close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2000-0061-0-01

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Санкт-Петербургский
государственный университет аэрокосмического приборостроения
Е. Н. Котликов
КОНЦЕПЦИИ
СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
ФИЗИКА ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2000
УДК 57
ББК 20
К73
Котликов Е. Н.
К73 Концепции современного естествознания. Физика для гуманитариев: Учеб. пособие / СПбГУАП. СПб., 2000. 155 с.: ил.
ISBN 5-8088-0053-6
Необходимость применения естественно-научных методов и законов
в практической деятельности специалистов-гуманитариев привела к постановке курса "Концепции современного естествознания". Основным отличием предлагаемого курса от опубликованных ранее является то, что в
нем используется базовый подход, основанный на научном методе познания. Изучаемые законы, явления, теории рассматриваются не только качественно, но и количественно, что позволит специалистам гуманитарных
профессий свободнее ориентироваться в окружающем технологическом
мире.
Учебное пособие предназначено для студентов гуманитарных специальностей всех форм обучения.Оно может быть рекомендовано и для студентов технических специальностей, более углубленно изучающих фундаментальные курсы.
Рецензенты:
кафедра физики Балтийского государственного технического университета;
кандидат физико-математических наук профессор Е. И. Бутиков;
кандидат физико-математических наук доцент А. С. Чирцов
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
ISBN 5-8088-0053-6
2
© СПбГУАП, 2000
© Е. Н. Котликов, 2000
ПРЕДИСЛОВИЕ
Необходимость применения естественно-научных методов и законов в практической деятельности специалистов-гуманитариев и
привела к созданию курса "Концепции современного естествознания". В соответствии с Государственными стандартами в этот курс
самостоятельно входит важный раздел ? Физика для гуманитариев. Этот раздел рассматривается в ряде учебных пособий (см., например, [1,4,5]).
Основным отличием предлагаемого курса от опубликованных
ранее является то, что в нем рассматриваются законы, явления,
теории не только качественно, но и количественно, что позволит
специалистам гуманитарных профессий свободнее ориентироваться
в окружающем технологическом мире. В первую очередь это связано с тем, что все законы естествознания формулируются не только
в качественном, но и в количественном виде с помощью специального математического аппарата. Для понимания количественных
формулировок законов в первом разделе излагаются основы некоторых разделов высшей математики.
Другой особенностью курса является базовый подход к рассматриваемым законам, явлениям, теориям. Они не просто констатируются или формулируются, при их изложении вначале дается опытное обоснование необходимости введения таких законов. Тем самым
в ходе изложения используется научный метод познания, критерием которого является опыт.
Настоящий курс читался в течение ряда лет для студентов гуманитарных специальностей Государственного университета аэрокосмического приборостроения. Он состоит из нескольких разделов. В
первом разделе мы рассмотрим основы естественно-научного метода познания, математический аппарат естествознания, виды материи, т. е. общие для всех разделов естествознания вопросы.
Во втором и третьем разделах, мы рассмотрим вопросы, которые
непосредственно связаны с концептуальными основами физики макромира, окружающего нас. Описание движения материи в макромире базируется на понятии детерминизма, который рассмотрен в
его классическом варианте. Во втором разделе мы рассмотрим дви3
жение материальных тел, основные законы этого движения. В него
входит классическая механика, теория относительности и законы
сохранения, как отображение симметрии в природе. Основные фундаментальные законы сохранения рассматриваются, как отображение свойств пространства ? времени. В третьем разделе, который
мы назвали "Физика непрерывного", рассмотривается другая форма
материи ? поля и движение этого вида материи ? волны.
В следующем разделе курса "Мир возможного" рассмотриваются
явления или процессы, которые не детерминированы в классическом понимании. При их описании используется новое понятие ?
вероятностный детерминизм. Наиболее широко и полно это понятие
применимо к микромиру ? миру атомов и элементарных частиц.
Например, электрон, сталкиваясь с препятствием (барьером), может либо отскочить от него, либо пройти сквозь него. Последнее
возможно лишь для квантовых частиц благодаря так называемому
"туннельному эффекту", хорошо известному в квантовой механике.
Важнейшим моментом при описании явлений макромира является
строгое, детерминированное описание системы, а для микромира ?
вероятностное описание систем.
В последнем разделе рассматриваются основные концепции самоорганизации систем. Рассматриваются эволюции замкнутых и открытых систем, причины и условия самоорганизации в них. Для
описания поведения эволюционизирующих систем используется принцип обратной связи. На основе этого принципа проводится анализ
таких вопросов, как теория катастроф, синергетика и кибернетика.
В заключительной части этого раздела рассматривается мегамир ?
наша Вселенная и ее эволюция на основе современных моделей.
4
1. ВВЕДЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ
Глава 1. Естественно-научная и гуманитарная культуры
Ученые и специалисты насчитывают более 170 определений понятия культура. Это свидетельствует об универсальности данного
явления человеческого общества. Понятием культура обозначают и
обычные явления, и сорта растений, и культуру поведения человека, и образ жизни, и систему положительных ценностей и т. д. В
таком контексте все созданное человеком есть культура.
Мы используем одно из определений культуры, которое связано с
ее инструментальной трактовкой. Культура ? это система средств
человеческой деятельности, благодаря которой реализуются действия
индивида, групп, человечества в их взаимодействии с природой и
между собой. Эти средства создаются людьми , постоянно меняются
и совершенствуются. Принято выделять три типа культуры: материальную, социальную и духовную.
Материальная культура ? совокупность средств бытия человека
и общества. Она включает разнообразные факторы: орудия труда,
технику, благосостояние человека и общества. Социальная культура ? это система правил поведения людей в различных видах общения. Она включает этикет, профессиональную, правовую, религиозную и т. п. разновидности деятельности человека. Более подробно
содержательная часть первой и второй культур изучается в других
дисциплинах. Духовная культура ? это составная часть культурных достижений человечества. Основные виды духовной культуры ?
мораль, право, мировоззрение, идеология, искусство, наука и т. д.
Каждый из этих видов духовной культуры состоит из относительно
самостоятельных частей. Эти части взаимосвязаны и относятся к
духовной культуре человечества.
Под наукой в настоящее время понимают ту сферу человеческой деятельности, функция которой ? выработка и теоретическая систематизация объективных знаний о действительности. Система наук условно делится на естественные, общественные и технические науки.
5
В науке принято выделять систему знаний о природе ? естествознание, которое является предметом естественно-научной культуры,
и систему знаний о позитивно значимых ценностях бытия индивида, групп, государства, человечества ? гуманитарные науки или гуманитарную культуру. До того как наука оформилась в самостоятельную часть культуры человечества, знания о природе и ценностях общественной жизни входили в иные состояния духовной культуры: практический опыт, мудрость, народную медицину, натурфилософию и т. д.
Взаимосвязь естественно-научной и гуманитарной культур заключается в следующем:
они имеют единую основу, выраженную в потребностях и интересах человека и человечества, в создании оптимальных условий для
самосохранения и самосовершенствования;
осуществляют взаимообмен достигнутыми результатами;
взаимно координируют в процессе развития человечества;
являются самостоятельными ветвями единой системы знаний науки и духовной культуры в целом.
Мы являемся свидетелями того, как социологи, юристы, экономисты, менеджеры и другие специалисты ? гуманитарии начинают
применять в своей работе системный подход, идеи и методы кибернетики и теории информации, знание фундаментальных законов естествознания и, в частности, физики.
Поясним сказанное примерами из практики. Юрист разбирает
дело о столкновении судов. Конечно, ему нужно знать законы, принятые в мировой практике судовождения. Но, с другой стороны,
если он не знает, что такое масса, радиус поворота, скорость, ускорение и т. д., он не сможет реально применить свои профессиональные знания.
Социолог изучает общественное мнение путем опроса. Но как он
сможет оценить степень достоверности результатов, если не имеет
представления о теории вероятности и теории погрешностей. Без
знания этих разделов естественных наук, результаты его предположений не будут представлять практической ценности.
Менеджер рекламирует изделие какого-то предприятия. Хорошо
известно, что на выставках или просмотрах первые вопросы всегда
касаются технических характеристик изделия. Конечно, полностью
ответить на такие вопросы может только специалист, имеющий
фундаментальную естественно-научную подготовку. Однако разбираться в этих вопросах должен и менеджер.
Существует и другая сторона рассматриваемого вопроса. Наука
часто обвиняется в тех грехах, в которых повинна не столько она
6
сама, сколько та система институтов, в рамках которой она функционирует и развивается. В настоящее время очевидно, что развитие
науки может приводить к отрицательным последствиям, влияющим
на все человечество в целом. Актуальным становится вопрос о социальной ответственности всех людей, а не только ученых за возможность использования их открытий и достижений. В настоящее время сформировалось направление, называемое этикой науки ? дисциплина, изучающая нравственные основы научной деятельности.
Приведем пример из истории второй мировой войны. Р. Оппенгеймера называют отцом атомной бомбы. Он являлся координатором и руководителем проекта создания атомной бомбы. Она была
создана и испытана сначала в Неваде, а потом в Хиросиме и Нагасаки. Позднее Оппенгеймер, осознавая тяжесть ответственности, ушел
из проекта и стал заниматься деятельностью, направленной на предотвращение использования атомных бомб.
Сказанное утверждает нас в мысли, что представляется весьма
важным познакомиться с основными концепциями естествознания.
Это необходимо, для того чтобы: во-первых, сознательно применять
их в своей деятельности, во-вторых, чтобы получить более ясное и
точное представление о современной научной картине мира, которую дает естествознание.
Необходимость применения естественно-научных методов и законов в практической деятельности гуманитарных специальностей и
привела к постановке того курса, который мы будем изучать.
Глава 2. Научный метод познания, опыт, гипотеза,
закон, теория
Что такое научный метод познания? На чем он базируется?
Что лежит в его основе и чем он отличается от других методов
познания?
Способ получить частичные ответы на вопросы придуман несколько сотен лет назад. Наблюдение, размышление и опыт составляют
так называемый научный метод познания, который и позволяет давать ответы на многие интересующие нас вопросы. Основой научного метода является опыт ? пробный камень всех наших знаний.
Опыт, эксперимент ? это единственный судья научной истины.
Проводя наблюдения каких-либо природных явлений, невозможно охватить все процессы, с этими явлениями связанные. Поэтому нужно отбросить все второстепенные факты и выделить основные, т. е. суть явления. Этот процесс называется абстрагированием
или построением модели явления. В размышлениях создается осно7
ва наблюдаемого явления, его модель. Что является существенным
для данного явления, а что несущественным, вопрос неоднозначный
и сложный. Не всегда он решается сразу на первых этапах наблюдения и размышления.
В создаваемой модели должны быть учтены главные характеристики и основные параметры изучаемого явления. Построенная модель должна не только верно описывать наблюдаемое явление, но и
хорошо прогнозировать его развитие в новых условиях. В соответствии с гипотезой новые предсказания проверяются экспериментом
или опытом ? важнейшей частью научного метода познания.
С самого начала необходимо договориться, что будет подразумеваться под тем или иным термином. В понятие "опыт" будем вкладывать следующий смысл: наблюдения за явлением при контролируемых условиях, т. е. наблюдения с возможностью контролировать, воспроизводить и изменять желаемым образом внешние условия. Существенна возможность создавать как обычные, так и искусственные (т. е. в природе не встречающиеся) условия. Физика, химия, биология и ряд других наук называются естественными именно потому, что в их основе лежит опыт.
Для объяснения экспериментальных фактов привлекаются гипотезы. Гипотеза ? это предположение, позволяющее объяснить и количественно описать наблюдаемое явление. Описать что-либо количественно можно лишь на языке математики.
Между явлениями природы существуют устойчивые, повторяющиеся связи ? проявления законов природы. Качественная формулировка законов может быть иногда дана без привлечения математического аппарата. Законы, записанные на языке формул, позволяют перейти к более высокой ступени познания. Эту ступень называют теорией. Таким образом при определенных условиях выдвинутая гипотеза может перейти в теорию, в основе которой лежат законы. Теория дает представление о закономерностях и существенных
связях в определенной области.
Законы естественных наук устанавливают количественные соотношения между наблюдаемыми явлениями, т. е. имеют математическую формулировку. Не всегда эта формулировка бывает явной.
Например, всем привычна следующая, казалось бы, качественная
формулировка первого закона Ньютона: "Существуют такие системы
отсчета, в которых тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерного движения, если на него не действуют другие
тела, или действие других тел взаимно компенсируется". Но строго
сформулировать, что такое прямолинейное равномерное движение,
можно лишь на языке математических формул; т. е. даже каче8
ственная формулировка закона подразумевает введение количественных понятий.
Естествознание, изучающее количественные (т. е. точные) соотношения природных явлений, относится к точным наукам. Понятие
"точное" требует комментариев. Точные науки, как правило, оперируют не с абсолютно точными, а с приближенными величинами.
При количественном описании любого наблюдаемого явления всегда
оговаривают, с какой степенью точности имеют дело, т. е. приводят
погрешности измеряемых величин.
Когда гипотеза перерастает в теорию, т. е. в форму научных
знаний, дающих целостное представление о закономерностях и существенных связях определенной области действительности? Какой
путь она должна пройти? Ответ на этот вопрос частично дан. Гипотезы должны быть проверены фактами, опытами, здравым смыслом.
В своей области они должны объяснять всю совокупность имеющихся явлений. Но этого мало. Для того чтобы стать теорией, гипотеза
должна сформулировать количественные отношения между наблюдаемыми явлениями. Фактически это означает формулировку законов. Непременным условием превращения гипотезы в теорию является предсказание новых, до сих пор не наблюдавшихся и из известных теорий не следующих явлений, и подтверждение этих предсказаний в специально поставленных экспериментах.
Переход гипотезы в теорию зачастую не обходится без драм. Классическими являются примеры Николая Коперника (1473?1543) и
Джордано Бруно (1548?1600). Н. Коперник выдвинул гипотезу о
гелиоцентрической системе мира, в которой планеты вращаются
вокруг Солнца по орбитам. Эта гипотеза позволяла достаточно точно и просто описывать и предсказывать наблюдаемые движения планет. Однако сам Коперник не утверждал, что наша система и есть
гелиоцентрическая. Для него модель гелиоцентрической системы мира
нужна была только для более удобного описания движения планет.
Гелиоцентрическая система противоречила Библии, в которой говорилось, что Иисус Навин остановил вращение Солнца вокруг Земли. Развивая гелиоцентрическую космологию, Бруно выдвинул идею
множественности миров во Вселенной, центрами которых являются
звезды. Д. Бруно утверждал, что гелиоцентрическая система является не гипотезой Коперника, а космологической теорией, опирающейся на факт движения планет вокруг Солнца. И именно поэтому
был обвинен в ереси и сожжен в 1600 году на Площади Роз в Риме.
Естественно-научная теория дает объяснение целой области явлений в природе с единой точки зрения. Квинтэссенцией теории яв9
ляются законы, устанавливающие количественные связи, соотношения между различными наблюдаемыми в опыте величинами.
Нужно различать законы природы и законы науки. Первые проявляются в особенностях протекания природных явлений и процессов и во взаимосвязи некоторых величин. Они неизменны и всегда
выполняются. Научные законы ? это попытка описать законы природы на языке математических формул и точных формулировок. В
дальнейшем речь будет идти только о них. Научные законы не точны и не постоянны. На определенных этапах развития науки возникает необходимость уточнения наблюдаемых в опыте явлений и пересмотра законов или границ их применимости. Постоянная проверка опытных фактов на базе новых экспериментальных методик,
позволяющих увеличить точность проведения эксперимента, необходима всегда на любом уровне знаний. Расхождение экспериментальных данных и существующих законов позволяет выдвигать
новые гипотезы и строить новые теории.
Глава 3. Материя и формы ее существования
В основе всех естественно-научных дисциплин лежит понятие
материи, законы движения и изменения которой изучаются. В
зависимости от того, как мы определим это понятие, мы и будем
рассматривать проявление различных теорий. Для понимания естественно-научных теорий, в частности концепций современной
физики, приемлемым является определение, данное В. И. Лениным в монографии "Материализм и эмпириокритицизм". "Материя ? есть философская категория для обозначения объективной
реальности, которая отображается нашими ощущениями, существует независимо от них. Материя ? это основа (субстанция,
субстрат) всех реально существующих в мире свойств, связей и
форм движения, бесконечное множество всех существующих в мире
объектов и систем".
В этом определении есть два основных момента. Во-первых,
материя существует объективно, независимо от нас, от чьего-то
субъективного сознания или ощущения. Во-вторых, материя копируется, отображается нашими ощущениями и, следовательно,
познаваема. Мы здесь исходим из материалистического единства
мира из первичности материи.
Материя несотворима и неуничтожаема. Она бесконечна.
Неотъемлемым атрибутом материи является ее движение, как форма
10
существования материи, ее важнейший атрибут. Движение в самом общем виде ? это всякое изменение вообще. Движение материи абсолютно, тогда как всякий покой относителен. Понять эту
мысль проще всего при рассмотрении простейших видов движения. Например, тело покоится относительно Земли, но относительно Солнца оно движется.
Формами существования материи являются пространство и время. Материя неотъемлема от них. Современная наука оперирует
такими структурными уровнями, как элементарные частицы и
поля, атомы и молекулы, макроскопические тела, геологические
системы, планеты и звезды, галактики и метагалактики; совокупности организмов, способных к воспроизводству, и, наконец, общество. Мы будем изучать только первые структурные уровни ?
поля и частицы, макроскопические тела.
Различают ряд основных форм движения материи: механическую, физическую (включая тепловую, гравитационную, ядерную
и т. д.), химическую, биологическую, общественную. Высшие формы движения включают в себя более низшие, но не сводятся только
к ним. Так, ядерные процессы невозможно описать только формулами классической механики.
Нами будут рассмотрены лишь простые формы движения материи ? механическая, физическая и химическая. Для описания
материи и ее движения необходимо ввести количественные меры
этих величин исходя из поставленных задач. Масса является количественной мерой материи и вводится как для микро- и макрообъектов, так и для полей. Одной из количественных мер движения материи является энергия. Она имеет много форм: механическую, тепловую, ядерную, химическую и т. д. Поскольку материя не существует без движения, а движение без материи, между
количественными характеристиками меры и движения материи
должна существовать связь. Эта связь была установлена в начале
нашего века А. Эйнштейном (1879?1955) в работах по теории
относительности.
Мы будем рассматривать два вида материи ? вещество и поле.
К первому отнесем элементарные частицы, атомы, молекулы, все
построенные из них макросистемы. Ко второму отнесем особую
форму материи, физическую систему с бесконечным числом степеней свободы. Примерами физических полей могут служить электромагнитные и гравитационные поля, поля ядерных сил, а также
волновые поля.
11
Глава 4. Постулативность основных законов
естествознания, границы их применимости
Для описания поведения простых и сложных систем нужно установить "правила игры", т. е. законы, которым подчиняются те или
иные виды движения материи. В некоторых науках, которые не
относятся к естественным, например геометрии, поступают следующим образом. Сначала формулируются аксиомы, а потом из них
делаются выводы (теоремы). Логика построения естественных наук
другая: нельзя сразу ввести законы и смотреть, что из них следует.
Так поступить нельзя, поскольку исследователю неизвестны все законы естествознания. Одной из задач является именно их установление и формулирование. Но, ответив на каждый вопрос, исследователь неизбежно ставит несколько новых. Чем больше познается, тем
шире становятся границы непознанного. Установленные на определенном этапе развития науки законы всегда являются приближенными. По мере накопления знаний, новых экспериментальных фактов, явлений и увеличения точности измерений появляются данные,
не укладывающиеся в рамки имеющихся законов, и эти законы пересматриваются.
Есть и другая сторона этого вопроса. Для точной формулировки
законов естествознания, в особенности физики, требуются новые определения и понятия, знание специальных разделов математики.
Исааку Ньютону (1643?1727) для описания законов механики потребовалось создать совершенно новые для своего времени разделы
высшей математики: дифференциальное и интегральное исчисления.
Физики часто сталкивались с ситуацией, когда имевшегося математического аппарата оказывалось недостаточно для получения количественных формулировок полученного закона и требовалось создавать специальный математический аппарат. Пример с Ньютоном и
Лейбницем и созданием дифференциального и интегрального исчислений является классическим.
В этом разделе мы рассмотрим самые общие представления о том,
как устанавливаются законы естествознания, как они применяются
и чем они ограничены. Уже говорилось, что опыт ? единственный
судья истины. Законы естествознания постулируются на основании
наблюдаемых опытных фактов. Сначала идет процесс накопления
знаний в определенной области. Эти результаты анализируются и
делается некоторое предположение. Это предположение не выводится из других законов. Оно возникает само по себе на основании
опыта. Сделанное умозаключение, сформулированное в виде математической формулы, становится частью гипотезы. Если последующие
12
опыты подтверждают правильность этого предположения, оно становится законом.
Проиллюстрируем сказанное несколькими примерами. Закон всемирного тяготения, открытый И. Ньютоном, родился в результате
анализа трех законов движения планет И. Кеплера (1571?1630).
Законы Кеплера позволяли рассчитывать с высокой точностью движение планет. Ньютон показал, что эти законы могут быть получены на основании одного закона ? закона всемирного тяготения:
F=G
m1m2
,
r2
где G ? константа; m1 и m2 ? массы тел; r ? расстояние между ними.
Анализируя опыты, Ш. О. Кулон в 1785 году сформулировал
закон взаимодействия зарядов, позже названный его именем:
F = const
q1q2
,
r2
где q1 и q2 ? заряды; r ? расстояние между ними; константа определяется выбором системы единиц. До Кулона этот закон ни в каком
виде не формулировался.
Уже отмечалось, что все научные законы всегда приближенные.
Почему же сразу не удается открыть "правильный закон"? Почему
всегда приходится начинать с каких-то приближений? Во-первых,
для "точной" формулировки закона бывает еще не готов соответствующий математический аппарат, а, во-вторых, экспериментальные
данные всегда бывают недостаточно точны. Точность измерений определяется с одной стороны нашими приборами, а с другой ? некоторыми фундаментальными запретами, связанными с природой явления. Существует, например, соотношение неопределенностей Гейзенберга, которое ограничивает точность одновременного измерения
импульса и координаты частицы.
Приведем пример. Реально мы можем измерить массу волчка с
точностью до долей микрограмма. Измеряя массу покоящегося и
вращающегося волчка, мы всегда будем получать один результат.
Отсюда, казалось бы, можно было вывести закон, что масса тела
постоянна и не зависит от его скорости. Но оказывается масса от
скорости зависит, когда скорости становятся сравнимыми со скоростью света.
Сказанное приводит нас к выводу, что законы и теории не абсолютны. Они развиваются по мере накопления знаний. Фундаментальные законы естествознания описывают огромное количество яв13
лений в разных областях. И все они подчиняются некоторым общим
правилам. Рассмотрим их.
Во-первых, законы сами по себе не меняются. Именно поэтому
они и называются фундаментальными. Иначе никакая наука не могла бы развиваться. Но, надо помнить о том, что закон написан для
определенной области явлений.
Всякий раз, когда с определенной степенью точности подтверждается какой-либо закон, можно утверждать, что закон окончателен и никакой результат его не опровергнет в той области, для
которой он написан. Однако может так случиться, что появление
новых экспериментальных данных или теорий приведет к тому,
что закон окажется приближенным. Иначе говоря, увеличение
точности измерений может обнаружить неточность даже самых
незыблемых законов.
Нильс Бор (1885?1962), анализируя положения квантовой механики сформулировал "Принцип соответствия" новой и старой теорий. Этот принцип применим к любым теориям в естествознании.
Сущность его заключается в том, что всякая новая теория должна
содержать в себе старую, как частный случай, к которому она сводится при определенных условиях.
Проще всего принцип соответствия проиллюстрировать примером из классической механики и механики теории относительности.
Созданная А. Эйнштейном специальная теория относительности содержит в себе классическую механику Ньютона, в которую она переходит при скоростях движения V, малых по сравнению со скоростью света C. Математически это записывается как V << C. Законы
специальной теории относительности переходят в законы классической механики и движения тел при малых скоростях и описываются,
по-прежнему, законами Ньютона. Только тогда, когда скорость станет сравнима со скоростью света, требуется привлечение новых законов. Например, когда скорость тела не превосходит 1000 км/с,
масса тела постоянна с точностью до 10?5.
Еще один пример: законы классической и квантовой физики приведут к одним и тем же уравнениям для движения частицы, имеющей массу много больше массы атома.
Таким образом, при формулировке законов необходимо задавать
границы их применимости. Законы и теории должны описывать всю
совокупность явлений в той области, для которой они сформулированы. Они не должны противоречить известным фактам. Более того,
они обязательно должны предсказывать новые, неизвестные ранее
явления. Наконец, никакой закон не должен нарушать принцип
14
причинности. Это значит, что нельзя что-то изменить в событии,
которое уже случилось. Можно повлиять только на будущее, но
никак не на прошлое.
В заключение отметим, что новые фундаментальные законы невозможно вывести в рамках старых теорий. Стремление некоторых
авторов сделать это не имеет под собой никакого основания и зачастую связано лишь с большим желанием авторов "пооригинальничать" и внести свой "вклад в науку".
Глава 5. Разделы естествознания
Слово естествознание представляет из себя сочетание двух слов:
естество (природа) и знание. В настоящее время под естествознанием подразумевается, в основном, точное знание того, что в природе,
во Вселенной действительно есть или по крайней мере возможно.
Первоначально к физике Аристотель относил проблемы устройства,
происхождения, организации всего, что есть во Вселенной, даже
жизни. Само слово физика, греческое по происхождению, близко к
русскому слову природа. Таким образом, первоначально естествознание называлось физикой.
В своем развитии наука прошла четыре стадии развития. На
первой стадии формулировались общие представления о природе,
окружающем мире как о чем-то целом. В этой стадии произошло
развитие натурфилософии (философии природы), ставшей вместилищем идей и догадок, которые к XIII?XV векам стали зачатками
естественных наук. В XV?XVII веках последовала аналитическая
стадия ? мысленное расчленение и выделение частностей, превратившая физику, астрономию, химию, биологию действительно в науки. Позднее, ближе к нашему времени, наступила синтетическая
стадия изучения природы, характеризуемая воссозданием целостной
картины мира на основе ранее познанных частностей. Сегодня пришло время обосновать не только принципиальную целостность всего
естествознания, но пояснить, почему именно физика, химия и биология стали основными и самостоятельными разделами науки о природе. В настоящее время осуществляется целостная интегральнодифференциальная стадия развития естествознания, как единой науки о природе.
Все описанные стадии изучения природы по существу представляют звенья одной цепи. Каждый из разделов естествознания прошел через эти стадии. Физика также прошла все описанные стадии.
Отличие лишь в том, что описание этапов развития физики мы
будем давать с точки зрения развития методов подхода к изучаемым
15
явлениям. В физике сейчас также наступает интеграционная стадия, характеризуемая попытками создать единые теории, объединяющие различные разделы. Примером тому может служить попытка
создать единую теорию поля.
Рассмотрим главные разделы естествознания и связь между ними.
Мы уже говорили о движении материи. В порядке возрастания сложности мы приводили следующие формы движения: механическую,
физическую, химическую, биологическую, общественную. Все формы движения связаны между собой. Высшие содержат в себе низшие, составные части, но ни в коем случае не сводятся только к
ним. Например, нельзя ядерные силы свести к механическим. Различные виды движений, существующих в природе, изучают различные разделы естествознания: ФИЗИКА, ХИМИЯ, БИОЛОГИЯ, ПСИХОЛОГИЯ и другие разделы.
В каждом из разделов естествознания имеются свои законы, которые не могут быть сведены к законам других разделов, однако,
теории, описывающие сложные структуры, опираются на теории и
законы для простых структур. При этом, как правило, по мере
усложнения структур и разделов естествознания их законы становятся менее точными, формулировки приближаются к качественным. Чем ниже уровень раздела естествознания, тем сложнее и точнее математические формулировки его законов. Наиболее сложны
для понимания законы физики ? фундамента всех естественных наук.
В этой главе мы попытаемся показать связь физики с другими
науками, очертим круг фундаментальных задач, возникающих в пограничных областях и на стыке наук. Однако коснемся связей физики с техникой, физики с промышленностью, физики с общественной
жизнью и физики с искусством. Связь с последним прослеживается
на многих исторических примерах, когда выдающиеся скульпторы,
архитекторы и живописцы прошлого были одновременно и крупными учеными.
Химия испытывает на себе влияние физики, пожалуй, сильнее,
чем любая другая наука. На заре своего развития она играла важную роль в становлении физики. Эти науки взаимодействовали очень
сильно, они были практически неразделимы. Теория атомного строения вещества получила основательное подтверждение именно в химических опытах. Под теорией неорганической химии подвел черту
Д. И. Менделеев (1834?1907), создав свою периодическую систему
химических элементов. Эта система выявила немало удивительных
связей между различными элементами. Она предсказала существование многих тогда еще неизвестных химических элементов. Однако
16
объяснение системы Менделеева возможно только с опорой на теорию строения атома, т. е. на физическую теорию. В настоящее время в неорганической химии остались два раздела: физическая химия и квантовая химия. Сами названия этих разделов говорят о
тесной связи с физикой.
Другая ветвь химии ? органическая химия, химия веществ, связанных с жизненными процессами. Одно время предполагали, что
органические вещества столь сложны, что их нельзя синтезировать.
Однако развитие физики и неорганической химии изменило ситуацию. В настоящее время научились синтезировать сложные органические соединения, необходимые в жизненных процессах. Главной
задачей органической химии является анализ и синтез веществ, образующихся в биологических системах, живых организмах. Отсюда
вытекает тесная связь химии и физики с другим разделом естествознания, с биологией.
Изучение живых организмов позволяет увидеть множество чисто
физических явлений: циркуляцию и гидродинамику протекания крови, давление в сосудах и т. д. Биология ? широкое поле деятельности для приложения физических и химических теорий. Например,
как осуществляется зрение, как квант света взаимодействует с сетчаткой? Однако эти вопросы не основные в биологии, не они лежат
в сущности всего живого. Фундаментальные процессы, изучаемые в
биологии, лежат глубже, в понимании функционирования клеток,
их биохимических циклов. В конечном итоге, в понимании того,
что есть жизнь. Понятие жизни не удается свести только к химическим или физическим процессам.
Психология изучает отражение действительности в процессах деятельности человека и животных. Эта наука лежит на грани естественных и общественных наук. Казалось бы, какая здесь может
быть связь с физикой. Рассмотрим два примера. Одной из ветвей
психологии является физиология ощущений. Она рассматривает взаимосвязь между поведением человека и его ощущениями. Почему
красный цвет вызывает тревожные ощущения, а зеленый ? наоборот. Недаром запрещающий цвет светофора ? красный, а разрешающий ? зеленый. Ответ может дать физика. Днем максимум излучения солнца приходится на зеленый цвет. День ? самое безопасное
время суток, и в процессе эволюции у живых организмов выработалась положительная реакция на зеленый цвет. В сумерках максимум излучения солнца сдвинут в красную область. Сумерки ? самое
опасное время суток, когда хищные животные выходят на охоту.
Естественно, что в процессе эволюции выработалось отрицательная
реакция на этот цвет.
17
Другой пример из области криминалистики, которую условно
также можно отнести к ветви психологии, поскольку она рассматривает поведение людей в сложных ситуациях, приводящих к криминальным случаям. Когда доктор Ватсон спросил, знает ли Шерлок Холмс о теории Коперника и о строении Солнечной системы,
Холмс ответил, что, наверное, знал, но постарался об этом забыть.
Тем не менее, доктором Ватсоном было установлено, что Холмс обладает глубокими знаниями в области химии и ряда разделов физики. Действительно, сейчас ни один криминалист не может обойтись
без такого раздела физики, как механика, точнее ее прикладного
раздела ? баллистики, а также ряда других.
В заключение этого раздела упомянем еще один момент, выявляющий связь физики с другими разделами естествознания. Все
приборы, используемые в опытах и экспериментах, созданы специалистами с техническим (т. е. физическим) образованием. Принцип действия этих приборов основан на физических законах. В
конечном итоге, тестер для измерения напряжения или тока, томограф, получающий пространственную картину внутренних органов, микроанализатор, определяющий уровень загрязненности
окружающей среды или потребляемой пищи, требуют от работающих определенных знаний. С одной стороны ? это знание основных принципов работы прибора, с другой стороны ? умение оценивать степень точности параметров, которые измеряет данный
прибор.
Глава 6. Математический аппарат естествознания
"Тот, кто хочет решать вопросы естественных наук без помощи
математики, ставит неразрешимую задачу. Следует измерять то, что
измеримо, и делать таковым то, что таковым не является" ? сказал
выдающийся итальянский физик и астроном Г. Галилей. Законы
естествознания отражают количественную взаимосвязь между явлениями. В силу этого они требуют формулировок не только в качественном, но и в количественном виде, т. е. на языке формул.
Математика начинается с простейшего счета (тривиальная арифметика), простейших измерений (обычная геометрия и тригонометрия) и оперирования простыми формулами (алгебра). По мере своего развития естествознание требует все более сложного математического аппарата. Не правы те, кто говорит, что основные законы
могут быть сформулированы с использованием только этих операций. Даже введение такого понятия, как скорость или ускорение, не
18
говоря о законах, в которых они используются, уже требует знания раздела высшей математики ? дифференциального исчисления. Наиболее сложным разделом естествознания с точки зрения
использования математического аппарата для описания теорий и
законов является физика. В этом разделе мы введем некоторые
определения, которые будут широко использоваться в дальнейшем при описании теорий и законов физики. Конечно, речь пойдет лишь о минимально необходимом математическом аппарате:
дифференциальном и интегральном исчислении и векторной алгебре. Всегда нужно помнить, что изучение подавляющего большинства естественно-научных законов и теорий, как бы ни были
они просты на первый взгляд, требует знания специальных разделов высшей математики.
Например, всем известна формулировка закона сохранения заряда ? в замкнутой системе алгебраическая сумма зарядов не меняется. Чтобы понять, отражением какого процесса симметрии
является этот закон, нам потребовалось бы изучить такие разделы высшей математики, как теория групп, векторный анализ,
теорию функций комплексного переменного.
Для успешного усвоения дальнейшего материала читатель должен быть знаком с арифметикой, алгеброй, геометрией, тригонометрией и с началами математического анализа. Нужно хорошо
представлять себе, что такое функция, производная, интеграл, и
что такое вектор.
Начнем с элементов векторной алгебры. Все изучаемые процессы
и явления происходят в окружающем нас трехмерном пространстве.
Иногда мы будем абстрагироваться и рассматривать одномерные
процессы (например, перемещение вдоль координатной оси). Задать
положение тела или материальной точки в пространстве проще всего с помощью декартовой системы координат. Она задается тремя
взаимно перпендикулярными осями X, Y и Z, как это показано на
рис. 6.1. Любая точка А может быть задана тремя проекциями на
оси координат: Ax, Ay, Az . Если точка А перемещается в пространстве, т. е. ее положение меняется со временем, то меняются и ее
проекции на оси. В этом случае они являются функциями времени:
x(t), y(t) и z(t). Вектором называется отрезок в пространстве, который имеет длину и направление. В дальнейшем векторы мы будем
выделять жирным шрифтом. Например: A, B или r. Модуль (или
длину) вектора, которая является скаляром, будем обозначать той
же буквой, без выделения шрифтом или со знаком "модуля": A , B, r .
19
A
Y
Ay
A
Ax
B
X
Az
Z
C
Рис. 6.1
Рис. 6.2
В физике положение точки в пространстве принято задавать с
помощью специального вектора, который называется радиусом-вектором и обозначается r. Жирный шрифт означает, что мы имеем
дело с векторной, а не со скалярной величиной. Так же, как и
любой вектор, радиус-вектор определяется длиной r и направлением
в пространстве. Радиус-вектор соединяет начало координат с выбранной точкой. Поскольку эта точка может перемещаться с течением времени в пространстве, радиус-вектор также является функцией
времени r = r(t). Радиус-вектор можно задать тремя проекциями на
координатные оси и ортами. Орт ? единичный вектор, направленный вдоль оси координат. Договоримся обозначать орты ex, ey, ez.
Поскольку орты не меняют своего направления в пространстве и их
длина всегда равна единице, они являются константами, т. е. не
меняются. Проекции радиуса-вектора на оси координат обозначаются либо, как rx(t), ry(t), rz(t), либо просто x(t), y(t), z(t). С учетом
введенных обозначений радиус-вектор r(t) записывается
(6.1)
r(t) = ex x(t) + ey y(t) + ez z(t).
В случае прямолинейного движения можно одну из осей (например, ось X) направить вдоль направления движения, и написанное
выражение сведется к уравнению лишь для одной проекции. Такое
движение, задаваемое лишь одним уравнением x = x(t), называется
одномерным. Если движение можно задать двумя уравнениями, например, x = x(t) и y = y(t), то такое движение совершается в плоскости (X,Y) и называется двумерным.
Рассмотрим основные действия, которые можно проводить с векторами, в том числе и с радиусом-вектором. Векторы можно складывать и вычитать по правилу параллелограмма или треугольника.
Вектор можно умножать на скалярную величину, на число a. В
результате последней операции получится новый вектор, длина ко20
торого в a больше прежнего. Эти операции легко записываются с
использованием (6.1):
r = r1 + r2 = (exx1 + eyy1 + ezz1) + (exx1 + eyy1 + ezz1) =
(6.2)
=ex(x1 + x2) + ey(y1 + y2) + ez(z1 + z1) ;
a r = a(exx + eyy + ezz) = exax + eyay + ezaz.
(6.3)
Наряду с описанными, существуют еще операции умножения
вектора на вектор. Их две: скалярное и векторное произведение
векторов. Из их названий ясно, что результатом скалярного произведения векторов является скаляр, а результатом векторного произведения ? вектор. Операция деления на вектор не определена.
Скалярным произведением векторов называется произведение их
длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов A и B обозначается (AB) или A?B. Если эти векторы заданы в
проекциях на координатные оси, то для их скалярного произведения получится выражение
(AB) = (exAx + eyAy + ezAz) (exBx + eyBy +
= (exex)AxBx + (exey)AxBy + (exez)AxBz
+ (eyex)AyBx + (eyey)AyBy + (eyez)AyBz
+ (ezex)AzBx + (ezey)AzBy + (ezez)AzBz
=AxBx+AyBy+AzBz.
ezBz) =
+
+
=
(6.4)
При выводе (6.4) мы воспользовались тождествами
(exex) = (eyey) = (ezez) = 1;
(exey) = (eyez) = (ezex) = 0.
(6.5)
Введем понятие проекции вектора А на вектор В, которую обозначают AB:
FG IJ
H K
?
AB = A cos AB .
(6.6)
Соответственно, проекция вектора В на вектор А равна
FG IJ
H K
?
BA = B cos AB , и для скалярного произведения векторов получим
выражение (АВ) = AB B = BA A.
Векторным произведением векторов A и B называется вектор С,
численно равный произведению модулей векторов A и B на синус
угла между ними. Вектор С перпендикулярен обоим векторам, т. е.
перпендикулярен плоскости, в которой они лежат. Таких направлений существует два (рис. 6.2). Из них выбирают одно по правилу
21
правого буравчика: если вращать ручку буравчика по направлению
от вектора A к вектору B в направлении меньшего угла, то поступательное движение буравчика укажет направление векторного произведения С. Записывается векторное произведение C = A Ч B или
FG IJ
H K
т. е. длина отрезка С численно равна площади параллелограмма,
?
C = [AB]. Величина векторного произведения равна C = AB sin AB ,
образованного отрезками А и B (см. рис. 6.2). Таким образом, в
окончательном виде получаем:
FG IJ
H K
?
C = eAB sin AB ,
(6.7)
где e ? единичный вектор, перпендикулярный векторам A и B.
Векторы, в том числе и радиус-вектор, могут меняться во времени, т. е. они являются функциями времени. Вектор может меняться
разными способами. Во-первых, может меняться его длина (модуль)
при неизменном направлении вектора в пространстве. Во-вторых,
не меняясь по величине, вектор может менять свое направление в
пространстве. Наконец, вектор может меняться как по длине, так и
по направлению. Проекции вектора на оси координат также являются функциями времени, т. е. переменными функциями. Переменные по какому-либо параметру функции могут быть продифференцированы или проинтегрированы по этому параметру. Дифференцирование и интегрирование векторных функций, в принципе, ничем
не отличается от дифференцирования и интегрирования скалярных.
Дифференцирование или интегрирование вектора можно свести к
дифференцированию или интегрированию каждой из его проекций
на оси координат. Производная радиуса-вектора по времени записывается в следующем виде:
b g = e dxbtg + e dybtg + e dzbtg .
dr t
x
y
z
(6.8, a)
bg
(6.8, б)
dt
dt
dt
dt
То же самое можно записать в других обозначениях:
bg
bg
r = ex x t + ey y t + ez z t .
Здесь и в дальнейшем для удобства и краткости производную по
времени будем обозначать точкой над функцией. Приращение (полный дифференциал) радиуса-вектора будет равен
bg
bg
bg
bg
dr t = ex dx t + ey dy t + ez dz t .
(6.9)
Аналогично определяется и операция интегрирования векторной
функции
22
?
z
0
bg
?
z
bg
?
z
bg
?
z
bg
A t dt = ex A x t dt + ey A y t dt + ez A z t dt .
0
0
(6.10)
0
Как видно из (6.8) и (6.10), специфика интегрирования и дифференцирования векторных функций состоит лишь в необходимости проводить эти операции трижды, по одному разу для каждой
проекции.
В некоторых случаях для упрощения описания явления вместо
трехмерных векторов рассматривают двумерные и даже одномерные. Это возможно, если движение тела является, к примеру, плоским или прямолинейным. В общем случае такое упрощение описания происходит, если движение тела можно задать менее чем тремя
параметрами.
Еще одно понятие, которое нам надо ввести ? вероятность. Все
знают, что вероятность выпадения "орла" при бросании монеты равна 1/2. Но что это значит? Означает ли это, что при двух бросаниях
монеты один раз выпадет "орел", а второй раз "решка", или это чтото другое? Введем строгое понятие вероятности, а потом рассмотрим
задачу с бросанием монеты.
Пусть у нас имеется система, в которой может реализоваться S
какиx-то событий. При бросании монеты S = 2. Одно событие ?
выпадение "орла", второе ? выпадение "решки". В общем случае
число событий может быть любым. Например, при бросании кости
имеется 6 событий. Это выпадение одной из 6 цифр от 1 до 6. Мы
проводим над системой N измерений. В каждом измерении регистрируем одно из S событий. Пусть N >> S. При измерении i события
(i принадлежит множеству s, 1 < i < S) мы получили его значение
Ni раз. Относительной частотой выпадения i события называется
величина Ni /N. Если устремить число измерений (т. е. N) к бесконечности, то относительная частота выпадения события будет равна
вероятности выпадения или измерения этого события P(i):
bg
P i = lim Ni / N, при N ? .
(6.11)
Значит, если нам известна вероятность выпадения какого-то события, то при очень большом числе измерений N у нас событие i
выпадет P(i) N раз. Таким образом, если мы бросаем монету 1 раз,
мы не сможем сказать, какой стороной она упадет. Но, если мы
бросаем монету очень много раз (например 10000), то мы можем
утверждать, что примерно 5000 раз выпадет "орел", а 5000 раз ?
"решка".
23
Сумма вероятностей выпадения всех событий всегда будет нормирована и равна 1. Действительно, поскольку SNi = N, то имеем
SP(i) = S(Ni/N) = (SNi)/N = 1.
Число событий может быть конечно, а может быть и бесконечно.
Например, соседние скорости атомов в газе отличаются на бесконечно малую величину. В этом случае вероятность Р будет непрерывной
функцией. Для газа, например, это будет функция распределения
атомов по скоростям, известная из школьного курса как функция
распределения Максвелла.
В заключение этого раздела сделаем акцент на двух моментах.
1. Математический аппарат современной физики и всего естествознания в целом огромен и очень сложен. В рамках курса невозможно даже просто перечислить все разделы, которые используются
в науке. В этом разделе затронут лишь минимум некоторых разделов математики, необходимых для понимания фундаментальных законов естествознания: алгебры, геометрии, тригонометрии, математического анализа, аналитической геометрии, векторного анализа,
теории вероятностей.
2. В некоторых учебниках по естествознанию, написанных, в основном, людьми, не имеющими фундаментальной естественно-научной подготовки, делаются попытки изложить все естествознание,
опираясь на одну только арифметику. Это глубоко ошибочный подход. Без введения понятий переменной величины и функции, и соответствующего математического аппарата невозможно не только описать, но даже просто осмыслить тот или иной закон естествознания.
Во всех областях естественных и даже общественных наук имеются
так называемые "динамические законы", т. е. законы, в которых
что-либо меняется. Но даже самый простой динамический параметр
? скорость невозможно ввести, не используя языка высшей математики ? дифференциального исчисления. Ведь скорость ? это производная исследуемой величины по времени.
24
2. ФИЗИКА НЕОБХОДИМОГО
В настоящем и последующем разделах будут рассмотрены понятия и законы классической физики, или, в более общем понимании,
физики необходимого. В этих разделах рассматриваются явления,
законы теории, в основе которых лежит принцип детерминизма.
Идея этого принципа состоит в том, что состояние физической системы однозначно определяется ее начальным состоянием и законами
ее развития. Под физическими системами подразумеваются структуры, состоящие из вещества или поля.
При наблюдении за каким-либо процессом или явлением, относящимися к этим разделам физики, в принципе, всегда можно сказать, как поведет себя система в будущем. Например, упругое тело
всегда с необходимостью отскакивает от твердой стенки; вслед за
полным оборотом по своей орбите вокруг Солнца Земля с необходимостью сделает следующий.
В разделе "Физика необходимого" рассматриваются законы и явления, связанные с формой материи, существующей в виде вещества, т. е. с материей, локализованной в пространстве. В следующем
разделе "Физика непрерывного" будут рассмотрены явления и законы, связанные с другой формой существования материи ? полем и
волнами. Поля и волны не локализованы в ограниченной части пространства и для их описания требуются другие законы.
Глава 7. Этапы развития физики
Физика ? наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее
общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи, законы ее движения. Законы физики лежат в основе всего естествознания. Физика относится к точным наукам и изучает количественные закономерности явлений. Ее законы базируются на фактах, установленных опытным путем. В основе физики лежит научный метод познания.
Слово физика происходит от греческого слова Physic ? природа.
В эпоху античной культуры наука охватывала всю совокупность
знаний человека о природных явлениях. По мере дифференциации
25
знаний и методов исследования из нее выделились различные разделы, в том числе и физика в привычном понимании этого слова.
Однако границы, отделяющие физику от других наук, в значительной мере условны и зависят от общей суммы человеческих знаний.
В истории развития физики обычно выделяют три этапа. Первый
из них начинается в античности и заканчивается в XVI веке. В это
время господствовала метафизика Аристотеля. Второй этап начинается с работ Коперника, Кеплера, Галилея, Декарта, Ньютона и
заканчивается в конце XIX века. На этом этапе идет процесс развития метода научного познания, о котором уже шла речь. И, наконец, третий этап продолжается с начала нашего века по сей день.
Это этап развития современной квантовой физики.
Физические явления издавна привлекали внимание людей. В
VI?II веках до н. э. впервые зародились идеи об атомном строении
вещества (Демокрит, Эпикур, Лукреций). В это время в работах
Птолемея и Аристотеля возникла гелиоцентрическая картина мира
и были сформулированы основные законы статики (правило рычага) и гидростатики (закон Архимеда), которые с успехом применялись в строительстве, военном деле и в других областях. Известна
легенда об Архимеде, открывшем известный закон изменения веса
тела в жидкости. Выполняя заказ сиракузского правителя, Архимед должен был определить, какое количество серебра и какое ?
золота содержалось в сплаве, из которого ювелир должен был сделать корону. Решение вопроса, по преданию, он нашел, принимая
ванну; с криком "Эврика" он выскочил из ванны. В эту эпоху наблюдались и исследовались простейшие проявления электричества и
магнетизма.
Итог накопленных знаний подвел Аристотель (384?322 гг. до
н. э.). Из числа дошедших до нас работ наибольший интерес представляют "Первая философия", "Метафизика", "Физика". В этих трудах содержится учение об основных принципах бытия, возможности
и осуществлении, форме и материи, действующей причине и цели.
Аристотель признавал значение опыта, но не придавал ему решающего значения, считая, что критерием правильности является умозрительное заключение. В средние века учение Аристотеля было канонизировано церковью, что надолго затормозило развитие естественных наук.
Не вдаваясь в сложные рассуждения, рассмотрим основную идею
механики Аристотеля, используя современный язык. Как известно
из школьного курса физики, согласно второму закону Ньютона ускорение, приобретаемое телом, пропорционально сумме действую26
щих на это тело сил: a = ? F / m . В основе же механики Аристотеля лежало утверждение, что скорость тела пропорциональна действующей на него силе: v ? F . Естественно, что механика Аристотеля и механика Ньютона в корне отличались друг от друга. О
втором законе Ньютона речь еще пойдет, а в оправдание Аристотеля скажем, что, если не ставить специальных экспериментов, а только
наблюдать за движущимися телами, то видно, как они останавливаются, если к ним не прикладывать дополнительной силы. Сейчас
мы, конечно, знаем, что тела останавливаются из-за действия на
них сил трения, которые, как правило, бывают пропорциональны
скоростям тел. Если же к этим телам приложить некоторую силу,
то они станут двигаться с постоянной скоростью, тем большей, чем
больше сила тяги. Но легко быть умным, зная ответ на вопрос, и
очень непросто самому его найти.
Развитие физики как науки в современном понимании этого слова, т. е. науки, в основе которой лежит научный метод познания,
началось на рубеже XVI?XVII веков и связано, в первую очередь, с
именем итальянского ученого Галилео Галилея (1564?1642). Галилей понял необходимость математического описания движения материи, под которым в его время подразумевалось механическое движение тел ? их перемещение в пространстве и времени. Галилей
опроверг ошибочные утверждения механики Аристотеля и заложил
основы современной механики. Им были сформулированы идеи об
относительности движения, установлены законы инерции, свободного падения и движения тел по наклонной плоскости, сложения движений. Галилей показал, что воздействие на тело окружающих тел
определяет не скорость тела, а его ускорение; фактически он открыл два первых закона Ньютона. Столь же велики его заслуги в
области астрономии. С помощью построенного своими руками телескопа он открыл горы на Луне, спутники Юпитера, фазы Венеры, темные пятна на Солнце. О Галилее, о его трагической судьбе, о его научных исследованиях и изысканиях написано очень
много трудов.
Вряд ли сейчас кто-нибудь вспоминает о том, что Галилей является автором идеи современных маятниковых часов. До него создавалось огромное количество часов, работающих на разных принципах. Все они были недостаточно точны и не позволяли измерять
малые интервалы времени ? секунды (в то время даже не было
понятия о таких малых промежутках времени). Для проведения
своих опытов Галилею требовалось измерять время с большой точностью. Он открыл и разработал принцип изохронности колебаний
27
маятника, который положил в основу секундомера. В камне, качающемся на веревке, Аристотель видел лишь сдерживаемое веревкой
падение, а Галилей увидел периодический процесс.
Говоря об основоположниках классической физики нельзя не упомянуть Рене Декарта (1596?1650). Французский философ, математик, физик, он заложил основы аналитической геометрии, его имя
носит система координат. Он ввел в математике понятие переменной
величины и функции, а также ввел множество алгебраических обозначений. В физике он ввел понятие импульса и сформулировал
закон его сохранения. Наибольшую известность получили его работы в области познания.
Основное достижение физики XVII века ? это создание классической механики. Исаак Ньютон (1643?1727) в своем труде "Математические начала натуральной философии" (1687) сформулировал и
дал математическую трактовку всем основным законам этой науки,
которые дошли практически без изменений до наших дней. Классическая механика лежит в основе многих физических и технических
дисциплин, которые изучаются и в наше время специалистами в
области науки и техники. Астрономические наблюдения поведения
небесных тел в XVIII?XIX веках и открытия новых планет солнечной системы стали блестящими подтверждениями учения Ньютона.
Не будем сейчас останавливаться на основных концепциях ньютоновской теории, а вернемся к ним в следующих разделах курса, при
изучении законов механического движения.
Благодаря работам Ньютона, основанным на многочисленных
экспериментах и наблюдениях, а также на специально разработанных Ньютоном математических методах (методе дифференциального
и интегрального исчисления) было окончательно установлено, что
задача естественной науки состоит в отыскании наиболее общих количественных формулировок законов природы.
В работах ученых XVIII века были продолжены поиски наиболее
общих формулировок движения систем, материи. Были заложены
основы механики твердого тела, акустики, гидродинамики, теплоты. В 1788 году французский ученый Ж. Л. Лагранж (1736?1813)
вывел уравнения механики в наиболее общем виде, получив так
называемые уравнения Лагранжа. С их помощью поведение системы
описывалось через поведение ее энергии. Эти уравнения до сих пор
используются в современных разделах физики ? в квантовой механике и электродинамике.
К концу XVIII века была создана единая механистическая картина мира, согласно которой все многообразие мира ? результат дви28
жения атомов и тел, из которых они состоят и движение которых
подчиняется законам Ньютона. Объяснение наблюдаемых физических явлений считалось научным и полным, если их удавалось описать на основе теории Ньютона. Естественно, такие "шоры" не могли устраивать пытливые умы исследователей. Один из интересных
эпизодов истории физики относится к теории света. В XVII веке
были выдвинуты две гипотезы. И. Ньютон полагал, что свет ? это
поток частиц, корпускул, движение которых определяет его свойства и законы. Другой ученый Х. Гюйгенс (1629?1695) считал, что
свет ? это волны, распространяющиеся в пространстве. Из теории
Ньютона следует, что скорость света в среде v = nc, где c ? скорость
света в вакууме, а n ? коэффициент преломления света. Из теории
Гюйгенса следовало, что v = c / n . Очевидно, что различие этих формул носит принципиальный характер. Однако из-за слабого развития экспериментальной базы вплоть до второй половины XIX века
проверка этих формул была невозможной.
В 1818 году французский ученый О. Ж. Френель написал работу на конкурс Французской Академии наук. В основу теории
распространения света он положил волновые свойства. Один из
членов жюри ? Пуассон "усомнился" в правильности выводов
теории. Из теории Френеля следовало, что в центре тени, отбрасываемой предметом на экран, обязательно должно быть светлое
пятно. Налицо было даже не количественное, а качественное
расхождение с известными фактами. Видимо, даже сегодня большинству из нас такое пятно кажется нереальным. Однако в специально поставленных экспериментах Д. Араго (1786?1853) это
пятно было обнаружено и, тем самым, подтверждены выводы
теории Френеля. Эти опыты перевернули обыденные представления о свойствах света и перевели почти всех противников волновой
теории Френеля, даже самых "маститых" в число ее сторонников.
Началось победное шествие волновой теории света. В 50-х годах
XIX века были проведены эксперименты по определению скорости
света в среде, которые подтвердили справедливость формулы
v = c / n . Однако история физики полна парадоксов. Наблюдаемое
пятно теперь называется "пятном Пуассона", т. е. носит имя человека, усомнившегося в его существовании.
К началу XIX века были сформулированы простейшие законы в
области теплоты, электричества, магнетизма. Уже были накоплены
сведения о макроскопических свойствах твердых тел, изучены температурные зависимости поведения твердых тел и газов. Основные
достижения физики XIX века были оформлены в стройные, непро29
тиворечивые теории электромагнитных волн и теплового движения
атомов и молекул. Сейчас эти разделы физики называют классической электродинамикой, термодинамикой и статистической физикой.
Ко второй половине XIX века благодаря достижениям таких ученых, как А. Вольта (1745?1827), Ш. О. Кулон (1736?1806),
Э. К. Эрстед (1777?1862), Ж. Б. Био (1774?1862), П. С. Лаплас
(1749?1827), К. Ф. Гаусс (1777?1855), А. М. Ампер (1775?1836),
М. Фарадей (1791?1867), Г. Р. Герц (1857?1894) и многих других,
электрические и магнитные явления были уже так хорошо изучены,
что оказалось возможным построить единую стройную теорию электромагнетизма. Творцом классической электродинамики стал Джеймс
Кларк Максвелл (1831?1879). Максвелл составил систему уравнений, описывающих взаимодействие подвижных и неподвижных зарядов; электрических и магнитных полей; процесс распространения
переменных электромагнитных полей в пространстве. Следствием
уравнений Максвелла стал факт постоянства скорости распространения электромагнитных волн, который не был объяснен в рамках
теории Максвелла.
Решающий вклад в становление и развитие термодинамики и статистической физики внесли Д. К. Максвелл, Д. У. Гиббс (1839?
1903), Г. Л. Гельмгольц (1821?1894), Л. Больцман (1844?1906),
Р. Клаузиус (1822?1888) и ряд других ученых, одно перечисление
которых, даже без упоминания работ, заняло бы не одну страницу.
Во второй половине XIX века были сформулированы первое и второе начала термодинамики, сформулированы основные законы молекулярно-кинетической теории газов и твердых тел, развит вероятностный метод подхода к описанию тепловых явлений.
Существенно, что термодинамика и статистическая физика базировались на утверждении, что движение атомов и молекул описывается классической механикой. В основе всех теорий лежал тезис о
непрерывности всех процессов в природе. Принципиально новых
положений при описании движения на атомно-молекулярном уровне по сравнению с классической механикой не вводилось.
Экспериментальные основы нового этапа развития физики были
заложены на рубеже XIX?XX веков. Двадцатые годы нашего столетия принято считать началом нового третьего этапа развития физики ? этапа квантовой физики. Перечислим лишь некоторые явления и открытия, которым не было места в рамках старых механистических теорий, и которые перевернули старую физику. Упомянем
излучение разреженных газов и нагретых твердых тел, открытие
30
электрона, явления радиоактивности, фотоэффекта, атомного ядра
и, наконец, создание теории относительности.
Началом атомного века можно считать две даты. Первая ?
1942 год, когда под руководством Э. Ферми (1901?1954) был запущен первый ядерный реактор и человечество впервые за свою историю получило энергию не от Солнца, а принципиально новую ?
атомную. Летом 1945 года было проведено испытание первого атомного оружия, и это тоже веха в развитии человечества ? практическое применение нового вида энергии.
Однако этим событиям предшествовал доклад Макса Планка
(1848?1947) в Берлинском университете в 1900 году о полученной
им новой формуле излучения. Планк открыл элементарный квант
действия, новую естественную константу, и это открытие положило
начало новой эпохе в развитии физики. Оно показало, что тезис о
бесконечной непрерывности всех действий в природе был заблуждением. Выяснилось, что в природе бывают изменения, которые происходят не плавно, а скачком ? "взрывообразно", как сказал сам
Планк. Результатом открытия Планка стал отказ от принципа
"Natura non facit saltus" (природа ничего не делает скачком), который владел умами натурфилософов со времен И. Ньютона (1643?
1727) и Г. В. Лейбница (1646?1716).
Открытие Планка эпохальное, революционное. Значение его не
снижает даже тот факт, что до конца жизни сам Планк считал
кванты ни чем иным, как абстракцией, моделью, которая не имеет
ничего общего с действительностью. Другие исследователи, менее
приверженные к традиции, чем он, вскоре значительно обогнали и
развили новые области и разделы современной физики.
В современной физике возник ряд новых направлений, неведомых классической. Ограничимся перечислением лишь некоторых и
очертим круг задач, стоящих перед ними.
Физика элементарных частиц. Ее основной проблемой было и
остается исследование материи на уровне элементарных частиц. Не
все теоретические положения этого раздела физики получили прямое подтверждение экспериментами. Обширный экспериментальный
материала до сих пор не обобщен. Существуют только попытки построения теории, объединяющей все виды взаимодействий: гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное.
Физика ядра. В 30-х годах была создана протонно-нейтронная
модель ядра, был достигнут большой прогресс в понимании структуры ядер и достигнут большой успех в практическом применении
ядерных реакций. Одна из важнейших задач в этой области ? реше31
ние проблемы управляемого термоядерного синтеза. Работы в этом
направлении ведутся объединенными усилиями исследователей из
ряда стран.
Астрофизика. Развитие физики элементарных частиц и атомного ядра позволило приблизится к пониманию таких сложных проблем, как эволюция Вселенной на ранних стадиях ее развития, эволюция звезд, образование химических элементов. Однако несмотря
на впечатляющие достижения современной астрофизики, остается
неясным, каково строение материи при огромных плотностях внутри нейтронных звезд и "черных дыр". Не выяснена природа квазаров и причина вспышек сверхновых звезд. В целом, можно считать, что положено только начало решению проблемы эволюции
Вселенной.
Оптика и квантовая электроника. На фундаменте квантовой
теории излучения, заложенной А. Эйнштейном, возникла новая наука ? квантовая электроника. Успехи в этой области связаны, в
первую очередь с созданием сверхчувствительных приемных систем
и принципиально новых источников света ? лазеров или оптических квантовых генераторов. Их свойства уникальны по своим параметрам. Создание лазеров дало жизнь новому разделу оптики ?
нелинейной оптике. Практически строгая монохроматичность лазерного излучения позволяет получить объемное изображение
объекта ? голограмму. Ведутся работы по использованию лазеров
в управляемых термоядерных реакциях. Развитие этой области
связано с дальнейшим повышением мощности лазеров и с расширением диапазона рабочих частот. Сейчас стоит задача создания
рентгеновских и гамма-лазеров.
Физика плазмы. Важность изучения плазмы связана с двумя обстоятельствами. Во-первых, в плазменном состоянии находится подавляющая часть вещества Вселенной. Во-вторых, именно в высокотемпературной плазме имеется возможность осуществить управляемую термоядерную реакцию. Получение таких реакций позволит
дать человечеству практически вечный экологически чистый источник энергии. Эта проблема очень актуальна, поскольку уже в ближайшее время человечество столкнется с проблемой энергетического голода.
Физика твердого тела. Пожалуй, ни один из разделов физики не
имеет стольких ответвлений в прикладные области, как этот. Прогресс в компьютеростроении целиком базируется на достижениях
физики твердого тела. Туннельный эффект ? явление из области
квантовой физики, заключается в способности элементарных частиц
проникать сквозь барьер, который частица в классической физике
32
не может пройти в принципе. На основе туннельного эффекта созданы специальные приборы ? туннельные микроскопы, которые позволяют наблюдать отдельные атомы. Прогресс в этой области зашел так далеко, что коллективу сотрудников фирмы IBM удалось
написать название фирмы буквами, размером всего в пять атомов по
высоте. По-видимому, это самая эффектная реклама в мире. Размер
этих букв во столько же раз меньше букв, написанных Левшой на
подкове блохи, во сколько песчинка меньше Эйфелевой башни.
Сверхпроводимость ? особое состояние некоторых веществ, открытое достаточно давно. Оно заключается в том, что при температурах порядка 5B20° К электрическое сопротивление совершенно
исчезает. Ток может циркулировать в таком проводнике годами. В
настоящее время синтезированы материалы, в которых сверхпроводимость возникает при температурах 100B150° К. Такие материалы
могут широко использоваться в науке и технике.
В заключение отметим, что важнейшей особенностью современного физического эксперимента стала неизмеримо возросшая роль
измерительной и вычислительной техники. Современные исследования ведутся обычно на больших установках и требуют значительных затрат. Развитые страны идут на это, и не только потому, что
естественные науки составляют часть культуры человечества, но и
потому, что именно они позволяют увеличивать целостность, независимость и благосостояние государства.
Глава 8. Вещество и масса, принцип эквивалентности
В физике под веществом подразумевают такой вид материи, который обладает массой покоя, т. е. в состоянии неподвижности (хотя
бы и относительной) масса системы не равна нулю. В конечном счете, вещество слагается из атомов (или элементарных частиц). В следующих разделах мы узнаем, что существуют частицы, имеющие
нулевую или мнимую массу покоя; такие частицы могут существовать только в движении.
Вещество всегда локализовано в ограниченной части пространства. Его положение можно задать с помощью ограниченного числа
параметров, которые принято называть степенями свободы. В простейшем случае движения точки, ее положение в пространстве задается 3 независимыми координатами (степенями свободы). Даже когда вещество нельзя моделировать точкой (например, твердое тело),
его положение все равно определяется конечным числом независимых координат ? степеней свободы. Если вещество состоит из N
атомов, то мы можем описать положение каждого атома в отдельно33
сти. Всего потребуется задать 3 N параметров. Реально атомы образуют связи; каждая связь превращает одну из независимых координат в зависимую, и число независимых параметров (координат) уменьшается. Положение твердого тела, оказывается, можно задать всего
лишь 6 параметрами: тремя координатами ? положение центра масс
тела и еще тремя углами ? его ориентацию (разворот) относительно
координатных осей.
В настоящей и в прошлых главах упоминалось понятие массы,
которое требует дополнительного обсуждения. В начале нашего курса говорилось, что масса характеризует количество материи. Эта
формулировка качественная. Она требует уточнения. Правильнее
говорить, что масса ? одна из основных характеристик материи,
определяющая ее инерционные и гравитационные свойства. Остановимся на этом вопросе подробнее. В теории Ньютона масса рассматривалась, как количество вещества. Понятие массы ввел в механику И. Ньютон, давая определение импульса ? P = mv. Массой он
назвал коэффициент пропорциональности m, постоянную для тела
величину. Эквивалентное определение массы вытекает и из второго
закона Ньютона: F = ma. Здесь масса ? это коэффициент пропорциональности между результирующей силой и вызываемым ею ускорением. Определенная таким образом масса характеризует инертность
тела. Уточним, чем больше масса тела, тем меньшее ускорение оно
приобретает под действием постоянной силы. Определенная таким
образом масса называется инертной.
В теории гравитации И. Ньютона масса выступает как источник
поля сил тяготения. Каждая масса создает вокруг себя поле сил
тяготения (гравитационное поле). На любое тело, помещенное в это
поле, действует сила, пропорциональная его собственной массе, массе источника и направленная к источнику. Это значит, что гравитационные силы всегда являются силами притяжения. Закон всемирного тяготения формулируется в следующем виде:
F=G
m1m2
,
(8.1)
r2
где G = 6,670?10?11м3/(кг?с2) ? гравитационная постоянная; m1 и
m2 ? массы тел; r ? расстояние между телами.
Из этой формулы можно получить связь между массой тела и его
весом Р в поле тяготения Земли, если считать, что m1 ? масса тела;
m2 = M ? масса Земли; а r = Rз ? радиус Земли:
Р=G
34
mM
R32
=
GM
R32
= mg ,
т. е. P = mg .
(8.2)
Определенная таким образом масса называется гравитационной.
В принципе, ниоткуда не следует, что масса, создающая поле
тяготения, и масса, определяющая инерцию тела, ? одинаковы. Однако специальные опыты показали, что инерционная и гравитационная массы при выборе одинаковой системы единиц равны. Этот
фундаментальный закон природы называется принципом эквивалентности масс. Экспериментально этот принцип был проверен в
1971 году с очень высокой точностью ? 10?12.
В классической физике считалось, что масса тела не меняется ни
в каких процессах. Это утверждение формулировалось в виде закона
сохранения массы. Понятие массы приобрело более глубокий смысл
в рамках релятивистской механики или теории относительности,
рассматривающей движение тел с большими скоростями. Релятивистская механика показывает, что не существует по отдельности законов сохранения массы и энергии. Они слиты воедино. Это естественно, так как материя (количество которой характеризуется массой) невозможна без движения (количество которой характеризуется энергией). Подробнее рассмотрим этот вопрос после изучения законов сохранения и специальной теории относительности.
Природа массы ? важнейший, до сих пор не решенный вопрос
физики. Принято считать, что массы элементарных частиц определяются полями, с ними связанными. Однако до настоящего времени
не создана количественная теория массы. Не существует теорий,
объясняющих, почему массы элементарных частиц образуют не непрерывный, а дискретный, т. е. прерывный спектр значений, и тем
более, позволяющих рассчитать эти значения.
Глава 9. Взаимодействие, поле.
Принципы близкодействия и дальнодействия
Уже несколько раз упоминалось понятие поле. Что же следует
под ним понимать? В механике Ньютона взаимодействие тел количественно характеризуется силой. Более общей характеристикой взаимодействия тел является потенциальная энергия. Но не для всех
сил она может быть введена.
Первоначально в классической механике утвердилась концепция,
что взаимодействие между телами происходит через пустое пространство, которое не принимает участия во взаимодействии, передача
взаимодействия происходит мгновенно. Так, например, считалось,
что перемещение Земли мгновенно приводит к изменению силы тяготения, действующей на Луну. В этом и состояла так называемая
концепция дальнодействия. По сути дела утверждалась возможность
35
мгновенной передачи какого-либо воздействия от одного тела другому. При этом не оговаривался механизм этой передачи.
Однако данные представления были откинуты, как не соответствующие реальным, после открытия и исследования электрических
и магнитных полей. Понятие поля в применении к электрическому
и магнитному полям было введено в 30-х годах XIX века М. Фарадеем. Концепция поля была возрождением теории близкодействия,
основоположником которой был Р. Декарт. Согласно его концепции
близкодействия взаимодействующие тела создают в каждой точке
окружающего их пространства особое состояние ? поле, которое
проявляется в силовом воздействии на другие тела, в эти поля помещенные. Экспериментально было показано, что взаимодействие электрически заряженных тел осуществляется не мгновенно. Перемещение одной заряженной частицы приводит к изменению сил, действующих на другую заряженную частицу, не в тот же момент, а спустя
некоторое время. В разделяющем частицы пространстве происходит
некоторый процесс, который распространяется с конечной, хотя и
очень большой скоростью. Был сделан вывод, что имеется посредник, осуществляющий взаимодействие между заряженными частицами. Этот посредник был назван электромагнитным полем. Каждая заряженная частица создает вокруг себя электромагнитное поле,
действующее на другие заряженные частицы. Скорость распространения электромагнитных волн не превышает скорости их распространения в вакууме, равной 3?108 м/с. Таким образом, возникла новая концепция ? концепция близкодействия. Согласно этой концепции, взаимодействие между телами осуществляется посредством тех
или иных полей, непрерывно распределенных в пространстве. Всемирное тяготение, например, осуществляется за счет гравитационных полей. Взаимодействие тел передается не мгновенно, а через
некоторый промежуток времени. Скорость передачи взаимодействия
ограничена скоростью света в вакууме.
В современной физике существует квантовая теория поля. Согласно этой теории, любое поле не непрерывно, а дискретно. Дискретность означает наличие некоторых частиц поля ? квантов. Каждому полю соответствуют свои частицы. Например, электромагнитному полю соответствуют кванты, называемые фотонами, известными из школьного курса физики. Фотоны ? это переносчики электромагнитного взаимодействия.
Как наглядно представить себе процесс взаимодействия посредством квантов электромагнитного поля. Допустим вы стоите в лодке, ваш приятель тоже стоит в другой лодке. Вам надо сдвинуться
так, чтобы в лодке ничего не изменилось. Нельзя касаться другой
36
лодки и своего приятеля, нельзя просто выкинуть что-либо из лодки. Проще всего прийти в движение, перекинувшись с приятелем
какими-то одинаковыми вещами, например, веслами. Вы как бы
оттолкнетесь друг от друга, не касаясь и ничего не выкидывая из
лодок. Точно также и тела, обмениваются одинаковыми квантами,
ничего не теряя, и таким образом взаимодействуют друг с другом.
Несмотря на великое многообразие взаимодействий тел друг с
другом, в природе существует четыре вида взаимодействий и, соответственно, четыре типа полей. Перечислим их все в порядке возрастания величины взаимодействия. Гравитационные взаимодействия
обеспечивают тяготение тел друг к другу. Слабые взаимодействия
ответственны за большинство распадов и превращений элементарных частиц. Электромагнитные взаимодействия ? это взаимодействие заряженных тел. Сильные взаимодействия связывают протоны
и нейтроны (нуклоны) в атомном ядре.
Разные виды взаимодействия различаются на много порядков по
величине действующих сил. Приведем такой пример. Силу тяготения двух песчинок, находящихся на расстоянии 20 м друг от друга,
нельзя измерить с помощью самых точных и современных приборов. Но, если переместить из всех атомов одной песчинки по одному
электрону в атомы другой песчинки, то песчинки будут притягиваться друг к другу с силой B1010 ньютонов.
Поскольку поля заданы в каждой точке пространства, т. е. в
бесконечном числе точек, для их описания требуется не конечное, а
бесконечное число параметров ? степеней свободы. Сказанное не
означает, что для описания поля надо реально задавать бесконечное
число параметров. Достаточно установить законы, позволяющие находить поле в каждой точке пространства. Таковыми являются: закон всемирного тяготения для гравитационных полей, закон Кулона для электрических полей и закон Био-Савара-Лапласа для магнитных полей.
Особой формой существования материи являются волны. Волна
представляет собой процесс распространения возмущения какоголибо физического параметра в пространстве. Так же, как и поля,
волна не детерминирована в пространстве, поскольку она с необходимостью распространяется в пространстве и существует в каждой
точке пространства. Различают волны в упругих средах (примером
которых являются звуковые волны в газах или твердых телах),
которые локализованы в самой среде, и волны (электромагнитные,
гравитационные), не ограниченные средой, т. е. не локализованные
в ограниченной части пространства.
37
Глава 10. Состояние системы, ее изменение во времени
После введения понятия вещества и поля перейдем к рассмотрению классических подходов в описании физических явлений. В основе ряда теорий естествознания, в том числе классической физики,
лежит представление о непрерывности процессов или явлений. Изменение состояния любой системы происходит плавно, непрерывно
от одной точки к другой.
Простейшей формой движения материи является механическое
движение, под которым мы понимаем перемещение тел в пространстве и времени. Наука, изучающая такой вид движения материи,
называется механикой. В естествознании для описания систем вводятся модели. Простейшей моделью, на которой удобно изучать механическое движение, является материальная точка, т. е. тело, имеющее массу, но не имеющее геометрических размеров. Материальная точка ? это абстракция, модель; таких тел в природе не существует.
Когда же реальную систему можно заменить точкой? Играют ли
при этом решающую роль ее размеры? Тело можно заменить материальной точкой, если в рамках поставленной задачи можно пренебречь его размерами и формой, т. е. если перемещение тела много
больше размеров самого тела. Одно и тоже тело в одних условиях
можно считать материальной точкой, а в других ? нет.
Например, наша планета огромна по сравнению с размерами человека, и если человек огибает земной шар, то его движение можно
представить как движение точки на огромном глобусе. В свою очередь, размеры земной орбиты во столько же раз больше размеров
Земли, во сколько раз сама Земля больше человека. Так что и Землю можно считать материальной точкой при ее движении вокруг
Солнца.
Еще один пример. При измерении пройденного автомобилем расстояния никому не придет в голову вопрос, до какой точки автомобиля это расстояние измерять, однако, когда тот же автомобиль
заезжает в гараж необходимо следить, чтобы он никакой своей частью ни за что не зацепился. В первом случае автомобиль можно
заменить материальной точкой, а во втором ? нельзя, так как обязательно нужно учитывать его форму и размеры.
Таким образом, допустимость модели материальной точки, как,
впрочем, и любой физической модели, определяется условиями поставленной задачи и требуемой точностью искомого результата.
Раздел механики, в котором описывается движение тела, и не
вскрываются причины, его вызывающие, называется кинематикой.
38
Для описания движение тела, необходимо ввести систему отсчета, относительно которой задать его координаты, ввести динамические переменные, описывающие изменение положения тела во времени и ввести законы движения тела. Вообще говоря, система отсчета
должна в себя включать систему тел, которые мы считаем неподвижными, и часы. С системой неподвижных тел необходимо связать
систему координат, например декартовых.
Положение точки в координатном пространстве задается радиусом-вектором r (t), т. е. вектором, проведенным из начала координат в выбранную точку. Начальное положение тела задается радиусом-вектором в начальной момент времени r0 = r (t0), как это показано на рис. 10.1. Положение точки в пространстве с течением времени меняется, и конец радиуса-вектора вычерчивает линию, которая называется траекторией движения.
dr
?r
r(t0) = r0
r(t)
r(t)
0
0
Рис. 10.2
Рис. 10.1
Траекторию можно разбить на бесконечно малые участки ? dr,
как это показано на рисунке 10.2. Поскольку перемещение dr,
бесконечно мало, оно лежит на траектории движения. Время dt, за
которое происходит это перемещение, тоже бесконечно мало. Перемещение dr и время dt связаны друг с другом динамическим параметром ? мгновенной скоростью, определение которой
v(t) = dr(t)/dt.
(10.1)
dr = vdt,
(10.2)
Таким образом,
следовательно, направление мгновенной скорости совпадает с направлением элементарного перемещения dr. Иными словами, мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.
По правилу сложения векторов сумма всех dr плюс r0 даст нам
вектор r. Но, операция суммирования по бесконечно малым величинам называется интегрированием. Таким образом, проясняется на39
глядный смысл интегрирования векторной функции и правило вычисления значения r(t) в любой момент времени.
t
bg
r t = r0 +
z bg
v t dt .
(10.3)
t0
Скорость материальной точки, в свою очередь, тоже может меняться со временем. Удобно ввести еще один динамический параметр ? ускорение, которое тоже является векторной величиной и
тоже может зависеть от времени и координат:
a(t) = d v(t)/dt.
(10.4)
Из этого определения следует, что d v(t) = a(t)dt. Если функция
a(t) известна, то с ее помощью можно найти скорость тела в любой
момент времени, а зная ее, при помощи (9.2) можно найти положение тела в любой момент времени:
t
bg
z bg
z FGGH z b g
v t = v0 + a t dt ,
(10.5)
t0
t
bg
r t = r0 +
I
JJ
K
(10.6)
zz b g
(10.7)
t
v0 + a t dt dt ,
t0
t0
или
t
bg
b g
r t = r0 + v0 t ? t +
a t dtdt .
t0
В этих формулах v0 ? начальная скорость тела, т. е. его скорость
в момент времени t0.
Таким образом, если нам известны начальное положение материальной точки ? r0 и начальная скорость ? v0, а также зависимость
вектора скорости или вектора ускорения от времени, можно найти
координаты системы в любой последующий момент времени ? r(t).
Только что мы рассмотрели и обозначили путь решения основной
задачи кинематики. При решении этой задачи не ставился вопрос,
за счет чего меняется ускорение тела, но в рамках кинематики такой вопрос не ставится. Рассматривалось положение тела в произвольные моменты времени.
В ряде случаев требуется найти не только положение тела, но и
тот путь, который оно пройдет. Пройденный путь есть скалярная
величина, она обозначается S и численно равна длине траектории.
Из рисунка очевидно, что путь в общем случае не равен длине (мо40
дулю) вектора перемещения ?r. Чтобы найти пройденный путь S
необходимо просуммировать длины вектора dr, т. е. провести интегрирование по модулю вектора dr:
t
S=
t
z z bg
dr =
t0
v t dt .
(10.8)
t0
Здесь надо помнить, что модуль вектора, т. е. его длина всегда
положительна. При выполнении расчета по этой формуле v(t) всегда
надо брать со знаком плюс.
В случае одномерного движения, когда тело перемещается вдоль
прямой, векторную функцию можно заменить ее проекцией на выбранную ось. Проекции вектора на другие оси равны нулю, поэтому
можно не пользоваться понятием вектор.
Глава 11. Классическая механика
§ 1. Основные положения механики Галилея
Классическую механику будем рассматривать в контексте тех
принципов, которые использовались при ее становлении вплоть до
развития современной физики. Не надо думать, что развитие современной физики перечеркнуло всю классическую механику и заставило использовать при описании какие-то принципиально новые положения. Классическая механика, в сформированном Ньютоном виде,
играет большую роль в современной науке и технике. Достаточно
сказать, что такая большая область техники, как машиностроение,
целиком базируется на законах классической механики. При дальнейшем рассмотрении настоящего раздела нас будут интересовать, в
основном, следующие положения.
Классическая механика развилась как раздел науки (физики), в
котором рассматривалось механическое движение макросистем, т. е.
систем, размеры которых определяются окружающими нас телами.
Диапазон масс и размеров огромен. С одной стороны, это и атомы,
из которых состоят вещества, движение которых мы можем с большой точностью описывать классическими понятиями. С другой стороны, это и такие большие образования, как планеты и звезды.
Механическое движение рассматриваемых систем определяется
скоростью движения системы. Хотя скорость понятие относительное, но всегда можно выбрать какую-то систему отсчета, относительно которой мы и рассматриваем скорость. Такой системой отсчета может быть и наша Земля, и наше Солнце, и центр нашей
41
Галактики. Все эти системы отсчета движутся друг относительно
друга с небольшими, по сравнению со скоростью света, скоростями.
В настоящем разделе будут рассматриваться движения, на скорость
которых накладывается условие: v << с, где с ? 3?108 м/с ? скорость
света в вакууме. Законы движения, которые будут рассмотрены,
справедливы с точностью порядка v/с.
Существуют ограничения и на минимальную скорость. Из школьного курса нам известно, что скорость движения атомов, из которых состоит система, определяет его температуру. Основные явления и эффекты рассматриваются в классической механике при температурах тел, далеких от абсолютного 0. Если масса системы мала
(например, исследуются отдельные атомы или молекулы), а ее температура стремится к абсолютному нулю, то наблюдаются квантовые явления, не описываемые в рамках классической физики.
Все теории, созданные до становления современной физики, базировались на принципе ? "Природа не терпит разрывов". Изменение
состояния системы происходит не мгновенно, а плавно. Все процессы и явления развиваются постепенно, плавно переходя из одного
состояния в другое. Именно это положение и лежало в основе математического аппарата, разработанного Ньютоном и Лейбницем ?
дифференциального и интегрального исчислений.
Последнее замечание, которое необходимо сделать. В одной из
предыдущих глав рассматривались принципы дальнодействия и близкодействия. На заре развития классической механики подразумевалось, что взаимодействие тел происходит мгновенно. Использовался
принцип дальнодействия. В этом случае, коль скоро взаимодействие
передается мгновенно, в разных системах отсчета можно было вводить одинаковое время. Например, считалось, что всегда можно синхронизовать часы, находящиеся в любой точке пространства (например, на Земле и в центре Галактики) и считать, что время в
разных точках пространства ни от чего не зависит и одинаковое.
Прежде, чем перейти к дальнейшему рассмотрению, вспомним,
что такое сила. В механике силой называется мера воздействия на
выбранное материальное тело со стороны других тел. Это действие
вызывает изменение скоростей точек тела или его деформацию. Воздействие может передаваться как при непосредственном контакте
(давление прижатых друг к другу тел, трение и т. д.), так и посредством создаваемых телами полей (гравитационные, электромагнитные силы). Сила ? величина векторная, в каждый момент времени
она характеризуется численным значением, направлением в про42
странстве и точкой приложения. Сложение сил осуществляется по
правилу сложения векторов ? правилу параллелограмма. Прямая,
вдоль которой направлена сила назовется линией действия силы.
Обычно силу обозначают F. В общем случае сила может зависеть от
координат и времени, т. е. F = F (x,y,z,t).
Законы физики всегда базируются на опытах, экспериментах.
Именно в рамках такого подхода Галилей создал основы классической механики. Обратимся к некоторым из опытов Галилея.
Напомним, что в основе механики Аристотеля, доминировавшей
в тот период, лежало утверждение, что скорость тела пропорциональна приложенной силе: v BF. Этот вопрос мы уже обсуждали и
пришли к выводу, что кажущееся проявление действия силы связано с наличием в природе сил трения. Именно Галилей доказал неверность положения физики Аристотеля. В Италии в городе Пизе, в
котором жил Галилей, существует высокая Пизанская башня. Она
интересна тем, что стоит не вертикально, как все здания, а сильно
наклонена (рис. 10.1). Галилей ставил эксперимент, в ходе которого он определял время, необходимое для падения тел с вершины
Пизанской башни. Попытаемся восстановить ход рассуждений Галилея во время его экспериментов.
S
h
Рис. 11.1
Рис. 11.2
Возьмем несколько шаров одинакового размера, изготовленных
из разного вещества: свинца, меди, чугуна, дерева. Все эти тела при
одинаковых размерах и форме имеют разный вес. Вес тела характеризует силу тяготения, действующую на тело со стороны Земли.
Сила тяготения, действующая на тело, равна его весу. Если справедливо утверждение Аристотеля, то разные тела с разным весом
должны обладать разными скоростями падения и, соответственно,
достигать поверхности Земли при бросании с башни за разные промежутки времени. Однако эксперименты, проведенные с разными
телами показали, что они достигали поверхности Земли за практически одинаковые промежутки времени.
Вывод из этих опытов однозначен. Скорость тела не определяется приложенной силой. Приложенной силой определяется какой-то
43
другой динамический параметр. Галилею потребовалось много лет и
много усилий, чтобы выяснить, что же это за параметр. В этой
области наиболее известны его эксперименты с движением шаров по
наклонной плоскости. Схема его опытов приведена на рис. 10.2.
Шары скатывались по наклонной плоскости, длина которой и высота были заданы. В ходе опыта Галилей определял путь S, проходимый телом в зависимости от времени t. Им был установлен закон,
являющийся частным случаем второго закона Ньютона. Путь, проat2
, где
ходимый телом, квадратично зависит от времени: S = v0t +
2
константа a (сейчас она называется ускорением), прямо пропорциональна высоте h и обратно пропорциональна длине пути S, т. е.
aBh/S. Начальная скорость тела ? v0 в его опытах могла меняться.
Этот закон сегодня можно легко вывести из второго закона Ньютона
для равноускоренного движения. В опытах Галилея ускорение определялось ускорением свободного падения:
gh
.
S
Анализируя проводимые эксперименты, Галилей пришел к выводу о существовании закона инерции. Действительно, если устремить
длину основание наклонной плоскости к бесконечности, ускорение
будет стремиться к нулю, значит, за равные промежутки времени
тело будет проходить равные отрезки пути и скорость тела будет
постоянной. Тело будет само по себе двигаться по инерции.
Кроме экспериментов, Галилей использовал умозрительные заключения. Он рассмотрел поведение тел и живых существ внутри
корабля. Их поведение не зависит от того, стоит корабль у причала
или двигается по спокойной воде с постоянной скоростью. Анализ
этой ситуации привел его к выводу, что если корабль будет двигаться с постоянной скоростью, то находясь внутри корабля, невозможно определить, движется он или стоит.
aB
§ 2. Принцип относительности. Преобразования Галилея
Галилей ввел понятие инерциальной системы отсчета, в которой
тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного
движения, если на него не действуют другие тела (силы). Напомним, что понятие системы отсчета включает в себя систему координат и часы. Инерциальных систем отсчета может быть бесконечное
множество. Принцип относительности Галилея заключается в том,
что все физические законы не меняются (инвариантны) в разных
44
инерциальных системах отсчета. Если быть более строгими, то принцип относительности Галилея заключался в том, что все законы
механики инвариантны (т. е. не меняются) при применении к ним
преобразований Галилея. Для перехода из одной инерциальной системы отсчета в другую Галилей ввел преобразования, которые теперь называют преобразованиями Галилея. Рассмотрим следующую
ситуацию. Пусть у нас имеется инерциальная система отсчета, положение тел в которой задается декартовыми координатами. Например, точка А на рис. 11.3.
.A
Y?
Y
K?
K
V
O?
X?
O
X
Z?
Z
Рис. 11.3
Кроме системы координат XYZ (ее обычно обозначают K) может
быть и другая инерциальная система координат, например, X?Y?Z?
(назовем ее K?). Инерциальная система координат K? движется с
постоянной скоростью u относительно системы K. Пространство изотропное, в нем не существует выделенного направления, поэтому удобно выбрать направление оси OX, совпадающим с направлением скорости u. Таким образом, система K? движется вдоль оси OX системы
отсчета K.
Положение точки А в системе K задается вектором r (x,y,z) или
его проекциями на оси OX, OY и OZ, которые равны, соответственно, x, y и z. Положение той же точки в системе K? задаются координатами x?, y? и z?. Связь между x, y, z и x?, y?, z? дается преобразованиями Галилея:
x? = x + ut;
y? = y;
z? = z;
t? = t .
(11.1)
45
Дополнительно к преобразованиям координат введено преобразование времени. Одинаковость хода часов в разных инерциальных
системах отсчета соответствует концепции дальнодействия, рассмотренной ранее.
Введем понятие инварианта и инвариантности. Инвариантность
означает независимость, неизменность относительно каких-либо
физических условий. В математике под инвариантностью понимается неизменность величины относительно каких-либо преобразований. Рассмотрим, какие параметры не меняются при преобразованиях Галилея, т. е. являются инвариантами этих преобразований.
Первый из этих параметров ? время. При переходе от одной
инерциальной системы отсчета к другой не меняется как само время
t = t?, так и длительность какого-либо события ?t:
(11.2)
?t ? = t2? ? t1? = t2 ? t1 = ?t .
Помимо времени неизменным остается расстояние между двумя
точками. Обозначим расстояние между точками А и В через l в
системе K и l? в системе K?. Координаты этих точек, соответственно,
xA, yA, zA, xB, yB, zB в системе K и x?A, y?A, z?A, x?B, y?B, z?B в системе
K?. Расстояние между точками определяется их координатами по
теореме Пифагора:
l? =
=
dx ?
? xB?
2
i + dy?
bx + vt ? vtg + by
A
A
? yB?
A
? yB
2
A
2
i + dz ?
g + bz
A
? zB?
A
? zB
2
i
g
2
=
2
= l.
(11.3)
Продифференцируем по времени соотношения (11.1) и получим
преобразования Галилея для скоростей:
dx?
dx
=
+ u = vx + u;
dt
dt
dy?
dy
vy? =
=
= vy ;
dt
dt
dz?
dz
vz? =
=
= vz .
dt
dt
vx? =
(11.4)
Из этих формул видно, что при переходе от системы K к K? изменится лишь проекция скорости на ось OX, вдоль которой движется
система K?, проекции скорости на направления других осей сохранятся. Продифференцируем эти выражения по времени еще раз и
получим закон преобразования ускорений при переходе из одной
инерциальной системы отсчета в другую:
46
dvx?
dvx
dvx
du
=
+
=
= ax ;
ax? =
dt
dt
dt
dt
dvy?
dvy
=
= ay ;
ay? =
dt
dt
dvz?
dvz
=
= az .
az? =
dt
dt
(11.5)
Из этих выражений видно, что все три проекции ускорения на
оси координат остаются неизменными при переходе из системы отсчета K в K?. Таким образом, ускорение тоже является инвариантом
преобразований Галилея.
Закон сохранения массы был сформулирован уже после Галилея
и Ньютона. Но, для полноты картины, добавим, что в классической
механике масса тела не зависит от выбора системы отсчета и также
является инвариантом преобразований Галилея.
§ 3. Законы классической механики,
их инвариантность относительно преобразований Галилея
Создание основ классической механики завершается трудами
И. Ньютона, сформулировавшего основные законы механики и открывшего закон всемирного тяготения. Классическая механика Ньютона базировалась на работах Галилея, Декарта, Паскаля, Гука и
многих других.
Раздел механики, в котором изучаются причины движения тел,
т. е. силы, вызывающие их движение, называется динамикой. Основные законы механики, сформулированные Ньютоном дошли почти без изменений до наших дней. Они известны из школьного курса физики. Напомним их.
Первый закон Ньютона. Всякое тело в инерциальной системе
отсчета сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит
его изменить это состояние.
Второй закон Ньютона. Ускорение тела прямо пропорционально сумме сил, действующих на него, и обратно пропорционально его
массе. Запишем этот закон в векторной форме с учетом кинематических соотношений
? F(t) = ma(t) = m
dv(t)
d2r(t)
,
= m
dt
dt2
(11.6, а)
47
? F(t)
= m
dv(t)
d(mv(t))
dP(t)
=
=
.
dt
dt
dt
(11.6, б)
В этих формулировках мы использовали понятие импульса или
количества движения P = mv, которое было введено Декартом.
Закон Ньютона, записанный в виде (11.6, а) или (11.6, б) с математической точки зрения имеет вид дифференциального уравнения, т. е. уравнения, в котором значение функции связывается со
значением ее производной. Любая из формулировок (11.6, а, б)
второго закона Ньютона называется основным уравнением динамики. Решение этого уравнения является основной задачей динамики. Основная задача динамики может быть поставлена в форме
прямой и обратной задачи. В прямой задаче требуется по известному закону движения тела r(t) найти действующие на это тело
силы. В обратной задаче по известной зависимости действующих
сил от времени ?F(t) требуется найти закон движения тела r(t).
Различные формулировки (11.6) могут немного менять постановку основной задачи, как прямой, так и обратной. Однако прямая
задача всегда математически сводится к дифференцированию, а
обратная ? к интегрированию. Очевидно, что решение обратной
задачи динамики должно быть значительно более трудоемким, чем
прямой. Отметим также, что для решения обратной задачи требуется знать начальные условия, которых в зависимости от постановки задачи (в форме 11.6, а или 11.6, б) должно быть задано либо столько же, сколько и степеней свободы системы, либо
вдвое больше.
Третий закон Ньютона. Силы, с которыми взаимодействуют
тела равны по величине, противоположны по направлению и направлены вдоль линии взаимодействия. Этот закон утверждает,
что силовое воздействие на тело носит характер взаимодействия.
Этот же закон утверждает, что взаимодействия всех тел являются
центральными.
Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, иногда называют четвертым законом Ньютона. Его открытие базируется на
трудах выдающихся астрономов XVI?XVII веков Н. Коперника и
И. Кеплера. И. Кеплер на основании учения Коперника о гелиоцентрической системе мира сформулировал три закона движения
планет. Эти законы были правильными, но, как показал впоследствии И. Ньютон, являлись частным случаем более общего закона всемирного тяготения. Законы Кеплера позволяли найти орби48
ты планет, периоды их обращения вокруг Солнца и скорость движения планет по орбитам.
С позиций современной механики отметим, что второй закон Кеплера является следствием закона сохранения момента импульса, он
справедлив для движения тела в поле любых центральных сил.
Используя введенный нами математический аппарат, закон всемирного тяготения можно написать в виде
F=G
m1m2 r
,
r2 r
(11.7)
?r?
где G ? гравитационная постоянная; m1 и m2 ? массы тел; ? ? ?
?r?
единичный вектор, направленный вдоль линии взаимодействия,
определяющий направление гравитационной силы F.
Тело, двигающееся прямолинейно и равномерно относительно
системы отсчета K, вследствие уравнений (11.4) движется также
прямолинейно и равномерно относительно системы отсчета K?.
Это обозначает, что формулировка первого закона Ньютона во
всех инерциальных системах отсчета одинакова (правильнее сказать, первый закон Ньютона справедлив во всех инерциальных
системах отсчета). Отметим, что уравнения (11.4) позволяют по
одной известной инерциальной системе отсчета построить бесконечное множество других.
В системе координат К форма записи второго закона Ньютона
определяется уравнениями (11.6). Поскольку ускорение и масса
инвариантны относительно преобразований Галилея, уравнение
(11.6) одинаково записывается в различных инерциальных системах отсчета.
Из этого также следует, что величина силы не меняется при
переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Таким
образом, и третий закон Ньютона тоже инвариантен относительно преобразований Галилея.
Четвертый закон не нуждается в доказательстве инвариантности относительно преобразований Галилея, поскольку расстояния,
массы и силы не меняются при переходе из одной инерциальной
системы отсчета в другую.
Таким образом, все законы Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея. Это значит, что они справедливы и
записываются одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчета.
49
§ 4. Детерминизм классической механики
Под детерминизмом понимается философское учение об объективной закономерности, взаимосвязи и причинной обусловленности всех
явлений материального и духовного мира. Центральным ядром детерминизма является положение о причинности. Идея детерминизма состоит в том, что все явления и события в мире не произвольны, а подчиняются объективным закономерностям, независимо от
наших знаний о природе явлений. Всякое следствие имеет свою
причину.
Как и все остальное в физике, понятие детерминизма менялось по
мере развития физики и всего естествознания. В XIX веке теория
Ньютона окончательно оформилась и установилась. Существенный
вклад в ее становление внес П. С. Лаплас (1749?1827). Он был
автором классических трудов по небесной механике и теории вероятности. Он же разработал принцип механического детерминизма,
который сегодня носит его имя: детерминизм Лапласа.
Согласно классическому механистическому детерминизму существует строго однозначная связь между физическими величинами,
характеризующими состояние системы в какой-то момент времени (координаты и импульсы), и значениями этих величин в любой последующий или предыдущий моменты времени.
Если говорить более простым языком, детерминизм по Лапласу
означает, что мы всегда однозначно можем описать поведение тела
или любой сколь угодно сложной системы, если знаем начальные
координаты и скорости тела, а также знаем законы движения и
взаимодействия тел.
Этот принцип совершенно справедлив, если не выходить за рамки классической механики. Действительно, решение основной обратной задачи динамики всегда позволяет по известным силам
?F(x, y, z, t), приложенным к телу, найти закон его движения
r(x, y, z, t) и изменения скорости v(x, y, z, t). Полученные решения всегда будут однозначными и точными. Сказанное обозначает, что движение тела можно рассчитать сколь угодно далеко вперед. То же самое относится и к системе тел. Рассмотренная задача
позволила Лапласу сформулировать принцип механического детерминизма. Если известны начальные координаты и скорости
тел системы, а также законы взаимодействия тел, то можно определить состояние системы в любой последующий момент времени.
Примерами практического воплощения этого принципа еще во
50
времена Лапласа были астрономические таблицы, очень точно
описывавшие движения небесных тел на многие годы вперед.
Отметим, что для успешного практического решения подобных
задач законы взаимодействия тел нужно знать очень точно, либо
нужно смириться с тем, что расчет будет адекватно описывать
поведение системы лишь в ограниченном временном интервале.
Связано это с тем, что неточности расчета имеют свойство накапливаться и искажать получающуюся картину, ? чем дальше, тем
больше. Кроме того, нужно иметь в виду, что для решения задачи о движении большого количества взаимодействующих тел нужно
задать очень большое количество начальных данных, законов взаимодействия и решать очень громоздкую систему дифференциальных уравнений. Не следует думать, что дело смогут спасти ЭВМ
новых поколений; трудности, которые возникнут при решении
такой задачи, носят принципиальный характер. За все время существования Вселенной невозможно даже задать положения всех
молекул воздуха, находящихся в 1 см3, не говоря уже о том, что
решать эту систему уравнений нужно быстрее, чем в режиме реального времени.
Заметим, однако, что сказанное не отменяет принцип детерминизма, поскольку суть его в том, что состояние любой, даже самой
сложной механической системы, однозначно определяется начальными условиями и законами взаимодействия. В природе успевают
происходить такие движения, которые экспериментатор не может
успеть описать, но от этого его расчеты не станут неправильными,
они лишь могут стать неактуальными или ненужными.
С позиций сегодняшних знаний о природе можно утверждать,
что механистический детерминизм Лапласа не работает в микромире, где процессы взаимодействия частиц по своей природе являются вероятностными. При столкновении двух атомов один из
них может возбудиться (перейти в возбужденное состояние), а
может и остаться в основном, невозбужденном состоянии. В последнем случае атомы будут сталкиваться как идеально упругие
шары, в первом случае как неупругие шары. Результаты столкновения в этих случаях будут сильно различаться, а решить, как
будет происходить взаимодействие, до того как оно произойдет, в
принципе невозможно. В микромире могут одновременно протекать процессы, которые абсолютно несовместимы в макромире.
Например, в опытах по дифракции электронов удавалось одну и
ту же частицу заставить пролетать одновременно сквозь два раз51
несенных друг от друга отверстия. Можно говорить лишь о вероятности прохождения данного конкретного электрона через выбранное отверстие. Для таких частиц оказывается неприменимым
понятие траектории.
Когда описывается квантовая микросистема, предсказывается
ее поведение в рамках вероятностного описания, но не дается однозначного ответа, как конкретно она будет себя вести. При этом
всегда остаются в силе причинно-следственные связи.
Глава 12. Работа, энергия
Мы уже обсуждали вопрос, что такое энергия и дали на него
следующий ответ. Энергия ? это наиболее общая количественная
мера движения и взаимодействия материи. Закон сохранения энергии ? один из наиболее точных фундаментальных законов. Для изолированной системы энергия остается постоянной, она может переходить из одной формы в другую, но ее количество остается неизменным. Если система не изолирована, то энергия может изменятся
при одновременном изменении энергии окружающих тел на такую
же величину или за счет энергии взаимодействия тел внутри системы. При переходе системы из одного состояния в другое ее энергия
не зависит от того, каким путем произошел этот переход. Энергия
системы в общем случае может переходить в другие формы материи.
Несколько позднее, при анализе законов общей теории относительности мы установим взаимосвязь энергии массы. Учитывая все сказанное можно считать, что закон сохранения энергии является в
настоящее время самым точным фундаментальным законом, отступлений от которого не обнаружено.
По сути дела, утверждается, что существует определенная величина, называемая энергией, численное значение которой сохраняется при всех обстоятельствах, и этот закон управляет всеми явлениями в природе.
Поскольку существует многообразие форм движения материи, существует и многообразие видов энергий. Мы рассмотрим наиболее
известные в физике виды энергии: кинетическую, потенциальную и
полную механическую энергию. Определение этих видов энергии будет дано далее. Сначала нужно дать определение механической работы. Работа силы ? это мера действия силы, которая зависит от
численной величины силы и ее направления, от перемещения точки
приложения силы. Если сила F постоянна по величине и направлению, а перемещение происходит вдоль прямой, то работа равна про52
изведению силы на величину перемещения и косинус угла между
направлением силы и перемещением (см. рис. 12.1).
F
dr
?a
?
F
Рис. 12.2
Рис. 12.1
A = FS ? cos ? = (FS),
(12.1)
?
где ?$ = FS .
Если 0 ? ? < 90°, то работа положительна, если 90° < ? ? 180°, то
работа отрицательная. При ? = 90° механическая работа силы равна
нулю, т. е. такая сила работы при перемещении не совершает. Примером последней может служить центростремительная сила при движении тела по окружности. Как видно из определения, работа ?
величина скалярная. Единицей измерения работы в системе единиц
СИ является Джоуль (Дж). Один Джоуль ? это работа силы в
1 Ньютон на участке пути в 1 метр. В общем случае для вычисления
работы под действием переменной силы на криволинейном участке
траектории вводят элементарную работу ?A (или dA). Считаем, что
на бесконечно малом участке пути dr сила не меняется и элементарная работа ?A определяется как
? A = Fdr ? cos ? = (Fdr) ,
(12.2)
так как это показано на рис. 12.2. Работа ? величина аддитивная;
работа силы на конечном участке пути (1) ? (2) определяется как
сумма элементарных работ. Суммирование по бесконечно малым величинам ?А есть операция интегрирования:
(2)
A12 =
? (Fdr) ,
(12.3)
(1)
где интегрирование ведется вдоль траектории. В векторном анализе
такой интеграл называется циркуляцией вектора силы. Заметим,
что в этом выражении легко перейти к другой переменной интегрирования ? ко времени:
53
(2)
A12 =
?
(Fdr) =
(1)
t2
?
(Fv)dt =
t1
t2
? Ndt .
(12.4)
t1
Введенная здесь величина N называется мгновенной механической мощностью или просто мощностью тела:
N=
? A ? Fdr ?
=?
? = (Fv ) .
dt ? dt ?
(12.5)
Что будет происходить с системой (в простейшем случае ? с материальной точкой) при совершении работы над ней. Запишем элементарную работу и выразим силу в нем при помощи второго закона
Ньютона
? A = (Fdr) = m(adr) = m
=m
(dvdr)
= m(dvr) =
dt
? mv2 ?
d(vv)
d(v2 )
.
=m
= d?
? 2 ??
2
2
?
?
(12.6)
Слева стоит элементарная работа, а справа дифференциал некоторой функции, имеющий размерность работы и зависящий от
скорости: дифференциал функции скорости, определяемой совершенной работой. Пусть в начальный момент времени t0 скорость
тела равнялась v 0. Полную работу за промежуток времени от
t0 до t1 получим после интегрирования dA, как это сделано в
формуле (12.4). Совершаемая над телом работа привела к увеличению его скорости.
Теперь можно ввести понятие кинетической энергии:
A01 =
mv12 mv02
?
= EK1 ? EK0 ;
2
2
(12.2)
mv2
.
2
Кинетическая энергия определяется работой, которая совершена над телом. Положительная работа приводит к увеличению
скорости тела и к увеличению кинетической энергии, отрицательная ? к уменьшению того и другого. Если система состоит из
многих тел, то ее кинетическая энергия складывается из кинетических энергий всех тел.
где EK =
54
Кроме кинетической энергии есть еще потенциальная энергия,
для которой не существует общей формулы. Это понятие можно
ввести лишь для ограниченного класса сил ? для консервативных сил. Это силы, работа которых по замкнутой траектории
равна нулю. Существует другое определение консервативных сил.
Консервативными силами называются такие силы, работа в поле
которых не зависит от траектории и определяется только начальным и конечным положением системы. Нетрудно показать, что
эти определения равнозначны. Действительно, если работа не зависит от траектории, то при обратном движении вдоль траектории она будет такая же, но с обратным знаком. Просуммировав
движение по замкнутой траектории, состоящей из двух кривых,
получаем в сумме 0. Консервативные силы, как правило, зависят
только от положения тела, а неконсервативные ? от его скорости.
Рассмотрим примеры полей консервативных и неконсервативных сил. Силы трения или сопротивления являются неконсервативными. Их направление определяется скоростью перемещения
тел. Силы трения всегда направлены в сторону, противоположv
v
ную направлению движения, т. е.: Fтр = ? Fтр . Здесь
? единичv
v
ный вектор, направленный вдоль скорости тела, а значит, по касательной вдоль траектории его движения. Работа силы трения по
замкнутой траектории (l) равна
t
A(l ) =
t
2
2
? v dr ?
(vv)
?v ?
С? ?Fтр ?? v dr ?? = ? ? Fтр ?? v dt ?? dt = ? ? Fтр v dt =
t1
t1
(l )
t2
= ? ? Fтрvdt = ?
t1
? Fтр dl .
(l )
Здесь и в дальнейшем кружок у интеграла означает интегрирование по замкнутой траектории. Последнее подынтегральное выражение скалярное, оно всегда положительно, следовательно, работа силы трения на замкнутой траектории A(t) всегда отрицательна. Эта работа тем больше по модулю, чем длиннее путь.
Вывод: силы трения ? неконсервативные силы.
Заметим, что кроме сил трения движения, есть еще так называемые силы трения покоя, которые, как это ясно из их названия,
обеспечивают телу состояние покоя. Поскольку движения тела не
происходит, то и работы они не совершают.
55
Примером поля консервативных сил является поле тяготения
вблизи поверхности Земли. Работа, которая затрачивается на перемещение тела из положения r1 в положение r2 , равна
A12 =
r2
r2
h2
r1
r1
h1
? (mg dr) =
? mg drg = ?mg
? dh = mg(h1 ? h2 ).
Из формулы видно, что работа силы тяжести зависит от величины этой силы и от разности начальной и конечной высот тела.
Никакой зависимости от формы траектории нет, а значит, сила
тяжести консервативна.
Также просто можно доказать, что консервативными являются
силы, создающие однородное поле. Поле сил называется однородным, если в любой точке этого поля сила, действующая на тело,
одинакова по величине и направлению.
Консервативными являются также поля центральных сил. Центральными называются силы, направленные вдоль линии взаимодействия тел, величина которых зависит только от расстояния
между телами. Такому условию удовлетворяют, например, кулоновские силы и силы тяготения.
В поле консервативных сил можно ввести еще один вид механической энергии ? потенциальную энергию. Прежде чем ее вводить, выбирают точку, в которой она равна нулю. Потенциальная энергия тела в любой точке пространства определяется работой, которую нужно совершить, чтобы переместить тело из этой
точки в точку с нулевой потенциальной энергией.
Отметим два существенных момента, вытекающих из этого определения. Во-первых, поскольку рассматривается поле консервативных сил, значение потенциальной энергии тела зависит от
положения тела и выбора точки нулевой потенциальной энергии
и не зависит от формы пути, по которому тело перемещается. Вовторых, поскольку выбор нуля потенциальной энергии произволен, значение потенциальной энергии определяется с точностью
до аддитивной постоянной, следовательно, физический смысл имеет
лишь разность потенциальных энергий или приращение потенциальной энергии, но не сама энергия.
На рис. 12.3 мы представили три точки в пространстве поля
консервативных сил: точку (b), точку (с) и точку (о), потенциальную энергию в которой будем считать равной нулю.
56
b
Eп(b)
Abo
Abc
o
Aco
Eп(С)
c
Рис. 12.3
Обозначим через Abo работу, которая совершается при переносе тела из точки (b) в точку (o). Если перемещать тело из точки
(o) в точку (b), то совершаемая при этом работа будет равна
Aob = ?Abo, поскольку меняется направление движения, но не меняются действующие на тело силы. Работу по перемещению тела
из точки (c) в точку (o) будем обозначать, как Асo. Точно также
Асо = ?Аос. При перемещении тела из точки (b) в точку (c) совершается работа Abc = ?Acb. Согласно определению потенциальной
энергии и формуле (11.3) для вычисления работы имеем:
(o )
E? (b) = Abo =
?
(o )
(F d r); E? (c) = Aco =
(b )
(o )
E? (b) ? E? (c) =
(o )
?
?
(b )
(c )
(F d r) +
(12.8)
(o )
(Fd r) ?
(b )
=
? (Fdr);
(c )
?
(o )
? (Fd r) =
(c )
(c )
(F dr) =
? (F dr) = Abc .
(12.9)
(b )
Оказалось доказанным следующее утверждение: работа, совершаемая при перемещении тела в поле консервативных сил из точки (b) в точку (c), равна разности потенциальных энергий тела в
точках (b) и (c). Однако эта же работа равна разности кинетических энергий в точке (с) и (b).
Abc = EK (b) ? EK (c) = E? (c) ? E? (b) ?
? EK (b) + E? (b) = EK (c) + E? (c).
(12.10)
Получилось, что сумма кинетической и потенциальной энергии тела, которая называется полной механической энергией тела,
57
оказалась неизменной. То же самое справедливо и для системы механических тел. Получившееся утверждение носит название закона
сохранения механической энергии: полная механическая энергия
изолированной системы, в которой действуют консервативные силы,
остается неизменной.
Между консервативными силами и потенциальной энергией должна быть связь, поскольку потенциальная энергия вводится только
в поле консервативных сил. Найдем эту связь для простейшего случая, когда потенциальная энергия зависит только от одной координаты. Примером может служит потенциальная энергия вблизи поверхности Земли. Пусть ось (0Y) направлена вертикально вверх и
имеет ноль на поверхности Земли. Тогда потенциальная энергия
зависит только от координаты Y и равна E? = mgy, где m ? масса
тела; g ? ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли.
Возьмем частную производную по координате Y от левой и правой
? EП
= mg . Справа стоит сила тяжести, которая
?y
направлена вверх, т. е. против оси (0Y). По-видимому, производной, стоящей в левой части равенства, тоже можно приписать начастей равенства
? ?E ?
правление; ее проекция на ось (0Y) будет равна ? П ? =
? ?y ?y
= ? mg = ? Fy . В случае, когда действующая сила имеет проекции
на все координатные оси, можно записать аналогичные выражения
и для проекций на другие оси.
Fx = ?
?EП
?E
?E
; Fy = ? П ; Fz = ? П .
?x
?y
?z
(12.11)
Для силы, таким образом, справедливо выражение:
? ? EП
?EП
?EП ?
+ ey
+ ez
F = ? ? ex
?=
?x
?y
?z ?
?
?
?
?
? ?
= ? ? ex
+ ey
+ ez
? EП = ?gradEП .
?y
?z ?
? ?x
(12.12)
В формуле (12.12) введен вектор градиента потенциальной энергии. Определение этого понятия дается в разделе математики, который называется теорией поля. Отметим лишь некоторые свойства этого вектора. Особенность его состоит в том, что вдоль ко58
ординатных осей нужно откладывать не числа, а математические
операции дифференцирования по соответствующей координате. За
градиентом обязательно должна стоять скалярная функция, к
которой он применяется. Градиент потенциальной энергии имеет
направление, в котором потенциальная энергия увеличивается
быстрее всего, и величину, равную скорости этого увеличения,
если двигаться в этом направлении.
Из сказанного следует, что силы поля заставляют тело двигаться в направлении минимума потенциальной энергии. Все естественные процессы стремятся привести систему к минимуму потенциальной энергии. Этот вывод справедлив не только для механики, но и для других разделов физики и естествознания.
Мы рассмотрели взаимопревращение кинетической и потенциальной энергий в поле консервативных сил. Что происходит, если
действуют неконсервативные силы. Мы знаем, что, если телу сообщить скорость (сообщить кинетическую энергию)и пустить двигаться, например, по поверхности Земли, оно остановиться за
счет сил трения. Его потенциальная энергия не изменится, а кинетическая, когда оно остановится, станет равной нулю. Для ответа на вопрос, во что перешла кинетическая энергия, необходимо ввести еще один вид энергии ? внутреннюю энергию. Определим внутреннюю энергию Евн как сумму кинетических и потенциальных энергий частиц (атомов), составляющих тело:
Евн = ? (Еiп + Еiкин ).
(12.13)
Здесь N ? число частиц; i ? номер частицы. Параметром, характеризующим внутреннюю энергию, является температура тела
Т°К, выраженная в градусах Кельвина. Чем больше температура
тела, тем с большей скоростью двигаются атомы и тем самым
больше внутренняя энергия. Численно внутренняя энергия равна
Евн = (М/m) CТ °,
(12.14)
где М ? масса тела; m ? молярная масса (численно равная атомному или молекулярному весу составляющих атомов); С ? теплоемкость, равная энергии, которую нужно передать одному килограмму-молю, чтобы нагреть его на 1 градус Цельсия или Кельвина. Изменение внутренней энергии при переходе системы из состояния 1 в состояние 2 пропорционально изменению температуры тела: Евн(2) ? Евн(1) = ?U = (M/m)C ?T °.
Сумму кинетической, потенциальной и внутренней энергий системы принято называть полной энергией Е. В рассмотренном
59
нами примере с останавливающимся телом кинетическая энергия
тела переходит во внутреннюю энергию, т. е. идет на нагревание
системы.
Таким образом, мы можем сформулировать закон сохранения
полной энергии системы: полная энергия изолированной системы
остается постоянной. Теперь мы не конкретизируем, какие силы
(консервативные или неконсервативные) действуют в этой системе. Работа в системе, совершаемая за счет потенциальной энергии, может переходить и в кинетическую энергию системы, и во
внутреннюю энергию. При увеличении внутренней энергии система нагревается.
Глава 13. Специальная теория относительности
§ 1. Постулаты теории относительности
К концу прошлого века Д. К. Максвеллом (1831?1879) были
сформулированы основные законы электричества и магнетизма в
виде системы дифференциальных уравнений, которые описывали
постоянные и переменные электрические и магнитные поля. Решения системы уравнений Максвелла описывали всю гамму поведения электромагнитных полей в пространстве и времени. Из системы уравнений Максвелла следовало, что переменные электрические и магнитные поля могут существовать только в форме единого электромагнитного поля, которое распространяется в пространстве после возникновения с постоянной скоростью, равной
скорости света в вакууме с.
На вопрос, в какой среде распространяется это поле, теория
Максвелла ответа не давала. Ключевым моментом теории Максвелла являлось то, что уравнения Максвелла были неинвариантны относительно преобразований Галилея. Это означало, что при
переходе с помощью преобразований Галилея из одной инерциальной системы отсчета в другую, уравнения меняли свой вид.
Это обозначало, что преобразования Галилея нельзя было применять при описании электрических и магнитных явлений.
Строгое математическое доказательство неинвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований Галилея достаточно
сложно. Проиллюстрируем этот факт на простом и наглядном примере. Для этого потребуется вспомнить, какие силы действуют на
движущиеся заряды в электрических и магнитных полях.
60
Пусть два одноименных заряда летят с одинаковой скоростью
v в направлении оси (OX), как это показано на рис. 13.1. В
неподвижной системе отсчета заряды будут создавать электрические и магнитные поля, и, следовательно, будут находиться в полях
друг друга. Электрическое поле воздействует на заряд силой Кулоq
v
q
v
O
X
Рис. 13.1
на, магнитное ? силой Лоренца. Напомним формулы для вычисления этих сил для случая, приведенного на рисунке:
FK =
где B1 =
1 q1q2
; FЛ = q2vB1,
?
4??o l2
4? q1 v
4? q1q2v2
F
=
;
т.
е.
.
Л
µo l2
µo l2
Здесь B1 ? магнитная индукция, создаваемая первым зарядом в
точке, где находится второй. Сила Кулона для одноименных зарядов всегда является силой отталкивания, а сила Лоренца в данном
случае является силой притяжения. Таким образом, в неподвижной
системе отсчета величина силы взаимодействия равна: F = FK ? FЛ.
Если перейти к системе отсчета, движущейся вдоль оси (OX) со
скоростью v вместе с зарядами, то в ней заряды окажутся неподвижными, и сила Лоренца не возникнет. Таким образом, силы взаимодействия зарядов в различных инерциальных системах отсчета окажутся разными. Следовательно, и поведение частиц, их движение во
времени, будет разным в зависимости от того, в какой инерциальной системе координат мы рассматриваем это движение. Естественно, что это абсурд и отсюда сделаем вывод, что к движущимся зарядам, законы движения и взаимодействия которых описываются уравнениями Максвелла, нельзя применять принцип относительности
Галилея, т. е. преобразования Галилея.
Вторым этапом в становлении специальной теории относительности стал опыт А. А. Майкельсона (1852?1931), проведенный в
61
1881 году. В опыте определялась скорость света в различных движущихся системах отсчета. Уже говорилось, что по теории Максвелла электромагнитные волны должны распространяться со скоростью в вакууме с. Встал вопрос, в какой инерциальной системе отсчета это происходит. Если таковой считать систему отсчета, связанную с неподвижными звездами, то скорость нашей планеты относительно них v = 30 км/с. Эта скорость большая и сравнимая со
скоростью света с.
Майкельсон экспериментально определял скорость света в разных системах отсчета: он измерял скорость света, идущего в двух
противоположных относительно Земли направлениях. В соответствии
с преобразованиями Галилея и положениями классической механики, скорости света в этих системах отсчета должны были бы отличаться на величину 2v.
Результаты эксперимента Майкельсона однозначно показали, что
скорость света не зависит от выбора системы отсчета и всегда равна
с. Таким образом, было установлено, что электромагнитные волны
во всех инерциальных системах отсчета распространяются с одинаковой скоростью с = 3?108 м/с. Эксперименты, подобные опыту Майкельсона, повторялись неоднократно со все возрастающей точностью. На сегодняшний день можно утверждать, что скорость в различных системах отсчета одинакова с точностью порядка нескольких мм/с.
В 1904 году голландский физик Х. А. Лоренц (1853?1928) вывел
преобразования для перехода из одной инерциальной системы отсчета в другую, отличные от преобразований Галилея. Система уравнений Максвелла была инвариантна относительно этих преобразований. Преобразования касались и координат, и времени.
Обозначим координаты и время некоторого события (например
положения материальной точки в пространстве) в инерциальной
системе отсчета К через x, y, z, t, а в другой инерциальной системе
отсчета К? через x?, y?, z?, t?. Системы отсчета выбраны так, чтобы
их координатные сетки в начальный момент времени t = t? = 0
совпадали, а в дальнейшем система К? двигалась относительно системы К со скоростью v вдоль ее оси (OX). Преобразования Лоренца
имеют вид:
x? =
x ? vt
2
?v?
1?? ?
?c?
62
; y? = y ; z? = z ;
t? =
t?
vx
c2
2
?v?
1?? ?
?c?
.
(13.1)
Сразу можно сказать, что при v c ? 0 преобразования Лоренца
переходят в преобразования Галилея: т. е. преобразования Галилея
являются частным случаем преобразований Лоренца при малых скоростях движения.
Анализируя сложившееся положение, А. Эйнштейн разработал
новую механику больших скоростей, называемую сейчас релятивистской механикой или специальной теорией относительности. В основе этой теории лежат два постулата.
Согласно первому постулату скорость распространения света во
всех инерциальных системах координат одинакова и равна скорости
распространения света в вакууме с. Этот постулат утверждает эквивалентность инерциальных систем отсчета относительно скорости
света.
Второй постулат заключается в том, что все физические законы и
явления формулируются и протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета, т. е. инвариантны относительно преобразований Лоренца.
Базируясь на этих постулатах, Эйнштейн разработал теорию движения систем при любых скоростях, вплоть до скоростей света. В
рамках теории относительности получены выводы, казалось бы противоречащие законам классической механики. Однако все выводы
этой теории подтверждены экспериментально с высокой точностью.
Согласно принципу соответствия старая теория (классическая
механика или механика движения тел при малых скоростях) является частным случаем новой. И наоборот, новая теория относительности переходит в старую классическую механику при скоростях
движения v << c.
§ 2. Релятивистская механика
Обратимся к преобразованиям Лоренца (13.1). Из них следует,
что максимальная скорость движения материальных систем ограничена скоростью света в вакууме с. Если бы скорость движения тела
превысила скорость света, то, как следует из преобразований Лоренца, координаты и время станут мнимыми, т. е. потеряют реальный физический смысл.
Теперь рассмотрим некоторые следствия из преобразований Лоренца. В классической механике расстояние между двумя точками и
время были одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета.
В релятивистской механике они оказались разными в различных
инерциальных системах отсчета, т. е. перестали быть инварианта63
ми. Но инварианты относительно преобразований Лоренца должны
быть. Одним из них является скорость света в вакууме с. Она действительно одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Другим инвариантом этих преобразований является так называемый
интервал между событиями. Его квадрат равен
(13.2)
?S2 = ?x2 + ?y2 + ?z2 ? c2 ?t2 .
Благодаря инвариантности интервала пространство и время оказываются взаимосвязанными. Они образуют единое четырехмерное
пространство ? время. Вдоль четвертой оси откладывается мнимая
величина ict. Четырехмерное пространство ? время было впервые
введено Г. Минковским (1864?1909) и сейчас носит его имя. Попробуем представить себе такое пространство. Мы умеем делать проекции трехмерного пространства на двухмерное. Например, таким образом мы рисуем на доске трехмерную систему координат на плоскости ? двухмерном пространстве. Представим себе в объемном трехмерном пространстве проекцию четырехмерного куба. Это будут два
куба, каждая из вершин одного куба соединена с соответствующей
вершиной второго куба линией четвертого измерения. Расстояние
между двумя точками в четырехмерном пространстве и будет интервалом в соответствии с законами геометрии.
Проанализируем теперь на основе преобразований Лоренца одновременность событий в разных системах отсчета. В классической
механике использовался принцип дальнодействия, когда взаимодействие между телами осуществлялось мгновенно через любое расстояние. В этом случае мы могли бы ставить одно и то же время в
разных системах координат. Попросту говоря, синхронизовать время и задавать его одним и тем же.
Рассмотрим эксперимент по синхронизации часов, базируясь на
постулатах теории относительности. Представим себе следующую
ситуацию (рис. 13.2).
1
2
v
2
1
Рис. 13.2
64
Первый наблюдатель 1 стоит на земле и мимо него двигается
вагон, в середине которого стоит второй наблюдатель 2. В начале и
конце вагона расположены часы (1) и (2), которые нужно синхронизовать. Это проще всего сделать следующим образом. Второй наблюдатель в вагоне посылает свет в две стороны и в момент прихода
света на часы, они включаются с нуля и идут синхронно. С точки
зрения наблюдателя в вагоне часы показывают одинаковое время.
Рассмотрим, что покажут часы первому наблюдателю, стоящему на
земле.
Скорость распространения света постоянна в любой системе отсчета. Пока свет распространяется в конец вагона, часы 1 переместятся ему навстречу и будут включены раньше. Часы 2 уйдут за
время распространения света и будут включены позднее. Таким образом, с точки зрения первого наблюдателя часы будут показывать
разное время, а с точки зрения второго наблюдателя ? одинаковое.
Время будет разное для двух разных наблюдателей, находящихся в
различных инерциальных системах отсчета.
К этому же результату можно прийти и чисто формально при
помощи преобразований Лоренца. Покажем это. Пусть в неподвижной системе отсчета К два события происходят одновременно, т. е.
t = t . Найдем разность ?t? = t2? ? t1? в системе отсчета К?, переме1
2
щающейся относительно К вдоль оси x со скоростью v. Для этого
воспользуемся преобразованием Лоренца для времени:
?t? = t2? ? t1? =
=
t2 ?
vx2
c2
2
?v?
1? ? ?
?c?
v ( x1 ? x2 )
2
c2
? t1 +
?v?
1? ? ?
?c?
vx1
c2 =
v
(x1 ? x2 )
c2
=
2
?v?
1? ? ?
?c?
(t2 ? t1 ) +
? 0 , так как x1 ? x2 .
Не вдаваясь в детальный анализ, укажем, что изменение длительности промежутков времени не касается принципа причинности: если из двух событий, одно является следствием другого и они
разделены промежутком времени, то в любой инерциальной системе
отсчета эти события также разделены промежутком времени, и последовательность событий не нарушается; т. е. следствие всегда идет
после причины.
65
Рассмотрим парадокс, следующий из преобразований Лоренца.
Пусть в одной точке пространства в системе отсчета К произошли
два события (например рождение и смерть человека) в моменты
времени t1 и t2, соответственно. Промежуток времени между этими событиями в системе отсчета K равен ?t = t2 ? t1 . В движущейся системе отсчета K? промежуток времени ?t? = t2? ? t1? между этими событиями другой, что следует из преобразований Лоренца
для времени. Теория относительности позволяет связать длительности промежутков времени в системе отсчета наблюдателя ?t и
в системе отсчета, связанной с наблюдаемыми объектами ?t? (собственное время):
?t =
?t?
2
.
(13.3)
?v?
1? ? ?
?c?
В разных системах отсчета, двигающихся относительно друг
друга, время течет по-разному, причем в системе отсчета, связанной с объектом наблюдения, часы идут медленнее всего, т. е. собственное время всегда минимальное. Собственное время ? еще
один инвариант преобразований Лоренца, в какой бы инерциальной системе отсчета его ни вычисляли, всегда должен получиться
одинаковый результат. Формула (13.3) неоднократно обыгрывалась в фантастических романах, когда отец улетал к звездам на
космолете с большой скоростью, возвращался обратно молодым,
а его сын, остававшийся на Земле успевал состариться.
Обратимся еще раз к примеру, приведенному в разд. 13.1, в
котором рассматривалось взаимодействие двух движущихся зарядов, и ответим на вопрос, почему же все-таки силы взаимодействия окажутся для разных наблюдателей разными. Ответ заключается в следующем: что в движущейся системе отсчета время
течет медленнее, и ускорение, а значит, и сила взаимодействия,
уменьшится.
Кроме изменения хода часов наблюдается изменение размеров
(укорочение) быстро движущихся объектов. Этот эффект тоже
может быть выведен из преобразований Лоренца. Связь длины
отрезка, направленного вдоль скорости движения, в системе K
(наблюдаемая длина l) и в системе K? (собственная длина l0) задается формулой
66
2
?v?
l = l0 1 ? ? ?
?c?
.
(13.4)
Таким образом, собственная длина всегда максимальна. Отметим, что сокращаются лишь размеры тела вдоль направления
скорости системы K?. Изменение размеров ? кажущийся, ненаблюдаемый эффект. Размеры мы определяем, сравнивая длину линейки с размерами тела. Но, и сама линейка в другой системе
координат будет менять свои размеры одновременно с телом. Этот
эффект напрямую нельзя наблюдать.
Как ни странно, именно сокращение длины и замедление хода
времени, предсказанные в теории относительности, удалось наблюдать еще в 30-е годы нашего века. Исследовались нестабильные частицы µ-мезоны. Время жизни µ-мезонов было измерено,
?t ? 2 ? 10?6 с . За это время частица могла пролететь расстояние,
не превышающее l = c?t = 600 м . Однако µ-мезоны могли рождаться лишь на высоте 20?30 км при столкновении космического излучения с ядрами атомов в атмосфере. Казалось бы, все они должны распасться еще в верхних слоях атмосферы, но приборы на
Земле уверенно регистрировали их. Объясняется это тем, что рождались они с очень большими скоростями, близкими к скорости
света. В соответствии с формулой (13.3) течение времени в их
системе отсчета замедлялось и они успевали пройти расстояние в
несколько десятков километров. Но как объяснить это же явление, если наблюдать за частицами в их собственной системе отсчета, ведь в этой системе время жизни частиц составляет действительно ?t ? 2 ? 10?6 с . А в этом случае для частиц сокращается
длина пройденного ими пути, µ-мезоны пролетают десятки километров и достигают Земли, но для них в полном соответствии в
формулой (13.4) длина этого пути сокращается до нескольких
сотен метров. Таким образом, наблюдение одного природного явления подтвердило сразу два, казалось бы, абсурдных следствия
из преобразований Лоренца.
В настоящее время существуют очень точные часы, которые
показали, что время на движущихся искусственных спутниках
Земли отстает от земного времени на 1 секунду за 44 года.
В релятивистской механике предсказан еще целый ряд парадоксальных с точки зрения классической механики явлений. В
настоящее время большинство из них наблюдались в эксперимен67
тах. При этом не наблюдалось отклонений от предсказаний специальной теории относительности.
§ 3. Релятивистская динамика, масса покоя,
связь массы и энергии
Инвариантность законов классической механики относительно
преобразований Галилея обсуждалась в разд. 11.3. Преобразования Лоренца связывают не только координаты с координатами,
но и время с координатами и наоборот. Естественно, что законы
классической механики неинвариантны по отношению к преобразованиям Лоренца. При создании релятивистской механики перед
Эйнштейном встал вопрос, как записать второй закон Ньютона,
чтобы он был инвариантным относительно преобразований Лоренца. Эйнштейном был получен явный вид основного уравнения
динамики в релятивистской форме.
Сначала нужно ввести импульс, который сохранялся бы в любой
инерциальной системе отсчета. Традиционный классический импульс
dr
оказывается неинвариантным по отношению к преобdt
разованиям Лоренца и, как следствие, не сохраняется. Однако если
не меняя формы записи, измерять перемещение dr в лабораторной
системе отсчета K, а промежуток времени dt ? в системе отсчета K?,
связанной с телом, то импульс будет инвариантен к преобразованиям Лоренца и будет сохраняться. Нужно заменить dt на dt?. Связь
промежутков времени в различных инерциальных системах отсчета
задается формулой (13.3)
P = mv = m
P = m0
dr
( c)
dt 1 ? v
2
m0
=
( c)
1? v
2
dr
=
dt
m0 v
( c)
1? v
2
= m v,
(13.5)
здесь mo ? классическая масса тела; v ? его скорость, измеряемая в
лабораторной системе K; а m ? релятивистская масса
m=
m0
( c)
1? v
2
.
(13.6)
Таким образом, импульс тела формально записывается так же,
как и в классической механике, но понятие массы наполняется но68
вым содержанием. Масса в специальной теории относительности зависит от скорости частицы. Классическую массу частицы mo можно
назвать массой покоя. Масса покоя равна массе тела, измеренной в
той инерциальной системе отсчета, где тело покоится. Ни в какой
системе отсчета масса тела не может быть меньше массы покоя.
Масса покоя ? еще один инвариант преобразований Лоренца.
Основное уравнение динамики движения релятивистской частицы имеет вид, схожий с основным уравнением движения классической динамики
F=
dP d (mv )
=
,
dt
dt
(13.7)
однако, при дифференцировании по времени правой части нужно
учесть, что релятивистская масса не есть постоянная величина. Отметим, что классическая формулировка второго закона Ньютона
F = ma несправедлива даже с релятивистской массой.
Уравнения динамики релятивистской частицы (13.5?13.7) нашли блестящее подтверждение уже в 30-х годах нашего века при
разработке первых ускорителей электронов, которые были названы
бетатронами. На бетатронах электроны ускорялись в переменных
электрических полях и приобретали скорость, сравнимую со скоростью света. Тогда то и было обнаружено, что масса частицы и траектория ее движения зависят от скорости в полном соответствии с
формулами (13.5?13.7).
Уравнения релятивистской динамики позволили Эйнштейну найти связь массы и энергии тела. Попробуем вслед за ним найти количественное соотношение между этими величинами. Для этого преобразуем уравнение (13.6):
m=
m0 ? c
c ?v
2
2
, ? m2 (c2 ? v2 ) = m02c2 , ? d ??m2 (c2 ? v2 )?? =
d ??m02c2 ?? = 0, так как m0 и c ? const,
? d(mc)2 = d(mv)2 , ? 2mc d(mc) = 2mv d(mv), ?
(dPdr)
? c2dm = vdP = (vdP), ? d(mc2 ) =
, ?
dt
? d(mc2 ) = (Fdr) = ?A = dEK ; т. е. dEK = d(mc2 ).
(13.8)
69
Если дифференциалы величин равны, то сами величины могут
различаться на постоянную величину EK = mc2 + const . Значение
этой константы можно найти из условия, что при
( v c ) ? 0 , выра-
m v2
. Зна2
чение ее окажется равным const = ?m0 c2 . Таким образом, получаем
релятивистское выражение для кинетической энергии
жение для кинетической энергии должно стремиться к
(13.9)
EK = mc2 ? m0 c2 .
Отметим, что классические выражения для кинетической энер-
mv2
P2
, так EK =
не применимы, даже если в них
2
2m
подставить релятивистские массы.
Второе слагаемое в этом выражении имеет смысл энергии покоя,
внутренней энергии тела, энергии связанной с самим фактом существования тела и наличием у него массы в неподвижном состоянии.
Сумма кинетической энергии и энергии покоя называется полной
энергией тела. Выражение для полной энергии можно получить из
формулы (12.9).
гии, как EK =
(13.10)
E = mc2 .
Мы получили самую известную формулу XX века, которая устанавливает количественную связь между энергией и массой. Ее можно трактовать следующим образом. Между полной энергией системы
Е и ее массой m существует связь, определяемая формулой (12.10).
Энергия при определенных условиях может переходит в массу, а
масса ? в энергию. Однако понятие энергии не сводится только к
массе и наоборот, масса не сводится только к энергии. Тем самым
установлена связь между мерой количества материи ? массой и мерой движения материи ? энергией. Эта связь является отражением
факта, что материя без движения, так же, как и движение без материи не существует.
Рассмотрим пример, в котором полученная формула играет определяющую роль. При делении ядра урана образуется два более легких ядра. При этом масса ядра урана больше суммы масс образовавшихся ядер на величину ?m. Дефект массы ?m не исчезает, а переходит в кинетическую энергию осколков ? дочерних ядер: ?Е =
= ?mc2. Кинетическая энергия этих осколков и есть та энергия,
которая высвобождается при взрыве атомной бомбы или в атомном
реакторе.
70
Глава 14. Законы сохранения
§ 1. Законы сохранения, как отражение
симметрии процессов преобразования
Идея сохранения, следствием которой являются законы сохранения, появилась сначала как чисто философская догадка о наличии стабильного, неизменного в вечно изменяющемся мире. Еще
античные философы-материалисты пришли к понятию материи
? неуничтожимой и несотворимой основы всего существующего. С
другой стороны, наблюдения постоянных изменений в природе
приводило к представлению о вечном движении материи, как важнейшем ее свойстве и, как следствие этого, к изменяемости одних
и неизменности других свойств материи.
В этом разделе мы рассмотрим законы сохранения, как отражение некоторых операций, вводимых в физике. Напомним, что
законами сохранения называются те закономерности, согласно
которым численные значения некоторых параметров или величин
не меняются со временем в любых процессах или в определенном
классе процессов.
Важнейшими законами сохранения, справедливыми для любых
изолированных систем, являются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса и электрического заряда.
Полное описание физической системы возможно только с использованием динамических законов. Так описание движения материальной точки возможно с использованием законов динамики
или законов Ньютона. Однако во многих случаях динамические
законы системы либо неизвестны вообще, либо они настолько сложны, что не поддаются анализу. В таких случаях законы сохранения
позволяют сделать заключение о характере поведения системы.
Вспомним школьную задачу о падения тела с высоты h. Скорость тела в момент удара о землю можно найти, используя законы динамики: первый и второй законы Ньютона. Но, эту же задачу можно решить, используя закон сохранения механической энергии.
Энергия тела до падения определялась его потенциальной энергией EП = mgh . До момента удара о землю его потенциальная энергия
mv2
.
2
Поскольку значение энергии в процессе падения сохранилось, на71
полностью перешла
в кинетическую и стала равной EK =
званные величины можно приравнять и получить скорость тела в
момент падения:
2
mgh = m v
; ? v = 2 gh .
2
Решение задачи оказалось очень простым, благодаря использованию закона сохранения механической энергии. Очень часто решение других, гораздо более сложных задач, значительно упрощается
с использованием других законов сохранения. Приведенный пример
показывает, что чем больше законов сохранения нам известно, тем
легче и точнее мы можем описывать поведение сложных систем.
Возникает интуитивное понимание того, что законы сохранения
являются отображением каких-то более общих закономерностей
природы.
Целью настоящего раздела является рассмотрение связи законов
сохранения с некоторыми математическими операциями и преобразованиями, которые будут введены далее.
Любая физическая система может быть подвергнута каким-либо
операциям или преобразованиям, не изменяющим ее состояния или
ее свойства. Например, можно перейти из одной инерциальной системы отсчета в другую, используя преобразования Галилея. Если
физические законы, устанавливающие связь между физическими величинами или параметрами, не меняются в результате таких операций или преобразований, то говорят, что эти законы инвариантны
относительно этих преобразований или обладают симметрией к этим
преобразованиям.
Введем некоторые из преобразований пространства и времени.
Первое из них ? это перенос или сдвиг системы как целого в пространстве. Такая операция преобразования сводится к переносу начала отсчета, либо всей системы отсчета и задается вектором. Симметрия физических законов относительно сдвигов в пространстве
означает эквивалентность всех точек пространства. Не существует
какой-то "особой" точки в пространстве, которую можно было бы
выделить для введения абсолютной системы отсчета, абсолютной
системы координат. Этот важнейший факт принято называть однородностью пространства.
Второе преобразование ? это поворот системы отсчета или системы координат в пространстве. Его можно свести к поворотам системы относительно одной или всех координатных осей. Симметрия
физических процессов и законов относительно этого преобразования связана с изотропностью пространства, т. е. с эквивалентнос72
тью всех направлений в пространстве. Нет такого направления, относительно которого мы могли бы задать, например, ось (OX), и которое имело бы преимущества перед другими направлениями. Все направления в пространстве равноценны.
Третье преобразование ? сдвиг во времени или изменение начала
отсчета времени. Симметрия физических законов относительно сдвига во времени означает, что законы, явления, процессы не меняются
со временем, т. е. физический процесс или явление можно повторить или воспроизвести. Безразлично, в каком времени рассматривать физический процесс, в прошлом, в настоящем или в будущем;
он всегда будет протекать одинаково. Благодаря этому обстоятельству можно произвольно выбирать начало отсчета времени.
Кроме названных, существует еще большое количество специальных преобразований, применимых к конкретным законам. Некоторые из них уже известны, с другими познакомимся позже.
В 1918 году немецкий математик Э. Нетер (1882?1935) сформулировал теорему, названную позднее его именем. Эта теорема играет
огромную роль в физике и во всем естествознании. Она устанавливает связь между свойствами симметрии физической системы и законами сохранения. Не вдаваясь в математическую сторону дела, рассмотрим идею теоремы Нетера. Для физической системы, состояние
которой описывается системой дифференциальных уравнений, каждому преобразованию, непрерывно зависящему от какого-либо параметра (скорости, времени, координат и т. д.), соответствует свой
закон сохранения. При этом на преобразования накладывается условие: при его применении должен остаться инвариантным (т. е.
неизменным) некий параметр ? действие (S). Действие ? это физическая величина, имеющая размерность произведения энергии на
время или импульса на координату.
Действие ? очень важный параметр в физике. Он позволяет сформулировать принцип наименьшего действия. Содержание этого принципа заключается в том, что если система переходит из одного состояния в другое, то этот переход осуществляется таким образом,
чтобы изменение действия было бы минимальным. Использование
принципа наименьшего действия дает еще одну возможность описать поведение системы, найти уравнения ее движения, изучить ее
движение. В общем случае, принцип наименьшего действия указывает, в каком направлении должно изменяться состояние системы.
Из этого принципа, например, вытекают все законы геометрической
оптики, как в однородной, так и в неоднородной среде. К сожалению, детальное изучение принципа наименьшего действия требует
73
знания таких разделов высшей математики, как вариационное исчисление, и невозможно в рамках настоящего курса.
§ 2. Фундаментальные законы сохранения
Существует ограниченное число законов сохранения, общих для
классической и современной физики. В их числе назовем следующие
фундаментальные законы сохранения:
? закон сохранения энергии и массы,
? закон сохранения импульса или количества движения,
? закон сохранения момента импульса или момента количества
движения,
? закон сохранения электрического заряда.
При применении этих законов в первую очередь надо помнить,
что они справедливы для изолированных систем: т. е. систем, которые не взаимодействуют с окружающими системами или телами.
Однако не меняющийся в изолированной системе параметр (импульс,
момент импульса, энергия, заряд и др.) может изменяться при взаимодействии этой системы с другими системами или объектами. Например, импульс тела р = m v остается неизменным до тех пор, пока
тело не взаимодействует с другими телами. Импульс тела изменяет
действующая на него сила. Однако если расширить систему и включить в нее и второе тело, то суммарный импульс первого и второго
тел окажется постоянным.
Рассмотрим подробнее законы сохранения с точки зрения их преобразований, симметрии в природе. Начнем с закона сохранения
энергии. Его формулировка достаточно проста. Полная энергия изолированной системы остается постоянной и не меняется во времени.
Более точную формулировку этого закона дадим в конце раздела.
Обратимся снова к уже рассмотренному примеру. Пусть некоторое
тело поднято на высоту h над поверхностью Земли. В таком случае
оно обладает потенциальной энергией mgh. Если это тело отпустить, то оно станет падать на Землю; при этом его высота, а следовательно, и потенциальная энергия уменьшается. Она переходит в
другой вид энергии ? в кинетическую энергию. До тех пор, пока
тело не упало, сумма потенциальной и кинетической энергий остается постоянной.
Что произойдет с энергией тела в момент падения на Землю. Тело
остановится, следовательно, его кинетическая энергия относительно
Земли станет равной нулю. Куда денется энергия. Она не исчезнет, а
перейдет в так называемую внутреннюю энергию. Внутренней энергией тела называется сумма кинетических и потенциальных энергий
74
всех атомов, из которых состоит тело. Внутренняя энергия обычно
определяется параметром системы, который называется температурой. Чем больше температура, тем больше внутренняя энергия и
тем больше скорости атомов, составляющих эту систему. Таким
образом, при падении тела на поверхность Земли его потенциальная
энергия сначала переходит в кинетическую, а затем ? во внутреннюю энергию системы тело ? Земля. Поскольку мерой внутренней
энергии системы является температура, потенциальная энергия поднятого тела после его падения пойдет на нагрев самого тела и поверхности Земли, или другими словами, на увеличение кинетической
энергии атомов тела и поверхности Земли. Отметим, что если рассматривать данное тело как изолированную систему, то его полная
энергия не сохранялась бы. Однако с включением в систему поверхности Земли все встало на свои места. Закон сохранения энергии
сработал.
Закон сохранения энергии отражает симметрию явлений природы по отношению к переносу во времени, или, иначе, постоянство
законов природы во времени. Проще всего доказать это от противного. Покажем, что если бы законы природы менялись во времени,
то энергия не сохранялась бы. Пусть, например, меняется во времени закон всемирного тяготения и даже не сам закон, а только
гравитационная постоянная G (см. 10.7). Поднятое в какой-то момент времени на высоту h тело будет обладать потенциальной энергией EП = mgh , где ускорение свободного падения равно:
g = (GM ) / Rз2 , где М ? масса Земли; а Rз ? ее радиус. Если гравитационная постоянная G будет меняться, то вместе с ней будет меняться потенциальная и полная механическая энергия. Налицо нарушение закона сохранения энергии.
Отсюда вывод: если бы законы природы менялись со временем, то
это привело бы к нарушению закона сохранения энергии.
Рассмотрим закон сохранения импульса. Импульсом или количеством движения тела называется произведение скорости поступательного движения этого тела на его массу P = mv. Импульсом
системы называется векторная сумма импульсов всех тел, образующих эту систему. Если в системе имеются только силы взаимодействия и нет внешних сил, то такая система называется замкнутой.
Закон сохранения импульса гласит: полный импульс изолированной
системы не меняется, т. е. остается постоянным при любых взаимодействиях внутри этой системы. Отражением какого преобразования пространства или процесса симметрии является этот закон? Он
75
отображает тот факт, что сдвиг начала системы отсчета в произвольном направлении на любое расстояние не меняет течения явлений природы и никак не отражается на законах природы. Проще
всего это показать следующим образом. Пусть имеется материальная точка массой m, имеющая скоростью v в произвольной системе
отсчета K. Импульс материальной точки равен P = mv, где скорость
точки v = r?(t). Пусть мы перешли в другую систему отсчета, начало
координат которой сдвинуто на постоянный вектор r0 относительно
системы отсчета K. Как изменится импульс? В системе отсчета K? он
будет равен mv:
mv = m
d (r + r0 )
dr
dr
dr
= m
+m 0 =m
= mv.
dt
dt
dt
dt
Получилось, что импульс тела не меняется при сдвиге начала
системы координат на вектор r0, т. е. при переходе от одной системы к другой, неподвижной относительно первой.
Таким образом, закон сохранения импульса является отображением однородности пространства, т. е. отсутствием каких-либо выделенных, "особых" точек в пространстве.
Закон сохранения момента импульса или момента количества движения является отображением еще одного фундаментального свойства пространства ? его изотропности.
Момент импульса L равен векторному произведению радиуса вектора тела на импульс тела L = [rp]: т. е. L ? это вектор, направленный перпендикулярно векторам r и p и по модулю равный произведению их длин на синус угла ? между ними, т. е. L = r p?sin?. Из
двух направлений, перпендикулярных векторам r и p, направление
вектора L выбирается по правилу буравчика. При вращении ручки
буравчика от r к p в направлении меньшего угла поступательное
движение буравчика укажет направление вектора момента импульса. Полный момент импульса системы равен векторной сумме моментов импульса всех тел системы. Система называется замкнутой,
если в ней имеются только силы взаимодействия между телами и нет
внешних сил. Закон сохранения момента импульса гласит: полный
момент импульса тела или изолированной системы не меняется ни
при каких взаимодействиях тел внутри этой системы.
Под изотропностью пространства подразумевают отсутствие каких-либо преимущественных или выделенных направлений в пространстве. Все направления в пространстве равноценны и нет ни
одного, которое обладало бы каким-то преимуществом перед другими.
76
Закон сохранения момента импульса и является отображением
изотропности пространства. В терминах предыдущего раздела мы
можем сформулировать следующее. При применении операции поворота в пространстве момент количества движения тела не меняется,
поскольку его величина и направление зависят лишь от длин и
взаимной ориентации векторов r и p. Значит, какое бы направление
в пространстве мы ни приняли для нашей системы координат, момент импульса тела от этого не изменится. Строгое доказательство
этого утверждения требует использования аппарата векторной алгебры и выходит за рамки нашего рассмотрения.
Закон сохранения зарядов может быть сформулирован так. Алгебраическая сумма зарядов изолированной системы не меняется ни
при каких взаимодействиях внутри этой системы. Понять отображением каких свойств пространства является этот закон, можно
лишь после глубокого ознакомления с квантовой механикой. В квантовой механике поведение тела (микрочастицы) описывается волновой функцией ?, которая в общем случае может быть комплексной.
Квадрат модуля этой функции, умноженный на элемент объема, равен вероятности обнаружить частицу в этом элементе объема. Эта
функция тоже может быть подвергнута различным преобразованиям в пространстве и времени. Одно из таких преобразований ?
записывается как exp (i?q) , где i ? мнимая единица; ? ? некоторое
число; q ? заряд. Наглядного физического смысла это преобразование не имеет. Его называют локальным калибровочным преобразованием. Модуль написанного выражения равен единице:
?
exp ( i? q ) = ( exp (i? q) )( exp (i? q) ) = ( exp (i? q) )( exp (?i? q) ) =
2
= exp (i? q ? i? q) = exp 0 = 1,
поэтому, такое преобразование не может изменить волновую функцию по модулю, а физический смысл имеет именно квадрат ее модуля. Значит, поведение частицы не меняется при локальном калибровочном преобразовании. Закон сохранения заряда является отражением симметрии квадрата модуля волновой функции относительно локального калибровочного преобразования.
§ 3. Эволюция закона сохранения
массы ? энергии ? материи
Все многообразие окружающего нас мира нужно рассматривать,
как проявление свойств материи. Материя существует вне нас, она
отображается и познается нашими органами чувств. Качественная
77
формулировка закона сохранения материи как неуничтожимой и
несотворимой основы всего существующего была известна еще с античных времен.
Материя не существует вне движения и наоборот, движение не
существует без материи. Качественная формулировка этого положения существовала до начала нашей эры.
В настоящем курсе рассмотрены и введены меры, характеризующие количество материи ? массу и движение материи ? энергию.
С появлением математического аппарата в физике появились и
математические формулировки законов сохранения массы и энергии. Закон сохранения массы был сформулирован французским химиком А. Л. Лавуазье (1743?1794) в конце XVIII века. Он не требует специальных комментариев. Закон сохранения энергии трансформировался на протяжении полутора веков. Первоначально немецкий ученый Г. В. Лейбниц (1646?1716) сформулировал закон
сохранения для механической энергии. В его формулировке утверждалось, что сумма потенциальной и кинетической энергии замкнутой системы остается постоянной во времени.
(14.2)
EK + EП = E = const.
Первоначально теплота и механическая энергия рассматривались независимо друг от друга. Теплоту считали невидимой жидкостью, которая могла перетекать от горячего тела к холодному
при контакте. До сих пор сохранились отголоски такого представления; например, говорят о "перетекании" тепла, о "теплоемкостях". Интересно, что в рамках именно такого представления о
теплоте Н. Л. С. Карно (1796?1832) удалось разработать теорию
тепловых машин.
Первым на эквивалентность теплоты и работы обратил внимание
немецкий ученый ? естествоиспытатель и врач Ю. Р. Майер (1814?
1878). В медицине в то время часто применялось кровопускание.
Майер обратил внимание на то, что цвет крови человека меняется
при изменении температуры внешней среды. В тропиках, где температура выше, цвет крови был более алым. Кровь содержала больше
кислорода, который необходим для работы мышц тела. Проанализировав эти факты, Ю. Р. Майер пришел к выводу, что чем больше
теплоты подводится в систему, тем меньше требуется затрат энергии
из самой системы на совершение работы. Он в 1842 году рассчитал
механический эквивалент теплоты.
Позднее на основе этих положений был сформулирован закон
сохранения энергии, который называется первым началом термодинамики. Этот закон гласит, что теплота Q, подводимая к системе,
78
идет на совершение системой работы A и на изменение внутренней
энергии системы ?U. Математически первое начало термодинамики
записывается так
(14.3)
Q = A + ?U.
Таким образом, к середине XIX века были окончательно сформулированы законы сохранения массы и энергии, которые трактовались как законы сохранения материи и движения.
В начале XX века оба эти закона подверглись коренному пересмотру в связи с появлением специальной теории относительности.
Как уже отмечалось, релятивистская масса зависит от скорости,
следовательно, характеризует не только количество материи, но и
ее движение. В разд. 12.3 выведена самая знаменитая формула XX
века ? формула (12.10), связывающая массу и энергию тела
(14.4)
E = mc2 .
В специальной теории относительности естественным образом слились законы сохранения массы и энергии, существовавшие в классической механике порознь. По отдельности эти законы не выполняются. Невозможно охарактеризовать количество материи (ее массу),
не учитывая движения (взаимодействия) материи. Это является отражением философской концепции о неразделимости материи и движения.
Формулу E = mc2 иногда ошибочно интерпретируют, как тождественность массы и энергии. Это неправильно. Данная формула означает, что между энергией (мерой движения) и массой (мерой количества материи) существует взаимосвязь. Энергия и масса могут
взаимно превращаться друг в друга. Количественное соотношение,
определяющее этот переход и создается формулой (14.4).
В настоящее время обобщенный закон сохранения энергии можно сформулировать в следующем виде. Полная энергия замкнутой
системы, включающая энергию, эквивалентную массе этой системы,
не изменяется во времени.
Естественно, что вплоть до наших дней, до развития такой области физики, как атомная и ядерная физика, нельзя было найти
отклонения от законов сохранения массы и энергии в их первоначальных формулировках. Конечно, если мы увеличим скорость тела,
то его масса изменится. Но, для реальных тел макроскопического
размера никакими весами и сейчас мы не сможем найти изменение
этой массы. Например, если скорость движения человека массой
100 кг равна 100 м/с, то его энергия движения равна 1000000 Дж.
Эта энергия эквивалентна массе 10?11 кг, которую невозможно оп79
ределить никакими современными методами на фоне собственной
массы в 100 кг. Этот пример показывает, что на современном этапе
развития техники, как правило, можно пользоваться старой формулировкой закона сохранения энергии.
Приведем еще один пример, показывающий, когда нужно применять новую формулировку закона сохранения энергии, и позволяющий дать интерпретацию нового закона сохранения энергии. При
делении ядра урана сумма масс дочерних ядер меньше исходного
ядра. Разность этих масс в соответствии с формулой (14.4) переходит в кинетическую энергию осколков деления ? дочерних ядер.
Масса системы (т. е. ядра) уменьшается, но увеличивается кинетическая энергия системы. Энергия при полном делении всего 1 г урана равна энергии взрыва бомбы над Хиросимой в 1945 году.
Эволюция закона сохранения энергии интересна с двух точек зрения. С одной стороны, законы сохранения, будучи почерпнутыми из
опыта, нуждаются в постоянной экспериментальной проверке, в уточнении. Нельзя быть уверенным, что с расширением пределов человеческого опыта данный закон (или его конкретная формулировка)
останутся справедливыми и не потребуют уточнения границ, в рамках которых они остаются справедливыми. С другой стороны, в
законе сохранения энергии теснейшим образом переплелись физика
и философия. Этот закон, все более уточняясь, постепенно превратился из абстрактного и неопределенного философского высказывания в точную количественную формулу.
Другие законы сохранения (импульса, момента импульса, заряда
и т. д.) возникли практически сразу в количественной формулировке и не требовали в дальнейшем уточнения.
80
3. ФИЗИКА НЕПРЕРЫВНОГО
Глава 15. Физические поля
§ 1. Описание физических полей
В девятой главе было введено понятие поля, сформулирована концепция близкодействия, принятая в современной физике, и рассмотрены четыре вида взаимодействия, т. е. четыре вида полей. В настоящем разделе мы рассмотрим, что такое принцип суперпозиции,
чем описание поля отличается от описания вещества, какие параметры вводятся для описания всех видов полей.
Согласно концепции близкодействия, взаимодействие между телами на расстоянии осуществляется посредством особого состояния
материи ? поля. Тела или частицы, участвующие в взаимодействии,
создают в окружающем их пространстве особое состояние ? поле.
Основное отличие поля от рассматриваемых нами ранее тел или
частиц заключается в том, что оно локализовано во всем пространстве. Для описания состояния частицы требовалось задать ограниченное число параметров, равное числу степеней свободы. (Для материальной точки это радиус-вектор r, задаваемый тремя проекциями на оси координат). Поскольку, число точек в пространстве бесконечно, бесконечно и число степеней свободы, а значит, и число
параметров, которые нужно задать для описания поля. Это не означает, что в действительности нужно задавать бесконечное число параметров. Достаточно задать закон, по которому меняется поле в
пространстве и начальные параметры, чтобы знать параметры поля
в любой точке пространства.
Поле проявляется в силовом воздействии на тела или частицы, в
него помещенные: т. е. на частицу или тело в любой точке пространства, где имеется поле, действует сила F. Одной из важнейших
количественных характеристик поля, является напряженность. Напряженность поля определяется как отношение силы, действующей
на тело, к величине той количественной характеристики, которая
участвует в создании поля и определяется полем, поэтому напря81
женность называют силовой характеристикой поля. Существенно,
что напряженность поля является векторной величиной, так же
как и сила, через которую она определяется.
Чтобы понять сказанное, рассмотрим примеры. Электрическое
поле создается зарядами Q. Значит, напряженность электрического
поля равна отношению силы, действующей на заряд q, к величине
этого заряда. Напряженность электрического поля обозначается Е
и она равна: E = F/q. Напряженность гравитационного поля определяется как E = F/m. Магнитное поле создается движущимися
зарядами (или токами); в природе отсутствуют магнитные заряды.
С точностью до констант, определяемых выбором системы единиц,
напряженность магнитного поля H можно определить как отношение силы, действующей на проводник с током длиной, равной единице, к величине тока I, протекающего через проводник: H = F/ I.
В чем же состоит преимущество описания полей на языке напряженностей? Может, было бы проще и удобнее просто задать силу,
действующую на тело в каждой точке? Дело в том, что сила зависит
как от характеристик поля, так и от характеристик объекта, в него
помещенного (его электрического заряда, массы, протекающего тока
и т. п.). Напряженность же поля зависит только от свойств поля.
Таким образом, поле задано, если в каждой точке пространства известна его напряженность. На рисунках удобно изображать поле при помощи силовых линий. Силовыми линиями поля
называются такие линии, касательные к которым в каждой точке
совпадают с вектором напряженности поля. Другими словами,
силовая линия определяет направление вектора напряженности
поля в каждой точке, через которую она проходит. Силовые линии позволяют определять также и величину напряженности поля.
Силовые линии рисуют таким образом, чтобы число их, пересекающих единичную площадку, численно равнялось напряженности
поля в данной точке.
На рис. 15.1, а показаны силовые линии поля, создаваемого положительным электрическим зарядом Q. Они гуще вблизи заряда,
где напряженность поля больше, и реже вдали от заряда. На больших расстояниях от заряда соседние силовые линии идут практически параллельно друг другу. Такое поле называется однородным
(рис. 15.1, б). Введем еще одно важное понятие ? поток вектора
напряженности поля. Поток вектора напряженности поля Ф через
площадь S определяется числом силовых линий, пересекающих эту
площадь. Отметим, что поток вектора напряженности ? скалярная
величина. Существует более строгое определение этого понятия, но
82
на данный момент вполне достаточно, что поток численно равен
числу силовых линий, пересекающих рассматриваемую поверхность.
а)
б)
E
E
Q
S2
S1
S1
S2
Рис. 15.1
Очевидно, что величина потока вектора определяется взаимным
направлением силовых линий и площади S. На рис. 15.1, б изображены две площади S1 и S2. Площади различны, но количество силовых линий, их пересекающих, одинаково, следовательно, потоки
вектора напряженности одинаковы. Введем вектор S, численно равный площади S и направленный перпендикулярно ей. Тогда поток
вектора напряженности ФЕ однородного поля Е будет равен скалярному произведению векторов Е и S:
ФE = (ES) = EScos ? ,
(15.1)
где ? ? угол между векторами Е и S. Из этого определения следует,
что поток вектора через площадку, параллельную силовым линиям
поля, равен нулю.
Другой важнейшей характеристикой поля может быть его потенциал. Это понятие можно ввести лишь для полей консервативных
сил (см. разд. 12). Потенциал поля ? определяется как отношение
потенциальной энергии тела в поле, к величине той количественной
характеристики, которая участвует в создании поля и определяется полем, поэтому потенциал называют энергетической характеристикой поля. Существенно, что потенциал поля ? скалярная
величина.
Снова зададим себе вопрос, чем же удобно описание полей на
языке потенциалов? Может, было бы проще и удобнее вместо потенциала просто задать величину потенциальной энергии тела в каж83
дой точке? Ответ на этот вопрос будет почти таким же, как и для
напряженности поля. Дело в том, что потенциальная энергия зависит как от характеристик поля, так и от характеристик объекта, в
него помещенного (его электрического заряда, массы, протекающего
тока и т. п.). В то время, как потенциал зависит только от свойств
поля.
Потенциал принято графически изображать эквипотенциалами
или эквипотенциальными поверхностями, т. е. поверхностями равного потенциала. При перемещении по такой поверхности потенциальная энергия тела остается неизменной, следовательно, силы поля
в этом случае работы не совершают. Вспомним определение механической работы: A = Fl cos ? , где ? ? угол между направлением силы
F и перемещения l. Эта работа может быть равной нулю лишь в том
случае, если F ? l, т. е. угол ?? = 90°. Поскольку напряженность
поля совпадает по направлению с силой, перемещение лежит на
эквипотенциальной поверхности, сказанное обозначает, что линии
напряженности всегда ортогональны эквипотенциальным поверхностям.
Чем ближе друг к другу расположены эквипотенциальные поверхности, тем больше напряженность поля. Вспомним связь силы
с потенциальной энергией ? формулу (12.12). Если левую и правую часть этого равенства разделить на величину той количественной характеристики, которая участвует в создании поля, то
получится формула, выражающая связь напряженности поля с
его потенциалом:
E = ?grad? .
(15.2)
Аналогичным образом из (12.8) получим формулу для связи потенциала поля с его напряженностью:
(0)
? (b) =
? (Edr ) .
(15.3)
(b)
Эти формулы позволяют по заданному в каждой точке потенциалу поля восстановить его напряженность и наоборот.
Обратимся к очень важному в теории поля принципу ? принципу
суперпозиции. В общем случае, принцип суперпозиции ? это допущение, согласно которому результирующий эффект сложного процесса воздействия эквивалентен сумме эффектов от каждого воздействия в отдельности. Разумеется, это определение предполагает, что
эффекты не влияют друг на друга. С принципом суперпозиции мы
84
сталкивались в школьном курсе механики и электростатики. Если
на частицу, или тело действует несколько сил, то их можно заменить одной ? векторной суммой всех сил.
Сформулированный принцип не является фундаментальным, или
универсальным. Он справедлив, если система описывается линейными уравнениями. К системе, описываемой нелинейными уравнениями, т. е. меняющейся под действием внешних эффектов, принцип
суперпозиции неприменим.
Поясним сказанное примером. Пусть в пространстве имеется равновесное распределение электрических зарядов, создающих всюду
вокруг себя электрическое поле. Что случится, если в это поле внести еще один электрический заряд? Если внесенный заряд будет
очень мал, то принцип суперпозиции для результирующего поля
будет иметь место. Однако если этот заряд велик, то он может привести в движение и переместить все имеющиеся заряды. Вследствие
этого окажется, что первоначальное поле сильно исказится, и это
изменение не будет описываться в рамках принципа суперпозиции.
В общем случае можно утверждать, что принцип суперпозиции
справедлив, если наложение полей не приводит к перемещению в
пространстве источников этих полей.
Электромагнитное поле в вакууме удовлетворяет принципу суперпозиции. В силу этого принципа электрическое или магнитное
поле, создаваемое системой зарядов или токов, равно сумме полей,
создаваемых этими зарядами или токами в отдельности. Для электромагнитного поля в веществе, принцип суперпозиции может нарушаться, например, если постоянные, описывающие свойства среды
(диэлектрическая или магнитная), зависят от величины поля.
Примером нарушения принципа суперпозиции может служить
магнитное поле в ферромагнетике. Другой пример ? свет (сильное
световое поле) в среде. Такое поле может генерировать в среде (за
счет нелинейного взаимодействия с ней) свет на длине волны в два,
три или более раз меньшей. Слабое гравитационное поле с хорошей
точностью подчиняется принципу суперпозиции. Сильное же гравитационное поле не подчиняется принципу суперпозиции, поскольку
оно описывается нелинейными уравнениями Эйнштейна.
Разделы физики, которые изучают явления, в которых нарушается принцип суперпозиции, обычно называют нелинейными. Например, нелинейная оптика. В дальнейшем ограничимся рассмотрением слабых полей (гравитационных и электромагнитных), к которым принцип суперпозиции применим.
85
§ 2. Поля центральных сил.
Электрические и гравитационные поля
Рассмотрим так называемые поля центральных сил. Это поля,
силы взаимодействия для которых зависят только от расстояния
между взаимодействующими телами и направлены вдоль линии взаимодействия. Мы будем рассматривать квазистационарные поля,
т. е. такие поля, которые либо не меняются со временем, либо меняются, но медленно по сравнению с рассматриваемыми явлениями. К
рассматриваемым полям в первую очередь относятся гравитационные и электростатические поля.
Поведение гравитационных и электростатических полей похоже
друг на друга. Это объясняется тем, что в основе описания обоих
полей лежат схожие законы: закон всемирного тяготения Ньютона
и закон Кулона. В векторном виде мы записывали их следующим
образом:
F = (??)(Mm / r2) (r/r);
2
Fкул = (1/4??0)(Qq/r ) (r/r).
(15.4)
(15.5)
Если не считать коэффициентов перед формулами (??) и (1/4??0)
(которые могут иметь другой вид в других системах единиц), законы
похожи. Сила тяготения Fтяг (сила притяжения между двумя телами) прямо пропорциональна массам M и m тел, обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами r и направлена вдоль
линии, соединяющей тела (r/r). Кулоновская сила Fкул (сила взаимодействия между зарядами ) прямо пропорциональна зарядам Q и
q, обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами r
и направлена вдоль линии, соединяющей заряды (r/r).
В дальнейшем нам будет удобно остановится подробнее на одном
виде взаимодействия (электростатическом или гравитационном), подразумевая, что все наши выводы будут справедливы и для другого
взаимодействия (поля).
В электродинамике при описании электрических полей используют другую форму записи закона Кулона. Она называется теоремой
Остроградского-Гаусса. Рассмотрим ее. Напряженность электрического поля точечного заряда Q на расстоянии r от него определяется
из закона Кулона и равна
E = F/q =(1/4??0)(Q/r) (r/r).
(15.6)
Найдем поток вектора напряженности электрического поля через
поверхность, внутри которой находится заряд Q ? ФЕ. Окружим
86
поверхность сферой радиусом R. Площадь сферы 4 ? R2. Поток вектора напряженности через эту сферу численно равен количеству силовых линий, проходящих через нее. Силовые линии перпендикулярны поверхности сферы, cos(SE) = 1 и, значит, их число равно
произведению площади сферы на напряженность поля на поверхности сферы:
ФЕ =(4?R2)(1/4??0)(Q/R2) = Q/?0.
(15.7)
Если вместо сферической, мы возьмем произвольную замкнутую
поверхность, через нее будет проходить столько же силовых линий,
сколько и через сферу. В силу принципа суперпозиции теорема применима и к произвольному числу зарядов внутри поверхности. Чтобы найти поток вектора напряженности при произвольном числе
зарядов внутри поверхности, надо просуммировать заряды внутри
нее. Другими словами: поток вектора напряженности через произвольную поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри
этой поверхности, деленной на диэлектрическую проницаемость
вакуума.
Теорема Остроградского-Гаусса имеет наглядный физический
смысл. Она утверждает, что силовые линии электростатического поля
начинаются и заканчиваются на зарядах. Если внутри рассматриваемой поверхности зарядов нет, то число, входящих в нее силовых
линий, равно числу выходящих и суммарный поток вектора напряженности равен нулю.
Эта теорема используется в электростатике для решения многих
задач. Рассмотрим, как с ее помощью определить напряженность
электрического поля вблизи равномерно заряженной поверхности.
Пусть у нас есть бесконечно большая равномерно заряженная плоскость. Если заряды положительны, то силовые линии выходят из
плоскости и расположены перпендикулярно ей (см. рис. 15.2).
Обозначим через ? = q/s поверхностную плотность заряда, т. е.
заряд, приходящийся на единицу площади. Выделим на плоскости
окружность Ds и построим на ней как на основании два цилиндра
по обе стороны поверхности. Высота цилиндров равна r. Боковые
стенки цилиндров перпендикулярны поверхности и совпадают с линиями напряженности электрического поля. Значит, поток вектора
напряженности через них равен нулю. Применим теперь к цилиндру теорему Остроградского-Гаусса. Полный поток вектора напряженности электрического поля равен ФЕ = Q/?0 = ?Ds /?0 .
87
E
E
Ds
Ds
E
E
Рис. 15.2
С другой стороны, чтобы найти его, надо просуммировать потоки
вектора напряженности через все стенки цилиндра. Через боковые
стенки он равен нулю. Поток вектора напряженности через торцевые стенки равен: ЕDs = ?Ds /?0. Отсюда находим, что напряженность поля не зависит от расстояния до поверхности: E = ?/?0.
Эту же задачу можно, в принципе, решить, используя формулу
15.6. Но для решения задачи с ее помощью потребовалось бы применение раздела высшей математики, связанного с векторным анализом и поверхностными интегралами.
Электростатическое и гравитационное поля являются полями центральных сил, т. е. сил, величина которых зависит только от расстояния между взаимодействующими телами и направлены вдоль
линии, соединяющей тела. Такие поля являются полями консервативных сил. Покажем это на примере гравитационного поля вблизи
поверхности Земли. Силовые линии гравитационного поля вблизи
поверхности Земли параллельны друг другу. Найдем работу, совершаемую при перемещении тела, массой m из точки 1 в точку 2
(рис. 15.3).
Расстояние между точками будем считать пренебрежимо малым
по сравнению с расстоянием до центра Земли. В этом случае сила
тяготения одинакова во всех точках траектории, равна весу тела Р
и направлена вертикально вниз: F = P = mg = m (g M / R2) e, где
R радиус Земли; e ? единичный вектор; e = ?r/r.
Направим ось координат OZ вдоль силовых линий гравитационного поля вертикально вниз. По определению, работа, совершаемая
88
при перемещении тела массой m из точки 1 в точку 2 , ( где точка 1
расположена на высоте H1, а точка 2 на высоте H2) равна
A12 = ?Fdr = ? Fdrcos (Fdr) = ? FdZ = F(H1? H2) = P (H1 ? H2). (15.8)
O
H2
2
H1
1
Поверхность Земли
Z
Рис. 15.3
Работа не зависит от траектории пути, а определяется начальным и конечным положением тела. Тем самым мы доказали, что
рассматриваемые поля являются полями консервативных сил. Работа этих полей на замкнутой т??аектории равна нулю.
Для поля консервативных сил можно ввести потенциальную энергию. В каждой точке поля консервативных сил она равна работе,
которую нужно затратить на перемещение тела из бесконечности в
данную точку. В случае электрического поля перемещаемым телом
является заряд. При описании электрических полей вместо потенциальной энергии точки чаще используют понятие потенциала в
точке r: j(r). Потенциал определяется как отношение потенциальной энергии (Eп) заряда q в точке к величине самого заряда:
(15.9)
?(r) = Eп(r)/q = Ar/q.
Из этого определения следует, что потенциал является скалярной функцией. Причем, у этой функции аргументом служит точка в
пространстве, которая может задаваться вектором.
Свяжем между собой потенциалы и работу по перемещению заряда. Пусть мы перемещаем заряд q из точки 1 в точку 2 в электрическом поле. Работа по перемещению такого заряда равна разности
потенциальных энергий поля в точках 1 и 2:
89
A12 = Eп(2) ? Eп(1) = [? (2) ? ? (1)] q = Uq.
(15.10)
Здесь разность потенциалов мы обозначили как U, которую обычно
называют просто напряжением. С другой стороны, работа по определению равна
A12 = ?Fdr = ?qEdr = q?Edr = q[? (2) ? ? (1)] .
(15.11)
Тем самым мы связали напряженность электрического поля с
разностью потенциалов. Величину ?Edr называют циркуляцией вектора напряженности электрического поля на участке кривой 1?2.
Если заряд перемещается по замкнутой кривой, т. е. вышел из точки 1 и вернулся в точку 1, то работа по его перемещению равна
нулю. Электростатическое поле ? поле консервативных сил. Но это
означает, что циркуляция вектора напряженности электрического
поля на замкнутой кривой равна нулю. Тем самым мы доказали еще
одну важную теорему электростатики о циркуляции вектора напряженности электрического поля.
В качестве примера рассмотрим потенциал точечного заряда +Q
на расстоянии r0 от него. Пусть пробный заряд +q двигается по
прямой, проходящей через заряд Q, из бесконечности в точку r0.
Работу, затраченную на перемещение заряда, можно определить по
формуле 15.5 с учетом того, что заряд двигается вдоль силовой
линии, т. е. скалярное произведение Fdr = Fdr: A r ? Fdr =
= (1/4??0 )Qq ? (1/r)dr = (1/4 ??0) Qq(1/r), откуда потенциал точечного
заряда ? (r) = (1/4??0Q)/r.
При графическом описании электрических полей часто пользуются эквипотенциальными линиями или поверхностями, которые
определяют поверхность с одинаковым потенциалом ?. Для точечного заряда линии эквипотенциальной поверхности на плоскости ?
просто концентрические окружности. При движении заряда по эквипотенциальной поверхности работа не совершается, как это следует из формулы 15.11. Для того чтобы работа при перемещении
заряда в электрическом поле равнялась бы нулю, требуется, чтобы
заряд двигался перпендикулярно силовым линиям электрического
поля (тогда cos (Fdr) = 0 и работа равна 0). Таким образом, в общем
случае линии эквипотенциальной поверхности перпендикулярны в
каждой точке линиям напряженности электрического поля.
Предположим, мы сообщили некоторый заряд проводнику. Что
будет происходить? Одноименные заряды будут отталкиваться и
стремиться расположиться на поверхности проводника. Но заря90
ды не могут двигаться бесконечно долго в проводнике, иначе мы
получили бы вечный двигатель, т. е. нарушился бы закон сохранения энергии. Заряды расположатся таким образом, чтобы напряженность электрического поля, направленная вдоль каждой
точки поверхности по касательной стала бы равной нулю. Линии
напряженности электрического поля в каждой точке поверхности
будут перпендикулярны ей. Тогда движение зарядов по поверхности прекратится. Такой процесс произойдет очень быстро. Поверхность проводника станет эквипотенциальной, поскольку в каждой точке поверхности линии напряженности электрического поля
будут перпендикулярны ей.
§ 3. Вихревые поля
Наряду с электростатическими и гравитационными полями существует другой вид полей, силовые линии которых нигде не начинаются и нигде не заканчиваются, они замыкаются сами на себя.
Такие поля называются вихревыми. Они названы так из-за сходства
силовых линий в виде концентрических окружностей с вихрем. Рассмотрим особенности этих полей. Начнем с простейшего ? магнитного поля. Стационарное магнитное поле создается движущимися
зарядами.
Из школьного курса хорошо известны силовые линии естественных магнитов. Их вид изображен на рис. 15.4, а. Такой же вид
полей можно получить, используя замкнутый проводник, по которому течет ток. Поле кругового витка с током показано на
рис. 15.4, б. Силовые лини поля образуют замкнутые кривые.
а)
б)
H
H
I
I
Рис. 15.4
Их направление определяется по правилу правого буравчика. Если
ручку буравчика вращать по направлению тока в витке, то острие
показывает направление силовых линий. Стационарное магнитное
91
поле создается движущимися зарядами. На рис. 15.4, б показаны
силовые линии бесконечно длинного проводника с током. Они представляют собой концентрические окружности. Направление силовых линий также можно определить с помощью правила буравчика.
Для этого надо направить острие буравчика по направлению тока,
тогда направление вращения ручки буравчика совпадет с направлением силовых линий.
Правило буравчика ? мнемоническое правило, позволяющее просто определять направление силовых линий магнитного поля. Существуют строгие законы, позволяющие определять величину и направление силовых линий произвольного по форме проводника с
током.
Напряженность магнитного поля определяется законом Био-Саварра-Лапласа. Мы не будем рассматривать в явном виде этот закон. В принципе, с его помощью можно рассчитать напряженность
магнитного поля, создаваемую любым проводником с током. Так
напряженность магнитного поля бесконечно длинного проводника с
током на расстоянии r от него равна H = I/2?r.
На достаточно удаленном расстоянии от проводника с током
магнитное поле можно считать однородным: т. е. силовые линии
такого поля расположены параллельно друг другу. На проводник с
током, помещенный в однородное магнитное поле, действует сила.
Величина силы определяется по закону Ампера. Для участка проводника с током, длиной L его можно записать в векторном виде в
системе единиц СИ:
F = µ0 I [HL] ,
(15.12)
здесь µ0 ? постоянная, обусловленная выбором системы единиц (СИ);
L ? проводник с током I, который задается в векторном виде, так
как имеет направление в пространстве. Его направление совпадает с
направлением движения тока, т. е. положительных зарядов.
Из выражения 15.12 следует, что на проводник с током в однородном магнитном поле действует сила, направленная перпендикулярно вектору напряженности магнитного поля H и направлению
движения тока (проводника с током L). В этом заключается принципиальное отличие силового воздействия вихревого магнитного поля
на пробный элемент от поля консервативных сил.
Вихревыми бывают не только магнитные, но и электрические
поля. Действительно, возьмем проводник с током в виде кольца и
поставим внутрь него батарейку. Заряды (носителями зарядов в проводниках являются электроны) будут двигаться по кольцу, создавая
ток. Величина тока I определяется известным законом Ома:
92
I = ?/(rе + R) ,
(15.13)
где ? ? электродвижущая сила (ЭДС) батареи; R и rе ? сопротивление проводника и внутреннее сопротивление источника ЭДС.
Рассмотрим, что происходит в проводнике. Как мы знаем, электроны двигаются вдоль силовых линий электрического поля. В рассматриваемом нами проводнике электроны двигаются по замкнутой
кривой, образуемой проводником. Значит, в проводнике реализуется такое электрическое поле, которое заставляет двигаться электроны по замкнутой кривой.
Следовательно, и силовые линии электрического поля тоже представляют из себя замкнутые кривые: т. е. электрическое поле в
проводнике также является вихревым полем. Электростатическое
поле способно перемещать заряды, но только до того момента, пока
перераспределение зарядов не скомпенсирует поле. После этого заряды будут оставаться неподвижными. Поле в проводнике с током
стационарно и вызывает стационарное движение зарядов. Значит,
это не электростатические поля, а какие-то другие. Такие поля,
способные создавать стационарное движение зарядов, в отличие от
электростатических, обычно называют электрическими полями, создаваемыми сторонними силами. Сторонними потому, что электрические заряды сами не способны создать такие поля. Соответственно, силы, вызывающие стационарное движение зарядов ? являются
сторонними силами. Электрическое поле сторонних сил совершает
работу при передвижении зарядов по замкнутому контуру. Она равна произведению тока в контуре на ЭДС, на время, в течение которого шел ток: А = I?dt.
Электрические поля сторонних сил могу быть созданы за счет
различных видов энергий: механической, тепловой, химической,
ядерной и других. Механическая энергия, вращающая генераторы с
током, превращается в электрическую. Батарейки или аккумуляторы работают за счет химических реакций. Ядерные батарейки работают за счет ядерной энергии, высвобождаемой при распаде или
превращении одних ядер в другие.
Возвратимся теперь назад и дадим определение ЭДС. ЭДС, действующая в контуре с током, численно равна работе А, совершаемой при перемещении единичного заряда q0 по контуру:
? = A/q0 .
(5.14)
Можно дать еще одно определение ЭДС. Электрическое поле, создаваемое сторонними силами, можно обозначить как Ест. Работа,
совершаемая при перемещении заряда по контуру А, равна
93
A = ?Fdr = ?q0 Ест dr = q0 ?Ест dr.
Здесь интегрирование берется по контуру, по которому течет ток.
В соответствии с определением ЭДС (15.14), ЭДС ? равна
? = A/q0 = ?Ест dr.
Другими словами, ЭДС равна циркуляции вектора напряженности электрического поля сторонних сил. В отличие от электростатического поля, она не равна нулю на замкнутом контуре, а равна
ЭДС, действующей на данном контуре. Поскольку циркуляция вектора напряженности электростатического поля на замкнутом контуре равна 0, в дальнейшем мы будем считать ее включенной в
электрическое поле на замкнутом контуре.
Мы увидели, что работа, совершаемая электрическим полем, не
равна нулю на замкнутом контуре, если в нем действуют сторонние
силы, задающие ЭДС. Таким образом, электрические поля, сторонних сил, которые являются вихревыми полями ? неконсервативные поля.
То же самое можно сказать и о магнитных полях. Если расположить провод с током в магнитном поле так, чтобы сила, действующая на него со стороны магнитного поля, совпадала бы с направлением перемещения, то работа по перемещению такого проводника,
совершалась бы неконсервативными силами.
Вихревые электрические поля могут реализовываться за счет других полей ? магнитных. Английский ученый М. Фарадей в
1831 году и независимо от него американский ученый Дж. Генри в
1832 году открыли закон электромагнитной индукции. Сейчас его
называют законом электромагнитной индукции Фарадея. Сформулируем его в том виде, который будет нам удобен в дальнейшем.
Если менять поток индукции магнитного поля ФН, проходящего
через проводник, то в проводнике возникает ЭДС, которую принято
называть ЭДС индукции. Математическая формулировка его такова:
? = ?µ0dФН/dt = ? Edr = ?µ0 dФН / dt.
(15.15)
ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения потока
индукции магнитного поля, взятой с обратным знаком. С другой
стороны, ЭДС равна циркуляции вектора напряженности электрического поля и мы можем написать: ? = ? Edr = ?µ0dФН/dt. Эта форма
записи закона электромагнитной индукции Фарадея была введена
Д. К. Максвеллом и входит в систему уравнений Максвелла, описывающих электромагнитные поля.
94
Закон электромагнитной индукции не говорит о том, за счет чего
меняется поток индукции магнитного поля. Он может меняется как
за счет величины магнитного поля, так и за счет изменения площадки, через которую проходит магнитный поток.
Поясним сказанное примерами. На рис. 15.5 нарисован виток
провода, помещенный в магнитное поле. Виток присоединен к токосъемникам. Если мы будем вращать виток, то в зависимости от
его положения поток индукции магнитного поля будет меняться и в
нем генерируется ЭДС. Эта ЭДС снимается с токосъемников и мы
получаем генератор переменного тока.
H
Рис. 15.5
H
E
H
E
H
E
Рис. 15.6
Второй пример. Пусть мы имеем в пространстве переменное
магнитное поле H = H0coswt. Это поле генерирует вокруг себя
переменное электрическое поле E = E0coswt. Переменное электрическое поле также вихревое. Его силовые линии образуют кольца,
как это показано на рис. 15.6. В свою очередь, как мы увидим
далее, переменное электрическое поле генерирует переменное же
магнитное поле и эта цепочка продолжается в пространстве. Образуется новый вид поля ? электромагнитное поле, которое распространяется в пространстве как электромагнитные волны.
В заключение этого раздела рассмотрим систему уравнений Максвелла, которая описывает единым образом все электрические и магнитные явления. Эта система была получена Д. К. Максвеллом в
60-х годах прошлого столетия на основе обобщения эмпирических
законов электрических и магнитных явлений и идей М. Фарадея:
взаимодействие между зарядами осуществляется посредством электромагнитных полей. Фактически мы уже рассмотрели большую часть
уравнений.
Первыми двумя уравнениями являются рассмотренные нами уравнения о потоках индукции электрического и магнитного поля. Поток индукции электрического поля через замкнутую поверхность
95
равен заряду внутри этой поверхности, деленному на диэлектрическую постоянную вакуума. Поток индукции магнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю. Эти уравнения были обобщены Д. Максвеллом и для случая переменных полей. Таким образом, они справедливы и могут быть применены как к постоянным,
так и к переменным полям. Физический смысл этих уравнений
достаточно нагляден. Электрические поля могут начинаться и заканчиваться только на зарядах. Электрическое поле может быть
центральным и вихревым. Магнитные поля всегда начинаются и
заканчиваются сами на себе. Они всегда вихревые.
Третье уравнение Максвелла ? обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно связывает магнитное и электрическое
поля. Его следствием является возникновение вихревого переменного электрического поля при наличии меняющегося потока индукции
магнитного поля.
Четвертое уравнение Максвелла базируется на рассмотренной нами
теореме о циркуляции вектора напряженности магнитного поля:
циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна току (току проводимости), проходящему через
этот контур. Теорема справедлива как для постоянных, так и для
переменных магнитных полей. Однако в случае переменных магнитных полей, Максвелл ввел наряду с током проводимости ток смещения. Ток смещения пропорционален скорости изменения потока индукции электрического поля. Фактически это означает, что, если
имеется переменное электрическое поле, то оно генерирует переменное магнитное поле. Тем самым третье и четвертое уравнения Максвелла связывают между собой переменные электрические и магнитные поля.
Система уравнений Максвелла лежит в основе ряда разделов физики. В первую очередь ? классической электродинамики. Электродинамика описывает поведение и взаимодействие постоянных и переменных токов и зарядов, распространение полей (электрических,
магнитных и электромагнитных) в пространстве.
Среди всех известных видов взаимодействия электромагнитное
занимает первое место по широте и разнообразию. Это связано с
тем, что все тела состоят из положительно и отрицательно заряженных частиц, электромагнитное взаимодействие между которыми
на много порядков сильнее гравитационного, и именно оно ответственно за многообразие физических и химических процессов между
атомами и молекулами.
96
Глава 16. Колебания и волны
§ 1. Колебания, виды колебательных процессов
В природе и в более сложных структурах, таких как общество,
мы часто встречаемся с процессом изменения какого-либо параметра во времени. Мы наблюдаем смену дня и ночи, сезонов в году,
периодических изменений стоимости акций и так далее. Если изменения какого-либо параметра повторяются во времени, их принято
называть колебательными процессами. Имеющиеся у нас чувства ?
зрение и слух также связаны с колебаниями. Более 90 % информации человек получает при помощи зрения и слуха, т. е. при помощи
восприятия колебаний электромагнитного поля ? света и колебаний
давления воздуха ? звука.
Перейдем к более строгим качественным и количественным формулировкам колебаний. Колебательным называется такой процесс,
при котором состояние системы, изменяясь, многократно повторяется во времени. Наиболее распространены и детально изучены периодические колебательные процессы. В этих процессах система через определенный промежуток времени, называемым периодом колебаний (Т), возвращается в исходное состояние. Примером периодического колебательного процесса могут служить движения маятника, качелей, прыгающего мяча и т. д.
В общем случае колебание может совершать материальное тело,
физический параметр, характеризующий поле или среду, а также, любой параметр, описывающий сложную систему, например,
общество.
Если физическая величина X изменяется по закону:
(16.1)
X (t) = A cos (? t + ?0 ) ,
где A ? амплитуда; ?0 = 2?/Т ? круговая частота колебаний; ?0 ?
начальная фаза, то такие колебания называются гармоническими.
Рассмотрим элементы динамики гармонических колебаний. Для
простоты сначала остановимся на механических колебаниях, для
которых Х имеет смысл смещения материальной точки из положения равновесия. Из (16.1) дифференцированием найдем скорость и
ускорение этой материальной точки:
(16.2)
v (t) = X ?(t) = ? A? sin (? t + ?0 ) ,
(16.3)
a (t) = X "(t) = v?(t) = ? A?2 cos (?t + ?0 ).
Найдем силу, под действием которой совершаются гармонические
колебания. Второй закон Ньютона, описывающий движение точки
вдоль оси (0X), принимает вид
97
(16.4)
F (t) = ma(t) = ?m?2 A cos (?t + ?0 ) = ?m?2 X (t) = ?kX (t).
2
Здесь k = m? ? коэффициент пропорциональности между приложенной силой и вызываемым ею смещением. Для упругих систем
он называется жесткостью или коэффициентом упругости, для других систем, подчиняющихся этому же уравнению ? коэффициентом
квазиупругости. Таким образом, гармонические колебания совершаются силой, пропорциональной отклонению тела от положения равновесия и направленной к положению равновесия. Коэффициент k
определяет собственную частоту и период колебаний:
?= k ;
T = 2? m .
(16.5)
m
k
Упругие и квазиупругие силы всегда являются центральными,
так как зависят только величины смещения тела. Следовательно,
эти силы являются консервативными. Для них оказывается возможным ввести потенциальную энергию, которая равна потенциальной энергии упругой (квазиупругой) деформации.
kx2 kX 2 (t) kA2
=
=
cos2 (? t + ?0 ).
(16.6)
2
2
2
Запишем выражение для кинетической энергии колеблющегося
тела:
EП =
mv2 mv2 (t) m?2 A2
(16.7)
=
=
sin2 (? t + ?0 ).
2
2
2
Обратим внимание на то, что оба вида энергии изменяются в
пределах от нуля до максимального значения, причем максимальные значения кинетической и потенциальной энергий тела одинаковы. Кинетическая и потенциальная энергия меняются в противофазе. В моменты времени, когда тело проходит положение равновесия,
вся его энергия определяется кинетической энергией. В моменты
времени, когда амплитуда тела становится максимальной, его энергия определяется потенциальной энергией. Полная механическая
энергия равна
EK =
m?2 A2
kA2
sin2 (? t + ?0 ) +
cos2 (? t + ?0 ) =
2
2
kA2
sin2 ( ? t + ?0 ) + cos2 ( ? t + ?0 ) =
.
2
E = EK + EП =
=
kA2
2
(
)
(16.8)
Полная механическая энергия, как и следовало ожидать, оказалась постоянной.
98
Кроме консервативных сил, в реальной системе могут действовать и неконсервативные силы, например силы трения. При их наличии механическая энергия системы переходит во внутреннюю энергию, т. е. идет на нагрев тела. Полная механическая энергия в этом
случае не сохраняется, она убывает со временем. Значит, должна
уменьшаться и амплитуда колебаний системы A. Если силы трения
прямо пропорциональны скорости тела Fтр = bv (вязкое трение),
амплитуда колебаний A(t) зависит от времени следующим образом:
? b ?
A(t) = A0 exp ? ?
t ? = A0 exp (?? t).
? 2m ?
(16.9)
X (? )
X(t)
0
t
?
0
?0
Рис. 16.1
Рис. 16.2
Амплитуда колебаний убывает по экспоненте (рис. 16.1), параметры которой определяются начальной скоростью и силами трения. Получившиеся колебания называются затухающими. Отметим,
что затухающие колебания протекают медленнее, чем колебания в
той же системе без трения. Их частота немного меньше, а период,
соответственно, немного больше.
2k ? b
2m
; T ? = 2?
.
(16.10)
2m
2k ? b
Для того чтобы амплитуда колебаний не уменьшалась вследствие потерь энергии, в систему необходимо добавлять энергию извне. Добавляемая энергия должна компенсировать потери.
Существуют разные способы передачи энергии в систему. Чаще
всего в технике инициируют так называемые вынужденные колебания. Вынужденные колебания возникают под действием внешней
периодической силы с частотой ?. Эта частота может не совпадать с
частотой собственных (?) или затухающих (??) колебаний. Колебания начинаются сразу на двух частотах: вынужденные на частоте ?
?? = ?2 ? ?2 =
99
и затухающие на частоте ??. Затухающие колебания быстро затухают, и остаются только незатухающие вынужденные колебания. Амплитуда вынужденных колебаний является функцией частоты вынуждающей силы ?. Эта зависимость приведена на рис. 16.2 для
систем с большим (1) и малым трением (2). Если частота вынуждающих колебаний ? близка к частоте собственных колебаний системы
?0, то наступает так называемое явление резонанса. При резонансе
амплитуда колебаний системы максимальна.
Если потери, вызванные силами трения, достаточно малы, то
амплитуда колебаний может стать такой большой, что система может даже разрушится. Известен случай разрушения моста под действием ветра, вызвавшего сильные колебания. В авиации известен
термин, называемый флаттером, когда амплитуда колебаний деталей самолетов становится настолько большой, что самолеты разрушаются в воздухе.
Существуют и другие способы передачи энергии системе для осуществления периодических незатухающих колебаний. В простейшем
случае, который имеет место в механических часах, энергия механической пружины периодически с частотой 1 Гц подводится к маятнику.
Интересен случай возбуждения незатухающих колебаний в системе, с помощью энергии, подводимой непрерывно. Примером возникновения таких колебаний ? автоколебаний могут служить трубы
органов и других музыкальных инструментов. Поток воздуха проходит с постоянной скоростью через органную трубу и передает ей
энергию, за счет которой труба издает звуки определенной тональности. Как можно в этом случае объяснить процесс возникновения
периодических колебаний? Автоколебания возможны только тогда,
когда энергия, передаваемая системе нелинейно, зависит от какогото параметра, например от скорости системы. В разные моменты
времени скорость стенок трубы, с которой соприкасается поток воздуха, различна. И поток воздуха с разной силой "трется" о стенки,
т. е. передает ей разную энергию. Колебания стенок трубы описываются обычными уравнениями колебаний (16.1?16.3). Следовательно, энергия, передаваемая потоком воздуха органной трубе, также
будет меняться по закону гармонического колебания. В конечном
счете процесс передачи энергии от потока воздуха к стенкам трубы
также будет носить периодический характер. Период этого процесса
определяется собственными частотами колебаний трубы. Имеет место явление резонанса, при котором амплитуда колебаний становит100
ся очень большой при сравнительно небольших затратах энергии.
Именно этим явлением объясняется "флаттер" и разрушение моста
сильным потоком воздуха.
§ 2. Распространение колебаний.
Звуковые и электромагнитные волны
Упругой называется среда, которая может сопротивляться деформации. Возьмем, например, металлическую линейку. Закрепим
один ее конец, а на второй подействуем с некоторой силой. Для того
чтобы согнуть линейку требуется прикладывать силу, которая уравновешивается силами, действующими со стороны соседних участков
линейки. Через некоторое время после прекращения действия внешней силы линейка разогнется и перейдет в прямое состояние. Это
пример действия упругих сил в твердых телах. В газах также существуют упругие силы. Возьмем поршень в цилиндре и попытаемся
сжать газ в цилиндре. Упругие силы, возникающие из-за избыточного давления газа, будут стремиться вернуть поршень в положение
равновесия. Жидкости тоже являются упругими средами, в них также
возникают упругие силы.
Отличие упругих сил в твердых телах от упругих сил в жидкостях и газах, заключаются в том, что в твердых телах упругие
силы действуют во всех направлениях, независимо от того, куда
мы стремимся приложить силу. В газах упругие силы возникают
только тогда, когда мы стремимся изменить первоначальный объем
газа. Другими словами, твердое тело сопротивляется изменению
своего объема и своей формы, а жидкости и газы ? только изменению объема.
Если заставить колебаться участок упругой среды, то под действием упругих сил эти колебания будут передаваться соседним участкам среды. Процесс распространения колебаний в упругой среде
называют волнами. В общем случае волна ? это процесс распространения колебаний какого-то параметра (смещения атомов в теле, давления в газах, напряженности электрического поля или еще чегонибудь) в пространстве. В жидкостях и газах колебания могут быть
направлены только вдоль направления распространения волны. Такие волны называются продольными.
В твердых телах колебания могут совершаться как вдоль направления распространения волны, так и поперек. Волны, у которых
колебание совершается перпендикулярно направлению распространения, называются поперечными. Примером продольных волн в газах является звук. Примером поперечных волн являются электро101
магнитные волны, у которых колеблются напряженности электрических и магнитных полей.
Рассмотрим процесс возникновения волн и найдем уравнение,
описывающее волну. В качестве модели возьмем длинную натянутую
струну или веревку. В исходном состоянии она неподвижна. В начальный момент времени t0 начнем колебать в поперечном направлении незакрепленный конец веревки.
X(t)
v
A
?
Z0
0
Z
Рис. 16.3
Пусть некоторую точку смещают из положения равновесия и
отпускают. Точка начинает колебаться по гармоническому закону
? = A cos ? t (рис. 16.3). Через некоторое время точка отойдет от
положения максимального отклонения и станет перемещаться к
положению равновесия. Через четверть периода колебаний точка
достигнет его, минует и станет двигаться дальше к максимальному отклонению ?max = А, равному амплитуде. Спустя некоторое
время все то же самое случится с соседней точкой. С течением
времени колебание может распространиться на всю веревку. Каждая точка веревки (если пренебречь затуханием, т. е. силами сопротивления) будет колебаться по закону ? = A cos ( ? t + ??) . Фаза
колебания каждого участка ? = ?t + ?? веревки будет своя. По
веревке будет распространяться колебание, т. е. возникнет так
называемая бегущая волна.
Введем параметры, характеризующие волну. Минимальное расстояние между двумя участками веревки, колеблющимися в одинаковой фазе назовем длиной волны ? (рис. 16.3). Участки веревки с постоянной фазой колебания перемещаются слева направо.
Скорость перемещения постоянной фазы колебания называют фа102
зовой скоростью v. За время, равное одному периоду колебаний T,
волна пробегает расстояние, равное ее длине ?.
? = v T.
(16.11)
Поверхность, все точки которой колеблются в одинаковой фазе,
называется волновой поверхностью. Геометрическое место точек,
которых достигло возмущение от источника называется волновым
фронтом (точка Z0 на рис. 16.3). Эти понятия очень похожи, но не
тождественны. Волновой фронт перемещается со скоростью волны,
а волновые поверхности неподвижны лишь в один момент времени
они совпадают друг с другом. Если, например, колонна машин едет
по дороге, то первую машину можно уподобить волновому фронту, а
встречающиеся на пути километровые столбы ? волновым поверхностям. Пусть волна распространяется из точки 0 вдоль оси (0Z).
Найдем фазу волны в произвольной точке Z (рис. 16.3).
Колебание волны в точке Z можно представить в виде:
?(z, t) = A cos ?( t ? t?) , где t? ? время запаздывания колебаний в
точке Z по сравнению с колебаниями в точке 0. За это время волновой фронт проходит расстояние от начала отсчета до точки Z. Это
время равно t? = z
v
. С учетом ? = 2?
T
имеем
?
2 ?z ?
2? ?
?
z =
? (z, t) = A cos (? t ? ? t?) = A cos ? ? t ?
? = A cos ? ? t ?
vT ?
? ??
?
?
(16.12)
= A cos (? t ? kz);
т. е. ? (z, t) = A cos (? t ? kz) ,
где k ? волновое число, которое показывает сколько длин волн ?
укладывается на отрезке, длиной 2?.
Полученное выражение называется уравнением бегущей волны.
Оно определяет колебание волны в каждой точке пространства, являясь функцией координаты z и времени t.
Часто, кроме круговой частоты колебаний ? = 2?/T, используют
циклическую частоту v = 1/T. Частота измеряется в Герцах, 1 Гц ?
это 1 колебание в секунду. В общем случае вместо смещения точки
среды из положения равновесия можно ввести любой "колеблющийся" параметр. Для звуковых волн таким параметром является давление газа в данной точке пространства. Звуковые волны ? продольные волны и физически сводятся к процессу распространения в
газе колебаний давления. Эти колебания обычно создают путем колебаний мембраны перпендикулярно ее плоскости. Возникающие перепады давления и представляют собой звуковую волну. Область
103
частот, которые слышит человеческое ухо, лежит в диапазоне
20?20000 Гц.
Другим чрезвычайно важным видом волн являются электромагнитные волны. Электромагнитные волны могут возникать и распространятся в пустом пространстве, т. е. в вакууме. Из уравнений
Максвелла следует, что переменное магнитное поле создает вокруг
себя в пространстве переменное электрическое поле. В свою очередь,
переменное электрическое поле создает вокруг себя в пространстве
переменное магнитное поле. Этот процесс приводит к появлению в
пространстве некоторой волны ? электромагнитной волны. Эта волна является поперечной.
Напряженности электрического и магнитного полей волны перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны.
Особенностью электромагнитных волн является то, что для их распространения не требуется никакой среды. Переменные электромагнитные поля могут распространяться в вакууме.
Для количественного описания волн вводят два понятия: интенсивность волны и объемную плотность энергии волны. Интенсивность волны ? это средняя по времени энергия, переносимая
волнами через единичную площадь, параллельную волновому фронту, за единицу времени. Объемная плотность энергии ? это энергия волн, приходящаяся на единицу объема. Волна ? это процесс
распространения колебаний в пространстве (в упругой среде, как
это имеет место для звуковых волн, или в вакууме, как это имеет
место для электромагнитных волн). Энергия колебаний определяется амплитудой и частотой. Она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. В системе СИ интенсивность волны выражается в Вт/м2.
Без вывода приведем выражения для интенсивности и скорости
звуковой и электромагнитной волн. Для звуковой волны:
J=
vP =
1
? vA2?2 ;
2
E
;
?
v? =
(16.13)
G
,
?
(16.14)
где А ? амплитуда колебаний среды; ? ? частота; v, vP , v? ? скорость волны, продольной и поперечной; ? ? плотность среды, в
которой распространяется звуковая волна; E ? коэффициент Юнга;
G ? коэффициент сдвига.
104
Распространение звука в упругой среде связано с объемной деформацией. Поэтому давление в каждой точке среды непрерывно
колеблется с частотой ? вокруг некоторого среднего значения. Давление, вызванное звуковой деформацией среды, называется звуковым давлением.
Наше ухо воспринимает звуковые давления неодинаково на разных частотах. Область частот, которые воспринимает ухо, лежит в
диапазоне 20?20000 Гц. Наибольшей чувствительностью ухо обладает в диапазоне частот около 1000 Гц. На этих частотах ухо способно воспринимать звуки, звуковое давление в которых отличается
на 7 порядков.
Для интенсивности электромагнитной волны справедливо:
J=
1
1 ??0 2 1 µµ0 2
E0 H0 =
E0 =
H0 ,
2
2 µµ0
2 ??0
(16.15)
где E0 и H0 ? амплитуды напряженности электрического и магнитного полей; ? и µ ? диэлектрическая и магнитная проницаемости
среды; ?0 и µ0 ? диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума ? постоянные, введенные в системе СИ. Скорость распространения электромагнитных волн в среде равна
v=
1
?µ ?0µ0
.
(16.16)
В вакууме ? = µ = 1 , поэтому скорость электромагнитной волны
в вакууме будет равна
c=
1
?0 µ0
? 300 000 000,
м
.
с
(16.17)
Как видно, она равна скорости света в вакууме с, что не
удивительно, поскольку свет является электромагнитными волнами.
§ 3. Волновые явления: поляризация, интерференция,
дифракция и дисперсия
Распространение волн в пространстве и их взаимодействие со
средой приводит к появлению целого класса явлений, которых
нет при механическом движении тел. Рассмотрим основные из
них для звуковых и электромагнитных волн.
105
В поперечных волнах (к которым относятся электромагнитные
волны) колебания происходят перпендикулярно направлению распространения волны. Эти колебания могут быть как упорядоченными, так и неупорядоченными. Например, колебания могут происходить только в одном выделенном направлении. Волны, у которых
колебания совершаются в одной плоскости, называются плоско поляризованными.
В каждой точке пространства волна представляет собой колебание с определенной начальной фазой. Два колебания в выбранной
точке пространства складываются друг с другом. Ограничимся случаем, когда складываются волны с одинаковыми частотами. Если
складываются два колебания в одинаковой фазе, то амплитуда результирующего колебания максимальна и равна сумме амплитуд.
Если же складываются два колебания в противофазе, то результирующая амплитуда будет минимальна и равна модулю разности амплитуд этих колебаний. При произвольной разности фаз складывающихся колебаний амплитуда результирующего колебания может меняться от нуля до максимума. Если, например, складываются два
колебания с одинаковыми амплитудами и одинаковыми фазами, то
результирующая амплитуда удвоится, а интенсивность возрастет в
четыре раза. Если же колебания с равными амплитудами сложатся
в противофазе, то колебания полностью погасят друг друга, и интенсивность результирующего колебания окажется равной нулю.
Интенсивность двух складывающихся волн не равна сумме их интенсивностей. Явление стационарного во времени увеличения интенсивности волн в одних точках пространства и уменьшения в других
называется интерференцией. Еще раз подчеркнем, что для наблюдения интерференции необходимо, чтобы частоты колебаний были одинаковыми. Такие волны называются когерентными.
Наряду с плоскими волнами, которые мы рассматривали до сих
пор, существуют и другие типы волн, например, сферические или
цилиндрические. Напомним, что тип волны или форма волновой
поверхности определяется формой источника и законом его колебания. Сферический источник, как правило, создает сферические волны. Такие волны не имеют выделенного направления и распространяются во всех направлениях одинаково. Если в среде нет неконсервативных сил, то амплитуда колебаний таких волн убывает обратно
пропорционально расстоянию, а интенсивность, соответственно, обратно пропорционально квадрату расстояния.
Введение сферических волн необходимо для понимания еще одного чисто волнового явления ? дифракции. Под дифракцией понима106
ют огибание волнами препятствия и их захождение в область геометрической тени. Представим себе следующую ситуацию. У нас есть
закрытая комната, в одной из стен которой есть окно. Напротив
стены с окном стоит стрелок и стреляет в него. Естественно, если
пули не рикошетят, все они попадут в стенку за окном и никогда не
достигнут боковых стен. Если мы рассматриваем движение материальных тел, то эти тела (в отсутствие силовых воздействий) в
соответствии с первым законом Ньютона двигаются прямолинейно.
Если на их пути встречаются препятствия, тела не огибают их.
По-иному ведут себя волны. Волна есть процесс распространения
колебаний в пространстве. Если в какой-то точке упругой среды
возникнут колебания, то они за счет упругости среды передадутся в
окрестные точки, т. е. возникнет сферическая волна. Как будет распространяться в пространстве волна с произвольным фронтом? Ответ на этот вопрос дал в XVII веке Х. Гюйгенс (1629?1695), сформулировав принцип, названный его именем. Гюйгенс предложил считать каждую точку фронта волны источником сферических волн. За
время ?t с??ерические волны распространятся на некоторое расстояние. Новым фронтом волны через время ?t будет огибающая этих
сферических фронтов.
Рассмотрим два примера, иллюстрирующих принцип Гюйгенса.
На рис. 16.4 показано прохождение плоской волны через отверстие
небольшого размера, соизмеримого с длиной волны. Слева на отверстие падает плоская волна. Какой она станет после прохождения
отверстия? Разобьем отверстие на зоны размерами порядка длины
Рис. 16.4
107
волны. Каждая такая зона может рассматриваться как источник
сферических волн.
Пусть за время ?t сферическая волна распространится на расстояние ?r, как это показано на рисунке. Огибающая сферических
волн уже не будет плоской волной. Продолжим этот процесс. Если
взять достаточно большой промежуток времени t, т. е. рассматривать волновые поверхности на большом по сравнению с размерами
отверстия расстоянии, то прошедшая через него плоская волна превратится в сферическую волну. Волна за отверстием будет распространяться во все стороны, в том числе и в область геометрической
тени.
Рассмотрим другой пример, иллюстрирующий принцип Гюйгенса. Пусть плоская волна падает на границу раздела сред (1) и (2),
как это показано на рис. 16.5. Угол падения обозначим через ?1.
Скорость распространения волны в первой среде равна v1, во второй
v2. Найдем, под каким углом ?2 будет распространяться волна во
второй среде.
v2
v1
B
C
D
A
Рис. 16.5
В соответствии с принципом Гюйгенса каждую точку на границе
двух сред мы можем считать источником вторичных сферических
волн. Система симметрична и нам достаточно взять две точки: А и
В, которые ограничивают фронт падающей волны. Проведем из точки А прямую, перпендикулярную направлению распространения
фронта волны AC. Эта прямая совпадает с фронтом волны в момент
времени t0.
Фронт волны достигнет точки А в момент времени t0. Точка С
фронта волны достигнет точки B в момент времени t. Время t ? t0 =
108
= CB/v1v= AB sin (?1)/v1. За время t ? t0 из точки А распространится сферическая волна с радиусом AD = (t ? t0) v2. Фронт волны
во второй среде будет проходить через точку В и будет касателен к
сфере радиусом АD. Любая точка отрезка АВ может рассматриваться как источник вторичных сферических волн. За время t ? t0 они
распространятся в среде 2 на некоторые расстояния. Касательные к
окружностям этих точек и дадут прямую ВD. Во второй среде также
распространяется плоская волна.
Поскольку AD = AB sin (?2) = v2(t ?t0) с одной стороны и с другой
стороны АВ sin (v1) = v1 (t ? t0), приравнивая АВ из этих уравнений
и сокращая на (t ? t0), получаем уравнение преломления волн на
границе двух сред
sin ?1 v1
=
.
sin ?2 v2
(16.18)
Скорость распространения световых волн в среде v определяется
коэффициентом преломления n этой среды и скоростью света в вакууме с:
c
.
(16.19)
n
Подставив это соотношение в уравнение (16.18), получим закон
преломления света
v=
sin ?1 n2
=
.
sin ?2 n1
(16.20)
Закон преломления света был сформулирован в трудах Архимеда
около двух с половиной тысяч лет назад. Наряду с законом прямолинейного распространения света и законом невзаимодействия световых волн, он является одним из основных законов оптики. Подавляющее большинство расчетов оптических систем (очков, биноклей,
фотоаппаратов и т. д.) базируется на этих законах.
Значение показателя преломления n можно найти, воспользовавшись уравнениями (16.16) и (16.17).
c
(16.21)
= ?µ .
v
В этой формуле ? и µ ? диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, соответственно. Поскольку для всех оптически прозрачных сред µ ? 1 (с точностью до трех знаков после запятой),
n=
справедливо выражение n = ? .
109
В заключение раздела рассмотрим явление дисперсии. Проявление его известно с незапамятных времен. Все мы наблюдали радугу в
небе после дождя, любовались игрой света в драгоценных камнях.
Все эти эффекты связаны с явлением дисперсии. Под явлением дисперсии понимают зависимость скорости распространения волн или
коэффициента преломления среды от длины волны или частоты колебаний.
Рассмотрим опыт Ньютона по наблюдению дисперсии света
(рис. 16.6).
Экран
Красный
Оранжевый
Желтый
Зеленый
Голубой
Синий
Фиолетовый
Рис. 16.6
На гранях призмы в соответствии с законом преломления свет
преломляется. Коэффициент преломления стекла n различен для
разных длин волн, т. е. n = n (?). Показатель преломления для
синего света больше, чем для красного, поэтому, в соответствии с
законом преломления (16.20) синий свет преломляется сильнее, чем
красный.
Кроме красного и синего цветов в естественном свете присутствуют все остальные цвета, и коэффициенты преломления для каждого
из них различны. Каждый из этих лучей будет преломляться под
разным углом. На экране будут наблюдаться все цвета радуги, переходящие друг в друга от красного до фиолетового.
Этот же эффект мы наблюдаем при прохождении света через грани отшлифованного алмаза ? бриллианта. Природный алмаз имеет
очень высокую дисперсию и большое значение коэффициента преломления n = 2,4. Именно поэтому белый свет, преломляясь на
гранях алмаза, хорошо разделяется на все цвета радуги.
В заключение подчеркнем еще раз основное отличие движения
волн от движения материальных тел. Волна ? это не материальное
110
тело, а процесс распространения колебаний в пространстве. Она не
локализована в какой-либо точке пространства и обладает бесконечным числом степеней свободы. Волна может обладать характеристиками, не имеющими аналогов для материальных тел, например,
поляризацией. Прохождение волн в среде или пространстве сопровождается явлениями, отсутствующими при движении материальных тел: интерференцией, дифракцией, дисперсией.
111
4. МИР ВОЗМОЖНОГО
Глава 17. Вероятностный детерменизм
В предыдущих разделах рассматривалось движение макроскопических систем. При этом изучались два вида материи: частицы (или
системы частиц) и поля (постоянные и переменные). Соответственно, рассматривались и два вида движения: механическое движение
корпускулярных макроскопических систем и движение полей, в первую очередь, волн. Принципиальное отличие этих видов материи и
законов движения заключается в следующем. Положение и перемещение частиц в пространстве детерминировано. Для описания поведения частицы достаточно знать ограниченное число параметров
(степеней свободы) и законы ее движения. Энергия частицы локализована в самой частице.
Поля (включая переменные ? волны) не локализованы в пространстве. Для их описания требуется столько же параметров, сколько
точек в пространстве, т. е. бесконечное число. Задание поля в любой точке пространства можно произвести с помощью какого-либо
закона (закона Кулона, закона всемирного тяготения или уравнения
распространения волны). Энергия поля и волн не локализована в
какой-либо точке пространства. Можно говорить лишь об энергии
поля, заключенной в каком-то объеме и задать объемную плотность
энергии w, которая определяется отношением полной энергии поля
или волны dE в выделенном элементе объема к этому элементу объема dV: W = dE/dV. Введенная таким образом величина W будет
относиться к конкретной точке пространства, т. е. будет локализованной.
Оба вида материи обладают своими законами, которые применимы только к ним. Так движение частиц не имеет таких свойств, как
дифракция, интерференция или дисперсия. Наоборот, понятие механическое движение частицы не применимо к полю или волне.
Поля и волны не локализованы в пространстве.
Описание движения полей и материи в классической механике
детерминировано. Можно однозначно предсказать, куда будет двигаться частица или какая часть волны отразится от препятствия.
112
Именно поэтому предыдущий раздел физики назывался физикой необходимого.
Как будет показано в дальнейшем, движение микрочастиц не детерминировано в классическом понимании. Невозможно точно сказать, какой скоростью обладает частица с известными координатами. Невозможно однозначно утверждать провзаимодействуют два
атома при столкновении или нет, можно только определить вероятность такого события.
Резюмируя сказанное, можно утверждать, что от классического,
однозначного детерминизма, когда параметры системы (координаты, скорость вещества или амплитуды напряженностей полей в пространстве) однозначно определены в пространстве и времени, мы
переходим к вероятностному детерминизму.
В концепции вероятностного детерминизма однозначно определяется вероятность существования параметров системы в пространстве и времени w. Совокупность параметров системы, их поведение в
пространстве и времени задаются некоторой функцией вероятности
?, которая и определяет, как ведет себя система во времени, но не
жестко детерминировано, а с заданной вероятностью. Вероятность
нахождения системы (dw), параметры которой (например V) лежат
в интервале от V до V + dV будет определятся как
dw = ? dV.
(17.1)
Вероятностный метод подхода к описанию явления, процесса, поведения системы используется во всех разделах естествознания. Он
тем более точен, чем больше объектов присутствует в рассматриваемой системе. Приведем несколько примеров.
Когда записывают химическую реакцию в виде
А + В
С + D,
то это означает, что, с определенной вероятностью w, две молекулы А и В после реакции перейдут в две молекулы С и D. Одновременно две молекулы C и D после реакции перейдут в две молекулы A и B. Если вероятность w = 0,5, то реакция не идет. Число
молекул А + В или С + D остается неизменным с точностью,
определяемой общим количеством молекул.
Относительная погрешность расчета равна (N)0,5/N, где N ? число элементов системы, участвующих в процессе, в нашем случае
число молекул. Например, если в реакции участвует по 1 грамммолекуле веществ, то их число остается неизменным с точностью
1,29?10?12.
113
В рассматриваемом примере мы не обсудили функцию распределения вероятности ?, которая и определяет саму вероятность w (в
нашем примере w = ? = 0,5). В общем случае ? зависит от многих
параметров. Наиболее существенным является температура Т0. Мы
задали w = 0,5 при какой-то фиксированной температуре. Если температура изменится, изменится и ?, и w. Реакция "пойдет", изменится соотношение числа молекул в рассматриваемой системе.
Другой пример из биологии и социологии. Семья, планирующая
иметь ребенка, не может заранее сказать, мальчик у них будет, или
девочка. Практически с одинаковой вероятностью может родиться и
мальчик, и девочка. Функция распределения вероятности рождения
имеет такое большое число параметров, что все знать мы не в состоянии.
Если быть более точными, то вероятность рождения мальчика
равна 0,512, а девочки 0,488. Ошибки в третьем знаке после запятой могут быть замечены уже при рождении нескольких десятков
тысяч младенцев, как это следует из предыдущих рассмотрений.
Эти цифры были известны еще в прошлом веке. Наиболее точную
статистику рождаемости вели в Париже, где была обязательная регистрация младенцев. Однажды было замечено, что число рожденных, (зарегистрированных) девочек больше, чем мальчиков. Это
противоречило известным из теории вероятности данным. Анализ
происшествия показал, что год, на который пришлось отклонение,
приходился на год войны. Во время войны многие крестьянки из
окрестностей Парижа сдавали в приюты рожденных девочек, считая, что из мальчиков вырастет кормилец семьи. Кроме того, по
этим же причинам смертность новорожденных девочек была выше.
Как видно из этого примера, социальные явления также могут влиять на биологические события.
Концепции вероятностного детерминизма наиболее ясно и полно
проявились в микромире, в рамках нового раздела физики ? квантовой физики. В микромире описание поведения отдельной микрочастицы (электрона, атома или молекулы) определяется только вероятностным детерминизмом. В настоящем разделе мы рассмотрим
историю становления квантовой физики, ее основные идеи и концепции. Именно поэтому настоящий раздел называется миром возможного в естествознании.
Глава 18. Экспериментальные основы квантовой механики
Основы квантовой механики были заложены в работах конца XIX,
начала XX веков. В этих работах вскрывались непримиримые противоречия между принципами и законами классической физики и
114
накопленными к тому времени экспериментальными фактами. Остановимся на работах в области квантовой оптики и строения атома.
Рассмотрим явления, которые не могли быть объяснены в рамках
классической физики.
Сначала рассмотрим эксперименты по излучению и поглощению
света. В рамках классической физики и электродинамики Максвелла излучать электромагнитные волны могли лишь заряженные частицы (например электроны), движущиеся с ускорением. Если ускорение заряженной частицы изменяется по гармоническому закону с
частотой w (см. формулу (16.3)), то излучать такая частица будет
на той же частоте w, т. е. в ее спектре будет присутствовать лишь
одна длина волны (или частота). Такие спектры называются линейчатыми. Если же ускорение частицы изменяется по любому закону,
отличному от (16.3), или не меняется вовсе, то спектры излучения
таких частиц будут сплошными или непрерывными, т. е. в них
будут присутствовать волны со всеми длинами (или частотами) в
некотором диапазоне.
На рис. 18.1 показаны экспериментально наблюдаемые спектры
излучения нагретого твердого тела (кривая а) и разреженного газа
(линии б). На этом рисунке по горизонтали отложены длины волн ?,
на которых излучается свет, а по вертикали ? относительные интенсивности излучения I в условных единицах. Если спектр излучения нагретого тела на первый взгляд не противоречит классической
теории излучения, то спектр излучения разреженных газов не может быть объяснен с позиций классической электродинамики.
B
I
a
б
б
б
б б
?
Рис. 18.1
Исследование спектра излучения водорода показало, что длины
волн излучения ? подчиняются простой закономерности
? 1
1
1 ?
= R? 2 ? 2 ? ,
?
?
?
? n1 n2 ?
(18.1)
115
где R = 10967776 ± 5 (м?1) ? постоянная Ридберга, названная в
честь шведского физика Ю. Р. Ридберга (1854?1919), имеющая
смысл граничной длины волны между сплошным и линейчатым
спектром в минус первой степени: n1 и n2 ? натуральные числа,
причем n1 < n2.
Отметим важный момент. Формула, описывающая спектр излучения водорода, содержит набор целых чисел. В квантовой физике именно целые числа играют важную роль при описании поведения микросистем. Попытки получить что-либо подобное с позиций классической физики были просто бессмысленны.
В конце прошлого века ряд ученых сделали попытки получить
формулы, описывающие излучение нагретых твердых тел. Естественно, что в основе всей теории лежали классические представления. Рэлею в 1900 году и Джинсу в 1904 году удалось вывести
такую формулу, ее график приведен пунктиром на рис. 18.1. В
инфракрасной области спектра эта зависимость хорошо согласуется с экспериментом, в области видимого света она расходится с
экспериментом очень сильно, а в ультрафиолетовой области ?
катастрофически. Вывод формулы Релея ? Джинса был проведен
в рамках классической физики безупречно, а результат получился абсурдным, поскольку излучаемая нагретым телом энергия должна была по этой формуле стремится к бесконечности. Неспособность классической физики объяснить излучение нагретого тела
назвали "ультрафиолетовой катастрофой".
Световое излучение
?
Катод
e
Анод
e
E
Рис. 18.2
116
+
e
e
I
Существовали еще другие эксперименты по фотоэффекту, проведенные в 1888?1890 годах нашим соотечественником А. Г. Столетовым (1839?1896). Идея эксперимента заключалась в следующем:
световое излучение с длиной волны (?) направлялось на пластину
металла ? катод (К), находящуюся в стеклянной колбе с откачанным воздухом (рис. 18.2). В этой же колбе размещался анод (А).
Между электродами прикладывалось напряжение требуемой полярности от источника (Е). Свет вырывал из катода электроны (е),
которые затем попадали на анод. Меняя разность потенциалов между катодом и анодом, можно было определить энергию вырванных
электронов и исследовать зависимость этой энергии от параметров
электромагнитного излучения. Для определения кинетической энергии вырванных электронов необходимо было приложить между анодом и катодом отрицательное напряжение U. Когда сумма кинетической и потенциальной энергий электрона оказывалась отрицательной, электрический ток, создаваемый летящими электронами, прекращался:
mv2
mv2
? eU ? 0, ?
= eUmin .
(18.2)
2
2
Таким образом, измеряя минимальное задерживающее напряжение между анодом и катодом, можно было найти кинетическую энергию вылетевших электронов.
Опыты Столетова показали, что энергия вырванных из катода
электронов линейно связана с частотой падающего света. Из классической же теории следовало, что их энергия должна быть пропорциональной квадрату амплитуды напряженности электрического поля
падающей электромагнитной волны или интенсивности этой волны.
Таким образом, наблюдалось явное расхождение классической теории с экспериментом.
В основе "классических" теорий теплового излучения и фотоэффекта лежало предположение о непрерывности процесса излучения
и поглощения электромагнитных волн, т. е. считалось, что могут
поглощаться и испускаться любые порции энергии.
Обойти "ультрафиолетовую катастрофу" удалось М. Планку (1858?
1947). В 1905 году им был сделан доклад на заседании Берлинской
Академии наук, в котором он предложил формулу, качественно и
количественно объясняющую излучение нагретых тел. М. Планк
опирался на гипотезу, что свет испускается порциями ? квантами с
энергией, равной
E = hv ,
(18.3)
117
где h = (6,6254 ± 0,0002)?10?34 Дж?с ? постоянная Планка, а
v = ?/c ? частота электромагнитного излучения. Естественно, что
гипотеза Планка противоречила классическим представлениям теории электромагнитного излучения ? электродинамике Максвелла и первоначально принималась как абстрактная гипотеза.
Гипотезу Планка развил А. Эйнштейн. Он предположил, что электромагнитное излучение не только испускается, но и поглощается
порциями ? квантами. В рамках этого предположения Эйнштейн
смог легко объяснить опыты по фотоэффекту. Действительно, из
закона сохранения энергии следует, что поглощенный квант света с
энергией E = hv тратится, во-первых, на работу выхода AB, необходимую для вырывания электрона из металла, и, во-вторых, на
сообщение электрону кинетической энергии. В предположении, что
один квант энергии может выбить из металла только один электрон,
закон сохранения энергии записывается
mv2
.
(18.4)
2
Это уравнение сегодня называется уравнением Эйнштейна для
фотоэффекта. Из него однозначно следует, что энергия фотоэлектронов связана линейной зависимостью с частотой падающего света.
Позднее А. Эйнштейн в рамках этой гипотезы создал квантовую
теорию излучения и поглощения света, которая является основой
квантовой электродинамики и квантовой электроники.
В начале нашего века было известно, что существует радиоактивный распад атомов, в ходе которого из атома вылетают положительно и отрицательно заряженные частицы (в том числе электроны).
На основании этих экспериментов предполагалось, что положительный заряд распределен равномерно в пределах шара, радиусом порядка a B 10?10 м, а электроны находятся внутри этого шара и
взаимодействуют с отдельными его частями и друг с другом по закону Кулона. Эта модель атома была предложена в 1903 году английским физиком Д. Д. Томсоном (1856?1940) и часто называлась моделью "пудинг с изюмом". Однако вплоть до 1911 года, до опыта
Э. Резерфорда (1871?1937), не было никаких гипотез, объясняющих линейчатые спектры излучения разреженных газов.
В 1911 году Э. Резерфорд поставил опыт по рассеиванию
?-частиц (ядер атома гелия), которые рождались при радиоактивном распаде некоторых элементов. Все ??частицы вылетали из специального контейнера (К) и проходили через систему диафрагм (Д) с
практически одинаковыми скоростями порядка 107 м/с. Сформироhv = AB +
118
ванный пучок из ?-частиц проходил сквозь тонкую металлическую
фольгу (Ф) (рис. 18.3). Проходя через фольгу, ?-частицы отклонялись от своего первоначального направления и регистрировались на
экране (Э) из сернистого цинка в виде световых вспышек, видных
под микроскопом.
Люминесцирующий экран
К
Система диафрагм
Фольга
Рис. 18.3
В соответствии с моделью атома Томсона ?-частицы должны были
при каждом столкновении с атомом отклоняться на очень небольшие углы, порядка 0,01° B0,1°. В результате многочисленных столкновений с атомами при пролете сквозь фольгу ?-частицы должны
были отклониться на углы порядка 1° B10°. Частиц, отклонившихся на большие углы, быть не могло, частиц, совсем не отклонившихся, должно было быть очень мало.
Что же наблюдалось в действительности? На опыте оказалось,
что B99 % частиц вообще не отклонились от своего направления,
т. е. не сталкивались с атомами, пролетая сквозь фольгу. Это значило, что B99 % из числа отклонившихся частиц при пролете сквозь
фольгу не испытали даже однократного столкновения с атомами. Из
этого можно было сделать вывод, что эффективный размер атома, с
которым сталкиваются частицы, гораздо меньше известного из других опытов. Таким образом, в опыте Резерфорда фактически наблюдалось столкновение ?-частицы с одиночным атомом. Оказалось, что
?-частицы, столкнувшиеся с атомом, отклонялись в среднем на гораздо большие углы, чем ожидалось. Среди рассеянных частиц были
отклонившиеся на очень большие углы, вплоть до 180°.
119
Угол рассеяния зависит от силы взаимодействия ?-частицы с атомом. Эта сила ? сила Кулона очень сильно зависит от расстояния:
F = kq? Qr ?2 . В этой формуле k ? константа, зависящая от выбора
системы единиц; q? ? заряд ?-частицы; Q ? положительный заряд,
имеющийся в атоме. В рамках модели Томсона ?-частицы должны
пролетать сквозь атомы. Максимальная сила их взаимодействия с
атомом будет на границе атома при r = a , т. е. Fmax = kq? Qa?2 . На
меньших расстояниях взаимодействие будет происходить не со всем
зарядом Q, а лишь с его частью, уменьшающейся быстрее, чем r2.
Таким образом, очень большое значение силы Кулона может быть
достигнуто лишь в том случае, когда положительный заряд атома
будет сосредоточен в очень маленьком ядре размером RЯ B10?14 м,
т. е. в 10000 раз меньше размеров атома. Если в этом ядре будет
сосредоточена практически вся масса атома, то при столкновении с
таким ядром ?-частицы будут менять траекторию за счет кулоновских сил взаимодействия.
Из опыта Резерфорда следовало, что атом имеет иную структуру,
чем по Томсону. В атоме имеется очень маленькое положительно
заряженное ядро, вокруг которого вращаются электроны. Масса электронов мала по сравнению с массой ядра. Однако эта модель атома
противоречила классической электродинамике. В чем же состоит
это противоречие? Чтобы электроны не упали на ядро, они должны
вращаться вокруг него подобно планетам в Солнечной системе. Однако вращаясь, они испытывают ускорение, и, в соответствии с законами классической электродинамики, должны излучать энергию
в виде электромагнитных волн. Излучая энергию электрон сам должен был ее терять и приближаться к ядру. Через очень короткое
время B10?8 с электрон должен был бы упасть на ядро и атом,
соответственно, прекратить свое существование.
Глава 19. Корпускулярно-волновой дуализм
Учеными были предприняты попытки создания теорий, которые
могли бы объяснить эксперименты Э. Резерфорда. Наибольший след
оставила теория Н. Бора, созданная в 1913 г. В ее основе лежат два
постулата.
Первый постулат. Из всех возможных орбит электрона в атоме
осуществляются только те, которые подчиняются требованиям дискретности, т. е. не непрерывному распределению энергии, а дискретному, разрывному. Электрон, находящийся на такой орбите, не
излучает, несмотря на то, что он двигается с ускорением и с точки
120
зрения классической электродинамики должен излучать электромагнитные волны. Орбиты, двигаясь по которым, электрон не излучает, называют стационарными.
Условие для стационарных орбит Н. Бор получил исходя из постулата М. Планка о квантованности энергий электромагнитного
излучения. Согласно этому постулату, энергия системы (гармонического осциллятора у М. Планка и электрона в атоме у Н. Бора)
равна Еn = hv (cм. 18.3). Этот постулат определяет правило квантования момента количества движения электрона Ln в соответствии с
формулой 18.3. Его значение должно быть равным: Ln = mvr =
= nh/2?, где m, v и r ? масса, скорость и радиус орбиты электрона;
h ? постоянная Планка, а n ? натуральное число, принимающее
значения 1, 2, 3...
Первый постулат определил важное направление во всей квантовой физике. Он ввел понятие квантованности параметров, описывающих движение частицы. Эти параметры: скорость, импульс или
количество движения, момент количества движения, радиус орбиты
и, конечно, энергия не могут принимать непрерывный набор значений, как это имело место в классической физике. Они могут принимать только некоторый набор дискретных значений.
Второй постулат утверждал: при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается или поглощается квант
энергии. Энергия кванта равна разности энергий тех стационарных
состояний, между которыми произошел переход. Если энергию одного состояния обозначить через En, а другого через Em, то излучается квант с частотой vnm, где частота vnm удовлетворяет условию: 2?hvnm = En ? Em.
Введенные постулаты позволили Н. Бору получить дискретный
спектр излучения атома и для водорода вывести формулу 18.1. Слабой стороной теории Н. Бора была ее внутренняя противоречивость.
Она не была ни последовательно классической, ни последовательно
квантовой теорией. В силу этого, она не позволяла объяснять спектры более сложных, чем водород, атомов. Она являлась только переходным шагом на пути к созданию последовательной теории, объясняющей поведение микросистем.
Теория Бора была крупным шагом в развитии атомной и всей
квантовой физики. В первую очередь она показала неприменимость
представлений классической физики к микросистемам, в том числе
к атому, и необходимость введения квантованности параметров микросистемы.
121
Ограничения теории Бора показали неприемлемость классического подхода к описанию микросистем. Требовалось выдвинуть новую, глобальную идею, на основе которой можно было бы получить
целостную, непротиворечивую теорию микромира. Такая идея была
выдвинута только через 11 лет после создания теории Бора. В
1924 году французский ученый Луи де Бройль выдвинул гипотезу
о двойственности природы микромира. Он предположил, что микрочастицы обладают одновременно свойствами частиц и волн. Это
положение, неприемлемое с точки зрения классической физики,
оказалось универсальным при описании не только микро, но и
макромира.
Луи де Бройль предположил, что все системы, в том числе и
микрочастицы, обладают как волновыми, так и корпускулярными
свойствами. Согласно предположению, любому телу, с массой m,
движущемуся со скоростью v, соответствует волна
? = h/mv .
(18.4)
Формулу 18.4 легко получить применительно к квантам света.
Энергия кванта, которому можно приписать массу m, определяется с одной стороны как Е = mc2, с другой стороны она равна E =
= hc/? . Приравнивая правые части этих формул и учитывая, что
для фотона скорость распространения v равна скорости света с,
получаем формулу 18.4.
Движение тела в пространстве и времени происходит так же, как
распространение волны с длиной ?.
Вопрос о корпускулярно-волновом дуализме был предметом дискуссий в течение нескольких десятков лет. Первоначально волны Л.
де Бройля предполагались как наглядно-реальные волновые процессы типа электромагнитных волн. Позднее волны Л. де Бройля трактовались как некоторые вероятностные волны, описывающие движение частиц. В настоящее время можно предложить следующую
трактовку корпускулярно-волнового дуализма. При распространении частицы в пространстве ее движение описывается волной. При
взаимодействии частицы с другими системами она проявляется как
корпускула ? частица. Проще всего это проследить на примере фотонов. Электромагнитные волны распространяются в пространстве
по законам распространения волн. Когда электромагнитные волны
взаимодействуют с телами (примером может служит фотоэффект), то
сразу же проявляются чисто корпускулярные свойства. Электромагнитные волны поглощаются как частицы с определенной энергией.
122
Глава 20. Волновая функция. Уравнение Шредингера
Корпускулярно-волновой дуализм приводит нас к отказу от классического детерминизма. Мы не знаем, в какую именно точку попадет электрон и где он будет зафиксирован. Мы только можем сказать, по какому закону (закону дифракции) распределится большое
количество электронов. При длительной экспозиции постепенно возникает упорядоченная картина дифракционных максимумов и минимумов электронов, прошедших через пленку или отраженных от
поверхности.
Точно указать, в какое именно место фотопластинки упадет данный электрон нельзя, но можно указать вероятность его попадания
в ту или иную точку фотопластинки.
Для описания вероятности нахождения электрона в данной точке пространства необходимо ввести функцию распределения вероятности:
dw = ? dv,
(20.1)
здесь dw ? вероятность нахождения частицы в объеме пространства
dv; ? ? функция распределения вероятности. Такую функцию ввел в
1926 году Э. Шредингер. Он ввел ее через так называемую волновую
функцию или ?-функцию: ? = [? ?]2 = ? ?*. Волновая функция или
?-функция является функцией координат (x, y, z) и времени (t).
Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность нахождения частицы в заданном пространстве. Таков ее физический
смысл. Сразу оговоримся, что просто волновая или ??функция не
имеет наглядного физического смысла. Волновая функция должна
удовлетворять ряду условий, которые определяются фундаментальными свойствами самой материи, такими свойствами пространства,
как однородность и изотропность. Она должна быть непрерывной,
так как бессмысленно в двух соседних точках, как угодно близко
расположенных, иметь разную вероятность. По этой же причине
она должна быть однозначной. Кроме того, волновая функция должна быть дифференцируемой и интегрируемой, поскольку мы в природе имеем всегда дело со скоростями (производными) и расстояниями (интегралами). Как производные, так и интегралы также должны быть однозначны и непрерывны по указанным причинам.
Так же как и функция распределения вероятности волновая функция нормируется. Поскольку вероятность существующей частицы находиться в любой точке пространства равна 1, мы можем написать
?? dv = ? [?]2 dv = ? ? ?* dv = 1.
(20.2)
123
Здесь интегрирование берется по всему пространству существования частицы.
Э. Шредингер в 1926 году предложил уравнение, позволяющее
найти явный вид волновой функции для конкретных задач. Им было
представлено уравнение, связывающее время, координаты, потенциальную и полную энергию частицы. Это уравнение было впоследствии названо его именем. В случае, когда потенциальная энергия
не зависит явно от времени, это уравнение распадается на два: одно
из которых определяет временную зависимость волновой функции, а
второе определяет координатную зависимость. Временная часть волновой функции имеет вид:
?(x, y, z, t) = y(x,y,z) exp(?iEt/h),
(20.3)
где Е ? полная энергия частицы; h ? постоянная планка; i ? мнимая единица.
Если частица массой m движется вдоль одной координаты (например x), то ее уравнение движения имеет вид
d2 ?/dx2 + (2m/h2) (E ? Eп) ? = 0.
(20.4)
Таким образом, знание полной и потенциальной энергии частицы
позволяет найти явный вид волновой функции, т. е. описать движение частицы. Сразу заметим, что уравнение Шредингера не было
выведено из каких-либо ранее известных. Оно постулировалось, а
его справедливость была доказана тем, что все полученные из него
решения были правильными. Уравнение Шредингера играет в квантовой физике и электродинамике такую же роль, как, например,
второй закон Ньютона в механике.
Для свободной частицы (т. е. частицы, которая не взаимодействует с другими частицами и вследствие этого потенциальная энергия которой равна нулю), двигающейся вдоль оси x, решение уравнения Шредингера имеет вид:
? (x, y, z, t) = const exp[?i (wt ? kx)],
(20.5)
где w = 2?E/h; k = 2?/? = 2?p/h. Первое выражение есть формула
Планка (E = hv) , второе ? формула де Бройля (? = h/p).
Для движения связанной частицы (например, электрона, двигающегося вокруг ядра) мы получим все реализуемые спектры энергий, которые реально существуют. Из того, что частица двигается
как волна, мы, например, получим, что она при своем движении не
может локализовываться в размеры, меньшие, чем радиус орбиты
электрона в атоме.
124
Глава 21. Принцип неопределенности Гейзенберга
В этой главе мы рассмотрим вопрос о границах применимости
понятий и возможностей макромира к микромиру на основе некоторого принципа, который называют часто соотношением неопределенности Гейзенберга. Соотношение неопределенности Гейзенберга
можно получить на основе идеи корпускулярно-волнового дуализма.
Если движение частицы описывается волнами, то следовательно,
к нему применимы все свойства волн. Для волновых процессов известна связь между спектром, описывающим волну и размерами в
пространстве, которые занимает волна. Если мы имеем дело с волной, задаваемой чисто гармоническим колебанием (описываемой
формулой X = X0cos (wt ? kz)) в спектре волны, то эта волна должна
начинаться и заканчиваться в бесконечности. Другими словами, если
в спектре волн присутствует только одна частота w, то такая волна
должна занимать бесконечно большой участок пространства. Сказанное иллюстрирует рис. 21.1. На рис. 21.1, а изображен спектр
а)
I
б)
?w ? 0
?1 = c ?t ? ?
w
в)
t
г)
?w
?
?1
I
t
w
е)
д)
I
?1 ? 0
?w ? ?
t
w
Рис. 21.1
125
волны, в котором присутствует только одна частота. Ему соответствует волна, начинающаяся в ? бесконечности и заканчивающаяся
в + бесконечности (см. рис. 21.1, б).
Реально таких волн не бывает. Всегда существует какой-то момент времени, когда начались колебания, т. е. началась волна. Расстояние, которое проходит волна с момента возникновения до какой-то временной точки, называют цугом волны. Однако если волна
ограничена в пространстве, то она должна содержать не одну, а
целый набор частот, как это следует из теории колебаний и волн.
На рис. 21, в изображен спектр частот, описывающих волну,
которая ограничена в пространстве, как это показано на рис. 21, г.
Цуг волны обозначен как ?l. Спектр частот определяется некоторой
шириной ?w.
Если длительность цуга волны стремится к нулю, то область спектра частот, требуемая для реализации такого цуга, стремится к
бесконечности (рис. 21.1, д?е).
Мы приходим к качественному утверждению, что между цугом
волны ?l и спектром волны ?w существует связь. Если вместо ?w
взять связанное с ним волновое число ?к = ?w/c, то в теории колебаний эта связь определяется как ?к ?l = 1/2.
Из формулы де Бройля для электромагнитной волны (p = Е/c) и
формулы Планка (Е = hw) следует, что для импульса р можно записать следующее соотношение: ?р = ?Е/с = h ?w/c = h ?к. Учитывая,
что ?к = ?р/h мы имеем:
?р ?l > = h.
(21.1)
Здесь знак равенства заменен на знак больше ? равно. Позднее
мы поймем, почему это сделано.
Проанализируем полученную формулу, которая и является математическим выражением соотношения неопределенности Гейзенберга. Здесь под ?р и ?l понимаются среднеквадратичные отклонения
импульса и координаты от их среднего значения. Физическая интерпретация формулы 21.1 заключается в том, что не существует
такого состояния микросистемы, в котором координаты и импульс
имеют одновременно точные значения. Масштаб неопределенности
задается постоянной планка h. Это совершенно противоположно тому,
что мы имели в классической механике.
Другими словами, если нам известен импульс частицы с точностью ?р, то координату частицы ?l мы не можем знать с точностью
выше, чем ?l >= h / ?р. Много это или мало. Рассмотрим несколько
примеров.
126
Пусть у нас имеется пуля, массой 0,01 кг, которая летит со
скоростью 1000м/с. Если мы будем знать координату пули с точностью до 1 мкм, то неопределенность в скорости составит 10?26 м/с.
Конечно, никакими современными приборами мы не сможем даже
приблизиться к определению скорости пули с такой точностью. Мы
можем утверждать, что применительно к макромиру соотношение
неопределенностей не работает. Оно дает слишком малые поправки,
чтобы их можно было бы учитывать в эксперименте.
Рассмотрим второй пример с микрочастицей. Пусть у нас в атоме
имеется электрон, находящийся в первом возбужденном состоянии.
Его энергия известна, она составляет примерно 10 эВ. Скорость
электрона с такой энергией около 106 м/с. С какой точностью мы
можем определить координаты электрона. Из 19.9 следует, что она
равна 10?10 м. Но это как раз и есть размер атома, т. е. используя
соотношение неопределенностей Гейзенберга, мы нашли размер атома. Мы теперь можем говорить о том, что размер атома определяется длиной волны де Бройля, соответствующей электрону в атоме.
Двигаясь по волновым законам, электрон с определенной энергией
не может занимать объем пространства, меньший, чем в соответствии с соотношением неопределенности Гейзенберга.
Соотношение неопределенностей ? фундаментальный принцип,
устанавливающий физическое содержание и структуру аппарата
квантовой механики. Как мы показали на втором примере, его
сочетание с классической механикой позволяет решать очень просто ряд задач.
Почему мы не можем узнать координату и скорость (импульс)
электрона с любой точностью? В классической механике все просто.
Для определения координаты и импульса мы можем использовать
ряд методов, например с помощью электромагнитных волн по отражению от объекта мы можем определить его координаты (так устроены локаторы), а используя эффект Допплера, определить и его
скорость. В микромире все сложнее. Допустим, мы хотим узнать
координаты электрона в атоме с точностью, превышающей его размеры. Что для этого необходимо. Послать импульс электромагнитного излучения с длиной волны, много меньшей размеров атома, и
прозондировать электрон в атоме. Однако если взять электромагнитное излучения с требуемой длиной волны, то энергия кванта
такого излучения будет много больше энергии, которой требуется,
чтобы вырвать электрон из атома. В результате такого зондирования мы просто оторвем электрон от атома как в эффекте Комптона и
в результате ничего не узнаем о координатах электрона в атоме.
127
Причина заключается в том, что при измерении в макромире мы
практически не воздействуем на измеряемый объект. В микромире
все другое. Сам прибор, проводящий измерение, воздействует на
объект таким образом, что знание об объекте не может быть получено с любой степенью точности.
С точки зрения классической физики соотношение неопределенностей Гейзенберга представляется невозможным. Оно было предметом большого числа дискуссий не только естествоиспытателей, но и
философов и представителей других профессий. Были несостоятельные попытки использовать его для обоснования непознаваемости
материи и мира. В действительности, принцип неопределенности
Гейзенберга определяет границы применимости понятий макромира к другому миру ? микромиру, для описания поведения которого требуется использовать другие законы, другие понятия.
Законы и поведение систем микромира в принципе отличаются
от макромира. В 1923 году Н. Бор сформулировал принцип соответствия, который применительно к микромиру звучит так. В предельном случае больших квантовых чисел физические следствия из выводов квантовой механики совпадают с выводами классической механики. Другими словами, при увеличении массы или энергии микросистемы, ее поведение все более точно описывается законами макромира. Квантовые явления существенны при рассмотрении микрообъектов, когда величина, имеющая размерность действия (Дж?с),
сравнима с постоянной Планка.
Принцип соответствия Бора является следствием общего принципа соответствия, который мы рассматривали ранее. Этот принцип
утверждает, что любая новая теория, претендующая на более глубокое описание реальности и на более широкую область применения,
чем старая, должна включать последнюю как предельный случай.
128
5. ОСНОВЫ САМООРГАНИЗАЦИИ СИСТЕМ
Глава 22. Принцип необратимости в классической
термодинамике
§ 1. Начала термодинамики
Под термодинамикой подразумевают самостоятельный раздел науки о тепловых свойствах макроскопических тел. Принципиальное
различие от рассмотрений, проводимых в 2 и 3 разделах, заключается в том, что термодинамический подход не требует привлечения
упрощенных моделей рассматриваемых явлений. Основными параметрами, используемыми в термодинамических рассмотрениях являются: температура системы Т; занимаемый ею объем V; давление
в ней P. Эти параметры хорошо известны из курса элементарной
физики. Очевидно, что они могут быть введены для любой макроскопической системы и для их введения не требуется детального
знания самой системы, в конечном счете, даже ее модели. Именно
поэтому выводы термодинамики имеют универсальный характер, а
ее законы даже называют началами термодинамики.
В термодинамике рассматривают макроскопические системы, состоящие из большого числа составляющих (атомов, молекул). Исследуются наиболее общие свойства таких систем. Термодинамический подход оказывается тем точнее, чем больше частиц в системе.
В дальнейшем мы будем пользоваться двумя понятиями: замкнутая система и равновесное состояние. Замкнутой называется система, изолированная от какого-либо внешнего воздействия. Такую
систему всегда можно разбить на составляющие ее подсистемы, которые взаимодействуют между собой. Взаимодействие подразумевает
изменение какого-либо параметра подсистем в данной системе.
Равновесным называется такое состояние системы, когда отсутствует перенос (поток) какой-либо физической величины (масса, заряд, энергия, импульс и т. д.) между подсистемами. Замкнутая
система по истечении большого промежутка времени самопроизвольно
переходит в равновесное состояние. Это утверждение иногда называют нулевым началом термодинамики.
129
Например, если мы нальем в термос сначала холодной воды, а
поверх нее горячую, то, даже если не будет перемешивания жидкости, она через некоторое время будет иметь одинаковую температуру во всех точках: большую, чем у холодной воды и меньшую, чем у
горячей.
Наиболее важным понятием в термодинамике является температура системы или тела. Температура определяется энергией (в том
числе и кинетической) частиц, составляющих систему. Чем выше
энергия, т. е. скорость движения частиц в системе, тем выше температура этой системы. Понятие температуры вводят для равновесных систем. Температура является и количественной характеристикой теплового равновесия. Температуры систем, которые находятся
в равновесном состоянии равны между собой.
Зарождение термодинамики, как науки, связано с именем Г. Галилея. Он ввел понятие температуры и сконструировал прибор, который позволял ее контролировать. В 1742 году А. Цельсий создал
шкалу температур, которой мы пользуемся до сих пор. За 0° принята точка плавления льда, за 100° ? точка кипения воды. Существуют и другие шкалы температур: шкала Реомюра, шкала Фаренгейта. В термодинамике используют шкалу Кельвина; 1° Кельвина равен 1° Цельсия, но начало шкалы сдвинуто, так что точка плавления льда соответствует 273° шкалы Кельвина.
Особенностью шкалы Кельвина является то, что в ней отсутствуют отрицательные температуры. За 0° шкалы Кельвина принята
температура, при которой прекращается всякое движение внутри
системы. Однако как мы уже говорили, материя и движение неразрывно связаны друг с другом. Нет материи без движения и нет
движения при материи. Следовательно, немыслимо существование
системы, обладающей нулевой температурой по шкале Кельвина. К
этой температуре можно приближаться как угодно близко, но достигнуть ее нельзя.
Понятие давления и объема системы не требует специальных комментариев. Заметим только, что телом в термодинамике называют
систему, имеющую определенный объем. Мы видим, насколько общим является это определение.
Рассмотрим основные понятия, которыми оперируют в термодинамике. В первую очередь, надо сказать о теплоте, работе, энергии.
Из школьного курса вы знаете о том, что теплота однозначно связана с энергией, она характеризует движение микрочастиц системы.
Поведение системы описывается уравнением состояния, которое
связывает термодинамические параметры Т, Р и V. Примером тако130
го уравнения является уравнение Клайперона ? Менделеева для газа
PV = const T.
Термодинамика базируется на трех законах или началах термодинамики. С первым из них мы уже встречались. Первым началом
термодинамики является закон сохранения энергии. Он формулируется следующим образом. Количество теплоты, переданное замкнутой системе, идет на совершение работы этой системой (положительной или отрицательной) и на изменение внутренней энергии системы: ?Q = ?U + A.
Первое начало термодинамики эквивалентно утверждению, что
невозможно построить вечный двигатель первого рода, т. е. устройство, работающее без потребления энергии. Кроме того, первое начало термодинамики можно использовать для количественного определения внутренней энергии системы U.
Первое начало термодинамики не определяет, в каком направлении может меняться система. Это дает второе начало термодинамики. Один из вариантов формулировки второго начала термодинамики гласит: тепло не может переходить самопроизвольно от холодного тела к горячему. Если привести в контакт два тела разной температуры, то тепло (энергия) будет переходить от более горячего к
более холодному. Это очевидно.
Для того чтобы сформулировать второе начало в корректной форме
нам надо ввести новое понятие ? энтропию. Это понятие Р. Клаузиус ввел в 1854 г. Энтропию качественно можно интерпретировать
как меру порядка в системе или, другими словами, как меру вероятности существования системы. Существуют строгие математические
формулы, определяющие энтропию. Мы не будем их рассматривать,
поскольку вопросы поведения системы, эволюции Вселенной будем
рассматривать качественно.
Второй закон термодинамики формулируется следующим образом. Энтропия замкнутой системы, которая не обменивается с окружающей средой ни энергией, ни веществом, постоянно возрастает.
Энтропия растет, растет и беспорядок. Замкнутые системы эволюционизируют в сторону увеличения в них беспорядка, хаоса и
дезорганизации, пока не будет достигнута точка термодинамического равновесия, в которой всякое производство работы становится
невозможным.
Поскольку об изменениях системы мы можем судить по увеличению их энтропии, то последняя выступает в качестве некоторой
стрелы времени: т. е. время в классической термодинамике выступает в форме необратимого процесса увеличения энтропии в систе131
ме. В этом смысле в замкнутой системе время необратимо в соответствии со вторым началом термодинамики.
Второе начало термодинамики определяет предельный коэффициент полезного действия (КПД) любой тепловой машины. В
1824 году С. Карно провел анализ работы идеальной тепловой машины, такой, в которой отсутствуют бесполезные потери в работе.
Он установил, что предельный коэффициент полезного действия любой тепловой машины равен
КПД = (Т1 ? Т2)/ T1,
(22.1)
здесь Т1 ? абсолютная (т. е.в шкале градусов Кельвина) температура нагревателя; Т2 ? абсолютная температура холодильника, которым обычно является окружающая среда. Эта формула справедлива
для всех действующих в настоящее время тепловых машин и парового двигателя, и дизельного мотора, и газовой турбины. Поскольку, как мы говорили раньше, всегда Т2 > 0° и не существует
машин с коэффициентом полезного действия, равным 100 %. Последнее является еще одной формулировкой второго начала термодинамики.
Свойства систем вблизи абсолютного нуля температур определяется третьим началом термодинамики. Согласно третьему началу
термодинамики энтропия системы стремится к нулю при стремлении к абсолютному нулю температуры системы. Это дает начало
отсчета энтропии.
В заключение заметим, что все законы термодинамики справедливы для изолированных систем, находящихся в термодинамическом равновесии с окружающей средой.
В природе существуют и неравновесные системы. У атомов, молекул и более сложных систем, (например, стекла) существуют неравновесные состояния, которые называют метастабильными состояниями. Система в метастабильном состоянии обладает не минимальной
потенциальной энергией U0, а какой-то большей U > U0.
В принципе, система стремится занять уровень с минимальной
потенциальной энергией, но иногда переход в такое состояние невозможен. В квантовой механике такие переходы называют запрещенными. Если переход невозможен, то система остается в состоянии с
энергией U. Это и есть метастабильное состояние. Стекла могут находится в метастабильном состояние в виде аморфного вещества. В
принципе, они должны перейти в более упорядоченное состояние ?
кристалл. Однако для этого требуется привлечение внешней энергии в виде кристаллических затравок. Энтропия стекол и других
132
систем, находящихся в метастабильном, неравновесном состоянии
не стремится к нулю при стремлении к нулю температуры.
Метастабильное состояние можно промоделировать следующим
примером. Пусть у нас имеется шар, находящийся на склоне горы в
лунке (рис. 22.1).
Гора
Шар
H2
0
H1
Рис. 22.1
Высота центра тяжести шара H1. Ей соответствует потенциальная энергия mgH1. Минимальное значение потенциальной энергии
относительно поверхности Земли, которое может принять шар, равно нулю. Шар, в принципе, стремится занять положение с минимальной потенциальной энергией, равной нулю. Этому мешает выступ с высотой H2. Чтобы шар мог оказаться на уровне поверхности
Земли, ему нужно придать энергию (толкнуть), равную mgH2 ? mgH1.
Другими словами, шар должен преодолеть потенциальный барьер
mgH2. Если же на шар не оказывать никакого действия, он будет
находится в метастабильном состоянии (на высоте H1), как угодно
долго.
В природе существует интересное явление, связанное с метастабильным состоянием воды. Если в воде отсутствуют зародыши кристаллизации в виде кристаллов любого вещества, даже просто грязи,
то вода может быть жидкой при температурах гораздо ниже 0° Цельсия. Капли дождя, образующиеся высоко в небе, могут иметь очень
низкую температуру, гораздо ниже 0° Цельсия. Касаясь земли, эти
капли мгновенно преобразуются в твердое состояние ? лед. Земля
после дождя покрывается слоем очень чистого и скользкого льда.
§ 2. Тепловая смерть Вселенной
На основании законов классической термодинамики в 1865 году
Р. Клаузиус выдвинул гипотезу, в которой экстраполировал на всю
Вселенную два начала термодинамики. По Р. Клаузиусу предполагалось, что в нашей Вселенной действуют 2 постулата. 1 ? энергия
133
Вселенной постоянна, Вселенная замкнута, 2-й ? энтропия Вселенной возрастает в соответствии со 2-м началом термодинамики.
В итоге Вселенная должна перейти в состояние полного термодинамического равновесия. Это состояние назвали "тепловой смертью Вселенной". В этом состоянии всякое движение, точнее перенос какой-либо физической величины, во Вселенной должно прекратиться. В итоге вся Вселенная должна быть однородно заполнена веществом при одинаковой температуре.
Противоречие в течение почти ста лет, вплоть до 60-х годов
нашего века, было неразрешимо. Основная ошибка Р. Клаузиуса
состояла в том, что экстраполяция второго начала термодинамики, установленного в лабораторных условиях, на всю Вселенную
не обоснована. Вселенная не является обычной замкнутой изолированной системой, для которой формулируются начала термодинамики.
Для рассмотрения эволюции Вселенной (в частности, тепловой) необходимо учитывать переменные гравитационные поля.
А. А. Фридман доказал, что Вселенная, заполненная тяготеющим
веществом, не может быть стационарной, а должна расширяться
или сжиматься. В этом случае из возрастания энтропии не следует стремления системы к термодинамическому равновесию и парадокс "тепловой смерти Вселенной" снимается.
Более строго сущность вопроса заключается в следующем. Вселенная не является обычной термодинамической системой. Из-за
того, что гравитационное взаимодействие является дальнодействующим, гравитационная энергия Вселенной не пропорциональна ее
объему. Полная энергия Вселенной не пропорциональна объему и
поэтому не является аддитивной величиной. Кроме того, как мы
увидим далее, Вселенная расширяется, т. е. она нестационарна. Оба
эти факта означают, что гипотеза не удовлетворяет исходным постулатам классической термодинамики. Можно только утверждать, что
во Вселенной всегда можно выделить подсистему, которая будет удовлетворять исходным постулатам классической термодинамики.
Подводя итог этого раздела, можно сделать вывод, что такая
наука, как классическая термодинамика, хотя и описывала важные
разделы естествознания и природы, не давала ответ на вопрос, как
происходит самосовершенствование системы, ее эволюция к более
сложным структурам.
134
Глава 23. Принцип обратной связи
§ 1. Отрицательная и положительная обратная связь
Рассмотрим основной принцип и закономерности, которые управляют системами и ведут их к более высокому уровню, к самоорганизации систем. Рассмотрение принципов обратной связи удобнее
всего вести с использованием того раздела естествознания, в котором они первоначально были введены, ? радиотехники. Это не означает, что они используются только в физике. Наоборот, принципы
обратной связи действуют в любых более сложных системах, например в обществе. Знание этих законов позволяет прогнозировать поведение любых сколь угодно сложных систем с большой достоверностью.
Под обратной связью подразумевается воздействие конечных результатов какого-либо процесса на его развитие. Если начальное
отклонение какой-либо характеристики процесса от ее исходного
значения приводит (благодаря действию обратной связи) к дальнейшему росту этого отклонения, то обратная связь называется положительной. Если начальное отклонение какой-либо характеристики процесса от ее исходного значения приводит благодаря действию
обратной связи к уменьшению этого отклонения, то обратная связь
называется отрицательной.
Процесс и обратная связь в нем может реализовываться в любых
сложных системах. Примером может быть и радиотехника с усилителями и генераторами, и поведение человека в любых условиях,
когда внешнее воздействие меняет его, и распространение слухов в
обществе, и изменение рождаемости под действием внешних факторов ? голода, эпидемий, войн, и эволюционные теории, например
теория эволюции человека Дарвина, и т. д. Общим во всех этих
примерах является то, что внешнее или внутреннее воздействие меняет ход самого процесса, имеется обратная связь.
Термин "обратная связь" первоначально появился в радиоэлектронике. Впоследствии этот термин использовался для обозначения
воздействия управляемого процесса на орган управления в радиотехнике, тепловых теориях, эволюционных теориях. В настоящее
время понятие обратная связь является междисциплинарным. Оно
применяется и в физике, и в радиотехнике, и в биологии, и в медицине и т. д. Позднее мы приведем примеры применения термина
обратная связь в других разделах естествознания.
Системы с обратной связью удобно изображать в виде схемы,
приведенной на рис. 23.1. На этой схеме сигнал с выхода усилителя
135
через блок ответвления сигналов поступает на его вход. В общем
случае под усилителем надо подразумевать устройство, которое осуществляет по известному закону преобразование входного сигнала z
в выходной Z. Преобразование сигнала обратной связи Z ? X происходит в цепи обратной связи.
Для полного теоретического описания системы, показанной на
рис. 23.1, необходимо задать правило ответвления сигнала х в цепь
обратной связи от общего сигнала Z на выходе усилителя и закон
сложения сигнала Х с входным сигналом Uвх на входе усилителя.
Если z = Uвх + X, мы имеем дело с положительной обратной связью.
Если z = Uвх ? X, мы имеем дело с отрицательной обратной связью.
Uвх
Блок
сложения
сигналов
X
Усилитель
z
Блок
ответвления
Z
сигналов
Цепь обратной связи
Uвых
x
Рис. 23.1
Анализ начнем с простейшего случая, когда все связи в системе
задаются алгебраическими уравнениями. Коэффициент усиления усилителя равен К > 1, т. е. Z = К0z. Пусть сигнал с выхода усилителя
подается через цепь обратной связи на блок сложения сигналов:
X = ?x, причем 0 < ? < 1. В блоке сложения сигналов складываются
Uвх и х: z = Uвх + х. В этом случае мы имеем дело с положительной
обратной связью. Если сигналы вычитаются, т. е. z = Uвх ? х, то мы
имеем дело с отрицательной обратной связью.
Общий коэффициент усиления системы К определяется путем решения данных уравнений. Для положительной обратной связи:
К = Uвых /Uвх = К0 /(1 ? ?К0 ).
(23.1)
Для отрицательной обратной связи:
К = Uвых /Uвх = К0 /(1 + ?К0 ).
(23.2)
Проанализируем эти уравнения. Начнем с более простого случая
отрицательной обратной связи. При большом К >> 1, коэффициент
136
усиления усилителя просто равен 1/?. Это означает, что сигнал на
выходе в К = 1/? раз больше сигнала на входе.
Примером системы с положительной обратной связью может служить обычный усилитель напряжения, который используется в радиотехнике. Другим примером может являться процесс распространения информации в обществе. Например, у каждого человека есть
5 близких знакомых, с которым он делится информацией в течение
1 дня; т. е. усиление системы в нашем случае равно 5 за сутки. Что
произойдет, если человек будет обладает очень важной информацией, которой должен поделиться с другими. Информация по цепочке
будет распространяться от одних людей к другим. Для города с
миллионным населением эта информация распространится всего за
6 дней на все население города.
Можно привести и другие примеры систем с положительной обратной связью. Например, различные механические системы регулирования. Для стабилизации скорости вращения вала паровой машины используется регулятор Уатта, теория работы которого и послужила началом теории обратной связи. По аналогичному принципу сконструирована автоматическая регулировка усиления в радиоприемниках.
Рассмотрим положительную обратную связь. Сигнал с выхода
поступает на вход усилителя с тем же знаком, т.е. складывается с
входным сигналом. Далее сигнал усиливается и снова поступает на
вход. Этот процесс продолжается. В итоге на выходе может получиться сигнал, величина которого стремится к бесконечности. Это
будет тогда, когда ?К0 = 1. Состояние системы неустойчивое. Даже
очень маленький сигнал на входе будет скачкообразно увеличиваться и расти до бесконечности в идеальной системе.
Примером системы с положительной обратной связью может служить хорошо всем известный генератор частот в радиотехнике. Переменный сигнал с выхода усилителя поступает через цепь положительной обратной связи на вход. Цепь обратной связи пропускает
сигналы только на определенной частоте. Это приводит к тому, что
на выходе усиливается или генерируется переменный сигнал определенной частоты. В реальном генераторе амплитуда переменного сигнала не может стремиться к бесконечности. Наступает момент, когда амплитуда сигнала на выходе станет такой, что изменятся сами
характеристики цепи обратной связи. Они не будут передавать полностью сигнал на вход. Точнее, изменится фаза сигнала, он будет
передаваться в противофазе. В итоге генератор будет усиливать (генерировать) только одну частоту, на которую настроен. Если такая
137
коррекция не предусмотрена, то генератор просто выдаст какое-то
максимальное напряжение на выходе, и не будет генерировать одну
частоту.
Другим примером положительной обратной связи может служить
микрофон с усилителем и динамиком. Хорошо известен факт, когда
такая система возбуждается и "гудит", что обусловлено положительной обратной связью, реализуемой по акустическому каналу.
§ 2. Теория катастроф
Теория катастроф была выдвинута в XIX веке французским ученым Ж. Кювье для объяснения смены фауны и флоры, наблюдаемой
в геологических пластах. Согласно этой теории в истории Земли
периодически повторяются события, внезапно изменяющие первично горизонтально залегающие горные породы рельефа земной поверхности и уничтожающие все живое. Эта теория позволяла объяснить смену фауны и флоры. К концу XIX века теория потеряла свое
доминирующее значение. Название теории катастроф вновь прозвучало во второй половине XX века, когда Р. Том в 1972 году развил
теорию отображений применительно к разным системам. Основная
идея теории связана со скачкообразным изменением системы под
действием минимального вмешательства извне. Теория катастроф
применяется в оптике, гидродинамике, устойчивости кораблей, а
также исследовании биений сердца, в эмбриологии, лингвистике,
психологии, экономике, теории элементарных частиц и т. д. Математический язык, используемый в теории катастроф достаточно сложен и недоступен для нас в рамках этого курса.
Основные идеи и применение теории катастроф, могут быть изложены в рамках принципа обратной связи.
Рассмотрим некоторую абстрактную модель системы. Имеются
системы, которые, при одних и тех же внешних параметрах, могут
существовать в различных состояниях. Например, вода при температуре ниже нуля может существовать и в виде льда (твердого тела),
и в виде жидкости (переохлажденная вода). Переохлажденная вода
при наличие затравки (кристаллов воды или просто грязи) очень
быстро, практически мгновенно переходит в твердое состояние ?
лед. Системы, которые могут при одних и тех же внешних параметрах существовать в разных состояниях, называются бистабильными системами. Если перейти к термину теория катастроф, можно
считать, что катастрофа ? скачкообразный переход в бистабильной
системе.
138
Эффекты бистабильности, скачки переходов, наконец, катастрофы характерны для многих систем с положительной обратной связью. Для примера рассмотрим систему, которую называют триггер.
Триггер ? электронное устройство, с двумя устойчивыми состояниями, способное скачкообразно переключаться из одного состояния в
другое под действием входных сигналов. Основное назначение триггера ? запоминание двоичной информации (0 или 1). Запоминание
заключается в сохранении заданного состояния (0 или 1) после прекращения действия переключающего сигнала. Информация, содержащаяся в памяти ЭВМ, базируется на наборе триггеров.
Работу триггера можно описать, используя схему, показанную на
рис. 23.1. Пусть у нас есть усилитель постоянного напряжения с
большим К0. Часть постоянного напряжения с выхода усилителя
поступает на вход. Реализуется положительная обратная связь. Что
происходит в такой системе? В начальном состоянии усилитель под
действием положительной обратной связи имеет на выходе либо максимально возможное отрицательное, либо положительное усиление.
При подаче на вход сигнала, превышающего сигнал обратной связи
Х и противоположного по напряжению, усилитель вырабатывает на
выходе сигнал противоположной полярности. Система инвертируется и новое состояние сохраняется сколь угодно долго, пока новый
сигнал на входе не переведет ее в другое состояние.
Работу триггера можно описать в рамках классической радиотехники, как это обычно и делают. Но ее же можно описать и в рамках
теории катастроф. Резюмируя сказанное, можно предполагать, что
теория катастроф описывает поведение сложных бистабильных систем, в которых реализуется положительная обратная связь.
§ 3. Кибернетика. Синергетика
Всем знакомо слово кибернетика. Обычно под этим словом подразумевают науку об общих законах получения, хранения, передачи и
обработки информации. Основные объекты исследования кибернетики ? так называемые кибернетические системы, рассматриваемые
абстрактно, вне зависимости от их материальной природы и структуры. Примерами кибернетических систем служат автоматические
регуляторы в технике (регулятор Уатта), ЭВМ, человеческий мозг,
биологические популяции, и наконец, человеческое общество. Каждая такая система представляет множество взаимосвязанных объектов, способных воспринимать, запоминать, перерабатывать информацию, а также передавать ее. Наконец, кибернетическая система
должна реагировать на внешнее воздействие.
139
Рассмотрим историю вопроса. Отец кибернетики Н. Винер рассказывал, как возникла эта наука. Она возникла, когда стали изобретать самонаводящиеся зенитные системы. Система включала радар, сервисные устройства, осуществляющие наводку зенитных орудий по радару, сами орудия, наконец, систему управления сервисными устройствами. В этих системах встретились с такой ситуацией, когда неправильно поданный корректирующий сигнал приводил
к выходу из строя всей системы наведения. Переходя к уже знакомым нам терминам обратной связи можно сказать следующее. Наличие положительной обратной связи в управляющем устройстве приводило к выработке такого управляющего сигнала для сервисных
систем, когда зенитные орудия входили в режим самовозбуждения и
их лафеты разрушались.
Анализ работы зенитных систем позволил Н. Винеру сформулировать основные принципы кибернетики и кибернетических устройств.
В целом, речь шла о том, что в системе, развивающейся под действием обратной связи по заданным законам, связь должна быть
отрицательной.
Определим, что лежит в основе кибернетики. Кибернетика, в основном, занималась анализом динамического равновесия в самоорганизующихся системах. Она опиралась на принцип отрицательной
обратной связи, согласно которому всякое отклонение системы корректируется управляющим устройством после получения сигнала
информации об этом. Мы с вами сталкивались с таким примером,
когда рассматривали знаки в уравнениях Максвелла, связывающих
магнитные и электрические поля. Отрицательный знак в законе
Фарадея и означал, что воздействие корректируется в сторону его
уменьшения.
Синергетика реже встречается в нашем лексиконе. Под синергетикой в настоящее время подразумевают область научных исследований, целью которых является выявление общих закономерностей
в процессах образования, устойчивости и разрушения упорядоченных временных и пространственных структур, в сложных неравновесных системах различной природы (физических, химических биологических, экологических, социальных).
Синергетика возникла в 70-х годах нашего века. В ее названии
содержится греческое слово, обозначающее совместный, согласованно действующий. Основой синергетики служит единство явлений,
моделей и методов, с которыми приходится сталкиваться при исследовании процессов возникновения порядка из беспорядка.
140
Поясним сказанное примерами некоторых систем, характерными
для синергетики. Примером самоорганизации в гидродинамике служит образование на поверхности вязкой жидкости, нагреваемой снизу,
организованной структуры в виде шестигранных призм, которые
называют ячейками Бернара. Ячейки Бернара ? более упорядоченная структура, чем исходная жидкость. В качестве другого примера
можно привести лазеры. Лазер состоит из активной среды, резонатора и источника питания активной среды. В активной среде существует спонтанное излучение ? хаотическое излучение, которое испускается атомами во все стороны и обладает широким спектром.
Оно отражается зеркалами резонатора и стимулирует возникновение новых фотонов, тождественных исходному. Результатом этого
является возникновение лазерного излучения. Лазерное излучение
более организованно, чем спонтанное. Фактически оно состоит из
фотонов, которые тождественны друг другу и по направлению распространения, и по частоте, и по поляризации. Роль положительной обратной связи в лазере играют фотоны, отразившиеся от зеркал резонатора и попавшие в активную среду. Приведенный Н. Винером пример процесса саморазрушения зенитного комплекса мог
быть описан и с синергетических позиций. В то время этот процесс
считался сугубо отрицательным и его старались подавить.
В синергетике исследуются механизмы возникновения новых состояний, структур и форм в процессе самоорганизации, а не сохранения или поддержания старых форм. Синергетика опирается на
принцип положительной обратной связи, когда изменение, возникшее в системе, не подавляется или корректируется, а наоборот, накапливается и приводит к разрушению старой и возникновению новой системы. Для характеристики самоорганизующихся процессов
применяют различные термины, начиная от синергетических и кончая неравновесными и даже автопоэтическими или самообновляющимися. Однако все они выражают одну и ту же идею. В дальнейшем у нас речь пойдет о самоорганизующихся системах, которые
являются открытыми системами, находящимися вдали от точки термодинамического равновесия.
Глава 24 . Самоорганизация как основа эволюции
§ 1. Концепция самоорганизации
В настоящее время концепция самоорганизации получает все большее распространение не только в естествознании, но и в социальногуманитарных разделах наук. Большинство наук изучает процессы
141
эволюции систем и они вынуждены анализировать механизмы их
самоорганизации. Мы под самоорганизацией будем подразумевать
явления, процессы, при которых системы (механические, химические, биологические и т. д.) переходят на все более сложные уровни,
характеризуемые своими законами, которые не сводятся только к
законам предыдущего уровня. Такие примеры мы рассматривали в
предыдущих разделах.
Концепция самоорганизации в настоящее время становится парадигмой. Обычно под парадигмой в науке подразумевают фундаментальную теорию, которая применяется для объяснения широкого
круга явлений, относящихся к соответствующей области исследования. Примерами таких теорий могут служить классическая механика Ньютона, эволюционное учение Дарвина или квантовая физика.
Сейчас значение понятия парадигмы еще больше расширилось, поскольку оно применяется не только к отдельным наукам, но и к
междисциплинарным направлениям исследования. Типичным примером таких междисциплинарных парадигм являются возникшая
полвека назад кибернетика и появившаяся четверть века спустя
синергетика.
Идеи эволюции систем (космогонические, биологические, физические) получили широкое признание в науке. Однако вплоть до
настоящего времени, они формулировались интуитивными понятиями. Терминологический и научный подход развивается только в настоящее время.
В ранних теориях эволюций основное внимание обращалось на
воздействие окружающей среды на систему. Примером этого является теория эволюции Дарвина. В дарвинской теории происхождения
новых видов растений и животных путем естественного отбора главный акцент делался на среду, которая выступала в качестве определяющего фактора. Разумеется, внешние условия среды оказывают
огромное влияние на эволюцию, но это влияние не в меньшей степени зависит также и от самой системы, ее состояния и внутренней
предрасположенности. Другими словами, для эволюции системы требуется связь с окружающими системами и обратная связь между
ними.
Приведем два примера. У нас есть водяной пар, при его охлаждении он переходит в новую структуру в виде кристаллов, систем
более организованных, чем хаотически двигающиеся молекулы воды.
Но, этот процесс как выясняется, может происходить только тогда,
когда в самой среде есть дополнительные центры кристаллообразования: т. е. необходимым условием является сама среда и ее взаи142
мосвязи. Другой пример: лазеры. В лазерах хаотическое спонтанное
излучение превращается в строго организованное индуцированное,
следствием чего и является монохроматическое излучение.
В этих примерах мы не использовали точные характеристики
упорядоченности или самоорганизованности структуры. Мерой упорядоченности структуры служит энтропия, с которой связано все
протекание процессов.
С точки зрения парадигмы самоорганизации стало ясным, что
условием развития не только живых, но и динамических систем
вообще является взаимодействие системы и окружающей среды.
Только в результате такого взаимодействия происходит обмен веществом, энергией и информацией между системой и ее окружением.
Благодаря этому возникает и поддерживается неравновесность, а
это в свою очередь приводит к спонтанному возникновению новых
структур. Таких, как кристаллы или лазерное излучение.
Таким образом, самоорганизация возникает как источник эволюции систем, так как она служит началом процесса возникновения
качественно новых и более сложных структур в развитии системы.
Чтобы понять, почему самоорганизация выступает в основе эволюции, необходимо сказать несколько слов о флуктуациях и хаосе.
Рассмотрим такую систему, как газ. Молекулы газа двигаются случайно, хаотично. Однако в опытах с броуновским движением мы
видим, что случайные, хаотичные движения молекул (микросистем)
могут привести и к коллективному движению макроскопических
частиц.
Флуктуации представляют собой случайные отклонения системы
на микроуровне. Но результат их действия может сказаться и на
макроуровне, причем непредсказуемым образом. В критической точке
эволюции, как правило, открывается несколько возможностей. Какой путь при этом выберет система, в значительной степени зависит
от случайных факторов. И, в целом, поведение системы нельзя предсказать с полной достоверностью. Мы с вами рассматривали этот
вопрос в разделе "Физика возможного". Мы даже указали границы
случайности в поведении системы. В микромире выбор поведения
системы определен только с точностью до соотношения неопределенностей Гейзенберга.
Фактически мы показали, что в самой системе заложен хаос,
неопределенность. И эта неопределенность в критических точках
может привести к появлению новой структуры с непредсказанными
свойствами.
143
§ 2. Открытые системы, самоорганизация в них
На примере с тепловой смертью Вселенной мы увидели, к каким
неправильным выводам можно придти, если трактовать нашу Вселенную, как замкнутую стационарную систему.
Рассмотрим, какие условия должны соблюдаться, чтобы открытая система могла эволюционизировать. В отличие от замкнутых
систем, открытые обмениваются с окружающей средой энергией, веществом и информацией в гуманитарной сфере. Информационный
обмен может быть в биологических системах, в частности, при передаче генетической информации. Этот обмен предполагает наличие,
как отрицательных, так и положительных обратных связей.
Все сказанное приводит нас к условиям, при которых возможен
процесс самоорганизации, эволюции. Самоорганизующая система
должна быть открытой, иначе согласно 2-му началу термодинамики
ее энтропия должна возрастать, что приведет к хаосу, равновесности системы. Эквивалентным условием является нестационарность
самой системы, как это имеет место быть для нашей Вселенной.
Система должна находиться достаточно далеко от точки термодинамического равновесия. Если система находится вблизи точки
термодинамического равновесия, она будет стремиться к ней. Это
стремление приведет систему к минимуму потенциальной энергии и
стационарности самой системы и процессов в ней. Если она находится вдали от точки термодинамического равновесия, то переход системы в новое состояние не обязательно связан с минимизацией потенциальной энергии и максимумом энтропии.
Фундаментальным принципом самоорганизации является возникновение и усиление порядка через флуктуации за счет положительной обратной связи. Примером может служить лазерное излучение,
которое возникает за счет наличия хаотического спонтанного излучения и положительной обратной связи в резонаторе с активной
средой. Другими словами, для получения нового необходима положительная обратная связь системы и окружающей среды. Тогда за
счет малых флуктуаций возникает новое.
Самоорганизация возникает в системе только при достаточно большом количестве элементов, связей. Нужен некоторый критический
размер. В качестве примера можно привести взрыв атомной бомбы.
Если масса урана меньше критической, то количество нейтронов,
образующихся в результате спонтанного распада урана, равно или
меньше количества нейтронов, покидающих массу урана. Но, если
масса превышает критическую, число рождающихся нейтронов ста144
новится больше покидающих. Увеличение числа нейтронов за счет
положительной обратной связи приводит к практически мгновенному (за доли миллисекунды) делению всей массы урана. Происходит
атомный взрыв.
Все сказанное является необходимым условием для самоорганизации в системе. Вопрос о достаточности условий для каждой системы требует своего анализа.
Глава 25. Эволюция Вселенной
Рассмотрим вопрос о развитии нашей Вселенной, которым занимается один из разделов естествознания ? КОСМОЛОГИЯ. Выводы
космологии основываются на законах физики, астрономии, а также
на основе некоторых философских принципов. Важнейшим философским постулатом является положение, согласно которому законы природы (законы физики), установленные на основе изучения
весьма ограниченной части Вселенной, чаще всего на основе опытов
на планете Земля, могут быть экстраполированы на значительно
большие области, в конечном счете, на всю Вселенную.
Космологические теории различаются в зависимости от того, какие
физические принципы и законы кладутся в их основу. Построенные
на их основе модели должны допускать проверку для наблюдаемой
части Вселенной, выводы теории должны подтверждаться наблюдениями, т. е. в основе космологии лежит метод научного познания,
который мы с вами изучали в начале нашего курса.
Различные гипотезы о строении Вселенной мы рассматривали в
предыдущих разделах. Впервые идея множественности миров во
Вселенной была выдвинута Д. Бруно еще в XVI веке. В выдвинутой
гипотезе Бруно предположил, что существует не одна, а множество
солнечных систем, содержащих планеты, подобные Земле. С развитием астрономических наблюдений неба с помощью телескопов эта
гипотеза получила неоспоримое подтверждение. В некотором смысле
космологическая теория Коперника строилась на основе метода научного познания.
Когда же зародилась наша Вселенная, как она эволюционизировала, на основании каких наблюдений и теорий была принята модель современной Вселенной и как она выглядит в настоящее время. К настоящему времени наилучшим образом всем требованиям
удовлетворяют разработанные на основе общей теории относительности модели однородной, изотропной, нестационарной и горячей
Вселенной. Мы попытаемся рассмотреть эти вопросы.
145
В начале нашего века была создана специальная теория относительности, теория движения тел с большими скоростями, сравнимыми со скоростью света. Позднее, в 1916 году, А. Эйнштейном
была разработана общая теория относительности, в которой рассматривались вопросы движения небесных тел под действием сил
гравитации. В основу общей теории относительности был положен
принцип эквивалентности, согласно которому свойства движения в
неинерциальной системе координат (т. е. в системе, двигающейся с
ускорением) такие же, как и в инерциальной системе координат, в
которой действует гравитационное поле. Полученные Эйнштейном
уравнения, описывающие гравитационное взаимодействие систем с
любыми скоростями, наиболее полно и детально описывают взаимодействие вещества в масштабах Вселенной.
На первом же этапе рассмотрения моделей Вселенной вторым решающим фактором стало зарождение внегалактической астрономии.
На первом этапе основное внимание уделялось геометрии нашей Вселенной, т. е. вопросам кривизны пространства ? времени, возможности замкнутости Вселенной. Под кривизной пространства ? времени подразумевается построение неэвклидовой модели Вселенной, в
которой гравитация как бы искривляет само пространство. Эти вопросы напрямую вытекали из общей теории относительности
В 1922?1924 годах нашего века советским ученым Фридманом
было показано, что Вселенная, заполненная тяготеющим веществом,
не может быть стационарной, другими словами, она должна расширяться или сжиматься. Возникла модель нестационарной Вселенной, которая сжимается или расширяется со временем.
Эта модель была гипотезой до тех пор, пока развитие астрономии
не привело к интересному открытию. Нам известен эффект Допплера. Он заключается в том, что если источник волн приближается
или удаляется от приемника, то приемник воспринимает другие (большие или меньшие) длины волн, чем испускает источник. Длины
волн, испускаемые линиями атомов, определены с высокой степенью
точности. Можно измерить эти длины волн, излучаемые атомами от
различных звезд и даже галактик. Такие эксперименты были проведены, и оказалось, что длины волн, испускаемые атомами звезд,
смещены. Причем, чем дальше от нас удалены звезды, тем большее
смещение линий излучения атомов. Этот эффект был назван "красным смещением", так как длины волн, излучаемые атомами, смещены в красную сторону спектра. В соответствии с эффектом Допплера
получается, что чем дальше от нас находятся звезды, тем с большей
146
скоростью они от нас удаляются. Эти скорости огромны. Наиболее
удаленные от нас галактики удаляются от нас со скоростями в десятки тысяч километров в секунду. Тем самым подтвердилась модель Фридмана ? модель нестационарной Вселенной. Она оказалась
расширяющейся.
Третий этап развития модели Вселенной начинается моделями
"горячей Вселенной". В этих моделях, наряду с вопросами расширения или сжатия Вселенной, рассматриваются моменты начала этих
процессов.
Рассмотрим несколько подробнее саму модель нестационарной
Вселенной. Космологические уравнения Эйнштейна для Вселенной
имеют простой вид при следующих предположениях. Во Вселенной
отсутствуют выделенные точки или направления (Вселенная изотропна и однородна), отсутствуют силы, возрастающие с расстоянием
и, наконец, масса создается, главным образом, веществом, а не излучением. Такие предположения часто называют космологическими
постулатами. Они очень естественны. При таких предположениях
возможно решение уравнений двух видов. В первом случае Вселенная не ограничена (открытая модель) и расстояния между соседними участками ?R неограниченно увеличиваются со временем
(рис. 25.1). В другой модели Вселенная конечна (но столь же безгранична, как и в первой модели). В такой замкнутой модели первоначально происходит расширение, которое со временем сменяется
на сжатие (рис. 25.2).
?R
?R
t
t
Рис. 25.1
Рис. 25.2
Начальная стадия эволюции Вселенной по обеим моделям одинакова. Должно существовать особое начальное состояние ? сингулярность с огромной плотностью до 1093 г/см3 ? и взрывное, замедляющееся со временем расширение.
Расчеты, проведенные на основании "красного смещения", показывают, что время расширения Вселенной составляет 10?20 миллиардов лет. Это и есть время существования нашей Вселенной.
147
Эта модель оставляет открытым вопрос о начальной стадии существования Вселенной. С 60?70-х годов нашего века стала общепринятой модель "горячей" Вселенной, которая предполагает высокую начальную температуру в точке сингулярности (> 1013 °К). При
такой температуре не могли существовать не только атомы, но даже
и ядра. Могла существовать только смесь элементарных частиц,
включая фотоны и нейтрино. В разное время развития возникали
различные частицы и излучения. Одно из них, названное реликтовым, возникло через 1000000 с после начала "Большого взрыва".
Это излучение было предсказано и наблюдалось позднее в излучении
Вселенной, что послужило доказательством правильности модели
Большого взрыва.
Выводы релятивистской космологии имеют радикальный, революционный характер, и вопрос о их достоверности представляет
большой общенаучный и мировоззренческий интерес. Существуют и
нерешенные вопросы космологии. К ним можно отнести проблему
зарядовой асимметрии в нашей части Вселенной. Она заключается в
том, что в нашей Солнечной системе, а по-видимому, и во всей
Галактике преобладает вещество над антивеществом. К успешно решаемым проблемам космологии можно отнести модели образования
галактик и скоплений галактик.
Глава 26. Уровни организации материи
В основе научных исследований всех областей естествознания лежит системный подход. Системный подход рассматривает любой
объект материального мира: физическую систему, атомы, галактику, живой организм, как сложное образование, которое включает в
себя составные части, организованные в целое. Мы уже давали определение системы как совокупности элементов, образующих ее, и связей между ними. Под элементами подразумевались минимальный
элемент, образующий систему. Вещество состоит из молекул, молекула состоит из атомов, атом ? из элементарных частиц и
т. д. Внутри системы существуют связи по горизонтали и вертикали. Связи по горизонтали подразумевают координацию элементов
одного уровня. Связи по вертикали подразумевают координацию
разных по сложности элементов системы. В качестве горизонтальных связей можно привести законы Ньютона в механике. В качестве
вертикальных ? преобразования Лоренца, связывающие классическую механику и теорию относительности.
148
В живой природе к структурным уровням организации материи
относятся нуклеиновые кислоты, которые являются элементом более сложной структуры ? клетки, которая, в свою очередь, является элементом еще более сложной структуры ? живого организма.
В неживой природе обычно выделяют три уровня организации
материи. Глубинным является микромир, включающий молекулы,
атомы, элементарные частицы. Он непосредственно не наблюдаем.
Пространственная размерность объекта микромира имеет величину
от 10?9 до 10?18 м, а время протекания процессов в нем от миллиардов лет до 10?24 с. Микромир, его законы, связи рассматривался
нами в разделе 4.
Наиболее изученным и распространенным для нас является макромир, включающий все системы от молекул до галактик. Естественные науки, в первую очередь, изучали объекты макромира как
наиболее доступные и наблюдаемые в реальных масштабах времени.
Физика макромира рассмотрена нами наиболее подробно в разделах
2 и 3.
Наконец, мегамир, расстояния в котором исчисляются световыми годами, т. е. расстоянием, которое проходит луч света за один
год. Время в мегамире исчисляется величинами от 10?6 с до десятков миллиардов лет. Мы рассматривали эволюцию Вселенной в предыдущем разделе.
Так же как и раньше, мы можем утверждать, что законы одного мира не вытекают непосредственно из законов другого мира.
Одной из причин этого является то, что развитие в разных мирах
происходит не так, как в привычном нам макромире. Представляя развитие систем в мега- или микромирах и отображая их на
наш макромир, мы можем устанавливать законы и связи различных миров. Окончательный вывод, который может быть сделан ?
это познаваемость миров, такая познаваемость, которой нет конца. Получив подтверждение существования атома в XIX веке, человечество практически сразу же пришло к выводу, что существует более глубокий уровень материи ? элементарные частицы.
В настоящее время дискутируются вопросы о следующем, более
глубинном, уровне микромира.
149
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Необходимость применения естественно-научных методов и законов в практической деятельности специалистов гуманитарных профессий привела к постановке курса "Концепции современного естествознания". Его цель ? формирование у студентов научного мировоззрения, понимания целостности мира, существования связей явлений природы, сущности материи, наконец, ознакомление с основными законами, описывающими движение материи макро-, микрои мегамиров.
В макромире движение материи и законы физики, в основном,
подчинены принципу непрерывности. Как считали ученые на протяжении двух с половиной тысяч лет, природа не терпит разрывов.
Одно состояние системы должно плавно, без скачков переходить в
другое. Это сказалось при формировании такого основного понятия
классической физики, как механистический детерминизм Лапласа,
в котором все задавалось однозначно.
В макро- и микромире важнейшими закономерностями выступают законы сохранения, в том числе фундаментальные законы сохранения энергии, импульса (количества движения), момента импульса
(момента количества движения). С одной стороны, эти законы являются отображениями каких-то преобразований. Но более важным
является (как мы показали) то, что они отображают более фундаментальные свойства нашего пространства ? времени: его однородность, изотропность, однонаправленность стрелы времени.
Движение материи в микромире совершенно иное, по сравнению
с движением материи в макромире. В первую очередь, это связано с
тем, что переход из одного состояния в другое осуществляется дискретно, скачком. Часто мы не можем, с точки зрения понятий макромира, описать движение материи в микромире. Материя микромира
впитала в себя такие несовместимые с обычных позиций понятия,
как волна и корпускула. Она двойственна по своей природе. И для
описания ее движения не применим классический принцип детерминизма. Основополагающим при ее описании становится принцип вероятностного детерминизма. При этом и в макромире, и в микромире остается справедливым принцип причинности.
150
Важнейшим вопросом всего естествознания является вопрос о самоорганизации систем. Под системой подразумеваются и реальные
физические объекты, и биологические структуры, и общество, наконец, вся наша Вселенная. Под самоорганизацией мы подразумеваем переход системы на более высокий уровень развития. Для того
чтобы понять основные закономерности в самоорганизации систем,
мы рассмотрели такое понятие, как принцип обратной связи. Проявление этого принципа в виде отрицательной и положительной обратной связи и позволило нам получить основные закономерности
развития, самоорганизации систем.
В рамках классической физики конца XIX века было сформулировано понятие о "тепловой смерти Вселенной". Оно базировалось на
законах термодинамики, наиболее общем разделе физики, описывающем тепловое движение. Вопрос о "тепловой смерти Вселенной"
был снят сравнительно недавно, около тридцати лет назад. На основе релятивистской космологии была создана модель развития Вселенной в целом, которая, однако, не давала однозначного ответа на
вопрос о дальнейшем поведении Вселенной. Выводы релятивистской космологии имеют радикальный, революционный характер, и
вопрос об их достоверности представляет большой общенаучный и
мировоззренческий интерес. Существуют и нерешенные вопросы космологии. К ним можно отнести проблему зарядовой асимметрии в
нашей части Вселенной. Она заключается в том, что в нашей Солнечной системе, а по-видимому, и во всей Галактике, преобладает
вещество над антивеществом. К успешно решаемым проблемам космологии можно отнести модели образования галактик и скоплений
галактик.
В изложенном курсе мы постарались не только качественно изложить основные законы и концепции как физики, так и других разделов естествознания, но и дать их количественные формулировки.
Именно количественное рассмотрение законов естествознания и позволит молодым специалистам-гуманитариям хорошо ориентироваться
в современном технологическом мире.
151
Библиографический список
1. Рузавин Г. И. Концепции современного естествознания. М.:
Культура и спорт, ЮНИТИ, 1997. 287 с.
2. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по
физике. Т. 1, 4. М.: Мир, 1977.
3. Физический энциклопедический словарь / Под ред. А. М. Прохорова. М.: Советская энциклопедия, 1993. 928 с.
4. Кузнецов В. И., Идлис Г. М., Гутина В. Н. Естествознание. М.:
Агар, 1996. 384 с.
5. Концепции современного естествознания: Курс лекций / Под
ред. В. Н. Михайловского. СПб.: Общество "Знание", 1997. 248 с.
152
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ..........................................................................
1. ВВЕДЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ ............................................
Глава 1. Естественно-научная и гуманитарная культуры .........
Глава 2. Научный метод познания, опыт, гипотеза, закон,
теория ..................................................................
Глава 3. Материя и формы ее существования .........................
Глава 4. Постулативность основных законов естествознания,
границы их применимости .....................................
Глава 5. Разделы естествознания ..........................................
Глава 6. Математический аппарат естествознания ..................
2. ФИЗИКА НЕОБХОДИМОГО .....................................................
Глава 7. Этапы развития физики ..........................................
Глава 8. Вещество и масса, принцип эквивалентности ..........
Глава 9. Взаимодействие, поле, принципы близкодействия и .
дальнодействия .....................................................
Глава 10. Состояние системы, ее изменение во времени ..........
Глава 11. Классическая механика ........................................
§ 1. Основные положения механики Галилея .................
§ 2. Принцип относительности. Преобразования Галилея
§ 3. Законы классической механики, их инвариантность
относительно преобразований Галилея .....................
§ 4. Детерминизм классической механики ....................
Глава 12. Работа, энергия ....................................................
Глава 13. Специальная теория относительности .....................
§ 1. Постулаты теории относительности .........................
§ 2. Релятивистская механика ......................................
§ 3. Релятивистская динамика, масса покоя, связь
массы и энергии ...................................................
Глава 14. Законы сохранения ...............................................
§ 1. Законы сохранения, как отражение симметрии
процессов преобразования ......................................
§ 2. Фундаментальные законы сохранения ....................
§ 3. Эволюция закона сохранения массы ? энергии ?
материи ...............................................................
3. ФИЗИКА НЕПРЕРЫВНОГО .....................................................
Глава 15. Физические поля ..................................................
§ 1. Описание физических полей ..................................
§ 2. Поля центральных сил. Электрические и гравитационные поля ...........................................................
§ 3. Вихревые поля ......................................................
3
5
5
7
10
12
15
18
25
25
33
35
38
41
41
44
47
50
52
60
60
63
68
71
71
74
77
81
81
81
86
91
153
Глава 16. Колебания и волны ................................................
§ 1. Колебания, виды колебательных процессов ..............
§ 2. Распространение колебаний. Звуковые и электромагнитные волны .......................................................
§ 3. Волновые явления: поляризация, интерференция, ....
дифракция и дисперсия ........................................
4. МИР ВОЗМОЖНОГО ................................................................
Глава 17. Вероятностный детерменизм ..................................
Глава 18. Экспериментальные основы квантовой механики .....
Глава 19. Корпускулярно-волновой дуализм ..........................
Глава 20. Волновая функция. Уравнение Шредингера ............
Глава 21. Принцип неопределенности Гейзенберга .................
5. ОСНОВЫ САМООРГАНИЗАЦИИ СИСТЕМ ................................
Глава 22. Принцип необратимости в классической термодинамике ................................................................
§ 1. Начала термодинамики .........................................
§ 2. Тепловая смерть Вселенной ....................................
Глава 23. Принцип обратной связи .......................................
§ 1. Отрицательная и положительная обратная связь ......
§ 2. Теория катастроф ..................................................
§ 3. Кибернетика. Синергетика ....................................
Глава 24. Самоорганизация как основа эволюции ..................
§ 1. Концепция самоорганизации .................................
§ 2. Открытые системы, самоорганизация в них ............
Глава 25. Эволюция Вселенной .............................................
Глава 26. Уровни организации материи ................................
Заключение .................................................................................
Библиографический список ..........................................................
154
97
97
101
105
112
112
114
120
123
125
129
129
129
133
135
135
138
139
141
141
144
145
148
150
152
Учебное издание
Котликов Евгений Николаевич
КОНЦЕПЦИИ
СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
ФИЗИКА ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ
Учебное пособие
Редактор В. П. Зуева
Компьютерная верстка Н. С. Степановой
Лицензия ЛР № 020341 от 07.05.97. Сдано в набор 25.09.00. Подписано в
печать 04.12.00. Формат 60Ч84 1/16. Бумага тип. № 3. Печать офсетная. Усл.
печ. л 9,02. Усл. кр.-отт. 9,14. Уч.-изд. л. 9,68. Тираж 500 экз. Заказ №
Редакционно-издательский отдел
Сектор компьютерных издательских технологий
Отдел оперативной полиграфии
СПбГУАП
190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67
155
?дет
передаваться в противофазе. В итоге генератор будет усиливать (генерировать) только одну частоту, на которую настроен. Если такая
137
коррекция не предусмотрена, то генератор просто выдаст какое-то
максимальное напряжение на выходе, и не будет генерировать одну
частоту.
Другим примером положительной обратной связи может служить
микрофон с усилителем и динамиком. Хорошо известен факт, когда
такая система возбуждается и "гудит", что обусловлено положительной обратной связью, реализуемой по акустическому каналу.
§ 2. Теория катастроф
Теория катастроф была выдвинута в XIX веке французским ученым Ж. Кювье для объяснения смены фауны и флоры, наблюдаемой
в геологических пластах. Согласно этой теории в истории Земли
периодически повторяются события, внезапно изменяющие первично горизонтально залегающие горные породы рельефа земной поверхности и уничтожающие все живое. Эта теория позволяла объяснить смену фауны и флоры. К концу XIX века теория потеряла свое
доминирующее значение. Название теории катастроф вновь прозвучало во второй половине XX века, когда Р. Том в 1972 году развил
теорию отображений применительно к разным системам. Основная
идея теории связана со скачкообразным изменением системы под
действием минимального вмешательства извне. Теория катастроф
применяется в оптике, гидродинамике, устойчивости кораблей, а
также исследовании биений сердца, в эмбриологии, лингвистике,
психологии, экономике, теории элементарных частиц и т. д. Математический язык, используемый в теории катастроф достаточно сложен и недоступен для нас в рамках этого курса.
Основные идеи и применение теории катастроф, могут быть изложены в рамках принципа обратной связи.
Рассмотрим некоторую абстрактную модель системы. Имеются
системы, которые, при одних и тех же внешних параметрах, могут
существовать в различных состояниях. Например, вода при температуре ниже нуля может существовать и в виде льда (твердого тела),
и в виде жидкости (переохлажденная вода). Переохлажденная вода
при наличие затравки (кристаллов воды или просто грязи) очень
быстро, практически мгновенно переходит в твердое состояние ?
лед. Системы, которые могут при одних и тех же внешних параметрах существовать в разных состояниях, называются бистабильными системами. Если перейти к термину теория катастроф, можно
считать, что катастрофа ? скачкообразный переход в бистабильной
системе.
138
Эффекты бистабильности, скачки переходов, наконец, катастрофы характерны для многих систем с положительной обратной связью. Для примера рассмотрим систему, которую называют триггер.
Триггер ? электронное устройство, с двумя устойчивыми состояниями, способное скачкообразно переключаться из одного состояния в
другое под действием входных сигналов. Основное назначение триггера ? запоминание двоичной информации (0 или 1). Запоминание
заключается в сохранении заданного состояния (0 или 1) после прекращения действия переключающего сигнала. Информация, содержащаяся в памяти ЭВМ, базируется на наборе триггеров.
Работу триггера можно описать, используя схему, показанную на
рис. 23.1. Пусть у нас есть усилитель постоянного напряжения с
большим К0. Часть постоянного напряжения с выхода усилителя
поступает на вход. Реализуется положительная обратная связь. Что
происходит в такой системе? В начальном состоянии усилитель под
действием положительной обратной связи имеет на выходе либо максимально возможное отрицательное, либо положительное усиление.
При подаче на вход сигнала, превышающего сигнал обратной связи
Х и противоположного по напряжению, усилитель вырабатывает на
выходе сигнал противоположной полярности. Система инвертируется и новое состояние сохраняется сколь угодно долго, пока новый
сигнал на входе не переведет ее в другое состояние.
Работу триггера можно описать в рамках классической радиотехники, как это обычно и делают. Но ее же можно описать и в рамках
теории катастроф. Резюмируя сказанное, можно предполагать, что
теория катастроф описывает поведение сложных бистабильных систем, в которых реализуется положительная обратная связь.
§ 3. Кибернетика. Синергетика
Всем знакомо слово кибернетика. Обычно под этим словом подразумевают науку об общих законах получения, хранения, передачи и
обработки информации. Основные объекты исследования кибернетики ? так называемые кибернетические системы, рассматриваемые
абстрактно, вне зависимости от их материальной природы и структуры. Примерами кибернетических систем служат автоматические
регуляторы в технике (регулятор Уатта), ЭВМ, человеческий мозг,
биологические популяции, и наконец, человеческое общество. Каждая такая система представляет множество взаимосвязанных объектов, способных воспринимать, запоминать, перерабатывать информацию, а также передавать ее. Наконец, кибернетическая система
должна реагировать на внешнее воздействие.
139
Рассмотрим историю вопроса. Отец кибернетики Н. Винер рассказывал, как возникла эта наука. Она возникла, когда стали изобретать самонаводящиеся зенитные системы. Система включала радар, сервисные устройства, осуществляющие наводку зенитных орудий по радару, сами орудия, наконец, систему управления сервисными устройствами. В этих системах встретились с такой ситуацией, когда неправильно поданный корректирующий сигнал приводил
к выходу из строя всей системы наведения. Переходя к уже знакомым нам терминам обратной связи можно сказать следующее. Наличие положительной обратной связи в управляющем устройстве приводило к выработке такого управляющего сигнала для сервисных
систем, когда зенитные орудия входили в режим самовозбуждения и
их лафеты разрушались.
Анализ работы зенитных систем позволил Н. Винеру сформулировать основные принципы кибернетики и кибернетических устройств.
В целом, речь шла о том, что в системе, развивающейся под действием обратной связи по заданным законам, связь должна быть
отрицательной.
Определим, что лежит в основе кибернетики. Кибернетика, в основном, занималась анализом динамического равновесия в самоорганизующихся системах. Она опиралась на принцип отрицательной
обратной связи, согласно которому всякое отклонение системы корректируется управляющим устройством после получения сигнала
информации об этом. Мы с вами сталкивались с таким примером,
когда рассматривали знаки в уравнениях Максвелла, связывающих
магнитные и электрические поля. Отрицательный знак в законе
Фарадея и означал, что воздействие корректируется в сторону его
уменьшения.
Синергетика реже встречается в нашем лексиконе. Под синергетикой в настоящее время подразумевают область научных исследований, целью которых является выявление общих закономерностей
в процессах образования, устойчивости и разрушения упорядоченных временных и пространственных структур, в сложных неравновесных системах различной природы (физических, химических биологических, экологических, социальных).
Синергетика возникла в 70-х годах нашего века. В ее названии
содержится греческое слово, обозначающее совместный, согласованно действующий. Основой синергетики служит единство явлений,
моделей и методов, с которыми приходится сталкиваться при исследовании процессов возникновения порядка из беспорядка.
140
Поясним сказанное примерами некоторых систем, характерными
для синергетики. Примером самоорганизации в гидродинамике служит образование на поверхности вязкой жидкости, нагреваемой снизу,
организованной структуры в виде шестигранных призм, которые
называют ячейками Бернара. Ячейки Бернара ? более упорядоченная структура, чем исходная жидкость. В качестве другого примера
можно привести лазеры. Лазер состоит из активной среды, резонатора и источника питания активной среды. В активной среде существует спонтанное излучение ? хаотическое излучение, которое испускается атомами во все стороны и обладает широким спектром.
Оно отражается зеркалами резонатора и стимулирует возникновение новых фотонов, тождественных исходному. Результатом этого
является возникновение лазерного излучения. Лазерное излучение
более организованно, чем спонтанное. Фактически оно состоит из
фотонов, которые тождественны друг другу и по направлению распространения, и по частоте, и по поляризации. Роль положительной обратной связи в лазере играют фотоны, отразившиеся от зеркал резонатора и попавшие в активную среду. Приведенный Н. Винером пример процесса саморазрушения зенитного комплекса мог
быть описан и с синергетических позиций. В то время этот процесс
считался сугубо отрицательным и его старались подавить.
В синергетике исследуются механизмы возникновения новых состояний, структур и форм в процессе самоорганизации, а не сохранения или поддержания старых форм. Синергетика опирается на
принцип положительной обратной связи, когда изменение, возникшее в системе, не подавляется или корректируется, а наоборот, накапливается и приводит к разрушению старой и возникновению новой системы. Для характеристики самоорганизующихся процессов
применяют различные термины, начиная от синергетических и кончая неравновесными и даже автопоэтическими или самообновляющимися. Однако все они выражают одну и ту же идею. В дальнейшем у нас речь пойдет о самоорганизующихся системах, которые
являются открытыми системами, находящимися вдали от точки термодинамического равновесия.
Глава 24 . Самоорганизация как основа эволюции
§ 1. Концепция самоорганизации
В настоящее время концепция самоорганизации получает все большее распространение не только в естествознании, но и в социальногуманитарных разделах наук. Большинство наук изучает процессы
141
эволюции систем и они вынуждены анализировать механизмы их
самоорганизации. Мы под самоорганизацией будем подразумевать
явления, процессы, при которых системы (механические, химические, биологические и т. д.) переходят на все более сложные уровни,
характеризуемые своими законами, которые не сводятся только к
законам предыдущего уровня. Такие примеры мы рассматривали в
предыдущих разделах.
Концепция самоорганизации в настоящее время становится парадигмой. Обычно под парадигмой в науке подразумевают фундаментальную теорию, которая применяется для объяснения широкого
круга явлений, относящихся к соответствующей области исследования. Примерами таких теорий могут служить классическая механика Ньютона, эволюционное учение Дарвина или квантовая физика.
Сейчас значение понятия парадигмы еще больше расширилось, поскольку оно применяется не только к отдельным наукам, но и к
междисциплинарным направлениям исследования. Типичным примером таких междисциплинарных парадигм являются возникшая
полвека назад кибернетика и появившаяся четверть века спустя
синергетика.
Идеи эволюции систем (космогонические, биологические, физические) получили широкое признание в науке. Однако вплоть до
настоящего времени, они формулировались интуитивными понятиями. Терминологический и научный подход развивается только в настоящее время.
В ранних теориях эволюций основное внимание обращалось на
воздействие окружающей среды на систему. Примером этого является теория эволюции Дарвина. В дарвинской теории происхождения
новых видов растений и животных путем естественного отбора главный акцент делался на среду, которая выступала в качестве определяющего фактора. Разумеется, внешние условия среды оказывают
огромное влияние на эволюцию, но это влияние не в меньшей степени зависит также и от самой системы, ее состояния и внутренней
предрасположенности. Другими словами, для эволюции системы требуется связь с окружающими системами и обратная связь между
ними.
Приведем два примера. У нас есть водяной пар, при его охлаждении он переходит в новую структуру в виде кристаллов, систем
более организованных, чем хаотически двигающиеся молекулы воды.
Но, этот процесс как выясняется, может происходить только тогда,
когда в самой среде есть дополнительные центры кристаллообразования: т. е. необходимым условием является сама среда и ее взаи142
мосвязи. Другой пример: лазеры. В лазерах хаотическое спонтанное
излучение превращается в строго организованное индуцированное,
следствием чего и является монохроматическое излучение.
В этих примерах мы не использовали точные характеристики
упорядоченности или самоорганизованности структуры. Мерой упорядоченности структуры служит энтропия, с которой связано все
протекание процессов.
С точки зрения парадигмы самоорганизации стало ясным, что
условием развития не только живых, но и динамических систем
вообще является взаимодействие системы и окружающей среды.
Только в результате такого взаимодействия происходит обмен веществом, энергией и информацией между системой и ее окружением.
Благодаря этому возникает и поддерживается неравновесность, а
это в свою очередь приводит к спонтанному возникновению новых
структур. Таких, как кристаллы или лазерное излучение.
Таким образом, самоорганизация возникает как источник эволюции систем, так как она служит началом процесса возникновения
качественно новых и более сложных структур в развитии системы.
Чтобы понять, почему самоорганизация выступает в основе эволюции, необходимо сказать несколько слов о флуктуациях и хаосе.
Рассмотрим такую систему, как газ. Молекулы газа двигаются случайно, хаотично. Однако в опытах с броуновским движением мы
видим, что случайные, хаотичные движения молекул (микросистем)
могут привести и к коллективному движению макроскопических
частиц.
Флуктуации представляют собой случайные отклонения системы
на микроуровне. Но результат их действия может сказаться и на
макроуровне, причем непредсказуемым образом. В критической точке
эволюции, как правило, открывается несколько возможностей. Какой путь при этом выберет система, в значительной степени зависит
от случайных факторов. И, в целом, поведение системы нельзя предсказать с полной достоверностью. Мы с вами рассматривали этот
в
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
18
Размер файла
727 Кб
Теги
0061, 2000
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа