close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1popov a l chernyshev g n mekhanika zvukoizlucheniya plastin

код для вставкиСкачать
МЕХАНИКА
ЗВЖОИЗЛУЧЕНИЯ
ПЛАСТИН
И ОБОЛОЧЕК
А.Л. ПОПОВ
Г Н. ЧЕРНЫШЕВ
А. Л. ПОПОВ, Г. Н, ЧЕРНЫШ ЕВ
МЕХАНИКА
ЗВУКОИЗЛУЧЕНИЯ
ПЛАСТИН
И ОБОЛОЧЕК
МОСКВА
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ФИРМА
«ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА»
ВО «НАУКА»
19 94
Б Б К 22.251
П 58
У Д К 539.3 + 534
П о п о в А. Л., Ч е р н ы ш е в Г. Н. Механика звукоизлучения пла­
стин и оболочек.— М.: Физматлит, 1994.— 208 с.— ISBN 5-02-014703-6
Рассматриваются задачи о совместных колебаниях п излучения упру­
гих оболочек и пластин, находящихся в контакте с акустической средой.
Последовательно изложен новый метод решения таких задач, развиваю­
щий концепции присоединенной массы и выделения особенностей (при
возбуждении оболочек сосредоточенными нагрузками). Выявляются и ана­
лизируются ранее неизвестные либо мало освещенные в литературе яв­
ления при гидроупругих колебаниях замкнутых выпуклых оболочек и ог­
раниченных пластин: образование внешних переходных поверхностей
в жидкости, их влияние на направленность звукоизлучения и акустическое
демн^иррвдние. жалвбянийт" искай?Шйе резонансных форм колебаний обо­
лочек жидкостью Щздрурие эф^ектй. сЬисаны некоторые способы управ­
ления уроЦнямж в й ^ а р и д ® з^^физ^уч|ния оболочек.
Д ля-Ы ^и^Ц бтбВ 'в ФбЛа'стй'гйдроуйругости и акустики тонкостенпых
конструкций,, аспирантов ,1ь-л«уде»¥ст; м|хаппко-математических факультётов yHHBep§!^to^^vJiexHii4ec^^ вузот|.
Табл,^" Ш1. ^^^^Олиогр.
Р ец ен аен л'
доктор технических наук.
П
1603040000-044
Без объявл.
053(02)-94
ISB N 5-02-014703-6
назв|
‘Шш гН 1 Ч Н о в
0
л. л.
1094
Попов, Г. Н. Ч ерны ш ев-
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
............................................................................................................
Глава i. Динамические задачи гидроупругости и излучения оболочек
§ 1. Математическая формулировка з а д а ч ...............................................10
А к у сти ч еск ая
сред а
(10).
О болочка
(11).
У прощ енны е
м одели
(14). М етод согласован н ы х и н теграл о в
(МОИ)
9
(12).
§ 2. Методы расчета колебаний оболочек с учетом жидкости . . .
Обзор л и тер ату р ы
6
14
(17).
Глава 2. Метод согласованных интегралов. Эталонные задачи
. .
25
I 1. Свободные волны в протяженном тонком теле и поверхностные
волны в ж и д к о с т и .............................................................................................. 25
П лоские и згибны е волны в бесконечной п л асти н е н а ж и д к о м п о л у ­
п р о стр ан стве (25). Д и сперсион н ы е зав иси м ости д л я преи м ущ ествен н о
п зги бн ы х
волн
в ц и л и н д ри ческой оболочке,
кон такти рую щ ей
с
ж и дкостью (29).
I 2. Структура волн при возбуждении бесконечной пластины линей­
но-сосредоточенной с и л о й .....................................................................36
А н али з корней х ар ак тери сти ческого ур ав н ен и я (38). И н тегр ал ы р а зр е ­
ш аю щ его у р ав н ен и я (40). П ервое п ри бл и ж ен и е б ы стром ен яю щ и хся
ком понент ф ун кц ий п роги ба п л асти н ы и д а в л ен и я в ж и д к о сти (40).
М едлен н ом ен яю щ и еся ком поненты реш ен и я (43). Второе п ри бл и ж ен и е
бы стром ен яю щ и хся ком понент (44). С опоставление с точны м реш ен и­
ем (46). О сходим ости проц есса посл едовател ьны х п р и б л и ж ен и й (51).
§ 3. Точечное возбуждение бесконечной пластины на жидком полу­
пространстве
...........................................................................................................54
П о стано в ка зад ачи . Сведение к «плоскому» случаю (54). Р еш ени е с
вы делением особенностей w vi P \ g (56). Сравнение с точны м реш ением
н а поверхности п л асти н ы (57). У чет ан и зотроп и и свойств п л асти н ы (59).
-Глава 3. Вынужденные колебания и звукоизлучение ограниченных
п л а с т и н .................................................................................................................... 62
§ 1. Плоские колебания контактирующей с жидкостью пластипы-полосы в жестком э к р а н е .......................................................................... 63
П остроение бы стром ен яю щ ей ся ком поненты реш ен и я на поверхности
п л асти н ы (64). И сп о л ьзован и е и н тегр ал а К и рхгоф а д л я кон трол я точ­
ности р езу л ь тато в (67). С равнение с чи слен н ы м реш ением (68).
§ 2. Об эффекте искажения форм резонансных колебаний пластины
ж и д к о с т ь ю .................................................................................................. 71
§ 3. Пластина-полоса как излучатель звука в водной п воздушной
с р е д а х .......................................................................................... • . . .
73
Х ар ак тер и сти к и н и зкочастотн ого и зл у ч е н и я п л асти н ы (74). В лияни е
у п р у ги х п ар ам етр о в среды (76). О дем пф ирую щ ей способности звуиюи зл у ч е н и я II вн утрен н его тр ен и я (78).
Глава 4. Колебания замкнутой сферической оболочки в безграничной
жидкой с р е д е .............................................................................................. 80
§ 1. Асимптотический порядок присоединенных масс жидкости . .
У р авн ен и я осеси м м етри чны х колебан и й сф ерической оболочки в ж и д к о с­
ти (80). А си м п то ти ка и н теграл ов ур ав н ен и я Г ел ьм гол ьц а (82). Х ар ак ­
тери стическое уравн ен и е (83). К оэф ф и ц и ен ты при соедин енн ы х м асс (86).
В ли яни е при соеди н ен н ы х м асс ж и д ко сти на резонансны е частоты бы ст­
ро- п м едлеы и ом ен яю щ и хся форм колебан ий оболочки (88).
80
§ 2. Неосесимметричиые коротковолновые колебания сферической
оболочки в ж и д к о с т и ........................................................................................90
Р еш ен и е методом собственны х форм (91). Оценки составл яю щ и х б л и ж ­
него п оля в резон ансном и нерезонансн ом р еж и м а х (92).
§ 3. Сосредоточенные нагрузки. Построение фундаментального решеппя для оболочки в вакууме и в ж и д к о с т и ............................................94
Д ва подхода к реш ению зад ач и о кол ебан и ях оболочки под сосредото­
ченной силой (94). А нализ корней характери сти ческого ур ав н ен и я (95).
И н тегр ал ы ра.зреш аю щ ей системы . Вы деление особенностей в точке п ри ­
л о ж ен и я силы (96). Р еш ен ие в р яд ах по сф ерическим ф ун кц и ям (99)С опоставления на балочн ы х м оделях (99). В ы деление особенностей е
учетом аку сти ч еско й среды (101). К оротковолновое п ри бл и ж ен и е (101).
С лучай н есж и м аем о й ж и дкости (103). Сравнение с точны м реш ением
(106). Учет м едлепном енятощ ихся ком понент (107). Учет сж и м аем ости
ж и дкости . А кустическое дем п ф и рован и е колебан ий оболочки (109). Р е­
ш ение при кольцевом н агр у ж ен и и оболочки (И З ).
Глава 5. Коротковолновые колебания и ближнее поле замкнутых обо­
....................................................................................................................... 115
лочек
§ 1. Об интегрировании уравнений коротковолновых квазипоперечных колебаний оболочки в ж и д к о с т и ........................................................116
§ 2. Высокочастотные колебания оболочки врап]^ення, контактирую­
щей с жидкостью, возбуждаемые окружной нормальной силой
.
ИЯ
§ 3. Оболочка с некруговым поперечным с е ч е н и е м ...................................125
В н у тр ен н яя зад ач а. М етод собственны х ф ункц ий (126).
Оболочка с подкрепляющим к о л ь ц о м ....................................................... 128
Коротковолновые колебания в диапазоне средних частот
. .
130
Решение при наличии нескольких подкрепляющих колец
. .
135
Конструктпвио-ортотропные о б о л о ч к и .......................................................137
О применимости коротковолновых приближений на частотах ни­
же к о л ь ц е в о й ........................................................................................................139
Глава в. Резонансное излучение оболочек с образованием внешних
переходных п о в е р х н о с т е й ...............................................................................141
§ 1. Переходные поверхности и излучение звука при резонансных
колебаниях сферической оболочки вж и д к о с т и ...................................... 141
§ 2. Условия образования внешних переходных поверхностей при
колебаниях бесконечной цилиндрической оболочки в жидкости
146
§ 3. Структура акустического поля эллипсоидальной оболочки вра­
щения на резонансных частотах коротковолновых колебаний
.
148
§
§
§
§
§
4.
5.
6.
7.
8.
А си м п тоти ка реш ений у р авн ен и я Г ельм гольца при неполном разд ел е­
нии перем енны х (148). О пределение координ ат п ереходны х поверхностей
в ж и дко сти (153). П ереходны е поверхности и н ап р авл ен н о сть р езон анс­
ного зв у к о и зл у ч ен и я оболочки (156).
§ 4. Коротковолновые колебания тонкостенного эллиптического ци­
линдра в жидкости, нагруженного по образующей
.
. . .
159
§ 5. Переходные поверхности во внешности овалоидпой оболочки
вращепия
. . , ..................................................................................................163
Глава 7, Общая краевая задача гидроупругих колебаний оболочки
в р а щ е н и я ............................................................................................................... 167
§ 1. Уравнения колебаний коиструктивно-ортотроштоп оболочки вра­
щения, контактирующей сж и дкостью ...........................................................168
§ 2. Основной II дополнительные коэффициенты присоединенной мас­
сы ж и д к о с т и .........................................................................................................170
О сциллирую щ ие и н теграл ы (170). В н утренние краевы е эф ф екты
П р и со ед и н ен н ая м асса д л я «акусти ч ески бы стры х мод» (176).
§
(176).
3. Асимптотика быстроменяющихся и н т е г р а л о в ............................ 177
Х ар актер и сти чески е п о к аза тел и (177). «Весовые» ф ун кц ии дли ком по­
н ен т вектора со сто ян и я оболочки (179). П ред ставл ен и я в обл астях ос­
ц и л л яц и и и эксп о н ен ц и ал ьн ого за т у х а н и я (179).
§
§
4. Медленноменяющиеся интегралы. Построения спомощью ЭВМ
5. Общий интеграл системы уравнений па поверхности• оболочки.
Определение к о н с т а н т .........................................................................182
Г л а в а cS.
Некоторые пути управления виброактивностью и звукоизлу-
чением обол очечных к о н с т р у к ц и й ..................................................... 184
R 1 Компенсация вибрационных сил на опорах пластин . .
. .
§ 2, Использование свойств переходных линий и поверхностей для
управления виброакустическим полем о б о л о ч к и ........................ 188
Об особенностях компонент вектора состояния оболочки
и функции давления жидкости в местах приложения сосредото­
ченных н а г р у з о к .......................................................................................194
§ 1. Главные особенности перемещений, усилий и моментов в статике
оболочек
§ 2. Главные особепиости функций давления жидкости п прогиба обо­
лочки в задачах г и д р о у п р у г о с т п ..................................................... 196
184
П рилож ение.
Список литературы...............................................................................................199
194
П РЕ Д И С Л О В И Е
Устойчивый интерес к исследованиям в области гидроупруго­
сти и звукоизлучения тонкостенных конструкций поддерж ивает­
ся распространением таких конструкций в подводном н надвод­
ном судостроении, авиакосмической технике, химическом и энер­
гетическом машиностроении, на транспорте, в строительстве, аку­
стических системах, биотехнологии — всюду, где тонкостенная
конструкция находится в условиях динамического нагруж ения
и контакта с акустической средой. Естественно, что предлагае­
мая книга не явл яется первой в данной области. В послевоенный
период в отечественной и зарубеж ной печати издано более деся­
ти книг, освспдающих вопросы взаимодействия тонких упругих
пластин и оболочек с жидкостью. Это монографии Л. В. Л ям ш ева (1955), В. В. Болотина (1961), Е. Л. Ш ендсрова (1972),
Е. И. Мнева п А. К. П ерцева (1970), В. И. Б уйвола (1975),
Э. И. Григолю ка и А. Г. Горш кова (1974), В. Т. Л япунова,
A. С. Никифорова (1975), М. А. И льгамова (1969), М. С. Д ж ан гера II Д. Ф эйта (1972), справочник В. С. Гонткевича (1964),
книги последних лет К. В. Фролова и В. Н. Антонова (1963),
И. Д. В екслера (1984), А. И. Гузя, В. Д. Кубенко (1982),
B. Т. Гринченко, И. В. Вовка (1986), А. 3. Авербуха, Р. И. Вепцмана, М. Д. Генкина (1987), Е. Л. Ш ендерова (1989). Больш ое
количество публикаций проходит в научной периодике: JASA,
«Акустический ж урнал», ПММ, «Известия РА Н . М еханика твер­
дого тела», «П рикладная механика» и др.
За редким исклю чением в этих источниках в качестве упру­
гих излучателей (при рассмотрении задач в точной постановке)
фигурируют пластина, цилиндрическая либо сферическая обо­
лочки. Такие оболочки и пластины присутствуют и в данной
книге, и им удаляется немало места. Однако здесь они играют
роль модельных (эталонны х) конструкций, на которых вы веря­
ется предлож енны й авторами метод реш ения динамических за­
дач гидроупругости оболочек более сложного очертания, таких,
как зам кнутая эллипсоидальная оболочка, произвольный выпуклый овалоид враш;ения, пластина с контуром границы пепостоянной кривизны II т. п. Реш ение задач для таких объектов традпцпонными методами сопряж ено с рядом проблем, связанны х
с математическим обоснованием их применимости.
6
,
!
'
^
П ривлекательная сторона развиваемого метода в том, что он
основы ваетш на общих свойствах акустических полей в окрест­
ности колеолю щ ихся оболочек и пластин как простого, так и
сложного очертания. Поэтому п обоснование его применимости
проводится на модельных задачах.
Кроме универсальности применения по формам оболочек
(а такж е по частотному диапазону и диапазону изменяемости
внешней н агрузки ), данны й метод обладает и другими преиму­
щ ествами — доступностью математического аппарата и относи­
тельной простотой реш ения задач гидроупругости. Реш ение с его
помощью задачи о совместных колебаниях оболочки и ж идко­
сти •— почти такое ж е по сложности, как и реш ение задачи
о колебаниях оболочки в вакууме. Подобно другим приближ ен­
ным (в том числе асимптотическим) методам предлож енны й ме­
тод представляет собой рекуррентную процедуру построения по­
следовательных приближений. В книге на одной из модельных
задач показана быстрая сходимость итераций к точному решению
и достаточная для практических расчетов точность, достигаемая
на первом ш аге рекуррентной процедуры.
Отличительным признаком метода яв л яется раздельны й учет
инерционного воздействия ж идкости по характерны м компонен­
там напряженно-деформированного состояния оболочки: осцил­
лирую щ ей без убывания и типа краевого эффекта, быстро- либо
медленноменяю щ ейся, что позволяет при построении общего ре­
ш ения задачи для оболочки определять каж ды й интеграл систе­
мы дифф еренциальны х уравнений с учетом присущего только
ему коэффициента присоединенной массы жидкости. Последний,
в свою очередь, определяется как характеристический параметр
из условия согласования интегралов оболочечных и ж идкостных
уравнений на поверхности контакта. Отсюда и название, данное
авторами: метод согласованных интегралов.
При рассмотрении вы нуж денны х колебаний оболочек и п ла­
стин, контактирую щ их с жидкостью, основное внимание уделено
проблеме приближенного построения ф ундаментальны х решений,
т. е. реш ений задач гидроупругих колебаний и излучения обо­
лочек, нагруж енны х сосредоточенными гармоническими силами
и моментами. П ри этом развивается известный в статике оболо­
чек метод выделения правильны х особенностей реш ения в ме­
стах прилож ения сосредоточенных нагрузок.
Кроме методической стороны новым в книге явл яется иссле­
дование ранее не описанных и малоизученны х явлений, сопро­
вождаю щ их колебания оболочек и пластин, контактирую щ их с
жидкостью. Наиболее интересное из них — образование внешних
переходных поверхностей в жидкости, окруж аю щ ей вибри­
рующую оболочку. В ы ясняется, что располож ение переходных
поверхностей по отношению к оболочке определяет структуру
излучаемого ею дальнего акустического поля в условиях резонан­
са. В книге построены переходные поверхности для цилиндриче­
ской, сферической, эллипсоидальной и овалоидной оболочек
7
вращ ения, проведена классиф икация этих поверхностей, аналщ
их перемещ ений при изменениях частоты колебаний и внеш не|
нагрузки; показана связь геометрии переходных поверхностей <
направленностью резонансного излучения, образованием зон под.
ной тени, демпфирую щим эффектом звукоизлучения. Высказаны
предлож ения о практическом применении свойства .локализации
вибраций зам кнуты х оболочек меж ду переходными линиями |
теории переходных поверхностей в ж идкости д ля управления
уровнями вибраций и звукоизлучения оболочек.
Рассмотрены п другие эффекты, присущ ие колебаниям обо­
лочек и пластин, находящ ихся в контакте с жидкостью, напр®-’^
мер такой неоднозначно толкуемый эффект, к ак искажение
жидкостью резонансной формы колебаний оболочки и пластинц
по отношению к собственной форме колебаний с тем же числом
волн в вакууме. В монографии впервые обращено внимание на
то, что неучет этого эффекта может в ряде случаев привести
к сущ ественным ошибкам при определении резонансны х ампли­
туд гидроупругих колебаний оболочки и дальнего поля из­
лучения.
Специалистам по расчетам вибрационных и акустических по­
лей оболочек, которых заинтересует конкретная реализация ме­
тода, будет полезно ознакомиться с приводимым в книге подроб­
ным алгоритмом реш ения общей задачи на примере колебании,
зам кнутой эллипсоидальной оболочки вращ ения в жидкой среде/
П рограм мная реализация указанного алгоритма сводится к рас=<
четам по ф ормулам с привлечением стандартны х программ из
набора математического обеспечения ЭВМ среднего класса.
К нига предназначена для научны х работников и инженеровисследователей в области гидроупругости и акустики тонкостен­
ных конструкций, аспирантов и студентов механико-математиче­
ских специальностей университетов и технических вузов, в част­
ности М ГТУ им. Н. Э. Б аум ан а, где курс гидроупругости обо­
лочек по тематике настоящ ей книги читается на протяжении
ряда лет.
Н ум ерация формул в пределах каждого параграф а cплoШf
ная. При ссылках на формулу из другого п араграф а в пределаз?
одной главы используется двойная, а при ссы лках на формулу
из другой главы — тройная нумерация.
*
л (4^ ^ -I
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗА ДА Ч И ГИДРОУПРУГОСТИ
И ИЗЛУЧЕНИЯ ОБОЛОЧЕК
В этой вводной главе формулируется постановка краевы х за­
дач о стационарных колебаниях и излучении оболочек, контак­
тирующих с жидкостью , дается характеристика методов расчета
гидроупругих колебаний оболочек и построения излучаемого обо­
лочкой акустического поля, описание экспериментальных мето­
дов п результатов в данной области. И злагается краткое содер­
жание последующих глав с обсуждением близких по тематике
литературных источников.
Задачи о стационарных колебаниях тонких упругих оболочек,
находящ ихся в неразрывном контакте с идеальной жидкой сре­
дой, образуют одно из направлений динамической гидроупругости
и акустики оболочек, позволяю щ ее в рам ках линейной теории
получать важ ны е с практической точки зрения результаты . Р аз­
нообразны технические прилож ения этих результатов: для опи­
сания вибраций топливных баков с жидкостью, плотин, акусти­
ческих систем в радиотехнике и живом организме, окон зданий
и вентиляционных систем, корпусов кораблей п подводных ло­
док, летательны х аппаратов (в том числе таких перспективных,
как дириж абли), трубопроводов, оболочек атомных реакторов и
волновых передач, лопаток турбин, даж е льда в канале п в иных
случаях, когда обратным влиянием среды на колебания тонко­
стенной конструкции н ельзя пренебрегать. В лияние это может
быть весьма значительны м и проявляться в перестройке резо­
нансного спектра системы, искаж ении форм колебаний, допол­
нительном демпфировании и других эффектах.
С другой стороны, вибрации машин, оборудования п корпус­
ных элементов конструкций сопровождаются, как правило, ин­
тенсивным звукоизлучением, которое играет свою вредную и воз­
растающую роль в современной жизни. Становятся актуальны ми
вопросы создания акустически комфортной технической среды
как одного пз элементов экологического проектирования. И здесь
учет упругих свойств источника звука (более того, измененных
ооратным влиянием акустической среды!) весьма важ ен для
правильного расчета излучаемого волнового поля. Реш ение таких
совместных задач может служ ить примером комплексного под­
хода к созданию единой математической модели динамики двух
разнородных механических структур, какими являю тся упругая
тонкостенная конструкция и акустическая среда.
§ 1. Математическая формулировка задач
К ак уж е отмечалось, предметом рассмотрения в книге я в л я
ются установивш иеся колебания тонкостенных упругих оболочо!
и пластин, находящ ихся в контакте с идеальной акустйческо!
________ ___ _________
средой. Это могут быть бесконечные и ограниченные
—
пластины и цилиндрические
—
оболочки, зам кн утая сфери— — ческая, сфероидальная оболочки и оболочки други!
форм. А кустическая
среда
(которую такж е будем назы*
вать жидкостью ) моя^ет нахо.
литься вне или внутри обо---------- ------------------------------ лочки, быть
одновремепно
Рис. 1
снаруж и и внутри. Н а рис.
схематично изображ ена та­
кая общая ситуация (контуры S символизирую т поперечное се­
чение
оболочки толщиной
2fe, горизонтальны е
ш трихи —
ж и д ко сть).
Акустическая
среда.
А кустическая
среда
(идеальная
Яхидкость) считается потенциальной (безвихревой), перемещения
в ней — малыми, колебательного характера, течения отсутствуют,
В исходном состоянии жидкость неподвижна. При таких усло­
виях механические свойства жидкости характеризую тся двумя
параметрами: плотностью р и скоростью звука с. Избыточное
акустическое давление 5^, возникающ ее при колебаниях, удовлет
воряет волновому уравнению
где А — оператор Л ап ласа по пространственным координатам в
области, занятой жидкостью, t — время.
В литературе для описания поведения акустической среды
н аряду с функцией давления ^ часто используется потенциал
скорости Ф, связанны й с колебательной скоростью частиц сре
ды V и функцией ^ равенствами
v = — grad®,
Потенциал Ф такж е удовлетворяет волновому ураиненг.о,
и при гармонических колебаниях с точностью до постоянш о
множ ителя ф ункции ^ и Ф могут быть отождествлены.
П усть давление в ж идкости вне оболочки характерпзуе»
функцией
а внутри —
В неш няя область, занял я.
жидкостью, в большинстве случаев, рассматриваемы х ннячс, счч
тается безграничной. В такой области для вы деления воли, расхо­
дящ ихся от оболочки (задача и зл учен и я), реш ение вилнового;
уравнения относительно ф ункции
вдали от оболочки (па
10
СТОЯНИЙ r- ^ o o ) подчиняется условию излучения Зоммерфельда
Н29]
lira г
Г-.00 X
= »
(2)
(зависимость от времени при этом везде будет учиты ваться мно­
ж ителем e x p ( - m t ) , где со — круговая частота, i = Y—1).
Внутри оболочки ф ун кц ия
долж на удовлетворять усло­
вию регулярности во всех точках области, занятой жидкостью.
П еречисленны е условия означают, что в качестве источника
звуковых волн рассм атривается оболочка, колебания кото­
рой, в свою очередь, возбуж даю тся заданными или трансформи­
рованными через подкрепления периодическими усилиями и
моментами.
^
Оболочка. С точки зрен и я реш ения волнового уравнения обо­
лочка представляет слож ное граничное условие, в котором ф унк­
ция д авлен ия жидкости на ее поверхности не явл яется извест­
ной; она долж на определяться совместно с компонентами векто­
ра состояния оболочки из системы дифф еренциальны х уравне­
ний колебаний оболочки, причем более высокого порядка, чем
волновое уравнение. В качестве такой системы примем динами­
ческий вариант уравнений классической двумерной теории обо­
лочек, основанной на гипотезах К ирхгофа — Л ява. Соответствую­
щие уравн ен ия в перем ещ ениях после отделения временной
зависимости имеют вид [44, 84]
3
2
- Х‘ щ + 6 „
i=,,2,3,
+
5^
{ Р"> Is - Р “ >Is)
Я=
4 - f .
(3)
Здесь щ, U2 — тангенциальны е перемещ ения, щ = w — прогиб
оболочки, Е, ро, V — соответственно модуль Ю нга, плотность и ко­
эффициент П уассона м атери ала оболочки, Ьц, Nss — безмоментныс и моментный диф ф еренциальны е операторы, Fi — компонен­
ты внеш ней нагрузки, бзг — символ К ронекера,
—
амплитудные (по времени) функции распределения давления
жидкости но поверхности оболочки; вне оболочки эти функции
удовлетворяю т уравнениям Гельмгольца
= 0.
Л Р '"' 4-
= О,
ке
=
—
,
= —
(4)
(предполагается, что ж идкости снаруж и п внутри оболочки мо^Ут быть р азн ы м и ).
Кроме уравнений (3 ), на поверхностях контакта оболоч№ с 7КИДК0СТЫ0 долж ны вы полняться условия безотрывности
И
колебаний (их назы ваю т еще условиями непротекания) :
^р{е)
dpii)
^ (d-pw\
дп
S
On
S
(5)
где п — внеш няя нормаль к оболочке (см. рис. 1 ).
В отсутствие жидкости внутри оболочки (Р^'^ = 0) уравнения
(3) вместе с (4) и (5 ), а такж е условием излучения на беско­
нечности дают формулировку внеш ней задачи о колебаниях и
излучении звука оболочкой, контактирую щ ей с акустической
средой. Соответственно при Р^^^ = О эти уравнения, условие недротекания (5) п условие регулярности ф ункции Р^'^ образуют
внутренню ю задачу о колебаниях оболочки с жидкостью. Ниже,
как правило, будет рассм атриваться одна из этих задач.
Упрощенные модели. Нетрудно видеть, что реш ение сформу­
лированны х задач в точной постановке явтШется сложной мате­
матической проблемой. Облегчению ее способствует принятие
дополнительны х гипотез, упрощ аю щ их исходные уравнения. При
этом следует отдавать отчет в суж ении области применимости
получаю щ ихся усеченных систем и оговаривать конкретные си­
туации, где их использование не сопровождается заметным рос­
том погрешностей.
При рассмотрении колебаний в жидкости (например, воде),
плотность II скорость звука в которой соизмеримы с аналогич­
ными парам етрам и твердых тел, часто пренебрегают сж им ае­
мостью жидкости. В этом случае говорят об использовании мо­
дели несжимаемой жидкости. Д авление в такой среде определя­
ется из реш ения уравнения Л ап ласа
А Р = 0.
Очевидно, что в совместных задачах гидроупругости оболоч­
ки II жидкости область применимости модели несжимаемой
Я4ИДК0СТИ — малые значения частотного парам етра к. В некото])ых
задачах переход к этой модели значительно упрощ ает аналити­
ческое реш ение (например, для бесконечной пластины, контак­
тирую щ ей с жидкостью (гл. 2 ), или для сферической оболочки
;(гл. 4 ) ) , а в плоском случае позволяет применить аппарат тео­
рии функций комплексного переменного [72].
Ш ироко использую тся предельные состояния в граничны х
условиях:
а) акустически м ягкая поверхность P ls = 0 ;
б) акустически ж есткая поверхность dPldn\s — ^П ервая из них приближ енно моделирует свободную поверх­
ность жидкости (в пренебреж ении силами поверхностного н атя­
ж е н и я ), вторая — условия на жестком (невибрирую щ ем) экране.
Д л я функции акустического давлеш ш в трехмерном про­
странстве вдали от излучателя общ епризнанным явл яется при­
ближ енное представление в виде
Акт
= Л ( Ф ,0 ) - ^ ,
12
(6)
где г, ф, 6 — координаты сферической системы с началом на из­
лучателе. Ф ункция .4(ф , 0 ) н азы вается диаграммой н ап ра в ле н­
ности излучения.
Ф ормула ( 6 ) вы раж ает сферический закон затухания д ав л е-’
н ия в неограниченном пространстве и представляет, по сути,
другую запись условия излучения (2 ) (при зависимости от вре­
м ени е х р (—ш ^ ) ). В ы раж ен и я типа ( 6 ) получаю тся как главны е
члены асимптотик любого реш ения трехмерной задачи гпдроупругости на большом расстоянии от оболочки.
Что касается уравнений колебаний оболочки, то здесь упро­
щ ен и я сводятся к выделению определяю щ его типа напряж еннодеформированных состояний, зависящ его от частотного диапазона
и характера нагруж ени я оболочки. В аж нейш ие из них (по реа­
л и зац и и в задачах гидроупругости)— это быстроменяющееся на­
пряженно-деформированное состояние (В М С ), описываемое изтибно-плоскостными интегралам и [42]; соответствующ ая систе­
ма уравнений приведена в гл. 5. П ри таких колебаниях длина
волны упругой деформации оболочки, найденная с учетом
ж идкости, сущ ественно меньше, чем длина акустической волны в
свободной среде на той ж е частоте (по акустической терминоло­
г и и — это полосовые моды [1 0 ]). О ператорная запись (через ите­
рированные операторы Л ап л аса) системы уравнений быстроменя­
ю щ ихся состояний и наличие в ней всего двух оболочечных не­
известных (ф ункций прогиба и тангенциальны х усилий) весьма
удобна для вы полнения условий совместности с уравнением
,Гельмгольца относительно ф ункции давления в пристеночном
слое жидкости. Область применимости этой системы по частот­
ному диапазону в задачах гидроупругости шире, чем аналогич­
ной системы уравнений колебаний оболочки в вакууме (см. § 8
гл. 5 ), и начинается с частот, значительно меньших кольцевой
частоты (ниж ней границы области сгущ ения спектра) [44, 8 2 ].
На высоких частотах, приближ аю щ ихся к верхнему пределу
применимости уравнений (3) и (или) очень большой изменяемо­
сти напряженно-деформированного состояния (по числу волн
н а характерном разм ере оболочки), происходит дальнейш ее уп ­
рощение математической модели колебаний граничной поверхно­
сти: в главном приближ ении оболочка колеблется как пластина
в искривленной метрике. От системы (3) остается дифференци­
альны й оператор 4-го порядка hlN^^ с малым параметром при
старш ей производной, инерционный и нагрузочные члены. Такое
приближ ение будем назы вать квазипластинчатым.
Другой, широко применяемой в теории оболочек предельной
системой уравнений явл яется безмоментная система. В отличие
от общей системы (3 ), порядок дифф еренциальны х операторов
в ней не выш е четвертого. Не имеет значительного влияния на
реш ение и малы й оболочечный параметр — обезразм еренная к
характерном у радиусу кривизны толщ ина оболочки. Из опреде­
л ен и я безмоментной системы следует, что она описывает отно­
13
сительно медленноменяю щ иеся колебания. В задачах гидроупру­
гости длина безмоментной волны оболочки больше акустической
{акустически быстрые моды [10] ) .
По аналогии с реш ениями задач классической теории оболо­
чек реш ение исходной системы уравнений гидроупругости (3}
мож ет быть построено к ак комбинация реш ений системы урав­
нений быстроменяю щ ихся состояний и безмоментной систе­
мы [42].
Одним из характерны х приемов, упрощ аю щ их реш ение за­
дач гидроупругости, яв л яется учет влияни я ж идкости на коле­
бания оболочки как дополнительной присоединенной массы. Тем
самым уменьш ается размерность задачи: она сводится к двумер­
ной на поверхности оболочки. П рименяю тся несколько вариан­
тов учета жидкости как присоединенной массы. По одним она
определяется из реш ения акустической задачи (без анализа уп­
ругих свойств оболочки), а затем как задан н ая величина (пли
ф ункция распределения по граничной поверхности) подставля­
ется в уравнения колебаний оболочки [6]. По другим, наоборот,,
в первом приближ ении рассматриваю т колебания оболочки в от­
сутствие жидкости, восстанавливаю т поле, созданное этими ко­
лебаниями, и находят его обратное влияние на оболочку в виде*
присоединенной массы [45]. Более строгими являю тся подходы,,
когда парам етры присоединенной массы жидкости отыскиваю тся
совместно с реш ением оболочечной системы. Упрощ ением зд есь
может быть задание функции распределения присоединенной
массы по поверхности оболочки из реш ения более простой, чем
исходная, задачи гидроупругости (например, для бесконечной
цилиндрической оболочки в жидкости, где возможно точное
реш ение)
[86] или задание закона изменения давления
ж идкости в ближнем поле из известных физических представле­
ний [98],
Существуют и другие, чисто акустические упрощ ения исход­
ной задачи [129]: представление излучаю щ ей поверхности обо­
лочки в виде совокупности локальны х источников монопольного
и дипольного типов, приближ ение К ирхгофа, задающ ее на по­
верхности отношение звукового давления к колебательной ско­
рости как в плоской звуковой волне, и т. д., которые, однако,
не всегда вписываю тся в границы применимости динамических
уравнений классической теории оболочек.
§ 2. Методы расчета колебаний оболочек
с учетом жидкости
Обзор литературы . П ри обсуждении упрощ енных моделей в
задачах динамической теории оболочек, по сущ еству, были за­
тронуты и методы их реш ения, так как сведение исходной зад а­
чи к более простой явл яется уж е одним из этапов реш ения. К он­
кретные методы интегрирования систем дифф еренциальны х урав­
нений колебаний оболочки и ж идкости весьма разнообразны..
14
П еречислим некоторые из них, полу^швихие достаточно широкое
распространение. Это методы, использую щие разлож ени я по си­
стемам базисных ф ункций, интегральны е преобразования, вариа­
ционные II асимптотические методы, численные методы (конеч­
ных элементов, сеток, ортогональной п рогон ки ), итерационные
методы, метод граничны х интегро-дифференциальных уравнений,
реш ения в акустическом приближ ении и ряд других. Само ко­
личество этих методов указы вает на сложность задач гидроупру.гости и отсутствие универсальны х подходов к их решению.
Условно, исходя из постановок, можно выделить четыре ос­
новных направления исследований стационарных колебаний обо­
лочек и пластин, находящ ихся в контакте с акустической средой,
с разной степенью приблилганности моделирующих вибрацион­
ные процессы в реальны х механических системах. Первое на­
правление относится к колебаниям бесконечных пластин, кон­
тактирую щ их с жидкостью. Второе направление объединяет за­
дачи о колебаниях бесконечной цилиндрической и замкнутой
сферической оболочек, погруж енны х в ж идкость либо содерж а­
щ их ж идкость внутри. Третье — это задачи о гидроупругих коле­
баниях ограниченных пластин и цилиндрических оболочек. Ч ет­
вертое направление включает задачи о связанны х гидроупругих
колебаниях оболочек непостоянной кривизны и другие работы
общего характера.
Наиболее продвинуты исследования колебаний бесконечных
пластин, контактирую щ их с жидкостью. П убликации в этой обЛЕасти начаты еще Рэлеем [150] в конце прошлого века. Этапны­
ми здесь явились: работа И. Е. Тамма, Л. М. Бреховских [119]
и монография Л. М. Л ям ш ева [78], повлекш ие серию исследо­
ваний [8 , 13, 39, 51, 55, 60, 64, 69, 71, 93, 145], имеющих непос­
редственное отношение к задачам, рассматриваемым во второй
главе книги.
В случае бесконечной пластины, контактирую щ ей с жидким
-полупространством, использую тся интегральны е преобразования,
тип которых зависит от способа нагруж ения и упругих характе­
ристик пластины. Это могут быть преобразования Ф урье (для
линейно-симметричного н агруж ен и я), Х анкеля (для радиальнооимметричной нагрузки) и другие. Учет ортотропии свойств плас­
тины, связанной, в частности, с задачам и о колебаниях под­
крепленны х пластин, вызывает необходимость применения дву­
мерных преобразований Ф урье [112, 138].
П еречисленные методы реш ения относят к точным. Однако,
несмотря на внешнюю простоту, в них содерж ится немало труд­
ных для анализа моментов, обусловленных особенностями
поды нтегральны х функций, например, при получении явны х
аналитических вы раж ений реш ения в окрестностях мест прило­
ж ен и я сосредоточенных нагрузок [13, 60], при нахож дении
асимптотики дальнего поля [51] и в других случаях. П ринци­
пиальны м недостатком метода интегральны х преобразований яв ­
л я е т с я невозможность его обобщ ения для реш ения задач о гидро­
15
упругих колебаниях оболочек с переменными геометрическима
параметрами.
И сследования колебаний цилиндрических и сферических обо­
лочек в контакте с жидкостью проводятся обычно с помощью
метода разлож ений по собственным формам колебаний оболочек
в вакууме [1, 5, 31, 47, 91, 125, 139, 142, 146, 149]. П рим еня­
ются такж е: метод интегрального преобразования Ф урье (для
цилиндрических оболочек бесконечной длины ) [82, 92], методы,
использующие построение функции Грина [14, 20], метод орто- ,
тональных многочленов [2], асимптотический метод [20, 81 ],
приближ енны е методы, учитываю щ ие инерционное воздействие
жидкости на оболочку к ак присоединенную массу [6, 10], чис­
ленные методы [123]. К точным эталонным результатам отно­
сятся расчеты комплексных собственных частот колебаний сфе­
рической оболочки в жидкости [23, 139].
Поведение бесконечной цилиндрической и замкнутой сфери­
ческой оболочек может служ ить моделью колебаний значитель­
ных участков поверхности оболочки непостоянной кривизны.
Так, оболочка в форме вытянутого эллипсоида вращ ения в своей
средней части близка к цилиндру, а в полюсах имеет почти сфе­
рическую геометрию. Ясно, что свойства гидроупругих колебанпй такой оболочки сочетают свойства колебаний как цилиндри­
ческой, так и сферической оболочек. Точные реш ения задач та­
кого т и п а , а такж е задач о келебаниях контактирую щ их с
жидкостью бесконечных пластин, рассматриваемы е как эталон­
ные, позволяю т выяснить принципиальны е моменты в формиро­
вании ближнего поля давлений в жидкости у тонкостенной
конструкции со сложной геометрией поверхности и выработатьисходные представления для приближенного построения реш ений
задач в общей постановке. Эталонные задачи позволяю т также*
вы яснить погрешности и области применимости приближ енны х
методов реш ения.
Основной метод реш ения задач третьего направления для
ограниченных пластин, контактирую щ их с ж идкостью ,— сведе- ^
ние к интегро-диффсренциальному уравнению на поверхности
пластины с последующим разлож ением функции прогиба по соб­
ственным формам колебаний пластины в вакууме [129]. Исполь­
зуются такж е методы численного интегрирования этого уравне­
ния [36, 40]. В случае несж имаемой яш дкости возможно анали­
тическое реш ение задачи в форме интеграла Кош и — Л агр ан ж а
[7]. Р яд задач реш ен с помощью разлож ений по полиномам Л е­
ж андра в вырожденной сфероидальной системе координат
[3, 124].
Д ля реш ения задачи о колебаниях ограниченной цилиндри­
ческой оболочки, контактирую щ ей с жидкостью, использую тся
аналогичные приемы [1, 10, 31, 110, 141, 149].
По колебаниям ограниченных пластин и цилиндрических обо­
лочек, находящ ихся в контакте с жидкостью, имеется значи­
тельное количество экспериментальных работ [56, 94, 116, 135,.
16
/{] Практически во всех из них обнаруж ивается свойство б ы ст^ i затухания давления в окрестности оболочки, которое учи­
тывается и в методе согласованных интегралов при задании ис­
ходного представления для функции давления. К аналогичным:
выводам приводят результаты численного реш ения задач в точ­
ной постановке [39, 123]. Н аличие краевы х условий в таких
задачах позволяет в простейш их постановках смоделировать ре­
зонансные реж им ы системы оболочка — жидкость и дать оценки
точности описания этих реж имов приближенны ми методами.
При изучении статики и динамики изолированны х оболочек
традиционно рассматриваю тся оболочки постоянной толндины
[43, 4 4 ]. К ак ни парадоксально, но именно постоянство толщ и­
ны оболочки (отличной от сферической и цилиндрической) яв ­
ляется довольно серьезным препятствием для построения точного
реш ения трехмерной задачи гидроупругости при помощи разло­
жений по собственным формам колебаний оболочки [114]. Имею­
щиеся точные реш ения задач четвертого направления ограниче­
ны поэтому рассмотрением специально спрофилированных сферо­
идальных оболочек, внутренняя п внеш няя поверхности которых
совпадают с координатными поверхностями одной и той ж е
сфероидальной системы координат [66, 155]. Д ля оболочек,
мало отличаю щ ихся от сферических, построены такж е реш е­
ния в форме разлож ений по волновым сферическим функциям:
[36, 143].
П риближ енная реали заци я метода собственных форм в со­
четании с методом граничных интегральны х уравнений предло­
жена в [28, 5 7 ]. Эта слож ная процедура наиболее эффективна
при рассмотрении колебаний низкочастотного диапазона. По той
же причине, диапазоном медленно меняю щ ихся форм колебаний
и плавной функцией нагрузки ограничено численное реш ение си­
стемы граничных интегро-дифференциальных уравнений для
сфероидальной оболочки [35].
Значительное развитие в этом классе задач получили при­
ближенные методы. Д ля внутренних задач использую тся: метод
корректирующих ф ункций [16, 29, 132], метод окайм ляю щ их
областей [73], метод формального малого парам етра [108], мо­
дернизация вариационного метода Власова — Канторовича [131],
конечноразностный метод суммарных представлений [123]. Д ля
внешних задач — метод частичны х областей [50], упоминавш ийся уже метод К ирхгоф а [129], асимптотические методы [20, 22,
К последним примыкает и метод согласованных интегралов
1^4, 98, 103], задуманны й как рабочий инструмент реш ения за­
дач перечисленных направлений с минимальными ограниченияпо диапазону применимости.
Метод согласованных интегралов (МСИ). П редпосылкой разраоотки этого метода яви л ся анализ точных реш ений некоторых
^фостейших задач гидроупругости пластин и оболочек, позволив­
шей выявить ряд общих закономерностей в распределениях виб­
рационного и акустического полей.
4
л.
Попов, Г. Н. Чернышев
1Т
С начала рассматривалась хорошо изученная [78] задача об
^^становившихся плоских изгибных волнах, бегущих по границе
.раздела жидкого полупространства и бесконечной упругой пласти­
ны. Точное реш ение этой задачи для функции давления ж идко­
сти в окрестности пластины имеет характер неоднородной поверх­
ностной волны, сопровождающей колебания пластины. В главе
второй книги показывается, что при любом сочетании пара31етров пластины и жидкости (в пределах применимости линей­
ной двумерной теории) давление жидкости в окрестности п ла­
стины меняется по экспоненциальному закону (пластина не из­
л у ч а е т ). При этом длина изгибной волны на пластине остается
сущ ественно меньще длины акустической волны в свободном
пространстве. Использование такой зависимости позволяет легко
оп редели ть коэффициент присоединенной массы жидкости и све­
сти задачу к реш ению уравнения колебаний пластины с допол­
нительным инерционным слагаемым.
Рассмотрение подобной задачи д ля цилиндрической оболочки
так ж е показы вает, что сущ ествует обширный диапазон частот
(для осесимметричных волн — весь диапазон), в котором акусти­
ческое давление быстро затухает при удалении от оболочки по
-закону, близкому к экспоненциальному.
Вблизи источника колебаний характер волнообразования ус.лож няется. К ак показы ваю т известные реш ения задач о вы нуж ­
денных колебаниях бесконечной пластины в вакуум е [80, 141],
JB окрестности мест прилож ения нагрузок необходимо учиты вать
не только волны, расходящ иеся по пластине на большие рас­
сто ян и я, но и волны типа краевого эффекта, быстрозатухающ ие
при удалении от мест нагруж ения («внутренний краевой эф4>ект»). Вблизи нагруж енны х участков услож н яется и ф ункция
акустического давления в пристеночном слое. Экспоненциальный
закон затухания не определяет уж е всего реш ения для ф ункции
давления, но может быть использован в качестве исходного при­
ближ ения при построении его быстроменяю щ ейся компоненты.
Соответственно и коэффициенты присоединенных масс для
интегралов внутреннего краевого эф ф екта долж ны отличаться
от аналогичны х коэффициентов для осциллирую щ их компо­
нент [152].
Д л я анализа реш ения с учетом нескольких коэффициентов
присоединенных масс рассмотрены задачи о вы нуж денны х коле­
баниях бесконечной пластины, граничащ ей с ж идким полупро­
странством, при двух типах нормальной сосредоточенной н агруз­
ки: прилож енной вдоль прямой и в одной точке. При этом п а­
раллельно вы ясняется вопрос о влиянии ж идкости на порядок
главной особенности ф ункции прогиба пластины (а, следователь­
но, и оболочки!) в местах прилож ения сосредоточенной нагруз
ки (классиф икация особенностей вектора состояния оболочка
при статических сосредоточенных н агрузках дана в [1 2 6 ]). Со
вершенно не изучен в литературе и вопрос о порядке главно!
особенности функции акустического давления. Все это потребо18
вале специального математического рассмотрения, которое вы­
несено в П риложение.
Построение реш ения проводится в несколько этапов. Снача­
ла из осциллируюш;их интегралов и интегралов типа краевого
эффекта строится первое приближ ение быстроменяюш;ейся ком­
поненты реш ения. Проводится оценка точности этого приближ е­
ния. Н а втором ш аге итерационной процедуры оно дополняется
медленноменяю щ ейся компонентой, удовлетворяю щ ей условию
излучения (под быстро- и медленноменяю щ имися понимаются,,
соответственно, реш ения с изменяемостью изгибных волн на п ла­
стине II свободных волн в акустической среде). Затем снова уточ­
няется быстроменяю щ аяся компонента и т. д. П оказы вается
быстрая сходимость (в геометрической прогрессии с асимптоти­
чески большим знаменателем) последовательных приближ ений
к точному решению.
Н а этой эталонной задаче, по существу, демонстрируется вся
процедура метода согласованных интегралов, причем, ввиду до­
статочной с практической точки зрения точности первых тгриближ ений быстро- и медленноменяю щ ихся компонент, при перене­
сении метода на реш ение более сложны х задач можно вполне^
ограничиться этими начальны ми приближ ениями.
П редставляет интерес и реш ение оригинальной задачи о ко­
лебаниях анизотропной пластины, контактирую щ ей с жидкостью ,
при возбуж дении пластины сосредоточенной силой. Здесь, с по­
мощью представления искомых функций и дельта-функции на­
грузки в виде интегралов от плоской волны [33], реш ение пред­
варительно сводится к «плоскому» случаю. Д ля физически ортотронной пластины задача в такой постановке исследовалась в
[138]. Реш ение для случая анизотропии общего вида авторами
в литературе не обнаружено.
В качестве эталонной задачи для изучения применимости ме­
тода согласованных интегралов в случае резонансных колеба­
ний рассмотрены колебания соприкасаю щ ейся с ж идким полу­
пространством пластины-полосы, шарнирно закрепленной в бес­
конечном л^естком экране (гл. 3 ). Д ан ная модель неоднократно»
использовалась при исследованиях прохож дения звука череа
пластину [129, 147] и в задачах излучения [11, 30, 89, 90].
Применение МСИ к этой задаче потребовало его усоверш енство­
вания в части учета демпфирующего влияни я излучения уж е на
первом этапе построения быстроменяю щ ихся осциллирую щ их
компонент. В связи с этим предлож ены варианты дополнитель­
ных граничны х условий для функции давления жидкости на
поверхности пластины. Проведено сопоставление результа­
тов численного реш ения задачи в точной постановке и анали­
тического реш ения, построенного с учетом дополнительных усло­
вий [40, 41].
В ряде работ указы вается на возможность и скаж ения резо­
нансных форм колебаний пластины, соприкасаю щ ейся с ж идко­
стью по отношению к формам колебаний пластины в вакуум е
2*
19
[68, 8 7 ]. Имеются и экспериментальные подтверж дения этого
я в л е н и я [116], причем указы вается, что и скаж ениям подверж е­
ны не самые первые, а более высокочастотные резонансные фор­
мы колебаний. В других работах, в ц елях упрощ ения расчетов,
предполагается совпадение форм с одинаковым числом волн
[89, 113]. В третьей главе книги предпринято специальное ис­
следование этого вопроса, в результате которого установлено
сильное влияние сравнительно небольших искаж ений форм коле­
б аний пластины на ам плитуды резонансны х колебаний и излу­
чаемое пластиной акустическое поле.
Рассмотрены так ж е излучаю щ ие возможности пластины-по­
лосы в сопоставлении с бесконечной пластиной и жестким порш­
нем в экране [129] при их контакте с водным и воздуш ным по­
лупространством.
Ч етвертая глава посвящ ена изучению различны х аспектов
колебаний замкнутой сферической оболочки в безграничной аку­
стической среде, преж де всего с точки зрения обобщения МСИ
на задачи о колебаниях оболочек. У слож нение здесь (по срав­
нению с задачами о колебаниях пластин) не только в искрив­
ленной геометрии поверхности контакта, но и в том, что хфи по­
строении реш ения необходимо одновременно учиты вать как быстроменяю щ иеся (преимущ ественно изгибны е), так и медленномеяяю щ и еся (квазитангенциальны е) компоненты колебаний. Это
заставляет вновь вернуться к анализу коэффициентов присоеди­
ненны х масс жидкости, включив в их число такж е и коэффици­
енты, соответствующие медленноменяю щ имся оболочечным ин­
тегралам.
П роанализировано так ж е поведение функции акустического
давления в окрестности изгибно-колеблющ ейся замкнутой сфе­
рической оболочки в жидкости. В отличие от пластины и бес­
конечной цилиндрической оболочки, здесь уж е лю бая частота —
излучаю щ ая, а спектр однородной задачи — комплексный [1 ,2 3 ].
Однако мнимые части комплексных собственных частот малы,
и при совпадении частоты вынуж даю щ ей силы с действитель­
ными частями комплексных собственных частот возникает яв л е­
ние резонанса с образованием формы колебаний преимущ ествен­
но на гармонике, соответствующей этой частоте. Асимптотическое
исследование действительной и мнимой компонент п-й гармони­
ки в реш ении задачи для давления жидкости в окрестности обо­
лочки показы вает, что обе эти компоненты имеют квазиэкспоненциальны й характер: одна из них возрастает при удалении от
оболочки, другая быстро убывает. Их вклад в суммарную ф унк­
цию давления жидкости на поверхности оболочьш существенно
неодинаков: амплитудные коэффициенты при экспоненциально ‘
убываю щ их компонентах преобладаю т к ак в резонансном, так
и в нерезонансном реж им ах колебаний. В результате и здесь для
быстроменяю щ ихся компонент реш ения оказы ваю тся применимы
исходные экспоненциальны е представления ф ункции акустиче­
ского давления и определяемые через них коэффициенты при20
J.
соединенны х масс жидкости. Что касается квазптангенциальны х
составляю щ их реш ений оболочечных уравнений, то д ля них ко­
эффициенты присоединенных масс вполне удовлетворительно мо­
гут быть рассчитаны в приближ ении К ирхгоф а [129]. Несмотря
на асимптотический характер вывода формул для коэффициен­
тов присоединенных масс (по частоте либо изменяемости н ап р я­
женно-деформированного состояния), показы вается, что они при
определенных условиях применимы так ж е в диапазоне низких
частот и малой изменяемости реш ения, т. е. во всем спектре ре­
зонансны х частот гидроупругих колебаний оболочки.
В задаче о вы нуж денны х колебаниях замкнутой сферической
оболочки в ж идкости отрабаты вается приближ енное построение
фундаментального реш ения при возбуж дении оболочки сосредо­
точенны ми силами. Применив расш иренны й набор интегралов
(Разрешающей системы уравнений на поверхности оболочки, уд а­
ется получить высокую степень согласования приближенного и
точного реш ений (последнее представляется в форме рядов по
сферическим гармоникам [142]. Одновременно находится про­
стой и универсальны й способ учета акустического демпфирования
быстроменяю щ ихся колебаний с использованием ф актически
только пристеночных (квазиэкспоненциальны х) компонент дав­
л ен и я в жидкости.
П ри реш ении задач о преимущ ественно изгибных колебаниях
оболочек широко прим еняю тся коротковолновые приближ ения
[44]. Содержание пятой главы посвящ ено рассмотрению корот­
коволновы х колебаний оболочек, контактирую щ их с жидкостью,
-с позиций разрабатываемого метода реш ения. Н а геометрию обо­
лочки ограничений почти не наклады вается; она может быть
произвольной оболочкой вращ ения с вы пуклой дугой меридиана
и оболочкой с некруговым поперечным сечением.
Проводится обоснование построения быстроменяю щ ихся ком­
понент реш ения,— к а к первого (и главного) приближ ения в ите­
рационной процедуре реш ения задачи о действии сосредоточен­
ных нагрузок на оболочку, контактирую щ ую со средой.
Д иапазон частот коротковолновых колебаний разделяется на
высокочастотный, в котором оболочка колеблется как пласти н ка
с искривленной метрикой, и среднечастотный, где интегрируется
система двух уравнений быстроменяю щ ихся состояний ,[44], до­
п олненная инерционным «жидкостным» членом.
Ввиду реально сущ ествующей большой изменяемости реш е­
ний в этих диапазонах интегралы исходных систем уравнений
на поверхности оболочки строятся в форме асимптотических р аз­
лож ений по большому параметру, связанному с частотой колеба­
ний и относительной толщ иной оболочки. Подобные разлож ени я
можно найти в реш ениях задач коротковолновой дифракции [4].
У читы вается возможность образования т- и 7?i-, /?2-переходных
линий [95, 128], в окрестности которых осциллирующ ие интег­
ралы разреш аю щ ей системы строятся с помощью функций
Эйри [118].
21
•:W
Рассмотрены вынуж денные колебания замкнутой оболочка:
вращ ения в жидкости, нагруж енной кольцевыми периодическими
силами и моментами, в том числе — передаваемыми на оболочк^^
через одно или несколько кольцевых подкреплений. Строится^
такж е реш ение задачи при наличии большого количества мелких
подкреплений, учиты ваемых по модели конструктивно-ортотроп-^
ного слоя [65].
Подход к реш ению этих задач остается в целом таким же, к а я
д л я пластины и сферической оболочки. Отличие — в более об­
щ их представлениях для интегралов разреш аю щ ей системы, ко­
торые долж ны учиты вать непостоянство геометрии срединной по­
верхности оболочки.
Вопросы резонансного излучения оболочки в реж име коротковолновых колебаний и акустического демпфирования рассматриваю тся в шестой главе.
Теоретические построения этой главы основаны на предпо­
лож ении о сущ ествовании внеш них переходных поверхностей
в жидкости, окруж аю щ ей вибрирующую оболочку. Этот терм ин
введен авторами как обобщение на трехмерный случай понятия
о переходных линиях [32, 44, 95, 104, 128]. По смыслу он соответствует термину «каустика», используемому в теории диф рак­
ции коротких волн для указан ия границы области осцилляции
реш ения уравнения Гельмгольца [4], и в то ж е время у в язан
с реш ением задачи гидроупругости оболочки. Так, линия, ni>
которой переходная поверхность пересекает оболочку, явл яется
переходной для реш ений уравнений колебаний оболочки с уче­
том жидкости.
В литературе значительное внимание уделяется внутренним^
каустикам (с вогнутой стороны границы ), когда область осцил­
ляц и и в жидкости примыкает к границе [130]. Д ля преимущ е­
ственно изгибных коротковолновых колебаний оболочек такие
каустики не реализую тся, так как им соответствует квазиэкспоненциальное затухание функции давления непосредственно от
стенок оболочки. Следовательно, при упоминании о внутренней
каустике речь может идти только о квазитангенцпальны х мед­
ленноменяю щ ихся формах колебаний оболочки.
Иначе обстоит дело в области снаруж и выпуклой оболочки.
Здесь медленноменяю щ иеся формы колебаний оболочки не соз­
дают переходных поверхностей, в то время как быстроменяю щ иеся формы образуют переходные поверхности двух типов:
охватываю щую оболочку без пересечения (переходная поверх­
ность первого рода) и пересекающ ую оболочку по переходным
линиям (второго рода).
Определяю тся располож ение и конфигурация внеш них пере­
ходных поверхностей при колебаниях в жидкости сферической,
цилиндрической, эллипсоидальной и произвольной овалоидной
оболочек вращ ения. В ыводятся асимптотические формулы для
коэффициентов присоединенных масс жидкости. Демпфирую щ ий
эфф ект излучения учиты вается в коэффициенте присоединенной
22
I
,
|
"
^laccbi для осциллирующ их интегралов через расстояние м еж ду
переходной поверхностью первого рода и оболочкой: чем оно
больше, тем слабее этот эффект. У станавливается связь м еж ду
расположением переходных поверхностей по отношению к обо­
лочке и направлениям и преимущественного звукоизлучения при
резонансных гидроупругих колебаниях оболочки, возникновением
областей полной звуковой тени. П рослеж ивается изменение из­
лучающей способности отдельных участков оболочки вращ ения
с меридианом непостоянной кривизны в зависимости от частоты
колебаний и числа волн в окруж ной гармонике. Все это проде­
лывается при обязательном выполнении условия согласования
оболочечных и «жидкостных» интегралов.
Содержание седьмой главы заверш ает разработку метода со­
гласованных интегралов и его применение к гидроупругим коле­
баниям произвольной оболочки вращ ения, напряж енно-деформ и­
рованное состояние которой описывается общей системой урав­
нений классической теории оболочек [1, 43 ].
Д ля быстроменяю щ ихся интегралов этой системы формулиру­
ется алгоритм определения коэффициентов присоединенных масс
.жидкости, зависящ их от точки на меридиане оболочки. Предло­
жен упрощ енный подход численного расчета (по схеме Годуно­
ва [34]) резонансны х гидроупругих колебаний оболочки и дав­
ления жидкости на ее поверхности с использованием - найден­
ного из условия совместности коэффициента присоединенной масдля осциллирую щ их интегралов.
Рассматриваю тся варианты замены общей системы уравнений
колебаний оболочки уравнениям и быстроменяю щ ихся состояний
для определения соответствующих коэффициентов присоединен­
ных масс и построения быстроменяю щ ихся интегралов и ур ав ­
нениями безмоментной системы д ля построения медленноменя­
ющихся интегралов с учетом жидкости. П роводятся оценки по­
грешностей такого подхода на конкретном примере колебаний
эллипсоидальной оболочки в жидкости путем сопоставления с
численным реш ением задачи в точной постановке.
В техническом плане для облегчения реш ения предлагаю тся
варианты автоматизации аналитики, например, построения с по­
мощью процедуры Р унге — К утта наиболее слож ны х регулярны х
интегралов с точками поворота на меридиане оболочки.
Подробно рассматривается задача о вы нуж денны х колебаниях
замкнутой оболочки под действием кольцевой периодической си­
лы. Выводятся условия стыковки интегралов на линии нагру­
ж ения II условие регулярности в ненагруж енны х куполообраз­
ных верш инах оболочки [44], дается схема организации алго­
ритма расчета вы нуж денны х колебаний и излучения зам кнутой
оболочки вращ ения в безграничной ж идкой среде.
В главе восьмой обсуждаю тся некоторые способы воздействия
на поля вибраций и излучения оболочек исходя из закономер­
ностей образования этих полей, описанных в книге. П оказы вает­
ся, что эффект резкого уменьш ения дальнего поля излучения
23
может быть достигнут с помощью прилож ения компенсирую щ их
нагрузок. Д аны простые рекомендации, которым долж ны удов­
летворять парам етры таких нагрузок в случае пластин. Подоб­
ный подход используется и в задачах активной компенсации
звуковых волн, проходящ их через пластины и оболочки [30, 31].
У становка виброактивного оборудования на специально спро­
ф илированный оболочечный фундамент способна обеспечить ло­
кализацию области вибраций меж ду переходными линиям и в зо­
не, не доходящ ей до опор.
Д ля контроля за полем звукоизлучения от оболочки, исходя
из теории переходных поверхностей, может быть предлож ена схе­
ма рационального разм ещ ения измерительны х гидрофонов непо­
средственно за границей неволновой области. П утем придания
соответствующей формы излучаю щ ей поверхности оболочки воз­
мож на так ж е сущ ественная переориентация максимумов в диа­
грамме направленности звукоизлучения и теневых областей.
Сформулированы и другие предлож ения, могущие быть полез­
ными при реш ении задач практической звуко- и виброизоляцпи,
конструировании новых типов излучателей и приемников звука.
В П рилож ении и злагается математическая сторона проблехмьг
выделения главны х особенностей у компонент вектора переме­
щений оболочки и давления жидкости на поверхности контакта
при действии на оболочку сосредоточенных динамических сил
и моментов. И спользую тся результаты исследований, проведен­
ных для статических задач теории оболочек [126, 127]. Н а при­
мерах анализа точных реш ений задач q колебаниях в контакте^
с жидкостью бесконечной пластины, нагруж енной точечной и
линейно-сосредоточенной силами, показы вается сохранение и з­
вестных главны х особенностей, т. е. возможность перенесения
результатов, полученных в статике оболочек, на реш ение дина­
мических задач гидроупругости. П олучены вы раж ен и я для глав­
ных особенностей ф ункции акустического давления.
Глава 2
МЕТОД СОГЛАСОВАННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
ЭТАЛОННЫЕ ЗА ДАЧ И
В главе формируются основы асимптотического метода реш е­
н и я динамических задач гидроупругости и излучения оболочек,
предложенного авторами в качестве инструмента приближенного
^аналитического исследования совместных установивш ихся коле■баний тонкостенных конструкций и жидкости. А нализ диспер­
сионны х зависимостей для разны х типов волн позволяет выде
лить в этих задачах естественный асимптотический параметр,
пропорциональный квадрату отнош ения длин гидроупругой и
акустической волн. Определяю тся физические закономерности
поведения акустического давления в окрестности колеблю щ ихся
оболочек и пластин. М атематическое описание этого поведения
создает предпосылки к обобщениям на реш ения задач в анало­
гичной постановке и для оболочек сложного очертания с непо­
стоянной геометрией срединной поверхности.
Рассмотрение процедуры первого и последующих приближ е­
ний метода проводится на уровне эталонны х (модельных) задач
о колебаниях в контакте с жидкостью бесконечной и ограничен­
ной пластин, цилиндрической и замкнутой сферической оболочек,
что позволяет без чрезмерного услож нения вы кладок выбрать
наилучш ие варианты исходных прргближений п оценить погреш­
ности на разны х стадиях рекуррентного процесса в сопоставле­
нии с известными точными либо численными реш ениями модель­
ных задач.
§ 1, Свободные волны в протяженном тонком теле
и поверхностные волны в жидкости
Плоские изгибные волны в бесконечной пластине на жидком
полупространстве. Одним из наиболее разработанны х в динами­
ческой гидроупругости пластин и оболочек считается вопрос
о распространении бегущих волн (либо свободных колебаниях)
бесконечной пластины, контактирую щ ей с жидкостью. Подроб­
ное освещение этого вопроса дается в ставш ей библиографиче­
ской редкостью монографии Л. М, Л ям ш ева [78], где прпнпма9ИСЯ во внимание как изгибные волны, так и колебания попе­
речного р астяж ени я — сж атия пластины. Исследование изгибных
волн II излучение звука тонкими пластинами применительно
к задачам вибропзоляцип проводится в книге В. Т. Л япунова
25
3f A. С. ТТпкифорова [80], a в задачах о прохож деппп звукам
(с учетом продольных в о л н )— в монография Е. Л . Ш ен деров а
[120]. И спользуем эти р езул ьтаты , подчинив их целям данного
излож ения с необходимымтЕ уточнениями границ п ри м ен и м ости .
Рассмотрим распространение плоских изгибных волн по бес­
конечной пластине толщиной 2h с упругими постоянными Е. ро,
V (модуль Ю нга, плотность я коэффициент П уассон а), находя­
щ ейся на границе жидкого полупространства, свойства к оторого
определяю тся плотностью р и скоростью звука с (рис. 2). Д ля
р,с—
—
О
-
ч
Рис. 2
описания колебаний введем декартову систему координат .г,
S, совместив плоскость х у с иедеформировапной плоскостью плас­
тины; ось Z направив в глубь жидкости.
Допустим, что колебания пластины происходят по формам
цилиндрического изгиба с образующими параллельны м и оси у.
В этом случае они описываются одномерным (по х) дифферен­
циальны м уравнением четвертого порядка, а колебания ж идко­
сти — двумерным волновым уравнением. П рисоединяя к этеем
уравнениям условие непротекания на поверхности пластины, по­
лучим исходную систему уравнений в виде
d^w
дх^
d^w
+ 2 р , л ~ : - ^ ( 0 , ^ , 0 = 0,
дг
1 Фзр
= 0,
дГ
дг
-р
dt
( 1)
1 ж |< о о ,
2>0.
Здесь
w = w { x ) e - ‘“'* — ф ун кц ия
прогиба
пластины,
5^ =
= Р { х, z)e~' “*— ф ункция акустического давления, со — круговая
частота колебаний, t — время, £) = 2£'fe®/[3(1 — v^) ] — цнлцндрическая жесткость пластины.
Рассмотрим совместное реш ение уравнений (1) в форме волн^
бегущих вдоль оси х:
f W (х) 1 _
Р(х,г)]
J W '
11^0 (^)|
глх
ехр— .
/г)ч^
(2>
Здесь L — длина полуволны гидроупругой деформацшЕ пласти­
ны; IE, P o i z ) — неизвестные амплитудные значения Eiporiioa плас­
тины и давления в среде.
26
Подстановка вы раж ений (2) в систему (1) и отделение экс­
поненциальны х множ ителей приводит ( 1) к виду
Mil(Р р
IF + />„ (0) = О,
Г/ тг -
^
az
2==о
= o)2pIF,
^
в котором остается единственное дифф еренциальное уравнение
•относительно компоненты давления Po{z) в направлении норма­
ли к пластине. Х арактер его реш ения определяется знаком коэф­
ф и ци ен та при свободном члене:
= (д /L)^ —
выбор которого
вавпсит от соотношения меж ду длиной полуволны L и часто­
той О).
Допустим сначала, что а ^ > 0 . Тогда реш ение уравнения от­
носительно Р о (2) при условии невозрастания давления с удале­
нием от пластины может быть записано в виде
Р о(2) = Ро (0) ехр ( - a z ) .
(4)
Определим, в каком диапазоне изменения параметров пласти­
н ы , жидкости II длин волн колебаний справедливо такое пред­
ставление. Подставим вы раж ение (4) в условие непротекания
(3 ). Получим связь между амплитудой давления жидкости на
поверхности пластины и амплитудой прогиба:
P o(0) = -o )2 p a~ W ,
(5)
с учетом которой первое равенство (3) при ДЕ ^ О преврапдается
Б алгебраическое уравнение пятой степени относительно пока­
зател я а:
«8
2А2„з _ ( i g - _ / / ) а _
1
^ = о,
г,
Заметим, что аналогичное уравнение появляется и при построе­
нии реш ения системы ( 1) с помощью интегрального преобразо­
ван ия Ф урье
[80], где оно определяет полож ение
полюсов
поды нтегральны х вы раж ений для функций прогиба пластины и
давления жидкости.
Очевидным свойством корней уравнения ( 6 ) явл яется н али ­
чие действительного полоя^ительного корня при любом сочетании
параметром пластины, жидкости и частоты колебании, т. е. при
лю бых полож ительны х значениях /i, ро, р, оз (оно следует из
противоположности знаков свободного члена и коэффициента при
наивы сш ей степени неизвестного). Обозначим этот корень через
а\. В соответствии с правилом Д екарта [15] убеж даемся, что ко­
рень а\ явл яется единственным полож ительны м корнем урав­
н ен и я (6 ).
27
I
Следовательно, в пределах применимости исходной системы
уравнений (1) изгибные волны, бегущие по бесконечной пласти­
не, соировож:да1отся поверхностными волнами в жидкости, экспо­
ненциально затухаю щ ими при удалении от пластины (такой же^
вывод получается и при рассмотрении свободных изгибных коле­
баний бесконечной пластины, контактирую щ ей с ж идкостью ).
Определим, в каком соотношении при этом находятся длины
бегущей гидроупругой волны и акустической волны в свобод­
ном пространстве.
Зависимость д ли ны бегущей волны от частоты вы раж ается
формулой Ь = н ; / - f
На рис. 3 штриховой линией 1 по­
казан а обезразмеренная ф ункция Г ( ^ ) (X = L / 2A, ^ = М - 1СЕ)
в случае колебаний стальной пластины при одностороннем кон­
такте с водой. Сплошной
линией дана зависимость
11
от
^
отнош ения L J L ,
!j
где
2Ьа ^ 2п1к — длтша
h
W
акустической волны, рас­
\\
{1
пространяю щ ейся со ско­
80
(1
ростью звука в ж идкости.
li
Д ля сравнения приведе­
на такяче дисперсиопиая
зависимость
Г о(т)
изгибной
волны
в пласти­
60
не,
изолированной
от
ii
жидкости
(ш
триховая
ли­
il
И
ния 2)
= n Y
и
r^^Lol2h).
40 . \
Пред ста вл енные за виспмости показываю т, что
в основном диапазоне ча­
стот
колебаний пласти­
ны,
контактирую щ ей с
7 ^ '
ж и дк остью ,
в к о т о р о м П ]Щ -
менима классическая тео­
рия пластин, длина акус­
тической волны в среде во
много
раз
превосходит
длину упругой волны в
пластине. С ростом часто­
Рис. 3
ты колебаний длины этих
воли постепенно вы равни­
ваю тся, однако их совпадение достигается лиш ь на частотах,
превышающих верхний предел применимости исходных уравне­
ний. Напомним, что область применимости уравнения (1) отно­
сительно W по изменяемости напряженно-деформпрог>апного со­
стояния определяется неравенством L > 2 0 h [105]. По отношению
к пластине, колеблющейся в вакууме, и частотному паралютру ^
28
это неравенство мол^ет оыть записано в виде, не зависящ ем от
толщ ины пластины:
4
V з(^-Л )
Д ля стальной пластины (со = 5000 м/с, 17== 0,3),
щ ей с водой (с = 1500 м /с), максимальное значение
ряю щ ее этому неравенству, близко к пяти. Д лины
волны в свободном пространстве и упругой волны в
этом значении частотного параметра:
2Ьа ^ 4 0 д й ,
контактирую ­
7, удовлетво­
акустической
пластине при
2 L q ^ 4 0 /г .
Отсюда видно, что первая из них все еще в л раз превосходит
вторую. С уменьш ением 7 отличия в значениях La и L быстро^
нарастаю т. К ак видно из рис. 3, при учете влияни я жидкости на
длину упругой волны эти отличия становятся еще значительнее.
В более сложны х ситуациях, рассматриваемы х ниже, при на­
личии источника возбуж дения с фиксированной частотой возни­
кают два основных типа волн: быстроменяю щ иеся неоднородные
поверхностные волны в жидкости, распространяю щ иеся со ско­
ростью упругих волн в конструкции, II медленноменяю щ иеся вол­
ны, распространяю щ иеся в жидкости со скоростью свободной
волны в акустическом пространстве. Поэтому отмеченное сущ ест­
венное неравенство длин поверхностной волны, сопровождающей
изгибные колебания пластины, и акустической волны, опреде­
ляемой волновым числом к, позволяет сделать первоначальноеутверж дение о возможности естественного разделения быстрои медленноменяю щ ихся реш ений в системе уравнений, описыва­
ющих колебания тонкостенной конструкции в контакте с
жидкостью и жидкости, которое положено в дальнейш ем в основа
итерационного метода реш ения задач динамической гидроупру­
гости оболочек и пластин. У станавливается такж е исходноеэкспоненциальное представление для быстроменяю щ ихся инте­
гралов функции давления жидкости у изгибно-колеблю щ ейся
упругой поверхности произвольного очертания, вблизи которой
это представление не явл яется точным реш ением уравнения
Гельмгольца. М ожно показать, что в этом' случае к экспоненци­
альному представлению приводится асимптотика точного реш е­
ния при указанном выш е неравенстве длин гидроупругоп и акус­
тической волн. П окаж ем это на примере построения реш ения
уравнения Гельмгольца в случае изгибных волн, бегущих по^
бесконечной цилиндрической оболочке, погруж енной в жидкость..
Дисперсионные зависимости для преимущественно изгибных
волн в цилиндрической оболочке, контактирующей с жидкостью..
Д ля описания колебаний цилиндрической оболочки с учетом
жидкости воспользуемся системой уравнений (1.1.3). Операторы
(L к =
2, 3 ), N zq этой системы на срединной поверхности
2^
«оболочки радиуса Го имеют следующие вы раж ения [1, 4 3 ]:
i
г
г
1
2 (1 + V) 5/- ’
1 — v ‘‘ дх‘‘
- I1
-
V)
С>Х
I
s = Г„ф
д
Jji3 — — 7>з1 —
L 22 =
1
2 (l + v) 3^2
1
1
Lj3 — — Lg2
•^33
—
d‘
T + 2
dx‘^ '
dx^ ds^ '
ds^ ’
где X, Ц) — соответственно координата вдоль образую щей и цент­
ральны й угол в поперечном сечении оболочки.
Рассмотрим односторонний (внутренний или наруж ны й) кон­
такт оболочки с жидкостью. Ф ункция давления в ж идкости удов­
летворяет уравнению Гельмгольца в цилиндрических координа­
т а х г, а:, ф и условию непротекания на поверхности оболочки:
1
д (
г дг
дР
дг
+
1 д^Р
д^р
^ф-
дх^
дР
дг
+ кЧ^ = О,
оград.
(7)
П ри реш ении уравнения Гельмгольца для [шутренней задачи
. доля^но вы полняться такж е условие регулярности па оси ци.линдра, а при реш ении внешней задачи ставится условие излу­
чения на бесконечности.
Представим реш ение системы (1.1.3), (7) в виде
г и . { х , ф) '
IP (г, :г, ф)^ —
. ( лх
Ч Z,
''
-
(8)
где L — длина полуволны упругой деформации оболочки вдоль
образую щ ей цилиндра, т — целое число волн по окруж лостн
оболочки.
Относительно Рт{г) получим уравнение Бесселя
гЧ^”гп (г) + г Р 'т (г) -
[(рг)^ + ГГР\ Р т (г) = 0,
- 1 \ (9)
Х арактер реш ения этого уравнения зависит, как и в случае п л а­
стины, от соотношения меж ду длинами упругой и акустической
БОЛЯ, т. е. от знака коэффициента
Выше, при рассмотрении
изгибных волн в пластине, контактирую щ ей с жидкостью, было
показано, что условие совместности колебаний вы полняется ьцж
полож ительном значении этого коэффициента, обоспечпва^'лцем I
экспоненциальное затухание давления в окрестности иласттзии
во всем диапазоне применимости исходных уравнений.
f
В случае цилиндрической оболочки условие
> О так ж е оп-|
рсделяет реш ения уравнения (9 ), затухаю щ ие в окрестности г р а |
ницы г == Го. При этом реш ение внутренней задачи для радпал!
-30
ной компоненты давления вы раж ается в модифицированных
ф ун кц иях Б есселя
а в н еш н ей — в ф ункциях М акдональ­
да А,п(Рг) [118]. П одстановка этих реш ений в условие непроте­
кани я (7) приводит к выраж ению функции давления жидкости,
на поверхности оболочки через функцию прогиба:
( 10)'
Из равенств (10) видно, что для каж дой окруж ной гармони­
ки m == О, 1, 2, . . . влияние жидкости на колебания оболоч­
ки эквивалентно некоторой присоединенной массе; коэффициент'
ц назовем поэтому коэффициентом присоединенной массы
жидкости,
С учетом (10) реш ение исходной системы дифф еренциальны х
уравнений (1.1.3) сводится к определению корней дисперсион­
ного уравнения
Ь г-Ч
7 ,3
= 0,
7зз
-Ч з
( 11>
/зз-^ ^ Д 1 + 9)
- ' 7 : 23
/и — ^0 +
1+ V
/12
2
1—V
/22 --
2
к
Ч
-
Е
=
(1
-
О
которое отличается от аналогичного уравнения для цилиндриче­
ской оболочки в вакуум е f44] наличием коэффициента р.
При сильном неравенстве (n/Z )^> A :^ (которое имеет место^
для пластин) может вознпкнгуть ситуация, когда аргументы
функций Б есселя на поверхности оболочки л;о = §Го становятся
существенно больше индексов т\ в отнош ениях ( 10) можно ис­
пользовать асимптотические формулы для цилиндрических ф ун к­
ц и й /„.(х о )
Кт{хо) [118]:
4X
—1
«"0
1-7 ( Щ
U o4.
т* — 1
8.Г.
+ 0
(12).
т* Ч- 3
('^о) “
V
8 j-..
4 -7
\Ч
31'
Km(^o) —
^
1+
■
+0
Зхоторые при небольших m приводят к одинаковым (в главном)
асим птотическим значениям коэффициента р =
независимо
о т того, находится ж идкость внутри или снаруж и оболочки. При
больш их значениях т асимптотика р записы вается с учетом это­
го параметра: р =
При малых полож ительны х ^ для коэффициента присоеди­
нен ной массы справедливы иные приближ енны е вы раж ения:
для внутренней задачи
2
(13)
р =
т
т
д л я внеш ней задачи
т = 0,
— In
1
1+ i I n .,’
/п = 1,
(14)
т—1
Таким образом, в случае быстроменяю щ ихся
коле­
б ан и й цилиндрической оболочки, контактирую щ ей с жидкостью,
поведение акустического давления в окрестности оболочки имеет
квазиэкспоненциальны й характер и в первом приближ ении мо­
ж ет быть описано ф ункцией типа (1.4). При малы х отличиях
в длинах гидроупругой и акустической волн
справедли­
вы степенные представления. В [10] и [84] анализируется так­
ж е возможность отрицательного значения коэффициента
при
которой волновая зона начинается непосредственно с поверхно­
сти оболочки. П ри этом в случае внутренней задачи неравенство
< О обусловливает образование каустики (переходной поверх­
ности (см. гл. 6 )) на некотором расстоянии от стенки оболоч­
ки [130].
Возникает вопрос о диапазонах практической применимости
каж дого из перечисленны х представлений. Д л я ответа на него
проведем со п остам ен и е дисперсионных зависимостей при точ­
ны х II приближешГых вырая^ениях коэффициента присоединен­
ной массы жидкости.
К ак известно, в отсутствие жидкости (ц = 0) дисперсионное
уравнение ( И ) имеет в общем случае три полож ительны х корня
koj, 7 = 1, 2, 3, соответствующих квазиизгибной (наименьш ий ко­
рень) и двум квазитангенциальны м волнам [82]. При учете
жидкости как присоединенной массы последовательность нулей
дисперсионной зависимости ( И ) остается той же [82]. Проследим
32
за поведением наименьш его корня дисперсионного уравнения
( 11) при изм енениях несуидей частоты о) и окруж ного волнов-ого
числа т. Оценим так ж е погрешность при замене точного реш е-,
ния для давления в жидкости в окрестности оболочки экспонен­
циальными и степенными представлениями.
В качестве характерны х параметров для расчета выберем
стальную оболочку с относительной толщ иной 2/г/го = 0 ,01, кон­
тактирую щ ую с водой.
12
Рис. 4
На рис. 4 приведены результаты численного реш ения диспер­
сионного уравнения при различны х значениях ог == О, 1, 2, . . . ,
выполненного А. Ю. Поповым для случая внеш ней задачи. В л е­
вой части ф игуры представлены кривые /со|(у, /п), у = А:го д л я
диапазона низких частот, в правой — д ля высоких частот. Сплош­
ными линиями показаны дисперсионные кривые при точном пред­
ставлении коэффициента присоединенной массы, штриховыми —
при асим птотическому == ^о(^о +
Пр я ма я I ограничива­
ет область применимости неравенства
> 0. П ри
< О реш ения
уравнения (9) вы раж аю тся через ф ункции Х ан кел я
Н^ш фхЧг
=(/с^ —
m= = 0, 1, 2,
удовлетворяю щ ие условию
изучения на бесконечности д л я вы бранной зависимости от вре­
мени. Следовательно, п рям ая I яв л яется математической гра­
ницей области излучения на плоскости параметров колебаний
цилиндрической оболочки, контактирую щ ей с жидкостью. Зам е­
тим, что при соотнош ениях параметров из области излучения
реш ение вида (8 ), описывающ ее волны, бегущие по оболочке от
3 л. л. Попов, Г. Н. Ч ерн ы ш ев
33
бесконечно удаленного источника, физически не реализую тся^
Поэтому расчеты дисперсионных зависимостей д л я бегущих волн
ведутся только при «неизлучающ их» значениях параметров.
Из сравнения точны х и асимптотических зависимостей
на рис. 4 следует, что экспоненциальны е представле­
ния давления ж идкости в окрестности оболочки позволяю т пра^
ВИЛЬНО описать характер дисперсионных кривых. Точность так и х
представлений растет с увеличением изменяемости реш ения (8 )
в окруж ном направлении (при ттг > 4 приближ енны е и точные*
кривые почти неразличим ы ). При фиксированном ш с ростом:
частоты такж е наблю дается сближ ение точных и приближ енны х
Рис. 5
кривых. Это видно из графиков на рис. 5 (значения т у казан ы
на них цифрами у кривых; точные зависимости даны сплошны­
ми линиями, асимптотические — ш триховыми) [38].
В неизлучаю щ ем диапазоне частот
> О волны, как и в слу­
чае пластины, распространяю тся по поверхности оболочки и в
малом (примыкаю щ ем к ней) слое жидкости. Н асколько ш ирок
диапазон таких частот, видно из областей на рис. 4, ограничен­
н ы х кривыми с соответствующими номерами т и прямой L Н а­
пример, в случае осесимметричных колебаний неизлучаю щ им яв ­
ляется весь диапазон частот, в котором применима исходная си­
стема уравнений (критерии здесь те ж е, что и при колебан и ях
пласти н ы ). Почти весь диапазон частот охваты вает неизлучаю ­
щ ие реш ения при w = 1, 2. С ростом т происходит постепенное
повыш ение «граничной» частоты, при которой вы полняется р а­
венство n j L = к.
Т аким образом, д ля внеш ней задачи о преимущ ественно из­
гибных колебаниях цилиндрической оболочки использование про­
стейшего экспоненциального представления функции давления
ж идкости в окрестности оболочки оправдано в широком диапа­
зоне частот.
34
Сходные выводы получены в [58, 59] и при расчете диспер­
сионны х зависимостей д л я внутренней задачи. В качестве и л ­
лю страции на рис. 6, а, б приведены расчетны е зависимости ko{h>)
а осесимметричном случае (а) и при сущ ественно оболочечных
ф орм ах колебаний с ог = 6 (б). П риближ ению (13) соответствуаот
кривые
ПОЛ...,
экспоненциальному
представлению —
9 K G -.-., точному вы раж ению (10) для внутренней задачи —
ш триховы е кривые ТОЧ. Р ассчитаны и показаны так ж е диспер­
сионны е зависимости ко(!ко) д ля пустой оболочки (они обозначе­
н ы С У Х ^).
Из сравнения выделенны х кривых следует, что область приХ1енпмости приближ ения (13) соответствует наинизш им часто­
т ам , причем она расш и ряется с ростом т . Так, если при т = 0,
10 % и более расхож дение меж ду кривыми Т О Ч и П О Л наблю -дается с частоты, соответствующей Яо = 0,75, то при т = 6 пред­
ставление (13) дает правильную аппроксимацию коэффициента
присоединенной массы уж е до частоты с Яо == 0,9. Экспоненциаль3*
35
вое представление ф ункции давления, как и следовало ожидать^
имеет область наилучш ей применимости при более высоких час­
тотах, чем (13). Однако на низких частотах оно такж е неплохо
согласуется с точным представлением Р{г) при г г о .
В аж но отметить, что одновременное применение экспоненци­
ального п степенного представлений для функции акустического
давления позволяет получить в ш ироком диапазоне частот ниж ­
нюю и верхнюю оценки д ля точного коэффициента присоединен­
ной массы жидкости. Иными словами, эти приближ ения взаи м н а
дополняю тся областями своей наилучш ей применимости и мо­
гут быть использованы для установления границ точного
реш ения.
§ 2. Структура волн при возбуждении
бесконечной пластины линейно-сосредоточенной силой
В предыдуш;ем параграф е получены согласованные вы раж е­
ния для упругих волн, бегуш;их вдоль границы контакта беско­
нечной пластины (или оболочки) и ж идкости в случае, когда
источник колебаний удален от места наблю дения. Вблизи источ­
ника формы прогиба тонкостенного тела (как подсказываю т ре­
ш ения задач о вы нуж денны х колебаниях пластин и оболочек
в вакууме [141]) искаж аю тся быстрозатухаю щ ими интегралами
«внутреннего краевого эффекта», которые оказываю т вл и ян и е
и на распределение акустического давления в пристеночном слое
жидкости. Поэтому при построении общего реш ения задачи о вы­
нуж денны х колебаниях упругой тонкостенной конструкции, кон­
тактирую щ ей с жидкостью , возникает вопрос одновременного
учета разны х типов волн в конструкции и жидкости.
Подробное рассмотрение этого вопроса проведем с помощью
принятой выше расчетной схемы бесконечной пластины на
жидком полупространстве, дополнив ее линейно-сосредоточенной
лой Q ^ q8 (х)
нормальной к срединной плоскости пласти­
ны (рис. 7).
Точное реш ение задачи в такой постановке для пластины в
вакуум е имеет вид [141]
Оно состоит из двух слагаемых: первого, определяющ его волны,,
расходящ иеся от линии прилож ения силы, и второго — типа
краевого эффекта, локализованного вблизи этой линии.
В ы раж ение (1) яв л яе тся ф ункцией Грина для уравнения ко­
лебаний пластины (1.1) в отсутствие жидкости. Построение этой
функции подразумевает выполнение ряда операций: а) опреде­
ление характеристических показателей и соответствующих им
интегралов однородного уравнения с выделением тех из них, ко­
торые удовлетворяю т условиям расходимости волн от линии на36
груж епи я п не возрастают на бесконечности; б) объединение вы­
деленны х интегралов в общие реш ения по разны е стороны от
линии прилож ения нагрузки; в) определение постоянных при
интегралах из условий непрерывности функции прогиба пласти­
ны и двух ее производных на этой линии и заданного разры ва
в третьей производной, со­
ответствующего скачку в
перерезываю щ ей силе.
В подобной последова­
тельности будем строить и
первое приближ ение реш ення двумерной задачи
о вы нуж денны х колеба­
н иях бесконечной пласти­
ны,
контактирую щ ей
с
жидкостью .
Рис. 7
Возможность
такого
построения для быстро ме­
няю щ ейся компоненты реш ения обеспечивается квазиэкспоненциальны м характером поведения акустического давления в ок­
рестности пластины, позволяющим свести реш ение задачи на
первом этапе к системе одномерных уравнений на поверхности
контакта.
Выпишем исходную систему уравнений вы нуж денны х колеба­
ний пластины и жидкости, отделив в ней временные множ ители
е х р (“-гсоА):
дР
dz
(o^pia.
(2 )
d
dx
дх^
П редставим быстроменяющ уюся компоненту реш ения урав­
н ения Гельмгольца (2 ) для давления ж идкости в* окрестности
пластины в экспоненциальном виде, аналогичном (1.4):
Р {х , z) = P { x , O )e x p (-a z ),
R ea> 0,
(3)
с неизвестными — ф ункцией Р ( х , 0) и показателем затухани я а.
П одстановка (3) в (2) приводит к вы раж ению интегралов ф ун к­
ции давления на поверхности через интегралы ф ункции прогиба
пластины
Р { х , 0 ) = —0 ^pa-^ia(;r).
(4)
Вследствие этого интегралы Р ( х , 0) могут быть исключены
из системы (2 ), а задача сведена к построению функции Г ри­
на на поверхности пластины, колеблю щ ейся с присоединенными
массами, величины которых, правда, заранее неизвестны. И нтег­
ралы w { x ) долж ны при этом удовлетворить двум уравнениям
- Q H I + g/a) w = О,
w " +{a^ + k ^ ) w ^ О,
(5)
условием совместности которых яв л яется алгебраическое уравне­
ние (1.6). Заметим, что совместность реш ений уравнений (5) по­
37
ним ается здесь следующим образом: интегралы второго уравне­
ния (5) (более низкого порядка) долж ны одновременно яв л яться
и интегралами первого уравнения. Второе уравнение (5) назо­
вем поэтому разрешающим.
А н али з корней характеристического уравнения. Рассмотрим
корни характеристического уравнения (1.6). Выше было уста­
новлено, что это уравнение всегда имеет полож ительны й корень
а == ai > 0. Из (5) следует, что ему соответствуют два осцилли­
рую щих интеграла, которых достаточно для описания бегущих
или свободных волн в пластине, контактирую щ ей с жидкостью.
Однако для выделения главной особенности прогиба пластины на
линии действия силы, подобно реш ению в случае колебаний пла­
стины в вакууме, к этим интегралам необходимо присоединить л
интегралы типа краевого эффекта, быстрозатухаю щ ие в окрест­
ности линии прилож ения нагрузки. Ясно, что с помощью поло­
жительного корня ai характеристического уравнения ( 1.6 ) их не
получить. Следовательно, одной действительной присоединенной
массы жидкости, характеризуем ой коэффициентом ц = Це = glau
недостаточно для построения необходимого количества интегра­
лов системы (5 ).
Построение недостающ их интегралов проведем с помощью
других корней алгебраического уравнения (1.6). Выясним, какие
из них могут быть взяты в качестве характеристических п оказа­
телей д л я интегралов типа краевого эффекта.
К аж ды й из корней алгебраического уравнения ( 1.6 ), полу­
ченного из условия совместности колебаний пластины и ж идко­
сти, задает такж е определенный характер затухани я интегралов
ф ункции давления ж идкости в окрестности пластины. Опреде­
лим число корней этого уравнения с полож ительны ми действи­
тельности частями, удовлетворяю щ их условию затухани я интег­
ралов (3) при удалении от оболочки. Воспользуемся д ля этого
критерием Р ауса — Гуфвица [83].
П ерепиш ем уравнение (1.6) в безразмерной форме:
+
( Рор^— 1
^o == 3( l^ v2 )(c /c o)A
)
с
^
=
?1=р/(2ро),
а^ак~\
p-^{kh)-K
(6)
В соответствии с рекомендациями [83] составим матрицу жз
коэффициентов этого уравнения:
н
^
“"0
1
0
0
0
2
0
1
0
6^ 0
0
0 6^
2
6^
0 0
О”
0
0 ,
0
= 1 - PoP^
h = ~ PoPiP®.
«>о_
В ычислим миноры, стоящие в левом верхнем углу матрицы;
Д,- = 0,
38
/ = 1 ,2 ,3 ;
A, = - b l
A ,= = -b l
И з Аб^^О следует, что уравнение (1.6) не имеет чисто мнимых
корней.
Отношение Д 5/А 4 = Ьо < 0; поэтому число (г) корней уравне­
ния ( 1.6 ) с полож ительны ми действительными частями подсчи­
ты вается по формуле
iv+l
где А = 3 — число нулевых миноров. В результате определяем,
что данное алгебраическое уравнение пятой степени имеет три
корн я с полож ительны ми действительны ми частями, которые
обозначим через aj (/ = 1, 2, 3): ai > О, Re «2,3 > О, a z ^ a 2 (так
к ак действительны й полож ительны й корень у этого уравнения
всего один (a i), то два других корня с полож ительны ми действи­
тельны ми частями (с12,з) — комплексно-сопряж енны е; для опреде­
ленности примем, что м ним ая часть корня аг полож ительна).
Определим порядок величины и приближенное значение по­
ложительного корня уравнения (6 ) с помощью асимптотическо­
го ряда:
a i = p®^5(6o + 6 i/)-2 /5 + . . . ) .
(7)
Заметим, что величина р является естественным большим па­
раметром при асимптотическом реш ении уравнения (6 ). В самом
деле, рассм атривая колебания пластины в вакууме, получим д ля
реш ений -вида w ^ exp{isox) дисперсионное соотношение ( 1 ), из
которого следует, что параметр р связан с длиной полуволны де­
формации Lo равенством
Отсюда видно, что даж е при предельно допустимой изменяемости
напряженно-деформированного состояния пластины, когда длина
полуволны д ^ о р м а ц и и составляет не более пяти толщ ин [105],
величина р остается достаточно большой. Н апример, д л я соотно­
ш ени я сталь — вода Ртш ^ 5.
П ри учете ж идкости связь р с L j h значительно сложнее; од­
нако большой порядок р при L > h сохраняется с запасом, к а к
это следует из результатов предыдущего параграф а. Поэтому
в основном диапазоне частот, где применима линейная теория
пластин и оболочек, величина k h < I к соответственно р > 1.
Подставим р яд (7) в уравнение (6 ). П риравнивая нулю ко­
эф фициенты при одинаковы х степенях р, получим рекуррентную
систему уравнений относительно коэффициентов бо, бь .. .:
^0 =
56o6j = Ро» • • •
Эта система позволяет не только приближенно определить поло­
ж ительны й корень уравнения (6 ), но такж е показы вает, какие
члены в нем являю тся наиболее асимптотически значимыми, что
мож ет быть использовано при реш ении исходной задачи в упро39
хцепттой постановке. Так, по порядкам слагаемы х в (6) видно,
что при реш ении задачи о колебаниях пластины в жидкости на
первом плане по асимптотическому вкладу в реш ение стоит ди­
намическое условие непротекания (свободный ч лен ), затем —
инерция пластины (член, пропорциональный р^). В лияние сж и­
маемости жидкости на формы колебаний пластины крайне мало:
оно проявляется лиш ь во втором приближ ении после учета инер­
ции пластины (член с коэффициентом бз в разлож ении (7 ) ). По­
этому расчет колебаний пластины в жидкости можно произво­
дить в главном, исходя из концепции несжимаемой жидкости,
а д ля корня ai брать приближенное вы раж ение с сохранением
либо одного первого члена в (7 ), либо двух:
а, ^
+ (P o /(P iV ))’'V 5 ].
Выделенные по критерию положительности действительной
части корни уравнения (1.6) используем при построении интег­
ралов разреш аю щ его уравнения (5 ).
Интегралы разрешающего уравнения. К ак уж е отмечалось,
при значении а = ai интегралами уравнений (о) являю тся ос­
циллирую щ ие функции, которые долж ны описывать волны, рас­
ходящ иеся от линейного источника. Представим их в виде
W{ = ехр ( ± ibx),
b = {a l^
(8)
(зн ак «+ » соответствует волнам, уходящ им от источника в положтгтельтюм направлении оси х, а «— » в отрицательном).
При а = «2,3 коэффициент у недиффереициалы ю го члена
в разреш аю щ ем уравнении (5) становится комплексным. Соот­
ветствующие интегралы имеют вид функций, экспоненциально
возрастаю щ их и затухаю щ их (с осцилляцией) от линии нагру­
ж ения. Отбирая по каж дую из сторон от этой линии интегралы,
не возрастаю щ ие на бесконечности, получим
^^24 ~
(Н" ^2,3^)»
^2,3 ~
(^2,3 Н""
(9)
Т аким образом, принимая во внимание все корни « 1,2,3 урав­
нения (1.6) с полож ительными действительными частями, к а ж ­
дому из которых соответствует определенный интеграл уравне­
ния Гельмгольца: затухаю щ ий в глубь жидкости, как экспонен­
та при « = « 1, либо как экспонента с осцилляцией при « = = « 2.3,
отбираем шесть интегралов для функции прогиба (по три слева
II справа от линии действия силы ), которые удовлетворяют усло­
виям д ля расходящ ихся волн и условиям совместности с интегра­
лами уравнения Гельмгольца на поверхности пластины.
Первое приближение быстроменяющихся компонент функций
прогиба пластины и давления в жидкости. Общее приближ енное
реш ение системы (5 ), составленное из интегралов (8), (9 ), для
областей слева (— ) и справа ( + ) от линии действия силы
40
(рис. 7) запиш ем в виде суммы
3
l A (х) = 2 Ч'гЧ' (^’)>
j= i
(19)
c f ( / = 1 ,2 ,3 ) обозначены шесть произвольных
постоянных.
Чтобы сформулировать условия для определения постоянных
ср, проанализируем первое уравнение (5). В лияние
ж идкости
в этом уравнении сказы вается в инерционном члене как допол­
н ительная присоединенная масса. Старший дифф еренциальны й
оператор имеет тот же вид, что и в случае колебаний пластины
в вакууме. Поэтому и характер главной особенности у ф ункции
прогиба пластины в жидкости на линии действия силы долж ен
остаться тем же, что и для пластины в вакууме.
У словия непрерывности ф ункций прогиба, угла поворота
и изгибающего момента, а такж е скачок заданной величины
в перерезываю щ ей силе, выделяющ ие главную особенность ф унк­
ции прогиба на линии действия силы, дают четыре уравнения
д л я нахож дения постоянных сД Д л я формулировки двух допол­
нительных условий привлечем функцию давления жидкости на
поверхности пластины. Т ак как соответствующие интегралы
Р { х, 0 ), w { x ) связаны посредством (4), то общее реш ение для
функции давления, справедливое на поверхности и в малой ок­
рестности пластины, может быть записано в виде
В которой через
р - (х, z) = — (О^р 2 c f a y^ Wf (х) е
(И )
Основное требование к дополнительным условиям состоит в
том, чтобы главная особенность функции давления жидкости на
поверхности пластины не была выше, чем у функции прогиба.
Это следует из (4) и из структуры правых частей уравнения (2)
для форм колебаний пластины и уравнения Гельмгольца для
давления в жидкости. Первое имеет дельта-функцию в правой
части, тогда как уравнение Гельмгольца — однородное. Поэтому
в качестве дополнительных условий на линии действия силы ес­
тественным образом ставятся условия непрерывности ф ункции
давления и ее первой производной по х при о: = z = 0. М атема­
тическое обоснование вы сказанны х утверж дений о характере
главны х особенностей функций прогиба и давления жидкости на
поверхности пластины приведено в П рилож ении.
Объединим перечисленные выше условия:
^ — *
J п
dx
jn
dx
—
w —о, 1, 2, 3,
(12)
dx™
41
Подстановку ^
условия вы раж ений (1 0 ), (11) приводит к
систему шести алгебраических уравнений относительно постоян­
ных Cf ( /= = 1 ,2 ,3 ) . Вследствие симметрии реш ения относитель­
но линии «: == О из этой системы сразу получается
»
/ = 1, 2, 3. Д ля определения Cj остаются три уравнения
3
2
3
8znql{2D).
= 0,
2
гг = 1, 3,
j= i
реш ение которых приведем в окончательных вы раж ениях д л я
функций прогиба пластины и давления жидкости в ближнем
поле:
(13)
^ (^, Z) = I То 2
j= l
3 3
То = ? - Ж •
^
Здесь d — определитель м атрицы 3 X 3 с элементами строк l,S j,
aj"^; d^j (/ = 1, 2, 3) — алгебраические дополнения к элементам
второй строки d.
Р еш ения (13), построенные таким образом, являю тся непре­
ры вны ми и ограниченными ф ункциями на всем интервале изме­
нения X и Z, имеют простой вид, так как содержат всего по три
слагаемы х с ясны м физическим смыслом, и полностью удовлет­
воряют условиям на поверхности пластины. Отметим, что вы ра­
ж ени я (13) дают согласованные значения функций прогиба п ла­
стины и давления ж идкости на ее поверхности, что важ но при
обобш;ении методики на задачи о колебаниях оболочек, кон так­
тирую щ их с жидкостью, для восстановления акустического поля
в пространстве с помощью интеграла Кирхгофа.
Могут быть построены и несколько более точные вы раж ен и я
для быстроменяю щ ихся компонент w я Р при обеспечении боль­
шей степени гладкости функции давления ж идкости на поверх­
ности пластины в месте прилож ения локальной нагрузки за счет
дополнительных интегралов, соответствующих корням «4,5 харак­
теристического уравн ен ия (1.6) с отрицательны ми действитель­
ными частями. Т ак ая возможность следует из характера реш е­
ний второго уравн ен ия (5 ): каж дому интегралу iVj (/ = 1 , . . . , 5)
соответствуют
два
и нтеграла
ф ункции
давления
Pf =
= P j^ ls e x p ( ± a j2 ) , один из которых затухает, а другой возрас­
тает в глубь ж идкости при любом знаке действительной части
корня Uj. Поэтому и для корней «4.5 (Re «4.5 < 0) можно подо­
брать интегралы функции давления, не возрастаю щ ие в глубь
жидкости, и записать общее реш ение для Р в виде
(х, z) = p f {х, z) — со^р 2 c j a j ' ^ w f {х)
3—4
где p f {х, z) — вы раж ение вида ( И ) .
42
Д ополнительные постоянные с у (/ = 4, 5) определяю тся при
этом из условий типа (12), в
которых
надо
полож ить
ггг = 2, . . . , 5.
Возникает вопрос, насколько точно эти вы раж ен и я описывают
истинные функции прогиба пластины и давлен ия жидкости вбли­
зи ее поверхности. Ответ получим, построив уточнение реш ений
(13) в форме медленноменяю щ ихся компонент искомых функций.
Медленноменяющиеся компоненты решения. Представим точ­
ное реш ение задачи (2) в виде
Р = Р\+Р2,
W=- Wi + W2,
(14)
понимая под P i и Wi вы раж ения (13), а под Р 2, г«2 — некото­
рые неизвестные ф ункции.
Подстановка сумм (14) в (2) приводит к системе уравнений
относительно ф ункций Р 2 {х, 2), W2 (x):
N w2 + P2{ x , 0 ) = 0 ,
dP^/dz
AP2 + k^P2- 8{ x) F{ z ) ,
P (2) = Ya 2
j= i
^.
Из сравнения систем (15) и (2) видно, что в уравнениях
(15) (которые назовем уравнениям и вто­
Z
рого приближ ения) дельтаобразная пра­
в а я часть переш ла к уравнению Гельм­
гольца д л я второго приближ ения ф унк­
ции давления в жидкости. П оявление та­
\
f (Z)
кой особенности в плоскости
= О обус­
ловлено тем, что требования неразры внос­
ти реш ения (13) д ля Р и dPjdx ставятся
только на поверхности пластины. Это
обеспечивает отсутствие особенности в
уравнении для Р 2 при z = 0. Однако при
z > 0 коэффициент F (z ) у б-функции стао
х
новится отличным от нуля. В то ж е вре^
м я вследствие экспоненциального затуха­
н ия слагаемых, составляющих P ( z ) , вся
эта ф ункция локализована вблизи z = 0. Вид функции f ( z )
представлен на рис. 8.
Т аким образом, вы раж ения (13), которые можно назвать те­
перь реш ениями первого приближ ения, удовлетворяю т всем не­
обходимым условиям на поверхности пластины, но создают ло­
кальны й разры в в уравнении Гельмгольца в плоскости действия
нагрузки.
Построим реш ение системы уравнений второго приближ ения
(1 5). К ак известно
[27], реш ение уравнения Гельмгольца
с б-функцией в правой части может быть вы раж ено через его
ф ундаментальное реш ение. В качестве такого реш ения возьмем
функцию Грина задачи Дирихле, удовлетворяю щую однородным
граничны м условиям на поверхности пластины и условиям
43
па бесконечности. В плосном случае эта ф ункция
имеет вид [129]
и зл уч ен и я
G (X, 2; av,, Zp) = X
{к V { x -
(п= 1
(16)
где н у — ф ункция Х ан келя
первого рода
пулевого
порядка;
ХО, Zo, X. Z — координаты точек псточитга и наблю дения.
Ч астное реш ение задачи (1.5) для д а1!ле1гия в жидкости,
удовлетворяю щ ее условию излучения на бесконечности и нулево­
му граничному значению на поверхности пластины, дается
формулох!
________________
а “
Р.2, (^. Z) = - i
2
,1
(к у "x^- + ( z ^ ( - 1 ) \ Г ) F (2р) dZg.
П=1,
(17)
Назовем эту компоненту давления излучающ ей.
И злучаю щ ая компонента акустического давления создает на
поверхпостп пластины прогиб
J н у (к
Uhr И
■?= !
e~"^'dz.
(18)
О
Нетрудно показать, что ф ункция W2r{x) является непрерывной ж
ограниченной во. всех точках оси х, вклю чая х = О, где согласно
формуле 2.14.1.3 из [106]
J=l
3
bi={aj + k ^ y ^
(/ = 1 ,2 ,3 ) .
Р ассм атривая вы раж ен и я (17), (18) при удалении от линии
прилож ения силы, видим, что их изменяемость выходит на асимп­
тотику акустической волны в свободном пространстве. По отно­
шению к функциям (13) эти вы раж ения являю тся медленноме­
няющимися, Е сли принять их изменяемость за единицу, то р е­
ш ения первого приближ ения W[, Р\ имеют изменяемость по­
рядка
М едленноменяю щ аяся ф ункция W2 r(x) в общем случае не
удовлетворяет уравнению (15) для второго приближ ения форм
колебаний пластины, контактирую щ ей с жидкостью. Возникаю ­
щую при этом н евязку будем снимать тем ж е способом, что и не­
вязку в уравнении Гельмгольца.
Второе приближ ение быстроменяю щ ихся компонент. П редста­
вим точные функции iV2 {x) и Р 2 {х^ z), введенные в (14),
44
и виде сумм
W2 = W2r + W20,
^^2 = -Р2г + Р 20,
(19)
которых под Р 20, W 20 подразумеваю тся неизвестные функции,
дополняющие вы раж ения (17), (18) д л я Р 2г п W2r до точного
^)ешения системы (15).
Подстановка сумм (19) в уравнения (15) приводит к системе
Зг^равнений второго приближ ения относительно функций W2o, Р 20*
В
N w ^ + Р2о{х, 0)-= ~-NW2 t,
АР20+ к^Р20- о, dP2oldzI,=0 = (B^PW20.
^^
iB этой системе неоднородность правой части вернулась снова в
Згравнение для форм колебаний пластины. По структуре система
(20) ;подобна исходной системе (2 ), отличие от которой состоит
ч-олвко в том, что в правой части первого уравнения (20) вместо
б-функции находится некоторая ф ункция - - N w 2r. Следовательно,
найденную выше функцию первого приближ ения прогиба Wi
"МОЖНО использовать в качестве приближ енной ф ункции Г рина
20 и записать
Jaiля определения W
оо
и?20 (*) =
—7 J '^1
—00
— ^о) Ни'2г {Хо) dXg.
(21)
И нтеграл (21) может быть упрощен, если учесть, что функщии W
\ и u?2r по своему определению являю тся регулярны ми
обобщ енными ф ункциям и [27]. Вследствие непрерывности и ог­
раниченности этих функций они локально интегрируемы.
Следовательно, сущ ествует свертка этих функций [27]
{w^ * а?2г) =
— Xq) w.2r {Xq) dXQ
ГИ свертка
(Z)“u?i * W2 r) = D^{ wi * W2r) = {wi ^ D^W2r),
(22)
где через
обозначена производная порядка а (вследствие (2)
• а < 4 ).
Применив определение (22) к интегралу (21), получим
оо
(х) = —И'2Т(^) + 7 У Pi
— ^0- 0)
(Хо) dXg,
откуда с учетом (19) приходим к следующему выражению для
второго приближ ения функции прогиба пластины, контактирую .щ ей с жидкостью:
оо
(^) = 7 J
P i { x — Xg, 0) Шаг (4(,) dXg.
(23)
45
В ы раж ение д ля Р 2о{х, 0) находится непосредственным диф­
ференцированием функции W2 {x) из первого уравнения (20). По>
найденной граничной ф ункции р 2о(х, 0) на поверхности пласти­
ны при помощи формулы Грина восстанавливаю тся н ее зн ачён ия в любой точке акустической среды
Рао {х, Z) = —
dG
-
— 00
^^0
^ 20 (■^0» 9) dxQ,
(24^
Построенные так ф ункции прогиба пластины и давления в^
ж идкости могут быть уточнены на следующем этапе птерацион-^
НОИ процедуры путем представлений:
Р = Р\ + Р 2 + Ръ,
W =^Wi + W2+ Wz
с последующим определением wz, Ръ из системы уравн ен ий
третьего приближ ения подобно тому, как это сделано при нахож ­
дении ф ункций W2 и Р 2. Д ан н ая процедура, в принципе, м ож ег
быть продолжена неограниченное число раз.
Д л я оценки погрешностей, возникаю щ их на каж дом шаге*
итерационной процедуры и сходимости последовательных при­
ближ ений, проведем сравнение получаю щ ихся вы раж ений ф унк­
ции прогиба пластины и давлен ия в ж идкости с точным реш ени­
ем задачи (2 ).
Сопоставление с точным решением. В ыпиш ем реш ение задачж
(2) в виде интегралов Ф урье [13]:
da
{Dg^ — Q^) + (D^P
(25>
IV {x) =
\
■^— у = = г ' ,
Dg^ -
Im Y
^ 0.
+ « 'p / ( i V k ^ - G ^ y
Явные аналитические вы раж ения этих интегралов могут б ы ть
получены при сохранении в уравнениях (2) только асимптотиче­
ски наиболее значимых инерционны х членов. В соответствии а
оценками, сделанными выше, предельная система уравнений
примет вид
+ P { x , 0 ) = qb{x),
А Р = 0,
И нтегралы (25) для этой системы преобразуем к виду
(1 ,11) = - ? ^
J
О
46
а, =
(27>
Зн ам ен ател и поды нтегральны х функций в (27) являю тся дву­
членами пятой степени, точные значения корней которых
= ехр
7 = 0 , 1 ,2 , 3 ,4 ;
i= V ~ l.
В интервал интегрирования попадает полож ительны й корень
-Яе = 1, обход которого производим в соответствш! с теоремой вы­
четов и принятой зависимостью реш ения от времени [72].
В результате получим следуюш;пе вы раж ен и я д ля ф ункции
ярогиба пластины, контактирующ;ей с жидкостью , и давления,
.жидкости на поверхности контакта:
У’ (I) = 9/2
и
(I)
=
J
[г' COS i
Р а , 0) = - a,qU il),
— s in I^
I—
s i n ( ] 11 c o s ф +
пгф)] -J-
(28)
J’
I f
/ т = — j -"10^--^
,
2я
Ф= — »
- ^
п
/
а = 9 -4 7 п .
Д л я лиш ш прилож ения нагрузки ( | = 0 ) интегралы
31меют явны е вы раж ения в соответствии с формулой
(27)
.действительная часть которой определяется табличным интегра­
л о м 3.241.3 из [48], а мнимая — произведением ni на вычет ан а­
литического продолж ения подынтегральной функции в точке
х==1. Зн ак перед мнимой частью определяется тем, снизу (« + » )
или сверху (« — ») обходится полюс «: = 1 (при зависимости р е­
ш ен и я от времени
—- обход снизу [1 1 9 ]).
В результате точное значение функции прогиба пластины на
л и н и и действия силы:
Н а большом удалении от этой линии экспоненциально зату­
хаю щ ие члены в (28) можно не учитывать. В ы раж ен и я ш ( |) и
- Р ( |, 0) приобретают характер расходящ ихся волн:
Амплитудные значения коэффициентов при осциллирующ их экслонен тах в (30) и значение прогиба на линии н агруж ени я в аж ­
ны д ля сравнения с аналогичными параметрами приближенного
реш ения.
47
Распиш ем теперь формулы (13) д ля первых приближений
быстроменяюпдихся компонент функции прогиба пластины и дав­
ления жидкости на поверхности пластины при тех ж е упрош;аю1ЦИХ предположениях, которые использованы д л я получения
точных вы раж ений (26) — (30):
W, Ц) = q% ( D / i a l D ) ,
_
Р , Ц, 0) = - a,q% (|),
COS_(|COS ф + (--1)^ф/2)
sin (ф/2)
Sin ф
(31>
dio =
2 (sin ф +
2
sin 2 ф ),
ф == 2я/5,
т
1, 2 .
Н а большом удалении от линии нагруж ения (1|1 > 1 ) ф унк­
ции i « i ( |) , P i ( | , 0) описывают расходяндиеся волны, подобна
точным ф ункциям (30), но с несколько иными амплитудными
коэффициентами:
=
-
-
(32>
Д ля точек пластины на линии действия силы
1^1 (0) =
(г sin ф + cos ф — 1) = ■ ^ - (0,224i — 0,162).
(33)
a \D
Сравним вы раж ения (28) — (30) с (31) — (33).
Н а рис. 9 представлены графики действительны х 1 ш
мнимых 2 частей ф ункций прогиба, рассчитанны е по этим
формулам. Граница пластины и жидкости обозначена горизон­
тальной осью, лин и я прилож ения нагрузки совмеш;ена с началом
координат. Вследствие симметрии картины формы прогиба пока48
заны только при | > О (точные функции даны сплошными ли­
ниями, приближ енны е — ш триховы м и).
К ак видно, наибольшие отклонения действительной части:
первого приближ ения функции прогиба от точной ф ункции на­
блюдаются в окрестности линии прилож ения нагрузки. По мни­
мым частям максимальные расхож дения при изменениях | не
меняю тся, так к а к они зависят от безразмерного расстояния
вдоль пластины по тому ж е закону косинуса, что и точное ре­
шение. Отличия в амплитудах косинусов невелики, п орядка
1 0 % . Т ак ая ж е мера погрешности устанавливается и по дейст­
вительной части прогиба, начиная с расстояния примерно одной
полуволны деформации от линии нагруж ения.
Н аглядное представление 6 точности первого приближенпя:
дает такж е сопоставление модулей точной и приближенной:
функций прогиба (рис. 10). Сопоставление вы раж ений (28), (31)/
для точной и приближ енной функций давления жидкости на по­
верхности пластины приводит к аналогичным результатам.
Т аким образом, вы раж ения (13) в целом правильно описыва­
ют форму прогиба пластины и давления ж идкости на ее по­
верхности.
У точненная форма первого приближ ения функции прогиба
пластины за счет привлечения корней «4.5 с отрицательными дей­
ствительными частями отмечена на рис. 9 и 10 звездочками. На
линии прилож ения нагрузки соответствующее значение функции
4 А. л. Попов, г. Н. Чернышев
49
шрогиба равно
^^й(0) = ‘; ^ ( 0 » 2 1 г - 0 Д 3 6 ) ,
что по модулю значительно ближе к точному значению, чем (33)
(отклонение составляет менее 2 0 % против 31 % у (3 3 )). В дру­
ги х точках пластины значения, отмеченные звездочками, такж е
значительно ближ е к точным, чем (31).
Посмотрим теперь, насколько уточняется реш ение (13) в ре­
зу л ьтате построения второго приближ ения. Здесь следует отме­
тить, что в постановке предельной задачи (26) фигурирует не
уравнение Гельмгольца, а уравнение Л апласа; поэтому в качест­
ве функции Грина задачи Д ирихле долж на быть взята ф унк­
ц и я [27]
Т о гд а частное реш ение задачи (26) д ля функций Ргг, г«2г при­
л е т вид
■
(X, S)
=А i i
? 1а
3
Wgr(x)
-Щ [ ^
а.
- 'о
^2,
2 ’
d-a^dg.
О
П р и х ¥ ^ 0 интегралы (35) вы раж аю тся через интегральны е сигнусы и косинусы от X, П ри х = 0 сущ ествует предельный
переход
И з (35) видно, что н;2г ( г ) — действительная ф ункция, монотонно
убы ваю щ ая по обе стороны от линии прилож ения нагрузки. Гра­
ф ик iV2r{x.) изображ ен на рис. 10. П ри больш их значениях \х\
W2r{x) имеет асимптотику
(х) = —I -----coV
С клады вая первое приближ ение функции прогиба Wi с мед­
ленноменяю щ ейся функцией W2r, получаем уточнение прибли­
женного реш ения по действительной компоненте и соответствен­
но по модулю прогиба. Это иллю стрируется графиком la?i + a;2rl
на рис. 10. Видно, что уточненное таким образом приближенное
реш ение лучш е описывает особенности изм енения функции про­
гиба пластины вблизи линии нагруж ения. О стаю щ аяся погрешлость, как нетрудно видеть, имеет быстроменяю щ ийся характер.
50
Дополним теперь вы раж ен и я W\ + W2r, Р\ + Р 2 т вторым при­
ближ ением быстроменяю щ ейся компоненты, используя для этого-^
интеграл (23). П одстановка в него функций из (13) и (35) при­
водит к выраж ению
у
оо
_
M
l/.,
(36),
оо
г г
J J
— ОО о
х\-\-Р "
®
1 + cos (р
cos ф - 1 ■
Первое слагаемое в этом вы раж ении подправляет осциллирую ­
щую компоненту (31), остальные — интегралы, затухаю щ ие и
окрестности линии прилож ения силы.
Д ля произвольного X интегралы
(/ = 2, 3; /с = 1, 2, 3) вы­
числялись при помощи ЭВМ. Н а рис. 9 штриховыми линиями с
обозначениями
2' представлены действительная и мнимая
компоненты ф ункции прогиба, полученной в результате двух.
приближений. Видно, что граф ики приближ енны х п точных
функций почти неразличимы при всех х. П ри х = 0 интегралы
имеют аналитическое вы раж ение; соответствующее значение
прогиба:
Щ (0) + Wg (0) =
(0,1972i - 0,0644)
отличается от точного (29) менее чем на l,i5 % к ак по мнимой,,
так и по действительной частям. Н а рис. 10 приведен такж е гра­
фик модуля суммарной функции \w\ + а/г!.
Таким образом, д л я практических расчетов удовлетворитель­
ную точность обеспечивает уж е первое приближ ение рекуррент­
ного процесса. В случае необходимости оно относительно л егк а
подправляется вторым приближением, построение которого сво­
дится к взятию квадратур от функций первого приближ ения.
О сходимости процесса последовательных приближений. Р ас­
смотрим вопрос сходимости последовательных приближ ений
МСИ. Выше бы ла продемонстрирована достаточно бы страя чис­
лен н ая сходимость двух последовательных приближ ений ф ун к­
ции прогиба к точным значениям. Аналогичное сближение при­
ближ енны х и точных значений имеется и по ф ункциям давления
жидкости на поверхности пластины. В то же время строгое ан а­
литическое доказательство сходимости процедуры МСИ даж е для'
рассматриваемой здесь простейшей модельной задачи требует ма­
тематических исследований высокого уровня. Ограничимся поэто­
му лиш ь некоторыми оценками на физическом уровне строгости.
Рассмотрим последовательные приближ ения функции проги­
б а пластины на некотором удалении от линии прилож ения силы,
где вклад от быстрозатухающ их интегралов внутреннего краевого
эф ф екта становится пренебрежимо мал. В этой области в соот­
4*
51
ветствии с (32), (36) ф ункция прогиба, построенная по двум
приближ ениям метода, имеет характер расходящ ейся волны
с той ж е скоростью распространения и фазой, что и у точной
ф ункции (30), но с несколько меньшим амплитудным коэффици­
ентом (0,1972 против 0,2).
Д л я второго приближ ения быстроменяю щ ейся осциллирую­
щ ей по пластине компоненты ф ункции давления жидкости
получаем
Эта ф ункция, к ак и второе приближ ение осциллирующей ком­
поненты функции прогиба пластины, отличается от первых при­
ближ ений на коэффициент р~К Тогда соответствующие вы раж е­
ния д л я осциллирующ их компонент третьего приближ ения wz, Ръ
отличаю тся от первых приближ ений на величины
и т. д.
П родолж ая процедуру построения последовательных прибли­
ж ени й функции IV, приходим к степенному ряду, члены которого
убываю т по закону геометрической прогрессии:
Просуммировав эти коэффициенты, убеж даемся, что геометри­
ческая прогрессия амплитуд последовательных приближ ений
(37) сходится к точному значению амплитуды осциллирующей
компоненты реш ен ия (30):
J_ V —
1°о1
1
1 + 1«оИ« ~ 5-
Заметим, что величина р может рассм атриваться как асимпто­
тически большой параметр (по своему оп ред елен и ю — (13), (31),
(3 5 ) — она пропорциональна отношению длины акустической
волны в свободном пространстве к длине гидроупругой волны
(см. § 1 )). Это объясняет быструю численную сходимость после­
довательны х приближ ений к точным значениям и то, что пер­
вое приближ ение быстроменяющ ихся компонент w u Р и построен­
ное на основе экспоненциального представления функции давле­
ния в жидкости, яв л яется асимптотически главны м приближени­
ем рекуррентной процедуры реш ения на поверхности пластины.
Последующее построение медленноменяю щ ихся и уточнение
быстроменяю щ ихся компонент вносят асимптотически малые до­
бавки (по парам етру р) в сравнении с первым приближением.
Сравним теперь асимптотики дальнего поля, излучаемого п лас­
тиной, исходя из точных и приближ енны х формул для давления
в жидкости.
52
Представим интеграл, определяю щ ий вы раж ение (27)
Р ( | , ц ), в виде полусуммы двух интегралов:
=
+
д ля
dl.
/± = J
О
В ы п олн яя интегрирование (при т| > 0) с использованием таблич­
ного значения 26.24.8 из [106], приходим к асимптотическому
вы раж ению
Р (х, Z) = У ^
h + 0 (4 )],
cos 9 = У
1* -
(38)
Д л я получения аналогичной асимптотики приближенного ре­
ш ен и я (35) воспользуемся разлож ением логарифмической ф ун к­
ц и и (1.514) [48]:
1а (1 — 2fc o s 0 +
= —2 2
cosA:0
которое в данном случае (при ^ = zo/r, г~>«>) имеет асимптоти­
ческий характер. С охраняя в этом разлож ении только главны й
ч лен и производя интегрирование по табличным формам 2.3.3.2
жз [106], приходим при г - ^ о о к формуле, совпадающей с глав­
ным членом асимптотики точной ф ункции давлен ия в д ал ь­
нем поле.
А симптотическая ф ормула (38) может быть получена и бо­
л ее простым интегрированием (27), если при г ->• оо в знам ена­
теле поды нтегральной ф ункции не учиты вать вклад члена
Вто служ ит подтверж дением возможности прим енения концепции
прилож ения силы к ж идкости для построения асимптотики
дальнего поля.
Действительно, записы вая вместо (26) вырож денную задачу
Р{х,
0
) = q 6 {x)j
АР =
0
ж вы п олн яя интегрирование Р { х , 0) с нормальной производной
функции Грина (34) (интеграл К ирхгоф а [1 2 9 ]), получим вы ра­
ж ение, совпадающее с главны м членом асимптотики (38).
К аналогичному результату приводит и расчет дальнего поля
о использованием однокорневой схемы реш ения. И меется в виду
простейший учет ж идкости как действительной присоединенной
массы, определяемой одним полож ительны м корнем уравнения
пятой степени (1.6). Реш ение д л я пластины в этом случае стро­
и тся с выделением главной особенности только у ф ункции про­
ги ба и имеет вид
(х) = - ^ / (4 -
(^. Z) = — q a j (х) е~“Р,
53
П одставляя найденную отсюда функцию
(х, 0) в интеграл
К ирхгоф а и вы числяя его при
приходим к формуле ( ^ ) .
Следовательно, для нахож ден и я асимптотики дальнего поля
в рам ках данного подхода достаточно лиш ь правильно у ч е с т ь
главную особенность реш ения на поверхности пластины, что за­
ведомо вы полняется на стадии построения первого приближ ения
быстроменяю щ ейся компоненты реш ения.
Т аким образом, на модельной задаче, рассмотренной в дан ­
ном параграф е, продемонстрирована фактически вся процедура
построения последовательных приближ ений метода согласован­
ных интегралов. Н а отдельных ее этапах проведены сравнения
с точным реш ением по ф ункциям прогиба пластины и давления
в среде. П оказана быстрая сходимость (в геометрической про­
грессии с асимптотическим знаменателем)
последовательных
приближ ений к точному решению. Рассмотрим теперь реали за­
цию метода при другом способе н агруж ени я пластины.
§ 3. Точечное возбуждение бесконечной пластины
на жидком полупространстве
Рассмотренное выш е реш ение задачи о колебаниях, возбуж ­
даемых линейно-сосредоточенной силой, бесконечной пластины,,,
контактирую щ ей с жидкостью, моделирует реально существую­
щ ую ситуацию передачи вибраций по тонкостенной, например,,
корабельной конструкции и жидкости через протяж енны е дина­
мически нагруж енны е упругие подкрепления типа балок, ш пан­
гоутов и т. д. Однако вибрации могут передаваться на конструк­
цию и жидкость по площ адкам с малым пятном контакта (опоры
электро- и турбогенераторов, торцевое присоединение трубопрово­
дов и др.). Т ак ая передача воздействий моделируется точечными:
периодическими силами и моментами, прилож енны ми к кон­
струкции.
Постановка задачи. Сведение к «плоскому» случаю. П усть нш
пластину, срединная плоскость которой совмещена с плоскостью
х у декартовой системы координат, действует сосредоточенная
норм альная периодическая сила Q 8 {x, ^ ) е х р ( — гсо^). П ластина
находится в одностороннем контакте с ж идким полупространст­
вом, полож ение точек в котором характеризуется координатами:
X, у, Z (ось Z ортогональна к пластине, направлена в глубь ж ид­
кости ж имеет начало в точке п рилож ения си лы ). Выпишем ис­
ходную систему уравнений в этих координатах после отделения
временны х множителей:
D A l w — Q^w -Ь Р {х, у, 0) =
дР
dz
2
= 0)2ра;,
А
=
{х, у),
+J —
,
А Р + к^Р == О,
А
Л
Д
= Д2
+1
^
Д л я ф ункции Р ( х , у, z) подразумевается такж е выполнение ус­
ловия и злучен и я при Л ==
-> оо.
54
Реш епие задачи (1) будем строить двум я способами. П ервы й
<:,пособ состоит в предварительном сведении системы уравнений
(1) к уравнениям плоской задачи (2.2), вто р о й — в непосредст­
венном построении интегралов системы (1) и выделении главной
особенности реш ения в точке прилож ения силы.
Д л я приведения системы (1) к «плоскому» случаю предста*
вим функции w { x, у ) , Р { х, у, z) и б (г, у), в форме интегралов
от плоской волны [33]:
2Л
2Я
W {Х, у) = f W (I) dp,
Р { х , у 2) = J Ф {I, Z) dp,
О
О
2Я
6(х,1/) = —
(2)
| = x co sp + y s in p .
Подставим интегралы (2) в систему (1 ). Получим уравн ен ия
относительно TE’( I ) и Ф ( |, z)\
Z—Q
В результате система (1) преобразовалась к виду исходной си­
стемы уравнений плоской задачи (2.2) в координатах
г. Однажо здесь в правой части первого уравнения вместо б-функций
•стоит степенная функция. Следовательно, при известном решеяии и>°,
системы (2.2) решение системы (3) представляется
в виде интегралов
ОО
4я ^ г __
оо
П ри построении приближенного решения системы (3) в качестве
могут быть взяты функции
w’» т = S щ i i h
j-i
( 1 .2 ) = S Pi (S, 2),
i= i
полученны е на основе N приблиячений итерационного процесса,
юписанного в предыдущ ем параграфе.
Вычисление интегралов (4) будем производить после предва­
рительной регуляризации в смысле главного значения по Кош и,
так как внутри интервала интегрирования находится точка |о =
= О, в которой функции
(I ■— 1о) и
(I — 1о» ^) локаль55
но не интегрируемы. Следуя общему правилу [33], преобразуем
интегралы (4) к виду
w = - A r \
Z ..°о /ZZ».,
^lo
So ’
ф
^io
4я^ J
S0
(5)
С интегрируемой особенностью в нуле.
Подстановка в (5 ), а затем в (2) вы раж ений (2.13) приво­
дит (после тождественны х преобразований с использованием
табличны х интегралов) к следующим вы раж ен и ям для быстро­
меняю щ ихся компонент ф ункций прогиба пластины и давления:
жидкости у ее поверхности:
= 2nQ
ч н у (Ьг) — Im [bigKg CaOlj-
Р , = ~ 2жо2р^ Y
Q = QliAn^dg),
у
= V
+ у\
~
b = {al + k ^ y \
do = Im [& i3 (a i — fliz)].
’
(6 >
s,^ -i{a l + k^y\
&2 = I m a ^ S
big =
— a^.
где «j (/ = 1, 2, 3 ) — корни уравнения (1.6) с полож ительны ми
действительными частями, H q^ \ K q ~ соответственно ф у н к ц и я
Х ан к ел я первого рода и ф ункция
М акдональда
нулевы х
порядков.
Решение с выделением особенностей w и P |s . В ы раж ен и я
(6) могут быть получены и непосредственно из линейной комби­
нации интегралов разреш аю щ его уравнения системы (1) с выде­
лением особенностей функций прогиба пластины и д авлен ия
жидкости в точке прилож ения силы. Д ля этого с помощью, экс­
поненциального представления интегралов давления в окрестно­
сти пластины (типа (2.3)) исходная (однородная) система урав­
нений (1) на поверхности контакта приводится к двум уравне­
ниям относительно ф ункции прогиба пластины, которые запишем:
с учетом осевой симметрии:
D A lw -Q ^ (l + g/a)w ^O ,
AgW + ia^ + k ^) w =
0
,
(7>
=
Условием совместности реш ений системы (7) является, как и в
плоском случае, удовлетворение характеристического п оказател я
а уравнению пятой степени (1.6). Отбирая среди корней этого
уравнения корни щ (; =* 1, 2, 3) с полож ительны м действи­
тельными частями, получим, что интегралами разреш аю щ его
56
ур авн ен и я являю тся ф ункция Х ан келя
фг) для а\ > О,
удовлетворяю щ ая условию излучения, и ф ункции М акдональда
Ko(s 2, ^ ) для корней «2,3 (53 “ 52), не возрастаю щ ие на бес­
конечности.
Общее реш ение для быстроменяю щ ихся компонент iv\ и Р[
запиш ется в виде
Щ {г) =
фг) +
М
+ С3К 0 {чт),
(8)
J>, ( r , z ) = - ( 0^p ^ Н ^ ^ \ Ъ г ) е
1
2
+ ^K ,{s,r)e
3
П ри прорхзвольном выборе констант
(/ = 1, 2, 3) оно имеет
логарифмичесх^ую особенность в точке прилож ения силы. Однако
известно, что гл авн ая особенность функции прогиба пластины в
вакуум е в этой точке пропорциональна
In г (г — безразмерный
радиус) [120]. В Пррхложенип показано, что инерция пластины
и присутствие жидкости не влияю т на порядок главной особенно­
сти функции динамрхческого прогиба пластины; он остается тем
ж е, что и при статическом действии сосредоточенной силы. П о­
рядок главной особенности функции давления ж идкости на по­
верхности пластины в точке прилож ения силы сущ ественно ни­
ж е, чем у ф ункции прогиба. Поэтому имею щ имися тремя посто­
янны м и Cj (/ = 1, 2, 3) распорядимся так, чтобы приравнять к
нулю коэффициент при 1пг и к известному значению при
Я In г в разлож ении w\ {r) в окрестности точки прилож ения си­
л ы (г = = 0 ). Тем самым вы полнятся традиционные условия выде­
ления правильной особенности у функции прогиба пластины.
Третьим условием будет обращение в нуль коэффициента при
I n f в разлож ении P i (г, 0 ). Вследствие этого условия порядок
глазной особенности функцитх давления ж идкости на поверхности
пластины сниж ается до уровня ф ункции прогиба.
П еречисленны е требования приводят к системе трех уравн е­
нии относительно постоянных Cj (/ = 1, 2, 3 ):
Сю + Са + Сз = о, fli V10 + «2
— Ь \ о + « Ч + S3C3 = — (2 л П) ~^ 0 ,
+ «3 Ч = О,
Сю = — 2 i n ~ \ .
(9)
Определив их из этохх системы, убея^даемся, что вы раж ения (8)
совпадаю т с реш ениям и (6 ).
Сравнение с точным решением на поверхности пластины. Со­
поставим приближ енное аналитическое реш ение (6) с точным
реш ением, которое было получено в известной работе И. Е. Хам­
ма и Л. М. Бреховских [119 , а затем исследовалось Л. Я. Гутиеы м [51], Д. Д. Плаховым [93], В. С. И вановым и В. Н. Ром а­
новым [60] и другими авторами. Это реш ение находится при помо­
щ и преобразования Х ан келя и в приняты х здесь обозначениях
мож ет быть записано в виде [119]
i4-_oo
■Q
w{r) =
^
,S (А;г, Ti) ц dri,
4ярдйс
J
=
p
i-j-oo
j
S{kr,r\)e
З'^кг V l + rf)n
О = -1----T--*--- ^ ------------T*,
PjH (1 +
— Ц— g/k
8
„
Pi =
=
(10>
{khcg/cf
.2\ ’
3(1- v ^
где 5^0( I ) — ф ун кц ия Б есселя нулевого порядка комплексного^
аргумента.
И нтегралы (10) в общем случае не имеют явн ы х аналитиче­
ских вы раж ений. Д л я
!OJ!
^
сравнения их с реш е­
ниями первого прибли­
ж ен и я
(6)
вы полня­
лось численное обраще­
ние
преобразования
Х анкеля. П ри различ­
ных значениях волно­
вой толщ ины пластины
2 k h определялись зна­
чения прогибов пласти­
0,15
0,2
2kk
0,1
0,05
ны под силой и строи­
лись зависимости ф унк­
ции прогиба пластины
и давлен ия ж идкости
на ее поверхности o r
волнового радиуса кг.
0,5
Н а рис. 11, а приве­
дена
амплитудно-час­
тотная зависимость д л я
обезразмеренного моду­
л я прогиба пластины в
точке прилож ения си­
- 0,5
лы в диапазоне звуко­
вых частот
'1
Н а рис. И , б дока­
зано изменение мнпмых
частей ф ункций проги­
ба
(кривая 1 ) ц аку­
стического
д авл ен и я
— Pi (2 ) вдоль пласти­
ны при характерном значении волновой толщ ины 2 k h = 0 , 1.
Сплошными линиями нанесены точные зависимости (10), ш три­
ховыми — приближ енны е (6 ). Амплитудное значение силы Q
взято равны м 1 кН.
58
П редставленны е граф ики и другие численные расчеты показывх1ют, что приближенное реш ение (6) (как и в случае колеба­
ний под действием линейно-распределенной нагрузки) в целом
лравпльно описывает особенности формы колебаний пластины и
б ли ж н его поля давлений в жидкости, причем погрешность его
ум еньш ается с ростом волнового числа kh. Этого следовало ожи^^ать. так как вы раж ения (6) определяю т главную часть реш е­
ния — быстроменяюЕЦиеся компоненты ф ункций прогиба пласти­
н ы л давления жидкости. И в этом смысле предельный случай,
С001 ветствующий низкочастотным колебаниям, рассмотренный
выше, когда в системе (1) сохраняется только асимптотически
наиболее значимый инерционный член, характеризуем ы й воздей­
ствием жидкости на пластину как присоединенной массы, дает
верхнюю
грань
погрешности
реш ения
(6)
в
частотном
спектре.
У казанны й предельны й случай допускает сопоставление точ­
ных и приближ енны х значений w, Р по явным аналитическим
«формулам. Получаюш;иеся при этом вы кладки довольно громозд­
к и II сводятся к тождественным преобразованиям, идентичным
тем, которые подробно объяснялись в § 2. Приведем наиболее
важ ны й для сопоставления результат: значения первого и ^второ­
го приближений прогиба пластины в точке прилож ения силы
= ^ (0 ,0 1 6 3 + 0,1120,
Q = Q /{a\D \
(0) + W 2 (0) = Q (0,0323 + 0 ,0 9 8 8 0 ,
(И )
а, = (o)V I>)
Ж точное значение функции прогиба пластины в этой точке
0 / ( 0 ) = ^ (0 ,0 3 2 5 + 0 ,1 0 .
(12)
Из сопоставлений (11) с (12) видно, что значения г«(0) и
( 0 ) + а;2(0) отличаю тся не более чем на 1 %. Второе прибли­
ж ени е реш ения (6 ), как и в случае колебаний под действием ли­
нейно-распределенной нагрузки, суш;ественно подправляет лиш ь
малую действительную часть первого приблия^ения.
Учет анизотропии свойств пластины. Пластины и оболочки,
как элементы тонкостенных конструкций, зачастую необходимо
рассматривать с учетом анизотропии их механических свойств.
При этом возможны варианты физической анизотропии (приме­
ром служ ат современные композиционные материалы) или ис­
кусственно созданной из соображений прочности и жесткости
конструкционной анизотропии (подкрепления пластины часто
располож енны ми ребрами ж есткости).
Вывод уравнений равновесия и колебаний анизотропных п ла­
стин и оболочек обстоятельно излож ен в монографии [65]. Р ас­
смотрим пластину, контактируюхцую с жидкостью, имеюхцую
анизотропию свойств общего вида. Сформулируем д ля такой п л а­
стины задачу, аналогичную (1 ), заим ствуя вы раж ение для
59
дифференциального оператора пластины из [74]:
d^w
,
.
d^w
, o /n
I on
\
I /П
■^^11 “yi~
~r 4Z)j6 ox^
^3 dy h 2 (Z)i2 + 2/)бб) *TTT1
+ ^^26 ———
i
dx^
dx^ dy^
dx dy
+ D i 2 —-J
+ P {x, y, 0) = Qd (x. y),
(13)
dP
Д Р + Р Р = 0,
„
dz
z= 0
= со^рг«.
Здесь через
(i, 7 = 1, 2, 6,
обозначены жесткости ани­
зотропной пластины, которые считаются известными.
При реш ении неосесимметричной задачи в такой постанов­
ке — с большим количеством перекрестны х коэффициентов ж есткостп — наглядно видны преимущ ества представлений
и Р в
форме интегралов от плоской волны (2 ). Применительно к (13)
эти представления приводят к следующей «плоской» задаче:
=
=
(14>
D q ~ D\\ cos^ ^ + 4Z)ie cos^ ^ sin p + 2 (Z)i2 + 20бб) cos^ ^*sin^ ^ +
+
4Z>26 c o s ^ s i n ^ p + D 22 s in '^
Система уравнений (14) в координатах g, z имеет, по сутщ
тот же вид, что и
система (3). Соответственно реш ения еезапи­
сываю тся в виде (4 ). О тличия между (1) и (13) проявляю тся
лиш ь на последней стадии взятия регулярны х интегралов по уг­
лу р. В случае анизотропии общего вида эти интегралы не сво­
дятся к табличным, но легко вычисляю тся при помощи ЭВМ.
Отметим, что, несмотря на модельную постановку, реш ении
задачи (13) д ля анизотропии общего вида в литературе
ранее
не встречалось. Имею щ иеся результаты получены для ортотропных пластин в [138] с помощью двумррного преобразования
Ф урье, обращение которого в случае разны х коэффициентов п ри
ди(|)ференциальных членах требует известного искусства.
В качестве примера численной реализации реш ений (2 ). (4)
приведен расчет колеблющ ейся в контакте с водой под действием
силы (2 ~ 1 кН на частоте 1 кГц ортотропной пластины из дере­
ва толщиной 1 см с плотностью м атериала 1300 кг/м^. Оси х. у
выбраны так, чтобы они не совпадали с главны ми направления­
ми упругости (задавалось отклонение оси х на 30° от направле­
ния наименьш ей ж есткости). Тогда все коэффициенты ж есткости
получались отличными от н уля и разными: Z)n = 1266, D\^ —
- .1254, 2Z>26 = 894, 7)i2 + 27^66 == 1058, 7^22- 646 ( Н - м ) .
Р езультаты расчетов представлены на рис. 12, а в виде профилей мнимых частей прогиба Wi вдоль осей х (сплош ная кри­
вая 1 ) и у (сплош ная кривая 2 ), увеличенных в 10^ раз и отне60
сенны х к 2й, и узловых линий
lO j в окрестности точки прилож е­
ния силы (рис. 12, б ), такж е изображ енны х сплошными линиянн. В последнем случае видно, что узловые линии вы тянуты
вдоль направления, совпадаюш^его с главны м направлением упру­
гости пластины. Точки пересечения узловых линий с осями х и
у приближенно аппроксимирую т­
ся корнями функций
Бесселя
Y { b x x ) , 2 (^{Ъуу) (6;,,
— значе­
ния параметра Ъ п р п ^ = 0° п 9 0 °),
а
узловые
линии — эллипсами.
Д ействительная
часть функции
прогпба имеет аналогичный ха­
рактер, но в окрестности точки
прилож ения силы она суш;ественно меньше по абсолютной величи­
не мнимой части прогиба.
-1
В случае изотропной пластины
узловые линии действительной и
мнимой частей функции прогпба
преобразую тся в концентрические
окружности с центром в точке
п рилож ения силы.
Д ля
сравнительной
оценки
влияния жидкости на форму про­
гпба пластины построено такж е
реш епие аналогичной задачи о ко­
лебаниях анизотропной пластины
в вакууме.
На рис. 12, а штриховыми ли­
ниями i ' , 2 ' нанесены профили
Wi вдоль осей X и у, 8L такж е уз­
ловые линии для ортотропной пла,стины, колеблюш;ейся в вакууме
(рис. 12, б). Н етрудно заметить, что при фиксированной ч ас­
тоте возбуж дения на пластине, находяш^ейся в контакте с
?1чЧ1дкостью, образуется более коротковолновая форма колебаний^
чем в вакуум е.
Тлава
3
ВЫ Н УЖ ДЕН НЫ Е КОЛЕБАНИЯ И ЗВУКОИЗЛУЧЕНИЕ
ОГРАНИЧЕННЫ Х ПЛАСТИН
Более совершенными моделями многих элементов технических
!Конструкцпй являю тся пластины и оболочки конечных размеров.
П ер ех о д к таким моделям позволяет полнее исследовать динам и­
ческие свойства конструкций, вклю чая эффекты, связанны е с ре­
зонансам и. П ри этом жидкость, с которой контактирует оболоч­
ка, может оставаться безграничной; нарастание амплитуд сов­
местных колебаний при достижении резонансной частоты обеспе­
чивается ограниченностью оболочки. Ж идкость в этом случае
оказы вает инерционное и демпфирующ ее действия на колебания
оболочки, сн и ж ая резонансны е частоты соответствующих форм
колебаний оболочки в вакуум е и ограничивая амплитуды коле­
баний на резонансны х частотах за счет и злучения энергии. К ро­
ме изучения этих основных эффектов, в главе обращ ается вни­
мание и на малоисследованные явлен и я, такие к ак и скаж ен и я
ж идкостью некоторых резонансны х форм колебаний пластин по
отношению к формам собственных колебаний с тем ж е числом
узловы х линий. Неучет этих явлений может привести в ряде
олучаев к сущ ественным ошибкам в определении резонансны х
амплитуд колебаний оболочки и поля давлений в жидкости.
П араллельно проводится обобщение процедуры реш ения на
краевы е задачи о колебаниях ограниченных пластин и оболочек,
контактирую щ их с жидкостью. Ввиду математической сложности
^решения этого класса задач всюду в рассмотрениях авторы ста­
раю тся придерж иваться принципа максимально возможной про­
стоты модели, описываю щ ей исследуемую ситуацию. Т ак, основ­
ное внимание в разделе о колебаниях пластин, контактирую щ их
с жидкостью, уделено пластине-полосе, позволяю щ ей ограничить­
с я двумерной моделью. И деализированной берется и нагрузка.
А нализирую тся погрешности приближ енны х реш ений д ля таких
моделей, возможности их контроля и минимизации не только пу­
тем сопоставления с точными реш ениями, но и (при их отсут­
ствии) с помощью такого универсального инструмента как ин­
теграл Кирхгофа. Тем не менее разрабаты ваем ая методика
реш ения задач обладает достаточной универсальностью для при­
лож ен и я к оболочкам сложного очертания, продолженны м ж ест­
кими экранами. Это могут быть модели подводных и воздуш ны х
тонкостенных излучателей звука, плотин, трубопроводов, упругих
резервуаров и других элементов конструкций.
€2
§ 1. П лоские колебания контактирую щ ей с жидкостью
нластины-полосы в жестком экране
Рассмотрим следующую модельную задачу: пусть на границе*
жидкого полупространства находится тонкая упругая пластина —
полоса шириной 21 и толщиной 2 h, ш арнирно закреп лен ная в
полубесконечных ж естких экранах. К олебания пластины и
жидкости возбуж даю тся линейно-сосредоточенной нормальной н а­
грузкой дЬ (х) ехр (— m t ) , прилож енной к пластине на равном:
расстоянии от краев. Р асчетн ая схема модели представлена н а
рис. 13 в разрезе поперек полосы.
qS{x)e -iwt
-I
г
Z
Рис. 13
М атематическая постановка данной задачи отличается o r
плоской задачи (2.2.2) для бесконечной пластины наличием гра­
ничных условий на кр аях пластины «: == zhZ и разры вны х условий
контакта на поверхности жидкости: п рин ятая в ней связь
dP/(9zU=o = о)^ри? распространяется здесь лиш ь на участок \х\ ^
При к1 > z a p /d z U = o = o.
Задача в такой постановке рассматривалась в [30, 40, 89,.
129]. Наиболее распространенны м подходом к ее реш ению я в л я ­
ется разлож ение функции прогиба пластины по формам собствен­
ных колебаний в вакуум е с предварительны м исклю чением
ф ункции давления жидкости из уравн ен ия колебаний пластины
с помощью интеграла К ирхгофа — интеграла от произведения
функции прогиба на функцию Грина задачи Н еймана { G n ) д л я
уравнения Гельмгольца:
1
P { 1 , 0 ) = w * G n ^ (xPpl J w d o )G jv (1 ,0;^0, 0 ) d|o,
—1
2
1 оГ+{г\
G jv(i, n; ^0, %) = -
- ( - l)N o )^ ),
(1>
h =l
Ц = kl,
I = xll,
T] = 2/^-
в результате задача сводится к интегро-дифференциальному'
уравнению относительно w { \ ) :
1
Nw -
iiPQl 4 j u; do) н у (Y11 - Eo I ) d |o = q l ~ 4 {I).
—1
(2)
63:
Т у ж е цель — исклю чение функции P is из уравнения для
^форм колебаний пластины преследует и приближ енны й подход,
описанный в предыдущей главе (естественно, что в приближ ен­
ном подходе разреш аю щ ее уравнение принимает более простой
вид ).
Подстановка в (2) разлож ения w (^ ) по собственным формам
.колебаний ш арнирно опертой пластины
(Ю =
оо
S
«п COS (лп^/2)
(3)
(w = w " = 0 при ^ = ± 1 ; задача, симметричная относительно ли ­
н и и прилож ения нагрузки | = 0) с последующим домноженпем
левой II правой частей уравнения на смежные формы ^cos—
m = 1, 3, . . . j и интегрированием по ш ирине пластины приводят
к бесконечной системе уравнений относительно коэффициентов
разлож ени я (3 ). Эта система нетривиальна, так как в нее входят
двойные интегралы от произведений тригонометрических ф унк­
ций на функцию Х анкеля, имеющую особые точки на пути и н ­
тегрирования. При этом любые упрощ ения, облегчающие реш е­
ние бесконечной системы уравнений, следует делать с осторож­
ностью. Например, существенное упрощ ение дают предполоя^еыня о слабом взаимном влиянии гармоник Wn (или о подобии
резонансны х форм колебаний пластины в жидкости и в вакуу­
м е). Б лагодаря этим упрощ ениям выводятся явны е формулы д л я
коэффициентов разлож ени я (3 ). Однако, как будет показано ни­
ж е, они могут привести и к значительным погреш ностям в ко­
нечны х результатах. Поэтому здесь, при построении эталонного
реш ения в точной постановке, предпочтение отдается численному
реш ению граничного интегро-дифференциального уравнения (2)
[40]. Основное ж е внимание уделяется расш ирению области при­
менимости метода согласованных интегралов на задачи для
ограниченных пластин и оболочек, контактирую щ их с жидкой
средой, сопоставлению с численным реш ением задачи в точной
постановке.
Построение быстроменяющейся компоненты решения на по­
верхности пластины. Д л я построения реш ения сформулированной
краевой задачи используем рекуррентны й процесс, разработан­
ный в предыдущ их разделах. Н а первой стадии реш ения (по­
строение быстроменяю щ ихся компонент функций прогиба п ла­
стины и давления в жидкости) используем экспоненциальное
представление (2.2.3) д л я интегралов ф ункции давления. Запи ­
сы вая условие совместности колебаний пластины и жидкости
в виде алгебраического уравнения (2.1.6), определяем показате­
ли затухания интегралов давлен ия как корни этого уравнения
с полож ительны ми действительны ми частями. В случае беско­
нечной пластины д л я каждого из
отобранных
корней a.j
‘64
0 = г 2, 3) затем подбираются интегралы разрешаюпдей систе­
мы (2.2.8), (2.2.9), удовлетворяющие условиям излучения и не­
возрастания на бесконечности. П ри реш ении данной задачи и н ­
тегралы, возрастаю щие слева и справа от линии дехштвия нагруз­
ки, а такж е соответствующие приходящ им волнам, отбрасывать
в общем случае нельзя. Следовательно, реш ения однородной сис­
темы по каж дую из сторон от линии действия нагрузки долж ны
содерж ать дополнительные слагаемые. С учетом симметрии зада­
чи и сохранения порядка главной особенности реш ения на линии
действия силы представим искомые общие интегралы в виде
K’l а ) =
2 h (^).
/;• т = с,- cos P d +
sin Pi 1i I,
(4)
P i il, 11) = —
i= i
a , Vi i l) e
OLj = ajl, pj- = ( a | +
содержащ ем ш есть произвольных постоянных Cj,
( / = 1, 2, 3 ) ,—
на три больше, чем в реш ении для бесконечной пластины.
Частные интегралы в (4) подобраны так, чтобы выделить две
группы констант, одна из которых целиком определяется из ус­
ловий по линии действия силы, а вторая — из граничны х усло­
вий. Подстановка вы раж ений (4) в первое уравнение (2.2.2) и
выполнение условия, снижаю щ его главную особенность функции
давления жидкости на поверхности пластины до уровня главной
особенности функции прогиба, приводят к системе трех алгебраи­
ческих уравнений относительно постоянных bj (/ = 1, 2, 3 ):
3
^
^jk ~
Xji = Pi^^-,
6ft2^^V2Z),
Xj2 = x j A ,
А: = 1, 2, 3,
(5)
Xjg = Xjia~^
(6fe2 — символ К ронекера). Эти условия идентичны использован­
ным ранее при реш ении плоской задачи д л я бесконечной
пластины.
Д л я определения постоянных Cj (/ = 1, 2, 3) из другой груп­
пы слагаемых в вы раж ен и ях (4) необходимо сформулировать
граничные условия. Д ва из них ставятся сразу: это условия ш ар­
нирного опирания, из которых следуют уравнения
i / i ( l ) p ; = 0,
/г = 0 , 2 .
(6)
Остающееся условие по логике построения реш ения задачи
долж но быть поставлено д л я ф ункции давления ж идкости на по­
верхности пластины. Однако о-но не очевидно. Ясно только, что
это условие долж но формулироваться с учетом условия излуче­
н ия на бесконечности. В противном случае (например, с услови­
ем Р ( ± 1, 0 ) = ' 0 ) при расчете колебаний на резонансны х часто­
тах системы пластина — жидкость будет отсутствовать важ ны й
5 А. Л . П опов, Г. Н . Ч ер н ы ш ев
65
демпфирую щ ий фактор, что не позволит правильно определить
амплитуды резонансной раскачки пластины. Поэтому формулировка граничного условия д ля функции давления на поверхности пластины долж на учиты вать поведение этой функции как в
ближнем, так и в дальнем полях.
Чтобы наилучш им образом сформулировать дополнительноо
граничное условие, обратимся к связи (1) м еж ду точными ф ункциями давления жидкости на поверхности пластины Р ( | , 0) и
прогиба г « ( |) . Очевидно, что при всех значениях координаты ^
к ак на пластине, так и на поверхностях ж естких экранов, обра­
щ енны х к жидкости,
РЦ,
0
)-w * G ^ = ^ 0.
(7)
Е сли ж е в подынтегральную функцию в (1) вместо точной
ф ункции прогиба г « (|) подставить приближ енную функцию, на­
пример,
из (4 ), то результат интегрирования несовпадет
в точности с функцией P i ( | , 0) (иначе вы раж ения
и
P i ( | , 0) придется признать точными реш ениями задачи ). П олу­
чаю щ ую ся меж ду P i( ^ , 0) и W \ ^ G n н евязку обозначим черев
6 Р ( |, 0 ):
Ь Р{ 1 , 0 ) = . P i ( |,
Отсюда ясно, что одним из возможны х принципов постановки
дополнительного граничного условия долж на быть м иним изация
этой невязки. Ясно такж е, что реш ение (4) обладает ограничен­
ными возможностями д л я достиж ения этой цели, им ея всего одну
свободную константу.
Рассмотрим варианты постановки дополнительного условия..
В простейшем варианте при помощи имею щегося произвола
в выборе постоянных можно обратить разность 6 Р ( |, 0) в нуль,
но не более чем в двух точках на поверхности контакта. Ч ислен­
ные исследования показали, что наилучш ими (по критерию,,
о котором сказано ниж е) являю тся точки на краях пластины
( I = ± 1 ) . М атематическая запись этого условия:
3
2
3
« r V i (1) = i 2
1
J /i (i)
( 7 11 -
i I ) d?.
(8>
О переж ая данны е расчетов, отметим, что это условие, наряду с
(5) и (6 ), обеспечивает достаточную точность приближенного^
реш ения (4 ), в том числе — при резонансны х колебаниях пла­
стины и жидкости.
Могут быть сформулированы и другие условия, минимизиру­
ющие невязку бР. Например, условие равенства нулю п лощ ад я
1
невязки на ширине пластины J 8 Р Ц, 0)
= 0. Возможны т а к ж е
—1
варианты условия в соответствии с основной леммой вариацион­
ного исчисления [15]:
66
"
|
=
J
^
«Если
f ( x ) непреры вна
на
замкнутом
интервале
[а, Ь] и
^ f {х) g ( x ) d x ~ О л л я любой функции g { x ) , имеющей непрерыв(оЬ
ную производную и такой, что ^ (a ) = g(&) = 0, то /( о : ) ^ 0 » .
В данном случае разность P i ( |, 0 ) —
удовлетворяет
требованию непрерывности вдоль пластины, а в качестве минигш зпрую щ ей функции g ( | ) может быть вы брана одна из форм
колебаний пластины в вакууме: g n ( |) = c o s ( n n |/2 ) , гг = 1 , 3 , 5 , . . .
В результате приходим к уравнению :
3 г
i= iL
1 1
-1 -1
= 0
(9)
(при гг = 0 (9) превращ ается в уравнение, следующее из усло­
вия равенства нулю площ ади н ев язки ). Не исклю чаю тся и дру­
гие варианты формулировки этого условия.
Использование интеграла Кирхгофа для контроля точности
результатов. В озникает вопрос: какой из вариантов дополнитель­
ного граничного условия обеспечивает лучш ее приближ ение к
точному решению? К ачественный ответ н а этот вопрос может
•быть дан с помощью той ж е интегральной связи (1) меж ду
ф ун кц иям и давления ж идкости и прогиба пластины. Определив
постоянные bj, Cj (/ = 1, 2, 3) из уравнений (5 ), (6) и дополни­
тельного условия (8) или (9 ), получаем приближ енны е вы раж е­
ния для w\ и Р\ на поверхности пластины. П одставляя затем wi
в подынтегральную функцию (1 ), получаем функцию давления
-Р*, отклонение которой от Р\ является объективной мерой по­
греш ности приближенного реш ения (4) при данном дополни­
тельном граничном условии. В другой комбинации граничны х
условий расхож дение меж ду Р\ и Р* может уменьш иться и ли
увеличиться в зависимости от степени приближ ения дополни­
тельного граничного условия к реальному. Таким образом, бла­
годаря наличию универсальной интегральной связи меж ду ф унк­
циям и прогиба пластины и давления жидкости на ее поверхности
(в случае оболочки она так ж е сущ ествует в несколько более
слож ном виде) может быть оценена погрешность любого при­
ближ енного реш ения, даж е в том случае, когда неизвестно точ­
ное либо численное реш ение данной задачи. Иными словами,
возможен самоконтроль точности реш ений, получаемы х с по­
лнощью метода согласованных интегралов и других приближ ен­
ны х методов. Необходимым условием д л я этого является
одновременное
построение
согласованных
вы раж ений
для
ф у н кц и и прогиба оболочки и давления
я^идкости
на
ее
поверхности.
67
Сравнение с численны м реш ением. Ч исленное реш ение ин­
тегро-дифференциального уравнения (2) проводилось в [40] ме­
тодом сеток с заменой производной регулярной составляю щ ей
функции г « (|) разностны м отношением второго порядка точно­
сти, а функции под знаком и нтеграла — кусочно-линейной интер­
полирующей ф ункцией на равномерной сетке с N узлами. В ре­
зультате в узлах сетки интегро-дифференциальное уравнение (1)
д ля регулярной составляю щ ей iv аппроксимировалось алгебраи­
ческим уравнением. Н ерегулярная составляю щ ая определялась
отдельно с помощью функции Грина задачи без учета ж идкости.
Аппроксимировались такж е краевые условия шарнирного опирания, с помощью которых исклю чались значения сеточной ф унк­
ции Wj в узлах 7 = 0, 4, А + 1, А + 2 (законтурны х точках). Тог­
да для точек сетки меж ду краями пластины выписы вается систе­
ма алгебраических уравнений 2 ( i V - f l ) порядка относительно
действительны х и мнимых частей
аппроксимирую щ их регу­
лярную составляю щ ую функции прогиба в узлах / = 2, 3, . . . , N.
Численное исследование по указанном у алгоритму и сопостав­
ление с приближенны м реш ением (4) проводилось д л я стальной
пластины с hjl = 0,01 при одностороннем контакте с водой.
В качестве обезразмериваю щ ей масш табной постоянной w было
взято значение статического прогиба пластины на линии дейст­
вия силы: w ^ q P ! { & D ) .
Р езультаты численного и аналитического реш ений сравнива­
лись по трем параметрам: значениям резонансны х частот, резо­
нансным амплитудам и профилям резонансны х форм колебаний
пластины. П ри плавном изменении частоты вынуж даю щ ей силы
резонансные случаи выделялись по максимальным зн ачен иям
модуля комплексной амплитуды прогиба w =^Wr + iwi. П ри этом
одновременно выполнялось условие
m axlu?j(|)j/M ?R (|)l > 1,
|i|l < 1.
Зн ач ен и я первых пяти безразм ерны х резонансны х частот ('(п)
колебаний приведены ниж е:
\
2
3
4
0,011
0,102
0,265
0,528
0,883
0,012
0,108
0,270
0,524
0,892
0,022
0,114
0,293
0,561
0,925
0,050
0,199
0,449
0,798
1,246
В первом столбце приведены значения резонансны х частот,
найденные численны м методом, во втором столбце — результаты
расчетов при помощи формул (4) с дополнительным граничным^
условием (8 ). К ак видно, разли чи я в значениях резонансны х ча-стот весьма незначительны, начиная с первой частоты, где р азл н
68
чие составляет менее 1 0 % . Расчет с более сложным граничны м
условием (9) с дг = 0 показал еще лучш ую согласованно-сть м еж ­
д у точными и приближ енны ми значениям и низш их резонансны х
частот гидроупругих колебаний пластины: расхож дение меж ду
ними составило менее 4 % (цх = 0,0114).
В третьем столбце даны оценки резонансны х частот при по­
мощи одного полож ительного корня дисперсионного уравнения
(2.1.6). Они следуют из дисперсионной зависимости для свобод­
ных волн в бесконечной пластине, контактирую щ ей с жидкостью,
о/т
п ~3
\
0,3
0,7
\
\
/
\
-0,3[
\\
"S
/
/
S
V
Г?:-------\
/7-5
0,04
л
0,2 Е
f /
\
/ / / ^ •SvV
//I1/ /
//
I f
i f
!
0,6. f
0,4
0.8
У
-0,04
б
Рис. 14
^ случае, когда целое число полуволн уклады вается на ш ирине
^ограниченной пластины. Т акие ж е значения частот получаю тся
^ из формул (4 ), если в качестве дополнительного граничного
Условия д л я функции давления взять P i ( ± l , 0 ) = 0. В этом слурезонансные формы колебаний совпадаю т по виду с формами
собственных колебаний пластины в вакууме, а амплитуды нео­
граниченно растут. Таким образом, значения резонансны х частот
р первом приближ ении можно определять и с помощью у казан ­
ного дисперсионного уравнения (2.1.6), однако для низш их ча­
стот, как видно из таблицы, их оценка оказы вается довольно
грубой.)Зам етим , что оценка первой резонансной частоты при ^
помощи метода Р ел ея [46] имеет погрешность такого я^е по- '
■рядка.
В столбце 4 приведены для сравнения собственные частоты
ш арнирно опертой пластины-полосы в вакууме. Выделяется более
чем четы рехкратное снижение первой резонансной частоты коле­
баний пластины, контактирую щ ей с жидкостью, по отношению
к аналогичной частоте в вакууме.
По форм улам (4) и численным методом рассчитаны некото­
рые низш ие формы и амплитуды резонансного прогиба пластины.
Н а рис. 14 сплошными линиями изображ ены графики функции
Wi {\ ) для резонансны х колебаний но второй («) и третьей (б)
симметричным формам (кривые 1 — численное реш ение, 2 —
приблияченное аналитическое реш ение). Ш триховыми линиями
нанесены соответствующие собственные формы колебаний ш ар­
нирно опертой пластины в вакууме, нормированные к макси­
мальным прогибам пластины, взаимодействующей со средой.
Ряс. 15
Граф ики распределения действительной и мнимой частей
функции давления-ж идкости (обезразмеренной к (о^р/) вдоль по­
верхности контакта с пластиной и экраном приведены на рис. 15.
Д л я реш ения, найденного по формулам (4) с дополнительным
условием (9) (при ^ = 0 ), эти компоненты нанесены ш трихо­
выми линиям и с индексами I ж I I (частота колебаний соответ­
ствует форме прогиба, показанной на рис. 14, а). Н а этом ж е
70
рисунке для иллю страции возможности качественного самоконт­
роля точности реш ения (4) нанесены граф ики распределения
действительной и мнимой компонент функции
0 )=
* Gn,
полученной путем применения интеграла. К ирхгофа (1) к реш е­
нию
(сплошные линии I, I I ) . Последние граф ики построе­
ны с заходом на экран ( —2 ^ | ^ 2 ). Видно неплохое согласова­
ние функций P i ( | , 0) и Р * ( |, 0) на большей части пластины,
за исключением областей вблизи ее краев. В целом они повто­
ряют распределение по ш ирине пластины компонент функции
прогиба, но на краях, в отличие от w, не обрандаются в нуль. За
пластиной составляюгцие ф ункции д авления быстро затухаю т.
Сопоставления представленны х кривых и таблица резонансны х
частот показы ваю т, что приближ енное аналитическое реш ение
(4) в основном верно описывает особенности резонансны х коле­
баний пластины в жидкости. Это п роявляется, в частности, в
правильном учете отклонений резонансны х форм гидроупругих
колебаний пластины от идеальны х косинусоид — форм собствен­
ных колебаний пластины в вакууме. Такие отклонения будем
называть искажениями резонансны х форм колебаний пластины
жидкостью. П роанализируем наблюдаемые искаж ен и я и их
влияние на амплитуды резонансны х колебаний и дальнее поле
излучения пластины.
§ 2. Об эффекте искажения форм резонансных колебаний
пластины жидкостью
В литературе имею тся противоречивые данные об эффекте
искаж ения форм резонансны х колебаний пластин и оболочек при
помещении их в ж идкость [36, 87]. Причем это относится к а к
к теоретическим, так и к экспериментальным результатам: в од­
них ситуациях эффект наблю дается, в других отсутствует
[94, 116].
Можно дать несколько объяснений этим разноречивым фактам.
Во-первых, не все резонансны е формы колебаний в одинаковой
степени подверж ены искаж ениям (например, первая резонансная
симметричная форма в меньш ей степени, чем вторая). Во-вторых,
существенное значение в проявлении эф ф екта и скаж ен и я имеет
параметр тонкостенности — отношение характерного линейного
размера оболочки или пластины к ее толщине. Чем меньше отно­
сительная толщ ина оболочки, тем более вы раж ен эффект и скаж е­
ния ее резонансны х форм жидкостью. Само собой это относится
и к сочетанию параметров пластины и жидкости. При выбранных
п данном расчетном случае парам етрах пластины, жидкости и
частоты колебаний эффект и скаж ен и я проявляется, но не для
всех форм колебаний.
На первых резонансны х частотах симметричных и антисим­
метричных форм колебаний графики преобладаю щ их мнимых час­
тей прогиба ( и ; / ( |) ) практически не отличаю тся от графиков
собственных форм ограниченной пластины в вакууме. Однако д л я
71
вторых II последующих симметричной и антисимметричной форм
наблю даю тся заметные отличия. Они проявляю тся в разны х
ам плитудах полуволн форм колебаний: в центре пластины и
у краев: для второй симметричной формы различия в амплитудах
достигают 2 7 % , для третьей — 16,5 %, в то время как для I
идеальной формы колебаний в вакуум е этих различий нет.
Учет искаж ений резонансны х форм колебаний пластины
ятд к о стью оказы вается весьма сущ ественным для правильного
определения амплитуд резонансны х колебаний пластины и д ал ь­
него акустического поля. Рассмотрим это на конкретном примере.
При ш арнирном опирании п-я собственная форма симметрич­
ных колебаний пластины в вакууме описывается функцией
Wn {I) = Ап COS
и = 1, 3, . . .
(1) '
Допустим, что отличия мелщ у этой формой и «-й резонансной
формой колебаний пластины в ж идкости настолько малы, что
функцией (1) можно описать искомую резонансную форму, как
это предполагается в ряде работ. Тогда с помощью интегро-диф­
ф еренциального уравн ен ия (1.2) ам плитуда т2-й резонансной фор­
мы колебаний пластины с учетом ж идкости определяется по
форл1уле
—
1— 1
Сопоставим результаты расчетов амплитуд резонансны х коле­
баний по формуле (2) с результатам и численного и приближ ен­
ного аналитического расчета. Н иж е в первом столбце приведены
вначения безразмерных амплитуд первой, второй и третьей сим­
м етричных форм колебаний, вычисленные по этой формуле, во
втором и третьем столбцах — соответствующие результаты чис­
ленного и аналитического (при дополнительном граничном усло­
вии (1 .8 )) расчетов:
3,300
0,065
0,001
3,900 4,400
0,520 0,400
0,078 0,065
Заметим, что при использовании условия (1.9) амплитуды низ­
ш их форм колебаний пластины определяю тся значительно точ­
нее. Т ак, при 72 = О (равенство нулю общей площ ади невязки)
д л я первой формы колебаний приближ енное реш ение (1.4) дает
значение амплитуды безразмерного прогиба на линии прилож е­
ния нагрузки, равное 3,93, против 3,9 — из численного реш ения.
Сравнение приведенных результатов для симметричных форм
колебаний показы вает, что за исклю чением первого резонанса j
72
использование собственных форм колебаний пластины в вакуум е
для описания резонансны х колебаний пластины с учетом
жидкости приводит к значительному (почти на порядок) зан и ж е­
нию резонансны х амплитуд (при этом резонансные частоты гидро­
упругих колебаний пластины определяю тся из (2) достаточно
точно).
Обнаруженные в расчетах большие отличия в ам плитудах
«идеальных» и определенных путем реш ения гидроупругой зада­
чи форм колебаний пластины, контактирую щ ей с жидкостью,
объясняю тся компенсирую щим влиянием жидкости на формы
колебаний пластины: ж идкость как бы стремится уравновесить
вытесненный и освободившийся объемы по разны е стороны от
недеформированной плоскости пластины (рис. 14). М атематиче­
ски это проявляется в интегралах типа (2 ), стоящ их в знам ена­
телях ам плитудны х коэффициентов и содерж ащ их произведения
функций резонансного прогиба; они много меньше, чем интегра­
лы, содержащ ие произведения собственных форм (1) колебаний
пластины в вакууме.
Ошибка в определении амплитуд прогиба при резонансны х
колебаниях влечет за собой ошибку при вычислении давления в
дальнем поле. Т ак, например, отождествление второй (симмет­
ричной) резонансной формы гидроупругих колебаний пластины
с ее собственной формой приводит к заниж ению максимальной
амплитуды прогпба (для данного расчетного случая) в 8 раз,
а давления в дальнем поле — в У8 раз.
Естественно ожидать, что демпфирующ ее влияние ж идкости
в меньшей степени долж но сказы ваться на антисимметричных
(уравновеш енных) формах колебаний пластины. Действительно,
значение амплитуды раскачки пластины на первой антисиммет­
ричной форме гидроупругих колебаний, полученное из реш ения
задачи в точной постановке, равно тридцати трем статическим
прогибам пластины против четырех для первой симметричной
формы. Ошибка в определении амплитуд колебаний при замене
в интегро-дифференциальном уравнении (1.2) истинной формы
прогиба на «идеальную» идет здесь в сторону завы ш ения резо­
нансных амплитуд.
Таким образом, влияние жидкости на колебания ограниченной
пластины проявляется не только в снижении резонансны х ча­
стот, но и в искаж ении резонансны х форм колебаний пластины,
оказываю щ ем сущ ественное влияние на амплитуды прогиба п л а­
стины и акустического давления в среде.
§ 3. Пластина-полоса как излучатель звука
в водной и воздушной средах
При возбуж дении сосредоточенным силовым источником нео­
граниченной пластины, контактирую щ ей с жидкостью, излучение
® дальнем поле определяется в главном приближ ении видом, ча­
стотой и амплитудой колебаний источника. К олебания пластины
73
в
зву к оп ом д и ап азо н е ч асто т
п о л е (§ 1, 2 , г л . 2 ) .
не оказываю т влияни я на дальнее
В случае ограниченной пластины, находящ ейся в контакте с
жидкой средой, кроме активных сил и моментов, прилож енны х
к пластине, в создании поля участвую т и реактивны е источники
(силовые и моментные реакции в опорах), вклад которых зависит
от реж им а возбуж дения: резонансного или нерезонансного.
В качестве характерной задачи в этом плане рассмотрим поле
излучения от пластины-полосы, ш арнирно закрепленной в бескон-ечных ж естких экранах. Д ан н ая задача рассматривалась в указанны х ранее монографии [129] и работах [30, 89].
Х арактеристики низкочастотного излучен и я пластины. Сохраним схему возбуж дения колебаний и размеры пластины, к ак в
§ 1. Тогда д л я давления в жидкости будет справедлива формула,
обобщающая (1.1):
1
~1
П редставим функцию Х анкеля
(уЯ) под знаком и нтег­
рала (1) в виде ряда по произведениям цилиндрических ф у н к­
ций [48]:
’ {уЩ =
(у?) + 2 2
П=1
(vg„)
+
{у1 о)
+
^( Т ) cos щ ,
С 08ф =
...
^ /г .
П одставляя этот ряд в (1) и полагая г -^ о о , получим (с по
мощью известны х асимптотик
Я ^ ^ (z) при z
w = 0 , 1, . . .
и формул д ля производящ их функций [1 1 8 ]) вы раж ение ф ун к­
ции акустического давления вдали от линии прилож ения силы
в виде цилиндрической волны с ам плитудны м коэффициентом
Ф (ф , О)), зависящ им от полярного угла ф:
^
Ф) = — 4
(ф. ю) ^0^^ (уг),
1
Ф (Ф, (0) = J «; а )
(3)
( z ) = Y ^
И зображ ение коэффициента Ф (ф , со) в полярной развертке
( 0 < Ф < 2 я ) назы вается диаграммой нпаравленности и з л у ч е н и я
в плоском случае.
В диапазоне низких частот ( у ^ < 1 ) , вклю чаю щ ем несколько
первых резонансны х частот колебаний системы пластина —
жидкость (см. табл. на с. 72), формула (3) мож ет быть записана
в виде, практически не зависящ ем от угла ф:
1
Ф = j
+
(4)
—1
74
!
•
;
j
I
;
J
Таким образом, на низш их формах колебаний ограниченной
пластины-полосы, контактируюш;ей с жидкостью, в дальнем поле
образуется слабо ориентированная цилиндрическая волна д авле­
ния, напоминаю щ ая излучение жесткого порш ня в экране, ха­
рактеристика направленности которого (Фп) дается форму­
лой [114]
ф
^ sin (у sin ф)
^
7sinф
На рис. 16 изображ ены диаграммы направленности излуче-.
ния от ограниченной пластины на первых трех резонансных ч а­
стотах гидроупругих колебаний, симметричных относительно л и ­
нии нагруж ения (при построении кривых, обозначенных соот­
ветственно индексами 1, 2, 3, учиты валась зависимость (3)
амплитуд дальнего поля от частоты ('^со^^^)). Видно преоблада­
ние цилиндрической составляющей; боковые лепестки в диаграм­
мах не проявляю тся. С ростом частоты (а на фигуре отраж ены
состояния i и 5, отличаю щ иеся по частоте колебаний в 80 раз)
происходит постепенное сближение ниж них концов диаграмм,
пересекаю щ их плоскость контакта далеко от краев пластины,
что указы вает на относительное уменьш ение вклада краевы х
реакций в амплитудное значение поля. Тем не менее, остается
заметное отличие от круговой диаграммы направленности для
идентично нагруж енной бесконечной пластины (ш триховая л и ­
ния в том ж е масш табе для частоты ^ i). П оследняя получается
из формулы (2.2.17) с учетом разлож ения (2) при больших г:
3
cos ф
«I +
cos^ Ф '
Отсюда следует, что резонансные свойства ограниченной пласти­
ны создают многократное увеличение дальнего поля излучения
ио сравнению с полем бесконечной пластины, контактирую щ ей
с Жидкостью, при идентичны х условиях возбуж дения колебаний.
Отражение волн от краев пластины играет определяющую роль
75
в формировании поля и на нерезонансных частотах в диапазоне
низких частот. Это нетрудно показать при сравнении вклада
отдельных компонент реш ения (1.4) в функцию давления в даль­
нем поле.
Постоянные интегрирования
Cj, / = 1, 2, 3, в реш ении (1.4),
как уж е отмечалось, образуют две группы по способу их опре­
деления. В первой группе находятся постоянные bj, определение
которых вы полняется без учета граничны х условий. Эти постоян­
ные находятся при выделении главной особенности реш ения на
линии прилож ения нагрузки и совпадают (по модулю) с анало­
гичными постоянными в реш ении для бесконечной пластины, н а­
груж енной линейной силой и контактирую щ ей с ж идким полу­
пространством. Естественно, что часть функции прогиба, связан ­
н ая с этими постоянными, и создаваемое ею поле давления не
реагирую т на резонансы системы пластина — жидкость.
Д ругая группа констант Cj (/ = 1, 2, 3) находится из гранич­
ных условий, и первая из них с\ — при осциллирую щ ем интег­
рале — в основном определяет форму резонансны х колебаний
пластины.
Численное сопоставление вклада в дальнее поле от этих групп
слагаем ы х показы вает, что и на резонансных, и на нерезонансных
частотах колебаний преобладаю щ ий вклад в поле вносится той
частью компонент и?, P is, которые строятся с учетом граничны х
условий.
Влияние упругих параметров среды. П редставляет интерес
сопоставление излучения металлической пластины-полосы в вод­
ной и воздуш ной средах. С одной стороны, демпфирующее в л и я­
ние воздуш ной среды на колебания пластины несравненно мень­
ше, чем у воды, с другой — сущ ественно выш е сж имаемость,
а это напрямую связано с амплитудами давления в дальнем поле.
И ллю страцией первого утверж дения являю тся построенные на
одном графике (рис. 17) амплитудно-частотные зависимости
(А Ч З) прогиба в точке прилож ения силы пластины, находящ ей­
ся в контакте с водной средой (кривая 7 ), и функции
определенной из (4 ), характеризую щ ей амплитудное значение
давлен ия в дальнем поле (кривая 2 ) в окрестности первой резо­
нансной частоты
= 0,011. Видно сильное демпфирование коле­
баний пластины жидкостью и ч еткая корреляция меж ду этими
кривыми, указы ваю щ ая на то, что ам плитуда колебаний п лас­
тины пропорциональна амплитуде излучаемого звукового поля
в дальней зоне.
Н есмотря на большие амплитуды резонансны х колебаний п л а­
стины в вакууме, сущ ественно меньш ая, чем в воде, скорость рас­
пространения волн и плотность воздуш ной среды обусловливает
более быстрое затухание их при удалении от пластины или обо­
лочки. Поэтому ответ на вопрос о соотношении излучений в воз­
духе и в воде могут дать лиш ь конкретны е сопоставления соот­
ветствую щих А Ч З давлений в дальнем поле при одинаковых ус-
76
\
уловиях возбуж дения. На рис. 18 такое сопоставление проведено
\i форме А Ч З отнош ения (А (у )) д авления в дальнем поле в вод\^ой среде к давлению в воздухе на том ж е расстоянии в частотйрм диапазоне, охватываюш;ем первые резонансные частоты коле­
баний пластины в воде и в воздухе.
Рис. 17
Т очками
и Yib отмечены соответственно резонансная час­
тота гидроупругих колебаний пластины-полосы и собственная
частота одноименной формы колебаний в вакууме. В ертикальны ­
ми пунктирны ми линиями показаны соответствующие этим часто­
т ам амплитудные значения К.
Рис. 18
Из представленной зависимости видно, что в преобладаю щ ем
большинстве частот гидроупругих колебаний (как резонансных,
так и нерезонансны х) уровень излучаемого акустического дав­
ления в дальнем поле в воде несравненно выш е уровня, созда­
ваемого пластиной в воздухе; разница доходит до 40 дБ и выше.
Исклю чение составляю т узкие диапазоны частот вблизи резонан­
сов пластины в воздухе, где эти уровни соизмеримы (в приведен­
ном примере на резонансной частоте пластины в воздухе давле-
77
ние в водной среде даж е несколько ниж е уровня давления яви
той ж е частоте в воздухе). Интересно отметить так ж е незначиУ
тельный, но все ж е фиксирую щ ийся на графике сдвиг резонанс/яой частоты пластины в воздухе по отношению к собственной
частоте в вакуум е (^Цвозд.) = 0,0495, ^Цвак) = 0,05).
/
О демпфирую щ ей способности звукоизлучения и внутренцега»
трения. П олученная выш е амплитудно-частотная зависимость ко­
лебаний идеально упругой пластины в акустической среде позво­
ляет оценить величину акустического демпфирования в ниж нем
диапазоне частот. Интересно сопоставить влияние, оказываемое*
акустическим демпфированием на амплитуды резонансных коле­
баний, с влиянием внутреннего трения в м атериале пластины .
Д ля этого рассмотрим снова (в постановке § 1) задачу о вы нуж ­
денных симметричных колебаниях пластины-полосы с учетом м а­
лого внутреннего трения в материале пластины. Точное реш ение
этой задачи д ля случая колебаний пластины в вакууме извест­
но [141]:
s h p „ (i-m )
1,5 s i n p ^ ( i - u i )
Wo (I) =
cos Рд
ch Рд
(5>
Eo = E ( i — ieo),
e o < l.
Здесь Wo ( I ) — коэффициент динамичности— отношение функцивг
прогиба пластины н а частоте ы к статическому прогибу w п од
1Щ( 0 ,Р)1
i i
1 1(
1\
/
\
1
200
/
\ ’
100
0,494
0,498
0,502
р/я
Рис. 19
нагрузкой; внутреннее трение в материале учтено с помощьк>
комплексного модуля Ю нга Ео по модели Сорокина [117].
П олагая | = О и задавая изменение частотного парам етра
Р == Re Ро. в окрестности первой собственной частоты пластины
<Р = л /2 ), получим д л я модуля Wo зависимость, подобную рис. 17
78
\ (сплош ная линия на рис. 19); значение парам етра внутреннего
\трен и я (ео) взято равным 0,01. Д л я . сравнения на рис. 19 при­
ведена такж е А Ч З прогиба идеально упругой (ео = 0) пластины
\ вакууме (ш триховая л и н и я )_.
Сопоставление
амплитудно-частотных
зависимостей
для
идеально упругой пластины, колеблю щ ейся в контакте с акустичеАхОЙ средой рис. 17, и пластины с внутренним трением
(рпй. 19) показы вает чрезвычайно сильное демпфирую щее дейСТВ1Щ ж идкости на низких частотах. По сравнению с однопро­
центным демпфированием, заданны м в расчетах А Ч З рис. 19, при
контакте с жидкостью условный коэффициент трения, рассчитаннь1й по относительному снижению резонансной ам плитуды ,—
в 25 ^аз больше. Велико такж е снижение первой резонансной
•частоты колебаний — более чем в 4 раза.
С ростом частоты соотношение в демпфирую щ их свойствах
т[злучения и внутреннего трения постепенно м еняется. Так, для
второй резонансной частоты симметричной серии оно составляет
TIC амплитудам прогиба 1 : 2. Однако это еще не означает, что
^[мплитуды дальнего поля сниж аю тся так ж е быстро. В соответ­
ствии с формулой (3) давление ж идкости на бесконечности про­
порционально
что во многом компенсирует уменьш ение инте­
гр ал а (4 ).
Глава
4
КОЛЕБАНИЯ ЗАМКНУТОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧК?
В БЕЗГРАНИЧНОЙ Ж ИДКОЙ СРЕДЕ
С рассмотрением статики и динамики сферической обблочки
традиционно начинаю тся разделы теории оболочек, зам кнуты х н
вершине. Не явл яется исклю чением и дан ная глава, посвящ енная
гидроупругим колебаниям и излучению замкнутой сферической
оболочки, предваряю щ ая более общие исследования аналогичных
проблем для замкнутой эллипсоидальной оболочки вращения,,
произвольной вы пуклой замкнутой оболочки вращ ения и других
оболочек.
Внимание, проявляемое к сферической оболочке, объясняется
свойствами ее геометрии и геометрии трехмерного пространства
в сферических координатах, в которых возможно относительна
простое точное реш ение трехмерной задачи о совместных коле­
баниях оболочки и ж идкости в рядах по хорошо изученным сфе­
рическим гармоникам, вы раж аем ы м к тому ж е через элементар­
ные функции. Вследствие этого реш ение задач гидроупругости
сферической оболочки носит такж е эталонны й характер; сопо^
ставление точных и приближ енны х реш ений этих задач п озволяег
отработать процедуру приближенного реш ения на модели, учи­
тываю щ ей ряд дополнительны х факторов, присутствую щ их и в
общей задаче. К ним относятся: одновременный учет быстро- и:
медленноменяю щ ихся компонент реш ения и соответствующих
вкладов ж идкости в эти компоненты, п роявления резонансны х
свойств оболочки в жидкости по быстро- и медленноменяющ им­
ся компонентам. И зучение этих факторов на сфере п о звол яег
прогнозировать их проявление в приближ енном реш ении задач
гидроупругости для зам кнуты х оболочек с более сложной геомет­
рией срединной поверхности, построение точного реш ения кото­
рых н аталкивается на принципиальны е математические и вычис­
лительны е трудности.
§ 1. Асимптотический порядок
присоединенных масс жидкости
Уравнения осесимметричных колебаний сферической оболоч­
ки в жидкости. Рассмотрим сначала задачу в осесимметричной
постановке. Будем исходить из системы уравнений осесимметрич­
ных колебаний оболочки вращ ения в идеальной сжимаемой
жидкости применительно к сферической оболочке. Выпишем эту"
80
усистему из [44] (с. 136) с добавлением члена от давления жидкос­
ти на поверхности оболочки (P is и нагрузочны х членов^
^з) (врем енная зависимость e x p { — m t ) повсюду предваритфхьно исклю чена):
{k)u;),s - (1 - V)
- {В~^ { Bu ), s h -
1^-2 +
h i [ M w + B - ^ i k l B w A s ] - *1 (1 + ( kl - K ^ ) w + ( i +
^ = T>
, 2 _ 1 —V
/^2-д^д^,
(Su),. +
(BuB^^h -
(2Eh)-^ (С з -
=
Ы --
^ = 4 ’
,
, 2 _ 1 , 2 V | 1
h^ = h [ 2, { \ - y ^ ) ] - ^ ' \
v ^ l и = Q„
^
i? r^ = 0..,
d
P Is),
ii>
_ l E \l/2
^0- p j
,
=
sin 9.
Здесь w, и — прогиб и меридиональное перемеш;ение оболочки,
О) — частота колебаний, /г, Е, v, ро — полутолш;ина, модуль Ю нга,
коэффициент П уассона и плотность м атериала оболочки соответ­
ственно, P i, Р 2, В — главны е радиусы кривизны и расстояние до
оси вращ ения оболочки (непрерывные гладкие функции дуги
образующей 5 , отсчитываемой от верхнего полюса 5 = 0 ), р, с —
плотность ж идкости и скорость звука в ней, п — нормаль к по­
верхности оболочки, н аправленная в глубь жидкости, 0 — угол
меж ду нормалью и осью вращ ения (9 = 0 при 5 = 0 ).
В случае сферической оболочки: P i = Р 2 = го, Р = го sin 9,.
S = го9,
=;
к\ = (1 —V)
к \ = 2{i + v)
Д л я давления Р (г , 9) в акустической среде, окруж аю щ ей обо­
лочку, справедливо уравнение Гельмгольца; на бесконечности
ставим условие излучения Зоммерфельда, на поверхности обо­
лочки — условие непротекания:
А Р + к^Р = О,
дг
г= т ^
= <oV ,
lim г {дР/дг — ikP) = О,
•*•-^00
(
) \ +1
1
^
)\
^
Регулярны м и реш ениями уравнения (2 ), удовлетворяю щ и­
ми условию
излучения,
являю тся
сферические
функции
Pri(cos9)An ^ { кг), дг = О, 1, 2, . . . [85]. Общее реш ение представ­
л яется бесконечным рядом по этим произведениям.
Допустим, что на оболочке установилась одна из гармоник
с п волнами по меридиану (резонансны й случай ). Примем такж е,
что п-я резонансная форма колебаний сферической оболочки в
жидкости мало отличается от аналогичной формы колебаний обо­
лочки в вакууме. Р езультаты расчетов, приводимые ниж е, пока­
зывают, что для зам кнуты х оболочек, контактирую щ их с
жидкостью, последнее предположение оказы вается ^более оправ­
данным, чем для ограниченны х оболочек и пластин. В этих
^
А. Л . П опов, Г. Н. Ч ерн ы ш ев
81>
условиях рассмотрим асимптотические свойства интегралов оболо;^
чечноп системы (1) и их связь с асимптотиками интегралов ypaii•нения Гельмгольца в окрестности оболочки.
/
А симптотика интегралов уравнения Гельмгольца. При опре ­
делении характера поведения реш ений уравнения Гельмгольца
в окрестности оболочки основное значение имеет соотношение
меж ду аргументом х ^ к т сферической функции Х анкеля
(х)
и индексом п, определяю щ им такж е число волн по меридиану
оболочки: при х < п справедлива квазиэкспоненциальная асимп­
тотика действительной и мнимой частей
(х)
(с множ ите­
лем
при обратном неравенстве обе компоненты функции
Л п \ х ) осциллируют с медленным затуханием [118].
Асимптотические формулы для действительной и мнимой ком­
понент функции
(х) следуют из соответствующих формул
для функций Б есселя J q { x ) и Н еймана Y q ( x ) , q ^ n + 1/2, так
:как по определению
(х) =
(X),
iYq.
Я^'>
П р и X < q в окрестности оболочки следует пользоваться равно­
мерными асимптотическими представлениями этих функций и их
шроизводных через функции Эйри A i(z ), H i(z ):
3'Ax) = O (x ,q ) A i( z ) +
0
(q-^^^),
Y , {х) = - Ф (X, q) Bi (z) + Q ( q- ^ ' ^) ,
a
в свою очередь д л я функций
Ai, A i', Bi, B i' при больших
зн а ч е н и я х аргумента справедливы асимптотики [118]:
A i(z)= ±n-P h-P ^e-^^ +
:S2
{zyl
+
A i' (г) = - 1
B i' (г) =
0
+ О (СГЭ,
),
Cl = I
(4)
Б случае х ' > q использую тся традиционные асимптотики:
(5>
4 >
либо несколько более точные ([1 1 8 ], с. 186):
я) sin ^ + 0 ( 4 )
•^9
h ® 'J' -
^ 3 (^) =
[si*" ^ + <? (^, ?) cos 'F - f О ( X j J,
ФУ
Q{x,q) = ^ - ^ .
Возникает вопрос, какому типу колебаний оболочки соответ­
ствует тот или иной вариант асимптотики ф ункции Х а н к ел я.Ответ на него может быть найден из реш ения характеристиче­
ского уравнения задачи, подобно тому как это было сделано выше*
при рассмотрении гидроупругих колебаний бесконечной п ла­
стины.
Характеристическое уравнение. В ыразим посредством условия:
непротекания функцию давления ж идкости на поверхности обо­
лочки через прогиб, т. е. сведем задачу ( 1), (2 ) к разрешаюш;ей
системе уравнений колебаний сферической оболочки с комплекс­
ной присоединенной массой. Т ак как речь пойдет ниж е только об^
интегралах этой системы и резонансны х частотах колебаний, т а
выпишем эту систему без нагрузочны х членов:
(1 + y)w,B — Ф,е — (1 — v)poi^ = 0 ,
Ф = sin "^ 9 (н sin 9),е,
1V4 + (1 - V) V^] W - cl [(1 - v)-^Ф - (2 (1 - v )-i P b = .- Q V » .
, t = - f
*0
Ho = 1 + «о (1 + "v),
x^ = kr^,
(*)|oc=ot)
^
) ц;] = О,
(6 )
2fep„’
a l = ao (1 + fi),
Q* = 2/ipoCo2, V* = (
),ee + c t g 0 (
).0.
Реш ения системы (6 ) для ?г-й гармоники колебаний вы ра­
ж аю тся через полиномы Л еж андра P n (co s9 ) и их производные:
w = A Pn{r]),
Ф = = В Р п { г \),
V^Pn - f s lPn = 0,
dP^
(7>
5n = дг (дг + 1), ц = cos 9
{А, В, С — произвольные постоянны е).
П одстановка (7) в (6 ) приводит к характеристическому урав­
нению относительно сибственных значений s (индекс л в
6*
83i
дальнейш ем опускаем)
- (1 - V) fiol [(s2 _ 1 + V)
= 0.
+ 4
/J
(<^)
Это уравнение может быть получено такж е из разрешающ его
дифференциального уравнения шестого порядка
k=o
fe=o
do = 0,
Й2 = p o ( l '“ v )2 ,
d4 == (1 — v) (1 + Po).
^6=1,
(9)
feo = Po W* (1 — ^) — 2],
b ^ ^ a l — 1,
сходного no структуре с уравнением (1.1) ([4 4 ], с. 340) для осе­
симметричных колебаний произвольной оболочки вращ ения в
вакуум е.
Д л я компонент собственного вектора выбираем Л = 1; тогда
C = ( l + v) [ ( 1 - v ) p o - ~ 52 ] - i ,
П роанализируем состав корней уравнения (8) сначала без
учета влияни я жидкости. Р азреш ив это уравнение (при р == 0)
относительно безразмерного частотного парам етра ссо, придем
к формулам, определяющ им полож ительны е корни ао из биквад­
ратного уравнения:
— Ро!/ — 9о = О,
Ро = ка~ \
4
(2 — SV -
s 2 (s 2
у = al,
b = {s^ + l + 3v) 4 ,
а = (1 _ vV -4 ,
d =
qg = da~^,
_
1
== и ( «
(10)
+
1 ).
З а исклю чением случаев гг = 0 ,1 , это уравнение имеет два раз­
ных полож ительны х корня, один из которых определяет значе­
ние частотного парам етра ао, сущ ественно меньш е индекса п,
а другой — сущ ественно большее. Заметим, что расчеты долж ны
быть ограничены по частотам верхним пределом применимости
линейной теории оболочек. Считается, что
этим
пределом яв
л яется напряженно-деформированное состояние оболочки с дли­
ной волны, превосходящ ей толщ ину оболочки не менее чем на
порядок. При этом погрешность определения резонансны х частот
колебаний оболочки не превыш ает 10 % по отношению к часто­
там, определенным при том ж е волнообразовании из уравнений
трехмерной теории [105]. Например, для сферической оболочки
с характерны м отношением ro/h = 200 это условие выполняется
при п ^ 60.
В табл. 1 приведены значения частотного парам етра ао{п)
при 72 = 2. . . ., 11 для оболочки пз стали с коэффициентом П уас­
сона V = 0,33. В первом столбце указан ы номера гармоник п, во
втором — значения
(п) С п. в третьем — значения
(^) >
найденные из уравнения (10).
84
Объединенные так значения резонансных частот можно соот­
н ести с определенным типом колебаний оболочки: квазитанген-
ццальным или квазипоперечны м. В соответствии с асимптотичес­
ким анализом, выполненны м в монографии [44], уравнение (9)
при ,и = О и условии Й2 О имеет четыре квазипоперечны х интег­
рала с показателем, изменяемости р = 1/2 и два безмоментных
интеграла.
Таблица
п
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(т)
0,730
0,867
0,923
0,952
0,971
0,987
1,002
1,020
1,041
1,067
4^>>п
2,904
3,866
4,882
5,916
6,960
8,008
9,060
10,113
11,167
12,223
1,000
1,001
1,002
1,004
1,008
1,015
1,024
1,037
1,055
1,078
2,904
3,866
4,882
5,916
6,960
8,008
9,060
10,113
11,167
12,222
1
.'®<п
4ж<^
«ож < ^
0,730
0,866
0,921
0,947
0,963
0,972
0,978
0,983
0,986
0,988
0,336
0,427
0,489
0,536
0,575
0,610
0,642
0,673
0,705
0,739
0,374
0,443
0,495
0,539
0,576
0,609
0,640
0,672
0,704
0,738
П ри Ьг > О среди квазипоперечны х интегралов имею тся осцил­
лирую щ ие, которые превращ аю тся в собственную форму коле­
баний на соответствующ ей резонансной частоте.
Д л я описания квазипоперечны х интегралов с изменяемостью
р = 1/2 обычно использую т систему уравнений изгибно-плоскостны х интегралов, назы ваем ы х еще уравнениям и напряж енно-де­
формированны х состояний с больш ой изменяемостью. Эти уравне­
н и я получаю тся из общей системы при пренебреж ении танген­
циальны м и инерционны ми членами и вкладом тангенциальны х
п ерем ещ ений в компоненты тензора кривизны [105]. Вследствие
т а к и х допущ ений ее реш ения характеризую тся преобладанием
прогиба над тангенциальны м и перемещ ениями. Применительно
к осесимметричным колебаниям сферической оболочки указан н ая
упрощ енная система уравнений сводится к разреш аю щ ему урав­
нению
А
(И)
в случав зам кнутой оболочки отсюда следует я в н ая формула для
собственных частот квазипоперечной серии
+ !)■ «,
?г(дг + 1),
дг'== О, 1, 2, . . .
(12)
В четвертом столбце табл. 1 приведены значения частотного
п арам етра
^о^^(дг) (дг = 2, . . . , 1 1 ) , вычисленны е по этой фор­
муле. Сопоставление их со значениям и из второго столбца пока­
зы вает, что в диапазоне применимости уравнения ( И ) , ограни­
85
ченном снизу неравенством 62 > О (или а о > 1 ) , формула (1 2 ) i
дает правильную аппроксимацию точных значений собственных:^
частот, удовлетворяю щ их условию осо(а)<гг. Н аибольш ая по­
греш ность в определении частоты не превыш ает 2 % на ниж ней
границе применимости этой формулы, которая соответствует
восьмой частоте указанного подспектра (схо(8 ) = 1,002) п быстро^
уменьш ается с ростом номера п. Заметим, что собственные ф унк­
ции г/;п(0), получаемые при этом из уравнений (6 ), ( И ) , совпа­
дают при всех п.
Отмеченная согласованность частот и форм собственных коле­
баний позволяет отнести собственные частоты общей системы,,
удовлетворяю щ ие условию К а о (а) < / 2, к частотам квазипоперечной серии. Этот вывод может быть получен и путем асимпто­
тического анализа исходных уравнений, как, например, в работе
[23]. Здесь ж е проведенное сопоставление сделано с целью под­
черкнуть характерное свойство частот квазипоперечны х колеба­
ний, а именно — условие
{п) а п,
которое при перенесе-^
НИИ на задачу о колебаниях оболочки в контакте с жидкостью^
позволяет выбрать асимптотику реш ения уравнения Гельмголь­
ца д л я давления жидкости в окрестности оболочки при колеба­
ниях указанного типа.
Проведем теперь аналогичное сопоставление собственных час­
тот, получаю щ ихся из безмоментной системы. В данном случаеона сводится к разреш аю щ ему уравнению
2
fe-o
= 0.
Соответствующее частотное уравнение при колебаниях оболочки^
в вакууме получается из ( 10) при сохранении в коэффициен­
тах а, Ъ, d только членов, пропорциональных
В пятом и шестом столбцах табл. 1 приведены значения час­
тот безмоментной системы
(п).
Видно, что эти значения
с высокой точностью аппроксимируют собственные частоты общей
системы, удовлетворяю щ ие условию оьо{п)> п при всех значе­
ниях 72. «Безмоментные» частоты дают такж е хорошую аппрок­
симацию частотам серии ао(гг)\<тг с w = 2 до Т2 = 7. П ри 72 = 0, 1
безмоментное реш ение риводит к нулевым значениям собственной:
частоты в серии (Хо{п)\< п.
Т аким образом, сочетанием реш ений упрощ енных уравнений
быстроменяю щ ихся напряж енно-деформ ированны х состояний и
безмоментных уравнений охваты вается весь спектр осесиммет­
ричны х колебаний сферической оболочки в вакууме.
Коэффициенты присоединенных масс. Применим у казан н ы й
выш е принцип для приближенного определения резонансны х
частот осесимметричных колебаний сферической оболочки в
жидкости. Исходя из асимптотических формул (3) — (5) опреде­
лим коэффициенты присоединенных масс жидкости для быстро-
-д^еняющихся (дг>«:о) п медленноменяю щ ихся (>г<а:о) реш ений
оболочечных уравнений.
П одставляя в выраячение (6) для коэффициента присоединен­
ной массы формулы (3) и (4), получим:
tt
^
=
(1/2) е
П ренебрегая
асимптотически малым
сравнению с
е ”,
членом
(1/4) е
(13)
по
перепиш ем (13) в виде
4 + l/g ^ -4 (l-i8 )l
^
П ри большой изменяемости реш ения ( т г > 1 ) формула (13)
д^опускает дополнительное упрощ ение
р = i [ « ( « + 1) —
+ ie).
(15)
Отсюда видно, что при выполнении «условия п > х о действи­
т е л ь н а я часть коэффициента присоединенной массы ж идкости \i
целиком определяется экспоненциально затухаю щ ей при уд але­
нии от оболочки компонентой сферической функции Х ан кел я
Поэтому и в задаче о колебаниях сферической оболоч­
к и в контакте с ждикостью при построении быстроменяю щ ихся
компонент реш ения асимптотически оправданным яв л яется ис­
ходное экспоненциальное представление ф ункции давлен ия в
окрестности оболочки
=
R ea> 0,
(16)
которое приводит к вы раж ению д ля коэффициента присоединенп о й массы, совпадаю щему с действительной частью асимптотики
точного значения ц.
Выведем теперь асимптотическое вы раж ение д л я коэффищиента присоединенной массы при п < х ъ П одставляя разл ож е­
н и я (5 ') в (6) и пренебрегая членами высших порядков малости
(строго говоря, при
оо), получим следующую формулу для ц:
(17)
Т а к а я ж е формула получается при упрощ енном рассмотрений
изл у чен и я от сферической оболочки как от источника сферически
^симметричной волны непосредственно от поверхности оболочки.
Следует отметить, что область применимости асимптотических
ъ ы раж ен ий (14) — (17) шире, чем может п оказаться из условий
их вывода. Так, вы раж ение (17), даю щ ее представление для ко­
эф ф ициента присоединенной массы ж идкости при больш их зн а­
чениях частотного парам етра ( х о > 1 ) , вполне применимо и
при хо, сопоставимых с единицей, если при этом изменяемость
соответствую щ его оболочечного интеграла стремится к нулю.
87
в самом деле, нетрудно показать, что предел точного вы раж е­
ния ц при п-~^ О равен
I
что совпадает с асимптотическим вы раж ением (17).
Аналогичным образом мож но показать близость точного (6)
и асимптотического (14) вы раж ений р, при м алы х значениях час­
тотного парам етра Хо (но с сохранением условия п : > х о ) . Дей­
ствительно, устрем ляя в точном вы раж ении (6) частотный пара­
метр Хо к нулю, получим
p = g(a+l)-E
(18)
Выполнив аналогичную операцию с асимптотическим пред­
ставлением (1 4 ), убеж даемся, что при
8
О, и:
вы раж ение (14) такж е приводит к (18).
Таким образом, формулы (14), (17) дают равномерные (по
частоте и по изменяемости реш ений) асимптотические представ­
ления для коэффициентов присоединенной массы жидкости при
двух характерны х сочетаниях меж ду парам етрам и изменяемо­
сти {п) и частоты (хо)- В ы раж ение (14) соответствует быстроменяюндимся преимундественно изгибным формам колебаний обо­
лочки, (1 7 )— медленноменяюш;имся интегралам.
Следовательно, применение асимптотических представлений
при определении коэффициентов присоединенной массы ж идко­
сти допустимо при изучении всего спектра частот гидроупругих
колебаний оболочки. Необходимо только правильно вводить боль­
шой парам етр при построении реш ения. Д ля коротковолновых:
колебаний этот парам етр долж ен быть пропорционален изм еняе­
мости реш ения, д л я медленноменяю щ ихся форм колебаний —
вводиться из условия преобладания частотного парам етра над,
параметром изменяемости.
Влияние присоединенных масс жидкости на резонансные ча­
стоты быстро- и медленноменяющихся форм колебаний оболочки..
Точные значения резонансны х частот колебаний сферической обо­
лочки в ж идкости удобно определять из уравн ен ия (8) с по­
мощью методики [23], в которой использовано представление
сферической ф ункции Х ан кел я
^ («^о) в виде конечной суммы
по обратным степеням частотного парам етра ху.
"
*.
Р * .)
Задается целое значение индекса п, к которому подбирается
частота колебаний соп, обращ аю щ ая в нуль действительную часть
вы раж ен и я (8 ). П олученны е значения соответствуют резонанс­
ным частотам системы оболочка — жидкость. В седьмом столбце
табл. 1 помещены найденны е так резонансные значения ч астот-
88
иого парам етра
ао ж < п .
В восьмом столбце даны приблия^енные значения для этого парам етра в случае, когда коэффи­
циент присоединенной массы определяется асимптотической фор_яулоп (15) для быстроменяю щ ихся напряж енно-деформ ирован­
ных состояний (осож).
Сравнение приведенных данных показы вает, что приближ ен­
ные значения резонансных частот квазипоперечны х колебаний
^оболочки в жидкости, найденные из уравнений быстроменяюлцихся состояний (с учетом асимптотического представления для
коэффициента присоединенной м ассы ), правильно аппроксими­
руют точные значения во всем диапазоне оболочечных частот,
удовлетворяю щ их неравенству а^п < п. Отсюда следует, что об­
л аст ь применимости уравнений быстроменяю щ ихся состояний
ттри колебаниях оболочки в жидкости шире, чем при колебаниях
Б вакууме. Это объясняется следующим обстоятельством. Т ак как
разреш аю щ ее уравнение быстроменяю щ ихся осесимметричных к о ­
лебан и й оболочки в жидкости имеет ту ж е структуру, что и урав­
нение аналогичны х колебаний оболочки в вакууме, то и ограниче­
ние на область применимости этих уравнений устанавливается
одинаковы м неравенством 62 > 0. В случае резонансны х колеба­
ний сферической оболочки в жидкости это означает, что долж но
бы ть
а^(1 + И ) > 1 .
(20)
При осо>1 неравенство (20) вы полняется автоматически. К а к
показываю т расчеты, оно вы полняется и на низких частотах вви­
д у компенсирующего роста присоединенной массы жидкости,
участвую щей в колебаниях (для иллю страции приведена таблица
значений коэффициента ц, вычисленны х для гармоник тг = 2, . . .
. . ., 11 на соответствующих резонансны х частотах (табл. 2 ) ) .
Таблица 2
п
2
5
4
5
6
7
8
9
10
И
6,14
.4,11
3,09
)2,48
i2,07
Т,78
1,56
,1,39
1,25
1,14
Поэтому и в диапазоне низких частот ( a o < C l ) с помощью
уравнений быстроменяю щ ихся состояний можно получить удов«летворительные оценки резонансны х частот и правильно описать
резонансные формы квазипоперечны х колебаний оболочки в
жидкости. Таким образом, область применимости этих уравнений
расш иряется на всю последовательность частот а з ( т г ) < ^ резо­
нансны х колебаний оболочки в жидкости.
Сравним теперь значения комплексных собственных частот
квазптангенциальной серии (аэ(гг)> тг) при точном ( 6) и при89
ближ енном (17) представлениях д ля коэффициента присоединен­
ной массы.
Р езультаты расчетов частот колебаний стальной сферической:
оболочки {rolh == 200) в воде с а = 1, . . ., 7 волнами по меридиа­
ну объединены в табл. 3; в первом столбце приведены номера
гармоник п, во втором и третьем соответственно действительные*
п мнимые части комплексных собственных значений аоп, вычис­
ленны х с использованием формулы (17), в четвертом и пятом
столбцах — точные значения Re
Im ооп.
Таблица
п
1
2
3
4
5
6
7
ImaQu
1,404
2,603
3,717
4,797
5,864
6,926
7,985
—0,371
-0 ,2 1 4
- 0 ,1 4 5
-0 ,1 0 5
- 0 ,0 7 8
—0,060
- 0 ,0 4 8
Re
1,390
2,593
3,710
4,793
5,861
6,923
7,982
Im
3^
aQn
-0 ,3 3 1 —0,210
—0,145
—0,105
—0,079
—0,061
—0,049
Из этих данны х видно, что погрешность определения к ак дей­
ствительных, так и мнимых частей аоп при учете ж идкости по
приближ енной асимптотической формуле весьма м ала во всем
диапазоне рассмотренных частот. Заметим, что значения собствен­
ных частот этой серии, вычисленные из общего характеристиче­
ского уравнения (8 ), практически совпадают так ж е со значения­
ми частот, найденны ми из «безмоментного» уравнения, которое
получается при сохранении в (8) только членов, пропорциональ­
ных квадрату большого парам етра —
В диапазоне низких частот ситуация несколько иная. Еслиг
при колебаниях сферической оболочки в вакуум е с помощью без­
моментной системы определяю тся и первые частоты серии
о : о ( п ) < п , то при колебаниях оболочки в ж идкости они могуг
быть найдены только при экспоненциальной асимптотике давле­
ния. Коэффициент (17) д ля этого непригоден.
§ 2. Неосесимметричные коротковолновые колебания
сферической оболочки в жидкости
Продолжим изучение преимущ ественно изгибных колебаний
оболочки и вызываемого ими поля давлений в жидкости. П ри до­
статочно быстроменяю щ емея напряженно-деформированном сос­
тоянии установивш иеся колебания оболочки могут быть описаны
с помощью системы двух уравнений относительно прогиба обо­
лочки W и ф ункции тангенциальны х усилий % [105]. С учетом
давления ж идкости на поверхности оболочки (P U ) и заданной
90
ф у н кц и и внеш ней периодической нагрузки Q представим эту си­
стем у (после отделения временного м нож ителя е х р (—jco^))
в виде
hlA\W — Д д -
+ Р Is ^
A h + AJV =
- О,
W = 2Ehw,
0
(через Д2 и Ai обозначены соответственно операторы Л ап ласа и
В ласова на поверхности S оболочки; для Со сохранено обозначе­
ние (1 .1 )).
В работах [19, 23] асимптотически, а в предыдущем параграфе
и а конкретны х примерах показано, что при колебаниях зам кну­
той оболочки в безграничной жидкой среде нет действительных
собственных частот. Однако мнимые части комплексных, собствен­
ных частот малы. Поэтому при вынулщ енпых колебаниях зам кну­
той оболочки в жидкости возможны вы раж енны е резонансные
я в л ен и я при совпадении частот вынуж даю щ ей силы с действи­
тельны ми частями комплексных частот.
В § 1 показано такж е, что основной вклад в коэффициент
присоединенной массы жидкости оказывает экспоненциально за­
тухаю щ ая от оболочки компонента акустического давления. Оце­
ним относительный вклад затухаю щ ей и растущ ей компонент
д авл ен и я в ам плитуды резонансных и нерезонансны х вы нуж ден­
ных колебаний оболочки в жидкости.
П усть оболочка имеет форму сферы. Тогда A2 = o A i и из
системы (1) легко исклю чается ф ункция %. У читы вая, что дав­
ление на поверхности оболочки связано с прогибом через условие
непротекания (1.2), можно сформулировать следующую гранич­
ную задачу для уравнения Гельмгольца:
АР
кЧ.^ = О,
lim г {дР/дг - ikP) = О,
г-> о о
Аг [ Ъ { К ^ \
Г о ^ ) д Р 1 дг + / " - ( ? ] 1г=г„ - О,
W ^bdP/dr\r^.^,
(2)
b^(k^g)-^
(А — пространственный оператор Л ап л аса в сферических коор­
д и н атах ) .
Решение методом собственных форм. Рептение задачи (2 ),
удовлетворяю щ ее условиям излучения на бесконечности, может
б ы ть представлено в виде ряда по сферическим функциям
Р Ф, е, р) = 2
2
Anmh^y фг)
(9, Р)
(3)
гг=о гп = о
С коэффициентами А пт, определяемыми из граничны х условий
на поверхности оболочки.
Допустим, что ф ункция внеш ней вынуж даю щ ей нагрузки
удовлетворяет требованиям разложимости в ряд по сферическим
91
функциям, т. е. может быть представлена в форме аналогичногоряда
<?(е,Р)= 2
п=о
2
т=о
/птГГЧе.Р).
(4>
Тогда для коэффициентов fnm имеем следующую общую фор­
мулу:
2Л Я
S
w
( 9 . » П ” >(9, Р) sin 0 т ifi,
j 1
О о
ео= 2,
8„ = 1,
»г> 0.
В случае сосредоточенной нормальной силы, прилож енной »
точке 00, Ро,
Q (0, Р) = РЬ (0 - 0о) б (Р - Р о )/(4 sin 0о),
{п — т)\
^
F ^ (т )
2л 8^ (тг + 7п)! г2
”
ft \
V^o»Per
Подставим р азлож ени я (3) и (4) в граничны е условия (2 )
на поверхности оболочки. У читы вая, что
получаем возможность вы разить постоянные А пт через fnm- В ре­
зультате ф ормула (3) д л я функции акустического д авления в
среде примет вид
Р { г , 0, Р) =
В п(кг)^кУ {кг)
2
П=0
Лп{кг) 2
п»=0
/ п т Г Г (0, Р),
г U*
ф)
-1
1 / “ on
+ нУ{кГо)
)
9
где через шоп обозначены частоты свободных квазипоперечны х
колебаний с большой изменяемостью сферической оболочки
в вакуум е:
®0П = с^гУ { { h j r g f r p (п + 1)2 +
Оценки составляющих ближнего поля в резонансном и иере-^
зонансном режимах. Рассмотрим поведение п-й компоненты
Лп(хо) в разлож ении (5) на поверхности оболочки при измене­
ниях частотного парам етра хо = кго в окрестности резонансного-значения хопПреобразуем вы раж ение для Вп(хо) к виду
Еп (хо) ==‘[Re (хо) + i Im (х^) ]
Re (xg) = c n - g n
+ N, Ng+i )
Im (Xg) = 2gn [яжд {3^1 + iV g )]~ \
gn>= хо§~АЫоп/ (оУ — 1],
92
Cn = g n n x y -}- 1,
3^g = 3/g(Xo).
(6>
Д ля оценки действительной и мнимой частей зн ам енателя
в (6) воспользуемся асимптотическими (при п > х ^ ) ф орм улам и
для функций Б есселя. Т ак к ак нас будет интересовать поведе­
ние ф ункции Rn{ x) только в малой окрестности оболочки, Tv>
вместо двухступенчаты х формул (1.3), (1.4) удобнее воспользо­
ваться дебаевскими асимптотиками ([1 1 8 ], с. 187):
5 ', ( , c h - » ) - (2 я 5 th
« « + О (,-» « ),
J V , ( 5 c h - '« ) -
+ О (,-• « ).
q = xcha.
При значениях q > хо
N l { x ) - > Х \ { х ^ ) , R e (Хо) « с„ —
lm{x„)^i2gn{nXoK)~^f
е. значение Ве(л:о) в большинстве случаев имеет асимптотиче­
ский порядок, равны й единице, однако на некоторых частотах
может облаиваться в нуль. М нимая часть знам енателя в (6)
асимптотически м ала (порядка в“^^). Следовательно, при совпа­
дении частоты вынуждаюш;ей силы с частотой, обращ;аюш;ей в
нуль Re (о:о), происходит резкое увеличение амплитуды соответст­
вую щей гармоники в вы раж ении (5 ), т. е. явление резонанса.
И сследуем поведение радиальной компоненты давления R n{ ^)
вблизи оболочки. Подставим в (5) асимптотические формулы (7)..
Р асклады вая разность а —t h a в ряд по степеням х — хо, п олу­
чим, что на резонансны х частотах
Т.
R n {х) ==
в х р [ ^ (1 — x j x o )
+
0
{{х — xq)^)] +
e x p [— (7(1 — х 1хо)хЬ ao +
0
i
4
Лр=гехр[2д(ад— t h a , ) ] + y ,
ch a^ = (q + 1)
{{x ^ xo)^)]} +
0
(q~^),.
/ Sh (X \ 1/2 ’
Bp=-j,
(ih ^ j
T = (? + 1) («i — th a^) — q{ag — th a^),
ch «0 = qx^^,
a на частотах, не совпадаю щ их с резонансными,
Rn (х) = {х(у/х) { A n exp [g (1 — х/хо) th oto + О ( (о: ~ Xq)
+ B n exp [— g ( l
Алг = 1 + j/Re (xo) ,
]+
x /x o ) i h o o + 0 ( (о: — «:o)^)]} + 0 ( g “ ^),.
Bjvr = — ( 1/2) exp [—2g (<xo — th (Xo) ].
И з этих вы раж ений видно, что и в резонансном, и в нерезонанс­
ном случаях коэффициенты при экспоненциально возрастаю щ их
в глубь ж идкости компонентах реш ения асимптотически м а л ы
по сравнению с коэффициентами при экспоненциально убываю­
щ их компонентах. Это сущ ественный дополнительный факт,
используемый при создании метода приближенного расчета коле9^
^ а н и й оболочки в жидкости: в первом приближ ении могут быть
<^охранены только экспоненциально затухаю щ ие компоненты дав­
л ен и я. В то ж е время необходимо иметь в виду, что вдали от
юболочки (при г > г о ) зн ак неравенства меж ду х ж q и зм ен яется’
н а противоположный и обе компоненты давления в дальнем поде
шмеют одинаковый порядок.
§ 3. Сосредоточенные нагрузки.
Построение фундаментального решения
для оболочки в вакууме и в жидкости
Рассмотрим обобщение ранее прим енявш егося подхода н а за­
д а ч и о вы нуж денны х колебаниях возбуж даемы х сосредоточен­
ными нагрузками зам кнуты х
оболочек,
контактирую щ их с
жидкостью . Возможность такого обобщения следует, во-первых, из
структуры уравнений теории оболочек, старшие операторы кото­
р ы х (определяю щ ие быстроменяю щ иеся компоненты реш ен и я),
до существу, совпадают с
«пластинчатыми» оператора­
ми в искривленной метрике
оболочки,
во-вторых,— из
аналогии в поведении ф ун к­
ции акустического д авления
в .жидкости в окрестно­
сти оболочки с асимптоти­
кой этой функции в окрест­
ности пластины.
В качестве модельной р ас­
смотрим задачу о вы нуж ден­
ных осесимметричных коле­
баниях замкнутой сферичес­
кой оболочки, погруженной
в
безграничную
ж идкую
среду. Примем, что колеба­
н и я возбуж даю тся нормальны ми и сосредоточенными силами, при­
лож енны м и к полюсам оболочки.
Схематично постановка задачи изображ ена на рис. 20 {Q —
ам плитуды заданны х вы нуж даю щ их усилий; зависимость от вре­
мени взята в виде е х р (—ZcoZ)).
Д л я описания осесимметричных колебаний оболочки с у ч е­
том жидкости воспользуемся системой уравнений (1.6). Рассмот­
рим сначала реш ение этой системы при отсутствии жидкости.
Два подхода к решению задачи о колебаниях оболочки под
сосредоточенной силой. П усть упругие колебания оболочки воз­
буж даю тся одной силой, прилож енной к верхнему полюсу обо­
лочки. Точные вы раж ения д ля компонент напряж енно-деформ и­
рованного состояния оболочки могут быть получены в этом слу­
чае двум я способами:
<)4
1. Разы скиваю тся корни характеристического уравнения (1.8)'
^ строятся соответствующие им линейно-независимые и н теграл ы
оболочечной системы (1.6). П остоянные интегрирования опреде­
ляю тся затем из условий вы деления правильны х особенностей,
реш ения в точке прилож ения силы и условий регулярности в н енагруж енном полюсе оболочки.
2. Искомое реш ение задачи и дельта-ф ункция нагрузки пред­
ставляю тся в виде рядов по собственным ф ункциям однородной:
задачи: в данном случае — по сферическим функциям.
Рассмотрим подробнее первый подход, так как он использу­
ется и при построении приближенного реш ения задач о коле­
баниях любых типов зам кнуты х оболочек вращ ения в жидкости..
Анализ корней характеристического уравнения. Х арактеристи­
ческое уравнение (1.8) имеет в своих коэффициентах большой’
асимптотический параметр
П реобразуя (1.8) к ал­
гебраической форме, сохраняя в коэффициентах только асимпто­
тически значимые члены, получим кубическое уравнение отно­
сительно характеристического показателя 5^:
+ ах^ + с^Ъх + c%d = 0,
а = — (1 — V) (1 -4 -Но),
6 = 1 — а^,
х=^ 5^,
d = Но[ао(1 — V) — 2 ].
Из вида коэффициентов этого уравнения следует, что имеются,
три диапазона частот, внутри которых качественные соотнош ение
м еж ду корням и остаются неизменными:
I. a l > 2/(1 - V);
II. K a l <
2/(1 - v);
III. a? < 1.
П ри a o > 1 дискриминант
Do = c X - c X ,
К = -Ы У
d, = ± { d + abl )
отрицателен, что указы вает на наличие трех действительны х кор­
ней. Однако в первом интервале частот два из этих корней поло­
ж ительны , а во втором — только один. Это следует из подсчета
числа перемен знаков в последовательности коэффициентов:
1, «, 6, й в сопоставлении со знакам и коэффициентов уравнения.
низш ей степени, составленного по правилу
ах^ + {Ъ — d / a )x + d = ^ 0 .
Выпишем приближ енны е вы раж ения д ля корней уравнения:
(1) при a l > 1:
Xj == 2c^boCos
со8ф = —
7 = 1 , 2 , 3.
(2>
И з (2) следует, что вое три корня характеристического урав­
нения пропорциональны
т. е. имеют асимптотически большой
порядок. Поэтому если каж дому из них сопоставить индекс
9S
^функций Л еж ан д ра Pq> ( ± cos 0)
^
(^j "t" 1)»
7 ~ 1» 2, 3,
X \^ 0,
(2 ) ,
TO первому корню будут соответствовать быстроосциллирующие
интегралы системы (1.6), а двум другим — ф ункции Л еж ан д ра с
комплексными индексами P i / 2-{-i|xjj (cos 0), л :^< 0, /===2, 3,— ф унк­
ц и и конуса [48]. П оследние имеют асимптотические представ­
лен и я, близкие к экспоненциальны м,— это интегралы типа кр ае­
вого эффекта, затухаю щ ие при удалении от точки прилож ения
>силы. П ри а о > 2 / ( 1 — v) одна пара из этих интегралов (соот­
ветствую щ их меньш ему корню) становится такж е осциллирую ­
щ ей. В этом диапазоне возможны резонансы к а к по быстроменяю щ им ся преимущ ественно изгибным формам колебаний, так
и по медленноменяю щ имся квазитангенциальны м формам.
В особой точке «о = 1 классиф икация корней принципиально
м ен яется. Остается один полож ительны й корень, а два других
ш ереходят в комплексную область:
+ ^ ) ( 2 +-V),
Ж2.з = ^ ( — l ± i / 3 ) .
(3)
Т ако е сочетание корней сохраняется и при
<С 1 вплоть до
статического состояния. П ри этом первый корень теряет асимпто­
тический порядок, т. е. не определяется уж е главны м операто­
ром системы, в то время как большие мнимые части корней X2 ,z
по-преж нем у обеспечивают быстрое затухание краевого эф ф екта
у точки п рилож ения силы :
—
^2,3 « — ^
±
Vb.
Соответствую щ ие индексы qj {] = 2, 3) становятся такж е комп­
лексны ми.
П остепенная потеря асимптотического порядка полож итель­
ного корня Х{ при уменьш ении частоты колебаний приводит к
TOAiy, что этот корень становится чисто «безмоментным», и ин­
тегралы , соответствующие ему, при
1 практически не вно­
с я т вклада в выделение главной особенности ф ункции прогиба
оболочки в точке прилож ения сосредоточенной силы.
Интегралы разрешающей системы. Выделение особенностей
в точке приложения силы. Установив связь (2') меж ду корнями
-^3 (У == 1? 2) характеристического уравнения и индексами qj, мы
тем самым определили интегралы уравн ен ия Л еж ан д ра (ф ун к­
ц и и Л е ж а н д р а ):
V^Pg^{t) + qi{qi + i ) P , y t ) = 0, f = cos0,
(4)
которы е долж ны быть такж е реш ениями оболочечной системы
(1 .6 ).
Заметим, что одному значению корня характеристического
ур авн ен и я (xj) формально соответствуют два различны х значения
'.^6
индекса qj-.
Qj(i) = — у + ] / " X +
т. e. функции
и
^К2) = — 1 —
(5)
Однако вследствие свойства
Р _ ,_ ,( 0 = Р , ( 0
(6)
(см., например, 8.2.1 в [118]) эти ф ункции совпГадают, и в к а ­
честве линейно-независимого реш ения может быть вы брана толь­
ко одна из них. В случае колебаний оболочки в вакуум е этот
выбор не имеет принципиального значения. Поэтому для опре­
деленности остановимся н а корнях (5) с полож ительны м .знаком
перед радикалам и.
В качестве линейно-независимы х интегралов разрешаюпдего
уравнения (4) при выбранном значении индекса q могут быть
взяты функции Л еж ан д ра первого рода Pq{t) и P q \ — t ). Л и ней ­
ная комбинация этих функций удобна для составления ф унда­
ментального реш ения, так к а к к а ж д ая из них н ерегулярна толь­
ко в одном полюсе сферической системы координат: Pq{t) —
в ниж нем (при 0==j t ) , а
^) — в верхнем (0 = 0) . Это позво­
ляет разрядить м атрицу системы алгебраических уравнений (по
сравнению с вариантом: Pq(t), Qq{t), где ^g(^) — ф ункция Л е ­
ж андра 2-го рода), получаю щ ую ся при выделении особенностей
в полюсах оболочки, и свести ее к двум подсистемам половин­
ного порядка.
В соответствии с классиф икацией особенностей для компо­
нент вектора перем ещ ения оболочки при заданном способе н а ­
груж ения гл авн ая особенность ф ункции прогиба в верхнем по­
люсе равна >с(го0)^1п9, где >« = —^/8 n J9 [126]. Заметим, что
она совпадает с главной особенностью фундаментального реш е­
ния для пластины, нагруж енной в начале полярной системы
координат нормальной сосредоточенной силой (§ 2.3). П ереме­
щение и не имеет особенности в точке прилож ения нормальной
силы.
Рассмотрим, какие особенности дают вы раж ения д л я интегра­
лов Pq . { ± : t ) в полюсах оболочки. Д л я этого выпишем разлож е­
ния функций Л еж ан д р а Р д ( ± 0 в окрестностях полюсов сферы.
Вблизи верхнего полюса (при
i ) они имеют вид [18]
,
оо
Pg{t) = \ - ^ { q - n
n= i
.
+ i ) { q - n + 2 ) . . . \ q + n) (/г!)-**
(7 )
Pq (— t) = Pq (^) {cos nq +
sin nq [In ((1 — f)/ 2 ) - f 2C + 2ч[) (g)]} —
sin яд 2 (? +
[(я — n)
( 4 ^ ) (^ + Т + ‘ ' + 4 " ) ’
Л=1
где С = 0,5772...— постоянная Эйлера, ф (д) — логариф мическая
производная Г-^функции. В окрестности ниж него полюса (при
—
7 А.
л.
Попов, Г. Н. Чернышев
97
1)
разлож ения (7) д ля функций Л еж ан д ра имеют тот
вид со сменой Z на — Z. Р азлож ен и я д ля производных ф ункций
Pg(±Z) получаю тся дифференцированием рядов (7).
Учтем такж е, что при 9->• О cos 9 = 1 — 9 72 + (9(0^) и, сле­
довательно,
1 - (s0)V 4 + O (0V ,
= g (g + 1),
( __
dP
9
P i ( - 1 ) = - ^ Pg it) sin nq In sin
t)
9
^
Выпишем обш;ее реш ение задачи, составленное из этих функ­
ций при действии одной силы в верхнем полюсе. В этом случае?
из интегралов разреш аю щ его уравнения (4), соответствующих:
индексам gi,2.3, сохраняю тся только функции Рд. (— t), регуляр­
ные в ниж нем (ненагруж енном) полюсе сферы (^ = — 1):
3
W (0 ) =
3
с^Рд^ ( - t),
2
U (0 ) =
}=1
'
/i = ( l + v ) [ ( l - v ) ^ l o - s ? ] - ^
2
C sh P ’gi ( - t),
i= i
^
( / = 1 , 2 , 3 ) , i = cos0,
(9>
где Cj (/ = 1, 2, 3) — постоянные, подлеж ащ ие определению.
И з разлож ений (7) видно, что ф ункции Л еж андра им ею г
в полюсах оболочки логарифмические особенности {Pq{—t) —
в верхнем полюсе, Pq{ t )— B ниж нем) более высокого порядка,,
чем долж ны быть у функции перемещ ений в этих точках. Поэто­
му потребуем вы полнения следую щ их условий: равенство ну­
лю суммарного коэффициента при In 9 в разлож ении U7(0) в ок­
рестности 0 == О и равенство суммарного коэффициента при:
(го0)^1п0 в том ж е разлож ении известному значению х. Эти ус­
ловия, по сути, не отличаю тся от аналогичны х условий для вы­
деления главной особенности реш ения в задаче о колебаниях
бесконечной пластины под действием нормальной сосредоточен­
ной силы.
Отличие от пластины проявляется в постановке дополнитель­
ного условия отсутствия особенности вида 1/9, 0
О у ф ункции
меридионального перемещ ения а ( 0 ) , которая вы раж ается через;;
производные от функций Л еж андра Pg^{'— t). Это условие дает
третье уравнение для определения постоянных Cj (/ == 1, 2, 3 ).
Остальные члены в разлож ениях P g. {— t) вблизи верхнего по­
лю са не создают особенностей в функции «( 0) . В ниж нем полю­
се сферы они такж е регулярны .
Таким образом, д ля вы деления правильны х особенностей
ф ункций а?(9), а (0 ) постоянные Cj (/ = 1, 2, 3) долж ны опреде­
ляться из следующей системы алгебраических уравнений:
3
sin nq^ = -
2
5=1
Фп=1,
4,
(10 Р
(Pi2 =
sf>
4>}3 =
( 821, 1 = 1, 2, 3,— символ К ронекера).
S8
баг ^
fy
U =
i , 2 , 3 )
П р авая часть системы (10) содерж ит единственный ненуле­
вой элемент; поэтому д ля постоянных Cj получаю тся простыв
ф ормулы
(г = ае1[фя1,
4Z> d sin
/, z = i , 2 , 3
(И)
— алгебраические дополнения к элементам второй строки ожределителя d матрицы [ф л]).
П ри целы х полож ительны х значениях индексов gi, дг
(gi > Ф2) возникаю т стоячие волны, т. е. резонансны е колебания,
соответственно, по преимущ ественно изгибным или квазитангвнциальны м формам. Зн ач ен и я резонансны х частот, получаю щ ихся
при этом, совпадают с найденными из частотного уравн ен ия
>(1.8) (табл. 1).
Решение в рядах по сферическим функциям. Как известно
|7 б , 142], собственными функциям и однородной системы уравне­
ний (1.6) являю тся полиномы Л еж ан д ра P n ( t ) , i = o o s0 , п —
= 0, 1, 2, . . . П редставим реш ение задачи о колебаниях сфери­
ческой оболочки под сосредоточенной силой в виде разлож ени й
до этим ф ункциям:
W (в)= 2
П=0
«(0 ) = 2
п=о
»=о
(12)
4 — (1 — V) 4 + с*
/„ =
1+ V
/
2
_2)
-1
4 = « ( « + 1)* и = 0 , 1, 2 , . . .
'(здесь Р ( 0 ) — давление, оказываемое на оболочку сосредоточен­
ной силой с амплитудой Q, прилож енной в точке 0 = 0 ).
Условие обращ ения в нуль зн ам енателя в формуле (12) д л я
Ьп приводит к частотному уравнению (1.8) (при ц = 0 ).
Рассмотрим возможности сопоставления реш ений (9) и (1 2 ),
в том числе — в резонансном реж име. Д л я этого обратимся сна­
ч а л а к более простой модели, где такое сопоставление проводит­
с я в явны х формулах.
С опоставления н а балочны х
моделях.
Рассмотрим
два
прим ера.
П р и м е р 1. К олебания ш арнирно опертой балки под сосре­
доточенной силой, приложенной в ее середине:
ш * ^ ( Е ) - Р ‘ « ;(|) = ^ б ( | ) ,
н; = ш'' = 0, | = ± 1 ; | = х
(13)
99
(а ;( I ) — ф ункция прогиба балки, .^ — амплитуда силы, ^6^ — час­
тотный параметр, пропорциональный квадрату угловой частоты,.
2Z — длина балки, D — ж есткость на изгиб, б ( | ) — дельта-функ­
ция; временная компонента отделена).
П редставляя реш ение (13) в виде ряд а по собственным функ­
циям, симметричным относительно середины балки, получим,,
с учетом ортогональности этих форм,
COS ( л п Ц 2 )
(14)
Ф ундаментальное реш ение задачи (13) при выделении осо­
бенностей ранее уж е выписывалось (форм ула (3 .3 .5 )). Воспро­
изведем его еще раз в обезразмеренном виде (в отношении к ста­
тическому прогибу под си л о й ):
3 rs in P ( l-m ) _ sh P (l-lll)
(15)
cos Р
chp
И спользуя формулу (5.4.7.27) из [106],
что реш ение (14) переходит в (1 5 ), так как
можно
t g - 2 - - lb -2
)■
п оказать.
(16)
П р и м е р 2. Высокочастотные колебания сферической обо­
лочки, возбуж даемы е силой в верхнем полюее. Здесь так же, к ак
и в случае балки, формы колебаний оболочки описываю тся одним
уравнением четвертого порядка:
'S/^w —
= 0,
^
+ c t g 05/(90,
по сущ еству,— уравнением упругой кольцевой балки. Реш ение
Б виде рядов по собственным формам получается как частны й
случай разлож ений (12):
2« + 1
п=о
■р
В ыделение главной особенности у функции w( 0) по ф ормулам
(10) приводит к вы раж ению
w (0) =
Q4
8£>Р®
t = cos 0,
Ра. ( - О
PgU~
sin яд. + sm яд^
Ф,
Яг
-
(18)
Т + Ф.
Первое слагаемое этого вы раж ения описывает компоненту, ос­
циллирую щ ую вдоль меридиана оболочки, второе — интеграл
внутреннего краевого эффекта, экспоненциально затухаю щ ий приг
удалении от точки прилож ения силы.
100
П усть значения ао == аоп, Рп = с^а^п = Sn, гг = 1, 2, . . соот­
ветствую т гг-й резонансной частоте. Тогда форма колеба­
ний оболочки в (17) определяется гг-м слагаемым, а в вы ­
раж ении (1 8 )— первым членом с q i ^ n , причем в обоих случаях
выделенные слагаемы е приобретают неограниченно большую
амплитуду.
Д л я оценки согласования скорости роста ам плитудны х коэф­
фициентов в (1 7 ), (18) в окрестности резонансов примем, что
значение
в гг-м члене ряд а (17) и gi — в (18) мало отлича­
ются от целого числа. Тогда
sin nq\ = sin n:(gi — w+ дг) « (—l ) ”n;(gi — n),
4 - P* = ( 4 - P^)(4 + P ) ^ ( q - n ) 2n{2n -Ы)(И + 1),
И С учетом равенства Р „ ( —^)==(— 1 )”Р п ( 0 видно, что ам плитуд­
ные коэффициенты в (17) и (18) совпадают и обратно пропор­
циональны одному и тому ж е малому парам етру g —- дг.
Н а этих простых прим ерах продемонстрировано совпадение
результатов двух способов представления точного реш ения задач
колебаний оболочки и пластины (балки) в вакуум е, возбуж дае­
мых сосредоточенной силой. Аналогичные вы кладки могут быть
проведены и в более общем случае реш ений (9), (12).
Проводились и соответствующие расчеты д ля общей системы
уравнений осесимметричных колебаний оболочки, которые по­
казали полное совпадение реш ений по этим двум методам.
Выделение особенностей с учетом акустической среды. П усть
теперь сф ерическая оболочка находится в безграничной акусти­
ческой среде. Рассмотрим, к ак дополнить реш ение (9) задачи
о вы нуж денны х осесимметричных колебаниях оболочки в ваку­
уме, возбуж даемы х сосредоточенными силами, чтобы и при н а­
личии жидкости получить достаточно точный результат.
Коротковолновое приближение. Н ачнем с построения быстро­
меняю щ ейся компоненты реш ения исходной системы уравнений
(J. 6). Д л я определения коэффициентов присоединенных масс
ж идкости используем асимптотическое вы раж ение (1.15), при­
н яв в нем дополнительно
Считаем такж е, что д л я опи­
сани я быстроменяю щ ихся форм колебаний оболочки значимы ­
ми могут быть только главны е операторы системы (1.6). В ы разив
при сделанны х предполож ениях ф ункции меридионального пе­
ремещ ения и давления жидкости на поверхности оболочки через
функцию прогиба, получим следующую разреш аю щ ую систему
диф ф еренциальны х уравнений (при г = го):
— cl [ао (1 + И-) — l ] ^ = О,
V2m; +
е = ехр
s2«;
= 0,
— 2р J
|ы = |5 - Ч 1
Р (го9) = — со^ро;5"^,
+ г8),
а = ^,
52 = g (g + l ) ,
(19)
Р = ? + - |101
Совместность реш ений первого (обо л очечного) и второгл
(ж идкостного) уравнений на поверхности контакта обеспечива­
ется введением общего характеристического показателя изменяе­
мости (5) функции прогиба о;(0) и интегралов функции давле­
ния жидкости Р{го, 9) вдоль меридиана оболочки. Соответствую­
щее характеристическое уравнение имеет вид
5 * -с Ц а ® (1 + / г ) - 1 ] = 0 .
(20)
Непосредственное реш ение этого уравнения (даж е с асимпто­
тическим приближ ением для коэффициента присоединенной мас­
сы р) затруднено наличием мнимой части г у р, интегральны м
образом зависящ ей от характеристического п оказателя s. Однако
вследствие малости е (Isl < 1 ) мож ет быть организована простая
рекуррентная процедура определения комплексных корней (20).
Примем вначале е = О (заметим, что это приближ ение соот
ветствует исходному экспоненциальном у представлению (1.16)
ф ункции давления ж идкости в окрестности оболочки). Тогда
уравнение (20) сводится к алгебраическому уравнению пятой
степени
2
Рг
— О,
S — S 1е=о»
(21)
7 =0
Р о = -4 а о ? ,
Р^ = 0,
/ = 2,3,4,
P5 - I ,
сходному по структуре с характеристическим уравнением (2.1.6 )
для пластины, контактирую щ ей с жидкостью.
К орни уравнения (2 1 ), к ак и (2.1.6), разделяю тся на две
группы : три корня с полож ительны ми действительны ми частями
(^1 > О, Re 52.3 > О, ^3 == ^2) и два комплексночсопряженных кор­
ня 54,5 с отрицательны ми действительны ми частями.
По известным значениям этих корней находятся индексы ф
ф ункций Л еж ан д р а
cos 0) — интегралов системы (19):
Т ак к а к реш ение строится в предполож ении больш ой изм еняе­
мости, то индексы qj мало отличаю тся от корней Sj.
Определение мнимых частей коэффициентов присоединенных
масс ж идкости сводится к интегрированию по формуле (1 9 ):
/
Sj = ехр
^io *—
+ "2“- (23)
2gjo
\
тс
“i
/
I
Чтобы уточнить значения корней Sj, подставляем в (20) на
место \х величину |г (1 + ге) и рассматриваем после этого (20)
как алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами.
В результате снова определятся п ять корней (5,) этого у р а в н е н й Н
102
I
i
^
с малы ми добавками Цз по отношению к корням 5^: Sj== 5 j ( l + ZTij),
j = 1, . .
5. По отношению к первому ш агу принципиально изменится только полож ительны й корень s\, который приобретает
малую мнимую часть: Si = s \ { i + ir\i). И зм енениям и в остальны х
корн ях можно пренебречь, так как они и до введения г имели
больше мнимые части. Таким ж е образом процесс уточнения
корней может быть продолж ен и далее.
И спользуя малость коэффициента 8i, нетрудно получить явнею приближ енное вы раж ение для мнимой части корня s\. Подставляя вместо s\ в (21) вы раж ение 5i = 5i (1 + Zrji) и полагая,
что т)1
8], получим
t1
^ « -8 P
o[7 i
(P, + 5 s O ]-^ .
(24)
С учетом (24) подправляется (в соответствии с (22) и ин­
декс q\, который такж е становится комплексным с малой мни­
мой частью.
С лучай несж им аемой жидкости. Б олее простую возможность
реш ения предоставляет модель несж имаемой жидкости. И з кур­
са математической ф изики известно, что реш ение уравнения Л ап ­
ласа д л я давления в безграничной несж имаемой ж идкости изме­
няется вдоль ^радиальной координаты к ак
Re(g+1)>0
([ 27], с. 364), где g — показатель изменяемости реш ения такж е
и в меридиональном направлении. Вследствие этого д ля коэф­
фициента присоединенной массы получится вы раж ение р =
== f / (^ + 1) 1 а характеристическое уравнеие (20) приводится
к точной алгебраической форме
дЗ ^ 1)3 _ ,2
_ 1 ) ^ 1) ^
_ 0.
(25)
К лассиф икация корней этого уравнения в принципе та ж е,
что и для уравнения (2 1 ); при целы х значениях q ^ n , гг = 0, 1,
2, . . . , (25) можно рассматривать как частотное уравнение, которое
позволяет определить точные значения резонансны х частот коле­
баний оболочки в жидкости.
На
низких
частотах ( « о ^ ! )
полож ительны й
корень
уравнения (25) может быть приближ енно определен из условия
обраш;ения в нуль коэффициента при
в этом уравнении.
Остальным корням будут соответствовать интегралы типа крае­
вого эффекта.
Т аким образом, к ак в случае сжимаемой, так и для несж им ае­
мой ж идкости характеристические уравнения дают пять сущест­
венно разны х корней, каж дом у из которых могут быть поставле­
ны в соответствие два линейно-независимых интеграла разре­
шающей системы (19), в отличие от трех корней и ш ести ин­
тегралов при колебаниях оболочки в вакууме. Соответственно
большим количеством произволов можно распорядиться д ля вы­
деления правильны х особенностей реш ения в точке прилож ения
силы. Это обстоятельство позволяет использовать дополнитель­
ные произволы для вы деления особенности функции давления
103
1
,
,|
|
!'
I
,1
||i
I
жидкости, порядок которой значительно ниж е, чем у функции
прогиба оболочки.
Однако д л я того, чтобы построить реш ение с учетом всех
корней характеристического уравнения, необходимо дать объяс­
нение правомерности использования корней ^4,5 с отрицательны ­
ми действительными частям и (причем R e g 4, s < — 1), которым
соответствуют интегралы радиальной компоненты акустического
^
“ (^ 4 ,5 + 1 )
давления, растущ ие при удалении от оболочки как г
Здесь на помощь приходит равенство (6 ), которое показывает,
что каж дому оболочечному интегралу, описываемому функцией
^ ^ (с о з б ), могут быть поставлены в соответствие два закона изме­
нен ия радиальной компоненты функции давления:
п
Поэтому если для корней д, (/ = 1, 2, 3) с полож ительны ми дейст­
вительны ми частям и автоматически вы бирается первая зави­
симость, то д л я корней д4,5 с отрицательны ми и действительными
частям и следует брать вторую.
И нтегралы уравнения Гельмгольца н а поверхности оболочки
при найденны х значениях индексов изменяемости
(/ = 1, . . .
. . 5) являю тся такж е интегралам и оболочечного уравнения (19).
Обратное утверж дение, вообще говоря, не очевидно. Не калщьтй
ш интегралов оболочечного уравнения (более высокого порядка)
моплбт быть одновременно интегралом «жидкостного» уравнения.
В самом деле, вычислив, например, полож ительны й корень gi
характеристического уравнения (25), можно определить через
него коэффициент присоединенной массы
жидкости
pi =
= g /(g + l) и зам енить соответствующ ий интеграл функции
давления жидкости в оболочечной системе инерционным слагае­
мым Р(го, 0 ) co2p,iu?(0). В результате появляется иллю зия воз­
можности реш ения задачи о колебаниях оболочки, контакти­
рую щ ей с жидкостью, € помощью одной полож ительной присо­
единенной массы: могут быть построены ш есть оболочечных ин­
тегралов, поставлены условия д ля вы деления особенностей на
оболочке и т. д. На самом деле только часть из построенных та­
ким образом интегралов, а именно, два осциллирую щ их интеграла
будут соответствовать истинному реш ению задачи, в котором
долж но строго вы полняться условие согласования оболочечных
и жидкостны х интегралов. И если полож ительному коэффи­
циенту присоединенной массы ж идкости соответствуют осцил­
лирую щ ие вдоль поверхности оболочки интегралы уравнения
Гельмгольца (или — Л ап л аса д л я несж имаемой ж идкости), то из
всего многообразия реш ений оболочечной системы следует ото­
брать только осциллирующие интегралы с тем ж е показателем
изменяемости, что и у жидкостных. И нтегралы краевого эффекта
будут определяться при полож ительном коэффициенте присоеди­
ненной массы неправильно. Следовательно, и реш ение в целом,
построенное исходя из одной, предварительно найденной присо­
единенной массы жидкости, будет иметь дополнительную погреш­
ность, величина которой долж на вы ясняться в Хлаждом коыкрех104
ном случае. М ожно только с уверенностью утверж дать, что эта
погрешность будет м иним альна в реж име резонансны х коле11аний, когда практически все реш ение определяется осциллирую ­
щ ими интегралами. В реж име нерезонансных колебаний краевые
эффекты в местах прилож ения нагрузок существенно искаж аю т
регулярную картину осциллирую щ их форм, и их неправлиьны й
учет ведет к большим погрешностям в искомых функциях. По­
этому для построения правильного реш ения требуется более
детальный учет как положительного, так л комплексных коэф­
фициентов присоединенных масс ж идкости и соответствующих
им интегралов.
У равнение Гельмгольца (Л апласа) на поверхности оболочки
назовем, как и раньш е, разреш аю щ им уравнением системы обо­
лочка — жидкость.
Выпишем общее реш ение задачи (19) с учетом всех корней
qj, / = 1, . . . , 5, характеристического уравнения (23):
N
W (0) = S Pi (0),
z=i
P j (0) = c f P g (t) + с г р
{ - t),
t =
COS
0,
(26)
P Фо, 0) = — 2o)2p(,fe 2
i= i
(0)-
Hi = g / (Яз + 1)
— постоянные интегрирования).
Верхние пределы суммирования N я Ni в (26) конкретизи­
руем чуть ниж е. Ясно только, что они не могут быть больше
пяти.
В П рилож ении показано, что наличие в уравнениях колеба­
ний оболочки инерционного слагаемого от присоединенной массы
жидкости не изменяет порядок главной особенности функции
прогиба оболочки. Д ля главной особенности ф ункции давления
{Р) ж идкости под точкой прилож ения нормальной сосредоточен­
ной силы получено вы раж ение (П .8 ), которое применительно
к сферической оболочке с нагруж ением в верхнем полюсе) запи­
ш ется в виде
i^(ro ,0 ) = K i M ) * l n 9 ,
=
=
(27)
где 0 — угол широты, Q — амплитуда силы.
Д л я выделения главной особенности функции прогиба оболоч­
ки и сниж ения порядка особенности функции давления в (26)
до уровня особенности w достаточно ш ести интегралов P g j ( i t t ) ,
соответствующих корням qj (; = 1, 2, 3) с полож ительны ми дей­
ствительными частями [14], т. е. верхний предел суммирования
в первом вы раж ении (26) берем равным трем: iV = 3. Д ополни­
тельные интегралы, необходимые для выделения особенности
ф ункщ ш Р(го, 0), не связаны с выделением особенности ф унк­
ции а?(0) и учиты ваю тся только во втором вы раж ении (26),
т. е N] = 5.
105
Следовательно, условиями д л я определения постоянных
а = i,
5) будут: 1) равенства нулю коэффициентов при I n 9
и 1 п (я — 6) в разлож ени ях и;(0) и Р(го, 0) в окрестностях по­
люсов оболочки; 2) равенство коэффициента при (го0)^ In 0 (и со­
ответственно при Го (л — 9)2 In (я — 9)) в разлож ении г«(6) извест­
ному значению х; 3) обращение в нуль коэффицнентов при
(го0)” 1п9 иГо(л — 9 )^1 п (я — 9) (гг = 2, 4, 6)
в разлож ении
ф ункции давления (26). В результате для определения постоян­
ных c f ( / = 1 , . . . , 5 ) получается система десяти алгебраиче­
ских уравнений.
П ри одинаковых амплитудах сил в верхнем и ниж нем полю­
сах оболочки и совпадающих либо противоположных ф азах на­
груж ения реш ение (26) будет симметричным (антисимметрич­
ным) относительно экватора, а константы — удовлетворять ра­
венствам c f = ± c j = z t сj, / = 1, . . . , 5. в этих случаях их опре­
деление сводится к реш ению системы пяти уравнений. К системе
пяти алгебраических уравнений сводится такж е определение по­
стоянны х при возбуж дении оболочки одной сосредоточенной
силой.
Сравнение с точным реш ением. П ри сделанном ограничении
на характер колебаний оболочки реш ение задачи (19) для не­
сжимаемой жидкости может быть представлено в виде рядов по
собственным формам колебаний оболочки в вакууме [142]:
W (9) =
а
2
ЬпРп Ф),
Р (г, 0) = 2 апЬп (ro/r)”+^ Р „ (t),
П=0
Ь
2п + 1
.________________
t == COS 9.
Сопоставим это точное реш ение с приближ енны м реш ением
аналогичной задачи по методу выделения особенностей, выпол­
ненным в предыдущем разделе. Объективной характеристикой
при сравнении реш ений явл яется ам плитудно-частотная зависи­
мость (А Ч З) для какой-либо точки меридиана оболочки. В дан ­
ной задаче при нагруж ении силой в одном из полюсов (^==1)
оболочки удобно проводить сопоставление в противоположной
точке (^ = — 1 ) —- ненагруж енном полюсе оболочки, где ф ункции
ЛежандраРд^. (— О» входящ ие в реш ение (26), тождественно рав­
ны единице,
а
полиномы
Л еж андра
Р п (0 = (-“ 1 )”
= 0, 1 , 2 , . . . ) [48].
в качестве расчетны х параметров возьмем использовавш иеся
уж е в § 1 соотношения для стальной оболочки и воды; Г о / й =
= 200, V = 0,33, ро/р = 7,85, со/с = Г 12,2.
Р езультаты сопоставления А Ч З приведены в верхней части
рйс. 21. Сплошной линией показана зависимость модуля прогиба
106
от частотного парам етра ао в ненагруж енном полюсе сферы, вы­
численная по формулам (26), ш триховая линия — точная зависи­
мость, рассчитанная по формулам (2в), Совпадение резонансны х
частот в точном и приближенном реш ениях объясняется исполь­
зованием (в случае несж имаемой ж идкости) в приближенном ре­
ш ении точного представления д л я коэффициента присоединенной
массы, незначительное расхождение меж ду кривыми — неудов­
летворенностью .последнего условия, выделяюндего главную осо­
бенность ф ункции давлен ия ж идкости (для коэффициента при
(г00)^®1п 9 ). Н а это условие в реш ении (26) не хватает произволов. Тем не менее выполнение остальных условий обеспечивает
достаточно высокую точность приближенного реш ения, которая
видна на рис. 21, где изображ ен начальны й участок А Ч З. Т ак ая
ж е близость точной и приближенной зависимостей наблю дается
и на других участках частотного спектра, причем при ао > 1
влияние дополнительны х условий на функцию давления стано­
вится несугдественным. Достаточно точный результат обеспечива­
ется всего трем я и н т е г р а л а м и (— Z), / == 1, 2, 3, соответствую­
щ им и трем корням qj с полож ительны ми действительными ч астя­
ми. В этом диапазоне оболочка в жидкости фактически работает
к а к пластина с искривленной метрикой. Аналогичны й результат
по точности имеет место и для ф ункции д авления жидкости на
поверхности оболочки.
Учет медленноменяющихся компонент. Рассмотрим теперь
реш ение общей системы уравнений осесимметричных колебаний
оболочки в жидкости, сохранив предположение о несжимаемости
жидкости. Соответствующее характеристическое уравнение по­
лучим из (1.8) при \k — g l { q + i ) . Относительно индекса и зм е­
няем ости q — это алгебраическое уравнение седьмой степени
107
с несколько громоздкими коэффициентами, которые, однако, лег­
ко выводятся из (1) при замене «о на
= ао (1 + М-) и
на
q { q + 1). П ять корней этого уравнения близки к корням харак­
теристического уравнения (25) д л я быстроменяю щ ихся состоя­
ний. Н азовем их «большими», к а к имеющими асимптотический по­
рядок по большому парам етру
Остающиеся «малые» корни
могут быть приближ енно определены из безмоментного характе­
ристического уравнения, которое получается из (1) при обращ е­
нии в нуль коэффициентов при с1.
Т аким образом, в общем случае осесимметричных колебаний
сферической оболочки в ж идкости для выделения правильных
особенностей искомых ф ункции мг(0), « (9 ) и Р (го , 9), в допол­
нение к пяти нерегулярны м в точке прилож ения силы быстроменяю щ имся интегралам (26), появляется возможность использоваш1я еще двух медленноменяю щ ихся интегралов. В то ж е вре­
м я опыт реш ения аналогичной задачи при отсутствии жидкости
показы вает, что при переходе от системы уравнений коротковол­
новых колебаний к общему случаю для снятия дополнительной
особенности в функции меридионального перемещ ения оболочки
вида 1/6 при 0 - ^ 0 достаточно одного дополнительного нерегу­
лярного интеграла. У чет жидкости здесь принципиально ничего
не меняет. Седьмой интеграл можно использовать д ля удовлетво­
рения последнему условию, выделяю щ ему особенность функции
давления жидкости под точкой прилож ения силы. Но следует
такж е принять во внимание, что каж дое добавление интеграла в
реш ение типа (26) приводит к разрастанию матрицы алгебраиче­
ской системы уравнений для определения постоянных интегриро­
вания (Cj). Поэтому исходить надо из принципа минимальной до­
статочности по числу интегралов, используемых в реш ении. Про­
веденное выше сопоставление показы вает, что неудовлетворение
последнего условия по давлению лиш ь незначительно сказы вает­
ся на точности приближенного реш ения. Следует ож идать, что в
общем случае отказ от удовлетворения этому условию (хотя это
и не принципиально) не приведет к сколько-нибудь заметному
увеличению погрешности реш ения по методу вы деления особен­
ностей.
Представим это реш ение в виде (26) д л я функций гг?(0) и
Р(го, 0 ); ф ункция меридионального перемещ ения отыскивается
в виде
=
+
(29)
i= i
Верхние пределы суммирования в (26), (29) выбираются рав­
ными N = 4, iVi = 6. Слагаемые под знакам и сумм располагаю тся
следующим образом: при / = 1, 2, 3 — интегралы, соответствую­
щ ие «большим» корням характеристического уравнения с поло­
ж ительны ми действительными частями; при у == 4 — медленноменяю щ иеся интегралы, отвечающие корню g4 (R e g 4 > 0 , I m g 4 ^ 0,
108
< l^jl, 7 = 1, 2, 3 ). Д ва дополнительны х слагаемых, присут*
(ствующих только в ф ункции давления ж идкости на поверхности
оболочки, соответствуют большим корням ^5.6 с отрицательными
действительны ми частями.
Д л я определения постоянных интегрирования использую тся
перечисленны е выш е условия вы деления особенностей о ;(0 ),
гг(0), Р(го, 0 ), которые приводят к системе ш ести алгебраических
уравнений (при одной действующ ей си ле).
Сопоставление построенного так реш ения с точным реш ением
по методу собственных функций типа (28) показы вает лучш ую
согласованность этих реш ений, чем на рис. 21, ввиду того, что
здесь большее число условий, чем при построении быстроменяющ егося реш ения, удовлетворяется точно. Соответствующие кри­
вые, выполненные в масш табе рис. 21, неотличимы одна
от другой.
Учет сяшмаемости жидкости. Акустическое демпфирование
§солебаннй оболочки. П ри учете сжимаемости акустической среды
сущ ественно различны м и становятся формулы д л я быстро- и
медленноменяю щ ихся
коэффициентов присоединенной массы.
П ервы е имеют асимптотическое представление (1.15), вторые —
(1.17). П орядок определения и уточнения индексов быстроменя­
ю щ ихся интегралов описан выше. Д л я определения индекса мед­
ленноменяю щ ихся интегралов так ая процедура не обязательна,
так к ак соответствующий ему коэффициент присоединенной мас­
сы в асимптотической формуле (1.17) становится сразу извест­
ным, как только задается волновое число в жидкости. И спользуя
.допущение о возможности построения медленноменяю щ ихся ин­
тегралов оболочечных уравнений из безмоментной системы, полу­
чим д л я их индекса следующее приближенное вы раж ение:
(30)
Приведенные зам ечания в основном исчерпывают отличия в
лостроении приближенного реш ения для оболочки в сжимаемой
и несж имаемой жидкости. После определения и сортировки кор­
ней характеристического уравнения исходные представления д л я
функции акустического давления Р(го, в) и компонент вектора
перем ещ ения оболочки i« (0 ), u (0 ) берутся в том ж е виде и с
тем ж е количеством слагаемых, как в формулах (26), (29) с
iV = 4, iVi = 6. У словия д л я вы деления особенностей этих ф унк­
ций такж е сохраняю тся без изменений. П одстановка в эти усло­
вия вы раж ений (2 6 ), (29) приводит к следующей системе алгеб­
раических уравнений для определения постоянных Cj (случай од­
ной силы
приложенной в полюсе 0 = 0 ) ;
2
J=1
“ Q^2l'
Til ~ 1»
Ф;2 ~ 7 ’
Ф ;3
“ /i»
] ~ 1> 2, 3, 4,
(31)
109
2 4 ф ь т = 0,
h—1
ct = Ся Sin Щн,
s i = qu (qk + 1 ),
/i =
(1 +
i|3fe„ = 4™
V) [( 1 -
V) fi„ -
г, m = 1, 2* 3,
s | ],
Q =
-
(31>
Q r\/{W ),
Л= 1 ,...,6
(621 — символ К р о н ек ер а).
Реш ение системы (31) может быть представлено в виде
=
(32>
В котором через d обозначен определитель матрицы системы, dzp
(7 = 1,
6 ) — алгебраические дополнения к элементам второй
строки определителя d.
Рассмотрим, к ак в реш ении (26), (2 9 ), (32) проявляю тся ре­
зонансные свойства колебаний оболочки в жидкости. П ри анали­
зе спектра резонансны х частот колебаний сферической оболочки,
в жидкости ( § 1 , см. такж е [23]) установлено, что он состоит из.
двух диапазонов. В диапазоне низких и части средних частот, ус­
ловной границей которого явл яется так н азы ваем ая кольцевая:
частота (ао = 1), каж дом у целому значению номера гармоники п
формы колебаний отвечает единственная резонансная частота о»,,
удовлетворяю щ ая условию ао п < ^г (оо = со^о/со). В диапазоне бо­
лее высоких частот (вплоть до границы применимости уравн ен ий
классической теории оболочек) к этим быстроменяющ имся фор-мам добавляется подспектр медленноменяю щ ихся форм колеба­
ний с условием аоп > п. Первому множеству частот соответству­
ют целые значения действительны х частей индекса gi, второ­
му — g4. Вследствие малости мнимой части индекса gi ('^ e i)
(формулы
(1 9 ),
(2 4 ))
на
частотах
возбуж дения,
обра­
щ аю щ их действительную часть sin ngi в (26), (32) в нуль»
(R e g i = ?zi = l , 2, . . . ) , возникают резонансные подскоки ампли­
туд колебаний быстроменяющ ихся форм. С учетом малости гг
преобразование
s in n g i = s in n g i ( l + n i i ) ^ sin Hgi+m giT|i cos ngi, I'pil'-' 8i < 1
(33).
показывает, что при gi = n, амплитуды колебаний идеально уп­
ругой оболочки вырастаю т до значений
т. е. оказываю т­
ся обратно пропорциональными величине коэффициента акусти­
ческого демпфирования. Из (33) такж е следует, что вдали от ре­
зонансной частоты наличие малой мнимой добавки у gi
прак­
тически не сказы вается на амплитудах колебаний оболочки.
Остальные интегралы в реш ении (26), (29) (кроме
Pg^{— t))
имеют большое затухание вне зависимости от потерь на излучение
и при qi
п сохраняю тся на нерезонансном уровне.
Что касается резонансов по медленноменяю щ имся формам:
{Pq^{— t))y то они вы раж ены не так ярко. Д ля. такого вы вода
110
ji;ocTaT04Ho сравнить их коэффициенты затухания на одинаковых
частотах, т. е. значение г\ и мнимую часть в асимптотике коэф­
ф ициента присоединенной массы (1.17) (или мнимые части ком­
плексных собственных частот квазинормальной и квазитангенциальной серий [2 3 ]). Тем не менее с ростом изменяемости
реш ения внутри этой серии мнимая часть коэффициента при­
соединенной массы уменьш ается, что ведет к росту соответствую­
щ их резонансных пиков и их сужению.
Проведем сопоставление построенного так реш ения с точным
реш ением задачи д л я сжимаемой жидкости, полученным с пом о щ ь ю разлож ений по собственным формам колебаний оболочки
в вакуум е. Воспользовавшись д л я этого результатам и работы
[14 2 ], выпиш ем необходимые вы раж ения д л я компонент вектора
состоян ия оболочки и давления в жидкости при действии силы
в верхнем полюсе оболочки (9 = 0):
W (0) = 2
ЬпРп (COS 0),
тг=о
ц (0 )= 2
Р (г, 0) = 2 а„ЬпкУ (X)
п=о
(cos 0),
—1
5 „/„Р Ц с о з0 ), а„ = (о^р к к У (х)
П =0
-1
4яП
(34)
х
a l = a ^ ( l + р),
/n =
1+ V
Y=
/
у
(X)
h y {X)
si = n { n + 1),
X = kf\
^
2A P’
Xq = krQ.
( 1 - v )
Зд есь hn (x),
a = 0 , 1 , . . . , — сферические функции Х анкеля, удов­
летворяю щ ие условию и злучен и я при г ->•<», Р п (c o s 0)-—полино­
м ы Л еж андра.
При численном расчете соотношения м еж ду характерны м и
парам етрам и оболочки и сжимаемой ж идкости возьмем теми ж е,
что и раньш е, добавив к ним значение скорости звука с в ж ид­
кости (в водной среде с = 1500 м/с, с/со = 0,3).
Н а рис. 22, а в полярной развертке представлены граф ики
точного (кри вая 1) и приближенного (кривая 2) реш ений для
ф у н кц и й прогиба оболочки на характерной частоте вы нуж денны х
колебаний (с&о = 0,58), находящ ейся м еж ду пятой и шестой ре­
зонансными частотами серии ооп < п. К онцентрическими окруж**
ностями с оцифровкой по оси абсцисс, которой соответствует полюс
оболочки (точка прилож ения силы ), показаны линии уровня ф унк­
ции прогиба оболочки при интенсивности нагрузки, равной моду­
лю Ю нга м атериала оболочки (вследствие симметрии картины
и зо бр аж ен а только четверть сечения оболочки). Н а рис. 22, б в
аналогичной развертке приведены такж е точная и приближ енная
функции давления жидкости на поверхности оболочки (в атм ).
З т и результаты получены совместно с С. П. Борщ ем.
111
Заметим, что в членах (34) имеется малы й коэффициент с* "
при обеспечивающем сходимость слагаемом в 6„, пропорциональ­
ном
Поэтому при численной реализации представлений (34)
необходимо удерж ивать в рядах большое количество (до 2000)
членов. П роверка точности расчетов, проводимых с помощью
(32), осущ ествлялась путем подстановки этих вы раж ений в и н ­
тегральную формулу Кирхгофа, связы ваю щ ую давление ж идко­
сти в произвольной точке*
90°
среды с давлением и про­
/ 67,5“
гибом на поверхности обо­
лочки [1]:
Р{М,) =
/ 45®
Акт
ро)2«; { М У - Y1 /
л/
—.у
у
/ \ /
\
J
22,5“
\
\
Лкг\
dSM^
и
определения
н евязки
м еж ду ф ункциями Р{Мо)
и Р{То, 9) на поверхности
(S) оболочки {М — точ ка
на поверхности оболочки,
Мо — в пространстве, за­
нятом жидкостью, djdn —
обозначение дифференци­
рования
по
нормали,,
внеш ней к об олочке). П ри
указанном
выше
числе
членов рядов (34) достигалось практически пол­
ное совпадение меж ду эти­
ми функциями.
Н а рис. 21 в н иж ней
части изображ ены то ч н аа
и приблияченная (рассчи­
тан н ая по формулам (26)^
(3 2 )) А Ч З значений ф унк­
6
ции давления ж идкости
Рис. 22
в точке, примыкаю щ ей к
ненагруж енному
полюсу
оболочки. По оси абсцисс отложен частотный параметр ао,
по оси ординат — уровень давления в дБ. Сплош ная ли н и и
здесь
соответствует
реш ению
в рядах,
пунктирная — ре­
шению по методу выделения особенностей. А Ч З д ля приближ ен­
ной и точной ф ункции прогиба имеют сходный с приведен­
ным вид.
-2 0
112
1
20
1
40
Построенные граф ики иллю стрируют достаточно хорошее со­
гласование результатов точного и приближенного реш ений Kait
по функции прогиба оболочки, так ж по давлению жидкости на
поверхности контакта. Небольшие расхож дения в резонансны х
частотах обусловлены приближенностью выбранного в (26) прос­
тейшего варианта асимптотической формулы для коэффициента
присоединенной массы жидкости. Это расхож дение может быть
уменьш ено при продолжении
рекуррентной процедуры уточ­
нения Ц1 (к ак в [1 4 ]).
Р еш ение при кольцевом н а­
груж ении оболочки. Рассмот­
рим теперь схему
реш ения
аналогичной задачи с другим
типом прилож ения нагрузки:
линейно-сосредоточенной силой,
распределенной по одной из па­
раллелей, например, вдоль эк­
ватора
оболочки
(рис. 23).
Рис. 23
В этом случае полюса оболочки
свободны от нагруж ений, и в ре­
ш ениях по разны е стороны от линии действия силы сохраняю тся
только интегралы, регулярны е в верш инах. Д л я автоматического^
выделения главны х особенностей
реш ения на линии действия
силы представим их в виде
W (6) = 2 с , 1 \ (111),
j= l
« (0 ) = 2
j= l
2
Cj^jPq. (1 t\),
Р {го, 0) = — 2(o2po/i
'
t=
(111),
(3 5 >
COS 0,
где через с, (/ = 1, . . 6 ) обозначены неизвестные постоянные.
П одстановка вы раж ений (35) в исходную систему (1.1) при­
водит, с учетом равенства
{\t\) + q (q +
1) Pg (I 0 )
= -
26 it) P'q (0),
к следующим уравнениям д ля определения постоянных с,:
V
D '.т
1 = 1, 2,
=
г = з ,.:.,б ,
^I = ( l - V * ) / 2 ,
/С2 = с |.
И з этих уравнений видно, что условия резонансов скрыты в
равенствах Рд. (0) = О, так как в соответствии с формулой
8.6.3 [118]:
C ;M = : i = 3 i n f r f | + l ' | r f | + i l
8
А. л.
Попов,
Г. Н.
Чернышев
х -0 .
ИЗ.
О пределенны е из этих равенств резонансные частоты имеют те
.же значения, что и в случае синхронного возбуж дения оболочки
силами, сосредоточенными в ее полюсах.
Построенные реш ения (26), (29), (35) наглядно вы раж аю тся
-В виде сумм конечного числа известных специальных функций
Л еж анд ра. Однако их практическое использование в такой запи­
си не всегда возможно, так к ак таблицы функций Л еж анд ра ох­
ватываю т только области действительных значений индекса и
-значений g = 1/2 + гт, где т — действительная величина. Суш;ест-вуют, правда, методы вычислений функций Л еж ан д ра и при про­
извольны х комплексных индексах д, но они мало пригодны к за­
дачам для тонких оболочек с й /г о < 0 ,0 1 [75]. В то ж е время
вклад компонент этих реш ений (с большими мнимыми частями
,у комплексных индексов д) в форму колебаний оболочки заме­
тен лиш ь в окрестности линии или точки нагруж ения.
Поэтому вместо точных интегралов Pq. (cos 0) (/ = 2 ч- 6)
мож но использовать их экспоненциально затухаюгцую (с осцил­
л я ц и е й ) асимптотику (сводить их к ф ункциям конуса [4 8 ]).
,Д ля интегралов, распространяю щ ихся на всю поверхность обо­
л о ч к и , необходимо сохранять более точные в ьф аж ен и я через со­
ответствующие специальные ф ункции, дающие равномерную
.асимптотику во всем диапазоне изменения координат, вклю чая
верш ины оболочки. Эти функции вычисляю тся достаточно про­
сто, так как соответствующие им характеристические показатели
^близки либо к действительным, либо к чисто мнимым значениям.
В рассмотренной задаче применение В КБ-представлений для
затухаю щ их интегралов не изменяет вида характеристического
уравн ен ия (1.8), что позволяет использовать их в качестве и н ­
тегралов
внутреннего
краевого
эф ф екта для корней
(/ = 2, . . . , 6 ), сохраняя для «проникающих интегралов», соответ­
ствующих корню х\, вы раж ения через функции Л еж андра
P g ^ ( ± c o s 0 ) , Этого достаточно д ля эффективного обеспечения
прибли ж ен ия резонансны х форм и частот колебаний к результа­
там точного реш ения.
Рассмотренные в главе задачи, кроме самостоятельного зна­
чения, имеют, как уж е отмечалось, и тестовый смысл д л я отра­
ботки метода вы деления особенностей. П олученны е результаты
позволяю т уверенно использовать аналогичны й приближ енны й
подход д л я реш ения задач о колебаниях в ж идкости зам кнуты х
оболочек вращ ения с произвольным контуром меридиана, воз­
буж даемых сосредоточенными нагрузками, поскольку принци­
пиально способ вы деления особенностей остается тем ж е самым,
а для получения асимптотики присоединенной массы жидкости
мож ет использоваться
асимптотическое реш ение
уравнения
Гельмгольца, построенное с помощью функций Эйри, как это
сделано, например, в работе [104]. К построению таких асимп­
тотик мы переходим в следующих главах.
Глава 5
КОРОТКОВОЛНОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ
И БЛИЖНЕЕ ПОЛЕ ЗАМКНУТЫХ ОБОЛОЧЕК
П ри реш ении задач о колебаниях оболочек в вакууме широко?
использую тся коротковолновые приближ ения. В соответствии с*
классиф икацией [42] к коротковолновым колебаниям оболочки
вращ ения причисляют колебания в диапазоне частот выш е
«кольцевой»,
определяемой
равенством
ко == 1,
где ко —
= сого(ро/£')^^^ — волновое число в оболочке, а в качестве го взят
радиус наибольш ей параллели в ее срединной поверхности. Н а­
личие присоединенной массы ж идкости значительно пониж ает
нижню ю границу применимости коротковолновых приближ ений
(см., например, табл. 1).
Основным преимуществом коротковолновой модели яв л я е тся
удобная д ля ан али за исходная система уравнений. Она сводится
(при колебаниях оболочки в вакуум е) к двум уравнениям отно­
сительно прогиба оболочки и ф ункции тангенциальны х усилий,
(система (4.2.1) при P l s = 0 ) , дифф еренциальны е члены кото­
ры х входят в однократно и дваж ды примененные операторы Л ап ­
ласа. Т ак ая операторная запись позволяет получать в алгебраи­
ческой форме условия совместности колебаний оболочки и
жидкости ввиду того, что диф ф еренциальны е члены в уравнения*
Гельмгольца для акустического давления такж е заклю чены в
операторе Л ап ласа.
В данной главе диапазон частот коротковолновых колебаний
оболочки в ж идкости разбивается на два поддиапазона: высокочас­
тотных
^ шах
, /с >
\
LV 1 2/ J
о/
колебаний (i?i, i ?2 — главны е радиусы кривизны срединной по-верхности оболочки, А: — волновое число в ж идкости). В высоко­
частотном приближении предполагается отсутствие влияния тан­
генциальны х перемещ ений на прогиб оболочки. Несмотря на это,
вид реш ения для функции прогиба при переходе к более общим.,
случаям изм еняется незначительно.
Реш ения в диапазоне средних частот уж е учитывают связь
м еж ду нормальными и тангенциальны м и перемещ ениями оболоч­
ки и, по существу, совпадают с реш ениями общей системы урав­
нений колебаний оболочки в жидкости д ля преимущ ественно
пзгцбных форм колебаний. Поэтому они могут быть использова­
ны в практически важ ны х расчетах колебаний и излучения обо­
лочки в широком диапазоне частот.
8^
и среднечастотных
115^
§ 1. Об интегрировании уравнений коротковолновых
квазипоперечных колебаний оболочки в жидкости
Д л я описания упругих перемещ ений оболочки в жидкости
воспользуемся системой уравнений квазипоперечны х колебаний
со средней и большой изменяемостью [44], для акустического
давлен ия в жидкости — уравнением Гельмгольца и условием ки­
нематического возбуж дения ж идкости от оболочки:
hX\w - л д - X W + р (О, е, Р) = <?(0, Р),
А Д + А,1Г = 0,
£Р
дп
п=о
= ю^рн;,
W ^2Ehw,
А Р + Л"Р = 0,
Я = Яо/г„,
к — (и1с,
hi =
(1)
[3 (1 —
Здесь w = ^w { Q, ^ ), Х = Х (0 , ^ ) — ф ункции прогиба и тангенци­
альны х усилий в оболочке в обобщенной географической системе
координат 0, р, где О 6
я — угол, образованный нормалью п
и осью, проходящ ей через одну из верш ин замкнутой оболочки
(угол ш ироты ), ^ — окр у ж н ая координата (угол долготы );
Р ( п , 0, ^ ) — ф ункция давления в жидкости, ^ ( 6 , р ) — ф ункция
вы нуж даю щ ей нагрузки; о> —- круговая частота колебаний; h —
полутолщ ина оболочки, Е', ро, v — модуль Ю нга, плотность и ко­
эф фициент П уассона м атериала оболочки, р, с — плотность
ж идкости и скорость звука в ней; Ai, Аг — операторы В ласова и
Л ап л а с а на поверхности оболочки, А — оператор Л ап ласа в прост­
ранстве. В постановку задачи входит так ж е условие излучения
на бесконечности, о выполнении которого будет сказано ниж е.
И нтегрирование системы (1) можно осущ ествить при помощи
асимптотического метода: построить два итерационны х процесса
аналогично тому, как это предложено в [25] при реш ении крае­
вой задачи и в [127] при построении ф ункции Грина. Первый
процесс служит д ля вы деления медленноменяю щ ихся интегра­
лов, второй дополняет их быстроменяющ имися. М алым парам ет­
ром при старш их производных, необходимым для построения
итерационны х процессов, явл яется обезразмеренная к характер­
ному радиусу Го полутолщ ина оболочки h.
П редставим Р , ТГ, X в виде сумм
р = ро + р^
W = W° + W,
Х = Х« + Х,
(2)
слагаемы е которых суть интегралы первого (Р ^
X®) и вто­
рого (Р, W, X) итерационны х процессов. О пуская процедуру по­
строения процессов, выпиш ем уравнения д л я первых приближ е­
ний Р®,
Х° (вы рож денная зад ач а):
А,Х« + XW» - Р» (0 ,0, |3) = <? (9, р),
AP° + k^F> = 0,
А^Х» + AJV» = О,
= о)2рн;0.
Б удем считать, что н агрузка носит локальны й характер. Тог­
да в малой окрестности области ее прилож ения интегралы вы­
116
рож денной задачи становятся быстроменяющ имися. В случае со­
средоточенной нагрузки — в точке либо на линии ее прилож е­
ния
эти интегралы имеют особенности, которые обозначим че­
рез
Х^, W^. Выделенные особенности определяю тся безмоментными операторами системы и имеют более высокий порядок
по сравнению с особенностями полного реш ения. Возникаюш;ие
невязки в особенностях снимаются быстроменяю щ имися интегра­
л ам и Р, W , X второго итерационного процесса. Они строятся так,
чтобы их суммы с особенностями
ТЕ®, X® асимптотически
удовлетворяли исходной системе уравнений. Во втором процессе
п ри интегрировании следует отбрасывать асимптотически мед­
ленном еняю щ иеся интегралы системы (1).
В результате такого реш ения суммы (2) будут обладать п ра­
вильны м и особенностями, которые в случае сосредоточенной в
точке силы имеют вид ([1 2 6 ], (П. 8 ))
W ^ с\Т^ In г,
X
In г,
Р ^ сзг® In г,
т д е г — расстояние от точки прилож ения силы в метрике средин­
ной поверхности.
Оценка амплитуд Р®, ТЕ®, X® по малому парам етру h вне ок­
рестности области прилож ения нагрузки н а частотах, достаточно
отстоящ и х от резонансны х частот вырож денной задачи, показы ­
вает, что искомые величины имеют порядок й®. А налогичная
оценка быстроменяю щ ейся части реш ения дает д л я амплитуды
W на линии (в точке) прилож ения нагрузки величину по­
рядка
Бы строменяю щ иеся интегралы второго процесса д л я ф ункции
.давления в жидкости локализую тся вблизи оболочки, и при по­
дстроении их главного приближ ения можно воспользоваться про­
стейш им экспоненциальны м представлением
Р { п , 0, Р) = Р (0 , 0, Р )е х р (—ап )
(3)
С неизвестным показателем затухани я « = «(0, Р), R e a > 0 .
Из него следует уж е известная связь м еж ду быстроменяющ и­
мися интегралами акустического давления на поверхности и про­
гиба оболочки
Р (0 , 0, р ) = ^ о ) 2 р « “ 1а;(0, р),
(4)
благодаря которой сокращ ается размерность задачи: для оболоч­
ки вращ ения она сводится к реш ению системы обыкновенных
дифф еренциальны х уравнений на поверхности контакта.
Т ак как пограничные быстроменяющ иеся интегралы по ам­
плитуде значительно больше медленноменяю щ ихся, то последни­
ми можно пренебречь в окрестности линии (точки) прилож ения
силы. Вблизи нее изменяемость по г искомого реш ения, т. е. его
особенность, определяется старшими диф ф еренциальными опера­
торами системы (1 ). В уравнениях (1) д ля оболочки давление
Р ( 0 , 0, р ) входит недифференциально, тогда как
при W стоит
117
бигармонический оператор. Следовательно, при построении бмст-роменяю щ ихся интегралов в полосе
в первом прибли­
ж ении можно пренебречь влиянием жидкости, т. е. принять, что
полное реш ение задачи в этой окрестности определяется уравне­
ниями оболочки, точнее,— уравнениям и изгиба оболочки как:
пластинки.
Это позволяет использовать известные особенности и, v, w, X
и других компонент вектора состояния оболочки и в гидроуиругой задаче при склейке реш ений в местах прилож ения сосредо-^
точенны х нагрузок.
К а к показываю т реш ения модельных задач предыдуш;их глав,
их быстроменяю щ иеся составляю щ ие включают в себя интегралы
внутреннего краевого эффекта, локализованны е в окрестности:
линии (точки) н агруж ения, и осциллирующие интегралы, обла­
дающие проникаю щ ими свойствами по поверхности пластины ж
оболочки. В силу этого отпадает необходимость строить отдельна
и нтегралы первого и второго итерационных процессов. Решение*
в окрестности точки (линии) прилож ения силы и вдали от нее,
н ачин ая с расстояния порядка одной длины поверхностной вол­
ны, в главном приближ ении можно строить, исходя из уравне-^
ний пластинки с некоторой присоединенной массой. Целесообраз­
но ввести рабочую гипотезу, что этими уравнениям и можно ноль-зеваться и в промежуточной области. Тогда склейка решений:
полных уравнений, полученных д ля областей поверхности оболочки, удаленной от линии (точки) п рилож ения силы, с реш е­
ниями в ее окрестности произойдет автоматически при распрост­
ранении дальнего реш ения на окрестность силы и сохранении
д л я интегралов давления Р представления (3 ).
§ 2. Высокочастотные колебания оболочки вращения,
контактирующей с жидкостью,
возбуждаемые окружной нормальной силой
Рассмотрим сначала диапазон высокочастотных
;э> l ) коле­
баний, в котором реш ение системы (1) может быть построено в
пренебрежении влиянием тангенциальны х смещений на прогиб
оболочки [42]. С учетом связи (1.4) меж ду интегралами Р и w
задача (1.1) в этом диапазоне сводится к построению совместно­
го реш ения системы двух операторных уравнений квазипластинчатого типа относительно ф ункции прогиба оболочки
h l M W - Я Ц 1 + а - V ) W = 0,
AgW + (а* + k ^ ) W = О,
P ( o ,e ,p ) = - « - 4 w .
где А< = А{(0, р), 1 = 1, 2,— парам етры Л ам е на поверхности
■оболочки, рассматриваемы е как медленноменяю щ иеся функции.
координат 0, р.
118
в соответствии с известной теоремой В екуа [24] условием л х
совместности яв л яется характеристическое уравнение пятой степени относительно п оказателя «, совпадающее по виду с уравне­
нием (2.1.6) д ля пластины. Ранее в § 2.2 было выяснено, что
это уравнение имеет три корня с полож ительны ми действитель­
ными частями («1 > О, Re «2,3 > 0) и два комплексно-сопряж ен­
ных — с отрицательными (R e « 4,5 < 0 ).
П ри построении быстроменяю щ ихся реш ений системы (1) бу­
дем стремиться к сохранению в наибольш ей степени аналогии с
реш ениям и задач о колебаниях пластин, контактирую щ их с ж и д­
костью. Этому способствует представление операторов Л ап ласа
в изотермической системе координат а , р на поверхности оболоч­
ки, являю щ ейся конформным отображением на поверхность де­
картовы х координат на плоскости [62].
В ы раж ение д л я квадрата элемента дуги на поверхности вра­
щ ен и я в изотермических координатах
Й52 = А ^ (а) (da^ + d^^).
С вязь м еж ду изотермической координатой а и произвольной
м еридиональной координатой 0 д л я поверхности вращ ения дает<?я интегралом
Т а к , д л я сферической поверхности
В изотермических координатах а , ^ оператор Л ап ласа на поюерхностн оболочки записы вается в виде
А ,=
а Н<^)
П усть оболочка образована вращ ением некоторой выпуклой
кривой. Тогда при распределении внеш ней нагрузки на окруж но<5ти оболочки по закону ^ о ( а ) е х р ( 1тггР), m = О, 1, 2, . . . , ищ ем
и нтегралы системы (1) в виде W == W ^(a)ex p (im ^). И склю чая
таким образом зависимость от окруж ной координаты
превра­
щ а ем (1) в систему обыкновенных дифф еренциальных уравн е­
ний (с переменными коэффициентами) относительно W { a ) . Сов­
местные реш ения этой системы находятся при значениях п ара­
метра а, совпадаю щих с корнями характеристического уравнения
(2.1.6). П ри этом определяющим уравнением (к ак отмечалось и
при рассмотрении колебаний пластины) является второе уравне­
ние (1 ), полученное из уравнения Гельмгольца на поверхности
оболочки. Все интегралы этого уравнения, соответствующие кор­
н ям «j, являю тся одновременно интегралам и первого уравн ен ия
(1) (более высокого п оряд ка). Напротив, не все интегралы
119
первого уравнения (1) входят в число интегралов второго»
уравнения.
Вьш иш ем указанное определяю щ ее уравнение после исклю че­
ния в нем окруж ной координаты
W " ( а ) + [ А Ц а ) {а^ +
т^] W { a ) = 0.
(3)
Д л я произвольной ф ункции -4 (a ) уравнение (3) не имеет яв­
ного аналитического реш ения. У читы вая, однако, что коэффици­
ент при недифференциальном члене в данном уравнении связан
через условие совместности с большим оболочечным парам етром
можно построить асимптотическое реш ение этого уравнения.
П редположим, что оболочка имеет форму выпуклого зам кну­
того овалоида, вытянутого вдоль меридиана, симметричного от­
носительно экваториальной плоскости (экватор определим к а к
п араллель с минимальной нормальной кривизной). Тогда измене­
ние величины парам етра Л ам е А (а ) вдоль меридиана обратно
пропорционально кривизне поперечного сечения оболочки: на эк­
ваторе оболочки ( а = 0) ф ункция А (а) имеет максимум, с при­
ближ ением к верш инам оболочки ( а
А{а)->- 0.
Построим интегралы дифференциального уравнения (3) д л я
значений парам етра а, равны х корням а \ х г характеристического
уравн ен ия (2.1.6) с полож ительны ми действительны ми ч астя­
ми. П ри рассмотрении колебаний пластины , контактирую щ ей с
жидкостью , было получено, что полож ительному корню
соответ­
ствовали осциллирую щ ие интегралы , корням «2,з — интегральг
типа краевого эффекта. У равнение (3) отличается от аналогично
определяю щ его уравн ен ия для пластины переменностью коэффи­
циента при недифф еренциальном члене и наличием окруж ного
волнового числа т. Поэтому если д ля корня ai > О будем и в случае
оболочки отыскивать осциллирую щ ие интегралы , то вследствие
указанной зависимости А {а) область их осцилляции при m ^ О бу­
дет локализована на части м еридиана в окрестности экватора м еж ­
ду п араллелям и а = —а и а = + а полож ение которых определя­
ется равенством.
А Ц а .,)(а ? + * Ц - т 2 = 0.
(4 )
При m == О осциллирующее реш ение распространяется на весь
меридиан оболочки, а равенство (4) вы полняется в ее верш инах.
Равенство (4) определяет точки поворота в уравнении (3 ),
которым соответствуют переходные линии на поверхности обо­
лочки. Ф изический смысл переходных линий состоит в отделении
менее ж есткой (слабо изогнутой) экваториальной области обо­
лочки, в которой при заданной частоте колебаний и изменяемо­
сти в окруж ном направлении образуется осциллирую щ ая форма
прогиба, от примыкаю щ их к верш ине оболочки более ж естких
(сильно изогнуты х) областей, находящ ихся в квазистатическом
состоянии.
Д л я построения асимптотического реш ения уравн ен ия (3) при
а = а\ преобразуем его с учетом равенств (4) и (2.1.6) к виду
120
д р азн ен и я
члене
W" ^
с большим
p V { ol) W
= 0,
параметром
=
при
недпфф еренциалы ю м
f = АЦа) ~ АЦа^).
+
(5)
Допустим, что нагрузка прилож ена к оболочке вдоль параллелп а = ао, находяш;ейся меж ду переходными линиями а =
Тогда по каж дую из сторон от линии прилож ения нагрузки бу­
дет находиться одна точка поворота уравнения (5 ). С учетом
этого построим формальные асимптотические реш ения уравнения
(5): W \ при а ^ ао п W 2 при а ^ ао, регулярны е в верш инах
оболочки (при а = ±оо), воспользовавшись асимптотическими
разлож ениям и Т. Черри [4]:
W j = Ф,- Ai
Ф,- = 2 Ф я (а) р - \
(а) Р ~ ‘,
¥; = 2
1=0
1=0
(6)
(/ = 1, 2 ).
Здесь Wji ( а ) ,
(а ) — неизвестные функции, Ai (t) — ф ункция
Эйри, убываюпдая при ^ > 0.
Подстановка вы раж ения (6) в уравнение (5) приводит
к асимптотическому разлож ению его левой части, для главных
членов
которого
получим
следуюш;ие
дифф еренциальные
ур авн ен и я:
=
2Ф;„Ч^;„ + Ф Л
= О,
/ = 1 ,2 .
(7)
Р еш ения уравнений (7) записы ваю тся в квадратурах:
а*
/
^10 = sgn (а —а,^)
\
¥20 = — sgn (а + а„,)
Ф5о = \ К \ ~ " ' ^
3
2
2 /3
У\!Ф )\(1х
а>ао,
а
J
—а*
2 /3
У \ 1 Ф ) dx
/ ■ |'F ,o l ’F;« = - ( - l / / ' l / ( a ) | .
а < а ,,
(8)
/ = 1 .2 .
П ри наличии нескольких линий н агруж ения в областях м еж ­
д у ними учиты ваем оба интеграла Wj, а на крайних участках —
по одному интегралу, регулярному в ближ айш ей вершине.
В ы раж ения (6 ), (8) обеспечивают равномерную асимптотику
интегралов W j { a ) на всем меридиане оболочки, и зм ен яя харак­
тер этих интегралов от асциллируюпдего во внутренней области
(—
^ а
а„.) к экспоненциально затухаюш;ему за переходными
Л И В И Я М И . Будем назы вать поэтому реш ения вида {&)— прони­
к ающи ми интегралами.
В осесимметричном случае полож ительному корню а\ такж е
соответствуют интегралы, распространяю щ иеся на всю длину ме­
ри ди ан а оболочки. Точки поворота в этом случае совмещаются
121
с верш инами оболочки. Здесь такж е можно использовать ф унк­
ции Эйри, считая, что область их осцилляции охватывает весь
меридиан оболочки.
И нтегралы ТЕг.з ( а ) , соответствующие комплексным корням
«2.3 с полож ительны ми действительными и большими мнимыми
частям и ( R e « j < |I m « j|, ; == 2, 3 ), назовем по аналогии с реш е­
ниям и д л я пластины интегралам и внутреннего краевого эффек­
та. Т ак как R e « |< : 0 , причем в диапазоне применимости поход­
ной системы j Re « ||> / с ^ , то интегралы ТЕ^2,з(а) имеют преимущ е­
ственно экспоненциальны й характер и могут быть построены в
форме классических В К Б-представлений
=
Р^ = ^ з Р и { а ) р - ^
Больш ой параметр р
образом:
=
вводится
здесь
(/ = 2 ,3 ).
следующим
s | = — А Ц а )(а ^ +А;®) + ?п2
(9)
ф ормальны м
(у = 2 ,3 ).
(10>
П одстановка (9) в уравнение (3) с учетом (10) приводит к
асимптотическому разлож ению левой части этого уравнения. Д л и
членов при высш их степенях р получаю тся уравнения
( / ; ? - ? = о,
2/
,
-о = о (/ = 2,3),
р еш ен ия которых:
а
h (а) = (— У J "sj {х) dx,
Fjo = [ Sj (а ) ] ” ^''",
(И )
“о
где S j {a) — ветви комплеконозначной функции
s | (а), такие что
R e 5 j ( a ) > 0 , а в качестве ниж него предела ао в интегралах (11)
выбрано значение а на линии нагруж ения.
Т аким образом, главны е члены асимптотики интегралов типа
краевого эф ф екта имеют вид
I F P ( a , a , ) = [ s , ( a ) r ' ‘‘ exp
J
Sj {х) dx
0 = 2, 3).
(12>
П ри Sj = const реш ения
и
линейно-независимы; в об­
щ ем случае линейная независимость этих реш ений может б ы ть
показана в рам ках асимптотического приближ ения.
П ри одной линии н агруж ени я д л я реш ения справа от нео
( а > а о ) берутся только интегралы (12) со знаком «— » в пока­
зател ях экспонент, для реш ения слева (при а < а о )— со знаком.
«+». У читы вая, что в диапазоне высоких частот величины мни­
мых частей корней «2,з достаточно велики, можно говорить о ло­
кализации быстрозатухаю щ их с осцилляцией интегралов (12) в
окрестности линии н агруж ения. Аналогичным образом можно по-
122
.<^тупать II в случаях, когда имеются несколько достаточно уда­
ленны х друг от друга параллелей а =
(гг = О, 1, . . А) , к ко-горым прилож ены н агрузка либо реакция подкреплений, причем
достаточная удаленность параллелей н агруж ени я друг от друга
понимается здесь как удаленность на длину дуги порядка р а­
диуса кривизны экватора оболочки. Если ж е соседние линии н а­
груж ени я располож ены ближе, то, кроме затухаю щ их от каж дой
л и н и и а = ап интегралов W j { a ) , в реш ении следует учиты вать
и Бозрастающие интегралы. В этом случае рациональнее их ис­
кать в виде тригонометрических функций комплексных аргумен­
тов, подобно представлениям (1.4) гл. 3.
Общие интегралы системы (1) при а > 0Ц) (со знаком «+ » ) и
п ри а ^ а о (со знаком « — ») запиш ем в виде линейной комбинадщ г интегралов (6 ) и (9):
W ± (а) = 2
j= i
(«. ч ) -
Ai { p ^ ' \ ± ),
(«> «i) = 1
g
(a , n) = —
jv± (a , Uj) =
exp
2 s f w ± (a , Я,) e
i= i
T \ Sj (a) d a j ,
(13)
11)4.== ¥ 20,
= ¥ 1#
(/ = 2 , 3 ) ,
A^- (a) («I + k ^ l
-
p^ = Xh-^ (1 + g / a f \
Д л я определения постоянных интегрирования с/- (/ = 1 ,2 ,3 )
мспользуем те ж е условия выделения особенностей в ф ункциях
прогиба и давления жидкости на поверхности оболочки, что и в
плоской задаче для пластины, контактирую щ ей с жидкостью:
а = а„:
W f = W^1\
/ = 0 ,1 ,2 ,
?:^>(0 ,ao ) = P:i>(0 ,ao),
^ 3 = g 4 M « o )C .
/ - 0 , 1.
После определения констант д ля функции прогиба оболочки
.получаем следующие явные вы раж ения:
/
3
W±{a) = - f
'’ ( ' + ) ., и
\
1 V
^ ^ « (М -т 2 г7 Ь ® -"Р
7=2 з\ 0)
1
= Vo^+)v'o(..) — i;:(+)i;o(_),
V (/± ) =
W ± (а , f lj,
s* = — / + ( 4 ) :
V
а
+Jа„
= (1 + Т2) «з («о) — У 2^1 Ы
Vq =
V |а = а д .
Т2 = ^1^'Г:
6i = а У — йз^,
Ъз =
\
/I
— «I,
< =
(1 ^ )
Тз = 1 — Тг— 0,3^.
Б аналогичном виде получаю тся и формулы для Р { а , п ) .
123
Выведенные формулы позволяют при заданны х амплитуде^,
частоте, параллели н агруж ения, изменяемости и типе внеш ней
нагрузки производить вычисления функции прогиба и давлении
ж идкости на поверхности оболочки вращ ени я конкретного очер­
тан и я. Д л я этого предварительно определяю тся корни
/ =*
= 1,
5, уравн ен ия (2.1.6), затем по формулам (4) — (12) —
интегралы , входящ ие в реш ение (13), а из условий (14) {жш
аналогичны х) — постоянные интегрирования.
Резонансны м частотам колебаний соответствует обращение в
нуль знам енателя коэффициента при осциллирую щ ем интеграле
в (1 5 ): 81 = 0 (без учета и злучен и я). Зам ен яя в вы раж ении для*
81 функции Эйри и их производные через асимптотические пред­
ставления в области осцилляции [118], получим с учетом (8 )
следую щее дисперсионное соотношение:
fА® (а) -
(16>
da = ^ A { а А
где га = 1, 2, . . меридиональное волновое число. В осесиммет­
ричном случае условие резонанса приводит к равенству
(17)
Соотношение (16) определяет в неявной форме положение*
переходных линий, когда частота колебаний заранее неизвестна.
И спользуя его в (4) и в характеристическом уравнении (2.1.6) ^
приходим к кубическому уравнению
Ч у^ + { 4 — e l z — 2eqzUy^ + z®(2во + z) р — z® = О,
у = к\
z ^ p \
=
=
Р= ^
у
В случае осесимметричных колебаний сферической оболочкя
в ж идкости условие резонанса (17), полученное при помощи:
ф ункции Эйри, может быть сопоставлено с условием sin я д 1 = 0^
полученным в § 4.3 при реш ении задачи с использованием ф унк­
ций Л еж андра.
В изотермических координатах (2) интеграл (17) сводится к
табличной форме
ое
IА (х) d x = ^ T ,
q
откуда рго = п, гг = 1, 2, . . . Т ак как д ля сферической оболочки
можно принять p^ = ^ i(^ i + l ) , то уж е для ^1 = гг> 1 указан ­
ные условия и определяемые из них резонансные частоты стано­
вятся достаточно близкими.
124
Таким образом, приближенное асимптотическое представление
осциллирующих интегралов с помощью функций Эйри приводит
к результатам, согласующ имся с результатами точного представ­
ления таких интегралов на сферической поверхности.
§ 3. Оболочка с некруговым поперечным сечением
Рассмотрим высокочастотные квазипоперечны е
колебания
произвольной выпуклой замкнутой оболочки в жидкости. Д л я
интегралов ф ункции давления жидкости в окрестности оболочки
используем экспоненциальное представление (1.3). При таколг
представлении ф ункции Р { а , Р, п) разреш аю щ ая система урав­
нений на поверхности оболочки сохранит вид (2.1), а условием
ее совместности остается алгебраическое уравнение пятой степе­
ни (2.1.6), которое не зависит от геометрии оболочки. Координа­
ты а , Р считаем ориентированными вдоль линий главны х кри­
визн оболочки.
П олучим вы раж ен и я для резонансны х форм и частот неосе­
симметричных колебаний оболочки в жидкости. Известно, чтопри колебаниях с большой изменяемостью замкнутой оболочки
в вакууме осциллирующ ие интегралы разреш аю щ ей системы со­
средоточиваются в окрестности экстремальны х геодезических ли­
ний срединной поверхности [95]. Считая, что такой характер
реш ения сохраняется и при колебаниях с учетом жидкости, пред­
ставим резонансны е осциллирующие интегралы разрешающехг
системы (2.1) в виде
1Г = Е Д У ^ Ч ^ )е х р (ф Ф ),
(1)
где D q {1 2t ) — ф ункция Эрмита, осциллирую щ ая в полосе м еж ду
двум я переходными линиями t = ± ~ ) l 2 q + i и экспоненциально
затухаю щ ая за пределами этой полосы; Т =
(а , р, р), Ф = = = Ф (а, р, р ) ““ функции координат и большого парам етра р, д =
== О, 1, 2, . . целое число [4].
П ри подстановке (1) в уравнения системы (2.1) после­
довательность определения ф ункций
(а , р, р) и Ф (а , р, р)
остается такой ж е, как и в случае колебаний оболочки в вакуу­
ме с заменой парам етра
на
= Qj (1 +
Опуская эти промеж уточные вы кладки, выпиш ем из [95] фор­
мулы д ля главны х членов асимптотик Ф и
в окрестности эк­
ватора оболочки * ):
Ф = Ф о (8 ),
¥ = ¥оЛ ,
р=^2пт ф -уЬ),
*) Экватор некруговой оболочки определяется как линия кривизны,совпадающая с геодезической. Производная от коэффициента Ламе, свя­
занного с этой линией, по нормали (тго) в плоскости, касательной к сре­
динной поверхности оболочки, всюду равна нулю.
12S
9
(О, S ) F-^ (s),
Ф„ (s) = } А (О, т) dT,
О
F"{s)+K{s)F{s) = F-4s),
K(s)
A(s, По) = A o(s) + A i ( « ) « » + . . . ,
4 ^2
•*0
а*де A ( s , no)— параметр Ламе изотермической системы координат
на поверхности оболочки, s — текущая длина дуги экватора обо­
лочки, L — полная длина дуги экватора.
Для резонансных значений частотного параметра Q при большюм числе волн по экватору оболочки справедлива асимптотиче•ская формула [95]:
rL
П-1г
П
^g,m — 2лтН
Зн ая
и выражая параметр ajj = (Qg.m— к^)
из уравнения
((2.1.6), получим кубическое уравнение для коэффициента ц* =
= (ю/сод)® снижения резонансной частоты оболочки в жидкости ш
по отношению к собственной частоте оболочки в вакууме ©о при
заданном числе волн вдоль экватора оболочки то и в перпендику-лирном направлении q:
+ (е© — в — 2 ) р®-Ь (2е + 1) P# — е = О,,
’
^
cOq ==
Табл. 1 иллю стрирует реш ение этого уравн ен ия н а примере
к о л еб ан и й сферической оболочки в жидкости и в вакууме.
Внутренняя задача. Метод собственных функций. Выпишем
систему уравнений установивш ихся высокочастотных квазипопе­
речны х колебаний замкнутой оболочки с жидкостью , не в ы раж ая
в ней заранее функцию давления жидкости на поверхности
^оболочки
h l A l W - k ^ W - P \ n . = o + F = 0,
А Р + к^Р = О,
я2
дп
W = 2Ehw,
(2)
п~о
п \
Яз = 1
(/ = 1 ,2 ) .
3/
-^десь уж е п — внеш н яя нормаль к поверхности оболочки.
Допустим, что реш ения задачи — функции прогиба оболочки
w { a , Р) и давления в ж идкости Р ( а ,
гг), а такж е известная
ф ун кц ия нагрузки Е { а , ^ ) — представимы в форме разлож еш ш
*^Фурье по полной системе собственных ф ункций высокочастотных
.126
квазипоперечных колебаний оболочки без ж идкости
W (а , Р) = 2 amlWoml (а , Р),
т,1
= 2 fmlWoml,
m,Z
Р (а, р, и) = 2 Pmi (п) Womi (а, Р),
т,1
h^A^WQml — ^Qmn^QTYil = О?
те, / = о, 1, 2, . . ,,
(3>
'^07П1 ~ ^omllCQ.
Отметим, что если такое представление найдено (хотя б ы
приближенно как высокочастотная асим птотика), то оно не соз­
дает противоречий при удовлетворении условию непротекания,.
так как третья координата в системе (а , Р, п) совпадает с пря­
мой нормалью к поверхности оболочки.
Подстановка (3) в (2) приводит к системе уравнений относи­
тельно коэффициентов разлож ений на поверхности оболочки (ин­
дексы т, I опущ ены)
а (Я * _ Г )-Д (0 ) + /= 0 ,
R" (0 )+
R'{0) = ~K^ga,
- Q l ) В (0) = О,
ИЗ которой выводится связь меж ду резонансными частотами ко­
лебаний оболочки с жидкостью и собственными частотами коле­
баний пустой оболочки
(О* = (0о[1 — g7?(0, (0)/Л '(0, 0))Г*.
(5>
Из рассмотрения эталонного уравнения Гельмгольца в сфери­
ческих координатах следует, что при реш ении внутренней задачивозможны два типа асимптотик ф ункции давления по нормали,
к оболочке вблизи ее поверхности: 1) экспоненциальное затуха­
ние от стенок оболочки в глубь жидкости; 2) осцилляция, пере­
ходящ ая на небольшом расстоянии от стенки в экспоненциальное
затухание.
В соответствии с этими вариантами выбираются следую щ ие
исходные вы раж ен и я для коэффициентов Rmi(n) р азл о ж е н и й (3) :
асимптотика первого типа
Е т /(г г )= е х р (а т /^ ),
> О,
?г< 0,
(6)^
асимптотика второго типа
Bmi (п) = Ai {alli
— re)],
(7>
где A i ( / ) — ф ункция Эйри, осциллирую щ ая при ^ < 0 и экспо­
ненциально затухаю щ ая при / > 0 ,
— неизвестные коэффици­
енты затухания, п ^ — значение координаты п, при котором обра­
зуется внутренняя каустика в жидкости.
Подстановка (6) в (4) и (5) приводит к выписанному выше^
кубическому уравнению относительно квадрата резонансной час­
тоты колебаний, откуда следует, что при учете жидкости как
поверхностной волны, сопровождающей высокочастотные коле­
бания оболочки, резонансные частоты
колебаний
системы
127
юболочка — ж идкость не зависят от того, находится ли жидкость
снаруж и или внутри оболочки.
П ри изменении функции давления в пристеночном слое
ж идкости по типу (7) м еж ду резонансной частотой колебаний и
полож ением внутренней каустики в ж идкости устанавливается
<связь:
+ /с") Ai (i*) = 0 ,
©2 = (о Ц 1 —
(t^ y A i'
Рассм атривая (8) к ак уравнение относительно
отметим,
что в отличие от р яд а задач диф ракции [4] здесь не проходит
случай Ai(Z„.) = 0, иначе P L = o = 0 и о> = соо. Это указы вает на
отсутствие третьего волнового числа в данной задаче. Однако
при k > Q o , т. е. н а очень высоких частотах, находяп^ихся на
пределе применимости линейной двумерной теории оболочек,
значение Щ ф О все ж е возможно. Д л я частот ниж е частоты сов­
п ад ен и я (k = Q) справедлива квазиэкспоненциальная асимптоти­
к а вида (6 ).
§ 4. Оболочка с подкрепляющим кольцом
П усть вы п уклая зам кн утая оболочка вращ ения, погруж енная
в идеальную ж идкую среду, подкреплена изнутри вдоль некото­
рой параллели а = од тонким упругим кольцом. Примем, что к
кольцу прилож ена норм альная к срединной поверхности оболоч­
ки периодическая нагрузка интенсивности д, распределенная по
окруж ности кольца по закону e x p [ i { m ^ — (ot)], где ттг — целое
число, такое, что
> 1.
Б удем рассматривать высокочастотный диапазон коротковол­
новых колебаний, в котором при определении ф ункции прогиба
юболочки можно пренебречь влиянием тангенциальны х переме­
щ ений. Вследствие этого перемещ ениями кольца из его плоско­
сти можно такж е пренебречь. В процессе совместных с оболоч­
кой колебаний кольцо будет деформироваться так, что линия
центров тяж ести его поперечных сечений останется плоской,
а сами поперечные сечения будут перем ещ аться в радиальном
п ан равлен ии и поворачиваться вокруг своих центров тяж ести.
В рам ках приняты х ограничений на перемещ ения кольца
можно заменить его действие на оболочку распределенны ми по
п араллели подкрепления а = од нормальным усилием и изгибаю ­
щ им моментом с некоторыми заранее неизвестными интенсивно­
стям и до, то* Н апряженно-деформированное состояние оболочки
от этих нагрузок носит преимущественно изгибный характер и
(с учетом принятой большой изменяемости нагрузки) может
быть описано одним уравнением квазипоперечны х колебаний от­
носительно ф ункции прогиба. П олагая справедливым представле­
ние (1.3) д ля интегралов ф ункции давления в жидкости, сводим
-^задачу о высокочастотных колебаниях оболочки в жидкости, на­
128
груженной кольцевыми периодическими усилием и моментом с
интенсивностями до и rriQ, к системе уравнений (2.1).
Построение частны х интегралов систем (2.1) и общих интег­
ралов по разны е стороны от линии н агруж ени я проводится по
схеме (2 .6), (2 .9), (2.13). Единственное отличие возникает при
выделении главны х особенностей реш ения на линии нагруж ения:
вместо однородного условия д ля второй производной от ф ункции
прогиба в (2.14) п оявляется скачок
~
^2 =
(ао)
Соответственно изм еняю тся вы раж ения (2.15)
для функций IF ± ( a ) . Они дополняю тся моментными членами
а
ехр
+ (-
T j
.
+
L
i=2
Т
. ( 1)
Sj{a)da
“о
J
ф у н кц и и (1) определены с точностью до неизвестных приве­
денных усилия ( ^ з ) и момента ( ^ 2), которые находятся из ус­
ловия совместности колебаний оболочки и кольца.
У равнения колебаний тонкого упругого кольца ([1 0 5 ], т. 1)
под действием распределенны х по внутреннему и наруж ному
контурам периодических усилий и момента при сделанных пред­
полож ениях приводятся к виду
= N3 , АГо = (д - до) ф (/, р).
Gfltd^e
Pf.r.
9
^ 9^0
Ро^р
,,
Afo,
М
3
, а\
пз^оФ (/, Р),
(2)
ф(/, Р) = ехр[й(тер — ю()],
где PF/i, 0 — радиальное перемещ ение и угол кручения кольца,
<^ь f i , f p , Р — моменты инерции сечений кольца относительно
главных плоскостей изгиба, полярны й момент инерции и пло­
щ адь сечения, G f h — жесткость кольца на крзшение, R — радиус
оси кольца.
И склю чая в (2) врем я и окруж ную координату р зависимо­
стями РГ* = и?(,ф(/, р ), 0 = 0лф(/, Р), получим алгебраические со­
отношения м еж ду парам етрам и колебаний кольца и нагрузки:
UWh = q — до,
ф А
=
п зо,
h = E f i {mIR) * — роРа>\
<f>k = Ро
— { G f k m ^ + E f 2) R ~ ^-
П риравнивая затем Wh и 0^ к значениям ф ункции прогиба
оболочки (1) и ее производной на линии нагруж ения, получим
Искомые вы раж ен и я д ля амплитуд (до, то) перерезывающ его
Уоилия и момента, передаваемы х через кольцо на оболочку
^
А. л.
П опов,
г. Н.
Ч ерн ы ш ев
129
с учетом реакцш ! жидкости:
go = d*d“ ‘,
dm ~ qophfiq,
rno = dmd“ ’,
d = (fhfkifgqflm
J 2 q — Jimy
Sfl =
fig —
.
“
= «?(фс/зт + 1 ),
/2m/lq)d' Ofkjgm ■ fhflq F It
J i m — - J "Jy^2 — e ~ ’
(^o(+)) P ( t o i- ) ) +
(«©(-))
.
(^o(+))t
(4 )‘
_ V l± V 2 ll^
D sl
(«о) Г
Co ( + ) )
Ds^0 L
«
(*o(-))
, .
^
1
,
V
~
2+
V
3-
^
2^2
V
3
■
И з этих вы раж ений видно, что условие резонансны х коле­
баний гладкой оболочки в ж идкости (ei = 0 ), выведенное в § 2,
преобразуется в условие d = О, сущ ественно зависящ ее от ж есткостных свойств кольца. При этом обращ ение в нуль Д либо ф^,
означаю щ ее совпадение частоты вынуж даю щ ей силы с собствен­
ными частотами радиальны х либо крутильны х колебаний под­
крепляю щ его кольца, не приводит к общему резонансу системы
кольцо — оболочка — жидкость. Совпадение м еж ду собой отдель­
ных частот, найденны х из условий Д = Фа = О, такж е не приводит
к резонансу всей системы.
§ 5. Коротковолновые колебания в диапазоне средних частот
Согласно классиф икации [42] диапазон применимости си­
стемы уравнений квазипоперечны х колебаний оболочки (1.1) при
отсутствии контакта с жидкостью начинается с частот к Н ~ \
где R — характерны й радиус кривизны срединной поверхности
оболочки. П ри колебаниях оболочки в жидкости граница приме­
нимости этих уравнений сущ ественно ниж е (вследствие роста
присоединенной массы жидкости) и составляет в большинстве
расчетны х случаев 0,3—0,4 от кольцевой частоты ( к Я = 1).
Рассмотрим снова задачу о преимущ ественно изгибных ко­
лебаниях вы пуклой зам кнутой оболочки вращ ения, нагруж енной
вдоль одной из параллелей (а = од) нормальной гармонической:
силой
= ^'4 “ Ч о ^ ) 8 ( а — о д )е х р [г (т ^ — coZ)] (m == О, 1, 2 , . . . ) .
Реш ение этой задачи будем строить, исходя из системы урав­
нений (1 .1), учитываю щ ей влияние тангенциальны х усилий па;
прогиб оболочки. При построении реш ений по-преж нему полагаем,
что ф ункция прогиба оболочки и давления жидкости на ее по­
верхности меняю тся сущ ественно быстрее, чем кривизна и п а­
раметры Л ам е поверхности. Рассмотрение будем вести в изотер­
мических координатах а ,
Выразим интегралы функции давления ж идкости на поверх­
ности оболочки через функцию прогиба посредством (1.3), (1.4)..
130
приходим к системе трех уравнений на поверхности контакта
(ге = 0) относительно функций ТГ, X и парам етра а ( а ) :
h l M W - Л,Х - X I W = qA~^ (а,) б (а - а^)
A l X + A J V = 0,
Xl = я ф
A 3 W + l { a ) W = 0,
+ l),
I (a) =
(1)
+ k^.
Слагаемое
в вы раж ении I (a) на большей части частотного
диапазона играет незначительную роль в сравнении с большими
величинами в асимптотических построениях, и им вполне мож но
было бы пренебречь. Однако на высоких частотах пренебрегать
этим слагаемы м нельзя, и поэтому, ради общности, он сохранен
всюду. А симптотические разлож ени я точных вы раж ений для
коэффициентов присоединенных масс в случаях цилиндрической
и сферической оболочек такж е указы ваю т на необходимость со­
хранения этого слагаемого.
Примем, что характер реш ения системы (1) по координате ^
такой же, как у функции нагрузки. Тогда условие совместности
системы (1) запиш ется в виде алгебраического уравнения девя­
той степени:
L (а) Р (а) 4- {пРА-ф^ - I (а) Щ Х = О,
L {a )^h X {a )-X l.
=
(окруж ное волновое число т может принимать здесь любое це­
лое значение при условии большой изменяемости интегралов
вдоль м еридиана оболочки).
В осесимметричном сл(учае уравнение (2) принимает вид
Ь{а) + Щ ^ ^ ф
(3)
сходный с характеристическим уравнением для гидроупругих
колебаний пластины. Однако в отличие от него уравнения (2)
и (3) содерж ат в своих коэффициентах медленноменяю щ иеся
функции меридиональной координаты а . Поэтому коэффициенты
присоединенных масс жидкости, определяемые из этого уравн е­
ния, такж е являю тся медленноменяю щ имися ф ункциями а.
А нализ коэффициентов уравнения (2) в области его нримевимости показы вает, что оно имеет пять корней, близких к кор­
ням характеристического уравн ен ия (2.1.6) для пластины. Эти
корни имеют порядок
и могут быть объединены в группу
«больших» корней «ь . . аъ («i > О, «2
«4 = ^ 5). Остальные
корни имеют асимптотический порядок 0 ( 1 ) и не относятся
к характеристикам быстроменяющ егося состояния.
Построим реш ение системы (1) в неосесимметричном случав
(г ? г > 0 ). Т ак к а к порядок системы (1) выш е, чем у системы
высокочастотных колебаний (2.1), то требуется большее число
вроизволов для удовлетворения условиям склейки реш ений в
9*
131
местах прилож ения сосредоточенных нагрузок. Поэтому для по­
строения общего интеграла быстроменяю щ ейся компоненты р е ­
ш ения будут использоваться не только интегралы , соответствую ­
щ ие корням « 1,2,3 с полож ительны ми действительны ми частями,
но и дополнительны е интегралы, определяемы е «большими» кор­
ням и «4,5 с отрицательны ми действительными частями (напом ­
ним, что каж дому из этих корней соответствуют два и нтеграла
у равнения Гельмгольца для давления ж идкости в окрестности
оболочки, один из которых быстро затухает, а второй возрастает
при удалении от оболочки; естественно, что для всех корней
« ; ( / = 1, . . . , 5) вы бираю тся интегралы, затухаю щ ие в глубь
ж идкости).
На поверхности оболочки действительному корню «i, к ак и
в случае высокочастотных колебаний, соответствуют осцилли­
рую щ ие (проникаю щ ие) интегралы определяющ его уравнения,
комплексным корням «j (/= = 2 , . . . , 5 ) и нтегралы «внутрен­
него краевого эффекта», быстро затухаю щ ие в окрестностях мест
п рилож ения сосредоточенных нагрузок.
Проникаю щ ие интегралы ищ утся в том ж е виде (2 .6 ), что
и в случае высокочастотных колебаний с принятием в качестве
большого парам етра величины р =
соответствующ ей извест­
ной изменяемости изгибно-плоскостных интегралов [42]. А симп­
тотический (по р) порядок характеристического п оказателя 1{а)
в (1) для большого положительного корня «I определяется из
реш ения алгебраического уравнения (2 ):
h l P (а,) + { н у -
Р (а,) - 2 ^
/ (а,) + ^
Главны е члены (4 ), задающ ие «пластинчатую»
уравнения, асимптотически балансирую тся при Z (
этому, полагая Z(«i) = p^gi ( « i) , можно преобразовать
щ ее уравнение (1) на поверхности оболочки к виду
тором под / ( а ) понимается разность
/ (а) =
(а) у, (« J - А^ (а,,)
= 0.
(4)
часть этого
« i ) По- I
определяю - |
(2.5), в ко- |
(«, (а^)).
(5)
П олож ение переходных линий а = ± а* в этом случае опре­
деляется равенством
А Ц а ^ ) 1 { а , { а ^ ) ) - ^ т ^ = 0.
(6)
Д л я построения интегралов внутреннего краевого эффекта,
соответствующ их корням « j(/ = 2, . . . , 5 ), используется В К Б представление (2.9) с п оказателям и —5j ( a ) :
sf = т ‘^ — А^ (а) I («;),
Re Sj > 0 ,
/ = 2, . . . , 5.
Общие интегралы системы (1) д ля ф ункции прогиба и давле­
н и я жидкости на поверхности оболочки (по разны е стороны от
132
линии прилож ения нагрузки) могут
аналогичном
(2.13),
но с двум я
гралами:
быть записаны в виде,
дополнительными и нте­
(а) = 2 cfw^ (а, а,-),
j= i
3
Р± (а, «) = —
2
^
^7w± (а, aj)
J=1 7
(7)
5
^
—2 ^
j=4 7
Д ля определения десяти постоянных
интегрирования c f
(у = 1, . . . , 5 ) необходимо сформулировать более обилие, чем
в высокочастотном случае, условия, выделяю щ ие правильны е
особенности в реш ении (7) на линии нагруж ени я. Н еизменны ми
остаются условия непрерывности ф ункций прогиба оболочки
и давления ж идкости на ее поверхности, а такж е их первых
производных по меридиональной координате. Ввиду того, что
в диапазоне средних частот учиты вается влияние тангенциаль­
ных усилий на прогиб оболочки, условия для других главны х
неизвестных задачи — изгибающего момента и т. д.— необходимо
формулировать с учетом этого влияни я.
Из постановки задачи следует, что на линии действия нор­
мальной нагрузки долж ны быть непреры вны тангенциальны е
смещ ения wi, «2, меридиональное Ti и сдвиговое S усилия и из­
гибающий момент Gu Д олж ен быть такж е скачок заданной
величины в перерезываю щ ем усилии Ni. Т ак к ак они могут
быть вы раж ены через производные от и? и X:
(8)
то из их непрерывности следуют такж е условия непреры вно­
сти функции Х ( а , р) и ее первой производной по а при
а = Оо.
Связь меж ду компонентами тензора кривизны и ф ункцией
прогиба оболочки ( щ — A~^d^w/dai, i ~ 1, 2,
= а,
~ Р)
с учетом непрерывности функции прогиба и изгибающего момента
при а = ао дает условие непрерывности второй производной от w
по а ; из непрерывности перем ещ ения щ и угла поворота
при
переходе через линию а = ао следует непреры вность первой про­
изводной dwida. Скачок в перерезываю щ ей силе составляет не­
однородное условие для третьей производной d^wlda?^ идентичное
условию (2.14). У словия непрерывности перемещений щ, «2
вдоль линии а = Оо приводят с учетом предыдущ их условий и
равенств (8) к требованию непреры вности третьей и четвертой
производных по а от ф ункции X.
133
П одстановка в перечисленые условия вы раж ений (7 ), (8) для
W { a ) , Х ( а ) II Р { а , 0) приводит к системе десяти алгебраических
уравнений относительно постоянных c f (/ = 1, . . 5 ) :
{ty + 2
j=2
« Г ’ («о)
Ф1 («о)
== c U y (i+) - с Т о У (t_),
(t±) + 2 a y (a„) bji = 0,
i=2
(t±) + i
j= 2
Ф,- («о) bjn = 0,
ra = 0, 1, 2, 3;
(9)
i = 0, 1,
bjn = s j [ { - 1)”4 -
],
j = 2,
Структура этой системы такова, что она естественным образом
расчленяется на две подсистемы по пять уравнений, содержапцих
одинаковые комбинации
— с/" и cJ + cJ" при четных и нечетных
значениях индексов дг и Z. В случае одной кольцевой нормальной
силы реш ения первой (однородной) подсистемы вы раж аю тся
через реш ения Xj (/ = 1, . . 5) второй (неоднородной) подсис­
темы:
Ц = - ^ i ^ y ^ o (t+),
c f = Xj/2
5
2
(/ = 2, . . . , 5),
(10)
5
s”Xj = b g n ^ 3.
j= l
2
(“ o) Ч X j ^ O ,
j= l
j= i
^
i —4 -7
a = 1, 3.
И з вы раж ений (10) видно, что условием резонанса при ко­
ротковолновых колебаниях в диапазоне средних частот явл яется,
к а к и в высокочастотном случае, обрахцение в нуль знаменателей
коэффициентов при осциллирую 1цих интегралах: -ei = О или, к ак
следует из (2 .1 5 ),
о*
/7 (a )d a = ^ q ^ h y ,
О
где q ^ — меридиональное волновое число, а = ± а ^ — координаты
переходных линий на поверхности оболочки (а ,|.;> 0 ).
Ф ормула (7) для W ^ { a ) с постоянными
определенными
из (1 0 ), задает форму прогиба оболочки при вы нуж денны х ко­
лебаниях в контакте с жидкостью и мож ет рассм атриваться к а к
п риближ енная ф ункция Г рина задачи (1.1) на поверхности обо­
лочки. С ее номош;ью может быть получено приближенное р е ­
ш ение для любой гармонической нагрузки, имеюхцей т волн
434
510 параллели путем свертки (7) с заданной функцией этой н а­
грузки.
П араллельно с функцией прогиба вы раж ениям и (7) опреде­
ляется и согласованная с прогибом ф ункция давления ж идкости
на поверхности оболочки. Это имеет важное значение при вос­
становлении с помощью и нтеграла Гельмгольца — Гюйгенса
излучаемого оболочкой акустического поля.
При резонансны х колебаниях системы оболочка — ж идкость
^формулы (7) становятся неприменимыми. Чтобы распространить
реш ение данного вида на резонансны й случай, необходимо ввести
демпфирование колебаний, которое мож ет иметь двоякую при­
роду: это может быть внутреннее трение в материале либо демп­
ф ирование за счет излучения (возмож ен учет того и другого).
Реш ение задачи (1.1) с учетом этих факторов вынесено в сле­
дующую главу.
§ 6. Решение при наличии
нескольких покрепляющих колец
Рассмотрим установивш иеся коротковолновые колебания уп ­
ругой тонкостенной конструкции, состоящей из выпуклой зам­
кнутой оболочки вращ ения с дискретно располож енны ми коль­
цевы м и
ребрами,
погруженной
в идеальную
сжимаемую
жидкость. Считаем, что зад ан н ая (периодическая по времени и
о кр у ж н о й координате) н агрузка прилож ена к внутренним кон­
турам подкрепляю щ их колец. Д л я описания форм колебаний
оболочки и давления в ж идкости вблизи ее поверхности вос­
пользуемся системой уравнений (1.1), а для уравнений коле­
б ан и й колец сохраним форму записи (4.2).
Сведение трехмерной задачи (1.1) к двумерной на поверх­
ности оболочки и в этом случае осущ ествляется стандартной
процедурой —- введением коэффициента присоединенной массы
жидкости. В результате образуется разреш аю щ ая система диф­
ф еренциальны х уравнений вида (5.1) с правыми частями, со­
держ ащ ими б-функции и их производные по а от сосредото­
ченны х вдоль параллелей а = aj (/ = 1, . . . , N ) , усилий и
моментов, передаваемы х через кольца на оболочку.
Построение интегралов разреш аю щ ей системы проводится
по участкам м еж ду соседними подкреплениями. Проникаю щ ие
.интегралы ищ утся в виде (2.6), не зависящ ем от числа и рас­
полож ения подкрепляю щ их элементов. И нтегралы внутреннего
краевого эф ф екта строятся в окрестностях кольцевых ребер
в виде (2.12), причем в зависимости от расстояния меж ду коль­
цами могут учиты ваться как оба интеграла — растущ ий и за­
тухаю щ ий, так и один затухаю щ ий интеграл по каж дую из
сторон от линии подкрепления.
Общие интегралы для ф ункции прогиба оболочки справа
{«+ ») и слева (« ~ » ) от к-й линии подкрепления (ft = 1, . . . . N)
после отделения окруж ной
координаты
р представляю тся
135
в виде
+ c,,iv{t+) +
TF_ =
+
exp
-
i
s] = irP — A" (a) I (a/),
S j{a )d a
j
Cfe.j exp ^ j Sj (a) d a j +
j=2
Re Sj >• 0,.
/J
«ft-1
a
= ct,iv(t~) + Ch+i,iv{t+) +
+
exp
J
2j
3=2
ct,j exp
s.
S j{a )d a
\“ft+i
J
— 0,
+-
i;(i± ) = 0 + (a )A i(p 2 /« iF + ),
±«4:
(a) = sgn (I a I — a,^)
S j{a )d a
“ft
J
j — 2, . . . , 5;
I
V \m \
(1>
2/3
dx
Cj Д — ^iv,i — 0
(индексы 0 и iV + 1 обозначаю т участки м еж ду крайними под­
креплениям и и ближ айш им и к ним верш инами оболочки). В ан а­
логичном виде записы ваю тся вы раж ен и я для Р ± (а , п) и Х ± (а )^
Д л я определения постоянных интегрирования cf^u (/ =
• ••
. . . , 5; А; == 1, . . . , А ) использую тся условия на линиях подкрепле­
ния, сформулированные в предыдущ ем параграф е:
К ) - W ^ y (а,) = бз„.^зл +
Р У ( а „ 0) = У и («й, Oj,
^зк=^кУд^АЦаА
и = 0,
х у (оси) = XL”>(а,),
^ 2 ft = к У т , А ^ {а,),
А = 1, ...,Л Г ;
(2>
i = О, 1,
где Qkj T T i k заранее неизвестные ам плитуды усилий и моментов,,,
передаваемы х через fe-e подкрепление на оболочку (А: = 1, . . . , iV)^
bin (Z = 2, 3; гг = О, 1, 2, 3 ) — символы К ронекера.
В общей слож ности получается lOiV уравнений д ля опреде­
ления lOiV постоянных, причем м атрица системы имеет ленточ­
ную структуру.
В еличины приведенных моментов ЗГ 2 к и усилий ^ ъ к {к ==
= 1, . . . , N ) меж ду оболочкой и подкреплениями определяю тся
из условий равенства прогибов и углов поворота оболочки на^
п араллелях а = од радиальны м перемещ ениям и углам кручен и я
соответствующих подкрепляю щ их колец. Эти условия даю т до­
полнительно 2 N уравнений относительно
^за:
N
^
[(фьТ7й — ^Ih) ^ 21 -\г
зг] = — Affe,
2 [ f k y i k ^ 21 + { f h ^ k — bik) ^ 3 l ]
2=1
136
( 3>
= — Qh^
где Mk, Qh ^ распределенны е по ft-му кольцу заданны е м ом ент
я радиальная н агрузка, ф^, Д — коэффициенты , идентичные (4.3) .
Остальные коэф фициенты системы (3 ), ввиду их громоздкости^
приводить здесь не будем.
В ы раж ения (1) и аналогичные им для Р ( а , п), Х { а ) с оп­
ределенными из (2 ), (3) постоянными интегрирования описы^
вают формы вы нуж денны х коротковолновых колебаний под­
крепленной оболочки в жидкости и давление на ее поверхности.
Обращение в нуль определителя системы (3) явл яется условием
резонансных колебаний. П ри этом, как и в случае высокочас­
тотных колебаний, совпадение частоты вы нуж даю щ ей нагрузки:
с собственными частотами радиальны х или крутильны х колеба­
ний подкрепляю щ их колец (Д = О либо ф^ = 0) не приводит ic
резонансу всей системы подкрепленная оболочка — жидкость.
§ 7. Конструктивно-ортотропные оболочки
Дополним постановку задачи предыдущего п араграф а набором
равномерно распределенны х по поверхности оболочки тонких
шпангоутов, который будем рассматривать как конструктивноортотропный слой. У читы вая по известной методике [65] в л и я ­
ние этого слоя в уравнениях колебаний оболочки как распре­
деленные массу и дополнительную ж есткость в окруж ном н а­
правлении, приходим к системе уравнений для форм колебаний:
конструктивно-ортотропной оболочки в жидкости:
- 4 .x + 4
^
/
л* ар*
4
( Д.Х - 1 ± -«
л^арЧ
^
л^
apV
-
^ \
l+ /b F + P |s = 2
{а - а,) +
(а - а,)]
h=l
О/
.
^
2h
1
^
*
л^А а р Ч *
2Л"
F,
■vd"w\
+ 2hA^
S 2 - 6 , + 2ft,
apV
=0.
=
1 1^2
^2
- = 2 Т Г Т -Х /
F , = 2 lh ,
отличаю щ ейся от первых двух уравнений (1.1) наличием до­
полнительны х слагаемы х, пропорциональны х площ ади сечения Ег.
отдельно взятого ш пангоута, его статистическому моменту S 2
и моменту инерции ^ 2 относительно срединной поверхности обо­
лочки, а такж е обратно пропорциональных расстоянию I между*
шпангоутами; Ео — площ адь поперечного сечения оболочки под
шпангоутом.
Несмотря на некоторое услож нение исходной системы, прин­
ципиальны х трудностей в ее реш ении предлол^енным выше ме137'
"ГОДОМ не возникает. В ы полняя замену интегралов функции дав­
л ен и я жидкости на поверхности оболочки через прогиб оболочки
ЛЮ схеме (1.3), (1.4) и исклю чая окруж ную координату
(ТЕ == Т Е (а )е х р (г т ^ ), Х = Х ( а ) е х р ( г т ^ ) ) , приходим к разре­
ш аю щ ей
системе
уравнеий относительно
функций проги­
б а оболочки W и показателя затухани я давления жидкости в
пристеночном слое а = а (а):
2
п=о
6nA2mEF = о,
Agmiv + I (а) W =
о,
( 2)
Л>о — ^00 — ^1^00,
Х\ —
\
^
'о
/
da.^
— то"
(остальны е коэффициенты Ь„, га = 1, . . 4 , не приводятся, т ак |
как, имея довольно громоздкий вид, не несут сколько-нибудь :
важ ной инф орм ации).
В ы раж ая в системе (2) дифф еренциальны е члены через не­
дифф еренциальные, приходим к характеристическому уравнению
четвертой степени относительно парам етра /(«)==
+
корни
которого зависят от показателей затухани я а. Относительно по<^ледних получается уравнение девятой степени
«®.+ ^8«8 + . . . + Pia + Po = 0,
(3)
коэффициенты которого здесь такж е не расписы ваю тся ввиду
й х громоздкости.
Ч исленны й анализ корней уравнения (3) в широком диапа­
зоне изменения параметров оболочки, подкрепляю щ его слоя и
частоты колебаний показы вает, что их классиф икация принци­
пиально не м еняется но отношению к кл:ассификации корней
аналогичного уравнения для гладкой оболочки: имеется большой
полож ительны й корень (« i), два больших ком плексно-сопряж ен­
ных корня с полол^ительными действительны ми частями («2,з)
и два аналогичны х корня ( « 4 ,5 ) с отрицательны ми действитель­
ными частями. Остальные корни не описывают быстроменяю ­
щ ихся состояний.
Вид определяющ его уравнения Гельмгольца на поверхности
оболочки (2) таклче не меняется при учете конструктивной ор­
тотропии оболочки. Поэтому после вы деления больших корней
Vj (/ = 1, . . ., 5) построение интегралов этого уравнения и общего
реш ения проводится в последовательности (6.1) — (6.3) и при­
водит к такому ЛЮ виду вы раж ений для основных неизвестных
задачи — функций прогиба оболочки, давления жидкости на ее
поверхности и тангенциальны х усилий, что и в предыдущ ем
параграф е. Таким образом, влияние конструктивной ортотрош ш
на реш ение задачи (1.1) сказы вается только через измененные
значения корней уравнений девятой степени для показателей
затухани я давления Лчидкости в пристеночном слое.
138
§ 8. о применимости коротковолновых приближений
па частотах ниже кольцевой
Реш ения модельных задач, в частности, задач о колебаниях
Б жидкости замкнутой сферической оболочки (гл. 4 ), показываю т,
что расчет колебаний оболочки, контактирую щ ей с жидкостью,
в диапазоне низких частот может быть выполнен в определенном
смысле проще, чем аналогичны й расчет колебаний оболочки в
вакууме. Это связано с сохранением условия коротковолповости
для осциллирую щ их преимущ ественно изгибных форм колебаний
оболочки при гораздо более низких частотах, чем это допустимо
Б теории колебаний оболочек в вакууме. Напомним, что условием
коротковолповости колебаний оболочки в вакуум е явл яется не­
равенство
• max
выполнение которого позволяет расчленить реш ение задачи
о колебаниях оболочки на две упрощ енные процедуры: построе]ше интегралов системы уравнений быстроменяющ ихся состояний
и безмоментных интегралов [42].
В случае колебаний оболочки в контакте с жидкостью усло­
вие коротковолновости колебаний записы вается с учетом коэф ­
фициента присоединенной массы так:
- ^ (1 +
> max
j.
(2)
П ри сниж ении частоты колебаний параллельно происходит уве­
личение присоединенной массы жидкости
(см., например,
табл. 1, 2), что обеспечивает выполнение неравенства (2)
в диапазоне сущ ественно более низких частот, чем (1 ). Вслед­
ствие этого при построении относительно быстроменяю щ ейся
части реш ения на низких частотах может быть использован (в
главном) подход, описанный в предыдущ их параграф ах, имея
в виду, что это относится к построению той части общего ре­
ш ения, которая связана с «большими» корнями характеристи­
ческого уравнения девятой степени типа (5.2). П ри этом не все
интегралы, соответствующие этим корням, можно строить
в асимптотической форме вплоть до нулевой частоты, а только
интегралы внутреппего краевого эффекта, определяемы е с по­
мощью комплексных корней «2,з с полож ительны ми действитель­
ными частями, которые и в ниж нем диапазоне остаются боль­
шими (по модулю) и даж е несколько увеличиваю тся за счет
роста их действительны х частей. Д ля осциллирую щ их интегра­
лов, которым соответствует непрерывно уменьш аю щ ийся (при
сниж ении частоты) полож ительны й корень а\, асимптотические
представления пригодны до ниж ней границы промежуточного
диапазона частот, где а\ еще заметно больше единицы (до пер-вой резонансной частоты квазипоперечны х гидроупругих коле­
139
баний; для сферической оболочки эта частота составляет при­
мерно 1/3 от кольцевой частоты ). Д л я частот колебаний ниже^
первой резонансной частоты осциллируюпдие компоненты реш е­
ния становятся медленноменяю щ имися и их целесообразно
строить численно с помощью ЭВМ.
Безусловно, медленноменяю щ имися на частотах, меньш их
кольцевой, являю тся интегралы, изменяемость которых опреде­
л яется малыми корням и («е.?) уравн ен ия (5.2).
П рисоединенная масса для таких интегралов долж на нахо­
диться отдельно с учетом волнового характера акустического
давления непосредственно от поверхности оболочки. П ри этом;
в формулу для соответствующего коэффициента присоединенной
массы в главном приближ ении войдут только частотный пара­
метр и геометрия оболочки, не зависящ ие от п оказателя из­
меняемости напряж енно-деформированного состояния. Такое
вы раж ение (типа (4.1.17)) можно сразу подставлять на место
коэф фициента р в исходную систему диф ф еренциальны х урав­
нений на поверхности оболочки и находить ее интегралы, удов­
летворяю щ ие условиям медленной изменяемости. Отбор н уж н ы х
интегралов мож ет быть упрощ ен при замене общей системы
уравнений эквивалентной безмоментной системой четвертого
порядка. Построение линейно-независимы х интегралов безмо­
ментной системы уравнений колебаний оболочки с известным
коэффициентом присоединенной массы такж е рационально про­
водить с помощью ЭВМ. Д альн ей ш ая процедура определения
постоянных интегрирования и запись общего реш ения не от­
личаю тся от реализованны х выше.
Глава
6
РЕЗОНАНСНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ОБОЛОЧЕК
С ОБРАЗОВАНИЕМ ВНЕШ НИХ
ПЕРЕХОДН Ы Х ПОВЕРХНОСТЕЙ
Проблема построения дальнего акустического поля, и зл у ­
чаемого упругой оболочкой, как у ж е отмечалось, долж на р е­
ш аться во взаимосвязи с обратной реакцией, оказываемой
жидкостью на колебания оболочки, в том числе и за счет и злуче­
ния энергии. Это указы вает на важ ность вы полнения условий сов­
местности колебаний оболочки и жидкости, которые долж ны
быть последовательно проведены не только при определении
ближ него поля давлений и форм колебаний оболочки, но и при
изучении структуры дальнего поля. Достичь взаимосвязи бли ж ­
них и дальних полей удается (в развиваемом здесь подходе)
помощью понятия о переходных поверхностях в ж идкости,
разд еляю щ и х неволновую и волновую зоны излучения. В гео­
метрической оптике при описании подобных границ употреб­
ляется термин каустика [4]. Мы, однако, будем п ридерж иваться
черм ина переходная поверхность, так как он базируется на п ри­
нятом в динамике оболочек определении переходной линии [44]
м обобщает его на трехмерные внеш ние задачи гидроупругости.
И сследования внутренних (по отношению к оболочке) пере­
ходных поверхностей отраж ены в монографиях [129, 130].
А нализ внеш них переходных поверхностей и связанного с их
располож ени ем дальнего акустического поля, приведенного ниж е,
основан главны м образом на работах авторов преж де всего
п а [104].
§ 1. Переходные поверхности и излучение звука
при резонансных колебаниях
сферической оболочки в жидкости
В § 4.1 были получены асимптотические вы раж ен и я для
ком плексны х коэффициентов присоединенной массы при резо­
н ансны х
колебаниях
замкнутой
сферической
оболочки
в
ж идкости (формулы (4.1.14), (4.1.17). У становлен различны й х а­
рактер изм енения акустического давления при удалении от
оболочки в зависимости от типа резонансны х колебаний. П ри
колебаниях, медленноменяю щ ихся вдоль меридиана оболочки,
акустическое давление имеет излучаю щ ий характер непосред­
ственно с поверхности оболочки. П ри коротковолновых коле­
б ан и ях с преобладанием нормальной компоненты см ещ ения
141
оболочки такой характер акустического давления устанавли вается
лиш ь с некоторого удален и я от поверхности оболочки за пре­
делами так назы ваемой неволновой (или ближ ней) зоны, в ко­
торой оно м еняется преимущ;ественно по экспоненциальному
закону.
Границей ближ ней зоны яв л яется переходная поверхность,,
расположение которой остносительно оболочки определим из урав­
нения Гельмгольца относительно Р (г , 0, ^). В разделенны х пе­
ременных это уравнение имеет вид
Р{г, 0, p)^i?(r).S(0)e^™ ® ,
_ п { п + 1 ) i? = 0,
J _ A / gdR\ ,
г" dr [
г"
1 d
sin 0 50
. г, dS\ .
ra (n + l)-
sir
(1).
s =o
{n — меридиональное волновое число, m — число волн в окруж ­
ном направлении, г, 0, ^ — сферические координаты ).
Е сли волновое число к равно резонансному значению {к == кп)
в {knToY ^ ^ ( ^ + 1 ) (а = 1, 2, . . . , Го — радиус оболочки), то
всегда найдется г =
такое, что
{ k r ^ f = и (га + 1),
> Гц.
(2)
Это равенство определяет полож ение переходной поверхности
в жидкости.
При колебаниях сферической оболочки в ж идкости переход­
н ая поверхность г ~ г ^ имеет такж е сферическое очертание п
располож ена коаксиально оболочке. Выясним, при каки х усло­
виях она образуется.
И з асимптотик (4 .1 .3 )— (4.1.5) для радиальны х сферических
ф ункций R (г) —
(кг) следует, что при г ^ < . г < С г ^ , п > к г о ^ ,
изменение действительной и мнимой компонент акустического
давления по своему характеру близко к экспонентам; при
функции h n \ k r ) убывают по сферическому закону:
гг = О, 1, .. ., п < Агг.
В зависимости от соотнош ения меж ду резонансной частотой
(соп) и изменяемостью (гг) формы колебаний м еняется и рас­
стояние от переходной поверхности г ~ r,j. до оболочки. В качестве
примера на рис. 24 отображены безразмерные расстояния
от переходной поверхности г = r,j. до стальной оболочки с п ара­
метрами го/2/г = 100, V = 0,33 при резонансны х колебаниях в воде
с гг = 2, 3, . . . , 20 волнами по меридиану (значения (Оп взяты
из табл. 1); по оси абсцисс отлож ено меридиональное волновое
число гг, по оси ординат — расстояние от оболочки до переходной
поверхности; сплошной линией показана ф ункция
(гг). Видно,
что наименьш ее расстояние меж ду переходной поверхностью и
оболочкой соответствует низш ей резонансной частоте, а наиболь­
шее расстояние — кольцевой частоте ( о д = 1 ) . Это полож ение
142
отмечено вертикальной штриховой линией. Н а рис. 24 наблю ­
дается интересная закономерность «движения» переходной по­
верхности. Сначала, с ростом изменяемости реш ения в меридио­
нальном направлении, переходная поверхность удаляется, а за­
тем, начиная с определенного соотнош ения меж ду частотой ш
Рис. 24
изменяемостью ,— снова приближ ается к оболочке. Это объяс­
няется сближ ением длин акустической и поверхностной волн.
В пределе (при их равенстве) переходная поверхность «садится»
на оболочку и оболочка становится «локально излучаю щ ей» [78].
Н а рис. 24 приведена такж е приближ енная кривая зависимости
^,}.(/г), полученная путем подстановки в формулу (2) значений
резонансного частотного парам етра аоп из восьмого столбца
табл. 1, при определении которых использовались упрощ енные
уравнения квазипоперечны х колебаний с большой изм еняем осты о
(ш триховая к р и в ая). Небольшие отличия меж ду точными и
приближ енны ми значениям и
(гг) заметны только при малой
изменяемости (гг = 2, 3 ).
С расстоянием до переходной поверхности связана величина
мнимой части (е) коэффициента комплексной присоединенной
массы жидкости, определяю щ ей демпфирующ ий эффект излуче­
ния (§ 4 .1 ):
8 = ехр
(3)
В табл. 4 помещ ены рассчитанны е в соответствии с (2 ), (3)'
значения г при разны х гг. Видно, что с ростом п и удалением
переходной поверхности г =
от оболочки мнимая часть коэф­
фициента присоединенной массы (4.1.15) быстро ум еньш ается.
Соответственно изм еняется и демпфирующей эффект излучения.
Если принять обычное для коэффициента внутреннего трения
значение 0,01, то в сопоставлении с ним акустическое демпфи­
рование много больше при дг = 2, соизмеримо при гг = 3, мало
при гг === 4 и пренебрежимо мало при
5. Однако это ещ е
143
3ie означает, что для идеально упругой оболочки с увеличением
изменяемости формы колебаний должны быстро нарастать и ре­
зонансные амплитуды, так как параллельно с уменьшением е
увеличивается добротность колебательной системы, т. е. резонан­
сы с ростом п становятся более узкими и для получения при­
емлемого значения амплитуды колебаний необходимо определять
и поддерживать резонансную частоту колебаний с чрезвычайно
высокой точностью.
Таблица4
п
2
3
4
5
6
10
15
8
8-10-2
МО-2
2-10-2
м о -^
8-10-2
2-10-11
5-10-18
П ри неосесимметричных колебаниях сферической оболочки
~в ж идкости полож ение сферических переходных поверхностей
оп ред еляется такж е из уравнения (2 ). Однако, кроме этих по­
верхностей, при т > О возникаю т переходные поверхности, р а з­
деляю щ ие области с разны м характером реш ений уравнений
Г ельм гольца и по меридиональной координате. Здесь уж е «ра­
ботает» реш ение второго уравнения (1 ): во внутренней области
(9,*.С 0 < л ; — 0^) при п { п + l)>rri^/siii^Q ф ун кц ия 5 (0 ) имеет
осциллирую щ ую асимптотику вида (8.10.7) [104]
5 ( 0 ) = {21пп sin 0)1/2 sin [(гг + 1/2)0 + я /4 ] + О
а вблизи полюсов определяется асимптотикой функций Б ес­
с е л я для случая, когда аргументы этих ф ункций меньш е и н ­
дексов, т. е. квазиэкспоненциальны ми представлениями (4.1.3),
(4 .1 .4 ).
Равенство гг (гг + 1) =
определяет конические пере­
ходны е поверхности в пространстве, занятом жидкостью : это
конусы с верш инами в центре сферы, пересекаю щ ие оболочку
по параллелям , совпадаю щ им с переходными линиям и на ее
поверхности.
В зависимости от соотношения м еж ду числом волн в окруж ­
ном (ггг) и меридиональном (гг) н ап равлен иях м еняется поло­
ж ение точек пересечения оболочки коническими переходными
поверхностями. С увеличением окруж ного волнового числа они
приближ аю тся к экватору оболочки, с ростом п и фиксированном
значении ггг — к полюсам оболочки. П ри этом м еняется область
резонансной осцилляции неосесимметричной формы колебаний
оболочки, контактирую щ ей с жидкостью. Д л я больш их т она
сосредоточена в экваториальной области, с ростом п — расш и­
ряется к полюсам. Однако при любом соотношении п я т (при
ггг ^ 2) верш ины оболочки остаются неподвижными и, следо­
вательно, неизлучаю щ ими. М еж ду верш инами оболочки и пе144
реходп ы м и линиям и форма резонансны х колебаний имеет ква-
зистатический вид.
Таким образом, конические переходные поверхности выде­
л я ю т области полной акустической тени в окрестностях полюсов
системы координат и оболочки. В качестве иллю страции на
рпс. 25 приведена х арактерн ая диаграмма направленности и зл у­
чения сферической обо­
лочки (сплош ные ли­
нии) для резонансной
гармоники с 72 = 5 вол­
нами по меридиану и
772 == 6 волнами по п а­
раллели оболочки (оси
абсцисс и ординат со­
ответствуют полюсному
и экваториальному се­
чениям ). Н а диаграм­
му направленности, со­
держ ащ ую десять л е­
пестков по меридиану,
налож ены
(ш триховы ­
ми линиям и) сфериче­
ская и коническая пе­
реходные поверхности,
вы численны е при тех
ж е значениях ттг и тг. Видно, что коническая переходная поверх­
ность (н аклон н ая п р ям ая л ин и я) практически полностью ограни­
чивает излучаю щ ую область в диаграмме направленности. Н езна­
чительный заход крайнего лепестка диаграммы за переходную
поверхность в область тени показы вает вклад в дальнее поле от
быстрозатухаю щ их к верш ине оболочки компонент динамического
прогиба за переходной линией 0 = 0,*.. Рис. 25 показы вает такж е,
что максимум резонансного и злучения оболочки находится вблизи
образую щ их конических переходных поверхностей, которые сл у­
ж ат как бы «отраж ателями» формы колебаний и в этом к а ­
честве напоминаю т заделку.
П реж де чем перейти к рассмотрению излучен и я от оболочек
других форм, которое такж е сопровождается возникновением пе­
реходных поверхностей в жидкости, условимся для отображ ения
в н азван иях общности их ф ункций различать переходные поверх­
ности первого и второго рода. Пе реходная поверхность первого
рода не пересекает оболочку и яв л яется границей м еж ду невол­
новой и волновой зонами при удалении от оболочки по нормали
к срединной поверхности. Пе реходная поверхность второго рода
пересекает оболочку по переходной линии и разделяет области
осциллирую щ их реш ений уравн ен ия Гельмгольца, согласованны х
с реш ениям и оболочечных уравнений в меридиональном н ап р ав ­
лении. Согласно этим определениям сф ерическая переходная
поверхность г =
— первого рода, конические 0 = d = 0,^ — второго.
10 а . л.
П о по в,
Г. Н. Чернышев
145
§ 2. Условия образования внешних переходных поверхностей
при колебаниях бесконечной цилиндрической оболочки
в жидкости
В § 2.1 рассмотрена задача об изгибных волнах, распростраияю щ ихся вдоль образующ ей бесконечной цилиндрической обо­
лочки, и поверхностных волнах в ж идкости в диапазоне неиз­
лучаю щ их частот ( я / Ь > к , где 2L — длина гидроупругой волны,.
А* — волновое число в ж идкости). П ри обратном знаке неравен­
ства ( п/ Ь < к) реш ение однородной задачи, вообще говоря, н е
сущ ествует, вследствие затухания волн от бесконечно удален­
ного источника за счет и злучения энергии в глубь ж идкости.
Тем не менее реш ение типа расходящ ихся с небольшим зату­
ханием упругих волн молено рассматривать и в этом диапазоне,^
понимая его как одну из составляю щ их общего реш ения задачи
о вы нуж денны х колебаниях оболочки в жидкости.
Допустим, что колебания оболочки и ж идкости происходят
по форме с пг > О волнами по параллели, и рассмотрим следую­
щ ий за неизлучаю щ им диапазон частот, в котором на поверх­
ности оболочки вы полняется неравенство
>0,
р? =
- { n / L f > 0.
(1>
Разделив обычным образом переменные в уравнении Гельм­
гольца в цилиндрических координатах, получим уравнение от­
носительно компоненты акустического давления Рт{г):
P U r ) + ^ P ' m { r ) - ( 4 - f > l ] P m { r ) = 0.
'
\Г
/
(2>
Из этого уравн ен ия видно, что при выполнении условия (1 )
на интервале го < г < оо всегда найдется такое значение
чтО'
(3>
Это значение определяет полож ение цилиндрической пере­
ходной поверхности в жидкости.
Расстояние от поверхности г =
до оболочки зависит o r
окруж ного волнового числа т (с увеличением т оно увеличи­
вается) и от частоты колебаний (здесь зависимость сложнее и
вы ясняется из реш ения соответствующего дисперсионного урав­
нения (2 .1 .1 1 )).
В окрестности г =
(точки поворота) м еняется характер ре­
ш ений уравнения (2 ). При наличии точки поворота реш ение для:
расходящ ихся волн (ф ункция Х анкеля Я^,}^(Р(,г)) имеет равно­
мерное асимптотическое разлож ение через функции Эйри
(4.1.3) — (4 .1 .5 ') справедливое как мея^ду оболочкой и переход­
ной поверхностью, так и за переходной поверхностью, т. е. в о
всем пространстве, занятом жидкостью. Это разлож ение м ож ет
быть выведено из рекуррентной системы обыкновенных диф­
ф еренциальны х уравнений относительно ф ункций Ч^'(г), Ф п (г)
146
= о, 1, 2, . . . ) при исходном представлении Рт(г) в виде [53]:
Рт Ф) = Ф (г, р)
V
(р^/згр (г)),
ф (г, р) = I : ф „ (г) р - п ,
п=о
(4)
где v { z ) — одна из ф ункций Эйри, р — большой параметр (в дан­
ном случае р = т) .
П редставления типа (4) для радиальной компоненты давле­
ния будут использоваться и в дальнейш ем при построении акус­
тических полей во внеш ости оболочек более сложного очер­
тания, для которых отсутствуют готовые табличные асимптотики
лочного реш ения уравнения Гельмгольца.
Определим коэффициент пропорциональности м еж ду ф ун к­
цией давления ж идкости на поверхности оболочки и прогибом
(коэф ф ициент присоединенной массы) исходя из асимптоти­
ческого представления (4 ):
Р (
ф) -
„V , у
, _
АГ (У - ( Bi' ( У
w А
1
При достаточной удаленности переходной поверхности г —
ют оболочки вместо ф ункций Ai и Bi можно подставить их
асимптотические разл ож ен и я (4.1.4) для больших полож ительны х
аргументов. В ы раж ение (4) при этом сущ ественно упростится:
Р Фз, г, ф) = -
У т ^ - f>lrl
ю (аг, ф),
8 =
^
(6 )
Если пренебречь в нем потерями на излучение, полож ив 8 = 0,
то формула (6) д ля связи меж ду интегралам и Р ж w станет т а ­
кой же, как при исходном экспоненциальном представлении ф ун к­
ции давления ж идкости в окрестности оболочки, что указы вает
на применимость данного представления и в диапазоне частот,
определяем ом неравенством (1 ). Вообще при ттг > О величина s
чрезвы чайно м ала во всем диапазоне частот (1) и с ростом и з­
меняемости напряж енно-деформированного состояния продолж ает
быстро ум еньш аться вплоть до н уля; следствием этого яв л яется
ч<выход» в неизлучаю щ ий диапазон частот (см. рис. 4 ). В этом
сл у ч ае переходная поверхность находится на бесконечно боль­
шом удалении от оболочки.
При фиксированной частоте со и изменяемости т определение
п олож ен ия переходной поверхности в ж идкости внутри д иапа­
зон а (1) сводится к реш ению дисперсионного уравн ен ия (2.1.11)
при подстановке в него вы раж ен и я для действительной части
коэф ф ициента присоединенной массы из (6 ), заданны х значе­
10*
147
ний т и частотного парам етра к. После определения r = r ^ \ j r i , со)^
из (6) находится такж е величина коэффициента акустическога
демпфирования е. П ри этом, в отличие от случая сферической
оболочки, здесь при фиксированном т могут быть подставлены
любые значения частоты из диапазона (1 ), и в этом смысле
все они являю тся резонансными: каж дой частоте указан н ога
подспектра соответствует определенная длина волны колебаний
оболочки. Д ругие закономерности «движения» переходной по­
верхности первого рода и изм енения коэффициента акустпческого демпфирования, подмеченные при рассмотрении колебаний
сферической оболочки, справедливы и в случае колебаний ци­
линдрической оболочки.
Переход в следую щ ий — чисто излучаю щ ий диапазон частот
ггр- — (Ро^'о)^ < О — происходит в расчетны х случаях («сталь —
вода») лиш ь на пределе применимости классической линейной
двумерной теории оболочки. Поэтому данный диапазон и соот­
ветствую щ ий характер поведения акустического давления в ок­
рестности цилиндрической оболочки в рам ках рассматриваемой
модели будем считать практически недостижимыми.
i
^
'
.
§ 3. Структура акустического поля эллипсоидальной оболочки
вращения на резонансных частотах коротковолновых
колебаний
Эллипсоидальная (или сф ероидальная) оболочка вращ епия
представляет более слож ны й геометрический объект, чем ци­
линдр или сфера, вследствие непостоянства всех ее геометри­
ческих параметров при переходе от точки к точке образую щей —
меридиана оболочки. В то ж е время она сохраняет с ними и р я д
общих черт. Так, вы тян утая эллипсоидальная оболочка вращ ения
в своей средней (экваториальной части) близка по геометрии
к цилиндру (параметры Л аме меняю тся слабо, искривленность
меридиана сущ ественно меньше, чем у п араллелей ) а в куполообразных верш инах, где радиусы главны х кривизн равны м еж ду
собой, почти подобна сфере. Естественно, что эти разли чи я и
подобия наклады ваю т отпечаток на закономерности гидроупругих колебаний и и злучения эллипсоидальной оболочки. Одна и з
главны х — отсутствие неизлучаю щ его диапазона частот, характер­
ного для бесконечной цилиндрической оболочки,— яв л яется здесь
следствием замкнутости меридиана оболочки. Н етривиальны м,
как вы ясняется, яв л яется и подход к определению внеш них пе­
реходных поверхностей (как и сама форма этих поверхностей),
построить которые (в случае оболочки с неспециальны м распределением
толщ ины
по
меридиану)
можно
отказавш ись
от требования полного разделения переменны х в акустическом
уравнении.
Асимптотика решений уравнения Гельмгольца при неполном
разделении переменных. Рассмотрим коротковолновые квазипоперечные
148
колебания
замкнутой
вы тянутой
эллипсоидальной
<
)
;
'
i
вращ ения, погруж енной в бесконечную сж имаемую
жидкость, возбуж даемы е нормальной периодической нагрузкой
^'(г^)ехр[г(^/г^+ со/)]
( ц — меридиональная,
§ — окруж н ая
координаты, t — в р е м я ). Отделив /, выпиш ем исходные уравн ен ия
для форм установивш ихся колебаний оболочки в ж идкости и
жидкости в сфероидальных координатах
т], р (1о ^ S
^1 , 0 < ^ < 2 я ):
оболочки
h l A l w - А , Х - k ^ w + P do. Л, Р) = <? (л)
Д^Х +
дР
ло
и
/t
\
Л Р + к^Р = 0,
= 0,
тт
\
—
А
£0
г .2
,
_
w = 2EhW,
(1)
1
(О
2
Р
Е
Здесь W , h — прогиб и полутолщ ина оболочки, срединная поверх­
ность которой совмещ ена с координатной поверхностью ^ = |о ;
Е, ро, V — соответственно модуль Ю нга, плотность и коэффициент
Пуассона м атериала оболочки; со, т — круговая частота и число
волн в окруж ном направлении, заданны е внеш ней нагрузкой;
X — ф ункция тангенциальны х усилий; Р , р, с — ф ункция акусти­
ческого давления, плотность и скорость звука в ж идкости;
А, Аг — операторы Л ап л аса в пространстве и на поверхности
оболочки;
Al — оператор В ласова; d — фокусное расстояние
эллипсоида g
Построение реш ения поставленной задачи в рядах по вол­
новым сфероидальным функциям, как это делается в [66, 155],
возможно для оболочки со специально спрофилированной тол­
щиной стенок, когда ее внутренняя и н аруж н ая поверхности
принадлеж ат к координатным поверхностям одной и той же сф е­
роидальной системы координат. Д ля оболочек постоянной тол­
щины это условие не вы полняется. Тем не менее и в этом случае
может быть сохранена форма реш ения уравнения Гельмгольца
с разделением переменных, только оно будет неполным: вместо
неизвестной постоянной при отделении одной из координат вво­
дится неизвестная ф ункция этой координаты.
По определению, система уравнений коротковолновых коле­
баний оболочки^ в ж идкости (1) предполагает быструю (в гл ав­
ном) изменяемость входящ их в нее ф ункции w, Р ж Х вдоль
меридиональной координаты. Одновременно с этим геометриче­
ские параметры , характеризую щ ие срединную поверхность обо­
лочки,— параметры Л ам е
Г]), 7 = 1» 2, и радиусы главны х
кривизн i? j(r])— следует отнести к медленноменяю щ имся. Т акж е
медленноменяю щ ейся яв л яется и погрешность, возникаю щ ая при
Удовлетворении условию непротекания реш ением уравн ен ия
Гельмгольца в разделенны х переменных. Поэтому представим
Интегралы уравн ен ия Гельмгольца при неполном разделении пе­
ременных в виде
149
Р{1, 1), p. Р) = Н{1, л, р)‘^(л, Р)е”"“
(2)
С неизвестными ф ункциям и i ? ( |, ц, р ), 8 { ц , р ) , причем
ц,
считаем быстроменяю щ ейся по координате | и медленноменяк^
щ ейся по координате ц (р
большой п ар ам етр ).
Подставим это вы раж ение в уравнение Гельмгольца (1) |
выполним дифференцирование с учетом медленной изменяемост|
части ф ункций по переменной ц. Приходим к системе уравнен!^
относительно
ц, р) и 8{т\, р):
[ х ( г 1 ) + т о " ( | " - 1 ) - > - ( / ) | ) " ] Д = 0,
(1 -
+ [ х ( л ) - ««V I -
-(/1Л)^<5 = О,
(
).« =
д/йi,
В которую вместо константы разделения введена м едлен н ом ен яй
щ аяся ф ун кц и я разделения х(т]). Р еш ени я такой квазиразделей
ной системы долж ны быть справедливыми во всем пространств^
занятом жидкостью , вклю чая поверхность оболочки, где их не­
обходимо согласовать с реш ениями оболочечных уравнений.
Н аиболее важ ны м явл яется согласование интегралов, осци4
лирую щ их в меридиональном направлении, так к ак вблизи р4
зонансны х частот системы оболочка — ж идкость эти интегре
в основном определяю т форму колебаний и характер и зучеш
оболочки.
В слвучае вы тянутой эллипсоидальной оболочки вращ е!
условие осцилляции по меридиану оболочки (если оно вообщ
вы п о л н яется) справедливо прежде всего в менее искривленна
(и менее ж есткой) экваториальной области (1ц1 < 1). Считаем
что это относится и к соответствующим интегралам второго ура%
н ения (3 ) . Отсюда следует, что при построении осциллирующи]
и нтегралов системы (3) ф ункция разделения п{г\) долж на оты<^
ки ваться в классе комплексных функций, удовлетворяю щ их ус­
ловиям
x = xi + Zx2, x i ( 0 ) - m 2 > 0 , 1x2(0) 1/xi (0) < 1.
(4|
П ри у д ал ен и и от экватора интегралы 5 ( ц , р) сохраняю т свой
ство преимущ ественной осцилляции вплоть до окрестности зна
чений ц =
обращающих в нуль действительную часть ка
эф ф иц и ен та у недифференциального члена рассматриваемой
у р ав н ен и я :
(11*) — то* (1 —
— ( р г \ У = 0.
(51
З а этим и значениям и U 'n l > % ) интегралы 5 (г |, р) приобрета1С
квази эксп он ен ци альны й характер.
Т ак и м образом, значения 'П—
я в ля ют с я точками поворо1<
для у р ав н ен и я Гельмгольца по меридиональной координате.
Н а р я д у с условиями (4), (5) возможно вы полнение условЛ
о б р ащ ен и я в нуль действительной части коэффициента при не
диф ф еренциальном члене и в первом уравнении (3) на некото
ром м н ож естве значений ц из интервала [—1, 1]:
X» (Т1) + т- [Е", (г,) - 1 ]-^ 150
р Ч1
(11) = 0.
(|
Зто равенство определяет точки поворота в первом уравнеJJJI (3) и устанавливает связь между функцией разделения пе-
пеменных x i(ii) и координатами переходной поверхности пер­
рода 1 = 1^ (il). не пересекающей оболочку, так как
Значениям 11=±ц* соответствуют переходные поверхности второго
рода, которые пересекают оболочку по одноименным переходцым линиям.
С учетом соотношений (5), (6) приводим уравнения (3) к
виду, удобному для асимптотического интегрирования (с боль­
шим параметром у недифференциального члена):
вого
К1^ -
1)7?.|] д - [Х(Г1)+ те2(|2 -
1)-1 _ ( р |) 2 ] Л = О,
( 1 - Г 1 Э 5 ..+ [p4 2 ( r i ) + i x 2(ri)].S = 0,
(7)
Ф1 = (^^11) - I" ) [1 + Фн=/(1* -
1 ) ( |Ц л ) -
1)
Ф2 = (|Ц 'П) — V ) [1 — Ф*/(1 — 11^)(Ш 'П) — 1)1.
Ф *
=
(1
—
TiJ)(|l(% )
—
1),
р \ ^
=
т^.
Здесь уж е хорошо видно, что в области определения
ц первое
уравнение (7) мож ет иметь не более однк>й точки поворота, а
второе — не более двух.
Рассмотрим реш ение первого уравн ен ия (7 ), определяю щ ее
характер излучаю щ ей компоненты давления в ж идкости при у д а­
лении от оболочки. П редставим интегралы этого уравнения с
помощью ф ункций Эйри в виде, несколько более общем, чем
(2.4):
оо
R d , Т), Р ) = Ф d , Т1, Р) V ( р 2/згр (I , ^ )),
ф =
2
Ф п d , Г)) р - » ,
(8 )
п =0
и = v{ t ) , t =
одна из ф ункций Эйри,
(g, т]),
Ц, Р)-— неизвестные функции.
П одстановка вы раж ений (8) в (7) и приравнивание нулю
коэффициентов при одинаковых степенях р приводит к рекур­
рентной системе обыкновенных дифф еренциальны х уравнений
относительно
( |, ц ), Ф п (|, ц ) , ^ = О, 1, . . . Выпишем уравн ен ия
Для главны х членов асимптотических разлож ений:
где
(¥ ')= > ¥ = / , а , ц ),
/, = ф , а , г ) ) а 2 _ 1 ) - . ^
(9)
2 Ф > ' + Ф о¥" + 21 {1^ -
1)-1 Ф о ¥ ' = 0,
F' = F,i.
Реш ениям и первого уравнения (9) являю тся
I
¥ = -
4
j
\
2/3
[-U {4r\)W ^dx
( 10)
1*(ч)
(/, < О, ¥ < О, ¥ ' < О, У - ¥ ¥ ' = - У - /,) ,
1.51
Ь (Т 1 )
2
\
(/,^ 0 ,
\ 2 /3
[/i у , ri)]i/2da:
iF ^ O ,
Ч ^ '^ О ,
V Y iF ' = - y / , )
(зн аки выбираю тся так, чтобы функции, возводимые в дробные
степени, были неотрицательны м и).
По известной ф ункции изменяемости
( |, ц) из второго урав­
нения (9) определяем первое приближ ение для ф ункции интен­
сивности (или «весовой» ф ун кц ии ):
Фо(Е, ri) = c o n s t [ - ( E " - l ) i F ' ( | ,
(И )
В Ц , Г], р ) = Ф о ( Е , Ti)[c.A i(p2/® W )+C 2B i(p2/® iF)] + 0 (p - > ),
(12);
где, напомним, Ai, Bi — линейно-независимы е ф ункции Эйри,
Cl, С2 — некоторые произвольные постоянные.
Потребуем, чтобы реш ение (12) удовлетворяло условию из­
лучени я на бесконечности
Р д + ф Р = 0 ( | - ‘),
Зам ен яя в (12) при |
функции Ai, Bi и их производные
асимптотическими разлож ениям и при больш их отрицательны х
значениях аргументов (в соответствии с (10) при
Ч ^<0)
и ограничиваясь в них главны ми членами, получим, что констан^
ты Cl и С2 связаны соотношением С2 = icu Следовательно, вырая^епие (12) примет вид
i ? ( |, Г), р) = с1Ф о(|, ц) [A i(p2/3iF )+ zB i(p2/s> F )] + 0 ( р “ 1).
(13)
Построенное таким образом реш ение акустического уравн ен ия
равномерно по | во всем пространстве, занятом жидкостью . Его
можно использовать и при определении связи м еж ду интегралами
давления ж идкости на поверхности оболочки и прогиба оболочки..
П одставляя (13) в условие непротекания (1 ), получим
ц - - г Я IE
Z' А Г(.) + гВ1'(г)
И—
gFtg(iio,r\)z
A i(2) i Bi (z) ’
_
P
/3 ^
•
(14).
В окрестности оболочки действительная и м ним ая части ф ун к­
ции (13) имеют квазиэкспоненциальны й характер, так к а к прЕ^
S
> 0. Поэтому, если поверхность 1 = 1* (ц) находится не;
слиш ком близко к оболочке, можно придать формуле (14) для
коэф ф ициента присоединенной массы ц = р ( ц ) более простой
вид, используя асимптотические вы раж ен и я (4.1.4) для ф ункций
Эйри при больш их полож ительны х аргументах:
и (ц) =
■■=(1 р
У/ АЧ^ П)
ге (ti)),
8 = ехр ( - 2р Г / Д ( ж , т]) d A
у
I
J
(15)
152
в отличие от случаев колебаний сферической и цилиндриче­
ской оболочек в жидкости, комплексный коэффициент присоеди­
ненной массы, определяемы й формулой (1 5 ), яв л яется функцпей
лолож ения точки на меридиане оболочки. Д ействительная его
часть приближ енно определяется отношением экспоненциально
затухаюш;ей компоненты реш ения (13) к ее нормальной про­
изводной на поверхности оболочки. Такой ж е результат полу­
чается и при рассмотрении колебаний оболочки в жидкости без
учета излучения, когда коэффициент присоединенной массы,
соответствуюпдий осциллирующ им интегралам w,— действитель­
ная ф ункция от т]. В еличина мнимой части \х характеризует, сле­
довательно (в пределах применимости формулы (1 5 ), т. е. при
( 1 / 4 ) е ^ < 1 ) , излучательную способность формы колебаний обо­
лочки п зависит от располож ения переходных поверхностей
1 = 1^ (ц), ц = ± Ц:!: относительно оболочки.
Определение координат переходных поверхностей в жидкости.
Д ля определения координат переходных поверхностей выполним
условие совместности форм колебаний оболочки и жидкости на
поверхности контакта ( | = go).
Запиш ем уравнение Гельмгольца в коротковолновом прибли­
жении при g = go:
ц ) Р , ш + к^Р = 0.
С учетом представлений (2 ), (7) и (14) вы разим в этом
уравнении функцию давления ж идкости на поверхности оболочки
через функцию прогиба (для коэффициента присоединенной мас­
сы считаем справедливой формулу (1 5 ) ):
А 2 И} + s {r \ )w = о, а (ц ) = а 2 ( ц ) + *2 + 1б(т]),
(161
Р % (1о. Г
] ) Но, Г)),
б (ц) = Хз (ц) Н Г (Ео. Т]) (Е? -
1) - \
Выразив интегралы P(go, ц, ^) через и;(т1, §) такж е и в
уравнениях коротковолновых колебаний оболочки (1 ), получим,
что на поверхности g == go долж ны одновременно вы полняться
три уравн ен ия относительно функций м; и X, условием совмест­
ности которых яв л яе тся характеристическое уравнение
-
^41
кз =
(1 - яг^
+ g a -^
т
- s R ^ ^ y = О,
н1з = т ? (1 - т]*) (Е2 - 1).
И спользуя соотношение (1 6 ), сводим уравнение (17) к алгебраи­
ческому уравнению девятой степени относительно парам етра
а(т1)
Т1«о
При
=
(18)
ом меж ду асимптотически малыми парам етрам и б (т|) и
153
е (т 1) устанавливается связь
б = — Я^ё'а-13о8ф~1 (а),
s" = а* + А:",
<р (а) = 2 [2кУо ~ Х \ (1 + g a ~ 0 - В У ^ т Ч ^ Н У Тем самым определяется влияние акустического демпфиро­
ван ия на осциллирующие интегралы уравнений колебаний обо­
лочки.
При условии (19) коэффициенты
уравнения (18) стано­
вятся действительными. А нализ этих коэффициентов показы вает,
что среди корней уравнения (18) имеется большой полож итель­
ный корень («i), с помощью которого находятся координаты пе­
реходных поверхностей. С читая этот корень известным в каж дой
точке меридиана оболочки (при заданной частоте колебаний са
и окруж ном волновом числе т ) , преобразуем вы раж ение (16)
для а^(г|) в квадратное уравнение относительно функции поло­
ж ен и я переходной поверхности ? =
(ц):
a 2 - ( l + b i ( T i ) - c J x + 6,(T))-E^q = 0,
6i(il) = io + ( V * ) 4 ? ? - V ) .
.г = ЕЦт1),
c, = m ^ p - A U - l ) ~ \
Определив функцию |* (ц), находим затем из равенства (7)’
для ф,*. координаты точек пересечения с оболочкой переходной
поверхности второго рода р = ± ц* (и саму поверхность) через
полож ительны й корень трансцендентного уравн ен ия
(1 - riO [Е", (Г1, ) -
1] - ( m / p f = О
(21)
на интервале (О, 1).
В результате определяю тся такж е пределы в интеграле (15)
для 8(т]), находятся значения этой ф ункции и по их величине
делается вывод о применимости формулы (1 5 ). Если в неко­
торой области изменения г\ величина (е/2)2 будет не малой, то
для реш ения исходной задачи в этой области необходимо исполь­
зовать более общее представление д ля коэффициента присоеди­
ненной массы (14).
Заметим, что и злож ен н ая процедура определения координат
переходных поверхностей в жидкости производится, по сущ еству,
без учета влияни я излучаю щ ей компоненты давления (коэф ф и­
циент акустического демпфирования определяется после яах о ж дения этих координат). Поэтому здесь вполне возможно исполь­
зование и более упрощ енного исходного экспоненциального пред­
ставлени я для давления в ближ ней зоне, которое такж е приводит
к алгебраическому уравнению девятой степени (18) [103].
П олученны е соотнош ения упрощ аю тся в случае осесимметрич­
ных колебаний. Ф ун кц ия / i ( | , ц) становится равной |1(т]) —
а интеграл от нее в показателе экспоненты (15)
сводится к разности табличных эллиптических интегралов пер­
вого и второго рода. Х арактеристическое уравнение (17) при
154
m =
8 = о преобразуется к уравнению
тельно «(г])
[ hi {а^ + k ^ f -
пятой
степени относи­
а ~ K ^ g = 0.
(22)
Переходные поверхности 2-го рода — гиперболоиды вращ ения
Л = ± Л* ~ в случае осесимметричных колебаний отсутствуют; для
функции 1,5, (ц) получаем явное вы раж ение
Е. (л) = [II + К (п)//с)^ (Ео^ -
(23)
Оно описывает симметричный (относительно экватора оболоч­
ки) овалоид вращ ения,
касаю щ ийся при т) = О эллипсоида
^4: =
[1 + (^1 (0)/ft)^]^^^» а в верш инах — эллипсоида
= go I ^ +
+ («1 { l ) / k f
где Го == i?2(0 ) — радиус экватора, Ьо — боль­
ш ая полуось оболочки.
Из структуры коэффициентов уравнения видно, что при лю ­
бой фиксированной частоте колебаний полож ительны й корень «i
имеет максимум на экваторе оболочки (в соответствии с ми­
нимумом кривизны Е 4 ^ (ц )) и плавно убывает к полюсам обо­
лочки, «поджимая» к ним (дополнительно к отношению го/6о ^ 1 ) ,
переходную поверхность g = g,,. (г|). Отсюда (и из (2 3 )) следует,
что общим свойством переходных поверхностей в жидкости при
осесимметричных колебаниях яв л яется сущ ественно больш ая
отдаленность их от экватора эллипсоидальной оболочки, чем от
ее полюсов. .
С ростом частоты колебаний уменьш ается влияние кривизны
оболочки на корень «i > О уравнения (22). Тем самым снимается
дополнительное «поджатие» переходных поверхностей к полюсам
оболочки. Неодинаковость расстояний м еж ду переходной по­
верхностью и оболочкой в полюсах и на экваторе сохраняется
исклю чительно из-за несферичности оболочки: чем сильнее вы­
тян у та оболочка, тем ближ е переходная поверхность подходит
к ее полюсам.
В качестве примера рассчитаны координаты переходных по­
верхностей при колебаниях стальной эллипсоидальной оболочки
вращ ения с го/Ьо = 0,4, 27г/го = 0,01 в воде на частотах, связан ­
ны х с кривизной экватора оболочки равенствам и Яго = 0,5; 1; 2; 8.
Р езультаты представлены на рис. 26. П олож ения переходных
поверхностей g = g,j. (т]) при Яго = 0,5; 1; 2; 8 в случае осесиммет­
ричны х колебаний показаны сплошными линиям и с соответст­
вующими обозначениями. Контур меридионального сечения обо­
лочки отделен наклонны м штрихом (вследствие симметрии кар ­
тины изображ ена четверть сечени я).
Д ля контроля применимости асимптотической формулы (15)’
рассчитывались такж е величины 8. В областях, где наруш алось
условие ( 8 / 2 ) 2 < 1 , переходные поверхности не строились (на
рисунке — области вблизи полюсов оболочки для кривых с
Яго =
и i)
155
П ри неосесимметричных колебаниях располон^гение переход­
ны х поверхностей | = |* (т]) в районе экватора для частот, выш е
или равны х кольцевой (Яго > 1), не отличается от осесимметрич­
ного случая; на частотах ниж е кольцевой они удалены от эква­
тора на большие расстояния. Это иллю стрирую т ш триховые
кривы е на рис. 26 для формы колебаний оболочки с трем я вол­
нами по параллели. Вблизи верш ин оболочки при т Ф О , кроме
переходных поверхностей первого рода | = |,j. (ц), образуются п е­
реходные поверхности т) = ± Ц* (двуполостный гиперболоид в ра­
щ е н и я), которые пересекаю т оболочку по одноименным пере­
ходным линиям. Р асполож ение переходных поверхностей т] = ±11*
при Яго = 0,5; 1; 2; 8 такж е показано на рис. 26 ш триховыми
линиям и. К ак видно, увеличение частоты колебаний при фикси­
рованном числе волн по п араллели т перемещ ает переходную
поверхностьт] = ± ц* к верш инам эллипсоида.
П ереходные поверхности и направленность резонансного зв у ­
кои злучени я оболочки. И з асимптотики реш ения (13) следует,
что давление в жидкости, вызванное колебаниями оболочки,
интенсивно затухает в области м еж ду оболочкой и переходной
поверхностью. З а переходной поверхностью оно преобразуется
в осциллирую щую с медленным затуханием комплексную ф ун к­
цию — давление излучения. Поэтому, зн ая при заданной частоте
колебаний расстояние от точек меридиана оболочки до п ере­
ходной поверхности в жидкости (б| == |* (ц) — | q) или связанную
с этим расстоянием величину мнимой части комплексного коэф­
ф ициента присоединенной массы е, можно определить степень
сниж ения амплитуды давления в ж идкости к моменту его п ре­
образования в давление излучения. Отсюда следует, что расстоя­
ние от оболочки до переходной поверхности I = |* (ц) может слу­
ж ить основой для качественны х выводов о направленности
резонансного звукоизлучения оболочки. Так, располож ение пере­
ходных поверхностей в околополюсных областях при осесиммет­
ричны х колебаниях указы вает на то, что в этих областях почти
156
полностью отсутствуют зоны экспоненциального затухания.
Волновое поведение давления, характерное д ля дальнего поля,
наблю дается здесь почти с поверхности оболочки; для коэф ф и­
циента присоединенной массы жидкости в окрестности полюсов
<:ледует применять поэтому общую формулу
р « p-^^^g{d/2) (2go)“ ^ /n A i(0 )/A i'(0 )]a^-^/^
Таким образом, при осесимметричных колебаниях наибольш ее
излучение исходит от областей поверхности оболочки, примыкаю ­
щ их к ее полюсам. С уменьш ением частоты колебаний и (или)
увеличением вы тянутости оболочки контраст м еж ду излучением
от полюсов и от экваториальной области оболочки усиливается.
€ ростом частоты, напротив, происходит вы равнивание п оля
и зл у чен и я от отдельны х участков поверхности оболочки.
Рис.. 27
В соответствии с располож ением переходных поверхностей
диаграм м ы направленности и злучения при осесимметричных ре­
зонансных колебаниях оболочки в ж идкости имеют сущ ественно
неоднородный характер. Н а рис. 27, а изображ ены диаграммы
направленности при осесимметричных колебаниях в воде зам к­
нутой стальной эллипсоидальной оболочки, выбранной выш е в
качестве примера. П редставлены диаграммы для случаев резо­
нансны х колебаний с двумя и четы рьмя волнами по меридиану
оболочки {п==2, 4 ). Горизонтальные оси диаграмм совпадают с
направлением большой оси эллипсоида, вертикальны е отмечают
плоскость экватора. Отметим, что при построении этих диаграмм
н а резонансны х частотах использованы регулярны е в верш инах
реш ен и я второго у равн ен ия (7) при целом числе волн по ме­
457
ридиану оболочки, учиты ваю щ ие найденны е из условий совмести ;
ности (5 ), (6) парам етры квазиразделения переменны х и медлен­
ную зависимость этих параметров от меридиональной координаты.
При неосесимметричных колебаниях переходные поверхности
второго рода изолирую т верш ины оболочки и полюсные области
пространства, занятого жидкостью, от вибраций и излучения,
создавая области звуковой тени в полостях гиперболоида
(1 ц 1> ц^). Н аибольш ее излучение при неосесимметричной форме
колебаний исходит от участков оболочки, примыкаю щ их к пере­
ходным поверхностям т] = ±r],j. со стороны экватора, т. е. в на­
правлениях с миним альны м расстоянием м еж ду оболочкой и
переходной поверхностью первого рода g =
(л) (рис. 26 ). В к а­
честве иллю страции и сопоставления с осесимметричным случаем:
на рис. 27, б приведены диаграммы направленности резонансно­
го излучения эллипсоидальной оболочки при этом же волнооб­
разовании по меридиану и четы рех волнах в окруж ном нап рав­
лении.
К ак следует из (2 1 ), с ростом изменяемости формы колеба­
ний в окруж ном направлении расш иряется неизлучаю щ ая об­
ласть на поверхности оболочки. У величение частоты колебаний
при фиксированном числе волн по параллели суж ает эту область,
сближ ая направление наибольшего звукоизлучения с продолж е­
нием оси вращ ения сфероидальной оболочки. Звукоизлучение в
экваториальны х направлен иях вы раж ено сущ ественно слабее и
на частотах выш е кольцевой практически не отличается по ам ­
плитудам от осесимметричного. На частотах ниж е кольцевой мно­
говолновая форма колебаний оболочки излучает в этих направ­
л ен и ях значительно слабее, чем осесимметричная, что сл ед у ег
и из большей удаленности соответствующей переходной поверх­
ности от оболочки (например, из сопоставления расположения:
переходных поверхностей на рис. 26 при m = 0; 3 и Яго = 0,5).А налогичны й вывод делается и в [23] из асимптотического ан а­
лиза дальнего поля, где дана оценка сниж ения давления на
больших расстояниях от оболочки с ростом т : 0 { 1 / 1 / т \ ) .
Таким образом, закономерности располож ения переходных по­
верхностей, для определения которых не требуется полного р е­
ш ения задачи о вы нуж денны х колебаниях оболочки в жидкости,,
дают важ ную качественную информацию о распределениях полей
вибраций и и злучения оболочки, прежде всего,— в реж им е р е ­
зонансных колебаний, где они практически не зависят от мест
и способов нагруж ени я оболочки. По удаленности переходной
поверхности первого рода от оболочки судят о направлениях
наибольшего и наименьш его звукоизлучения, а такж е о величине
акустического демпфирования колебаний оболочки. Переходные
поверхности второго рода отделяю т области полной тени в поле
и квазистатического напряженно-деформированного состояния,
на оболочке.
458
§ 4. Коротковолновые колебания тонкостенного
эллиптического цилиндра в жидкости,
нагруженного по образующей *)
Рассмотрим теперь задачу о кюротковолновых колебаниях обо­
лочки промежуточной геометрии — бесконечного цилиндра с
эллиптическим поперечным сечением. Здесь можно ограничиться
случаем двумерных колебаний (в плоскости поперечного сечения
юболочки), задав нагрузку в виде периодической по времени,
__ _ __ ________ ______________ ___ ___ _
но не меняю щ ейся по
образую щ ей
линейно­
сосредоточенной силы
интенсивности q. Д л я
сокращ ения
вы кладок
обеспечим такж е сим­
метрию
реш ения
в
плоскости поперечного
сечения,
располож ив
н агр у зку
по
линии
м алой
оси
эллипса
(рис. 2 8 ).
П ри сделанны х упрощ ениях ф ормулировка задачи (3.1) своли тся к квазипластинчатом у приближ ению
D A l w — Q*w 4- Р do, ц) — qH do, 0) б (tj) =
q2P
dt
^2р
+ ^ + F - ^ " d , i l ) = 0,
дР
io
= (D^pw,
H
(E,
о,
Eo<S<oo,
"П) = -4- У зЬ "
E+
(1)
s in ‘^ Т] .
Ч ерез I, T) в (1) обозначены координаты эллиптического
цилиндра, связь которых с декартовыми координатами х, у, имею­
щ и м и начало в центре симметрии поперечного сечения цилиндра,
д ается формулами [4]
а: = - у c h |c o s T ],
у ==- у sh I sin ц,
0 ^ т ]< 2 л
{d — фокусное расстояние поперечного сечения, |
^ значе­
ние координаты I на срединной поверхности оболочки). От коор­
динаты Z (вдоль образую щ ей) реш ение задачи (1) зависеть не
Будет, а по I, т] применим неполное разделение переменны х
(2)
*) Этот параграф подготовлен совместно с Я. О. Малаховым.
159
У равнение Г ельмгольца относительно функции дарления Р
в таких квазираздельны х переменны х примет вид
+
— х (т1 ))Л = 0,
iS,44H-(p2sm2Ti + x (T i))5 = 0,
(3)
где
x ( ti) — м едленноменяю щ аяся ф ункция разделения.
Реш ение первого уравн ен ия (3) представим с учетом возмож ­
ности образования переходной поверхности I = |* (ц) во внеш ­
ности цилиндра I = |о; на этой поверхности
; > " s h " |^ r i ) - x ( n ) = 0.
(4)
П ри наличии равенства (4) и большого парам етра р ф ун к­
ц и я /?(Е, Ц, р) мож ет быть построена в виде, аналогичном (3 .8 );
Ло(|, Т1) = const-Ood, ц) [Ai(E)-«Bi(U],
rj)
(5)
(A i(E ), B i(E )— ф ункции Э йри). Д л я ф ункций
( |, ц ), Фо(Е, ц )
получатся вы раж ен и я
2 /3
1»(в)
\
f
{
x
,
V
i
)
y
^
d
x
¥(E ,ri) = s g n (E ^ T i)-E )
(6>
J
Ф„ (Е,
ц) = ( ¥ , |) - l / ^
/
(Е,
Г)) = sh"
Е* (Т1) -
sh^
Е.
П ри построении функции S{r\, р) необходимо согласовать вы ­
р аж ен и я (2 ), (5) с функцией прогиба оболочки w ( t i ) . П о л а га я
вводим коэффициент присоединенной массы ж идкости р(т1).
Заменим входящ ие в Во, Вол функции Эйри и их производиы&
асимптотическими вы раж ениям и (4.1.4). Получим более простую,
формулу д ля коэффициента присоединенной массы — типа (3.15):
p = a - 4 r i ) [ l + i6 (ri)],
(8):
где
1/9 .
-
/
2р J
V
{х, т]) dx) j.
^0
Условием согласования интегралов оболочечного уравнениж
(1) с реш ениями второго уравн ен ия (3) яв л яется характеристи­
ческое уравнение
a^ + 2 p 4 ^ + { p * ~ X l ) a - X l g = 0,
=
которое встречалось уж е при рассмотрении гидроупругих коле­
баний пластины.
По значению полож ительного корн я ах этого уравн ен ия с
помощью (8) определяю тся ф ункция расстояния от оболочки д о
пере.юдной по/ьерхности ^ = I* (ц) и коэффициент акустического
160
J
демпфирования е(т]). К ачественны й анализ в л и ян и я этих в е л и вдн на излучательную способность оболочки не отличается от
приведенного в предыдущ ем параграф е.
Д л я построения общего реш ения системы уравнений (1) на
поверхности оболочки при действии сосредоточенной н агрузки
примем, что порядки главны х особенностей функций прогиба
оболочки и давления ж идкости сохраняю т значения, найденны е
для бесконечной пластины (см. § 2 П р и л о ж ен и я). У чтем такж е,,
что на контуре поперечного сечения оболочки (при отсутствии
изменяемости реш ения вдоль образующ ей и выполнении равен­
ства (4 )) не возникаю т точки поворота, а следовательно,— и пе­
реходные поверхности второго рода. Поэтому интегралы
Ц)» соответствующие корням характеристического урав­
нения, могут быть взяты в традиционной форме В К Б -представ­
лений
ITII
О
= {р^ + « I)
у = 1, . . 5 ,
(dl2)
/с = 1, 2.
Д л я «1 > О они имеют характер осциллирую щ их функций,,
огибающих контур сечения оболочки с переменной длиной волны,,
для комплексных корней «2 5 (Re «2,3 > О, Re « 4,5 < 0) — х а­
рактер функции типа краевого эффекта.
Общие вы раж ен и я быстроменяю щ ихся компонент гг^(т]) ш
P(go, ц) записы ваю тся в виде
3
W
(ц) = СцШц + q 2 “^l2 + Д
S jjW jj
,
Wjh
=
Щк
( I Л I ),
С
(О^Р
1
i=2 ^
с расш иренным (к ак и в случае сферы) набором интегралов
функции давления жидкости; среди интегралов краевого эф ф екта
в (9) учиты ваю тся только затухаю щ ие в окрестности линии при­
лож ения силы (они выделены индексом «1»).
Д л я определения шести констант сц, С12, сц ("/==2, . . . , 5)'
симметричного реш ения (9) ставятся шесть условий, два из ко­
торых использую тся при выделении правильной особенности
( Iц I),
три других — для
вы деления
особенности ф ун к­
ции Р ( |о , ц) (так как особенность ниж е, чем у ф ункции
прогиба). Ш естое уравнение следует из периодичности осцилли­
рующей компоненты реш ения при обходе поперечного контура
оболочки.
Оценка погрешности приближенного реш ения (9) проводилась^
на модельной задаче о колебаниях в жидкости круговой цилинд­
рической оболочки. В этом случае функции, входящ ие в (9),.
п А. л.
Попов,
г. н.
Чернышев
приним аю т вид: созаИ ф !, зш аИ ф !, ехр(±г«^1ф |), где ф —• поляр^
:пый угол, отсчитываемый от линии прилож ения силы. Д л я ци­
линдрической оболочки постоянной толщ ины строится такж е
точное реш ение в ряд ах по собственным формам колебаний в
.вакууме
(10)
Р (Г , ф ) = 2 А т Н У { к г ) COS ттгф
т=о
<3 коэффициентами Ат, определяемыми при подстановке (10) в
условие непротекания и уравнение колебаний (1 ):
НУ{кг^) +
'•«
(О^р
Н У ’ (кг,)
{го — радиус срединной поверхности оболочки ).
Р асчеты проводились д ля стальной оболочки в воде при
:2/г/го = 0,01. В результате сопоставлений получено, что резонанс­
ные частоты реш ением (9) определяю тся практически точно
(расхождение составляет доли процента, н ачин ая с самых низ­
ших частот). М аксимальное расхождение в ам плитудах резонанс­
н ы х колебаний составляет ^ 1 —2 %.
Р и а 29
В качестве иллю страции на рис. 29 приведены резонансны е
ф о р м ы колебаний оболочки с двумя волнами по окруж ности (а)
и давления ж идкости на ее поверхности (б ). Сплош ной линией
обозначено точное реш ение, ш триховой — реш ение по методу
согласованны х интегралов (9 ). Оболочка считается идеально
упругой, демпфирование осущ ествляется только за счет и зл у­
чения энергии в жидкость.
Н а рис. 30 а, б приведен пример определения располож ения
переходных поверхностей относительно цилиндрической оболочки
с эллиптическим поперечным сечением при разны х отнош ениях
полуосей: Z = 0,25 (а) и Z = 0,4 (б ). В обоих случаях толщ ина
оболочки относилась к малой полуоси и бралась равной 0,01. Се­
162
чения оболочек на рис. 30 заш трихованы , переходные поверхностЕГ
изображены сплош ными линиям и д л я трех значений частотнога
параметра: р = 0,5 (7), 1 (77), 1,5 (777). Видно, что по м е р ^
Рис. 30
уплощ ения поперечного сечения происходит все более зам ет­
ное удаление переходных поверхностей от менее искривленной
части оболочки, что соответствует эф ф екту перераспределенияэнергии излучения к заостренным краям .
§ 5. Переходные поверхности во внешности
овалоидной оболочки вращения
Обобщим построения предыдущего параграф а на случай про­
извольной гладкой зам кнутой вы пуклой оболочки — овалоида
вращ ения (рис. 3 1 ). Будем считать, что ее поверхность не об яза­
тельно совмещ ается с одной из известных координатны х поверх­
ностей криволинейны х сис­
тем координат с разде­
ляю щ имися переменными.
При таком общем задании
геометрии
контактирую ­
щей поверхности рассмот­
рение гидроупругих коле­
баний оболочки может
быть проведено в триортогональной системе коор­
динат т], р, п, используе­
мой обычно при выводе
Рис. 31
двумерных уравнений тео­
рии оболочек из трехмерных уравнений теории упругости [43]
(г), р — соответственно криволинейные координаты вдоль дуг
меридиана и окруж ности оболочки, совпадаю щ ие с линиям и ее
главны х кривизн, тг — п рям ая нормаль к поверхности оболочки).
11*
463
В ы раяю пия для коэффициентов Л ам е в этой системе:
Н А ц , п) = Аг{ц) [1 + rai?-^(ri)],
Я з = 1 (i = 1, 2),
(1)
где A i — коэффициенты первой квадратичной формы срединной
поверхности оболочки, Ri — радиусы главны х кривизн.
К а к и в случае эллипсоидальной оболочки, для построения
переходных поверхностей используем систему уравнений быстро­
меняю щ ихся состояний (5.1.1) в сочетании с уравнением Гельм:тольца в пристеночном слое, которое в коротковолновом прибли­
ж ении принимает вид
^
дп
+
ДзР
+
=
о,
« -> 0
(2)
— оператор Л ап л аса на поверхности оболочки).
П ри определении координат переходных поверхностей исходим
из ф акта пересечения оболочки переходной поверхностью второго
рода по переходным линиям (ц = 'П*(1,2))» возникаю щ им при гил,роупругих колебаниях зам кнутой оболочки с т волнами по па­
раллели. Следовательно, задание этих линий определяет и саму
поверхность.
М етодика определения переходных линий, отработанная в
§ 3 для эллипсоидальной оболочки и в § 5 гл. 5 для произволь­
ной оболочки вращ ения, пригодна и в данном случае. П оступая
^аналогично, т. е. используя экспоненциальное представление типа
(5.1.3) функции давления жидкости в окрестности оболочки и
:условие совместности уравн ен ия (2) о оболочечной системой
(5 .1.1), устанавливаем связь м еж ду характеристическим п оказа­
телем этой системы
= 5i(r)) и большим полож ительны м корнем
а \ = а \ { х \ ) алгебраического уравнения девятой степени (5.5.2),
определяю щ им скорость затухани я давления ж идкости в присте­
ночном слое:
'{ ^ 2
«1 = —
Затем исходя из определения
(2) записы вается равенство
точки
поворота в уравнении
=
содерж ащ ее в неявной форме значения
ЛИНИЙ
(3)
координат переходных
Т ] * ( 1 ,2 ) «
В озвращ аясь к уравнению (2) при г е > 0 и отделяя в нем
окруж ную координату
Р { ц , р, п) = Р т(т], ra)exp(im ^),
получим
дп^
164
Н \ (t), п) дц
F-
т"
HI (tj, »)
Pm = 0.
(4'j
Т ак как переходная поверхность первого рода образуется при
условии квазиэкспоненциального затухани я быстроменяю щ ейся
компоненты давления жидкости в окрестности оболочки, то при
'О
где щ = дг^(т]) — расстояние от переходной поверх­
ности до оболочки, долж но вы полняться неравенство
— т^/Н1 (т], п) с 0.
В окрестности п —
(г|) происходит изменение характера
зату х ан и я ф ункции акустического давления: от неволнового
(квазиэкспоненциального) к волновому («сферическому»— к а к
4/V). Исходя из этого определения, переходная поверхность пер­
вого рода в главном приближ ении мож ет быть определена к ак
первая точка перегиба в ф ункции Рт(т1, п) при удалении по ко­
ординате п в жидкость, окруж аю щ ую оболочку. П риним ая далее,
что характер осцилляции ф ункции давления по меридиональной
координате слабо м еняется при удалении от оболочки (в б л и ж ­
н ей зон е), можно в (4) приближ енно заменить вторую производ­
ную d ^ P J d i f f через — A l ( a l +
— ш^1А\) Рт (как на поверх­
ности оболочки). Д результате асим птотическая зависимость
ф ункции давления Рш от п при разны х г\ определится из диф*ференпиального уравн ен ия
^
дп“
Р%{Ц , п) = к ^ ~
—
т2
НЦг1,п)
п ) Р ш = 0,
(5)
Я*(Т|,
'
4 (г ))
Тогда равенство
p"/i (л.
('П)) = о
(6)
даст полож ение и форму переходной поверхности первого рода
« * = «♦ (л)В осесимметричном случае («1 = 0) из (5) и (6) мож ет быть
выведена и яв н ая формула д ля расстояния по нормали от оболоч­
ки до переходной поверхности
и* (л) =
(л) ( F l + й? (л)/^^
- l).
(7)
в практических построениях переходных поверхностей рацио­
н ал ьн о использовать уравнение нормали к оболочке в декартовой
1^истеме координат х, у, z (рис. 31)
Z — zi= = r'(zi)(r — п ),
(8)
где (гь z i ) — координаты точки М на поверхности оболочки в
меридиональной плоскости г, z,
+ у^ (напомним, что для
оболочки вращ ения линия нормали проходит через центр кри­
визны меридиональной кривой).
Из рис. 31 видно, что
расстояние м еж ду двумя точками М
|M M * | = re* = ( ( r .,- r ,) 2 + ( z * - z , n i / 2 .
(9)
165
Р ассм атри вая (8) (при z =
r = г^)и (9) к а к систему урав­
нений относительно координат точки Ж *, получим (при извест­
ных радиусе кривизны )? i(2i) и корне a\{z{)) однозначное соот­
ветствие м еж ду координатами точки на переходной поверхности
и ее нормальной проекцией (ri, 21) на поверхность оболочки.
Вопрос о коэффициенте акустического демпфирования реш ает­
ся в общем случае такж е аналогично тому, к а к это сделано при
рассмотрении переходных поверхностей во внеш ности эллипсо­
идальной оболочки вращ ения. Строится равном ерная асимптотика
реш ения уравн ен ия (5) в виде (3.8), из которой определяется
комплексный коэффициент присоединенной массы жидкости ц ==
= |i ( t]) (аналог (3 .1 5 )), соответствующ ий осциллирую щ им вдоль,
меридиана интегралам оболочечных уравнений:
^♦(в)
\
F = 4 7 = = = ( 1 — ге(т])),
e(ri) = exp
—2
Y p ^ t (п,
dx
( 10>
Очевидно, что на область применимости этой формулы будут
распространяться те ж е ограничения, что и на вы раж ение (3.15)..
И спользование найденны х характеристик полож ения пере­
ходных поверхностей при реш ении задачи о вы нуж денны х коле­
баниях зам кнутой оболочки в жидкости в полной постановке бу­
дет предметом рассмотрения следующ ей главы . Здесь ж е следует
еще раз отметить, что вы явленны е с помощью представлений о
переходных поверхностях свойства резонансного звукоизлучения
зам кнуты х оболочек вращ ения важ н ы и сами по себе, так к ак
наводят на мы сли об использовании этих свойств при конструи­
ровании новых типов и злучателей и приемников звука, в вибро­
изоляции и в других областях техники.
Глава
7
ОБЩ АЯ К РАЕВА Я ЗА ДА Ч А
ГИДРО УПРУГИ Х КОЛЕБАНИЙ
ОБОЛОЧКИ ВРАЩ ЕНИЯ
В предыдущ их главах при анализе напряж енно-деформ ированпого состояния (Н Д С ) оболочки, контактирую щ ей с жидкостью,
и спользовалась в основном система уравнений быстроменяющ ихюя состояний. С труктура операторов этой системы весьма удобна
для вы полнения условий согласования оболочечных и ж идкост­
ных интегралов. Однако использование только этой системы (к ак
п о казы вает опыт реш ения задач для сферической и пилиндриче<^кой оболочек) в определенной степени суж ает диапазон примеПИА10СТИ получаемы х результатов, вы клю чая из рассмотрения
длинноволновые формы колебаний.
В данной главе д ля описания форм колебаний оболочки при­
в л екается общ ая система уравнений двумерной теории оболочек
(с учетом конструктивной ортотропии), основанная н а гипотезах
К ирхгоф а — Л ява. Трансф ормация этой системы после исклю че­
н и я окрул^ной координаты в систему восьми обыкновенных диф­
ф еренциальны х уравнений широко используется в численны х схе­
мах расчета оболочек. Вводится ряд допущ ений, при выполнении
которых справедливы введенные ранее асимптотические пред­
ставления коэффициентов присоединенных масс ж идкости и усло­
вия согласования интегралов, в том числе при относительно
з 1едлепно меняю щ емся НДС оболочки. Д елается численная про­
в ер ка введенных допущ ений на примере колебаний в ж идкости
зам кнутой вы тянутой эллипсоидальной оболочки вращ ения.
У казан способ построения реш ения при учете одного коэф ­
ф ициента присоединенной массы жидкости, который мож ет быть
применен для нахож дения р е з о н ^ с н ы х и околорезонансных
форм и частот колебаний.
П ри рассмотрении нерезонансны х реж имов проводится р ас­
щ епление общей системы уравнений по быстро- и медленноменяю ­
щ имся компонентам НДС с определением соответствующ их коэф ­
ф ициентов присоединенных масс жидкости, построением интег­
ралов этих подсистем и общего реш ения. Построение такого ре­
ш ени я позволяет сформулировать алгоритм расчета вы нуж денны х
колебаний и и злучения замкнутой; оболочки вращ ения в без­
граничной акустической среде, что и яв л яется целью данной
влавы .
167
§ 1. Уравнения колебаний
конструктивно-ортотропной оболочки вращения,
контактирующей с жидкостью
Во введении, со ссылкой на монографию А. Л . Гольденвейзерг^
[43], у ж е вы писы валась система трех уравнений восьмого поряд­
ка в частны х производных колебаний оболочки в перем ещ ениях
с учетом жидкости. П ри наличии на оболочке продольных, коль­
цевых или пластинчаты х подкрепляю щ их элементов (что хар ак­
терно в практически важ ны х гидроупругих моделях) в дополне­
ние к этой системе необходимо ставить условия их сочленения с
оболочкой к а к по перемещ ениям, так и по внутренним силовым
факторам, реализацию которых удобнее проводить с использова­
нием эквивалентной системы восьми уравнений первого порядка
относительно основных компонент вектора состояния оболочки
У == [« 1, U2 , IV, ц, Т\, S, Gi, :ZVi]^ {щ, U2 , гг; — меридиональное,
окружное и нормальное перем ещ ения оболочки,
угол пово­
рота в плоскости меридиана, Т\, S, N\ — продольное, сдвиговое и
перерезываю щ ее усилия, G\ — изгибающ ий м ом ен т). П ереход к
такой системе предпочтительнее такж е в плане применения и з­
вестных численны х схем реш ения дифф еренииальны х уравнений
с помощью ЭВМ.
П одкрепляю щ ие элементы на оболочке могут располагаться
как изолированно, так и достаточно часто. В последнем случае
говорят о наличии конструктивно-ортотропною слоя из тонких
кольцевы х ш пангоутов и стрингеров. Будем считать, тем не м е­
нее, что наличие этого слоя, к а к и других подкреплений, не н а ­
руш ает кольцевой симметрии механических свойств оболочкиД анное условие обеспечивает возможность исклю чения из урав­
нений системы окруж ной координаты зависимостями вида
ex p (iw p ) и сведения задачи на поверхности оболочки к одномер­
ной относительно меридиональной координаты ц. После отделе­
ния р, а такж е времени (м нож ителями е х р (—Z o/)) система урав­
нений для форм гидроупругих колебаний оболочки м ож ет быть,
записана в виде
'
"^1
U i=
I л
+ А^г^,
w' = — +
7-; = -
S '=
Ui — AiVi,
+ ^ (7 , -
-
y .) - m
^ 7'. - 2
2
168
'
“^1 С ?
^1
U2 = J ^ S + т - ^
^66
^2
2
2
I “^2
+ Т " ^2»
^2
y[ = — AiK.1,
i 5
^
^
JV,
Й
ж
= -
-
^ ) П -
Л - 2 ш ^ 1 в ,8 -
^
А, г R„
л„
Здесь Xi, Yi, Z ( i = i , 2 ) — компоненты внеш них нагрузок, вклю ­
чая давление жидкости на поверхности оболочки; h — полутол­
щ ина оболочки, Го — обезразмериваю щ ий параметр,
А2—
коэффициенты Л ам е па поверхности оболочки в системе коорди­
нат, совмещенных с линияхми кривизны срединной поверхности,
Я и R-2 — главны е радиусы кривизны, со — круговая частота коле­
баний, пг = 0, 1, 2,
окруяш ое волновое число.
Вспомогательные парам етры определяю тся равенствами
о 1
шА 2
я - д 66
ъ
тЛ'
т
>
66
т
(
т
,
(1
4 -
^22^21
E ^ / E q),
^2
я
'а '
а
А'
^2^1
\
—
л
к
^
\
г
ш+
" л
тпА2 г
771
А'з
W —
Л ~г Л.
АА
27
А А \
^22^ 2 ”Ь ^12^1
S
- М, + -
^2
А^А\
+
7^2 —
,
W+
АЛ
.
^ 2 2 ^ 2 ~Ь
сог^ С о,
т
1
'л' 2:
г
с
''0б“ 2
R
=
”Ь ^ 2 2 ^ 2 »
Е / Р о .
Д л я коэффициентов ж есткости с учетом копструктивно-ортовропного слоя справедливы соотношения [65]
^12
2hr
Саа ---
-/i
J7 —
L^ 2 2 - 2/7/r
Д ,2 —
Д 22 — 7^11 ~
1
2 (l + v ) ’
Ч Doo —
(1
7^11*
в них принято, что А1атериал подкреплений тот же, что и у
оболочки (с модулем упругости Е и коэффициентом П уассона v ),
I — расстояние меж ду центрами тяж ести двух соседних кольце­
вы х подкреплений, Ei, *S2, ^ 2 — площ адь, статический и осевой мо­
менты инерции сечения отдельного подкрепления относительно
оси, перпендикулярной к плоскости изгиба и касательной к сре­
динной поверхности оболочки.
169
Зам ы каю т систему уравнений соотношения менаду деформа­
циям и и перемещ ениями
^12
^ 1 = 1 ------ — «2»
Si
Si
^1 ““
4 //"t
( 1
ll
^
^2 =
I
^2
^2 + J-T-
^2
тч
\
*^12^ 2)» ^2 —
^
^2^2
^2
^
^2
^2
"^2
л А Ti­
12
П ри осесимметричных колебаниях отсутствует связь меягду
крутильны ми формами колебаний и прогибом оболочки. Система
(1) распадается на две подсистемы, одна из которых состоит из
ш ести уравнений относительно щ, w, Ть Ри
а вто­
р ая *— из двух уравнений, содерж ащ их только 112 и S. Поэтому
крутильны е колебания оболочки в ж идкости при т = 0 можнО'
специально не рассматривать, так как их свойства ничем не отлрхчаются от свойств аналогичны х колебаний оболочки в вакууме..
Соответственно они не оказываю т вл и ян и я и на излучение
оболочки.
Ф ун кц ия давления в я^идкости удовлетворяет уравненин>
Гельмгольца; на поверхности оболочки ставится условие непро­
текания
А Р + кЧ^ = О,
^
с/п п==о
= ю^рц,.
(2)
П редполагается такж е выполнение условия затухани я давле­
ния вдали от оболочки, например, в форме условия излучения
Зоммерфельда.
Задача (1 ), (2) яв л яется двумерной (после отделения окруячной координаты ). Реш ение ее в общей постановке представляет*
слож ную вычислительную проблему. Однако она мож ет быть,
упрощ ена без существенного сниж ения точности результатов
введением понятия о коэффициенте присоединенной массы,
жидкости.
§ 2. Основной и дополнительные коэффициенты
присоединенной массы жидкости
Осциллирующие интегралы. При выводе уравнений колебаний
оболочки с присоединенной массой учитываю т инерционны й член,
пропорциональный квадрату частоты и величине этой массы.
А налогичное слагаемое возникает и в уравнениях для форм коле­
баний оболочки в жидкости при исходном асимптотическом пред­
ставлении (5.1.3) функции давления в окрестности оболочки. Это
слагаемое: —цсо^, где ц = g/a — коэффициент присоединенной мас­
сы (g = р / (2/гро), р *— плотность жидкости, ро — плотность м а­
териала оболочки). П арам етр а, определяю щ ий инерционную*
реакцию жидкости, на первом этапе считается действительным и
полож ительным. К ак только он находится, задача мож ет бы ть
470
свед ен а к решению системы уравнений колебаний оболочки с из­
вестной присоединенной массой.
Рассмотрим процедуру определения коэффициента ц для
оболочки обидего очертания и построения интегралов системы
уравнений на поверхности контакта. Д л я удобства анализа преоб­
разуем систему (1.1) (после выполыетшя в ней замены (5.1 .4 ))
к векторно-матричной форме с элементами У \ — и\, У2 = ^ 2, . . .
. . . , y s ^ G i . Эта система будет использована ниж е для построе­
н и я однородных реш ений задачи (1 .1 ), (1 .2 ). Поэтому выпиш ем
•ее без компонент внеш ней нагрузки:
у ’} = И з Щ к У к
k= \
{/ = 1, . . . , 8 )
(1)
(вырал^ения для
получаю тся толществеипым преобразованием
коэффициентов системы ( 1.1); присоединенная масса лшдкости
учиты вается в коэффициенте 0 : 7 3 ) .
Посредством представлений
/в
\
J s{t)dt
ехр
\%
/
введем в систему ( 1) характеристический показатель s = 5 (rj)
(цо — некоторая точка отсчета па дуге меридиана оболочки). П ри
и 7 ^ = 7 Д т ])
(7 ==
подстановке (2 ) в ( 1) ф ункции s = ^ s { r \ )
= 1, . . . , 8 ) будем считать медленноменяю щ имися. Это означает,
что однократное дифференцирование вы раж ений (2 ) приводит в
первом приближ ении к соотношениям
y'j{vi) = s { r ] ) y j ^ ) .
Т ем самым задача определения функций а { ц ) , ^(т]), F j(il) асим п­
тотически сводится к нахол^депию собственных значений и собст­
венны х векторов матрицы [а^^], составленной из коэффициентов
системы ( 1),
2
к=1
{Щк
—
bjus)Yk
=
0,
/ -=
1,
...,
8,
3
( )
п р и дополнительном условии
+ А\1 (а) —
-= О,
I {а) =
(4)
которое следует из уравнения Гельмгольца на поверхности обо­
л о ч к и (при подстановке в него тех же зависимостей). Из равенст­
ва нулю определителя системы (3) и связи (4) меж ду s ж а вы ­
водится алгебраическое уравнение девятой степени относительно
п арам етра затухани я давления лшдкости в пристеночном слое
п = = а (т ]). Больш ой полож ительны й корень этого уравнения со­
ответствует интегралам уравнений ( 1), преимущ ественно осцил­
л ирую щ им вдоль меридиана оболочки. Р анее, при реш ении мо­
171
дельны х задач в гл. 4 — 6, отмечалось, что с помощ ью одного та­
кого корня характеристического уравн ен ия п равильн о определя­
ется присоединенная масса ж идкости на резон ан сн ы х частотах.
Вводя значения a = a i( r |) в уравн ен ия (1) (в коэф ф ициент Одз),
получим систему диф ф еренциальны х у равн ен и й для форм коле­
баний оболочки с известной присоединенной массой, пропорцио­
нальной «1 ^(ц). Н айденный таким образом п олож ительн ы й коэф­
фициент |Х1 = g!a\ назовем основным коэффициентом присоеди^
пенной массы жидкости.
Расчеты , проведенные на модельны х зад ач ах о колеб ан и ях
сферической оболочки и ограниченной п ласти н ы , контактирую ­
щих с жидкостью, показы ваю т, что погреш ности, связанны е с
учетом только одного (основного) коэф ф ициента присоединенной
массы, проявляю тся в случае зам кнутой оболочки только в зна­
чениях амплитуд колебаний на нерезопансны х частотах, а для
пластин и оболочек с краям и погреш ность и м еется и при опре­
делении низш их резонансны х частот. Однако, несм отря на у ка­
занные недостатки, описанный способ определения коэффициента
присоединенной массы яш дкости п ривлекателен тем, что сразу
сводит задачу к реш ению системы уравнений колебаний оболочки
в вакуум е с известной присоединенной массой, которая, правда,
неравномерно распределена по м еридиану оболочки, зависит от
частоты колебаний и изменяемости напряж енно-деф орм ированно­
го состояния.
Ч и сленн ая реали заци я алгоритма (3 ), (4) вы полняется по
известной схеме [15]. Д л я реш ения системы уравнений колеба­
ний оболочки с присоединенной массой могут использоваться вы­
раж ен и я типа (2) (в области преимущ ественной осцилляции и
вблизи верш ин оболочки), либо равномерны е асим птотические
представления типа (5.2.6). П рименимы в этом случае и извест­
ные численные подходы, такие как метод Годунова, заклю чаю ­
щ ийся в сведении краевой задачи к задачам К ош и с ортогонализацией линейно-независимы х вектор-реш ений в дискретном числе
точек [34]. Необходима только некоторая их модиф икация для
замкнутой оболочки, так как верш ины оболочки являю тся осо­
быми точками уравнений. В [44] сф ормулированы условия,
позволяю щ ие свести задачу д ля замкнутой в верш инах оболочЕпг
вращ ения к краевой задаче и применить метод численного ин­
тегрирования системы уравнений (1 ).
Н а рис. 32 изображ ены граф ики изменения коэффициента juii
вдоль половины дуги меридиана стальной эллипсоидальной обо­
лочки вращ ения средней вытянутости:
(го — радиус
экватора, Ьо — больш ая полуось), контактирую щ ей с водой, при
значениях частотного п арам етра %, указан н ы х над графиками,
и т — 2 (по оси абсцисс отложены обезразмеренные к Ъо значе­
ния проекций точек меридиана оболочки на ось вращ ения эллип­
соида). На рис. 33 показано располож ение аналогичны х кривы х
при фиксированном значении частотного п арам етра К — 0,1. и о
разном числе волн гп = О, 1, 2, 3 по окруж ности оболочки.
172
П риведенные граф ики иллю стрирую т медленную изм ен яем ость
присоединенной массы вдоль А1еридиана оболочки — порядка из­
меняемости ее геометрических параметров (А^(т]), /?г(г])). С рос­
том изменяемости формы колебаний оболочки в о к р у ж н о е
0,?5
0,50
0,75
2/^0
Рис. 32
направлении и (или) частоты колебаний характер распределения!?
присоединенной массы меняется слабо; заметно только общееснижение ее величины. Вблизи верш ин оболочки присоединенная,
масса вообще не зависит от т.
0,25
0,50
0,75
z/b g
Рис. 33
17^
Зависимость коэффициента ц ь вычисленного па экваторе обо­
л о ч к и , от частотного парам етра л при разны х значениях окруж ­
ного волнового числа показы ваю т граф ики на рис. 34. Видно,
НТО начиная с частоты порядка кольцевой
зависимость
\ 1 \ ( т ) не п роявляется (граф ики сливаю тся в одну кривую)
JH ф ункция рЦ Я ), медленно затухая, асимптотически стремится
к нулю.
Д л я оценки точности определения коэффициента присоеди- ^
ненной массы ж идкости сопоставим резонансны е частоты и фор:мы колебаний зам кнутой оболочки в жидкости, найденные при
7
л
\
т~0
V
/77 = 2 \
0,5
1,0
Рис. 34
жомощи учета ж идкости к ак действительной присоединенной мас­
сы , с результатам и численного реш ения задачи в точной поста­
новке. Д л я этого подходят результаты работы [35], в которой с
помощью метода граничны х интегральны х уравнений рассмотре­
н ы низкочастотные колебания эллипсоидальной оболочки вращ е­
н и я в жидкости.
В табл. 5 представлены резонансны е значения частотного п а­
р ам етр а %гпп, полученные численным методом, исходя из реш ения
системы граничны х интегро-дифференциальных уравнений на
поверхности оболочки, контактирую щ ей с водой, и из системы
у р ав н ен и й (1) колебаний оболочки с присоединенной) массой
{т, гг — окруж ное и меридиональное волновые ч и сл а). Д л я к аж ­
дого номера п в первой и второй строках таблицы значения %
вычислены при исходном экспоненциальном представлении функ­
ции давления без учета и с учетом сж имаемости жидкости.
В третьих строках приведены резонансные значения частотного
парам етра, полученные в [35] для несж имаемой ж идкости (в
скобках даны значения к с учетом сж им аем ости). В четвертых
•строках таблицы даны значения частотного парам етра (при тех
:же ггг и гг) в случае колебаний зам кнутой эллипсоидальной обо<
лочки в вакуум е.
"
174
Т аблица
m == 1
m= 2
S
rn = 3
1
0,2850
0,2773
0,2610
0,4593
0,0884
0,0880
0,0876 (0,087)
0,2002
0,0880
0,0887
0,0941
0,1982
д= 2
0,3701
0,3592
0,3435
0,6348
0,1755
0,1738
0,1720 (0,0170)
0,3619
0,1523
0,1517
0,1584
0,3135
Н а рис. 35 приведены нормированные к максимальному про­
гибу формы резонансны х колебаний оболочки в жидкости (в ме­
ридиональном сечении) при /?г = 2, дг==4. Сплош ными линиямп.
изображены граф ики « i(0 ),
ш (0) [38] ( 0 —-у гл о в ая коор­
дината; 0 = д /2 на экваторе), полученные из реш ения задачи ь
точной постановке. Аналогичные зависимости, построенные прш
учете жидкости как присоединенной массы, показаны ш трихо­
выми линиям и (кривы е 1, 2, 3 соответственно).
К ак видно из таблицы и рис. 35, результаты численного р е Ц£ения двумерной задачи и численно-аналитическое реш ение
одномерной задачи на поверхности оболочки согласую тся по зн а­
чениям частот и формам резонансных! колебаний. Этот вывод
^подтверждает, в частности, представление о том, что при резо­
нансных колебаниях оболочки в ж идкости определяю щ ий вклад'
17S
в форму колебаний вносят осциллирую щ ие интегралы, которым
^соответствует н айденная по схеме (3 ), (4) присоединенная масса
с коэффициентом щ .
Внутренние краевые эффекты. Как отмечалось ранее, в окрест­
ностях мест п рилож ения локальны х нагрузок и подкреплений
сущ ественное влияние на форму колебаний оболочки оказывают
и н тегр ал ы типа внутренних краевы х эффектов. Чтобы подобрать
к ним соответствующие коэффициенты; присоединенной массы
жидкости, необходимо учесть большие ком плексные корни ха­
рактеристической системы (3 ), (4) (или уравн ен ия (5 .5 .2 )). З а ­
метим, что эти корни уж е в исходном (экспоненциальном) при­
бли ж ени и для ф ункции давления имеют немалы е мнимые части.
П оэтому небольшие уточнения их за счет учета и злучения (по­
добные сделанным в гл. 6 для действительного корня «i) не ведут
к сколько-нибудь заметным изменениям в интегралах и могут
поэтому не проводиться.
Общ ая ф ормула д ля дополнительных коэффициентов присо­
единенны х масс, учиты ваем ы х с интегралам и типа краевы х эф­
фектов:
Fi =
(5)
:где dj (/ = 2, 3 (4, 5 )) — большие комплексные корни характе­
ристического уравнения (5.5.2) (значения индексов в скобках
вы деляю т вариант с дополнительным учетом ком плексно-сопря­
ж ен н ы х корней, имеющих отрицательную действительную ч а с т ь ).
П ри известных значениях коэффициентов присоединенных масс,
соответствующ их быстрозатухаю щ им интегралам краевого эф­
ф екта, вы раж ения для самих интегралов описываю тся формула­
ми (2 ), причем аналитические представления здесь д аж е пред­
почтительнее построений с помощью численного интегрирования.
Присоединенная масса для «акустически быстрых мод». Т ер­
мин «акустически быстрые моды» вводится в акустике для обо­
значения колебаний с длиной волны в свободной жидкости,
м еньш ей чем длина упругой волны или характерны й разм ер обо­
лочки [10]. С точки зрения классиф икации форм колебаний
юболочки такому случаю соответствуют медленноменяю щ иеся
интегралы уравнений (1.1) [42].
К оэффициент присоединенной массы для «акустически быст;^рых мод» мож ет быть определен при исходном асимптотическом
представлении функции давления в я?идкости в виде
сю
р (л. п, Рз) = F (Т), п, Рз)
F (ц, п, Рз) = 2
1=0
(Л, «) Po^,
(6 )
тде в качестве большого парам етра берется величина
=
(Го — характерны й радиус кривизны оболочки).
П одстановка этого представления в уравнение Гельмгольца
приводит к рекуррентной системе обыкновенных диф ф еренциаль176
яьтхуравнений относительно функций /( /г ) , (i-j, гг), / == О, 1 2
Для главных приближений (/(гг), Го(г1, гг)) эти уравпепия весьзга просты:
/,.- 1 = 0 ,
^
+ i ” = 0,
Ф= н ,я „
(
=
,7)
откуда
/(ге) = га,
^о(т), ге) = ф-'/2(т1, «)•
(7')
П одставляя (6) с учетом (7 ), (7 ') в условие непротекания
(1.2), получим следующее вы раж ение коэффициента присоеди­
ненной массы для медленноменяю щ ихся оболочечных интег­
ралов:
|Х, =
g [ A o ( T ] ) - i A ; ] - ‘ ,
(8 )
где Kg (ri) = [ В У in) + В У i n) ]/ 2 - средняя кривизна оболочки.
В случае сферической оболочки i ? i = i ?2 и ф ормула (8) сво­
дится к (4.1.17). Д л я эллипсоидальной оболочки вращ ения
Л, = ^ г |( V Г ^
B2 = b o t [ l - { l - f ) y ] ^ A t = ro/bo,n=z/bo (Г о -
радиус экватора, Ьо — больш ая полуось, z — декартова координата
на оси вращ ения эллипсоида), значение коэффициента
сущ ест­
венно зависит от точки меридиана и степени вы тянутости эллинсои да.
С опоставляя формулу для основного коэффициента присоеди­
ненной массы с (5) и (8 ), видим, что к аж д ая из них имеет опре­
деленное физическое содерж ание, не повторяющ ее другие, в том
числе и по конкретны м значениям на заданной частоте колеба­
ний в той или иной точке поверхности оболочки. Необходимо
включить эти значения (посредством ф ормулы P \ s ^
в процедуру построения соответствующ их интегралов системы
уравнений на поверхности оболочки.
Возникаю щ ие при этом отличия в последовательности дейст­
вий по построению быстро- и медленноменяю щ ихся интегралов
рассмотрим в следую щих параграф ах.
§ 3. Асимптотика быстроменяющихся интегралов
Характеристические показатели. В ернемся к исходной систе­
ме уравнений на поверхности оболочки (1.1), (2 .1 ), переписав ее
в матричной форме с предварительны м отделением времени и
окружной координаты:
г = А У + р 1 в + (?,
А =
У = [г/l•.•г/8]^
P U = [ О . . . Р ( л , 0 ), 0 ] \
■“ и ••• « 1 8 '
’V '
V
^«81
■Ч-
А -
. .
. «88.
{Q — вектор нагрузок, ш трих обозначает дифференцирование по
Меридиональной координате).
12 А.
л.
П опов, Г. Н. Ч ерн ы ш ев
177
Рассмотрим однородную систему уравнений,
интегралы функции давления Р (г |, 0) через w:
Y'g^AgYg,
Л = М ,
= a/ft — б/убйзГщ
выразив в iieir
П = [^? . . . j/“F ,
(1>
/, /с = 1 , ------ 8.
Д л я определения характеристических показателей системы (]).
вместо полной матрицы коэффициептов^^о (как в § 2) может
быть использована усеченная матрица А , в которой сохранены
асимптотически главны е члены матрицы
(производные от
радиусов кривизны и коэффициентов Л ам е в матрице Л не учи­
ты ваю тся). С труктура матрицы А более проста; в частности, все
элементы ац = 0, 1 = 1 , . . 8 . Поэтому в раскры той форме ха­
рактеристический многочлен матрицы имеет вид
A - s l \ = ^ bis^^ = 0,
г=о
(2>
откуда легко получается уравнение девятой степени относительно/
показателей убы вания давления от оболочки а(т]):
+
=
(3).
несколько более обпдее, чем аналогичное уравнение (5.5.2), полу­
ченное из системы ВМС.
Ч асть коэффициентов уравнения (3) при низких степенях а
содержит большой оболочечный параметр (го//г)^. Соответствешик
из корней этого уравнения вы деляется группа «больших» (имею­
щ их ненулевой асимптотический порядок по этому парам етру)
и «малых» корней. Больш ие корни учиты ваю тся при построеини
быстроменяю щ ихся интегралов исходной системы па поверхности
оболочки, малы е — отбрасываются.
В общем случае уравнение (3 ), так же как уравнение (5.5.2).^
имеет пять больших и четыре малы х корня. У трех из больших
корней действительные части полож ительны. Единственны й сре­
ди них чисто полож ительны й корень обозначим, по аналогии с
предыдущим, через а\, два других (комплексно-сопряж енны х) —
через а 2,з. К большим корням относятся такж е два комплексносопряж енны х корпя с отрицательны ми действительными частям не­
которые обозначим через «4,5.
П оложительному корню а\ соответствуют преимущ ествен 1н>
осциллирую щ ие интегралы определяю щего уравнения
+ / 0 (81) 1^ ' - «Ч л ) “^ = 0.
/о = (А ,/А 2) (А 2/А 1) ',
(4)’
В которое переходит уравнение Гельмгольца иа поверхности о о п лочки. На резонансны х частотах эти интегралы определяю т форму
колебаний оболочки. Д ругие корни
Ц = 2, . . . , 5) задаю т в (I)*
(4) изменяемость интегралов внутреннего краевого эффекта.
Уточнение корня ai за счет учета потерь на излучение про­
водится аналогично тому, как это сделано при рассмотрении ко­
лебаний эллипсоидальной оболочки вращ епия в жидкости (§ 6.3)^
178
“При известном распределении по поверхности оболочки коэф­
фициента акустического демпфирования е (ц ) (формула (6.5.10))
уточненное значение а\ («i
+ гб, б ^ е) находится из реш ения
^цавнения (3 ), в котором в качестве коэффициента присоединен­
ной массы используется ком плексная ф ункция Pi (ц) = g/«i ( ц ) .
Незначительные уточнения получаю т при этом и комплексно­
сопряженные корпи «2,3, «4,5.
Значения характеристических показателей
s] (/ = 1, . . . , 5)
определяю тся при подстановке в (2.4) корней «ь . . . , «5. Н айден­
ные таким образом квадраты собственных значений sj будут
также комплексными функциям и меридиональной координаты ц,
причем мнимая часть у 5^ м ала и пропорциональна 8.
«Весовые» функции для компонент вектора состояния обо­
лочки. Вслед за определением и отбором необходимых собствен­
ных значений матрицы А находятся компоненты собственного
вектора этой матрицы. Заметим, что если подойти к задаче просто
как к асимптотическому реш ению исходной системы дифф ерен­
циальных уравнений (1 ), то определение собственных значений
матрицы Ао эквивалентно нахождению ф ункции изменяемости,
а компонент собственных векторов — функции интенсивности в
этом реш ении.
^
У прощ ения, связанны е с переходом от матрицы Ао к Л , асимп­
тотически обоснованы при нахож дении функций изменяемости
.^j(rj). Однако при определении (заведомо медленноменяю щ ихся)
функций интенсивности следует учиты вать такж е и производные
от коэффициентов Л ам е и радиусов кривизны. Поэтому принимая,
что выделенные собственные значения Sj ( / = 1 , . . . , 5) матрицы
А являю тся в асимптотическом смысле такж е и собственными
значениями исходной матрицы Ао, из системы
[А о(|Ы /)~5,/] Уо1==0,
/ = 1,
5,
(5)
По стандартной процедуре определяю тся компоненты собствен­
ного вектора Foj(ri). П ри этом все они могут быть вы раж ены
через одну,— например, интеграл ф ункции прогиба i«j(T]).
Таким образом, определив из уравнения (4) вы раж ения для
?Kj(r|), получаем затем из (5) коэффициенты связи (или «весо­
вые функции») меж ду Wj (и их производными) и другими компо­
нентами вектора состояния оболочки.
Представления в областях осцилляции и экспоненциального
затухания. В ы раж ения для осциллирую щ их интегралов Wi {i =
= 1, 2 ), соответствующ их корню «ь могут быть построены в ан а­
литическом виде (с помощью функций Эйри A i( /) ) аналогично
тому, как это сделано для эллипсоидальной оболочки:
оо
Wi = O jA i(/i),
^ (_
у
Ф» = 2 Ф « (т|)
г=о
/______
^ Г V — si (х) dx
( 6)
(Т) <
В
12*
179
2 ,3/2 _
]/s i(r))c /ri
(ti>
t1i *),
^1»
(6)
Ji
_______
■j -(— ^2 A =
j y — sU^)dx
42*
42*
=
\
( n < i l 2*)-
Y s\{x)dx
1/2
Фш =
НФ) 1/4
S i(n)
(Ti>Ti2»),
ч
j = 1, 2
(индексы г = 1, 2 отделяют реш ения с нулям и аргументов функ­
ций Эйри соответственно в левой и правой от экватора точках
поворота T|i,2*)*
М ежду переходными линиям и t]i* < Ц < Ц2 * справедлива осциллируюш,ая асимптотика ф ункций A i(/j), за пределами области
осцилляции — представление в форме затухаюш;ей экспоненты
(4.1.4).
При осесимметричных колебаниях переходные линии не воз- I
пикаю т и осциллирующ ие интегралы, регулярны е в окрестностях
куполообразных верш ин оболочки, могут быть построены с ис­
пользованием асимптотики функций Л еж ан д ра
Рд (cos 9) (д ( д -4
4- 1) = $1) [18]: вдали от верш ин (ц = ± 1 )
^
/ 1
^ 1
(h) — Ф (л) ^os
/
(4
4
1 /2
{х) d x —
(ц) — Ф (ц) COS
Ф (Ц ):=
\- 1
в малой окрестности вершин:
^1,2 (л) — 1
"Y‘01,2»
01 — 0»
02 — ^
где 0 — координата квазисферической системы координат с нача­
лом в одной из верш ин оболочки.
М ежду промежуточными линиями н агруж ени я учитываются
по две осциллирующ ие компоненты, расходящ иеся вправо от ле­
вой линии нагруж ени я и влево от правой.
И нтегралы типа краевого эффекта затухаю т, как правило»
настолько быстро, что и в промеж уточных областях можно учи­
тывать по одному из них (убывающ ему от линии н агруж ения)
и при этом пользоваться простейшим представлением
и^;(т1) = Ф ; ( п ) е х р ( - ж 1 п - % 1 ) ,
180
R eS j> 0 ,
у = 2, 3, 4, 5,
где т] = Ло — линия прилож ения активной или реактивной (реак­
ция подкрепления) нагрузки.
Асимптотики других симметричных компонент вектора со­
стояния оболочки и функции давления ж идкости на поверхности
контакта (иг, Г ь
P is ) получаю тся умножением соответствую­
щих весовых функций на интегралы (6) или (7 ). Д ля записи
асимптотических вы раж ений антисимметричных компонент щ, 'Yi,
Аь
дР/дц\п=о использую тся производные ф ункций (6 ), (7 ).
В малой окрестности яепагруж еиной вергдины оболочки для
каждого учитываемого корня характеристического уравнения
сохраняются только регулярны е интегралы уравнения (4 ). Вто­
рые интегралы учиты ваю тся, начиная с ближ айш ей к вершине
нагруженной параллели, кольцевого подкрепления и других мест
приложения локальны х нагрузок.
§ 4. Медленноменяющиеся интегралы.
Построения с помощью ЭВМ
К ак и в случае колебаний оболочки, находящ ейся вне кон­
такта с жидкой средой, медленноменяю щ иеся интегралы рацио­
нально находить из безмоментной системы уравнений четвертого
порядка
Х '= В Х ,
которая получается из общей системы (3.1) вычеркиванием моментных уравнений и моментпых членов в уравнениях для тан­
генциальных компонент вектора состояния оболочки. Основные
неизвестные в этой системе — тангенциальны е перемещ ения
« i(t]), а 2(т]) и их производные:
X ~
U2 . Прогиб
оболочки определяется через эти компоненты по формулам 7.1.5
и 14.10.7 [43].
С охраняется в этой системе и аналог коэффициента одз, учи­
тывающий вклад присоединенной массы жидкости.
И нтегралы безмоментной системы, ввиду их медленной изме­
няемости, целесообразно строить численно при помощи ЭВМ с
выполнением необходимых условий регулярности в ненагружеЕгных верш инах оболочки. Отметим, что в осесимметричном случае
из этой системы вы деляю тся крутильны е интегралы, не связан ­
ные с жидкостью.
П ри не слишком большой изменяемости напряж енно-деф орм и­
рованного состояния оболочки можно «поручить» ЭВМ и построе­
ние осциллирую щ их быстроменяющ ихся интегралов определяЕоЩего уравпепия (3 .4 ), имеющих сложное функциональное
Представление (3 .6). С этой целью в требуемом для численного
Интегрирования количестве точек меридиана оболочки находятся
Положительный корень ai уравнения девятой степени (3.3) и ха­
рактеристический показатель 5 i = 5 i ( t|). В этих ж е точках из
(3.5) определяю тся весовые функции, связы ваю щ ие прогиб с
остальными компонентами вектора состояния оболочки. Затем,
181
с использованием процедуры Рупге — К утта, находятся линейнонезависимые интегралы определяю щего уравнения (3.4), умно­
жение которых (или их производных) на соответствующие зна­
чения весовых функций образует вектор значений интеграла ис­
ходной задачи в интересую щ их точках меридиана оболочки.
§ 5. Общий интеграл системы уравнений
на поверхности оболочки. Определение констант
Общий интеграл системы (3.1) набирается из трех или пяти
пар быстроменяю щ ихся и четырех медленноменяю щ ихся интег­
ралов, построенных по правилам, сформулированным в предыду­
щих разделах. При этом в случае локальны х областей нагруж е­
ния и подкреплений типа кольцевых пластин и стрингеров (про­
дольных балок) число интегралов на каж дом участке между
линиям и нагруж ени я может быть сокращ ено (без заметных по­
терь в точности результата) за счет половины интегралов крае­
вого эффекта, возрастаю щ их при удалении от нагруж енны х
участков оболочки. В окрестностях ненагруя^епных полюсов обо­
лочки исклю чаю тся все нерегулярны е интегралы.
Рассмотрим в качестве примера задачу для оболочки, нагруяюнной по N параллелям .
Общий интеграл на п-м участке (м еж ду {п — 1)-й и н-й па­
раллелям и н агруж ени я (? г = 1 , 2, . . А + 1 ) ) выпишем отдельно
для симметричных (пропорциональны х w) и антисимметричных
( w ' ) компонент вектора состояния оболочки и функции давления
Ялидкости. Обозначим их соответственно через Хп(т]) и ^ „ ( ц ) :
Х п (т1) =
(т1) C t - i + V - (л) Сп,
Yn(л) = Wy,, (л) Ct-г + Wn(л) Сп,
F „ = [F „ ,],
W „ ^[W „ j],
W n j = [(14хДл) YiiW
7 = 1,
5,
Sjin) х^{ц) РД л, 0)) 4 .« ( л ) ] ^
РЛ%Ф) и;,-,„(л)]^.
Tn,i = l K ( r i ) 1 Г^Дл)
Здесь ии(л)» •••. / ’Д'П. 0 ) — весовые функции при одноименных
компонентах, C t =
~ векторы произвольны х ^ постоянных.
Р ан ее не определенные весовые функции Р 1(л . 0 ), Pj (ц, 0) имеют
вид
Р Д Л ,0 ) = ( 0 > Д 2 £ Н ( Л ) ) - * .
/^ ;'(л ,0 ) = 5Ил)/"7(11,0),
7 = 1..........5
(индекс / во всех вы раж ен и ях показы вает число пар учиты ваем ы х
интегралов; в данном случае рассмотрен вариант с шестью
быстроменяю щ имися и четы рьмя медленноменяю щ имися интег­
ралам и (т. е. всего п ять пар и н теграл ов)).
182
Н а линиях н агруж ения (подкреплений) формирую тся условия
скачков внутренних силовых и момептных факторов
Кп+\ (Л")
Кп (лл) ~ Qri4
7п + 1(Л п )- 7,,(г],) = ^п,
где Qn, Qn — соответственно симметричная и антисимметричная
части вектора нагрузок.
Подстановка вырая^ений (1) в эти условия приводит к си­
стеме алгебраических уравнений относительно постоянных Сп*
С определением постоянных Сп заверш ается реш ение гидро­
упругой задачи на оболочке.
При известных ф ункциях прогиба и давления жидкости на
поверхности оболочки акустическое поле в точке М среды вне
оболочки восстанавливается с помощью интеграла Гельмгольца —
Гюйгенса [129]
^
i
я
V I»
( т )
- “ V '" т
]
*■
где ^ I s , й; — соответствующие компоненты (1 ), дополненные за ­
висимостями ехр(ш гр) по окруяш ой координате, i? — расстояние
от точки М до элемента ds поверхности оболочки 5.
П ри изучении резонансного излучения оболочки, когда основ­
ной вклад в поле вносит осциллирую щ ая форма колебаний, опре­
деление поля моя^ет быть проведено по более простым асимпто­
тическим формулам типа (6.3,2), (6.3.3.13).
Глава
Н
Н ЕКОТОРЫ Е ПУТИ У П РА ВЛЕН И Я
В И БРО А К Т И В Н О С ТЬЮ И ЗВ У К О И ЗЛ У Ч Е Н И Е М
О БО ЛО ЧЕЧН Ы Х КОНСТРУКЦИЙ
В этой главе на базе разработанны х выше теоретических по­
лож ений рассматриваю тся способы сниж ения, перераспределения
и контроля уровней вибраций и излучения пластин и оболочек,
находящ ихся в контакте с акустической средой. Т ак как в коле­
баниях и звукоизлучеиии оболочек и пластин имеется ряд отли­
чий, то излож ение способов сниичения звукоизлучения проводится
отдельно для пластин и для оболочек, хотя часть из них имеет
универсальное применение.
§ 1. К омпенсация вибрационных сил на опорах пластин
И з результатов § 3.3 (а такж е § 4.3) и литературны х источ­
ников [1, 129, 141] следует, что обладаю щ ая резонансными свой­
ствами ограниченная тонкостенная конструкция (или зам кнутая
оболочка) создает несравненно более интенсивное поле излуче­
ния, чем бесконечная структура (при одинаковом н агруж ен и и ).
Повинны в этом краевы е реакции в опорах, переходные линии
на поверхности оболочек и другие факторы, перераспределяю щ ие
волны, приходящ ие от источника, в отраж енны е и излучаемы е
волны. Следовательно, для сниж ения звукоизлучения необходимо
как-то скомпенсировать влияние возникаю щ их реакций. Это в аж ­
но такж е для виброизоляции механизмов, устанавливаем ы х на
балочные фундаменты, через опоры которых передаю тся динами­
ческие усилия и моменты.
ш ш ж
-I
-г.
I t
Рис. 36
Одним из путей устранения реакций в опорах яв л яется при­
лож ение компенсирую щ их нагрузок [30, 3 1 ]. Рассмотрим его на
модельной задаче о колебаниях пластины-полосы под действием
линейно-сосредоточенной периодической силы. Допустим, что
184
наряду с активной нагрузкой д 6 { х ) е х 1р { ~ Ш ) к пластине прило­
ж ены две компенсирующие
линейно-сосредоточенные силы
q i 8 (x ±l i )ex i^{ ~i( i) t) (рис. 36).
В статике для того чтобы обратить реакции в опорах в нуль,
достаточно выполнить равенства g i = ( l / 2 ) g ; при этом лин и я
прилож ения нагрузок q\ могут вы бираться произвольно, с сохра­
нением только условия симметричности их располож ения отно­
сительно активной силы q.
В динамическом случае (без учета жидкости) реш ение зад а­
чи дается формулами {w отнесена к статическому прогибу):
/ i n (Р - р.) 2 2 ^
- SMP - р.)
COS 6
ch 6
( 1)
3
г s in P
(l-m )
s h p d - U I;
chp
o)^Po
Подбором величин н агрузок' (gi) и линий их прилож ения
(±Zi) можно добиться обращ ения в нуль реакций в опорах при
резонансны х колебаниях пластины. К ак следует из (1 ), для этого
достаточно удовлетворить условию
g — 2gi cos Pi = О,
(2 )
которое обеспечивает такж е снижение вибраций по всем н ар у ж ­
ным участкам пластины (вне линий прилож ения компенсирую ­
щ их н агрузок). В зависимости от располож ения «антисил» gi под­
бирается и требуем ая величина их амплитудны х значений. Т ак,
если разнести антисилы на расстояние 2/3Z от центральной линии
пластины, то требуемое значение gi окаж ется равным амплитуде
вы нуж даю щ ей силы д.
П ри колебаниях пластины, контактирую щ ей с жидкостью,
эф ф ект прилож ения дополнительных сил сказы вается как на
самой пластине, так и на излучаемом пластиной акустическом
поле. Проследим за изменением ам плитуд дальнего поля в ре­
зультате совместного действия активной и компенсирующ их н а­
грузок. В оспользуемся для этого асимптотической формулой
(3.3.3) для функции давления в жидкости при
+
оо и следствием из нее — формулой (3.3.4).
Величины дополнительных сил gi и координаты линий их
п рилож ения будут входить в подынтегральную функцию (3.3.4)
к а к параметры . Следовательно, если с помощью этих величин
185
удастся точно или приближ енно выполнить равенство
1
j W (х) d x = О,
—1
(3)
то тем самым поле, излучаемое пластиной в низкочастотном диа­
пазоне, будет сущ ественно уменьшено. Д ля диапазона частот
ниж е и в окрестности первой резонансной частоты этот вывод
означает полное гаш ение излучаемого поля, для второй резонан­
сной частоты — сниж ение амплитуды дальнего поля в несколь­
ко раз.
Выведем соотношения, которым долж ны удовлетворять вели­
чины компенсирую щ их сил, чтобы обеспечить выполнение усло­
вия (3 ). В диапазоне низких частот, где установлена близость
первых резонансных гидроупругих и собственных форм колебаний
пластины, удобно воспользоваться представлением реш ения за­
дачи о совместном действии сил g и gi в виде разлож ений по
собственным формам (3.1.3). П одставляя это разлоя^ение в
интегро-дифференциальное уравнение (3.1.2) на поверхности
пластины (с учетом сил q \ b { x ± . l \ ) в правой части уравн ен и я),
а затем в равенство (3 ), получим следующее соотношение мелщ у
величинами требуемых аитисил и точками их прилож ения:
i-2 { q ^ /q )G O s ln { n — i/2 )U
—
1 -1
О)
1 I
— 1 -1
Q==Ql,
'g = gl.
В диапазоне низких частот, вследствие большой отдаленности
резонансны х частот друг от друга, влияние высш их гармоник на
низш ие мало и условие (4) приближенно сводится к равенствам
q.
Пп1
1 — 2 у С 0 8 -2 7 ^ = О,
гг = 1 ,3 , . . . ,
(5)
сходным с (2 ).
Д л я достиж ения наилучш его эф ф екта гаш ения поля точки
прилож ения (±Zi) и величина отношения к\ = gi/g долж ны варьи­
роваться в зависимости от частот колебаний: от нуля до сере­
дины интервала меж ду первой и второй резонансными частотами
парам етры ко==1\/1, к\ подбираются из условия (5) при
8 окрестности второй частоты — при ?г == 3 и т. д.
186
в качестве примера приведем несколько комбинаций ко, к\,
дозволяю щ их на два порядка снизить поле, излучаемое на первой
резонансной форме колебаний пластины:
к.
0
0,1
к
0,5
0,51
0,5
0,8
0,71
1,62
Отсюда видно, что с удалением точек прилож ения дополнитель­
ных сил gi от активной силы требуемые величины их ам плитуд
возрастаю т, однако даж е вблизи заделки они составляю т все еще
приемлемую величину.
Из приведенного примера следует и очевидный вывод, что
места прилож ения вынуж даю щ ей нагрузки ж елательно уд ал ять
от мест возбуж дения м аксимальны х резонансны х амплитуд ко­
лебаний.
Расчеты суммарных амплитуд давления в дальнем поле с у ч е­
том соотношений (5) меж ду величинами д, I, gi, 1\ показы ваю т,
что снижение акустического давления для окрестности первой
резонансной частоты составляет 45 50 дБ, а для второй —
10 15 дБ по всем направлениям .
Кроме амплитуды дальнего поля, важ ной характеристикой
яв л яется и скорость его затухания, которая зависит, в частности,
от протяж енности источника колебаний. В этом смысле предпо­
чтительна предельная локали зац и я источника, так к а к линейны й
источник создает в дальнем поле цилиндрическую волну, зату­
хающ ую по закону
тогда к а к точечная сила, прилож ен­
н а я к пластине, создает сферическую волну давления, затухаю ­
щую гораздо быстрее (по закону
К ритерий (3) сниж ения звукоизлучения пластины-полосы в
низкочастотном диапазоне мож ет быть обобщен и на случай ко­
лебаний в контакте с жидкостью пластины (So) с произвольным
контуром границы, закрепленной в ж естких экранах. В этом слу­
чае поле Р находится интегрированием (предварительно найден­
ной) функции прогиба пластины с функцией Грина задачи Н ей­
м ана для полупространства
Р (X,
{Хз, Уз)
ds 3 ,
R^ = { x - ХзУ + { у - Уз)^ + z ^
Р ассм атривая асимптотику Р при Д
оо с сохранением в ней
главного члена, находим, что критерием гаш ения низкочастотного
излучения от пластины произвольного очертания будет равенство
{ wdsQ = 0.
^0
Этот критерий имеет достаточно универсальны й вид и пригоден
187
для создания закона прилож ения дополнительных сил к произ­
вольной пластине, контактирую щ ей с жидкостью, в результате
чего существенно снизится суммарное акустическое поле, излу­
чаемое пластиной. Д л я более высоких частот критерии гаш ения
выводятся аналогично с привлечением следую щ их членов асимп­
тотического разлож ени я (3.3.4).
§ 2. Использование свойств переходных линий
и поверхностей для управления виброакустическим
полем оболочки
С труктура поля, излучаемого замкнутой оболочкой, определя­
ется несколькими факторами, меняющими свой вклад в зависи­
мости от реж им а колебаний. Это преж де всего вклад от резонан­
сных гармоник вибрирующ ей поверхности оболочки, который
присутствует в поле на любой частоте, вследствие густоты резо­
нансного спектра (в этом одно из отличий от колебаний и излу­
чения п ласти н ). Источниками излучения являю тся такж е локаль­
ные или распределенны е активные силы и моменты, прилож ен­
ные непосредственно к оболочке, передаваемые па оболочку через
подкрепления и наводимые реактивны е силы и моменты, возни­
каю щ ие в местах контакта оболочки с пеыагруженными подкреп­
лениями.
Вследствие разнообразия источников, вызываю щ их излучение
звука оболочкой, зачастую нуж ны и различны е способы для его
гаш ения. Рациональны м здесь представляется гаш ение не всех,
а только наиболее сущ ественных сил и моментов, в основном
определяю щ их излучение от оболочки в нерезонапсном реж име.
На этой стадии важ но знать теоретическое распределение ам пли­
туд акустического давления в дальнем поле и их связь с распре­
делением источников излучения по оболочке. Тогда по измерениям
сил и моментов на внутренних элементах конструкций, контак­
тирующих с оболочкой, можно судить и об ам плитудах дальнего
поля. С учетом этой информации вы рабаты вается закон прило­
ж ени я компенсирую щ их нагрузок, с помощью которых (к ак это
показано в предыдущ ем п араграф е) достигается эффект гаш ения
акустического излучения.
Вблизи резонансны х частот совместных колебаний оболочки
и жидкости разли чи я в способах возбуж дения оболочки отходят
на второй план. Ф орма колебаний оболочки образует и форму
акустического давления в дальнем поле.
П ри резонансны х колебаниях излучаю т в основном участки
поверхности оболочки, на которых возникаю т условия пространст­
венно-волнового резонанса (когда длина гидроупругой волны на
оболочке приближ ается к длине акустической волны в свободном
пространстве [8 6 ]). Это состояние отраж ается на полож ении
переходных поверхностей в жидкости, которые заметно сближ а­
ются с излучаю щ ими участкам и оболочки. Вследствие этого не­
188
обходим расчет располож ения переходных поверхностей в ж ид­
кости, который дает исходную информацию о наиболее интенсив­
но звучащ их участках поверхности оболочки, с тем чтобы целе­
направленно проводить мероприятия по снижению звукоизлуче­
н и я с этих участков.
Знание координат переходных поверхностей в жидкости слу­
ж и т такж е реш ению смеж ны х задач, например, задаче контроля
ш ум оизлучения с помощью гидрофонов по местам их располож е­
н и я при экспериментальном измерении дальнего поля, и злучае­
мого оболочкой. П остановка гидрофонов внутри области, огра­
ниченной переходными поверхностями и оболочкой, приводит к
искажению показаний приборов, так как в этой области преобла­
дающий фон создается волнами давления ближнего поля источ­
ника, которые не слыш ны на большом удалении от оболочки.
Слишком больш ая удаленность приборов от оболочки такж е не­
рациональна. О птимальным явл яется располож ение датчиков
д ав л ен и я непосредственно за границей наиболее удаленной от
оболочки переходной поверхности, которая, как установлено в
§ 6.1, 6.3, соответствует колебаниям оболочки на частотах, близ­
ких к кольцевой. Д ля эллипсоидальной оболочки вращ ения с
соотношением осей 1 2,5 это расстояние в окрестности экватора
примерно равно десяти радиусам экватора, а у полюсов умень­
ш ается до двух-трех.
Д ругим примером использования свойств переходных поверх­
ностей явл яется придание излучаю щ ей оболочке такой формы,
чтобы в зависимости от ее ориентации получать в ш ироких об-ластях пространства зоны звуковой тени, локали зуя энергию
излучения в заданны х направлениях («звуковой ф онарь»). Такую
оболочку А10ЖН0 представить, например, в форме трехосного эл­
липсоида, для которого область полной звуковой тени образуется
по всему периметру большого эллипса. У казанны е возможности
могут найти применение при конструировании корпусов рыболо­
вецких траулеров, новых типов излучателей звука и т. д.
Снижение дальнего акустического поля в н ап равлен иях
максимального излучения (вы равнивание диаграммы н ап равлен ­
ности) мож ет быть достигнуто при помощи подобных по геомет­
рии оболочек, находящ ихся вблизи от основной оболочки. Подоб­
ная, но много меньш ая по габаритам оболочка долж на сохранять
(для определенных типов колебаний) спектр основной оболочки.
Например, для двух сферических оболочек условием подобия
яв л яется равенство h\IR\ = /i2/i?2, для двух цилиндрических —
E i/J?2 =
==Ei/Z/2 и т. д. М алая оболочка при однотипных
вибрациях окаж ет воздействие на поле, аналогичное некоторому
второму когерентному источнику на поле первого. У читы вая, что
диаграммы направленности излучения от оболочки на частотах
выше первой резонансной частоты имеют сущ ественно неоднород­
ный характер с вы раж енны м и основными лепестками, и злуче­
нием подобной оболочки можно сущ ественно снизить максимумы
.в диаграмме направленности основной оболочки ценой некоторого
189
повыш ения давления по тем направлениям , где оно было вы­
раж ено слабее.
Известное свойство оболочки как и злучателя резко снижать,
интенсивность дальнего поля с увеличением изменяемости формы
колебаний в окруж ном направлении, т. е. с ростом волнового
ч ^ л а т (снижение ам плитуд дальнего поля происходит как
l!m\ [2 3 ]), приводит к стремлению создать как можно более
знакопеременное нагруж ение оболочки по параллели. Д ополни­
тельный выигрыш здесь и в том, что с ростом т увеличивается
полностью невибрируюидая и неизлучаю щ ая околополюсная об­
ласть поверхности оболочки.
П реобразование гармонической нагрузки, выходящ ей из источ­
ника колебаний, в мпоговолновую форму можно реализовать п ри
установке виброисточника на оболочечный фундамент в виде
оболочки вращ ения со специально спрофилированной дугой ме­
ридиана. На рис. 37 схематично показано расположение такого
фундамента 3 в форме эллипсоидальной оболочки вращ ения в
помещении, основание 7, потолок 1' и стены 2 которого долж ны
быть виброизолированы от источника колебаний 4.
Основная идея оболочечного фундамента состоит в том, что
при колебаниях с ттг ^ 2 волнами по параллели на поверхности
выпуклой и ряда других оболочек образуются переходные ли ­
нии, не пропускаю щ ие вибрации к полюсам оболочки. Тем самым
вибрации «запираются» внутри оболочки и не выходят наружу..
В аж но отметить, что при локальны х воздействиях на оболочку
(через опоры механизмов и т. д.) формы колебаний со сравни­
тельно большим числом волн по параллели ттг ^ 4 возбуж даю тся
легче, чем формы с малым числом окруж ны х мод, а это означает,
что переходные линии отсекают от вибраций значительную часть
околополюсных областей оболочки. Н а рис. 38 показана иптерферограмма одной из таких (полученных экспериментально
И. И. Пономаревым) резонансны х форм колебаний с ттг = 8 и дву­
м я волнами по меридиану замкнутой эллипсоидальной оболочки
вращ ения. Продольные и поперечные светлые полосы — это изоб-
190
раж ения узловых линий, замкнутые темные полоски — линии
уровня в форме прогиба оболочки. Ясно видны и участки в квазпстатическом состоянии вблизи верш ин оболочки. Переходные ли ­
нии находятся у краев вибрирующего участка.
Рис. 38
В качестве упругого звена многочастотной виброизолирующ ей
юпоры может быть использована и более простая тонкостенная
конструкция, изображ енная на рис. 39, представляю щ ая собой
кольцевую пластину 7, к внутреннему контуру 2 которой с по­
мощью жесткого вала или трубы 3 присоединен объект виброизо­
л яц и и 4, а к наруяш ому — через жесткие связи 6 — источник
неж елательной вибрации 5, Впброизолирую щ ие свойства такой конструкции
так ж е основаны па эффекте образова­
ния переходных линий, отделяющих
волновые зоны от зон, находящ ихся
при колебаниях в «спокойном» состоя­
нии. М атематический данны й эффект
заклю чен в структуре реш ений уравне­
н ия свободных поперечных колебаний
п ластины круговой геометрии
D A l w — Q^w = О,
дг^ + T - i + (г, ф — полярные координаты ).
Общий интеграл этого уравнения может быть представлен
в виде суммы w
w\ + W2 , слагаемые которой являю тся реш е­
н и ям и уравнений
A 2 W1 + s^wi=^0,
A 2 W2 — s^W2 = 0,
=
(1)
191
П олагая
Щт{г, ф ) =
ш
О', 1 , 2 , . . . ,
7
1, 2,
преобразовываем (1) к виду
„2 N
LW,m +
- 4
LW3
=
L =
= о, (2)
+1
7- d r •
dr^
Реш ения первого уравнения (2) имеют осциллируюш;ий ха­
рактер при полож ительном знаке коэффициента у недифферен­
циального члена и квазиэкспоненциальны й — при отрицательном.
Реш ения второго уравнения описывают неосциллируюгций дина­
мический краевой эффект.
Следовательно, при любой частоте, на которой образуется фор­
ма колебаний с ттг > О узловыми диаметрами, в центральной обла­
сти пластины возникает зона, свободная от вибраций. Рис. 40 на­
глядно иллю стрирует это интерферограммой собственной формы
Рис. 40
колебаний круглой пластины с ттг = 3 узловыми диаметрами (на
переднем плане видно устройство, возбуж даю щ ее кол еб ан и я).
У читы вая, что таких частот (с ттг > 0) в спектре упругой пласти­
ны бесконечно много, получаем теоретическую возможность
обеспечения виброизолирующ его эффекта в большом числе частот.
Естественно, что этот эффект для разны х частот будет неодина­
ков, так как степень сниж ения амплитуд вибраций зависит от
ширины области экспоненциального затухания меж ду переходной
линией, радиус которой определяется из равенства
/> = те у
192
C o h J iO m n ,
те, re = 1, 2,
,
где comn — собственная частота колебаний пластины (п — ч и сла
узловых окруж ностей), и контуром прикрепления виброизолируемого объекта с радиусом
П рактическая постановка задачи может, наприАшр, состоять в
том, что требуется защ итить некоторый объект от вибраций при
работе механизм а на заданны х частотах. В этом случае п арам ет­
ры круглой пластинки подбираю тся так, чтобы ее резонансны е
частоты для форм колебаний с /тг = 2, 3, 4 совпадали с заданны м и
частотами или были близки к ним. Если такую пластинку исполь­
зовать в виброопоре, то на заданны х частотах произойдет полная
виброизоляция опоры от механизма.
При разработке и создании подобного рода виброопор необхо­
димо иметь в виду, что в системе механизм — круглая пластинка
сущ ествует много промеж уточных частот, являю щ ихся ее резо­
нансами к а к системы и н а тех из них, формы колебаний которых
распространяю тся до центральной опоры, произойдет усиление
передачи колебаний. Поэтому, в целом, задачу виброизоляции
ж елательно рассматривать более комплексно. Возможно, послед­
ние частоты не представляю т опасности, так как механизм на
них, например, не вибрирует, возможно, они не опасны при рас­
пространении и т. д. Но если такие частоты опасны, то их сле­
дует поместить в разряд первоначальны х частот и заново подо­
брать парам етры круглой пластины.
И спользование оболочечных и пластинчаты х фундаментов мо­
ж ет быть перспективно везде, где необходима защ ита от стацио­
нарных вибраций: приборные доски в системах управления само­
летами, сиденье и руль управления транспортными средствами,
высокоточные станки в электронном маш иностроении и во мно­
гих других технических устройствах.
I
L
13 А. Л. П опов, Г. Н. Ч ерн ы ш ев
П рилож ение
ОБ ОСОБЕННОСТЯХ КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА
СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧКИ И ФУНКЦИИ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
В МЕСТАХ ПРИЛОЖЕНИЯ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ НАГРУЗОК
§ 1. Главные особенности перемещений,
усилий и моментов в статике оболочек
Задачи о действии на оболочку сосредоточенных сил и моментов —
юто задачи на построение фундаментальных решений систем диффсреидн-альных уравнений с 6-образными правыми частями [27]. Главные особен­
ности (Г. О.) в таких решениях получают при сохранении в дифферен­
циальных операторах старших производных с коэффициентами, зафикси­
рованными в точках или на линиях приложения сосредоточенных нагрузок.
Вследствие этого главная особенность, опредс'лопиая для заданного спосо­
ба нагружения, имеет одинаковый характер для разных типов оболочек
и пластин, что позволяет использовать ее в качестве исходной информации в решении многих задач.
Выпишем уравнения равновесия оболочки в перемещениях в векторноматричной форме:
LV
= R.
(1)
Здесь L-—матрица дифференциальных операторов U = { щ , М2, щ }— вектор
перемещений, R == —а{Х', F', Z'}, а = (1 — vS (Я/г)-! — вектор внешней
нагрузки, состоящий из компонент X, У, Z силовой нагрузки по осям а,
п, связанным с линиями кривизны (а,
срединной поверхности оболочки
и нормалью 72, и моментов М \ , М 2 * распределенных по осям а,
1 2
(Al, А 2, R u i ?2 — коэффициенты первой квадратичной формы и радиусы
кривизны срединной поверхности).
При действии сосредоточенных в точке «о, Ро сил X, Y , Z величиной Q
правая часть системы (1) имеет вид
R = o^(AiA2)-i6(ao, Р о){-1, - 1 , 1}.
В случае одного сосредоточенного момента
вая часть системы (1) имеет вид
о _
F (« o ’ Pq)
„
М\
с интенсивностью
(2)
М
пра­
J_£fi
“=«0.6=60*
194
1
Аналогично при действии момента М2
(ТМ
R=
« (“о- Ро)
-1 ^
'А,
(4>
аМ r _ J _ ^ J_ £ 6
I
^2 ap >
da ’
(5>
о,
АА
Для сосредоточенного крутящего момента
R=
Выражения для главных особенностей компонент вектора состояния
оболочки при действии порознь каждого из указанных силовых факторов
получены в [127]. Воспроизведем результаты [127] в форме таблиц, столб­
цы которых различаются по типу приложенной нагрузки, а строки — по
Т а б л и ц а П.1
щ
х^ sin ф cos ф
— 2х^ In г
—(1+ v )
sin ф cos ф
— 2х^1п
г
2V
p
cos^ ф ]/’^ In г
K / +
(1+v) feisin* ф] г* In "г
■
■ 2 V a [ 4 ’/ - 2 к ^ cos^ ф]
In г
f
Ы
2к^
2
—2х^г In "г
+
sin^ ф]г^ In г
О бозн ач ен и я:
. _ л (3 -v )(l+ v )
^ _ ^ ( l + v)‘''
„ _ ^ l + v
64л£А
„
1 — у“
32nEh^’
\ = W A w ; ’ '•' = 4 ( « - « о ) ' + ^ 1 (Р -Р о )'„(1) — ■ /1 + V 5 — 3v\
~ 2
I ^1 “
^2 Г
‘
™23
2v
^32
А (а — а )
я
8Шф —-JL2--------2Z,
г
Л.
~
г
г= —
г*
компонентам вектора состояния оболочки. В табл. П.1 представлены глав­
ные особенности перемещений оболочки щ , U2 , w от сосредоточенных сил
X , Y , Z , в табл. П.2 — соответствующие им особенности внутренних уси­
лий и моментов (не описанное в таблицах обозначение
— обезразме­
ривающий параметр). Главные особенности решений в случае сосредото­
ченных моментов получаются из особенностей от действия сил X , F, Z
после операций над ними, определенных видом правой части R в (3) — (5)
(для производной от 6-функции по одной из координат следует продиф­
ференцировать соответствующую особенность от компоненты сосредоточен­
ной силы по этой координате).
13*
195.
Т аблица
П.2
X
Тх
sm ф
[3 -4 л/-
cos Ф г
+ 2 (1 + V) sin" ф]
^ [ 2 m < |) l n 7 - 2 / -
+ 2 (1 + V) cos" ф] - (1 + v )
sin^ Ф cos' ф ]
COS ф г
Si
+ 2 (1 + v) cos^ ф]
Gl
12л “
( 2) .
41
42
12л
+ 2г)г^ I n ?
О бозн ач ен и я :
,(2) _ I /5 + V 1 — 3v
•^42
+
+ 2^)
R.
(4
R^
'
^ [ ( 1 + v) I n ? -
In r
1-3 v
"^33
\s “ 4 I
+ (l + V) г].^1п7
+ 2 (1 + V) sin" ф]
— 2 (1 — v) cos' ф]
+A)’
sin* Ф
R.
_5_
Л
cos^ Ф
§ 2. Главные особенности функций давления жидкости
и прогиба оболочки в задачах гидроупругости
Функция давления жидкости и ее нормальная производная на поверх­
ности контакта (пропорциональная прогибу оболочки или пластины) яв­
ляются основными неизвестными в задачах динамической гидроупруго­
сти. Поэтому при действии на оболочку, контактирующую с жидкостью,
сосредоточенных нагрузок необходимо оценить влияние жидкости на по­
рядок главной особенности функции прогиба и определить его для функ­
ции давления жидкости. Сделать это можно на простейшей модельной за­
даче о действии нормальной силы на бесконечную пластину, лсяхащую иа
жидком полупространстве, так как из табл. П.1 следует независимость
главной особенности функции w от геометрии оболочки.
Рассмотрим сначала нагружение пластины линейно-сосредоточенной
^силой. В статике — это задача о плоском изгибе пластины:
D w ^ ^ ix ) = qd{x). .
(1)
Непосредственным интегрированием получаем
3
W (х)
=
ж" I г I + 2
(2)
п=0
Первое слагаемое в решении (2) определяет главную особенность функ­
ции прогиба пластины на линии приложения силы. Нетрудно показать,
что она не меняется при добавлении в уравнение (1) инерционного сла­
гаемого:
= qb(x)
(это видно, например, из разложения решения (8.1.1) в ряд Маклорена по
степеням \ х \ ) .
496
Главную особенность w при колебаниях пластины в контакте с
скидкой средой можно определить из точного решения (2.27) в форме
обратного преобразования Фурье с сохранением в подынтегральной функ­
ции наиболее асимптотически значимых слагаемых
со
г _ Г а ,с о з ( Ш л 1
1
Р-аг
g
(3)
О .
(инерция пластины и сжимаемость жидкости не учитываются).
Представляя интеграл (3) в виде
/
=
4
-
п=1
2
«
-
'
-
»
•
<«)
о
-сводим его к табличной форме 3.722.7 [48]:
1 ^
/ = --^ 2 ^ п /п .
П=1
/n = C 0S3„Ci(z„)+sill2„[si(z„) + n],
2„ = Х„111.
-Заменяя затем обыкновенные и интегральные синусы и косинусы разложе­
ниями в окрестности g = 0:
.3
si n2 = z - — + . ..,
si(z) = - ^
2
cosz= l-_+ ...,
+ | 4 f - 3 ^ + •••.
ci(z) = C + l n z - A +
C
(5)
= 0, 5772. . . ,
M учитывая, что корни уравнения пятой степени (4) удовлетворяют ус-ЛОВИЯМ
5
2
гг— 1
5
с
= 0,
=
"* = 1.
(6)
?г= 1
убеждаемся в совпадении главных особенностей функций (3) и (2).
Аналогичным образом анализируется интеграл (2.2.27) для функции
давления жидкости на поверхности пластины:
О
^=1
Представляя его также в виде суммы пяти интегралов, каждый из ко­
торых имеет табличное выражение в специальных функциях, получим с
учетом свойств (6), что главная особенность функции P |s па линии при­
ложения силы равна
Видно, что она существенно ниже, чем у прогиба пластины.
Выделение такой особенности в приближенном решении задачи о ко­
лебаниях пластины (либо оболочки), контактирующей с жидкостью, про­
исходит на стадии построения медленноменяющихся компонент w ш Р .
197
в случае точечного нагружения пластины силой Q 6 ( x , у ) главная осо­
бенность функции прогиба приведена в табл. П.1: ( Q / 8 n D ) r ^ I n г, где г ==
= air — обезразмеренное расстояние от точки приложения силы в средин­
ной плоскости пластины. Покажем, что она также сохраняется и при ко­
лебаниях пластины в контакте с жидкостью. Используем для этого пред­
ставление функции прогиба бесконечной пластины с помощью обратного
преобразования Ханкеля (2.3.10):
гс ( г )
= ,
2na?Z)
7 = ? —s'— — d x ,
.)
1
I
=
x ^ - i
о
а г
^
(7)
(как и в (3), жидкость считается несжимаемой; инерция пластины не учи­
тывается).
Представление интеграла (7) в виде
^=
П=1
4 - 1 = 0.
Q
сводит его к табличным формам (2.12.3,6) [106]:
5
п’
п=1
где
(z) — функция Струве.
Разложения функций H^(z),
Yo(z)
в степенные ряды имеют вид [118]г
Подстановка этих разложений в (7) приводит к искомому выражению длят
главной особенности функции прогиба пластины, контактирующей С:
жидкостью, совпадающему с известным выражением для пластины в
вакууме.
Главная особенность функции давления жидкости на поверхности плас­
тины определяется аналогичным образом из интеграла
аж :/
О
Опуская промежуточные действия, получим
? ( г , 0) = - х / 1 п г ,
x
8я
\i9 2 D )
(8)
Очевидно, что и здесь порядок главной особенности P |s существенно ни­
же, чем у функции прогиба пластины.
Особенности других компонент вектора состояния оболочки, в меньшей
степени связанных с жидкостью, чем w , остаются без изменения.
спи сок Л ИТЕРАТУРЫ
1.
Колебания элементов кон­
струкций в жидкости — М.; Наука, 1987.— 158 с.
2 . А л е к с а н д р о в В . М . , С т р е л ь н и к о в Г . П . Метод ортогональных многочле­
нов в задачах о вынужденных колебаниях цилиндрических оболочек
в акустической среде Ц Изв. АН Арм. ССР. Механика.— 1983.— Т. 36,
№ 1 . - С. 3 5 -4 6 .
3. А р о н с о н А , Я . Влияние присоединенной массы воды на колебания по­
груженного в нее стержня Ц Изв. АН СССР. ОТН. Механика и маши­
ностроение.— 1959.— № 5.— С. 41—47.
4. Б а б и ч В , М . , Б у л д ы р е в В . С. Асимптотические методы в задачах диф­
ракции коротких волн.— М.: Наука, 1972.— 456 с.
5. Б а й б у р т я н В , А . , Ц и о н с к и й А . Я . Колебания сферической оболочки,
подкрепленной шпангоутом, в идеальной сяшмаемой жидкости Ц Изв.
Сев.-Кавказ. науч. центра высшей школы. Естественные науки.— 1980.—
№ 1 . - с. 2 7 -3 0 .
6. Б а л а б у х Л . И , Взаимодействие оболочек с жидкостью и газом Ц Тр.
VI Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Баку. 1966.— М.: Наука,
1966.— С. 935—944.
7. Б а н и ч у к Н . В . , М и р о н о в А . А . Оптимизация частот колебаний упругой
пластинки в идеальной жидкости Ц ПММ.— 1975.— Т. 39, вып. 5.—
С. 8 89-899.
Б а р а б а н о в В . В . , Л я п у н о в В . Т . Энергетические аспекты изгибных ко­
лебаний в жидкости бесконечной пластины с потерями Ц Акуст.
жури.— 1977.— Т. 23, № 6.— С. 846—853.
9. Б е л и н с к и й Б . П . , К о у з о в Д . П . О формулах типа формул Грина для
изгибно колеблющейся пластины Ц Акуст. журн.— 1981.— Т. 27, № 5.—
С. 710-718.
10. В е р н б л и т М . В . Значения модальной эффективности акустического
излучения и коэффициентов присоединенных хмасс для ограниченной
цилиндрической оболочки в жестком экране Ц Акуст. журн.— 1977.—
Т. 23, № 4 . - С. 5 2 8 -538.
И. Б л а н к Ф . Г . Об импеданце излучения полосы, совершающей изгибные
колебания в бесконечном экране Ц Акуст. журн,— 1968.— Т. 14, № 2.—
С. 176-184.
12. Б о л о т и н В . В . Неконсервативные задачи теории упругой устойчиво­
сти.— М.: Физматгиз, 1961.— 339 с.
13. Б о р и с о в Л , П . Вибрации бесконечной пластины, соприкасающейся с
жидкостью Ц Вибрации и шумы.— М.: Наука, 1969 — С. 3—10.
14. Б о р щ С. П . , П о п о в А . Л . , Ч е р н ы ш е в Г . Н . Метод выделения особеннос­
тей в задаче о гидроупругих колебаниях обоолчки, возбуждаемых сосредоченными силами Ц ПММ.— 1990.— Т. 54, вып. 4.— С. 619—626.
15. Б р о н ш т е й н И . Н . , С е м е н д я е в К . А. Справочник по математике.— М.: На­
ука, 1981.— 720 с.
16. Б р у с и л о в с к и й А . Д., Ш м а к о в В . П . , Я б л о к о в В . А . Метод расчета собст­
венных и вынужденных колебаний упругих оболочек вращения, запол­
ненных идеальной несжимаемой жидкостью Ц Изв. АН СССР. МТТ.—
1 9 7 3 .-№ З .- С . 9 9 -1 1 0 .
А в е р б у х А . 3 ., В е й ц м а н Р. И ., Г е н к и н М . Д .
199
17.
Колебания и устойчивость деформируемых систем в жид­
кости.— Киев: Наукова думка, 1975.— 190 с.
18. Б е й т м е н Г . , Э р д е й и А , Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрические функции. Функции Лежандра.— М.: Наука, 1973.— 294 с,
19. В а с и л ь е в Д. Г . Формула для функции распределения частот оболочки
вращения, погруженной в жидкость Ц ДАН СССР.— 1979.— Т. 248,
№ 2.— С. 325-328.
20. В а с и л ь е в Д . Г . , Г о л ь д е н в е й з е р А. Л . Колебания и излучение оболочки
вращения при действии кольцевой нагрузки Ц Изв. АН СССР. МТТ.-~
1983.— № 4.— С. 184—193.
21. В а с и л ь е в Д . Г . , Л е в и т и н М . Р . , Л и д с к и й В . Б . Вынужденные колебания
тонкой упругой оболочки, заполненной вязкой сжимаемой жидкостью h
ДАН СССР.— 1989.— Т. 305, № 2.— С. 329-332.
22. В а с и л ь е в Д . Г . , Л и д с к и й В . Б . Квазирезонансы в задаче о вынужден­
ных колебаниях топкой упругой оболочки, взаимодействующей с
жидкостью и Функц. анализ и его приложения.— 1986.— Т. 20.
вып. 4.— С. 17—28.
23. В а с и л ь е в Д . Г., С и м о н о в И , В , Асимптотические оценки комплексных
частот колебаний оболочки в жидкости.— М.: 1981.— 67 с. (Препр./Ин-т
проблем механики АН СССР; № 186).
24. В е к у а И . Н . Обобщенные аналитические функции.— М.: Физматгпз.
1959.— 319 с.
25. В и ш и к М . И . , Л ю с т е р н и к Л . А . Регулярное вырождение и пограничный
слой для линейных дифференциальных уравнений с малым парамет­
ром Ц УМН.— 1957.— Т. 12, вып. 5(77).— С. 3—122.
26. В л а с о в В . В . Избранные труды. Т. 1.— М.: Изд-во АН СССР, 1962.—
528 с.
27. В л а д и м и р о в В , С. Уравнения математической физики.— М.: Наука,
1981.— 512 с.
28. В о р о в и ч И , И . , Ц и о н с к и й А . Я . , Ю д и н А . С. Метод собственных форм ре­
шения задачи о вынужденных колебаниях оболочки вращения, под­
крепленной ребрами, в жидкости Ц Акуст. жури.— 1983.— Т. 29, № 6,—
С. 744-748.
29. В о с к р е с е н с к и й А. Я., Ш м а к о в В . П . Определение динамических харак­
теристик цилиндрических оболочек с жидкостью методом корректирую­
щих функций Ц Колебания упруг, констр. с жидкостью. V Всес. сими.
Новосибирск, 1982 г.— М.: ЦНТИ «Волна».— 1984.— С. 6 5 -7 1 .
30. В я л ы ш е в А . И . , Д у б и н и н А . И . , Т а р т а к о в с к и й Б . Д . Активная звукоизо­
ляция пластины Ц Акуст. журн.— 1986.— Т. 32, № 2.— С. 159—164.
31. В я л ы ш е в А . И . , Д у б и н и н А . Я., Т а р т а к о в с к и й В . Д . Об активной зву­
коизоляции цилиндрической оболочки Ц Акуст. журн.— 1987.— Т. 33.
№ 1 .- С . 107-110.
32. Г а н ч е в С. Р., Т о в с т и к П . Е . Колебания оболочки вращения в жидкости;
при наличии переходных линий Ц Вести. ЛГУ.— 1981.— Вып. 4, № 19.—
С. 54—58.
33. Г е л ь ф а н д Н . М . , Ш и л о в Г . Е . Обобщенные функции и действия над ни­
ми.— М.: Физматгиз.— 1959.— 470 с.
34. Г о д у н о в С, К . О численном решении краевых задач для систем линей­
ных обыкновенных дифференциальных уравнений Ц УМН.— 1961.—
Т. 16, № 3.— С. 171—174.
35. Г о л о в а н о в В . А , Низкочастотные колебания оболочки вращения, погру­
женной в жидкость Ц Изв. АН СССР. МТТ.— 1982.— № 2.— С. 155—161.
36. Г о л о в а н о в В , А . , М у з ы ч е н к о В . В . , П е к е р Ф . Н . , П о п о в А . Л . Рассеяние
и излучение звука упругими оболочками в жидкости.— М., 1985.—
70 с. (Препр./Ин-т проблем механики АН СССР; Л*® 261.)
37. Г о л о в а н о в В . А . , П о п о в А . Л . Влияние анизотропии и контакта с
жидкостью на колебания бесконечной пластины под сосредоточенной
силой Ц Акуст. журн.— 1983.— Т. 29, № 1.— С. 32—37.
3 8 . Г о л о в а н о в В . А . , П о п о в А . Л . , П о п о в А . Ю . Расчет резонансных колеба­
ний оболочки, контактирующей с жидкостью при помощи присоеди­
ненной массы Ц Изв. АН СССР. МТТ.— 1986.— № 5.— С. 166—171.
200
Б у й в о л В. Н.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
-51,
-52.
-53,
-54.
55.
56.
57.
58.
59.
Г о л о в а н о в В . А . , П о п о в А . J L , Ч е р н ы ш е в Г . II . Колебания пластин под
действием сосредоточенных на 1’рузок в акустической среде Ц ПММ.—
1982.— Т. 46, вып. 2 . - С. 303-309.
Г о л о в а н о в В . А . , П о п о в А . Л . , Ч е р н ы ш е в Г . II . О колебаниях ограни­
ченной пластины в жидкости Ц ПММ.— 1986.— Т. 50, вып. 3.— С. 436—
442.
Г о л о в и н А . А . , П о п о в А . Л . Метод решения динамических задач гидро­
упругости оболочек и пластин с самоконтролем результатов Ц Коле­
бания упругих констр. с жидкостью. Сб. докл. Y I Симпозиума. Ново­
сибирск, 1988.— Новосибирск: Нзд-во СибНИА им. С. А. Чаплыгина.—
1990.— С. 49—53.
Г о л ь д е н в е й з е р А . Л . Классификация интегралов динамических уравне­
ний линейной двумерной теории оболочек Ц ПММ.— 1973.— Т, 37,
вып. 4.— С. 591—603.
Г о л ь д е н в е й з е р А . Л . Теория упругих тонких оболочек.— М.: Наука,
1 9 7 6 .-5 1 2 с.
Г о л ь д е н в е й з е р А . Л . , Л и д с к и й В . Б . , Т о в с т и к П . К. Свободные колебания
тонких упругих оболочек.— М.: Наука, 1979.— 384 с.
Г о л ь д е н в е й з е р А . Л . , Р а д о в и н с к и й А . Л . Асимптотический анализ ко­
лебаний и излучение оболочки вращения в жидкости.— М., 1986.—
62 С. (Препр./Ип-т проблем механики АН СССР; № 275.)
Г о н т к е в и ч В . С. Собственные колебания пластинок и оболочек.— Киев:
Наукова думка, i 964.— 288 с.
Г о н т к е в и ч В . С. Собственные колебания оболочек в жидкости.— Киев:
Наукова думка, 1964.— 102 с.
Г р а д ш т е й н М . С ., Р ы ж и к П. М . Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений.— М.— Л.: Наука, 1971.— 1100 с.
Г р и г о л ю к Э. П . , Г о р ш к о в А . Г . В.заимодействие упругих конструкций с
жидкостью.— Л.: Судостроение, 1976.— 197 с.
Г р и н ч е н к о В . Т . , В о в к И . В . Волновые задачи рассеяния звука на уп­
ругих оболочках.— Киев: Наукова думка, 1986.— 240 с.
Г у т и н Л . Я . Звуковое излучение бесконечной пластинки, возбуждаемой
нормальной к пей сосредоточенной силой Ц Акуст. журн.— 1964.—
Т. 10, № 4 . - С. 431-434.
Д о м б р о в с к и й В . Я . , Е р м о л е н к о А . Ф . , Т и х о н о в В . А . Расчет акустиче­
ского излучения оболочек, погруженных в жидкость Ц Тр. Моск. анерг.
ин-та.— 1973.— Вып. 1 5 6 .- С. 26—34.
Д о р о д н и ц ы н А . А . Асимптотические законы распределения собствен­
ных значений для некоторых особых видов дифференциальных урав­
нений второго порядка Ц УМН.— 1952.— Т. 7, вып. 6(52).— С. 3—96.
Е в с е е в В . I I . Излучение звука бесконечной пластиной с периодически­
ми неоднородностями Ц Акуст. журн.— 1973.— Т. 19, № 3.— С. 345—
350.
Е в с е е в В . П . , И в а н о в В . С., К и р п и ч н и к о в В . Ю . Излучение звука беско­
нечной тонкой пластиной, возбуждаемой продольной силой Ц Акуст.
журн.— 1977.— Т, 23, .Уо 5.— С. 731—737.
Е в с е е в В . П . , К и р п и ч н и к о в В . Ю . , Р о ж и п о в а Т . Д. Экспериментальные
исследования излучения звука пластинами с ребрами жесткости Ц Су­
дов. акуст.— Л.: 1978.— С. 18—23.
Е п и ф а н о в О. В . , П о п о в О. П ., Ц и о н с к и й А . Я . Обоснование метода собст­
венных форм решения задач гидроупругости оболочек конечных раз­
меров Ц ДАН СССР.- 1 9 8 8 .- Т. 299, № 2 . - С. 301-304.
З о л о т а р е в И . А . , П о п о в А . Л . О пределах применимости приближенных
методов решения задач колебаний оболочек с жидкостью Ц Стройницки часопис.— 1987.— Т. 38,
6.— С. 697—706.
З о л о т а р е в И . А . , П о п о в А . Л . К вопросу о точности некоторых прибли­
женных методов решения задач динамической гидроупругости оболо­
чек Ц Тр. I конф. по механике АН соц. стран. Прага, 1987.— Сб. докл.
Т. 3.— Прага — Братислава: 1987.— С. 112—115.
201
60.
И в а н о в В . С ., Р о м а н о в В . I I . К вопросу определения звукового давле­
ния вблизи поверхности бесконечной пластины, возбуждаемой сосредо-точенной силой Ц Акуст. журн.— 1970.— Т. 16, № 4.— С. 526—529.
61. И л ь г а м о в М . А . Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость
и газ.— М.: Наука, 1969.— 181 с.
62. К а г а н В . Ф . Основы теории поверхностей. Ч, 1.— М.: Гостехиздат,
1947.— 512 с.
63. К а н д и д о в В . И . , Ш е н я в с к и й Л . А . Волны в ребристой цилиндриче­
ской оболочке, погруженной в жидкость / Акуст. журн.— 1980.—
Т. 26, № 1 . - С. 8 4 -9 0 .
64. К а п л у н о в Ю . Д . , М а р к у ш е в и ч Д . Г . Излучение упругого слоя в жидкое
полупространство (плоская задача) Ц ДАН СССР.— 1990.— Т. 313,
№ 6 . - С. 1385-1390.
65. К а р м и ш и н А . В . , Л я с к о в е ц В . А . , М я ч е н к о в В . И . , Ф р о л о в А . Н . Ста­
тика и динамика топкостепных оболочек конструкций.— М.: Машино­
строение, 1975.— 375 с.
66. К л е щ е в А . А . , Р о с т о в ц е в Д . М . Рассеяние звука упругой и жидкой эл­
липсоидальными оболочками вращения Ц Акуст. журн.— 1986.— Т. 32,
№ 5 . - С. 691-694.
67. К о в и н с к а я С. Я , Н и к и ф о р о в А . С. Влияние акустической среды на ко­
эффициент передачи силы и виброизоляцию шарнирных закреплений
пластин Ц Акуст. журн.— 1987.— Т. 33, № 6.— С. 1064—1068.
68. К о н е н к о в Ю . К . О взаимодействии мод при вибрациях ограниченной
пластины в среде Ц Акуст. журн.— 1972.— Т. 18, № 2.— С. 265—269.
69. К р а с н о п о л ь с к а я Т . С. Колебания бесконечной пластины, соприкасаю­
щейся с жидкостью, при возбуждении вдоль прямой двигателем огра­
ниченной мощности Ц Прикл. механика.— 1988.— Т. 24,
9.— С. 96—
103.
70. К о у з о в Д . Я О решении уравнения Гельмгольца для полуплоскости
при граничных условиях, содержащих производные высокого порядка Ц
ПММ.— 1967.— Т. 31, вып. 1.— С. 164—170.
71. К о у з о в Д . И . О низкочастотных движениях тонкого упругого слоя, раз­
деляющего две жидкости Ц Пробл. дифракции и распростр. волн.—
Л.: Изд-во Л Г У .- 1 9 6 6 .- Вып. 5 . - С. 150-179.
72. Л а в р е н т ь е в М . А,, Ш а б а т Б . В . Методы теории функций комплексного»
переменного,— М.: Физматгиз, 1958.— 678 с.
73. Л а м п е р Р . Е . К расчету собственных колебаний баков методом Ритца
с варьируемым параметром Ц Материалы VII Весе. конф. по теории
оболочек и пластин. Днепропетровск. 1969.— М.: Наука, 1969.— С. 351—
355.
14. Л е х н и ц к и й
С. Г .
Анизотропные пластинки.— М.— Л.: Гостехиздат,
1947.— 364 с.
75. Л а з а р е в А. Д . О низших частотах собственных осесимметричных коле­
баний непологих сферических оболочек Ц Изв. АН СССР. МТТ.—
1967, № 3 . - С. 6 6 -7 2 .
76. Л у ж и н О. В . Осесимметричные колебания сферических куполов при
различных граничных условиях Ц Исслед. по теории сооруж. М.: Госстройиздат, 1962.— Вып. И .— С. 35—53.
77. Л у к о в с к и й Я А., Т р о ц е н к о В . А., У с ю к и н В . Я Взаимодействие тонко­
стенных упругих элементов с жидкостью в подвижных полостях.—
Киев: Наук, думка, 1989.— 240 с.
78. Л я м ш е в Л . М . Отражение звука тонкими пластинами и оболочками в:
жидкости.— М.: Изд-во АН СССР, 1955.— 73 с.
79. Л я м ш е в Л . Л/., Р у д а к о в С. И . Излучение звука пластинками и оболочка­
ми в воде Ц Акуст. журн.— 1961.— Т. 7, АГз 2.— С. 380—383.
80. Л я п у н о в В . Т . , Н и к и ф о р о в А . С. Виброизоляция в судовых конструк­
циях.— Л.: Судостроение, 1975.— 192 с.
81. М а р к у ш е в и ч Д . Г . Колебания двойной цилиндрической оболочки с*
жидкостью // Известия АН СССР. МТТ.— 1989.— № 5.— С. 124—131.
82. М е р к у л о в В . Я., П р и х о д ь к о В . Ю . , Т ю т е к и н В . В . Возбуждение и рас­
пространение нормальных волн в тонкой упругой цилиндрической
202
83.
оболочке, заполненной жидкостью
С. 7 2 3-729.
Ц
Лкуст. журн.— 1978.— Т. 24, № 5.—
М и ш и н а А . П ., П р о с к у р я к о в И. В .
Высшая алгебра.— М.: Наука, 1965.—
300 с.
84.
М н е в Е . П ., П е р ц е в А . К .
Гидроупругость оболочек.— Л.: Судостроение,
1970.— 365 с.
S5.
М орс
Ф. М .
и Ф е ш б а х Г.
Методы математической физики. Т. 2.— М.:
ИЛ, I 9 6 0 .- 886 с.
86.
87.
88.
S9.
'90.
91.
92.
'93.
Ш.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
М у з ы ч е н к о В . В . , Р ы б а к С. А . Излучение звука вытянутой оболочкой
вращения // ДАН СССР.— 1989.— Т. 304, № 3 . - С. 586-590,
М х и т а р о в Р . А . О взаимодействии форм колебаний тонкой ограничен­
ной пластины в жидкости Ц Акуст. журн.— 1972.— Т. 18, № 1.—
С. 146-150.
Н и г у л У. К . , М е т с а в э э р Я . А . , В е к с л е р Н . Д . , К у т с е р М . Э. Эхо-сигналы
от упругих объектов. Т. 2.— Таллинн: Изд-во АН Эст. ССР, 1974.— 345 с.
Н и к и ф о р о в А . С. Излучение пластины конечных размеров при произ­
вольных граничных условиях Ц Акуст, журн.— 1964.— Т. 10, № 2.—
С. 21 8-223.
Н и к и ф о р о в А . С. Об акустическом взаимодействии излучающих краев
пластины Ц Лкуст. журн.— 1981.— Т. 27, № 1.— С. 155—156.
Н о в и ч к о в Ю . Н . Исследование спектров частот собственных колебаний
цилиндрических оболочек, содержащих сжимаемую жидкость Ц Мате­
риалы VI Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Ваку, 1966.— М.:
Наука, 1966.— С. 661—667.
Н о л ъ д е Е . В . Высокочастотное излучение бесконечного тонкостенного
цилиндра в жидкости Ц Мат. методы управл. и обраб. информации.—
Долгопрудный: МФТИ, 1986.— С. 136-139.
П л а х о в Д . Д . Ближнее акустическое поле бесконечной пластины, воз­
буждаемой сосредоточенной силой Ц Акуст. журн.— 19G7.— Т. 13,
№ 2 . - С. 3 04-306.
П о н о м а р е в И . И . Экспериментальное исследование резонансных коле­
баний круглой пластинки, взаимодействующей с акустическим полу­
пространством Ц Тр. XII Всес. конф. по теории оболочек и пластин.
Ереван, 1980.— Ереван: Изд-во Ереванского ун-та, 1980.— Т. 3.— С. 144—
149.
П о п о в А . Л . Асимптотика собственных функций и частот коротковолно­
вых колебаний замкнутой оболочки Ц Изв. АН СССР. МТТ.— 1977.—
№ 2.— С. 126-134.
П о п о в А . Л . Коротковолновые колебания подкрепленной оболочки вра­
щения в жидкости Ц Труды ХП Всес. конф. по теории оболочек и
пластин. Ереван. 1980.— Ереван: Изд-во Ереванского ун-та.— 1980.—
Т. 3.— С. 150—156.
П о п о в А , Л . Осесимметричные колебания оболочек вращения в жидко­
сти при сосредоточенных воздействиях Ц Изв. АН СССР. МТТ.—
1 9 8 3 .-№ 5 . - С. 168-173.
П о п о в А . Л . Приближенный метод построения решения задач о колеба­
ниях сосредоточенными нагрузками оболочек и пластин в жидкости Ц
Тр. XIII Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Таллинн, 1983.—
Таллинн: Изд-во Таллиннского политехи, ин-та, 1983.— Ч. 4.— С. 89—
94.
П о п о в А . Л . , С о л а д и л о в В . Е . Исследование резонансных колебаний обо­
лочки сложного очертания, полученной изгибанием границы эллипсои­
да вращения Ц Прикл. механика.— 1981.— Т. 17, № 7.— С. 48—52.
П о п о в А . Л . , С о л о д и л о в В . Е . , Ч е р н ы ш е в Г . Н . Метод голографической
интерферометрии в задачах о резонансных колебаниях оболочек вра­
щения // Изв. АН СССР. МТТ.— 1 9 7 7 .-№ 5 . - С. 125-131.
П о п о в А . Л., Ч е р н ы ш е в Г . П . О резонансных частотах оболочек, колеб­
лющихся в бесконечной жидкости Ц ПММ.— 1979.— Т. 43, tNe 5.—
С. 869—876.
П о п о в А . Л . , Ч е р н ы ш е в Г . П . Метод собственных функций в задаче о
высокочастотных квазипоперечных колебаниях замкнутой оболочки с
203
жидкостью Ц IV Симпозиум по колебаниям упругих конструкций е
жидкостью. Новосибирск, 1979.— М.: ЦНТИ «Волна», 1980.— С. 238—242.
103. П о п о в А . Л . , Ч е р н ы ш е в Г . Н . Коротковолновые колебания замкнутой:
оболочки в жидкости, возбуждаемые окружной нормальной силой Ц
Соврем, проблемы механики и авиации.— М.: Машиностроение, 1982.—
С. 228—237.
104. П о п о в А . Л . , Ч е р н ы ш е в Г . Н . Переходные поверхности при коротковол­
новых колебаниях эллипсоидальной оболочки в жидкости Ц ПММ.—
1 9 8 5 .- Т. 49, № 5 . - С. 808-814.
105. Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3/Под ред. И. А. Биргера и
Я. Г. Пановко.— М.: Машиностроение, 1968.— 567 с.
106. П р у д н и к о в А . Я , Б р ы ч к о в Ю . А., М а р и ч е в О. Я Интегралы и ряды.
Элементарные функции.— М.: Наука, 1981.— 800 с.
107. П ш е н и ч н о е Г . Я Точные решения некоторых задач о колебаниях,
жидкости в упругих безмоментных оболочках Ц ПММ.— 1971.—
Т. 35, вып. 4.— С. 739-743.
108. П ш е н и ч н о е Г . Я Некоторые приближенные методы в теории колеба­
ний упругих систем с жидкостью Ц Колебания упругих конструкций:
с жидкостью.— М.: ЦНТИ «Волна», 1976.— С. 331—336.
109. Р а д о в и н с к и й А . Л . Неосесимметричные колебания оболочки вразцения,.
содержащей жидкость Ц Изв. АН СССР. МТТ.— 1981.— № 2.— С. 89—
102 .
110.
Р и м с к и й - К о р с а к о в А . В., Б е л о у с о в Ю . И.
Колебания и излучение зву­
ка круговыми цилиндрическими оболочками.— Л.: ЦНИИ «Румб».—
1 9 8 0 .- 88 с.
111. Р и м с к и й - К о р с а к о в А. Я , Ц у к е р н и к о в Я Е . О расчете диаграммы на­
правленности по результатам измерения звукового давления в ближ­
нем поле излучения / Акуст. журн.— 1977.— Т. 23, № 6.— С. 919—928.112. Р о м а н о в В . Н . Излучение звука бесконечной пластиной при наличии
на ней ребер жесткости Ц Акуст. журн,— 1971.— Т. 17,
1.— С. 116—
113.
Об импедансе излучения круглых пластин при различ­
ных краевых условиях Ц Акуст. журн.— 1980.— Т. 26, № 2.— С. 312—
315.
С к у ч и к Е . Основы акустики.— М.: Мир, 1976.— Т. 2 .- 5 4 2 с.
С л е п я н Л . Я , С о р о к и н С, В . Система граничных интегральных урав­
нений динамики составных тонкостенных конструкций, взаимодейст­
вующих с жидкостью Ц Изв. АН СССР. МТТ.— 1990,— № 4.— С. И З—
121.
С м и р н о в В . А . , М е щ е р я к о в М . А . Экспериментальные исследования ко­
лебании круглой пластины, соприкасающейся с жидкостью Ц Расчеты
на прочность (Москва).— 1986,— № 27.— С. 170—180.
С о р о к и н Е . С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих
систем.— М.: Госстройиздат, I960.— 131 с.
Справочник по специальным функциям/Под ред. М. Абрамовица и
И. Стигана.— М.: Наука, 1979.— 832 с.
Т а м м Я , Б р е х о в с к и х Л . О вынужденных колебаниях бесконечной пла­
стинки, соприкасающейся с водой Ц Журн. техн. физики.— 1946.—
Т. 16, вып. 8.-^ С. 879—888.
Т и м о ш е н к о С. Я , В о й н о в с к и й - К р и г е р С. Пластины и оболочки.— М.:
Наука, 1966.— 635 с.
Т о в с т и к Я Е . К задаче о колебаниях оболочки вращения в жидко­
сти // Вести. Л Г У .- 1 9 8 0 .- № 1 - С. 8 0 -8 5 .
Ф е д о р ю к М . В . Асимптотические методы для линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1983.— 352 с.
Ф р о л о в К . Я , А н т о н о в Я Я Колебания оболочек в жидкости.— М.: Па­
ка, 1983.— 143 с.
Ф р о л о в К . Я , К р а с н о п о л ь с к а я Т . С. Вынужденные колебания круглой
пластины в жидкости при ограниченном возбуждении Ц Машиноведе­
ние.— 1981.— № 6,— С. 28—34.
121.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
204
С к р е б н е в Г. К.
425.
126.
Ц и о н с к и й А . Я. Колебания сферической оболочки в сжимаемой жидко­
сти Ц Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки.— 1977.— № 1.— С. 27—31.
Ч е р н ы ш е в Г . Н . О действии сосредоточенных сил и моментов на уп­
ругую тонкую оболочку произвольного очертания Ц ПММ.— 1963.—
Т. 27, вып. 1.— С. 126—134.
Ч е р н ы ш е в Г , Н . Представление решений типа Грина уравнений оболо­
чек методом малого параметра Ц ПММ.— 1968.— Т. 32, вып. 6.—
С. 1083—1089.
128. Ч е р н ы ш е в Г . Н . О некоторых свойствах итнегралов динамических
уравнений теории оболочек Ц Изв. АН СССР. МТТ.— 1973.— № 2.—
С. 6 8 -7 6 .
1 2 ^ . Ш е н д е р о в Е . Л . Волновые задачи гидроакустики.— Л.: Судостроение,.
1 9 7 2 .- 348 с.
т е н д е р о в Е . Л . Излучение и рассеяние звука,— Л.: Судостроение,.
1 9 8 9 .-3 0 4 с.
131. Ш к л я р ч у к Ф . Я. О вариационных методах расчета осесимметричных
колебаний оболочек врагцения, частично заполненных жидкостью Ц
Тр. VI Всес. конф. по теории оболочек и пластинок. Ваку, 1966.— М.:
Наука, 1966.— С. 835—840.
132. Ш м а к о в В . П . Построение корректирующих функций в методе Бубно­
в а — Галеркина Ц Мзв. АН СССР. МТТ.— 1981.— № 2.— С. 80—92.
133. Я н к е Е . Я., Э м д е Ф., Л е ш Ф . Специальные функции.— М.: Наука, 1968.—
342 с.
134. B l e i c h Н . Я., B a r o n М . L . Free and forced vibrations of infinitely long:
cylinrdrical shell in an infinite acoustic medium Ц J, Appl. Mech.— 1954.—
V. 21, No. 2.— P. 167—177.
135. B o i s c h R . , G u i c k i n g D . Schallabstrahlung von dickwandigen Stahlzylindern in Wasser Ц Acustica.— 1980.— V. 45, No. 4.— P. 322—339.
136. B o i s c h Я., G u i c k i n g D , Schallabstrahlung von ringvesteiften Stahlzylindernin Wasser Ц Acustica.— 1982.— V. 51.— P. 29—43.
137. D a v i e s H . G. Low frequency random exitalion of water-loaded rectan­
gular plates / JASA.— 1971.— V. 49, No. 4.— P. 107-126.
138. F e i t D . Sound radiation from orthotropic plates Ц J. Acoust. Soc. Amer.—
1970.— V. 47. Part 2, No. 1.— P. 388—389.
139. F e l i p p a C, A., G e e r s T . L . Axisymmetric free vibration of a submerged
spherical shell Ц J. Acoust. Soc. Amer.— 1980.— V. 67, No. 5.— P. 1427—
1431,
140. l u n g e r M . C. Vibration of elastic shells in a fluid medium and the asso­
ciated radiation of sound Ц J. Appl. Mech.— 1 9 5 2 .- V. 74.— P. 439—445,
141. l u n g e r M . C ., F e i t D . Sound, Structures and Their Interaction.— Cambrid­
ge MIT Press, 1972.— 470 p.
142. I l a y e k S . Vibration of a Spherical Shell in an Acoustic Medium Ц J. Aco­
ust. Soc. Amer.— 1966.— V. 40, No. 2.— P. 342—348.
143. I l a y e k S . , D i M a g g i o F . Complex natural frequencies of vibrating sub­
merged spheroidal shells Ц Int. J. Solids and Struct.— 1970.— V. 6,.
No. 3 . - P. 3 33-351.
144. K e l t i e R . F . , P e n g H . Acoustic power radiated from point-forced thin elas­
tic plates H JASA.— 1987.— V. 80, No. 1.— P. 45—52.
145. L a n g l e y A . 1. The sound fields of an infinite, fluid-loaded plate exited
by a point force // JASA.— 1988.— V. 83, No. 4.— P. 1360—1365.
146. L o u Y . K . , S u T . C. Free oscillations of submerged spherical shells Ц
J. Acoust. Soc. Amer.— 1978.— V. 63, No. 5.— P. 1402-1408.
147. M a i d a n i c G. Response of the ribbed panels to ReverberantAcoustic Fi­
elds H JASA.— 1962.— V. 34, No. 6.— P. 8 0 9-826 .
148. M u t h u v e e r a p p a n G., G a n e a s a n iV., V e l u s w a m i M . A . A note on vibration
of a cantilever plate immersed in water Ц J. Sound and Vibr.— 1979.—
V. 63„ No. 3 . - P . 385-391.
149. P a s l a y P . Я., T a t g e R . Я., W e r n i c k U. 1. Vibration characteristics of a
submerged ring-stiffened cylindrical shell of finite length Ц J. Acoust,
Soc. Amer.— 1969.— V. 46, Part 2, No: 3.— P. 701—710.
127.
205!»
йЪО. R a y l e i g h . On waves propagated along the plane surface of an elastic solid H Proc. London Math. Soc.— 1885.— No. 17 — P. 4—11.
-151. S a s I . P . Relation between acoustic intensity and modal deformation pat­
terns of vibrating structures j j Acad, analcta.— 1984.— V. 46, No. 4
(117).— P. 119—151.
Acoustic radiation from submerged plates Ц JASA.— 1976.—
V. 60, No. 5.— P. 1160—1169.
’ 153. S u T . C ., L o u Y . K . The effect of viscosity on the dynamics of a submer­
ged spherical shells Ц J. Eng. Ind.— 1975.— V. 97, No. 4 — P. 1338—1344.
454. V b e r a l l H . Surface waves in acoustics Ц In: Physical acoustics. N. Y.:
Acad. Press.— 1973.— V. 10.— P. 1—60.
155. Y e n Т . , D i M a g g i o F , Forced vibrations of submerged spheroidal shells /
J. Acoust. Soc. Amer.— 1967.— V. 41, No. 3.— P. 618—626.
152.
S tu a rt A. D.
Научное издание
ПОПОВ Александр Л еонидович
ЧЕРНЫ Ш ЕВ
Герм ан Н иколаевич
Механика звукоизлучения пластин
и оболочек
Редакторы Я. В . С а м о й л о в а ^ Е . Ю . Х о д а н
Художник В . Я . Б а т и щ е в
Художественный редактор Г , М . К о р о в и н а
Технический редактор Л . В . Л и х а ч е в а
Корректор Т . С. В а й с б е р г
ИБ 41337
ЛР № 020297 от 27.11.91.
Сдано в набор 01.03.93. Подписано к печати 14.03.94.
Формат 60X90/16. Бумага тип. № 2. Гарнитура обыкно­
венная. Печать высокая. Уел. псч. л, 13. Уел. кр.отт. 13,25. Уч.-изд. л. 13,83. Тираж 1000 экз. Заказ изд.
№ 888242. Заказ, тип. .№ 555. С-044.
Издательская фирма
«Физико-математическая литература»
ВО «Наука»
117071 Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Новосибирская типография № 4 ВО «Наука»
630077 Новосибирск 77, Станиславского, 25
А . L . P opow , G. N , C h e rn y sh e w
TVIechanics of rad iatio n of shells and plates
-Moscow, Nauka, Fizmatlit Publishing Company, 1994.
Readership. Researchers, engineers and students in the mechanics of so­
lids, vibrations of thimvalled constructions, shells, plates in a fluid, in an air
or in a vacuum. It should help also the researchers in the air acoustics in the
acoustic ecology.
Summary. The problem of vibrations of the thin elastic shells and pla­
tes in an acoustic medium and the problem of the sound radiation are exami­
ned. The investigations of those problems are based on an asymptotic method
that develops the conception of a fluid apparent mass. In the case of consen­
trated vibrational loads the method of a constucting of the proper singularities
of the solutions is used.
It is shown the existens of a transition surfaces in acoustic medium the
луЫсЬ separate a non-Avave zone from zone where the acoustic field is wavy.
It is investigated and described a nature and behaviour of the transition sur­
faces and the influence on the acoustic field. It is described other new phe­
nomenons occured by the vibrating shells and bounded plates in the acoustic
medium. For example there is a distortion of the resonance form of the vib­
rating bounded plates in the fluid, the interesting direction diagramms of the
radiation and other. It is offered some measures of the influence on a magnituge of the vibrations and the acoustic radiation.
Contents. Steady vibration of the thinwalled shells and plates in an acous­
tic medium. The coefficients of fluid apparent mass. The concentrated vibrationul loads. The resonance vibrations. New phenomenons in acoustic radiation
of the vibrating shells and plates. New measury of the influence on a m agni­
tude of a vibration of the thiuAvalled constructions and the acoustic radiation.
The authors. A. L. Popow, 0. N. Chernyshem. D. Sc. (Phys. and Math.)
are based at the Institute for Problems in Mechanics Russian Academy of
Sciences (101, prosp. Vernadskogo, Moscoav, 117526, Russia. Tel. 434-35-65.
Fax (7-095) 938-20-48). Their scientific interest embrace the vibrations,
strength, acoustic of the thinwalled constructions. A. L. Popov, G. N. Cherny•shew has published over hundred scientific works.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
10 753 Кб
Теги
plastid, zvukoizlucheniya, chernyshev, 1popov, mekhanika
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа