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2001-0102-0-01

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МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Санкт-Петербургский
государственный университет аэрокосмического приборостроения
?. ?. ??????????, ?. ?. ??????
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Санкт-Петербург
2001
??? 537.8
??? 22.31
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200700 "????????????".
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Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
2
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???????????????? ???????????????, 2001
©
?. ?. ??????????, ?. ?. ??????, 2001
1. ????? ??????? ? ???????????
1.1. ????????????? ????? ????????
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1.3. ????????????? ???????????????? ????,
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4
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2. ?????? ???????? ????????????????
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3.1. ?????????? ?????? ? ??????? ?? ???????
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?2 ? z + k2 ? z = 0.
(4)
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.
.
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.
.
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.
.
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.
.
? ? = (?j K / ж2) (1/?) ? ? z / ??.
8
(9)
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(10)
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(11)
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(12)
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(?,?,z) + ?2 ?
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(?,?,z) = ?(?,?) ? (z),
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.
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.
10
.
d2 ? (z) / dz2 + K2 ? (z) = 0,
(16)
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(17)
ж2 + K2 = k2.
(18)
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.
? (z) = A exp(?jKz) + B exp(jKz),
(19)
.
? (z) = C cos(Kz) + D sin(Kz),
(20)
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?????? ??????? ???????????? ????? ???????????? ??????? ????,
?????????????????? ????????? ???? ????? ????? ??? 0z, ? ?????? ? ??????? ?????, ?????????????? ????? ??? 0z. ????????, ??? ?????? ??
?????????? ??????? ???????? ??????, ?????????? ????????? ???????
(20) ? ???????? ?????? (19), ??? ??? ????? ????? ???????? (????? ???
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??????????? (19) ? ???????? ??? ??????? ?????????? ?????, ???????? ? ??????, ??? ?????? ????????? ? ???? ??????? ????????????? ???????? ?????, ?????????????????? ????? ????? ???????? ? ????????????? ??????????? ??? 0z, ? ?????? ? ?????????? ?????, ?????????????????? ? ????????????? ??????????? ??? 0z. ?????????????? ???????? K ???????? ?????????? ???????? ??????.
???? ??????, ??? ?? ???????? ???????? ?????? ????? ???????? ???????? ?????????? ? ?????????? ???????, ?? ?????????? ????? ? ??? ?????? ?????????????, ? ????????? (14) ??????????? ????????? ???:
(?,?,z) = ? (?,?) A exp(?jKz).
(21)
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??? ?????????? ????? ????? ????????, ??????? ????, ??? ???????
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? H ?? ?????????? ???????????????? ??????????. ??????????????
???????? ж ???????? ?????????? ???????? ??????.
. ???????? .?? ??????? (21), ????? ???????? ????????? ??? ???????
? z (?,?,z) ? ? z (?,?,z), ??????? ???????? ????????? ????????? (4) ? (5):
.
? z (?,?,z) = ?(?,?) A? exp(?jKz),
(22)
.
? z (?,?,z) = ?(?,?) A? exp(?jKz),
(23)
??? ?(?,?), ?(?,?) ? ??????? ?? ?????????? ???????????????? ??????????, ??????? ????????? ????? ? ?????????? ??????? ????????? (17).
?????????? ????????????, ??????????? ? ????????? ??????????,
????????? ??????? ????????? ??????:
??????????? ???????????? ???????? E ? H ???????????? ???? ??
?????????? ???????????????? ?????????? z ????????? ??? ????? ???????? ????? ??????????? ? ???????????? ???????? Z(z) = Aexp(?jKz),
??? A ? ??????????? ???????????, K ? ?????????? ???????? ?????;
??????????? ???????????? ???????? E ? H ???????????? ???? ??
?????????? ???????????????? ?????????? ??? ????? ???????? ????????? ??????????? ?????????? ???? ?? ?????; ??? ???? ???????????? ????? ???? ?????? ????? ?????????????? ????????????????? ?????????
(17), ?????????? ? ????? ??????? ????????? (?????????? ??????? ??????? ?????????-?????????????? ???????), ???????????? ??????????? ??????? ????? ???? ????????? ? ??????????? ????????????? ??????????????? ????? ????????;
?????????? ????????????, ?????????? ??? ?????????????? ????????? (17), ?????? ???? ??????? ? ?????????????? ?????????? ??????? (2), ??????????????????? ??? ??????????????? ????? ????????.
3.4. ??????????? ??????????????? ????????????
???????????????? ????
???? ???? ???????????, ??? ??????????? ???????? E ? H ?????
???????????? ???? ?? ?????????? ???????????????? ?????????? z ???????????? ?????????? exp(?jKz), ??? ? ???????????? ? ???????? (18)
K = ± (k2 ? ж2) 0.5.
12
(24)
?????????????, ??? ???? ???????????? ???? ????? ?????????? ????????? ????? ?????????????? ?? ???????????????.
?-?????. ??? ?-???? ?????????? ???????? ????? ж = 0, ? ?????????? ???????? ????? K = k. ??? ????????, ??? ? ?????? ???????? ???
?????? ?-????? ???????????????? ??? ????????? ? ? ??? ?? ???????
????????? V, ??? ? ? ????????? ????????????:
V = ? / k = 1 / ??µ ? .
(25)
????? ????? ?-???? ? ?????? ???????? ????? ????? ????? ????? ?
????????? ????????????:
? = 2? / k = V / f.
(26)
????? ????????, ??? ?????, ?? ??????? ???????????????? ?????? ??????, ???????????? ????? ???????????????? ???????.
?- ? ?-?????. ??? ???? ???? ?????????? ???????? ????? ж ? 0, ?
?????????? ???????? ????? K ?????????? ?? k. ??????????, ??? ?????
?????????? ???????? K ? ??????????? ?? ??????? ????????? ?. ? ???????? ???????? ??????? ? ???? ??????? ?????????, ????????????? ????,
?.?. ??????? ??????????. ??????? ? ????? ????
K = ? ? j?, j K = ? + j?.
(27)
? ??????????? ?? ???????? ? ????? ????? ????? ??? ?????? (????????, ??? k = ? ??µ ? ).
???????? ????? k > ж (??????? ? ?????????? ???????). ??? ????
?????????? ???????? ????? K ???????? ????? ???????????? ?????????
(??.(24)). ?????????????, ? ?????? ?????? (??. (27)) K = ?, ? = 0. ?????
???????????????? ????? ????? ??? ????????? ? ??????? ?? ??????????????? ???????????? ?????????? exp(?j?z), ??? ? ?????? ???? ???????????? ???? ???? ?????:
(28)
? = (k2 ? ж2)0.5 = (?2 ?a µa ? ж2)0.5.
???????? ????? k < ж (??????? ? ??????). ??? ???? ??????????
???????? ????? K ???????? ????? ?????? ????????? (??. (24)) ?, ?
???????????? ? (27), K = ?j?, ? = 0. ??? ????????, ??? ? ?????? ?????? ?
????? ???????? ?????????? ?? ???????????????? ?????, ? ???????????????????? ???????????????? ????, «???????????» ? ????????? ??????????? ? ?????????? ?? ???? ???????? ?? ???? ?? ?????? exp(??z),
??? ? ? ??????????? ?????????, ??????
(29)
? = (ж2 ? k2) 0.5 = (ж2 ? ?2 ?a µa)0.5.
13
?????????? ????????, ??? ??? ????????????????????? ???? ????? ?? ???? ???????? ?? ????????? ???????? ???????? ???????? E ? H
???????? ?? ??????? ? ???????? ??????? ????????????????? ???? ??
???? ???????? ?? ? ?????? ?????, ? ???????? ???????????? ?????????
???? ??????? ????.
????????????????????? ???? ?? ???? ??????
???? ???????? E ? H
????? ???????? ????? ?????????? ???????? ? ?? ??????? ?? ??????????
?? ????????? ???????????.
???????? ????? k = ж. ??? ???? ?????????? ???????? ????? K = 0.
????????? ? ???? ?????? ? ????? ???????? ??? ?? ?????, ?? ????????????????????? ????. ????? ????? ?????? ????? ???????? ????????
???????????, ? ???????, ??? ??????? ????????? ???? ?????, ????? ???????? ??????????? ? ?????????? ???. ??? ?????????? ??????? ???????? ?? ??????, ??? ??????? ? ????? ???????? ????? ????????????????
???????????????? ?????, ? ??????, ??? ??????? ??????????????? ???????????????? ???? ????? ????? ???????? ??????????.
?? ????????? (24), ??????? K = 0, ???????
??? = ж V = ж / ??µ ? ,
f?? = ??? / 2? = ж V / 2? = ж / (2?
(30)
??µ ? ),
(31)
??? V ? ??????? ???????? ??????? ??????????????? ?????, ?????????????????? ? ????????? ????????????.
?? ?????? (30), (31) ?????, ??? ??????????? ??????? ??????? ?? ??????
?? ??????????? ????????? ????? ж, ?? ? ?? ?????????? ???????????,
???????????? ????? ????????. ????? ??????????? ?????? ???????????
?????????, ??????? ?????? ??? ? f?? ??? ?????????????? ????????????
?????? ?????????? ?????????? «??????????? ????? ?????» ? ???, ???
??????? ???????? ????? ????? ??????? ?????????? ?????, ?????????????????? ? ????????? ????????????, ??????? ??????????? ???????
????? f??:
??? = V / f?? = 2? / ж.
(32)
????? ???????, ? ??????? ?? ?-????, ?- ? ?-????? ????? ???????????????? ????? ????? ???????? ?? ??? ????? ????????, ? ???? ???
?????????? ???????
(33)
f > f?? ??? ? < ???,
14
??? f ? ??????? ????????????? ????? ???????? ??????????, ? ? ? ?????
????? ? ????????? ????????????, ??????????????? ???? ???????.
?????? ??????? ? ????????? ???????? ?- ? ?-????, ?????????????????? ????? ????? ???????? ? V? ? V??.
.
??? ????? ??????? ?????????? ???????? ??????? ? (z) ??? ???????? ????? ? Z(z,t) (??. ????????? (19) ? (21)):
.
Z(z,t) = R?{ ? (z) exp(j?t)} = A cos(?t ? ?z).
????????? ???????? ???????? ????? ????????? ?????????? ????????, ???????
z = (?t ? const) / ?.
??????? ???????? ????? ????? ??????????? ?? ??????? ?? ?????????? ???????? z
(34)
V? = ? z /?t = ? / ?,
??? ? ???????????? ?????????? (28).
????????? ??????????????, ??????
V? = ? / (k2 ? ж2)0.5 = (? / k) / (1 ? ж2 / k2)0.5 =
= V / ((1 ? (? / ???)2)0.5 = V / ((1 ? (f?? / f)2)0.5.
(35)
?????? ????????? (35) ??????????, ???, ??-??????, V? ??????? ??
??????? ?????????? ?, ?????????????, ????? ???????? ? ?- ? ?-???????
???????? ??????????????? ?????????. ??-??????, V? ??????????? ??????, ??? ??????? ???????? ??????? ?????????? ????? ? ????????? ???????????? V. ???? ?????????, ?? ?????? ??????, ????? ?????????? ?????????????? ????????? ????????? ?????? ???????????????, ???????? ???????? ???????? ???????? ?? ?????????, ??????????? ???????? ?????
? ???????, ??????????. ?? ????? ???? ????????????, ???????, ???, ??? ???
???????? ???????? ??????? ???????????????? ??????, ?????? 1/(??/??),
????????? ? ??????? ????????? ???? ????? ? ????????? ???????? ??????? ?????? ??? ??????? ?????????? ?????, ?????????????????? ? ????????? ????????????. ??? ?- ? ?-???? ???????? ???????? ???????, ??????? ?? ??????? ????????? ????????? ? ????????? V??, ?????????? ??
V? ? ?????:
V?? = 1 / (?? / ??) = 1 / (?((?2 ?a µa ? ж2) 0.5) / ??) =
= V (1 ? (? / ???)2)0.5 = V (1 ? (f?? / f)2)0.5.
(36)
15
??? ? ????????? ???????, V?? ??????????? ??????, ??? V. ?????????????, ??? ?????? ??????????? ???????
V?? V? = V2.
?????? ????? ????? ?- ? ?-????, ?????????????????? ????? ????? ????????.
??????? ???????? V? ?????????? ????? ????? ? ????? ????????, ??????? ?? ????????? ? ? ????? ???????? ??? ??? ??????????, ???????
?- ??? ?-????? ???????? ????? ????? ?? ??????? ???????, ?????? ??????? ????????? T:
? = V? T.
(37)
?????????? ? (37) ???????? V? ?? (35), ? ????????, ??? T = ? / V,
????????
? = ? / (1 ? (? / ???)2)0.5 = ? / (1 ? (f?? / f)2)0.5,
(38)
??? ? ? ????? ????? ? ????????? ????????????, ??????????????? ??????? ??????????, ????????????? ?- ? ?-????? ? ????? ????????.
??? ? ????????? ???????, ??? ????? ? ??? ?? ??????? ???????????
????? ????? ? ????? ???????? ? ??????????? ?????? ????? ????? ?
????????? ???????????? ?.
?? ?????? (38) ? (35) ???????, ??? ? ??????????? ??????? ????????????? ?????????? ????? ???? ????????????? ? ????????? ???? ? ????? ???????? ? ?? ??????? ???????? ???????????? ? ????? ????? ?
??????? ???????? ??????? ????? ? ????????? ????????????. ???? ????????? ????? ????????? ???, ???, ?? ???? ?????????? ???????, ????????????? (?? ????????? ? ?) ??????? ??????????? ??????? ?????
???????? ?????????? ? ??????? ??????????????? ???? ????? ????? ???????? ??? ?????? ???????????? ? ????????, ???????????? ??? ??????????????? ????? ? ????????? ????????????.
????????, ??? ?????????? f ? f?? ???????? ? ? V? ??? ?????? ??????????? ? ? V, ???????? ? ??????? (??? f = f??) ? ?????????????.
????????? ????? ???????? ???????????? ????, ???????? ? ???????????? ????????? ????????????????? ???? ???? ???? ??? ??????????
???????????? ??????.
16
4. ????????? ????????????????? ???? ?- ? ?-????,
?????????????????? ? ?????????????
?????????
????????????? ?????????? ???????? ??????????? ?????????????
????????, ?????????? ??????? ???????? ????? ????? ??????????????.
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??? ????????? ????? ?????????????? ??????????? ???????, ????????
??????? ???????? ????????????? ????????????? ???????? ?????. ????????? ????????? ?????????? ??????? ???????? ??? ????? ???????.
?????? ???????? ???????????????? ??????? ?? ????? ????? ????????
???? ?????, ????? ???????? ??????? ?? ??????????? ??????? ?????????? ? ?????? ????? ??? ??????????? ??. ??????? ??????????? ??? ???????? ?????????? (?????????????? ????? ? ??????????) ???????? ????????????? ????????? ??? ????, ????? ??????? ? ????????? ???????????? ?? ????????? 20?25 ??.
4.1. ??????? ????????? ??? ?-???? ? ????????????? ?????????
? ???????. 3.3 ???? ????????,
. ??? ??? ??????????? ??????? ????????? ?????????? ???????????? ? z ? ?????????? ????????? ????? ???????? ?????????? ???????????????? ???????????????? ????????? (17).
??? ?????? ??????? ?????????, ? ??????? ????? ??????? ??????????
?????????? ?2?, ?????????? ?????????????? ?????????? ???????: ???????????? ??????????? ?????????? ??????? ?????? ????????? ??
????? ? ?????????? ????????????? ??????????????? ????? ????????.
?????????? ????? ??????? ????????? ???????????? ????????? ???????
??? ??????????? ???????????? ??????? E ??? ??????????? ?????????? ??????????????. ????????, ??? ??? ?????????????? ????????? ????? ??????? ????????????? ????????????? (?????????) ??????? ?????????, ??? ??? ?? ????????????? ????????????? ???????? ??????? ???????????????? ?????????, ??????? ????? ?????????? ? ??????????
????????????? (????????) ?????????????? ?????????.
????????? ????????????? ??????? ????????? ???, ??? ???????? ??
???. 3. ? ???? ?????? ??????? ? ?????? ?????? ????????? ????????? ?
?????????? y = 0 ? y = b, ? ??????? ? ? ?????????? x = 0 ? x = a. ????????? (17) ? ?????????? ??????? ????????? ????? ????????? ???:
?2?(x,y) /?x2 + ?2?(x,y) /?y2 + ж2?(x,y) = 0.
(39)
17
y
z
y0
b
x
z
a
0
x0
???. 3. ??????? ????????? ?????????????? ?????????
??? ?????????????? ????????? (39) ????????????? ??? ????????
??? ??????? ?????. ?????????? ??????? ?(x,y) ? ???? ????????????
???? ??????? X(x) ? Y(y), ?????? ?? ??????? ??????? ?????? ?? ?????
???????????????? ?????????:
?(x,y) = X(x) Y(y).
(40)
????????? (40) ? (39) ? ???????? ??????? ?????????????????
Y(y) ?2X(x)/?x2 + X(x)?2Y(y)/?y2 + ж2 X(x)Y(y) = 0.
(41)
??????? ? (41) ?? ??????? ?????????????? ? ???????????? ? ??????? ??? ???????? ?? ???????????? X(x) Y(y), ?????
(1/X(x)) d2X(x)/d x2 + (1/Y(y)) d2Y(y)/d y2 = ?ж2.
(42)
????????? ?? ?? ??????, ??? ? ??? ??????? ????????? (15), ?????????? ?????? ???? ????????? (42) ??????????? ???????????? ? kx2, ?
?????? ? ??????????? ???????????? ? ky2, ?????????? ????? ???????
????? ??????? ???????. ? ???? ?????? ????????? (42) ????? ???? ???????????? ? ???? ??????? ?? ???? ????? ??????? ?????????:
d2X(x)/d x2 + kx2X(x) = 0,
(43)
d2Y(y)/d y2 + ky2Y(y) = 0,
(44)
kx2 + ky2 = ж2.
(45)
????????? (43) ? (44) ???????? ??? ????????? ??? ?????????????
??????????? ????????????????? ??????????? ??????? ???????, ????????? ??????? ???????? ?????????? ????????????? ???? ?????????????????? ??????? ? ?????????? ????????????? (??. (16), (19), (20)).
??????, ? ??????? ?? ????????? (16), ????? ?? ?????????? ???????????? ?? ??????? ??? ???? ??????? (19), ?????????????? ????? ???????????? ??????? ????, ? ?????? ?????? ??????? ??????? ???????, ?????????????? ????? ??????? ?????, ? ??????? ? ???? ??????? ???? ??18
??????? ??? ????????? ?? ???????????, ??? ??? ??????????????? ??????? ???? ? ???????????? ???? 0x ? 0y ???????????? ?????????????
?????? ?????????. ????? ???????, ??????? ????????? (43) ??? ???????????????? ?????? ????? ????? ????????? ???:
(46)
X(x) = C cos(kx x) + Dsin(kx x).
? ????????? (46) ?????? ??? ?????????? ???????????? C, D ? kx,
??? ??????????? ??????? ?????????? ??????????????? ????????? ???????? (2).
????????? ??????? (2) ??? ?????????? ???????????? ??????????
??????? ????????? ???????????? ?????? ????????? (??.
???.
3) ?????.
.
??????????? ? ????????? ??????? ??? ??????????? ? z : ? z = 0 ??? x =
0, x = a, y = 0 ? y = b. ????????????? ? ????????? (46) ??? ????????, ???
??? x = 0 ? ??? x = a ?????? ????? ????????? ?????? ?????????? ? ????.
?????? ??????? ????? ???? ????????? ?????? ? ??? ??????, ???? C = 0,
? ?????? ? ???? kx = m?/a, ??? m ? ????? ????? ????????????? ?????; a ?
?????????? ?????? ??????? ?????? ?????????. ????? ???????, ????????? ????????? ???????, ?? ?????????? ???????? ?????????? ????????????? C ? kx, ? ????????? (46) ????????? ????????? ???:
(47)
X(x) = D sin(kx x) = D sin((m?/a)x).
??????? ??????????? ???????? ? ?????????? (44), ????????
(48)
Y (y) = B sin((kyy) = B sin((n?/b)y),
??? B ? ?????????? ???????????, ky = n?/b ? ?????????? ???????????,
n ? ????? ????? ????????????? ?????, b ? ?????????? ?????? ?????
?????? ?????????.
????????? (47) ? (48) ? (40), ?????
?(x,y) = B D sin((m?/a)x) sin((n?/b)y).
(49)
????????? ???????? ????????????? B ? D ??????? ?? ??????????
?????????, ????????????? ???????????????? ????? ? ????? ????????. ????????? (49) ? (22) ? ????????? ???????????? ????????????? B,
??????? ????????? ?????????
D ? A ??? ?0, ??????? ?????????????
.
??? ?????????? ???????????? ? z ??????? ????????????? ?????????????? ???? ?-???? ? ????????????? ?????????
.
? z (x,y,z) = ?0 sin((m?/a)x) sin((n?/b)y) exp(?jKz).
(50)
????? ??????????????? ??????????? ????? (6) ??? ??????????? ?????????? ???????????? ???????? ????????????? ?????????????? ? ???19
??????? ????? ?-???? ? . ?????????????
?????????, ?????????? ?????
.
.
??????? ??????????? ? ? z /?x ? ? ? z /?y ???????? ??, ??????? ???????
????????????????? ????????? (50) ?? ?????????? x ? y:
.
? ? z /?x = (m?/a) ?0 cos((m?/a)x) sin((n?/b)y) exp(?jKz).
.
? ? z /?y = (n?/b) ?0 sin((m?/a)x) cos((n?/b)y) exp(?jKz).
?????? ????????? (50) ? ??? ??????? ??????????? ??????????, ???
??? ?-???? ????? ????? m ? n, ???????? ? ????????? ??? ????????????? kx ? ky, ?? ?????? ????????? ????, ??? ??? ? ????????? ?????? ???
???????????? ???????? E ? H ???? ???? ????? ????????? ????.
?????????? ???????? ??????????? ??????? ??????????? ? ????????? (6), ??????? ??????? ????????? ??? ???????????? ???????? E ?
H ?????????-????????? ???? (?-????) ? ????????????? ?????????:
.
? x = (?j K / ж2) (m?/a) ?0 cos((m?/a)x) sin((n?/b)y) exp(?jKz),
.
? y = (?j K / ж2) (n?/b) ?0 sin((m?/a)x) cos((n?/b)y) exp(?jKz),
.
? z = ?0 sin((m?/a)x) sin((n?/b)y) exp(?jKz),
.
? x = (j ??a / ж2) (n?/b) ?0 sin((m?/a)x) cos((n?/b)y) exp(?jKz),
.
? y = (?j ??a / ж2) (m?/a) ?0 cos((m?/a)x) sin((n?/b)y) exp(?jKz),
.
? z = 0.
(51)
????????? (51) ????? ???? ???????? ? ????? ?????????? ????:
.
? x = ?j ?0x cos(kxx) sin(kyy) exp(?jKz) = ?j ?x(x,y) exp(?jKz),
.
? y = ?j ?0y sin(kxx) cos(kyy) exp(?jKz) = ?j ?y(x,y) exp(?jKz),
.
? z = ?0z sin(kxx) sin(kyy) exp(?jKz) = ?z(x,y) exp(?jKz),
.
? x = j H0x sin(kxx) cos(kyy) exp(?jKz) = j Hx(x,y) exp(?jKz),
.
? y = ?j H0y cos(kxx) sin(kyy) exp(?jKz) = ?j Hy(x,y) exp(?jKz),
.
? z = 0,
20
(52)
??? ?x(x,y), ?y(x,y), ?z(x,y), ?x(x,y), ?y(x,y) ? ????????? ??????????????? ???????????? ???????? E ? H , ? ?0x, ?0y, ?0z, H0x, H0y ? ???????????? ???????? ???? ????????.
??????? ????????, ??? ? ?????? ?-????, ?????????? ?????????????
???????? ???????, ????????? ???????????? ???????? E ? H ?????????? ??? ??????????? ????? ???????? ?????? ???? ???? (? ??????? ??
?????????? ??????? ????, ?????????????????? ? ????????? ????????????).
4.2. ??????? ????????? ??? ?-???? ? ????????????? ?????????
??????? ??????? ????????? (17) ??? ?-???? ?? ??????? ??? ?-????
??????????? ? ?????????? ????????? ???????. ???? ? ???, ??? ????????? (2), ??????? ? ?????? ?-???? ???????????????
???????????????? ?
.
????????? ??????? ??? ???????????? ? z , ? ?????? ?????? (?.?. ????????????? ? ?????????? ???????????? ??????? ????????????? ?????????? ????) ????? ???? ???????????? ???? ????????????? ? ???????
??????? ????????? ????? (7). ?????? ????????? . ??????? ????? ????
? z , ? ???? ??? ?? ?????????? ?? ???????????????
??? ????????????
.
.
????? ??????????? ? .? z / ?y ? ? ? z / ?x (??. ?????? ??? ?????????
??????? (7)). ???
??? ? x ???????? ??????????? ???????????? ??? y = 0
.
? ??? y = b, ? ? y ???????? ??????????? ???????????? ??? x = 0 ? ???
x = a, ?? ???????????? ????????
.
? ? z / ?y = 0 ??? y = 0 ? ??? y = b,
.
? ? z / ?x = 0 ??? x = 0 ? ??? x = a.
????????? ??? ????????? ???????. ??? ??????? ????????? (17) ??????? ????????? ??? ????????????
? z ????????? ???? (?-????) ? ???.
?????????? ????????? ? z
.
? z (x,y,z) = ?0 cos((m?/a)x) cos((n?/b)y) exp(?jKz).
(53)
?????? ????????? (53) ??????????, ???, ? ??????? ?? ????????? (50),
? ?????? ?????? ????? ????? m ? n. ??????? ?????
????????? ????.
.
????? ??????? ??????????? ? ? z / ?y ? ? ? z / ?x ? ?????????? ?????????? ???????? ? ????????? ????? (8), ???????? ??????? ?????????
??? ???????? E ? H ????????? ???? (?-????) ? ????????????? ?????????:
.
? x = (j ?µa / ж2) (n?/b) H0 cos((m?/a)x) sin((n?/b)y) exp(?jKz),
21
.
? y = (? j ?µa / ж2) (m?/a) H0 sin((m?/a)x) cos((n?/b)y) exp(?jKz),
.
? z = 0,
.
? x = (j K / ж2) (m?/a) ?0 sin((m?/a)x) cos((n?/b)y) exp(?jKz),
.
? y = (j K / ж2) (n?/b) H0 cos((m?/a)x) sin((n?/b)y) exp(?jKz),
.
(54)
? z = ?0 cos((m?/a)x) cos((n?/b)y) exp(?jKz).
????????? (54) ????? ???? ???????? ? ????? ?????????? ????:
.
? x = j ?0x cos(kxx) sin(kyy) exp(?jKz) = j ?x(x,y) exp(?jKz),
.
? y = ?j ?0y sin(kxx) cos(kyy) exp(?jKz) =?j ?y(x,y) exp(?jKz),
.
? z = 0,
.
? x = j H0x sin(kxx) cos(kyy) exp(?jKz) = j Hx(x,y) exp(?jKz),
.
? y = j H0y cos(kxx) sin(kyy) exp(?jKz) = j Hy(x,y) exp(?jKz),
.
? z = H0z cos(kxx) cos(kyy) exp(?jKz) = Hz(x,y) exp(?jKz).
(55)
4.3. ?????? ??????? ????????? ?????????
??? ?????????????? ?????????
?????????? ???? ??????? ????????? ((51), (52)) ? ((54), (55)) ???????? ????????? ????????? ?????????, ??????????????? ??????????
???????? ??????????????? ?????? ? ????????? ????????. ?????????????, ? ???????????? ? ???????? ??????????????, ??? ??????? ?????????? ????????? ?????? ????????? ? ???????????? (? ???? ????????? ?????
????????????? ???????? ? ?? ???????????? ??????????? ? ?? ? ??
???????) ???????? E ? H ?????? ?????????. ????????? ?? ?????? ????
?????????????? ???????? ??????? ?????????? ??????? ???????????????? ?????????, ???????????? ?????? ?????????.
?????? ????? ??????? ??????????? ??????? ??? ??????????? ????? ????? ?- ? ?-???? (??. (32),(45),(47) ? (48)).
(56)
??? = 2? / ж = 2? / (kx2 + ky2)0.5 = 2 / ((m/a)2 + (n/b)2) 0.5,
??? m ? n ? ????? ????????????? ?????, ??????? ??? ?-???? ?????
??????? ????????? ????, ? ??? ?-???? ?????????? ? ???????.
?????? ???? ????? ????? m ? n ????????????? ?????? ???????? ???????? E ? H , ? ????? ?????? ???????? ???, V? ? ?. ????????? ??? ????22
????, ??? ??? ?????????? ???????????? ??????? ? ????????? ?????
???????????? ???????????? ????????? ?? ????? ????????? ? ???????
???????? ?- ? ?-?????. ??? ????? ????? ???????? «??????????? ????»
????????? ? ???????????? ?mn ??? ?mn, ??? ????????? ????????? ?????
?????????? ?????????????? ??????????? ????? ? ?????? ?- ??? ?????, ? ?????? ??????? m ? n ?????????? ??? ??????????? ????? (?.?.
????????? ?????????????? ? ?????????? ????? ???? ?????).
?????????????????? ????????????? ? ? ?-???? ? ????????????? ????????? ( ? 0E , ? 0H ). ?????????????????? ????????????? ??????????? ????
????? ????????? ??????? ???????????????? ?????????? ???????????? ???????? E ? H ???? ????. ??????????? ? ??????? ????????? ???
?-???? (51), ???????
.
.
.
.
? E = ? x / ? y = ? ? y / ? x = K/?? = µ ? / ?? (1 ? (? / ? )2)0.5 =
0
a
.
.
= ? 0 (1 ? (? / ???
??
)2)0.5,
(57)
??? ? 0 ? ?????????????????? ????????????? ??????? ?????????? ?????
? ????????? ????????????.
??????????? ? ??????? ????????? ??? ?-???? (54), ???????
.
.
.
.
? H = ? x / ? y = ? ? y / ? x = ?µ /K = µ / ? / (1 ? (? / ? )2)0.5 =
?
?
0
.
a
= ? 0 / (1 ? (? / ???
??
)2)0.5.
(58)
??? ??????? ?? ????????? (57) ? (58), ??????????????????
?????.
???????? ??????????? ???? ?????????, ? ??????? ?? ? 0 , ??????????
??? ????????? ??????? ????????????? ??????????.
????? ????????? ???? ? ????????????? ?????????. ??????????? ?????
????? ???????????????? ?? ????????? ?? ??? ????? ????????, ? ???? ???
?????????? ??????? (33). ?????????????, ???????? ????? ???????????
????? ??????????? ????????? ????????? ? ???????? ????????????? ??????????, ??? ??????? ? ????????? ????? ???????????? ????????????????
????????? ??????????? ???? (???????????? ? ????? ??????????).
? ?? ?? ?????, ???????? ????? ??????????? ????? ?????????? ????
???????????, ??? ??????? ? ????????? ?? ?????? ???????????????? ??
???? ?? ??????????? ????.
?, ???????, ????? ????????? ????? ??????????? ????? ?????????
????????? ? ???????? ????????????? ??????????, ??? ??????? ? ????????? ????? ???????????????? ?????? ???? ??????????? ?????, ??????? ?????????? ?? ???? ??????????? ???? ??????????? ????? ?????.
23
??? ??????????? ????? ?????????? «???????? ?????? ?????????» ???
«?????? ??????? ????».
??? ???????????? ?????????????? ?????????, ? ???????? a > b, ?????? ????????? ???? ????? ??????????? ????? ?10. ??????????? ?????
????? ??? ??????????? ????? ?10 ????? 2a (??. (56)). ?? ????????? ?
????? ?10 ??? ?????? ??????????? ????? ?????????? ??????? ??????
?????.
?)
H 10
H 20
H 01
???????
???????
H11, E11
H 30
H21, E21
H31, E31
H 02
0
1
2
3
4
5
?, ??
H22, E22
H 10
?)
H 20
H 01
H11, E11
???????
???????
H 30
H21, E21
0
1Ч1010
2Ч1010
H31, E31
H 02
3Ч1010
f, ??
???. 4. ??????????? ????? ???? (?) ? ??????????? ??????? (?) ???????????
???? ?????????????? ?????????, ???????? ?????????? ??????? 23?10 ??
?? ???.4 ???????? ??????????? ????? ???????????? ??????? ????
? ???????????? ????????? ?????????? ??????????? ???? ?????????????? ?????????, ???????? ?????????? ??????? 23?10 ??. ???? ??????? ???????? ????????????? ??????? ?????? ????????? ?????? ????????????? ?????? ???????? ??????????, ? ???????? ???????? ????? ?10
???????? ??????????? ????????? ??????????? ?????? ??????? ?????????, ??? ??? ?????? ??? ??? ??????????? ??????? ?< ???. ?? ????????,
24
??? ?????????? ????????? ??????????? ????? ? ??????, ????? ?????
??????????? ??????????? ??????? ? ????????? ?????? ????? ????? ??????. ??????? ?????????? ????????? ???? ? ??????????? ??????????????? ??????????? ????? ?10 ????? ????????.
4.4. ????????? ???? ????? ?10 ? ????????????? ?????????
??? ????? ?10 m = 1, n = 0, ?????????????, kx = ?/a, ky = 0, ???= 2a, ?
??????? ????????? (55) ????????????? ? ?????????? ????:
.
? x = 0,
.
? y = ? j ?0y sin((?/a)x) exp(?jKz) = ? j Ey(x) exp(?jKz),
.
? z = 0,
.
? x = j H0x sin((?/a)x) exp(?jKz) = j Hx(x) exp(?jKz),
.
? y = 0,
.
? z = H0z cos((?/a)x) exp(?jKz) = Hz(x) exp(?jKz).
(59)
?????? ????????? (59) ??????????,
??? ?????? E ????? ?10 ?????
.
????????????? ???? ???????????? ? y , ????????????? ? ?????????
.
???? ??????? ?????????, ? ?????? H ? ??? ????????????:. ? x , ????????????? ? ????????? ??????????? ??????? ?????????, ? ? z , ???????????? ?????????? ??? ????????? ?????????. ? ??????? ?? ??????? ?????????? ?????????? ????, ? ??????? ????????? ???????? E ? H ?? ????????
?. ?????????
?? ???????? ??????, ????????? ?????????.
.
??? E y , ? x ? ? z ???????? E ? H ????? ?10 ?????????? .? ?????????
.
???????? ?????? ???? ?????. ????????? ???????????? E y ? ? x ?????
?? ???????????? ???????? (?0y ? H0x) ? ?????? ????????? ? ???????
.
???? ????? ??? ??????? ??????, ? ????????? ???????????? ? z ?????
???????? (H0z) ????? ??????? ?????? ? ??????? ?? ???? ? ?????? ?????????. ??????? ???????????
????? ?????
????????????? ??????, ???
.
.
?? ????????? ? E y ???????????? ? x ???????? ? ???????????? ? ??
??????? ?? ? (?.?.
????????? ?? ????????? ? ??? ? ???????????), ?
.
? ??? ? ?????????????????? ? z ? ?? ?/2 (?.?. ?????????
. ?? ?????????
.
????). C?????????????, ???????????? ? x ? ? z ???????? ?? ???? ????
???????????? ????? ?? ?/2.
??????? ??? ????????????? ???????? E (x,z,t) ? H (x,z,t) ????? ?10
????? ????????? ???:
25
E (x,z,t) = ? y0 Ey(x,z,t) = ? y0 Ey(x) sin (?t ? Kz),
(60)
H (x,z,t) = x0 Hx(x,z,t) + z0 Hz(x,z,t) =
= x0 Hx(x) sin (?t ? Kz) + z0 Hz(x) cos (?t ? Kz),
(61)
??? Ey(x), Hx(x), Hz(x) ? ????????? ???????????? Ey(x,z,t), Hx(x,z,t) ?
Hz(x,z,t).
????????? Ey(x), Hx(x), Hz(x) ????? ???????????? ???????? ?0y, H0x,
H0z, ? ?? ??????????? ?? ???????????????? ?????????? ? ???????????
?????????? ??????????? (??.(56)):
(62)
Ey(x) = ?0y sin((?/a)x);
Hx(x) = H0x sin((?/a)x);
(63)
Hz(x) = H0z cos((?/a)x).
(64)
?)
y
?)
2
b
3
3
x
a
2
??.33
?)
??.22
?/2
??.22
?)
?y(x=0.5a; t=t1)
?0y
?/2
?0y
??.11
1
1
?y(x)
?0y
?)
x
a
???. 5. ????????? ?????????????? ???? ????? ?10 ? ????????????? ?????????
26
?? ???. 5, ?, ?, ? ????????? ??????????? ??????????? ??????? ????? ??????? E ????? ?10 ? ????????? ??????????? ??????? ?????????
(??.11) ? ? ???? ??????? ???????????????? ?????????? ??????????,
???????????? ????? ? ??????? ??????? ????????? ? ?????????? ????? ??? ??? ?????????????? ????????? (??.22 ? ??.33 ??????????????).
??????????? ??????? ??? ??????? ??????? t1, ????? ?????? ?(x,z,t) ????????? ? ????????? 11 ?????? ????????????? ?????????????? ????????.
?? ???. 5, ? ????????? ??????????? ???????????? ?y(x,z,t) ?? ???????????????? ?????????? (??????????) z ? ????????? 22 ??? ??????? ??????? t1, a ?? ???. 5, ? ? ??????????? ????????? ???? ???????????? ??
?????????? x ? ????????? 11.
?)
??.11
?)
y
2
3
3
x
??.22
?/2
b
a
2
0
??.33
?)
?)
??.22
Hx(x=0.5a; z; t=t1)
H 0x
H 0x
z
??.y0z
?)
4
Hz(x=0; z; t=t1)
H0z
4
0,25?
z
?)
1
??.11
1
Hx(x)
?)
??.44
Hz(x)
H 0x
x
a
0
H0z
x
a
0
???. 6. ????????? ?????????? ???? ????? ?10 ? ????????????? ?????????
27
?? ???. 6, ?, ?, ? ?????????? ??????? ????? ??????? H ????? ?10 ?
?????????? 11, 22 ? 33 ??? ??????? ??????? t = t1. ?? ???. 6, ?, ? ????????? ??????????? ???????????? Hx(x,z,t) ?? ?????????? z ? ??.22 ?
???????????? Hz(x,z,t) ?? ?????????? z ? ????????? y0z ??? ???????
??????? t1. ?? ???. 6, ?, ? ????????? ??????????? ???????? ?x(x) ?
?z(x) ?? ?????????? x ? ?????????? ?????????? 11 ? 44 ??????????????.
4.5. ????????????? ????? ???????????? ?? ??????? ?????????,
? ??????? ???????????????? ????? ?10
???????????? ?? ?????????? ????? ????????????, ????????????
?????? ?10 ?? ?????????? ???????????? ?????? ????????? (????????,
??? ?????? ????????? ????????? ???????? ??????????? ? ?? ??? ????? ???? ?????? ????????????? ????).
??? ????????, ?????? ????????? ?????????????? ???? ( ???? ), ????????????? ? ????????? ??????????, ??????????????? ??????????? ???????????? ??????? ????????????? ?????????? ???? ( H ? ) ???????????????? ?????, ???????????? ???? ???, ? ?????? ? ??? ????????? ????????????:
???? = n Ч H ? ,
(65)
??? n ? ??????? ??????? ? ??????????? ?????????? ??????????.
??? ????? ?10 ???????????? ? ??????? ????????? ?????????????
??????? H ????????:
? ??? ??????? ? ?????? ?????? ? ???????????? ?x ? ?z ??? y = 0
? y = b;
? ??? ??????? ?????? ? ???????????? ?z ??? x = 0 ? x = a.
? ??????????, ?????????? (???
??.44
???????
??????? t = t1) ??????? ???/2
????? ????? ???????? ?????????
????? ????????????, ??????? ??
???
?????????? ???????????? ??????
?????????, ????? ????? ???, ???????
???????? ?? ???. 7. ????? ???????
????, ??? ? ????????? ????????, ??????. 7. ??????? ????? ?????
?????????? ? ?????? ????????? ??
????????????, ??????? ?? ???????
?????????? ?/2 ???? ?? ?????, ?? ???????????????? ?????????, ? ???????
????? ??????? (??? ? ??????? ??????????????????? ????? ?
10
28
???) ??????? ????? ????? ????????????, ??? ??????? ????? ??????????
???????? ??????? ????? ???????? ??? (????????, ??? ??? = ? E /?t). ???
????, ????? ?? ???????????? ???. 7, ?? ??? ?????????? ?????? ?? ??????? ????? ????? ????????, ??????? ????????? ? ????????? ??????????? ??????? 44.
?????? ??????? ??????? ????? ????? ???????????? ?????????? ???
??????? ?????? ?????????? ?????????? ??? ???????????? ????? ??
??????? ?????????. ??????????? ???????? ????, ??????????? ??????????????? ??????? ?????? ????? ????????????, ? ?????????????
? ??????????? ???? ??????? ??????. ?????????????, ???? ? ?????????
???????????????? ????? ?10, ?? ????? ????, ??????????? ? ??????? ??????
????????? ??????????? ??? 0z ????? ??????????, ? ?? ????? ??? ????,
??????????? ?????????? ??????? ?????? ????????? ??????????? ???
0z, ? ???????????? ? ?.?.
4.6. ????????? ????? ?-???? ?????? ?????
? ????????????? ?????????
?????? ????????? ????????????????? ???? ????? ?-????? ???????
???? ??????? ???????? ? ?????????????? ??????? ????????? (54) ???
(55) ? ?????? ?????????? ???????? ???????? m ? n ???????????????
?????. ????? ????? ??????? ?????????? ??????? ??????? ????? ???????? E ? H ?????? ?????.
??????? ?????? ? ??????? ???? ?????? ????? ??????? ?????????
???????. ????????? ???? ????? ?10 ????? ??????? ??????? ??? ?????????? ?????? ??????? ????? ???????? E ? H ??????????? ???? ?m0
? ?0n. ???, ????????, ??? ????? ?20 ??????? ??????? ????? ????????
E ? H ? ?????????? ??????? ????????? ?????????? ????? ???????????
??????????????? ??????? ????????? ????? ??????? ?????? ?????????
(? ?????? ??????? ??????????? ???????? ????????); ??? ????? ?30 ?
??????????? ????????????????, ? ?. ?. ??? ????? ?01 ??????? ????????? ????? ????????? ?? ???? 90°; ??? ????? ?02 ? ????????? ?? 90° ?
?????????????? ?????? ? ?.?. (???. 8).
????????? ??????? ???????? ?????? ?????????? ??????? ???????
????? ???????? E ? H ??????????? ????, ? ??????? ??????? m ? n ???
?? ????? ????. ? ???? ?????? ?????????? ??????? ????????? ???????
??????? ????? ????? ?11, ??????? ?????, ? ??????????? ?? ??????????
???????? ???????? m ? n, ????? ???????????????? ????????? ????? ???
29
?)
?)
H 20
H 30
b
a
???. 8. ??????? ????? ???????? E ? H ? ?????????? ??????? ?????????????? ?????????: ? ? ??? ????? ?20, ? ? ??? ????? ?30
?)
?)
H 11
H 21
b
a
???. 9. ??????? ????? ???????? E ? H ? ?????????? ??????? ?????????????? ?????????: ? ? ??? ????? ?11, ? ? ??? ????? ?21
????? ??????? ? ????? ?????? ?????????. ????? ???????, ??? ??????????? ???? ???? ?mn ??????? ?????????? ???????? ????????? ???? ?????
?11 (???. 9).
4.7. ????????? ????? ?-???? ? ????????????? ?????????
????? ?-???? ?????????? ??????????? ????? ????? ????? ??????????? ????? ?11 (??? = 2ab / (a2 + b2)0.5). ??????? ????????? ?????
?11 ????? ????????? ???:
E = ?j ? cos((?/a)x) sin((?/b)y) exp(?jKz),
x
0x
E y = ?j ?0y sin((?/a)x) cos((?/b)y) exp(?jKz),
E z = ?0z sin((?/a)x) sin((?/b)y) exp(?jKz),
= j H sin((?/a)x) cos((?/b)y) exp(?jKz),
H
x
0x
.
? y = ?j H0y cos((?/a)x) sin((?/b)y) exp(?jKz),
.
? z = 0.
(66)
??????? ??????? ????? ???????? E ? H ???? ????? ? ?????????? ??????? ????????? ?????????? ?? ??? 10. ????????? ???? ????? ?11 ??????30
?)
E 11
?)
E 22
b
a
???. 10. ??????? ????? ???????? E ? H ? ?????????? ??????? ?????????????? ?????????: ? ? ??? ????? E11, b ? ??? ????? E22
?? ??????? ??? ?????????? ?????? ??????? ????? ???????? E ? H ??????????? ???? ?mn (??. ???????, ?????????? ? ?????????? ??????????).
4.8. ?????????? ????? ???????? m ? n, ???????? ? ???????????
??????????? ???? ?????????????? ?????????
?????????? ?? ?????????? ????? ??????????? ???? ?????? ?????
????????? ????????? ??????????? ?????? ???????? m ? n, ???????? ?
??????????? ???? ????.
?? ???? ??????????? ?????? ???? ? ?????????? ??????? ?????????
???????????? ????? ??????? ?????, ???????????????? ??????? ??????? ????? ???? 0x ? 0y ????? ?x ? ?y ??????????????. ?????? m ?????????? ??????? ???????? ??????? ????? ???????????? ????? ??????? ?????? ?????????, ? ?????? n ? ??????? ???????? ??????? ????? ???????????? ????? ????? ?????? ?????????.
????????? ??? ?????????? ????? ??????? ?? ????????? ?????????
?????????????? ????????:
?x = 2?/kx = 2 ? / (m?/a) = 2a / m, ?y = 2?/ky = 2 ? / (m?/b) = 2b / m.
?????? m = a / (?x /2); n = b / (?y /2).
5. ????????? ????????????????? ???? ?- ? ?-????,
?????????????????? ? ??????? ?????????
??????? ?????????? ???????? ??????????? ????????????? ????????, ?????????? ??????? ???????? ????? ????? ?????. ??????????? ??????? ????????? ???????????? ????? ???????? ??? ????????? ?????
???????? ??????????? ???????, ???????? ??????? ????????????? ????????????? ???????? ?????.
??????? ??????? ????????? ????????? ??? ???????? ????????? ??
?????? ?????????? ??? ????????? ??? ??????? ???? ????????? ???
????????? ??????????????:
31
????????? ????????? ?????? ???? ???????? ? ????? (1), ? ?? ??????? ?????? ????????????? ?????????? ??????? (2);
??????? ???? ????????? ?? ????? ?????? ? ???? ???????????? ??????? ???????????? ?- ? ?-????, ?????????????????? ????? ?????????:
???????? ????????? ?? ????? ?????? ?????? ??? ?????????? ???????????? ???????? E ? H , ? ?????????? ???????????? ???? ???????? ???????? ? ??????? ????????? ?????;
??????????? ?????????? ???????????? ???????? E ? H ?? ????????????????
?????????? z, ???????????? ????? ?????????, ????? ?????
.
??? ? (z) = A exp(?jKz)
??????? ??????? ? ???, ??? ??? ??????????? ??????????? ?????????? ???????????? ???????? E ? H ?? ?????????? ????????????????
??????????, ????????? (17) ?????? ???? ???????? ? ???????????????? ? ?????????????? ??????? ?????????, ??? ??? ?????? ? ???? ??????? ???? ?? ???????????? ???????????? ????? ????????? ? ??????????
???????????? ?????? ???????? ????????? (??. ?????? ???????. 3.3).
5.1. ??????? ????????? ??? ?- ? ?-???? ? ??????? ?????????
??????????? ?????????????? ??????? ????????? (?,?,z) ???, ?????
??? 0z ???? ??????? ??????? ? ?????????? ???? ????????? ????????
????????? (???. 11). ? ???? ?????? ??????? ?(?,?) ?????? ????????
?(?,?), ? ????????? ???????????? ???????????, ??????????? ? ?????????? ???????????? ?????? ?????????, ????? ????? ??? ? = a, ??? a ?
?????? ?????????.
z
?0
?
?0
?
a
z0
0
???. 11. ??????? ????????? ???????? ?????????
????????? ??????? (2) ? ??????????????? ?????? ????????????????
? ????????? ???????????:
= 0,
(66)
E |
z ?= a
32
E ? | ?= a = 0.
(67)
??? ?????????? ?????????? ??? ??????????? ????? ????????? ?? ??? ?? ???????????????? ???????? ??? ?????????? ???????????? H
z
????????, ??????? ??????? ??????? ?? ??????? (66), (67) ? ?????????
????? (9). ???????????????? ???????? (67) ? ?????? ?????????? ??
??????? ????????? ????? (9), ?????:
.
? ? z / ?? | ?= a = 0.
(68)
????????? (17), ?????????? ? ?????????????? ??????? ?????????
????? ????? ????????? ??? (??. ????????? (12)):
?2 ?(?,?)/??2 + (1/?) (?? (?,?)/??) +
+(1/?2) (?2 ? (?,?)/??2) + ж2 ?(?,?) = 0.
(69)
??????? ????????? (69) ????? ???????????? ??????? ?????. ?????????? ??????? ? (?,?), ????????? ?? ???? ?????????? ? ? ?, ? ????
???????????? ???? ??????? P(?) ? ? (?), ?????? ?? ??????? ???????
?????? ?? ????? ?? ???? ??????????:
(70)
?(?,?) = P(?) ?(?).
????????? (70) ? (69) ? ????? ????????? ?????????????? ???????
(?2/ P(?)) ?2P(?)/??2 + (P(?)/?) (?P(?)/??) + ж2?2 =
=?(1/?(?)) (?2?(?)/??2).
(71)
????? ? ?????? ????? ????? ????????? ??????? ?? ?????? ??????????, ??????? ??? ????? ???? ??????????? ?????? ? ??? ??????, ?????
??? ??? ????? ????? ????? ? ??? ?? ?????????? ????????. ????? ????
?????????? ????????? ????? ????????? ??????????? m2, ??????????
????? ???????? ?? ????????? ???????. ? ???? ?????? ????????? (71)
????? ???? ???????????? ? ???? ??????? ?? ???? ?????????? ???????????????? ?????????:
(72)
?2?(?)/??2 + m2 ?(?) = 0,
(?2/ P(?)) ?2P(?)/??2 + (P(?)/?) (?P(?)/??) + ж2?2 ? m2 = 0.
(73)
????????? (72) ???????? ??? ?????? ??? ???????? ?????????? ???????????????? ?????????? ??????? ???????, ???????? ???????? ????? ???? ????????????? ??? ?????????????????? ??????? (??. (19) ?
33
(20)). ????? ? ???, ??? ?? ???? ????????????? ???? ? ??????????
??????? ?????????, ??? ??? ???? ???????????? ????? ??????? ?????,
????????? ??????? ? ???? ????? ?????????????????? ???????
(74)
?(?) = M1 cos (m?) + M2 sin (m?).
??? M ? ??????????? ???????????.
??? ??? ??????????????? ???????? ???????? ???????? ??????????,
?? ?????? ??????? ???? ? ????? ???? ??????? ??????????? ? ???????
??? ?(?) ????? ???????? ? ????????? ????:
?(?) = M cos (m?).
(75)
??????????? m, ???????? ? ???????? ???????? ? ????????? (75),
????? ???? ?????? ????? ??????, ??? ??? ???????? ??????? ?(?) ??
?????? ?????????? ??? ????????? ? ?? ????????, ??????? 2?. ?????
???????
m = 0, 1, 2, ?
(76)
???????? ???????????? ???????????? M ??????? ?? ?????????? ?????????, ????????????? ??????????? ????? ? ?????????.
???????? ???????? ????????? (73). ????? ????????? ?????????????? ??? ????? ???? ???????????? ? ????????? ????:
(77)
?2P(?)/??2 + (1/?) (?P(?)/??) + (1 ? m2/?2) P(?) = 0,
??? ? = ж? ? ??????????? ??????????.
????????? (77) ???????????? ????? ?????? ????????? ? ?????????????? ?????? ????????? ???????, ???????? ???????? ???????? ??????????? ??????? ??????? ??????? ? ??????? ???? ??????? m ( Jm ? Nm
??????????????):
(78)
P(?) = A Jm(?) + B Nm(?),
??? m ???????? ??????? ???????.
??????? ??????? Jm(?) ? Nm(?) ??? ????????? ???????? m ????????? ?? ???. 12. ?????????? ? ????????? (78) ? ?????????? ж?, ?????,
??? ?????? ?? ?????????? ??????????? ??????????? B ?????? ????????? 0, ??? ??? ? ????????? ?????? ? ?????? ????????? (??? ? = 0)
????????????? ?????????????? ??? ?????????? ???? ??????????? ?????? ?????????????. ????? ???????, ?????????? ??? ????????????????
?????? ???????? ????????? (77) ????????
(79)
P(ж?) = A Jm(ж?).
34
?)
?)
J0(?)
0,8
J1(?)
0,6
?0,4
1
2
3
4
N0(?)
0,4
0,2
5
0
?0,2
0,6
J2(?)
0,4
0,2
6
7
8
0
?
?0,2
N1(?)
1
2
3
4 5
6
7?
?0,4
?0,6
?0,8
???. 12. ??????? ???????: ? ? Jm(x), ? ? Nm(x)
????????? (79) ? (75) ? ????????? (70) ? ????????? C = AM, ???????? ??????? ????????? (69)
(80)
?(?,?) = C Jm(ж?) cos (m?).
? ????????? (80) ??????????? ??????????? C ??????? ?? ?????????? ?????????, ????????????? ????????, ??????????? m ????? ????????? ????? ????????????? ????????, ??????? 0 (??. (76)), ? ?????????? ???????? ????? ж ?????? ???? ?????????? ?? ????????? ???????. ????????, ??? ??? ?-???? ??????? ?(?,?) ???????????? ?????? . ?????????????, ? ???????????? E z , ? ??? ?-???? ? ???????????? H
z
????? ?? ???? ??????????? ?????, ?????????? ????????? ??? ??????? ? (?,?) ????? ???? (66), ???? (68).
??????????? ??????????? ????????? ????? ??? ?-???? (ж?). ????????????? ????????? ???????? (66). ????????? ?(?=a, ?) = 0 ? ?????????
(80):
0 = C Jm(ж?a) cos (m?). ?????? ж? a = ?mn,
??? ?mn ? ????? ??????? Jm(?) (????????, ??? ?????? ??????? ?????????? ????? ???????? ?? ?????????, ??? ??????? ??????? ?????????? ?
????); n ? ????? ????? ???? ??????? (n = 1, 2, 3? ).
?????????????,
(81)
ж? = ?mn / a.
? ????. 1 ????????? ????????? ???????? ????????? ?????? ??????? Jm(?) (??. ????? ??????? ?? ???. 12).
35
??????? 1
????? (?
?mn ) ??????? Jm ??? ????????? ???????? m ? n
n
1
2
3
0
m
1
2
2,405
5,520
8,654
3,832
7,016
10,173
5,136
8,417
11,620
??????????? ??????????? ????????? ????? ??? ?-???? (ж?). ??? ??? ?
??????
?????? ???????? ????????? ??????? ?? ??? ????? ?????????.
/??, ?? ????? ???????????? ? z ? ???? ??? ?? ?????? ??????????? ? H
z
?????? ????? ?????????? ????????? ?????????? ???????????????????
??????? ?(?,?) ?? ?????????? ?:
(82)
?? (?,?)/??) = ж? A J?m (ж??),
?
?
??? J?m(ж ?) ? ?????? ??????????? ??????? Jm (ж ?) ?? ?????????? ?
(?????? ??????? J?m (?) ???????? ?? ???. 13).
?)
?)
0,6
0,4
0,6
J?1(?)
J?2(?)
0,2
0,2
0
?0,2
?0,4
1
2
3
J?1(?)
(?)
0,4
4
J?0(?)
5
6
7
8
?
0
?0,2
1
2
3
4 5
6
7 ?
?0,4
?), ? ? J??m (?
?)/(?
?)
???. 13. ??????? ???????: ? ? J??m (?
?????? ????? ??????????????? ????????? ???????? (68). ????????? ?? (?,?)/?? | ?= a = 0 ? ????????? (82) ? ??????? ????????? ?????????:
0 = ж?? J?m(ж? a). ?????? ж?a = cmn,
??? cmn ? ????? ??????? J?m(?); n ? ????? ????? ???? ??????? (n = 1, 2,
3 ? ).
?????????????,
(83)
ж? = ?mn / a.
36
? ????. 2 ????????? ????????? ???????? ????????? ?????? ??????? J?m(?) (??. ????? ?????? ?? ???. 13).
??????? 2
????? (?
?mn) ??????? J??m ??? ????????? ???????? m ? n
n
1
2
3
0
m
1
2
3,832
7,016
10,173
1,841
5,331
8,536
3,054
6,706
9,969
??? ??????? ?? (81), (83), ????. 1 ? ????. 2 ? ??????? ?????????, ?
??????? ?? ??????????????, ?????????? ???????? ????? ??? ?- ? ????? ? ??????????? ????????? ?? ????? ???? ?????. ?????????????, ?
?????????? ???????? ????? ??? ???? ???? ????? ????? ?????????? ????
?? ?????:
(84)
K? = ( k2 ? (ж?)2)0.5 ; KH = ( k2 ? (жH)2)0.5.
???????? ж? ? ж?, ????? ???????? ???????, ???????????? ??????????? ?????????? ???????????? E z ??????? E (??? ?-????) ? ??????? ??????? H (??? ?-????) ?? ????????????????
??? ???????????? H
z
?????????, ? ????????? ???? (??. ????????? (14), (80), (81), (83) ?
(84)):
(85)
E (?,?,z) = ? J (ж??) cos (m?) exp(?jK? z),
z
.
0 m
(86)
? z (?,?,z) = ?0 Jm(ж??) cos (m?) exp(?jK? z).
?????? ?????????? ??????????????? ??????????? ????? (8) ? (9) ?,
????. ?????? ??????????? ?? ?????????? ? ? ? ?? ???????????? E z
? ? z ??????? ??????? ??? ?????????? ???????????? ???????? E ?
H . ? ?????????? ????? ???????? ??????? ????????? ??? ???????? E
? H ????????????? ? ????????? ???? ? ??????? ?????????:
??? ?-????
E ? = (? j KE / ж?) ? J? (ж??) cos (m?) exp(?j KE z),
0
m
E ? = ( j KE / ж?) m ?0 (Jm(ж??)/(ж??)) sin (m?) exp(?j KE z),
E z = ?0 Jm(ж??) cos (m?) exp(?j KE z),
= (? j ?? / жE) m ? (J (ж??)/(ж??)) sin (m?) exp(?j KE z),
H
?
?
0 m
37
= (? j ?? / жE) ? J? (ж??) cos (m?) exp(?j KE z),
H
?
?
0 m
.
? z = 0.
(87)
????????? (87) ????? ???? ???????? ? ????? ?????????? ????:
E ? = ?j ?0? J?m(ж??) cos (m?) exp(?j KE z) = ?j E?(?,?) exp(?j KE z),
E ? = j ?0? (Jm(ж??)/(ж??)) sin (m?) exp(?j KE z) = j E?(?,?) exp(?j KE z),
E z = ?0z Jm(ж??) cos (m?) exp(?j KEz) = Ez(?,?) exp(?j KE z),
= ?jH (J (ж??)/(ж??)) sin(m?) exp(?j KE z) = ?j H (?,?) exp(?j KE z),
H
?
0? m
?
= ?j H J? (ж??) cos (m?) exp(?jKEz) = ?j H (?,?) exp(?j KE z),
H
?
0? m
?
= 0.
H
z
(88)
??????? ??? ???????? ???????????? ???????? E ? H ?????????????????? ???? (?-????) ???????? ????????? ???????? ????????? ???????:
??(?,?) = ?0? J?m(ж??) cos (m?),
??(?,?) = ?0? (Jm(ж??)/(ж??)) sin (m?),
Ez (?,?) = E0z Jm(жE?) cos (m?),
??(?,?) = ?0? J?m(жE?) cos (m?),
??(?,?) = ?0? (Jm(жE?)/(жE?)) sin (m?);
(89)
??? ?-????
E ? = ( j ?µ? / ж?) m ?0 (Jm(ж??)/(ж??)) sin (m?) exp(?j K? z),
E ? = ( j ?µ? / ж?) ?0 J?m(ж??) cos (m?) exp(?j K? z),
E z = 0,
= (? j K? / ж?) ? J? (ж??) cos (m?) exp(?j K? z),
H
?
0 m
= ( j K? / ж?) m ? (J (ж??)/(ж??)) sin (m?) exp(?j K? z),
H
?
0 m
= ? J (ж??) cos (m?) exp(?j K? z),
H
z
0 m
38
(90)
????????? (90) ????? ???? ???????? ? ????? ?????????? ????:
E ? = j ?0? (Jm(ж??)/(ж??)) sin (m?) exp(?j K? z) = j ??(?,?) exp(?j K? z),
E ? = j ?0? J?m(ж??) cos (m?) exp(?j K? z) = j ??(?,?) exp(?j K? z),
E z = 0,
= ?j ? J? (ж??) cos (m?) exp(?j K? z) = ? j ? (?,?) exp(?j K? z),
H
?
0? m
?
= j? (J (ж??)/(ж??)) sin (m?) exp(?j K? z) = j? (?,?) exp(?j K? z),
H
?
0? m
?
= ? J (ж??) cos (m?) exp(?j K? z) = ? (?,?) exp(?j K? z).
H
z
0z m
z
(91)
??????? ??? ???????? ???????????? ???????? E ? H ?????????????????????? ???? (?-????) ???????? ????????? ???????? ?????????
???????:
??(?,?) = ?0? (Jm(ж??)/(ж??)) sin (m?),
??(?,?) = ?0? J?m(ж??) cos (m?),
??(?,?) =.?0? J?m(ж??) cos (m?),
??(?,?) = ?0? (Jm(ж??)/(ж??)) sin (m?),
?z (?,?) = ?0z Jm(ж??) cos (m?).
(92)
??????????? ????? ???? ??? ?????????? ???? ???????? ?????????
????? ???? ?????????? ?? ????????? ???????? (??. (32):
(93)
???? = 2? / ж?, ???? = 2? / ж?.
?????? ????????? (32), (81), (83), (93) ? ??????, ??????????? ?
???????? 1 ? 2, ??????????, ??? ?????? ??????? ???? ? ??????? ????????? ???????? ????? ?11. ????????? ????????? ????????????????? ????
???? ?????.
5.2. ????????? ???? ????? ?11 ? ??????? ?????????
??? ????? ?11 ???????????? m ? n ????? ???????, ??????????
???????? ????? ж? = 1,84/a, ? ??????????? ????? ????? ???? = 3,41a.
?????????????, ??????? ??? ???????? ???????????? ???????? E ? H
???? ????? ????? ????????? ????????? ??????? (??. ????????? (92)):
??(?,?) = ?0? (J1(1,84?/a)/(1,84?/a)) sin ?,
??(?,?) = ?0? J?1(1,84?/a) cos ?,
39
??(?,?) =.?0? J?1(1,84?/a) cos ?,
??(?,?) = ?0? (J1(1,84 ?/a)/(1,84?/a)) sin ?,
?z (?,?) = ?0z J1(1,84?/a) cos (?).
(94)
??????? ??? ????????????? ???????? E ? H ????? ?11 ????? ????????? ???:
E = ?0 ??(?,?) cos(?t ? K? z) + ?0 ??(?,?) cos(?t ? K? z),
(95)
H = ? ?0 ??(?,?) cos(?t ? K? z) + ?0 ??(?,?) cos(?t ? K? z) +
+ z0 ?z (?,?)sin (?t ? K? z),
(96)
??? ?0 , ?0 , z0 ? ???? (????????? ???????) ?????????????? ??????? ?????????, ???????????? ?? ??????????? ? ?? ???????????? ??????.
????????, ??? ???????????????? ?????????? ? ?????????? ??????
????????? ?? 0 ?? a, ????????, ??? ????????? ??????? J1(1,84?/a) ?
J?1(1,84?/a), ???????????? ??????????? ???????? ???????????? ???????? E ? H ??????????? ????? ?11 ?? ?????????? ?, ?????????? ?? 0
(? ?????? ?????????) ?? 1,84 (? ???????????????? ???????? ? ??????
?????????). ??????, ??? ????? ???? ??? ??????? ??? ?????? ?????????? ?? ??????????, ? ?????, ??? ???????? ??????? cos(1?) ? sin(1?),
??????????? ??????????? ???????????? ???????? E ? H ?? ???????????????? ?????????? ?, ? ??????????????? ?????? ??? ????????? ? ??
0 ?? 2 ????? ?????????? ?? 0 ?? 2?, ????? ????????? ??????????? ??????????? ??????? ????? ???????? E ? H ??????????? ????? ?11.
H 11
?)
?
?=0
H 21
?)
?
?=0
???. 14. ??????? ????? ???????? E ? H ? ?????????? ??????? ????????
?????????: ? ? ??? ????? ?11, ? ? ??? ????? ?21
?? ???. 14, a ?????????? ??????? ??????? ????? ???????? E ? H
????? ?11 ? ?????????? ??????? ???????? ?????????. ????????? ?????????? ??????? ????? ??????? E , ? ??????????? ? ??????? ?????
40
??????? H . ??? ??? ?????? E ????? ?????? ?????????? ????????????,
?? ??? ??????? ????? ??????? ????? ? ????????? ??????????? ???????,
?????? ?? ?????? ????????? ? ????? ? ??? ??? ????? 90°. ??????? ????? ??????? H ????? ????? ??????? ?????, ??? ??? ? ????????????
????? (?=a, ?=0) ? (?=a, ?=?) ?????????? ????????? ???? ????????? ?
?????????? ? ???????????? ?? ? ?? ? ???? ?????? ????? ????, ? ???????????? ?z ????????? ?????????.
????????? ???? ????? ?11 ????? ??????? ??????? ??? ??????????
??????? ??????? ????? ???????? E ? H ??????????? ???? ???? ?mn. ?
???????? ??????? ?? ???. 14, ? ?????????? ??????? ??????? ????? ???????? E ? H ????? ?21 (??. ???????. 5.5).
5.3. ????????? ???? ???? ?01 ? ?01 ? ??????? ?????????
???????????? ????????? ????????????????? ???? ??????????? ????
?01 ? ?01 ???????? ??????? ? ??? ???????? ????????? ? ????????????
???????? E ? H ???? ???? ?? ??????? ?? ???? ?. ????????? ??? ???????
? ???, ??? ??????????? m ??? ??? ????? 0 (??. (87) ? (90)).
??? ????? ?01 ?????????? ???????? ????? ж? = 3,832/?, ? ??????????? ????? ????? ???? = 1,64?. ?????? E ???? ????? ????? ??????
???? ?????????? ???????????? ??, ? ?????? H ???? ?????????? ?? ?
???? ?????????? ?z, ????????? ??????? ? ????????? ??????????? ??????? ??????? ?????? ?? ????? ???????????????? ?????????? ? (??.
(92)):
??(?) = ?0? J?0(3,832?/a),
??(?) = ?0? J?0(3,832?/a),
?z (?) = ?0z J0(3,832?/a).
(97)
??????? ??? ????????????? ???????? E ? H ??????????? ????? ?01
???????? ????????? ??????? (??.91)):
E = ?0 ??(?) cos (?t ? K? z).
(98)
H = ? ?0 ??(?) cos (?t ? K? z) + z0 ?z (?,?)sin (?t ? K? z).
(99)
?? ???. 15,? ?????????? ??????? ??????? ????? ???????? E ? H
????? ?01 ? ?????????? ??????? ???????? ?????????. ????????? ?????????? ??????? ????? ??????? E , ? ??????????? ? ??????? ?????
??????? H .
41
?)
H 01
?)
H 02
???. 15. ??????? ????? ???????? E ? H ? ?????????? ??????? ????????
?????????: ? ? ??? ????? ?01, ? ? ??? ????? ?02
????????? ???? ???? ????? ? ?????? ????????? ????? ?????? ?????????? ???????????? ?z, ????????? ???? ?? ??????? ????? ?????????
?????? ?????????? ???????? ????. ?? ???? ????? ??????? ?????????
???????? ?????????? ???? ????????? ? ?????? ????????? ? ?????????
????? ???????????? ??????. ??????? ? ?????? ??????? ???????? ??????, ????????? ??????????? ????? ????????????, ???????????. ??????? ????????, ??? ?? ???? ??????????? ???? ???????? ????????? ???????? ????????? ???????? ?????? ????? ???? ?0n. ??? ????????? ???? ?
?????? ??????? ?????? ?????????????.
????????? ???? ????? ?01 ????? ??????? ??????? ??? ??????????
??????? ??????? ????? ???????? E ? H ??????????? ???? ???? ?0n. ?
???????? ??????? ?? ???. 15,? ?????????? ??????? ??????? ????? ???????? E ? H ????? ?02.
??? ????? ?01 ?????????? ???????? ????? ж? = 2,405/a, ? ???????????
????? ????? ???? = 2,61a. ?????? H ???? ????? ????? ?????? ???? ?????????? ???????????? ??, ? ?????? E ???? ?????????? ?? ? ???? ?????????? ?z, ????????? ??????? ? ????????? ??????????? ??????? ???????
?????? ?? ????? ???????????????? ?????????? ? (??. (89)):
?? (?) = ?0? J?0(2,405?/a),
?z (?) = ?0z J0(2,405?/a),
??(?) = ?0? J?0(2,405?/a).
(100)
??????? ??? ????????????? ???????? E ? H ??????????? ????? ?01
????? ????????? ??? (??.(88)):
42
E = ? ?0 ??(?) cos (?t ? K? z) + z0 ?z (?) sin (?t ? K? z).
(101)
H = ? ?0 ??(?) cos (?t ? K? z).
(102)
?)
E 01
?)
E 02
???. 16. ??????? ????? ???????? E ? H ? ?????????? ??????? ????????
?????????: ? ? ??? ????? E01, ? ? ??? ????? E02
?? ???. 16,? ?????????? ??????? ??????? ????? ???????? E ? H
????? ?01 ? ?????????? ??????? ???????? ?????????. ????????? ?????????? ??????? ????? ??????? E , ? ??????????? ? ??????? ?????
??????? H . ????????? ???????? ????????? ?????????????? ???? ?????
?01, ??????? ????????? ? ???? ??????????? ?????? ????? ????????????
?? ??????????? ??????????? ???????????.
????????? ???? ????? ?01 ????? ??????? ??????? ??? ??????????
??????? ??????? ????? ???????? E ? H ??????????? ???? ???? ?0n. ?
???????? ??????? ?? ???. 16, ? ?????????? ??????? ??????? ????? ???????? E ? H ????? ?02.
5.4. ?????????? ????? ???????? m ? n,
???????? ? ??????????? ??????????? ???? ???????? ?????????
?????? m ?????? ? ???????? ??????????? ???????????? ? ????????? ??????? cos(m?) ? sin(m?), ???????????? ??????????? ???????????? ???????? E ? H ??????????? ???? ????????? ?? ???????????????? ?????????? ?. ??? ????????? ????? ???????????????, ???????????? ??????????? ???? ???????????? ?? ???????? ???????????? m,
?????????? ??????????? ???? ?? ???? ???????, ????????, cos (m?).
??? m = 0 ????? cos (0?) = 1 ? ??????????????? ???????????? ??
??????? ?? ???? ? (??????? ????? ???????????????? ??????? ???????????? ????? ?????????? ? ??. ???. 15 ? ???. 16).
??? m = 1 ??????????? ?? ???? ? ???????????? ???????? cos ?. ? ????
?????? ?? ???? ?????? ???????? ? = ±(?/2) ??????????????? ????????????
????? ????? ????. ?????????????, ?? ???? ?????? ???????? ? = ±(?/2) ?????
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2. ??????? ?. ?. ?????? ???????????????: ??????? ??????? ???
???????.: ????. ?????, 1980. 399 ?.
3. ???????????? ?. ?. ???????????????. ???????????????? ?????:
????? ?????? /???????., 1995. 80 ?.
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.
(54)
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.
? x = j ?0x cos(kxx) sin(kyy) exp(?jKz) = j ?x(x,y) exp(?jKz),
.
? y = ?j ?0y sin(kxx) cos(kyy) exp(?jKz) =?j ?y(x,y) exp(?jKz),
.
? z = 0,
.
? x = j H0x sin(kxx) cos(kyy) exp(?jKz) = j Hx(x,y) exp(?jKz),
.
? y = j H0y cos(kxx) sin(kyy) exp(?jKz) = j Hy(x,y) exp(?jKz),
.
? z = H0z cos(kxx) cos(kyy) exp(?jKz) = Hz(x,y) exp(?jKz).
(55)
4.3. ?????? ??????? ????????? ?????????
??? ?????????????? ?????????
?????????? ???? ??????? ????????? ((51), (52)) ? ((54), (55)) ???????? ????????? ????????? ?????????, ??????????????? ??????????
???????? ??????????????? ?????? ? ????????? ????????. ?????????????, ? ???????????? ? ???????? ??????????????, ??? ??????? ?????????? ????????? ?????? ????????? ? ???????????? (? ???? ????????? ?????
????????????? ???????? ? ?? ???????????? ??????????? ? ?? ? ??
???????) ???????? E ? H ?????? ?????????. ????????? ?? ?????? ????
?????????????? ???????? ??????? ?????????? ??????? ???????????????? ?????????, ???????????? ?????? ?????????.
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(56)
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??? m ? n ? ????? ????????????? ?????, ??????? ??? ?-???? ?????
??????? ????????? ????, ? ??? ?-???? ?????????? ? ???????.
?????? ???? ????? ????? m ? n ????????????? ?????? ???????? ???????? E ? H , ? ????? ?????? ???????? ???, V? ? ?. ????????? ??? ????22
????, ??? ??? ?????????? ???????????? ??????? ? ????????? ?????
???????????? ???????????? ????????? ?? ????? ????????? ? ???????
???????? ?- ? ?-?????. ??? ????? ????? ???????? «??????????? ????»
????????? ? ???????????? ?mn ??? ?mn, ??? ????????? ????????? ?????
?????????? ?????????????? ??????????? ????? ? ?????? ?- ??? ?????, ? ?????? ??????? m ? n ?????????? ??? ??????????? ????? (?.?.
????????? ?????????????? ? ?????????? ????? ???? ?????).
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????? ????????? ??????? ???????????????? ?????????? ???????????? ???????? E ? H ???? ????. ??????????? ? ??????? ????????? ???
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? H = ? x / ? y = ? ? y / ? x = ?µ /K = µ / ? / (1 ? (? / ? )2)0.5 =
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)2)0.5.
(58)
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????? ???????????????? ?? ????????? ?? ??? ????? ????????, ? ???? ???
?????????? ??????? (33). ?????????????, ???????? ????? ???????????
????? ??????????? ????????? ????????? ? ???????? ????????????? ??????????, ??? ??????? ? ????????? ????? ???????????? ????????????????
????????? ??????????? ???? (???????????? ? ????? ??????????).
? ?? ?? ?????, ???????? ????? ??????????? ????? ?????????? ????
???????????, ??? ??????? ? ????????? ?? ?????? ???????????????? ??
???? ?? ??????????? ????.
?, ???????, ????? ????????? ????? ??????????? ????? ?????????
????????? ? ???????? ????????????? ??????????, ??? ??????? ? ????????? ????? ???????????????? ?????? ???? ??????????? ?????, ??????? ?????????? ?? ???? ??????????? ???? ??????????? ????? ?????.
23
??? ??????????? ????? ?????????? «????
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