав и си м ы м и .
Ответ:
0, x £ [0,1] или у £ [0,1];
a) М у ) =
1, x е [0,1] или у е [0,1];
84
в ) f-(х) _
0,
0,
х < 0 или y < 0;
ху,
0 < х < 1 и 0 < y < 1;
б) F (х, y) _ х,
0 < х < 1 и у > 1;
у,
х > 1 и 0 < у < 1;
1,
х > 1 и у > 1;
х £ [0,1];
0,
у £ [0,1];
f 2(У) _
1, х е [0,1];
1, Уе [0,1];
г ) P =п/8; д ) д а , я в л я ю т с я .
4.9 Непрерывная двумерная случайная величина (X, Y)
имеет совместную плотность распределения
С
f (х, у) _
Найдите:
а) постоянную С ;
б) совместную функцию р асп р ед ел ен и я;
в) частные плотности распределения случайных вели чин X и Y ;
г) вероятность попадания случайного вектора (X, Y) в
треугольник с верш инами в точках ( - 1 ; 1), (1; 1) и (0; 0);
д ) п р о вер ь те, являются ли случайные величины X и Y
н езав и си м ы м и .
О т в е т : а) С=1/п; б) F ( ^ у ) _ (- агС^х + - )(- arctgy + - );
п
2 п
2
1
1
в ) f-( х) _
f 2(У)_
п(1 + х2)
П(1 + у 2)
1
г) P _ — ; д ) д а , я в л я ю т с я .
16
4.10
Распределение вероятностей дискретной д в у м е р ной случайной величины (X, Y) задано в т а б л и ц е . Проверь те, являются ли случайные величины X и Y независимыми.
Y
X
-1
0
1
-1
1
-3
3
0,06 0,02 0,04 0,08
0,15 0,005 0,1
0,2
0,09 0,03 0,06 0,12
85
Ответ: да, являются.
4.11 Задана плотность совместного распределения д в у мерной случайной величины (X, Y)
г
2 2
36 x y e ~ {x +у ), (x > 0 ,у > 0),
f (x, у) =
0,
(x < 0 или у > 0).
Найти математические ожидания и дисперсии состав ляющих.
О т в е т : M ( X ) = M ( Y)=V3n / 6; D ( X) = D ( Y)=(4—п )/12.
4.12 Задана плотность совместного распределения н е прерывной двум ерной случайной величины (X, Y):
f ( x ,у )=2cosx •cosy в квадрате 0 <х<п/4, 0 <у <п/4; вне квад рата f ( x , у ) = 0. Найти математические ожидания состав ляющих.
О т в е т : M (X ) = M ( Y)= (п + 4 - 4л/2) / 4 .
4.13 Д вумерный случайны й вектор (X, Y) имеет нор мальное распределение с плотностью распределения
f (x, у ) = — e - 4x2- 2^ - у2 .
п
Найдите условную плотность распределения случайной
величины X при у с л о в и и , что случайная величина Y п р и н яла значение у , и условную плотность распределения с л у чайной величины Y при у с л о в и и , что случайная величина X
приняла значение х . Используя найденные условные плот ности р асп р ед ел ен и я , п р о вер ь те, являются ли случайные
величины X и Y н езав и си м ы м и .
2
2
1 2
О т в е т : f (x I у) = —e ~(4x+у) /4, f (у Ix) = —e ~(x+у) .
п
п
Случайные величины X и Y являются зави с и м ы м и .
4.14 В условиях задачи 4.13 найдите условные матема тические ожидания M(XIY) и М ( YIX) , условные дисперсии
D (XIY) и D ( YIX) и корреляционные отношения n XIY и
nYIX.Определите регрессии случайных величин X на Y и Y
на X и постройте линии р е г р е с с и и .
Ответ:
M ( X IY ) = - Y /4, M ( Y I X ) = - X , D (X IY ) = 1/8, D( Y I X ) = 1/2,
g (у) = - у /4, h(x) = - ^ ПxIу = ПxIу = 1 /2 .
86
4.15
И зготавливаем ы е в цехе втулки сортируют по от клонению их внутреннего диам етра от номинального раз мера на четыре группы со значениям и 0,01, 0,02, 0,03 и
0,04 мм и по овальности на четыре группы со значениями
0,002, 0,004, 0,006 и 0,008 м м . Совместное распределение
вероятностей отклонения диам етра Х 1 и овальности Х2
представлено т а б л и ц е .
Найдите математические о ж и д а н и я, д и с п е р с и и , к о ва р и ац и ю , коэффициент к о р р ел яц и и , а также ковариационную и
корреляционную матрицы случайных величин Х 1 и Х 2.
X2
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,01
0,03
0,04
0,02
Х1
0,02 0,03
0,02 0,04
0,24 0,15
0,10 0,08
0,04 0,03
0,04
0,4
0,06
0,08
0,02
О т в е т : M ( X 1)=0,026 м м , M(X2)=0,005 м м ,
D (X 1)=81 • 10-5 мм 2, D (X 2)=4 • 10-6мм 2,
cov(X1 X 2)=245 • 10-5мм 2,
/ 1
0,41Л
f 81-10-5
254-10 - 5 Л
Р - 0,41, 2 _
Р _ 0,41
-6
1
4 -10'
V
V254 -10-5
4.16 Совместная плотность распределения двумерной
непреры вной случайной величины (Х1, Х2) имеет вид
0,
х1 < 0 или х2 < 0;
<
f (^ х2) _
и х2 > 0.
4 х1х2e - (х12+х2) х 1 > 0
Найдите математические о ж и д а н и я, д и с п е р с и и , к о в а р и а ц и ю , коэффициент к о р р ел яц и и , а также к овари ац и он ­
ную и корреляционную матрицы случайных величин Х 1 и
Х2.
О т в е т : M ( X 1) _ M ( X 2) _ 4 П /2, D( X 1) _ D( X 2) _ (4 - п)/4,
Л
Л
_ ((4 - п ) / 4
0
Р_ 1 0
cov( X 1, X 2) _ 0, р _ 0, 2 _
0
(4 - п)/4у
V0 1
4.17 Д о к а зать , что если X и Y связаны линейной з а в и с и мостью Y = а Х + b , то абсолютная величина коэффициента
корреляции равна е д и н и ц е .
87
5 Ф У Н К Ц И И ОТ С Л У Ч А Й Н Ы Х В Е Л И Ч И Н . Ч И ­
СЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ЗАКОНЫ РАСПРЕ ДЕЛЕНИЯ
Если величина X или величины X 1, ..., Xn, через которые
выражается Y, являются сл у ч ай н ы м и , то и Y также будет
случайной в е л и ч и н о й . Таким образом вводится понятие
функции от случайной величины X или от случайного век тора (X1, ..., Xn).
5.1
П римеры функциональной
случайными величинами
зависимости
м еж ду
П р и м е р 5.1. На плоскости задан отрезок длины l
(р и с .5.1), вращающийся случайным образом т а к , что все
направления его одинаково вероятны. Отрезок п р оец и ру ет­
ся на неподвижную ось А В . Длина проекции отрезка равна
Y = l Icos а I, где угол а - случайная в е л и ч и н а , распределенная
равномерно на отрезке [0, 2 п ].
Р и с . 5.1
П риведенная формула задает функциональную зависимость
между значением угла а и длиной проекции отрезка ( Yскалярная функция от скалярной случайной величины а).
П р и м е р 5.2. Пусть X и Y - измеренные (с п о гр еш н остями) длины катетов прямоугольного треугольника. Тогда
функциями от двух аргументов X и Y б у д у т :
X + Y - длина г и п о те н у зы ;
S=XY/ 2 - вычисленная площадь этого треугольника
(L и S - скалярные функции от двумерной случайной вели чины (X , Y)).
88
П р и м е р 5.3. П р ед п о л о ж и м , что на плоскость в соответ ствии с некоторым вероятностны м законом случайным о б ­
разом бросают точку и изм еряю т ее полярные координаты
р и ф. Тогда формулы Х= р cos ф и Y = р sin ф перехода от по лярных координат к декартовы м Х и Y определяю т в ек тор­
ную функцию от векторного ар гу м е н т а .
5.2 Ф у н к ц и и от о д н о м е р н о й с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы
Пусть на вероятностном пространстве ( Q , Q , P ) задана
случайная величина Х=Х(ш). Рассмотрим действительную
функцию
У= Y (х )
действительного аргумента х (область определения которой
есть множество возможных значений случайной величины
Х ).
О п р е д е л е н и е . Случайную величину Y, которая каждому
элементарному исходу ш ставит в соответствие число
Y (ш) = Y (X (ш)), называют функцией Y (Х) случайной вели чины Х .
1.
Пусть аргумент Х - дискретная случайная в ел и ч и н а,
заданная рядом распределения
Х
х 1 х2
Р
Р1 Р2
•
•
•
.
.
.
хn
Рn
Тогда случайная величина Y= Y (X) будет иметь ряд рас пределения
Y
Р
Y (х -) Y(х 2)
Р1
Р2
•
•• Y(х n)
•
Рn
При э т о м , если среди возможных значений Y (х,•) есть
о д и н ак о в ы е, соответствую щ ие столбцы нужно объединить
в о д и н , приписав им суммарную в ер о ятн о с ть .
П р и м е р 5.4. Дискретная случайная величина задана ря дом распределения
Х -2
2
3
Р 0,4 0,5 0,1
89
Найти распределение функции Y =X2.
Р е ш е н и е . Вероятность возможного значения у 1=4 равна
сумме вероятностей н есовместны х событий (X= - 2) и (X=2),
т .е . 0,4+0,5=0,9. Вероятность возможного значения у 2=9
равна 0,1. Тогда ряд распределения Y будет иметь вид
4
9
0,9 0,1
Y
Р
2.
Пусть аргумент X - непрерывная случайная величина.
Зная плотность распределения f(x) найти распределение
функции Y = Y (X). Д о к а зан о , что если Y (X) - д и ф ф ер ен ц и ­
руемая и монотонная ф у н к ц и я, то плотность распределения
Y (X ) случайной величины Y находится с помощью р а в ен ст­
ва f ( y )=f( у (y ))I V (У)I, где у (x )= Y ' l ( y ) - ф ун к ц и я, обратная
к Y (я).
П р и м е р 5.5. Пусть случайная величина Y получена из
случайной величины X линейным преобразованием
Y= а X + b ,
где а Ф0 и b - неслучайные ч и с л а . Так как линейная ф ун к ция является монотонной и учитывая, что
Y _1(у) = У - Ь
а
и
(Y_1(y))/ = 1 , получим
а
f (y) = -1 -f (b).
Ia I
Пусть случайная величина X распределена по нормаль ному закону с параметрами mx и ох. Тогда случайная вели чина Y= а X + b имеет плотность распределения
г, \
1
/у - b
1
( y - (amx + b))2
T exP{
,x ,2— } =
f (y) = — Фmx,оx (----- ) = I
Ia I x x а
Л/2п(! а I о x)2
2(I a I о x)
y) ,
т.е. распределена по нормальному закону с параметрами
my= a m x+ b и oy=I а Iox.
З а м е ч а н и е . Если функция Y(x ) является непрерывной
кусочно монотонной функцией с k интервалами м о н о то н ­
н о сти , то плотность распределения величины Y(X) задается
формулой
ф
am x +b,IaIo x (
к
f (y) = I f (Vi ( y))I v (y)I.
i=1
90
5.3 Ф у н к ц и и от с л у ч а й н о г о в е к т о р н о г о а р г у м е н т а
Рассмотрим на вероятностном пространстве ( Q,, Q , P)
двум ерны й случайны й вектор X = ( X 1, X 2) и числовую
функцию Y (х 1,х 2) числовы х аргументов х 1 и х 2.
Определение.
Случайную
величину
Y= Y ^ 1,
Х2) = Y (Х1( ш), Х2( ш)) называют скалярной функцией от дву мерной случайной величины (двумерного случайного век ­
то р а) (Х1, Х 2).
1 . Пусть Х 1 и Х 2 являются дискретны ми случайны ми ве­
л и ч и н а м и , с возможными значениям и х 1i и х 2i со отв етств е н н о . Тогда функция Y (Х1, Х2) является дискретной слу чайной в ел и ч и н о й , приним аю щ ей значения Y (х 1i, х 2i) с ве роятностью
Р ij= Р ( X 1= x - i , X 2= x 2i).
П р и м е р 5.6. Пусть Y - случайная в е л и ч и н а , равная
суммарному числу успехов в двух испытаниях по схеме
Б е р н у л л и , а х i - число успехов в i - ом и сп ы тан и и , i =1,2. То гда
Y=Х1+Х2
и
Y (х 1,х2)=х 1+х2.
Так как возможные значения Х[ только значения 0 или
1 , то случайная величина Y может принимать четыре з н а­
чения:
Y (0,0)=0+0=0, Y (1,0)=1+0=1, Y (0,1)=0+1 = 1, Y(1,1)=1 + 1=2
2
2
с вероятностями q , p q , qp и р с о о тв етств ен н о .
Объединив одинаковые значения Y (1,0), Y (0,1) и су м м и ­
руя их вероятности, получим ряд распределения случайной
величины Y (биномиальное распределение):
Y
0
РУ q
2
1
2
2
2p q Р
2.
Пусть Х 1 и Х 2 являются непреры вны м и случайны ми
в е л и ч и н а м и . Д о к а з а н о , ч то е с л и Х 1 и Х 2 н е з а в и с и м ы , а с л у чайная величина Y является их суммой:
Y =Х 1+Х 2,
то плотность распределения Y f ( y ) может быть найдена с
помощью равенства
91
f ( y) = If1( x) • /2 ( y —x)dx,
—^
где f 1, f 2 - плотности распределения ар гу м ен то в ,
а х 1=х - п ер ео б о зн ач ен и е.
В этом случае г о в о р я т, что плотность распределения f ( y )
случайной величины Y является с в е р т к о й (к о м п о з и ц и е й )
плотностей распределения f 1(x) и f 2(x) ком понент Х 1 и Х2.
Для обозначения свертки плотностей распределения и с пользуют символическую запись f 1* f 2.
П р и м е р 5.7. Пусть Х 1 и Х2 независимые случайные ве личины, распределенны е по нормальному закону со с р ед ­
ними значениями m 1 и m 2 и средними квадратичны м и о т ­
клонениями о 1 и о 2. Найдем плотность распределения сум мы Y =Х1+Х2. Воспользуемся формулой свертки
)2
1— exp(—
еХР(^ -( У —7m+—7m2) ) X
11
2 2 2по1о2
2(о1
010 2
■ + о2)
2
2
2
2
2
X7 exp(—
(x —01 m2 —20 2m + 0 2y )2)dx.
—
2охо 2
о 1+ о 2
Опуская выкладки, окончательно запишем
f ( У) = Фmb01 * Фm2,о2 =
f(y) = I
12 = exp(—(y m m22 ). Таким образом, слуд/2п(01 + о 2)
2(о1 + 0 2)
чайная величина Y также распределена по нормальному за1~2
2
кону с парам етрами m 1+ m 2 и д/о
1 + о 2 , т .е . композиция
плотностей нормальных законов является плотностью н о р ­
мального закона распределения.
З а м е ч а н и е 1. П олученны й результат справедлив для
суммы любого числа сл агаем ы х , распределенны х по нор мальному з а к о н у , т . е . если Х ь ..., Х п - независимые нор мально распределенны е случайные величины со средними
m ь . . . , m n и средними квадратическим и отклонениями о 1,
о n, то их сумма Y = Х 1+ . + X n также распределена нор -
мально с параметрами m 1+ ...+ m n и д/о12 +...2+ о п .
З а м е ч а н и е 2. Д о к а зан о , что если случайные величины
Х 1,
Х п являются независимы м и и имеют гамма - распре деления с параметрам и в и а ,•, i = 1, n , соо тв етств ен н о , то их
сумма Y = Х 1+ ...+Х п имеет гамма - распределение с пара 92
n
метрами в и I а г, т .е . композиция гамма - распределений с
i=1
одинаковым параметром в и различны м и параметрами a i
является также гамма - распределением.
Поскольку распределения Эрланга и %2 являются част ным случаем гамма - распределения, то композиция л ю б о ­
го числа распределений Эрланга или %2 снова является рас пределением того же т и п а .
З а м е ч а н и е 3. Если Х 1 и Х 2 зависимые случайные вели чины, распределенны е по нормальному закону, то сумма
Y= Х 1+Х 2 также распределена по нормальному закону с па 2 2
°i + ° 2 + 2р12о1о2 , где р 12 - к о эф ф и ц и е н т к о р р е л я ц и и в е л и ч и н Х 1 и Х 2.
V
5.4. М а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е ф у н к ц и и от с л у ч а й ной в е л и ч и н ы
Пусть Y = Y (Х) является функцией от случайной в ел и ч и н ы . Т р еб у ется, не находя закона распределения величины
Y, определить ее математическое ожидание М( Y (Х)).
Р ассмотрим сначала случай, когда Х есть дискретная
случайная величина с рядом распределения
Х
Р
х 1 х2
•. . х n
Р 1 Р 2 ... Р n
Тогда случайная величина Y принимает значения Y (х1),
Y(x n) с теми же вероятностям и р i= P ( X = x i) и ее м атем ати ческое ожидание определяется формулой
n
M (Y ) = M (Y (X )) = I Y (х )
i=1
.
П р и м е р 5.8. Определим математическое ожидание вы игрыша Y в «Спортлото 6 из 49» .
Число угаданны х номеров Х имеет гипергеом етрическое
распределение
P ( x = i) = C6C47' / c49, i = 0 д
Ряд распределения Х задан таблицей 5.1
Т а б л . 5.1
93
Х
Р
0
0,4360
1
0,4130
2
0,1324
3
0,0176
4
0,00097
5
1,8 10-5
6
7 10-8
■
■
Рассмотрим идеализированны й вариант и г р ы , когда не
угадав ни одного или угадав один или два номера мы про игрываем (с учетом стоимости билета) 0,3 р у г а д а в три
н о м е р а, получаем выигрыш 2,7 р ., угадав четыре номера 54,7 р ., пять номеров - 699,7 р ., и шесть номеров - 9999,7
р.
Распределение случайной величины Y приведено в
табл .5.2.
Т а б л . 5.2
Y
Р
0,3
0,4360
-
0,3
0,4130
-
0,3
0,1324
-
2,7
0,0176
54,7
0,00097
699,7
1,8 10-5
■
9999,7
7 10-8
■
Объединив столбцы с одинаковы м и возм ож ным и значе н и ям и , получим окончательны й ряд распределения сл у ч ай ной величины Y (т а б л .5.3).
Табл.5.3
Y
Р
0,3
0,9814
-
2,7
0,0176
54,7
0,00097
699,7
1,8 10-5
■
9999,7
7 10-8
■
Тогда математическое ожидание функции выигрыш а
М( Y (Х) )= Y (0) P (X = 0 ) + Y (1) P (X = 1 )+ Y (2) P (X =2)+
+ Y (3) P (X =3) + Y (4) P (X =4) + Y (5) P (X = 5 )+ Y (6) P (X =6) ~
~ - 0,3 ■0,9814+2,7 ■0,0176+54,7 ■0,00097+699,7 ■2 ■10-5+
+9999,7 ■7 ■10-8= - 0 ,1 7 9 .
Это о зн ач ает, что играющий в среднем проигры вает
примерно 18 к о п е е к .
Для непреры вной случайной величины Х, имеющей
плотность распределения f ( x) , математическое ожидание
случайной величины Y = Y (Х) можно найти по формуле
M (Y ( X )) = | Y ( x ) f ( x ) d x ,
—
^
при у с л о в и и , что интеграл сходится а б с о л ю т н о .
П р и м е р 5.9. Случайная величина Х имеет эк сп о н ен ц и альное распределение с параметром X=3. Найдем математи ческое ожидание случайной величины Y = еХ.
94
о
^ о
М (Y(X )) = j e x •3• е _3xdx = —3 e~2x I = 3 .
о
2
о 2
П р и м е р 5.10. Найдем математическое ожидание (сред нее значение) длины проекции отрезка из примера 5.1
2п
d a 2l п/2
2l
М (Y(а)) = М (b Icos а I) = j l Icos а I— = — j cos a da = — ~ 0,637 •l .
о
2п п о
п
З а м е ч а н и е . А налогично может быть определено мате матическое ожидание функции от случайного векторного
а р гу м ен та. Запиш ем эти формулы для случая двух аргумен тов
М (Y (X1, X 2)) = X Z Y (x1i, x2j ) p tj - для дискретны х ар i j
гументов Х 1,Х2 и
М (Y(X 1, X 2)) = j j Y (x1,x2) f (x1,x2)dx1dx2 -
для непреры вны х аргументов Х 1 и Х2.
5.5 Д и с п е р с и я ф у н к ц и и от с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы
Как видно из п . 5.4, математическое ожидание функции
любого числа случайных аргументов может быть найдено
без использования закона распределения ф у н к ц и и . А н а л о гично могут быть найдены и другие числовые х а р ак тер и ­
стики функции - моменты высших порядков. Здесь п р и в е­
дем формулы определения дисперсии функции одного и
двух ар гу м ен то в .
Дисперсия функции одного случайного аргумента в ы ­
ражается формулой
D ( Y (X )) = j [Y(x) —М (Y(x))]2f (x)dx,
—^
где f ( x ) - плотность распределения величины Х.
Дисперсия функции двух случайных аргументов в ы р а­
жается формулой
D ( Y ( X 1, X 2)) = j j [Y(x,,x2) —М ( Y (x,, x2» ] 2f (xv x2)dxtdx2,
где f ( x 1,x 2) - плотность распределения случайного в е к т о р а .
5.6 З а д а н и е № 5 на с а м о с т о я т е л ь н у ю р а б о т у
95
5.1
Дискретная случайная величина X имеет ряд р асп р е­
деления , представленны й в т а б л . 5.4. Найдите ряд распределения случайной величины Y, е с л и :
a) Y = 10Х - 1; б ) Y = - Х 2; в ) Y =2х.
Табл .5.4
X - 0 ,5 0
0,5 1
1,5
0,4 0,1 0,3 0,1
P 0,1
О т в е т : ряд распределения случайной величины Y п р е д ­
ставлен :
а) в т а б л . 5.5; б) в т а б л . 5.6; в ) в т а б л . 5.7.
Табл. 5.5
X -6
-1 4
14
9
P 0,1 0,4 0,1 0,3 0,1
W
W
\ 7
Табл. 5.6
X - 2 ,2 5 -1 - 0 ,2 5 0
P
0,2
0,4
0,3
0,1
Т а б л . 5.7
X 1/ а/2 1
а/2 2
2л/2
P
0,1 0,4 0,1 0,3 0,1
5.2 Случайная величина X распределена равномерно в
интервале (0, 3). Найдите функцию распределения случай 2
ной величины У=X +1.
Ответ:
0,
у < 1;
- 1/3,
F(y) =
1,
1 < у < 10;
у > 10.
5.3
Случайная величина X имеет экспоненциальное рас пределение с параметром X . Найдите плотность р асп р ед еления случайной величины Y, е с л и :
а ) Y= e-X; б ) Y=X3; в) Y=1/X2; г) Y = 4 X .
Ответ:
0,
у < 0;
0,
у е (0,1);
б)
f
(у)
=
а) f (у) =
Л
у е (0,1);
Ху
Х е / ( 3 ^ 7 ) , у > 0;
- 1
96
0,
в ) f ( y) =
0,
y < 0;
y < 0;
г ) f ( y) =
3^,2
y , y > 0.
5.4
Случайная величина X распределена по н ор м аль н о­
му закону со средним значением m и дисперсией о 2. Найди те плотность распределения случайной величины Y, е с л и :
а) Y =IXI; б) Y =arctgX ; в ) Y =X2; г ) Y = еХ (плотность л о г а ­
р и ф м и ч е с к и н о р м а л ь н о г о , или л о г н о р м а л ь н о г о , р а с п р е д е л е н и я ).
Ответ:
0,
y < 0;
\ е Я1л^ /(3 y ^ y ),
y > 0;
2Xye
m)2/(2о2) + е~(y+m)2/(2о2)
а) f (y ) = е~(y—
y > 0;
л/2по
0,
(tgy—
m)2/(2а2)
б) f (y) = е —
2л/2по cos y
y g (—п /2, п /2);
,
y е (—п /2, п /2);
0,
у<
m)2/(2о2) + е_
в) f (y ) = е~^Vy—
+m)2/(202)
2л/2 пуо
0,
(lny—
m)2/(2а2)
г ) f ( y) = е —
0;
У > 0;
y < 0;
, у > 0.
л/2поу
5.5
Распределение д вумерной случайной величины
(X1,X2) задается табл .5.8. Найдите ряд распределения слу чайной величины Y, е с л и :
а) Y = X 1- 2 X 2- 8 ; б ) Y=(X 1- 1 2 ) 2+ X 2 - 1 ; в ) Y=(X 1- 1 2 ) /X 2.
Табл .5.8
X2
1
2
X1
12
14
10
0,08 0,02 0,10
0,32 0,08 0,40
97
Табл .5.10
Y 0
3
Р 0,02
о
о
00
о
00
о
1
0,40
4
7
0,72
2
о
0
о
о
4
о
о
о
00
Табл .5.11
Y -2 -1
0,32
Р
2
0,42
о
о
Табл .5.9
Y -2
0
Р 0,32
С\
О т в е т : ряд распределения случайной величины Y представ лен:
а) в табл .5.9; б) в табл .5.10; в ) в табл .5.11.
5.6
Двумерная случайная величина (X ь Х2) распределе на равномерно в прямоугольнике с верш инами в точках
A 1(0; 0), А 2(0; 2), А 3(3; 2) и А 4(3;0). Найдите функцию рас пределения случайной величины Y, е с л и : а) Y=X1+X2; б)
Y =X1/ X 2.
0,
y < 0;
у 2 /12,
О т в е т : а) F (у) = ( у - 1)/3,
[ 1 2 - ( 5 - у)2]/12,
1,
0,
0 < у < 2;
2 < у < 3;
3< у < 5
у > 5;
у < 0;
0 < у < 3/2;
б) F (у) = у /3,
1 - 3 / ( 4 у),
у > 3/2.
5.7
Независимы е случайные величины Х 1 и Х2 имеют
распределение %2 с к и п степенями свободы соответствен н о . Найдите плотность распределения случайной величины
Y = п Х \ ( к Х 2) (плотность F - р а с п р е д е л е н и я , или р а с п р е д е л е н и я Ф и ш е р а - С н е д е к о р а ).
Ответ:
Ч
у < 0;
f (у) =
Г( к+п)
Г( 2)Г( 2)
98
к к/2п п/2у к/2-1(п + ку) - (к+п)/2
у > 0.
5.8
Независимые случайные величины Х 1 и Х2 имеют
экспоненциальное распределение с парам етрам и Х1=1 и
X1=2 со о тв етств ен н о . В оспользовавш ись формулой св ер тк и ,
найдите плотность распределения случайной величины
Y =Х 1+Х 2.
Ответ:
а
у < 0;
f (У) =
2(е_У —е~2У), у > 0.
5.9
Независимые случайные величины Х 1 и Х2 имеют рав номерное распределение на отрезках [0,1] и [0,2] со о тв ет­
ственно . В оспользовавш ись формулой свертки, найдите
плотность распределения случайной величины Y= Х 1+Х2.
Ответ:
0,
y g (0,3);
f (У) =
У/2,
0 < у < 1;
1/2,
1 < у < 2;
р —у ) /2, 2 < у < 3.
5.10 Случайные величины Х 1 и Х2 имеют математиче ские ожидания М ^ ^ - 5 , М(Х2)=2, дисперсии D (X 1)=0,5,
D (X2)=0,4 и ковариацию cov(X 1,X2)=0,2. Найдите матема тическое ожидание и дисперсию случайной величины
Y =4 Х 1- 5 X 2+25.
О т в е т : М( Y)=-5, D ( Y)=10.
5.11 Найдите математические о ж и д а н и я , дисперсии и
ковариацию случайных величин Y 1 и Y 2, где Y 1=3X1- 2 X 2,
Y 2=5Х2^ 1, а случайные величины Х 1 и Х2 имеют следую щие числовые х а р а к тер и сти к и : М (X 1)= - 0 ,5 , М (X 2)=1,
D (X 1)=3, D (X 2)=2,9, cov( X 1,X 2)=2.
О т в е т : М (Y1) = -3 ,5 , М ( Y2)=5,5, D ( Y1)=14,6, D ( Y2)=50,5,
cov ( Y 1Y 2) = -4 .
5.12 Д вумерный случайный вектор X имеет вектор
средних значений mX = (0,06,0,08) и матрицу ковариаций
f 0,2 0,3Л
. Найдите вектор средних значений и м атр и 0,3 0,5
цу
ковариаций
случайного
вектора
Y = XB + с , где
99
B=
—1 1 3
v 2
, а с = (0; —0,1; —0,2).
1 0У
1,0
1,1 1,2
О т в е т : m Y = (0,10; 0,04; —0,02), I Y= 1.1 1,3 1,5
1.2
100
1,5
1,8j
6 ПРЕДЕЛЬНЫ Е ТЕОРЕМ Ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНО СТЕЙ
6.1 З а к о н б о л ь ш и х ч и с е л и ц е н т р а л ь н а я п р е д е л ь н а я
теорема
М атем атические законы теории вер о я тн о с тей , рассмот ренные в преды дущ их р а з д е л а х , получены абстрагировани ем реальны х статистических закономерностей, св о й ствен ­
ных массовым случайным я в л е н и я м . Наличие этих законо м ерностей связано именно с массовостью явлений.
Средний результат массы явлений обладает с в о й с т в о м
у с т о й ч и в о с т и , т .е . при очень большом числе случайных
явлений средний их результат практически перестает быть
случайным и может быть предсказан с большой степенью
оп р ед ел ен н о с ти . Именно эта устойчивость средних и пред ставляет собой физическое содержание «з а к о н а б о л ь ш и х
чи сел» .
Под «законом больших ч и с е л » в теории вероятностей
понимают ряд матем атических теорем, которые у с т а н а в л и ­
вают факт и условия сходимости по вероятности тех или
иных случайных величин к постоянным, неслучайным в е ­
л и ч и н а м . Это позволяет предсказать результаты массовых
случайных явлений почти с полной определенностью.
Возмож ности таких предсказаний в области массовых
случайных явлений еще больше расш иряю тся наличием
другой группы предельных теорем, касающихся уже не
предельных значений случайных в ел и ч и н , а п р е д е л ь н ы х
з а к о н о в р а с п р е д е л е н и й . Эта группа предельных теорем
под названием центральной предельной теоремы объясняет
то широкое распространение, которое получило на п р ак т и ­
ке нормальное р а сп р ед ел ен и е.
6.2 Н е р а в е н с т в о Ч е б ы ш е в а
Пусть имеется случайная величина Х с м атематическим
ожиданием mx и дисперсией Dx = о Х
2 . Неравенство Чебыш ева
у т в е р ж д а е т , что каково бы ни было полож ительное число 8,
вероятность того, что величина Х отклонится от своего м а ­
101
тематического ожидания не меньше чем на 8, ограничена
сверху величиной - 2/2
x/8 :
-2
P(l X - mx l> 8) < - f .
8
Приведем доказательство для непреры вны х случайных
величин.
P(l X-mx l> 8) = j f (x ) d x ,
\x-mx\>e
где f ( x ) - плотность распределения величины Х. По о п р ед елению дисперсии
Dx = j (x-mx)2f (x)dx = j \x-mx\2f (x)dx > j \ x - m \ f (x ) d x .
\x- mx \> e
Заменяя lx - m xl под знаком интеграла через 8, п о л у ч и м :
— ^
— ^
Dx > 82(
j f (x)dx) = 82P(l x-mx l> 8),
lx—mxl>£
откуда и следует неравенство Чебыш ева для непрерывных
случайных величин.
З а м е ч а н и е . Знак > заменен знаком >, т .к . для н еп р ерывной величины вероятность точного равенства равна ну лю.
П р и м е р 6.1. Дана случайная величина Х с м атем ати ч еским ожиданием mx и дисперсией - 2. Оценить сверху в е р о ятность т о г о , что величина Х отклонится от своего м а тем атического ожидания не менее чем на 3 - х.
Р е ш е н и е . Полагая в неравенстве Ч ебыш ева 8=3 - х, полу -2 1
чим:
P(l X —m x l> 3 - x) < —^ =
x
9-2 9
т.е. искомая вероятность не может быть больше 1/9.
З а м е ч а н и е . Неравенство Чебыш ева дает только верх нюю границу вероятности данного о тк л о н е н и я . Выше этой
границы вероятность не может быть ни при каком законе
р асп р ед ел ен и я. На практике в большинстве случаев веро ятность т о г о , что величина Х выйдет за пределы участка
mx±3 - x, значительно меньше 1/9. Н ап р и м е р , для нормаль ного закона эта вероятность приблизительно равна 0,00027.
102
6.3 З а к о н б о л ь ш и х ч и с е л (т е о р е м а Ч е б ы ш е в а )
В этом разделе рассмотрим одну из простейш их, но
вместе с тем наиболее важных форм закона больших чисел
- теорему Ч е б ы ш е в а .
Эта теорема устан авли вает связь между средним ариф метическим значением случайной величины и ее математи ческим ожиданием.
Предварительно решим вспомогательную з а д а ч у .
Дана случайная величина Х с м атем атическим о ж и д а н и ем mx и дисперсией D x. Над этой величиной производится n
независимы х опытов и вычисляется среднее ар и ф м ети ч еское значений величины Х. Требуется найти числовые ха рактеристики этого среднего арифметического - математи ческое ожидание и дисперсию и в ы ясн и т ь , как они изменя ются с увеличением n .
О б о зн ач и м :
Х 1 - значение величины Х в первом о п ы т е ;
Х2 - значение величины Х во втором опыте и т .д .
Совокупность величин Х 1, Х2,
Х п представляет собой
n независимы х случайных в ел и ч и н , каждая из которых рас пределена по тому же з а к о н у , что и Х. Среднее арифмети ческое этих величин обозначим
п
X (п) = (Ё
i=1
)/п .
Это значение представляет собой линейную функцию
случайных величин Х ь Х 2,
Х п. Найдем м атематическое
ожидание и дисперсию X (п). Согласно правилам определе ния числовы х характеристик
—
1 п
1
т х (п) = м (X (п)) = - Ё M (Xi) = - п •mx = mx ;
т =1
п
1 п
D
D x („) = - j Ё D( X i ) =
.
п i=1
п
Отсюда с л ед у ет, что математическое ожидание величи ны X (п) не зависит от числа опытов п и равно mx. Д и сп ер сия величины X (п) неограниченно убы вает с ростом п и
может быть сделана сколь угодно малой.
103
Это с в о й с т в о у с т о й ч и в о с т и среднего арифметического
и устан авли вает теорема Чебышева.
Вначале рассмотрим понятие «сходимости по вероятно ст и ». Г о в о р я т , что случайная величина Х п сходится по в е роятности к величине а , если при увеличении п в ер о я тность т о г о , что Х п и а будут сколь угодно б л и зк и , н ео гр аниченно приближается к е д и н и ц е, т .е . при достаточно
большом п P(l X n-a l< 8) > 1 - 5,
где 8, 5 - произвольно малые полож ительные ч и с л а .
Т е о р е м а Ч е б ы ш е в а у т в е р ж д а е т , что при увеличении п
среднее арифметическое X (п) сходится по вероятности к
m x, т.е.
P(l X (n)-mx l< 8) > 1- 5.
Д о к а зател ь ств о . Выше было п о к азан о , что величина
X (п) имеет числовые характери сти ки mх = m x, D^ = Dx / п .
П рименим к случайной величине X (п) неравенство Че бышева
—
D^( > d
P(l X ( п ) - mX l> е) < —
t
8
п8
Как бы мало ни было число 8, можно взять п таким
большим, чтобы выполнялось неравенство
D x_
x < д*,
п8 2
где s5 - сколь угодно малое ч и с л о .
Тогда
P(l X (п) - mx l> 8) < 5,
откуда, переходя к противополож ному событию, имеем:
P(l X (п) - mx l< 8) > 1- 5,
что и требовалось д о к а з а т ь .
6.4
Обобщ енная теорема Ч е б ы ш е в а . Теоремы М арко ва и Б е р н у л л и
Теорема Чебыш ева может быть обобщ ена на более
сложный с л у ч ай , а именно когда закон распределения слу чайной величины Х может изменяться от опыта к о п ы т у .
Тогда вместо среднего арифметического значений одной и
той же величины Х с постоянным математическим о ж и д а нием и дисперсией мы имеем дело со средним арифметиче104
ским п
различны х случайных в ел и ч и н , с различны ми
м атем атическим и ожиданиями и дисперсиями. Но при с о ­
блюдении некоторых условий и в этом случае среднее
арифметическое будет у с т о й ч и в ы м .
Т е о р е м а . Если Х ь
Х пнезависимые случайные вели чины с м атем атическим и ожиданиями mx
mx
x1,
xп и д и с персиями Dx1,
D x и если все дисперсии ограничены
сверху одним и тем же числом L :
D x, < L , i = 1,п , то при возрастании п среднее ари ф м ети ческое значений величин Х 1,
Х п сходится по вероятно сти к среднему арифметическому их матем атических ож и ­
даний.
Введя как и выше обозначения для средних арифмети ческих:
п
п
п
^
X (п) = (Ё x i ) / п > mX(„) = (Ё mx, У п > D X(п) = (Ё Dx, У п >
i=1
i =1
i=1
запишем эту теорему в виде формулы.
Пусть 8, 5 - сколь угодно малые положительные ч и с л а .
Тогда при достаточно большом п
P(i X ( п ) - m^(n) 1<8) > 1-5.
Д о к а зател ь ств о . Рассмотрим величину X (п) с математи ческим ожиданием m x (п) и дисперсией D x (п). Применим к
X (п) неравенство Ч е б ы ш е в а :
P (i X (п)- mX(п) ^ 8) < DX(п)/82Заменив в выраж ении для D x
каждую из величин Dx
большей величиной L , мы только усилим неравенство:
P(i X(п)- m x (п) ^ 8) < - \ .
п8
Как бы мало ни было 8, можно выбрать п настолько
большим, чтобы выполнялось неравенство
—L 2 < 5.
п8
Тогда P(i X (п)- mx (п)\^ 8) < 5, о т к у д а , переходя к противо _
положному со б ы ти ю , получим доказы ваемое н ер ав ен ств о .
105
З а м е ч а н и е . Иногда сходимость по вероятности случай ной величины (последовательности случайных вел и чи н ) Х п
к величине а при увеличен ии п обозначаю т как
lim P(l X n-a l< 8) = 1.
п
Обобщение закона больших чисел на случай зависимы х
случайных величин принадлеж ит А .А .М а р к о в у .
Т е о р е м а М а р к о в а . Если Х 1,
Х п зависимые сл у ч ай ­
ные величины и если при п
D х (п) ^ 0, то X (п) сходится
по вероятности к среднему арифм етическом у их математи ческих о ж и д а н и й , т .е . lim P(l X (п)- m ^ l< 8) = 1.
п
(п)
Д о к а зател ь ств о . Применим к величине X (п) неравенст—
2
во Ч е б ы ш е в а :
P(l X (п)- m ^ l> 8) < Dj.(n) / £ ,
и поскольку при п
шом п
D x (п) ^ 0, то при достаточно боль P ^ X ^ - m x ^ > 8) < 5.
Тогда переходя к противоположному событию,
P(l X ( п ) - mx{п) l<8) > 1-5,
что и требовалось д о к а з а т ь .
Известная теорема Я .Б ер н у л л и , устанавливаю щ ая связь
между частотой события А и его вер о ятн о с ть ю , может быть
доказана как прямое следствие закона больш их чисел.
Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха р .
Теорема Бернулли утверждает, что при неограниченном
увеличении числа опытов n частота события А сходится по
вероятности к его вероятности р .
Обозначим частоту события А в п опытах через р и за пишем теорему Бернулли в виде формулы:
P (р - p <8) > 1 - 5,
где 8, 5 - сколь угодно малые полож ительные числа. Т р е­
буется доказать справедливость этой формулы при доста точно большом п .
Д о к а зател ь ств о . Рассмотрим независимые случайные
величины:
Х 1-число успехов в первом о п ы т е ;
Х2- число успехов во втором о п ы те, и т .д .
Ряд распределения Х i
106
0
1
где q = 1 - p .
М атем атическое ожидание величины
P
q
p
Х i- М (Х )=р , а ее дисперсия D (Xi )=p q . Час *
тота р п редставляет собой среднее арифметическое в ел и ­
чин Х 1 , ... , Х п, т .е . p*n = X(п). Согласно закону больш их ч и х,
сел величина X (п), т .е . частота сходится по вероятности к
общему м атем атическом у ожиданию этих случайных вели ч и н . Отсюда и следует справедливость теоремы Б е р н у л л и .
Теорема Бернулли утверж дает устойчивость частоты
при постоянных условиях о п ы т а . Т ео р е м а, устанавливаю щая свойство устойчивости частот при переменны х усло виях о п ы т а , называется т е о р е м о й П у а с с о н а и формулиру ется следующ им образом:
если производится п независимы х опытов и вероятность
появления события А в i -м опыте равна р , то при у в е л и ч е нии п частота события А сходится по вероятности к сред нему арифметическому вероятностей р t .
6.5
П онятие о
т ео р ем е Л я п у н о в а . Ф о р м у л и р о в к а
центральной предельной теоремы
Различные формы закона больш их чисел утверж даю т
о д н о : факт сходимости по вероятности тех или иных слу чайных величин к определенным постоянным. В них не
оперируют с законами распределений случайных величин.
Во всех же формах центральной предельной теоремы
устанавливаю тся условия, при которых возникает н о р м а л ь ­
ный закон распределения. Так как на практике эти условия
часто выполняются, нормальный закон является самым
распространенны м из законов распределений, наиболее
часто встречающ ихся в случайных явлениях. Он возникает
во всех случаях, когда исследуемая случайная величина
может быть представлена в виде суммы достаточно б о л ь ­
шого числа независимы х (или слабо зависимых) э л е м е н ­
тарных слагаемых, каждое из которых в отдельности мало
влияет на с у м м у . Особую роль нормальный закон играет в
теории стрельбы и теории ошибок и зм ер ен и я .
П р и м е р 6.2. Пусть производится измерение некоторой
физической в е л и ч и н ы . Любое измерение дает лишь п р и ­
107
ближенное значение измеряемой в ел и ч и н ы , так как на ре зультат
измерения влияют очень многие независимые
(или слабо зави си м ы е) случайные факторы (тем п ерату ра,
д а в л е н и е , колебания п р и б о р а, влажность и д р .). Каж ды й из
этих факторов порождает ничтожную «частную о ш и б к у ».
О д н ак о , поскольку число этих факторов очень в е л и к о , их
совокупное действие порождает уже заметную «суммарную
ошибку».
Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень
большого числа взаимно независимы х частных о ш и б о к , мы
вправе з ак л ю ч и ть , что суммарная ошибка имеет распреде л е н и е , близкое к н о р м а л ь н о м у .
Теорема Л я п у н о в а .
Пусть X b . . . , Xn
- последовательность независимых
одинаково распределенны х случайных величин с м атем ати ­
ческим ожиданием M ( X n)
n = m и дисперсией D ( X n)=о 2. Тогда
P( Snr nm < x ) - + Ф( x),
-sfn0
п
'по 2
где Sn = X X n , а Ф (x ) - функция стандартного нормального
i=1
р асп р ед ел ен и я.
З а м е ч а н и е . Для доказательства центральной п р ед ел ь ной теоремы А .М . Ляпунов использовал аппарат характе ристических ф у н к ц и й . Х арактеристической функцией f ( t )
случайной величины Х называют математическое ожидание
KS KS
itX
•
.
случайной величины e , где i - мнимая ед и н и ц а, а t - про извольное действительное ч и с л о . Таким о б р азо м ,
f ( t )= M ( e "x).
Для дискретной случайной величины Х с возможными
значениям и xj , j = 1 , 2 , . ,
f (t ) = X e ltXj p j =X p j cos(t x j ) + i X p j sin (txj);
j
j
j
для непреры вной случайной величины с плотностью рас пределения p (x )
f (t ) = j e ltxp(x) dx = j cos( t x ) p ( x ) dx + i js i n ( t x ) p ( x ) d x .
—oo
— oo
itxj
Так как X e p
j
108
= X pj = 1 и
j
— oo
itx
j e ixp( x) dx = j p ( x)dx = 1, то
-
характеристическая функция сущ ествует при всех t для ка ждой случайной в ел и ч и н ы .
Х арактеристическая функция непреры вной случайной
величины отличается от преобразования Фурье плотности
распределения этой случайной величины только лишь о т ­
сутствием множителя 1/л /2 я.
6.6 З а д а н и е № 6 на с а м о с т о я т е л ь н у ю р а б о т у
6.1 Среднее потребление электроэнергии в мае в неко тором населенном пункте составляет 360000 кВт/ ч . Оцени те с помощью неравенства Чебыш ева вероятность т о г о , что
потребление электроэнергии в мае текущего года в этом
населенном пункте превысит 1000000 Вт, если и зв естн о ,
что среднее квадратичное отклонение потребления э л е к троэнергии в мае равно 40000 кВт/ ч .
О т в е т : Р {Х > 1000000} <1/256.
6.2 Среднее квадратичное отклонение погреш ности из мерения курса самолета равно 2°. Считая математическое
ожидание погреш ности измерения равным н у л ю , оцените с
помощью неравенства Чебыш ева вероятность т о г о , что по грешность одного измерения курса самолета превысит 5°.
О т в е т : Р {lХ1 > 5°} < 0,16.
6.3 Вероятность появления некоторого события в к а ж ­
дом из 800 независим ы х испытаний равна 1/4. Воспользо вавшись вторым неравенством Ч е б ы ш е в а , оцените вероят ность т о г о , что число X появлений этого события з ак л ю ч ено в пределах от 150 до 250.
О т в е т : Р {150 <Х < 250}>0,94.
6.4 Пусть дана последовательность Х 1, Х2, ..., Х п, ... не зависимы х дискретны х случайных в ел и ч и н , причем ряд
распределения случайной величины Х п представлен в т а б л .
6.1. П р о в е р ь те , применим ли к этой п оследовательности
закон больших чисел в форме Ч е б ы ш е в а .
Табл .6.1
0
Хп - 4 п
4п
1
, 1
1
1—
Р
2п
п
2п
О т в е т : д а , п р и м ен и м .
109
6.5 Пусть Х 1, Х2, ..., Х п, ... — последовательность н е за висимых случайных в ел и ч и н , причем случайная величина
Х п имеет плотность распределения
п 2<п+1) l X l
f (X)
(п2 + X2)п+2'
П р о в е р ь те , удовлетворяет ли последовательность
Х 1, Х2, ..., Х п, ... закону больших чисел в форме Чебы ш ева.
Ответ: д а, удовлетворяет.
6.6 Пусть последовательность Х 1, Х2, ..., Х п, ... н еко р р елированны х случайных величин удовлетворяет условию
1 п
l i m - 1 D( Хг) = 0.
п п i=1
П р о в е р ь те , применим ли к этой п оследовательности
закон больших ч и с е л .
Ответ: д а, применим.
6.7 Найдите характеристическую функцию случайной
величины X, ряд распределения которой представлен в
т а б л . 6.2.
Табл .6.2
Х
1
2
0
3
Р 1/2 1/8 1/4 1/8
О т в е т : f ( t ) = 1/2 + еit(1 + е“) 2/8.
6.8
Найдите характеристическую функцию случайной
величины X, ряд распределения которой представлен в
табл .6.3.
Т а б л . 6.3
Х -2
2
0
Р 1/4 1/2 1/4
О т в е т : f ( t ) = cos t .
6.9
Найдите характеристическую функцию н еотри ц ательной целочисленной случайной величины X, распреде ление которой задается вероятностями
Р п = Р {Х = п }=( п +1) р 2(1 - р ) п ( п =0,1, ..., 0< р <1).
О т в е т : f(t)= p 2/(1 - ( 1 - p ) e lt) 2.
110
6.10
Найдите характеристическую функцию непрерыв ной случайной величины X, имеющ ей плотность распреде 0,
I x !> 1;
ления f (x) = 3(1 - x 2)
I x |< 1.
4
1,
t = 0;
О т в е т : f (t ) = 3(sin t - 1 cos t )
t3
6.11 Найдите характеристическую функцию случайной
величины X, имеющей гамма - распределение с параметрами
а и в.
а
О т в е т : f (t ) = --------------- .
в(1/ в - it)a
6.12 Найдите характеристическую функцию непрерыв ной случайной величины X, имеющ ей плотность распреде ления
f ( x) = ~Тл
п(1----+ x 4Г) ■
О т в е т : f ( t )= 72e -'л/Л sin(n/ 4 + 11 I^V2).
6.13 М ожет ли функция f (t) = 1---- ^ являться характе 1+ 1
ристической функцией некоторой случайной величины ?
О т в е т : не м о ж е т .
6.14 М ожет ли функция f ( t )=2 - cos t являться характери стической функцией некоторой случайной величины ?
О т в е т : не м о ж е т .
6.15 М ожет ли функция f(t)=1 - t+[t], где [t] — целая
часть числа t , являться характеристической функцией неко торой случайной величины ?
О т в е т : не м о ж е т .
6.16 Найдите характеристическую функцию случайной
величины Y= а Х + b , где X — случайная в ел и ч и н а, о п р ед еленная в задаче 6.12.
О т в е т : f ( t ) = 4 l e - ' a,'/'^+ib sin(п / 4 + 1at I/ 7 2 ) .
6.17 Случайная величина Х 1 распределена равномерно в
интервале (0,1), а случайная величина Х2 имеет стан д арт­
111
ное нормальное р а сп р ед ел ен и е. Найдите х ар ак тер и сти ч ескую функцию случайной величины Y =Х1+Х2, если и зв ест­
но , что Х 1 и Х2 являются н езав и си м ы м и .
-t 2/2
(elt - 1)e"
О т в е т : f (t ) =
it
6.18 Найдите математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X, имеющ ей характеристическую
функцию f (t ) =
1 .
1 + 2it
О т в е т : M ( X ) = - 2, D (X)=4.
6.19 Найдите математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X, имеющ ей характеристическую
.Ж
It I
функцию f (t) = V2e -It I/V2 Sin(- + —j=) .
4 V2
1+ 2 / 2
О т в е т : M (X)=0, D( X ) =
4
6.20
Найдите закон распределения случайной в ел и ч и н ы ,
характеристическая функция которой равна
cos t (2cos t +1)
f (t ) =
3
О т в е т : f(t) является характери сти ческой функцией д и с кретной случайной величины X, имеющ ей ряд распределе н и я , представленны й в т а б л . 6.4.
Табл .6.4
Х - 2 -1 0
1
2
Р 1/6 1/6 1/3 1/6 1/6
6.21
Найдите плотность распределения случайной в ел и ч и н ы , имеющей характеристическую функцию
0,
11 I> 1;
f (t ) =
1 - 11 1, 11 1< 1.
О т в е т : f ( x) = - ^ ^ т 2 —.
nx
2
6.22
Проводится выборочное обследование большой пар тии электрических лампочек для определения среднего
времени их г о р е н и я . Среднее квадратичное отклонение
112
времени горения лампочки равно о =80 ч . Из всей партии
наудачу выбирается 400 л а м п о ч е к . В оспользовавш ись цен тральной предельной т е о р е м о й , оцените вероятность т о г о ,
что среднее (математическое ож и дан и е) время горения
лампочки будет отличаться от наблюденного среднего вре мени горения выбранны х 400 лампочек не более чем на 10
ч.
О т в е т : 0,98738.
6.23 Случайная величина X является средним арифмети ческим из n независимы х одинаково распределенны х с л у чайных в ел и ч и н , дисперсия каждой из которых равна 5.
Воспользовавш ись центральной предельной те о р е м о й , оце н и т е , какое число слагаемы х n нужно взять для т о г о , чтобы
с вероятностью не менее 0,9973 случайная величина X от клонялась от своего среднего не более чем на 0,01.
О т в е т : n > 450000.
6.24 Решите задачу 6.3, воспользовавш ись для п р и б л и ­
женной оценки искомой вероятности интегральной теоре мой М уавра — Л а п л а с а . Сравните полученные р е з у л ь т а т ы .
О т в е т : Р {150 <X<250} ~ 0,9999366. Сравнивая получен ные результаты, видим, что интегральная теорема Муавр а - Л а п л а с а дает гораздо более точный ответ.
113
7 ЭЛ ЕМ ЕН Т Ы М АТЕМ АТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
7.1 О с н о в н ы е з а д а ч и м а т е м а т и ч е с к о й с т а т и с т и к и
М атем атические законы теории вероятностей не я в л я ются лишь абстрактными, лиш енными физического с о д ер ­
ж а н и я . Они представляю т собой математическое в ы р аж ение реальны х законом ерностей в массовых случайных я в ­
лениях п р и р о д ы . В основе таких п о н я ти й , как события и их
вероятности, случайные величины, их законы р а сп р ед ел е­
ния и числовые характери сти ки лежит опыт; каждое и ссл е­
дование случайны х явлений методами теории вероятностей
опирается на экспериментальны е опытные данные или сис тему наблюдений.
Р азработка м е т о д о в р е г и с т р а ц и и , о п и с а н и я и а н а л и з а
статистических (экспериментальных) данных, получаемых
в результате наблюдения массовых случайных явлений и
составляет предмет науки - м атем атической стат и сти к и .
В зависимости от характера решаемого практического
вопроса и от объема экспериментального материала задачи
м атем атической статистики можно разделить на т и п и ч н ы е .
1. З а д а ч а о п р е д е л е н и я з а к о н а р а с п р е д е л е н и я с л у ч а й ной в е л и ч и н ы по с т а т и с т и ч е с к и м д а н н ы м .
На практике нам всегда приходится иметь дело с огра ниченным количеством эксперим ентальны х данных, в связи
с этим результаты наблю дений и их обработки всегда со держат больший или меньш ий элемент с л у ч ай н о сти . При
этом важно уметь выделить как постоянные и устойчивые
признаки явления, так и случайные, проявляю щ иеся в д а н ­
ной серии наблю дений только за счет ограниченного о б ъ е ­
ма эксперим ентальны х данных. В связи с этим возникает
характерная задача гр у п п и р о в к и , сглаживания или вырав нивания статистических данных, представления их в к о м ­
пактном виде с помощью аналитических з а в и си м о с тей .
2. З а д а ч а п р о в е р к и п р а в д о п о д о б и я г и п о т е з .
Статистические данные могут с большим или меньшим
правдоподобием подтверждать или не подтверждать спра ведливость той или иной статистической г и п о тезы . Напри мер, ставится такой вопрос: согласуются или нет данные
эксперим ента с гипотезой о том, что данная случайная в е ­
114
личина или признак подчинены тому или иному закону
расп р ед ел ен и я ? Другой подобный в о п р о с : указы ваю т ли
данные наблю дений на наличие объективной зависимости
случайной величины от одной или нескольких случайных
величин? Для решения подобных вопросов сущ ествую т м е ­
тоды проверки статистических гипотез с помощью крите риев со г л аси я .
3.
З а д а ч а о п р е д е л е н и я н е и з в е с т н ы х п а р а м е т р о в рас пределения.
Часто при обработке статистических данных нет необ ходим ости определения законов распределения и ссл ед у е­
мых случайных величин (п ри зн ак ов). Или же характер за кона распределения известен заранее (до опыта). Тогда
возникает более узкая задача обработки данных - о п р ед е­
лить только некоторые числовые характери сти ки сл у ч ай ­
ной в ел и ч и н ы , оценить их точность и н ад еж н о ст ь .
Таким образом, здесь перечислены только те задачи м а ­
тематической статистики, которые наиболее важны по с в о ­
им практическим п р и м ен ен и я м .
7.2
С татистическая совокупность и статистическая
функция распределения
П редположим, что изучается некоторая случайная в ел и ­
чина Х , закон распределения которой неизвестен и т р еб у ет­
ся определить этот закон по данным наблюдений (опытным
д а н н ы м ). Совокупность наблю дений Х 1, Х2,
Х п и пред ставляет собой статистическую со в о к у п н о сть . Иногда го ворят, что получена выборка объема п . При большом п весь
диапазон значений Х 1 делят на к интервалов (р азря д ов ) и
п одсчиты ваю т количество значений m l, приходящ ихся на i й интервал.
Это число делят на общее число наблю дений п и полу чают частоту, соответствую щ ую данному интервалу:
p* = mt / п . Для к о н т р о л я : сумма частот всех интервалов
равна ед и н и ц е . Тем самым значения Х 1 будут отсортирова ны в порядке в о зр а с т а н и я . Таблица с указанием разрядов и
соответствую щ их им частот значений Х 1 называется с т а т и 115
с т и ч е с к и м р я д о м . Таким о б р а зо м , мы получаем с г р у п п и рованны е данные.
О пределение. С татистической функцией распределе н и я случайной величины Х называется частота события
Х < х в данной статистической с о в о к у п н о сти :
Fn(x )=p (X < x ).
Для т о г о , чтобы найти значение статистической функ ции распределения при данном х , достаточно подсчитать
число опытов, в которых величина Х приняла значение
меньше х , и разделить на общее число n произведенны х
о п ы то в . Статистическая функция распределения любой
случайной величины (дискретной или н еп р еры в н ой ) пред ставляет собой ступенчатую функцию, скачки которой с о ­
ответствуют наблюденным значениям случайной величины
и по величине равны частотам этих значений. Но при
больших значениях n (когда сотни скачков), построение
функции Fn(x ) трудоемко и себя не оправдывает. Другой
способ построения Fn(x) будет рассмотрен н и ж е .
При увеличении числа опытов n , согласно теореме Бер нулли, частота события сходится по вероятности к в ер о ят­
ности этого со б ы т и я . С л ед о ват ел ь н о , при у величении n
статистическая функция распределения Fn(x) сходится по
вероятности к подлинной функции распределения F( x ) слу чайной величины Х . По сути самого определения стат и сти ­
ческой функции распределения F n(x), для нее справедливы
те же с в о й с тв а , что и для функции F( x ).
П р и м е р 7.1. Для разработанной имитационной модели
системы массового обслуживания отмечены времена X i м е жду поступлениям и (м и н .) 200 требований в систему за 1
час м о д е л и р о в ан и я . Статистическая совокупность приведе на в табл .7.1.
Т а б л . 7.1. Интервалы времени n =199 между поступлениями
требований (м и н .), отсортированные в порядке возрастания
0,01 0,05 0,08 0,12 0,21 0,26 0,36 0,45 0,53 0,69 0,95
0,02 0,05 0,09 0,12 0,21 0,26 0,37 0,45 0,53 0,69 0,97
0,02 0,05 0,09 0,13 0,21 0,26 0,37 0,46 0,53 0,70 1,00
0,03 0,06 0,10 0,13 0,21 0,26 0,38 0,47 0,54 0,72 1,05
0,03 0,06 0,10 0,14 0,21 0,26 0,38 0,47 0,54 0,72 1,05
116
0,03
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,06
0,06
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,08
0,08
0,08
0,10
0,10
0,10
0,10
0,10
0,10
0,10
0,11
0,11
0,11
0,11
0,11
0,12
0,12
0,14
0,14
0,14
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
0,17
0,18
0,19
0,19
0,19
0,20
0,22
0,22
0,22
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,24
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,27
0,28
0,28
0,29
0,29
0,30
0,31
0,31
0,32
0,35
0,35
0,35
0,36
0,36
0,38
0,38
0,38
0,38
0,38
0,39
0,40
0,40
0,41
0,41
0,43
0,43
0,43
0,44
0,47
0,48
0,49
0,49
0,49
0,49
0,50
0,50
0,50
0,51
0,51
0,51
0,52
0,52
0,55
0,55
0,56
0,57
0,57
0,60
0,61
0,61
0,63
0,63
0,64
0,65
0,65
0,65
0,72
0,74
0,75
0,76
0,77
0,79
0,84
0,86
0,87
0,88
0,88
0,90
0,93
0,93
1,17
1,18
1,24
1,24
Построим по данным наблю дений статистический ряд
(т а б л . 7.2).
Табл .7.2
Ii [0;0,1) [0,1;0,2) [0,2;0,3) [0,3;0,4) [0,4;0,5) [0,5;0,6)
41
34
mi
30
20
19
18
*
0,171
0,151
0,101
0,095
0,090
Pi 0,206
[0,9;1)
Ii [0,6;0,7) [0,7;0,8) [0,8;0,9)
[1;1,1) [1,1;12)
11
2
mi
9
5
5
3
*
0,045
0,025
0,025
0,016
0,010
Pi 0,055
Ii [1,2;1,3)
2
mi
*
Pi 0,010
Здесь через I i обозначены интервалы значений в р ем ен и ;
mi - число наблю дений в данном интервале;
p t* = mt // п - соответствую щ ие ч а с т о т ы .
Для построения статистической функции распределения
будем использовать границы х ь х 2, ... р а з р я д о в , которые
используются в статистическом ряде.
Построим приближенно статистическую функцию р а с ­
пределения по данным табл .7.2 (р и с . 7.1).
117
F 199(0,0)=0;
F 199(0,3)=0,528
F 199(0,6)=0,814
F 199(0,9)=0,939
F 199(1,2)=0,99;
F 199(0,1)=0,2 0 6
F 199(0,4)=0,629
F 199(0,7)=0,869
F 199(1,0)=0,9 6 4
F 199(1,3)=1,0.
F 199(0,2)=0,377
F 199(0,5)=0,724
F 199(0,8)=0,914
F 199( 1,1 )= 0 ,9 8 ;
Рис .7.1
7.3 Г и с т о г р а м м ы
С татистический ряд часто оформляется граф ически в
виде г и с т о г р а м м ы . Ги стограм ма строится следующим об р а з о м . По оси абсцисс откладываются р а з р я д ы , и на каж дом из разрядов строится прямоугольник, площадь к о то р о ­
го равна частоте данного разряда.
Таким образом, высота каждого прямоугольника равна
p* / h , где h - длина р а з р я д а . Тогда полная площадь ги сто граммы равна е д и н и ц е .
По отношению к статистической совокупности гисто грамма является по существу граф ической оценкой графика
плотности распределения случайной величины Х . Поэтому
гистограмма может быть хорош ей подсказкой в выборе
распределений, которые можно дальше использовать как
модель данных наблюдений. Иногда визуально достаточно
просто отнести гистограмму к определенной плотности
распределения вероятностей, которые были рассмотрены в
разделе 2.
О д н ак о , у такого подхода есть свои н е д о ст атк и . Это
118
выражается в отсутствии четких правил по выбору числа k
интервалов (р азр яд о в ) и длины h р а з р я д о в . Посмотрим это
на примере статистической совокупности, приведенной в
табл .7.1. Ниже (рис .7.2,7.3, 7.4) приведены три гистограм мы для одних и тех же статистических данны х с р азл и ч н ы ­
ми длинами р а з р я д о в : h=0,05; h=0,075; h=0,1. Наиболее
ровная гистограмма получена для h =0,1, ее форма н ап о м и нает форму графика плотности экспоненциального распре деления.
У“
з2,5-
_
0,5 -
_
° 0,05
0,2
0,35
ГЬ-.
0,5
0,65
0,8
0,95
1,1
1,25 х
1,2
х
Р и с . 7.2.
Уп
2.5 ‘
2
-
—
1.5 -
_ _
0,5 ° 0,075
0,3
0,525
0,75
0,975
Рис .7.3
119
yt
2-‘
1,5
1
0 ,5 ­
1 1— ►
0 ------ —I
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 x
Рис .7.4
7.4
Ч и с л о в ы е х а р а к т е р и с т и к и с т а т и с т и ч е с к о г о рас пределения
В разделе 3 были рассм отрены числовые характеристи ки случайных в е л и ч и н : математическое о ж и д а н и е, диспер с и я , начальные и центральные моменты различны х поряд к о в . А налогичны е числовые характеристики сущ ествую т и
для статистических р а сп р ед ел ен и й . Для основной характе ристики положения случайной величины - математическо го ожидания - такой аналогией является среднее арифме тическое значение статистической совокупности {x n}:
n
X (n) = ( I Xi) / n ,
(7.1)
TI
S 2(n) = — D x („).
n -1
(7.3)
i=1
где x i - значение случайной величины Х в i -м о п ы т е , n число о п ы т о в . Эту характеристику называют также с т а т и с т и ч е с к и м ср ед н и м или в ы б о р о ч н о й с р е д н е й .
С т а т и с т и ч е с к о й (в ы б о р о ч н о й ) д и с п е р с и е й случайной
величины Х называют среднее арифметическое квадратов
отклонений н аблю даем ы х значений случайной величины от
их среднего значения:
n
— 2
D x (n) = [I ( х , - X(n))2] / n .
(7.2)
i=1
И с п р а в л е н н о й д и с п е р с и е й называют величину
120
Аналогично определяются с т а т и с т и ч е с к и е н а ч а л ь н ы е
и ц е н т р а л ь н ы е м о м е н т ы любых п о р я д к о в :
п S
ms (n) = (Ё x, ) / n ,
(7.4)
i=1
_
o
n
ms (n) = [Ё (x, - X(n)) ] / n .
(7.5)
i=1
Все эти определения полностью аналогичны определе ниям числовых характеристик случайной в ел и ч и н ы , с той
разн и ц е й , что в них везде вместо математического ожида ния присутствует среднее ар и ф м ети ч еск о е. При увеличении
числа опытов все статистические характери сти ки будут
сходиться по вероятности к соответствую щ им характери стикам случайной величины и при достаточно большом n
могут быть приняты приближенно равны ми им.
При очень большом количестве опытов вычисление ста­
тистических характеристик по формулам (7.1) - (7.5) ста новится трудоемким и тогда использую т следующ ий прием:
в статистическом ряде или гистограмме берут среднее з н а ­
чение разрядов x, и их частоты p , и используют для в ы ­
числения характеристик как средневзвеш енных.
Таким о б р азо м , статистические характеристики будут
выражаться приближ енны м и формулами:
_
к
X (n) = Ё ~,p*,
(7.6)
i=1
к
—
о *
D x (n) = Ё ( ~ - X (n))2p * ,
(7.7)
i=1
к
ms (n) = Ё
i=1
Pi ,
(7.8)
o
к
_
ms (n) = Ё (~, - X (n))Sp *,
(7.9)
i=1
~
*
*
•
T
где x, - середина i - го р а з р я д а , p, - частота i - го р а з р я д а , k -
число р а з р я д о в .
При реш ении задачи определения законов р а сп р ед ел е­
ний нами будут использованы еще две статистические х а ­
рактеристики:
С татистический коэффициент вариации
cv(n) = д/ S 2(n) / X (n)
(7.10)
121
и статистическая асимметрия
AS(n) = m ( n ) /( S 2(n))3' 2 .
(7.11)
Воспользуемся вы ш еперечисленны м и характеристикам и
для подбора подходящ их законов распределений для д а н ­
ных статистической сов о к у п н о сти , предполагая данные Х ь
Х 2,
Х п независим ы м и и одинаково р а сп р ед ел ен н ы м и .
Составим так называемую итоговую статистику (табл .7.3).
Табл .7.3
Функция
Итоговая статистика Примечание
М и н и м у м , Х 1 , Хп
[Х1 ? Х п] - оценка и н максимум
тервала н аб л ю д ен и й .
Для непреры вны х и
дискретны х д а н н ы х .
Среднее m X (п)
Оценка среднего з н а ч е н и я . Для н еп р еры в ных
и
дискретны х
данных.
А льтернативны й пока М едиана
затель среднего з н а ­
х0,5
X ((n +1) /2 ) ’
ч е н и я . Для непрерыв n - нечетн
ных
и
дискретны х
x0 5 (n) = <
| [X(n/2) + X ((n/2) +1) ] д а н н ы х .
[
Дисперсия
2
О
n - четно
S 2( n )
Коэффициент в а ­
риации
cv(n) = t] S 2(n) / X (n)
cv = л/ о 2 /т
Коэффи­
циент
т(п) = S 2(n)/ X (n)
Лексиса
т= о 2 / т
122
Показатель
изменчи в о с т и . Для непрерыв ных
и
дискретны х
данных.
А льтернативны й пока затель и зм ен ч и в о сти .
Для
непрерывных
данных.
А льтернативны й пока затель и зм ен ч и в о сти .
Для дискретны х д а н ­
ных.
Продолжение т а б л . 7.3
Асимметрия
О
О
2 z„\\3/2
A S = т з /( о 2)3/2 A S(n) = m з(п)/(S z(n))
П оказатель
сим
м е тр и и . Для н е­
прерывных и дис
кретных д а н н ы х .
С помощью указанны х функций в некоторых случаях
можно выдвинуть предположение относительно семейства
р асп р ед ел ен и й .
Для симметричного распределения (н ап р и м ер , нормаль н ого), среднее m равно медиане х0,5. С л ед о ват ел ь н о , если
оценки X (n) и X05(n) примерно о д и н ак о в ы , можно п р ед п ол о ж и т ь , что распределение данной совокупности си м м е т­
рично .
Иногда информацию о форме непрерывного распреде ления можно получить с помощью коэффициента вариации
c v . В ч а с тн о с ти , cv =1 для экспоненциального распределе н и я . Для гамма - распределения и распределения Вейбулла
значение cv больше 1, равно 1 или меньше 1, когда пара метр формы а соответственно меньше 1, равен 1 или боль ше 1 .
Для гиперэкспоненциального распределения c v >1. Для
остальных распределений, рассм отренны х в разделах 2 и 3,
величина c v <1.
Для дискретного распределения коэффициент Лексиса
(lexis ratio) т выполняет ту же р о л ь , что и коэффициент ва риации для непрерывного р асп р ед ел ен и я . Его целесообраз но использовать при определении распределений Пуассона,
биномиального и отрицательного биномиального (геом ет­
ри ч е ско го ). Для этих распределений т=1, т<1 и т >1 с о о т­
ветственно .
А симметрия А S- показатель симметрии р асп р ед ел ен и я .
Как было сказано уже в разделе 2, А S =0 для симметрично го распределения, подобного нормальному. Если А S >0
(для экспоненциального распределения А S=2), распределе ние смещено в п р а в о , а если А S <0, оно смещено в л е в о . Та ким образом, асимметрия может использоваться для того,
чтобы выяснить, какую форму имеет лежащее в основе с т а ­
тистических данных р а с п р ед ел ен и е.
123
Определим эти функции итоговой статистики для ста тистической совокупности по временам Х, между п о сту п лениями требований из примера 7.1.
Итоговая статистика
Значение
Минимум
0,01
Максимум
1,24
Среднее
0,351
М едиана
0,260
Дисперсия
0,081144
К оэфф ициент вариации 0,813953
А симметрия
1,000
Из этой таблицы следует, что среднее и ср ед н екв ад ра­
тическое отклонение примерно р а в н ы . К оэфф ициент вариа ции близок к е д и н и ц е, асимметрия п о лож и тел ь н ая, т .е .
распределение смещено в п р а в о . Результаты итоговой с т а ­
тистики говорят в пользу экспоненциального расп р ед ел е­
н и я , как наиболее подходящего среди рассм отренны х в
разделе 2.
П риведенны й на рис .7.1 приближенный график стати стической функции р а сп р ед ел ен и я , гистограммы и резуль таты итоговой статистики позволяю т выдвинуть гипотезу о
т о м , что данные распределения времени поступления тре бований в систему массового обслуживания распределены
по экспоненциальном у з а к о н у .
Так как теоретическая кривая экспоненциального р а с ­
пределения зависит от одного параметра X=1/ М ( Х ) , то под ставив вместо м атематического ожидания М (Х) величину
Л
X (n), получим оценку параметра X = 1/0,351 ~ 2,849. Т о гд а,
вычислив значения функции f ( x )=2,849 e _2849 x на границах
разрядов
х
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
f( X) 2,85 2,14 1,61 1,21 0,91 0,69 0,52 0,39 0,29 0,22 0,17
х
1,1 1,2 1,3
f( X) 0,12 0,09 0,07
построим
124
график
этой
функции
поверх
гистограммы
( р и с .7 .5 ) .
f(x)A
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 х
Рис .7.5
Из графика в и д н о , что теоретическая кривая плотности
распределения f ( x) , сохраняя в основном сущ ественные
особенности статистического р а сп р ед ел ен и я, свободна от
случайных н еправильностей хода г и сто гр ам м ы .
На этом заверш ается рассмотрение первой из трех ос новных задач м атем атической статистики.
7.5 К р и т е р и и с о г л а с и я
В этом разделе рассм атривается вопрос о согласованно сти теоретического и статистического р асп р ед ел ен и й . До п у с т и м , что для данного статистического распределения
подобрано теоретическое распределение (н а п р и м ер , э к с п о н ен ц и ал ьн ое). М ежду ними неизбежны некоторые расхож д е н и я . Поэтому возникает в о п р о с : объясняю тся ли эти рас хождения только случайны ми о б сто ятел ь ств ам и , связанны ми с ограниченным числом н аб л ю д ен и й , или же они явля ются сущ ественны ми и связаны с т е м , что плохо подобрано
теоретическое р а сп р ед ел ен и е. Ответ на этот вопрос дают
так называемые к р и т е р и и с о г л а с и я .
Рассмотрим наиболее старый критерий согласия - кри терий «хи - к ва д р ат» К . П ирсона (К .Pearson, 1900), в кото ром мера расхож дения между теоретическим и стати сти ч е­
ским расп ределением обозначается %2.
125
Проверяя согласованность теоретического и стат и сти ­
ческого распределений, исходят из расхож дений между
теоретическими вероятностям и p , - попадания случайной
величины в каждый из разрядов статистического ряда и по *
лученным и частотами p t .
Пусть результаты n опытов сведены в к разрядов и
оформлены в статистический ряд
[а 1; а 2) [а 2; а 3)
*
*
p2
pг
p\
I,
*
• • •
[ а k;а k+1)
*
pk
и пусть подобрана плотность распределения f(x). Тогда
теоретические вероятности попадания случайной в ел и ч и ны в ,-й разряд статистического ряда
а,+1
p , = j f ( x)dx - для непреры вны х д а н н ы х ,
а,
p, =
X p( x t) - для дискретн ы х д а н н ы х ,
а, <x, <а,+1
где р - вероятностная мера подобранного распределения
(например, геометрического).
Тогда статистика критерия %2 определяется по формуле
^
к ( p ^ p, )2
X = nX
,=1 p,
Для удобства вычислений (чтобы не иметь дела со
слишком малыми величинами) можно ввести n под знак
суммы и использовать критерий в виде
к (т, - np ,) 2
X2 = X
,=1
np,
Отсюда в и д н о , что величина х2 - случайная и ее рас пределение зависит от параметра r , называемого ч и с л о м
степ ен ей св о б о д ы р асп р ед ел ен и я . Число степеней свободы
r равно числу разрядов к минус число независимы х у с л о вий (св язей ), налож енных на частоты p*. Н ап р и м е р , таким
к *
условием может быть X p , = 1.
,=1
В ч астн о сти , если предполагаемое распределение экс п о н ен ц и ал ь н о е, то г = к - 2 . Если н о р м а л ь н о е, то г = к - 3 .
126
В п .2.5.5 было отм еч ен о , что распределение х является
частным случаем гамма - распределения при а = г/2 и в =2.
Таким о б р а зо м , распределение х2 с г степенями свободы
является распределением суммы квадратов г независимых
случайных величин X , каждая из которых подчинена нор мальному закону с параметрами mx=0, о x=1. Это р асп р ед еление имеет плотность
г 1 --и
и2 e 2
, и > 0;
г
г
f r (u ) =
22 Г( 2)
0,
и < 0,
оо
где Г( z ) = j t z e dt - гамма - функция аргумента z .
0
Объясним теперь понятие критерия с о гл а с и я .
К р и т е р и й с о г л а с и я - это статистический критерий для
проверки гипотезы, применяемый, чтобы формально о ц е­
н и т ь , являются ли данные наблю дений X ь Х2,
Х п н езависимой выборкой из определенного распределения с
функцией распределения F (х ) или плотностью f ( x ). Таким
образом, критерий согласия использую т для проверки так
назы ваемой
нулевой гипотезы Н 0: X t - независимые и
одинаково распределенные случайные величины с ф ун кци ­
ей распределения F (х) или плотностью f ( x ).
После выбора определенного критерия множество всех
его возможных значений разбиваю т на два н еп ересек аю щихся п од м н о ж еств а: одно из них содержит значения кри терия, при которых нулевая гипотеза отвергается, другое при которых она п р и н и м аетс я . Так как любой критерий
представляет собой одномерную случайную величину, то
все ее возможные значения принадлеж ат некоторому и н ­
те р в а л у . Рассмотрим сказанное на примере критерия «хи квадрат».
Зададимся вопросом нахождения такого значения
Хкр(а , г) при заданной вероятности (уровне значимости) а и
заданном числе степеней свободы г , при котором было бы
выполнено условие:
127
P (X2 > х 2р(а»r )) = а •
Т о гд а , если найденное по статистическому ряду значе 2
2
ние х будет больше критического хкр(а , r ), то при заданном
уровне значимости гипотезу Н 0 о т в ер г аю т. Если же н ай денное значение %2 меньше к р и ти ч еск о го , то нет о сн о ва­
ний , чтобы отвергнуть нулевую г и п о тезу .
На р и с .7.6 показано нахождение критической точки
Х^р (а , r ) и построение критической области для критерия %2.
f(x)
о
Рис .7.6
Таблица значений %^р (а , r ) для различны х а и r п р и в ед ена в приложении (т а б л . 4). Это таблица с двумя в х о д ам и ,
где а значение вероятности и r - число степеней с в о б о д ы .
Ч и с л а , стоящие в т а б л и ц е , п редставляю т собой со отв етст­
вующие значения %2. Таблицу значений %2 можно использо вать д в о я к о .
Во - первых будем исходить из т о г о , что величина Х дей ствительно расп ределена по закону F ( x ). Тогда вероятность
а, определенная по таблице при полученны х значениях r и
%2, есть вероятность т о г о , что за счет чисто случайных
причин мера расхож дения %2 (7.3) будет не м ен ь ш е , чем
фактическое значение % в данной серии о п ы то в .
Если эта вероятность м а л а , то результат опыта следует
считать противоречащ им гипотезе Н 0.
Н апротив, если вероятность а сравнительно велика,
можно признать расхож дения между теоретическим и ста­
тистическим распределениями несущ ественны ми и отнести
их за счет случайных п р и ч и н . Тогда гипотезу Н 0 можно
считать правдоподобной или не п ротиворечащ ей опытным
128
данным.
Во - в т о р ы х , по заданному уровню значимости (а =0,05,
а =0,1) и числу степеней свободы r из статистического ряда
находят по таблице %^р (а , r). Если значение %2 (7.13) не пре вышает хкр(а , r ), то г о в о р я т, что мы не опровергаем Н 0 на
заданном уровне а.
На практике при использовании критерия %2 должно
быть достаточно большим не только общее число опытов n ,
но и числа наблю дений m i в отдельны х разрядах (не менее
5-10 наблюдений). Если числа наблю дений в отдельных
разрядах малы (1-2), имеет смысл их о б ъ ед и н и ть .
П р и м е р 7.2. Рассмотрим сказанное выше на данных из
примера 7.1. Вычислим вначале значение критерия х2 для
статистического р я д а , представленного таблицей 7.2. При
этом три последних разряда объединены в о д и н . Выкладки
для вычисления критерия показаны в табл .7.4.
Табл .7.4
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Интервал
[х i , Xi+1)
mi
[0; 0,1)
[0,1 0,2)
[0,2 0,3)
[0,3 0,4)
[0,4 0,5)
[0,5 0,6)
[0,6 0,7)
[0,7 0,8)
[0,8 0,9)
[0,9 1,0)
[1,0 да)
41
34
30
20
19
18
11
9
5
5
7
- Axii
e
1,0
0,752
0,566
0,425
0,320
0,241
0,181
0,136
0,102
0,077
0,058
/4
—
A
xi4_1
e
0,752
0,566
0,425
0,320
0,241
0,181
0,136
0,102
0,077
0,058
0
Pi
npi
0,248
0,186
0,141
0,105
0,079
0,060
0,045
0,034
0,025
0,019
0,058
49,35
37,01
28,06
20,89
15,72
11,94
8,96
6,77
4,98
3,78
11,54
(mi —nPi )2
nPi
1,41
0,24
0,13
0,04
0,68
3,08
0,46
0,73
0,00
0,39
1,79
X2=8,95
2
Из таблицы значений х (приложение т а б л .4) находим
для r =9:
при х2 =10,66
а =0,30;
при х2=8,34
а =0,50.
С л ед о вател ь н о , искомая вероятность а при х =8,95 при 129
ближенно равна 0,44. Эта вероятность малой не является и
поэтому гипотезу об экспоненциальном законе р а сп р ед ел е­
ния интервалов времени между поступлениями требований
можно считать правдоподобной.
С другой стороны зададимся уровнем значимости
а=0,05. По таблице % при а=0,05 и r =9 находим
%2р(0,05;9) = 16,92. Так как 8,95<16,92, то можно го в о р и ть ,
что при уровне значимости 0,05, гипотезу об э к сп о н ен ц и ­
альном распределении не о тв ер г аем . И т а к , величина к р и т е рия не дает нам оснований сч и т а т ь , что экспоненциальное
ч
2,849e~2’849x, x > 0;
распределение с плотностью f (x) = <
пло [0,
x<0
хо согласуется с данны м и табл .7.1
Другой подход к определению значения критерия %2 на зывается р а в н о в е р о я т н ы м п о д х о д о м . В этом случае у с т ­
раняется некоторая неоднозначность в выборе длины р а з ­
рядов в статистическом ряде и длины разрядов выбирают
т а к , чтобы выполнялось у с л о в и е : р 1= р 2= . . . = р к. Тогда к р и ­
терий %2 является приближенно д о с т о в е р н ы м , если к> 3 и
np, >5 для всех ,.
Например, если для выш еприведенного примера сф о р ­
мировать
к=20
интервалов
с
р l• =1/20=0,05,
то
n р ,= 199• 0,05=9,95.
Границы разрядов х , можно определить по формуле
x , = -0 ,3 5 1 ln( 1 - , / 2 0 ) для , = 1 ,2 ,
20, что эквивалентно у с л о вию F ( x ,) = , /2 0 , где F ( x) = 1 - e - x/0,351 для х>0. При этом
х 0= 0 , х 20= .
О пределение значения критерия %2 по равновероятном у
подходу и сравнение его с предыдущ им з н ач ен и ем , проде лать с а м о сто ят ел ь н о .
Рассмотрим еще один критерий согласия - к р и т е р и й
К о л м о г о р о в а - С м и р н о в а . В отличие от критерия « хи квадрат» критерий Колм огорова - Смирнова позволяет
сравнить статистическую функцию распределения F n(x) c
/у
_
функцией предполагаемого распределения F( x). Для этого
критерия не нужно каким - либо образом группировать
данные и следовательно, нет сложности с определением
130
границ р а з р я д о в . Однако у него есть свои н е д о ст атк и .
Во - п ер в ы х , область его применения более ограничен н а , чем у критерия «хи - к ва д р ат», т .к . нет готовых к р и т и ческих значений для работы с дискретны м и д а н н ы м и . Во в т о р ы х , исходная форма критерия достоверна только в том
случае, если известны все параметры предполагаемого з а ­
к о н а . Если же использовать вместо параметров их оценки
по д а н н ы м , то критерий может давать завышенные значе ния вероятности, чем точно установленные.
Для определения меры расхож дения (статистики), л е жащ ей в основе критерия Колм огорова - С м и р н о в а, мы бу дем использовать статистическую функцию распределения
количество Х ; < x
*
Fn (X) = ----------------- *------= p (X < X)
n
л
_
и подобранную функцию распределения F( x). Тогда стати стика этого критерия D n - это наибольшее (в ер ти к ал ьн ое)
/V
расстояние между Fn(x) и F(x) для всех значений х :
D n = max I Fn(x) —F( x) I.
А .Н .Колмогоров д о к а з а л , что какова бы ни была функция
/ч
распределения F(x) непреры вной случайной величины Х,
при неограниченном возрастании числа независимы х на блюдений n вероятность неравенства 4 n D n > X стремится к
пределу
P(A) = 1 — X (—1)ke"2k2x2 .
k=—
<
*>
Значения вероятности Р (X), подсчитанные
(7.14) приведены в т а б л . 7.5
Табл .7.5
X
X
X
X
Р (X)
Р (X)
Р (X)
0,964 1,0
0,0
1,000 0,5
0,270 1,5
0,864 1,1
1,000 0,6
0,178 1,6
0,1
0,2
0,112 1,7
1,000 0,7
0,711 1,2
0,544 1,3
0,3
1,000 0,8
0,068 1,8
0,4
0,997 0,9
0,393 1,4 0,040 1,9
2,0
(7.14)
по формуле
Р (X)
0,022
0,012
0,006
0,003
0,002
0,001
Схема применения критерия следующая:
131
1) строятся статистическая функция распределения
Fn(x) и предполагаемая теоретическая функция распределе /V
ния F(x) и определяется максимум модуля разности между
ними (рис .7.7);
2) определяется величина X = V n D nи по таблице 7.5 на ходится вероятность Р (X). Если вероятность Р (X) весьма
м а л а , то гипотезу Н 0 о т в ер г аю т; при сравнительно больших
Р (X) гипотезу Н 0 считают совместимой с опытными данны ми.
П р и м е р 7.3. П рименим критерий Колмогорова - Смир нова к данным статистической совокупности из т а б л .7.1.
На р и с .7.7 приведен график разности между функциями
распределения для данных об интервалах времени между
поступлениями требований и подобранного э к сп о н ен ц и ­
ального распределения F( x) = 1 - e - x/0,351.
w
Л 0,05
x
н
0,1
1---------1-------- 1-------- 1---------1---------1-------- 1-------- 1-------- 1--------- 1-------- \ -
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
М аксимальная разность между двумя функциями F n(x) и
F(x) в точке х ,=0,35 составляет -0 ,0 8 3 . Тогда D n=0,083 и
X= 1,171. По т а б л . 7.5 находим Р (1,1 ) = 0 , 178 и Р (1 ,2 )= 0 ,1 12.
Следовательно, как и в случае применения критерия «хи к вад рат», гипотезу Н 0 - об экспоненциальном распределе нии данных на уровне Р =0,14 мы не о п р о в ер г а ем . В к ач ест­
ве замечания отметим тот ф а к т, что с ростом n прямо про порционально растет и объем вычислений для статистики
Dn .
Для сравнения ниже приведены результаты расчетов по
программе «Statistica» (р и с .7.8, 7.9). Результаты ручного
счета и программы «Statistica» - для статистики Колмого 132
рова - Смирнова с о в п а д аю т. Расхождения по критерию «хи
- к ва д р ат» объясняю тся т е м , что в программе «Statistica»
при вычислении статистики %2 разряды берутся д р у г и е , а
именно ( a i, a i+i] вместо [ a i, a i+i) при ручном с ч е т е . С л ед о в ател ь н о , в программе «Statistica» статистическая функция
распределения F n(х) непреры вна «сп рав а», а не «слева»,
как мы допускали в п .7.2.
Это в а ж н о , особенно в тех сл у ч а я х , когда данные в ста тистической совокупности могут п о вто р я ть ся, как в рас сматриваемом нами п р и м е р е .
Р и с . 7.8
133
^S T A T IS T IC A : Nonparam etric S ta tistics 8< D istribu tio n Fitting - [Variable V AR 1; d istrib utio n : E xponential (d a t.s ta )]
File Edit View Analysis Graphs Options Macro Window Help
Continue...
Upper
Boundary
<=.10000
.200000
.300000
.400000
.500000
.600000
.700000
.800000
.900000
1.00000
1.10000
1.20000
1.30000
Infinity
observed
freq-cy
50
26
30
21
20
16
11
8
6
5
2
2
2
0
cu m u l a t v
ob s e r v e d
50
76
106
127
147
163
174
182
188
193
195
197
199
199
Kolmogorov-Smirnov d = .0833269, p < .15
C h i - S q u a r e : 9 . 486 529 , d f = 9, p = .3936590
percent
cumul. \ e x p e c t e d c um u l a t v p e r c e n t
ob s e r v e d o b s e r v e d f r e q - c y e x p e c t e d e x p e c t e d
25.12563
2 5. 1256 49.33363
4 9. 3336 24.79077
13.06533
38.1910 37. 10344
86.4371 18.64495
15.07538
53.2663 27.90521 114.3423 14.02272
10.55276
63.8191 20.98730 135. 32 96 10. 54638
10.05025
73.8693 15.78439 151.1140
7.93185
8. 04020
81.9095 11.87132 162.9853
5.96549
5.52764
87.4372
8. 92833 171. 91 36
4.48660
4. 02010
91.4573
6. 71492 178.6285
3.37433
3.01508
94.4724
5.05024 183.6788
2.53781
2. 51256
96.9849
3.79825 187.4770
1.90867
1.00503
97.9900
2.85663 190.3337
1.43549
1.00503
98.9950
2.14845 192.4821
1.07962
1.00503 100.0000
1.61583 194.0979
.81198
0.00000 100.0000
4.90205 199.0000
2.46334
cumul. % o b s e r v d expected expected
24. 7908
. 6664
43.4357 -1 1 .1 0 3 4
57.4584
2.0948
68. 0048
.0127
75.9367
4. 215 6
81.9021
4.1287
86.3887
2.0717
89.7631
1.2851
92.3009
.9498
9 4. 2096
1.2018
95.6451
-.8566
96.7247
-.1485
97.5367
.3842
100.0000
-4.9021
Р и с . 7.9
Далее в качестве модели теоретического распределения
для данных статистической совокупности из таблицы 7.1
вместо экспоненциального распределения рассмотрим г а м ­
ма - распределение (с м . п . 2.5.5). Ниже на рисунках 7.10,
7.11, 7.12 приведены расчеты по программе «Statistica».
Р и с . 7 .1 0
134
I
jnjxj
■Variable VAR1; distribution: Gamma (dat.sta)
NONPAR
Kolmogorov-Smirnov d
STATS
Chi-Square:
11.85036,
%
= .0720866,
Upper
observed
cumulatv
percent
c u mu l .
Bo u n d a r y
freq-cy
observed
observed
observed
39
1 9. 59799
19.5980
31.25284
| <=.08750
39
p
= n.s.
d f = 8, p = . 1 5 8 0 5 6 5
c u mu l .
%
expected
cumulatv
percent
freq-cy
expected
expected
expected
31.2528
15.70495
1 5. 7049
observdexpected
7.7472 J
. 17 5 00 0
32
71
1 6. 08040
35.6784
35.49469
66.7475
17 . 83 6 5 3
33.5415
-3.4947
§ . 2 62500
29
100
14.57286
50.2513
30.54634
97.2939
1 5 . 34 9 9 2
48.8914
-1.5463
§.350000
12
112
6.03015
56.2814
24.60799
121.9019
1 2 . 36 5 8 2
61 . 2 5 72
-12.6080
§.437500
20
132
10.05025
6 6. 3317
1 9. 21076
1 41. 1126
9.65365
70.9109
. 7892
. 52 5 00 0
20
152
10.05025
76.3819
1 4. 72240
1 55. 8350
7.39819
78.3091
5.2776
§.612500
13
165
6.53266
82.9146
11 . 1 4 5 7 2
166.9807
5.60086
83.9099
1. 8 5 43
§.700000
9
174
4.52261
87.4372
8.36508
1 75. 3458
4.20356
88.1135
. 634 9
§.787500
7
181
3.51759
90.9548
6.23759
1 81. 5834
3.13447
91.2479
. 762 4
§.875000
4
185
2.01005
92.9648
4.62786
1 86 . 2 1 13
2.32556
93.5735
-.6279
§.962500
6
191
3.01508
95.9799
3.41979
1 89. 6311
1.71849
95.2920
2.5802
|j 1 . 0 5 0 0 0
|j 1 . 1 3 7 5 0
4
195
2.01005
97.9900
2.51880
192.1499
1.26573
96.5577
1. 48 1 2
0
195
0.00000
97.9900
1.85013
1 94. 0000
. 92 9 71
97.4874
-1.8501
1.22500
2
197
1.00503
98.9950
1.35584
195.3558
. 68133
98.1688
. 6442
1.31250
2
199
1.00503
1 00. 0000
. 9 9 16 4
196.3475
. 49 8 31
98.6671
1.0084
Infinity
0
199
0.00000
100.0000
2.65252
1 99. 0000
1.33293
100.0000
-2.6525
Р и с . 7.11
Р и с . 7.12
135
Результаты расчета п о казы ваю т, что данные статисти ческой совокупности не противоречат и гипотезе о гамма распределении с параметром формы а =3,87 и масштабным
параметром в =1,36. При этом статистика критерия Колмо горова - Смирнова D n=0,072 вместо 0,083 в предыдущем
случае (что лучше, так как вероятность равна 0,26), а ста­
тистика критерия «хи - квадрат» - % =11,85 вместо 9,49
(что хуже, так как вероятность стала 0,158 вместо 0,394).
У ч и ты в ая , что экспоненциальное распределение со д ержит один параметр, а гамма - распределение - два п ар а­
метра, то для дальнейш его моделирования удобнее по льзо­
ваться экспоненциальны м распределением.
7.6
С тати сти ческие оценки для неизвестны х пара метров распределения
Определив при решении первой задачи матем атической
статистики один или несколько законов распределений, мы
должны задать значения их параметров, чтобы р асп р ед ел е­
ния были полностью определены и могли применяться при
дальнейш ем моделировании. При выдвижении гипотезы о
виде распределения использовались независимые и од и н а­
ково распределенные опытные данные Х 1, Х 2, ..., Х п, и эти
же данные будем использовать, чтобы получить оценки па­
р ам етр о в , входящ их в выбранное р а сп р ед ел ен и е. В таком
случае говорят, что оцениваю т неизвестны й параметр по
данным статистической совокупности (выборки). Н ап р и ­
мер, если уже установлено, что закон распределения слу­
чайной величины Х нормальный, то необходимо оценить
параметры m и о . Или ж е , если величина распределена по
закону Пуассона, то подлежит определению только один
его параметр - математическое ожидание М ( Х ) =X.
Рассмотрим следующую общую з а д а ч у . Имеется с л у чайная величина Х , закон распределения которой содержит
неизвестны й параметр 0. Обозначим 0 оценку параметра 0,
причем оценка является числовой функцией величин
Х 1,Х2,...,Хп и сл ед о ват ел ь н о , сама является величиной слу Л
ч а й н о й . Закон распределения 0 зависит от закона р а с п р е деления величины Х , от самого неизвестного параметра 0 и
136
числа опытов n .
Л
Предъявим к оценке 0 ряд требований по «к ач еств у ».
/ч
1. Н е с м е щ е н н о й называют статическую оценку 0, м а тематическое ожидание которой равно оцениваемому пара метру 0, т . е .
M (0) = 0.
В этом случае исключается систематическая ошибка в сто рону завыш ения или занижения.
Л
2. Оценка 0 при увеличении числа опытов n должна
сходиться по вероятности к оцениваемому параметру 0.
О ц ен к а, обладающая этим с в о й с тв о м , называется со стоя тельной.
3. Э фф е к т и в н о й называют статическую о ц е н к у , кото рая по сравнению с другими имеет наименьшую д и с п е р с и ю , т .е .
D(0) = min.
Рассмотрим два типа оценок - это оценки по методу
м о м е н т о в (К . П и рсон а) и оценки м а к с и м а л ь н о г о п р а в д о п о д о б и я (Р . Ф и ш ера).
Согласно методу м о м ен то в , неизвестные параметры
распределения выбираются с таким р а с ч е т о м , чтобы не сколько моментов теоретического распределения были
равны соответствую щ им статическим моментам, вы ч и сл ен ­
ным для данной статистической сов о к у п н о сти .
П р и м е р 7.4. По данным статистической совокупности
Х 1, Х2, . . . , Х п найти методом моментов оценку неизвестного
параметра X экспоненциального распределения с функцией
плотности f (x) = Xe~X (x > 0).
Р е ш е н и е . Приравняем начальный теоретический момент
первого порядка начальному статическому моменту п ер во ­
го п о р я д к а : m 1= m 1( п ). У ч и т ы в а я , что m 1= M( X) , m1(n) = X (n),
получим M ( X ) = X (n). Так как для э к с п о н е н ц и а л ь н о г о за кона M ( X ) = 1 /X, то оценкой для параметра X будет
X = 1 / X (n).
П р и м е р 7.5. По данным статической совокупности
Х 1,Х2,...,Хп найти методом моментов оценки неизвестных
параметров m и о нормального распределения с функцией
плотности
137
Фm.о(x) = - U e< x-m)2,,2°2)
^л/2П
Р е ш е н и е . Приравняем начальные теоретические и с т а ­
тические моменты первого п о р я д к а, а также центральные и
статистические
моменты второго
п о р я д к а: m 1= m 1( n ),
О
О
o
2
m 2 = m 2(n ). У ч и т ы в а я , что m 1= m , m 2 = о , получим
m = X (n). CT= ^ D X(n) .
З а м е ч а н и е . Результаты примера 7.2 мы уже использо вали в п . 7.4.
Рассмотрим теперь оценки максимального п равд о п од об и я . Д о п у сти м , что вид функции плотности f ( x ) для незави симых и одинаково распределенны х данных Х 1, Х 2,..., Х п ус та н о в л е н , но неизвестен параметр этого распределения 0.
Ф у н к ц и е й п р а в д о п о д о б и я для непрерывной случайной
величины Х называют функцию
L (Х 1,Х 2 , . , Х п; 0)=f(Х 1, 0) f (Х2, 0)... f ( X n, 0).
В качестве оценки параметра 0 принимаю т такое его
значение 0, при котором функция L достигает м а к си м у м а.
Функции L и lnL достигаю т максимума в одной и той же
то ч к е , поэтому ищут (что у д о б н е е ) максимум функции ln L .
П р и м е р 7.6. Для экспоненциального распределения 0=X
(X>0). Составим логариф м ическую функцию правдоподо n
бия:
ln L = n ln Я - Я Х X i .
i=1
Найдем первую производную по X:
d ln L = n - n X
dx = x Х1 i .
Так как lnL - строго возрастающая ф у н к ц и я, то прирав няв нулю первую п р о и зво д н у ю , найдем точку максимума
_
/ч
n
X= n / Х
= 1/ X ( n ) .
i=1
П р и м е р 7.7. Функция правдоподобия для нормального
распределения имеет вид:
1
_n
2
2
L = о n(V2n
( f T -)) n eXP( - iХ
=1(Xi - m) /2 0 ) >
а следовательно логариф мическая функция правдоподобия
138
1
П
2
2
ln L = - n ln о + ln —.
- X ( X t - m) /(2о ).
(л/2л)п - 1
Найдем частные производные по m и о :
dlnL
п
2
д ln L
+п
2, 2
—— = (X Xi - nm ) / о ;
— — = - п / о + X (X- - m) / о .
dm
i=1
до
i=1
П риравняв частные производные нулю и решив полу ченную систему двух уравнений относительно m и о , по лучим:
m = x (п),
о2 = Dx (n).
Заметим, что первая оценка несмещенная, а вторая
см е щ е н н а я .
Теперь подробнее рассмотрим тр е б о в а н и я , п ред ъ яв ляемые к о ц е н к а м .
7.7 О ц е н к и д л я м а т е м а т и ч е с к о г о о ж и д а н и я и д и с п е р сии
Пусть имеется случайная величина Х с м атематическим
ожиданием m x и дисперсией D x и при этом обе х ар а к т е р и стики н е и з в е с тн ы . В результате п независим ы х опытов по лучены результаты Х 1, Х2, ..., Х п. Требуется найти н есм ещенные и состоятельные оценки числовы х характеристик
mx и D x.
В качестве оценки для mx рассмотрим среднее ар и ф м етическое
п
X (п) = (X X- ) / п .
i=1
Найдем его математическое ожидание
п
M (X (п)) = (X mx) / п = mx .
i=1
Отсюда сл ед у ет, что X (п) является несмещ енной оцен кой для м атематического ожидания mx.
При рассм отрении закона больш их чисел мы убедились,
что при увеличен ии п величина X (п) сходится по вероятно сти к mx. Тогда эта оценка является и с о с то я т ел ь н о й . Опре делим теперь дисперсию этой оценки:
139
—
n
2
D ( X (n)) = D ( X X ,.) / n 2 = D x / n .
/=1
Эффективность или неэффективность оценки зависит от
вида распределения величины Х. Н ап р и м е р , д о к а за н о , что
если величина Х распределена по нормальному з а к о н у , то
величина D ( X (n)) = D X / n будет м и н и м ал ь н о й , т .е . оценка
X (n) будет эф ф е к т и в н о й .
Перейдем к оценке для дисперсии D x. Рассмотрим для
этого статистическую дисперсию
D x (n) = 1 X (X/ - X (n))2 = X 2(n) - (X(n))2.
n i=1
(7.15)
П р о в е р и м , является ли эта оценка со сто я т ел ь н о й . Вели чина X—2(n) есть среднее арифметическое n значений слу ^ ^
т/2____________________ _
чайной величины X и она сходится по вероятности к
2
2
М ( Х ). Второе слагаемое сходится по вероятности к mx . То гда
дисперсия
D x {n)
сходится
по
вероятности
к
2 2
M (X ) - mx = D x , т .е . оценка D х
является с о с то я т ел ь н о й .
П р о в ер и м , является ли оценка D x {n) также и н есм ещ ен н о й . Для этого раскроем выражение (7.15):
n
0
n
D x (n) = (X X/2) / n - (X X/ / n)2 =
i=1
i=1
= (X X 2) / n - ( X X 2) / n1 - 2 X X iX 1 / n 2 =
i=1
i=1
i<j
(7.16)
n -1 n ,. 2 2
X x i/ — x2 X X i X j .
n i=1
n i<j
Найдем м атематическое ожидание величины (7.16):
n- 1 n
0
2
M ( D x (n)) = — X M (X 2) X M ( X X j ).
(7.17)
n
i=1
n i<j
Так как статистическая дисперсия не зависит от т о г о , в
какой точке выбрать начало к о о р д и н а т, выберем его в точ ке mx . Тогда
o
n
M (X,2) = M (X 2) = Dx;
M
140
( X t, X j ) =
o o
M (X i X j
X M (X 2) = nDx ;
i=1
) = cov( X t, X j ) = 0.
Последнее равенство следует из т о г о , что X t и Xj - н езависимы.
Подставив последние выражения в (7.17), получим
n —1
M (D X(.)) = ------ D ■
n
Отсюда сл ед у ет, что статистическая дисперсия не явля ется несмещ енной оценкой для D x. Тогда введя поправку
n
n —1
и умножив статистическую дисперсию на эту величи -
н у , получим «и сп р ав л ен н у ю » дисперсию в качестве оценки
n
2
I (Xi —X (n))
= —— - ----------для D x: S 2(n) = J ^ d
D,
n —1DX(n)
n —1
'
При больших значениях n обе оценки - смещенная D x {п)
и несмещенная S 2(n ) - будут различаться очень мало и то гда введение поправочного множителя теряет с м ы с л .
7.8
Д о в е р и т е л ь н ы й и н т е р в а л и д о в е р и т е л ь н а я в еро ятность
В преды дущ их разделах рассм отрен вопрос об оценках
неизвестны х параметров распределений одним ч и с л о м . Та кие оценки называются «то ч еч н ы м и ». В ряде задач требу ется не только найти оценку параметра 0, но и оценить его
точность и н ад еж н о ст ь . Требуется знать - к каким ошибкам
__
A
w
w
может привести замена параметра 0 его точечной оценкой
л
0 и с какой степенью надеж ности можно о ж и д а ть , что эти
ошибки не выйдут за известные пределы ?
Такого рода задачи особенно актуальны при малом ч и с ­
ле наблю дений над случайной величиной Х, когда точечная
Л
оценка 0 в значительной мере случайна и приближенная
Л
замена 0 на 0 может привести к серьезным о ш и б к ам .
Чтобы дать представление о точности и надеж ности
Л
оценки 0, в м атем атической статистике пользуются так на зываем ым и д о в е р и т е л ь н ы м и и н т е р в а л а м и и д о в е р и т е л ь ными вероятностями.
Пусть для параметра 0 по данным наблю дений получе Л
на несмещ енная оценка 0. Чтобы оценить возможную
141
ошибку при замене 0 его оценкой 0, возьмем некоторую
достаточно большую вероятность у (н а п р и м ер , у=0,9;
у=0,95; у=0,99), т а к у ю , что событие с вероятностью у мож но считать практически д о с т о в е р н ы м . Очевидно , что если
Л
5 >0 и 10 - 0 1<5, то чем меньше 5, тем оценка т о ч н е е . Пусть
Л
/V
вероятность т о г о , что 10 - 0 1<5 равна у : P(! 0 —0 1< 5) = у или
/V
/V
___
P(0 —5 < 0 < 0 + 5) = у . Последнее соотношение следует пони Л
Л
мать т а к : вероятность т о г о , что интервал (0 —5, 0 + 5) за ключает в себе (покрывает) неизвестны й параметр 0, равна
Y•
В ероятность у называют надежностью (доверительной
Л
Л
Л
вер оятно стью ) оценки 0 по 0, а интервал (0 —5, 0 + 5 ) - д о в е рительным интервалом.
З а м е ч а н и е . Ранее мы неоднократно рассм атривали ве роятность попадания случайной величины X в заданный
(несл учай н ы й ) и н те р в а л . Здесь же параметр 0 не случайная
Л
в ел и ч и н а, а случайна величина 0 и сл ед о ват ел ь н о , случай ны границы доверительного интервала. Поэтому в данном
случае лучше толковать величину у не как вероятность по Л
Л
падания точки 0 в интервал (0 —5, 0 + 5), а как вероятность
того, что этот интервал накроет точку 0.
Перейдем к вопросу о нахождении границ доверитель ного и н тер в ал а. Для этого рассмотрим задачу о д о в е р и ­
тельном интервале для математического о ж и д а н и я .
П р ед п о л о ж и м , что X ь X 2,
X n являются независимы ми и одинаково распределенны м и случайны ми величинами
2
с матем атическим ожиданием m и конечной дисперсий о ,
которые неизвестны. Для этих параметров получены о ц ен ­
ки:
—
( n \
т
n
-X (n) = I x, / n ;
S 2(n) = I (Xi —X (n))2 /(n —1),
Vi=1 J
i=1
где x i - возможные значения величин X i. Согласно цен тральной предельной теореме, при достаточно большом n
закон распределения X (n) близок к н о р м а л ь н о м у . Характе ристики этого закона - математическое ожидание и д и с персия равны соответственно m и о 2/ n (п .6.3). Тогда п о л ь ­
142
зуясь известной формулой (с м . п .2.4.) Р (IX-m 1<5 )=2 Ф0( 5/о )
и заменив в ней Х на X (n), о 2 на S 2( n )/ n , получим
P(I X (n) - m |< 5) = 2Ф0(5Л/n / S 2(n)) = 2Ф0(гу),
где tY = 5т/n / S 2( n ) .
Тогда
5 = t.,\/S 2(n)/ n и можем записать
P(I X (n) - m I< tуЛ/ S 2(n)/ n ) = 2Фo(tу).
Приняв во в н и м а н и е , что эта вероятность задана и равна у ,
а также найдя значение tY из равенства Ф0( tY)=у/2 по табли це интеграла Л а п л аса, можем теперь записать окончатель ную формулу доверительного интервала для неизвестного
математического о ж и д а н и я :
X (n) - 1уЛ/ S 2( n ) / n < m < X (n) + 1уЛ/S 2( n ) / n .
(7.18)
Полученны й таким образом интервал называют также
100 у - процентным доверительны м интервалом для m .
П р и м е р 7.8. П роизведено 20 опытов над величиной Х ;
результаты приведены в таблице 7.6.
Т а б л . 7.6
i
i
i
i
Xi
xt
Xi
Xi
10,
6
11,
1
16 10,9
10,5 6
10,6 11
3
2
10,8 7
10,9 12
17 10,8
10,
11,2 8
3
11,0 13
18 10,7
5
4
10,9 9
10,3 14
19 10,9
10,
10,4 10 10,8 15
5
20 11,0
7
10,
8
Требуется найти оценку m для математического о ж и д а ния m величины X и построить 90-процентны й доверитель ный интервал для m .
Р е ш е н и е . Определим среднее арифметическое
_
1 20
X (20) = — I х = 10,78.
20 i=1
143
Выбрав за начало отсчета х=10 находим несмещенную
1з 38
20
оценку S 2(20) = (-3 3 8 - 0,782) — = 0,064.
20
19
Тогда значение множителя y S 2(20)/20 = 0,0565. По таблице
интеграла Лапласа находим t090=1,643. Отсюда д о в е р и тельный и н те р в а л : 10,69< m <10,87.
П р и м е р 7.9. Построим 90 - процентный доверительны й
интервал для среднего значения m статистической с о в о купности из примера 7.1. Из п .7.4 имеем следующие оцен ки X (199) = 0,351, S 2(199)=0,081. Отсюда значения множите ля y S 2(199) / n = 0,020. По таблице интеграла Лапласа
10,90= 1,643.
Отсюда
доверительны й
и н те р в а л :
0,318< m <0,384.
Доверительны й и н тер в ал , определенны й
формулой
(7.18) является лишь п р и б л и ж ен н ы м . Это видно по выклад к а м , которые были проделаны при выводе этой ф о р м у л ы .
Теперь запишем точное выражение 100 у - процентного
доверительного интервала для неизвестного м атем ати ч еского ожидания m .
Пусть X1, X2, ..., X n являются нормально р а сп р ед ел ен ­
ными случайны ми величинами. Тогда случайная величина
X (n) - m
T= .
=
имеет р а с п р е д е л е н и е С т ь ю д е н т а с n - 1 сте yS 2(n ) / n
пенями свободы. Плотность этого распределения имеет вид
(t) = ______ ____________ (1 + j \ - 2
“-l
4( n - 1)n r ( ( n - 1)/2)
n -1
В этом случае также говорят, что случайная величина T
имеет t - распределение с n - 1 степенями с в о б о д ы .
Точный (для любого n> 2) 100 у - процентный довери тельный интервал для m определяется как
S
X (n) - tn- 1,yVS 2(n) / n < m < X (n) + tn- 1,yVS 2(n) / n ,
(7.19)
где t n-1y- верхняя критическая точка для t - распределения
с n - 1 степенями свободы определяется из условия
tn-1, Y
2 j Sn_1(t) dt = Y.
0
144
Таким о б р азо м , при выводе формулы (7.19) использова на случайная величина T.
Таблица значений критических точек tn-1у приведена в
приложении (табл .5).
П р и м е р 7.10. Построить 90% -й доверительны й интер вал для m по данным примера 7.8. Ранее были определены
о ц е н к и : X (20) = 10,78, S2(20)=0,064, а также величина
Vs 2(20)/20 = 0,0565.
По таблице значений t n-1,Y находим значение 119;0,9= 1,729.
Тогда
90% -й
доверительны й
интервал
будет
10,68< m <10,88.
Таким образом, доверительны й интервал, определяемый
формулой (7.19) ш и р е , чем (7.18). Этот факт иллю стрирует
и р и с .7.13, где приведены графики плотности t - р а с п р е д е ления с 4 - мя степенями свободы и стандартного нормаль ного р а с п р е д е л е н и я .
Стандартное нормальное
распределение
Рис .7.13
Кривая t - распределения меньше поднимается вверх и
имеет более длинные х в о с т ы , чем кривая нормального рас пределения и поэтому для любого конечного n
справед ливо неравенство t n-1,Y> tY. В тех сл у ч аях , когда n довольно
небольшое ч и с л о , разница между (7.18) и (7.19) будет ощу ти м о й .
Выше мы рассм атривали задачу построения д о в ер и тельного интервала для неизвестного математического
о ж и д а н и я. Точно также определяется доверительны й и н ­
тервал для дисперсии D . Только при его получении исполь зуется случайная величина U = (n —1)S (n )/D , которая имеет
145
2
распределение х с n - 1 степенями свободы (с м . п .7.5). Вы разим случайную величину - оценку S 2( n ) через U :
S 2(n) = U D
n -1
Зная закон распределения величины U, мож -
но найти для нее доверительны й интервал с надеж ностью у .
Д оверительны й интервал построим таким о б р азо м , чтобы
вероятности выхода величины U за пределы интервала
вправо и влево (заш трихованны е площади на рис .7.14) бы ли одинаковы и равны
-а =
2
2
Воспользуемся таблицей значений х кр(а, r ) для случая
2
r = n - 1 и в соответствую щ ей строке найдем два значения х :
о д н о , отвечающее вероятности а 1=а/2; другое - вероятно 2
2
2
сти а 2= 1 - ( а/2). Обозначим эти значения х1 и х2, причем х1
будет правым
концом доверительного
интервала, а
X2- л е в ы м .
доверитель­
ный интервал
Р и с . 7.14
Таким о б р азо м , построим доверительны й интервал для
дисперсии с границами D 1 и D 2, который накрывает точку
D с вероятностью у :
P (D1 < D < D2) = у .
П отребуем также одновременного выполнения условия
(х 2 < u < х 2 ) = y .
2 равносильны
У ч и ты в ая , что неравенства U < х 12 и U < х2
p
неравенствам
(n - 1) S 2(n)
х?
146
<D
и
(n - 1) S 2(n)
х2
>D,
то следующ ий интервал
(n -1 ) S 2(n)
(7.20)
является 100 y - процентным доверительны м интервалом
для неизвестной д и с п е р с и и .
П р и м е р 7.11. Найти 9 0% -й д оверительны й интервал для
дисперсии в условиях примера 7.8, если и зв естн о , что ве личина Х распределена н о р м а л ь н о .
Р е ш е н и е . Имеем y=0,9; а=0,1; а/2=0,05.
По таблице
значений х (а ,г) при г= n - 1 = 19 находим
для а1 = 2 = 0,05: х2 = 30Д;
для а 2 = 1 - 2 = 0,95: х2 = 10,11.
2
У ч и т ы в а я , что S (20)=0,064, используя формулу (7.20),
получим 9 0 % -й д оверительны й интервал для д и с п е р с и и :
0,04< D <0,12.
7.9
С в я з ь м еж ду д о в е р и т е л ь н ы м и н т е р в а л о м и про в е р к о й г и п о т е з о сред нем з н а ч е н и и
В п .7.8 были даны два вида довери тельны х интервалов
для неизвестного среднего значения m величины X ; форму ла (7.18) - для приближенного доверительного и н тер в ал а; а
формула (7.19) - для т о ч н о го . Более правильной будет сле дующая интерпретация доверительного и н тер в ал а.Если бу дет построено большое количество независим ы х 100 y процентных доверительны х и н тер в ал о в , каждый из кото рых
основывается на n разных н аб л ю д ен и ях , где n - д о с таточно большое число, то доля интервалов, которые со­
держ ат (п окры в аю т) m , будет равна y . Эта доля и называет ся п о к р ы т и е м для доверительного и н тер в ал а.
На покрытие доверительного интервала (7.19) о к азы в а­
ет влияние вид распределения величин X t. В таблице 7.7
представлена оценка покрытия для 90%-х доверительны х
интервалов, основанная на 500 независим ы х эк сп ер и м ен ­
т а х , при разны х объемах выборок n (5, 10, 20 и 40) и таких
распределениях к а к : н о р м а л ь н о е, э к сп о н ен ц и ал ь н о е, «хи к вад рат» с одной степенью св о б о д ы , логнормальное ( в у, где
147
Y - стандартная нормальная случайная вел и ч и н ы ), а также
ги п ер эк сп о н ен ц и ал ь н о е, функция распределения
F (х) = 0,9 (1 - e х) + 0,1(1 - e - x/11) .
Табл. 7.7
А с им
мет - n =5
Распределение
n =10 n =20
рия
Нормальное
0,00
0,910 0,902 0,898
0,854 0,878 0,870
Экспоненциальное
2,00
Хи - квадрат
2,83
0,810 0,830 0,848
Логнормальное
6,18
0,758 0,768 0,842
Г и п ер эк сп о н ен ц и 0,584 0,586 0,682
6,43
альное
которого
n =40
0,900
0,890
0,890
0,852
0,774
Н ап р и м е р , значение 0,878 при n =10 для экспоненциаль ного распределения получено следующим о б р а зо м . Десять
наблюдений сгенерировали по экспоненциальному р а с п р е ­
делению с известным средним значением m , а 90% -й дове рительный интервал построили по выражению (7.19) и оп р ед ел и л и , содержит ли этот интервал среднее значение m
(это один эксперимент). Затем всю процедуру повторили
500 раз, и доля интервалов, содержащ их значение m , в 5 0 0 ­
х доверительны х интервалах составила 0,878.
Как следует из таблицы 7.7, для отдельного распреде ления покрытие становится ближе к 0,90 по мере возраста ния n , что следует из центральной предельной теоремы.
Кроме т о г о , для конкретного n покрытие ум еньш ается по
мере увеличения аси м м етр и и . С л ед о вател ь н о , чем больше
асимметрия у р асп р ед ел ен и я , тем больший объем выборки
необходим для получения удовлетворительного (близкого к
0,90) покрытия.
Далее рассмотрим следующую з а д а ч у . Д о п у сти м , что
величины X 1, X2,..., X n являются нормально расп р ед ел ен ­
ными (или приближенно нормально распределенны м и) и
что следует проверить нулевую гипотезу Н 0, согласно к о торой m = m 0, где m 0 - заданное гипотетическое значение m .
Интуитивно я с н о , что если X (n) - m0 является больш ой в е ­
148
л и ч и н о й , то гипотеза Н 0 не может быть истиной ( X (n) точечная несмещенная оценка m ).
Воспользуемся статистикой (функцией величины X;),
распределение которой известно, когда гипотеза Н 0 и стин ­
н а . Отсюда сл ед у ет, что если гипотеза Н 0 и сти н н а, стати стика
иметь t - расп р ед ел ение с n - 1 степенями с в о б о д ы . Тогда «д вусто ронн ий » к р и ­
терий проверки гипотезы Н 0: m = m 0 при конкурирую щ ей
гипотезе Н 1: m ^ m 0 будет иметь следующую ф о р м у :
> tn-1 , то H 0 - опровергается;
если \ tn \
(7.21)
^ t n-1Y , то H 0 - принимается,
где tn-1,Y- критическая точка t - р ас п р е д е л е н и я .
Отрезок числовой оси, соответствую щ ий опровержению
Н 0, а и м е н н о : множество всех х , для которых \x l> tn-1,Y, на зывается к р и т и ч е с к о й о б л а с т ь ю к р и те р и я , а вероятность
попадания статистики t n в критическую область при у с л о ­
вии, что гипотеза Н 0 является истиной, равна а и н азы вает­
ся у р о в н е м з н а ч и м о с т и к р и те р и я . Как п р ав и л о , выбирает ся уровень а , равный 0,05 или 0,10. Критерий проверки ги потезы (7.21) называется t - к р и те р и й , а критические з н а чения tn-1,Y мы уже использовали при построении довери тельных интервалов по формуле (7.19).
При проверке гипотезы встречаются два вида о ш и б о к .
1 . Если отвергнуть гипотезу Н 0 тогда как она верна, д о ­
пускают ошибку первого р о д а . Вероятность ошибки перво го рода равна уровню значимости а и, следовательно, н а­
ходится под контролем и ссл ед о в ател я .
2.
Если же принимать гипотезу Н 0 тогда, когда она л о ж ­
на, д опускаю т ошибку второго рода. Вероятность ошибки
второго рода для заданного уровня а и объема выборки n
обозначается в . Она зависит от т о г о , что в действительно сти правильно (в сравнении с Н 0), и может быть неизвест на.
М о щ н о с т ь ю к р и т е р и я называют величину 5 = 1 - в . Она
равна вероятности опровержения гипотезы Н 0, когда она
л о ж н а , а верна конкурирую щ ая ги п о те з а . (Ж ел ател ьн о ,
чтобы критерий имел высокую мощность).
149
При заданном а мощность критерия можно увеличить
только путем увеличения числа опытов n и только так
можно добиться ум еньш ения ошибок первого и второго ро да.
Так как мощность критерия может быть невелика и не и зв естн а, д а л е е , когда статистика t n не будет попадать в
критическую область, будем считать, что гипотеза Н 0 не
опровергается (вместо «Н 0 принимается »).
Когда Н 0 не опровергается, часто точно неизвестно,
правильна Н 0 или ложна, поскольку критерию недостает
мощности, чтобы обнаружить различия между нулевой г и ­
потезой Н 0 и т е м , что в д ействи тельности п р ав и л ь н о . В
этом состоит главный недостаток критериев проверки г и ­
потез.
Далее сравним критерий проверки гипотез (7.21) и до верительный интервал (7.19). Проверяя гипотезу Н 0: m = m 0
при Н 1: m Фm 0, мы т р е б у е м , чтобы вероятность попадания
критерия
[ х (n) - m0] / VS 2(n ) / n в двусторонню ю к р и ти ч ескую область (7.21) была равна уровню значимости а , сле довательно, вероятность попадания критерия в область
принятия гипотезы ( - t n-1>y, tn-1>y) равна 1 - а = у . Другими
сл о в ам и , с надеж ностью у выполняется неравенство
- tn-1,у < [ Х ( n) - m 0\ Ы S 2 (n )/ n < t„ -1,у,
или равносильное неравенство
Х
(n) - 1„- ,YV S 2(n)/ n
1
<m <Х
(n)+ tn- ,YV S 2(n)/n .
1
Таким образом, мы получим доверительны й интервал
(7.19) для оценки неизвестного математического ожидания
m нормального распределения с надежностью у .
З а м е ч а н и е . Хотя построение доверительного интервала
для m и двусторонней критической области для проверки
гипотезы Н 0: m = m 0 и приводят к одинаковым р е зу л ь тат ам ,
их истолкование р а з л и ч н о . Д вусторонняя критическая об ласть определяет границы (критические точки), между ко торыми заклю чена д о л я , равная у= ( 1 - а ) наблю даем ы х кри т ер и ев , найденных при повторении о п ы то в . Доверительны й
же интервал определяет границы (концы интервала), между
которыми заклю чена доля п о к р ы ти я , равная у, попавш их в
150
него значений оцениваемого параметра (с м .пояснение к
табл .7.7).
П р и м е р 7.12. Возьмем данные из примера 7.8. Предпо ложим, что они получены из нормального распределения с
неизвестным средним значением m . Проверим для этих
данных на уровне а =0,01 нулевую гипотезу Н 0: m =10,5, при
конкурирую щ ей гипотезе Н 1: m =10,8.
X (20) -10,5 10,78 -10,5
П оскольку t20 = I 2
= „ А- „
= 4,96 > 1,73 = t19;0,9 >
р
(20) / 20
0,0565
мы опровергаем гипотезу Н 0. Этого следовало о ж и д а ть , так
как значение m0=10,5 не попадает в доверительны й интер вал для m : 10,68 < m < 10,88, построенный с надежностью
Y=0,90 в примере 7.10.
^
„
^
7.10 О ц е н к а н е и з в е с т н о й в е р о я т н о с т и по ч а с т о т е
Рассмотрим задачу оценки неизвестной вероятности р
*
события А по его частоте р в n независимы х о п ы та х , т .е .
мы имеем схему Б е р н у л л и . Обозначим X i число успехов в i м испытании. Тогда частоту успехов в n испытаниях можно
определить в виде
n
p *= X Xi / n
i=1
(с м .п .6.4), причем M ( X i)= p , D ( Xi)=p q .
*
*
Отсюда с л ед у ет, что M( p )= p , т . е . оценка p для р будет не *
с м ещ ен н о й . Дисперсия величины
p :
*
D ( p )= p q / n .
Можно д о к а з а т ь , что эта дисперсия является минимально
во зм о ж н о й , т . е . оценка p является также и э ф ф е к т и в н о й .
Оценим точность и надежность такой о ц ен к и , т . е . построим
доверительны й интервал для вероятности р .
В отличии от ранее рассм отренны х случайных величин,
здесь величина X i - дискретная случайная величина с двумя
возмож ными зн а ч е н и я м и : 0 и 1. Кроме т о г о , её математи ческое ожидание р и дисперсия p q = p ( 1 - p ) связаны ф у н к циональной зависимостью .
Сначала рассмотрим с л у ч ай , когда число опытов n д о с таточно велико, а вероятность р не слишком велика и не
151
слишком м а л а . Тогда можно с ч и тать , что частота события
*
р - как среднее ари ф м ети ч еск о е, есть случайная в ел и ч и н а,
распределенная приближенно по нормальному закону с па раметрами m = p и о = д/p q / n . Тогда задав доверительную
вероятность
у,
потребуем
выполнения
неравенства
P ( p * - p < 5) = у .
*
Так как величина р распределена н о р м а л ь н о , то
P (I p —p I< 5) = 2Ф0( 5 /у p q / n ) = у .
Обозначим величину
5/ у p q / n = t y, тогда
5 = tyA/ p q / n.
Таким о б р азо м , с вероятностью у можем у т в е р ж д а т ь , что
I p —p I< tyA/ p q / n .
(7.22)
Преобразуем это неравенство к виду
( p * —p ) 2 < t2 p (1 —p ) / n
(7.23)
и дадим ему геометрическую и н тер п р етац и ю . Геометриче *
ским местом т о ч е к , координаты которых р и р у д о в л е т в о ряют неравенству (7.23), будет внутренняя часть э л л и п с а ,
проходящего через точки (0, 0) и (1, 1) и имеющего в этих
точках к асател ь н ы е, параллельные оси Ор (рис .7.15). Об ласть D , соответствую щ ая неравенству (7.23) слева и спра *
*
ва ограничена прямыми р =0 и р =1. Теперь для любого
*
значения р , полученного из о п ы та, можно построить до верительный интервал (р ь р 2), который с надежностью у
покроет неизвестное значение вероятности р . Для этого ч е *
рез точку р проведем п р я м у ю , параллельную оси о р д и н а т ;
на этой прямой границы области D отсекут доверительны й
интервал
(р ь р 2) (рис .7.15). П р и ч е м , чем больше n , тем
больше вытянут эллипс и тем уже д оверительны й интервал.
152
Границы доверительного интервала (р i, р 2) можно най ти из неравенства (7.23), как корни квадратного у р а в н е н и я :
Pi = [ Р *+ t r2 /(2n) - 1 J p *(1 - p *) / n + t 2/( 4n2) ]/(1 + t 2/ n);
\ _____________ _______
P2 = [ p * + 12 /(2n) + ty^jp*(1 - p *) / n + t 2 /(4n 2) ]/(1 + t 2/n).
(7.24)
П р и м е р 7.13. Частота события А в серии из 100 опытов
*
оказалась р =0,78. Построить 90% -й д оверительны й интер вал для вероятности р события А .
Р е ш е н и е . Из приложения (та б л .3) для у=0,9 находим
t Y= 1,643. По формулам (7.24) имеем р 1=0,705; р 2=0,840. До верительный интервал для р с надеж ностью 0,90:
0,705< p <0,840.
З а м е ч а н и е . При увеличении n величины t 2/ n и
ty2 /(4n 2) в формулах (7.24) стремятся к нулю и в пределе
формулы принимаю т вид
p\ = p * - tyVp *(1 - p ) / n ,
,
(7.25)
p 2 = p *+
p (1 - p ) / n .
Н ап р и м е р , в условиях преды дущ ей з а д а ч и , формулы
(7.25) дают следую щ ий р е з у л ь т а т :
0,7 12 <p <0,848.
Т еп ер ь , учитывая рассм отренную в п .7.9 связь между
доверительны м интервалом и проверкой гипотез о среднем
значении, посмотрим на построенны й выше доверительны й
интервал для неизвестной вероятности события А с этой
сто р о н ы . Для этого вернемся к примеру 7.13.
153
Зададимся уровнем значимости а= 1 -у = 0 ,1 и на этом
уровне проверим нулевую гипотезу Н 0: р =0,7 при конкури рующей гипотезе Н 1: рФ 0,7. Для этого введем статистику
U _ ( m / n —p 0 ) 4 n Ц p0q0 ,
где р 0-г и п о т е т и ч е с к о е значение вер о ятн о с ти , а q0= 1 - р 0.
Величина U при справедливости нулевой гипотезы р а с п р е делена приближенно нормально с параметрами m =0, о =1.
Вычислим наблюдаемое значение статистики
U
_ (0,78 —0,7)
_
/0,7 •0,3
’
.
Критическое значение статистики найдем из равенства
Ф(икр)= ( 1 -а ) /2 = 0 ,4 5 ,
отсюда
и кр=1,643.
Так
как
Iи набл.1=1,746 больше и р=1,643, то нулевую гипотезу Н 0:
р =0,7 о тв ер гаем . Этого следовало о ж и д а ть , так как значе ние вероятности р =0,7 в 9 0% -й д оверительны й интервал
(0,705; 0,840) не п о п а д а е т .
набл
7.11
Т очечны е оценки для числовы х х ар ак тер и сти к
многомерных случайны х величин
В преды дущ их пунктах мы рассмотрели задачи, св я зан ­
ные с оценками для числовы х характеристик одномерной
случайной величины при ограниченном числе опытов и по строением для них доверительны х и н тер в ал о в .
А налогичны е вопросы возникаю т и при обработке огра ниченного числа наблю дений над двумя и более сл у ч ай н ы ­
ми величинами.
Рассмотрим сначала случай д вум ерной случайной вели чины (X, Y). Пусть нами получены результаты n н езав и си мых опытов над величиной (X, Y) в виде пар значений
(x 1,y i), (x 2,y 2),...,( x n,y n). Требуется найти оценки для число вых характеристик: матем атических ожиданий mx , my , д и с ­
персий D x, D y , ковариации cov (X, Y), коэффициента корре ляции р (х, у ) и коэффициентов регрессии в ху, в ух.
Оценки для м атем атических ожиданий и дисперсий бу дут такими ж е , как и в случае одном ерной в е л и ч и н ы . Не смещ енны ми оценками для м атем атических ожиданий бу дут средние арифметические:
154
n
n
X (n) = (I x ) / n;
Y (n) = (X y ) / n,
i=1
i=1
а для элементов ковариационной матрицы s.? (n) = t (Xi - Х (n))2 /(n -1);
S;(n) = Ц (y - Y (n))2 /(n -1);
i=1
i=1
n
_
_
а .у = cov( X , Y) = t (хг - Х (n))( y - Y (n))/(n -1).
i=1
Оценкой коэффициента корреляции будет величина
cov( X , Y )
Р=
SxSy
а оценками двух коэффициентов р е г р е с с и и :
в у = РS. / Sy ,
вуу = РSy / S, .
Все приведенные оценки будут так же и со сто ятель н ы ­
ми , т . е . при n
сходятся по вероятности к соответствую щим теоретическим х ар ак т е р и с т и к а м .
Р ассмотрим теперь m - мерную случайную величину
(Хь Х2,
Х т ). Пусть над системой произведено n незави симых наблю дений и результаты оформлены в виде табли цы.
Т а б л . 7.8
i
X1 X2
Xk
Xm
1 X11 X21
Xm1
Xk1
2 X12 X22
Xm2
Xk2
i
X1i
X2i
Xki
Xmi
n
х 1n
X2n
Xkn
Xmn
Здесь х ki - это зн а ч е н и е , принятое ком понентой вектора
X k в i - ом н аб л ю д ен и и .
Требуется найти оценки для числовы х характеристик m
- мерной случайной в ел и ч и н ы : м атем атических ожиданий
m , mx?,
mx , и элементов ковариационной матрицы
155
Оц ©12
I =
... ^1m
О22
K
О2m
V
ОmmJ
По главной диагонали ковариационной матрицы стоят
дисперсии ком понент X 1, Х 2, ..., X m:
О11 = DX, , О22 = DX2,• ••, Оmm = DXm'
Оценки для м атем атических ожиданий найдутся как
средние ар и ф м ети ч еск и е:
n
--X k (n) = I xki / n, k = 1, n .
i=1
Н есмещенные оценки для дисперсий определяются по
формулам
Sk2(n) = I (Xki - Xк (n))2/(n -1 ) ,
i=1
а для ковариаций - по формулам
_
n_______
Оu = I (Xki - Xk (n))(X - X, (n))/(n -1).
i=1
По этим данным определяются также оценки для эле ментов корреляционной матрицы
Рk, = - © S -,
где Sk = VS 2(n), St =ylS2(n).
SkSl
П р и м е р 7.14. Ниже в таблице приведены результаты
о п ы то в , в которых исследовалась зависимость глубины h
(м м ) проникновения снаряда в преграду от удельной энер гии 8 (т .е . эн е р г и и , приходящейся на 1 см площади с о у д арен и я). Найти все вы ш еперечисленны е о ц е н к и , а также по строить эмпирические линии регрессии.
Р е ш е н и е . Находим несмещенные о ц е н к и :
8 = ( I 8 j ) / 13 * 164,46;
i=1
.2 g f
S8
■e2 = I (et - 8)2 /12 * 6660,19;
i=1
156
h = (I h )/13 * 21,08;
i=1
o2 13 Л Г\2
S,2 = I (h, - h )2 /12 * 103,84;
i=1
Ол = I (8i - 8)(h - h )/12 * 826,62;
i=1
p=^
* 0,994;
в eh = pSe/Sh * 7,96;
e he = РS„ S
S£Sh
* 0,124.
1 2 3 4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
8i 41 50 81 104 120 139 154 180 208 241 250 269 301
hi 4 8 10 14 16 20 19 23 26 30 31 36 37
i
После подстановки полученны х оценок получим сл е дующие эм пирические линии р е гр е с с и и :
h на 8: h - 2 1 ,0 8 = 0 ,1 2 4 ( е -1 6 4 ,4 6 );
s на h : е -1 6 4 ,4 6 = 7 ,9 6 ( h - 2 1 ,0 8 ).
Проверим
эти
расчеты
с
помощью
программы
«Statistica».
Р и с . 7.16
157
т
j
1
2
VAR1
NEWAR2
4 . ООО
1 4 1 . ООО
5 0 . ООО
8 . ООО
8 1 . ООО
1 0 . ООО
1 0 4 . ООО
1 4 . ООО
1 2 0 . ООО
1 6 . ООО
1 3 9 . ООО
2 0 . ООО
1 5 4 . ООО
1 9 . ООО
1 8 0 . ООО
2 3 . ООО
2 0 8 . ООО
2 6 . ООО
2 4 1 . ООО
3 0 . ООО
2 5 0 . ООО
3 1 . ООО
2 6 9 . ООО
3 6 . ООО
3 0 1 . ООО
3 7 . ООО
и
л П
' Means and Standard Deviations (cor.sta)
variab le
jj
^jnjxj
m ea n
S t . dev.
N
VAR1
164.4615
84.94274
13
NEWAR2
21.0769
10.60237
13
jJ |
■Regression Sum m ary Гог Dependent Variable: NEWVAR2 (co r.sta)
MULTIPLE R= .Э Э 4 0 2 300 RI= .98806172 A d j u s t e d RI= .90699824
R E G R E S S . F (1,11)=911.95 p < . 00000 S td.Error of estimate: 1.2089
BETA
N=13
St. Err.
of BETA
1 Intercpt
VAR1
.994023
.032916
St. Err.
of В
В
t(ll)
p-level
.671062
.754315
.69072
.392146
.124072
.004109
30.19854
.000000
Р и с . 7.17
Результаты расчетов с о в п а д аю т, разница только в т о м ,
что в расчетах мы использовали несмещ енные о ц е н к и , что
не влияет на конечный р е з у л ь т а т .
158
Эмпирические линии регрессии h на 8 и s на h показаны на
р и с . 7.18, 7.19
Р и с . 7.18.
Р и с . 7.18
Результаты
расчетов по программе «Statistica» под тверждаю т правильность проведенны х р а с ч е т о в .
7.12 З а д а н и е № 7 на с а м о с т о я т е л ь н у ю р а б о т у
7.1
Д о п у сти м , что данные о времени обслуживания
(м и н .), представленны е в таблице 7.9, являются независи мыми наблю дениям и относительно времени обслуживания
в системе массового обслуживания с одним у с т р о й с т в о м .
И спользуя все подходящие м ето д ы , описанные в разделе 7,
построить гипотезу относительно формы р асп р ед ел ен и я,
определить оценки его параметра (п арам етро в ) с помощью
оценок максимального правдоподобия и определить с т е пень со гл аси я .
159
Т а б л и ц а 7 .9
0,02
1,39
5,02
3,04
3,45
1,35
0,83
4,39
4,39
7,78
2,66
3,37
5,83
0,72
0,89
3,43
4,33
4,04
4,85
4,75
16,44
6,71
1,92
2,28
2,50
3,34
3,79
6,03
2,80
5,97
2,10
2,82
3,47
4,21
2,82
4,56
7,15
5,08
2,07
0,84
4,85
2,39
4,06
5,03
3,09
0,37
2,66
0,99
2,83
4,45
3,78
7,66
6,03
3,41
1,16
11,31 2,93 0,86 2,54
5,12 5,08 1,58
2,57
8,22 5,16 3,19
1,99
10,29 1,04 5,79 6,88
4,73
3,27 1,36 7,12
5,00
2,66 0,51 0,94
2,14 4,46 7,02
4,19
1,03
7,23 6,36 3,29
3,43 3,14 3,35
4,05
6,64
3,07 1,95 2,34
2,12
7,98 2,13 10,79
3,23 8,52
2,08 4,95
1,15 3,57
2,19
1,65
1,52
3,67
5,49
0,71
3,46
3,26
7.2
П р ед п о л о ж и м , что данные о погреш ностях в д и а ­
метре ш ар и ко п о д ш и п н и к о в , представленные в т а б л . 7.10,
являются независим ы м и наблю дениям и относительно о т ­
клонений от требуемого диам етра ш ар и ко п о д ш и п н и к о в , из готовляемы х на новом высокоскоростном с т а н к е . Исполь зуя все подходящие м ето д ы , описанные в разделе 7, по строить гипотезу относительно формы р асп р ед ел ен и я , оп ределить оценки его параметра (п ар ам етр ов ) с помощью
оценок максимального правдоподобия и степень с о г л а с и я .
Табл. 7.10
-
-
2,31
1,49
2,10
0,30
0,48
1,71
0,19
0,00
0,66
1,27
1,01
0,54
1,70
2,58
0,56
0,38
0,77
2,29
1,55
0,27
1,62
0,94
0,94
1,20
0,26
1,40
2,12
1,41
2,73
1,33
0,26
3,11
0,99
0,24
1,35
0,60
1,17
1,12
2,79
0,17
0,44
0,78
-
1,50
0,17
1,55
1,48
1,97
0,59
1,15
0,95
0,45
0,51
2,36
1,03
0,24
2,66
-
1,00
0,19
2,28
0,01
0,31
0,12
0,89
0,60
0,21
1,90
1,10
0,85
1,09
1,99
2,54
1,55
0,49
1,62
2,40
0,59
2,18
1,14
1,21
1,43
2,02
1,82
1,11
2,69
1,51
1,06
2,04
1,64
1,68
3,21
2,72
2,14
0,70
1,28
1,23
0,06
1,00
1,37
-
-
2,24
1,06
1,75
2,21
1,71
1,96
1,69
1,78
0,67
2,29
1,26
1,12
0,16
1,71
1,18
1,59
1,63
0,44
2,44
2,20
2,30
1,30
0,22
1,09
3,27
0,49
1,08
0,77
-
-
1,23
2,26
1,06
1,13
1,98
0,89
0,48
4,01
0,28
1,50
1,47
1,72
1,62
1,87
-
1,74
0,78
1,01
1,63
1,62
0,46
2,08
1,70
2,05
0,02
0,05
1,85
1,50
0,49
7.3
Пусть имеется нормально распределенная случайная
величина Х. П роизведено N = 31 независим ы х наблюдений
этой в е л и ч и н ы , результаты которых приведены в т а б л .
7.11.
160
Т а б л .7 .1 1
60 55 53 69 58 47 56 58 59 62 61 67 67 61 58 54
65 60 61 61 59 54 57 56 48 61 43 57 63 65 62
Определить 90% - е доверительны е интервалы для истинно го среднего значения и истинной дисперсии случайной ве личины Х.
О т в е т : 9 0% -ные доверительны е интервалы для среднего
значения и дисперсии случайной величины Х составляют
56,85 < тх <60,37,
22,91 < о 2х< 54,22.
7.4 П р е д п о л о ж и м , что есть основания считать среднее
значение тх случайной величины Х равным 10, и пусть из вестна дисперсия величины Х, о х = 4. О п р ед ел и т ь , каков
долж ен быть объем выборки для проверки гипотезы тх = 10
при 5%-м уровне з н а ч и м о с ти , причем вероятность д о п у с тить ошибку второго рода при определении 10% - го откло нения от гипотетической величины также долж на составить
5%. Определить при этих условиях область п р и н я ти я , ко торую следует использовать при проверке г и п о тезы .
О т в е т : искомый объем выборки N=52. Область принятия
гипотезы 9,46 < тх < 10,54.
7.5 П роверка гипотезы о нормальности р асп р ед ел ен и я .
В т а б л .7.12 приведены N=200 независимы х наблюденных
зн а ч е н и й , располож енны х в порядке возрастания процесса
на выходе генератора теплового ш у м а .
Табл. 7.12
- 7,6 - 4,3
- 6,9 - 4,1
- 6,6 - 4,0
- 6,4 - 3,8
- 6,4 - 3,8
- 6,1 - 3,8
- 6,0 - 3,7
- 5,7 - 3,6
- 5,6 - 3,5
- 5,5 - 3,4
-
3,0
3,0
2,9
2,9
2,9
2,7
2,6
2,6
2,5
2,5
-
2,1
2,1
2,0
2,0
1,9
1,9
1,8
1,8
1,8
1,7
-
1,5
1,4
1,4
1,2
1,2
1,2
1,1
1,1
1,0
1,0
-
0,7
0,7
0,6
0,6
0,5
0,5
0,4
0,4
0,4
0,3
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,3
0,3
0,3
0,7
0,8
0,9
0,9
1,0
1,0
1,1
1,1
1,1
1,1
1,5
1,5
1,6
1,6
1,6
1,7
1,8
1,8
1,8
1,9
2,3
2,4
2,4
2,5
2,5
2,6
2,6
2,6
2,7
2,8
3,4
3,5
3,5
3,6
3,6
3,6
3,7
3,7
3,7
3,7
4,3
4,3
4,4
4,4
4,6
4,8
4,8
4,9
5,0
5,2
6,3
6,5
6,9
7,1
7,2
7,4
7,9
9,0
161
-
5,1
4,8
4,8
4,6
4,4
4,4
-
3,4
3,4
3,3
3,2
3,2
3,1
-
2,4
2,3
2,3
2,3
2,2
2,2
-
1,7
1,6
1,6
1,6
1,6
1,5
-
1,0
0,9
0,9
0,8
0,8
0,7
-
0,3
0,2
0,2
0,2
0,1
0,0
0,4
0,4
0,5
0,5
0,6
0,6
1,2
1,2
1,3
1,3
1,3
1,4
1,9
2,0
2,0
2,1
2,3
2,3
2,8
2,9
3,1
3,2
3,2
3,3
3,8
3,8
3,9
4,0
4,2
4,2
5,3
5,4
5,6
5,9
6,1
6,3
Проверить гипотезу о нормальности процесса на выходе
генератора теплового ш у м а , применяя критерии согласия х 2
при уровне значимости а = 0,05. Использовать равноверо 2
ятныи подход к определению значения критерия х (с м .
п .7.5), положив к = 16 р а з р я д о в .
О т в е т : Значения %2абл. = 3,36, %2р(0,05; 13) = 22,4. С л ед о ват е л ь н о , гипотеза о нормальности распределения рассм атри ваемого процесса принимается при уровне значимости
а =0,05.
162
8 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Г | 1
*_ /
*_ /
/
K-t
Теорией случайных процессов (в другой терминологии
- теория случайных ф ун кци й ) называется математическая
н а у к а , изучающая законом ерности случайных явлений в
динамике их р а з в и т и я . При изучении явлений окружающ е го мира мы часто сталкиваемся с п ро ц есс ам и , течение ко торых заранее предсказать в точности н ев о зм о ж н о , что вы звано влиянием случайных факторов, воздействую щ их на
ход процесса. Приведем несколько примеров таких п роц ес­
сов.
1. Н апряжение в электрической с е т и , номинально по стоянное и равное 220В , фактически меняется во в р ем ен и ,
колеблется вокруг номинала под влиянием таких сл у чай ­
ных факторов, как количество и вид вклю ченны х приборов,
моменты их включений и выклю чений и т.д.
2. Население города (или области) меняется с течением
времени случайным образом под влиянием таких факторов,
как рождаемость, смертность, миграция и т.д.
3. Уровень воды в реке (или в водо хран и ли щ е) меняется
во времени случайным образом в зависимости от погоды,
количества осад к о в , таяния с н е г а , оросительны х мероприя тий и т.д.
4. Ч а с т и ц а , совершающая броуновское движение в поле
зрения микроскопа, меняет свое положение случайным об­
разом в результате соударений с м олекулами жидкости.
5. ЭВМ в ходе работы может случайным образом пере ходить из состояния в состояние, например:
S 1 - работает и с п р а в н о ;
S 2 - имеется н еи сп р ав н о ст ь , но она не о б н а р у ж е н а ;
5 3 - неисправность о б н ар у ж ен а, ведется поиск ее и сточника;
5 4 - ремонтируется и т.д.
П ереходы из состояния в состояние происходят под
действием случайных факторов, таких как колебание на­
пряжения в сети питания ЭВМ, выход из строя отдельных
элементов, момент обнаружения неисправностей, время их
устранения и т.д.
163
Случайный процесс (далее сокращенно с . п .), протекаю щий в любой физической системе S , представляет собой
случайные переходы системы из состояния в со с то я н и е .
В первых трех примерах процессы описываются с л у чайными функциями в р е м е н и : U ( t), где U - н ап р я ж ен и е;
N ( t), где N - н а с е л е н и е ; H ( t), где Н - уровень в о д ы . При
фиксированном t каждая из них превращается в обычную
неслучайную ф у н к ц и ю . Н ап р и м е р , если в течение некото рого периода времени непрерывно изменять напряжение в
с е ти , получится неслучайная функция U ( t), колеблющаяся
вокруг номинала U 0 (р и с . 8.1 а ).
В четвертом примере состояние частицы характеризует ся уже не о д н о й , а двумя случайны ми функциями X (t) и Y(t)
- координатами ч а с т и ц ы . Для фиксированного значения t
случайный процесс превращается в двумерную случайную
величину ( X (t), Y(t)) - случайный вектор Q ( t) на плоскости
х0у (р и с .8.1 б ). При изменении аргумента t точка Q ( t ) будет
«б лу ж д ать » по плоскости х0у, так как п о к азан о , н ап р и м ер ,
на р и с . 8.1 в .
u(t)
Р и с . 8.1.
Особое положение среди приведённых примеров зани мает пример 5. Здесь состояние системы не характеризует ся какой-либо численной величиной (или вектором), а с к о ­
рее всего термином «качественное» и случайный процесс
сводится к «блужданию по состояниям».
В ряде практических задач встречаются случайные
ф ун к ц и и , зависящие не от времени t , а от других аргумен т о в . Поэтому в д ал ь н е й ш е м , говоря о случайном процессе
164
будем пользоваться этим термином безотносительно к фи зической природе ар гу м ен та, обозначенного t , хотя в боль шинстве случаев аргументом будет именно в р е м я .
8.1
Определение случайного процесса. К л асси ф и к ация сл учайн ы х процессов
О п р е д е л е н и е . Случайным процессом X(t ) называется
п р о ц есс, значение которого при любом фиксированном t= t0
является случайной величиной X (t0), которую называют се чением случайного процесса, соответствую щ им данному
значению аргумента t = t 0.
Реализацией случайного процесса X (t) называется неслу чайная функция х (t), в которую превращается случайный
процесс X (t) в результате опыта (как н ап р и м ер , напряжение
U (t) - в функцию u (t) на отрезке времени от 0 до т (рис .8.1
а). Если произведен не один о п ы т , а н е ск о л ь к о , в результа те каждого из которых наблюдена какая-то реализация х1 ( t )
( i - номер опыта), то получим семейство или ансамбль реа лизаций.
Семейство реализаций с. п. (в некоторых случаях одна
достаточно «д ли нн ая» реал и зац и я) является основным экс периментальны м материалом, на основе которых можно
получить характеристики случайного процесса. Это сем ей ­
ство аналогично совокупности н аблю денны х значений слу чайной величины Х , с той разницей, что здесь наблюдаются
не числовые значения, а функции.
Таким о б р азо м , с . п . X( t) представляет собой ф у н к ц и ю ,
которая при любом t является случайной величиной (сеч е­
нием с. п.).
Тогда понятие с. п. становится обобщ ением понятия
случайной величины на сл у ч ай , когда условия опыта не по стоянны, а меняются (например, время течет). Случайная
величина X соответствует случайному явлению как бы «в
стат и к е» (в неизменных условиях оп ы та), а с . п . X (t) - «в
д и н а м и к е » (в изменяю щ ихся условиях опыта). Каждое се чение процесса X( t) при заданном t есть случайная вели ^
.
чина, а совокупность всех сечений при всевозможных t и
есть случайный процесс X (t). Значит процесс X (t) есть не
что иное, как система случайных величин - всех сечений
165
этого п р о ц е с с а . Таких сечений бесконечное (несчетное)
м н о ж еств о . Нужно стараться при изучении интересую щ их
нас свойств с. п. обойтись как можно меньшим числом с е ­
чений.
В теории случайных процессов принято к ласси ф и ц и р о ­
вать их по тем или другим признакам, учитывая плавность
или скачкообразность р еал и за ц и и , фиксированность или
случайность моментов, в которые происходят скачки и т.д.,
вид закона распределения отдельного сечения процесса или
совокупности сечений и т.д. Вначале рассмотрим э л е м е н ­
тарную классификацию с. п. - «по времени» и «по с о сто я­
ниям ».
С . п . X (t) является п р о ц есс о м с д и с к р е т н ы м в р е м е н е м ,
если система, в которой он протекает, может менять свои
состояния только в моменты времени t b t2,..., число кото рых конечно или с ч е т н о . М ножество этих моментов време ни Т является д и с к р е т н ы м .
П римером процесса с дискретным временем является
процесс работы Э В М , которая может менять свои состоя ния в моменты t ь t2,..., определяемые тактом работы ма шины.
С . п . X( t) называется п р о ц есс о м с н е п р е р ы в н ы м вр е м ен ем , если переходы системы из состояния в состояние
могут происходить в любой момент времени t н аб л ю д аем о ­
го периода т . В этом случае множество Т м о м ен то в , когда
система меняет свое со сто ян и е, н есч етн о .
П римером такого процесса с непрерывным временем
является X (t) - число отказов технического устройства от
начала работы до момента t .
С . п . X( t) называется п р о ц есс о м с н е п р е р ы в н ы м и со с т о я н и я м и , если его сечение в любой момент времени t
представляет собой непрерывную случайную величину и
сл ед о вател ь н о , множество её значений н е с ч е т н о . Н ап р и ­
мер , координаты X (t), Y (t) ч а с т и ц ы , соверш аю щ ей броунов ^
ское д в и ж е н и е , в момент t представляю т д вум ерны й с л у чайный процесс с непреры вны м и состояниями.
С . п ., протекаю щ ий в системе S , называется п р о ц есс о м
с д и с к р е т н ы м и с о с т о я н и я м и , если в любой момент t м н о жество его состояний конечно или сч е тн о , т . е . в любой мо .
166
мент t характеризуется д искретной случайной величиной
X( t) (или многомерной дискретной случайной величиной).
К этой категории относятся все с . п . с «к ач еств ен н ы м и » со с то я н и я м и .
Таким образом, в зависимости от характера множества
Т значений аргумента t , в которые возможны переходы си стемы из состояния в состояние, а также множ ества самих
состояний все случайные процессы можно разделить на ч е­
тыре основных класса, которые представлены на рис. 8.2.
Первый класс - процессы с дискретны м и состояниями и
дискретным временем;
второй - процессы с дискретны м и состояниями и н е­
прерывными временем;
третий - процессы с непреры вны ми состояниями и д и с ­
кретным временем;
четверты й - процессы с непреры вны м и состояниями и
непрерывным временем.
Случайный
процесс
С дискретным
состоянием
С непрерывным
состоянием
С дискретным
временем
С непрерывным
временем
Рис .8.2
8.2
Законы распределения и основные характеристи ки с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в
Пусть имеется случайный процесс X(t). Сечение X(t)
при любом фиксированном t представляет собой случайную
величину, которая имеет закон распределения
F ( t , х ) = P ( X (t) < х ).
(8.1)
167
Функция (8.1) называется одномерным законом распре деления процесса X ( t) и характеризует свойства только о д ного отдельно взятого сеч е н и я , но не дает понятия о сово купном распределении двух или более сечений случайного
процесса (р и с . 8.3 а). Можно указать два с . п . с одинако вым распределением в каждом с е ч ен и и , но совершенно
различны х по своей структуре (р и с . 8.3 б , в ).
t
о
t
о
Р и с . 8.3
Реализации первого процесса имеют плавный характер
(р и с . 8.3 б ), а - второго (р и с . 8.3 в ) более р е з к и й . Для пер вого процесса характерна более тесная зависимость между
сечениями п р о ц есс а; для второго эта зависимость затухает
довольно быстро с увеличением расстояния между с еч е­
н и я м и . С л ед о ват ел ь н о , одномерны й закон распределения
(8.1) не может служить полной х арактери сти кой случайно го п р о ц е с с а . Очевидно т а к ж е , что более полной (но не ис черпывающ ей) характеристикой будет д вум ерны й закон
распределения - совместная функция распределения двух
сеч ен и й , взятых соответственно для моментов t 1 и t2 (р и с .
8.4):
(8.2)
F ( t i , t 2, Xi , X2)=P(X(t i )<Xi , X(t 2)<X2).
X(t)
Рис .8.4
Это функция уже не д в у х , а четырех ар г у м ен то в . Ещё более
полной характеристикой будет трехм ерный закон и т .д .
Однако оперировать со столь громоздкими хар ак тер и сти ­
168
к а м и , зависящ ими от многих ар гу м ен то в , крайне н еу д о б н о ;
к тому же объем экспериментального м атериала для их о п ределения, с увеличением числа сечений растет чр езвы ч ай ­
но б ы с т р о . Поэтому на практике более чем двум ерные за коны распределения применяются крайне р е д к о . К тому же
во многих случаях инженерной практики, протекающ ие в
системах процессы можно представлять как м а р к о в с к и е , а
также как г а у с с о в с к и е (нормальные) (см. п. 8.6) случайные
п р о ц есс ы , в которых д вум ерны й закон распределения (8.2)
будет исчерпы ваю щ ей характеристикой.
При исследовании случайных процессов для п р актич е­
ских целей чаще всего вообще отказываются от законов
распределения, и пользуются основными характеристиками
случайного процесса, которые будут уже не числами (как
для случайных величин), а функциями аргумента t .
Первой и важнейшей характеристикой случайного п ро ­
цесса X(t) является его математическое о ж и д а н и е, т .е .
«средняя» функция, вокруг которой происходит разброс
реализаций случайного процесса (рис 8.5). На рисунке 8.5
тонкие линии п редставляю т реализации X (t), а полужирная
линия - математическое ожидание тх(t).
О п р е д е л е н и е . М а т е м а т и ч е с к и м о ж и д а н и е м с .п . X(t)
называется неслучайная функция тх(t), которая при любом
значении аргумента t равна математическому ожиданию
соответствую щ его сечения с.п.
тх (t ) =M (X ( t )).
Зная одном ерный закон распределения (8.1) всегда
можно найти тх(t) для каждого сечения и установить его
зависимость от t . Заф иксировав t и переходя от с .п . к сл учайной величине, можно вычислить математическое о ж и ­
169
дание п р о ц е с с а . Н ап р и м е р , если сечение процесса X (t) при
данном t
представляет собой дискретную случайную ве­
личину с рядом распределения
х 1( t ) х 2( t )
р 1( t ) р 2( t )
• • •
. . .
Xi ( t ) • ••
P i( t ) •
то его математическое ожидание может быть вычислено по
формуле
тх (t) = Z х1(t) •Pi (t).
(8.3)
i
Если сечение процесса X (t) при данном t представляет
собой непрерывную случайную величину с плотностью
f ( t ,х), то его математическое ожидание может быть в ы ч и слено по формуле
т (t ) = j x f (t , x)dx.
(8.4)
—оо
На практике чаще всего математическое ожидание тх(t)
вычисляется не по формулам (8.3) и (8.4), а заменяется
приближенной оценкой, которую находят по опытным д ан ­
н ы м . Для определения моментов с .п . вводят понятие цен трированного случайного п р о ц есс а:
о
X(t) = X (t) - тхи \
(8.5)
о
M ( X (t )) = M ( X (t )) - тх(t ) = 0.
для которого
О п р е д е л е н и е . Н а ч а л ь н ы м м о м е н т о м п о р я д к а s с .п .
X (t) называется математическое ожидание степени s с о о т ветствующего сечения процесса:
т , (t ) = M [(X (t))s],
(8.6)
а ц е н т р а л ь н ы м м о м е н т о м п о р я д к а s - математическое
ожидание s - й степени центрированного п р о ц есс а:
о
о
т, (t) = M [(X (t))s ].
(8.7)
О п р е д е л е н и е . Д и с п е р с и е й с . п . X (t) называется неслу чайная функция Б х( t), которая при любом значении аргу мента t равна дисперсии соответствую щ его сечения про цесса X (t).
По известным п р ав и л ам , используя одном ерный закон
расп р ед ел ен и я , можно вычислить дисперсию процесса X (t).
170
Если сечение X (t) представляет дискретную в ел и ч и н у , то
дисперсию с . п . находят по формуле
Dx (t ) = D ( X (t)) = £ xj Pi (t) - m; ( t ).
(8.8)
i
Если сечение X(t) п редставляет собой непрерывную
случайную величину с плотностью f ( t ,x), то дисперсия с .п .
может быть вычислена по формуле
Dx (t) = \ x 2f (t , x ) d x - mj (t).
(8.9)
—
^
Дисперсия D x(t) представляет собой неслучайную н ео трицательную ф у н к ц и ю , характеризую щ ую степень разброса
реализаций с . п . около его м атематического ожидания mx( t),
т . е . степень разброса реализаций центрированного сл у ч ай о
ного процесса X (t).
О пределение. Средним квад р ати ч еск и м отклонением
ох( t) с . п . X( t) называется арифм етическое значение корня
квадратного из дисперсии D x(t):
Cx(t) = a(X(t)) = VDX(0.
(8.10)
Рассм отренные нами характери сти ки с .п . X(t): mx( t),
D x(t), ox(t)- являются весьма в а ж н ы м и , но отнюдь не исчер п ы в аю щ и м и , так как определяются только одномерным за коном р ас п р е д е л е н и я .
Р ассмотрим теперь две случайные величины - два сече ния случайного процесса для моментов t и t : X(t) и X (t').
Найдем для них ковариацию
о
о
Rx ( t , t ') = M [X (t) X (t')] = M [X (t)X (t')] - mx (t)mx (t ').
(8.11)
Функция (8.11) называется корреляционной (к овари ац и о н но й ) функцией случайного процесса X (t).
Определение. Корреляционной
(к о в а р и а ц и о н н о й )
ф у н к ц и е й с . п . X (t) называется неслучайная функция Rx (t, t')
двух аргументов t и t ' , которая равна ковариации со о тв етствующ их сечений случайного п р о ц есс а: X (t) и X (t').
Р ассмотрим основные свойства корреляционной ф ун к ции (далее сокращенно к . ф .) Rx (t , t ').
1.
При равенстве аргументов ( t = t ' ) к . ф . равна диспер сии случайного п р о ц есс а, т . е .
171
о
о
Ях (t , t ) = M [X (t) X (t)] = D x (t ).
(8.12)
2. К . ф . симметрична относительно своих ар г у м ен то в :
Rx (t , О = Rx ( t\ t).
(8.13)
3. К . ф . Rx (t, t') является положительно о п р ед ел ен н о й , т . е .
J J a (t) a ( t ) Rx(t , t') d t d t ' > 0,
(8.14)
(в )(B)
где a (t) - произвольная функция аргумента t , B - п р о и звольное подмножество множ ества Т, на котором определен
с . п . X (t).
Корреляционная функция Rx (t, t ) характеризует не толь ко степень тесноты линейной зависимости между двумя се чениями X(t) и X (t') п р о ц есс а, но и разброс этих сечений
относительно тх(t).
Определение.
Н ормированной
корреляционной
функцией
рх(t, t') случайного процесса X(t) называется
ф ун к ц и я, полученная делением корреляционной функция
Rx (t, t ) на произведение о х(t ), о х(t'):
p x (t
,t
Rx(t t
,
,
)
=
x V
о
x(t
')
y ,
.
x( t )
корреляционной
) 0
войства нормированной
функции
( н . к . ф .) Px (t, t').
1.
При равенстве аргументов ( t = t ' )
Px(t, t) = 1­
2.
Н . к . ф . p x(t, t') симметрична относительно своих ар гу м ен то в :
p x(t, t') = p x(/, t ).
3.
Н.к.ф. по модулю не превосходит единицу:
|px ( t. 1 0| ^ 1.
До сих пор мы рассм атривали только характеристики
одного (ск ал ярного) случайного процесса X (t). Рассмотрим
теперь д вум ерны й случайный процесс {X (t), Y ( t )} с матема тическими ожиданиями компонент тх(t) и ту (t) соответст в е н н о . Кроме этих характеристик, описы ваю щ их только
поведение отдельны х к о м п о н ен т, вводят «взаимную харак тери сти к у » - взаимную корреляционную функцию
о
о
Rxy (t , t ') = M [X (t) Y(t')].
172
О пределение. Взаимной корреляционной функцией
(в .к .ф .) Ry (t , t ')двух случайных процессов X (t ), Y(t') н азы вается неслучайная функция двух аргументов t и t , которая
^
^ . ./
при каждой паре значений t , t равна ковариации двух сече ний случайных процессов X (t) и Y (/).
Из определения следуют следующие свойства в . к . ф .:
1) взаимная корреляционная функция в общем случае не
сим метрична относительно аргументов, т.е.
Rxy (t, ^ ) * Rxy (t'>t);
2) взаимная корреляционная функция сим метрична о т ­
носительно индексов и аргументов Rxy (t , t ) = Ryx(t\ t ).
Аналогично вводится понятие нормированной в .к . ф .
Rxy (t , t )
xy (t >^ ) =
Рxv
П It
Ox
(t)in
o y
y( / )
’
где ox(t) и oy(t) - средние квадратические отклонения с . п .
X (t) и Y (t) со о тв етств ен н о .
Случайные процессы X (t) и Y (t) называются н е к о р р е л и р о в а н н ы м и , если их в .к .ф . Ry (t, t') равна нулю при л ю бых значениях аргументов t , t .
Все приведенные в данном подразделе характеристики
с . п . X (t) определяются его одномерным или двумерны м за конами р асп р ед ел ен и я , и они справедливы для любых слу чайных процессов.
Для широкого класса с .п ., определение их х ар а к т е р и стик по выш еприведенны м формулам может быть у п р о щ е ­
н о . Для этого приведем классификацию случайных процес сов по их характеристикам.
Различаю т с т а ц и о н а р н ы е и н е с т а ц и о н а р н ы е сл у ч ай ­
ные процессы. В свою очередь стационарные случайные
процессы могут быть эргодическим и или неэргодическими.
Для нестационарны х случайных процессов сущ ествует спе циальная классификация н естац и о н ар н о с ти . Связь между
различны м и классами случайных процессов показана схе матически на р и с . 8.6.
173
Р и с . 8.6
С т а ц и о н а р н ы е с л у ч а й н ы е п р о ц е с с ы . Физическое я в ление при рассм отрении с позиций теории случайных про цессов (си гнал ов) можно описать в любой момент времени
осреднением по ансамблю р еал и за ц и й , представляю щ их
данный случайный п р о ц е с с . Рассмотрим ансамбль р е а л и за ­
ций (выборочных функций), образующ ий с .п . (р и с . 8.7).
М атем атическое ожидание или среднее значение (первый
начальный момент р а сп р ед ел ен и я) процесса в момент вре мени t может быть найдено путем суммирования м гн ов ен ных значений каждой реализации ансамбля в момент вре мени t и деления этой суммы на N - число р е а л и за ц и й .
174
%(t)4
Рис. 8.7
А налогичны м о б р азо м , корреляционная функция определя ется путем осреднения по ансамблю произведений м гн о венных
значений
центрированного
процесса
о
X (t ) = X (t) —mx (t) в моменты времени t и t +т , т .е ., м атем ати -
ческое ожидание mx(t) и корреляционная функция R x( t, t + т)
процесса X (t) определяются из соотнош ений
1 N
(8 .1 5 )
m x (t ) = lim — £ x k (t ) ,
N
N
k =1
175
1 N о
о
R x (t , t + т) = lim — X x k (t ) x k (t + t ) .
N
N k =1
Причем при сум мировании предполагается, что появление
всех реализаций р а в н о в е р о я тн о . В общем сл у ч а е , когда
функции mx(t) и R x( t ,t+ т) меняются с изменением момента
времени t, с .п . X( t) называется н е с т а ц и о н а р н ы м . В ч а с т ­
ном случае независим ости тх(t) и Rx( t , t +т ) от t , с . п . X (t) на зывается с т а ц и о н а р н ы м в ш и р о к о м с м ы с л е . М атематиче ское ожидание такого процесса п о сто я н н о , а корреляцион ная функция представляет собой функцию единственной
переменной - временного сдвига между сечениями п р о ц ес­
с а , то есть тх( t )= тх, R x( t , t +т)= Rx(т).
Для с .п . X( t) можно отыскать бесконечное множество
начальных и центральных (в том числе и см еш ан н ы х) мо м е н т о в ; их совокупность полностью описы вает плотность
распределения п р о ц есс а. Когда все начальные и централь ные моменты не зависят от времени, процесс называют
с т а ц и о н а р н ы м в у з к о м с м ы с л е (более точное определение
такого типа стационарности будет приведено ниже).
Любой процесс, стационарный в узком смысле, является ста­
ционарным и в широком, но не наоборот.
Эргодические случайные процессы. Выше был рассмотрен
вопрос об определении свойств с.п. путем осреднения по ансамблю
в отдельные моменты времени. Однако, во многих случаях пред­
ставляется возможным описать свойства стационарного случайного
процесса путем осреднения по времени отдельных, достаточно
продолжительных реализаций ансамбля. Рассмотрим, например, kую реализацию (выборочную функцию) с.п., изображенного на рис.
8.7. Математическое ожидание mx(t) и корреляционная функция
этой реализации Rx(T,k) определяется выражениями
1Т
M x (k ) = lim —J xk( t ) d t ,
(8.16)
t
T
0
1 T0
0
R x(т, k ) = lim — Jxk (t ) xk (t + T ) dt .
x
t
^
T
0
Если с . п . X (t) стационарен и тх(t) и Rx(т , k), определен ные формулами (8.16), одинаковы для всех р е ал и зац и й , то
случайный процесс X (t) называется э р г о д и ч е с к и м . Для эр годического с . п . среднее значение и корреляционная функ 176
ция (а также другие моменты, определяемые осреднением
по времени) равны соответствую щ им средним по ан сам б ­
л ю : mx(k)=mx, Rx(T,k)=Rx(T). З а м е т и м , что только стац и о нарные процессы могут обладать свойством эргодичности.
Эргодические процессы представляю т важную разно видность случайных п р о ц есс о в , так как все их свойства мо гут быть определены осреднением по времени одной ед и н ­
ственной реализации (хотя и непременно достаточно про д о л ж и тел ь н о й ).
На практике п р о ц есс ы , соответствую щ ие стационарным
случайным я в л е н и я м , как п р ави л о , обладают свойством эр годичности, что позволяет правильно определить х а р а к т е ­
ристики стационарного случайного процесса по одной в ы ­
борочной реализации.
Н е с т а ц и о н а р н ы е с л у ч а й н ы е п р о ц е с с ы . К н естац и о нарным относятся все случайные процессы, упомянуты е в
приведенной выше классификации, не обладающ ие св о й с т­
вом стационарности хотя бы в широком с м ы с л е . Характе ристики нестационарного процесса в общем случае пред ставляют собой некоторые функции времени, определить
которые можно только осреднением по ансамблю р еа л и за ­
ц и й , образую щ их п р о ц е с с . В практических задачах часто
представляется невозможным получить достаточно б о л ь ­
шое число реализаций для отыскания характеристик про цесса с необходимой достоверностью . Это обстоятельство
препятствует развитию практических методов оценивания
и анализа н естационарны х случайных процессов.
Во многих случаях в классе н естационарны х процессов,
соответствую щ их реальным физическим явлениям, можно
выделить особые типы нестационарности, для которых з а ­
дача оценивания и анализа упрощ ается. Например, н екото ­
рые случайные явления описываются нестационарны м слу чайным процессом Y (t), каждая
реализация которого
имеет вид Y (t )= А ( t)x (t), где х (t) - реализация стационарного
с . п . X (t), А (t) - д етерм инированны й м н о ж и те л ь .
П роцессы такого типа имеют общий детерм инирован ный т р е н д . Если нестационарны й процесс соответствует
конкретной модели такого типа, то для его описания нет
177
необходимости производить осреднение по ан с а м б л ю : лю бые требуемые характеристики можно оценить по одной
р е ал и зац и и , как и для эргодических п р о ц есс о в .
С т а ц и о н а р н ы е р е а л и з а ц и и . Понятие стац и о н ар н о сти ,
рассмотренное выше, связано с осреднением по ансамблю
характеристик случайного процесса. Однако на практике
часто приходится решать вопрос о стационарности и нестационарности п р о ц есс а, представленного всего одной реали зацией. В этом случае используется несколько отличное от
приведенного выше понятие стационарности процесса. К о ­
гда речь идет о стационарности одной выборочной функ ции, то это означает, что характеристики, рассчитанны е по
коротким временным и н тер в ал ам , не меняются «значитель н о » для различны х и н тер в ал о в . Термин «з н ач и тел ьн о » и с пользуется здесь для обозначения того факта, что н абл ю ­
даемые изменения «больше», чем можно ожидать за счет
обычной выборочной статистической изменчивости.
Для разъяснения этого рассмотрим реализацию х k( t),
полученную по k- ой реализации случайного процесса X (t).
Определим математическое ожидание и корреляционную
функцию осреднением по времени на коротком интервале
п родолж ительности Т при начальном моменте t :
1 t+Т
mx (t, k ) = t j xk (t ) d t ,
(8.17)
T t
1 t+T о
о
Rx (t, t + т , k) = — J xk (t) xk(t + r ) d t .
T t
В общем сл у ч а е , когда выборочные х а р а к тер и сти к и , оп ределенные формулами (8.17), меняются значительно при
изменении начального момента t , отдельная реализация н а­
зывается н естац и о н ар н о й . В частном сл у ч ае, когда выбо рочные характеристики, определенные этими формулами,
не меняются значительно при изменении t , реализация н а­
зывается стац и о н ар н о й . Реализация эргодического процес са всегда с т ац и о н ар н а. С другой сто р о н ы , реализации фи зически важных нестационарны х процессов не обладают
свойством стац и о н ар н о сти . С л ед о ват ел ь н о , если п р едп ол о жение об эргодичности оправдано, то подтверждение св ой ­
ства стационарности одной реализации может служить д о с ­
178
таточным основанием для допущ ения стационарности и э р ­
годичности случайного процесса, к которому принадлеж ит
данная реализация.
З а м е ч а н и е . Для любого случайного процесса исчерпы вающей характеристикой является бесконечном ерная плот ность распределения сечений f ( t 1 , t 2 ,t 3 ,...,x b x 2 ,x 3 ,...). Как
было уже сказано выше, оперировать со столь громоздкими
характеристиками, зависящ ими от многих аргументов,
крайне н еу д о б н о . Поэтому на практике более чем д в у м е р ные законы распределения применяются крайне р е д к о . Т а­
ким о б р азо м , для приближенного описания свойств сл учайных процессов использую т математическое ожидание,
дисперсию и корреляционную ф у н к ц и ю . Учитывая свойст во корреляционной функции, а именно: при совпадении
временных аргументов к . ф . превращается в д и с п е р с и ю , то
набор характеристик, необходимы х для приближенного
описания случайного процесса, может быть сокращен до
двух.
8.3 К а н о н и ч е с к и е р а з л о ж е н и я с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в
В . С .Пугачевым была предложена и развита идея пред ставления с.п. в виде его разложения
X ( t ) = Фo(t) + £ УкФк(t),
k=1
(8.18)
где Vk - случайные в ел и ч и н ы , фк(t) - неслучайные ф у н к ц и и .
Такое представление с .п . в виде разложения (8.18) дает
возможность проводить довольно просто различные п р ео б ­
разования случайны х процессов, так как разложение для
фиксированного момента времени t представляет собой л и ­
нейную функцию случайных величин Vk.
С другой стороны, вся зависимость от времени со ср ед о ­
точена в неслучайных функциях фк(t).
Прежде чем находить характери сти ки с . п . Х( t), заданно го в виде (8.18), рассмотрим т . н . элементарны й случайный
процесс Х( t)= Vф (t),
где V - обычная центрированная случайная величина, с х а ­
рактеристикам и m v=0, D v, а ф(t) - неслучайная ф у н к ц и я .
Найдем характеристики элементарного с.п.:
179
M (X ( t ) ) = M ( V -Ф( t ))=Ф( t ) ■0=0;
D (X( t ) ) = D (V-ф (t))= ф2( t ) D,,;
(8.19)
Rx(t, t ') = M [X (t) X (t ')] = M ^ ( t ) ■Vф(t')] = ф(t) ф ( 0 M (V2) =
= ф ^) ■ф(г') D , .
О пределение. К аноническим разложением случайно го п р о ц е с с а X (t) называется выражение вида
ет
Х (t) = тх (t) + X Vk фk (t),
(8.20)
k=1
где тх(t) математическое ожидание с . п . Х( t); V 1, V2, ... - не коррелированные, центрированные случайные величины с
дисперсиям и D 1,D2, ...; ф 1(t),ф2(t), . . . - неслучайные ф у н к ­
ции аргумента t .
Случайные величины Vk называются к о э ф ф и ц и е н т а м и
к а н о н и ч е с к о г о р а з л о ж е н и я , а функции фk(t) - к о о р д и н а т н ы м и ф у н к ц и я м и . Разложение (8.20) может содержать
также конечное число членов р аз л о ж е н и я .
Найдем характери сти ки с . п . X (t), заданного выражением
(8.20) M (Х (t)) = тх (t ) + X M (Vk )фk(t).
k=1
Так
как
Vk центрированные
M (X (t ) ) = т х( t ).
К орреляционная функция
О
О
величины,
то
ет
ет
Rx (t , t ') = M [X (t) X (t ')] = M [ X фk (t ) Vk X фk (t') Vk ] =
k=1
k=1
етет
= M [ Z Z VkVhфk(t ) фh(t')].
k=1h=1
И спользуя свойства математического о ж и д а н и я , получим
етет
Rx(t, t ') = X X фk (t) фh(t')M (VkVh) .
k=1h=1
У ч и ты в ая , что M ( VkV h)=0 при кфh , при k = h имеем
M ( VkVh ) = M ( Vk2)= Dk .
Следовательно,
Rx(t , t ) = X фk (t ) фk (t')kD k .
k=1
( 8 .21)
Выражение (8.21) называется к а н о н и ч е с к и м р а з л о ж е н ием к о р р е л я ц и о н н о й ф у н к ц и и с . п . X (t).
Таким о б р а зо м , справедливо у т в е р ж д е н и е : если с .п . X( t)
180
представлен своим каноническим разлож ением (8.20), то
его корреляционная функция выражается каноническим
разлож ением (8.21). З а м е т и м , что справедливо и обратное
у т в е р ж д е н и е : если корреляционная функция с . п . X( t) пред ставлена своим каноническим разлож ением (8.21), то цен О
трированный с . п . X (t) может быть представлен канониче О
ж
ским разлож ением X (t ) = £ Vkфk (t ).
k=1
Так же можно записать каноническое разложение дис ж
персии с .п . X(t): D x (t ) = R(t , t ) = £ ф2(t) D k .
k=1
П р и м е р 8.1. Случайный процесс X (t) задан своим кано ж
ническим разлож ением X (t) = mx (t) + £ Vkфk (t),
k=1
где случайные величины V k распределены нормально с ха рактеристикам и M ( Vk)=0, D ( Vk)= D k (k = 1, n ), M ( V kVm)=0
( кфm ) (величины V k - не ко ррел ирован ы ).
Найти одном ерны й и д вум ерны й законы распределения
с . п . X (t).
Р е ш е н и е . Для фиксированного момента t случайная в е n
личина X (t) = mx (t ) + £ Vkфk (t )
k=1
представляет линейную функцию н ек о р рели ро в ан н н ы х,
нормально распределенны х случайных величин Vk. Следо в ател ь н о , случайная величина X(t) будет распределена
нормально с характеристикам и
n 2
M (X( t ))= m x( t ),
D x (t ) = £ фk(t ) D k .
k=1
О дномерны й закон распределения с . п .
ss \
1
г [x - m x(t )]2
f (t , x) = .
exp{---------}.
J
VknDx (t ) F
2 D x (t )
По этим же причинам двумерны й закон распределения
с .п . также будет нормальным с характери сти кам и m x(t),
m x( t '), D x(t), D x( t '), и
181
IV
Z Фk (t ) Фk (t'") Dk
k=1
рx (t>t') =
к z ф2 (t) Dk )( z ф2 (t') d„ )
k=1
,=1
С л ед о ват ел ь н о ,
f (t, t', x, x) = ---- .
2
exp
2 ^ 1 Dx(t) Dx ( 0 ( 1 - p2(t, t'))
X
(x- mx(t))2 - 2p(t, t")(x- mx(t))(xDx( t )
D
tD
t)
1
■X
2(1 - pX(t, t '))
(t')) + (x -
(t '))X
Dx ( t )
З а м е ч а н и е . О тм е т и м , что двум ерны й закон распределе ния н о р м а л ь н о г о с.п . X(t) является его исчерпы ваю щ ей
х ар ак тер и сти к о й . Кроме т о г о , с . п . X( t) будет м а р к о в с к и м
п р о ц е с с о м . Н ормальные и марковские процессы будут рас смотрены дальше в п .8.6.
8.4
цессов
Х а р а к т е р и с т и к и с т а ц и о н а р н ы х с л у ч а й н ы х про -
Пусть имеется случайный процесс X (t), который являет ся стац и о н ар н ы м . При этом его одномерная плотность в ероятности будет зависеть только от х , и не будет зависеть
от в р е м е н и :
f ( t ,x )=f( x).
Не будут зависеть от времени и все начальные и ц ен ­
тральные моменты порядка k :
mk ( t )= mk
о
m k ( t)
=
о
mk
и, в частности, дисперсия
D x(t) = ° 2 = D x .
Для к . ф . справедливо следующее с о о тн о ш ен и е:
R x( t , t ') = Rx( t '- t ) = R x(т), то есть к .ф . зависит не от н ач ала о т сч ета, а лишь от сдвига между временными сечения м и . Поэтому в дальнейш ем под стационарным с .п . будем
понимать такой случайны й процесс, корреляционная ф у н к ­
ция которого зависит только от сдвига т.
182
1. По величине к . ф . процесса X ( t ) не может превышать
его д и с п е р с и ю :
Rx(Т) < D x = ° 2 .
2. К . ф . - четная функция своего а р г у м ен та:
R (т) = R ( - т ) .
3. К . ф . при нулевом аргументе равна дисперсии процес са:
Rx (0) = D x.
Учитывая рассмотренные свойства к . ф ., ее обычно оп ределяю т только для полож ительны х значений аргумента т
(р и с . 8.8).
Для
нормированной
корреляционной
функции
рх( t ) = R x(т)/ D x эти свойства трансформ ирую тся следующим
образом:
1)
рх(т)<1;
2)
р х(т) = р х( - т) ;
3)
р х(0) = 1.
Функция рх(т) есть коэффициент корреляции между се чениями с . п ., разделенны м и интервалом т по в р ем ен и .
Общим для к .ф . и нормированной к .ф . стационарного
случайного процесса является т о , что при неограниченном
увеличении временного сдвига между сечениями обе они
стремятся к нулю:
lim R x(т) = lim р х (т) = 0.
Т—
Т—
В качестве примера рассмотрим образец приблизитель 183
но стационарного с . п . и определим его х ар ак т е р и с т и к и .
П р и м е р 8.2. Случайный процесс X (t) задан совокупно стью 12 реализаций (р и с . 8.9): а) найти его характеристики
mx(t), Rx(t, t'), D x(t) и нормированную корреляционную
функцию px( t , t'); б) приближенно рассматривая случайный
процесс X ( t) как стац и о н ар н ы й , найти его х ар а к те р и с ти к и .
Р е ш е н и е . Так как с . п . X (t) меняется сравнительно плав но, можно брать сечения не очень часто, например через
0,4 сек. Тогда с . п . будет сведен к системе семи случайных
в ел и ч и н , отвечаю щ их сечениям t=0; 0,4; 0,8; 1,2; 1,6; 2,0;
2,4.
Намечая эти сечения на графике и снимая с графика значе ния с . п . в этих с еч ен и я х , получим таблицу (т а б л . 8.1).
Рис. 8.9
184
Т а б л . 8 .1
t
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
реализации^
1
0,64 0,74 0,62 0,59 0,35 -0,09 -0,39
2
0,54 0,37 -0,32 -0,32 -0,60 -0,69 -0,67
3
0,34 0,50 0,37 0,26 -0,52 -0,72 0,42
4
0,23 0,26 0,35 0,55 0,69 0,75 0,80
0,12 0,20 0,24 0,18 -0,20 -0,42 -0,46
5
6
-0,16 -0,12 -0,15 0,05 0,29 0,43 0,63
-0,22 -0,29 -0,38 -0,24 -0,06 0,07 -0,16
7
8
-0,26 -0,69 -0,70 -0,61 -0,43 -0,22 0,29
9
-0,50 -0,60 -0,68 -0,62 -0,68 -0,56 -0,54
10
-0,30 0,13 0,75 0,84 0,78 0,73 0,71
11
-0,69 -0,40 0,08 0,16 0,12 0,18 0,33
12
0,18 -0,79 -0,56 -0,39 -0,42 -0,58 -0,53
Таблицу реком ендуется заполнять по стр о ч к ам , передвига ясь все время вдоль одной р е а л и за ц и и .
Далее находим
оценки для
характеристик случай ных величин Х(0), X(0,4), ..., X(2,4). Суммируя значения
по столбцам и деля сумму на число
реализаций n =12,
найдем приближенно зависимость математического о ж и ­
дания от времени:
0,4
2,4
0
0,8
2,0
1,2
1,6
mx (t) -0,007 -0,057 0,000 0,037 -0,057 -0,093 0,036
t
На графике р и с . 8.9 математическое ожидание показано
полуж ирной л и н и е й .
Далее находим оценки для элементов ковариационной
м а т р и ц ы : дисперсий и к о в а р и ац и й . Вычисления удобнее
всего производить по следующ ей с х е м е . Для вычисления
статистической дисперсии суммирую тся квадраты ч и с е л ,
стоящих в соответствую щ ем с т о л б ц е ; сумма делится на
n =12; из результата вычитается квадрат соответствующ его
математического о ж и д а н и я . Для получения несмещ енной
оценки результат множится на поправочны й коэффициент
n /( n - 1 ) = 1 2/11. А налогично оцениваются к о в а р и ац и и . Для
вычисления статистического м о м ен та, отвечающего двум
185
заданным сеч ен и ям , перемнож аю тся ч и с л а , стоящие в со ответствую щ их сто л б ц ах , а произведения склады ваю тся ал г еб р аи ч е ск и . Полученная сумма делится на n = 12, а из ре зультата вычитается произведение соответствую щ их мате матических о ж и д а н и й . Для получения несм ещ енной оценки
ковариации результат множится на
П . П олученная таким
n —1
способом ковариационная матрица системы случайных ве личин Х(0), Х(0,4),
Х(2,4) — она же таблица значений
/V
корреляционной функции Rx( t ,t') — приведена в таблице
8.2
Т а б л . 8.2
\ t
0,4
2,4
0
0,8
2,0
1,2
1,6
t \
0,1632 0,1379 0,0795 0,0457
0
0,2385 0,2029 0,1621 0,0106 0,0642 0,0648
0,4
0,2356 0,2152 0,0827 0,0229 0,0251
0,8
0,2207 0,1527 0,0982 0,0896
1,2
0,1910 0,1491 0,1322
1,6
0,2407 0,2348 0,1711
2,0
0,2691 0,2114
2,4
0,2878
По главной диагонали таблицы стоят оценки д и с п е р с и й :
0
0,4
2,0
1,2
1,6
D х(t) 0,1632 0,2385 0,2356 0,2207 0,2407 0,2691
t
2,4
0,8
0,2878
Извлекая из этих величин квадратные к о р н и , найдем за висимость среднего квадратического отклонения бх от
времени:
t
Л
° х
0,4
2,4
0
0,8
2,0
1,2
1,6
0,404 0,488 0,485 0,470 0,491 0,519 0,536
Деля зн а ч е н и я , стоящие в т а б л . 8.2, на произведения с о о т­
ветствую щ их средних квадратических о тк л о н ен и й , п о л у 186
чим таблицу значений нормированной
функции px( t , t')( т а б л . 8.3).
Т а б л . 8.3
\ t
0,4
0
0,8
1,2
1,6
tг \
1
0,700 0,405 0,241
0
1
0,856 0,707 0,053
0,4
1
0,943 0,345
0,8
1
0,643
1,2
0,829
1,6
1
2,0
2,4
корреляционной
2,0
2,4
0,306
0,090
0,390
0,612
0,923
1
0,299
0,095
0,344
0,524
0,650
0,760
1
П роанализируем полученные данные под углом зрения
предполагаемой стационарности с .п . X (t). Если судить не посредственно по д а н н ы м , полученным в результате обра б о т к и , то можно прийти к в ы в о д у , что с . п . X( t) стационар ным не я в л я е т с я : его математическое ожидание не вполне
п о сто я н н о ; дисперсия также несколько меняется со в р ем ен е м ; значения н .к . ф . вдоль параллелей главной диагонали
также не вполне п о с т о я н н ы . О д н ак о , принимая во внима ние весьма ограниченное число обработанных реализаций
(п= 12) и в связи с этим наличие большого элемента слу чайности в полученны х о ц е н к а х , эти видимые отступления
от стационарности вряд ли можно считать з н ач и м ы м и , тем
б о л е е , что они не носят сколько - нибудь закономерного ха р а к т е р а . Поэтому вполне
целесообразной будет п р и б л и женная замена процесса X (t) стац и о н ар н ы м . Для п ри в едения процесса к стационарному прежде всего осредним по
времени оценки для математического о ж и д а н и я :
m = m x (0) + m x (0,4) + ••• + m x (2,4) = _0 02
x
7
^ *
А налогичны м образом осредним оценки для д и с п е р с и и :
D = Dx (0) + D x(0,4) +... + Dx (2,4) ^ Q 2 3 6 .
x
7
^
Извлекая к о р е н ь , найдем осредненную оценку среднего
квадратического о тк л о н е н и я : a x ~ 0,486.
187
П ерейдем к построению
нормированной
корреляци онной
функции того стационарного п р о ц есс а, которым
можно заменить с .п . X ( t ) . Для с .п . корреляционная функция
(а з н а ч и т , н . к . ф .) зависит только от т= t ' - t ; сл ед о ватель н о ,
при постоянном т корреляционная функция долж на быть
п о сто я н н о й . В таблице 8.3 постоянному т соотв етств у ю т:
главная диагональ (т=0) и параллели этой диагонали (т=0,4;
т=0,8; т=1,2 и т . д .). Осредняя оценки н . к . ф . вдоль этих па раллелей главной д и а г о н а л и , получим значения функции
р л-(т ) :
t
Рх(т)
0,4
0
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
1,00 0,84 0,60 0,38 0,13 -0,10 -0,30
График функции р х (т) представлен на р и с . 8.10.
р
х ( т )
1,0
\
0
1
v J
*
Р и с . 8.10
При рассмотрении р и с . 8.10 обращ ает на себя внимание
наличие для некоторых т отрицательных значений корреля ционной ф у н к ц и и . Это указы вает на т о , что в структуре
с . п . имеется некоторый элемент п ер и о д и ч н о сти , в связи с
чем на расстоянии по в р ем ен и , равном примерно половине
периода основных к о л е б ан и й , наблюдается отрицательная
корреляция между значениям и с . п .: полож ительны м откло нениям от среднего в одном сечении соответствую т отри цательные отклонения через определенны й промежуток
вр ем ен и , и н ао б о р о т.
Такой характер корреляционной ф у н к ц и и , с переходом
на отрицательные зн а ч е н и я , очень часто встречается на
188
п р а к т и к е . Обычно в таких случаях по мере увеличения т
амплитуда колебаний корреляционной функции у м е н ь ш а ется и при дальнейш ем увеличении т корреляционная
функция стремится к н у л ю .
Как было отмечено р а н е е , стационарные с . п . могут об ладать или не обладать эргодическим с в о й с тв о м . Э рго д и ческое свойство состоит в т о м , что любая реализация эрго дического стационарного с .п . достаточной п р од о л ж и тел ь ности является как бы «полномочны м п р едстави тел ем »
всего ансамбля реализаций с.п.
Для эргодического стационарного с .п . X( t) м атем ати ч еское ожидание может быть определено из выражения
1 т
mx = M (X (t)) = lim — j X ( t ) d t .
(8.22)
T^ ж2T _T
Д остаточным условием выполнения этого равенства эргодичности с . п . X (t) по математическому ожиданию - яв ляется lim Rx(т) = 0.
Т^ж
Дисперсия эргодического с . п . может быть вычислена по
формуле
1 т
D x = D( X (t)) = lim — j (X (t) _ mx )2dt.
(8.23)
T^ ж2 1 _T
Д остаточным условием выполнения равенства (8.23) эргодичности с .п . X (t) по дисперсии - является
lim R y (т) = 0,
Т^ж y
где Ry (т ) - к . ф . стационарного с . п . Y (t) = [X (t)]2.
К . ф . эргодического стационарного с . п . может быть оп ределена по формуле
1 t
Rx (т) = lim — j (X (t) _ mx)(X (t _ т ) _ mx ) d t . (8.24)
Т^ ж2 1 _T
Д остаточным условием выполнения равенства (8.24) эргодичности с .п . X (t) по к . ф . - является
lim Rz (т) = 0,
Т^ж
где Rz ( т ) - к . ф . процесса Z( t , v )=X (t)X ( t+ v).
П р и м е р 8.3. Рассмотрим с . п . U (t)=X (t)+V, где X( t) - эр годический с . п ., V - случайная величина с характеристика ми m V и D V. П о к а ж ем , что с .п . U (t) будет н еэр г о д и ч еск и м .
189
Д ей ст ви тел ь н о , характеристики с . п . U (t) будут
m (t ) = mx + mv , R u (т) = Rx (т) + Dv .
Тогда
lim R (т) = lim (Rx(т) + D v) = lim Rx(т) + lim D v
u
T—
T—
T—
T—
=
D v.
С л ед о вател ь н о , с .п . U (t) является н еэр го д и ч еск и м .
П р и м е р 8.4. Р ассм атривается неслучайная величина а ,
как частный случай с . п .: X (t)= а . Найти его характеристики
и определить, является ли этот процесс стационарным и эргодическим.
Р е ш е н и е . M( X( t))= a = c o n s t , D x( t )= R x( t , t )= R x(0)=0,
с .п . X(t ) = а - стационарен и обладает эргодическим
свойством.
П р и м е р 8.5. Рассм атривается случайная величина V как
частный случай с .п .: X (t)=V. Найти его характери сти ки и
определить, является ли этот процесс стационарным и эргодическим.
Решение.
M (X (t)) = M (V ) = mv ,
о
о
Rx (t , t ') = M (X (t) X (t ')) = M [(V - mv)(V - mv )] = D(V) = D v, = Rx (т).
Случайный процесс X (t ) = V - стац и о н ар ен , но не о б л ад ает свойством эргодичности.
П р и м е р 8.6. Рассм атривается прямоугольны й волновой
процесс (случайная телеграфная волна) X( t). С . п . X( t) мо жет принимать значение с , либо - с , причем число перемен
знака в интервале ( t , t+т) сл у ч ай н о ; моменты перемен знака
независимы, перемены происходят со средней и н тен си вн о­
стью X (р и с . 8.11). Допустим т а к ж е , что поведение п р о ц есса внутри интервала ( t , t+т) не зависит от поведения про цесса вне этого и н тер в ал а. Определим A n как со б ы ти е, со стоящее в т о м , что внутри интервала ( t , t+т) будет наблю даться точно n перемен знака. Такой физический процесс
описывается распределением П уассона и вероятность с о ­
бытия A n равна
P( An) = (XI т I)n e - Х| т| / n!.
190
Р и с . 8.11
Найдем характери сти ки этого п р о ц есс а. Одномерны й
закон распределения с . п . X (t) имеет вид
X(t )
P (t )
-c + c
0,5 0,5
С л ед о вател ь н о , mx(t ) = -c •0,5 + c •0,5 = 0;
Dx(t )
( c) 0,5 c 0,5 c .
Определим теперь к . ф . процесса X (t). Любое произведе ние сечений X (t ) • X (t + т)равно либо с , если знаки X ( t ) и
X (t + т) о д и н ак о вы , либо - с , если знаки X ( t ) и X (t + т) раз л и ч н ы . Суммарная вероятность появления с 2 равна
P ( A 0)+ P ( A 2)+ P ( A 4)+..., а суммарная вероятность появления
- с есть P(A 1)+P(A3)+P(A5)+.... С л ед о ват ел ь н о ,
=
_
2
•
+
2
•
=
2
ж
Rx(т) = M (X (t )X (t + т)) = c 2 1 (_1)nP( A ) =
n
= 0
„2
=c e
ж
_ Xi т I x -' /
^ (_1) п(XI т I)п / n!= c e
1 \
/ л | _ | \
/ 1
_ 2XIт I
.
n
=1
Отсюда с л ед у ет, что с . п . X (t) стационарен и эр го д и ч е н .
График функции Rx(т) приведен на рис .8.12.
Р и с . 8.12
П р и м е р 8.7. Обобщенная случайная телеграфная в о л н а .
Как и в предыдущ ем п р и м ер е, на оси 0 1 имеется простей ший поток событий с интенсивностью X. В момент наступ 191
ления i - го события с . п . X (t) принимает случайное значение
X(t) ( i =1,2,...), сохраняя его до следующего события в по токе (р и с . 8.13).
Р и с . 8.13
В начальный момент времени t=0 Х(0)=Х 0 . Случайные
величины Х 0 , Х 1 , . . . , X i, . . . независимы и распределены
одинаково с плотностью f ( x ). Найти характеристики с.п.
X ( t ).
Р е ш е н и е . Так как одномерная плотность распределения
с . п . X ( t ) равна f ( x ), то
mx (t) = M (Xi) = jx f (x) dx = mx ,
—
^
D x (t) = D (X i) = j(x - m x)2f (x) dx = Dx .
—
^
Рассмотрим два сечения с . п . Х( t) и Х( t ), разделенны е
интервалом т = t - 1 , т >0. Если между точками t и t не поя вится ни одного события в простейшем потоке, то
o
o
o
X i ( t ) = X i ( t ') = X i . Если между точками t
и t' появится хотя
бы одно событие в простейшем потоке, то
o
o
o
o
X >(t) = X i, X i( 0 = X ; ( j
Следовательно,
o
o
o
R x(t,t') = Rx (т) = e - x M (X 2) + (1 - e-—
x) M (X X j) = D j - *
(т > 0),
так как величины X i и Xj независимы при iФj .
А н а л о ги ч н о , для т<0, получим R ^ ^ D ; ^ - ^ - ^. Объеди няя последние две ф о р м у л ы , имеем Rx(т)=Dxe - X |т'. Следова т е л ь н о , рассм атриваем ы й с . п . является стационарным и эр годическим.
192
П р и м е р 8.8. С т а ц и о н а р н ы й б е л ы й ш у м . Исследуем
предельное поведение с .п . X(t) из предыдущего примера
при у с л о в и и , что интенсивность простейшего потока X^ ж ,
дисперсия сечения этого процесса тоже неограниченно
увеличивается (Dx ^ ж ) , но при этом отношение D x / X ос тается п о сто я н н ы м :
lim D x / X = c - Найти характеристики
Dx ^ ж
Л^ж
с .п . Z ( t ) = Xl i^m
X ( t ).
ж
Dx ^ ж
D x / X= c
Р е ш е н и е . П реобразуем корреляционную функцию с .п .
X (t) с учетом равенства D x/ X= c :
R -Ст)= D xe_X|т|= D Xe_X|т|= cXe_X|т|.
X
Тогда корреляционная функция с . п . Z (t) будет
X
Rz (т) = lim cXe~X'iт 1= 2c lim —e~X'i1'.
л^ ж
л^ ж 2
Под знаком предела стоит плотность распределения
случайной величины U, распределенной по закону Л а п л а с а ,
сим метричному относительно начала координат, у которого
математическое ожидание равно н у л ю , а среднее квадрати ческое отклонение равно V2/X.Следовательно,
lim - e ~Xk1= 8(т),
2
где 5 (т) - дельта - ф у н к ц и я. Таким образом
Rz (т) = 2 c 5 (т).
(8.25)
Это о зн ач ает, что с . п . Z( t) представляет собой стац и о нарный белый ш у м . Его можно представить как предель ный случай последовательности очень коротких импульсов,
амплитуда которых представляет собой независимые слу чайные величины с очень большой дисперсией, при этом
отношение дисперсии этих импульсов к частоте их п о я вл е­
ния является постоянной (конечной) величиной.
П одобные процессы встречаются на практике при р а с с м о т ­
рении различны х естественны х помех в каналах с в я зи , «те плового ш у м а» в электронных устройствах и т .д .
X^ж
193
8.5
С п ектральн ое разложение стационарного
ного п р о ц е с с а
случай -
Можно п о к азать , что стационарный с .п . также может
быть представлен своим каноническим разлож ением
X(t) = mx + 2 V k cos ®kt + Uk sin©kt ),
k=0
(8.26)
где Uk, Vk - ц ен тр и р о в ан н ы е, некоррелированные случай ные величины с д исперсиям и D ( Uk) = D ( Vk) = D k. Тогда кор реляционная функция с .п . X(t) может быть представлена
следующим разлож ением
R(t,t) = 2 Dk cos юk(t - 1) = 2 Dk cos ®kт = R/ т ) , (8.27)
k=0
k=0
где т = t —t . К оординатны м и функциями разлож ения (8.26)
являются косинусы и синусы различны х ч а с т о т .
Каноническое разложение (8.26) называется спектраль ным разлож ением стационарного с .п . Оно может быть
представлено и в виде
X(t) = mx + 2 Z k cos(юkt —0 k ),
k=0
(8.28)
где 0 k - фаза гармонического колебания элементарного ста ционарного с .п . - случайная в ел и ч и н а, распределенная
равномерно в интервале (0, 2п); Z k - амплитуда гар м о н и ч еского колебания элементарного стационарного с . п . - тоже
случайная величина.
Случайные величины Z k, 0 k, Vk, Uk связаны соо тн о ш еНИЯм И Zk cos 0 k = Vk ,
Z k sin 0 k = Uk •
Очевидно, что коэффициенты канонического разл о ж е­
ния к .ф . Rx (т) и набор различны х частот юк (k=0,1, 2 ) в
формуле (8.27) долж ны зависеть от конкретного вида к . ф .
Rx(т). Так как к .ф . стационарного с .п . X (t) является четной
функцией аргумента т , т . е . Rx(т) = Rx(—т), то её можно раз ложить в ряд Фурье на интервале ( - Т, Т) по четным (коси н у сны м ) гар м о н и к ам , как это сделано в (8.27). Здесь
юк = k®1?
ю1 = 2п /( 2 T ) = п / T ,
1 т
1т
Do = ^ ! Rx
D k = - ! Rx (т)cos юkт4т
21
194
—
т
т— т
Д о к а зан о , что коэффициенты D k являются н еотри ц ател ьными величинами для любой корреляционной функции
Rx(т) стационарного с .п . X (t). Таким о б р а зо м , зная вид к .ф .
Rx (т), можно получить значения (д исп ер си и ) коэффициен тов канонического разложения ( Vk, Uk) и частоты юк ста ционарного с . п . X( t). Тогда дисперсию стационарного с . п .
(8.26) можно найти по формуле
Dx = Rx (0) = Z Dk cos<Й* •0 = Z Dk .
k=0
k=0
(8.29)
Таким о б р азо м , дисперсия стационарного с . п ., представ ленного разлож ением (8.26) равна сумме дисперсий всех
гармоник его спектрального разложения.
D ,
D ,
?
2
D ,
D „
D ,
0
со1
2 C 0 J
За^
kcOj
cok
Р и с . 8.14
На р и с .8.14 показан с п е к т р д и с п е р с и й стационарного
с.п., представленного своим спектральным разложением, на
котором ©k = k©1 (k = 0 ,1,2 ). З а м е т и м , что разложение к .ф .
Rx (т) в ряд (8.27) будет тем т о ч н е е , чем больший интервал
разложения Т будет в з я т . Н ап р и м е р , если взять другой и н тервал (-Т ,Тг), где T' = 2 T , то спектр дисперсий разложения
с . п . X (t) на интервале (0, Т г), так и для разложения на ин тервале (0, Т г), долж на быть о д и н ак о в о й :
Z Dk = Z Dk = Dx.
k=0
k=0
(8.30)
При неограниченном у величении периода разложения
к . ф . (Т ^ » ) коэффициенты разложения будут неограни ченно ум еньш аться ( Dk ^ 0), а число их в сумме (8.30) не ограниченно у в е л и ч и в а т ь с я . При этом величина Дю = ю1 интервал между соседними частотами - будет также стре 195
миться к н у л ю .
Запишем выражение (8.27) в виде
^
^ D
Rx (т) = 2 Dk cos юкт = 2 ~ - (cos Мют)Лю. (8.31)
k=0
k=0Лю
Введем обозначение
D k / Лю = D k / ю1 = Sx(fflk).
(8.32)
Величина Sx(юk)Лю = D k представляет собой ту часть
общей дисперсии стационарного с .п . X(t), которая п р и х о дится на k -ю г ар м о н и к у . С увеличением периода р аз л о ж ения ( T
) ступенчатая функция Sx(ю^.) будет неограничен но приближаться к плавной кривой Sx (ю), которая пред ставляет собой плотность распределения дисперсий по ч а с ­
тотам непрерывного с п ек тр а.
Таким образом
Sx (ю) = lim D k / Лю.
(8.33)
Лю^ 0
Функция Sx( ю) называется с п е к т р а л ь н о й п л о т н о с т ь ю
стационарного с .п . X (t) или о д н о с т о р о н н е й с п е к т р а л ь н о й
п л о т н о с т ь ю . Используя определение функции Sx( ю) пере пишем (8.31) в виде
^ D
^
Rx(т) = lim 2 —~ (cosМют)Лю = ! Sx(ю)cosютйю. (8.34)
Лю^ 0k=0Лю
0
Таким о б р азо м , к .ф . и спектральная плотность стац и о нарного с .п . связаны между собой косинус - п р ео бразов анием Ф у р ь е . Тогда спектральная плотность выражается ч е рез к .ф . стационарного с .п . следующим о б р а зо м :
2^
Sx (ю) = —! Rx (^ c o s ют йт.
(8.35)
п0
Свойства функции Sx(ю):
1) Sx (ю) > 0;
2) ! Sx (ю)йю = Dx .
0
По аналогии с нормированной корреляционной функци ей (н . к . ф .)
р x(т) = Rx (т ) / Rx (0) = Rx ( т ) / Dx
вводится в рассмотрение н о р м и р о в а н н а я с п е к т р а л ь н а я
п л о т н о с т ь (н.с.п.) стационарного с.п.:
196
i(rn) = Sx(ю)/ Dx .
Н .к .ф . и н .с .п . связаны между собой преобразованием
Фурье:
7
РX(т) = 1 (®)cos ©Т d ю,
0
27
5Х(ю) = —J р x(x)cosю т d т .
п0
Далее без вывода запишем спектральное разложение
стационарного с .п . X (t) в ком плексной ф о р м е :
7
X (t) = шх + 2 Wke lюк,
(8.36)
к=-7
а его корреляционная функция
7
Rx (т) = 2 Dt e ' юк' .
(8.37)
к = -ю
Здесь
l = V - 1-
мнимая е д и н и ц а, Wx = V
- ком Х
2
плексная случайная в ел и ч и н а, W- к = Wk ( Wk - комплексно
сопряженная в ел и ч и н а), 1ю- к = —1юк .
Функция Sx(©) =
' Sx(ю)/2,
ю > 0,
(8.38)
ю < 0,
называется спектральной плотностью стационарного сл у чайного процесса в ком плексной форме или д в у с т о р о н н е й
с п е к т р а л ь н о й п л о т н о с т ь ю , заданной на всей частотной
оси от - да до + да.
Свойства функции S * ^ ) :
Sx(-ю)/2,
1. S * ^ ) > 0
при - 7 < ю < 7 ;
7
2 . J Sx(№)М = D x ;
—
7
3. sx (ю) = sx (-ю).
Отсюда в и д н о , что двусторонняя спектральная п л о т­
ность п редставляет собой д ей ст в и тел ь н у ю , н еотри ц ател ьную и четную функцию частоты ю. Соотношение между
*
функциями S (ю) и S (ю) иллю стрируется р и с . 8.15.
197
С учетом (8.38) выражение для к . ф . примет в и д :
Rx(т) = f S*(m)elмтd м,
—
^
а спектральные плотности преобразуются к в и д у :
1 ^
Sx (т) = - f Rx (т)е —M%dT’
п—
^
1 W
S*(t) = Sx(т)/2 = — f Rx (т)е—MTdx
(—- < м <«,).
2п —
^
Для описания свойств двух стационарно связанных
процессов X( t) и Y (t) в частотной области используется
взаимная спектральная плотность (в . с . п .), которая опреде ляется как преобразование Фурье от взаимной корреляци —^
онной функции Syx(м) = — f Ryx(т) e~l MTdT, тогда взаимная
2п —
^
корреляционная функция может быть определена как
Ry (т) = f s ; (м) ei MTdT >
—
^
в . с . п . связано между собой парой преобразо -
т .е в .к . ф . и
вания Ф у р ь е .
П р и м е р 8.9. Найти спектральную плотность с .п . X(t),
представляю щ ую собой случайную телеграфную волну (с м .
пример 8.6) с корреляционной функцией Rx(т) = c 2 е ~211т'.
198
Решение.
оо
c
J e _21 т'e_ ©тdт + J e _2x1т'e_ ©тdx
s * (©) = 2 - J R x( т К ' ©т^ = 2
2п
2П
0
— оо
c
2
2п
оо
J e2u _‘штdx + J e “ 2 x%_ штdx
0
— оо
1
1
+
2п 21 _ i© 21 + i©
c2
c
1
2п 21 _ i©
c
4^
c2
2п (21)2 + ©2
1
_ 21 _ i©
21
2
п (21)2
+ ©2
График S*(©) показан на р и с . 8.16
П р и м е р 8.10. Найти спектральную плотность стацио нарного белого ш у м а .
Р е ш е н и е . У стационарного белого шума к . ф . имеет вид
(см. пример 8.8)
1
c
Rx(т) = 2 c 5 (т), откуда
S*(©) = — J 2 c 5 (т^ г©zdт =
2п_^
п
Величина с называется и н т е н с и в н о с т ь ю белого ш у м а .
Таким о б р азо м , стационарный белый шум представляет со бой случайные колебания на всех ч а с т о т а х , при этом дис персия этих к о л е б ан и й , приходящ ихся на элементарны й
участок А©, остается постоянной и не зависит от частоты
колебаний ©. Д ей ст ви тел ь н о , эта дисперсия будет п р и б л и женно равна
оо
AD,
c
Sx(©)A© = —A©
и не зависит от частоты ©.
71
199
8 .6 К л а с с и ф и к а ц и я и о п р е д е л е н и е м а р к о в с к и х п р о ц е с с о в
В ы ш е
к л а сса
у ж е
б ы л о
с л у ч а й н ы х
н а зв а н ы
р ы в н о й
п л о т н о с т ь ю ,
н о ся т ся
не
К о
П е р в ы й
В
и м е е т
в т о р о м у
к л а ссу
с о о т в е т с т в и и
(с о к р а щ е н н о
ст р а н ст в у
с а м ,
с
с .п .)
б у д е м
по
м а р к о в ск и е
н еч н ы м
с о с т о я н и й
со
п р ак ти к е
ц е сс
ск а л я р н ы м
п р и х о д и т с я
{ х —( t ) ,
к о в ск о го
х
п р о ц е с с а
х (
о т р езк а
tn)
п р и
в и си т
[ 0 , T]
(8 .3 9 )
для
п р и н и м а ет
л у ч а й н ы й
с
к о в с и х
t n- —) ,
в ест н о
м е н т
от
200
с о с т о я н и е
в р е м е н и
п р о ш л о г о
(
tj ) ,
п ро -
п р о ц е с ­
п о с л е -
и
б е с к о ­
п р о ц е с с о м
х ( t)
на
м н о г о м е р н ы й
п ро -
о п р е д е л е н и е
м ар -
о б щ е е
х ( t)
м о м е н т о в
ф у н к ц и я
м о м е н т о в
t —<
р а с п р е д е л е н и я
зн а ч ен и я х
х ( t —) ,
мар t 2 < . . . <t n
н а зы в а ется
в р е м е н и
т .е . с п р а в е д л и в о
т р ех
х ( t 2) , . . . ,
зн а ч ен и я
tn- —)
х (
за -
с о о т н о ш е н и е
}
(8 .3 9 )
t l> tj > t k
в р е м е н и
ф о р м у л а
ви д
ч асто
п р о ц е с с о в
и
к о н е ч н ы м
и
п р о ц е с с
n
л ю б ы х
P { х ( ti ) < x i I х ( t k) = xk ;
П о э т о м у
п р о ц е с с о в
м а р к о в ск и е
P { х ( tn) < xn Iх ( t —) = x
х ( tn- —) = xn- —} =
= P { х ( tn) < x n Iх ( tn- —) = xn- 1
Н а п р и м е р ,
п ро -
(т а б л .8.4).
П р и в е д е м
у с л о в н а я
от х (
м а р к о в с к о г о
м а р к о в ск и м
ц е п и ,
п р о ц е с с ы
от -
п е р е ч и с л е н н ы ­
а р г у м е н т а
(о д н о м е р н ы м )
ф и к с и р о в а н н ы х
тол ь к о
к
-
х ( t).
Определение. С
ковским, е с л и д л я
из
п е р в о г о )
с л у ч а й н ы х
р а ссм а т р и в а т ь
M( t ) } .
(д ел ь т а
ф о р м у .
зн а ч ен и я м
м а р к о в ск и е
д о в а т е л ь н о с т и ,
Н а р я д у
ф у н к ц и я
п р и м е н и т е л ь н о
р азл и ч ать
ч и с л о м
с л у ч а й
о б л а д а ю щ и е
н е п р е ­
сп ек т р а л ь н о й
м а к с и м у м о в
э к с п о н е н ц и а л ь н у ю
п .8.1
со
бы ть
г а у с с о в с к и х
а б с о л ю т н о
т .е .
к л а с с и ф и к а ц и е й
с о с т о я н и й ,
с
в а ж н ы х
м о г у т
к л асс
(ч а ст н ы й
п р о ц е с с ы ,
п р о с т у ю
это
о с т р ы х
д в а
за р а н ее
п р о ц е с с о в
с в о й с т в а м и . К о р р е л я ц и о н н а я
ц е сс а
-
п л о т н о с т ь ю ,
и м е ю щ е й
м а р к о в ск и е
с у щ е с т в у е т
к о т о р ы е
с т а ц и о н а р н ы х
сп ек т р а л ь н о й
ф у н к ц и й ).
ч то
п р о ц е с с о в ,
э р г о д и ч е с к и м и .
(н о р м а л ь н ы х )
м и
с к а з а н о ,
х (
tj ) = x j } = P { х ( ti ) < x i I х ( tj ) = x j } .
гов ор я т,
что
с о с т о и т
в
с л е д у ю щ е м :
м а р к о в с к о г о
то
б у д у щ е е
с о с т о я н и я
(п р и
х а р а к т е р н о е
п р о ц е с с а
с о с т о я н и е
tk) .
в
(8 .4 0 )
с в о й с т в о
есл и
м ар-
т о ч н о
из -
н а с т о я щ и й
м о -
(п р и
ti )
не
за в и си т
Укажем ещё одно общее и важное свойство марковских
п р о ц есс о в : для них эволюция вероятности перехода
P = P { х (t)<x 1х( 1 0)=x о}
описывается
уравнением
вида
d P = A P , где А - некоторый линейный оператор (матрица dt
для дискретного п р о ц есс а, диф ф ерен ци альны й оператор для непрерывного процесса и т .д .).
Здесь мы ограничимся рассм отрением дискретны х и не прерывны х марковских процессов.
Т а б л . 8.4
П ространство состояний
Дискретное
Н епрерывное
1)
3
х
н
Он
оЗ «
н О
х S
'1
tj
t
t0
tj
t2
3
Цепь М аркова
(-Н
Он
03
Щ)
и
S
X
D и
X 3
сЗ И
1);
X И
СП 3
Он
и
Он
и
и
Е
Дискретный марковский
процесс__________________
.
'
/ к✓ >
1
»х.
,1
tl0 tl l t4 J-'t.1
М арковская
тельность
“
* *»*
t1
п о след ов а­
Непреры вны й марковский
процесс
201
8.6.1 Д искретный м арковский процесс
П р ед п о л о ж и м , что случайны й процесс 0(t) представляет
собой ступенчатую к р и в у ю , т .е . может принимать только
дискретные значения { uk, к = 1,к }, причем смена этих з н а ч е ний (состояний) происходит в некоторые случайные м о ­
менты времени (табл .8.4)
Введем вероятности перехода
п ij (10 , t ) = P {0 (t ) = иj ' 0 ( t o ) = и i }, t> t o .
(8.41)
Это есть условные вероятности принять системе со стояния Uj в момент времени t, если и зв естн о, что в пред шествующ ий момент времени t 0 она находилась в с о сто я­
нии и i.
О ч ев и д н о , что
K
___
Z nij (to>0 = 1> nij (to>0 ^ 0> i>j = 1 K >
i=1
1, i = j ,
n,j (to. to) = 8„ = ^
(8.42)
[0, i ^ j .
Для дискретного марковского процесса справедливо
следующее уравнение К олм огорова - Ч е п м е н а , которое
приведем без в ы в о д а :
K
пц(t0, t + At) = Z п ik(t0, t ) п kj(t, t + At), t > t0,
At > 0.
(8.43)
k=1
Основная задача при рассмотрении марковских процес сов состоит в вычислении вероятностей перехода и б езу с­
ловных (абсолютных) вероятностей различны х состояний,
если известны начальное состояние системы и одношаго вые вероятности перехода.
В данном случае вероятности перехода для малых в р е ­
менных интервалов Аt имеют вид
пкк(t, t +At) = P{0(t+At) = uk10(t) = uk}= 1+ akk(t )At+ 0(At), (8.44)
п kj (t , t + At) = P{0(t + At) = иj 0 (t) = uk } = akj (t ) At + 0(At), k ^ j .
Первое соотношение (8.44) физически выраж ает два
ф а к та: во - п ер в ы х , что при At =0 система достоверно нахо дится в состоянии иk и , во - в т о р ы х , вероятность перехода из
состояния иk в любое другое зависит от рассматриваемого
момента времени и для малого At пропорциональна длине
202
At. Второе соотнош ение (8.44) говорит о т о м , что в ер о я т­
ность смены состояния (зависящая от рассматриваемого
момента t) за малый интервал At также пропорциональна
длине At. Так как вероятности перехода неотрицательны
(akj ( t ) > 0),то для них должно выполняться условие н о р м и ровки
akk(t ) = - Z akj(t ) < 0,
j (j*k)
akj(t ) > 0.
(8.45)
Подставив (8.44) в правую часть уравнения (8.43) и пе рейдя к пределу при A t ^ 0, получим следующ ую систему
линейных диф ф ерен ци альны х уравнений (прямые у р а в н е н и я):
---д
к
— п ij(t0,t) = Z akj (t) n ik(t0,t), I , j = 1,K ,
(8.46)
dt
k=1
где a kj (t) уд овлетворяю т (8.45). Решение этой системы при
начальных условиях (8.42) дает зависимость вероятностей
перехода от времени.
Если число возможных состояний системы к о н еч н о , то
для любых непреры вны х функций a kj (t), удовлетворяю щ и х
условию (8.45) система (8.46) с начальными условиями
(8.42) имеет единственное неотрицательное р е ш е н и е , кото рое определяет дискретны й марковский п р о ц е с с .
т т ________________________________________________________ __
Дискретный
марковский процесс остается марковским и
в обратном н а п р а в л е н и и . При аналогичных рассу ж д е н и ях ,
выбрав п ромеж уточны й момент времени близким к н ач ал ь ­
ному моменту t 0 , можно получить следующую систему л и ­
нейных диф ф ерен ци альны х уравнений (обратные у р а в н е ­
н и я):
д
к
— nijftp,0 = - Z aik(t0) n kj(t0>t ) ’ t > t0.
(8 -47)
dt0
k=j
У равнениям (8.46) удовлетворяю т не только вероятно сти переходов, но и абсолютные вероятности состояний
P j ( t ). При начальных вероятностях состояний p j = p -(t0) в ероятности состояний Pj (t) у д овлетворяю т системе уравне ний
d Pj (t ) = Z akj (t ) Pk (t ).
at
k
(8.48)
тт
Дискретный
м арковский __процесс называется од н о р о д ­
203
н ы м , если вероятности перехода п ij ( t , t 0) зависят только от
разности т= t - t 0 .
п ij( t , 1 0) = п ij ( т).
В этом случае функции a kj (t)= a kj постоянны и д и ф ф е ренциальные уравнения упрощ аются
d f п j (т) = Z atj % (т),
dT
к
( 8 -49)
d n ij(т) = aH (т) + Z atkп kj(T).
dT
к(кФj)
( 8 -50)
Если при т ^ д а сущ ествую т предельные значения вероят ностей перехода
p = lim п^(т),
T
которые не зависят от начального со сто я н и я, то г о в о р я т,
что м арковский процесс обладает эргодическим свойством
и сущ ествует однозначно - определенное стационарное с о ­
с то я н и е. В ероятности стационарных состояний оп р ед ел яются системой алгебраических уравнений
Z akjPk = 0
Z Рк = 1
( 8 -51)
к
к
П р и м е р 8.11. Д искретный м арковский процесс с двумя
состояниями (случайны й телеграф ны й си гнал ). Пусть про цесс 0 (t) в любой момент времени может принимать лишь
два значения и 1(t)=1 или и 2(t ) = - 1 , причем вероятность п е рехода 1^ - 1 за малое время At равна XAt, а вероятность
перехода - 1 ^ 1 равна pAt. Известны вероятности началь ного состояния р° = P {0(t0) = 1} и
р0 = p {0(t0) = - 1}=1 - р0.
Определить вероятности перехода
п ij( 1 0, t )= P {0( t ) = Uj10(t0)=Ui } (где и 1= 1, и 2= - 1; i , j =1,2),
вероятности стационарного состояния p 1 и р 2 , а также
среднее значение и корреляционную функцию процесса
0 (t ).
Из (8.44) с л ед у ет, что а 12= X, а 21= p . Из (8.45) находим
а 11= -X , а 22= - p . Так как все коэффициенты а ij - постоянные
в ел и ч и н ы , то процесс 0 (t) является о д н о р о д н ы м . Диффе ренциальные уравнения (8.46) примут вид
д
— пi1(t0,t) = -Х п i1(t0, t ) + р п i2 (t0, t ),
dt
204
(8.52)
д
— Пi2(t0, t) = - ЦПi2(tQ, t) + Xn ii(t0, t), i =1,2.
дt
Из условия нормировки (8.42) имеем п 1 2 (t, t 0 ) = 1 - n i 1 (t,
t 0 ). Поэтому первое из уравнений (8.52) можно записать
иначе
д
— n n (t0, t ) = - ( X+ ц ) n n (t0, t ) + ц, t > t0.
(8.53)
дt
Общее решение этого линейного неоднородного диффе ренциального уравнения первого порядка с начальным ус ловием п 1 1 ( t, t 0 )=1 имеет вид
t
..
с X ^
n 11(t0,t) = ц f e^(X+v>(,-s>ds + e ~A~Ц)('- 10) = —L + 1------ e - (X+ц)т
X+ ц у X+ ц у
10
т = t - 10 > 0.
В результате решения системы уравнений (8.52) для
любых т >0 получим
п11(т) = ц / ( X+ Ц) + [ X/ ( X+ Ц)]е—
(Х+Ц)т,
п12(т) = [X/(X+ ц )][1 - е- (X+Ц) т],
П22(т) = X/( X+ ц ) + [ ц /( X+ ц)]е *
(8.54)
т,
П21(т) = [ц /(X + ц )][1 - е-(X+Ц)т].
Эти вероятности переходов и определяю т данны й дис кретный м арковский процесс.
Рассм атриваем ы й марковский процесс эр го д и ч е н , по скольку при t ^ r o сущ ествую т предельные значения в ер о ятностей перехода р 1= ц/( X+ ц ),
р 2=X /( X+ ц ),
которые определяю т вероятности стационарного состояния.
По о п р ед ел ен и ю , среднее значение процесса 0 (t) равно
M (0 (t)) = Ш0 (t ) = 1 • P1(t) - 1 • p 2(t) =
= P10Пц(т) + (1 - P10) П21(т) - (1 - P10) П22(т) - P10П12(т).
Подставив выражение вероятностей перехода из (8.54),
получим
Ш0 (t) = ( ц - X)/(X+ ц ) + 2[p° - ц/(X + ц )] e (X+Ц)т, т = t - 10.
Вычислим теперь корреляционную функцию
R 0 (s ,т) = M [ 0 (t0 + s) 0 (t0 + s + т ) ] - M ( 0 (t0 + s))M ( 0 (t0 + s + т)),
s, т > 0.
Так как среднее значение произведения
205
M [0(t0 + s) •0(t0 + s + T)]= P1(t0 + s) пп (T) + p 2(t0 + s) п22(T) -
- P1(t0 + s)пl2(T) - P2(t0 + s)п21(т),
то окончательное выражение для корреляционной функции
будет
R0( s, т) =
4XX
(X + рУ
p- X
+ P1
X+ p v
p e - (X+p)s
X+p J
p e~( X+p) s le_(X+p)T
X+p J
П редположим теперь, что в качестве вероятности н а­
чального состояния взята вероятность стационарного с о ­
сто я н и я , т . е . P° = p 1 = p/(X + p). Тогда процесс 0 (t) будет ста ционарным с момента времени t 0 ; его среднее значение
me (t ) = (p - X)/(X + p) = const ,
а корреляционная функция
P1
Re (s, т) = R0(т) = 4 Xp ( X+ p)-2 e ~(X+p)| T'.
Если X= p , то процесс 0 (t) принято называть с л у ч а й н ы м
т е л е г р а ф н ы м с и г н а л о м . Полагая в преды дущ их формулах
X= p , находим вероятности п ер ех о д о в , вероятности стац и о нарного со сто я н и я , а также среднее значение и корреляци онную функцию для стационарного состояния случайного
телеграфного сигнала 0 (t):
п 1(т) = п22(т) = (1 + e-2XT) / 2,
п12(т) = п21(т) = (1 - e-2XT) / 2,
р 1 =р 2 = 1/ 2 ,
m, = 0,
Re(т) = e -2X|T|.
Сравните полученные результаты с результатам и при мера 8.6.
8.6.2
Н епрерывны й м арковский
Ф оккера - Планка - Колмогорова
п р о ц е с с . Уравнение
В противополож ность дискретным процессам, н еп р е­
рывные (непреры внозначные) процессы характеризую тся
тем, что в любом малом интервале At имеет место н ек о т о ­
рое малое (порядка
) изменение состояния марковского
процесса я (t).
В отличие от произвольного случайного процесса X( t), не прерывный м арковский процесс далее обозначен x(t).
Возьмем в последовательны е моменты времени
206
t0< 1 1< ^ < tn-1< tn значения случайного процесса
x 0= x (t0), x 1= x (tO ,..., Xn-1= x (tn-1), Xn=x (tn).
О п р е д е л е н и е . Процесс x (t) является м ар к о вс к и м , если
условны е плотности вероятностей (плотности вероятности
перехода) зависят только от последнего значения xn-1 в
момент tn-1 и не зависят от д р у г и х , более ранних з н а ч е н и й ,т . е .
Пn(tn, xn Itn-1> xn-1; •••; ^ x1; ^ x0) = n(tn, xn Itn-1> xn-X n > 1 ( 8 -55)
С другой с то р о н ы , условная плотность вероятности
равна отношению безусловны х п л о тн о стей , а и м е н н о :
п n^n’
(t , xn t n-1’
л, xn-1, ;...;
’ •••’ *и1,’x ’;tn,
*0’xn)
0' =
/о с
(8.56)
= fn +1(t0,...>tn; x0>-> xn) / /„ (г0>...>t ,-1; x0>...>xn-1).
Иначе го в о р я , будущее поведение марковского процесса
не зависит от п р о ш л о го , если точно известно его состояние
в настоящий момент в р ем ен и . Именно поэтому марковские
процессы также называются процессами без п осл е д ей ств и я.
Запишем формулу (8.56) в следующем в и д е :
f n+1(t0,...>tn, x0>-> xn) = n(tn>xn\tn-1>xn-1) f n(t0>-> tn-1>x0— >xn-1).
Применяя последовательно это соотнош ение для разных
n , получим
f n+1(t0’•", tn >x0— >xn) = n(tn, xnfn-1-xn-1) X
(8.57)
Xn(tn- 1, xn- 1 t„- 1 , x„- 2 ) Xn(tp x1 t0 , x0 ) f ^ x0 ).
Следовательно, многомерные плотности вероятностей
марковских процессов выражаются через плотность веро ятности перехода п (t, x t \ x ) и одномерную начальную
плотность / ( t0, x0). Таким о б р а зо м , характерное свойство
марковских процессов состоит в том, что начальная о д н о ­
мерная плотность вероятности и плотность вероятности
перехода полностью определяю т марковский случайный
процесс.
Можно п о к азать , что марковский процесс остается та ковым и в обратном направлении, т.е.
(^ x 0 1tl, x1;...; tn, xn) = П(to, x 0 1tl, X1), t0 < t1 < ••• < tn•
Плотность вероятности перехода непрерывного м ар к о в ­
ского процесса уд овлетворяет следующим условиям:
1) n(t, x t0,x0) > 0 (неотриц ател ьность);
п
207
2) J п ( ^ x t0 ,x 0 )dx = 1 (н ор м и ро ван н ость);
3) limп ^ , x t 0 ,x 0 ) = 5 ( x - x0 ) ( малое изменение состояния за
малые промежутки времени);
го
4) п ^ ,x t0,x0) = J п (^ x t \ x ) n ( t \ x t0, x 0 ) d x ,
—го
т .е . у д овлетворяет уравнению Колм огорова - Чепмена в
интегральной форме.
В тех случаях, когда плотность вероятности перехода
зависит только от разности временных аргументов т = t - 1 \
т . е . п ^ , x t ', x') = п(т, x , x), t , t' > 0,
м арковский случайный процесс называется однородным во
времени.
Если при т ^ д а плотность вероятности перехода стр емится к некоторому пределу
lim п (т, x , x) = f st (x),
(8.58)
T^го
не зависящ ему от «н ач ал ь н о го » состояния x , то го в о р я т,
что процесс эргодичен.
Если известна начальная плотность вероятности f ( t 0,x0)
и найдена плотность вероятности перехода п ( ^ x t \ x ) , то
можно вычислить другие характери сти ки марковского про цесса x (t).
Одномерная плотность вероятности в произвольный
момент времени t будет равна
го
f (t , x) = j f (t0, x0) п (t, x |t0, x0) dx0.
(8.59)
—
го
Одномерная плотность вероятности в стационарном с о ­
стоянии не зависит от времени и равна f st (x), а двумерная
плотность вероятности зависит только от сдвига т = t - 1 :
f 2(т, x, x ) = f (t , t ', x, x ) = fst (x ) п (T, x , x).
Для стационарного процесса x (t) корреляционная функ ция равна
г
о
г
о
Rx (т) = j j x ' x f st( x ) п(т , x , x ) d x d x - ( J x f st( x ) d x ' ) 2. (8.60)
—
го
—
го
По функции (8.60) можно найти спектральную плотность
2 го
Sx (ю) = —j Rx(T)cos ют dT, ю > 0.
п0
208
Плотность вероятности перехода п ^ , x t0, x0),t > t0 н еп р ерывного марковского процесса уд овлетворяет следующим
уравнениям в частных производных:
д ,
d
— п (t, x t0,x0) = - — [a(t, x ) п (t,x t0,x0)]+
f-0, x, 0 <
dt
dx
(8.61)
- \ SI l +
v \ 'ТТ I t
V
■
+ 1 v y [b (t, x) п (t, x j^ , x0)],
2 dx
d п (t,x
/
/
ч d
, x t0,x0)Л +
t0,x0)ч = a(t0,x0)
- — п (t,
-4
dt0
0x0
(8.62)
11 r
\ d2 /
ч
+ Y b (t0, x 0 ^ ^ Y п(t,x t0,x0).
2
dx
Уравнение
(8.61)
называется
уравнением
Фокке р а - П л а н к а - Колмогорова или прямым уравнением (т .к . вхо дит производная по конечному времени t> t0), а уравнение
(8.62) уравнением Колмогорова или обратным уравнением
(так как входит производная по начальному времени t0< t).
Такое название исходит от того, что прямое уравнение для
процесса броуновского движения встречалось в работах
Фоккера (1914) и Планка (1917). Строгое математическое
обоснование
первого
уравнения
было
дано
А .Н .К о л м о го р о в ы м ; им же впервые получено уравнение
(8.62).
В этих уравнениях через a ( t ,x) и b ( t ,x) обозначены т . н .
инф инитезимальны е моменты 1 -го и 2-го порядка процесса
x( t). Вообще инфинитезим альны м моментом n - го порядка
процесса называется величина
1 го
K (t ,x) = l i m — j[x(t + At) - x(t)]nп ^ + At, x t ,x ) d x .
(8.63)
At^ 0At -го
Тогда
a (t,x)=K1(t,x),
b (t,x)=K2(t,x).
Если для марковского процесса моменты K n(t , x) ^ 0,
n =1,2; K n(t , x) = 0, n =3,4, ..., то марковский процесс н азы в ается д и ф ф у з и о н н ы м .
Для любых случайных процессов, для которых су щ ест­
вуют коэффициенты Kn ( t ,x ) справедливо следующее у р а в ­
нение относительно плотности вероятности перехода:
209
Далее будем рассм атривать только частный случай
уравнения (8.64), когда первые два коэффициента K 1( t ,x) и
K 2( t,x)
отличны
от н у л я , а остальные
K3( t,x),
K 4( t ,x ),... равны н у л ю .
Для диф ф узионны х марковских процессов уравнение
(8.64) упрощ ается и переходит в уравнение ФоккераПланка - К олмогорова (8.61):
д n(t, x t0,x0) = - ^ [ a ( t , x ) n ( t, x t0,x0)] +
dt
dx
(8.65)
По традиции, связанной с применением уравнения
(8.65) для изучения диф ф узионны х процессов, уравнение
(8.65) называют диф фузионны м уравнением, а к о э ф ф и ц и ­
енты a ( t ,x ) и b ( t ,x ) - соответственно коэффициентам и сноса
и диф фузии процесса x (t). К оэф ф ициент а ( t , X) характеризу ет среднее значение локальной с к о р о сти , т .е . a ( t ,x)= m ( t ,x),
а коэффициент b(t , x) = о (t,x) - локальную скорость и зм е нения дисперсии приращения марковского п р о ц е с с а . По этому коэффициент диф фузии b(t ,x) > 0.
Линейное уравнение в частных производны х (8.65) от носится к уравнениям параболического типа и для оты ск а­
ния его решения можно применять обычные методы р е ш е ­
ния уравнений этого т и п а . При этом решение должно быть
неотрицательным, нормированным к единице и должно
удовлетворять начальному условию
n ( t , x t0,x0) = 5(x - x0).
(8.66)
Решение уравнения Колмогорова (8.65) для неограни ченного пространства при дельтообразном начальном ус ловии (8.66) называется ф у н д а м е н т а л ь н ы м р е ш е н и е м за дачи К о ш и .
Если значение марковского процесса x (t) в начальный
момент времени t 0 не фиксировано, а является случайным с
плотностью вероятности f 0 (x), то в качестве начального ус ловия указы вается эта плотность / ( t 0 ,x )=/ 0 (x ).
210
Доказано, что одномерная плотность вероятности м ар ­
ковского диф фузионного процесса уд овлетворяет у р а в н е нию Колм огорова (8.65). О к а зы в ае тся , что при дельтооб разном начальном распределении, плотность вероятности
/ ( t,x) совпадает
с
плотностью вероятности
перехода
n(t, x t0,x0), т .е . справедливо уравнение
d
d
1 d^
т / (t , x) = — [a (t , x) / (t , x)] + - - T [b (t , x) / (t , x)].
(8.67)
dt
dx
2 dx
Это же уравнение справедливо и в случае многомерного
марковского процесса x (t)={x1( t ) , . , xM( t ) } . Н ап р и м е р , в
двумерном случае уравнение (8.67) относительно одномер ной плотности вероятности f(t, x ) имеет вид
л
2 Д
1 2 ^2
— / (t, x) = - S — [ a (t, x ) / 0 , x)]+ - t d d \pij( t, x)].
( 8 .68)
dt
i=1 dxt
2 i,j=1dx;-dxj
Для отыскания решения уравнение К олмогорова (8.67),
кроме начального условия в виде д е л ь т а -ф у н к ц и и , нужно
указать ещё и граничные у с л о в и я . Граничные условия м о гут быть весьма разнообразны ми и определяются су щ ест­
вом физической з а д а ч и . Мы же далее будем использовать
уравнение (8.67) в связи с анализом систем массового об сл у ж и ван и я, а именно для диф фузионного приближения
(дифф узионной аппроксимации) основных случайных про цессов - процессов поступления и ухода требований в сис теме массового о б сл у ж и в ан и я .
Р ассмотрим основные граничные условия, необходимые
при реш ении диф фузионного уравнения Колмогорова. Для
этого будем трактовать плотность вероятности / ( t,x) как
концентрацию (относительное число) частиц в точке x в
момент времени t . Поток частиц G вдоль оси x ск л ад ы в ает­
ся из систематического потока a / , где а - локальная ск о рость систематического движения, и случайного (д иф ф узи ­
он н ого) потока - —— ( b /), т . е .
2 dx W
G (t , x) = a (t , x) / (t , x) - 1 — [b (t, x) / (t , x)].
(8.69)
2 dx
Из (8.67) и (8.69) с л ед у ет, что уравнение Колмогорова
представляет собой уравнение непреры вности
211
- f ( t , x) + — G (t, x) = 0,
dt
dx
(8.70)
выражающее сохранение числа частиц.
Если процесс x (t) может принимать значение от - да до
+да, то уравнение (8.70) справедливо на всей п р я м о й . Ин тегрируя (8.70) по x от - да до + да и у ч и т ы в а я , что
го
f (t , x) > 0, j f (t , x) dx = 1,
-го
получим равенство
G (t ,-го) = G (t , го).
Помимо этого равенства, обычно в практических з а д а ­
чах выполняются нулевые граничные условия:
G ( t ,-го) = G ( t ,го) = 0, f (t ,-го) = f (t ,го) = 0.
(8.71)
В тех случаях, когда процесс x ( t ) принимает о г ран и чен ­
ные значения на интервале ( с , d), уравнение (8.65) следует
рассматривать только в этой области. Тогда граничные у с ­
ловия нулевого потока имеют вид
G (t, c) = G (t, d ) = 0.
(8.72)
Это о зн ач ает, что не допускается поток частиц через
границы c и d , и эти границы выступаю т как отражающ ие
экраны (в силу непреры вности частицы не тер яю тс я). Роль
отраж аю щ их границ наглядно иллю стрируется на р и с . 8.17,
где изображен один отраж аю щ ий экран в точке x = c .
В граничных точках с и d могут быть расположены по глощающие э к р а н ы : ч а с т и ц а , достигшая такого э к р а н а , по глощается им (т . е . остается там н авсегда) и исключается из
дальнейшего р а с с м о тр е н и я . В этом случае граничное усло вие поглощения имеет вид
f (t, с) = f ( t , d) = 0.
(8.73)
212
Р и с . 8.17.
Влияние поглощ аю щ его экрана на поведение процесса и
плотность вероятности схематично изображено на р и с .
8.18.
Р и с . 8.18
Далее остановимся на нахождении решения уравнений
(8.67) и (8.68) для стационарного со сто я н и я . Так как эти
уравнения относятся к уравнениям параболического типа,
то для их решения применяются известные методы реше ния уравнения этого т и п а .
213
Н ап р и м ер , при исследовании переходны х п р о ц есс о в , не стационарное уравнение (8.67) можно решать с помощью
шести следую щ их м е т о д о в : 1) метода разделения перемен н ы х , 2) метода преобразования Л а п л а с а , 3) метода характе ристической ф у н к ц и и , 4) метода замены независимы х пе ременных, 5) метода гауссова приближения и 6) численных
м е т о д о в . М етоды получения нестационарного решения
уравнения Колмогорова в этой книге не р а ссм ат р и в аю тся .
Для стационарного состояния одномерная плотность
вероятности / st(x) = lim / (t , x), если она су щ ест в у ет, вообще
не зависит от времени t и от начального распределения
/ 0(x). Тогда d/st(x)/dt = 0 и , сл ед о ват ел ь н о , G ( x ) = G = c o n s t .
Уравнение (8.67) переходит в линейное диф ференциальное
уравнение для / st (x ):
d [b (x ) /„ (x ) ] - 2a( x) / s, (x) = -2G,
dx
(8.74)
для которого хорошо известно общее решение:
/ t (x) = b C - exp [2
dy] - b G J exp[2
dy] dz • (8.75)
b (x)
xb (y)
b (x) x
x b (y)
Здесь постоянная С определяется из условия н о р м и р о в ки, а величина потока G находится из граничных условий.
В качестве нижнего предела интегрирования x можно
взять любую точку и н тер в ал а, в котором определен про цесс x (t). Н ап р и м е р , при нулевых граничных условиях для
потока
( G=0)
уравнение
(8.74)
будет
иметь
вид
d [b (x) / s t (x)] - 2 a (x) /st (x) = 0,
dx
а его общим реш ением будет
C
x a ( y)
(x) = r ^ exp[2 J
dy],
(8.76)
b (x )
x b (y)
где постоянная С определяется из условия нормировки
функции плотности •
Таким образом, определив из конкретной постановки з а ­
дачи коэффициенты сноса a (x) и диф фузии b (x) по форму лам (8.63), в некоторых случаях можно сразу написать вы ражение для одномерной плотности вероятности. Это п о к а ­
зывает эффективность использования уравнения К о л м о го ­
214
рова в практических применениях марковских п р о ц е с с о в .
8.6.3
Д иффузионное приближение систем массового об служивания
Рассмотрим следующие фундаментальные вер о я тн о с т­
ные п р о ц есс ы , описывающие системы массового обслужи вания (С М О ): процесс обслуж ивания (требований) и про цесс уходов (тр еб ов ан и й ), определяемые как
N 1 (t) - число поступлений на интервале (0, t),
N2( t) - число уходов на интервале (0,t).
Типичные реализации таких ступенчатых вер о ятн о с тных процессов показаны на р и с . 8.19.
Значение N ( t)= N 1( t ) - N 2(t) в любой момент времени
представляет собой число требований в СМО, причем
N (0)=0.
Время
t
Р и с . 8.19
Таким образом, процессы поступления требований в
СМО (N 1 (t)) и ухода из неё (N 2 (t)) являются г а у с с о в с к и м и ,
т . е . распределенны м и по нормальному з а к о н у . Рассмотрим
вначале процесс N 1 (t). Время поступления требования C n в
потоке событий представляет собой сумму n промежутков
времени между моментами поступления т р еб о в ан и й , т . е . тп
= t 1 +12 + ...+ t n, причем т 0 =0.
Для СМО типа GI/ G/1 (с произвольны м и законами рас пределения входного потока A (t) и времени обслуживания
B (t)) сч и тается , что { t i } является множеством независимых
215
одинаково распределенны х случайных в е л и ч и н . Когда вре мя t и , сл ед о ватель н о , число п становятся б о л ь ш и м и , тп я в ляется суммой большого числа независим ы х и одинаково
распределенны х случайных в е л и ч и н . Поэтому можно ожи дать, что здесь применима центральная предельная т е о р е ­
м а , которая позволяет описать случайную величину тп, а
сл ед о вател ь н о , и случайны й процесс N 1( t) как гау сс о вск и й .
Совершенно аналогично можно считать процесс уходов
N2( t) распределенным по нормальному з а к о н у . Это предпо ложение о нормальном распределении N 1( t) и N 2( t) и следо вател ь н о , их разности N( t)= N 1( t ) - N 2( t), является
крае угольны м камнем диф фузионного приближения СМО.
При диф фузионном приближении предполагается, что
процесс поступлений N 1( t) и процесс уходов N2( t) аппрок симируются марковскими д иф ф узионны м и процессами,
распределенны м и по нормальному закону со средними
—
—
2 ц) и o N
2 ^ соо тв етств ен н о .
N1(t)
и N2(t)
и дисперсиям и o N
Тогда число требований в СМО N( t) также является нор м а л ь н ы м с л у ч а й н ы м п р о ц есс о м со средним значением
—
—
—
2
2
2
N (t ) = N1(t) - N 2(t) и дисперсией о n {t) = а
) + а Nl{t), так как
дисперсии независимы х процессов складываются.
Таким о б р азо м , для системы GI/ G/1 среднее значение и
дисперсия процесса N( t) равны
тх
о2
0 N(t)
о? + <
т
' Р - 1 Лt = a t ,
V
.
t = (с\ •X+ с
. )t = bt,
(Гх)3 (т.)3
где a и b - постоянные коэффициенты сноса и диффузии, а
ся2 , с^2 - квадраты коэффициентов вариаций N 1( t ) и N 2( t) со отв етств ен н о .
А ппроксимируем дискретны й процесс N( t) диф фузион ным
процессом
x(t)
(рис.
8.20),
для
которого
dx( t )=x (t + d t ) - x ( t) имеет нормальное распределение со
средним a •d t и дисперсией b •dt, т . е . x( t) определяется сто хастическим
диф ф еренциальны м
уравнением
216
dx(t) = adt + 4 b d t £(t). Процесс £ (t) является б е л ы м г ау сс о в с к и м ш у м о м с нулевым средним и единичной д и с п е р с и е й .
П лотность распределения вероятностей f ( t ,x ) н еогр ан и ченного процесса х (t) удовлетворяет диф фузионному урав нению Колмогорова
df (t , x)
b d f (t , x)
df (t , x)
---------= ------------------ a --------(8.77)
dt
2
dx 2
dx
Дополним уравнение (8.77) граничным условием о т р а ­
жения в т . x =0
rb d f (те, x)
(8.78)
t •
,
- af К x)] x=o= 0.
2
dx
При
решение уравнения (8.77) при условии (8.78)
для стационарной плотности распределения процесса x(t)
имеет вид
w \
2 1a I
2 1a I x
2(1 - p) exp
2(1 - p)
(8.79)
f (x ) = ~ b ~ ехр'
b
p
c
i
+
c
2
p cii +' Cm
2
где p=X/p. Это решение также может быть получено из
(8.76). Следует о ж и д а ть , что такое диф фузионное прибли жение даст хорош ий результат только при больших значе ниях загрузки (p~ 1).
В качестве приближения стационарного распределения
p(n) числа з а я в о к , находящ ихся в СМО можно и сп о л ь зо вать выражение
n+1
(8.80)
p(n) = j f (x )dx = (l - p) p n, n = 0,1,2,...,
n
217
2(1 —p)
где p = exp^ —— 2— ^
C + CM
В связи с т е м , что для СМО GI/ G /1/^ р ( 0 ) = 1 - p , распре деление длины очереди (8.80) можно модифицировать
1 —р,
при n = 0
p(n) = \
ч .
(8.81)
[р(1 —р )рn ,
при n > 1.
Точность метода диф фузионного приближения можно
явно проверить только для С М О , для которых известны
точные р е з у л ь т а т ы . Для СМО M/G/1 среднее количество
заявок в системе дается формулой П оллачека - Хинчина
р2 (1 + < )
2 1 —р
2
где р - коэффициент з а г р у зк и , е ^ - квадрат коэффициента
N = р+
вариации времени обслуживания в СМО.
На р и с . 8.21 приведены графики относительных по греш ностей 5 в % , ' 8 = N— ^ % для различны х значений
N
,
V
квадрата коэффициента вариации времени обслуживания
е^. Эта погрешность мала при с 1 и растет при отк л о н ении с ц от ед и н и ц ы , однако 5 стремится к нулю при р ^ 1,
как и следовало о ж и д а т ь .
218
Т ак и м
н и е
о б р а з о м ,
д а е т
б о л ь ш и х
о н н о е
п р и е м л е м о е
п р и б л и ж е н и е
обслуж ивания
GI/G/1/m
двум ерн ая
типа
р а ссм а т р и в а т ь
( х 1 , х 2),
ц е сс
ч и сл о
где
t,
т о м у
ж е
в р е м е н и . Т ак
вок,
н а х о д я щ и х с я
дл я
от
а
х 2( t)
х 1 и
п ер в о г о
i
н ость
х
И з
в
зая в ок
д и ф ф у з и -
ч а ст и
си стем
оч ер едью
д и ф ф у з и о н н ы й
на
в
м ас­
и
о б л а с т и
с л у ч а й н ы х
N
зн а ч е н и е
N > 0
в е р о я т н о с т е й
С М О
ч и сл а
-
[х 2].
за я -
ц е л о й
t
в р е м е н и
ц е л о ч и с л е н н о г о
х i( 0 ) = k
(п р и р а щ е н и е
и з в е с т н о , ч то
эт о го
к
Р а с с м о т р и м
м о м е н т ы
п р о ц е с с о в
^
м о м е н т у
р а зн о с т ь ю
п р о ц е с с а
у с л о в и и
к
-
п ро зан я то -
п о к и н у в ш и х
х 2 : N = [ x 1]
о р д и н а т о й
п е р и о д е
С М О
о п р е д е л я е т с я
от
в
м одель
бескон ечной
N 2( t),
т е к у щ е е
С М О ,
р а с п р е д е л е н и я
с
п о с т у п и в ш и х
н а ч а л ь н о м
т е о р и и
и
и п отерям и
что
i (i = 1 , 2 )
п р и
у м е р е н н ы х
д в у м е р н о е
а п п р о к с и м и р у е т
ч и сл о
д о с т и ж е н и я
k+1
Ах = 1).
-
ц е л о й
п р о ц е с с о в
у р о в н я
G I / G / 1 /д а
N 1( t ) ,
зая в ок
п р и
ди ф ф узи он н ая
д в у м е р н ы й
х i( t)
в р е м е н и
ч а ст и
р а с с м о т р и м
с к онечн ой оч ер едью
Б у д е м
тол ь к о
п р и б л и ж е -
С М О .
О бобщ енная
сового
д и ф ф у з и о н н о е
р е ш е н и е
з а г р у з к а х . Д а л е е
8.6.4
сти
о д н о м е р н о е
.
t
в р е м е н и
п л о т и м е е т
ви д
(8 .8 2 )
ai
где
bi
и
с о о т в е т с т в е н н о
x i(i = 1 ,
п р о ц е с с о в
2).
к о э ф ф и ц и е н т ы
C
п о м о щ ь ю
с н о с а
и
т а б л и ч н о г о
д и ф ф у з и и
и н т егр а л а
v
K v( • ) -
где
ч и с л е н ы
л ен и я
ф у н к ц и я
м а т е м а т и ч е с к о е
(8 .8 2 ).
п р о ц е с с а
п р о х о ж д е н и я
и
д и с п е р с и и ,
с р е д н и м и
зн а ч е н и я м и
п р о ц е с с а
ч т о б ы
( х 1, х 2) в
( N 1, N 2).
и
у р о в н я
д и с п е р с и я м и
Т о г д а
д и с п е р с и я
м о м е н т ы
с о в п а д а ю щ и е
и
v , м о г у т
к о м п о н е н т ы
ц е л о ч и с л е н н о г о
зн а ч ен и я
н о го
п о р я д к а
о ж и д а н и е
П о т р е б у е м ,
д и ф ф у з и о н н о г о
го
М а к д о н а л ь д а
м о ж н о
бы ть
р а с п р е д е ­
д в у м е р н о г о
в р е м е н и
и м е л и
п ер в о с р е д н и е
с о о т в е т с т в е н н о
к о м п о н е н т
в ы р ази ть
вы -
со
д и с к р е т -
к о э ф ф и ц и е н -
219
i
_з
ты сноса а; _ т; и b; _ D;т;
диф фузии через среднее зна чение I; и дисперсию D ; интервала времени между скачка ми дискретного процесса N ;. В этом смысле на уровне двух
первых моментов распределений процессы x ; и N ; будут со гласованны ми в моменты поступления и ухода з а я в о к .
В области Q , определенной условиям и N>0 и N max=m
(m- м а к с и м а л ь н о допустимое число заявок в С М О ), п л о т­
ность распределения f ( t , x ь x 2 ) векторного диффузионного
процесса (x ь x 2 ) у д овлетворяет уравнению Колмогорова
df _ £ (b; д 2f
a df)
(8 83)
д “ S ( 2 i x F " a‘ ^
( 8 ' 83)
В случае СМО с бесконечной очередью ( m ^ д а ) граница
Г 2 и следовательно граничное условие отражения на этой
границе в постановке задачи отсутствуют.
Так как период занятости начинается с уровня x 1 = 1, то
начальным условием для уравнения (8.83) будет
f(0, x ь x 2 ) = 5 ( x 1 - 1 ) 5 ( x 2 ), где 5 (•) дельта функция Дира ка.
Рассматривая функционирование СМО только на п ериоде занятости, к уравнению (8.83) добавим граничное
условие поглощения f =0 и граничное условие отраже 1Г1
ния на границе Г 2 - grad f
_ 0. Граница Г 1 , определенная
j Г2
условием [N]=0 имеет ступенчатый характер (р и с . 8.22) и
физически означает завершение периода з а н я т о с т и . Рас пределение ординаты процесса x 1 в момент достижения
границы Г 1 позволяет определить все основные характери стики функционирования С MO.
Рассмотрим вначале случай СМО GI/ G /1/да, т . е . сосре доточимся на поведении траектории 1 двумерного процесса
(x 1 , x 2 ) на периоде занятости (р и с . 8.22).
В следствие сложного характера границы, решение
уравнения (8.83) в области Q будем искать в виде со в ок у п ности реш ений в подобластях Q k= (x 1 <k+1, x 2 <k) (k = 1,2,...).
Обозначим через фk(у 2 ) распределение ординаты процесса
x 2 в момент прохождения процессом (x 1 , x 2 ) границы x 1 = k+1
области Q k и через ф k(y 1 ) - распределение ординаты про цесса x 1 в момент достиж ения границы x 2 = k той же о б л ас­
220
т и . Рассмотрим состояние СМО с момента поступления за явки в СМО (х \ = к + 1 ) до момента окончания периода з а н я тости (х 2=к) (р и с . 8.22).
Тогда и з - з а марковского характера рассм атриваем ы х
процессов начальным условием для решения уравнения
(8.83) в областях П к будет распределение фк-1 ( y 2 ) , и зв естное на предш ествую щ ем ш а г е . Решим теперь уравнение
(8.83) и выведем рекуррентны е формулы для определения
плотностей распределений ординаты процесса х 2 в момент
прохождения процессом (хь х 2 ) границы х 1 =к+1 области
П к-Ф к(у 2 ) и ординаты процесса х 1 достиж ения границы х 2 = к
той же области фк(у 1 ). Для этого рассмотрим величину
фк(у2 ) dy 2 , равную интегральному значению компоненты
вектора потока вероятностей
w
\ b df k(t , х15х2)
a f k(t, х 1 , х 2) - —— d-------2
дх1
через площадку dy 2 границы х 1 = к +1:
Фк(У2^)dy 2 = dy 2
J0
a 1w
2 Эх1
х1=к+1 ■d t
y2=к - х2
Рис. 8.22
Обобщенная двумерная диф фузионная модель функцио
нирования СМО:
- траектория 1 - для СМО GI/ G /1/да;
221
- траектория 2 - для СМО G i l G / 1 / m .
Решение уравнения (8.83) в области Q k, в которой
х i(0)= к , х2(0)= y 2 - случайная величина с распределением
ф^_i( y2) при нулевых граничных условиях может быть по лучено при помощи функции Грина
2
2
Qk(t ,Xi,X2 l к , y2) = - 2 - - • exp[_( х _ к - a 1 ) _ (Х2 _ 2 b ~ а а ) ] X
2 n ^J b b • t
2 bit
2b2t
2(х- _ к _ 1)2П1 f1
2(кх2 _ У2X2 + У2к _ к 2)2П1
X{i_ e x p [ ^ - ^ ------ H } X { i _ exp[ v 2 ^ 2
2-------- —]}.
bit
b2t
Здесь два первых сомножителя представляю т собой фунда ментальное решение уравнения (8.83) при дельтообразном
начальном р асп р ед ел ен и и , а два последних сомножителя
выраж аю т нулевые граничные условия при х i =к+ i и х 2 =к.
Решение f к будет выражаться через функцию Q k следующим
о б р а зо м :
f к (1, Xi ’ х2) = I Фк-i( у2 Q
(1, xi, х2>к. у2 Ж > .
о
О тсю д а, учитывая выражение для Q k, приходим к рекур рентной формуле для определения фк(у 2 ) (к = i ,2 , ):
фк (У2) = IФк_i( y2)Qф( у2 у2Му2
0
(ф1( У2) = Qф(у 2 |0 ) )
где
• exp[у - + ^ (у2 _ У2 + 1)]X
bi b 2
Qф(У2|У2 ) =
X[ Y K i(^V eiy) _
M
nJ b b
( 8 .84)
-Y K i d n e y 7! )];
P2
Pi = _ L + (У2_ У2+ i ) 2 ;
p 2 = — + (У2 + У2+ i) 2 ;
1 2bi
2b2
2 2bi
2b2
2
2
Y= — +
;
У2 e [0, ~);
2bi 2b2
2
к - (•)—функция М ак д о н а л ь д а . А налогичны е рассуждения
приводят к следующему выражению для ф к(у i ) (к = i , 2 , ):
ф к (У1) = Iфк-1(У 2 ^ ф (У1/у2)^у2 (Ф1(У1) = Qv (у- 10))
0
222
( 8 .85)
где
1+ у2 _ „Га 1 п „ л , a 2
Й/У^У
2 ) _ -/^ = = •exp^-1 (1 - yi) + f - (1 + y 2)] x
^(У1'У2
т
Y
n^bib2
b1
b2
xL £ *1(
1
) - ^ - f к / 2J T
Р4
у )];
в _ (1 - У1)2 . ( 1 + у2)2 . » _ (1 + У1)2 . (1 + у2)2 . У _ г п „ )
вз _
й
+ Vu
’ в4 _
Z7
+
Z7
. у1е [0,те)2b1
2b2
2b1
2b2
Введем далее в рассмотрение случайную величину т^ остаточное в р е м я , в течение которого СМО ожидает посту пления непосредственно следую щ ей заявки (время простоя
С М О ) и обозначим через ту и D^ - среднее и дисперсию ос таточного времени т^, а через p - вероятность т о г о , что
обслуженная заявка оставляет СМО пустой.
Через эти параметры можно выразить среднее значение и
дисперсию времени между заявками в выходном потоке из
СМО.
О пределим теперь параметры двумерного диф фузионно го приближения p , и D ^, необходимые для вычисления
характеристик выходного потока из С М О . Плотность рас пределения вероятностей у(У1) _ £ Vk (У1) ординаты п р о ц есk_1
са х 1 в момент достиж ения процессом (х ь х 2) границы Г 1
позволяет определить остаточное время ожидания ту (вре мя простоя С М О ). При известном значении у 1 (р и с . 8.22)
ордината процесса х 1 долж на получить приращение у 1 для
т о г о , чтобы процесс N 1 изменился на е д и н и ц у , т . е . посту пила заявка в пустую С М О . Условное распределение вре мени достиж ения уровня у ь процессом (х ь х 2) имеет в и д :
g (t I У1) _
I 1 = • exp[- — —
У ъЬ У У
2 b 1t
]
с параметрами р (У1) _ У1 и D^(У1) _ D ^У1, где туи D ^ с о о тветственно среднее и дисперсия времени между соседними
заявками во входном п о т о к е .
223
ет
П у с т ь
=
ет
y\)dyi
j y ^ (
и D y
=
0
в е т ст в е н н о
д е л е н и я
м а т е м а т и ч е с к о е
и с к о м ы е
о ж и д а н и е
и
д и с п е р с и я
р а сп р е -
п а р а м ет р ы
в ы р а ж а ю т ся
ч ер ез
Т и
с р е д н е г о
я в к ам и
и
и зв е ст н ы е
и д и с п е р с и и
р а с п р е д е л е н и я
т о г о ,
,
D m +
D £ =
н ость
с о о т -
0
Тх =
х Dх-
)2y (y ^ d y 1
(y i ) .
у
Т о г д а
mу
J (yx -
что
за
Т2
Dy
(8 .8 7 )
п а р а м ет р ы
в р е м е н и
у ( y 1) .
весь
(8 .8 6 )
в х о д н о г о
м е ж д у
О б о зн а ч и м
п е р и о д
с о с е д н и м и
рк
ч ер ез
за н я т о ст и
в
п о т о к а
за -
в е р о я т -
С М О
п р и ш л о
ет
р о в н о
к
зая в ок
pk =
(k= 1,2,...)
J
wk(yi ) d y i .
0
П у ст ь
м ест о
за
д о с т а т о ч н о
m
п е р и о д о в
( i= 1 , 2 , . . . )
о ст а в л я ет
н о с т и
з а н я т о с т и .
п е р и о д о в
за я в о к . Т о г д а
б о л ь ш о й
п у с т о й
Т а к и м
о б р а зо м ,
Р а с с м о т р и м
с р е д н е м
С М О
п р о ш л о
в ы р а ж е н а
и м ел о
m i= m - p i
р о в н о
i
за
о б с л у ж е н н а я
р о в а н и е
Г2
м и . Г р а н и ц а
ч ес т в о м
m
(р и с у н о к
П р и
m
Z
i=1
ч ер ез
/1 /
m
с
(х 1 ,
заявка
в е р о я т ­
в
х 2),
С М О
С М О
п а р а м ет р а
что
и м е е т
д в у м е р ­
о п р е д е л е н ы .
т р а ек т о р и и
2
о т р а ж а е т
м а к с и м а л ь н о
и
(8 .8 8 )
Pi
о г р а н и ч е н н о й
о п р е д е л е н а
зая в ок
i •
.
н е и з в е с т н ы х
п о в е д е н и е
п р о ц е с с а
GI / G
С М О
тр и
i •
= —
ет 1—
а п п р о к с и м а ц и и
теп ер ь
д и ф ф у з и о н н о г о
д в у м е р н о г о
ф у н к ц и о н и -
о ч е р е д ь ю
и
п о тер я -
д о п у с т и м ы м
с т у п е н ч а т ы й
к ол и -
х а р ак тер
8 .22).
д о с т и ж е н и и
о р д и н а т а
на
т р а ек т о р и е й
х1
п р о ц е с с а
е д и н и ц у ,
ч то
за я в к и . Т о г д а
м у л ы
в ы ч и сл ен и я
для
х 2 п р о ц е с с а
п р о ц е с с а
м г н о в е н н о
б у д е т
« л и ш н е й »
224
бы ть
= —
ет m —
все
д и ф ф у з и о н н о й
н аты
в
т о г о , что
м о ж е т
Z
вн и з
ч ер ез
р0
i=1
Г2,
н и х
Т
в р е м е н и
рк
лр 0u
н о й
И з
за н я т о с т и
в ер о я т н о ст ь
С М О
и н т ер в а л
( х 1, х 2)
д о л ж н а
озн а ч а ть
в и д о и зм е н я т с я
с т а ц и о н а р н о г о
ф k( y 2 )
по
( х 1, х 2)
гр а н и ц ы
сд в и н у т ь с я
п о т е р ю
о ч е р е д н о й
р е к у р р е н т н ы е
р а с п р е д е л е н и я
ф о р м у л е
(8 .8 4 ),
а
ф ор о р д и ­
и м е н н о
начиная с номера k = m - 1 , где m - максимально допустимое
число заявок в СМО
(
) Ы ( У 2)’ если 0 < У 2 < m - 1
.О OQ4
9 k ( У 2) _ i ( ) +
( м
к
<
< ' <
(8 ’89)
т ( У 2) + 9 k +1( У 2), если m - 1 < У 2 <ет и m < У 2 <ет .
Другими сл о в ам и , после вычисления распределения
фk(y 2 ) по формулам (8.84), их нужно пересчитать по форму ле (8.89). Тогда по вероятностному смыслу распределений
фk(y 2 ) на границе Г 2 , можно сразу определить вероятность
потери заявки
ет ет
Ротк _ S IФk (У2)^У2( 8 -90)
k_m m
Что же касается формул (8.86) - (8.88) для вычисления
параметров
двум ерной
диф ф узионной
аппроксим ации
/ —/
р», т^ и D %, то они останутся такими ж е , изменятся только
величины mV и D V, входящие в них в силу пересчета рас пределений фk(у 2 ) по (8.89).
Определим теперь характери сти ки С М О . Из соотноше ния (8.88) сл ед у ет, что величина 1 / р» выраж ает среднее
количество з а я в о к , прош едш их через СМО за период заня т о с т и . Тогда средняя длина периода занятости Y в СМО
может быть определена через параметр р»
ет
i • m*
Y _ V£
L_ V P » ,
(8.91)
i _1 m
где тц - среднее время обслуж ивания заявки в С М О . Из со отношения (8.88) с л ед у ет, что средняя длина периода про стоя I
1 _ Ро V P » >
( 8 .92)
где р» = 1 - р , а
- среднее интервалов времени между со седними заявками во входном потоке.
Среднее время ожидания, как известно, может быть в ы ­
ражено через первые два начальных момента распределе ния случайной величины I - периода простоя
—
D^ + Du + т2(1 —р)2 1 2
и —— -------= ,
2тх (1 - р)
21
где D и- дисперсия времени о б сл у ж и в ан и я .
W _—
(8.93)
225
Определим математическое ожидание квадрата сл у ч ай ­
ной величины I . Для этого з а м е т и м , что 1= тх, откуда учи тывая (8.87), получим
2 = DXmy + т2 m2y •
( 8 -94)
П одставляя (8.94) в (8.93), окончательно получим
2 2
/ 2
W = D X + Dn + р 0 Тх - р 0DX- р 0Тхm2y
(8 95)
1
2Р0ТХ
'
'
Среднюю длину очереди можно определить по формуле
Литлла
N = XW ,
(8.96)
а среднее количество заявок N в СМО - по формуле
N = X(W + Тц) = XU .
(8.97)
Точность метода обобщ енной двум ерной диф фузионной
аппроксимации с использованием разработанной програм мы V N G G 1, которая входит в интерактивную систему веро ятностного
моделирования
вы числительны х
систем
( P R O B M O D ), исследована для широкого диапазона измене ния параметров входного потока и закона о б сл у ж и в ан и я.
При этом коэффициент загрузки р варьировался от 0,1 до
0,9, а коэффициенты вариаций распределений длин интер валов между заявкам и во входном потоке C х и времени об служивания C ц - от 0 до 5.
В т а б л . 8.5 приведены значения среднего количества
заявок N в у з л е , а для сравнения в этой же таблице п р и в едены значения N , полученные имитационны м м о дели ро в ан и е м . Анализ этих данных п о к азы в ает, что точность метода
обобщ енной двум ерной диф ф узионной ап п р о к си м ац и и , не со м н ен н о , выше точности известных методов одномерной
диф ф узионной ап п р о к си м ац и и . Таким о б р азо м , отн о си ­
тельная погреш ность предлагаемого метода для широкого
диапазона изменения параметров примерно равном ерна и
не превы ш ает 10%.
При проведении экспериментов в качестве одного из
параметров моделирования задавалось количество циклов
занятости, которое в зависимости от загрузки изменялось
от 1000 до 20000.
226
Т а б л . 8 .5
N
0,1
0,100
0,101
0,111
0,101
0,111
0,096
0,118
0,108
0,421
0,5
0,101
0,101
0,111
0,10
0,112
0,10
0,122
0,129
0,394
0,302
0,301
0,315
0,308
0,334
0,336
0,518
0,314
0,301
0,320
0,317
0,352
0,362
0,545
4,522
2,0
0,506
0,500
0,534
0,556
0,670
0,676
1,748
5,0
р
0,1
0,5
0,1
1,0
2,0
5,0
0,1
0,5
0,3
1,0
2,0
5,0
0,1
0,5
0,5
1,0
0,1
0,5
0,7
1,0
2,0
5,0
0,1
0,9
0,5
1,0
2,0
0,117
0,103
0,117
0,113
0,125
0,119
0,171
0,154
0,586
5,0
0,211
0,214
0,220
0,220
0,232
0,242
0,360
0,315
1,076
4,361
1,0
0,105
0,101
0,111
0,102
0,115
0,101
0,133
0,148
0,431
0,506
0,340
0,315
0,351
0,349
0,404
0,401
0,640
0,472
4,367
0,459
0,489
0,519
0,521
0,605
0,606
0,924
0,846
4,560
1,746
1,824
1,824
1,855
1,961
1,948
2,397
2,307
6,142
11,449
0,534
0,500
0,576
0,589
0,741
0,751
1,704
1,108
11,421
0,671
0,647
0,737
0,738
0,945
0,954
1,911
1,531
11,633
1,344
1,376
1,446
1,467
1,714
1,713
2,764
2,565
12,535
6,429
6,596
6,607
6,691
6,934
6,959
8,145
7,902
17,945
0,715
0,70
0,844
0,907
1,459
1,439
4,691
3,794
27,959
21,754
0,964
0,934
1,996
1,940
5,145
4,974
0,844
0,773
1,019
1,040
1,652
1,665
4,817
4,034
28,093
21,863
1,913
1,740
2,925
2,801
6,110
5,939
1,384
1,360
1,601
1,608
2.285
2.285
5,423
4,868
28,750
22,984
4,848
4,718
5,886
5,794
9,096
8,968
3,746
3,779
3,990
4,040
4,732
4,742
7,834
7,470
31,460
29,049
16,798
16,881
17,831
17,918
21,062
21,072
20,561
20,912
20,949
21,142
21,747
21,878
24,864
24,556
48,791
44,863
100,819
101,826
102,213
102,899
105,380
106,163
227
П родолжение табл. 8.5
2,0
5,0
18,135
17,551
111,128
107,642
19,036
18,317
112,004
107,616
22,112
21,317
115,126
34,153
33,796
127,566
118,207
117,274
212,596
1 - я строка - результаты двумерного диффузионного
приближения,
2 - я строка - результаты имитационного м о дели ров ан и я.
228
9 М ОДЕЛИРО ВА НИ Е СЛУЧА ЙН Ы Х
П РО Ц ЕССО В И П ОТОКО В СО БЫ ТИ Й
ВЕЛИЧИН,
9.1
Г е н е р и р о в а н и е и с т а т и с т и ч е с к и й а н а л и з п севдо с л у ч а й н ы х ч и сел
Р а с с м о т р и м
д а е м у ю
п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь
р е к у р р е н т н ы м
у 0,у ь ...,
ч и с е л
п о р о ж ­
у р а в н е н и е м
Y i+ 1 = { M y i } ,
где
М - ц е л о е
к о т о р о г о
н о с т ь ,
(М > 1 ),
м н о ж е с т в а
в
н а ч а л ь н ы х
д л и н о й
по
с в о и м
с л у ч а й н ы х
с
ф и к с и р о в а н н о й
-
i-
s
M
н ек о т о р а я ц ел ая
зн а ч е н и е
на
р.
сти
s i+ 1 к а к
р ав н ы
о ст а т о к
что
у
i
р о м у
д р у г о м у ,
р и р у е м ы е
В
д е т
s
n
с о о т в е т с т в и и
за в и сет ь
с
д л и н а
от
б у д е т
К а ч ест в о
и
о г р а н и ч е н н о й
(9 .2 )
п р е в ы ш а ю щ и е
(9.2)
р; р
о п р е д е л я -
M
п р о и зв е д е н и я
s
i
п о с л е д о в а т е л ь н о ­
п е р и о д . К ак
н а ч а л ь н о м у
м е ст о )
б у д у т
п е р и о д а
p
и
бы л а
р а с с м о т р е н и е м
р а зр я д н о й
п р о в е р к о й
и х
в за и м н о й
н е за в и с и м о с т и
ч и сл а
п р е д ъ я в л я е м ы м и
м а к с и м а л ь н о й .
зн а ч ен и я
к
О н а
ге -
б у -
s 0.
п р е д с т а в л е н и я
ч и с е л
в
сл уч ая
i (mod 2 S) ,
с е т к и ; у i = s i• 2 - S .
(9.3)
п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й
р а в н о м е р н о с т и
с
г е н е ­
ж е л а ­
M s
п с е в д о с л у ч а й н ы х
д е л я е т с я
н е к о т о ­
п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й ,
с п о с о б
не -
п о в т о р я т ь с я .
н а ч а л ь н о го
д в о и ч н ы й
тол ь к о
(и л и
зн а ч е н и ю ,
т р е б о в а н и я м и ,
i
д л и н а
п р и с п о с о б л е н н о й
за п я т о й
и м е е т
у ж е
s +1 =
-
ф о р м е ,
д е л е н и я
р ав н о
(9.2),
м о д у л я
Э В М , о г р а н и ч и м ся
S
ч и с е л .
э л е м е н т о в
п с е в д о с л у ч а й н ы х
У ч и т ы в а я
где
от
(9 .2 )
и м е в ш е м у
т е л ь н о , ч т о б ы
п о с л е д о в а -
s /
у р а в н е н и е м
н ер а т о р а м
к
б о л ь -
iр.
=
зн а ч ен и е
не -
р а в н о м е р н о
д о с т а т о ч н о
б л и зк а
ч и с л а , не
зн а ч ен и я
П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь
к о т о р о е
п р и
к о н с т а н т а . С о о т н о ш е н и е
О ч е в и д н о ,
(9.1)
б у д е т
(mod р ) ,
s i
ц ел ы еп о л о ж и т е л ь н ы е
ет
к
Д л я
сл ов а
s i+ 1 =
где
и
св о й ст в а м
п р е о б р а з у е м
р а зр я д н о г о
(9.1),
(0 ;1 )
А.
ч асть
у 0 п о с л е д о в а т е л ь -
зн а ч ен и й
(9 .1 )
а р и ф м е т и к е
д р о б н у ю
у р а в н е н и е м
т .н . б а з о в ы х
У р а в н е н и е
о зн а ч а ет
и н т ер в а л е
М
зн а ч е н и я х
т е л ь н о с т и
к
A}
п о р о ж д а е м а я
р а с п р е д е л е н н о й
ш и х
{
(9.1)
п о м о щ ь ю
о п р е -
р а с п р е д е л е н и я
р а зл и ч н ы х
и
с т а т и с т и ­
229
ч ес к и х
б у д е м
т е с т о в .
и с п о л ь зо в а т ь
к р и т ер и й
Н и ж е
р а т о р а
ж е
на
р и с у н к е
-
9.1
со г л а си я
р а б о т а х
П и р с о н а
для
-
это го
% 2 и л и
ж е
С м и р н о в а .
п р и в о д и т с я
ч и с е л
с х е м а
а л г о р и т м а
R A N D U ( I X , I Y ,Y FL )
ген е -
дл я
3 2 ­
Э В М .
-
С х е м а
а л г о р и т м а
г е н е р а т о р а
п с е в д о с л у ч а й н ы х
RANDU
З д е с ь
д ел я ет ся
п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь
из
р е к у р р е н т н о г о
i
И с п о л ь зо в а н н ы е
н е ч е т н о е
п с е в д о с л у ч а й н ы х
ч и с е л
ц е л о е
=
о п р е -
с о о т н о ш е н и я
i mod 2 3 2 ,
о б о з н а ч е н и я : IX - н а ч а л ь н о е
8 +1
230
л а б о р а т о р н ы х
к р и т ер и й
п с е в д о с л у ч а й н ы х
Р и с . 9.1
л ю б о е
в
К о л м о г о р о в а
р а зр я д н о й
ч и с ел
М ы
(6 5 5 3 9 £ )
ч и с л о , м е н ь ш е е
2 32;
(9 .4 )
з н а ч е н и е ,
IY YFL
п о л у ч а е м а я
-
ц е л о ч и с л е н н а я
п о л у ч а е м а я
сл у ч а й н а я
сл у ч а й н а я
в е л и ч и н а ,
в ел и ч и н а
из
и н т ер в а л а
( 0 ; 1 ).
9.2
М оделирование н еп реры вн ы х
с л у ч а й н ы х в ел и -
чин
Р а с с м о т р и м
ч а й н о й
м е т о д ы
в ел и ч и н ы
м о д е л и р о в а н и я
Х.
П у ст ь
f(x)
-
ф у н к ц и я
-
н е п р е р ы в н о й
п л о т н о с т ь
с л у -
р а с п р е д е л е н и я ,
x
а
F(x)
J f ( x)dx
=
р а с п р е д е л е н и я
в е р о я т н о с т е й
—
с л у ч а й н о й
о б р а т н у ю
Х.
в ел и ч и н ы
F(x).
к
О б о зн а ч и м
П о к а ж е м ,
что
F ' l (y)
ч ер ез
-
р а с п р е д е л е н и е
ф у н к ц и ю ,
с л у ч а й н о й
в ел и ч и н ы
x= F" '(Z),
где
Z
-
б азо в ая
сл у ч а й н а я
(9.5)
в е л и ч и н а ,
F(x). Д е й с т в и т е л ь н о
P (X<x )=P [Z < F (x ) ] = F (x ).
п р е д е л е н и я
С л е д о в а т е л ь н о ,
с л у ч а й н о й
а л го р и т м
в ел и ч и н ы
э т о й
в ел и ч и н ы
н о го
ч и с л а .
по
ч ер ез
ф у н к ц и ю
рас -
(р и с . 9.2),
м о д е л и р о в а н и я
с в о д и т ся
(9 .5 )
и м е е т
к
н е п р е р ы в н о й
о п р е д е л е н и ю
р е а л и за ц и ю
б а зо в о г о
зн а ч ен и я
с л у ч а й -
F(x) А
Р и с.
В
к а ч еств е
п р и м ер а
п р е д е л е н и е
с
п р е д е л е н и я
F(x ) =
9.2
р а с с м о т р и м
э к с п о н е н ц и а л ь н о е
рас -
f(x)=Xe'lx, x> 0 и ф у н к ц и е й р а с -lx, x> 0 . Н а х о д и м о б р а т н у ю ф у н к ц и ю
п л о т н о с т ь ю
р а с п р е д е л е н и я
1 - e
x = ( - 1 /X )lnZ ,
к отор ая
и
о п р е д е л я е т
а л го р и т м
м о д е л и р о в а н и я .
Н е д о с т а т к о м
в ы ч и с л е н и е
Б о л ь ш и н ст в о
а л г о р и т м о в
ф у н к ц и и ,
о б р а т н о й
о б р а т н о й
р а с п р е д е л е н и й
не
ф у н к ц и и
ф у н к ц и и
п о зв о л я е т
я в л яется
р а с п р е д е л е н и я .
о п р е д е л и т ь
эту
231
ф у н к ц и ю
э т о м у
ст ь ю
в
я в н о м
в и д е
т р у д о е м к о с т ь
р е ш е н и я
ч ер ез
э л е м е н т а р н ы е
а л г о р и т м о в
о т н о с и т е л ь н о
ф у н к ц и и .
о п р е д е л я е т с я
х у р а в н е н и я
П о -
т р у д о е м к о -
в и да
x
j
f ( x)dx =
Z.
(9.6)
^
Д р у г о й ,
с о с т о и т
с м е с и
в
ш и р о к о
и с п о л ь з у е м ы й
п р е д с т а в л е н и и
д р у г и х ,
б о л е е
м е т о д
и с х о д н о г о
п р о с т ы х
с
м о д е л и р о в а н и я ,
р а с п р е д е л е н и я
т о ч к и
зр ен и я
в
в и де
и м и т а ц и и
р а с ­
п р е д е л е н и й :
p 1+ p 2+ . . . +
где
н и я .
Т о г д а
f( x) = p i f (x
p s= 1 , f i( x ) -
и м и т а ц и я
и м и т и р у е т с я
в ы б о р
зы гр ы в а ет ся
д е л е н и е м .
д е л е н и я
в е р о я т н о с т е й
дл я
д е л е н и е м
щ его
л и ч и н .
i
S)
в
р а с п р е д е л е -
э т а п а .
с
в ел и ч и н ы
с
в т о р о е
за т ем
р а ­
р а с п р е ­
дл я
м о д е л и ­
р я д о м
р а с п р е ­
(и л и
в ел и ч и н ы
з а в и с и м о с т и
С н а ч а л а
эти м
и с п о л ь зу е т с я
с л у ч а й н о й
в
д в а
в ел и ч и н ы
( p b p 2 , . . . , p S),
( = 1 ,2 , . ,
Т а к ,
ста в л ен ы
ч а й н ы х
В
ещ ё
х 2 -
л а н г а ,
от
п о с л е д у ю с
р а с п р е ­
п р е д ш е с т в у ю -
в
в и д е
с у м м ы
9.3
п р а в и л о,
п р и
за д а ч а
с л у ч а й н ы х
м о г у т
б о л е е
а п р и о р и
бы ть
ве Э р -
п р ед -
п р о с т ы х
сл у -
от
р я д о в
за д а ёт
с л е д о в а т е л ь н о с т и ,
о б х о д и м о
с
р еш и т ь
в а ж н ы х
э т и х
за д а ч у
в
к р и т ер и ев
п р и
и м и ­
к аче -
том ,
каче -
сгл а ж и в а н и я
что
и
с о г л а ­
о ц е н к е
за д а ч и
р а с п р е д е л е н и я
р е ш е н и и
м е т о д о м
п о с л е д о в а т е л ь н о с т и .
к р и т ер и ев
за к л ю ч а ет ся
п р и
р а с п р е ­
п р о в ер я е т
и с п о л ь зо в а н и е м
п с е в д о с л у ч а й н о й
а
за д а ч
и с сл е д о в а т е л ь
к л а с с и ч е с к о й
за к о н
и м и т а ц и и
2 .
п с е в д о с л у ч а й н о й
п р и м е н е н и я
п а р а м ет р о в
а л г о р и т м ы
р е ш е н и и
р еш а е т с я
с т а т и с т и ч е с к и х
л е н и я .
д р у г и х
в р а зд е л е
м о д е л и р о в а н и я
г е н е р и р о в а н и я
ч ен и я
р яд
(к о м п о з и ц и и )
р а с с м о т р е н н ы х
с и я . О т л и ч и е
тель
и
п р и в е д е н ы
г е н е р и р о в а н и я
ства
м о д е л и р о в а н и я
р а с п р е д е л е н и е , р а с п р е д е л е н и е
р а с п р е д е л е н и е
т а ц и о н н о г о
Э та
с п о с о б
н о р м а л ь н о е
т а б л и ц е
К ак
о д и н
в ел и ч и н .
д е л е н и й ,
232
п л о т н о с т и
р езу л ь та та .
У к а ж е м
ство
с л у ч а й н о й
(9.7)
р а с п р е д е л е н и й ,
ч и сл о
м о д е л и р о в а н и я
f (x )
S
из
с л у ч а й н о й
б а зо в о е
д и с к р е т н о й
-
+ ... + p f (x ),
н е к о т о р ы е
о д н о г о
р о в а н и я
щ и е)
2f 2 (x )
о с у щ е с т в л я е т с я
зн а ч ен и е
П е р в о е
)+ p
и с с л е д о в а ­
т р е б у е м ы е
(с г е н е р и р о в а н н о й )
за д а ч и
и д е н т и ф и к а ц и и
сг л а ж и в а н и я
за к о н а
з н а ­
по н е ­
р а с п р е д е ­
При оценке качества ген ерирования п севдослучай ной
п оследовательн ости в качестве теорети ческого закона р а с ­
пределения возм ож но и сп о л ьзо в ан и е:
1 . заданного закон а распределени я с заданны м и п ар а­
м етрам и;
2.
заданного закона расп ределени я с уточн енн ы м и п а­
рам етрам и путём реш ения задачи аппроксим ации закона
расп ределени я тем или иным способом .
Рассм отрим п оследовательн ость этапов реш ения задачи
оценки качества ген ерирован ия прим енительно ко второму
сл уч аю , как более общ ему (р и с . 9.3).
П осле ввода исходны х данны х первы м ш агом в реш ении
этой задачи является построение гистограм м ы наблю даег
lN
мого стати сти ческого ряда { xi } i =1. Для этого необходим о
вы полнить следую щ ие этапы:
1. О пределить диап азон изм енения стати сти ческого ря да x min x*max'
2. О пределить ш ирину диф ф ерен ци ального коридора:
x r in
Д у = xmov
^vmax —-~m
(9.7)
M
где М - количество диф ф ерен ци альны х к о р и д о р о в .
3 . О пределить
частоту попадания ан ализируем ой сл у ­
чайной величины в j - ый диф ф ерен ци альны й к о р и д о р :
1 N
p j = - 1 8 j -,
(9 .8 )
N i= 1
1, если ent xi
где
1
, если xi =
5j = —
^2
xmln +1 = j Axi = x
max
Д;
(9.9)
0, иначе
- индикатор со сто ян и я.
С ледует о тм ети ть, что 5 ij +1= 1/2, если x i=j Дx л x^x max
в этом случае в j и j +1 коридоры добавляется по 1/2.
т .е .
233
Начало
Р и с . 9.3 - С хем а алгоритм а оценки качества
ген ерирован ия ПСП
4.
Если частота попадания в какой-либо k -ый д и ф ф ерен ци альн ы й коридор м ала (pj < 0 ,0 1 ^ 0 ,0 2 ), то для ум еньш е ния влияния случайности его объединяю т с k +1 кор и д о р о м .
Эта операция м ож ет быть п рим енена н ео д н о к р атн о .
И сходны м м атериалом для построения ги стограм м ы яв ляется сгруп пи рованн ы й по диф ф еренциальны м коридорам
стати сти чески й ряд, п редставлен ны й, как правило, в виде
таблицы (с м . т а б л . 9.1), где hj = p j /А xj
234
С т а т и с т и ч е с к и й
ряд
Т а б л . 9 .1
/V
0 ,0 9 9
0 ,1 0 0 6
0 ,1 0 0 3
0 ,0 9 8 9
0 ,0 9 9
0 ,1 0 6 7
0 ,0 9 5 4
0 ,1
0 ,2
0,3
0,4
0,5
0 ,6
0,7
0 ,9 9
1 ,0 0 6
1,003
0 ,9 8 9
0 ,9 9
1 ,06 7
0 ,9 5 4
0 ,1 0 0 8
0 ,0 9 9 7
0 ,0 9 9 6
0 ,8
0,9
1
1,0 08
0 ,9 9 7
0 ,9 9 6
pj
jA x
/V
hj
/V
pj
jA x
/V
hj
П о с л е
ск и х
п о с т р о е н и я
х а р а к т е р и с т и к
г и с т о г р а м м ы
р е ш а ю т
р а с п р е д е л е н и я , и с п о л ь зу я
ц и и
за к о н а
за д а ч у
тот
и л и
к а ч еств а
эт а п о м
г е н е р и р о в а н и я
с
а н а л о ги ч н о
это
т о м у ,
H,
с о с т о я щ у ю
п о д ч и н я е т с я
в е л и ч и н у
п р е д е л е н и я
за к о н а
и
U,
N.
за к о н о м
г и п о т еза
f a( х )
в е р о я т н о ст ь
м а л а ,
то
в
что
Н
-
ется
п р о в ер и т ь
в ел и ч и н а
со б ы т и я
о п ы т о в
Р (u
с л е д у е т
Н .
-
<
U)
так
тео р а с -
как
и
от
от
ч и с -
о п р е д е л я е т с я
N.
= Рд .
Е с л и
эта
как
м а -
о т в ер гн у т ь
э к с п е р и м е н т а л ь н ы е
Д а л е е
к р и т ер и и
З а к о н
за в и с и т
X,
f u( u )
в е р н а , то
сл у -
р а с х о ж д е н и я
fu( u )
Х
в
л а б о р а т о р н ы х
П и р с о н а
и
К о л м о г о -
С м и р н о в а .
Е с л и
в а н н о й
п о л н о с т ь ю
н е о б х о д и м о
в ел и ч и н ы
г и п о т езе
р ов а
к р и т ер и ев
о с н о в а н и и
и ч и с л о м
и с п о л ь зо в а н ы
про -
Н а
в ел и ч и н ы
д а н н ы е
б у д у т
7.5.
м е р о й
зн а ч и т е л ь н а
р а б о т а х
п .
зд е с ь
р а с п р е д е л е н и й .
г и п о т е зу
п р о т и в о р е ч а т
я в л я ется
сл у ч а й н а я
л о п р а в д о п о д о б н у ю , е сл и
не
а п п р о к с и м а -
р а с п р е д е л е н и я . В в е д е м
с л у ч а й н о й
р а с п р е д е л е н и я
в ер о я т н о ст ь
за к о н у
с л у ч а й н о й
Е с л и
В ы ч и с л и м
т о м ,
ст а т и с т и ч е с к о г о
эт о й
за д а ч и
м а т ер и а л а
я в л я ю щ у ю с я
р а с п р е д е л е н и я
о п ы т о в
м е т о д
со гл а си я
д е л а л о с ь
в
за д а н н о м у
р е т и ч е с к о г о
ла
как
с т а т и с т и ч е с к о г о
ч а й н у ю
и н о й
п а р а м ет р о в
и с п о л ь зо в а н и е м
к р и т ер и ев
г и п о т е зу
с т а т и с т и ч е -
у т о ч н е н и я
р е ш е н и я
с о г л а с и я . П р и м е н е н и е
д а н н о г о
о ц е н к и
р а с п р е д е л е н и я .
З а к л ю ч и т е л ь н ы м
верк а
и
у т о ч н е н и е
п а р а м ет р о в
п о с л е д о в а т е л ь н о с т и
за д а ч а
к ач еств а
а п п р о к с и м а ц и и
г е н е р и р о в а н и я
не
р а с п р е д е л е н и я
п р о и з в о д и т с я , т .е . н е
за к о н о в
П С П
с г е н е р и р о -
р а с п р е д е л е н и я ,
п р о и зв о д и т с я
с
р е ш а о ц ен к а
и с п о л ь зо в а -
235
нием в качестве теорети ческого распределени я заданного
закона с заданны м и п ар ам етр ам и .
Для уточнения парам етров расп ределени я часто приме няется метод м о м ен то в . С огласно этому м ето д у , парам етры
расп ределени я а ь . . . , а m вы бираю тся таким о б р азо м , чтобы
несколько важ нейш их числовы х х арактери сти к (м ом ентов)
теорети ческого расп ределени я были равны статисти ческим
характери сти кам . П ри составлен и и уравнени й для о п р ед е­
ления неизвестны х п ар ам етр о в , как п р ави л о , вы бираю т мо менты низш их п о р яд к о в . О бщ ими реком ендац иям и являю т ся здравы й смы сл и простота реш ения полученной систем ы
у р ав н ен и й . Рассм отрим несколько п ри м ер о в.
О пределим парам етры ан алити ческого вы раж ения п л о т­
ности расп ределени я вероятн остей ген ератора «белого шу м а» - стан дартной програм м ы П Э В М . Т еоретически закон
расп ределени я
долж ен
быть
равном ерны м
f x(x) = —1— , a < x < b с п арам етрам и a =0, b =1.
b- a
Г и стограм м а приведена на р и с . 9.4, а данны е для расчё тов - в таблице 9.1.
«Белый шум»
(10 коридоров)
°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Рис. 9.4
У равнения для определения двух неизвестны х парам ет ров расп ределени я м огут быть составлены различны м и
способам и. П отребуем , наприм ер, чтобы у статисти ческого
и теорети ческого расп ределени й совпадали м атем ати ческое
ож идание и д и сп ер си я:
236
a+b
2
( 9 .1 0 )
(b —a )
Dx =
12
О тм ети м , что оценка начальны х м ом ентов стати сти ч еского ряда оп ределяется вы раж ен и ем :
M —k
ak = Е x j p j >
/ч
х —'
•'v
(9.11)
j=1
где xj - среднее значение j и н тер в ал а, а центральны х
k
д k = Е ( —1) Ck а k—smx •
(9.12)
s =0
Эта систем а уравнени й им еет аналити ческое р еш ен и е:
a = mx —УЗсгx
(9.13)
b = mx +л[3<5 x.
Для данного статисти ческого распределения
mx = 0,4994;
D x = 0,082208;
(9.14)
о x = 0,286719.
П одставив найденны е оценки в вы раж ения (9.13), полу ч и м : а= 0,003327, b= 0,996553. О тсю да в и д н о , что р ассч и ­
танны е парам етры закон а расп ределени я н езн ачительн о, но
отличаю тся от заданного при ген ер и р о в ан и и . С ледователь но, при п роведении статисти ческого м оделирования ц ел е­
сообразно проверять качество програм м ны х генераторов и
оценивать его реальны е характери сти ки .
П рим енив критерий П ирсона, вы числим значение
X2— 7,77, что соответствует вероятности Р д>0,3 (прилож е ние т а б л . 4). Таким о б р азо м , можно принять гипотезу о
т о м , что данны й стати сти чески й ряд со ответствует равно м ерному распределени ю с найденны м и парам етрам и.
П реим ущ еством м етода м ом ентов является простота
определения парам етров р асп р ед ел ен и я, н едостатком - не однозначн ость в вы боре уравнени й, которы х м ож ет быть
больш ое к о л и ч еств о .
237
9.3 З а д а н и е № 8 на с а м о с т о я т е л ь н у ю р аб о ту
1 .
С г е н е р и р о в а т ь
р а с п р е д е л е н и я
ство
о б ъ ё м о м
р е а л и за ц и и
р ав н о
2.
ш и сь
ния
с
дл я
ряд
с
за д а н н ы м
N=500
в ы б о р к и , р а в н ы м
к а ж д о г о
за к о н о м
м о д е л ь н о г о
(к о л и ч е -
э к с п е р и м е н т а
29).
П р о в ер и т ь
для
к а ч еств о
о п р е д е л е н и я
за к о н о в
г е н е р и р о в а н и я ,
п а р а м ет р о в
р а с п р е д е л е н и я
3.
О п р е д е л и т ь
4.
П у н к т ы
2 0 0 0 ,
в р е м е н н о й
1 - 3
а н а л и т и ч е с к о го
м е т о д о м
п о г р е ш н о с т и
п о в т о р и т ь
в ы р а ж е -
м о м е н т о в .
о ц е н к и
для
в о с п о л ь зо в а в ­
п а р а м ет р о в
о б ъ ё м о в
м о д е л и .
в ы б о р к и
N = 1 0 0 0 ,
5 0 0 0 .
9.4 С о д ер ж ан и е о т ч ё т а
1. Ц е л ь
2.
н ы х
р а б о т ы .
М е т о д
и
а л го р и т м
в р е м е н н ы х
3.
р я д о в
О б р а т н а я
м о д е л и р о в а н и я
дл я
за д а н н о г о
ф у н к ц и я
за к о н а
н е к о р р е л и р о в а н ­
за к о н а
р а с п р е д е л е н и я .
р а с п р е д е л е н и я
в е р о я т н о ­
с т е й .
4.
П р и м е р
р е а л и за ц и и
н е к о р р е л и р о в а н н о г о
в р е м е н н о г о
р я д а .
5.
-
П р и м е р ы
N = 5 0 0 ,
6 .
1 0 0 0 ,
и
р а м ет р о в
м о д у л ь
к а ж д о г о
ваться
п а к ет о м
о т н о с и т е л ь н о й
для
N = 5 0 0 ,
ф о р м е
м е т о д у
м о -
о ц е н к и
п а ­
10 0 0 ,
р ав н о
р а с п р е д е л е н и я
п а р а м ет р а
2 0 0 0 .
(к о л и ч ест в о
э к с п е р и м е н т а
за к о н а
о ц е н к и
по
п о г р е ш н о с т и
м о д е л ь н о г о
за в и с и м о с т ь
п о г р е ш н о с т и
р а с п р е д е л е н и я
от
о б ъ ё м а
п о с т р о е н и я
в о сп о л ь зо в а т ь с я
238
в ы б о р к и
м о ж н о
и
р е а ­
29).
в ы ч и с ­
в о с п о л ь з о -
E x cel.
Г р а ф и ч еск а я
8 . В ы в о д ы
о п р е д е л е н н ы е
т а б л и ч н о й
п а р а м ет р а
п о г р е ш н о с т и
Д л я
в
о б ъ ё м а
М = 2 0 .
р а с п р е д е л е н и я
л ен и я
5 0 0 0 .
р а зл и ч н о г о
о т н о с и т е л ь н о й
за к о н а
дл я
для
п а р а м е т р о в ,
о п р е д е л е н и я
7.
5 0 0 0 ,
п р е д с т а в л е н н ы е
л и за ц и и
Д л я
2 0 0 0 ,
З н а ч ен и я
м ен т о в ,
5 0 0 0 ,
г и ст о г р а м м
по
п а к ет о м
р а б о т е .
м а к с и м а л ь н о й
о ц ен к и
в ы б о р к и
г р а ф и ч е с к и х
E x cel.
-
по
м о д у л ю
п а р а м ет р о в
N = 5 0 0 ,
1 0 0 0 ,
за в и с и м о с т е й
зак о н а
2 0 0 0
м о ж н о
,
П р и м е р
т о р н о й
ния
о ф о р м л е н и я
р а б о т ы
п р и в е д е н
Р и с.
к о н о м
9.5
-
для
н и ж е
р езу л ь т а т о в
в ы п о л н е н н о й
э к с п о н е н ц и а л ь н о г о
(п у н к ты
4 - 7
Г е н е р и р о в а н и е
р а с п р е д е л е н и я
м е т о д о м
за к о н а
л а б о р а
р а с п р е д е л е
отч ёта).
П С П
с
э к с п о н е н ц и а л ь н ы м
и н в е р с н о г о
з а ­
п р е о б р а зо в а н и я
239
Р и с . 9 .6
н ы м
240
-
за к о н о м
П р и м е р
г е н е р и р о в а н и я
р а с п р е д е л е н и я
П С П
с
э к с п о н е н ц и а л ь ­
Р и с.
н ы м
9.7
-
за к о н о м
П р и м е р
г ен е р и р о в а н и я
П С П
с
э к с п о н е н ц и а л ь
р а с п р е д е л е н и я
241
Т а б л .
т о д у
9.2
-
З н а ч ен и я
м о м е н т о в ,
р а м ет р о в
и
за к о н а
п а р а м е т р о в ,
о т н о с и т е л ь н ы е
о п р е д е л е н н ы е
п о г р е ш н о с т и
а
1
X = 1
/
а1
N=
5 _
5
1
0,9 7 7 2 3
м е -
о ц е н к и
па -
р а с п р е д е л е н и я ______________________________________________
N= 5 0 0
№
по
1,023301
(X
х)
а1
№
1 0 0 0
X _ 1
/
а1
5
X
0,02 3 3 0 1
5 _
1
0 ,9 4 0 0 9
1,06372
(X
х)
X
0 ,0 6 3 7 2 8
8
2
0,9 6 0 9 3
1,04 0 6 5 9
0 ,0 4 0 6 5 9
2
0 ,9 9 1 4 9
1,00858
0 ,0 0 8 5 8 3
3
3
0 ,94 707
1,055888
0 ,0 5 5 8 8 8
3
1,0 10 0 4
0 ,9 9 0 0 6
-0,00 994
4
1 ,0 1 2 2
0 ,9 8 7 9 4 7
-0,01205
4
0 ,9 8 5 6 6
1,01454
0 ,0 1 4 5 4 9
9
5
1,01325
0 ,9 8 6 9 2 3
-0 ,01308
5
1,0 2 0 0 1
0 ,98 038
-0,01 962
3
6
1,06513
0 ,9 3 8 8 5 3
-0,06115
6
0 ,9 2 8 2 5
1,07729
0 ,0 7 7 2 9 6
6
7
1,0 47 5 6
0 ,9 5 4 5 9 9
-0,0454
7
1,0 29 3 4
0 ,9 7 1 4 9
-0,0 285
6
8
0 ,9 8 2 4 2
1,017895
0 ,0 1 789 5
8
1,0109
0,98921
-0,01078
8
9
1,01613
0 ,9 8 4 1 2 6
-0 ,01587
9
0,99031
1,00978
0 ,0 0 9 7 8 5
5
10
0,90731
1,10 2 1 5 9
0 ,1 0 2 1 5 9
10
1,0059
0,99 4 1 3
-0,00587
5
11
1 ,0 5 3 4 6
0 ,9 4 9 2 5 3
-0,05075
11
0,94411
1,05919
0 ,0 5 9 1 9 9
9
12
0 ,9 7 0 0 2
1,030907
0 ,0 3 0 9 0 7
12
0 ,9 9 5 6 2
1,00439
0 ,0 0 4 3 9 9
9
13
0 ,9 2 6 5 9
1 ,07 9 2 2 6
0 ,0 7 9 2 2 6
13
0,9987
1,00130
0 ,0 0 1 3 0 2
2
14
0,94311
1,06 0 3 2 2
0 ,0 6 0 3 2 2
14
0 ,96 72
1,03391
0 ,0 3 3 9 1 2
2
15
0 ,916 77
1 ,09 0 7 8 6
0 ,0 9 0 7 8 6
15
1,1127
0,89871
-0,10 129
5
16
0,91441
1,093601
0 ,09 3 6 0 1
16
0 ,9 8 3 3 4
1,01694
0 ,0 1 6 9 4 2
2
17
0,9 7 8 3 5
1 ,02 2 1 2 9
0 ,0 2 2 1 2 9
17
1,0 15 3 9
0 ,9 8 4 8 4
-0,01 516
3
18
0,9 8 1 7 5
1 ,01 8 5 8 9
0 ,0 1 8 5 8 9
18
1,04018
0 ,9 613 7
2
242
-0,03863
19
0,9 7 2 5 5
1,02 8 22 5
0 ,0 2 8 2 2 5
0 ,9 8 2 6 2
19
1,01768
0 ,0 1 7 6 8 7
7
20
1,05078
0,9 5 1 6 7 4
-0,04833
20
1,0151
0,9 8 5 1 2
-0,01488
5
2 1
1,0076
0 ,9 9 2 4 5 7
-0,0 075 4
2 1
0 ,9 9 2 8 6
1,00 7 19
0,007191
1
2 2
0,9 5 8 3 3
1,043482
0 ,0 4 3 4 8 2
2 2
0,925
1,08108
0,081081
1
23
1,03565
0 ,9 6 5 5 7 7
-0,0 344 2
23
1,02148
0 ,97 897
-0,02103
2
24
0 ,8 746 8
1,1 43 2 75
0 ,1 4 3 2 7 5
24
0,9 7 9 3 3
1 ,0 2 1 1 0
0 ,0 2 1 1 0 6
6
25
1,06397
0 ,9 3 9 8 7 6
-0,0 601 2
25
0,9 9 1 1 3
1,0 08 9 4
0 ,0 0 8 9 4 9
9
26
0,9 5 9 9 3
1,04 1 74 3
0 ,0 4 1 7 4 3
26
1,00 2 96
0,9 9 7 0 4
-0,00295
9
0 ,9 6 4 1 2
27
1,0 37 2 15
0 ,0 3 7 2 1 5
27
1,00701
0,99 3 0 3
-0,0 069 6
9
28
1,04051
0 ,9 6 1 0 6 7
-0,03893
28
1,01401
0 ,9 861 8
-0,0 138 2
4
29
0 ,9 9 3 5 9
1,006451
0,006451
29
0 ,9 9 2 6 6
1,0 0 7 3 9
0 ,0 0 7 3 9 4
4
N = 20 0 0
1
1,0 02 9 2
0 ,9 9 7 0 8 9
N = 5 0 0 0
-0,00291
1
1,02181
0,97 8 6 5
-0,0 213 4
6
2
0,9 963 8
1,003 6 33
0 ,0 0 3 6 3 3
2
0 ,98 327
1,01701
0 ,0 170 15
5
3
1,00708
0 ,99 297
-0,00703
3
0 ,99 148
1,0 08 5 9
0 ,0 085 93
3
4
0 ,9 8 8 2 4
1,0119
0 ,011 9
4
0 ,9 8 5 0 2
1,01520
0 ,0 1 5 2 0 8
8
5
1 ,0 2 1 0 2
0 ,9 794 13
-0,0 205 9
5
1,02117
0 ,9 7 9 2 6
-0,02073
9
6
0,9 9 5 6 4
1,004379
0 ,0 0 4 3 7 9
6
1,00947
0,99061
-0,00938
9
7
0 ,9 6 8 0 6
1,032994
0 ,0 3 2 9 9 4
7
1,00089
0,99911
-0,000 89
243
1
8
0 ,9 8 6 3 9
1,013798
0 ,0 1 3 7 9 8
8
1 ,0 1 2 8 6
0 ,9 8 7 3 0
-0,0 127
3
9
1,0 29 6 6
0 ,9 7 1 1 9 4
-0,02881
9
0 ,9 8 5 8 9
1,01431
0 ,0 1 4 3 1 2
2
10
0,99591
1,004107
0 ,0 0 4 1 0 7
10
0,9 8 4 4 5
1,01 5 79
0 ,0 1 5 7 9 6
6
11
0 ,9 9 6 3 9
1,00 3 62 3
0 ,0 0 3 6 2 3
1 1
0,9 9 6 3 3
1,00368
0 ,0 0 3 6 8 4
4
12
1,02298
0 ,9 7 7 5 3 6
-0 ,02 246
12
0,99761
1,00 2 39
0 ,0 0 2 3 9 6
6
13
0,99 8 5 3
1,001472
0 ,0 0 1 4 7 2
13
0 ,9 9 3 5 2
1,00 6 52
0 ,0 0 6 5 2 2
2
14
0 ,99 237
1,007689
0 ,0 0 7 6 8 9
14
1,0 0 7 7 4
0,99231
-0,00768
9
15
0 ,9 9 1 5 2
1,00 85 5 3
0 ,0 0 8 5 5 3
15
1,00557
0 ,9 9 4 4 6
-0,00 554
1
16
1,02363
0 ,9 7 691 5
-0,02308
16
1,01113
0 ,9 8 8 9 9
-0 ,0 1 1 0 1
3
17
1 ,0 0 9 4 2
0 ,9 9 0 6 6 8
-0,00933
17
0,99911
1,0 0 08 9
0 ,00 0 8 9 1
1
18
1,0 0 8 9 9
0 ,9 9 1 0 9
-0,00891
18
1,0 0 91 6
0 ,9 9 0 9 2
-0,00908
3
19
0,98241
1,01 79 0 5
0 ,0 1 7 9 0 5
19
0 ,9 9 6 8 4
1,00317
0 ,0 031 7
20
0,98 8 5 3
1,01 1 60 3
0 ,0 1 1 6 0 3
20
1 ,0 1 2 5 4
0,98761
-0,01238
5
2 1
0,9678
1,033271
0,033271
2 1
1 ,0 0 4 1 4
0 ,9 958 7
-0,00 412
7
2 2
1 ,0 0 9 9 9
0 ,9 9 0 1 0 9
-0 ,00 989
2 2
0 ,9 964 8
1,00353
0 ,0 0 3 5 3 2
2
23
0,98 1 6 3
1,018714
0 ,0 1 8 7 1 4
23
1 ,0 1 1 2 4
0 ,9 888 8
-0 ,0 1 1 1 2
5
24
0 ,9 5 2 6 2
1,049737
0 ,0 4 9 7 3 7
24
1,00915
0,99 0 9 3
-0,00907
3
25
0,9806
1,019784
0 ,0 1 9 7 8 4
25
1 ,0 0 3 4 2
0 ,9 9 6 5 9
-0,00341
2
26
1,02 8 19
0 ,9 725 83
-0,0 274 2
26
0,9 8 7 8 5
1,0 1 2 2 9
0 ,0 1 2 2 9 9
9
27
1,01243
0 ,9 877 23
-0,01228
27
0,9 8 1 2 5
1,01910
0 ,0 1 9 1 0 8
8
28
244
0 ,9 9 4 4 6
1,005571
0,005571
28
0 ,9 946 8
1,0 05 3 4
0 ,0 0 5 3 4 8
8
29
0,9 7 0 5 2
1 ,03 0 3 7 5
0 ,0 3 0 3 7 5
29
1,02684
0 ,9 7 3 8 6
-0,0 261 4
2
245
Параметр закона распределения N=500
Параметр закона распределения N=1000
1,2
1,2
1
1
0,8
X 0,6
0,8
X 0,6
0
10
20
0
30
Параметр закона распределения N=2000
^
—
/ L
— А /
10
ЧХ ""—
’
20
30
Параметр закона распределения N=5000
1,2
1,2
1
1
0,8
А. 0,6
0,8
^ 0,6
0
10
15
20
25
30
о
10
15
Минимальное значение модуля погрешности
0|4
0,04
0,02
0
1000 2000 3000 4000 5000
Рис. 9.8 - Р езультаты м оделирования
246
'х \
20
25
30
Т абл. 9.3
Вид распре деления
Равномерное
U(a ,b)
Гистограмма
Плотность
1
----- ,a < x < b
Нормальное
Экспоненци альное expo( в), в=1/X
Эрланга
порядка S
Гиперэкспоненциальное
Вейбулла
Weibull (а,
в)
Примечания
x=a+(b-a )£
b- a
s
£1—i;
Z Ptf t(x)>
i=1
s
Z pi = 1
i=1
где f i(x) - равномер-
N(0, 1)
Алгоритм
x=ai+(bi-ai )£2
ное распределение с
параметрами ai и bi
x = mx+so:
-( x-mx)2
f 12
X
1 e 2o2
s
=
Z
£i
6
л/2По
Vi=1
Xe~Xx, x > 0
x = - 1 ln£
X s
1
(* )se- ^ ', x > 0
x = - Xln(£1".£s)
s!
s
£1- i;
Z Pif i(x)
x = - ^ln£ 2
i=1
X S2
s
Z Pi = 1
i=1
где fi(x) - экспоненциальное распреде­
ление с параметрами
Xi
X=в(-ln £)1/a
ав-а xa-1e“(x/ в)а,
x>0
Сначала имитируется
дис кретная величи на i , заданная
рядом распределения pi
Центральная
предельная
теорема
Сумма s экспо­
ненциальных ве личин.
См. примечание
к распределению
«гистограмма »
9.5 А п п р о к с и м а ц и я з а к о н о в р а с п р е д е л е н и я
9.5.1
З а д а ч а
т и ч е ск и е
о с н о в ы
л а б о р а т о р н о й
Н е о б х о д и м о с т ь
о б р а б о т к е
н ы х
то к о в
в
р е ш е н и и
р езу л ь т а т о в
и с п ы т а н и й
за к о н о в
сг л а ж и в а н и я
с
ц е л ь ю
р а с п р е д е л е н и я
с т а т и с т и ч е с к и х
р я д о в . Т е о р е -
р а б о т ы
так ой
н а у ч н ы х
в о зн и к а ет
и с с л е д о в а н и й ,
п о с т р о е н и я
с л у ч а й н ы х
за д а ч и
к о м п л е к с -
а н а л и т и ч е с к и х
в е л и ч и н ,
п ри
м о д е л е й
п р о ц е с с о в ,
по -
с о б ы т и й .
247
О д н и м
из
сг л а ж и в а н и я
м е т о д о в ,
с т а т и с т и ч е с к и х
т о в , р а с с м о т р е н н ы й
Д р у г и м
с т и ч ес к и х
т и ч е с к о й
в ы ш е
с п о с о б о м
р я д о в
т и ч еск о г о
п р и м е н я е м ы х
для
р я д о в , яв л я ется
я в л я ется
за д а ч и
£
м о м е н -
стати -
п а р а м ет р о в
а н а л и ­
о п р е д е л е н и е
м и н и м у м у
к в а др а -
а п п р о к с и м а ц и и :
x (xj )
[f
м е т о д
сг л а ж и в а н и я
в ы р а ж е н и я , у д о в л е т в о р я ю щ и х
А =
за д а ч и
в п . 9.2.
р е ш е н и я
п о г р е ш н о с т и
р е ш е н и я
fa Р / А ’р 2 >- ) ] 2
-
=
rnin.
(9 .1 5 )
j= 1
где
M - число
f x {xj ) = p j /
я т н о с т е й
д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х
A
j-
j -го
в с е р е д и н е
f a (xj , Р 1 , Р 2 , . . . )
м и
зн а ч ен и е
-
к о р и д о р о в ;
п л о т н о с т и
р а с п р е д е л е н и я
д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о
а н а л и т и ч е с к о е
в ы р а ж е н и е
в ер о -
к о р и д о р а
с
Xj;
н е и зв е с т н ы -
п а р а м ет р а м и .
Условиями минимума погрешности A является следующая сис тема уравнений:
ЭД
^ =
dPl
M [f (x ) f (x о. R
^
£ \fx (xj )- f a (xj >Pi>P 2,- )J-
(xi ’P i,в 2>-)
dP1
j=1
= 0;
MI
дД = £ [fx ( x , ) - f a( x , ,P1,P2,...)]dfa ^ j ; p1’в 2’- ) = 0 ;
ЭР 2 j5 f xW - , - V '
■■
ЭР2
С л о ж н о с т ь
в ы р а ж ен и я
и
э т о й
с и с т е м ы
ч и сл а
о п р е д е л е н и ю . К ак
но
л и ш ь
Т а к ,
ц и и
с
м етр
н е и з в е с т н ы х
н а п р и м е р ,
п р и
и с п о л ь зо в а н и е м
в
от
в и д а
а н а л и т и ч е с к о го
п а р а м ет р о в ,
п р а в и л о , р е ш е н и е
п р и б л и ж е н н ы м и
о п р е д е л я е т с я
за в и с и т
эт о й
(9 .1 6 )
п о д л е ж а щ и х
с и с т е м ы
в о з м о ж -
м е т о д а м и .
о д н о п а р а м е т р и ч е с к о й
м е т о д а
а п п р о к с и м а ­
Н ь ю т о н а , н е и зв е с т н ы й
р езу л ь т а т е
р е ш е н и я
с л е д у ю щ е г о
п ара у р а в ­
н ен и я
Мг- '
Ри+1 Ри
248
'
'
'lf a(xi ’Р)
эр
£ f x (xj ) - fa (Xj , P„ )]'
j =1
M
d2f a (x j ’ P )
j ’Ри1
£ fx (xj )- f a (xj
j =1
эр2
.( 9 .1 7 )
2
f
( x j ’ P)
dp
J
'P=Pn
В
к ач еств е
зн а ч ен и е
н а ч а л ь н о го
п а р а м е т р а , о п р е д е л е н н о е
А л г о р и т м
с л е д у ю щ е е
за в ер ш а ет
s
-
с в о ю
по
м о ж н о
м е т о д у
р а б о т у ,
вы бр ать
м о м е н т о в .
к о гд а
в ы п о л н я ет ся
у с л о в и е :
p
где
п р и б л и ж е н и я
п о г р е ш н о с т ь
n+ 1
- в
n
(9 .1 8 )
< £ ,
в ы ч и сл ен и я
п а р а м е т р а , за д а в а ем а я
ис -
н а х о ж д е н и я
п а р а м ет р о в
д в у х п а р а м е т р и ч е с к о г о
за -
р а с п р е д е л е н и я
н е о б х о д и м о
с л е д о в а т е л е м .
Д л я
к он а
(9 .1 6 )
дл я
д в у м е р н о г о
р еш и т ь
с и с т е м у
у р а в н е н и й
с л у ч а я :
M df (x 7,в1?в2)
= 0;
Л = Z U x ( Z j ) - fa (Zj ’p1’в 2 ) ] '
dP1
j =1
M
dfa (x j ’в1’в 2)
= 0.
f 2 = Z ifx ( x j ) - f a ( x j ’в1’в 2)]
j=1
Р еш и т ь
т о д а м и ,
dp 2
эту
с и с т е м у
н а п р и м ер ,
ф о р м у л о й
дл я
по
i
(
м е т о д о м
тол ь к о
с и с т е м ы
м е т о д у
}
+1’ = в 2n ) - 1
д в1
A
м е -
В о с п о л ь зо в а в ш и с ь
д в у х
Н ь ю т о н а ,
| f 2 f 1 ( p ( n ) , p 2n )
п р и б л и ж е н н ы м и
Н ь ю т о н а .
у р а в н е н и й
с
д в у м я
п о л у ч и м :
f 2
- M
Op 2
A
p 2n
м о ж н о
р е ш е н и я
н е и з в е с т н ы м и
p (n + 1) = р (n ) -
(9 .1 9 )
(
p ( n ) , p 2n )
) ) ,
(9 .2 0 )
d p 2
f 2 ( P 1 n ) , в 2n ) )
-
U
2 ж
д p1
-
-
d f i_d f 2
(9 .2 1 )
в 1 n ) , в 2n ) ) )
где
А ' = д / 1 д /2
д p1 д в 2
Д л я
в ы ч и с л е н и й
п р о и з в о д н ы х
И х
в ы р а ж ен и я
по
д в 2 д в 1
н е о б х о д и м о
н е и зв е с т н ы м
п р и в е д е н ы
в
зн ать
зн а ч ен и я
п а р а м ет р а м
ф о р м у л а х
(9 .2 2 )
ч а ст н ы х
f1
ф у н к ц и й
-
и
f2 .
(9 .2 5 ).
дЛ
M д2f (xt ,в1?в2) д f (xt ,в1?в2) 2
j1- = Z[fx (x7-) - fa (xj ,в1,в2)]
j 2о 2 - [
j
2 ]2,
др1
д p1 j =1
дв2
ч2x
M
— = Z[fx (xj ) - fa (xj ,в1,р2)]д ^ ^ j f 1’^ ~[д f “(Л> Р1’в2)]2
д p2 j =1
др2
дР2
(9 .2 2 )
(9 .2 3 )
249
d fi _ у [ г (x л f (x в в )пd2 f (x j ’Pi’P2)
^
_ У [f x (Xj ) - f a(Xj , Pi , P 2 )]
Э p2
j _i
Э Pi Э p 2
j _l
' rrrz
д f a (xj ’Pi’P2) д f a (xj ’Pi’P2)
Э Pi
д f2
(9.24)
э p 2
M -
d2f a(x,-,Pi,P2) d2f a(x,-,Pi,P2)
f
_ ZLfx (Xj ) - fa (Xj ’Pi’P2)] д / d R
L / d R • (9*25)
ЭPi j _i
ЭP2 o Pi
ЭP2 o Pi
При ап прокси м аци и плотн остей расп ределени я вероят ностей в качестве аргум ен та используется середи на диф фе ренциального коридора ’ что ’ в свою очередь ’ вносит до полнительны е погреш ности при анализе асим м етричны х
законов расп ределени я * От этого н едостатка свободна ап проксим ация ф ункций расп ределени я вероятн остей *
Задача ап прокси м аци и статисти ческого ряда ф ункциям и
расп ределени я вероятн остей ставится аналогично задаче
ап прокси м аци и плотн остей расп ределени я в ер о ятн о стей :
м
л
2
А _ У [Fx (Xj) - Fa (Xj ’Pi’P2’...)]2 _ m in’
(9*26)
j _ i
где M - число диф ф ерен ци альны х к о р и д о р о в ;
Fx (x j ) _ У p s
s _i
значение ф ункции расп ределени я вероятн остей в конце j —
го диф ф ерен ци ального коридора x , ;
Fa (Xj ’Pi’P2’***)
аналити ческое вы раж ение с н еизвестны м и парам етрам и
Рi ’Р2’ ••• *
У словиям и м иним ум а погреш ности А является следую щая си стем а у р ав н ен и й :
дА м dFa (x , ’Р ьР 2’. )
д д - _ У [Fx (Xj ) - Fa (Xj ’Pi’P2’. ) ]
aV j ду
; _ 0;
dPi j_i
dPi
дА
M dFa ( x , ’Pi ’P2’...)
д^Г _ У [Fx (Xj ) - Fa (Xj ’Pi’P2’- )1 a j ^
2------_ 0;
дР2 j_i
дР
250
(9*27)
П р и
в а н и ем
ется
о д н о п а р а м е т р и ч е с к о й
м е т о д а
Н ь ю т о н а ,
в р езу л ь т а т е
н е и зв е с т н ы й
р е ш е н и я
с л е д у ю щ е г о
M
д Ч (xj >p)
S ' Fx (xj ) - Fa1xj >pn).
i=1
д а л ь ш е
к он а
дл я
все
р а сч ет ы
н а х о ж д е н и я
д в у м е р н о г о
С о с т а в и м
п р о и зв о д я т с я
п а р а м ет р
о п р е д е л я -
у р а в н е н и я :
dp
J
P=Pn
а н а л о ги ч н о
д в у х п а р а м е т р и ч е с к о г о
р еш и т ь
у р а в н е н и е
из
д в у х
у р а в н е н и й
для
а п п р о к с и м а ц и и .
п о л у ч и т ь , п р о д и ф ф е р е н ц и р о в а в
ния
м е т о д о м
с и с т е м ы
Н ь ю т о н а .
а н а л о ги ч е н
в е р о я т н о с т е й
Д л я
по
в ы ч и с л е н и й
и зв о д н ы е
по
(9 .2 7 )
Э т у
в ы р а ж е н и е
с и с т е м у
(9 .2 7 )
по
(9 .2 9 )
dp 2
р е ш е н и я
п а р а м ет р о в
за -
п а р а м е т р а м .
j=1
н ы м
с
н а х о ж д е н и я
M dFa (x i , Р1?Р2)
Fi = S [Fx ( x j ) - Fa (x j >Pi, p 2)] a д в
= 0;
j =1
dH1
J
_
,
„
„ .
M „
dFa (x i ,p1, p2)
F2 = S [Fx ( x , ) - Fa ( x j , p1-p 2)] a -j ^ H2 = 0.
Д л я
с л у ч а ю
с л у ч а я .
п а р а м ет р о в
н е и зв е с т н ы м
■> ( 9 . 2 8 )
2
в ер о я т н о ст е й .
н е о б х о д и м о
с и с т е м у
н е и з в е с т н ы х
L
п а р а м ет р о в
р а с п р е д е л е н и я
м о ж н о
и с п о л ь з о -
ЭFa (xj>p)‘
dp 2
п л о т н о с т я м и
Д л я
с
M F I ) F I a \]dFa
S Fx\x i I- F a\x i >pn)J ^
эр
j =1
Pn+1 Pn
и
а п п р о к с и м а ц и и
(9 .2 9 )
в о с п о л ь зу е м с я
С п о с о б
н а х о ж д е н и я
с л у ч а ю
ф о р м у л а м
с
н е о б х о д и м о
н е и зв е с т н ы м
н е и зв е с т н ы х
п л о т н о с т я м и
(9 .2 0 )
и
п р и б л и ж е н -
р а с п р е д е л е ­
(9 .2 1 ).
о п р е д е л и т ь
ч а ст н ы е
п ро -
p 2
ф у н к ц и й
F 1
п а р а м ет р а м
p ь
и
F2 :
ЭК M .
d2Fa(x, ,p1, p2) dFa(x , , p1, p2) 2
—1 = S [FX(x ,) - Fa (x ,, p1, p2)]
a „12 1 2 - [ a j
2 ]2,(9.30)
dp1 j =1
dp2
dp1
M
F a(x,,p1,p2) FFa (x/,p1,p2).
2 = S F (x,) - Fa(x ,>p1, p2)^ y y ^ z' - C a' " { ' r ^ ' T , ( 9 . 3 1 )
dp2 j=1
dp2
dp2
dF,
M
dF = &
V , . » B J l Fa(x, , ft- p2) Э- Fa (x, >p1, p2)
•> ( 9 . 3 2 )
dp = S F ( x , ) - Fa(x, > ^ 2)]dp dp
dp2 ,=1
dp1dp2
ЭР1ЭР2
251
dF,
M .
d2Fa(x, ’Pi’p2) d2Fa (x, ’p^ p2)
^
(Xj ) - Fa(Xj ’Pi’P2)]^ d j T ^ ^
З н а ч ен и я
н е и зв е с т н ы х
и т е р а ц и о н н о й
п р о ц е д у р е
j
п а р а м ет р о в
д о
^
* ( 9 *3 3 )
в ы ч и сл я ю т ся
д о с т и ж е н и я
за д а н н о й
по
т о ч н о -
сти*
Д ля
чить
в ы п о л н е н и я
р а зд ел
г р а м м н о й
л а б о р а т о р н о й
« А п п р о к с и м а ц и я
с и с т е м ы
п р о ц е с с о в »
№ 9
i* С г е н е р и р о в а т ь
д а н н о м у
за к о н у
в р е м е н н о й
О п р е д е л и т ь
про -
и
ан ал и з
с л у ч а й н ы х
р а б о т у
р яд ’ р а с п р е д е л е н н ы й
по
за -
N = 5 0 0 ’ M = i0 *
за к о н о в
а п п р о к с и м а ц и и
ф у н к ц и й
i-3
-
п л о т н о с т е й
по
м е т о ­
р а с п р е д е л е н и я
м и н и м у м у
к в а д ­
ап п р о к си м а ц и и *
п о в т о р и т ь
М (0)
р а с п р е д е л е н и я
р а с п р е д е л е н и я
п о г р е ш н о с т и
4* П у н к т ы
р а с п р е д е л е н и я »
с а м о с т о я т е л ь н у ю
п а р а м ет р ы
м о м е н т о в ’
р а т и ч е с к о й
и зу -
ги стогр ам м у*
3* О п р е д е л и т ь
в е р о я т н о с т е й ’
на
н е о б х о д и м о
р и с * i ’ 2 )*
р а с п р е д е л е н и я
2* П о с т р о и т ь
д о м
за к о н о в
« М о д е л и р о в а н и е
(см * п р и л о ж е н и е
9*5*2 З а д а н и е
р а б о т ы
для
N = i 0 0 0 ’ 2 0 0 0 ’ 5 0 0 0
о п т и м а л ь н о е
ч и сл о
и
M = i0 *
д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х
к ори доров*
5* П р о а н а л и з и р о в а т ь
п а р а м ет р о в
ч и сл а
за к о н о в
N
7 * З а гр у зи т ь
(в ар и ан т
м у * М е т о д о м
Л е ж а н д р а
п о с т р о и т ь
i *Ц е л ь
о п р е д е л и т ь ’
с л у ч а й н о г о
в ы б о р к и ’
в о с п о л ь зо в а в -
п р о ц е с с а
из
ф ай л а
п р еп о д а в а тел ем )*
с л у ч а й н о г о
а п п р о к с и м а ц и и
с л у ч а й н о г о
9*5*3
гр аф и к
п р о ц е с с а
и
его
о р т о г о н а л ь н ы м и
ф у н к ц и и
г и ст о гр а м -
п о л и н о м а м и
п л о т н о с т и
в ер о я т н о -
п р о ц е с с а *
С о д е р ж а н и е
о тч ёта
р а б о т ы *
2* М е т о д ы
252
гр аф и к
о б ъ ё м а
и К о л м о г о р о в а *
о т с ч е т о в
у к а зы в а ет ся
П о с т р о и т ь
ст ей
П и р с о н а
от
о ц е н к и
к ор и дор ов*
а п п р о к с и м а ц и и
к р и т е р и е м
п о г р е ш н о с т и
р а с п р е д е л е н и я
д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х
6 *К а ч е с т в о
ш и сь
за в и с и м о с т ь
и
а л го р и т м ы
а п п р о к с и м а ц и и
за к о н о в
р а сп р е -
делен ия*
3* П р и м е р ы
эк р а н н ы х
р а с п р е д е л е н и я
по
п а р а м ет р о в
м е т о д у
р а с п р е д е л е н и я
м и н и м у м у
за к о н о в
м о м е н т о в ’
в е р о я т н о с т е й
N = 5 0 0 ’
п р е д с т а в л е н н ы е
в
ц и й
м о д е л ь н о г о
к а ж д о г о
5* Г р а ф и к и
П р и м е р
н и я ’
а
п р и м е р а
дл я
р а б о т ы
для
та к ж е
Н К
д е л е н и я
п р о к с и м а ц и и
и
р ав н о
ф у н к ц и й
за к о н а
M = i 0 ’ М ^0)’
(к о л и ч ест в о
с л у ч а й н о г о
по
а п п р о к с и м а ц и и ’
5 0 0 0
р е а л и за ­
29)*
п л о т н о с т и
и
п роц есса*
-
п р о ц е с с а
3 6 »
за к о н а
м и н и м у м у
дл я
в ы п о л н е н н о й
э к с п о н е н ц и а л ь н о г о
за к о н а
за к о н а
за к о н а
л а б о р а ­
р а с п р е д е л е ­
р а с п р е д е л е н и я
« О б о р о т ы
п р и в е д е н ы
в ы с о к о г о
для
д а в л ен и я
н и ж е *
р а с п р е д е л е н и я
р а с п р е д е л е н и я
р а с п р е д е л е н и я
по
р а с п р е д е л е н и я
э к с п е р и м е н т а
и
п л о т н о с т е й
п а р а м ет р о в
ф о р м е
р езу л ь т а т о в
п а р а м ет р а
а п п р о к с и м а ц и и
ф у н к ц и й
10 0 0 ’ 2 0 0 0 ’
а п п р о к с и м а ц и я
с л у ч а й н о г о
п л о т н о с т и
о п р е д е -
р а б о т е *
о ф о р м л е н и я
З н а ч ен и я
р а с п р е д е л е н и я ’
а п п р о к с и м а ц и и
п р о ц е с с а
в е р о я т н о с т е й
по
д в и га т ел я
за к о н о в
о ц е н к и
т а б л и ч н о й
с л у ч а й н о г о
р а с п р е д е л е н и я
6 *В ы в о д ы
а п п р о к с и м а ц и и
п о г р е ш н о с т и
п о г р е ш н о с т и
р а с п р е д е л е н и я ’ для
т о р н о й
и
к в а д р а т и ч е с к о й
о т н о с и т е л ь н ы е
дл я
для
вер оя тн остей *
4* З н а ч е н и я
л е н н ы е
ф о р м
по
в е р о я т н о с т е й
к в а д р а т и ч е с к о й
м е т о д у
и
1
и
х 2
п ри
м о м е н т о в ’
ф у н к ц и и
р а с п р е ­
п о г р е ш н о с т и
а п ­
N = 5 0 0 ’ M = i0 *
253
Т а б л * 9*4
Метод моментов
2
X
х
№
i
2
3
4
5
6
7
8
9
i0
ii
i2
i3
i4
i5
i6
i7
i8
i9
20
2i
22
23
24
25
26
27
28
29
0.9603
5.5439
0*98
6*i867
0.9446
16.2528
0*9804
i*7875
1.0165
5.2636
0*9473
0*9549
i*0333
0*9788
0*9699
i3*545
5*7752
i0*256
6*7865
8*646
1.0022
13.856
i*05i6
i*0274
i*0496
0*9409
5*3593
6*3i4
3*8448
7*i225
1.0549
11.7544
0*9992
0*9645
i*08i5
i*0486
i*79i7
7*985
ii*7833
9*4825
0.9689
9.773
0*9844
0*9728
i*068
0*9822
5*i709
7*02i6
i2*3235
6*0582
0.9432
0.9859
4.9787
5.7124
0*984i
0*946i
i2*5944
9*4224
fa (X’ X)
2
х
8*5i
6*4984
22*636
i*8577
7*6052
0.9101
0.9339
12.5885
5.6472
i*0605
i*0062
0*9677
i*ii32
ii*4268
7*56i9
8*5363
24*6434
1.0153
1.0169
4.5777
6.1396
i*0i82
0*9537
i*i39i
i*05i5
м а л ь н о м у
п р о к с и м а ц и и
В
п о с л е д н е й
д а н н ы й
254
из
м е т о д
2
х
5*798
0.9582
6.0585
0*9602
i7*0424
0.984
1.7663
5*4085
i2*6992
5*7334
1.0195
0.9664
0.9574
9.9176
6.6783
8.1046
i*009i
i*0273
i*0i83
i4*i086
4*7372
6*i564
3*8i85
7*3787
i8*9582
2*6638
1.0314
0.9345
3.735
7.0582
i*087i
i3*4777
1.0717
1.7661
0.9191
7.3457
0*9452
7*489i
i*ii22
i3*53i9
1.0499
10.7825
1.0185
8.8276
i*0246
i3*3076
0.9752
5.1367
i*040i
0*9892
0*98i6
9*22i8
i0*6i4
5*i523
0*9655
6*962i
0.965
6.9599
1.0462
12.1296
i*0634
i2*2956
0*95 i4
0*8908
i*0979
6*i036
5*9352
11*5524
0.9728
5.9853
0.9567
11.6159
0*9258
i*0068
0*9798
5*0i02
5*8i26
i2*3894
0*9359
9*ii2
0.9265
8.9192
12
9
зн а ч ен и я
зн а ч е н и ю
X
0*9674
i*0283
0*9i89
0*9522
8
В ы д е л е н н ы е
Fa(X’ X)
X
i*00579
0*9307
i*0i76
0*9737
i*0799
х
2
в
п а р а м ет р о в
ст р о к е ’
с о о т в е т с т в у ю т
т *е * л у ч ш е м у
м и н и -
м е т о д у
а п ­
р а ссм о т р ен н ы х *
ст р о к е
у к а за н о
а п п р о к с и м а ц и и
к о л и ч е с т в о
д а е т
л у ч ш и й
сл у ч а ев ’
результат*
к о гд а
Р и с . 9.9
255
Р и с . 9 .1 0
256
Р и с * 9* i i -
С л у ч а й н ы й
ния
п р о ц е с с
« О б о р о т ы
д в и га т ел я
Н К - 3 6 »
в ы с о к о г о
д а в л е ­
257
Р и с.
258
9 .1 2
Р и с * 9*i3
9.6
А ппроксим ация корреляци онны х ф ункций
сп ек тр ал ьн ы х плотностей о р то го н ал ьн ы м и ф ун кци ям и
Л агерра
9*6*i
Т е о р е т и ч е с к и е
Н е о б х о д и м о с т ь
о б р а б о т к е
в
о с н о в ы
р е ш е н и и
р езу л ь т а т о в
л а б о р а т о р н о й
д а н н о й
н а у ч н ы х
за д а ч и
р а б о т ы
в о зн и к а ет
и с с л е д о в а н и й ’
п ри
к о м п л е к с -
259
и
ных испы таний с целью построения ан али ти чески х м оделей
корреляци онн ы х ф ункций и сп ектральн ы х плотностей
м ощ ности случайны х процессов в тех сл у ч аях , когда для
вы бора ан алити ческой м одели н едостаточно априорной
инф орм ации о свойствах и сследуем ого п р о ц есса .
В этом сл у ч ае , как п одсказы вает п р акти к а , наиболее
ц елесообразно прим енять разлож ение корреляци онн ой
ф ункции в ряд по той или иной систем е ортогон альн ы х
ф ун кц и й . М атем атическим обоснованием этого м етода яв ляется теорем а М ер сер а , согласно которой сим м етричная и
полож ительно определенная ф ун кц и я , которой и является
ф ункция к о р р ел яц и и , мож ет быть разлож ена в равном ерно
и абсолю тно сходящ ийся ряд в и д а :
R
(т ) =
Z в kV k (т),
(9 .3 4 )
k= 0
где в k - коэф ф ициенты Ф у р ье ;
V k (т) - сем ейство базисны х ф ун кц и й , о ртон орм и рован ных в интервале ( 0 , ^ ) с весом ц ( т ) .
Это сем ейство характери зуется и н тегр ал о м :
7 ( ) ( ) ( ),
f0, при m ф п;
(9 .3 5 )
1Ц(т )Vm(т )Vп (тР т=
1, при m = п.
0
Так как ряд сходится в интервале ( 0 , ^ ) , то коэф ф ициен ты разлож ения р k определяю тся вы раж ен и ем :
ek =
J
Rx 6
У
М
цМ
а
т.
(9 .36)
0
В качестве систем ы базисны х ф ункций прим еняю тся
ортогональны е ф ункции Л агер р а, Д и р и х ле, Л еж ан д р а, Х аа р а , У олш а и т . д . Вы бор систем ы базисны х ф ункций зави сит, в основном , от возм ож ности представлен ия к о р р ел я­
ционной ф ункции м иним альны м числом членов разлож ения
для типовы х м о д ел ей , удобством в р а б о т е .
О дной из расп ростран ен н ы х систем ортогон альн ы х
ф ункций, ш ироко прим еняем ы х в ап проксим ативном к о р ­
реляционном анализе, являю тся ортогональны е ф ункции
Л агерра, определяем ы е вы раж ением :
260
X
k !
(- ат У e- ат/2
(9 37)
й~Г^Гe
.
(9 3 7 )
s=0(k - s )! (s !)
О ртогональны е ф ункции Л агерра уд овлетворяю т сл е­
дую щ ем у свойству:
0, если k Ф п ;
1
,
(9.38)
J L (т>а К (т>а ^ = —,
если
k
=
п.
0
а
С ледует п о д ч ер к н у ть, что на практике приходится ог ран ичи ваться конечны м числом ряда (9.34).
г
(та)
Lk (т, а ) = X (
Это приводит к появлению м етодической погреш ности,
значение которой зави си т как от свойств процесса, так и
способа оценки парам етров м одели.
Тогда для м одели корреляци онн ой ф ункции
m
Rx (т )= X в k L (т, а),
k=0
(9.39)
имею щ ей ограниченное число парам етров, коэф ф ициенты
р азл о ж ен и я, обеспечиваю щ ие минимум квадрати ческой по греш ности аппроксим ации:
2
m
д = J Rx (т) - X РkLk (т-а ) ^т = min,
(9.40)
k=0
0
определяю тся формулой:
ет
pk = а J Rx W Lk (т а )Л ■
(9 -41)
0
При таком способе определения коэф ф ициентов разло ж ения погреш ность ап п рокси м ац и и , с учетом свойств орто гональны х ф ункций Л агерра, равна:
ет
1 m
Д = J Rx2 (т )* - - X Р2.
(9.42)
0
а k=0
Из вы раж ений (9.41) и (9.42) ви д н о , что значения по греш ности ап прокси м аци и Д и коэф ф ициентов разлож ения
р k зави сят от численного значения п арам етра а .
Как показали и ссл ед о в ан и я, отн осительн ая погреш ность
аппроксим ации
261
6 = ----------------------------------------
(9*43)
j RX(т ) dx
0
за в и си т
н о й
от
в ел и ч и н ы
ф у н к ц и и
ч л ен о в
и
её
п а р а м ет р а
ск о й
п о г р е ш н о с т и
З а д а ч а
н а л ь н ы х
В
л и м
н е о б х о д и м о
ф у н к ц и й
а л г о р и т м а
Л а гер р а
п о л у ч и м
а ’
п о г р е ш н о с т и
ч л ен о в
в и си т
п а р а м ет р а
п о к а за тел я
р а зл о ж е н и я
от
тол ь к о
т е х
о д и н
ж е
из
а
за в и сеть
е м у
от
О д н о й
ц и о н н ы х
и ’ в
л я ется
то ’ что
её
от
в и д а
к о р н ей
о б щ е м
о п р е д е -
м и н и м у м
к о р р е л я ц и о н н о й
а
так ж е
у р а в н е н и я
п р и б л и ж е н и я
ч ер т
о р т о г о н а л ь н ы м и
ч и сл а
(9*43)
за -
m+
i ’ и
с л у ч а е ’ р ав н о
н а и м е н ь ш у ю
п о г р е ш н о с т и
о с н о в н о е
па -
ф ункций*
к о т о р о е ’
п о г р еш н о с т ь
р е ш е н и и
Н ь ю т о н а ’ зн а ч е н и е
о т р и ц а т е л ь н ы х
ф у н к ц и й
за д а ч е
(9*44)
п р и б л и ж е н н о м
зн а ч ен и е
к
о р т о го -
а п п р о к с и м а ц и и :
о б е с п е ч и в а е т
н а ч а л ь н о го
из
р еш и в
к о л е б а т е л ь н о с т и ’
(9 * 4 3 )’ н а п р и м ер ’ м е т о д о м
с т в у ю щ е е
с в е д е н а
о б е с п е ч и в а ю щ е г о
за в и с и т
её
П р и
п а р а м ет р а
m+ i = 0 *
ф а к т о р о в
а п п р о к с и м а ц и и *
по -
к в а д р а ти ч е -
к о р р е л я ц и о н н ы х
р я д а * Ч и с л о
н и х
бы ть
у р а в н е н и е ’
в
ф у н к ц и и ’
ч и сл а
а л го р и т м
м и н и м у м
о ц е н к и
м о ж е т
п а р а м ет р а
к в а д р а т и ч е ск о й
В е л и ч и н а
р а зр а б о т а т ь
а п п р о к с и м а ц и и
зн а ч ен и е
ц ’
а п п р о к с и м а ц и и *
р а зр а б о т к и
р езу л ь т а т е
к о р р е л я ц и о н -
к о л е б а т е л ь н о с т и
а ’ о б е с п е ч и в а ю щ е г о
р а м е т р и ч е с к о й
в и д а
m*
р я д а
о б р а зо м ’
и ск а
п а р а м ет р а ’
п о к а за тел я
р а зл о ж е н и я
Т а к и м
эт о го
у р а в н ен и я
а
и
с о о т в ет -
а п п р о к с и м а ц и и
б у д у т
а 0*
а п п р о к с и м а ц и и
ф у н к ц и я м и
к ор р ел я -
Л а гер р а
яв -
с в о й ст в о
m
Rx ( 0 )
как
в и д н о
из
S
к=0
S в
=0
к
™
вк
п р и
п р о и зв о л ь н о й
н о м
m*
262
Dx =
к’
(9*45)
в ы р а ж ен и я
m
У с л о в и е
п о л н я ет ся
=
л и ш ь
=
Dx —
—
^
m
п р и
*
,„\m+i
—/ ^\
d®,
Sx ( ю )
в ел и ч и н е
(9*44)
п р и
j
t .
а
не
в ы п о л н я ет ся
п р о и зв о л ь н о й
(9*46)
п р и
в е л и ч и н е
к о н е ч ­
а
в ы ­
Д л я
о б е с п е ч е н и я
Rx ( т )
н и е
м о ж н о
у с л о в и я
и ск ать
(9 .4 4 )
а н а л и т и ч е с к о е
в ы р а ж е -
в в и д е :
m
гд е
Rx (т)= Z ckLk (т> а) >
к=0
( 9 -4 7 )
Ск = -
( 9 -4 8 )
Dx .
Z вк
к=0
m
Л егк о
О д н а к о
п р о в е р и т ь ,
к о э ф ф и ц и е н т ы
ф о р м у л е
ск о й
(9 .4 8 ),
не
п о г р е ш н о с т и
Т ак и м
л и б о
ф у н к ц и й ,
эт о м
не
ск,
о п р е д е л е н н ы е
м и н и м у м а
по
к в а д р а т и ч е -
а п п р о к с и м а ц и и .
н е д о с т а т к о м
к о э ф ф и ц и е н т о в
л и б о
Rx ( 0 ) = Z вк = D x .
к=0
с л у ч а е
о б е с п е ч и в а ю т
н а р у ш а ю т
п о г р е ш н о с т и
в
р а зл о ж е н и я
о б р а з о м , о б щ и м
о п р е д е л е н и я
о н и
что
и зв е с т н ы х
р а зл о ж е н и я
о с н о в н о е
я в л я ется
с в о й с т в о
о б е с п е ч и в а ю т
с п о с о б о в
то,
что
к о р р е л я ц и о н н ы х
м и н и м у м а
к в а д р а т и ч е ск о й
а п п р о к с и м а ц и и .
У р а в н е н и е
дл я
к о р р е л я ц и о н н о й
о п р е д е л е н и я
ф у н к ц и и
к о э ф ф и ц и е н т о в
р а зл о ж е н и я
Ьк
m
Rx (т)= Z h h (т>а) >
к=0
о б е с п е ч и в а ю щ и х
а п п р о к с и м а ц и и
м и н и м у м
п р и
( 9 -4 9 )
к в а д р а т и ч е с к о й
д о п о л н и т е л ь н о м
п о г р е ш н о с т и
у с л о в и и
m
Rx (0 )= Z Ьк = D x ,
к=0
и м е е т
(9 .5 0 )
ви д
m
D x - Z Pк
Ьк = Pк +
А
для
в а ю щ е г о
о п р е д е л е н и я
м и н и м у м
зн а ч ен и я
п о г р е ш н о с т и
^
m +1
.
п а р а м ет р а
н е о б х о д и м о
(9 .5 1 )
а ,
о б е с п е ч и -
р еш и т ь
ур ав -
н ен и е
m
D x - Z рк
Ьт+1 = в m+1 + ---------+ 7 ^ = 0.
m +1
(9 .5 2 )
263
Таким о б р азо м ’ при ап прокси м аци и корреляци онн ой
ф ункции для обеспечения м иним ум а квадрати ческой по греш ности требуется изм енением п арам етра а добиться р а ­
венства нулю коэф ф ициента р m+i * Значения b 0’ . . . ’ b m в этом
случае будут оптимальными*
Р ассм отренны е алгоритм ы (9 * 4 i)’ (9*44)’ (9*5i) и (9*52)
легко реали зовать на ЭВМ ’ однако все они ’ как указы ва лось выше ’ не лиш ены сущ ественного н едостатка - в ре зультате реш ения уравнени й (9*44) или (9*52) в общ ем слу чае возм ож но оп ределение (m + i) корней ’ обеспечиваю щ их
локальны е м иним умы п огреш ностей аппроксимации*
Это обстоятельство н аклады вает определенны е неудоб ства при вы боре д иап азона изм енения п арам етра ф ункции
Лагерра*
Для однозначного реш ения зад ач и ’ т *е * определения
единственного корня ’ обеспечиваю щ его погреш ность ап п рокси м ац и и ’ близкую к м ин им ум у’ необходим о ан ал и зи ­
ровать сигнал ’ п ропорциональны й р 0*
Р ассм отрим уравнение
в 0 —ко2 = а J R x (т )L0(Т’ а ^ т —ко 2 = 0 ’
(9*53)
0
где L0 (Т’ а) = е_ат/2- функция Л агерра нулевого п о р яд к а;
к - постоянная в ел и ч и н а’ к о то р ая ’ как видно из у р ав н ен и я’
меньш е 2 *
Н ап ри м ер’ для корреляци онн ой ф ункции (под номером
5 в списке ф ун кци й ) R x5 (т) = о \ e
приводится к виду:
cos©01 это уравнение
а \ e _ат n e~Xz cos ю0xdx —к = 0*
0
Разреш ив уравнение относительно а ’ получим:
а = 2 —X(i —к )
WX2(i —к)2 + к(2 —к ) (х 2 + ©2 )
(9*54)
(9 55 )
2 —к
'
При k = l вы раж ение прим ет самы й простой в и д ’ а и м ен ­
но:
а = 2 д/X2 + ю0 *
264
(9*56)
Реш ив уравнение (9.54) для корреляци онн ы х ф ункций
f cos®0 т ± —
Х sin©
• 0 Iт ^I при к =1, п о лу ч и м :
Rx,6,7
l x,6,7 (т)
(т) -- ° xe
®0
V
а- 2
J
+ х).
(9.57)
Специфика проведения аппроксимативного корреляционного
анализа с помощью ЭВМ заключается в «дискретизации» получен­
ных ранее уравнений, выборе численного метода для их решения,
написании, отладке соответствующего программного обеспечения
и проведении счёта. Проанализируем различные алгоритмы опре­
деления коэффициентов разложения ортогонального ряда и пара­
метра функций Лагерра, которые для удобства представим в табли­
це 9.5.
Т а б л . 9.5
№
Алгоритм
о
II
S
+
со.
1
Преимущества
М инимум погреш ности
М инимум погреш ности,
m
D x - Е Рк
2
3
4
bm+1
-
Рm+1 +
Р0 - ° 2
-
- 0
. Рm +1 - 0
5
<
Р0 - о 2 b m+1
6
7
8
-
0
0
Р0 - Р1 - ° 2 - 0
m
/
Е (- 1 )к Р к - о 2 к- 0
а - 2 ю0
0
R x (т )
-
m+1 к о р н е й
о2
А н а л и т и ч е с к о е ре ш е н и е , о д и н ко 5 Ф min
рень
Сложность
В ы х о д на гл о ба л ь ный м и н и м у м по реализации,
грешности
увеличивает ся вре мя
анал иза
Сложность
В ы х о д на м и н и м у м
реализации,
погреш ности,
увеличивает R x ( т) - ° 2
ся вре мя
анал иза
О д и н ко р ен ь
5 Ф min
0
-
Р0 - о 2
5
1
1
+
m+
Недостатки
m+1 к о р н е й
Б л и зо к к 5min
m+1 к о р н е й
Простота оп р ед ел ен и я а
5 Ф min
0
265
С р а в н и т ел ь н ы й
то ч к и
зр ен и я
ан ал и з
м и н и м и за ц и и
п еч ен и я
д о п у с т и м ы х
п еч ен и я
л у ч ш е й
к о р ен ь )
н а и б о л е е
р а м етр
а ,
в б л и зи
а опт
б л и зк и е
и
с х о д и м о с т и
ц е л е с о о б р а з н о
и м е е т
в ы бр ать
э т о м у
о б е с п е ч и в а е т
с
о б е с -
и
о б е с -
тол ь к о
о д и н
а л го р и т м
а л г о р и т м у ,
п о г р е ш н о с т и
к в а д р а ту р н а я
у р а в н е н и я
3.
П а ­
н а х о д и т с я
а п п р о к с и м а ц и и ,
д а е т
ф о р м у л а
с л е д у ю щ и й
С и м п с о н а
п р и
р е ш е -
р е зу л ь т а т :
Rx ( 0 ) + Rx(2n)e~2naAzl2 +
Rx(2Ai)e~2aAz/2
+
2[
+
[ Rx( A
x
)
e_eAT
...+
/2 +
...+
+
Rx[ ( 2 n -2)Ax]e4'2n-2)aAz'2]
Rx[ ( 2 n
1)A
-
u
]
e_( n- aAT
2
1)
/2
] }-
o 2
(9 .5 8 )
+
0
=
n _ J max/ 2 .
М е т о д и к а
а п п р о к с и м а ц и и
т о г о н а л ь н ы м и
н и и
ф у н к ц и я м и
с л е д у ю щ и х
н о й
2. О п р е д е л я е т с я
р е ш е н и я
3. О п р е д е л я ю т с я
с о о т в е т с т в и и
за к л ю ч а е т ся
в
ор -
в ы п о л н е -
5. О п р е д е л я е т с я
н о р м и р о в а н н о й
ф у н к ц и й
к о э ф ф и ц и е н т ы
Л а гер р а
а
в
р е зу л ь т а ­
ч и сл о
р а зл о ж е н и я
{ в к } к= 0 ,
mв
р а зл о ж е н и я
{
b k } k= 0 ,
mв
(9.41);
к о э ф ф и ц и е н т ы
о б е с п е ч и в а ю щ е е
к о р р е л я ц и о н -
(9.53 );
с в ы р а ж е н и е м
а п п р о к с и м а ц и и
ф у н к ц и й
j max;
с в ы р а ж е н и е м
4. О п р е д е л я ю т с я
m opt,
=0
п а р а м ет р
у р а в н ен и я
с о о т в е т с т в и и
Л а г ер р а
о р д и н а т ы
{ рx(j a t )}7
ф у н к ц и и
к о р р е л я ц и о н н ы х
этап ов:
1. О п р е д е л я ю т с я
те
по
за т р а т ,
а п п р о к с и м а ц и и
(у р а в н е н и е
что
к м и н и м а л ь н ы м .
{
где
п о к а зы в а е т ,
в ы ч и с л и т е л ь н ы х
п о г р е ш н о с т е й
о п р е д е л е н н ы й
Н а п р и м е р ,
н и и
а л г о р и т м о в
(9.51);
ч л ен о в
р а зл о ж е н и я
м и н и м а л ь н о е
н о р м и р о в а н н о й
зн а ч ен и е
р я д а
(9 .3 9 )
п о г р е ш н о с т и
к о р р е л я ц и о н н о й
ф у н к ц и и
5;
6 . О п р е д е л я ю т с я
ж е н и я : а , m = mopt,
О п р е д е л и в
P 0,... P
m,
{ в
к} к = 0 ,
п а р а м ет р ы
а п п р о к с и м и р у ю щ е г о
m,
{
bk}k=o,
м о д е л и
m,
в ы р а -
5.
к о р р е л я ц и о н н о й
ф у н к ц и и
а
Ra W
266
п а р а м ет р ы
=
m
I в кЬк ( T
к= 0
m
а Ж т) + I
к= 0
e kLk ( - T а ) 1 ( - t) .
( 9 -5 9 )
оценим спектральную плотность м ощ ности случайного
п р о ц есса.
Для э т о го , подставив модель (9.58) в вы раж ение для
определения сп ектральн ой плотности м ощ ности
m
1 оо m
(® )= ^ - j Z р kLk (т а)1(т)+ Z РkLk (- т а)1(-т) e_j®Tdx, (9.60)
2п 0 к= 0
k= 0
с учётом оп ределения ортогон альн ы х ф ункций Л агерра
(9.37), п о л у ч и м :
Vj ®
j®
+ а
(N
/2 +
1
а
IB
1
S
1 m
Sx (®) = с г Z Рk
2п k=0
/2 J
+
(9.61)
+
1
f j® + а/2лk
а/2 - j® Vj® - а/2v
В ведем обозн ачени е tg9 = — . Тогда
а
k
f v
1^
1 m
1
1
j tg ф + 1
j tg9 - 1 +
.(9.62)
Sx (®) = — Z Рk
ап k=0
1+ j g 9 1 j tgф + J
1- j g 9 1 j g 9 - 1J
Или
k
с /з
с /з
о
о
-е
+
и-'•
3
-е
cosф
1
1 m
Sx (®)=— Z Pk
ап k=0
+
^1Пф - cosф
+
Vу51пф+cosф j
(9.63)
jsin 9 + cos9
cos9
c o s^ - jsin9 jsin9 - cos9 J
k
В осп ользовавш и сь ф орм улам и Э й лер а, вы раж ение (9.63)
приведем к виду:
S
=^
x
« * ф z в k 1 - e - ]ф
(®) =
e ]ф V e ]ф
ап k=0
Z Pk (-1)
ап k=0
где
ф = arctg
k e —I( 2 k + 1 ) ф
+
e ( 2 k + 1)ф
k
1
+
e-
]ф
e ]ф
-e
k
- ]ф
2cosф m
Z Pk ( ап
k= 0
1)k c o s ( 2 k + 1 )
ф,
2®
а '
Для вы полнения лабораторной работы необходим о изу чить раздел «А пп роксим ативны й анализ корреляционно 267
с п ек т р а л ь н ы х
д е л и р о в а н и е
н и е
х а р а к т е р и с т и к »
и
ан ал и з
с л у ч а й н ы х
9 .6 .2
З а д а н и е
№ 10
1 . С г е н е р и р о в а т ь
р е л я ц и о н н о й
на
в р е м е н н о й
ф у н к ц и и
2. В ы ч и с л и т ь
3. З адать
ф у н к ц и и
и
в р у ч н у ю
Л а гер р а
и
в ы р а ж ен и я
(см .
« М о -
п р и л о ж е ­
со
с
за д а н н ы м
с л е д у ю щ и м и
в и д о м
к о р ­
п а р а м е т р а м и
5 = 0 ,0 2 .
ф у н к ц и ю .
н а ч а л ь н о е
н а й т и
п р и б л и ж е н и е
зн а ч ен и я
п а р а м ет р о в
к о р р е л я ц и о н н о й
м е т о д
р а б о т у
ф у н к ц и и
п а р а м ет р а
а н а л и т и ч е ­
b0 , . . . ,
а ,
С и м п с о н а . О п р е д е л и т ь
bm ,
п о г р е ш н о -
а п п р о к с и м а ц и и .
4. О п р е д е л и т ь
т о т у ,
с п ек т р а л ь н у ю
с о о т в е т с т в у ю щ у ю
п л о т н о с т ь
м а к с и м у м у
м о щ н о с т и
с п ек т р а л ь н о й
и
ч ас -
п л о т н о -
м о щ н о с т и .
5. П о в т о р и т ь
к= 2 5 ,
50,
п у н к т ы
1 - 4
п а р а м ет р о в
о б ъ ё м а
для
о б ъ ё м о в
в ы б о р к и
N =
кМ,
где
100.
6 . П р о а н а л и з и р о в а т ь
за в и с и м о с т ь
к о р р е л я ц и о н н о й
п о г р е ш н о с т и
ф у н к ц и и
и
о ц е н к и
а п п р о к с и м а ц и и
от
в ы б о р к и .
7. П о в т о р и т ь
М 1 = М/2,
где
ряд
к о р р е л я ц и о н н у ю
в о с п о л ь зо в а в ш и с ь
сти
п р о ц е с с о в »
с а м о с т о я т е л ь н у ю
- M = e n t [ Tkmax/ А т ] , ^ = 1 2 , 5 М ,
сти
с и с т е м ы
3 ).
ри с.
ск о го
п р о г р а м м н о й
п у н к т ы
М /3 ,
9. П о в т о р и т ь
о б ъ ё м о в
за в и с и м о с т ь
к о р р е л я ц и о н н о й
к о р р е л я ц и о н н о й
дл я
в ы б о р к и
N = 2 5 М ь
М /4.
8 . П р о а н а л и з и р о в а т ь
с и м а ц и и
1 - 4
ф у н к ц и и
п о г р е ш н о с т и
М\
от
-
ч и сл а
а п п р о к ­
о т сч ё т о в
ф у н к ц и и .
п у н к т ы
1 - 4
для
N = 2 5 М
и
5 = 0 ,0 2 ;
0 ,05;
0,1;
0 ,2 .
10.
П р о а н а л и зи р о в а т ь
с и м а ц и и
9.6 .3
1. Ц е л ь
к о р р е л я ц и о н н о й
С о д е р ж а н и е
и
а л го р и т м ы
эк р а н н ы х
ф у н к ц и й
о р т о г о н а л ь н ы м и
268
от
а п п р о к ­
А т .
о тч ёта
а п п р о к с и м а ц и и
о р т о г о н а л ь н ы м и
3. П р и м е р ы
ц и о н н ы х
ф у н к ц и и
п о г р е ш н о с т и
р а б о т ы .
2. М е т о д
ф у н к ц и й
за в и с и м о с т ь
и
ф у н к ц и я м и
ф о р м
дл я
Л агер р а.
а п п р о к с и м а ц и и
сп ек т р а л ь н ы х
ф у н к ц и я м и
к о р р е л я ц и о н н ы х
Л агер р а.
п л о т н о с т е й
к о р р е л я ­
м о щ н о с т и
4 . З а в и с и м о с т и
Л а гер р а
и
п о г р е ш н о с т и
а п п р о к с и м а ц и и
5. З а в и с и м о с т и
о н н о й
ф у н к ц и и
о н н о й
ф у н к ц и и
7. П а р а м ет р ы
о б ъ ё м а
п о г р е ш н о с т и
п а р а м ет р а
в ы б о р к и
ф у н к ц и и
N.
а п п р о к с и м а ц и и
к о р р е л я ц и -
а п п р о к с и м а ц и и
к о р р ел я ц и -
M1.
от
6 . З а в и с и м о с т ь
от
о ц е н к и
п о г р е ш н о с т и
от
А т.
м о д е л и ,
п р е д с т а в л е н н ы е
в
т а б л и ч н о й
ф о р -
м е.
8 . В ы в о д ы
Н и ж е
м а ц и и
ст ей
по
р а б о т е .
п р и в е д е н ы
п р и м е р ы
к о р р е л я ц и о н н ы х
м о щ н о с т и
Р и с . 9 .1 4
н о й
-
эк р а н н ы х
ф у н к ц и й
о р т о г о н а л ь н ы м и
Э к р ан н ая
ф у н к ц и и
ф о р м а
и
ф о р м
с п ек т р а л ь н ы х
ф у н к ц и я м и
а п п р о к с и м а ц и и
о р т о г о н а л ь н ы м и
дл я
а п п р о к с и п л о т н о -
Л а г е р р а .
к о р р е л я ц и о н -
ф у н к ц и я м и
Л а гер р а
269
Р и с . 9 .1 5
н о й
270
-
Э к р ан н ая
ф у н к ц и и
ф о р м а
а п п р о к с и м а ц и и
о р т о г о н а л ь н ы м и
к о р р е л я ц и о н -
ф у н к ц и я м и
Л а гер р а
Р и с . 9 .1 6
-
Э к р а н н а я
ф о р м а
с п ек т р а л ь н о й
а п п р о к с и м а ц и и
п л о т н о с т и
271
СП И СО К И С П О Л ЬЗО В А Н Н О Й Л И ТЕРА ТУ РЫ
1.
Б е н д а т
Д ж .,
П и р с о л
п р о ц е с с о в ; П е р . с
Л .
И з м е р е н и е
и
а н г л . М а т у ш е в с к о г о
ан ал и з
Г .В . и
с л у ч а й н ы х
П р и в а л ь ск о г о
В . Е . М .: М и р . - 1 9 7 4 . - 4 6 4 с .
2.
е
В е н т ц е л ь
и з д . -
3.
Е .С . Т е о р и я
М .: В ы с ш . ш к . , 2 0 0 1 . -
В е н т ц е л ь
сов
и
её
Е . С .,
О в ч а р о в
и н ж е н е р н ы е
м а т . л и т . 4.
в е р р о я т н о с т е й : У ч е б . дл я
1 9 9 1 .-
Г м у р м а н
5 7 5 с .
Л .А . Т е о р и я
с л у ч а й н ы х
п р о ц е с -
п р и л о ж е н и я . М .: Н а у к а . Г л . р е д . ф и з . ­
3 8 4 с .
В .Е .Т е о р и я
т и с т и к а : У ч е б .
в у зо в .-7 ­
в е р о я т н о с т е й
8 -е
п о с о б и е . -
и
и з д . -
м а т ем а т и ч еск а я
М .:
В ы с ш . ш к .,
ста -
2 0 0 2 .­
4 7 9 с .
5.
К ел ь т о н
си к а
C S .
B H V ,
6 .
В .,
3 -е
/ П о д .
1 9 7 9 .-
4 3 2 с .
К л е й н р о к
С П б .: П и т е р ; К и е в : И з д а т е л ь с к а я
Л.
Т ео р и я
р е д .
В .И .
Л.
м а с с о в о г о
8 . К о в а л е н к о
Н е й м а н а .
В ы ч и с л и т е л ь н ы е
И .Н .,
м а т ем а т и ч еск а я
В ы сш а я
Ф и л и п п о в а
ста ти сти к а.
ш к о л а . -1 9 7 3 .-
П р о х о р о в
ц е с с о в .
-
М .:
Л а б о р .
П у г а ч ев
Р А Н , 2 0 0 2 .-
-
Т а р а с о в .В .Н .
в ан и е
12.
с л о ж н ы х
Т а р а со в
в ан и е
Т а р а со в
м а с с о в о г о
272
ан ал и з
и з д .,
Б а х а р ев а
2 -е
У М О
В .Н .,
-
дл я
в узов .
и
М .:
с л у ч а й н ы х
и
п ро -
д о п о л н .
и
м а т ем а т и ч еск а я
и з д ., и с п р . и д о п о л н . -
к о м п ь ю т е р н о е
Н .Ф .
с и с т е м .
в у зо в
о б р а зо в а н и ю
2 3 0 1 0 0 .
5 9 7 с .
в е р о я т н о с т е й
п е р е р а б .
в е р о я т н о с т е й
с и с т е м . С а м а р а .: С Н Ц
г р а м м ы . Д о п у щ е н о
13.
и
В е р о я т н о с т н о е
В .Н .
т е х н и ч е с к о м у
п о с о б и е
П ер.
М .:
4 9 6 с .
в ы ч и с л и т е л ь н ы х
п р а в л е н и ю
А .А . Т е о р и я
2 - е
с т а т и с т и к а : У ч е б . п о с о б и е . -
11.
о ч ер ед я м и :
2 7 7 с .
Т ео р и я
Ф И З М А Т Л И Т , 2 0 0 2 .-
с
3 6 8 с .
п р а к т и к у м .
В .С .
с
М .: М и р , 1 9 7 9 . -
У ч е б .
П ер .
М а ш и н о с т р о е н и е ,
с и с т е м ы
С .А . М о д е л и р о в а н и е
С а м а р а .: С Н Ц
10.
гр у п п а
о б с л у ж и в а н и я :
а н г л . / П о д . р е д . Б .С . Ц ы б а к о в а . -
9.
м о д е л и р о в а н и е . К л а с -
2 0 0 4 .- 8 4 7 с .
а н г л .
с
А . И м и т а ц и о н н о е
и з д . -
К л е й н р о к
7.
Л о у
в
Т е о р и я ,
к ач еств е
о б с л у ж и в а н и я
с
В .К .
1 9 4 с .
м о д е л и р о -
а л г о р и т м ы ,
у н и в е р с и т е т с к о м у
О р е н б у р г : И П К
К р у гл и к о в
Р А Н , 2 0 0 2 .-
К о м п ь ю т е р н о е
по
м о д е л и р о -
уч.
п о с о б и я
О Г У , 2 0 0 5 .А н а л и з
и
и с п о л ь зо в а н и е м
п ро п о л и -
по
н а ­
183 с .
р а сч ет
с е т е й
д в у м е р н о й
д и ф ф у з и о н н о й
к а . А Н
14.
и
в е р о я т н о с т е й . / П о д . р е д . д .т . н .,
д . ф . - м . н .,
М .: М Г Т У
15.
А в т о м а т и к а
и
т е л е м е х а н и -
С С С Р , 1 9 8 3 . с .7 4 -8 3 .
Т ео р и я
б и н а
а п п р о к с и м а ц и и .
п р о ф . А .П . К р и щ е н к о . И з д . 3 - е , и с п р а в . -
и м . Н .Э .Б а у м а н а , 2 0 0 4 . -
Т и х о н о в
В . И ., М и р о н о в
С о в . р а д и о , 1 9 7 7 .-
п р о ф . В .С . З а р у -
4 5 6 с .
М .А . М а р к о в с к и е
п р о ц е с с ы . М .:
4 8 8 с .
273
П РИ Л О Ж Е Н И Е
З н а ч ен и я
ф у н к ц и и Р ( т ; X) =
е
т!
Табл. 1
т
0
1
2
3
4
5
6
7
8
т
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
274
0,1
0,90484
09048
00452
00015
1,5
0,22313
33470
25102
12551
04707
01412
00353
00076
00014
00002
0,2
81873
16375
01637
00109
00005
2,0
13534
27067
27067
18045
09022
03609
01203
00344
00086
00019
00004
00001
0,3
74082
22225
03334
00333
00025
00002
2,5
08208
20521
25652
21376
13360
06680
02783
00994
00311
00086
00022
00005
00001
0,4
67032
26813
05363
00715
00072
00006
3,0
04979
14936
22404
22404
16803
10082
05041
02160
00810
00270
00081
00022
00006
00001
0,5
60653
30327
07582
01264
00158
00016
00001
3,5
03020
10569
18496
21579
18881
13217
07710
03855
01687
00656
00230
00073
00021
00006
00001
0,6
54881
32929
09879
01976
00296
00036
00004
4,0
01832
07326
14653
19537
19537
15629
10420
05954
02977
01323
00529
00192
00064
00020
00006
00002
0,7
49659
34761
12166
02839
00497
00070
00008
00001
0,8
44933
35946
14379
03834
00767
00123
00016
00002
0,9
40657
36591
16466
04940
01111
00200
00030
00004
1,0
36788
36788
18394
06131
01533
00307
00051
00007
00001
4,5
01111
04999
11248
16872
18981
17083
12812
08236
04633
02316
01042
00426
00160
00055
00018
00005
00002
5,0
00674
03369
08422
14037
17547
17547
14622
10444
06528
03627
01813
00824
00343
00132
00047
00016
00005
00001
5,5
00409
02248
06181
11332
15582
17140
15712
12345
08487
05187
02853
01426
00654
00277
00109
00040
00014
00004
00001
6,0
00248
01487
04462
08924
13385
16062
16062
13768
10326
06884
04130
02253
01126
00520
00223
00089
00033
00012
00004
00001
x2
--------
1
З н а ч ен и я
ф у н к ц и и
(р(x )
1
39892
39654
39024
38023
36678
35029
33121
31006
28737
26369
23955
21546
19186
16915
14764
12758
10915
09246
07754
06438
05292
04307
03470
02768
02186
01709
01323
01014
00770
00578
Сотые доли x
3
4
5
39876 39862 39844
39559 39505 39448
38853 38762 38667
37780 37654 37524
36371 36213 36053
34667 34482 34294
32713 32506 32297
30563 30339 30114
28269 28034 27798
25888 25647 25406
23471 23230 22988
21069 20831 20594
18724 18494 18265
16474 16256 16038
14350 14146 13943
12376 12188 12001
10567 10396 10226
08933 08780 08628
07477 07341 07206
06195 06077 05959
05082 04980 04879
04128 04041 03955
03319 03246 03174
02643 02582 02522
02083 02033 01984
01625 01585 01545
01256 01223 01191
00961 00935 00909
00727 00707 00687
00545 00530 00514
Десятые доли x
=
,—
л/2 п
e
2
Табл. 2
х
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0
0,39894
39695
39104
38139
36827
35207
33322
31225
28969
26609
24197
21785
19419
17137
14973
12952
11092
09405
07895
06562
05399
04398
03547
02833
02239
01753
01358
01042
00792
00595
х
3,0 0,00443
4,0 00013
2
39886
39608
38940
37903
36526
34849
32918
30785
28504
26129
23713
21307
18954
16694
14556
12566
10741
09089
07614
06316
05186
04217
03394
02705
02134
01667
01289
00987
00748
00562
2
0
00238
00006
6
39822
39387
38568
37391
35889
34105
32086
29887
27562
25164
22747
20357
18037
15822
13742
11816
10059
08478
07074
05844
04780
03871
03103
02463
01936
01506
01160
00885
00668
00499
4
00123
00002
7
39797
39322
38466
37255
35723
33912
31874
29659
27324
24923
22506
20121
17810
15608
13542
11632
09893
08329
06943
05730
04682
03788
03034
02406
01888
01468
01130
00861
00649
00485
8
39767
39253
38361
37115
35553
33718
31659
29431
27086
24681
22265
19886
17585
15395
13344
11450
09728
08183
06814
05618
04586
03706
02965
02349
01842
01431
01100
00837
00631
00470
6
00061
00001
9
39733
39181
38251
36973
35381
33521
31443
29200
26848
24439
22025
19652
17360
15183
13147
11270
09566
08038
06687
05508
04491
03626
02898
02294
01797
01394
01071
00814
00613
00457
8
00029
275
1 x
З н а ч ен и я
и н т егр а л а
Л а п л а са
Ф 0 (х) =
.—
а/ 2
л
j
о
г2
e
2
dt
Табл. 3
х
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
х
3,0
4,0
276
0
0,00000
03983
07926
11791
15542
19146
22575
25804
28814
31594
34134
36433
38493
40320
41924
43319
44520
45543
46407
47128
47725
48214
48610
48928
49180
49379
49534
49653
49744
49813
1
00399
04380
08317
12172
15910
19497
22907
26115
29103
31859
34375
36650
38686
40490
42073
43448
44630
45637
46485
47193
47778
48257
48645
48956
49202
49396
49547
49664
49752
49819
0
0,49865
49997
2
00798
04776
08706
12552
16276
19847
23237
26424
29389
32121
34614
36864
38877
40658
42220
43574
44738
45728
46562
47257
47831
48300
48679
48983
49224
49413
49560
49674
49760
49825
2
49931
49999
3
01197
05172
09095
12930
16640
20194
23565
26730
29673
32381
34850
37076
39065
40824
42364
43699
44845
45818
46638
47320
47882
48341
48713
49010
49245
49430
49573
49683
49767
49831
Сотые доли х
4
5
01595 01994
05567 05962
09483 09871
13307 13683
17003 17364
20540 20884
23891 24215
27035 27337
29955 30234
32639 32894
35083 35314
37286 37493
39251 39435
40988 41149
42507 42647
43822 43943
44950 45053
45907 45994
46712 46784
47381 47441
47932 47982
48382 48422
48745 48778
49036 49061
49266 49286
49446 49461
49585 49598
49693 49702
49774 49781
49836 49841
6
02392
06356
10257
14058
17724
21226
24537
27637
30511
33147
35543
37698
39617
41308
42786
44062
45154
46080
46856
47500
48030
48461
48809
49086
49305
49477
49609
49711
49788
49846
Д,есятые доли х
4
6
49984
49966
7
02790
06749
10642
14431
18082
21566
24857
27935
30785
33398
35769
37900
39796
41466
42922
44179
45254
46164
46926
47558
48077
48500
48840
49111
49324
49492
49621
49720
49795
49851
8
03188
07142
11026
14803
18439
21904
25175
28230
31057
33646
35993
38100
39973
41621
43056
44295
45352
46246
46995
47615
48124
48537
48870
49134
49343
49506
49632
49728
49801
49856
9
03586
07535
11409
15173
18793
22240
25490
28524
31327
33891
36214
38298
40147
41774
43189
44408
45449
46327
47062
47670
48169
48574
48899
49158
49361
49520
49643
49736
49807
49861
8
49993
З н а ч ен и я
% 2 в з а в и с и м о с т и
от
r
и
р
.
Т абл.4
X
0,99 0,98 0,95 0,90 0,80 0,70 0,50 0,30 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001
1 0,000 0,001 0,004 0,016 0,064 0,148 0,455 1,074 1,642 2,71 3,84 5,41 6,64 10,83
2 0,020 0,040 0,103 0,211 0,446 0,713 1,386 2,41 3,22 4,60 5,99 7,82 9,21 13,82
3 0,115 0,185 0,352 0,584 1,005 1,424 2,37 3,66 4,64 6,25 7,82 9,84 11,34 16,27
4 0,297 0,429 0,711 1,064 1,649 2,20 3,36 4,88 5,99 7,78 9,49 11,67 13,28 18,46
5 0,554 0,752 1,145 1,610 2,34 3,00 4,35 6,06 7,29 9,24 11,07 13,39 15,09 20,5
6 0,872 1,134 1,635 2,20 3,07 3,83 5,35 7,23 8,56 10,64 12,59 15,03 16,81 22,5
7 1,239 1,564 2,17 2,83 3,82 4,67 6,35 8,38 9,80 12,02 14,07 16,62 18,48 24,3
8 1,646 2,03 2,73 3,49 4,59 5,53 7,34 9,52 11,03 13,36 15,51 18,17 20,1 26,1
9 2,09 2,53 3,32 4,17 5,38 6,39 8,34 10,66 12,24 14,68 16,92 19,68 21,7 27,9
10 2,56 3,06 3,94 4,86 6,18 7,27 9,34 11,78 13,44 15,99 18,31 21,2 23,2 29,6
11 3,05 3,61 4,58 5,58 6,99 8,15 10,34 12,90 14,63 17,28 19,68 22,6 24,7 31,3
12 3,57 4,18 5,23 6,30 7,81 9,03 11,34 14,01 15,81 18,55 21,0 24,1 26,2 32,9
13 4,11 4,76 5,89 7,04 8,63 9,93 12,34 15,12 16,98 19,81 22,4 25,5 27,7 34,6
14 4,66 5,37 6,57 7,79 9,47 10,82 13,34 16,22 18,15 21,1 23,7 26,9 29,1 36,1
15 5,23 5,98 7,26 8,55 10,31 11,72 14,34 17,32 19,31 22,3 25,0 28,3 30,6 37,7
16 5,81 6,61 7,96 9,31 11,15 12,62 15,34 18,42 20,5 23,5 26,3 29,6 32,0 39,3
17 6,41 7,26 8,67 10,08 12,00 13,53 16,34 19,51 21,6 24,8 27,6 31,0 33,4 40,8
18 7,02 7,91 9,39 10,86 12,86 14,44 17,34 20,6 22,8 26,0 28,9 32,3 34,8 42,3
19 7,63 8,57 10,11 11,65 13,72 15,35 18,34 21,7 23,9 27,2 30,1 33,7 36,2 43,8
20 8,26 9,24 10,85 12,44 14,58 16,27 19,34 22,8 25,0 28,4 31,4 35,0 37,6 45,3
21 8,90 9,92 11,59 13,24 15,44 17,18 20,3 23,9 26,2 29,6 32,7 36,3 38,9 46,8
22 9,54 10,60 12,34 14,04 16,31 18,10 21,3 24,9 27,3 30,8 33,9 37,7 40,3 48,3
23 10,20 11,29 13,09 14,85 17,19 19,02 22,3 26,0 28,4 32,0 35,2 39,0 41,6 49,7
24 10,86 11,99 13,85 15,66 18,06 19,94 23,3 27,1 29,6 33,2 36,4 40,3 43,0 51,2
25 11,52 12,70 14,61 16,47 18,94 20,9 24,3 28,2 30,7 34,4 37,7 41,7 44,3 52,6
26 12,20 13,41 15,38 17,29 19,82 21,8 25,3 29,2 31,8 35,6 38,9 42,9 45,6 54,1
27 12,88 14,12 16,15 18,11 20,7 22,7 26,3 30,3 32,9 36,7 40,1 44,1 47,0 55,5
28 13,56 14,85 16,93 18,94 21,6 23,6 27,3 31,4 34,0 37,9 41,3 45,4 48,3 56,9
29 14,26 15,57 17,71 19,77 22,5 24,6 28,3 32,5 35,1 39,1 42,6 46,7 49,6 58,3
30 14,95 16,31 18,49 20,6 23,4 25,5 29,3 33,5 36,2 40,3 43,8 48,0 50,9 59,7
277
tу
Значения tY, удовлетворяю щ ие равенству 2 J Sn_1(t )dt = у в
0
зави си м ости от у и n - 1 .
Табл .5
0,1
0,2
0, 3
0,4
0, 5
0 ,6
0, 7
0, 8
0, 9
0, 95
1
0,158
0,325
0, 51
0,727
1,000
1,376
1, 963
3 , 08
6 , 31
12, 71
2
1 42
289
1, 061
1, 33 6
1,886
2,92
4,3
137
277
617
584
0,816
3
445
424
765
0,978
1, 25
1 , 53 8
2, 3 5
3 , 18
4
134
271
414
569
741
941
1 , 1 90
1, 5 33
2,13
2 , 77
5
1 32
267
408
559
727
920
1, 156
1,476
2,02
2 , 57
265
263
404
553
718
906
1,134
1,440
1, 943
2, 45
402
549
711
896
1, 119
1, 415
1, 895
2,36
546
543
706
703
889
883
1, 108
1, 3 97
1, 3 83
1,86
2, 31
1,100
1, 833
2,26
6
131
7
130
8
1 30
262
399
9
129
261
398
10
1 29
260
397
542
700
879
1, 093
1,372
1, 812
2,23
11
1 29
260
396
540
697
876
1, 088
1, 3 63
1 , 7 96
2,2
1, 083
2 , 18
12
128
259
539
1,356
128
259
538
695
694
1 , 7 82
13
395
394
873
870
1 , 0 79
1, 35
1, 771
2,16
14
128
258
393
537
692
8 68
128
258
393
536
69 1
866
1, 345
1, 341
1, 761
1, 753
2,14
15
1 , 0 76
1,074
2,13
16
128
258
392
690
2,12
257
392
689
1 , 0 69
1, 33 7
1, 3 33
1, 74 6
128
865
863
1, 071
17
535
534
1 , 7 40
2,11
18
127
257
392
534
6 88
862
1, 067
1, 33
1,734
2,1
19
127
257
39 1
533
6 88
8 61
1, 729
2,09
127
257
39 1
533
687
860
1 , 0 66
1,064
1 , 32 8
20
1, 325
1, 725
2,09
2 , 08
21
127
257
39 1
532
686
859
1, 063
22
127
256
390
532
686
858
1, 061
1, 325
1, 3 23
1, 725
1, 721
23
127
256
390
532
685
858
1, 060
1, 321
2 , 07
24
127
256
390
531
685
857
1, 059
1,319
1, 717
1714
25
127
256
390
531
684
856
1, 058
1 , 31 8
1, 711
2,06
26
127
256
390
531
684
856
1, 058
1,316
1, 708
2,06
27
127
256
389
531
684
855
1, 057
127
256
389
530
683
855
1 , 0 56
1, 706
1, 703
2,06
28
1, 315
1,314
29
127
256
389
530
683
854
1, 055
1, 3 13
1, 701
2, 05
2,04
2 , 07
2, 05
30
127
256
389
530
683
854
1, 055
1, 311
1 , 6 99
40
126
388
529
68 1
851
1, 05
1 26
387
527
679
848
1, 046
1,310
1, 3 03
1, 697
1,684
2,04
60
255
254
120
278
2,09
2,02
1 26
254
386
526
677
845
1,0 11
1,296
1, 671
2,00
0,126
0,253
0,385
0,524
0,674
0,842
1 , 0 36
1,289
1, 658
1, 98
0,1
0,2
0, 3
0,4
0, 5
0 ,6
0, 7
1,282
1, 645
1, 96
П р о д о л ж е н и е т а б л .5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
\n -1
Y
0,98
31,8
6,96
4,54
3,75
3,36
3,14
3
2,9
2,82
2,76
2,72
2,68
2,65
2,62
2,6
2,58
2,57
0,98
0,99
63,7
9,92
5,84
4,6
4,03
3,71
3,5
3,36
3,25
3,17
3,11
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
2,9
0,99
0,999 чП-1^\ 0,98 0,99 0,999
636,6 18 2,55 2,88 3,92
31,6 19 2,54 2,86 3,88
12,94 20 2,53 2,84 3,85
8,61 21 2,52 2,83 3,82
6,86 22 2,51 2,82 3,79
5,96 23 2,5 2,81 3,77
5,4 24 2,49 2,8 3,74
5,04 25 2,48 2,79 3,72
4,78 26 2,48 2,78 3,71
4,59 27 2,47 2,77 3,69
4,49 28 2,47 2,76 3,67
4,32 29 2,46 2,76 3,66
4,22 30 2,46 2,75 3,65
4,14 40 2,42 2,7 3,55
4,07 60 2,39 2,66 3,46
4,02 120 2,36 2,62 3,37
3,96 ГО 2,33 2,58 3,29
0,999 \n-1 0,98 0,99 0,999
Y\
279
Р и с .1
С т р у к т у р а
за к о н о в
280
п р о г р а м м ы
р а с п р е д е л е н и я
г е н е р и р о в а н и я
с л у ч а й н ы х
и
а п п р о к с и м а ц и и
п р о ц е с с о в .
Генерация случайного
процесса с заданным
видом закона
распределения
Загрузка N отсчетов
случайного процесса
из файла
Загрузка из файла значений
длин дифференциальных
коридоров и плотности
вероятности в этих
коридорах
Блок получения
статистических данных
Оценка моментных
характеристик
случайного процесса
Построение графика
случайного процесса
Расчет и построение графика
структурной функции
случайного процесса
Расчет и построение
графика функции
распределения случайного
процесса
Расчет и построение
гистограммы
случайного процесса
Расчет и построение
графика плотности
распределения
вероятностей случайного
процесса
Блок оценки характеристик случайного процесса
Нахождение
параметров
аппроксимирующей
функции методом
моментов
Нахождение
параметров
аппроксимирующей
функции методом
моментов
Нахождение
параметров
аппроксимирующей
функции
параметрическим
методом
Нахождение
параметров
аппроксимирующей
функции
параметрическим
методом
Блок аппроксимации
Оценка качества аппроксимации
по критерию Колмогорова
Оценка качества
аппроксимации по критерию
Пирсона
Блок оценки качества аппроксимации
Р и с .2
Б л оч н ая
м а ц и и
ст р у к т у р а
за к о н о в
п р о г р а м м ы
р а с п р е д е л е н и я
г е н ер и р о в а н и я
с л у ч а й н ы х
и
а п п р о к с и ­
п р о ц е с с о в
281
Автоматизированная
система
Подсистема
генерирования
НВР
Подсистема
первичной стат.
обработки
Подсистема
идентифи­
кации КФ
Подсистема
аппрокси­
мации КФ
Метод
р-преобразования
Центрирование
СП
Анализ
фазовых
портретов
Функциями
заданного
вида
Адаптивно - временная
дискретизация
Нормирование
СП
Проверка
качества
идентифи­
кации
Функциями
Лагерра
Дискретизация
с «дрожанием»
Оценка числовых
характеристик
(моменты первых
порядков)
Подсистема
задания
входных
воздействий
Г енерирование
СП с заданным
видом КФ
Ввод
данных из
файла
Аддитивная
случайная
дискретизация
Подсистема
спектрального
анализа
Вычисление КФ
С помощью
классических
алгоритмов
Метод с
использова­
нием ИКФ
Р и с .3
С т р у к т у р а
п р о г р а м м ы
а п п р о к с и м а т и в н о г о
к о р р е л я ц и о н н о -с п ек т р а л ь н ы х
282
а н а л и за
х а р а к т ер и ст и к
В.Н. ТАРАСОВ, Н.Ф. БАХАРЕВА
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
П о д п и са н о в печать:
Тираж:
02.04.2008
1 2 0 эк з. 1 5 у с л . п. л. З а к а з №
Отпечатано в типографии Г О У В П О
13
П Г А Т И
4 4 3 0 9 0 , г. С а м а р а , М о с к о в с к о е ш о с с е , 7 7
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
4 009 Кб
Теги
veroyatnostey, teoriya, statistika, tarasov, mat, bahareva, protsessam, sluchajnye
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа