close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Tyagev Teoriya avtomaticheskogo upravleniya uchebnik

код для вставкиСкачать
Федеральное агентство связи
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Поволжский государственный университет
телекоммуникаций и информатики»
Тяжев А.И.
Теория автоматического управления
Учебник
Рекомендовано методическим советом ПГУТИ
в качестве учебника для студентов,
обучающихся по направлениям подготовки
«Управление в технических системах».
«Информационные системы и технологии»,
«Управление инновациями»
Самара
ПГУТИ 2016
УДК 621.396.6
Т99
ББК 32.84
Рецензенты:
Институт проблем управления сложными системами Российской академии наук
- ИПУСС РАН, директор института доктор технических наук Боровик С.Ю.
Зав. кафедрой информационных систем и технологий Самарского
национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева доктор
технических наук, профессор Прохоров С.А.
Т99 Тяжев А.И. Теория автоматического управления. Учебник. Рассмотрены принципы и алгоритмы систем автоматического управления,
описан математический аппарат, используемый для описания аналоговых и цифровых
систем управления, рассмотрены типовые звенья систем автоматического управления,
рассмотрены различные критерии устойчивости замкнутых систем управления, а
также ошибки в следящих системах управления.
Описаны цифровые системы управления с ЭВМ в качестве управляющего
устройства, особенности их работы и программирования, а также параметрические и
нелинейные системы автоматического управления. Приведены задачи по курсу с
ответами, а также два задания на курсовую работу с изложением порядка выполнения
курсовой работы.
ISBN 978-5-904029-64-7
2
Содержание курса
«Теория автоматического управления»
Список сокращений и обозначений……………………………………………….. 6
Введение………………………………………………………………………………7
1.Основные понятия и определения в теории автоматического управления……..8
1.1. Глоссарий теории управления…………………………………………………..8
1.2 Разновидности схем управления ……………………………………………….9
1.3. Разновидности алгоритмов управления……………………………………….10
1.4. Основные виды регуляторов в системах автоматического управления……..15
2. Математическое описание систем автоматического управления……………..16
2.1. Прямое и обратное преобразования Лапласа………………………………….16
2.2. Основные теоремы преобразования Лапласа………………………………….18
2.3. Описание САУ с помощью дифференциальных уравнений…………………19
2.4. Классификация дифференциальных уравнений и САУ по коэффициентам..19
2.5. Передаточная функция и ее связь с дифференциальным уравнением……….20
2.6. Описание САУ в пространстве состояний. Последовательная схема……….21
2.7. Описание САУ в пространстве состояний. Параллельная схема ……………24
3. Основные характеристики систем автоматического управления………………27
3.1. Временные характеристики……………………………………………………..27
3.1.1. Переходная характеристика…………………………………………….........27
3.1.2. Импульсная характеристика………………………………………………….28
3.2. Частотные характеристики……………………………………………………...29
3.2.1. Гармонический и комплексный сигналы……………………………………29
3.2.2. Комплексный коэффициент передачи. Годограф ККП…………………….30
3.2.3. Связь между ККП и импульсной характеристикой…………………….......32
3.2.4. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики………………….33
3.2.5. Логарифмические АЧХ и ФЧХ……………………………………………….33
4. Элементы систем автоматического управления…………………………………35
4.1. Сведения из теории электрических цепей и усилителей……………………..35
4.2. Типовые звенья САУ и их характеристики…………………………………….37
4.2.1. Пропорциональное звено……………………………………………………...37
4.2.2. Интегратор………………………………………………………………………37
4.2.3. Дифференциатор……………………………………………………………….39
4.2.4. Инерционное звено……………………………………………………………..40
4.2.5. Дифференцирующая цепь……………………………………………………...42
4.2.6. Форсирующее звено…………………………………………………………….44
4.2.7. Корректирующее звено с отставанием по фазе……………………………….45
4.2.8. Корректирующее звено с опережением по фазе……………………………...46
4.2.9. Звено второго порядка………………………………………………………...47
4.2.10. Неминимально-фазовые звенья………………………………………………49
4.3. Исполнительные устройства……………………………………………………..50
4.3.1. Электродвигатели постоянного тока…………………………………………..50
4.3.2. Асинхронные электродвигатели переменного тока………………………….53
4.3.3. Шаговые электродвигатели…………………………………………………….54
4.4. Вспомогательные устройства………………………………………………………55
3
4.4.1. Тахогенераторы…………………………………………………………………….55
4.4.2. Сельсины…………………………………………………………………………...56
4.5. Детекторы…………………………………………………………………………….56
4.5.1. Фазовые детекторы…………………………………………………………………56
4.5.2. Амплитудные детекторы………………………………………………………….58
4.5.3. Частотные детекторы………………………………………………………………60
5. Передаточные функции сложных схем и устойчивость систем автоматического
управления………………………………………………………………………………….62
5.1. Передаточные функции при различных схемах соединения звеньев…………….62
5.1.1. Последовательное соединение звеньев…………………………………………...62
5.1.2. Параллельное соединение звеньев……………………………………………...63
5.1.3. Соединение звеньев по схемам с обратными связями…………………………..64
5.1.4. Передаточная функция многоконтурных систем………………………………..64
5.2. Признак и условие устойчивости систем автоматического управления………..66
5.3. Критерий устойчивости Гурвица…………………………………………………..68
5.4. Критерий устойчивости Найквиста………………………………………………..69
5.5. Определение устойчивости замкнутой системы по АЧХ и ФЧХ (по ЛАЧХ и
ЛФЧХ) разомкнутой системы…………………………………………………………….70
5.5.1. Запасы устойчивости по фазе и по усилению…………………………………..70
5.5.2. Связь между частотными характеристиками разомкнутой и замкнутой
системы……………………………………………………………………………………...71
5.5.3. Показатели переходного процесса………………………………………………73
5.6. Устойчивость замкнутой системы с линией задержки…………………………..74
6. Ошибки в замкнутых системах автоматического управления……………………75
6.1. Статическая ошибка……………………………………………………………….75
6.2. Динамические ошибки…………………………………………………………….77
6.3. Способы определения коэффициентов ошибок………………………………….78
6.4. Способы включения корректирующих звеньев………………………………….79
6.5. Разновидности корректирующих обратных связей……………………………..80
7. Следящие системы при случайных входных воздействиях ………………………81
7.1. Среднеквадратическая ошибка системы………………………………………….81
7.2. Эффективная полоса пропускания системы……………………………………..83
7.3. Формирующие фильтры…………………………………………………………..84
7.4. Минимизация дисперсии ошибки вариацией параметров следящей системы..85
7.5. Оптимальный фильтр Винера…………………………………………………….87
7.6. Оптимальный фильтр Калмана…………………………………………………...89
8. Цифровые системы автоматического управления…………………………………91
8.1. Структурная схема цифровых систем. Достоинства и недостатки…………….91
8.2. Математическое описание цифровых систем управления……………………..93
8.2.1. Дискретное преобразование Лапласа. Z-преобразование……………………93
8.2.2. Основные теоремы Z - преобразования………………………………………..96
8.2.3. Системные функции…………………………………………………………….96
8.2.4. Связь между дифференциальными и разностными уравнениями…………….97
8.2.5. Связь между системными функциями и разностными уравнениями……….98
8.2.6. Связь между передаточными и системными функциями…………………..100
8.2.7. Комплексный коэффициент передачи, АЧХ и ФЧХ цифровых систем…..101
4
8.2.8. Переходная и импульсная характеристики цифровых систем……………103
8.2.9. Описание цифровых систем в пространстве состояний…………………..105
8.3. Типовые звенья цифровых систем управления………………………………106
8.4. Три эквивалентные схемы цифровых систем………………………………..108
8.5. Устойчивость цифровых систем……………………………………………...110
8.5.1 Признак устойчивости……………………………………………………….110
8.5.2 Условие устойчивости……………………………………………………….110
8.5.3 Критерий устойчивости Гурвица……………………………………………111
8.5.4. Критерий устойчивости Найквиста………………………………………...112
8.6. Ошибки в замкнутых цифровых системах управления……………………..112
9.Цифровые системы управления с ЭВМ в качестве управляющих устройств..115
9.1. Структурная схема ЦСУ с ЭВМ и назначение блоков………………………115
9.2. Особенности управляющих ЭВМ……………………………………………..117
9.3. Алгоритмические языки программирования роботов и станков
с числовым программным управлением…………………………………………...119
9.3.1. Общие сведения………………………………………………………………119
9.3.2. Простые операторы…………………………………………………………..119
9.3.3. Операторы определения геометрических объектов……………………….120
9.3.4. Операторы движения инструмента вдоль линии………………………….121
9.3.5. Макрокоманды……………………………………………………………….121
9.3.6. Вспомогательные операторы………………………………………………..122
10. Нелинейные системы автоматического управления…………………………123
10.1. Методы анализа нелинейных систем………………………………………..123
10.2. Виды нелинейностей характеристик нелинейных элементов…………….124
10.3. Применение метода гармонической линеаризации……………………….125
10.4. Определение устойчивости и параметров автоколебаний
в замкнутых нелинейных системах……………………………………………….127
10.5. Влияние нелинейных элементов с гистерезисом на устойчивость
замкнутых систем…………………………………………………………………..129
11.Параметрические системы автоматического управления……………………132
11.1 Примеры параметрических систем управления…………………………..132
11.2.
Применение фазовых портретов для исследования
цифровых
параметрических систем………………………………………………………………135
12. Задачи по курсу…………………………………………………………………139
13. Задание №1 на курсовую работу………………………………………………145
14. Задание №2 на курсовую работу………………………………………………155
Список литературы…………………………………………………………………164
5
Список сокращений и обозначений
ОУ - объект управления
УУ – устройство управления
Д - датчик
САУ – система автоматического управления
УПЭ – устройство поиска экстремума
ЗЛП – задача линейного программирования
ПХ – переходная характеристика
ИХ – импульсная характеристика
АХ – амплитудная характеристика
ККП – комплексный коэффициент передачи
АЧХ – амплитудно-частотная характеристика
ФЧХ – фазочастотная характеристика.
ЛАЧХ – логарифмическая АЧХ
ЛФЧХ – логарифмическая ФЧХ
ИНТ – интегратор
ДИФ - дифференциатор
КЗ – корректирующее звено
ЛЗ – линия задержки
ЭД – электродвигатель
ФНЧ – фильтр нижних частот
ФВЧ – фильтр верхних частот
ПФ – полосовой фильтр
РФ – режекторный фильтр
ОГР – ограничитель
ФД - фазовый детектор
АД – амплитудный детектор
ЧД – частотный детектор
ГУН – генератор, управляемый напряжением
ЭВМ – электронно-вычислительная машина
АЦП – аналого-цифровой преобразователь
ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь
ЦСУ – цифровая система управления
ДПЛ – дискретное преобразование Лапласа
СПЧУ – станок с числовым программным управлением
ПО – программное обеспечение
НЭ – нелинейный элемент
ЦПФ – цифровой полосовой фильтр
ЦР – цифровой резонатор
ЦАД – цифровой амплитудный детектор
ЗУ – запоминающее устройство
РУ – решающее устройство
ИМ – исполнительный механизм
6
Введение
Теория автоматического управления - одна из дисциплин, образующих науку об
управлении. Эта наука в последние годы распространила свое влияние не только на
системы управления технического характера (станки, роботы, самонаводящиеся
ракеты, беспилотные самолеты, космические аппараты), но и на объекты
производственного, экономического, биологического и социального характера. Теория
автоматического управления сформировалась из основ теории регулирования в
первую очередь механическими, а затем электрическими объектами. Две тысячи лет
назад арабы снабдили поплавковым регулятором водяные часы. Точность хода часов
повысилась за счет постоянства давления воды. В 1675 году Гюйгенс встроил в часы
маятниковый регулятор хода. В 1765 году Ползунов в Барнауле применил
поплавковый регулятор питания котла паровой машины. В 1784 году Джеймс Уайт
получил патент на центробежный регулятор скорости паровой машины. Вскоре
появились регуляторы с воздействием по производной братьев Симменсов, по
нагрузке инженера Понселе, сервомоторы с жесткой обратной связью инженера
Фарко, регуляторы с гибкой ОС, импульсные регуляторы, вибрационные
электрические регуляторы и т.д. Все эти практические новшества побуждали к
проведению теоретических исследований. Вначале в теоретических исследованиях
рассматривались лишь идеальные безынерционные регуляторы, затем стали
учитываться их динамические свойства, но без учета инерционности объектов
управления. Серьезным прорывом в науке об управлении стали три работы: работа
Джона Максвелла “О регуляторах” (1866 г.), две работы Вышнеградского “Об общей
теории регуляторов” (1876г.) и “О регуляторах прямого действия” (1877 г.). В этих
работах авторы осуществили системный подход к проблеме, рассмотрев регулятор и
объект управления как единую динамическую систему. Они перешли к исследованию
малых колебаний в системе, впервые применили линеаризацию сложных нелинейных
дифференциальных уравнений, описывающих системы регулирования, дав тем самым
общий методологический подход к исследованию самых различных по конструкции и
принципам действия системам автоматического регулирования (САР). По
предложению Максвелла Раус разработал алгоритм для оценки устойчивости САР по
расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости.
Несколько позже Гурвиц вывел критерий устойчивости по детерминантам
характеристического уравнения, что позволило определять устойчивость без решения
уравнений высокого порядка. Крупный вклад в теорию автоматического
регулирования внес Н.Е. Жуковский, - автор труда “О прочности движения”. Этот
труд является классическим для самолетостроителей. В 20-ом веке теория
автоматического регулирования формируется как общая дисциплина благодаря
работам Толле (1905 г.), Тома (1914 г.) , Штейна , Кулебакина (1926 г.), Лебедева,
Боголюбова (1932 г.), Найквиста (1932 г.), Корнилова, Щегляева (1933 г.),
Вознесенского (1922 - 1949 гг.), Михайлова (1938 г.), Боде (1946 г.) и других ученых.
Одно из важных направлений исследования устойчивости в нелинейных системах
автоматического регулирования (САР) развивалось в работах Ляпунова (1896 г.),
Лурье (1944 - 1951 гг.), Летова (1955 г.), Постникова (1944 г.), Айзермана (1949 г.),
Попова (1959 г.).Переходные процессы в САР с использованием фазовых пространств
7
исследовались в работах Андронова (1930 - 1940 гг.), Емельянова (1960 г.).
Импульсные и релейные САР глубоко и всесторонне исследованы в работах Цыпкина.
Цикл этих работ был удостоен Ленинской премии в 1960 г. В последние годы область
науки о теории управления внедрилась в биологические объекты, экономические и
даже социальные системы. Широкое развитие получила отрасль науки об управлении,
базирующаяся на применении в качестве регуляторов и решающих устройств
современных ЭВМ и новейших программных продуктов. Благодаря ЭВМ появилась
возможность реализации оптимального управления по различным критериям
оптимальности.
1. Основные понятия и определения в теории
автоматического управления
1.1. Глоссарий теории управления
Глоссарий - это словарь терминов, понятий. Термин - это выраженное словами
определение. Дать определение термину означает выразить его значение с помощью
других терминов, понятий. Наиболее общие термины определяются в курсе
философии. Здесь среди множества понятий и терминов теории управления выделим
основные.
Объект управления - это устройство, подвергаемое воздействию для придания ему
требуемых свойств и характеристик.
Устройство управления - это устройство, формирующее воздействие на объект
управления.
Рабочие операции - это действия, необходимые при выполнении какого-либо
технологического процесса над объектом управления.
Механизация - это замена физического труда человека машинами.
Автоматизация - это замена умственного труда человека в операциях управления.
Операции управления - это действия, определяющие начало, порядок следования и
конец рабочих операций.
Программы управления - это команды, обеспечивающие последовательность
выполнения операций управления.
Автоматические устройства - это совокупность технических средств и программ
управления, обеспечивающих автоматическое выполнение рабочих операций.
Системы автоматического управления - это совокупность объектов, устройств и
программ управления, обеспечивающих автоматическое выполнение технологических
процессов.
Управление первого уровня или элементарное управление - это управление
устройствами, где обеспечивается автоматическое выполнение рабочих операций.
Примером 1-го уровня управления является управление отдельными механизмами,
устройствами, блоками.
Управление второго уровня или системное управление - это управление
системами, состоящими из нескольких автоматических устройств и обеспечивающими
автоматическое выполнение всего технологического процесса.
8
Управление третьего уровня или сложное управление - это управление системами,
состоящими из нескольких взаимосвязанных систем со вторым уровнем управления.
1.2. Разновидности схем управления
Разомкнутое управление
Наиболее простым является разомкнутое управление. Структурная схема такого
управления приведена на рис. 1.1, где УУ - устройство управления, ОУ - объект
управления, х - входной сигнал или команда управления, u – управляющее
воздействие на объект управления, у – выходной сигнал, несущий информацию о
состоянии объекта управления, z – внешнее воздействие или внешнее возмущение на
ОУ, которое обычно имеет случайный характер.
Рис.1.1 Структурная схема разомкнутого управления
Эта схема самая простая и дешевая, но она обеспечивает самое плохое качество
управления. Дело в том, что при разомкнутом управлении воздействие u c выхода УУ
не зависит от сигнала y на выходе объекта управления и от случайного внешнего
возмущения z. Иначе говоря, в этой схеме управляющее воздействие не учитывает
состояние объекта управления и возмущение z, что приводит к снижению качества
управления.
Разомкнутое управление с компенсацией возмущения
Указанный выше недостаток частично устраняется при разомкнутом управлении с
компенсацией возмущения. Структурная схема такого управления приведена на
рис.1.2.
Рис. 1.2. Структурная схема разомкнутого управления с компенсацией возмущения
В этой схеме дополнительно введены сумматор и датчик Д, преобразующий
возмущение z в сигнал u2. В результате воздействующий на ОУ сигнал u=u1+u2 зависит
от возмущения z и при определенных условиях может скомпенсировать его мешающее
воздействие на ОУ.
Замкнутое управление
Качественного управления можно достичь и без измерения возмущения z. Для этого
используется обратная связь, по которой сигнал у с выхода ОУ поступает на УУ и
9
вносит коррективы в сигнал управления u. Структурная схема такого управления с
обратной связью приведена на рис.1.3. Эту схему управления называют еще схемой
замкнутого управления.
Рис. 1.3 Структурная схема управления с обратной связью
Достоинством этой схемы является то, что в ней достигается более высокое
качество управления по сравнению с предыдущими схемами разомкнутого
управления. Недостаток этой схемы в том, что в ней возможно самовозбуждение
(возникновение автоколебаний), при котором нарушается нормальная работа системы
и даже возможно ее разрушение.
Замкнутое управление с компенсацией возмущения
Еще более высокое качество управления достигается при замкнутом управлении с
компенсацией возмущения. Структурная схема такого управления приведена на рис.
1.4.
Рис. 1.4 Структурная схема замкнутого управления с компенсацией возмущения
Эта схема является суперпозицией схем на рис.1.2 и 1.3. Она обладает самым
высоким качеством управления, так как в ней управляющее воздействие учитывает
состояние объекта управления и мешающее воздействие z. Но эта схема самая
сложная и дорогая, и в ней также возможно самовозбуждение.
1.3. Разновидности алгоритмов управления
Стабилизация
Стабилизация - это такое управление, при котором обеспечивается постоянство
характеристик объекта управления, а следовательно и сигнала у на выходе ОУ при
изменении условий его работы и наличии случайных возмущений z. Входной сигнал х
в этом случае является эталоном, т.е. х=соnst. Примерами систем, где реализуется
этот алгоритм управления, являются холодильные камеры, инкубаторы,
стабилизаторы напряжения, стабилизаторы частоты и т.д. Этот алгоритм управления
реализуется только по схемам замкнутого управления 1.3 и 1.4.
10
Программное управление
При программном управлении обеспечивается заданное во времени и в
пространстве изменение характеристик ОУ, а следовательно и сигнала у на выходе
ОУ. Программное управление реализуется по схемам, приведенным на рис.1.1, 1.2,
1.3, 1.4. При программном управлении входной сигнал х известен заранее (см. задание
№2 на курсовую работу). Требуемый закон изменения сигналов х и у хранится в
запоминающем устройстве.
Следящее управление
При следящем управлении закон изменения сигнала х заранее неизвестен, и он
носит случайный характер. В следящих системах сигнал у должен с определенной
степенью точности отслеживать случайные изменения входного сигнала х. Примером
следящей системы является система автоматического наведения зеркала антенны
радиостанции на летящий самолет или искусственный спутник Земли (см. задание №1
на курсовую работу). Следящее управление реализуется по замкнутым схемам на рис.
1.3 и 1.4.
Экстремальное управление
Управление с поиском экстремума или экстремальное управление применяется
тогда, когда необходимо обеспечить экстремальное состояние объекта управления, т.
е. поддерживать максимальное или минимальное значение выходного сигнала у при
изменении входного сигнала х при наличии случайного воздействия z на ОУ.
Структурная схема экстремального управления объектом приведена на рис.1.5, где
УПЭ - устройство поиска экстремума.
Рис. 1.5. Структурная схема экстремального управления
На рис.1.6 приведены графики зависимостей y = f(u) при х=const для ОУ
экстремальных систем с поиском максимума (а) и минимума (б).
11
Рис. 1.6 Графики зависимостей y=f(u) для ОУ экстремальных систем с поиском
максимума (а) и минимума (б)
В точке максимума функции y=f(u) выполняются условия:
а в точке минимума:
Основной проблемой поиска экстремума является неопределенность направления
изменения управляющего сигнала u в начальный момент поиска. Действительно, по
одному значению сигналов u1 и у1 нельзя определить направление изменения сигнала
u. Для этого надо сделать небольшое приращение сигнала u в любую сторону от
первоначального значения u1 и определить знак производной
Знак
производной определяется в УПЭ. Если в системе с поиском максимума (рис. 1.6.а)
величина
, то направление изменения сигнала u выбрано верно. В противном
случае при
направление изменения сигнала u надо поменять на
противоположное (см. графики на рис.1.6). В системе с поиском минимума (рис. 1.6.б)
все наоборот: при
направление изменения сигнала u правильное, а при
ошибочное, т.е. система удаляется от минимума сигнала умин на выходе ОУ.
Примером экстремальной системы является автоматически настраивающийся на
частоты телевизионных станций телевизор. Здесь входными являются радиосигналы
на разных частотах от различных телевизионных передатчиков, сигнал управления
изменяет параметры резонансных контуров телевизора, в результате изменяется
частота настройки телевизора, а выходным является сигнал видеоизображения на
выходе телевизора.
Оптимальное управление
Оптимальным называется такое управление, при котором в определенном смысле
достигается наилучший результат. Но прежде чем реализовать оптимальное
управление, необходимо сделать следующее:
1. Сформулировать критерий оптимального управления.
2. Выразить этот критерий математически.
3. Найти решение оптимального управления.
Желательно, чтобы каждое управление было оптимальным. Однако оптимальное
управление не всегда реализуемо, т.к. либо не удается найти строгого решения для
оптимального управления, либо техническое исполнение устройства управления
оказывается чрезвычайно сложным или физически нереализуемым. Вот некоторые
примеры формулировки различных критериев оптимального управления.
1. Необходимо так изменять скорость движения автомобиля, движущегося по прямой
от пункта А до пункта Б, чтобы время в пути было минимальным.
12
2. Необходимо так изменять скорость движения автомобиля от пункта А до пункта Б,
чтобы расход горючего был минимальным.
3. Необходимо так изменять скорость движения автомобиля от пункта А до пункта Б,
чтобы время в пути t было в заданных пределах t1 < t < t2 , и расход горючего был
минимальным.
4. Необходимо так изменять скорость движения автомобиля, чтобы при запасе
горючего в Q литров уехать от пункта А на максимальное расстояние.
Сформулировать критерий оптимального управления нетрудно. Сложнее выразить его
математически в виде так называемой целевой функции, которая при оптимальном
управлении должна быть либо максимальной, либо минимальной.
Выразим математически целевую функцию для первого критерия, самого простого с
математической точки зрения. Для этого вначале введем некоторые допущения и
ограничения: мощность двигателя автомобиля позволяет развивать максимальную
скорость vмакс, а при разгоне и торможении движение автомобиля будем считать
равноускоренным. Тогда изменение скорости движения автомобиля во времени v(t)
при движении его по прямой от пункта А до пункта Б будет происходить по графику,
приведенному на рис. 1.7.
Рис. 1.7. График зависимости скорости движения автомобиля
где t1 - время разгона до скорости vмакс, t2 - время движения со скоростью vмакс, t3 время торможения. Расстояние, пройденное автомобилем, определяется по формуле:
,
откуда получим:
0,5 t1 + t2 + 0,5 t3 = T0 ,
(1.1)
где Т= t1+t2+t3 - время в пути.
Из физики равноускоренного движения имеем следующие ограничения:
где ау, аТ - ускорения автомобиля при разгоне и торможении.
13
Математическая запись целевой функции для первого критерия будет иметь
следующий вид:
Т= t1 + t2 + t3 = min
(1.5)
Это выражение совместно с ограничениями (1.1) - (1.4) является математической
записью первого критерия оптимального управления движением автомобиля. Это
типичная задача линейного программирования (ЗЛП), которая решается симплексметодом. При двух неизвестных она может быть решена графическим методом /3/. Так
как обычно t3 << t1 , то примем t3 = 0. Тогда ЗЛП становится двумерной и целевая
функция примет вид:
Т= t1 + t2 = min
(1.6)
при следующих ограничениях:
(1.7)
На рис. 1.8 приведена допустимая область времен t 1 и
выражениями (1.7) , и целевая функция Т= t1 + t2 = const.
t2 , ограниченная
Рис.1.8 Область допустимых значений времен t1 и t2 и целевая функция
Перемещая прямую Т=t1+t2=1,5T0 параллельно самой себе в сторону уменьшения Т,
найдем минимальное время в пути:
.
Из этого выражения следует, что время в пути Тмин тем меньше, чем больше
ускорение при разгоне ау при фиксированном расстоянии S и максимальной скорости
движения vмакс. Мы получили очевидный алгоритм оптимального управления
автомобилем по критерию 1 - надо как можно быстрее разогнаться до скорости vмакс и
ехать с этой скоростью до конца пути. Критерии 2, 3 и 4 имеют более сложную
целевую функцию и требуют решения сложных математических задач.
Адаптивное управление
14
Адаптивным называется такое управление, алгоритм и программа работы которого
изменяются в зависимости от изменения внешних условий. Системы, в которых
реализуется адаптивное управление, называются адаптивными. Они подразделяются
на два вида - самонастраивающиеся и самоорганизующиеся. В самонастраивающихся
системах при изменении внешних условий изменяются только алгоритмы и
программы управления, а в самоорганизующихся системах при изменении внешних
условий изменяются как алгоритмы и программы управления, так и структурная схема
управления. Такие системы относятся к классу сложных систем.
1.4. Основные виды регуляторов в системах автоматического управления
Входной сигнал х в устройстве управления УУ преобразуется в сигнал u, который
воздействует на объект управления ОУ. Функция преобразования сигнала х в сигнал u
определяет тип регулятора в УУ. Самым простым регулятором является
пропорциональный регулятор, у которого сигнал u прямо пропорционален сигналу х,
т.е. u(t) = kx(t), где k - коэффициент пропорциональности. Типичным
пропорциональным регулятором является усилитель мощности. В интегральном
регуляторе или просто интеграторе сигнал u пропорционален интегралу по времени от
сигнала х,
t
u( t )
1
x( )d ,
Tи 0
где Ти - постоянная времени интегратора.
В дифференциальном регуляторе или просто дифференциаторе сигнал
пропорционален производной от сигнала х по времени:
dx( t )
,
u( t ) Tд
dt
где Тд - постоянная времени дифференциатора.
В пропорционально-интегральном регуляторе сигнал u пропорционален как
сигналу х, так и интегралу по времени от него
t
u( t )
1
k x( t )
x( )d .
Tи 0
В пропорционально-дифференциальном регуляторе сигнал u пропорционален как
сигналу х, так и производной по времени от него
dx( t )
.
u( t ) kx( t ) Tд
dt
В пропорционально-интегрально-дифференциальном регуляторе сигнал u зависит
от сигнала х, от интеграла его по времени и от производной его по времени
t
u( t )
1
kx( t )
x( )d
Tи 0
Tд
dx( t )
.
dt
Такие регуляторы применяются в системах, где надо отслеживать быстрые,
умеренные и медленные изменения входного сигнала. На рис.1.9 приведена
структурная схема такого регулятора.
15
Рис.1.9 Структурная схема пропорционально-интегрально-дифференциального
регулятора
Вопросы для самоконтроля
1. Перечислите основные термины в теории управления.
2.Перечислите разновидности схем автоматического управления, расскажите об их
достоинствах и недостатках
3. Перечислите шесть алгоритмов управления и приведите примеры их использования.
4. Назовите основные виды регуляторов в САУ и приведите их математическое описание.
2. Математическое описание систем автоматического
управления
2.1 Прямое и обратное преобразования Лапласа
Преобразования Лапласа играют очень важную роль при исследовании систем
автоматического
управления
(САУ),
работа
которых
описывается
дифференциальными уравнениями. С помощью прямого преобразования Лапласа
можно перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим уравнениям,
решить их в алгебраической форме, а затем с помощью обратного преобразования
Лапласа получить искомый результат, не решая дифференциальные уравнения. Эти
свойства преобразования Лапласа будут показаны ниже.
Прямое преобразование Лапласа осуществляется по формуле:
X( p )
x( t )e
pt
dt ,
(2.1)
0
где p
j - комплексная переменная. На функцию x(t) накладываются некоторые
ограничения. Иногда для простоты пользуются символической записью выражения
(2.1) в виде:
X(p) = L[x(t)],
где L - оператор прямого преобразования Лапласа.
Функция x(t) называется оригиналом, а Х(р) – изображением оригинала по Лапласу.
В таблице 2.1 приведены преобразования Лапласа для некоторых функций х(t). Кроме
прямого существует также и обратное преобразование Лапласа, определяемое по
формуле:
16
1
2 j
x( t )
j
0
X( p )e pt dp ,
(2.2)
j
0
где интеграл берется на комплексной плоскости р вдоль любой прямой Re p
0.
Символически операцию обратного преобразования Лапласа по (2.2) записывают в
виде:
x(t) = L-1[X(p)].
Обратное преобразование Лапласа можно определить по (2.2), из табл. 2.1, а также
с помощью теоремы вычетов, из которой следует соотношение:
x( t )
1
2 j
0
j
n
pt
X( p )e dp
0
Re s i X( p ),
i 1
j
где Resi - вычеты подынтегральной функции X( p ), n - число полюсов функции X( p ),
где она обращается в бесконечность. Вычет в простом полюсе определяется по
формуле:
pt
Re s i X( p ) lim ( p
i )X( p )e ,
p
i
а вычет в полюсе кратности k:
Re s i X( p )
1
dk
lim
( k 1)! p
dp
i
1
k 1
(p
i)
k
X( p )e pt .
Таблица 2.1
Оригиналы и их изображения по Лапласу.
x(t)
(t)
X(p)
1
x(t)
X(p)
at
e
sin t
( p a)2
1(t)
e
1
p
at
at
e
cos
p2 (p a)
n!
pn
p a
sin
a
p( p a )
at
1 e
cos
n!
at
sh ( t )
2
t
e
bt
2
b a
( p a )( p b )
a) n
p
p2
ch ( t )
p2
at
1
(p
t
p2
e
tne
a2
t
tn
1
at
at 1
1
2
p
p2
e
2
2
p a
( p a)2
2
17
2.2 Основные теоремы преобразования Лапласа
Приведем основные теоремы преобразования Лапласа, широко используемые на
практике.
Линейность оригиналов и изображений.
Если у(t) = a1х1(t) + a2х2(t) + . . ., то Y(р) = а1Х1(р) + а2Х2(р) + . . . .
Справедливо и обратное утверждение:
если Y(р) = а1Х1(р) + а2Х2(р) + . . ., то у(t) = a1х1(t) + a2х2(t) + . . ..
Дифференцирование оригинала.
dx( t )
Если y( t )
, то Y(р) = рХ(р) - х(0), где х(0) - значение х(t) при t = 0. Обычно
dt
полагают х(0) =0, тогда Y(р) = рХ(р).
3. Интегрирование оригинала.
t
то Y( p )
X( p )
.
p
4. Задержка во времени оригинала
Если y( t ) x( t
то Y( p )
),
5. Свертка оригинала
X( p )e
Если y( t )
x( )d ,
0
p
.
t
Если y( t )
x1 ( )x 2 ( t
)d , то Y(р) = Х1(р) Х2(р) .
0
Это свойство гласит: свертке оригиналов соответствует произведение изображений.
6. Изменение масштаба времени оригинала
1
p
X
Если у(t) = x(at) , a>0, то Y( p )
.
a
a
7. Смещение изображения
Если Y(р) = Х(р+а) ,
то y( t ) x( t )e at .
8. Умножение оригинала на время n раз
n
n
n d X( p )
Если y( t ) t x( t ),
то Y( p ) ( 1)
.
dp n
9. Деление оригинала на время
x( t )
,
t
Если y( t )
то Y( p )
X(q )dq .
p
10. Предельные значения оригинала
lim x( t ) lim pX( p )
t
p
lim x( t )
t
0
0
lim pX( p ).
p
2.3 Описание САУ с помощью дифференциальных уравнений
18
Связь между входным х(t) и выходным у(t) сигналами в системах автоматического
управления в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида:
d m y( t )
d m 1 y( t )
dy( t )
am
am 1
... a1
a 0 y( t )
m
m 1
dt
dt
dt
(2.4)
m
m 1
d x( t )
d
x( t )
dx( t )
bm
bm 1
... b1
b 0 x( t ).
m
m 1
dt
dt
dt
Любая система автоматического управления однозначно определяется
коэффициентами аi, bi и порядком m дифференциального уравнения. Введем символ
d i
di
d i x( t )
дифференцирования p
можно записать в
,p
. Тогда выражение
dt
dt i
dt i
виде p i x( t ) . Запись вида x( t )p i в этом случае недопустима. Тогда громоздкое по
записи уравнение (2.4) с использованием символов дифференцирования p i и знака
суммы ∑ компактно можно записать в виде:
m
m
i
a i p y( t )
i 0
b i p i x( t )
(2.5)
i 0
В этом выражении сигналы у(t) и х(t) нельзя выносить за знаки суммы, т.к. p i не
сомножители, а символы дифференцирования. При прекращении входного
воздействия сигнал х(t) и все его производные равны нулю. В этом случае динамика
работы САУ описывается однородным дифференциальным уравнением вида:
m
a i p i y( t )
0.
i 0
Это уравнение называют также дифференциальным уравнением с нулевой правой
частью. Особенности этого уравнения и его решение рассмотрены в разделе 5.2.
2.4. Классификация дифференциальных уравнений и САУ по коэффициентам
Проведем классификацию дифференциального уравнения (2.4) или эквивалентного
ему дифференциального уравнения (2.5) и описываемых этими уравнениями САУ по
коэффициентам аi и bi.
1.Если коэффициенты аi и bi в дифференциальном уравнении (2.4) или (2.5) не зависят
от значений входного х(t) и выходного у(t) сигналов и их производных, то такие
дифференциальные уравнения и описываемые ими системы автоматического
управления (САУ) называются линейными.
2.Если хотя бы один из коэффициентов аi, bi зависит от значений сигналов х(t) и у(t) и
их производных, то такие дифференциальные уравнения и описываемые ими САУ
называются нелинейными.
3.Если хотя бы один из коэффициентов аi, bi зависит от времени, т.е. изменяется во
времени, то такие
дифференциальные уравнения и описываемые ими САУ
называются параметрическими или стохастическими. Последние имеют место при
случайном изменении коэффициентов во времени.
19
4.Если коэффициенты аi, bi зависят от времени, а также от сигналов х(t), y(t) и их
производных, то такие дифференциальные уравнения и описываемые ими САУ
называются нелинейно-параметрическими или нелинейно-стохастическими.
Строго говоря, все системы автоматического управления являются нелинейностохастическими. Исследование таких систем является очень сложной задачей.
Однако в ряде случаев можно сделать ряд обоснованных допущений, позволяющих
упростить исследование САУ. Одним из важнейших является допущение о том, что
при малых значениях входного и выходного сигналов коэффициенты а i и bi можно
считать постоянными, а саму систему линейной. В дальнейшем при изучении теории
управления будем считать системы линейными. Теория нелинейных и
параметрических систем будет рассмотрена позже в соответствующих разделах.
2.5. Передаточная функция и ее связь с дифференциальным уравнением
Описание САУ с помощью дифференциальных уравнений неудобно по причине
сложности их решения. Поэтому чаще используют описание САУ с помощью так
называемых передаточных функций. Для получения передаточной функции возьмем
от левой и правой части выражения (2.5) прямое преобразование Лапласа и с учетом
описанных в 2.2 первой и второй теорем Лапласа получим:
m
m
i
b i p i X( p ).
a i p Y( p )
i 0
i
(2.6)
i 0
i
j ) являются сомножителями, поэтому изображения
В этом выражении p (
Y(р) и Х(р) можно вынести за знаки сумм, в результате получим:
m
Y( p )
ai pi
m
X( p )
i 0
bi pi
(2.7)
i 0
Введем понятие передаточной функции. Передаточной функцией системы
называется отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по
Лапласу входного сигнала, т.е.:
Y( p )
W( p )
.
(2.8)
X( p )
Выражение (2.8) есть математическая запись определения передаточной функции
системы. Разделим левую и правую части выражения (2.7) сначала на Х(р), а затем на
сумму, являющуюся сомножителем при Y(P), в результате получим:
m
W( p )
Y( p )
X( p )
i 0
m
bi pi
.
(2.9)
ai pi
i 0
Выражение (2.9) показывает, что передаточная функция системы описывается
функцией, являющейся отношением двух полиномов комплексного аргумента
p
j . Выражения (2.5) и (2.9) устанавливают взаимно-однозначную связь между
описываемым систему дифференциальным уравнением и ее передаточной функцией.
Отсюда следует, что по дифференциальному уравнению однозначно можно записать
20
передаточную функцию, а по виду передаточной функции - дифференциальное
уравнение системы. В следующих разделах мы продемонстрируем эту связь.
2.6. Описание САУ в пространстве состояний. Последовательная схема
Математик Коши показал, что дифференциальное уравнение (2.4) или (2.5) можно
представить в виде системы из m дифференциальных уравнений первого порядка, что
гораздо проще для исследования САУ. Для этого вводятся промежуточные
переменные gi(t), которые называются переменными состояния системы. Без
нарушения общности примем в (2.5) коэффициент аm=1 и перепишем это уравнение в
виде:
(2.10)
Коши доказал, что этому уравнению эквивалентна следующая система уравнений:
уравнение выхода
y(t) = g1(t) + В0 х(t),
(2.11)
и система из m дифференциальных уравнений первого порядка
(2.12)
здесь
- символ дифференцирования. Эквивалентность (2.11) и (2.12)
дифференциальному уравнению (2.10) обеспечивается при выполнении определенных
соотношений между коэффициентами аi, bi и Bi. Например, при порядке системы m=3
эти соотношения имеют вид:
Из этих формул просматривается общая закономерность получения соотношений
между аi, bi и Bi при любом порядке системы m. На рис. 2.1 приведена
последовательная схема САУ в пространстве состояний. В этой схеме реализуется
решение системы дифференциальных уравнений (2.12) и уравнения выхода (2.11).
21
Pис. 2.1 Последовательная схема САУ в пространстве состояний
Одним из удобств описания САУ с помощью системы (2.12) является то, что можно
использовать матричный аппарат. Действительно, систему (2.12) можно компактно
записать в матричной форме:
,
где
(2.13)
- векторы переменных состояния системы и их
производных размером 1 m,
010 00 ...................0
00100 ..................0
..............................
- вектор управления размером 1 m , │A│=
000 ....................01
a0
a1 ...... a m
1
где│A│- матрица системы размером m m.
Уравнение выхода (2.11) также можно представить в векторной форме:
,
где
(2.14)
- вектор наблюдения, Т - символ транспонирования вектора.
На рис. 2.2 приведена структурная схема САУ в матричной форме, составленная по
уравнениям (2.13) и (2.14).
22
Рис. 2.2 Структурная схема САУ в матричной форме
Как у любой матрицы, у матрицы системы │А│ существует характеристическая
матрица. Характеристическая матрица определяется из матрицы системы │А│ по
следующей формуле │pI - A│, где │pI│ - диагональная матрица той же размерности,
что и матрица системы │А│. У этой матрицы все элементы главной диагонали равны
р, а все остальные элементы равны нулю. Из формулы │pI - A│ следует, что
элементы характеристической матрицы равны разности соответствующих элементов
диагональной матрицы │pI│ и матрицы системы │А│. Если приравнять к нулю
определитель характеристической матрицы, то получится характеристическое
уравнение САУ, корни которого являются полюсами САУ.
При описании САУ в пространстве состояний с помощью матричного аппарата
используется также фундаментальная матрица. Фундаментальной матрицей
называется матрица │F(t)│ размером m x m, столбцы которой образуют линейно
независимые решения системы однородных дифференциальных уравнений. Система
однородных
дифференциальных
уравнений
получается
из
системы
дифференциальных уравнений вида (2.12) или (2.13) при входном сигнале х(t)=0. В
разделе математики, посвященной решению систем однородных дифференциальных
уравнений, показано, что элементы фундаментальной матрицы │F(t)│ вычисляются в
результате обратного преобразования Лапласа от соответствующих элементов
матрицы, обратной характеристической │pI - A│-1. Эта матрица вычисляется из
матрицы │pI - A│ по известному алгоритму. Вычислению характеристической
матрицы и фундаментальной матрицы посвящены задачи №23 и №24 в разделе 12
«Задачи по курсу».
2.7. Описание САУ в пространстве состояний. Параллельная схема
Последовательная схема САУ в пространстве состояний не является единственно
возможной. В теории дробно-рациональных функций доказывается, что описываемая
выражением (2.9) передаточная функция W(p) может быть представлена в виде суммы
из m элементарных дробей (смотри условие задачи №25):
,
(2.15)
23
где
- корни характеристического уравнения
, называемые полюсами
функции W(p). Из выражения для характеристического уравнения видно, что оно
получается в результате приравнивания к нулю знаменателя передаточной функции
W(p), описываемой выражением (2.9). Решение характеристического уравнения дает
m корней (полюсов).
В общем случае полюсы функции W(p) могут быть
действительные и комплексные, разные и кратные. Коэффициенты Аi находятся через
коэффициенты аi и bi различными методами: методом неопределенных
коэффициентов, методом подстановки численных значений или методом предельных
значений.
Помножим левую и правую части (2.15) на изображение входного сигнала Х(р) и
получим:
.
Введем обозначение
(2.16)
,
(2.17)
из которого получим:
.
Применим обратное преобразование Лапласа для левой и правой частей этого
выражения и получим систему из m дифференциальных уравнений первого порядка:
.
(2.18)
Здесь i = 1, 2 ... m, p - символ дифференцирования. Каждое дифференциальное
уравнение в (2.18) вычисляется по схеме на рис.2.3 (i=1).
Рис. 2.3. Схема вычисления дифференциального уравнения первого порядка
На основании (2.16) с учетом (2.17) имеем:
Применим к этому выражению обратное преобразование Лапласа и получим
уравнение выхода:
(2.19)
24
где fi(t) - переменные состояния системы в параллельной схеме.
На рис. 2.4 приведена параллельная схема САУ в пространстве состояний, в которой
реализуется вычисление дифференциальных уравнений (2.18) и уравнения выхода
(2.19).
Рис. 2.4. Параллельная схема САУ в пространстве состояний
Систему уравнений (2.19) также можно записать в матричной форме:
(2.20)
где
- векторы переменных состояния и их производных
размером 1 m, здесь р - символы дифференцирования,
- вектор управления размером 1 m ,
25
1
0
0 0...............0
2
0................0
.........................
│Λ│=
000 ..........
m 1
000 ...............
0
-
диагональная матрица системы размером m
m, в
m
которой на главной диагонали размещены значения корней характеристического
уравнения λi, i=1,2 …m, а остальные элементы равны нулю.
Уравнение выхода (2.19) в векторной форме записывается так: y (t )
C
C T F (t ) , где
1
- вектор наблюдения размером 1 m, Т-символ транспонирования.
1
Приведенные на рис. 2.1 и 2.4 схемы САУ в пространстве состояний широко
используются для моделирования этих систем с помощью ЭВМ. Если
корни λi
характеристического уравнения
действительные, то используют
параллельную схему, а если корни комплексные, то используют последовательную
схему, так как умножение на комплексные коэффициенты усложняет реализацию
схемы на ЭВМ.
Вопросы для самоконтроля
1. Приведите формулы прямого и обратного преобразования Лапласа.
2. Перечислите основные теоремы преобразования Лапласа.
3. Приведите описание САУ с помощью дифференциальных уравнений и дайте
классификацию дифференциальных уравнений и САУ по коэффициентам
дифференциальных уравнений
4. Дайте определение передаточной функции и покажите ее связь с
дифференциальным уравнением.
5. Приведите описание САУ по последовательной схеме.
6. Приведите описание САУ по параллельной схеме.
7. В каких случаях применяют описание САУ по параллельной схеме, а в каких
случаях – по последовательной схеме?
3. Основные характеристики систем
автоматического управления
3.1. Временные характеристики
26
3.1.1. Переходная характеристика
Из уравнения (2.8) определения передаточной функции следует, что
Y(p) = W(p) X(p).
(3.1)
Возьмем от левой и правой частей этого уравнения обратное преобразование
Лапласа и получим:
y(t) = L-1[W(p) X(p)]
(3.2)
По этому выражению можно найти выходной сигнал системы при любых входных
сигналах x(t), для которых существует прямое преобразование Лапласа X(p). Однако
на практике часто в качестве входных сигналов используют такие, которые просто
описываются математически, имеют простое прямое преобразование Лапласа и
позволяют исследовать различные характеристики САУ. Одним из таких
испытательных сигналов является единичный скачок, описываемый выражением:
0 п ри t
0
1 п ри t
Преобразование Лапласа от единичного скачка
0
x(t ) 1(t )
X( p )
e
0
pt
dt
1
.
p
(3.3)
А теперь дадим определение переходной характеристики системы. Переходной
характеристикой системы называется сигнал h(t) на ее выходе при воздействии на ее
входе единичного скачка при нулевых начальных условиях. Под нулевыми условиями
понимается состояние покоя.
Математически переходная характеристика определяется по выражению,
следующему из (3.2) с учетом (3.3)
W( p)
(3.4)
h( t ) L 1
p
Рассмотрим пример получения переходной характеристики. В разделе 4.2.4 будет
показано, что передаточная функция инерционного звена, схема которого приведена
1
на рис.4.7а, имеет следующий вид: W( p )
. Тогда переходная характеристика
1 pT
инерционного звена будет описываться выражением (см. строку 4 в табл.2.1)
1
a
h( t ) L 1
L1
1 e at ,
p(1 pT)
p( p a )
где а=1/Т , T - постоянная времени инерционного звена.
На рис.3.1 изображены единичный скачок 1(t) и переходная характеристика
инерционного звена h(t) = 1 - e -at.
27
Рис.3.1 Единичный скачок и переходная характеристика инерционного звена.
3.1.2. Импульсная характеристика
Другим широко используемым входным сигналом является единичный импульс,
предложенный математиком Дираком. Он описывается выражением
0 t 0
x(t )
(t )
t 0 ,
0 t 0
причем
( t ) dt 1. Последнее условие свидетельствует о том, что площадь импульса
Дирака равна единице. Единичный импульс есть предел прямоугольного импульса
шириной и высотой 1 при
0. Единичный импульс называют также дельтафункцией. Имеет место замечательное фильтрующее во времени свойство единичного
импульса
x( ) (t
)d
x(t ) .
Это свойство гласит так: свертка любой функции с единичным импульсом равна
значению функции в момент действия этого импульса.
Преобразование Лапласа от единичного импульса найдем, используя его
фильтрующее свойство:
.
X( p )
(0)e
pt
dt
e0
1
(3.5)
0
Из этого выражения следует, что прямое преобразование Лапласа от единичного
импульса равно единице.
А теперь дадим определение импульсной характеристики системы. Импульсной
характеристикой системы называется сигнал w(t) на ее выходе при воздействии на ее
входе единичного импульса при нулевых начальных условиях.
Математически импульсная характеристика определяется по выражению,
следующему из (3.2) с учетом (3.5)
w(t) = L-1 [W(p)].
(3.6)
Из этого выражения следует правило: импульсная характеристика системы есть
обратное преобразование Лапласа от ее передаточной функции.
28
Определим импульсную характеристику для инерционного звена с передаточной
1
a
функцией вида: W( p )
, где а=1/Т, T - постоянная времени
1 pT p a
инерционного звена.
a e at п р и t 0
Тогда из строки 3 в табл.2.1 имеем: w ( t )
0
п р и t 0.
График этой импульсной характеристики приведен на рис.3.2
Рис.3.2 Импульсная характеристика инерционного звена.
Определим связь между импульсной и переходной характеристиками. Из (3.4)
следует, что прямое преобразование Лапласа от переходной характеристики
H ( p)
W ( p)
, откуда W(p) = pH(p). Возьмем обратное преобразование Лапласа от
p
левой и правой частей этого уравнения и получим:
w(t) = ph(t),
где р - символ дифференцирования. Таким образом, импульсная характеристика есть
производная по времени от переходной характеристики. Убедитесь сами, что если
взять производную от выражения для переходной характеристики инерционного звена
h(t) = 1 - e –at , то получим выражение для импульсной характеристики инерционного
звена w(t) = a e-at.
3.2. Частотные характеристики
3.2.1.
Гармонический и комплексный сигналы
Для исследования различных устройств и систем в качестве входного сигнала часто
используют гармонические сигналы вида:
x(t) = A cos( t+ 0),
где A, , 0 - амплитуда, угловая частота и начальная фаза гармонического сигнала,
=2 f, T=1/f - период гармонического сигнала. Но гармонические сигналы неудобны
тем, что на них нельзя делить, так как они за период дважды обращаются в ноль. От
этого недостатка свободен комплексный сигнал.
29
Комплексный
сигнал
X(j t)
получается
из
гармонического
сигнала x(t) = A cos( t+ 0) в результате добавления к гармоническому сигналу
мнимой части в соответствии со следующим математическим выражением:
X ( j t)
A cos( t
0
)
jA sin( t
0
)
Ae j (
t
0)
.
Из этого выражения следует, что комплексный сигнал получается из
гармонического добавлением к нему мнимой части с такой же амплитудой и частотой,
но с фазовым сдвигом, равным -π/2. Благодаря такой добавке комплексный сигнал
никогда не обращается в ноль, поэтому на него можно делить. В свою очередь
гармонический сигнал есть реальная часть от комплексного сигнала
x(t) = Re X(j t) = A cos( t+ 0).
3.2.2.
(3.7)
Комплексный коэффициент передачи. Годограф ККП.
Вначале дадим определение комплексного коэффициента передачи (ККП).
Комплексным коэффициентом передачи звена, устройства или системы называется
отношение комплексного сигнала на выходе к комплексному сигналу на входе в
установившемся режиме. Под установившимся режимом понимается тот факт, что
сигнал на входе действует бесконечно долго. Математически это определение можно
записать следующим образом:
Y( j t )
(3.8)
W( j )
,
X
(
j
t
)
t
где X(j t), Y(j t) - комплексные сигналы на входе и выходе. Аналитическое
выражение для ККП получается из выражения для передаточной функции W(p), в
которой делается замена p=j , т.е. W( j )
m
W( j )
i 0
m
W( p )
p
j
. Тогда из (2.9) получим:
bi (j )i
.
(3.9)
ai (j )i
i 0
Из этого выражения следует, что ККП является отношением полиномов мнимого
аргумента j . Выражения (j )i при четных значениях i дают действительные
значения, а при нечетных i - мнимые значения различных степеней частоты .
Принимая это во внимание, выражение (3.9) для ККП перепишем в виде:
A ( ) jB( )
W( j )
, (3.10)
C ( ) jD( )
где A( ), C( ) -полиномы с четными степенями частоты,
B( ), D( ) -полиномы с нечетными степенями частоты.
Помножим числитель и знаменатель (3.10) на выражение C( ) - jD( ). Таким
приемом мы избавимся от мнимости в знаменателе (3.10) и получим
W(j ) = P( ) + jQ( ),
(3.11)
где P( ) - действительная часть ККП, Q( ) - мнимая часть ККП,
30
причем
P( )
Q( )
A( )C( ) B( )D( )
,
C2 ( ) D2 ( )
A( )D( ) B( )C( )
2
2
.
C ( ) D ( )
Выражение (3.11) есть алгебраическая форма записи ККП. На практике ККП
представляется также и в показательной форме:
(3.12)
W( j ) W( )e j ( ) ,
Q( )
P 2 ( ) Q 2 ( ) - модуль ККП, ( ) arc tg
где W( )
- аргумент ККП.
P( )
Рассмотрим получение выражения для ККП из выражения для передаточной
функции на примере инерционного звена (рис. 4.7а), передаточная функция которого
1
имеет вид: W( p )
. Cделаем в этом выражении замену p=j , затем помножим
1 pT
числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю выражение (1-ϳωТ)
1
1
T
ej ( )
j
и получим: W( j )
, где аргумент ККП
2
2
1 j T 1 ( T) 2
1 ( T)
1 ( T)
( ) = - arctg T и модуль ККП W ( )
1
.
1 ( T )2
Если построить комплексную плоскость, ось абсцисс которой представляет
действительные значения P( ), а ось ординат - мнимые значения jQ( ) комплексного
коэффициента передачи, то при изменении частоты
от нуля до бесконечности на
этой плоскости образуется последовательность точек, определяемых координатами
P( ) и Q( ). Соединив эти точки, мы получим кривую, которая называемая
годографом ККП. На рис.3.3 приведен годограф ККП, описываемый выражением
1
1
T
W( j )
P( ) jQ( ), где P( )
; Q( )
. Отметим,
1 j T
1 ( T) 2
1 ( T) 2
что значения P( ) и Q( ) задают описание годографа ККП в декартовых координатах,
1
а модуль ККП W ( )
и аргумент ККП
( ) = - arctg T
задают
1 ( T )2
описание годографа ККП в полярных координатах. Графически модуль ККП
определяет длину вектора от начала координат до точки на годографе ККП, а аргумент
ККП определяет угол между этим вектором и положительным направлением оси
абсцисс.
31
Рис.3.3 Годограф ККП инерционного звена
При воздействии на вход линейной системы гармонического сигнала на ее выходе
в установившемся режиме сигнал тоже будет гармоническим, причем частоты
входного и выходного сигналов совпадают, а амплитуды и начальные фазы не
совпадают. Выражение для выходного сигнала определяется по (3.7) с учетом (3.8):
y(t) = Re Y(j t) ,
где Y(j t) определим из выражения (3.8) Y(j t) = W(j ) X(j t).
При перемножении комплексных чисел лучше всего использовать показательные
формы их представления.
Тогда
Y ( j t ) W ( )e j
( )
Ae j (
t
0)
W ( ) Ae j (
t
0
( ))
,
y(t ) Re Y ( j t ) W ( ) A cos( t
( )).
откуда
0
Из этого выражения видно, что амплитуда выходного сигнала изменилась в W( )
раз, т.е. в модуль ККП, а фаза получила приращение на величину ( ), т.е. на
аргумент ККП.
3.2.3.
Связь между ККП и импульсной характеристикой
Между ККП и импульсной характеристикой существует взаимно-однозначная связь,
которая определяется парой преобразований Фурье:
W( j )
w (t )
w( t ) e
1
2
j t
dt
(3.13)
W( j )e j t d
Рассмотрим два примера, устанавливающие
характеристикой и ККП и наоборот.
(3.14)
связь
Пример 1. Дана импульсная характеристика вида (рис. 3.2) w( t )
Тогда ККП W( j )
ae
0
(a j ) t
dt
a
a
j
1
,
1 j T
между
импульсной
0
a e
at
п ри t
0
п ри t
0
где а = 1/Т.
32
Пример 2. Дано выражение для ККП вида
Тогда
ИХ w (t )
тогда w ( t )
3.2.4.
2
2
1
2
a
e
d
e jat
a
e
2 jt
a
a
cos t d
0
j t
1
sin t
t
0
W( j )
jat
1 п ри
a
a
0 п ри
a
a
sin at
; Так как
t
sin at
,
t
ej t = cos t + jsin t ,
т.е. получили такой же результат.
Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики
Недостатком годографа является то, что у него нет явно выраженной оси частот.
Для устранения этого недостатка годограф представляют в виде двух графиков с явно
выраженными осями частот. Первый график называют амплитудно-частотной
характеристикой (АЧХ), он показывает зависимость модуля ККП от частоты
Второй график называют фазочастотной
W( ) W( j )
P2 ( ) Q2 ( )
характеристикой (ФЧХ), он показывает зависимость аргумента ККП от частоты
Q( )
( ) ArgW( j ) arctg
. Как было показано выше, комплексный коэффициент
P( )
передачи инерционного звена на рис. 4.7а описывается следующим выражением:
1
W( j )
. Из него следуют выражения для АЧХ и ФЧХ соответственно:
1 j T
1
W( )
,
( ) = - arctg T. На рис.3.5 приведены АЧХ и ФЧХ
1 ( T )2
инерционного звена (рис. 4.7а), построенные по этим выражениям.
Рис.3.4 АЧХ и ФЧХ инерционного звена
3.2.5.
Логарифмические АЧХ и ФЧХ
В логарифмической АЧХ (сокращенно ЛАЧХ) по оси ординат откладывается
величина, определяемая выражением: ( ) 20 lg W( ). Здесь W(ω) – значение
АЧХ. По оси абсцисс в линейном масштабе откладывается не частота , а логарифм
частоты. Чаще всего используются логарифмы по основанию 2, log2 или по
основанию 10, lg . В первом случае шкала называется октавной, а во втором случае
декадной.
33
Логарифмическая ФЧХ (сокращенно ЛФЧХ) строится так: по оси ординат
откладывается значение ( ), как в ФЧХ, а по оси абсцисс в линейном масштабе
откладывается логарифм частот log2 или lg , как в ЛАЧХ.
Для упрощения построения ЛАЧХ часто используется приближенная кусочнолинейная аппроксимация ЛАЧХ. Поясним это на примере инерционного звена, для
1
1
(1 ( T ) 2 ) 2 . Тогда по
которого АЧХ описывается выражением: W ( )
1 ( T)2
1
( ) 20 lg W ( ) 20 lg(1 ( T ) 2 ) 2 .
оси ординат ЛАЧХ равна:
Кусочно-линейная аппроксимация ЛАЧХ строится по выражениям:
20 lg 1 0 п ри
c
( )
20 lg T п ри
c
1
Здесь
частота сопряжения, на которой выполняется условие сТ=1. На
с
Т
частотах
Т 1, поэтому под корнем пренебрегают слагаемым Т.
с величина
Тогда lg 1 = 0, поэтому ЛАЧХ равна нулю. На частотах
с величина Т 1, поэтому
под корнем пренебрегают единицей. Так как по шкале абсцисс в линейном масштабе
откладывается lg , поэтому аппроксимация ЛАЧХ выше частоты сопряжения
1
линейная с наклоном -20 децибелл на декаду (сокращенно -20 дБ/дек.). На
с
Т
рис.3.5 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ инерционного звена.
Рис.3.5 ЛАЧХ и ЛФЧХ инерционного звена
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение переходной характеристике.
2. Дайте определение импульсной характеристике.
3. Как связаны между собой импульсная и переходная характеристики?
4. Напишите выражения для гармонического и комплексного сигналов.
5. Дайте определение комплексному коэффициенту передачи.
6. Дайте определение годографу ККП.
7. Поясните, в чем недостаток годографа ККП.
8. Дайте определение АЧХ.
9. Дайте определение ФЧХ.
10. Приведите графики АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ на примере инерционного звена.
34
4. Элементы систем автоматического управления
4.1.
Сведения из теории электрических цепей и усилителей
В системах автоматического управления входные и выходные сигналы
преобразуются с помощью датчиков в электрические сигналы - токи и напряжения,
которые протекают в электрических цепях. В этих цепях используются три типа
элементов: резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности или дроссели.
Резисторы характеризуются сопротивлением и обозначаются буквой R, конденсаторы
имеют электрическую емкость, которая обозначается буквой C, а дроссели обладают
индуктивностью, которая обозначается буквой L. При протекании через эти элементы
изменяющегося во времени электрического тока i на них возникает электрическое
напряжение (рис. 4.1а), определяемое по формулам:
uR
iR, u L
di
L , uC
dt
t
1
id
C0
(4.1)
Рис. 4.1. Электрические цепи при последовательном соединении (а) и параллельном
соединении (б) элементов
Размерности величин R, L и C следующие: [R]=Ом=Вольт/Ампер,
[L]=Генри=Вольт сек/Ампер,
[C]=Фарада=А с/В. Сокращенные записи этих
размерностей Ом, Гн и Ф соответственно. Преобразования Лапласа от выражений
(4.1) имеют вид:
1
U R ( p) RI( p), U L ( p) pL I( p), U C ( p)
I( p) (4.2)
pC
Введем понятия операторных сопротивлений для резисторов, дросселей и
конденсаторов - это отношения преобразований Лапласа от соответствующих
напряжений и токов в этих элементах:
U R ( p)
U L ( p)
UC ( p)
Z R ( p)
, Z L ( p)
, ZC ( p )
. (4.3)
I ( p)
I ( p)
I ( p)
Тогда из (4.3) с учетом (4.2) получим формулы для операторных сопротивлений
резисторов, дросселей и конденсаторов:
1
ZR ( p) R , ZL ( p) pL, ZC ( p)
(4.4)
pC
При последовательном соединении элементов (рис. 4.1а) имеем: U = UR + UL + UC ,
35
откуда общее операторное сопротивление есть сумма операторных сопротивлений
последовательно соединенных элементов:
U( p)
1
p2 LC pRC 1
Z( p)
R pL
.
I ( p)
pC
pC
При параллельном соединении (рис.4.1б) складываются обратные величины
операторных сопротивлений, называемые операторными проводимостями:
1
1 1
pL R p2 RLC
,
pC
Z( p) R pL
pRL
откуда
Z( p )
pRL
.
R pL p2 RLC
Кроме перечисленных элементов R, L и С в электрических цепях используют
операционные усилители, позволяющие увеличивать величину напряжения и
мощность электрических сигналов, а также выполнять математические операции
сложения, вычитания, дифференцирования и интегрирования. У операционных
усилителей имеется два входа и один выход. Вход с кружком называется
инвертирующим, а вход без кружка называется неинвертирующим. Кроме того, у него
имеются входы для подключения к источникам электропитания, но они обычно на
схемах не показываются. На рис. 4.2 приведены две схемы включения операционных
усилителей: инвертирующего (а) и неинвертирующего (б) усилителя.
Рис. 4.2. Схемы включения операционных усилителей: инвертирующего (а),
неинвертирующего (б) усилителя.
Для схемы на рис. 4.2.а передаточная функция определяется по формуле:
Zoc ( p)
(4.5)
W( p)
Z( p)
Zoc ( p)
а для схемы на рис. 4.2.б - по формуле: W( p) 1
(4.6)
Z( p )
Из этих выражений видно, что усилитель, выполненный по схеме на рис. 4.2.а,
имеет дополнительный множитель -1, поэтому этот усилитель называется
инвертирующим. У усилителя на рис. 4.2б такого множителя нет, поэтому он
называется неинвертирующим.
36
4.2.
Типовые звенья САУ и их характеристики
4.2.1. Пропорциональное звено
В пропорциональном или безынерционном звене выходной сигнал прямо
пропорционален входному сигналу: y(t) = k x(t) . Возьмем от левой и правой частей
этого уравнения прямое преобразование Лапласа и получим: Y(p) = k X(p), откуда
передаточная функция пропорционального звена W(p) = Y(p)/X(p) = k есть величина
постоянная, не зависящая от комплексной переменной р. На рис.4.3 приведены
примеры схем пропорциональных (безынерционных) звеньев.
Рис. 4.3 Безынерционные звенья: резистивный делитель (а), инвертирующий
усилитель (б), неинвертирующий усилитель (в)
Для схемы на рис. 4.3.а имеем: u = u1+ u2 = i R1 + i R2 = i (R1+R2), u2 = iR2.
Возьмем от этих выражений прямое преобразование Лапласа и получим:
U(p)=I(p)(R1+R2), U2(p)=I(p)R2. Тогда передаточная функция звена будет равна:
U 2 ( p)
I( p )R 2
R2
W( p )
U( p ) I( p )( R1 R 2 ) R1 R 2
R oc
Для схемы на рис. 4.3б на основании (4.5) получим: W( p)
. В частном
R
случае при RОС = R получается инвертор, у которого W(p) = -1. Для схемы на рис. 4.3в
R oc
R oc
1, то усилитель на
на основании (4.6) имеем: W( p) 1
. Т.к. число 1
R
R
рис.4.3в называется неинвертирующим.
4.2.2. Интегратор
В интеграторе выходной сигнал связан с входным сигналом соотношением:
t
y( t )
k и x( )d ,
0
Возьмем от левой и правой частей этого соотношения прямое преобразование
kи
1
X( p ) , где k и
Лапласа и получим: Y( p )
, где ТИ - постоянная времени
p
Tи
интегратора. Тогда передаточная функция интегратора:
37
Y( p ) k и
.
X( p )
p
Если в схеме на рис.4.2.б вместо ZОС включить конденсатор С, а вместо Z
включить резистор R (рис. 4.4а) , то в соответствии с (4.5) с учетом (4.4) получим
интегратор с инвертированием, у которого
kи
1
Wи ( p )
,
pCR
p
1
где k и
, ТИ = СR - постоянная времени интегратора. Если перед интегратором
Tи
включить инвертор, то получится интегратор без инвертирования, у которого
kи
передаточная функция Wи ( p )
.
p
Wи ( p )
Рис. 4.4 Схемы интегратора (а) и дифференциатора (б) с инвертированием
Основные характеристики интегратора:
kи
ККП Wи ( j ) Wи ( p )
; P( )
p j
j
kи
АЧХ Wи ( ) Wи ( j )
;
ЛАЧХ
ФЧХ
и(
и(
)
ПХ
h и (t)
ИХ
w И (t )
20 lg Wи ( ) 20 lg k и
Q( )
;
arctg
arctg
P( )
2
L
)
1
L1
Wи ( p )
p
L
kИ
p
kИ .
1
kи
p
2
0 ; Q( )
kи
;
20 lg ;
kи t ;
На рис. 4.5 приведены ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ интегратора.
38
и(
),
и(
20 lg kи
-2
-1
0
и(
1
hи(t)
)
)
2
3
t
4 lg
0
-20 дБ/дек
wи(t)
kи
t
2
и(
0
)
Рис. 4.5. Графики ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ интегратора
4.2.3. Дифференциатор
В дифференциаторе выходной сигнал связан с входным соотношением:
dx( t )
,
y( t ) k д
dt
Возьмем от левой и правой частей этого соотношения прямое преобразование
Лапласа и получим: Y(p) = kД pX(p) , где k Д = Т Д, где Т Д - постоянная времени
дифференциатора. Тогда передаточная функция дифференциатора
Y( p )
Wд ( p )
kдp .
X( p )
Если в схеме на рис. 4.2б вместо ZОС включить резистор R, а вместо Z включить
конденсатор С (рис. 4.4б), то в соответствии с (4.5) с учетом (4.4) получим
дифференциатор с инвертированием WД (p) = - p C R = - k Д p , где k Д= Т Д= С R постоянная времени дифференциатора. При необходимости инверсию можно
устранить, включив последовательно с дифференциатором инвертор, у которого W(p)
= -1. Тогда получим WД(p) = k Д p.
Основные характеристики дифференциатора:
ККП
Wд ( j )
Wд ( p )
АЧХ
Wд ( )
Wд ( j )
ЛАЧХ
ФЧХ
ПХ
ИХ
p
j
jk д
, P( )
0 , Q( )
kд .
kд .
д(
) 20 lg Wд ( ) 20 lg k д 20 lg .
Q( )
arctg
.
д ( ) arctg
P( )
2
W ( p)
d1( t )
h д (t) L 1 д
kд
k д (t) .
p
dt
w Д (t )
dh(t )
dt
kД
d (t )
.
dt
39
На рис. 4.6 приведены ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ дифференциатора.
д( ),
(а)
д( )
hд( )
д(
(б)
)
2
0
-20 lg kд
0
-2 -1
д(
1
2
)
3
wд( )
t
4
0
lg
t
Рис. 4.6. Графики ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ дифференциатора
4.2.4. Инерционное звено
В инерционном звене выходной сигнал связан с входным соотношением
dy( t )
y( t ) kx( t ) T
,
dt
Возьмем от левой и правой частей этого соотношения прямое преобразование
Лапласа и получим:
Y(p) = k X(p) - T рY(p),
(4.7)
где Т - постоянная времени звена. Передаточная функция инерционного звена следует
из (4.7)
Y( p)
k
W( p )
.
(4.8)
X( p) 1 pT
Если в схеме на рис. 4.3.а вместо R2 включить конденсатор С, а вместо R1 включить
резистор R , то получим схему, приведенную на рис. 4.7.а.
(а)
(б)
C
R
i
C
R
i
Рис. 4.7. Схемы инерционного звена (а) и дифференцирующей цепи (б)
Тогда в соответствии с приведенными на рис. 4.7.а обозначениями получим
t
u = u1 + u2 , где u1 = i R , u 2
1
id .
C0
40
Возьмем от левой и правой частей этого выражения прямое преобразование Лапласа
и получим:
1
U(p) = U1(p) + U2(p) = I(p) R +
I(p) .
pC
По определению передаточная функция есть отношение преобразования Лапласа от
выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала, т.е.
1
U ( p)
pC
W(p) = 2
.
1
U( p)
R
pC
1
После сокращения числителя и знаменателя на рС получим: W(p) =
, где Т
1 pT
= RC - постоянная времени инерционного звена. Эта передаточная функция есть
частный случай передаточной функции (4.8), когда k=1, т.е. когда инерционное звено
без усилителя. Все характеристики инерционного звена (ККП, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ,
ЛФЧХ, ПХ и ИХ) с такой передаточной функцией были получены в главе 3. Там же
приведен годограф ККП инерционного звена.
Основные характеристики инерционного звена с усилителем с передаточной
функцией (4.8) отличаются от приведенных в главе 3 характеристик инерционного
звена и имеют вид:
k
ККП
;
W( j ) W( p )
p j
1 j T
k
k T
P( )
;
Q
(
)
причем
;
1 ( T) 2
1 ( T) 2
k
W( ) W( j )
АЧХ
;
2
1 ( T)
ЛАЧХ
( )
ФЧХ и ЛФЧХ
ПХ
ИХ
h( t )
w( t )
( )
L
1
1
20 lg k 20 lg[1 ( T )2 ] 1 / 2 ;
20 lg W ( )
W( p)
p
L [W( p)]
Q( )
P( )
arctg
L
arctg T ;
k
1
p(1 pT)
dh( t )
dt
k
e
T
k (1 e
t
T);
t
T.
На рис. 4.8 приведены годограф ККП, ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ инерционного звена
1
с усилителем, а также кусочно-линейная аппроксимация ЛАЧХ. Частота с
T
41
называется частотой сопряжения отрезков прямых ЛАЧХ. До частоты С ЛАЧХ идет
параллельно оси абсцисс, а выше частоты С ЛАЧХ имеет наклон -20 дБ/дек.
Погрешность кусочно-линейной аппроксимации ЛАЧХ на частоте сопряжения С
максимальная и равна 3 дБ. На частоте
С
ФЧХ и ЛФЧХ имеют значение
4
.
( ), ( )
jQ( )
20 lg k
=0
=
4
0
-1
3 дБ
2
1
P( )
C
4
3
lg
2
C
( )
w(t)
h(t)
k
T
k
0
t
0
t
Рис. 4.8 Графики годографа ККП, ЛАЧХ, ЛФЧХ,
ПХ и ИХ инерционного звена с усилителем
4.2.5. Дифференцирующая цепь
Схема дифференцирующей цепи приведена на рис. 4.7 б. По сравнению со схемой
на рис. 4.7а здесь резистор и конденсатор поменялись местами. Изображение по
Лапласу напряжений на элементах схемы UС(p) = ZС(p) I(p), UR(p) = I(p) R , тогда с
учетом (4.4) получим:
U ( p)
U c ( p) U R ( p)
I ( p)
1
pC
R .
По определению передаточная функция есть отношение преобразования Лапласа
от выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала, т.е.
U R ( p)
R
W( p )
.
1
U( p)
R
pC
Умножив числитель и знаменатель на рС, получим:
42
pRC
pT
,
1 pRC 1 pT
где T = RC - постоянная времени дифференцирующей цепи. Этой передаточной
функции соответствует дифференциальное уравнение, следующее из соотношения:
pT
Y( p)
, после перемножения крест-накрест получим: Y(p)(1+pT) = pTX(p).
1 pT X( p)
После раскрытия скобок и переноса имеем: Y(p) = pTX(p) - pTY(p). Возьмем от левой
и правой частей этого выражения обратное преобразование Лапласа и получим
дифференциальное уравнение, описывающее работу дифференцирующей цепи:
dx dy
.
y( t ) T
dt dt
Здесь y(t)=uR(t) , x(t)=u(t). Основные характеристики дифференцирующей цепи
описываются следующими выражениями:
W( p )
ККП W( j )
W( p)
АЧХ W( )
W( j )
p
j
T
1 ( T)
ЛАЧХ
( )
ФЧХ и ЛФЧХ
ПХ
ИХ
h( t )
w(t )
L
1
W( p)
p
dh(t )
dt
e
; Q( )
T
1 ( T)2
;
;
1
2
20 lg(1 ( T ) ) ;
arctg
L
2
1 ( T)2
2
20 lg T
( )
( T)2
j T
; P( )
1 j T
1
t
T
Q( )
P( )
T
1 pT
arctg
Te
1
;
T
t
T;
.
На рис. 4.9 приведены годограф ККП, ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ
дифференцирующей цепи, а также кусочно-линейная аппроксимация ЛАЧХ. На
частоте сопряжения
погрешность кусочно-линейной аппроксимации ЛАЧХ
максимальная и составляет 3дБ.
43
jQ( )
( ), ( )
2
С
=0
4
4
=
0
( )
0
P( )
1
С
lg
2
1
3
20 дБ/дек
3 дБ
-1
w(t)
h(t)
t
T
0
0
t
Рис. 4.9 Годограф ККП, ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ дифференцирующей цепи, а также
кусочно-линейная аппроксимация ЛАЧХ.
4.2.6. Форсирующее звено
В форсирующем звене первого порядка выходной и входной сигналы связаны
соотношением
dx( t )
.
y( t ) k x( t ) k T
dt
Y( p)
k (1 pT) .
Тогда Y( p) k X( p) k T p X( p) . По определению W( p)
X( p)
Основные характеристики форсирующего звена:
ККП
W( j )
W( p )
АЧХ
W( )
W( j )
ЛАЧХ
ФЧХ
ПХ
( )
( )
h(t )
arctg
L1
p
j
k(1 j ); P( )
W ( p)
p
k T;
k 1 ( T)2 ;
20 lg W ( )
Q( )
P( )
k; Q( )
20 lg k
1
2 2
20 lg(1 ( T ) ) ;
arctg T ;
k (1(t ) T (t )) ;
44
dh(t )
d (t )
k (t ) T
.
dt
dt
Кусочно-линейная аппроксимация ЛАЧХ форсирующего звена на частотах
1
параллельна оси частот и равна 20lgk, а на частотах
с прямая имеет
с
T
наклон -20 дБ/дек. ЛФЧХ форсирующего звена является зеркальным отражением
ЛФЧХ инерционного звена.
ИХ
w(t )
4.2.7. Корректирующее звено с отставанием по фазе
Схема корректирующего звена с отставанием по фазе приведена на рис. 4.10а. Это
звено называют также пропорционально-интегрирующим фильтром. Сигналом u2(t) в
этом звене является напряжение на участке цепи R2 С.
U 2 ( p)
По определению W ( p )
,
U( p )
где
U2 ( p)
I( p) R2
1
, U( p)
pC
U1( p) U2 ( p)
I( p) R1 R2
1
.
pC
С учетом (4.2) имеем
W( p )
R2
R1
1
pC
1
pC
R2
1 pR 2 C
.
1 p( R1 R 2 )C
Удобнее это выражение представить в виде:
1 pT
W( p )
,
1 p T
R1 R2
где Т = R2 C,
1.
R2
Основные характеристики корректирующего звена с отставанием по фазе:
1 j T
ККП
;
W( j ) W( p)
p j
1 j T
АЧХ
W( )
W( j )
1 ( T) 2
2
;
1 ( T)
ЛАЧХ
( ) 20 lg W( ) ;
ФЧХ
( ) arctg T arctg T .
На рис. 4.10б приведены ЛФЧХ и кусочно-линейная аппроксимация
корректирующего звена с отставанием по фазе. Из этого рисунка видно, что
отклоняется от оси абсцисс в отрицательную сторону только в окрестности
1
1
u
. Исследуем функцию φ(ω) на экстремум. Для этого
1
2
T
T
уравнение
ЛАЧХ
ЛФЧХ
частот
решим
45
d ( )
d
и получим
arctg
min
1
T
1 ( T )2
arctg
T
(а)
0
T
( ),
u1
R1
1
npu
-1
0
.
(б)
( )
1
R2
u
0
T )2
1 (
2
3
1
0
2
u2
i
lg
4
-20 дБ/дек
С
min
-20 lg
( )
( )
Рис. 4.10 Схема корректирующего звена с отставанием по фазе
и его характеристики ЛАЧХ ( ) и ЛФЧХ ( )
В задании №1 на курсовую работу будет показано, что включение КЗ позволяет
обеспечить устойчивость замкнутых САУ.
4.2.8. Корректирующее звено с опережением по фазе
Схема корректирующего звена с опережением по фазе приведена на рис. 4.11.а. Это
звено называют также пропорционально-дифференцирующим фильтром. Выходным
сигналом u2(t) в этом звене является напряжение на резисторе R2.
(б)
( ), ( )
(а)
u1
C
max
R1
u
i
R2
u2
0
1
2
1
20 lg
0
3
2
lg
20 дБ/дек
Рис. 4.11 Схема корректирующего звена с опережением по фазе
и его характеристики ЛАЧХ ( ) и ЛФЧХ ( )
По определению
W( p )
U 2 ( p)
,
U( p )
46
где U2(p) = I(p) R2 , U(p) = U1(p) + U2(p) = I(p)
1
pC
1
pC
R1
R1
R2 .
Тогда с учетом (4.2) имеем:
R2
W( p )
1 pT
,
1 p T
1
R1 pC
R1
R2
1
рС
R2
1 , T R 1C .
R1 R 2
Основные характеристики корректирующего звена с опережением по фазе:
1 j T
ККП
;
W( j ) W( p )
p j
1 j T
где
АЧХ
W( )
W( j )
1 ( T) 2
2
;
1 ( T)
ЛАЧХ
( ) 20 lg W( ) ;
ФЧХ
( ) arctg T arctg T .
На рис. 4.11б приведены ЛФЧХ и кусочно-линейная аппроксимация
корректирующего звена с опережением по фазе. Из этого рисунка видно, что
отклоняется от оси абсцисс в положительную сторону только в окрестности
1
1
и
. Исследуем функцию
на экстремум. Для этого
2
1
T
T
уравнение
d ( )
T
T
0
2
2
d
1 ( T)
1 ( T)
и получим:
1
1
arctg
при 0
.
max arctg
T
ЛАЧХ
ЛФЧХ
частот
решим
4.2.9. Звено второго порядка
Для схемы на рис. 4.1 получим выражение для передаточной функции
U C ( p)
W( p)
,
U( p )
где U(p) = UR(p) + UL(p) + UC(p) . Тогда с учетом (4.2) имеем:
W( p )
1
pC
R
pL
1
pC
.
Помножив числитель и знаменатель на рС , получим:
47
W( p )
1
1 pT1
p 2 T22
,
(4.8)
где Т1 = RC, T2 = LC .Этой функции соответствует дифференциальное уравнение
второго порядка вида
T22 p 2 y( t ) T1 py( t ) y( t ) x( t ) ,
d
где p
- символ дифференцирования, y(t) = uc(t) , x(t) = u(t) .
dt
Выходным сигналом может быть напряжение uR(t) или uL(t). При этом порядок
дифференциального уравнения останется прежним.
Выражение (4.8) удобнее представить в виде:
1
W( p )
,
(4.9)
T2 p 2 2 Tp 1
T1
где Т = Т2 ,
- коэффициент демпфирования. В зависимости от значения
2T2
коэффициента
различают три типа звеньев второго порядка: при = 0 звено
называется консервативным без потерь, при < 1 звено называется колебательным, а
при
1 звено называется апериодическим.
Основные характеристики звена второго порядка:
ККП
W( j )
АЧХ
W( )
ЛАЧX
ФЧХ
W( p )
p
j
1 ( T) 2
1
2 2
[1 ( T) ]
( )
( )
1
(2
T)
2
j2
T
;
;
2 2 2
20 lg[(1
T )
( 2 T) 2 ]
2 T
1
arctg
npu
T
1 ( T) 2
2 T
1
arctg
npu
T
1 ( T) 2
1/ 2
;
На рис. 4.12 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ звена второго порядка при различных
значениях коэффициента демпфирования .
48
( ), ( )
-1
0
2
1
4
3
1
T
-40 дБ/дек
<1
lg
=0
2
( ), <1
( ), >1
>1
Рис. 4.12 Графики ЛАЧХ и ФЧХ звена второго порядка
4.2.10. Неминимально-фазовые звенья
Передаточная функция любого звена в общем виде описывается выражением:
m
W( p )
i 0
m
bi pi
.
a i pi
i 0
Решение уравнения
m
bi pi
0 , полученного приравниванием к нулю числителя
i,
называемые нулями этой функции. Решение уравнения
i 0
функции W(p), дает корни
m
a i pi
0 , полученного приравниванием к нулю знаменателя функции W(p), дает
i 0
корни i , называемые полюсами этой функции. В общем случае нули i и корни i
являются комплексными.
Звено называется минимально-фазовым, если все нули и полюсы его передаточной
функции имеют отрицательные или равные нулю вещественные (действительные)
части.
Звено называется неминимально-фазовым, если хотя бы один нуль или полюс его
передаточной функции имеет положительную вещественную часть.
Примером неминимально-фазового звена является линия задержки или звено
запаздывания. Сигнал на выходе линии задержки связан с входным сигналом
соотношением: y( t ) x( t ) , где - время задержки, откуда Y( p ) X( p ) e p .
Y( p )
По определению W( p )
e p . Полюсов эта функция не имеет, а единственный
X( p )
нуль определяется из уравнения e
линии задержки:
p
0 , откуда
0
. Основные характеристики
49
ККП
W( j )
W( p )
p
j
e
j
cos
j sin
;
P( ) cos , Q( )
sin
АЧХ
W( ) W( j ) 1
ЛАЧХ
( ) 0
Q( )
( ) arctg
arctg( tg )
ФЧХ
P( )
ПХ
h( t ) 1( t )
ИХ
w( t )
(t )
Из этих выражений видно, что АЧХ линии задержки не зависит от частоты, а ФЧХ
линейна с отрицательным наклоном, пропорциональным времени задержки .
Неминимально-фазовыми являются также звенья, передаточные функции которых
описываются выражениями:
W( p ) k (1 pT)
W( p )
k (1 2 Tp
W( p )
k
1 pT
p2T2 )
k
1 2 Tp p 2 T 2
В первых двух выражениях положительными являются вещественные части нулей,
а во вторых двух выражениях положительными являются вещественные части
полюсов передаточных функций.
W( p )
4.3.
Исполнительные устройства
4.3.1. Электродвигатели постоянного тока
Основными исполнительными устройствами в системах автоматического
управления, обеспечивающими вращение, перемещение, сжатие, растяжение и другие
воздействия на объект, являются электродвигатели. Они превращают электрическую
энергию в механическую энергию вращения. Вращательное движение может быть
преобразовано в поступательное с помощью червячных передач или других
механизмов. Принцип работы электродвигателей постоянного тока основан на законе
Ампера.
На рис. 4.13 показано направление сил Ампера, действующих на провода с током в
виде прямоугольной рамки, находящейся в постоянном магнитном поле.
50
Рис. 4.13 Действие сил Ампера на рамку с током в постоянном магнитном поле
Из этого рисунка видно, что направление силы Ампера определяется по правилу
левой руки: направление тока совпадает с направлением пальцев кисти, магнитные
силовые линии входят в ладонь, а большой палец указывает направление силы
Ампера. Под действием этой силы рамка повернется вокруг оси по часовой стрелке.
Для работы электродвигателя постоянного тока необходимо создать в пространстве
вокруг рамки постоянное магнитное поле и пропустить через нее ток. Магнитное поле
создается двумя катушками, находящимися в неподвижной части двигателя - статоре.
Для обеспечения равномерного вращения применяют несколько рамок, сдвинутых
относительно друг друга на некоторый угол, а для увеличения силы Ампера рамки
делают из нескольких витков и помещают их на ротор из магнитомягкой стали. Для
подведения к рамкам тока их концы соединяют с изолированными друг от друга
пластинами из бронзы. К этим пластинам, образующим коллектор (собиратель), с
помощью пружин прижимают щетки из графита или бронзы.
На рис. 4.14 изображены статор и ротор электродвигателя постоянного тока. Ротор
помещается внутри статора и вращается на подшипниках.
Рис. 4.14 Статор и ротор электродвигателя постоянного тока
На рис. 4.15 приведены основные схемы включения электродвигателя постоянного
тока: с параллельным возбуждением (а) и с последовательным возбуждением (б).
51
Рис. 4.15 Схемы включения электродвигателя с параллельным (а) и с
последовательным (б) возбуждением
В первой схеме ток возбуждения IВ, протекающий через создающие магнитное поле
катушки внутри статора, не зависит от тока IР, протекающего через витки ротора, а во
второй схеме эти токи равны, т.е. IВ=IР. Вторая схема включения широко используется
на электротранспорте: в трамваях, троллейбусах, электричках и поездах метро, так как
в этой схеме при включении электродвигателя создается сильный вращательный
момент ротора.
Отметим, что электродвигатели постоянного тока будут работать и от переменного
напряжения, т.к. при изменении направления тока в рамке одновременно изменится и
направление силовых линий магнитного поля, создаваемого током в катушке
возбуждения, поэтому направление силы Ампера не изменится, и ротор будет
вращаться в одну сторону. Вследствие этого описанные двигатели часто называют
коллекторными. Для изменения направления вращения ротора в коллекторных
электродвигателях необходимо перекоммутировать либо концы катушек возбуждения,
либо провода, подводящие ток к щеткам коллектора.
Важными характеристиками электродвигателей постоянного тока в устройствах
автоматического управления являются регулировочная характеристика (рис. 4.16.а) и
переходная характеристика (рис. 4.16.б). Регулировочная характеристика - это
зависимость частоты вращения ротора от напряжения U.
Рис. 4.16 Регулировочная (а) и переходная (б) характеристики электродвигателей.
Переходной характеристикой называется зависимость частоты вращения ротора
от времени t при подключении электродвигателя к напряжению u = const. Она
соответствует переходной характеристике инерционного звена и описывается
выражением
(t) =
УСТ (1
- e
t
TЭД
).
52
Передаточная функция электродвигателя по частоте вращения ротора также
соответствует инерционному звену
k эд
( p)
U эд ( p )
,
(4.10)
U( p ) 1 pTэд
где kЭД = tg , угол определяется по регулировочной характеристике,
ТЭД - постоянная времени, которая определяется по переходной характеристике:
при
t=TЭД
имеем:
(TЭД)= УСТ(1-е-1)=0,63 УСТ.
Передаточную
функцию
( p)
электродвигателя по углу поворота ротора WЭД(р)=
получим, принимая во
U( p)
t
внимание, что
(t)
( )d . Отсюда
0
( p)
1
p
( p) , тогда с учетом (4.10) :
k эд
( p)
( p)
.
(4.11)
U( p ) pU( p ) p(1 pTэд )
Из этого выражения следует, что для выходного сигнала, являющегося углом
поворота ротора, электродвигатель является инерционно-интегрирующим звеном.
Недостатком коллекторных электродвигателей является наличие трущихся о
коллектор щеток. При вращении ротора щетки искрят, вследствие чего они создают
помехи радиоаппаратуре и со временем стираются (изнашиваются), поэтому их
приходится периодически менять.
Wэд ( p )
4.3.2. Асинхронные электродвигатели переменного тока
От недостатка коллекторных электродвигателей свободны асинхронные
электродвигатели переменного тока. В них нет коллектора и трущихся щеток, поэтому
они не искрят и в них ничего не изнашивается.
Принцип работы асинхронных электродвигателей основан на создании в
пространстве внутри статора вращающегося магнитного поля. На рис.4.17 изображены
статор двухфазного электродвигателя с двумя парами катушек (а), переменное
напряжение u1 U m cos t и переменное напряжение u2 U m sin t , подводимые к
первой и второй парам катушек соответственно (б), а также направление силовых
линий внутри статора в моменты времени t1, t2, t3 и t4 (в).
53
(а)
u1
(б)
катушки
t1
t2
t3
t4
t
u1
u2
t
u2
N
S
S
(в)
S
N
N
S
N
Рис. 4.17 Статор двухфазного асинхронного двигателя (а), питающие напряжения (б)
и вектор магнитной индукции внутри статора (в)
В момент времени t1 во второй паре горизонтально расположенных катушек тока
нет, так как u2(t1) = 0. В это время u1(t1) > 0, поэтому вектор магнитной индукции
направлен вертикально вверх.В момент времени t2 в первой паре вертикально
расположенных катушек тока нет, так как u1(t2) = 0. В это время u2(t2) > 0, поэтому
вектор направлен горизонтально слева направо. В момент времени t3 имеем: u2(t3)=0,
u1(t3) < 0, поэтому вектор направлен сверху вниз. В момент времени t4 имеем: u1(t4) =
0, u2(t4) < 0, поэтому вектор направлен горизонтально справа налево.
Из рис. 4.17.в видно, что вектор магнитного поля внутри статора вращается по
часовой стрелке с частотой питающих напряжений u1 и u2 .
Если поместить внутри статора замкнутый проводник в виде прямоугольной рамки,
то в соответствии с правилом Ленца эта рамка будет вращаться за магнитным полем.
Но из-за трения в подшипниках и возможной нагрузки на оси рамки частота ее
вращения будет меньше, чем частота вращения поля . Поэтому двигатели этого типа
называются асинхронными. Ротор асинхронных двигателей отличается от ротора
коллекторных двигателей тем, что у него нет коллектора, а витки замкнуты, т.е. конец
витка соединен с его началом.
Часто ротор выполняется в виде так называемого беличьего колеса, когда вместо
витков медной проволоки в пазы ротора заливают расплавленный алюминий, а концы
этих заливок соединяют общим алюминиевым кольцом. Такой ротор легко
изготавливается и не выходит из строя при перегрузках электродвигателя.
В промышленных установках чаще используются трехфазные асинхронные двигатели.
К этим двигателям подводится три переменных напряжения u 1, u2, u3, фазовый сдвиг
между которыми равен 120 .
4.3.3. Шаговые электродвигатели
В шаговом электродвигателе ротор поворачивается на определенный угол при
подаче на него очередного импульса напряжения. На рис. 4.18 изображены статор (а),
54
импульсы питающих напряжений u1 и u2 шагового электродвигателя (б) и вектор
магнитного поля внутри статора (в). Внутри статора расположен ротор в виде
постоянного магнита с двумя полюсами. Разноименные полюса притягиваются, а
одноименные полюса отталкиваются друг от друга, поэтому при появлении импульса
в момент времени t1 магнит ротора примет вертикальное положение, причем южный
полюс ротора S будет вверху, а северный N внизу. В момент времени t2 ротор
повернется на угол
по часовой стрелке, в момент времени t3 повернется еще на и
2
2
т.д. Для уменьшения шага угла поворота используют шестеренчатые передачи.
Шаговые двигатели применяются в электромеханических часах, в графопостроителях,
в матричных принтерах, в станках с ЧПУ, в роботах и т.д.
Рис. 4.18 Статор шагового двигателя (а), питающие напряжения (б) и вектор (в)
4.4.
Вспомогательные устройства
4.4.1. Тахогенераторы
В тахогенераторах используется принцип обратимости электрических машин. Если
вращать постоянный магнит внутри статора, то в его катушках будет наводиться
электродвижущая сила, амплитуда которой прямо пропорциональна частоте вращения
ротора, т.е. тахогенераторы формируют напряжение, пропорциональное частоте
d
k
( p ) . Так как
вращения ротора, т.е. u
, откуда U ( p ) k
, то
dt
( p)
( p) p ( p) , ( p)
. По определению передаточная функция тахогенератора
p
U ТГ ( p )
W ( p)
, после подстановки величин UТГ(p) и Ф(р) получим: WТГ(р) = kТГ р ,
( p)
где kТГ = [Вольт сек] - коэффициент пропорциональности тахогенератора. Из этого
выражения следует, что для входного сигнала, являющегося углом поворота ротора,
тахогенератор является дифференциатором.
55
4.4.2. Сельсины
Сельсины предназначены для дистанционной передачи угла поворота ротора или
вращающегося вала. На рис. 4.19 приведена схема соединения между сельсиномпередатчиком и сельсином-приемником. На статорах сельсинов расположены под
углом 1200 три катушки. Роторы сельсинов представляют собой электромагниты,
которые возбуждаются обмотками, подключенными к источнику переменного
напряжения. При повороте ротора одного из сельсинов (передатчика) ротор второго
сельсина (приемника) повернется на такой же угол, в результате взаимодействия
магнитных полей статора и ротора. Поскольку между сельсином-передатчиком и
сельсином-приемником расстояние может быть достаточно большим, поэтому система
на рис. 4.19 осуществляет дистанционную передачу угла поворота ротора.
1
1
статор
ротор
3
ротор
U
2
статор
3
2
Рис. 4.19 Схема соединений между сельсинами передатчиком и приемником
4.5.
Детекторы
4.5.1. Фазовые детекторы
Детекторы - это обнаружители или регистраторы каких-либо изменений в
процессах, сигналах и т.д. Фазовые детекторы (ФД) формируют сигнал,
пропорциональный разности фаз между двумя периодическими колебаниями.
Колебания эти могут быть гармоническими или иметь другую форму (треугольные,
прямоугольные, трапецеидальные, пилообразные и т.д.) Принцип действия ФД
основан на перемножении двух колебаний и выделении с помощью фильтра нижних
частот (ФНЧ) низкочастотного продукта перемножения (рис. 4.20) Покажем, что этот
низкочастотный продукт пропорционален разности фаз перемножаемых колебаний.
Отметим, что одно из колебаний называют входным, а второе - опорным.
Рис. 4.20 Структурная схема фазового детектора (ФД).
Пусть поступающие на вход ФД колебания u1 и u2 гармонические и описываются
выражениями:
56
. Тогда на выходе перемножителя получим:
, где k - коэффициент передачи
перемножителя. Из этого выражения видно, что на выходе перемножителя
присутствует две составляющие: низкочастотная
и высокочастотная
. На выход ФД через ФНЧ пройдет только низкочастотная
составляющая, поэтому UФД =
. Это выражение описывает детекторную
характеристику ФД, схема которого приведена на рис. 4.20, при условии, что сигналы
u1 и u2 - гармонические. Детекторная характеристика этого детектора приведена на
рис. 4.21.
Рис. 4.21 Детекторная характеристика ФД
Отметим, что между сигналами u1 и u2 начальный сдвиг фаз равен . Это делается
для того, чтобы детекторная характеристика ФД проходила через начало координат.
Из выражения для uФД видно, что сигнал на выходе ФД зависит как от разности фаз
между колебаниями u1 и u2 , так и от амплитуд этих колебаний U1 и U2 . Если
величина будет изменяться во времени, то сигнал uФД на выходе детектора тоже
будет изменяться. Как видно из рис. 4.21, характеристика описанного ФД нелинейная это синусоида. Поэтому только при малых значениях
в пределах
,
детекторную характеристику ФД можно считать примерно линейной. Для улучшения
линейности детекторной характеристики, а также для устранения зависимости u ФД от
амплитуд U1 и U2 перемножаемых колебаний в схему ФД на рис. 4.20 вводят
ограничители сигналов u1 и u2, которые преобразуют гармонические колебания в
прямоугольные импульсы.
На рис. 4.22 приведены: схема ФД с ограничителями (а), временные диаграммы
сигналов на входе и выходе ограничителя (б) и детекторная характеристика ФД с
ограничителями (в).
57
Рис. 4.22 Структурная схема ФД с ограничителями (а), временные диаграммы
сигналов на входе и выходе ограничителя (б)и детекторная характеристика ФД с
ограничителями (в)
Из рис. 4.22 видно, что линейные участки детекторной характеристики у такого ФД
больше
, но общая нелинейность, обусловленная периодичностью
детекторной характеристики ФД от разности фаз , все равно остается. Отметим, что
периодический характер детекторных характеристик присущ всем схемам ФД.
4.5.2. Амплитудные детекторы
Амплитудные детекторы (АД) формируют сигнал, пропорциональный амплитуде
входного периодического колебания, чаще всего гармонического. На рис. 4.23
приведены три возможные схемы АД: с блоком взятия модуля АВS и ФНЧ (а),
квадратичный АД (б) и синхронный АД (в).
Рис. 4.23 Структурные схемы амплитудных детекторов
58
В схеме на рис. 4.23.а блок ABS осуществляет математическую операцию взятия
модуля от сигнала u(t). На его выходе сигнал всегда одного знака, так как этот блок
отрицательную полуволну колебания также приводит к положительному знаку (см.
рис.4.24.г). Такой блок называют еще двухполупериодным выпрямителем. На рис.
4.24 приведены три схемы двухполупериодных выпрямителей на диодах. Диоды - это
нелинейные элементы, которые пропускают ток только в одном направлении,
совпадающим с направлением острия треугольника. Здесь же приведены временные
диаграммы, поясняющие работу двухполупериодного выпрямителя. Конденсаторы С
вместе с резисторами R выполняют роль ФНЧ. На рис. 4.24.б приведена схема
квадратичного АД, сигнал на выходе которого пропорционален квадрату амплитуды
входного сигнала. Такой АД называют квадратичным. Сигнал на его выходе равен
,
где черта означает выделение постоянной составляющей в сигнале.
Рис. 4.24 Принципиальные схемы АД на двухполупериодных выпрямителях (а,б,в)и
временные диаграммы, поясняющие их работу(г).
На рис. 4.23.в приведена схема синхронного АД. В этом детекторе входной сигнал
, подается на один вход перемножителя и на ограничитель. На выходе
ограничителя возникает прямоугольное колебание, как показано на рис. 4.22.б,
которое повторяет знак полуволны колебания u (t). Если колебание на выходе ОГР
перемножить с сигналом u (t), то сигнал на выходе перемножителя будет таким же, как
сигнал на выходе двухполупериодного выпрямителя (рис. 4.24.г). ФНЧ выделяет из
выпрямленного сигнала постоянную составляющую, которая при разложении этого
сигнала в ряд Фурье равна
UАД =
пропорциональна амплитуде U входного сигнала.
,т.е. постоянная составляющая
59
Рис. 4.25 Детекторные характеристики АД, приведенных на рис. 4.23
На рис. 4.25 приведены детекторные характеристики АД, схемы которых
приведены на рис. 4.23. Из этого рисунка видно, что у детекторов на рис. 4.23а, в
детекторные характеристики линейные, а у детектора на рис. 4.23.б она квадратичная.
4.5.3. Частотные детекторы
Частотные детекторы (ЧД) формируют сигнал, пропорциональный отклонению
частоты с входного периодического сигнала от номинальной (или средней) частоты
0.ЧД строятся по следующим принципам:
- сигнал с изменяющейся частотой преобразуется в сигнал с изменяющейся
амплитудой с последующим амплитудным детектированием;
- сигнал с изменяющейся частотой преобразуется в сигнал с дополнительным фазовым
сдвигом с последующим фазовым детектированием, при этом опорным колебанием
для ФД является входной сигнал;
- сигнал с изменяющейся частотой превращается в последовательность
прямоугольных импульсов с постоянной амплитудой и длительностью с
последующим выделением их постоянной составляющей;
- сигнал с изменяющейся частотой подается на замкнутую систему, следящую за
изменением частоты входного сигнала. При этом сигнал управления в этой системе
будет пропорционален отклонению частоты входного колебания от номинального
значения 0. На рис. 4.26 приведены структурные схемы четырех типов ЧД, в которых
реализованы описанные выше принципы построения: ЧД на расстроенных контурах
(а), ЧД с линией задержки (б), ЧД на одновибраторе (в) и ЧД на системе фазовой
автоподстройки частоты (ФАПЧ) (г).
60
Рис. 4.26 Структурные схемы частотных детекторов: на расстроенных контурах (а), с
линией задержки (б), на одновибраторе (в), на системе ФАПЧ (г)
В ЧД на рис. 4.26.а полосовой фильтр ПФ1 имеет резонансную частоту f р1 выше f0,
а у ПФ2 - f р2 < f0 (рис. 4.27.а). В результате такой расстройки частот fр1 и fр2
результирующая детекторная характеристика ЧД на расстроенных контурах будет
иметь вид, приведенный на рис. 4.27.а. В ЧД на рис. 4.26.б сигнал при прохождении
линии задержки приобретает дополнительный фазовый сдвиг
. Если теперь
исходный и задержанный сигналы подать на входы ФД, то сигнал на его выходе будет
зависеть от , а следовательно и от частоты сигнала с. Детекторная характеристика
ЧД с линией задержки приведена на рис. 4.27.б.
Рис. 4.27 Детекторные характеристики ЧД, схемы которых приведены на рис. 4.26
В ЧД на одновибраторе (рис. 4.26.в) после ограничителя включены выделитель
фронтов и одновибратор. На выходе одновибратора формируются импульсы
положительной полярности с постоянной амплитудой U0, длительностью 0 и
следующие с частотой сигнала fс. Постоянная составляющая этих импульсов при
61
разложении их в ряд Фурье будет равна u ЧД =
, т.е. прямо пропорциональна
частоте fс входного сигнала. Детекторная характеристика ЧД на одновибраторе
приведена на рис. 4.27.в. В ЧД на системе ФАПЧ (рис. 4.26.г) присутствует генератор
(ГУН), управляемый напряжением с выхода ФД. В системе ФАПЧ разность фаз в
установившемся режиме между входным сигналом и колебаниями на выходе ГУН
равна
, где
- отклонение частоты сигнала от номинального значения
- полоса удержания ФАПЧ. Из этого выражения видно, что величина
прямо
пропорциональна отклонению частоты
. Следовательно, сигнал на выходе
ФД, если его выполнить по схеме рис. 4.22.а, будет прямо пропорционален , а
следовательно и величине
. Таким образом схема на рис. 4.26.г есть частотный
детектор, так как сигнал на его выходе зависит от отклонения частоты входного
сигнала от номинального значения.
Вопросы для самоконтроля
1. Перечислите типовые звенья САУ и опишите их характеристики.
2.Перечислите основные исполнительные устройства САУ, расскажите об их
назначении и опишите их характеристики.
3. Перечислите вспомогательные устройства САУ и укажите их назначение.
4. Перечислите три типа детекторов и укажите их назначение.
5. Передаточные функции сложных схем и
устойчивость систем автоматического управления
5.1. Передаточные функции при различных схемах соединения звеньев
5.1.1. Последовательное соединение звеньев
На рис. 5.1 приведена схема последовательного или каскадного соединения звеньев
с передаточными функциями Wi , i = 1, k .
y1(t)
x(t)
X(p)
Wk
W2
W1
Y1(p)
yk(t)
y2(t)
Y2(p)
Yk(p)
Рис. 5.1 Схема последовательного соединения звеньев
Из схемы на рис. 5.1 следует: Y1(p) = W1 X(p)
Y2(p) = W2 Y1(p)

Yk(p) = Wk Yk-1(p)
(5.1)
62
По определению передаточная функция всей цепи
Yk ( p )
W
(5.2)
X( p )
Из (5.1) следует: Y2(p) = W1 W2 X(p) , Yk(p) = W1 W2 ... Wk X(p). Подставим в (5.2)
это значение Yk(p) и получим
k
W = W1 W2 ... Wk =
i 1
Wi
(5.3)
Из этого выражения следует, что при последовательном соединении звеньев
результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций
этих звеньев.
5.1.2. Параллельное соединение звеньев
На рис. 5.2 приведена схема параллельного соединения звеньев с передаточными
функциями Wi , i = 1, k .
y1(t)
W1
Y1(p)
W2
y2(t)
y(t)
+
Y2(p)
x(t)

X(p)
yk(t)
Wk
Yk(p)
Рис. 5.2 Схема параллельного соединения звеньев
Из рис. 5.2 следует, что в этой схеме выходной сигнал y(t) равен сумме сигналов на
выходах отдельных звеньев
k
y( t )
yi ( t ) .
i 1
Применим к этому выражению прямое преобразование Лапласа и получим:
k
Y( p )
Yi ( p) ,
i 1
Y( p )
, тогда
X( p )
получим формулу для определения передаточной функции при параллельном
соединении звеньев
где
Yi(p) = Wi X(p).
По определению передаточная функция W
k
W
Wi
(5.4)
i 1
Из формулы (5.4) следует, что при параллельном соединении звеньев передаточная
функция равна сумме передаточных функций этих звеньев.
63
5.1.3. Соединение звеньев по схемам с обратными связями
Как уже отмечалось в разделе 1, для улучшения качества работы САУ строятся по
замкнутой схеме или по схеме с обратной связью. На рис. 5.3 приведены две
возможные схемы соединения звеньев с обратными связями. Отличие схемы на рис.
5.3б от схемы на рис. 5.3а в том, что в цепи обратной связи в этой схеме включено
звено с передаточной функцией Wo.
(б)
(a)
e(t)=x(t)-y(t)
x(t)
+
E(p)
X(p)
-1
y(t)
Wр
Y(p)
x(t)
X(p)
e(t)=x(t)-y0(t)
+
E(p)
-1
y0(t)
y(t)
Wp
Y(p)
W0
Y0(p)
Рис. 5.3 Две схемы соединения звеньев с обратными связями
Из схемы на рис. 5.3.а имеем Y(p) = E(p)WР, где E(p)=X(p)-Y(p),
WР - передаточная функция схемы при разомкнутой цепи обратной связи.
Тогда Y(p) = X(p) WР - Y(p) WР, откуда передаточная функция замкнутой системы на
рис. 5.3а равна:
Wp
Y( p )
W3
(5.5)
X( p) 1 Wp
Из схемы на рис. 5.3б имеем: Y(p) = E(p) WР , где
E(p) = X(p) - Y0 (p) = X(p) Y(p) W0 . Тогда
Y(p) = X(p) WР - Y(p) WР W0 . Откуда передаточная функция
замкнутой системы на рис. 5.3.б равна:
Wp
Y( p )
WЗ
(5.6)
X( p ) 1 Wp W0
Сравнивая выражения (5.5) и (5.6) видим, что формула (5.5) есть частный случай
формулы (5.6), когда передаточная функция звена в цепи обратной связи Wo=1.
5.1.4. Передаточная функция многоконтурных систем
На практике встречаются системы с двумя и более цепями обратной связи. Такие
системы называются многоконтурными. На рис. 5.4 приведена схема двухконтурной
системы, имеющей две цепи обратной связи.
64
ВК
x(t)
+
+
W1
y(t)
W2
-1
-1
W0
Рис. 5.4 Схема двухконтурной системы
Передаточную функцию для этой системы получим поэтапно. Вначале получим
выражение для передаточной функции внутреннего контура ВК, обведенного рамкой.
Схема ВК совпадает со схемой на рис. 5.3.б, для которой на основании (5.6) получим:
W2
(5.7)
Wвк
1 W2 W0
Свернем схему в рамке в звено с передаточной функцией WВК. Теперь схема
совпадает с рис. 5.3.а, в котором WР = W1 WВК. Отсюда на основании (5.5) получим
W1 Wвк
,
(5.8)
WЗ
1 W1 Wвк
где WВК определяется по приведенному выше выражению (5.7). На рис. 5.5.а
приведена схема трехконтурной системы, причем сигналы обратной связи берутся из
разных точек схемы.
(a)
W01
-1
x(t)
X(p)
W1
+
W2
+
y(t)
Y(p)
Y2(p)
-1
-1
W3
W02
(б)
W01
1/WЗ
-1
x(t)
BK
W1
+
X(p)
-1
W2
+
Y2(p)
y(t)
W3
Y(p)
-1
W02
Рис. 5.5 Две эквивалентные схемы трехконтурной системы
65
На рис. 5.5.б приведена эквивалентная ей вторая схема, в которой сигнал обратной
связи берется из общей точки для всех трех цепей. Это удалось сделать благодаря
1
тому, что дополнительно включили звено с передаточной функцией
. Докажем
Wз
это. В схеме на рис. 5.5.а изображение сигнала на входе звена W01 равно Y2(p). Тогда
1
Y(p) = Y2(p) W3 . Помножим Y(p) на
и получим Y2(p), то есть на звено W01
Wз
поступает тот же самый сигнал, что и в схеме на рис. 5.5.а. Таким образом,
эквивалентность схем на рис. 5.5.а и на рис. 5.5.б доказана.
Теперь поэтапно получим выражение для передаточной функции схемы на рис.
5.5.б. Передаточная функция внутреннего контура на основании (5.6) с учетом (5.3)
равна
W2 WЗ
WВК =
(5.9)
1 W2 WЗ W02
Так как две цепи обратных связей имеют общий входной сигнал y(t) и вводятся в
одну точку на входе, следовательно они образуют звено передачи, соединенное по
параллельной схеме. Передаточная функция этого звена с учетом (5.3) и (5.4) равна
W01
1
. Тогда на основании (5.6) получим выражение для передаточной функции
W3
схемы на рис. 5.5б:
W1Wвк
WЗ =
,
(5.10)
W01
1 W1Wвк 1
Wз
где WВК определяется по приведенному выше выражению (5.9).
Используя приведенные выше формулы (5.3), (5.4), (5.5) и (5.6), а также описанные
приемы и преобразования, можно получить выражения для передаточных функций
систем со сложной конфигурацией схемы и со многими цепями обратных связей.
5.2. Признак и условие устойчивости систем автоматического управления
Системы без обратных связей всегда устойчивы, в этих системах коэффициенты в
выражении (5.12) аi = 0, i = 1, m , а коэффициент a0 = 1. Но в разомкнутых системах
обеспечивается низкое качество управления. Как уже отмечалось, в замкнутых САУ
качество управления лучше, но в них возникает проблема устойчивости. Устойчивые
системы функционируют нормально, а в неустойчивых системах возникают
автоколебания, которые приводят к нарушению нормальной работы САУ и даже
могут привести к их разрушению. В связи с этим в теории автоматического
управления введены понятия признак и условие устойчивости систем автоматического
управления.
Признаком устойчивости системы является следующее: если после воздействия на
систему короткого импульса она с течением времени приходит в состояние покоя, то
66
данная система устойчива, в противном случае неустойчива. Математически признак
устойчивости записывается так:
lim y( t ) 0 п р и x( t ) 0 , t > 0 (5.11)
t
Как уже отмечалось в разделе 2, САУ с передаточной функцией вида
m
bi pi
i 0
m
W( p )
a i pi
i 0
описывается дифференциальным уравнением
m
m
i
a i p y( t )
i 0
где p i
d
b i p i x( t ) ,
(5.12)
i 0
i
i
символ дифференцирования. После прекращения входного воздействия
dt
правая часть уравнения (5.12) равна нулю, и оно превращается в однородное
дифференциальное уравнение
m
a i p i y( t )
0.
i 0
Решение этого уравнения есть сумма из m экспонент и имеет следующий вид:
m
y (t )
ci e
it
,
i 1
(5.13)
где сi - коэффициенты, определяемые при t=0, т.е. при прекращении на САУ входного
воздействия,
i
i j i -полюсы. Полюсы - это корни характеристического
m
уравнения
a i pi
0 , которое получается в результате приравнивания к нулю
i 0
знаменателя передаточной функции W(р). В общем случае при действительных
коэффициентах аi полюсы могут быть действительными или комплексноj i , *i
j i . Будем
сопряженными числами, т.е. i
i
i
i
i или
считать, что число m четное и все полюсы комплексно-сопряженные.
(
j )t
(
e
Так как в соответствии с формулой Эйлера e
учетом этой формулы выражение (5.13) перепишем в виде:
k
y( t )
2 cie
it
cos
it ,
j )t
2e t cos
t,
то с
здесь k=m/2.
i 1
Из этого выражения следует, что необходимым и достаточным условием
устойчивости САУ, когда lim y( t ) 0 , является условие:
t
i
0,
67
т.е. в устойчивых системах действительные части всех корней характеристического
уравнения (или полюсов) должны быть отрицательными. Впервые это условие
устойчивости для замкнутых САУ было получено математиком Раусом, поэтому его
также называют критерием устойчивости Рауса.
Это простое на первый взгляд условие может быть проверено только при степени
характеристического уравнения m 3 . При m 4 общего аналитического решения
характеристических уравнений не найдено. Такие уравнения решают численными
методами на ЭВМ. Поэтому при m 3 для оценки устойчивости САУ было
предложено несколько косвенных методов проверки устойчивости САУ без решения
характеристического уравнения.
5.3. Критерий устойчивости Гурвица
Для применения этого критерия вначале составляется квадратная матрица Гурвица
размером m m вида:
am 1 am 3 am 5 . . . 0
am
am
2
am
4
... 0
0
am
1
am
3
... 0
................................
................................
.......................... a1 0
(5.14)
0............................ a 0
Порядок составления матрицы Гурвица следующий. В левом верхнем углу запишем
коэффициент аm-1 , по главной диагонали располагаем коэффициенты с убыванием
индекса до нуля. Над элементами главной диагонали записываем коэффициенты с
убыванием индексов, а под ними - коэффициенты с возрастанием индексов, как это
сделано в (5.14).
Для оценки устойчивости системы надо вычислить определители
i Гурвица,
которые получаются из матрицы Гурвица отчеркиванием равного числа строк и
столбцов от верхнего угла матрицы. Например
1 am 1 ,
am 1 am 3 am 5
am 1 am 3
,
am am 2 am 4 .
2
3
am am 2
0
am 1 am 3
и т.д. до определителя m , который описывается выражением (5.14). Критерий
Гурвица гласит: если при а0 > 0 все определители
i 0, i 1, m , то система
устойчива. Т.к. m a 0 m 1, то при а0 > 0 достаточно проверить только знаки
определителей
m 1 0 определяют параметры
i , npu i 1, m 1 .Из условия
системы, при которых она находится на границе устойчивости.
68
5.4. Критерий устойчивости Найквиста
Критерий Найквиста удобен тем, что он позволяет судить об устойчивости
замкнутой системы по годографу разомкнутой системы. Критерий Найквиста гласит:
если годограф ККП разомкнутой системы Wp ( j ) при изменении частоты от нуля до
бесконечности не охватывает на комплексной плоскости P( ); jQ( ) точку с
координатами -1; j0, то замкнутая система, собранная по схеме рис. 5.3.а, будет
устойчива. В противном случае замкнутая система будет неустойчива. Для замкнутой
системы, образованной по схеме рис. 5.3.б, вместо годографа Wp ( j ) строится
годограф Wp ( j ) W0 ( j ). На рис. 5.7 приведены годографы ККП Wp ( j ) устойчивой
и неустойчивой систем.
jQ( )
-1,j0
=0
=
0 уст.
P( )
неуст.
Рис. 5.7 Годографы Wp ( j ) устойчивой и неустойчивой систем
Замкнутая система называется абсолютно устойчивой, если она может стать
неустойчивой только при увеличении коэффициента усиления разомкнутой системы.
Годограф такой системы приведен на рис. 5.7. Замкнутая система называется условно
устойчивой, если она может стать неустойчивой как при увеличении, так и при
уменьшении коэффициента усиления разомкнутой системы. На рис. 5.8 приведен
годограф Wp ( j ) условно устойчивой системы.
JQ( )
-1;j0
=
0
=0
P( )
Рис. 5.8 Годограф Wp ( j ) условно устойчивой системы
69
5.5. Определение устойчивости замкнутой системы по АЧХ и ФЧХ (по ЛАЧХ
и ЛФЧХ) разомкнутой системы
5.5.1. Запасы устойчивости по фазе и по усилению.
В годографе ККП разомкнутой системы Wp ( j ) объединены воедино амплитудночастотная и фазочастотная характеристики разомкнутой системы, что не всегда
удобно, т.к. в годографе ККП отсутствует ось частот. Для определения
количественных характеристик устойчивости замкнутой системы удобнее
использовать не годограф ККП разомкнутой системы Wp ( j ) , а отдельно графики
АЧХ и ФЧХ (или ЛАЧХ и ЛФЧХ) разомкнутой системы, в которых есть ось частот.
Количественными характеристиками устойчивости являются запасы устойчивости по
фазе и по усилению.
Запас устойчивости по фазе
определяется по формуле
(5.15)
p ( cp )
где
значение ФЧХ или ЛФЧХ разомкнутой системы на частоте среза СР, на
которой АЧХ разомкнутой системы Wp ( cp ) 1 , а ЛАЧХ разомкнутой системы
p ( cp ) -
) = 0. Для устойчивой системы должно выполняться условие
желательно, чтобы
0,5 1 радиан.
Запас устойчивости по усилению по АЧХ определяется по формуле
1
,
(5.16)
Wp ( к р )
Р(
>0,
СР
где WР( КР) - значение АЧХ разомкнутой системы на критической частоте КР, на
которой ФЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы равна или - , т.е. Р( КР) = . Для
устойчивой системы запас устойчивости по усилению должен быть больше единицы,
т.е. >1, желательно, чтобы
1,5 2. Запас устойчивости по усилению по ЛАЧХ
определяется по формуле [дБ] = - Р ( кр ). В устойчивой системе должно
выполняться условие [дБ] > 0 дБ. На рис. 5.9 приведены графики ЛАЧХ Р и ЛФЧХ Р
для устойчивой (а) и неустойчивой (б) систем.
Р,
(а
)
Р
Р,
Р
СР
<0дБ
lg
КР
>0дБ
>0
Рис.5.9. Графики ЛАЧХ
(б)
Р
СР
КР
lg
<0
Р
и ЛФЧХ
Р
для устойчивой (а) и неустойчивой (б) систем
70
Из рис. 5.9 следует правило: в устойчивой системе
системе СР> КР.
СР<
КР,
а в неустойчивой
5.5.2. Связь между частотными характеристиками
разомкнутой и замкнутой системы
Предположим, что замкнутая система образуется из разомкнутой по схеме на рис.
5.3.а, для которой справедливо выражение:
Wp ( p)
WЗ(р) =
.
1 Wp ( p)
ККП этой системы определяется по формуле
Wp ( j )
WЗ ( j ) WЗ ( p)
,
(5.17)
p j
1 Wp ( j )
где Wp ( j )
Wp
Pp ( )
jQ p ( )
Pp2 ( ) Q2p ( )
Wpe
j p
,
- модуль Wp ( j ) ,
Qp ( )
- аргумент Wp ( j ) .
Pp ( )
Числитель и знаменатель (5.17) разделим на WР ( j ) и получим:
p
arctg
WЗ ( j )
так как e
j p
cos
p
1
[1 Wp 1 ( j )]
1
1
Wp ( j )
j sin
p,
то WЗ ( j )
1
1
cos
1
p
Wp
j
1
j p
e
;
Wp
1
sin
p
Wp
.
Модуль этого выражения есть АЧХ замкнутой системы:
WЗ ( )
WЗ ( j )
1
Из этого выражения следует, что при
1
Wp2
2 cos
p
Wp
cp ,
1
2
(5.18)
где выполняется условие WР > 1,
величина WЗ 1, а при
cp , где выполняется условие WР < 1, величина WЗ
На рис. 5.10 приведен график АЧХ замкнутой системы.
Wp .
71
WЗ( )
М
1
0
Р
п
Рис. 5.10 График АЧХ замкнутой системы
Характерными точками на этом графике являются резонансная частота Р и полоса
пропускания П. На частоте П АЧХ замкнутой системы WЗ( П) = 1. На резонансной
частоте Р значение АЧХ замкнутой системы максимальное, т.е. WЗ( Р) = М , где М максимум АЧХ замкнутой системы. Число М называют показателем колебательности
системы.
2 cos p ( п )
1
Приравняем (5.18) к единице и получим
0 , откуда
Wp ( п )
Wp2 ( п )
Wp (
п)
1
2 cos
p(
п)
(5.19)
Для установления связи между частотами СР и П примем во внимание тот факт,
что в окрестности частоты СР ЛАЧХ разомкнутой системы имеет наклон -20 дБ/дек,
т.е.
20 lg Wp ( cp ) 20 lg Wp ( п )
20 ,
lg cp lg п
причем 20 lg WР(
СР)
= 0 , тогда 20 lg
cp
п
20 lg Wp (
п ),
откуда
= СР / WР( П )
(5.20)
Для нахождения показателя колебательности системы М возьмем производную
dW3
от выражения (5.18) и приравняем ее к нулю. Производную от (5.18) возьмем в
d
следующем виде:
dW3 dW3 dWp
.
d
dWp d
П
Производная dWР/d не равна нулю, следовательно равна нулю производная
dWЗ / dWР :
dW3
dWp
1
1
1
2
Wp2
2 cos
Wp
3
2
p
( 2Wp 3
2Wp 2 cos
p
)
0 .
72
откуда
Wp
1
cos
. Подставим это значение в (5.18) и получим:
p
1
(5.21)
sin p ( p )
Выражения (5.18), (5.19), (5.20) и (5.21) устанавливают связь между частотными
характеристиками (АЧХ и ФЧХ) разомкнутой и замкнутой системы рис. 5.3.а.
Отметим, что в окрестностях частот СР и П график Р( ) изменяется мало, поэтому
Р( СР)= Р( П). Тогда с учетом (5.15) выражение (5.19) можно переписать в виде
1
Wp ( п )
,
(5.22)
2 cos
где
- запас устойчивости по фазе. Тогда с учетом (5.22) выражение (5.20)
перепишем в виде
M
cos
,
(5.23)
а выражение (5.21) с учетом (5.15) будет выглядеть так
1
M
(5.24)
sin
Выражение (5.24) устанавливает связь между запасом устойчивости по фазе
и
показателем колебательности замкнутой системы. Из него следует, что при
0
показатель колебательности системы М
, что свидетельствует о переходе системы
из устойчивой в неустойчивую.
п
2
cp
5.5.3. Показатели переходного процесса
Среди показателей САУ важными являются показатели переходного процесса.
Существуют прямые и косвенные способы оценки показателей переходного процесса.
К прямым относится способ определения этих показателей по переходной
характеристике. На рис. 5.11 приведена типичная переходная характеристика
замкнутой САУ.
Рис. 5.11. Типичная переходная характеристика замкнутой САУ
73
Показателями переходного процесса являются: максимальное hmax и
установившееся hуст значения переходной характеристики, перерегулирование σ,
которое характеризует выброс переходной характеристики относительно
установившегося значения hуст и определяется по формуле σ = (hmax – hуст)/hуст,
длительность переходного процесса tп – это время от начала переходной
характеристики до момента времени, когда переходная характеристика входит в зону
2Δ, определяемую обычно из условия Δ = 0,05 hуст. Из рис. 5.11 видно, что чем меньше
величина перерегулирования, тем более плавной выглядит переходная характеристика
САУ и тем лучше процесс управления в САУ. На практике снятие переходной
характеристики часто бывает затруднительным, поэтому применяют косвенные
способы определения показателей переходного процесса: частотные, корневые и
интегральные. Так между указанными выше прямыми показателями переходного
процесса σ и tп и частотными показателями замкнутой САУ существует взаимосвязь,
определяемая следующими соотношениями: σ = 0,18М, где М – показатель
колебательности замкнутой САУ, tп = 1/fп , где fп = ωп/2π – полоса пропускания
замкнутой САУ. Из этих соотношений следует, что чем выше показатель
колебательности, тем больше величина перерегулирования σ, а чем больше полоса
пропускания, тем меньше длительность переходного процесса.
5.6. Устойчивость замкнутой системы с линией задержки
Возникает вопрос: как изменяются количественные характеристики устойчивости
замкнутой системы, если в нее дополнительно включить линию задержки? (см. рис.
5.11).
WP
+
ЛЗ
1
Рис. 5.11 Схема замкнутой системы с линией задержки
Как следует из раздела 4.2.10, передаточная функция линии задержки W ( p ) e p ,
ее АЧХ W( )=1, a ФЧХ ( ) = - , где - время задержки. Из (5.3) следует, что при
последовательном соединении звеньев АЧХ перемножаются, а ФЧХ суммируются.
Следовательно АЧХ разомкнутой системы WР( ) от включения линии задержки не
изменяется, а ФЧХ изменяется на величину - . На рис. 5.12 приведены ЛАЧХ и
ЛФЧХ разомкнутой системы без линии задержки и с линией задержки. Из этого
рисунка видно, что при времени задержки
/
ср
/
устойчивой превратится в неустойчивую. При
устойчивой, но показатель колебательности в ней возрастет.
замкнутая система из
ср
система останется
74
Р,
Р,
Р
Р
0
lg ,
СР
КР
р
(
P
)
Рис. 5.12 Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы
без линии задержки и с линией задержки
Вопросы для самоконтроля
1.Как определяется передаточная функция последовательно соединенных звеньев?
2.Как определяется передаточная функция параллельно соединенных звеньев?
3.Как определяется передаточная функция звеньев, соединенных по схемам с
обратной связью?
4.Сформулируйте признак устойчивости замкнутых САУ.
5.Сформулируйте критерий устойчивости Рауса замкнутых САУ.
6.Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица замкнутых САУ.
7.Сформулируйте критерий устойчивости Найквиста замкнутых САУ.
8.Дайте определения запасов устойчивости по усилению и по фазе.
9.Дайте определение показателя колебательности замкнутой САУи покажите, как он
связан с запасом устойчивости по фазе.
10.Расскажите о показателях переходного процесса σ и tп и как они связаны с
частотными показателями замкнутой САУ
11.Покажите, как влияет на устойчивость замкнутой САУ включение линии задержки.
6. Ошибки в замкнутых системах автоматического
управления
6.1. Статическая ошибка
На рис.6.1 приведена схема одноконтурной замкнутой системы. В разделе 5.1.4 было
показано, что многоконтурные системы могут быть сведены к одноконтурным. Сигнал
на выходе вычитающего устройства e(t) = x(t) - y0(t) называется сигналом ошибки.
75
x(t)
+
e(t)
y(t)
Wp
-1
W0
y0(t)
Рис.6.1 Схема одноконтурной замкнутой системы.
По определению передаточная функция ошибки равна
E (p)
We ( p )
(6.1)
X( p )
Из рис.6.1 следует, что E(p) = X(p) - Y0(p) = X(p) - Y(p)W0 , где
Y(p) = E(p)Wp. Тогда E(p) = X(p) - E(p)WpW0 , откуда E ( p )
X( p )
.
1 Wp W0
С учетом (6.1) получим
1
.
(6.2)
1 Wp W0
Это выражение описывает передаточную функцию ошибки в замкнутой системе
рис.6.1 и рис. 5.3.б через передаточные функции входящих в нее звеньев Wp и W0 .
Если замкнутая система построена по схеме рис. 5.3 а, то в приведенных выражениях
полагают W0 =1.
Статическая ошибка системы есть предел e c lim e(t )
We ( p)
t
при входном сигнале в виде скачка со ступенькой С x( t )
Так как его изображение по Лапласу X(p) = C/p , то e c
Из (6.1) имеем E(p) = X(p)We(p) , тогда
ec
0 при t
C const при t 0.
lim e( t ) lim pE( p) .
t
lim pX( p) We ( p)
p
0,
0
p
0
lim CWe ( p) .
p
0
k
- каскадное соединение инерционного звена с
1 pT
усилителем. Тогда с учетом (6.2) получим:
С
C
C
e c lim
lim
.
k
1 k
p 0 1 Wp W0
p 01
Пример 1. Пусть
Wp W0
1 pT
kи
- каскадное соединение интегратора и
p (1 pT)
инерционного звена. Тогда с учетом (6.2) получим:
С
C
e c lim
lim
0.
kи
p 0 1 Wp W0
p 01
Пример 2.
Пусть
Wp W0
p (1 pT)
На рис 6.2 приведены графики e(t) в статической и астатической системах.
76
Система, в которой статическая ошибка не равна нулю, т.е. ec 0 , называется
статической, а система, в которой ec=0, называется астатической. Из приведенных
примеров следует, что система становится астатической, если в ее замкнутом кольце
есть хотя бы одно звено интегрирования.
e(t)
С
а
С
б
1 k
t
0
Рис.6.2 Графики зависимости ошибки e(t) в статической (а) и астатической (б)
замкнутых системах автоматического управления
6.2. Динамические ошибки
Динамическими называются ошибки в замкнутой системе при входном воздействии
вида
0 п ри t 0,
k
x( t )
i
i t п ри t 0.
i o
Этот сигнал относится к медленно меняющимся сигналам, так как (k+1) - ая
производная этого сигнала по времени равна нулю. Отметим, что гармонический
сигнал x(t) = Acos t не является медленно меняющимся, так как ни одна из его
производных не равна нулю.
Для определения динамической ошибки представим функцию We(p) рядом Тейлора
1
We ( p)
Ci pi ,
(6.3)
i
!
i 0
где Сi - неизвестные коэффициенты ошибки. Тогда
C
1
E(p) = We(p)X(p) = C0X(p) + C1pX(p) + C2p2X(p) +...+ k pkX(p).
(6.4)
k!
2!
di
i
i
Этот ряд ограничен k-тым членом ряда, так как p x(t)=0 при i>k, где p
dt i
символы дифференцирования, поэтому при i>k слагаемые piX(p)=0.
Взяв от (6.4) обратное преобразование Лапласа, получим:
77
e(t) = C0x(t) + C1px(t) +
где
di
i
C
С2 2
p x(t) +...+ k pkx(t) ,
k!
2!
(6.5)
- символы дифференцирования. В ряде (6.5) первое слагаемое C0x(t)
dt i
называется ошибкой по положению, второе слагаемое C1px(t) называется ошибкой по
p
C2
2
скорости, а третье слагаемое 2! p x(t ) называется ошибкой по ускорению.
Коэффициенты C0, C1 и C2 называются соответственно коэффициентами ошибки по
положению, скорости и ускорению. Слагаемые более высокого порядка и входящие в
них коэффициенты ошибок Ci специфического названия не имеют, они называются
коэффициентами ошибки по i - ой производной сигнала.
6.3. Способы определения коэффициентов ошибок
Для определения коэффициентов ошибок Ci существует несколько способов.
Первый способ: коэффициенты ошибки Ci определяются из выражения для
передаточной функции ошибки по формуле:
m
Ci
i!
d i We ( p )
dp
i
p
,
0
где
We ( p)
i 0
m
bi pi
- передаточная функция ошибки в
ai pi
i 0
виде дробно-рациональной функции. По этой формуле легко найти коэффициенты Ci
b0
для малого индекса i. В частности для i=0 имеем C 0
.
a0
Второй способ.
Имеем два выражения передаточной функции ошибки в виде отношения полиномов:
m
bi pi
i 0
m
We ( p)
k
и виде усеченного ряда Тейлора We ( p)
ai pi
i
1
C i p i , следующего из
0 i!
i 0
(6.3) с учетом (6.4). Приравняем правые части этих выражений и получим
m
bi p
i 0
i
m
aip
i 0
k
i
i
1
Ci pi .
0 i!
Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях p, в
результате получим
b0
1
2
C0
, C1
(b1 a 1 C 0 ) , С 2
( b 2 a 2 C 0 a 1 C 1 ) и т.д.
a0
a0
a0
78
Третий способ.
Имеем два выражения для передаточной функции ошибки, следующие из (6.2) и (6.3)
k
1
1
, We ( p)
Ci pi .
с учетом (6.4): We ( p)
1 Wp W0
i
!
i 0
m
Представим произведение WpW0 в виде Wp W0
K
p
d i pi
i 0
m
,
bi p
i
i 0
где K - коэффициент усиления замкнутой петли, - порядок астатизма, равный числу
интеграторов в петле.
k
1
1
Тогда
Cipi .
m
i 0 i!
d i pi
K i 0
1
m
p
bi pi
i 0
Далее как и во втором способе при различных порядках астатизма
делаем
операции с раскрытием скобок и приравниванием коэффициентов при равных
степенях p . В результате получим следующие формулы для расчета коэффициентов
ошибок.
b d1
1
С0
, С1 K 1
При =0
и т.д.
K 1
( K 1) 2
При
=1
C0=0 , С1
1
, С2
K
2
b1 d1
K
1
K2
и т.д.
1
и т.д.
K
Из этих выражений следует, что чем выше порядок астатизма замкнутой системы,
тем больше коэффициентов ошибок системы равны нулю. Но в замкнутых системах
при >2 возникает проблема устойчивости.
При
=2
C0=0 , С1=0 , С 2
6.4. Способы включения корректирующих звеньев
Как было показано выше, коэффициенты ошибок Ci замкнутой системы полностью
определяются коэффициентами передаточной функции
Wp. Для обеспечения
требуемых значений коэффициентов ошибки в замкнутую систему дополнительно
включают корректирующие звенья с передаточной функцией WКЗ такой, чтобы
результирующая передаточная функция WpWКЗ обеспечила требуемые значения
коэффициентов ошибки Ci .
Для расширения возможностей физической реализуемости передаточных функций
корректирующих звеньев их можно включать по трем схемам (рис.6.3):
- последовательно (а),
- параллельно (б),
79
- по схеме с обратной связью (в).
(а)
WКЗ
W1
(б)
W1
(в)
+
WП
W1
+
1
W0
Рис.6.3 Способы включения корректирующих звеньев
При последовательной схеме соединений (рис.6.3.а) имеем: W=W1WКЗ, где W1 передаточная функция исходной части схемы, W - желаемая для обеспечения малых
ошибок передаточная функция. Тогда WКЗ=W/W1 .
Но полученная по этой формуле функция WКЗ физически может быть нереализуема.
Тогда можно применить схему на рис. 6.3.б . Для того, чтобы обеспечить
эквивалентность схем на рис. 6.3.а и 6.3.б , должно выполняться условие :
W1WКЗ = W1 + WП,
откуда выражение для передаточной функции корректирующего звена при
параллельном способе включения будет иметь вид :
W
WП = W1 (WКЗ 1), где WКЗ
.
W1
Если и такой способ включения не решит проблему реализуемости функции WП , то
можно применить схему с обратной связью рис. 6.3.в . В этом случае должно
выполняться условие :
W1
1
1
W
W1WКЗ , откуда W0
1 , где WКЗ
.
1 W1W0
W1 WКЗ
W1
Схема с обратной связью на рис. 6.3.в также повышает стабильность параметров
охваченных обратной связью звеньев (см. задание на курсовую работу №1).
6.5. Разновидности корректирующих обратных связей
Включение корректирующих звеньев по схеме с обратной связью (рис.6.3.в)
позволяет изменить параметры охваченной обратной связью звеньев и даже изменить
тип этих звеньев. Покажем это на примерах.
Обратная связь называется жесткой, когда в цепи обратной связи включено
безынерционное звено с передаточной функцией W0=k0. Если охватить такой ОС
k1
инерционное звено с передаточной функцией W1
, то результирующая
1 pT1
передаточная функция будет равна
80
W1
k1
T1
k
, T
, где k
.
1 W1W0 1 pT
1 k 1k 0
1 k 1k 0
Из этих выражений видно, что жесткая ОС сохранила тип звена, но изменила его
параметры - уменьшились коэффициент усиления и постоянная времени звена.
Обратная связь называется гибкой, если в цепи обратной связи включена
pT0
дифференцирующая цепь с передаточной функцией W0
. Охватим такой
1 pT0
ОС усилитель с передаточной функцией W1=k1. В результате получим
W1
1 pT0
W
k1
.
1 W1W0
1 pT0 (1 k 1 )
Это выражение передаточной функции для корректирующего звена с отставанием
по фазе с параметром
=1+k1. Если гибкой ОС охватить интегратор, у которого
W1=kи /p , то в результате получим
W1
k и 1 pT0
.
W
pT0
1 W1W0
p 1
W
1 k иT0
Это выражение передаточной функции интегратора и корректирующего звена с
1
опережением по фазе с параметром
.
1 k и T0
Таким образом, применение различных корректирующих обратных связей
позволяет изменять не только параметры звеньев, но даже тип звеньев, что в конечном
итоге влияет на ошибки в замкнутых системах.
Вопросы для самоконтроля
1.Дайте определение передаточной функции ошибки.
2.Как связана передаточная функция ошибки с передаточной функцией замкнутой и
разомкнутой систем?
3.Как определяется статистическая ошибка в САУ с астатизмом нулевого и первого порядка?
4.Как определяются динамические ошибки в САУ.
5.Перечислите способы нахождения коэффициентов динамических ошибок.
6.Перечислите способы включения корректирующих звеньев.
7. Следящие системы при случайных входных
воздействиях
7.1. Среднеквадратическая ошибка системы
В следящих системах выходной сигнал с той или иной степенью точности должен
отслеживать случайный входной сигнал. Примером является система автоматического
слежения за целью, перемещающейся в пространстве случайным образом и
81
излучающей электромагнитные волны. На входе следящей системы обычно действует
аддитивная смесь случайного сигнала x(t) и случайной помехи n(t) с нулевым средним
значением f(t) = x(t) + n(t). Выходной сигнал следящей системы y(t) должен с
определенной точностью повторять входной сигнал x(t) и отфильтровать помеху n(t).
В нашем примере входным сигналом является азимут цели, а выходным сигналом
является азимут направления антенны, зеркала телескопа или ствола пушки. Следящие
системы строятся по схеме с обратной связью (замкнутые системы). На рис.7.1
приведена структурная схема следящей системы, построенная по схеме на рис.5.3.а.
Дополнительно здесь показано вычисление ошибки системы e(t)=x(t)-y(t).
Рис.7.1 Структурная схема следящей системы
Передаточная функция построенной по схеме рис.5.3.а. замкнутой системы Wз
определяется по выражению
We ( p )
W3
Y( p )
X( p )
Wp
1 Wp
, а передаточная функция ошибки
1
1 W p . Взяв от сигналов на рис.7.1 преобразования Лапласа, получим:
E(p) = X(p) - Y(p) = X(p) - WзF(p) = X(p) - WзX(p) - WзN(p) = X(p) (1-Wз) - WзN(p).
Так как 1 - Wз = Wе, то
E(p) = X(p)We - WзN(p).
(7.1)
Если сигнал x(t) есть стационарный случайный процесс, то его можно представить
суммой
,
где mx - математическое ожидание,
- случайная составляющая с нулевым средним входного сигнала x(t).
Так как математическое ожидание помехи n(t) равно нулю, то математическое
ожидание ошибки e(t), будет равно:
,
(7.2)
а дисперсия ошибки по определению есть математическое ожидание квадрата ошибки,
т.е.
82
,
где Rt( ) - автокорреляционная функция ошибки.
Автокорреляционная функция и спектральная
преобразований Фурье:
(7.3)
плотность
связаны
парой
,
.
(7.4)
Спектральная плотность на выходе звена связана со спектральной плотностью на
его входе соотношением
,
где
- квадрат модуля ККП звена.
Принимая во внимание, что
некоррелированных сигнале x(t) и помехе n(t) с учетом (7.1) имеем:
,
то
при
,
(7.5)
где Sx( ), Sn( ) - спектральные плотности сигнала x(t) и помехи n(t) соответственно.
Здесь приводятся спектральные плотности по мощности.
Дисперсию ошибки в следящей системе при этих условиях определим с учетом
(7.3), (7.4) при =0 и (7.5) по формуле:
,
(7.6)
где
,
.
Среднеквадратическая ошибка е по определению равна квадратному корню из
дисперсии ошибки. Суммарная среднеквадратичная ошибка в следящей системе будет
равна
,
(7.7)
где
me - определяемое по (7.2) математическое ожидание ошибки,
определяемая по (7.6) дисперсия ошибки.
-
7.2. Эффективная полоса пропускания системы
На рис.7.2 приведен график зависимости
которой приведена на рис. 7.1.
от частоты для системы, схема
83
Рис.7.2 График квадрата АЧХ следящей системы
Эффективной полосой пропускания системы называется величина
(7.8)
Из этого выражения и рис.7.2 следует, что эффективная полоса пропускания
системы равна основанию прямоугольника, площадь которого равна площади,
ограниченной графиком квадрата АЧХ системы. Если помеха n(t) является белым
шумом с равномерной спектральной плотностью
, причем
Sn(0)=2N0, то с учетом (7.6) и (7.8) дисперсия ошибки из-за действия помехи
определится по формуле:
.
(7.9)
Применение эффективной полосы пропускания позволяет упростить вычисление
дисперсии ошибки. Для вычисления величины эф можно воспользоваться табличным
интегралом (7.11).
7.3. Формирующие фильтры
Помеха n(t) обычно является белым шумом а сигналы x(t) не относятся к белым
шумам, т.е. их спектральная плотность зависит от частоты. Однако, если использовать
формирующие фильтры, то анализ систем можно свести к действию белого шума.
Формирующий фильтр - это линейное устройство, создающее случайный сигнал с
заданной спектральной плотностью Sx( ) при действии на его входе белого шума с
равномерной спектральной плотностью Nx. Спектральная плотность Sx( ) реального
стационарного случайного сигнала x(t) является четной дробно-рациональной
функцией частоты:
.
(7.10)
84
Коэффициенты ai, bi передаточной функции формирующего фильтра определим из
равенства
где
Подставим в это равенство выражение (7.8) и получим
Вычислив квадрат модуля и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях
частоты справа и слева, получим соотношения для вычисления коэффициентов ai, bi
через коэффициенты ci, di и величину Nx.
Пример. Определить коэффициенты ai, bi формирующего фильтра, преобразующего
случайный сигнал с равномерной спектральной плотностью Nx
в сигнал со
спектральной плотностью
Решение. Составим уравнение
.
.
Откуда имеем:
=2, a0=1,
следовательно
инерционного звена с постоянной времени
тогда
7.4. Минимизация дисперсии ошибки вариацией
системы
это ККП
.
параметров следящей
Из (7.6) с учетом (7.5) следует, что дисперсия ошибки зависит от передаточных
функций Wе и Wз следящей системы, которые в свою очередь определяются
входящими в них коэффициентами ki, ai и bi. Уже в заголовке данного раздела
сформулирована оптимизационная задача. Для ее решения вначале составим целевую
функцию
De = f ( ki, ai, bi ) = min.
Для решения этой задачи составим систему уравнений
85
Решение этой системы уравнений позволяет найти коэффициенты ki, ai, bi, при
которых De= min . Если решить эту систему частично, зафиксировав некоторые
коэффициенты, тогда мы решим частную оптимизационную задачу.
Пример. На следящую систему, у которой
действует сумма
случайного некоррелированного сигнала и помехи со спектральными плотностями
Sx ( )
Nx /
2
, S П ( ) N П . Необходимо при фиксированном значении
постоянной времени Т определить коэффициент усиления Копт, при котором De=min.
Решение. Из (7.6) с учетом (7.5) имеем целевую функцию
.
Входящие в эту функцию интегралы табличные (см. формулы (7.11)), в которых
.
Используя эти выражения и формулы (7.11), получим
тогда
, откуда имеем искомый результат: K ОПТ
NX
NП
при котором De=min.
Табличный интеграл вида:
(7.11)
86
равен:
для m = 2
для m = 1
,
,
для m = 3
.
7.5. Оптимальный фильтр Винера
Теперь решим оптимизационную задачу для следящей системы на рис.7.1,
определив выражение для ККП системы Wз(j ), при котором дисперсия ошибки самая
наименьшая. Впервые эту задачу решил математик Винер. Составим целевую
функцию при некоррелированных случайных сигнале и помехе
(7.12)
ККП системы Wк (j ) = P( ) + jQ( ), где P( ), Q( ) - действительная и мнимая части
ККП,
,
тогда
Подставим эти выражения в целевую функцию (7.12) и получим
.
Здесь для компактности записи не обозначена зависимость величин P, Q, Sx и Sn от
частоты . Возьмем две частные производные от этой функции по действительной и
мнимой частям ККП и приравняем их к нулю:
Помножим оба уравнения на 2 , а затем второе уравнение помножим на мнимую
единицу j и сложим его с первым уравнением. В результате получим:
87
откуда
Продифференцируем по частоте левую и правую части этого уравнения и получим:
(P + jQ) (Sx + Sn) = Sx.
Так как Wк (j )=P+jQ, то искомый ККП следящей системы будет равен:
(7.13)
Это выражение для ККП оптимального фильтра Винера, обеспечивающего
наименьшую ошибку при известных спектральных плотностях сигнала и помехи.
Минимальную дисперсию ошибки на выходе фильтра Винера определим по формуле,
следующей из (7.12), если в нее подставим значение Wк (j ) из (7.13) с учетом того,
что
В результате получим:
.
(7.14)
Из этой формулы следует, что если спектры сигнала и помехи Sx( ) и Sn( ) не
перекрываются, то De min = 0. Однако оптимальный фильтр Винера, ККП которого
определяется по (7.13), физически нереализуем, так как полюсы его передаточной
функции содержат как отрицательные, так и положительные вещественные части.
Действительно, корни характеристического уравнения только с четными степенями
всегда содержат симметричные отрицательные и действительные
вещественные части. ККП физически реализуемого оптимального фильтра Винера
находится так: вначале суммарная спектральная плотность Sx( )+Sn( ) представляется
в виде произведения
,
где (j ), (-j ) - комплексно сопряженные функции, полюсы которых расположены
в левой и правой полуплоскостях соответственно. Затем определяется выражение для
ККП по формуле
где
- операция выделения слагаемых, полосы которых расположены слева от
мнимой оси. Отметим, что дисперсия ошибки физически реализуемого фильтра
Винера больше определяемой по формуле (7.14) дисперсии.
88
7.6. Оптимальный фильтр Калмана
Рассмотренный выше оптимальный фильтр Винера был синтезирован в частотной
области для стационарных случайных сигнала и помехи. В 1960 году Калман и Бьюси
предложили эффективный метод синтеза оптимальных систем во временной области,
используя концепцию пространства состояний, описанную в главе 2. Этот метод
позволил синтезировать оптимальный фильтр для нестационарных сигналов и помех.
Рассмотрим основные положения этого метода. Пусть на входе следящей системы
действует аддитивная смесь нестационарного случайного сигнала x(t) и помехи n(t)
типа белого шума:
Сигнал x(t) генерируется на выходе формирующего фильтра с изменяющимися во
времени параметрами (коэффициентами) при поступлении на его вход случайного
процесса v(t) типа белого шума (см. раздел 7.3). Формирующий фильтр может быть
описан либо передаточной функцией, либо в пространстве состояний (см. раздел 2).
Предположим для простоты, что создающий сигнал x(t) формирующий фильтр
описывается дифференциальным уравнением первого порядка. Тогда, например, при
параллельной форме его описания в пространстве состояний имеем:
где (t), B(t) - изменяющиеся во времени коэффициенты формирующего фильтра,
обеспечивающие заданные характеристики нестационарного сигнала x(t).Схема этого
фильтра приведена на рис.7.3.а. Калман и Бьюси показали, что оптимальный фильтр,
обеспечивающий минимум дисперсии ошибки слежения e(t), т.е. реализующий
целевую функцию
где e(t) = x(t) - y(t), y(t) - выходной сигнал,
описывается неоднородным дифференциальным уравнением вида:
где
.
Изменяющаяся во времени дисперсия ошибки De(t) на выходе фильтра Калмана
определяется в результате решения дифференциального уравнения Риккати:
где Rv(t), Rn(t) - корреляционные функции случайных процессов v(t) и n(t).
Для решения уравнения Риккати надо знать начальное значение De(t0) при t0=0. Так
как обычно y (t0)= 0, то De (t0) = Rx ( ) =0.
На рис. 7.3.б приведена структурная схема фильтра Калмана первого порядка.
Наиболее сложным в фильтре Калмана является узел, где решается уравнение
89
Риккати. Обычно для этого используется ЭВМ. Важное значение приобретают при
этом вопросы существования решения Риккати, его единственности и устойчивости.
Рис.7.3 Структурная схема формирующего фильтра первого порядка (а) и
оптимального фильтра Калмана первого порядка (б)
Если формирующий сигнал x(t) фильтр описывается дифференциальным
уравнением высокого порядка m>1, тогда при параллельной форме его описания
имеем:
где
Тогда оптимальный фильтр Калмана описывается системой неоднородных
дифференциальных уравнений
где
причем
Составляющие дисперсии ошибки в парциальных каналах фильтра
определяются в результате решения системы дифференциальных уравнений Риккати
.
Структурные схемы формирующего фильтра (а) и фильтрующего фильтра Калмана
высокого порядка (б) приведены на рис.7.4, где вектор С - единичный размером 1 m.
90
Рис. 7.4 Структурная схема формирующего (а) и фильтрующего фильтра Калмана
высокого порядка (б).
Вопросы для самоконтроля
1.Покажите, как определяется суммарная среднеквадратичная ошибка в следящей
системе.
2.Покажите, как определяется эффективная полоса пропускания системы.
Каково назначение формирующих фильтров?
3.Поясните. как осуществляется минимизация дисперсии ошибки вариацией
параметров следящей системы.
4.Расскажите об оптимальном фильтре Винера.
5.Расскажите об оптимальном фильтре Калмана.
8. Цифровые системы автоматического управления
8.1. Структурная схема цифровых систем. Достоинства и недостатки
В настоящее время большинство систем автоматического управления являются
цифровыми благодаря присущим этим системам достоинствам. На рис.8.1 приведена
структурная схема замкнутой цифровой системы управления.
91
x(t)
АЦП
x(n)
ЭВМ
u(n)
ЦАП
u(t)
ОУ
y(t)
АЦП
y(n)
Рис 8.1 Структурная схема замкнутой цифровой системы управления
В состав этой схемы входят следующие блоки:
АЦП - аналого-цифровые преобразователи, преобразующие непрерывные сигналы
x(t), y(t) в последовательность чисел в двоичном коде x(n), y(n), соответствующих
значению сигналов x(t), y(t) в определенные моменты времени (см. рис. 8.2),
ЦАП - цифро-аналоговый преобразователь, преобразующий поступающую на его вход
последовательность чисел u(n) в непрерывный сигнал u(t),
ЭВМ - электронно-вычислительная машина, обрабатывающая по определенной
программе поступающие на ее входы числа x(n) и y(n).
ОУ - объект управления, на который действует управляющее воздействие u(t).
Состояние объекта характеризуется его выходным сигналом y(t). Сигналы x(n), u(n) и
y(n) называют цифровыми сигналами.
x(t)
x(nT)
t
0
1
2
3
4
5
6
7
n
T
Рис.8.2 Временные диаграммы непрерывного x(t) и цифрового x(n) сигналов
Для нормальной работы цифровых систем управления отсчеты из непрерывных
сигналов x(t) и y(t) должны осуществляться с частотой дискретизации Fд, величина
которой должна быть больше определенной частоты, определяемой из теоремы
отсчетов Котельникова-Найквиста.
Теорема отсчетов гласит: непрерывный сигнал может быть точно восстановлен по его
отсчетам, если отсчеты берутся с частотой Fд>2Fмакс, где Fмакс - максимальная частота
спектра непрерывного сигнала. Частоту отсчетов Fд называют обычно частотой
дискретизации.
На рис.8.2 приведена временная диаграмма непрерывного сигнала x(t) и отсчеты из
него x(n), взятые через период дискретизации T, связанный с частотой дискретизации
соотношением T=1/Fд.
92
Как уже отмечалось, современные системы автоматического управления строятся в
основном как цифровые системы. Это объясняется тем, что цифровым системам
присущи определенные достоинства:
- высокая точность управления,
- возможность управления по сложным алгоритмам, включающим адаптацию,
самонастраивающиеся процедуры, контроль и диагностику неисправностей,
- высокая стабильность параметров,
- возможность оперативно изменять алгоритмы и программы управления,
- высокая технологичность при изготовлении и идентичность характеристик
различных экземпляров цифровых систем управления.
К недостаткам цифровых систем следует отнести:
- ограниченный частотный диапазон обрабатываемых сигналов,
-высокая стоимость цифровых систем управления даже при простых (примитивных)
алгоритмах управления объектами.
Из-за указанных недостатков реальные системы управления строятся как на
аналоговой, так и на цифровой элементной базе.
8.2. Математическое описание цифровых систем управления
8.2.1. Дискретное преобразование Лапласа. Z-преобразование
При большом числе разрядов АЦП цифровой сигнал x(n) эквивалентен дискретному
сигналу xg(t), который представляется в виде последовательности взвешенных дельтафункций, площадь которых равна значению непрерывного сигнала в моменты взятия
отсчетов. Тогда, используя фильтрующее во времени свойство дельта-функций,
запишем:
x g (t)
( t nT)x( t ),
(8.1)
n
где n - номера отсчетов.
Возьмем преобразование Лапласа от сигнала (8.1):
X g ( p)
x g ( t )e
pt
dt
pt
x( t ) ( t nT)e
dt
0n
0
x( t ) ( t nT)e
n 0
pt
(8.2)
dt
x( nT)e
pnT
.
n 0
По выражению (8.2) определяется дискретное преобразование Лапласа (ДПЛ) по
отсчетам x(nT) из непрерывного сигнала. Однако для описания цифровых систем ДПЛ
не нашло широкого применения из-за неудобства, связанного с частым повторением в
формулах ДПЛ функции е-pnT. От этого недостатка свободно Z - преобразование,
которое следует из ДПЛ введением новой комплексной переменной z=epT.
Тогда из (8.2) имеем формулу прямого Z - преобразования для сигнала x(nT)
x(nT ) z n .
X ( z)
(8.3)
n 0
93
Сравнивая (8.2) и (8.3), видим, что формула для прямого Z - преобразования проще
и компактнее формулы прямого ДПЛ.
Приведем примеры прямого Z - преобразования.
1 п ри n 0,
Единичный импульс
x( nT)
0 п ри n 0.
X ( z)
x( nT) z
n
1.
n 0
Аналогично для x(t)= (t) имеем X(p)=1.
Единичный дискретный скачок
1 при n 0
x(nT)
0 при n 0
X( z)
x( nT)z
n
1 z
1
z
2

1
1
.
1 z
Аналогично для x(t)=1(t) имеем X( p) 1 / p, откуда следует связь между переменной p
в преобразовании Лапласа и переменной z в Z - преобразовании p = 1 -z-1. Наряду с
прямым существует и обратное Z - преобразование, которое определяется по
выражению
k
1
x(nT )
X ( z ) z n 1dz
Re si X ( z ),
(8.4)
2 jc
i 1
где Resi X(z) - вычеты функции X(z). Однократные вычеты определяются по формуле:
n 0
Re s i X( z )
lim ( z z i )X( z )z n
z
1
(8.5)
zi
Выражение для X(z) в этой формуле следует представлять в следующем виде:
m
( z z о j)
X( z )
j 1
k
,
( z zi )
j 1
где zoj, zi - нули и полюсы функции X(z) соответственно.
В таблице 8.1 приведены Z - преобразования наиболее характерных цифровых
сигналов x(nT). Часто букву Т в описании этих сигналов опускают, полагая Т=1, т.е.
x(nT)=x(n).
94
Таблица 8.1
Цифровые сигналы х(n) и их Z – преобразования X(z)
Оригинал x(n) Изображение X(z)
0
0 п ри n
0
1 п ри n
0
z
0 п ри n
0
z 1
1
( z ea )
(1 b n )e an
( z 1) 2
n2
z
n3
( z 1)
z
n(n-1)
( z 1) n
2z
( z 1)
k!
e
( z 1)
3
( z2
4z 1)
( 1) n e an
cos TДn
( z 1) k
1
( 1) n
z ea
z(1 e a )
( z e )( z 1)
z(1 e
(z e
1)
a
a
)
)( z 1)
z 2 (1 e a )
( z e a )( z 1)
1- e a ( n
1)
1 ea
cos n
2
sin n
2
k)
z
z sin Tд
2z cos Tд 1
z 2 sin
k 1
(1 e a )
( z e a )( z 1)
z sin( Tд
)
2z cos Tд 1
z
z 1
z
z2 1
z2
z2 1
z( z cos Tд )
( 1) n cos Tд n
z 2 2z cos Tд 1
( 1) n sin Tд n
z sin Tд
cos(n arccosa)
z 2 2z cos Tд 1
z ( z a)
( z e a )( z 1)
1- e a( n
2z cos Tд 1
z2
a
1- e a( n
j Tд
z ea
z( z cos Tд )
z2
sin( TДn+ )
z
an
z e
z
sin TДn
z a
1- e
( z e a )2
z
z2
z
a
(
z
e
)
3
ze a (1 b )
z2
j Tд n
3
z
an
ze a
n 2 e an
z
1- e an
ze a
( z ea )2
n
e an
Изображение X(z)
ne an
1 п ри n
n(n-1)
(n-k+1)
Оригинал
x(n)
z2
2az 1
95
Ae an
Be bn
z 2 ( A B) z( Ae b
z
Be a ) sin(n arccosa)
z2
( z e a )( z e b )
2az 1
8.2.2. Основные теоремы Z - преобразования
Приведем основные теоремы Z-преобразования.
Линейность оригиналов и изображений.
Если y(n) = a1x1(n) + a2x2(n) + , то Y(z) = a1X1(z) + a2X2(z) +
Справедливо и обратное утверждение:
если Y(z) = a1X1(z) + a2X2(z) + , то y(n) = a1x1(n) + a2x2(n) +
Смещение во времени. Если y(n) = x(n m), то Y(z) = X(z)z m.
3. Разность дискретных функций.
Если (n) = x(n) - x(n-1), то (z) X(z) X(z)z 1 X(z)(1 z 1 ) .
dx(t )
Аналогия: если y(t )
, то Y(p) = pX(p), откуда p=1-z-1.
dt
n
X ( z)
.
Сумма дискретных функций. Если y ( n)
x( m), то Y( z)
1
1
z
m 0
t
X( p )
. откуда p=1-z-1.
p
x( )d , то Y( p )
Аналогия: если y(t )
0
Свертка двух дискретных функций.
n
Если
y(n)
x ( m) h ( n
то Y(z)=X(z) H(z)
m),
m 0
Предельные соотношения:
lim x ( n )
n
lim X( z)
z
0
lim x ( n )
n
S
lim(1 z
z 1
x(n)
n 0
1
) X ( z)
lim X( z).
z 1
Из сравнения теорем преобразования Лапласа и Z - преобразования следует, что
между преобразованием Лапласа и Z - преобразованием много общего.
8.2.3. Системные функции
По аналогии с передаточными функциями для аналоговых устройств для цифровых
устройств введено понятие системных функций, которые по определению есть
отношение Z - преобразования от выходного цифрового сигнала к Z - преобразованию
от входного цифрового сигнала, т.е.
Y ( z)
W ( z)
.
(8.5)
X ( z)
96
Также как и для аналоговых систем, для цифровых систем справедливы следующие
соотношения:
- при последовательном соединении цифровых звеньев результирующая системная
функция равна произведению системных функций цифровых звеньев:
k
W( z )
Wi ( z),
(8.6)
i 1
где Wi(z) - системные функции цифровых звеньев,
- при параллельном соединении цифровых звеньев результирующая системная
функция равна сумме системных функций цифровых звеньев:
k
W(z)
Wi (z),
(8.7)
i 1
- при соединении звеньев по схеме с обратной связью, как на рис. 5.3.а, системная
функция определяется по формуле:
Wp ( z)
(8.8)
W( z)
,
1 Wp ( z)
- при соединении звеньев по схеме с обратной связью, как на рис. 5.3.б, системная
функция определяется по формуле:
W( z)
Wp ( z)
.
(8.9)
1 Wp ( z) W0 ( z)
Доказательства этих формул такие же, как и для аналоговых звеньев. Разница
лишь в том, что в цифровых звеньях оперируют с Z-преобразованиями сигналов и
системными функциями.
8.2.4. Связь между дифференциальными и разностными уравнениями
Дифференциальные уравнения описывают работу аналоговых систем, а цифровые
системы описываются разностными уравнениями. В разностных уравнениях время
изменяется через конечный временной интервал Т, называемый периодом
дискретизации. Покажем на примере, как от дифференциального уравнения
переходят к разностному уравнению. Инерционное звено с передаточной функцией
вида
1
W( p )
,
1 pa
где а - постоянная времени звена, описывается дифференциальным уравнением
первого порядка, следующим из соотношения
Y( p )
1
dy(t )
W( p )
, откуда Y(p)(1+pa) = X(p), тогда y(t ) x(t ) a
.
X( p ) 1 pa
dt
97
dy(t ) y (t ) y (t T )
, то, введя в дифференциальное уравнение вместо
dt
T
непрерывного времени t дискретное время nT, получим следующее разностное
уравнение первого порядка:
a
a
y (nT ) x(nT )
y (nT )
y (( n 1)T )
T
T
Этим уравнением описывается цифровое инерционное звено первого порядка.
Чтобы перейти от дифференциального уравнения порядка m к разностному
уравнению, в дифференциальном уравнении вида (2.4) или (2.5) производные i-ого
порядка для входного и выходного сигналов заменяют выражениями для конечных
разностей i-ого порядка. Часто в разностных уравнениях период дискретизации Т
принимают равным единице, т.е. Т = 1. При этом запись формул для конечных
разностей и разностного уравнения в целом упрощается. Для порядков производных
i=1,2,3 выражения для производных входного сигнала и соответствующих им
конечных разностей имеют следующий вид:
px(t) = x(n) – x(n-1) – первая конечная разность,
p2x(t) = x(n) – 2x(n-1) + x(n-2) – вторая конечная разность,
p3x(t) = x(n) – 3x(n-1) + 3x(n-2) – x(n-3) – третья конечная разность и т.д.
Здесь р – символ дифференцирования. Для производных выходного сигнала эти
выражения имеют аналогичный вид, в которых буква х заменяется на букву у. Если
заменить в дифференциальном уравнении (2.5) производные выходного и входного
сигналов на соответствующие им конечные разности и привести подобные, то
получим разностное уравнение порядка m следующего вида:
Так как
m
m
ai y (n i )
i 0
bi x(n i ) ,
i 0
где n – номера отсчетов, i – величина задержки отсчетов сигналов по тактам
дискретизации, m – порядок разностного уравнения, равный максимальной задержке
отсчетов сигналов и совпадающий с порядком исходного дифференциального
уравнения (2.5). Очевидно, что коэффициенты ai и bi в этом разностном уравнении не
равны аналогичным коэффициентам в дифференциальном уравнении (2.5). Отметим.
что по описанному алгоритму осуществляется переход от дифференциальных
уравнений к разностным уравнениям при их численном решении на ЭВМ.
8.2.5. Связь между системными функциями и разностными уравнениями
Системные функции W(z) цифровых звеньев представляются в двух формах: в виде
отношения полиномов с положительными степенями z :
m
W( z)
ci zi
i 0
m
diz
,
i
i 0
98
а также в виде отношения полиномов с отрицательными степенями z, эта форма
получается из приведенного выражения умножением числителя и знаменателя на
z m
дробь
, тогда
dm
W( z)
где
bi
z m
dm
ci z
i 0
m m
z
dm
dm i
,
dm
сm i
, ai
dm
m
m
i
i
biz
i 0
m
d i zi
,
(8,10)
i
aiz
i 0
i 0
откуда а0 = 1. Отметим, что вторая форма записи W(z)
Y ( z)
и с учетом (8.10) имеем:
X ( z)
используется чаще. По определению W( z)
m
Y( z)
X ( z)
i
bi z
i 0
m
,
(8.11)
i
aiz
i 0
откуда после перемножения крест-накрест получим:
m
Y( z)
ai z
i
m
X( z)
i 0
bi z
i
.
i 0
Введем сомножители Y(z) и X(z) под знаки сумм, после чего возьмем от левой и
правой частей этого уравнения обратное Z-преобразование и с учетом первой и второй
теорем Z-преобразования получим следующее разностное уравнение:
m
m
ai y (n i )
bi x(n i ) ,
i 0
(8.12)
i 0
при коэффициенте а0=1 это уравнение можно переписать в виде:
m
y ( n)
m
bi x(n i )
i 0
ai y (n i ) ,
i 1
По этому уравнению можно составить схему вычисления разностного уравнения.
Так при порядке уравнения m =2 схема вычисления разностного уравнения приведена
на рис. 8.5а. При m > 2 схема вычисления усложняется: в ней добавляются элементы
задержки и новые коэффициенты.
Таким образом мы показали, что из системной функции (8.10) однозначно
определяется разностное уравнение (8.12) и наоборот, по разностному уравнению
(8.12) однозначно определяется системная функция (8.10). Чтобы осуществить
обратный переход от разностного уравнения (8.12) к системной функции, надо
произвести в обратном порядке описанные выше действия:
- взять от левой и правой частей уравнения (8.12) прямое Z-преобразование,
- вынести в полученном выражении за знаки сумм изображения Y(z) и X(z),
99
- затем поделить обе части полученного уравнения на X(z) и на сумму, являющуюся
сомножителем при Y(z).
В результате получим выражение (8.11), которое и является системной функцией
цифрового устройства или системы.
Классификация разностных уравнений и описывающих этими уравнениями
цифровых систем по зависимостям коэффициентов аi, bi от дискретного времени nT, а
также от сигналов х и у такая же, как у аналоговых систем (см. раздел 2.4).
8.2.6. Связь между передаточными и системными функциями
Также, как от дифференциальных уравнений можно перейти к разностным
уравнениям по описанному выше алгоритму, так и от передаточных функций
аналоговых устройств W(p) можно перейти к системным функциям W(z) цифровых
устройств. Этот переход можно сделать двумя способами:
- с помощью стандартного Z - преобразования,
- с помощью билинейного Z - преобразования.
При использовании стандартного Z - преобразования переход от W(p) к W(z)
1
осуществляется заменой p
ln z , т.е.
T
W( z)
W( p )
1
T
p
.
ln z
(8.13)
Обратный переход делается по правилу
W( p )
W( z)
z
e pT
.
(8.14)
1
ln z выражений,
T
связывающих ДПЛ и Z - преобразование. Переход от W(p) к W(z) с помощью
стандартного Z - преобразования обеспечивает высокую точность, но в результате
вместо дробно-рациональных функций получаются выражения для W(z) и W(p) с
трансцендентыми функциями (логарифмы и экспоненты), что очень неудобно для
выполнения над ними различных математических операций и построения схем.
От указанного недостатка свободен переход от W(p) к W(z) и обратно с помощью
билинейного Z - преобразования. Это преобразование приближенное, но при этом
сохраняются дробно-рациональные функции в выражениях W(p) и W(z).
При билинейном Z - преобразовании используется разложение в степенной ряд
функции
Указанные переходы следуют из прямого z = epT и обратного p
ln
1 x
1 x
2 x
x3
3
x5
5
 .
Ограничившись первым членом ряда, получим
1 x
(8.15)
ln
2x .
1 x
1 x
z 1
Обозначим z
, откуда x
. Тогда (8.15) перепишем в виде
1 x
z 1
100
z 1
.
z 1
Т.к. ln z = pT, то приравняем правые части и получим приближенную линейную связь
между p и z
2 z 1
(8.16)
p
.
T z 1
Из (8.16) следует обратная связь между z и p
1 0,5pT
z
(8.17)
1 0,5pT
Тогда переход от W(p) к W(z) с помощью билинейного Z-преобразования
осуществляется по формуле
ln z
W( z )
W( p )
2
2 z 1
T z 1
p
.
(8.18)
Для перехода от W(p) к W(z) с отрицательными степенями z используется связь
21 z 1
. Эта формула получается из (8.16) умножением
между p и z в виде: p
T1 z 1
числителя и знаменателя на z-1. Отметим, что приведенная в разделе 8.2.1 связь между
р и z в виде p = 1- z-1 есть грубое приближение этого выражения.
Обратный переход от W(z) до W(p) осуществляется по формуле
W( p)
W( z)
1 0,5pT
1 0,5pT
z
.
(8.19)
В результате переходов от W(p) к W(z) и обратно по (8.18) и (8.19) сохраняется
дробно-рациональный вид этих функций, причем степень полиномов в функциях W(p)
и W(z) не изменяется.
8.2.7. Комплексный коэффициент передачи, АЧХ и ФЧХ цифровых систем
Комплексный коэффициент передачи цифровых систем Wц(j ) есть отношение
комплексного цифрового сигнала на выходе системы к комплексному цифровому
сигналу на ее входе в установившемся режиме, т.е.
Y( jn )
Wц ( j )
,
(8.20)
X
(
jn
)
n
где = Т - нормированная к частоте дискретизации частота сигнала.
Комплексный цифровой сигнал X(jn ) преобразуется из вещественного цифрового
гармонического сигнала x(n ) = Acos(n + ) по формуле
X ( jn ) A cos(n
) jA sin( n
) Ae j ( n ) .
(8.21)
Из (8.21) следует, что вещественный цифровой сигнал есть реальная часть от
комплексного цифрового сигнала.
ККП цифровой системы определяется по выражениям:
Wц ( j )
W( z)
z
ej
.
(8.22)
101
или
Wц ( j )
W( z )
1 j /2
1 j /2
z
.
(8.23)
Выражение (8.22) использует точное стандартное Z - преобразование, а выражение
(8.23) использует приближенное билинейное Z - преобразование. Отметим. что на
практике чаще используют выражение (8.22).
Амплитудно-частотная характеристика цифровой системы есть модуль от ее ККП
Wц ( j )
Wц ( j )
Pц2 ( ) Q 2ц ( ) ,
(8.24)
где PЦ( ) и QЦ( ) - действительная и мнимая части ККП.
Фазочастотная характеристика цифровой системы есть аргумент от ее ККП
Qц ( )
(
)
Arg
W
(
j
)
arctg
.
(8.25)
ц
ц
Pц ( )
Из (8.24) и (8.25) следует, что АЧХ и ФЧХ цифровых систем являются
периодическими функциями с периодом 2 от нормированной частоты .
1
Пример. Дана системная функция цифрового интегратора W( z)
. Определим
1
1 z
-1
ККП WЦ(j ) по (8.22). Для этого в W(z) сделаем замену z = e-j и получим
выражение для ККП цифрового интегратора:
1
1
1
j2
Wц ( j )
e
.
1 e j
e j / 2 e j / 2 e j / 2 e j / 2 2 j sin 2
АЧХ определяется с учетом (2.24) по формуле: Wц ( )
1
2 sin 2
,
cos( / 2)
.
sin( / 2)
Графики АЧХ и ФЧХ цифрового интегратора приведены на рис 8.3.
а ФЧХ с учетом (8.25) по формуле
ц(
)
arctg
Ц(
WЦ( )
)
/2
0
2
3
0
2
3
- /2
Рис.8.3 Графики АЧХ и ФЧХ цифрового интегратора
102
8.2.8. Переходная и импульсная характеристики цифровых систем
Переходной характеристикой цифровой системы называется реакция на выходе при
воздействии на ее вход единичного дискретного скачка при нулевых начальных
условиях системы.
Единичный дискретный скачок описывается выражением
0 при n 0
x(n) 1(n)
1 при n 0
Z - преобразование от этого сигнала равно
1
X ( z) 1 z 1 z 2 
.
1 z 1
Тогда Z - преобразование от переходной характеристики
W( z )
H ( z ) X ( z ) W( z )
.
1
1 z
Откуда получим выражение для определения переходной характеристики цифровой
системы
W( z)
h(n) Z 1
.
1
1 z
-1
Здесь Z – символ обратного Z-преобразования.
Импульсной характеристикой цифровой системы называется реакция на выходе при
воздействии на ее входе единичного дискретного импульса при нулевых начальных
условиях.
Единичный дискретный импульс описывается выражением
0 при n 0
x(n)
(n) 1 при n 0
0 при n 0
Z - преобразование от этого сигнала X(z) = 1. Тогда Z - преобразование от
импульсной характеристики цифровой системы есть ее системная функция W(z).
Следовательно, выражение для импульсной характеристики цифровой системы есть
обратное Z- преобразование от ее системной функции. Для получения выражений h(n)
или w(n) можно воспользоваться таблицей Z- преобразований или формулой вычетов.
1
. Надо найти w(n).
Пример. Дано W( z)
1 A 1z 1 A 2 z 2
Решение. Данной системной функции соответствует рекурсивное звено второго
порядка. Представим функцию W(z) в виде
1
z2
z2
W( z)
,
1
2
2
1 A 1z
A2z
z
A 1 z A 2 ( z z 1 )( z z 1 )
где z1, z1 - комплексно сопряженные полюса, являющиеся корнями уравнения
z 2 A 1 z A 2 0.
Представим эти корни в полярных координатах на Z- плоскости (рис.8.6):
103
Re j
z1
Тогда
0
, z1
z2
W( z)
Re
j 0
.
z2
, откуда следуют формулы
( z z 1 )( z z 1 ) z 2 2 R cos 0 z R 2
устанавливающие связь между координатами полюсов R и 0 и коэффициентами А1 и
А2 системной функции звена:
A1
A1
2 R cos 0 , A 2 R 2 , 0 arccos
, R
A2 .
2 A2
Используя формулу вычетов, найдем выражение для импульсной характеристики
рекурсивного звена второго порядка
w ( n)
где
Re s1
Re s 2
откуда w(n)
Z
z2
1
(z
lim ( z z1 )W( z)z
z
n 1
z1
lim ( z z 1 )W( z) z
z z1
Rn
n 1
z 1 )( z
z1( n
z1 )
1)
z1 z1
z 1( n
1)
z1
z1
Re s1
R n 1e j( n
2 jR sin
R n 1e j( n
2 jR sin
Re s2 ,
1) 0
,
0
1) 0
,
0
sin(( n 1) 0 )
.
sin 0
Например, при R=0,95 и
, (А1= -1,645448, А2 = 0,9025) значения импульсной
6
характеристики звена будут следующие: w(0)=1;
w(1)=1,645;
w(2)=1,805;
w(3)=1,485; w(4)=0,814; w(5)=0; w(6)=-0,735, w(7)=-1,209.
Эти же значения импульсной характеристики можно получить из разностного
уравнения рекурсивного звена w(n) = x(n) - A1w(n-1) - A2w(n-2) при x(0)=1 и x(n)=0
при n>0, причем w(-1)=0, w(-2)=0, т.е. при нулевых начальных условиях.
Из полученного выражения для w(n) можно определить продолжительность или
число отсчетов импульсной характеристики рекурсивного звена
lg
lg sin 0
n
,
lg R
где - допустимое значение импульсной характеристики при n-ом отсчете.
Например, при
=10-2, 0=
6 и R=0,7 получим число отсчетов импульсной
характеристики n=15, тогда ее продолжительность составит nT=15T, где T - период
дискретизации. При =10-3, 0=
6 и R=0,95 получим соответственно n=150,
nT=150T. Таким образом, продолжительность импульсной характеристики
рекурсивного звена возрастает при уменьшении и с приближением R к единице. При
R=1 звено оказывается на границе устойчивости, поэтому у него
n= , т.е.
продолжительность импульсной характеристики бесконечна, ее амплитуда не
затухает, а остается постоянной.
0
104
8.2.9. Описание цифровых систем в пространстве состояний
В разделе 2.5 было показано, что дифференциальные уравнения высокого порядка
могут быть представлены в виде системы дифференциальных уравнений первого
порядка. Разностные уравнения также подчиняются этому правилу. Покажем это на
примере разностного уравнения (8.12) при m=2:
(8.26)
Введем переменные состояния g1(n), g2(n) и по аналогии с (2.11) и (2.12) запишем
(8.27)
причем
(8.28)
.
(8.29)
Докажем эквивалентность уравнений (8.27) и (8.28) исходному разностному
уравнению (8.26) и установим связь между коэффициентами ai, bi, и Bi.
Из (8.27) имеем:
(8.30)
Из (8.28) с учетом (8.30) имеем:
Тогда из (8.27) с учетом (8.28) и (8.29) получим:
(8.31)
Из сопоставления правых частей двух разностных уравнений (8.26) и (8.31) получим
связь между коэффициентами ai, bi и Bi
откуда
Из этих формул просматривается общая закономерность получения соотношений
между коэффициентами ai, di и Bi при любом порядке разностных уравнений m.
Если системная функция W(z) представлена в виде отношения полиномов с
положительными степенями z:
причем am=1, тогда соотношения между коэффициентами ai, bi и Bi получается такими
же, как в разделе 2.5.
105
Система разностных уравнений (8.28) и (8.29) в общем виде может быть представлена
в матричной форме
где
- векторы размером 1 x m на n-ом и n+1-ом тактах
010 00...................0
00100 ..................0
..............................
- вектор управления размером 1 х m,
│А│=
000 ....................01
am
,
a m 1 ...... a1
│А│- матрица цифровой системы размером m m.
Выходной сигнал y(n) вычисляется по выражению (8.27), которое также можно
записать в векторной форме
где
- вектор наблюдения размером 1 m , Т- символ транспонирования.
Если системную функцию W(z) представить в виде суммы из m элементарных
слагаемых вида: Аi/(z-zi), где Ai - коэффициенты, определяемые одним из трех
известных методов (см. раздел 2.7), zi - полюсы системной функции W(z), то
цифровую систему можно описать в пространстве состояний по параллельной схеме,
описанной в разделе 2.7.
8.3. Типовые звенья цифровых систем управления
Опишем наиболее распространенные типовые звенья в цифровых системах
управления. Системная функция цифрового интегратора имеет следующий вид:
kи
Wци ( z)
1 z 1
Эта формула получается из передаточной функции аналогового интегратора, у
которого Wи ( p ) k и / p, в результате замены p = 1-z-1. Из системной функции
цифрового интегратора получим разностное уравнение цифрового интегратора по
описанной в разделе 8.2.4 методике: y( n ) k и x( n ) y( n 1) . Схема цифрового
интегратора приведена на рис. 8.4.а. Если в передаточной функции Wи (Р) сделать
21 z 1
замену p
, то получим системную функцию цифрового интегратора с
T1 z 1
нерекурсивной частью. Цифровое инерционное звено первого порядка описывается
106
системной функцией
k
. Разностное уравнение для этого звена y(n) =
1 Az 1
kx(n) + Ay(n-1), а схема его приведена на рис. 8.4.б. При А=1 эта схема превращается
в цифровой интегратор.
Цифровой дифференциатор описывается системной функцией WЦД(z)=1-z-1. Ей
соответствует разностное уравнение вида y(n) = x(n) - x(n-1), что соответствует
вычислению первой конечной разности, являющейся эквивалентом первой
производной. Схема цифрового дифференциатора приведена на рис. 8.4.в. На рис. 8.4.г
приведена схема цифрового пропорционально-интегрирующего звена, на рис. 8.4.д схема пропорционально-дифференцирующего звена, а на рис. 8.4.е - схема
пропорционально-интегрирующего-дифференцирирующего звена.
W( z )
(а)
x(n)
kи
y(n)
+
(б)
k
+
z-1
y(n-1)
z-1
A
(в)
x(n)
+
y(n)
(г)
k
+
kи
z-1
+
-1
x(n-1)
z-1
(е)
(д)
k
-1
+
+
z-1
z
-1
+
k
+
kи
-1
+
z-1
Рис. 8.4 Структурные схемы типовых звеньев цифровых систем управления.
107
8.4. Три эквивалентные схемы цифровых систем
В теории дробно-рациональных функций доказывается, что системная функция вида
(8.11) при четных значениях m может быть представлена в виде произведения
m
biz
W( z)
i 0
m
i
m
2
Wi ( z)
aiz
i
biz
i
(8.32)
i 1
i 0
или в виде суммы
m
W( z)
i 0
m
m
2
Wi ( z)
aiz
i
(8.33)
i 1
i 0
где Wi(z) - системные функции биквадратных звеньев, которые описываются
выражением
B 0i B1i z 1 B 2 i z 2
(8.34)
Wi (z)
1 A 1i z 1 A 2 i z 2
Коэффициенты в (8.34) определяются через коэффициенты ai, bi по разным
алгоритмам при последовательном соединении звеньев по (8.32) и при параллельном
соединении звеньев по (8.33).
Системной функции (8.34) соответствует следующее разностное уравнение (индекс i
опущен)
y(n) = B0x(n) + B1x(n-1) + B2x(n-2) - A1y(n-1) - A2y(n-2)
(8.35)
Вычисление этого разностного уравнения осуществляется по схеме цифрового
звена, приведенной на рис.8.5.а. Первая часть схемы называется нерекурсивной, а
вторая часть схемы с обратными связями называется рекурсивной. Нерекурсивной
части соответствует числитель выражения (8.34), а рекурсивной части соответствует
знаменатель выражения (8.34). Схему на рис. 8.5.а называют прямой схемой
реализации вычисления разностного уравнения (8.35). Блоки z -1 – это регистры, на них
реализуют линию задержки отсчетов цифровых сигналов.
Выражение (8.34) можно представить в виде двух сомножителей (индекс i опущен)
W(z) = Wн(z)Wp(z),
(8.36)
где Wн(z) = B0 + B1z-1 + B2z-2 - системная функция нерекурсивной части схемы,
1
- системная функция рекурсивной части схемы.
Wp (z)
1 A 1z 1 A 2 z 2
Так как от перестановки сомножителей произведение не меняется, то выражение
(8.36) можно представить в виде
108
W(z) = Wp(z)Wн(z) .
(8.37)
Этому выражению соответствует схема цифрового звена второго порядка,
приведенная на рис. 8.5.б. Так как в этом случае линии задержки рекурсивной и
нерекурсивной частей схемы идут параллельно, то их объединяют в одну. Схема на
рис. 8.5.б получила название канонической (образцовой), так как в ней число
элементов задержки в 2 раза меньше, чем в схеме на рис. 8.5.а. На рис. 8.5.в приведена
третья схема биквадратного звена в пространстве состояний, составленная по
выражениям (8.27), (8.28) и (8.29). В этой схеме коэффициенты Bi определяются через
коэффициенты Ai, Bi по формулам, полученным в разделе 8.2.9:
B0
B0
B1
B1
A1B0
B2
B2
A2 B0
A1B1
Из рис. 8.5.в видно, что схема в пространстве состояний также содержит
минимальное число элементов задержки, как и каноническая схема. Сигналы на
выходе элементов задержки в схеме на рис. 8.5.в являются переменными состояния.
Полная структурная схема цифровой системы четного порядка m образуется
последовательным или параллельным соединением из m/2 биквадратных звеньев,
приведенных на рис. 8.5. При нечетном m одно звено получается первого порядка, у
которого коэффициенты B2 и A2 равны нулю.
(а)
x(n)
z
B0
y(n)
+
-A1
z
x(n-1)
x(n)
y(n)
-1
z
x(n-2)
B2
-A2
z
+
B1
z-1
-A2
+
-A1
B1
-1
y(n-2)
y(n)
g1(n)
-1
y(n-1)
-1
x(n) B0
+
-A1
z
(в)
+
-1
B1
(б)
z
-A2
-1
g2(n)
B2
z-1
B2
+
Рис. 8.5. Три эквивалентные структурные схемы цифрового биквадратного
звена: прямая (а), каноническая (б) и в пространстве состояний (в).
109
8.5 Устойчивость цифровых систем
8.5.1 Признак устойчивости
Цифровая система считается устойчивой, если по окончании входного воздействия
она с течением времени приходит в состояние покоя, в противном случае система
неустойчива. Математически признак устойчивости можно записать так: lim y(n) 0
n
при х(n)=0 при n>0.
8.5.2 Условие устойчивости
Цифровая система в общем случае описывается системной функцией (8.10) или
разностным уравнением (8.12). В системах без обратных связей коэффициенты ai,
i 1, m в (8.10) и (8.12) равны нулю, такие системы всегда устойчивы.
В системах с обратными связями хотя бы один из коэффициентов a i, , i 1, m не
равен нулю. Такие системы могут быть неустойчивыми.
При прекращении входного воздействия имеем: x(n)=0, поэтому неоднородное
разностное уравнение (8.12) превращается в однородное разностное уравнение вида:
m
y ( n)
a i y (n i).
(8.38)
i 1
Решение этого уравнения имеет следующий вид:
m
ci z in
y ( n)
(8.39)
i 1
где ci - коэффициенты, zi - полюсы. Полюсы - это корни характеристического
уравнения
m
aiz
i
0,
(8.40)
i 0
при которых системная функция (8.10) образуется в бесконечность.
Характеристическое уравнение получается в результате приравнивания к нулю
знаменателя системной функции (8.10). Переход от ДПЛ к Z - преобразованию по
формуле замены z=epT преобразует левую полуплоскость p-плоскости в окружность
единичного радиуса в Z плоскости. Графически это показано на рис. 8.6. Полюсы zi в
общем случае при действительных коэффициентах ai в характеристическом уравнении
(8.40) являются комплексно-сопряженными, т.е.
zi R i e j i , zi R i e j i ,
где Ri, i - полярные координаты полюсов zi, zi (см. рис. 8.6).
Подставим эти значения в (8.39) и получим:
k
2c i Rin cos( i n)
y ( n)
(8.41)
i 1
110
m
, если все полюса комплексно - сопряженные. Из этого уравнения следует,
2
что lim y(n) 0 при выполнении условия Ri<1.
где k
n
Таким образом, цифровая система будет устойчива при условии, если все полюсы ее
системной функции находятся на Z - плоскости внутри окружности единичного
радиуса. На рис. 8.6 полюсы z1, z1 принадлежат устойчивой цифровой системе, а
полюсы z2, z2 принадлежат неустойчивой цифровой системе, т.к. у них R>1.
Im
p-плоскость
z-плоскость
j
z2 z
2
j1
R2
1
z1
R
0
-1
R
1
1
z2
2
R2
Re z
1
1
-j1
1
z1
Рис. 8.6 Графическая иллюстрация преобразования участков
из комплексной p - плоскости в z - плоскость по формуле замены z=epT
8.5.3. Критерий устойчивости Гурвица
Характеристическое уравнение (8.40) при m>3 в общем виде неразрешимо в
радикалах, поэтому найти полюсы zi при m>3 аналитически не удается. В этом случае
можно воспользоваться критерием устойчивости Гурвица. Чтобы применить его для
цифровых систем, в характеристическом уравнении (8.40) делается замена по
1 p
, откуда
выражению (8.17) при Т=2, т.е. z
1 p
1 p
z 1
.
(8.42)
1 p
Подставим замену (8.42) в (8.40) и получим следующее характеристическое
m
уравнение
diz
i
0. Помножим левую и правую часть этого уравнения на zm и
i 0
получим характеристическое уравнение с положительными степенями z
m
b i zi
0,
i 0
где bi=dm-i. После этого составляется матрица Гурвица из коэффициентов bi по
правилу, изложенному в разделе 5.4. Цифровая система будет устойчивой, если все
определители матрицы Гурвица положительные, т.е. i>0.
111
8.5.4. Критерий устойчивости Найквиста
Для оценки устойчивости по критерию Найквиста нужно построить годограф ККП
цифровой разомкнутой системы Wp(j ), где = T. Выражение для Wp(j ) определяется
в результате замены по формуле
Wp ( j )
Wp (z) z
ej
Замкнутая цифровая система будет устойчивой, если годограф ККП разомкнутой
системы Wp(j ) при изменении нормированной части от нуля до 2 не охватывает
точку с координатами -1,j0. Запасы устойчивости по фазе и усилению определяются
также, как и для аналоговых систем.
8.6. Ошибки в замкнутых цифровых системах управления
На рис. 8.7 приведена структурная схема замкнутой цифровой системы
e(n)
x(n)
+
x(z)
E(z)
Wp(z)
y(n)
Y(z)
-1
Рис. 8.7 Структурная схема замкнутой цифровой системы
Точность цифровых систем характеризуется статическими и динамическими
ошибками. Если динамическая ошибка конечная, то она может быть найдена по
формуле
e lim e( n ) lim(1 z 1 ) E ( z),
n
z 1
где E(z)=X(z)-Y(z) – Z-преобразование ошибки. По определению системная функция
ошибки
E ( z)
We ( z)
,
X ( z)
откуда E(z)=X(z)We(z). Из рис. 8.7 следует, что We(z)=1- Wз(z).
Wp ( z)
1
, то We ( z)
Так как W( z)
.
1 Wp ( z)
1 Wp ( z)
Динамическая ошибка определяется по формуле
C2
1

(8.43)
e( n ) C 0 x( n ) C1x ( n )
x( n ) 
C k x( k ) ,
2!
k!
x( n 1) x( n )
где x( n )
- первая конечная разность,
T
112
x ( n 1) x ( n )
= (x(n+2) -2x(n+1) + x(n))/T2 - вторая конечная разность и т.
T
д., C0, С1, С2 - коэффициенты ошибки по положению, скорости и ускорению.
В приведенных формулах для вычисления конечных разностей используются
отсчеты из сигналов «вперед» в отличие от формул в разделе 8.2.4, использующих
отсчеты из сигналов «назад». Отметим, что обе группы формул при Т=1 эквивалентны
между собой. Входное воздействие x(n) определяется по выражению:
0
при n 0
k
x(n) =
(8.44)
i
i ( nT) п р и n 0

x( n )
i 0
Коэффициенты ошибки определяются по формулам
d i We ( z)
C i i!
z 1
dz i
Откуда C 0
We (z)
z 1
(8.45)
,
dWe (z)
,
dz z 1
C1
T
C2
dWe (2)
2T
dz
T
2
d 2 We ( z)
2
z 1
.
dz
При случайном входном воздействии вида
f (n) x(n) n(n),
где x(n) - отсчеты из случайного сигнала, n(n) - отсчеты из случайной помехи типа
белого шума, Z - преобразование ошибки определяется выражением
E(z) = We(z)X(z) - Wз(z)N(z)
(8.46)
Для некоррелированных сигнала и помехи Z - преобразование от спектральной
плотности ошибки:
2
2
S e ( z) We ( z) S x (z) Wз ( z) S n (z)
Дисперсия ошибки системы определяется по формуле
1
dz
De
S e ( z)
.
2 jz 1
z
(8.47)
(8.48)
Если использовать билинейное Z - преобразование, то дисперсию ошибки можно
вычислить по формуле
T
2
De
где
Se ( ) Se ( z)
z
Se ( )d
.
1 0,25( T ) 2
1 j
1 j
2
(8.49)
.
2
113
Для вычисления интеграла (8.49) можно воспользоваться табличным интегралом
(7.11). Математическое ожидание ошибки определяется по формуле
me
lim We ( z )m x ,
z
1
(8.50)
а суммарная среднеквадратическая ошибка равна:
(me2
1
De ) 2 .
(8.51)
Таким образом, вычисление ошибок в цифровых системах во многом сходно с
подобными вычислениями в аналоговых системах.
e
Вопросы для самоконтроля
1. Нарисуйте структурную схему цифровой системы управления и расскажите о ее
достоинствах и недостатках.
2. Расскажите о дискретном преобразовании Лапласа, о Z-преобразовании и как они
связаны между собой.
3. Перечислите основные теоремы Z-преобразования.
4. Дайте определение системной функции цифрового звена, устройства или системы и
как определяются результирующие системные функции при различных схемах
соединения звеньев: при последовательном и параллельном соединении, а также при
соединении по двум схемам с обратной связью.
5. Приведите связь между передаточными и системными функциями при
использовании стандартного и билинейного Z- преобразований.
6. Расскажите о комплексном коэффициенте передачи, об АЧХ и ФЧХ цифровых
систем.
7. Дайте определение переходной и импульсной характеристикам цифровых систем и
как они определяются через системные функции.
8. Приведите схемы и системные функции типовых цифровых звеньев: интегратора,
инерционного
звена,
дифференциатора,
пропорционально-интегрирующего,
пропорционально-дифференцирующего
и
пропорционально-интегрирующегодифференцирующего звена.
9. Нарисуйте три эквивалентные схемы цифровых систем и дайте им сравнительную
характеристику.
10. Сформулируйте признак и расскажите об условии устойчивости замкнутых
цифровых систем.
11. Расскажите о критерий устойчивости Гурвица для цифровых систем.
12. Расскажите о критерий устойчивости Найквиста для цифровых систем.
13. Расскажите, как определяются динамические ошибки в замкнутых цифровых
системах управления.
114
9. Цифровые системы управления с ЭВМ в качестве
управляющих устройств
9.1. Структурная схема ЦСУ с ЭВМ и назначение блоков
На рис.9.1 приведена структурная схема цифровой системы управления с ЭВМ в
качестве устройства управления объектом. Объектом управления могут быть токарные
и фрезерные станки, автоматические линии сборки устройств или различных
агрегатов, беспилотные летательные аппараты, ракеты и т.д.
Входные возмущения
Выходные возмущения
x(t)
Объект
управления
x1(t)
Исполнительный
механизм
D1
Измерительные
контроллеры
x(n)
u(t)
Интерфейс
с объектом
управления
y(t)
D2
y1(t)
Измерительные
контроллеры
y(n)
u(n)
Управляющая
ЭВМ
Интерфейс
с периферией
к другой ЭВМ
Дисплей
Пульт
оператора
Рис.9.1 Структурная схема цифровой системы управления
с ЭВМ в качестве устройства управления
В этой схеме датчики D1 и D2 преобразуют входные возмущения x и состояние
объекта управления, которое характеризуется выходным сигналом y, в электрические
сигналы x1 и y1. Эти сигналы с помощью измерительных контроллеров, в состав
которых входят АЦП, преобразуются в цифровые сигналы x(n) и y(n), которые
называются входными и выходными данными соответственно. Эти данные поступают
на порты управляющей ЭВМ, которая по определенной программе обрабатывает их и
с учетом результата обработки, а также по командам программы управления
формирует цифровые сигналы управления объектом u(n). Эти сигналы поступают на
115
интерфейс взаимодействия с объектом, в состав которого может входить ЦАП. Он
преобразует цифровые сигналы u(n) в аналоговые (при необходимости), которые
поступают на исполнительные механизмы и управляют ими: включают, выключают,
управляют их скоростью и направлением вращения и т.д. В качестве исполнительных
механизмов могут быть электродвигатели или другие электроприводы,
пневматические приводы, работающие от сжатого воздуха или гидравлические
приводы, работающие от жидкости под большим давлением и т.д. Характеристики
исполнительных устройств приведены в таблице 9.1.
Таблица 9.1
Исполнительные механизмы и их характеристики
Тип
механизма
Пневматический
привод
Гидравлический
привод
Электромеханический
привод
Конструкция
Мембрана
с пружиной
Клапан без
механической
обратной
связи
Клапан с
механической
обратной
связью
Электродвигатели
постоянного
тока с
параллельным.
возбуждением
Двухфазные
электродвигатели
переменного
тока
Шаговые
двигатели
Источник
энергии
Давление
сжатого
воздуха
Преобразователь
управляющего
сигнала
Электро пневматический
Передаточная
функция
Пропорциональное звено
с временной
задержкой
Выходная
мощность,
Вт
0.1
2000
Интегратор
Давление
масла
Электрогидравлический
Источники
постоянного
напряжения
Электронный
усилитель
Источники
переменного
напряжения
Трехпозиционное
реле
Источники
Формирователь
импульсного импульсов
напряжения
Пропорциональное звено
с временной
задержкой
Интегратор
с
регулированн
ой
постоянной
времени
Инерционноинтегрирующее
звено
100
750000
10
4000
Пропорциональноинтегрирующее звено
Управляющая ЭВМ имеет также интерфейс с периферийными устройствами, к
которым относятся дисплей (монитор), пульт оператора или клавиатура, а также
порты других ЭВМ, связанных с этой ЭВМ в локальную сеть. Из рис.9.1 следует, что
эта структурная схема построена по комбинированной схеме управления объектом,
включающей цепь обратной связи и цепь компенсации возмущений.
116
9.2. Особенности управляющих ЭВМ
Универсальные ЭВМ ориентированы в первую очередь на взаимодействие с
человеком. Их задача - обрабатывать данные по запросу пользователя. К
универсальным ЭВМ подключаются дисплеи, клавиатура, печатающие устройства,
графопостроители, устройства памяти и т.д. Управляющие ЭВМ имеют особенности.
1. Конструктивная особенность управляющих ЭВМ в том, что они встраиваются в
оборудование и должны работать в сложных условиях: вибрации, высокие или очень
низкие температуры, агрессивная среда, высокая влажность, радиация и т.д.
2. Важную функцию в управляющей ЭВМ выполняют системные часы - таймер. По
таймеру синхронизируется (уточняется) управление блоками САУ.
3. Отличительной особенностью управляющих ЭВМ является выполнение ими
операций в реальном масштабе времени, т.е. формирование управляющих воздействий
не позже заданного времени, которое не должно превышать периода дискретизации,
определяемого по теореме отсчетов Котельникова-Найквиста. Невыполнение этого
условия эквивалентно получению неправильного результата или сбою в работе САУ.
4. Для синхронизации работы программ и организации обмена данными между
блоками САУ используется управляющая программа, называемая диспетчером. В этой
программе реализуется алгоритм очередности выполнения разных программ по
приоритетам, вплоть до прерывания выполнения текущей программы.
На рис.9.2 приведены временные диаграммы работы САУ при последовательном
выполнении операций (а) и в режиме мультипрограммирования под управлением
программы «диспетчер» (б). На этом рисунке показаны отрезки времени работы
отдельных блоков САУ: Т - терминалы (дисплей, пульт и т.д.); Д - датчики и
измерительные контроллеры: ИМ - исполнительные механизмы; ЭВМ - работа
управляющей ЭВМ.
а
tB
tA
Д
ЭВМ ИМ ЭВМ
0
tC
Т
Д ЭВМ
Т
t
t1
б
Д
ЭВМ
ЭВМ
Д
0
t
ЭВМ ИМ
t
Т
ЭВМ
Т
t
t2
Рис.9.2. Временные диаграммы работы САУ
117
Из рис.9.2.а видно, что продолжительность выполнения задачи управления при
последовательном выполнении команд:
t1 = tA+ tB + tC ,
где tA - время для передачи данных с датчиков на ЭВМ и формирования сигналов для
исполнительных механизмов,
tB - время для передачи данных от ЭВМ к терминалам,
tC - время для передачи данных с датчиков к ЭВМ и далее к терминалам.
На рис.9.2.б время t2 - это продолжительность выполнения задачи управления
объектом в режиме мультипрограммирования. Из сравнения рис.9.2.а и 9.2.б видно,
что t2< t1, т.е. в режиме работы под управлением программы «диспетчер» время для
управления уменьшается, что очень важно для работы САУ в реальном масштабе
времени.
Экономия времени достигается за счет того, что во втором режиме ЭВМ работает
почти непрерывно и выполняет при этом разные программы.
5. Еще одно отличие управляющих ЭВМ от универсальных состоит в разработке
программного обеспечения. В управляющих ЭВМ обычно небольшой ресурс памяти
для хранения программ поддержки, обеспечивающих простоту разработки и отладки
программ их работы. Для управляющих ЭВМ широко используется кросс-технология,
когда программное обеспечение вначале разрабатывается на универсальных ЭВМ, а
затем «перекачивается» на управляющие ЭВМ с помощью программы «транслятор».
Кросс-технология поддерживается целым комплексом программ, образующих так
называемую резидентную систему программ. На рис. 9.3 приведена структура
программного обеспечения для управляющих ЭВМ.
ПО управляющих
ЭВМ
Операционные
системы
Программы организации
и управления систем
1. Диспетчер
2. Обработчик
прерываний
3. Драйвер внешних
устройств
4. Программы
управления данными
5. Программы
управления задачами
6. Программы связи
с оператором
7. Начальный загрузчик
Служебные
программы
1. Редактор
2. Обслуживание
файлов
3. Библиотекарь
4. Компоновщик
5. Загрузчик
1.
2.
3.
4.
5.
Резидентные
системы
Ассемблер
Транслятор
Библиотека
прикладных
программ
Программыотладчики
Программы
эмуляции и
моделирования
Рис.9.3 Структура программного обеспечения
для управляющих ЭВМ
118
9.3. Алгоритмические языки программирования роботов
и станков с числовым программным управлением
9.3.1. Общие сведения
Роботы, манипуляторы и станки с числовым программным управлением (ЧПУ)
являются частными случаями цифровых систем управления.
Для описания процессов обработки деталей на станках с ЧПУ, для программирования
работы роботов - манипуляторов применяются алгоритмические языки специального
назначения. В качестве примера для СЧПУ можно привести языки APT. MODAPT,
FART TURN / MILL, ТАУ - Т, СПД – ЧПУ и другие. Эти языки обеспечивают
формально - словесный способ описания процесса обработки. Написанная на этих
языках управляющая программа состоит из последовательности операторов и
разрабатывается по следующим этапам:
На чертеже детали указывается система координат.
Каждому геометрическому объекту (точке, прямой, окружности, контуру,
поверхности) ставится в соответствии номер.
С помощью макрокоманд рассчитываются координаты движения обрабатывающих
инструментов или других объектов.
На основе рассчитанных координат задается последовательность технологических
команд обработки.
Последняя процедура обычно программируется совместно с технологами, так как
процесс
обработки
должен
удовлетворять
определенным
требованиям
технологического процесса.
9.3.2. Простые операторы
В алгоритмических языках имеется несколько простых операторов:
определение геометрических элементов;
присваивание;
безусловный переход;
условный переход;
кадр;
макрокоманда;
завершение макрокоманды;
ввод - вывод;
отображение объектов;
очистка экрана дисплея;
удаление объектов;
настройка параметров плоскости проекций.
Все операторы алгоритмических языков состоят из меток, имен, чисел, служебных
слов, имен функций, имен переменных, операций и разделителей.
Метки обозначаются символом N и целым числом: N1, N2, N3 и т.д.
119
Имена объектов обозначаются буквой и номером объекта или выражением. Наиболее
частое обозначение следующее:
точка p, прямая l, окружность c, контур k, поверхность s, множество точек (сетка) q.
9.3.3. Операторы определения геометрических объектов
Ниже перечислены основные операторы этой группы.
Операторы определения точки:
pm = pj - совпадает с точкой pj.
pm = x0, y0 - имеет декартовы координаты x0,y0.
pm = cj - находится в центре окружности j.
4) pm = lj , lk - находится на пересечение прямых j, k.
5) pm = pj , dx0, dy0 - смещена от точки j на dx0 и dy0.
pm = pj, ipk - расположена симметрично точке j относительно точки k.
pm = pj ,ilk - расположена симметрично точке j относительно прямой k.
pm = r0, u0 - в полярных координатах r0,u0 относительно центра координат.
pm = pj , r0, u0 - в полярных координатах r0,u0 относительно точки j.
и т.д. всего 16 разновидностей операторов.
Операторы определения прямой:
lm = lj - совпадает с прямой.
lm = x0, y0 - отсекает по осям координат отрезки x0, y0.
lm = pj , x0, y0 - то же с центром координат в точке j.
lm = pj , pk - проходит через точки j и k.
lm = y0 - параллельна оси x на расстоянии y0.
lm = x0 - параллельна оси y на расстоянии x0.
lm = pj , lk - параллельна прямой k, проходящую через точку j и т. д.
Всего 18 разновидностей операторов.
Операторы определения окружности :
cm = cj - совпадает с окружностью j.
cm = x0, y0, r0 - имеет центр с координатами x0, y0 , радиус r0.
cm = x0, y0, r0 - имеет центр в точке j, радиус r0.
cm = cj , dx0, dy0 - центр смещен на dx0, dy0.
cm = cj , r0 - центр совпадает с окружностью cj , радиус r0.
cm = pj , pk - центр в точке j, точка k на окружности.
cm = pj , lk - центр в точке j, касается с прямой k.
cm = pj , pk , pn - проходит по трем известным точкам и т.д.
Всего 18 разновидностей операторов.
Существует также несколько операторов определения множества (сетки) точек,
пример: qm = pj, pk , n0, где точки расположены между точками j и k по прямой на
одинаковом расстоянии, число точек n0, включая точки j и k.
Существует несколько операторов определения контура, пример: km = cj ,pk , di продолжение контура по окружности j до точки k при i = 1 по часовой стрелке, при i
=-1 против часовой стрелки.
Существует несколько операторов определения поверхности.
Пример: sm = ti , kj , kn - задается базовым контуром j, движущимся контуром n, тип
движения i.
120
9.3.4. Операторы движения инструмента вдоль линии
Операторы движения инструмента вдоль линии в общем виде можно представить
следующим образом:
mi = < спецификация движения >,
где i - индекс, характеризующий движение объекта
(платформы, резца, фрезы,
механической руки и т.д.)
При i = 0 осуществляется быстрое перемещение объекта в заданную точку по
кратчайшему пути - по прямой. Это движение еще называется позиционированием.
При i = 1 осуществляется перемещение инструмента по прямой с заданной скоростью.
При i = 2 осуществляется движение инструмента по заданной дуге окружности по
часовой стрелке.
При i = 3 осуществляется движение инструмента по заданной дуге окружности против
часовой стрелки.
Примеры:
m0 = p3 - позиционирование инструмента в точку p3.
m1 = p3 - линейное перемещение инструмента в точку p4 .
m2 = p4 c2 p5 - движение инструмента по окружности c2 по часовой стрелке от точки p4
до точки p5.
9.3.5. Макрокоманды
Последовательность операторов, многократно используемая в управляющей
программе, можно определить заранее, чтобы в дальнейшем вызывать эту
последовательность одной командой. Этот оператор называется макрокомандой. Она
имеет следующий вид
% < имя > (< список выражений >) {< число >}
Наборы операторов тела макрокоманды хранятся в библиотеке макрокоманд и
различаются по именам. В тексте общей программы макрокоманда начинается
символом %, затем следует буква и от 1 до 6 символов в виде букв или цифр.
Пример: % MACRO (4, i42) - эта макрокоманда вначале делает присвоение локальным
переменным f1, f2 значения f1 = 4; f2 = i42. Здесь f1 - начальная переменная , f2 - число
повторений данной макрокоманды во всей программе, начинается с буквы i.
Для восстановления первоначальных значений локальных переменных после
завершения макрокоманды пользуются оператором завершения макрокоманды вида
M99 {< список >}.
Пример : M99 (f14 , f10 , f2)
При этом осуществляется следующие три оператора присваивания :
f14 = f1; f10 = f2 ; f2 = f3 .
По завершении оператора M99 переменные f1 и f3 восстанавливают первоначальные
значения, а переменная f2 получает новое значение, равное старому значению
переменной f3.
Новые значения получают также переменные f14 и f10.
В виде макрокоманд реализуется также операции по перемещению объектов в
пространстве.
121
В теле макрокоманд может находится другая макрокоманда. Число уровней вложения
макрокоманд друг в друга может достигать шести.
9.3.6. Вспомогательные операторы
К вспомогательным относятся операторы, которые задают параметры
обрабатывающих инструментов, особенности генерации кодов движения
инструментов, точку начала движения, а также параметры черновой и чистовой
обработки поверхности деталей.
Приведем некоторые примеры вспомогательных операторов:
% GENER (k) - этот оператор задает генерацию кодов движения инструмента в
абсолютных координатах при k = 0 или в приращениях координат при k = 1.
% CUTTER (d) - этот оператор задает диаметр фрезы d в мм для фрезерных станков
или расстояние от центра платформы до конца резца для токарного СЧПУ.
% FROM (p, z) - этот оператор задает точку начала движения инструмента, где p номер точки, соответствующей центру платформы с координатами (x, y), на которой
крепится резец , z - исходная координата z (высота подъема) резца или оси вращения
фрезы. Для токарных станков обычно z = 0.
% THICK (t) - этот оператор задает припуск на чистовую обработку поверхности после
черновой , где t - величина припуска в мм.
Вспомогательные операторы находятся обычно в начале программы или
макрокоманды.
Вопросы для самоконтроля
1.Нарисуйте схема микропроцессорной системы управления, назовите назначение
блоков.
2. Перечислите исполнительные устройства в СЧПУ и их характеристики.
3. Перечислите пять особенностей управляющих ЭВМ в ЦСУ.
4.Поясните взаимодействие управляющей ЭВМ и объекта управления через программудиспетчер.
5.Перечислите состав программного обеспечения управляющих ЭВМ.
6.Расскажите об алгоритмических языках программирования СЧПУ.
7.Расскажите об операторах определения геометрических объектов.
8.Расскажите об операторах движения инструмента.
9.Расскажите о вспомогательных операторах.
122
10. Нелинейные системы автоматического управления
10.1. Методы анализа нелинейных систем
Строго говоря линейных систем в природе не существует, все реальные системы
нелинейны. Нелинейностью характеристик обладают различные датчики, детекторы,
дискриминаторы, усилители, аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи,
устройства управления и исполнительные устройства.
Общей теории анализа нелинейных систем нет. Учеными разработаны различные
методы анализа нелинейных систем, которые позволяют решать задачи анализа при
определенных условиях и ограничениях.
Дадим характеристику наиболее распространенным методам анализа нелинейных
систем.
Метод фазовой плоскости. Этот метод называют также методом фазовых портретов
или фазовых пространств. Этот метод позволяет наглядно с помощью графических
построений проанализировать поведение нелинейных систем, описываемых
нелинейными дифференциальными уравнениями не выше второго (третьего) порядка.
Метод кусочно-линейной аппроксимации. В этом методе используется кусочнолинейная аппроксимация характеристики нелинейного элемента, система
анализируется как линейная при различных значениях сигналов, а затем результаты
анализа «сшиваются». Метод отличается высокой трудоемкостью анализа и
невысокой точностью результатов, особенно в точках «сшивания».
Метод гармонической линеаризации. Этот метод применяется в тех случаях, когда
после нелинейного элемента включен линейный фильтр нижних частот, а входное
воздействие гармоническое.
Метод статистической линеаризации. Этот метод применяется в тех случаях, когда в
качестве входного сигнала действует стационарный случайный процесс. В этом
методе реальный нелинейный элемент заменяется на такой линейный элемент, на
выходе которого математическое ожидание и дисперсия процесса такие же, как и на
выходе реального нелинейного элемента. Способы определения параметров
эквивалентного линейного элемента могут быть различными.
Метод марковских процессов. Этот метод используется при нестационарных
случайных входных сигналах, но аналитическое решение удается найти только для
систем не выше второго порядка.
Метод моделирования на ЭВМ. Этот метод претендует на универсальность, он не
имеет принципиальных ограничений на характер нелинейности и порядок системы. В
настоящее время это наиболее распространенный метод анализа нелинейных систем,
единственным недостатком метода является отсутствие каких-либо аналитических
результатов анализа в виде формул.
123
10.2. Виды нелинейностей характеристик нелинейных элементов
На рис.10.1 приведены характерные нелинейные характеристики нелинейных
элементов, связывающие значения сигнала y на выходе элемента с сигналом x на его
входе.
На рис.10.1а приведена характеристика усилителя-ограничителя с зоной линейности.
При значениях входного сигнала - b x b выходной сигнал y=kx, где k=tg =c/b, то
есть выходной сигнал прямопропорционален входному сигналу. При x b выходной
сигнал y= c, т.е. имеет место режим ограничения.
На рис.10.1.б приведена нелинейная характеристика треугольной формы с зоной
линейности при x b.
На рис.10.1.в приведена характеристика идеального ограничителя. Такую
характеристику называют иногда релейной.
Сигнал на выходе идеального
ограничителя y=c при x>0 и y=-c при x<0.
На рис.10.1.г приведена характеристика, в которой зона линейности плавно переходит
в зону ограничения. Такими свойствами обладают функции y=arctgx, y=thx и
некоторые другие. Такие характеристики имеют дифференциальные усилительные
каскады.
На рис.10.1.д приведена характеристика вида y=c sinx. Такими характеристиками
обладают некоторые фазовые и частотные детекторы.
На рис.10.1.е приведена характеристика ограничителя с гистерезисом. Такой
характеристикой обладают двухпозиционные поляризованные реле, компараторы и
некоторые другие устрйства. В характеристиках с гистерезисом зависимость y=f(x)
происходит по разному в зависимости от того, в какую сторону изменяется входной
сигнал x.
На рис.10.1.ж приведена характеристика, аналогичная той, что приведена на
рис.10.1.г, но с гистерезисом.
На рис.10.1.з приведена характеристика ограничителя с зоной нечувствительности. В
этом ограничителе выходной сигнал y=0 при x b, а при x b выходной сигнал
y= с.
На рис.10.1.и приведена характеристика ограничителя с зоной нечувствительности и с
гистерезисом. Такими характеристиками обладают трехпозиционные поляризованные
реле или реле с нейтралью.
124
(б)
(а)
y
(в)
y
c
y
c
-b
b
0
c
-b
x
0
-c
x
0
-c
-c
(г)
y
x
b
(д)
(е)
y
с
с
x
0
0
-b
-с
-с
(ж)
y
(з)
y
с
y
-b2 -b1
-b
-b
b
0
x
-с
(и)
с
с
0
x
b
b
0
x
b1 b2
x
-с
-с
Рис.10.1 Характеристики нелинейных элементов
10.3 Применение метода гармонической линеаризации
На рис.10.2 приведена схема нелинейной системы, для анализа которой можно
воспользоваться методом гармонической линеаризации
ФНЧ
x=Asin
НЭ
y
Wл(p)
yвых
Рис.10.2 Структурная схема нелинейной системы
В этой схеме входной сигнал x(t) - синусоида, а после нелинейного элемента НЭ
включен фильтр нижних частот (ФНЧ) с передаточной функцией Wл(p).
125
При синусоидальном входном сигнале x(t) = Asin t = Asin , где = t, сигнал y на
выходе НЭ будет периодическим, но не гармоническим, так как зависимость y=f(x)
нелинейная. Периодические сигналы можно представить рядом Фурье
y = f(x) = q(A)Asin + q1(A)Acos + yвч ,
где q(A) и q1(A) - коэффициенты ряда Фурье для первых гармоник синуса и косинуса,
которые определяются по формулам:
q (A )
1
A
y sin d ,
q1(A )
1
A
y cos d ,
(10.1)
(10.2)
где y - сигнал на выходе НЭ при изменении фазы входного сигнала x от - до ,
yвч - высокочастотные составляющие (высшие гармоники) в сигнале y. Так как на
выходе НЭ включен фильтр нижних частот, который не пропускает на выход высшие
гармоники сигнала y, поэтому на его выходе будут присутствовать только первые
гармоники в сигнале y, т. е.
yвых = q(A)Asin + q1(A)Acos .
От гармонических сигналов x и y перейдем к комплексным сигналам путем замены
p=j , тогда получим:
Y(j t) = X(j t)[q(A) + jq1(A)]
(10.3)
Это соотношение устанавливает связь между первой гармоникой комплексных
сигналов на входе и выходе НЭ, для которого введем понятие ККП нелинейного
элемента WН(A), который в соответствии с выражением (10.3) определяется по
формуле:
WН(A) = q(A) + jq1(A) ,
(10.4)
тогда Y(j t) = X(j t)WН(A). Из (10.4) следует, что для определения ККП нелинейных
элементов WН(A) нужно определить коэффициенты q(A) и q1(A) для этих нелинейных
элементов. Определим коэффициенты ряда Фурье для первых гармоник синуса и
косинуса q(A) и q1(A) для нелинейных элементов, характеристики которых приведены
на рис.10.1.в и 10.1.з. Для идеального ограничителя (рис.10.1.в) получим:
0
1
1
1
q (A )
y sin d
( С) sin d
С sin d
A
A
A0
C
cos
A
q 1 (A )
1
A
0
y cos d
C
( cos )
0
A
C
sin
A
0
4C
;
A
C
sin
0
A
0.
Для ограничителя с зоной нечувствительности (рис. 10.1 з) получим:
q (A )
4C
b2
1
;
A
A2
q1(A)=0.
126
В таблице 10.1 приведены формулы для расчета коэффициентов ряда Фурье для
первых гармоник синуса и косинуса q(A) и q1(A) наиболее характерных НЭ,
характеристики которых приведены на рис.10.1. Отметим, что для всех характеристик
без гистерезиса коэффициент q1(A)=0, что свидетельствует об отсутствии в сигнале на
выходе НЭ первой гармоники косинуса.
Таблица 10.1
Формулы для расчета коэффициентов ряда Фурье для первых гармоник синуса и
косинуса q(A) и q1(A) наиболее характерных НЭ
Рисунок
нелинейности
q(A)
10.1.à
2C
b
arcsin
b
A
10.1.в
4C
A
10.1.е
4C
b2
1
A
A2
10.1.з
4C
b2
1
A
A2
q1(A)
b
b2
1
A
A2
0
0
4 bC
A2
0
10.4. Определение устойчивости и параметров автоколебаний
в замкнутых нелинейных системах
На рис.10.3 приведена структурная схема замкнутой нелинейной системы, где
заштрихованный сектор в сумматоре соответствует умножению на -1.
Wн(A)
x
НЭ
y
Wл(p)
yвых
Рис.10.3 Структурная схема замкнутой нелинейной системы
Для проверки устойчивости этой системы воспользуемся критерием Найквиста, по
которому автоколебания в системе возникнут, если годограф разомкнутой системы
охватит на комплексной плоскости точку с координатами - 1; j 0.
Для разомкнутой схемы на рис.10.3 имеем
Wp(j ,A) = Wн(A) Wл(j ),
где Wн(A) = q(A) + jq1(A). Математически условия возникновения автоколебаний в
замкнутой системе по критерию Найквиста можно записать так: Wp(j ,A) = -1 или
Wн(A)Wл(j ) = -1, откуда
127
Wл ( j )
1
Wн ( A)
(10.5)
Это комплексное уравнение устанавливает возможность возникновения
автоколебаний в системе на рис.10.3 и позволяет определить два параметра амплитуду Aк и частоту к этих колебаний. Словесно условие возникновения
автоколебаний в замкнутой нелинейной системе по критерию Найквиста можно
сформулировать так: если годограф линейной части системы Wл(j ) имеет точку
1
пересечения с годографом нелинейной части
, то замкнутая нелинейная
Wн ( A )
система будет неустойчива, а если указанные годографы не пересекаются, то
замкнутая нелинейная система будет устойчива. На рис.10.4 приведена графическая
иллюстрация решения уравнения (10.5) для двух случаев:
когда решение
единственное (рис.10.4.а) и когда есть две точки решения (рис.10.4.б). Отметим, что
1
годограф
строится на комплексной плоскости при изменении амплитуды А от
Wн ( A )
нуля до бесконечности. Во втором случае установившимся будет решение в точке 2,
так как этой точке соответствует большая амплитуда колебаний Aк2.
Im
Im
Re
0
Ak,
k
1
A Wн ( A )
Re
1
Ak1
Ak2
Wл(j )
A
2
0
Wл(j )
1
Wн ( A )
Рис.10.4 Графическая иллюстрация решения комплексного уравнения (10.5)
1
Рассмотрим примеры построения годографа
для нелинейных элементов,
Wн ( A )
характеристики которых приведены на рис.10.1.в и 10.1.з. Для идеального
4C
ограничителя (рис.10.1.в) имеем q ( A )
,q1(A) = 0. Тогда
годограф
A
1
1
A
. Этот годограф приведен на рис.10.5.а. Он идет от нуля в по
Wн (A ) 4 С
4C
A
действительной оси. Отметим, что с идеальным ограничителем в замкнутой системе
автоколебания возникнут всегда, если годограф линейной части системы Wл(j )
пересекает отрицательную действительную ось. Коэффициент усиления линейной
части системы не играет роли, так как у идеального ограничителя K
. Для
ограничителя с зоной нечувствительности (рис. 10.1.з) имеем:
128
4C
b2
4C
q (A )
1
A 2 b 2 ; q1(A) = 0.
2
2
A
A
A
Тогда годограф ограничителя с зоной нечувствительности описывается
1
A2
. При 0 A<b годограф идет по мнимой оси от
выражением:
Wн (A ) 4C A 2 b 2
нуля до , а при A b он идет по действительной оси из - в точку с координатой
b
; j0, а затем из этой точки снова уходит в - . График этого годографа приведен
2С
на рис.10.5.б. Из этого рисунка видно, что для возникновения автоколебаний в
замкнутой системе с ограничителем с зоной нечувствительности (рис.10.1.з) годограф
линейной части системы должен пересечь отрицательную действительную ось левее
b
точки с координатами
; j0. На рис.10.5.б этой ситуации соответствует годограф
2С
Wл1(j ). Иначе говоря, коэффициент усиления на критической частоте должен быть
b
больше величины
. В противном случае автоколебаний в системе не будет. На
2C
рис.10.5.б этой ситуации соответствует годограф Wл2(j ).
Im
(а)
(б)
Im
A
1
Wн ( A )
A
1
Wн ( A )
0
Re
A
Wл(j )
1
Wн ( A )
при A>b
Рис.10.5 Годографы
b
2C
A
Aк,
при A<b
0
Re
к
Wл2(j )
Wл1(j )
1
идеального ограничителя (а) и ограничителя с зоной
Wн ( A )
нечувствительности (б)
10.5. Влияние нелинейных элементов с гистерезисом на устойчивость
замкнутых систем
Как будет показано ниже на рис. 10.6, нелинейные элементы с гистерезисом, кроме
искажений формы сигнала, создают его запаздывание по фазе. Это обстоятельство
может привести к самовозбуждению в замкнутых системах, в которых с позиций
129
линейной модели по критерию Найквиста самовозбуждения возникать не должно.
Проанализируем замкнутую нелинейную систему на рис. 10.3, в которой включен
нелинейный элемент, характеристика которого обладает гистерезисом. Рассмотрим
систему с нелинейным элементом, обладающим характеристикой с гистерезисом вида
10.1е, так как при других видах нелинейности с гистерезисом (рис. 10.1ж,и) поведение
системы существенно не меняется.
В соответствии с формулами (10.1) и (10.2) получим выражения для коэффициентов
ряда Фурье первых гармоник синуса и косинуса q(A) и q1(A) для НЭ с гистерезисом
релейного вида рис. 10.1.е. На рис. 10.6 приведены характеристика НЭ релейного вида
с гистерезисом (а), сигналы на входе НЭ (б) и на выходе НЭ (в).
Рис. 10.6. Характеристика НЭ релейного вида с гистерезисом (а), сигналы на входе НЭ
(б) и на выходе НЭ (в).
Из сопоставления рис. 10.6б и рис. 10.6в видно, что сигнал на выходе НЭ
искажается по форме и запаздывает по фазе относительно входного сигнала на
величину
, которая определяется из равенства, следующего из рис. 10.6б:
, откуда
В интервале изменения фазы
от
до
сигнал на выходе НЭ изменяется от – С до С трижды: на участке от
до
сигнал y = C, на участке от
до
сигнал y = – С, на участке от
до
сигнал y = C. Используя формулу (10.1) и значения сигнала y на трех участках
изменения текущей фазы
q( A)
4C
1
A
от
до
, вычислим интеграл (10.1) и получим:
2
b
; затем, используя формулу (10.2) и значения сигнала у на трех
A2
участках изменения текущей фазы
получим: q1(A) =
4 bC
A2
от
до
, вычислим интеграл (10.2) и
. В данном случае коэффициент q1(A) не равен нулю в отличие
130
от рассмотренных выше НЭ (см. третью строку в таб.10.1), что свидетельствует о
присутствии в выходном сигнале НЭ первой гармоники косинуса. Запаздывание
сигнала на выходе НЭ с гистерезисом по фазе на величину
обусловлено тем, что
коэффициент для первой гармоники косинуса q1(A) не равен нулю и отрицательный
по знаку. Такой сдвиг сигнала на выходе НЭ по фазе на величину
может привести
к самовозбуждению в замкнутых системах, в которых с позиций линейной модели по
критерию Найквиста самовозбуждения возникать не должно. Например, охваченный
цепью обратной связи компаратор, в цепи обратной связи которого последовательно
включены две RC-цепочки, которые выполняют роль ФНЧ, будет генерировать
автоколебания из-за наличия в его амплитудной характеристике (АХ) гистерезиса
(рис. 10.1.е). Компаратор без гистерезиса АХ (рис. 10.1в), охваченный обратной
связью в виде двух одинаковых RC-цепочек, не будет генерировать автоколебания, так
как годограф ФНЧ
и годограф НЭ
в этом
случае не пересекаются. Это подтверждается рис.10.7, где изображены годограф ФНЧ
в виде двух одинаковых RC-цепочек и годографы
компаратора
без гистерезиса АХ и с гистерезисом АХ.
Рис. 10.7. Годограф ФНЧ из двух RC-цепочек
и годографы
для компаратора без гистерезиса АХ и с гистерезисом АХ.
Как следует из рис. 10.7, годограф ФНЧ и годограф компаратора без гистерезиса не
пересекаются, что свидетельствует об устойчивости схемы, а годограф компаратора с
гистерезисом пересекается с годографом ФНЧ, что свидетельствует о возникновении в
схеме колебаний.
Вопросы для самоконтроля
1. Перечислите методы анализа нелинейных систем, назовите границы их применения,
укажите достоинства и недостатки
131
2.Приведите виды нелинейностей характеристик нелинейных элементов.
3.Расскажите об условиях применения метода гармонической линеаризации,
приведите формулы для ККП нелинейного элемента.
4.Расскажите об определении устойчивости и параметров автоколебаний в замкнутых
нелинейных системах
5.Расскажите о влиянии нелинейных элементов с гистерезисом на устойчивость
замкнутых систем.
11. Параметрические системы автоматического
управления
11.1 Примеры параметрических систем управления
Параметрическими называются системы, параметры которых изменяются во
времени. К таким системам в частности относятся самонастраивающиеся и
адаптивные системы управления. Примером самонастраивающейся системы является
автоматическая система настройки приёмника или телевизора на частоту
принимаемого сигнала. Рассмотрим в качестве примера самонастраивающийся на
частоту принимаемого сигнала цифровой полосовой фильтр. На рис.11.1.а приведена
структурная схема цифрового полосового фильтра, выполненного на рекурсивном
звене второго порядка, а на рис.11.1.б приведена его АЧХ.
Рис. 11.1 Структурная схема цифрового полосового фильтра
Из рис. 11.1.б видно, что у этого фильтра существует определённая частота F 0, на
которой модуль КПП фильтра максимален. Эта частота называется резонансной, а
модуль КПП на этой частоте W0 называется резонансным коэффициентом передачи
фильтра. Масштабный множитель М на входе фильтра выбирается из условия M =
1/W0 и обеспечивает единичный коэффициент передачи фильтра на резонансной
частоте. Коэффициент А2 определяет полосу пропускания фильтра, а коэффициент А1
определяет его резонансную частоту F0 и связан с этой частотой соотношением A1 = 2R cos 0 , где
- расстояние от центра до полюсов фильтра на Z - плоскости; 0
132
= 2 F0 / Fд - нормированная к частоте дискретизации резонансная частота фильтра. На
рис.11.2 приведена структурная схема самонастраивающегося цифрового полосового
фильтра (ЦПФ).
Рис.11.2 Структурная схема самонастраивающегося цифрового полосового фильтра
Задача системы на рис.11.2 - настроить ЦПФ на частоту сигнала Fc так, чтобы
амплитуда сигнала на выходе фильтра была максимальной, т. е. чтобы выполнялось
условие F0 = Fc. Для достижения этого в систему дополнительно введены цифровой
амплитудный детектор (ЦАД), вычисляющий амплитуду выходного сигнала фильтра
по его отсчётам, запоминающее устройство (ЗУ) и решающее устройство (РУ),
которое по определённому правилу изменяет во времени коэффициент А1 фильтра
шагами на величину D. Приведённая на рис.11.2 система относится к экстремальным
системам, т.к. она подстраивает свои параметры таким образом, чтобы амплитуда
выходного сигнала была максимальной. Как было сказано в разделе 1, такая система
работает по принципу определения знака производной амплитуды U выходного
сигнала по изменению коэффициента А1.
Если знак производной
, то знак приращения коэффициента А1
выбран верно, т.е. полосовой фильтр изменяет свою резонансную частоту F0 в сторону
частоты сигнала Fс. В противном случае надо изменить знак приращения D
коэффициента А1 на противоположный. На рис.11.3 приведена структурная схема
алгоритма работы РУ.
Рис.11.3 Структурная схема алгоритма работы решающего устройства (РУ)
В этом алгоритме U1 - сигнал на выходе ЦАД после приращения коэффициента А1
на величину D, U - сигнал на выходе ЦАД до приращения коэффициента на величину
D. Отметим, что сигнал на выходе ЦАД пропорционален амплитуде сигнала на выходе
фильтра. Вычислить амплитуду гармонического сигнала по его отсчётам можно
133
различными способами. Приведём некоторые из них. Пусть очередной отсчёт на
выходе ЦПФ равен y = Ucos , где U - неизвестная амплитуда сигнала, = n неизвестная фаза сигнала, причём = 2 Fc/Fд, тогда следующий отсчёт будет равен: y2
= Ucos( + ). Если известны частота сигнала Fс и частота дискретизации Fд, то
амплитуду гармонического сигнала можно определить по двум его отсчётам y1 и y2.
Докажем это. Так как y1 = Ucos , то cos = y1/U, тогда
. Значение
второго отсчёта представим в виде:
откуда
получим формулу для расчета амплитуды U гармонического сигнала
,
(11.1)
где
= 2 Fс / Fд - известная величина. Если частота сигнала Fс неизвестна, то
амплитуду сигнала можно вычислить по трём его отсчётам y1, y2 и y3, если все отсчёты
одного знака. Докажем это. Для первых двух отсчётов y1 и y2 справедлива формула
.
Для второго и третьего отсчётов y2 и y3 справедлива аналогичная формула
.
Приравняем правые части этих двух выражений и получим следующее соответствие:
cos
=
.
Так как sin 2 = 1- cos 2
то с учётом (11.1) амплитуду гармонического сигнала по
трём отсчётам одного знака вычислим по формуле
.
(11.2)
Кроме выделения полезного сигнала возникает задача подавления мешающей
помехи с частотой Fп. Задачу подавления гармонической помехи решает режекторный
фильтр. На рис.11.4.а приведена схема нерекурсивного цифрового фильтра второго
порядка, а на рис.11.4.б приведена его АЧХ. Из рис 11.4б видно, что у этого фильтра
есть такая частота, на которой коэффициент передачи фильтра равен нулю. Частота Fн
нулевого коэффициента передачи определяется центральным коэффициентом фильтра
B0, который связан с частотой Fн соотношением /6/: B0 = - 2cos н , где н = 2 Fн/Fд нормированная частота нулевого коэффициента передачи режекторного фильтра.
Отличие работы самонастраивающегося режекторного фильтра от полосового состоит
в том, что в этом фильтре достигается не максимум, а минимум коэффициента
134
передачи. Для этого в алгоритме работы РУ на рис.11.3 надписи «да» и «нет» следует
поменять местами.
Рис.11.4 Структурная схема нерекурсивного цифрового фильтра
второго порядка (а) и его АЧХ (б)
11.2. Применение фазовых
параметрических систем
портретов
для
исследования
цифровых
Метод фазовых портретов, как уже отмечалось в разделе 10.1, применяется для
исследования нелинейных систем. Этот метод может применяться и для исследования
цифровых параметрических систем. Покажем применение этого метода для
исследования параметрического рекурсивного звена второго порядка (рис.11.1а), у
которого изменяется во времени коэффициент А1. Звено на рис.11.1а называют также
цифровым резонатором (ЦР), так как для него характерна резонансная частота F0, на
которой модуль КПП максимален.
Поставим задачу проанализировать с помощью фазовых портретов происходящие в
ЦР процессы при изменении во времени коэффициента А1, определяющего его
резонансную частоту. Цифровой резонатор, выполненный по схеме на рис.11.1а,
описывается следующим разностным уравнением:
y(n +1) = x(n) - A1y(n) - A2y(n -1),
(11.3)
2
где A1 = -2Rcos 0, А2 = R , R, 0 - полярные координаты двух комплексносопряжённых полюсов ЦР на Z - плоскости.
В установившемся режиме амплитуда сигнала на выходе ЦР постоянная, так как
компенсация затухания сигнала в ЦР осуществляется за счёт входного сигнала x(n).
Для упрощения анализа от неоднородного разностного уравнения (11.3) перейдём к
однородному разностному уравнению вида y(n+1) = - A1y(n) - y(n -1), которое
получается из (11.3) при x(n) = 0 и A2 = 1. При А2 =1 величина R=1, то есть полюса
такого ЦР лежат на окружности единичного радиуса на Z - плоскости. Этот случай
соответствует нейтрально устойчивой системе, амплитуда колебаний в которой
постоянна. Таким образом, приняв А2 =1 и x(n) = 0, мы получили систему,
эквивалентную той, которая описывается неоднородным разностным уравнением
(11.3) при А2<1, в которой входной сигнал x(n) компенсирует затухание в ЦР. Теперь
зададим в уравнении (11.4) определённое значение коэффициента А1 в пределах -2 2,
ненулевые начальные условия y(n) и y(n-1) и вычислим величину y(n+1). Далее
сделаем переприсвоения y(n-1) = y(n); y(n) = y(n+1), снова вычислим величину y(n+1)
135
на следующем шаге, снова сделаем переприсвоение и т.д. Полученные таким образом
пары отсчётов y(n) и y(n-1) для каждого шага изобразим в виде точек в системе
координат, где по оси абсцисс будем откладывать значения y(n-1), а по оси ординат значения y(n). Траектории движения этих точек приведены на рис.11.5.
Рис.11.5 Траектории движения пары отсчётов y(n) и y(n-1) в ЦР без потерь при
различных значениях коэффициента А1
Из рис.11.5 видно, что при А1 = 0 траектория отсчётов y(n) и y(n-1) проходит по
окружности с центром в начале координат, а при А1
0 траектория проходит по
эллипсам с наклоном главной оси
/4 относительно оси абсцисс.
Получим выражение для эллипса, из него как частный случай при А1 = 0 следует
выражение для окружности. В системе координат y©(n) и y©(n-1), совпадающих с
осями эллипса, выражение имеет канонический вид:
,
(11.5)
где L, M - длина большой и малой полуосей эллипса.
Поворот осей координат на угол
изменяет координаты точек в соответствии с
выражениями:
Подставим эти выражения в (11.5) и с учётом
= /4 при А1 < 0 получим:
. (11.6)
Теперь определим величины L и M. Для точки a на эллипсе рис.11.5а справедливо
равенство: y(n) = y(n-1). Тогда из выражения (11.1) при y1 = y2 получим амплитуду
колебаний в ЦР:
.
(11.7)
Так как в ЦР при R = 1 коэффициент А1 = -2 cos 0, тогда cos
это выражение в (11.7) и получим
, откуда
0
= -A1/2. Подставим
.
136
Из рис.11.5.а следует, что для точки a справедливо соотношение
.
, тогда
(11.8)
Аналогично для точки b на рис 11.5а при y(n) = - y(n-1) таким же образом получим
(11.9)
Напомним, что выражения (11.8) и (11.9) получены при А1< 0, поэтому M<L. Из
(11.8) и (11.9) следует, что при А1> 0 длинная полуось L станет короткой, а короткая
полуось М станет длинной. Из (11.8) и (11.9) также следует, что при А1= 0 полуоси L и
М одинаковы, т.е. эллипс превращается в окружность. Подставим значения L и М из
(11.8), (11.9) в (11.6) и получим:
.
(11.10).
Это выражение описывает траекторию движения пары отсчётов y(n) и y(n-1) в ЦР
без потерь. Оно связывает амплитуду U колебаний и задающий частоту 0
коэффициент А1 со значениями y(n) и y(n-1) в уравнении (11.4). Теперь рассмотрим
траекторию движения пары отсчётов y(n) и y(n-1) в ЦР без потерь при изменении
коэффициента А1. На рис.11.6 по выражению (11.10) построены два эллипса при U=1
для двух значений коэффициентов А1= -1 и А1= - .
Рис.11.6 Траектории движения пары отсчётов y(n) и y(n-1) при двух значениях
коэффициента А1
Через точки пересечения эллипсов проведём прямые. Эти прямые образуют секторы
- 1. При постоянном коэффициенте А1 пары точек перемещаются по
1 и
2 =
одному или другому эллипсу. Если изменение коэффициента А1 произойдёт в точках
пересечения эллипсов, то амплитуда U колебаний не изменится. Во всех других
случаях изменение коэффициента А1 вызывает изменение амплитуды U. В качестве
примера на рис.11.7 приведены рассчитанные по уравнению (11.4) траектории
перемещения точек в координатах y(n), y(n-1) из начальной точки с координатами
и y(-1) = 0 при периодическом изменении во времени коэффициента А1.
137
Причем при попадании точек в секторы 1 коэффициент А1=-1, а при попадании точек
в сектор 2 коэффициент А1 = . Из этого рисунка видно, что при таких изменениях
коэффициента А1 траектории точек описываются раскручивающейся спиралью. Это
свидетельствует о бесконечном возрастании амплитуды U на выходе ЦР, у которого
А2=1.
x(n)
1
2
x(n-1)
2
1
Рис.11.7 Фазовые траектории движения пары отсчётов y(n) и y(n - 1) в ЦР без потерь
при коэффициенте А1 = -1 в секторах 1 и
в секторах 2
На рис.11.8 аналогично рассчитаны траектории перемещении точек при тех же
начальных условиях
и y(-1)=0 и при периодическом изменении
коэффициента А1, причём в секторах 1 коэффициент
, а в секторах 2
коэффициент А1= -1. Из рис.11.8 видно, что в этих условиях траектории точек
описываются сворачивающейся к началу координат спиралью. Это свидетельствует о
затухании колебаний в ЦР, у которого А2=1.
x(n)
1
2
1
2
x(n-1)
Рис.11.8 Фазовые траектории движения пары отсчётов y(n) и y(n - 1) в ЦР без потерь
при коэффициенте
в секторах 1 и А1 = -1 в секторах 2
138
Приведённые результаты анализа параметрического ЦР без потерь с
коэффициентом А2=1 показывают, что изменение коэффициента А1 во времени по
определённому алгоритму может вызвать как возрастание, так и убывание амплитуды
колебаний в ЦР. Иначе говоря, в ЦР без потерь с коэффициентом А2 1 возможно как
параметрическое усиление, так и параметрическое ослабление (демпфирование)
колебаний /6/.Полученный результат анализа ЦР с помощью фазовых портретов
позволяет предложить способ повышения устойчивости его работы. Покажем это. При
малых изменениях коэффициента А1 сектор 1 сужается и в пределе превращается в
прямую с наклоном
/4 относительно оси абсцисс. Вследствие этого легко
обнаружить появление точки в секторах 1. Это происходит при выполнении
равенства y(n) y(n-1) при А1< 0 или при равенстве y(n) = - y(n-1), если А1>0. Как
было показано выше, для уменьшения амплитуды колебаний в ЦР необходимо в
секторе 1 увеличивать по модулю коэффициент А1 на необходимую величину. В
результате такого целенаправленного изменении коэффициента А1 можно
демпфировать колебания и тем самым повысить устойчивость работы ЦР, у которого
А2
1. Таким образом, описанный метод анализа параметрического ЦР с помощью
фазовых портретов позволил найти эффективный программный способ повышения
устойчивости работы высокодобротных цифровых резонаторов.
Вопросы для самоконтроля
1.Дайте определение параметрическим системам и приведите примеры таких систем.
2.Расскажите о применении фазовых портретов для исследования
цифровых
параметрических систем на примере цифрового резонатора.
12. Задачи по курсу
1. Для системы, структурная схема которой изображена на рисунке, определить
передаточные функции Wp, Wз, We
Ответы: Wp = W1W2 + WкW2; W3
Wp
1 W1W2
; We
1 WкW2
.
1 W1W2
2. Для системы, структурная схема которой изображена на рисунке, определить
передаточные функции Wз, We.
139
Ответы:
W3
W1W2 W0W2
; We
1 W1W2 W0W2
1 2W0W2
.
1 W1W2 W0W2
3.Передаточная функция замкнутой системы имеет вид
W3 ( p)
p3
b1 p b0
.
a 2 p 2 a1 p a0
Найти выходной сигнал системы y в установившемся режиме при входном сигнале
.
Ответ:
.
4.По критерию Гурвица оценить устойчивость системы, передаточная функция
которой в замкнутом состоянии имеет вид:
W3 ( p)
p
3
20000
.
130 p 3200 p 20000
2
Ответ: система устойчива.
5. Для системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии
определить запас устойчивости по усилению. Ответ: = 11.
6. Для системы с передаточной функцией в разомкнутом состоянии
найти постоянную времени T, при которой запас устойчивости по усилению равен
двум. Ответ: T = 0,2c.
7.Передаточная функция разомкнутой системы
W p ( p)
K
.
p(1 pT ) 2
Найти зависимость критического коэффициента усиления от постоянной времени T.
Ответ: Ккр = 2/Т.
8. По критерию устойчивости Найквиста оценить устойчивость системы, передаточная
функция которой в разомкнутом состоянии
Ответ: система неустойчива.
140
9. По логарифмическим частотным характеристикам определить запас устойчивости
по усилению в системе, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии
Ответ:
= 8.
10. Найти критический коэффициент усиления в системе, передаточная функция
которой в замкнутом состоянии
W3 ( p)
10
4
p
3
p 1
0,02 p 2
p 1
1
Ответ: K кр 200c .
11. По логарифмическим частотным характеристикам определить запас устойчивости
по усилению в системе, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии
.
Ответ:
= .
12.Передаточная функция разомкнутой системы
W p ( p)
K (1 0,5 p)
.
p(1 2 p)(1 0,02 p) 2
Определить коэффициент усиления К в системе, при котором запас устойчивости по
1
усилению = 10. Ответ: K 40c .
13.Передаточная функция замкнутой системы
W3 ( p)
3
.
(1 0,2 p)(1 0,01 p)
Определить импульсную характеристику w(t) замкнутой системы.
Ответ: w(t) = 15,8 (е -5t - e -100t).
14. Передаточная функция разомкнутой системы
.
Найти импульсную характеристику w(t) замкнутой системы.
Ответ: w(t) = 15,1е -5t sin13,2t.
15. Передаточная функция замкнутой системы
W3 ( p)
1
.
(1 0,1 p)(1 0,02 p)(1 0,01 p)
Определить выходной сигнал в установившемся режиме при входном сигнале
x(t) = 1(t) и указать порядок астатизма системы. Ответ: yуст = 1; = 1.
16. Передаточная функция замкнутой системы
W3 ( p)
0,8
.
(1 0,1 p)(1 0,02 p)(1 0,01 p)
Определить выходной сигнал в установившемся режиме при входном сигнале
141
x(t) = 1(t) и указать порядок астатизма системы. Ответ: yуст = 0,8;
17. Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии
= 0.
.
Определить выходной сигнал в установившемся режиме в замкнутой системе при
входном воздействии x(t) = 10sin5t. Ответ: y(t)уст = 11,5sin(5t - 0,12).
18. Передаточная функция разомкнутой системы
W p ( p)
c4 p 4
b2 p 2
c3 p 3
b1 p b0
c 2 p 2 c1 p c0
.
Каковы условия получения указанного порядка астатизма замкнутой системы = 0,
= 1, = 2 ? Ответы:
= 0 при с0 0, = 1 при с0 = 0, = 2 при с0 = с1 = 0.
19. Передаточная функция замкнутой системы
W3 ( p)
a4 p 4
b2 p 2
a3 p 3
b1 p b0
a 2 p 2 a1 p
a0
.
Каковы условия получения указанного порядка астатизма системы = 0, = 1, = 2 ?
Ответы:
= 0 при b0 a0 , = 1 при b0 = a0, b1 a1 , = 2 при b0 = ao, b1 = a1, b2
a2 .
20. Передаточная функция ошибки системы
We ( p )
d4 p4
a4 p 4
d3 p3
a3 p 3
d2 p2
a2 p 2
d1 p d 0
.
a1 p a 0
Каковы условия получения указанного порядка астатизма системы
Ответы:
= 0 при d0 0, = 1 при d0 = 0, = 2 при d0 = d1 = 0.
21. Передаточная функция разомкнутой системы
W p ( p)
= 0,
= 1,
=2?
K (1 T2 p)
.
p(1 T1 p)(1 T3 p)
Найти ошибку в замкнутой системе при входном воздействии x(t) = a01(t) + a11(t)t .
Ответ:e =a1/K.
22. Передаточная функция разомкнутой системы
W p ( p)
K
.
p(1 T1 p)(1 T2 p)
Вычислить ошибку в замкнутой системе при входном сигнале x(t) = a1t
Ответ: e = a1t/(1+K) +a1K(T1+T2)/(1+K)2.
23. Передаточная функция замкнутой системы
W3 ( p)
200
.
p(1 10 p)(1 20 p)
Определить характеристическую матрицу при последовательной схеме описания
системы в пространстве состояний.
142
Ответ:
.
24. Матрица, обратная характеристической, для системы имеет вид:
.
Определить элементы фундаментальной матрицы, используя следующие формулы
обратного преобразования Лапласа
L1
L1
1
1 )( p
(p
(p
p
1 )( p
Ответы:
1
2)
2
e
2t
)
1
1
2)
1t
(e
( 1e
2
1t
2
e
2t
).
1
,
,
,
.
25. Передаточная функция замкнутой системы
W3 ( p)
200
( p 10)( p
20
p 10
20)
20
.
p 20
Определить матрицу системы, вектор управления, наблюдения и описать ее по
параллельной схеме в пространстве состояний.
Ответы:
, A
20
20
,
C
1
, p F (t )
1
F (t )
Ax(t )
y (t ) C T F (t ) , где Т - символ транспонирования.
26. На рисунке изображена структурная схема нелинейной системы
Функция нелинейного элемента (НЭ) имеет вид
143
Нелинейный элемент - это идеальный ограничитель с порогами ограничения С.
Линейная часть системы состоит из последовательно соединенных усилителя и
четырех одинаковых инерционных звеньев с передаточной функцией
W л ( p)
K
(1 pT ) 4
.
Определить амплитуду Ак и частоту к автоколебаний в этой системе.
Ответы: Ак = КС/π , ωк = 1/Т.
27. На рисунке изображена структурная схема нелинейной системы
Функция нелинейного элемента (НЭ) имеет вид
Линейная часть системы представляет собой последовательное соединение усилителя
и четырех одинаковых инерционных звеньев, передаточная функция которой
описывается выражением
W л ( p)
K
.
(1 pT ) 4
Определить, при превышении какого коэффициента усиления усилителя К в этой
системе возникнут автоколебания. При каком значении К система загенерирует без
НЭ?
Ответы: К > 2; К > 4.
28. Системная функция цифрового дифференциатора имеет вид W(z) = 1 - z -1.
Используя стандартное Z - преобразование, получите выражение для АЧХ цифрового
дифференциатора. Ответ: W( ) = 2sin
период дискретизации.
, где
= Тд ,
- угловая частота, Тд 144
13. Задание №1 на курсовую работу
Рассчитать параметры системы автоматического управления (САУ),
осуществляющей автоматическое слежение антенны за объектом, перемещающимся в
пространстве и излучающим электромагнитные волны.
Структурная схема САУ:
РПУ – радиоприемное устройство, ФД – фазовый детектор,
КЗ – корректирующее звено, УМ – усилитель мощности,
ЭД – электродвигатель, А – антенна, МОС – местная обратная связь,
x
х у - ошибка слежения.
ц - азимут цели (объекта), у
а - азимут антенны, е
Необходимо определить тип и параметры корректирующего звена (КЗ) и местной
обратной связи (МОС), обеспечивающих качественные показатели САУ, численные
значения которых определяются предпоследней N1 и последней N 0 цифрами зачетной
книжки студента.
Исходные данные для расчета:
Полоса пропускания системы:
(c 1 )
75 0.6 N1 1.2 N 0
п
Показатель колебательности САУ:
Wз (
р
М
)
1.35 0.03 N1
при N 0 - четной,
Wз ( р ) М 1.38 0.02 N1 при N 0 - нечетной
Допустимые ошибки САУ:
а) по положению е0 0 ,
е1 0.15 0.01 N1 0.01 N 0 ,
б) по скорости
в) по ускорению
е2
0.6
0.01 N1 0.01 N 0
2
при
где
ц
t
ц
t
10
ц
c,
t
2
20
c2 ,
2
- скорость отклонения объекта,
ц
t
2
- ускорение отклонения объекта.
145
Передаточные функции и параметры звеньев исходной части САУ:
WРПУ
WЭДА
k РПУ
,
1 рТ РПУ
k ЭДА
р(1 рТ ЭДА )
k РПУ kФД
Т РПУ
Т ЭДА
WФД
Т ФД
5 мВ ,
Т УМ
kФД
1 рТ ФД ,
WУМ
kУМ
,
1 рТУМ
,
kУМ
100 ,
k ЭДА
8
1
,
с В
5 мс ,
12 мс 0.2 мс N1
0.2 мс N 0 ,
Коэффициент тахогенератора kТГ
20 мкВ с .
5. После расчета параметров КЗ и МОС необходимо составить их функциональные
схемы с указанием значений Ri , Ci , k i (сопротивлений, емкостей и коэффициентов
усиления), а также проверить запас устойчивости по фазе, усилению и определить
фактический показатель колебательности САУ Мф.
6. Используя билинейное Z-преобразование, рассчитать системные функции
цифровых прототипов КЗ и МОС и составить их структурные схемы для реализации
на ЭВМ.
Порядок выполнения задания №1
Передаточная функция исходной части разомкнутой САУ без учета КЗ и МОС равна:
WРИ
WРПУ WФД WУМ WЭДА.
Т.к. в разомкнутую САУ входит 4 инерционных звена и интегратор, а гарантированно
устойчивой является замкнутая система только при 2-х инерционных звеньях, поэтому
для обеспечения устойчивости надо включить 2 корректирующих звена (КЗ).
Дополнительно корректирующие звенья обеспечат заданные качественные показатели
САУ: ошибки слежения и полосу пропускания. Для упрощения расчетов возьмем два
КЗ с одинаковыми параметрами, их передаточная функция равна:
WКЗ
k КЗ
(1 рТ 2 ) 2
(1 рТ1 ) 2
WКЗ1 WКЗ 2 ,
где Wкз1 k кз (1 pT2 /(1 pT1 ) , Wкз 2 (1 pT2 ) /(1 pT1 ) .
Из этих выражений видно, что в состав первого КЗ включен усилитель с
коэффициентом усиления kкз. Необходимо рассчитать три параметра КЗ: коэффициент
усиления kкз и постоянные времени T1 и Т2. С учетом двух КЗ передаточная функция
разомкнутой системы будет равна:
146
WР
W РИ W КЗ
K
p (1
pT1 ) 2 (1
(1 pT2 ) 2
pTРПУ ) (1 рТ ФД ) (1
рТ УМ ) (1
рТ ЭДА )
2
K
p
di pi
i 0
6
bi p i
K
p 1 (2T1
1 2 pT2
TРПУ Т ФД
p 2 T22
Т УМ Т ЭДА ) р 
i 0
где
K
k РПУ kФД kУМ k ЭДА k КЗ
2. Коэффициенты ошибок по положению, скорости и ускорению по определению
равны:
е0
е1
2е2
С0
0 ; С1
С2
;
;
р 0
р2 0
0
1,
Здесь р – символ дифференцирования. Т.к. порядок астатизма данной системы
то ошибка по положению будет равна нулю из-за наличия в системе интегратора (его
роль выполняет электродвигатель), а коэффициенты ошибок по положению, скорости
и ускорению будут равны:
1
b d
1
С0 0 ; С1
).
; С 2 2( 1 1
К
K
K2
1
Тогда из формулы для С1 получим: K
. Для решения системы уравнений в
C1
дальнейших расчетах необходимо, чтобы выполнялось условие: К = 1,5 ωср, где
частоту среза разомкнутой САУ определим по формуле:
ср
n
2 cos(
)
, где
1
- запас устойчивости по фазе, М – заданный показатель
M
колебательности замкнутой САУ. Выберем из двух рассчитанных значений К большее
значение и определим коэффициент усиления усилителя в первом корректирующем
звене
arcsin
k КЗ
К
k РПУ kФД kУМ k ЭДА
= К/4
Такое значение коэффициента усиления усилителя в первом КЗ обеспечивает
заданную ошибку по скорости. Из выражения для С2 имеем:
b1
d1
К С2
2
где
d1
2 T2 , b1
1
К
T0 ,
2T1 TРПУ
Т ФД
Т УМ
Т ЭДА
Подставим значения b1 и d 1 в эту формулу и получим:
147
T1
1
(T0
2
T2
Т ФД
TРПУ
Т УМ
Т ЭДА ) T01
Рассчитанная по этой формуле разность постоянных времени Т1 и Т2
корректирующих звеньев обеспечивает заданную ошибку по ускорению. Так как по
расчетам оказалось, что Т1 > Т2 , то включим корректирующие звенья с отставанием по
фазе. Но постоянные времени Т1 и Т2 влияют и на полосу пропускания САУ,
поэтому второе соотношение между Т1 и Т2, обеспечивающее заданную полосу
пропускания САУ, найдем из ЛАЧХ разомкнутой САУ. Для этого построим кусочно-
1
линейную аппроксимацию ЛАЧХ разомкнутой САУ. При
ср
Т ЭДА до частоты
среза ЛАЧХ кусочно-линейная аппроксимация разомкнутой САУ будет равна сумме
ЛАЧХ интегратора и ЛАЧХ двух одинаковых КЗ (эти ЛАЧХ показаны пунктиром на
рисунке). Сложив эти ЛАЧХ, получим результирующую ЛАЧХ, она показана на
рисунке сплошной жирной линией. Из этого рисунка видно, что включение КЗ за счет
создаваемого ими излома в ЛАЧХ уменьшает частоту среза, но не уменьшает
критическую частоту, что приводит к обеспечению устойчивости САУ.
Здесь ω1 = 1/T1 , ω2 = 1/T2 - частоты сопряжения КЗ.
На частоте сопряжения ω1 ЛАЧХ определяется только интегратором:
р
(
ср
)
20 lg
K
(1)
1
На участке ω1-ω2 ЛАЧХ имеет наклон -60 дБ/дек:
р
(
1
)
р
(
2
) /(lg
2
lg
1
)
60
(2)
На участке ω2-ωср ЛАЧХ имеет наклон -20 дБ/дек:
р
(
2
)
р
(
cp
) /(lg
ср
lg
2
)
20 , причем
Р
(
СР
)=0
(3)
148
Подставим формулы (1) и (3) в (2) и получим:
K
20 lg
20 lg
1
cp
60 lg
2
2
Разделим левую и правую части этого уравнения на
1
20 и получим:
lg
K
2
1
cp
3 lg
2
1
откуда
2
K
2
cp
T1
T2
K
или T1
T2
cp
K
.
cp
1
Это соотношение между Т1 и Т2 обеспечивает заданную полосу пропускания системы.
Теперь составим систему из двух уравнений:
Т1 Т 2
Т 01
Т1
K
Т2
. Решив эту систему уравнений, найдем постоянные времени Т 1 и
ср
Т 2 двух КЗ, при которых обеспечиваются заданная ошибка по ускорению и заданная
полоса пропускания САУ.
3. Первое корректирующее звено с усилителем включим после ФД. Схема первого
корректирующего звена имеет вид:
Задаваясь R 1 кОм, С 10 мкФ , определим Roc , R2 , R1 из выражений:
T2 R 2 C
T1 ( R1 R 2 ) C
RОС
R
4. Второе КЗ без усилителя включим по схеме местной обратной связи (МОС),
охватывающей звенья системы с нестабильными параметрами: УМ, ЭД и А. Такое
k кз
1
149
включение повышает стабильность параметров охваченных МОС звеньев.
Передаточная функция МОС определяется по формуле:
W0
1
W2
1
WКЗ 2
1 ,
kУМ k ЭДА
где W2
p(1
pТ УМ )(1
pТ ЭДА ) - передаточная функция охваченных МОС
звеньев.
1 pT2
1 pT1 - передаточная функция второго КЗ без усилителя.
WКЗ 2
Т.к.
1
ср
СЭДА
Тогда W0
TЭДА
k УМ
p
k ЭДА
, то до частоты
1 pT1
1 pT2
1
ср
можно считать W2
k0 p 2
1 pT2 ,
где
k0
k УМ k ЭДА
p
T1 T2
kУМ k ЭДА
Передаточную функцию W0 реализуем последовательным соединением
тахогенератора, дифференцирующей цепи с постоянной времени Т2 и усилителя с
коэффициентом усиления kУС.
Передаточная функция тахогенератора равна: WТГ kТГ p , где коэффициент
тахогенератора, он задан и равен kТГ 20 мкВ с . Схема дифференцирующей цепи
имеет вид:
Передаточная функция дифференцирующей цепи:
W ДЦ
p T2
, где Т2 =R2 C2
1 p T2
Передаточная функция усилителя: WУС kУС
Тогда при последовательном соединении указанных звеньев получим следующее
уравнение:
W0
k0 p 2
1 pT2
pT2
k ТГ p
kУС
 1 pT2 
,
WТГ


 WУС
W ДЦ
150
2
Помножим левую и правую части этого уравнения на 1 + рТ2 и разделим на p , в
результате получим: k 0
kТГ Т 2 .kУС , откуда следует формула для расчета
неизвестного параметра kУС :
kУС
k0
T2 kТГ
Общая функциональная схема местной обратной связи будет иметь следующий вид:
/
RОС
Так как kУС 1
, то зададимся R =1 kOm и из этой формулы рассчитаем
R
величину сопротивления в цепи обратной связи усилителя ROC R(kУС 1)
5. Фактические запасы устойчивости по усилению и фазе определяются по точным
ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ графоаналитическим методом с помощью
графиков, построенных с помощью МК или ПЭВМ по формулам:
- для ЛАЧХ
p
( )
20 lg k 20 lg
20 lg(1 ( T2 ) 2 ) 20 lg(1 ( T1 ) 2 ) 30 lg(1 ( TРПУ ) 2 ) 10 lg(1 ( Т ЭДА ) 2 )
 
 


интегратор
РПУ ,ФД ,УМ , 2 КЗ
ЭД
- для ЛФЧХ
p
( )
2

2arctg ( T2 ) 2arctg ( T1 ) 3arctg ( TРПУ ) arctg ( Т ЭДА )


 
 


2 КЗ
интегратор
РПУ ,ФД ,УМ
ЭД
Запас устойчивости по усилению определяется по формуле:
критическая частота
кр
определяется из условия
р
Запас устойчивости по фазе определяется по формуле:
(
кр
дБ
)
p
(
кр
) , где
(см. рис. 5.9).
р
(
ср
) , где частота
0 (см. рис. 5.9).
определяется из условия
р ( ср )
Фактический показатель колебательности системы определяется по формуле:
1
M
. Показатель колебательности М - это значение АЧХ замкнутой системы
sin( )
на резонансной частоте.
среза
ср
151
6. Для перехода к цифровым прототипам КЗ и МОС воспользуемся формулой
билинейного Z - преобразования
W ( z ) W ( p)
p
2 1 z
TД 1 z
1
1
Сначала построим цифровую реализацию первого корректирующего звена,
передаточная функция которого имеет вид:
WКЗ ( p)
k КЗ
1 pT2
1 pT1
1
, где FД – частота
FД
Для этого вначале найдем период дискретизации: T Д
дискретизации. По теореме отсчетов Котельникова-Найквиста должно выполняться
условие FД > 2Fmax, где максимальную частоту в спектре сигнала Fmax определим по
значению полосы пропускания САУ из условия Fmax=(1.5÷2)Fn , здесь Fn
п
n
2
,
- полоса пропускания замкнутой системы.
После подстановки в Wкз(р) вместо р выражения p
W ( z ) k КЗ
2 1 z
1
TД 1 z
1
1
2 1 z
1
TД 1 z
T2
1
1
T1
Умножим числитель и знаменатель на 1 z
2T2
1 z 1
(1 z 1 )
TД
W ( z ) k КЗ
2T1
1 z 1
(1 z 1 )
TД
Обозначим
2T2
TД
b1 ,
2T1
TД
1
и получим:
а1 . Тогда выражение будет иметь вид:
(1 b1 ) (1 b1 ) z 1
W ( z ) k кз
k кз
k кз
1
1
1
(1 a1 ) (1 a1 ) z 1
Чтобы получить в знаменателе системной функции W(z) коэффициент A0 1, поделим
числитель и знаменатель дроби на выражение (1 a1 ) и получим:
1 z
1 z
1
2 1 z 1
. получим:
TД 1 z 1
b1 (1 z 1 )
a1 (1 z 1 )
1 z
1 z
1
b1
a1
b1 z
a1 z
1
152
W ( z ) k кз
где B0
B0
1
B1 z
1 A1 z
1
1 b1
1 b1
, B1
,
1 a1
1 a1
A1
1 a1
.
1 a1
Выражению W ( z) соответствует следующая схема рекурсивного цифрового звена
первого порядка:
Рис.7 Схема цифрового прототипа КЗ
Далее аналогично построим цифровой прототип для МОС. Период дискретизации
TД
1
оставим тем же. Передаточная функция МОС имеет вид:
FД
WМОС ( р)
к0 р 2
1 р Т2
После подстановки в эту формулу вместо р выражения p
2 1 z 1
.
T Д 1 z 1 получим
выражение для системной функции МОС в виде:
W ( z)
B0
B1 z
1 A1 z
1
1
2
B2 z
A2 z
2
.
Вывод формул для расчета коэффициентов системной функции В0 , В1, В2, А1 и А2 для
цифрового прототипа МОС нужно выполнить самостоятельно.
Схема цифрового прототипа МОС имеет вид:
153
Рис.8 Схема цифрового прототипа МОС
Вопросы для самоконтроля по заданию №1
1.Что такое передаточная функция звена, устройства или системы?
2.В каких случаях электродвигатель выполняет функции интегратора (является
инерционно-интегрирующим звеном), а в каких – не выполняет (является только
инерционным звеном)?
3.С какой целью в схему САУ дополнительно включены корректирующие звенья
(КЗ)?
4.За счет каких устройств САУ и каких параметров этих устройств обеспечены
заданные значения ошибок слежения системы за объектом: по положению, по
скорости и по ускорению?
5.Почему для определения постоянных времени Т1 и Т2 КЗ недостаточно формулы
разности Т1 – Т2, следующей из формулы для С2, а приходится выводить еще одну
связывающую Т1 и Т2 формулу, следующую из графика ЛАЧХ разомкнутой системы?
6.Что такое частота среза, критическая частота и показатель колебательности?
7.Почему при построении графика ЛАЧХ разомкнутой системы до частоты среза не
учитываются 4 инерционных звена: РПУ, ФД, УМ и ЭДА?
8.Используя график ЛАЧХ разомкнутой САУ поясните, почему включение КЗ с
отставанием по фазе повышает устойчивость САУ.
9.Как будет выглядеть график ЛАЧХ разомкнутой системы выше частоты среза?
10.Почему второе корректирующее звено включается не после первого звена, а по
схеме местной обратной связи (МОС)?
11.По какой формуле определяется передаточная функция МОС? С помощью каких
звеньев реализуется схема МОС и почему?
12.Как в работе были определены запасы устойчивости по усилению (по амплитуде),
по фазе и фактический показатель колебательности?
13.Что такое системная функция цифрового звена, цифрового устройства или
системы?
14.Каким методом в работе были получены системные функции цифровых прототипов
КЗ и МОС, приведите используемую для этого формулу?
154
15.Сформулируйте теорему отсчетов Котельникова-Найквиста и расскажите, как
определена частота дискретизации для цифровых прототипов КЗ и МОС?
16.Расскажите, как по системной функции составляются разностное уравнение и схема
цифрового устройства (на примере КЗ и МОС).
14. Задание №2 на курсовую работу
Разработать алгоритм и программу управления для токарного станка с ЧПУ при
изготовлении шахматных фигур. Исходные данные определяются по последней N 0 и
предпоследней N 1 цифре зачетной книжки из следующей таблицы:
Высота
№
Фигура
N0
N 1- четн.
Диаметр
N 1- неч.
N 1- четн. N 1- неч.
0 ;1 Пешка 50
2;3 Ладья 60
4;5 Слон 70
6;7 Ферзь 80
8;9 Король 90
40
50
60
70
80
20
25
25
30
30
18
20
20
25
25
Заготовка цилиндрической формы из липы длиной 1400мм и диаметром 32 мм.
Порядок выполнения задания №2
1. Структурная схема токарного станка с ЧПУ и назначение блоков
На рисунке 1 приведена структурная схема токарного станка с ЧПУ
Рис. 1 Структурная схема токарного станка с ЧПУ
155
На платформе 1 (Пл. 1) укреплены резцы Р1, Р2, Р3. Она может перемещаться в
пространстве с заданной скоростью и поворачиваться вокруг оси по часовой и против
часовой стрелки на заданный угол. Платформы 2 и 3 служат для зажима заготовки с
торцов и могут перемещаться влево и вправо вдоль оси х от патрона до стопоров 2 и 3
соответственно. Патрон может зажимать и разжимать заготовку и вращать её вокруг
оси x по часовой и против часовой стрелки с заданной угловой скоростью. Платформы
и патрон приводятся в движение исполнительными механизмами, состоящими из
электродвигателей с редукторами в виде шестерёнчатых или червячных передач.
Шестерёнчатые передачи позволяют изменять скорость вращения, а червячные
передачи преобразуют вращательное движение в поступательное.
Датчики
совместно
с
измерительным
контроллерами
контролируют
пространственные координаты платформ, направление и скорость вращения патрона,
а также угол поворота Пл. 1, усилия при зажатии заготовки патроном и Пл. 2 и Пл. 3 и
передают эти данные в цифровых кодах в управляющую ЭВМ.
2. Чертеж шахматной фигуры с указанием геометрических размеров
Необходимо выполнить чертеж шахматной фигуры, заданной по варианту. Размеры
фигуры выбираются самостоятельно, кроме тех, которые заданы в задании (высота и
диаметр фигуры). На рисунке 2 приведен пример такого чертежа.
Рис. 2 Чертеж шахматной фигуры с указанием геометрических размеров
156
3. Структурная схема алгоритма изготовления шахматных фигур на токарном станке с
ЧПУ
4. Алгоритмические языки программирования станков с числовым программным
управлением (ЧПУ).
Для описания процессов обработки деталей на станках с ЧПУ, для программирования
работы роботов - манипуляторов применяются алгоритмические языки специального
назначения.
В качестве примера для СЧПУ можно привести языки APT. MODAPT, FART TURN /
MILL, ТАУ - Т, СПД - ЧПУ.
Эти языки обеспечивают формально - словесный способ описания процесса
обработки. Написанная на этих языках управляющая программа состоит из
последовательности операторов и разрабатывается по следующим этапам:
На чертеже детали указывается система координат.
157
Каждому геометрическому объекту (точке, прямой, окружности, контуру,
поверхности) ставится в соответствии номер.
С помощью макрокоманд рассчитываются координаты движения обрабатывающих
инструментов или других объектов.
На основе рассчитанных координат задается последовательность технологических
команд обработки.
Последняя процедура обычно программируется совместно с технологами, так как
процесс обработки должен удовлетворять определенным требованиям
технологического процесса.
Простые операторы
В алгоритмических языках имеется несколько простых операторов:
определение геометрических элементов;
присваивание;
безусловный переход;
условный переход;
кадр;
макрокоманда;
завершение макрокоманды;
ввод - вывод;
отображение объектов;
очистка экрана дисплея;
удаление объектов;
настройка параметров плоскости проекций.
Все операторы алгоритмических языков состоят из меток, имен, чисел, служебных
слов, имен функций, имен переменных, операций и разделителей.
Метки обозначаются символом N и целым числом: N1, N2, N3 и т.д.
Имена объектов обозначаются буквой и номером объекта или выражением. Наиболее
частые обозначения следующие:
точка
p
прямая
l
окружность
c
контур
k
поверхность
s
множество точек (сетка)
q
Операторы определения геометрических объектов
Ниже перечислены основные операторы этой группы.
Операторы определения точки:
pm = pj - совпадает с точкой pj.
pm = x0, y0 - имеет декартовы координаты x0,y0.
pm = cj - находится в центре окружности j.
4) pm = lj , lk - находится на пересечение прямых j, k.
5) pm = pj , dx0, dy0 - смещена от точки j на dx0 и dy0.
pm = pj, ipk - расположена симметрично точке j относительно точки k.
pm = pj ,ilk - расположена симметрично точке j относительно прямой k.
pm = r0, u0 - в полярных координатах r0,u0 относительно центра координат.
pm = pj , r0, u0 - в полярных координатах r0,u0 относительно точки j.
158
и т.д. всего 16 разновидностей операторов.
Операторы определения прямой:
lm = lj - совпадает с прямой.
lm = x0, y0 - отсекает по осям координат отрезки x0, y0.
lm = pj , x0, y0 - то же с центром координат в точке j.
lm = pj , pk - проходит через точки j и k.
lm = y0 - параллельна оси x на расстоянии y0.
lm = x0 - параллельна оси y на расстоянии x0.
lm = pj , lk - параллельна прямой k, проходящую через точку j и т. д.
Всего 18 разновидностей операторов.
Операторы определения окружности :
cm = cj - совпадает с окружностью j.
cm = x0, y0, r0 - имеет центр с координатами x0, y0 , радиус r0.
cm = x0, y0, r0 - имеет центр в точке j, радиус r0.
cm = cj , dx0, dy0 - центр смещен на dx0, dy0.
cm = cj , r0 - центр совпадает с окружностью cj , радиус r0.
cm = pj , pk - центр в точке j, точка k на окружности.
cm = pj , lk - центр в точке j, касается с прямой k.
cm = pj , pk , pn - проходит по трем известным точкам и т.д.
Всего 18 разновидностей операторов.
Существует также несколько операторов определения множества (сетки) точек,
пример: qm = pj, pk , n0, где точки расположены между точками j и k по прямой на
одинаковом расстоянии, число точек n0, включая точки j и k.
Существует несколько операторов определения контура, пример: km = cj ,pk , di продолжение контура по окружности j до точки k при i = 1 по часовой стрелке, при i
=-1 против часовой стрелки.
Операторы движения инструмента вдоль линии
Операторы движения инструмента вдоль линии в общем виде можно представить
следующим образом:
mi = < спецификация движения >,
где i - индекс, характеризующий движение объекта (платформы, резца, фрезы,
механической руки и т.д.)
При i = 0 осуществляется быстрое перемещение объекта в заданную точку по
кратчайшему пути - по прямой. Это движение еще называется позиционированием.
При i = 1 осуществляется перемещение инструмента по прямой с заданной скоростью.
При i = 2 осуществляется движение инструмента по заданной дуге окружности по
часовой стрелке.
При i = 3 осуществляется движение инструмента по заданной дуге окружности против
часовой стрелки.
Примеры:
m0 = p3 - позиционирование инструмента в точку p3.
m1 = p3 - линейное перемещение инструмента в точку p4 .
m2 = p4 c2 p5 - движение инструмента по окружности c2 по часовой стрелке от точки p4
до точки p5.
Макрокоманды
159
Последовательность операторов, многократно используемая в управляющей
программе, можно определить заранее, чтобы в дальнейшем вызывать эту
последовательность одной командой. Этот оператор называется макрокомандой. Она
имеет следующий вид
% < имя > (< список выражений >) {< число >}
Наборы операторов тела макрокоманды хранятся в библиотеке макрокоманд и
различаются по именам. В тексте общей программы макрокоманда начинается
символом %, затем следует буква и от 1 до 6 символов в виде букв или цифр.
Пример: % MACRO (4, i42) - эта макрокоманда вначале делает присвоение
локальным переменным f1, f2 значения f1 = 4; f2 = i42. Здесь f1 - начальная переменная ,
f2 - число повторений данной макрокоманды во всей программе, начинается с буквы i.
Для восстановления первоначальных значений локальных переменных после
завершения макрокоманды пользуются оператором завершения макрокоманды вида
M99 {< список >}.
Пример : M99 (f14 , f10 , f2)
При этом осуществляется следующие три оператора присваивания :
f14 = f1; f10 = f2 ; f2 = f3 .
По завершении оператора M99 переменные f1 и f3 восстанавливают
первоначальные значения, а переменная f2 получает новое значение, равное старому
значению переменной f3.
Новые значения получают также переменные f14 и f10.
В виде макрокоманд реализуется также операции по перемещению объектов в
пространстве.
В теле макрокоманд может находится другая макрокоманда. Число уровней
вложения макрокоманд друг в друга может достигать шести.
Вспомогательные операторы
К вспомогательным относятся операторы, которые задают параметры
обрабатывающих инструментов, особенности генерации кодов движения
инструментов, точку начала движения, а также параметры черновой и чистовой
обработки поверхности деталей.
Приведем некоторые примеры вспомогательных операторов:
% GENER (k) - этот оператор задает генерацию кодов движения инструмента в
абсолютных координатах при k = 0 или в приращениях координат при k = 1.
% CUTTER (d) - этот оператор задает диаметр фрезы d в мм для фрезерных станков
или расстояние от центра платформы до конца резца для токарного СЧПУ.
% FROM (p, z) - этот оператор задает точку начала движения инструмента, где p номер точки, соответствующей центру платформы с координатами (x, y), на которой
крепится резец , z - исходная координата z (высота подъема) резца или оси вращения
фрезы. Для токарных станков обычно z = 0.
% THICK (t) - этот оператор задает припуск на чистовую обработку поверхности после
черновой , где t - величина припуска в мм.
Вспомогательные операторы находятся обычно в начале программы или
макрокоманды.
160
Разработка программы обработки основания фигуры
Рис. 3. Чертеж основания фигуры
Обработка основания фигуры требуется для обеспечения устойчивости шахматной
фигуры. Для этого в основании фигуры вырезается полуокружность определенного
радиуса. Первым этапом разработки программы является ввод исходных данных о
геометрических объектах. Для этого на чертеже проставляются точки, необходимые
для обработки основания – начало координат, заданный диаметр фигуры, диаметр
заготовки, точка центра окружности.
Программа обработки основания:
‘Ввод информации о геометрических объектах
%GENER(0) – информация о геометрических объектах записывается в абсолютных
координатах
р 1 = x0, y0 – точка начала координат
р 2 = x2, y0 - точка отстоит от начала координат на 2 мм
р3 = x 0, y -12,5 - точка отстоит по оси ординат на величину радиуса фигуры
р4 = x 0, y -16 - точка отстоит по оси ординат на величину радиуса заготовки
р5 = x -13,0625, y 0
с1 = p 5, r 15,0625
р6 = х-200,у-300 -исходная точка платформы 1, эта точка на рисунке не показана.
‘Обработка основания фигуры
% CUTTER(100)
% FROM(6, 0)
m0 = p1
m1 = p2
m 2 = p 2, c 1, p 3
m1=p4
M 99 – возврат платформы 1 в р5
6. Разработка программы предварительной обработки поверхности фигуры
Предварительная обработка поверхности фигуры требуется для исключения
образования сколов древесины. Предварительная обработка заключается в срезе
нескольких слоев древесины, чтобы избежать сколов древесины.
161
Рис. 4. Чертеж продольного разреза фигуры на этапе предварительной обработки
Программа предварительной обработки заготовки:
% GENER (0)
‘ Описание геометрических объектов
p1 = x0,y-16
p2 = x0,y-12,5
p3 = x60,y-12,5
p4 = x60,y-16
p5 = 10,y-12,5
p6 = x15,y-7,5
p7 = x60,y-7,5
p8 = x-200,y-300 – эта точка на рисунке не показана.
‘Программа предварительной обработки заготовки
%CUTTER(100)
%FROM(8,0)
m0 = p1
m1 = p2
m1=p3
m1=p7
m1=p6
m1=p5
m 99 – возврат платформы 1 в точку р8
7. Разработка программы чистовой обработки поверхности фигуры и обреза ее от
заготовки.
Рис. 5. Чертеж продольного разреза фигуры на этапе чистовой обработки
162
Программа чистовой обработки поверхности фигуры:
% GENER (0)
‘ Геометрическое описание объекта
p1 = x10,y-12,5
p2 = x15,y-7,5
p3 = x15,y-12,5
c1 = p3,r5
p4 = x45,y-2,5
p5 = x45,y-7,5
p6 = x50,y-7,5
c2 = p5,r5
p7 = x60,y-2,5
Р8 = х60,у0 – эта точка на рисунке не показана.
p9 = x-200,y-300 – эта точка на рисунке не показана.
‘ Программа обработки поверхности фигуры
%CUTTER(100)
%FROM(8,0)
m0 = p1
m2 = p1,c1,p2
m1 = p4
m2 = p4,c2,p6
m1=p7
m 1 = p8 – обрезка фигуры
m 99 – конец программы - возвращение платформы в исходную позицию.
Вопросы для самоконтроля по заданию №2
1.По какой из 4-х схем управления реализована схема управления станка с ЧПУ?
2.Что предшествует разработке алгоритма и программ изготовления шахматных
фигур?
3.Что означают перечисленные ниже операторы: %GENER(k), %CUTTER(d),
%FROM(p,z), %THICK(t)?
4.Почему нужны процедуры обработки основания фигуры и предварительной
обработки поверхности фигуры?
5.Объясните текст программы обработки основания фигуры, предварительной
обработки поверхности фигуры и чистовой обработки поверхности фигуры?
163
Список литературы
1. Теория автоматического управления/Под ред. В.Б. Яковлева.- М: Высшая школа,
2009.-568с.
2. Тяжев А.И. Основы теории управления и радиоавтоматика. Учебное пособие для
вузов. – М.: Радио и связь, 1999. – 188с.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. - М.: Наука, 1980. 976 с.
4. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика. Учебник для вузов - М.: Высшая школа, 1990. 336 с.
5. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для вузов. - М.:
Радио и связь, 1986. - 512 с.
6. Тяжев А.И. Выходные устройства приемников с цифровой обработкой сигналов. Самара: Издательство «Самарский университет», 1992. - 276с.
7. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции: формулы, графики, таблицы. - М.:
Наука, 1968. - 344 с.
8. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ. /Под ред. А.М.
Трахтмана. - М.: Сов. радио, 1973. - 368 с.
9. Теория автоматического управления. Часть 1 / Под ред. А.А. Воронова. - М: Высшая
школа, 1987. - 304 с.
10. Теория автоматического управления. Часть 2 / Под ред. А.А. Воронова. - М:
Высшая школа, 1987. - 288 с.
11.Тимофеев П.А., Дубровин В.С., Петровский В.С. Микро ЭВМ в системах
управления оборудованием. - М.: Высшая школа, 1993. - 160 с.
12. Сенигов Н.П. Теория автоматического управления.- Челябинск, ЮУГТУ, 2000. –
93с.
13. Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф. Основы теории автоматического управления.Тамбов, ТГТУ, 2004. - 126 с.
14. Дядик В.Ф., Байдали С.А., Криницын Н.С. Теория автоматического управления.
Учебное пособие. – Томск, НИТПУ, 2011.-198с.
164
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
3 317 Кб
Теги
uchebnik, teoriya, avtomaticheskogo, upravlenie, tyagev
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа