close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Backlighting the Universe: Understanding the Large-Scale Structure Through Cosmic Microwave Background Observations

код для вставкиСкачать
#BDLMJHIUJOH UIF VOJWFSTF 6OEFSTUBOEJOH UIF
MBSHFTDBMF TUSVDUVSF UISPVHI DPTNJD
NJDSPXBWF CBDLHSPVOE PCTFSWBUJPOT
&খখঊগঞ঎ক 4঎ଗঋঊজঝ঒঎গ 4ঌ঑ঊঊগ
ঊ ঍঒জজ঎ছঝঊঝ঒ঘগ
ঙছ঎জ঎গঝ঎঍ ঝঘ ঝ঑঎ এঊঌঞকঝঢ
ঘএ ঙছ঒গঌ঎ঝঘগ ঞগ঒ট঎ছজ঒ঝঢ
঒গ ঌঊগ঍঒঍ঊঌঢ এঘছ ঝ঑঎ ঍঎ঐছ঎঎
ঘএ %ঘঌঝঘছ ঘএ 1঑঒কঘজঘঙ঑ঢ
ছ঎ঌঘখখ঎গ঍঎঍ এঘছ ঊঌঌ঎ঙঝঊগঌ঎
ঋঢ ঝ঑঎ %঎ঙঊছঝখ঎গঝ ঘএ
"জঝছঘঙ঑ঢজ঒ঌঊক 4ঌ঒঎গঌ঎জ
"঍ট঒জ঎ছ 1ছঘএ঎জজঘছ %ঊট঒঍ / 4ঙ঎ছঐ঎ক
4঎ঙঝ঎খঋ঎ছ ProQuest Number: 10617795
All rights reserved
INFORMATION TO ALL USERS
The quality of this reproduction is dependent upon the quality of the copy submitted.
In the unlikely event that the author did not send a complete manuscript
and there are missing pages, these will be noted. Also, if material had to be removed,
a note will indicate the deletion.
ProQuest 10617795
Published by ProQuest LLC (2017 ). Copyright of the Dissertation is held by the Author.
All rights reserved.
This work is protected against unauthorized copying under Title 17, United States Code
Microform Edition © ProQuest LLC.
ProQuest LLC.
789 East Eisenhower Parkway
P.O. Box 1346
Ann Arbor, MI 48106 - 1346
i $ঘঙঢছ঒ঐ঑ঝ ঋঢ &খখঊগঞ঎ক 4঎ଗঋঊজঝ঒঎গ 4ঌ঑ঊঊগ "কক ছ঒ঐ঑ঝজ ছ঎জ঎ছট঎঍
"ঋজঝছঊঌঝ
5IF QSJNBSZ ୯୳VDUVBUJPOT JO UIF DPTNJD NJDSPXBWF CBDLHSPVOE $.#
UIF MFG୴PWFS IFBU
GSPN UIF CJH CBOH IBWF SFWFBMFE JOWBMVBCMF DMVFT BCPVU PVS VOJWFSTF BHF IJTUPSZ HFPNFUSZ
DPNQPTJUJPO
BOE BSF OPX NFBTVSFE BMNPTU UP UIF DPTNJD WBSJBODF MJNJU 8IJMF JNQPSUBOU GVO
EBNFOUBM QIZTJDT RVFTUJPOT SFNBJO UP CF BOTXFSFE GSPN UIF QSJNBSZ $.# BMPOF FH EFUFD
UJPO PG HSBWJUBUJPOBM XBWFT GSPN JO୯୳BUJPO OVNCFS PG SFMBUJWJTUJD TQFDJFT
NBOZ PUIFST SFRVJSF
MPPLJOH CFZPOE UIF QSJNBSZ BOJTPUSPQJFT XIBU JT EBSL FOFSHZ UIJT NZTUFSJPVT DPNQPOFOU SF
TQPOTJCMF GPS UIF BDDFMFSBUFE FYQBOTJPO PG UIF VOJWFSTF 8IBU JT UIF OBUVSF PG UIF EBSL NBUUFS
୮ୢWF UJNFT NPSF BCVOEBOU UIBO PSEJOBSZ NBUUFS 8IBU BSF UIF NBTTFT PG UIF OFVUSJOPT
5IF DMVTUFSJOH QBUUFSO JO UIF TQBUJBM EJTUSJCVUJPO PG HBMBYJFT BDSPTT UIF VOJWFSTF UIF TPDBMMFE
MBSHFTDBMF TUSVDUVSF -44
DPOUBJOT UIF LFZ UP UIFTF GVOEBNFOUBM QIZTJDT RVFTUJPOT BT XFMM BT
NBOZ UJHIUMZ SFMBUFE BTUSPQIZTJDBM RVFTUJPOT XIBU BSF UIF LFZ QSPDFTTFT JO HBMBYZ GPSNBUJPO
)PX EJE UIF VOJWFSTF USBOTJUJPO GSPN OFVUSBM UP JPOJ[FE POF CJMMJPO ZFBST BG୴FS UIF CJH CBOH
)PXFWFS TFWFSBM IVSEMFT IJOEFS FYUSBDUJOH UIJT JOGPSNBUJPO OPOMJOFBS FWPMVUJPO VOEFS HSBW
JUZ JT DPNQMFY UP NPEFM BOE UVSOT JOEFQFOEFOU (BVTTJBO JOJUJBM DPOEJUJPOT JOUP DPVQMFE OPO
(BVTTJBO NPEFT VODFSUBJO BTUSPQIZTJDBM F୭GFDUT PCTDVSF UIF DPOOFDUJPO CFUXFFO WJTJCMF BOE
EBSL NBUUFS BOE BMUFS UIF NBUUFS QPXFS TQFDUSVN PO TNBMMTDBMFT -44 PCTFSWBCMFT BSF PG୴FO
DPNQMFY BOE TZTUFNBUJDTMJNJUFE
*O UIJT UIFTJT * UBDLMF UIFTF JTTVFT BOE FYQMPSF WBSJPVT XBZT PG VTJOH UIF $.# BT B CBDLMJHIU
GPS UIF -44 UP JMMVNJOBUF BTQFDUT PG JUT VODFSUBJO QIZTJDT BOE TZTUFNBUJDT *O UIF DPNJOH ZFBST
FWFS NPSF TFOTJUJWF $.# FYQFSJNFOUT "EW"$5 415( 4JNPOT 0CTFSWBUPSZ $.# 4UBHF XJMM PWFSMBQ XJUI JNBHJOH TVSWFZT %&4 )4$ -445 &VDMJE 8'*345
BOE TQFDUSPTDPQJD TVS
WFZT %&4* 1'4
UIVT HSFBUMZ NBHOJGZJOH UIF QPXFS PG UIF NFUIPET * EFWFMPQFE BOE IFMQJOH
UP BOTXFS TPNF PG UIF NPTU QSFTTJOH BTUSPQIZTJDT BOE GVOEBNFOUBM QIZTJDT RVFTUJPOT
JJJ
*G UIF TUBST XFSF NJOF
*ԙE UFMM ZPV XIBU *ԙE EP
*ԙE QVU UIF TUBST SJHIU JO B KBS BOE HJWF UIFN BMM UP ZPV
.FMPEZ (BSEPU *G UIF TUBST XFSF NJOF
"DLOPXMFEHNFOUT
1঎ছ঑ঊঙজ খঢ ঐছ঎ঊঝ঎জঝ ছ঎ঠঊছ঍ এঘছ এ঒গ঒জ঑঒গঐ ঝ঑঒জ ঝ঑঎জ঒জ JT UIF PQQPSUVOJUZ UP UIBOL
UIF QFPQMF XIP NBEF JU NFBOJOHGVM
$PVOUMFTT UIBOLT HP UP NZ TUFMMBS BEWJTFS %BWJE 4QFSHFM %©MJDBUॶTF CFTU TVNNBSJ[FT IJT
NFOUPSJOH BOE IJT DPOTUBOU BWBJMBCJMJUZ DBSF TVQQPSU BOE PQUJNJTN )JT QIZTJDBM JOUVJUJPO
TDJFOUJ୮ୢD WJTJPO TUSBUFHJD UIJOLJOH BOE JOUFMMFDUVBM TUBNJOB IBWF TFU BO BTZNQUPUJD NPEFM GPS
NF UP QVSTVF * IPQF UP QFSQFUVBUF UIFTF TUBOEBSET JO NZ PXO DBSFFS BOE UP POF EBZ BEWJTF
TPNFPOF UIF XBZ %BWJE BEWJTFE NF
* UIBOL NZ UIFTJT DPNNJUUFF NFNCFST %BWJE 4QFSHFM 4V[BOOF 4UBHHT .JDIBFM 4USBVTT BOE
.BUJBT ;BMEBSSJBHB GPS UIFJS HVJEBODF EVSJOH UIF WBSJPVT DPNNJUUFF NFFUJOHT .Z NBOZ NFO
UPST FBDI XJUI UIFJS PXO QFSTQFDUJWF BOE BU UIFJS PXO TUBHF JO UIFJS DBSFFST IBWF TIBQFE NZ
HSPXUI BT B TDJFOUJTU BOE BT BO BEVMU *U JT B QMFBTVSF UP UIBOL 4JNPOF 'FSSBSP 5PCJBT #BMEBVG
&MJTBCFUI ,SBVTF BOE 5JN &J୯୳FS GPS BMM UIFJS BEWJDF BOE UIFJS GSJFOETIJQ BOE .BTBIJSP 5BLBEB
.BU­BT ;BMEBSSJBHB ,FOESJDL 4NJUI 4IJSMFZ )P +BTPO 3IPEFT BOE 0MJWJFS %PS© GPS UIFJS TVQ
QPSU BOE HVJEBODF * XPVME MJLF UP XBSNMZ UIBOL BMM NZ DPMMBCPSBUPST PWFS UIF ZFBST BU 1SJODF
UPO JO UIF "$51PM DPMMBCPSBUJPO BOE JO 'SBODF 4QFDJBM UIBOLT UP 4JNPOF 'FSSBSP GPS IJT VO
DPOEJUJPOBM GSJFOETIJQ BOE GPS BMM UIF FOMJHIUFOJOH QIZTJDT EJTDVTTJPOT
* UIBOL /JDPMBT -FSPZ 'SBODJT #FSOBSEFBV 4UFWF #BMCVT +JN 4UPOF BOE 'SBODJT #FSOBSEFBV
GPS JOUSPEVDJOH NF UP SFTFBSDI JO 1IZTJDT 4QFDJBM UIBOLT UP 4UFWF #BMCVT BOE +JN 4UPOF GPS
HJWJOH NF UIF PQQPSUVOJUZ UP TUVEZ JO 1SJODFUPO BT B WJTJUJOH TUVEFOU BOE MBUFS BT B 1I% TUV
EFOU * UIBOL UIF QSPGFTTPST JO 1FZUPO )BMM BOE +BEXJO )BMM GPS UIF DMBTTFT BOE UIF EJTDVTTJPOT
UISPVHIPVU NZ 1I% * UIBOL UIF QSPGFTTPST XIP TQBSLFE NZ JOUFSFTU JO DPTNPMPHZ EVSJOH
NZ UJNF BU UIF &DPMF /PSNBMF 4VQ©SJFVSF -VD #MBODIFU $©ESJD %F୭GBZFU /BUIBMJF %FSVFMMF
+©S´NF .BSUJO 1BUSJDL 1FUFS BOE 'SBODJT #FSOBSEFBV * UIBOL UIF QSPGFTTPST BU -PVJTMF(SBOE
XIP OVSUVSFE NZ MPWF GPS QIZTJDT BOE NBUIFNBUJDT . 8IJUNBO . .PVUUPV .NF 7FMBZ
BOE . -PHFBJT . 4BODIF[ .NF #JPMMBZ BOE . 1PNNFMMFU * UIBOL UIF 'SFODI &EVDBUJPO
/BUJPOBMF GPS UIF FYDFMMFOU BOE GSFF FEVDBUJPO JU QSPWJEFE BOE GPS BMMPXJOH NZ TUVEJFT BCSPBE
* UIBOL UIF 6OJUFE 4UBUFT GPS UIF IPTQJUBMJUZ EVSJOH UIF MBTU ୮ୢWF ZFBST BOE GPS UIF JODSFEJCMF SF
TFBSDI FOWJSPONFOU
* UIBOL BMM UIF 1FZUPOJUFT TUVEFOUT QPTUEPDT GBDVMUZ BOE TUB୭G GPS UIF DMBTTFT UIF SFHVMBS BOE
TFSFOEJQJUPVT NFFUJOHT UIF TVQQPSU UIF NBOZ DPOWFSTBUJPOT BOE UIF HFOFSBM BUNPTQIFSF JO
UIF EFQBSUNFOU * UIBOL UIF 'PSCFT $PMMFHF TUB୭G VOEFSHSBEVBUF TUVEFOUT BOE GFMMPX 3(4T GPS
CFJOH NZ GSJFOEMZ IPNF JO 1SJODFUPO
* UIBOL BMM NZ GSJFOET UPP NBOZ UP OBNF IFSF JO 'SBODF JO UIF 64 BOE BSPVOE UIF HMPCF GPS
UIFJS B୭GFDUJPO 1MFBTF GPSHJWF NF GPS OPU OBNJOH ZPV FYQMJDJUMZ * EJE OPU GPSHFU ZPV BOE XJMM
UIBOL ZPV JO QFSTPO * UIBOL -BVSJF %BO +VTUJO BOE -BVSFO GPS CFJOH NZ GBNJMZ JO UIF 64
'JOBMMZ * XPVMEO‫ؠ‬U CF IFSF XJUIPVU UIF MPWF BOE TVQQPSU GSPN NZ QBSFOUT BOE TJTUFS NZ
HSBOEQBSFOUT NZ GBNJMZ BSPVOE UIF XPSME BOE FTQFDJBMMZ .FHBO * BN HSBUFGVM UP UIFN GPS
UIPVHIUGVMOFTT DBSF TVCUMFOFTT TFOTJUJWFOFTT HFOUMFOFTT ୮ୢOFTTF
JW
NVDI NPSF UIBO * DBO TBZ IFSF
W
3FMBUJPO UP QVCMJTIFE XPSL
$঑ঊঙঝ঎ছ JT QVCMJTIFE BT +PJOU MJLFMJIPPE GVODUJPO PG DMॸUFS DPVOUT BOE nQPJOU DPSSFMBUJPO
GVODUJPOT *NQSPWJOH UIFJS QPXFS UISPVHI JODMVEJOH IBMP TBNQMF WBSJBODF JO .POUIMZ /PUJDFT
PG UIF 3PZBM "TUSPOPNJDBM 4PDJFUZ 5IJT XPSL JT BO FYUFOTJPO PG 5BLBEB 4QFSHFM EPOF
JO DPMMBCPSBUJPO XJUI .BTBIJSP 5BLBEB BOE %BWJE 4QFSHFM 'PS UIJT QSPKFDU * EFWFMPQFE BO JN
QSPWFE UIFPSFUJDBM GSBNFXPSL UP DPNQVUF UIF F୭GFDU PG UIF TVQFSTBNQMF WBSJBODF DPOTJTUFOUMZ
XJUIJO UIF IBMP NPEFM * VTFE UIJT GSBNFXPSL UP JEFOUJGZ B OFX DPOUSJCVUJPO UP UIF TVQFSTBN
QMF WBSJBODF PG QPXFS TQFDUSVN BOE UP QSFEJDU UIF TVQFSTBNQMF WBSJBODF PG UIF CJTQFDUSVN BT
XFMM BT UIFJS DPWBSJBODFT XJUI DMVTUFS DPVOUT 5IF TJNVMBUJPOT VTFE BT B DPNQBSJTPO XFSF HFOFS
BUFE JO 4BUP FU BM .BTBIJSP 5BLBEB BOE %BWJE 4QFSHFM QSPWJEFE UIF JEFB GPS UIJT QSPKFDU
BOE HVJEBODF UISPVHIPVU UIF XPSL
* QSFTFOUFE UIJT QSPKFDU JO 1SJODFUPO 6OJWFSTJUZ BU UIF )ZQFS4VQSJNF $BN EJTDVTTJPO JO
BOE HSBWJUZ HSPVQ MVODI JO $঑ঊঙঝ঎ছ JT QVCMJTIFE BT 0O UIF SFBDI PG QFSUVSCBUJWF EॶDSJQUJPOT GPS EBSL NBUUFS EॷQMBDF
NFOU ‫׹‬FMET JO UIF +PVSOBM PG $PTNPMPHZ BOE "TUSPQBSUJDMF 1IZTJDT 5IJT XPSL XBT QFSGPSNFE
JO DPMMBCPSBUJPO XJUI 5PCJBT #BMEBVG BOE .BUJBT ;BMEBSSJBHB BT BO FYUFOTJPO PG 1PSUP 4FOBUPSF
;BMEBSSJBHB 5PCJBT #BMEBVG BOE * DPOUSJCVUFE FRVBMMZ UP UIF UIFPSFUJDBM DBMDVMBUJPO GPS UIF
QFSUVSCBUJPO UIFPSZ QPXFS TQFDUSB BOE EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME 8F DPNQBSFE UIF UIFPSFUJDBM DBMDVMB
UJPOT UP /CPEZ TJNVMBUJPOT HFOFSBUFE CZ 5PCJBT #BMEBVG .BUJBT ;BMEBSSJBHB QSPWJEFE UIF JEFB
GPS UIJT QSPKFDU BT XFMM BT HVJEBODF UISPVHIPVU UIF XPSL
* QSFTFOUFE UIJT QSPKFDU BU &'5 XPSLTIPQ JO 1SJODFUPO JO $঑ঊঙঝ঎ছ JT QVCMJTIFE BT &WJEFODF GPS UIF LJOFNBUJD 4VOZBFW;FMԙEPWJDI F‫׸‬FDU XJUI "$51PM
BOE WFMPDJUZ SFDPOTUSVDUJPO GSPN #044 JO 1IZTJDBM 3FWJFX % 5IJT XPSL XBT DPMFE CZ 4JNPOF
'FSSBSP BOE NF BOE EPOF JO DPMMBCPSBUJPO XJUI .BSJBOB 7BSHBT.BHB±B ,FOESJDL . 4NJUI
4IJSMFZ )P %BWJE 4QFSHFM BOE UIF "$51PM DPMMBCPSBUJPO 4JNPOF BOE * DPOUSJCVUFE UP UIF
UIFPSZ DBMDVMBUJPOT BOE EF୮ୢOJOH UIF FTUJNBUPST * XSPUF UIF DPEF UP DPNCJOF UFNQFSBUVSF NBQT
BOE WFMPDJUZ SFDPOTUSVDUJPO EBUB BOE EFUFDU UIF L4; F୭GFDU .BSJBOB 7BSHBT.BHB±B ,FOESJDL
. 4NJUI BOE 4IJSMFZ )P QSPWJEFE UIF WFMPDJUZ SFDPOTUSVDUJPO EBUB GPS UIF #044 HBMBYJFT 5IF
"$51PM DPMMBCPSBUJPO QSPWJEFE UIF UFNQFSBUVSF NBQT UIBU XF VTFE JO UIF BOBMZTJT 4JNPOF
'FSSBSP BOE %BWJE 4QFSHFM QSPWJEFE UIF JEFB GPS UIJT QSPKFDU %BWJE 4QFSHFM QSPWJEFE HVJEBODF
BOE FWFSZPOF JO UIF DPMMBCPSBUJPO QSPWJEFE GFFECBDL UISPVHIPVU UIF XPSL
* TIPXFE B QPTUFS BCPVU UIJT QSPKFDU BU UIF 1MBODL DPOGFSFODF JO 1BSJT JO BU UIF 'JSTU
MJHIU DPOGFSFODF JO 1BSJT JO BOE BU UIF MBSHFTDBMF TUSVDUVSF DPOGFSFODF BU .1" JO (BSDI
JOH JO * QSFTFOUFE UIF QSPKFDU JO UBMLT BU UIF 1SJODFUPO )ZQFS4VQSJNF $BN EJTDVTTJPO
UIF 1SJODFUPO HSBWJUZ HSPVQ MVODI UIF 3VUHFST1SJODFUPO +BNCPSFF UIF DPTNJD ୯୳PXT DPOGFS
FODF BU 1FSJNFUFS *OTUJUVUF BOE BU UIF $BOBEJBO *OTUJUVUF GPS 5IFPSFUJDBM "TUSPQIZTJDT JO * QSFTFOUFE JU BU UIF 1SJODFUPO DPTNPMPHZ MVODI BU UIF 6OJWFSTJUZ PG $BMJGPSOJB BU #FSLFMFZ
WJ
BU UIF 1IZTJDT %FQBSUNFOU BOE *5$ BU )BSWBSE 6OJWFSTJUZ BU 6OJWFSTJUZ PG 1FOOTZMWBOJB BU
$BSOFHJF .FMMPO 6OJWFSTJUZ BU "SHPOOF /BUJPOBM -BCPSBUPSZ BU UIF ,BWMJ *OTUJUVUF GPS $PTNP
MPHJDBM 1IZTJDT BU UIF 6OJWFSTJUZ PG $IJDBHP BOE BU UIF ,BWMJ *JOTUJUVUF GPS 1BSUJDMF "TUSPQIZTJDT
BOE $PTNPMPHZ BU 4UBOGPSE 6OJWFSTJUZ JO $঑ঊঙঝ঎ছ JT QVCMJTIFE BT 'JSTU %FUFDUJPO PG $PTNJD .JDSPXBWF #BDLHSPVOE -FOTJOH BOE
-ZNBOα 'PSॶU #ॷQFDUSVN JO 1IZTJDBM 3FWJFX % 5IJT QSPKFDU XBT MFE CZ $ZSJMMF %PVY BOE
NF ,IFF(BO -FF QSPWJEFE UIF SFEVDFE -ZNBOα TQFDUSB GSPN #044 $ZSJMMF %PVY XSPUF UIF
DPEF VTFE UP NFBTVSF UIF -ZNBOα QPXFS TQFDUSB XJUI UIF $.# MFOTJOH NBQT GSPN 1MBODL
* QSPWJEFE UIF UIFPSFUJDBM DBMDVMBUJPO GPS UIF FYQFDUFE TJHOBM BOE FYQFDUFE GPSFHSPVOET BOE
QSPQPTFE UIF TUBUJTUJDBM FTUJNBUPS BOE XFJHIUT GPS UIF EFUFDUJPO +VMJFO 5S©HVFS QFSGPSNFE B
QSFMJNJOBSZ BOBMZTJT UIBU TIPXFE QPUFOUJBM UIVT NPUJWBUJOH UIJT QSPKFDU
* QSFTFOUFE UIJT XPSL BU -BXSFODF #FSLFMFZ /BUJPOBM -BCPSBUPSZ JO BOE BU UIF "NFSJDBO
1IZTJDBM 4PDJFUZ "QSJM NFFUJOH JO $঑ঊঙঝ঎ছ JT QVCMJTIFE BT -PPLJOH UISPVHI UIF TBNF MFOT TIFBS DBMJCSBUJPO GPS -445 &VDMJE
8'*345 XJUI TUBHF $.# MFOTJOH JO 1IZTJDBM 3FWJFX % 5IJT XPSL XBT EPOF JO DPMMBCP
SBUJPO XJUI &MJTBCFUI ,SBVTF 5JN &J୯୳FS 0MJWJFS %PS© )JSPOBP .JZBUBLF +BTPO 3IPEFT BOE
%BWJE 4QFSHFM &MJTBCFUI ,SBVTF BOE 5JN &J୯୳FS DSFBUFE UIF DPEF $PTNP-JLF UIBU FOBCMFE UIF
GPSFDBTU * FYUFOEFE UIF DPEF UP JODMVEF BMM UIF BVUP BOE DSPTTDPSSFMBUJPOT JOWPMWJOH $.# MFOT
JOH BOE QSPEVDFE UIF SFTVMUJOH GPSFDBTU 0MJWJFS %PS© )JSPOBP .JZBUBLF +BTPO 3IPEFT BOE
%BWJE 4QFSHFM QSPWJEFE HVJEBODF UISPVHIPVU UIJT XPSL
* QSFTFOUFE UIJT XPSL JO BU UIF MFOTJOH DPOGFSFODF JO -FJEFO 6OJWFSTJUZ BU UIF %BSL &O
FSHZ 4DJFODF $PMMBCPSBUJPO NFFUJOH JO 0YGPSE 6OJWFSTJUZ BU UIF $.# 4UBHF BOE 'VUVSF DPT
NJD TVSWFZT NFFUJOH BU UIF 6OJWFSTJUZ PG $BMJGPSOJB BU #FSLFMFZ BU 1FSJNFUFS *OTUJUVUF BU UIF
$BOBEJBO *OTUJUVUF GPS 5IFPSFUJDBM "TUSPQIZTJDT BU UIF 1IZTJDT %FQBSUNFOU BOE *5$ BU )BS
WBSE 6OJWFSTJUZ BU UIF 6OJWFSTJUZ PG 1FOOTZMWBOJB BU $BSOFHJF .FMMPO 6OJWFSTJUZ BU "SHPOOF
/BUJPOBM -BCPSBUPSZ BU UIF ,BWMJ *OTUJUVUF GPS $PTNPMPHJDBM 1IZTJDT BOE BU UIF ,BWMJ *OTUJUVUF
GPS 1BSUJDMF "TUSPQIZTJDT BOE $PTNPMPHZ BU 4UBOGPSE 6OJWFSTJUZ
WJJ
$POUFOUT
"CTUSBDU "DLOPXMFEHNFOUT 3FMBUJPO UP QVCMJTIFE XPSL
-JTU PG ୮ୢHVSFT -JTU PG UBCMFT JJJ
JW
WJJ
JY
Y
*গঝছঘ঍ঞঌঝ঒ঘগ
3FGFSFODFT &ডঝছঊঌঝ঒গঐ ঒গএঘছখঊঝ঒ঘগ এছঘখ ঊ গঘগ(ঊঞজজ঒ঊগ এ঒঎ক঍ জঞঙ঎ছজঊখঙক঎ টঊছ঒ঊগঌ঎ "CTUSBDU *OUSPEVDUJPO .FUIPE )BMP OVNCFS DPVOUT BOE nQPJOU GVODUJPOT PG UIF NBUUFS PWFSEFOTJUZ JO E "QQMJDBUJPO UP MFOTJOH DPOWFSHFODF BOE DMVTUFST OVNCFS DPVOUT +PJOU MJLFMJIPPE GPS QPXFS TQFDUSVN CJTQFDUSVN BOE DMVTUFS DPVOUT BOE 'JTIFS GPSF
DBTU $PODMVTJPO "QQFOEJY .BUUFS N QPJOU GVODUJPOT FYQFDUBUJPO WBMVFT BOE DPWBSJBODFT 3FGFSFODFT 1ছ঎঍঒ঌঝ঒গঐ ঝ঑঎ গঘগক঒গ঎ঊছ ঎টঘকঞঝ঒ঘগ ঞগ঍঎ছ ঐছঊট঒ঝঢ 0গ ঝ঑঎ ছ঎ঊঌ঑ ঘএ ঙ঎ছ
ঝঞছঋঊঝ঒ট঎ ঍঎জঌছ঒ঙঝ঒ঘগজ এঘছ ঍ঊছঔ খঊঝঝ঎ছ ঍঒জঙকঊঌ঎খ঎গঝ এ঒঎ক঍জ
"CTUSBDU *OUSPEVDUJPO 3FWJFX PG -15 BOE &'5 UPXBSET B XFMMEF୮ୢOFE QFSUVSCBUJPO UIFPSZ 5FTUJOH -15 BOE &'5 BU UIF ୮ୢFME MFWFM NPWJOH CFZPOE DPTNJD WBSJBODF 5SBOTGFS GVODUJPOT BOE ‫؟‬U-15‫ ؠ‬
5IF TUPDIBTUJD UFSN $PODMVTJPOT "QQFOEJY /VNFSJDBM UFTUT "QQFOEJY 1FSUVSCBUJWF %JTQMBDFNFOU 'JFMET "QQFOEJY $PTNJD WBSJBODF "QQFOEJY 5SBOTJFOUT 4PMVUJPO XJUI 4PVSDF 5FSNT 3FGFSFODFT -ঘঌঊক঒ণ঒গঐ ঝ঑঎ ঋঊছঢঘগজ ঘগ ঑ঊকঘ জঌঊক঎জ ঠ঒ঝ঑ ঝ঑঎ ঔ4; ঎এএ঎ঌঝ
"CTUSBDU *OUSPEVDUJPO (BMBYZ TBNQMF WJJJ
7FMPDJUZ SFDPOTUSVDUJPO .JDSPXBWF UFNQFSBUVSF NBQT
"OBMZTJT /VMM UFTUT BOE TZTUFNBUJDT *OUFSQSFUBUJPO 0VUMPPL 3FGFSFODFT '঒ছজঝ %঎ঝ঎ঌঝ঒ঘগ ঘএ $ঘজখ঒ঌ .঒ঌছঘঠঊট঎ #ঊঌঔঐছঘঞগ঍ -঎গজ঒গঐ ঊগ঍ -ঢখঊগα 'ঘছ঎জঝ
#঒জঙ঎ঌঝছঞখ
"CTUSBDU *OUSPEVDUJPO 5IFPSZ -ZNBOα GPSFTU QPXFS TQFDUSVN $.# MFOTJOH 3FTVMUT JOUFSQSFUBUJPO /VMM UFTUT %JTDVTTJPO 3FGFSFODFT -ঘঘঔ঒গঐ ঝ঑ছঘঞঐ঑ ঝ঑঎ জঊখ঎ ক঎গজ জ঑঎ঊছ ঌঊক঒ঋছঊঝ঒ঘগ এঘছ -445 &ঞঌক঒঍ 8'*345
ঠ঒ঝ঑ জঝঊঐ঎ $.# ক঎গজ঒গঐ
BCTUSBDU *OUSPEVDUJPO 4JNVMBUFE KPJOU BOBMZTJT PG -445 $.# 4 NFUIPE 4IFBS DBMJCSBUJPO GPS -445 SFRVJSFNFOUT TFMGDBMJCSBUJPO XJUI BOE XJUIPVU $.#
4 MFOTJOH *NQBDU PG $.# 4 EFTJHO BOE MFOTJOH TZTUFNBUJDT BQQMJDBUJPO UP TQBDFCBTFE MFOT
JOH TVSWFZT $PODMVTJPO "QQFOEJY $PTNPMPHJDBM QBSBNFUFS EFQFOEFODF "QQFOEJY $POWFSHFODF PG UIF .$.$ DIBJOT WBMJEBUJPO PG UIF 'JTIFS BQQSPYJNB
UJPO 3FGFSFODFT $ঘগঌকঞজ঒ঘগ
JY
-JTUJOH PG UBCMFT
-JTU PG DPOUSJCVUJPOT UP UIF -15 QPXFS TQFDUSVN BU USFF PSEFS BOE WBSJPVT MPPQ PS
EFST 5IF DPMVNOT DPMMFDU UIF UFSNT UIBU BSF F୭GFDUJWFMZ JODMVEFE CZ UIF USBOTGFS GVOD
UJPO a1 a2 a3 a4 BOE a5 SFTQFDUJWFMZ
'PS FYBNQMF UIJT TIPXT UIBU U-15 DPO
UBJOT BMM PG UIF MPPQ UFSNT JODMVEJOH P15 BOE P24 FWFO UIPVHI φ4 BOE φ5 BSF OPU
DPNQVUFE FYQMJDJUMZ JO φ3U-15 3FTVMUT PG UIF OVMM UFTUT TFFLJOH GPS DPSSFMBUJPO CFUXFFO UIF MFOTJOH TJHOBM BOE JO
USJOTJD RVBTBST QSPQFSUJFT 8F WBSZ QBSBNFUFST JO UIF TJNVMBUFE MJLFMJIPPE BOBMZTJT JODMVEJOH DPTNPMPH
JDBM QBSBNFUFST HBMBYZ CJBTFT QIPUP[ QBSBNFUFST BOE TIFBS CJBTFT 'PS FBDI
QBSBNFUFS UIF ୮ୢEVDJBM WBMVF JT TIPXO BT XFMM BT UIF QSJPS FJUIFS ୯୳BU NJO NBY
PS
(BVTTJBO μ σ
1SJPST GPS UIF OVJTBODF QBSBNFUFST GPMMPX 5IF ୮ୢEVDJBM WBMVFT
GPS UIF DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST GPMMPX *OEJWJEVBM BOE DPNCJOFE TJHOBMUPOPJTF SBUJPT 4/3
HJWJOH JOTJHIU PO UIF TUBUJT
UJDBM XFJHIU PG FBDI QSPCF JODMVEFE JO UIF KPJOU BOBMZTJT 5IFTF JODMVEF (BVTTJBO BOE
OPO(BVTTJBO DPTNJD WBSJBODF "MM QSPCFT XJMM CF NFBTVSFE BU IJHI TJHOJ୮ୢDBODF XJUI
-445 BOE $.# 4 5IF 4/3 JO DPTNJD TIFBS JT IJHIFS UIBO JO HBMBYZHBMBYZ MFOT
JOH BOE DMVTUFSJOH XIJDI JT EVF UP PVS WFSZ DPOTFSWBUJWF DIPJDF PG USBDFS TBNQMF $.#
MFOTJOH GSPN $.# 4 BEET B TNBMM DPOUSJCVUJPO UP UIF UPUBM TUBUJTUJDBM TJHOJ୮ୢDBODF
CVU XJMM CF JNQPSUBOU JO CSFBLJOH EFHFOFSBDJFT BOE DBMJCSBUJOH UIF TIFBS NVMUJQMJDB
UJWF CJBT 5IF 4/3 HJWFT BO JEFB PG UIF SFMBUJWF TUBUJTUJDBM XFJHIU PG UIF WBSJPVT PC
TFSWBCMFT )PXFWFS JU EPFTO‫ؠ‬U UBLF JOUP BDDPVOU UIF QSFTFODF PG OVJTBODF QBSBNF
UFST BOE UIFJS QSJPST "T XF TIPX MBUFS $.# MFOTJOH GSPN 4 CBTJDBMMZ SFQMBDFT B QSJPS
PO UIF TIFBS NVMUJQMJDBUJWF CJBTFT Y
0
*OUSPEVDUJPO
'ছঘখ ঌঘজখঘঐঘগঢ ঝঘ ঌঘজখঘকঘঐঢ ঝ঑঎ ঞগ঒ট঎ছজ঎ ঊজ ঊ ঙ঑ঢজ঒ঌঊক কঊঋঘছঊঝঘছঢ
$PTNPMPHZ GSPN UIF (SFFL LPTNPT ‫آ‬PSEFS PS XPSME‫ أ‬BOE MPHJB ‫آ‬TUVEZ Pૄ‫ أ‬JT UIF TUVEZ PG UIF
OBUVSF FWPMVUJPO BOE FWFOUVBM GBUF PG UIF VOJWFSTF 1IZTJDBM DPTNPMPHZ JT UIF TDJFODF UIBU BU
UFNQUT UP FYQMBJO BMM PCTFSWBUJPOT SFMFWBOU UP UIF EFWFMPQNFOU BOE DIBSBDUFSJTUJDT PG UIF VOJ
WFSTF BT B XIPMF JODMVEJOH JUT DPNQPTJUJPO JUT MBSHFTDBMF TUSVDUVSF BOE EZOBNJDT BT XFMM BT UIF
QIZTJDBM MBXT UIBU HPWFSO UIFTF SFBMJUJFT * EJTUJOHVJTI QIZTJDBM DPTNPMPHZ GSPN DPTNPHPOZ PS
DPTNPHFOZ GSPN UIF (SFFL LPTNPT BOE HPOJB ‫آ‬CFHFUUJOH‫ أ‬XIJDI JT DPODFSOFE XJUI UIF PSJHJO
PG UIF VOJWFSTF BOE NPSF NFUBQIZTJDBM RVFTUJPOT BCPVU XIZ JU CFIBWFT JO UIF XBZ JU EPFT 5IJT
)LJXUH )URP PHWDSK\VLFDO FRVPRJRQ\ WR SK\VLFDO FRVPRORJ\ HPSLULFDO GDWD UHSODFHV DHVWKHWLF SKLORVRSKLFDO DQG UHOLJLRXV
SULQFLSOHV
/HIW 8SSHU IUDJPHQW RI D 1HR$VV\ULDQ FOD\ WDEOHW SDUW RI WKH FUHDWLRQ OHJHQG (QXPD (OLVK GDWHG WK FHQWXU\ %&( 0DUGXN
JRG RI %DE\ORQ UHFHLYHV FRVPLF SRZHUV IURP WKH DVVHPEO\ RI JRGV DQG FUHDWHV WKH XQLYHUVH )URP WKH /LEUDU\ RI $VKXUEDQL
SDO DW 1LQHYHK 0RVXO ,UDT 3KRWRJUDSK IURP WKH %ULWLVK 0XVHXP &HQWHU 0DS RI WKH FRVPLF PLFURZDYH EDFNJURXQG IURP WKH :LONLQVRQ $QLVRWURS\ 0LFURZDYH $QLVRWURS\ 3UREH :0$3 WK
\HDU GDWD UHOHDVH &UHGLW 1$6$ :0$3 6FLHQFH 7HDP 5LJKW 0DLQ JDOD[\ UHGVKLIW VDPSOH IURP WKH 6ORDQ 'LJLWDO 6N\ 6XUYH\ 6'66 GDWD UHOHDVH EJTUJODUJPO JT BENJUUFEMZ BNCJHVPVT BOE TPNFXIBU BSCJUSBSZ XIJDI (FSBME +BNFT 8IJUSPX FY
QMBJOT BT GPMMPXT ‫<آ‬QIZTJDBM> DPTNPMPHZ JT QFDVMJBS BNPOH UIF TDJFODFT GPS JU JT CPUI UIF PMEFTU
BOE UIF ZPVOHFTU 'SPN UIF EBXO PG DJWJMJ[BUJPO NBO IBT TQFDVMBUFE BCPVU UIF OBUVSF PG UIF
TUBSSZ IFBWFOT BOE UIF PSJHJO PG UIF XPSME CVU POMZ JO UIF <UXFOUJFUI> DFOUVSZ IBT QIZTJDBM DPT
NPMPHZ TQMJU BXBZ GSPN HFOFSBM QIJMPTPQIZ UP CFDPNF BO JOEFQFOEFOU EJTDJQMJOF‫* أ‬OEFFE
UIF EJTUJODUJPO CFUXFFO NFUBQIZTJDBM BOE TDJFOUJ୮ୢD RVFTUJPOT JT B UJNFEFQFOEFOU TUBUFNFOU
BT OPWFM PCTFSWBUJPOT BOE FYQFSJNFOUT CFDPNF BWBJMBCMF NPSF BOE NPSF RVFTUJPOT CFDPNF
FNQJSJDBMMZ UFTUBCMF BOE UIFSFGPSF TDJFOUJ୮ୢD TFF 'JH "DDPSEJOH UP 3PCFSU . 8PPE ‫آ‬UIF
EJ୭GFSFODF CFUXFFO QIZTJDT BOE NFUBQIZTJDT <> JT OPU UIBU UIF QSBDUJUJPOFST PG POF BSF TNBSUFS
UIBO UIF QSBDUJUJPOFST PG UIF PUIFS 5IF EJ୭GFSFODF JT UIBU UIF NFUBQIZTJDJTU IBT OP MBCPSBUPSZ‫ أ‬
8IBU JT UIF DPTNPMPHJTU‫ؠ‬T MBCPSBUPSZ UIFO )PX DBO POF TFF UIF VOJWFSTF‫ؠ‬T QBTU "T %BWJE
4QFSHFM QVUT JU ‫آ‬DPTNPMPHZ JT B IJTUPSJDBM TDJFODF #FDBVTF MJHIU USBWFMT BU B ୮ୢOJUF TQFFE XIFO
XF MPPL PVU JO TQBDF XF MPPL CBDL JO UJNF‫* أ‬OEFFE QFSIBQT DPOUSBSZ UP UIF FWFSZEBZ MJGF JO
UVJUJPO B QIPUPHSBQI EPFT OPU DBQUVSF PCKFDUT UIF XBZ UIFZ BSF BU UIF UJNF JU JT UBLFO *OTUFBE
BOZ PCKFDU PO B QIPUPHSBQI BQQFBST UIF XBZ JU XBT BU B TQFDJ୮ୢD UJNF JO UIF QBTU EFQFOEJOH PO
" ঋছ঒঎এ ঒গঌঘখঙক঎ঝ঎ ঊগ঍ ঋ঒ঊজ঎঍ ঝ঒খ঎ক঒গ঎ ঘএ ঙ঑ঢজ঒ঌঊক ঌঘজখঘকঘঐঢ
3FWJFXJOH UIF IJTUPSZ PG NPEFSO DPTNPMPHZ XPVME HP CFZPOE CPUI NZ TLJMMT BOE UIF TDPQF
PG UIJT JOUSPEVDUJPO .BOZ RVBMJUZ SFWJFXT FYJTU PO UIJT UPQJD FH BOE SFGFSFODFT UIFSFJO
5IF PWFSMZ TJNQMJTUJD UJNFMJOF UIBU GPMMPXT EF୮ୢOJUFMZ MFBWFT CFIJOE NBOZ NBKPS DPOUSJCVUJPOT
BOE UIFJS BVUIPST BOE TIPVME DFSUBJOMZ OPU CF UIPVHIU PG BT B DPNQSFIFOTJWF IJTUPSZ .Z POMZ
JOUFOU IFSF JT UP IJHIMJHIU B GFX LFZ NJMFTUPOFT UP UIF OPOFYQFSU SFBEFS UP TIPX UIBU QIZTJDBM
DPTNPMPHZ JT JOEFFE B ZPVOH TDJFODF UP DPOWFZ UIF QBDF BU XIJDI NBOZ PG UIF EJTDPWFSJFT IBWF
PDDVSSFE BOE UP EFQJDU UIF DPOUFYU JO XIJDI UIF QSFTFOU UIFTJT XBT QSPEVDFE
4UBSUJOH JO UIF FBSMZ &JOTUFJO 'SJFENBOO 3PCFSUTPO -FNB®USF CVJME UIF GPVOEBUJPOT
PG UIF HFOFSBM SFMBUJWJTUJD EFTDSJQUJPO PG UIF VOJWFSTF‫ؠ‬T HFPNFUSZ CBTFE PO QVSF UIPVHIU 0OMZ
MBUFS EP 4MJQIFS 8JSU[ )VCCMF )VNBTPO TIPX UIBU TPNF OFCVMBF BSF BDUVBMMZ UIFJS PXO JT
MBOE VOJWFSTFT FYUFSOBM UP PVS PXO HBMBYZ BOE EJTDPWFS UIF VOJWFSTF‫ؠ‬T FYQBOTJPO
(BNPX "MQIFS BOE )FSNBO QSPQPTF UIBU BO JOJUJBMMZ IPU VOJWFSTF XPVME FOBCMF UIF QSP
EVDUJPO PG UIF PCTFSWFE BNPVOU PG IFMJVN JO UIF VOJWFSTF B QSPDFTT OPX LOPXO BT CJH CBOH
OVDMFPTZOUIFTJT
5IF CJH CBOH UIFPSZ JT PQQPTFE CZ TUFBEZ TUBUF UIFPSJFT DIBNQJPOFE CZ
#POEJ )PZMF (PME XIFSF UIF JOJUJBM TJOHVMBSJUZ JT BWPJEFE CZ JNQPTJOH B TQFDJ୮ୢD SBUF PG NBUUFS
QSPEVDUJPO " DPOTFRVFODF PG (BNPX‫ؠ‬T IPU CJH CBOH IZQPUIFTJT JT UIF QSFTFODF PG B MFG୴PWFS
TFB PG SBEJBUJPO PG XIJDI 4NJSOPW QSFEJDUT UIF FYQFDUFE UFNQFSBUVSF *O POMZ ZFBST
BHP UIJT DPTNJD NJDSPXBWF CBDLHSPVOE $.#
JT PCTFSWFE CZ 1FO[JBT BOE 8JMTPO BOE DPS
SFDUMZ JOUFSQSFUFE BU UIF TBNF UJNF CZ %JDLF 1FFCMFT 3PMM 8JMLJOTPO BT XFMM BT %PSPTILFWJDI
/PWJLPW BOE ;FM‫ؠ‬EPWJDI 5IJT EJTDPWFSZ JT B NJMFTUPOF GPS UIF IPU CJH CBOH IZQPUIFTJT BOE UIF
BTTPDJBUFE OVDMFPTZOUIFTJT SVMJOH PVU UIF TUFBEZ TUBUF NPEFMT 5IJT EJTDPWFSZ JT BSHVBCMZ UIF
CJSUI PG QIZTJDBM DPTNPMPHZ
*O 4BDIT BOE 8PMGF QSFEJDU UIBU UIF EFOTJUZ ୯୳VDUVBUJPOT UIBU QSPEVDF UIF HBMBY
JFT XF TFF UPEBZ NVTU CF WJTJCMF BT TNBMM ୯୳VDUVBUJPOT JO UIF $.# "U UIF TBNF UJNF .JDIJF
BOE 4JML QSFEJDU B EBNQJOH PG UIF TNBMMTDBMF ୯୳VDUVBUJPOT EVF UP QIPUPO EJ୭GVTJPO BOE 1FF
CMFT BOE :V EFTDSJCF UIF OPOJOTUBOUBOFPVT SFDPNCJOBUJPO PG UIF QSJNFWBM QMBTNB BT XFMM BT
UIF DPTNJD USBOTGFS GVODUJPO *O 4VOZBFW BOE ;FM‫ؠ‬EPWJDI QSFEJDU UIF EJTUPSUJPOT JO UIF
CMBDLCPEZ TQFDUSVN PG UIF $.# EVF UP TDBUUFSJOH BOE FOFSHZ JOKFDUJPO BU WBSJPVT NPNFOU
PG UIF VOJWFSTF‫ؠ‬T IJTUPSZ 5IFPSFUJDBM QSPHSFTT DPOUJOVFT MJOLJOH UIF FWPMVUJPO PG EFOTJUZ QFS
UVSCBUJPOT JO UIF FBSMZ VOJWFSTF UP UIF GPSNBUJPO PG HBMBYJFT *O ;FM‫ؠ‬EPWJDI QSPQPTFT UIF
‫آ‬QBODBLF NPEFM‫ أ‬GPS UIF HSBWJUBUJPOBM DPMMBQTF BOE UIF GPSNBUJPO PG UIF MBSHFTDBMF TUSVDUVSF *O
1SFTT BOE 4DIFDIUFS QSFEJDU UIF NBTT EJTUSJCVUJPO GVODUJPO PG UIF HSBWJUBUJPOBMMZ CPVOE
DPMMBQTFE PCKFDUT UIVT GPSNFE IBMPT
*O 4JML 3FFT 8IJUF BOE 0TUSJLFS TUVEZ UIF
HSBWJUBUJPOBM DPMMBQTF BOE UIFSNBM QSPDFTTFT MFBEJOH UP UIF GPSNBUJPO PG HBMBYJFT JOTJEF EBSL
NBUUFS IBMPT #FUXFFO BOE 5PUTVKJ ,JIBSB 1FFCMFT )BVTFS (SPUI BOE 'SZ NFBTVSF
UIF DMVTUFSJOH PG UIF HBMBYJFT JO UIF GPSN PG UIF BOE QPJOU DPSSFMBUJPO GVODUJPOT
5IF TVSQSJTJOH PCTFSWFE VOJGPSNJUZ PG UIF $.# BOE ୯୳BUOFTT PG TQBDF BQQFBS BT QV[[MFT *O
BOE (VUI "MCSFDIU 4UFJOIBSEU -JOEF )BXLJOH .VLIBOPW 4UBSPCJOTLZ 4BUP BOE
1J QSPQPTF B QFSJPE PG FYUSFNFMZ SBQJE BDDFMFSBUFE FYQBOTJPO MBTUJOH B NJOVTDVMF GSBDUJPO PG
UIF VOJWFSTF‫ؠ‬T ୮ୢSTU TFDPOE DPTNJD JO୯୳BUJPO
EFTJHOFE UP FYQMBJO UIFTF QSPCMFNT $PTNJD JO୯୳B
UJPO JT UIFO GPVOE UP QSPEVDF ‫آ‬GPS GSFF‫ أ‬TVQFSIPSJ[PO BEJBCBUJD EFOTJUZ ୯୳VDUVBUJPOT XJUI BO
BMNPTUTDBMFJOWBSJBOU QPXFS TQFDUSVN
0CTFSWBUJPOT PG UIF $.# DPOUJOVF XJUI UIF EFUFDUJPO PG BOJTPUSPQJFT JO UIF $.# UFNQFS
BUVSF $0#& %.3 BOE QPMBSJ[BUJPO CZ %"4* .BOZ FYQFSJNFOUT JODMVEJOH
50$0 #PPNFSBOH .BYJNB "SDIFPQT DPOUSJCVUF UP EFUFDUJOH UIF ୮ୢSTU BDPVTUJD QFBL
JO UIF $.# QPXFS TQFDUSVN BOE UIF 8."1 TBUFMMJUF QSPEVDFT UIF ୮ୢSTU IJHI 4/3 NBQ PG UIF
$.# PWFS UIF GVMM TLZ NFBTVSJOH UIF UISFF ୮ୢSTU BDPVTUJD QFBLT .BOZ GPMMPXJOH FYQFSJNFOUT
JODMVEJOH "$#"3 "$5 BOE 415 FYQBOE UIF QPXFS TQFDUSVN NFBTVSFNFOU UP TNBMMFS
TDBMFT 5IF 1MBODL TBUFMMJUF NFBTVSFT $.# UFNQFSBUVSF BOE QPMBSJ[BUJPO BMNPTU EPXO UP UIF
DPTNJD WBSJBODF PO TDBMFT MBSHFS UIBO B GFX BSDNJOVUFT
*O QBSBMMFM UIF HSBWJUBUJPOBM MFOTJOH PG HBMBYZ JNBHFT CZ UIF MBSHFTDBMF TUSVDUVSF PG UIF VOJ
WFSTF DPTNJD TIFBS
JT EFUFDUFE JO 5IF CBSZPOJD BDPVTUJD PTDJMMBUJPOT TFFO JO UIF
$.# BSF DPOTJTUFOUMZ TFFO JO UIF HBMBYZ DMVTUFSJOH JO "MM JO BMM UIF TVDDFTTGVM ΛCDM NPEFM TQBUJBMMZ ୯୳BU VOJWFSTF XJUI B DPTNPMPHJDBM DPOTUBOU
BOE EBSL NBUUFS
CFDPNFT UIF DVSSFOU TUBOEBSE NPEFM PG DPTNPMPHZ DPOTJTUFOU XJUI B SFNBSL
BCMZ XJEF TFU PG PCTFSWBCMFT GSPN CJH CBOH OVDMFPTZOUIFTJT UIF $.# HBMBYZ DMVTUFSJOH BOE
CBSZPOJD BDPVTUJD PTDJMMBUJPOT HBMBYZ BOE $.# MFOTJOH UIF MZNBOα GPSFTU DMVTUFS OVNCFS
DPVOUT BOE NBOZ NPSF
5঑঎ ঎ছঊ ঘএ ঙছ঎ঌ঒জ঒ঘগ ঌঘজখঘকঘঐঢ ‫ "آ‬জ঎ঊছঌ঑ এঘছ ঝঠঘ গঞখঋ঎ছজ‫أ‬
5IF PWFSXIFMNJOH TVDDFTT PG UIF ΛCDM NPEFM JO QSFEJDUJOH NBOZ JOEFQFOEFOU QIZTJDBM
QSPDFTTFT JO UIF IJTUPSZ PG UIF VOJWFSTF NBZ TVHHFTU UIBU QIZTJDBM DPTNPMPHZ JT B TPMWFE QSPC
MFN 4BOEBHF TVNNBSJ[FT DPTNPMPHZ BT TJNQMZ ‫آ‬B TFBSDI GPS UXP OVNCFST‫ أ‬UIF )VCCMF
BOE EFDFMFSBUJPO QBSBNFUFST EFTDSJCJOH UIF FYQBOTJPO PG UIF VOJWFSTF
BOE 4JML DPODMVEFT UIBU
‫آ‬OPXBEBZT DPTNPMPHZ TFFNT SBUIFS VOFYDJUJOH‫ أ‬.BOZ MJLF UP UBML PG UIF DVSSFOU FSB BT UIBU
PG QSFDJTJPO DPTNPMPHZ TVHHFTUJOH UIBU UIF DVSSFOU HPBM PG QIZTJDBM DPTNPMPHZ JT TJNQMZ UP BEE
)PXFWFS UIJSUZ ZFBST MBUFS 4BOEBHF BQQFBST UP IBWF DIBOHFE IJT NJOE TPNF FYUSB TJHOJ୮ୢDBOU ୮ୢHVSFT UP BMSFBEZ XFMMNFBTVSFE QIZTJDBM QBSBNFUFST
8JUI BMM UIF XJTEPN UIBU NZ NPEFTU ୮ୢWF ZFBST BT B DPTNPMPHZ BQQSFOUJDF DPOGFS VQPO NF *
CFH UP SFTQFDUGVMMZ EJ୭GFS 5IF DVSSFOU TUBUF PG PVS VOEFSTUBOEJOH PG UIF VOJWFSTF SBJTFT B OVN
CFS PG PVUTUBOEJOH GVOEBNFOUBM QIZTJDT RVFTUJPOT XIBU JT UIF DPTNPMPHJDBM DPOTUBOU UIJT NZT
UFSJPVT ‫آ‬EBSL FOFSHZ‫ أ‬DPNQPOFOU SFTQPOTJCMF GPS UIF BDDFMFSBUFE FYQBOTJPO PG UIF VOJWFSTF
8IBU JT UIF EBSL NBUUFS QBSUJDMF UIJT DPNQPOFOU TVQQPTFEMZ ୮ୢWF UJNFT NPSF BCVOEBOU UIBO
PSEJOBSZ NBUUFS BOE ZFU VOLOPXO UP QBSUJDMF QIZTJDT 8IBU QIZTJDBM MBXT EFTDSJCF DPTNJD JO୯୳B
UJPO UIF QBSBEJHN DVSSFOUMZ QSPQPTFE BT UIF PSJHJO PG UIF EFOTJUZ ୯୳VDUVBUJPOT JO UIF VOJWFSTF
)PX DBO UIJT CF UFTUFE $MPTFS UP VT UIF TUBOEBSE ΛCDM DPTNPMPHJDBM NPEFM EPFT OPU FWFO
QSFEJDU UIF BCVOEBODF PG UIF PSEJOBSZ NBUUFS XIJDI XF BSF NBEF PG 5IVT UIFSF BQQFBST UP CF
OP TIPSUBHF PG VOBOTXFSFE GVOEBNFOUBM RVFTUJPOT JO DPTNPMPHZ 0G DPVSTF PVUTUBOEJOH RVFT
UJPOT BMPOF EP OPU NBLF B TDJFOUJ୮ୢD ୮ୢFME XPSUI QVSTVJOH POF OFFET B QSPTQFDU GPS BOTXFSJOH
UIFN )FSF PQUJNJTN BCPVU UIF GVUVSF TFFNT XBSSBOUFE CZ FYUSBQPMBUJPO GSPN UIF WFSZ SFDFOU
QBTU CBTFE PO UIF CVSTU PG PCTFSWBUJPOBM QSPHSFTT JO UIF MBTU GFX ZFBST 5P DJUF POMZ B GFX FY
BNQMFT PG SFDFOU PCTFSWBUJPOBM QSPHSFTT UIF JOUFHSBUFE 4BDIT8PMGF *48
F୭GFDU XBT EFUFDUFE
GPS UIF ୮ୢSTU UJNF JO HSBWJUBUJPOBM MFOTJOH PG UIF $.# GPS UIF ୮ୢSTU UJNF JO BOE
UIF LJOFNBUJD 4VOZBFW;FM‫ؠ‬EPWJDI L4;
F୭GFDU GPS UIF ୮ୢSTU UJNF JO $VSSFOU $.# FY
QFSJNFOUT IBWF UIF QPUFOUJBM UP QSPWJEF VTFGVM UFTUT GPS JO୯୳BUJPO CZ QVUUJOH DPOTUSBJOUT PO UIF
MFWFM PG TUPDIBTUJD HSBWJUBUJPOBM XBWFT UIF TPDBMMFE QPMBSJ[BUJPO ‫آ‬#NPEFT‫ أ‬#FZPOE UIJT PQ
UJNJTUJD FYUSBQPMBUJPO DVSSFOU BOE VQDPNJOH $.# BOE MBSHFTDBMF TUSVDUVSF FYQFSJNFOUT BSF
PO UIFJS XBZ UP ESBNBUJDBMMZ QVTI UIF EFQUI SFTPMVUJPO BOE WPMVNF PG UIF VOJWFSTF TVSWFZFE
5IF )ZQFS4VQSJNF $BN )4$
TVSWFZ UIF %BSL &OFSHZ 4VSWFZ %&4
UIF -BSHF 4ZOPQUJD
4VSWFZ 5FMFTDPQF -445
TVSWFZ UIF &VDMJE TBUFMMJUF UIF 8'*345 TBUFMMJUF UIF "EWBODFE "UB
DBNB $PTNPMPHZ 5FMFTDPQF 1PMBSJNFUFS "EW"$5
UIF UIJSE HFOFSBUJPO 4PVUI 1PMF 5FMFTDPQF
415(
UIF 4JNPOT 0CTFSWBUPSZ 40
UIF 4UBHF $.# FYQFSJNFOU $.#4
UIF $BOBEJBO
)ZESPHFO *OUFOTJUZ .BQQJOH &YQFSJNFOU $)*.&
UIF 4RVBSF ,JMPNFUFS "SSBZ 4,"
BSF B
GFX QSPNJOFOU FYBNQMFT
#Z NFBTVSJOH UIF MBSHFTDBMF TUSVDUVSF EJSFDUMZ PS UISPVHI JUT F୭GFDU PO UIF $.# UIF TP
DBMMFE $.# TFDPOEBSZ BOJTPUSPQJFT
UIFTF FYQFSJNFOUT XJMM QSPCF B NVDI XJEFS WPMVNF PG UIF
VOJWFSTF UIBO BDDFTTJCMF GSPN UIF QSJNBSZ $.# BMPOF BOE IBWF UIF QPUFOUJBM UP BOTXFS TPNF
PG UIF NPTU QSFTTJOH RVFTUJPOT XBT JO୯୳BUJPO QSPEVDFE CZ B TJOHMF PS NVMUJQMF ୮ୢFMET EFUFD
UJPO PG OPO(BVTTJBOJUJFT QSJNPSEJBM HSBWJUBUJPOBM XBWFT
8FSF UIFSF BEEJUJPOBM MJHIU QBSUJDMFT
CFGPSF SFDPNCJOBUJPO BDDVSBUF NFBTVSFNFOU PG UIF F୭GFDUJWF OVNCFS PG SFMBUJWJTUJD TQFDJFT
8IBU JT UIF IJFSBSDIZ PG NBTTFT PG UIF UISFF HFOFSBUJPOT PG OFVUSJOPT 8IBU JT UIF EBSL FOFSHZ
FRVBUJPO PG TUBUF *T JU XFMMEFTDSJCFE CZ B DPTNPMPHJDBM DPOTUBOU )PX EJE UIF VOJWFSTF USBO
TJUJPO GSPN OFVUSBM UP JPOJ[FE POF CJMMJPO ZFBST BG୴FS UIF CJH CBOH NFBTVSFNFOU PG UIF PQUJDBM
EFQUI UISPVHI SFJPOJ[BUJPO EFUFDUJPO PG UIF QBUDIZ SFJPOJ[BUJPO UISPVHI L4; PS DN
0OF
DBO CF IPQFGVM UIBU +PIO #BIDBMM‫ؠ‬T DPNNFOU PO UIF )VCCMF TQBDF UFMFTDPQF XJMM BQQMZ JO UIJT
DPOUFYU UPP ‫آ‬JU XPVME CF UFSSJCMZ BOUJDMJNBDUJD JG JO GBDU XF ୮ୢOE XIBU XF FYQFDU UP ୮ୢOE <>
5IF NPTU JNQPSUBOU EJTDPWFSJFT XJMM QSPWJEF BOTXFST UP RVFTUJPOT UIBU XF EP OPU ZFU LOPX
IPX UP BTL BOE XJMM DPODFSO PCKFDUT XF IBWF OPU ZFU JNBHJOFE *O NZ QFSTPOBM WJFX B GBJMVSF UP
EJTDPWFS VOJNBHJOFE PCKFDUT BOE BOTXFS VOBTLFE RVFTUJPOT <> XPVME JOEJDBUF B MBDL PG JNBHJ
OBUJPO JO TUPDLJOH UIF 6OJWFSTF PO UIF QBSU PG UIF %FJUZ‫أ‬
5঑঒জ ঝ঑঎জ঒জ জ঑঎঍঍঒গঐ খ঒ঌছঘঠঊট঎ ক঒ঐ঑ঝ ঘগ ঝ঑঎ কঊছঐ঎জঌঊক঎ জঝছঞঌঝঞছ঎
"T NFOUJPOFE BCPWF PCTFSWJOH UIF MBSHFTDBMF TUSVDUVSF PG UIF VOJWFSTF P୭GFST BO PQQPSUVOJUZ
UP QSPCF NVDI MBSHFS WPMVNFT PG UIF VOJWFSTF UIBO FWFS CFGPSF *O UIF DPTNPMPHJTU‫ؠ‬T DVSSFODZ
B NVDI MBSHFS WPMVNF NFBOT NVDI NPSF OVNFSPVT PCTFSWBCMF 'PVSJFS NPEFT PG UIF NBUUFS
EFOTJUZ ୮ୢFME UIVT B NVDI IJHIFS TUBUJTUJDBM QPXFS BOE FWFOUVBMMZ B IJHIMZ JNQSPWFE QSFDJTJPO
PO UIF EFUFSNJOBUJPO PG UIF QIZTJDBM QBSBNFUFS PG UIF VOJWFSTF )PXFWFS TFWFSBM IVSEMFT IJO
EFS PVS BCJMJUZ UP FYUSBDU UIJT JOGPSNBUJPO *U IBT CFFO UIF HPBM PG NZ UIFTJT XPSL UP BTTFTT UIF
JNQPSUBODF PG UIFTF IVSEMFT BOE UP QSPQPTF NFUIPET PG DJSDVNWFOUJOH UIFN
$঑ঊকক঎গঐ঎জ ঘএ ঎ডঝছঊঌঝ঒গঐ ঒গএঘছখঊঝ঒ঘগ এছঘখ ঝ঑঎ গঘগক঒গ঎ঊছ কঊছঐ঎জঌঊক঎ জঝছঞঌ
ঝঞছ঎
(SBWJUZ DBVTFT TNBMM EFOTJUZ ୯୳VDUVBUJPOT UP DPMMBQTF JOUP UIF IBMPT BOE HBMBYJFT XF TFF UPEBZ
5IJT FWPMVUJPO VOEFS HSBWJUZ JT OPOMJOFBS ҆ XIJDI IBT UXP JNQPSUBOU QSBDUJDBM DPOTFRVFODFT
TUBUJTUJDBM BOE QIZTJDBM
'JSTU OPOMJOFBS FWPMVUJPO UZQJDBMMZ DPVQMFT 'PVSJFS NPEFT XIJMF UIF 'PVSJFS NPEFT PG
UIF JOJUJBM EFOTJUZ ୮ୢFME BSF (BVTTJBO BOE JOEFQFOEFOU UIF ୮ୢOBM 'PVSJFS NPEFT CFDPNF OPO
(BVTTJBO BOE DPSSFMBUFE "T B SFTVMU UIF JOGPSNBUJPO DPOUFOU JOJUJBMMZ DPODFOUSBUFE JO UIF UXP
QPJOU DPSSFMBUJPO GVODUJPO PS QPXFS TQFDUSVN JT OPX EJTQFSTFE BDSPTT BMM UIF WBSJPVT nQPJOU
GVODUJPOT BOE UIFSFGPSF MPTU VOMFTT BDUJWFMZ SFDPWFSFE 5IJT QPTFT B TUBUJTUJDBM DIBMMFOHF IPX
EPFT POF FYUSBDU JOGPSNBUJPO GSPN B NFBTVSFNFOU PG UIF OPO(BVTTJBO NBUUFS EFOTJUZ ୮ୢFME
҆
8IJMF UIF OPUJPO PG MJOFBSJUZ PS OPOMJOFBSJUZ JT XFMMEF୮ୢOFE GPS B NBUIFNBUJDBM FRVBUJPO JU NBZ CF BN
CJHVPVT GPS B QIZTJDBM TZTUFN 'PS JOTUBODF UIF TBNF RVBOUVN TZTUFN DBO CF EFTDSJCFE CZ UIF MJOFBS 4DISPEJOHFS
FRVBUJPO PS UIF FRVJWBMFOU UIPVHI OPOMJOFBS ୯୳VJE FRVBUJPOT UISPVHI UIF .BEFMVOH USBOTGPSNBUJPO *O UIF
QSFTFOU DPOUFYU * TJNQMZ NFBO UIBU OP MJOFBS EFTDSJQUJPO PG UIF HSBWJUBUJPOBM FWPMVUJPO JT DVSSFOUMZ BWBJMBCMF
*HOPSJOH UIJT TUBUJTUJDBM F୭GFDU NBZ MFBE UP EPVCMFDPVOUJOH UIF JOGPSNBUJPO DPOUFOU PG MBSHF
TDBMF TUSVDUVSF TVSWFZT BOE FWFOUVBMMZ QSPEVDF JODPSSFDU NFBTVSFNFOUT PG DPTNPMPHJDBM QBSBN
FUFST 8F EFTDSJCF UIJT JTTVF JO NPSF EFUBJM JO $IBQUFS BOE TIPX IPX DPNCJOJOH DPOTJTUFOUMZ
EJ୭GFSFOU MBSHFTDBMF TUSVDUVSF PCTFSWBCMFT BMMPXT UP SFDPWFS QBSU PG UIF NJTTJOH JOGPSNBUJPO
4FDPOE UIFTF OPOMJOFBSJUJFT NBLF JU EJ୭୮ୢDVMU UP QSFEJDU UIF FWPMVUJPO PG UIF NBUUFS EFOTJUZ
୮ୢFME OPOMJOFBS FRVBUJPOT BSF UZQJDBMMZ IBSEFS UP TPMWF UIBO MJOFBS POFT *O QBSUJDVMBS UIF OPO
MJOFBS HSBWJUBUJPOBM FWPMVUJPO BMUFST UIF NBUUFS QPXFS TQFDUSVN PO TNBMM TDBMFT 1SFEJDUJOH UIJT
F୭GFDU UP QFSDFOUMFWFM BDDVSBDZ JT OFDFTTBSZ JG UIF JOGPSNBUJPO GSPN VQDPNJOH MBSHFTDBMF TUSVD
UVSF TVSWFZT JT UP CF DPSSFDUMZ SFDPWFSFE $PNQVUJOH UIF OPOMJOFBS FWPMVUJPO VOEFS HSBWJUZ
JT DVSSFOUMZ CFTU EPOF XJUI /CPEZ TJNVMBUJPOT ୮ୢSTU BQQMJFE UP DPTNPMPHZ CZ "BSTFUI (PUU
5VSOFS &GTUBUIJPV ,MZQJO 4IBOEBSJO %BWJT 'SBOL 8IJUF #FSUTDIJOHFS BOE (FMC CFUXFFO
BOE )PXFWFS UIFTF BSF WFSZ DPNQVUBUJPOBMMZ FYQFOTJWF NBLJOH JU EJ୭୮ୢDVMU UP TJN
VMBUF UIF MBSHF WPMVNFT PG UIF VOJWFSTF OFFEFE GPS VQDPNJOH TVSWFZT *O $IBQUFS * EFTDSJCF
BOE FWBMVBUF BO BOBMZUJDBM BMUFSOBUJWF UP /CPEZ TJNVMBUJPOT VTJOH B QFSUVSCBUJPO UIFPSZ BQ
QSPBDI
#ঊছঢঘগ঒ঌ ঎এএ঎ঌঝজ ঋ঒ঊজ঒গঐ
#FZPOE UIF DIBMMFOHFT PG OPOMJOFBS FWPMVUJPO TFWFSBM VODFSUBJO BTUSPQIZTJDBM F୭GFDUT BMTP MJNJU
PVS BCJMJUZ UP BDDVSBUFMZ NPEFM BOE VMUJNBUFMZ MFBSO GSPN UIFTF IJHIQSFDJTJPO MBSHFTDBMF TUSVD
UVSF EBUBTFUT *OEFFE BMUIPVHI UIF EBSL NBUUFS QBSUJDMF JT VOLOPXO JUT WFMPDJUZ EJTQFSTJPO PS
QSFTTVSF
BOE JUT MFWFM PG JOUFSBDUJPOT XJUI JUTFMG BOE PUIFS QBSUJDMFT JT DPOTUSBJOFE UP CF MPX
NBLJOH JUT FWPMVUJPO FBTZ UP QSFEJDU 0O UIF PUIFS IBOE PSEJOBSZ NBUUFS JNQSPQFSMZ DBMMFE
‫آ‬CBSZPOJD‫ أ‬CZ DPTNPMPHJTUT BOE UISPVHIPVU UIJT UIFTJT
GFFMT QSFTTVSF BOE JOUFSBDUT JO QBSUJDV
MBS XJUI MJHIU NBLJOH CBSZPOJD NBUUFS WJTJCMF
5IFTF ‫آ‬CBSZPOJD F୭GFDUT‫ أ‬BMTP JODMVEF GFFECBDL
JO HBMBYZ GPSNBUJPO GSPN TVQFSOPWB FYQMPTJPOT BOE PVU୯୳PXT GSPN TVQFSNBTTJWF CMBDL IPMFT
5IF BNQMJUVEF PG UIFTF F୭GFDUT JT UIF NPTU TJHOJ୮ୢDBOU VOLOPXO JO HBMBYZ GPSNBUJPO NPEFMT
5IFTF GFFECBDL F୭GFDUT QVTI UIF PSEJOBSZ NBUUFS PVU PG HBMBYJFT BOE HBMBYZ DMVTUFST UIVT NBL
JOH JU JOWJTJCMF UP NPTU UFMFTDPQFT 5IF SFTVMUJOH TQBUJBM EJTUSJCVUJPO PG UIF PSEJOBSZ NBUUFS JT
ESBNBUJDBMMZ BMUFSFE BOE XJMEMZ VODFSUBJO UIVT MJNJUJOH PVS BCJMJUZ UP BDDVSBUFMZ NPEFM UIF FWFS
NPSF QSFDJTF MBSHFTDBMF TUSVDUVSF EBUB 5IVT QBSBEPYJDBM UIPVHI JU NBZ TFFN UIF EFOTJUZ ୮ୢFME
PG UIF VOLOPXO EBSL NBUUFS JT FBTJFS UP UIFPSFUJDBMMZ QSFEJDU UIBO UIBU PG UIF XFMMLOPXO PS
EJOBSZ CBSZPOJD NBUUFS *O $IBQUFS BOE $IBQUFS * QSFTFOU UXP JOEFQFOEFOU BOE DPNQMF
NFOUBSZ XBZT PG VTJOH UIF $.# BT B CBDLMJHIU GPS UIF -44 JF QSPCJOH UIF FMVTJWF EBSL NBUUFS
BOE UIF VODFSUBJO PSEJOBSZ NBUUFS GSPN UIFJS ‫آ‬TIBEPXT‫ أ‬PO UIF $.# *OEFFE BT $.# QIP
UPOT USBWFM UISPVHI UIF PCTFSWBCMF VOJWFSTF UP SFBDI VT UIFJS QBUIT BOE FOFSHJFT BSF B୭GFDUFE
CZ UIF JOUFSWFOJOH MBSHFTDBMF TUSVDUVSF %BSL BOE PSEJOBSZ NBUUFS UIVT JNQSJOU DIBSBDUFSJTUJD
TJHOBUVSFT PO UIF $.# EFUFDUBCMF JSSFTQFDUJWF PG UIFJS MPDBUJPOT 'PS JOTUBODF HSBWJUBUJPOBM
MFOTJOH PG UIF $.# HJWFT B VOJRVF NFBTVSFNFOU PG UIF UPUBM NBTT PG HBMBYZ DMVTUFST JODMVEJOH
UIF PUIFSXJTF JOWJTJCMF NBTT 5IF JPOJ[FE HBT TDBUUFST $.# QIPUPOT BOE QSPEVDFT UIF LJOF
NBUJD BOE UIFSNBM 4VOZBFW;FM‫ؠ‬EPWJDI F୭GFDUT L4; BOE U4;
5IFTF QSPCF UIF HBT EFOTJUZ BOE
UIFSNBM QSFTTVSF SFTQFDUJWFMZ 5IF L4; BOE U4; SFWFBM UIF NBKPSJUZ PG UIF CBSZPOJD NBUUFS BT
JU JT NPTUMZ JO UIF GPSN PG JPOJ[FE HBT XJUI POMZ ∼ 10% DPODFOUSBUFE JO TUBST +VTU MJLF GPS B
TIBEPX UIF L4; BOE U4; UIFTF F୭GFDUT BSF JOEFQFOEFOU PO UIF EJTUBODF UP UIF HBMBYZ DMVTUFS BM
MPXJOH VT UP ୮ୢOE BOE TUVEZ GBS BXBZ DMVTUFST UIBU XPVME PUIFSXJTF CF UPP GBJOU UP EFUFDU $IBQ
UFS QSFTFOUT B OFX NFBTVSFNFOU PG UIF L4; F୭GFDU BOE XIBU XF IPQF UP MFBSO GSPN UIJT BCPVU
UIF JPOJ[FE HBT JO HBMBYZ DMVTUFST $IBQUFS QSFTFOUT UIF ୮ୢSTU EFUFDUJPO PG B DPSSFMBUJPO CFUXFFO
UIF -ZNBOα GPSFTU BOE UIF HSBWJUBUJPOBM MFOTJOH PG UIF $.# BOE XIBU XF IPQF UP MFBSO GSPN
UIJT BCPVU UIF OFVUSBM HBT JO UIF VOJWFSTF
#BSZPOJD F୭GFDUT BMTP IBWF BO JNQBDU PO UIF JTTVF PG ‫آ‬CJBTJOH‫ أ‬0OMZ ∼ 10% PG UIF PSEJOBSZ
NBUUFS JOTJEF HBMBYJFT JT DPOWFSUFE JOUP TUBST 5IVT XIFO PCTFSWJOH HBMBYJFT GSPN UIFJS TUBSMJHIU
XF POMZ TFF ∼ 10% PG UIF CBSZPOJD NBUUFS XIJDI JUTFMG JT POMZ 15 − 20% PG UIF UPUBM NBUUFS
CBSZPOJD QMVT EBSL
JO UIF VOJWFSTF *O PUIFS XPSET XF BSF BUUFNQUJOH UP JOGFS UIF UPUBM NBUUFS
EFOTJUZ ୮ୢFME CZ PCTFSWJOH TUBST XIJDI POMZ NBLF VQ 2% PG UIF UPUBM NBTT )PX SFQSFTFOUB
UJWF JT UIJT TBNQMF PG ∼ 2% PG UIF UPUBM NBTT EFOTJUZ %P TUBST USBDF UIF UPUBM NBTT QFSGFDUMZ 8F
LOPX UIBU UIJT JT OPU UIF DBTF PO UIF TDBMF PG EBSL NBUUFS IBMPT XIFSF CBSZPOJD F୭GFDUT QSFTTVSF
SBEJBUJPO DPPMJOH GFFECBDL GSPN TUBS GPSNBUJPO
DBVTF UIF FWPMVUJPO PG UIF CBSZPOT BOE UIF
EBSL NBUUFS UP EJ୭GFS *O PUIFS XPSET HBMBYJFT BSF B CJBTFE USBDFS PG UIF NBTT EJTUSJCVUJPO JO UIF
VOJWFSTF 5IF TJUVBUJPO JT BOBMPHPVT UP USZJOH UP JOGFS UIF &BSUI‫ؠ‬T QPQVMBUJPO CZ MPPLJOH BU UIF
&BSUI‫ؠ‬T OJHIU MJHIUT NBQ TFF 'JH XIBU ZPV TFF JT OPU RVJUF UIF QFPQMF CVU SBUIFS UIF DJUJFT
5IFTF BSF DPSSFMBUFE CVU OPU JEFOUJDBM
(ঊকঊডঢ ক঎গজ঒গঐ জঢজঝ঎খঊঝ঒ঌজ
%JTUPSUJPOT PG HBMBYZ JNBHFT EVF UP HSBWJUBUJPOBM XFBL
MFOTJOH P୭GFS B XBZ UP DJSDVNWFOU
UIF CJBTJOH JTTVF JOEFFE CBSZPOJD BOE EBSL NBTT DPOUSJCVUF FRVBMMZ UP HSBWJUBUJPOBM MFOTJOH
5IFSFGPSF HSBWJUBUJPOBM MFOTJOH QSPCFT BMM UIF NBTT BOE OPU POMZ UIF MVNJOPVT NBTT *U JT GSFF
PG CJBT TJODF JU EPFT OPU SFMZ PO HBMBYJFT BT USBDFST PG UIF NBTT 4FWFSBM PUIFS QSPQFSUJFT NBLF
MFOTJOH DPNQMFNFOUBSZ UP HBMBYZ DMVTUFSJOH -FOTJOH QSPCFT UIF HFPNFUSZ PG UIF VOJWFSTF BOE
UIF HSPXUI PG UIF MBSHFTDBMF TUSVDUVSF JO B XBZ UIBU JT EJ୭GFSFOU GSPN DMVTUFSJOH UIVT CSJOH
JOH BEEJUJPOBM JOGPSNBUJPO #FDBVTF JU JT TFOTJUJWF UP B EJ୭GFSFOU DPNCJOBUJPO PG UIF HSBWJUBUJPO
#BSEFFO
QPUFOUJBMT JU P୭GFST UIF QPTTJCJMJUZ UP UFTU HFOFSBM SFMBUJWJUZBMMPX VT UP BOBMZ[F GBJOUFS
GBSUIFS PMEFS HBMBYJFT BOE QSPCF B MBSHFS WPMVNF PG UIF VOJWFSTF "T B SFTVMU MFOTJOH JT B TFOTJ
UJWF QSPCF PG UIF FWPMVUJPO PG UIF EBSL FOFSHZ BT B GVODUJPO PG UJNF EBSL FOFSHZ FRVBUJPO PG
TUBUF
5IFTF BSF TPNF PG UIF SFBTPOT XIZ HSBWJUBUJPOBM MFOTJOH JT CFJOH QVSTVFE TP BDUJWFMZ CZ
UIF )4$ %&4 -445 8'*345 BOE &VDMJE DPMMBCPSBUJPOT )PXFWFS NFBTVSJOH HBMBYZ TIBQFT
JO PSEFS UP JEFOUJGZ UIF EJTUPSUJPO EVF UP MFOTJOH DPNFT XJUI JUT PXO TFU PG TZTUFNBUJD F୭GFDUT
0OF PG UIFN JT UIF DIBMMFOHF PG ‫آ‬TIFBS DBMJCSBUJPO‫* أ‬O $IBQUFS * FYQMPSF UIF VTF PG $.#
MFOTJOH BT B XBZ UP DBMJCSBUF HBMBYZ MFOTJOH BOE TIPX UIJT UP CF B WJBCMF NFUIPE GPS VQDPNJOH
HBMBYZ MFOTJOH FYQFSJNFOUT
3FGFSFODFT
<> ( + 8IJUSPX /FX 4DJFOUJTU <> $ 4BHBO /FX :PSL /: 3BOEPN )PॸF ]D 16#-*4)&3 "%%3&44 <> &OVNB &MJTI %11-ǥȇȇ444ǣ/&1&0%*20"2*ǣ,/$ȇ ,))" 1&,+&*$"0ȇǏǏǏǔǗȇ
ǏǏǏǔǗǗǐǓȀǏǏǐȀ)ǣ'-$ BDDFTTFE <> 8."1 $.# NBQ %11-0ǥȇȇ*-ǣ$0# ǣ+0ǣ$,3 BDDFTTFE <> 4%44 %3 NBJO HBMBYZ SFETIJG୴ TVSWFZ %11-ǥȇȇ )00& ǣ0!00ǣ,/$ȇ)"$ 6 BD
DFTTFE <> % / 4QFSHFM %BFEBMVT <> # + 5 +POFT JO 'SPN ‫؝‬VBOUVN 'MVDUVBUJPOT UP $PTNPMPHJDBM 4USVDUVSॶ 7PM PG "T
USPOPNJDBM 4PDJFUZ PG UIF 1BDJ‫׹‬D $POGFSFODF 4FSJॶ FEJUFE CZ % 7BMMT(BCBVE . "
)FOESZ 1 .PMBSP BOE , $IBNDIBN 16#-*4)&3 "%%3&44 Q <> " " 1FO[JBT BOE 3 8 8JMTPO "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> ( ' 4NPPU FU BM "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM -FUU - <> + . ,PWBD FU BM /BUVSF <> " % .JMMFS FU BM "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM -FUU - <> 1 EF #FSOBSEJT FU BM /BUVSF <> 4 )BOBOZ FU BM "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM -FUU - <> " #FOP®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±BHB BOE ' + $BTUBOEFS "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM -FUU -
<> 3 4DSBOUPO FU BM "S9JW "TUSPQIZTJDT FQSJOUT <> , . 4NJUI 0 ;BIO BOE 0 %PS© 1IZTJDT 3FW % <> / )BOE FU BM 1IZTJDBM 3FWJFX -FUUFST <> 5 .SPD[LPXTLJ FU BM "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM 1
&YUSBDUJOH JOGPSNBUJPO GSPN B OPO(BVTTJBO
୮ୢFME TVQFSTBNQMF WBSJBODF
"ঋজঝছঊঌঝ
/BJWF FTUJNBUFT PG UIF TUBUJTUJDT PG MBSHF TDBMF TUSVDUVSF BOE XFBL MFOTJOH QPXFS TQFDUSVN NFB
TVSFNFOUT UIBU JODMVEF POMZ (BVTTJBO FSSPST FYBHHFSBUF UIFJS TDJFOUJ୮ୢD JNQBDU /POMJOFBS FWP
MVUJPO BOE ୮ୢOJUF WPMVNF F୭GFDUT BSF CPUI TJHOJ୮ୢDBOU TPVSDFT PG OPO(BVTTJBO DPWBSJBODF UIBU SF
EVDF UIF BCJMJUZ PG QPXFS TQFDUSVN NFBTVSFNFOUT UP DPOTUSBJO DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST 6TJOH
B IBMP NPEFM GPSNBMJTN XF EFSJWF BO JOUVJUJWF VOEFSTUBOEJOH PG UIF WBSJPVT DPOUSJCVUJPOT UP
UIF DPWBSJBODF BOE TIPX UIBU PVS BOBMZUJDBM USFBUNFOU BHSFFT XJUI TJNVMBUJPOT 5IJT BQQSPBDI
FOBCMFT BO BQQSPYJNBUF EFSJWBUJPO PG B KPJOU MJLFMJIPPE GPS UIF DMVTUFS OVNCFS DPVOUT UIF XFBL
MFOTJOH QPXFS TQFDUSVN BOE UIF CJTQFDUSVN 8F TIPX UIBU UIJT MJLFMJIPPE JT B HPPE EFTDSJQ
UJPO PG UIF SBZUSBDJOH TJNVMBUJPO 4JODF BMM PG UIFTF PCTFSWBCMFT BSF TFOTJUJWF UP UIF TBNF ୮ୢOJUF
WPMVNF F୭GFDUT BOE DPOUBJO JOGPSNBUJPO BCPVU UIF OPOMJOFBS FWPMVUJPO B DPNCJOFE BOBMZTJT
SFDPWFST NVDI PG UIF ‫آ‬MPTU‫ أ‬JOGPSNBUJPO 'PS VQDPNJOH XFBL MFOTJOH TVSWFZT XF FTUJNBUF UIBU
B KPJOU BOBMZTJT PG QPXFS TQFDUSVN OVNCFS DPVOUT BOE CJTQFDUSVN XJMM QSPEVDF BO JNQSPWF
NFOU PG BCPVU 30 − 40% JO EFUFSNJOBUJPOT PG UIF NBUUFS EFOTJUZ BOE UIF TDBMBS BNQMJUVEF
5IJT JNQSPWFNFOU JT FRVJWBMFOU UP EPVCMJOH UIF TVSWFZ BSFB
*গঝছঘ঍ঞঌঝ঒ঘগ
6OEFSTUBOEJOH UIF OBUVSF PG EBSL FOFSHZ JT UIF BJN PG NBOZ POHPJOH BOE VQDPNJOH HBMBYZ
TVSWFZT TVDI BT UIF #BSZPO 0TDJMMBUJPO 4QFDUSPTDPQJD 4VSWFZ #044
UIF ,JMP%FHSFF 4VSWFZ
,J%4
҆ UIF &YUFOEFE #044 F#044
҇ UIF %BSL &OFSHZ 4VSWFZ %&4
g UIF 4VCBSV )ZQFS
4VQSJNF$BN )4$
TVSWFZv UIF 4VCBSV 1SJNF 'PDVT 4QFDUSPHSBQI 1'4
ѿ UIF %BSL &O
FSHZ 4QFDUSPTDPQJD *OTUSVNFOU %&4*
UIF -BSHF 4ZOPQUJD 4VSWFZ 5FMFTDPQF -445
UIF
&4" TBUFMMJUF NJTTJPO &VDMJE BOE UIF /"4" TBUFMMJUF NJTTJPO 8'*345 5IF TDJFODF ZJFME GSPN UIFTF TVSWFZT BQQFBST UP CF MFTT UIBO POF XPVME OBJWFMZ FYQFDU *G XF
XFSF PCTFSWJOH B EFOTJUZ ୮ୢFME JO UIF MJOFBS SFHJNF UIF WBSJPVT NPEFT XPVME CF VODPSSFMBUFE
BOE UIF BNPVOU PG JOGPSNBUJPO BWBJMBCMF XPVME TDBMF XJUI UIF OVNCFS PG NPEFT )PXFWFS GPS
%11-ǥȇȇ ,0*,),$6ǣ))ǣ$,3ȇȇ
%11-ǥȇȇ444ǣ01/,Ǹ4&0"ǣ,/$ȇ-/,'" 10ȇȇ
҇
%11-ǥȇȇ444ǣ0!00ǒǣ,/$ȇ#212/"ȇ",00ǣ-%g
%11-ǥȇȇ444ǣ!/("+"/$602/3"6ǣ,/$
v
%11-ǥȇȇ444ǣ+,'ǣ,/$ȇ/,'" 10ȇȇ&+!"5ǣ%1*)
ѿ
%11-ǥȇȇ02*&/"ǣ&-*2ǣ'-ȇ"+ȇǑǕǔǑ
%11-ǥȇȇ!"0&ǣ))ǣ$,3
҆
XFBL MFOTJOH UIF TDBMFT PG JOUFSFTU l ∼ 103 BSF XFMM JOUP UIF OPOMJOFBS SFHJNF 0O TVDI
TDBMFT NPEF DPVQMJOHT JOEVDF OPO(BVTTJBO GFBUVSFT XIJDI NPWF JOGPSNBUJPO GSPN UIF QPXFS
TQFDUSVN UP UIF CJTQFDUSVN BOE IJHIFS nQPJOU DPSSFMBUJPO GVODUJPOT BOE JOEVDF FYUSB DPSSF
MBUFE TDBUUFS PO UIF WBSJPVT nQPJOU GVODUJPOT BT XFMM BT PO UIFJS WBSJPVT NVMUJQPMFT *O PSEFS UP SFDPWFS UIF JOGPSNBUJPO EJMVUFE CFUXFFO UIF WBSJPVT NVMUJQPMFT BOE nQPJOU DPSSF
MBUJPO GVODUJPOT POF IBT UP DPNCJOF UIFN JO B KPJOU BOBMZTJT BOE EPJOH TP SFRVJSFT BO VOEFS
TUBOEJOH PG UIFJS OPO(BVTTJBO DPSSFMBUFE FSSPST "OPUIFS JNQPSUBOU TPVSDF PG DPSSFMBUFE TDBUUFS DPNFT GSPN B ୮ୢOJUFWPMVNF F୭GFDU PG UIF TVS
WFZ EPNBJO EFOTJUZ NPEFT XJUI XBWFMFOHUIT MBSHFS UIBO UIF WPMVNF BSF OPU NFBTVSBCMF GSPN
XJUIJO UIF TVSWFZ CVU B୭GFDU UIF PCTFSWBCMFT JO B QSFEJDUBCMF XBZ 5IJT JT BO
PUIFS SFBTPO UP DPNCJOF WBSJPVT PCTFSWBCMFT PO UIF TBNF TVSWFZ TJODF UIFZ BSF BMM B୭GFDUFE CZ
UIF TBNF MPOH XBWFMFOHUI NPEFT B DPNCJOFE BOBMZTJT DBO EFUFSNJOF UIF BNQMJUVEF PG UIFTF
OPOEJSFDUMZ PCTFSWBCMF NPEFT *O PUIFS XPSET SFDPWFSJOH UIF OPO(BVTTJBO JOGPSNBUJPO BOE DBMJCSBUJOH PVU UIF MPOH XBWF
MFOHUI NPEFT JOBDDFTTJCMF GSPN XJUIJO UIF TVSWFZ BSF UXP SFBTPOT UP DPNCJOF QSPCFT BOE
UIFSFGPSF KVTUJGZ UIF OFFE GPS VOEFSTUBOEJOH UIFJS DPWBSJBODFT "MUIPVHI UIF ୮ୢSTU F୭GFDU IBT CFFO
VOEFSTUPPE GPS B MPOH UJNF QSPHSFTT PO UIF TFDPOE POF JT POMZ SFDFOU *O 3FG UIJT ‫؟‬TVQFS
TBNQMF DPWBSJBODF‫ ؠ‬JO QPXFS TQFDUSVN NFBTVSFNFOU JT EFTDSJCFE JO UFSNT PG NPEF DPVQMJOH
UISPVHI UIF XJOEPX GVODUJPO BOE B ‫؟‬USJTQFDUSVN DPOTJTUFODZ SFMBUJPO‫* ؠ‬O 3FG UIJT ‫؟‬IBMP TBN
QMF WBSJBODF‫ ؠ‬JT B DPOTFRVFODF PG UIF IBMP NPEFM BO VQTDBUUFS JO UIF BWFSBHF EFOTJUZ USJHHFST
BO VQTDBUUFS JO IBMP DPVOUT UISPVHI MJOFBS CJBTJOH XIJDI MFBET UP B DPIFSFOU VQTDBUUFS JO UIF
WBSJPVT nQPJOU DPSSFMBUJPO GVODUJPOT
0VS SFTVMUT EFSJWF TUSBJHIUGPSXBSEMZ GSPN UIF TBNF BTTVNQUJPOT BT UIF IBMP NPEFM UIF NBU
UFS PWFSEFOTJUZ ୮ୢFME DBO CF FYQSFTTFE CZ UIF EJTUSJCVUJPO PG IBMPT JO EJ୭GFSFOU NBTT CJOT BOE UIF
IBMPT GPSN B CJBTFE 1PJTTPO TBNQMJOH PG UIF VOEFSMZJOH EFOTJUZ ୮ୢFME 5IF IBMP TBNQMF WBSJBODF
TIPVME UIFSFGPSF CF DPOTJEFSFE B TUBOEBSE QSFEJDUJPO PG UIF IBMP NPEFM KVTU BT NVDI BT VTVBM
EFDPNQPTJUJPO P = P 1h + P 2h GPS UIF QPXFS TQFDUSVN
0VS TUVEZ CVJMET PO 3FG BOE HFOFSBMJ[FT UIF SFTVMUT UIFSFJO UP BMM nQPJOU DPSSFMBUJPO GVOD
UJPOT 5IF TUBSUJOH QPJOU PG PVS BOBMZTJT JT UIF FYQSFTTJPO PG UIF NBUUFS PWFSEFOTJUZ JO UFSNT PG
IBMPT JOTUFBE PG UIF EFDPNQPTJUJPO P = P 1h + P 2h XIJDI BMMPXT GPS B DPOTJTUFOU EFSJWBUJPO
PG UIF BVUP BOE DSPTTDPWBSJBODFT CFUXFFO IBMP OVNCFS DPVOUT BOE nQPJOU GVODUJPOT
5IF PVUMJOF PG UIJT QBQFS JT UIF GPMMPXJOH *O 4FDUJPO XF QSFTFOU PVS BTTVNQUJPOT BOE
EFSJWF UIF HFOFSBM GPSNVMB GPS UIF IBMP TBNQMF WBSJBODF DPOUSJCVUJPOT 8F BQQMZ UIFTF SFTVMUT UP
UIF DMVTUFS DPVOUT BOE UIF NBUUFS nQPJOU DPSSFMBUJPO GVODUJPOT JO 4FDUJPO 5IFO XF BQQMZ
UIF GPSNVMBUJPO UP UIF % ୮ୢFMET UIF BOHVMBS OVNCFS DPVOUT PG DMVTUFST BOE UIF MFOTJOH DPOWFS
HFODF nQPJOU DPSSFMBUJPO GVODUJPOT JO 4FDUJPO XIJDI BMMPXT VT UP DIFDL PVS SFTVMUT BHBJOTU
SBZUSBDJOH TJNVMBUJPOT GSPN 3FG *O 4FDUJPO XF QSFTFOU BO BQQSPYJNBUF KPJOU MJLFMJIPPE
GPS UIF DMVTUFS DPVOUT BOE MFOTJOH DPOWFSHFODF QPXFS TQFDUSVN BOE CJTQFDUSVN 8F DPNQBSF JU
UP TJNVMBUJPOT BOE VTF JU UP GPSFDBTU BO FTUJNBUJPO PG DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST PCUBJOFE XIFO
DPNCJOJOH UIF DMVTUFS DPVOUT UP UIF MFOTJOH QPXFS TQFDUSVN BOE CJTQFDUSVN GPS B GVUVSF HBMBYZ
TVSWFZ
.঎ঝ঑ঘ঍
*O UIJT TFDUJPO XF CSJF୯୳Z SFWJFX UIF IBMP NPEFM JOHSFEJFOUT UIBU XF TIBMM VTF UP EFSJWF UIF IBMP
TBNQMF WBSJBODF 8F QSFTFOU PVS OPUBUJPOT BOE NFUIPE UP UBLF JOUP BDDPVOU UIF F୭GFDUT PG B
୮ୢOJUFWPMVNF TVSWFZ BOE HJWF UIF HFOFSBM EFSJWBUJPO GPS UIF IBMP TBNQMF WBSJBODF GPS BOZ PC
TFSWBCMF
4ঝঊগ঍ঊছ঍ ঑ঊকঘ খঘ঍঎ক
5IF IBMP NPEFM JT CBTFE PO UIF BTTVNQUJPO UIBU BMM NBUUFS JO UIF VOJWFSTF JT DPOUBJOFE
JO IBMPT PG TPNF NBTT TDBMF 5IF NBTT GVODUJPO dn/dm HJWFT UIF NFBO OVNCFS EFOTJUZ GPS IB
MPT PG NBTT m BOE UIF EFOTJUZ QSP୮ୢMF PG IBMPT um (x) EF୮ୢOFE TP BT UP TBUJTGZ UIF OPSNBMJ[BUJPO
DPOEJUJPO d3 x um (x) = 1 JT BTTVNFE UP EFQFOE POMZ PO UIFJS NBTT m BU B HJWFO SFETIJG୴
5IVT UIF IBMP NPEFM FYQSFTTFT UIF PCTFSWFE NBUUFS PWFSEFOTJUZ BT UIF GBNJMJBS TVN PWFS IBMPT
δ̂(k) =
dm
m
ρ̄
um (k)
dn h
δ̂ (k),
dm m
h
(k) JT UIF OVNCFS EFOTJUZ ୯୳VDUVBUJPO ୮ୢFME JUT 'PVSJFS USBOTGPSN
GPS IBMPT PG NBTT
XIFSF δ̂m
m *O XIBU GPMMPXT XF TIBMM SFQMBDF UIF JOUFHSBM XJUI B TVN PWFS NBTT CJOT i XJUI NFBO NBTT
mi BOE CJO XJEUI Δmi δ̂(k) =
mi i
ρ̄
ui (k) n̂i (k, δb ).
)FSF n̂i (k) JT UIF IBMP OVNCFS EFOTJUZ ୮ୢFME EF୮ୢOFE BT
dn h
Δmi 1 + δ̂i (x) .
n̂i (x) =
dm mi
5IF PCTFSWFE OVNCFS PG IBMPT JO UIF iUI NBTT CJO mi GPS B HJWFO TNBMM WPMVNF δV BSPVOE
UIF QPTJUJPO x JT TJNQMZ HJWFO BT n̂i (x)δV 5IF IBMP NPEFM GPSNVMBUJPO BCPWF JT VTFGVM GPS
PVS QVSQPTF 'JSTU &R TIPXT UIBU UIF TUBUJTUJDBM QSPQFSUJFT PG UIF NBUUFS EFOTJUZ ୮ୢFME δ̂(k)
BSF EFUFSNJOFE CZ UIF IBMP OVNCFS EFOTJUZ ୮ୢFME n̂i (k) BOE UIF IBMP NBTT QSP୮ୢMF ui (k) 4FD
POE &R BMMPXT VT UP TUSBJHIUGPSXBSEMZ DPNQVUF DSPTTDPSSFMBUJPOT CFUXFFO NBUUFS nQPJOU
GVODUJPOT BOE UIF OVNCFS DPVOUT PG IBMPT BT XF XJMM TIPX CFMPX
8F BTTVNF UIBU UIF IBMP OVNCFS EFOTJUZ JO B WPMVNF FMFNFOU δV BSPVOE UIF QPTJUJPO x
GPMMPXT B 1PJTTPO TUBUJTUJDT XJUI NFBO EFUFSNJOFE CZ UIF VOEFSMZJOH EFOTJUZ ୮ୢFME ρMJO (x)
n̂i (x1 )n̂j (x2 )1PJT|ρMJO = ni (x1 )nj (x2 ) + δijK δD (x1 − x2 )ni (x),
XIFSF ni (x) JT UIF NFBO IBMP OVNCFS EFOTJUZ GPS UIF WPMVNF δV BSPVOE x GPS B ୮ୢYFE ρMJO (x)
EF୮ୢOFE BT ni (x) ≡ n̂i (x)1PJT|ρMJO BOE δijK JT UIF ,SPOFDLFS EFMUB GVODUJPO δijK = 1 JG i = j
PUIFSXJTF δijK = 0 8F IBWF BTTVNFE UIBU UIF IBMP OVNCFS EFOTJUJFT PG EJ୭GFSFOU NBTT CJOT BSF
JOEFQFOEFOU 8F BTTVNF UIBU UIF IBMP OVNCFS EFOTJUJFT BSF HJWFO BT CJBTFE USBDFST PG UIF MJOFBS
EFOTJUZ ୮ୢFME ρMJO (x)
dn Δmi bi δMJO (k),
ni (k) = n̄i bi δMJO (k) =
dm mi
XFSF n̄i ≡ ni ρMJO ≡ n̂i (x)1PJT,ρMJO = dn/dm|mi Δmi JT UIF FOTFNCMF BWFSBHF PG UIF IBMP
OVNCFS EFOTJUZ PCUBJOFE CZ NBSHJOBMJ[JOH PWFS 1PJTTPO TBNQMJOH BOE EJ୭GFSFOU SFBMJ[BUJPOT
PG UIF MJOFBS EFOTJUZ ୮ୢFME ρMJO (x) BOE bi JT UIF MJOFBS CJBT GPS IBMPT PG UIF iUI NBTT CJO bi ≡
b(mi )
6TJOH UIF NBUUFS EFOTJUZ ୮ୢFME δ̂(k) JO &R BOE UIF QSPQFSUJFT BOE JU JT TUSBJHIU
GPSXBSE UP FYQSFTT UIF NBUUFS QPXFS TQFDUSVN δ̂(k)δ̂(k ) JO UFSNT PG UIF IBMP OVNCFS
DPVOUT
δ̂(k)δ̂(k ) = (2π)3 δD (k + k )
m i 2
i
ρ̄
n̄i |ui (k)|2 +
mi mj i,j
ρ̄2
n̄i n̄j ui (k)uj (k) bi bj PMJO (k) ,
XIFSF PMJO JT UIF MJOFBS NBUUFS QPXFS TQFDUSVN 5IF ୮ୢSTU UFSN JT UIF IBMP UFSN P 1h (k) BSJT
JOH GSPN DPSSFMBUJPOT CFUXFFO NBUUFS JO UIF TBNF IBMP XIJMF UIF TFDPOE UFSN JT UIF IBMP
UFSN P 2h (k) BSJTJOH GSPN NBUUFS JO UXP EJ୭GFSFOU IBMPT
'঒গ঒ঝ঎ জঞছট঎ঢ ঎এএ঎ঌঝ খ঎ঝ঑ঘ঍
*O UIJT QBQFS XF TUVEZ UIF ୮ୢOJUFWPMVNF F୭GFDU PG B TVSWFZ PO nQPJOU DPSSFMBUJPO GVODUJPO
NFBTVSFNFOUT 8F DIBSBDUFSJ[F UIF TVSWFZ CZ JUT UISFFEJNFOTJPOBM WPMVNF VS BOE UIF BW
FSBHF EFOTJUZ DPOUSBTU BDSPTT UIF TVSWFZ SFHJPO δb 5IF TVQFSTVSWFZ NPEF JT EF୮ୢOFE BT δb ≡
d3 x W 3D (x)δ̂(x) XIFSF W 3D (x) JT UIF TVSWFZ XJOEPX GVODUJPO W 3D (x) = 1/VS JG
x JT JO UIF TVSWFZ SFHJPO PUIFSXJTF W 3D (x) = 0 /PUF UIBU UIF XJOEPX GVODUJPO TBUJT୮ୢFT
UIF OPSNBMJ[BUJPO DPOEJUJPO d3 x W 3D (x) = 1 'PS TJNQMJDJUZ XF OFHMFDU F୭GFDUT PG HSBEJ
FOUT PS UJEBM ୮ୢFMET PG UIF TVQFSTVSWFZ EFOTJUZ ୮ୢFME BT XFMM BT BO F୭GFDU PG JODPNQMFUF TFMFDUJPO PS
XFJHIUT
*O UIF QSFTFODF PG UIF TVQFSTVSWFZ NPEF δb UIF FYQFDUBUJPO WBMVF PG UIF IBMP OVNCFS EFO
TJUZ JT CJBTFE DPNQBSFE UP UIF FOTFNCMF BWFSBHF
n̄i (δb ) = n̂i (x)1PJT,ρMJO |δb = n̄i [1 + bi δb ] .
'PS B TV୭୮ୢDJFOUMZ MBSHF TVSWFZ WPMVNF δb DBO CF TBGFMZ DPOTJEFSFE UP CF JO UIF MJOFBS SFHJNF BOE
PCFZ B (BVTTJBO EJTUSJCVUJPO XJUI WBSJBODF
2
(VS )
σm
d3 k
|W 3D (k)|2 PMJO (k).
(2π)3
≡
/PUF UIBU JO &R XF JHOPSFE UIF IJHIFSPSEFS CJBT DPOUSJCVUJPOT QSPQPSUJPOBM UP bN (δb )N
XJUI N ≥ 2 XIJDI JT B HPPE BQQSPYJNBUJPO GPS UIF MJOFBS TVQFSTVSWFZ NPEF XJUI |δb | 1
5IVT NBSHJOBMJ[JOH PWFS SFBMJ[BUJPOT PG UIF TVQFSTVSWFZ NPEF δb BT JO 3FGT HJWFT
n̄i (δb )δb = n̂i (x)1PJT,ρMJO = n̄i
⎡
n̄i1 (δb )...n̄iN (δb )δb = n̄i1 ...n̄iN ⎣1 +
⎤
2
(Vs )
σm
b ij b ik ⎦ .
{j,l}∈{1,...,N }
$PNCJOJOH &R XJUI &R XF DBO FYQSFTT UIF QPXFS TQFDUSVN FTUJNBUPS ESBXO
GSPN UIF TBNF ୮ୢOJUFWPMVNF TVSWFZ SFHJPO JO UFSNT PG UIF IBMP OVNCFS EFOTJUZ ୯୳VDUVBUJPOT BT
δ̂(k)δ̂(k )
|δb
= (2π) δD (k + k )
3
+
i,j
mi mj
ρ̄2
m i 2
ρ̄
i
n̄i [1 + bi δb ] |ui (k)|2
.
n̄i n̄j [1 + bi δb ] [1 + bj δb ] ui (k)uj (k) bi bj PMJO (k)
8F UIFO NBSHJOBMJ[F PWFS UIF (BVTTJBO WBSJBCMF δb VTJOH &R UP PCUBJO UIF FYQFDUBUJPO
WBMVF PG QPXFS TQFDUSVN FTUJNBUPS
δ̂(k)δ̂(k ) = (2π) δD (k + k )
3
m i 2
i
ρ̄
n̄i |ui (k)| +
2
mi mj i,j
ρ̄2
2
(VS ) ui (k)u
n̄i n̄j 1 + bi bj σm
5IF IBMP UFSN ୮ୢSTU UFSN
JT VODIBOHFE GSPN &R XIFSFBT UIF IBMP UFSN TFDPOE UFSN
2
2
HFUT B DPSSFDUJPO UFSN QSPQPSUJPOBM UP bi bj σm
EVF UP UIF ୮ୢOJUF WPMVNF F୭GFDU 4JODF bi bj σm
1 GPS B MBSHF TVSWFZ WPMVNF PG JOUFSFTU UIJT DPSSFDUJPO JT TBGFMZ OFHMJHJCMF )FODF UIF NFBO WBMVF
PG PVS QPXFS TQFDUSVN FTUJNBUPS JT VODIBOHFE )PXFWFS BT XF TIBMM TFF JO UIF OFYU TFDUJPO JUT
DPWBSJBODF JT B୭GFDUFE CZ UIF ୮ୢOJUF WPMVNF PG UIF TVSWFZ
'঒গ঒ঝ঎ জঞছট঎ঢ ঎এএ঎ঌঝ ঐ঎গ঎ছঊক ঍঎ছ঒টঊঝ঒ঘগ
*O UIJT TFDUJPO XF HJWF B HFOFSBM EJTDVTTJPO PO UIF F୭GFDU PG B ୮ୢOJUFWPMVNF TVSWFZ PO PCTFSW
BCMFT $POTJEFS PCTFSWBCMFT fˆ BOE ĝ UIBU QSPCF UIF NBUUFS EFOTJUZ ୯୳VDUVBUJPO ୮ୢFME UISPVHI UIF
IBMP OVNCFS EFOTJUZ ୮ୢFME {n̂i (x)} 'PS JOTUBODF fˆ JT UIF OVNCFS DPVOUT PG IBMPT JO UIF iUI
NBTT CJO N̂i PS UIF NBUUFS nQPJOU GVODUJPO P̂n *O UIF GPMMPXJOH XF EFSJWF HFOFSBM FYQSFT
TJPOT GPS UIF FYQFDUBUJPO WBMVF PG fˆ BT XFMM BT UIF DP PS DSPTTWBSJBODFT CFUXFFO fˆ PSBOE ĝ
JT UIF
4VQQPTF UIBU fˆ JT BO FTUJNBUPS PG TPNF PCTFSWBCMF BOE UIBU f¯(δb ) = fˆ
1PJTTPO,ρMJO |δb
FYQFDUBUJPO WBMVF GPS TVSWFZ SFBMJ[BUJPOT XJUI B ‫׹‬YFE TVQFSTVSWFZ NPEF δb 4JODF UIF FTUJNB
UPS fˆ EFQFOET PO UIF IBMP OVNCFS EFOTJUZ ୮ୢFME {n̂i (x)} UIF FYQFDUBUJPO WBMVF f¯(δb ) EFQFOET
PO {n̄i (δb )} XIJDI JT UIF FYQFDUBUJPO WBMVF PG UIF IBMP OVNCFS EFOTJUJFT GPS SFBMJ[BUJPOT XJUI
୮ୢYFE δb TFF &R 5IFSFGPSF JG NBSHJOBMJ[JOH f¯(δb ) PWFS UIF (BVTTJBO WBSJBCMF δb POF DBO
୮ୢOE UIBU f¯(δb ) JT OPX HJWFO BT B GVODUJPO PG UIF DPWBSJBODFT PG UIF IBMP OVNCFS EFOTJUJFT TVDI
BT n̄i1 (δb )...n̄iN (δb )δb TFF &R 5IFO BT XF IBWF TFFO GPS UIF QPXFS TQFDUSVN DBTF JO
2
(Vs ) {j,l}∈{1,...,N } bij bil &R f¯(δb ) HFOFSBMMZ IBT DPSSFDUJPO UFSNT QSPQPSUJPOBM UP σm
2
(Vs ) 1 GPS UIF DBTFT PG JOUFSFTU )FODF UIF
)PXFWFS UIF DPSSFDUJPO UFSNT BSF OFHMJHJCMF BT σm
FYQFDUBUJPO WBMVF PG UIF FTUJNBUPS fˆ JT VOB୭GFDUFE CZ UIF ୮ୢOJUF WPMVNF PG UIF TVSWFZ
5IF TJUVBUJPO JT EJ୭GFSFOU GPS UIF DPWBSJBODF DBMDVMBUJPO 4JODF f¯(δb ) JT HJWFO BT B GVODUJPO PG
UIF {n̄i (δb )} BOE |δb | 1 XF DBO 5BZMPS FYQBOE f¯(δb ) BT
2 ¯
¯
f
∂
f
1
∂
δb +
δ 2 + O(δb3 )
f¯(δb ) f¯(0) +
∂δb δb =0
2 ∂δb2 δb =0 b
∂ f¯ ∂ n̄i ∂ 2 f¯ ∂ n̄i ∂ n̄j 1
= f¯(0) +
δb +
δb2 + O(δb3 )
∂
n̄
∂δ
2
∂
n̄
∂
n̄
∂δ
∂δ
i
b δb =0
i
j
b
b δb =0
i
i,j
∂ f¯ 1 ∂ 2 f¯ = f¯(0) +
b
δ
+
n̄i n̄j bi bj δb2 + O(δb3 ),
i
b
∂
ln
n̄
2
∂
n̄
∂
n̄
i
i
j
δb =0
δb =0
i
i,j
XIFSF UIF EFSJWBUJWF TVDI BT ∂ f¯/∂δb JT XJUI SFTQFDU UP δb XJUI BMM PUIFS QBSBNFUFST CFJOH LFQU
୮ୢYFE /PUF UIBU JO UIF UIJSE MJOF PO UIF SIT XF VTFE &R UP PCUBJO ∂ n̄i /∂δb |δb =0 = bi n̄i BOE JHOPSFE B DPOUSJCVUJPO GSPN OPOMJOFBS IBMP CJBT JF TFU ∂ 2 n̄i /∂δb2 |δb =0 = 0 GPS UIF TBNF
SFBTPO XF EFTDSJCF CFMPX &R TVDI IJHIFSPSEFS CJBT UFSNT BSF TBGFMZ OFHMJHJCMF GPS UIF
GPMMPXJOH SFTVMUT
" TJNJMBS FRVBUJPO IPMET GPS BOZ PUIFS PCTFSWBCMF TBZ ĝ "G୴FS TPNF TUSBJHIUGPSXBSE BMHFCSB
TFF "QQFOEJY XF DBO ୮ୢOE UIBU UIF DSPTTDPWBSJBODF CFUXFFO UIF UXP PCTFSWBCMFT fˆ BOE ĝ
JT HFOFSBMMZ HJWFO BT
ˆ
$PW f , ĝ $PW fˆ, ĝ
1PJT,ρMJO |δb
ˆ
5IF UFSN $PW f , ĝ
1PJT,ρMJO |δb
2
+ σm
(VS )
δb
∂ f¯ ∂ḡ
4
+ O(σm
).
∂δb ∂δb
JT UIF TUBOEBSE DPWBSJBODF UFSN XJUI DPSSFDUJPO UFSNT TVDI
δb
2
(VS )bi bj CVU TVDI UFSNT BSF OFHMJHJCMF JO QSBDUJDF BT XF EJTDVTTFE
BT B UFSN QSPQPSUJPOBM UP σm
2
UIF TFDPOE UFSN HJWFT B TJHOJ୮ୢDBOU PS
BCPWF
0O UIF PUIFS IBOE EFTQJUF UIF TNBMM GBDUPS σm
FWFO EPNJOBOU DPOUSJCVUJPO UP UIF DPWBSJBODF GPS B MBSHFWPMVNF TVSWFZ BT XF TIBMM TFF CFMPX
8F IFSFBG୴FS DBMM UIJT UFSN UIF ‫آ‬IBMP TBNQMF WBSJBODF‫) أ‬47
UFSN *O UIF GPMMPXJOH XF
BQQSPYJNBUF UIF GVMM DPWBSJBODF CZ B TVN PG UIF TUBOEBSE DPWBSJBODF BOE UIF )47 UFSN
$PW fˆ, ĝ $PW fˆ, ĝ
1PJT,ρMJO |δb =0
2
+ σm
(VS )
∂ f¯ ∂ḡ
.
∂δb ∂δb
5IF BCPWF EFSJWBUJPO JT TJNJMBS UP XIBU JT EPOF JO 3FG IPXFWFS JT EJ୭GFSFOU JO B TFOTF UIBU
XF EFSJWFE UIF )47 UFSNT CZ GVMMZ SFMZJOH PO UIF TFUUJOH BOE BTTVNQUJPOT CVJMU JOUP UIF IBMP
NPEFM BQQSPBDI
)ঊকঘ গঞখঋ঎ছ ঌঘঞগঝজ ঊগ঍ nঙঘ঒গঝ এঞগঌঝ঒ঘগজ ঘএ ঝ঑঎ খঊঝঝ঎ছ ঘট঎ছ঍঎গজ঒ঝঢ ঒গ ঍
*O UIJT TFDUJPO VTJOH UIF GPSNVMBUJPO JO UIF QSFDFEJOH TFDUJPO JO QBSUJDVMBS &R XF DPN
QVUF UIF DPWBSJBODFT PG UIF IBMP OVNCFS DPVOUT BOE UIF nQPJOU DPSSFMBUJPO GVODUJPOT BT XFMM BT
UIFJS DSPTTDPWBSJBODFT
)ঊকঘ গঞখঋ঎ছ ঌঘঞগঝজ
8F BTTVNF UIBU UIF OVNCFS DPVOUT PG IBMPT JO UIF iUI NBTT CJO DBO CF FTUJNBUFE GSPN B TVSWFZ
WPMVNF N̂i =
VS
d3 x n̂i (x, δb ) 5IF FOTFNCMF BWFSBHF PG UIF OVNCFS DPVOUT JT TJNQMZ
N̂i
dn Δmi VS .
= N̄i = n̄i VS =
dm mi
"TTVNJOH MJOFBS IBMP CJBT BT JO &R XF DBO DPNQVUF UIF ୮ୢSTU EFSJWBUJWF PG N̄i (δb ) XJUI
SFTQFDU UP δb ∂ N̄i /∂δb = bi N̄i )FODF GSPN &R XF ୮ୢOE UIF DPWBSJBODF PG UIF OVNCFS
DPVOUT UP CF
K
2
(VS )bi bj N̄i N̄j .
$PW N̂i , N̂j = δi,j
N̄i + σm
5IF IBMP OVNCFS DPVOUT PG EJ୭GFSFOU NBTT CJOT UIVT CFDPNF DPSSFMBUFE XJUI FBDI PUIFS UISPVHI
UIF TVQFSTVSWFZ NPEF δb BT GPVOE JO 3FGT 3FG TIPXFE UIBU UIF BCPWF DPWBSJBODF SF
QSPEVDFT UIF TJNVMBUJPO SFTVMUT XFMM XIJMF UIF UIFPSZ VOEFSFTUJNBUFT UIF TJNVMBUJPO JG JODMVE
JOH UIF ୮ୢSTU UFSN BMPOF JF UIF 1PJTTPO FSSPS BTTVNQUJPO
$ঘটঊছ঒ঊগঌ঎জ ঘএ nঙঘ঒গঝ খঊঝঝ঎ছ ঌঘছছ঎কঊঝ঒ঘগ এঞগঌঝ঒ঘগজ
/PX MFU VT DPOTJEFS DPWBSJBODFT PG UIF nQPJOU NBUUFS DPSSFMBUJPO GVODUJPOT 5IF VOEFSMZJOH
USVF nQPJOU DPSSFMBUJPO GVODUJPO P̄n (k1 , . . . , kn ) JT EF୮ୢOFE BT
K
δ(k1 )...δ(kn )c = VS δk
1 +...+
kn P̄n (k1 , ..., kn ),
XIFSF IFSF δ(k) SFGFST UP UIF USVF NBUUFS PWFSEFOTJUZ BT PQQPTFE UP UIF POF PCTFSWFE GSPN B ୮ୢ
K
OJUF CPY BOE XF TVCTUJUVUFE VS δk
3
kN UP UIF VTVBM (2π) δD (k1 +...+kN ) BT BQQSPQSJBUF
1 +...+
XIFO VTJOH EJTDSFUF 'PVSJFS USBOTGPSN 1ঘঠ঎ছ জঙ঎ঌঝছঞখ
'PS B ୮ୢOJUFWPMVNF TVSWFZ XF EF୮ୢOF BO FTUJNBUPS PG UIF QPXFS TQFDUSVN BT
P̂ (k) ≡
1
δ̂(q)δ̂(−q),
N (k)VS
|q |k
XIFSF UIF BWFSBHF JT PWFS B TIFMM PG XBWFWFDUPST q XIJDI IBWF MFOHUIT PG k XJUI B TIFMM XJEUI
Δk BOE N (k) JT UIF OVNCFS PG JOEFQFOEFOU 'PVSJFS NPEFT JO UIF TIFMM BQQSPYJNBUFE BT
1/3
N (k) k 2 ΔkVS /(2π 2 ) GPS UIF MJNJU k 1/VS 5IF FOTFNCMF BWFSBHF PG UIF FTUJNBUPS &R HJWFT UIF VOEFSMZJOH USVF QPXFS TQFDUSVN
XJUI B OFHMJHJCMF TNBMM DPSSFDUJPO BT XF EJTDVTTFE JO 4FDUJPO &NQMPZJOH UIF IBMP NPEFM
BQQSPBDI XF DBO EFSJWF UIF FOTFNCMFBWFSBHF QPXFS TQFDUSVN 3FG BMTP TFF "QQFOEJY GPS
UIF EFUBJMFE EFSJWBUJPO
P̄ (k) =
n̄i p1h
i (k) +
i
n̄i n̄j p2h
ij (k),
i,j
2
2
2h
2
XIFSF p1h
i (k) ≡ (mi /ρ̄) |ui (k)| BOE pij (k) ≡ (mi mj /ρ̄ )ui (k)uj (k)bi bj PMJO (k) 'PS UIF
BCPWF IBMP NPEFM FYQSFTTJPO XF EJTDSFUJ[FE UIF NBTT GVODUJPO JOUFHSBMT JOUP B TVNNBUJPO PWFS
IBMP NBTT CJOT
*OTFSUJOH UIF QPXFS TQFDUSVN FTUJNBUPS JOUP &R XF DBO EFSJWF BO FYQSFTTJPO PG UIF
QPXFS TQFDUSVN DPWBSJBODF JODMVEJOH UIF )47 F୭GFDU TFF "QQFOEJY GPS UIF EFUBJMFE EFSJWB
UJPO
K
2δk,k
1
T̄ (k, k )
P̄ 2 (k) +
$PW P̂ (k), P̂ (k ) =
N (k)
VS
2
dn̄
dn̄ 2
m
m
2
2
dm
|um (k)| + 2
dm
b(m)
b (m)
um (k)
+σm (VS )
dm
ρ̄
dm
ρ̄
m
dn̄
dm
×
b(m )
um (k) PMJO (k) × k ↔ k ,
dm
ρ̄
XIFSF T̄ (k, k ) JT UIF BOHMFBWFSBHFE TRVFF[FE USJTQFDUSVN 5IF ୮ୢSTU BOE TFDPOE UFSNT PO UIF
SIT BSF UIF TUBOEBSE (BVTTJBO BOE OPO(BVTTJBO UFSNT 5IF GPSNFS DPOUSJCVUFT POMZ UP
EJBHPOBM FMFNFOUT PG UIF DPWBSJBODF NBUSJY XIJMF UIF MBUUFS EFTDSJCFT DPSSFMBUJPOT CFUXFFO UIF
QPXFS TQFDUSB PG EJ୭GFSFOU NPEFT BSJTJOH GSPN UIF DPOOFDUFE QPJOU DPSSFMBUJPO GVODUJPO #PUI
UFSNT TDBMF XJUI UIF TVSWFZ WPMVNF BT 1/VS 5IF UIJSE UFSN JT UIF )47 UFSN BSJTJOH GSPN DPSSFMBUJPOT PG 'PVSJFS NPEFT JOTJEF UIF TVS
WFZ WPMVNF XJUI TVQFSTVSWFZ NPEFT 5IF )47 EFQFOET PO UIF SNT EFOTJUZ ୯୳VDUVB
2
(VS ) &R "T EJTDVTTFE JO 4FDUJPO UIF )47 UFSNT BSF
UJPOT PG UIF TVSWFZ WPMVNF σm
2
(VS ) ×
HJWFO JO UFSNT PG UIF SFTQPOTF PG UIF QPXFS TQFDUSVN UP UIF TVQFSTVSWFZ NPEF δb σm
(∂ P̄ (k)/∂δb )(∂ P̄ (k )/∂δb ) XIFSF XF VTFE UIF IBMP NPEFM UP DPNQVUF UIF EFSJWBUJWFT 5IF
)47 DPOUSJCVUJPO JO &R JODMVEFT UIF SFTQPOTF PG UIF IBMP UFSN UIBU PG UIF IBMP UFSN
BOE UIFJS DSPTT UFSNT 1IZTJDBMMZ UIJT F୭GFDU DBO CF JOUFSQSFUFE BT GPMMPXT JG UIF TVSWFZ WPMVNF
JT FNCFEEFE JO BO PWFSEFOTJUZ SFHJPO δb > 0 JU JODSFBTFT UIF IBMP OVNCFS DPVOUT BOE UIFO
DBVTFT BO VQTDBUUFS JO UIF QPXFS TQFDUSVN FTUJNBUF DPIFSFOUMZ PWFS EJ୭GFSFOU kCJOT 5IF )47
2
(VS ) &R XIJDI HFOFSBMMZ IBT B EJ୭GFSFOU EFQFO
UFSNT EFQFOE PO UIF TVSWFZ WPMVNF WJB σm
EFODF GSPN 1/VS #঒জঙ঎ঌঝছঞখ
4JNJMBSMZ UP UIF QPXFS TQFDUSVN XF DBO EF୮ୢOF UIF CJTQFDUSVN FTUJNBUPS GPS B USJBOHMF DPO୮ୢHV
SBUJPO UIBU JT TQFDJ୮ୢFE CZ UISFF TJEF MFOHUIT k1 , k2 , k3 B̂(k1 , k2 , k3 ) ≡
1
δK
δ̂(q 1 )δ̂(q 2 )δ̂(q 3 ),
NΔ (k1 , k2 , k3 )VS q ;q ∈k q 1 +q 2 +q 3
i
i i
XIFSF UIF TVNNBUJPO SVOT PWFS BMM UIF USJQMFUT PG UIF 'PVSJFS ୮ୢFME {δ̂(q i )} UIBU GPSN UIF USJBO
K
JNQPTFT
HMF DPO୮ୢHVSBUJPO XJUIJO UIF CJO XJEUIT BOE UIF ,SPOFDLFS EFMUB GVODUJPO δq
1 +q 2 +q 3
UIF USJBOHMF DPO୮ୢHVSBUJPO DPOEJUJPO JO 'PVSJFS TQBDF 5IF RVBOUJUZ NΔ (k1 , k2 , k3 ) JT UIF OVN
CFS PG JOEFQFOEFOU USJQMFUT GPS UIF USJBOHMF DPO୮ୢHVSBUJPO EF୮ୢOFE BT
NΔ (k1 , k2 , k3 ) ≡
q i ;qi ∈ki
K
δq
.
1 +q 2 +q 3
8JUIJO UIF IBMP NPEFM GSBNFXPSL UIF FOTFNCMF BWFSBHF PG UIF CJTQFDUSVN FTUJNBUPS JT HJWFO
CZ UIF TVN PG UIF BOE IBMP UFSNT BT
B̄ =
n̄i b1h
i +
i
n̄i n̄j b2h
ij +
i,j
n̄i n̄j n̄l b3h
ijl ,
i,j,l
XIFSF UIF TVNNBUJPO PG FBDI UFSN SVOT PWFS IBMP NBTT CJOT
3FG EFSJWFE UIF CJTQFDUSVN DPWBSJBODF JODMVEJOH UIF )47 UFSNT *O "QQFOEJY XF
SFWJTJU UIF DPWBSJBODF EFSJWBUJPO VOEFS PVS GPSNVMBUJPO XIFSF XF JODMVEF UIF )47 DPOUSJ
CVUJPOT UP UIF BOE IBMP UFSNT CZ DPNQVUJOH UIF SFTQPOTF UP UIF TVQFSTVSWFZ NPEFT
∂ B̄/∂δb $POUSBSZ UP UIF DBTF PG UIF QPXFS TQFDUSVN XF ୮ୢOE UIBU UIF )47 F୭GFDUT JO UIF BOE IBMP UFSNT BSF OFHMJHJCMF BOE UIFSFGPSF XF DPOTJEFS UIF IBMP UFSN BMPOF GPS UIF )47
F୭GFDU JO UIF GPMMPXJOH
Cov[B(k1 , k2 , k3 ), B(k1 , k2 , k3 )]HSV
dn̄
2
b(m)
=σm
(VS )
dm
dm
× k ↔ k .
m
ρ̄
3
um (k1 )um (k2 )um (k3 )
$ঘটঊছ঒ঊগঌ঎ ঋ঎ঝঠ঎঎গ n ঊগ঍ n ঙঘ঒গঝ ঌঘছছ঎কঊঝ঒ঘগ এঞগঌঝ঒ঘগজ
4JNJMBSMZ XF DBO FTUJNBUF UIF DSPTTDPWBSJBODF CFUXFFO UIF n BOE n QPJOU DPSSFMBUJPO GVOD
UJPOT 'PS JOTUBODF UIF )47 UFSN JO UIF DSPTTDPWBSJBODF CFUXFFO QPXFS TQFDUSVN BOE CJTQFD
2
(VS )(∂P/∂δb )(∂B/∂δb )
USVN DBO CF DPNQVUFE GSPN UIF SFTQPOTF JOWPMWJOH σm
$ছঘজজঌঘছছ঎কঊঝ঒ঘগ ঋ঎ঝঠ঎঎গ nঙঘ঒গঝ এঞগঌঝ঒ঘগজ ঊগ঍ ঑ঊকঘ গঞখঋ঎ছ ঌঘঞগঝজ
8IFO UIF IBMP OVNCFS DPVOUT BOE UIF NBUUFS nQPJOU DPSSFMBUJPO GVODUJPO BSF ESBXO GSPN UIF
TBNF TVSWFZ SFHJPO UIF UXP BSF DPSSFMBUFE XJUI FBDI PUIFS CFDBVTF CPUI QSPCF UIF VOEFSMZJOH
NBUUFS EFOTJUZ ୮ୢFME JO MBSHFTDBMF TUSVDUVSF
*O UIF DBTF PG UIF QPXFS TQFDUSVN &R MFBET UP
n̄j p2h
$PW N̂i , P̂ (k) = n̄i p1h
i (k) + 2
ij (k)
2
(VS )bi N̄i
+ σm
j
bj n̄j p1h
j (k) + 2
j
bj n̄j n̄l p2h
jl (k) .
j,l
'PS UIF CJTQFDUSVN DBTF UIF DSPTTDPWBSJBODF JT
n̄j b2h
n̄j n̄l b3h
$PW N̂i , B̂ = n̄i b1h
i +2
ij + 3
ijl
j
2
+ σm
(VS )bi N̄i
j,l
j
+3
bj n̄j b1h
j +2
bj n̄j n̄l b2h
jl
j,l
bj n̄j n̄l n̄m b3h
jlm .
j,l,m
*O CPUI DBTFT UIF UFSNT JO UIF ୮ୢSTU TRVBSF CSBDLFU PO UIF SIT BSJTF GSPN 'PVSJFS NPEFT JO
TJEF UIF TVSWFZ WPMVNF EVF UP UIF 1PJTTPO OBUVSF PG UIF IBMP OVNCFS DPVOUT BOE DPSSFTQPOE
UP ni ∂ P̄n /∂ni 5IF UFSNT JO UIF TFDPOE TRVBSF CSBDLFU BSF UIF )47 UFSNT BOE DPSSFTQPOE
2
UP σm
(VS )(∂ N̄i /∂δb )(∂ P̄n /∂δb ) 5IVT UIF TVQFSTVSWFZ NPEF δb DBVTFT B DPWBSJBODF JO UIF
OVNCFS DPVOUT BOE UIF nQPJOU DPSSFMBUJPO GVODUJPOT
"ঙঙক঒ঌঊঝ঒ঘগ ঝঘ ক঎গজ঒গঐ ঌঘগট঎ছঐ঎গঌ঎ ঊগ঍ ঌকঞজঝ঎ছজ গঞখঋ঎ছ ঌঘঞগঝজ
*O UIJT TFDUJPO XF DPOTJEFS BO BQQMJDBUJPO PG UIF GPSNVMBUJPO JO UIF UIF QSFDFEJOH TFDUJPO UP
XFBL MFOTJOH ୮ୢFME XIJDI JT B QSPKFDUFE ୮ୢFME PG UIF NBUUFS EFOTJUZ ୮ୢFME BMPOH UIF MJOF PG TJHIU
8F UIFO UFTU UIF QFSGPSNBODF PG PVS NFUIPE CZ DPNQBSJOH UIF NPEFM QSFEJDUJPOT XJUI SBZ
USBDJOH TJNVMBUJPOT /PUF UIBU UIF GPMMPXJOH GPSNVMBUJPO DBO CF BQQMJFE UP BOZ QSPKFDUFE ୮ୢFME
TVDI BT UIF UIFSNBM 4VOZBFW;FM‫ؠ‬EPWJDI F୭GFDU
'ছঘখ ঍ ঝঘ ঍ ক঎গজ঒গঐ ঌঘগট঎ছঐ঎গঌ঎ ঊগ঍ ঑ঊকঘ জঊখঙক঎ টঊছ঒ঊগঌ঎
5IF MFOTJOH DPOWFSHFODF ୮ୢFME JO BOHVMBS EJSFDUJPO θ PO UIF TLZ BOE GPS B TPVSDF HBMBYZ BU SFE
TIJG୴ zs JT HJWFO CZ UIF XFJHIUFE QSPKFDUJPO PG UIF NBUUFS EFOTJUZ ୮ୢFME BMPOH UIF MJOF PG TJHIU
χS
dχ q(χ, χs )δ̂[χ, d(χ)θ],
κ̂(θ) =
0
XIFSF χ SFGFST UP UIF SBEJBM DPNPWJOH EJTUBODF χs JT UIF EJTUBODF UP UIF TPVSDF BOE d(χ) JT UIF
DPNPWJOH BOHVMBS EJBNFUFS EJTUBODF 5IF GVODUJPO q(χ, χs ) JT UIF MFOTJOH QSPKFDUJPO LFSOFM
EF୮ୢOFE BT
3
q(χ, χs ) ≡
2
H0
c
2
Ωm d(χ)d(χS − χ)
,
a(χ)
d(χS )
XIFSF Ωm JT UIF QSFTFOUEBZ FOFSHZ EFOTJUZ QBSBNFUFS PG NBUUFS
&NQMPZJOH UIF -JNCFS BQQSPYJNBUJPO XF FYQSFTT UIF nQPJOU DPSSFMBUJPO GVODUJPO PG UIF
DPOWFSHFODF ୮ୢFME BT UIF MJOFPGTJHIU QSPKFDUJPO PG UIF DPSSFTQPOEJOH NBUUFS DPSSFMBUJPO GVOD
UJPO
P̄Nκ (l1 , ..., lN )
q N (χ)
l1
lN
δ
dχ 2(N −1)
P̄ k1 =
, ..., kN =
;χ .
d
(χ) N
d(χ)
d(χ)
χS
=
0
5IF MFOTJOH QPXFS TQFDUSVN BOE CJTQFDUSVN BSF PCUBJOFE GPS N = 2 BOE 3 SFTQFDUJWFMZ 3FG TIPXFE UIBU UIF -JNCFS BQQSPYJNBUJPO IPMET B HPPE BQQSPYJNBUJPO GPS l 100 JO XIJDI
XF BSF NPTU JOUFSFTUFE *O UIF GPMMPXJOH XF DPOTJEFS B ୯୳BUHFPNFUSZ VOJWFSTF GPS TJNQMJDJUZ GPS
XIJDI XF DBO VTF UIF SFMBUJPO d(χ) = χ
8F DPOTJEFS B TVSWFZ XJUI ୮ୢOJUF BSFB ΩS 'PS UIF ୮ୢOJUFWPMVNF F୭GFDU PO B QSPKFDUFE EFOTJUZ
୮ୢFME XF OFFE UP DPOTJEFS TVQFSTVSWFZ NPEFT BU FBDI SFETIJG୴ BMPOH UIF MJOF PG TJHIU 8F TJNQMZ
EJTDSFUJ[F UIF TVSWFZ WPMVNF JOUP WPMVNF FMFNFOUT BU FBDI SFETIJG୴ dV (z) ≡ χ2 ΩS Δχ XIFSF
χ JT UIF DPNPWJOH EJTUBODF UP SFETIJG୴ z BOE Δχ JT UIF XJEUI *O UIJT TFUUJOH XF DBO EF୮ୢOF UIF
DPIFSFOU EFOTJUZ NPEF BDSPTT UIF WPMVNF FMFNFOU BSPVOE SFETIJG୴ z dV (z) BT
δb (z) ≡
d3 x W (x; z)δ̂(x),
XIFSF W (x; z) JT UIF XJOEPX GVODUJPO PG UIF WPMVNF FMFNFOU dV (z) 8F TJNQMZ BTTVNF B
DJSDVMBSBQFSUVSF DZMJOEFSTIBQF HFPNFUSZ GPS dV (z) W (χ , χx⊥ ) = W (χ )W⊥ (x⊥ ) XJUI
W = Θ(1 − 2|χ − χ|/Δχ)/Δχ BOE W⊥ = Θ(1 − x⊥ /χθS )/ (χ2 ΩS ) )FSF W (χ )
BOE W⊥ (x⊥ ) BSF UIF XJOEPX GVODUJPOT QBSBMMFM PS QFSQFOEJDVMBS UP UIF MJOF PG TJHIU EJSFDUJPO
θs JT UIF TVSWFZ TJ[F ΩS = πθs2 BOE Θ(x) JT UIF )FBWJTJEF TUFQ GVODUJPO EF୮ୢOFE TVDI UIBU
Θ(x) = 1 JG x > 0 PUIFSXJTF Θ(x) = 0 5IFO UIF WBSJBODF PG UIF BWFSBHF EFOTJUZ ୯୳VDUVBUJPO
JT HJWFO BT
δb (z)
2
1
1
≡
dσ 2 (z; ΩS ) Δχ
Δχ
d2 k ⊥
|W⊥ (k⊥ )|2 Plin (|k⊥ |; χ),
(2π)2
XIFSF Wχ (k⊥ ) = 2J1 (k⊥ χθS )/(k⊥ χθS ) BOE XF IBWF BTTVNFE UIBU UIF SBEJBM CJO XJEUI Δχ JT
OBSSPX DPNQBSFE UP χ
3ঊঢঝছঊঌ঒গঐ জ঒খঞকঊঝ঒ঘগজ ঊগ঍ ঑ঊকঘ খঘ঍঎ক ঒গঐছ঎঍঒঎গঝজ
5P UFTU UIF BOBMZUJDBM NPEFM XF EFWFMPQFE JO UIJT QBQFS XF VTF SBZUSBDJOH TJNVMBUJPOT JO 4BUP
FU BM *O CSJFG UIF TJNVMBUJPOT XFSF HFOFSBUFE CBTFE PO UIF BMHPSJUIN JO 3FG VTJOH /CPEZ
TJNVMBUJPO PVUQVUT PG MBSHFTDBMF TUSVDUVSF GPS B Λ$%. VOJWFSTF UIBU JT DIBSBDUFSJ[FE CZ h =
0.732 H0 = 73.2 LN T−1 .QD−1 Ωm = 0.238 Ωb = 0.042 BOE UIF MJOFBS NBUUFS QPXFS
TQFDUSVN XJUI ns = 0.958 BOE σ8 = 0.76 *O UIJT QBQFS XF VTF UIF TJNVMBUJPO SFTVMUT GPS
TPVSDF SFETIJG୴ zs = 1 BOE VTF UIF SFBMJ[BUJPOT PG TJNVMBUFE DPOWFSHFODF NBQT BOE UIF
GSJFOEPGGSJFOE IBMP DBUBMPHT BMTP TFF XIFSF FBDI SFBMJ[BUJPO IBT BO BSFB PG 5 × 5 = 25 TRVBSF
EFHSFFT 8F FTUJNBUF UIF QPXFS TQFDUSVN BOE CJTQFDUSVN GSPN SFBMJ[BUJPOT GPMMPXJOH UIF
NFUIPE JO 3FG 5IF FTUJNBUFE QPXFS TQFDUSB BOE CJTQFDUSB XFSF DPOTJEFSFE UP CF BDDVSBUF UP
XJUIJO BCPVU ॎ JO UIF BNQMJUVEFT VQ UP l ∼ 6000 PS 4000 SFTQFDUJWFMZ 8F BMTP VTF UIF
SFBMJ[BUJPOT UP FTUJNBUF UIF DPWBSJBODFT BOE UIF DSPTTDPWBSJBODFT GPS UIF QPXFS TQFDUSB
CJTQFDUSB BOE IBMP OVNCFS DPVOUT
5IF SBZUSBDJOH TJNVMBUJPOT XF VTF XFSF EPOF JO B MJHIU DPOF WPMVNF XJUI BO PCTFSWFS‫ؠ‬T QP
TJUJPO CFJOH JUT DPOF WFSUFY 5IF SBZUSBDJOH TJNVMBUJPOT JODMVEF DPOUSJCVUJPOT GSPN /CPEZ
'PVSJFS NPEFT XJUI MFOHUI TDBMFT HSFBUFS UIBO UIF MJHIUDPOF WPMVNF BU FBDI MFOT SFETIJG୴ TFF
'JH JO 3FG 5IVT UIF TJNVMBUJPOT BSF TVJUBCMF UP TUVEZ UIF )47 F୭GFDU
"T GPS UIF IBMP NPEFM XF OFFE UP TQFDJGZ JUT JOHSFEJFOUT UP DPNQVUF UIF NPEFM QSFEJDUJPOT
GPS UIF TBNF DPTNPMPHJDBM NPEFM BT UIBU PG UIF TJNVMBUJPOT 8F FNQMPZ UIF 4IFUI5PSNFO
୮ୢUUJOH GPSNVMB UP DPNQVUF UIF IBMP NBTT GVODUJPO GPS XIJDI XF FNQMPZ UIF QBSBNFUFS
q = 0.75 JOTUFBE PG UIF PSJHJOBM WBMVF q = 0.707 BDDPSEJOH UP UIF SFTVMU JO 3FG 4JNJMBSMZ XF
VTF UIF MJOFBS IBMP CJBT GPS UIF 4IFUI5PSNFO NBTT GVODUJPO 8F VTF UIF GPSNVMB JO 3FG UP DPNQVUF UIF MJOFBSUIFPSZ FYUSBQPMBUFE PWFSEFOTJUZ δc GPS IBMP GPSNBUJPO BOE VTF UIF GPS
NVMB JO 3FG GPS UIF WJSJBM PWFSEFOTJUZ ΔWJS 8F FNQMPZ UIF /BWBSSP'SFOL8IJUF NPEFM GPS
UIF IBMP QSP୮ୢMF XIFSF XF BTTVNF UIF IBMP NBTT BOE DPODFOUSBUJPO QBSBNFUFS SFMBUJPO HJWFO JO
3FG 8F IBWF DIFDLFE UIBU UIF IBMP NPEFM QSFEJDUJPOT GPS UIF MFOTJOH QPXFS TQFDUSVN BOE
CJTQFDUSVN BSF JO SFBTPOBCMZ HPPE BHSFFNFOU XJUI UIF TJNVMBUJPO SFTVMUT UP ‫؛‬ॎ BDDVSBDZ JO
UIFJS BNQMJUVEFT PWFS UIF SBOHF PG NVMUJQPMFT XF DPOTJEFS
$কঞজঝ঎ছ ঌঘঞগঝজ ঊগ঍ ঌঘগট঎ছঐ঎গঌ঎ nঙঘ঒গঝ এঞগঌঝ঒ঘগজ
"গঐঞকঊছ ঌকঞজঝ঎ছ ঌঘঞগঝজ
8F BTTVNF UIBU PVS IZQPUIFUJDBM TVSWFZ HJWFT VT BDDFTT UP NBTTJWF DMVTUFST JO UIF MJHIUDPOF WPM
VNF BOE UIBU UIF BOHVMBS OVNCFS DPVOUT PG DMVTUFST DBO CF FTUJNBUFE GSPN UIF EBUB 5IF DV
NVMBUJWF BOHVMBS OVNCFS DPVOU PG DMVTUFST JO UIF iUI NBTT CJO VQ UP SFETIJG୴ zb JT HJWFO CZ BO
JOUFHSBUJPO PG IBMP NBTT GVODUJPO PWFS UIF MJHIUDPOF WPMVNF
2D
N̄i,<z
b
≡
2D
N̂i,<z
b
χb
dχ χ2 n̄i (χ),
= ΩS
0
XIFSF χb ≡ χ(zb ) BOE XF DPOTJEFSFE B TJNQMF TVSWFZ HFPNFUSZ JHOPSFE BOZ NBTLJOH F୭GFDU GPS
TJNQMJDJUZ
'SPN &R UIF DPWBSJBODF NBUSJY JT GPVOE UP CF
$PW[N̂i,<zb , N̂j,<zb ] =
K
N̂i,<NJO(zb ,zb )
δi,j
+
NJO(χb ,χb )
Ω2S
dχ n̄i n̄j bi bj χ4 dσ 2 (χ; Ωs ).
0
)FSF dσ 2 (z; ΩS ) JT HJWFO CZ &R 5IF BCPWF FYQSFTTJPO NBUDIFT UIF SFTVMU JO 3FG $ঘটঊছ঒ঊগঌ঎ এঘছ ক঎গজ঒গঐ nঙঘ঒গঝ ঌঘছছ঎কঊঝ঒ঘগ এঞগঌঝ঒ঘগজ
4JNJMBSMZ UP UIF EJTDVTTJPO JO 4FDUJPO UIF )47 DPOUSJCVUJPO UP UIF DPWBSJBODF CFUXFFO UIF
n BOE n QPJOU DPSSFMBUJPO GVODUJPOT PG UIF DPOWFSHFODF ୮ୢFME P̂nκ BOE P̂nκ JT HJWFO VOEFS PVS
GPSNVMBUJPO BT
Cov[P̂nκ , P̂nκ ]HSV
χS
=
0
q n+n (χ) ∂ P̄n ∂ P̄n 2
dχ 2(n+n −2)
dσ (χ; ΩS ).
χ
∂δb ∂δb
/PUF UIBU XF DBO JODMVEF UIF F୭GFDU PG UIF DPIFSFOU TVQFSTVSWFZ NPEF δb PO UIF IBMP UFSN
BOE UIF EJ୭GFSFOU IBMP UFSNT CZ DPNQVUJOH UIF SFTQPOTF GVODUJPOT TVDI BT ∂Pn /∂δb 5IJT EJG
GFST GSPN XIBU XBT EPOF JO UIF QSFWJPVT TUVEZ XIFSF POMZ UIF IBMP DPOUSJCVUJPO XBT DPN
QVUFE
'JHT BOE TIPX UIF EJBHPOBM BOE P୭GEJBHPOBM FMFNFOUT PG UIF QPXFS TQFDUSVN DPWBSJ
BODF BT B GVODUJPO PG NVMUJQPMFT SFTQFDUJWFMZ 5IF IBMP NPEFM QSFEJDUJPOT BSF JO GBJSMZ HPPE
BHSFFNFOU XJUI UIF TJNVMBUJPO SFTVMUT 5IJT BHSFFNFOU DBO CF SFBMJ[FE POMZ JG JODMVEJOH UIF
)47 DPOUSJCVUJPO 5IF SJHIU QBOFM PG 'JH TIPXT UIF SFTVMUT GPS UIF IBMP NPEFM XIFO JODMVE
JOH UIF )47 DPOUSJCVUJPOT GPS UIF IBMP UFSN XIJDI DBO CF DPNQBSFE XJUI UIF QSFWJPVT TUVEZ
10
Cov[P(l),P(l)]
-9
4
l
Cov[P(l),P(l)]
4
l
total
PP
T
HSV
10
-10
10
2
10
3
10
4
l
10
Cov[P(l),P(l)]
-9
4
l
Cov[P(l),P(l)]
4
l
total
PP
T
HSV
10
-10
10
2
10
3
10
4
l
)LJXUH &RPSDULVRQ RI RXU DQDO\WLFDO SUHGLFWLRQ IRU WKH OHQVLQJ SRZHU VSHFWUXP FRYDULDQFH (TV DQG ZLWK WKH
UD\WUDFLQJ VLPXODWLRQ UHVXOWV REWDLQHG IURP UHDOL]DWLRQV +HUH ZH FRQVLGHUHG D VLQJOH VRXUFH UHGVKLIW zs
= 1 )RU WKH
DQDO\WLFDO SUHGLFWLRQV WKH *DXVVLDQ WHUP 33 WKH WULVSHFWUXP WHUP 7 DQG WKH KDOR VDPSOH YDULDQFH +69 DUH LQFOXGHG 7KH
HUURU EDUV IRU WKH VLPXODWLRQ UHVXOWV DUH REWDLQHG IURP WKH YDULDQFH RI WKH UHDOL]DWLRQV ZKLFK FRUUHVSRQG WR 1σ VFDWWHUV
RI SRZHU VSHFWUXP HVWLPDWLRQ IRU VTXDUH GHJUHHV WKH DUHD RI HDFK UD\WUDFLQJ VLPXODWLRQ /HIW SDQHO :H LQFOXGHG RQO\ WKH
KDOR WHUP IRU WKH +69 FDOFXODWLRQ 5LJKW SDQHO :H IXUWKHU LQFOXGHG WKH KDOR WHUP FRQWULEXWLRQ IRU WKH +69 HIIHFW 7KH
DQDO\WLFDO SUHGLFWLRQV DUH LQ IDLUO\ JRRG DJUHHPHQW ZLWK WKH VLPXODWLRQ UHVXOWV RYHU D ZLGH UDQJH RI PXOWLSROHV LI WKH +69
HIIHFW LV LQFOXGHG LQ WKH DQDO\WLFDO SUHGLFWLRQ &RPSDULQJ WKH OHIW DQG ULJKW SDQHOV VKRZV WKDW LQFOXGLQJ WKH KDOR WHUP RI
WKH +69 HIIHFW LPSURYHV WKH DJUHHPHQW DW WKH WUDQVLWLRQ UHJLPH EHWZHHQ WKH DQG KDOR WHUPV LQ WKH UDQJH RI l
KXQGUHGV WR 103 D IHZ
TVDI BT 3FG 5IF ୮ୢHVSF TIPXT UIBU JODMVEJOH UIF )47 IBMP UFSN JNQSPWFT UIF BHSFFNFOU
PWFS B SBOHF PG UIF USBOTJUJPO SFHJNF CFUXFFO UIF BOE IBMP UFSNT /PUF UIBU UIFTF SFTVMUT BSF
GPS TVSWFZ BSFB PG TR EFHSFFT UIF BSFB PG UIF SBZUSBDJOH TJNVMBUJPOT XF VTF TFF 4FDUJPO CVU UIF )47 F୭GFDUT BSF TJHOJ୮ୢDBOU GPS BOZ TVSWFZ BSFB PG VQDPNJOH TVSWFZT TFF 3FGT *O 'JHT ‫ ؛‬XF TIPX UIF SFTVMUT GPS UIF CJTQFDUSVN DPWBSJBODF BOE UIF DSPTTDPWBSJBODF
CFUXFFO QPXFS TQFDUSVN BOE CJTQFDUSVN 8F GPMMPXFE UIF NFUIPE JO 3FG BOE GPS UIFTF
୮ୢHVSFT XF DPOTJEFSFE UIF CJTQFDUSB PG FRVJMBUFSBM USJBOHMF DPO୮ୢHVSBUJPOT BHBJOTU UIF TJEF MFOHUI
5IF IBMP NPEFM JT BHBJO JO HPPE BHSFFNFOU XJUI UIF TJNVMBUJPOT UP B MFWFM PG ‫؛‬ॎ BDDVSBDZ
JO UIFJS BNQMJUVEFT GPS CPUI UIF EJBHPOBM BOE P୭GEJBHPOBM UFSNT
$ছঘজজঌঘটঊছ঒ঊগঌ঎জ ঋ঎ঝঠ঎঎গ ঊগঐঞকঊছ গঞখঋ঎ছ ঌঘঞগঝজ ঘএ ঑ঊকঘজ ঊগ঍ ঝ঑঎ ক঎গজ঒গঐ n
ঙঘ঒গঝ ঌঘছছ঎কঊঝ঒ঘগ এঞগঌঝ঒ঘগজ
"QQMZJOH UIF GPSNVMBUJPO GPS % ୮ୢFMET JO 4FDUJPO UP % ୮ୢFMET XF DBO FTUJNBUF UIF DSPTT
DPWBSJBODF CFUXFFO UIF BOHVMBS OVNCFS DPVOUT PG DMVTUFST BOE UIF MFOTJOH QPXFS TQFDUSVN
2
q
(χ)
dχ
n̄i p1h
n̄i n̄j p2h
$PW[N̂M >Mth , P̂ κ (l)] =
i (k) + 2
ij (k)
2
χ
0
i>imin
i>imin ,j
χS
∂ P̄ (k) 2
dχ q 2 (χ)
n̄i bi
dσ (χ; ΩS ), +ΩS
∂δ
b
0
i>i
χS
min
XIFSF k = l/χ JO UIF BSHVNFOUT PO UIF SIT
5IF DSPTTDPWBSJBODF GPS UIF MFOTJOH CJTQFDUSVN JT
χS
$PW[N̂M >Mth , B̂(l)] =
3
q (χ)
χ4
dχ
0
+3
i>imin
n̄i n̄j n̄l b3h
ijl (k)
χS
+ ΩS
0
n̄i n̄j b2h
ij (k)
i>imin ,j
i>imin ,j,l
n̄i b1h
i (k) + 2
q 3 (χ)
dχ
χ2
n̄i bi
i>imin
∂ B̄(k) 2
dσ (χ; ΩS ),
∂δb
XIFSF XF IBWF BHBJO VTFE UIF DPMMBQTFE OPUBUJPO TVDI BT l = (l1 , l2 , l3 ) BOE k = (l1 /χ, l2 /χ, l3 /χ)
5P CF NPSF HFOFSBM UIF DSPTTDPWBSJBODF GPS UIF MFOTJOH N QPJOU DPSSFMBUJPO GVODUJPO JT
HJWFO BT
χS
$PW[N̂M >Mth , P̂N ] =
0
q N (χ)
dχ 2(N −1)
χ
+N
i>imin
χS
+ ΩS
0
n̄i n̄j p2h
ij + ...
i>imin ,j
h
n̄i1 n̄i2 ...n̄iN pN
i1 ,i2 ,...,iN
i1 >imin ,i2 ,...,iN
n̄i p1h
i +2
q N (χ)
dχ 2(N −2)
χ
i>imin
n̄i bi
∂ P̄N 2
dσ (χ; ΩS ).
∂δb
*O 'JHT BOE XF DPNQBSF UIF IBMP NPEFM QSFEJDUJPOT GPS UIF DSPTTDPWBSJBODF PG UIF
BOHVMBS OVNCFS DPVOUT PG IBMPT XJUI UIF MFOTJOH QPXFS TQFDUSVN PS CJTQFDUSVN 'PS UIF IBMP
OVNCFS DPVOUT XF JODMVEFE BMM UIF IBMPT UIBU BSF JO UIF MJHIU DPOF VQ UP zs = 1 BOE PWFS BSFB
PG TRVBSF EFHSFFT BSFB PG UIF SBZUSBDJOH TJNVMBUJPO
#PUI ୮ୢHVSFT TIPX UIBU UIF IBMP NPEFM
QSFEJDUJPOT BSF JO GBJSMZ OJDF BHSFFNFOU XJUI UIF TJNVMBUJPO SFTVMUT JG JODMVEJOH UIF )47 DPOUSJ
CVUJPO *U JT BMTP TIPXO UIBU JODMVEJOH UIF EJ୭GFSFOU IBMP UFSNT PG UIF )47 F୭GFDU CFUUFS BHSFFT
XJUI UIF TJNVMBUJPO SFTVMUT PWFS B SBOHF PG UIF USBOTJUJPO SFHJNF PG NVMUJQPMFT CFUXFFO UIF IBMP UFSN BOE UIF EJ୭GFSFOU IBMP UFSNT
2
l
th
Cov[NM >M ,P(l)]
th
-3
th
Cov[NM >M ,P(l)]
10
th
Cov[NM >M ,P(l)]
10
2
l
Cov[NM >M ,P(l)]
-3
10
-4
2
l
-4
2
l
10
total
total
NP
NP
HSV
10
HSV
-5
10
2
10
3
10
10
4
-5
10
2
10
l
3
10
l
)LJXUH &URVVFRYDULDQFH EHWZHHQ WKH DQJXODU QXPEHU FRXQWV RI KDORV DQG WKH OHQVLQJ SRZHU VSHFWUXP Pκ (l) DV D IXQF
WLRQ RI PXOWLSROHV )RU WKH QXPEHU FRXQWV ZH LQFOXGHG DOO WKH KDORV WKDW DUH LQ WKH OLJKW FRQH XS WR zs
= 1 RYHU DUHD VT
= 1014 M /h 7KH HUURU EDUV IRU WKH VLP
GHJUHHV DUHD RI WKH UD\WUDFLQJ VLPXODWLRQ DQG KDYH PDVVHV JUHDWHU WKDQ M
XODWLRQ UHVXOWV DUH WKH YDULDQFH HVWLPDWHG IURP WKH UHDOL]DWLRQV )RU WKH KDOR PRGHO SUHGLFWLRQ ZH XVHG (T WR
FRPSXWH WKH FRQWULEXWLRQV DULVLQJ IURP WKH SURGXFW RI WKH QXPEHU FRXQWV DQG WKH SRZHU VSHFWUXP 13 DQG WKH +69 HIIHFW
7KH GLIIHUHQFH EHWZHHQ WKH OHIW DQG ULJKW SDQHOV LV ZKHWKHU WKH KDOR PRGHO SUHGLFWLRQ LQFOXGHV WKH KDOR WHUP RI WKH +69
HIIHFW ULJKW RU QRW OHIW 7KH KDOR PRGHO SUHGLFWLRQ ZLWK WKH KDOR +69 HIIHFW UHSURGXFHV WKH VLPXODWLRQ UHVXOW RYHU WKH
UDQJH RI PXOWLSROHV ZHOO
3
l
th
10
Cov[NM >M ,Beq(l)]
th
-7
total
NB
NB
HSV
HSV
th
Cov[NM >M ,Beq(l)]
total
th
Cov[NM >M ,Beq(l)]
10
3
l
Cov[NM >M ,Beq(l)]
-7
10
-8
3
l
-8
3
l
10
10
-9
10
2
10
3
10
10
4
-9
10
l
2
10
3
10
l
)LJXUH 6LPLODUO\ WR WKH SUHYLRXV SORW WKH FURVVFRYDULDQFH EHWZHHQ WKH DQJXODU KDOR QXPEHU FRXQWV DQG WKH ELVSHFWUXP
RI HTXLODWHUDO WULDQJOH FRQĆJXUDWLRQV Bκ,eq (l, l, l) 7KH KDOR PRGHO FRPSXWDWLRQ LV EDVHG RQ (T 7KH GLIIHUHQFH
EHWZHHQ WKH OHIW DQG ULJKW SDQHOV LV ZKHWKHU ZH LQFOXGHG WKH DQG KDOR WHUPV IRU WKH +69 FRQWULEXWLRQ LQ WKH KDOR PRGHO
SUHGLFWLRQ ULJKW SDQHO RU QRW OHIW
4
4
+ঘ঒গঝ ক঒ঔ঎ক঒঑ঘঘ঍ এঘছ ঙঘঠ঎ছ জঙ঎ঌঝছঞখ ঋ঒জঙ঎ঌঝছঞখ ঊগ঍ ঌকঞজঝ঎ছ ঌঘঞগঝজ ঊগ঍
'঒জ঑঎ছ এঘছ঎ঌঊজঝ
8F IBWF TP GBS EFSJWFE UIF DP PS DSPTTWBSJBODFT CFUXFFO UIF IBMP OVNCFS DPVOUT UIF QPXFS
TQFDUSVN BOE UIF CJTQFDUSVN *O UIJT TFDUJPO XF EJTDVTT UIFJS KPJOU MJLFMJIPPE GVODUJPO &Y
BDUMZ TQFBLJOH B EFSJWBUJPO PG UIF MJLFMJIPPE GVODUJPO SFRVJSFT B LOPXMFEHF PO BMM UIF IJHIFS
PSEFS DVNVMBOUT PG UIF PCTFSWBCMFT CFZPOE UIF TFDPOEPSEFS NPNFOUT TVDI BT UIF TLFXOFTT
BOE LVSUPTJT )FSF XF JOTUFBE BTTVNF UIBU UIF KPJOU MJLFMJIPPE GVODUJPO PCFZT B NVMUJWBSJ
BUF (BVTTJBO GVODUJPO UIBU JT HJWFO CZ UIF NFBO WBMVFT BOE UIF TFDPOEPSEFS WBSJBODFT DP PS
DSPTTDPWBSJBODFT
PG UIF PCTFSWBCMFT XIJDI XF IBWF BMSFBEZ EFSJWFE VQ UP UIF QSFWJPVT TFD
UJPO 5IF NVMUJWBSJBUF (BVTTJBO MJLFMJIPPE JT TPNFXIBU FYQFDUFE GPS UIF MFOTJOH ୮ୢFMET BU IJHI
NVMUJQPMFT EVF UP UIF DFOUSBM MJNJU UIFPSFN CFDBVTF UIF MFOTJOH ୮ୢFME JT GSPN B QSPKFDUJPO PG JO
EFQFOEFOU MBSHFTDBMF TUSVDUVSF BU EJ୭GFSFOU SFETIJG୴T BMPOH UIF MJOFPGTJHIU BOE BMTP CFDBVTF UIF
QPXFS TQFDUSVN BOE CJTQFDUSVN PG IJHI NVMUJQPMFT BSF GSPN UIF BWFSBHFT PWFS B MBSHF OVNCFS
PG 'PVSJFS NPEFT
5IVT XF BTTVNF UIBU UIF KPJOU MJLFMJIPPE GVODUJPO GPS PCTFSWBCMFT D PCFZT UIF GPMMPXJOH
NVMUJWBSJBUF (BVTTJBO
t −1 1
D − D̄ ,
L (D) ∝ FYQ − D − D̄ Σ
2
XIFSF D EFOPUFT UIF PCTFSWBCMF WFDUPS FH EF୮ୢOFE B D ≡ {P̂ (l)}, {B̂(l)}, N̂M >Mth D̄
EFOPUFT JUT NFBO WFDUPS Σ JUT DP PS DSPTTWBSJBODF NBUSJY BOE Σ−1 JT UIF JOWFSTF NBUSJY /PUF
UIBU Σ DPOUBJOT CPUI EJBHPOBM BOE P୭GEJBHPOBM DPWBSJBODFT 5IF WFDUPS BOE NBUSJY OPUBUJPOT
P
0.14
N,P
P,B
0.12
N,P,B
σ(As )/As
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
10
2
lmax
10
3
)LJXUH )RUHFDVW HUURU RQ WKH DPSOLWXGH RI VFDODU SHUWXUEDWLRQV AS DV D IXQFWLRQ RI WKH PD[LPXP REVHUYHG PXOWLSROH
lPD[ ZKHQ PDUJLQDOL]LQJ RYHU Ωm DQG NHHSLQJ DOO RWKHU SDUDPHWHUV Ć[HG :H KHUH DVVXPHG D K\SRWKHWLFDO VXUYH\ WKDW
= 3z0 = 1 :H LQFOXGHG
WKH JDOD[\ VKDSH QRLVH FRQWDPLQDWLRQ DVVXPLQJ σ = 0.22 DQG nJDO = 20DUFPLQ−2 IRU WKH QXPEHU GHQVLW\ DQG WKH
LV FKDUDFWHUL]HG E\ DUHD 15000 VT GHJ DQG WKH UHGVKLIW GLVWULEXWLRQ IROORZLQJ ZLWK zs UPV LQWULQVLF HOOOLSWLFLWLHV 7KH VROLG UHG FXUYH VKRZV WKH HUURU ZKHQ LQFOXGLQJ WKH SRZHU VSHFWUXP LQIRUPDWLRQ DORQH 7KH
VROLGJUHHQ DQG GDVKHG FXUYHV VKRZ WKH UHVXOWV ZKHQ IXUWKHU LQFOXGLQJ WKH ELVSHFWUXP PHDVXUHPHQWV RI HTXLODWHUDO WULDQJOH
FRQĆJXUDWLRQ DQG WKH FOXVWHU QXPEHU FRXQWV
'JHT BOE TIPX UIF KPJOU EJTUSJCVUJPOT GPS B DPNCJOBUJPO PG UIF BOHVMBS OVNCFS
DPVOUT PG IBMPT UIF MFOTJOH QPXFS TQFDUSVN PS UIF MFOTJOH CJTQFDUSVN PG FRVJMBUFSBM USJBOHMF
DPO୮ୢHVSBUJPOT 5IF IBMP NPEFM GBJSMZ SFQSPEVDFT UIF KPJOU EJTUSJCVUJPOT XFMM PWFS B SBOHF PG
NVMUJQPMFT UIF XJEUI BOE UIF EJSFDUJPO PG UIF DSPTTDPSSFMBUJPO
)PXFWFS XF OPUF UIBU UIF
BHSFFNFOU GPS UIF CJTQFDUSVN JT OPU SFMBUJWFMZ BT HPPE BT GPS UIF QPXFS TQFDUSVN SF୯୳FDUJOH UIF
MJNJUBUJPO PG UIF NVMUJWBSJBUF (BVTTJBO BTTVNQUJPO GPS UIF CJTQFDUSVN EJTUSJCVUJPO
)BWJOH GPVOE UIBU UIF IBMP NPEFM GBJSMZ XFMM EFTDSJCFT UIF KPJOU MJLFMJIPPE GVODUJPOT CF
UXFFO UIF DMVTUFS OVNCFS DPVOUT BOE UIF MFOTJOH DPSSFMBUJPO GVODUJPOT XF OPX EJTDVTT IPX
B GVUVSF TVSWFZ DBO JNQSPWF DPTNPMPHJDBM DPOTUSBJOUT CBTFE PO UIF KPJOU NFBTVSFNFOUT PG UIF
EJ୭GFSFOU PCTFSWBCMFT PCUBJOFE GSPN UIF TBNF TVSWFZ EBUB "T POF EFNPOTUSBUJPO XF DPOTJEFS
POMZ UXP DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST UIF NBUUFS EFOTJUZ QBSBNFUFS Ωm BOE UIF BNQMJUVEF QBSBN
FUFS PG UIF QSJNPSEJBM DVSWBUVSF QFSUVSCBUJPO As CPUI PG XIJDI BSF TFOTJUJWF UP UIF BNQMJUVEFT
PG UIF OVNCFS DPVOUT BOE UIF MFOTJOH DPSSFMBUJPO GVODUJPOT BOE UIFSFGPSF BSF NPTU B୭GFDUFE CZ
UIF )47 F୭GFDU )PXFWFS OPUF UIBU XF ୮ୢY BMM PUIFS QBSBNFUFST UP UIFJS ୮ୢEVDJBM WBMVFT "TTVN
JOH UIF NVMUJWBSJBUF (BVTTJBO MJLFMJIPPE XF VTF UIF 'JTIFS JOGPSNBUJPO NBUSJY GPSNBMJTN UP
QFSGPSN B QBSBNFUFS GPSFDBTU
Fij =
∂D t −1 ∂D
Σ
,
∂pi
∂pj
XIFSF pi EFOPUFT UIF iUI DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFS Ωm PS As 5P NBLF QBSBNFUFS GPSFDBTU GPS
B IZQPUIFUJDBM GVUVSF TVSWFZ XF JODMVEF UIF TIBQF OPJTF DPOUBNJOBUJPO UP UIF MFOTJOH QPXFS
TQFDUSVN BOE CJTQFDUSVN DPWBSJBODFT GPS XIJDI XF NPEFM BTTVNJOH n̄g = 20 BSDNJO−2 BOE
σ = 0.22 GPS UIF NFBO OVNCFS EFOTJUZ PG TPVSDF HBMBYJFT BOE UIF SNT JOUSJOTJD FMMJQUJDJUJFT
SFTQFDUJWFMZ 8F BTTVNF ΩS = 15, 000 TR EFHSFFT GPS TVSWFZ BSFB BOE NPEFM UIF SFETIJG୴ EJTUSJ
CVUJPO PG TPVSDF HBMBYJFT CZ BO BOBMZUJDBM NPEFM UIBU JT HJWFO CZ zs = 3z0 = 1 JO &R JO
0HVSJ 5BLBEB 5IFTF TVSWFZ QBSBNFUFST SFTFNCMF UIPTF FYQFDUFE GPS B &VDMJEUZQF TVSWFZ
'JH TIPXT UIF FYQFDUFE QSFDJTJPO PG As JODMVEJOH NBSHJOBMJ[BUJPO PWFS Ωm BT B GVODUJPO
PG NBYJNVN NVMUJQPMF VQ UP XIJDI XF JODMVEF UIF QPXFS TQFDUSVN JOGPSNBUJPO BOE BMTP
UIF MFOTJOH CJTQFDUSVN
/PUF UIBU GPS UIF CJTQFDUSVN XF JODMVEFE BMM UIF FRVJMBUFSBM USJBOHMF
DPO୮ୢHVSBUJPOT BWBJMBCMF PWFS B SBOHF PG NVMUJQPMFT VQ UP B HJWFO NBYJNVN NVMUJQPMF CVU EJE
OPU JODMVEF PUIFS USJBOHMF JOGPSNBUJPO 5IF ୮ୢHVSF TIPXT UIBU DPNCJOJOH UIF DMVTUFS OVNCFS
DPVOUT XJUI UIF QPXFS TQFDUSVN BOE CJTQFDUSVN NFBTVSFNFOUT GPS lmax = 1000 XIJDI JT UIF
UBSHFU NBYJNVN NVMUJQPMF GPS UIF &VDMJE TVSWFZ UJHIUFOT UIF FSSPS CZ B GBDUPS PG 30‫؛‬40% 5IJT
JNQSPWFNFOU JT FRVJWBMFOU UP B GBDUPS XJEFS TVSWFZ BSFB
$ঘগঌকঞজ঒ঘগ
*O UIJT QBQFS XF QSFTFOUFE B TJNQMF BOE HFOFSBM GPSNBMJTN UP DPNQVUF UIF IBMP TBNQMF WBSJ
BODFT GPS UIF DMVTUFS DPVOUT BOE BOZ nQPJOU GVODUJPO GPS UIF NBUUFS EFOTJUZ PS BOZ QSPKFDUFE
EFOTJUZ ୮ୢFME TVDI BT DPTNJD TIFBS PS UIF UIFSNBM 4VOZBFW;FM‫ؠ‬EPWJDI F୭GFDU 5IFTF SFTVMUT SFMZ
POMZ PO UIF BTTVNQUJPOT CVJMU JOUP UIF IBMP NPEFM QSPWJEF B HPPE ୮ୢU UP UIF TJNVMBUJPO GSPN
3FG BOE BMMPX GPS BO JOUVJUJWF VOEFSTUBOEJOH PG BMM UIF UFSNT
8F QSFTFOUFE B TJNQMF BOTBU[ GPS UIF KPJOU MJLFMJIPPE PG DMVTUFS DPVOUT QPXFS TQFDUSVN BOE
CJTQFDUSVN PG UIF MFOTJOH DPOWFSHFODF BOE TIPXFE JUT SFMBUJWFMZ HPPE BHSFFNFOU XJUI TJNV
MBUJPO 8F VTFE UIJT KPJOU MJLFMJIPPE UP FTUJNBUF UIBU DPOTUSBJOUT PO DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST
TVDI BT Ωm BOE As DBO CF JNQSPWFE CZ 30% 40%
JG POF DPNCJOFT UIF DMVTUFS DPVOUT XJUI UIF
QPXFS TQFDUSVN NFBTVSFNFOU GVSUIFS DPNCJOFE XJUI UIF MFOTJOH CJTQFDUSVN
5IJT JT FRVJWB
MFOU UP EPVCMJOH UIF TVSWFZ WPMVNF
5BLJOH JOUP BDDPVOU UIF TQFDJ୮ୢD HFPNFUSZ PG UIF TVSWFZ BOE OPU POMZ JUT WPMVNF
BT XFMM BT
UIF TFMFDUJPO GVODUJPOT GPS UIF DMVTUFS DPVOUT BOE UIF VODFSUBJOUZ PO UIF NBTT EFUFSNJOBUJPO
DPOTUJUVUF JOUFSFTUJOH FYUFOTJPOT PG UIJT TUVEZ XIJDI XF MFBWF GPS GVUVSF XPSL
"ঙঙ঎গ঍঒ড .ঊঝঝ঎ছ N ঙঘ঒গঝ এঞগঌঝ঒ঘগজ ঎ডঙ঎ঌঝঊঝ঒ঘগ টঊকঞ঎জ ঊগ঍ ঌঘটঊছ঒ঊগঌ঎জ
&ডঙ঎ঌঝঊঝ঒ঘগ টঊকঞ঎জ ঑ঊকঘ ঍঎ঌঘখঙঘজ঒ঝ঒ঘগ
*O UIJT TVCTFDUJPO XF EFSJWF UIF FYQFDUBUJPO WBMVF PG PVS QPXFS TQFDUSVN FTUJNBUPS XJUIPVU
VTJOH UIF HFOFSBM SFTVMUT GSPN 4FDUJPO JO PSEFS UP TFF JO NPSF EFUBJMT XIZ UIF FYQFDUBUJPO
WBMVF JT OPU B୭GFDUFE CZ UIF ୮ୢOJUF TJ[F F୭GFDU 5IF TBNF SFBTPOJOH BQQMJFT UP BOZ nQPJOU GVODUJPO
BT XF TIBMM FYQMBJO
0VS FTUJNBUPS GPS UIF QPXFS TQFDUSVN JT HJWFO CZ &R XIFSF UIF NBUUFS PWFSEFOTJUZ JT
EFTDSJCFE JO UIF IBMP NPEFM CZ &R 5IF FYQFDUBUJPO WBMVF GPS UIF QPXFS TQFDUSVN FTUJNB
UPS JT PCUBJOFE EJSFDUMZ GSPN
!
δ̂(q 1 )δ̂(q 2 ) =
mi mj i,j
=
ρ̄2
mi mj i,j
ρ̄2
"
ui (q 1 )uj (q 2 ) n̂i (q 1 , δb )n̂j (q 2 , δb )
ui (q 1 )uj (q 2 ) n̂i (q 1 , δb )n̂j (q 2 , δb ) .
5IVT XF POMZ OFFE UP DPNQVUF UIF RVBOUJUZ n̂i (q 1 , δb )n̂j (q 2 , δb ) 8F EFDPNQPTF UIF BWFSBH
JOH QSPDFEVSF JOUP NBSHJOBMJ[JOH PWFS UIF 1PJTTPO TBNQMJOH UIFO UIF VOEFSMZJOH EFOTJUZ ρMJO BOE FWFOUVBMMZ UIF MPDBM BWFSBHF PWFSEFOTJUZ δb 5IF 'JSTU BWFSBHF JT PCUBJOFE GSPN &R BOE
HJWFT UIF VTVBM 1PJTTPO TIPU OPJTF
K
n̂i (x1 )n̂j (x2 )1PJT = ni (x1 )nj (x2 ) + δi,j
δD (x1 − x2 )ni (x),
XIFSF BHBJO XF EF୮ୢOFE ni (x) ≡ n̂i (x)1PJT "G୴FS 'PVSJFS USBOTGPSN UIJT CFDPNFT
K
n̂i (q 1 )n̂j (q 2 )1PJT = ni (q 1 )nj (q 2 ) + δi,j
ni (q 1 + q 2 ).
"WFSBHJOH PWFS UIF VOEFSMZJOH EFOTJUZ ୮ୢFME BU ୮ୢYFE δb HJWFT
K
n̄i (δb ) (2π)3 δD (q 1 + q 2 )
n̂i (q 1 )n̂j (q 2 )1PJT,ρMJO |δb = ni (q 1 )nj (q 2 )ρMJO |δb + δi,j
= n̄i (δb )n̄j (δb ) δih (q 1 )δjh (q 2 ) ρ
MJO |δb
K
+ δi,j
n̄i (δb ) (2π)3 δD (q 1 + q 2 )
K
n̄i (δb ) (2π)3 δD (q 1 + q 2 ).
= n̄i (δb )n̄j (δb )bi bj PMJO (q1 ) + δi,j
)FSF XF JOUSPEVDFE UIF VTVBM IBMP OVNCFS PWFSEFOTJUZ δih GPS IBMPT PG NBTT mi BOE VTFE UIF
MJOFBS CJBT UP XSJUF δih δjh = (2π)3 δD bi bj PMJO 4XJUDIJOH UP EJTDSFUF 'PVSJFS USBOTGPSN UIJT
CFDPNFT
K
K
n̂i (q 1 )n̂j (q 2 )1PJT,ρMJO |δb = n̄i (δb )n̄j (δb )bi bj PMJO (q1 ) + δi,j
n̄i (δb ) VS δq
.
1 +q 2
)FODF UIF FYQFDUBUJPO WBMVF PG UIF QPXFS TQFDUSVN BU ୮ୢYFE δb P̂ (k)
|δb
=
mi mj ρ̄2
i,j
ui (k)uj (k) n̄i (δb )n̄j (δb )bi bj PMJO (k) +
m i 2
ρ̄
i
|ui (k)|2 n̄i (δb ).
5IJT JT OPUIJOH CVU UIF IBMP EFDPNQPTJUJPO P = P 1h +P 2h FYDFQU GPS UIF FYUSB δb EFQFOEFODF
5P NBSHJOBMJ[F PWFS δb XF TJNQMZ VTF &R P̂ (k) =
mi mj i,j
ρ̄2
ui (k)uj (k) n̄i n̄j 1 +
2
σm
bi bj
bi bj PMJO (k) +
m i 2
i
ρ̄
|ui (k)|2 n̄i .
5IJT BWFSBHJOH QSPDFEVSF JT FRVJWBMFOU UP UIF POF EFTDSJCFE CZ FR JO 4FDUJPO 1SPWJEFE
2
bi bj 1 XF TFF UIBU UIF ୮ୢOJUF TJ[F PG UIF CPY EPFT OPU MFBE UP BOZ TJHOJ୮ୢDBOU CJBT JO
UIBU σm
PVS QPXFS TQFDUSVN FTUJNBUPS
5IF TBNF SFBTPOJOH BQQMJFT GPS BOZ nQPJOU GVODUJPO POF DBO EJTSFHBSE UIF F୭GFDU PG δb XIFO
DPNQVUJOH FYQFDUBUJPO WBMVFT BOE VTJOH UIF 1PJTTPO QSPQFSUZ &R MFBET UP UIF TUBOEBSE
IBMP EFDPNQPTJUJPO PN = PN1h + ... + PNN h $ঘটঊছ঒ঊগঌ঎জ
*O UIJT TVCTFDUJPO XF EFSJWF BOE EJTDVTT UIF HFOFSBM SFTVMU &R 8F TUBSU XJUI PCTFSWBCMFT
fˆ BOE ĝ UIBU BSF EFUFSNJOFE CZ UIF IBMP DPVOUT {n̂i (x)} BOE XF DBMM f¯(δb ) = fˆ BOE
δb
TJNJMBSMZ GPS ĝ
8F 5BZMPS FYQBOE f¯ BOE ḡ
BSPVOE δb = 0
2 ¯
¯
∂
f
1
f
∂
δb +
δb2 + O(δb3 ),
f¯(δb ) = f¯(0) +
2
∂δb δb =0
2 ∂δb δb =0
NBSHJOBMJ[JOH PWFS δb UIFO ZJFMET
1 ∂ 2 f¯
4
¯
¯
f (δb ) = f (0) +
σ 2 + O(σm
),
2 ∂δb2 δb =0 m
¯
∂ḡ
∂
f
2
4
σm
+ O(σm
).
f¯(δb )ḡ(δb ) = f¯(δb ) ḡ(δb ) +
∂δb δb =0 ∂δb δb =0
BOE
%FSJWJOH SFMBUJPO JT OPX TUSBJHIUGPSXBSE
ˆ
ˆ
$PW f , ĝ ≡
f ĝ
−
fˆ
ĝ|δb
|δb
δb
|δb
δb
|δb
δb
=
fˆĝ
− f¯(δb ) δ ḡ(δb )δb
δb
b
∂ḡ ∂ f¯ 2
4
ˆ
¯
=
f ĝ
− f (δb )ḡ(δb ) δ +
σm
+ O(σm
)
b
∂δ
∂δ
|δb δ
b
b
δb =0
δb =0
b
∂ḡ ∂ f¯ 2
4
¯
ˆ
− f (δb )ḡ(δb )
+
σm
+ O(σm
)
=
f ĝ
∂δ
∂δ
|δb
b δb =0
b δb =0
δb
¯
∂ḡ
∂
f
2
4
+
σm
+ O(σm
).
= $PW fˆ, ĝ
∂δb δb =0 ∂δb δb =0
|δb δ
b
"OE BT XF‫ؠ‬WF TFFO NBSHJOBMJ[JOH PWFS δb SFEVDFT UP UIF TVCTUJUVUJPO XIJDI MFBET UP OFH
MJHJCMF UFSNT JO UIF TBNF FYBDU XBZ BT JO UIF FYBNQMF PG UIF QPXFS TQFDUSVN FYQFDUBUJPO WBMVF
BCPWF
)FODF XF HFU &R $PW fˆ, ĝ $PW fˆ, ĝ
1PJT,ρMJO |δb =0
+
2
σm
∂ f¯ ∂ḡ .
∂δb δb =0 ∂δb δb =0
5IF TFDPOE UFSN JT UIF IBMP TBNQMF WBSJBODF BOE JT SFBEJMZ DPNQVUFE GSPN UIF IBMP EFDPNQPTJ
UJPO PG UIF N QPJOU GVODUJPOT BOE MJOFBS CJBTJOH 5IF ୮ୢSTU UFSN JT UIF TUBOEBSE DPWBSJBODF *U JT
DPNQVUFE CZ VTJOH UIF FYQSFTTJPO PG PVS FTUJNBUPS BT B QSPEVDU PG δ̂ BOE UIF EFDPNQPTJUJPO PG
DPSSFMBUJPO GVODUJPOT JOUP DPOOFDUFE DPSSFMBUJPO GVODUJPOT #
δ̂si (1) , ..., δ̂si (#si ) ,
δ̂(x1 )...δ̂(xn ) = δ̂(x1 ), ..., δ̂(xn ) +
c
S
si ∈S
c
XIFSF UIF TVN JT PWFS BMM UIF QSPQFS QBSUJUJPOT PG {1, ..., n} 5IJT ZJFMET UIF GPMMPXJOH TUBOEBSE
DPWBSJBODF GPS UIF QPXFS TQFDUSVN
$PW P̂ (k), P̂ (k )
|δb =0
=
K
2δk,k
1
T̄ (q, −q, q , −q )q k,q k .
P̄ 2 (k) +
N (k)
VS
5IJT QSPDFEVSF BMTP ZJFMET UIF SFTVMUT PG GPS UIF CJTQFDUSVN DPWBSJBODF
$PW B̂(k1 ,k2 ,k3 ) , B̂(k1 ,k2 ,k3 )
δkK1 ,k δkK2 ,k δkK3 ,k
1
2
3
P̄(k1 ) P̄(k2 ) P̄(k3 ) + QFSNVUBUJPOT PG UIF ki
NΔ (k1 , k2 , k3 )
δkK ,k3
1
+
δK
δ K B̄(1,2,3) B̄(3,2 ,3 ) + QFSNVUBUJPOT
NΔ (k1 , k2 , k3 )NΔ (k1 , k2 , k3 ) 1,2,3 1+2+3 3+2 +3
|δb =0
= VS
2 ,3
+
+
δkK1 ,k
1
NΔ (k1 , k2 , k3 )NΔ (k1 , k2 , k3 )
K
K
δ1+2+3
δ−1+2
+3 P̄(1) T̄(2,2 ,3,3 ) + EJ୭GFSFOU DIPJDFT (i, j )
1,2,3
2 ,3
1
1
K
δ1+2+3
δ1K +2 +3 P̄6 (1, 2, 3, 1 , 2 , 3 ).
VS NΔ (1, 2, 3)NΔ (1 , 2 , 3 ) 1,2,3
1 ,2 ,3
"T XFMM BT UIFJS SFTVMU GPS UIF DSPTTDPWBSJBODF CFUXFFO QPXFS TQFDUSVN BOE CJTQFDUSVN
$PW P̂(k) , B̂(k1 ,k2 ,k3 )
K
2δk,k
1
=
P̄ (k1 )B̄(k1 , k2 , k3 ) + QFSN
N (k1 )
|δb =0
1
dψ
P̄5 (k, −k, k1 , k2 , k3 ),
+
VS
2π
XIFSF ψ JT UIF BOHMF CFUXFFO k BOE k1 3FGFSFODFT
<> 5IF %BSL &OFSHZ 4VSWFZ $PMMBCPSBUJPO "S9JW "TUSPQIZTJDT FQSJOUT <> 4 .JZB[BLJ FU BM JO 4PDJFUZ PG 1IPUP0QUJDBM *OTUSVNFOUBUJPO &OHJOFFST 41*&
$PO
GFSFODF 4FSJॶ 7PM PG 4PDJFUZ PG 1IPUP0QUJDBM *OTUSVNFOUBUJPO &OHJOFFST 41*&
$POGFSFODF 4FSJॶ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
<> 8 )V BOE " 7 ,SBWUTPW "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> & 4FGVTBUUJ . $SPDDF 4 1VFCMBT BOE 3 4DPDDJNBSSP 1IZTJDT 3FW % <> . 5BLBEB BOE 4 #SJEMF /FX +PVSOBM PG 1IZTJDT <> . 4BUP FU BM "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> . 5BLBEB BOE 8 )V 1IZTJDT 3FW % <> . 5BLBEB BOE % / 4QFSHFM "S9JW FQSJOUT <> : -J 8 )V BOE . 5BLBEB "S9JW FQSJOUT <> 6 4FMKBL .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> + " 1FBDPDL BOE 3 & 4NJUI .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> $ .B BOE + / 'SZ "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> " $PPSBZ BOE 3 4IFUI 1IZT 3FQ <> 8 )V BOE + % $PIO 1IZTJDT 3FW % <> . $SPDDF 1 'PTBMCB ' + $BTUBOEFS BOE & (B[UB±BHB .PO /PU 3PZ "T
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±BHB BOE 3 4DPDDJNBSSP 1IZT 3FQ 2
1SFEJDUJOH UIF OPOMJOFBS FWPMVUJPO VOEFS
HSBWJUZ 0O UIF SFBDI PG QFSUVSCBUJWF
EFTDSJQUJPOT GPS EBSL NBUUFS EJTQMBDFNFOU
୮ୢFMET
"ঋজঝছঊঌঝ
8F TUVEZ -BHSBOHJBO 1FSUVSCBUJPO 5IFPSZ -15
BOE JUT SFHVMBSJ[BUJPO JO UIF &୭GFDUJWF 'JFME
5IFPSZ &'5
BQQSPBDI 8F FWBMVBUF UIF -15 EJTQMBDFNFOU XJUI UIF TBNF QIBTFT BT B DPSSF
TQPOEJOH N CPEZ TJNVMBUJPO XIJDI BMMPXT VT UP DPNQBSF QFSUVSCBUJPO UIFPSZ UP UIF OPO
MJOFBS TJNVMBUJPO XJUI TJHOJ୮ୢDBOUMZ SFEVDFE DPTNJD WBSJBODF BOE QSPWJEFT B NPSF TUSJOHFOU UFTU
UIBO TJNQMZ DPNQBSJOH QPXFS TQFDUSB 8F SFMJBCMZ EFUFDU B OPOWBOJTIJOH MFBEJOH PSEFS &'5
DPF୭୮ୢDJFOU BOE B TUPDIBTUJD EJTQMBDFNFOU UFSN VODPSSFMBUFE XJUI UIF -15 UFSNT 5IJT TUPDIBT
UJD UFSN JT FYQFDUFE JO UIF &'5 GSBNFXPSL BOE UP UIF CFTU PG PVS VOEFSTUBOEJOH JT OPU BO BS
UJGBDU PG OVNFSJDBM FSSPST PS USBOTJFOUT JO PVS TJNVMBUJPOT 5IJT UFSN DPOTUJUVUFT B MJNJU UP UIF
BDDVSBDZ PG QFSUVSCBUJWF EFTDSJQUJPOT PG UIF EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME BOE JUT QIBTFT DPSSFTQPOEJOH UP
B 1% FSSPS PO UIF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN BU k = 0.2h.QD−1 BU z = 0 1SFEJDUJOH UIF
EJTQMBDFNFOU QPXFS TQFDUSVN UP IJHIFS BDDVSBDZ PS MBSHFS XBWFOVNCFST UIVT SFRVJSFT B NPEFM
GPS UIF TUPDIBTUJD EJTQMBDFNFOU
*গঝছঘ঍ঞঌঝ঒ঘগ
5IF EFUFDUJPO PG UIF BDPVTUJD QFBLT JO UIF UFNQFSBUVSF BOE QPMBSJ[BUJPO QPXFS TQFDUSVN PG UIF
$PTNJD .JDSPXBWF #BDLHSPVOE $.#
BOJTPUSPQJFT JNQMZ UIBU UIF TFFET GPS TUSVDUVSF GPSNB
UJPO XFSF QVU JO QMBDF CFGPSF UIF IPU CJH CBOH QFSIBQT EVSJOH B QFSJPE PG JO୯୳BUJPO 4P GBS UIFTF
QSJNPSEJBM TFFET BSF PVS POMZ GPTTJM SFDPSE GSPN UIJT FBSMZ QFSJPE
5IF NFBTVSFNFOUT PG UIF $.# BOJTPUSPQJFT SFDFOUMZ SFMFBTFE CZ UIF 1MBODL DPMMBCPSBUJPO IBWF FYUSBDUFE NPTU PG UIF JOGPSNBUJPO BWBJMBCMF JO UIF $.# BCPVU UIF QSJNPSEJBM TFFET 'VS
UIFS JNQSPWFNFOUT XJMM IBWF UP DPNF GSPN NFBTVSFNFOUT PG TUSVDUVSF BU MBUFS UJNFT JO UIF IJT
UPSZ PG UIF 6OJWFSTF (SBWJUBUJPOBM JOTUBCJMJUZ NBLFT UIF QSJNPSEJBM ୯୳VDUVBUJPOT HSPX XJUI
UJNF NBLJOH UIFN FBTJFS UP EFUFDU BU MBUF FQPDIT )PXFWFS UIF FWPMVUJPO JT OP MPOHFS MJOFBS
BOE UIVT PO TNBMM TDBMFT NVDI PG UIF JOGPSNBUJPO BCPVU UIF JOJUJBM DPOEJUJPOT JT GPS QSBDUJDBM
QVSQPTFT MPTU
5IF $.# NFBTVSFNFOUT IBWF QSPEVDFE TVQFSC DPOTUSBJOUT PO EFQBSUVSFT GSPN (BVTTJBOJUZ
PG UIF JOJUJBM TFFET "MUIPVHI WFSZ JNQSFTTJWF UIFTF DPOTUSBJOUT GBJM UP SFBDI UIF DMFBS UIFPSFUJDBM
UBSHFUT FH BOE NFBTVSFNFOUT PG -44 BSF B OBUVSBM DBOEJEBUF UP USZ UP HFU DMPTFS UP UIF UIF
PSFUJDBM UISFTIPMET 5IJT IBT TQBSLFE SFOFXFE JOUFSFTU JO NPEFMJOH BDDVSBUFMZ UIF F୭GFDUT PG UIF
OPOMJOFBS FWPMVUJPO PG TUSVDUVSF JO UIF MBUF 6OJWFSTF BT XFMM BT OFX JEFBT GPS QPUFOUJBM TVSWFZT
UIBU DPVME SFBDI UIF SFRVJSFE BDDVSBDZ "DDVSBUF NPEFMJOH PG UIF EFWFMPQNFOU PG TUSVDUVSF JT
BMTP SFRVJSFE UP FYUSBDU JOGPSNBUJPO BCPVU UIF EBSL DPNQPOFOUT PG UIF NBUUFS CVEHFU TVDI BT
OFVUSJOPT
GSPN -44 PCTFSWBUJPOT
0OF PG UIF BWFOVFT UP TUVEZ UIF HSPXUI PG TUSVDUVSF JT VTJOH QFSUVSCBUJWF UFDIOJRVFT 1FS
UVSCBUJPO UIFPSZ GPS -44 EBUFT CBDL UP UIF WFSZ FBSMZ EBZT PG NPEFSO $PTNPMPHZ FH *U JT
FYUSFNFMZ TVDDFTTGVM BU DBMDVMBUJOH DPSSFMBUPST BU UIF MPXFTU PSEFS PS USFF MFWFM GPS B DPNQMFUF
SFWJFX PG QFSUVSCBUJPO UIFPSZ SFTVMUT TFF 0O UIF PUIFS IBOE SFTVMUT GPS UIF ୮ୢSTU OPOUSJW
JBM DPSSFDUJPO UP USFF MFWFM SFTVMUT UIF ‫آ‬MPPQ DPSSFDUJPOT‫ أ‬BSF MFTT TBUJTGBDUPSZ 5IF SFBTPO GPS
UIF GBJMVSF BU UIF MPPQ MFWFM JT DMFBS 1FSUVSCBUJPO UIFPSZ DBOOPU CF VTFE UP EFTDSJCF TNBMM TDBMFT
k 0.1h.QD−1 XIFSF UIF EFOTJUZ DPOUSBTU TJHOJ୮ୢDBOUMZ FYDFFET VOJUZ CFDBVTF UIF QFS
UVSCBUJWF TFSJFT TJNQMZ EPFT OPU DPOWFSHF JO UIBU SFHJNF 'VSUIFSNPSF TIFMM DSPTTJOH MFBET UP
UIF CSFBLEPXO PG UIF TJOHMF TUSFBN BQQSPYJNBUJPO XIJDI JT B LFZ JOHSFEJFOU PG UIF TJNQMJ୮ୢFE
FRVBUJPOT UIBU QFSUVSCBUJPO UIFPSZ JT TPMWJOH 5IFTF JTTVFT XFSF EJTDVTTFE JO EJNFOTJPO
CZ *O UIF HSBWJUBUJPOBM EZOBNJDT UIF ;FM‫ؠ‬EPWJDI BQQSPYJNBUJPO JT FYBDU VQ UP TIFMM DSPTT
JOH :FU UIF QFSUVSCBUJWF &VMFSJBO TPMVUJPO EPFT OPU DPOWFSHF UP UIJT FYBDU TPMVUJPO BOE BG୴FS
TIFMM DSPTTJOH FWFO UIF ;FM‫ؠ‬EPWJDI TPMVUJPO JT JOWBMJE /PODPOWFSHFODF PG UIF QFSUVSCBUJWF TP
MVUJPOT BOE UIF JOWBMJEJUZ PG UIF FRVBUJPOT NBLF UIF QFSUVSCBUJWF QSFEJDUJPOT PO TNBMM TDBMFT
FSSPOFPVT 5ISPVHI UIF MPPQ JOUFHSBMT SVOOJOH PWFS BMM NPNFOUB UIF FSSPOFPVT TNBMMTDBMF
QSFEJDUJPOT UIFO DPOUBNJOBUF UIF MBSHFTDBMF SFTVMUT *O XIBU GPMMPXT XF TIBMM PG୴FO SFGFS UP
UIJT QIFOPNFOPO BT UIF ‫؟‬67 FSSPS‫ ؠ‬5IJT CFIBWJPS CFDPNFT XPSTF BT IJHIFS MPPQT BSF DPOTJE
FSFE CFDBVTF PG UIFTF JOUFHSBMT PWFS UIF TQVSJPVT TNBMMTDBMF QFSUVSCBUJWF QSFEJDUJPOT
3FDFOU ZFBST IBWF TFFO B RVJDL EFWFMPQNFOU PG QFSUVSCBUJPO UIFPSZ XJUI UIF JOUSPEVDUJPO
PG UIF TPDBMMFE &୭GFDUJWF 'JFME 5IFPSZ &'5
PG -BSHF 4DBMF 4USVDUVSF GPS CPUI &VMFSJBO BOE
-BHSBOHJBO EFTDSJQUJPOT 5IF &'5 GSBNFXPSL FYQMJDJUMZ LFFQT USBDL PG UIF F୭GFDUT PG UIF
TNBMM TDBMFT CZ LFFQJOH FYQMJDJU DPVOUFSUFSNT UIBU CPUI ୮ୢY UIF FSSPS JOUSPEVDFE CZ QFSUVSCBUJPO
UIFPSZ BOE SFQMBDF JU CZ UIF DPSSFDU MFWFM PG ‫آ‬MFBLBHF‫ أ‬GSPN UIF TNBMM TDBMF EZOBNJDT "MUIPVHI
8F XJMM PG୴FO SFGFS UP MBSHF TDBMFT BOE JO 'PVSJFS TQBDF UIJT XJMM NFBO k 0.01h.QD−1 UIF BNQMJUVEF PG UIFTF DPSSFDUJPOT JT OPU LOPXO BQSJPSJ UIFJS GVODUJPOBM GPSN JT 5IVT UIF
&'5 PG MBSHF TDBMF TUSVDUVSF HFOFSBMJ[FT UIF TUBOEBSE QFSUVSCBUJWF DBMDVMBUJPO BEEJOH OFX QB
SBNFUFST UIBU OFFE UP CF ୮ୢUUFE UP TJNVMBUJPOT PS PCTFSWBUJPOT
*O SFDFOU ZFBST UIF &'5 BQQSPBDI IBT CFFO VTFE UP DPNQVUF UIF QPXFS TQFDUSVN BU POF MPPQ
BOE UXP MPPQT JO B WBSJFUZ PG DPTNPMPHJFT BT XFMM BT UIF CJTQFDUSVN 4P GBS UIF GSFF
QBSBNFUFST JOIFSFOU UP UIF &'5 XFSF ୮ୢUUFE UP TJNVMBUJPOT USZJOH UP NBUDI UIF QPXFS TQFDUSVN
PS CJTQFDUSVN BT BDDVSBUFMZ BT QPTTJCMF 5IJT BQQSPBDI JT QPUFOUJBMMZ QSPCMFNBUJD BT UIF &'5
XPSLT CFTU PO UIF MBSHFTU TDBMFT XIFSF UIF OPOMJOFBS DPSSFDUJPOT BSF TNBMM BOE UIF TBNQMF WBSJ
BODF JO UIF TJNVMBUJPOT JT MBSHF 4P JO QSBDUJDF UIF ୮ୢUUJOH PG UIFTF QBSBNFUFST XBT EPOF JO UIF
NJMEMZ OPOMJOFBS SFHJNF UIF TBNF SFHJNF XFSF UIF TDIFNF XBT CFJOH UFTUFE BMMPXJOH UIF QPTTJ
CJMJUZ PG PWFS୮ୢUUJOH
*O UIJT QBQFS XF JOUSPEVDF B OPWFM BQQSPBDI XIFSF XF VTF UIF &'5 UP QSFEJDU UIF EJTQMBDF
NFOU ୮ୢFME JO TJNVMBUJPOT PO B SFBMJ[BUJPO CZ SFBMJ[BUJPO CBTJT TFF GPS B TJNJMBS BQQSPBDI BQ
QMJFE UP 415
5IVT XF QSFEJDU UIF BDUVBM ୮ୢFME JO UIF TJNVMBUJPO BOE OPU KVTU JUT QPXFS TQFD
USVN #Z EPJOH TP XF TJEFTUFQ UIF DPTNJD WBSJBODF JTTVF BOE EJSFDUMZ NFBTVSF UIF &'5 QBSBNF
UFST PO MBSHF TDBMFT k 0.03h.QD−1 8F DBO UIFO TFF IPX UIFTF OFX UFSNT B୭GFDU UIF NJMEMZ
OPOMJOFBS SFHJNF XJUIPVU IBWJOH UP XPSSZ BCPVU PWFS୮ୢUUJOH 5IJT BQQSPBDI JT DMPTFMZ SFMBUFE
UP XIFSF USBOTGFS GVODUJPOT XFSF JOUSPEVDFE UP RVBOUJGZ UIF SFMBUJPO CFUXFFO UIF QFSUVSCB
UJWF QSFEJDUJPOT BOE UIF SFTVMUT PG TJNVMBUJPOT 5IF &'5 DPF୭୮ୢDJFOUT BSF KVTU EFTDSJCJOH B TQF
DJ୮ୢD QBSBNFUSJ[FE GPSN GPS UIFTF USBOTGFS GVODUJPOT 8F XJMM HFOFSBMJ[F CZ HPJOH UP IJHIFS
PSEFS JO QFSUVSCBUJPO UIFPSZ BOE JODMVEJOH UFSNT XJUI EJ୭GFSFOU TQBUJBM TUSVDUVSF XIJDI BSF QSF
EJDUFE CZ UIF &'5
5IJT QBQFS JT PSHBOJ[FE BT GPMMPXT JO 4FD XF SFWJFX UIF -BHSBOHJBO QFSUVSCBUJPO UIF
PSZ UP FTUBCMJTI PVS OPUBUJPO 8F QSFTFOU PVS TJNVMBUJPO TVJUF JO 4FD BOE DPNQBSF UIF
POFMPPQ BOE IJHIFSMPPQ QSFEJDUJPOT XJUI TJNVMBUJPOT JO 4FD BOE 4FD 8F QSFTFOU UIF
FWJEFODF GPS B TUPDIBTUJD EJTQMBDFNFOU JO 4FD XIJDI DPOTUJUVUFT B MJNJU UP UIF BDDVSBDZ PG
QFSUVSCBUJWF USFBUNFOUT PG UIF EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME 8F TVNNBSJ[F PVS SFTVMUT JO 4FD 5IF
FYUFOTJWF "QQFOEJY HJWFT NPSF EFUBJMT PO TZTUFNBUJD F୭GFDUT JO UIF TJNVMBUJPOT UIF EFSJWBUJPO
PG SFDVSTJPO SFMBUJPOT GPS UIF QFSUVSCBUJWF EJTQMBDFNFOU ୮ୢFMET DPTNJD WBSJBODF IJHIFS PSEFS
DPVOUFS UFSNT BOE USBOTJFOU F୭GFDUT BSJTJOH GSPN TJNVMBUJPO JOJUJBM DPOEJUJPOT
8IFO QSFTFOUJOH OVNFSJDBM SFTVMUT XF XJMM FNQMPZ B Λ$%. DPTNPMPHZ XJUI DPTNPMPHJDBM
QBSBNFUFST ΩN = 0.272 σ8 = 0.81 nT = 0.967 BOE VOMFTT FYQMJDJUMZ NFOUJPOFE SFTVMUT SFGFS
UP QSFTFOU EBZ JF SFETIJG୴ z = 0
3঎ট঒঎ঠ ঘএ -15 ঊগ঍ &'5 ঝঘঠঊছ঍জ ঊ ঠ঎কক঍঎এ঒গ঎঍ ঙ঎ছঝঞছঋঊঝ঒ঘগ ঝ঑঎ঘছঢ
-15 ঎ডঙঊগজ঒ঘগ
5IF NPUJPO PG EBSL NBUUFS QBSUJDMFT JT EFTDSJCFE CZ UIF &VMFS1PJTTPO TZTUFN
⎧
Ev
⎪
⎪
⎨
= −∇r Φ
Et
⎪
⎪
⎩ Δr Φ = 4πGρ.
)FSF v JT UIF QIZTJDBM WFMPDJUZ v ≡
Er
Et
r JT UIF QIZTJDBM QPTJUJPO r = ax XJUI x DPNPWJOH
QPTJUJPO
BOE t UIF DPTNJD UJNF Et = aEτ XJUI τ DPOGPSNBM UJNF
*O UIF -BHSBOHJBO QJDUVSF
XF GPMMPX UIF NPUJPO PG B EBSL NBUUFS QBSUJDMF JOJUJBMMZ BU QPTJUJPO q BOE JOUSPEVDF UIF EJTQMBDF
NFOU ψ TVDI UIBU x = q + ψ 4VCUSBDUJOH UIF )VCCMF ୯୳PX MFBET UP
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨ ψ̈ + Hψ̇ = −∇x ϕ
⎪
3
3
1
⎪
2
2
⎪
−1 .
⎩ Δx ϕ = H ΩN δ = H ΩN
2
2
%FU (δij + ψi,j )
)FSF ‫ ؠ˙؟‬EFOPUFT UIF EFSJWBUJWF XJUI SFTQFDU UP DPOGPSNBM UJNF XIJMF ‫ ؟‬,i ‫ ؠ‬EFOPUFT UIF EFSJWBUJWF
XJUI SFTQFDU UP UIF DPNPWJOH -BHSBOHJBO DPPSEJOBUF q i H JT UIF DPOGPSNBM )VCCMF QBSBNFUFS
BOE ϕ JT UIF QFDVMJBS QPUFOUJBM GSPN XIJDI UIF IPNPHFOFPVT FYQBOTJPO IBT CFFO TVCUSBDUFE
JF ϕ ≡ Φ + 12 Ḣx2 5IF BCPWF FRVBUJPO CSFBLT BU TIFMM DSPTTJOH XIFO UIF EFUFSNJOBOU
WBOJTIFT 5IF DPOGPSNBM )VCCMF QBSBNFUFS JT EFUFSNJOFE CZ UIF 'SJFENBOO FRVBUJPO
H =a
2
2
H02
Ω0N
0
+ ΩΛ .
a3
8F QSPDFFE XJUI B )FMNIPMU[ EFDPNQPTJUJPO PG UIF EJTQMBDFNFOU ψ = ∇φ + ∇ × ω
8F TIBMM DBMM φ UIF TDBMBS EJTQMBDFNFOU PS EJTQMBDFNFOU QPUFOUJBM BOE ω UIF WFDUPS PS USBOTWFSTF
DPNQPOFOU PG UIF EJTQMBDFNFOU 8F NBLF BO BOTBU[ GPS QFSUVSCBUJWF TPMVUJPOT PG UIF GPSN φ =
n≥1
φ(n) BOE ω =
n≥1
ω (n) XJUI
⎧
3
⎪
E p1 ...E3 pn
Dn
(n)
⎪
⎪
(2π)3 δ D (p1..n − k)Ln (p1 , ..., pn )δ0 (p1 )...δ0 (pn )
≡
φ
⎨
n!
(2π)3n
3
⎪
Dn
E p1 ...E3 pn
⎪
(n)
⎪
⎩ω ≡
(2π)3 δ D (p1..n − k)T n (p1 , ..., pn )δ0 (p1 )...δ0 (pn ).
n!
(2π)3n
)FSF δ0 JT UIF MJOFBS EFOTJUZ ୮ୢFME D JT UIF MJOFBS HSPXUI GBDUPS BOE Ln BOE T n BSF UIF -15 LFS
OFMT XIJDI DBO CF DPNQVUFE PSEFS CZ PSEFS BT XF XJMM TIPX TIPSUMZ 4VDI BO FYQBOTJPO
JT FYBDU JO UIF DBTF PG BO &JOTUFJOEF 4JUUFS &E4
VOJWFSTF XJUI D SFEVDJOH UP UIF MJOFBS HSPXUI
GBDUPS *U DPOTUJUVUFT B HPPE BQQSPYJNBUJPO GPS B Λ$%. VOJWFSTF 5IF HPBM PG UIJT TUVEZ JT UP DPNQBSF UIF QSFEJDUJPOT PG -15 BOE &'5 GPS UIF EJTQMBDFNFOU
UP UIF OPOMJOFBS EJTQMBDFNFOU GSPN N CPEZ TJNVMBUJPOT )PXFWFS UIF &'5 FYQBOTJPO JT
POMZ WBMJE GPS MPX WBMVFT PG k JF PO MBSHF TDBMFT XIFSF UIF DPTNJD WBSJBODF JO UIF TJNVMBUJPO
JT MBSHFTU 5IJT DPTNJD WBSJBODF JOUSPEVDFT SFMBUJWF FSSPST PG VQ UP 10% PO UIF QPXFS TQFDUSVN
BU UIF MBSHFTU TDBMFT PG PVS TJNVMBUJPOT k ∼ 5 × 10−3 I.QD
XIJDI XPVME NBLF JU BMNPTU
JNQPTTJCMF UP NFBTVSF UIF &'5 QBSBNFUFST CZ NBUDIJOH UIF TJNVMBUJPO QPXFS TQFDUSVN UP UIF
NFBO UIFPSZ QPXFS TQFDUSVN TFF "QQ " TJNQMF XBZ UP SFEVDF UIJT DPTNJD WBSJBODF JT
UP DPOTJEFS SBUJPT PG QPXFS TQFDUSB UIF SBUJP PG UIF OPOMJOFBS UP MJOFBS QPXFS TQFDUSB GSPN UIF
TBNF SFBMJ[BUJPO POMZ EJ୭GFST GSPN UIF NFBO UIFPSZ WBMVF CZ 0.1% BU k ∼ 5 × 10−3 I.QD #VU
BO FWFO CFUUFS XBZ UP QSPDFFE JT UP DPNQVUF UIF -15 EJTQMBDFNFOU EJSFDUMZ PO UIF TJNVMBUJPO
HSJE XJUI UIF TBNF FYBDU JOJUJBM DPOEJUJPO BT UIF POF VTFE JO UIF /CPEZ TJNVMBUJPO 5IJT DPN
QMFUFMZ TVQQSFTTFT UIF DPTNJD WBSJBODF TJODF UIF SFTVMUJOH UIFPSZ BOE TJNVMBUJPO QPXFS TQFDUSB
TIBSF UIF TBNF FYBDU JOJUJBM DPOEJUJPOT BNQMJUVEFT BOE QIBTFT
$PNQVUJOH UIF -15 EJTQMBDF
NFOU PO UIF TJNVMBUJPO HSJE XJUI UIF TBNF JOJUJBM DPOEJUJPOT BT UIF TJNVMBUJPO XJMM BMTP BMMPX
VT UP QFSGPSN B NPSF TUSJOHFOU UFTU PG UIF &'5 CZ DPNQBSJOH JU UP UIF TJNVMBUJPO BU UIF MFWFM PG
UIF EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME JUTFMG BOE OPU POMZ BU UIF MFWFM PG UIF QPXFS TQFDUSVN #PUI DPNQBSJTPOT
BU UIF ୮ୢFME MFWFM BOE BU UIF QPXFS TQFDUSVN MFWFM
BSF TIPXO BOE DPNQBSFE JO XIBU GPMMPXT
4JODF DPNQVUJOH UIF DPOWPMVUJPOT PG PO UIF TJNVMBUJPO HSJE XPVME CF UPP DPNQVUB
UJPOBMMZ FYQFOTJWF XF XJMM VTF B SFBMTQBDF GPSNVMBUJPO PG UIF -15 FYQBOTJPO UIBU JT FBTJFS UP
FWBMVBUF 'SPN UIF FRVBUJPOT PG NPUJPO QSFTFOUFE BCPWF POF DBO TPMWF GPS UIF nUI PSEFS EJT
QMBDFNFOU ψ (n) SFDVSTJWFMZ TFF "QQ GPS UIF GVMM EFSJWBUJPO GPMMPXJOH 'PS UIF TDBMBS
EJTQMBDFNFOU UIJT ZJFMET
⎧
⎪
3 1,1
(2)
⎪
⎪
=
−
L
ψ
⎪
i,i
⎪
7
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
10 2,1 1 1,1,1
(3)
⎪
⎪
ψ
=
−
L − M
⎪
i,i
⎪
9
3
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
17
14
13 1,1,2
(4)
⎪
⎪
ψi,i = − L2,2 − L3,1 −
+ QFSN
M
⎪
⎨
33
11
33
5 1,2,2
18
14
6 1,1,3
(5)
⎪
⎪
+ QFSN −
+ QFSN
M
M
ψi,i = − L4,1 − L3,2 −
⎪
⎪
13
13
13
13
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
...
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
2 (n2 + n2 ) + n − 3
⎪
2 (n21 + n22 + n23 ) + n − 3
⎪
(n)
1
2
n1 ,n2
⎪
=
−
−
L
Mn1 ,n2 ,n3 ,
ψ
⎪
i,i
⎪
⎪
(2n
+
3)
(n
−
1)
(2n
+
3)
(n
−
1)
⎩
n +n =n
n +n +n =n
1
2
n1,n2>0
1
2
3
n1 ,n2 ,n3 >0
XIFSF XF IBWF JOUSPEVDFE
⎧
⎪
1 (m) (n)
⎪
(m) (n)
m,n
⎪
=
ψ
ψ
−
ψ
ψ
L
⎪
i ,i
j ,j
i ,j
j ,i
⎨
2 i,j
⎪
⎪
⎪
1
(m)
(n)
⎪
⎩ Ml,m,n = i1 i2 i3 j1 j2 j3 ψi(l)
ψ
ψ
.
1 ,j1 i2 ,j2 i3 ,j3
3!
BOE i1 i2 i3 JT UIF -FWJ$JWJUB UFOTPS /PUJDF IPX UIF TDBMBS QBSU PG UIF EJTQMBDFNFOU PO UIF MIT
PG JT JO QSJODJQMF TPVSDFE CZ CPUI UIF TDBMBS BOE WFDUPS EJTQMBDFNFOUT PO UIF SIT UISPVHI
UIF L BOE M UFSNT
'PS UIF WFDUPS QBSU PG UIF EJTQMBDFNFOU XF ୮ୢOE
⎧
⎪
1
⎪
⎪
∇ × ψ (3) = Π1,2
⎪
⎪
3
⎪
⎪
⎪
⎨
...
⎪
⎪
⎪
n−1
⎪
⎪
n − 2p p,n−p
⎪
(n)
⎪
Π
⎪
⎩∇ × ψ =
2n
p=1
XJUI
Πm,n =
(m)
(n)
∇ ψi
× ∇ ψi
.
i
)FSF BHBJO UIF WFDUPS QBSU PG UIF EJTQMBDFNFOU PO UIF MIT PG JT TPVSDFE CZ CPUI UIF
TDBMBS BOE WFDUPS EJTQMBDFNFOUT PO UIF SIT
&RT BOE BMMPX UP DPNQVUF SFDVSTJWFMZ UIF TDBMBS BOE WFDUPS QBSUT PG UIF EJTQMBDF
NFOU PO UIF TJNVMBUJPO HSJE UP BSCJUSBSZ PSEFS JO -15 /PUJDF UIBU UIF TDBMBS BOE WFDUPS EJT
QMBDFNFOUT BSF OPU EFDPVQMFE JO QBSUJDVMBS UIF WFDUPS EJTQMBDFNFOU BU UIJSE PSEFS JT TPVSDFE
CZ UIF TDBMBS EJTQMBDFNFOUT BU ୮ୢSTU BOE TFDPOE PSEFS BOE DPOUSJCVUFT JO SFUVSO UP UIF TDBMBS EJT
QMBDFNFOU TUBSUJOH BU GPVSUI PSEFS
'SPN &RT BOE POF DBO SFDVSTJWFMZ EFSJWF BOBMZUJDBM FYQSFTTJPOT GPS Ln BOE T n 'P
DVTJOH PO UIF FRVBUJPOT GPS UIF TDBMBS EJTQMBDFNFOU XF TFF UIBU UIFSF BSF UXP GVOEBNFOUBM
WFSUJDFT DPSSFTQPOEJOH UP L BOE M *O 'PVSJFS TQBDF UIFTF DPSSFTQPOE UP LFSOFMT XIJDI XF
TIBMM EFOPUF CZ κ2 BOE κ3 SFTQFDUJWFMZ
κ2 (p1 , p2 ) = 1 −
p1 w p 2
p1 p 2
2
,
BOE
%FU [p1 , p2 , p3 ]2
κ3 (p1 , p2 , p3 ) =
p21 p22 p23
2 2 2
p 1 w p2
p2 w p3
p3 w p1
(p w p )(p w p )(p w p )
=1−
−
−
+ 2 1 2 22 2 32 3 1 .
p1 p2
p2 p3
p3 p1
p1 p 2 p 3
5IFZ BSF UIF CVJMEJOH CMPDLT PG IJHIFS PSEFS WFSUJDFT 5IFZ PCFZ κ2 (p, −p) = 0 κ3 (k, p, −p) =
0 'PS ୮ୢYFE FYUFSOBM NPNFOUVN k BOE MBSHF MPPQ NPNFOUVN p → ∞ UIFZ TDBMF BT
p/k→∞
κ2 (p, k − p) −−−−→
k2
p2
k2
κ3 (p1 , p2 , k − p1 − p2 ) −−−−−→ 2 κ2 (k, p2 )
p1
p1 /k→∞
'SPN &R XF EFSJWF UIF -15 LFSOFMT Ln GPS UIF TDBMBS QPUFOUJBM JO UFSNT PG UIFTF GVOEB
NFOUBM WFSUJDFT κ2 BOE κ3 ⎧
⎪
1
⎪
⎪
L1 (p1 ) = 2
⎪
⎪
p1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3
⎪
⎪
⎨ L2 (p1 , p2 ) = 7p2 κ2 (p1 , p2 )
12
⎪
1
⎪
(BTZN)
⎪
⎪
L3a (p1 , p2 , p3 ) = − 2 κ3 (p1 , p2 , p3 )
⎪
⎪
3p123
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
5
⎪
(BTZN)
⎪
⎩ L3b (p1 , p2 , p3 ) = 2 κ2 (p1 , p2 )κ2 (p12 , p3 )
7p123
XIFSF pi1 ...in ≡ pi1 + . . . + pin 4JNJMBSMZ GSPN &R XF PCUBJO UIF -15 LFSOFMT T n GPS UIF WFDUPS DPNQPOFOU PG UIF
EJTQMBDFNFOU
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨ T 1 (p1 ) = T 2 (p1 , p2 ) = 0
⎪
1
⎪
⎪
⎩ T 3 (p1 , p2 , p3 ) = 2 L1 (p1 )L2 (p2 , p3 ) (p1 w p23 ) (p1 × p23 ) .
p123
&WFOUVBMMZ XF EF୮ୢOF UIF QPXFS TQFDUSVN Pij (k) PG UXP SBOEPN ୮ୢFMET φ(i) BOE φ(j) BT
φ(i) (k)φ(j) (k ) = (2π)3 δ %
(k + k )Pij (k)
5IF QPXFS TQFDUSVN Pij CFUXFFO iUI BOE jUI PSEFS -15 EJTQMBDFNFOUT DBO CF DPNQVUFE JO
UFSNT PG UIF MJOFBS EFOTJUZ QPXFS TQFDUSVN PMJO EF୮ୢOFE BOBMPHPVTMZ 5IF MPPQ BOE MPPQ
QPXFS TQFDUSB GPS UIF UIF TDBMBS EJTQMBDFNFOU φ BSF SFQSFTFOUFE EJBHSBNNBUJDBMMZ JO 'JH DPNQVUFE JO "QQ BOE TIPXO JO 'JH *O XIBU GPMMPXT VOMFTT PUIFSXJTF JOEJDBUFE
XF GPDVT PO UIF TDBMBS EJTQMBDFNFOU BOE DBMM ‫آ‬O-15‫ أ‬UIF TDBMBS EJTQMBDFNFOU VQ UP PSEFS n
φn-15 = φ(1) + ... + φ(n) 5IF SFBEFS NJHIU CF NPSF GBNJMJBS XJUI EFOTJUZ QPXFS TQFDUSB UIBO EJTQMBDFNFOU QPXFS
TQFDUSB 'PS UIJT SFBTPO XF XJMM PG୴FO TIPX k 4 Pφ (k) JOTUFBE PG Pφ (k) TJODF UIF GPSNFS JT FRVBM
UP UIF EFOTJUZ QPXFS TQFDUSVN UP MPXFTU PSEFS δ (1) = ik w ψ (1) = −k 2 φ(1) /PUF UIBU UIF -15 BSJTJOH GSPN UIF LFSOFMT JO &R BSF *3 TBGF CZ UIFNTFMWFT JF UIFSF JT
OP DBODFMMBUJPO PG *3 DPOUSJCVUJPOT BT JU JT UIF DBTF JO &VMFSJBO QFSUVSCBUJPO UIFPSZ 5IVT OP
*3 TBGF JOUFHSBOE OFFET UP CF FNQMPZFE BOE UIF SFTQFDUJWF JOUFHSBMT DBO CF FWBMVBUFE JOEFQFO
EFOUMZ )PXFWFS BT XF XJMM TIPX JO EFUBJM UIF MPPQT BSF 67 TFOTJUJWF NFBOJOH UIBU UIFJS WBMVF
EFQFOET PO UIF 67 DVUP୭G VTFE FWFO XIFO UIJT DVUP୭G JT BMSFBEZ JO UIF OPOMJOFBS SFHJNF 5IJT
DVUP୭G EFQFOEFODF JT VOQIZTJDBM BOE NBLFT UIF -15 QSFEJDUJPOT TPNFXIBU JMMEF୮ୢOFE BT XF
XJMM TIPX JO UIF GPMMPXJOH TFDUJPOT
5঑঎ &'5 ঌঘঞগঝ঎ছঝ঎ছখজ
*O UIF &'5 BQQSPBDI POF BDLOPXMFEHFT UIBU UIF FSSPS QFSUVSCBUJPO UIFPSZ NBLFT PO TNBMM
TDBMFT XJMM B୭GFDU UIF EZOBNJDT PG UIF QBSUJDMFT PO MBSHF TDBMFT 5IJT DBO CF FYQSFTTFE BT GPMMPXT
ψ̈ + Hψ̇ = −∇x ϕ-15 + aDU + aTUPDI .
P11
P22
P13
Plin
Plin
L2
Plin
P15
P24
Plin
Plin
L2
L3
Plin
Plin
P33−II
Plin
L3
Plin
P33−I
Plin
L4
Plin
L3
Plin
Plin
L5
L2
Plin
L3
Plin
Plin
Plin
L3
)LJXUH 'LDJUDPV IRU WKH RQHORRS ĆUVW URZ DQG WZRORRS VHFRQG DQG WKLUG URZ FRQWULEXWLRQV WR WKH SRZHU VSHFWUXP
RI WKH VFDODU GLVSODFHPHQW φ 7KH HPSW\ VTXDUHV V\PEROL]H WKH /37 NHUQHOV Ln ZKLOH WKH OLQHDU PDWWHU SRZHU VSHFWUXP LV
105
105
4
10
104
103
103
2
102
10
101
0
10
10−1
P11
10−2
2P13
10
k [hMpc−1]
100
P11
10−1
P22
P33
P44
−3
10
2P24
10−2
101
10−2
2P15
−3
10−4
k 4Pφφ [h−3Mpc3]
k 4Pφφ [h−3Mpc3]
UHSUHVHQWHG E\ WKH EODFN GRWV 7KH H[SOLFLW IRUPXODH IRU WKH H[SUHVVLRQV DUH JLYHQ LQ $SS 10−4
10−1
P55
10−2
k [hMpc−1]
10−1
)LJXUH 3RZHU VSHFWUD RI WKH /37 GLVSODFHPHQWV XS WR WK RUGHU IRU RQH SDUWLFXODU UHDOL]DWLRQ RI WKH OLQHDU GHQVLW\ ĆHOG δ0
ZLWK FXWRII kPD[
= 0.6h0SF−1 5IJT FRVBUJPO JT JEFOUJDBM UP JUT -15 DPVOUFSQBSU &R FYDFQU GPS aDU UIF TVN PG UIF TP
DBMMFE DPVOUFSUFSNT BOE aTUPDI UIF TUPDIBTUJD BDDFMFSBUJPO
5IF DPVOUFSUFSNT JO aDU NPEFM UIF F୭GFDU PG UIF TNBMMTDBMF EZOBNJDT PO UIF MBSHF TDBMFT UIBU
BSF CFJOH USBDLFE CZ QFSUVSCBUJPO UIFPSZ 0ODF B GFX DPF୭୮ୢDJFOUT UIF &'5 QBSBNFUFST
BSF
୮ୢYFE UIF 'PVSJFS BNQMJUVEF BOE QIBTF PG aDU BSF DPNQMFUFMZ EFUFSNJOFE CZ UIF QFSUVSCBUJWF TP
MVUJPO JF VMUJNBUFMZ CZ UIF MJOFBS EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME
PO B SFBMJ[BUJPO CZ SFBMJ[BUJPO CBTJT 5IF
UFSNT JO aDU IBWF UIF DPSSFDU TQBUJBM TUSVDUVSF UP BCTPSC QPUFOUJBM EJWFSHFODJFT FODPVOUFSFE JO
UIF MPPQ DBMDVMBUJPOT
0O UIF PUIFS IBOE aTUPDI JT B TUPDIBTUJD DPOUSJCVUJPO EVF UP UIF TNBMMTDBMF EFUBJM PG UIF QBS
UJDVMBS SFBMJ[BUJPO DPOTJEFSFE *UT FYBDU 'PVSJFS BNQMJUVEF BOE QIBTF DBOOPU CF QSFEJDUFE CVU BU
UIF PSEFS DPOTJEFSFE JO UIJT QBQFS POMZ UIF QPXFS TQFDUSVN PG aTUPDI XJMM CF SFMFWBOU BOE JU XJMM
CF SFHBSEFE BT SFBMJ[BUJPOJOEFQFOEFOU
*O UIF GPSN PG UIF DPVOUFSUFSNT JO UIF SIT PG &R XBT NPUJWBUFE CZ DPOTJEFSJOH UIF
UIFPSZ GPS UIF EJTQMBDFNFOUT PODF TNPPUIFE PO B TV୭୮ୢDJFOUMZ MBSHF TDBMF TP UIBU QFSUVSCBUJPO
UIFPSZ JT WBMJE 5IF FRVBUJPO PG NPUJPO JO UIF &'5 DBO CF JOUFSQSFUFE BT UIF FRVBUJPO PG NP
UJPO PG UIF DFOUFS PG NBTT PG B TFU PG QPJOUMJLF QBSUJDMFT FBDI GPMMPXJOH UIF -15 FRVBUJPO PG
NPUJPO 3FHBSEMFTT PG UIF QIZTJDBM PSJHJO PG UIFTF UFSNT UIF SFTQPOTF UFSNT BSF FYQBOEFE
JO QPXFST PG UIF EJTQMBDFNFOU BOE JUT EFSJWBUJWFT BOE UP MPXFTU PSEFS UIF SFTVMUJOH FYQSFTTJPO
GPS UIF TDBMBS EJTQMBDFNFOU JT WFSZ TJNQMF φ1−MPPQ &'5 = 1 + αk 2 φ(1) + φ(2) + φ(3) + φTUPDI ,
5IJT FRVBUJPO EJ୭GFST GSPN JUT -15 BOBMPH POMZ CZ UIF BEEJUJPO PG UIF &'5 DPVOUFSUFSN αk 2 φ(1)
XIFSF α JT TPNF VOLOPXO GVODUJPO PG UJNF
BOE UIF TUPDIBTUJD UFSN φTUPDI *O QBSUJDVMBS UIF
DPSSFTQPOEJOH MPPQ QPXFS TQFDUSVN JT HJWFO CZ
P1−MPPQ &'5 = P1−MPPQ -15 + 2αk 2 P11
*OEFFE UIF QPXFS TQFDUSVN PG UIF TUPDIBTUJD UFSN JT FYQFDUFE UP CF TVCEPNJOBOU DPNQBSFE UP
UIF &'5 UFSN αk 2 P11 BT HVFTTFE GSPN 'JH BOE FYQMBJOFE JO NPSF EFUBJMT JO UIF OFYU TFDUJPO
"T XF TIBMM TIPX TIPSUMZ UIF &'5 DPVOUFSUFSN IBT UIF SJHIU TDBMFEFQFOEFODF UP DPSSFDU UIF
FSSPS PO P13 EVF UP IJHIk NPEFT TIPXO JO &R 5IJT XBZ UIF &'5 UFSN DBO BCTPSC
UIF 67 FSSPS JO UIF -15 QPXFS TQFDUSVN 'VSUIFSNPSF UIF DPF୭୮ୢDJFOU α XJMM DPNQFOTBUF UIF
DVUP୭G kNBY JO UIF MPPQ JOUFHSBMT SFTVMUJOH JO B DVUP୭GJOEFQFOEFOU QPXFS TQFDUSVN
/PUF UIBU XF DBO BMTP VOEFSTUBOE α BT B SFHVMBUPS PG MPPQ DPSSFDUJPOT UP UIF EJTQMBDFNFOU
୮ୢFME JUTFMG SBUIFS UIBO MPPQ DPSSFDUJPOT UP UIF EJTQMBDFNFOU QPXFS TQFDUSVN
/BNFMZ XF DBO
DMPTF POF MPPQ JO UIF UIJSE PSEFS EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME JF DPOUSBDU UXP PG UIF UISFF MJOFBS EFOTJUZ
୮ୢFMET
UP ZJFME B NPEJ୮ୢFE MJOFBS EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME
φ (k) ⊃ δ0 (k)
(3)
E3 p
P13 (k)
L3 (p, −p, k)PMJO (p) = φ(1) (k)
2
(2π)
P11 (k)
5IF MPPQ JT UIF TBNF POF BT JO P13 JF JU TDBMFT BT k 2 GPS MBSHF MPPQ NPNFOUB *U DBO CF SFHV
MBSJ[FE CZ αk 2 5IJT BMTP NBLFT DMFBS UIBU UIF SFHVMBSJ[BUJPO PG B nUI PSEFS ୮ୢFME IFSF φ(3) SFRVJSFT UIF MFBEJOH PSEFS DPVOUFSUFSN UP CF B n − 2UI PSEFS ୮ୢFME IFSF φ(1) PS FRVJWBMFOUMZ
UIBU UIF MPXFTU DPVOUFSUFSN DPVOUT BT B TFDPOE PSEFS ୮ୢFME JO UIF QPXFS DPVOUJOH
*O XIBU GPMMPXT XF DBMM ‫'&آ‬5‫ أ‬PS ‫'&آ‬5‫ أ‬UIF NPEFM φ&'5 = (1 + αk 2 )φ(1) + φ(2) + φ(3) BOE XF TIBMM DPNQBSF JU UP UIF ‫آ‬O-15‫ أ‬NPEFMT JO UFSNT PG BHSFFNFOU XJUI UIF TJNVMBUJPO
&জঝ঒খঊঝ঎জ এঘছ ঝ঑঎ জ঒ণ঎জ ঘএ গঘগক঒গ঎ঊছ ঌঘছছ঎ঌঝ঒ঘগজ &঍4 জঌঊক঒গঐজ টজ Λ$%.
8IFO QFSGPSNJOH B QFSUVSCBUJWF DBMDVMBUJPO JU JT VTFGVM UP LOPX IPX NBOZ PSEFST BSF SFRVJSFE
UP SFBDI B EFTJSFE BDDVSBDZ MFWFM *O UIF DBTF PG UIF &'5 UIJT JT BMTP OFDFTTBSZ JO PSEFS UP VOEFS
TUBOE IPX NBOZ DPVOUFSUFSNT IBWF UP CF LFQU *O UIJT TFDUJPO XF TVNNBSJ[F UIF TUBOEBSE FTUJ
NBUFT CBTFE PO BO &JOTUFJOEF 4JUUFS &E4
VOJWFSTF XJUI QPXFS MBX JOJUJBM QPXFS TQFDUSVN BOE
DPOUSBTU UIFN XJUI XIBU POF HFUT JO Λ$%. 4JODF UIF QPXFS MBX BQQSPYJNBUJPO JT OPU QBSUJD
VMBSMZ BDDVSBUF JO UIF DBTF PG B Λ$%. VOJWFSTF XF XJMM EJTDVTT JO NPSF EFUBJM UIF TJUVBUJPO BU
POFMPPQ PSEFS JO Λ$%. JO UIF OFYU TVCTFDUJPO
8F TUBSU CZ SFWJFXJOH UIF TJNQMF DBTF PG BO &E4 VOJWFSTF XIFSF UIF JOJUJBM EFOTJUZ QPXFS
−3
(k/kOM )n *O UIJT DBTF FBDI FYUSB MPPQ
TQFDUSVN JT B TJNQMF QPXFS MBX PMJO (k) = 2π 2 kOM
DPOUSJCVUFT B GBDUPS ∼
3
n+3
q
XIFO UIF MPPQ JOUFHSBMT CFDPNF
E ln q 2π
2 PMJO (q) ∼ (k/kOM )
EJWFSHFOU UIF TJUVBUJPO JT TMJHIUMZ NPSF DPNQMJDBUFE BOE PVS EJTDVTTJPO IFSF BQQMJFT UP UIF BO
TXFS BG୴FS SFOPSNBMJ[BUJPO
0OF DBO UIFSFGPSF FTUJNBUF UIF TJ[F PG UIF MPPQ DPSSFDUJPOT BT
2
∼ b(k/kOM )n+3 P11 BOE UIF TJ[F PG UIF MPPQ DPSSFDUJPOT BT ∼ b [(k/kOM )n+3 ] P11 XIFSF b
JT TPNF VOLOPXO GBDUPS 'JH TIPXT UIF QPXFS JOEFY PG UIF WBSJPVT -15 UFSNT JO UIF &E4
VOJWFSTF BT B GVODUJPO PG UIF QPXFS TQFDUSVN QPXFS JOEFY n
8F DPNQBSF UIFTF &E4 TDBMJOHT UP UIF BDUVBM Λ$%. -15 UFSNT JO 'JH XIFSF XF DIPTF
n = −1.46 BOE kOM = 0.21h/.QD UP NBUDI UIF BNQMJUVEF BOE UIF TMPQF PG UIF MJOFBS QPXFS
TQFDUSVN BU k0 = 0.1h/.QD BOE XF MFU UIF GBDUPS b ୯୳PBU CFUXFFO 0.1 BOE 10 DPMPSFE CBOET
'JH TIPXT UIBU UIJT BQQSPBDI JT UPP OB¯WF *O QBSUJDVMBS WBSJPVT -15 UFSNT DPSSFTQPOE
JOH UP UIF TBNF MPPQ PSEFS NBZ EJ୭GFS JO TJ[F CZ GBDUPST PG IVOESFET PO MBSHF TDBMFT TP NVDI TP
103
103
102
k 4 Pφφ (k) [h−3 Mpc3 ]
k 4 Pφφ (k) [h−3 Mpc3 ]
101
102
2P13
101
16
2
63 P11 (k)δ,<k
16
2 2
63 P11 (k)k ψ,>k
100
10−1
10−2
P22
10−3
12
2
245 P11 (k)δ,<k
10−4
12
245 η(k)
sum
100 −3
10
10
−2
sum
−1
10
k [h/Mpc]
10
0
10
10−5 −3
10
1
10
−2
10−1
k [h/Mpc]
100
101
)LJXUH /HIW SDQHO FRQWULEXWLRQV WR P13 IURP WKH ODUJHVFDOH GHQVLW\ PRGHV UHG OLQH DQG VPDOOVFDOH GLVSODFHPHQW PRGHV
EOXH OLQH 5LJKW SDQHO FRQWULEXWLRQV WR P22 IURP WKH ODUJHVFDOH GHQVLW\ PRGHV EOXH OLQH DQG WKH η WHUP 7KH GRPLQDQW
0.00
0.00
−0.05
−0.05
kmax =∞
P22 /P22
−1
kmax =∞
P13 /P13
−1
FRQWULEXWLRQ FRPHV IURP WKH VPDOOVFDOH GLVSODFHPHQW PRGHV ZKLFK RQO\ HQWHU WKH H[SUHVVLRQ RI P13 DQG QRW P22 −0.10
−0.15
−0.20
−0.10
−0.15
−0.20
kmax = ∞
−0.25
10−2
kmax = ∞
kmax = 0.6h/Mpc
kmax =0.6h/Mpc
10−1
k [h/Mpc]
100
−0.25
10−2
10−1
k [h/Mpc]
100
)LJXUH (IIHFW RI WKH FXWRII RQ WKH ORRS LQWHJUDO IRU P13 OHIW DQG P22 ULJKW VDPH VFDOH 7KH FXWRIIGHSHQGHQFH PDNHV
P13 LOOGHĆQHG EH\RQG ∼ 10% DW k = 0.1h/0SF ZKHUHDV P22 LV YHU\ PXFK FXWRIILQGHSHQGHQW
CVUJPOT PG UIFTF UFSNT UP P22 BOE P13 BSF TIPXO JO 'JH /PUF UIBU UIF JOUFHSBOE GPS η QFBLT
XIFSF UIF TMPQF PG UIF QPXFS TQFDUSVN JT n = 1/2 JF CFGPSF UIF XBWFOVNCFS PG NBUUFS SB
EJBUJPO FRVBMJUZ BU k ≈ 0.006h/.QD 5IJT JOUFHSBM JT UIVT WFSZ JOTFOTJUJWF UP UIF 67 DVUP୭G
XIJDI JT UIVT UIF DBTF GPS P22 BT XFMM *U BQQFBST UIBU UIF EPNJOBOU UFSN GPS k 0.4h/.QD JT
ψ,>k XIJDI JT BCTFOU JO P22 5IJT FYQMBJOT XIZ P13 P22 GPS k 0.4h/.QD #FTJEFT UIF
DPNNPO DPOUSJCVUJPO GSPN δ,<k UP P13 BOE P22 JT NVMUJQMJFE CZ B MBSHFS GBDUPS JO UIF DBTF PG
P13 5IJT JT XIZ P13 ≥ P22 GPS k 0.4h/.QD
'JH TIPXT UIBU UIF MPXk WBMVFT PG P13 BSF EPNJOBUFE CZ ψ,>k UIF DPOUSJCVUJPO GSPN
IJHI NPNFOUB p JO UIF MPPQ 5IFTF IJHI NPNFOUB DBOOPU CF DPSSFDUMZ EFTDSJCFE CZ QFSUVS
CBUJPO UIFPSZ BOE UIVT HJWF B TQVSJPVT DPOUSJCVUJPO UP P13 5IFTF IJHI NPNFOUB JO UIF MPPQ
BMTP NBLF UIF SFTVMU TFOTJUJWF UP UIF 67 DVUP୭G JO UIF JOUFHSBM 0O UIF PUIFS IBOE P22 JT WFSZ
DPOWFSHFOU BT MPOH BT Λ kFR TJODF η(k) JT SBUIFS JOTFOTJUJWF UP UIF TMPQF JO UIF 67 5IVT
UIF DVUP୭GEFQFOEFODF PG UIF MPPQ QPXFS TQFDUSVN NPTUMZ DPNFT GSPN P13 TFF 'JH 5IJT DVUP୭GEFQFOEFODF JT OPU QIZTJDBM BOE NFBOT UIBU UIF -15 QPXFS TQFDUSVN BU MPPQ JT
BU NPTU EF୮ୢOFE VQ UP ∼ 10% BU k = 0.1h/.QD 5IJT DVUP୭GEFQFOEFODF JT FWFO XPSTF GPS
TPNF IJHIFSMPPQ UFSNT *O QBSUJDVMBS P15 DBMDVMBUFE XJUI B DVUP୭G PG Λ = 0.6h.QD−1 EFWJBUFT
GSPN UIF DBMDVMBUJPO XJUIPVU B DVUP୭G CZ 50% BU k = 0.1h.QD−1 5IF DPOUSJCVUJPO UP P33
UIBU BSJTFT GSPN UIF P33−II EJBHSBN JO 'JH JOIFSJUT UIF DVUP୭G EFQFOEFODF GSPN P13 5IF
P33−I EJBHSBN IBT OFHMJHJCMF DPSSFDUJPOT BU k = 0.1h.QD−1 BOE P24 IBT 10% DPSSFDUJPO BU UIJT
XBWFOVNCFS
&R BMMPXT VT UP FTUJNBUF UIF TDBMFEFQFOEFODF PG UIF 67 FSSPS JOUSPEVDFE CZ UIF IJHI
NPNFOUB JO UIF MPPQ
67
(k) ∝ k 2 P11 (k)
P13
67
(k)
P22
∝ DPOTU
5IF &'5 DPVOUFSUFSNT QSFTFOUFE JO 4FD IBWF UIF DPSSFDU GPSN UP DBODFM UIFTF DPOUSJCV
UJPOT BOE UP QSPWJEF XFMMEF୮ୢOFE DVUP୭GJOEFQFOEFOU QSFEJDUJPOT *O QBSUJDVMBS UIF UFSN
αk 2 P11 DPSSFDUT UIF DVUP୭GEFQFOEFODF PG P13 XIJMF UIF TUPDIBTUJD UFSN PTUPDI DPSSFDUT UIF
TNBMMFS
DVUP୭GEFQFOEFODF PG P22 /঎ডঝ ঝঘ ক঎ঊ঍঒গঐ ঘছ঍঎ছ &'5 ঌঘঞগঝ঎ছঝ঎ছখজ
4P GBS XF POMZ EJTDVTTFE UIF MFBEJOH PSEFS DPVOUFSUFSN JO UIF &'5 -FU VT OPX DPOTJEFS UIF
IJHIFS PSEFS DPVOUFSUFSNT UIBU DPOUSJCVUF UP UIF UXP MPPQ DBMDVMBUJPO 5IF TFDPOE PSEFS
DPVOUFSUFSN DBO CF EFSJWFE GSPN B TUSFTT UFOTPS τij XIJDI JT DPOTUSVDUFE GSPN BMM QPTTJCMF
TFDPOE PSEFS UFSNT XJUI BU MFBTU UXP EFSJWBUJWFT PG UIF HSBWJUBUJPOBM QPUFOUJBM BOE UXP GSFF JO
EJDFT ,
,
τij = c1 δij (∂ 2 φ(1) )2 + c2 ∂i ∂j φ1 ∂ 2 φ(1) + c3 ∂i ∂l φ∂l ∂j φ(1) + c4 δij ∂l ∂m φ(1) ∂l ∂m φ(1) .
'SPN UIJT XF DBO EFSJWF UIF BOTBU[ GPS UIF BDDFMFSBUJPO DPVOUFSUFSN XIFSF XF SFBMJ[F UIBU POMZ
UISFF PVU PG UIF GPVS UFSNT BCPWF BSF MJOFBSMZ JOEFQFOEFOU "OPUIFS EFSJWBUJWF ZJFMET UIF DPVO
UFSUFSN GPS UIF EJTQMBDFNFOU EJWFSHFODF
∇x w aDU = α∂ 2 (∂ 2 φ(1) )+e1 ∂ 2 (∂ 2 φ(1) )2 +e2 ∂ 2 (∂i ∂j φ(1) )2 +e3 ∂i (∂i ∂j φ(1) ∂j ∂ 2 φ(1) ). 3FPSEFSJOH UIF TFDPOE PSEFS DPVOUFSUFSNT XF EF୮ୢOF UIF UISFF MJOFBSMZJOEFQFOEFOU PQFSBUPST
E2,1 (k1 , k2 ) =1,
E2,2 (k1 , k2 ) =κ2 (k1 , k2 ),
E2,3 (k1 , k2 ) =
(k12 + k22 )
κ2 (k1 , k2 ),
(k1 + k2 )2
XIJDI EF୮ୢOF UIF TFDPOE PSEFS DPVOUFSUFSNT CZ
φ
(2̃,i)
(k) = i
E3 p
E2,i (p, k − p)δ0 (p)δ0 (k − p).
(2π)3
5IFTF PCKFDUT BSF JO QSJODJQMF JOUSPEVDFE BU UIF MFWFM PG UIF FRVBUJPO PG NPUJPO BOE OFFE UP
CF JOUFHSBUFE XJUI UIF (SFFO‫ؠ‬T GVODUJPO UP HFOFSBUF B EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME 5IFTF JOUFHSBMT POMZ
DIBOHF UIF VOLOPXO QSFGBDUPST BOE DBO UIVT CF SFBCTPSCFE JOUP OFX DPOTUBOUT BU UIF MFWFM PG
UIF EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME
/PUF UIBU UXP PG UIF UISFF PQFSBUPST OBNFMZ E2,2 BOE E2,3 BSF BMTP BVUPNBUJDBMMZ HFOFSBUFE
CZ TPMWJOH UIF FRVBUJPO PG NPUJPO JO UIF QSFTFODF PG UIF MFBEJOH PSEFS DPVOUFSUFSN αk 2 φ(1) BT
XF FYQMBJO JO NPSF EFUBJMT JO "QQ *O QBSUJDVMBS UIFTF OFYUUPMFBEJOH PSEFS DPVOUFSUFSNT
BSF HFOFSBUFE CZ FJUIFS FOUFSJOH UIF MFBEJOH PSEFS DPVOUFSUFSN JOUP L1,1 JF
κ2 (k1 , k2 )
(k12 + k22 )
δ0 (k1 )δ0 (k2 )
(k1 + k2 )2
PS CZ SFQMBDJOH UIF MJOFBS QPUFOUJBM JO k 4 φ(1) CZ UIF TFDPOE PSEFS QPUFOUJBM JF
κ2 (k1 , k1 )δ0 (k1 )δ0 (k2 )
/PUF UIBU UIFTF UXP UFSNT BSF HFOFSBUFE JO B ୮ୢYFE QSPQPSUJPO EFUFSNJOFE CZ UIF UJNF EFQFO
EFODF PG UIF MFBEJOH PSEFS DPVOUFSUFSN α /PUF BMTP UIBU E1 JT OPU HFOFSBUFE 8F XJMM TFF MBUFS
UIBU BMM UISFF UFSNT E2,1 E2,2 BOE E2,3 BSF OFFEFE UP DVSF QPUFOUJBM EJWFSHFODJFT PG UIF EJTQMBDF
NFOU ୮ୢFME BU GPVSUI PSEFS
5IFSF BSF BMTP OFX DPVOUFSUFSNT BU UIJSE BOE IJHIFS
PSEFS JO UIF ୮ୢFMET 8F XJMM EFOPUF
UIFN φ(3̃,j) (k) BOE UIF DPSSFTQPOEJOH WFSUJDFT E3,j XJUIPVU FYQMJDJUMZ EFSJWJOH UIFJS GVODUJPOBM
GPSN
8F TIPXFE BCPWF UIBU UIF MFBEJOH PSEFS DPVOUFSUFSN αk 2 φ DBO CF SFHBSEFE BT B MPPQ SFHVMB
UPS GPS UIF EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME JUTFMG BOE OPU POMZ JUT QPXFS TQFDUSVN
4JODF UIJT DPVOUFSUFSN
JT MJOFBS JO φ JU JT B MPPQ SFHVMBUPS GPS B EJBHSBN XJUI B TJOHMF FYUFSOBM MFH 5IF EJBHSBN GPS UIF
EJTQMBDFNFOU XJUI POF MPPQ BOE POF FYUFSOBM MFH JT PCUBJOFE CZ DPOTJEFSJOH φ(3) BOE DMPTJOH
B MPPQ JF DPOUSBDUJOH UXP PG UIF UISFF MJOFBS EFOTJUZ ୮ୢFMET
*OEFFE XF GPVOE UIBU UIF αk 2 φ
DPVOUFSUFSN IBE UIF SJHIU GPSN UP DVSF UIF DVUP୭GEFQFOEFODF PG UIJT EJBHSBN
4JNJMBSMZ UIF OFYUUPMFBEJOH PSEFS PQFSBUPST E2,1 E2,2 BOE E2,3 DPSSFTQPOE UP DPVOUFSU
FSNT RVBESBUJD JO φ BOE DBO CF TFFO BT SFHVMBUPST GPS UIF MPPQT PG -15 EJTQMBDFNFOUT XJUI UXP
FYUFSOBM MFHT DPSSFTQPOEJOH UP UFSNT RVBESBUJD JO φ
*O PSEFS UP DMPTF B MPPQ XF OFFE UP BEE
UXP JOQVU ୮ୢFMET XIJDI MFBET VT UP DPOTJEFS UIF GPVSUI PSEFS EJTQMBDFNFOU
1
φ (k1 + k2 ) ⊃ δ0 (k1 )δ0 (k2 )
4
(4)
E3 p
L4 (p, −p, k1 , k2 )PMJO (p)
(2π)3
5IF DPOUSJCVUJOH EJBHSBNT XJUI POF MPPQ BOE UXP FYUFSOBM MFHT BSF TIPXO JO 'JH JO UFSNT
PG UIF GVOEBNFOUBM -15 WFSUJDFT κ2 BOE κ3 4PNF PG UIFN BSF USJWJBM PS SFEVDJCMF DPVOUFSUFSNT XIJDI BSF EJSFDUMZ SFMBUFE UP UIF MFBEJOH
PSEFS DPVOUFSUFSN UIBU XBT JOUSPEVDFE UP DVSF P13 ҆ 131 ∝
κ2 (k1 , k2 )κ2 (k1 + k2 + p, −p)κ2 (k1 + k2 , p)
p
k 24
PMJO (p) =
ψ,>k E2,2 (k1 , k2 ),
2
(k1 + k2 )
5
p
҆
)FSF XF JOUSPEVDF UIF TIPSUIBOE OPUBUJPO p ≡
E3 p
(2π)3 PR1
PR2
Plin
Plin
PI1
PI2
PI3
Plin
Plin
Plin
)LJXUH 'LDJUDPV RI WKH UHGXFLEOH DQG LUUHGXFLEOH FRQWULEXWLRQV WR WKH IRXUWK RUGHU GLVSODFHPHQW GLYHUJHQFH 1RWH WKDW
WKH YHUWLFHV LQ WKHVH GLDJUDPV DUH WKH IXQGDPHQWDO /37 YHUWLFHV κ2 DQG κ3 LQVWHDG RI WKH IXOO /37 YHUWLFHV Li 7KH DERYH
GLDJUDPV DULVH IURP ZULWLQJ DOO SRVVLEOH GLDJUDPV IRU φ4 DQG WKHQ FRUUHODWLQJ LQWHUPHGLDWH ĆHOGV OHDYLQJ WZR RI WKH LQJRLQJ
ĆHOGV ćRDWLQJ
κ2 (k1 , k2 ) κ2 (k1 + p, −p)κ2 (k1 , p) + (k1 ↔ k2 )
p
k 24
132 ∝
P
(p)
=
ψ,>k E2,3 (k1 , k2 ),
MJO
(k1 + k2 )2
5
p
0UIFST IBWF B TMJHIUMZ NPSF DPNQMFY WFSUFY TUSVDUVSF UIBU SFRVJSFT BEEJUJPOBM DPVOUFSUFSNT
1*1 ∝
κ3 (k1 , k2 , p)κ2 (k1 + k2 + p, −p)
p
k 12
ψ,>k E2,2 (k1 , k2 ),
PMJO (p) =
2
(k1 + k2 )
5
p
κ3 (k1 + p, k2 , −p)κ2 (k1 , p) + (k1 ↔ k2 )
1*2 ∝
(k1 + k2 )2
p
p
k
=
12
ψ,>k E2,3 (k1 , k2 ), 5
κ2 (k1 + p, k1 − p)κ2 (k1 , p)κ2 (k2 , −p)
(k1 + k2 )2
p
48
8
8
p
k
= 3ψ,>k
E2,1 (k1 , k2 ) − E2,2 (k1 , k2 ) − E2,3 (k1 , k2 ) .
35
35
35
1*3 ∝
8F TFF UIBU BMM UIF EJWFSHFODJFT DBO CF QSPKFDUFE PO UIF CBTJT E2,i XIJDI JT UIVT TV୭୮ୢDJFOU UP
DVSF UIF EJWFSHFODJFT
P1̃1
P1̃1̃
P2̃2
Plin
Plin
E1
P1̃3
E1
Plin
E1
E2
Plin
L2
P13̃
Plin
L3
Plin
Plin
E1
P2̃2̃
E3
P3̃3
Plin
E2
Plin
Plin
P3̃3̃
Plin
E2
E3
Plin
Plin
L3
E3
Plin
Plin
)LJXUH 'LDJUDPV IRU WKH ()7 FRUUHFWLRQV WR WKH ORRS SRZHU VSHFWUXP +HUH E1 (k)
E3
Plin
≡ αk 2 (JWFO UIF MFBEJOH BOE OFYUUPMFBEJOH DPVOUFSUFSNT XF KVTU EFSJWFE XF XJTI UP PCUBJO UIF
DPSSFTQPOEJOH &'5 DPSSFDUJPOT UP UIF MPPQ QPXFS TQFDUSVN "U UIF MPPQ MFWFM UIF -15
QPXFS TQFDUSB SFDFJWF DPSSFDUJPOT UIBU BSJTF GSPN SFQMBDJOH UIF MJOFBS QPXFS TQFDUSB JO UIF POF
MPPQ FYQSFTTJPOT CZ UIF POF MPPQ DPVOUFSUFSN k 2 PMJO PS CZ SFQMBDJOH UIF WFSUJDFT XJUI UIF &'5
WFSUJDFT Ei,j BT TIPXO JO 'JH 5IJT MFBET UP UIF GPMMPXJOH UFSNT XIFSF UIF UJMEF EFOPUFT B
DPVOUFSUFSN
P2̃2,i ∝
P2̃2̃,ij ∝
p
p
PMJO (q)PMJO (|k − p|)E2 (p, k − p)L2 (−p, −k + p),
PMJO (p)PMJO (|k − p|)E2,i (p, k − p)E2,j (−p, −k + p),
P13̃,i ∝ PMJO (k)
P3̃3̃,ij ∝
P3̃3,i ∝
p p
p p
p
PMJO (p)E3,i (p, −p, k),
PMJO (p)PMJO (p )PMJO (|k − p − p |)E3,i (p, p , k − p − p )E3,j (−p, −p , −k + p + p ),
PMJO (p)PMJO (p )PMJO (|k − p − p |)E3,i (p, p , k − p − p )L3 (−p, −p , −k + p + p ).
/PUF UIBU BU UIF UXP MPPQ MFWFM POMZ DPSSFMBUPST PG UIF TFDPOE PSEFS DPVOUFSUFSNT XJUI -15
UFSNT DBO DPOUSJCVUF UIFTF BSF UIF UFSNT P2̃2,i BOE P13̃,i 5IVT HPJOH UP UXPMPPQ PSEFS JO UIF
&'5 SFRVJSFT JODMVEJOH UIFTF DPVOUFSUFSNT 5IF BVUPQPXFS PG UIF TFDPOE PSEFS DPVOUFSUFSNT
JF UIF UFSNT P2̃2̃,ij BOE UIF BVUPQPXFS PG UIF UIJSE PSEFS DPVOUFSUFSNT JF P3̃3̃,ij DPSSF
TQPOE UP BU MFBTU UISFFMPPQ EJBHSBNT
*O UIF U-15 NPEFMT XIJDI XF TIBMM EF୮ୢOF TIPSUMZ BOZ DSPTT TQFDUSVN XJUI UIF -15 UFSNT
TVDI BT P2̃2,i BOE P13̃,i JT BVUPNBUJDBMMZ BDDPVOUFE GPS CZ UIF USBOTGFS GVODUJPOT 5IVT UIFSF JT
OP OFFE UP FYQMJDJUMZ DBMDVMBUF UIF DPVOUFSUFSNT BU UIF UXPMPPQ U-15 MFWFM
*O UIF MPXk SFHJNF XF IBWF P2̃2,1 ∝ k 4 P2̃2,2 ∝ k 6 BOE P2̃2,3 ∝ k 4 JF UXP PG UIF UFSNT
TDBMF BT P22 XIJMF POF PG UIFN JT TVQQSFTTFE CZ BO BEEJUJPOBM k 2 'PS UIF DVCJD DPVOUFSUFSNT XF
FYQFDU P13̃ ∝ k 2i P, i = 0, 1, 2 . . . 5IFTF TDBMJOHT XJMM CFDPNF SFMFWBOU MBUFS XIFO XF GPDVT PO
UIF TDBMF EFQFOEFODF PG UIF USBOTGFS GVODUJPOT
5঎জঝ঒গঐ -15 ঊগ঍ &'5 ঊঝ ঝ঑঎ এ঒঎ক঍ ক঎ট঎ক খঘট঒গঐ ঋ঎ঢঘগ঍ ঌঘজখ঒ঌ টঊছ঒ঊগঌ঎
4঒খঞকঊঝ঒ঘগ 4ঞ঒ঝ঎ খ঎ঊজঞছ঎খ঎গঝজ ঊগ঍ জঢজঝ঎খঊঝ঒ঌ ঎ছছঘছজ
8F VTF B TVJUF PG N CPEZ TJNVMBUJPOT UP TUVEZ UIF GVMMZ OPOMJOFBS FWPMVUJPO PG UIF DPTNJD EFO
TJUZ ୮ୢFME 5IF JOJUJBM DPOEJUJPOT GPS UIF NQ = 10243 QBSUJDMFT BSF TFU VQ BU zJOJU = 99 XJUI
UIF QVCMJDMZ BWBJMBCMF -15 DPEF 8F TVCTFRVFOUMZ GPMMPX UIFJS USBKFDUPSJFT VTJOH ("%(&5
** 8F VTF UXP EJ୭GFSFOU CPY TJ[FT XJUI UIF TBNF OVNCFS PG QBSUJDMFT UIF - TJNVMBUJPO GPS
‫آ‬MBSHF‫ أ‬IBT B CPY MFOHUI PG 1500h−1 .QD BOE UIF . TJNVMBUJPO GPS ‫آ‬NFEJVN‫ أ‬IBT B CPY
MFOHUI PG 500h−1 .QD 5IF DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST BSF CBTFE PO UIF 8."1 $.# BOBM
ZTJT ΩN = 0.272 σ8 = 0.81 nT = 0.967 8F IBWF JOEFQFOEFOU SFBMJ[BUJPOT GPS UIF TJNVMBUJPO BOE POF GPS UIF . TJNVMBUJPO #BTFE PO UIF QBSUJDMF *%T XF DBO SFDPOTUSVDU UIFJS
EJTQMBDFNFOU GSPN UIF VOJGPSN -BHSBOHJBO HSJE
ψ = x − q.
5IF EJTQMBDFNFOU WFDUPS JT UIFO BTTJHOFE UP UIF -BHSBOHJBO HSJE QPTJUJPO UIF UISFF $BSUF
TJBO DPNQPOFOUT PG UIF EJTQMBDFNFOU HSJE BSF USBOTGPSNFE UP 'PVSJFS TQBDF BOE UIF EJTQMBDF
NFOU QPUFOUJBM JT FTUJNBUFE 5IF OVNCFS PG QBSUJDMFT BOE UIF CPY TJ[F MJNJU UIF DBMDVMBUJPO UP
XBWFOVNCFST TNBMMFS UIBO UIF /ZRVJTU XBWFOVNCFS k/Z = πND /LCPY XIFSF ND JT UIF OVN
CFS PG HSJE DFMMT QFS EJNFOTJPO 1024 GPS CPUI TJNVMBUJPOT
BOE LCPY JT UIF TJ[F PG UIF TJNVMBUJPO
CPY 5IJT DPSSFTQPOET UP k/Z- = 2.14h.QD−1 GPS UIF - TJNVMBUJPO BOE k/Z. = 6.4h.QD−1
GPS UIF . TJNVMBUJPO
8F DBMDVMBUF UIF -15 EJTQMBDFNFOUT GPS UIF TBNF JOJUJBM DPOEJUJPOT JF UIF BNQMJUVEFT BOE
QIBTFT PG UIF QFSUVSCBUJWF EJTQMBDFNFOUT BHSFF XJUI UIF POFT UIBU TFFEFE UIF GVMMZ OPOMJOFBS N CPEZ TJNVMBUJPO 5IJT BMMPXT VT UP QFSGPSN DSPTTDPSSFMBUJPOT PO B NPEF CZ NPEF CBTJT SBUIFS
UIBO BWFSBHJOH UIF QFSUVSCBUJPO UIFPSZ BOE UIF TJNVMBUJPOT TFQBSBUFMZ BOE DPNQBSJOH POMZ
UIFJS BVUPQPXFS TQFDUSVN 5IJT JT DMFBSMZ B NVDI NPSF TUSJOHFOU UFTU PG BOZ QFSUVSCBUJWF USFBU
NFOU UIBO KVTU DPNQBSJOH UIF GBJSMZ TNPPUI TDBMF EFQFOEFODF PG B QPXFS TQFDUSVN .BUDIJOH
UIF QPXFS TQFDUSVN NFBOT UIBU POF USJFT UP HFU O(102 ) OVNCFST SJHIU XIFSFBT XF BSF USZJOH UP
NBUDI B O(109 ) EJNFOTJPOBM WFDUPS *O QSBDUJDF XF NFBTVSF UIF BVUP BOE DSPTTDPSSFMBUJPOT PG
UIF WBSJPVT EJTQMBDFNFOUT φOM φ(1) φ(2) φ(3) φ(4) BOE φ(5) *O PSEFS UP DPNQVUF UIF -15 EJTQMBDFNFOUT PO UIF HSJE XF VTF UIF SFBMTQBDF GPSNVMBUJPO
BOE 5IJT JOWPMWFT B TFRVFODF PG QSPEVDUT BOE 'BTU 'PVSJFS 5SBOTGPSNT XIJDI JT
DPNQVUBUJPOBMMZ NPSF F୭୮ୢDJFOU UIBO UIF DPOWPMVUJPOT *O QBSUJDVMBS JOWFSTF -BQMBDJBOT
BOE EFSJWBUJWFT BSF DBMDVMBUFE JO 'PVSJFS TQBDF CVU DPOWPMVUJPOT BSF DPNQVUFE CZ USBOTGPSNJOH
UP SFBM TQBDF BOE NVMUJQMZJOH
8F DPNQBSF UIFPSZ BOE TJNVMBUJPO BU WBSJPVT SFETIJG୴T z = 0, 0.5, 1, 2
6OMFTT PUIFSXJTF
JOEJDBUFE UIF SFTVMUT RVPUFE DPSSFTQPOE UP z = 0
#FDBVTF UIJT JT B OPOMJOFBS DBMDVMBUJPO BMJBTJOH JT BO JTTVF $PVQMJOH n NPEFT XJUI XBWFOVN
CFST k < kDVUPӇ XF DBO HFOFSBUF NPEFT VQ UP n kDVUPӇ *G UIJT XBWFOVNCFS FYDFFET UIF /ZRVJTU
XBWFOVNCFS JU GPMET CBDL UP 2k/Z − n kDVUPӇ BOE DBO MFBE UP TQVSJPVT F୭GFDUT 8F BWPJE UIJT CZ
VTJOH B DVUP୭G kDVUPӇ JO kTQBDF GPS PVS -15 DBMDVMBUJPO JNQMFNFOUFE CZ TFUUJOH UP [FSP BMM UIF
NPEFT PG UIF JOJUJBM MJOFBS EFOTJUZ ୮ୢFME XJUI k > kDVUPӇ *G XF XBOU UIF NPEFT k kDVUPӇ PG
φ(n) UP CF VOB୭GFDUFE CZ BMJBTJOH XF OFFE UP TFU kDVUPӇ 2/(1 + n)k/Z *O XIBU GPMMPXT VOMFTT
PUIFSXJTF JOEJDBUFE XF VTFE kDVUPӇ = 0.61h.QD−1 GPS BMM QFSUVSCBUJPO UIFPSZ DBMDVMBUJPOT PO
UIF TJNVMBUJPO HSJE 5IJT DVUP୭G WBMVF SFNPWFT UIF BMJBTJOH JTTVF VQ UP UI PSEFS JO QFSUVSCBUJPO
UIFPSZ
'঒ঝঝ঒গঐ এঘছ α
"T B ୮ୢSTU TUFQ JO PVS UFTU PG UIF -BHSBOHJBO &'5 XF NFBTVSF UIF GSFF &'5 QBSBNFUFS α UIBU
BQQFBST BU MPPQ PSEFS BT EF୮ୢOFE JO &R 8F ୮ୢU GPS UIF DPF୭୮ୢDJFOU α JO UXP XBZT CZ NJO
JNJ[JOH UIF WBSJBODF CFUXFFO UIF OPOMJOFBS ୮ୢFME BOE UIF UIFPSFUJDBM NPEFM PO UIF POF IBOE
FODPEFE CZ UIF TQFDUSVN PFSSPS PG φFSSPS ≡ φOM − φNPEFM BOE CZ BEKVTUJOH UIF NPEFM QPXFS TQFD
USVN UP UIF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN POM PO UIF PUIFS IBOE 5IF SFTVMUJOH αk BSF PCUBJOFE BT
GPMMPXT BOE TIPXO JO 'JH ⎧
⎪
⎪
2 (1) 2
⎪
⎨ NJOJNJ[JOH PFSSPS = |φOM − φ-15 − αk φ | ⎪
⎪
⎪
⎩ NJOJNJ[JOH (POM − P-15 − 2αk 2 P11 )2
P1×OM − P1×-15
,
k 2 P11
1 POM − P-15
−→ αOM =
.
2 k 2 P11
−→ αFSSPS =
*O CPUI DBTFT XF ୮ୢSTU EFUFSNJOF UIF WBMVF PG αk GPS FBDI LCJO JOEFQFOEFOUMZ BOE FTUJNBUF
UIF FSSPS CBST PO UIFTF WBMVFT CZ MPPLJOH BU UIF TDBUUFS BDSPTT UIF JOEFQFOEFOU SFBMJ[BUJPOT
,FFQJOH UIF ୮ୢSTU UFSN αk 2 JO UIF &'5 FYQBOTJPO JT POMZ TVQQPTFE UP CF B WBMJE BQQSPYJNB
UJPO BU MPX k XIFSF UIF IJHIFS PSEFS UFSNT BSF TNBMM 8F XPVME UIFSFGPSF FYQFDU UIF αk DVSWFT
TIPXO JO 'JH UP MPPL MJLF B DPOTUBOU BU MPX k BOE UIFO UP EFWJBUF GSPN UIBU DPOTUBOU BU
IJHIFS k
*OTUFBE UIF DVSWFT XF PCUBJO TFFN UP EFWJBUF ESBNBUJDBMMZ GSPN B DPOTUBOU BU UIF TNBMMFTU k
GPS UIF GPMMPXJOH SFBTPO "U WFSZ MPX k PVS NFBTVSFNFOU PG α JT FYUSFNFMZ TFOTJUJWF UP TZTUFN
BUJD FSSPST JO UIF TJNVMBUJPO TJODF BO FSSPS PG x% PO UIF OPOMJOFBS EJTQMBDFNFOU USBOTMBUFT JOUP
BO FSSPS PG x/k 2 % PO α 5IF HSFZ EPNBJOT PO 'JH SFQSFTFOU UIF WBSJBUJPOT JO α DBVTFE
CZ WBSJBUJPOT JO UIF OPOMJOFBS EJTQMBDFNFOU PG 0.01% 0.1% BOE 1% SFTQFDUJWFMZ 0O MBSHF
TDBMFT k 0.05h.QD−1 UIF ESBNBUJD VQXBSE PS EPXOXBSE USFOET TFFO JO α SJHIU QBOFM PG
'JH BSF UIF SF୯୳FDUJPO PG UIF ∼ 0.05% WBSJBUJPOT JO UIF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN BSJTJOH
GSPN EJ୭GFSFOU N CPEZ TFUUJOHT EJTDVTTFE JO "QQ 5IF WBMVFT PG α PCUBJOFE BMTP EFWJBUF GSPN B DPOTUBOU BU IJHI k XIJDI JT FYQFDUFE EVF UP
IJHIFS PSEFS UFSNT JO UIF &'5 FYQBOTJPO 4PNF PG UIFTF UFSNT ‫ ؛‬UIF POFT UIBU DPSSFMBUF XJUI
φ(1) ‫ ؛‬B୭GFDU CPUI NFUIPET JO UIF TBNF XBZ 5IJT JT UIF DBTF GPS UIF P15 UFSN XIJDI XF XJMM EJT
DVTT JO NPSF EFUBJM CFMPX JO 4FD BOE UIF IJHIFS PSEFS PSEFS &'5 DPVOUFSUFSN PG UIF GPSN
k 4 φ(1) " OB¯WF FTUJNBUF GPS UIF MBUUFS UFSN JT HJWFO CZ α2 k 4 P11 XIJDI MFBET UP B 5% DPSSFDUJPO
UP UIF JOGFSSFE WBMVF PG α BU k ≈ 0.14h.QD−1 XIFSF α JUTFMG MFBET UP B 10% DPSSFDUJPO UP UIF
OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN
)PXFWFS TPNF PUIFS IJHIFS PSEFS &'5 UFSNT B୭GFDU POMZ UIF WBMVF PG αk PCUBJOFE GSPN UIF
OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN 5IFTF BSF UIF UFSNT UIBU BSF OPU PG UIF GPSN P1i *OEFFE DPOTJEFS
JOH POMZ UIF -15 UFSNT XF FYQFDU
αFSSPS =
POM×1 − P11 − P13
,
k 2 P11
αOM =
POM − P11 − P22 − 2P13
,
2k 2 P11
BOE UIFSFGPSF
αOM = αFSSPS +
P33 + 2P24
+ ...
2k 2 P11
5IFTF DPSSFDUJPO UFSNT BSF TVQQSFTTFE PO MBSHF TDBMFT CVU TV୭୮ୢDJFOU UP FYQMBJO UIF QFSDFOU MFWFM
EJ୭GFSFODF CFUXFFO UIF αk PCUBJOFE GSPN UIF UXP NFUIPET TIPXO JO 'JH 5IVT BT TPPO BT
UIF αk GSPN UIF UXP NFUIPET EJ୭GFS XF LOPX UIBU IJHIFS PSEFS DPSSFDUJPOT BSF JNQPSUBOU BOE
UIF FTUJNBUPS GSPN ୮ୢUUJOH UP UIF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN TIPVME OPU CF USVTUFE BOZNPSF "U
UIF TBNF UJNF UXPMPPQ DPSSFDUJPOT UP UIF QPXFS TQFDUSVN XJMM CFDPNF JNQPSUBOU /PUF UIBU
UIF BVUPQPXFS TQFDUSVN PG UIF TUPDIBTUJD UFSN XJMM POMZ B୭GFDU UIF WBMVF PG αOM BOE OPU αFSSPS 'SPN 'JH UIF WBMVFT PG α JOGFSSFE GSPN CPUI NFUIPET BHSFF GPS k 0.03h/.QD BOE
EJTBHSFF GPS k 0.03h/.QD 5IJT TIPXT UIBU GPS PVS QVSQPTF XIFSF XF GPDVT PO WFSZ MBSHF
TDBMFT UIFSF JT OP PWFS୮ୢUUJOH JTTVF DIPPTJOH α UP HFU UIF CFTU EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME PS UIF CFTU
QPXFS TQFDUSVN PO UIFTF TDBMFT JT FRVJWBMFOU )PXFWFS UIJT NFBOT UIBU POF TIPVME OPU EF
UFSNJOF UIF WBMVF PG α CZ NBUDIJOH UIF QPXFS TQFDUSVN PO TDBMFT k 0.03h/.QD
8F UIFSFGPSF QJDL UIF WBMVF PG α BSPVOE k = 0.03h.QD−1 BOE XF ୮ୢOE α = −2.46 ±
0.2(h−1 .QD)2 )FSF UIF NFBO WBMVF JT UIF POF SFMFWBOU GPS UIF 1. SVO XIJMF UIF FSSPS CBS
SFQSFTFOUT UIF EFWJBUJPOT CFUXFFO UIF EJ୭GFSFOU TJNVMBUJPOT SVOT 1. ' -1.
BOE UIFSF
GPSF DPSSFTQPOET UP B TZTUFNBUJD FSSPS 5IF TDBUUFS CFUXFFO UIF WBSJPVT TJNVMBUJPO SVOT IJHI
MJHIUT UIF EJ୭୮ୢDVMUZ PG UIJT NFBTVSFNFOU BT TIPXO CZ UIF TIBEFE BSFBT JO 'JH PO MBSHF
TDBMFT MBSHF DIBOHFT PG PSEFS VOJUZ
JO UIF WBMVF PG α POMZ DPSSFTQPOET UP WFSZ TNBMM WBSJB
UJPOT JO UIF QPXFS TQFDUSVN CFMPX 0.1% BU k = 0.01h.QD−1 5IJT NFBOT UIBU BO BDDV
SBUF NFBTVSFNFOU PG α SFRVJSFT BO FYUSFNFMZ BDDVSBUF NFBTVSFNFOU PG UIF OPOMJOFBS QPXFS
TQFDUSVN PO MBSHF TDBMFT #Z DIPPTJOH α XJUIJO UIF WBMVFT QSFEJDUFE CZ UIF EJ୭GFSFOU TJNVMBUJPO
SVOT 1. ' -1.
XF BDLOPXMFEHF UIF F୭GFDU PG TZTUFNBUJD FSSPST JO UIF TJNVMBUJPO PO UIF
EFUFSNJOBUJPO PG α
3FNFNCFS BMTP UIBU UIF FYBDU WBMVF PG α JT EFQFOEFOU PO UIF DVUP୭G VTFE GPS UIF -15 DBM
DVMBUJPO )FSF XF VTFE kDVUPӇ = 0.61h/.QD 5IJT DBO CF USBOTMBUFE UP αΛ=∞ = −3.0 ±
0.2(h−1 .QD)2 GPS kDVUPӇ = ∞ XIJDI DPSSFTQPOET UP B ॎ DPSSFDUJPO UP UIF QPXFS TQFDUSVN BU
k = 0.06h.QD−1 ҇ 5IF TIBEFE BSFBT JO 'JH TIPX UIBU PVS WBMVF PG α BMMPXT UP SFQSPEVDF
UIF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN XJUI BO BDDVSBDZ PG ॎ VQ UP k 0.15h/.QD
5IF TBNF NFBTVSFNFOU BU z = 0.5 ZJFMET UIF WBMVF α = −0.8 ± 0.07(h−1 .QD)2 TFF
'JH DPSSFTQPOEJOH UP αΛ=∞ = −1.2 ± 0.07(h−1 .QD)2 GPS kDVUPӇ = ∞ )PXFWFS BU
FWFO IJHIFS SFETIJG୴T z = 1 PS z = 2
UIF BCTPMVUF WBMVF PG α ESPQT CFMPX UIF TZTUFNBUJD FSSPS
JO UIF TJNVMBUJPOT BOE XF BSF OP MPOHFS BCMF UP NFBTVSF JU
'SPN DPNQBSJOH 'JH BOE 'JH XF TFF UIBU UIF &'5 QSPWJEFT B HPPE ୮ୢU UP UIF TJN
5IJT k 2 DPF୭୮ୢDJFOU JT OPU DBQUVSFE CZ UXP MPPQ DPSSFDUJPOT *O GBDU UIFSF JT B QPTJUJWF k 2 P11 DPOUSJCVUJPO
GSPN P15 XIJDI XPVME UIVT SFRVJSF BO FWFO NPSF OFHBUJWF WBMVF PG α BG୴FS UIF UXP MPPQ QPXFS TQFDUSVN IBT CFFO
JODMVEFE 8F XJMM DPNF CBDL UP UIJT JTTVF JO 4FD ҇
MPPQ JOUFHSBM SFTVMUT JO B OPO[FSP WBMVF α = −3.0 ± 0.2 (.QD/h)2 5IF DPF୭୮ୢDJFOU α DBO CF
TFU UP [FSP CZ DIPPTJOH kDVUPӇ 0.15h/.QD CVU UIJT IBT OPUIJOH QIZTJDBM BOE EPFT OPU JNQMZ
UIBU UIF &'5 DPVOUFSUFSN XBT OPU OFFEFE
3঎঍জ঑঒এঝ঍঎ঙ঎গ঍঎গঌ঎ 'PS BO &E4 VOJWFSTF XJUI QPXFS MBX JOJUJBM QPXFS TQFDUSVN PG JO
4
EFY n UIF SFMBUJPO CFUXFFO MFOHUI BOE UJNF TDBMJOHT JT λx = λτn+3 8F FYQFDU UIF &'5 DPFG
8
4
୮ୢDJFOU α UP TDBMF BT JUT EJNFOTJPO JF MFOHUI2 JF BT τ n+3 ∝ a n+3 .FBTVSFNFOUT PG αΛ=∞
BU EJ୭GFSFOU SFETIJG୴T BSF TIPXO JO 'JH 5IF UJNFEFQFOEFODF PG αΛ=∞ BQQFBST DPNQBUJCMF
4
2
(a) BOE XJUI D n+3 XJUI n = −2
XJUI UIBU PG MFOHUI2 ∝ 1/kOM
0গ঎কঘঘঙ ঙঘঠ঎ছ জঙ঎ঌঝছঞখ
8F DPNQBSF UIF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN GSPN -15 BOE &'5 UP UIF TJNVMBUJPO PVUQVU
'JH TIPXT UIBU UIF MPPQ &'5 QPXFS TQFDUSVN NBUDIFT UIF TJNVMBUJPO UP ॎ BDDVSBDZ
VQ UP k = 0.15h.QD−1 DPNQBSFE UP k = 0.05h.QD−1 GPS UIF MPPQ -15 QPXFS TQFD
USVN 5IJT JT B GBDUPS PG JNQSPWFNFOU JO UIF NBYJNVN XBWF WFDUPS HJWJOH ॎ BDDVSBDZ -FU
VT TUSFTT BHBJO UIBU UIF &'5 DPF୭୮ୢDJFOU α XBT OPU ୮ୢU BU UIF NBYJNVN XBWFOVNCFS PG WBMJE
JUZ k = 0.15h.QD−1 CVU PO MBSHFS TDBMFT /PUJDF UIBU UIF MPPQ -15 QPXFS TQFDUSVN JT
XPSTF UIBO UIF MPPQ -15 QPXFS TQFDUSVN XIJDI JT OPU TVSQSJTJOH HJWFO UIBU JU DPOUBJOT 67
TFOTJUJWF UFSNT UIBU IBWFO‫ؠ‬U CFFO DPSSFDUFE CZ UIF BQQSPQSJBUF &'5 DPVOUFSUFSNT ZFU
*U JT TUSJLJOH GSPN 'JH IPX HPPE UIF BHSFFNFOU JT BU MPX k DPNQMFUFMZ EFWPJE PG DPT
NJD WBSJBODF 5IJT TIPXT UIBU UIF &'5 NPEFM XPSLT SFBMJ[BUJPO CZ SFBMJ[BUJPO JOTUFBE PG POMZ
SFQSPEVDJOH UIF NFBO QPXFS TQFDUSVN
5IVT UIF UIJSE PSEFS &'5 EJTQMBDFNFOU QSPWJEFT B WFSZ HPPE ୮ୢU UP UIF OPOMJOFBS EJTQMBDF
φ(3) JT B TNBMMFS UFSN UIBO φ(2) JF ||φ(3) || =
√
P33 <
√
P22 = ||φ(2) ||
JU CSJOHT B MBSHFS
DPOUSJCVUJPO UP UIF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN CFDBVTF JU JT NPSF ‫آ‬BMJHOFE‫ أ‬XJUI φ(1) JF
φ(1) φ(3) = P13 > 0 = φ(1) φ(2) *O DPODMVTJPO UIF TFDPOE PSEFS EJTQMBDFNFOU φ(2) JT
B MBSHFS UFSN UIBO UIF UIJSE PSEFS EJTQMBDFNFOU φ(3) BOE JT DSVDJBM UP UIF BHSFFNFOU CFUXFFO
&'5 BOE TJNVMBUJPO BU UIF MFWFM PG UIF EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME )PXFWFS CFDBVTF φ(2) JT PSUIPHP
OBM UP JF OPU DPSSFMBUFE XJUI
UIF MBSHFS UFSN φ(1) JUT DPOUSJCVUJPO UP UIF EJTQMBDFNFOU QPXFS
TQFDUSVN JT OFHMJHJCMF
0গ ঝ঑঎ ঘট঎ছএ঒ঝঝ঒গঐ ঒জজঞ঎
*O UIJT TFDUJPO XF ୮ୢUUFE GPS UIF &'5 DPF୭୮ୢDJFOU α BOE DPNQBSFE WBSJPVT NPEFMT PG UIF EJT
QMBDFNFOU ୮ୢFME UP TJNVMBUJPO BU UIF MFWFM PG UIF ୮ୢFME JUTFMG BOE OPU POMZ JUT QPXFS TQFDUSVN
5IJT NFUIPET BMMPXT VT UP BEESFTT UIF JTTVF PG PWFS୮ୢUUJOH
*OEFFE POF NJHIU B QSJPSJ CF DPODFSOFE UIBU UIF &'5 FYQBOTJPO GPS UIF EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME
NJHIU CF JODPSSFDU CVU TUJMM HJWF UIF SJHIU EJTQMBDFNFOU QPXFS TQFDUSVN EVF UP UIF BEKVTUBCMF
(
POM (k) (1)
φ (k) DMFBSMZ QSF
&'5 QBSBNFUFST 'PS FYBNQMF UIF BSUJ୮ୢDJBM
NPEFM φNPEFM (k) =
P11 (k)
EJDUT UIF DPSSFDU QPXFS TQFDUSVN POM GPS BMM k CVU BT TIPXO JO 'JH JU EPFT OPU DPSSFTQPOE
UP UIF USVF OPOMJOFBS EJTQMBDFNFOU φOM 0OF NJHIU XPSSZ UIBU UIF &'5 NPEFM NJHIU CF TJNJ
MBS JO UIBU JU XPVME HJWF BO BDDVSBUF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN UIBOLT UP JUT GSFF QBSBNFUFST
CVU CF B QPPS EFTDSJQUJPO PG UIF EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME )PXFWFS XF EJE OPU DIPPTF UIF &'5 DP
F୭୮ୢDJFOU α CZ SFRVJSJOH PNPEFM UP CF DMPTF UP POM CVU JOTUFBE CZ NJOJNJ[JOH UIF FSSPS QPXFS
TQFDUSVN PFSSPS XIJDI JT UIF NPTU TUSJOHFOU SFRVJSFNFOU *OEFFE B TNBMM PFSSPS (k) NFBOT UIBU
|φFSSPS (k)|2 = |φOM (k) − φNPEFM (k)|2 JT TNBMM JNQMZJOH UIBU UIF 'PVSJFS DPNQPOFOU PG UIF TDBMBS
EJTQMBDFNFOU JT DPSSFDUMZ EFTDSJCFE CZ UIF NPEFM *O DPOUSBTU IBWJOH POM DMPTF UP PNPEFM TJNQMZ
100
10
−1
φmodel(k) =
Pnl(k) (1)
P11(k) φ (k)
φ3LPT
Perror/Pnl
10−2
10−3
10−4
10−5
10−6
10−7
10−2
10−1
k [h/Mpc]
)LJXUH &RPSDULVRQ EHWZHHQ WKH HUURU SRZHU VSHFWUD IRU WKH DUWLĆFLDO PRGHO φPRGHO (k)
=
(
PQO (k) (1)
(k) DQG
P11 (k) φ
φ/37 (YHQ WKRXJK WKH IRUPHU JLYHV H[DFWO\ WKH ULJKW QRQOLQHDU SRZHU VSHFWUXP LWV HUURU SRZHU VSHFWUXP LV PXFK ODUJHU
PHDQLQJ WKDW LW LV D ZURQJ PRGHO IRU WKH GLVSODFHPHQW
NFBOT UIBU |φOM (k)|2 − |φNPEFM (k)|2 JT TNBMM JF UIF 'PVSJFS DPNQPOFOUT IBWF UIF TBNF BN
QMJUVEF CVU NJHIU IBWF EJ୭GFSFOU QIBTFT 5IFSFGPSF CZ NJOJNJ[JOH PFSSPS XF BSF HVBSBOUFFE UP
DIPPTF UIF WBMVF PG α UIBU QSPWJEFT UIF CFTU EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME QPTTJCMF XIJDI QSFWFOUT UIF SJTL
PG PWFS୮ୢUUJOH
*O QSBDUJDF UIPVHI CFDBVTF PVS NFBTVSFNFOU PG α JT MBSHFMZ MJNJUFE CZ TZTUFNBUJD FSSPST JO
PVS N CPEZ TJNVMBUJPO TVJUF UIF EJ୭GFSFODF CFUXFFO UIF WBMVF PG α PCUBJOFE GSPN NJOJNJ[JOH
UIF FSSPS QPXFS TQFDUSVN BOE GSPN ୮ୢUUJOH UP UIF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN JT TNBMM DPNQBSFE
UP UIF ୮ୢOBM VODFSUBJOUZ PO α 5IJT XBT OPU B QSJPSJ PCWJPVT BOE TIPXT IPX TFOTJUJWF UIJT NFB
TVSFNFOU JT UP TZTUFNBUJD FSSPST PO UIF MBSHFTU TDBMFT PG UIF TJNVMBUJPO
5ছঊগজএ঎ছ এঞগঌঝ঒ঘগজ ঊগ঍ ‫؟‬ঝ-15‫ؠ‬
0ঙঝ঒খঊক ক঒গ঎ঊছ খঘ঍঎ক এছঘখ -15 ‫ ؛‬঒গঌকঞ঍঒গঐ ঑঒ঐ঑঎ছকঘঘঙ ঝ঎ছখজ
*O UIF QSFWJPVT TFDUJPO XF NFBTVSFE UIF &'5 DPF୭୮ୢDJFOU α BOE DPNQBSFE UIF &'5 NPEFM UP
UIF WBSJPVT O-15 NPEFMT 8F GPVOE UIBU UIF &'5 TJHOJ୮ୢDBOUMZ JODSFBTFT UIF SBOHF PG WBMJEJUZ
PG QFSUVSCBUJPO UIFPSZ #VU XF BMTP XJTI UP VOEFSTUBOE IPX DMPTF UP PQUJNBM UIF &'5 NPEFM
JT 5P EP TP XF DPNQBSF JU UP UIF ‫آ‬OU-15‫ أ‬NPEFMT GPS ‫آ‬-15 XJUI USBOTGFS GVODUJPOT‫ أ‬JF UIF
-15 NPEFMT GPS XIJDI UIF -15 EJTQMBDFNFOUT BSF NVMUJQMJFE CZ GSFF GVODUJPOT PG UIF NPEVMVT
k ≡ |k| PG UIF XBWFOVNCFS UIF ‫آ‬USBOTGFS GVODUJPOT‫ أ‬TFF BMTP φnU-15 (k) = a1 (k)φ(1) (k) + ... + an (k)φ(n) (k).
'PS FBDI PG UIFTF NPEFMT -15 &'5 U-15
XF DPNQVUF UIF EJTQMBDFNFOU FSSPS φFSSPS ≡ φOM −
φNPEFM 5IF USBOTGFS GVODUJPOT ai (k) PG UIF U-15 NPEFMT BSF DIPTFO TP BT UP NJOJNJ[F UIF FSSPS
QPXFS TQFDUSVN PFSSPS GPS FBDI kCJO /PUJDF UIBU UIF USBOTGFS GVODUJPOT BSF OPU DIPTFO TP BT
UP NBUDI UIF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN 5IF U-15 NPEFMT DPSSFTQPOE UP B MPXFS CPVOE PO
PFSSPS BOE UIVT BMMPX UP BTTFTT IPX DMPTF UP PQUJNBM UIF -15 BOE &'5 NPEFMT BSF
#FTJEFT UIF USBOTGFS GVODUJPOT BMMPX UP F୭GFDUJWFMZ JODMVEF DFSUBJO IJHIFS PSEFS -15 BOE &'5
UFSNT XJUIPVU IBWJOH UP DPNQVUF UIFN FYQMJDJUMZ 'PS FYBNQMF GPS UIF U-15 NPEFM φ1U-15 =
a1 φ(1) UIF SFTVMU PG NJOJNJ[JOH PFSSPS ZJFMET a1 =
P1×OM
P11
TP UIBU P1U-15 =
2
P1×OM
P11
P11 + P13 +
αk 2 P11 + ... )FSF UIF UFSN P13 JT JNQMJDJUMZ JODMVEFE JO UIF U-15 QPXFS TQFDUSVN FWFO
UIPVHI FWBMVBUJOH UIF U-15 EJTQMBDFNFOU EJE OPU SFRVJSF DPNQVUJOH φ(3) *O UVSO UIF -15 BOE &'5 DBO QSFEJDU XIBU UIFTF USBOTGFS GVODUJPOT TIPVME CF BT TIPXO JO
'JH 8F TFF UIBU UIF -15 NPEFM GPS a1 PWFSQSFEJDUT JUT BNQMJUVEF EVF UP UIF 67 TFOTJUJW
JUZ PG P13 XIFSFBT UIF &'5 QSFEJDUJPO UBLJOH JOUP BDDPVOU UIF DPVOUFSUFSN BTTPDJBUFE XJUI α
JT BDDVSBUF UP 1% FWFO CFZPOE k = 0.1h.QD−1 5IJT BMTP HFOFSBMJ[FT UP IJHIFS PSEFS BT TPPO BT UIF UFSN ai φ(i) JT JODMVEFE UIF -15 DPO
USJCVUJPOT Pij UP UIF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN GPS BMM j BSF BVUPNBUJDBMMZ JODMVEFE 5IJT JT
1.030
a1 (1tLPT)
1.025
1 + P13/P11 (LPT 1 loop)
1 + αk 2 + P13/P11 (EFT 1 loop)
1.020
a1
1.015
1.010
1.005
1.000
0.995
0.990
10−2
10−1
k [h/Mpc]
13
= PP1×
1 + αk 2 + P
P11 ZKLFK LQGLFDWHV WKDW
11
WKH W/37 SRZHU VSHFWUXP HIIHFWLYHO\ LQFOXGHV WKH P13 WHUP HYHQ WKRXJK φ(3) LV QRW H[SOLFLWO\ LQFOXGHG LQ WKH W/37 PRGHO
)LJXUH 7UDQVIHU IXQFWLRQ a1 RI WKH W/37 PRGHO ,W FRUUHVSRQGV WR a1
QO
JMMVTUSBUFE JO 5BC *O QSBDUJDF XF ୮ୢU GPS UIF GSFF DPF୭୮ୢDJFOUT ai (k) GPS FBDI kCJO JOEFQFOEFOUMZ CZ NJOJNJ[
JOH PFSSPS (k) = |φFSSPS |2 = |φOM −
i
ai φi |2 *G XF JOUFSQSFU φa |φb ≡ φa φb BT B
TDBMBS QSPEVDU BOE |φa |2 BT B TRVBSFE OPSN BT CFGPSF XF TFF UIBU NJOJNJ[JOH UIF OPSN PG
UIF EJTQMBDFNFOU FSSPS φFSSPS JF NJOJNJ[JOH PFSSPS BNPVOUT UP NBLJOH UIF EJTQMBDFNFOU FSSPS
PSUIPHPOBM UP UIF -15 DPNQPOFOUT φi JF φFSSPS |φ(i) = 0
2
∂χ2
ai φ(i) NJOJNBM ⇔
= −2φ(i) |φOM −
ai φ(i) = −2φ(i) |φFSSPS = 0.
χ2 = φOM −
∂a
i
i
i
4JODF UIF WBSJPVT φ(i) EP OPU GPSN BO PSUIPHPOBM CBTJT JF φ(i) |φ(j) = 0 JF φ(i) BOE
φ(j) DBO CF DPSSFMBUFE
UIF WBMVF PG UIF USBOTGFS GVODUJPO EFQFOET PO UIF NBYJNVN PSEFS JO
DMVEFE JO U-15 GPS JOTUBODF UIF WBMVF PG a1 JO U-15 BOE U-15 EJ୭GFST CZ P13 /P11 5IJT DBO
CF BWPJEFE CZ EF୮ୢOJOH BO PSUIPHPOBM CBTJT φ(i)⊥ UISPVHI UIF (SBN4DINJEU PSUIPHPOBMJ[BUJPO
5ছঊগজএ঎ছ এঞগঌঝ঒ঘগজ ঒গ ঝ঑঎ ঌঘগঝ঎ডঝ ঘএ ঝ঑঎ &'5
8F NFOUJPOFE BCPWF UIBU U-15 JODMVEFT BMM UIF UFSNT QSFTFOU JO B DPOTJTUFOU UXPMPPQ &'5
DBMDVMBUJPO JODMVEJOH UIF OFYUUPMFBEJOH PSEFS DPVOUFSUFSNT )FSF XF NBLF UIF DPOOFDUJPO
CFUXFFO &'5 BOE U-15 FYQMJDJU CZ TIPXJOH UIBU UIF USBOTGFS GVODUJPOT BSF DPSSFDUMZ EFTDSJCFE
CZ -15 QPXFS TQFDUSB BOE UIFJS &'5 DPVOUFSUFSNT PO MBSHF TDBMFT 'PS DMBSJUZ XF GPDVT PO UIF
PSUIPHPOBM USBOTGFS GVODUJPOT a⊥
n XIJDI BSF JOEFQFOEFOU PO UIF PSEFS VTFE JO U-15
5IF &'5 QSFEJDUT UIF ୮ୢSTU PSEFS PSUIPHPOBM USBOTGFS GVODUJPO BT GPMMPXT
a⊥
1 ≡
P1×OM
P13
1+
+ αk 2
P11
P11
P13 P15
1+
+
+ α k 2 .
P11 P11
)FSF UIF ୮ୢSTU MJOF DPSSFTQPOET UP UIF MPPQ &'5 QSFEJDUJPO GPS a⊥
1 XIFSF α JT UIF &'5 DPFG
୮ୢDJFOU NFBTVSFE BCPWF 5IF TFDPOE MJOF DPSSFTQPOET UP UIF MPPQ QSFEJDUJPO TFF 'JH 4JODF UIF -15 UFSNT TVDI BT P13 BOE P15 BSF DVUP୭GEFQFOEFOU BOE IBWF QPUFOUJBMMZ XSPOH 67
DPOUSJCVUJPOT UIFZ BSF BTTPDJBUFE XJUI B DPVOUFSUFSN 5IVT α BOE α EJ୭GFS CZ UIF k 2 DPF୭୮ୢ
DJFOU PG P15 /P11 XIJDI JT BQQSPYJNBUFMZ 3 h−2 .QD2 GPS B DVUP୭G PG Λ = 0.6h.QD−1 #FZPOE
UIBU P13 /P11 BOE P15 /P11 IBWF k 4 DPOUSJCVUJPOT XIJDI BSF DVUP୭G EFQFOEFOU BOE TIPVME CF
DPSSFDUFE CZ B DPVOUFSUFSN PG UIF GPSN βk 4 )PXFWFS XF GPVOE UIBU JODMVEJOH TVDI B DPVO
UFSUFSN EPFT OPU JNQSPWF UIF QSFEJDUJPO GPS a⊥
1 BOE XF UIFSFGPSF EP OPU JODMVEF JU JO UIF GPM
MPXJOH EJTDVTTJPO
4JNJMBSMZ UIF EFWJBUJPOT PG UIF USBOTGFS GVODUJPO GPS UIF TFDPOE PSEFS EJTQMBDFNFOU DBO CF
NPEFMFE CZ B DPNCJOBUJPO PG UIF OFYUUPMFBEJOH PSEFS -15 UFSN BOE UIF DPSSFTQPOEJOH &'5
1.05
1.15
a⊥
1 (1tLPT)
1.04
1 + P13/P11 (LPT 1 loop)
1.10
1 + αk 2 + P13/P11 (EFT 1 loop)
1.03
2
1 + α k + P13/P11 + P15/P11 (EFT 2 loop)
a⊥
2
a⊥
1
1.05
1.02
1.00
1.01
a⊥
2 (2tLPT)
0.95
1.00
1 + PP2422 (LPT 2 loop)
1 + PP2422 + κ0 + κ2k 2 (EFT 2 loop)
0.99
10−2
0.90 −2
10
10−1
k [h/Mpc]
k [hMpc−1]
10−1
)LJXUH /HIW SDQHO 7UDQVIHU IXQFWLRQ a⊥
1 RI WKH W/37 PRGHO $GGLQJ P15 PRGLĆHV WKH YDOXH RI α DV H[SHFWHG DQG LP
SURYHV WKH DJUHHPHQW 5LJKW SDQHO 7UDQVIHU IXQFWLRQ a⊥
2 RI WKH W/37 PRGHO :H FOHDUO\ VHH D SHUFHQW OHYHO GHYLDWLRQ RQ WKH
ODUJHVW VFDOHV WKDW LV DFFRXQWHG IRU E\ DGGLQJ P24 /P22 WR WKH PRGHO IRU WKLV WHUP 7KH ODWWHU KRZHYHU RYHUSUHGLFWV WKH HQ
KDQFHPHQW LQ WKH PLOGO\ QRQOLQHDU UHJLPH ZKLFK LV LQ WXUQ Ć[HG E\ WKH ()7 FRXQWHUWHUPV E2,i $V ZH SRLQWHG RXW EHIRUH
WKH\ OHDG WR k 0 DQG k 2 FRUUHFWLRQV WKURXJK P2̃2 /P22 DPVOUFSUFSNT
a⊥
2 = 1+
P24 P2̃2
+
.
P22 P22
/PUF UIBU P24 /P22 TUBSUT BT k 0 BDUVBMMZ QSFEJDUJOH EFWJBUJPOT PG ॎ PO MBSHF TDBMFT BU z = 0
5IJT NFBOT UIBU UIF USBOTGFS GVODUJPO PO φ2 DBO EFWJBUF GSPN VOJUZ FWFO PO WFSZ MBSHF TDBMFT
5IF DVUP୭G EFQFOEFODF PG P24 OFFET UP CF DBQUVSFE CZ UIF DPSSFTQPOEJOH DPVOUFSUFSNT ‫؛‬
P2̃2 /P22 JT UIF TVN PG UISFF OFYUUPMFBEJOH PSEFS DPVOUFSUFSNT XJUI UIFJS GSFF DPF୭୮ୢDJFOUT
"T EJTDVTTFE JO 4FD UIFZ TDBMF BT k 0 BOE k 2 GPS TNBMM XBWFOVNCFST 8F TIPX UIF &'5 EF
TDSJQUJPO PG UIF TFDPOE PSEFS USBOTGFS GVODUJPO JO 'JH P24 DBQUVSFT UIF MBSHF TDBMF P୭GTFU
RVJUF XFMM CVU PWFSQSFEJDUT UIF TDBMF EFQFOEFODF PG UIF USBOTGFS GVODUJPO 5IJT FSSPS DBO CF DPS
SFDUFE CZ BEEJOH UIF RVBESBUJD DPVOUFSUFSNT JO UIF GPSN PG B k 0 UFSN BOE B k 2 UFSN XJUI GSFF
DPF୭୮ୢDJFOUT
.PSF HFOFSBMMZ UIF USBOTGFS GVODUJPOT CFZPOE UIF POF PO φ(1) EP OPU OFDFTTBSJMZ HP UP VOJUZ
PO MBSHF TDBMFT UIFZ DBO CF SFOPSNBMJ[FE BU UIF k 0 MFWFM CZ IJHIFS PSEFS -15 BOE &'5 DPSSFD
UJPOT 5IF SFBTPO GPS UIF EJTUJODUJPO CFUXFFO a1 BOE a>1 JT UIBU UIF -15 LFSOFMT BMSFBEZ FOTVSF
5঑঎ জঝঘঌ঑ঊজঝ঒ঌ ঝ঎ছখ
" একঘঘছ ঒গ ঝ঑঎ ঎ছছঘছ ঙঘঠ঎ছ জঙ঎ঌঝছঞখ
%঎ঝ঎ঌঝ঒ঘগ ঘএ ঝ঑঎ জঝঘঌ঑ঊজঝ঒ঌ ঝ঎ছখ 8F XJTI UP VOEFSTUBOE UIF FSSPS QPXFS TQFDUSB
U-15
PFSSPS
GPS UIF WBSJPVT U-15 NPEFMT 8F NBLF VTF PG UIF PSUIPHPOBM CBTJT φ(i)⊥ EF୮ୢOFE BCPWF
⊥
*O UIJT CBTJT UIF USBOTGFS GVODUJPOT a⊥
i (k) BSF JOEFQFOEFOU PG UIF U-15 PSEFS VTFE JF a1 (k) JT
UIF TBNF GPS U-15 U-15 FUD
4JODF φU-15 JT PVS CFTU NPEFM GPS UIF USVF φOM XF XJMM XSJUF
(1)⊥
(2)⊥
(3)⊥
(4)⊥
+ a⊥
+ a⊥
+ a⊥
+ φTUPDI
φOM a⊥
1φ
2φ
3φ
4φ
5IVT XF DBO FTUJNBUF UIF EJTQMBDFNFOU FSSPST GPS U-15 U-15 BOE U-15 BT GPMMPXT
⊥ (2)⊥
(3)⊥
(4)⊥
+ a⊥
+ a⊥
+ φTUPDI
φU-15
FSSPS a2 φ
3φ
4φ
⊥ (3)⊥
(4)⊥
φU-15
+ a⊥
+ φTUPDI
FSSPS a3 φ
4φ
⊥ (4)⊥
φU-15
+ φTUPDI
FSSPS a4 φ
'PS B XFMMCFIBWFE QFSUVSCBUJWF TFSJFT POF XPVME BTTVNF UIBU UIF WBSJPVT UFSNT PO UIF SIT
PG BSF SBOLFE JO EFDSFBTJOH PSEFS ,FFQJOH POMZ UIF EPNJOBOU UFSN BOE OFHMFDUJOH UIF
TUPDIBTUJD UFSN UIFO MFBET UP UIF GPMMPXJOH FTUJNBUF GPS PFSSPS GPS UIF U-15 NPEFMT
2
U-15
PFSSPS
a⊥
P2⊥2⊥
2
2
U-15
PFSSPS
a⊥
P3⊥3⊥
3
2
U-15
PFSSPS
a⊥
P4⊥4⊥
4
Floor in the error power spectrum
100
10−1
10−2
10−3
Perror /Pnl
10−4
10−5
10−6
1tLPT (measured)
10−7
1tLPT (expected)
2tLPT (measured)
10−8
10
2tLPT (expected)
3tLPT (measured)
−9
3tLPT (expected)
10−10
10
−2
10
−1
k [h/Mpc]
)LJXUH (UURU SRZHU VSHFWUXP IRU WKH YDULRXV W/37 PRGHOV VROLG OLQHV FRPSDUHG WR WKH QD±YH H[SHFWDWLRQ RI HTXD
WLRQV DQG GDVKHG OLQHV UHODWLYH WR WKH QRQOLQHDU SRZHU VSHFWUXP 7KH QD±YH H[SHFWDWLRQ XQGHUHVWLPDWHV WKH
PHDVXUHPHQW ZKLFK LQGLFDWHV WKH SUHVHQFH DQG WKH H[DFW VL]H RI WKH VWRFKDVWLF WHUP PVWRFK PSUIP
5IFTF FTUJNBUFT BSF TIPXO JO 'JH EBTIFE MJOFT
5IF GBDU UIBU UIFZ SFTQFDU a22 P22
>
PSUIP
PSUIP
> a24 P44
TIPXT UIBU UIJT FYQBOTJPO JT XFMM EF୮ୢOFE IJHIFS PSEFS UFSNT BSF JOEFFE
a23 P33
nU-15
BSF NVDI MPXFS UIBO
TNBMMFS )PXFWFS 'JH BMTP TIPXT UIBU UIFTF FTUJNBUFT GPS UIF PFSSPS
UIF NFBTVSFE FSSPS QPXFS TQFDUSB TPMJE MJOFT
5IFSF JT DMFBSMZ B ୯୳PPS JO UIF NFBTVSFE FSSPS
QPXFS TQFDUSB XIJDI XF BTTPDJBUF XJUI UIF TUPDIBTUJD EJTQMBDFNFOU φTUPDI 'JH TIPXT UIBU
UIF DPSSFDU SBOLJOH PG UIF UFSNT JO UIF U-15 NPEFM PO MBSHF TDBMFT k < 0.1h.QD−1 JT OPU
UIBU PG CVU JOTUFBE
(1)⊥
(2)⊥
(3)⊥
(4)⊥
+ a⊥
+ a⊥
+ φTUPDI + a⊥
,
φOM = a⊥
1φ
2φ
3φ
4φ
JF UIF TUPDIBTUJD UFSN JT OPU OFHMJHJCMF BOE FWFO FYDFFET UIF BNQMJUVEF PG UIF GPVSUI PSEFS
EJTQMBDFNFOU 5IFTF ୮ୢOEJOHT JOEJDBUF UIBU UIF FSSPS QPXFS TQFDUSB TIPVME TDBMF BDDPSEJOH UP
2
2
U-15
PFSSPS
a⊥
P2⊥2⊥ + a⊥
P3⊥3⊥ + PTUPDI
2
3
2
U-15
PFSSPS
a⊥
P3⊥3⊥ + PTUPDI
3
U-15
PFSSPS
PTUPDI
*OEFFE XF DBO EF୮ୢOF B VOJRVF GVODUJPO PG k UIF TUPDIBTUJD QPXFS TQFDUSVN GPS XIJDI BMM UISFF
PG UIF BCPWF FRVBUJPOT BSF TBUJT୮ୢFE 8F TIPX UIF TUPDIBTUJD QPXFS TQFDUSVN GSPN UIF - TJNVMB
UJPO BT UIF TPMJE CMBDL MJOF JO 'JH 5IF UFSN φTUPDI JT CZ EF୮ୢOJUJPO OPU DPSSFMBUFE XJUI UIF -15 UFSNT BOE BDUT BT B OPJTF UIBU
MJNJUT UIF BDDVSBDZ BDIJFWBCMF XJUI U-15 TFF 'JH CFDBVTF PG UIJT UFSN UIF JNQSPWFNFOU
JO PFSSPS GSPN U-15 UP U-15 JT MJNJUFE BOE UIFSF JT OP JNQSPWFNFOU BU BMM CFZPOE U-15
5IF SBHHFE GFBUVSFT PG PTUPDI WJTJCMF JO 'JH BSF MJLFMZ B DPOTFRVFODF PG TZTUFNBUJD FSSPST JO
PVS N CPEZ TJNVMBUJPO 5IFZ DPSSFTQPOE UP WFSZ TNBMM FSSPST PO MBSHF TDBMFT PFSSPS ∼ 10−6 POM
BU k ∼ 0.01h.QD−1 *O 'JH XF TIPX UIF TUPDIBTUJD QPXFS TQFDUSVN GPS UIF - BOE .
TJNVMBUJPOT BOE JUT UJNF EFQFOEFODF JO UIF . TJNVMBUJPO 8F DMFBSMZ TFF UIBU UIF TUPDIBTUJD
QPXFS TQFDUSB BHSFF CFUXFFO UIF UXP TJNVMBUJPOT 4JODF UIF TUPDIBTUJD UFSN JT EPNJOBUFE CZ
SFMBUJWFMZ NBTTJWF IBMPFT M ≈ 1014 hM UIF TUPDIBTUJD UFSNT TIPVME CF JOTFOTJUJWF UP B
DIBOHF JO TJNVMBUJPO SFTPMVUJPO
4ঌঊক঎঍঎ঙ঎গ঍঎গঌ঎ 0O MBSHF TDBMFT XF DBO ୮ୢU UIF TUPDIBTUJD UFSN JO 'JH CZ
k PTUPDI ≈ 5.7 × 10
4
4
3
h .QD D10
−1
k
1 h.QD−1
4
.
hitting the Pstoch floor
100
10−1
10−2
10−3
Perror /Pnl
10−4
10−5
10−6
10−7
1tLPT (w/o stoch)
10−8
2tLPT (w/o stoch)
10−9
3tLPT (w/o stoch)
stoch
10−10
10−2
10−1
k [h/Mpc]
)LJXUH 5DWLR RI WKH HUURU SRZHU VSHFWUXP IRU W/37 W/37 DQG W/37 DQG WKH QRQOLQHDU SRZHU VSHFWUXP DIWHU WKH
VWRFKDVWLF WHUP KDV EHHQ UHPRYHG GDVKHG OLQHV VDPH DV )LJ 7KH VWRFKDVWLF WHUP PVWRFK EODFN VROLG OLQH FRUUHVSRQGV
WR PHUURU
= 1% PQO DW k 0.2 K0SF %H\RQG W/37 WKH QHZ /37 WHUPV KDYH FRQWULEXWLRQV PXFK VPDOOHU WKDQ WKH
VWRFKDVWLF WHUP DQG WKHUHIRUH GR QRW EULQJ DQ\ VLJQLĆFDQW LPSURYHPHQW RQ WKH HUURU SRZHU VSHFWUXP
104
103
101
4
−3
3
k P [h Mpc ]
102
100
10−1
10−2
10−3
10−4
PMC,M
10−5
PMC,L
10−6
10−7 −2
10
PNL
−1
10
k [hMpc−1]
0
10
)LJXUH 3RZHU VSHFWUXP RI WKH VWRFKDVWLF WHUP 7KH UHG SRLQWV VKRZ WKH VWRFKDVWLF WHUP LQ WKH 0 VLPXODWLRQ DW UHGVKLIWV
z = 0, 0.5, 1, 2 IURP WRS WR ERWWRP 7KH VWRFKDVWLF WHUP RI WKH / VLPXODWLRQ DW z = 0 LV VKRZQ E\ JUHHQ WULDQJOHV DQG
DJUHHV SHUIHFWO\ IRU k < 0.6h0SF−1 H[FHSW IRU D VPDOO XSWXUQ RQ ODUJH VFDOHV 7KH WKLFN VKDGHG OLQH VKRZV WKH V\VWHPDWLF
HUURU RQ WKH / VLPXODWLRQ DW z = 0 ZKLFK H[FHHGV WKH VWRFKDVWLF WHUP RQ WKH ODUJHVW VFDOHV ZKHUH WKH WZR VLPXODWLRQV
GLVDJUHH 7KH UHG OLQHV VKRZ WKH SKHQRPHQRORJLFDO PRGHO IRU WKH VWRFKDVWLF WHUP IURP (T 0O UIF MBSHFTU TDBMFT XF UIVT ୮ୢOE UIBU PTUPDI JT JOEFQFOEFOU PG k 5IJT JT XIBU XF FYQFDU GSPN
NBTT BOE NPNFOUVN DPOTFSWBUJPO GPS B NBTT BOE NPNFOUVNDPOTFSWJOH QFSUVSCBUJPO UIF
MPXFTU PSEFS DPSSFDUJPO UP UIF EFOTJUZ ୮ୢFME JT FYQFDUFE UP TDBMF BT k 2 XIJDI DPSSFTQPOET UP B
kJOEFQFOEFOU DPSSFDUJPO UP φ 5IF TUPDIBTUJD UFSN QSFEJDUFE CZ UIF &'5 DPNFT GSPN B TNBMM
TDBMF SFTIV୭୯୳JOH PG UIF NBUUFS XIJDI JT OPU EFTDSJCBCMF JO UFSNT PG UIF MBSHFTDBMF EJTQMBDF
NFOUT CVU DPOTFSWFT NBTT BOE NPNFOUVN PO MBSHF TDBMFT 5IF TDBMJOH PCTFSWFE JO JT
UIVT DPOTJTUFOU XJUI JU CFJOH UIF TUPDIBTUJD UFSN FYQFDUFE JO UIF &'5 GSBNFXPSL .PSF TQFDJ୮ୢ
DBMMZ JO B TDBMJOH 6OJWFSTF XF FYQFDU
Δ2TUPDI
k 3 (k 4 PTUPDI )
=
= O(1)
2π 2
k
kOM
7
.
'VSUIFSNPSF GPS BO &E4 VOJWFSTF XJUI QPXFSMBX QPXFS TQFDUSVN UIF OPOMJOFBS TDBMF FWPMWFT
JO UJNF BT kOM ∝ a−2/(n+3) TJODF JU JT EF୮ୢOFE CZ Δ2 (k) ∼ 1 XJUI Δ2 (k) ∝ a2 k 3 P (k) ∝
a2 k 3+n 5IF ୮ୢUUFE UJNF EFQFOEFODF D10 JT SFQSPEVDFE CZ B TMPQF PG n = −1.6 XIJDI DPS
SFTQPOET UP UIF TMPQF PG PVS JOQVU QPXFS TQFDUSVN BU k = 0.1h.QD−1 'VSUIFSNPSF GSPN
Δ2TUPDI = (k/kOM )7 XF DBO EFEVDF kOM ≈ 0.32h.QD−1 BU z = 0 %VF UP UIF TUFFQ TDBMJOH k 7 BO PSEFS POF QSFGBDUPS EPFT OPU DIBOHF kOM TJHOJ୮ୢDBOUMZ 8F TIPX UIF UJNF EFQFOEFODF PG UIF
QPXFS MBX QBSU PG UIF TUPDIBTUJD UFSN BOE UIF UJNF EFQFOEFODF PG UIF TDBMF XIFSF JU BNPVOUT UP
B 1% DIBOHF JO UIF QPXFS TQFDUSVN JO 'JH "খঙক঒ঝঞ঍঎ ঘএ ঝ঑঎ জঝঘঌ঑ঊজঝ঒ঌ ঍঒জঙকঊঌ঎খ঎গঝ 5P HFU BO JEFB PG UIF TJ[F PG UIF TUPDIBTUJD
UFSN XF VTF UIF NFBTVSFE QPXFS TQFDUSB UP JOGFS UIF DPSSFTQPOEJOH SPPU NFBO TRVBSF EJTQMBDF
amplitude of stochastic term
10−1
10−2
10−3
10−4
10−5
Pstoch ∝ D10
10−6
P4⊥4⊥ ∝ D8
10−7
P3⊥3⊥ ∝ D6
10−8
1.0
k1% [hMpc−1]
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
z
1.5
2.0
2.5
)LJXUH 8SSHU SDQHO 7LPHUHGVKLIW GHSHQGHQFH RI WKH ODUJH VFDOH DPSOLWXGH RI WKH VWRFKDVWLF WHUP /RZHU SDQHO
7LPHUHGVKLIW GHSHQGHQFH RI WKH VFDOH ZKHUH WKH VWRFKDVWLF WHUP DPRXQWV WR RI WKH WRWDO SRZHU
NFOU
2
σTUPDI
1
=
3
E3 k
1
ψ
|ψ
=
i
i
(2π)3
3
E3 k 2
k PTUPDI .
(2π)3
BOE ୮ୢOE B SNT TUPDIBTUJD EJTQMBDFNFOU σTUPDI 0.8 .QDI DPNQBSFE UP σOM 6.0 .QDI GPS
UIF GVMM OPOMJOFBS SNT EJTQMBDFNFOU
5IF JOUFHSBOE JO &R JT QFBLFE BU k ≈ 0.6 h.QD−1 JF GBS CFZPOE UIF SBOHF PG TDBMFT XIFSF UIF TUPDIBTUJD UFSN GPMMPXT UIF k 4 TDBMJOH
8F EP OPU FYQFDU QFSUVSCBUJPO UIFPSZ UP CF BCMF UP DBQUVSF UIF NPUJPO PG QBSUJDMFT XJUIJO
IBMPT 5IFTF NPUJPOT XJMM UIVT DPOUSJCVUF B QSPCBCMZ TJHOJ୮ୢDBOU
GSBDUJPO PG UIF TUPDIBTUJD
EJTQMBDFNFOU " DSVEF FTUJNBUF GPS UIJT TPVSDF PG TUPDIBTUJD EJTQMBDFNFOU DBO CF PCUBJOFE CZ BT
TVNJOH UIBU QBSUJDMFT XJUIJO B IBMP PG NBTT m IBWF B SPPUNFBOTRVBSF EJTQMBDFNFOU PG SPVHIMZ
UXP WJSJBM SBEJJ RWJS BOE UP BWFSBHF PWFS BMM IBMPT VTJOH UIF IBMP NBTT GVODUJPO
2
σTUPDII
=
2 En
En
m 2RWJS (m) / Em
m
Em
Em
Em
*OUFHSBUJOH PWFS BMM NBTTFT UIJT FTUJNBUF ZJFMET σTUPDI NPUJPO JO IBMP 1.1h−1 .QD TJNJMBS UP σTUPDI 5IF JOUFHSBM QFBLT BU M ≈ 2 × 1014 M JF GPS IBMPFT PG -BHSBOHJBO SBEJVT r ≈ 9h−1 .QD *O
'PVSJFS TQBDF UIJT DPSSFTQPOET UP B XBWFOVNCFS k ≈ π/r = 0.35h.QD−1 *G XF BTTVNF UIBU
UIJT TUPDIBTUJD UFSN JOEVDFT B (BVTTJBO TNPPUIJOH JO UIF SFTVMUJOH &VMFSJBO TQBDF EFOTJUZ ୮ୢFME
XF DPODMVEF UIBU JU QSPEVDFT B 1% DIBOHF JO UIF EFOTJUZ QPXFS TQFDUSVN BU k ≈ 0.2h.QD−1
BOE XJMM UIVT DPOUSJCVUF UP UIF &VMFSJBO &'5 TPVOE TQFFE cT 5IF UJNF EFQFOEFODF DBO CF JO
USPEVDFE JOUP UIF IBMP NPEFM CZ TDBMJOH UIF WBSJBODF BT σ(M ) → D(a)σ(M ) 5IF SFTVMUJOH
2
UIFO TDBMFT BT D1.6 'PS UIJT TDBMJOH XF FNQMPZFE B 4IFUI5PSNFO NBTT GVODUJPO σTUPDII
'঒ঝঝ঒গঐ এঞগঌঝ঒ঘগ 5IF TUPDIBTUJD UFSN DBO CF BDDPVOUFE GPS CZ B TJNQMF ୮ୢUUJOH GVODUJPO
UIBU JT DPOTUSVDUFE GSPN UIF GPMMPXJOH SFRVJSFNFOUT
‫ ا‬PO MBSHF TDBMFT k 4 PTUPDI ∝ k 4 UP TBUJTGZ NBTT BOE NPNFOUVN DPOTFSWBUJPO
‫ ا‬PO TNBMM TDBMFT k 4 PTUPDI ∝ k m XJUI m < −1 TP UIBU UIF JOUFHSBM GPS UIF SNT EJTQMBDF
NFOU DPOWFSHFT
2
‫ ا‬UIF TUPDIBTUJD UFSN JOUFHSBUFT UP UIF NFBTVSFE TUPDIBTUJD EJTQMBDFNFOU EJTQFSTJPO σTUPDI
0OF GVODUJPO UIBU TBUJT୮ୢFT UIFTF DPOTUSBJOUT BOE TNPPUIMZ USBOTJUJPOT CFUXFFO UIF MPX BOE
IJHIk SFHJNFT JT HJWFO CZ
4
1
24 π 3/2
Γ(n)
k
2
σTUPDI
,
k P =
kT
(1 + (k/kT )2 )n kT Γ(n − 5/2)
4
XIFSF n > 2.5 "T XF TIPX JO 'JH UIJT GVODUJPOBM GPSN QSPWJEFT B WFSZ HPPE EFTDSJQUJPO
PG UIF NFBTVSFE TUPDIBTUJD UFSN BU BMM SFETIJG୴T PODF UIF TDBMJOHT σTUPDI ∝ D1.5 BOE kT ∝ D−1.4
BSF BDDPVOUFE GPS 'PS UIF TDBMF XF FNQMPZFE kT ≈ kOM = 0.26h.QD−1 8F UIVT SFDPWFS UIF
D10 TDBMJOH PG UIF TUPDIBTUJD UFSN PO MBSHF TDBMFT
0ছ঒ঐ঒গ ঘএ ঝ঑঎ জঝঘঌ঑ঊজঝ঒ঌ ঝ঎ছখ
8IBU JT UIF PSJHJO PG UIJT PCTFSWFE TUPDIBTUJD UFSN φTUPDI 4VDI B UFSN JT FYQFDUFE JO UIF GSBNF
XPSL PG UIF &'5 EVF UP UIF UIF TNBMMTDBMF ୯୳VDUVBUJPOT XIJDI BSF OPU BNFOBCMF UP QFSUVSCB
UJPO UIFPSZ BOE BSF USFBUFE BT B SBOEPN OPJTF 5IJT UFSN DPVME BMTP BSJTF GSPN IJHIFS PSEFS
-15 UFSNT XIJDI XF IBWFO‫ؠ‬U DPNQVUFE 'JOBMMZ JU DPVME BMTP CF B NFSF BSUFGBDU PG OVNFSJDBM
FSSPST JO UIF N CPEZ TJNVMBUJPO
*O PSEFS UP FYDMVEF UIF QPTTJCJMJUZ UIBU UIJT TUPDIBTUJD UFSN JT TJNQMZ EVF UP OVNFSJDBM FSSPST
XF IBWF SVO TJNVMBUJPOT XJUI UXP EJ୭GFSFOU CPY TJ[FT 5IF TUPDIBTUJD UFSNT PTUPDI JEFOUJ୮ୢFE BU
SFETIJG୴ z = 0 JO UIFTF UXP TJNVMBUJPOT BHSFF BT DBO CF TFFO JO 'JH *O UIJT DPOUFYU XF
TIPVME NFOUJPO UIBU UIF DIBOHF JO UIF TJNVMBUJPO CPY TJ[F BMTP DIBOHFT UIF XBWFOVNCFS BU
XIJDI XF IBWF UP DVU PVS JOJUJBM QPXFS TQFDUSVN JO PSEFS UP BWPJE BMJBTJOH 5IVT XIJMF UIF TJNVMBUJPO IBT kNBY = 0.6 h−1 .QD UIF . TJNVMBUJPO IBT kNBY = 2.4 h−1 .QD 5IJT EJ୭GFSFODF
JO UIF DVUP୭G XBWFOVNCFS USBOTMBUFT JOUP TMJHIUMZ EJ୭GFSFOU -15 DPOUSJCVUJPOT BOE TMJHIUMZ EJG
GFSFOU USBOTGFS GVODUJPOT :FU BU UIF TDBMFT XIFSF XF USVTU UIF TJNVMBUJPOT UIF QPXFS TQFDUSVN
PG UIF TUPDIBTUJD UFSN EPFT OPU DIBOHF 8F JOUFSQSFU UIJT PCTFSWBUJPO BT B TUSPOH JOEJDBUJPO PG
UIJT UFSN CFJOH USVMZ SFMBUFE UP IJHIMZ OPOMJOFBS NPUJPOT UIBU BSF VODPSSFMBUFE XJUI UIF QFSUVS
CBUJPO UIFPSZ QSFEJDUJPO 7JSJBMJ[FE NPUJPOT BSF BO FYBNQMF PG TVDI NPUJPOT VODPSSFMBUFE XJUI
UIF -15 UFSNT TJODF -15 JT OPU BCMF UP DBQUVSF TIFMM DSPTTJOH
8F BMTP DPOTJEFSFE USBOTJFOUT JO UIF N CPEZ TJNVMBUJPO BT B QPTTJCMF TPVSDF PG TUPDIBTUJD
UFSN *OEFFE UIF N CPEZ TJNVMBUJPOT BSF JOJUJBMJ[FE XJUI -15 BU SFETIJG୴ zJOJU = 99
TP XF
FYQFDU UIF TJNVMBUJPOT UP DPOUBJO USBOTJFOU FSSPST JO UIF UIJSE BOE IJHIFS PSEFS EJTQMBDFNFOU
୮ୢFMET 5IJT FSSPS DBO CF FTUJNBUFE JO -15 JO UFSNT PG BO FSSPS PO UIF HSPXUI GBDUPS PG FBDI
-15 UFSN TFF "QQ φ1 BOE φ2 BSF OPU B୭GFDUFE φ3 JT VOEFSFTUJNBUFE CZ 2 × 10−4 UIF
L2,2 BOE M1,1,2 DPOUSJCVUJPOT UP φ4 BSF VOEFSFTUJNBUFE CZ 10−6 XIJMF UIF L3,1 DPOUSJCVUJPO
UP φ4 JT VOEFSFTUJNBUFE CZ 4 × 10−4 5IFTF FSSPST BSF UPP TNBMM UP BDDPVOU GPS UIF NFBTVSFE
TUPDIBTUJD UFSN BOE UIFZ BSF DMFBSMZ DPSSFMBUFE XJUI UIF -15 UFSNT TP UIFZ TIPVME CF BVUPNBU
JDBMMZ DPSSFDUFE GPS CZ UIF USBOTGFS GVODUJPOT JO U-15 *O DPODMVTJPO USBOTJFOUT DBOOPU BDDPVOU
GPS UIF TUPDIBTUJD UFSN
-঒গঔ ঠ঒ঝ঑ ঝ঑঎ ঌঞছক ঙঊছঝ ঘএ ঝ঑঎ ঍঒জঙকঊঌ঎খ঎গঝ
#FTJEFT UIF EJWFSHFODF XF DBO BMTP DPOTJEFS UIF DVSM PG UIF EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME 'PS UIF DPSSFMB
UPST XF IBWF
(∇ × ψ)i |(∇ × ψ)i = Δωi |Δωi ,
XIFSF XF VTFE $PVMPNC HBVHF 5IVT XF IBWF JO 'PVSJFS TQBDF
P∇×ψ = (k × ψ)i |(k × ψ)i = k 4 ωi |ωi .
$PSSFMBUJOH UIF DVSM DPNQPOFOUT PG UIF ୮ୢFME JUTFMG XF IBWF
ψc,i |ψc,i = (∇ × ω)i |(∇ × ω)i PS JO 'PVSJFS TQBDF
Pψc = (k × ω)i |(k × ω)i = ijl kj ωl |imn km ωn = (δjm δln − δjn δlm )kj km ωl |ωn =k 2 ωi |ωi ,
102
101
curl sim
stoch div
curl LPT
P [h−3Mpc3]
100
10−1
10−2
10−3
10−4
10−5 −2
10
10−1
k [hMpc−1]
100
)LJXUH 3RZHU VSHFWUD RI WKH VWRFKDVWLF GLVSODFHPHQW GLYHUJHQFH ∇ y ψ VWRFK UHG GDVKHG WKH IXOO FXUO ∇
× ψ EODFN
= 0
VROLG DQG WKH /37 SUHGLFWLRQ IRU WKH FXUO JUD\ )URP WRS WR ERWWRP ZH VKRZ PHDVXUHPHQWV DQG SUHGLFWLRQV IRU z
z = 1 DQG z = 2 $W UHGVKLIW z = 0 WKH PHDVXUHPHQW RI WKH FXUO H[FHHGV WKH /37 SUHGLFWLRQ E\ URXJKO\ RQH RUGHU RI
PDJQLWXGH EXW DJUHHV ZLWK WKH GLYHUJHQFH RI WKH VWRFKDVWLF GLVSODFHPHQW RQ ODUJH VFDOHV 7KH GRWGDVKHG OLQHV DW z = 1 DQG
z = 2 VKRZ WKH VXP RI WKH /37 FXUO DQG WKH VWRFKDVWLF SDUW RI WKH GLVSODFHPHQW GLYHUJHQFH
XIFSF XF BHBJO VTFE UIF $PVMPNC HBVHF DPOEJUJPO ki ωi = 0 5IF ୮ୢSTU RVBOUJUZ JT FBTJFS GPS
NFBTVSFNFOUT JO TJNVMBUJPOT XIJMF UIF MBUUFS JT NPSF DMPTFMZ SFMBUFE UP QFSUVSCBUJPO UIFPSZ "T
XF TBX BCPWF UIFJS QPXFS TQFDUSB BSF SFMBUFE CZ NVMUJQMJDBUJWF GBDUPST PG k
8F NFBTVSF UIF DVSM QPXFS TQFDUSVN P∇×Ψ JO CPUI UIF . BOE - TJNVMBUJPOT BOE ୮ୢOE WFSZ
HPPE BHSFFNFOU XIFSF UIF TQFDUSB PWFSMBQ *O BHSFFNFOU XJUI XF ୮ୢOE UIBU UIF DVSM QPXFS
TQFDUSB TDBMF BT D10 "T TIPXO JO 'JH BU SFETIJG୴ z = 0 UIF NFBTVSFE DVSM QPXFS TQFD
USVN FYDFFET UIF -15 QSFEJDUJPO GSPN P3c3c CZ BCPVU B GBDUPS PG PO MBSHF TDBMFT 5IJT JO
EJDBUFT UIBU UIF DVSM DPNQPOFOU PG UIF EJTQMBDFNFOU JT DPNQMFUFMZ EPNJOBUFE CZ TNBMM TDBMF
OPOQFSUVSCBUJWF WJSJBMJ[FE TUSVDUVSFT 4JODF UIF QFSUVSCBUJWF QSFEJDUJPO TDBMFT BT D6 XF FYQFDU
UIF QFSUVSCBUJWF BOE OPOMJOFBS DVSM QPXFS TQFDUSB UP CF PG UIF TBNF PSEFS POMZ BU z = 2 *O
EFFE XF TFF B TMJHIU VQUVSO PG UIF DVSM QPXFS TQFDUSVN BU MPX k BU z = 2 XIFSF UIF NFBTVSFE
DVSWF BQQSPBDIFT UIF QFSUVSCBUJWF QSFEJDUJPO
4JODF UIF MFBEJOH DVSM DPOUSJCVUJPO JT GVMMZ OPOQFSUVSCBUJWF JU JT JOUFSFTUJOH UP DPNQBSF JUT
QPXFS TQFDUSVN UP UIF TUPDIBTUJD UFSN PG UIF EJTQMBDFNFOU EJWFSHFODF XIJDI XF BSHVFE UP CF
TPVSDFE CZ WJSJBMJ[FE NPUJPOT "NB[JOHMZ CPUI UIF MBSHF TDBMF BNQMJUVEF BOE UIF SFETIJG୴ TDBM
JOH PG UIF DVSM BSF JO WFSZ HPPE BHSFFNFOU XJUI UIF TDBMBS TUPDIBTUJD UFSN 5IJT GVSUIFS TPMJE
J୮ୢFT PVS DPO୮ୢEFODF JO IBWJOH JEFOUJ୮ୢFE UIF USVF TUPDIBTUJD UFSN BSJTJOH GSPN WJSJBMJ[FE OPO
QFSUVSCBUJWF NPUJPOT
$ঘগঌকঞজ঒ঘগজ
*O UIJT QBQFS XF TUVEJFE -BHSBOHJBO 1FSUVSCBUJPO UIFPSZ BOE JUT SFHVMBSJ[BUJPO JO UIF F୭GFDUJWF
୮ୢFME UIFPSZ BQQSPBDI 8F OVNFSJDBMMZ FWBMVBUFE UIF -15 EJTQMBDFNFOU ୮ୢFMET VQ UP ୮ୢG୴I PSEFS
PO B SFHVMBS HSJE UIBU IBT UIF TBNF QIBTFT BT B DPSSFTQPOEJOH TVJUF PG N CPEZ TJNVMBUJPOT 5IJT
BMMPXFE VT UP UFTU UIF MPPQ -15 BOE &'5 BU UIF MFWFM PG UIF EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME JUTFMG XIJDI JT B
NVDI NPSF TUSJOHFOU UFTU PG UIF QFSUVSCBUJWF BQQSPBDI UIBO NBUDIJOH UIF QPXFS TQFDUSVN POMZ
BOE BMTP SFEVDFT UIF DPTNJD WBSJBODF TJHOJ୮ୢDBOUMZ "T BO BEEFE CFOF୮ୢU XF XFSF BCMF UP FWBMVBUF
-15 UFSNT TVDI BT P55 XIJDI JT GPSNBMMZ B MPPQ UFSN
UIBU XPVME CF CBSFMZ USBDUBCMF XJUI B
'PVSJFS TQBDF MPPQ DBMDVMBUJPO
8F WFSJ୮ୢFE UIBU UIF -15 FYQBOTJPO JT XFMMCFIBWFE VQ UP UIJSE PSEFS JO UIBU UIF FSSPS PO
UIF EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME EFDSFBTFT GSPN -15 UP -15 UP -15 PO TDBMFT k 0.1h.QD−1 *O
EPJOH TP XF IJHIMJHIUFE UIF JNQPSUBODF PG UIF TFDPOE PSEFS EJTQMBDFNFOU φ2 XIJDI JT DSVDJBM
JO SFEVDJOH UIF FSSPS QPXFS TQFDUSVN FWFO NPSF TP UIBO φ3 EFTQJUF JUT TNBMM DPOUSJCVUJPO UP
UIF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN P22 P13 8F GPVOE UIBU MPPQ -15 QSPWJEFT B ॎBDDVSBUF
EFTDSJQUJPO PG UIF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN VQ UP k = 0.05h.QD−1 8F DBSFGVMMZ UFTUFE UIF MPPQ &'5 8F WBMJEBUFE UIF TJNQMF TDBMJOHT PG UIF WBSJPVT -15
UFSNT BOE UIF &'5 DPVOUFSUFSN VQ UP MPPQ FTUJNBUFE GPS BO &E4 6OJWFSTF 8F SFMJBCMZ EF
UFDUFE UIF MFBEJOH &'5 DPVOUFSUFSN αk 2 φ1 XJUI B OPO[FSP DPF୭୮ୢDJFOU α PO MBSHF TDBMFT k <
0.03h.QD−1 5IF &'5 QSPWJEFT B TJHOJ୮ୢDBOU JNQSPWFNFOU PWFS -15 XJUI B CFUUFS DPOWFS
HFODF VQ UP MPPQ BOE B UISFFGPME JODSFBTF JO UIF NBYJNVN XBWF WFDUPS XIFSF UIF OPOMJOFBS
QPXFS TQFDUSVN JT SFQSPEVDFE UP ॎ UIF MPPQ &'5 QPXFS TQFDUSVN JT BDDVSBUF UP ॎ VQ UP
k = 0.15h.QD−1 5IF &'5 BMTP SFEVDFT UIF FSSPS QPXFS TQFDUSVN CZ VQ UP B GBDUPS PG UXP
BSPVOE k = 0.1h.QD−1 5IF NFBTVSFE UJNFEFQFOEFODF PG UIF &'5 DPF୭୮ୢDJFOU α NBUDIFT
SFBTPOBCMZ XFMM UIF POF FYQFDUFE GSPN TJNQMF TDBMJOHT JO BO &E4 6OJWFSTF 8F TIPXFE UIBU UIF
&'5 JT DMPTF UP PQUJNBM JO UIF TFOTF UIBU JU BDIJFWFT TJNJMBSMZ TNBMM FSSPS QPXFS TQFDUSVN PFSSPS
BOE TJNJMBSMZ BDDVSBUF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN BT UIF U-15 BOE IJHIFS PSEFS U-15 NPEFMT
EP
#Z MPPLJOH BU UIF EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME BOE OPU POMZ JUT QPXFS TQFDUSVN XF XFSF BCMF UP EF
UFDU B TUPDIBTUJD UFSN φTUPDI UIBU JT VODPSSFMBUFE XJUI UIF -15 UFSNT BOE TFFNT UP DPOTUJUVUF B
MJNJU UP UIF SFBDI PG -15 BOE &'5 *UT QPXFS TQFDUSVN JT TMJHIUMZ TNBMMFS UIBO UIBU PG φ(3)⊥
CVU MBSHFS UIBO UIBU PG φ(4)⊥ BOE UIF DPSSFTQPOEJOH SPPUNFBOTRVBSF EJTQMBDFNFOU JO SFBM
TQBDF JT DPOTJTUFOU XJUI UIF UZQJDBM SBOEPN NPUJPO XJUIJO IBMPT *UT TDBMFEFQFOEFODF PO MBSHF
TDBMFT NBUDIFT XIBU JT FYQFDUFE PG B NPNFOUVNDPOTFSWJOH EJTQMBDFNFOU DPOTJTUFOU XJUI UIF
TUPDIBTUJD UFSN FYQFDUFE JO UIF &'5 GSBNFXPSL )PXFWFS UIF TJ[F PG UIJT F୭GFDU TFFNT MBSHFS
UIBO UIF OB¯WF FYQFDUBUJPO CBTFE PO QPXFS MBX 6OJWFSTF TDBMJOHT 5P UIF CFTU PG PVS VOEFS
TUBOEJOH UIJT UFSN JT OPU EVF UP OVNFSJDBM FSSPST PS USBOTJFOUT JO PVS TJNVMBUJPOT 'PS FYBNQMF
JUT BNQMJUVEF NBUDIFT JO TJNVMBUJPOT UIBU IBWF WFSZ EJ୭GFSFOU SFTPMVUJPOT *G OPU NPEFMFE FY
QMJDJUMZ UIJT UFSN XPVME JNQMZ B MJNJU UP UIF BDDVSBDZ UP XIJDI UIF EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME DBO CF
EFTDSJCFE CZ -15 PS &'5 DPSSFTQPOEJOH UP B ॎ FSSPS PO UIF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN BU
k = 0.2h.QD−1 BU z = 0 *O UIJT DBTF UIFSF JT OP CFOF୮ୢU JO HPJOH UP IJHIFS PSEFS UIBO
UIJSE PSEFS JO UIF EJTQMBDFNFOU XJUI UIF DPSSFTQPOEJOH POFMPPQ DPVOUFSUFSN *O QBSUJDVMBS
OP U-15MJLF NPEFM ୮ୢU UP UIF EJTQMBDFNFOU DBO QSFEJDU UIF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN UP CFU
UFS UIBO 1% CFZPOE k = 0.2 I.QD VOMFTT JU PWFS୮ୢUT UIF QPXFS TQFDUSVN 5IJT DPODMVTJPO
FYUFOET UIF SFTVMU GSPN 'JH UP BMM PSEFST JO U-15 BOE OPU POMZ BU POFMPPQ )PXFWFS POF
NJHIU CF BCMF UP NPEFM UIF QPXFS TQFDUSVN PG UIJT TUPDIBTUJD UFSN XJUI B GFX GSFF QBSBNFUFST
PS B ୮ୢUUJOH GVODUJPO BOE UIFSFCZ FYUFOE UIF SBOHF PG WBMJEJUZ PG UIF &'5 EJTQMBDFNFOU QPXFS
TQFDUSVN
'PS QSBDUJDBM DBMDVMBUJPOT PG UIF EFOTJUZ ୮ୢFME &VMFSJBO PS 4UBOEBSE 1FSUVSCBUJPO 5IFPSZ BOE
UIF DPSSFTQPOEJOH &୭GFDUJWF 'JFME 5IFPSZ BSF WFSZ VTFGVM 1FSGPSNJOH B TJNJMBS UFTU BU UIF MFWFM
PG UIF ୮ୢFMET SBUIFS UIBO QPXFS TQFDUSB XPVME CF EFTJSBCMF CVU JT DPNQMJDBUFE CZ UIF EFDPSSF
MBUJPO EVF UP MPOH XBWFMFOHUI NPUJPOT 5IVT UIF MPOH XBWFMFOHUI EJTQMBDFNFOUT OFFE UP CF
SFTVNNFE 8F XJMM BEESFTT UIJT JTTVF JO B GPSUIDPNJOH QBQFS
#FTJEFT UFTUJOH UIF &'5 BQQSPBDI XF BMTP QVTIFE UIF TJNVMBUJPOT UP UIFJS MJNJUT 5IF &'5
PS NPSF HFOFSBMMZ JUT VOEFSMZJOH TZNNFUSZ BSHVNFOUT QSFEJDU IPX DPSSFDUJPOT UP UIF MJOFBS
QPXFS TQFDUSVN TIPVME CFIBWF PO MBSHF TDBMFT 5IFTF DPOTUSBJOUT BSF OPU GVMMZ TBUJT୮ୢFE CZ UIF
TJNVMBUJPO NFBTVSFNFOUT BU UIF TVCQFSDFOU MFWFM *O UIJT DPOUFYU XF QPJOUFE PVU UIBU UIF
NFBTVSFNFOU PG UIF α DPF୭୮ୢDJFOU PO MBSHF TDBMFT JT WFSZ EJ୭୮ୢDVMU CFDBVTF JU JT IJHIMZ TFOTJUJWF
UP TZTUFNBUJD FSSPST JO UIF TJNVMBUJPOT
"ঙঙ঎গ঍঒ড /ঞখ঎ছ঒ঌঊক ঝ঎জঝজ
8F FTUJNBUF UIF TZTUFNBUJD FSSPS JOIFSFOU UP PVS TJNVMBUJPOT CZ WBSZJOH TFWFSBM QBSBNFUFST PG
UIF (BEHFU N CPEZ TJNVMBUJPO BOE TUVEZ UIF EFWJBUJPOT CFUXFFO UIFTF TJNVMBUJPOT BOE PVS
୮ୢEVDJBM DBTF 5IF DPSSFTQPOEJOH TZTUFNBUJD FSSPS PO UIF QPXFS TQFDUSVN JT TIPXO JO 'JH *O QBSUJDVMBS XF FTUJNBUF UIF DSPTT QPXFS BOE BVUP QPXFS PG UIF EJ୭GFSFODFT CFUXFFO UXP TJNV
MBUJPOT SVO XJUI QBSBNFUFS DIPJDFT " BOE #
PA−B = (φA − φB )2 .
PA−B×B = (φA − φB )|φB ,
*U UVSOT PVU UIBU UIF SFTVMUT BSF WFSZ TFOTJUJWF UP UIF OVNCFS PG HSJE DFMMT UIBU (BEHFU VTFT UP
DBMDVMBUF UIF MPOH SBOHF QPUFOUJBM 5IJT QBSBNFUFS JT DBMMFE 1.(3*% BOE IBT UP CF TFU JO UIF
(BEHFU NBLF୮ୢMF 8F IBE JOJUJBMMZ TFU N1.' = ND XIJDI XF TIBMM SFGFS UP BT UIF ୮ୢEVDJBM DBTF
8F BMTP DIBOHFE UIJT QBSBNFUFS UP N1.1. = 2ND PS N1.1.- = 3/4ND "T XBT OPUFE QSFWJ
PVTMZ JO UIF 1.(3*% QBSBNFUFS IBT B CJH BOE OPONPOPUPOJD F୭GFDU PO UIF NBUUFS EFOTJUZ
QPXFS TQFDUSVN "T TIPXO JO 'JH XF DPO୮ୢSN B TJNJMBS CFIBWJPS GPS UIF EJTQMBDFNFOU EJ
WFSHFODF *O QBSUJDVMBS XF ୮ୢOE UIBU UIF BVUP QPXFS PG UIF EJ୭GFSFODF CFUXFFO UIF 1. BOE 1.DBTFT JT TNBMMFS UIBO UIF SFTQFDUJWF FSSPST CFUXFFO UIF ' BOE 1.1.- DBTFT 8F BMTP DPOTJEFSFE
B TJNVMBUJPO XJUI BO JNQSPWFE UJNF TUFQQJOH BOE FSSPS UPMFSBODF EFOPUFE )3 JO UIF 'JHVSF
BOE ୮ୢOE B DPOTJEFSBCMZ TNBMMFS JNQBDU PO UIF EJTQMBDFNFOU QPXFS TQFDUSVN 8F BMTP DPOTJEFS
UIF UJNF EFQFOEFODF PG UIF FSSPS QPXFS TQFDUSB BOE ୮ୢOE UIBU CPUI UIF BVUP BOE DSPTT QPXFS
TQFDUSB TDBMF SPVHIMZ BT D2 8F ୮ୢOE ୮ୢUUJOH GVODUJPOT UIBU SPVHIMZ SFQSPEVDF UIF TIBQF BOE BN
QMJUVEF PG UIF FSSPST 5IFTF ୮ୢUUJOH GVODUJPOT BSF VTFE JO UIF NBJO UFYU UP BTTFTT UIF TZTUFNBUJD
FSSPS PO UIF NFBTVSFNFOUT PG UIF &'5 DPF୭୮ୢDJFOUT BOE UIF TUPDIBTUJD UFSN *O QBSUJDVMBS UIF
DSPTT QPXFS PG UIF FSSPS BOE UIF ୮ୢFME PA−B×B XJMM B୭GFDU UIF USBOTGFS GVODUJPOT BOE UIF &'5
DPF୭୮ୢDJFOUT XIJMF UIF BVUP QPXFS PA−B×A−B B୭GFDUT UIF TUPDIBTUJD UFSN
105
105
F-HR auto
F-PM auto
F-PM cross
104
2
10
101
0
10
10−1
103
102
100
10−1
10
10−2
10−3
10−3
10
10−2
10−1
k [hMpc−1]
10−4
100
auto z = 0
auto z = 2
cross z = 0
cross z = 2
101
−2
−4
PM-PML
PM-PML
PM-PML
PM-PML
104
k 4Pφφ [h−3Mpc3]
k 4Pφφ [h−3Mpc3]
103
F-PML auto
PM-PML auto
PM-PML cross
10−2
10−1
k [hMpc−1]
100
)LJXUH 3RZHU VSHFWUXP RI WKH GLIIHUHQFH GLVSODFHPHQW GLYHUJHQFH EHWZHHQ VLPXODWLRQV ZLWK YDULDQW SDUDPHWHUV 7KH
VROLG SRLQWV VKRZ WKH DXWR SRZHU RI WKH HUURU ZKLOH WKH FURVVHV VKRZ WKH FURVV FRUUHODWLRQ EHWZHHQ WKH HUURU DQG RQH RI WKH
GLVSODFHPHQW GLYHUJHQFLHV 5LJKW SDQHO 7LPH GHSHQGHQFH RI WKH HUURU IURP PHDVXUHPHQWV DW z
= 0 DQG z = 2 %RWK HUURUV
RQ WKH DXWR DQG WKH FURVV SRZHU VFDOH DV D 2 "ঙঙ঎গ঍঒ড 1঎ছঝঞছঋঊঝ঒ট঎ %঒জঙকঊঌ঎খ঎গঝ '঒঎ক঍জ
*O UIJT "QQFOEJY XF XJMM SFEFSJWF UIF FRVBUJPOT GPS UIF TDBMBS BOE WFDUPS DPNQPOFOUT PG UIF
EJTQMBDFNFOU BT UIFZ XJMM CF OFFEFE UP DBMDVMBUF UIF IJHIFS PSEFS TPMVUJPOT JO QSFTFODF PG &'5
DPVOUFSUFSNT JO "QQ 4ঌঊকঊছ ঌঘখঙঘগ঎গঝ ঘএ ঝ঑঎ ঍঒জঙকঊঌ঎খ঎গঝ 'PS UIF TDBMBS FRVBUJPO XF UBLF UIF &VMFSJBO
EFSJWBUJWF PG UIF &P. ZJFMEJOH
3
∂ ψ̈i + Hψ̇i = −Δϕ = − H2 ΩN δ
∂xi
2
'SPN UIF NBQQJOH CFUXFFO -BHSBOHJBO BOE &VMFSJBO TQBDF x = q + ψ XF IBWF UIBU δ =
1/J − 1 XIFSF J JT UIF EFUFSNJOBOU PG UIF +BDPCJBO NBUSJY
Aij ≡
∂xi
,
= δij + ψi,j
∂qj
*G OPU FYQMJDJUMZ NFOUJPOFE PUIFSXJTF QBSUJBM EFSJWBUJWFT BSF XJUI SFTQFDU UP UIF -BHSBOHJBO
DPPSEJOBUF q 5IF EFUFSNJOBOU DBO UIFO CF SFMBUFE UP UIF JOWBSJBOUT PG UIF EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME
1
J = %FU[A] = ijl stu Ais Ajt Alu
3!
1
1
=1 + ψi,i + (ψi,i ψj,j − ψi,j ψj,i ) + ijl stu ψi,s ψj,t ψl,u
2
3!
=1 + K + L + M
8F XJMM OFFE UIF NBQQJOH GSPN &VMFSJBO UP -BHSBOHJBO EFSJWBUJWFT
∂
∂
= A−1
ij
∂xj
∂qi
XJUI
A−1
ij =
CA5
1
=
jmn ist Ams Ant
%FU[A] 2! %FU[A]
1 ,
1 ,
,
1
,
,
=
δ + (δij δnt − δjt δin )ψn,t + jmn ist ψm,s ψn,t
J ij
2
2
'PS UIF &P. XF OPX IBWF
JA−1
ji
3
ψ̈i,j + Hψ̇i,j = ΩN H2 (K + L + M)
2
-FU VT EF୮ୢOF UIF UJNF EFSJWBUJWF PQFSBUPS
D=
1 E
E2
+
.
2
E(ln a)
2 E ln a
8F DBO GVSUIFS TJNQMJGZ UIJT FRVBUJPO CZ HPJOH UP BO &E4 6OJWFSTF BOE LFFQJOH POMZ UIF nUI
PSEFS EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME PO UIF MFG୴ IBOE TJEF
(n)
Dψi,i
n−1
3 (n)
1 (n−m)
(m)
(n−m)
(m)
(n)
(n)
= K +L +M
Dψj,j − ψi,j
Dψj,i
ψi,i
−2
2
2 m=1
−3
n−2
m=1
k+l=m−n
k>0,l>0
1
(k) (l)
(m)
ijl stu ψi,s ψj,t Dψl,u
3!
6TJOH UIBU Dam = (m2 + m/2)am XF IBWF
n2 +
n−1 n
3
m
(n)
m2 +
ψi,i = K(n) + L(n) + M(n) − 2
Ln−m,m
2
2
2
m=1
−3
n−2
m=1
k+l=m−n
k>0,l>0
m
m +
Mk,l,m .
2
2
"T B MBTU TUFQ XF DBO TZNNFUSJ[F UIF SJHIU IBOE TJEF BOE DPMMFDU UIF JOWBSJBOUT L BOE M
(n)
ψi,i
2(n2 + n2 ) + n − 3 1
2
=−
Ln1 ,n2
(n
−
1)(2n
+
3)
n +n =n
1
2
n1 ,n2 >0
−
n1 +n2 +n3 =n
n1 ,n2 ,n3 >0
2(n21 + n22 + n23 ) + n − 3
(n − 1)(2n + 3)
Mn1 ,n2 ,n3
2(n2 + n2 ) + n − 3 1
(n ) (n )
1
2
mis mjt ψi,j1 ψs,t2
=−
(n − 1)(2n + 3)
2
n +n =n
1
2
n1 ,n2 >0
−
n1 +n2 +n3 =n
n1 ,n2 ,n3 >0
2(n21 + n22 + n23 ) + n − 3
(n − 1)(2n + 3)
1
(n ) (n ) (n )
i i i j j j ψ 1 ψ 2 ψ 3 .
3! 1 2 3 1 2 3 i1 ,j1 i2 ,j2 i3 ,j3
*O UIF TFDPOE QBSU PG UIF BCPWF FRVBUJPO XF IBWF SFTUPSFE UIF GVMM JOEFY TUSVDUVSF XIJDI XJMM
CFDPNF VTFGVM GPS XSJUJOH UIF SFDVSTJPO SFMBUJPOT JO 'PVSJFS TQBDF MBUFS PO
7঎ঌঝঘছ ঌঘখঙঘগ঎গঝ ঘএ ঝ঑঎ ঍঒জঙকঊঌ঎খ঎গঝ 'PS UIF DVSM QBSU PG UIF EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME
XF TUBSU BHBJO GSPN UIF FRVBUJPO PG NPUJPO
ẍi + Hẋi = −
∂Φ
.
∂xi
5IF &VMFSJBO HSBEJFOU PO UIF SIT DBO CF DPOWFSUFE UP B -BHSBOHJBO HSBEJFOU CZ NVMUJQMZJOH
UIF FRVBUJPO CZ UIF +BDPCJBO NBUSJY Aij =
∂xi
∂qj
∂Φ
∂xi
(ẍi + Hẋi ) = −
.
∂qj
∂qj
8JUI JOUFHSBUJPO CZ QBSUT XJUI SFTQFDU UP UJNF BOE TQBDF UIJT FRVBUJPO DBO CF SFFYQSFTTFE BT
∂
+H
∂τ
∂xi
∂
ẋi =
∂qj
∂qj
|ẋ|2
−Φ .
2
5IF QPJOU PG UIJT USBOTGPSNBUJPO JT UIBU UIF SIT JT OPX B QVSF -BHSBOHJBO HSBEJFOU BOE UIFSF
GPSF JUT -BHSBOHJBO DVSM WBOJTIFT
∂
lmj
∂qm
JF
∂
+H
∂τ
∂xi
ẋi = 0,
∂qj
∂xi ∂ ẋi
∂
= 0.
+ H lmj
∂τ
∂qj ∂qm
5IJT EJ୭GFSFOUJBM FRVBUJPO JO UJNF JT SFBEJMZ JOUFHSBUFE TJODF UIF JOJUJBM DPOEJUJPO WBOJTIFT
lmj
∂xi ∂ ẋi
= 0,
∂qj ∂qm
XIJDI DBO CF SFXSJUUFO JO WFDUPS OPUBUJPO BT
∇q ẋi × ∇q xi = 0.
4VCTUJUVUJOH x = q + ψ UIFO MFBET UP
∇q × ψ̇ = ∇q ψi × ∇q ψ̇i .
"TTVNJOH UIBU UIF UJNFEFQFOEFODF PG UIF EJTQMBDFNFOU GPMMPXT UIBU GPS BO &E4 VOJWFSTF UIJT
ZJFMET UIF DPO୮ୢHVSBUJPO TQBDF SFDVSTJPO SFMBUJPO GPS UIF -15 DVSM QBSU
∇q × ψ
(n)
n−1
n − 2m
(m)
(n−m)
=
.
∇q ψi × ∇q ψi
2n
m=1
3঎ঌঞছজ঒ঘগ ছ঎কঊঝ঒ঘগজ ঒গ 'ঘঞছ঒঎ছ জঙঊঌ঎ 'JOBMMZ XF EFEVDF UIF 'PVSJFS TQBDF SFDVSTJPO
SFMBUJPOT GPS UIF LFSOFMT PG UIF TDBMBS ln BOE WFDUPS QBSU tn PG UIF EJTQMBDFNFOU #PUI BSF TPVSDFE
CZ UIF UPUBM EJTQMBDFNFOU S n ≡ ikLn + ik × T n XIJDI MFBET UP B DPVQMJOH CFUXFFO TDBMBS BOE
WFDUPS NPEFT TUBSUJOH GSPN UIJSE PSEFS
5IF TDBMBS LFSOFMT Ln , n > 1 BSF SFBEJMZ PCUBJOFE CZ 'PVSJFS USBOTGPSNJOH &R 2(n2 + n2 ) + n − 3 n!
1
2
Ln (p1 , . . . , pn ) = −
×
2(n
−
1)(2n
+ 3)
n1 !n2 !
n +n =n
1
2
n1 ,n2 >0
2
p|n1 1 × p|nn11 +n
+1
w
S
(p
,
.
.
.
,
p
)
×
S
(p
,
.
.
.
,
p
)
n 2
n1
n2
1
n1
n1 +1
n1 +n2
p|1
n1 +n2 +n3
2
%FU p|n1 1 , p|nn11 +n
n!
2(n21 + n22 + n23 ) + n − 3
+1 , p|n1 +n2 +1
×
−i
n 2
6(n − 1)(2n + 3)
n1 !n2 !n3 !
p|1
n +n +n =n
1
2
3
n1 ,n2 ,n3 >0
%FU S n1 (p1 , . . . , q n1 ), S n2 (pn1 +1 , . . . , pn1 +n2 ), S n3 (pn1 +n2 +1 , . . . , pn1 +n2 +n3 ) .
XJUI TUBSUJOH DPOEJUJPOT L1 = 1/k 2 BOE T1 = T2 = 0 )FSF %FU[a, b, c] = a w (b × c) TUBOET
GPS UIF EFUFSNJOBOU PG UIF NBUSJY XIPTF DPMVNOT BSF UIF WFDUPST a, b BOE c BOE XF EF୮ୢOFE
p|m
1 ≡ p1 + . . . + pm 'PS UIF WFDUPS LFSOFM T n XF HFU GSPN &R n1
n2
n−1
p|
×
p|
1
n1 +1 n − 2m n!
(p
,
.
.
.
,
p
)
w
S
(p
,
.
.
.
,
p
)
.
S
T n (p1 , . . . , pn ) = −
n1
n2
1
n1
n1 +1
n1 +n2
n 2
2n
n
!n
!
[p|
]
1
2
1
m=1
4JNJMBS SFMBUJPOT XFSF SFDFOUMZ HJWFO CZ g 'PS UIF QVSFMZ TDBMBS QBSU &R TJNQMJ୮ୢFT UPv
2(n2 + n2 ) + n − 3 n! p|n1 1 2 p|nn +1 2
1
2
1
Ln (p1 , . . . , pn ) = +
κ2 (p|n1 1 , p|nn1 +1 )
n 2
2(n − 1)(2n + 3)
n1 !n2 !
p|1
n +n =n
1
2
n1 ,n2 >0
Ln1 (p1 , . . . , pn1 )Ln2 (pn1 +1 , . . . , pn )
n!
2(n21 + n22 + n23 ) + n − 3
n
2
κ3 (p|n1 1 , p|nn11 +n
−
+1 , p|n1 +n2 +1 )
6(n
−
1)(2n
+
3)
n
!n
!n
!
1 2 3
n +n +n =n
1
2
3
n1 ,n2 ,n3 >0
p|n1 1
2 n
2
2 2
p|nn11 +n
p|n1 +n2 +1
+1
Ln1 (p1 , . . . , pn1 )Ln2 (pn1 +1 , . . . , pn1 +n2 )
n 2
p|1
Ln3 (pn1 +n2 +1 , . . . , pn )
5IJT FRVBUJPO DBO CF VTFE UP DBMDVMBUF UIF GVMM TDBMBS EJTQMBDFNFOU VQ UP UIJSE PSEFS BOE UIF
EPNJOBOU QBSU PG UIF GPVSUI PSEFS EJTQMBDFNFOU
*O PSEFS UP WBMJEBUF UIF -15 DPEF PO UIF TJNVMBUJPO HSJE XF DPNQBSF JU UP UIF BOBMZUJDBM
MPPQ BOE MPPQ QSFEJDUJPOT 5IFZ DBO CF DPNQVUFE VTJOH UIF GPMMPXJOH FYQMJDJU SFMBUJPOT
5IFTF FYQSFTTJPOT DPSSFTQPOE UP &RT ‫ ؛‬JO PODF UIF GPMMPXJOH NBQQJOH IBT CFFO VTFE Ln,.BUTVCBSB =
S n Sn,.BUTVCBSB = ik 2 Ln BOE T n,.BUTVCBSB = ik 2 T n XIFSF k = p|n1 JT UIF TVN PG UIF NPNFOUB JO UIF LFSOFM
v
)FSF XF BSF VTJOH UIBU
⎞
⎛
p1 w p 1 p 1 w p 2 p 1 w p 3
%FU[p1 , p2 , p3 ]2 = %FU ⎝p1 w p2 p2 w p2 p2 w p3 ⎠ = p21 p22 p23 κ3 (p1 , p2 , p3 )
p1 w p 3 p 2 w p 3 p 3 w p 3
g
DPSSFTQPOEJOH UP UIF EJBHSBNT JO 'JH PMJO (k)
k4
1
E3 p
P22 (k) =
[L2 (k − p, p)]2 PMJO (q)PMJO (|k − p|)
2
(2π)3
2
1
1 ∞
9
1 − μ2
2
2
=
Exx PMJO (kx)
EμPMJO (k 1 + x − 2xμ)
98(2π)2 k 0
1 + x2 − 2xμ
−1
E3 p
1 PMJO (k)
P13 (k) =
L3 (p, −p, k)PMJO (q)
2 k2
(2π)3
PMJO (k) ∞ PMJO (kx)
1+x
5
2
4
6
2 4
Ex
[4x(−3 + 11x + 11x − 3x ) + 3(1 − x ) ln
=
2016(2π)2 k
x3
1−x
0
3
1
E p 1 E3 p 2
P24 (k) =
L2 (−p1 , p1 − k)L4 (k − p1 , p1 , p2 , −p2 )PMJO (p1 )PMJO (p2 )PMJO (k − p1 )
4
(2π)6
3
1
E p 1 E3 p 2
P33−I (k) =
[L3 (p1 , p2 , k − p1 − p2 )]2 PMJO (p1 )PMJO (p2 )PMJO (|k − p1 − p2 |)
6
6
(2π)
P11 (k) =
(P13 (k)/2)2
P33−II (k) =
P 11 (k)
3
1 PMJO (k)
E p 1 E3 p 2
L5 (p1 , −p1 , p2 , −p2 , k)PMJO (p1 )PMJO (p2 )
P15 (k) =
8 k2
(2π)6
3
1
E p 1 E3 p 2
[T 3 (p1 , p2 , k − p1 − p2 )]2 PMJO (p1 )PMJO (p2 )PMJO (|k − p1 − p2 |)
P3c3c =
6
(2π)6
8F ୮ୢOE B HPPE BHSFFNFOU CFUXFFO PVS DPEF PO UIF HSJE BOE UIF MPPQ DBMDVMBUJPOT BT TFFO JO
'JH 'PS EF୮ୢOJUFOFTT XF IBWF GPS UIF POF BOE UXP MPPQ -15 DPOUSJCVUJPOT UP UIF QPXFS
TQFDUSVN
PMPPQ = 2P13 + P22 ,
PMPPQ = 2P15 + 2P24 + P33−I + P33−II .
5IF DBMDVMBUJPO PO UIF HSJE IBT F୭GFDUJWF DVUP୭GT UIF GVOEBNFOUBM XBWF WFDUPS kG = (2π)/LCPY
105
104
k 4Pφφ(k) [(Mpc/h)3]
103
102
101
P11
P13
100
P22
10−1
10
P15
P24
−2
P33
10−3
10
−2
10
−1
k [h/Mpc]
)LJXUH &RPSDULVRQ EHWZHHQ WKH /37 RQ WKH JULG DQG WKH DQDO\WLFDO RQH IRU WKH OLQHDU SRZHU VSHFWUXP ORRS WHUPV
DQG VRPH ORRS WHUPV 7KLV LV D WHVW IRU RXU H[SUHVVLRQV RI φ(1) φ(2) φ(3) φ(4) DQG φ(5) JT UIF NJOJNVN OPO[FSP XBWF WFDUPS QSFTFOU BOE JG OP FYQMJDJU VQQFS DVUP୭G JT VTFE UIF /ZRVJTU
XBWF WFDUPS k/Z JT UIF IJHIFTU XBWF WFDUPS QSFTFOU *O PSEFS UP HFU BHSFFNFOU CFUXFFO UIF UIF
PSZ -15 BOE UIF DBMDVMBUJPO PO UIF HSJE POF IBT UP JNQPTF UIFTF TBNF DVUP୭GT UP UIF MPPQ JOUF
HSBMT 4JODF UIF -15 FYQBOTJPO JT B OPOMJOFBS DBMDVMBUJPO BMJBTJOH JT BMTP BO JTTVF BT FYQMBJOFE
JO UIF NBJO UFYU 'JOBMMZ SFBDIJOH BO BHSFFNFOU BU UIF QFSDFOU MFWFM CFUXFFO UIFPSZ -15 BOE
-15 PO UIF HSJE SFRVJSFT CJOOJOH UIF UIFPSZ QPXFS TQFDUSB XJUI UIF TBNF CJOT BT GPS UIF QPXFS
TQFDUSVN FTUJNBUJPO PO UIF HSJE
"ঙঙ঎গ঍঒ড $ঘজখ঒ঌ টঊছ঒ঊগঌ঎
*O UIJT BQQFOEJY XF FTUJNBUF UIF VODFSUBJOUJFT PO PVS NFBTVSFNFOUT EVF UP DPTNJD WBSJBODF
JO PSEFS UP TIPX UIF EJ୭୮ୢDVMUZ PG NFBTVSJOH UIF &'5 DPF୭୮ୢDJFOU BU UIF MFWFM PG UIF QPXFS TQFD
USVN JOTUFBE PG UIF ୮ୢFME JUTFMૄ
BOE UP VOEFSTUBOE UIF TDBUUFS JO PVS NFBTVSFNFOUT PG UIF DSPTT
QPXFS TQFDUSB CFUXFFO UIF EJTQMBDFNFOU GSPN TJNVMBUJPO BOE GSPN QFSUVSCBUJPO UIFPSZ
5IF WBSJBODF PG PVS NFBTVSFNFOUT DBO CF FTUJNBUFE GSPN UIFJS TDBUUFS BDSPTT UIF WBSJPVT SFBM
J[BUJPOT 0O UIF PUIFS IBOE UIFTF WBSJBODFT DBO CF QSFEJDUFE BT
$PW (Pab , Pcd ) =
1
NNPEFT
[Pac Pbd + Pad Pbc ] +
1
Tabcd ,
V
XIFSF NNPEFT JT UIF OVNCFS PG NPEFT JO FBDI kCJO V JT UIF WPMVNF PG UIF CPY BOE Tabcd JT
UIF USJTQFDUSVN 5IF ୮ୢSTU UFSN JT UIF (BVTTJBO DPWBSJBODF XIJMF UIF TFDPOE UFSN JT UIF OPO
(BVTTJBO UFSN XIJDI XPVME WBOJTI JG UIF ୮ୢFMET PG JOUFSFTU XFSF (BVTTJBO *O XIBU GPMMPXT
XF POMZ FWBMVBUF UIF (BVTTJBO DPWBSJBODF BMUIPVHI XF XJMM LFFQ UIF USJTQFDUSVN UFSNT JO UIF
FRVBUJPOT GPS DPNQMFUFOFTT
*O QBSUJDVMBS
1
1
1 Taabb
σ 2 (Pab )
=
,
1+ 2 +
2
2
Pab
NNPEFT
rab
V Pab
XIFSF rab JT UIF DPSSFMBUJPO DPF୭୮ୢDJFOU rab =
2
JT UIBU σ P(P2ab ) ab
2
NNPEFT
√ Pab
Paa Pbb
1 " TJNQMF DPOTFRVFODF PG &R 5IJT JT B MPXFS CPVOE PO IPX XFMM POF DBO NFBTVSF BOZ QPXFS TQFD
USVN PO MBSHF TDBMFT BOE JU DPSSFTQPOET UP B SFMBUJWF FSSPS PG ∼ 10% PO UIF MBSHFTU TDBMFT PG PVS
TJNVMBUJPOT k ∼ 5 × 10−3 h.QD−1 BT TIPXO JO 'JH 4VDI B IJHI VODFSUBJOUZ XPVME
NBLF JU FYUSFNFMZ EJ୭୮ୢDVMU UP NFBTVSF UIF &'5 DPF୭୮ୢDJFOU α GSPN NBUDIJOH UIF TJNVMBUJPO
QPXFS TQFDUSVN UP B UIFPSZ QPXFS TQFDUSVN PO MBSHF TDBMFT
5IJT VODFSUBJOUZ DBO CF TJHOJ୮ୢDBOUMZ SFEVDFE CZ NBUDIJOH SBUJPT PG QPXFS TQFDUSB GSPN UIF
TBNF TJNVMBUJPO UP UIFPSZ QSFEJDUJPOT 5IJT DBO CF VOEFSTUPPE BT GPMMPXT 5IF VODFSUBJOUZ PO
B SBUJP PG QPXFS TQFDUSB DBO CF DPNQVUFE GSPN &R BT
1
Pac Pbd + Pad Pbc
Tancd
1
1
1 Taabb Tccdd
σ 2 (Pab /Pcd )
+ 2 −2
=
2+ 2 + 2 −2
+
.
2
(Pab /Pcd )
N
rab rcd
Pab Pcd
V Pab
Pcd
Pab Pcd
100
relative error (sample variance)
Pii
Pf f
10−1
Pif
Pf f /Pii
Pif /Pii
10−2
10−3
10−4
10−5
10−2
10−1
k [h/Mpc]
100
)LJXUH 5HODWLYH VFDWWHU RI WKH YDULRXV SRZHU VSHFWUD DQG UDWLRV RI SRZHU VSHFWUD GXH WR VDPSOH YDULDQFH 2Q ODUJH
VFDOHV FRQVLGHULQJ UDWLRV RI SRZHU VSHFWUD FDQFHOV WKH VDPSOH YDULDQFH E\ XS WR D IDFWRU RI D KXQGUHG
104
relative uncertainty on Pnli(k)
2/Nmodes
103
Pnl×2
102
Pnl×4
Pnl×1
101
Pnl×3
Pnl×5
100
10−1
10−2
10−3
10−4
10−2
10−1
k [h/Mpc]
)LJXUH 5HODWLYH XQFHUWDLQW\ RQ PQOi GXH WR FRVPLF YDULDQFH *DXVVLDQ WHUP RQO\ VKRZLQJ WKDW WKH UHODWLYH XQFHUWDLQW\ LV
PXFK JUHDWHU IRU i HYHQ 7KLV H[SODLQV WKH VFDWWHU VHHQ LQ WKH PHDVXUHPHQWV RI )LJ 'JH TIPXT UIBU DPOTJEFSJOH SBUJPT PG QPXFS TQFDUSB SFEVDFT UIF DPTNJD WBSJBODF GSPN 10%
UP 0.05% BU k ∼ 5 × 10−3 h.QD−1 4VDI BO VODFSUBJOUZ XPVME CF NBSHJOBMMZ TV୭୮ୢDJFOU UP
BMMPX PVS NFBTVSFNFOU PG UIF &'5 DPF୭୮ୢDJFOU α
"OPUIFS DPOTFRVFODF PG &R JT UIBU UIF SFMBUJWF VODFSUBJOUZ PO POMi JT NVDI HSFBUFS
OMi
r1i GPS i
XIFO i JT FWFO TJODF rOMi JT NVDI MPXFS GPS FWFO WBMVFT PG i *OEFFE rOMi = √PPOMOM
Pii
(
r2i r2i GPS i FWFO 5IJT JT TIPXO JO 'JH BOE FYQMBJOT UIF TDBUUFS
PEE XIJMF rOMi PP22
11
JO UIF NFBTVSFNFOUT TFFO JO 'JH "ঙঙ঎গ঍঒ড 5ছঊগজ঒঎গঝজ
*O UIJT "QQFOEJY XF DPOTJEFS UIF JNQSJOU PG B ୮ୢOJUF TUBSUJOH SFETIJG୴ PG UIF TJNVMBUJPO PO JUT
MBUF UJNFT SFTVMUT 5IFTF TP DBMMFE USBOTJFOUT XFSF TUVEJFE JO QFSUVSCBUJPO UIFPSZ BOE TJNV
MBUJPOT BU UIF MFWFM PG -15 JOJUJBM DPOEJUJPOT 8F XJMM SFWJFX UIF EFSJWBUJPO BOE FYUFOE JU UP
IJHIFS PSEFST
5IF FRVBUJPO PG NPUJPO DBO CF XSJUUFO JO WFDUPS OPUBUJPO GPS χ = (ψi,i , ηi,i ) = (ψi,i , Eψi,i /E ln a)
(n)
Eψi,i
(n)
− ηi,i =0
E ln a
(n)
Eηi,i
3 (n) 1 (n)
− ψi,i + ηi,i =S (n) (a)
E ln a 2
2
(n)
)FSF XF BMSFBEZ CSPVHIU UIF K(n) = ψi,i UFSN BSJTJOH GSPN UIF EFUFSNJOBOU &R UP UIF
MFG୴ IBOE TJEF 5IF TPVSDF UFSN JT UIVT DPNQPTFE PG UIF L(n) BOE M(n) UFSNT JO UIF EFUFSNJ
OBOU BOE UIF EFSJWBUJWFT PG UIF MPXFS PSEFS UFSNT GSPN UIF MFG୴ IBOE TJEF
5IF BCPWF FRVBUJPOT DBO CF TVNNBSJ[FE JO WFDUPS OPUBUJPO BT
Eχi
+ Ωij χj = Si ,
E ln a
XJUI UIF TPMVUJPO TFF FH ln a
χi (a) = gij (a, aJ )χj (aJ ) +
ln aJ
E ln a gij (a, a )Sj (a ) ,
⎛
XIFSF
⎞
3 2⎟ a
a1⎜
⎜
⎟+
gij (a, a ) = ⎝
⎠
a 5
a
3 2
⎛
−3/2
⎞
2 −2⎟
1⎜
⎜
⎟
⎠
5⎝
−3 3
-FU VT BTTVNF UIBU XF VTF ;FM‫ؠ‬EPWJDI JOJUJBM DPOEJUJPOT JF UIF -15 QBSU JT DPSSFDU BU BMM UJNFT
CVU UIF TFDPOE BOE IJHIFS PSEFS TPMVUJPOT BSF [FSP VOUJM TPNF JOJUJBM UJNF aJ 5IFO UIF TFDPOE
PSEFS TPVSDF UFSN JT HJWFO CZ
3
3 (1) (1)
(1) (1)
S (2) (a) = − a2 L(2) = − a2 ψi,i ψj,j − ψi,j ψj,i .
2
4
*OUFHSBUJOH PWFS UJNF XJUI UIF JOJUJBM DPOEJUJPO χ(2) (aJ ) = 0 XF HFU
(2)
ψi,i
3 2
7 aJ 2 aJ 7/2 (1) (1)
(1) (1)
+
=− a 1−
ψi,i ψj,j − ψi,j ψj,i
14
5a
5 a
7/2
3 2
3
3 aJ
(1) (1)
(1) (1)
= − a + aaJ −
ψi,i ψj,j − ψi,j ψj,i
14
10
35 a3/2
5IF ୮ୢSTU UFSN JO UIF CSBDLFUT HJWFT UIF GBTUFTU HSPXJOH TPMVUJPO XIFSFBT UIF TFDPOE BOE UIJSE
UFSNT MFBE UP DPSSFDUJPOT UIBU EFDBZ BT XJUI JODSFBTJOH a 'PS B TUBSUJOH SFETIJG୴ zJ = 99 JF
aJ = 0.01 UIJT DPSSFTQPOET UP B 1.4% DPSSFDUJPO UP UIF TFDPOE PSEFS EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME BU
SFETIJG୴ z = 0
-FU VT OPX DPOTJEFS UIF DBTF XIFSF XF VTF -15 UP TFU VQ JOJUJBM DPOEJUJPOT BU aJ JF ୮ୢSTU
BOE TFDPOE PSEFS EJTQMBDFNFOU ୮ୢFMET BSF DPSSFDU BU BMM UJNFT BOE UIFSF BSF USBOTJFOU F୭GFDUT PO UIF
UIJSE BOE IJHIFS PSEFST 5IJT JT UIF DBTF UIBU JT SFMFWBOU GPS PVS TVJUF PG TJNVMBUJPOT 5IF UIJSE
PSEFS TPVSDF UFSN JT DPSSFDUMZ HJWFO CZ UIF HSPXJOH NPEFT
S (3) (a) = a3 −3M1,1,1 − 10L1,2 ,
(3)
XIJDI VTJOH ψi (a < aJ ) = 0 SFBEJMZ MFBET UP UIF GPMMPXJOH TPMVUJPO GPS a > aJ
(3)
ψi,i
a3
=
9
9 aJ
1−
5 a
2
4 aJ
+
5 a
9/2
−3M1,1,1 − 10L1,2 .
)FSF UIF ୮ୢSTU UFSN JO CSBDLFUT HJWFT UIF GBTUFTU HSPXJOH NPEF BOE UIF DPSSFDUJPOT BNPVOU UP
2 × 10−4 BU z = 0 GPS zJ = 99
5IF GPVSUI PSEFS TPVSDF UFSN IBT QBSUT UIBU BSF DPSSFDUMZ QSFEJDUFE CZ -15 CVU BMTP EFDBZJOH
NPEF DPSSFDUJPOT UIBU MFBE UP DPSSFDUJPOT JO UIF TPVSDF UFSN *U DBO CF SFBEJMZ PCUBJOFE CZ VTJOH
UIF TPMVUJPO GPS UIF UIJSE PSEFS ୮ୢFME JODMVEJOH USBOTJFOUT &R JO &R S
(4)
39 1,1,2 17 2,2
9 3 aJ
1,3
4
(a) = a − M
− L − 21L
− 2a −
2
2
52 a
4
2
4 3 aJ
+
52 a
9/2
L1,3 .
5IVT XF IBWF GPS UIF GPVSUI PSEFS TPMVUJPO JODMVEJOH USBOTJFOUT
(4)
ψi,i
7 1,3
11 aJ 3 6 aJ 11/2
13 1,1,2 17 2,2
=a 1 −
+
− L −2 L
− M
5 a
5 a
11
33
11
7 aJ 3 4 aJ 9/2
6 aJ 11/2 1,3
27 aJ 2
− 2a4 −
+
−
+
L .
35 a
25 a
5 a
35 a
4
5IF SFMBUJWF FSSPS GPS L2,2 BOE M1,1,2 JT 2 × 10−6 BOE UIF SFMBUJWF FSSPS PO L1,3 JT 10−4 BU z = 0
GPS zJ = 99 5IF FOIBODFE FSSPS PO L1,3 JT EVF UP UIF QSFTFODF PG USBOTJFOUT JO UIF UIJSE PS
EFS DPOUSJCVUJPOT UP UIF TPVSDF UFSN 5IJT UFSN EFDBZT TMPXFS UIBO UIF USBOTJFOUT PO UIF PUIFS
DPNQPOFOUT PG UIF GPVSUI PSEFS EJTQMBDFNFOU ୮ୢFME CZ POF QPXFS PG UIF FYQBOTJPO GBDUPS a
4ঘকঞঝ঒ঘগ ঠ঒ঝ঑ 4ঘঞছঌ঎ 5঎ছখজ
-FU VT FYQMJDJUMZ DPOTJEFS UIF UJNF EFQFOEFODF PG UIF &'5 DPVOUFSUFSNT UIBU BSJTFT GSPN B HJWFO
UJNF EFQFOEFODF PG UIF TPVSDF UFSN PO UIF SJHIU IBOE TJEF PG UIF FRVBUJPOT PG NPUJPO &P.
'PS DPOWFOJFODF XF GBDUPS PVU 3/2ΩN H2 GSPN UIF TPVSDF UFSNT TVDI UIBU UIFZ BQQFBS TJNJMBS
UP UIF HSBWJUBUJPOBM QPUFOUJBM BOE TVDI UIBU UIBU UIF &'5 QBSBNFUFS IBT VOJUT PG MFOHUI2 FWFO BU
UIF &P. MFWFM
3
3
φ̈(1̃) (k) + Hφ̇(1̃) (k) − ΩN H2 φ(1̃) (k) = ΩN H2 βk 2 φ(1) (k) .
2
2
'SPN OPX PO XF XJMM XPSL JO &JOTUFJOEF4JUUFS XIFSF ΩN = 1 BOE QPTUVMBUF B QPXFS MBX UJNF
EFQFOEFODF GPS UIF DPVOUFSUFSNT JO UIF FRVBUJPO PG NPUJPO GPS JOTUBODF β = β0 aγ *U JT OPX
DPOWFOJFOU UP SFXSJUF UIF FRVBUJPOT VTJOH ln a BT UIF UJNF QBSBNFUFS
2
3
E
1 E
3
γ 2 (1)
+
−
.
Dφ (k, a) = β0 a k φ (k, a) XJUI D ≡
2
E ln a2 2 E ln a 2
(1̃)
/PUF UIBU IFSF XF SFEF୮ୢOFE UIF PQFSBUPS D UP BMTP DPOUBJO UIF GVMM IPNPHFOFPVT QBSU 5IF
(SFFO‫ؠ‬T GVODUJPO BTTPDJBUFE XJUI D JT HJWFO CZ
3/2 ã
2 a
.
−
G(a, ã) =
5 ã
a
5IJT ZJFMET GPS UIF JOUFHSBUJPO PG B QPXFS MBX TPVSDF
a
E ln ã G(a, ã)ãw =
0
2
aw
(w − 1)(3 + 2w)
BOE ୮ୢOBMMZ BMMPXT VT UP SFMBUF UIF &'5 DPF୭୮ୢDJFOU α PG UIF TPMVUJPO UP UIF POF PG UIF FRVBUJPO PG
NPUJPO
φ(1̃) (k, a) = α(a)k 2 φ(1) (k, a) XJUI α(a) ≡
3
β0 aγ .
γ(5 + 2γ)
-FU VT OPX TPMWF UIF FRVBUJPO BU OFYUUPMFBEJOH PSEFS JO UIF DPVOUFSUFSNT CVU OFHMFDUJOH UIF
FYQMJDJU TFDPOE PSEFS TPVSDF UFSNT E2,i GPS UIF UJNF CFJOH
3
2
γ+1
γ 2 (2)
2
L1,1̃
Dφ (k, a) = β0 a k φ (k, a) + 2 (γ + 1) +
2
k
2
(2̃)
5IF ୮ୢSTU UFSN BSJTFT GSPN DPOTJEFSJOH UIF TFDPOE PSEFS -15 ୮ୢFME JO UIF MFBEJOH &'5 DPVO
UFSUFSN BOE UIF TFDPOE TPVSDF BSJTFT GSPN DPVQMJOH UIF MJOFBS ୮ୢFME BOE UIF MFBEJOH PSEFS &'5
TPMVUJPO VTJOH UIF UIF RVBESBUJD LFSOFM .PSF FYQMJDJUMZ XF DBO XSJUF
Dφ (k, a) =
(2̃)
p1
p2
3 (γ + 1)(2γ + 3)
9
− β0 aγ (p1 + p2 )2 −
β0 aγ (p21 + p22 )
28
2 γ(5 + 2γ)
κ2 (p1 , p2 )
(2π)3 δ %
(k − p1 − p2 )δ (1) (p1 , a)δ (1) (p2 , a)
(p1 + p2 )2
*OUFHSBUJOH UIF TPVSDF XJUI UIF (SFFOT GVODUJPO XF ୮ୢOBMMZ IBWF
(2̃)
φ (k, a) =
p1
p2
3
2
2(2γ + 3)
9
β0 aγ (p1 + p2 )2 −
β0 aγ (p21 + p22 )
−
28 (1 + γ)(7 + 2γ)
2 γ(5 + 2γ)(7 + 2γ)
κ2 (p1 , p2 )
(2π)3 δ %
(k − p1 − p2 )δ (1) (p1 , a)δ (1) (p2 , a) ,
2
(p1 + p2 )
(2γ + 3)
3
γ(5 + 2γ)
= − α(a)
E2,2 (p1 , p2 ) +
E2,3 (p1 , p2 )
(7 + 2γ)
p1 p2 14 (1 + γ)(7 + 2γ)
(2π)3 δ %
(k − p1 − p2 )δ(1) (p1 , a)δ (1) (p2 , a) .
8F UIVT TFF UIBU FYQSFTTJPOT JO UIF GPSN PG UIF E2,2 BOE E2,3 DPVOUFSUFSNT BSF HFOFSBUFE CZ
UIF UJNF JOUFHSBUJPO PG UIF MFBEJOH PSEFS DPVOUFSUFSN CVU OPU E2,1 1BSU PG UIF DPVOUFSUFSN
φ(2̃) BQQFBST JO P22̃ UP DBODFM UIF 67 FSSPS JO P24 'PS UIJT QBSU PG UIF DPVOUFSUFSN UIF UJNF
EFQFOEFODFT PG P22̃ BOE P24 IBWF UP NBUDI NBUDI XIJDI JNQMJFT γ = 2
USFF
‫ސ‬MPPQ
‫ޑ‬MPPQ
‫ޒ‬MPPQ
‫ޓ‬MPPQ
a1
‫ސސ‬
‫ޒސ‬
‫ޔސ‬
‫ޖސ‬
‫ޘސ‬
a2
a3
a4
a5
‫ޑޑ‬
‫ޒޒ ޓޑ‬
‫ޓޓ ޔޒ ޕޑ‬
‫ޕޓ ޖޒ ޗޑ‬
‫ޔޔ‬
7DEOH /LVW RI FRQWULEXWLRQV WR WKH /37 SRZHU VSHFWUXP DW WUHH RUGHU DQG YDULRXV ORRS RUGHUV 7KH FROXPQV FROOHFW WKH
WHUPV WKDW DUH HIIHFWLYHO\ LQFOXGHG E\ WKH WUDQVIHU IXQFWLRQ a1 a2 a3 a4 DQG a5 UHVSHFWLYHO\ )RU H[DPSOH WKLV VKRZV WKDW
W/37 FRQWDLQV DOO RI WKH ORRS WHUPV LQFOXGLQJ P15 DQG P24 HYHQ WKRXJK φ4 DQG φ5 DUH QRW FRPSXWHG H[SOLFLWO\ LQ φ3W/37 3FGFSFODFT
<> 1MBODL $PMMBCPSBUJPO FU BM "S9JW FQSJOUT <> 1MBODL $PMMBCPSBUJPO FU BM "S9JW FQSJOUT <> . "MWBSF[ FU BM <> 0 %PSF FU BM <> : ;FMEPWJDI "TUSPO"TUSPQIZT <> 1 + & 1FFCMFT 5IF MBSHF4DBMF 4USVDUVSF PG UIF 6OJWFSTF 1SJODFUPO 6OJWFSTJUZ 1SFTT
1SJODFUPO /+ Q <> ' #FSOBSEFBV 4 $PMPNCJ & (B[UBOBHB BOE 3 4DPDDJNBSSP 1IZT 3FQU <> . .D‫ތ‬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
-PDBMJ[JOH UIF CBSZPOT PO IBMP TDBMFT XJUI UIF
L4; F୭GFDU
"ঋজঝছঊঌঝ
8F VTF NJDSPXBWF UFNQFSBUVSF NBQT GSPN UXP TFBTPOT PG EBUB GSPN UIF "UBDBNB $PTNPM
PHZ 5FMFTDPQF "$51PM
BU ()[ UPHFUIFS XJUI UIF ‫؟‬$POTUBOU .BTT‫ ؠ‬$."44 HBMBYZ TBNQMF
GSPN UIF #BSZPO 0TDJMMBUJPO 4QFDUSPTDPQJD 4VSWFZ UP NFBTVSF UIF LJOFNBUJD 4VOZBFW;FM‫ؠ‬EPWJDI
L4;
F୭GFDU PWFS UIF SFETIJG୴ SBOHF z = 0.4 − 0.7 8F VTF HBMBYZ QPTJUJPOT BOE UIF DPOUJOVJUZ
FRVBUJPO UP PCUBJO B SFDPOTUSVDUJPO PG UIF MJOFPGTJHIU WFMPDJUZ ୮ୢFME 8F TUBDL UIF NJDSPXBWF
UFNQFSBUVSF BU UIF MPDBUJPO PG FBDI IBMP XFJHIUFE CZ UIF DPSSFTQPOEJOH SFDPOTUSVDUFE WFMPDJUZ
8F WBSZ UIF TJ[F PG UIF BQFSUVSF QIPUPNFUSZ ୮ୢMUFS VTFE UIVT QSPCJOH UIF GSFF FMFDUSPO QSP୮ୢMF
PG UIFTF IBMPT GSPN XJUIJO UIF WJSJBM SBEJVT PVU UP UISFF WJSJBM SBEJJ PO UIF TDBMFT SFMFWBOU GPS
JOWFTUJHBUJOH UIF NJTTJOH CBSZPOT QSPCMFN 5IF SFTVMUJOH CFTU ୮ୢU L4; NPEFM JT QSFGFSSFE PWFS
UIF OPL4; IZQPUIFTJT BU 3.3σ BOE 2.9σ GPS UXP JOEFQFOEFOU WFMPDJUZ SFDPOTUSVDUJPO NFUI
PET VTJOH 25, 537 HBMBYJFT PWFS 660 TRVBSF EFHSFFT 5IF EBUB TVHHFTUT UIBU UIF CBSZPO QSP୮ୢMF
JT TIBMMPXFS UIBO UIF EBSL NBUUFS JO UIF JOOFS SFHJPOT PG UIF IBMPT QSPCFE IFSF QPUFOUJBMMZ EVF
UP FOFSHZ JOKFDUJPO GSPN "(/ PS TVQFSOPWBF 5IVT CZ DPOTUSBJOJOH UIF HBT QSP୮ୢMF PO B XJEF
SBOHF PG TDBMFT UIJT UFDIOJRVF XJMM CF VTFGVM GPS VOEFSTUBOEJOH UIF SPMF PG GFFECBDL JO HBMBYZ
HSPVQT BOE DMVTUFST 5IF F୭GFDU PG GPSFHSPVOET UIBU BSF VODPSSFMBUFE XJUI UIF HBMBYZ WFMPDJUJFT JT
FYQFDUFE UP CF XFMM CFMPX PVS TJHOBM BOE SFTJEVBM UIFSNBM 4VOZBFW;FM‫ؠ‬EPWJDI DPOUBNJOBUJPO JT
DPOUSPMMFE CZ NBTLJOH UIF NPTU NBTTJWF DMVTUFST 'JOBMMZ XF EJTDVTT UIF TZTUFNBUJDT JOWPMWFE JO
DPOWFSUJOH PVS NFBTVSFNFOU PG UIF L4; BNQMJUVEF JOUP UIF NFBO GSFF FMFDUSPO GSBDUJPO PG UIF
IBMPT JO PVS TBNQMF
*গঝছঘ঍ঞঌঝ঒ঘগ
.FBTVSFNFOUT PG UIF BOJTPUSPQZ JO UIF $PTNJD .JDSPXBWF #BDLHSPVOE SBEJBUJPO $.#
UP
HFUIFS XJUI DPOTUSBJOUT GSPN #JH #BOH /VDMFPTZOUIFTJT BOE UIF -ZNBOα GPSFTU UJHIUMZ DPO
TUSBJO UIF UPUBM CBSZPO BCVOEBODF PG UIF 6OJWFSTF BU z 2
FTUJNBUFT UIBU BU z = 0
BCPVU 10% PG UIF CBSZPOT BSF GPVOE JO TUBST PS PUIFS OFVUSBM NFEJVN BOE UIBU UIF NBKPSJUZ
PG UIF SFTU JT UIPVHIU UP CF JO B XBSN EJ୭GVTF DPNQPOFOU DBMMFE UIF 8BSN)PU *OUFSHBMBDUJD
.FEJVN 8)*.
5IF 8)*. IBT B UZQJDBM UFNQFSBUVSF PG 105 − 107 , BOE JT MPDBUFE JO
UIF PVUTLJSUT PG HBMBDUJD IBMPT XIFSF JU JT UPP DPME BOE UPP EJ୭GVTF UP CF FBTJMZ PCTFSWBCMF XJUI
9SBZT PS UISPVHI UIF UIFSNBM 4VOZBFW;FM‫ؠ‬EPWJDI F୭GFDU U4;
5IF 8)*.‫ؠ‬T DPPMJOH UJNF JT
MPOHFS UIBO UIF )VCCMF UJNF TP UIBU JU EPFT OPU DPPM UP GPSN TUBST %VF UP UIF EJ୭୮ୢDVMUZ JO PC
TFSWJOH UIF 8)*. VTJOH DVSSFOU NFUIPET UIF TQBUJBM EJTUSJCVUJPO BOE BCVOEBODF PG CBSZPOT
JO UIF PVUTLJSUT PG HBMBYJFT BOE DMVTUFST JT TUJMM QPPSMZ DPOTUSBJOFE FTQFDJBMMZ GPS HSPVQTJ[FE PS
TNBMMFS PCKFDUT 0CTFSWBUJPOT PG IJHIMZ JPOJ[FE JPOT JO RVBTBS BCTPSQUJPO MJOFT QSPWJEF NPTU PG
UIF DVSSFOU PCTFSWBUJPOBM DPOTUSBJOUT PO JUT QSPQFSUJFT TFF BOE SFGFSFODFT UIFSFJO
5IF BQ
QSPBDI UIBU XF EFTDSJCF IFSF DPNQMFNFOUT UIFTF NFBTVSFNFOUT CZ USBDJOH UIF EJTUSJCVUJPO PG
GSFF FMFDUSPOT F୭GFDUJWFMZ USBDJOH UIF PWFSBMM CBSZPOJD EJTUSJCVUJPO BSPVOE HBMBYJFT
5IF LJOFNBUJD 4VOZBFW;FM‫ؠ‬EPWJDI L4;
F୭GFDU JT UIF TIJG୴ JO $.# QIPUPO FOFSHZ EVF UP
5IPNTPO TDBUUFSJOH P୭G DPIFSFOUMZ NPWJOH FMFDUSPOT "T XF EJTDVTT CFMPX UIF L4;
F୭GFDU EFQFOET MJOFBSMZ PO UIF MPDBM GSFF FMFDUSPO EFOTJUZ ne JT JOEFQFOEFOU PG UFNQFSBUVSF Te BOE JT UIFSFGPSF XFMMTVJUFE UP QSPCF UIF MPX EFOTJUZ BOE MPX UFNQFSBUVSF PVUTLJSUT PG HBMBYJFT
√
BOE DMVTUFST 5IJT TIPVME CF DPOUSBTUFE XJUI UIF 9SBZ TJHOBM ∝ n2e Te BOE UIF U4; TJHOBM ∝
ne Te XIJDI SFDFJWF UIFJS MBSHFTU DPOUSJCVUJPOT GSPN DMPTF UP UIF DMVTUFS DFOUFST 5IF JOUFHSBUFE
L4; TJHOBM JT QSPQPSUJPOBM UP UIF IBMP NBTT XIJMF UIF JOUFHSBUFE U4; TJHOBM TDBMFT BT B IJHIFS
QPXFS PG NBTT BCPVU M 5/3 #FDBVTF PG UIJT VOJRVF TDBMJOH UIF L4; F୭GFDU CFDPNFT MBSHFS UIBO
UIF U4; F୭GFDU GPS MD 2 × 1013 BU ()[ GPS B IBMP XJUI MJOFPGTJHIU WFMPDJUZ FRVBM UP
UIF % SNT
NBLJOH JU B VTFGVM QSPCF PG MPXFS NBTT HBMBYZ HSPVQT XIFSF UIF NJTTJOH CBSZPO
QSPCMFN JT UIPVHIU UP CF NPSF TFWFSF 'JOBMMZ L4; NFBTVSFNFOUT QSPCF UIF FMFDUSPO EFOTJUZ
QSP୮ୢMF EJSFDUMZ XJUIPVU TQFDUSPTDPQZ PS BTTVNQUJPOT PO UIF UFNQFSBUVSF QSP୮ୢMF "T B SFTVMU
UIF L4; TJHOBM JT IJHIMZ DPNQMFNFOUBSZ XJUI 9SBZ BOE U4; PCTFSWBUJPOT $PNCJOJOH UIFTF
TJHOBMT TIPVME QSPWJEF WBMVBCMF JOTJHIUT PO DMVTUFS QIZTJDT
5P MPXFTU PSEFS UIF L4; F୭GFDU JT B %PQQMFS TIJG୴ BOE UIFSFGPSF QSFTFSWFT UIF CMBDL CPEZ
GSFRVFODZ TQFDUSVN PG UIF $.# TJNQMZ TIJG୴JOH UIF CSJHIUOFTT UFNQFSBUVSF *O UFNQFSBUVSF
VOJUT UIF TIJG୴ ΔT kSZ (n̂) QSPEVDFE CZ UIF L4; F୭GFDU JT TPVSDFE CZ UIF GSFF FMFDUSPO NPNFOUVN
‫׹‬FME ne ve BOE JT HJWFO CZ
ΔT kSZ (n̂)
= −σT
TCMB
dχ −τ (χ)
ve
ne (χn̂, χ)
e
w n̂,
1+z
c
XIFSF σT JT UIF 5IPNTPO TDBUUFSJOH DSPTTTFDUJPO χ(z) JT UIF DPNPWJOH EJTUBODF UP SFETIJG୴ z
τ JT UIF PQUJDBM EFQUI UP 5IPNTPO TDBUUFSJOH ne BOE ve BSF UIF GSFF FMFDUSPO QIZTJDBM OVNCFS
EFOTJUZ BOE QFDVMJBS WFMPDJUZ BOE n̂ JT UIF MJOFPGTJHIU EJSFDUJPO EF୮ୢOFE UP QPJOU BXBZ GSPN
UIF PCTFSWFS "U MBUF UJNFT TPNF GSBDUJPO PG UIF FMFDUSPOT JO HBMBYJFT BOE DMVTUFST SFTJEFT JO UIF
OFVUSBM NFEJVN PS JO TUBST BOE DPNQBDU PCKFDUT BOE EPFT OPU UBLF QBSU JO UIF 5IPNTPO TDBU
UFSJOH UIBU HJWFT SJTF UP UIF L4; F୭GFDU 8F EF୮ୢOF fGSFF BT UIF GSBDUJPO PG GSFF FMFDUSPOT DPNQBSFE
UP UIF FYQFDUFE DPTNPMPHJDBM BCVOEBODF BOE OPUF UIBU UIF BNQMJUVEF PG UIF L4; TJHOBM JT EJ
SFDUMZ QSPQPSUJPOBM UP JU 5IF QSFDJTF WBMVF PG ffree JT VOLOPXO BOE JT FYQFDUFE UP EFQFOE PO
SFETIJG୴ BOE NBTT PCUBJOJOH JUT WBMVF JT POF PG UIF HPBMT PG QSFDJTJPO L4; NFBTVSFNFOUT 'PS BO
PCKFDU XJUI UPUBM NBTT CBSZPOJD QMVT EBSL NBUUFS
M200c XF FYQFDU GSPN &R ΔT kSZ ≈
−0.1μK ffree (MD /1013 M ) ve w n̂/300 LN T−1 XIFSF XF IBWF UBLFO UIF UZQJDBM % SNT
WFMPDJUZ BU z 0.5 UP CF 300 LN T−1 BOE IBWF EF୮ୢOFE M200c UP CF UIF NBTT DPOUBJOFE JO B
TQIFSJDBM WPMVNF XJUI NFBO EFOTJUZ UJNFT UIF DSJUJDBM EFOTJUZ BU UIF IBMP SFETIJG୴
5IF L4; TJHOBM JT DIBMMFOHJOH UP FYUSBDU GSPN UIF $.# CFDBVTF B HJWFO IBMP DBO DPOUSJCVUF
B QPTJUJWF PS OFHBUJWF TJHOBM XJUI FRVBM QSPCBCJMJUZ 5IF TJHOBM OFBSMZ DBODFMT JO B OB¯WF TUBDLJOH
PS DSPTTDPSSFMBUJPO BOBMZTJT 5P SFNFEZ UIJT B OVNCFS PG FTUJNBUPST IBWF CFFO QSPQPTFE 5IF ୮ୢSTU FWJEFODF GPS UIF L4; TJHOBM XBT SFQPSUFE JO CZ VTJOH UIF QBJSXJTF WFMPDJUZ NFUIPE
JF UIF GBDU UIBU PO BWFSBHF QBJST PG HBMBYJFT BSF NPWJOH UPXBSE SBUIFS UIBO BXBZ GSPN FBDI
PUIFS 5IF 1MBODL UFBN QFSGPSNFE B TJNJMBS BOBMZTJT JO BOE GPVOE FWJEFODF GPS UIF QBJSXJTF
TJHOBM BU 1.8 − 2.5σ )FSF XF CVJME VQPO UIF XPSL PG OPUJOH UIBU JG XF IBWF JOEF
QFOEFOU JOGPSNBUJPO PO UIF QFDVMJBS WFMPDJUZ XF DBO XFJHIU IBMPT CZ UIFJS WFMPDJUJFT BOE BWPJE
UIF DBODFMMBUJPO 4VDI FTUJNBUFT GPS UIF HBMBYZ WFMPDJUJFT DBO CF PCUBJOFE GSPN UIF HBMBYZ PWFS
EFOTJUZ ୮ୢFME CZ VTJOH UIF MJOFBSJ[FE DPOUJOVJUZ FRVBUJPO BT EFTDSJCFE CFMPX
BOE VTF B TJNJMBS BQQSPBDI XJUI UIF 1MBODL EBUB UP NFBTVSF UIF L4; TJHOBM GSPN B IBMPT
BU SFETIJG୴ z 0.1 USBDFE CZ B TBNQMF PG DFOUSBM HBMBYJFT GSPN 4%44 %3 5IFZ DPSSFMBUFE UIF
SFDPOTUSVDUFE WFMPDJUZ XJUI UIF NFBTVSFE UFNQFSBUVSF BU TFQBSBUJPOT SBOHJOH GSPN 10 UP 150
.QD ୮ୢOEJOH FWJEFODF GPS UIF L4; F୭GFDU BU 3−3.7σ 5IF MBSHF BSFB PG UIF 1MBODL TVSWFZ BMMPXFE
UP NFBTVSF UIF DPSSFMBUFE NPUJPO PG CBSZPOT PO MBSHF TDBMFT BOE MBSHF BQFSUVSFT 5 − 18 *O UIJT MFUUFS XF JOTUFBE GPDVT PO UIF QSP୮ୢMF PG FMFDUSPOT BTTPDJBUFE XJUI UIF IBMPT CZ DPS
SFMBUJOH UIF SFDPOTUSVDUFE WFMPDJUJFT XJUI UIF NFBTVSFE UFNQFSBUVSF BU UIF TBNF MPDBUJPO 8F
WBSZ UIF BQFSUVSF 1 − 4.5 PO QIZTJDBM TDBMFT SFMFWBOU GPS JOWFTUJHBUJOH UIF ‫آ‬NJTTJOH CBSZPO‫أ‬
QSPCMFN BOE UIF F୭GFDU PG GFFECBDL GSPN XJUIJO UIF WJSJBM SBEJVT PVU UP UISFF WJSJBM SBEJJ
8F VTF $.# EBUB GSPN UIF "UBDBNB $PTNPMPHZ 5FMFTDPQF "$51PM
UPHFUIFS XJUI JOEJ
WJEVBM WFMPDJUZ FTUJNBUFT GPS UIF $."44 DBUBMPH PG UIF #BSZPO 0TDJMMBUJPO 4QFDUSPTDPQJD 4VSWFZ
#044
%3 UP QSPWJEF FWJEFODF GPS UIF L4; TJHOBM XJUI TJHOBM UP OPJTF SBUJP S/N = 3.3
BOE 2.9 GPS UIF UXP JOEFQFOEFOU SFDPOTUSVDUJPO NFUIPET VTFE
(ঊকঊডঢ জঊখঙক঎
$."44 HBMBYJFT IBWF SFETIJG୴T CFUXFFO 0.4 BOE 0.7 zNFEJBO = 0.57
" IJHI GSBDUJPO ∼
85%
PG UIFTF HBMBYJFT SFTJEFT BU UIF DFOUFS PG HBMBYZ HSPVQT PS DMVTUFST XJUI NFBO UPUBM IBMP
NBTT PG 2 × 1013 M 5IF UZQJDBM P୭GTFU CFUXFFO UIF HBMBYZ QPTJUJPO BOE UIF IBMP DFOUFS PG NBTT JT FTUJNBUFE UP
CF 0.2 NVDI TNBMMFS UIBO UIF 1.4 CFBN PG UIF UFNQFSBUVSF NBQ 5IJT NBLFT $."44
HBMBYJFT FYDFMMFOU USBDFST PG UIF DFOUFS PG UIFJS IPTU IBMP
8F VTF QVCMJDMZ BWBJMBCMF HBMBYZ TUFMMBS NBTT FTUJNBUFT PCUBJOFE CZ ୮ୢUUJOH B TUFMMBS QPQV
MBUJPO TZOUIFTJT NPEFM UP UIF PCTFSWFE CSPBECBOE TQFDUSBM FOFSHZ EJTUSJCVUJPO 4&%
PG FBDI
$."44 HBMBYZ 5IFTF TUFMMBS NBTTFT SBOHF GSPN 1011 M UP 1012 M XJUI B NFBO NBTT PG
2 × 1011 M 5IF JOEJWJEVBM TUFMMBS NBTT FTUJNBUFT BSF DPOWFSUFE UP UPUBM NBTTFT GPS UIF IPTU
IBMPT GPMMPXJOH TFF BMTP "TTVNJOH DPTNPMPHJDBM CBSZPO BCVOEBODF GSPN #JH #BOH /V
DMFPTZOUIFTJT PS $.# XF DPOWFSU FBDI IBMP NBTT JOUP CBSZPO NBTT 8F BTTVNF UIBU UIFTF
CBSZPOT IZESPHFO BOE IFMJVN XJUI QSJNPSEJBM BCVOEBODF BSF GVMMZ JPOJ[FE XIJDI BM
MPXT VT UP DPOWFSU UIF CBSZPO NBTT JOUP UIF OVNCFS PG GSFF FMFDUSPOT 5IJT ZJFMET BO FTUJNBUF
GPS UIF PQUJDBM EFQUI UP 5IPNTPO TDBUUFSJOH τi PG FBDI DMVTUFS i /PUF UIBU UIFTF JOGFSSFE PQ
UJDBM EFQUIT BSF SFMBUFE CZ B GBDUPS PG 1/ffree UP UIF USVF POFT TJODF QBSU PG UIF FMFDUSPOT BSF JO
UIF OFVUSBM NFEJVN 5IJT JT UBLFO JOUP BDDPVOU DPOTJTUFOUMZ JO UIF BOBMZTJT " UPUBM PG 25, 537
HBMBYJFT PWFSMBQ XJUI UIF "$51PM NBQ BOE BSF JODMVEFE JO UIF BOBMZTJT
7঎কঘঌ঒ঝঢ ছ঎ঌঘগজঝছঞঌঝ঒ঘগ
" SFDPOTUSVDUFE WFMPDJUZ ୮ୢFME DBO CF JOGFSSFE GSPN UIF PCTFSWFE HBMBYZ OVNCFS PWFSEFOTJUZ δg
CZ TPMWJOH UIF MJOFBSJ[FE DPOUJOVJUZ FRVBUJPO JO SFETIJG୴ TQBDF ∇ w v + f ∇ w [(v w n̂) n̂] = −aHf
δg
b
XIFSF f = d ln δ/d ln a JT UIF MPHBSJUINJD MJOFBS HSPXUI SBUF )FSF XF BTTVNFE UIBU UIF HBMBYZ
PWFSEFOTJUZ δg JT SFMBUFE UP UIF UPUBM NBUUFS PWFSEFOTJUZ δ CZ B MJOFBS CJBT GBDUPS b TVDI UIBU δg =
b δ XJUI b FTUJNBUFE GSPN UIF BVUPDPSSFMBUJPO PG UIF HBMBYZ DBUBMPH JUTFMG
8F VTF UXP EJ୭GFSFOU JNQMFNFOUBUJPOT PG UIF WFMPDJUZ SFDPOTUSVDUJPO UIF ୮ୢSTU POF JT VTFE
JO UIF #044 BOBMZTJT GPS UIF QVSQPTF PG #BSZPO "DPVTUJD 0TDJMMBUJPO QFBL SFDPOTUSVDUJPO 5IF TFDPOE POF BQQMJFT B 8JFOFS ୮ୢMUFS UP UIF HBMBYZ OVNCFS EFOTJUZ ୮ୢFME 8F SFGFS UP UIF UXP
NFUIPET BT 73 BOE 73 SFTQFDUJWFMZ #PUI JNQMFNFOUBUJPOT BSF UFTUFE PO #044 NPDL DBUB
MPHT XJUI SFBMJTUJD NBTL BOE TFMFDUJPO GVODUJPO CZ DPNQBSJOH UIF ‫؟‬USVF‫ ؠ‬BOE SFDPOTUSVDUFE WFMPD
JUJFT 6TJOH UIF 15)BMPT %3 NPDL DBUBMPHT XF ୮ୢOE B DPSSFMBUJPO DPF୭୮ୢDJFOU CFUXFFO USVF
BOE SFDPOTUSVDUFE WFMPDJUJFT PG r 0.65 BOE 0.67 BOE B NVMUJQMJDBUJWF CJBT σvSFD /σvUSVF PG BOE GPS 73 BOE 73 SFTQFDUJWFMZ
.঒ঌছঘঠঊট঎ ঝ঎খঙ঎ছঊঝঞছ঎ খঊঙজ
8F VTF B NBQ PG UIF NJDSPXBWF JOUFOTJUZ BU 146 ()[ GSPN "$51PM B QPMBSJ[BUJPO TFOTJUJWF SF
DFJWFS PO UIF TJY NFUFS "UBDBNB $PTNPMPHZ 5FMFTDPQF JO $IJMF 0VS NBQ DPWFST BQQSPYJNBUFMZ
13◦ JO EFDMJOBUJPO BSPVOE UIF DFMFTUJBM FRVBUPS GSPN SJHIU BTDFOTJPO −10◦ UP 40◦ BOE DPN
CJOFT PCTFSWBUJPOT GSPN "$5 TFBTPO BOE BOE EBUB
BOE "$51PM TFBTPO BOE
BOE EBUB
5IF F୭GFDUJWF CFBN GVMMXJEUI BU IBMGNBYJNVN '8).
JT 1.4 BOE
UIF NBQ OPJTF MFWFM JT BQQSPYJNBUFMZ 14μ, w BSDNJO BMUIPVHI JU WBSJFT GSPN 10μ, w BSDNJO UP
16μ, w BSDNJO BDSPTT UIF NBQ
"O BQFSUVSF QIPUPNFUSZ "1
୮ୢMUFS JT BQQMJFE BU UIF QPTJUJPO PG FBDI HBMBYZ BOE ZJFMET B
OPJTZ FTUJNBUF δTi PG UIF L4; TJHOBM GSPN UIF IPTU IBMP "QQMZJOH UIF "1 ୮ୢMUFS DPOTJTUT JO BW
FSBHJOH UIF WBMVF PG UIF QJYFMT XJUIJO B EJTL PG SBEJVT θdisk BOE TVCUSBDUJOH UIF BWFSBHF PG UIF
QJYFMT JO BO BEKBDFOU FRVBM BSFB SJOH XJUI FYUFSOBM SBEJVT θring =
√
2θdisk 5IJT FTUJNBUF JT
EPNJOBUFE CZ QSJNBSZ $.# ୯୳VDUVBUJPOT GPS BQFSUVSF SBEJJ MBSHFS UIBO 2 BOE NBQ OPJTF GPS
BQFSUVSF SBEJJ TNBMMFS UIBO 2 BOE JT BMTP B୭GFDUFE CZ U4; HBMBDUJD FNJTTJPO BOE PUIFS GPSF
HSPVOET )PXFWFS BMM UIFTF DPOUBNJOBOUT BSF VODPSSFMBUFE XJUI UIF DMVTUFS MJOFPGTJHIU WF
MPDJUZ BOE BSF FYQFDUFE UP BWFSBHF PVU PODF XFJHIUFE CZ UIF SFDPOTUSVDUFE WFMPDJUJFT UIBU IBWF
BMUFSOBUJOH TJHO *G UIF FMFDUSPO EFOTJUZ QSP୮ୢMF XFSF LOPXO BO PQUJNBM MJOFBS ୮ୢMUFS DPVME CF BQ
QMJFE %VF UP UIF MBSHF VODFSUBJOUZ JO UIF QSP୮ୢMF UIF NBUDIFE ୮ୢMUFS DBO CF IJHIMZ
CJBTFE JG UIF BTTVNFE QSP୮ୢMF JT JODPSSFDU TP XF QSFGFS UIF BQFSUVSF QIPUPNFUSZ ୮ୢMUFS JO UIJT
BOBMZTJT
"গঊকঢজ঒জ
'PS FBDI PCKFDU JO PVS TBNQMF XF EF୮ୢOF JUT 5IPNTPO PQUJDBM EFQUI FTUJNBUF BT τi BOE JUT SF
DPOTUSVDUFE WFMPDJUZ QSPKFDUFE JO UIF MJOFPGTJHIU n̂ EJSFDUJPO BT vrec,i 8F EF୮ୢOF B OVNCFS α
BT UIF CFTU ୮ୢU TMPQF JO UIF SFMBUJPO CFUXFFO UIF FYQFDUFE TJHOBM τi vrec,i BOE UIF NFBTVSFE L4;
TJHOBM
vrec,i
δTi
= −α τi
.
TCMB
c
'JOEJOH α DPOTJTUFOU XJUI [FSP NFBOT OP EFUFDUJPO PG UIF L4; F୭GFDU XIJMF ୮ୢOEJOH α PG PS
EFS VOJUZ XIFO UIF ୮ୢMUFS TJ[F JT MBSHF FOPVHI UP FODPNQBTT UIF XIPMF DMVTUFS DPSSFTQPOET UP B
OVNCFS PG GSFF FMFDUSPOT DPOTJTUFOU XJUI UIF DPTNPMPHJDBM BCVOEBODF 8IJMF α JT EJSFDUMZ QSP
QPSUJPOBM UP UIF GSBDUJPO PG GSFF FMFDUSPOT ffree XJUIJO UIF ୮ୢMUFS UIF QSPQPSUJPOBMJUZ DPF୭୮ୢDJFOU
JT B OPOUSJWJBM GVODUJPO PG TFWFSBM WBSJBCMFT TVDI BT UIF ୮ୢMUFS TJ[F BOE TIBQF UIF CBSZPO QSP୮ୢMF
UIF VODFSUBJOUJFT JO NBTT BOE WFMPDJUZ FUD
"DDPVOUJOH GPS UIFTF F୭GFDUT JT SFRVJSFE JO PSEFS UP
DPOTUSBJO fGSFF GSPN PVS NFBTVSFNFOU CVU JT OPU OFDFTTBSZ GPS UIF QVSQPTF PG EFUFDUJPO
'PS FBDI BQFSUVSF TJ[F θdisk UIF CFTU ୮ୢU WBMVF PG α JT PCUBJOFE CZ NJOJNJ[JOH
(δTi /TCMB + α τi vrec,i /c)2
σi2
i
,
XIFSF UIF TVN SVOT PWFS BMM PCKFDUT JO PVS TBNQMF BOE σi2 JT UIF WBSJBODF PG UIF ୮ୢMUFS PVUQVU
δTi DBVTFE CZ QSJNBSZ $.# ୯୳VDUVBUJPOT BOE OPJTF 5IF JOWFSTFWBSJBODF XFJHIUJOH ∝ 1/σi2
FNQIBTJ[FT UIF IBMPT UIBU GBMM PO MFTT OPJTZ QBSUT PG UIF $.# NBQ 5IF UFNQFSBUVSF NBQ JT TQMJU
JOUP UISFF QBUDIFT XJUI SPVHIMZ VOJGPSN FYQPTVSF UJNF BOE OPJTF MFWFM 8F FTUJNBUF σi PO FBDI
QBUDI BT UIF TUBOEBSE EFWJBUJPO PG UIF BQFSUVSF QIPUPNFUSZ UFNQFSBUVSFT NFBTVSFE PO UIBU
QBUDI .JOJNJ[JOH &R ZJFMET UIF CFTU ୮ୢU α
α=−
i
(δTi /TCMB ) (τi vrec,i /c) /σi2
.
2
2
i (τi vrec,i /c) /σi
8F SFQFBU UIJT BOBMZTJT GPS WBSJPVT BQFSUVSF SBEJJ 5IF CFTU ୮ୢU DPF୭୮ୢDJFOU α JT TIPXO BT B GVOD
UJPO PG "1 ୮ୢMUFS SBEJVT θdisk JO 'JH 5IF WBSJPVT NFBTVSFNFOUT PG α GPS EJ୭GFSFOU θdisk BSF
DPSSFMBUFE TJODF UIF EBUB GPS B TNBMMFS θdisk JT B TVCTFU PG UIF EBUB GPS B MBSHFS θdisk *O PSEFS UP FT
UJNBUF UIF DPWBSJBODF NBUSJY CFUXFFO UIF α GPS UIF WBSJPVT θEJTL XF SFQFBU UIF BOBMZTJT BCPWF PO
NPDL $.# NBQT XIJDI JODMVEF JOIPNPHFOFPVT OPJTF EVF UP UIF TQBUJBMMZ WBSZJOH EFQUI
PG PCTFSWBUJPO BT XFMM BT UIF PCTFSWFE QPXFS TQFDUSVN PG GPSFHSPVOET 5IJT NFUIPE IBT UIF
BEWBOUBHF PG QSFTFSWJOH UIF DPSSFMBUJPOT JO QPTJUJPO BOE WFMPDJUZ GPS UIF #044 PCKFDUT BT XFMM
BT UIF SFTJEVBM $.# DPSSFMBUJPOT BOE UIF PDDBTJPOBM PWFSMBQ CFUXFFO UIF "1 ୮ୢMUFST 5IF DPWBSJ
)FSF ‫؟‬OPJTF‫ ؠ‬JT UBLFO UP JODMVEF OPU POMZ EFUFDUPS OPJTF CVU BMM PUIFS F୭GFDUT UIBU BSF VODPSSFMBUFE XJUI UIF
TJHOBM TVDI BT ୯୳VDUVBUJPOT JO UIF BUNPTQIFSF BOE HBMBDUJD BOE FYUSBHBMBDUJD GPSFHSPVOET
BODF NBUSJY JT TIPXO JO UIF CPUUPN QBOFM PG 'JH 5IF $."44 IBMPT IBWF B UZQJDBM BOHVMBS TJ[F PG θWJS = 1.4 XIJMF UIF "$51PM CFBN JT
σCFBN = 0.6 DPSSFTQPOEJOH UP B '8). PG 1.4 (JWFO UIF NFBTVSFNFOU VODFSUBJOUJFT JU
JT SFBTPOBCMF UP BQQSPYJNBUF UIF QSPKFDUFE FMFDUSPO QSP୮ୢMF CZ B (BVTTJBO PG TUBOEBSE EFWJBUJPO
-
2
2
θWJS
+ σCFBN
= 1.5 'SPN UIJT (BVTTJBO QSP୮ୢMF XF QSFEJDU UIF UFNQMBUF GPS α BT B GVODUJPO
PG θEJTL CZ BQQMZJOH UIF DPSSFTQPOEJOH "1 ୮ୢMUFST UP UIF (BVTTJBO QSP୮ୢMF *OUVJUJWFMZ GPS TNBMM
θEJTL UIF DMVTUFS L4; TJHOBM DPOUSJCVUFT UP UIF EJTL BOE UIF SJOH PG UIF "1 ୮ୢMUFS XIJDI MFBET UP B
DBODFMMBUJPO 'PS MBSHF θEJTL UIF DMVTUFS TJHOBM JT FOUJSFMZ JODMVEFE JO UIF EJTL PG UIF "1 ୮ୢMUFS BOE
UIF UFNQMBUF HPFT UP VOJUZ 5IF EBTIFE MJOFT JO 'JH DPSSFTQPOE UP UIJT UFNQMBUF BG୴FS ୮ୢUUJOH
GPS BO PWFSBMM NVMUJQMJDBUJWF BNQMJUVEF 8F RVBOUJGZ UIF TUBUJTUJDBM TJHOJ୮ୢDBODF QSFGFSFODF PG
UIF L4; NPEFM PWFS UIF ‫آ‬OP L4; IZQPUIFTJT‫ أ‬BT S/N =
-
Δχ2 =
-
χ2null − χ2bf XIFSF
χ2null BOE χ2bf SFGFS UP UIF χ2 TUBUJTUJDT BQQMJFE UP UIF OVMM IZQPUIFTJT BOE UIF CFTU ୮ୢU SFTQFDUJWFMZ
5IFTF XFSF DPNQVUFE VTJOH UIF GVMM DPWBSJBODF NBUSJY BDDPVOUJOH GPS UIF DPSSFMBUJPO CFUXFFO
UIF EJ୭GFSFOU BQFSUVSFT 8F DIFDLFE UIBU OVNFSJDBM DPOWFSHFODF FSSPST PO UIF DPWBSJBODF NBUSJY
B୭GFDU UIF
Δχ2 WBMVF CZ MFTT UIBO 5% 5IJT TJHOBM UP OPJTF SBUJP JT UIF JOWFSTF PG UIF SFMBUJWF
VODFSUBJOUZ PO UIF CFTU୮ୢU BNQMJUVEF 8F NFBTVSF UIF L4; TJHOBM XJUI S/N = 3.3 GPS 73
BOE 2.9 GPS 73 XJUI DPOTJTUFOU BNQMJUVEFT 'PS DPNQBSJTPO UIF SFE MJOF JO 'JH TIPXT UIF
FYQFDUFE TJHOBM BTTVNJOH UIBU UIF HBT JT GVMMZ JPOJ[FE BOE USBDFT UIF EBSL NBUUFS QFSGFDUMZ 8F
BTTVNFE BO /'8 QSP୮ୢMF USVODBUFE BU 1.5RWJS ҆ XIJDI XF QSPKFDUFE BMPOH UIF MJOF PG TJHIU DPO
WPMWFE XJUI UIF CFBN BOE UP XIJDI XF BQQMJFE UIF BQFSUVSF QIPUPNFUSZ ୮ୢMUFST
҆
8F IBWF DIFDLFE UIBU UIF SFTVMU XJUIJO RWJS JT WFSZ NVDI JOEFQFOEFOU PG UIF USVODBUJPO SBEJVT
0.05
α
0.00
−0.05
−0.10
Mean of 500 mock CMB maps
VR1, χ2null /ν = 10.0/7, pte= 0.19
VR2, χ2null /ν = 6.8/7, pte= 0.45
−0.15
0.05
α
0.00
−0.05
−0.10
−0.15
Mean of 500 velocity shufflings
VR1, χ2null /ν = 8.0/7, pte= 0.33
VR2, χ2null /ν = 4.6/7, pte= 0.71
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
θdisk [arcmin]
)LJXUH 7RS SDQHO 0HDQ RI QXOO WHVWV REWDLQHG E\ UHSODFLQJ WKH $&73RO PDS E\ D PRFN &0% PDS
%RWWRP SDQHO 0HDQ RI QXOO WHVWV REWDLQHG E\ VKXIćLQJ WKH UHFRQVWUXFWHG YHORFLWLHV DPRQJ WKH &0$66 REMHFWV
%RWK SDQHOV VKRZ WKDW WKH N6= VLJQDO LV RQO\ GHWHFWHG ZKHQ DQDO\]LQJ WKH WUXH $&73RO PDS DQG ZKHQ DVVLJQLQJ WKH FRUUHFW
YHORFLW\ WR HDFK FOXVWHU
.BTLJOH PCKFDUT XJUI M200 > 1014 M UPHFUIFS XJUI B 1 SFHJPO BSPVOE UIFN JT TV୭୮ୢDJFOU UP
MJNJU UIF U4; DPOUBNJOBUJPO UP MFTT UIBO ॎ PG UIF TUBUJTUJDBM VODFSUBJOUZ PO α 5IJT SFNPWFT
PCKFDUT GPS UIF TNBMMFTU "1 TJ[F
UP PCKFDUT GPS UIF MBSHFTU "1 TJ[F
GSPN UIF BOBMZTJT
8F BTTFTT UIF BNQMJUVEF PG FYUSBHBMBDUJD UIFSNBM EVTU DPOUBNJOBUJPO GSPN UIFTF IBMPT CZ
TUBDLJOH UIF $.# NBQ XJUI VOJGPSN XFJHIU
BU UIF PCKFDU QPTJUJPOT 5IJT NFBTVSFT UIF TVN
PG UIF EVTU FNJTTJPO BOE U4; DPOUBNJOBUJPO 'PS UIF MPXFS NBTT IBMPT UIF TJHOBM JT DPOTJTUFOU
XJUI [FSP BOE XJMM UIFSFGPSF CF OFHMJHJCMF XIFO XFJHIUJOH CZ BMUFSOBUJOH TJHO WFMPDJUJFT 'PS UIF
NPSF NBTTJWF IBMPT XF NFBTVSF BO PWFSBMM EFDSFNFOU NFBOJOH UIBU EVTU FNJTTJPO JT TVCEPN
JOBOU UP U4; XIJDI XF DPOUSPM CZ NBTLJOH UIF NPTU NBTTJWF IBMPT 5IFSFGPSF EVTU FNJTTJPO JT
OPU FYQFDUFE UP CF B TJHOJ୮ୢDBOU DPOUBNJOBOU
҇
0VS BOBMZTJT QJQFMJOF JT UFTUFE PO SFBMJTUJD NPDL L4; SFBMJ[BUJPOT B L4; UFNQMBUF JT PCUBJOFE
CZ QPQVMBUJOH #044 NPDL DBUBMPHT 15)BMPT %3 PG HBMBYZ QPTJUJPOT BOE WFMPDJUJFT XJUI
(BVTTJBO DMVTUFS QSP୮ୢMFT BOE UIFO BEEFE UP UIF $.# NBQ XIJDI QSPWJEFT UIF DPSSFDU OPJTF
MFWFM 5IFTF NPDL NBQT BSF UIFO BOBMZ[FE UIF TBNF XBZ BT UIF SFBM EBUB CZ VTJOH CPUI UIF ‫؟‬SFBM‫ؠ‬
BOE ‫؟‬SFDPOTUSVDUFE‫ ؠ‬WFMPDJUJFT PCUBJOJOH DPOTJTUFOU SFTVMUT 5IF MPTT JO TJHOBMUPOPJTF XIFO
VTJOH UIF SFDPOTUSVDUFE SBUIFS UIBO UIF SFBM WFMPDJUJFT JT FRVBM UP UIF DPSSFMBUJPO DPF୭୮ୢDJFOU r
BT FYQFDUFE 8F FTUJNBUF UIF F୭GFDU PG DMVTUFS NJTDFOUFSJOH CZ BEEJOH BO P୭GTFU PG 0.2 XIJDI JT
SPVHIMZ UIF FYQFDUFE SNT NJTDFOUFSJOH UP UIF DMVTUFS DFOUFST JO UIF NPDLT 5IJT MFBET UP
MFTT UIBO ॎ DIBOHF JO α
*গঝ঎ছঙছ঎ঝঊঝ঒ঘগ
8F IBWF QSFTFOUFE FWJEFODF GPS UIF L4; TJHOBM XJUI PWFSBMM S/N 3 8F EF୮ୢOFE B DPF୭୮ୢDJFOU
α BT UIF CFTU ୮ୢU QSPQPSUJPOBMJUZ DPOTUBOU CFUXFFO UIF "1 ୮ୢMUFS PVUQVU BOE UIF FYQFDUFE L4;
TJHOBM 5IJT OVNCFS α DBO POMZ CF JOUFSQSFUFE BT UIF GSFF FMFDUSPO GSBDUJPO fGSFF JG BMM PG UIF FMFD
USPOT BTTPDJBUFE XJUI FBDI DMVTUFS BSF XJUIJO UIF ୮ୢMUFS BQFSUVSF JG UIFSF JT OP F୭GFDU GSPN HBMBYZ
PWFSMBQ JG BMM UIF HBMBYJFT JO PVS TBNQMF BSF DFOUSBM HBMBYJFT BOE JG CPUI UIF WFMPDJUJFT BOE NBTTFT
BSF LOPXO FYBDUMZ 5IJT JT DMFBSMZ OPU UIF DBTF IFSF TP UIF QIZTJDBM JOUFSQSFUBUJPO PG α JT OPU
TUSBJHIUGPSXBSE 8F OPX CSJF୯୳Z EJTDVTT UIFTF F୭GFDUT XIJDI EFUFSNJOF UIF SFMBUJPOTIJQ CFUXFFO
α BOE ffree BOE EFGFS B DBSFGVM BOE JOEFQUI BOBMZTJT PG UIFTF F୭GFDUT UP VQDPNJOH XPSL
҇
(BMBDUJD EVTU BOE UIF CVML PG UIF $PTNJD *OGSBSFE #BDLHSPVOE $*#
FNJTTJPO BSF VODPSSFMBUFE XJUI UIF
$."44 HBMBYZ QPTJUJPOT BOE UIFSFGPSF BSF POMZ BO BEEJUJPOBM TPVSDF PG OPJTF XIJDI JT JODMVEFE JO UIF DPWBSJBODF
NBUSJY 5IF %PQQMFS CPPTUFE EVTU FNJTTJPO GSPN UIFTF HBMBYJFT JT DPSSFMBUFE XJUI UIF MJOFPGTJHIU WFMPDJUJFT BOE
XF FTUJNBUF JU UP CF TNBMMFS UIBO UIF L4; TJHOBM CZ B GBDUPS 10 − 100
*G UIF L4; FNJTTJPO GSPN UIF PCKFDU EPFT OPU FOUJSFMZ GBMM XJUIJO UIF JOOFS EJTL PG UIF "1
୮ୢMUFS QBSU PG UIF TJHOBM XJMM CF TVCUSBDUFE P୭G SFEVDJOH UIF PCTFSWFE WBMVF PG α 5IJT JT DMFBSMZ
WJTJCMF JO 'JHVSF GPS TNBMM θdisk UIF TJ[F PG UIF EJTL GPS θdisk 2 JT TNBMMFS UIBO UIF FYUFOU
PG UIF FNJTTJPO BOE UIF TJHOBM JT DBODFMMFE CZ UIF TVSSPVOEJOH SJOH 'PS MBSHF BQFSUVSFT θdisk XF
FYQFDU UIJT DBODFMMBUJPO UP EJTBQQFBS BOE α UP BTZNQUPUF UP ffree 5IF HBT TQBUJBM QSP୮ୢMF XPVME UIFO EFUFSNJOF UIF SBUF PG JODSFBTF PG α GSPN UP fGSFF *O GBDU
'JHVSF DBO CF UIPVHIU PG BT B QSPYZ GPS UIF BWFSBHF CBSZPO QSP୮ୢMF PG PVS TBNQMF )PXFWFS
UIF OPJTF GSPN QSJNBSZ $.# ୯୳VDUVBUJPOT BMTP JODSFBTFT XJUI θdisk NBLJOH JU EJ୭୮ୢDVMU UP EJTFO
UBOHMF UIF GSFF FMFDUSPO GSBDUJPO ffree GSPN UIF TQBUJBM TJ[F PG UIF DMVTUFS
"T BO JMMVTUSBUJPO 'JH DPNQBSFT PVS NFBTVSFNFOUT XJUI UIF FYQFDUFE TJHOBM JG UIF FMFD
USPO QSP୮ୢMF GPMMPXFE FYBDUMZ UIF EBSL NBUUFS QSP୮ୢMF SFE MJOF
8JUIJO UIF WJSJBM SBEJVT UIF EBUB
TVHHFTUT UIBU UIF FMFDUSPO QSP୮ୢMF JT MFTT TUFFQ UIBO UIF EBSL NBUUFS QSP୮ୢMF BOE POMZ JODMVEFT B
GSBDUJPO PG UIF DPTNPMPHJDBM BCVOEBODF PG CBSZPOT 5IJT JT OFX FWJEFODF GPS UIF NJTTJOH CBSZPO
QSPCMFN JOEFQFOEFOU PG BTUSPQIZTJDBM BTTVNQUJPOT BOE DPVME IJOU BU UIF QSFTFODF PG GFFE
CBDL QVTIJOH UIF HBT UP UIF PVUTLJSUT PG UIF IBMP 8IJMF XF BTTVNFE fGSFF = 1 GPS UIF FYQFDUFE
TJHOBM UIF RVBMJUBUJWF DPODMVTJPO PG B TIBMMPXFS PCTFSWFE QSP୮ୢMF TUJMM IPMET GPS BOZ SFBTPOBCMF
WBMVF PG fGSFF 'VSUIFS BXBZ GSPN UIF DFOUFS > 2RWJS PVS EBUB JT DPOTJTUFOU XJUI UIF GVMM DPT
NPMPHJDBM BCVOEBODF IPXFWFS PVS TUBUJTUJDBM QPXFS JT MJNJUFE CZ UIF TNBMM OVNCFS PG PWFS
MBQQJOH $."44 IBMPT "T UIF BSFB PG IJHI SFTPMVUJPO $.# NBQT JODSFBTFT UIJT NFUIPE XJMM
FWFOUVBMMZ QMBDF TUSPOH DPOTUSBJOUT PO UIF CBSZPO BCVOEBODF JO UIF PVUTLJSUT PG HBMBYJFT BOE
DMVTUFST
5IF SFDPOTUSVDUFE WFMPDJUJFT BSF CJBTFE MPX BOE BSF OPU ॎ DPSSFMBUFE XJUI UIF USVF WFMPD
JUJFT 5IFSFGPSF α EJ୭GFST GSPN ffree CZ BO BEEJUJPOBM GBDUPS PG rσvUSVF /σvSFD 1.02 GPS 73 BOE
0.97 GPS 73
BT DBO CF JOGFSSFE GSPN &R 8F VTF BO BWFSBHF TUFMMBS NBTT UP IBMP NBTT SFMBUJPO 5IF UZQJDBM JOUSJOTJD TDBUUFS JO UIJT SFMB
UJPO BT XFMM BT QPUFOUJBM FSSPST PO UIF TUFMMBS NBTT EFUFSNJOBUJPO DBO MFBE UP B CJBT JO α PG
VQ UP ∼ ॎ
5IF QSFTFODF PG FYUSB GSFF FMFDUSPOT XJUI DPSSFMBUFE WFMPDJUJFT VOCPVOE PS BTTPDJBUFE XJUI
B EJ୭GFSFOU DMVTUFS
XJUIJO B TJOHMF BQFSUVSF JT FYQFDUFE UP CJBT α IJHI 5IJT F୭GFDU DBO CF JOUFS
QSFUFE BT B IBMP UFSN JO UIF L4; DPSSFMBUJPO GVODUJPO XIFSF UIF QSFTFODF PG BEEJUJPOBM NBTT
DPSSFMBUFE XJUI UIF HBMBYJFT VTFE GPS TUBDLJOH DPOUSJCVUFT B TJHOBM BU MBSHF FOPVHI TFQBSBUJPOT
0ঞঝকঘঘঔ
"T UIF PWFSMBQ CFUXFFO MBSHFTDBMF TUSVDUVSF EBUBTFUT BOE IJHI TFOTJUJWJUZ $.# NBQT JODSFBTFT
UIF TJHOJ୮ୢDBODF PG L4; EFUFDUJPOT XJMM TFF B SBQJE JNQSPWFNFOU 'VUVSF TVSWFZT TVDI BT "E
WBODFE "$51PM BOE 415( TIPVME FOBCMF B GFX QFSDFOUMFWFM QSFDJTJPO L4; NFBTVSF
NFOU
$PNCJOFE XJUI B CFUUFS VOEFSTUBOEJOH PG UIF SFMBUJPOTIJQ CFUXFFO UIF PCTFSWFE TJHOBM BOE
UIF VOEFSMZJOH QIZTJDBM QSPQFSUJFT PG UIF TBNQMF UIFTF IJHITJHOJ୮ୢDBODF EFUFDUJPOT XJMM FOBCMF
B QSFDJTF NFBTVSFNFOU PG UIF GSFF FMFDUSPO GSBDUJPO BOE UIF CBSZPO QSP୮ୢMF PG UIF MPXEFOTJUZ
SFHJPOT JO UIF PVUTLJSUT PG HBMBYJFT BOE DMVTUFST XIJDI BSF TFOTJUJWF UP UIF GFFECBDL NFDIBOJTNT
BU QMBZ BOE BSF CFMJFWFE UP IPTU UIF NBKPSJUZ PG UIF HBT
5IFTF NFBTVSFNFOUT DBO CF QFSGPSNFE BT B GVODUJPO PG NBTT BOE SFETIJG୴ BOE DPNCJOFE
XJUI U4; BOE 9SBZ PCTFSWBUJPOT PG UIF TBNF PCKFDUT UP JOEFQFOEFOUMZ NFBTVSF EFOTJUZ BOE
UFNQFSBUVSF QSP୮ୢMFT 5IFTF NFBTVSFNFOUT XJMM TIFE OFX MJHIU PO HBMBYZ FWPMVUJPO BOE GFFE
CBDL QSPDFTTFT XJUIJO DMVTUFST XIJDI DBO CF VTFE UP JNQSPWF UIF DPTNPMPHJDBM DPOTUSBJOUT GSPN
DMVTUFS DPVOUT BOE PVS VOEFSTUBOEJOH PG UIF NBUUFS QPXFS TQFDUSVN PO TNBMM TDBMFT 0ODF UIF BTUSPQIZTJDBM RVBOUJUJFT BSF XFMMDIBSBDUFSJ[FE UIF L4; TJHOBM JUTFMG DBO BMTP CF VTFE
GPS B OVNCFS PG DPTNPMPHJDBM BQQMJDBUJPOT TVDI BT DPOTUSBJOJOH CVML ୯୳PXT QSPCJOH OFV
USJOP QIZTJDT BOE UFTUJOH HFOFSBM SFMBUJWJUZ 3FGFSFODFT
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©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ĄTLB BOE / ( (VTFWB "TUSPOPNZ "TUSPQIZTJDT " <> / 1BENBOBCIBO FU BM .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> . 7BSHBT.BHB±B 4 )P 4 'SPNFOUFBV BOE " + $VFTUB "S9JW FQSJOUT <> . .BOFSB FU BM .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> 4 %BT FU BM +$"1 <> 4 'FSSBSP BOE # )FOTMFZ .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> + 1 (SFDP + $ )JMM % / 4QFSHFM BOE / #BUUBHMJB "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> 4 8 )FOEFSTPO FU BM +PVSOBM PG -PX 5FNQFSBUVSF 1IZTJDT <> # " #FOTPO FU BM JO .JMMJNFUFS 4VCNJMMJNFUFS BOE 'BS*OGSBSFE %FUFDUPST BOE *O
TUSVNFOUBUJPO GPS "TUSPOPNZ 7** 7PM PG 1SPDFFEJOHT PG 41*& 16#-*4)&3 "%
%3&44 Q 1
<> . )BTTFM୮ୢFME FU BM +$"1 <> 1MBODL $PMMBCPSBUJPO FU BM "TUSPOPNZ "TUSPQIZTJDT " <> % ) 3VEE " 3 ;FOUOFS BOE " 7 ,SBWUTPW "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> , 0TBUP . 4IJSBTBLJ BOE / :PTIJEB "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> , .PEZ BOE " )BKJBO "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> 1MBODL $PMMBCPSBUJPO FU BM "TUSPOPNZ "TUSPQIZTJDT " <> &. .VFMMFS ' EF #FSOBSEJT 3 #FBO BOE . % /JFNBDL 1IZTJDT 3FW % <> " ,PTPXTLZ BOE 4 #IBUUBDIBSZB 1IZTJDT 3FW % <> &. .VFMMFS ' EF #FSOBSEJT 3 #FBO BOE . % /JFNBDL "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM
4
'JSTU %FUFDUJPO PG $PTNJD .JDSPXBWF
#BDLHSPVOE -FOTJOH BOE -ZNBOα 'PSFTU
#JTQFDUSVN
"ঋজঝছঊঌঝ
8F QSFTFOU UIF ୮ୢSTU EFUFDUJPO PG B DPSSFMBUJPO CFUXFFO UIF -ZNBOα GPSFTU BOE DPTNJD NJ
DSPXBWF CBDLHSPVOE $.#
HSBWJUBUJPOBM MFOTJOH 'PS FBDI -ZNBOα GPSFTU JO 4%44ୖ***#044
%3 XF DPSSFMBUF UIF POFEJNFOTJPOBM QPXFS TQFDUSVN XJUI UIF $.# MFOTJOH DPOWFSHFODF PO
UIF TBNF MJOF PG TJHIU GSPN 1MBODL 5IJT NFBTVSFNFOU DPOTUJUVUFT B QPTJUJPOEFQFOEFOU QPXFS
TQFDUSVN PS B TRVFF[FE CJTQFDUSVN BOE RVBOUJ୮ୢFT UIF OPOMJOFBS SFTQPOTF PG UIF -ZNBOα GPSFTU
QPXFS TQFDUSVN UP B MBSHFTDBMF PWFSEFOTJUZ 5IF TJHOBM JT NFBTVSFE BU σ BOE JT DPOTJTUFOU XJUI
UIF Λ$%. FYQFDUBUJPO 8F NFBTVSF UIF MJOFBS BOE OPOMJOFBS CJBTFT PG UIF -ZNBOα GPSFTU
XJUI SFTQFDU UP UIF EBSL NBUUFS EJTUSJCVUJPO 5IJT OFX PCTFSWBCMF QSPWJEFT B DPOTJTUFODZ DIFDL
GPS UIF -ZNBOα GPSFTU BT B MBSHFTDBMF TUSVDUVSF QSPCF BOE UFTUT PVS VOEFSTUBOEJOH PG UIF SFMB
UJPO CFUXFFO JOUFSHBMBDUJD HBT BOE EBSL NBUUFS *O UIF GVUVSF JU DPVME CF VTFE UP UFTU IZESPEZ
OBNJDBM TJNVMBUJPOT BOE DBMJCSBUF UIF SFMBUJPO CFUXFFO UIF -ZNBOα GPSFTU BOE EBSL NBUUFS
*গঝছঘ঍ঞঌঝ঒ঘগ
‫ތ‬VBTBST BSF CSJHIU MBOUFSOT UIBU JMMVNJOBUF UIF EBSL 6OJWFSTF BOE QSPCF UIF EJTUSJCVUJPO PG
HBT 5IF -ZNBOα GPSFTU PCTFSWFE JO UIFJS TQFDUSB SFWFBMT UIF QSFTFODF PG JOUFSWFOJOH OFVUSBM
IZESPHFO BCTPSCJOH MJHIU BU 1216 … *U IBT CFFO VTFE UP TUVEZ UIF UIFSNBM IJTUPSZ PG JOUFS
HBMBDUJD HBT BOE IZESPHFO SFJPOJ[BUJPO "TTVNJOH UIBU UIF ୯୳VY USBOTNJTTJPO JO UIF
-ZNBOα GPSFTU USBDFT UIF NBUUFS EFOTJUZ NBLFT JU B QPXFSGVM QSPCF PG UIF MBSHFTDBMF TUSVDUVSF
PG UIF 6OJWFSTF BU JOUFSNFEJBUF SFETIJG୴T PO B XJEF SBOHF PG TDBMFT 5IF POFEJNFOTJPOBM QPXFS
TQFDUSVN BMPOH UIF MJOF PG TJHIU QSPCFT UIF NBUUFS ୯୳VDUVBUJPOT PO UIF TNBMMFTU TDBMFT DPOTUSBJO
JOH UIF TVN PG OFVUSJOP NBTTFT NPEFMT PG XBSN EBSL NBUUFS BOE QSJNPSEJBM CMBDL
IPMF EBSL NBUUFS $PNCJOJOH EJ୭GFSFOU MJOFT PG TJHIU FOBCMFT QSPCJOH UIF UISFFEJNFOTJPOBM
QPXFS TQFDUSVN PO MBSHFS TDBMFT BOE QSPWJEFT B NFBTVSFNFOU PG UIF CBSZPOJD BDPVTUJD PT
DJMMBUJPOT #"0
BU IJHI SFETIJG୴ 5IF JOUFSQSFUBUJPO PG UIFTF SFTVMUT SFMZ PO UIF -ZNBOα USBOTNJTTJPO USBDJOH UIF VOEFSMZ
JOH NBUUFS EFOTJUZ ୮ୢFME *G UIF IZESPHFO JT JO QIPUPJPOJ[BUJPO FRVJMJCSJVN XJUI B VOJGPSN
67 CBDLHSPVOE BOE UIFSF JT OP PUIFS TPVSDFT PG FOUSPQZ UIFO UIF SFMBUJPOTIJQ JT EFTDSJCFE
BOBMZUJDBMMZ UISPVHI WBSJBUJPOT PG UIF ୯୳VDUVBUJOH (VOO1FUFSTPO BQQSPYJNBUJPO '(1" BOE JT FWBMVBUFE OVNFSJDBMMZ VTJOH IZESPEZOBNJDBM TJNVMBUJPOT )PXFWFS UIF DPOOFD
UJPO CFUXFFO -ZNBOα USBOTNJTTJPO BOE UIF VOEFSMZJOH NBUUFS EFOTJUZ JT DPNQMFY BOE OPO
MJOFBS *U JT B୭GFDUFE CZ UIF QSPYJNJUZ F୭GFDU PO UIF MBSHFTU TDBMFT CZ UIFSNBM CSPBEFOJOH +FBOT
TNPPUIJOH BOE OPOMJOFBS HSBWJUBUJPOBM FWPMVUJPO PO UIF TNBMMFTU TDBMFT BOE CZ UIF HBT FRVB
UJPO PG TUBUF UISPVHIPVU 'PS UIFTF SFBTPOT BOE JO UIF MJHIU PG UIF UFOTJPO CFUXFFO #"0 NFB
TVSFNFOUT GSPN UIF -ZNBOα GPSFTU BOE HBMBYJFT DPOTJTUFODZ DIFDLT GPS UIF MJOL CFUXFFO
-ZNBOα USBOTNJTTJPO BOE NBUUFS EFOTJUZ BSF WBMVBCMF
(SBWJUBUJPOBM MFOTJOH PG UIF DPTNJD NJDSPXBWF CBDLHSPVOE $.#
JT TPVSDFE CZ MBSHFTDBMF
TUSVDUVSFT MPDBUFE CFUXFFO UIF MBTU TDBUUFSJOH TVSGBDF BOE UIF PCTFSWFS BOE QSPWJEFT B NFBTVSF
NFOU PG UIF QSPKFDUFE EFOTJUZ PG NBUUFS *O UIJT QBQFS XF DSPTTDPSSFMBUF GPS UIF ୮ୢSTU UJNF UIF
QPXFS TQFDUSVN PG UIF ୯୳VY USBOTNJTTJPO JO UIF -ZNBOα GPSFTU PG RVBTBST XJUI $.# MFOTJOH UP
UFTU PVS VOEFSTUBOEJOH PG UIF SFMBUJPO CFUXFFO JOUFSHBMBDUJD HBT BOE EBSL NBUUFS
4JODF CPUI UIF $.# MFOTJOH DPOWFSHFODF BOE UIF NFBO -ZNBOα USBOTNJTTJPO QSPCF UIF
NFBO EFOTJUZ PO B HJWFO MJOF PG TJHIU JU JT OBUVSBM UP DPNQVUF UIFJS DSPTTTQFDUSVN )PXFWFS
UIF NFBO -ZNBOα USBOTNJTTJPO JT TUSPOHMZ B୭GFDUFE CZ DPOUJOVVN ୮ୢUUJOH JO UIF RVBTBS TQFD
USVN NBLJOH UIJT B DIBMMFOHJOH PCTFSWBCMF 'PS UIJT SFBTPO XF JOTUFBE DPSSFMBUF UIF $.# MFOT
JOH DPOWFSHFODF XJUI UIF TNBMMTDBMF -ZNBOα QPXFS TQFDUSVN PO UIF TBNF MJOF PG TJHIU 5IF
PSJHJO PG UIJT TJHOBM JT NPSF DPNQMFY BOE DPSSFTQPOET UP B QPTJUJPOEFQFOEFOU QPXFS TQFD
USVN PS B TRVFF[FE CJTQFDUSVN PG UIF NBUUFS EFOTJUZ 4JNQMZ QVU B QPTJUJWF $.# DPOWFS
HFODF DPSSFTQPOET UP BO PWFSEFOTF MJOF PG TJHIU PO UIJT MJOF PG TJHIU UIF NBUUFS QPXFS TQFDUSVN
JT FOIBODFE PO BMM TDBMFT EVF UP OPOMJOFBS FWPMVUJPO VOEFS HSBWJUZ TFF 'JH GPS B
)LJXUH 6FKHPDWLF RI WKH FRUUHODWLRQ RYHUGHQVH UHJLRQV UHVSHFWLYHO\ XQGHUGHQVH UHJLRQV LQ UHG RQ WKH WRS SDQHO EOXH
RQ WKH ERWWRP SDQHO KDYH SRVLWLYH QHJDWLYH &0% OHQVLQJ FRQYHUJHQFH DQG DUH H[SHFWHG WR SURGXFH PRUH OHVV VPDOO
VFDOH VWUXFWXUHV XQGHU QRQOLQHDU JUDYLWDWLRQDO HYROXWLRQ ZKLFK LV GHWHFWDEOH LQ WKH DPSOLWXGH RI WKH /\PDQα IRUHVW SRZHU
VSHFWUXP 7KH H[WHQW RI WKH DIRUHPHQWLRQHG UHJLRQV LV GHWHUPLQHG E\ WKH DQJXODU UHVROXWLRQ θ WF RI WKH :LHQHUĆOWHUHG
FRQYHUJHQFH PDS DQG GHSWK RI WKH OHQVLQJ HIĆFLHQF\ IXQFWLRQ ,Q WKLV DQDO\VLV ZH VHOHFW /\PDQα IRUHVWV LQ WKH UHGVKLIW UDQJH
2.1 − 3.6
TDIFNBUJD PG UIJT JEFB
5IJT CJTQFDUSVN XPVME UIFSFGPSF WBOJTI BU MJOFBS PSEFS JO UIF QFSUVS
CBUJPO UIFPSZ PG UIF EFOTJUZ ୮ୢFME XIFSF TIPSU BOE MPOH NPEFT BSF JOEFQFOEFOU *OTUFBE GPS B
OPOMJOFBS EFOTJUZ ୮ୢFME UIJT TJHOBM QSPCFT UIF SFTQPOTF PG UIF -ZNBOα QPXFS TQFDUSVN UP B
NFBO PWFSEFOTJUZ
5IJT NFUIPE XBT QSPQPTFE JO *O UIJT QBQFS XF QSFTFOU UIF ୮ୢSTU EFUFDUJPO PG UIJT TJH
OBM BOE QSPQPTF B OFX UIFPSFUJDBM EFTDSJQUJPO PG JU CBTFE PO UIF SFTQPOTF PG UIF NBUUFS QPXFS
TQFDUSVN UP B NFBO PWFSEFOTJUZ
5঑঎ঘছঢ
1d
8F BJN BU FWBMVBUJOH UIF DPWBSJBODF CFUXFFO UIF POFEJNFOTJPOBM QPXFS TQFDUSVN PLyα
(k ) PG
UIF -ZNBOα GPSFTU USBOTNJTTJPO PO POF MJOF PG TJHIU BOE UIF $.# DPOWFSHFODF κ PO UIF TBNF
MJOF PG TJHIU
5IF $.# MFOTJOH DPOWFSHFODF κ QSPCFT UIF MBSHFTDBMF NBUUFS EJTUSJCVUJPO BMPOH UIF MJOF
PG TJHIU 0VS FTUJNBUF κ̂ DPNFT GSPN $.# MFOTJOH SFDPOTUSVDUJPO BOE JT 8JFOFS୮ୢMUFSFE
TVDI UIBU κ̂ = Λκ ∗ κ + OPJTF "T B SFTVMU UIF FTUJNBUFE DPOWFSHFODF F୭GFDUJWFMZ QSPCFT UIF
NBTT EJTUSJCVUJPO XJUIJO B ‫آ‬DPOF‫ أ‬XIPTF MJOF PG TJHIU EJNFOTJPO JT EFUFSNJOFE CZ UIF MFOTJOH
F୭୮ୢDJFODZ LFSOFM Wκ (χ) = δκ/δ [δ(χ)] BOE XIPTF BOHVMBS TJ[F JT EFUFSNJOFE CZ UIF 8JFOFS
୮ୢMUFS Λκ 5IJT JT EFQJDUFE JO 'JH 8F TQMJU UIJT DPOF JOUP UIJO TMJDFT PG ୮ୢYFE DPNPWJOH EJTUBODF χ BOE UIJDLOFTT dχ 5IF WBSJ
BODF PG UIF EFOTJUZ ୮ୢFME δ̄(χ) BWFSBHFE PWFS UIJT UIJO TMJDF JT HJWFO CZ Var δ̄(χ) = σ 2 (χ)/dχ
TFF XJUI
2
σ (χ) =
d2 k⊥
2
2 |Λκ ( = χk⊥ )| PMJO (k⊥ , χ)
(2π)
XIFSF PMJO (k⊥ , χ) JT UIF MJOFBS NBUUFS QPXFS TQFDUSVN BU DPNPWJOH EJTUBODF χ 5IF DPWBSJBODF
PG δ̄(χ) XJUI UIF E QPXFS TQFDUSVN NFBTVSFE PO UIF TBNF TMJDF JT 1d
∂PLyα
(k , χ)
1d
$PW δ̄(χ), PLyα
(k , χ) = 7BS δ̄(χ)
+ O(σ 4 ).
∂δ
*O PUIFS XPSET UIF SFTQPOTF PG UIF -ZNBOα QPXFS TQFDUSVN UP UIF NFBO NBUUFS PWFSEFOTJUZ
QSPEVDFT B OPO[FSP DPWBSJBODF 5IJT JT UIF TJHOBM XF XJTI UP EFUFDU 'PS B HJWFO -ZNBOα GPSFTU
NFBTVSFE CFUXFFO χmin BOE χmax XF EF୮ୢOF BO BWFSBHF QPXFS TQFDUSVN
1d
(k )
PLyα
1
=
Δχ
χmax
1d
dχPLyα
(k , χ)
χmin
XIFSF Δχ = χmax − χmin 4JODF UIF $.# DPOWFSHFODF κ =
dχW (χ)δ(χ) JT B XFJHIUFE BW
FSBHF PG UIF NBUUFS EFOTJUZ ୮ୢFME XF QFSGPSN UIF TBNF BWFSBHF PO &R UP HFU BO JOUFHSBUFE
CJTQFDUSVN CFUXFFO UIF $.# MFOTJOH DPOWFSHFODF BOE ୯୳VDUVBUJPOT JO UIF -ZNBOα GPSFTU
1d
ˆ $PW κ, PLyα
(k )
Bκ,Lyα (k ) =
1d
∂PLyα
(k , χ) 2
1
dχWκ (χ)
σ (χ),
=
Δχ
∂δ
XIFSF UIF JOUFHSBM SVOT GSPN χmin UP χmax 8F BTTVNFE UIF WBSJPVT SFETIJG୴ TMJDFT BSF VODPSSF
MBUFE BT JO UIF -JNCFS BQQSPYJNBUJPO 5P HP GVSUIFS XF OFFE UP FWBMVBUF UIF SFTQPOTF PG UIF -ZNBOα QPXFS TQFDUSVN UP UIF NFBO
1d
/∂δ 5IF E QPXFS TQFDUSVN JT SFMBUFE UP UIF E QPXFS TQFDUSVN BT
PWFSEFOTJUZ ∂PLyα
1d
(k )
PLyα
=
d2 k⊥ 3d
P (k , k⊥ ),
(2π)2 Lyα
XIJDI JO UVSO JT SFMBUFE UP UIF MJOFBS NBUUFS QPXFS TQFDUSVN WJB UIF ୮ୢUUJOH GVODUJPO PG BT
2
3d
(k , k⊥ ) = b21 1 + βμ2 D(k, μ)PMJO (k),
PLyα
XIFSF μ JT UIF DPTJOF PG UIF BOHMF CFUXFFO k BOE k = k + k⊥ 5IF UFSN b1 SFQSFTFOUT
UIF MJOFBS CJBT PG UIF -ZNBOα USBOTNJTTJPO β DPSSFTQPOET UP MJOFBS SFETIJG୴TQBDF EJTUPSUJPOT
BOE D FODBQTVMBUFT TFWFSBM OPOMJOFBSJUJFT +FBOT TNPPUIJOH BU TNBMM TDBMFT VOEFS HBT QSFTTVSF
UIFSNBM CSPBEFOJOH PG BCTPSQUJPO MJOFT EVF UP MPDBM UIFSNBM WFMPDJUZ EJTQFSTJPO BOE ୮ୢOBMMZ OPO
MJOFBS TUSVDUVSF GPSNBUJPO VOEFS HSBWJUZ JU HPFT UP BT k HPFT UP [FSP BOE IBT BO FYQPOFOUJBM
DVUP୭G BU TNBMM TDBMFT
*O UIF QSFTFODF PG BO PWFSEFOTJUZ δ UIF MJOFBS QPXFS TQFDUSVN SFTQPOET
BT ∂lnPMJO
68 1 ∂lnk 3 PMJO
=
−
.
∂δ
21 3 ∂lnk
5IF MJOFBS CJBT UFSN b1 UIF ,BJTFS UFSN β BOE UIF OPOMJOFBSJUJFT FODBQTVMBUFE JO D(k, μ) NBZ
BMTP SFTQPOE UP B NFBO PWFSEFOTJUZ TFF UIF EJTDVTTJPO
5IFSFGPSF XF DIBSBDUFSJ[F UIF SFTQPOTF
PG UIF OPOMJOFBS UFSNT CZ BO F୭GFDUJWF OPOMJOFBS CJBT EF୮ୢOFE BT
beff
2 (k) =
2
∂
ln b21 1 + βμ2 D(k, μ) .
∂δ
5IJT RVBOUJUZ JODMVEFT OPOMJOFBS CJBTJOH BT XFMM BT UIF SFTQPOTF PG SFETIJG୴TQBDF EJTUPSTJPOT
BOE OPOMJOFBS DMVTUFSJOH PG HBT BOE DBO JO QSJODJQMF CF NFBTVSFE GSPN TJNVMBUJPOT 5IF SF
TQPOTF PG UIF -ZNBOα GPSFTU QPXFS TQFDUSVN JT UIVT
1d
(k , χ)
∂PLyα
=
∂δ
d2 k⊥ 3d
P (k)
(2π)2 Lyα
∂lnPMJO
eff
+ b2 .
∂δ
$PNCJOJOH &RT BOE UIF $.# MFOTJOH -ZNBOα CJTQFDUSVN CFDPNFT UIF TVN PG
UXP UFSNT SFQSFTFOUJOH UIF SFTQPOTF PG UIF MJOFBS NBUUFS QPXFS TQFDUSVN BOE UIF F୭GFDUJWF OPO
MJOFBS CJBT
-ঢখঊগα এঘছ঎জঝ ঙঘঠ঎ছ জঙ঎ঌঝছঞখ
8F VTF RVBTBS TQFDUSB GSPN UIF UXFMG୴I EBUB SFMFBTF PG 4%44ୖ***#044 5IF DPOUJOVVN ୮ୢU
UJOH JT QFSGPSNFE VTJOH B NFBO୯୳VYSFHVMBUFE QSJODJQBM DPNQPOFOU BOBMZTJT NFUIPE EFTDSJCFE
JO UIBU XBT BQQMJFE UP UIF %3 JO 5IF EPNBJO PG UIF -ZNBOα GPSFTU PG B HJWFO RVBTBS
TQFDUSVN JT EF୮ୢOFE CZ MJNJUT PO UIF SFTU GSBNF XBWFMFOHUI
1041… ≤ λrf ≤ 1185…,
XIFSF λrf = λ/(1 + zQSO ) GPS B RVBTBS BU SFETIJG୴ zQSO 4QFDUSB EJTQMBZJOH EBNQFE -ZNBOα BCTPSQUJPO TZTUFNT %-"T
PS CSPBE BCTPSQUJPO MJOFT
#"-T
XFSF EJTDBSEFE 8F TFMFDU RVBTBST XJUI B TJHOBMUPOPJTF SBUJP JO UIF -ZNBOα GPSFTU
NFBTVSFE CZ UIF #044 QJQFMJOF HSFBUFS UIBO BOE B SFETIJG୴ CFUXFFO BOE 5IF OPJTF
FTUJNBUJPO HJWFT QPPS SFTVMUT DMPTF UP UIF TQFDUSPHSBQI CMVFFOE TP XF BEEJUJPOBMMZ DVU QBSUT
PG UIF GPSFTUT CFMPX z = 2.1 BT JO 'JOBMMZ XF EJTDBSE RVBTBST MZJOH PVUTJEF PG UIF 1MBODL
MFOTJOH NBTL 5IFTF DVUT TFMFDU RVBTBST PVU PG UIF JO UIF %3 DBUBMPH
5IF ୯୳VY USBOTNJTTJPO GSBDUJPO JO UIF -ZNBOα GPSFTU BU SFETIJG୴ z = λ/λLyα JT
F (z) =
f (z)
,
C(z)
XIFSF f (z) JT UIF NFBTVSFE ୯୳VY BOE C(z) JT UIF FTUJNBUFE DPOUJOVVN 8F UIFO FTUJNBUF UIF
OPSNBMJ[FE USBOTNJUUFE ୯୳VY GSBDUJPO BT B GVODUJPO PG SFETIJG୴ BT
δi (z) =
Fi (z)
−1
F (z)
XIFSF F (z) JT UIF NFBO ୯୳VY USBOTNJTTJPO GSBDUJPO PCUBJOFE CZ BWFSBHJOH PWFS RVBTBST BOE i
TUBOET GPS UIF GPSFTU JOEFY
5IF OPSNBMJ[FE ୯୳VY GSBDUJPO JT DPOWFSUFE GSPN B GVODUJPO PG SFETIJG୴ UP B GVODUJPO PG SB
EJBM DPNPWJOH EJTUBODF χ(z) XIJDI JT FWBMVBUFE VTJOH DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST GSPN 1MBODL
555&&&MPX1MFOTJOHFYU
#FDBVTF UIF TQBDJOH CFUXFFO QJYFMT PG UIF #044 TQFD
USPHSBQI JT MPHBSJUINJD JO XBWFMFOHUI XJUI Δ(log10 λ) = 10−4 BOE CFDBVTF TLZ FNJTTJPO
MJOFT BSF NBTLFE PO BWFSBHF ॎ PG QJYFMT
UIF TQBDJOH JO EJTUBODF TQBDF JT TMJHIUMZ JSSFHVMBS
BMCFJU NPOPUPOJDBMMZ HSPXJOH 5IFSFGPSF UIF 'PVSJFS USBOTGPSN δ̃(k) PG UIF OPSNBMJ[FE USBOT
NJUUFE ୯୳VY GSBDUJPO δ(χ) JT DPNQVUFE VTJOH UIF /''5 MJCSBSZ 'PS B GPSFTU PG MFOHUI Δχ
BOE NFBO QJYFM TQBDJOH δχ UIF TNBMMFTU NPEF JT kmin = 2π/Δχ XIJMF UIF MBSHFTU NPEF JT
kmax = 2π/δχ 'PSFTUT IBWF B NFBO MFOHUI PG 420 − 280 .QDh XJUI B TQBDJOH PG PSEFS
0.68 − 0.58 .QDh GPS GPSFTUT JO UIF SFETIJG୴ SBOHF 2.1 − 3.6 HJWJOH kmax ≈ 6 h/Mpc 5IFTF
TDBMFT XJMM CF IJHIMZ B୭GFDUFE CZ OPOMJOFBS DMVTUFSJOH BOE CBSZPOJD F୭GFDUT TP XF SFTUSJDU PVS
BOBMZTJT UP kmax = 1.5 h/Mpc DPSSFTQPOEJOH UP TDBMFT PG PSEFS .QDh 8F OPUF UIBU UIF
MBSHFTDBMF NPEFT PWFS 60 Mpc/h JF k 0.1 h/Mpc NBZ CF TMJHIUMZ B୭GFDUFE CZ DPOUJOVVN
୮ୢUUJOH UIPVHI JO B XBZ VODPSSFMBUFE XJUI $.# MFOTJOH 5IF SBX QPXFS TQFDUSVN JT PCUBJOFE
CZ
P̂iraw (k) =
|δ̃i (k)|2
Δχi
XIFSF Δχi JT UIF DPNPWJOH MFOHUI PG UIF iUI GPSFTU
2
(χ)
.VMUJQMF PCTFSWBUJPOT PG UIF TBNF RVBTBST BMMPX GPS BO FTUJNBUJPO PG UIF OPJTF MFWFM σnoise
GPS FBDI QJYFM JO UIF GPSFTU 8F BTTVNF UIF OPJTF UP IBWF B XIJUF TQFDUSVN XIJDI BHSFFT XFMM
XJUI BOE FTUJNBUF JUT QPXFS TQFDUSVN CZ BWFSBHJOH
2
Pinoise = σnoise,i
π
Δk
XIFSF Δk = kmax − kmin 5IF SFTPMVUJPO PG UIF TQFDUSPHSBQI JT PG PSEFS .QDh BOE WBSJFT TMPXMZ XJUI XBWFMFOHUI
CZ BCPVU ॎ PWFS POF GPSFTU
5IFSFGPSF UIF TQFDUSPHSBQI XJOEPX GVODUJPO JT
k 2 Ri2
Wspectro (k, Ri ) = exp −
2
× sinc
kδχi
2
,
XIFSF Ri JT UIF SFTPMVUJPO PG UIF TQFDUSPHSBQI BWFSBHFE PWFS UIF iUI GPSFTU
Ri =
c(1 + z)
δdisp Δ log λ,
H(z)
XJUI δdisp CFJOH UIF NFBTVSFE EJTQFSTJPO JO VOJUT PG Δ log10 λ 5IF TFDPOE UFSN JO XIJDI
sinc(x) = sin(x)/x BDDPVOUT GPS UIF QJYFMJ[BUJPO 'JOBMMZ UIF FTUJNBUPS PG UIF POFEJNFOTJPOBM
QPXFS TQFDUSVN PG UIF -ZNBOα GPSFTU JT HJWFO CZ
!
1d
(k, z) =
P̂Lyα
P̂iraw (k) − Pinoise
2
Wspectro
(k, Ri )
"
.
i∈z
XIFSF UIF BWFSBHF JT PWFS GPSFTUT GBMMJOH JO UIF SFETIJG୴ SBOHF
5IJT TUSBJHIUGPSXBSE NFBTVSFNFOU PG UIF POFEJNFOTJPOBM QPXFS TQFDUSVN EPFT OPU DPSSFDU
GPS TVCUMF JOTUSVNFOUBM TZTUFNBUJDT EFBMU XJUI JO )PXFWFS UIFTF F୭GFDUT BSF MFTT JNQPSUBOU JO
B DSPTTDPSSFMBUJPO NFBTVSFNFOU BOE B QSFDJTF FTUJNBUJPO PG UIF QPXFS TQFDUSVN JT CFZPOE UIF
1d,fid
XIFSF npix
i JT UIF OVNCFS PG QJYFMT PG UIF iUI GPSFTU 5IF ୮ୢEVDJBM QPXFS TQFDUSVN PLyα (k, z)
JT DPNQVUFE VTJOH UIF MJOFBS CJBT NFBTVSFE GSPN TJNVMBUJPOT JO XIJDI XJMM POMZ CF VTFE JO
UIF XFJHIUT
*O PSEFS UP UBLF JOUP BDDPVOU QPTTJCMF XBWFMFOHUIEFQFOEFOU CJBT JO UIF OPJTF FTUJNBUJPO
XF BMMPX GPS B DPNNPO SFTDBMJOH PG UIF FTUJNBUFE OPJTF QPXFS TQFDUSVN JO FBDI SFETIJG୴ CJO
1SFDJTFMZ XF JOUSPEVDF B DPF୭୮ୢDJFOU αz JO GSPOU PG Pinoise JO &R DPNNPO UP BMM TQFDUSB
JO FBDI SFETIJG୴ CJO BOE ୮ୢU UIJT QBSBNFUFS KPJOUMZ XJUI UIF MJOFBS CJBT b1 (z) JO FBDI SFETIJG୴ CJO
5IF FTUJNBUFE POFEJNFOTJPOBM QPXFS TQFDUSVN JT TIPXO JO 'JH UPHFUIFS XJUI UIFPSFUJDBM
DVSWFT XJUI CFTU ୮ୢU CJBTFT 5IF CFTU ୮ୢU PG UIF MJOFBS CJBT b1 (z) JT TIPXO JO 'JH XJUI FSSPS
CBST JODMVEJOH UIF NBSHJOBMJ[BUJPO PWFS αz 8F ୮ୢU UIJT SFTVMU XJUI B QPXFS MBX JO (1 + z) PG UIF
GPSN b1 (z) = a(1 + z)b BOE ୮ୢOE a = −0.00507 BOE b = 2.79 *U JT SFQSFTFOUFE CZ UIF TPMJE
CMVF DVSWF JO 'JH BOE JT JO GBJSMZ HPPE BHSFFNFOU XJUI UIF CJBT NFBTVSFE JO IZESPEZOBNJD
TJNVMBUJPOT JO XIJDI XF POMZ VTFE JO UIF XFJHIUT
5IF OFYU TUFQ PG PVS BOBMZTJT JT UP DPNQVUF UIF XFJHIUFE VOCJBTFE DPWBSJBODF PG UIF MFOT
JOH DPOWFSHFODF BOE UIF POFEJNFOTJPOBM QPXFS TQFDUSVN ‫ތ‬VBTBST IBWF B TJHOJ୮ୢDBOU DPOUSJ
CVUJPO UP UIF MFOTJOH PG UIF $.# CFDBVTF UIF MFOTJOH F୭୮ୢDJFODZ Wκ QFBLT BU z ∼ 2 5IFSF
GPSF XF FYQFDU UIF NFBO DPOWFSHFODF JO UIF EJSFDUJPOT PG RVBTBST UP CF QPTJUJWF BOE JOEFFE
୮ୢOE 104 × κWF
i = 1.35 ± 0.52 5IJT WBMVF JT DPOTJTUFOU XJUI UIF FYQFDUFE BNQMJUVEF κ =
(Λκ ∗ Σ)/ρ̄ ∼ 1.5 × 10−4 XIFSF Σ JT UIF QSPKFDUFE EFOTJUZ PG UIF IBMPFT IPTUJOH UIF RVBTBST
DPNQVUFE GPS B /'8 QSP୮ୢMF XJUI B IBMP NBTT Mh ∼ 2 × 1012 M /h BOE SFETIJG୴ DPOWPMWFE XJUI UIF 8JFOFS ୮ୢMUFS BOE ρ̄ JT UIF NFBO NBUUFS EFOTJUZ 8JUI UIF BJN PG NFBTVSJOH
UIF DPSSFMBUJPO CFUXFFO PVS UXP QSPCFT XF TVCUSBDU UIF NFBO WBMVF κWF
i JO UIF DPNQVUBUJPO
PG UIF DPWBSJBODF 4P BT UP EFDSFBTF UIF F୭GFDUT PG OPJTF JO UIJT NFBTVSFNFOU XF BMTP TVCUSBDU
UIF NFBO WBMVF PG UIF QPXFS TQFDUSVN JO FBDI kCJO 5IF FTUJNBUPS GPS UIF DPSSFMBUJPO PG $.#
MFOTJOH BOE ୯୳VDUVBUJPOT JO UIF -ZNBOα GPSFTU JF UIF CMB lensing − Lyα JOUFHSBUFE CJTQFD
USVN JT EF୮ୢOFE BT
WF 1d
B̂κ,Lyα (k )=Cov
ˆ
, PLyα (k ) ,
w(k ) κ
XIFSF
Covw [x, y] = N ×
wi (xi − x) (yi − y)
i
XJUI UIF OPSNBMJ[BUJPO N =
i
wi / ( i wi )2 − i wi2 5IF NFBO WBMVFT κWF BOE
P 1d (k ) BSF DPNQVUFE VTJOH UIF TBNF XFJHIUT BT XFMM 5IF NFBTVSFE WBMVFT JO FBDI kCJO
BSF TIPXO JO QVSQMF JO 'JH 5P DPNQVUF UIF DPWBSJBODF NBUSJY GPS UIF WBSJPVT kCJOT XF QSPDFFE CZ DPNQVUJOH UIF TJH
OBM SFQFBUFEMZ XJUI TIV୭୯୳FE JOEJDFT JO κWF
i .PSF QSFDJTFMZ GPS B HJWFO SBOEPN QFSNVUBUJPO
1d
σ PG UIF RVBTBS JOEJDFT XF DPNQVUF $PW κWF
,
P
(k
)
BOE SFQFBU N = 10, 000 UJNFT
Lyα,i σ(i)
8F UIFO FTUJNBUF UIF NFBO WBMVF UIJO SFE CPYFT PO 'JH BOE UIF FNQJSJDBM DPWBSJBODF 5IF
DPSSFTQPOEJOH NBUSJY PG DPSSFMBUJPO DPF୭୮ୢDJFOUT JT TIPXO JO 'JH 'JOBMMZ XF BJN BU DPNQBSJOH PVS UIFPSFUJDBM NPEFM BOE ୮ୢUUJOH B WBMVF PG UIF F୭GFDUJWF OPO
MJOFBS CJBT beff
2 EF୮ୢOFE JO &R 8F NFBTVSF B TJOHMF OVNCFS JF B TDBMF BOE SFETIJG୴ BW
FSBHFE OPOMJOFBS CJBT DIBSBDUFSJ[JOH UIF OPOMJOFBS SFTQPOTF JO PVS TBNQMF 'PS FBDI MJOF PG
TJHIU XF FWBMVBUF UIF FYQFDUFE TJHOBM VTJOH &R HJWFO UIF SFETIJG୴ SBOHF [zmin , zmax ] PG
UIF GPSFTU BOE UIF MJOFBS CJBT b1 (z) GSPN UIF QPXFS MBX CFTU ୮ୢU 8F UIFO XFJHIU UIF UIFPSFUJDBM
FYQFDUFE WBMVF CZ UIF XFJHIUT JO &R 5IF CFTU ୮ୢU WBMVF JT beff
2 = 1.16 ± 0.53 5IF UIFP
SFUJDBM DVSWF JO PSBOHF JO 'JH JT UIF TVN PG UXP DPOUSJCVUJPOT POF GSPN UIF MJOFBS QPXFS
TQFDUSVN EBTIFE MJOF
BOE UIF PUIFS GSPN UIF OPOMJOFBS UFSNT EPUUFE MJOF
)LJXUH ,QWHJUDWHG ELVSHFWUXP RI &0% OHQVLQJ DQG ćXFWXDWLRQV LQ WKH /\PDQα IRUHVW 7KH :LHQHUĆOWHUHG &0% OHQVLQJ
LV PHDVXUHG LQ WKH GLUHFWLRQ RI TXDVDUV IRU ZKLFK ZH PHDVXUH WKH /\PDQα IRUHVW RQHGLPHQVLRQDO SRZHU VSHFWUXP LQ WKH
UDQJH k
∼ 0.1 − 1.5 h/Mpc 'DWD SRLQWV LQ SXUSOH VKRZ D VLJQDO PHDVXUHG DW σ 7KH WKHRUHWLFDO FXUYH VROLG RUDQJH
LV WKH VXP RI WZR WHUPV WKH UHVSRQVH RI WKH OLQHDU PDWWHU SRZHU VSHFWUXP GDVKHG DQG WKH UHVSRQVH RI WKH QRQOLQHDU WHUPV
LQ WKH /\PDQα SRZHU VSHFWUXP QRQOLQHDU ELDV b2 .DLVHU WHUP DQG EDU\RQLF QRQOLQHDU WHUP D GRWWHG :KLOH WKH ĆUVW
LQYROYHV QR IUHH SDUDPHWHU WKH ODWWHU KDV DQ DPSOLWXGH SURSRUWLRQDO WR WKH HIIHFWLYH QRQOLQHDU ELDV beff
2
= 1.16 ± 0.53
VHH (T 7KH RUDQJH DUHD UHSUHVHQWV WKH σ XQFHUWDLQW\ RQ WKLV QRQOLQHDULW\ DPSOLWXGH :H WHVW WKDW RXU HVWLPDWRU LV
FRKHUHQW ZLWK ]HUR LQ WKH FDVH RI QR FRUUHODWLRQ E\ D VKXIćLQJ PHWKRG WKLQ UHG ER[HV H[SDQGHG WLPHV IRU YLVLELOLW\
6TJOH UIF DPWBSJBODF NBUSJY PCUBJOFE CZ PVS TIV୭୯୳JOH NFUIPE BOE UIF NFBTVSFE EBUB QPJOUT
XF ୮ୢOE B χ2 WBMVF GPS UIF OVMM IZQPUIFTJT χ2null = 30.1 GPS EBUB QPJOUT 5IF QSPCBCJMJUZ UP FY
DFFE JT ॎ BOE UIF OVMM IZQPUIFTJT JT UIFSFGPSF SFKFDUFE BU B TJHOJ୮ୢDBODF PG σ 'PS UIF CFTU
୮ୢU JO b2 XF ୮ୢOE χ2best−fit = 5.37 B TNBMM WBMVF UIBU DPVME CF FYQMBJOFE CZ PWFSFTUJNBUFE FS
SPS CBST XIJDI XPVME MFBE UP B CFUUFS EFUFDUJPO 5IF TJHOBMUPOPJTF SBUJP GPS UIF EFUFDUJPO JT
(
SNR = χ2null − χ2best−fit = 4.97 IFODF UIJT DPOTUJUVUFT B σ EFUFDUJPO PG UIF OPOMJOFBS
SFTQPOTF PG UIF -ZNBOα QPXFS TQFDUSVN
7DEOH 5HVXOWV RI WKH QXOO WHVWV VHHNLQJ IRU FRUUHODWLRQ EHWZHHQ WKH OHQVLQJ VLJQDO DQG LQWULQVLF TXDVDUV SURSHUWLHV
-BCFM
Ȁ
Ȁ
%FTDSJQUJPO
(BMBDUJD MBUJUVEF
MPH PG HBMBDUJD )঒ DPMVNO EFOTJUZ
/VMM UFTU
‫ ޕސ‬σ
‫ ސސ‬σ
Ȁ
‫ތ‬VBTBS SFETIJG୴ GSPN WJTVBM JOTQFDUJPO
‫ ޑޏ‬σ
Ȁ$
Ȁ&
Ȁ
14' NBHOJUVEF ୯୳VY JO g CBOE
14' NBHOJUVEF ୯୳VY JO i CBOE
/FBS 67 ୯୳VY GSPN ("-&9
'BS 67 ୯୳VY GSPN ("-&9
‫ތ‬VBTBS TQFDUSBM JOEFY
‫ ޏސ‬σ
‫ ޓސ‬σ
‫ ޖޏ‬σ
‫ ޔޏ‬σ
‫ ޔޏ‬σ
Ȁ
Ȁ
3FTU FRVJWBMFOU XJEUI PG $঒঒঒ FNJTTJPO ‫ ސސ‬σ
3FTU FRVJWBMFOU XJEUI PG $঒ট FNJTTJPO ‫ ޒޏ‬σ
%঒জঌঞজজ঒ঘগ
8F IBWF QSFTFOUFE UIF ୮ୢSTU EFUFDUJPO PG B DSPTTDPSSFMBUJPO CFUXFFO UIF -ZNBOα GPSFTU PG
RVBTBST BOE UIF HSBWJUBUJPOBM MFOTJOH PG UIF $.# 0VS VOEFSTUBOEJOH PG UIJT DPSSFMBUJPO JT
CBTFE PO UIF SFTQPOTF PG TNBMMTDBMF ୯୳VDUVBUJPOT JO UIF NBUUFS EFOTJUZ NFBTVSFE CZ UIF POF
EJNFOTJPOBM QPXFS TQFDUSVN PG UIF USBOTNJTTJPO JO UIF -ZNBOα GPSFTU UP MBSHFTDBMF PWFS
EFOTJUJFT QSPCFE CZ UIF DPOWFSHFODF PG $.# MFOTJOH 5IJT TJHOBM DPSSFTQPOET UP B CJTQFD
USVN JO UIF TRVFF[FE MJNJU DPO୮ୢHVSBUJPO XIFSF UIF UXP TNBMMTDBMF NPEFT BSF PG PSEFS k ∼
0.1 − 1 Mpc/h 5IJT JT UIF ୮ୢSTU NFBTVSFNFOU PG UIF CMB lensing − Lyα JOUFHSBUFE CJT
QFDUSVN BOE JU NFBTVSFT UIF OPOMJOFBSJUZ JO UIF -ZNBOα GPSFTU 'JOBMMZ UIJT OFX PCTFSWBCMF
UFTUT PVS VOEFSTUBOEJOH PG UIF SFMBUJPO CFUXFFO OFVUSBM IZESPHFO BOE EBSL NBUUFS
8F NFBTVSFE UIF POFEJNFOTJPOBM QPXFS TQFDUSVN BOE UIF MJOFBS CJBT PG UIF -ZNBOα GPSFTU
୮ୢOEJOH WBMVFT DPOTJTUFOU XJUI IZESPEZOBNJDBM TJNVMBUJPOT &WFO UIPVHI UIF QPXFS TQFD
USVN JT TFOTJUJWF UP B OVNCFS PG TZTUFNBUJD F୭GFDUT UIFTF BSF NVDI MFTT JNQPSUBOU JO B DSPTT
DPSSFMBUJPO NFBTVSFNFOU MJLF UIF JOUFHSBUFE CJTQFDUSVN UIBU XF DPNQVUFE 5IF UIFPSFUJDBM
CJTQFDUSVN JT UIF TVN PG UXP DPOUSJCVUJPOT UIF SFTQPOTF PG UIF MJOFBS NBUUFS QPXFS TQFDUSVN
UIFPSFUJDBMMZ XFMMVOEFSTUPPE BOE JOWPMWJOH OP GSFF QBSBNFUFST BOE UIF SFTQPOTF PG UIF CJBT
BOE OPOMJOFBS UFSNT DPNQVUFE VQ UP BO F୭GFDUJWF OPOMJOFBS CJBT beff
2 XIJDI XF IBWF ୮ୢUUFE 8F
CFMJFWF UIJT NPEFM QSPWJEFT B SFBTPOBCMF FYQMBOBUJPO PG UIF PCTFSWFE TJHOBM
)PXFWFS XF OPUJDF UIBU PVS JOUFSQSFUBUJPO PG UIF NFBTVSFE CJTQFDUSVN JT MJNJUFE CZ UIF
PSFUJDBM VODFSUBJOUJFT NBJOMZ SFMBUFE UP CBSZPOJD QIZTJDT 5IBU JT UIF UFSN D(k, μ) UBLFO
GSPN FODPEFT B OVNCFS PG F୭GFDUT UIBU BSF TJHOJ୮ୢDBOU BU WFSZ TNBMM TDBMFT PG PSEFS k ∼
60 h/Mpc TFF CVU UIF JOUFHSBM PG UIF UISFFEJNFOTJPOBM QPXFS TQFDUSVN JO &R HFUT
DPOUSJCVUJPOT GSPN kNPEFT HSFBUFS UIBO h.QD BOE XF DBOOPU OFHMFDU UIFTF F୭GFDUT .PSF
PWFS UIJT UFSN BOE UIF SFETIJG୴TQBDF EJTUPSTJPO UFSN β NBZ BMTP SFTQPOE UP MBSHFTDBMF PWFSEFO
TJUJFT 5IFSFGPSF UIF F୭GFDUJWF OPOMJOFBS CJBT UFSN beff
2 FODPNQBTTFT TFWFSBM VODFSUBJO DPOUSJCV
UJPOT JU DPVME CF DPNQBSFE XJUI TJNVMBUJPOT QSPWJEJOH CPUI B WBMVBCMF DIFDL GPS UIF TJNVMB
UJPO BTTVNQUJPOT XIJMF TIFEEJOH MJHIU PO UIF SFMBUJPO CFUXFFO -ZNBOα BOE EBSL NBUUFS
"OPUIFS VODFSUBJOUZ BSJTFT GSPN UIF GBDU UIBU UIF JPOJ[JOH 67 ୯୳VY PG UIF RVBTBST SFEVDFT
UIF BNPVOU PG OFVUSBM IZESPHFO BSPVOE UIFN B QIFOPNFOPO LOPXO BT UIF QSPYJNJUZ F୭GFDU
#FDBVTF PWFSEFOTF SFHJPOT SBEJBUF NPSF UIF CJBT PG OFVUSBM IZESPHFO bH‫( ܚ‬k) CFDPNFT OFHB
UJWF BU TDBMFT MBSHFS UIBO k ∼ 0.01 h/Mpc 5IJT JNQBDUT UIF )঒ QPXFS TQFDUSVN GPS TDBMFT
k 0.1 h/Mpc BOE NBZ BMTP B୭GFDU PVS NFBTVSFNFOU JO UIF MPXFTU kCJO
*O UIF GVUVSF IZESPEZOBNJDBM TJNVMBUJPOT DPVME CF DPNQBSFE UP UIJT OFX PCTFSWBCMF BOE
VTFE UP NPEFM UIF EFQFOEFODF PG UIF WBSJPVT OPOMJOFBS UFSNT JO UIF POFEJNFOTJPOBM QPXFS
TQFDUSVN PO UIF NFBO PWFSEFOTJUZ .FBOXIJMF UIJT NFBTVSFNFOU DBO JOGPSN TJNVMBUJPOT BOE
IFMQ DPOUSBJO UIF SFMBUJPO CFUXFFO JOUFSHBMBDUJD HBT BOE EBSL NBUUFS #FDBVTF UIJT CJTQFDUSVN
JT TFOTJUJWF UP TNBMM TDBMFT PCTFSWFE JO UIF -ZNBOα GPSFTU JU DPVME BMTP QSPWJEF BEEJUJPOBM DPO
TUSBJOUT PO UIF UPUBM NBTT PG OFVUSJOPT BOE CF VTFE BT B UPPM UP TUVEZ BMUFSOBUJWF NPEFMT PG EBSL
NBUUFS QSFEJDUJOH TNBMMTDBMF DVUP୭GT
3FGFSFODFT
<> ( % #FDLFS . 3BVDI BOE 8 - 8 4BSHFOU "Q+ <> ( % #FDLFS FU BM .PO /PU 3 "TUSPO 4PD <> ,( -FF FU BM "Q+ <> . .D‫ތ‬VJOO BS9JW <> / 1BMBORVF%FMBCSPVJMMF FU BM + $PTNPM "TUSPQBSU 1IZT <> / 1BMBORVF%FMBCSPVJMMF FU BM + $PTNPM "TUSPQBSU 1IZT <> . 7JFM ( % #FDLFS + 4 #PMUPO BOE . ( )BFIOFMU 1IZT 3FW % <> 6 4FMKBL " .BLBSPW 1 .D%POBME BOE ) 5SBD 1IZT 3FW -FUU <> / "GTIPSEJ 1 .D%POBME BOE % / 4QFSHFM "Q+ - <> . .D‫ތ‬VJOO BOE . 8IJUF .PO /PU 3 "TUSPO 4PD <> " 4MPTBS FU BM + $PTNPM "TUSPQBSU 1IZT <> " 4MPTBS FU BM + $PTNPM "TUSPQBSU 1IZT <> / ( #VTDB FU BM "" " <> 5 %FMVCBD FU BM "" " <> 3 " $ $SPG୴ % ) 8FJOCFSH / ,BU[ BOE - )FSORVJTU "Q+ <> " #PSEF FU BM + $PTNPM "TUSPQBSU 1IZT <> ( 3PTTJ FU BM "" " <> " 1POU[FO 1IZT 3FW % <> " "SJOZPJ 1SBUT + .JSBMEB&TDVE©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୴X <> 1MBODL $PMMBCPSBUJPO FU BM BS9JW BS9JW <> + ' /BWBSSP $ 4 'SFOL BOE 4 % . 8IJUF "Q+ <> . 8IJUF FU BM .PO /PU 3 "TUSPO 4PD <> " 4 ( 3PCPUIBN BOE 4 1 %SJWFS .PO /PU 3 "TUSPO 4PD <> " . $JFQMBL BOE " 4MPTBS + $PTNPM "TUSPQBSU 1IZT 5
-PPLJOH UISPVHI UIF TBNF MFOT TIFBS
DBMJCSBUJPO GPS -445 &VDMJE 8'*345 XJUI
TUBHF $.# MFOTJOH
ঊঋজঝছঊঌঝ
5IF OFYU HFOFSBUJPO XFBL MFOTJOH TVSWFZT JF -445 &VDMJE BOE 8'*345
XJMM SFRVJSF FYRVJTJUF
DPOUSPM PWFS TZTUFNBUJD F୭GFDUT *O UIJT QBQFS XF BEESFTT TIFBS DBMJCSBUJPO BOE QSFTFOU UIF NPTU
SFBMJTUJD GPSFDBTU UP EBUF GPS -445&VDMJE8'*345 BOE $.# MFOTJOH GSPN B TUBHF $.# FY
QFSJNFOU ‫آ‬$.# 4‫ أ‬8F VTF UIF $ঘজখঘ-঒ঔ঎ DPEF UP TJNVMBUF B KPJOU BOBMZTJT PG BMM UIF UXP
QPJOU GVODUJPOT PG HBMBYZ EFOTJUZ HBMBYZ TIFBS BOE $.# MFOTJOH DPOWFSHFODF 8F JODMVEF UIF
GVMM (BVTTJBO BOE OPO(BVTTJBO DPWBSJBODFT BOE FYQMPSF UIF SFTVMUJOH KPJOU MJLFMJIPPE XJUI
.POUF $BSMP .BSLPW DIBJOT 8F DPOTUSBJO TIFBS DBMJCSBUJPO CJBTFT XIJMF TJNVMUBOFPVTMZ WBSZ
JOH DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST HBMBYZ CJBTFT BOE QIPUPNFUSJD SFETIJG୴ VODFSUBJOUJFT 8F ୮ୢOE UIBU
$.# MFOTJOH GSPN $.# 4 FOBCMFT UIF DBMJCSBUJPO PG UIF TIFBS CJBTFT EPXO UP 0.2% − 3% JO
UPNPHSBQIJD CJOT GPS -445 CFMPX UIF ∼ 0.5% SFRVJSFNFOUT JO NPTU UPNPHSBQIJD CJOT
EPXO UP 0.4% − 2.4% JO CJOT GPS &VDMJE BOE 0.6% − 3.2% JO CJOT GPS 8'*345 'PS B
HJWFO MFOTJOH TVSWFZ UIF NFUIPE XPSLT CFTU BU IJHI SFETIJG୴ XIFSF TIFBS DBMJCSBUJPO JT PUIFS
XJTF NPTU DIBMMFOHJOH 5IJT TFMGDBMJCSBUJPO JT SPCVTU UP (BVTTJBO QIPUPNFUSJD SFETIJG୴ VODFS
UBJOUJFT BOE UP B SFBTPOBCMF MFWFM PG JOUSJOTJD BMJHONFOU *U JT BMTP SPCVTU UP DIBOHFT JO UIF CFBN
BOE UIF F୭GFDUJWFOFTT PG UIF DPNQPOFOU TFQBSBUJPO PG UIF $.# FYQFSJNFOU BOE TMPXMZ EFQFO
EFOU PO JUT EFQUI NBLJOH JU QPTTJCMF XJUI UIJSE HFOFSBUJPO $.# FYQFSJNFOUT TVDI BT "EW"$5
BOE 415( BT XFMM BT UIF 4JNPOT 0CTFSWBUPSZ
*গঝছঘ঍ঞঌঝ঒ঘগ
6OEFSTUBOEJOH UIF QIZTJDT PG DPTNJD BDDFMFSBUJPO JT UIF BJN PG NBOZ POHPJOH BOE VQDPNJOH
JNBHJOH TVSWFZT TVDI BT UIF ,JMP%FHSFF 4VSWFZ ,J%4
UIF %BSL &OFSHZ 4VSWFZ %&4
҆ UIF 4VCBSV )ZQFS 4VQSJNF$BN )4$
TVSWFZ҇ UIF 4VCBSV 1SJNF 'PDVT 4QFDUSPHSBQI
1'4
g UIF %BSL &OFSHZ 4QFDUSPTDPQJD *OTUSVNFOU %&4*
v UIF -BSHF 4ZOPQUJD 4VSWFZ 5FMF
%11-ǥȇȇ444ǣ01/,Ǹ4&0"ǣ,/$ȇ-/,'" 10ȇȇ
%11-ǥȇȇ444ǣ!/("+"/$602/3"6ǣ,/$
҇
%11-ǥȇȇ444ǣ+,'ǣ,/$ȇ/,'" 10ȇȇ&+!"5ǣ%1*)
g
%11-ǥȇȇ02*&/"ǣ&-*2ǣ'-ȇ"+ȇǑǕǔǑ
v
%11-ǥȇȇ!"0&ǣ))ǣ$,3
҆
TDPQF -445
UIF &4" TBUFMMJUF NJTTJPO &VDMJE BOE /"4"‫ؠ‬T 8JEF'JFME *OGSBSFE 4VSWFZ
5FMFTDPQF 8'*345
5ISPVHI HSBWJUBUJPOBM MFOTJOH JNBHFT PG EJTUBOU TPVSDFT TVDI BT HBMBY
JFT PS UIF DPTNJD NJDSPXBWF CBDLHSPVOE $.#
BSF EJTUPSUFE CZ UIF QSFTFODF PG GPSFHSPVOE
NBTT *O UIF XFBL SFHJNF MFOTJOH QSPEVDFT TNBMM EJTUPSUJPOT BSDNJOVUF EF୯୳FDUJPOT PS ∼ 1%
TIFBS DPIFSFOU PO EFHSFF TDBMFT XIJDI BSF EFUFDUFE TUBUJTUJDBMMZ 8FBL HSBWJUBUJPOBM MFOTJOH JT
TFOTJUJWF UP UIF HSPXUI PG TUSVDUVSF BOE UIF HFPNFUSZ PG UIF VOJWFSTF NBLJOH JU B QPXFSGVM
QSPCF PG EBSL FOFSHZ NPEJ୮ୢDBUJPOT UP (FOFSBM 3FMBUJWJUZ BOE UIF TVN PG UIF OFVUSJOP NBTTFT
TFF BOE SFGFSFODFT UIFSFJO GPS B SFWJFX
3FBMJ[JOH UIF GVMM QPUFOUJBM PG UIF TUBHF XFBL MFOTJOH TVSWFZT JF -445 &VDMJE BOE 8'*345
SFRVJSFT BO FYRVJTJUF VOEFSTUBOEJOH BOE DPOUSPM PG TZTUFNBUJDT F୭GFDUT *O UIF DBTF PG -445
UIF CJBT BOE TDBUUFS JO QIPUPNFUSJD SFETIJG୴T OFFE UP CF DPOUSPMMFE UP CFUUFS UIBO B QFSDFOU XIJDI NBZ SFRVJSF NPSF UIBO ∼ 105 HBMBYZ TQFDUSB GPS DBMJCSBUJPO *OUFSQSFUJOH DPTNJD
TIFBS JF UIF QPXFS TQFDUSVN PG UIF XFBL MFOTJOH PG HBMBYJFT CZ UIF MBSHFTDBMF TUSVDUVSF JO
UIF VOJWFSTF SFRVJSFT LOPXMFEHF PG UIF NBUUFS QPXFS TQFDUSVN EPXO UP TDBMFT XIFSF OPO
MJOFBS FWPMVUJPO BOE CBSZPOJD F୭GFDUT BSF JNQPSUBOU *OUSJOTJD BMJHONFOUT
PG HBMBYJFT JG OPU NJUJHBUFE DPVME DPOUBNJOBUF UIF DPTNJD TIFBS TJHOBM CZ VQ UP 1 − 10%
TFF GPS B SFWJFX
'JOBMMZ FTUJNBUJOH UIF TIFBS GSPN HBMBYZ TIBQFT NBZ MFBE UP BE
EJUJWF BOE NVMUJQMJDBUJWF CJBTFT UZQJDBMMZ SFETIJG୴ EFQFOEFOU XIJDI IBWF UP CF DPOUSPMMFE UP B
IJHI BDDVSBDZ 5IF TIFBS NVMUJQMJDBUJWF CJBT JT EFHFOFSBUF XJUI UIF BNQMJUVEF PG UIF TJH
OBM BOE JUT UJNF FWPMVUJPO DBO IJEF UIF USVF FWPMVUJPO PG UIF HSPXUI PG TUSVDUVSF XIJDI QSPCFT
EBSL FOFSHZ BOE QPTTJCMF NPEJ୮ୢDBUJPOT UP HFOFSBM SFMBUJWJUZ BVUIPS GPVOE UIBU GVMMZ FY
QMPJUJOH UIF TUBUJTUJDBM QPXFS PG B TUBHF DPTNJD TIFBS TVSWFZ SFRVJSFT B TIFBS NVMUJQMJDBUJWF CJBT
PG 0.4% 5IF GPDVT PG UIJT QBQFS JT UP TIPX IPX $.# MFOTJOH DPOUSJCVUFT UP SFBDIJOH UIJT
HPBM
.BOZ F୭GFDUT DPOUSJCVUF UP UIF TIFBS NVMUJQMJDBUJWF CJBT TVDI BT JOBDDVSBDJFT JO UIF
QPJOUTQSFBE GVODUJPO 14'
PS EFUFDUPS F୭GFDUT FH DIBSHF USBOTGFS JOF୭୮ୢDJFODZ JO $$%T PS
UIF CSJHIUFSGBUUFS F୭GFDU
.PEFM CJBTFT NBZ PDDVS XIFO FTUJNBUJOH HBMBYZ TIBQFT XJUI BO JO
BDDVSBUF HBMBYZ QSP୮ୢMF 4JODF MFOTJOH DPVQMFT UIF TIPSU BOE MPOH XBWFMFOHUI NPEFT PG B HBMBYZ
JNBHF LOPXJOH UIF SFTQPOTF PG B HBMBYZ JNBHF UP TIFBS SFRVJSFT LOPXJOH UIF HBMBYZ JNBHF UP
B CFUUFS SFTPMVUJPO UIBO UIF 14' MFBEJOH JO QSBDUJDF UP B ‫آ‬OPJTZ EFDPOWPMVUJPO‫ أ‬TIBQF CJBT
'VSUIFSNPSF UIF HBMBYJFT VTFE GPS TIFBS FTUJNBUJPO EP OPU GPSN B IPNPHFOPVT TBNQMF BOE
UIFJS EFUFDUJPO TJHOBMUPOPJTF EFQFOET PO UIFJS TIBQF MFBEJOH UP B TIBQF TFMFDUJPO CJBT $PSSFDU
JOH UIJT CJBT QFSGFDUMZ XPVME SFRVJSF LOPXMFEHF PG UIF HBMBYZ QPQVMBUJPO CFMPX UIF EFUFDUJPO
UISFTIPME 4UBUF PG UIF BSU TIBQF BMHPSJUINT DBMJCSBUFE PO TJNVMBUJPOT FH SFBDI GFX
QFSDFOU BDDVSBDZ PO UIF TIFBS NVMUJQMJDBUJWF CJBT 5IFZ DVSSFOUMZ BQQSPBDI UIF SFRVJSFNFOUT
PG TUBHF TVSWFZT FH JO UIF BCTFODF PG TFMFDUJPO CJBT JF XIFO UIF HBMBYZ QPQVMBUJPO JT
LOPXO QFSGFDUMZ
BOE GPS JNBHFT XJUI TMJHIUMZ IJHIFS TJHOBM UP OPJTF
#FDBVTF UIF TIFBS NVMUJQMJDBUJWF CJBT JT TVDI B DSJUJDBM BOE EJ୭୮ୢDVMU TZTUFNBUJD GPS TUBHF XFBL
MFOTJOH TVSWFZT BMUFSOBUJWF NFUIPET UP DBMJCSBUF JU QSPWJEF B WBMVBCMF SFEVOEBODZ 5IFTF DPO
TJTUFODZ DIFDLT XJMM CF DSVDJBM JO USVTUJOH UIF SFTVMUT FH JO UIF PQUJNJTUJD FWFOU XIFSF TUBHF XFBL MFOTJOH TVSWFZT XPVME ୮ୢOE EFWJBUJPOT GSPN Λ$%.
5IF MFOTJOH DPOWFSHFODF SFDPOTUSVDUFE GSPN UFNQFSBUVSF BOE QPMBSJ[BUJPO PG UIF DPTNJD NJ
DSPXBWF CBDLHSPVOE $.#
EPFT OPU SFMZ PO HBMBYZ TIBQF FTUJNBUJPO "MUIPVHI $.#
MFOTJOH JT NPTU TFOTJUJWF UP UIF NBUFS EJTUSJCVUJPO BU IJHIFS SFETIJG୴ UIF MFOTJOH F୭୮ୢDJFODJFT GPS
$.# BOE HBMBYZ MFOTJOH PWFSMBQ UIVT QPUFOUJBMMZ BMMPXJOH UP DBMJCSBUF UIF TIFBS NVMUJQMJDBUJWF
CJBT 6TJOH B 'JTIFS GPSFDBTU BVUIPS DPNCJOF BMM UIF QPJOU DPSSFMBUJPOT PG
HBMBYZ QPTJUJPOT HBMBYZ TIBQFT BOE $.# MFOTJOH DPOWFSHFODF 5IFZ TIPX UIBU BEEJOH $.#
MFOTJOH BOE HBMBYZ TQFDUSPTDPQJD EBUB UP B TIBQF DBUBMPH BMMPXT UP BQQSPBDI UIF SFRVJSFNFOUT
PO TIFBS DBMJCSBUJPO GPS TUBHF XFBL MFOTJOH TVSWFZT 5IJT NFUIPE JT BQQFBMJOH CFDBVTF JU JT B
TFMGDBMJCSBUJPO JU SFMJFT PO UIF EBUB BMPOF BOE OPU PO JNBHF TJNVMBUJPOT PG UIF XIPMF HBMBYZ
TBNQMF *U JT B QSBDUJDBM FYBNQMF PG SFBM TZOFSHZ CFUXFFO PWFSMBQQJOH TVSWFZT XIFSF DPNCJO
JOH QSPCFT MFBET UP JNQSPWFE TZTUFNBUJDT BOE OPU KVTU B NBSHJOBMMZ IJHIFS TJHOBMUPOPJTF $.#
MFOTJOH IBT CFFO NFBTVSFE CZ UIF 8."1 TBUFMMJUF UIF "UBDBNB $PTNPMPHZ 5FMFTDPQF
"$5
UIF 4PVUI 1PMF 5FMFTDPQF 415
10-"3#&"3 UIF 1MBODL TBUFM
MJUF BOE #*$&1 ,FDL "SSBZ *O UIF GVUVSF "EWBODFE "$5 415( BOE B TUBHF
HSPVOECBTFE $.# FYQFSJNFOU $.# 4
BT XFMM BT UIF 4JNPOT 0CTFSWBUPSZ ѿ XJMM
QSPWJEF IJHI ୮ୢEFMJUZ NBQT PG UIF $.# MFOTJOH DPOWFSHFODF PWFS B MBSHF GSBDUJPO PG UIF TLZ
3FDFOU XPSL IBT BQQMJFE UIJT NFUIPE UP FYJTUJOH TUBHF EBUB BVUIPS DPSSFMBUFE HBMBYZ
QPTJUJPOT GSPN $')5 XJUI HBMBYZ TIBQFT GSPN $')5 BOE $.# MFOTJOH GSPN 1MBODL "TTVN
JOH B ୮ୢYFE DPTNPMPHZ 8."1 PS 1MBODL QBSBNFUFST
BOE LOPXO QIPUPNFUSJD SFETIJG୴ FSSPST
UIFZ DPOTUSBJO UIF TIFBS CJBT JO UIF $')5 TIBQF DBUBMPH ୮ୢOEJOH B TIFBS CJBT MPXFS UIBO VOJUZ
BU 2 − 4σ )PXFWFS B TIJG୴ JO UIF DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST B EJ୭GFSFOU SFETIJG୴FWPMVUJPO PG
UIF HBMBYZ CJBT PS VODIBSBDUFSJ[FE QIPUPNFUSJD SFETIJG୴ FSSPST NJHIU FYQMBJO UIJT UFOTJPO 4JN
JMBSMZ BVUIPS DPSSFMBUFE HBMBYZ QPTJUJPOT GSPN %&4 XJUI HBMBYZ TIBQFT GSPN %&4 BOE
$.# MFOTJOH GSPN 415 UP DPOTUSBJO UIF TIFBS CJBT BOE BO PWFSBMM BEEJUJWF QIPUPNFUSJD SFE
TIJG୴ CJBT 5IF DPOTUSBJOUT PO TIFBS CJBT BSF PCUBJOFE CZ ୮ୢYJOH DPTNPMPHZ BOE UIF QIPUP[ CJBT
UP ୮ୢEVDJBM WBMVFT $SPTTDPSSFMBUJPOT CFUXFFO HBMBYZ TIFBS BOE $.# MFOTJOH IBWF CFFO NFB
TVSFE *O UIF DPNCJOBUJPO PG HBMBYZ TIFBS BOE $.# MFOTJOH JT GPSFDBTUFE UP JN
ѿ
%11-0ǥȇȇ0&*,+0,0"/31,/6ǣ,/$ȇ&+!"5ǣ%1*)
QSPWF EBSL FOFSHZ BOE OFVUSJOP NBTT DPOTUSBJOUT *O UIF $.# MFOTJOH GSPN 1MBODL BOE UIF
HBMBYZ MFOTJOH GSPN $')5-FO4 JT NFBTVSFE BSPVOE $."44 IBMPT ZJFMEJOH B 15% NFBTVSF
NFOU PG B DPTNPHSBQIJD EJTUBODF SBUJP 'JOBMMZ NFBTVSFE BMM UIF UXPQPJOU DPSSFMBUJPOT PG
HBMBYZ QPTJUJPOT BOE TIFBS GSPN 4%44 BOE $.# DPOWFSHFODF GSPN 1MBODL BOE DPOTUSBJOFE JO
UVSO HBMBYZ CJBT UP 2% BDDVSBDZ DPTNPMPHZ TIFBS NVMUJQMJDBUJWF CJBT UP 15% BOE EJTUBODF SBUJP
UP 10% 8IJMF UIFTF TUVEJFT DVSSFOUMZ DPOTUSBJO UIF TIFBS CJBT UP 10% GBS GSPN DVS
SFOU TUBUFPGUIFBSU DBMJCSBUJPOT GSPN TJNVMBUJPOT UIFZ DPOTUJUVUF WFSZ FODPVSBHJOH ୮ୢSTU TUFQT
JO VTJOH $.# MFOTJOH BOE TQFDUSPTDPQJD EBUB UP DBMJCSBUF UIF TIFBS CJBT
*O UIJT QBQFS XF BEESFTT UIF GPMMPXJOH RVFTUJPOT DBO $.# MFOTJOH DBMJCSBUF UIF TIFBS CJBT
EPXO UP UIF SFRVJSFNFOUT PG TUBHF TVSWFZT *T UIJT NFUIPE DPNQFUJUJWF XJUI JNBHF TJNVMB
UJPOT *T UIJT QPTTJCMF XJUIPVU BSCJUSBSJMZ ୮ୢYJOH DPTNPMPHJDBM BOE OVJTBODF QBSBNFUFST )PX
SPCVTU JT UIJT DBMJCSBUJPO UP QIPUPNFUSJD SFETIJG୴ VODFSUBJOUJFT BOE JOUSJOTJD BMJHONFOUT 5P
BOTXFS UIFTF RVFTUJPOT JO B SFBMJTUJD XBZ XF TJNVMBUF UIF GVMM KPJOU BOBMZTJT PG XFBL MFOTJOH
QIPUPNFUSJD DMVTUFSJOH BOE $.# MFOTJOH 8F DPNQVUF UIF GVMM DPWBSJBODFT GPS BMM UIF UXPQPJOU
BVUP BOE DSPTTDPSSFMBUJPOT JODMVEJOH UIF OPO(BVTTJBO DPWBSJBODFT XIJDI EPNJOBUF PO TNBMM
TDBMFT 8F BOBMZ[F UIF GVMM MJLFMJIPPE GVODUJPO XJUI .POUF $BSMP .BSLPW $IBJOT .$.$
BM
MPXJOH GPS B QPUFOUJBMMZ OPO(BVTTJBO QPTUFSJPS EJTUSJCVUJPO 5IJT JT QBSUJDVMBSMZ SFMFWBOU XIFO
BTTFTTJOH OPOMJOFBS EFHFOFSBDJFT CFUXFFO QBSBNFUFST 8F DPNQBSF UIFTF .$.$ GPSFDBTUT XJUI
'JTIFS GPSFDBTUT UIVT BTTFTTJOH QPUFOUJBM EFQBSUVSFT GSPN (BVTTJBOJUZ PG UIF QPTUFSJPS EJTUSJ
CVUJPOT 8F UFTU UIF SPCVTUOFTT PG UIF NFUIPE CZ TJNVMUBOFPVTMZ WBSZJOH TIFBS CJBTFT DPTNP
MPHJDBM QBSBNFUFST HBMBYZ CJBTFT QIPUPNFUSJD SFETIJG୴ VODFSUBJOUJFT CJBT JO FBDI UPNPHSBQIJD
CJO BOE PWFSBMM TDBUUFS
BOE CZ DPOUBNJOBUJOH UIF TJNVMBUFE EBUB XJUI JOUSJOTJD BMJHONFOU 8F
FYUFOE UIF $ঘজখঘ-঒ঔ঎ GSBNFXPSL UP JODMVEF $.# MFOTJOH BOE QSPEVDF UIF NPTU SFBMJTUJD
GPSFDBTU UP EBUF GPS -445&VDMJE8'*345 BOE $.# MFOTJOH GSPN B TUBHF $.# FYQFSJNFOU
(JWFO UIF JNQPSUBODF PG UIJT SFTVMU BOE BT BO JOQVU GPS UIF EFTJHO PG $.# 4 XF WBSZ UIF
EFQUI SFTPMVUJPO BOE NBYJNVN NVMUJQPMF PG UIF $.# FYQFSJNFOU BOE TIPX UIF SPCVTUOFTT
PG UIJT TIFBS DBMJCSBUJPO NFUIPE
5IJT QBQFS JT PSHBOJ[FE BT GPMMPXT *O 4FD XF EFTDSJCF UIF PCTFSWBCMFT DPOTJEFSFE UIF
TVSWFZ TQFDJ୮ୢDBUJPOT UIF TZTUFNBUJD F୭GFDUT JODMVEFE BOE UIF TJNVMBUFE MJLFMJIPPE *O 4FD XF SFWJTJU UIF -445 SFRVJSFNFOUT BOE TIPX UIBU TFMGDBMJCSBUJPO PG UIF TIFBS CJBTFT XJUI -445
BMPOF JT QPTTJCMF EPXO UP 1 − 2% 5IF DBMJCSBUJPO PG TIFBS NVMUJQMJDBUJWF CJBT EPXO UP UIF
-445 SFRVJSFNFOUT CZ VTJOH TUBHF $.# MFOTJOH JT QSFTFOUFE JO 4FD BMPOH XJUI UIF JN
QBDU PG JOUSJOTJD BMJHONFOUT 8F TIPX UIF JNQPSUBODF PG TFOTJUJWJUZ BOE SFTPMVUJPO GPS $.# 4
JO 4FD UIF SPCVTUOFTT UP QIPUPNFUSJD SFETIJG୴ VODFSUBJOUJFT JO 4FD UP OPOMJOFBSJUJFT
BOE CBSZPOJD F୭GFDUT JO 4FD BOE QSFTFOU GPSFDBTUT GPS &VDMJE BOE 8'*345 JOTUFBE PG -445
JO 4FD 4঒খঞকঊঝ঎঍ ওঘ঒গঝ ঊগঊকঢজ঒জ ঘএ -445 $.# 4 খ঎ঝ঑ঘ঍
0ঋজ঎ছটঊঋক঎জ g κ‫ ܝܒܘ‬κ$.#
8F VTF UIF QSPKFDUFE HBMBYZ EFOTJUZ ୮ୢFME g UIF DPOWFSHFODF κHBM GSPN HBMBYZ TIBQFT BOE κ$.#
GSPN $.# MFOTJOH SFDPOTUSVDUJPO BT QSPCFT PG UIF NBUUFS EFOTJUZ ୮ୢFME 8F DPOTJEFS UXP EJT
UJODU HBMBYZ TBNQMFT GPS g BOE κHBM XJUI EJTUJODU SFETIJG୴ EJTUSJCVUJPOT BOE UPNPHSBQIJD CJOT
BT EFUBJMFE JO 4FDU &BDI PCTFSWBCMF A ∈
0
1
g, κHBM , κ$.# JT B QSPKFDUJPO PG UIF EFOTJUZ
DPOUSBTU δ XFJHIUFE CZ BO F୭୮ୢDJFODZ LFSOFM WA A(n̂) =
dχ WA (χ) δ(χn̂, χ)
5IVT UIF DSPTTTQFDUSVN CAB PG PCTFSWBCMFT A, B JT SFMBUFE UP UIF NBUUFS QPXFS TQFDUSVN Pm
WJB
CAB
=
dχ
+ 1/2
WA (χ)WB (χ) Pm (k =
, χ),
2
χ
χ
JO UIF -JNCFS BOE ୯୳BU TLZ BQQSPYJNBUJPOT 5ISPVHIPVU XF BTTVNF B ୯୳BU DPTNPMPHZ BOE UIFSF
GPSF FRVBUF DPNPWJOH SBEJBM BOE USBOTWFSTF EJTUBODFT 'PS UIF QSPKFDUFE EFOTJUZ ୮ୢFME gi JO SFE
TIJG୴ CJO i UIF F୭୮ୢDJFODZ LFSOFM JT
1 dni dz
, XJUI ni =
Wgi (χ) = bg (z)
ni dz dχ
dz
dni
,
dz
BOE dni /dz JT UIF SFETIJG୴ EJTUSJCVUJPO PG UIF HBMBYJFT JO UIF iUI CJO 'PS B TPVSDF BU DPNPWJOH
EJTUBODF χS UIF MFOTJOH F୭୮ୢDJFODZ JT
3
Wκ (χ, χS ) =
2
H0
c
2
Ω0m
χ
(1 − χ/χS )
a(χ)
5IVT UIF $.# MFOTJOH F୭୮ୢDJFODZ JT TJNQMZ Wκ$.# (χ) = Wκ (χ, χ-44 ) XIFSF χ-44 JT UIF DP
NPWJOH EJTUBODF UP UIF TVSGBDF PG MBTU TDBUUFSJOH BU z ∼ 1100 TFF DVSWF JO 'JH 'PS UIF
DPOWFSHFODF κHBM,i JO UIF UPNPHSBQIJD CJO i UIF F୭୮ୢDJFODZ LFSOFM JT PCUBJOFE CZ JOUFHSBUJOH PWFS
UIF TPVSDF EJTUSJCVUJPO JO UIF TBNF CJO
WκHBM,i (χ) =
1
nTPVSDF,i
dzS
dnTPVSDF,i
Wκ (χ, χ(zS )),
dzS
*O UIJT TJNVMBUFE BOBMZTJT XF DPNQVUF BMM UIF DSPTT BOE BVUPTQFDUSB PG g κHBM BOE κ$.# JO
gg
EJ୭GFSFOU UPNPHSBQIJD SFETIJG୴ CJOT 5IF BOBMZTJT UIFSFGPSF JODMVEFT HBMBYZ DMVTUFSJOH C i j g κHBM,j
HBMBYZHBMBYZ MFOTJOH C i
κ
HBMBYZ$.# MFOTJOH Cgi κ$.# DPTNJD TIFBS UPNPHSBQIZ C HBM,i
κ$.# κHBM,j
$.# MFOTJOH QPXFS TQFDUSVN Cκ$.# κ$.# BOE $.# MFOTJOHHBMBYZ MFOTJOH C
κHBM,j
0VS
TQFDJ୮ୢD BTTVNQUJPOT BCPVU $.# 4 BOE -445 BSF EFUBJMFE JO UIF OFYU TFDUJPOT BT XFMM BT UIF
USFBUNFOU PG UIF TZTUFNBUJD F୭GFDUT
$.# 4 জঙ঎ঌ঒এ঒ঌঊঝ঒ঘগজ
8F TJNVMBUF B 4UBHF $.# FYQFSJNFOU $.# 4
XJUI TQFDJ୮ୢDBUJPOT QSFTFOUFE JO 'JH 8F BTTVNF GVMM PWFSMBQ XJUI -445 IJHI SFTPMVUJPO CFBN '8).= 1 BOE TFOTJUJWJUZ XIJUF
OPJTF MFWFM 1μK 'PMMPXJOH XF BTTVNF UIBU UIF SFTVMUJOH DMFBOFE $.# UFNQFSBUVSF NBQ DPWFST NVMUJQPMFT
GSPN NJO = 30 UP NBY = 3000 BOE UIBU UIF SFTVMUJOH & BOE # QPMBSJ[BUJPO NBQT FYUFOE GSPN
NJO = 30 UP NBY = 5000 *O UIJT QBQFS XF VTF UIF SFDPOTUSVDUFE DPOWFSHFODF NBQ κ$.#
CFUXFFO = 30 BOE = 5000 5IF WBMVF PG NBY JT NBJOMZ B TUBUFNFOU BCPVU DPNQPOFOU
TFQBSBUJPO UIPVHIU UP CF NPSF F୭GFDUJWF JO QPMBSJ[BUJPO UIBO UFNQFSBUVSF "DDFTTJOH UIF MPX
NVMUJQPMFT EPXO UP NJO = 30 JO UFNQFSBUVSF BOE QPMBSJ[BUJPO JT WFSZ DIBMMFOHJOH GSPN UIF
HSPVOE BOE XJMM MJLFMZ SFRVJSF JODMVEJOH 1MBODL EBUB )PXFWFS UIFTF MPX UFNQFSBUVSF BOE
QPMBSJ[BUJPO NVMUJQPMFT BSF OPU FTTFOUJBM UP UIF MFOT SFDPOTUSVDUJPO XIJDI SFMJFT NPTUMZ PO UIF
TNBMMFS TDBMFT SFDPOTUSVDUJOH UIF NJO = 30 NPEFT PG UIF $.# MFOTJOH DPOWFSHFODF EPFT OPU
SFRVJSF UIF NJO = 30 NPEFT PG UFNQFSBUVSF PS QPMBSJ[BUJPO
"T BO JOQVU GPS UIF EFTJHO PG $.# 4 XF RVBOUJGZ UIF TFQBSBUF JNQBDUT PG SFTPMVUJPO EFQUI
BOE F୭GFDUJWFOFTT PG DPNQPOFOU TFQBSBUJPO JO 4FD 0VS MJLFMJIPPE BOBMZTJT VTFT UIF SFDPOTUSVDUFE DPOWFSHFODF κ$.# GSPN $.# 4 BOE BTTVNFT
UIF NJOJNVN WBSJBODF RVBESBUJD FTUJNBUPS GSPN 5IJT NJOJNVN WBSJBODF FTUJNBUPS JT UIF
PQUJNBM MJOFBS DPNCJOBUJPO PG UIF RVBESBUJD FTUJNBUPST GSPN UFNQFSBUVSF BOE & BOE # QPMBS
J[BUJPOT 5IF DPSSFTQPOEJOH SFDPOTUSVDUJPO OPJTF JT TIPXO JO 'JH UIF SFDPOTUSVDUFE DPOWFS
HFODF JT DPTNJD WBSJBODF MJNJUFE VQ UP = 1000 "U UIF SFTPMVUJPO BOE TFOTJUJWJUZ DPOTJEFSFE
JUFSBUJWF UFDIOJRVFT NBLJOH VTF PG UIF GVMM MJLFMJIPPE GVODUJPO GPS UIF $.# DPOWFSHFODF NBZ
JNQSPWF UIF SFDPOTUSVDUJPO OPJTF CZ B GBDUPS PG PSEFS VOJUZ DPNQBSFE UP UIF NJOJNVN WBSJ
BODF RVBESBUJD FTUJNBUPS 6TJOH POMZ UIF RVBESBUJD FTUJNBUPST HJWFT B DPOTFSWBUJWF GPSFDBTU
GPS $.# 4 MFOTJOH
8F EP OPU JODMVEF UFNQFSBUVSF BOE QPMBSJ[BUJPO QPXFS TQFDUSB GSPN $.# 4 OPS 1MBODL
QSJPST PO DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST XF XJTI UP VTF UIF NJOJNBM OVNCFS PG QSPCFT JO UIF TIFBS
DBMJCSBUJPO 'VSUIFSNPSF HJWFO UIF IJHI TUBUJTUJDBM TJHOBM UP OPJTF B DPOTJTUFOU BOBMZTJT NJHIU
OFFE UP BDDPVOU GPS DPSSFMBUJPOT CFUXFFO UIF $.# UFNQFSBUVSF BOE QPMBSJ[BUJPO BOE UIF MBSHF
TDBMF TUSVDUVSF 8F GPVOE UIBU JODMVEJOH 1MBODL QSJPST PO DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST JNQSPWFT
UIF TIFBS DBMJCSBUJPO CZ TFWFSBM UFOT PG QFSDFOU
$.# 4 TQFDJ୮ୢDBUJPOT
Ωs
EFH2 fTLZ = 44%
CFBN
'8).= 1
XIJUF OPJTF 1μK GPS 5 1.4μK GPS &#
NJO
GPS 5 & # κ$.#
NBY
GPS 5 GPS & # κ$.#
( + 1)Cdd/(2π)
10−5
10−6
signal
TT
TE
TB
EE
EB
min. var.
10−7
10−8
10−9 0
10
101
102
103
)LJXUH $VVXPHG VSHFLĆFDWLRQV IRU &0% 6
/HIW SDQHO $VVXPHG VXUYH\ DUHD UHVROXWLRQ VHQVLWLYLW\ DQG OLPLWV 7KH FXWRII PD[ LV GHWHUPLQHG E\ RXU DELOLW\ WR HIIHFWLYHO\
UHPRYH IRUHJURXQGV ZLWK PXOWLIUHTXHQF\ GDWD DQG WKH YDOXHV DVVXPHG KHUH UHSUHVHQW UHDVRQDEOH DVVXPSWLRQV
/HIW SDQHO &RUUHVSRQGLQJ QRLVH SHU PRGH IRU WKH YDULRXV TXDGUDWLF HVWLPDWRUV FRORUHG OLQHV DQG IRU WKH PLQLPXP
YDULDQFH TXDGUDWLF HVWLPDWRU VROLG EODFN OLQH FRPSDUHG WR WKH DPSOLWXGH RI WKH &0% OHQVLQJ VLJQDO GDVKHG EODFN OLQH
7KH &0% OHQVLQJ FRQYHUJHQFH LV FRVPLF YDULDQFH OLPLWHG XS WR = 1000
-445 জঙ঎ঌ঒এ঒ঌঊঝ঒ঘগজ
'PMMPXJOH DMPTFMZ XF TJNVMBUF BO -445MJLF TVSWFZ PWFS B UPUBM BSFB ΩT = 18, 000 EFH2 5IF BTTVNFE TQFDJ୮ୢDBUJPOT BSF QSFTFOUFE JO 'JH 8F BTTVNF UIF TPVSDF SFETIJG୴ EJTUSJCVUJPO UP GPMMPX dnTPVSDF /dz ∝ z α e−(z/z0 ) XJUI α =
β
1.27, β = 1.02, z0 = 0.5 XJUI B UPUBM OVNCFS EFOTJUZ nTPVSDF = 26 BSDNJO−2 BOE B TIBQF
OPJTF σ = 0.26 JO FBDI FMMJQUJDJUZ DPNQPOFOU 8F TQMJU UIF TPVSDF HBMBYJFT JOUP UPNPHSBQIJD
SFETIJG୴ CJOT
5IF BTTVNFE HBMBYZ MFOT TBNQMF JT TJNJMBS UP UIF SFE.B(J$ TBNQMF XJUI B DPOTUBOU DP
NPWJOH WPMVNF EFOTJUZ n̄lens (z) = 10−3 (h/Mpc)3 BOE DPSSFTQPOEJOH SFETIJG୴ EJTUSJCVUJPO
dnMFOT /dz ∝ χ(z)2 /H(z) HJWJOH B UPUBM OVNCFS EFOTJUZ PG nMFOT = 0.25 BSDNJO−2 8F TQMJU
UIFTF HBMBYJFT JOUP UPNPHSBQIJD CJOT 5IF MFOT TBNQMF JT BMTP VTFE BT UIF DMVTUFSJOH TBNQMF
UIF TBNF QSPKFDUFE HBMBYZ EFOTJUZ ୮ୢFME g JT VTFE GPS DMVTUFSJOH BOE MFOTJOHUSBDFS DPSSFMBUJPOT *O
CPUI DBTFT XF POMZ VTF UIF NPEFT XJUI ≥ 20 BOE 2πχ(zNFBO )/ > 10 .QDI DPSSFTQPOE
JOH UP UIF TNBMMFTU TDBMF XIFSF XF BTTVNF MJOFBS CJBTJOH UP CF WBMJE *O QSBDUJDF UIJT DPSSFTQPOET
UP NBY = 420, 714, 930 BOE 1212 SFTQFDUJWFMZ GPS UIF GPVS SFETIJG୴ CJOT 8F JOUSPEVDF UIF
F୭GFDUJWF HBMBYZ CJBT biH GPS FBDI CJO i BT OVJTBODF QBSBNFUFST 4FWFSBM DPNNFOUT BSF JO PSEFS
8F IBWF TFMFDUFE B DMVTUFSJOH BOE MFOT TBNQMF XJUI FYDFMMFOU QIPUP[ BDDVSBDZ TFF OFYU TVC
TFDUJPO
JO PSEFS UP HFU B SPCVTU TIFBS DBMJCSBUJPO 'PS UIJT SFBTPO XF IBWF SFTUSJDUFE UIF MFOT
TBNQMF UP z < 1 CFZPOE XIJDI QIPUP[ BDDVSBDZ JT FYQFDUFE UP EFHSBEF DPOTJEFSBCMZ 5IJT MJN
JUT UIF TJHOBM UP OPJTF JO DMVTUFSJOH BOE USBDFSMFOTJOH DPSSFMBUJPOT DPOTJEFSBCMZ "T B SFTVMU PVS
GPSFDBTU GPS TIFBS DBMJCSBUJPO GSPN EBUB DPNCJOBUJPOT JOWPMWJOH DMVTUFSJOH BOE USBDFSMFOTJOH
TIPVME CF DPOTJEFSFE WFSZ DPOTFSWBUJWF 8F OPUF IPXFWFS UIBU UIF DPNPWJOH WPMVNF EFOTJUZ PG
UIJT SFE.B(J(MJLF TBNQMF JT OPU MJNJUJOH UIF HBMBYZ TIPU OPJTF JO UIJT TBNQMF JT TVCEPNJOBOU
PO BMNPTU BMM UIF TDBMFT XF SFUBJO
'PS UIF DPOWFSHFODF ୮ୢFME κHBM XF VTF BMM UIF NPEFT 20 ≤ ≤ 5000 5IJT JT UIF DVSSFOU CBTF
MJOF GPS MFOTJOH GPSFDBTUT XJUI -445 0O UIF TNBMMFTU TDBMFT CBSZPOJD F୭GFDUT JO UIF NBUUFS QPXFS
TQFDUSVN NBZ DPOTUJUVUF B TPVSDF PG TZTUFNBUJD FSSPS 8F EJTDVTT JU JO UIF OFYU TVCTFDUJPO
4ঢজঝ঎খঊঝ঒ঌজ গঞ঒জঊগঌ঎ ঙঊছঊখ঎ঝ঎ছজ
*O BEEJUJPO UP UIF CBTJD -445 TVSWFZ QBSBNFUFST TVNNBSJ[FE BCPWF UIJT TFDUJPO TQFDJ୮ୢFT PVS
EFUBJMFE BTTVNQUJPOT PO TZTUFNBUJD VODFSUBJOUJFT B୭GFDUJOH UIF -445 HBMBYZ TBNQMFT
1঑ঘঝঘখ঎ঝছ঒ঌ ছ঎঍জ঑঒এঝ ঞগঌ঎ছঝঊ঒গঝ঒঎জ
8F BTTVNF (BVTTJBO QIPUPNFUSJD SFETIJG୴ VODFSUBJOUJFT XJUI B CJBT Δz BOE TDBUUFS σz TVDI
UIBU
2 zQI − z − Δz
1
exp −
p zQI |z = 2σz2
2πσz2
JT UIF QSPCBCJMJUZ PG NFBTVSJOH UIF QIPUP[ zQI HJWFO B HBMBYZ XJUI USVF SFETIJG୴ z 5IJT BQ
QSPBDI OFHMFDUT DBUBTUSPQIJD QIPUP[ GBJMVSFT 3FBMJTUJD EJTUSJCVUJPOT GPS p zQI |z DBO CF
NVDI DPNQMFY IPXFWFS B DBSFGVM USFBUNFOU PG QIPUP[ PVUMJFST JT CFZPOE UIF TDPQF PG UIJT QB
QFS 8F TQMJU UIF MFOT TBNQMF JOUP UPNPHSBQIJD CJOT z ∈ (0.2 − 0.4), (0.4 − 0.6), (0.6 −
0.8), (0.8 − 1) 8F TQMJU UIF TPVSDF TBNQMF JOUP UPNPHSBQIJD CJOT XJUI FRVBM OVNCFS PG PC
KFDUT QFS CJO 5IFTF CJOT BSF EF୮ୢOFE CZ TIBSQ QIPUP[ DVUT BOE UIFSFGPSF IBWF PWFSMBQQJOH USVF
SFETIJG୴ EJTUSJCVUJPOT dnMFOTTPVSDF
dnMFOTTPVSDF,i
=
dz
dz
zQI ∈ CJO i
dzQI p(zQI |z).
5IFTF SFETIJG୴ EJTUSJCVUJPOT BSF TIPXO JO 'JH 5IF MBSHF OVNCFS PG UPNPHSBQIJD CJOT GPS
UIF MFOT BOE TPVSDF TBNQMFT JT KVTUJ୮ୢFE B QPTUFSJPSJ CZ UIF HPPE TJHOBM UP OPJTF SBUJP 4/3
BOE
MPX DPSSFMBUJPO DPF୭୮ୢDJFOU GPS UIF WBSJPVT CJOT BOE UPNPHSBQIJD CJOT 'PS FBDI MFOT PS TPVSDF
CJO XF JOUSPEVDF B CJBT Δ[MFOTTPVSDF,i BT XFMM BT BO PWFSBMM TDBUUFS σz,MFOTTPVSDF /(1 + z) SFTVMUJOH JO
OVJTBODF QBSBNFUFST 8F NBSHJOBMJ[F PWFS UIFTF OVJTBODF QBSBNFUFST XJUI QSJPST BT JOEJDBUFE
JO 5BCMF .ঞকঝ঒ঙক঒ঌঊঝ঒ট঎ জ঑঎ঊছ ঋ঒ঊজ
8F EFTDSJCF TIFBS DBMJCSBUJPO VODFSUBJOUJFT WJB BO PWFSBMM TIFBS NVMUJQMJDBUJWF CJBT mi GPS FBDI
TPVSDF CJO i SFTVMUJOH JO OVJTBODF QBSBNFUFST κHBM,i −→ (1 + mi ) κHBM,i 5IF HPBM PG UIJT
BOBMZTJT JT UP GPSFDBTU UIF DPOTUSBJOUT PO mi XJUI BOE XJUIPVU QSJPST 5IJT QBSBNFUFSJ[BUJPO PG
UIF NVMUJQMJDBUJWF TIFBS CJBT GPMMPXT BOE JT UIF POF VTFE JO TUBUFPGUIFBSU HBMBYZ MFOTJOH EBUB
BOBMZTJT FH 4FWFSBM DPNNFOUT BSF JO PSEFS
'PS B HJWFO SFETIJG୴ CJO XF BTTVNF UIBU UIF TIFBS CJBT JT B TDBMBS RVBOUJUZ *O QSJODJQMF UIF
PCTFSWFE TIFBS JT B UFOTPS TP UIF NVMUJQMJDBUJWF CJBT PO FBDI DPNQPOFOU PG UIF UFOTPS DPVME CF
EJ୭GFSFOU *O QSBDUJDF UIPVHI UIF UXP DPNQPOFOUT PG UIF NVMUJQMJDBUJWF CJBT BSF GPVOE UP CF
TJNJMBS XIFO FTUJNBUFE TFQBSBUFMZ 5IJT KVTUJ୮ୢFT PVS BTTVNQUJPO PG B TDBMBS TIFBS NVMUJQMJDB
UJWF CJBT
8F BTTVNF UIBU UIF TIFBS CJBTFT mi GPS UIF WBSJPVT TPVSDF CJOT BSF JOEFQFOEFOU 5IJT JT MJLFMZ
OPU UIF DBTF GPS BU MFBTU UXP SFBTPOT 'JSTU XIBUFWFS QSPDFTT DBVTFT UIF TIFBS CJBT FH FSSPST
JO UIF NPEFMJOH PG UIF HBMBYZ QPQVMBUJPO PS NPSQIPMPHJFT
JT MJLFMZ UP WBSZ TNPPUIMZ XJUI SFE
TIJG୴ 4FDPOE VODFSUBJOUJFT JO UIF QIPUPNFUSJD SFETIJG୴T PG HBMBYJFT DBVTF B NJYJOH CFUXFFO UIF
HBMBYJFT PG OFJHICPSJOH CJOT XIJDI UFOET UP FRVBMJ[F UIF TIFBS CJBT JO UIF DPSSFTQPOEJOH CJOT
"T B SFTVMU POF XPVME FYQFDU TPNF DPSSFMBUJPO CFUXFFO UIF TIFBS CJBTFT PG UIF EJ୭GFSFOU SFETIJG୴
CJOT 0OF DPVME UIFSFGPSF JODMVEF QSJPST PO UIF TIFBS CJBTFT PG UIF WBSJPVT SFETIJG୴ CJOT UP UBLF
JOUP BDDPVOU UIJT DPSSFMBUJPO )PXFWFS EFSJWJOH SFBMJTUJD TVDI QSJPST JT CFZPOE UIF TDPQF PG UIJT
QBQFS 'VSUIFSNPSF NBLJOH UIF TIFBS CJBTFT DPSSFMBUFE F୭GFDUJWFMZ SFEVDFT UIF OVNCFS PG UIFTF
OVJTBODF QBSBNFUFST XIJDI TIPVME UIFSFGPSF JNQSPWF UIF SFTVMUJOH DPOTUSBJOUT *O DPODMVTJPO
PVS BTTVNQUJPO PG JOEFQFOEFOU NVMUJQMJDBUJWF CJBTFT JT DPOTFSWBUJWF BOE BEEJOH FYUSB LOPXM
FEHF PO UIFJS DPSSFMBUJPOT XJMM POMZ JNQSPWF UIF SFTVMUT QSFTFOUFE IFSF
8F JHOPSF BOZ TDBMFEFQFOEFODF JF EFQFOEFODF
PG UIF TIFBS CJBTFT 4DBMFEFQFOEFODF PG
UIF TIFBS CJBTFT DBO CF NBSHJOBMJ[FE PWFS JG B UFNQMBUF FYJTUT JF JG UIF TDBMFEFQFOEFODF IBT B
LOPXO TIBQF 5IJT JT OPU DVSSFOUMZ EPOF JO TUBUFPGUIFBSU HBMBYZ MFOTJOH BOBMZTFT FH BOE QSPQPTJOH SFBMJTUJD UFNQMBUFT GPS UIF TDBMFEFQFOEFODF PG UIF TIFBS CJBT JT CFZPOE UIF TDPQF
PG UIJT QBQFS
*গঝছ঒গজ঒ঌ "ক঒ঐগখ঎গঝজ
5P BTTFTT UIF QPUFOUJBM DPOUBNJOBUJPO GSPN HBMBYZ JOUSJOTJD BMJHONFOUT *"
XF JODMVEF UIF
*" DPOUBNJOBUJPO JO UIF EBUB WFDUPS CVU EP OPU BDDPVOU GPS UIF DPOUBNJOBUJPO JO UIF BOBMZ
TJT 8F NPEFM *" VTJOH UIF OPOMJOFBS MJOFBS BMJHONFOU /-"
NPEFM GPS SFE HBMBYJFT
BOE OFHMFDU UIF QMBVTJCMF CVU NVDI XFBLFS BMJHONFOU PG CMVF HBMBYJFT 8F DBMDVMBUF
UIF FYQFDUFE JOUSJOTJD BMJHONFOU BNQMJUVEF CZ BWFSBHJOH UIF PCTFSWFE SFETIJG୴ BOE MVNJOPTJUZ
EFQFOEFODF PG UIF JOUSJOTJD BMJHONFOU BNQMJUVEF PG SFE HBMBYJFT JO UIF .FHB;ୖ-3( TBNQMF PWFS UIF MVNJOPTJUZ GVODUJPO PG TPVSDF HBMBYJFT GPS XIJDI XF FYUSBQPMBUF UIF SCBOE MVNJOPTJUZ
GVODUJPO NFBTVSFNFOUT GSPN UIF ("." TVSWFZ UP -445 EFQUI TFF GPS EFUBJMT
6OBDDPVOUFE *" CJBTFT UIF TIFBS FTUJNBUFE GSPN HBMBYZ TIBQFT BOE DBO UIFSFGPSF B୭GFDU
BMM DSPTTDPSSFMBUJPOT JOWPMWJOH BU MFBTU POF κHBM 8F DBMDVMBUF UIF DPOUBNJOBUJPO PG gκHBM BOE
κHBM κHBM GPMMPXJOH BOE UIF DPOUBNJOBUJPO PG κHBM κ$.# GPMMPXJOH " EFUBJMFE TUVEZ PG BMM FYJTUJOH *" NPEFMT BOE NJUJHBUJPO UFDIOJRVFT JT CFZPOE UIF TDPQF PG
UIJT QBQFS JO UIF DBTF PG DPTNJD TIFBS XJUI -445 XF SFGFS UIF SFBEFS UP /ঘগক঒গ঎ঊছ঒ঝ঒঎জ ঊগ঍ ঋঊছঢঘগ঒ঌ ঎এএ঎ঌঝজ
8F BDDPVOU GPS OPOMJOFBSJUJFT JO UIF DPWBSJBODF NBUSJY CZ JODMVEJOH UIF OPOMJOFBS USJTQFDUSVN
UFSNT BT XFMM BT UIF TVQFSTBNQMF DPWBSJBODFT BT JO 'PS UIF QSPKFDUFE EFOTJUZ ୮ୢFME g XF EJTDBSE UIF TNBMM TDBMFT TFF QSFWJPVT TVCTFDUJPO
XIFSF
MJOFBS CJBT NJHIU OP MPOHFS CF WBMJE 5IJT MJNJUT UIF QPUFOUJBM F୭GFDU PG CBSZPOT 'PS UIF MFOTJOH
DPOWFSHFODF κHBM XF EP OPU JODMVEF BOZ VODFSUBJOUZ JO UIF NPEFMJOH PG UIF OPOMJOFBS QPXFS
TQFDUSVN PS UIF CBSZPOJD F୭GFDUT )PXFWFS XF TIPX JO 4FD UIBU UIF TIFBS DBMJCSBUJPO JT
POMZ EFHSBEFE CZ 10 − 40% XIFO WBSZJOH UIF NBYJNVN NVMUJQPMF NBY GSPN PVS ୮ୢEVDJBM WBMVF
PG 5, 000 EPXO UP 1, 000
#঒ঊজ঎জ ঒গ ঝ঑঎ $.# ক঎গজ঒গঐ ছ঎ঌঘগজঝছঞঌঝ঒ঘগ
5IF RVBESBUJD FTUJNBUPST GPS $.# MFOTJOH FYQMPJU UIF TUBUJTUJDBM JTPUSPQZ PG UIF QSJNBSZ $.#
"OZ DPNQPOFOU UIBU CSFBLT UIJT TUBUJTUJDBM JTPUSPQZ XJMM UIFSFGPSF DPOUSJCVUF UP UIF SFDPO
TUSVDUFE κ$.# NBQ 5IJT UIF DBTF PG UIF DPTNJD JOGSBSFE CBDLHSPVOE BT XFMM BT SBEJP QPJOU
TPVSDFT BOE UIFSNBM 4VOZBFW;FM‫ؠ‬EPWJDI DMVTUFST XIFUIFS UIFZ BSF SFTPMWFE PS OPU 5IFTF TPVSDFT
NBZ DPOUBNJOBUF UIF DPOWFSHFODF NBQ BOE JUT QPXFS TQFDUSVN BU UIF TVCQFSDFOU UP QFSDFOU
MFWFM CVU NJUJHBUJPO UFDIOJRVFT FYJTU *O UIJT BOBMZTJT XF EP OPU UBLF JOUP BDDPVOU UIFTF
QPUFOUJBM CJBTFT
'JOBMMZ GPS UIF QVSQPTF PG DBMJCSBUJOH UIF TIFBS CJBT JU JT VTFGVM UP DPNQBSF UIF GPMMPXJOH UXP
DPNCJOBUJPOT
⎞
⎛
D$PNCJ = ⎝ Cκ$.# κ$.# ,
2 34 5
$.# MFOTJOH BVUP
⎛
D$PNCJ = ⎝ C i j ,
2 34 5
gg
DMVTUFSJOH
HBM,j
C
, C HBM,i HBM,j ⎠
2 34 5
2 34 5
$.# MFOTJOHHBMBYZ MFOTJOH
TIFBS UPNPHSBQIZ
⎞
κ$.# κ
Cgi κ$.# ,
2 34 5
HBMBYZ $.# MFOTJOH
κ
κ
C i HBM,j . ⎠
2 34 5
gκ
HBMBYZHBMBYZ MFOTJOH
$PNCJOBUJPO DPSSFTQPOET UP UIF KPJOU BOBMZTJT PG $.# MFOTJOH BOE -445 HBMBYZ TIBQFT
UISPVHI UIFJS BVUP BOE DSPTTDPSSFMBUJPOT *U VTFT POMZ MFOTJOHMFOTJOH DPSSFMBUJPOT 5IJT DPN
CJOBUJPO JT OBUVSBM TJODF UIF $.# JT EJTUPSUFE CZ UIF TBNF GPSFHSPVOE NBTT EJTUSJCVUJPO BT
UIF HBMBYZ TIBQFT BMUIPVHI XJUI B TMJHIUMZ EJ୭GFSFOU F୭୮ୢDJFODZ LFSOFM
BOE TP POF XPVME MJLF
UP DPNQBSF UIF UXP DPOWFSHFODF NBQT EJSFDUMZ XIJDI DBO CF EPOF XJUI UIF BVUP BOE DSPTT
TQFDUSB PG κ$.# BOE κHBM $PNCJOBUJPO DPNQBSFT $.# MFOTJOH BOE HBMBYZ TIBQFT UISPVHI DSPTTDPSSFMBUJPO XJUI
UIF MFOT TBNQMF BOE BEET DMVTUFSJOH *U VTFT USBDFSMFOTJOH BOE USBDFSUSBDFS DPSSFMBUJPOT 5IJT
DPNCJOBUJPO IBT UIF BEWBOUBHF PG POMZ VTJOH DSPTTDPSSFMBUJPOT PG UIF DPOWFSHFODF ୮ୢFMET XIJDI
BSF MFTT QSPOF UP TZTUFNBUJD F୭GFDUT UIBO BVUPDPSSFMBUJPOT "T XF XJMM TIPX UIJT DPNCJOBUJPO
IBT TMJHIUMZ MPXFS TUBUJTUJDBM 4/3 CVU JT MFTT B୭GFDUFE CZ JOUSJOTJD BMJHONFOU DPOUBNJOBUJPO TFF
4FD *U JT BMTP MFTT TFOTJUJWF UP VODFSUBJOUJFT JO UIF TNBMMTDBMF QPXFS TQFDUSVN CFDBVTF
PG PVS DVUT JO UIF USBDFS QPQVMBUJPO UIF TJHOBM JT OPU B୭GFDUFE CZ DPNPWJOH TDBMFT CFMPX 10
.QDI 5IJT JT OPU UIF DBTF GPS MFOTJOHMFOTJOH DPSSFMBUJPOT GPS XIJDI B ୮ୢYFE BOHVMBS TDBMF SF
DFJWFT DPOUSJCVUJPOT GSPN BSCJUSBSJMZ TNBMM DPNPWJOH TDBMFT
5IF WBSJPVT EBUB WFDUPST BSF DPNQVUFE BTTVNJOH UIF TVSWFZ QBSBNFUFST 'JH BOE 'JH BOE UIF ୮ୢEVDJBM QBSBNFUFST JO 5BCMF 8F XJTI UP DPOTUSBJO UIF QBSBNFUFST JO 5BCMF GSPN
UIF NPDL EBUB WFDUPS D 5P HJWF WJTVBM JOUVJUJPO PO UIF F୭GFDU PG DPTNPMPHJDBM BOE OVJTBODF QB
SBNFUFST PO UIF PCTFSWBCMFT JO D XF TIPX UIF MPHBSJUINJD EFSJWBUJWFT PG D JO "QQ 5IFTF
HJWF JOTJHIU JOUP UIF EFHFOFSBDJFT CFUXFFO DPTNPMPHJDBM BOE OVJTBODF QBSBNFUFST 8F BTTVNF
B (BVTTJBO MJLFMJIPPE GPS UIF EBUB BOE JHOPSF UIF EFQFOEFODF PG UIF DPWBSJBODF NBUSJY PO QB
SBNFUFST TFF GPS UIF JNQBDU PG WBSZJOH UIF DPWBSJBODF NBUSJY BOE QSBDUJDBM JNQMFNFOUB
UJPOT
ln L(D|Θ) = −
t
1 D − M(Θ) C −1 D − M(Θ) + DPOTUBOU,
2
XIFSF M(Θ) JT UIF NPEFM GPS UIF EBUB D DPNQVUFE JO UIF TBNF XBZ BT UIF EBUB WFDUPS CVU FWBM
VBUFE BU UIF QBSBNFUFST Θ JOTUFBE PG UIFJS ୮ୢEVDJBM WBMVF 5IF (BVTTJBO BQQSPYJNBUJPO JT NPTU
BDDVSBUF BU IJHI XIFSF UIF C FTUJNBUPS BWFSBHFT PWFS B MBSHF OVNCFS PG NPEFT BOE UIF DFO
USBM MJNJU UIFPSFN BQQMJFT "T TIPXO JO WBSZJOH UIF DPWBSJBODF NBUSJY JO UIF (BVTTJBO MJLF
MJIPPE NBZ PWFSFTUJNBUF UIF JOGPSNBUJPO JO UIF EBUB CZ JODMVEJOH TQVSJPVT JOGPSNBUJPO GSPN
UIF WBSJBODF PG UIF EBUB WFDUPS ,FFQJOH UIF DPWBSJBODF NBUSJY ୮ୢYFE JT UIFSFGPSF B DPOTFSWBUJWF
DIPJDF BT UIJT JODMVEFT POMZ UIF JOGPSNBUJPO GSPN UIF NFBO EBUB WFDUPS
8F FYQMPSF UIF QPTUFSJPS EJTUSJCVUJPO XJUI .$.$ TBNQMJOH VTJOH UIF DPEF ঎খঌ঎঎ 5IJT
NFUIPE JT BQQSPQSJBUF GPS QPUFOUJBMMZ OPO(BVTTJBO QPTUFSJPS EJTUSJCVUJPOT 5IJT JT SFMFWBOU JO
UIF DBTF PG OPOMJOFBS EFHFOFSBDJFT 8F TIPX UIF DPOWFSHFODF PG UIF .$.$ DIBJOT JO "QQ 8F BMTP QFSGPSN 'JTIFS GPSFDBTUT BOE WBMJEBUF UIFN BHBJOTU UIF .$.$ GPSFDBTUT JO "QQ $PO୮ୢEFODF JOUFSWBMT GSPN .$.$ BOE 'JTIFS BHSFF UP CFUUFS UIBO 5% XIJDI JT UIF SFTVMU PG
CPUI UIF DPOWFSHFODF PG UIF .$.$ DIBJOT BOE UIF OFBS(BVTTJBOJUZ PG UIF QPTUFSJPS GPS UIF
TIFBS CJBTFT "T FYQMBJOFE FBSMJFS XF EP OPU JODMVEF 1MBODL QSJPST PO DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST
5IF DPWBSJBODF NBUSJY JT TIPXO JO 'JH BOE JODMVEFT UIF (BVTTJBO BOE OPO(BVTTJBO DPO
USJCVUJPOT JODMVEJOH UIF TVQFSTBNQMF DPWBSJBODF 5IFTF DPWBSJBODFT BSF DPN
QVUFE BOBMZUJDBMMZ XJUI $ঘজখঘ-঒ঔ঎ VTJOH )BMP୮ୢU GPS UIF OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSVN BOE
B IBMP NPEFM GPS UIF USJTQFDUSVN BT JO TFF UIFJS "QQFOEJY "
5IF NPTU OPUBCMF BEEJUJPOBM
DPNQPOFOU IFSF JT UIF OPJTF GSPN $.# MFOTJOH SFDPOTUSVDUJPO EFTDSJCFE JO 4FD 'SPN UIF EBUB WFDUPS BOE UIF DPWBSJBODF NBUSJY XF DPNQVUF UIF JOEJWJEVBM BOE DPNCJOFE
TJHOBMUPOPJTF SBUJPT 4/3
GPS UIF WBSJPVT QSPCFT 5IFTF BSF TIPXO JO 5BC /PUF UIBU UIF
TUBUJTUJDBM 4/3 JT POMZ B HPPE ୮ୢHVSF PG NFSJU XIFO QSFEJDUJOH UIF DPOTUSBJOU PO B TJOHMF QBSBN
FUFS UIF BNQMJUVEF PG UIF TJHOBM JO UIF BCTFODF PG OVJTBODF QBSBNFUFST *OTUFBE XF QSFTFOU JU
IFSF JO PSEFS UP HJWF JOUVJUJPO BCPVU UIF SFMBUJWF TUBUJTUJDBM XFJHIU PG FBDI QSPCF 'SPN 5BC XF TFF UIBU FBDI QSPCF XJMM CF NFBTVSFE XJUI IJHI TJHOJ୮ୢDBODF XJUI 4/3∼ 100 − 1000
5IF 4/3 JO DPTNJD TIFBS JT IJHIFS UIBO JO HBMBYZHBMBYZ MFOTJOH BOE DMVTUFSJOH XIJDI JT EVF
UP PVS WFSZ DPOTFSWBUJWF DIPJDF PG USBDFS TBNQMF "T FYQMBJOFE FBSMJFS JO PSEFS UP HFU B SPCVTU
TIFBS DBMJCSBUJPO BOE B DPOTFSWBUJWF GPSFDBTU XF SFTUSJDU PVS USBDFS UP z < 1 XIFSF QIPUP[ VO
DFSUBJOUJFT BSF WFSZ XFMM VOEFSTUPPE 8F BMTP EJTDBSEJOH UIF TNBMMTDBMFT XIFSF MJOFBS CJBT CSFBLT
EPXO BOE B NPSF SFBMJTUJD IBMP PDDVQBUJPO EJTUSJCVUJPO NPEFM XPVME CF SFRVJSFE "HBJO UIJT
DIPJDF TFWFSFMZ MJNJUT UIF TJHOBM UP OPJTF JO DMVTUFSJOH BOE USBDFSMFOTJOH DPSSFMBUJPOT
5IF UPUBM 4/3 GPS -445 $.# 4 MFOTJOH JT POMZ ∼ 16% IJHIFS UIBO UIBU PG -445 BMPOF
)PXFWFS UIJT EPFT OPU NFBO UIBU BEEJOH $.# 4 MFOTJOH JT QPJOUMFTT *OEFFE PVS HPBM JT OPU
UP SFEVDF UIF TUBUJTUJDBM FSSPS CBST DPNQBSFE UP -445 BMPOF CVU JOTUFBE UP DPOTUSBJO TZTUFNBUJDT
CZ CSFBLJOH EFHFOFSBDJFT EVF UP UIF GBDU UIBU $.# MFOTJOH JT OPU B୭GFDUFE CZ UIF TBNF TZTUFNBU
JDT BT HBMBYZ MFOTJOH 5IF 4/3 EPFT OPU UBLF JOUP BDDPVOU OVJTBODF QBSBNFUFST BOE UIFJS QSJPST
"4 XF TIPX MBUFS $.# MFOTJOH GSPN 4 CBTJDBMMZ SFQMBDFT B QSJPS PO UIF TIFBS CJBTFT 8F EJT
'JH TIPXT UIF EFHSBEBUJPO JO DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST BT B GVODUJPO PG UIF QSJPS PO mi 5IF MFG୴ QBOFM TIPXT UIF DBTF PG DPTNJD TIFBS BMPOF XIJMF UIF SJHIU QBOFM TIPXT UIF -445 DPN
CJOBUJPO DPTNJD TIFBS HBMBYZHBMBYZ MFOTJOH DMVTUFSJOH
*O CPUI DBTFT XF WBSZ DPTNPMPHJ
DBM QBSBNFUFST BT XFMM BT BMM UIF OVJTBODF QBSBNFUFST JO 5BC 'PS DPTNJD TIFBS BMPOF MFG୴
QBOFM
XF ୮ୢOE UIBU B QSJPS PO mi PG QSPEVDFT B 10% EFHSBEBUJPO JO DPTNPMPHJDBM QB
SBNFUFST DPNQBSFE UP B QFSGFDU TIFBS DBMJCSBUJPO 5IJT EFHSBEBUJPO JT TPNFXIBU TNBMMFS UIBO
UIF 30 − 70% GPVOE JO JO UIFJS 'JH MJLFMZ EVF UP PVS NBSHJOBMJ[BUJPO PG QIPUP[ VODFS
UBJOUJFT 'VSUIFSNPSF BOE RVPUF SFRVJSFNFOU GPS -445 TIFBS DBMJCSBUJPO TJNJMBS UP PVS
WBMVF PG 0.5% BOE XF XJMM UIFSFGPSF SFUBJO UIJT WBMVF JO UIF SFTU PG UIF QBQFS 5IF MFG୴ QBOFM PG
'JH BMTP TIPXT UIBU TFMGDBMJCSBUJPO PG UIF TIFBS JT QPTTJCMF GSPN DPTNJD TIFBS BMPOF 5IJT
DBO CF VOEFSTUPPE JOUVJUJWFMZ BT GPMMPXT 5IF EFQFOEFODF PG DPTNJD TIFBS JO UIF mi JT QVSFMZ
NVMUJQMJDBUJWF PO BMM TDBMFT XIFSFBT UIF EFQFOEFODF JO PUIFS DPTNPMPHJDBM BOE OVJTBODF QBSBN
FUFST DIBOHFT XJUI TDBMF GPS JOTUBODF UIF DPTNJD TIFBS QPXFS TQFDUSVN TDBMFT BT σ82 JO UIF MJOFBS
SFHJNF BOE BT σ83 JO UIF OPOMJOFBS SFHJNF TFF 'JH JO "QQ #Z JODMVEJOH CPUI MBSHF
BOE TNBMM TDBMFT UIF EFHFOFSBDZ XJUI UIF TIFBS CJBT DBO CF CSPLFO 8F ୮ୢOE B EFHSBEBUJPO PG VQ
UP 50% JO DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST XIFO SFMBYJOH DPNQMFUFMZ UIF QSJPST PO TIFBS DBMJCSBUJPO
5IJT JT BHBJO NPSF PQUJNJTUJD DPNQBSFE UP XIP GPVOE B GBDUPS PG EFHSBEBUJPO BOE JT BHBJO
MJLFMZ EVF UP PVS NBSHJOBMJ[BUJPO PG QIPUP[ VODFSUBJOUJFT
8F SFQSPEVDF UIJT BOBMZTJT JO UIF DBTF PG UIF GVMM -445 DPTNJD TIFBS HBMBYZHBMBYZ MFOTJOH
DMVTUFSJOH
TIPXO JO UIF SJHIU QBOFM PG 'JH 4JODF DMVTUFSJOH BOE HBMBYZHBMBYZ MFOTJOH
IBWF EJ୭GFSFOU EFQFOEFODFT PO UIF TIFBS CJBTFT JG BOZ
BEEJOH UIFN BMMPXT GPS B CFUUFS TFMG
DBMJCSBUJPO PG UIF TIFBS BOE B SFEVDUJPO JO UIF EFHSBEBUJPO JO DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST *OEFFE
B 0.5% QSJPS PO UIF mi POMZ MFBET UP BU NPTU B 3% EFHSBEBUJPO JO DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST
$PNQMFUFMZ SFMBYJOH TIFBS CJBT QSJPST POMZ MFBET UP B 25% EFHSBEBUJPO BU NPTU
*O UIF BCTFODF PG TIFBS QSJPST UIF TFMGDBMJCSBUJPO PG UIF TIFBS JT CFUUFS UIBO 2% GPS DPTNJD
TIFBS BMPOF BOE CFUUFS UIBO 1.5% GPS -445 JO NPTU PG UIF SFETIJG୴ SBOHF 5IJT JT TIPXO JO
'JH MFG୴ QBOFM
/PUF UIBU BMM UIFTF SFTVMUT BTTVNFE QIPUP[ VODFSUBJOUJFT BT JO 5BC 8F WBSZ UIFTF QIPUP
[ BTTVNQUJPOT JO 4FD /PUF BMTP UIBU UIJT TFMGDBMJCSBUJPO GSPN -445 BMPOF SFMJFT PO UIF
DPNQBSJTPO CFUXFFO MBSHF TDBMFT BOE TNBMM TDBMFT *U JT UIFSFGPSF TPNFXIBU TVTDFQUJCMF UP OPO
MJOFBSJUJFT BOE CBSZPOJD F୭GFDUT JO UIF NBUUFS QPXFS TQFDUSVN
100
Degradation in 68% constraints
Degradation in 68% constraints
100
10−1
Ω0m
σ8
nS
w0
wa
10−2
Ω0b
10−3
0.00
h0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
∞
Prior on mi
10−1
Ω0m
σ8
nS
w0
wa
10−2
Ω0b
10−3
0.00
h0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
∞
Prior on mi
)LJXUH 'HJUDGDWLRQ LQ FRVPRORJLFDO SDUDPHWHU FRQVWUDLQWV UHODWLYH WR D SHUIHFW VKHDU FDOLEUDWLRQ DV D IXQFWLRQ RI VKHDU
ELDV SULRU $ VKHDU ELDV SULRU RI 0 FRUUHVSRQGV WR SHUIHFW VKHDU FDOLEUDWLRQ DQG WR 0 GHJUDGDWLRQ LQ FRVPRORJLFDO FRQVWUDLQWV
$ VKHDU ELDV SULRU RI ∞ DPRXQWV WR FRPSOHWHO\ UHOD[LQJ DQ\ VKHDU SULRU LH VHOIFDOLEUDWLQJ WKH VKHDU IURP WKH GDWD $ GHJUD
GDWLRQ RI 1 FRUUHVSRQGV WR D 100% LQFUHDVH LQ FRVPRORJLFDO SDUDPHWHU HUURU EDUV FRPSDUHG WR WKH FDVH ZLWK SHUIHFW VKHDU
FDOLEUDWLRQ
/HIW SDQHO 'HJUDGDWLRQ LQ FRVPRORJLFDO SDUDPHWHU FRQVWUDLQWV IRU FRVPLF VKHDU DORQH IURP /667
5LJKW SDQHO 'HJUDGDWLRQ LQ FRVPRORJLFDO SDUDPHWHU FRQVWUDLQWV IRU /667 ZKHQ FRPELQLQJ FRVPLF VKHDU JDOD[\JDOD[\ OHQV
LQJ DQG FOXVWHULQJ
"ঙঙছঘঊঌ঑঒গঐজঞছঙঊজজ঒গঐ ঝ঑঎ -445 ছ঎હঞ঒ছ঎খ঎গঝজ ঠ঒ঝ঑ $.# 4
)BWJOH FYBNJOFE UIF JNQBDU PG TIFBS DBMJCSBUJPO PO DPTNPMPHZ GPS -445 BMPOF XF OPX BEE
$.# MFOTJOH EBUB GSPN $.# 4 8F XJTI UP JEFOUJGZ UIF DPNCJOBUJPO PG PCTFSWBCMFT UIBU CFTU
DPOTUSBJOT UIF TIFBS CJBTFT mi UBLJOH JOUP BDDPVOU TUBUJTUJDBM BOE TZTUFNBUJD FSSPST 5P EP TP
XF DPOTJEFS TFQBSBUFMZ DPNCJOBUJPOT BOE &R BT XFMM BT BMM UIF UXPQPJOU GVODUJPOT PG
-445 BOE $.# 4 MFOTJOH ‫آ‬GVMM -445 $.# 4 MFOTJOH‫& أ‬R 8F DPNQBSF UIF SFTVMUJOH
MFWFM PG TIFBS TFMGDBMJCSBUJPO UP UIF DBTF PG -445 DPTNJD TIFBS BMPOF ‫آ‬-445 TIFBS‫ أ‬BOE UIF
DPNCJOBUJPO PG BMM UXPQPJOU GVODUJPOT GSPN -445 ‫آ‬-445 GVMM‫ أ‬JODMVEJOH DMVTUFSJOH HBMBYZ
HBMBYZ MFOTJOH BOE DPTNJD TIFBS
5IF TIFBS CJBT DPOTUSBJOUT BSF TIPXO JO 'JH "T TIPXO JO 5BC UIF TUBUJTUJDBM 4/3 JT IJHIFS GPS DPNCJOBUJPO UIBO DPNCJOBUJPO XIJDI FYQMBJOT UIF TMJHIUMZ CFUUFS DPOTUSBJOUT PO UIF TIFBS CJBT TFFO JO 'JH "T FYQMBJOFE
FBSMJFS UIJT JT B DPOTFRVFODF PG PVS DPOTFSWBUJWF USBDFS TBNQMF 8F BMTP OPUJDF UIBU UIF TIFBS
CJBTFT m0 BOE m1 PG UIF ୮ୢSTU UXP UPNPHSBQIJD CJOT BSF OPU DPOTUSBJOFE CZ DPNCJOBUJPO 5IJT
JT CFDBVTF XF POMZ JODMVEF USBDFSMFOTJOH DPSSFMBUJPOT XIFO UIF FOUJSF TPVSDF CJO JT BU IJHIFS
SFETIJG୴ UIBO UIF USBDFS CJO
*O UIF DBTF PG UIF GVMM -445 $.# 4 MFOTJOH XF ୮ୢOE UIBU UIF TIFBS CJBTFT BSF DPOTUSBJOFE
EPXO UP 0.3% GPS UIF IJHIFTU SFETIJG୴ CJOT BOE 2% GPS UIF MPXFTU SFETIJG୴ CJOT 'PS IJHIFS
TPVSDF CJOT UIF MFOTJOH F୭୮ୢDJFODZ LFSOFMT GPS κHBM BOE κ$.# PWFSMBQ NPSF MFBEJOH UP B MBSHFS TJH
OBM DPSSFMBUJPO DPF୭୮ୢDJFOU BOE TJHOBM UP OPJTF UIF 4/3 GPS κHBM κ$.# HPFT GSPN GPS UIF MPXFTU
SFETIJG୴ CJO UP GPS UIF IJHIFTU SFETIJG୴ CJO
5IVT $.# MFOTJOH GSPN $.# 4 DBO BQQSPBDI
BOE TVSQBTT UIF -445 SFRVJSFNFOUT GPS TIFBS DBMJCSBUJPO GPS NPTU PG UIF UPNPHSBQIJD CJOT
8F BTTFTT UIF JNQBDU PG JOUSJOTJD BMJHONFOUT CZ JODMVEJOH PVS *" NPEFM JOUP UIF EBUB WFD
UPS BOE OPU BDDPVOUJOH GPS JU JO UIF ୮ୢU 5IJT BMMPXT UP FTUJNBUF UIF TJ[F PG UIF CJBT EVF UP *"
"HBJO XF EP OPU BDDPVOU GPS DBUBTUSPQIJD GBJMVSFT JO UIF QIPUP[ BOE SFTUSJDU PVSTFMWFT UP (BVT
TJBO QIPUP[ VODFSUBJOUJFT 5IF SJHIU QBOFM PG 'JH TIPXT UIBU DPNCJOBUJPO JT MFTT B୭GFDUFE
CZ JOUSJOTJD BMJHONFOUT UIBO DPNCJOBUJPO 5IJT XBT FYQFDUFE TJODF DPNCJOBUJPO JOWPMWFT
USBDFSMFOTJOH DPSSFMBUJPOT JU JT DPNQMFUFMZ FYFNQU PG *" JO UIF DBTF PG QFSGFDU QIPUP[ BOE MJU
UMF B୭GFDUFE JO UIF DBTF PG (BVTTJBO QIPUP[ 'VSUIFSNPSF XF TFMFDUFE B WFSZ DPOTFSWBUJWF USBDFS
TBNQMF GPS XIJDI FYDFMMFOU QIPUP[ TIPVME CF BDIJFWBCMF 4P DPNCJOBUJPO TIPVME CF WFSZ
SPCVTU UP JOUSJOTJD BMJHONFOU DPOUBNJOBUJPO *O DPOUSBTU TIFBS UPNPHSBQIZ JT B୭GFDUFE CZ UIF
TPDBMMFE (*UFSN GPS UIF JOUFSCJO DPSSFMBUJPOT BOE CZ UIF **UFSN GPS UIF CJO BVUPDPSSFMBUJPOT
4JNJMBSMZ HBMBYZ MFOTJOH$.# MFOTJOH JT B୭GFDUFE CZ UIF (*UFSN 5IJT DPOUBNJOB
UJPO JT QSFTFOU FWFO XJUI QFSGFDU QIPUP[ )PXFWFS *" POMZ CJBT UIF TIFBS DBMJCSBUJPO GSPN
DPNCJOBUJPO XJUIJO UIF 68% DPO୮ୢEFODF SFHJPO GPS PVS SFBTPOBCMF *" NPEFM 'VSUIFSNPSF
OP *" NJUJHBUJPO UFDIOJRVF XBT BQQMJFE IFSF TVHHFTUJOH UIBU UIJT GPSFDBTU JT DFSUBJOMZ DPOTFS
WBUJWF 5IJT SFTVMU XBT OPU PCWJPVT B QSJPSJ *OEFFE BU MPX SFETIJG୴ *" DPOUBNJOBUF UIF QPXFS
TQFDUSVN CZ VQ UP 5 − 10% GPS κHBM κHBM BOE κHBM κ$.# JO BHSFFNFOU XJUI )PX
FWFS UIJT CJBT CFDPNFT NVDI TNBMMFS BU IJHIFS SFETIJG୴ UIF *" TJHOBM JT SPVHIMZ DPOTUBOU XJUI
SFETIJG୴ XIJMF UIF MFOTJOH TJHOBM JODSFBTFT
BOE UIF IJHIFS SFETIJG୴ QPXFS TQFDUSB BSF NFBTVSFE
XJUI UIF CFTU TJHOBM UP OPJTF "T B SFTVMU UIF PWFSBMM DPOUBNJOBUJPO EVF UP *" JT TNBMM "T EF
TDSJCFE JO 4FD PVS NPEFM GPS UIF *" DPOUBNJOBUJPO FYUSBQPMBUFT UIF PCTFSWFE *" TUSFOHUI
PG FBSMZUZQF HBMBYJFT UP IJHI SFETIJG୴T CVU EPFT OPU JODMVEF UIF BMJHONFOU PG MBUFUZQF HBMBY
JFT XIJDI IBT OPU CFFO EFUFDUFE TP GBS BVUIPS ୮ୢOE UIBU MBUFUZQF HBMBYZ BMJHONFOUT BT
TVNJOH BO BMJHONFOU TUSFOHUI DPOTJTUFOU XJUI UIF VQQFS EFUFDUJPO MJNJUT NBZ EPVCMF UIF *"
DPOUBNJOBUJPO UP OPOUPNPHSBQIJD κgal κCMB DPSSFMBUJPOT *U XJMM CF JNQPSUBOU UP SFWJTJU UIJT
DBMDVMBUJPO BT CFUUFS NPEFMT BOE PCTFSWBUJPOT PG MBUFUZQF HBMBYZ BMJHONFOUT CFDPNF BWBJMBCMF
5IF PUIFS LFZ VODFSUBJOUZ PG PVS *" NPEFM JT UIF FYUSBQPMBUJPO PG FBSMZUZQF *" DPOUBNJOB
UJPO TUSFOHUI BOE HBMBYZ MVNJOPTJUZ GVODUJPO UP UIF IJHI SFETIJG୴T SFMFWBOU GPS -445 TFF GPS B
EJTDVTTJPO
'JOBMMZ XIFO DPNCJOJOH UIF GVMM -445 $.# 4 UIF PWFSBMM JNQBDU PG JOUSJOTJD
BMJHONFOUT JT OFHMJHJCMF GPS UIF TIFBS CJBT DPOTUSBJOUT
*O DPODMVTJPO XF ୮ୢOE UIBU $.# MFOTJOH GSPN $.# 4 DBO DPOTUSBJO UIF TIFBS NVMUJQMJDB
UJWF CJBT EPXO UP PS CFZPOE -445 SFRVJSFNFOUT XIJMF KPJOUMZ ୮ୢUUJOH GPS DPTNPMPHZ HBMBYZ
CJBTFT BOE QIPUP[ VODFSUBJOUJFT BOE JO UIF QSFTFODF PG SFBTPOBCMF JOUSJOTJD BMJHONFOUT 5IF
NFUIPE XPSLT CFTU BU IJHIFS SFETIJG୴ XIFSF TIFBS DBMJCSBUJPO JT FYQFDUFE UP CF NPTU EJ୭୮ୢDVMU
PUIFSXJTF 5IJT SFTVMU JT FYUSFNFMZ FODPVSBHJOH BOE JT BO FYBNQMF PG TZOFSHZ CFUXFFO 4UBHF TVSWFZT XIFSF NVMUJQSPCF BOBMZTFT MFBE UP B ESBNBUJD JNQSPWFNFOU JO DPOUSPM PWFS TZTUFNBU
JDT *O 'JH XF TIPX UIBU JODMVEJOH $.# MFOTJOH GSPN $.# 4 DBO TVDDFTTGVMMZ SFQMBDF B
QSJPS PO UIF TIFBS CJBTFT mi BOE FWFO JNQSPWFT UIF DPTNPMPHJDBM DPOTUSBJOUT PWFS -445 BMPOF
XJUI SFBMJTUJD QSJPST PO mi 5IJT GPSFDBTU JT DPOTFSWBUJWF BT XF JODMVEF UIF OPO(BVTTJBO DPWBSJ
BODFT EJTDBSE UIF TNBMM TDBMFT JO DMVTUFSJOH BOE HBMBYZHBMBYZ MFOTJOH BOE NBSHJOBMJ[F PWFS HBMBYZ
CJBT QIPUP[ VODFSUBJOUJFT BOE DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST *U JT BMTP SPCVTU UP JOUSJOTJD BMJHONFOUT
BOE UIF BTTVNQUJPOT GPS UIF $.# 4 TQFDJ୮ୢDBUJPOT TFF 4FD BT XFMM BT QIPUP[ QSJPST TFF
4FD *খঙঊঌঝ ঘএ $.# 4 ঍঎জ঒ঐগ ঊগ঍ ক঎গজ঒গঐ জঢজঝ঎খঊঝ঒ঌজ ঊঙঙক঒ঌঊঝ঒ঘগ ঝঘ জঙঊঌ঎ঋঊজ঎঍
ক঎গজ঒গঐ জঞছট঎ঢজ
*খঙঘছঝঊগঌ঎ ঘএ জ঎গজ঒ঝ঒ট঒ঝঢ ঊগ঍ ছ঎জঘকঞঝ঒ঘগ এঘছ $.# 4
*O UIJT TVCTFDUJPO XF RVBOUJGZ UIF JNQBDU PG $.# 4 TFOTJUJWJUZ BSFB SFTPMVUJPO BOE DPN
QPOFOU TFQBSBUJPO PO TIFBS DBMJCSBUJPO *O BMM DBTFT XIFO POF QBSBNFUFS JT WBSJFE UIF PUIFST
SFNBJO ୮ୢYFE UP UIFJS ୮ୢEVDJBM WBMVFT GSPN 'JH *O 'JH XF TIPX UIF SFDPOTUSVDUJPO OPJTF PO UIF $.# MFOTJOH DPOWFSHFODF κ$.# BT B
GVODUJPO PG TFOTJUJWJUZ JO UFNQFSBUVSF BTTVNFE
√
2 UJNFT CFUUFS UIBO JO QPMBSJ[BUJPO
BOE UIF
DPSSFTQPOEJOH DPOTUSBJOUT PO TIFBS CJBTFT mi 5IF TIFBS DBMJCSBUJPO JNQSPWFT TMPXMZ XJUI TFO
−6
10−7
10−8
10−9 0
10
101
0.2
0.025
0.4
0.6
102
0.7
0.9
1.0
1.2
1.4
1.8
2.4
0.015
=2000
=3000
=4000
=5000
=10000
10−7
10−8
0.025
FWHM= 3
FWHM= 2
FWHM= 1.5
FWHM= 1
FWHM= 0.5
LSST requirement
0.020
−6
10−9 0
10
103
Mean redshift
10
signal
max T, P
max T, P
max T, P
max T, P
max T, P
101
0.2
0.4
0.6
102
103
Mean redshift
0.7
0.9
1.0
1.2
1.4
1.8
2.4
max T,P = 3000
0.010
0.005
max T,P = 4000
max T,P = 5000
max T,P = 10000
0.015
LSST requirement
0.010
0.005
9
8
m
7
m
6
m
5
m
4
m
3
m
2
m
1
m
0
m
9
8
m
7
m
6
m
5
m
4
m
3
m
2
m
1
m
0
m
0.000
m
0.000
max T = 3000, max P = 5000
0.020
m
Shear bias 68% constraints
( + 1)Cdd/(2π)
10
10−5
signal
FWHM=3.0
FWHM=2.0
FWHM=1.5
FWHM=1.0
FWHM=0.5
Shear bias 68% constraints
( + 1)Cdd/(2π)
10−5
)LJXUH ,PSDFW RI &0% 6 UHVROXWLRQ DQG IRUHJURXQG VHSDUDWLRQ RQ WKH &0% OHQVLQJ UHFRQVWUXFWLRQ QRLVH DQG WKH VKHDU
FDOLEUDWLRQ IRU /667
7RS URZ WKH &0% OHQVLQJ SRZHU VSHFWUXP EODFN OLQH LV FRPSDUHG WR WKH UHFRQVWUXFWLRQ QRLVH SHU PRGH FRORUHG OLQHV
IRU GLIIHUHQW YDOXHV RI EHDP ):+0 OHIW DQG PD[LPXP PXOWLSROH ZKHUH D IRUHJURXQGFOHDQHG &0% PDS LV DYDLODEOH ULJKW
:KHQ YDU\LQJ WKH PD[LPXP PXOWLSROH ULJKW ZH DVVXPH lPD[ 7
= lPD[ 3 %RWWRP URZ WKH VKHDU FDOLEUDWLRQ OHYHO IRU WKH ĆGXFLDO &0%6 EODFN VROLG OLQH LV FRPSDUHG WR WKH RQH REWDLQHG IRU HDFK
YDULDWLRQ VROLG FRORUHG OLQHV 7KH /667 UHTXLUHPHQW LV VKRZQ DV WKH EODFN GDVKHG OLQHV
7KH VKHDU FDOLEUDWLRQ LV UHODWLYHO\ LQVHQVLWLYH WR WKH EHDP DQG PD[LPXP PXOWLSROH DYDLODEOH 7KLV LV HQFRXUDJLQJ DOORZLQJ
FRQVHUYDWLYH PD[ FXWV WR EH XVHG DQG VXJJHVWV WKDW $GY$&7 DQG 637* ZLOO DOUHDG\ EH XVHIXO IRU FDOLEUDWLQJ WKH VKHDU IURP
/667
NFUSJD SFETIJG୴ VODFSUBJOUJFT /PUF IPXFWFS UIBU XF IBWF OPU UBLFO JOUP BDDPVOU DBUBTUSPQIJD
QIPUP[ GBJMVSFT
3ঘঋঞজঝগ঎জজ ঝঘ গঘগক঒গ঎ঊছ঒ঝ঒঎জ ঊগ঍ ঋঊছঢঘগ঒ঌ ঎এএ঎ঌঝজ
"T QPJOUFE PVU FBSMJFS PVS DMVTUFSJOH BOE HBMBYZHBMBYZ MFOTJOH POMZ VTFT MBSHF TDBMFT 2πχ(zNFBO )/l >
10 .QDI XIJDI DPSSFTQPOE UP NBY = 420, 714, 930 BOE SFTQFDUJWFMZ GPS UIF GPVS MFOT
CJOT 5IVT DPNCJOBUJPO JF gg gκHBM gκ$.# JT POMZ TFOTJUJWF UP TDBMFT HSFBUFS UIBO .QDI
5IJT DPOTFSWBUJWF DVU NBLFT MJOFBS CJBTJOH WBMJE BOE BWPJET TZTUFNBUJD FSSPST GSPN IBMP PDDVQB
0.2
0.4
0.6
Mean redshift
0.7
0.9
1.0
1.2
1.4
1.8
2.4
5%
1%
0.5%
0.2%
0.1%
0.05%
LSST requirement
0.020
0.015
0.010
0.005
0.025
Shear bias 68% constraints
0.4
0.6
Mean redshift
0.7
0.9
1.0
1.2
1.4
1.8
2.4
1%
0.2%
0.1%
0.06%
0.04%
0.02%
0.01%
LSST requirement
0.020
0.015
0.010
0.005
9
8
m
7
m
6
m
5
m
4
m
3
m
2
m
1
m
0
m
9
8
m
7
m
6
m
5
m
4
m
3
m
2
m
1
m
0
m
0.000
m
0.000
0.2
m
Shear bias 68% constraints
0.025
)LJXUH /HIW SDQHO OHYHO RI VKHDU FDOLEUDWLRQ IRU /667 ZLWK &0% 6 OHQVLQJ ZKHQ YDU\LQJ WKH VRXUFH SKRWR] SULRUV 7KH
EODFN OLQH FRUUHVSRQGV WR WKH ĆGXFLDO SULRUV DQG WKH FRORUHG OLQHV DUH ODEHOOHG ZLWK CCx%
VXFK WKDW WKH SULRU RQ Δz,VRXUFH,i
LV *DXVV x% DQG WKH SULRU RQ σz,VRXUFH /(1
+ z) LV *DXVV 1.5 × x% 7KH GHSHQGHQFH LV PRUH LPSRUWDQW DW ORZ
UHGVKLIW ZKHUH D Ć[HG DEVROXWH FKDQJH LQ z FRUUHVSRQGV WR D ODUJHU UHODWLYH FKDQJH LQ FRPRYLQJ GLVWDQFH
5LJKW SDQHO YDU\LQJ OHQV SKRWR] SULRUV 6LPLODUO\ WR WKH OHIW SDQHO WKH EODFN OLQH FRUUHVSRQGV WR WKH ĆGXFLDO SULRUV DQG WKH
FRORUHG OLQHV DUH ODEHOOHG ZLWK CCx%
VXFK WKDW WKH SULRU RQ Δz,OHQV,i LV *DXVV x% DQG WKH SULRU RQ σz,OHQV /(1
+ z) LV
*DXVV 1.5 × x% 7KH VKHDU FDOLEUDWLRQ LV DOPRVW FRPSOHWHO\ LQVHQVLWLYH WR WKH OHQV SKRWR] SULRUV
UJPO NPEFMJOH OPOMJOFBSJUJFT BOE CBSZPOJD F୭GFDUT JO UIF NBUUFS QPXFS TQFDUSVN "T B SFTVMU
UIF TIFBS DBMJCSBUJPO GSPN DPNCJOBUJPO TFF 'JH TIPVME CF WFSZ SPCVTU UP UIFTF F୭GFDUT
0O UIF PUIFS IBOE DPNCJOBUJPO JF κHBM κHBM κHBM κ$.# κ$.# κ$.# VTFT MFOTJOHMFOTJOH
DPSSFMBUJPOT #FDBVTF UIF MFOTJOH LFSOFMT FYUFOE UP WFSZ MPX SFETIJG୴ B ୮ୢYFE BOHVMBS TDBMF SF
DFJWFT DPOUSJCVUJPOT GSPN BSCJUSBSJMZ TNBMM TDBMFT 'VSUIFSNPSF PVS ୮ୢEVDJBM GPSFDBTU JODMVEFT
UIF NPEFT PG κHBM BOE κ$.# VQ UP NBY = 5000 "TTFTTJOH SJHPSPVTMZ UIF DPOUBNJOBUJPO GSPN
VODFSUBJOUJFT JO UIF NBUUFS QPXFS TQFDUSVN JT CFZPOE UIF TDPQF PG UIJT QBQFS TFF GPS EFUBJMT
)PXFWFS UIJT DPOUBNJOBUJPO JT FYQFDUFE UP CF MFTT JNQPSUBOU GPS TNBMM NVMUJQPMFT 8F UIVT
WBSZ UIF NBYJNVN NVMUJQPMF NBY BOE TIPX UIF JNQBDU PO TIFBS DBMJCSBUJPO GSPN DPNCJOBUJPO
JO 'JH 5IF TIFBS DBMJCSBUJPO GSPN DPNCJOBUJPO JT POMZ EFHSBEFE CZ 10 − 40% XIFO
SFEVDJOH NBY GSPN UP 5IF TIFBS DBMJCSBUJPO GSPN UIF GVMM -445 $.# 4 MFOTJOH
JT UIFSFGPSF FWFO MFTT B୭GFDUFE 5IJT JT MJLFMZ CFDBVTF BU 1, 000 CPUI $.# BOE HBMBYZ MFOTJOH
TUPQ CFJOH DPTNJD WBSJBODF MJNJUFE BOE UIF SFMBUJWF VODFSUBJOUZ PO UIF MFOTJOHMFOTJOH QPXFS
TQFDUSB TUBSUT HSPXJOH
*O DPODMVTJPO UIF TIFBS DBMJCSBUJPO JT MJUUMF B୭GFDUFE CZ UIF NBYJNVN NVMUJQPMF JODMVEFE CF
ZPOE NBY ∼ 1, 000 XIJDI NBLFT JU SPCVTU UP VODFSUBJOUJFT JO UIF NPEFMJOH PG OPOMJOFBSJUJFT
BOE CBSZPOJD F୭GFDUT
0.035
0.2
0.4
0.6
Mean redshift
0.7
0.9
1.0
1.2
1.4
1.8
2.4
Shear bias 68% constraints
Combi1, max =547
Combi1, max =930
0.030
Combi1, max =1212
0.025
Combi1, max =2058
Combi1, max =3496
0.020
Combi1, max = 5000, fiducial
LSST requirement
0.015
0.010
0.005
9
8
m
7
m
6
m
5
m
4
m
3
m
2
m
m
1
m
0
m
0.000
)LJXUH ,Q WKLV ĆJXUH ZH YDU\ WKH PD[LPXP PXOWLSROH LQFOXGHG LQ WKH OHQVLQJOHQVLQJ FRUUHODWLRQV DQG FRPSDUH WKH
UHVXOWLQJ VKHDU FDOLEUDWLRQV IURP FRPELQDWLRQ LH κJDO κJDO κJDO κ&0% κ&0% κ&0% %HWZHHQ PD[ = 5, 000 DQG PD[ =
930 WKH VKHDU FDOLEUDWLRQ LV RQO\ GHJUDGHG E\ 10 − 40% %HVLGHV WKH FDOLEUDWLRQ IURP FRPELQDWLRQ LH gg gκJDO gκ&0% QRW VKRZQ LQ WKLV ĆJXUH RQO\ XVHV ORZHU PXOWLSROHV PD[ = 420, 714, 9390, 1212 IRU WKH IRXU OHQV ELQV $V D UHVXOW WKH
FDOLEUDWLRQ IURP WKH IXOO /667 &0% 6 OHQVLQJ LV UDWKHU LQVHQVLWLYH WR WKH PD[LPXP PXOWLSROH LQFOXGHG EH\RQG ∼ 1, 000
7KHUHIRUH LW VKRXOG EH UREXVW WR XQFHUWDLQWLHV LQ QRQOLQHDULWLHV DQG EDU\RQLF HIIHFWV LQ WKH PDWWHU SRZHU VSHFWUXP
0ঙঝ঒খ঒জঝ঒ঌ খঘ঍঎ক঒গঐ ঘএ ঐঊকঊডঢ ঋ঒ঊজ ঍ঘ঎জ গঘঝ ছ঎ঙকঊঌ঎ $.# ক঎গজ঒গঐ
5ISPVHIPVU UIJT QBQFS XF NBLF WFSZ DPOTFSWBUJWF BTTVNQUJPOT BCPVU UIF USBDFS TBNQMF JO
UFSNT PG OVNCFS EFOTJUZ BT XFMM BT UIF TDBMFT UIBU XF VTF 8F SFTUSJDU PVSTFMWFT UP MBSHF TDBMFT
XIFSF MJOFBS CJBTJOH JT UIPVHIU UP CF WBMJE 0OF NJHIU XPOEFS XIFUIFS FYUFOEJOH UIF BOBMZTJT
UP TNBMMFS TDBMFT NBZ JNQSPWF UIF TIFBS DBMJCSBUJPO FWFO XJUIPVU JODMVEJOH $.# MFOTJOH UIVT
NBLJOH UIF $.# MFOTJOH JOGPSNBUJPO VOOFDFTTBSZ
*O UIJT TVCTFDUJPO XF TIPX UIBU UIJT JT OPU UIF DBTF XF FYUFOE UIF DMVTUFSJOH BOE HBMBYZ
MFOTJOH BOBMZTFT UP NBY = 5000 BOE TIPX UIBU UIF SFTVMUJOH TIFBS TFMGDBMJCSBUJPO GPS -445
SFE.B(J$MJLF MFOT TBNQMF BT GPS -445 XJUI MFOT CJOT 'PS BMM DPTNPMPHJDBM BOE OVJTBODF
QBSBNFUFST JODMVEJOH QIPUP[ VODFSUBJOUJFT XF VTF UIF TBNF QSJPST BT GPS -445 TFF 5BC "T TIPXO JO 'JH BOE 'JH $.# MFOTJOH GSPN 4 DBO DBMJCSBUF UIF TIFBS GPS UIF &V
DMJE TPVSDF CJOT EPXO UP 0.4% − 2.4% BOE GPS UIF 8'*345 TPVSDF CJOT EPXO UP 0.6% −
3.2% /PUF UIBU UIF FYBDU SFRVJSFNFOUT GPS TIFBS DBMJCSBUJPO GPS &VDMJE BOE 8'*345 NBZ EJG
GFS GSPN FBDI PUIFS BOE GSPN -445 'VSUIFSNPSF UIF FYBDU SFETIJG୴ EJTUSJCVUJPOT BOE TVSWFZ
QBSBNFUFST NBZ FWPMWF JO UIF GVUVSF JO QBSUJDVMBS GPS 8'*345 /FWFSUIFMFTT UIFTF SFTVMUT BSF
IJHIMZ FODPVSBHJOH
$ঘগঌকঞজ঒ঘগ
*O UIJT TUVEZ XF BOTXFS UIF GPMMPXJOH RVFTUJPOT DBO $.# MFOTJOH DBMJCSBUF UIF TIFBS CJBT
EPXO UP B VTFGVM BDDVSBDZ DPNQFUJUJWF XJUI JNBHF TJNVMBUJPOT BOE DPNQBSBCMF XJUI UIF -445
SFRVJSFNFOUT *T UIJT QPTTJCMF XIJMF NBSHJOBMJ[JOH PWFS DPTNPMPHJDBM BOE OVJTBODF QBSBNF
UFST )PX SPCVTU JT UIJT DBMJCSBUJPO UP JOUSJOTJD BMJHONFOUT QIPUP[ VODFSUBJOUJFT OPOMJOFBS
BOE CBSZPOJD F୭GFDUT BOE BTTVNQUJPOT PO UIF $.# 4 FYQFSJNFOU 5P EP TP XF FYUFOE UIF
$ঘজখঘ-঒ঔ঎ GSBNFXPSL UP JODMVEF $.# MFOTJOH 8F KPJOUMZ BOBMZ[F BMM UIF UXPQPJOU DPS
SFMBUJPO GVODUJPOT PG HBMBYZ QPTJUJPOT TIFBS BOE $.# MFOTJOH DPOWFSHFODF 8F JODMVEF UIF
OPO(BVTTJBO DPWBSJBODFT BOE FYQMPSF UIF QPTUFSJPS EJTUSJCVUJPO XJUI .$.$ TBNQMJOH BOE
UIF 'JTIFS BQQSPYJNBUJPO 0VS GPSFDBTUT TJNVMUBOFPVTMZ WBSZ DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST HBMBYZ
CJBTFT QIPUP[ VODFSUBJOUJFT GPS FBDI TPVSDF BOE MFOT CJO BOE TIFBS DBMJCSBUJPO GPS FBDI TPVSDF
CJOT 8F NBLF DPOTFSWBUJWF DIPJDFT PG HBMBYZ TBNQMFT BOE TDBMFT 8F UIFSFGPSF FYQFDU PVS GPSF
DBTU UP CF SFBMJTUJD BOE SPCVTU
8F TIPX UIBU $.# MFOTJOH GSPN 4 DBO DBMJCSBUF UIF TIFBS NVMUJQMJDBUJWF CJBTFT GPS -445
DPNQFUJUJWF XJUI PS FWFO FYDFFEJOH UIF -445 SFRVJSFNFOUT 5IJT NFUIPE JT B QPXFSGVM BMUFS
OBUJWF UP TJNVMBUJPOCBTFE DBMJCSBUJPO UFDIOJRVFT CFDBVTF JU SFMJFT PO UIF EBUB EJSFDUMZ *O UIF
TZTUFNBUJDTMJNJUFE FSB PG TUBHF XFBL MFOTJOH TVSWFZT UIJT NFUIPE XJMM QSPWJEF SFEVOEBODZ
BOE TFSWF BT B DSPTT DIFDL JO PSEFS UP SFMJBCMZ NFBTVSF UIF QSPQFSUJFT PG EBSL FOFSHZ UIF OFV
USJOP NBTTFT BOE QPTTJCMF NPEJ୮ୢDBUJPOT UP HFOFSBM SFMBUJWJUZ
"ঙঙ঎গ঍঒ড $ঘজখঘকঘঐ঒ঌঊক ঙঊছঊখ঎ঝ঎ছ ঍঎ঙ঎গ঍঎গঌ঎
*O UIJT BQQFOEJY XF TIPX UIF EFQFOEFODFT PG UIF WBSJPVT UXPQPJOU DPSSFMBUJPO GVODUJPOT
PO UIF DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST 'JH 5IFTF ୮ୢHVSFT TIPX UIF MPHBSJUINJD EFSJWBUJWF PG
UIF PCTFSWBCMFT XJUI SFTQFDU UP UIF QBSBNFUFST WBSJFE 5PHFUIFS XJUI UIF DPWBSJBODF NBUSJY JO
'JH UIFZ BSF UIF LFZ JOHSFEJFOUT OFFEFE UP QFSGPSN B 'JTIFS GPSFDBTU 5IF XJEUI PG UIF MJOFT
PS CBOET EJTQMBZFE DPSSFTQPOET UP UIF SBOHF PG WBSJBUJPO BDSPTT UPNPHSBQIJD CJOT
5IFTF ୮ୢHVSFT HJWF JOUVJUJPO PO UIF TDBMJOH PG PCTFSWBCMFT XJUI QBSBNFUFST BOE DBO CF JOUFS
QSFUFE BT GPMMPXT
" 1% DIBOHF JO QBSBNFUFS p QSPEVDFT B
BCMF O HSPXT XJUI QBSBNFUFS p JG
d ln O
d ln p
d ln O
%
d ln p
DIBOHF JO PCTFSWBCMF O 5IFSFGPSF PCTFSW
0 0CTFSWBCMF O JT TUSPOHMZ EFQFOEFOU PO QBSBNFUFS
p JG | ddlnlnOp | JT MBSHF *O UIJT DBTF B NFBTVSFNFOU PG O XJMM CF WFSZ DPOTUSBJOJOH GPS QBSBNFUFS p
*G ddlnlnOp JT JOEFQFOEFOU PG UIFO UIF QBSBNFUFS p TJNQMZ BDUT BT B NVMUJQMJDBUJWF GBDUPS XJUI
d ln O
O ∝ p d ln p 'PS FYBNQMF BT TFFO JO 'JH BMM PCTFSWBCMFT SPVHIMZ TBUJTGZ
d ln O
d ln σ8
= 2 JF
ln O
= 3 JF O ∝ σ83 JO UIF OPOMJOFBS SFHJNF *G UIF DVSWF
O ∝ σ82 JO UIF MJOFBS SFHJNF BOE dd ln
σ8
PG
d ln O
d ln p
BT B GVODUJPO PG JT TMBOUFE JU NFBOT UIBU UIF QBSBNFUFS p QSPEVDFT B UJMU PO O 5IJT JT
UZQJDBMMZ UIF DBTF GPS Ω0m 5IJT ୮ୢHVSF BMTP BMMPXT UP WJTVBMJ[F QBSBNFUFS EFHFOFSBDJFT BOE DPWBSJBODFT *G UXP DVSWFT
d ln O
()
d ln p1
BOE
d ln O
()
d ln p2
BSF JEFOUJDBM NPEVMP B NVMUJQMJDBUJWF GBDUPS UIFO UIF QBSBNFUFST p1 BOE
p2 BSF QFSGFDUMZ EFHFOFSBUF *G UIFTF UXP DVSWFT BSF POMZ TJNJMBS NPEVMP NVMUJQMJDBUJWF GBDUPS
XIFSF ‫آ‬TJNJMBSJUZ‫ أ‬EFQFOET PO UIF DPWBSJBODF NBUSJY
UIFO UIF QBSBNFUFST p1 BOE p2 BSF QBS
UJBMMZ EFHFOFSBUF BOE IBWF B OPO[FSP DPWBSJBODF
'JH TIPXT UIF DPO୮ୢEFODF SFHJPOT GPS UIF DPTNPMPHJDBM QBSBNFUFST WBSJFE JO PVS BOBMZ
TJT 5IF OFHBUJWF DPSSFMBUJPOT GPS Ω0N − σ8 σ8 − w0 w0 − wB BOE UIF QPTJUJWF DPSSFMBUJPOT GPS
Ω0N − w0 h0 − Ω0C DBO CF VOEFSTUPPE JO MJHIU PG 'JH "ঙঙ঎গ঍঒ড $ঘগট঎ছঐ঎গঌ঎ ঘএ ঝ঑঎ .$.$ ঌ঑ঊ঒গজ টঊক঒঍ঊঝ঒ঘগ ঘএ ঝ঑঎ '঒জ঑঎ছ ঊঙঙছঘড
঒খঊঝ঒ঘগ
*O UIJT "QQFOEJY XF TIPX UIF TUBUF PG DPOWFSHFODF PG UIF .$.$ DIBJOT BOE UIF BHSFFNFOU
XJUI UIF 'JTIFS BQQSPYJNBUJPO 'JH TIPXT UIBU 'JTIFS BOE .$.$ GPSFDBTUT BHSFF UP CFUUFS
UIBO 5% GPS BMM TIFBS CJBTFT
5IJT HPPE BHSFFNFOU JT UIF SFTVMU PG UXP F୭GFDUT 'JSTU JU JOEJDBUFT DPOWFSHFODF PG UIF .$.$
DIBJOT XIJDI JT OPU USJWJBM HJWFO UIBU XF BSF KPJOUMZ ୮ୢUUJOH QBSBNFUFST 4FDPOE JU JOEJDBUFT
UIBU UIF QPTUFSJPS EJTUSJCVUJPO GPS UIF TIFBS CJBTFT JT DMPTF UP (BVTTJBO 5IJT XBT OPU PCWJPVT
B QSJPSJ BOE JT JO BHSFFNFOU XJUI 8F TIPX JO 'JH UIBU UIF QPTUFSJPS JT JOEFFE DMPTF UP
(BVTTJBO GPS UIF TIFBS CJBTFT
1BSBNFUFS
'JEVDJBM 1SJPS
$PTNPMPHZ
Ω0N
୯୳BU σ8
୯୳BU nT
୯୳BU w0
୯୳BU wB
୯୳BU Ω0C
୯୳BU h0
୯୳BU (BMBYZ CJBT
b1H
୯୳BU 2
bH
୯୳BU 3
bH
୯୳BU 4
bH
୯୳BU 1IPUP[ MFOT TBNQMF
Δz,MFOT,i
(BVTT σz,MFOT /(1 + z)
(BVTT 1IPUP[ TPVSDF TBNQMF
Δz,TPVSDF,i
(BVTT σz,TPVSDF /(1 + z)
(BVTT 4IFBS DBMJCSBUJPO
mi
(BVTT PS /POF
7DEOH :H YDU\ SDUDPHWHUV LQ WKH VLPXODWHG OLNHOLKRRG DQDO\VLV LQFOXGLQJ FRVPRORJLFDO SDUDPHWHUV JDOD[\ ELDVHV
SKRWR] SDUDPHWHUV DQG VKHDU ELDVHV )RU HDFK SDUDPHWHU WKH ĆGXFLDO YDOXH LV VKRZQ DV ZHOO DV WKH SULRU HLWKHU ćDW
PLQ PD[ RU *DXVVLDQ μ σ 3ULRUV IRU WKH QXLVDQFH SDUDPHWHUV IROORZ 7KH ĆGXFLDO YDOXHV IRU WKH FRVPRORJLFDO SDUDPH
WHUV IROORZ -445 $.# 4
4/3
*OEJWJEVBM QSPCFT
DMVTUFSJOH gg
HBMBYZHBMBYZ MFOTJOH gκHBM
HBMBYZ$.# MFOTJOH gκ$.#
TIFBS UPNPHSBQIZ κHBM κHBM
$.# MFOTJOH BVUP κ$.# κ$.#
HBMBYZ MFOTJOH$.# MFOTJOH κHBM κ$.#
ॎ PG gκHBM ॎ PG κHBM κHBM $PNCJOBUJPOT
-445 gg, gκHBM , κHBM κHBM
$PNCJOBUJPO κ$.# κ$.# , κ$.# κHBM , κHBM κHBM
$PNCJOBUJPO gg, gκ$.# , gκHBM
'VMM gg, gκ$.# , gκHBM , κ$.# κ$.# , κ$.# κHBM , κHBM κHBM
ॎ NPSF UIBO -445 BMPOF
7DEOH ,QGLYLGXDO DQG FRPELQHG VLJQDOWRQRLVH UDWLRV 615 JLYLQJ LQVLJKW RQ WKH VWDWLVWLFDO ZHLJKW RI HDFK SUREH LQFOXGHG
LQ WKH MRLQW DQDO\VLV 7KHVH LQFOXGH *DXVVLDQ DQG QRQ*DXVVLDQ FRVPLF YDULDQFH $OO SUREHV ZLOO EH PHDVXUHG DW KLJK VLJQLĆ
FDQFH ZLWK /667 DQG &0% 6 7KH 615 LQ FRVPLF VKHDU LV KLJKHU WKDQ LQ JDOD[\JDOD[\ OHQVLQJ DQG FOXVWHULQJ ZKLFK LV GXH WR
RXU YHU\ FRQVHUYDWLYH FKRLFH RI WUDFHU VDPSOH &0% OHQVLQJ IURP &0% 6 DGGV D VPDOO FRQWULEXWLRQ WR WKH WRWDO VWDWLVWLFDO VLJ
QLĆFDQFH EXW ZLOO EH LPSRUWDQW LQ EUHDNLQJ GHJHQHUDFLHV DQG FDOLEUDWLQJ WKH VKHDU PXOWLSOLFDWLYH ELDV 7KH 615 JLYHV DQ LGHD
RI WKH UHODWLYH VWDWLVWLFDO ZHLJKW RI WKH YDULRXV REVHUYDEOHV +RZHYHU LW GRHVQ
W WDNH LQWR DFFRXQW WKH SUHVHQFH RI QXLVDQFH
SDUDPHWHUV DQG WKHLU SULRUV $V ZH VKRZ ODWHU &0% OHQVLQJ IURP 6 EDVLFDOO\ UHSODFHV D SULRU RQ WKH VKHDU PXOWLSOLFDWLYH
ELDVHV
3FGFSFODFT
<> 5IF %BSL &OFSHZ 4VSWFZ $PMMBCPSBUJPO "S9JW "TUSPQIZTJDT FQSJOUT <> 4 .JZB[BLJ FU BM JO 4PDJFUZ PG 1IPUP0QUJDBM *OTUSVNFOUBUJPO &OHJOFFST 41*&
$PO
GFSFODF 4FSJॶ 7PM PG 4PDJFUZ PG 1IPUP0QUJDBM *OTUSVNFOUBUJPO &OHJOFFST 41*&
$POGFSFODF 4FSJॶ 16#-*4)&3 "%%3&44 <> . 5BLBEB FU BM "S9JW FQSJOUT <> -445 4DJFODF $PMMBCPSBUJPO FU BM "S9JW FQSJOUT <> 3 -BVSFJKT FU BM "S9JW FQSJOUT <> % 4QFSHFM FU BM "S9JW FQSJOUT <> % ) 8FJOCFSH FU BM 1IZT 3FQ <> " "MCSFDIU FU BM "S9JW "TUSPQIZTJDT FQSJOUT <> % )VUFSFS . 5BLBEB ( #FSOTUFJO BOE # +BJO .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> ; .B BOE ( #FSOTUFJO "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> % ) 3VEE " 3 ;FOUOFS BOE " 7 ,SBWUTPW "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> " 3 ;FOUOFS % ) 3VEE BOE 8 )V 1IZTJDT 3FW % <> 5 &J୯୳FS .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> . 1 WBO %BBMFO + 4DIBZF $ . #PPUI BOE $ %BMMB 7FDDIJB .PO /PU 3PZ "T
USPO 4PD <> . 1 WBO %BBMFO FU BM .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> . 7FMMJTDJH FU BM .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> 5 &J୯୳FS FU BM .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> , 0TBUP . 4IJSBTBLJ BOE / :PTIJEB "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> 8 " )FMMXJOH FU BM "S9JW FQSJOUT <> " ,JFTTMJOH FU BM 4QBDF 4DJFODF 3FWJFXT <> % ,JSL FU BM 4QBDF 4DJFODF 3FWJFXT <> # +PBDIJNJ FU BM 4QBDF 4DJFODF 3FWJFXT <> . " 5SPYFM BOE . *TIBL 1IZT 3FQ <> 3 .BTTFZ FU BM .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> . +BSWJT FU BM .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD
<> * 'FOFDI $POUJ FU BM "S9JW FQSJOUT <> 3 .BOEFMCBVN FU BM .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> . ;BMEBSSJBHB BOE 6 4FMKBL 1IZTJDT 3FW % <> 8 )V BOE 5 0LBNPUP "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> 5 0LBNPUP BOE 8 )V 1IZTJDT 3FW % <> " 7BMMJOPUUP "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> " 7BMMJOPUUP "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> 4 %BT + &SSBSE BOE % 4QFSHFM "S9JW FQSJOUT <> , . 4NJUI 0 ;BIO BOE 0 %PS© 1IZTJDT 3FW % <> $ . )JSBUB FU BM 1IZTJDT 3FW % <> 4 %BT FU BM 1IZTJDBM 3FWJFX -FUUFST <> 4 %BT FU BM +$"1 <> . .BEIBWBDIFSJM FU BM 1IZTJDBM 3FWJFX -FUUFST <> " WBO &OHFMFO FU BM "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> " WBO &OHFMFO FU BM "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> & + #BYUFS FU BM "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> , 5 4UPSZ FU BM "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> 1 " 3 "EF FU BM 1IZTJDBM 3FWJFX -FUUFST <> 1MBODL $PMMBCPSBUJPO FU BM "TUSPOPNZ "TUSPQIZTJDT " <> 1MBODL $PMMBCPSBUJPO FU BM "S9JW FQSJOUT <> 5 ,FDL "SSBZ FU BM "S9JW FQSJOUT <> 4 8 )FOEFSTPO FU BM +PVSOBM PG -PX 5FNQFSBUVSF 1IZTJDT <> # " #FOTPO FU BM JO .JMMJNFUFS 4VCNJMMJNFUFS BOE 'BS*OGSBSFE %FUFDUPST BOE *O
TUSVNFOUBUJPO GPS "TUSPOPNZ 7** 7PM PG 1SPDFFEJOHT PG 41*& 16#-*4)&3 "%
%3&44 Q 1
<> , / "CB[BKJBO FU BM "TUSPQBSUJDMF 1IZTJDT <> , / "CB[BKJBO FU BM "TUSPQBSUJDMF 1IZTJDT <> + -JV " 0SUJ[7B[RVF[ BOE + $ )JMM "S9JW FQSJOUT <> & + #BYUFS FU BM "S9JW FQSJOUT <> / )BOE FU BM 1IZTJDT 3FW % <> + -JV BOE + $ )JMM 1IZTJDT 3FW % <> % ,JSL FU BM .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> + )BSOPJT%©SBQT FU BM .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> 5 % ,JUDIJOH " ' )FBWFOT BOE 4 %BT .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> ) .JZBUBLF FU BM "S9JW FQSJOUT <> 4 4JOHI 3 .BOEFMCBVN BOE + 3 #SPXOTUFJO "S9JW FQSJOUT <> 5 &J୯୳FS & ,SBVTF 1 4DIOFJEFS BOE , )POTDIFJE .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD
<> $ . )JSBUB BOE 6 4FMKBL 1IZTJDT 3FW % <> $ . )JSBUB BOE 6 4FMKBL 1IZTJDT 3FW % <> & ,SBVTF BOE 5 &J୯୳FS "S9JW FQSJOUT <> $ $IBOH FU BM .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> & 3P[P FU BM "S9JW FQSJOUT <> ( #FSOTUFJO BOE % )VUFSFS .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> ; .B 8 )V BOE % )VUFSFS "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> $ )FZNBOT FU BM .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> " / 5BZMPS BOE 5 % ,JUDIJOH "S9JW FQSJOUT <> $ . )JSBUB FU BM 1IZTJDT 3FW % <> 4 #SJEMF BOE - ,JOH /FX +PVSOBM PG 1IZTJDT <> 4 4JOHI 3 .BOEFMCBVN BOE 4 .PSF .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> 1 $BUFMBO . ,BNJPOLPXTLJ BOE 3 % #MBOEGPSE .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD
- <> $ . )JSBUB FU BM .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> 3 .BOEFMCBVN FU BM .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> # +PBDIJNJ 3 .BOEFMCBVN ' # "CEBMMB BOE 4 - #SJEMF "TUSPOPNZ "TUSP
QIZTJDT " <> + -PWFEBZ FU BM .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> & ,SBVTF 5 &J୯୳FS BOE + #MB[FL .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> # +PBDIJNJ BOE 4 - #SJEMF "TUSPOPNZ "TUSPQIZTJDT " <> . " 5SPYFM BOE . *TIBL 1IZTJDT 3FW % <> " )BMM BOE " 5BZMPS .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD - <> : -J 8 )V BOE . 5BLBEB 1IZTJDT 3FW % <> $5 $IJBOH $ 8BHOFS ' 4DINJEU BOE & ,PNBUTV +$"1 <> : -J 8 )V BOE . 5BLBEB 1IZTJDT 3FW % <> . 5BLBEB BOE % / 4QFSHFM .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> & 4DIBBO . 5BLBEB BOE % / 4QFSHFM 1IZTJDT 3FW % <> " WBO &OHFMFO FU BM "TUSPQIZTJDBM +PVSOBM <> 4 + 0TCPSOF % )BOTPO BOE 0 %PS© +$"1 <> 5 &J୯୳FS 1 4DIOFJEFS BOE + )BSUMBQ "TUSPOPNZ "TUSPQIZTJDT <> & 4FMMFOUJO BOE " ' )FBWFOT .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD - <> . 8IJUF BOE / 1BENBOBCIBO +$"1 <> + $BSSPO "TUSPOPNZ "TUSPQIZTJDT " <> % 'PSFNBO.BDLFZ % 8 )PHH % -BOH BOE + (PPENBO 1VCMJDBUJPOT PG UIF "TUSP
OPNJDBM 4PDJFUZ PG 1BDJ୮ୢD <> 1MBODL $PMMBCPSBUJPO FU BM "S9JW FQSJOUT <> % )VUFSFS . 5BLBEB ( #FSOTUFJO BOE # +BJO .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> " )BMM BOE " 5BZMPS .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD - <> / & $IJTBSJ + %VOLMFZ - .JMMFS BOE 3 "MMJTPO .PO /PU 3PZ "TUSPO 4PD <> . " 5SPYFM BOE . *TIBL 1IZTJDT 3FW % <> 1 -BSTFO BOE " $IBMMJOPS "S9JW FQSJOUT <> - "NFOEPMB FU BM -JWJOH 3FWJFXT JO 3FMBUJWJUZ <> - 8PM[ . ,JMCJOHFS + 8FMMFS BOE 5 (JBOOBOUPOJP +$"1 6
$PODMVTJPO
#FDBVTF JU QSPCFT TVDI B MBSHF WPMVNF PG UIF VOJWFSTF UIF MBSHFTDBMF TUSVDUVSF -44
DPOUBJOT B
HJHBOUJD TUBUJTUJDBM QPXFS BOE QSPNJTFT UP BOTXFS UIF NPTU QSFTTJOH GVOEBNFOUBM QIZTJDT RVFT
UJPOT XIBU DBVTFT UIF VOJWFSTF UP CF BDDFMFSBUJOH 8IBU JT EBSL NBUUFS 8IBU BSF UIF NBTTFT PG
UIF OFVUSJOPT )PXFWFS TFWFSBM IVSEMFT MJNJU PVS BCJMJUZ UP FYUSBDU UIJT JOGPSNBUJPO GSPN UIF
-44 OPOMJOFBS FWPMVUJPO VOEFS HSBWJUZ JT DPNQMFY UP NPEFM BOE UVSOT JOEFQFOEFOU (BVTTJBO
JOJUJBM DPOEJUJPOT JOUP DPVQMFE OPO(BVTTJBO NPEFT VODFSUBJO BTUSPQIZTJDBM F୭GFDUT PCTDVSF
UIF DPOOFDUJPO CFUXFFO WJTJCMF BOE EBSL NBUUFS BOE BMUFS UIF NBUUFS QPXFS TQFDUSVN PO TNBMM
TDBMFT -44 PCTFSWBCMFT BSF PG୴FO DPNQMFY BOE TZTUFNBUJDTMJNJUFE 5IF HPBM PG NZ 1I% SFTFBSDI
IBT CFFO UP UBDLMF UIFTF MJNJUJOH QIZTJDBM VODFSUBJOUJFT BOE TZTUFNBUJD F୭GFDUT JO PSEFS UP MFBSO
NPSF GSPN UIF -44 5IJT SFTFBSDIIBT MFE NF UP XPSL BU UIF JOUFSGBDF PG NBOZ UPQJDT UIFPSZ PG
-44 L4; F୭GFDU $.# MFOTJOH PQUJDBM MFOTJOH -ZNBOα GPSFTU * VTFE BOE EFWFMPQFE BOBMZUJDBM
BOE TUBUJTUJDBM UFDIOJRVFT SFEVDFE /CPEZ TJNVMBUJPO PVUQVUT BOE BOBMZ[FE EBUB GSPN TQFDUSP
TDPQJD HBMBYZ TVSWFZT BOE $.# FYQFSJNFOUT
#FMPX * TVNNBSJ[F UIF NBJO SFTVMUT GSPN FBDI QSPKFDU BOE EFTDSJCF UIFJS JNQMJDBUJPOT GPS
GVUVSF -44 BOE $.# TVSWFZT
&ডঝছঊঌঝ঒গঐ ঒গএঘছখঊঝ঒ঘগ এছঘখ ঝ঑঎ গঘগ(ঊঞজজ঒ঊগ ঍঎গজ঒ঝঢ এ঒঎ক঍
5IF OPOMJOFBS FWPMVUJPO VOEFS HSBWJUZ DPVQMFT 'PVSJFS NPEFT PG UIF NBUUFS EFOTJUZ BOE NBLFT
UIFN OPO(BVTTJBO 5IF QPXFS TQFDUSVN UIVT OP MPOHFS IPMET BMM UIF JOGPSNBUJPO DPOUFOU
PG UIF -44 1BSU PG UIF MPTU JOGPSNBUJPO DBO CF SFDPWFSFE CZ NFBTVSJOH PUIFS PCTFSWBCMFT PO
UIF TBNF QBUDI PG UIF TLZ TVDI BT UIF NBUUFS CJTQFDUSVN BOE IBMP OVNCFS DPVOUT )PXFWFS
OPOMJOFBSJUJFT EVF UP HSBWJUZ NBLF UIFTF WBSJPVT QSPCFT DPSSFMBUFE 1FSGPSNJOH B DPOTJTUFOU
KPJOU BOBMZTJT PG UIF NBUUFS QPXFS TQFDUSVN CJTQFDUSVN BOE IBMP OVNCFS DPVOUT UIVT SFRVJSFT
VOEFSTUBOEJOH UIFJS DPWBSJBODFT TP BT OPU UP EPVCMF DPVOU JOGPSNBUJPO
6TJOH B IBMP NPEFM XF QSFEJDUFE UIFTF DPWBSJBODFT JO UIF MJOFBS BOE OPOMJOFBS SFHJNFT BOE
DIFDLFE UIFJS BHSFFNFOU XJUI XFBL MFOTJOH TJNVMBUJPOT *O UIF QSPDFTT XF JEFOUJ୮ୢFE UIF TP
DBMMFE IBMP TBNQMF WBSJBODF PS TVQFSTBNQMF WBSJBODF DPOUSJCVUJPO XIJDI EPNJOBUFT UIF DPWBSJ
BODFT JO UIF OPOMJOFBS SFHJNF BOE UIFSFGPSF DBOOPU CF JHOPSFE 8F TIPXFE UIBU DPNCJOJOH
QPXFS TQFDUSVN CJTQFDUSVN BOE IBMP DPVOUT DBO JNQSPWF DPTNPMPHJDBM DPOTUSBJOUT CZ 40%
DPNQBSFE UP QPXFS TQFDUSVN POMZ FRVJWBMFOU UP EPVCMJOH UIF TVSWFZ BSFB 5IJT JMMVTUSBUFT UIF
QPXFS PG JNQSPWFE TUBUJTUJDBM NFUIPET UP JODSFBTF UIF TDJFODF SFUVSO GSPN -44 NJTTJPOT
1ছ঎঍঒ঌঝ঒গঐ ঝ঑঎ গঘগক঒গ঎ঊছ খঊঝঝ঎ছ ঍঎গজ঒ঝঢ এ঒঎ক঍
0O DPTNPMPHJDBM TDBMFT HSBWJUZ DBVTFT QSJNPSEJBM EFOTJUZ QFSUVSCBUJPOT UP HSPX OPOMJOFBS
BOE DPMMBQTF QSPEVDJOH UIF -44 XF TFF UPEBZ 1SFEJDUJOH UIF OPOMJOFBS NBUUFS EFOTJUZ ୮ୢFME JT
DVSSFOUMZ BDIJFWFE UISPVHI BDDVSBUF CVU DPNQVUBUJPOBMMZ FYQFOTJWF /CPEZ TJNVMBUJPOT *
FYQMPSFE UIF F୭GFDUJWF ୮ୢFME UIFPSZ &'5
GPS UIF -44 BT BO BOBMZUJDBM BMUFSOBUJWF UP TJNVMBUJPOT
XJUI UIF HPBMT PG HBJOJOH JOUVJUJPO PO HSBWJUBUJPOBM OPOMJOFBSJUJFT BOE TQFFEJOH VQ UIF HFOFSB
UJPO PG OPOMJOFBS QPXFS TQFDUSB BOE NPDLT SFRVJSFE GPS UIF BOBMZTJT PG -44 EBUB
8F UFTUFE UIF &'5 QSFEJDUJPOT CZ DPNQBSJOH UIFN UP /CPEZ TJNVMBUJPOT JO B NPSF TUSJO
HFOU XBZ UIBO FWFS CFGPSF 5IJT NFUIPE DPO୮ୢSNFE UIF DPOWFSHFODF PG UIF &'5 PO MBSHF TDBMFT
RVBOUJ୮ୢFE JUT BDDVSBDZ BOE BMMPXFE UP JEFOUJGZ UIF OPOMJOFBS TDBMF EPXO UP XIJDI UIF &'5 JT
BDDVSBUF UP QFSDFOU MFWFM .PTU QSFWJPVT DPNQBSJTPOT POMZ NBUDIFE UIF QPXFS TQFDUSVN XIJDI
JT B XFBL UFTU GPS UIF GPMMPXJOH SFBTPOT 5XP NBUUFS EFOTJUZ ୮ୢFMET XJUI UIF TBNF QPXFS TQFD
USVN BSF OPU OFDFTTBSJMZ JEFOUJDBM UIF NBUUFS QPXFS TQFDUSVN JT B TNPPUI DVSWF UIBU EPFT OPU
DPOUBJO NBOZ GFBUVSFT BOE JT UIVT FBTJMZ NBUDIFEPWFS୮ୢU UIF DPNQBSJTPO JT MJNJUFE CZ TBNQMF
WBSJBODF *OTUFBE XF DPNQVUFE UIF &'5 EFOTJUZ ୮ୢFME JUTFMG PO UIF TJNVMBUJPO CPY BOE XJUI UIF
TBNF JOJUJBM DPOEJUJPOT BT UIF /CPEZ TJNVMBUJPO 5IJT BMMPXFE VT UP DPNQBSF EFOTJUZ ୮ୢFMET EJ
SFDUMZ SBUIFS UIBO KVTU UISPVHI UIFJS QPXFS TQFDUSB 5IJT SFNPWFE DPTNJD WBSJBODF JO UIF DPN
QBSJTPO BOE BWPJEFE UIF SJTL PG PWFS୮ୢUUJOH UIF QPXFS TQFDUSVN
.঎ঊজঞছ঒গঐ ঝ঑঎ ঔ঒গ঎খঊঝ঒ঌ 4ঞগঢঊ঎ট;঎ক‫ؠ‬঍ঘট঒ঌ঑ ঎এএ঎ঌঝ
5IF NBKPSJUZ PG UIF CBSZPOJD NBUUFS TFFO JO UIF DPTNJD NJDSPXBWF CBDLHSPVOE $.#
BQ
QFBST UP CF NJTTJOH JO UIF MPDBM VOJWFSTF FTQFDJBMMZ BSPVOE HSPVQTJ[F IBMPT 5IJT NॷTJOH CBSZPO
QSPCMFN JT MJLFMZ UIF SFTVMU PG QPXFSGVM GFFECBDL QSPDFTTFT GSPN TVQFSOPWBF BOE BDUJWF HBMBDUJD
OVDMFJ 5IF BNQMJUVEF PG UIFTF F୭GFDUT JT POF PG UIF NPTU TJHOJ୮ୢDBOU VOLOPXO JO HBMBYZ GPSNB
UJPO NPEFMT 5IFTF GFFECBDL F୭GFDUT IFBU UIF HBT BOE FYQFM JU PVU PG HBMBYJFT BOE HBMBYZ DMVTUFST
UIVT ESBNBUJDBMMZ BMUFSJOH UIF CBSZPO EJTUSJCVUJPO PO IBMP TDBMFT #FDBVTF CBSZPOT BDDPVOU GPS
BMNPTU 20% PG UIF UPUBM NBUUFS UIFJS VODFSUBJO EJTUSJCVUJPO SFTVMUT JO B MBSHF VODFSUBJOUZ PO
UIF UPUBM NBUUFS QPXFS TQFDUSVN *O UIF FSB PG QFSDFOU QSFDJTJPO DPTNPMPHZ UIJT VODFSUBJOUZ JT
MJNJUJOH
* MFE B NFBTVSFNFOU PG UIF LJOFNBUJD 4VOZBFW;FM‫ؠ‬EPWJDI L4;
F୭GFDU VTJOH UFNQFSBUVSF
EBUB GSPN "$51PM BOE UIF $."44 HBMBYZ TBNQMF GSPN #044 JO PSEFS UP DPOTUSBJO UIF HBT
EFOTJUZ QSP୮ୢMFT PG ∼ 1013 M IBMPT 5IJT NFBTVSFNFOU VTFE B OFX WFMPDJUZ SFDPOTUSVDUJPO
NFUIPE GSPN UIF EFOTJUZ ୮ୢFME BOBMPHPVT UP #"0 SFDPOTUSVDUJPO
JO PSEFS UP FYUSBDU UIF TJHOBM
0VS 3σ NFBTVSFNFOU PG UIF L4; F୭GFDU XBT BMSFBEZ TV୭୮ୢDJFOU UP TIPX BU WFSZ IJHI TJHOJ୮ୢDBODF
UIBU UIF HBT QSP୮ୢMF EPFT OPU GPMMPX UIF EBSL NBUUFS /'8 QSP୮ୢMF BOE JT JOTUFBE MFTT TUFFQ BOE
NPSF FYUFOEFE 8JUI UIF JODSFBTJOH BSFB PG PWFSMBQ CFUXFFO IJHI SFTPMVUJPO $.# EBUB BOE
TQFDUSPTDPQJD EBUB UIF TJHOBMUPOPJTF JO UIJT NFBTVSFNFOU XJMM JODSFBTF CZ B GBDUPS 30 JO UIF
DPNJOH ZFBST UIVT NBLJOH UIF L4; B QPXFSGVM QSPCF PG UIF CBSZPOT BOE PG GFFECBDL JO HBMBYZ
HSPVQT BOE DMVTUFST
'঒ছজঝ ঍঎ঝ঎ঌঝ঒ঘগ ঘএ ঝ঑঎ -ঢখঊগα $.# ক঎গজ঒গঐ ঌঘছছ঎কঊঝ঒ঘগ
8IJMF UIF L4; F୭GFDU QSPCFT UIF JPOJ[FE HBT UIF -ZNBOα GPSFTU QSPCFT UIF OFVUSBM IZESPHFO
5IF JOUFSQSFUBUJPO PG UIF -ZNBOα GPSFTU UZQJDBMMZ SFMJFT PO UIF BTTVNQUJPO PG QIPUPJPOJ[BUJPO
FRVJMJCSJVN JO B IPNPHFOPVT 67 CBDLHSPVOE ୯୳VDUVBUJOH (VOO1FUFSTPO BQQSPYJNBUJPO
XJUI OP BEEJUJPOBM TPVSDFT PG FOUSPQZ )PXFWFS UIF DPOOFDUJPO CFUXFFO -ZNBOα USBOTNJT
TJPO BOE NBUUFS EFOTJUZ JT DPNQMFY UIFSNBM CSPBEFOJOH +FBOT TNPPUIJOH OPOMJOFBSJUJFT BOE
QSPYJNJUZ F୭GFDU
5P UFTU UIJT DPOOFDUJPO XF VTFE $.# MFOTJOH BT B USBDFS PG UIF NBUUFS BU IJHI SFETI୮ୢU .Z
DPMMBCPSBUPST BOE * QSPEVDFE UIF ୮ୢSTU EFUFDUJPO PG B DPSSFMBUJPO CFUXFFO $.# MFOTJOH BOE UIF
-ZNBOα GPSFTU 5IJT NFBTVSFNFOU UFTUT PVS VOEFSTUBOEJOH PG UIF MJOL CFUXFFO UIF OFVUSBM HBT
BOE UIF VOEFSMZJOH NBUUFS EFOTJUZ ୮ୢFME
4঑঎ঊছ ঌঊক঒ঋছঊঝ঒ঘগ ঠ঒ঝ঑ $.# ক঎গজ঒গঐ
'VUVSF XFBL MFOTJOH TVSWFZT TVDI BT -445 &VDMJE BOE 8'*345 XJMM QSPWJEF IJHIMZ QSFDJTF
-44 EBUB 'VMMZ FYQMPJUJOH UIJT EBUB XJMM UIFSFGPSF SFRVJSF BO FYUSFNFMZ BDDVSBUF DPOUSPM PG TZT
UFNBUJDT TVDI BT QIPUPNFUSJD SFETIJG୴ FSSPST BOE TIFBS DBMJCSBUJPO 4IFBS DBMJCSBUJPO JT BMSFBEZ
B MJNJUJOH TZTUFNBUJD GPS DVSSFOU TVSWFZT TVDI BT %&4 BOE ,J%4 5IF DVSSFOU TUBUF PG UIF BSU
CBTFE PO JNBHF TJNVMBUJPOT SFBDIFT ∼ 5% BDDVSBDZ GBS GSPN UIF ∼ 0.5% SFRVJSFE GPS -445
&VDMJE BOE 8'*345
8F UIFSFGPSF FYQMPSFE B DPNQMFUFMZ JOEFQFOEFOU NFUIPE GPS TIFBS DBMJCSBUJPO VTJOH $.#
MFOTJOH 8F QSPEVDFE UIF NPTU SFBMJTUJD GPSFDBTU UP EBUF GPS -445 &VDMJE 8'*345 BOE
$.# 4 MFOTJOH JODMVEJOH WBSJPVT DPNCJOBUJPOT PG HBMBYZ OVNCFS EFOTJUJFT HBMBYZ TIFBS
BOE $.# MFOTJOH 8F TIPXFE UIBU UIJT NFUIPE SFBDIFT UIF TIFBS DBMJCSBUJPO SFRVJSFNFOUT GPS
-445&VDMJE8'*345 FWFO JO UIF QSFTFODF PG QIPUPNFUSJD SFETIJG୴ FSSPST BOE JOUSJOTJD BMJHO
NFOUT 5IJT NFUIPE JT B TFMGDBMJCSBUJPO GSPN UIF EBUB BMPOF JT QVSFMZ FNQJSJDBM BOE EPFT OPU
SFMZ PO BTTVNQUJPOT GPS UIF HBMBYZ QPQVMBUJPO BOE NPSQIPMPHJFT DPOUSBSZ UP JNBHF TJNVMB
UJPOT
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
25 958 Кб
Теги
sdewsdweddes
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа