close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Akopov

код для вставкиСкачать
Федеральное агенТство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Санкт-петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения
В. С. Акопов, М. В. Бураков, Т. Г. Полякова
ПРОЕКТИРОВАНИЕ АВИАЦИОННОГО
СЛЕДЯЩЕГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА
МАЛОЙ МОЩНОСТИ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2008
1
УДК 629.73.03-83
ББК 32.965.8
А40
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор, засл. деятель науки РФ зав. лабораторией
Института проблем машиноведения РАН А. Е. Городецкий; кандидат технических
наук, доцент кафедры инжиниринга и менеджмента качества Балтийского
государственного технического университета «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова
В. А. Долженков
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Акопов В. С., Бураков М. В., Полякова Т. Г.
Проектирование авиационного следящего электропривода малой мощности: учеб. пособие / В. С. Акопов, М. В. Бураков, Т. Г. Полякова. – СПб.: ГУАП, 2007. – 172 с.: ил.
ISBN 978-5-8088-0331-2
А40
Рассматриваются основные этапы проектирования электроприводов с заданными показателями качества. Приводятся рекомендации по
синтезу аналоговых и цифровых корректирующих устройств, построению моделей систем управления электроприводом в пакете Matlab.
Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих дисциплины специализации «Системы управления приводами», «Теория автоматического управления» и другие по направлению подготовки «Автоматизация и управление».
УДК 629.73.03-83
ББК 32.965.8
ISBN 978-5-8088-0331-2
2
© ГУАП, 2008
© В. С. Акопов,
М. В. Бураков,
Т. Г. Полякова,
2008
Содержание
Введение. ..................................................................... ГЛАВА 1. Математическая модель электропривода............ § 1.1. Общая характеристика электроприводов.
Этапы проектирования....................................... § 1.2. Исполнительный двигатель................................. § 1.3. Расчет основных параметров редуктора................. § 1.4. Передаточные функции исполнительных
механизмов...................................................... 1.4.1. Привод антенн и платформ............................. 1.4.2. Привод стабилизированной скорости............... § 1.5. Измеритель рассогласования............................... § 1.6. Расчет режима статики....................................... § 1.7. Анализ динамических свойств привода................. Вопросы для самопроверки к главе 1............................. ГЛАВА 2. Частотный синтез управления в электроприводе.. § 2.1. Применение частотных характеристик................. 2.1.1. Построение желаемых логарифмических
частотных характеристик.............................. 2.1.2. Синтез корректирующих звеньев.................... 2.1.3. Синтез корректирующего звена в нелинейной
системе........................................................ § 2.2. Подчиненное регулирование в электроприводе....... § 2.3. Реализация корректирующих устройств
на аналоговых элементах.................................... § 2.4. Пример проектирования привода......................... 2.4.1. Исходные данные......................................... 2.4.2 Выбор исполнительного двигателя................... 2.4.3. Расчет основных параметров редуктора........... 2.4.4. Передаточная функция исполнительного
механизма................................................... 2.4.5. Измеритель рассогласования.......................... 2.4.6. Статический расчет....................................... 2.4.7. Динамический расчет.................................... 2.4.8. Построение желаемых логарифмических
характеристик............................................. 2.4.9. Синтез корректирующих звеньев.................... Вопросы для самопроверки к главе 2............................. ГЛАВА 3. Синтез регуляторов во временной области........... § 3.1. Классическая схема управления.......................... § 3.2. Модальное управление........................................ 5
8
8
15
19
21
21
24
25
33
35
42
44
44
44
49
54
58
64
65
65
66
67
68
69
69
70
71
73
79
80
80
81
3
3.2.1. Метод пространства состояний........................ 3.2.2. Представление обыкновенного дифференциального уравнения уравнениями состояния.. 3.2.3. Корневые оценки качества............................. 3.2.4. Модальный синтез........................................ 3.2.5. Наблюдающие устройства.............................. § 3.3. Синтез ПИД-регуляторов.................................... 3.3.1. Описание ПИД-регулятора............................. 3.3.2. Использование пакета Simulink Response
Optimisation (MatLab Simulink) для синтеза
ПИД-регуляторов......................................... § 3.4. Нечеткое управление электроприводом................. 3.4.1. Нечеткие множества и лингвистические
переменные.................................................. 3.4.2. Нечеткий регулятор...................................... 3.4.3. Использование пакета Fuzzy logic toolbox
для синтеза нечетких регуляторов................... 3.4.4. Эмпирический синтез нечеткого регулятора..... 3.4.5. Методика синтеза нечетких регуляторов.......... 3.4.6. Пример синтеза нечеткого регулятора............. Вопросы для самопроверки к главе 3............................. ГЛАВА 4. Разработка цифровых корректирующих
устройств....................................................... § 4.1. Цифровая обработка сигналов.............................. § 4.2. Цифровые корректирующие звенья...................... §4. 3. Алгоритм работы микроконтроллера.................... § 4.4. Программирование простых цифровых фильтров... Вопросы для самопроверки к главе 4............................. ГЛАВА 5. Методические указания по проектированию
электропривода .............................................. § 5.1. Построение усилительно-преобразовательных
устройств......................................................... § 5.2. Разработка общей принципиальной
электрической схемы......................................... § 5.3. Разработка конструкции механического узла........ § 5.4. Оформление пояснительной записки курсового
проекта............................................................ 5.4.1. Содержание пояснительной записки................ 5.4.2. Правила оформления пояснительной записки... Библиографический список......................................... 4
81
83
88
91
98
103
103
106
113
113
116
120
126
132
135
147
149
149
150
152
156
159
160
160
163
165
166
166
166
169
Введение
Электрический привод (ЭП) служит для преобразования электрической энергии в механическую. Можно сказать, что ЭП является основой современного производства. Сферами промышленного применения ЭП являются машиностроение, черная и цветная
металлургия, химическая промышленность, газо- и нефтедобыча;
нефтехимия, строительство. Широко применяются системы ЭП на
транспорте, в энергетике. Непрерывно происходит расширение областей применения ЭП за счет их использования в локальных системах автоматического регулирования в самых разных областях,
в том числе в бытовой технике.
Электрический привод представляет собой триаду из электромеханического преобразователя энергии (электрического двигателя), силового преобразователя и устройства управления. Электрическими двигателями в настоящее время потребляется уже более
60 % всей вырабатываемой в мире электрической энергии. Поэтому большое значение имеет задача разработки высокопроизводительных, компактных и экономичных систем ЭП.
Можно выделить следующие основные тенденции развития ЭП [1]:
1. Неуклонно снижается доля систем привода с двигателями
постоянного тока и увеличивается доля систем привода с двигателями переменного тока. Это связано с низкой надежностью механического коллектора и более высокой стоимостью коллекторных
двигателей постоянного тока по сравнению с двигателями переменного тока.
2. Преимущественное применение в настоящее время имеют ЭП
с короткозамкнутыми асинхронными двигателями. Большинство
таких приводов (около 80 %) – нерегулируемые, но доля частотнорегулируемых асинхронных электроприводов быстро увеличивается в связи с удешевлением статических преобразователей частоты.
3. �����������������������������������������������������
Естественной альтернативой коллекторным приводам постоянного тока являются приводы с вентильными (электроннокоммутируемыми) двигателями. В качестве исполнительных бесколлекторных двигателей постоянного тока преимущественное
применение получили синхронные двигатели с возбуждением от
постоянных магнитов или с электромагнитным возбуждением (для
больших мощностей). Этот тип привода наиболее перспективен для
станкостроения и робототехники, однако является самым дорогостоящим. Некоторого снижения стоимости можно добиться при использовании синхронного реактивного двигателя в качестве исполнительного.
5
4. Приводом XXI века, по прогнозам, станет привод на основе
вентильно-индукторного двигателя. Двигатели этого типа просты в
изготовлении, технологичны и дешевы. Они имеют пассивный ферромагнитный ротор без каких-либо обмоток или магнитов. Вместе с
тем, высокие потребительские свойства привода могут быть обеспечены только при применении мощной микропроцессорной системы
управления в сочетании с современной силовой электроникой. Для
типовых применений перспективны индукторные двигатели с самовозбуждением, а для тяговых приводов – индукторные двигатели с независимым возбуждением со стороны статора. В последнем
случае появляется возможность двухзонного регулирования скорости по аналогии с обычными приводами постоянного тока.
5. Для большинства массовых применений приводов (насосы,
вентиляторы, конвейеры, компрессоры и т. д.) требуется относительно небольшой диапазон регулирования скорости (до 1:20) и
относительно низкое быстродействие. При этом целесообразно использовать классические структуры скалярного управления. Переход к широкодиапазонным (до 1:10000) быстродействующим приводам станков, роботов и транспортных средств требует применения более сложных структур векторного управления. Доля таких
приводов составляет сейчас около 5 % от общего числа и постоянно
растет.
Широкое распространение недорогих и надежных микроконтроллеров со встроенным набором специализированных периферийных устройств сделало необратимой тенденцию массовой замены
аналоговых систем управления ЭП на системы цифрового управления. Подобные системы незаменимы для управления сложными
объектами в силу своей высокой точности, гибкости и надежности.
Рост вычислительных возможностей встроенных систем управления приводами сопровождается расширением их функций. Кроме цифрового управления силовым преобразователем реализуются
функции поддержки интерфейса с пользователем (через пульт оперативного управления).
В последнее время на базе систем векторного управления разработан ряд приводов с прямым цифровым управлением моментом.
Отличительной особенностью этих решений является предельно
высокое быстродействие контуров тока, реализованных, как правило, на базе цифровых релейных регуляторов или регуляторов,
работающих на принципах нечеткой логики. Системы прямого
цифрового управления моментом ориентированы в первую очередь
на транспорт, на использование в кранах, лифтах, робототехнике.
6
Стремление предельно удешевить ЭП, особенно для массовых
применений в бытовой технике (пылесосы, стиральные машины,
холодильники, кондиционеры и т. д.), приводит к переходу к системам бездатчикового управления, где для оценки механических
координат привода (положения, скорости, ускорения) используются специальные цифровые наблюдатели. Это возможно только при
высокой производительности микроконтроллера, когда система
дифференциальных уравнений, описывающих поведение привода,
может быть решена в реальном времени.
Основные затраты при разработке систем управления приводами
приходятся не на создание аппаратной части контроллера, а на разработку алгоритмического и программного обеспечения. Поэтому
роль специалистов в области теории ЭП существенно возрастает.
Современные ЭП весьма разнообразны как по своему назначению, так и по своим параметрам. Соответственно, отличаются и
подходы к разработке систем управления ЭП.
В учебном пособии рассматриваются авиационные следящие
приводы малой мощности, что позволяет сузить круг вопросов,
связанных с математическим описанием ЭП. Что же касается методов синтеза систем управления ЭП, то они универсальны, так
как опираются на стандартные математические модели. В пособии
изложены основы применения передаточных функций и метода
пространства состояний для описания динамики ЭП. Рассмотрены
алгоритмы частотной коррекции ЭП, использования пропорционально-интегрально-дифференциальных (ПИД) регуляторов, модального и нечеткого управления для обеспечения заданных показателей качества работы ЭП.
Учебное пособие предназначено в помощь студентам, выполняющим курсовой проект «Системы управления электроприводом», в
нем рассматриваются основные этапы и методы проектирования ЭП.
В учебном пособии сделан акцент на использование мощного и
широко распространенного пакета математического моделирования ���������������������������������������������������������
MatLab���������������������������������������������������
, с помощью которого можно исследовать варианты математического описания и синтеза закона управления ЭП.
Главы 1,5 подготовлены В. С. Акоповым, глава 2 – Т. Г. Поляковой, главы 3 и 4 – М. В. Бураковым.
7
ГЛАВА 1
Математическая модель Электропривода
§ 1.1. Общая характеристика электроприводов.
Этапы проектирования
Все рассматриваемые в курсовом проекте типы электроприводов
относятся к замкнутым электромеханическим системам.
Задачей курсового проекта является техническое проектирование замкнутого ЭП, относящегося к классу следящих систем или
систем стабилизации [2, 3]. В курсовом проекте разрабатываются
следующие разновидности приводов.
1. Приводы систем автоматического сопровождения, такие
как приводы антенн (ПА) радиолокаторов. К этой группе также
относятся приводы широкого класса систем, предназначенных для
слежения за объектами (координаторы, астроориентаторы и т. п.).
Требования к динамике данной группы приводов определяются
законом движения цели и условиями наилучшей фильтрации случайной составляющей входного сигнала (помехи). Часто приходится учитывать и возмущения, обусловленные воздействиями атмосферных явлений (ветровой момент).
Существенные особенности возникают при установке систем сопровождения на подвижном основании, так как при этом, кроме
слежения за целью, появляется необходимость парировать с высокой степенью точности колебания основания, носящие случайный
характер. Как правило, приводы этой группы должны иметь высокую динамическую точность.
2. Рулевые приводы (РП). Участвуют в работе как контура управления, так и контура стабилизации летательного аппарата. Более высоких динамических свойств от привода требует его работа в
контуре стабилизации. Обычно задается полоса воспроизводимых
частот и максимальные амплитуды. И то и другое зависит от типа
летательного аппарата, на котором установлен привод. Иногда требуется весьма высокая полоса воспроизводимых частот. Точность,
как правило, невысокая.
3. Приводы устройств гиростабилизированных платформ
(ПП). Назначение привода – парировать колебания основания, на
котором установлена платформа. В сущности, роль такого привода мог бы выполнить свободный гироскоп. Но при значительных
массах, установленных на платформе, для разгрузки гироскопа от
инерционных моментов и моментов трения применяется привод,
8
иногда называемый приводом разгрузки. Типичное воздействие –
гармонические колебания, частота и амплитуда которых зависят от
свойств объекта, где установлена платформа. Точность высокая.
4. Приводы стабилизированной скорости вращения (перемещения) рабочих органов (ПС). Назначение привода – обеспечение
высокой точности поддержания на заданном уровне регулируемого параметра, в качестве которого обычно выступает скорость вращения, – проблема характерна для устройств, включающих в себя
лентопротяжные механизмы, механизмы сканирования радиолокаторов и тепловизоров, механизмы протягивания пленки автоматических аэрофотокамер и т. п. Основным требованием к таким
приводам является обеспечение определенного вида переходного
процесса при переходе от одного режима к другому и парирование
возмущений, приводящих к снижению точности. Особенно сложной задачей для указанных приводов является обеспечение устойчивой работы на низких («ползучих») скоростях, когда флуктуации
момента нагрузки могут приводить к полной остановке привода.
Проектирование включает в себя следующие этапы:
– выбор и обоснование функциональной схемы ЭП;
– выбор и расчет обязательных элементов и узлов ЭП;
– математическое моделирование и синтез закона управления;
– разработку принципиальной электрической схемы системы
управления ЭП.
Функционирование таких систем вполне определяется одной
обобщенной функциональной схемой, приведенной на рис. 1.1.
g(t)
ЗУ
ИР
ПУ
ПК
СУ
УМ
ИД
ИМ
ПМ
РО
y(t)
КОС
УУ
Рис. 1.1. Функциональная схема ЭП: ЗУ – задающее устройство; ИР – измеритель рассогласования; УУ – устройство управления; ИМ –
исполнительный механизм; РО – рабочий орган; ПУ – предварительный усилитель; ПК – последовательное корректирующее
звено; СУ – суммирующее устройство; КОС – корректирующее
устройство в цепи местной обратной связи; УМ – усилитель
мощности; ИД – исполнительный двигатель; ПМ – передаточный механизм (редуктор)
9
Задающее устройство вырабатывает управляющее (задающее)
воздействие g(t), с которым регулируемая величина y(t) на выходе
ИМ должна находиться в требуемой зависимости:
g(t)–y(t) = x(t) ≤ xдоп.
Исполнительный механизм состоит из ИД и редуктора, соединяющего вал электродвигателя с рабочим органом и согласующего их
кинематические параметры.
Устройство управления служит для усиления сигнала рассогласования и преобразования его в регулирующее воздействие, подаваемое на ИМ.
Необходимое качество регулирования обеспечивается двумя
корректирующими устройствами (КУ): последовательным и в цепи
местной обратной связи. Однако в большинстве случаев оказывается достаточным применить КУ какого-либо одного типа.
Особенности конкретных приводов отражаются в основном на
конструкции рабочего органа и способе формирования задающего
воздействия g(t). В приводах типов ПА и ПП в качестве g(t) выступает угол поворота, определяемый счетно-решающими устройствами для ПА, или гироскопами для ПП. В приводе типа РП в качестве
g(t) выступает либо угол поворота рулевой колонки пилота, либо
напряжение, формируемое автопилотом и пропорциональное углу
поворота. В приводах типа ПС в качестве g(t) выступает обычно напряжение, пропорциональное заданной скорости вращения.
В технической литературе ИР, ИД, ПМ, РО относят к так называемой неизменяемой части привода, имея в виду их конструктивную определенность [2]. К изменяемой части относят обычно УУ,
как устройство, параметры которого определяются при синтезе закона управления и могут быть изменены при изменении условий
функционирования. Однако это положение достаточно условно и
не значит, что при необходимости нельзя заменить двигатель или
другой элемент неизменяемой части.
Неизменяемая часть привода при синтезе воспринимается как
заданная.
Любой ЭП, вне зависимости от назначения, предполагает наличие элементов, обязательных для его функционирования. Такими
элементами является: ИР, УМ, ИД, ПМ. Все эти элементы функционально связаны, поэтому их правильный выбор является важнейшим этапом проектирования.
В качестве исходных данных для проектирования используются:
а) сведения о назначении привода: ПА радиолокаторов ПП, РП,
ПС вращения сканирующих и лентопротяжных устройств;
10
б) сведения о характере и параметрах нагрузки:
– момент сухого трения Мт;
– активный статический момент Мст;
– коэффициент момента вязкого трения qн;
– коэффициент шарнирного момента Kш;
– момент инерции нагрузки Jн;
– максимальный угол поворота αmax;
– наибольшая угловая скорость Ωmax;
– наибольшее угловое ускорение εmax;
в) требования к качеству работы привода:
– допустимая статическая ошибка Xp;
– допустимая скоростная ошибка Xs;
– допустимая гармоническая ошибка Xg;
– допустимая относительная ошибка стабилизации скорости ∆;
– показатель колебательности М;
– перерегулирование σ;
– допустимое время переходного процесса tп;
г) сведения об электрическом источнике питания:
– 27 В постоянного тока;
– 115 В переменного тока частотой 400 Гц;
– 220 В переменного тока частотой 50 Гц.
Варианты заданий приведены в табл. 1.1 и 1.2.
Максимальная
угловая скорость
Ωmax, с–1
Максимальное угловое ускорение
εmax, с–2
6
Максимальный
угол поворота
αmax, рад
5
Момент инерционной нагрузки
Jн, кг·м2
4
Коэффициент шарнирного момента
Kш, Нм/рад
3
Коэффициент
момента вязкого
трения
qн, Нмс
2
ПА по
курсу
ПП
РП по
высоте
ПС
ПА по
курсу
ПП
Момент сухого
трения
Мт, Нм
1
Сведения о нагрузке
Активный статический момент
Мст, Нм
№
п/п
Назначение привода
Таблица 1.1. Варианты заданий
10
2,0
–
–
2,0
н/о*
2,0
0,4
100
20,0
–
–
40,0
1,5
1,5
0,6
–
8,0
–
40,0
20,0
1,0
1,0
0,5
–
3,0
1,0
–
1,0
н/о
20,0
–
20
4,0
–
–
4,0
н/о
1,8
0,6
90
18,0
–
–
38,0
1,3
1,4
0,8
11
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
12
Максимальное угловое ускорение
εmax, с–2
13
Максимальная
угловая скорость
Ωmax, с–1
12
Максимальный
угол поворота
αmax, рад
11
Момент инерционной нагрузки
Jн, кг·м2
10
Коэффициент шарнирного момента
Kш, Нм/рад
9
Коэффициент
момента вязкого
трения
qн, Нмс
8
РП по
направлению
ПС
ПАР по
курсу
ПП
РП элеронов
ПС
ПА по
курсу
ПП
РП по
высоте
ПС
ПА по
тангажу
ПП
РП по
направлению
ПС
ПА по
тангажу
ПП
РП элеронов
ПС
ПА по
тангажу
ПП
Момент сухого
трения
Мт, Нм
7
Сведения о нагрузке
Активный статический момент
Мст, Нм
№
п/п
Назначение привода
Продолжение табл.
–
3,0
–
20,0
30,0
0,7
0,9
0,6
–
7,0
2,0
–
2,0
н/о
18,0
–
30
6,0
–
–
6,0
н/о
1,6
0,8
80
16,0
–
–
36,0
1,2
1,2
1,0
–
24,0
–
200,0
10,0
0,6
1,2
2,4
–
10,0
3,0
–
4,0
н/о
16,0
–
40
8,0
–
–
8,0
н/о
1,4
1,2
70
14,0
–
–
34,0
1,0
1,0
1,2
–
12,0
–
50,0
10
1,2
1,5
1,0
–
14,0
5,0
–
8,0
н/о
14,0
–
50
10,0
–
–
10,0
3,0
1,2
1,6
60
12,0
–
–
30,0
0,8
0,8
1,4
–
6,0
–
30,0
40
0,9
1,0
0,4
–
24,0
10,0
–
16,0
н/о
12,0
–
60
12,0
–
–
12,0
2,5
1,0
2,0
50
10,0
–
–
26,0
1,0
0,6
1,6
–
10,0
–
100,0
80
0,5
1,5
3,0
–
40,0
20,0
–
32,0
н/о
10,0
–
70
14,0
–
–
14,0
2,0
0,8
2,4
40
8,0
–
–
22,0
1,2
0,4
1,8
№
п/п
1
–
–
10
5
–
–
–
10
–
15
–
–
3
–
15
–
20
10
1,0
0,05
–
–
–
5
0,1
5
–
–
10
10
–
–
6 ПП
–
5
–
10
–
–
РП по
7 направлению
–
10
–
15
7
0,8
ПА по
курсу
2 ПП
РП по
высоте
4 ПС
ПА по
курсу
Требования к качеству работы
–
1,5
Зубчатая
Зубча1,1
тая
Винто–
вая
Зубча–
тая
Зубча1,4
тая
Зубча1,1
тая
Винтовая
Тип усилителя мощности
Тип передающего механизма
Показатель
колебательности
M
Перерегулирование
s, %
Требуемое время
переходного процесса
tп, с
29
Активный статический момент
Мст, Нм
Момент сухого
трения
Мт, Нм
Коэффициент
момента вязкого
трения
qн, Нмс
Коэффициент шарнирного момента
Kш, Нм/рад
Момент инерционной нагрузки
Jн, кг·м2
Максимальный
угол поворота
αmax, рад
Максимальная
угловая скорость
Ωmax, с–1
Максимальное угловое ускорение
εmax, с–2
РП по
высоте
ПС
ПА по
тангажу
Допустимая скоростная
ошибка
Xs, мин
Допустимая
гармоническая ошибка
Xg, мин
28
Назначение привода
№
п/п
Допустимая
относительная ошибка
стабилизации скорости
δ, %
Допустимая статическая
ошибка
Xp, мин
27
Назначение привода
Окончание табл.
Сведения о нагрузке
–
9,0
–
60,0
15
0,8
1,2
2,0
–
48,0
30,0
–
64
н/о
8,0
–
80
16,0
–
–
16,0
1,5
0,6
3,0
*н/о – не ограничен
Таблица 1.2. Требования к качеству регулирвания
Тр
Тиристорный
Тр
Тр
Тр
Тиристорный
Тр
13
Тип усилителя мощности
Показатель
колебательности
M
Перерегулирование
s, %
Требуемое время
переходного процесса
tп, с
Допустимая скоростная
ошибка
Xs, мин
Допустимая
гармоническая ошибка
Xg, мин
Допустимая
относительная ошибка
стабилизации скорости
δ, %
Допустимая статическая
ошибка
Xp, мин
№
п/п
Назначение привода
Требования к качеству работы
Тип передающего механизма
Продолжение табл.
0,08
–
–
–
10
0,2
–
Зубчатая
Тр
–
–
15
10
–
–
1,4
Зубчатая
Тр
–
5
–
5
–
–
1,2
Зубча- Тиристая торный
–
20
–
15
5
0,5
–
Комбо
Тиристорный
0,1
–
–
–
15
0,3
–
Зубчатая
Тр
–
–
15
15
–
–
1,3
Зубчатая
Тр
–
10
–
5
–
–
1,2
Зубча- Тиристая торный
–
12
–
18
8
0,8
–
Винтовая
0,12
–
–
–
20
0,4
–
Зубча- Тиристая торный
ПА по
17 тангажу
–
–
10
15
–
–
1,3
Зубча- Тиристая торный
18 ПП
–
10
–
10
–
–
1,3
Зубча- Тиристая торный
РП по
19 направлению
–
14
–
14
12
0,9
–
Винтовая
0,14
–
–
–
25
0,5
–
Зубча- Тиристая торный
8 ПС
9
ПАР по
курсу
10 ПП
11
РП элеронов
12 ПС
13
ПА по
курсу
14 ПП
15
РП по
высоте
16 ПС
20 ПС
14
Тр
Тр
Тип усилителя мощности
Показатель
колебательности
M
Перерегулирование
s, %
Требуемое время
переходного процесса
tп, с
Допустимая скоростная
ошибка
Xs, мин
Допустимая
гармоническая ошибка
Xg, мин
Допустимая
относительная ошибка
стабилизации скорости
δ, %
Допустимая статическая
ошибка
Xp, мин
№
п/п
Назначение привода
Требования к качеству работы
Тип передающего механизма
Окончание табл.
ПА по
21 тангажу
–
–
8
12
–
–
1,2
Зубча- Тиристая торный
22 ПП
–
15
–
15
–
–
1,3
Зубчатая
–
18
–
25
6
0,3
–
0,16
–
–
–
30
0,6
–
ПА по
25 тангажу
–
–
15
20
–
–
1,2
26 ПП
–
8
–
14
–
–
1,4
–
13
–
19
9
0,6
–
0,2
–
–
–
35
0,7
–
–
–
12
8
–
–
1,1
23
РП элеронов
24 ПС
27
РП по
высоте
28 ПС
ПА по
29 тангажу
Тр
Тиристорный
Зубча- Тиристая торный
Комбо
Зубча- Тиристая торный
ЗубчаТр
тая
ВинтоТр
вая
Зубча- Тиристая торный
Зубча- Тиристая торный
§ 1.2. Исполнительный двигатель
Двигатель в ЭП является главным исполнительным элементом,
преобразующим напряжение в перемещение РО. От того, насколько
быстро ИД развивает обороты, преодолевая сопротивление нагрузки, зависит в конечном счете быстродействие ЭП. От способности
двигателя развивать момент на валу при малейших напряжениях
управления зависит плавность работы ЭП и точность.
15
Значения скоростей и ускорений, которые может развивать реальный двигатель, ограничены по величине. Если требуемые скорости и ускорения привода выше тех, которые способен обеспечить
двигатель, то попытки получения удовлетворительно работающего
привода введением каких-либо корректирующих устройств будут
безуспешными. Никакая система управления ИД не может обеспечить требуемые моменты и скорости, если они не заложены в конструкции ИД.
Мощность, которую двигатель может рассеивать, не нагреваясь
выше допустимой температуры, также ограничена по величине.
Если мощность, теряемая в двигателе в процессе работы в заданном
режиме, выше допустимой, то необходимо использовать дополнительные меры охлаждения, сокращать время работы или применять другой более мощный двигатель.
Установка двигателей излишней мощности приводит к неоправданному возрастанию габаритов и веса привода, ухудшению энергетических показателей и т. п. Применение двигателей заниженной,
по сравнению с требуемой, мощности не может обеспечить движение выходного вала по заданному закону или влечет за собой перегрев двигателя свыше допустимой температуры и, следовательно,
резкое снижение срока службы привода. При правильном выборе
мощности ИД и передаточного числа редуктора температура нагрева двигателя мало отличается от допустимой, а динамические возможности привода используются полностью.
Для следящих приводов, работающих обычно в режиме движения с переменной скоростью, расчет мощности двигателя не может
дать сразу однозначного решения, поскольку величина требуемой
мощности зависит от момента инерции якоря двигателя и передаточного числа редуктора, которые на первом этапе расчета неизвестны. В связи с этим выбор мощности ИД осуществляется методом
последовательных приближений, т. е. сначала двигатель выбирается на основании приближенных соотношений, затем пригодность
ориентировочно выбранного двигателя проверяется детальным
анализом динамических возможностей и энергетических характеристик привода.
В используемой методике ограничимся случаем непрерывного
(широтно-импульсное управление на высокой частоте близко к непрерывному) управления двигателем с механической характеристикой, допускающей кусочно-линейную аппроксимацию.
В качестве основного рассмотрим длительный режим работы.
Нагрев двигателя будем считать обусловленным среднеквадратическим моментом. Виды нагрузки сведем к типовым: постоянному
16
статическому моменту, сухому и жидкому трению, шарнирному
моменту и моменту, обусловленному инерционными характеристиками объекта управления, редуктора и самого двигателя.
Из паспортных данных двигателя будут использоваться:
– PN – номинальная мощность, Вт;
– MN – номинальный момент, Нм;
– Mп – пусковой момент, Нм;
– ΩN – номинальная угловая скорость, с–1;
– Mтр – статический момент потерь в двигателе, Нм;
– Jд – момент инерции ротора, кг·м2;
– qд – жесткость естественной механической характеристики
(если она неизвестна, должны быть известны значения скорости
холостого хода Ωх или пускового момента Mп по линеаризованной
характеристике);
– λ – коэффициент допустимой перегрузки по моменту (если момент двигателя ограничен пусковым по естественной характеристике, то λ = Mп /MN);
– UN – номинальное значение напряжения управления, В;
Кроме того, при расчетах будут использованы следующие коэффициенты:
– kp = 1,05–1,3 – коэффициент, учитывающий момент инерции
редуктора;
– kq = 1,1–2,5 – коэффициент, учитывающий уменьшение жесткости механической характеристики;
– η = 0,8–0,95 – КПД редуктора, зависящий от момента;
– η0 = 0,7–0,9 – КПД редуктора, не зависящий от передаваемого
момента;
– aΩ = 1,1–1,3 – коэффициент допустимого превышения угловой
скорости относительно номинальной.
Как показано в [2], выбор ИД целесообразно выполнить следующим образом. По исходным данным с учетом параметров нагрузки
привода определяется мощность Pтр, требующаяся для преодоления некоторого усредненного среднеквадратического момента Мск,
характеризующего тепловой режим ИД:
Pтр = 2
Ωт
aΩ
∑ M н2j +
J нε m
η 2
∑ M н2j ,
где
∑
2
2
2
2
2
 J ε

M
 M  q Ω
 K α
M н2j =  т max  +  ст  +  н max  +  ш max  +  н max  .
 ηη 0   ηη 0   2 2   η 2   η 2 
17
По имеющимся в каталоге двигателям выбирается ИД, у которого
PN ≥ Pтр.
(1.1)
При этом желательно, чтобы условие (1.1) было ближе к равенству. Затем выбранный двигатель
ω
проверяется на возможность реализации заданного закона движеB
ния. При этом следует учитывать
A
1
принятый способ аппроксимации
механической характеристики ИД,
2
показанный на рис. 1.2, где кривая
C
1 – механическая характеристика
ИД, ломаная ABCD – аппроксими0
D
M
рующая характеристика 2.
Рис. 1.2. Аппроксимация мехаНа участке АВ характеристики
нической характерисусловием
пригодности двигателя
тики ИД
является выполнение неравенства
aΩ ΩN ≥iΩmax,
(1.2)
откуда
i≤
a ΩΩ Ν
,
Ω mах
где i – передаточное отношение редуктора.
На участке ВС
где


Ω Nq д
− M тр  ≥
 M N +

Kq


∑ M нj =
∑ M нj +  q д Ω mах + K р J дε mах i,  Kq

i


(1.3)
M тmax + M ст q нΩ mах + K шα mах + J нε mах
.
+
ηη 0
η
На участке CD
λM N − M тр ≥
∑ M нj + K р J дε mахi. i
(1.4)
При проверке условий (1.2), (1.3), (1.4) предпочтение нужно отдавать двигателям, у которых они ближе к равенству.
Если условия (1.3) или (1.4) не выполняются, то нужно заменить выбранный электродвигатель на другой, либо обладающий
большей мощностью, либо той же мощностью, но другого типа.
18
§ 1.3. Расчет основных параметров редуктора
Необходимость определения основных параметров редуктора
вызвана тем, что он входит в кинематическую цепь привода и во
многом определяет как массогабаритные показатели, так и динамические. Кроме того, как правило, редуктор является тем звеном
привода, на котором компонуются элементы, связанные с механикой и перемещениями, – двигатель, первичные измерительные
преобразователи и т. п., называемым обычно механическим узлом
привода [4, 5].
Для редуктора с цилиндрическими зубчатыми колесами целью
расчета является определение числа пар зубчатых колес n, количества зубьев каждого колеса z, модуля m, габаритов зубчатых колес – диаметра di и ширины bi.
Число пар n зубчатых колес определяется по формуле
n=
lg i
,
lg(3 − 5)
где i – передаточное число редуктора (см. § 1.2).
Полученное значение n округляется до ближайшего меньшего.
Затем определяется передаточное число пар зубчатых колес из соображений минимальности момента инерции редуктора. Поэтому
передаточные числа первых двух пар выбираются в пределах 2–3,
а третьей и последующих – в пределах 4–8. В результате должно
выполняться равенство
i=
n
∏ ik.
k =1
Для определения числа зубьев zj нужно предварительно задаться числом зубьев ведущих зубчатых колес z1, z2, z3,… (от 17 и более).
После назначения z2j-1 (числа зубьев ведущих колес) определяется
количество зубьев всех ведомых колес по формуле
z2j = ijz2j–1.
Для определения размеров зубчатых колес предварительно нужно определить модуль m (в метрах) по выражению
m=3
8M m
,
kβσz2n
где m – модуль зубчатых колес, м; Mm – максимальный момент нагрузки на выходном зубчатом колесе, Нм; kβ – коэффициент ширины зуба, выбирается в пределах 5–10; σ – допустимое напряжение
19
в материале зубчатого колеса при расчете на выносливость, Н/м2
(в частности, для Ст.40 σ = 9·108 Н/м2); z2n – количество зубьев выходного зубчатого колеса.
Полученные значения модуля округляют до ближайшего рекомендуемого в миллиметрах значения: 0,08; 0,25; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6;
0,8; 1,0; 1,5; 2,0. По известному значению модуля определяют диаметр зубчатых колес
dj = mzj.
Ширину зубчатых колес вычисляют по формуле
b = kβm.
Полагая, что зубчатые колеса сплошные и одинаковой ширины,
момент инерции редуктора можно определить по формуле
Jq =
4
4
4
4

πbρ  4 d2 + d3 d4 + d5
+
+ ... ,
 d1 +
2
2
2
32 
i1
i1 − i2

где ρ – удельная плотность материала зубчатых колес, кг/м3 (в частности, для Ст.40 ρ = 7,8·10 кг/м3).
В рулевых приводах летательных аппаратов часто используются редукторы с винтовой парой (рис. 1.3), причем для повышения
КПД широко применяют шариковинтовые передачи (ШВП).
Общее передаточное число в этом случае можно представить в
виде произведения
i = iвip,
где iв = 2π/h – передаточное отношение, приходящееся на винтовую
пару, h – шаг винта; ip = 3r/π – передаточное отношение в диапазоне углов ±30° от перемещения винта (гайки) к углу поворота через
рычаг с плечом r = 0,1 м для всех вариантов заданий;
Таким образом, на винтовую пару приходится передаточное отношение
iв =
ИД
i
.
iр
ω
r
Рис. 1.3. Кинематическая схема ПМ с винтовой парой
20
α
В тех случаях, когда iв не реализовать на одной винтовой паре,
возможно использование комбинированного редуктора, содержащего зубчатые зацепления и винтовую пару. Винтовая пара при
этом является выходным элементом ПМ.
В соответствии с рекомендациями [5] при построении винтовой
пары целесообразно использовать трапециевидную резьбу с материалом гайки из бронзы, а винта – из стали. Коэффициент трения
этой пары можно принять f = 0,05. Тогда основные параметры определяются следующим образом. Необходимо задаться углом подъема винтовой линии из условия α > ρ, где ρ = arctg(f) – угол трения.
Затем найти средний радиус винта
R=
1
.
i в tgα
Величину tgα можно варьировать в широких пределах, поскольку (при постоянном R) она определяется числом заходов z (рекомендуется z = 1; 2; 3)
tgα =
zh
.
2πR
§ 1.4. Передаточные функции исполнительных механизмов
Исполнительный механизм представляет собой сложное электромеханическое звено, передаточная функция которого должна
определяться с учетом всех его составляющих и особенностей функционирования.
При построении передаточных функций ИМ следует опираться
на какой-либо конкретный способ регулирования скорости вращения двигателя. В настоящем проекте будем считать, что регулирование скорости двигателя постоянного тока независимого возбуждения (ДПТ НВ) производится изменением напряжения в якорной
цепи, а двухфазного асинхронного двигателя (АДД) – изменением
амплитуды напряжения обмотки управления.
1.4.1. Привод антенн и платформ
Характеризуется значительными моментами инерции рабочих
органов. Кроме того, выходные валы ПМ обычно связываются с рабочими органами различными муфтами, которые имеют вполне определенную (не бесконечно большую) конструкционную жесткость
Cу, которая представляется как коэффициент упругого скручивания выходного вала редуктора. Реальные величины Cу лежат в диа21
Uy
Мд
+
–
kM
Мс
ω′н
1
Jд p
iη
kп
+
Cy
–
p
1
p
1
Jн p
α
i
Рис. 1.4. Структурная схема ИМ с упругим валом: kM – коэффициент
пропорциональности ИД между напряжением и моментом;
kп– коэффициент пропорциональности ИД между скоростью и
ЭДС; J′д = (Jд + Jq)i2 – момент инерции ИД и ПМ, приведенный
к выходному валу редуктора; ������������������������������
i�����������������������������
– передаточное отношение редуктора; η – КПД редуктора; Cу – коэффициент упругого скручивания; Jн – момент инерции нагрузки; Jд – момент инерции
ротора двигателя; Jq – момент инерции редуктора; ����������
p���������
– оператор преобразования Лапласа
пазоне 102–103 Нм/рад. Указанные обстоятельства требуют учета
конечной жесткости в математической модели привода.
Структурная схема справедлива как для ДПТ НВ, так и для
АДД. Для ДПТ НВ
kM =
CФ M п
=
; kп = CФ,
R
UN
где С – конструктивная постоянная; Ф – поток обмотки возбуждения; R – сопротивление якорной цепи; Мп – пусковой момент ИД
при номинальном напряжении; UN – номинальное напряжение.
Для АДД
kM =
kп =
Mп
;
UN
Mп – MN UN
,
ΩN
Mп
где MN – номинальный момент; nNΩN – номинальная скорость.
Передаточная функция ИМ имеет следующий вид:
kИМ
α ( p)
(1.5)
=
WИМ ( p) =
,
3
U( p)
a0 p + a1 p 2 + a2 p + 1 p
(
22
)
где
a0 =
J′д J н
2
C yβi η
; a1 =
J′ + J
Jн
; a2 = д 2 н ;
Cy
βi η
Mп − MN
Mп
.
; kИМ =
U Nβi
ωN
β =
Полученные выражения справедливы как для ДПТ НВ, так и
для АДД, поскольку и в том и в другом случае используется один и
тот же способ линеаризации механической характеристики ИД.
Рулевой привод характеризуется специфической особенностью,
связанной с характером нагрузки – шарнирным моментом. Указанное обстоятельство ведет к потере астатизма приводом, поэтому
его необходимо учесть.
Структурная схема РП с ДПТ НВ приведена на рис. 1.5, где
J 

J =  J д + J q + 2н  –
i 

момент инерции ИМ, приведенный к валу ИД; kш – коэффициент
шарнирного момента. Остальные обозначения имеют прежний
смысл.
Передаточная функция ИМ имеет следующий вид:
kИМ
α( p)
(1.6)
WИМ ( p) =
=
,
2
U( p) a0 p + a1 p + 1
где
M − MN
M пiη
Ji 2η
i 2βη
a0 =
; a1 =
; β= п
; kИМ =
.
kш
kш
ωN
U Nk ш
Mш
Uy
kM
Мд
1
iη
1
Jp
kш
1
i
1
p
α
kп
Рис. 1.5. Структурная схема ИМ, нагруженного шарнирным моментом
23
Как видим, передаточная функция по углу поворота не содержит интегрирующего звена, поэтому привод будет статической
системой.
1.4.2. Привод стабилизированной скорости
Приводы этого класса охватываются обратной связью по скорости. Постоянство направления вращения снимает необходимость
учета тех факторов, которые в следящем приводе принципиальны
(упругое скручивание валов, шарнирный момент и т. п.). Однако
требование высокой стабильности скорости вращения может вызвать необходимость учета электромагнитной постоянной времени
цепи управления, поскольку пульсации тока будут вызывать пульсации скорости.
Применительно к ДПТ НВ структурная схема ИМ приведена на
рис. 1.6, где Lя – индуктивность якорной цепи. Остальные обозначения имеют прежний смысл.
Передаточная функция ИМ имеет вид
ω ( p)
kИМ
=
WИМ ( p) = н
,
(1.7)
U( p) TяTM p 2 + TM p + 1
где
Tя =
Lя
JR я
Jn N
; TM =
;
=
2
Rя
(CФ ) M п − M N
Мн
1
iη
Uy
СФ
Lяp + Rя
1
Jp
ω
1
i
ωн
СФ
Рис. 1.6. Структурная схема ИМ с учетом индуктивности якорной
цепи
24
Мн
gн
iη
1
iη
Uy
СФ
Lяp + Rя
1
Jp
ωн
1
i
СФ
Рис. 1.7. Структурная схема ИМ с учетом вязкого трения
J = J д + Jq +
n NM п
Jн
1
=
.
; kИМ =
2
CФi U N (M п − M N ) i
i
Величины Lя, Rя обычно в каталогах не приводят, потому что их
находят расчетным путем по формуле Уманского [6]:
Rя =
U
U N I N − M Nω N
; Lя = (0,025 – 0,035 ) N ,
2
I Nω N
IN
где UN, IN – номинальные напряжение и ток обмотки якоря электродвигателя.
В значительной части таких приводов заметно проявляет себя
составляющая момента нагрузки, обусловленная так называемым
вязким трением Mн = qнωн. Тогда на структурной схеме (см. рис.
1.6) появится еще одна обратная связь по скорости (рис. 1.7), и передаточная функция будет иметь вид
ω ( p)
kИМ
=
WИМ ( p) = н
,
(1.8)
2
U( p) a0 p + a1 p + 1
где
a0 =
Lя Ji 2η
R яq н + (CФ ) i η
2 2
; a1 =
R я Ji 2η + Lяq н
R яq н + (CФ ) i η
2 2
; kИМ =
CФiη
R яq н + (CФ ) i 2η
2
.
§ 1.5. Измеритель рассогласования
Измеритель рассогласования является информационным звеном ЭП, предназначенным для измерения входного сигнала g(t)
25
и сигнала управления y(t), преобразования измеренных величин
в электрический сигнал и формирование сигнала Ux, пропорционального разности g(t) – y(t) = x(t).
Элементной базой для построения ИР являются первичные измерительные преобразователи (ПИП). В курсовом проекте используются следующие виды ПИП: потенциометрические (ПМ), сельсины (СС), вращающиеся трансформаторы (ВТ), тахогенераторы (ТГ)
постоянного и переменного тока.
Известны два основных принципа построения ИР – по компенсационной и каскадной схемам. Компенсационная схема используется преимущественно для ЭП с ограниченным углом поворота
задающего вала, а каскадная схема – для ЭП с неограниченным углом. Заметим, что компенсационная схема требует высокой степени идентичности характеристик ПИП, поэтому СС для таких схем
не используют [7–10].
Компенсационная схема на потенциометрических ПИП приведена на рис. 1.8.
Обозначим Rд – сопротивление датчика; Rп – сопротивление приемника; RΣ – входное сопротивление сумматора; φн – угол активной
зоны потенциометра. Если выдерживаются соотношения Rд = Rп =
= R; R << RΣ, то коэффициент передачи ИР определяется в виде
kи = k д = kп =
Uп
.
ϕн
(1.9)
Каскадная схема на потенциометрических ПИП показана на рис.
1.9. Если выдерживается соотношение Rд<Rп<Rу, где Rу – входное
Uп
Д
g
П
y
∑
Ux
Рис. 1.8. Принципиальная схема компенсационного ИР на потенциометрических ПИП: Д – датчик; П – приемник; Uп – напряжение питания
26
g
Д
П
Uп
Ux
y
Рис. 1.9. Принципиальная схема каскадного ИР на потенциометрических ПИП
сопротивление предварительного усилителя, то коэффициент передачи ИР определяется в виде
U m
kи = п , (1.10)
2π
где m – количество точек связи между датчиком и приемником.
Компенсационная схема на ВТ показана на рис. 1.10.
Uп
Д
g
П
y
Ux
ПУ
Рис. 1.10. Принципиальная схема компенсационного ИР на ВТ
27
Если Д и П идентичны, то коэффициент передачи ИР определяется в виде
kи = kт Uп,
(1.11)
где kт – коэффициент трансформации (kт = kт.д = kт.п). Он равен коэффициентам трансформации датчика или приемника.
Каскадная схема на ВТ показана на рис. 1.11.
Коэффициент передачи ИР определяется в виде
kи =
kт.п
U п.
kт.д
(1.12)
Каскадная схема на СС показана на рис. 1.12.
Коэффициент передачи ИР определяется в виде
kи = U пmax, (1.13)
где U пmax – амплитудное значение напряжения питания.
Выбор схемы ИР определяется родом питающего тока и максимальным углом поворота вала ЭП [8–10].
Выбор ПИП для построения схемы ИР производится в соответствии со следующими исходными данными: xp – допустимая статическая ошибка ЭП; xs – допустимая скоростная ошибка ЭП; αmax –
максимальный угол поворота задающего вала ЭП.
Д
П
Ux
Uп
g
Рис. 1.11. Принципиальная схема каскадного ИР на ВТ
28
y
Д
П
Ux
Uп
g
y
Рис. 1.12. Принципиальная схема каскадного ИР на СС
Методика выбора ПИП опирается на оценку ошибки воспроизведения им угла поворота и сопоставления ее с допустимым значением ошибки ИР, определяемым по допустимым ошибкам ЭП. Допустимое значение ошибки ИР определяется обычно на основе критерия пренебрежимых погрешностей, основой которого является
предположение о случайном характере погрешностей и нормальном законе их распределения. Известно, что если среднеквадратическое значение ошибки ИР составляет 5 % от общей погрешности
ЭП, то допустимая ошибка ИР может быть определена в виде
x
x и.доп = доп ,
(1.14)
3 где x доп = x p – для ПС; x доп = x s + x g – для ПА; x доп = x p + x g – для
ПП и РП.
Методика оценки ошибки различных типов ПИП отличаются
вследствие того, что СС и ВТ имеют составляющую погрешности,
определяемую скоростью вращения выходного вала ЭП, а потенциометрические – не имеют. Поэтому погрешность ИР на потенциометрических ПИП оценивается только по статическим ошибкам, а
индукционных – по статическим и скоростным.
Таким образом, для привода с потенциометрическим ПИП ошибка ИР оценивается с помощью выражения
x и = x 2pд + x 2pп , (1.15)
29
где xpд, xpп – ошибки датчика и приемника, определяемые по каталогам ПИП с помощью выражения
x pд,п =
ε
α max,
100
где ε – допустимое отклонение выходного напряжения ПИП от линейной зависимости, %. Затем xи сопоставляется с величиной xи.доп
(1.14). Если выполняется условие
x и ≤ x и.доп, (1.16)
то выбранный ПИП удовлетворяет требованиям ЭП по точности.
Если условие (1.16) не выполняется, то выбор ПИП следует продолжить. Если в каталогах не окажется ПИП, удовлетворяющих условию (1.16), то нужно переходить к построению ИР по двухотсчетной схеме. Функциональная схема двухотсчетного ИР приведена
на рис. 1.13.
Коэффициент передачи редуктора между каналами ТО и ГО определяется из соотношения
xи
kq ≥
,
x и.доп
где xи – ошибка ИР, построенного на самых точных из приведенных в каталогах ПИП. Полученное значение kq округляется до ближайшего большего целого нечетного числа. Затем определяется
погрешность ИР по точному каналу
y
g
а)
Uп
ДГО
ПГО
q
q
ДТО
ПТО
б)
Uп
СУ
g
y
Д ГО
ПГО
СУ
ДТО
ПТО
Рис. 1.13. Функциональная схема двухканального ИР с механической (а)
и электрической (б) редукцией: ГО, ТО – каналы грубого и точного отсчета; q – редуктор между датчиками и приемниками
ГО и ТО; СУ – селектирующее устройство, осуществляющее
переключение привода с грубого на точный канал (и наоборот)
при соответствующих углах рассогласования
30
xит =
x 2pд + x 2pп
kq2
+ x q2 , (1.17)
где xq – погрешность, вносимая редуктором между каналами ТО и
ГО (обычно xq = 3–5 угл. мин). проверяется условие (1.16). Если
и в этом случае неравенство (1.16) не выполняется, то необходимо
перейти к более точным ПИП другого класса, например ВТ.
Для индукционных ИР (на переменном токе) ошибка оценивается по-разному для компенсационной и каскадной схем. Причины
этого заключаются в том, что в компенсационной схеме скоростные
ошибки датчика и приемника взаимно компенсируются. В каскадной схеме этого не происходит. Поэтому при выборе индукционных
ПИП для компенсационной схемы можно пользоваться выражением (1.15).
При выборе индукционных ПИП для каскадной схемы погрешность измерителя рассогласования ИР оценивается с помощью выражения
x п = (x 2pд + x 2pп ) + (x s2д + x s2п ), (1.18)
где xpд, xpп – статические ошибки датчика и приемника; xsд, xsп –
скоростные ошибки датчика и приемника. Статическая ошибка
определяется по погрешности ε воспроизведения ПИП синусной зависимости, которая задается в каталогах в процентах:
x p = 0,01ε.
Скоростная ошибка xs определяется с учетом максимальной скорости вращения задающего вала ЭП
xs =
Ω max
,
2πfп
где fп – частота напряжения питания.
Затем xп, определенная по выражению (1.18), сопоставляется с xи.доп. Если условие (1.16) выполняется, то выбранный ПИП
удовлетворяет требованиям ЭП. В противном случае выбор следует
продолжить. Если в каталоге соответствующего ПИП не окажется,
надлежит перейти к построению двухканального ИР (см. рис. 1.13).
Применительно к индукционным ПИП двухотсчетные ИР целесообразно строить с использованием ВТ с электрической редукцией.
Необходимо заметить, что при построении двухканального ИР
с механическим редуктором коэффициент передачи ИР по каналу
31
ТО должен быть определен с учетом коэффициента передачи редуктора между каналами ГО и ТО, а именно
k′и = kиkq ,
(1.19)
где kи – коэффициент передачи ИР, определяемый по выражениям
(1.9)–(1.13).
При выборе тахогенератора для ПС следует руководствоваться
теми же соображениями о допустимой ошибке ИР, что и приведенные выше. Допустимая ошибка привода задается обычно в относительных единицах, чаще – в процентах:
∆Ω
δ=
⋅ 100 %,
Ωс
где ∆Ω – абсолютное значение ошибки стабилизации скорости;
Ω с  – стабилизируемое значение скорости.
Погрешность тахогенератора задается как отклонение ∆ его статической характеристики от линейной зависимости в процентах.
Поэтому условием пригодности тахогенератора является выполнение неравенства
δ
∆≤ .
3
Для выбранных ПИП в пояснительной записке должны быть
приведены таблица паспортных данных и эскиз конструкции с основными размерами.
В каталогах ПИП [7, 8] приведены сведения не только об индивидуальных ПИП, но и о стандартных парах Д-П (например, для
каскадных схем на ВТ и СС). При этом в таблицах с паспортными
данными указывается и коэффициент передачи ИР на этих элементах и ошибка.
При выборе ПИП следует обращать внимание на конструктивное
оформление и массогабаритные показатели. В особенности это относится к ТГ, поскольку их валы обычно связываются непосредственно
с валом ИД и такие показатели как момент инерции ротора и момент
статического трения ТГ могут оказаться соизмеримыми с моментом
инерции ротора ИД и его номинальным моментом. Поэтому для всех
типов приводов после выбора ПИП необходимо выполнить анализ
значимости для ИД моментов нагрузки и моментов инерции, создаваемых ими. Может потребоваться проверка пригодности ИД.
Измерители рассогласования приведенных выше типов в динамическом отношении могут считаться безынерционными звеньями, и их передаточные функции имеют вид
32
Wи ( p) = kи. (1.20)
Несколько иначе дело обстоит с ТГ, поскольку по скорости на
входе он является безынерционным звеном:
U ( p)
WТГ ( p) = ТГ
= kТГ, (1.21)
n ТГ ( p)
а по углу поворота на входе – дифференцирующим звеном
U ( p)
WТГ ( p) = ТГ
= kТГ p. (1.22)
α ТГ ( p)
§ 1.6. Расчет режима статики
Он выполняется для установившегося режима работы привода и
используется для определения требуемого из соображений точности общего коэффициента передачи (усиления) усилительно-преобразовательного устройства (УПУ), поскольку все остальные элементы привода – ИР, ИД, ПМ уже определены. При этом следует
учитывать те основные режимы, на которые ориентирован привод.
Для ПА таковыми являются режим слежения с максимальной
скоростью и режим слежения при гармоническом задающем воздействии. Гармоническое воздействие будет использовано далее
для построения логарифмических характеристик привода с заданными свойствами. Поэтому следует воспользоваться режимом слежения с постоянной скоростью. При этом коэффициент передачи
привода определяют с помощью выражения
kраз =
Ω max
.
xs
Если на выходном валу привода действует постоянный статический момент Mст, то
M
Ω max + 2ст
βi η
,
kраз =
xs
где β – жесткость механической характеристики ИД.
Затем определяется значение коэффициента усиления УПУ
kу =
kраз
kиkим
,
33
где kим – коэффициент передачи ИМ в передаточной функции
(1.5).
Для привода ПП и РП определяющим является режим позиционирования – точной установки рабочего органа в заданное положение, поэтому целесообразно воспользоваться статической ошибкой
xp и выражением для напряжения трогания Uтр двигателя
U тр =
M maxU N
,
M пi
где Mmax – максимальный момент на валу ИД (может быть взят из
материалов выбора ИД); UN, Mп – номинальное напряжение и пусковой момент двигателя.
Далее принимается, что Uтр должно вырабатываться на выходе
УМ при рассогласовании, равном допустимой статической ошибке,
т. е. U тр = x pkиkу , откуда
U
kу = тр .
x pk и
Для ПС по заданной точности стабилизации скорости вращения – относительной ошибке δ определяют коэффициент передачи
разомкнутого привода
100
kр =
.
δ
Если ИМ ПС нагружен статическим моментом, то его также необходимо учесть при определении kраз
kр =
100 M ст ⋅ 100
+ 2
.
δ
βi ηδΩ max
Затем по kр определяют коэффициент усиления
kу =
kр
kТГkИМ
,
где kТГ – представляет собой коэффициент передачи ТГ (крутизну
его статической характеристики); kИМ – коэффициент передачи
ИМ в выражениях (1.7), (1.8).
Передаточная функция транзисторных и тиристорных усилительных устройств, при некоторых допущениях, может быть представлена в виде
Wу ( p) =
34
kу
Ту p + 1
.
(1.23)
Постоянная времени Tу обычно не превышает (0,005–0,008) с. Таким образом, быстрота протекания динамических процессом в этих
усилительных устройствах существенно выше, чем в механических узлах привода. Поэтому с достаточной для практики точностью можно принять
Wу ( p) = kу . (1.24)
§ 1.7. Анализ динамических свойств привода
Для анализа динамических свойств привода (рис. 1.14) можно
использовать математическую модель на базе аппарата передаточных функций и воспользоваться методом логарифмических частотных характеристик [11].
Передаточная функция разомкнутого привода (располагаемая)
в соответствии со структурной схемой, приведенной на рис. 1.14,
определяется в виде
Wр ( p) =
y( p)
= Wи ( p)Wу ( p)WИМ ( p),
x( p)
(1.25)
где Wи(Р), Wу(Р), WИМ(Р) – передаточные функции измерителя рассогласования, усилителя мощности и исполнительного механизма
соответственно.
Для исследования динамики привода удобнее всего воспользоваться средствами популярного пакета Matlab с расширением
Simulink [12,13].
Simulink��������������������������������������������������
Matlab�������������������������������������������
�������������������������������������������������
предназначен для математического моделирования линейных и нелинейных динамических систем, представленных функциональной блок-схемой (моделью).
Мн
g
Wи(p)
Wу(p)
WИМ(p)
y
Рис. 1.14. Структурная схема привода, построенного на выбранных элементах
35
Графическая модель обычно содержит ряд блоков. Каждый блок
имеет наглядное общепринятое обозначение в виде прямоугольника, треугольника и т. д. Для того чтобы разместить блоки в окне
модели, необходимо перетащить их мышью из соответствующих
разделов библиотек Simulink�����������������������������������
�������������������������������������������
. Блоки имеют входы и выходы и описываются различными математическими зависимостями. Блоки
соединяются друг с другом линиями со стрелками, причем стрелка
указывает направление от выходов одних блоков к входам других.
Имеются также текстовые комментарии и средства для вывода подсказок и открытия окон справочной системы.
С помощью пакета может быть произведен линейный анализ
модели, а именно: могут быть получены логарифмические амплитудные и фазовые характеристики, реакция модели на единичный
скачок, на импульсную функцию, расположение корней на комплексной плоскости.
Методика анализа переходных процессов располагаемой и синтезированной системы.
Исходными данными для анализа переходных процессов с использованием пакета Simulink являются вид и параметры входного
воздействия, а также параметры передаточной функции исследуемой системы.
Для составления модели необходимо выбрать источник сигнала в блоке Sources. Для получения переходной функции входным
воздействием является единичное ступенчатое воздействие (Step)
из блока Sources. Заметим, что по умолчанию установлено время
действия скачка (Step time) равное единице.
Модель системы создается из отдельных блоков, описываемых
передаточными функциями. Блок �������������������������������
Transfer�����������������������
����������������������
Fcn�������������������
создает передаточную функцию W(s) = Y(s)/X(s) в виде отношения полиномов заданной степени. Блок ����������������������������������������������
Transfer��������������������������������������
�������������������������������������
Fcn����������������������������������
имеет два параметра – векторы коэффициентов полиномов числителя ������������������������
Numerator���������������
и знаменателя De���
nominator. Они задают вид выражения W(s), которое и появляется
внутри блока. Так же при моделировании отдельных компонентов
системы могут быть использованы блоки Integrator – аналоговый
интегратор и Derivative���������������������������������������
�������������������������������������������������
– аналоговое дифференцирующее устройство.
Для исследования нелинейных систем используется раздел Non����
linear, который содержит наиболее распространенные нелинейные
блоки.
При анализе замкнутой системы необходимо ввести в модель
контур обратной связи и звено сравнения Sum из блока Math. Для
36
получения графиков на выходе модели устанавливается регистрирующее устройство - виртуальный осциллограф (Scope) из блока
Sinks.
Прежде чем запустить созданную модель необходимо установить параметры моделирования в меню Simulation: начальное и
конечное время (�������������������������������������������������
Start��������������������������������������������
time���������������������������������������
�������������������������������������������
, Stop���������������������������������
�������������������������������������
time����������������������������
��������������������������������
), тип решения и метод решения. При решении с переменным шагом шаг автоматически уменьшается, если скорость изменения результатов в процессе решения
возрастает. И напротив, если результаты меняются слабо, шаг решения автоматически увеличивается. Метод с фиксированным шагом стоит применять, когда поведение системы описывается почти
монотонными функциями.
Для запуска процесса моделирования необходимо выполнить
команду �����������������������������������������������������
Start������������������������������������������������
меню ������������������������������������������
Simulation��������������������������������
. Результаты моделирования представляются в виде графика переходной функции после двойного
щелчка мыши по виртуальному осциллографу.
По виду полученного графика переходного процесса системы
необходимо сделать вывод о соответствии заданным требованиям,
то есть оценить время переходного процесса, величину перерегулирования или колебательности системы и сравнить эти параметры
с заданными. Если переходный процесс анализируемой системы
не удовлетворяет заданным требованиям, то необходима дополнительная коррекция.
Рассмотрим пример анализа переходного процесса нескорректированной системы, структурная схема которой приведена на
рис.1.15.
Пусть приняты следующие параметры: Wи(s) = 4,7, Wу(s) =
= 138,9, WИМ(s) = 0,24/(1,14p2 + 6p + 1).
Для создания модели данного привода проделаем следующие
действия:
1. Откроем окно новой модели Simulink, нажав кнопку Create a
new model.
2. Расположим это окно рядом с окном браузера библиотек.
3. ���������������������������������������������������������
Из раздела библиотеки �����������������������������������
Sources����������������������������
перенесем в окно модели источник единичного ступенчатого воздействия Step.
g(t)
x(t)
+
–
Wи(s)
Wу(s)
WИМ(s)
y(t)
Рис. 1.15. Блок-схема нескорректированной системы
37
4. Щелкнув
������������������������������������������������������
дважды по блоку Step��������������������������
������������������������������
, в появившемся окне параметров источника установим время начала действия скачка Step
time, равное 0.
5. Из раздела библиотеки Math перенесем в окно модели блок
сумматора Sum.
6. �����������������������������������������������������
Щелкнув дважды по блоку Sum��������������������������
�����������������������������
, в появившемся окне параметров сумматора установим знаки «+–».
7. Из раздела библиотеки Math перенесем в окно модели блок
Gain. После двойного щелчка установим значение коэффициента
измерителя рассогласования, равное 4,7.
8. Из раздела библиотеки Math перенесем в окно модели блок
Gain. После двойного щелчка установим значение коэффициента
усилительно-преобразовательного устройства, равное 138,9.
9. Из раздела библиотеки Continuous перенесем в окно модели
блок Transfer Fcn.
10. Щелкнув дважды по блоку Transfer Fcn, в появившемся окне
параметров зададим вектор коэффициентов числителя Numerator
[0.24] и знаменателя Denominator [1.14 6 1] передаточной функции
исполнительного механизма.
11. Из раздела библиотеки Sinks перенесем в окно модели блок
осциллографа Scope.
12. Выполним соединение между блоками.
13. Проверим установку параметров моделирования, выполнив
команду Simulation Parameters в меню Simulation окна Simulink.
Время моделирования Stop time.
14. ���������������������������������������������������������
Запустим модель на исполнение, нажав кнопку �������������
Start��������
в панели инструментов окна модели.
Собранная модель показана на рис. 1.16.
Результат моделирования показан на рис. 1.17.
Для получения частотных характеристик (ЛАХ, ЛФХ) рассмотренной выше модели (функция bode�������������������������������
�����������������������������������
) и годографа для проверки системы на устойчивость по критерию Найквиста (функция nyquist),
необходимо рассматривать разомкнутую систему. Для получения
графика распределения корней системы на комплексной плоскости
(функция �����������������������������������������������������
pzmap������������������������������������������������
), а также реакции на единичное ступенчатое воздействие и импульсную функцию (функция ����������������������
step������������������
, ����������������
impulse���������
) необходимо рассматривать замкнутую систему. Поэтому удобно отдельно
создать вторую модель – модель разомкнутой системы (аналогично
процедуре, описанной выше).
Для проведения линейного анализа необходимо проделать следующие действия:
38
Рис. 1.16. Модель привода в среде Simulink MatLab
Рис 1.17. График переходного процесса
39
1. В меню Tools выбрать команду Linear analysis.
2. ���������������������������������������������������������
Из появившегося окна ������������������������������������
Model�������������������������������
������������������������������
Inputs������������������������
�����������������������
and��������������������
�������������������
Outputs������������
извлечь начальную и конечную точки анализируемой модели и установить их
на вход модели и на выход (рис. 1.18).
3. �����������
В окне ����
LTI� ��������������
Viewer��������
в меню ���������������
Tools����������
командой �����������������
Viewer�����������
����������
Configurations����������������������������������������������������������
выбрать вид отображаемого результата и установить необходимые функции (если рассматривается замкнутая система, то следует выбрать функции step, pzmap, а если разомкнутая – функции
bode, nyquist).
4. Для запуска анализа необходимо в окне LTI Viewer в меню
Simulink выбрать команду Get Linearized model.
5. Время
��������������������������������������������������������
протекания переходного процесса, выводимого на экран, устанавливается в меню Tools командой Response Preferences
(по умолчанию установлен автоматический выбор)
6. В
�������������������������������������������������������
появившемся окне с результатами можно с помощью одного нажатия правой кнопки мыши установить характерные точки
(Characteristics), сетку (Grid), а также выбрать увеличение (Zoom).
Результаты анализа приведены на рис. 1.18 и 1.19.
Рис. 1.18. Анализ замкнутой системы в среде Simulink MatLab
40
Рис. 1.19. Анализ разомкнутой системы в среде Simulink MatLab
Далее надлежит построить асимптотические логарифмические
частотные характеристики (ЛЧХ) разомкнутого привода: амплитудную (ЛАХ) L(ω) и фазовую (ЛФХ) φ(ω) :
L(ω) = 20lg Wр ( jω) =
φ(ω) = arctg {Wр ( jω)}=
m
∑20lg Wi ( jω) ,
i =1
m
∑ arctg{Wi (jω)},
i =1
где Wi ( jω) – соответственно передаточные функции Wи ( p), Wу ( p),
WИМ ( p).
Как известно, для построения ЛАХ и ЛФХ нужно привести все
передаточные функции к форме элементарных типовых звеньев.
В особенности это относится к передаточным функциям WИМ ( p),
определяемым по выражениям (1.5), (1.6), (1.7), (1.8). Затем коэффициенты передачи сводятся в один коэффициент разомкнутого
привода kр = kиkуkИМ, который используется для построения пер41
б)
20 lgk раз
L ( ω)
–180
ψ (ω )
1
T1
ω= 1
1
T2
1
T3 ω
L ( ω)
ψ (ω )
20 lg k раз
а)
–180
–90
–90
0
0
ω
1
T1
1
T2
1
T3
Рис. 1.20. ЛАХ и ЛФХ астатического (а) и статического (б) привода
вой низкочастотной асимптоты. Для астатических приводов эта
асимптота будет прямой с единичным наклоном (–20 дБ/дек), проходящей через точку с координатами ω = 1, L(ω = 1) = 20lg kр . Для
статического привода первая асимптота имеет нулевой наклон и
проходит на уровне L(ω = 0) = 20lg kр параллельно оси частот. Затем определяются сопрягающие частоты для остальных элементарных звеньев, асимптотические ЛАХ которых добавляются к первой
(рис. 1.20).
По построенным ЛАХ и ЛФХ необходимо определить частоту
среза ω с, запас по фазе ∆γ и вынести суждение об устойчивости
ЭП.
Окончательной проверкой свойств привода, построенного на
выбранных элементах, является расчет переходных процессов на
ЭВМ. Результаты расчета приводятся в пояснительной записке.
Кроме основного процесса, по выходной координате целесообразно
получить процессы и по другим координатам привода, характеризующим специфические свойства – момент упругого скручивания,
величину угла скручивания, ток исполнительного двигателя, шарнирный момент и момент ИД и т. п.
Вопросы для самопроверки к главе 1
1. ��������������������������������������������������������
Назовите основные типы электропривода (ЭП) по сфере применения.
2. Какие основные блоки входят в функциональную схему ЭП?
3. Из каких элементов состоит устройство управления ЭП?
4. Из каких элементов состоит исполнительный механизм ЭП?
42
5. Какими параметрами отличаются друг от друга различные
типы ЭП?
6. �������������������������������������������������������
Какие элементы необходимо выбрать на этапе проектирования ЭП?
7. Какой элемент ЭП определяет его быстродействие?
8. �������������������������������������������������������
Какие последствия может повлечь неправильный выбор мощности исполнительного двигателя ЭП?
9. Какие параметры ЭП зависят от выбора редуктора?
10. Какие
�������������������������������������������������������
особенности характерны для математического описания ЭП антенн и платформ?
11. Какие
�������������������������������������������������������
особенности характерны для математического описания рулевого привода?
12. �������������������������������������������������������
Какие особенности характерны для математического описания привода стабилизированной скорости?
13. Какая элементная база используется при конструировании
измерителя-рассогласования?
14. �����������������������������������������������������
Какими передаточными функциями описывается работа измерителя-рассогласования?
15. ��������������������������������������������������������
С какой целью выполняется расчет статического режима работы привода?
16. ������������������������������������������������������
Какой передаточной функцией можно описать работу транзисторных и тиристорных усилительных устройств?
17. Какие
�������������������������������������������������������
тестовые сигналы используются при анализе динамических свойств ЭП?
18. Какие параметры описывают качество переходного процесса
ЭП при анализе во временной области?
19. Какие параметры описывают качество переходного процесса
ЭП при анализе в частотной области?
20. Какой вид должна иметь асимптотическая ЛАХ астатического привода?
43
ГЛАВА 2
Частотный СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ
В ЭЛЕКТРОПРИВОДЕ
§ 2.1. Применение частотных характеристик
2.1.1. Построение желаемых логарифмических
частотных характеристик
Желаемые логарифмические характеристики (ЖЛАХ) являются одной из форм описания требований к параметрам привода.
Такая характеристика может быть сопоставлена с располагаемой
(РЛАХ), соответствующей приводу, построенному на выбранных
элементах. В результате сопоставления может быть решен вопрос
о средствах, которыми можно изменить конфигурацию РЛАХ в направлении ее приближения к ЖЛАХ, то есть о корректирующих
устройствах.
Учитывая, что проектируемые приводы относятся к типу минимально фазовых систем, при построении ЖЛАХ можно ограничиться только амплитудными характеристиками.
Как известно [15–24], ЖЛАХ строится на основании информации о точности и качестве переходного процесса привода.
Точность привода используется для формирования ЖЛАХ в
низкочастотной области. Она задается в виде допустимых ошибок:
– x p – статическая ошибка,
– x s – скоростная ошибка,
– x g – гармоническая ошибка.
Показатели качества переходного процесса: перерегулирование
(σ), время переходного процесса (tп), показатель колебательности
(М), используются для формирования ЖЛАХ в области частоты
среза (на средних частотах).
В высокочастотной области конфигурацию ЖЛАХ желательно
оставить такой, какой она является в РЛАХ, построенной по сведениям о выбранных элементах.
ЖЛАХ в низкочастотной части строится по контрольной точке
A к на основании выражения для частоты ω к эквивалентного гармонического воздействия α э (t) и ординаты L(ω к )
ωк =
44
α
ε max
, L(ω к ) = 20lg max , xg
Ω max
(2.1)
Ω 2max
– амплитуда воздействия. Запретная область покаε max
зана на рис. 2.1 заштрихованной линией.
Точка пересечения правой границы запретной зоны с осью называется базовой частотой ω 0 и определяется по выражению
где α max =
ε max
.
xg
ω0 =
(2.2)
Предельное нижнее положение ЖЛАХ в низкочастотной области на 3 дБ выше границы запретной зоны. Поэтому ЖЛАХ в области низких частот фактически повторяет конфигурацию границы
запретной области.
Частота среза ЖЛАХ определяется с учетом показателя колебательности М и базовой частоты ω 0 :
ωс =
M
ω 0. M −1
(2.3)
Через точку ω с проводят участок ЖЛАХ с единичным наклоном, ограниченный слева частотой
а справа – частотой
ω2 ≤
M
ω с, M −1
(2.4)
ω3 ≥
M +1
ω с, M
(2.5)
3 дБ
L(ωк )
M +1
M
M −1
M
Aк
ωс
ωк
ω2
ω3
20lg
M
M +1
ω0
M
M −1
Рис. 2.1. Конфигурация ЖЛАХ для астатического привода
45
Частота ω 2 обычно соответствует точке пересечения среднечастотного участка с низкочастотным. Высокочастотную часть ЖЛАХ
обычно сохраняют с таким же наклоном, как у РЛАХ, но при этом
следует помнить, что она не должна заходить в запретную область,
образованную асимптотой с единичным наклоном, пересекающей
ось частот в точке ω = ω с, и горизонтальной прямой, соответствующей
L(ω) = 20lg
M
,
M +1
как показано на рис. 2.1.
В том случае, когда заданы требования к виду переходного процесса в виде перерегулирования σ и времени tп , частоту среза целесообразно определить с использованием эмпирической формулы
ωс =
Bπ
,
tп
(2.6)
где B – параметр, связанный нелинейной зависимостью с перерегулированием σ. Эта зависимость показана на рис. 2.2, а. Показатель
колебательности можно определить по графику соответствия M и
перерегулирования σ, показанному на рис. 2.2, б.
Если рабочий орган в приводе находится под воздействием статического момента M ст , целесообразно положение контрольной
точки определить по выражению
б)
а)
M
B
1,6
1,5
3
1,4
2
1,3
1,2
1
1,1
0
10
20
30
σ, %
1
0
10 20
30 40
σ, %
Рис. 2.2. График зависимости B(σ) и график соответствия значений M
иσ
46

M ст 
 Ω max + 2  Ω max
βi η 
.
L(ω к ) = 20lg 
ε maxx g
(2.7)
Соответственно изменится и базовая частота
ω0 =
ε max + ω к
xg
M ст
βi 2η
.
(2.8)
При этом запретная область поднимется вверх относительно
изображенной на рис. 2.1, частота эквивалентного гармонического сигнала останется прежней. Естественно при этом выше пойдет
низкочастотная часть ЖЛАХ и изменится частота среза.
Наличие момента сухого трения накладывает определенные ограничения [3] на первую сопрягающую частоту ω1 , которая может
быть определена в соответствии с выражением
ω1 ≥ 4,23
ε max
Mт
.
2
3
β i ηk р 
Mт 
 xg + 2


βi ηkр 

(2.9)
Если ω1 окажется меньше ω к , то частота сопряжения останется на прежнем месте ω1 = ω к . Если же ω1 > ω к , то конфигурация
ЖЛАХ
в области низких частот будет иметь вид, показанный на
рис. 2.3. При этом естественно изменится базовая частота и частота
среза.
Lж
Ак
ω′с
ωк
ω1
ω0
ω
ω′0
Рис. 2.3. Возможное расположение ЖЛАХ при учете сухого трения
47
Приводы РП и ПС являются статическими системами, поэтому
конфигурация ЖЛАХ в области низких частот определяется несколько иначе. Первая низкочастотная асимптота имеет нулевой
наклон, поскольку определяющей величиной является точность положения, то есть статическая ошибка. Поэтому запретная область
сверху ограничена горизонтальной прямой, проходящей через точку Aк. Однако для РП изменчивость задающего воздействия имеет
место, поэтому для формирования правой границы запретной области можно воспользоваться выражениями (2.1), (2.2). При этом
запретная область будет иметь вид, показанный на рис. 2.4, а.
Поскольку для этого привода задано определенное время переходного процесса tп , частоту среза следует находить по выражению (2.6). Частоты ω 2 , ω 3 определяются, как и раньше, по выражениям (2.4), (2.5) с использованием графика рис. 2.2, б для нахождения M.
Поэтому возможны ситуации, когда между низкочастотной и
среднечастотной частями ЖЛАХ возникнут некоторые несоответствия. В ситуации, показанной на рис. 2.4, б, нужно построить среднечастотную часть по ω 0 , что приведет к увеличению частоты среза
и, следовательно, к более быстрому процессу, что, однако, не ухудшит качества работы ЭП. В ситуации, показанной на рис. 2.4, в,
запретная область не является определяющей, поскольку базовая
частота ω′0 > ω 0 и асимптоту с нулевым наклоном можно сопрягать
со среднечастотным участком любым удобным способом.
а)
б)
6 дБ
Ак
Ак
ω
ω
ωк
ω0
ωс
ω2
ω0
ω′с
ωс
в)
Ак
ωс
ω0
ω
ω′0
Рис. 2.4. Варианты соотношения низкочастотного и среднечастотного
участков ЖЛАХ статического привода
48
20lg k р
ωc
1
T0
1
T1
ω
ω0
Рис. 2.5. ЖЛАХ привода стабилизированной скорости вращения
Для привода ПС в низкочастотной части можно определить
только высоту запретной области. Протяженность ее вдоль оси частот не определена. Поэтому формирование ЖЛАХ полностью определяется требованиями к виду переходного процесса, как указано
выше, и удобством сопряжения среднечастотного участка с первой
асимптотой ЖЛАХ, имеющей нулевой наклон (рис. 2.5).
В связи с тем, что при выполнении статического расчета kр определяется по требованиям точности, первая асимптота ЖЛАХ и
РЛАХ должны совпадать. Постоянные времени T0, T1 могут быть
введены искусственно, с помощью корректирующих звеньев, либо
ими могут оказаться естественные постоянные времени располагаемой передаточной функции разомкнутого привода (исполнительного механизма).
2.1.2. Синтез корректирующих звеньев
Назначением корректирующих звеньев (КЗ) является обеспечение желаемых динамических и точностных показателей ЭП. Поэтому фактически КЗ вместе с предварительным усилителем и усилителем мощности (ПУ и УМ) являются регулятором привода, реализующим закон управления, который обеспечит заданное качество управления. В линейном ЭП желаемые показатели полностью
определяются видом ЖЛАХ, поэтому вид и параметры КЗ могут
быть определены по взаимному расположению ЖЛАХ и РЛАХ разомкнутого ЭП. Действительно, желаемую передаточную функцию
Wж ( p) разомкнутого ЭП можно представить как произведение располагаемой передаточной функции ЭП Wр ( p) и передаточной функции некоторого КЗ Wк ( p)
49
Wж ( p) = Wр ( p)Wк ( p),
откуда следует
Lк = Lж − Lр ,
(2.10)
где Lк = 20lg Wк ( jω) – ЛАХ корректирующего звена; Lж =
= 20lg|Wж (jw)| – желаемая ЛАХ; Lр = 20lg Wр ( jω) – располагаемая
ЛАХ.
В курсовом проекте рассматриваются два варианта коррекции:
в прямой цепи ЭП (последовательная коррекция) и в цепи местной
ОС, охватывающей одно или несколько звеньев прямой цепи.
Способ определения структуры последовательного КЗ следует
непосредственно из формулы (2.10). Действительно, построив на
одном графике Lж и Lр , определяем Lк . По виду Lк нетрудно построить соответствующую передаточную функцию Wк ( p) .
На рис. 2.6 приведен пример построения Lк .
Передаточная функция последовательного КЗ (рис. 2.6, а) имеет
вид
Wк ( p) = kк
(T2 p + 1)(T3 p + 1)
,
(T1 p + 1)(T4 p + 1)
где
kк = antilg
Lк (ω = 0)
1
1
; T2 =
;
; T1 =
ω1
ω2
20
T3 =
1
1
; T4 =
.
ω3
ω4
б)
Lр
а)
Lр
Lж
Lж
1
T4
1
T4 ω
Lк
1
T1
1
T1
1
T2
1
T3
Рис. 2.6. Пример определения ЛАХ
50
1 1
T2 T3
Lк
ω
С теоретической точки зрения последовательное КЗ может быть
помещено в любую точку прямой цепи. Однако условия практической реализации рекомендуют располагать его в виде выходного каскада предварительного усилителя. Учитывая, что kк < 1 , КЗ
может быть реализовано посредством пассивных элементов (RC-цепей). Для определения параметров КЗ необходимо в [11, 20] отыскать четырехполюсник, ЛАХ которого имеет такой же вид, как и
ЛАХ Lк . В рассматриваемом случае четырехполюсник имеет вид,
показанный на рис. 2.7, а.
Передаточная функция четырехполюсника, выраженная через
его параметры, имеет вид
Wк ( p) =
kк (T2 p + 1)(T3 p + 1)
;
Ap 2 + Bp + 1
где
A=
T2T3 [R 3 (R1 + R 2 ) + R1R 2 ](R 3 + R 4 )
R 3 (R1 + R 2 )(R 3 + R 4 + R 2 )
;

(R + R 4 )(R1 + R 2 ) + R1R 2
R 
T2  1 + 2  + T3 3
R
(R 3 + R 4 )(R1 + R 2 )
3
B= 
;
R3 + R 4 + R2
R3 + R 4
kк =
а)
R3 + R 4
R 3R 4
; T2 =
C2; T3 = (R1 + R 2 )C1.
R3 + R 4 + R2
R3 + R 4
C1
R1
б)
R4
R2
C2
C1
R3
R2
R1
R3
R4
C2
Рис. 2.7. Принципиальные схемы последовательного КЗ
51
Приравнивая между собой коэффициенты при соответствующих степенях p числителей и знаменателей передаточных функций
Wк ( p) и Wк ( p) , получаем систему алгебраических уравнений для
отыскания неизвестных параметров R1, R2, R3, C1, C2. Эти уравнения нелинейны и могут решаться итерационными методами. Для
облегчения процесса определения параметров КЗ можно рекомендовать задаться величинами емкостей конденсаторов (но не более
100 мкФ). Электролитические конденсаторы использовать нельзя.
После определения параметров нужно обязательно выполнить проверку – справедливость равенств
A = T1T4, B = T1 + T4, k∞ =
R 3 ( R1 + R 2 )
,
R1R 2 + R 3 (R1 + R 2 )
где
k∞ = antilg
Lк (ω → ∞)
.
20
Если ЛАХ последовательного КЗ полностью или частично располагается выше оси частот (рис. 2.6, б), то, кроме рассмотренного,
возможна реализация КЗ на активных элементах (операционных
усилителях). В рассматриваемом случае для реализации КЗ на активных элементах необходимо воспользоваться литературой [16,
18]. Для ЛАХ Lк (рис. 2.6, б) принципиальная электрическая схема КЗ имеет вид, показанный на рис. 2.7, б. Передаточная функция
этого звена определяется в виде
Wк ( p) =
Z OC ( p)
,
Z1( p)
где Z OC ( p) и Z1( p) – комплексные сопротивления ОС и входной
цепи операционного усилителя.
В рассматриваемом случае
Wк ( p) =
R 3 (R 4C2 p + 1) [(R 2 + R1)C1 p + 1]
⋅
.
R1 [(R 3 + R 4 )C2 p + 1](R 2C1 p + 1)
Обозначив
R 4C2 = T2, (R 2 + R1)C1 = T3,
R3
= kк ,
R1
R 2C1 = T4, (R 3 + R 4 )C2 = T1, получаем передаточную функцию
52
(2.11)
Wк ( p) = kк
(T2 p + 1)(T3 p + 1)
,
(T1 p + 1)(T4 p + 1)
соответствующую ЛАХ Lк на рис. 2.6, б.
Для определения параметров КЗ к уравнениям (2.11) следует добавить еще одно для определения k∞ :
Wк ( jω → ∞) = k∞ =
R 3 R 4 ( R1 + R 2 )
.
R1R 2 (R 3 + R 4 )
Полученная система нелинейных алгебраических уравнений решается итерационными методами.
Место включения дополнительных ОС выбирается проектировщиком из соображений удобства получения входного сигнала, а также суммирования выходного сигнала КЗ с сигналом прямой цепи
ЭП. Методику синтеза КЗ рассмотрим на примере системы, структура которой показана последовательным соединением звеньев с передаточными функциями W1( p), W2 ( p), W3 ( p) . Пусть местная ОС
охватывает звено с передаточной функцией W2 ( p) (рис. 2.8)
Передаточная функция разомкнутого ЭП имеет вид
W ( p) =
W1( p)W2 ( p)W3 ( p)
.
1 + WOC ( p)W2 ( p)
Очевидно, WOC ( p) должна выбираться так, чтобы выполнялось
условие
W ( p) = Wж ( p).
Следовательно, можно записать
Wж ( p) =
W1(p)
Wр ( p)
1 + Wж ( p)W2 ( p)
W2(p)
,
(2.12)
W3(p)
WОС (p)
Рис. 2.8. Структурная схема ЭП с местной корректирующей ОС
53
где
Wр ( p) = W1( p)W2 ( p)W3 ( p).
Из (2.12) следует
где
Lж = Lр − L1, (2.13)
Lж = 20lg Wж ( jω) ; Lр = 20lg Wр ( jω) ;
L1 = 20lg 1 + WOC ( jω)W2 ( jω) . (2.14)
Пользуясь специальной таблицей [12], по виду L1 можно построить
L1′ = 20lg WOC ( p)W2 ( p) .
Зная L1′ , легко определить ЛАХ местной ОС
LOC = L1′ − L2,
где
LOC = 20lg WOC ( jω) , L2 = 20lg W2 ( jω) .
Заметим, что при L1 > 11 дБ можно принять L1′ = L1 . Далее, как
обычно, по виду LOC определяется передаточная функция WOC ( p)
и по таблицам [см. § 2.3] подбирается КЗ.
Для следящих ЭП характерно использование тахогенератора
с включенным последовательно пассивным КЗ в качестве корректирующей ОС. Эффективность этого способа коррекции привела
к тому, что промышленностью выпускаются специальные ИД с ТГ
в одном корпусе.
Выше был изложен классический, наиболее часто применяемый
метод синтеза линейных систем с использованием аппарата логарифмических частотных характеристик. Некоторые другие методы синтеза, применяемые для синтеза линейных и нелинейных
систем, будут рассмотрены далее.
2.1.3. Синтез корректирующего звена в нелинейной системе
Аппарат ЛХЧ является простым средством линейной теории
регулирования. Многие расчеты нелинейных систем, в частности
основанные на гармонической линеаризации (ГЛ) нелинейностей,
могут быть также переложены на язык ЛХЧ.
54
Однако, добиваясь наибольшей простоты расчета, будем здесь
вместо коэффициента усиления q(a) гармонической линеаризации
применять эквивалентный коэффициент усиления k(x) нелинейного звена в виде
k(x) =
F(x)
,
x
где x и F(x) – входная и выходная координаты нелинейности. Представим, что на вход нелинейности F(x) поступает сигнал x(t) в виде
прямоугольных импульсов с амплитудой a (рис. 2.9).
Из этого рисунка видно, что на выходе нелинейного звена получим тоже прямоугольные импульсы, но уже с другой амплитудой
A=k(a)*a. Поэтому K(a) можно назвать коэффициентом прямоугольной линеаризации. Большое преимущество этого коэффициента K(a) в отличие от общеизвестного коэффициента гармонической линеаризации q(a) состоит в простоте его вычислений:
k(a) =
F(a)
.
a
Кроме того, вычисления показывают, что значения k(a) и q(a)
для многих типовых нелинейностей отличаются друг от друга всего на несколько процентов [24], что вполне приемлемо для приближенных расчетов.
Рассмотрим методику применения прямоугольной линеаризации для синтеза нелинейной системы с использованием аппарата
ЛХЧ.
F(a)
A
F(x)
arctg(x)
0
x
a
0
0
t
x
t
Рис 2.9. Алгоритм формирования сигнала на выходе НЭ
55
Пусть стоит задача синтеза управления в замкнутой системе,
в состав которой входят два элемента: усилитель, выходная координата которого связана с входной нелинейной зависимостью F(x)
(см. рис 2.9) и исполнительный механизм с передаточной функцией WИМ(p) (рис. 2.10).
Зададимся передаточной функцией исполнительного механизма
k
WИМ ( p) = 2 ИМ
.
a0 p + a1 p + 1
Пусть kИМ = 10, а0 = 0,01, a1 = 0,1, х = 1,3, xm = 13, F0 = 13.
Если известны требования к системе управления, то синтез управления должен выполняться в следующей последовательности:
1. Найдем желаемую ЛЧХ системы (Lж), обеспечивающую желаемые свойства разрабатываемой системы. Для этого воспользуемся рекомендациями, данными в гл. 2 настоящего пособия. На
рис. 2.11 желаемая ЛЧХ представлена в виде ломаной с наклонами
0-2-1-2.
2. Построим амплитудные ЛЧХ располагаемой системы (Lp), разомкнутой по главной ос. Отметим, что согласно рисунку передаточная функция располагаемой системы равна:
Wp ( p) = k(x)WИМ ( p).
Коэффициент k (x) постоянен, пока x≤ x1, и переменен в тех
случаях, когда x > x1, т. е.
F0

 k1 = x , если x ≤ x1,
1
k(x) = 
k(x) = F(x) , если x > x1.

x
(2.14)
F(x)
α1
+
–
F0
–x max
α
xmax
WИМ(р)
tg(α) = k(x)
Рис. 2.10. Структурная схема привода с нелинейностью
56
α2
Рассмотрим Lp для двух случаев. Сначала рассмотрим случай
x≤ x1, тогда величина k(x) максимальная. Соответственно, Lp также занимает наивысшее положение (Lp1 на рис. 2.11).
Затем построим Lp для случая, когдаx≥ x1 и, в частности, может достигать величины xmax. Построив асимптотическую ЛХЧ,
получим ломаную Lp max.
Область между Lp1 и Lp max является областью вариации ∆Lp, в
которой будет находиться Lpi, если соответствующая случаю ошибка управления xi примет некоторое i-е, промежуточное между x1 и
xmax, значение.
3. ������������������������������������������������������
Получим амплитудное ЛЧХ управления в системе или, иными словами, корректирующего звена. Для этого необходимо из желаемой ЛХЧ вычесть ЛХЧ располагаемой системы
Lк=Lж–Lp.
Поскольку Lж одна, а Lp много, и все они расположены в области вариации ∆Lp, то и Lк, т. е. амплитуда ЛЧХ корректирующего
звена, будет в виде множества, расположенного в области вариации
∆Lк, как это показано на рис. 2.11. Все они будут иметь одну и ту же
передаточную функцию
k (T p + 1)
Wк = к к1
,
Tк2 p + 1
хотя параметр kк – коэффициент усиления, будет переменным.
Этот коэффициент усиления будет функцией значения xi на входе
нелинейности F(x).
Lкmax(x > x1)
L, дБ
Lк1( x ≤ x1)
60
40
20
0
0,1
10
100
1000
ω
Lж
Lpmax(x > x1)
Lр1 ( x ≤ x1 )
Рис. 2.11.Определение области вариации коэффициента передачи корректирующего звена
57
В частности, из рис. 2.11 следует, что
в рассматриваемом выше примере Тк1=
=1,0 с, Тк2 = 0,01 с.
Что касается kк, то в общем случае
он вычисляется по выражению
Начало
k(x) =
kк =
F0
k1
kж
k1kИМ
x > x1
Нет
Да
kк =
Wк =
kж
xi
F0kИМ
kк (T1 p + 1)
(T2 p + 1)
Конец
Рис. 2.12. Алгоритм вычисления kк
k
kж
kк = ж =
,
(2.15)
kр k(x)kИМ
где kж – коэффициент усиления желаемой ЛЧХ, рассчитываемой исходя из требований к системе управления; kр – коэффициент усиления разомкнутой располагаемой системы;
kИМ – коэффициент усиления исполнительного механизма; k(х) – коэффициент прямоугольной линеаризации нелинейной зависимостью F(x),
вычисляемой по выражению (2.14).
Реализовать вычисления kк по выражениям (2.14) и (2.15) удобнее всего на микроконтроллере по алгоритму, приведенному на рис. 2.12.
Приведенный алгоритм может быть
реализован и на аналоговой технике и
в пакете Matlab (Simulink).
Изложенная методика синтеза кз
может быть использована и в нелинейных системах с другими типами нелинейностей F(x), для которых применима прямоугольная линеаризация.
§ 2.2. Подчиненное регулирование в электроприводе
Принцип подчиненного регулирования в современном электроприводе получил большое распространение. По этому принципу на
вход каждого регулятора (с передаточными функциями Wр1( p),
Wр2 ( p), …, Wрn ( p) координаты внутреннего контура поступает задающий сигнал с предыдущего внешнего контура (рис. 2.13).
Таким образом, каждый внешний контур является задающим
органом для последующего внутреннего.
Рассмотрим этот принцип подробнее на примере более простой
структуры, изображенной на рис. 2.14.
58
+
–
Wрn(p)
+
–
Wр1(p)
W1(p)
Wn(p)
Рис. 2.13. Общая структурная схема с подчиненным регулированием
Проанализируем поведение координаты α 2. В режиме статики
значение этой координаты примерно равно величине α 1. В режиме динамики отклонение от α 1 определяется качеством регулятора
Wр1( p). Следовательно, при достаточно совершенном регуляторе
величина α 1 диктует контуру желаемый уровень α 2 (т. е. подчиняет себе этот контур, отсюда термин «подчиненное регулирование»).
При этом передаточная функция регулятора подбирается так,
чтобы при его включении последовательно со звеном системы
W1( p) была бы скомпенсирована большая постоянная времени.
Такая стратегия реализуется по отношению к каждому из внутренних контуров.
В системах подчиненного регулирования используются регуляторы четырех типов:
– пропорциональные (П) с передаточной функцией
Wр ( p) = kп;
– интегральные (И) с передаточной функцией:
1 kи
Wр ( p) =
= ;
Tp p
– пропорционально-интегральные (ПИ):
(1 + T1 p) kи
=
+ kп ;
Wр ( p) =
T0 p
p
α1
+
–
Wр1(p)
W1(p)
α2
Рис. 2.14. Исходная структурная схема
59
– пропорционально-интегродифференциальные (ПИД):
k
(1 + T1 p)(1 + T2 p) kи
=
+ kп + д .
Wр ( p) =
T0 p + 1
p
p
В приведенных выше выражениях kи,kп,kд – коэффициенты
усиления интегрального, пропорционального и дифференциального регуляторов соответственно.
Рассмотрим последовательность синтеза регуляторов в подчиненных системах электропривода на примере электропривода с
двигателем постоянного тока, питаемого от тиристорного или транзисторного преобразователей.
Разомкнутая структурная схема такого преобразователя приведена ниже (рис. 2.15). Она не учитывает обратной связи по противоЭДС двигателя. При этом естественно вносится погрешность. Однако такое пренебрежение не приводит к существенному искажению
в расчете динамики привода [8, 25].
На рис. 2.16 показана схема замкнутой системы с регулятором
тока Wр.т ( p) и скорости Wр.с ( p), с задаваемой входной координатой ωз и выходной ωд координатой.
U
1
1 + Tп P
1
1 + Tя P
1
Tм P
E
kд
ωд
Рис. 2.15. Разомкнутая схема: kд – коэффициент усиления двигателя,
постоянные времени преобразователя, цепи якоря и механическая соответственно; U – напряжение на входе; ωд – угловая
скорость вращения двигателя
ωз +
Wр.с(p)
–
+
Wр.т(p)
–
1
1 + Tп P
1
1 + Tя P
Рис. 2.16. Система с регуляторами скорости и тока
60
kд
Tм P
ωд
В первую очередь выполним синтез регулятора тока. Исходная
передаточная функция контура тока в соответствии со схемой может быть записана так
Wт ( p) =
1
;
(1 + Tп P)(1 + Tя P)
где Tп – постоянная времени широтно-импульсного преобразователя (ШИП); Tя – постоянная времени якорной обмотки двигателя.
Желаемая результирующая передаточная функция при включении регулятора тока должна скомпенсировать большую постоянную времени ( Tп < Tя ) и будет иметь вид
Wрез ( p) =
1
,
(1 + Tя P)Tт P
где Tт – постоянная времени регулятора тока.
Отсюда сам регулятор должен обладать передаточной функцией
Wр.т ( p) =
(1 + Tя P)
,
Tт P
Для обеспечения динамических свойств, соответствующих «техническому оптимуму», примем Tт = 2Tпkд. Такая система должна
обладать минимальным временем переходного процесса при показателе колебательности примерно равным 0,7 [8] и перерегулировании σ ≈ 5 %:
Wрез ( p) =
1
.
(1 + Tп P)2Tп P
Тогда после замыкания контура тока получим
Wз.т ( p) =
1
.
1 + 2Tп P + 2Tп2P 2
(2.16)
Выражение (2.16) представляет собой передаточную функцию
колебательного звена с постоянной времени 2Tп и параметром затухания ξ = 0,707.
Пренебрегая членом, содержащим квадрат малой постоянной
Tп, можем записать
Wз.т ( p) =
1
.
1 + 2Tп P
61
Перейдем к синтезу регулятора скорости Wр.с ( p). Для разомкнутого контура до введения регулятора
kд
Wрез ( p) =
,
(1 + 2Tп P)Tм P
где kд =
1
; Tм – механическая постоянная времени двигателя и
СФ
Tм > Tп.
Теперь 2Tп представляет собой малую некомпенсируемую постоянную времени контура скорости. После введения регулятора
скорости необходимо получить
Wрез ( p) =
1
,
(1 + 2Tп P)Tс P
Tм
.
kд
Отсюда сам регулятор скорости должен иметь передаточную
функцию
где Tс <
Wр.с ( p) =
Tм
.
Tс
Этому выражению соответствует регулятор пропорционального
типа.
Тогда, принимая Tс = 4Tпkд, т. е. задавая системе динамику
«технического оптимума», получим
Wр.с ( p) =
Tм
.
4Tп K д
Следовательно, для замкнутого контура скорости имеем:
Wз.с ( p) =
1
1
=
,
1 + 4Tп P(1 + 2Tп P) 8Tп2P 2 + 4Tп P + 1
с характеристическим уравнением
8Tп2P 2 + 4Tп P + 1 = 0.
Собственная частота для всей двухконтурной системы
ω соб =
62
1
8Tп2
=
1
.
2 2Tп
Система, при синтезе которой соотношение постоянных времеT
T
ни a = т = с в передаточных функциях регуляторов тока и скоTп 2Tп
рости равно двум, рассматривается как система, настроенная на
оптимум по модулю, или технический оптимум. Эта настройка наиболее часто используется на практике. Принимая a > 2, получим
систему с меньшим быстродействием, процессы в которой приближаются к апериодическим. При a = 4 переходные процессы становятся апериодическими с ξ = 1.
Соответствующие кривые реакции контура управления на единичный скачок при различных значениях a показаны на рис. 2.17.
Аналогично может быть синтезирована следящая система (рис.
2.18), в которой третьим контуром является контур положения.
Uвых / Uвх
1,4
1,6
1,2
2
a = 1,2
1,0
0,8
3
0,6
4
0,4
0,2
0
2
4
6
8
t/T
Рис. 2.17. Реакция контура управления на единичный скачок
ϕз +
Wр.п(p)
–
+
Wр.с(p)
–
+
Wр.т(p)
–
1
1 + Tп P
kд
Tм P
kд
1 + Tя P
1
iP
ϕд
Рис. 2.18. Следящая система
63
§ 2.3. Реализация корректирующих устройств на аналоговых
элементах
В табл. 2.1 приведены основные варианты реализации корректирующих звеньев с использованием аналоговых элементов.
Таблица 2.1. Варианты аналоговых корректирующих звеньев
№
п/п
Передаточная функция
W ( p) = −
1
W ( p) = −
k=
2
y( p)
x( p)
k(Tp + 1)
p
1
T = R1C2
R1C2
W ( p) = −
kp
Tp + 1
k = R2C1 T = R1C1
3
k=
4
k(T1 p + 1)
T2 p + 1
W ( p) = −
R2
T1 = R1C1 T2 = R2C2
R1
W ( p) = −
k
(T1 p + 1) p
T = RC1 k =
C∗ =
5
C2
2
W ( p) = −
k=
1
RC2
C∗ = 2C1
k(T1 p + 1)
T p + 2ξTp + 1
2 2
R3
T1 = 2R2C2
R1
2
T 2 = R3R2C2 2ξT = 2R2C2
64
Корректирующее звено
Продолжение табл. 2.1
6
W ( p) = −
k=
k
(T1 p + 1)(T2 p + 1)
R2
T1 = R1C1
R1
C2
2
C∗ = 2C1 R ∗ = 2R2
T2 = R2C2 C∗ =
7
W ( p) = −
k=
k(T1 p + 1)
(T2 p + 1)(T3 p + 1)
R2
T1 = nR1C1
R1
T2 = R1C1 T3 = R2C2
C2
C∗ = 2C1
2
C∗ =
R ∗ = 2R2 R ∗∗ =
8
W ( p) = −
2R1 ∗∗ nC1
C =
2
n
kp
(T1 p + 1)(T2 p + 1)
k = R2C1 T2 = R2C2
T1 = R1C1
9
W ( p) = −
k=
k(T1 p + 1)(T2 p + 1)
p
1
T1 = R1C1 T2 = R2C2
R1C2
§ 2.4. Пример проектирования привода
2.4.1. Исходные данные
Допустим, что в задаче проектирования использованы следующие исходные данные:
Назначение привода – привод платформы.
Сведения о параметрах нагрузки:
– активный статистический момент Mcт = 90 Нм,
– момент сухого трения Мт = 18,0 Нм,
65
– момент инерции нагрузки Iн = 38,0 кг·м2,
– максимальный угол поворота αmax = 1,3 рад,
– наибольшая угловая скорость Ωmax = 1,4 с–1,
– наибольшее угловое ускорение εmax = 0,8 с–2,
Требования к качеству работы привода:
– допустимая статическая ошибка хp = 0,0015 рад,
– допустимая гармоническая ошибка хg = 2,92·10–3 рад,
– показатель колебательности M = 1,1.
Сведения об электрическом источнике питания:
– 27 В постоянного тока;
– 115 В переменного тока частотой 400 Гц;
– 220 В переменного тока частотой 50 Гц.
Тип передаточного механизма: зубчатый.
Тип усилителя мощности: транзисторный.
Функциональная схема привода приведена на рис.1.1. В соответствии с данной функциональной схемой необходимо выбрать
конкретные элементы.
2.4.2 Выбор исполнительного двигателя
По исходным данным с учетом параметров нагрузки привода определяем мощность Ртр, требующуюся для преодоления некоторого
среднеквадратического момента Мск, характеризующего тепловой
режим ИД:
Ω
J ε
Pтр = 2 max
M н2j + н max
M н2j ,
aΩ
η 2
∑
∑
где
∑
2
2
2
2
2
 J ε

M
 M  q Ω
 k α
M н2j =  max  +  ст  +  н max  +  ш max  +  н max  .
 ηη 0   ηη 0   2 2   η 2   η 2 
В данном случае получаем Мнj = 109,7 Нм; Ртр = 30,7 Вт.
По имеющимся в каталоге двигателям выбирается ИД, у которого согласно выражению (1.1) PN ≥ Pтр . В нашем случае выбираем
двигатель МИГ 180А с номинальной мощностью РN = 180 Вт и номинальной скоростью ΩN = 300 рад/с.
Передаточное отношение редуктора определяется следующим
образом:
i=
66
ΩN
300
=
= 210.
Ω max 1,4
2.4.3. Расчет основных параметров редуктора
Число пар зубчатых колес определяется по формуле
n=
lg i
= 3,87.
lg(3·5)
Значение n округляем до ближайшего меньшего. Затем определяется передаточное число пар зубчатых колес из соображений
минимальности момента инерции редуктора. Поэтому передаточные числа первых двух пар выбираются в пределах 2–3, а третьей и
последующих – в пределах 4–8.
В связи с конструктивными особенностями n берем равным 4.
Число зубьев ведущих зубчатых колес z1,3,5,7 = 15 шт.
Для определения числа зубьев остальных колес воспользуемся
формулой:
z2 j = i j z2 j −1.
Таким образом: z2 = 2·15 = 30 шт., z4 = 3·15 = 45 шт., z6 = 5·15 =
75 шт., z8 = 7·15 = 105 шт.
Модуль определяется следующим выражением:
8·913,5
m=3
= 2,13·10 −3 м.
8·900·10 6 ·105
По полученному значению модуля определяем диаметры зубчатых колес:
d1,3,5,7 = 2,13·10–3·15 = 0,032 м,
d2 = 2,13·10–3·30 = 0,064 м,
d4 = 2,13·10–3·45 = 0,096 м,
d6 = 2,13·10–3·75 = 0,16 м,
d8 = 2,13·10–3·105 = 0,224 м.
ωн
ωд
ИД
Рис. 2.19. Кинематическая схема редуктора
67
Ширина зубчатых колес
b = 8·2,13·10–3 = 0,017 м.
Определим момент инерции редуктора
Jq =
+
4
4
3,14 ⋅ 17 ⋅ 10 −3 ⋅ 7,8 ⋅ 10 3 
2 0,064 + 0,032
+
 0,032 +
2
32
2

0,096 4 + 0,032 4 0,16 4 + 0,032 4
0,224 4
+
+ 2 2 2 2 = 1,28 ⋅ 10 −4 кг·м 2.
2
2
2
2
2
2 ⋅3
2 ⋅3 ⋅5
2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅7
Кинематическая схема редуктора изображена на рис. 2.19
2.4.4. Передаточная функция исполнительного механизма
Для определения математической модели привода платформы
необходимо учитывать конечную жесткость, поэтому выбираем
структурную схему с упругим валом (см. рис. 1.4). В соответствии с
выражениями, приведенными в § 1.4, для данной схемы вычислим
передаточную функцию исполнительного механизма
kм =
4,35
= 0,16; kн = 0,064.
24
Передаточная функция ИМ имеет следующий вид:
kИМ
α( p)
WИМ ( p) =
=
,
U( p) a0 p 3 + a1 p 2 + a2 p + 1 p
(
)
где
β=
M п − M N 4,35 − 0,573
=
= 0,0126;
ωN
300
kИМ =
a0 =
a1 =
J′д J н
2
C уβ i η
Mп
4,35
=
= 0,061;
U Nβi 27 ⋅ 0,0126 ⋅ 210
=
105,58 ⋅ 38
= 9,64 ⋅ 10 −4;
500 ⋅ 0,0126 ⋅ 210 2 ⋅ 0,95
J′ + J
J н 38
105,58 + 38
= 0,085.
=
= 0,076; a2 = д 2 н =
C у 500
βi η
0,0126 ⋅ 210 2 ⋅ 0,95
Определим корни данной передаточной функции
р1 = 0; р2 = –77,885; р2,3 = –0,479±3,618j;
68
WИМ =
=
0,061
(9,64·10 −4 p 3 + 0,076 p 2 + 0,085 p + 1)p
=
0,061
.
p (0,013 p + 1)(0,075 p 2 + 0,072 p + 1)
Так как корни являются комплексными, то мы имеем колебательное звено, для которого показатель колебательности ξ = 0,131,
а постоянные времени Т1 = 0,013 с; Т2 = 0,274 с.
2.4.5. Измеритель рассогласования
Так как задан ограниченный угол поворота αmax = 1,3 рад, выбираем компенсационную схему построения измерителя рассогласования на вращающихся трансформаторах (см. рис. 1.10), так как
они являются более точными, чем потенциометрические ПИП. В
соответствии с выражениями (1.14)–(1.16) получаем:
хдоп = хр + хg = 1,46·10–3 + 2,92·10–3 = 4,38·10–3рад,
x и.доп =
4,38 ⋅ 10 −3
= 1,46 ⋅ 10 −3 рад,
3
x рд,п =
0,05
1,3 = 6,5 ⋅ 10 −4 рад,
100
хи = 9,2·10–4рад.
Выбираем ИР: датчик – ЛШЗ.010.391-Д,
ЛШЗ.010.390-П, которые удовлетворяет условию
хи ≤ хи.доп,
приемник
–
9,2 ⋅ 10 −4 ≤ 1,46 ⋅ 10 −3.
Из таблицы параметров ИР [8], построенного на соответствующих ВТ, следует, что
kир = 1,5 мВ/мин.
Поскольку в разрабатываемом электроприводе обратная связь
замыкается по скорости, а ИР на ВТ является безынерционным
звеном, передаточная функция будет иметь вид:
Wи(р) = kи = 1,5.
2.4.6. Статический расчет
В соответствии с выражениями, приведенными в § 1.6, рассчитаем напряжение трогания двигателя
69
U тр =
109,7·27
= 3,242 В.
210·4,35
Коэффициент усиления определяется выражением
3,242
kу =
= 1,48·10 3.
1,46·10 −3 ·1,5
Передаточная функция транзисторного усилительного устройства при некоторых допущениях может быть представлена в виде:
Wу = kу = 1,48·10 3.
2.4.7. Динамический расчет
Структурная схема привода, построенного на выбранных элементах, приведена на рис. 1.14.
Передаточная функция разомкнутого привода будет иметь вид
1,5·1,48·10 3 ·0,061
=
p(0,013 p + 1)(0,075 p 2 + 0,072 p + 1)
135,42
=
.
p(0,013 p + 1)(0,075 p 2 + 0,072 p + 1)
Wраз =
Bode Diagram
From: Input Point To: Output Point
Magnitude, dB
100
50
0
–50
–100
–150
Phase (deg)
–200
–90
–180
–270
–360
101
100
101
102
Frequency (rad/s)
Рис. 2.20. ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы
70
10 3
104
Step Response
From: Input Point To : Output Point
6
Amplitude
5
4
3
2
1
0
0
0,05
0,1
0,15
0,2
Time (sec)
0,25
0,3
0,35
0,4
Рис. 2.21. Переходный процесс в замкнутой системе
Далее построим логарифмические частотные характеристики
разомкнутого привода (рис. 2.20): ЛАХ L(ω) и ЛФХ j(ω).
По построенным ЛАХ и ЛФХ определяем, что ωс = 14 с–1, система неустойчива, так как запас по фазе ∆γ отсутствует, фазовая
характеристика стремится к 360°.
Окончательной проверкой свойств привода, построенного на
выбранных элементах, является расчет переходных процессов
(рис. 2.21).
График свидетельствует о неустойчивости исходной системы,
следовательно, требуется коррекция.
2.4.8. Построение желаемых логарифмических
характеристик
Желаемые ЛАХ и ЛФХ строятся в соответствии с теорией, приведенной в п. 2.1.1. Для этого произведем основные расчеты по
формулам (2.1)–(2.5):
0,8
ωк =
= 0,57 c −1,
1,4
α max =
1,4 2
= 2,45 рад,
0,8
71
 2,45 
L (ω к ) = 20lg 
= 58,2 дБ,
−3 
 3·10 
ω0 =
0,8
= 16,3 c −1,
−3
3·10
1,1
16,3 = 54,06 c −1.
1,1 − 1
ωc =
Через точку ωс проводят участок ЖЛАХ с единичным наклоном,
ограниченный слева частотой:
ω2 ≤
+
1,1 − 1
54,06 = 4,9 c −1,
1,1
Wж ( p) =
–
800 (0,2 p + 1)
p (1,75 p + 1)(0,05 p + 1)(0,001 p + 1)
Рис. 2.22. Структурная схема ЭП
From: Input Point To: Output Point
Magnitude (dB)
150
100
50
0
–50
–100
–150
Phase (deg)
–200
–90
–180
–270
–360
10 –2
10–1
100
101
10 2
Frequency (rad/sec)
103
Рис. 2.23. Желаемые ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы
72
10 4
105
а справа – частотой
ω3 ≥
1,1 + 1
54,06 = 103,2 c −1.
1,1
Запретная область в высокочастотной части ЖЛАХ сохраняется с таким же наклоном, как у РЛАХ, но она не должна заходить
в запретную область, образованную асимптотой с единичным наклоном, пересекающей ось частот в точке ω = ωс, и горизонтальной
прямой, соответствующей
1,1
L (ω) = 20lg
= −5 дБ.
1,1 + 1
Передаточная функция ЖЛАХ
Wж =
800 (0,2 p + 1)
.
p (1,75 p + 1)(0,05 p + 1)(0,001 p + 1)
В результате получим структурную схему ЭП (рис. 2.22).
Желаемые ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы показаны на
рис. 2.23.
2.4.9. Синтез корректирующих звеньев
В данном примере рассмотрен вариант последовательной коррекции, т. е. коррекции в прямой цепи привода. Способ определения структуры последовательного КЗ следует непосредственно из
выражения (2.10). Получаем Lк путем вычитания из желаемой характеристики реальной (рис. 2.24):
Wк ( p) =
Wк ( p) =
(T2 + T)(T3 + 1)(T5 p 2 + T6 p + 1)
,
(T1 p + 1)(T4 + 1)(T7 + 1) 2
(0,2 p + 1)(0,013 p + 1)(0,075 p 2 + 0,072 p + 1)
.
(1,75 p + 1)(0,005 p + 1)(0,001 p + 1) 2
Корректирующее устройство реализуется на двух последовательных схемах:
1. Передаточная функция КЗ1 (см. рис. 2.7, б) имеет вид:
W1( p) =
T1 =
k(1 + T2 p)(1 + T3 p)
,
(1 + T1 p)(1 + T4 p)
1
1
= 1,75 с, T2 =
= 0,2 с,
ω1
ω2
73
Bode Diagram
Magnitude (dB)
80
60
40
20
0
–20
–40
225
Phase (deg)
180
135
90
45
0
–45
–90
–2
–1
10
10
0
1
2
10
10
10
Frequency (rad/sec)
3
10
4
10
Рис. 2.24. ЛАХ и ЛФХ коррекции
T3 =
1
1
= 0,013 с, T4 =
= 0,005 с.
ω3
ω4
С численными значениями она принимает вид:
W1 ( p ) =
(0,2 p + 1)(0,013 p + 1) .
(1,75 p + 1)(0,005 p + 1)
Передаточная функция этого звена определяется в виде:
W1 ( p ) =
R 6 (R7C2 p + 1)(R 4 + R5 )C1 p + 1
,
R5 (R 6 + R7 )C2 p + 1 (R 4C1 p + 1)
Расчетные соотношения для звена будут иметь следующий вид:
k=
74
R6
,
R5
T1 = (R 6 + R7 )C2, T2 = R7C2,
T3 = (R 4 + R5 )C1, T4 = R 4C1.
Отсюда:
C1 =
T3 − T4
T − T2
, С2 ≤ 1
;
R5
kR вх.доп
R 6 = kR5, R7 =
T2
T
, R4 = 4 .
C2
C1
Округленные до стандартных значений вышеприведенные параметры имеют следующий вид:
k = 1;
R вх.доп = R5 = R 6 = 10 кОм, R4 = 6,25 кОм, R7 = 0,03 кОм;
C1 = 0,0008 мкФ, C2 = 0,15 мкФ.
2. Передаточная функция КЗ2 (см. рис. 2.25) имеет вид:
W2 ( p) =
(T5 p 2 + T6 p + 1)
,
(T7 p 2 + T8 p + 1)
где
T5 =
T7 =
1
1
= 0,075 с, T6 =
= 0,072 с,
ω5
ω6
1
1
= 0,000001 с, T8 =
= 0,002 с.
ω7
ω8
С численными значениями она принимает вид:
W2 ( p) =
(0,075 p 2 + 0,072 p + 1)
.
(0,000001 p 2 + 0,002 p + 1)
Корректирующее звено определяется двумя передаточными
функциями W1( p) и W2 ( p), которые имеют вид:
W1( p) =
R15
k1k2
1
1
=
,
R13 R15C4 p + 1 R12C3 p + 1 (Tp + 1) p
75
R10
R9
DA1
R11
R12
R13
W1(p)
DA2
I
DA3
C3
I
C4
R14
R15
R16
R17
I
DA4
W2(p)
Рис. 2.25. Принципиальная электрическая схема последовательного КЗ2
k1k2
k1k2
(Tp + 1)
.
W2 ( p) =
=
2
kkk
1 + 1 2 3 Tp + p + k1k2k3
(Tp + 1)
Расчетные соотношения для звена будут иметь следующий вид:
k1 =
R15
1
, T = R15C4,
, k2 =
R12C3
R13
k3 =
R15
R
R
; k4 = 10 ; k5 = 10 .
R14
R11
R9
Передаточная функция четырехполюсника, выраженная через
его параметры, имеет вид:
76
A 2 B
p + 3 +1
k3k5
k3
k3
W2 ( p) =
·
,
A
B
2
(k3 + k4 )
p +
p +1
k3 + k4
k3 + k4
где
A=
1
T
;
; B=
k1k2
k1k2
;
R R C R
C R R C R
k3k5
= 1; T5 = 4 13 12 3 14 ; T6 = 13 122 3 14 ;
R15
(k3 + k4 )
R15
T7 =
C4R12R13C3R14R11
R12R13C3R14R11
; T8 =
.
(R15R11 + R10R14 )
R15 (R15R11 + R10R14 )
Отсюда
C3 =
2
(T5 − T6 )R15
k
.
; R15 = k1R13; R10 = k4R11; R11 =
R10
R12R13R14 (C4R15 − 1)
Step Response
From: Input Point To: Output Point
1,4
System: LinearSys
I/O: Input Point to Output Point
Settling Time (sec): 0.193
Amplitude
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
Time (sec)
0,3
0,35
0,4
Рис. 2.26. Переходный процесс скорректированной системы
77
78
g(t)
Д
ПУ
1
2 R18
3
4
5
П
R 21
DA 1
R2
R1 VD1
R10
ПА
–40В к (2)
+ 15 V
G
к DA 1 – C3
C4
R19
DA 6
C5 VD6
R15
C6
U0
R 16
R 20 VD7
R 14
R
17
–15 В
+40 В к(1)
DA6
DA 3
R13
DA 4 R12 DA 5
R9
R 3 R8 DA 2R 11
R6
R5
R7
C1 R 4 C2
Рис 2.27. Принципиальная электрическая схема привода
Задающее
воздействие
~ 27
~115В,400Гц
~115В,400Гц
Корпус
(2)
(1)
+
Uз
∑+
U1
U2
UГ
UМ
Us
Р
Uk 4
Uk3
Uk2
РИ Uk1
VD3
VD4 VD5
ИД
VD2
Округленные до стандартных значений вышеприведенные параметры имеют следующий вид:
k1 = 1; k4 = 1;
k3 = 1; k5 = 2;
R9 = 0,03 кОм;
R10 = R11 = 0,06 кОм;
R12 = 0,5 кОм;
R13 = R14 = R15 = 10 кОм;
С3 = 0,007 мкФ;
С4 = 0,19 мкФ.
Переходный процесс скорректированной системы приведен на
рис. 2.26.
Из графика видно, что динамические процессы в скорректированной системе проходят в параметрах технического задания с учетом
времени переходного процесса tп = 0,19 с и перерегулирования σ =
= 19 %, что удовлетворяет требованиям, предъявленным к системе.
Принципиальная электрическая схема построена в соответствии
со структурой, приведенной на рис. 2.27.
Вопросы для самопроверки к главе 2
1. С какой целью строится ЖЛАХ привода?
2. На основании каких требований строится ЖЛАХ?
3. Как определяется базовая частота ЖЛАХ?
4. Какие параметры влияют на выбор частоты среза ЖЛАХ?
5. �����������������������������������������������������������
Как по частоте среза определить ориентировочное время переходного процесса?
6. Какие свойства привода описывает ЖЛАХ в области низких
частот?
7. Какие
��������������������������������������������������������
качества переходного процесса описывает ЖЛАХ в области средних частот?
8. �����������������������������������������������������
На какие параметры ЖЛАХ влияет показатель колебательности?
9. Как влияет момент сухого трения на первую сопрягающую
частоту ЖЛАХ?
10. �������������������������������������������������������
Какой наклон имеет ЖЛАХ в области низких частот для рулевого привода и привода стабилизированной скорости?
11. ������������������������������������������������������
Каким образом определяются вид и параметры КЗ в линейном электроприводе?
12. В какой точке прямой цепи помещается последовательное КЗ?
13. Что такое коэффициент прямоугольной линеаризации?
14. Какие регуляторы используются в системах подчиненного
регулирования?
79
ГЛАВА 3
Синтез регуляторов во временной области
§ 3.1. Классическая схема управления
Классическая схема управления с единичной обратной связью
показана на рис. 3.1, где приняты следующие обозначения: u(t) –
сигнал управления; y(t) – реальный выходной сигнал; g(t) – желаемый выходной сигнал; e(t) – ошибка управления.
Назначение регулятора заключается в коррекции динамических
свойств объекта управления с помощью управляющего сигнала u(t)
так, чтобы реальный выходной сигнал y(t) как можно меньше отличался от желаемого выходного сигнала g(t).
Для оценки динамических свойств системы часто рассматривается реакция на единичное ступенчатое воздействие. Переходный
процесс должен отвечать заданным показателям качества, к которым относятся время переходного процесса, перерегулирование,
колебательность и т. д.
Все методы синтеза регуляторов можно условно разделить на
две группы:
1) аналитические методы,
2) экспериментальные методы.
Аналитические методы опираются на точное описание объекта
управления, заданное в виде дифференциальных уравнений (уравнений состояния) или передаточной функции. Аналитические методы хорошо разработаны для объектов управления, обнаруживающих линейные свойства. К аналитическим методам относится
модальный синтез.
Экспериментальные методы предполагают реализацию некоторой процедуры подбора параметров регулятора, во время которой
процессы регулирования анализируются либо с помощью имитационной (компьютерной) модели, либо прямо на объекте управлеg(t)
+
u(t)
e(t)
–
Регулятор
Объект
управления
Рис. 3.1. Управление с отрицательной обратной связью
80
y(t)
ния. Экспериментальные методы более универсальны, так как не
накладывают дополнительных требований на математическое описание объекта управления. К экспериментальным методам можно
отнести методы синтеза ПИД-регуляторов (т. е. пропорциональноинтегродифференциальных) и нечетких регуляторов.
§ 3.2. Модальное управление
3.2.1. Метод пространства состояний
Практически все динамические объекты могут быть описаны с
помощью дифференциальных уравнений.
Метод пространства состояний позволяет исследовать системы
во временной области. Преимущества этого подхода обусловлены
тем, что он позволяет единообразно исследовать и одномерные, и
многомерные, и линейные, и нелинейные системы [25, 26].
Состояние системы – это совокупность таких переменных, знание
которых позволяет, при известном входе и известных уравнениях динамики, описать будущее состояние системы и значение ее выхода.
Уравнения состояний линейной системы имеют следующий общий вид:
 dX(t)
= AX(t) + BU(t),

(3.1)
 dt
 Y(t) = CX(t) + DU(t),
где X – вектор-столбец состояния [n×1]; А – матрица коэффициентов объекта [n×n]; В – матрица входа [n×m]; U – вектор входа [m×1];
Y – вектор выхода [k×1]; С – матрица выхода [k×n]; D – матрица
влияния входа непосредственно на выход системы [k×m].
Уравнениям состояния соответствует структурная схема, показанная на рис. 3.2.
A
U(t)
B
+
dX
dt
∫
X(t)
C
Y(t)
+
D
Рис. 3.2. Структура системы при описании в пространстве состояний
81
На практике часто рассматриваются скалярные системы (с одним входом и одним выходом). Матрица D обычно нулевая. Тогда
можно записать уравнения состояния в развернутом виде:
 x1(t)   a11 a12
d  x 2 (t)   a21 a22

=
dt  ...   ... ...
 x n (t)   an1 an2
y(t) = [c1
... a1n   x1   b1 
... a2n   x 2   b2 
   +   u(t),
... ...   ...  ... 
... ann   x n  bn 
 x1 
x 
c2 ... cn ] 2  .
 ... 
 x n 
При анализе систем в пространстве состояний важное значение
имеют понятия управляемости и наблюдаемости.
Система, описываемая матрицами А и В, является управляемой, если существует такое неограниченное управление U, которое
может перевести объект из начального состояния X(0) в любое другое состояние X(t).
Управляемость системы описывается условием:
rank B; AB; A 2B; ... A n −1B  = n.
Для системы с одним входом и одним выходом вводится понятие
матрицы управляемости (размером n×n):
B; AB; A 2B; ... A n−1B  .


Если детерминант этой матрицы отличен от нуля, то система управляема.
Система, описываемая матрицами А и С, является наблюдаемой
тогда и только тогда, когда существует конечное время Т такое,
что начальное состояние X(0) может быть определено в результате
наблюдения выходной переменной y(t), t∈T при заданном управлении u(t).
Наблюдаемость системы описывается условием
T
rank С; СA; CA 2; ... CA n −1  = n.
Для системы с одним входом и одним выходом матрица наблюдаемости (размером n×n) имеет вид:
T
С; СA; СA 2; ... СA n−1  .


82
Если детерминант этой матрицы отличен от нуля, то система наблюдаема.
В программном комплексе MatLab для формирования модели в
пространстве состояний используется функция ss :
>> sys = ss(A, B, C, D)
где A, B, C, D – матрицы модели.
Матрица управляемости может быть построена с помощью функции ctrb, которая может вызываться в одном из вариантов:
>> W = ctrb(A, B)
>> W = ctrb(sys)
>> W = ctrb(sys.A,sys.B)
Матрица наблюдаемости может быть построена с помощью функции �������������������������������������������������������
obsv���������������������������������������������������
, которая также может вызываться в одном из вариантов:
>> N = obsv(A, С)
>> N = obsv(sys)
>> N = obsv(sys.A,sys.С)
В пакете моделирования Simulink MatLab для описания объекта
в пространстве состояний имеется блок State Space.
3.2.2. Представление обыкновенного дифференциального
уравнения уравнениями состояния
Задача выбора переменных состояния в общем случае неоднозначна, однако для скалярных
u(t)
y(t)
систем существуют стандартные
W
алгоритмы перехода от дифференциального уравнения, описывающего систему, к уравнениям соРис. 3.3. Одномерная система
стояния.
Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом (рис. 3.3).
Связь между входом и выходом описывается соотношением
n
∑
i =0
ai p i y(t) =
m
∑ b j p ju(t),
j =0
где p – оператор дифференцирования.
Введем обозначения:
A =
n
∑ ai p i = an p n + an−1 p n−1 + ... + a1 p + a0,
i =0
83
B =
m
∑ bj p j = bm p m + bm−1 p m−1 + ... + b1 p + b0,
j =0
тогда можно записать:
 (t) = Bu
 (t),
Ay
 (t).
y(t) = A −1Bu
Вводя обозначение:
x(t) = A −1u(t),
имеем:
 (t) = Bu
 (t), или 
Ay


 (t) = u(t),
Ax

Bx(t) = y(t).
Пусть переменные состояния определяются соотношением:
x i +1 =
d ′
xi.
dt
Тогда можно записать:
x1(t) = x(t),



 x (t) = dx1(t) = dx(t) ,
2

dt
dt

2
dx
(
t
)
d
x(t)
2
 x 3 (t) =
=
,
2
dt
dt


...

dx n −1(t) dx n −1(t)
x n (t) =
=
,
dt
dt n −1


n
 dx n (t) = d x(t) .
 dt
dt n
Рассмотрим еще раз уравнение
 (t) = u(t)
Ax
в развернутом виде:
an p n + an −1 p n −1 + ... + a1 p + a0  x(t) = u(t),


откуда следует
84
dx n (t) 1
a
=
u(t) − n −1 x n (t) −
dt
an
an
–
a n −2
a
a
x n −1(t) − ... − 1 x 2 (t) − 0 x1(t),
an
an
an
окончательно в матричной форме получим:
 0
 x1(t)   0
 x (t)  
d 2   0
x 3 (t) =
dt  ...   ...

  a
x n (t)   − 0
 an
1
0
0
...
a
− 1
an
0
1
0
...
a
− 2
an
(3.2)
0 
0
x (t)
0   1   0 
x (t)
0  2   0 
 x 3 (t) +   u(t).
  ... 
...  
an −1   ...   1 
... −
x (t) 
an   n   an 
...
...
...
...
Такое представление уравнений состояния называется канонической формой Фробениуса, или канонической формой управляемости.
Рассмотрим еще раз уравнение
 (t) = y(t)
Bx
в развернутом виде:
bm p m + bm −1 p m −1 + ... + b1 p + b0  x(t) = y(t). 

(3.3)
Поскольку m ≤ n, можно положить m ≤ n при равенстве нулю
коэффициентов bi с индексами i > m. Тогда при использовании введенных переменных состояния из уравнений (3.2) и (3.3) следует:
y(t) = (b0 −
a0
a
bn )x1(t) + (b1 − 1 bn )x 2 (t) + ...
an
an
... + (bn −1 −
an −1
b
bn )x n (t) + n u(t).
an
an
Таким образом, в канонической форме управляемости уравнения состояния имеют вид:
 dX(t)
= AX(t) + Bu(t),

 dt
T

y(t) = C X(t) + ku(t),
где
85
 0
 0
 0
A=
 ...
 a0
−
 an
1
0
0
...
a
− 1
an
0
1
0
...
a
− 2
an
0 
0
0
0 

 
0
, B =  0 ,
... 
 ... 
an −1 
1 
... −
a 
an 
 n
...
...
...
...
a0


 b0 − a bn 
n


a
1
 b − b 
 1 an n 
 , k = bn .
C=
 b2 − a2 bn 
an
an




...


bn −1 − an −1 bn 
an


Рассмотрим пример. Пусть объект управления описывается передаточной функцией
y( p)
0,66 p + 0,66
= W ( p) = 2
,
u( p)
p + 1,33 p + 0,33
тогда
y( p)( p 2 + 1,33 p + 0,33) = u( p)(0,66 p + 0,66)
и, очевидно,
b2 = 0, b1 = 0,66, b0 = 0,66.
a2 = 1, a1 = 1,33, a0 = 0,33.
Уравнения состояния в канонической форме управляемости
приобретают вид:
 dx1(t) 
 dt   0
1   x1(t)  0 
 dx (t)  =  −0,33 −1,33 x (t)  + 1  u(t),

 2   
2


 dt 
 x (t) 
y(t) = [0,66 0,66] 1  .
x 2 (t) 
86
Кроме канонической формы управляемости существует каноническая форма наблюдаемости, в которой наиболее простой вид имеет матрица С.
В канонической форме наблюдаемости уравнения состояния
имеют вид:
 an −1
− a
n
(
)
x
t
 1   a
n
−2

d  x2 (t)   −
an

=
dt  ...  
...
 x n (t)   a
 − 0
 an

an −1 


0
 bn −1 − a bn 
n
  x1(t)  

a
n


0 1 ... 0  x2 (t)  bn −2 − −2 bn 

 u(t), (3.4)
an
+
...

... ... ... ...  x (t)  
...

 n 
 b − a0 b 
0 0 ... 0 

 0 an n 



1
1
y(t) = 
 an
0
...

b
0 0 ... 0  x(t) + n u(t). a
n

(3.5)
Таким образом, описанный алгоритм получения канонической
формы управляемости скалярной системы позволяет легко выполнять переход от описания системы, заданного передаточной функцией, к описанию в пространстве состояний.
Рассмотрим пример. Пусть задана передаточная функция
W ( p) =
p 3 + 12 p 2 + 5 p + 1
,
2 p 3 + 10 p 2 + 2 p + 1
здесь
b3 = 1, b2 = 12, b1 = 5, b0 = 1,
a3 = 2, a2 = 10 a1 = 2, a0 = 1.
Используя систему (3.4), (3.5), получаем:
 dx1 
 dt 
1 0   x1(t)   0 
 dx   0
 2= 0
0 1  x 2 (t)  +  0  u(t),
  
 dt   −0,5 −1 −5 
 x 3 (t)  0,5
 dx 3  
 dt 


 x (t) 
y(t) = [0,5 4 7 ] 1  + 0,5u(t).
x 2 (t) 
87
В программном комплексе MatLab для построения канонической
формы управляемости используется команда ctrbf. Например:
>> [A1,B1,C1,T,k] = ctrbf(A, B, C)
где A,B,C – исходные матрицы объекта; A1,B1,C1 – матрицы в
канонической форме управляемости; параметры T и k описывают
преобразование подобия.
Для построения канонической формы наблюдаемости используется команда obsvf. Например:
>> [A1,B1,C1,T,k] = obsvf(A,B,C)
Из модели в пространстве состояний можно получить ПФ командой:
>> w2 = tf(w1)
И, наоборот, если уже существует модель, заданная ПФ, то ее
можно преобразовать в пространство состояний с помощью команды ss:
>> w = tf([2 2],[3 4 1]);
>> w1 = ss(w)
Поскольку выбор переменных состояния неоднозначен, одной и
той же передаточной функции могут соответствовать разные модели в пространстве состояний, но при обратном переходе всем этим
моделям соответствует одна и та же передаточная функция.
3.2.3. Корневые оценки качества
Модой называется составляющая решения дифференциального
уравнения, соответствующая данному полюсу.
Например, если характеристическое уравнение имеет два вещественных корня λ1 и λ2, то решение состоит из двух слагаемых
(мод):
y(t) = C1e λ 1t + C2e λ 2t.
Расположение полюсов в основном определяет характер переходного процесса в системе. Обычно рассматриваются такие корневые оценки качества переходного процесса, как степень устойчивости, колебательность и затухание.
Для оценки быстродействия системы используется понятие степени устойчивости η, под которой понимается абсолютное значение
вещественной части ближайшего к мнимой оси корня (рис. 3.4, где
показан вариант, когда ближайшим к мнимой оси является вещественный корень (слева), и вариант, когда к мнимой оси ближе пара
комплексно-сопряженных корней (справа)).
88
Im
Im
η
η
Re
Re
Рис. 3.4. Понятие степени устойчивости
Корни, имеющие наименьшую по модулю вещественную часть,
дают в переходном процессе наиболее медленно затухающую составляющую.
Составляющая переходного процесса, обусловленная вещественным корнем η, имеет вид:
y η (t) = Cηe –ηt.
Пусть Δ – малое значение (0,01–0,05). Тогда в конце переходного процесса
y η (t) = Cη∆.
Следовательно:
Cη∆ = Сηe –ηt ⇒ ∆ = e –ηt ⇒
1
1
= ∆ ⇒ ln(e ηt ) = ln   ⇒
∆
e ηt
1 1
⇒ t = ln .
ѓ ∆Е
⇒
Эта формула позволяет оценить время переходного процесса tп.
При Δ = 0,05, получаем
1
1
3
tп = ln
≈ .
η 0,05 η
Если ближайшей к мнимой оси является пара комплексно-сопряженных корней η ± jβ, то их составляющая в переходном процессе описывается формулой вида:
y η (t) = Cηe –ηt sin(βt + ψ).
89
Здесь можно найти верхнюю границу времени переходного процесса, приняв условие sin(βt + ψ) = 1, тогда
3
tп =≤ .
η
Запас устойчивости системы оценивается колебательностью.
Система имеет склонность к колебаниям, если характеристическое
уравнение содержит комплексные корни η1,2= –α ± jβ.
Колебательность оценивается по формуле
µ=
β
.
α
Затухание является еще одной характеристикой переходного
процесса. Комплексные корни дают в переходном процессе составляющую
y(t) = Ce –αt sin(βt + ψ).
В момент t1 амплитуда колебаний
C1 = Ce –αt1 .
Период колебаний
T=
2π
.
β
Амплитуда колебаний через период
C2 = Ce
–α(t1 +
2π
)
β
= C1e
–2π
α
β
= C1e
–
2π
µ
.
Затуханием за период называют величину
2π
–
C – C2
C
ε= 1
= 1– 1 = 1– e µ .
C1
C2
Таким образом:
µ=
2π
.
1
ln
1– ε
По значению колебательности можно приближенно оценить перерегулирование
δ≤e
90
–
π
µ
·100 %.
3.2.4. Модальный синтез
Модальный синтез предполагает формирование таких обратных
связей по состоянию, при которых обеспечивается заданное расположение полюсов замкнутой системы.
Для объекта, заданного уравнениями (3.1), управление по состоянию описывается выражением:
U(t) = −KX(t), (3.6)
где K – вектор коэффициентов обратной связи.
Таким образом, система, замкнутая регулятором, приводится
к виду
dX(t)
= (A – BK )X(t). dt
(3.7)
Этому выражению соответствует рис. 3.5, где g(t) – задающее
воздействие.
Основная теорема модального управления гласит, что если линейная динамическая система (3.1) является управляемой, то линейная обратная связь может быть выбрана таким образом, что
матрица (А – ВK) будет иметь желаемый спектр (желаемое расположение корней).
При доказательстве этой теоремы используется каноническая
форма управляемости. Рассмотрим одномерную систему, для которой в уравнении (3.6)
K = [k1 k2,..., kn ].
A
g(t)
+
B
–
dX (t )
dt
+
U(t)
∫
X(t)
C
Y(t)
K
Рис. 3.5. Система с обратной связью
91
Заданному спектру соответствует характеристический полином
замкнутой системы
λI – A + BK = λ n + β n1λ n1 + ... + β 1λ + β 0. (3.8)
Этому полиному можно поставить в соответствие каноническую
форму матрицы замкнутой системы
1
0
 0
 0
0
1
A – BK = 
0
0
0

–
–
–
β
β
β2
1
 0
...
0 
...
0 
.
...
1 

... –β n1 
Рассматривая канонические формы матриц А и В исходной системы, можно записать:
1
0
 0
 0
0
1
 0
0
0

–
–
–
α
α
α
1
2
 0
...
0  0
...
0  0
+
[k k ,..., kn ] =
...
1  ... 1 2
  
... –α n–1   1 
0
1
0
0
0
1
=
0
0
0
–β 0 –β 1 –β 2
...
0
...
0
,
...
1
... –β n–1
откуда следует
ki +1 = α i – β i,
∀i = 0,n –1. (3.9)
Последняя формула справедлива при любых параметрах, поэтому теорему можно считать доказанной.
Таким образом, для решения задачи модального управления
нужно перевести модель произвольной структуры в каноническую
форму управляемости, после чего с помощью уравнения (3.5) получить коэффициенты обратной связи. Однако в реальной системе желательно использовать переменные состояния, отражающие
физическую сторону протекающих процессов, а не абстрактные
переменные состояния канонической формы, которые могут быть
недоступны для измерения. Аккерманом была предложена формула, позволяющая с помощью преобразования подобия перевести
модель произвольной структуры в каноническую форму управляемости, определить искомые коэффициенты K, а затем пересчитать
полученное решение применительно к исходной структуре.
Формула Аккермана имеет вид [27]:
92
K = [0 0 ... 0 1]B AB A 2B ... A n–1B 
× A n β n–1A n–1 ... β 1A β 0 I  .
–1
×
В пакете MatLab имеется функция acker, с помощью которой
можно обеспечить желаемое расположение полюсов одномерной
линейной системы (в соответствии с формулой Аккермана):
>>k=acker(A, B, P),
где А и В – матрицы системы; Р – вектор, задающий желаемое расположение полюсов системы.
Рассмотрим пример. Пусть система описывается матрицами
 0 1
A=
,
 −2 3
0 
B =  .
1 
Желаемые полюса заданы вектором
P = [−1 −3].
Тогда рассчитать значение коэффициентов обратных связей
можно с помощью команд
>>A=[0 1; -2 3];
>>B=[0; 1];
>>P=[–1 -3];
>>K=acker(A,B,P)
K=
1 7
Таким образом, управление в этом примере должно быть сформировано в виде:
 x (t) 
u(t) = −KX(t) = − [1 7 ] 1  = −x1(t) − 7x 2 (t). x 2 (t) 
(3.10)
Для многомерных систем в пакете MatLab имеется функция
place (ее можно использовать также и для одномерных систем).
Функция
>>K=place(A,B,P)
рассчитывает матрицу коэффициентов обратных связей K, которая
обеспечивает желаемое расположение полюсов системы. Длина
вектора P должна быть равна числу строк матрицы А.
Следует заметить, что при модальном синтезе ставится задача
обеспечения заданной формы переходного процесса, но при этом не
обеспечивается автоматически желаемый уровень выходного сиг93
нала. Эта проблема решается путем введения масштабирующего
коэффициента для входного воздействия.
Рассмотрим пример расчета масштабирующего коэффициента.
Пусть объект управления задан матрицами:
 −60,8 −107 −34,7 
 0,228 
A =  35
60
19  , B =  −0,127  ,


 0,038 
 −10 −16,7 −5,3 


C = [35000 105000 140000].
.
Для описания объекта в MatLab введем команды:
>>A=[-60.8 -107 -34.7; 35 60 19; -10 -16.7 -5.3];
>>B=[0.228; -0.127; 0.038];
>>C=[35000 105000 140000];
>>D=0;
>>sys=ss(A, B, C, D);
Желаемое расположение полюсов замкнутой системы:
>>P=[-2 -2 -2];
Коэффициенты обратной связи
>>K=acker(A,B,P)
K=
-182.0435 -358.7764 -109.4394
На рис. 3.5 показана собранная в ���������������������������
Simulink�������������������
������������������
MatLab������������
схема моделирования работы модального регулятора (интеграторы и сумматоры получают на входе векторные сигналы, выдавая сигнал той же
размерности).
Переходный процесс для схемы, приведенной на рис. 3.6, показан на рис. 3.7. Здесь установившееся значение выходной переменной превышает 3500. Следовательно, для получения yуст = 1 нужно
ввести масштабирующий коэффициент для входного сигнала
1
k=
= 0,00027.
3700
Однако во многих случаях требуется заранее рассчитать значение коэффициента, не прибегая к моделированию. Для этого нужно решить систему уравнений, в которых неизвестными величинами являются установившиеся значения переменных состояния и
масштабирующий коэффициент.
Рассмотрим каноническую форму управляемости
>> [A1,B1,C1,T,k]=ctrbf(A,B,C)
A1=
0.8349 1.0842 0.0000
-0.4070 0.4561 -0.7151
94
Ax
60.8 107 34.7
35 60 19 * uvec
10 16.7 5.3
1
s
Integrator1
u=Kx
0.228
0.127 * u
0.038
Step
To Workspace
simout
[35000 105000 140000] * uvec
y=Cx
Scope
Gain3
[182 358.8 109.4] * uvec
Рис. 3.6. Схема модального регулятора в Simulink MatLab
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
–500
0
2
4
6
8
10
Рис. 3.7. Переходный процесс в системе с модальным регулятором
95
96.3733 112.2386 -7.3909
B1 =
0.0000
0.0000
-0.2637
C1 =
174380 37970 130
>> K=acker(A1,B1,P)
K =
-271.5364 -316.3939 0.3792
Уравнения состояния замкнутой системы приобретают вид
Рассмотрим уравнения состояния замкнутой системы (рис. 3.4)
 dX(t)
= AX(t) + B[− KX(t) + kg (t)]

.
 dt
y(t) = CX(t)
Для рассматриваемого примера они приобретают вид
 . 
  x1 
0   x1 
  .  0,835 1,08
 x 2  =  −0,4 0,46 −0,71 x 2  +
  .   96,4 112,2 −7,4  x 3 
 x3 
  

  0 
 x1 
+  0  (− [−271,5 −316,4 0,38] x  + kg ),
 
 2

x3 
  −0,26 

 x1 

=
y
(
t
)
174380
37970
130
[
]x2  .


x3 
В установившемся режиме производные состояния равны нулю,
кроме того, g(t) = 1 и y(t) = 1, что позволяет преобразовать систему
к виду:
 0  
0,835x1 + 1,08x 2

 0  =  −0,4x1 + 0,46x 2 − 0,71x 3  ,
 0  25,8x + 30x − 7,3x − 0,26k 
1
2
3

  
 1 = 174380x1 + 37970x 2 + 130x 3.
Таким образом, получается система четырех уравнений относительно четырех неизвестных: x1, x2, x3 и k, которую можно записать в матричной форме:
96
1,08
0
0   x1 
0   0,835
0   −0,4
0,46 −0,71
0  x2 
,
0  =  25,8
−7,3 −0,26  x 3 
30
  

0   k 
1  174380 37970 130
откуда получаем
 x1   0,0000069 
x 2   −0,0000053
  =  −0,0000073 .
x3  

 k   0,00027 
Проверка:
y = Cx = 174380 ⋅ 0,0000069 − 37970 ⋅ 0,0000053 − 130 ⋅ 0,0000073 ≈ 1.
Коэффициент k можно найти из оставшегося уравнения
25,8x1 + 30x 2 − 7,3x 3 = −0,26k,
k = −(25,8 ⋅ 0,0000069 − 30 ⋅ 0,0000053 +
+7,3 ⋅ 0,0000073)/0,26 ≈ 0,00027.
Получившаяся структура регулятора показана на рис. 3.8.
Ax
60.8 107 34.7
35 60 19 * uvec
10 16.7 5.3
0.00027
Step
k
0.228
0.127 * u
0.038
Bu
1
s
Integrator1
u=Kx
To Workspace
simout
[35000 105000 140000]* uvec
Scope
y=Cx
[182 358.8 109.4] * uvec
Рис. 3.8. Схема модального регулятора с масштабирующим коэффициентом
97
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
–0.2
0
2
4
6
8
10
Рис. 3.9. Переходный процесс для регулятора с масштабирующим коэффициентом
На рис. 3.9 показан переходный процесс для схемы, показанной
на рис. 3.8. Очевидно, введение масштабирующего коэффициента
позволяет свести к минимуму установившуюся ошибку в замкнутой системе.
Следует заметить, что теоретически может быть рассчитана любая обратная связь, помещающая полюса замкнутой системы в любое желаемое положение. Однако на практике существуют естественные ограничения на значения сигнала управления и возможные
состояния объекта. Поэтому полюса желаемой системы (с обратной
связью) следует располагать на комплексной плоскости как можно
ближе к полюсам исходной системы.
3.2.5. Наблюдающие устройства
Метод модального управления предполагает, что все компоненты вектора состояния X могут быть измерены. Однако на практике
некоторые компоненты могут быть неизвестны по одной из двух
причин:
– измерительных приборов может быть недостаточно;
– некоторые компоненты вектора X могут не иметь физического
смысла.
98
Однако если система является наблюдаемой, то все компоненты
вектора X могут быть восстановлены по наблюдениям вектора Y.
Для того чтобы узнать все компоненты вектора состояния объекта, можно использовать его модель
 (t)
dX
 (t) + BU(t),
= AX
dt
 (t) − оценка состояния объекта.
где X
Если начальное состояние объекта и модели совпадают и модель
адекватна объекту, то можно полагать в любой момент времени,
что
 (t) = X(t).
X
Общая структура системы управления с наблюдателем показана
на рис. 3.10.
Однако практически добиться полной адекватности объекта и
модели невозможно, трудно добиться и полного равенства начальных условий. Поэтому на практике можно рассчитывать лишь на
выполнение условия
 (t) = X(t).
lim X
t →∞
Подобным свойством обладают так называемые асимптотические наблюдающие устройства.
Асимптотическое наблюдающее устройство использует обратную связь по ошибке восстановления вектора состояния, так что
работа наблюдающего устройства описывается уравнением
 (t)
dX
 (t) + BU(t) + N(Y − CX
 (t)),
= AX
dt
где N – матрица параметров наблюдающего устройства.
Рассмотрим влияние на динамику системы с обратной связью.
Система с наблюдателем описывается уравнениями
G(t)
Регулятор
U(t)
�(t )
X
Объект
X(t)
Измеритель
Y(t)
Наблюдатель
Рис. 3.10. Система управления с наблюдателем
99
 = AX + BU,
X
 Y = CX,

U = KX
,


 + BU + N( Y − CX
 ).
 = AX
X
Следовательно, можно записать
 = A(X − X
 ) − NC(X − X
 ).
 −X
X
Если ввести обозначение
,
E=X−X
то получается система
 = (AX + BKX) − BKE = (A + BK)X − BKE,
X

E = AE − NCE = (A − NC)E.

Таким образом, уравнения динамики системы с наблюдающим
устройством можно записать в матричной форме
  (A + BK)
X
−BK  X 
.
 E  = 
A
− NC)   E 
0
(
  
Характеристическое уравнение этой системы имеет вид
(A + BK)
−BK
= 0.
0
(A − NC)
Собственные значения блочной треугольной матрицы совпадают с собственными значениями диагональных блоков
A + BK − λI A − NC − λI = 0.
Это уравнение имеет 2n корней, из которых n корней заданы условиями модального синтеза и еще n являются корнями наблюдателя. Таким образом, оказывается, что параметры наблюдателя и
параметры регулятора могут рассчитываться независимо.
Понятно, что процессы в наблюдателе должны протекать более
быстро, чем переходный процесс в системе. Эмпирически установлено (см. [28]), что наблюдатель должен обладать быстродействием, в 2–4 раза превышающим быстродействие системы.
Описанная выше функция acker может быть применена и для
расчета коэффициентов обратных связей наблюдателя одномерной
системы. Для этого надо транспонировать матрицу A и заменить B
на СТ:
>>N=acker(AТ,СТ,Р)
100
где Р – вектор желаемых полюсов наблюдателя.
Для многомерных (и одномерных) систем эту же задачу можно
решить с помощью функции place:
>>N=place(AТ,СТ,Р)
Например, для объекта и регулятора, показанных на рис. 3.8,
имеем:
>> P=[-5 -5 -5];
>> N1=acker(A’,C’,P)
N1 =
-0.0023 0.0014 -0.0004
>> N=N1’
N =
-0.0023
0.0014
-0.0004
Объект
A
g(t)
B
+
+
dX(t)
dt
∫
–
X(t)
C
N
B
+
� (t)
dX
dt
∫
A
U(t)
К
� (t)
X
� (t)
Y(t) − Y
Y(t)
–
C
� (t)
Y
Наблюдатель
� (t)
X
Регулятор
Рис. 3.11. Структура системы управления с наблюдателем
101
На рис. 3.12 приведена собранная в MatLab Simulnk структура
системы с наблюдающим устройством.
На рис. 3.12 использован блок State Space, который не позволяет
получить значения вектора состояния. Известна только выходная
координата y(t), по которой здесь восстанавливается x(t).
Заметим, что при нулевых начальных условиях
 (t = 0) = X(t = 0) = 0
X
и работа схемы, показанной на рис. 3.12, ничем не отличается от
работы схемы, показанной на рис. 3.8.
Для проверки работы наблюдателя надо подать начальное отклонение в описании состояния. С этой целью можно задать в схеме,
показанной на рис. 3.12, некоторое начальное значение на интеграторе. На рис. 3.13 показан соответствующий переходный процесс.
Здесь нужно отметить два момента:
Кривая, идущая из начала координат, соответствует выходу
объекта. Вторая кривая – выход наблюдателя постепенно приближается к ней.
Из-за начальной ошибки состояния переходный процесс становится колебательным, в отличие от апериодического процесса, показанного на рис. 3.8.
 �������������������������������������������������������
Simulink�����������������������������������������������
����������������������������������������������
MatLab����������������������������������������
существуют специальные функции для формирования наблюдателя.
u(t)
0.00027
Step
Gain
x' = Ax+Bu
y = Cx+Du
State�Space
y(t)
N(y(t)�y'(t))
N* u
1 X(t)
s
Integrator
B* u
Bu
C* uvec
Scope
y(t)�y'(t)
y'(t)
CX
A* uvec
KX
AX
K* uvec
Рис. 3.12. Моделирование работы наблюдателя в Simulink MatLab
102
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
Рис. 3.13. Работа наблюдателя при ненулевых начальных условиях
Функция estim формирует наблюдающее устройство в виде ssобъекта для оценивания вектора переменных состояния модели
объекта управления sys и для заданной матрицы коэффициентов
обратных связей наблюдателя L:
>> est=estim(sys,L)
Функция reg формирует регулятор для заданной в пространстве
состояний модели объекта управления ������������������������
sys���������������������
, матрицы коэффициентов обратных связей по переменным состояния K и матрицы коэффициентов обратных связей наблюдателя L:
>> rsys=reg(sys,K,L)
§ 3.3. Синтез ПИД-регуляторов
3.3.1. Описание ПИД-регулятора
ПИД-регуляторы получили самое широкое распространение при
управлении производственными и технологическими процессами
[29]. Основное уравнение ПИД-регулятора имеет следующий вид:
t

de(t) 
1
u(t) = u 0 + k e(t) +
e(τ)dτ + Td
, Ti 0
dt 

∫
(3.11)
103
где k – усиление регулятора; Ti и Td – постоянные времени интегрирования и дифференцирования; u0 – поправочное значение (смещение), которое может быть нулевым.
Раскрывая скобку в уравнении (3.11), при u0 = 0 можно записать
t
∫
u(t) = k pe(t) + ki e(τ)dτ + kd
de(t)
,
dt
(3.12)
где kp, ki, kd – константы, выбираемые в процессе проектирования.
С их помощью удается обеспечить соизмеримость отдельных слагаемых формулы (3.12). ПИД-регулятор можно представить графически (рис. 3.14).
ПИД-регулятор с заданными коэффициентами определяет в гиперпространстве некоторую гиперплоскость (поверхность отклика), так что каждой тройке входных координат (ошибка управления, ее производная и интеграл) соответствует определенная точка – сигнал управления. Возможный сигнал управления для конкретного объекта всегда ограничен, поэтому реальная поверхность
управления является только частью этой гиперплоскости.
Дифференциальная составляющая в формуле (3.12) позволяет
повысить быстродействие регулятора, предсказывая будущее поведение процесса. Интегральная составляющая в формуле (3.12) призвана ликвидировать статические ошибки управления, поскольку
интеграл даже от малой ошибки может быть значительной величиной, вызывающей реакцию регулятора.
Хотя ПИД-регулятор представляет собой систему второго порядка, его можно успешно применять для управления процессами,
имеющими более высокий порядок. Это вызвано возможностью аппроксимации многих систем высокого порядка системами второго
порядка [29].
0
kр
e(t)
∫
ki
d/dt
kd
Рис. 3.14. ПИД-регулятор
104
+
u(t)
На практике часто используются упрощенные версии ПИДрегулятора: П-, И-, ПД- и ПИ-регуляторы, описываемые соответственно формулами:
u(t) = k pe(t), (3.13)
t
∫
u(t) = ki e(τ)dτ, (3.14)
0
de(t)
,
dt
(3.15)
u(t) = k pe(t) + ki e(τ)dτ. (3.16)
u(t) = k pe(t) + kd
t
∫
0
Формулы (3.15) и (3.16) (ПД- и ПИ-регуляторы) описывают
плоскости в трехмерном пространстве.
Формулы (3.13) и (3.14) (П- и И-регуляторы) описывают прямые
на плоскости, заданной осями e(t) и u(t). Наклон прямой задается
значением коэффициента kр или ki. Для конкретного объекта прямая управления ограничена максимальным значением управляющего сигнала (рис. 3.15, а).
При большом значении коэффициента усиления П- и И-регуляторы ведут себя как двухпозиционное реле (рис. 3.15, б).
Существует инженерный подход к синтезу ПИД-регуляторов –
методика Зиглера – Николса [30], которая предполагает следующие шаги:
1. Коэффициенты kd и ki устанавливаются равными нулю, а коэффициент kр увеличивается до тех пор, пока система не потеряет
устойчивость.
а)
б)
u(t)
+umax
u(t)
+umax
0
e(t)
–umax
0
e(t)
–umax
Рис. 3.15. Пропорциональное и релейное управление
105
2. Предельное значение kр обозначается как ku, а период автоколебаний как pu.
3. Значения коэффициентов ПИД-регулятора рассчитываются
по формулам:
kp = 0,6ku, ki = 1,2(ku/pu), kd = 3kupu /40.
В аналоговых промышленных ПИД-регуляторах коэффициенты настраиваются вручную [29].
В составе ���������������������������������������������������
MatLab���������������������������������������������
��������������������������������������������
Simulink������������������������������������
имеется пакет Simulink�������������
���������������������
������������
Response����
���
Optimization), с помощью которого можно выполнить оптимизацию
параметров ПИД-регулятора, если имеется некоторая модель объекта управления [13].
3.3.2. Использование пакета Simulink Response Optimisation
(MatLab Simulink) для синтеза ПИД-регуляторов
В программном комплексе MatLab Simulink (начиная с версии
7.0.1) появился пакет расширения (������������������������������
toolbox�����������������������
) ���������������������
Simulink�������������
������������
Response����
���
Optimisation (в ранних версиях MatLab Simulink ему соответствует
NCD����������������������������������������������������������
Blockset�������������������������������������������������
���������������������������������������������������������
). Этот пакет предназначен для динамической оптимизации систем управления. Подробное описание возможностей
пакета можно найти в справочной системе ����������������������
MatLab����������������
, здесь лишь ограничимся необходимым набором сведений для синтеза ПИД-регуляторов.
В наборе блоков Simulink Response Optimisation имеется основной блок Signal Constraint, с помощью которого можно выполнить
следующие функции:
– задать требуемые ограничения для переходного процесса в оптимизируемой системе;
– указать оптимизируемые параметры;
– указать неопределенные параметры;
– выполнить параметрическую оптимизацию.
В MatLab Simulink ПИД-регулятор можно описать следующим
образом (рис. 3.16).
ПИД-регулятор включается последовательно с объектом управления, получая на входе ошибку управления и выдавая на объект
сигнал управления (рис. 3.16).
Блок ��������������������������������������������������������
Signal��������������������������������������������������
�������������������������������������������������
Constraint���������������������������������������
получает на входе оптимизируемую переменную – выходной сигнал объекта (рис. 3.16).
Главное окно Signal Constraint показано на рис. 3.17.
На рис. 3.18 горизонтальная ось времени, вертикальная ось –
амплитуда выходного сигнала в системе. Пользователь может изменять по своему усмотрению границы желаемого переходного
106
Kp
Proportional
1
Ki
e
Integral
Kd
Derivative
1
s
1
Integrator
u
Sum
du/dt
Derivative1
Рис. 3.16. Описание ПИД-регулятора в Simulink
e
u
1.5
3
y
2
50s +5s +3s+1
Step
Scope
PID controller
PLANT
Signal Constraint
Рис. 3.17. Система управления с ПИД-регулятором
процесса в системе. Для этого нужно установить курсор на изменяемый сегмент границы переходного процесса и нажать правую
кнопку мыши. После этого появится окно с набором команд:
– Edit – список полных свойств сегмента границы,
– Delete – удаление сегмента границы,
– Split – разбиение сегмента границы на части,
– Joint�����������������������������������������������������
����������������������������������������������������������
left������������������������������������������������
����������������������������������������������������
– выравнивание амплитуды начала сегмента с концом предыдущего сегмента,
– �����������������������������������������������������������
Joint������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
right������������������������������������������������
– выравнивание амплитуды конца сегмента с началом следующего сегмента.
Меню блока (см. рис. 3.18) содержит пункты File, Edit, Plots,
Goals, Optimisation и Help.
Разделы File�������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
, Edit�������������������������������������������
�����������������������������������������������
, Plots������������������������������������
�����������������������������������������
и Help�����������������������������
���������������������������������
позволяют выполнять традиционные функции работы с файлами, редактирования и вызова подсказки.
107
Рис. 3.18. Главное окно блока Signal Constraint
Разделы �����������������������������������������������������
Goals������������������������������������������������
и Optimisation���������������������������������
���������������������������������������������
позволяют детально описать задачу оптимизации ПИД-регулятора. Рассмотрим их подробнее.
Разделы Goals содержит следующие пункты:
– �����������������������������������������������������������
Enforce����������������������������������������������������
���������������������������������������������������
signal���������������������������������������������
��������������������������������������������
bounds��������������������������������������
– использование ограничений на значение выходного, связанных с осью времени,
– Track�����������������������������������������������������
����������������������������������������������������������
reference�������������������������������������������
����������������������������������������������������
signal������������������������������������
������������������������������������������
– использование при оптимизации заданного эталонного сигнала,
– Desired response – описание эталонного сигнала. Здесь могут
быть использованы два варианта.
Первый вариант Specify Reference Signal предполагает описание
эталонного сигнала как матрицы из двух строк (рис. 3.19). Первая
строка содержит метки времени, а вторая – соответствующую им
амплитуду.
Второй вариант (рис. 3.20) предполагает описание эталонного
переходного процесса с использованием принятых в теории автоматического управления показателей: время нарастания (Rise time),
время установления (Setting time), перерегулирование (Overshoot).
108
Рис. 3.19. Описание эталонного сигнала как вектора
Здесь же можно задать параметры входного воздействия – скачка:
начальное значение (Initial value), конечное значение (Final value)
и время скачка (Step time).
Раздел Optimisation содержит пункты:
– Start – начало процесса оптимизации,
– Stop – остановка процесса оптимизации,
– Tuned Parameters – описание настраиваемых параметров,
– Uncertain����������������������������������������������
Parameters�����������������������������������
���������������������������������������������
– описание неопределенных параметров,
– Simulation Options – опции моделирования,
– Optimization Options – опции оптимизации.
На рис. 3.20 показано окно ввода настраиваемых параметров.
Параметры могут быть включены в число оптимизируемых нажатием кнопки Add (предварительно они должны быть помещены
в рабочую память MatLab).
Для каждого параметра можно задать начальную оценку (Initial
guess�������������������������������������������������������������
), типичное значение (���������������������������������������
Typical��������������������������������
value��������������������������
�������������������������������
), а также пределы изменения (Minimum и Maximum). Ввод этих параметров необязателен.
109
Рис. 3.20. Описание эталонного переходного процесса
Рис. 3.21. Окно ввода оптимизируемых параметров
110
На рис. 3.22 показано окно ввода неопределенных параметров,
в качестве которых могут выступать, например, некоторые коэффициенты передаточной функции.
Для неопределенного параметра можно задать номинальное,
минимальное и максимальное значение.
Опции моделирования (Simulation Options, вкладка на рис. 3.23)
позволяют выбрать метод интегрирования, используемый при моделировании. Это обычный при использовании Simulink прием,
поскольку специфика решаемой задачи может требовать использовать метод с фиксированным или переменным шагом.
В окне опций оптимизации (Optimization Options, см. рис. 3.23)
основным является выбор метода оптимизации:
– Gradient����������������������������������������������������
���������������������������������������������������
descent��������������������������������������������
– алгоритм поиска по градиенту целевой функции,
– Pattern search – алгоритм поиска по образцу (прямой поиск),
Рис. 3.22. Окно ввода неопределенных параметров
111
Рис. 3.23. Окно опций оптимизации
Рис. 3.24. Процесс настройки ПИД-регулятора
112
– Simplex search – симплекс-метод оптимизации.
Не вдаваясь в описание этих алгоритмов, заметим лишь, что
алгоритм поиска по градиенту пригоден для унимодальной и непрерывной целевой функции. Симплекс-метод может быть более
эффективен, чем поиск по градиенту при разрывной целевой функции.
Алгоритм прямого поиска наиболее мощный, его нужно использовать при нескольких оптимизируемых параметрах, когда целевая функция становится существенно нелинейной.
В этом же окне можно описать чувствительность алгоритма по
параметрам и ограничениям, а также задать максимальное число
шагов процесса оптимизации.
После запуска процесса оптимизации в окне NCD_Outport отображаются варианты переходного процесса при изменении настраиваемых параметров. Настройка заканчивается, когда процесс попадает в заданные границы (рис. 3.24).
§ 3.4. Нечеткое управление электроприводом
3.4.1. Нечеткие множества и лингвистические переменные
Как было показано в предыдущем разделе, ПИД-регулятор и более простые схемы (П-, И-, ПИ- и ПД-регуляторы) могут быть синтезированы после несложной процедуры интерактивного моделирования и настройки с помощью средств пакета MatLab Simulink.
Однако ПИД-регуляторы эффективны только для относительно простых объектов. Настройка ПИД-регулятора для объекта со
сложной динамикой или существенными нелинейностями может
оказаться в принципе невозможной.
В последние годы широкое распространение получили нечеткие
регуляторы, с помощью которых можно описывать нелинейные законы управления сложным объектом.
Теория нечетких множеств (fuzzy sets) была предложена американским ученым L. Zadeh (Лотфи Заде) в 1965 году [31]. Позднее
на базе этой теории были разработаны первые нечеткие логические
регуляторы (НЛР) [32 и др.].
НЛР изначально предназначались для использования в случаях, когда отсутствует математическое описание объекта управления. Однако оказалось, что нечеткое представление закона управления обладает таким важным преимуществом, как естественная
адаптивность – НЛР слабо чувствителен к параметрическим и
внешним возмущениям. Кроме того, НЛР позволяет описывать
113
нелинейные законы управления любой степени сложности. Таким
образом, применение НЛР оправдано и в тех случаях, когда имеется математическое описание объекта управления. Эффективными
оказываются также комбинированные схемы, в которых НЛР является регулятором верхнего уровня, управляющим изменениями
коэффициентов ПИД-регулятора (на нижнем уровне).
Ниже приведены базовые сведения о функционировании нечеткого регулятора. Более подробное описание можно найти, например, в [33].
Нечетким множеством (НМ) A на универсальном (базовом) множестве X называют совокупность пар элементов вида
A={µА(х)/x} x∈X,
µА(х): X→[0, 1],
где µА(х) – функция принадлежности; знак « / » – разделитель.
Значение функции принадлежности для конкретного x называют степенью принадлежности.
Степень принадлежности µА(х) – это субъективная мера того,
насколько элемент x соответствует понятию, смысл которого формализуется с помощью НМ A.
Таким образом, любое НМ можно рассматривать как совокупность составляющих его синглетонов – одноточечных НМ. Это
удобно при конечном числе элементов базового множества X. Часто
используется следующая форма записи
A=
N
∑ µ A (xi )/ xi,
i =1
где N – число точек в области определения нечеткого множества.
Если НМ определено на непрерывном базовом множестве, то
функцию принадлежности обычно описывают аналитически, что
позволяет вычислять степень принадлежности для произвольного
значения из области определения. Чаще всего используются гауссовская и треугольная функции.
Гауссовская функция описывается формулой
2
1
g 1(x) = exp  − (x − w )  ,
 2σ

где σ – называется шириной, а w – центром гауссовской функции
(рис. 3.25).
Треугольная функция принадлежности описывается формулой:
114

x−w

g 2 (x) = 1 − b , если x − w < b,
 0 –
иначе,
где b и w – половина базовой длины и центр базы треугольной функции соответственно (рис. 3.26).
Возможны также и другие аналитические представления функций принадлежности – трапецевидная функция и т. п.
С помощью нечетких множеств описываются лингвистические
переменные (ЛП).
Лингвистической переменной называется переменная, заданная
на некоторой базовой шкале и принимающая значения, являющиеся словами естественного языка, которые описываются нечеткими
множествами.
Упрощенно ЛП можно описать с помощью набора:
{β, T(β ), U},
где β – наименование ЛП; T(β) – множество значений ЛП (терммножество), U – базовая шкала.
1
µ(x)
1
µ(x)
σ
w
x
Рис. 3.25. Гауссовская функция принадлежности
µ(x)
Низкая
Средняя
w
b
x
Рис. 3.26. Треугольная функция принадлежности
Высокая
1
0
150
x, км/ч
Рис. 3.27. Лингвистическая переменная «Скорость»
115
Пример:
b = «Скорость»;
T(b)={«низкая», «средняя», «высокая»};
U = 150.
На рис. 3.27 показан вариант такого описания ЛП.
3.4.2. Нечеткий регулятор
НЛР используется аналогично традиционным регуляторам с
ОС. Общая структура НЛР показана на рис. 3.28.
На рис. 3.28 блок F означает операцию фаззификации (от англ.
fuzzy), которая заключается в преобразовании точного значения к
нечеткому виду, DF – дефаззификация (обратное преобразование).
Фаззификацию и дефаззификацию можно рассматривать как кодирование и декодирование нечеткой информации. Символом « * »
помечены нечеткие (лингвистические) значения соответствующих
величин. Остальные величины имеют тот же смысл, что и в схеме,
показанной на рис. 3.1.
При конструировании базы правил обычно предполагается использование знаний эксперта, который формулирует правила,
обобщая в словесных формулировках свой опыт по управлению
объектом.
Нечеткие правила имеют такой же вид, как обычные продукционные правила:
Если А1 и А2 и, …, Аn, то В,
где Аi – посылки правила, а В – его заключение.
Однако в нечетком правиле и посылки, и заключения описываются термами ЛП.
Нечеткий регулятор
g(t)
e(t)
d/dt
F
F
y(t)
e * (t)
База правил
u*(t)
(de(t) / dt) *
Механизм
вывода
Объект управления
Рис. 3.28. Cтруктура классического НЛР
116
u(t)
DF
При формулировании правил названия термов обычно заменяются лингвистическими метками, так что вместо «отрицательный
большая» используется метка «ОБ», вместо «положительный малый» – «ПМ», вместо «нулевой» – «Н» и т. д. Например:
Если (e*(t) = «ОБ») и (de*(t)/dt= «ПМ»),
то (u*(t) = «ПБ»).
В нечетком регуляторе для управления объектом используется
множество правил. Преимущество нечеткого описания заключается в том, что множество правил может учитываться одновременно
(но в разной степени) при выработке управления. Поэтому сигнал
управления изменяется плавно, без скачков, а сам регулятор оказывается слабо чувствителен к помехам.
Пусть задан набор из N нечетких правил управления (база правил):
R1: Если (e = А1) и (de/dt = B1), то (u = C1) иначе,
R2: Если (e = А2) и (de/dt = B2), то (u = C2) иначе,
RN: Если (e = АN) и (de/dt = BN), то (u = CN),
где Аi, Bi и Ci – термы, входящие в i-е правило управления.
Требуется в каждый момент времени для входных значений ε и
dε/dt вычислять общее значение выходного сигнала.
С помощью аппарата нечетких отношений каждое правило можно описать следующим образом:
R i (x, y, z) = [ A i (x) ∧ Bi (y)] → Ci (z),
где ∧ – логическая связка «и»; → – импликация (логическое следование); x, y и z – области определения для e, de/dt и u.
Рассмотрим операцию фаззификации. Пусть имеются входные
данные x = x0 и y = y0. При фаззификации входной переменной x0
нужно вычислить степени ее принадлежности ко всем термам соответствующей ЛП. Вычисление принадлежности для одного терма
показано на рис. 3.29.
Таким образом, при входных данных x = x0 и y = y0 выход i-го
правила получается по формуле
C′i = [ Ai (x 0 ) ∧ Bi (y 0 )] → Ci (z),



αi
где величина αi определяет силу запуска правила, а C′i – модернизированное описание заключения правила.
117
µ A (x)
Ai
1
Ai(x0)
x
x0
0
Рис. 3.29. Фаззификация входной переменной
Известно несколько классических схем нечеткого вывода, в том
числе варианты Mamdani, Larsen, Tsukamoto и Sugeno.
Рассмотрим вариант Mamdani�������������������������������
. Нечеткая импликация здесь моделируется с помощью оператора min.
Положим для простоты изложения, что база правил содержит
всего два правила R1 и R2. Сила запуска каждого из них
α 1 = A1(x 0 ) ∧ B1(y 0 ),
α 2 = A 2 (x 0 ) ∧ B2 (y 0 ).
Индивидуальный выход каждого правила получается по формулам
C1′ (z) = α 1 ∧ C1(z),
C′2 (z) = α 2 ∧ C2 (z).
Графической иллюстрацией схемы Mamdani служит рис. 3.30.
Вариант Larsen отличается от варианта Mamdani только тем, что
оператор импликации здесь описывается с помощью алгебраического умножения:
B1
A1
C1
min
A2
x
α1
y
B2
C2
z
min α2
x0
x
y0
Рис. 3.30. Нечеткий вывод Mamdani
118
y
z
α i = Ai (x 0 ) Bi (y 0 ),
C′i (z) = α iCi (z).
Схему Larsen для двух правил иллюстрирует рис. 3.31.
И в схеме Mamdani, и в схеме Larsen связка иначе (OR) описывается с помощью оператора max:
C(z) = C1′ (z) ∨ C′2 (z).
C(z) преобразуется в окончательное «четкое» выходное значение
с помощью того или иного метода дефаззификации.
Нечеткий вывод, рассмотренный Tsukamoto, отличается тем,
что все термы ЛП здесь имеют монотонные функции принадлежности. Если некоторое правило имеет уровень запуска αi, то его выходной сигнал может быть рассчитан по формуле
α i = C(zi ), т. е. zi = C –1(α).
Рис. 3.32 иллюстрирует схему Tsukamoto для двух правил.
Схема нечеткого вывода, предложенная Sugeno, отличается от
схемы Tsukamoto только тем, что здесь выходные значения каждого правила являются функциями входных значений
A1
B1
C1
min
A2
x
α1
y
B2
C2
z
min α2
x0
y0
x
z
y
Рис. 3.31. Нечеткий вывод Larsen
C1
B1
A1
min
x
α1
z1
y
B2
A2
min
x0
x
y0
y
α2
z
C2
z2
z
Рис. 3.32. Схема нечеткого вывода Tsukamoto
119
A1
B1
min α1
A2
x
z1 = a1x 0 + b 1y0 z
y
B2
min α2
x0
x
y0
y
z2 = a2x0 + b2y0
z
Рис. 3.33. Схема нечеткого вывода Sugeno
zi = aix 0 + bi y 0.
Работу схемы Sugeno для двух правил иллюстрирует рис. 3.33.
Во всех рассмотренных вариантах выходной сигнал базы правил
(регулятора) рассматривается как объединение индивидуальных
сигналов от каждого правила:
C=
N
∪ C′i,
i =1
здесь С – нечеткое множество, описывающее выходной сигнал управления.
На практике используется множество вариантов схем дефаззификации.
В схемах нечеткого вывода Sugeno и Tsukamoto общее выходное
значение для множества из n правил получается следующим образом:
N
z=
∑ α i zi
i =1
N
∑αi
.
i =1
Эта формула соответствует дискретному варианту метода центра тяжести, используемому для дефаззификации наиболее часто.
3.4.3. Использование пакета Fuzzy logic toolbox для синтеза
нечетких регуляторов
Основным элементом в составе Fuzzy logic toolbox является блок
Fuzzy Logic Controller (нечеткий логический регулятор НЛР). На
рис. 3.34 показан пример включения НЛР для управления объектом, заданным некоторой передаточной функцией.
120
НЛР, показанный на рис. 3.34, управляет только одной входной
переменной – ошибкой управления. Как показали эксперименты,
даже в этом случае удается получить высокое качество управления
приводом. При необходимости использования производной или интеграла ошибки нужно поставить перед НЛР мультиплексор (блок
Mux) с нужным количеством входов.
Для того чтобы описать свойства НЛР, в MatLab Simulink предусмотрен редактор нечеткой системы вывода Fuzzy Inference System
Editor (FIS Editor). FIS Editor содержит следующие подсистемы:
– редактор
���������������������������������������������������������
функций принадлежности (������������������������
Membership��������������
Function�����
�������������
Edi����
tor);
– редактор правил (Rule Editor);
– просмотрщик правил (Rule Viewer);
– просмотрщик поверхности отклика (Surface Viewer).
Запускается FIS���������������������������������������������
������������������������������������������������
Editor��������������������������������������
��������������������������������������������
из командной строки �����������������
MatLab�����������
вводом команды:
>> Fuzzy
На рис. 3.35 показан вид окна FIS Editor.
Пункт меню File����������������������������������������������
��������������������������������������������������
позволяет выбрать один из двух вариантов системы вывода (описанных выше):
– New Mamdani FIS (т. е. система вывода Mamdani);
– New Sugeno FIS (система вывода Sugeno).
Другие пункты меню �������������������������������������
File���������������������������������
позволяют выполнить операции сохранения FIS на диске и (или) в рабочем пространстве (workspace).
Операция помещения FIS в рабочее пространство необходима для
Рис. 3.34. Нечеткий регулятор в среде MatLab Simulink
121
Рис. 3.35. Окно FIS Editor
последующего связывания с блоком ������������������������������
Fuzzy�������������������������
������������������������
Logic�������������������
������������������
Controller��������
в Simu�����
link.
Меню Edit�����������������������������������������������
���������������������������������������������������
служит для добавления/удаления входных или выходных переменных (т. е. посылок и заключений) в систему нечеткого вывода.
Пункт меню �����������������������������������������������
View�������������������������������������������
управляет окнами редактирования и просмотра:
– Edit FIS properties (редактирование свойств системы вывода);
– Edit������������
�����������
membership� ���������������������������������������
function�������������������������������
(редактирование функций принадлежности);
– Edit rules (редактирование правил);
– View rules (просмотр правил);
– View surface (просмотр поверхности отклика).
Режиму редактирования свойств системы вывода соответствует
нижняя левая половина окна на рис. 3.35, где можно выбрать способ выполнения операций AND����������������������������������
�������������������������������������
, OR������������������������������
��������������������������������
и импликации, а также агрегирования и дефаззификации.
На рис. 3.36 показан режим редактирования функций принадлежности.
122
Рис. 3.36. Редактирование функций принадлежности
Нижняя половина экрана здесь разбита на две части:
– Current Variable – текущая редактируемая переменная;
– Current��������������������������������������������������
Membership���������������������������������������
�������������������������������������������������
Function������������������������������
��������������������������������������
– текущая редактируемая функция принадлежности.
Текущая редактируемая переменная характеризуется именем
(������������������������������������������������������������
Name��������������������������������������������������������
), типом – входная/выходная (���������������������������
Input����������������������
/���������������������
Output���������������
), размером области определения (����������������������������������������������
Range�����������������������������������������
) и его частью, отображаемой в окне (����
Display Range).
Редактируемая функция принадлежности (терм лингвистической переменной) характеризуется именем (�������������������
Name���������������
), типом (треугольная, гауссовская и т. д.) и параметрами, которые соответствуют выбранному типу.
Режиму редактирования правил (Edit rules) соответствует рис.
3.37 (где рассмотрены правила с одной посылкой и одним заключением).
Здесь в верхней части окна отображаются вводимые правила,
в нижней части слева и справа показаны окна выбора входных и
выходных переменных (посылок и заключений), входящих в правила.
С помощью флажка NOT�������������������������������������
����������������������������������������
можно ввести в правило отрицание выбранной посылки или заключения.
123
Рис. 3.37. Редактирование правил
Выбор логической связки (�����������������������������������
Connection�������������������������
) позволяет связывать посылки правила с помощью логической операции OR или AND.
Окно ввода Weight служит для описания достоверности правил
с помощью весовой функции. Для достоверных правил выбирается
вес 1, и чем меньше достоверность правила, тем ближе его вес к 0.
При дефаззификации весовая функция масштабирует вклад отдельных правил в общий управляющий сигнал.
Режиму просмотра правил (View rules) соответствует рис. 3.38.
Здесь в левой части окна можно определить значение входной
переменной и оценить степень его соответствия различным термам
соответствующей лингвистической переменной.
В правой части окна показана степень соответствия заключения
каждого правила текущим посылкам и общий выходной сигнал
системы нечеткого вывода (толстая вертикальная линия).
Режиму просмотра поверхности отклика (�������������������
View���������������
��������������
surface�������
) соответствует рис. 3.39. Анализ поверхности отклика позволяет оценить сложность закона управления. Это может быть полезно при
сравнении различных вариантов построения регуляторов.
Поверхность отклика в примере на рис. 3.39 близка к линейной
с насыщением функции. Она соответствует системе всего из трех
правил, каждое из которых имеет одну посылку (см. рис. 3.37).
124
Рис. 3.38. Окно просмотра правил (View rules)
Согласно теореме о нечеткой аппроксимации [34], любая управляющая функция может быть описана системой нечетких правил.
Это обеспечивает универсальность применения НЛР для управления сложными объектами.
Хорошая база правил должна удовлетворять требованиям непротиворечивости и полноты:
Непротиворечивость означает, что в базе не должно быть правил, которые имели бы при сходных посылках существенно различные заключения. Рассмотрим правила с одной посылкой и одним заключением:
Rj: Если Aj, то Bj,
где А и В – нечеткие множества, определенные на универсальных
множествах X и Y.
Степень непротиворечивости двух правил Rj и Rk может быть
оценена по формуле:
C(R j , R k ) = max(µ A j (x) ∧ µ A K (x)) − max(µ Bj (y) ∧ µ Bk (y)) .
x
y
125
Рис. 3.39. Поверхность отклика
Противоречивость правила Rj по отношению ко всей базе из N
правил выражается формулой
C(R j ) =
N
∑ C(R j,Ri ),
i ≠ j.
i =1
Таким образом, можно выявить «плохие» правила, не согласующиеся с остальной частью базы правил.
Полнота базы правил означает, что не должно быть «белых пятен» во входном пространстве правил. Для каждого текущего набора входных переменных должно существовать хотя бы одно управляющее правило, имеющее ненулевую силу запуска.
3.4.4. Эмпирический синтез нечеткого регулятора
Для односвязных объектов невысокого порядка процедура синтеза нечеткого закона управления отличается большой простотой.
Ее можно выполнить на основании эмпирических соображений
о желаемом характере переходного процесса.
126
Рассмотрим НЛР ПД-типа (см. рис. 3.28), который для каждой
пары значений ошибки и ее производной {e, de/dt} вычисляет значение управления:
u*(t) = Fл(e*(t), (de(t)/dt)*),
где u*(t), e*(t), (de(t)/dt)* – нечеткие значения управления, ошибки
и ее производной; Fл – закон управления, заданный набором правил.
Если g(t) – задающее воздействие (уставка), а y(t) – сигнал на выходе объекта, то ошибка управления вычисляется по формуле:
e(t) = g(t) – y(t).
Рассмотрим типичный переходный процесс устойчивой системы. Он характеризуется небольшим перерегулированием и слабой
колебательностью (рис. 3.38).
На рис. 3.39 показано поведение ошибки управления и ее производной в течение переходного процесса.
Пусть сигнал управления, подаваемый на объект, имеет три значения: положительный (+), отрицательный (−) и нулевой (0).
Положим, что ошибка управления e(t) и ее производная de(t)/
dt также имеют только три значения: (+), (−) и (0). Тогда на входе
регулятора может появиться только одна из 9 комбинаций: {+ +},
{+ −}, {+ 0}, {− − }, {− +}, {− 0}, {0 0}, {0 +}, {0 −}. В процессе синтеза
НЛР требуется определить управление, соответствующее каждой
комбинации.
Выделим на рис. 3.39 интервалы времени, соответствующие
различным комбинациям знаков ошибки и ее производной. Таких
участков до окончания переходного процесса оказывается примерно 10.
При формулировании закона нечеткого управления нужно
учесть следующие соображения:
y (t)
1
0
t
Рис. 3.38. Нормальный переходный процесс
127
1
e (t)
0
t
1 2
3
4
5
6
7
8
9 10
0
t
de (t) /dt
Рис. 3.39. График ошибки и производной ошибки во время переходного процесса
1. Как было показано в п. 3.3.1, простейший закон управления
описывается формулой:
u(t) = ke(t),
где k – коэффициент пропорциональности. Таким образом, можно
считать, что управление совпадает по знаку с ошибкой.
2. Переходный процесс протекает правильно, когда ошибка управления уменьшается. При этом сигнал управления подавать не
требуется. И напротив − управление требуется применять в тех ситуациях, когда ошибка растет.
Сделанные замечания позволяют классифицировать все возникающие при управлении ситуации (табл. 3.1).
Таблица 3.1. Семантическое описание процесса управления
№ п/п
интервал
e(t)
de(t)/dt
управление
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1, 5
2, 6
3, 7
4
1–2, 5–6
2–3, 6–7
3–4, 7–8
8–9
10
+
−
−
+
0
−
0
+
0
−
−
+
+
−
0
+
0
0
0
−
0
+
−
−
+
+
0
128
На основании табл. 3.1 можно сформулировать закон управления в виде таблицы лингвистических правил (ТЛП) (табл. 3.2), где
Н – нулевое значение, П – положительное, О – отрицательное.
Таблица 3.2. Лингвистические правила
de*(t)/dt
Таблица правил
О
О
О
Н
О
Н
П
e*(t)
Н
О
Н
П
П
Н
П
П
Табл. 3.2 содержит 9 правил (лингвистическое значение управления находится на пересечении строки и столбца). Эти правила
имеют универсальный характер и могут использоваться для любого объекта управления невысокого порядка.
Рассмотрим пример.
На рис. 3.40 показана схема моделирования в Simulink MatLab.
Step
Subtract
Saturation
du/dt
Derivative Saturation1
Fuzzy Logic
Controller
1.5
5s 2 +3s+1
Transfer Fcn
Scope
Рис. 3.40. Схема моделирования
Рис. 3.41. Лингвистическое описание ошибки управления
129
На рис. 3.41, 3.42 и 3.43 показаны лингвистические описания
входов и выходов НЛР; на рис. 3.44 – лингвистические правила,
составленные в соответствии с табл. 3.2.
Рис. 3.42. Описание производной ошибки управления
Рис. 3.43. Описание сигнала управления
На рис. 3.45 показан переходный процесс в схеме, приведенной
на рис. 3.40, при выбранных параметрах НЛР. Получено удовлетворительное качество управления.
130
Рис. 3.44. Ввод закона управления в НЛР
1
0.9
0.8
0.7
y(t)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
Рис. 3.45. Переходный процесс под управлением НЛР
131
3.4.5. Методика синтеза нечетких регуляторов
Основой НЛР являются нечеткие управляющие правила, которые связывают текущее состояние объекта и управление, которое
этому состоянию соответствует. Текущее состояние описывается
либо только ошибкой управления e(t) либо ошибкой управления и
ее производной, т. е. обычно правила имеют одну или две посылки.
Для синтеза нечеткого регулятора необходимо решить две основные задачи
− описать ЛП, соответствующие входам и выходам НЛР;
− выбрать правила управления.
Эта задача может быть решена методом проб и ошибок, в результате процедуры интерактивного моделирования. Выбирается некоторое начальное описание ЛП и начальный набор управляющих
правил, затем происходит моделирование переходного процесса
и коррекция исходного описания в зависимости от наблюдаемых
ошибок. Однако этот путь может быть довольно трудоемким в силу
существующей на начальном этапе значительной неопределенности о величине базовых множеств ЛП, о необходимом количестве
правил, и о том, какие термы должны входить в то или иное правило.
Облегчить решение задачи начальной настройки НЛР может
рассмотренный ниже подход, основанный на использовании эталонной траектории движения объекта [35−37].
Сущность этой методики заключается в переходе от представления процесса управления во времени к представлению в фазовом
пространстве с последующей аппроксимацией фазовой траектории
набором нечетких правил.
Допустим, что имеется набор эталонных траекторий движения
объекта, т. е. набор числовых значений, описывающих входы и выходы регулятора в различные моменты времени. Этот набор можно получить при управлении с помощью классического регулятора (ПИД, модального и т. п.). Обрабатывая эталонные траектории,
можно получить набор управляющих нечетких правил.
Например, пусть рассматривается односвязный объект управления. В этом случае переход к фазовому пространству иллюстрирует
рис. 3.46.
На первом этапе многократно ставится задача управления при
различных условиях. С помощью поисковых процедур синтезируется множество эталонных траекторий. Фиксируя значения входа
и выхода объекта управления при движении по эталонной траекто132
x
8
y
4
0
y
8
7
6
1 2 3 4
5 6
t
⇒
0
x
3
1
0
1 2 3 4 5 6
t
Рис. 3.46. Переход от пространства состояний к фазовому пространству
рии в разные моменты времени, можно получить множество обучающих пар < X,Y >, где X – вектор входа регулятора (ошибка); Y −
вектор выхода (управление).
На втором этапе обучающие пары обрабатываются с целью формирования нечетких правил управления. Для этого нужно преобразовать обучающие пары в нечеткую форму.
В качестве эталонной траектории здесь можно рассматривать переходный процесс, полученный при помощи настроенного
ПД−регулятора.
Переход от линейного регулятора к НЛР может преследовать
одну из целей (или обе сразу):
− использование НЛР может повысить помехоустойчивость системы управления;
− использование НЛР может расширить диапазон регулирования, за счет использования нелинейной управляющей функции.
Пусть имеется эталонный процесс, полученный с помощью ПДрегулятора. Ему соответствуют графики для входных переменных
регулятора (ошибка e(t) и производная ошибки de(t)/dt) и выходной переменной (сигнал управления u(t) ) (рис. 3.47).
133
e(t) = x1 (t), de(t) / dt = x2 (t), y(t)
y(t1)
x2(t2)
x1(t1)
x2(t1)
y(t2)
x1(t2)
0
t1
t2
t
Рис. 3.47. Эталонный переходный процесс
Обозначим входные переменные эталонного процесса в момент
времени t как х1 и х2 и выходную переменную как y.
Рассматривая n моментов времени, получаем множество обучающих данных при движении объекта по эталонным траекториям:
(x1 (t1), x 2 (t1), y(t1)),(x1 (t2 ), x 2 (t2 ), y(t2 )) , ..., (x1 (tn ), x2 (tn ), y(tn )).
Для получения нечетких правил выполняются следующие
шаги:
Шаг 1. Входное и выходное пространства разделяются на нечеткие области – термы ЛП (см. пример на рис. 3.52).
Шаг 2. Генерируются нечеткие правила. Сначала определяется степень принадлежности входных данных к отдельным термам
ЛП. Например, пусть:
µ ПМ (x1 (t1)) = 0,8, µ ПБ (x 2 (t1)) = 0,2, µ Н (y(t1)) = 0,6,
µ ПБ (x1 (t1)) = 0,7, µ ПM (x 2 (t1)) = 0,5, µ OM (y(t1)) = 0,1,
где µ ПМ (x1 (t1)) означает степень принадлежности входного значения x1 к терму с названием «ПМ» соответствующей ЛП.
Таким образом, получается совокупность троек вида:
(0,8; 0,2; 0,6), (0,7; 0,5; 0,1) …
Эта совокупность троек степеней принадлежности описывает
все возможные варианты правил для каждой тройки входных данных.
134
Затем выбирается тройка с максимальным значением принадлежности по двум входным и одной выходной переменной, которая порождает правило. Например, правило с номером 1:
(x11, x 21, y 1) ⇒ (µ ПМ (x1) = 0,8; µ ОБ (x 2 ) = 0,6; µ ОБ (y) = 0,9) ⇒
Правило 1: Если (x1 = ПМ) и (x 2 = ОБ), то y = ОБ.
Шаг 3. Присвоение коэффициента определенности (КО) каждому правилу. Это позволяет выполнить сжатие базы правил, т. е. решить следующие задачи:
− во-первых, разрешить конфликты, когда одни и те же посылки
в разных правилах порождают разные заключения;
− во-вторых, сократить общее число правил, так как учитываться могут только правила с максимальным КО.
Каждое правило активируется с учетом своего КО, для вычисления которого можно использовать одну из двух формул (при приведенных выше данных):
КО = µ ПМ (x1)µ ОС (x 2 )µ ОБ (y) = 0,8 ⋅ 0,6 ⋅ 0,9 = 0,432,
КО = min(µ ПМ (x1);µ ОС (x 2 );µ ОБ (y)) = min(0,8;0,6;0,9) = 0,6.
Для описания КО можно использовать окно ввода Weight (см.
рис. 3.37).
Очевидно, этот метод может быть распространен и на системы со
многими входами и многими выходами.
Полученный набор правил не является, вообще говоря, окончательным. Разработчик системы управления может проанализировать переходный процесс в системе и скорректировать первоначальный набор правил. Могут быть добавлены новые правила,
описывающие поведение НЛР за границами области линейного
регулирования.
Описанный подход к синтезу НЛР не является единственным.
Для решения этой задачи можно также использовать эволюционные методы моделирования, а также нейронечеткие системы
(в частности − реализованный в MatLab интерфейс anfisedit).
3.4.6. Пример синтеза нечеткого регулятора
Пусть имеется ПД-регулятор для объекта, заданного передаточной функцией (рис. 3.48).
На рис. 3.49 показан переходный процесс на выходе объекта.
На рис. 3.50 показаны графики ошибки и ее производной, а на
рис. 3.51 – выходной сигнал ПД-регулятора.
135
Kp
y
1.5
Proportional
y(t)
5s 2+3s+1
Step
Scope
Sum1
du/dt
Kd
PLANT
Derivative
Derivative1
e(t)
de(t)/dt
u(t)
simout
To Workspace
Рис. 3.48. ПД-регулятор в Simulink MatLab
y(t)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
t
Рис. 3.49. Переходный процесс для ПД-регулятора
Зная границы изменения входных переменных (e(t), de(t)/dt) и
выхода регулятора u(t), можно ввести описания ЛП. Пример такого описания показан на рис. 3.52.
Сопоставляя графики переходного процесса и введенное лингвистическое описание входа и выхода регулятора, можно получить
конечный набор нечетких правил.
В табл. 3.3 показан процесс получения нечетких правил по числовым данным о переходном процессе.
136
1
0.5
0
e(t),de(t)/dt
–0.5
–1
–1.5
–2
–2.5
–3
0
0.5
1
1.5
t
Рис. 3.50. Входные переменные ПД-регулятора
u(t)
70
60
50
40
30
20
10
0
–10
–20
0
0.5
1
1.5
t
Рис. 3.51. Выход ПД-регулятора
137
ОБ
ОМ
–1
ОБ
–2,5
ПМ
1
1
ПБ
1
Н
ПМ
e (t)
ПБ
2,5
0
ОМ
–80
Н
0
ОМ
ОБ
1
Н
ПМ
0
de(t) / dt
ПБ
80
u(t)
Рис. 3.52. Вариант описания ЛП
Таблица 3.3. Преобразование вход-выходных данных в нечеткую форму
№
п/п
Вход и выход эталонного регулятора
Нечеткие значения
e(t)
de(t)/dt
u(t)
e*(t)
de*(t)/dt
u*(t)
1
1,00
0,00
79,59
1/ПБ
1/Н
1/ПБ
2
0,90
–1,04
52,30
0,8/ПБ
0,2/ПМ
0,1/Н
0,9/ОМ
0,3/ПБ
0,7/ПМ
3
0,67
–2,30
10,70
0,6/ПБ
0,4/ПМ
0,1/ОМ
0,9/ОБ
0,3/ПМ
0,7/Н
4
0,42
–2,43
–11,09
0,8/ПМ
0,2/Н
1/ОБ
0,3/ОМ
0,7/Н
5
0,22
–2,00
–19,14
0,45/ПМ
0,55/Н
0,4/ОМ
0,6/ОБ
0,5/ОМ
0,5/Н
6
0,08
–1,39
–18,98
0,2/ПМ
0,8/Н
0,9/ОМ
0,1/ОБ
0,5/ОМ
0,5/Н
138
Окончание табл. 3.3
№
п/п
Вход и выход эталонного регулятора
Нечеткие значения
e(t)
de(t)/dt
u(t)
e*(t)
de*(t)/dt
u*(t)
7
0,00
–0,82
–14,92
1/Н
0,4/Н
0,6/ОМ
0,4/ОМ
0,6/Н
8
–0,04
–0,38
–9,82
0,1/ОМ
0,9/Н
0,6/Н
0,4/ОМ
0,3/ОМ
0,7/Н
9
–0,05
–0,09
–5,26
0,1/ОМ
0,9/Н
0,9/Н
0,1/ОМ
0,2/ОМ
0,8/Н
10
–0,04
0,07
–1,88
0,1/ОМ
0,9/Н
0,9/Н
0,1/ПМ
0,1/ОМ
0,9/Н
11
–0,03
0,13
0,26
1/Н
12
–0,01
0,13
1,36
1/Н
13
0,00
0,11
1,75
14
0,00
0,07
15
0,01
16
0,8/Н
0,2/ПМ
0,8/Н
0,2/ПМ
0,1/ПМ
0,9/Н
1/Н
0,8/Н
0,2/ПМ
0,1/ПМ
0,9/Н
1,71
1/Н
0,9/Н
0,1/ПМ
0,1/ПМ
0,9/Н
0,04
1,48
1/Н
0,95/Н
0,05/ПМ
0,1/ПМ
0,9/Н
0,01
0,02
1,21
1/Н
1/Н
0,1/ПМ
0,9/Н
17
0,01
0,00
0,96
1/Н
1/Н
0,1/ПМ
0,9/Н
18
0,01
0,00
0,79
1/Н
1/Н
0,1/ПМ
0,9/Н
19
0,01
–0,01
0,68
1/Н
1/Н
0,1/ПМ
0,9/Н
20
0,01
–0,01
0,62
1/Н
1/Н
0,1/ПМ
0,9/Н
21
0,01
–0,01
0,60
1/Н
1/Н
0,1/ПМ
0,9/Н
1/Н
Таким образом, в каждый момент времени по табл. 3.3 может
срабатывать от 1 до 8 правил. Для каждого правила можно рассчитать коэффициент определенности (табл. 3.4).
139
Таблица 3.4. Формирование правил
Нечеткие значения
e(t)
1/ПБ
de(t)/dt
1/Н
u(t)
1/ПБ
0,8/ПБ 0,1/Н 0,3/ПБ
0,2/ПМ 0,9/ОМ 0,7/ПМ
0,6/ПБ 0,1/ОМ 0,3/ПМ
0,4/ПМ 0,9/ОБ 0,7/Н
0,8/ПМ
0,2/Н
1/ОБ
0,3/ОМ
0,7/Н
0,45/ПМ 0,4/ОМ 0,5/ОМ
0,55/Н 0,6/ОБ 0,5/Н
0,2/ПМ 0,9/ОМ 0,5/ОМ
0,8/Н 0,1/ОБ 0,5/Н
140
Нечеткие правила
Коэффициент
e*(t) de*(t)/dt u*(t) определенности правила
ПБ
Н
ПБ
1
ПБ
Н
ПБ
0,8·0,1·0,3 = 0,024
ПБ
Н
ПМ
0,8·0,1·0,7 = 0,056
ПБ
ОМ
ПБ
0,8·0,9·0,3 = 0,216
ПБ
ОМ
ПМ
0,8·0,9·0,7 = 0,5
ПМ
Н
ПБ
0,2·0,1·0,3 = 0,006
ПМ
Н
ПМ
0,2·0,1·0,7 = 0,014
ПМ
ОМ
ПБ
0,2·0,9·0,3 = 0,054
ПМ
ОМ
ПМ
0,2·0,9·0,7 = 0,126
ПБ
ОМ
ПМ
0,6·0,1·0,3 = 0,018
ПБ
ОМ
Н
0,6·0,1·0,3 = 0,018
ПБ
ОБ
ПМ
0,6·0,9·0,7 = 0,38
ПБ
ОБ
Н
0,6·0,9·0,7 = 0,38
ПМ
ОМ
ПМ
0,4·0,1·0,3 = 0,012
ПМ
ОМ
Н
0,4·0,1·0,7 = 0,028
ПМ
ОБ
ПМ
0,4·0,9·0,3 = 0,108
ПМ
ОБ
Н
0,4·0,9·0,7 = 0,252
ПМ
ОБ
ОМ
0,8·1·0,3 = 0,24
ПМ
ОБ
Н
0,8·1·0,7 = 0,56
Н
ОБ
ОМ
0,2·1·0,3 = 0,06
Н
ОБ
Н
0,2·1·0,7 = 0,14
ПМ
ОМ
ОМ
0,45·0,4·0,5 = 0,09
ПМ
ОБ
ОМ
0,45·0,6·0,5 = 0,014
ПМ
ОМ
Н
0,45·0,4·0,5 = 0,09
ПМ
ОБ
Н
0,45·0,6·0,5 = 0,014
Н
ОМ
ОМ
0,55·0,4·0,5 = 0,11
Н
ОБ
ОМ
0,55·0,6·0,5 = 0,165
Н
ОМ
Н
0,55·0,4·0,5 = 0,11
Н
ОБ
Н
0,55·0,6·0,5 = 0,165
ПМ
ОМ
ОМ
0,2·0,9·0,5 = 0,09
ПМ
ОБ
ОМ
0,2·0,1·0,5 = 0,01
ПМ
ОМ
Н
0,2·0,9·0,5 = 0,09
ПМ
ОБ
Н
0,2·0,1·0,5 = 0,01
Н
ОМ
ОМ
0,8·0,9·0,5 = 0,36
Н
ОБ
ОМ
0,8·0,1·0,5 = 0,04
Н
ОМ
Н
0,8·0,9·0,5 = 0,36
Н
ОБ
Н
0,8·0,1·0,5 = 0,04
Продолжение табл. 3.4
Нечеткие значения
e(t)
1/ПБ
1/Н
Коэффициент
e*(t) de*(t)/dt u*(t) определенности правила
ПБ
Н
ПБ
1
Н
Н
ОМ
1·0,4·0,4 = 0,16
Н
Н
Н
1·0,4·0,6 = 0,24
0,4/Н 0,4/ОМ
0,6/ОМ 0,6/Н
Н
ОМ
ОМ
1·0,6·0,4 = 0,24
de(t)/dt
1/Н
u(t)
1/ПБ
0,1/ОМ 0,6/Н 0,3/ОМ
0,9/Н 0,4/ОМ 0,7/Н
0,1/ОМ 0,9/Н 0,2/ОМ
0,9/Н 0,1/ОМ 0,8/Н
0,1/ОМ 0,9/Н 0,1/ОМ
0,9/Н 0,1/ПМ 0,9/Н
1/Н
Нечеткие правила
0,8/Н
0,2/ПМ
1/Н
Н
ОМ
Н
1·0,6·0,6 = 0,36
Н
Н
ОМ
0,9·0,6·0,3 = 0,162
Н
Н
Н
0,9·0,6·0,7 = 0,378
Н
ОМ
ОМ
0,9·0,4·0,3 = 0,1
Н
ОМ
Н
0,9·0,4·0,7 = 0,252
ОМ
Н
ОМ
0,1·0,6·0,3 = 0,018
ОМ
Н
Н
0,1·0,6·0,7 = 0,042
ОМ
ОМ
ОМ
0,1·0,4·0,3 = 0,012
ОМ
ОМ
Н
0,1·0,4·0,7 = 0,028
ОМ
Н
ОМ
0,1·0,9·0,2 = 0,018
ОМ
Н
Н
0,1·0,9·0,8 = 0,072
ОМ
ОМ
ОМ
0,1·0,1·0,2 = 0,002
ОМ
ОМ
Н
0,1·0,1·0,8 = 0,008
Н
Н
ОМ
0,9·0,9·0,2 = 0,162
Н
Н
Н
0,9·0,9·0,8 = 0,65
Н
ОМ
ОМ
0,9·0,1·0,2 = 0,02
Н
ОМ
Н
0,9·0,1·0,8 = 0,072
ОМ
Н
ОМ
0,1·0,9·0,1 = 0,009
ОМ
Н
Н
0,1·0,9·0,9 = 0,081
ОМ
ПМ
ОМ
0,1·0,1·0,1 = 0,001
ОМ
ПМ
Н
0,1·0,1·0,9 = 0,009
Н
Н
ОМ
0,9·0,9·0,1 = 0,081
Н
Н
Н
0,9·0,9·0,9 = 0,73
Н
ПМ
ОМ
0,9·0,1·0,1 = 0,009
Н
ПМ
Н
0,9·0,1·0,9 = 0,081
Н
Н
Н
0,8
Н
ПМ
Н
0,2
141
Окончание табл. 3.4
Нечеткие значения
e(t)
1/ПБ
1/Н
1/Н
de(t)/dt
1/Н
Нечеткие правила
u(t)
1/ПБ
0,8/Н 0,1/ПМ
0,2/ПМ 0,9/Н
0,9/Н 0,1/ПМ
0,1/ПМ 0,9/Н
1/Н
0,95/Н
0,1/ПМ
0,05/
0,9/Н
ПМ
1/Н
0,1/ПМ
0,9/Н
1/Н
Коэффициент
e*(t) de*(t)/dt u*(t) определенности правила
ПБ
Н
ПБ
1
Н
Н
ПМ
1·0,8·0,1 = 0,008
Н
Н
Н
1·0,8·0,9 = 0,72
Н
ПМ
ПМ
1·0,2·0,1 = 0,02
Н
ПМ
Н
1·0,2·0,9 = 0,18
Н
Н
ПМ
1·0,9·0,1 = 0,09
Н
Н
Н
1·0,9·0,9 = 0,81
Н
ПМ
ПМ
1·0,1·0,1 = 0,01
Н
ПМ
Н
1·0,1·0,9 = 0,09
Н
Н
ПМ
1·0,95·0,1 = 0,095
Н
Н
Н
1·0,95·0,9 = 0,855
Н
ПМ
ПМ
1·0,05·0,1 = 0,005
Н
Н
Н
ПМ
Н
Н
Н
ПМ
Н
1·0,05 ·0,9 = 0,045
1·1·0,1 = 0,1
1·1·0,9 = 0,9
Легко заметить, что многие правила в табл. 3.4 повторяются,
но с разными коэффициентами определенности. Поэтому таблицу
можно сократить, оставив только правила с максимальным коэффициентом (табл. 3.5).
Таблица 3.5. Набор правил с максимальным коэффициентом определенности
e*(t)
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПМ
ПМ
ПМ
ПМ
ПМ
142
Нечеткие правила
de*(t)/dt
u*(t)
Н
Н
ОМ
ОМ
ОБ
ОБ
Н
Н
ОБ
ОБ
ОБ
ПБ
ПМ
ПБ
ПМ
ПМ
Н
ПБ
ПМ
ПМ
ОМ
Н
Коэффициент определенности правила
1
0,056
0,216
0,5
0,38
0,38
0,006
0,014
0,108
0,24
0,56
Окончание табл. 3.5
e*(t)
Нечеткие правила
de*(t)/dt
u*(t)
Коэффициент определенности правила
ПМ
ПМ
ПМ
ПМ
ОМ
ОМ
ОМ
ОМ
Н
Н
Н
Н
Н
Н
Н
Н
ОМ
ОМ
ОМ
ОМ
Н
Н
ПМ
ПМ
ОБ
ОБ
ОМ
ОМ
ПМ
ПМ
ПМ
Н
ПБ
ПМ
ОМ
Н
ОМ
Н
ОМ
Н
ОМ
Н
ОМ
Н
ОМ
Н
ПМ
ОМ
0,054
0,126
0,09
0,09
0,018
0,081
0,001
0,009
0,165
0,165
0,36
0,36
0,009
0,2
0,02
0,162
Н
Н
ПМ
0,1
Н
Н
Н
0,9
Анализ табл. 3.5 показывает, что некоторые правила имеют одинаковые посылки, но разные заключения. В такой ситуации нужно оставлять правило с максимальным КО, которому можно присвоить КО = 1. После выполнения всех преобразований получаем
табл. 3.6.
Таблица 3.6. Окончательный набор правил
Нечеткие правила
e*(t)
de*(t)/dt
u*(t)
ПБ
ПБ
ПБ
ПМ
ПМ
ПМ
ОМ
Н
ОМ
ОБ
Н
ОБ
ОМ
Н
ПБ
ПМ
ПМ, Н
ПМ
Н
ПМ
Н
143
Окончание табл. 3.6
Нечеткие правила
e*(t)
de*(t)/dt
u*(t)
ОМ
Н
Н
Н
ПМ
ОБ
ОМ
ПМ
Н
ОМ, Н
ОМ, Н
Н
Н
Н
Н
Запишем табл. 3.6 в виде ТЛП (табл. 3.7).
Таблица 3.7. Таблица лингвистических правил
Таблица правил
e*(t)
Об
Об
−
Ом
−
Ом
−
−
Н
ОМ,Н
пм
пб
(de(t)/dt)*
Н
−
пм
−
пб
−
Н
Н
−
ОМ,Н
Н
Н
−
Н
Н
ПМ
−
−
ПМ,Н
ПМ
ПБ
−
−
На рис. 3.53 показана схема моделирования системы управления с НЛР. На рис. 3.54 – переходный процесс в системе с НЛР.
Сравнение с графиком, приведенным на рис. 3.49, показывает, что
качество переходного процесса оказалось ниже, чем при использовании ПД-регулятора. Это является следствием неполноты описания закона управления – табл. 3.7 содержит «белые пятна».
Для улучшения нечеткого закона управления необходимо рассмотреть большее количество переходных процессов так, чтобы
1.5
Step
du/dt
Derivative Saturation1
Рис. 3.53. Система управления с НЛР
144
5s 2+3s+1
Saturation
Subtract
Fuzzy Logic
Controller
Transfer Fcn
Scope
y(t)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t
Рис. 3.54. Переходный процесс под управлением НЛР
e*(t) и (de(t)/dt)* принимали значения на всей области своего определения.
Можно также использовать эвристические соображения для
улучшения нечеткого закона управления. Нетрудно заметить, что
табл. 3.7 конкретизирует табл. 3.2, так что полному описанию закона управления соответствует табл. 3.8.
Таблица 3.8. Исправленная ТЛП
Таблица правил
e*(t)
Об
Ом
Н
пм
пб
(de(t)/dt)*
Об
ПБ
ПБ
ПБ
ОМ
Н
Ом
ПБ
ПБ
ОМ
Н
ПМ
Н
ПБ
ОМ
Н
ПМ
ПБ
пм
ОМ
Н
ПМ
ПБ
ПБ
пб
Н
ПМ
ПБ
ПБ
ПБ
Поскольку ошибка управления имеет знак, разумно расширить
набор управляющих правил, добавив к каждому правилу его инверсию.
Например, правилу
«Если (e*(t) = ПБ) и (de*(t)/dt = Н), то u*(t) = ПБ»,
Соответствует инверсное правило
«Если (e*(t) = ОБ) и (de*(t)/dt = Н), то u*(t) = ОБ».
145
Рис. 3.55. Формирование набора правил в FIS editor
y(t)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
Рис. 3.56. Переходный процесс в системе
146
0.8
1
1.2
t
На рис. 3.55 показан набор правил в FIS editor; на рис. 3.56 – переходный процесс в системе при синтезированном наборе правил.
Рассмотренный процесс синтеза решает задачу кластеризации разбиения пространства входов и выходов НЛР на множество компактных областей, с последующим отображением входного пространства в выходное пространство с помощью правил.
Для решения задачи кластеризации в настоящее время существуют многие методики, в том числе – на базе искусственных нейронных сетей.
Вопросы для самопроверки к главе 3
1. Что такое состояние системы?
2. Сформулируйте критерий управляемости линейной системы
в пространстве состояний.
3. Сформулируйте критерий наблюдаемости линейной системы
в пространстве состояний.
4. Какая матрица: А, В или С имеет наиболее простой вид в канонической форме управляемости?
5. Какая матрица: А, В или С имеет наиболее простой вид в канонической форме наблюдаемости?
6. Что такое степень устойчивости системы?
7. ���������������������������������������������������������
Как связана степень устойчивости и время переходного процесса?
8. �������������������������������������������������������
Как можно оценить запас устойчивости по корням характеристического уравнения?
9. ������������������������������������������������������
Как можно оценить перерегулирование по корням характеристического уравнения?
10. Что такое модальное управление?
11. Какие функции выполняет наблюдающее устройство?
12. Как влияет присутствие наблюдателя на динамику системы
управления?
13. Что такое поверхность отклика регулятора?
14. ��������������������������������������������������������
Сколько параметров требуется выбрать при синтезе ПИД-регулятора?
15. Какие качества обеспечиваются в ПИД-регуляторе за счет
введения дифференциальной составляющей?
16. Какие качества обеспечиваются в ПИД-регуляторе за счет
введения интегральной составляющей?
17. Можно ли использовать ПИД-регулятор для управления
объектами высокого порядка?
18. При каком условии П-регулятор ведет себя как реле?
147
19. ���������������������������������������������������������
Какой пакет из состава MatLab����������������������������
����������������������������������
���������������������������
Simulink�������������������
может быть использован для синтеза ПИД-регуляторов?
20. Каким образом описывается желаемый переходный процесс
при использовании блока Response Optimisation?
21. Какие достоинства характерны для нечетких регуляторов?
22. Что такое нечеткое множество?
23. ������������������������������������������������������
С помощью каких функций можно аналитически описать нечеткое множество?
24. Что такое лингвистическая переменная?
25. Какие основные блоки входят в состав нечеткого регулятора?
26. Как
������������������������������������������������������
выполняется операция фаззификации в нечетком регуляторе?
27. С помощью какой логической операции связываются обычно
посылки нечеткого правила?
28. �����������������������������������������������������
Как могут реализовываться операции ������������������
AND���������������
, �������������
OR�����������
и импликация в нечеткой логике?
29. Какие схемы нечеткого вывода применяются на практике?
30. В чем разница между схемами нечеткого вывода Mamdani и
Larsen?
31. Какое
������������������������������������������������������
ограничение накладывает на описание функций принадлежности схема нечеткого вывода Tsukamoto?
32. Чем
���������������������������������������������������������
отличается схема нечеткого вывода �������������������
Sugeno�������������
от схемы нечеткого вывода Mamdani?
33. Какой метод чаще всего применяется для дефаззификации в
нечетком регуляторе?
34. Какой
������������������������������������������������������
пакет из состава �������������������������������
MatLab�������������������������
Simulink����������������
������������������������
может использоваться для описания нечетких регуляторов?
35. Какие основные задачи решаются с помощью редактора FIS
Editor?
36. ������������������������������������������������������
Какие операции можно выполнить при редактировании функций принадлежности?
37. Какие операции можно выполнить при редактировании правил?
38. ��������������������������������������������������������
С какой целью выполняется просмотр правил и просмотр поверхности отклика нечеткого регулятора?
39. ������������������������������������������������������
Какие преимущества имеет нечеткий регулятор по отношению к ПИД-регулятору?
40. Сформулируйте принципы эмпирического синтеза правил
нечеткого регулятора.
41. Как
�������������������������������������������������������
выполняется переход от эталонной траектории в фазовом пространстве к набору нечетких правил?
42. Как рассчитывается коэффициент определенности нечетких
правил при их генерации по эталонной траектории?
148
ГЛАВА 4
Разработка цифровых
корректирующих устройств
§ 4.1. Цифровая обработка сигналов
Преимущества цифровой обработки сигналов хорошо известны – это высокая точность, возможность реализации сложных алгоритмов и гибкость применения за счет программируемости устройства.
Важным направлением развития современной микропроцессорной техники являются цифровые процессоры обработки сигналов, которые называют также сигнальными процессорами
(в англоязычной литературе используется термин Digital Signal
Processors – DSP). В настоящее время разными фирмами выпускаются сотни моделей DSP с существенно различной архитектурой.
Для всех DSP характерны следующие особенности работы:
– программы выполняются, как правило, в реальном масштабе
времени, что придает критическую важность вопросам повышения
быстродействия;
– программы содержат много логических и арифметических
операций и мало команд перехода;
– происходит
��������������������������������������������������������
постоянный и быстрый ввод-вывод данных в аналоговой форме;
– программы
��������������������������������������������������������
обработки относительно короткие и обычно остаются неизменными на протяжении всего срока эксплуатации процессора.
Процессоры DSP имеют следующие особенности архитектуры:
– используются
������������������������������������������������������
раздельные блоки памяти для хранения программ и данных (гарвардская архитектура). Они могут иметь разную разрядность, и работать параллельно;
– большая разрядность обрабатываемых данных (16, 24, 32, 48,
64, 128 бит) позволяет увеличить диапазон обрабатываемых чисел
без применения формата с плавающей запятой;
– ������������������������������������������������������
предусмотрена возможность параллельного выполнения нескольких операций одновременно (например, команд ввода-вывода
и арифметических команд).
Однако современные мощные сигнальные процессоры являются
весьма сложными устройствами, описание работы которых занимает сотни страниц. Для знакомства с DSP могут быть рекомендованы
149
работы [38–41]. Использовать DSP необходимо в тех случаях, когда
требуется максимальная скорость обработки больших объемов информации (например, аудио- и видеоданные).
Для решения же сравнительно несложных задач цифровой обработки сигналов, таких как реализация цифровых корректирующих
звеньев невысокого порядка и цифровых ПИД-регуляторов, вполне
пригодны обычные 8-разрядные микроконтроллеры (МК) [42–44].
Ниже рассматриваются общие принципы реализации цифровых
корректирующих звеньев на базе МК.
§ 4.2. Цифровые корректирующие звенья
Корректирующее звено описывается заданной передаточной
функцией
W ( p) =
m
m −1
y( p) p am + p am −1 + ... + pa1 + a0
=
,
x( p)
p nbn + p n −1bn −1 + ... + pb1 + b0
где y – выходной сигнал КЗ; x – входной сигнал; аi и bj – постоянные коэффициенты.
Это выражение можно записать в виде
y( p)( p nan + p n −1an −1 + ... + pa1 + a0 ) =
= x( p)( p mbm + p m −1bm −1 + ... + pb1 + b0 ).
Для программирования уравнения фильтра на МК нужно перейти от непрерывных величин к дискретным.
Первый способ выполнения этой операции заключается в замене операторов дифференцирования отношениями конечных разностей
px =
x k – x k–1
x – 2x k–1 + x k–2
и т. д.,
, p 2x = k
∆t
∆t 2
где Dt – шаг дискретизации по времени; k – номер момента времени.
После всех преобразований и упрощений получается формула
вида
yn =
n
m
∑ b′iyn–i + ∑ a′jxm– j, (4.1)
i =1
j =1
где а′i и b′j – постоянные коэффициенты, зависящие от шага дискретизации по времени. Формула (4.1) может быть запрограммирована на МК.
150
Второй способ получения дискретной передаточной функции из
непрерывной заключается в использовании таблиц Z-преобразования. Для этого надо разложить исходную передаточную функцию
на элементарные дроби [45, 46 и др.].
Дискретная передаточная функция имеет следующий стандартный вид:
−1
−m
y(z) b0 + b1z + ... + bmz
(4.2)
W (z) =
=
,
x(z) a0 + a1z −1 + ... + anz −n
где оператор z–1 означает задержку на один такт.
Формуле (4.2) соответствует структура фильтра, показанная на
рис. 4.1.
Заметим, что из непрерывной передаточной функции можно получить бесконечное количество вариантов дискретной передаточной функции при разных периодах дискретизации.
Реализация передаточной функции высокого порядка в виде
(4.2) может требовать использования арифметики с плавающей запятой при значительной длине мантиссы. Это делает проблематичным использование 8-разрядных МК из-за высоких требований к
быстродействию и объему памяти. Однако передаточная функция
высокого порядка может быть разложена на множители либо на
элементарные дроби, что существенно упрощает задачу.
В пакете MatLab��������������������������������������������
��������������������������������������������������
дискретную передаточную функцию легко получить с помощью команды ����������������������������������������
c���������������������������������������
2��������������������������������������
d�������������������������������������
(������������������������������������
param�������������������������������
1, param�����������������������
����������������������������
2). Параметр ����������
param�����
1 является именем преобразуемой непрерывной передаточной функции,
а параметр param2 определяет интервал дискретности. Например:
>> w=tf([1 2],[3 4 5])
Transfer function:
s + 2
--------------xn
z –1
z –1
z –1
b1
b0
z –1
b m–1
b2
bm
+
+
+
+
+
–
–
–
–
a1
z –1
a2
z –1
a n–1
z –1
∑
1/a 0
yn
an
z –1
Рис. 4.1. Цифровой фильтр
151
3 s^2 + 4 s + 5
>> t=0.1;
>> dw=c2d(w,t)
Transfer function:
0.03431 z - 0.02807
--------------------z^2 - 1.86 z + 0.8752
Sampling time: 0.1
>> t1=0.01;
>> dw=c2d(w,t1)
Transfer function:
0.003344 z - 0.003278
---------------------z^2 - 1.987 z + 0.9868
Sampling time: 0.01
Полученные выражения легко преобразуются к виду (4.2).
§4. 3. Алгоритм работы микроконтроллера
Основные блоки МК показаны на рис. 4.2. К ним относятся:
– энергонезависимая
�������������������������������������������������������
память программ (постоянная или перепрограммируемая);
– оперативная память данных;
– система прерываний;
– блок таймеров;
– �������������������������������������������������������
порты ввода-вывода, с которыми связаны ЦАП и АЦП (некоторые МК имеют встроенные преобразователи).
Формулы (4.1) и (4.2) рассчитываются для фиксированного значения ∆t, поэтому цифровой фильтр также должен срабатывать через этот интервал по прерыванию от таймера.
Программа, реализующая цифровое КЗ (рис. 4.2), должна выполнять следующие операции:
1) программирование таймера. Эта операция включает в себя
выбор режима работы таймера и установление заданной временной
задержки;
2) организация ввода данных с АЦП;
3) вычисление выходной величины фильтра;
4) вывод данных на ЦАП.
Операция 1 выполняется однократно (если выбрать режим циклической перезагрузки таймера), а операции 2–4 должны выполняться после каждого прерывания от таймера.
152
Цифровое корректирующее звено
Микроконтроллер
Таймеры
Система прерываний
Память программ
Память данных
Порт вывода
От объекта
x(t)
АЦП
Порт ввода
ЦАП
К объекту
y(t)
Рис. 4.2. Реализация цифрового корректирующего звена
Рассмотрим программирование таймера МК семейства MCS-51
(подробное описание работы таймера можно найти в [42]).
Сначала требуется выбрать режим работы таймера и задать величину временного интервала, который будет считать таймер.
Для выбора режима работы используются регистры TMOD и TCON
[42].
При назначении временной задержки нужно учитывать следующие особенности:
1. Прерывание от таймера происходит при его переполнении,
т. е. когда после кода FFFFH в 16 разрядном регистре таймера (его
части называются TH и TL) получается код 0000H.
2. Содержимое таймера увеличивается не с частотой тактового
генератора fт, а с каждым машинным циклом, который занимает
12 тактов, т. е. с частотой fт/12. Таким образом при тактовой частоте 12 МГц содержимое регистра таймера будет наращиваться через
1 мкс.
3. Прерывания от таймера векторные, т. е. процедура обработки
прерывания начинается с обращения к ячейке с фиксированным
адресом. Например, прерывание от таймер-счетчика 1 происходит
по адресу 0BH.
Работу с таймером выполняет Программа 1:
153
ORG 0H; Стартовый адрес МК
JMP ST; Переход на начало программы
ORG 0BH; Адрес вектора прерывания
CALL Filtr; Вызов подпрограммы фильтра
RETI; Конец обработки прерывания
ST: ORG 100H; Начальный адрес программы
MOV TMOD,#01H; Выбор режима таймер-счетчика
MOV TL0,LOW(NOT(10 000-1)); Загрузка таймера
MOV TH0,HIGH(NOT(10 000-1)); то же
SETB TCON.4; Старт ТС0
SETB IE.7; Общее разрешение прерываний
SETB IE.1; Разрешение прерывания от ТС0
…; Выполнение фоновой программы
В Программе 1 операторы LOW и HIGH используются для выделения младшего и старшего байта слова длиной в 2 байта. Таким
образом, в этом примере таймер отсчитает 10 000 машинных циклов, что эквивалентно 10 мс.
Если МК решает только одну задачу, то в качестве фоновой
программы может выступать просто цикл ожидания прерывания.
Можно также переводить МК в режим пониженного энергопотребления до прерывания.
При описании операции ввода данных с АЦП нужно учитывать,
какой тип обмена информацией поддерживает конкретная микросхема АЦП. Всего здесь может быть два варианта: параллельный и
последовательный обмен.
Реализация параллельного обмена наиболее проста: выходы
АЦП подключаются к одному (если АЦП 8-разрядный) или большему количеству портов ввода, так что МК в любой момент времени может прочитать входную информацию. Некоторые АЦП требуют сигнала запуска от МК и проверки завершения преобразования.
Для этих целей нужно выделять еще 2 бита одного из портов.
Несколько сложнее алгоритм обмена при последовательном интерфейсе. Однако в этом случае остается больше свободных портов МК.
Рассмотрим сопряжение МК по последовательному интерфейсу
с популярным АЦП ADC0831 фирмы «National Semiconductor».
Схема сопряжения показана на рис. 4.3, где для взаимодействия
МК с АЦП выделены 3 бита порта P1.
АЦП выдает нулевой бит, когда напряжение прямого входа
Uin(+) равно напряжению инвертирующего входа Uin(–). Если же
напряжение между прямым и инвертирующим входами равно
опорному напряжению Uref, то на выходе АЦП появится максимальный код, равный 25510 (FF10).
154
ADC 0831
___
CS
i 8051
+5В
Ucc
U in (+)
CLK
U in (–)
D0
GND
U ref
P1.7
P1.2
P1.1
P1.0
Рис. 4.3. Сопряжение МК с АЦП
Остальные выводы корпуса АЦП выполняют следующие функции:
– Ucc – напряжение питания;
– CLK – вход тактирования;
– GND – земля;
– CS – выбор микросхемы (активный уровень низкий);
– D0 – выход данных.
для взаимодействия с МК требуется использовать три сигнала:
CS, D0 и CLK (рис. 4.3).
Работа начинается с подачи на вход АЦП CS, низкого логического уровня. Затем на линию CLK подается первый тактовый импульс, начинающий преобразование. Потом по линии CLK нужно подать еще 8 тактовых импульсов для считывания результата.
После каждого из этих тактовых импульсов МК должен выполнить
чтение бита данных, поступающего от АЦП по линии D0.
Реализация описанного алгоритма показана в Программе 2:
M1:
D0 EQU P1.2; Описание символических
CLK EQU P1.1; имен для отдельных битов
CS EQU P1.0; порта P1
CNT DATA 10H; Ячейка-счетчик
RES DATA 11H; Ячейка для хранения результата
ORG 00H
MOV P1, #00000100B; Вход P1.2 программируется на ввод
CLRB CS; Разрешение работы АЦП
MOV CNT,#8; Загрузка счетчика битов
MOV RES,#0H; Очистка результата
MOV A,#0H; Очистка аккумулятора
SETB CLK; Первый тактовый
NOP; Импульс для
CLRB CLK; старта АЦП
155
LOOP: SETB
NOP;
CLRB
MOVB
RLC;
DJNZ
CLK; Генерация
очередного тактового
CLK; импульса
C,D0; Пересылка бита данных во флаг переноса
Бит данных вдвигается в аккумулятор справа
CNT, LOOP; Декремент счетчика, если не нуль,
; то возврат
MOV REZ, A; Запоминание результата
SETB CS; Конец преобразования
END
Вывод информации на ЦАП также может происходить в параллельном или последовательном формате. Удобнее всего использовать параллельный обмен, когда ЦАП подключается к выходному
порту. Сигналов запуска и проверки готовности для ЦАП не требуется.
§ 4.4. Программирование простых цифровых фильтров
Допустим, что требуется реализовать простой цифровой фильтр
(корректирующее звено), описываемый формулой
y
K
W= =
.
x Tp + 1
В разностном виде можно записать:
dy
∆y
T
+ y = kx ⇒ T
+ y = kx.
dt
∆t
Пусть задан период дискретности
∆t = T0.
Приращение сигнала за период дискретности
∆y = yi – yi–1,
где i – номер такта:
T
(yi − yi −1) = kx i − yi −1.
T0
Выполняя очевидные преобразования, получаем
kT
T
yi = 0 x i + (1 − 0 )yi −1
T
T
или, вводя обозначение для константы: K = T0/T,
yi = Kx i + (1– K ) yi −1 = yi −1 − Kyi −1 + Kx i = yi −1 + K (x i − yi −1 ). (4.3)
Эта формула может быть запрограммирована. Рассмотрим фрагмент программы для МК семейства MCS51 (Программа 3):
156
M1:
M2:
M3:
M4:
CRC C; Сброс флага переноса
MOV A,X;Входная информация (X) поступает в аккумулятор
SUBB A,Y; Разность X–Yi–1
MOV F0,C; Запоминание знака разности
JNC M1; Переход, если знак +
CPL A; Иначе перевод разности
INC A; в дополнительный код
MOV B,K; Константа K записывается в регистр B
MUL AB; K(X–Yi–1) (в А – младший, а в В – старший байт)
JNB A.7,M2; Округление перед отбрасыванием
INC B; младшего байта
MOV A,Y; Загрузка Yi–1 в аккумулятор
JNB F0,M3; Переход, если разность X–Yi–1 была положительна
CLR C; иначе сброс флага переноса перед вычитанием
SUBB A,B; Вычитание: Yi = Yi–1–K(X–Yi–1)
SJMP M4; Переход на метку M4
ADD A,B; Сложение: Yi = Yi–1 + K(X–Yi–1)
MOV Y,A; Запоминание Yi
Здесь предполагается, что ячейки X и Y хранят входное и выходное значения фильтра. Константа K целая и положительная.
Величина X может быть как положительной, так и отрицательной. Соответственно и Y является величиной со знаком. Для представления чисел со знаком требуется использовать дополнительный код.
Рассмотрим программирование цифрового фильтра второго порядка. Он описывается формулой вида:
W=
y
1
=
.
x T1 p 2 + T2 p + 1
В разностном виде можно записать:
 d 2y 
 yi – 2yi–1 + yi–2 
 yi – yi1 
 dy 
T1  2  + T2 
 + y = x ⇒ T1 
 + T2 
 + yi–1 = x i.
2
dt


∆t


 ∆t 
 dt 
вводя обозначения
K1 =
T1
T
, K2 = 2 ,
∆t
∆t 2
получаем
K1(yi − 2yi −1 + yi −2 ) + K 2 (yi − yi −1) = x i − yi −1.
Это выражение можно записать в виде:
yi (K1 + K 2 ) = x i − yi −1 + yi −1 (K1 + K 2 ) + K1 (yi −1 − yi −2 ),
вводя обозначения
157
A1 =
K1
1
; A2 =
,
K1 + K 2
K1 + K 2
окончательно получаем
yi = yi–1 + A1 (x i – yi1 ) + A2 (yi1 – yi–2 ). (4.4)
Рассмотрим программирование этой формулы для микроконтроллера семейства MCS51 (Программа 4):
M1:
M2:
M3:
M4:
M5:
M6:
MOV A,DY; (Yi–1–Yi–2) поступает в аккумулятор
CLR F0; Сброс флага пользователя
JNB A.7,M1; Если (Yi–1–Yi–2) > 0, то переход на метку M1
SETB F0; Иначе устанавливается флаг F0 и
CPL A; (Yi–1–Yi–2) преобразуется в
INC A; прямой код перед умножением
MOV B,A2; Константа А2 поступает в В
MUL AB; Перемножение: А2(Yi–1–Yi–2)
JNB A.7, M2; Округление перед отбрасыванием
INC B; младшего байта
MOV A,B; Модуль старшего байта произведения поступает в А
JNB F0,M3; Если произведение > 0, то переход на М3
CPL A; иначе произведение преобразуется в
INC A; дополнительный код
MOV DY,A; Произведение А2(Yi–1 – Yi–2) запоминается в DY
CLR C; Сброс флага переноса
MOV A,X; Входная переменная Х записывается в А
SUBB A,Y; Вычитание X–Yi–1
MOV F0,C; Знак разности поступает в F0
JNC M4; Если X–Yi–1 > 0, то переход на метку M4
CPL A; иначе разность преобразуется в
INC A; дополнительный код
MOV B,А1; Константа А1 записывается в В
MUL AB; Перемножение: А1(X–Yi–1 )
JNB A.7, M5; Округление перед отбрасыванием
INC B; младшего байта произведения
MOV A,B; Старший байт произведения посылается в А
JNB F0,M6; Если произведение > 0, то переход на М6
CPL A; иначе произведение переводится в
INC A; дополнительный код
ADD A,DY; Сложение А1(X–Yi–1 ) + А2(Yi–1–Yi–2)
MOV DY,A; Запоминание приращения
ADD A,Y; Yi = Yi–1 + А1(X–Yi–1 ) + А2(Yi–1–Yi–2)
MOV Y,A; Запоминание выходного сигнала Yi
Как следует из формул (4.3) и (4.4), с ростом порядка цифрового
фильтра на единицу к расчетной формуле прибавляется одно слагаемое.
Команды 8-разрядных МК обрабатывают целые числа. Данные,
поступающие от АЦП и посылаемые на ЦАП, также являются це158
лыми числами. Однако коэффициенты цифрового фильтра могут
быть действительными числами. Чтобы избежать использования
формата числа с плавающей запятой, применяется простой прием:
– ���������������������������������������������������������
правая и левая части расчетной формулы умножаются на масштабирующую константу М, так что все коэффициенты выражения становятся целыми числами;
– вычисляется левая часть формулы и делится на М, что дает
искомую величину.
Например:
yi = yi −1 + 0,1(x i − yi −1) + 2,3(yi −1 − yi −2 ) ⇒
⇒ 10yi = yi −1 + (x i − yi −1) + 23(yi −1 − yi −2 ) ⇒
⇒ yi =
(yi −1 + (x i − yi −1) + 23(yi −1 − yi −2 ))
.
10
Таким образом, с помощью 8-разрядных МК можно реализовывать достаточно сложные цифровые фильтры.
Вопросы для самопроверки к главе 4
1. Какие преимущества дает цифровая обработка сигналов?
2. ��������������������������������������������������������
Какие особенности присущи архитектуре сигнальных процессоров?
3. �������������������������������������������������������
Чем вызвана необходимость перехода от непрерывных величин к дискретным в цифровой системе управления?
4. �������������������������������������������������������
Как выполняется замена операторов дифференцирования отношениями конечных разностей?
5. Какой общий вид имеет дискретная передаточная функция?
6. Зависят
�����������������������������������������������������
ли коэффициенты дискретной передаточной функции от периода дискретизации?
7. Какие основные блоки входят в состав МК?
8. Какие
��������������������������������������������������������
основные операции должна выполнять программа, реализующая цифровое корректирующее звено?
9. Опишите алгоритм использования таймера МК.
10. Какие типы обмена информацией возможны между МК и
АЦП.
11. Как происходит обмен по параллельному интерфейсу?
12. Как происходит обмен по последовательному интерфейсу?
159
ГЛАВА 5
Методические указания
по проектированию электропривода
§ 5.1. Построение усилительно-преобразовательных устройств
Усилительно-преобразовательное устройство (УПУ) состоит из
элементов и схем, предназначенных для усиления и преобразования электрических сигналов как в прямой цепи ЭП, так и в цепях
местных ОС. В состав УПУ обычно входят основной усилитель, корректирующие звенья (КЗ) и преобразующие устройства.
Основной усилитель предназначен для усиления сигнала ошибки по напряжению и мощности до значений, определяемых ИД и
желаемой точностью привода. Обычно основной усилитель состоит
из предварительного (ПУ) и усилителя мощности (УМ). Конкретное
исполнение усилителя определяется многими факторами, зависящими от мощности ИД, типа преобразовательных устройств, рода
питающего напряжения, элементов, имеющихся в распоряжении
проектировщика и т. д. Поэтому в курсовом проекте тип усилителя
задается в исходных данных. Предусмотрены следующие варианты
конструктивного исполнения усилителя: транзисторный, тиристорный. При составлении принципиальной электрической схемы
усилителя рекомендуется воспользоваться текстом лекций и пособием к курсовому проектированию по дисциплине «Электронные
и полупроводниковые устройства автоматики» [2]. Необходимая
информация содержится также в [9–18, 31–35].
Активные и пассивные КЗ на постоянном и переменном токе
включаются как в прямую цепь ЭП, так и в цепь местных ОС. Для
выбора и расчета конкретных КЗ целесообразно использовать работы [10, 19].
К преобразующим устройствам относят модуляторы (МД), демодуляторы (ДМ) – фазочувствительные выпрямители, фазовые
дискриминаторы (ФД), управляемые генераторы импульсов (ГИ),
фильтры (Ф), селекторы (С). Модуляторы в ЭП используются для
эквивалентного преобразования сигнала постоянного тока в сигнал
переменного тока с сохранением закона изменения амплитуды и
знака сигнала. ДМ используется для эквивалентного преобразования сигнала переменного тока в постоянный. ФД предназначены
для разделения сигналов по фазе и выделения полезного сигнала
на фоне помех. Так, например, сигнал с выхода ИР, построенного
160
на сельсинах, имеет значительную квадратурную составляющую –
сигнал, сдвинутый по фазе на 90о по отношению к полезному. Если
не принять мер к устранению этого сигнала, он приведет к излишнему разогреву электрических цепей, насыщению усилителей,
ложным срабатываниям селекторов. Иногда роль ФД с успехом выполняет ДМ.
Управляемые ГИ наиболее широко применяются в схемах ШИМ
для построения импульсных усилителей как постоянного, так и
переменного тока. Для ШИМ используются ГИ, длительность импульсов на выходе которых линейно связана с величиной входного
сигнала.
Фильтры различных видов применяются для отсеивания вредных составляющих (шумов, наводок, помех) от полезного сигнала.
Необходимость в селекторе возникает при построении двухканального ИР для автоматического переключения основного контура ЭП с грубого канала на точный и обратно. Селекторы могут быть
построены с использованием различных элементов: электромеханических и электронных реле, нелинейных цепей, логических
схем и т. п.
Вид селектирующего устройства определяется многими факторами: родом питающего напряжения, типом первичного измерительного преобразователя (ПИП), быстродействием ЭП и т. д.
Для построения схем преобразующих устройств целесообразно
воспользоваться сведениями из [10–18, 31, 33].
Рассмотрим конкретные варианты компоновки УПУ для различных ЭП.
Следящий привод постоянного тока состоит из ПИП – потенциометрического типа, ИД – постоянного тока, усилителя – постоянного тока. В таком приводе последовательное КЗ целесообразно
включить между ПУ и УМ, как это показано на рис. 5.1.
При этом нужно иметь в виду, что выходное сопротивление ПУ
должно быть на порядок меньше входного сопротивления КЗ, а
выходное сопротивление КЗ – на порядок меньше входного сопротивления УМ. Учитывая, что сопротивление резисторов КЗ обычно оказывается значительным (десятки и сотни килоом), согласоUx
ПУ
КЗ
ЭМП
УМ
Uy
Рис. 5.1. Функциональная схема УПУ с последовательным КЗ
161
вание КЗ с выходом обеспечивается просто. Для согласования КЗ
с УМ в схему нужно вводить эмиттерный повторитель (ЭМП) или
операционный усилитель (ОУ) с большим входным сопротивлением. Необходимость в согласующих устройствах отпадает, если КЗ
реализовано на ОУ. При этом КЗ выполняет также функции некоторого промежуточного усилителя, коэффициент усиления которого должен быть учтен в общем коэффициенте усиления.
Если используется коррекция в цепи местной ОС с применением ТГ, то функциональная схема УПУ может быть представлена
в виде, изображенном на рис. 5.2. Суммирующее устройство ∑
можно выполнить на ОУ. При этом отпадает необходимость в дополнительном согласующем устройстве между выходом КЗ и входом сумматора ∑. Сигналы, приходящие на вход ∑, должны быть
согласованы по амплитуде, ибо теоретическое значение коэффициента пе­редачи цепи корректирующей ОС и цепи ПУ могут оказаться такими, что на входе ∑ будут иметь место сигналы, несоизмеримые по величине.
В ЭП постоянного тока возможна ситуация, когда среди ПИП
потенциометрического типа нет элементов, удовлетворяющих требованиям точности. Тогда возможно использование ПИП индукционного типа (ВТ высокого класса точности). При этом возникает необходимость согласования ИР переменного тока с остальными элементами привода, работающими на постоянном токе. Очевидным
выходом из положения является использование ДМ для преобразования сигнала переменного тока с выхода ИР в сигнал постоянного
тока. ДМ следует включать в схему после ПУ, который, естественно, должен быть выполнен на переменном токе (рис. 5.3).
Ux
ПУ
КЗ
Uy
ЭМП
ТГ
КЗ
ωп
Рис. 5.2. Функциональная схема УПУ при использовании ОС
≈
x
ИР
≈
ПУ
ДМ
=
КЗ
=
УМ
Uy
Рис. 5.3. Функциональная схема УПУ с использованием элементов разного рода тока
162
x
≈
ИР
ПУ
≈
=
ДМ
КЗ
=
МД
≈
УМ
≈ Uy
Рис. 5.4. Функциональная схема УПУ с двойным преобразованием сигнала
x
ИР
≈
ПУ
≈
∑
≈
МД
УМ
=
≈ Uy
КЗ
=
ТГ
ωп
Рис. 5.5. Функциональная схема УПУ с преобразованием сигнала в цепи
местной ОС
Следящий привод переменного тока. Чаще всего необходимость
введения преобразовательных устройств обусловлена потребностью в участке цепи, работающем на постоянном токе, для включения КЗ, как это показано на рис. 5.4.
При использовании корректирующей ОС часто приходится выбирать в качестве датчика скорости ТГ постоянного тока. Тогда возникает необходимость преобразований сигнала корректирующей
ОС (рис. 5.5). Нужно иметь в виду, что в зависимости от типа МД
может возникнуть необходимость согласования выхода КЗ со входом МД.
Если в ЭП переменного тока выполняются условия реализации
КЗ на переменном токе ( ω п >> ω с, где ω п = 2πfп, fп– частота питающей сети), то в случае последовательной коррекции функциональная схема УПУ имеет такой же вид, как на рис. 5.1. Соответственно
при использовании корректирующей ОС вид функциональной схемы УПУ на переменном токе такой же, как на рис. 5.2, только все
электрические сигналы будут сигналами переменного тока.
§ 5.2. Разработка общей принципиальной электрической схемы
Общая принципиальная электрическая схема (ПЭС) ЭП объединяет все электрические и электромеханические устройства, необходимые для правильного функционирования привода. Наряду
с элементами, выбранными в результате расчета, на схеме обязательно должны быть приведены согласующие и преобразующие
устройства, появляющиеся при разработке УПУ. Кроме того, на
схеме должны быть приведены все устройства, обеспечивающие
работу элементов УПУ.
163
В задании на проектирование род тока задается вполне определенно. Вместе с тем возможно использование в одном ЭП элементов
разного рода тока. В этих случаях должен быть разработан преобразователь одного вида энергии в другой. Преобразование переменного тока в постоянный легко выполняется с помощью выпрямителя.
Обратная задача решается несколько сложнее, однако современная
преобразовательная техника располагает отработанными вариантами таких устройств [17, 32, 33]. Кроме того, при использовании
интегральных схем появляется необходимость в получении высокостабильного напряжения питания, чаще всего двухполярного.
Такие источники питания могут быть построены или на базе стабилитронов в совокупности со схемой делителя напряжения (если
потребитель маломощный), или на базе специальных электронных
схем, представляющих собой полупроводниковую систему автоматической стабилизации выходного напряжения (систему с ОС по
напряжению). При выборе вспомогательных элементов целесообразно пользоваться литературой [10, 18, 24].
Общая структура ПЭС может быть представлена в виде, показанном на рис. 5.6.
В схеме предусмотрены не только элементы, непосредственно
участвующие в работе ЭП, но и устройства, обеспечивающие их
функционирование; УМ, ИД и ТГ получают питание непосред=
ИП
ИР
≈
ПУ
ИВ
≈
≈
ДМ
ТН
=
≈
КЗ1
=
В
=
СТ
=
ОУ
УМ
=
=
ИД
=
КЗ2
=
ТГ
Рис. 5.6. Принципиальная электрическая схема ЭП: ИП – бортовой источник питания; ИВ – инвертор, преобразующий постоянный
ток в переменный; ТН – трансформатор напряжения; В – выпрямитель; СТ – стабилизатор напряжения; ИP – измеритель
рассогласования; ПУ – предварительный усилитель; ДМ – демодулятор; КЗ1 – последовательное корректирующее звено; СУ –
операционный усилитель, используемый в качестве сумматора;
УМ – усилитель мощности; ИД – исполнительный двигатель;
ТГ – тахогенератор; КЗ2 – корректирующее звено в цепи местной ОС
164
ственно от ИП; ИР, ПУ и ДМ – от ИВ; ОУ – от двухполярного стабилизатора напряжения СТ; ТН и В предназначены для получения
напряжения для СТ.
При построении ПЭС следует использовать справочные данные
из [24–36].
§ 5.3. Разработка конструкции механического узла
Под механическим узлом ЭП понимается совокупность элементов ЭП, которые механически связаны между собой. Узел ЭП включает в себя редуктор, ИД, ПИП – приемник каналов грубого (ГО) и
точного (ТО) отсчетов, ТГ.
Основой механического узла является редуктор. Заданием предусмотрены три варианта конструктивного оформления редуктора:
зубчатый, винтовой, комбинированный. Основанием для выбора
конструкционных элементов редуктора – валов, осей, подшипников, распорных и стопорных колец, штифтов, шпонок, соединительных муфт, крепежа и тому подобное может служить справочная литература [2–5].
Корпус и платы редуктора являются посадочными поверхностями для размещения ИД, ПИП, ТГ, поэтому при компоновке конфигурации редуктора нужно учитывать их габариты для подготовки
посадочных мест. Соединительные муфты валов редуктора и внешних элементов должны обеспечивать плавную работу при любом
положении механического узла в пространстве.
Обязательно должно быть учтено условие удобства подключения
нагрузки к выходному валу механического узла – свободный конец
вала должен быть достаточной длины для размещения и крепления
на нем соединительной муфты. Корпус механического узла должен
быть жестким и иметь минимальное количество разъемных частей
(не в ущерб удобству сборки и разборки).
При проектировании механического узла ЭП с двухотсчетным
ИР следует иметь в виду, что в качестве редуктора между каналами ГО и ТО могут использоваться выходные пары зубчатых колес
основного редуктора, для чего при распределении передаточных
чисел пар зубчатых колес нужно предусмотреть обеспечение на выходных парах передаточного числа, соответствующего коэффициенту, между ГО и ТО.
Результатом разработки конструкции является сборочный чертеж механического узла, дающий полное представление о его устройстве, функционировании, сборке и разборке. Желательно предусмотреть такое количество видов и разрезов, чтобы была ясна
165
конфигурация корпуса редуктора и особенности размещения на
нем всех элементов. Сборочный чертеж сопровождается спецификацией всех сборочных единиц. В пояснительной записке приводится описание конструкции механического узла.
§ 5.4. Оформление пояснительной записки курсового проекта
5.4.1. Содержание пояснительной записки
Курсовой проект должен состоять из пояснительной записки на
листах формата А4 по ГОСТ 7.32-81 (СТ СЭВ 1181-78) и сборочного
чертежа на листе формата А1. Пояснительная записка должна содержать:
Титульный лист.
Оглавление.
Техническое задание.
Введение.
1. Анализ технического задания.
2. Разработка функциональной схемы ЭП.
3. Выбор функционально необходимых элементов ЭП.
4. Статический расчет.
5. Динамический расчет.
6. Построение принципиальной электрической схемы ЭП.
7. Спецификация принципиальной электрической схемы.
8. ������������������������������������������������������
Анализ переходных процессов с учетом основных нелинейностей.
9. Разработка сборочного чертежа механического узла.
10. Спецификация механического узла.
Заключение.
Список литературы.
5.4.2. Правила оформления пояснительной записки
Текст ПЗ должен быть написан от руки на одной стороне листов
белой бумаги без линеек черной пастой (чернилами) четко и аккуратно с расстоянием между строками 10 мм. На каждой странице до
текста должны быть оставлены поля следующих размеров: вверху
страницы 15 мм, внизу – 20 мм, слева – 30 мм, справа – 10  мм. Первой страницей ПЗ является титульный лист, который также заполняется пастой или чернилами черного цвета. На второй странице
ПЗ помещается оглавление, на третьей – ТЗ на проектирование, которое должно быть подписано студентом. Далее следует текст ПЗ.
166
Пояснительная записка делится на разделы и подразделы. Разделы должны иметь порядковые номера, обозначенные арабскими
цифрами; подразделы – порядковые номера внутри каждого раздела, состоящие из номеров раздела и подраздела, разделенных точкой. После номеров разделов и подразделов ставятся точки. Заголовок раздела пишется большими буквами. Переносы слов в заголовках не допускаются, точки в конце заголовков не ставятся.
Изложение материала в ПЗ должно быть кратким и четким,
исключающим возможность субъективного толкования. Необходимо придерживаться терминологии и определений, принятых в
научно-технической литературе. В ПЗ допускается использование
общепринятых аббревиатур (сокращений) – ЭДС, САУ, ЭВМ и так
далее и индивидуальных, принятых только в данном проекте. Индивидуальную аббревиатуру следует оговорить при первом упоминании, поместив за сокращаемым сочетанием слов его аббревиатуру, написанную прописными буквами в скобках.
Расчетные формулы располагаются на середине отдельной
строки. Появляющиеся в формулах новые символы должны быть
расшифрованы в экспликации, помещенной непосредственно под
формулой. После формулы перед экспликацией ставится запятая.
Первая строка экспликации начинается со слова «где», двоеточие
после него не ставится. Расшифровка каждого символа дается с
новой строки, в конце каждой строки ставится точка с запятой, а
в конце последней строки – точка. В экспликации расчетной формулы после текста расшифровки символов необходимо приводить
обозначения единиц физических величин, которые от текста отделяют запятой.
Формулы, на которые имеются ссылки в тексте, нумеруются
подряд в пределах каждого раздела арабскими цифрами. Номер
формулы должен состоять из номера раздела и порядкового номера формулы, разделенные точкой. Номера ставятся с правой стороны листа на уровне формулы в круглых скобках. Ссылки в тексте
на порядковый номер формулы даются в скобках. После формулы
всегда должна стоять либо точка, либо запятая, либо точка с запятой.
Все помещенные в ПЗ иллюстрации (схемы, графики и т. п.)
именуются рисунками и выполняются карандашом на миллиметровой бумаге формата А4 в соответствии со стандартом СТП ГУАП
102-83. На каждом формате должны быть оставлены такие же
поля, как и на листах с текстом. Рисунки должны появляться сразу
после первой ссылки на них. На одном формате может быть помещено несколько рисунков. Рисунки необходимо размещать таким
167
образом, чтобы их можно было рассматривать, не поворачивая ПЗ.
Если такое размещение затруднено, рисунки располагаются так,
чтобы для их рассмотрения записку надо было повернуть по часовой стрелке.
Рисунки нумеруются подряд в пределах каждого раздела ПЗ
арабскими цифрами. Номер рисунка ставится под рисунком и должен состоять из номера раздела и порядкового номера рисунка,
разделенных точкой. При ссылке на рисунок следует указать его
полный номер. Каждый рисунок должен иметь подпись, которая
выполняется карандашом и указывается рядом с номером рисунка.
После номера рисунка ставится точка, после подписи к нему – не
ставится.
Графики в ПЗ выполняются карандашом на миллиметровой бумаге формата А4 по следующим правилам.
В том случае, когда по графикам расчетов не производится, графики не имеют ни числовых шкал по осям координат, ни координатной сетки. При этом оси координат имеют стрелки. Символы величин, откладываемых на осях, пишутся вблизи стрелок вне поля
графика.
В том случае, когда по графикам производятся расчеты, графики
должны иметь координатную сетку. Числа на шкалах пишутся за
пределами рамки графика, обязательно указывается первое и последнее число шкалы. Символы величин, откладываемых на осях,
помещаются у середины шкалы, у ее внешней стороны, а единицы
измерения величин указываются в конце шкалы между предпоследним и последним числами.
Цифровой материал приводится в виде таблиц, выполненных
черной пастой или чернилами на миллиметровой бумаге формата
А4.
Все таблицы выполняются открытыми, в них не проводятся
крайние левая и правая вертикальные линии, а также нижняя горизонтальная линия. Таблицы помещаются после первой ссылки
на них и нумеруются подряд в пределах каждого раздела арабскими цифрами. Номера таблиц ставятся над правым верхним углом
таблицы. Каждая таблица должна иметь тематическое наименование, которое выполняется черной пастой или чернилами и указывается сверху таблицы – под ее номером. После номера таблицы и
ее наименования точка не ставится.
168
Библиографический список
1. Козаченко В. Основные тенденции развития встроенных систем управления двигателями и требования к микроконтроллерам // http://www.chip-news.ru/archive
2. Земляков Н. Д., Шишлаков В. Ф., Осипов Л. А. Автоматизированный электропривод: Учеб. пособие / ЛИАП. Л., 1991. 75 с.
3. Справочник конструктора точного приборостроения /
Г. А. Веркович, Е. Н. Головенкин, В. А. Голубков и др.; Под общ.
ред. К. Н. Явленского, Б. П. Тимофеева, Е. Е. Чаадаевой. Л.: Машиностроение, 1989. 792 с.
4. Турпаев А. И. Винтовые механизмы и передачи. М.: Машиностроение, 1982. 223 с.
5. Чурабо Д. Д. Детали и узлы приборов. Конструирование и расчет. Справочное пособие. М.: Машиностроение, 1975. 559 с.
6. Ковчин С. А., Сабинин Ю. А. Теория электропривода. СПб:
Энергоатомиздат, 1994. 412 с.
7. Земляков Н. Д., Сусленникова Е. Ю. Первичные измерительные преобразователи следящего электропривода. Потенциометры
и тахогенераторы: Метод. указ. к курсовому и дипломному проектированию / ЛИАП. Л., 1992. 32 с.
8. Земляков Н. Д., Сусленникова Е. Ю. Первичные измерительные преобразователи следящего электропривода. Вращающиеся
трансформаторы, сельсины, индукционные датчики угла: Метод.
указ. к курсовому и дипломному проектированию / ЛИАП. Л.,
1992. 44 с.
9. Техническая
���������������������������������������������������������
кибернетика. Устройства и элементы систем автоматического управления. Кн. 1. Измерительные устройства, преобразующие элементы и устройства / Под ред. В. В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1976. 671 с.
10. Техническая кибернетика. Устройства и элементы систем
автоматического управления. Кн. 2. Усилительные устройства,
корректирующие элементы и устройства / Под ред. В. В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1976. 687 с.
11. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. М: Лаборатория базовых знаний, 2002. 832 с.
12. Лазарев Ю. Ф. MATLAB 5.x. Киев: BHV, 2000.
13. Дьяконов В. ��������������������������������������������
Simulink������������������������������������
4. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002.
14. Нестеренко Б. К. Интегральные операционные усилители:
Справ. пособие по применению. М.: Энергоиздат, 1982. 128 с.
169
15. Смирнова В. И., Разинцев В. И. Проектирование и расчет автоматизированных приводов. М.: Машиностроение, 1990. 364 с.
16. ������������������������������������������������������
Электропривод летательных аппаратов: Учебник для авиационных вузов / Под общ. ред. В. А. Полковникова. 2-е изд. перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1990. 352 с.
17. Руководство по проектированию систем автоматического
управления: Учеб. пособие для студентов спец. «Автоматика и телемеханика» / Под ред. В. А. Бесекерского. М.: Высш. шк., 1983.
296 с.
18. Бесекерский В. А. Динамический синтез систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1970. 576 с.
19. Функциональные устройства на микросхемах / Под ред.
В. З. Найдерова. М.: Радио и связь, 1985. 200 с.
20. Герман О. Г., Усов А. Р., Телицын Э. Л., Расчет электронных
устройств систем автоматики: Учеб. пособие / СПбГААП. СПб.,
1993. 80 с.
21. Воробьев Н. И. Проектирование электронных устройств. М.:
Высш. шк., 1989. 224 с.
22. Справочник по автоматизированному электроприводу/Под
ред. В. А. Елисеева и А. В. Шинянского. М.: Энергоатомиздат, 1983.
616 с.
23. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.
24. Герман-Галкин С. Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем в Matlab 6.0.: Учеб. пособие. СПб.: КОРОНА
принт, 2001. 320 с.
25. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории
управления. М.: Наука, 1970. 620 с.
26. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 184 с.
27. Филипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. 616 с.
28. Гудвин Г. К., Гребе С. Ф., Сальгадо М. Э. Проектирование систем управления. М.: Бином, 2004. 911 с.
29. Олссон Г., Пьяни Дж. Цифровые системы автоматизации и
управления. СПб., 2001. 577 с.
30. Ziegler J. G., Nichols N. B. Optimum setting for automatic controllers. Trans. ASME. Vol. 65. P. 443–444. 1943.
31. Zadeh L. A. Fuzzy sets // Information and Control. 1965. Vol.
8. P. 338.
170
32. Mamdani E. H. Application of fuzzy algorithms for control of
simple dinamic plant // IEEE Proc. 1974. Vol. 121. N 12. P. 1585–
1588.
33. Бураков М. В., Попов О. С. Интеллектуальные системы управления. Учебное пособие / ГААП. СПб., 1997. 108 с.
34. Kosko B. Fuzzy Systems as Universal Approximators // IEEE
Transaction on Computers. 1994. Vol. 43. N 11. P. 1329–1333.
35. Бураков М. В., Попов О. С. Формирование базы знаний управляющей экспертной системы. Рукопись деп. в ВИНИТИ 19.05.93.
№ 1329-В93. 21 с.
36. Бураков М. В., Попов О. С. Элементы искусственного интеллекта в проблеме управления сложным динамическим объектом //
Автоматика и телемеханика. 1997. № 8. С. 118–124.
37. Wang I. X., Mendel J. M. Generating fuzzy rules by learning
from examples // IEEE Transactions on System, Man and Cybernetics.
1992. 22(6). P. 1414–1427.
38. Корнеев В. В., Киселев А. В. Современные микропроцессоры.
М.: НОЛИДЖ, 1998. 240 с.
39. Куприянов М. С., Матюшкин Б. Д. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Политехника, 1998.
40. Куприянов М. С. и др. Техническое обеспечение цифровой обработки сигналов. СПб.: Наука и техника, 2000.
41. Солонина А. И., Улахович Д. А., Яковлев Л. А. Алгоритмы и
процессоры цифровой обработки сигналов. СПб.: БХВ-Петербург,
2002. 464 с.
42. Бураков М. В. Использование микроконтроллера МК51 в
системах автоматического управления: Метод. указ. для курсового
и дипломного проектирования / ГУАП. СПб., 1998. 31 с.
43. Бураков М. В. Использование микроконтроллера PIC16C5X
в системах автоматического управления: Метод. указ. для курсового и дипломного проектирования / ГУАП. СПб., 1998. 41 с.
44. Микроконтроллеры: Однокристальные микроконтроллеры
PIC17C4x, PIC17C75x. М.: Додека, 1998.
45. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления: М.: Машиностроение, 1986. 448 с.
46. Изерман Р. Цифровые системы управления. М.: Мир, 1984.
541 с.
171
Учебное издание
Акопов Владимир Сергеевич
Бураков Михаил Владимирович
Полякова Татьяна Геннадьевна
ПРОЕКТИРОВАНИЕ АВИАЦИОННОГО
СЛЕДЯЩЕГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА
МАЛОЙ МОЩНОСТИ
Учебное пособие
Редактор Г. Д. Бакастова
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 28.11.07. Подписано к печати 23.04.08.
Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.-печ. л. 10,0.
Уч.-изд. л. 10,4. Тираж 250 экз. Заказ №
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
4 336 Кб
Теги
akopov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа